AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 జ్యామితీయ నిర్మాణాలు InText Questions and Answers.
AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 13th Lesson జ్యామితీయ నిర్మాణాలు InText Questions
ప్రయత్నించండి
1. కింది పటాలలో భుజాలను, రోణాలను, కర్ణాలను పరిశీలించి వాటి పేర్లు తెలపండి. అదేవిధంగా వాటి ధర్మాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 283)
సాధన.
పటం (1)లో
\(\angle \mathrm{B}\) మరియు \(\angle \mathrm{F}\) ల యొక్క కోణసమద్విఖండనరేఖ BF.
చతుర్భుజం BEFD లో BE = BD = DF = EF
∴ ఇది ఒక రాంబస్.
పటం (2)లో
BD = BE
FD = FE
∴ BEFD ఒక గాలిపటం.
\(\angle \mathrm{B}\) మరియు \(\angle \mathrm{F}\) ల కోణసమద్విఖండన రేఖ BF.
2. ఒక వృత్తంపై ఏదేని బిందువు తీసుకొని వృత్త వ్యాసార్థంతో సమాన వ్యాసార్థంతో ఎన్ని చాపాలను గీస్తే వృత్తం ఎన్ని సమాన భాగాలుగా విభజింపబడుతుంది ? నీవు ఎలా చెప్పగలవు ? ఈ సందర్భంలో జ్యూ యొక్క పొడవు ఎంత అవుతుంది? (పేజీ నెం. 284)
సాధన.
P ఒక వృత్త కేంద్రమనుకొనుము.
వృత్తపరిధిపై A ఒక బిందువనుకొనుము.
అది 2π భాగాలుగా విభజించబడినదనుకొనుము.
∴ \(\frac {వృత్తపరిధి}{వ్యాసార్థం}\) = \(\frac {2πr}{r}\) = 2π
3. ∆ABC లో \(\angle \mathrm{B}\) = 60° , \(\angle \mathrm{C}\) = 45° మరియు AB + BC + CA = 11 సెం.మీ. లతో త్రిభుజాన్ని నిర్మించగా, మీరు వేరొక పద్ధతిలో త్రిభుజాన్ని నిర్మించగలరా ? (సూచన : \(\angle \mathrm{YXL}\) = \(\frac {60°}{2}\) = 30° మరియు
\(\angle \mathrm{YXM}\) = \(\frac {45°}{2}\) = 22\(\frac {1}{2}\)° తీసుకోండి.) (పేజీ నెం. 289)
సాధన.
(i) XY = 11 సెం.మీ. లను గీయుము. (AB + BC + CA = 11 సెం.మీ.)
(ii) \(\angle \mathrm{YXP}\) = 30° అగునట్లుగా X వద్ద కోణంను నిర్మించుము. (\(\frac{\mathrm{B}}{2}=\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30° )
(iii) \(\angle \mathrm{XYQ}\) = 22\(\frac {1}{2}\)° అగునట్లుగా Y వద్ద కోణంను నిర్మించుము. (\(\frac{C}{2}=\frac{45^{\circ}}{2}=22 \frac{1}{2}\))
(iv) \(\overrightarrow{\mathrm{XP}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{YQ}}\) లు A వద్ద ఖండించుకొనును.
(v) A వద్ద, \(\angle \mathrm{XAB}\) = 30° అగునట్లుగా \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ను గీయుము. B, XY పై బిందువు.
(vi) అదే విధముగా \(\angle \mathrm{YAC}\) = 22\(\frac {1}{2}\)° = అగునట్లుగా \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) ను గీయుము. C, XY పై బిందువు.
(vii) ∆ABC మనకు కావలసిన త్రిభుజము.
4. ఇవ్వబడిన వృత్తఖండంలో కోణం ‘లంబకోణం’ అయితే అది ఎటువంటి వృత్తఖండం అవుతుంది ? పటం గీచి, కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 290)
సాధన.
వృత్తఖండంలోని కోణం ‘లంబకోణం’ అయితే కేంద్రం వద్ద దాని కోణం 2 × 90° = 180° అగును. ఆ విధముగా ఆ రేఖా ఖండము, ఆ వృత్తానికి వ్యాసముగా మారును. మరియు ఆ వృత్తఖండం, అర్ధవృత్తంగా మారును.
ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి
1. BC = 6 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 60° మరియు AB + AC = 5 సెం.మీ. కొలతతో ∆ABC త్రిభుజం నిర్మించగలరా ? లేకపోతే, తగు కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 286)
సాధన.
ఇచ్చిన కొలతలతో ∆ABC ను నిర్మించలేము. ఎందుకగా AB + AC < BC.
ఒక త్రిభుజంలో రెండు భుజాల మొత్తము మూడవ భుజానికంటే ఎక్కువ.
2. BC = 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 30° మరియు AB – AC = 1.6 సెం.మీ. . కొలతలతో కోణం \(\angle \mathbf{B}\)కి బదులు \(\angle \mathbf{C}\) తీసుకొని నిర్మిస్తే త్రిభుజం ఏర్పడుతుందా ? చిత్తుపటం గీచి, నిర్మించి చూడండి. BC = 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{C}\) = 309, AB – AC = 1.6 సెం.మీ. . (పేజీ నెం. 287)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
1. BC – 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{C}\) = 30° మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) = AB – AC = 1.6 సెం.మీ. లతో ∆BCD ను నిర్మించుము.
2. BD కు లంబసమద్విఖండన రేఖను గీయుము. CD ని పొడిగించిన అది A వద్ద ఖండించును.
3. B, A లను కలుపుము.
4. మనకు కావలసిన ∆ABC ఏర్పడినది.
ఉదాహరణలు :
1. AB అనే దత్తరేఖా ఖండానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీచి, నిర్మాణాన్ని తార్కికంగా సమర్థించుము. (పేజీ నెం. 280)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: దత్త రేఖాఖండం AB ను గీయండి.
సోపానం – 2 : కేంద్రాలుగా కన్నా ఎక్కువ వ్యాసార్ధంతో రేఖాఖండానికి ఇరువైపులా రెండు చాపములు ఒకదానికొకటి ఖండించుకునేటట్లు గీయాలి.
సోపానం – 3 : ‘B’ కేంద్రముగా, అదే వ్యాసార్ధంతో మరి రెండు చాపములను మొదటి చాపములు ఖండించునట్లు గీయాలి.
సోపానం – 4 : ఖండన బిందువులకు P మరియు Q అని పేర్లు పెట్టి P, Q లను కలపాలి.
సోపానం – 5 : “\(\overline{\mathrm{AB}}\) యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ PQ” అనే నిర్మాణాన్ని నీవు ఏ విధంగా సమర్థించగలవు ?
POQ రేఖ AB కి లంబసమద్విఖండన రేఖ అవుతుంది.
పై నిర్మాణ క్రమము నుండి AB రేఖకు, “PQ ఒక లంబ సమద్విఖండన రేఖ” అవుతుంది అని కారణాలతో ఎలా భావించగలవు ?
నిర్మాణం యొక్క పటంను గీచి, A ను P, Qలతోనూ, B ను P మరియు Qలతోనూ కలపాలి.
త్రిభుజ సర్వసమాన నియమాల ఆధారంగా మనం ఈ ప్రవచనాన్ని నిరూపిస్తాం.
2. దత్తకోణం ABC కి సమద్విఖండన రేఖను గీయండి. (పేజీ నెం. 282)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: దత్తకోణం \(\angle \mathrm{ABC}\) ని తీసుకొనుము.
సోపానం – 2 : B కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్థంతో \(\overline{\mathrm{BA}}, \overline{\mathrm{BC}}\) కిరణాలను D, E ల మధ్య ఖండించునట్లు పటంలో చూపినట్లు చాపం గీయండి.
సోపానం – 3 : E మరియు Dలు కేంద్రములుగా సమాన వ్యాసార్ధంతో రెండు చాపములు F వద్ద ఖండించునట్లు గీయండి.
సోపానం – 4 : BF కిరణంను గీయండి. ఇదే \(\angle \mathrm{ABC}\) కి కోణ సమద్విఖండన రేఖ అగును.
పై నిర్మాణాన్ని తార్కికంగా నిరూపించిన విధం పరిశీలిద్దాం. D, F మరియు E, F లను కలపండి. త్రిభుజ సర్వసమాన నియమాలను బట్టి కింది విధంగా నిరూపిద్దాం.
3. తొలి బిందువు A నుండి AB కిరణం గీచి, \(\angle \mathbf{BAC}\) = 60° అగునట్లు AC తిరణాన్ని గీయండి. (పేజీ నెం. 283)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: AB కిరణాన్ని గీచి కొంత వ్యాసార్ధంతో A కేంద్రంగా
AB ను D వద్ద ఖండించునట్లు ఒక చాపం గీయండి.
సోపానం – 2 : D కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్థంతో మొదటి చాపాన్ని E వద్ద ఖండించునట్లు మరొక చాపాన్ని గీయాలి. (పటంలో చూపిన విధంగా)
సోపానం – 3 : E గుండా పోతున్నట్లుగా AC కిరణాన్ని గీస్తే మనకు కావలసిన కోణం \(\angle \mathbf{BAC}\) = 60 వస్తుంది.
మనం చేసిన నిర్మాణంను నిరూపించాలంటే పటంలో D, Eని కలపాలి. నిరూపణను దిగువ విధంగా చేయవచ్చు.
ఉపపత్తి :
4. BC = 5 సెం.మీ., AB + AC = 8 సెం.మీ, మరియు \(\angle \mathbf{ABC}\) = 60° కొలతలలో ∆ABC నిర్మించండి. (పేజీ నెం. 284)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: ∆ABC చిత్తు పటంను గీచి ఇవ్వబడిన కొలతలు గుర్తించాలి. (AB + AC = 8 సెం.మీ. కొలతను ఎందుకు గుర్తించలేకపోయారు ?)
మరి త్రిభుజ మూడవ శీర్షం A ను నిర్మాణంలో ఎలా గుర్తిస్తారు ?
విశ్లేషణ : AB + AC = 8 సెం.మీ. కావున BA ను D వరకు పొడిగిస్తే
BD = 8 సెం.మీ. అవుతుంది.
∴ BD = BA + AD = 8 సెం.మీ.
కాని AB + AC = 8 సెం.మీ. (దత్తాంశం)
∵ AD = AC
BD పైన Aను గుర్తించడానికి మీరు ఏమి చేస్తారు ?
A బిందువు C మరియు D లకు సమాన దూరంలో ఉంటుంది. కావున, \(\overline{\mathrm{CD}}\) యొక్క లంబ సమద్విఖండన BD ను ఖండించే బిందువు A అవుతుంది.
సోపానం -2 : \(\overline{\mathrm{BC}}\) = 5 సెం.మీ. (త్రిభుజం భూమి) రేఖాఖండం గీచి B వద్ద \(\angle \mathbf{CBX}\) = 60° కోణం నిర్మించాలి.
సోపానం – 3 : B కేంద్రంగా 8 సెం.మీ. (AB + AC = 8 సెం.మీ.)
\(\overrightarrow{BX}\) ను D వద్ద ఖండించునట్లు ఒక చాపం గీయాలి.
సోపానం – 4 : CD ని కలిపి CD కు లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీస్తే అది BD ని A వద్ద ఖండిస్తుంది.
సోపానం – 5 : AC లను కలిపితే మనకు కావల్సిన ABC త్రిభుజం వస్తుంది.
మనం ఇప్పుడు నిర్మాణాన్ని నిరూపిద్దాం.
ఉపపత్తి : A బిందువు \(\overline{\mathrm{CD}}\) యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖపై ఉంది.
∵ AC = AD కావున
AB + AC = AB + AD = BD = 8 సెం.మీ.
అందుచే ∆ABC మనకు కావల్సిన త్రిభుజం అయింది.
5. BC = 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 30° మరియు AB – AC = 1.6 సెం.మీ. కొలతలతో ∆ABC నిర్మించండి. (పేజీ నెం. 286)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు:
సోపానం – 1 : ∆ABC యొక్క చిత్తుపటం గీచి ఇవ్వబడిన కొలతలను గుర్తించాలి.
(AB – AC = 1.6 సెం.మీ. కొలతను ఎలా గుర్తిస్తారు?)
విశ్లేషణ : AB – AC – 1.6 సెం.మీ. కావున AB > AC అగును.
AD = AC అగునట్లు AB పై D అని బిందువును గుర్తించాలి.
ఇప్పుడు BD = AB – AC = 1.6 సెం.మీ.
అందుచే C, Dని కలిపి దానికి లంబసమద్విఖండన చేస్తే మూడవ శీర్భం A ను BD పై గుర్తించవచ్చును.
అవసరమైతే BDని పొడిగించాలి. A, C ని కలిపితే.
కావలసిన త్రిభుజం ABC వస్తుంది.
సోపానం – 2 : భు.కో.భు. త్రిభుజ నియమం అనుసరించి BC = 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 30° మరియు BD = 1.6 సెం.మీ. . (i.e., AB – AC) ∆BCD ని నిర్మించాలి.
సోపానం – 3 : CD యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీస్తే అది BDX రేఖను A వద్ద ఖండిస్తుంది.
సోపానం – 4 : A, C లను కలిపితే ∆ABC వస్తుంది.
6. BC = 5 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 45° మరియు AC – AB = 1.8 సెం.మీ. కొలతలతో ∆ABC నిర్మించండి. (పేజీ నెం. 287)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: ∆ABC యొక్క చిత్తుపటాన్ని గీచి ఇచ్చిన కొలతలు గుర్తించాలి. AC – AB = 1.8 సెం.మీ. కొలతను ఎలా గుర్తించగలరో విశ్లేషణ చేయండి.
విశ్లేషణ : AB < AC కావున AC – AB = 1.8 సెం.మీ. ను BD గా తీసుకోవాలంటే, AD = AC అయినట్లు AC పై D బిందువును గుర్తించండి. ఇప్పుడు BD = AC – AB = 1.8 అగును. (∵BD =AD – AB మరియు AD = AC)
C, Dని కలిపి CD కి లంబసమద్విఖండన రేఖను గీస్తే దానిపై A ను గుర్తించవచ్చు.
సోపానం – 2 : BC = 5 సెంమీ. రేఖాఖండం గీచి, \(\angle \mathrm{CBX}\) = 45° కోణం నిర్మించాలి.
B కేంద్రంగా 1.8 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో (BD = AC – AB) ఒక చాపం గీయగా అది \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) రేఖను BC కి ఎదురుగా పొడిగిస్తే దానిని D వద్ద ఖండిస్తుంది.
సోపానం – 3 : D, C ని కలిపి దానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖ గీయాలి.
సోపానం – 4 : ఇది \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) రేఖను A వద్ద ఖండిస్తుంది. AC ని కలిపితే మనకు కావలసిన త్రిభుజం ∆ABC వస్తుంది.
ఇప్పుడు మనం పై నిర్మాణంను తార్కికంగా నిరూపిద్దాం.
విశ్లేషణ : ∆ABC లో భూమి BCని, \(\angle \mathrm{B}\) కోణాన్ని నిర్మించాం.
DC యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖపై A బిందువు ఉన్నది కావున
∴ AD = AC అగును.
అంటే, AB + BD = AC
కావున BD = AC – AB అయినది.
= 1.8 సెం.మీ.
ఇదే మనకు కావలసిన త్రిభుజం ∆ABC అవుతుంది.
7. ∆ABC లో \(\angle \mathrm{B}\) = 60°, \(\angle \mathrm{C}\) = 45° మరియు AB + BC + CA = 11 సెం.మీ. అయిన త్రిభుజం నిర్మించండి.
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: ∆ABC త్రిభుజం యొక్క చిత్తుపటంను గీచి ఇవ్వబడిన కొలతలు గుర్తించాలి.
(త్రిభుజ చుట్టుకొలతను ఎలా గుర్తిస్తారు ?)
విశ్లేషణ : త్రిభుజం చుట్టుకొలత AB + BC + CA కు సమానమయ్యే రేఖాఖండం XY గీయాలి. \(\angle \mathrm{B}\)కు సమానంగా \(\angle \mathrm{YXL}\) నూ, \(\angle \mathrm{C}\) కు సమానం అయ్యేటట్లు \(\angle \mathrm{XYM}\) ను నిర్మించి, వాటిని సమద్విఖండన చేయాలి. ఈ రెండు సమద్విఖండన రేఖలు.
A వద్ద ఖండించుకున్నాయనుకోండి,
AX యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖ XY ను B వద్ద, AY యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖ C వద్ద ఖండిస్తాయి.
AB, AC లను కలిపితే మనకు కావలసిన త్రిభుజం ABC వస్తుంది.
సోపానం – 2 : XY = 11 సెం.మీ. (ఎందుకంటే XY = AB + BC + CA) రేఖాఖండాన్ని గీయాలి.
సోపానం – 3: \(\angle \mathrm{YXL}\) = 60° మరియు \(\angle \mathrm{XYM}\) = 45° కోణాలను నిర్మించి, వాటికి సమద్విఖండన రేఖలు గీయాలి.
సోపానం – 4 : ఈ రెండు సమద్విఖండన రేఖల ఖండన బిందువుకు, A అని పేరు పెట్టాలి.
సోపానం – 5 : AX మరియు AY లకు లంబసమద్విఖండన రేఖలను గీస్తే అవి \(\overline{\mathrm{XY}}\) ను వరుసగా B మరియు Cల వద్ద ఖండిస్తాయి.
AB మరియు AC లను కలపాలి.
మనకు కావల్సిన త్రిభుజం ABC వస్తుంది.
ఈ నిర్మాణంను మనం కింది విధంగా నిరూపిద్దాం.
ఉపపత్తి : AX యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ PQ పై B ఉంటుంది.
∴ XB = AB మరియు అదేవిధంగా CY = AC.
దీని నుండి AB + BC + CA = XB + BC + CY = XY తిరిగి \(\angle \mathrm{BAX}\) = \(\angle \mathrm{AXB}\) (∆AXB లో XB = AB) మరియు \(\angle \mathrm{ABC}\) = \(\angle \mathrm{BAX}\) + \(\angle \mathrm{AXB}\) (∆ABC యొక్క బాహ్యకోణం)
= 2\(\angle \mathrm{AXB}\) = \(\angle \mathrm{YXL}\) = 60°.
ఇదే విధంగా \(\angle \mathrm{ACB}\) = \(\angle \mathrm{XYM}\) = 45° అగును.
∴ \(\angle \mathrm{B}\) = 60° మరియు \(\angle \mathrm{B}\) = 45° అయినది.
8. 7 సెం.మీ. పొడవుగల వృత్త వ్యా పై 60° కోణములను కలిగి ఉండే వృత్త ఖండాన్ని నిర్మించుము. (పేజీ నెం. 289)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: ఒక వృత్తాన్ని, 60° కలిగి ఉండే వృత్తఖండం యొక్క (అధిక వృత్తఖండం గీయాలి. ఎందుకు ?) చిత్తు పటం గీయాలి.
కేంద్రం లేకుండా వృత్తాన్ని గీయగలవా ?
విశ్లేషణ : ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తం తీసుకోండి.
AB అనేది దత్త వృత్త జ్యా మరియు C = 60° కోణం గల ACB వృత్తఖండం మనం నిర్మించవలసినది.
\(\widehat{\mathrm{AXB}}\) వృత్తచాపం వృత్తంపై C వద్ద చేసిన కోణం 60° అనుకోండి.
\(\angle \mathrm{ACB}\) = 60° కావున \(\angle \mathrm{AOB}\) = 60° × 2 – 120° (ఎలా?)
∆OAB లో OA – OB (సమాన వ్యాసార్ధాలు) కావున
\(\widehat{\mathrm{OAB}}\) = \(\widehat{\mathrm{OBA}}\) = \(\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30°
అందుచే మన ∆OAB గీయగలం. అప్పుడు వృత్తానికి OA = OB వ్యాసార్ధం అవుతుంది.
సోపానం – 2 : AB = 7 సెం.మీ. రేఖాఖండం గీయండి.
సోపానం – 3: \(\angle \mathrm{BAX}\) = 30° మరియు \(\angle \mathrm{YBA}\) = 30° ఉండేటట్లు \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}, \overrightarrow{\mathrm{BY}}\) కిరణాలను గీయగా అవి O వద్ద ఖండించుకుంటాయి. (సూచన : వృత్తలేఖిని ఉపయోగించి 60° కోణం నిర్మించి, దానిని సమద్విఖండన చేస్తే 30° కోణం వస్తుంది.)
సోపానం – 4 : O కేంద్రంగా OA = OB = r వ్యాసార్ధంతో వృత్తం గీయాలి.
సోపానం – 5 : అధిక వృత్త చాపంపై ‘C’ బిందువు గుర్తించాలి.
A, C మరియు B, C లను కలిపితే \(\angle \mathrm{ACB}\) = 60° వస్తుంది.
ఈ వృత్తఖండం మనకు కావలసిన వృత్తఖండం అవుతుంది. పై నిర్మాణాన్ని నిరూపిద్దాం.
ఉపపత్తి : OA = OB (వృత్త వ్యాసార్థం)
∴ \(\angle \mathrm{OAB}+\angle \mathrm{OBA}\) = 30° + 30° = 60°
\(\angle \mathrm{AOB}\) = 180° – 60° = 120°
\(\widehat{\mathrm{AXB}}\) దాపం వృత్త కేంద్రం వద్ద చేయుకోణం 120°.
∴ \(\angle \mathrm{ACB}\) = \(\frac {120°}{2}\) = 60°
కావున ACB మనకు కావలసిన వృత్తఖండం అగును.