Category: Class 9

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు Exercise 12.1

ప్రశ్న 1.
పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రం. అయిన దిగువ ఇవ్వబడిన భాగాల పేర్లు తెలపండి.
(i) \(\overline{\mathbf{AO}}\)
(ii) \(\overline{\mathbf{AB}}\)
(iii) \(\widehat{\mathrm{BC}}\)
(iv) \(\overline{\mathbf{AC}}\)
(v) \(\widehat{\mathrm{DCB}}\)
(vi) \(\widehat{\mathrm{ACB}}\)
(vii) \(\overline{\mathbf{AD}}\)
(viii) షేడ్ చేసిన ప్రాంతం

సాధన.
(i) \(\overline{\mathbf{AO}}\) – వ్యాసార్ధము
(ii) \(\overline{\mathbf{AB}}\) – వ్యాసము
(iii) \(\widehat{\mathrm{BC}}\) – అల్ప వృత్త చాపము
(iv) \(\overline{\mathbf{AC}}\) – జ్యా
(v) \(\widehat{\mathrm{DCB}}\) – అధిక వృత్త చాపము
(vi) \(\widehat{\mathrm{ACB}}\) – అర్ధ వృత్తము
(vii) \(\overline{\mathbf{AD}}\) – జ్యా
(viii) షేడ్ చేసిన ప్రాంతం – అల్ప వృత్త ఖండము

ప్రశ్న 2.
సత్యమో, అసత్యమో తెల్పండి.
(i) వృత్తం అది ఉండే తలాన్ని మూడు భాగాలుగా విభజిస్తుంది. ( )
(ii) ఒక జ్యా మరియు అల్పచాపముల మధ్య ఆవరింపబడిన ప్రాంతమే అల్పవృత్తఖండం. ( )
(iii) ఒక జ్యా మరియు అధిక చాపముల మధ్య ఆవరించబడిన ప్రాంతమే అధిక వృత్త ఖండం. ( )
(iv) వ్యాసము వృత్తాన్ని రెండు అసమ భాగాలుగా విభజిస్తుంది. ( )
(v) రెండు వ్యాసార్ధాలు మరియు ఒక జ్యా చే ఆవరింపబడిన ప్రాంతమే సెక్టర్. ( )
(vi) వృత్త జ్యాలన్నింటిలో పెద్ద దానిని వ్యాసం అంటారు. ( )
(vii) ఏ వ్యాసం మధ్య బిందువైనా వృత్త కేంద్రం అవుతుంది. ( )
సాధన.
(i) సత్యము
(ii) సత్యము
(iii) సత్యము
(iv) అసత్యము
(v) అసత్యము
(vi) సత్యము.
(vii) సత్యము

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 జ్యామితీయ నిర్మాణాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 13th Lesson జ్యామితీయ నిర్మాణాలు InText Questions

ప్రయత్నించండి

1. కింది పటాలలో భుజాలను, రోణాలను, కర్ణాలను పరిశీలించి వాటి పేర్లు తెలపండి. అదేవిధంగా వాటి ధర్మాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 283)

సాధన.
పటం (1)లో
\(\angle \mathrm{B}\) మరియు \(\angle \mathrm{F}\) ల యొక్క కోణసమద్విఖండనరేఖ BF.
చతుర్భుజం BEFD లో BE = BD = DF = EF
∴ ఇది ఒక రాంబస్.

పటం (2)లో
BD = BE
FD = FE
∴ BEFD ఒక గాలిపటం.
\(\angle \mathrm{B}\) మరియు \(\angle \mathrm{F}\) ల కోణసమద్విఖండన రేఖ BF.

2. ఒక వృత్తంపై ఏదేని బిందువు తీసుకొని వృత్త వ్యాసార్థంతో సమాన వ్యాసార్థంతో ఎన్ని చాపాలను గీస్తే వృత్తం ఎన్ని సమాన భాగాలుగా విభజింపబడుతుంది ? నీవు ఎలా చెప్పగలవు ? ఈ సందర్భంలో జ్యూ యొక్క పొడవు ఎంత అవుతుంది? (పేజీ నెం. 284)
సాధన.

P ఒక వృత్త కేంద్రమనుకొనుము.
వృత్తపరిధిపై A ఒక బిందువనుకొనుము.
అది 2π భాగాలుగా విభజించబడినదనుకొనుము.
∴ \(\frac {వృత్తపరిధి}{వ్యాసార్థం}\) = \(\frac {2πr}{r}\) = 2π

3. ∆ABC లో \(\angle \mathrm{B}\) = 60° , \(\angle \mathrm{C}\) = 45° మరియు AB + BC + CA = 11 సెం.మీ. లతో త్రిభుజాన్ని నిర్మించగా, మీరు వేరొక పద్ధతిలో త్రిభుజాన్ని నిర్మించగలరా ? (సూచన : \(\angle \mathrm{YXL}\) = \(\frac {60°}{2}\) = 30° మరియు
\(\angle \mathrm{YXM}\) = \(\frac {45°}{2}\) = 22\(\frac {1}{2}\)° తీసుకోండి.) (పేజీ నెం. 289)

సాధన.

(i) XY = 11 సెం.మీ. లను గీయుము. (AB + BC + CA = 11 సెం.మీ.)
(ii) \(\angle \mathrm{YXP}\) = 30° అగునట్లుగా X వద్ద కోణంను నిర్మించుము. (\(\frac{\mathrm{B}}{2}=\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30° )
(iii) \(\angle \mathrm{XYQ}\) = 22\(\frac {1}{2}\)° అగునట్లుగా Y వద్ద కోణంను నిర్మించుము. (\(\frac{C}{2}=\frac{45^{\circ}}{2}=22 \frac{1}{2}\))
(iv) \(\overrightarrow{\mathrm{XP}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{YQ}}\) లు A వద్ద ఖండించుకొనును.
(v) A వద్ద, \(\angle \mathrm{XAB}\) = 30° అగునట్లుగా \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ను గీయుము. B, XY పై బిందువు.
(vi) అదే విధముగా \(\angle \mathrm{YAC}\) = 22\(\frac {1}{2}\)° = అగునట్లుగా \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) ను గీయుము. C, XY పై బిందువు.
(vii) ∆ABC మనకు కావలసిన త్రిభుజము.

4. ఇవ్వబడిన వృత్తఖండంలో కోణం ‘లంబకోణం’ అయితే అది ఎటువంటి వృత్తఖండం అవుతుంది ? పటం గీచి, కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 290)
సాధన.

వృత్తఖండంలోని కోణం ‘లంబకోణం’ అయితే కేంద్రం వద్ద దాని కోణం 2 × 90° = 180° అగును. ఆ విధముగా ఆ రేఖా ఖండము, ఆ వృత్తానికి వ్యాసముగా మారును. మరియు ఆ వృత్తఖండం, అర్ధవృత్తంగా మారును.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. BC = 6 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 60° మరియు AB + AC = 5 సెం.మీ. కొలతతో ∆ABC త్రిభుజం నిర్మించగలరా ? లేకపోతే, తగు కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 286)
సాధన.
ఇచ్చిన కొలతలతో ∆ABC ను నిర్మించలేము. ఎందుకగా AB + AC < BC.
ఒక త్రిభుజంలో రెండు భుజాల మొత్తము మూడవ భుజానికంటే ఎక్కువ.

2. BC = 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 30° మరియు AB – AC = 1.6 సెం.మీ. . కొలతలతో కోణం \(\angle \mathbf{B}\)కి బదులు \(\angle \mathbf{C}\) తీసుకొని నిర్మిస్తే త్రిభుజం ఏర్పడుతుందా ? చిత్తుపటం గీచి, నిర్మించి చూడండి. BC = 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{C}\) = 309, AB – AC = 1.6 సెం.మీ. . (పేజీ నెం. 287)
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
1. BC – 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{C}\) = 30° మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) = AB – AC = 1.6 సెం.మీ. లతో ∆BCD ను నిర్మించుము.
2. BD కు లంబసమద్విఖండన రేఖను గీయుము. CD ని పొడిగించిన అది A వద్ద ఖండించును.
3. B, A లను కలుపుము.
4. మనకు కావలసిన ∆ABC ఏర్పడినది.

ఉదాహరణలు :

1. AB అనే దత్తరేఖా ఖండానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీచి, నిర్మాణాన్ని తార్కికంగా సమర్థించుము. (పేజీ నెం. 280)
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: దత్త రేఖాఖండం AB ను గీయండి.
సోపానం – 2 : కేంద్రాలుగా కన్నా ఎక్కువ వ్యాసార్ధంతో రేఖాఖండానికి ఇరువైపులా రెండు చాపములు ఒకదానికొకటి ఖండించుకునేటట్లు గీయాలి.
సోపానం – 3 : ‘B’ కేంద్రముగా, అదే వ్యాసార్ధంతో మరి రెండు చాపములను మొదటి చాపములు ఖండించునట్లు గీయాలి.
సోపానం – 4 : ఖండన బిందువులకు P మరియు Q అని పేర్లు పెట్టి P, Q లను కలపాలి.
సోపానం – 5 : “\(\overline{\mathrm{AB}}\) యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ PQ” అనే నిర్మాణాన్ని నీవు ఏ విధంగా సమర్థించగలవు ?
POQ రేఖ AB కి లంబసమద్విఖండన రేఖ అవుతుంది.
పై నిర్మాణ క్రమము నుండి AB రేఖకు, “PQ ఒక లంబ సమద్విఖండన రేఖ” అవుతుంది అని కారణాలతో ఎలా భావించగలవు ?
నిర్మాణం యొక్క పటంను గీచి, A ను P, Qలతోనూ, B ను P మరియు Qలతోనూ కలపాలి.
త్రిభుజ సర్వసమాన నియమాల ఆధారంగా మనం ఈ ప్రవచనాన్ని నిరూపిస్తాం.

2. దత్తకోణం ABC కి సమద్విఖండన రేఖను గీయండి. (పేజీ నెం. 282)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: దత్తకోణం \(\angle \mathrm{ABC}\) ని తీసుకొనుము.
సోపానం – 2 : B కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్థంతో \(\overline{\mathrm{BA}}, \overline{\mathrm{BC}}\) కిరణాలను D, E ల మధ్య ఖండించునట్లు పటంలో చూపినట్లు చాపం గీయండి.

సోపానం – 3 : E మరియు Dలు కేంద్రములుగా సమాన వ్యాసార్ధంతో రెండు చాపములు F వద్ద ఖండించునట్లు గీయండి.

సోపానం – 4 : BF కిరణంను గీయండి. ఇదే \(\angle \mathrm{ABC}\) కి కోణ సమద్విఖండన రేఖ అగును.
పై నిర్మాణాన్ని తార్కికంగా నిరూపించిన విధం పరిశీలిద్దాం. D, F మరియు E, F లను కలపండి. త్రిభుజ సర్వసమాన నియమాలను బట్టి కింది విధంగా నిరూపిద్దాం.

3. తొలి బిందువు A నుండి AB కిరణం గీచి, \(\angle \mathbf{BAC}\) = 60° అగునట్లు AC తిరణాన్ని గీయండి. (పేజీ నెం. 283)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: AB కిరణాన్ని గీచి కొంత వ్యాసార్ధంతో A కేంద్రంగా
AB ను D వద్ద ఖండించునట్లు ఒక చాపం గీయండి.

సోపానం – 2 : D కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్థంతో మొదటి చాపాన్ని E వద్ద ఖండించునట్లు మరొక చాపాన్ని గీయాలి. (పటంలో చూపిన విధంగా)

సోపానం – 3 : E గుండా పోతున్నట్లుగా AC కిరణాన్ని గీస్తే మనకు కావలసిన కోణం \(\angle \mathbf{BAC}\) = 60 వస్తుంది.

మనం చేసిన నిర్మాణంను నిరూపించాలంటే పటంలో D, Eని కలపాలి. నిరూపణను దిగువ విధంగా చేయవచ్చు.

ఉపపత్తి :

4. BC = 5 సెం.మీ., AB + AC = 8 సెం.మీ, మరియు \(\angle \mathbf{ABC}\) = 60° కొలతలలో ∆ABC నిర్మించండి. (పేజీ నెం. 284)
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: ∆ABC చిత్తు పటంను గీచి ఇవ్వబడిన కొలతలు గుర్తించాలి. (AB + AC = 8 సెం.మీ. కొలతను ఎందుకు గుర్తించలేకపోయారు ?)
మరి త్రిభుజ మూడవ శీర్షం A ను నిర్మాణంలో ఎలా గుర్తిస్తారు ?

విశ్లేషణ : AB + AC = 8 సెం.మీ. కావున BA ను D వరకు పొడిగిస్తే
BD = 8 సెం.మీ. అవుతుంది.
∴ BD = BA + AD = 8 సెం.మీ.
కాని AB + AC = 8 సెం.మీ. (దత్తాంశం)
∵ AD = AC
BD పైన Aను గుర్తించడానికి మీరు ఏమి చేస్తారు ?
A బిందువు C మరియు D లకు సమాన దూరంలో ఉంటుంది. కావున, \(\overline{\mathrm{CD}}\) యొక్క లంబ సమద్విఖండన BD ను ఖండించే బిందువు A అవుతుంది.

సోపానం -2 : \(\overline{\mathrm{BC}}\) = 5 సెం.మీ. (త్రిభుజం భూమి) రేఖాఖండం గీచి B వద్ద \(\angle \mathbf{CBX}\) = 60° కోణం నిర్మించాలి.

సోపానం – 3 : B కేంద్రంగా 8 సెం.మీ. (AB + AC = 8 సెం.మీ.)
\(\overrightarrow{BX}\) ను D వద్ద ఖండించునట్లు ఒక చాపం గీయాలి.

సోపానం – 4 : CD ని కలిపి CD కు లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీస్తే అది BD ని A వద్ద ఖండిస్తుంది.

సోపానం – 5 : AC లను కలిపితే మనకు కావల్సిన ABC త్రిభుజం వస్తుంది.

మనం ఇప్పుడు నిర్మాణాన్ని నిరూపిద్దాం.

ఉపపత్తి : A బిందువు \(\overline{\mathrm{CD}}\) యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖపై ఉంది.
∵ AC = AD కావున
AB + AC = AB + AD = BD = 8 సెం.మీ.
అందుచే ∆ABC మనకు కావల్సిన త్రిభుజం అయింది.

5. BC = 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 30° మరియు AB – AC = 1.6 సెం.మీ. కొలతలతో ∆ABC నిర్మించండి. (పేజీ నెం. 286)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు:
సోపానం – 1 : ∆ABC యొక్క చిత్తుపటం గీచి ఇవ్వబడిన కొలతలను గుర్తించాలి.
(AB – AC = 1.6 సెం.మీ. కొలతను ఎలా గుర్తిస్తారు?)

విశ్లేషణ : AB – AC – 1.6 సెం.మీ. కావున AB > AC అగును.
AD = AC అగునట్లు AB పై D అని బిందువును గుర్తించాలి.
ఇప్పుడు BD = AB – AC = 1.6 సెం.మీ.
అందుచే C, Dని కలిపి దానికి లంబసమద్విఖండన చేస్తే మూడవ శీర్భం A ను BD పై గుర్తించవచ్చును.
అవసరమైతే BDని పొడిగించాలి. A, C ని కలిపితే.
కావలసిన త్రిభుజం ABC వస్తుంది.

సోపానం – 2 : భు.కో.భు. త్రిభుజ నియమం అనుసరించి BC = 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 30° మరియు BD = 1.6 సెం.మీ. . (i.e., AB – AC) ∆BCD ని నిర్మించాలి.

సోపానం – 3 : CD యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీస్తే అది BDX రేఖను A వద్ద ఖండిస్తుంది.

సోపానం – 4 : A, C లను కలిపితే ∆ABC వస్తుంది.

6. BC = 5 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 45° మరియు AC – AB = 1.8 సెం.మీ. కొలతలతో ∆ABC నిర్మించండి. (పేజీ నెం. 287)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: ∆ABC యొక్క చిత్తుపటాన్ని గీచి ఇచ్చిన కొలతలు గుర్తించాలి. AC – AB = 1.8 సెం.మీ. కొలతను ఎలా గుర్తించగలరో విశ్లేషణ చేయండి.

విశ్లేషణ : AB < AC కావున AC – AB = 1.8 సెం.మీ. ను BD గా తీసుకోవాలంటే, AD = AC అయినట్లు AC పై D బిందువును గుర్తించండి. ఇప్పుడు BD = AC – AB = 1.8 అగును. (∵BD =AD – AB మరియు AD = AC)
C, Dని కలిపి CD కి లంబసమద్విఖండన రేఖను గీస్తే దానిపై A ను గుర్తించవచ్చు.

సోపానం – 2 : BC = 5 సెంమీ. రేఖాఖండం గీచి, \(\angle \mathrm{CBX}\) = 45° కోణం నిర్మించాలి.
B కేంద్రంగా 1.8 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో (BD = AC – AB) ఒక చాపం గీయగా అది \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) రేఖను BC కి ఎదురుగా పొడిగిస్తే దానిని D వద్ద ఖండిస్తుంది.

సోపానం – 3 : D, C ని కలిపి దానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖ గీయాలి.

సోపానం – 4 : ఇది \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) రేఖను A వద్ద ఖండిస్తుంది. AC ని కలిపితే మనకు కావలసిన త్రిభుజం ∆ABC వస్తుంది.
ఇప్పుడు మనం పై నిర్మాణంను తార్కికంగా నిరూపిద్దాం.

విశ్లేషణ : ∆ABC లో భూమి BCని, \(\angle \mathrm{B}\) కోణాన్ని నిర్మించాం.
DC యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖపై A బిందువు ఉన్నది కావున
∴ AD = AC అగును.
అంటే, AB + BD = AC
కావున BD = AC – AB అయినది.
= 1.8 సెం.మీ.
ఇదే మనకు కావలసిన త్రిభుజం ∆ABC అవుతుంది.

7. ∆ABC లో \(\angle \mathrm{B}\) = 60°, \(\angle \mathrm{C}\) = 45° మరియు AB + BC + CA = 11 సెం.మీ. అయిన త్రిభుజం నిర్మించండి.
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: ∆ABC త్రిభుజం యొక్క చిత్తుపటంను గీచి ఇవ్వబడిన కొలతలు గుర్తించాలి.
(త్రిభుజ చుట్టుకొలతను ఎలా గుర్తిస్తారు ?)

విశ్లేషణ : త్రిభుజం చుట్టుకొలత AB + BC + CA కు సమానమయ్యే రేఖాఖండం XY గీయాలి. \(\angle \mathrm{B}\)కు సమానంగా \(\angle \mathrm{YXL}\) నూ, \(\angle \mathrm{C}\) కు సమానం అయ్యేటట్లు \(\angle \mathrm{XYM}\) ను నిర్మించి, వాటిని సమద్విఖండన చేయాలి. ఈ రెండు సమద్విఖండన రేఖలు.

A వద్ద ఖండించుకున్నాయనుకోండి,
AX యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖ XY ను B వద్ద, AY యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖ C వద్ద ఖండిస్తాయి.
AB, AC లను కలిపితే మనకు కావలసిన త్రిభుజం ABC వస్తుంది.

సోపానం – 2 : XY = 11 సెం.మీ. (ఎందుకంటే XY = AB + BC + CA) రేఖాఖండాన్ని గీయాలి.

సోపానం – 3: \(\angle \mathrm{YXL}\) = 60° మరియు \(\angle \mathrm{XYM}\) = 45° కోణాలను నిర్మించి, వాటికి సమద్విఖండన రేఖలు గీయాలి.

సోపానం – 4 : ఈ రెండు సమద్విఖండన రేఖల ఖండన బిందువుకు, A అని పేరు పెట్టాలి.

సోపానం – 5 : AX మరియు AY లకు లంబసమద్విఖండన రేఖలను గీస్తే అవి \(\overline{\mathrm{XY}}\) ను వరుసగా B మరియు Cల వద్ద ఖండిస్తాయి.
AB మరియు AC లను కలపాలి.
మనకు కావల్సిన త్రిభుజం ABC వస్తుంది.
ఈ నిర్మాణంను మనం కింది విధంగా నిరూపిద్దాం.

ఉపపత్తి : AX యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ PQ పై B ఉంటుంది.
∴ XB = AB మరియు అదేవిధంగా CY = AC.
దీని నుండి AB + BC + CA = XB + BC + CY = XY తిరిగి \(\angle \mathrm{BAX}\) = \(\angle \mathrm{AXB}\) (∆AXB లో XB = AB) మరియు \(\angle \mathrm{ABC}\) = \(\angle \mathrm{BAX}\) + \(\angle \mathrm{AXB}\) (∆ABC యొక్క బాహ్యకోణం)
= 2\(\angle \mathrm{AXB}\) = \(\angle \mathrm{YXL}\) = 60°.
ఇదే విధంగా \(\angle \mathrm{ACB}\) = \(\angle \mathrm{XYM}\) = 45° అగును.
∴ \(\angle \mathrm{B}\) = 60° మరియు \(\angle \mathrm{B}\) = 45° అయినది.

8. 7 సెం.మీ. పొడవుగల వృత్త వ్యా పై 60° కోణములను కలిగి ఉండే వృత్త ఖండాన్ని నిర్మించుము. (పేజీ నెం. 289)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: ఒక వృత్తాన్ని, 60° కలిగి ఉండే వృత్తఖండం యొక్క (అధిక వృత్తఖండం గీయాలి. ఎందుకు ?) చిత్తు పటం గీయాలి.
కేంద్రం లేకుండా వృత్తాన్ని గీయగలవా ?

విశ్లేషణ : ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తం తీసుకోండి.
AB అనేది దత్త వృత్త జ్యా మరియు C = 60° కోణం గల ACB వృత్తఖండం మనం నిర్మించవలసినది.
\(\widehat{\mathrm{AXB}}\) వృత్తచాపం వృత్తంపై C వద్ద చేసిన కోణం 60° అనుకోండి.
\(\angle \mathrm{ACB}\) = 60° కావున \(\angle \mathrm{AOB}\) = 60° × 2 – 120° (ఎలా?)
∆OAB లో OA – OB (సమాన వ్యాసార్ధాలు) కావున
\(\widehat{\mathrm{OAB}}\) = \(\widehat{\mathrm{OBA}}\) = \(\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30°
అందుచే మన ∆OAB గీయగలం. అప్పుడు వృత్తానికి OA = OB వ్యాసార్ధం అవుతుంది.

సోపానం – 2 : AB = 7 సెం.మీ. రేఖాఖండం గీయండి.

సోపానం – 3: \(\angle \mathrm{BAX}\) = 30° మరియు \(\angle \mathrm{YBA}\) = 30° ఉండేటట్లు \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}, \overrightarrow{\mathrm{BY}}\) కిరణాలను గీయగా అవి O వద్ద ఖండించుకుంటాయి. (సూచన : వృత్తలేఖిని ఉపయోగించి 60° కోణం నిర్మించి, దానిని సమద్విఖండన చేస్తే 30° కోణం వస్తుంది.)

సోపానం – 4 : O కేంద్రంగా OA = OB = r వ్యాసార్ధంతో వృత్తం గీయాలి.

సోపానం – 5 : అధిక వృత్త చాపంపై ‘C’ బిందువు గుర్తించాలి.

A, C మరియు B, C లను కలిపితే \(\angle \mathrm{ACB}\) = 60° వస్తుంది.
ఈ వృత్తఖండం మనకు కావలసిన వృత్తఖండం అవుతుంది. పై నిర్మాణాన్ని నిరూపిద్దాం.
ఉపపత్తి : OA = OB (వృత్త వ్యాసార్థం)
∴ \(\angle \mathrm{OAB}+\angle \mathrm{OBA}\) = 30° + 30° = 60°
\(\angle \mathrm{AOB}\) = 180° – 60° = 120°
\(\widehat{\mathrm{AXB}}\) దాపం వృత్త కేంద్రం వద్ద చేయుకోణం 120°.
∴ \(\angle \mathrm{ACB}\) = \(\frac {120°}{2}\) = 60°
కావున ACB మనకు కావలసిన వృత్తఖండం అగును.

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Exercise 2.5

ప్రశ్న1.
తగిన సమీకరణాలను ఉపయోగించి కింది లబ్దాలు కనుగొనుము.
i) (x + 5) (x + 2)
సాధన.
(x + 5) (x + 2) = x² + (5 + 2)x + 5 × 2
[∵ (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab]
= x² + 7x + 10

ii) (x – 5) (x – 5)
సాధన.
(x – 5) (x – 5) = (x – 5)²
= x² – 2(x) (5) + 5²
[∵ (x – y)² = x² – 2xy + y²]
= x² – 10x + 25

iii) (3x + 2) (3x – 2)
సాధన.
(3x + 2) (3x – 2) = (3x)² – (2)²
[∵ (x + y) (x – y) = x² – y²]
= 9x² – 4

iv) \(\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)\left(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\right)\)
సాధన.
\(\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)\left(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\right)\)
= (x2)2 – \(\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{2}\)
[∵ (x + y) (x – y) = x² – y²]
= x⁴ – \(\frac{1}{x^{4}}\)

v) (1 + x) (1 + y)
సాధన.
(1 + x) (1 + x)
= (1 + x)² = 1² + 2 (1) (x) + x²
[∵ (x + y)² = x² + 2xy + y²]
= 1 + 2x + x²

ప్రశ్న2.
గుణకారం చేయకుండానే కింది లబ్దాలను గణించండి.
i) 101 × 99
సాధన.
101 × 99 = (100 + 1) (100 – 1)
= 100² – 1² = 10000 – 1 = 9999

ii) 999 × 999
సాధన.
999 × 999 = 999²
= (1000 – 1)²
= 10002 – 2 × (1000) × 1 + 1²
= 1000000 – 2000 + 1
= 998001

iii) 50\(\frac {1}{2}\) × 49\(\frac {1}{2}\)
సాధన.
50\(\frac {1}{2}\) × 49\(\frac {1}{2}\) = \(\left(50+\frac{1}{2}\right)\left(50-\frac{1}{2}\right)\)
= 50² – \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
= 2500 – \(\frac {1}{4}\)
= 2499\(\frac {3}{4}\)
= \(\frac {9999}{4}\)

iv) 501 × 501
సాధన.
501 × 501 = (500 + 1) (500 + 1)
= (500 + 1)²
= 5002 + 2 × (500) × 1 + 1²
= 250000 + 1000 + 1
= 251001

v) 30.5 × 29.5
సాధన.
30.5 × 29.5 = (30 + 0.5) (30 – 0.5)
= 30² – (0.5)²
= 900 – 0.25 = 899.75

ప్రశ్న3.
కింది బహుపదులను తగిన సర్వసమీకరణములను ఉపయోగించి కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) 16x² + 24xy + 9y²
సాధన.
16x² + 24xy + 9y²
= (4x)² + 2 (4x) (3y) + (3y)²
= (4x + 3y)² = (4x + 3y) (4x + 3y)
[∵ (x + y)² ≡ x² + 2xy + y²]

ii) 4y² – 4y + 1
సాధన.
4y² – 4y + 1 = (2y)² – 2 (2y) (1) + (1)²
= (2y – 1)²
= (2y – 1) (2y – 1) [∵ (x + y)² ≡ x² – 2xy + y²]

iii) 4x² + \(\frac{y^{2}}{25}\)
సాధన.
4x² + \(\frac{y^{2}}{25}\) = (2x)² – \(\left(\frac{y}{5}\right)^{2}\)
= \(\left(2 x+\frac{y}{5}\right)\left(2 x-\frac{y}{5}\right)\)
[∵ (x + y) (x – y) ≡ x² – y²]

iv) 18a² – 50
సాధన.
18a² – 50 = 2(9a² – 25)
= 2[(3a)² – (5)²]
= 2 (3a + 5) (3a – 5)
[∵ x² – y² ≡ (x + y) (x – y)]

v) x² + 5x + 6
సాధన.
x² + 5x + 6 = x² + (3 + 2)x + 3 × 2
= (x + 3) (x + 2)
[∵ (x + a) (x + b) ≡ x² + (a + b) x + a . b]

vi) 3p² – 24p + 36
సాధన.
3p² – 24p + 36
= 3[p² – 8p + 12]
= 3[p² + (-6)p + (-2)p + (-6) (-2)]
= 3 [p (p – 6) – 2 (p – 6)]
= 3 (p – 6) (p – 2)
[∵ (x + a) (x + b) ≡ x² + (a + b) x + ab]

ప్రశ్న4.
కింది వానిని తగిన సర్వసమీకరణాలను ఉపయోగించి విస్తరించండి.
i) (x + 2y + 4z)²
సాధన.
(x + 2y + 4z)²
= (x)² + (2y)2 + (4z)² + 2(x) (2y) + 2 (2y) (4z) + 2 (4z) (x)
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8zx
[∵ (x + y + z)² ≡ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx]

ii) (2a – 3b)³
సాధన.
(2a – 3b)³
= (2a)³ -3 (2a)² (3b) + 3(2a)(3b)² – (3b)³
= 8a³ – 3(4a²) (3b) + 3 (2a) (9b²) – 27b³
= 8a³ – 36a²b + 54ab² – 27b³
[∵ (a – b)³ ≡ a³ – 3a²b + 3ab² – b³]
(లేదా)
(2a – 3b)³
= (2a)³ – (3b)³ – 3(2a) (3b) (2a – 3b)
= 8a³ – 27b³ – 18ab (2a – 3b)
[∵ (a – b)³ ≡ a³ – b³ – 3ab (a – b)]

iii) (-2a + 5b – 3c)²
సాధన.
(- 2a + 5b – 3c)²
= (-2a)² + (5b)² + (-3c)² + 2 (-2a) (5b) + 2 (5b) (-3c) + 2 (-3c) (-2a)
= 4a² + 25b² + 9c² – 20ab – 30bc + 12ca
[∵ (x + y + z)² ≡ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx]

iv) \(\left(\frac{a}{4}-\frac{b}{2}+1\right)^{2}\)
సాధన.

v) (p + 1)³
సాధన.
(p + 1)³
= (p)³ + 3 (p)² (1) + 3 (p) (1)² + (1)³
[∵ (x + y)³ ≡ x³ + 3x²y + 3xy² + y³]
= p³ + 3p² + 3p +1

vi) \(\left(x-\frac{2}{3} y\right)^{3}\)
సాధన.

[∵ (x – y)³ ≡ x³ – 3x²y + 3xy² – y3]
= x³ – 2x²y + \(\frac{4 x y^{2}}{3}-\frac{8}{27} y^{3}\)

ప్రశ్న5.
కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) 25x² + 16y² + 4z² – 40xy + 16yz – 20xz
సాధన.
25x² + 16y² + 4z² – 40xy + 16yz – 20xz
= (5x)² + (-4y)² + (-2z)² + 2(5x) (-4y) + 2 (-4y) (-2z) + 2 (-2z) (5x)
[∵ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx = (x + y + z)²]
= (5x – 4y – 2z)² = (-5x + 4y + 2z)²

ii) 9a² + 4b² + 16c² + 12ab – 16bc – 24ca
సాధన.
9a² + 4b² + 16c² + 12ab – 16bc – 24ca
= (3a)² + (2b)² + (-4c)² + 2 (3a) (2b) + 2 (2b) (-4c) + 2(-4c) (3a)
= (3a + 2b – 4c)²

ప్రశ్న6.
a + b + c = 9 మరియు ab + bc + ca = 26 అయిన a² + b² + c² విలువ కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశము a + b + c = 9
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా,
(a + b + c)² = 9²
⇒ a² + b² + c² + 2 (ab + bc + ca) = 81
⇒ a² + b² + c² = 81 – 2 (ab + bc + ca) (ఇచ్చిన లెక్క ప్రకారము)
= 81 – 2 × 26
= 81 – 52
= 29

ప్రశ్న7.
కింది వానిని సర్వసమీకరణాలను ఉపయోగించి గణించండి.
i) (99)³
సాధన.
(99)³ = (100 – 1)³
= 100³ – 3 (100)² (1) + 3 (100) (1)² – 1³
[∵ (x – y)³ ≡ x³ – 3x²y + 3xy² – y³]
= 1000000 – 30000 + 300 – 1
= 970299

ii) (102)³
సాధన.
(102)³ = (100 + 2)³
= 100³ + 3 (100)² (2) + 3 (100) (2)² + 2³
[∵ (x + y)³ ≡ x³ + 3x²y + 3xy² + y]
= 1000000 + 60000 + 1200 + 8
= 1061208

iii) (998)³
సాధన.
(998)³ = (1000 – 2)³
[∵ (x – y)³ ≡ x³ – 3x²y + 3xy² – y³]
= 1000³ – 3(1000)² (2) + 3(1000) (2)² – 2³
= 1000000000 – 6000000 + 12000 – 8
= 994011992

iv) (1001)³
సాధన.
(1001)³ = (1000 + 1)³
[∵ (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³]
= 1000³ + 3(1000)² (1) + 3(1000) (1)² + 1³
= 1000000000 + 3000000 + 3000 + 1
= 1003003001

ప్రశ్న8.
కింది వానిని కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
సాధన.
దత్తాంశమును 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab² గా మార్చగా
= (2a)³ + (b)³ + 3 (2a)² (b) + 3 (2a) (b)²
= (2a + b)³

ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
సాధన.
దత్తాంశమును 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab² గా మార్చగా
= (2a)³ – (b)³ – 3 (2a)² (b) + 3 (2a) (b)²
= (2a – b)³

iii) 1 – 64a³ – 12a + 48a²
సాధన.
1 – 64a³ – 12a + 48a²
= (1)³ – (4a)³ – 3(1)² (4a) + 3(1) (4a)²
= (1 – 4a)³

iv) \(8 \mathrm{p}^{3}-\frac{12}{5} \mathrm{p}^{2}+\frac{6}{25} \mathrm{p}-\frac{1}{125}\)
సాధన.
\(8 \mathrm{p}^{3}-\frac{12}{5} \mathrm{p}^{2}+\frac{6}{25} \mathrm{p}-\frac{1}{125}\)

ప్రశ్న9.
i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
ii) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²) లను సరిచూడండి. అదే విధంగా గుణకారం చేసి లబ్దాన్ని పరిశీలించండి. వీటిని కూడా సర్వసమీకరణములని భావించవచ్చునా ?
1) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
సాధన.
దత్తాంశము x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
L.H.S = x³ + y³
R.H.S = (x + y) (x² – xy + y²)
= x (x² – xy + y²) + y (x² – xy + y²)
= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³
= x³ + y³ = L.H.S
∴ L.H.S = R.H.S
x = 3, y = 2 గా తీసుకొనిన
L.H.S = 3³ + 2³ = 27 + 8 = 35
R.H.S= (3 + 2) (3² – 3 × 2 + 2²)
= 5 × (9 – 6 + 4) = 5 × 7 = 35
∴ L.H.S = R.H.S

ii) x³ – y³ = (x + y) (x² + xy + y²)
సాధన.
దత్తాంశము x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
L.H.S = x³ – y³
R.H.S = (x – y) (x² + xy + y²)
= x (x² + xy + y²) -y (x² + xy + y²)
= x³ + x²y + xy² – x²y – xy² – y³
= x³ – y³ = L.H.S
L.H.S = 3³ – 2³ = 27 – 8 = 19
R.H.S = (3 – 2) (3² + 3 × 2 + 2²)
= 1 × (9 + 6 + 4) = 1 × 19 = 19
∴ L.H.S = R.H.S
పై రెండు సమీకరణాలను సర్వసమీకరణాలుగా వ్యవహరిస్తాము.

ప్రశ్న10.
9వ సమస్యలో ఫలితాల ఆధారంగా క్రింది వాటిని కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) 27a³ + 64b³
సాధన.
27a³ + 64b³ = (3a)³ + (4b)³
= (3a + 4b) {(3a)² – (3a) (4b) + (4b)²}
= (3a + 4b) (9a² – 12ab + 16b²)

ii) 343y³ – 1000
సాధన.
343y³ – 1000 = (7y)³ – (10)³
= (7y – 10) [(7y)² + (7y) (10) + (10)²)
= (7y – 10) (49y² + 70y + 100)

ప్రశ్న11.
సర్వసమీకరణం ఉపయోగించి 27×3 + y3 + z3 – 9xyz ను కారణాంకాలుగా విభజించండి.
సాధన.
దత్తాంశము 27x³ + y³ + z³ – 9xyz
= (3x)³ + (y)³ + (z)³ – 3 (3x) (y) (z)
= (3x + y + z) [(3x)² + y² + z² – (3x) (y) – (y) (z) – (z) (3x)
[∵ x³ + y³ + z³ – 3xyz ≡ (x + y + z) – (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= (3x + y + 2) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – zx)

ప్రశ్న12.
x³ + y³ + z³ – 3xyz = \(\frac {1}{2}\) (x + y + z) [(x + y)² + (y – z)² + (z – x)²] సరిచూడండి.
సాధన.
దత్తాంశము x³ + y³ + z³ – 3xyz
= \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) [(x – y)² + (y = z)² + (z = x)²]
R.H.S= \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
= \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) [x² + y² – 2xy + y² + z² – 2yz + z² + x² – 2xz]
= \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) [2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2zx]
= \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) (2) [x² + y² + z² – xy – yz – zx]
= (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= L.H.S

ప్రశ్న13.
x + y + z = 0 అయితే x³ + y³ + z³ = 3xyz అని నిరూపించండి.
సాధన.
దత్తాంశము x + y + z = 0
సర్వసమీకరణము
(x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz -zx)
= x³ + y³ + z³ – 3xyz అని మనకు తెలుసు.
x + y + z = 0 ను సర్వసమీకరణము నందు ప్రతిక్షేపించగా,
0 × (x² + y² + z² – xy – yz – zx) = x³ + y³ + z³ – 3xyz
⇒ x³ + y³ + z³ – 3xyz = 0
= x³ + y³ + z³ = 3xyz

ప్రశ్న14.
కింది సమాసాలలో ఘనాలను గణించకుండానే, ఫలితాలను కనుగొనండి.
i) (-10)³ + 7³ + 3³
సాధన.
దత్తాంశము (- 10)³ + 7³ + 3³
భూముల మొత్తం = – 10 + 7 + 3 = 0
సర్వసమీకరణము
(x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= x³ + y³ + z³ – 3xyz నుండి
x³ + y³ + z³ = 3xyz కావున
∴ (-10)³ + 7³ + 3³ = 3 (-10) × (7) × 3
= -630

ii) (28)³ + (- 15)³ + (-13)³
సాధన.
దత్తాంశము (28)³ + (-15)³ + (-13)³
భూముల మొత్తం = 28 + (-15) + (-13) = 0
సర్వసమీకరణము
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx) నుండి x³ + y³ + z³ = 3xyz కావున
∴ (28)³ + (-15)³ + (-13)³
= 3 × 28 × (-15) × (13)
= 16380

iii) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{3}-\left(\frac{5}{6}\right)^{3}\)
సాధన.
దత్తాంశము \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{3}-\left(\frac{5}{6}\right)^{3}\)ను \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{3}+\left(\frac{-5}{6}\right)^{3}\) గా వ్రాయవచ్చును.

iv) (0.2)³ – (0.3)³ + (0.1)³
సాధన.
దత్తాంశము (0.2)³ – (0.3)³ + (0.1)³ ను
= (0.2)³ + (-0.3)³ + (0.1)³ గా వ్రాయవచ్చును.
భూముల మొత్తం = 0.2 – 0.3 + 0.1 = 0
∴ (0.2)³ + (-0.3)³ + (0.1)³
= 3 × (0.2) (-0.3) (0.1) = – 0.018

ప్రశ్న15.
కింది దీర్ఘచతురస్రాల వైశాల్యాలకు ఇవ్వబడిన సమాసాలను బట్టి పొడవు, వెడల్పులకు తగిన అనుకూల కొలతల విలువలు తెలపండి.
సాధన.
ఇచ్చిన వైశాల్యము = 4a² + 4a – 3
= 4a² + 6a – 2a – 3
= 2a (2a + 3) -1 (2a + 3)
= (2a + 3) (2a – 1)
∴ పొడవు = (2a + 3); వెడల్పు = (2a – 1)

ii) 25a² – 35a + 12
సాధన.
ఇచ్చిన వైశాల్యము = 25a² – 35a + 12
= 25a² – 20a – 15a + 12
= 5a (5a – 4) – 3 (5a – 4)
= (5a – 4) (5a – 3)
∴ పొడవు = (5a – 3); వెడల్పు = (5a – 4)

ప్రశ్న16.
కింది దీర్ఘఘన ఘనపరిమాణాలకు ఇవ్వబడిన సమాసాలను బట్టి దీర్ఘఘనం యొక్క అనుకూల కొలతలు తెలపండి.
i) 3x³ – 12x
సాధన.
సమఘనపు ఘనపరిమాణము = 3x³ – 12x = 3x (x² – 4)
= 3x (x + 2) (x – 2)
{∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
∴ సమఘనపు అనుకూల కొలతలు వరుసగా
3x, (x + 2) మరియు (x – 2)

ii) 12y² + 8y – 20
సాధన.
ఇచ్చిన ఘనపు ఘనపరిమాణం
= 12y² + 8y – 20
= 4 (3y² + 2y – 5)
= 4 [3y² + 5y – 3y – 5]
= 4 [y (3y + 5) – 1 (3y + 5)]
= 4 (3y + 5) (y – 1)
∴ సమఘనపు అనుకూల కొలతలు వరుసగా
4, (3y + 5) మరియు (y – 1)

ప్రశ్న17.
2 (a² + b²) = (a + b)² అయిన a = b అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశం 2 (a² + b²) = (a + b)²
2a² + 2b²= a² + 2ab + b²
2a² – a² + 2b² – b² = 2ab
a² + b² = 2ab
a = b అయినపుడు మాత్రమే ఇది సాధ్యము.

Andhra Pradesh SCERT AP State Board Syllabus 9th Class Maths Important Bits with Answers in English and Telugu Medium are part of AP Board 9th Class Textbook Solutions.

Students can also read AP Board 9th Class Maths Solutions for board exams.

AP State Syllabus 9th Class Maths Important Bits with Answers in English and Telugu

9th Class Maths Bits in English Medium

• Chapter 1 Real Numbers Bits
• Chapter 2 Polynomials and Factorisation Bits
• Chapter 3 The Elements of Geometry Bits
• Chapter 4 Lines and Angles Bits
• Chapter 5 Co-Ordinate Geometry Bits
• Chapter 6 Linear Equation in Two Variables Bits
• Chapter 7 Triangles Bits
• Chapter 8 Quadrilaterals Bits
• Chapter 9 Statistics Bits
• Chapter 10 Surface Areas and Volumes Bits
• Chapter 11 Areas Bits
• Chapter 12 Circles Bits
• Chapter 13 Geometrical Constructions Bits
• Chapter 14 Probability Bits
• Chapter 15 Proofs in Mathematics Bits

9th Class Maths Bits in Telugu Medium

• 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Bits
• 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Bits
• 3rd Lesson జ్యామితీయ మూలాలు Bits
• 4th Lesson సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Bits
• 5th Lesson నిరూపక జ్యామితి Bits
• 6th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Bits
• 7th Lesson త్రిభుజాలు Bits
• 8th Lesson చతుర్భుజాలు Bits
• 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము Bits
• 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Bits
• 11th Lesson వైశాల్యాలు Bits
• 12th Lesson వృత్తాలు Bits
• 13th Lesson జ్యామితీయ నిర్మాణాలు Bits
• 14th Lesson సంభావ్యత Bits
• 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు Bits

AP State Syllabus Bits with Answers

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Exercise 2.4

ప్రశ్న1.
కింది బహుపదులకు (x + 1) కారణాంకమగునో, లేదో నిర్ధారించండి.
i) x³ – x² – x + 1
సాధన.
f(-1) = (-1)³ – (-1)² – (-1) + 1
= – 1 – 1 + 1 + 1 = 0
∴ (x + 1) ఒక కారణాంకము.

ii) x⁴ – x³ + x² – x + 1
సాధన.
f(-1) = (-1)⁴ – (-1)³ + (-1)² – (-1) – 1
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
∴ (x + 1) కారణాంకము కాదు.

iii) x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 1
సాధన.
f(-1) = (-1)³ + 2(-1)³ + 2(-1)² + (-1) + 1
= 1 – 2 + 2 – 1 + 1 = 1
∴ (x + 1) కారణాంకము కాదు.

iv) x³ – x² – (3 – \(\sqrt{3}\))x + \(\sqrt{3}\)
సాధన.
f(-1) = (-1)³ – (-1)² – (3 – \(\sqrt{3}\)) (-1) + \(\sqrt{3}\)
= – 1 – 1 + 3 – \(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{3}\) = 1
∴ (x + 1) కారణాంకము కాదు.

ప్రశ్న2.
కారణాంక సిద్ధాంతం ఉపయోగించి, కింది బహుపదులలో ప్రతి సందర్భంలోనూ f(x) కు g(x) కారణాంకమగునో లేదో తెలపండి.
i) f(x) = 5x³ + x² – 5x – 1; g(x) = x + 1
[కారణాంక సిద్ధాంతం : f(x) ఒక బహుపది; f(a) = 0 అయితే (x – a) కు కారణాంకము f(x); a ∈ R]
సాధన.
g(x) = x + 1 = x – a అనుకొనుము.
∴ a = – 1
f(a) = f(-1) = 5(-1)³ + (-1)² – 5(-1) – 1
= – 5 + 1 + 5 – 1 = 0
∴ f(x) కు x + 1 కారణాంకము అగును.

ii) f(x) = x³ + 3x² + 3x + 1; g(x) = x +1
సాధన.
g(x) = x + 1 = x – a అనుకొనుము.
∴ a = -1
f(a) = f(-1) = (-1)³ + 3(-1)² + 3(-1) + 1
= – 1 + 3 – 3 + 1 = 0
∴ f(x) కు g(x) కారణాంకము అగును.

ii) f(x) = x³ – 4x² + x + 6; g(x) = x – 2
సాధన.
g(x) = x – 2 = x – a అనుకొనుము.
∴ a = 2; f(a) = f(2) = 2³ – 4(2)² + 2 + 6
= 8 – 16 + 2 + 6 = 0
∴ f(x) కు g(x) కారణాంకము అగును.

iv) f(x) = 3x³ + x² – 20x + 12; g(x) = 3x – 2
సాధన.
g(x) = 3x – 2 = x – \(\frac{2}{3}\) = x – a అనుకొనుము.
∴ a = \(\frac{2}{3}\)

∴ f(x) కు g(x) కారణాంకము అగును.

v) f(x) = 4x³ + 20x² + 33x + 18; g(x) = 2x + 3
సాధన.
g(x) = 2x + 3 = x + \(\frac{3}{2}\) = x – a అనుకొనుము.
∴ a = –\(\frac{3}{2}\)


∴ f(x) కు కారణాంకము g(x) అగును.

ప్రశ్న3.
x³ – 3x² – 10x + 24 నకు (x – 2), (x + 3) మరియు (x – 4) లు కారణాంకాలు అవుతాయని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము f(x) = x³ – 3x² – 10x + 24 అనుకొనుము.
(x – 2), (x + 3) మరియు (x – 4) లు f(x) కు కారణాంకాలైన అవి ఇచ్చు శేషాలు వరుసగా f(2), f(-3) మరియు f(4) అనుకొనుము.
f(2) = 2³ – 3(2)² – 10(2) + 24
= 8 – 12 – 20 + 24 = 0
∴ (x – 2), f(x) కు కారణాంకము.
f(-3) = (-3)³ – 3(-3)² – 10(-3) + 24
= – 27 – 27 + 30 + 24 = 0
∴ (x + 3), f(x) కు కారణాంకము.
f(4) = (4)³ – 3(4)² – 10(4) + 24
= 64 – 48 – 40 + 24 = 88 – 88 = 0
∴ (x – 4), f(x) కు కారణాంకము.

ప్రశ్న4.
x³ – 6x² – 19x + 84 నకు (x + 4), (x – 3) మరియు (x – 7) లు కారణాంకాలు అవుతాయని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము f(x) = x³ – 6x² – 19x + 84 అనుకొనుము.
(x + 4), (x – 3) మరియు (x – 7)లు కారణాంకాలైన అవి ఇచ్చు శేషాలు వరుసగా f(-4), f(3) మరియు f(7) అనుకొనుము.
f(-4) = (-4)³ – 6(-4)² – 19(-4) + 84
= – 64 – 96 + 76 + 84 = 0
∴ (x + 4), f(x) కు కారణాంకము.
f(3) = 3³ – 6(3) – 19(3) + 84
= 27 – 54 – 57 + 84 = 0
∴ (x – 3), f(x) కు కారణాంకము.
f(7) = 7³ – 6(7)² – 19(7) + 84
= 343 – 294 – 133 + 84 = 427 – 427 = 0
∴ (x – 7), f(x) కు కారణాంకము.

ప్రశ్న5.
px² + 5x + r అనే బహుపదికి (x – 2) మరియు \(\left(x-\frac{1}{2}\right)\) కారణాంకములైతే p = r అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము f(x) = px² + 5x + r అనుకొనుము.
f(x) కు (x – 2) మరియు \(\left(x-\frac{1}{2}\right)\) లు కారణాంకాలు కావున అవి ఏర్పరచు శేషాలు వరుసగా f(2) = 0 మరియు f(\(\frac {1}{2}\)) = 0 అగును.
∴ f(2) = p(2)² + 5(2) + r
= 4p + 10 + r = 0
⇒ 4p + r = -10 ……. (1)
∴ f(\(\frac {1}{2}\)) = 0
⇒ \(p\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+5\left(\frac{1}{2}\right)+r\) = 0
⇒ \(\frac{p}{4}+\frac{5}{2}+r=0\)
⇒ p + 10 + 4r = 0
⇒ p + 4r = – 10 ……….. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి,
4p + r = p + 4r
4p – p = 4r – r
3p = 3r
∴ p = r

ప్రశ్న6.
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e బహుపదికి (x² – 1) కారణాంకం అయితే a + c + e = b + d = 0 అని చూపండి.
సాధన.
f(x) = ax⁴ + bx³ + cx2 + dx + e అనుకొనుము.
(x² – 1), f(x) కు కారణాంకమైన
x² – 1 = (x + 1) (x – 1) కూడా కారణాంకాలు అగును.
f(x) కు (x – 1) కారణాంకమైన f(1) = 0 అగును.
∴ f(1) = a + b + c + d + e = 0 ……….. (1)
f(x)కు (x + 1) కారణాంకమైన f(-1) = 0 అగును.
∴ f(-1) = a + c + e – b – d = 0
⇒ a+ c + e = b + d ……….. (2)
సమీకరణము (2) ను సమీకరణము (1) నందు ప్రతిక్షేపించగా,

ప్రశ్న7.
కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) x³ – 2x² – x + 2
సాధన.
f(x) = x³ – 2x² – x + 2 అనుకొనుము.
x = 1 అనుకొనుము.
f(1) = 1³ – 2(1)² – 1 + 2
= – 1 – 2 – 1 + 2 = 0
∴ కారణాంక సిద్ధాంతం ప్రకారం (x – 1), f(x) కు కారణాంకము.
భాగహార పద్ధతి ప్రకారం,

∴ f(x) = (x – 1) (x² – x – 2)
= (x – 1) [x² – 2x + x -2]
= (x – 1) [x (x – 2) + 1 (x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

ii) x³ – 3x² – 9x – 5
సాధన.
f(x) = x³ – 3x² – 9x – 5 అనుకొనుము.
ట్రైల్ & ఎర్రర్ పద్ధతి ప్రకారం, x = -1 అనుకొనుము.
f(-1) = (-1)³ – 3(-1) – 9(-1) – 5
= – 1 – 3 + 9 – 5 = 0
∴ f(x) కు (x + 1) కారణాంకము.
[∵ కారణాంక సిద్ధాంతం ప్రకారం]
భాగహార పద్ధతి ద్వారా f(x)ను (x + 1) చే భాగించగా

∴ f(x) = (x + 1) (x² – 4x – 5)
కాని x² – 4x – 5 = x² – 5x + x – 5
= x (x – 5) + 1 (x – 5)
= (x – 5) (x + 1)
∴ f(x) = (x + 1) (x + 1) (x – 5)

iii) x³ + 13x² + 32x + 20
సాధన.
f(x) = x³ + 13x² + 32x + 20 అనుకొనుము.
x = -1 అనుకొనుము.
f(-1) = (-1)³ + 13(-1)² + 32(-1) + 20
= – 1 + 1³ – 32 + 20 = 33 – 33 = 0
∴ f(x) కు (x + 1) కారణాంకము.
[∵ కారణాంక సిద్ధాంతం ప్రకారం]
f(x) ను (x + 1) చే భాగించగా

∴ f(x) = (x + 1) (x² + 12x + 20)
= (x + 1) [x² + 10x + 2x + 20]
= (x + 1) [x (x + 10) + 2 (x + 10)]
= (x + 1) (x + 10) (x + 2)
∴ f(x) కు కారణాంకాలు (x + 1)(x + 2)(x + 10)

iv) y³ + y² – y – 1
సాధన.
f(y) = y³ + y² – y – 1 అనుకొనుము.
y = 1 అనుకొనుము.
f(1) = 1³ + 1² – 1 – 1 = 0
∴ (y – 1), f(y) కు కారణాంకము.
f(y) ను (y – 1) చే భాగించగా,

∴ f(y) = (y – 1) (y² + 2y + 1)
= (y – 1) (y + 1) (y + 1)

ప్రశ్న8.
ax² + bx + c మరియు bx² + ax + c అను బహుపదులకు ఉమ్మడి కారణాంకం x + 1 అయిన c = 0 మరియు a = b అని చూపండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు f(x) = ax² + bx + c మరియు
g(x) = bx² + ax + c అనుకొనుము.
f(x) మరియు g(x) లకు (x + 1) ఉమ్మడి కారణాంకము కావున
∴ f(-1) = g(-1)
⇒ a(-1)² + b(-1) + c
= b(-1)² + a(-1) + c
⇒ a – b + c = b – a + c
⇒ a + a = b + b
⇒ 2a = 2b
⇒ a = b
అదే విధముగా f(-1) = a – b + c = 0
⇒ b – b + c = 0 ⇒ c = 0

ప్రశ్న9.
x² – x – 6 మరియు x² + 3x – 18 లకు (x – a) ఉమ్మడి కారణాంకం అయిన ‘a’ విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు f(x) = x² – x – 6 మరియు
g(x) = x² + 3x – 18 అనుకొనుము.
(x – a) అనునది f(x) మరియు g(x) లకు ఉమ్మడి కారణాంకము కావున
∴ f(a) = g(a) = 0
⇒ a² – a – 6 = a² + 3a – 18
⇒ -a – 3a = – 18 + 6 ⇒ – 4a = – 12
∴ a = 3

ప్రశ్న10.
y³ – 2y² – 9y – 18 యొక్క ఒక కారణాంకం (y – 3) అయిన మిగిలిన రెండు కారణాంకాలు కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(y) = y³ – 2y² – 9y – 18 అనుకొనుము.
గమనిక : టెక్స్ట్ బుక్ లో, y³ – 2y – 9y- 18 అని ప్రింట్ అయినది.
దానికి బదులుగా
y³ – 2y² – 9y + 18 అని తీసుకోండి.
f(y) కు (y – 3) కారణాంకము కావున
f(y) ను (y – 3) చే భాగించగా,

∴ f(y) = (y – 3) (y² + y – 6)
= (y – 3) [y² + 3y – 2y – 6]
= (y – 3) [y (y+3) -2 (y + 3)]
= (y – 2) (y – 3) (y + 3)
f(x) యొక్క మిగిలిన రెండు కారణాంకములు (y – 2) మరియు (y + 3) లు అగును.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 జ్యామితీయ నిర్మాణాలు Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 13th Lesson జ్యామితీయ నిర్మాణాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 1.
BC = 7 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 75° మరియు AB + AC = 12 సెం.మీ.లతో ∆ABC నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ BC = 7 సెం.మీ.లుగా ఒక రేఖాఖండంను గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{B}\) = 75° లతో \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) కిరణాన్ని నిర్మించండి.
→ \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) పై BD = AB + AC అగునట్లుగా D బిందువును గీయుము.
→ D, C లను కలుపుము మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) కు లంబసమద్విఖండన రేఖను గీయగా అది BD ను A వద్ద ఖండించును.
→ A, C లను కలుపగా మనకు కావలసిన ∆ABC ఏర్పడినది.

ప్రశ్న 2.
QR = 8 సెం.మీ., \(\angle \mathrm{Q}\) = 60° మరియు PQ – PR= 3.5 సెం.మీ. లతో ∆PQR నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ QR = 8 సెం.మీ.లతో ఒక రేఖాఖండమును గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{RQX}\) = 30° అగునట్లుగా Q వద్ద నుండి \(\overrightarrow{\mathrm{QX}}\) ను గీయుము.
→ \(\overrightarrow{\mathrm{QX}}\) పై QS = PQ – PR = 3.5 సెం.మీ. అగునట్లుగా S బిందువును గుర్తించుము. → S, Rలను కలుపుము.
→ \(\overline{\mathrm{QR}}\) కు లంబసమద్విఖండనరేఖను గీయగా అది, \(\overrightarrow{\mathrm{QX}}\) ను ‘P’ వద్ద ఖండించును.
→ P, Rలను కలుపగా ∆PQR ఏర్పడింది.

ప్రశ్న 3.
\(\angle \mathbf{Y}\) = 30°, \(\angle \mathbf{Z}\) = 60° మరియు XY + YZ + ZX = 10 సెం.మీ.లతో ∆XYZ నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు:
→ AB = XY + YZ+ZX = 10 సెం.మీ. లతో ఒక రేఖాఖండంను గీయుము.
→ A వద్ద \(\angle BAP\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathbf{Y}\) మరియు B వద్ద \(\angle ABQ\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathbf{Z}\) అగునట్లుగా గీయుము. వాటిని కలుపగా అవి B వద్ద కలుసుకొనును.
→ XA మరియు XBలకు లంబసమద్విఖండన రేఖలను గీయగా అవి \(\overline{\mathrm{AB}}\) ను Y మరియు Zల వద్ద ఖండించును.
→ X నుండి Y ను మరియు X నుండి Z ను కలుపగా ∆XYZ ఏర్పడును.

ప్రశ్న 4.
భూమి 7.5 సెం.మీ. మరియు కర్ణం, మూడవ భుజం కొలతల మొత్తం 15 సెం.మీ.గా గల లంబకోణ త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ BC = 7.5 సెం.మీ. లతో ఒక రేఖాఖండాన్ని గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{CBX}\) = 90° లను నిర్మించుము.
→ BD = 15 సెం.మీ. లు అగునట్లుగా \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) పై D ను గుర్తించుము.
→ C, D లను కలుపుము.
→ \(\overline{\mathrm{CD}}\) కు లంబసమద్విఖండనరేఖ గీయగా అది BD ను A వద్ద ఖండించును.
→ A, C లను కలుపగా ∆ABC ఏర్పడును.

5. 5 సెం.మీ. పొడవుగల వృత్త జ్యా తీసుకొని కింది కోణాలను కలిగి ఉండే వృత్తఖండాలను నిర్మించండి.

ప్రశ్న (i)
90°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 90° మరియు \(\angle \mathrm{BOC}\) = 180° లతో ఒక చిత్తు పటంను గీయుము.
→ BC = 5 సెం.మీ.లతో రేఖాఖండమును గీయుము.
→ BC కు లంబసమద్విఖండన రేఖను గీయుము. అది BC ను ఖండించు బిందువు O అగును.
→ OB లేక OC వ్యాసార్థంతో O కేంద్రంగా చాపాలను గీయుము.
→ చాపముపై ఏదైనా బిందువు వద్ద A ను గుర్తించి, B మరియు C లను కలుపుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 90°

ప్రశ్న (ii)
90°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు:
→ BC = 5 సెం.మీ. లతో ఒక రేఖాఖండంను గీయుము.
→ BC = 5 సెం.మీ., \(\angle \mathrm{B}\) = 45° = \(\angle \mathrm{C}\) అగునట్లు ∆BOC ను నిర్మించుము.
→ OB లేక OC ను వ్యాసార్ధంతో ‘O’ కేంద్రంగా ఒక వృత్త చాపమును గీయుము,
→ వృత్తఖండంపై A బిందువును గుర్తించి B మరియు C లను కలుపుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 45°

ప్రశ్న (iii)
120°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు:
→ AB = 5 సెం.మీ.లతో ఒక రేఖాఖండంను గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{A}\) = 30°; \(\angle \mathrm{B}\) = 30°; AB = 5 లతో ∆AOB ను గీయుము.
→ ‘O’ కేంద్రముగా ఒక వృత్తఖండంను గీయుము.
→ వృత్తఖండంకు ఎదురుగా C బిందువును గుర్తించి, B మరియు C లను కలుపుము.
→ \(\angle \mathrm{ACB}\) = 120°

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 జ్యామితీయ నిర్మాణాలు Ex 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 13th Lesson జ్యామితీయ నిర్మాణాలు Exercise 13.1

1. మూలబిందువు వద్ద దత్తకిరణంపై కింది కోణాలను నిర్మించి, నిరూపణ చేయండి.

ప్రశ్న (a)
90°
సాధన.

సోపానాలు :
→ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ఇచ్చిన కిరణము అనుకొనుము.
→ BA ను D వరకు పొడిగించుము.
→ కొంత వ్యాసార్ధంతో A కేంద్రంగా ఒక అర్ధ వృత్తంను గీయుము.
→ X మరియు Y లు కేంద్రాలుగా రెండు ఖండన చాపాలను ఒకే వ్యాసార్ధంతో గీయుము.
→ చాపాల ఖండన బిందువును, ‘A’ ను కలుపుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) కావలసిన లంబకోణము.

(లేదా)

సోపానాలు :
→ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ఇచ్చిన కిరణమనుకొనుము.
→ A కేంద్రంగా ఒక చాపంను గీయుము.
→ ముందుగా తీసుకున్న కొలతతో x కేంద్రంగా రెండు సమాన చాపాలను పటంలో చూపినట్లుగా గీయుము.
→ రెండు చాపాల ఖండన బిందువును, ‘A’ ను కలుపుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 90°
∆AXY లో \(\angle \mathrm{YAX}\) = 60° మరియు
∆AYC లో \(\angle \mathrm{YAC}\) = 30 ∴ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 90°

ప్రశ్న (b)
45°
సాధన.
సోపానాలు :
→ ఇచ్చిన \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) కిరణంతో 90° గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{BAD}\) = 45° అగునట్లు ఈ కోణమును సమద్విఖండన చేయుము.

[లేదా]

[∆AXZ ఒక సమబాహు త్రిభుజము మరియు
\(\angle \mathrm{YAZ}\) = 15°
∴ \(\angle \mathrm{XAY}\) = 45°]

సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 60° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) ను \(\angle \mathrm{BAD}\) = \(\angle \mathrm{DAC}\) = 30° లగా సమద్విఖండన చేయుము.
→ \(\angle \mathrm{DAC}\) ను \(\angle \mathrm{DAE}\) = \(\angle \mathrm{EAC}\) = 15° అగునట్లుగా సమద్విఖండన చేయుము.
∴ \(\angle \mathrm{BAE}\) = 45°

2. కింది కోణాలను కొలబద్ద, వృత్తలేఖిని సహాయంతో నిర్మించి, కోణమానినితో కొలిచి సరిచూడండి.

ప్రశ్న (a)
30°
సాధన.

సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{ABY}\) = 60° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{ABC}\) = \(\angle \mathrm{CBY}\) = 30° అగునట్లు
\(\angle \mathrm{ABY}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న (b)
22\(\frac {1}{2}\)°
సాధన.

సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{ABD}\) = 90° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{ABC}\) = \(\angle \mathrm{CBD}\) = 45° అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{ABD}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{ABE}\) = \(\angle \mathrm{EBC}\) = 22\(\frac {1}{2}\)°, అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{ABC}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న (c)
15°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{BAE}\) = 60° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = \(\angle \mathrm{CAE}\) = 30° అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{BAE}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{BAF}\) = \(\angle \mathrm{FAC}\) = 15° అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{BAC}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న (d)
75°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 60° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{CAD}\) = 60° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{BAE}\) = 90° అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{CAD}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{BAF}\) = 75° అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{CAE}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న (e)
105°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{ABC}\) = 90° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{CBE}\) = 30° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{ABD}\) = 105° ఏర్పడునట్లుగా \(\angle \mathrm{CBE}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న (f)
135°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు:
→ \(\angle \mathrm{ABC}\) = 120° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{CBD}\) = 30° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{ABE}\) = 135° ఏర్పడునట్లుగా \(\angle \mathrm{CBD}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న 3.
దత్త భుజం 4.5 సెం.మీ. తీసుకొని ఒక సమబాహు త్రిభుజం నిర్మించి, నిర్మాణాన్ని నిరూపించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ AB = 4.5 సెం.మీ.లతో రేఖాఖండంను గీయుము.
→ 4.5 సెం.మీ.ల వ్యాసార్థంతో A మరియు B.లు కేంద్రంగా చాపములను గీయుము. అవి C వద్ద ఖండించుకొనును.
→ A, C లను మరియు B, C లను కలుపుము.
→ మనకు కావలసిన ∆ABC ఏర్పడినది.

నిరూపణ :
∆ABC లో AB = AC ⇒ \(\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{B}\)
అదే విధంగా AB = BC ⇒ \(\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}\)
∴ \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}\)
కాని \(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}\) = 180°
∴ \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}\) = \(\frac {180°}{3}\) = 60°

ప్రశ్న 4.
దత్తభుజంను భూమిగా తీసుకొని, దత్తకోణం తెలిస్తే సమద్విబాహు త్రిభుజం నిర్మించి, నిర్మాణాన్ని నిరూపించండి. [సూచన : నిర్మాణాలకు మీకు నచ్చిన భుజం కొలత, కోణం కొలత తీసుకోవచ్చు)
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ ఏదైనా ఇచ్చిన కొలతతో AB రేఖాఖండమును గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{BAX}\) మరియు \(\angle \mathrm{ABY}\)ల వద్ద \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}\) అగునట్లుగా A మరియు B లను గీయుము.
→ \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{BY}}\) లను పొడిగించగా అవి C వద్ద ఖండించుకొనును.
→ ∆ABC కావలసిన త్రిభుజము.

నిరూపణ:
→ AB కు లంబంగా C నుండి ఒక లంబము CM ను గీయుము.
∆AMC మరియు ∆BMC లలో
\(\angle \mathrm{AMC}=\angle \mathrm{BMC}\) (∵ లంబకోణము)
\(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}\) (∵నిర్మాణము)
CM = CM (ఉమ్మడి భుజము)
∴ ∆AMC ≅ ∆BMC
⇒ AC = BC [CPCT]

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Exercise 2.3

ప్రశ్న1.
x³ + 3x² + 3x+ 1 ను కింది రేఖీయ బహుపదులతో భాగించునప్పుడు వచ్చే శేషాలు కనుగొనండి.
i) x + 1
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x³ + 3x² + 3x + 1 అనుకొనుము.
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం f(x) ను (x + 1) చే భాగించగా వచ్చు శేషము f(-1)
f(-1) = (-1)³ + 3(-1)² + 3(-1) + 1
= – 1 + 3 – 3 + 1 = 0

ii) x – \(\frac {1}{2}\)
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(\(\frac {1}{2}\))

iii) x
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(0)
∴ f(0) = 0³ + 3(0)² + 3(0) + 1 = 1

iv) x + π
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(-π)
∴ f(-π) = (-π)³ + 3(-π)² + 3(-π) + 1
= – π³ + 3π² – 3π + 1

v) 5 + 2x
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(\(\frac {-5}{2}\))

ప్రశ్న2.
x³ – px² + 6x – p ను x – p తో భాగిస్తే వచ్చే శేషం ఎంత ?
సాధన.
f(x) = x³ – px² + 6x – p అనుకొనుము.
(x – a) = x – p
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(p)
∴ f(p) = p³ – p(p)² + 6p – p
= p³ – p³ + 5p
= 5p

ప్రశ్న3.
2x² – 3x + 5 ను 2x – 3 చే భాగిస్తే వచ్చే శేషం ఎంత ? ఇది బహుపదిని కచ్చితంగా భాగించిందా ? కారణాలు తెలపండి.
సాధన.
ఇచ్చిన వర్గ బహుపది f(x) = 2x² – 3x + 5 అనుకొనుము.
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం f(x) ను (2x – 3) చే భాగించగా వచ్చు శేషము f(\(\frac {3}{2}\)) అగును.
f(\(\frac {3}{2}\)) =

∴ శేషము 5 కావున f(x) ను (2x – 3) కచ్చితంగా భాగించలేదు.

ప్రశ్న4.
9x³ – 3x² + x – 5 ను x – \(\frac {2}{3}\)చే భాగిస్తే వచ్చే శేషం ఎంత ?
సాధన.
f(x) = 9x³ – 3x² + x – 5 అనుకొనుము.
x – a = x – \(\frac {2}{3}\)
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(\(\frac {2}{3}\))

ప్రశ్న5.
2x³ + ax² + 3x – 5 మరియు x³ + x² – 4x + a బహుపదులను (x – 2) చే భాగించునప్పుడు వచ్చే శేషాలు సమానం అయితే a విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు f(x) = 2x³ + ax² + 3x – 5
మరియు g(x) = x³ + x² – 4x + a అనుకొనుము.
f(x) మరియు g(x) లు (x – 2) చే భాగించగా ఒకే శేషమును ఇచ్చినవి.
∴ f(2) = g(2)
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారము,
f(2) = 2(2)³ + a(2)² + 3(2) – 5
= 16 + 4a + 6 – 5
= 17 + 4a
g(2) = 2³ + 2² – 4(2) + a
= 8 + 4 – 8 + a
= 4 + a
దత్తాంశం ప్రకారము, f(2) = g(2)
17 + 4a = 4 + a
∴ 4a – a = 4 – 17
3a = – 13
a = \(\frac {-13}{3}\)

ప్రశ్న6.
x³ + ax² + 5 మరియు x³ – 2x² + a బహుపదులను (x+ 2) చే భాగించునపుడు వచ్చే శేషాలు సమానం అయితే ‘a’ విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు
f(x) = x³ + ax² + 5 మరియు
g(x) = x³ – 2x² + a అనుకొనుము.
దత్తాంశం ప్రకారము f(x) మరియు g(x) లు (x + 2) చే భాగించగా ఒకే శేషమును ఇచ్చును.
∴ f(-2) = g(-2)
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారము,
f(-2) = (-2)³ + a(-2)² + 5
= -8 + 4a + 5 = 4a – 3
g(-2) = (-2)³ – 2(-2)² + a
= – 8 – 8 + a = a – 16
లెక్క ప్రకారము
4a – 3 = a – 16
4a – a = – 16 +3
⇒ 3a = – 13
⇒ a = \(\frac {-13}{3}\)

ప్రశ్న7.
f(x) = x⁴ – 3x² + 4 ను g(x) = x – 2 చే భాగిస్తే వచ్చే శేషం కనుగొనండి. ఫలితాన్ని భాగహారం చేసి సరిచూడండి.
సాధన.
దత్తాంశము f(x) = x⁴ – 3x² + 4
g(x) = x – 2
f(x) ను g(x) చే భాగించగా వచ్చే శేషము f(2).
f(2) = 2⁴ – 3(2)² + 4 = 16 – 12 + 4 = 8
భాగహారము:

∴ శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం మరియు భాగహారము ప్రకారం వచ్చిన శేషములు ఒక్కటే.

ప్రశ్న8.
p(x) = x³ – 6x² + 14x – 3ను g(x) = 1 – 2xచే భాగిస్తే వచ్చే శేషం ఎంత ? ఫలితాన్ని భాగహారం చేసి సరిచూడండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు p(x) = x³ – 6x² + 14x – 3 మరియు g(x) = 1 – 2x
శేష సిద్ధాంతము ప్రకారం p(x)ను g(x) చే భాగించగా వచ్చే శేషము p(1/2).

భాగహారము :

∴ శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం మరియు భాగహారము ప్రకారం వచ్చిన శేషములు ఒక్కటే.

ప్రశ్న9.
2x³ + 3x² + ax + b అను బహుపదిని (x – 2) చే భాగిస్తే శేషం 2 మరియు (x + 2) చే భాగిస్తే శేషం -2 వస్తే a, b ల విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశము f(x) = 2x³ + 3x² + ax + b
f(x) ను (x- 2) చే భాగించగా వచ్చు శేషము 2.
∴ f(2) = 2
⇒ f(2) = 2(2)³ + 3(2)² + a(2) + b = 2
⇒ 16 + 12 + 2a + b = 2
⇒ 2a + b = – 26 ………. (1)
f(x) ను (x + 2) చే భాగించగా వచ్చు శేషం – 2.
∴ f(-2) = -2
⇒ f(-2) = 2(-2)³ + 3(-2)² + a(-2) + b
= -2
= – 16 + 12 – 2a + b = -2
– 2a + b = 2 ……….. (2)
(1) మరియు (2) లను సాధించగా,

మరియు 2a – 12 = – 26
2a = – 26 + 12 = – 14
a = \(\frac {-14}{2}\) = -7
∴ a = -7 మరియు b = – 12

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 సంభావ్యత InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 14th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ఇవి చేయండి

1. ముందు పేజీ (పేజీ నెం. 293) లో ఇచ్చిన పట్టిక లోని ప్రతి పదానికి మరికొన్ని ఉదాహరణలు రాయండి. (పేజీ నెం. 294]
సాధన.
నిశ్చితం : ఆగస్టు 15న స్వాతంత్ర్య దినోత్సవం జరుపుకుంటాం.
అధిక సంభవం : ఒక పాచికను దొర్లించిన, ‘5’కు సమమైన లేక ‘5’ కంటే తక్కువ సంఖ్యను పొందుట.
సమ సంభవం : ఒక నాణేన్ని ఎగురవేసిన బొమ్మను పొందు అవకాశము.
అల్ప సంభవం : ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు ప్రధాన సంఖ్య లేక ప్రధానేతర సంఖ్యను పొందుట.
అసంభవం : ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు ఋణ సంఖ్యను పొందును.

2. కింది వాక్యాలను అల్పసంభవం, సమసంభవం, అధిక సంభవాలుగా వర్గీకరించండి. (పేజీ నెం. 294)

(a) ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు దాని ముఖంపై 5 వస్తుంది.
(b) నవంబర్ మాసంలో మీ ఊరిలో చల్లని గాలులు వీస్తాయి.
(c) భారత్ వచ్చే ఫుట్ బాల్ వరల్డ్ కప్ ని గెల్చుకోవడం.
(d) నాణేన్ని ఎగురవేసినప్పుడు బొమ్మ లేదా బొరుసు రావడం.
(e) నీవుకొన్న లాటరీ టికెట్టుకు బంపర్ బహుమతి రావడం.
సాధన.
(a) ఆల్ప సంభవం
(b) అధిక సంభవం
(c) అల్ప సంభవం
(d) సమ సంభవం
(e) అధిక సంభవం

3. ఒక నాణేన్ని తీసుకొని కింది పట్టికలో చూపిన విధంగా 10, 20, ….. సార్లు ఎగురవేయండి. ఫలితాలను – పట్టికలో రాయండి.

నాణేన్ని ఎగురవేసే సంఖ్య	బొమ్మల సంఖ్య	బొరుసుల సంఖ్య
10
20
30
40
50

నాణేన్ని ఇంకా ఎక్కువసార్లు ఎగురవేసినప్పుడు ఏమి జరుగుతుందో ఊహించండి, (పేజీ నెం. 296)
సాధన.
స్వయంగా విద్యార్థులచే ఉపాధ్యాయులు చేయించండి.

4. మూడు నాణేలు (ఒకే విధమైనవి) ఒకేసారి ఎగుర వేసినప్పుడు ఏర్పడే పర్యవసానాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 299)

ప్రశ్న (a)
మొత్తం పర్యవసానాలు
సాధన.
మొత్తం పర్యవసానాలు : HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT.

ప్రశ్న (b)
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
సాధన.
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 8

ప్రశ్న (c)
కనీసం ఒక బొమ్మ వచ్చే సంభావ్యత (ఒకటి లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ బొమ్మలు)
సాధన.
కనీసం ఒక బొమ్మ వచ్చే సంభావ్యత
P = ఒక బొమ్మ వచ్చే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య = \(\frac {7}{8}\)

ప్రశ్న (d)
గరిష్ఠంగా రెండు బొమ్మలు పదే సంభావ్యత (రెండు లేదా అంతకన్నా తక్కువ బొమ్మలు)
సాధన.
గరిష్ఠంగా రెండు బొమ్మలు పడే సంభావ్యత
P = రెండు బొమ్మలు వచ్చే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య = \(\frac {7}{8}\)

ప్రశ్న (e)
బొమ్మ, బొరుసు లేని పర్యవసానాల సంభావ్యత
సాధన.
ఏదీ లేని పర్యవసానాల సంఖ్య
P = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య = \(\frac {1}{8}\)

ప్రయత్నించండి

1. ఒక స్కూటరుని స్టార్ట్ చేయాలనుకొన్నప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు ఏవి? (పేజీ నెం. 295)
సాధన.
స్టార్ట్ అవ్వడం, స్టార్ట్ కాకపోవడం.

2. పాచికను దొర్లించినప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానములు ఏవి ? (పేజీ నెం. 295)
సాధన.
పాచికను దొర్లించినపుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానములు 1, 2, 3, 4, 5 మరియు 6.

3. పటంలో చూపిన చక్రాన్ని ఒకసారి తిప్పినప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు ఏవి ? (సూచిక ఎక్కడైతే ఆగుతుందో దానిని పర్యవసానంగా తీసుకొంటాము) (పేజీ నెం. 295)

సాధన.
సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు : A, B మరియు C

4. ఒక జాడీలో 5 ఒకేరకమైన బంతులు గలవు. ఇవి తెలుపు, ఎరుపు, నీలం, బూడిద మరియు పసుపు రంగులలో కలవు. జాడీ వైపు చూడకుండా ఒక బంతిని తీయునప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు ఏవి ? (పేజీ నెం. 295)

సాధన.
జాడీ వైపు చూడకుండా ఒక బంతిని తీయునప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు 5. అవి : తెలుపు, ఎరుపు, నీలం, బూడిద మరియు పసుపు రంగుల బంతులు.

5. పాచికను ఒకసారి దొర్లించినప్పుడు ఏర్పడే కింది ఘటనల సంభావ్యతలను పట్టికలో రాయండి. (పేజీ నెం. 300)
సాధన.

6. కింద ఇచ్చిన వృత్తాకార పటం నుండి (పేజీ నెం. 306)

ప్రశ్న 1.
కంకణ ప్రాంతం B లో బల్లెం తగిలే సంభావ్యత
సాధన.
కంకణ ప్రాంతం ‘C’ యొక్క వైశాల్యం = πr²
= π × 1² = π చ.యూ.
కంకణ ప్రాంతం ‘B’ యొక్క వైశాల్యం = π (2² – 1²) = π (4 – 1) = 3π చ.యూ.
కంకణ ప్రాంతం ‘A’ యొక్క వైశాల్యం = π (3² – 2²) = π(9 – 4) = 5π చ.యూ.
కంకణ ప్రాంతం ‘B’ లో బల్లెం తగిలే సంభావ్యత
= \(\frac {అనుకూల ప్రాంతపు వైశాల్యం}{మొత్తం వైశాల్యం}\)
= \(\frac{3 \pi}{\pi+3 \pi+5 \pi}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 2.
కంకణ ప్రాంతం ‘C’ లో బల్లెం తగిలే సంభావ్యతను గణన చేయకుండానే శాతంలో తెల్పండి.
సాధన.
\(\frac {1}{9}\) × 100% = 11\(\frac {1}{9}\)%

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు (పేజీ నెం. 295)

1. మొదటి ఆటగాడికి, పాచిక పైముఖం (Topface) పై 6 పడే అవకాశం ఎక్కువ.
సాధన.
చెప్పలేము. ‘6’ పడు అవకాశం ఆటగాడు పాచికను త్రిప్పుటపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

2. ఆ తర్వాత ఆటగాడికి పాచిక పైముఖం (Topface) పై 6 పడే అవకాశం తక్కువ.
సాధన.
చెప్పలేము.

3. ఒకవేళ రెండో ఆటగాడికి పాచిక పైముఖం (Topface) పై 6 పడినట్లయితే, ఆ తర్వాత పాచిక దొర్లించే మూడో ఆటగాదికి పై ముఖంపై 6 పడే అవకాశం అసలు లేదు.
సాధన.
చెప్పలేము. ఎందుకనగా అది రెండవ ఆటగాడి ఫలితముపై ఆధారపడును.

ఉదాహరణలు

1. రెండు నాణాలను (ఒకే విధంగా ఉండే) ఒకేసారి పైకి ఎగురవేసిన (a) సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు (b) సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య (c) రెండూ బొమ్మలు వచ్చే సంభావ్యత (d) కనిష్ఠంగా ఒక బొమ్మ వచ్చే సంభావ్యత (e) బొమ్మ పడని సంభావ్యత మరియు (f) ఒకే ఒక బొమ్మపడే సంభావ్యతలను కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 298)
సాధన.
(a) సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు
1వ నాణెం.
బొమ్మ
బొమ్మ
బొరుసు
బొరుసు

2వ నాణెం
బొమ్మ
బొరుసు
బొమ్మ
బొరుసు
(b) మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య 4 .
(c) రెండూ బొమ్మ వచ్చే సంభావ్యత
= రెండు బొమ్మలు వచ్చే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac {1}{4}\)
(d) కనీసం ఒక బొమ్మపడే సంభావ్యత = \(\frac {3}{4}\)
(కనీసం ఒక బొమ్మ అనగా ఒకటి లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ బొమ్మలు).
(e) బొమ్మలేని పర్యవసానాల సంభావ్యత = \(\frac {1}{4}\)
(f) ఒకే ఒక్క బొమ్మ ఉండే పర్యవసానాల సంభావ్యత = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

2. ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు (a) దాని పై ముఖంపై వచ్చే ప్రతి అంకె యొక్క సంభావ్యతను పట్టికలో రాయండి. (b) అన్ని సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంభావ్యతల మొత్తం కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 299)
సాధన.
(a) పాచికను దొర్లించినప్పుడు సాధ్యమయ్యే మొత్తం ఆరు పర్యవసానాల్లో 4 అంకె ఒకసారి రావడానికి సాధ్యము కావు. సంభావ్యత 1/6.

(b) అన్ని పర్యవసానాల సంభావ్యతల మొత్తం
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6)
= \(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\) = 1

3. ఒక స్పిన్నర్ (గుండ్రంగా తిప్పేందుకు వీలైన చక్రం) 1000 సార్లు తిప్పడం జరిగింది. ప్రతిసారి తిప్పినప్పుడు పాచిక ఆగే ప్రదేశం యొక్క రంగు పట్టికలో రాసినప్పుడు, వాటి పౌనఃపున్యం కింది విధంగా ఉంది.

(a) స్పిన్నర్ నుండి సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు ఎన్ని ? అవి ఏవి ?
(b) ప్రతి రంగు పర్యవసానంగా వచ్చే సంభావ్యత కనుగొనండి.
(c) పట్టిక నుండి, ప్రతి రంగు యొక్క పౌనఃపున్యానికి, మొత్తం పౌనఃపున్యానికి నిష్పత్తిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 303)
సాధన.
(a) స్పిన్నర్ చూసినప్పుడు 5 సెక్టర్లు ఒకే వైశాల్యం గల ప్రదేశాలుగా ఉన్నాయి. ఇవన్నియూ 6 వేరు వేరు రంగులలో కలవు. అవి ఎరుపు, నారింజ, వంగపండు, పసుపు, ఆకుపచ్చ ఇవన్నియూ సమసంభవం కల్గిన పర్యవసానాలు, మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య 5.

(b) ప్రతి ఘటన యొక్క సంభావ్యత,
కావున P(ఎరుపు) = ఎరుపు వచ్చే పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac {1}{5}\) = 0.2.
అదే విధంగా P(నారింజ), P (వంగపండు), P (పసుపు) మరియు P (ఆకుపచ్చ) మరియు \(\frac {1}{5}\) లేదా 0.2.

(c) పట్టిక నుండి 1000 సార్లు స్పిన్నర్ తిప్పినపుడు 185 సార్లు ఎరుపుకు అనుకూలంగా ఉంది.
కావున ఎరుపు నిష్పత్తి = ప్రయోగాలలో ఎరుపు రంగు పౌనఃపున్యం / మొత్తం స్పిన్నరు త్రిప్పిన సంఖ్య
= \(\frac {185}{1000}\) = 0.185.
ఈ విధంగా మిగిలిన రంగులకి కూడా ఈ విధమైన నిష్పత్తులను రాసిన నారింజ, వంగపండు, పసుపు, ఆకుపచ్చలకు వరుసగా 0,195, 0.210, 0.206 మరియు 0.204 వచ్చింది.
(b), (c) లను పరిశీలించిన (c) లో కనుగొన్న నిష్పత్తులన్నీ (b) లోని ఆయారంగుల సంభావ్యతలకు దగ్గరగా ఉన్నాయి. అంటే మనం కనుగొన్న సంభావ్యత, ప్రయోగం తర్వాత కనుగొన్న నిష్పత్తులకు దాదాపు సమానంగా ఉన్నాయి.

4. ఒక సినిమా థియేటర్ కి విచ్చేసిన ప్రేక్షకుల సంఖ్య వయసుల వారీగా ఇవ్వబడ్డాయి. బంపర్ బహుమతి గెలుచుకోవడానికి ప్రతి ప్రేక్షకుడికి టికెట్టుతోపాటు ఒక నెంబరు ఈయబడింది. నెంబర్లలో నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక నెంబరును తీసినప్పుడు, కింద నీయబడిన ఘటనలకు సంభావ్యత కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 304)

మొత్తం ప్రేక్షకుల సంఖ్య = 505.
సాధన.
(a) వయసు 10 గాని అంతకంటే తక్కువగాని ఉన్న ప్రేక్షకుడి సంభావ్యత
10 గాని అంతకంటే తక్కువ వయసు ఉన్న ప్రేక్షకులు = 24 + 35 + 5 + 3 = 67
మొత్తం ప్రేక్షకుల సంఖ్య = 505
P (ప్రేక్షకుని వయసు ≤ 10 సంవత్సరాలు)
= \(\frac {67}{505}\)

(b) వయసు 16 గాని అంతకంటే తక్కువగాని ఉన్న స్త్రీ ప్రేక్షకుల సంభావ్యత
వయస్సు 16 గాని అంతకంటే తక్కువగాని ఉన్న స్త్రీ ప్రేక్షకులు = 53 + 35 + 5 = 93
P (స్త్రీ ప్రేక్షకుల వయసు ≤ 16 సంవత్సరాలు)
= \(\frac {93}{505}\)

(c) వయసు 17 గాని అంతకంటే ఎక్కువగాని ఉన్న పురుష ప్రేక్షకుల సంభావ్యత
వయస్సు 17 గాని అంతకంటే ఎక్కువగాని ఉన్న పురుష ప్రేక్షకులు = 121 + 51 + 18 = 190
P(పురుష ప్రేక్షకుల వయసు ≥ 17 సంవత్సరాలు)
= \(\frac{190}{505}=\frac{38}{101}\)

(d) వయసు 40 సం||రాలు పైబడిన ప్రేక్షకుల సంభావ్యత
వయసు 40 సం||రాలు పైబడిన ప్రేక్షకుల సంభావ్యత = 51 + 43 + 18 + 13 = 125
P (ప్రేక్షకుల వయసు > 40 సంవత్సరాలు)
= \(\frac{125}{505}=\frac{25}{101}\)

(e) పురుషులు కాకుండా ఉన్న ప్రేక్షకుల సంభావ్యత పురుషులు కాకుండా ఉన్న ప్రేక్షకులు
= 5 + 35 + 53 + 97 + 43 + 13 = 246
P (పురుషుడు కాని ప్రేక్షకుల సంఖ్య) = \(\frac {246}{505}\)

5. మూడు ఏకకేంద్ర వృత్తాకారాలతో (వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 3 సెం.మీ, 2 సెం.మీ. మరియు 1 సెం.మీ.) తయారుచేయబడిన ఒక దార్డ్ బోర్డు A, B మరియు C అనే ప్రాంతాలుగా విభజింపబడింది (పటం చూడండి). మొనతేలిన ఒక బల్లెం (dart) ను బోర్డుపైకి విసిరిన అది ప్రాంతం A లో తగిలే సంభావ్యత ఎంత ? A అనేది (బయట కంకణాకార ప్రాంతం). (పేజీ నెం. 305)

సాధన.
A ప్రాంతంలో తగిలే ఘటన యొక్క సంభావ్యత.
మొత్తం వృత్తాకార ప్రాంత వైశాల్యం (వ్యాసార్ధం 3 సెం.మీ.తో) = π(3)²
కంకణ ప్రాంతం (A) వైశాల్యం = π(3)² – π(2)²
బల్లెం కంకణ ప్రాంతం (A) లో తగిలే సంభావ్యత P(A)
[వృత్త వైశాల్యం = πr²
కంకణ వైశాల్యం = πR² – πr²
అని గుర్తుకు తెచ్చుకోండి.]
P(A) = ప్రాంతం A వైశాల్యం / మొత్తం వృత్తాకార వైశాల్యం
= \(\frac{\pi(3)^{2}-\pi(2)^{2}}{\pi(3)^{2}}=\frac{9 \pi-4 \pi}{9 \pi}\)
\(\frac {5}{9}\) = 0.556 %

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Exercise 2.2

ప్రశ్న1.
4x² – 5x + 3 అనేది బహుపది విలువలను కింది విలువల వద్ద కనుగొనండి.
i) x=0
సాధన.
x = 0 వద్ద 4x² – 5x + 3 విలువ
= 4(0)² – 5(0) + 3 = 3

ii) x = -1
సాధన.
x = – 1 వద్ద 4x² – 5x + 3 విలువ
= 4 (-1)² – 5 (-1) + 3 = 4 + 5 + 3 = 12

iii) x = 2
సాధన.
x = 2 వద్ద 4x² – 5x + 3 విలువ
= 4(2)² – 5(2) + 3 = 16 – 10 + 3 = 9

iv) x = \(\frac {1}{2}\)
సాధన.
x = \(\frac {1}{2}\) వద్ద 4x² – 5x + 3 విలువ
= \(4\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-5\left(\frac{1}{2}\right)+3\)
= 1 – \(\frac {5}{2}\) + 3 = 4 – \(\frac {5}{2}\) = \(\frac {3}{2}\)

ప్రశ్న2.
కింది బహుపదులలో p(0), p(1) మరియు p(2) విలువలు కనుగొనుము.
i) p(x) = x² – x + 1
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది p(x) = x² – x + 1
p(0) = 0² – 0 + 1 = 1
p(1) = 1² – 1 + 1 = 1
p(2) = 2² – 2 + 1 = 3

ii) p(y) = 2 + y + 2y² -y³
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది
p(y) = 2 + y + 2y² – y³
p(0) = 2 + 0 + 2(0)² – 0³ = 2
p(1) = 2 + 1 + 2(1)² – 1³ = 4
p(2) = 2 + 2 + 2(2)² – 2³ = 4 + 8 – 8 = 4

iii) p(z) = z³
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది p(z) = z³
p(0) = 0³ = 0
p(1) = 1³ = 1
p(2) = 2³ = 8

iv) p(t) = (t – 1) (t + 1)
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది
p(t) = (t – 1) (t + 1) = t² – 1
p(0) = 0² – 1 = -1
p(1) = 1² – 1 = 0
p(2) = 2² – 1 =3

v) p(x) = x² – 3x + 2
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది p(x) = x² – 3x + 2
p(0) = 0² – 3(0) + 2 = 2
p(1) = 1² – 3(1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 0
p(2) = 2² – 3(2) + 2 = 4 – 6 + 2 = 0

ప్రశ్న3.
కింద ఇవ్వబడిన బహుపదులలో x యొక్క ఏ విలువలకు బహుపది శూన్యమగునో లేదో సరిచూడండి.
i) p(x) = 2x + 1; x = \(\frac {-1}{2}\)
సాధన.
x = \(\frac {-1}{2}\) వద్ద p(x) విలువ
\(p\left(\frac{-1}{2}\right)=2\left(\frac{-1}{2}\right)+1\) = -1 + 1=0
∴ x = \(\frac {-1}{2}\) అనునది p(x) కు శూన్య విలువ.

ii) p(x) = 5x – π; x = \(\frac {-3}{2}\)
సాధన.
x = \(\frac {-3}{2}\) వద్ద p(x) విలువ
\(p\left(\frac{-3}{2}\right)=5\left(\frac{-3}{2}\right)-\pi\) = \(\frac {-15}{2}\) – π ≠ 0
∴ x = \(\frac {-3}{2}\) అనునది p(x) కు శూన్య విలువ కాదు.

iii) p(x) = x² – 1; x = ±1
సాధన.
x = 1 మరియు – 1 వద్ద p(x) విలువ
p(1) = 1² – 1 = 0
P(-1) = (-1)² – 1 = 0
∴ x = ±1 అనునది p(x) యొక్క శూన్యవిలువ.

iv) p(x) = (x – 1)(x + 2); x = -1, -2
సాధన.
x = -1 వద్ద p(x) విలువ
p(-1) = (- 1 – 1) (- 1 + 2)
= -2 × 1= -2 ≠ 0
x = – 1, p(x) కు శూన్య విలువ కాదు.
x = -2 వద్ద p(x) విలువ
p(-2) = (- 2 – 1) (-2 + 2) = – 3 × 0 = 0
∴ x = – 2 అనునది p(x)కు శూన్యవిలువ.

v) p(y) = y²; y = 0
సాధన.
y = 0 వద్ద p(y) విలువ = p(0) = 0² = 0
∴ y = 0, p(y) కు శూన్యవిలువ.

vi) p(x) = ax + b; x = \(\frac{-b}{a}\)
సాధన.
x = \(\frac{-b}{a}\) వద్ద P(x) విలువ
\(\mathrm{p}\left(\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)=\mathrm{a}\left(\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)+\mathrm{b}\) b = – b + b = 0
∴ x = \(\frac{-b}{a}\), p(x) కు శూన్యవిలువ.

vii) f(x) = 3x² – 1; x = \(\frac{-1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
సాధన.
x = \(\frac{-1}{\sqrt{3}}\) వద్ద f(x) విలువ
\(f\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)=3\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)^{2}-1\) = \(\frac{3}{3}-1\) = 0
∴ x = \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\), f(x)కు శూన్యవిలువ
x = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) వద్ద f(x) విలువ = \(3\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-1\)
= 3 × \(\frac {4}{3}\) – 1 = 4 – 1 = 3 ≠ 0
∴ x = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\), f(x) కు శూన్యవిలువ కాదు.

viii) f(x) = 2x – 1; x = \(\frac {1}{2}\); –\(\frac {1}{2}\)
సాధన.
x = \(\frac {1}{2}\)వద్ద f(x) విలువ = 2(\(\frac {1}{2}\)) – 1 = 0
⇒ x = \(\frac {1}{2}\), f(x) కు శూన్యవిలువ. ఆ
x = –\(\frac {1}{2}\)వద్ద f(x) విలువ
= 2(-\(\frac {1}{2}\)) – 1 = – 1 – 1 = – 2 ≠ 0
⇒ x = –\(\frac {1}{2}\), f(x) కు శూన్యవిలువ కాదు.

ప్రశ్న4.
కింది బహుపదులకు శూన్య విలువలు కనుగొనండి.
i) f(x) = x + 2
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x + 2
x + 2 = 0
x = -2

ii) f(x) = x – 2
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x – 2
x – 2 = 0
x = 2

iii) f(x) = 2x + 3
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = 2x + 3
2x + 3 = 0
2x = – 3 ⇒ x = \(\frac {-3}{2}\)

iv) f(x) = 2x – 3
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = 2x – 3
2x – 3 = 0
2x = 3
x = \(\frac {3}{2}\)

v) f(x) = x²
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x²
x² = 0
x = 0

vi) f(x) = px, p ≠ 0
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = px, p ≠ 0
px = 0
x = 0

vii) f(x) = px + q; p ≠ 0 మరియు p, q లు వాస్తవాలు.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = px + q; p ≠ 0
px + q = 0
px = -q ⇒ x = \(\frac{-q}{p}\)

ప్రశ్న5.
p(x) = 2x² – 3x + 7a అనే బహుపదికి శూన్య విలువ ‘2’ అయిన a యొక్క విలువను కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది p(x) = 2x² – 3x + 7
p(x) కు శూన్య విలువ ‘2’
∴ p(2) = 0
⇒ 2(2)² – 3(2) + 7a = 0
⇒ 8 – 6 + 7a = 0
⇒ 2 + 7a = 0
⇒ 7a = – 2 ⇒ a = \(\frac{-2}{7}\)

ప్రశ్న6.
f(x) = 2x³ – 3x² + ax + b అనే బహుపదికి 0 మరియు 1 అనేవి శూన్య విలువలు అయితే a, bల విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = 2x³ – 3x² + ax + b
f(x) కు శూన్య విలువలు 0 మరియు 1
∴ 2(0)³ – 3(0)² + a(0) + b = 0
⇒ b = 0
అదే విధముగా f(1) = 0
⇒ 2(1)³ – 3(1)² + a(1) + 0 = 0
⇒ 2 – 3 + a = 0
⇒ a = 1
∴ a మరియు b విలువలు వరుసగా 1 మరియు 0.

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. \(\frac {-3}{4}\) ను సంఖ్యారేఖపై సూచించండి. (పేజీ నెం. 3)
సాధన.

సోపానం – 1: -2, -1, 0, 1, 2 లను సూచిస్తూ ఒక సంఖ్యారేఖ, గీయండి.
సోపానం – 2: ‘0’ కు ఎడమవైపు ప్రతి యూనిట్ ను నాలుగు సమాన భాగాలుగా చేయండి. ఇందు నుంచి 3 భాగాలను తీసుకోండి.
సోపానం – 3: సున్నా నుండి ఎడమవైపు గల 3వ బిందువు \(\frac {-3}{4}\) ను సూచిస్తుంది.

2. 0, 7, 10, – 4 లను \(\frac{p}{q}\) రూపంలో వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 3)
సాధన.
0 = \(\frac{0}{2}\)

3. నేననుకున్న సంఖ్యను చెప్పండి : మీ స్నేహితుడు 10 నుండి 100 మధ్యలో ఒక సంఖ్యను మనసులో అనుకున్నాడు. అతడనుకున్న సంఖ్యను నీవు అతి తక్కువ ప్రశ్నలడుగుతూ ఎలా రాబట్టగలవు? నీవడిగిన ప్రశ్నలకు మీ స్నేహితుడు కేవలం ‘అవును’ లేదా ‘కాదు’ అని మాత్రమే సమాధానమిస్తాడు. (పేజీ నెం. 3)
సాధన.
నా స్నేహితుడు 73 ను తీసుకున్నాడు అనుకొనుము. అతనిని అడిగిన ప్రశ్నల సరళావళి ఈ విధముగా కలదు.

ప్రశ్న : ఆ సంఖ్య మొదటి 50 సంఖ్యలలో కలదా ?
జ. కాదు.

ప్రశ్న : ఒకవేళ ఆ సంఖ్య 50, 60 ల మధ్యన కలదా ?
జ. కాదు.

ప్రశ్న : ఒకవేళ ఆ సంఖ్య 60, 70 ల మధ్యన కలదా ?
జ. కాదు.

ప్రశ్న : ఒకవేళ ఆ సంఖ్య 70, 80ల మధ్యన కలదా ?
జ. అవును.

ప్రశ్న : ఆ సంఖ్య ఏదైనా ప్రధాన సంఖ్యా ?
జ. అవును. (నా ఆలోచన :70, 80 ల మధ్యన 71, 73 లేక 79లు మాత్రమే ప్రధాన సంఖ్యలు కదా !)

ప్రశ్న : ఒకవేళ ఆ సంఖ్య 75 కన్నా చిన్న సంఖ్యేనా ?
జ. అవును. (నా ఆలోచన : అంటే ఆ సంఖ్య 71 లేక 73 అయి వుండాలి.)

ప్రశ్న : ఆ సంఖ్య 72 కన్నా చిన్నదేనా ?
జ. కాదు
∴ ఆ సంఖ్య 73. ఈ విధముగా మనము సంఖ్యా ధర్మా లైన/ రకాలైన సరి, బేసి, ప్రధాన, సంయుక్త మొ॥ వాటిని అనుసరించి ఈ రకపు సమస్యలను సాధించవచ్చును.

4. i) 2, 3 ల మధ్య సగటు పద్ధతి ద్వారా ఐదు అకరణీయ సంఖ్యలుంచండి. (పేజీ నెం. 4)
సాధన.
a మరియు b ల మధ్య \(\frac{a+b}{2}\) అను అకరణీయ సంఖ్య గలదు.
a = 2 మరియు b = 3 అనుకొనుము.
\(\frac{a+b}{2}=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}\)
∴ 2 < \(\frac{5}{2}\) < 3
ఈ పద్ధతిని కొనసాగిస్తే మనం 2 మరియు 3 ల మధ్య మరికొన్ని అకరణీయ సంఖ్యలను ఉంచవచ్చును.

ii) \(\frac {-3}{11}\) మరియు \(\frac {8}{11}\) ల మధ్య పది ఆకరణీయ సంఖ్యలుంచండి. (పేజీ నెం. 4)
సాధన.

5. i) \(\frac{1}{17}\) ను దశాంశ రూపంలో రాయండి. (పేజీ నెం. 5)
సాధన.

\(\frac{1}{17}\) = 0.0588235294117 ……..

ii) \(\frac{1}{19}\)ను దశాంశ రూపంలో రాయండి. (పేజీ నెం. 5)
సాధన.

\(\frac{1}{19}\) = 0.052631578………

6. కింది సంఖ్యల హారాలకు అకరణీయ కారణాంకాలు కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 20)
i) \(\frac{1}{2 \sqrt{3}}\)
సాధన.
\(\frac{1}{2 \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2 \times 3}=\frac{\sqrt{3}}{6}\)
∴ \(\sqrt{3}\) యొక్క అకరణీయ కారణాంకము \(\sqrt{3}\).

ii) \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)
సాధన.
\(\frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{3 \sqrt{5}}{5}\)
∴ \(\sqrt{5}\) యొక్క అకరణీయ కారణాంకము \(\sqrt{5}\)

iii) \(\frac{1}{\sqrt{8}}\)
సాధన.

∴ \(\sqrt{2}\) యొక్క అకరణీయ కారణాంకము \(\sqrt{2}\)

7. సూక్ష్మీకరించండి. (పేజీ నెం. 23)
i) (16)^1/2
సాధన.
(4 × 4)^1/2 = (4²)^1/2 = 4^2/2 = 4

ii) (128)^1/7
సాధన.
(128)^1/7 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)^1/7
=(2⁷)^1/7 = 2

iii) (343)^1/5
సాధన.
(343)^1/5 = (3 × 3 × 3 × 3 × 3)^1/5 = (3⁵)^1/5 = 3

8. కింది కరణులను ఘాతరూపంలో రాయండి. (పేజీ నెం. 24)
i) \(\sqrt{2}\)
సాధన.
\(\sqrt{2}\) = \(2^{\frac{1}{2}}\)

ii) \(\sqrt[3]{9}\)
సాధన.
\(\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{3 \times 3}\)
= \(\sqrt[3]{3^{2}}=3^{\frac{2}{3}}\)

iii) \(\sqrt[5]{20}\)
సాధన.
\(\sqrt[5]{20}\) = \(\sqrt[5]{2 \times 2 \times 5}=\sqrt[5]{2^{2} \times 5}\)
= \(2^{\frac{2}{5}} \times 5^{\frac{1}{5}}\)

iv) \(\sqrt[17]{19}\)
సాధన.
\(\sqrt[17]{19}\) = \(19^{\frac{1}{17}}\)

9. కింది కరణులను రాడికల్ రూపంలో రాయండి. (పేజీ నెం. 24)
i) \(5^{1 / 7}\)
ii) \(17^{1 / 6}\)
iii) \(5^{2 / 5}\)
iv) \(142^{1 / 2}\)
సాధన.
i) \(5^{1 / 7}\) = \(\sqrt[7]{5}\)
ii) \(17^{1 / 6}\) = \(\sqrt[6]{17}\)
iii) \(5^{2 / 5}\) = \(\sqrt[5]{5^{2}}=\sqrt[5]{5 \times 5}=\sqrt[5]{25}\)
iv) \(142^{1 / 2}\) = \(\sqrt{142}\)

ప్రయత్నించండి

1. కింది సంఖ్యల దశాంశ విలువలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 6)
i) \(\frac{1}{2}\)
ii) \(\frac{1}{2^{2}}\)
iii) \(\frac{1}{5}\)
iv) \(\frac{1}{5 \times 2}\)
v) \(\frac{3}{10}\)
vi) \(\frac{27}{25}\)
vii) \(\frac{1}{3}\)
viii) \(\frac{7}{6}\)
ix) \(\frac{5}{12}\)
x) \(\frac{1}{7}\)
సాధన.
i) \(\frac{1}{2}\) = 0.5
ii) \(\frac{1}{2^{2}}\) = \(\frac{1}{4}\) = 0.25
iii) \(\frac{1}{5}\) = 0.2
iv) \(\frac{1}{5 \times 2}\) = \(\frac{1}{10}\) = 0.1
v) \(\frac{3}{10}\) = 0.3

vi) \(\frac{27}{25}\)

vii) \(\frac{1}{3}\)

viii) \(\frac{7}{6}\)

ix) \(\frac{5}{12}\)

x) \(\frac{1}{7}\)

2. \(\sqrt{3}\) యొక్క విలువను ఆరు దశాంశ స్థానాల వరకు భాగహార పద్ధతిలో కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 10)
సాధన.

సోపానం-1 : 3 తర్వాత దశాంశ బిందువుని ఉంచుము.
3.00 00 00 00 00 00 00
సోపానం-2 : దశాంశ బిందువు తరువాత ‘0’ లు రాయుము.
సోపానం-3 : ‘0’ లను జతలుగా చేసి పైన బార్‌ను గీయుము.
సోపానం-4 : పిదప సంపూర్ణ వర్గము కనుగొను పద్ధతిని అనుకరించుము.
∴ \(\sqrt{3}\) = 1.732050

3. \(\sqrt{5}\) మరియు –\(\sqrt{5}\) లను సంఖ్యారేఖపై సూచించండి. (పేజీ నెం. 12)
(సూచన : 5 = 2² + 1²)
సాధన.
సోపానం-1 : 2 యూనిట్ల పొడవు, ఒక యూనిట్ వెడల్పుగా గల ఒక దీర్ఘచతురస్రం OABC ను సున్నా వద్ద గీయుము.
సోపానం-2 : ఆ దీర్ఘచతురస్ర కర్ణము
OB = \(\sqrt{\mathrm{OA}^{2}+\mathrm{AB}^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+1^{2}}\) = \(\sqrt{4+1}\) = \(\sqrt{5}\)
సోపానం-3 : ఒక వృత్తలేఖినిని ఉపయోగించి ‘O’ కేంద్రముగా OB వ్యాసార్ధంతో సంఖ్యారేఖ పై ‘O’ కు ఇరువైపులా చాపములను గీయగా అవి సంఖ్యారేఖ పై D మరియు D’ల వద్ద ఖండించుచున్నవి.
సోపానం-4 : సంఖ్యారేఖపై D విలువ \(\sqrt{5}\) ను మరియు D’ విలువ –\(\sqrt{5}\) ను సూచిస్తుంది.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. \(\sqrt{2}\) ను \(\frac{\sqrt{2}}{1}\) గా అంటే \(\frac{p}{q}\) రూపంలో రాయవచ్చు కనుక ఇది ఒక అకరణీయ సంఖ్య అని కృతి చెప్పింది. నీవు ఆమె వాదనతో ఏకీభవిస్తావా ? (పేజీ నెం. 10)
సాధన.
నేను ఏకీభవించను, ఎందుకనగా
\(\sqrt{2}\) ను \(\frac{\sqrt{2}}{1}\) గా వ్రాయడమన్నది \(\frac{p}{q}\) రూపము కాదు. \(\frac{p}{q}\)లో p మరియు q లు పూర్ణసంఖ్యలు కాని \(\sqrt{2}\) పూర్ణసంఖ్య కాదు.

తరగతి కృత్యం

“వర్గమూల సర్పిలం” నిర్మించుట. (పేజీ నెం. 15)
వర్గమూల సర్పిలాన్ని నిర్మించుటకు పెద్ద సైజు కాగితాన్ని తీసుకొని కింద సూచించిన సోపానాలనుసరించండి.
సాధన.

సోపానం 1 : ‘O’ బిందువు నుంచి ప్రారంభించి 1 సెం.మీ. పొడవు గల రేఖాఖండం \(\overline{\mathrm{OP}}\) ని గీయండి.
సోపానం 2 : \(\overline{\mathrm{OP}}\) కి లంబంగా \(\overline{\mathrm{PQ}}\) ను 1 సెం.మీ.
పొడవుగా PO ను గీయండి.
(ఇక్కడ OP = PQ = 14 సెం.మీ.)
సోపానం 3 : O, Q లను కలపండి. (OQ = \(\sqrt{2}\))
సోపానం 4 : QR = 1 సెం.మీ. పొడవుతోOQ కు లంబంగా రేఖాఖండాన్ని గీయండి.
సోపానం 5 : O, R లను కలపండి. (OR = \(\sqrt{3}\))
సోపానం 6 : RS = 1 సెం.మీ. పొడవుతో \(\overline{\mathrm{OR}}\) కు లంబంగా RS రేఖాఖండాన్ని గీయండి.
సోపానం 7 : ఇదే పద్ధతిని మరికొన్ని సోపానాలకు కొనసాగించండి. అప్పుడు \(\overline{\mathrm{PQ}}, \overline{\mathrm{QR}}, \overline{\mathrm{RS}}, \overline{\mathrm{ST}}, \overline{\mathrm{TU}}\) ……. రేఖాఖండాలచే ఒక అందమయిన సర్పిలాకారం ఏర్పడుటను చూడవచ్చు. ఇక్కడ \(\overline{\mathrm{OQ}}, \overline{\mathrm{OR}}, \overline{\mathrm{OS}}, \overline{\mathrm{OT}}, \overline{\mathrm{OU}}\) లు వరుసగా \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}\) లను సూచిస్తాయి.

ఉదాహరణలు

1. \(\frac {5}{3}\) మరియు –\(\frac {5}{3}\) లను సంఖ్యారేఖపై సూచించండి. (పేజీ నెం. 3)
సాధన.
– 2, -1, 0, 1, 2 లను సూచిస్తూ ఒక పూర్ణ సంఖ్యారేఖ గీయండి.

సున్నాకు కుడి మరియు ఎడమల వైపు ప్రతి యూనిట్ ను మూడు సమాన భాగాలుగా చేయండి. ఇందు నుంచి 5 భాగాలను తీసుకోండి. సున్నా నుంచి కుడివైపుగల ఐదవ బిందువు \(\frac {5}{3}\) ను మరియు ఎడమవైపుగల ఐదవ బిందువు –\(\frac {5}{3}\) ను సూచిస్తుంది.

2. కింది వాక్యాలలో సరియైనవి ఏవి ? మీ జవాబును ఒక ఉదాహరణతో సమర్థించండి.
i) ప్రతి అకరణీయ సంఖ్య ఒక పూర్ణ సంఖ్య అవుతుంది.
ii) ప్రతి పూర్ణ సంఖ్య ఒక అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
iii) సున్నా ఒక అకరణీయ సంఖ్య. (పేజీ నెం. 3)
సాధన.
i) సరికాదు. ఉదాహరణకు \(\frac {7}{8}\) ఒక అకరణీయ సంఖ్య కాని పూర్ణ సంఖ్య కాదు.

ii) సరియైనది. ఎందుకంటే ఏ పూర్ణ సంఖ్యనయినా \(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) (q ≠ 0) రూపంలో రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు -2 ఒక పూర్ణ సంఖ్య – 2 = \(\frac{-2}{1}=\frac{-4}{2}\) ఒక అకరణీయ సంఖ్య (ఏదేని పూర్ణసంఖ్య ‘b’ ని \(\frac{b}{1}\)గా గాయవచ్చు.)

iii) సరియైనది. ఎందుకంటే 0 ను \(\frac{0}{2}, \frac{0}{7}, \frac{0}{13}\)గా రాయవచ్చు. (‘0’ ను \(\frac{0}{x}\)గా రాయవచ్చు. ఇక్కడ ‘x’ పూర్ణసంఖ్య మరియు x ≠ 0)

3. 3 మరియు 4 ల మధ్య రెండు అకరణీయ సంఖ్యలను సగటు పద్ధతిలో కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 4)
సాధన.
1వ పద్ధతి : a మరియు b ల మధ్య \(\frac{a+b}{2}\) అను అకరణీయ సంఖ్య ఉంటుంది. ఇక్కడ a = 3 మరియు b = 4, (\(\frac{a+b}{2}\)), ‘a’, ‘b’ల సగటు అని, అది ‘a’, ‘b’ల మధ్య ఉండునని మనకు తెలుసు.
కాబట్టి, (\(\frac{(3+4)}{2}=\frac{7}{2}\)) = 1 అను అకరణీయ సంఖ్య 3 మరియు 4 ల మధ్య ఉంటుంది. 3 < \(\frac {7}{2}\) < 4
ఈ పద్దతిని కొనసాగిస్తే 3 మరియు 4 ల మధ్య మరికొన్ని అకరణీయ సంఖ్యలనుంచవచ్చు.

2వ పద్ధతి : మరొక సులభమయిన పద్ధతిని గమనిద్దాం. మనం రెండు అకరణీయ సంఖ్యలుంచాలి కాబట్టి 3, 4లను 2 + 1 = 3 హారాలుగా గల అకరణీయ సంఖ్యలుగా రాస్తాము.
అనగా 3 = \(\frac{3}{1}=\frac{6}{2}=\frac{9}{3}\) మరియు
4 = \(\frac{4}{1}=\frac{8}{2}=\frac{12}{3}=\frac{16}{4}\)
కాబట్టి 3 మరియు 4ల మధ్య \(\frac{10}{3}, \frac{11}{3}\) లు రెండు అకరణీయ సంఖ్యలు అవుతాయి.
3 = \(\frac{9}{3}<\left(\frac{10}{3}<\frac{11}{3}\right)<\frac{12}{3}\) = 4
ఇప్పుడు మనం 3, 4 ల మధ్య ఐదు అకరణీయ సంఖ్యలుంచాలి అంటే 3, 4 లను 5 + 1 = 6 హారాలుగా గల అకరణీయ సంఖ్యలుగా రాస్తాము.
అనగా 3 = \(\frac{18}{6}\) మరియు 4 = \(\frac {24}{6}\)

ఈ విధంగా 3, 4ల మధ్య అనంతమయిన అకరణీయ సంఖ్యలుంటాయని మనకు తెలుస్తుంది. మరి ఏవైనా రెండు వేరే అకరణీయ సంఖ్యల మధ్య కూడా ఇదే విధంగా లెక్కలేనన్ని అకరణీయ సంఖ్యలుంటాయని చూపవచ్చా ? ప్రయత్నించండి. దీని నుంచి మనం ఏ రెండు అకరణీయ సంఖ్యల మధ్యనైనా అనంతమైన సంఖ్యలో అకరణీయ సంఖ్యలు వ్యవస్థితమవుతాయని చెప్పవచ్చు.

4. \(\frac {7}{16}\), \(\frac {2}{3}\) మరియు \(\frac {10}{7}\) లను దశాంశ భిన్నాలుగా రాయండి. (పేజీ నెం. 5)
సాధన.

\(\frac {7}{16}\) = 0.4375 అంతమయ్యే దశాంశం.

\(\frac {10}{7}\) = \(1 . \overline{428571}\) అంతంకాని ఆవర్తిత దశాంశం.

\(\frac {2}{3}\) = 0.666 = \(0 . \overline{6}\) అంతంకాని ఆవర్తిత దశాంశం.

5. 3.28 ని \(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) రూపంలో రాయండి. (ఇక్కడ q ≠ 0 మరియు p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు) (పేజీ నెం. 5)
సాధన.

6. \(1 . \overline{62}\)ను \(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) రూపంలో రాయండి. p, q లు పూర్ణసంఖ్యలు మరియు q ≠ 0. (పేజీ నెం. 6)
సాధన.
x = 1.626262 ……. (1) అనుకొనుము.
సమీకరణం (1)ని ఇరువైపులా 100 చే గుణించగా
100x = 162.6262 ….. (2)
సమీకరణం (2) నుంచి (1) ని తీసివేయగా

7. \(\sqrt{2}\)ను సంఖ్యారేఖపై సూచించండి. (పేజీ నెం. 11)
సాధన.
ఒక యూనిట్ భుజముగాగల చతురస్రం OABC ని సంఖ్యారేఖపై 0 వద్ద గీయండి.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం
OB = \(\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\)

OB = \(\sqrt{2}\) అని మనకు తెలుసు. ఒక వృత్తలేఖినిని ఉపయోగించి O కేంద్రంగా OB వ్యాసార్థంతో సంఖ్యారేఖపై O కు కుడివైపున K వద్ద ఖండించునట్లుగా ఒక చాపాన్ని గీయండి.
K అనునది సంఖ్యారేఖ పై \(\sqrt{2}\) ను సూచిస్తుంది.

8. \(\sqrt{3}\) ను సంఖ్యారేఖపై సూచించండి. (పేజీ నెం. 11)
సాధన.
పటం (i) ను ఒకసారి గుర్తుకు తెచ్చుకోండి.

పటం (ii)
పటం (ii) లో 1 యూనిట్ ప్రమాణంలో BD ని OB కి లంబంగా ఉండే విధంగా గీయండి. O, D లను కలపండి.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రకారం
OD = \(\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{2+1}\) = \(\sqrt{3}\)
ఒక వృత్తలేఖినిని ఉపయోగించి O కేంద్రంగా OD వ్యాసార్ధంతో సంఖ్యారేఖపై 0 కు కుడివైపున ‘L’ వద్ద ఖండించునట్లు ఒక చాపాన్ని గీయండి. ‘L’ అనునది సంఖ్యారేఖపై \(\sqrt{3}\) ను సూచిస్తుంది. ఈ విధంగా ఏదైనా ధనపూర్ణసంఖ్య n కు \(\sqrt{n-1}\) ను సంఖ్యారేఖ పై సూచించిన తరువాత \(\sqrt{n}\) ను సూచించవచ్చు.

9. \(\frac {1}{5}\) మరియు \(\frac {2}{7}\) ల మధ్యగల పై రెండు కరణీయ సంఖ్యలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 13)
సాధన.
\(\frac {1}{5}\) = 0.20 అని మనకు తెలుసు.
\(\frac {2}{7}\) = \(0 . \overline{285714}\)
\(\frac {1}{5}\) మరియు \(\frac {2}{7}\) ల దశాంశ రూపాలను పరిశీలించండి.
ఈ రెండింటి మధ్య అనంతమయిన కరణీయ సంఖ్యలు ఉంచవచ్చు. ఉదాహరణకు …..
0.201201120111 …………
0.24114111411114 ……..,
0.25231617181912 ……..,
0.267812147512 ……….,
ఇలాగే \(\frac {1}{5}\) మరియు \(\frac {2}{7}\) ల మధ్య మరో నాలుగు కరణీయ సంఖ్యలు రాయగలవా ?

10. 3 మరియు 4 ల మధ్యగల ఒక కరణీయ సంఖ్యను రాయండి. (పేజీ నెం. 13)
సాధన.
ab ఒక సంపూర్ణ వర్గం కాకుండునట్లు a, b లు ఏవయినా రెండు ధన అకరణీయ సంఖ్యలయితే \(\sqrt{a b}\) అనునది a, b ల మధ్య ఉండే కరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
∴ 3 మరియు 4 ల మధ్య కరణీయ సంఖ్య
= \(\sqrt{3 \times 4}\) = \(\sqrt{3} \times \sqrt{4}\)
= \(\sqrt{3} \times 2\) = \(2 \sqrt{3}\)

11. కింది లబ్దాలు కరణీయ సంఖ్యలు అవుతాయో లేక అకరణీయ సంఖ్యలవుతాయో తెలపండి. (పేజీ నెం. 13)
i) (3 + \(\sqrt{3}\)) + (3 – \(\sqrt{3}\))
ii) (3 + \(\sqrt{3}\)) (3 – \(\sqrt{3}\))
iii) \(\frac{10}{2 \sqrt{5}}\)
iv) (\(\sqrt{2}\) + 2)²
సాధన.
i) (3+ \(\sqrt{3}\)) + (3 – \(\sqrt{3}\))
= 3 + \(\sqrt{3}\) + 3 – \(\sqrt{3}\)
= 6, ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

ii) (3 + \(\sqrt{3}\)) (3 – \(\sqrt{3}\))
(a + b) (a – b) = a² – b²అని మనకు తెలుసు.
(3 + \(\sqrt{3}\)) (3 – \(\sqrt{3}\)) = 3² – (\(\sqrt{3}\))²
= 9 – 3 = 6,
ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

12. \(3.5 \overline{8}\) ను 4 దశాంశ స్థానాల వరకు క్రమానుగత వర్ధన పద్ధతిలో సంఖ్యారేఖపై చూపించండి. (పేజీ నెం. 17)
సాధన.
క్రమానుగత వర్ధన పద్ధతిని 3.5888 ని గుర్తించండి.

13. (i) 5\(\sqrt{2}\) (ii) \(\frac{5}{\sqrt{2}}\) (ii) 21 + \(\sqrt{3}\) (iv) π + 3లు కరణీయ సంఖ్యలవుతాయేమో చూడండి. (పేజీ నెం. 18)
సాధన.
\(\sqrt{2}\) = 1.414 .., \(\sqrt{3}\) = 1.732 …, π = 3.1415 … అని మనకు తెలుసు.
(i) 5\(\sqrt{2}\) = 5(1.414 …) = 7.070 ….
(ii) \(\frac{5}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{5}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{5 \sqrt{2}}{2}=\frac{7.070}{2}\) = 3.535 … (i నుంచి)
(iii) 21 + \(\sqrt{3}\) = 21 + 1.732 = 22.732 ….
(iv) π + 3 = 3.1415 … + 3 = 6.1415 ……..

ఇవన్నీ అంతము మరియు ఆవర్తితం కాని దశాంశాలు. కాబట్టి ఇవి కరణీయ సంఖ్యలు.

14. 5\(\sqrt{3}\) + 7\(\sqrt{5}\) ను 3\(\sqrt{5}\) – 7\(\sqrt{3}\) నుండి తీసివేయండి. (పేజీ నెం. 18)
సాధన.
(3\(\sqrt{5}\) – 7\(\sqrt{3}\)) – (5\(\sqrt{3}\) + 7\(\sqrt{5}\))
= 3\(\sqrt{5}\) – 7\(\sqrt{3}\) – 5\(\sqrt{3}\) – 7\(\sqrt{5}\)
= -4\(\sqrt{5}\) – 12\(\sqrt{3}\)
= – (4\(\sqrt{5}\) + 12\(\sqrt{3}\))

15. 6\(\sqrt{3}\)ను 13\(\sqrt{3}\) తో గుణించండి. (పేజీ నెం. 19)
సాధన:
6\(\sqrt{3}\) × 13\(\sqrt{3}\) = 6 × 13 × \(\sqrt{3}\) × \(\sqrt{3}\) = 78 × 3 = 234
వర్గమూలాలకు సంబంధించిన కొన్ని ధర్మాలు కింద ఇవ్వబడినవి.
a, b లు ఏవైనా రెండు వాస్తవసంఖ్యలు అయితే

ఈ ధర్మాలనుపయోగించే వివిధ సందర్భాలను ఇప్పుడు మనం చూద్దాం.

16. కింది సమాసాలను సూక్ష్మీకరించండి. (పేజీ నెం. 19)
i) (3 + \(\sqrt{3}\)) (2 + \(\sqrt{2}\))
ii) (2 + \(\sqrt{3}\)) (2 – \(\sqrt{3}\))
iii) (\(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{2}\))²
iv) (\(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{2}\)) (\(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{2}\))
సాధన.
i) (3 + \(\sqrt{3}\)) (2 + \(\sqrt{2}\))
= 6 + 3\(\sqrt{2}\) + 2\(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{6}\)
ii) (2 + \(\sqrt{3}\)) (2 – \(\sqrt{3}\)) = 2² – (\(\sqrt{3}\))²
4 – 3 = 1
iii) (\(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{2}\))²
= (\(\sqrt{5}\))2 + 2\(\sqrt{5}\)\(\sqrt{2}\) + (\(\sqrt{2}\))²
= 5 + 2\(\sqrt{10}\) + 2 = 7 + 2\(\sqrt{10}\)
iv) (\(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{2}\)) (\(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{2}\))
= (\(\sqrt{5}\))² – (\(\sqrt{2}\))² = 5 – 2 = 3

17. \(\sqrt{5}\) యొక్క హారాన్ని అకరణీయం చేయండి. (పేజీ నెం. 21)
సాధన.
\((a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})\) = a² – b అని మనకు తెలుసు.
\(\frac{1}{4+\sqrt{5}}\) యొక్క లవహారాలను 4 – \(\sqrt{5}\) తో గుణించగా

18. \(\frac{1}{7+4 \sqrt{3}}\) యొక్క హారాన్ని అకరణీయం చేయండి. (పేజీ నెం. 21)
సాధన.

19. \(\frac{1}{7+4 \sqrt{3}}+\frac{1}{2+\sqrt{5}}\) ను సూక్ష్మీకరించండి. (పేజీ నెం. 21)
సాధన.
7 + 4\(\sqrt{3}\) యొక్క అకరణీయ కారణాంకం 7 – 4\(\sqrt{3}\) మరియు 2 + \(\sqrt{5}\) యొక్క అకరణీయ కారణాంకం 2 – \(\sqrt{5}\)

20. సూక్ష్మీకరించండి. (పేజీ నెం. 23)

సాధన.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 సంభావ్యత Ex 14.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 14th Lesson సంభావ్యత Exercise 14.1

1. 1-6 అంకెలు ముఖాలుగా గల ఒక పాదికను దొర్లించి, పై ముఖంపై వచ్చిన అంకెను గుర్తించారు. ఇది ఒక యాదృచిక ప్రయోగంగా భావించిన.

ప్రశ్న (a)
సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు ఏవి ?
సాధన.
సాధ్యమగు పర్యవసానాలు 1, 2, 3, 4,5 మరియు 6

ప్రశ్న (b)
అవి సమసంభవ పర్యవసానాలా ? ఎందుకు ?
సాధన.
అవును, అవి సమ సంభవ పర్యవసానాలు. ఎందుకనగా ప్రతి ఒక్క పర్యవసానము ఏర్పడుటకు సమాన అవకాశం కలదు (లేక) ఏర్పడకపోవుటకు కూడా సమాన అవకాశం కలదు.

ప్రశ్న (c)
పాచిక పై ముఖంపై సంయుక్త సంఖ్య వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
పర్యవసానాలు = 4, 6
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 2
మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు = 1, 2, 3, 4, 5 మరియు 6
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 6
సంభావ్యత = \(\frac {సాధ్యపడు పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\)
= \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

2. ఒక నాణేన్ని 100 సార్లు ఎగురవేసినప్పుడు పర్యవసానాలు కింది విధంగా ఉన్నాయి.
బొమ్మ : 45 సార్లు
బొరుసు : 55 సార్లు అయిన
బొమ్మ = 45 సార్లు
బొరుసు = 56 సార్లు
మొత్తము = 100 సార్లు

ప్రశ్న (a)
ప్రతి పర్యవసానం యొక్క సంభాష్యత కనుక్కోండి.
సాధన.
బొమ్మ పడు సంభావ్యత = P(H) = \(\frac {45}{100}\)
బొరుసు పడే సంభావ్యత = P(T) = \(\frac {55}{100}\)
[∵ సంభావ్యత = \(\frac {సాధ్యపడు పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\)]

ప్రశ్న (b)
ప్రయోగంలో అన్ని పర్యవసానాల సంభావ్యతల మొత్తం కనుక్కోంది.
సాధన.
ప్రయోగంలో అన్ని పర్యవసానాల సంభావ్యతల మొత్తము = P(H) + P(T)
= \(\frac{45}{100}+\frac{55}{100}=\frac{100}{100}\) = 1

3. నాలుగు రంగులు గల ఒక స్పిన్నర్ ను (పటం చూడండి) మన ఒకసారి తిప్పినప్పుడు

ప్రశ్న (a)
సూచిక ఆగుటకు అధిక అవకాశం గల రంగు ఏది ?
సాధన.
ఎరుపు = 5 సెక్టార్లు
నీలం = 3 సెక్టార్లు
ఆకుపచ్చ = 3 సెక్టార్లు
పసుపు = 1 సెక్టారు
మొత్తము = 5 + 3 + 3 + 1 = 12 సెక్టార్లు
∴ సూచిక ఆగుటకు అధిక అవకాశము గల రంగు ఎరుపు.

ప్రశ్న (b)
సూచిక ఆగుటకు తక్కువ అవకాశం గల రంగు ఏది?
సాధన.
సూచిక ఆగుటకు తక్కువ అవకాశము గల రంగు పసుపు,

ప్రశ్న (c)
సూచిక ఆగుటకు సమాన అవకాశం గల రంగు ఏది?
సాధన.
సూచిక ఆగుటకు సమాన అవకాశము గల రంగులు నీలము మరియు ఆకుపచ్చ. కారణము రెండు రంగులు సమాన సెక్టార్లను కలిగి ఉన్నాయి.

ప్రశ్న (d)
తెలుపు రంగుపై సూచిక ఆగుటకు అవకాశం ఎంత?
సాధన.
తెలుపు రంగుకు సెక్టారు లేదు కావున సూచిక ఆగు అవకాశం లేదు.

ప్రశ్న (e)
సూచిక ఏదైనా రంగుపై కచ్చితంగా ఆగుతుందని చెప్పగలవా ?
సాధన.
చెప్పలేము, ఎందుకనగా ఇది ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగము.

4. ఒక సంచిలో ఒక సైజుగల 5 ఆకుపచ్చ రంగు గోళీలు, 3 నీలం రంగు గోళీలు, 2 ఎరుపు రంగు గోళీలు మరియు 2 పసుపు రంగు గోళీలు కలవు. వీటి నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక గోళీని తీసిన

ప్రశ్న (a)
అన్ని రంగుల పర్యవసానాలు సమ సంభవమా ? వివరించండి.
సాధన.
ఇది సమ సంభవము కాదు. ఎందుకనగా అన్ని రకాల గోళీలు సమాన సంఖ్యలో లేవు.

ప్రశ్న (b)
కింది రంగుల గోళీలు వచ్చు సంభాష్యత కనుక్కోండి. i.e., P(ఆకుపచ్చ), P(నీలం), P (ఎరుపు) మరియు P (పసుపు)
సాధన.
ఆకుపచ్చ గోళీలు = 5
నీలం గోళీలు = 3
ఎరుపు గోళీలు = 2
పసుపు గోళీలు = 2
మొత్తము = 12
సంభావ్యత = \(\frac {అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\)
P(ఆకుపచ్చ) = \(\frac {5}{12}\)
P(నీలం) = \(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)
P(ఎరుపు) = \(\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\)
P(పసుపు) = \(\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న (c)
అన్ని పర్యవసానాల సంభావ్యతల మొత్తం ఎంత ?
సాధన.
P(ఆకుపచ్చ) + P(నీలం) + P(ఎరుపు). + P(పసుపు)
= \(\frac{5}{12}+\frac{3}{12}+\frac{2}{12}+\frac{2}{12}\)
= \(\frac{5+3+2+2}{12}=\frac{12}{12}\) = 1

5. ఆంగ్ల భాషలోని అక్షరాలలో ఒక అక్షరాన్ని యాదృశ్చికంగా ఎన్నుకొనిన, ఆ అక్షరం కింద ఇవ్వబడిన ఘటన అయ్యే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
మొత్తం అక్షరాలు = 26 [A, B, C …… Z]
సంభావ్యత = \(\frac {అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\)

ప్రశ్న (a)
ఒక అచ్చు
సాధన.
అచ్చుల సంభావ్యత = \(\frac {5}{26}\)

ప్రశ్న (b)
P అనే అక్షరం తరువాత వచ్చు అక్షరాలు
సాధన.
P తర్వాత వచ్చు అక్షరాలు = 10
[Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z]
‘P’ తర్వాత వచ్చు అక్షరాల సంభావ్యత = \(\frac{10}{26}=\frac{5}{13}\)

ప్రశ్న (c)
అచ్చు లేదా హల్లు
సాధన.
అచ్చు లేదా హల్లుల సంఖ్య = 26
[A నుండి 2 వరకు అన్ని అక్షరాలు)
అచ్చు లేదా హల్లుల సంభావ్యత = \(\frac {26}{26}\) = 1

ప్రశ్న (d)
అచ్చుకానిది
సాధన.
అచ్చుకానిది = 21
(A, E, I, 0, Uలు తప్ప మిగిలిన అక్షరాలు)
అచ్చుకాని వాటి సంభావ్యత = 2

ప్రశ్న 6.
సంచిపై 5 కిలోలు అని రాయబడిన గోధుమపిండి గల సంచుల అసలు బరువులు కిందినివ్వబడ్డాయి (కి.గ్రా.లలో)
4.97, 5.05, 5.08, 5.03, 5.00, 5.06, 5.08, 4.98, 5.04, 5.07, 5.00
వీటిల్లో యాదృశ్చికంగా ఒక సంచిని తీసినప్పుడు అది 5 కిలోల కంటే ఎక్కువ బరువు ఉండే సంభావ్యత కనుగొనుము.
సాధన.
బస్తాల సగటు = 11
5 కిలోల కంటే ఎక్కువ బరువు గల సంచుల సంఖ్య = 7
[5.05, 5.08, 5.03, 5.06, 5.08, 5.04, 5.07]
∴ సంభావ్యత = \(\frac {అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\)
P(E) = \(\frac {7}{11}\)

7. ఒక పట్టణంలో బీమా సంస్థ 2000 మంది డ్రైవర్లను యాదృచ్చికంగా (ఏ డ్రైవర్‌కు కూడా ప్రత్యేక ప్రాముఖ్యత ఇవ్వకుండా) ఎంపిక చేసింది. వీరి వయసుకు, వీరు చేసిన ప్రమాదాలకు మధ్య ఏదైన సంబంధం అధ్యయనం చేయడం కోసం, కొంత సమాచారం సేకరించింది. ఆ సమాచారం కింది పట్టికలో రాయబడింది.

ఒక డ్రైవరును యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసిన

ప్రశ్న (i)
డ్రైవరు 18 – 29 మధ్య వయసు కలిగి ఉండి మూడు ప్రమాదాలు చేసిన సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
మొత్తం ప్రమాదాల సంఖ్య = 440 + 160 + 110+ 61 + 35 + 505 + 125 + 60 + 22 + 18 + 360 + 45 + 35 + 15 + 9 = 2000
ఘటన : డ్రైవరు (18 – 29) మధ్య వయస్సు కలిగి ఉండి మూడు ప్రమాదాల సంఖ్య = 61
∴ సంభావ్యత P(E) = \(\frac {అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\) = \(\frac {61}{2000}\)

ప్రశ్న (ii)
డ్రైవరు 30-50 మధ్య వయసు కలిగి ఉండి 1 గాని అంతకన్నా ఎక్కువగాని ప్రమాదాలు చేసిన సంభావ్యత
సాధన.
అనుకూల ఫలితాలు = 125 + 60 + 22 + 18 = 225
మొత్తం ప్రమాదాల సంఖ్య = 2000
∴ సంభావ్యత P(E) = \(\frac{1305}{2000}=\frac{261}{400}\)

ప్రశ్న (iii)
డ్రైవరు ప్రమాదాలు చేయని సంభావ్యత
సాధన.
అనుకూల ఫలితాలు = 440 + 505 + 360 = 1305
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 2000
∴ సంభావ్యత P(E) = \(\frac{1305}{2000}=\frac{261}{400}\)

ప్రశ్న 8.
యాదృచ్ఛికంగా ఒక మొనతేలిన ఐల్లెం (డార్ట్)ను పటంలో చూపిన చతురస్రాకార బోర్డువైపు విసరగా అది షేడి చేసి ప్రాంతంలో తగిలే సంభావ్యత ఎంత ? (x విలువ \(\frac {22}{7}\) తీసుకొని, జవాబును శాతంలో తెల్పండి.)
సాధన.

వృత్త వ్యాసార్ధం = r = 2 సెం.మీ.
వృత్త వైశాల్యం = A = πr² = \(\frac {22}{7}\) × 2 × 2 = \(\frac {88}{7}\) సెం.మీ².
చతురస్ర భుజము = 2 × వ్యాసార్థం
= 2 × 2 = 4 సెం.మీ.
చతురస్ర వైశాల్యం = s²
= 4 × 4 = 16 సెం.మీ².
∴ షేక్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం = చతురస్ర వైశాల్యం – వృత్త వైశాల్యం
= 16 – \(\frac{88}{7}=\frac{112-88}{7}=\frac{24}{7}\)
∴ షేడ్ చేసిన ప్రాంతంలో తగిలే సంభావ్యత = \(\frac {అనుకూల ప్రాంతపు వైశాల్యం}{ మొత్తం వైశాల్యం}\)
P(E) = \(\frac{\frac{24}{7}}{16}=\frac{24}{7 \times 16}=\frac{3}{14}\)
∴ సంభావ్యత శాతములో = \(\frac {3}{14}\) × 100% = \(\frac {300%}{14}\) = 21.428%