AP Board 9th Class Biology Study Material Textbook Solutions Guide State Syllabus

Andhra Pradesh SCERT AP State Board Syllabus 9th Class Biology Textbook Solutions Study Material Guide Pdf free download in English Medium and Telugu Medium are part of AP Board 9th Class Textbook Solutions.

Students can also go through AP Board 9th Class Biology Notes to understand and remember the concepts easily. Students can also read AP 9th Class Biology Important Questions for exam preparation.

AP State Syllabus 9th Class Biology Textbook Solutions Study Material Guide Pdf Free Download

AP Board 9th Class Biology Solutions in English Medium

AP Board 9th Class Biology Solutions in Telugu Medium

  • Chapter 1 కణ నిర్మాణం – విధులు
  • Chapter 2 వృక్ష కణజాలం
  • Chapter 3 జంతు కణజాలం
  • Chapter 4 ప్లాస్మా పొర గుండా పదార్థాల కదలిక
  • Chapter 5 జీవులలో వైవిధ్యం
  • Chapter 6 జ్ఞానేంద్రియాలు
  • Chapter 7 జంతువులలో ప్రవర్తన
  • Chapter 8 వ్యవసాయోత్పత్తుల పెంపుదల – మన ముందున్న సవాళ్లు
  • Chapter 9 వివిధ ఆవరణ వ్యవస్థలలో అనుకూలనాలు
  • Chapter 10 నేల కాలుష్యం
  • Chapter 11 జీవ భౌగోళిక రసాయనిక వలయాలు

AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు

Practice the AP 9th Class Maths Bits with Answers 11th Lesson వైశాల్యాలు on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు

I. ఈ క్రింది వానిలో సరియైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనుము.

ప్రశ్న 1.
ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యముల లబ్ధము …………………
A) వరుస భుజాల
B) ఎదుటి భుజాల
C) భూమి మరియు ఎత్తు
D) కర్ణాల
జవాబు:
C) భూమి మరియు ఎత్తు

ప్రశ్న 2.
ఒక త్రిభుజం మరియు సమాంతర చతుర్భుజాలు ఒకే భూమి ఒకే జత సమాంతరాల మధ్యనున్నట్లయితే త్రిభుజ వైశాల్యం సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యమునకు ………….. ఉండును.
A) రెట్టింపు
B) సమానంగా
C) సగం
D) చెప్పలేము
జవాబు:
C) సగం

ప్రశ్న 3.
రెండు త్రిభుజాల వైశాల్యాలు సమానమైన అవి సరూపాలు
A) సత్యము
B) అసత్యము
C) చెప్పలేము
D) ఏదీకాదు
జవాబు:
C) చెప్పలేము

AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు

ప్రశ్న 4.
వైశాల్యంను ….. యూనిట్లలో తెలియజేస్తారు.
A) చదరపు
B) ఘనపు
C) వృత్తపు
D) చెప్పలేము
జవాబు:
A) చదరపు

ప్రశ్న 5.
పటం A రెండు సమతల పటాలు Bమరియు C లచే ఆవరించబడిన పటం A వైశాల్యము
A) B వైశాల్యం + C వైశాల్యం
B) B వైశాల్యం – C వైశాల్యం
C) 2 (B వైశాల్యం + C వైశాల్యం)
D) 1/2 (B వైశాల్యం + C వైశాల్యం)
జవాబు:
A) B వైశాల్యం + C వైశాల్యం

ప్రశ్న 6.
రెండు సర్వసమాన పటాల వైశాల్యములు …….
A) అసమానాలు
B) సమానాలు
C) చెప్పలేము
D) ఏదీకాదు
జవాబు:
B) సమానాలు

ప్రశ్న 7.
ఒక సెం.మీ. 2.5 మీ. లను తెలియచేసిన, ఒక చతురస్రపు వైశాల్యము 10 మీ². అయిన దానిని సూచించు సెం.మీ. విలువ …………
A) 10 సెం.మీ².
B) 4 సెం.మీ².
C) 2.5 సెం.మీ².
D) 1 సెం.మీ².
జవాబు:
B) 4 సెం.మీ².

AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు

ప్రశ్న 8.
పటం నుంది ∆ABC వైశాల్యం ………
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 1
A) 24 సెం.మీ².
B) 48 సెం.మీ².
C) 10 సెం.మీ².
D) 12 సెం.మీ².
జవాబు:
D) 12 సెం.మీ².

ప్రశ్న 9.
8వ ప్రశ్నలోని పటంలో D, AC మధ్య బిందువు అయిన ∆BCD యొక్క వైశాల్యం
A) 24 సెం.మీ².
B) 48 సెం.మీ².
C) 12 సెం.మీ².
D) 6 సెం.మీ².
జవాబు:
D) 6 సెం.మీ².

ప్రశ్న 10.
పటం ABCDE యొక్క వైశాల్యము
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 2
A) 66 సెం.మీ².
B) 24 సెం.మీ².
C) 18 సెం.మీ².
D) 42 సెం.మీ².
జవాబు:
D) 42 సెం.మీ².

ప్రశ్న 11.
సమాంతర చతుర్భుజం పటం ABCD లో ∆AOD వైశాల్యము
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 3
A) ∆AOB
B) ∆BOC
C) ∆DOC
D) పై అన్నియూ
జవాబు:
D) పై అన్నియూ

ప్రశ్న 12.
పటంలో AB // CF అయిన JABCD =
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 4
A) □ABED
B) □ABEF
C) □ABCF
D) □ABCE
జవాబు:
B) □ABEF

ప్రశ్న 13.
కింది పటంలో ∆ADE వైశాల్యం 24 సెం.మీ². అయిన □ABCD వైశాల్యము
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 5
A) 24 సెం.మీ².
B) 34 సెం.మీ².
C) 48 సెం.మీ².
D) 12 సెం.మీ².
జవాబు:
C) 48 సెం.మీ².

ప్రశ్న 14.
కింది పటంలో □ABCD, 36 సెం.మీ². వైశాల్యము గల సమాంతర చతుర్భుజం అయిన ∆ADE వై|| + ∆BCE వై|| =
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 6
A) 18 సెం.మీ².
B) 9 సెం.మీ².
C) 72 సెం.మీ².
D) 45 సెం.మీ².
జవాబు:
A) 18 సెం.మీ².

AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు

ప్రశ్న 15.
□ABCD సమాంతర చతుర్భుజపు భుజాల మధ్య బిందువులు E, F, G మరియు H అయిన
∆AEH + ∆BEF + ∆CGF + ∆DGH
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 7
A) □ABCD
B) □EFGH
C) 1/2□EFGH
D) 2 □EFGH
జవాబు:
B) □EFGH

ప్రశ్న 16.
కింది పటంలో ∆PQR వైశాల్యము = 16 చ.సెం.మీ. అయిన ∆PQS వైశాల్యము =
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 8
A) 7.5 సెం.మీ².
B) 15 సెం.మీ².
C) 30 సెం.మీ².
D) 10 సెం.మీ².
జవాబు:
B) 15 సెం.మీ².

ప్రశ్న 17.
పై పటంలో ∆PTS వైశాల్యము ………..
A) ∆PQT
B) ∆QRT
C) 2∆TSR
D) ½∆PQT
జవాబు:
B) ∆QRT

ప్రశ్న 18.
∆PQR లో A, B మరియు C లు భుజాల మధ్య బిందువులైన □AQRC =
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 9
A) \(\frac{1}{2}\)∆PQR
B) \(\frac{1}{4}\)∆PQR
C) \(\frac{3}{4}\)∆PQR
D) \(\frac{2}{3}\)∆PQR
జవాబు:
C) \(\frac{3}{4}\)∆PQR

ప్రశ్న 19.
□PQRS వైశాల్యము = 30 సెం.మీ. 7 అయిన PM =
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 10
A) 6 సెం.మీ.
B) 3 సెం.మీ.
C) 20 సెం.మీ.
D) ఏదీకాదు
జవాబు:
B) 3 సెం.మీ.

AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు

ప్రశ్న 20.
ఒక బహుభుజిని విభజించిన ఏర్పడు ప్రాంతము ఆకారం ……
A) చతురస్రం
B) దీర్ఘచతురస్రం
C) వృత్తాకారం
D) త్రిభుజాకారం
జవాబు:
D) త్రిభుజాకారం

II. క్రింది ఖాళీలను పూరింపుము.

ప్రశ్న 1.
ఒకే భూమిపై గల రెండు త్రిభుజాల వైశాల్యాలు సమానమైన అవి …………….. మధ్య ఉంటాయి.
జవాబు:
సమాంతర రేఖల

ప్రశ్న 2.
ఒకే భూమిపై రెండు సమాంతర రేఖల జత మధ్యన వున్న సమాంతర చతుర్భుజాల ……….. సమానం.
జవాబు:
వైశాల్యాలు

ప్రశ్న 3.
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 11
□PQRS సమాంతర చతుర్భుజంలో ∆PQR వైశాల్యం = ………………..
జవాబు:
½□PQRS

ప్రశ్న 4.
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 12
పై పటంలో D మరియు E లు త్రిభుజ భుజాలు AB మరియు AC ల మధ్య బిందువులైన ∆ADE =
జవాబు:
¼∆ABC

ప్రశ్న 5.
పై పటంలో ΔABC వైశాల్యం 24 చ. సెం.మీ. అయిన □BCED వైశాల్యము ………..
జవాబు:
18 సెం.మీ.²

AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు

ప్రశ్న 6.
రాంబస్ వైశాల్యముకు సూత్రము …………….
జవాబు:
½ d1d2

ప్రశ్న 7.
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 13
పై పటం PQRS యొక్క వైశాల్యం 20 చ.సెం.మీ. A, B, C, D లు మధ్య బిందువులైన. ABCD వైశాల్యము = ………..
జవాబు:
10 సెం.మీ².

ప్రశ్న 8.
ఒక రాంబస్ కర్ణాలు 4 సెం.మీ. మరియు 6 సెం.మీ. అయిన దాని వైశాల్యము ……….
జవాబు:
12 సెం.మీ².

ప్రశ్న 9.
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 14
పై పటం యొక్క వైశాల్యము ………….
జవాబు:
18 సెం.మీ².

ప్రశ్న 10.
1 మీ² = …………….. సెం.మీ².
జవాబు:
10,000

ప్రశ్న 11.
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 15
□ABCD వైశాల్యం = 72 సెం.మీ². అయిన
□ABEF వైశాల్యం = …………….
జవాబు:
72 సెం.మీ².

ప్రశ్న 12.
ఒక సమాంతర చతుర్భుజము యొక్క భూమి 16 సెం.మీ. మరియు వైశాల్యం 64 చ.సెం.మీ. అయిన దాని ఎత్తు ………………
జవాబు:
4 సెం.మీ.

ప్రశ్న 13.
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 16
పై పటంలో చూపబడిన ట్రెపీజియం వైశాల్యం …………. చ.యూ.
జవాబు:
½ (p+q)d

ప్రశ్న 14.
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 17
∆ADC వైశాల్యము = 14.5 సెం.మీ². మరియు BC పై AD మధ్యగతరేఖ అయిన ∆ABC వై|| = …………
జవాబు:
29 సెం.మీ².

ప్రశ్న 15.
పై పటంలో ∆ABD వైశాల్యము = …………
జవాబు:
14.5 సెం.మీ².

ప్రశ్న 16.
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 18
పై పటంలో AB // DC అయిన ∆ABC = ……
జవాబు:
∆ABD

ప్రశ్న 17.
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 19
పై పటంలో AC // DE అయిన ∆ABE = ….. …
జవాబు:
□ABCD

ప్రశ్న 18.
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 20
∆ABC లో LB లంబకోణం అయిన □BFG + □BEDC = ………..
జవాబు:
□ACIH

ప్రశ్న 19.
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 21
∆ABC ≅ ∆DEF అగునా ? ………….
జవాబు:
కాదు

ప్రశ్న 20.
AP 9th Class Maths Bits 11th Lesson వైశాల్యాలు 22
రాంబస్ ABCD యొక్క వైశాల్యం 27 చ.యూ. కర్ణము BD = 6 సెం.మీ. అయిన మరొక కర్ణము AC విలువ
జవాబు:
9 సెం.మీ.

III. జతపర్చుము

i)

గ్రూపు – A గ్రూపు – B
1. రాంబస్ వైశాల్యము A) భూమి, ఎత్తుల లబ్ధము
2. దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యము. B) పొడవు, వెడల్పుల లబ్ధము
3. సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యము C) ½(a+b)h
4. త్రిభుజ వైశాల్యము D) కర్ణాల లబ్ధంలో సగము కాంతం
5. ట్రెపీజియమ్ వైశాల్యము E) భూమి, ఎత్తుల లబ్ధంలో సగము

జవాబు:

గ్రూపు – A గ్రూపు – B
1. రాంబస్ వైశాల్యము D) కర్ణాల లబ్ధంలో సగము కాంతం
2. దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యము. B) పొడవు, వెడల్పుల లబ్ధము
3. సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యము A) భూమి, ఎత్తుల లబ్ధము
4. త్రిభుజ వైశాల్యము E) భూమి, ఎత్తుల లబ్ధంలో సగము
5. ట్రెపీజియమ్ వైశాల్యము C) ½(a+b)h

 

AP 9th Class Maths Bits 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు

Practice the AP 9th Class Maths Bits with Answers 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 9th Class Maths Bits 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు

I. ఈ క్రింది వానిలో సరియైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనుము.

ప్రశ్న 1.
పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు వరుసగా 10 సెం.మీ., 8 సెం.మీ. మరియు 8 సెం.మీ.లుగా గల దీర్ఘఘనపు ఉపరితల వైశాల్యం ?
A) 640 సెం.మీ².
B) 224 సెం.మీ².
C) 448 సెం.మీ².
D) 288 సెం.మీ².
జవాబు:
C) 448 సెం.మీ².

ప్రశ్న 2.
భుజం పొడవు 3.5 సెం.మీ.లుగా గల ఘనపు ప్రక్కతల వైశాల్యము.
A) 12.25 సెం.మీ².
B) 42.875 సెం.మీ².
C) 73.5 సెం.మీ².
D) 49 సెం.మీ².
జవాబు:
D) 49 సెం.మీ².

ప్రశ్న 3.
క్రమ పట్టకపు ఘనపరిమాణము శాతము ………
A) Ibh
B) భూ చుట్టుకొలత × ఎత్తు
C) 2 (lb + bh + lh)
D) l + b + h
జవాబు:
A) Ibh

AP 9th Class Maths Bits 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు

ప్రశ్న 4.
భుజం 8 సెం.మీలుగా గల ఘనపు ఘనపరిమాణం
A) 144 సెం.మీ³.
B) 216 సెం.మీ³.
C) 512 సెం.మీ³.
D) 384 సెం.మీ³.
జవాబు:
C) 512 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 5.
పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణము
A) 1/3 × భూ వైశాల్యం × ఎత్తు
B) ½ × భూ వైశాల్యం × ఎత్తు
C) భూ వైశాల్యం × ఎత్తు
D) భూ చుట్టుకొలత × ఎత్తు
జవాబు:
A) 1/3 × భూ వైశాల్యం × ఎత్తు

ప్రశ్న 6.
లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజాకార పట్టకపు సమాన భుజాల పొడవులు 6 సెం.మీ, మరియు 6 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 4 సెం.మీ. అయిన పట్టకపు ఘనపరిమాణం
A) 144 సెం.మీ³.
B) 48 సెం.మీ³.
C) 72 సెం.మీ³.
D) 60 సెం.మీ³.
జవాబు:
C) 72 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 7.
ఒక స్థూపాకార పాత్ర యొక్క భూ వైశాల్యం 16 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 8 సెం.మీ. అయిన దాని ఘనపరిమాణము
A) 128 సెం.మీ³.
B) 144 సెం.మీ³.
C) 64 సెం.మీ³.
D) 256 సెం.మీ³.
జవాబు:
A) 128 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 8.
ఒక సమఘనపు ఘనపరిమాణము 729 సెం.మీ. ఆ అయిన దాని భుజము
A) 27 సెం.మీ.
B) 9 సెం.మీ.
C) 7 సెం.మీ.
D) 36 సెం.మీ.
జవాబు:
B) 9 సెం.మీ.

ప్రశ్న 9.
ఒక దీర్ఘఘనపు పొడవు మరియు వెడల్పులు వరుసగా 5 సెం.మీ., 4 సెం.మీ. మరియు దాని ఘనపరిమాణము 60 సెం.మీ³. అయిన దాని ఎత్తు ……….
A) 3 సెం.మీ.
B) 4 సెం.మీ.
C) 5 సెం.మీ.
D) 1.5 సెం.మీ.
జవాబు:
A) 3 సెం.మీ.

ప్రశ్న 10.
ఒక దీర్ఘఘనపు ప్రతి భుజము పొడవును 4 రెట్లు పెరిగిన, దాని సంపూర్ణతల వైశాల్యములో పెరుగుదల శాతము ……………….
A) 4
B) 8
C) 12
D) 16
జవాబు:
D) 16

AP 9th Class Maths Bits 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు

ప్రశ్న 11.
ఒక పట్టకపు భూమి, 5 సెం.మీ., 12 సెం.మీ., 13 సెం.మీ. భుజాలుగా గల త్రిభుజమైన, దాని ఎత్తు 6 సెం.మీలుగా వున్నప్పుడు పట్టకపు ఘనపరిమాణము
A) 180 సెం.మీ³.
B) 60 సెం.మీ³.
C) 360 సెం.మీ³.
D) ఏదీకాదు
జవాబు:
A) 180 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 12.
r= 21 సెం.మీ. మరియు h = 7 సెం.మీ. అయిన వృత్తాకార స్థూపము యొక్క వక్రతల వైశాల్యం
A) 924 సెం.మీ².
B) 6468 సెం.మీ².
C) 9702 సెం.మీ.
D) 67914 సెం.మీ².
జవాబు:
A) 924 సెం.మీ².

ప్రశ్న 13.
వ్యాసార్థం 14 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 7 సెం.మీ.లుగా గల స్థూపము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము
A) 1848 సెం.మీ².
B) 1884 సెం.మీ².
C) 1488 సెం.మీ².
D) 392 సెం.మీ².
జవాబు:
A) 1848 సెం.మీ².

ప్రశ్న 14.
d = 7 సెం.మీ. మరియు h= 3 సెం.మీ.లుగా గల సూపము యొక్క ఘనపరిమాణము
A) 118 సెం.మీ³.
B) 115.5 సెం.మీ³.
C) 155.5 సెం.మీ³.
D) 808.5 సెం.మీ³.
జవాబు:
B) 115.5 సెం.మీ³.

AP 9th Class Maths Bits 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు

ప్రశ్న 15.
12 సెం.మీ. పొడవు మరియు 4 సెం.మీ. వెడల్పు గల ఒక దీర్ఘచతురస్రాకారపు ముక్కను స్థూపముగా మార్చగా స్థూపం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం
A) 16 సెం.మీ².
B) 192 సెం.మీ².
C) 48 సెం.మీ².
D) 576 సెం.మీ².
జవాబు:
C) 48 సెం.మీ².

ప్రశ్న 16.
శంఖువు యొక్క వక్రతల వైశాల్యం
A) 1/3πr²h
B) πr²l.
C) πrh
D) πrl
జవాబు:
D) πrl

ప్రశ్న 17.
ఒక శంఖువు యొక్క భూ వ్యాసార్ధం మరియు ఎత్తులు వరుసగా 5 సెం.మీ. మరియు 12 సెం.మీ.లయిన దాని ఏటవాలు ఎత్తు ………
A) 17 సెం.మీ.
B) 7 సెం.మీ.
C) 13 సెం.మీ.
D) 6 సెం.మీ.
జవాబు:
C) 13 సెం.మీ.

ప్రశ్న 18.
d = 7 సెం.మీ., I = 4 సెం.మీ.లుగా గల శంఖువు యొక్క వక్రతల వైశాల్యం
A) 34 సెం.మీ².
B) 24 సెం.మీ².
C) 54 సెం.మీ².
D) 44 సెం.మీ².
జవాబు:
D) 44 సెం.మీ².

ప్రశ్న 19.
d = 14 సెం.మీ., h = 24 సెం.మీ.లుగా గల శంఖువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం
A) 504 సెం.మీ².
B) 3696 సెం.మీ².
C) 704 సెం.మీ².
D) 528 సెం.మీ².
జవాబు:
C) 704 సెం.మీ².

ప్రశ్న 20.
శంఖువు భూ వ్యాసార్ధము 4.2 సెం.మీ.. మరియు ఎత్తు 4 సెం.మీ. అయిన శంఖువు ఘనపరిమాణము
A) 73.92 సెం.మీ².
B) 52.8 సెం.మీ².
C) 48.6 సెం.మీ².
D) 40.8 సెం.మీ².
జవాబు:
A) 73.92 సెం.మీ².

ప్రశ్న 21.
గోళము యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము
A) 4πr²
B) 3πr²
C) 2πr²
D) 5πr²
జవాబు:
A) 4πr²

ప్రశ్న 22.
గోళము యొక్క ఘనపరిమాణము
A) \(\frac{2}{3}\)πr³
B) \(\frac{4}{3}\)πr³
C) πr³
D) \(\frac{5}{6}\)πr³
జవాబు:
B) \(\frac{4}{3}\)πr³

ప్రశ్న 23.
అర్ధగోళము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం
A) 2πr²
B) 3πr²
C) 4πr²
D) 5πr²
జవాబు:
B) 3πr²

ప్రశ్న 24.
వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ.లుగా గల గోళపు ఘనపరిమాణం
A) 1437.3 సెం.మీ³.
B) 4337 సెం.మీ³.
C) 2588 సెం.మీ³.
D) 4678 సెం.మీ³.
జవాబు:
A) 1437.3 సెం.మీ³.

AP 9th Class Maths Bits 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు

ప్రశ్న 25.
వ్యాసార్థం 14 సెం.మీ.లుగా గల అర్ధ గోళపు సంపూర్ణతల వైశాల్యము
A) 2156 సెం.మీ².
B) 616 సెం.మీ².
C) 1258 సెం.మీ².
D) 1848 సెం.మీ².
జవాబు:
D) 1848 సెం.మీ².

II. క్రింది ఖాళీలను పూరింపుము.

ప్రశ్న 1.
l = 6 సెం.మీ., b = 4 సెం.మీ. మరియు h = 4 సెం.మీ.లుగా గల దీర్ఘఘనపు ప్రక్కతల వైశాల్యము …………
జవాబు:
80 సెం.మీ².

ప్రశ్న 2.
ఒక ఘనము యొక్క ఘనపరిమాణము 216 సెం.మీ³. అయిన దాని సంపూర్ణతల వైశాల్యము ……….
జవాబు:
216 సెం.మీ².

ప్రశ్న 3.
ఒక ఘనము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం 100 సెం.మీ². అయిన దాని ఘనపరిమాణము ……………
జవాబు:
125 సెం.మీ³.

AP 9th Class Maths Bits 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు

ప్రశ్న 4.
ఒక ఘనపు సంపూర్ణతల వైశాల్యముకు సూత్రము
జవాబు:
6l²

ప్రశ్న 5.
l = 10 సెం.మీ., b = 9 సెం.మీ., h = 8 సెం.మీ.లుగా గల దీర్ఘఘనపు ఘనపరిమాణము ………..
జవాబు:
720 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 6.
భుజము \(3 \sqrt{3}\) సెం.మీ.లుగా గల ఒక సమబాహు త్రిభుజము యొక్క వైశాల్యము ………….. సెం.మీ .
జవాబు:
\(\frac{27 \sqrt{3}}{4}\)

ప్రశ్న 7.
భూ వైశాల్యము 18 సెం.మీ². మరియు ఎత్తు 8 సెం.మీ.లుగా గల పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణము
జవాబు:
48 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 8.
ఒక గది యొక్క పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తులు వరుసగా 20 మీ, 12 మీ మరియు 5 మీ. అయిన ఆ గది నాలుగు గోడల వైశాల్యము ………….
జవాబు:
320 సెం.మీ².

ప్రశ్న 9.
ఒక క్రమ చతురస్రాకార పిరమిడ్ యొక్క భుజము 6 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 6 సెం.మీ. అయిన దాని ఘనపరిమాణము ……………….
జవాబు:
72 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 10.
ఒక స్తూపము యొక్క వ్యాసార్లము 14 సెం.మీ. మరియు ప్రక్కతల వైశాల్యం 704 సెం.మీ . అయిన దాని ఎత్తు ………………..
జవాబు:
8 సెం.మీ.

ప్రశ్న 11.
r = 2.5 సెం.మీ., h = 1.4 సెం.మీ. . అయిన ఆ స్థూపపు ప్రక్కతల వైశాల్యము. …….
జవాబు:
22 సెం.మీ².

AP 9th Class Maths Bits 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు

ప్రశ్న 12.
పక్క పటంలోని స్థూపపు సంపూర్ణతల వైశాల్యము ……….
AP 9th Class Maths Bits 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు 1
జవాబు:
123.2 సెం.మీ².

ప్రశ్న 13.
AP 9th Class Maths Bits 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు 2
పటంలో చూపబడిన షీట్ తో ఏర్పడు స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణము ………….
జవాబు:
231 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 14.
ఒక స్థూపము యొక్క వ్యాసార్ధము రెట్టింపైన దాని ప్రక్కతల వైశాల్యం ……………. గా మారును.
జవాబు:
రెట్టింపు

ప్రశ్న 15.
ఒక శంఖువు యొక్క భూ వ్యాసార్ధము రెట్టింపైన దాని వక్రతల వైశాల్యం ……….. గా మారును.
జవాబు:
రెట్టింపు

ప్రశ్న 16.
ఒక గోళము యొక్క వ్యాసార్ధం రెట్టింపయిన దాని ఉపరితల వైశాల్యము ………. గా మారును.
జవాబు:
నాలుగు సార్లు

ప్రశ్న 17.
ఒక ఘనము యొక్క భుజము రెట్టింపైన దాని ఘనపరిమాణము ………. గా మారును.
జవాబు:
8 సార్లు

ప్రశ్న 18.
ఒక శంఖువును దాని ఏటవాలుపరంగా తెరచినపుడు ఏర్పడు ఆకారం ………… .
జవాబు:
సెక్టరు

ప్రశ్న 19.
వ్యాసార్ధం 4.9 సెం.మీ.లుగా గల ఒక అర్ధగోళపు వక్రతల వైశాల్యం ………..
జవాబు:
1509.2 సెం.మీ².

AP 9th Class Maths Bits 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు

ప్రశ్న 20.
వ్యాసార్ధం 6.3 సెం.మీ.లుగా గల ఒక అర్ధగోళపు సంపూర్ణతల వైశాల్యం ……………..
జవాబు:
374.22 సెం.మీ².

III. జతపర్చుము
i)

గ్రూపు – A గ్రూపు – B
1. శంఖువు యొక్క వక్రతల వైశాల్యం A) 2πr²
2. స్థూపము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం B) 2h (l + b)
3. దీర్ఘఘనపు ప్రక్కతల వైశాల్యం C) 2πrh
4. ఘనపు ప్రక్కతల వైశాల్యం D) πrl
5. అర్ధగోళపు వక్రతల వైశాల్యం E) 4l2

జవాబు:

గ్రూపు – A గ్రూపు – B
1. శంఖువు యొక్క వక్రతల వైశాల్యం D) πrl
2. స్థూపము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం C) 2πrh
3. దీర్ఘఘనపు ప్రక్కతల వైశాల్యం B) 2h (l + b)
4. ఘనపు ప్రక్కతల వైశాల్యం E) 4l2
5. అర్ధగోళపు వక్రతల వైశాల్యం A) 2πr²

ii)

గ్రూపు – A గ్రూపు – B
1. ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం A) \(\frac{4}{3}\)πr3
2. దీర్ఘఘనపు ఘనపరిమాణం B) \(\frac{1}{3}\) πr2h
3. శంఖువు ఘనపరిమాణం C) l3
4. గోళపు ఘనపరిమాణం D) lbh
5. స్థూపపు ఘనపరిమాణం E) πr²h

జవాబు:

గ్రూపు – A గ్రూపు – B
1. ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం C) l3
2. దీర్ఘఘనపు ఘనపరిమాణం D) lbh
3. శంఖువు ఘనపరిమాణం B) \(\frac{1}{3}\) πr2h
4. గోళపు ఘనపరిమాణం A) \(\frac{4}{3}\)πr3
5. స్థూపపు ఘనపరిమాణం E) πr²h

AP 9th Class Maths Bits 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము

Practice the AP 9th Class Maths Bits with Answers 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 9th Class Maths Bits 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము

I. ఈ క్రింది వానిలో సరియైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనుము.

ప్రశ్న 1.
యదార్థ సంఘటనల రూపంలో, సంఖ్యాత్మక రూపంలో, పట రూపములో, పట్టిక రూపంలో, గ్రాఫుల రూపంలో సేకరించబడిన సమాచారము
A) సగటు
B) మధ్యగతము
C) బాహుళకము
D) దత్తాంశము
జవాబు:
D) దత్తాంశము

ప్రశ్న 2.
ముందుగానే సేకరింపబడివున్న దత్తాంశమును …….. దత్తాంశము అంటారు.
A) ప్రాథమిక
B) గౌణ
C) పట
D) బారు
జవాబు:
B) గౌణ

ప్రశ్న 3.
18, 24, 15, 17, 33, 16, 29, 45, 12, 3, 33, 21 ల వ్యాప్తి
A) 33
B) 42
C) 48
D) 30
జవాబు:
B) 42

AP 9th Class Maths Bits 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము

ప్రశ్న 4.
0 – 10, 11 – 20, 21 – 30, 31 – 40 ల నందు, 21 – 30 యొక్క వాస్తవ దిగువ హద్దు
A) 21
B) 30
C) 20.5
D) 21.5
జవాబు:
C) 20.5

ప్రశ్న 5.
పై సమస్యలోని తరగతులను …… తరగతులు అంటారు.
A) సమ్మిళిత
B) మినహాయింపు
C) వర్గీకృత
D) ఏదీకాదు
జవాబు:
A) సమ్మిళిత

ప్రశ్న 6.
ఒక పట్టణంలో వారం రోజుల పాటు నమోదైన ఉష్ణోగ్రతలు వరుసగా 42°, 359, 449, 339, 45° మరియు, 42°. సగటు ఉష్ణోగ్రత
A) 42°
B) 35°
C) 39°
D) 40°
జవాబు:
D) 40°

ప్రశ్న 7.
AP 9th Class Maths Bits 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము 1
యొక్క సగటు విలువ
A) 2.9
B) 3.9
C) 4.9
D) 3.7
జవాబు:
B) 3.9

AP 9th Class Maths Bits 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము

ప్రశ్న 8.
విచలన సమస్యలో ∑f1d1 = – 12 మరియు A = 15; ∑f = 20 అయిన x\(\overline{\mathbf{x}}\) =
A) 15.6
B) 14.6
C) 14.4
D) 12.4
జవాబు:
C) 14.4

ప్రశ్న 9.
3, 7, 4, 6 మరియు 12 యొక్క మధ్యగతం
A) 7
B) 6
C) 4
D) 12
జవాబు:
B) 6

ప్రశ్న 10.
ఆరోహణ క్రమంలో ఉన్న 5, 8, 9, x, 11, 13ల యొక్క మధ్యగతము 9.5 అయిన x విలువ
A) 8
B) 9.5
C) 10
D) 10.5
జవాబు:
C) 10

ప్రశ్న 11.
వర్గీకృత దత్తాంశము యొక్క సగటు కనుగొనుటకు సూత్రం
A) \(\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{f}_{1} \mathrm{~d}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)
B) \(\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{f}_{1} \mathrm{~d}_{\mathrm{l}}}{\mathrm{C}}\)
C) \(A+\frac{\Sigma f_{1} d_{i}}{f_{i}} \times C\)
D) ఏదీకాదు
జవాబు:
A)

ప్రశ్న 12.
3, 7, 8, 8, 7, 6, 8, 4, 3, 11 ల బాహుళకము
A) 3
B) 7
C) 8
D) 11
జవాబు:
C) 8

ప్రశ్న 13.
x1, x2, x3, x4, x5 ల యొక్క సగటు 15. ప్రతి పరిశీలనాంశమును ‘3’ చే గుణించగా ఏర్పడు నూతన సగటు
A) 5
B) 45
C) 18
D) 12
జవాబు:
B) 45

ప్రశ్న 14.
12, 8, 6, 3, 9 ల యొక్క సగటు 7.6 ప్రతి పరిశీలనాంశముకు 5 కలుపగా ఏర్పడు నూతన సగటు
A) 2.6
B) 32.6
C) 12.6
D) 13.6
జవాబు:
C) 12.6

ప్రశ్న 15.
8, 7, 6, 14, 12, 10, 10, 20, 16, 15 మరియు 14 ల సగటు 12.2. ప్రతి పరిశీలనాంశమును 2 చే గుణించి, 3 కలుపగా ఏర్పడు నూతన సగటు
A) 38.6
B) 61
C) 27
D) 27.4
జవాబు:
D) 27.4

AP 9th Class Maths Bits 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము

ప్రశ్న 16.
పై సమస్యలో ఏర్పడు నూతన మధ్యగతము
A) 27
B) 41
C) 40
D) 28
జవాబు:
A) 27

ప్రశ్న 17.
n అంశాలను ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చిన వాటి మధ్యగతము ( n సరిసంఖ్య ………
A) \(\frac{n}{2}\) అంశము
B) \(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\) అంశము
C) [\(\frac{n}{2}\) మరియు \(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\)] వ అంశము
D) ఏదీకాదు
జవాబు:
C) [\(\frac{n}{2}\) మరియు \(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\)] వ అంశము

ప్రశ్న 18.
ఒక దత్తాంశమునకు రెండు బాహుళకములున్న అది …………. బాహుళక దత్తాంశము.
A) ఏక
B) ద్వి
C) త్రి
D) ఏదీకాదు
జవాబు:
B) ద్వి

ప్రశ్న 19.
8, 5, 3, 8, 3, 6, 5, 3, 7, 5 మరియు 11 ల బాహుళక దత్తాంశము
A) 5
B) 8
C) 3
D) 5 మరియు 3
జవాబు:
D) 5 మరియు 3

AP 9th Class Maths Bits 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము

ప్రశ్న 20.
రెండు వరుస తరగతుల దిగువ హద్దుల భేదము
A) తరగతి పొడవు
B) వ్యాప్తి
C) పౌనఃపున్యము
D) ఎగువ హద్దు
జవాబు:
A) తరగతి పొడవు

II. క్రింది ఖాళీలను పూరింపుము.

ప్రశ్న 1.
x-1, x మరియు x + 4 ల సగటు ………
జవాబు:
x+1

ప్రశ్న 2.
మొదటి 10 సహజ సంఖ్యల మధ్యగతము ………..
జవాబు:
5.5

ప్రశ్న 3.
98.6, 92.1, 94.3, 49.8, 68.3 మరియు 97.8ల వ్యా ప్తి ……………
జవాబు:
48.8

ప్రశ్న 4.
20 – 30, 30 – 40, 40 – 50, ……….. తరగతులను ……………. తరగతులు అంటారు.
జవాబు:
మినహాయింపు

ప్రశ్న 5.
1-5, 6-10, 11-15, 16-20, …….. తరగతులను తరగతులు అంటారు.
జవాబు:
సమ్మిళిత

ప్రశ్న 6.
AP 9th Class Maths Bits 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము 2
పై పట్టిక నుండి 6 – 10 తరగతిలో గల మార్కులను చూపు గణన చిహ్నాలు …………..
జవాబు:
AP 9th Class Maths Bits 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము 3

ప్రశ్న 7.
ఒక విద్యార్థి యొక్క 4 సబ్జెక్టులలో వచ్చిన మార్కుల సగటు 16. అతనికి ఒక సబ్జెక్టు నందు 2 మార్కులు ఎక్కువ వచ్చిన ఏర్పడు నూతన సగటు …….
జవాబు:
18

ప్రశ్న 8.
ఒక తరగతిలోని ముగ్గురు విద్యార్థుల యొక్క 6 సబ్జెక్టులలో వచ్చిన మార్కుల సగటును కనుగొను పద్ధతి ……….
జవాబు:
సగటు

ప్రశ్న 9.
5 పరిశీలనాంశాల సగటు 16.5 అయిన వాటి మొత్తము …………………
జవాబు:
82.5

AP 9th Class Maths Bits 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము

ప్రశ్న 10.
విచలన పద్ధతిలో ∑fidi = 24 మరియు ∑fi = 30 అయిన సగటు విలువ ……….
జవాబు:
0.8

ప్రశ్న 11.
42, 84, 63, 81 మరియు 19 ల యొక్క మధ్యగతము
జవాబు:
63

ప్రశ్న 12.
ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చబడిన 3, 7, 5, 15, 16ల మధ్యగతము 10 అయిన x విలువ
జవాబు:
10

ప్రశ్న 13.
ఆరోహణ క్రమంలో వున్న 10, 18, 24, x, y, 30, 32 మరియు 40 ల మధ్యగతము 27 అయిన x + y విలువ = …………..
జవాబు:
54

ప్రశ్న 14.
x1, x2, x3 మరియు 14 ల సగటు 15. ప్రతి అంశంనకు 3 కలిపిన నూతనంగా ఏర్పడు సగటు …………..
జవాబు:
18

ప్రశ్న 15.
ఒక షూ వర్తకుడు వివిధ రకాల సైజుల స్టాకును పెట్టేందుకు పాటించు కేంద్రీయ స్థానపు కొలత …………
జవాబు:
బాహుళకము

ప్రశ్న 16.
6, 3, 8, 8, 7, 4, 8, 6, 6, 4, 6, 11 ల బాహుళకము …………………
జవాబు:
6

ప్రశ్న 17.
కొన్ని పరిశీలనాంశాలను 2 చే గుణించగా ఏర్పడు నూతన సగటు 9 అయిన అసలు సగటు
జవాబు:
4.5

ప్రశ్న 18.
మొదటి 25 సహజ సంఖ్యల మధ్యగతము ………….
జవాబు:
13

ప్రశ్న 19.
మొదటి 25 సహజ సంఖ్యల సగటు ……………
జవాబు:
13

AP 9th Class Maths Bits 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము

ప్రశ్న 20.
ఇచ్చిన పరిశీలనాంశాలలో ఉండు కేంద్రీయ స్థానపు కొలత …………………..
జవాబు:
బాహుళకము

III. జతపర్చుము
i)

గ్రూపు – A గ్రూపు – B
1. 10, 11, 12 ల సగటు A) సగటు
2. 10, 12, 14 ల మధ్యగతము B) 12
3. 10, 14, 14 ల బాహుళకం C) 11
4. \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) D) 14
5. \(\frac{\mathrm{N}}{2}\) మరియు \(\frac{\mathrm{N}+1}{2}\) E) మధ్యగతము

జవాబు:

గ్రూపు – A గ్రూపు – B
1. 10, 11, 12 ల సగటు C) 11
2. 10, 12, 14 ల మధ్యగతము B) 12
3. 10, 14, 14 ల బాహుళకం D) 14
4. \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) A) సగటు
5. \(\frac{\mathrm{N}}{2}\) మరియు \(\frac{\mathrm{N}+1}{2}\) E) మధ్యగతము

ii)

గ్రూపు – A గ్రూపు – B
1. x1 x2 x3 ల సగటు 10 అయిన
x1 + 1, x2 + 1, x3 + 1 ల సగటు
A) 40
2. x1, x2, x3 ల మధ్యగతం 10 అయిన
x1 – 1, x2 – 1, x3 – 1 ల మధ్యగతం
B) 30
3. x1, x2, x3ల బాహుళకం 10 అయిన
2x1, 2x22x3ల బాహుళకం
C) 11
4. x1 > x2 > x<sub>3</sub> ల వ్యాప్తి 25 మరియు x1 = 5 అయిన x3 = ? D) 9
5. x1 > x2 > x3 ల వ్యాప్తి 20. x1 = 60 అయిన x3= ? E) 20

జవాబు:

గ్రూపు – A గ్రూపు – B
1. x1 x2 x3 ల సగటు 10 అయిన
x1 + 1, x2 + 1, x3 + 1 ల సగటు
C) 11
2. x1, x2, x3 ల మధ్యగతం 10 అయిన
x1 – 1, x2 – 1, x3 – 1 ల మధ్యగతం
D) 9
3. x1, x2, x3ల బాహుళకం 10 అయిన
2x1, 2x22x3ల బాహుళకం
E) 20
4. x1 > x2 > x<sub>3</sub> ల వ్యాప్తి 25 మరియు x1 = 5 అయిన x3 = ? B) 30
5. x1 > x2 > x3 ల వ్యాప్తి 20. x1 = 60 అయిన x3= ? A) 40

 

AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు

Practice the AP 9th Class Maths Bits with Answers 8th Lesson చతుర్భుజాలు on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు

I. ఈ క్రింది వానిలో సరియైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనుము.

ప్రశ్న 1.
చతుర్భుజం యొక్క నాలుగు అంతరకోణాల మొత్తము
A) 360 లంబకోణాలు
B) 4 లంబకోణాలు
C) 2 లంబకోణాలు
D) లంబకోణము
జవాబు:
B) 4 లంబకోణాలు

ప్రశ్న 2.
ఒక జత ఎదుటి భుజాలు సమాంతరంగా గల చతుర్భుజము …………
A) సమాంతర చతుర్భుజము
B) గాలి పటం
C) ట్రెపీజియం
D) రాంబస్
జవాబు:
C) ట్రెపీజియం

ప్రశ్న 3.
కింది పటంలో ∠D =
AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు 1
A) 110°
B) 70°
C) 60°
D) 120°
జవాబు:
D) 120°

AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు

ప్రశ్న 4.
AB//CD గా గల ABCD ట్రెపీజియంలో ∠A = 45° అయిన ∠D =
AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు 2
A) 45°
B) 55°
C) 135°
D) 125°
జవాబు:
C) 135°

ప్రశ్న 5.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో, ∠D = 80° అయిన ∠A, ∠B, ∠C ల విలువలు వరుసగా
A) 80°, 100°, 100°
B) 100°, 80°, 100°
C) 80°, 100°, 80°
D) 100°, 80°, 80°
జవాబు:
B) 100°, 80°, 100°

ప్రశ్న 6.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో BC ని పొడిగించగా ∠A = 40° అయిన ∠DCE =
AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు 3
A) 40°
B) 140°
C) 50°
D) 60°
జవాబు:
A) 40°

ప్రశ్న 7.
ఒక రాంబస్ యొక్క ఏవైనా రెండు అంతరకోణ సమద్విఖండన రేఖల మిళిత బిందువు వద్ద ఏర్పడు కోణము
A) అల్పకోణము
B) లంబకోణము
C) అధికకోణము
D) ఏదీకాదు
జవాబు:
B) లంబకోణము

ప్రశ్న 8.
కర్ణాల పొడవులు దీనిలో సమానము.
A) రాంబస్
B) చతుర్భుజము
C) సమాంతర చతుర్భుజము
D) దీర్ఘచతురస్రం
జవాబు:
D) దీర్ఘచతురస్రం

AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు

ప్రశ్న 9.
రాంబస్ యొక్క కర్ణాల మధ్య కోణము
A) అల్ప
B) అధిక
C) లంబ
D) ఏదీకాదు
జవాబు:
C) లంబ

ప్రశ్న 10.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో ∠BAD = 65° అయిన ∠ADC =
AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు 4
A) 25°
B) 115°
C) 65°
D) 35°
జవాబు:
C) 65°

ప్రశ్న 11.
దీర్ఘచతురస్రం యొక్క ప్రతి కోణము
A) లంబకోణము
B) అల్ప కోణము
C) అధిక కోణము
D) పరావర్తన కోణము
జవాబు:
A) లంబకోణము

ప్రశ్న 12.
సమాంతర చతుర్భుజం ABCD లో ∠A మరియు ∠B ల కోణసమద్విఖండన రేఖల ఖండన బిందువు ‘O’ అయిన x° యొక్క విలువ ….
AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు 5
A) 180°
B) 90°
C) 60°
D) కనుగొనలేము
జవాబు:
B) 90°

ప్రశ్న 13.
∆ABC లో BC = 8 సెం.మీ. మరియు D, E లు AB మరియు AC ల యొక్క మధ్య బిందువులు మరియు AF = 1/2 AD మరియు AG = 1/2 AE అయిన FG =
AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు 6
A) 4 సెం.మీ.
B) 32 సెం.మీ.
C) 3 సెం.మీ.
D) 2 సెం.మీ.
జవాబు:
D) 2 సెం.మీ.

ప్రశ్న 14.
∆ABC లో D, E మరియు F లు భుజాల మధ్య బిందువులైన ∆DEF = ……..
AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు 7
A) \(\frac{1}{3}\)∆ABC
B) \(\frac{1}{2}\)∆ABC
C) \(\frac{1}{4}\)∆ABC
D) 3∆ABC
జవాబు:
C) \(\frac{1}{4}\)∆ABC

ప్రశ్న 15.
ఒక చతుర్భుజంలో కర్ణాలు ఒకదానికొకటి సమద్విఖండన చేసుకొనిన ఆ చతుర్భుజం …..
A) రాంబస్
B) సమాంతర చతుర్భుజం
C) చతురస్రము
D) ట్రెపీజియం
జవాబు:
B) సమాంతర చతుర్భుజం

AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు

ప్రశ్న 16.
ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క రెండు ఆసన్న భుజాల కొలతలు వరుసగా 4.7 సెం.మీ. మరియు 6.3 సెం.మీ. అయిన దాని చుట్టుకొలత
A) 11 సెం.మీ.
B) 5.5 సెం.మీ.
C) 22 సెం.మీ.
D) 29.51 సెం.మీ.
జవాబు:
C) 22 సెం.మీ.

ప్రశ్న 17.
ఎదుటి కోణాల జతలు సమానంగా గల చతుర్భుజము
A) దీర్ఘచతురస్రము
B) చతురస్రం
C) ట్రెపీజియం
D) సమాంతర చతుర్భుజం
జవాబు:
D) సమాంతర చతుర్భుజం

ప్రశ్న 18.
చతుర్భుజము ABCD లో AB // DC మరియు AD // BC మరియు A = 90° అయిన ABCD ఒక ….. .
A) దీర్ఘచతురస్రము
B) చతురస్రము
C) సమాంతర చతుర్భుజం
D) రాంబస్
జవాబు:
A) దీర్ఘచతురస్రము

ప్రశ్న 19.
ఒక దీర్ఘచతురస్రము యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులను కలుపగా ఏర్పడు పటము
A) చతురస్రము
B) రాంబస్
C) దీర్ఘచతురస్రము
D) సమాంతర చతుర్భుజం
జవాబు:
B) రాంబస్

AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు

ప్రశ్న 20.
రాంబస్ యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులను కలుపగా ఏర్పడు పటము
A) రాంబస్
B) దీర్ఘచతురస్రము
C) సమాంతర చతుర్భుజము
D) చతురస్రము
జవాబు:
B) దీర్ఘచతురస్రము

II. క్రింది ఖాళీలను పూరింపుము.

ప్రశ్న 1.
…….. మరియు …… నందు కర్ణాలు సమానము.
జవాబు:
దీర్ఘచతురస్రం, చతురస్రం

ప్రశ్న 2.
…… మరియు …… నందు కర్ణాలు పరస్పరం లంబాలు.
జవాబు:
చతురస్రం, రాంబస్

ప్రశ్న 3.
సమాంతర చతుర్భుజము యొక్క కర్ణము దానిని రెండు …………. త్రిభుజాలుగా విభజించును.
జవాబు:
సర్వసమాన

AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు

ప్రశ్న 4.
సమాంతర చతుర్భుజపు భుజాల మధ్య బిందువులను కలుపగా ఏర్పడు పటము …………
జవాబు:
దీర్ఘచతురస్రం

ప్రశ్న 5.
చతురస్రపు భుజాల మధ్య బిందువులను కలుపగా ఏర్పడు పటము ……….
జవాబు:
చతురస్రం

ప్రశ్న 6.
ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఆసన్న భుజాలు 6 సెం.మీ. మరియు 9 సెం.మీ. అయిన దాని చుట్టుకొలత. ………… .
జవాబు:
30 సెం.మీ.

ప్రశ్న 7.
ఒక సమాంతర చతుర్భుజపు రెండు ఆసన్న కోణాల సమద్విఖండన రేఖల ఖండన బిందువు వద్ద ఏర్పడు కోణము ……….
జవాబు:
90°

ప్రశ్న 8.
ఒక సమాంతర చతుర్భుజపు ఆసన్న కోణాలు వరుసగా (2x – 5)° మరియు (4x-1)° అయిన x° = …..
జవాబు:
31°

ప్రశ్న 9.
ఒక సమాంతర చతుర్భుజంలో ఒక కోణము 90° ‘అయిన అది ఒక ………..
జవాబు:
దీర్ఘచతురస్రం

ప్రశ్న 10.
ఆసన్న భుజాలు సమానముగా గల ,సమాంతర చతుర్భుజము ………….
జవాబు:
రాంబస్

ప్రశ్న 11.
ఒక సమాంతర చతుర్భుజంలో, ఒక కోణము 70° అయిన దాని ఎదుటి కోణము విలువ ………..
జవాబు:
70°

ప్రశ్న 12.
ఒక సమాంతర చతుర్భుజపు ఆసన్న కోణాలు 2 : 3 నిష్పత్తిలోనున్న అతి పెద్ద కోణము విలువ …………
జవాబు:
108°

ప్రశ్న 13.
AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు 8
పై పటంలో x° విలువ = ……….
జవాబు:
125°

ప్రశ్న 14.
AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు 9
ABCD రాంబస్ లో, ∠OBC = 32° అయిన ∠OCB =
జవాబు:
58°

ప్రశ్న 15.
ఒక చతుర్భుజంలో కర్ణాలు ఖండించుకోవటం వలన ఏర్పడు త్రిభుజాలు సర్వసమానాలైన ఆ చతుర్భుజము ………….
జవాబు:
రాంబస్

AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు

ప్రశ్న 16.
సమాంతర చతుర్భుజంలో ప్రతికోణం 90° అయిన అది ఒక …….
జవాబు:
దీర్ఘచతురస్రం

ప్రశ్న 17.
AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు 10
ABCD ఒక రాంబస్ అయిన ∠AOD విలువ ……….
జవాబు:
లంబకోణము

ప్రశ్న 18.
PQRS సమాంతర చతుర్భుజంలో
\(\frac{1}{2} \angle \mathrm{P}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{Q}=\)……………
జవాబు:
90°

ప్రశ్న 19.
∆PEN లో T, V లు PE మరియు PN ల మధ్య బిందువులైన EN = 4.8 సెం.మీ. అయిన TV =
జవాబు:
2.4 సెం.మీ.

ప్రశ్న 20.
AP 9th Class Maths Bits 8th Lesson చతుర్భుజాలు 11
∆ABC ఒక సమబాహు త్రిభుజమైన D, E లు AB మరియు AC ల మధ్య బిందువులు. DE = 3 సెం.మీ. అయితే AC =
జవాబు:
6 సెం.మీ.

III. జతపర్చుము

గ్రూపు – A గ్రూపు – B
1. ఒక జత ఎదుటి భుజాలు సమాంతరాలు A) దీర్ఘచతురస్రం
2. కర్ణాలు సమానము కాని లంబాలు కావు B) చతురస్రం
3. కర్ణాలు అసమానము కాని లంబాలు C) సమాంతర చతుర్భుజం
4. కర్ణాలు సమానము కావు మరియు లంబాలు కావు D) రాంబస్
5. కర్ణాలు సమానము మరియు లంబాలు E) ట్రెపీజియం

జవాబు:

గ్రూపు – A గ్రూపు – B
1. ఒక జత ఎదుటి భుజాలు సమాంతరాలు E) ట్రెపీజియం
2. కర్ణాలు సమానము కాని లంబాలు కావు A) దీర్ఘచతురస్రం
3. కర్ణాలు అసమానము కాని లంబాలు D) రాంబస్
4. కర్ణాలు సమానము కావు మరియు లంబాలు కావు C) సమాంతర చతుర్భుజం
5. కర్ణాలు సమానము మరియు లంబాలు B) చతురస్రం

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 8th Lesson చతుర్భుజాలు InText Questions

ప్రయత్నించండి

1. AB ని E వరకు పొడిగించండి. \(\angle \mathrm{CBE}\) ని కనుగొనండి. మీరు ఏమి గమనించారు ? \(\angle \mathrm{ABC}\) మరియు \(\angle \mathrm{CBE}\) లు ఎటువంటి కోణాలు ? (పేజీ నెం. 177)
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 1
సాధన.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము మరియు
\(\angle \mathrm{A}\) = 40°
∴ ABC = 180° – 409
= 140 CBE = 40° (: A మరియు CBE లు
సదృశ కోణాలు) మరియు 2CBE మరియు LABC లు రేఖీయద్వయాలు.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions

2. ∆ABC త్రిభుజం గీయండి. \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{AC}}\) మధ్య బిందువులుగా E మరియు F లుగా గుర్తించండి. E, F లను పటంలో చూపిన విధంగా కలపండి. త్రిభుజంలో EF కొలతను, మూడవ భుజం BC కొలతను కొలవండి. అదే విధంగా \(\angle \mathrm{AEF}\) మరియు \(\angle \mathrm{ABC}\) కోణాలను కలపండి.
మనకు \(\angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{ABC}\) మరియు \(\overline{\mathrm{EF}}\) = \(\frac {1}{2}\) \(\overline{\mathrm{BC}}\) అని వస్తుంది.
ఈ కోణాలు EF, BC రేఖలపై తిర్యగ్రేఖ AB తో ఏర్పడిన సదృశకోణాలు కావున మనం EF//BC అని చెప్పవచ్చు. మరికొన్ని త్రిభుజాలు గీచి, ఫలితాలను సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 188)
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 2
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 3

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. చతురస్రంలో కర్ణాలు సమానమని, అవి పరస్పరం లంబ సమద్విఖందన చేసుకుంటాయని చూపండి. (పేజీ నెం. 185)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 4
ABCD ఒక చతురస్రము అనుకొనుము.
AB = BC = CD = DA అగును.
∆ABC మరియు ∆BAD లలో
AB = AB (ఉమ్మడి భూమి)
\(\angle \mathrm{B} = \angle \mathrm{A}\) (ప్రతికోణం 90°)
BC = AD (సమాన భుజాలు)
∴ ∆ABC ≅ ∆BAD (భు.కో. భు నియమము నుండి)
⇒ AC = BD (CPCT)
అదే విధముగా ∆AOB మరియు ∆COD లలో
\(\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OCD}\) [∵ ఏకాంతర కోణాలు]
\(\angle \mathrm{OBA}=\angle \mathrm{ODC}\) [∵ ఏకాంతర కోణాలు]
AB = DC (చతురస్ర భుజాలు)
∴ ∆AOB ≅ ∆COD (కో.భు. కో, నియమం)
కావున AO = OC (CPCT) ⇒ AC మధ్య బిందువు O
BO = OD (CPCT) ⇒ BD మధ్య బిందువు O
∴ AC మరియు BDల మధ్య బిందువు O.
∴ కర్ణాలు సమద్విఖండన చేసుకొనును.
∆AOB మరియు ∆COB లలో
AB = BC (దత్తాంశము)
OB = OB (ఉమ్మడి భుజము)
AO = OC (నిరూపించబడినది)
∴ ∆AOB ≅ ∆COB
(భు. భు, భు. నియమం ప్రకారం)
⇒ \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COB}\) (CPCT)
కాని \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COB}\) = 180° (∵ రేఖీయద్వయము)
∴ \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COB}\) = \(\frac {180°}{2}\) = 90°
అదే విధముగా \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}\) (∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
\(\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{AOD}\)
(∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ AC ⊥ BD
చతురస్రంలోని కర్ణాలు లంబసమద్విఖండన చేసుకొనును.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions

2. రాంబలో కర్ణాలు దానిని నాలుగు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజిస్తాయని చూపండి. (పేజీ నెం. 185)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 5
ABCD ఒక రాంబస్
AC మరియు BD లు ‘O’ బిందువు వద్ద ఖండించ
∆AOB మరియు ∆COD లలో
\(\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OCD}\) (ఏకాంతర కోణాలు)
AB = CD (రాంబస్ నిర్వచనం)
\(\angle \mathrm{OBA}=\angle \mathrm{ODC}\) (ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∆AOB ≅ ∆COD ……. (1) (కో.భు. కో. నియమం ద్వారా)
⇒ AO = OC (CPCT)
అదే విధముగా ∆AOD ≅ ∆COD ……… (2) [∵ AO = OC; AD = CD; OD = OD భు.భు. భు. నియమం ప్రకారం]
ఇదే విధముగా ∆AOD ≅ ∆COB ……….. (3) అని నిరూపించవచ్చును.
(1), (2) మరియు (3) ల గుండి,
∆AOB ≅ ∆BOC ≅ ∆COD ≅ ∆AOD
∴ రాంబస్ యొక్క కర్ణాలు దానిని నాలుగు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజిస్తాయి.

ఇవి చేయండి

ఒక సమాంతర చతుర్భుజాకారంలో కాగితాన్ని కత్తిరించండి. దాని కర్ణం వెంబడి మరలా కత్తిరించండి. ఎటువంటి ఆకారాలు ఏర్పడ్డాయి ? ఈ రెండు త్రిభుజాలను గూర్చి మీరు ఏమి చెబుతారు ? (పేజీ నెం. 179)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 7
కాగితాన్ని కర్ణం వెంబడి కత్తిరించగా రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలు ఏర్పడ్డాయి.

సిద్ధాంతాలు

1. సమాంతర చతుర్భుజమును కర్ణము రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది. (పేజీ నెం. 179)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 8
ABCD సమాంతర చతుర్భుజంను తీసుకోండి.
A, C లను కలపండి. సమాంతర చతుర్భుజానికి AC కర్ణం అవుతుంది.
AB || DC మరియు తిర్యగ్రేఖ కావున
\(\angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{CAB}\) (ఏకాంతర కోణాలు)
ఇదే విధంగా DA || CB మరియు AC తిర్యగ్రేఖ.
కావున \(\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}\) అయినది.
ఇప్పుడు ∆ACD మరియు ∆CAB లలో
\(\angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{CAB}\) మరియు \(\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}\)
అలాగే AC = CA(ఉమ్మడి భుజం)
అందువలన ∆ABC ≅ ∆CDA అయినది.
దీని అర్థం ఈ రెండు త్రిభుజాలు కో.భు.కో నియమము (కోణం, భుజం మరియు కోణం) ప్రకారం సర్వసమానాలు. అందుచే కర్ణం AC సమాంతర చతుర్భుజాన్ని రెండు సర్వసమాన పటాలుగా విభజించిందని చెప్పవచ్చు.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions

2. సమాంతర చతుర్భుజము ఎదుటి భుజాలు సమానము. (పేజీ నెం. 180)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 9
కర్ణం, సమాంతర చతుర్భుజాన్ని రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుందని మనం నిరూపించాం.
పటంలో ∆ACD ≅ ∆CAB అయినది.
అందువలన AB = DC మరియు \(\angle \mathrm{CBA}=\angle \mathrm{ADC}\) అగును.
అలాగే AD = BC మరియు \(\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{ACB}\)\(\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{DCA}\)
∴ \(\angle \mathrm{ACB}+\angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{DAC}+\angle \mathrm{CAB}\) అందుచే \(\angle \mathrm{DCB}=\angle \mathrm{DAB}\)
దీని నుండి సమాంతర చతుర్భుజంలో
(i) ఎదుటి భుజాలు సమానమని
(ii) ఎదుటి కోణాలు సమానమని చెప్పవచ్చు.

3. ఒక చతుర్భుజములో ప్రతి ఇత ఎదుటి భుజాలు సమానము అయితే, అది సమాంతర చతుర్భుజమగును. (పేజీ నెం. 180)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 10
ABCD చతుర్భుజము AB = DC మరియు BC = AD అని తీసుకోండి. కర్ణం AC ను గీయండి.
త్రిభుజాలు ∆ABC మరియు ∆CDA పరిశీలించండి.
మనకు BC = AD, AB = DC మరియు AC = CA (ఉమ్మడి భుజం)
కావున ∆ABC ≅ ∆CDA
అందువలన \(\angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}\), AC తిర్యగ్రేఖతో కలసి ఉన్నందున AB || DC అగును. ……. (1)
ఇదే విధంగా \(\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{CAB}\), CA తిర్యగ్రేఖలో కలిసి ఉన్నందున BC || AD అయినది. …….. (2)
(1), (2) లను బట్టి ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము అయినది.

4. ఒక చతుర్భుజములో ప్రతి జత ఎదుటి కోణాలు సమానము అయితే అది సమాంతర చతుర్భుజము. (పేజీ నెం.181)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 11
ABCD చతుర్భుజములో \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}\) మరియు \(\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}\) అయిన ABCD సమాంతర చతుర్భుజమని నిరూపించాలి.
\(\angle \mathrm{A} + \angle \mathrm{B} + \angle \mathrm{C} + \angle \mathrm{D}\) = 360° అని మనకు తెలుసు.
∴ \(\angle \mathrm{A} + \angle \mathrm{B} + \angle \mathrm{C} + \angle \mathrm{D}\) = \(\frac {360°}{2}\)
అదే విధంగా, \(\angle \mathrm{A} + \angle \mathrm{B}\) = 180°
DC ని E వైపు పొడిగించగా,
\(\angle \mathrm{C} + \angle \mathrm{BCE}\) = 180° కావున \(\angle \mathrm{BCE}=\angle \mathrm{ADC}\) అగును.
\(\angle \mathrm{BCE}=\angle \mathrm{D}\) అయితే AD || BC (ఎందుకు ?)
DC ని తిర్యగ్రేఖగా తీసుకో అదే విధంగా AB || DC అని నిరూపించవచ్చు.
కావున ABCD సమాంతర చతుర్భుజము అయినది.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions

5. సమాంతర చతుర్భుజములో కర్ణాలు పరస్పరము సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి. (పేజీ నెం. 181)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 12
ABCD సమాంతర చతుర్భుజము గీయాలి.
రెండు కర్ణాలు AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకున్నట్లు గీయాలి.
∆OAB మరియు ∆OCD లలో
పటంలో ఏర్పడిన కోణాలను \(\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4\)గా గుర్తించాలి.
\(\angle 1=\angle 3\) (AB || CD మరియు AC తిర్యగ్రేఖ చేసిన ఏకాంతర కోణాలు)
\(\angle 2=\angle 4\) (ఎలా ?) (ఏకాంతర కోణాలు)
మరియు AB = CD (సమాంతర చతుర్భుజ ధర్మం)
కావున కో.భు.కో. త్రిభుజ సర్వసమానత్వ నియమం ప్రకారం
∆OCD ≅ ∆OAB అగును.
అందువలన CO = OA, DO = OB అయినవి. అంటే కర్ణములు పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకున్నవి. మనం ఇప్పుడు దీని విపర్యయం కూడా సత్యమో, కాదో పరిశీలిద్దాం. అంటే దీని విపర్యయం “ఒక చతుర్భుజము కర్ణములు పరస్పరము సమద్విఖండన చేసుకుంటే, ఆది సమాంతర చతుర్భుజం” అవుతుంది.

6. ఒక చతుర్భుజంలో కర్ణములు పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకుంటే అది సమాంతర చతుర్భుజము అగును. (పేజీ నెం. 182)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 13
ABCD ఒక చతుర్భుజం.
AC, BD కర్ణాలు ‘O’ వద్ద ఖండించుకున్నాయి.
OA = OC, OB = OD అగునట్లు
మనం ABCD ని ఒక సమాంతర చతుర్భుజమని చూపాలి.

7. ఒక త్రిభుజములో రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలుపుతూ గీయబడిన రేఖ, మూడవ భుజానికి సమాంతరముగానూ, మరియు దానిలో సగము ఉంటుంది. (పేజీ నెం. 188)
సాధన.
∆ABC లో AB మధ్యబిందువు E మరియు AC మధ్య బిందువు F.
సారాంశం:
(i) EF || BC
(ii) EF = \(\frac {1}{2}\)BC
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 14
ఉపపత్తి : EF ను ని కలిపి పొడిగించి BAకు సమాంతరంగా C నుండి ఒక రేఖను గీస్తే, అది పొడిగించిన EF రేఖను D వద్ద ఖండిస్తుంది. ∆AEF మరియు ∆CDF
AF = CF (AC మధ్యబిందువు)
\(\angle \mathrm{AFE}=\angle \mathrm{CFD}\) (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
మరియు \(\angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{CDF}\) (CD || BA తో ED తిర్యగ్రేఖ చేసిన ఏకాంతర కోణాలు)
కో. భు, కో, సర్వసమానత్వ నియమము ప్రకారం
∴ ∆AEF ≅ ∆CDF అయినది.
కావున AE = CD మరియు EF = DF (సర్వసమాన త్రిభుజాల సరూపభాగాలు)
AE = BE అని మనకు ఇవ్వబడింది.
కనుక BE = CD అయింది.
BE || CD మరియు BE = CD కావున BCDE ఒక సమాంతర చతుర్భుజము అయినది.
అందుచే ED || BC
⇒ EF || BC
BCDE సమాంతర చతుర్భుజము కావున ED = BC (ఎలా ?) (∵ DF = EF)
FD = EF అని చూపినందున
∴ 2EF = BC అగును. అందువలన EF = \(\frac {1}{2}\)BC అయినది.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions

8. ఒక త్రిభుజములో ఒక భుజము యొక్క మధ్య బిందువు నుండి వేరొక భుజానికి సమాంతరముగా గీయబడిన రేఖ, మూడవ భుజాన్ని సమద్విఖండన చేస్తుంది. (పేజీ నెం. 189)
సాధన.
∆ABC గీయాలి. AB మధ్య బిందువుగా Eని గుర్తించాలి. E గుండా BC కి సమాంతరముగా ‘l’ అనే రేఖను గీయాలి. ఇది AC ని F వద్ద ఖండించిందని అనుకుందాము.
CD || BA ను నిర్మించాలి. మనం AF = CF అని చూపాలి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 15
అందుచే ∆AEF మరియు ∆CFD లను తీసుకోండి.
\(\angle \mathrm{EAF}=\angle \mathrm{DCF}\) (BA || CD మరియు AC తిర్యగ్రేఖ) (ఎలా ?)
\(\angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{D}\)
(BA || CD మరియు ED తిర్యగ్రేఖ) (ఎలా ?)
కాని ఏవైనా రెండు భుజాలను సమానంగా చూపలేదు. కావున మనం వీటిని సర్వసమాన . త్రిభుజాలని చెప్పలేము.
అందువలన EB || DC మరియు ED || BC తీసుకోండి. కావున EDCB ఒక సమాంతర చతుర్భుజము అయినది. దీని నుండి BE = DC అయినది.
కాని BE = AE కావున మనకు AE = DC అని వచ్చింది. అందుచే కో.భు. కో. నియమం ప్రకారము
∆AEF ≅ ∆CFD అయినది.
∴ AF = CF అగును.

ఉప సిద్ధాంతాలు

1. దీర్ఘచతురస్రంలో ప్రతీకోణము లంబకోణము అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 182)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 15
దీర్ఘచతురస్రమనేది ఒక సమాంతర చతుర్భుజము మరియు ఒక కోణము లంబకోణము.
ABCD ఒక దీర్ఘచతురస్రము.
ఒక కోణం \(\angle \mathrm{A}\) = 90° అనుకోండి.
మనం \(\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{D}\) = 90° అని చూపాలి.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజము.
కావున AD || BC మరియు AB తిర్యగ్రేఖ
కావున \(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}\) = 180° (తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునగల అంతరకోణాల మొత్తం) కాని \(\angle \mathrm{A}\) = 90° (తీసుకోబడింది)
∴ \(\angle \mathrm{B}\) = 180° – \(\angle \mathrm{A}\)
= 180° – 90° = 90°
ఇప్పుడు \(\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}\) మరియు \(\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{B}\) (సమాంతర చతుర్భుజంలో)
కావున \(\angle \mathrm{C}\) = 90° మరియు \(\angle \mathrm{D}\) = 90° అయింది. అందుచే దీర్ఘచతురస్రములో ప్రతికోణం లంబకోణము అగును.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions

2. రాంబలో కర్ణాలు పరస్పరం లంబాలుగా ఉంటాయని చూపండి. (పేజీ నెం.183)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 17
అన్ని భుజాలు సమానంగా గల సమాంతర చతుర్భుజమును రాంబస్ అంటారని మీకు తెలుసు. ABCD ఒక రాంబస్ AC మరియు BD .కరాలు O వద్ద ఖండించుకున్నాయనుకొనండి.
మనం AC కర్ణం, BD కర్ణానికి లంబంగా ఉంటుందని చూపాలి.
∆AOB మరియు ∆BOC లను తీసుకొండి
OA = OC (సమాంతర చతుర్భుజము కర్ణాలు పరస్పరం)
OB = OB(∆AOB మరియు ∆BOC ఉమ్మడి భుజం)
AB = BC (రాంబన్లో భుజాలు)
అందువలన ∆AOB ≅ ∆BOC (డు.భు.భు. నియమము)
కావున \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}\)
కాని \(\angle \mathrm{AOB}+\angle \mathrm{BOC}\) = 180° (రేఖీయద్వయం)
అందుచే 2\(\angle \mathrm{AOB}\) = 180°
లేదా \(\angle \mathrm{AOB}\) = \(\frac {180°}{2}\) = 90°
ఈ విధంగా \(\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COD}=\angle \mathrm{AOD}\) = 90° అయినది.
కావున AC కర్ణం, BD కర్ణానికి లంబం అని తెలిసింది.
అందుచే రాంబస్ లో కర్ణాలు ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉంటాయి.

3. ABCD సమాంతర చతుర్భుజములో AC కర్ణం \(\angle \mathrm{A}\)ను సమద్విఖండన చేస్తే ABCD ఒక రాంబస్ అవుతుందని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 183)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 18
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
అందుచే AB || DC. AC తిర్యగ్రేఖ \(\angle \mathrm{A}\), \(\angle \mathrm{C}\) లను ఖండించింది.
ఈ కావున \(\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}\) (ఏకాంతర కోణాలు) …………. (1)
\(\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DAC}\) …………. (2)
కాని AC కర్ణం, \(\angle \mathrm{A}\)ను సమద్విఖండన చేసింది. కనుక \(\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DAC}\)
∴ \(\angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{DAC}\) ………. (3)
అందుచే AC కర్ణం \(\angle \mathrm{C}\) ని కూడా సమద్విఖండన చేసింది.
(1), (2) మరియు (3) లను బట్టి, మనకు
\(\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{BCA}\)
ΔABCలో \(\angle \mathrm{BCA}\) అంటే BC = AB (సమద్విబాహు త్రిభుజము)
కాని AB = DC మరియు BC = AD (సమాంతర చతుర్భుజము ABCD లో ఎదుటి భుజాలు)
∴ AB = BC = CD = DA
ఈ విధంగా ABCD రాంబస్ అయినది.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions

4. దీర్ఘచతురస్రంలో కర్ణాలు సమానమని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 184)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 19
ABCD ఒక దీర్ఘచతురస్రము AC మరియు BD లు వాని కర్ణాలు. మనకు AC = BD అని తెలియాలి.
ABCD దీర్ఘచతురస్రమంటే ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము మరియు దానిలో ప్రతీ కోణము ఒక లంబకోణము.
ΔABC మరియు ΔBAD లను తీసుకోండి.
AB = BA (ఉమ్మడి భుజం)
\(\angle \mathrm{B}\) = \(\angle \mathrm{A}\) = 90° (దీర్ఘచతురస్రములో ప్రతీ కోణం )
BC = AD (దీర్ఘచతురస్రములో ఎదుటి భుజాలు)
అందువలన ΔABC ≅ ΔBAD (యు.కో. భు, నియమం) అగును.
దీని నుండి, AC = BD లేదా దీర్ఘచతురస్రములో కర్ణాలు సమానమని చెప్పవచ్చు.

5. సమాంతర చతుర్భుజములో కోణ సమద్విఖండన రేఖలు దీర్ఘచతురస్రాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి. (పేజీ నెం. 184)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 20
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము \(\angle \mathrm{A},\angle \mathrm{B},\angle \mathrm{C}\) మరియు \(\angle \mathrm{A}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖలు P, Q, R, S ల వద్ద ఖండించుకొని చతుర్భుజాన్ని ఏర్పరిచాయి. (పటం చూడండి)
ABCD సమాంతర చతుర్భుజములో AD || BC, AB ని తిర్యగ్రేఖగా తీసుకుంటే,
\(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}\) = 180° (సమాంతర చతుర్భుజములో పక్క కోణాలు)
కాని \(\angle \mathrm{BAP}\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathrm{A}\) మరియు \(\angle \mathrm{ABP}\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathrm{B}\)(AP, BP లు \(\angle \mathrm{A}\) మరియు \(\angle \mathrm{B}\) యొక్క సమద్విఖండన రేఖలు)
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 21
కావున PQRS లో నాలుగు కోణాలు 90° కు సమానము. అందుచే PQRS ను దీర్ఘచతురస్రమని చెప్పవచ్చు.

ఉదాహరణలు

1. ABCD సమాంతర చతుర్భుజము మరియు \(\angle \mathrm{A}\) = 60° మిగిలిన కోణాల కొలతలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం.176)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 22
సమాంతర చతుర్భుజములో ఎదుటి కోణాలు సమానము. కావున ABCD సమాంతర చతుర్భుజము
\(\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}\) = 60° మరియు \(\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}\)
సమాంతర చతుర్భుజములో పక్క కోణాల మొత్తం 180°
\(\angle \mathrm{A}\) మరియు \(\angle \mathrm{B}\) లు పక్క కోణాలు కావున
\(\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{B}\) = 180° – \(\angle \mathrm{A}\)
= 180° – 60°
= 120°
అందుచే మిగిలిన కోణాలు 120°, 60°, 120° అవుతాయి.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions

2. ABCD సమాంతర చతుర్భుజము \(\angle \mathrm{DAB}\) = 40° అయిన మిగిలిన కోణాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 177)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 23
ABCD సమాంతర చతుర్భుజము కావున
\(\angle \mathrm{DAB}=\angle \mathrm{BCD}\) = 40° మరియు AC || BC ప్రక్క కోణాల మొత్తము
\(\angle \mathrm{CBA}=\angle \mathrm{DAB}\) = 180°
∴ \(\angle \mathrm{CBA} = 180 – 40° = 140°
దీనిద్వారా [latex]\angle \mathrm{ADC}\) = 140° అయితే \(\angle \mathrm{BCD}\) = 40°

3. సమాంతర చతుర్భుజములో రెండు ఆసన్నభుజాలు వరుసగా 4.5 సెం.మీ. మరియు 3 సెం.మీ. దాని చుట్టుకొలత కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 177)
సాధన.
సమాంతర చతుర్భుజము ఎదుటి భుజాల కొలతలు – సమానము.
కావున మిగిలిన రెండు భుజాలు 4.5 సెం.మీ. మరియు 3 సెం.మీ. కలిగి ఉంటాయి.
కావున, దీని చుట్టుకొలత = 4.5 + 3 + 4.5 + 3
= 15 సెం.మీ.

4. ABCD సమాంతర చతుర్భుజములో పక్కకోణాలు \(\angle \mathrm{A}\) మరియు \(\angle \mathrm{B}\) యొక్క సమద్విఖందన రేఖలు P వద్ద ఖండించుకున్నాయి. ఆయిన \(\angle \mathrm{APB}\) = 90° అని చూపండి. (పేజీ నెం. 177)
సాధన.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము పక్క కోణాలు \(\angle \mathrm{A}\) మరియు \(\angle \mathrm{B}\) యొక్క సమద్విఖండన రేఖలు \(\overline{\mathrm{AP}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{BP}}\) లు సమాంతర చతుర్భుజములో పక్క కోణాలు సంపూరకాలు కావున
\(\angle \mathrm{A}\) + \(\angle \mathrm{B}\) = 180°
\(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathrm{A}\) + \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathrm{B}\) = \(\frac {180°}{2}\)
⇒ \(\angle \mathrm{PAB}\) + \(\angle \mathrm{PBA}\) = 90°
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 24
∆APB లో
\(\angle \mathrm{PAB}\) + APB + \(\angle \mathrm{PBA}\) = 180°
(త్రిభుజము మూడు కోణాల మొత్తము)
\(\angle \mathrm{APB}\) = 180° – (\(\angle \mathrm{PAB}\) + \(\angle \mathrm{PBA}\))
= 180° – 90°
= 90°
నిరూపించబడినది.

5. \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{DC}}\) రెండు సమాంతర రేఖలు. తిర్యగ్రేఖ l, \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని P వద్ద \(\overline{\mathrm{DC}}\) ని R వద్ద ఖండించింది. అయిన అంతరకోణాల సమద్విఖందన రేఖలు దీర్ఘచతురస్రాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 25
(పేజీ నెం. 185)
సాధన.
\(\overline{\mathrm{AB}}\) || \(\overline{\mathrm{DC}}\), తిర్యగ్రేఖ l \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని P వద్ద \(\overline{\mathrm{DC}}\) ని R వద్ద ఖండించింది.
\(\overline{\mathrm{PQ}}\), \(\overline{\mathrm{RQ}}\), \(\overline{\mathrm{RS}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{PS}}\) లు \(\angle \mathrm{RPB},\angle \mathrm{CRP},\angle \mathrm{DRP}\) మరియు \(\angle \mathrm{APR}\)ల యొక్క సమద్విఖండన రేఖలు అనుకొనండి.
\(\angle \mathrm{BPR}=\angle \mathrm{DRP}\) (ఏకాంతర కోణాలు) ……. (1)

కాని \(\angle \mathrm{RPQ}\) = \(\frac {1}{2}\) \(\angle \mathrm{BPR}\)
(∵ \(\overline{\mathrm{PQ}}\), \(\angle \mathrm{BPR}\) యొక్క సమద్విఖండన రేఖ)
అలాగే \(\angle \mathrm{PRS}\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathrm{DRP}\) (∵ \(\overline{\mathrm{RS}}\), \(\angle \mathrm{DRP}\) యొక్క సమద్విఖండన రేఖ) …………….. (2)
(1), (2) లను బట్టి
\(\angle \mathrm{RPQ}=\angle \mathrm{PRS}\)
ఇవి \(\overline{\mathrm{PR}}\) తిర్యగ్రేఖగా \(\overline{\mathrm{PQ}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{RS}}\) రేఖలపై ఏర్పరచిన ఏకాంతర కోణాలు, కావున
∴ \(\overline{\mathrm{PQ}}\) || \(\overline{\mathrm{RS}}\)
ఇదేవిధంగా \(\angle \mathrm{PRQ}=\angle \mathrm{RPS}\) కావున \(\overline{\mathrm{PS}}\) || \(\overline{\mathrm{RQ}}\)
అందువలన PQRS ఒక సమాంతర చతుర్భుజం అయినది …………… (3)
మనకు \(\angle \mathrm{BPR}=\angle \mathrm{CRP}\) = 180° (తిర్యగ్రేఖ (l) ఒకే వైపున ఏర్పరచిన అంతరకోణాలు కావున \(\overline{\mathrm{AB}}\) || \(\overline{\mathrm{DC}}\))
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 26
(3), (4) లను బట్టి PQRS సమాంతర చతుర్భుజము మరియు
ప్రతీకోణము లంబకోణము అయినది. కావున PQRS ఒక దీర్ఘచతురస్రము.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions

6. ∆ABC లో BC భుజం మీదకు మధ్యగతం AD గీయబడినది. AD = ED అగునట్లు 5 వరకు పొదిగించబడినది. ఆయిన ABEC ఒక సమాంతర చతుర్భుజాన్ని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 186)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 27
∆ABC త్రిభుజములో AD మధ్యగతం.
AD = ED అగునట్లు AD ని E వరకు పొడిగించబడింది.
BE మరియు CE లను కలపండి.
∆ABD మరియు ECD లలో
BD = DC (BC మధ్య బిందువు D)
\(\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{EDC}\) (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
AD = ED (ఇవ్వబడినది)
కావున ∆ABD ≅ ∆EDC అయినది. (భు.కో.భు. నియమము)
అందువలన AB = CE (సర్వసమాన త్రిభుజాలలో సరూప భాగాలు)
అలాగే \(\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{ECD}\)
ఇవి \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{BC}}\) రేఖలతో \(\overline{\mathrm{CE}}\) తిర్యగ్రేఖ చేసిన ఏకాంతర కోణాలు.
∴ \(\overline{\mathrm{AB}}\) || \(\overline{\mathrm{CE}}\)
ABEC చతుర్భుజంలో
AB || CE మరియు AB = CE
అయినందున ABEC ఒక సమాంతర చతుర్భుజము అయినది.

7. ∆ABC లో D, E మరియు F లు వరుసగా AB, BC మరియు CA భుజాల మధ్యబిందువులు. వీటిని ఒకదానితో మరొకటి కలుపగా ఏర్పడిన నాలుగు త్రిభుజాలు సర్వసమానాలని చూపండి. (పేజీ నెం. 190)
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 28
సాధన.
∆ABC లో D, E లు వరుసగా \(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{BC}}\) భుజాల మధ్యబిందువులు.
కావున మధ్యబిందువు సిద్ధాంతం ప్రకారము DE || AC
ఇదే విధంగా DF || BC మరియు EF || AB అగును.
అందువలన ADEF, BEFD మరియు CFDE లు సమాంతర చతుర్భుజాలు.
ఇప్పుడు ADEF సమాంతర చతుర్భుజములో DF కర్ణం.
కావున ∆ADF ≅ ∆DEF
(కర్ణం, సమాంతర చతుర్భుజాన్ని రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా చేసింది)
ఇదే విధంగా ∆BDE ≅ ∆DEF మరియు ∆CEF ≅ ∆DEF అగును.
కనుక నాలుగు త్రిభుజాలు సర్వసమానములు అయినవి. దీని నుండి “త్రిభుజ భుజాల మధ్య బిందువులను కలుపగా ఏర్పడిన నాలుగు భుజాలు సర్వసమానములని” నిరూపించాము.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions

8. l, m మరియు n అనే మూడు సమాంతర రేఖలను ని మరియు qఅనే రెండు తిర్యగ్రేఖలు A, B, C మరియు D, E, F ల వద్ద ఖండించాయి. తిర్యగ్రేఖ p. ఈ సమాంతర రేఖలను రెండు సమాన అంతరఖండాలు AB, BC లుగా విభజిస్తే q తిర్యగ్రేఖ కూడా సమాన ఆంతరఖండాలు DE మరియు EF లుగా విభజిస్తుందని చూపండి. (పేజీ నెం. 191)
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 29
సాధన.
AB, BC మరియు DE, EF ల మధ్య సమానత్వ భావనతో సమన్వయ పరచాలి. A నుండి Fకు రేఖను గీయగా అది ‘m’ రేఖను G వద్ద ఖండించిందనుకొనండి.
∆ACF లో AB = BC (దత్తాంశము)
కావున AC మధ్యబిందువు B మరియు BG || CF (ఎలా ?) అందుచే AF యొక్క మధ్యబిందువు G అయినది (త్రిభుజ మధ్య బిందువు సిద్ధాంతం) , ఇప్పుడు ∆AFD ఇదే రీతిలో పరిశీలించగా G అనేది AF కు మధ్యబిందువు మరియు GE || AD కావున DF మధ్యబిందువు E ఆగును.
ఇందు మూలంగా DE = EF అయినది.
ఈ విధంగా I, m మరియు n రేఖలు q తిర్యగ్రేఖపై కూడా సమాన అంతర ఖండాలు చేసాయి.

9. ∆ABC లో AD మరియు BE లు రెండు మధ్యగత రేఖలు మరియు BE || DF (పటంలో చూడండి). అయిన CF = \(\frac {1}{4}\)AC అని చూపండి. (పేజీ నెం. 191)
సాధన.
∆ABC లో BC మధ్యబిందువు D మరియు BE || DF. మధ్యబిందువు సిద్ధాంతం ప్రకారము CE మధ్యబిందువు F అగును.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 30
∴ CF = \(\frac {1}{2}\)CE
= \(\frac {1}{2}\) (\(\frac {1}{2}\)AC) (ఏలా ?
కావున CF = \(\frac {1}{4}\) AC అయినది.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions

10. ABCత్రిభుజంలో BC, CA మరియు AB భుజాలకు సమాంతరంగా A, B మరియు Cల గుండా సమాంతర రేఖలు గీస్తే అవి P,Q మరియు Rల వద్ద ఖండించు కున్నాయి. ∆PQR త్రిభుజము చుట్టుకొలత AABC త్రిభుజము చుట్టుకొలతకు రెట్టింపు ఉంటుందని చూపండి.
(పేజీ నెం.191)
సాధన.
AB || QP మరియు BC || RQ కావున ABCQ ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
ఇదే విధంగా BCAR, ABPC లు కూడా సమాంతర చతుర్భుజాలు అవుతాయి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions 31
∴ BC = AQ మరియు BC = RA
⇒ QR మధ్యబిందువు A అగును.
ఇదేవిధంగా B, C లు వరుసగా PR మరియు PQల మధ్య బిందువులు అవుతాయి.
∴ AB = \(\frac {1}{2}\)PQ; BC = \(\frac {1}{2}\)QR మరియు
CA = \(\frac {1}{2}\) PR (ఎలా?) (సంబంధిత సిద్ధాంతం చెప్పండి)
ఇప్పుడు ∆PQR చుట్టుకొలత = PQ + QR + PR
= 2AB + 2BC + 2CA
= 2(AB + BC + CA)
= 2 (∆ABC యొక్క చుట్టుకొలత).

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.4

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 8th Lesson చతుర్భుజాలు Exercise 8.4

ప్రశ్న 1.
ABC త్రిభుజంలో AB పై D ఒక బిందువు మరియు AD = \(\frac {1}{4}\) AB. ఇదే విధంగా AC పై బిందువు E మరియు AE = \(\frac {1}{4}\)AC, DE = 2 సెం.మీ. అయిన BC ఎంత?
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.4 1
∆ABC లో D మరియు E లు AB మరియు AC లపై గల బిందువులు.
ఈ బిందువులు AD = \(\frac {1}{4}\) AB మరియు AE = \(\frac {1}{4}\) AC.
X, Yలు AB మరియు AC ల మధ్య బిందువులు అనుకొనుము.
D, E మరియు X, Y లను కలుపుము.
∆AXY, D, E E AX మరియు AY ల మధ్య బిందువులు.
∴ DE // XY మరియు DE = \(\frac {1}{2}\)XY
DE = 2 సెం.మీ. కావున
⇒ 2 = \(\frac {1}{2}\)XY
⇒ XY = 2 × 2 = 4 సెం.మీ.
అదే విధంగా ∆ABC లో X, Y లు AB మరియు AC ల మధ్య బిందువులు.
∴ XY // BC మరియు XY = \(\frac {1}{2}\)BC
XY = 4 సెం.మీ.
కావున BC = 4 × 2 = 8 సెం.మీ

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.4

ప్రశ్న 2.
ABCD చతుర్భుజములో AB, BC, CD మరియు DA ల మధ్య బిందువులు E, F, G మరియు H లు అయిన EFGH సమాంతర చతుర్భుజమని నిరూపించుము.
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.4 2
ABCD చతుర్భుజములో భుజాల యొక్క మధ్య బిందువులు E, F, G మరియు H లు.
∆ABC లో AB మరియు BC ల యొక్క మధ్య బిందువులు E మరియు F అనుకొనుము.
∴ EF // AC మరియు EF – – AC . అట్లాగే AACD లో HG // AC
మరియు HG = \(\frac {1}{2}\) AC
∴ EF // HG మరియు EF = HG
చతుర్భుజము EFGH లో EF = HG మరియు EF // HG.
∴ EFGH ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.

ప్రశ్న 3.
రాంబస్ యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులను వరుసగా కలిపితే ఏర్పడే పటం దీర్ఘచతురస్రమని చూపండి.
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.4 3
☐ABCD ఒక రాంబస్.
P, Q, R మరియు వీలు రాంబస్ ☐ABCD యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులు,
∆ABC లో P, Qలు AB మరియు BCల యొక్క మధ్య బిందువులు.
∴ PQ // AC మరియు PQ = \(\frac {1}{2}\)AC ……… (1)
అదే విధంగా ∆ADC లో S, R లు AD మరియు CDల యొక్క మధ్య బిందువులు.
∴ SR // AC మరియు SR = \(\frac {1}{2}\)AC …….. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి
PQ // SR మరియు PQ = SR
అదే విధముగా QR // PS మరియు QR = PS
∴ ☐PQRS ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
రాంబన్ యొక్క కర్ణాలు లంబనమద్విఖండన చేసుకొనును కావున \(\angle \mathrm{AOB}\) = 90°
∴ \(\angle \mathrm{P}=\angle \mathrm{AOB}\) = 90°
[//gm PYOX యొక్క ఎదుటి కోణాలు]
∴ PQRS ఒక దీర్ఘచతురస్రము. ఎందుకనగా రెండు జతల ఎదుటి భుజాలు సమానము మరియు సమాంతరాలు, ఒక కోణము 90° కాబట్టి.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.4

ప్రశ్న 4.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజములో AB, DCE మధ్య బిందువులు వరుసగా E మరియు F అయిన AF మరియు EC రేఖాఖండాలు కర్ణము BD ని త్రిథాకరిస్తాయని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.4 4
సాధన.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము. E మరియు Fలు AB మరియు CD భుజాల మధ్య బిందువులు.
∴ AE = \(\frac {1}{2}\)AB మరియు CF = \(\frac {1}{2}\)CD
అదే విధముగా AE = CF [∵ AB = CD]
చతుర్భుజము AECF లో AE = CF మరియు
AE // CF కావున AECF ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
∆EQB మరియు ∆FDP లలో
EB = FD [//gm యొక్క సగ భుజాలు సమానము]
\(\angle \mathrm{EBQ}=\angle \mathrm{FDP}\) [EB // FD కావున ఏకాంతర కోణాలు]
\(\angle \mathrm{QEB}=\angle \mathrm{PFD}\)
[∵ \(\angle \mathrm{QED}=\angle \mathrm{QCF}=\angle \mathrm{PFD}\)]
∴ ∆EQB ≅ ∆FPD (తో. భు. తో. నియమం)
∴ BQ = DP [∵ CPCT] ………. (1)
∆DQC లో; PF // QC మరియు F, DC భుజపు మధ్య బిందువు
DQ మధ్య బిందువు P కావున
DP PQ …………. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి, DP = PQ = QB.
∴ కర్ణము BD ని AF మరియు CE లు త్రిథాకరిస్తాయి.

ప్రశ్న 5.
చతుర్భుజములో ఎదుటి భుజాల మధ్య బిందువులను కలుపుతూ గీయబడిన రేఖాఖండాలు సమద్విఖండన చేసుకుంటాయని చూపండి.
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.4 5
ABCD ఒక చతుర్భుజము అనుకొనుము.
P, Q, R, S లు చతుర్భుజము ABCD యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులు.
(P, Q), (Q, R), (R, S) మరియు (S, P) లను కలుపుము.
∆ABC లో P, Qలు AB మరియు BC ల మధ్య బిందువులు.
∴ PQ // AC మరియు PQ = \(\frac {1}{2}\)AC ……… (1)
∆ADC నుండి, S, Rలు AD మరియు CDల మధ్య బిందువులు.
∴ SR // AC మరియు SR = \(\frac {1}{2}\)AC …….. (2)
∴ (1) మరియు (2) ల నుండి,
PQ = SR మరియు PQ // SR
∴ PQRS ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
PQRS సమాంతర చతుర్భుజములో PR మరియు QSలు కర్ణాలు.
∴ PR మరియు QS లు సమద్విఖండన చేసుకొనును.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.4

ప్రశ్న 6.
ABC లంబకోణ త్రిభుజములో C లంబకోణం. కర్ణము ABమధ్యబిందువు M గుందా BCకు సమాంతరముగా గీచిన రేఖ AC ని D వద్ద ఖండిస్తే కింది వానిని నిరూపించండి.
(i) AC మధ్య బిందువు D
(ii) MD ⊥ AC
(iii) CM = MA = \(\frac {1}{2}\)AB
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.4 6
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.4 7
∆ABC లో \(\angle \mathrm{C}\) = 90° మరియు AB యొక్క మధ్యబిందువు M.
(i) AC పై D ఒక బిందువు అనుకొనుము. AC యొక్క మధ్య బిందువు D’ అనుకొనుము.
∴ AD’ = D’C
BC కి సమాంతరంగా గల రేఖ D’M.
కాని దత్తాంశం ప్రకారము DM, BC కి సమాంతర రేఖ. దీనిని బట్టి ఒక బిందువు M గుండా పోవు రెండు రేఖలు ఒక రేఖకు సమాంతరము అని నిరూపితమైనది. ఇది అసంభవము.
∴ D’ అనునది Dతో ఏకీభవిస్తుంది.
∴ AC మధ్య బిందువు ‘D’ అగును.

(ii) సమస్య (i) నుండి DM // BC అదే విధముగా \(\angle \mathrm{ADM}=\angle \mathrm{ACB}\) = 90° (సదృశ్యకోణాలు)
⇒ MD ⊥ AC

(iii) ΔADM మరియు ΔCDM లలో
AD = CD [∵ సమస్య (i) నుండి AC మధ్య బిందువు D]
\(\angle \mathrm{ADM}=\angle \mathrm{MDC}\) (∵ ప్రతీ కోణము 90°)
DM = DM (ఉమ్మడి భుజము)
∴ ∆ADM ≅ ∆CDM (భు.కో.భు. నియమం ప్రకారం)
⇒ CM = MA (CPCT)
⇒ CM = \(\frac {1}{2}\) AB (∵ AB మధ్య బిందువు M)
∴ CM = MA = \(\frac {1}{2}\) AB

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 7th Lesson త్రిభుజాలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. కింద కొన్ని ప్రవచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి. అవి సత్యమో, కాదో సరిచూడుము. [పేజీ నెం. 15]
i) రెండు వృత్తములు ఎల్లప్పుడూ సర్వసమానము.
ii) ఒకే పొడవు కలిగిన రెండు రేఖాఖండములు ఎల్లప్పుడూ సర్వసమానము.
iii) రెండు లంబకోణ త్రిభుజములు కొన్నిసార్లు సర్వసమానము.
iv) భుజముల కొలతలు సమానముగాగల రెండు సమబాహు త్రిభుజములు ఎల్లప్పుడూ సర్వసమానము.
సాధన.
i) అసత్యము
ii) సత్యము
iii) సత్యము
iv) సత్యము

2. ఇచ్చిన పటములు సర్వసమానమో కాదో సరిచూచుటకు కావలసిన కనీస కొలతలు ఎన్ని ? [పేజీ నెం. 150]
i) రెండు దీర్ఘచతురస్రములు
సాధన.
పొడవు మరియు వెడల్పుల కొలతలు అవసరము.

ii) రెండు సమచతుర్భుజాలు
సాధన.
ఒక భుజము మరియు ఒక అంతర కోణము అవసరము.

3. ఈ కింది త్రిభుజములు సర్వసమానములు అవునో కాదో తెలుపుము. దానికి కారణములను వివరించుము. [పేజీ నెం. 153]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 1
సాధన.
i) ΔABC, ΔDEF లలో
∴ ∠B = ∠E
(∵ త్రిభుజంలోని కోణాల మొత్తం ధర్మమును అనుసరించి ∠E = 180° – (70° + 60°) = 50°)
BC = EF
∠C = ∠F
∴ భు-కో-భు సర్వసమాన నియమం ప్రకారం,
ΔABC ≅ ΔDEF

ii) ΔMNL మరియు ΔTSR లలో
MN = ST
NL = RS
∠M = ∠T
భు-కో-భు సర్వసమాన నియమం ప్రకారం,
∴ ΔMNL ≅ ΔTSR

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions

4. ఇచ్చిన పటంలో AB, DC రేఖాఖండములను Pబిందువు సమద్విఖండన చేసిన ΔAPC ≅ ΔBPD అని చూపుము. AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 2
సాధన.
దత్తాంశం నుండి, AB, DC రేఖాఖండములను P బిందువు సమద్విఖండన చేయును.
ΔAPC మరియు ΔBPD లలో
AP = BP (∵ AB ను P సమద్విఖండన చేయును)
CP = DP (∵ CD ను P సమద్విఖండన చేయును)
∠APC = ∠BPD
ΔAPC ≅ ΔBPD (∵ భు.కో.భు. నియమం ప్రకారం)

5. కింది పటంలో ΔABC మరియు ΔDBC లు \(\overline{\mathrm{AB}}\) = \(\overline{\mathrm{BD}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{AC}}\) = \(\overline{\mathrm{CD}}\) అయ్యేటట్లున్న రెండు త్రిభుజములు అయిన ΔABC ≅ ΔDBC అని చూపండి. [పేజీ నెం. 164]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 3
సాధన.
దత్తాంశము \(\overline{\mathrm{AB}}\) = \(\overline{\mathrm{BD}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{AC}}\) = \(\overline{\mathrm{CD}}\)
ΔABC మరియు ΔDBC లలో
AB = BD (∵ దత్తాంశము)
AC = DC (∵ దత్తాంశము)
BC = BC (∵ ఉమ్మడి భుజము)
భు-భు-భు నియమము ప్రకారం
ΔABC ≅ ΔDBC

6. త్రిభుజము ABC గీసి వాటి భుజాల పొడవులు కొలవండి. దానిలో AB + BC, BC + AC మరియు AC + AB లను కనుగొని వాటి మూడు భుజాలతో పోల్చండి. మీరు ఏమి గమనిస్తారు ? ఈ కృత్యమును వివిధ త్రిభుజములను తీసుకుని చెయ్యండి. [పేజీ నెం. 171]
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 4
AB + BC = 4 + 3 = 7
⇒ 7 > 4 = AC
BC + CA > AB;
3 + 4 > 4
CA + AB > BC;
4 + 4 > 3

DE + EF > DF
EF + DF > DE
FD + DE > EF
∴ ఒక త్రిభుజములో ఏవైనా రెండు భుజాల పొడవుల మొత్తము మూడవ భుజము పొడవు కన్నా ఎక్కువ.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions

సిద్ధాంతాలు

1. (కో.భు.కో. సర్వసమానత్వ నియమము)
ఒక త్రిభుజములోని రెండు కోణములు, వాటి మధ్య భుజము వరుసగా వేరొక త్రిభుజములోని రెండు కోణములు, వాటి మధ్య భుజమునకు సమానమైన ఆ రెండు త్రిభుజములు సర్వసమానములు. [పేజీ నెం.154]
దత్తాంశము : ΔABC, ΔDEF లలో
∠B = ∠E, ∠C = ∠F మరియు \(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{EF}}\)
సారాంశము : ΔABC ≅ ΔDEF
ఉపపత్తి : దీనికి మూడు సందర్భములున్నవి.
\(\overline{\mathrm{AD}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{DE}}\) లకు సందర్భములు \(\overline{\mathrm{AB}}\) > \(\overline{\mathrm{DE}}\) లేదా \(\overline{\mathrm{DE}}\) > \(\overline{\mathrm{AB}}\) లేదా \(\overline{\mathrm{DE}}\) = \(\overline{\mathrm{AE}}\). మనము ఈ మూడు సందర్భములలో AABC, ADEF ల సంబంధాన్ని పరిశీలిద్దాం.
సందర్భం i : \(\overline{\mathrm{AD}}\) = \(\overline{\mathrm{DE}}\) అనుకొనుము. అయిన మనం ఏమి గమనింపవచ్చును ?
ΔABC, ΔDEF లను తీసుకొనుము.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 5
\(\overline{\mathrm{AB}}\) = \(\overline{\mathrm{DE}}\) (ఊహించినది)
∠B = ∠E (దత్తాంశము)
\(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{EF}}\) (దత్తాంశము)
కావున ΔABC ≅ ΔDEF
(భు. కో.భు. సర్వసమాన స్వీకృతం నుండి)

సందర్భం (ii) : రెండవ సందర్భము AB > DE అనుకొనుము.
PB = DE అగునట్లు AB పై P బిందువును తీసుకొనుము.
ఇప్పుడు ΔPBC, ΔDEF
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 6
\(\overline{\mathrm{PB}}\) లేదా \(\overline{\mathrm{DE}}\) (నిర్మాణ ప్రకారం)
∠B = ∠E (దత్తాంశము)
\(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{EF}}\) (దత్తాంశము)
కావున ΔPBC ≅ ΔDEF
(భు.కో. భు. సర్వసమాన స్వీకృతం)
త్రిభుజములు సర్వసమానము. కావున వాటి సదృశ భాగాలు సమానం.
కావున ∠PCB = ∠DFE
కాని ∠ACB = ∠DFE (దత్తాంశము)
అందువలన, ∠ACB = ∠PCB
(పై సమాచారం నుండి)
కాని, ఇది సాధ్యమా ?
ఇది సాధ్యమవ్వాలంటే P బిందువు Aతో ఏకీభవించాలి.
(లేదా) \(\overline{\mathrm{BA}}=\overline{\mathrm{ED}}\)
అప్పుడు ΔABC = ΔDEF
(భు.కో. భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతము నుండి)
(గమనిక : పై నిరూపణ నుండి మనం ∠B = ∠E, ∠C = ∠Fమరియు \(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{EF}}\) అయిన \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{DE}}\) అవుతాయి. అయితే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమాన త్రిభుజాలు ).

సందర్భం (iii) : మూడవ సందర్భం \(\overline{\mathrm{AB}}\) < \(\overline{\mathrm{DE}}\)
ME = AB అగునట్లు ΔDEF లో DE పై M అనే బిందువును తీసుకొనుము. సందర్భం (ii) లో చెప్పిన వాదనను కొనసాగించిన \(\overline{\mathrm{AB}}\) = \(\overline{\mathrm{DE}}\) అని చెప్పవచ్చును. అప్పుడు. ΔABC ≅ ΔDEF. కింది పటములను పరిశీలించి దీనిని నీవు చేయుటకు ప్రయత్నించుము.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 7
రెండు త్రిభుజములలో రెండు జతల కోణములు, ఒక జత భుజములు సమానము. ఇక్కడ ఆ భుజము సమానముగానున్న సదృశకోణాల జతల మధ్య భుజము కాదు. అయిననూ త్రిభుజములు సర్వసమానంగా ఉంటాయా? అవి రెండూ సర్వసమానంగా ఉంటాయని మీరు గమనించవచ్చును. ఎందుకో మీరు కారణము చెప్పగలరా ?
ఒక త్రిభుజములోని కోణములు మొత్తము 180°. రెండు జతల కోణాలు సమానమైన మూడవజత కోణాలు కూడా సమానమవుతాయి. (180° – సమాన కోణాల మొత్తము).
రెండు త్రిభుజములలో రెండు జతల కోణములు మరియు ఒక జత సదృశ భుజాలు సమానమైన ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమాన త్రిభుజములు. దీనిని మనం కో.కో. భు. సర్వసమాన నియమం అంటాము.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions

2. ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజములో సమానభుజములకు ఎదురుగానున్న కోణములు సమానము. [పేజీ నెం. 159]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 8
సాధన.
ఈ ఫలితాన్ని మనము అనేక పద్ధతులలో రుజువు చేయవచ్చును. ఇక్కడ ఆ నిరూపణలలో ఒకటి ఇవ్వబడినది.
దత్తాంశము : సమద్విబాహు త్రిభుజము ABC లో
AB = AC.
సారాంశము : ∠B = ∠C.
నిర్మాణము : ∠A యొక్క కోణసమద్విఖండన రేఖ గీయుము. ఇది భుజము BC ని D బిందువు వద్ద ఖండించును.
ఉపపతి : ΔBAD మరియు ΔCAD లలో
AB = AC (దత్తాంశము)
∠BAD = ∠CAD (నిర్మాణం ప్రకారం)
AD = AD (ఉమ్మడి భుజం)
కావున ΔBAD ≅ ΔCAD
(భు.కో. భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతం)
అందువలన ∠ABD = ∠ACD
(సర్వసమాన త్రిభుజ సదృశ భుజాలు సమానం)
అనగా ∠B = ∠C (సమాన కోణాలు)

3. ఒక త్రిభుజములో సమాన కోణాలకు ఎదురుగా ఉండే భుజాలు సమానము. [పేజీ నెం. 160]
సాధన.
దీనిని మీరు ఇంతకు ముందు మనం చెప్పుకున్న సిద్ధాంతానికి విపర్యయము. కో. భు. కో. సర్వసమానత్వ నియమాన్ని ఉపయోగించి రుజువు చేయండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 9

4. (భు. భు.భు. సర్వసమానత్వ నియమం) : నిర్మాణముల ద్వారా భు.భు. భు సర్వసమానత్వ నియమము వర్తిస్తుంది. భు.భు. భు సర్వసమానత్వ నియమం నిరూపణ : [పేజీ నెం. 163]
దత్తాంశము : ΔPQR మరియు ΔXYZ లలో
PQ = XY, QR = YZ మరియు PR = XZ.
సారాంశము : ΔPQR ≅ ΔXYZ
నిర్మాణము : ∠ZYW = ∠PQR మరియు WY = PQ అగునట్లు.YWని గీయుము. XW మరియు WZలను కలుపుము.
ఉపపత్తి : ΔPQR మరియు ΔWYZ లలో
QR = YZ (దత్తాంశము)
∠PQR = ∠ZYW (నిర్మాణం)
PQ = YW (నిర్మాణం)
∴ ΔPQR ≅ ΔXYZ
(భు.కో. భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతం)
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 10
⇒ ∠P = ∠W మరియు PR = WZ
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ భాగాలు)
PQ = X (దత్తాంశము) మరియు
PQ = YW (నిర్మాణం)
∴ XY = YW
అదేవిధంగా, XY = YW
ΔXYW లలో XY = YW
⇒ ∠YWX = ∠YXW
(ఒక త్రిభుజంలో సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉన్న కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.)
ఇదేవిధంగా, ∠ZWX = ∠ZXW
∴ ∠YWX + ∠ZWX = ∠YXW + ∠ZXW
⇒ ∠W = ∠X
ఇప్పుడు, ∠W = ∠P
∴ ∠P = ∠X
ΔPQR మరియు ΔXYZ లలో
PQ = XY
∠P = ∠X
PR = XZ
∴ ΔPQR ≅ ΔXYZ
(భు.కో. భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతం)

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions

5. (లం.క.భు. సర్వసమానత్వ నియమం) :
రెండు లంబకోణ త్రిభుజములలో ఒక త్రిభుజములోని కర్ణము, భుజములు వరుసగా రెండవ త్రిభుజములోని కర్ణము, భుజములకు సమానమైన ఆ రెండు త్రిభుజములు సర్వసమాన త్రిభుజములు.
లం.క.భు. అనగా లంబకోణము – కర్ణము – భుజము.
ఇప్పుడు నిరూపణ చేద్దాం. [పేజీ నెం. 165]
దత్తాంశము : రెండు లంబకోణ త్రిభుజములు ΔABC మరియు ΔDEF లలో
∠B = 90° మరియు
∠E = 90°, AC = DF
మరియు BC = EF.
సారాంశము : ΔABC ≅ ΔDEF
నిర్మాణము : EG = AB అగునట్లు DE ని G వద్దకు పొడిగించండి. G, F లను కలపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 11
ఉపపత్తి : ΔABC మరియు ΔGEF లలో
AB = GE (నిర్మాణం ప్రకారం)
∠B = ∠FEG (ప్రతి కోణము లంబకోణము (90°))
BC = EF (దత్తాంశము)
ΔABC ≅ ΔGEF
(భు.కో. భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతం)
కావున ∠A = ∠G ……….. (1)
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ కోణాలు)
AC = GF ……….. (2)
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ కోణాలు)
ఇంకా AC = GF మరియు AC = DF
((2) మరియు దత్తాంశం)
∴ DF = GF (పై వాటి నుండి)
కావున ∠D = ∠G …… (3)
(సమాన భుజాల కెదురుగానున్న కోణాలు సమానం)
మరల ∠A = ∠D …… (4) ((1), (3) ల నుండీ)
ΔABC, ΔDEF లలో ∠A = ∠D ((4) నుండి)
∠B = ∠E (దత్తాంశము)
కావున ∠A + ∠B = ∠D + ∠E (కలుపగా)
కాని ∠A + ∠B + ∠C = 180°మరియు
(త్రిభుజకోణాల మొత్తం ధర్మం)
∠D + ∠E + ∠F = 180°
(త్రిభుజకోణాల మొత్తం ధర్మం)
180 – ∠C = 180 – ∠F
(∠A + ∠B 180° – ∠C మరియు ∠D + ∠F = 180° – ∠F)
కావున ∠C = ∠F ………. (5)
(కొట్టివేత నియమాల ప్రకారం)
ఇప్పుడు ΔABC, ΔDEF లలో
BC = EF (దత్తాంశం)
∠C = ∠F ((5) నుండి)
AC = DF (దత్తాంశం)
ΔABC ≅ ΔDER
(భు.కో.భు. సర్వసమానత్వ స్వీకృతం)

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions

6. ఒక త్రిభుజములో రెండు భుజములు అసమానముగా నున్న పెద్ద భుజానికి ఎదురుగానున్న కోణము పెద్దది.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 12
పటములో చూపినట్లు CA = CP అయ్యే విధంగా BC పై P బిందువును తీసుకొని ఈ సిద్ధాంతమును రుజువు చేయవచ్చును. [పేజీ నెం.170]

7. ఒక త్రిభుజములో పెద్ద కోణానికి ఎదురుగానున్న భుజము పొడవైనది.
ఈ సిద్ధాంతమును మనం విరోధాభాస పద్ధతి ద్వారా నిరూపించవచ్చు. [పేజీ నెం. 171]

8. ఒక త్రిభుజములో ఏవైనా రెండు భుజాల పొడవుల మొత్తము మూడవ భుజము పొడవుకన్నా ఎక్కువ.
కింది పటంలో ΔABC లో AD = AC అగునట్లు భుజము BA బిందువు D వద్దకు పొడిగించబడినది. ∠BCD > ∠BDC అని BA + AC > BC ? అని మీరు చూపించగలరా ?
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 13
పై సిద్ధాంతమునకు నిరూపణను రాబట్టగలరా ? [పేజీ నెం. 171]

కృత్యం

1. i) వృత్తలేఖిని ఉపయోగించి త్రిభుజమును నిర్మించుటకు, ఏదేని కొంత కొలతతో రేఖాఖండము AB ని గీయుము. వృత్తలేఖిని తీసుకొని దానికి సరిపడినంత’ కొలత తీసుకొని బిందువులు A, B ల వద్ద ఉంచి చాపములు గీయుము. అప్పుడు మీకు ఏ రకమైన త్రిభుజము ఏర్పడుతుంది ? అపుడు ఏర్పడినది ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము. అందువలన పటంలోని ΔABC, AC = BC కలిగిన ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము. ఇప్పుడు కోణములు ∠A, ∠B ల విలువలను కొలవండి. మీరు ఏమి గమనిస్తారు ? [పేజీ నెం. 159]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 14

ii) ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజమును కత్తిరించుము.
సర్వసమాన భాగములు ఒకదానిపై ఒకటి ఏకీభవించునట్లు ఆ త్రిభుజమును మడవండి. ∠A, ∠B ల గురించి మీరు ఏమి గమనించారు ?
అటువంటి ప్రతీ త్రిభుజములో, సమాన భుజములకు ఎదురుగా ఉండే కోణములు సమానంగా ఉండడాన్ని మీరు గమనిస్తారు.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions

2.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 15
1. ఒక ఉల్లి పొర కాగితంపై 6 సెం.మీ. పొడవుగల రేఖాఖండము BC ని గీయండి.
2. B మరియు C బిందువుల వద్ద నుండి 60° కోణము చేయునట్లు రెండు కిరణములను గీయండి. వాటి ఖండన బిందువునకు, A అని పేరు పెట్టండి.
3. B, C బిందువులు ఒకదానిపై ఒకటి ఏకీభవించునట్లు కాగితాన్ని మడత పెట్టండి. మీరు ఏమి గమనిస్తారు ? AB, AC లు సమానంగా ఉన్నాయా ? [పేజీ నెం. 160]

3. కర్ణము 5 సెం.మీ. .మరియు ఒక భుజము కొలత 3 సెం.మీ. ఉండేటట్లు ఒక లంబకోణ త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి. ఇటువంటి ఎన్ని వేర్వేరు త్రిభుజాలను మీరు నిర్మించగలరు ? మీరు నిర్మించిన త్రిభుజాన్ని మీ తరగతిలోని, ఇతర విద్యార్థుల త్రిభుజాలతో పోల్చి చూడండి. ఈ త్రిభుజాలు సర్వసమాన త్రిభుజాలు అవుతాయా? ఈ త్రిభుజాలను కత్తిరించి సమానభుజాలు ఒకదానిపై ఒకటి ఉంటేటట్లు అమర్చండి. అవసరమైతే త్రిభుజాలను తిప్పండి. మీరు ఏమి పరిశీలిస్తారు ? రెండు లంబకోణ త్రిభుజాలు సర్వ సమానమని మీరు గమనిస్తారు. రెండు లంబకోణ త్రిభుజములలో ఒక త్రిభుజము లంబకోణంలోని కర్ణము, భుజము వరుసగా రెండవ త్రిభుజంలోని కర్ణము, భుజములకు సమానం. [పేజీ నెం. 165]

4. ABC త్రిభుజాన్ని గీసి CA ని A’ బిందువు’ వరకు పొడిగించండి. (కొత్త స్థానం)
కావున A’C > AC (పొడవులను పోల్చిన)
A’, B లను కలిపి త్రిభుజము A’BC ని ఏర్పరచండి. ఇప్పుడు మీరు ∠A’BC మరియు ∠ABC గురించి ఏమి చెప్పగలరు ?
ఆ రెండు కోణములను పోల్చండి. మీరు ఏమి గమనించారు ?
స్పష్టంగా, ∠A’BC > ∠ABC
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 16
ఇదే విధంగా CA ను పొడిగించి దానిపై అనేక బిందువులను గుర్తించండి. BC భుజంగా గుర్తించిన బిందువులను కలుపుతూ త్రిభుజాలను గీయండి. భుజం AC పొడవు పెరుగుతున్నప్పుడు (బిందువు Aకు వివిధ స్థానాలు తీసుకొంటున్నప్పుడు) దానికి ఎదురుగానున్న కోణము అనగా ∠B కూడా పెరుగుతుంది. [పేజీ నెం. 169]

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions

5. ఒక విషమబాహు త్రిభుజాన్ని నిర్మించుము. (ఒక త్రిభుజములో మూడు భుజాల పొడవులు వేర్వేరుగా ఉంటాయి.) భుజాల పొడవులను కొలవండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 17
కోణాలను కొలవండి. మీరు ఏమి గమనించారు ?
ΔABC పటంలో BC ఎక్కువ పొడవుగల భుజం మరియు AC తక్కువ పొడవుగల భుజం. అదేవిధంగా ∠A పెద్దకోణం మరియు ∠B చిన్నకోణం.
కింద ఇచ్చిన త్రిభుజాలలో ప్రతి త్రిభుజానికి భుజాలు మరియు కోణాలను కొలవండి. భుజాన్ని దాని ఎదురుగా ఉండే కోణాన్ని వేరొక జతతో పోల్చినప్పుడు వాటి మధ్య ఏ సంబంధాన్ని మీరు గమనిస్తారు ? [పేజీ నెం. 169]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 18

6. AB రేఖాఖండమును గీయుము. A కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్ధముతో చాపమును గీసి దానిపై వేర్వేరు బిందువులు P, Q, R, S, T లను గుర్తించుము
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 19
ఈ బిందువులన్నింటిని A, B బిందువులతో కలుపుము (పటం చూడండి). మనం P బిందువు నుండి T బిందువువైపు కదులుతున్నప్పుడు LA క్రమంగా పెద్దదవుతుంది. దానికి ఎదురుగా ఉండే భుజం కొలత ఎలా ఉంటుంది ? దాని ఎదురుగా ఉండే భుజం కొలత కూడా పెరుగుతూ ఉండడాన్ని గమనించవచ్చును.
అనగా ∠TAB > ∠SAB > ∠RAB > ∠QAB > ∠PAB మరియు TB > SB > RB > QB > PB.
ఇప్పుడు వేరువేరు కోణముల కొలతలు గల ఒక త్రిభుజమును గీయుము. భుజాల పొడవులను కొలుచుము. (పటం చూడండి.).
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 20
పెద్ద కోణానికి ఎదురుగావున్న భుజము పొడవుగా ఉండడాన్ని గమనించవచ్చును. పటంలో, పెద్ద కోణము ∠B మరియు దాని ఎదురుగానున్న పొడవైన భుజము AC.
ఈ కృత్యమును వివిధ త్రిభుజములతో చేయుము. పై సిద్ధాంతము విపర్యయము సత్యమని గ్రహిస్తాము.
కింద ఇవ్వబడిన ప్రతి త్రిభుజం యొక్క కోణాలను, భుజాల పొడవులను కొలవండి. ప్రతి త్రిభుజంలోని ఒక్కొక్క భుజమునకు మరియు వాటి ఎదురుగానున్న కోణాలకు మధ్యగల సంబంధం ఏమై ఉంటుందనుకొంటున్నారు ?
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 21
ఈ విధంగా మనకు కింది సిద్ధాంతము వస్తుంది. [పేజీ నెం. 170]

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions

ఉదాహరణలు

1. ఇచ్చిన పటంలో AB మరియు CD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొనుచున్నాయి. OA = OB మరియు OD = OC అయిన
(i) ΔAOD = ΔBOC మరియు
(ii) AD || BC అని నిరూపించండి. [పేజీ నెం. 152]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 22
సాధన.
i) ΔAOD, ΔBOC లలో
OA = OB (దత్తాంశము)
OD = OC (దత్తాంశము)
∠AOD, ∠BOC లు ఒక జత శీర్షాభిముఖ కోణములను ఏర్పరచును.
అందువలన ∠AOD = ∠BOC.
కావున ΔAOD ≅ ΔBOC
(భు. కో. భు. సర్వసమానత్వ నియమం ప్రకారం)

ii) AOD, BOC సర్వసమానత్వ త్రిభుజాలలో సదృశభాగాలు సమానము.
కావున ∠OAD = ∠OBC మరియు ఇవి AD, BC రేఖాఖండములకు ఒక జత ఏకాంతర కోణములను ఏర్పరచును.
∴ AD || BC

2. AB ఒక రేఖాఖండము సరళరేఖ l దీనికి లంబ సమద్విఖండనరేఖ. ఈ రేఖపై P ఒక బిందువు అయిన ఈ P బిందువు A, B బిందువుల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుందని చూపుము. [పేజీ నెం. 153]
సాధన.
l ⊥ AB మరియు ఈ రేఖ l, రేఖాఖండము AB మధ్యబిందువు C గుండాపోవును.
మనము PA = PB అని చూపాలి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 23
ΔPCA మరియు ΔPCB లను తీసుకొనుము.
AC = BC (AB నకు C మధ్యబిందువు)
∠PCA = ∠PCB = 90° (దత్తాంశము)
PC = PC (ఉమ్మడి బిందువు)
కావున, ΔPCA ≅ ΔPCB (భు. కో. భు. నియమం)
అందువలన PA = PB (సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ భుజాలు కావున)

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions

3. ఇచ్చిన పటంలో AB || DC మరియు AD || BC అయిన ΔABC ≅ ΔCDA అని చూపుము. [పేజీ నెం. 155]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 24
సాధన.
ΔABC, ΔCDA లను తీసుకొనుము.
∠BAC = ∠DCA (ఏకాంతర కోణములు)
AC = CA (ఉమ్మడి భుజం)
∠BCA = ∠DAC (ఏకాంతర కోణములు)
ΔABC ≅ ΔCDA
(కో.భు.కో. సర్వసమానత్వం ప్రకారం)

4. ఇచ్చిన పటంలో AL || DC, BC మధ్య బిందువు E అయిన ΔEBL ≅ ΔECD అని చూపండి. [పేజీ నెం. 156]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 25
సాధన.
ΔEBL మరియు ΔECD లలో
∠BEL = ∠CED (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
BE = CE (BC మధ్య బిందువు E కావున)
∠EBL = ∠ECD (ఏకాంతర కోణములు)
ΔEBL ≅ ΔECD (కో.భు. కో. సర్వసమానత్వం)

5. కింది పటంలోని సమాచారమును ఉపయోగించుకొని (i) ΔDBC ≅ ΔEAC (ii) DC = EC అని రుజువు చేయుము. [పేజీ నెం.156]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 26
సాధన.
∠ACD = ∠BCE = x అనుకొనుము.
∠ACE = ∠DCE + ∠ACD
= ∠DCE + x ……… (i)
∴ ∠BCD = ∠DCE + ∠BCE
= ∠DCE + x …… (ii)
(i), (ii) ల నుండి, ∠ACE = ∠BCD
ΔDBC మరియు ΔEAC లలో
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 27
∠ACE = ∠BCD (పైన నిరూపించబడినది)
BC = AC (దత్తాంశము)
∠CBD = ∠EAC (దత్తాంశము)
ΔDBC ≅ ΔEAC (కో. భు.కో. ప్రకారం)
ΔDBC ≅ ΔEAC కావున
DC = EC
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశభుజాలు సమానం)

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions

6. AB, CD లు సమాంతరాలు. AD మధ్య బిందువు O అయిన (i) ΔAOB ≅ ΔDOC (ii) BC కూడా మధ్య బిందువు O అని నిరూపించుము. [పేజీ నెం. 156]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 28
సాధన.
i) ΔAOB మరియు ΔDOC లలో
∠ABO = ∠DCO
(AB || CD, BC తిర్యగ్రేఖ ఏకాంతర కోణాలు)
∠AOB = ∠DOC (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
OA = OD (దత్తాంశము)
∴ ΔAOB ≅ ΔDOC (కో.కో.భు. నియమం ప్రకారం)

ii) OB = OC
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశభుజాలు సమానం)
కావున BC మధ్య బిందువు O.

7. ΔABC లో ∠A యొక్క కోణసమద్విఖండనరేఖ AD, BC భుజానికి లంబంగానున్నది. అయిన AB = AC అని ΔABC సమద్విబాహు త్రిభుజమని చూపండి. [పేజీ నెం. 160]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 29
సాధన.
ΔABD మరియు ΔACD లో
∠BAD = ∠CAD (దత్తాంశము)
AD = AD (ఉమ్మడి భుజం)
∠ADB = ∠ADC = 90° (దత్తాంశము)
కావున ΔABD ≅ ΔACD (కో.భు.కో. నియమం)
దాని వలన AB = AC
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ భుజాలు)
లేదా ΔABC సమద్విబాహు త్రిభుజము.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions

8. ఇచ్చిన పటంలో AB = BC మరియు AC = CD. అయిన ∠BAD = ∠ADB = 3 : 1 అని చూపండి. [పేజీ నెం. 160]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 30
సాదన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 31
∠ADB = x అనుకొసుము.
∠ACD లో AC = CD
⇒ ∠CAD = ∠CDA = x
మరియు బాహ్యకోణం ∠ACB = ∠CAD + ∠CDA
= x + x = 2x
⇒ ∠BAC = ∠ACB = 2x.
(∵ ΔABC లో, AB = BC)
∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD
= 2x + x = 3x
మరియు \(\frac{\angle \mathrm{BAD}}{\angle \mathrm{ADB}}=\frac{3 \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=\frac{3}{1}\)
అనగా ∠BAD : ∠ADB = 3 : 1.
అందుచేత ఇది నిరూపించబడినది.

9. ఇచ్చిన పటంలో AD అనేది BC మరియు EF లు రెండింటికీ లంబము. ఇంకా ∠EAB = ∠FAC, అయిన ΔABD మరియు ΔACD లు సర్వ సమానమని చూపుము.
ఇంకా AB = 2x + 3, AC = 3y + 1, BD = x మరియు DC = y + 1 అయిన x, y విలువలు కనుగొనండి. [పేజీ నెం. 161]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 32
సాధన.
AD ⊥ EF
⇒ ∠EAD = ∠FAD = 90°
∠EAB = ∠FAC (దత్తాంశము)
⇒∠EAD – ∠EAB = ∠FAD – ∠FAC
⇒ ∠BAD = ∠CAD
ΔABD మరియు ΔACD లలో
∠BAD = ∠CAD (పైన నిరూపించబడినది)
∠ADB = ∠ADC = 90° [AD ⊥ BC దత్తాంశము]
మరియు AD = AD
∴ ΔABD ≅ ΔACD (కో.భు.కో. నియమం)
ఇది నిరూపించబడినది.
∠ABD = ∠ACD
⇒ AB = AC మరియు BD = CD
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశభాగాలు)
⇒ 2x + 3 = 3y + 1 మరియు x = y + 1
⇒ 2x + 3y = – 2 మరియు x – y = 1
సమీకరణాలను సాధించగా 2(1 + y) – 3y = -2
x = 1+ y
2 + 2y – 3y = -2
– y = – 2 – 2
– y = -4
సమీకరణాలు సాధించగా y = 4 లో
x = 1 + y
x = 1 + 4
x = 5

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions

10. ΔABC లో సమాన భుజాలు AB, AC ల మధ్యబిందువులు వరుసగా E మరియు F (పటాన్ని చూడుము), BF = CE అని చూపండి. [పేజీ నెం. 162]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 33
సాధన.
ΔABF మరియు ΔACE లలో
AB = AC (దత్తాంశము)
∠A = ∠A (ఉమ్మడి కోణము)
AF = AE (సమానభుజాలలో సగాలు)
కావున ΔABF ≅ ΔACE (భు.కో.భు. నియమం)
∴ BF = CE
(సర్వసమాన త్రిభుజాలలోని సదృశ భుజాలు సమానం)

11. ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము ABC లో AB = AC, D మరియు E బిందువులు BC పై BE = CD అయ్యేటట్లున్న బిందువులు (పటాన్ని చూడండి) అయిన AD = AE అని చూపండి. [పేజీ నెం. 162]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 34
సాధన.
ΔABD మరియు ΔACE లలో
AB = AC (దత్తాంశము) ………… (1)
∠B = ∠C (సమాన భుజాలకు ఎదురుగానున్న సమాన కోణాలు) …….(2)
ఇంకా BE = CD
కావున BE – DE = CD – DE
అనగా BD = CE …………. (3)
కావున ΔABD ≅ ΔACE
((1), (2), (3) ల నుండి మరియు భు.కో.భు. నియమం).
దీని నుండి AD = AE
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ భుజాలు)

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions

12. ABCD చతుర్భుజములో AB = CD, BC = AD అయిన ΔABC ≅ ΔCDA అని నిరూపించండి. [పేజీ నెం. 164]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 35
సాధన.
ΔABC మరియు ΔCDA లలో
AB = CD (దత్తాంశము)
AD = BC (దత్తాంశము)
AC = CA (ఉమ్మడి భుజం)
ΔABC ≅ ΔCDA
(భు.భు.భు. సర్వసమానత్వ నియమం)

13. AB ఒక రేఖాఖండము. P మరియు Q అనే బిందువులు ABకి రెండు వైపులలో A, Bలకు సమానదూరంలో ఉన్నాయి. (పటాన్ని చూడండి) అయిన PQ రేఖ ABకి లంబసమద్విఖండనరేఖ అని చూపండి. [పేజీ నెం. 166]
సాధన.
PA = PB మరియు QA = QB అని ఇవ్వబడినది.
మీరు PQ, AB కి లంబమని మరియు దానిని సమద్విఖండన చేస్తుందని చూపాలి. PQ, AB ని C బిందువు వద్ద ఖండించుననుకొనుము.
ఈ పటంలో రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాల గురించి మీరు ఆలోచించగలరా ?
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 36
ΔPAQ మరియు ΔPBQ తీసుకోండి.
ఈ త్రిభుజములలో
AP = BP (దత్తాంశము)
AQ = BQ (దత్తాంశము)
PQ = PQ (ఉమ్మడి భుజం)
కావున ΔPAQ ≅ ΔPBQ
(భు. భు. భు. సర్వసమానత్వ నియమం)
∴ ∠APQ = ∠BPQ
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ కోణాలు).
ΔPAC మరియు ΔPBC లలో
AP = BP (దత్తాంశము)
∠APC = ∠BPC
(∠APQ = ∠BPQ పైన నిరూపించబడినది)
PC = PC (ఉమ్మడి భుజం)
కావున ΔPAC ≅ ΔPBC (భు. కో.భు. నియమం)
AC = BC ……….. (1)
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ భుజాలు)
మరియు ∠ACP = ∠BCP
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ కోణాలు)
ఇంకా ∠ACP + ∠BCP = 180° (రేఖీయద్వయం)
కావున 2∠ACP = 180°
లేదా ∠ACP = 90° ………… (2)
(1), (2) ల నుండి PQ, AB కి లంబసమద్విఖండన రేఖ అని చెప్పవచ్చును.
[గమనించవలసిన విషయమేమంటే ΔPAQ, ΔPBQ ల సర్వసమానత్వం రుజువు చేయకుండా ΔPAC = ΔPBC అని నిరూపించలేము.
AP = BP (దత్తాంశము)
PC = PC (ఉమ్మడి భుజము)
మరియు ∠PAC = ∠PBC (AAPB లో సమాన భుజాలకు ఎదురుగానున్న సమానకోణాలు)
దీని నుండి ఇవి రెండూ సర్వసమానం కాదు ఎందుకంటే ఈ ఫలితము భు. భు, కో. నియమాన్ని ఇస్తుంది. కాని త్రిభుజాల సర్వసమానత్వానికి ఈ నియమం ఎల్లప్పుడూ నిజంకాదు. ఇంకా కోణం జత సమానభుజాల జతల మధ్యకోణము కాదు.]

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions

14. l, mరేఖలు A బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి. P బిందువు ఈ రేఖలకు సమాన దూరంలో ఉంది. (పటం చూడండి). AP రేఖ l, m ల మధ్య ఏర్పడిన కోణాన్ని సమద్విఖండన చేస్తుందని చూపండి. [పేజీ నెం. 167]
సాధన.
l, m రేఖలు A బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి.
PB, l కు లంబము అనుకొనుము. PC ⊥ m.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 37
PB = PC అని ఇవ్వబడినది.
∠PBA = ∠PCA = 90° అని చూపాలి.
ΔPAB, ΔPAC లలో
PB = PC (దత్తాంశము)
∠PBA = ∠PCA = 90° (దత్తాంశము)
PA = PA (ఉమ్మడి భుజం)
కావున ΔPAB ≅ ΔPAC (లం.క.భు. నియమం)
కావున ∠PAB = ∠PAC
(సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశకోణాలు)

15. ΔABC లో AD = AC అగునట్లు భుజం BC పై D ఒక బిందువు (పటం చూడండి).
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు InText Questions 38
అయిన AB > AD అని చూపండి. [పేజీ నెం.171]
సాధన.
ΔDAC లలో
AD = AC (దత్తాంశము)
కానీ, ∠ADC = ∠ACD
(సమాన భుజాలకు ఎదురుగానున్న కోణాలు)
ఇప్పుడు, ∠ADC, ΔABD కి బాహ్య కోణము.
కావున ∠ADC > ∠ABD
లేదా ∠ACD > ∠ABD
లేదా ∠ACB > ∠ABC
అప్పుడు AB > AC
(ΔABC లో పెద్దకోణానికి ఎదుటి భుజం)
లేదా AB > AD (AD = AC కావున)

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 8th Lesson చతుర్భుజాలు Exercise 8.3

ప్రశ్న 1.
సమాంతర చతుర్భుజము ఎదుటి కోణాలు (3x – 2)° మరియు (x + 48)° అయిన సమాంతర చతుర్భుజములో ప్రతీ కోణాన్ని కనుగొనండి.
సాధన.
సమాంతర చతుర్భుజము ఎదుటి కోణాలు
(3x – 2)° మరియు (x + 48)°
సమాంతర చతుర్భుజంలో ఎదుటి కోణాలు సమానము.
3x – 2 = x + 48
3x – x = 48 + 2
2x = 50
x = \(\frac {50}{2}\) = 25°
∴ ఇచ్చిన కోణాలు (3x – 2)° (x + 48)°
= 3x – 2 = (3 × 25 – 2)° = (75 – 2)° = 73°
x + 48° = (25 + 48)° = 73°
సమాంతర చతుర్భుజంలోని వరుస కోణాలు సంపూరకాలు కావున మిగిలిన రెండు కోణాలు (180° – 73°) మరియు (180° – 73°) = 107° మరియు 107°
∴ నాలుగు కోణాలు 78°, 107°, 73° మరియు 107°.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3

ప్రశ్న 2.
సమాంతర చతుర్భుజములో ఒక కోణం, అతి చిన్న కోణమునకు రెట్టింపు కన్నా 24° తక్కువ అయిన సమాంతర చతుర్భుజంలో అన్ని కోణాలను కనుగొనుము.
సాధన.
సమాంతర చతుర్భుజములోని అతి చిన్న కోణం = x
దాని ఆసన్న కోణము = (180 – x)°
లెక్క ప్రకారము (180 – x)° = (2x – 24)°
(∵ ఎదుటి కోణాలు సమానము)
180 + 24 = 2x + x
3x = 204
x = \(\frac {204}{3}\) = 68°
∴ మిగిలిన కోణాలు 68°; (2 × 68 – 24)°
68°; (2 × 68 – 24)°
= 68°, 112°, 68°, 112°

ప్రశ్న 3.
కింది పటంలో ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము. BC యొక్క మధ్య బిందువు E. AB మరియు DE లను F వరకు పొడిగించిన, AF = 2AB అని నిరూపించండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3 1
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3 2
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
E, BC యొక్క మధ్య బిందువు.
G, AD యొక్క మధ్య బిందువు.
G మరియు E లను కలుపుము.
∆AFD లో AD మరియు DF ల మధ్య బిందువులను కలుపగా
GE // AF మరియు GE = \(\frac {1}{2}\) AF
కాని GE = AB [∵ ABEG సమాంతర చతుర్భుజంలో AB, GE లు ఒక జత ఎదుటి భుజాలు]
∴ \(\frac {1}{2}\)AF = AB
∴ AF = 2AB

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3

ప్రశ్న 4.
కింది పటంలో ABCDఒక సమాంతర చతుర్భుజము. AB, DCల యొక్క మధ్య బిందువు P మరియు Qలు అయిన PBCQ ఒక సమాంతర చతుర్భుజమని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3 3
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3 4
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము
P,Qలు AB, CDల మధ్య బిందువులు.
P, Qలను కలుపుము.
AB = CD (సమాంతర చతుర్భుజ ఎదుటి భుజాలు)
\(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)CD
PB = QC మరియు PB//QC.
చతుర్భుజం PBCQ లో PB = QC; PB//QC
కావున ☐PBCQ ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.

ప్రశ్న 5.
ABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము మరియు AB = AC. బాహ్యకోణం QAC నకు AD సమద్విఖండనరేఖ అయితే
(i) \(\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}\)
(ii) ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజమని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3 5
సాధన.
∆ABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము; AB = AC
\(\angle \mathrm{QAC}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ AD.
(i) ∆ABC లో, AB = AC ⇒ \(\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{ACB}\)
(సమాన భుజాలకు ఎదుటి కోణాలు)
\(\angle \mathrm{QAC}=\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{ACB}\)
\(\angle \mathrm{QAC}=\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{BCA}\)
(∵ \(\angle \mathrm{QAC}=\angle \mathrm{B}\))
⇒ \(\frac {1}{2}\) \(\angle \mathrm{OAC}\) = \(\frac {1}{2}\) [2\(\angle \mathrm{BCA}\)]
⇒ \(\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}\) [∵ \(\angle \mathrm{QAC}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ AD]

(ii) సమస్య (i) నుండి \(\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}\)
ఈ కోణాలు, AD మరియు BC రేఖలను AC అను తిర్యగ్రేఖ ఖండించడం వలన ఏర్పడిన ఏకాంతర కోణాలు.
∴ AD // BC
చతుర్భుజం ABCD లో AB // DC; BC / AD
∴ ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3

ప్రశ్న 6.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము AP మరియు CQలు శీర్షాలు A మరియు Cల నుండి కర్ణం BD పైకి గీచిన లంబాలు (పటంలో చూడండి) అయిన (i) ∆APB ≅ ∆CQD (ii) AP = CO అని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3 6
సాధన.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము మరియు
BD ఒక కర్ణము.
AP ⊥ BD మరియు CQ ⊥ BD
(i) ∆APB మరియు ∆CQD లలో
AB = CD (∵ సమాంతర చతుర్భుజము ABCD యొక్క ఎదుటి భుజాలు)
\(\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{CQD}\) = 90°
\(\angle \mathrm{PBA}=\angle \mathrm{QDC}\) (ఒకదాని తరువాత ఒకటి ఏర్పడు అంతర కోణాలు)
∴ ∆APB ≅ ∆CQD (కో.కో.భు. నియమం ప్రకారం)

(ii) సమస్య (i) నుంచి ∆APB ≅ ∆CQD
⇒ AP = CQ (CPCT)

ప్రశ్న 7.
∆ABC మరియు ∆DEF లలో AB//DE; BC= EF మరియు BC//EF. శీర్షాలు A, B మరియు Cలు వరుసగా D, E మరియు F లకు కలుపబడినవి (పటం చూడండి) అయిన
(i) ABED ఒక సమాంతర చతుర్భుజము
(ii) BCFE ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
(iii) AC = DF
(iv) ∆ABC ≅ ∆DEF అని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3 7
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3 8
దత్తాంశము నుండి AB//DE; BC = EF
చతుర్భుజం ☐BCFE లో
BC = EF మరియు BC//EF
కావున ☐BCFE ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
చతుర్భుజము ☐ABED లో
AB//ED మరియు AB = ED
కావున ☐ABED ఒక సమాంతర చతుర్భుజము
∆ABC మరియు ∆DEF లలో
AB = DE
BC = EF
\(\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{DEF}\) (సమాంతర భుజాల రెండు కోణాలు)
∴ ∆ABC ≅ ∆DEF
⇒ AC = DF (∵ CPCT)
(లేక)
AD = BE = CF ((i) మరియు (ii) ల నుండి)
ACFD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
ఆ విధముగా AC = DF (∵ సమాంతర చతుర్భుజపు ఎదుటి భుజాలు)

ప్రశ్న 8.
ABCDఒక సమాంతర చతుర్భుజము. AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకున్నాయి. P, Qలు BD కర్ణంపై త్రిథాకరించబడిన బిందువులైన CQ//AP మరియు AC కర్ణం, PQను సమద్విఖండన చేయునని చూపండి (పటం చూడండి).
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3 9
సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
BD దాని యొక్క కర్ణము.
P మరియు Qలు BD పై సమత్రిఖండన బిందువులు.
∆APB మరియు ∆CQD లలో
AB = CD(∵ //gm ABCD యొక్క ఎదుటి భుజాలు)
BP = DQ (దత్తాంశము)
\(\angle \mathrm{ABP}=\angle \mathrm{CDQ}\) (AB, DC సమాంతర రేఖలను BD అను తిర్యగ్రేఖ ఖండించగా ఏర్పడు ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∆APB ≅ ∆CQD (భు.కో.భు. నియమము)
అదే విధముగా ∆AQD మరియు ∆CPB లలో
AD = BC (//gm ABCD యొక్క ఎదుటి భుజాలు)
DQ = BP (దత్తాంశము)
\(\angle \mathrm{ADQ}=\angle \mathrm{CBP}\)
(AD మరియు BC సమాంతర రేఖలను \(\overline{\mathrm{BD}}\) తిర్యగ్రేఖ ఖండించగా ఏర్పడిన ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∆AQD ≅ ∆CPB
చతుర్భుజము ☐APCQ లో
AP = CQ(∵ ∆APB, ∆CQDల యొక్క CPCT)
AQ = CP(∵ ∆AQD, ∆CPBల యొక్క CPCT)
∴ ☐APCQ ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
∴ CQ// AP (//gm APCQ యొక్క ఎదుటి భుజాలు) మరియు AC, PQ ను సమద్విఖండన చేస్తుంది.
[∵ //gm APCQ యొక్క కర్ణాలు)

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3

ప్రశ్న 9.
ABCD ఒక చతురస్రము. E, F, G మరియు Hలు వరుసగా AB, BC, CD మరియు DA లపై గల బిందువులు AE = BF – CG = DH అయినచో EFGH ఒక చతురస్రమని చూపండి.
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3 10
దత్తాంశం నుండి ABCD ఒక చతురస్రము.
AB, BC, CD మరియు DA భుజాల మధ్య బిందువులు E, F, G, మరియు H లు మరియు AE = BF = CG = DH.
∆ABC లో E, F లు AB మరియు BC ల మధ్య బిందువులు.
∴ EF // AC మరియు EF = \(\frac {1}{2}\) AC
అదే విధముగా GH//AC మరియు GH = AC
GF//BD మరియు GF = \(\frac {1}{2}\)BD
HE//BD మరియు HE = \(\frac {1}{2}\)BD
కాని AC = BD (∵ చతురస్రము యొక్క కర్ణాలు)
∴ EF = FG = GH = HE
∴ EFGH ఒక రాంబస్ మరియు AC ⊥ BD (∵ రాంబస్ యొక్క కర్ణాలు)
∴ //gm OIEJ లో \(\angle \mathrm{IOJ}=\angle \mathrm{E}\) [∵ ఎదుటి కోణాలు]
∴ \(\angle \mathrm{E}\)= 90°
చతుర్భుజం EFGH లో అన్ని భుజాలు సమానము మరియు ఒక కోణం 90° కావున EFGH ఒక చతురస్రము.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 7th Lesson త్రిభుజాలు Exercise 7.4

ప్రశ్న 1.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజములో కర్ణము అతి పొడవైన భుజమని నిరూపించండి.
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4 1
ΔABC లో ∠B లంబకోణము అయిన
∠A + ∠C = 90°
∠A మరియు ∠C లు రెండూ అల్పకోణాలే.
∠A < ∠B ⇒ BC < AC
అదే విధముగా,
∠C < ∠B ⇒ AB < AC
∴ కర్ణము AC త్రిభుజములో పొడవైన భుజము.

ప్రశ్న 2.
కింది పటంలో ΔABC లో భుజాలు AB, AC లు వరుసగా P, Q బిందువులకు పొడిగించబడినవి. ఇంకనూ ∠PBC < ∠QCB. అయిన AC > AB అని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4 2
సాధన.
పటం నుండి,
∠PBC = ∠A + ∠ACB
∠QCB = ∠A + ∠ABC
దత్తాంశం నుండి, ∠PBC < ∠QCB
⇒ ∠A + ∠ACB < ∠A + ∠ABC
⇒ ∠ACB < ∠ABC
⇒ AB < AC
∴ AC > AB

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4

ప్రశ్న 3.
కింది పటంలో ∠B < ∠A మరియు ∠C < ∠D అయిన AD < BC అని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4 3
సాధన.
దత్తాంశం నుండి, ∠B < ∠A; ∠C < ∠D
∠B < ∠A ⇒ AO < OB [ΔAOB లో] ….. (1)
∠C < ∠D ⇒ OD < OC [ΔCOD లో] …… (2)
(1) & (2) లను కలుపగా,
AO + OD < OB + OC
AD < BC

ప్రశ్న 4.
చతుర్భుజం ABCD లో AB అతి చిన్న భుజం మరియు CD అతి పొడవైన భుజం (క్రింది పటమును చూడండి). అయిన ∠A > ∠Cమరియు ∠B > ∠D అని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4 4
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4 5
చతుర్భుజం ABCD లో AB అతి చిన్న భుజం మరియు CD అతి పొడవైన భుజము.
పటం నుండి, ΔBCD లో,
∠1 > ∠2 [∵ DC > BC …… (1)
ΔBDA లో, ∠4 > ∠3 [∵ AD > AB] …… (2)
(1) మరియు (2) లను కూడగా,
∠1 + ∠4 > ∠2 + ∠3
∠B > ∠D
అదే విధముగా,
ΔABC లో, ∠6 < ∠7 [∵ AB < BC) ……. (3)
ΔACD లో, ∠5 < ∠8 ……….. (4)
(3) మరియు (1) లను కూడగా,
∠6 + ∠5 < ∠7 + ∠8
∠C < ∠A ⇒ ∠A > ∠C
∴ ∠A > ∠C మరియు ∠B > ∠D

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4

ప్రశ్న 5.
క్రింది పటంలో PR > PQ మరియు ∠QPR కోణ సమద్విఖండన రేఖ PS అయిన ∠PSR > ∠PSQ అని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4 6
సాధన.
దత్తాంశం నుండి,
PR > PQ; ∠QPS = ∠RPS
PR > PQ అయిన ∠Q > ∠R
∠Q + ∠QPS > ∠R + ∠RPS
⇒ 180° – (∠Q + ∠QPS) < 180° – (∠R + ∠RPS)
⇒ ∠PSQ < ∠PSR
∴ ∠PSR > ∠PSQ

ప్రశ్న 6.
ఒక త్రిభుజము రెండు భుజాల కొలతలు 4 సెం.మీ. మరియు 6 సెం.మీ. అయిన మూడవ భుజం కొలతగా ఉండడానికి సాధ్యమయ్యే అన్ని ధనాత్మక పూర్ణ సంఖ్యల విలువలు కనుగొనండి. అటువంటి ఎన్ని త్రిభుజాలు సాధ్యమవుతాయి ?
సాధన.
ఒక త్రిభుజము యొక్క రెండు భుజాల కొలతలు 4 సెం.మీ. మరియు 6 సెం.మీ.
∴ మూడవ భుజము > మిగిలిన రెండు భుజాల మధ్య భేదము
మూడవ భుజము > 6 – 4
మూడవ భుజము > 2
అదే విధముగా, మూడవ భుజము < మిగిలిన రెండు భుజాల మొత్తము
మూడవ భుజము. < 6 + 4
మూడవ భుజము < 10
∴ మూడవ భుజం కొలతగా ఉండడానికి సాధ్యమయ్యే ధనాత్మక పూర్ణ సంఖ్యలు 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., 5 సెం.మీ., 6 సెం.మీ., 7 సెం.మీ., 8 సెం.మీ., 9 సెం.మీ.
∴ అటువంటి త్రిభుజాలు ‘7’ సాధ్యమవుతాయి.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.4

ప్రశ్న 7.
5 సెం.మీ., 8 సెం.మీ., 1 సెం.మీ. కొలతతో ఒక త్రిభుజాన్ని నిర్మించడానికి ప్రయత్నించండి. ఈ నిర్మాణం సాధ్యమా ? కాదా ? మీ వివరణను రాయండి.
సాధన.
5 సెం.మీ. మరియు 1 సెం.మీ. భుజాల మొత్తము 6 సెం.మీ. ఇది మూడవ భుజము కొలత కన్నా తక్కువగా వున్నది. కావున ఇది అసాధ్యము.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.2

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 8th Lesson చతుర్భుజాలు Exercise 8.2

ప్రశ్న 1.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము మరియు ABEF ఒక దీర్ఘచతురస్రము అయిన ∆AFD ≅ ∆BEC అని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.2 1
సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
☐ABEF ఒక దీర్ఘచతురస్రము.
∆AFD మరియు ∆BEC లలో
AF = BE (∵ ☐ABEF దీర్ఘచతురస్రపు ఎదుటి భుజాలు)
AD = BC (∵ ☐ABCD సమాంతర చతుర్భుజపు ఎదుటి భుజాలు)
DF = CE (∵ AB = DC = DE + EC
AB = EF = DE + DF)
∴ ∆AFD ≅ ∆BEC (భు. భు. భు నియమం)

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.2

ప్రశ్న 2.
రాంబలో కర్ణాలు దానిని నాలుగు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజిస్తాయని నిరూపించండి.
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.2 2
☐ABCD ఒక రాంబస్.
AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొనును అనుకొనుము.
∆AOB మరియు ∆COD లలో
\(\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OCD}\) (ఏకాంతర కోణాలు)
AB = CD (రాంబస్ నిర్వచనం)
\(\angle \mathrm{OBA}=\angle \mathrm{ODC}\)……. (1) (ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∆AOB ≅ ∆COD (కో.భు.కో. నియమం)
⇒ AO = OC (CPCT)
మరియు ∆AOD ≅ ∆COD ……… (2) [∵ AO = OC; AD = CD; OD = OD భు.భు.భు. నియమం]
అదే విధముగా,
∆AOD ≅ ∆COB …. (3) అని నిరూపించవచ్చును.
(1), (2) మరియు (3) ల నుండి,
∆AOB ≅ ∆BOC ≅ ∆COD ≅ ∆AOD
∴ రాంబస్ కర్ణాలు రాంబను 4 సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజించును.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.2

ప్రశ్న 3.
ABCD చతుర్భుజములో \(\angle \mathrm{C}\) మరియు \(\angle \mathrm{D}\)ల యొక్క సమద్విఖందన రేఖలు O వద్ద ఖండించుకుంటే \(\angle \mathrm{COD}\) = \(\frac {1}{2}\) (\(\angle \mathrm{A}\) + \(\angle \mathrm{B}\)) అని చూపండి.
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.2 3

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.1

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 8th Lesson చతుర్భుజాలు Exercise 8.1

ప్రశ్న 1.
కింది ప్రవచనాలు ‘సత్యమో’ లేదా ‘అసత్యమో’ తెలపండి.
(i) ప్రతి సమాంతర చతుర్భుజము ఒక ట్రెపీజియం అగును.
(ii) అన్ని సమాంతర చతుర్భుజాలు, చతుర్భుజాలే.
(iii) అన్ని ట్రెపీజియమ్ లు, సమాంతర చతుర్భుజాలే.
(iv) చతురస్రము అనేది రాంబస్ అవుతుంది.
(v) ప్రతి రాంబస్ కూడా ఒక చతురస్రము.
(vi) అన్ని సమాంతర చతుర్భుజాలు, దీర్ఘచతురస్రాలే.
సాధన.
(i) సత్యము
(ii) సత్యము
(iii) అసత్యము
(iv) సత్యము
(v) అసత్యము
(vi) అసత్యము

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.1

ప్రశ్న 2.
కింది పట్టికలో చతుర్భుజ ధర్మాలు ఆయా పటాలకు వర్తిస్తే “అవును” అనీ, వర్తించకపోతే “కాదు” అనీ రాయండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.1 1
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.1 2
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.1 3

ప్రశ్న 3.
ABCD ట్రెపీజియంలో AB || CD, AD = BC అయితే \(\angle \mathrm{A}\) = \(\angle \mathrm{B}\) మరియు \(\angle \mathrm{C}\) = \(\angle \mathrm{D}\) అవుతాయని చూపండి.
సాధన.
ABCD ట్రెపీజియంలో AB || CD; AD = BC, DC = AE అగునట్లుగా AB పై ‘E’ బిందువును గుర్తించుము.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.1 4
E మరియు C లను కలుపుము.
AECD చతుర్భుజంలో
∴ AE // DC మరియు AE = DC
∴ AECDఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
∴ AD//EC
\(\angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{CEB}\) (ఆసన్న కోణాలు) ……….. (1)
ΔCEB లో CE = CB (∵ CE = AD)
∴ \(\angle \mathrm{CEB}=\angle \mathrm{CBE}\) (సమాన భుజాలకెదురుగా వున్న కోణాలు) …….. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి,
\(\angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{CBE}\) ⇒ \(\angle \mathrm{A}\) = \(\angle \mathrm{B}\)
\(\angle \mathrm{D}\) = \(\angle \mathrm{AEC}\) (∵ సమాంతర చతుర్భుజంలోని ఎదురు కోణాలు)
= \(\angle \mathrm{ECB}+\angle \mathrm{CBE}\) [∵ ΔBCE యొక్క బాహ్య కోణము \(\angle \mathrm{AEC}\))
= \(\angle \mathrm{ECB}+\angle \mathrm{CEB}\) [∵ \(\angle \mathrm{CBE}=\angle \mathrm{CEB}\)
= \(\angle \mathrm{ECB}+\angle \mathrm{ECD}\) [∵ \(\angle \mathrm{ECD}=\angle \mathrm{CEB}\) ఏకాంతర కోణాలు]
= \(\angle \mathrm{BCD}\) = \(\angle \mathrm{C}\)
∴ \(\angle \mathrm{C}\) = \(\angle \mathrm{D}\)

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.1

ప్రశ్న 4.
చతుర్భుజములో కోణాల నిష్పత్తి 1 : 2 : 3 : 4 అయిన ప్రతీ కోణం కొలతను కనుగొనండి.
సాధన.
చతుర్భుజములోని కోణాల నిష్పత్తి = 1 : 2 : 3 : 4
కోణ నిష్పత్తుల మొత్తము = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
చతుర్భుజంలోని నాలుగు కోణాల మొత్తము = 360°
∴ మొదటి కోణ పరిమాణము = \(\frac {1}{10}\) × 360° = 36°
రెండవ కోణ పరిమాణము = \(\frac {2}{10}\) × 360° = 72°
మూడవ కోణ పరిమాణము = \(\frac {3}{10}\) × 360° = 108°
నాల్గవ కోణ పరిమాణము = \(\frac {4}{10}\) × 360° = 144°

ప్రశ్న 5.
ABCD ఒక దీర్ఘచతురస్రము AC కర్ణం అయిన ∆ACD లో కోణాలను కనుగొనండి. కారణాలు తెలపండి.
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.1 5
ABCD ఒక దీర్ఘచతురస్రము; AC ఒక కర్ణము.
∆ACD లో \(\angle \mathrm{D}\) = 90° [∵ \(\angle \mathrm{D}\) దీర్ఘచతురస్రపు ఒక కోణము]
\(\angle \mathrm{A}\) + \(\angle \mathrm{C}\) = 90° [∵ \(\angle \mathrm{D}\) = 90° ⇒ \(\angle \mathrm{A}\) + \(\angle \mathrm{C}\) = 180° – 90° = 90°]
\(\angle \mathrm{D}\) లంబకోణము మరియు \(\angle \mathrm{A}\), \(\angle \mathrm{C}\)లు పూరకాలు.