Category: Class 9

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Ex 10.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Exercise 10.3

ప్రశ్న 1.
శంఖువు భూ వైశాల్యం 38.5 చ.సెం.మీ. మన పరిమాణం 77 మ. సెం.మీ. అయిన దాని యొక్క ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
శంఖువు యొక్క భూ వైశాల్యం, πr² = 38.5 సెం.మీ².
శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం V = \(\frac {1}{3}\)πr²h = 77

∴ శంఖువు యొక్క ఎత్తు = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
శంఖువు ఘనపరిమాణం 462 ఘనపు మీటర్లు. భూ వ్యాసార్థం 7 మీటర్లు అయిన దాని ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
శంఖువు ఘనపరిమాణం V = \(\frac {1}{3}\)πr²h = 462 ఘ॥మీ.
వ్యాసార్ధము ‘r’ = 7 మీ.
ఎత్తు = h అనుకొనుము.
\(\frac {1}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 × h = 462
h = \(\frac{462 \times 3}{22 \times 7}\) = 9
∴ ఎత్తు = 9 మీ.

ప్రశ్న 3.
ఒక శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యం 308 చ.సెం.మీ. మరియు ఏటవాలు ఎత్తు 14 సెం.మీ. అయిన
(i) భూ వ్యాసార్ధం (ii) శంఖువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన.
శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యం , πrl = 308 చ. సెం.మీ.
ఏటవాలు ఎత్తు, l = 14 సెం.మీ.
(i) πrl = 308 చ. సెం.మీ. ; l = 14 సెం.మీ.
\(\frac {22}{7}\) × r × 14 = 308
⇒ r = \(\frac {308}{44}\) = 7 సెం.మీ.

(ii) శంఖుపు సంపూర్ణతల వైశాల్యం = πr (r + l)
\(\frac {22}{7}\) × 7 × (7 + 14)
= 22 × 21 = 462 సెం.మీ².

ప్రశ్న 4.
చ.సెం.మీ.కు 25 పైసల వంతున ఒక శంఖువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యమంతటికి రంగువేయటానికి అయ్యే ఖర్చు ₹176 అయిన, ఏటవాలు ఎత్తు 25 సెం.మీ. అయినప్పుడు దాని ఘనపరిమాణం కనుక్కోండి.
సాధన.
శంఖువు యొక్క ఏటవాలు ఎత్తు, l = 25 సెం.మీ.
25 పైసల వంతున చ.సెం.మీ.కు ఆగు ఖర్చు = ₹ 176
∴ శంఖువు యొక్క సంపుర్ణతల వైశాల్యం
= \(\frac {176}{25}\) × 100 = 176 × 4 = 704 సెం.మీ².
శంఖువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = πr(r + l)
= 704సెం.మీ²
కాబట్టి \(\frac {22}{7}\)r(r + 25) = 704
r(r + 25) = \(\frac{704 \times 7}{22}\) = 224
r² + 25r = 224
⇒ r² + 25r – 224 = 0
⇒ r² + 32r – 7r – 224 = 0
⇒ r(r +32) – 7 (r + 32) = 0
⇒ (r + 32) (r – 7) = 0
⇒ r = 7
h = \(\sqrt{l^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{25^{2}-7^{2}}=\sqrt{625-49}\)
= \(\sqrt{576}\)
= 24 సెం.మీ.
∴ శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం = \(\frac {1}{3}\)πr²h
= \(\frac {1}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 × 24
= 22 × 7 × 8 = 1232 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 5.
15 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల ఒక వృత్తాకార దళసరి కాగితం నుండి 216° సెక్టరు కోణం గల సెక్టరును కత్తిరించి దాని అంచులతో యున్న వ్యాసార్థములను వంచి శంఖువుగా మలిస్తే దాని యొక్క ఘనపరిమాణం ఎంత?
సాధన.
సెక్బారు యొక్క వ్యాసార్థం, ‘r’ = 15 సెం.మీ.
సెక్బారు కోణము, ‘x’ = 216°
∴ సెక్బారు పొడవు (l) = \(\frac {x}{360}\) × 2πr
= \(\frac {216}{360}\) × 2πr = \(\frac {3}{5}\) (2πr)
శంఖువు యొక్క చుట్టుకొలత = చాపము పొడవు శంఖువు యొక్క 2πr = వృత్తం యొక్క శంఖువు యొక్క వ్యాసార్థం ‘r’ = \(\frac {3}{5}\) × 15 = 9
వృత్త వ్యాసార్ధము, ‘r’ = శంఖువు యొక్క ఏటవాలు ఎత్తు (l) = 9 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఎత్తు (h) = \(\sqrt{l^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{225-81}\)
= \(\sqrt{144}\) = 12 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఘనపరిమాణము = \(\frac {1}{3}\) πr²h
= \(\frac {1}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 9 × 9 × 12
= 1018.285 ఘ. సెం.మీ.
= 1018.3 ఘ. సెం.మీ. (సుమారుగా)

ప్రశ్న 6.
ఒక గుదారం యొక్క ఎత్తు 9 మీ. దాని యొక్క వ్యాసం 24 మీ. అయిన దాని ఏటవాలు ఎత్తు ఎంత ? గుదారంను తయారుచేయడానికి కావలసిన గుడ్డ వెల చ.మీ. ₹14 అయిన మొత్తం గుడ్డ వెల ఎంత ?
సాధన.
శంఖు ఆకారపు ‘టెంట్ ఎత్తు ‘h’ = 9 మీ.
భూ వ్యాసము = 24 మీ.
భూ వ్యాసార్ధము ‘r’ = \(\frac{d}{2}=\frac{24}{2}\) = 12 మీ.
కాన్వాసు ఖరీదు = ₹14 చ.మీ.కు
శంఖువు వక్రతల వైశాల్యము = πrl
l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}\)
= \(\sqrt{225}\) = 15 మీ.
∴ వక్రతల వైశాల్యం = πrl = \(\frac {22}{7}\) × 12 × 15
చ.మీ.కు ₹14 చొప్పున అయిన ఖర్చు
= 14 × \(\frac {22}{7}\) × 12 × 15 = ₹7920

ప్రశ్న 7.
శంఖువు యొక్క ప్రకృతల వైశాల్యం 1159\(\frac {5}{9}\) చ.సెం.మీ. దాని యొక్క భూవైశాల్యం 254\(\frac {4}{7}\) చ.సెం.మీ. అయిన . దాని ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనుము.
సాధన.
శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= 1159\(\frac {5}{7}\) చ. సెం.మీ.
శంఖువు భూ వైశాల్యము = πr² = 254\(\frac {4}{7}\) చ.సెం.మీ.
\(\frac {22}{7}\) × r² = \(\frac {1782}{7}\)
∴ r² = \(\frac{1782}{7} \times \frac{7}{22}=\frac{1782}{22}\) = 81
= 178 x 7 – 1782 = 81
⇒ \(\sqrt{81}\) = 9 సెం.మీ.

πrl = \(\frac {8118}{7}\) చ.మీ. కావున

ప్రశ్న 8.
ఒక గుడారం 4.8 మీ. ఎత్తుగల స్థూపాకారంగా ఉంది. దానిపై 4.5 మీ. భూవ్యాసార్థం, కేంద్రం నుండి 10.8 మీ. ఎత్తు ఉండే విధముగా ఒక శంఖువు అమర్చబడి ఉంది. అయిన గుడారము తయారు చేయుటకు కావలసిన గుడ్డ వైశాల్యం ఎంత?
సాధన.

స్థూపపు వ్యాసార్ధం, l = 4.5 మీ.
స్థూపపు ఎత్తు = h = 4.8 మీ.
∴ స్థూపపు వక్రతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 4.5 × 48
= 135.771 మీ².
శంఖువు వ్యాసార్ధం ‘r’ = స్థూపపు వ్యాసార్ధం = 4.5 మీ.
శంఖువు ఎత్తు ‘h’ = 10.8 – 4.8 = 6 మీ.
∴ శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు
l = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{4.5^{2}+6^{2}}\)
= \(\sqrt{20.25+36}=\sqrt{56.25}\) = 7.5 మీ.
∴ శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= \(\frac {22}{7}\) × 4.5 × 7.5
= \(\frac {742.5}{7}\) = 106.071 మీ².
∴ కావలసిన కాన్వాసు గుడ్డ పరిమాణం = స్థూపపు వక్రతలవైశాల్యం + శంఖువు వక్రతలవైశాల్యం
= 135.771 + 106.071
= 241.842 మీ².

ప్రశ్న 9.
8 మీటర్ల ఎత్తు, 6 మీటర్ల భూవ్యాసార్థం కలిగిన శంఖువు ఆకృతి గుదారం తయారుచేయుటకు 3 మీ. వెడల్పు కలిగిన టార్పలిన్ గుడ్డ ఎంత పొడవును కలిగియుండాలి ? (మార్జినను, వృథా అయ్యే గుద్దను కూడా పరిగణనలోకి తీసుకొంటే సుమారుగా 20 సెం.మీ. పొడవు గల టార్పలిన్ అదనంగా వినియోగమవుతుంది). (π = 3.14)
సాధన.
శంఖువు వ్యాసార్ధము, r = 6 మీ.
శంఖువు ఎత్తు, h = 8మీ.
∴ ఏటవాలు ఎత్తు l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{\mathrm{6}^{2}+\mathrm{8}^{2}}\)
= \(\sqrt{36+64}=\sqrt{100}\)
=10 మీ.
∴ శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం = πrl = 3.14 × 6 × 10
= 188.4 మీ².
టార్పలిన్ పొడవు = l అనుకొనుము.
∴ టార్పలిన్ వైశాల్యము, lb = 188.4 + 0.6
= 189 మీ².
⇒ 3l = 189
⇒ l = \(\frac {189}{3}\) = 63 మీ.

ప్రశ్న 10.
ఒక జోకర్ యొక్క టోపి 7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము మరియు 27 సెం.మీ. ఎత్తు కలిగిన క్రమ వృత్త శంఖువు ఆకారంలో ఉంది. అటువంటి 10 టోపీలను తయారు చేయడానికి ఎంత వైశాల్యం గల బట్ట అవసరం?
సాధన.
శంఖువు వ్యాసార్ధము, r = 7 సెం.మీ.
శంఖువు ఎత్తు, h = 27 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు (l)
= \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}=\sqrt{7^{2}+27^{2}}\)
= \(\sqrt{49+729}=\sqrt{778}\)
∴ శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= \(\frac {22}{7}\) × 7 × \(\sqrt{778}\) = 22 × \(\sqrt{778}\)
∴ 10 టోపీలకు అవసరమైన బట్ట వైశాల్యం = 10 × 22 × \(\sqrt{778}\)
= 6136,383 సెం.మీ².

ప్రశ్న 11.
పటములో చూపిన విధముగా ఒక శంఖువు ఆకృతిలో ఉన్న పాత్ర భూవ్యాసం 5.2 మీ. మరియు ఏటవాలు ఎత్తు 6.8 మీ. కలిగి ఉంది. దానిలో నీరు నిమిషానికి 1.8 ఘనపు మీటర్ల చొప్పున నింపబడుతుంది. అయితే పాత్రను నింపడానికి పట్టేకాలం ఎంత ?

సాధన.
పటం నుండి శంఖువు వ్యాసము = 5.2 మీ.
దాని వ్యాసార్ధము ‘r’ = \(\frac {5.2}{2}\) = 26 మీ.
శంఖువు ఎత్తు = h = 6.8 మీ
∴ శంఖువు ఘనపరిమాణం = \(\frac {1}{3}\) πr²h
= \(\frac {1}{3}\) × \(\frac {1}{3}\) × 2.6 × 2.6 × 6.8 = \(\frac {1011.296}{21}\) = 48.156 మీ³.
ఒక సెకనులో పంపు ద్వారా ప్రవహించు నీటి పరిమాణం = 1.8మీ³.
∴ కావలసిన సమయం = మొత్తం ఘనపరిమాణం / 1.8
= \(\frac {48.156}{1.8}\) = 26.753 = 27 ని॥లు.

ప్రశ్న 12.
రెండు సరూప శంఖువుల యొక్క ఘనపరిమాణములు 121 మరియు 96, ఘనపు యూనిట్లు శంఖువులలో ఒకదాని ప్రక్కతల వైశాల్యం 157 చదరపు యూనిట్లు. అయిన రెండవ దాని ప్రక్కతల వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన.
రెండు సరూప శంఖువుల యొక్క ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి = 12π : 96π
= 1 : 8
= (1)³ : (2)³
= 1 : 2
∴ ఆ సరూప శంఖువుల ప్రక్కతల వైశాల్యాల నిష్పత్తి
= (1)² : (2)²
= 1 : 4
మొదటి శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యము = 15π చ||యూ
∴ 1 భాగము = 15π అయిన
4 భాగాలు = 4 × 15π = 60π
∴ రెండవ శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యము = 60π

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 6th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Exercise 6.1

1. కింది సమీకరణాలను ax + by + c = 0 రూపంలో రాసి a, b మరియు c విలువలను కనుగొనుము.

ప్రశ్న i).
8x + 5y – 3 = 0
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 8x + 5y – 3 = 0
∴ a = 8, b = 5 మరియు c = – 3

ప్రశ్న ii).
28x – 35y = -7
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 28x – 35y = -7
దీనిని ax + by + c = 0 రూపంలో వ్రాయగా 28x – 35y + 7 = 0.
∴ a = 28, b = -35 మరియు c = 7

ప్రశ్న iii).
93x = 12 – 15y
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 93x = 12 – 15y
దీనిని ax + by + c = 0 రూపంలో వ్రాయగా 93x + 15y – 12 = 0.
∴ a = 93, b = 15 మరియు c = -12

ప్రశ్న iv).
2x = – 5y
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 2x = – 5y
దీనిని ax + by + c = 0 రూపంలో వ్రాయగా 2x + 5y + 0 = 0.
∴ a = 2, b = 5 మరియు c = 0

ప్రశ్న v).
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=7\)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణ \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=7\) ⇒ \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}-7=0\)
⇒ \(\frac{4 x+3 y-84}{12}=0\)
⇒ 4x + 3y – 84 = 0
∴ a = 4, b = 3 మరియు c = -84

ప్రశ్న vi).
y = –\(\frac {3}{2}\)x
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము y = –\(\frac {3}{2}\)x ⇒ 2y = -3x ⇒ 3x + 2y = 0
∴ a = 3, b = 2 మరియు c = 0

ప్రశ్న vii).
3x + 5y = 12
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 3x + 5y = 12 ⇒ 3x + 5y + (-12) = 0
∴ a = 3, b = 5 మరియు c = – 12

2. కింది ప్రతి సమీకరణమును ax + by + c = 0 గా రాసి a, b మరియు c విలువలను కనుగొనుము.

ప్రశ్న i).
2x = 5
సాధన.
2x = 5 ⇒ 2x – 5 = 0
2x – 5 = 0 ను ax + by + c = 0 తో పోల్చగా a = 2, b = 0 మరియు c = -5.

ప్రశ్న ii).
y – 2 = 0
సాధన.
y – 2 = 0 ను ax + by + c = 0 తో పోల్చగా a = 0, b = 1 మరియు c = – 2.

ప్రశ్న iii).
\(\frac{\mathrm{y}}{7}\) = 3
సాధన.
\(\frac{\mathrm{y}}{7}\) = 3 ⇒ y = 21 ⇒ y – 21 = 0
y – 21 = 0 ను ax + by + c = 0 తో పోల్చగా a = 0, b = 1 మరియు c = – 21.

ప్రశ్న iv).
x = \(\frac {-14}{13}\)
సాధన.
x = \(\frac {-14}{13}\) ⇒ 13x = – 14 ⇒ 13x + 14 = 0
13x + 14 = 0 ను ax + by + c = 0 తో పోల్చగా a = 13, b = 0 మరియు c = 14.

3. ఈ దత్తాంశమునకు సరిపోవు రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణమును రాయుము.

ప్రశ్న i).
రెండు సంఖ్యల మొత్తము 34.
సాధన.
x మరియు y లను రెండు సంఖ్యలు అనుకొనుము.
వాటి మొత్తం = 34
∴ x + y = 34 ⇒ x + y – 34 = 0
∴ కావలసిన రేఖీయ సమీకరణము x + y – 34 = 0.

ప్రశ్న ii).
ఒక బాల్ పెన్ను ఖరీదు, సిరాపెన్ను ఖరీదులో సగాని కంటే ₹ 5 లు తక్కువ.
సాధన.
సిరా పెన్ను ఖరీదు = ₹ x అనుకొనుము.
బాల్ పెన్ను ఖరీదు = ₹ y అనుకొనుము.
బాల్ పెన్ను ఖరీదు = సిరా పెన్ను ఖరీదులో సగాని కంటే ₹ 5 లు తక్కువ
₹ y = ₹\(\frac{x}{2}-5\)
y = \(\frac{x-10}{2}\)
2y = x – 10
∴ కావలసిన రేఖీయ సమీకరణము x – 2y – 10 = 0.

ప్రశ్న iii).
భార్గవికి వచ్చిన మార్కులు, సింధు మార్కులకు రెట్టింపు కంటే 10 ఎక్కువ.
సాధన.
సింధుకు వచ్చిన మార్కులు = x అనుకొనుము.
భార్గవికి వచ్చిన మార్కులు = y అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారము, భార్గవికి వచ్చిన మార్కులు, సింధు మార్కులకు రెట్టింపు కంటే 10 ఎక్కువ.
y = 2x + 10
∴ కావలసిన రేఖీయ సమీకరణము 2x – y + 10 = 0.

ప్రశ్న iv).
ఒక పెన్సిల్ వెల ₹ 2 మరియు ఒక బాల్ పెన్ను వెల ₹ 15. షీలా కొన్ని పెన్సిలను, కొన్ని బాల్ పెన్నులను కొని ₹ 100 లు చెల్లించినది.
సాధన.
ఒక పెన్సిల్ వెల = ₹ 2
ఒక బాల్ పెన్ను వెల = ₹ 15
షీలా కొన్న పెన్సిళ్ల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
షీలా కొన్న బాల్ పెన్నుల సంఖ్య = y అనుకొనుము.
x పెన్సిళ్ళ సంఖ్య = 2x
y పెన్నుల, సంఖ్య = 15y
లెక్క ప్రకారము, 2x పెన్సిళ్ళకు, 15y పెన్నులకు షీలా చెల్లించిన మొత్తము = ₹ 100
∴ కావలసిన రేఖీయ సమీకరణము 2x + 15y = 100.

ప్రశ్న v).
యామిని, ఫాతిమా 9వ తరగతి చదువుచున్నారు. వీరిరువురు కలసి ప్రధానమంత్రి సహాయనిధికి ₹ 200/- లు విరాళమిచ్చారు.
సాధన.
యామిని PMRF కు ఇచ్చిన విరాళము = ₹ x అనుకొనుము.
ఫాతిమా PMRF కు ఇచ్చిన విరాళము = ₹ y అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారము x + y = 200
∴ కావలసిన రేఖీయ సమీకరణము x + y = 200.

ప్రశ్న vi).
ఒక సంఖ్య, దానిలోని అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్యల మొత్తము 121. (సూచన: మొదటి సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానములోని అంకె x మరియు పదుల స్థానములోని అంకె y అనుకొనుము).
సాధన.
మొదటి సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె x మరియు పదుల స్థానములోని అంకె y అనుకొనుము.
∴ మొదటి సంఖ్య = 10y + x అనుకొనుము.
అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చు సంఖ్య = 10x + y
ఆ రెండు సంఖ్యల మొత్తము = 10y + x + 10x + y = 11x + 11y
లెక్క ప్రకారము, వాటి మొత్తము 11x + 11y = 121
x + y = 11
∴ కావలసిన రేఖీయ సమీకరణము x + y = 11.

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 5 నిరూపక జ్యామితి InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 5th Lesson నిరూపక జ్యామితి InText Questions

ఇవి చేయండి

1. మీ తరగతి గదిలో ఎవరైనా ఐదుగురు విద్యార్థులు కూర్చునే స్థానాన్ని వివరించండి. (పేజీ నెం. 108)
సాధన.
దీని సమాధానము తరగతి గదిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇది నోటి లెక్క. విద్యార్థి స్వయముగా తన తరగతి గదిని బట్టి సమస్యను సాధన చేయాలి.

2. కింద ఇచ్చిన బిందువులలో కొన్ని X – అక్షంపై ఉంటాయి. వాటిని గుర్తించండి. (పేజీ నెం.114)
i) (0, 5) ii) (0, 0) iii) (3, 0) iv) (-5, 0) v) (-2, -3) vi) (-6, 0) vii) (0, 6) viii) (0, a) ix) (b, 0)
సాధన.
బిందువులు (ii) (0, 0), (iii) (3, 0), (iv) (-5, 0), (vi) (-6, 0) మరియు (ix) (b, 0) లు X- అక్షంపై ఉంటాయి. వీటి y – నిరూపకము సున్నా కాబట్టి అవి X – అక్షంపై ఉన్నాయని నిర్ధారించవచ్చును.

3. కార్టీజియన్ తలంలో కింది బిందువులను స్థాపించండి. (పేజీ నెం. 120)
1. B (-2, 3) 2. L (6, -8) 3. U (6, 4) 4. E (-3, -3)
సాధన.

4. i) A, B, C, D, E బిందువుల నిరూపకాలు రాయండి. (పేజీ నెం. 121)
ii) F, G, H, I, J బిందువుల నిరూపకాలు రాయండి.
సాధన.
i) A(2, 9) ; B(5, 9); C(2, 6) ; D(5, 3) ; E(2, 3)
ii) F(-6, -2) ; G(-4, -5) ; H(-3, -7) ; 1(- 9, -7) ; J(-8, -5)

ప్రయత్నించండి

1. (0, x), (0, y), (0, 2) మరియు (0, – 5) లు ఏ అక్షంపై ఉంటాయి ? ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 114)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులన్నీ Y – అక్షంపై వుంటాయి. ఎందుకనగా వాటి యొక్క X – నిరూపకాలన్నీ సున్న కాబట్టి.

2. X – అక్షంపై ఉండే బిందువుల సాధారణ రూపం వ్రాయండి. (పేజీ నెం.114)
సాధన.
X – అక్షంపై ఉండే బిందువుల యొక్క సాధారణ రూపము (x, 0).

కృత్యం

1. జాతరలు, ఎగ్జిబిషన్లలో ఎప్పుడైనా నీవు “రింగ్ ఆట”ను చూశావా ? కొన్ని వస్తువులు అడ్డువరుసలోనూ మరియు నిలువు వరుసలలోనూ అమర్చి ఉంటాయి. వీటిపై మనం రింగ్ ను విసురుతాం. కింది చిత్రాన్ని గమనించండి. (పేజీ నెం. 108)
సాధన.

2. ఖాళీలను సరియైన సంఖ్యతో నింపండి.

సాధన.

3. 3వ నిలువు వరుస మరియు 4వ అడ్డువరుసలో ఉన్న వస్తువు; 4వ నిలువు వరుస మరియు 3వ అడ్డు వరుసలో ఉన్న వస్తువు ఒకటేనా ?
సాధన.
కాదు.

4. గ్లోబును చూసి హైదరాబాద్, న్యూఢిల్లీ, చెన్నె మరియు విశాఖపట్నం నగరాలను అక్షాంశ, రేఖాంశాల ఆధారంగా గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 123)

సృజనాత్మక కృత్యం

1. ఒక గ్రాఫ్ కాగితంపై కింద ఇవ్వబడిన బిందువుల జతలను గుర్తించి రేఖాఖండాలచే కలపండి. (పేజీ నెం. 123)
(1, 0) (0, 9); (2, 0) (0, 8); (3, 0) (0, 7); (4, 0) (0, 6);
(5, 0) (0, 5); (6, 0) (0, 4); (7,0) (0, 3); (8, 0) (0, 2); (9, 0) (0, 1).

ఉదాహరణలు

1. (i) P(8, 8) (ii) Q (6, -8) ల x నిరూపకం, y నిరూపకాలను వ్రాసి ప్రతి బిందువు యొక్క స్థానాన్ని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 112)
సాధన.
i) P (8, 8)
x – నిరూపకం (ప్రథమ నిరూపకం) = 8; y – నిరూపకం (ద్వితీయ నిరూపకం) = 8
P బిందువు X – అక్షం యొక్క ధనదిశలో Y – అక్షానికి 8 యూనిట్ల దూరంలో, మరియు Y – అక్షం యొక్క ధనదిశలో X – అక్షానికి 8 యూనిట్ల దూరంలో ఉంటుంది.

ii) Q (6, -8)
x – నిరూపకం = 6; y – నిరూపకం = -8
Q బిందువు X – అక్షం యొక్క ధనదిశలో Y – అక్షానికి 6 యూనిట్ల దూరంలో మరియు Y – అక్షం రుణదిశలో X – అక్షానికి 8 యూనిట్ల దూరంలో ఉంటుంది.

2. గ్రాఫ్ కాగితంలో సూచించిన బిందువుల నిరూపకాలు రాయండి. (పేజీ నెం.113)
సాధన.
1) P బిందువు నుంచి X – అక్షానికి లంబాన్ని గీయండి.
లంబరేఖ X – అక్షాన్ని 4 యూనిట్ల వద్ద ఖండించింది. కాబట్టి P యొక్క X నిరూపకం 4. అదేవిధంగా P బిందువు నుండి Y అక్షానికి లంబాన్ని గీయండి. లంబరేఖ Y అక్షాన్ని 3 యూనిట్ల వద్ద ఖండించింది. కాబట్టి P యొక్క Y నిరూపకం 3. కాబట్టి P బిందువు నిరూపకాలు (4, 3)

2) ఇదే పద్ధతినుపయోగించిన Q బిందువు యొక్క X నిరూపకం – 4 మరియు Y నిరూపకం 5.
Q బిందువు నిరూపకాలు (-4, 5).
3) R బిందువు యొక్క x నిరూపకం (-2) మరియు y నిరూపకం (- 4) R బిందువు నిరూపకాలు (-2, – 4).
4) S బిందువు నిరూపకాలు (4, -5)

3. గ్రాఫ్ కాగితంలో సూచించిన బిందువు నిరూపకాలు వ్రాయండి.
సాధన.
A బిందువు Y – అక్షం నుంచి 3 యూనిట్ల దూరంలో మరియు X – అక్షం నుంచి 0 యూనిట్ల దూరంలో ఉంది. కాబట్టి A యొక్క X – నిరూపకం 3 మరియు y – నిరూపకం 0. A బిందువు యొక్క నిరూపకాలు (3, 0). ఆలోచించి చర్చించండి.
i) B యొక్క నిరూపకాలు (2, 0), ఎందుకు ?
ii) C యొక్క నిరూపకాలు (- 1, 0), ఎందుకు ?
iii) D యొక్క నిరూపకాలు (-2.5, 0), ఎందుకు ?
iv) E యొక్క నిరూపకాలు (-4, 0) ఎందుకు ?

పై గ్రాఫ్ నుంచి X – అక్షంపై గల ప్రతిబిందువు X – అక్షం నుంచి సున్నా దూరంలో కలవు అని చెప్పవచ్చు. అందుచేత X – అక్షంపై ఉండే అన్ని బిందువుల Y నిరూపకాలు 0.
X – అక్షం సమీకరణం y = 0 చే సూచింపబడును.

4. గ్రాఫ్ కాగితంపై గుర్తించబడిన బిందువుల నిరూపకాలు రాయండి. (పేజీ నెం.114)
సాధన.
i) P బిందువు Y – అక్షం నుండి సున్నా యూనిట్ల దూరంలో ఉంది. కాబట్టి P యొక్క X నిరూపకం 0. P బిందువు X – అక్షం నుండి 5 యూనిట్ల దూరంలో ఉంది. కాబట్టి P యొక్క Y నిరూపకం 5.
కాబట్టి P యొక్క నిరూపకాలు (0, 5).

ఆలోచించండి, చర్చించండి :
ii) Q యొక్క నిరూపకాలు (0, 3.5), ఎందుకు ?
iii) R యొక్క నిరూపకాలు (0, 1), ఎందుకు ?
iv) S యొక్క నిరూపకాలు (0, -2), ఎందుకు ?
v) T యొక్క నిరూపకాలు (0, – 5), ఎందుకు ?
Y – అక్షంపై ఉండే ప్రతి బిందువు Y – అక్షం నుంచి 0 యూనిట్ల దూరంలో ఉంటుంది. కాబట్టి Y – అక్షంపై ఉండే ప్రతి బిందువు X నిరూపకం సున్న.
Y- అక్షం సమీకరణం X = 0 చే సూచింపబడును.

5. కింది లో బిందువులను పరిశీలించి పట్టికను పూర్తిచేయండి. (పేజీ నెం.115)

సాధన.

పై పట్టిక నుంచి బిందునిరూపకాల గుర్తులకు మరియు నిరూపకతలంలో ఆ బిందువు ఉండే పాదాలకు మధ్య సంబంధాన్ని మీరు పరిశీలించండి.

6. కింది బిందువులను కార్టీజియన్ తలంలో స్థాపించండి. (పేజీ నెం. 119)
(i) M (-2, 4) (ii) A (-5, -3) (iii) N (1, – 6)
సాధన.
గ్రాఫ్ కాగితంలో X – అక్షం మరియు Y – అక్షంను గీయండి.

i) M (-2, 4) బిందువు ఏ పాదంలో ఉంటుందో ఊహించండి.
x < 0, y > 0 కాబట్టి M రెండవ పాదంలో ఉంటుంది.
ఇప్పుడు బిందువును గుర్తిద్దాం. M (-2, 4) కావున 0 నుంచి ప్రారంభించి X – అక్షం రుణదిశలో 2 వరకు వెళ్ళండి.
అక్కడి నుండి ధన Y – అక్షం దిశలో పైకి 4 యూనిట్ల వరకు వెళ్ళి ఆగండి.
ii) A (-5, – 3) :
ఈ బిందువు మూడవ పాదంలో ఉంది.
మూల బిందువు 0 నుంచి ప్రారంభించి X – అక్షం రుణదిశలో – 5 వరకు వెళ్లి ఆగండి.
అక్కడి నుంచి రుణ Y – అక్షం దిశలో అంటే కింది వైపుకు 3 యూనిట్ల దూరం వరకు వెళ్లి ఆగండి. ఇదే మనకు కావలసిన బిందువు A (-5, – 3). iii) N (1, – 6) :
ఈ బిందువు ఏ పాదంలో ఉంటుంది ?
సున్నా నుంచి ప్రారంభించి X – అక్షం ధనదిశలో 1 యూనిట్ వరకు వెళ్లి ఆగండి, అక్కడి నుంచి రుణ Y – అక్షం దిశలో కింది వైపునకు 6 యూనిట్ల దూరం వరకు వెళ్లి ఆగండి. ఇదే మనకు కావలసిన బిందువు N (1, – 6).

7. T (4, – 2) మరియు V (- 2, 4) లను కార్టీజియన్ తలంలో స్థాపించండి.
సాధన.
గ్రాఫ్ కాగితంపై T (4, – 2) మరియు V (-2, 4) లను గుర్తించుము.
(4, – 2) మరియు (-2, 4) ఒకటేనా ? విభిన్నాలా ? ఆలోచించండి.

P (8, 3), Q (3, 8) లను గ్రాలో గుర్తించండి. A (4, -5) మరియు B (-5, 4) లను గ్రాలో గుర్తించండి. దీని నుండి (x, y) బిందువు, (y, x) బిందువులు విభిన్నాలా ? కాదా ? నిర్ణయించండి.
పై చర్చ నుంచి కార్టిజియన్ తలంలో (x, y) అనే బిందువు మరియు (y, x) అనే బిందువులు విభిన్నాలు అని మనం తెలుసుకున్నాం.
(x, y) లో x, y ల క్రమం ముఖ్యమైనది. అని మనం గమనించవచ్చు. అందుచేత (x, y) ను క్రమయుగ్మం అని అంటారు.
x ≠ y అయితే (x, y) ≠ (y, x).
కాని x = y అయితే (x, y) = (y, x) అగును.

8. ఒక గ్రాఫ్ కాగితంలో A(2, 2), B(6, 2), C(8, 5) మరియు D(4, 5) లను గుర్తించి అన్ని బిందువులను వరుసక్రమంలో సమాంతర చతుర్భుజం ఏర్పడేలాగా కలపండి. సమాంతర చతుర్భుజం వైశాల్యం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 120)
సాధన.
అన్ని బిందువులు Q₁ లో ఉన్నాయి. గ్రాఫ్ నుంచి సమాంతర చతుర్భుజం భుజం b = AB = 4 సెం.మీ. ఎత్తు h = 3 సెం.మీ.
సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం = భూమి × ఎత్తు = bh = 4 × 3 = 12 చ.సెం.మీ.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Ex 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Exercise 10.2

ప్రశ్న 1.
రెండు వైపులా మూయబడిన స్థూపాకారపు ట్యాంకు యొక్క ఎత్తు 1.4 మీటర్లు మరియు దాని భూవ్యాసార్ధము 56 సెం.మీ.గా యుండి లోహరేకుతో చేయబడియుంది. దీని సంపూర్ణతల వైశాల్యం ఎంత?
సాధన.
ట్యాంకు యొక్క భూ వ్యాసార్ధము ‘r’ = 56 సెం.మీ.
= \(\frac {56}{100}\) మీ. = 0.56 మీ
ట్యాంకు యొక్క ఎత్తు h = 1.4 మీ.
ట్యాంకు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2πr (r + h)
లోహరేకు యొక వైశాల్యం = 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 0.56 × (0.56 + 1.4)
= 2 × 22 × 0.08 × 1.96
= 6.8992 మీ²
= 6.90 మీ²

ప్రశ్న 2.
స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణము 308 ఘనపు సెంటి మీటర్లు, ఎత్తు 8 సెం.మీ. అయిన దాని ప్రక్కతల వైశాల్యమును, సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము.
సాధన.
స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణం V = πr²h
= 308 సెం.మీ³
స్థూపము యొక్క ఎత్తు h = 8 సెం.మీ.
∴ 308 = \(\frac {22}{7}\) . r² × 8
∴ r² = 308 × \(\frac {7}{22}\) × \(\frac {1}{8}\)
r² = 12.25
∴ r = \(\sqrt{12.25}\) = 3.5 సెం.మీ.
ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 8 = 176 సెం.మీ.²
సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 (3.5 + 8)
= 2 × 22 × 0.5 × 11.5 = 253 సెం.మీ.²

ప్రశ్న 3.
ఒక లోహపు దీర్ఘఘనము 22 సెం.మీ. × 15 సెం.మీ. × 7.5 సెం.మీ. కొలతలను కలిగియుంది. దానిని కరిగించి 14 సెం.మీ. ఎత్తుగల ఒక స్థూపముగా చేసిన దాని వ్యాసార్ధము ఎంత ?
సాధన.
లోహపు దీర్ఘఘనము యొక్క కొలతలు = 22 సెం.మీ. × 15 సెం.మీ. × 7.5 సెం.మీ.
స్థూపము యొక్క ఎత్తు, h = 14 సెం.మీ.
స్థూపముగా చేసిన దీర్ఘఘనము యొక్క ఘనపరిమాణం = స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణం
⇒ lbh = πr²h
⇒ 22 × 15 × 7.5 = \(\frac {22}{7}\) × r² × 14
⇒ r² = \(\frac{22 \times 15 \times 7.5 \times 7}{14 \times 22}\)
⇒ r² = 7.5 × 7.5 ⇒ r = 7.5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
ఒక నీటితొట్టి స్థూపాకారముగా ఉంటూ 616 లీటర్ల సామర్థ్యమును కలిగియుంది. ట్యాంకు వ్యాసం 5.6 మీటర్లు అయిన ట్యాంకు ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణము, V = πr²h = 616 లీ.
ట్యాంకు యొక్క వ్యాసం = 5.6 మీ.
వ్యాసార్ధం, r = \(\frac{d}{2}=\frac{5.6}{2}\) = 28 మీ.
ఎత్తు = h అనుకొనుము.
∴ πr²h = 616
\(\frac {22}{7}\) × 2.8 × 28 × h = 616
h = \(\frac{616 \times 7}{22 \times 2.8 \times 2.8}\) = 25
∴ ఎత్తు = 25 మీ.

ప్రశ్న 5.
ఒక లోహపు గొట్టం యొక్క పొడవు 77 సెం.మీ. దాని మధ్యచ్ఛేద అంతర వ్యాసం 4 సెం.మీ. మరియు బాహ్య వ్యాసం 4 సెం.మీ. (పటం చూడండి). అయిన ఈ క్రింది వానిని కనుగొనండి.

(i) లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యము
(ii) బాహ్య ప్రక్కతల వైశాల్యము
(iii) సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనండి.
సాధన.
(i) లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యము :
పైపు యొక్క ఎత్తు = 77 సెం.మీ.
లోపలి వ్యాసం = 4 సెం.మీ.
లోపలి వ్యాసార్ధం = \(\frac{d}{2}=\frac{4}{2}\) = 2 సెం.మీ.
∴ లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 2 × 77
= 88 × 11 = 968 సెం.మీ.²

(ii) బాహ్యప్రక్కతల వైశాల్యము :
బాహ్య వ్యాసం = 4.4 సెం.మీ.
∴ బాహ్య వ్యాసార్ధం r = \(\frac{d}{2}=\frac{4.4}{2}\) = 22 సెం.మీ.
పైపు యొక్క ఎత్తు = h = 77 సెం.మీ.
∴ బాహ్య ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 2.2 × 77
= 96.8 × 11
= 1064.8 సెం.మీ.²

(iii) సంపూర్ణతల వైశాల్యము :
సంపూర్ణతల వైశాల్యము = లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యము + బాహ్య ప్రక్కతల వైశాల్యము
= 968 + 1064.8
= 2032.8 సెం.మీ².

ప్రశ్న 6.
ఒక భవనము చుట్టూ 16 స్థూపాకార స్తంభములున్నవి. ప్రతి స్థూపాకార స్తంభము 56 సెం.మీ. వ్యాసము మరియు 35 మీ. ఎత్తులను కలిగియుంది. స్తంభముల ప్రక్కతల వైశాల్యమునకు రంగు వేసేందుకు చ.మీ.కు ₹ 5.50 వంతున ఎంత ఖర్చు అవుతుంది ?
సాధన.
స్థూపాకార స్తంభము యొక్క వ్యాసము = 56 సెం.మీ.
వ్యా సార్థము , r = \(\frac{d}{2}=\frac{56}{2}\) = 28 సెం.మీ.
= \(\frac {28}{100}\) మీ. = 0.28 మీ.
స్తంభము యొక్క ఎత్తు, h = 35 మీ.
మొత్తం స్తంభముల సంఖ్య = 16
రంగు వేసేందుకు ఒక చ.మీ.కు
అగు ఖర్చు = ₹5.50
ఒక స్తంభము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 0.28 × 35
= 2 × 22 × 0.04 × 35
= 61.6 మీ².
∴ 16 స్థూపాకార ప్తంభముల ప్రక్కతల వైశాల్యం
= 16 × 61.6
= 985.6 మీ.²
16 స్తంభములకు రంగు వేసేందుకు ఒక చ.మీ.కు
₹ 5.5 చొప్పున అగు ఖర్చు = 985.6 × 5.5
= ₹5420.8

ప్రశ్న 7.
ఒక రోడ్డు రోలరు యొక్క వ్యాసము 84 సెం.మీ., పొడవు 120 సెం.మీ. ఒక ఆటస్థలమును చదును చేయుటకు 500 సంపూర్ణ భ్రమణములు చేయవలసి ఉంది. అయితే ఆటస్థల వైశాల్యమును చ.మీ.లలో కనుగొనండి.
సాధన.
రోడ్డు రోలరు యొక్క వ్యాసము = 84 సెం.మీ.
వ్యాసార్థం = \(\frac {84}{2}\) = 42 సెం.మీ.
= \(\frac {42}{100}\) మీ. = 0.42 మీ.
రోడ్డు రోలరు యొక్క పొడవు = 120 సెం.మీ.
= \(\frac {120}{100}\) = 1.2 మీ.
ఆట స్థలమును చదునుచేయుటకు 500 సంపూర్ణ భ్రమణములు చేయవలసియుంది.
కాబట్టి 500 × రోలరు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = ఆటస్థలం యొక్క వైశాల్యము
∴ ఆటస్థలం యొక్క వైశాల్యము = 500 × 2πrh
= 500 × 2 × \(\frac {22}{7}\) × 0.42 × 1.2 = 1584 మీ²

ప్రశ్న 8.
వృత్తాకార బావి యొక్క లోపలి వ్యాసము 3.5 మీ., లోతు 10 మీ. అయిన (i) లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యము (ii) ప్రక్కతలాలను ప్లాస్టరింగ్ చేయుటకు చ.మీ.కు 40 రూపాయల వంతున ఎంత ఖర్చు అవుతుంది ?
సాధన.
వృత్తాకార బావి యొక్క లోపలి వ్యాసము d = 3.5మీ.
వ్యాసార్ధము, r = \(\frac{d}{2}=\frac{3.5}{2}\) = 1.75 మీ.
బావి యొక్క లోతు (h) – 10 మీ.
(i) లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 1.75 × 10
= 110 మీ²

(ii) ప్లాస్టరింగ్ చేయుటకు చ.మీ.కు ₹ 40 చొప్పున
అగు ఖర్చు = 110 × 40
= ₹4400

9.

ప్రశ్న (i)
ఒక స్థూపాకార పెట్రోలు ట్యాంకు భూవ్యాసం 4.2 మీ., ఎత్తు 4.5 మీ. అయిన ట్యాంకు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుక్కోంది.
సాధన.
స్థూపాకార ట్యాంకు యొక్క వ్యాసము ‘d’ = 4.2 మీ.
వ్యాసార్ధము, r = \(\frac{d}{2}=\frac{4.2}{2}\) = 21 మీ.
ట్యాంకు యొక్క ఎత్తు 5 = 4.5 మీ.
ట్యాంకు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము
= 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 21 (2.1 + 4.5)
= 2 × 22 × 0.3 × 6.6 = 87.12 మీ.²

ప్రశ్న (ii)
ట్యాంకును తయారుచేసేందుకు వాడిన స్టీలులో \(\frac {1}{12}\) వ వంతు వృథా అయిన ఎంత పరిమాణపు స్టీలును ఉపయోగించారో లెక్కించుము.
సాధన.
వృథా అయిన స్టీలు పరిమాణం = \(\frac {1}{12}\)
ట్యాంకును తయారుచేసేందుకు వాడిన స్టీలు
= 1 – \(\frac {1}{12}\) = \(\frac {11}{12}\)
మొత్తం స్టీలు పరిమాణం = x మీ² అనుకొనుము.
\(\frac {11}{12}\)x = 87.12 మీ.²
∴ x = 87.12 × \(\frac {12}{11}\) = 95.04 మీ.²

ప్రశ్న 10.
ఒక వైపు మూయబడి స్థూపాకార ద్రమ్ యొక్క లోపలి వ్యాసార్ధము 28 సెం.మీ., ఎత్తు 21 మీ. అయిన ఆ ద్రమ్ లో నిల్వ చేయగల నీటి సామర్థ్యమును లీటర్లలో తెల్పుము. (1 లీటరు = 1000 ఘనపు సెంటీమీటర్లు)
సాధన.
స్థూపాకార డ్రమ్ యొక్క లోపలి వ్యాసార్ధము ‘r’ = 28 సెం.మీ.
ఎత్తు, h = 2.1 మీ. = 2.1 × 100 = 210 సెం.మీ.
డ్రమ్ యొక్క ఘనపరిమాణము = πr²h
= \(\frac {22}{7}\) × 28 × 28 × 210
= 22 × 4 × 28 × 210 = 517440 ఘ. సెం.మీ.
= \(\frac {517440}{1000}\) లీ. = 517.44 లీ.

ప్రశ్న 11.
ఒక స్థూపాకార వస్తువు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము 1760 చ.సెం.మీ. మరియు దాని ఘనపరిమాణము 12320 ఘనపు సెంటీమీటర్లు అయిన దాని ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
స్థూపాకార వస్తువు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2πrh
= 1760 సెం.మీ.²
స్థూపాకార వస్తువు యొక్క ఘనపరిమాణం = πr²h
= 12320 సెం.మీ.³
ఎత్తు = h అనుకొనుము.
ఘనపరిమాణం / ప్రక్కతల వైశాల్యం = \(\frac{\pi r^{2} h}{2 \pi r h}=\frac{12320}{1760}\)
⇒ \(\frac {r}{2}\) = 7
∴ r = 7 × 2 = 14 సెం.మీ.
2πrh = 1760 సెం.మీ.²
2 × \(\frac {22}{7}\) × 14h = 1760 సెం.మీ.
h = \(\frac{1760 \times 7}{2 \times 22 \times 14}\) = 20 సెం.మీ.
∴ స్థూపాకార వస్తువు యొక్క ఎత్తు = 20 సెం.మీ.

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 5 నిరూపక జ్యామితి Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 5th Lesson నిరూపక జ్యామితి Exercise 5.3

ప్రశ్న 1.
కింద ఇచ్చిన బిందువులను క్రమయుగ్మంగా రాసి కార్టీజియన్ తలంలో స్థాపించండి.

సాధన.

ప్రశ్న 2.
(5, -8) మరియు (-8, 5) లు ఒకటేనా లేక విభిన్నాలా ?
సాధన.
(5, – 8) మరియు (-8, 5) లు విభిన్నాలు.
(5, -8) బిందువు నిరూపకతలంపై Y – అక్షం నుండి ‘5’ యూనిట్ల దూరంలోనూ, X – అక్షం నుండి ‘-8’ యూనిట్ల దూరంలోనూ కలదు.
(-8, 5) బిందువు నిరూపకతలంపై Y – అక్షం నుండి ‘-8’ యూనిట్ల దూరంలోనూ, X – అక్షం నుండి ‘5’ యూనిట్ల దూరంలోనూ కలదు.

ప్రశ్న 3.
(1, 2), (1, 3), (1, – 4), (1, 0) మరియు (1, 8) బిందువుల స్థానాన్ని వివరించండి. వీటిని గ్రాఫ్ కాగితంపై స్థాపించండి. మీరు ఏం గమనించారు ?
సాధన.

ఇచ్చిన బిందువులన్నీ Y – అక్షానికి సమాంతరంగా మరియు ‘1’ యూనిట్ దూరంలో గల రేఖపై ఉన్నవి.

ప్రశ్న 4.
(5, 4), (-8, 4), (3,4), (0, 4), (-4, 4) , (-2, 4) బిందువులను గ్రాఫ్ కాగితంపై గుర్తించండి. ఏం గమనించారు ?
సాధన.

ఇచ్చిన బిందువులన్నీ X – అక్షానికి సమాంతరంగా మరియు ‘4’ యూనిట్ల దూరంలో గల రేఖపై ఉన్నవి.

ప్రశ్న 5.
(0, 0), (3, 0), (3, 4), (0, 4) బిందువులను గ్రాఫ్ కాగితంపై గుర్తించి అదే వరుసక్రనుంలో కలపండి. ఏర్పడిన దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యమును కనుగొనండి.
సాధన.

గ్రాఫ్ కాగితం నుండి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = 12 చ.యూనిట్లు (లేక)
పొడవు = 4 యూనిట్లు, వెడల్పు = 3 యూనిట్లు
∴ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు = 4 × 3 = 12 చ.యూ.

ప్రశ్న 6.
(2, 3), (6, 3) మరియు (4, 7) బిందువులను నిరూపకతలంలో గుర్తించండి. ఈ బిందువులను రేఖాఖండాలచే కలుపగా ఏర్పడిన త్రిభుజ వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.

గ్రాఫ్ నుంచి త్రిభుజ భూమి = 4 యూనిట్లు ; ఎత్తు = 4 యూనిట్లు
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు = \(\frac {1}{2}\) × 4 × 4 = 8 చ.యూ.

ప్రశ్న 7.
కార్టీజియన్ తలంపై ప్రతి క్రమయుగ్మంలోని నిరూపకాల మొత్తం 5 అయ్యే విధంగా ఉండే ఆరు బిందువులను గుర్తించండి. సూచన : (-2, 7), (1, 4) ……
సాధన.
దత్తాంశం నుండి X నిరూపకము + y నిరూపకము = 5

ప్రశ్న 8.
కింది పటాన్ని పరిశీలించండి. పటం యొక్క శీర్షాలు A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P మరియు Q బిందు నిరూపకాలు రాయండి.

సాధన.
A (-3, 4) ; B (0, 5) ; C (3, 4) ; D (2, 4) ; E (2, 0) ; F (3, 0) ; G (3, -1); H (0, – 1); I (-3, – 1); J (-3, 0) ; K (-2, 0) ; L (-2, 4) ; M (-1, 0) ; N (-1, 3); O (0, 0) ; P (1, 3) మరియు Q (1, 0).

ప్రశ్న 9.
ఒక గ్రాఫ్ కాగితంలో కింది క్రమయుగ్మాల జతలను బిందువులుగా గుర్తించి, వాటిని రేఖాఖండాలచే కలపండి.
i) (2, 5), (4, 7) ii) (-3, 5) (-1, 7) iii) (-3, 4), (2, 4) iv) (-3, -5), (2, -5) v) (4, -2), (4, -3) vi) (-2, 4), (-2, 3) vii) (-2, 1), (-2, 0)
అదే గ్రాఫ్ పేపర్ పై కింది క్రమయుగ్మాల జతలను బిందువులుగా రేఖాఖండాలచే కలపండి.
viii) (-3, 5), (-3, 4) ix) (2, 5), (2, -4) x) (2, -4), (4, -2) xi) (2, -4), (4, -3) xii) (4, -2), (4, 7) xiii) (4, 7), (-1, 7) xiv) (-3, 2), (2, 2)
అప్పుడు మీరొక ఆశ్చర్యకరమైన పటాన్ని గమనించవచ్చు. అదేమిటి ?
సాధన.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Ex 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Exercise 10.1

1. ఈ కింది క్రమ పట్టకము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము మరియు సంపూర్ణతల వైశాల్యములను కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)

సాధన.
ప్రక్కతల వైశాల్యము = 4l²
= 4 × 4² = 64 సెం.మీ².
సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 6l²
= 6 × 4² = 96 సెం.మీ².

ప్రశ్న (ii)

సాధన.
ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2h (l + b)
= 2 × 5 (8 + 6)
= 10 × 14 = 140 సెం.మీ².
పంపూర్ణతల వైశాల్యము = 2 (lb+ bh + lh)
= 2(8 × 6 + 6 × 5 + 8 × 5)
= 2 (48 + 30 + 40)
= 236 సెం.మీ².

ప్రశ్న 2.
ఒక సమఘనము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం 1350 చదరపు మీటర్లు. అయిన దాని ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము.
సాధన.
ఘనము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము 6l² = 1350
l² = \(\frac {1350}{6}\)
l² = 225
l = \(\sqrt{225}\) = 15 మీ.
ఘనము యొక్క ఘనపరిమాణము = l³
= 15 × 15 × 15 = 3375 మీ³.

ప్రశ్న 3.
పొదవు 12మీ., వెడల్పు 10 మీ. మరియు 7.5 మీ. ఎత్తు కలిగిన గది యొక్క నాలుగు గోడల వైశాల్యమును కనుగొనండి. (ద్వారములు లేదా కిటికీలు లేని గదిగా ఊహించండి).
సాధన.
గది యొక్క పొడవు = 12 మీ.
గది యొక్క వెడల్పు = 10 మీ.
గది యొక్క ఎత్తు = 7.5 మీ.
నాలుగు గోడల వైశాల్యం A = 2h (l + b)
= 2 × 7.5 (12 + 10)
= 15 × 22 = 330 మీ²

ప్రశ్న 4.
ఒక దీర్ఘఘనము యొక్క ఘనపరిమాణం 1200 ఘనపు సెంటీమీటర్లు, దాని యొక్క పొడవు 15 సెం.మీ., వెడల్పు 10 సెం.మీ. అయిన ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘఘనం యొక్క పొడవు, l = 15 సెం.మీ.
దీర్ఘఘనం యొక్క వెడల్పు, b = 10 సెం.మీ.
దీర్ఘఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం, V = lbh
= 1200 సెం.మీ³.
ఎత్తు = h ఆనుకొనుము.
∴ 15 × 10 × h = 1200
∴ h = \(\frac{1200}{15 \times 10}\) = 8 సెం.మీ.

5. ఒక పెట్టి యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము కింది సందర్భాలలో ఏ విధముగా మారుతుంది ? మాటలలో వ్యక్తపరచండి. ప్రతీ కొలత 3 సార్లు పెరిగినప్పుడు . పెట్టె సంపూర్ణతల వైశాల్యం ఏ విధంగా ఉంటుందో కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)
ప్రతీ కొలత రెట్టింపు చేసినప్పుడు
సాధన.
అసలు కొలతలు వరుసగా
పొడవు = l యూనిట్లు
వెడల్పు = b యూనిట్లు
ఎత్తు = 7 యూనిట్లు
సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2 (lb+ bh + lh)
ప్రతీ కొలతను రెట్టింపు చేసినపుడు
పొడవు = 2l, వెడల్పు = 2b, ఎత్తు = 2h
సంపూర్ణతల వైశాల్యము
= 2(2l . 2b + 2b . 2h + 2l . 2h)
= 2 (4lb + 4bh + 4lh)
= 4 × [2 (lb+ bh + lh)]
= 4 × అసలు సంపూర్ణతల వైశాల్యం
∴ సంపూర్ణతల వైశాల్యం 4 రెట్లు పెరుగును.

ప్రశ్న (ii)
ప్రతీ కొలతను మూడు రెట్లు చేసినప్పుడు
సాధన.
పెట్టి యొక్క అసలు మరియు మారిన కొలతలు వరుసగా l, b, h మరియు 3l, 3b, 3h అనుకొనుము.
అసలు సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2 (lb + bh + lh)
మారిన సంపూర్ణతల వైశాల్యం
= 2 (3l . 3b + 3b . 3h + 3l . 3h)
= 2 (9lb + 9bh + 9lh)
= 9 × [2(lb + bh + lh)]
= 9 × (అసలు సం.త.వై.)
సంపూర్ణతల వైశాల్యం 9 రెట్లుగా పెరిగినది.

పెట్టె యొక్క ప్రతీ కొలత n సార్లు పెరిగినపుడు :
పొడవు = nl, వెడల్పు = nb, ఎత్తు = nh
సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2 (nl . nb + nb . nh + nh . nl)
= 2 (n²lb + n²bh + n²lh)
= n² [2 (lb + bh + lh)]
∴ సంపూర్ణతల వైశాల్యం n² రెట్లు పెరుగును.

ప్రశ్న 6.
ఒక పట్టకపు భూమి త్రిభుజాకారములో ఉండి భుజం కొలతలు వరుసగా 8 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., 5 సెం.మీ. కలిగియుండి దాని యొక్క ఎత్తు 10 సెం.మీ. అయిన పట్టకము యొక్క ఘనపరిమాణము ఎంత?
సాధన.
పట్టకము యొక్క ఘనపరిమాణం = భూ వైశాల్యం × ఎత్తు
త్రిభుజాకారంలో ఉన్న భూమి యొక్క కొలతలు వరుసగా 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., 5 సెం.మీ.
∴ వైశాల్యం = s (s – a) (s – b) (s – c)
s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+4+5}{2}\) = 6
వైశాల్యం = \(\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}\)
= \(\sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1}\)
= 6 సెం.మీ.²
∴ పట్టకం యొక్క ఘనపరిమాణం
= భూ వైశాల్యం × ఎత్తు = 6 × 10 = 60 సెం.మీ.³
(లేదా)
త్రిభుజము యొక్క కొలతలు 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., మరియు 5 సెం.మీ. అయిన లంబకోణ త్రిభుజం.
∴ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం
= \(\frac {1}{2}\)bh = \(\frac {1}{2}\) × 3 × 4 = 6 సెం.మీ.²
పట్టకం యొక్క ఘనపరిమాణం
= భూ వైశాల్యం × ఎత్తు
= 6 × 10 = 60 సెం.మీ.³

ప్రశ్న 7.
ఒక క్రమ చతురస్రాకార పిరమిడ్ యొక్క భూ చుట్టుకొలత 16 మీటర్లు, ఎత్తు 3 మీటర్లు అయిన దాని ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము.
సాధన.
పిరమిడ్ భూ చుట్టుకొలత = 16మీ.
పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు.= 3 మీ.
పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణం = \(\frac {1}{3}\) × (భూ వైశాల్యం × ఎత్తు)
= \(\frac {1}{3}\) × 4 × 4 × 3 = 16 మీ.³
[4 × భుజం = 16 ∴ భుజము = 4 మీ. వైశాల్యం = s² = 4 × 4]

ప్రశ్న 8.
ఒలింపిక్స్ లోని ఈతకొలను 50 మీటర్ల పొడవు, 25 మీటర్ల వెడల్పు మరియు 3 మీటర్ల లోతుగల దీర్ఘఘనాకృతిలోయుంది. అది ఎన్ని లీటర్ల నీటిని నింపే సామర్థ్యము కలిగి ఉంది ?
సాధన.
దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉన్న ఈతకొలను యొక్క
పొడవు = 50 మీ. , వెడల్పు = 25 మీ. , లోతు = 3 మీ.
∴ ఈతకొలను యొక్క ఘనపరిమాణము
V = lbh
V = 50 × 25 × 3 = 3750 మీ.³
∴ ఈత కొలను 37,50 లీటర్ల నీటిని నింపే సామర్థ్యము కలిగి ఉంది. [∵ 1 మీ³. = 1లీ.]

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 5 నిరూపక జ్యామితి Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 5th Lesson నిరూపక జ్యామితి Exercise 5.2

ప్రశ్న 1.
నిరూపకతలంలో కింది బిందువులుండే పాదాలను రాయండి.
i) (-2, 3)
ii) (5, -3)
iii) (4, 2)
iv) (-7, -6)
v) (0, 8)
vi) (3, 0)
vii) (-4, 0)
viii) (0, -6)
సాధన.
i) (-2, 3) : Q₂ (రెండవ పాదము)
ii) (5, -3) : Q₄ (నాలుగవ పాదము)
iii) (4, 2) : Q₁ (మొదటి పాదము)
iv) (-7, -6) : Q₃ (మూడవ పాదము)
v) (0, 8) : Y – అక్షంపై ఉండును.
vi) (3, 0) : X – అక్షంపై ఉండును.
vii) (-4, 0) : X – అక్షంపై ఉండును.
viii) (0, -6) : Y – అక్షంపై ఉండును.

ప్రశ్న 2.
కింది బిందువుల x నిరూపకం మరియు y నిరూపకాలు రాయండి.
i) (4, – 8)
ii) (-5, 3)
iii) (0, 0)
iv) (5, 0)
v) (0, -8)
సాధన.

ప్రశ్న 3.
కింద ఇచ్చిన బిందువులలో ఏవి అక్షాలపై ఉంటాయి? అవి ఏ అక్షంపై ఉంటాయి ?
i) (-5, -8)
ii) (0, 13)
iii) (4, -2)
iv) (-2, 0)
v) (0, -8)
vi) (7, 0)
vii) (0, 0)
సాధన.
బిందువులు (0, 13), (0, -8) లు Y – అక్షంపై ఉంటాయి.
బిందువులు (-2, 0), (7, 0) లు X – అక్షంపై ఉంటాయి.
బిందువు (0, 0) X మరియు Y – అక్షాలపై ఉమ్మడిగా ఉంటుంది.
బిందువులు (-5, -8), (4, -2) లు ఏ అక్షంపై ఉండవు.

ప్రశ్న 4.
కింది సటము ఉపయోగించి కింది వానిని కనుగొనండి.
i) L యొక్క y నిరూపకం
ii) Q యొక్కy నిరూపకం
iii) (-2, -2) ను సూచించే బిందువు
iv) (5, -4)ను సూచించే బిందువు
v) N బిందువు యొక్క x నిరూపకం
vi) M బిందువు యొక్క x నిరూపకం

సాధన.
i) L యొక్క y – నిరూపకం – 7.
ii) Q యొక్క y – నిరూపకం 7.
iii) బిందువు ‘R’ (-2, -2) ను సూచించును.
iv) బిందువు ‘P’ (5, -4) ను సూచించును.
v) N బిందువు యొక్క x – నిరూపకము 4.
vi) M బిందువు యొక్క x – నిరూపకము -3.

ప్రశ్న 5.
కింది వాక్యాలు సత్యమా లేదా అసత్యమా తెలిపి వాక్యాన్ని సరిచేసి రాయండి.
i) నిరూపకతలంలో క్షితిజసమాంతరరేఖను Y – అక్షం అని అంటారు.
ii) నిరూపకతలంలో నిలువుగా ఉన్న రేఖను Y – అక్షం అని అంటారు.
iii) రెండు అక్షాలపై ఉన్న బిందువు మూలబిందువు.
iv)(2, -3) బిందువు మూడవ పాదంలో ఉంటుంది.
v) (-5, -3) బిందువు నాలుగవ పాదంలో ఉంటుంది.
vi) x < 0, y < 0 అయితే (-x, – y) అనే బిందువు ఒకటవ పాదంలో ఉంటుంది.
సాధన.
i) అసత్యము
సరియైన వాక్యము : నిరూపక తలంలో క్షితిజ సమాంతర రేఖను X – అక్షం అని అంటారు.
ii) సత్యము
iii) సత్యము
iv) అసత్యము
సరియైన వాక్యము : (2, -3) బిందువు నాల్గవ పాదంలో ఉంటుంది.
v) అసత్యము
సరియైన వాక్యము : (-5, -8) బిందువు మూడవ పాదంలో ఉంటుంది.
vi) సత్యము

ప్రశ్న 6.
కింద ఇచ్చిన క్రమయుగ్మాలను గ్రాఫ్ కాగితంపై గుర్తించి మీ పరిశీలనలు రాయండి.
i) (1, 0), (3, 0), (-2, 0), (-5, 0), (0, 0), (5, 0), (-6, 0)
ii) (0, 1), (0, 3), (0, -2), (0, -5), (0, 0), (0, 5), (0, -6)
సాధన.
i) అన్ని బిందువులు X – అక్షంపై వున్నవి.
ii) అన్ని బిందువులు Y – అక్షంపై వున్నవి.

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 5 నిరూపక జ్యామితి Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 5th Lesson నిరూపక జ్యామితి Exercise 5.1

ప్రశ్న 1.
ఒక ఆవాస ప్రాంతంలో ప్రధాన రహదారి ఉత్తర దక్షిణ దిశలలో ఉంది. దాని పటం కింద ఇవ్వబడినది. పటం సహాయంతో కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.


(i) తూర్పుదిక్కున వెళ్లునప్పుడు మూడవవీధిలో ఎడమవైపు మూడోస్థానంలో ఏం వుంది ?
(ii) తూర్పుదిక్కున వెళ్లునప్పుడు రెండవవీధిలో కుడివైపు రెండవ ఇంటి పేరు ఏమిటి ?
(iii) K గారి ఇల్లు ఏ స్థానంలో ఉందో వివరించండి.
(iv) తపాలాకార్యాలయం యొక్క స్థానం ఎక్కడ ఉందో వివరించండి.
(v) ఆసుపత్రి స్థలం యొక్క స్థానం ఎక్కడ ఉందో వివరించండి.
సాధన.
(i) నీటి ట్యాంక్
(ii) Mr. J యొక్క ఇల్లు
(iii) 2వ వీధిలో కుడివైపు మూడవ స్థానంలో ఉంది.
(iv) 4వ వీధిలో కుడివైపు మొదటి స్థానంలో ఉంది.
(v) 4వ వీధిలో ఎడమవైపు చివరి స్థానంలో ఉంది.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 11th Lesson వైశాల్యాలు InText Questions

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. 1 సెం.మీ. ప్రమాణము 5 మీ. లను సూచిస్తే, 6 చదరపు సెం.మీ. వైశాల్యము దేనిని సూచిస్తుంది ? (పేజీ నెం. 247)
సాధన.
1 సెం.మీ. = 5 మీ.
1 సెం.మీ.² = 1 సెం.మీ. × 1 సెం.మీ. = 5 మీ. × 5 మీ. = 25 చ.మీ.
∴ 6 చ.సెం.మీ. = 6 × 25 చ.మీ. = 150 చ.మీ.

2. 1 చ.మీ. = 100² చ.సెం.మీ. అని రజని అన్నది. నీవు ఏకీభవిస్తావా ? వివరించుము. (పేజీ నెం. 247)
సాధన.
1 చ.మీ. = 100 చ.సెం.మీ. కావున రజనీతో నేను ఏకీభవిస్తాను.

2. కింది పటాలలో ఏవి ఒకే భూమి, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉన్నాయి ? ఇటువంటి సందర్భములో భూమి (ఉమ్మడి భుజం) ని, రెండు సమాంతర రేఖలను తెలపండి. (పేజీ నెం. 249)

సాధన.
(a) పటం (a) లో ∆PCD మరియు ☐ABCD లు ఒకే భూమి CD మరియు ఒకే సమాంతర రేఖలు AB మరియు , CD ల మధ్యన కలవు.
(b) పటం (b) లో ☐PQRS మరియు ☐MNSRలు ఒకే భూమి SR పై గలవు. కాని ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్యన లేవు.
(c) పటం (c) లో ∆TRQ మరియు ☐PQRS లు ఒకే భూమి QR పై మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు PS మరియు QRల మధ్యన గలవు.
(d) పటం (d) లో ∆APD మరియు ☐ABCD లు ఒకే భూమి AD మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు AD మరియు BC ల మధ్యన గలవు.
(e) పటం (e) లో ఇచ్చిన నియమము పాటించబడ లేదు.

3. రెందు త్రిభుజాలు ABC మరియు DBCలను ఒకే భూమి మరియు ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉండునట్లు (పటంలో చూపిన విధంగా) గీయండి. AC మరియు BDU ఖండన బిందువుకు P లని పేరు పెట్టండి. CE || BA మరియు BF || CD లను AD రేఖపై E మరియు F లు ఉన్నట్లు గీయండి. (∆PAB) వైశాల్యము = (∆PDC) వైశాల్యములని మీరు చూపగలరా ?

సూచన: (ఈ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు కానప్పటికీ సమాన వైశాల్యములు కలిగి ఉన్నాయి.) (పేజీ నెం. 254)
సాధన.
☐ABCE వైశాల్యము = 2 × ∆ABC [∵ ∆ABC మరియు ☐ABCE లు ఒకే భూమి BC పై మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు BC మరియు AE ల మధ్యన గలవు]
⇒ ∆ABC = \(\frac {1}{2}\)☐ABCE ……. (1)
అదే విధముగా ☐BCDF = 2 × ∆BCD (∵ ∆BCD మరియు ☐BCDE లు ఒకే భూమి BC మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు BC మరియు DEల మధ్యన గలవు.)
∴ ∆BCD = \(\frac {1}{2}\)☐BCDF ……….. (2)
కాని ☐ABCE = ☐BCDF [∵ ☐ABCE మరియు ☐BCDF లు ఒకే భూమి BC మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు BC మరియు FE లపై కలవు]
(1) మరియు (2) ల నుండి , ∆ABC = ∆BCD
∆PAB + ∆PBC = ∆PBC + ∆PDC
⇒ ∆PAB = ∆PDC నిరూపించబడినది.

4. లంబకోణ త్రిభుజము ABCE A లంబకోణం. BC, CA మరియు AB లపై వరుసగా BCED, ACFG మరియు ABMN అనే చతురస్రాలు గీయబడ్డాయి. రేఖాఖందం AX ⊥ DE, BCని Y వద్ద, DE ని X వద్ద ఖండించింది. AD, AE లు కలుపబడ్డాయి. అదే విధంగా BF, CM లు కలుపబడ్డాయి. (పటంలో చూడండి). అయితే కింద వానిని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 258)

ప్రశ్న (i)
∆MBC ≅ ∆ABD
సాధన.
∆MBC మరియు ∆ABD లలో
MB = AB [∵ చతురస్ర భుజములు)
BC = BC [∵ ఉమ్మడి భుజము]
\(\angle \mathrm{MBC}=\angle \mathrm{ABD}\) [∵ \(\angle \mathrm{MBC}=\angle \mathrm{ABD}\) = 90° + \(\angle \mathrm{ABC}\)]
∴ ∆MBC ≅ ∆ABD (భు.కో.భు. నియమం ప్రకారం)

ప్రశ్న (ii)
(BYXD) వై॥ = 2 (∆MBC) వై॥
సాధన.
☐BYXD మరియు ∆ABD లు ఒకే భూమి BD మరియు రెండు సమాంతర రేఖలు BD, AX ల మధ్య కలవు కావున.
∴ ☐BYXD = 2 ∆ABD = 2 ∆MBC [∵ (i) నుండి]
∴ (BYXD)వై॥ = 2 (∆MBC)వై॥

ప్రశ్న (iii)
(BYXD) వై॥ = (ABMN) వై॥
సాధన.
(ABMN) వై॥ = 2 × (∆MBC) వై॥ [∵ ☐ABMN, ∆MBC లు ఒకే భూమి MB మరియు సమాంతర రేఖలు MB, NC ల మధ్య కలవు]
∴ ☐ABMN = ☐BYXD [(ii) నుండి]

ప్రశ్న (iv)
∆FCB = ∆ACE
సాధన.
∆FCB మరియు ∆ACE లలో
CB = CE (∵ ఒకే చతురస్రపు భుజాలు)
FC = AC (∵ ఒకే చతురస్రపు భుజాలు)
\(\angle \mathrm{FCE}=\angle \mathrm{ACE}\) (∵ \(\angle \mathrm{FCE}=\angle \mathrm{ACE}\) = 90° + \(\angle \mathrm{ACB}\))
∴ ∆FCB ≅ ∆ACE (భు. కో.భు. నియమం)

ప్రశ్న (v)
(CYXE) వై॥ = 2 (FCB) వై॥
సాధన.
☐CYXE మరియు ∆ACE లు ఒకే భూమి CE మరియు రెండు సమాంతర రేఖలు CE మరియు XYల మధ్యన గలవు.
∴ ☐CYXE = 2 × ∆ACE = 2 × ∆FCB [(iv) నుండి]

ప్రశ్న (vi)
(CYXE) వై॥ = (ACFG) వై॥
సాధన.
☐CYXE = 2 × ∆FCB [(v) నుండి]
= ☐ACFG [∵ ☐ACFG మరియు ∆FCB లు ఒకే భూమి CF మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు CF మరియు AGల మధ్యన కలవు.]

ప్రశ్న (vii)
(BCED) వై॥ = (ABMN) వై|| + (ACFG) వై॥
సాధన.
☐BCED = ☐BYXD + ☐CYXE (పటం నుండి)
= ☐ABMN + ☐ACFG [∵ ☐BYXD = ☐ABMN (iii) నుండి ☐CYXE = ☐ACFG (vi) నుండి] నిరూపించబడినది. ఫలితం (vii) ను మాటలలో రాయండి.
సాధన.
“ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణము మీది వర్గము, మిగిలిన రెండు భుజాల మీది వర్గాల మొత్తమునకు సమానము” దీనినే పైథాగరస్ సిద్ధాంతము అంటారు.

కృత్యం

1.


ఒక ఉల్లిపొర కాగితం (ట్రేసింగ్ పేపర్) పై రెండు జతల త్రిభుజాలను పటంలో చూపినట్లు గీయండి. త్రిభుజాలు I, II లను ఒకదానిపై ఒకటి పూర్తిగా ఏకీభవించునట్లు ఉంచండి. త్రిభుజాలు III మరియు IV లు ఒకే భూమి, ఒకే ఎత్తును కలిగిన ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము మరియు ఒక లంబకోణ త్రిభుజము. III మరియు IV పటాలు ఒకదానితో మరొకటి పూర్తిగా ఏకీభవించలేదు. I, II పటాలు ఒకదానితో మరొకటి పూర్తిగా ఏకీభవించినారు. కావున ఇవి సర్వసమాన పటాలు మరియు వీటి వైశాల్యాలు సమానము. ఎందుకనగా అవి ఆక్రమించిన ప్రదేశం సమానము. III, IV పటాలు ఒకదానితో మరొకటి ఏకీభవించలేదు. కనుక అవి సర్వసమాన పటాలుకావు.

వీటి వైశాల్యాలు సమానమేనా ?
పటం (V) ను పరిశీలిస్తే ఈ పటాలు సర్వసమానం కానప్పటికీ, ఇవి సమాన వైశాల్యం కలిగి ఉన్నాయి. (ఈ పటాలను కాగితాలతో కత్తిరించి మరియు త్రిభుజ వైశాల్య సూత్రం ద్వారా కనుగొని చూడండి) అందుచే III మరియు IV పటాలు సర్వసమాన పటాలుకానప్పటికీ, సమాన వైశాల్యాలు గల పటాలు అయినవి. (పేజీ నెం. 245)

2. ఒక గ్రాఫ్ కాగితముపై రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలు ABCD మరియు PQCD లను పటంలో చూపిన విధంగా గీయాలి.

ఈ రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలు ఒకే భూమి DC పైన మరియు ఒకే సమాంతర రేఖలు PB మరియు DCల మధ్య ఉన్నాయి. దీనిలో DCQA పట భాగము రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలలో ఉమ్మడి భాగమని స్పష్టమౌతున్నది. కావున మనము ∆DAP మరియు ∆CBQలు ఒకే వైశాల్యం కలిగి ఉంటాయని చెప్పగలిగితే అప్పుడు (PQCD) వైశాల్యము = (ABCD) వైశాల్యము అవుతుంది. (పేజీ నెం. 250)

3. పటంలో చూపిన విధంగా ఒక జత త్రిభుజాలను ఒకే భూమి లేదా సమాన భూములు, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య గ్రాఫ్ కాగితంపై గీయండి.
∆ABC మరియు ∆DBC లు అనేవి రెండు త్రిభుజాలు ఒకే భూమి BC పైన, ఒకే సమాంతర రేఖలు BC, AD ల మధ్య ఉన్నాయి.
ADని ఇరువైపులా పొడిగించుము మరియు CE || AB, BF || CDలను గీయండి. ఇప్పుడు సమాంతర చతుర్భుజాలు AECB మరియు FDCB లు ఒకే భూమి BC మరియు ఒకే సమాంతర రేఖలు BC మరియు EF ల మధ్య ఉన్నాయి. కావున (AECB) వై॥ = (FDCB) వై॥ (ఎలా ?)

దీని నుండి మనకు (∆ABC) వై॥ = \(\frac {1}{2}\) (సమాంతర చతుర్భుజం AFCB) వై॥ …………… (i)
మరియు (∆DBC) వై॥ = \(\frac {1}{2}\) (సమాంతర చతుర్భుజం FDCB) వై॥ అగును …….. (ii)
(i), (ii) నుండి, దీని నుండి (∆ABC) వై॥ = (∆DBC) వై॥ అని చెప్పవచ్చు.
మనం ∆ABC మరియు ∆DBCల వైశాల్యాలను ముందు కృత్యములో చెప్పినట్లుగా చదరాలను లెక్కించు పద్ధతి ద్వారా గణించి వైశాల్యములు ఎలా సమానం అవుతాయో సరిచూడవచ్చు. (పేజీ నెం. 254)

సిద్ధాంతాలు

1. ఒకే భూమి మరియు ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్యగల సమాంతర చతుర్భుణాల వైశాల్యాలు సమానము. (పేజీ నెం. 250)
సాధన.
ఉపపత్తి : ABCD మరియు PQCD అనే రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలు ఒకే భూమి DC మరియు రెండు సమాంతర రేఖలు DC మరియు PB ల మధ్య ఉన్నాయనుకుందాం. ∆DAP మరియు ∆CBQలలో

PD || CQ మరియు PB తిర్యగ్రేఖ వలన \(\angle \mathrm{DPA}=\angle \mathrm{CQB}\) మరియు AD || CB మరియు PB తిర్యగ్రేఖవలన \(\angle \mathrm{DAP}=\angle \mathrm{CBQ}\) ఇలాగే PQCD సమాంతర చతుర్భుజమైనందున PD = QC అగును. ఇందుచే ∆DAP, ∆CBQ లు రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలు మరియు వాటి వైశాల్యాలు సమానము.
కావున (PQCD) వై॥ = (AQCD) వై॥ + (DAP)వై॥ = (AQCD)వై॥ + (CBQ)వై॥ = (ABCD)వై॥ అగును.
గ్రాఫ్ కాగితములపై గీచిన సమాంతర చతుర్భుజాలలో చదరాల సంఖ్యను లెక్కించి ఫలితాన్ని సరిచూడవచ్చును.

రెండు సమాంతర చతుర్భుజాల వైశాల్యాలు సమానంగా ఉండడానికి అవి ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉన్ననూ, ఒకే భూమిపై ఉండనవసరం లేదని రేష్మా వాదించింది. దానికి సమాన భూమి ఉంటే సరిపోతుందని అన్నది. ఆమె వాదన అవగాహన కొరకు పైపటము పరిశీలిద్దాము.
AB = A₁B₁ అయిన A₁B₁C₁D₁ సమాంతర చతుర్భుజాన్ని ABCD సమాంతర చతుర్భుజముపై ఏకీభవించునట్లు ఉంచితే A శీర్షం A₁ పైన B శీర్షం B₁ పైన వచ్చాయి. అదే విధంగా \(\overline{\mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}}\),CD పై ఏకీభవించింది. కావున వీటి వైశాల్యాలు సమానమైనాయి.

2. రెండు త్రిభుజాలు ఒకే భూమి (లేదా సమాన భూములు) మరియు ఒకే వైశాల్యాలు కలిగి ఉంటే అవి ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉంటాయి. (పేజీ నెం. 255)

పటం పరిశీలించండి. BC భుజం పైన గల త్రిభుజాలు ఏవి ? ∆ABC, ∆DBC త్రిభుజాల ఎత్తులు ఏవి ?
ఒకే భూమిని కలిగి, వైశాల్యాలు సమానం అయితే, వాటి ఎత్తులు ఎలా ఉంటాయి ? A, Dలు సరేఖీయాలేనా ?

ఉదాహరణలు

1. ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము ABEF ఒక దీర్ఘచతురస్రము DG, AB పైకి గీచిన లంబము అయిన
(i) (ABCD) వై॥ = (ABEF) వై॥
(ii) (ABCD) వై॥ = AB × DG అని చూపండి. (పేజీ నెం. 251)
సాధన.

(i) దీర్ఘచతురస్రము కూడా ఒక సమాంతర చతుర్భుజమే.
∴ (ABCD) వై॥ = (ABEF) వై॥ ………. (1) (ఒకే భూమి, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉండే రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలు)

(ii) (ABCD) వై॥ = (ABEF) వై॥ (∴ (1) నుండి)
= AB × BE (∵ ABEF దీర్ఘచతురస్రం కావున)
= AB × DG
(∵ DG ⊥ AB మరియు DG = BE)
అందుచే (ABCD) వై॥ = AB × DG అయినది.
పై ఫలితము బట్టి మనము “సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యము. దాని భూమి (ఏదైనా ఒక భుజము) మరియు దానిపైకి గీయబడిన లంబాల పొడవుల లబ్దానికి సమానము” అని చెప్పవచ్చు.

2. త్రిభుజము ABC మరియు సమాంతర చతుర్భుజము ABEF లు ఒకే భూమి AB మరియు ఒకే సమాంతర రేఖలు AB మరియు EF ల మధ్య ఉంటే (∆ABC) వై॥ = \(\frac {1}{2}\)(ABEF) వై॥ అని చూపండి. (పేజీ నెం. 251)
సాధన.
BH || AC అగునట్లు B గుండా ఒక రేఖను గీస్తే అది పొడిగించిన FE ని H వద్ద ఖండించింది.
∴ ABHC ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.

BC కర్ణము దీనిని రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజించింది. కావున
(∆ABC) వై॥ = (∆BCH) వై॥
= \(\frac {1}{2}\)(ABHC) వై॥
కాని సమాంతర చతుర్భుజాలు ABHC మరియు ABEF లు ఒకే భూమి AB పైన AB || EF సమాంతరరేఖల మధ్య ఉన్నాయి. కావున (∆BHC) వై॥ = (ABEF) వై॥ అందువలన
(∆ABC) వై॥ = \(\frac {1}{2}\)(ABEF) వైశాల్యం అయినది.
దీని నుండి మనం “ఒకే భూమి, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్యన ఒక త్రిభుజము, సమాంతర చతుర్భుజము ఉంటే, త్రిభుజ వైశాల్యము, సమాంతర చతుర్భుజం వైశాల్యములో సగము ఉంటుంది” అని చెప్పవచ్చును.

3. ఒక రాంబిలో కర్ణాలు 12 సెం.మీ. మరియు 16 సెం.మీ. దాని ఆసన్న భుజాల మధ్య బిందువులను వరుస క్రమములో కలుపగా ఏర్పడే పటము యొక్క వైశాల్యము ఎంత ? (పేజీ నెం. 251)
సాధన.
ABCD రాంబస్ యొక్క భుజాలు AB, BC, CD మరియు DA ల మధ్య బిందువులు M, N, O మరియు Pలను వరుసలో కలుపగా ఏర్పడిన పటము MNOP.

ఏర్పడిన MNOPఏ ఆకారంలో ఉంది ? ఎందుకు ? PN కలిపితే PN || AB మరియు PN || DC అవుతాయి (ఎలా ?) ఒకే భూమి, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఒక త్రిభుజము, సమాంతర చతుర్భుజము ఉంటే త్రిభుజ వైశాల్యం, సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యంలో సగం ఉంటుందని మీకు తెలుసు.

పై ఫలితాన్ని బట్టి సమాంతరచతుర్భుజము ABNP మరియు త్రిభుజము MNP లు ఒకే భూమి PN పైన, ఒకే సమాంతరాలు PN మరియు AB ల మధ్య ఉన్నాయి.

∆MNP వై॥ = \(\frac {1}{2}\)ABPNవై॥ ……………… (i)
ఇదే విధముగా ∆PONవై॥ = \(\frac {1}{2}\)PNCDవై॥ ……………..(ii)
మరియు రాంబస్ వైశాల్యము = \(\frac {1}{2}\) × d₁d₂ కావున (i), (ii), (iii) లను బట్టి
(MNOP) వై॥ = (∆MNP) వై॥ + (∆PON) వై॥
= \(\frac {1}{2}\)(ABNP) వై॥ + \(\frac {1}{2}\)(ABCD) వై॥
= \(\frac {1}{2}\)(రాంబస్ ABCD) వై॥
= \(\frac {1}{2}\)(\(\frac {1}{2}\) × 12 × 16) = 48 చ. సెం.మీ.

4. ఒక త్రిభుజాన్ని దాని మధ్యగతము సమాన వైశాల్యాలు గల రెండు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుందని చూపండి. (పేజీ నెం. 255)
సాధన.

త్రిభుజము ABC లో AD మధ్యగతం అనుకోండి. ∆ABD మరియు ∆ADC లకు ఒకే ఉమ్మడి శీర్షం. దీని భూములు BD మరియు DCలు సమానము. AE ⊥ BC గీయండి.
ఇప్పుడు, (∆ABD) = \(\frac {1}{2}\) × భూమి BD × ∆ADB యొక్క ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\) × BD × AE
= \(\frac {1}{2}\) × DC × AE (∵ BD = DC)
= \(\frac {1}{2}\) × భూమి DC × ∆ACD యొక్క ఎత్తు
= ∆ACD వై॥
కావున (∆ABD) వై॥ = (∆ACD) వై అయినది.

5. కింది పటంలో ABCD ఒక చతుర్భుజం. AC ఒక కర్ణము, DE || AC మరియు BC ని పొడిగించగా అది E వద్ద ఖండించింది. అయిన (ABCD) వై॥ = (∆ABE) వై॥ అని చూపండి. (పేజీ నెం. 256)
సాధన.

(ABCD) వై॥ = (∆ABC) వై॥ + (∆DAC) వై॥
∆DAC మరియు ∆EAC లు ఒకే భూమి \(\overline{\mathrm{AC}}\)
మరియు ఒకే సమాంతరాలు DE || AC మధ్యగలవు.
(∆DAC) వై॥ = (∆EAC) వై॥ (ఎందుకు ?)
సమాన వైశాల్యాల పటాలను ఇరువైపులా కలుపగా
(∆DAC) వై॥ + (∆ABC) వై॥
= (∆EAC) వై॥ + (∆ABC) వై॥
కావున (ABCD) వై॥ = (∆ABE) వై॥

6. కింది పటంలో AP || BQ || CR. (∆AQC) వై॥ = (∆PBR) వై॥ అని చూపండి. (పేజీ నెం. 258)
సాధన.

∆ABQ మరియు ∆PBQ లు ఒకే భూమి BQ మరియు ఒకే సమాంతర రేఖలు AP || BQల మధ్య ఉన్నాయి.
కావున (∆ABQ) వై॥ = (∆PBQ) వై॥ …………. (1)
ఇదే విధంగా (∆CQB) వై॥ = (∆RQB) వై॥
(ఒకే భూమి BQ మరియు BQ || CR) …….. (2)
(1), (2) ఫలితాలను కలుపగా
(∆ABQ) వై॥ + (∆CQB) వై॥ = (∆PBQ) వై॥ + (∆RQB) వై॥
అందుచే ∆AQC వై॥ = ∆PBR వై॥ అయినది.

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 4th Lesson సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. మీ చుట్టు పక్కల జాగ్రత్తగా పరిశీలించి సరళరేఖలు మరియు కోణములను ఉపయోగించుకొనే ఏవైనా మూడు సందర్భాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 71)
సాధన.
నల్లబల్ల అంచులు, స్కేలు యొక్క అంచులు, టేబుల్ యొక్క అంచులు భుజాల కోణాలకు మరియు సరళరేఖలకు ఉదాహరణలు.

2. వాటి బొమ్మలను మీ నోట్ పుస్తకములో గీయండి. అటువంటి కొన్ని చిత్రములను సేకరించండి. (పేజీ నెం.71)
సాధన.

3. కింది కోణములకు పూరక, సంపూరక మరియు సంయుగ్మ కోణములను రాయండి. (పేజీ నెం.76)
a) 45°
b) 75°
c) 215°
d) 30°
e) 60°
f) 90°
g) 180°
సాధన.

4. కింది కోణములలో ఏ కోణాల జతలు పూరక మరియు సంపూరక కోణాల జతలు అవుతాయి? (పేజీ నెం. 76)

సాధన.
పటము (i) మరియు (ii) లు పూరక కోణాల జతలు అగును.
పటము (ii) మరియు (iii) లు సంపూరక కోణాల జతలు అగును.

5. కింద ఇచ్చిన కోణాలను, పూరక కోణాలు, రేఖీయద్వయం, శీర్షాభిముఖ కోణాలు మరియు ఆసన్న కోణాల జతలుగా వర్గీకరించండి. (పేజీ నెం. 80)


సాధన.
పటం (i) లో గల a మరియు b కోణాలు రేఖీయ ద్వయములు.
పటం (ii) లో గల a మరియు b కోణాలు ఆసన్న కోణాలు.
పటం (iii) లో గల a మరియు b కోణాలు పూరక కోణాలు.
పటం (iv) లో గల a మరియు b కోణాలు శీర్షాభిముఖ కోణాలు.

6. ప్రతి పటములో ‘a’ కోణము విలువను కనుగొని, కారణాలు వివరించండి. (పేజీ నెం.81)

సాధన.
i) పటం (i) లో 50° మరియు a కోణాలు రేఖీయద్వయం కావున a + 50° = 180°
a = 180° – 50° = 130°

ii) పటం (ii) లో a మరియు 43° లు శీర్షాభిముఖ కోణాలు కావున a = 43° అగును.

iii) పటం (iii) లో 209°, a మరియు 96° లు సంపూర్ణకోణాలు కావున
209° + 96° + a° = 360°
305° + a° = 360°
a° = 360° – 305° = 55°

iv) పటం (iv) లో a° మరియు 63°లు పూరక కోణాలు
కావున a° + 63° = 90°
a = 90° – 63° = 27°

7. కింది పటాలలో l, m లు రెండు సమాంతర రేఖలు మరియు n తిర్యగ్రేఖ. ప్రతి పటములో సూచించబడిన కోణము విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం.87)

సాధన.
x = 110° (ఏకాంతర బాహ్య కోణాలు సమానం)
y = 84° (ఏకాంతర అంతర కోణాలు సమానం)
z = 180° – 100° = 80° (తిర్యగ్రేఖకు ఒకేవైపు ఉన్న అంతర కోణాలు సంపూరకాలు)
s° = 53° (ఆసన్న కోణాలు సమానము)

8. కింది వాటిలో x విలువను కనుగొనండి మరియు కారణములను తెల్పండి. (పేజీ నెం.88)

సాధన.
i) ఆసన్న కోణములు సమానము కావున
11x – 2 = 75°
11x = 75 + 2 = 77
∴ x = \(\frac {77}{11}\)

ii) ఏకాంతర అంతర కోణాలు సమానము కావున
8x – 4 = 60°
8x = 60 + 4 = 64
x = \(\frac {64}{8}\) = 8

iii) ఏకాంతర బాహ్య కోణాలు సమానము
(14x – 1)° = (12x + 17)°
14x – 12x = 17 + 1
2x = 18
x = \(\frac {18}{2}\) = 9

iv) సదృశ్య కోణాలు సమానము
13x – 5 = 17x + 5
13x – 17x = 5 + 5
-4x = 10
x = \(\frac{10}{-4}=\frac{-5}{2}\)

9. సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{AD}}\) పై రెండు బిందువులు B, C లను గుర్తించండి. B, Cల వద్ద ∠ABQ, ∠BCS సమాన కోణాలను నిర్మించండి. QB, SC లను AD కి అవతలి వైపు పొడిగించగా PQ, RS సరళరేఖలు ఏర్పడును. ఏర్పడిన \(\overline{\mathrm{PQ}}\), \(\overline{\mathrm{RS}}\) సరళరేఖలకు ఉమ్మడి లంబరేఖలు \(\overline{\mathrm{EF}}\), \(\overline{\mathrm{GH}}\) లను గీయండి. \(\overline{\mathrm{EF}}\), \(\overline{\mathrm{GH}}\) లను కొలవండి. మీరు ఏమి గమనిస్తారు? దాని నుండి మీరు ఏమి నిర్ధారిస్తారు ? రెండు సరళరేఖల మధ్య లంబ దూరము సమానమైన ఆ రెండు రేఖలు సమాంతరాలు అని జ్ఞప్తికి తెచ్చుకోండి. (పేజీ నెం. 89)


సాధన.
∠ABQ = ∠BCS మరియు అవి AD రేఖ పై ఉన్నవి.
BQ // CS, EF మరియు GH సమాంతర రేఖలు PQ, RS ల పైకి గీయబడిన లంబాలు. కావున ఆ రెండు సరళరేఖల మధ్య లంబ దూరము సమానము కాబట్టి ఆ రెండు రేఖలు సమాంతరాలు.

ప్రయత్నించండి

1. కింద ఇచ్చిన (i, ii, iii మరియు iv) పటములలో ఆసన్న కోణాల జతలను, ఆసన్న కోణములు కాని జతలను గుర్తించి వ్రాయుము. (పేజీ నెం.77)

సాధన.
పటం (i) లో 21 మరియు 22 లు ఆసన్న కోణాలు.
పటం (ii) లో ఆసన్న కోణాలు లేవు.
పటం (iii) లో (∠1, ∠2), (∠2, ∠3) లు ఆసన్న కోణాల జతలు.
పటం (iv) లో ∠1 మరియు ∠2లు ఆసన్న కోణాలు.

ii. . కింది. పటములోని ఆసన్న కోణాల జతలను గుర్తించి రాయండి. (పేజీ నెం.77)

సాధన.
ఇచ్చిన పటములో (∠1, ∠2), (∠3, ∠4), (∠4, ∠5) మరియు (∠3, ∠5) లు ఆసన్న కోణాల జతలు.

2) i) ఇచ్చిన పటంలో ప్రశ్నార్థకం గుర్తు సూచించే కోణం విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 90)

సాధన.
పటం నుండి ఒక తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు గల బాహ్యకోణాలు సమానములు.
∴ ? = 110°

ii) ∠P విలువకు సమానంగా ఉండే కోణాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 90)
సాధన.
∠P = ∠Q = ∠R = 110° ఎందుకనగా అవి ఒక తిర్యగ్రేఖకు గల సదృశ్య కోణాలు.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. ఖండన రేఖలకు, మిళిత రేఖలకు గల భేదమేమిటి ? (పేజీ నెం. 74)
సాధన.
i) రెండు సరళరేఖలు ఏదైనా ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకుంటే వాటిని ఖండన రేఖలంటారు.
ii) మూడు అంతకన్నా ఎక్కువ సరళరేఖలు ఒకే బిందువు వద్ద ఖండించుకుంటే ఆ సరళరేఖలను మిళిత రేఖలంటారు.

2. రేఖీయద్వయం ఎప్పుడూ ఆసన్నకోణాలు అవుతాయి. కాని ఆసన్న కోణాల జత రేఖీయద్వయం కానవసరం లేదు. ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 77)
సాధన.
ఆసన్న కోణాల జత రేఖీయద్వయం కావలసిన అవసరం లేదు. ఎందుకనగా ఏర్పడవచ్చును.

3. ఒక త్రిభుజ భుజాలను వరుసగా పొడిగించగా ఏర్పడిన బాహ్యకోణాల మొత్తము ఎంత ? (పేజీ నెం. 99)
సాధన.
ΔABC ని మరియు దాని భుజాలను పొడిగించగా బాహ్యకోణాలు ఏర్పడతాయి.

∠1 = ∠A + ∠C
∠2 = ∠A + ∠B
∠3 = ∠B+ ∠C
∠1 + ∠2 + ∠3 = 2[∠A + ∠B + ∠C]
2 × 180° = 360°
∴ ఒక త్రిభుజ భుజాలను వరుసగా పొడిగించగా ఏర్పడిన బాహ్యకోణాల మొత్తము 360°.

సిద్ధాంతం :

రెండు సరళరేఖలు ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటే ఏర్పడిన శీర్షాభిముఖ కోణాల కొలతలు సమానం. (పేజీ నెం. 80)
సాధన.
దత్తాంశం : AB మరియు CD లు ‘O’ బిందువు వద్ద ఖండించుకొనే రెండు సరళరేఖలు.
సారాంశము :

i) ∠AOC = ∠BOD
ii) ∠AOD = ∠BOC
ఉపపత్తి : కిరణము \(\overline{\mathrm{OA}}\) సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{CD}}\) పై నున్నది. అందువలన, ∠AOC + ∠AOD = 180° (రేఖీయద్వయం స్వీకృతం) ……… (1)
అలాగే, ∠AOD + ∠BOD = 180° (ఎందుకు ?) …….. (2)
∠AOC + ∠AOD = ∠AOD + ∠BOD
((1) మరియు (2) ల నుండి)
∠AOC = ∠BOD (సమానంగానున్న కోణాలను రెండు వైపులా తొలగించగా)
అదే విధంగా మనం ∠AOD = ∠BOC అని నిరూపించవచ్చు.
దీనిని నీవు స్వంతంగా ప్రయత్నించు.

కృత్యం

1. ఈ క్రింది పటములలోని కోణములను కొలిచి పట్టికలో నింపండి. (పేజీ నెం. 78)

కింద ఇచ్చిన పటములలో, ప్రతీ పటములోని నాలుగు కోణములు 1, 2, 3, 4 లను కొలిచి పట్టికలో రాయండి. (పేజీ నెం.79)


శీర్షాభిముఖ కోణాల జతల గురించి నీవు ఏమి పరిశీలించావు ? అవి సమానముగా ఉన్నాయా ? సిద్ధాంత పరంగా దీనిని నిరూపిద్దాం .

2. ఒక స్కేలును, మూలమట్టాన్ని తీసుకోండి. పటములో చూపినట్లు మూలమట్టాన్ని స్కేలుపై అమర్చండి. మూలమట్టము ఏటవాలు అంచు చదునైన తలం వెంబడి పెన్సిల్ తో గీత గీయండి. ఇప్పుడు మూలమట్టాని , దాని క్షితిజ సమాంతర అంచు వెంబడి జరిపి, మరల ఏటవాలు అంచు వెంబడి గీత గీయండి. మనము గీసిన రెండు గీతలు సమాంతరంగా ఉండడాన్ని గమనించవచ్చును. అవి ఎందుకు సమాంతరం. ఉన్నాయి ? ఆలోచించి, మీ మిత్రులతో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 88)

3. పటం (1) లో చూపినట్లు ఒక పెద్ద కాగితపు త్రిభుజాన్ని గీసి కత్తిరించండి.
కోణాలను పటంలో చూపినట్లు కత్తిరించి సంఖ్యలచే సూచించండి.
పటం (2)లో చూపినట్లు, ఈ మూడు కోణాలను పక్క పక్కన వచ్చునట్లు అమర్చండి.

1. ఈ మూడు ఆసన్న కోణములు కలిసి ఏర్పరచిన కోణము ఏదో కనుగొనుము. ఈ కోణము విలువ ఎంత ?
2. ఒక త్రిభుజములోని కోణముల మొత్తమును గురించి రాయండి.
ఇప్పుడు సమాంతర రేఖలకు సంబంధించిన ప్రవచనాలను స్వీకృతులు మరియు సిద్ధాంతాల సహాయంతో రుజువు చేద్దాం. (పేజీ నెం.97)

ఉదాహరణలు

1. ఒక కోణము కొలత 62°, అయిన దాని పూరక కోణము విలువ ఎంత ? (పేజీ నెం.75)
సాధన.
పూరక కోణముల మొత్తము 90° కావున 62° కోణము యొక్క పూరక కోణము 90° – 62° = 28°
మరల ఈ కింది పటములను పరిశీలించి ప్రతి పటములోని కోణముల మొత్తము కనుగొనండి.

ప్రతి పటములో సూచించిన రెండు కోణముల మొత్తము ఎంత ? 180° కదా ! అటువంటి కోణాల జతలను ఏమని పిలుస్తారో మీకు తెలుసా ? వాటిని సంపూరక కోణాలు అంటారు. ఇచ్చిన కోణము x° అయిన దాని సంపూరక కోణము ఎంత ? x° కోణము యొక్క సంపూరక కోణము (180° – x°).

2. రెండు పూరక కోణముల నిష్పత్తి 4 : 5. అయిన ఆ కోణములు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 76)
సాధన.
కావలసిన కోణములను 4x మరియు 5x అనుకొనుము.
కావున 4x + 5x = 90° (ఎందుకు ?)
9x = 90° ⇒ x = 10°
కాబట్టి కావలసిన కోణములు 40° మరియు 50°.

3. కింది పటంలో \(\overline{\mathrm{AB}}\) ఒక సరళరేఖ. అయిన ‘x’ విలువను కనుగొని దాని సహాయంతో ∠AOC, ∠COD మరియు ∠BOD లను కనుగొనండి. (పేజీ నెం.81)

సాధన.
\(\overline{\mathrm{AB}}\) అనేది ఒక సరళరేఖ. దీనిపై ‘O’ బిందువు వద్ద ఏర్పడిన కోణముల మొత్తము 180°.
∴ (3x + 7)° + (2x – 19)° + x = 180° (∵ రేఖీయ కోణాలు)
⇒ 6x – 12 = 180 ⇒ 6x = 192 ⇒ x = 32°
కావున, ∠AOC = (3x + 7)°
= (3 × 32 + 7)° = 103°,
∠COD = (2x – 19)°×
= (2 × 32 – 19)9° = 45°,
BOD = 32°.

4. కింది పటంలో PQ మరియు RS సరళరేఖలు, బిందువు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి. ∠POR : ∠ROQ = 5 : 7 అయిన అన్ని కొలతలు కనుగొనుము. (పేజీ నెం.81)

సాధన.
∠POR + ∠ROQ = 180° (రేఖీయ ద్వయం)
కాని ∠POR : ∠ROQ = 5 : 7 (దత్తాంశం)
కావున, ∠POR = \(\frac {5}{12}\) × 180 = 75°
అదే విధంగా, ∠ROQ = \(\frac {7}{12}\) × 180 = 105°
ఇప్పుడు, ∠POS = ∠ROQ = 105° (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
మరియు ∠SOQ = ∠POR = 75. (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)

5. కింది పటంలో AOB ఒక సరళరేఖ.
∠COD = 90°, ∠BOE = 72° అయిన ∠AOC, ∠BOD మరియు ∠AOE కోణముల కొలతలు లెక్కించండి. (పేజీ నెం.82)

సాధన.
AOB ఒక సరళరేఖ, కావున
∠AOE + ∠BOE = 180° (రేఖీయ ద్వయం)
⇒ 3x° + 72° = 180°
⇒ 3x° = 108° ⇒ x = 36°.
ఒక బిందువు వద్ద ఏర్పడే కోణముల మొత్తం 360° అని మనకు తెలుసు.
∴ ∠AOC + ∠COD + ∠BOD = 180° (∵ సరళకోణం )
⇒ x° + 90° + y° = 180°
⇒ 36° + 90° + y° = 180°
y° = 180° – 126° = 54°
∴ ∠AOC = 36°, ∠BOD = 54° మరియు ∠AOE = 108°.

6. ఇచ్చిన పటంలో కిరణము \(\overline{\mathrm{OS}}\) సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{PQ}}\) పై ఉన్నది. కిరణము \(\overline{\mathrm{OR}}\) మరియు కిరణము \(\overline{\mathrm{OT}}\) లు వరుసగా ∠POS మరియు ∠SOQ ల కోణ సమద్వి ఖండన రేఖలు. అయిన ∠ROT కొలతను కనుగొనండి. (పేజీ నెం.82)

సాధన.
కిరణము \(\overline{\mathrm{OS}}\) సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{PQ}}\) పై ఉన్నది.
కావున, ∠POS + ∠SOQ = 180° (రేఖీయద్వయం)
∠POS = x° అనుకొనుము.
∴ x° + ∠SOQ = 180° (ఎలా అయింది ?)
కావున, ∠SOQ = 180° – x°
∠POS కు \(\overline{\mathrm{OR}}\) కోణ సమద్విఖండన రేఖ.
∴ ∠ROS = \(\frac {1}{2}\) × ∠POS
= \(\frac {1}{2}\) × x = \(\frac{x}{2}\)
ఇదే విధంగా ∠SOT = \(\frac {1}{2}\) × ∠SOQ
= \(\frac {1}{2}\) × (180° – x°)
= 90° – \(\frac{x^{\circ}}{2}\)
ఇప్పుడు, ∠ROT = ∠ROS + ∠SOT
= \(\frac{x^{\circ}}{2}+\left(90^{\circ}-\frac{x^{\circ}}{2}\right)\)
= 90°

7. కింది పటంలో \(\overline{\mathrm{OP}}\), \(\overline{\mathrm{OQ}}\), \(\overline{\mathrm{OR}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OS}}\) లు నాలుగు కిరణములు అయిన ∠POQ+ ∠QOR + ∠SOR + ∠POS = 360° అని నిరూపించుము. (పేజీ నెం.83)

సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో \(\overline{\mathrm{OP}}\), \(\overline{\mathrm{OQ}}\), \(\overline{\mathrm{OR}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OS}}\) లలో ఏదైనా ఒక కిరణమునకు వ్యతిరేక కిరణము గీయుము.
\(\overline{\mathrm{TOQ}}\) సరళరేఖ అగునట్లు కిరణము \(\overline{\mathrm{OT}}\) గీయుము.
ఇప్పుడు కిరణము OP సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{TQ}}\) పై ఉండును.
∴ ∠TOP + ∠POQ = 180° ………… (1) (రేఖీయద్వయం)
ఇదే విధంగా \(\overline{\mathrm{OS}}\) సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{TQ}}\) పై ఉన్నది.
∴ ∠TOS + ∠SOQ = 180°……….. (2) (ఎందుకు ?)
కాని ∠SOQ = ∠SOR + ∠QOR
సమీకరణం (2) లో రాయగా
∠TOS + ∠SOR + ∠QOR = 180° ……… (3)
(1) మరియు (3) సమీకరణములను కలుపగా
∠TOP + ∠POQ + ∠TOS + ∠SOR + ∠QOR = 360° …….. (4)
కాని ∠TOP + ∠TOS = ∠POS
అందువలన సమీకరణము (4) కింది విధముగా మారును.
∠POQ + ∠QOR + ∠SOR + ∠POS = 360°

8. ఇచ్చిన పటంలో AB || CD అయిన ‘x’ విలువను కనుగొనండి.

సాధన.
E గుండా AB || CD లకు సమాంతరంగా ఉండేటట్లు
EF సరళరేఖను గీయండి. EF || CD మరియు CE తిర్య గ్రేఖ.
∴ ∠DCE + ∠CEF = 180°
[∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునుండే అంతర కోణాలు]
⇒ x° + ∠CEF = 180° ⇒ ∠CEF = (180 – x°).
మరల, EF || AB మరియు, AE ఒక తిర్యగ్రేఖ.
∠BAE + ∠AEF = 180°
[∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు నుండే అంతర కోణాలు]
⇒ 105° + ∠AEC + ∠CEF = 180°
⇒ 105° + 25° + (180° – x°) = 180°
⇒ 310 – x° = 180°
కావున, x = 130°.

9. కింది పటంలో x, y, z మరియు a, b, c ల విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 91)

సాధన.
ఇచ్చట మనకు
y° = 110 (∵ సదృశ కోణాలు)
⇒ x° + y° = 1800 (రేఖీయద్వయం)
⇒ x° + 110° = 180°
⇒ x° = (180° – 110°) = 70°
z° = x° = 70° – (∵ సదృశ కోణాలు)
c° = 65 (ఎలా ?)
a° + c° = 180° [రేఖీయద్వయం]
⇒ a° + 65° = 180°
⇒ a° = (180° – 65°) = 115°
b° = c° = 65°. [∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు]
అందువలన a = 115°, b = 65°, c = 65°, x = 70°, y = 110°, z = 70°

10. కింది పటంలో EF || GH, AB || CD అయిన x కనుగొనండి. (పేజీ నెం.91)

సాధన.
4x° = ∠APR (ఎందుకు ?)
∠APR = ∠PQS (ఎందుకు ?)
∠PQS + ∠SQB = 180° (ఎందుకు ?)
4x° + (3x + 5)° = 180°
7x° + 5° = 180°
x = \(\frac{180^{\circ}-5^{\circ}}{7}\) = 25°

11. ఇచ్చిన పటంలో, PQ || RS. ∠MXQ = 135°, ∠MYR = 40° అయిన ∠XMY కొలతలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 92)

సాధన.
బిందువు M ద్వారా PQ సరళరేఖకు సమాంతరంగా ఉండేటట్లు సరళరేఖ AB ని నిర్మించండి.
ఇప్పుడు, AB || PQ మరియు PQ || RS.
∴ AB || RS
ఇప్పుడు ∠QXM + ∠XMB = 180°
(∴ AB || PQ, మరియు XM తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు ఉన్న అంతర కోణాలు)
అందుచేత, 135° + ∠XMB = 180°
∴ ∠XMB = 45° ……….. (1)
అలాగే ∠BMY = ∠MYR
(AB || RS ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∠BMY = 40°………… (2)
(1), (2) లను కలుపగా
∠XMB + ∠BMY = 45° + 40 అనగా ∠XMY = 85°.

12. ఇచ్చిన రెండు రేఖలను ఒక తిర్యగ్రేఖ ఖండించగా ఏర్పడిన ఒక జత సదృశ కోణాల కోణ సమద్విఖండన రేఖలు సమాంతర రేఖలైన, ఇచ్చిన రెండు రేఖలు కూడా సమాంతర రేఖలు అవుతాయి అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 92)
సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో తిర్యగ్రేఖ \(\overline{\mathrm{AD}}\) ఇచ్చిన రెండు రేఖలు \(\overline{\mathrm{PQ}}\), \(\overline{\mathrm{RS}}\) లను వరుసగా బిందువులు B, C ల వద్ద ఖండించుచున్నది. ∠ABQ కోణ సమద్విఖండన రేఖ \(\overline{\mathrm{BE}}\) అలాగే ∠BCS కోణ సమద్విఖండన రేఖ \(\overline{\mathrm{CF}}\) ఇంకా BE || CF.
మనము PQ || RS అని నిరూపించాలి. ఈ కింది వానిలో ఏదైనా ఒక జత నిరూపించిన సరిపోతుంది.
i. సదృశకోణాలు సమానం.
ii. ఏకాంతర కోణాల జత లేదా ఏక బాహ్యకోణాల – జత సమానము.
iii. తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునున్న అంతర కోణాలు సంపూరకాలు.
ఇచ్చిన పటములో, మనము ఒక జత సదృశకోణాలు సమానము అని నిరూపిద్దాము.
దత్తాంశం నుండి ∠ABQ కు BE కోణ సమద్వి ఖండనరేఖ.
∠ABE = \(\frac {1}{2}\) ∠ABQ…….. (1)

అదే విధంగా, ∠BCS కు CF కోణసమద్విఖండనరేఖ.
∠BCF= \(\frac {1}{2}\)∠BCS ………. (2)
కాని సమాంతర రేఖలు BE, CF లకు \(\overline{\mathrm{AD}}\) ఒక తిర్యగ్రేఖ.
అందువలన ∠ABE = ∠BCF (సదృశ కోణాల స్వీకృతము) ….. (3)
(1), (2), (3) సమీకరణముల నుండి
\(\frac {1}{2}\)∠ABQ = \(\frac {1}{2}\)∠BCS
∴ ∠ABQ = ∠BCS
కాని \(\overline{\mathrm{PQ}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{RS}}\) సరళరేఖలను తిర్యగ్రేఖ \(\overline{\mathrm{AD}}\) ఖండించగా ఏర్పడిన సదృశకోణాల జత, మరియు అవి సమానంగా ఉన్నాయి.
కావున PQ || RS (సదృశకోణాల విపర్యయ స్వీకృతము)

13. కింది పటంలో, AB || CD మరియు CD || EF. అలాగే EA ⊥ AB. ∠BEF = 55° అయిన x, y, z విలువలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 93)

సాధన.
BE ని G దాకా పొడిగించుము.
ఇప్పుడు ∠GEF = 180° – 55° (ఎందుకు ?)
=125°
అలాగే ∠GEF = x = y = 125° (ఎందుకు ?)
ఇప్పుడు. z = 90° – 55° (ఎందుకు ?)
= 35°
రెండు సరళ రేఖలు సమాంతర రేఖలని చూపు పద్దతులు :
1. సదృశకోణాల జత సమానమని చూపుట.
2. ఏకాంతర కోణాల జత సమానమని చూపుట.
3. తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునున్న అంతర కోణాలు సంపూరకాలు అని చూపుట.
4. ఒక తలంలో ఇచ్చిన రెండు సరళరేఖలు, మూడవ రేఖకు లంబరేఖలని చూపుట.
5. ఇచ్చిన రెండు సరళరేఖలను, మూడవ రేఖకు సమాంతర రేఖలని చూపుట.

14. ఒక త్రిభుజ కోణాలు (2x) , (3x + 5) ° మరియు (4x – 14)° అయిన x విలువను కనుగొని, దాని సహాయంతో త్రిభుజ కోణాల విలువలు కనుగొనంది. (పేజీ నెం. 99)
సాధన.
త్రిభుజములోని కోణాల మొత్తం 180° అని మనకు తెలుసు.
∴ 2x° + 3x° + 5° + 4x° – 14° = 180°
⇒ 9x° – 9° = 180°
⇒ 9x° = 180° + 9° = 189°
⇒ x = \(\frac{189^{\circ}}{9^{\circ}}\) = 21
∴ 2x° = (2 × 21)° = 42°,
(3x + 5)° = [(3 × 21 + 5)° = 68°.
(4x – 14)° = [(4 × 21) – 14]° = 70°
కావున ఆ త్రిభుజ కోణాలు 42°, 68° మరియు 70°.

15. కింది పటంలో AB || QR, ∠BAQ = 142° మరియు ∠ABP = 100°. అయిన (i) ∠APB (ii) ∠AQR మరియు (iii) ∠QRP లను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 99)

సాధన.
i) ∠APB = x° అనుకొనుము.
ΔPAB లో భుజము PA ను Q బిందువు దాకా పొడిగించగా 7 బాహ్యకోణం
∠BAQ = ∠ABP + ∠APB
⇒ 142° = 100° + x°
⇒ x° = (142° – 100°) = 42°.
∴ ∠APB = 42°,

ii) ఇప్పుడు AB || QR మరియు PQ ఒక తిర్యగ్రేఖ.
∴ ∠BAQ + ∠AQR = 180° [తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునున్న అంతరకోణాల మొత్తం 180°]
⇒ 142° + ∠AQR = 180°,
∴ ∠AQR = (180° – 142°) = 38°

iii) AB || QR మరియు PR తిర్యగ్రేఖ కావున
∠QRP = ∠ABP = 100° (సదృశ కోణాలు)

16. కింది పటములోని సమాచారము ఉపయోగించి x విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 100)

సాధన.
ఇచ్చిన పటములో ABCD ఒక చతుర్భుజము. దీనిని రెండు త్రిభుజములుగా చేయడానికి ప్రయత్నించండి.
AC బిందువులను కలిపి దానిని బిందువు E దాకా పొడిగించండి.

∠DAE = p°,
∠BAE = q°,
∠DCE = z° మరియు
∠ECB = t°.
ఒక త్రిభుజ బాహ్యకోణము దాని అంతరాభిముఖ కోణముల మొత్తమునకు సమానము కావున
z° = p° + 26°
t° = q° + 38°
∴ z° + t° = p° + q° + (26 + 38)°
= p° + q° + 64°
కాని p° + q° = 46. (∵ ∠DAB = 46°)
కావున z° + t° = 46 + 64 = 110°.
అందువలన x° = z° + t° = 110°.

17. ఇచ్చిన పటంలో ∠A = 40. \(\overline{\mathrm{BO}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CO}}\) లు వరుసగా ∠B మరియు ∠Cల కోణ సమద్విఖండన రేఖలు అయిన ∠BOC కొలతలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 100)

సాధన.
BO అనేది ∠B యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ.
CO అనేది ∠C యొక్క కోణ సమద్విఖండనరేఖ.
∠CBO = ∠ABO = x° అనుకోండి.
∠BCO = ∠ACO = y° అనుకోండి.
అప్పుడు ∠B = (2x)°, ∠C = (2y)° మరియు ∠A = 40°.
కాని ∠A + ∠B + ∠C = 180°. (ఎలా ?)
2x° + 2y° + 40° = 180°
⇒ 2(x + y)° = 140°
⇒ x° + y° = \(\frac{140^{\circ}}{2}\) = 70°.
కావున ∠BOC = 180° – 70° = 110°.

18. కింది పటంలో ఇచ్చిన సమాచారం ఆధారంగా x, y ల విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం.100)

సాధన.
ΔABC యొక్క భుజము BC, బిందువు D వరకు పొడిగించబడినది.
బాహ్యకోణము ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC
∴ 100° = 65° + x°
⇒ x° = (100° – 65°) = 35°.
∠CAD = ∠BAC = 35°
ΔACD లో :
∠CAD + ∠ACD + ∠CDA = 180°
(త్రిభుజములోని కోణముల మొత్తం)
⇒ 35° + 100° + y° = 180°
⇒ 135° + y° = 180°
⇒ y° = (180°- 135°) = 45°
కావున x = 35°, y = 45°.

19. కింది పటంలో ఇచ్చిన సమాచారం ఆధారంగా x, y ల విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 101)

సాధన.
ΔABC యొక్క భుజము BC, బిందువు D వరకు పొడిగించబడినది.
∴ బాహ్యకోణము ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC
⇒ x° = 30° + 35° = 65°.
మరల ΔDCE లో భుజము CE బిందువు A వరకు పొడిగించబడినది.
∴ బాహ్యకోణము ∠DEA = ∠EDC + ∠ECD
⇒ y° = 45 + x° = 45° + 65° = 110°.
కావున x° = 65°, y = 110°.

20. కింది పటంలో QT ⊥ PR, ∠TQR = 40° మరియు ∠SPR = 30° అయిన x, y ల విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం.101)

సాధన.
ΔTQR లో 90° + 40° + x = 180°
(త్రిభుజములోని కోణముల మొత్తం ధర్మం)
∴ x° = 50°
ఇప్పుడు y° = ∠SPR + x° (త్రిభుజ బాహ్యకోణం)
∴ y° = 30° + 50° = 80°

21. ఇచ్చిన పటంలో ΔABC భుజములు AB, AC లు వరుసగా , E, D బిందువుల వద్దకు పొడిగించబడ్డాయి. ∠CBE, ∠BCD కోణ సమద్విఖండన రేఖలు వరుసగా BO, CO లు బిందువు O వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి. అయిన ∠BOC = 90° – \(\frac {1}{2}\) ∠BAC అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం.101)

సాధన.
∠CBE యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ BO.
∴ ∠CBO = \(\frac {1}{2}\) ∠CBE
= \(\frac {1}{2}\)(180° – y°)
= 90° – \(\frac{y^{\circ}}{2}\) ……… (1)
అదే విధంగా, ∠BCD యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ CO.
∴ ∠BCO = \(\frac {1}{2}\) ∠BCD
= \(\frac {1}{2}\)(180° – z°)
= 90° – \(\frac{z^{\circ}}{2}\) ……… (2)
ΔBOCలో ∠BOC + ∠BCO + ∠CBO = 180° ………. (3)
(1), (2) సమీకరణాలను (3) లో ప్రతిక్షేపించగా
∠BOC + 90° – \(\frac{z^{\circ}}{2}\) + 90° – \(\frac{y^{\circ}}{2}\) = 180
కావున ∠BOC = \(\frac{z^{\circ}}{2}+\frac{y^{\circ}}{2}\)
లేదా, ∠BOC = \(\frac {1}{2}\)(y° + z°) ……. (4)
దీనిని x° + y° + z° = 180°
(త్రిభుజములోని కోణముల మొత్తం ధర్మం)
∴ y° + z° = 180° – x°
∴ (4) సమీకరణంలో రాయగా
∠BOC = \(\frac {1}{2}\)(180° – x)
= 90° – \(\frac{x^{\circ}}{2}\)
= 90° – \(\frac {1}{2}\)∠BAC

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 11th Lesson వైశాల్యాలు Exercise 11.3

1. ∆ABC లో (పటం చూడండి), మధ్యగతరేఖ AD యొక్క మధ్యబిందువు E అయిన

ప్రశ్న (i)
∆ABE వై|| = ∆ACE వై||
సాధన.
∆ABC లో, AD మధ్యగతము.
∴ ∆ABD = ∆ACD ………..(1)
(∵ ఒక త్రిభుజంలోని మధ్యగతము దానిని రెండు సమాన త్రిభుజాలుగా విభజించును)
అదే విధంగా ∆ABD లో BE మధ్యగతము
∴ ∆ABE = ∆BED = \(\frac {1}{2}\)∆ABD ……….. (2)
అదే విధంగా ∆ACD లో CE మధ్యగతము
∴ ∆ACE = ∆CDE = \(\frac {1}{2}\)∆ACD ……. (3)
(1), (2) మరియు (3) ల నుండి;
∆ABE = ∆ACE అని నిరూపించబడినది.
(లేక)
∆ABD = ∆ACD
[∵ ∆ABC లో AD మధ్యగతము)
\(\frac {1}{2}\)∆ABD = \(\frac {1}{2}\)∆ACD [2చే భాగించగా]
∆ABE = ∆AEC [∵ ∆ABD కు BE మధ్యగతము]
[∆ACD కు CE మధ్యగతము]

ప్రశ్న (ii)
∆ABE వై|| = \(\frac {1}{4}\)(∆ABC) వై||
సాధన.
∆ABE = \(\frac {1}{2}\)∆ABD
[(i) నుండి; ∆ABD యొక్క మధ్యగతం BE]
∆ABE = \(\frac {1}{2}\) [\(\frac {1}{2}\)∆ABC]
[∵ ∆ABC యొక్క మధ్యగతము AD]
= \(\frac {1}{4}\)∆ABC
అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 2.
సమాంతర చతుర్భుజములో కర్ణాలు, దానిని సమాన వైశాల్యం గల నాలుగు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తాయని చూపండి.
సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
కర్ణాలు AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించు కుంటాయి.
∆ABC మరియు ☐ABCDలు ఒకే భూమి AB మరియు ఒకే సమాంతరాలు AB మరియు CDల మధ్యన కలవు.

∴ ∆ABC = \(\frac {1}{2}\) ☐ABCD
∆ABC లో; BO మధ్యగతము
[∵ AC, BD కర్ణాల మధ్య ఖండన బిందువు O]
∴ ∆AOB ≅ ∆BOC …….. (1)
[∵ ఒక త్రిభుజంలో మధ్యగతము ఆ త్రిభుజంను సమాన వైశాల్యాలు గల రెండు త్రిభుజాలుగా విభజించును]
అదే విధంగా ∆ABD మరియు ☐ABCD లు ఒకే భూమి AB మరియు రెండు సమాంతరాలు AB, CDల మధ్యన కలవు.
∴ ∆ABD = \(\frac {1}{2}\)☐ABCD
మరియు ∆AOB = ∆AOD …… (2)
[∵ ∆ABD యొక్క మధ్యగతము AO]
(1) మరియు (2)ల నుండి,
∆AOB = ∆BOC = ∆AOD
అదే విధముగా ∆AOD = ∆COD
[∵ ∆ACD మధ్య గత రేఖ OD]
∴ ∆AOB = ∆BOC = ∆COD = ∆AOD
అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 3.
పటంలో త్రిభుజాలు ∆ABC మరియు ∆ABD ఒకే భూమి AB పైన ఉన్నాయి. CD రేఖాఖండం \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని O వద్ద సమద్విఖండన చేస్తే (∆ABC) వై॥ = (∆ABD) వై॥ అని చూపండి.

సాధన.
పటం నుండి ∆AOC మరియు ∆BOD లలో
OA = OB [∵ దత్తాంశము]
OC = OD
\(\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOD}\) (శీర్షాభిముఖ కోణాలు]
∴ ∆AOC ≅ ∆BOD (భు.కో.భు. నియమం)
ఆ విధంగా AC = BD (CPCT)
\(\angle \mathrm{OAC}=\angle \mathrm{OBD}\) (CPCT)
కాని AC, BDల యొక్క ఏకాంతర కోణాలు
∴ AC // BD
అదే విధంగా AC = BD మరియు AC // BD;
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
☐ABCD యొక్క కర్ణము AB
⇒ ∆ABC ≅ ∆ABD (∵ ఒక సమాంతర చతుర్భుజమును కర్ణము రెండు సర్వ సమాన త్రిభుజాలుగా విభజించును)
∴ (∆ABC) వైశాల్యము = (∆ABD) వైశాల్యము

4. పటంలో చూపిన విధంగా ∆ABC లో D, E, F లు వరుసగా భుజాలు BC, CA మరియు AB యొక్క మధ్య బిందువులు అయిన కింది వానిని నిరూపించండి.

ప్రశ్న (i)
BDEF ఒక సమాంతర చతుర్భుజము
సాధన.
∆ABC లో D, E మరియు F లు భుజాల మధ్య బిందువులు.
∴ EF// BC
EF = \(\frac {1}{2}\)BC
FD // AC
FD = \(\frac {1}{2}\)AC
ED // AB
ED = \(\frac {1}{2}\)AB [∵ ఒక త్రిభుజపు రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలుపగా ఆ రేఖాఖండం మూడవ భుజంకు సమాంతరము మరియు దానిలో సగముండును.]
∴ ☐BDEFలో
BD = EF (∵ BC మధ్య బిందువు D మరియు \(\frac {1}{2}\)BC = EF]
DE = BF
∴ ☐BDEF ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.

ప్రశ్న (ii)
(∆DEF) వై || = \(\frac {1}{4}\)(∆ABC) వై ||
సాధన.
☐BDEFఒక సమాంతర చతుర్భుజం ((i) నుండి) కావున ∆BDF = ∆DEF
అదే విధముగా ☐CDFE; ☐AEDF లు సమాంతర చతుర్భూజాలు.
∴ ∆DEF = ∆CDE = ∆AEF
∴ ∆ABC = ∆AEF + ∆BDF + ∆CDF + ∆DEF = 4∆DEF
⇒ ∆DEF = \(\frac {1}{4}\)∆ABC

ప్రశ్న (iii)
(BDEF) వై || = \(\frac {1}{2}\)(∆ABC) వై ||.
సాధన.
☐BDEF = 2∆DEF ……….. (1)
((ii) నుండి)
∆ABC = 4 ∆DEF ………… (2)
((ii) నుండి)
(1) మరియు (2) నుండి,
∆ABC = 2 (2∆DEF) = 2 ☐BDEF అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 5.
పటంలో చూపిన విధంగా ∆ABCలో D మరియు E బిందువులు వరుసగా AB, AC భుజాల పై గల బిందువులు మరియు (∆DBC) వై॥ = (∆EBC) వై॥ అయిన DE // BC అని చూపండి.

సాధన.
∆DBC = ∆EBC
రెండు త్రిభుజాలు ఒకే భూమి BC మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు BC మరియు DE ల మధ్యన కలవు. కావున వాటి వైశాల్యాలు సమానము.
∴ BC // DE.

ప్రశ్న 6.
కింది పటంలో BC కు సమాంతరంగా A గుండా XY అనే రేఖ గీయబడింది. BE || CA మరియు CF || BA లను గీస్తే అవి XY ను E మరియు Fల వద్ద వరుసగా ఖండిస్తే (∆ABE) వై॥ = (∆ACF) వై॥ అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశం XY//BC; BE//CA; CF//BA
చతుర్భుజం ABCF లో AB//CF మరియు BC//AF
కావున ☐ABCF ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
☐ABCE మరియు ☐ACBE లలో
∆ABC = ∆ACE …….. (1);
∆ABC = ∆ABE ……. (2) [∵ ఒక సమాంతర చతుర్భుజమును కర్ణము రెండు సరూప త్రిభుజములుగా విభజించును]
∴ ∆ACF = ∆ABE [(1) మరియు (2) ల నుండి] నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 7.
కింది పటంలో ABCD ట్రెపీజియంలో AB//DC కర్ణాలు AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకున్నాయి.
(∆AOD) వై|| = (∆BOX) వై॥ అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశం AB // CD
∆ADC మరియు ∆BCD లు ఒకే భూమి మరియు ఒకే సమాంతరాలు AB మరియు CDల మధ్యన కలవు.
AB // CD.
∴ ∆ADC = ∆BCD
⇒ ∆ADC – ∆COD = ∆BCD – ∆COD
⇒ ∆AOD = ∆BOC (పటం నుండి)

8. కింది పటంలో ABCDE ఒక పంచభుజి. B గుండా ACకు సమాంతరంగా గీచిన రేఖ, పొడిగించిన DCని F వద్ద ఖండించిన కింది వానిని నిరూపించుము.

ప్రశ్న (i)
(∆ACB) వై॥ = (∆ACF) వై ॥
సాధన.
ABCDE ఒక పంచభుజి మరియు AC//BF
∆ACB మరియు ∆ACF లు ఒకే భూమి AC మరియు ఒకే సమాంతరాలు AC//BF ల మధ్యన కలవు.
∴ ∆ACB = ∆ACF

ప్రశ్న (ii)
(AEDF) వై ॥ = (ABCDE) వై ॥

సాధన.
☐AEDF = ☐AEDC + ∆ACF
= ☐DAEDC + ∆ABC
[∵ ∆ACF = ∆ACB]
= (ABCDE) వై॥ నిరూపించబడినది

ప్రశ్న 9.
కిందీ పటంలో ∆RAS వై॥ = ∆RBS వై॥ మరియు ∆QRB వై॥ = ∆PAS పై॥ అయిన చతుర్భుజాలు PQRS మరియు RSBA లు రెండునూ ట్రెపీజియమ్ ని చూపండి.

సాధన.
∆RAS = ∆RBS ……. (1)
రెండు త్రిభుజాలు ఒకే భూమి RS మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు RS మరియు AB ల మధ్యన కలవు. కాబట్టి వాటి వైశాల్యాలు సమానము. మరియు RS//AB
∴ ☐ABRS చతుర్భుజం నందు AB//RS.
∴ ☐ABRS (లేదా) ☐RSBA ఒక ట్రెపీజియమ్
∆QRB = ∆PAS (దత్తాంశం)
⇒ ∆QRB – ∆RBS = ∆PAS – ∆RAS
[(1) నుండి ∆RBS = ∆RAS]
⇒ ∆QRS = ∆PRS.
ఈ త్రిభుజాలు ఒకే భూమి RS పై మరియు RS మరియు PQల మధ్యన కలవు. కావున వాటి వైశాల్యాలు సమానము, PQ//RS.
PQRS చతుర్భుజంలో PQ//RS. కావున ☐PQRS ట్రెపీజియము.

ప్రశ్న 10.
ఒక గ్రామంలో రామయ్య అనే వ్యక్తికి చతుర్భుజాకారంలో ఖాళీ స్థలం కలదు. ఆ గ్రామ పంచాయితీలో పాఠశాల నిర్మాణానికి అతని స్థలంలో ఒక మూలలో కొంత భాగం కావల్సివచ్చింది. ఆయన స్థలాన్ని ఇవ్వడానికి అంగీకరిస్తూ, దానికి బదులుగా అంతే వైశాల్యం గల స్థలాన్ని పొందితే ఏ విధంగా ఆ స్థలం వస్తుందో వివరించండి. (స్థలం యొక్క చిత్తు పటం గీయండి.)
సాధన.

పటం నుండి ☐ABCD రామయ్య పొలం అనుకొనుము.
∆MCD లో పాఠశాల నిర్మాణము జరుగును.
M, BC మధ్య బిందువు
☐ABCD ≅ ∆ADE
BD కర్ణంను గీయుము.
C గుండా BD కి సమాంతర రేఖను గీయుము. అది BC ని E వద్ద ఖండించును.
D, Eలను కలుపుము. ∆ADE మనకు కావలసిన త్రిభుజము.
పరిశీలన:
∆CED మరియు ∆CEBలు ఒకే భూమి CE మరియు ఒక జత సమాంతరాలు CE, DB ల మధ్యన ఉన్నవి.

∴ ∆CED = ∆CEB (పటం నుండి)
∆CEM + ∆CMD = ∆CEM + ∆BME
∴ ∆CMD = ∆BME
∴ ∆ADE = ☐ABCD

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Ex 4.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 4th Lesson సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Exercise 4.4

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన త్రిభుజంలో x, y మరియు z ల విలువలను కనుగొనుము.

సాధన.
పటం (i) లో
x° = 50° + 60°
(∵ ఒక త్రిభుజంలో బాహ్య కోణము, అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తంకు సమానము)
∴ x = 110°

పటం (ii) లో
° = 60° + 70°
(∵ ఒక త్రిభుజంలో బాహ్య కోణము, అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తంకు సమానము)
∴ z = 130°

పటం (iii) లో
y° = 35° + 45° = 80°
∴ y° = 80°
(∵ ఒక త్రిభుజంలో బాహ్య కోణము, అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తంకు సమానము)

ప్రశ్న 2.
ఇచ్చిన పటంలో AS // BT; ∠4 = ∠5, ∠ASTని \(\overline{\mathrm{SB}}\) కోణసమద్విఖండన చేస్తుంది. అయిన ∠1 విలువను కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశము AS // BT.
∠4 = ∠5 మరియు \(\overline{\mathrm{SB}}\), ∠AST ను కోణసమద్వి ఖండన చేయును.
∴ లెక్క ప్రకారము ∠2 = ∠3 ………….. (1)
AS // BT రేఖల నుండి ∠2 = ∠5 (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ΔBST లో ∠3 = ∠5 = ∠4 కావున
ΔBST ఒక సమబాహు త్రిభుజము మరియు ప్రతి కోణము 60° లుగా వుండును.
∴ ∠3 = ∠2 = 60° [సమీకరణము (1) నుండి]
ఇప్పుడు ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
∴ ∠1 + 60° + 60° = 180°
[∵ ఒక రేఖ పై గల బిందువు వద్ద కోణములు]
∴ ∠1 = 180° – 120° = 60°

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన పటంలో AB // CD; BC // DE అయిన x, y ల విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశము నుండి AB // CD మరియు BC // DE.
∴ 3x = 105°
(∵ AB // CD కావున సమాంతర కోణములు)
x = \(\frac{105^{\circ}}{3}\) = 35°
అదే విధముగా BC // DE
∴ ∠D = 105° (∵ ఏకాంతర కోణములు)
ఇప్పుడు ΔCDE లో
24° + 105° + y = 180° (∵ కోణముల మొత్తము)
∴ y = 180° – 129° = 51°

ప్రశ్న 4.
కింద పటంలో BE ⊥ DA మరియు CD ⊥ DA అని ఇవ్వబడినది. అయిన ∠1 ≅ ∠3 అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము ప్రకారము
BE ⊥ DA మరియు CD ⊥ DA.
⇒ CD మరియు BE లు DA రేఖకు లంబాలు.
⇒ CD // BE (లేక) ∠D = ∠E ⇒ CD // BE
(∵ CD, BE రేఖలకు DA తిర్యగ్రేఖ అయిన ఆసన్న కోణాలు సమానము)
ఇప్పుడు ∠1 = ∠3 అని (∵ ఏకాంతర కోణాలు) నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 5.
x, y ల ఏ విలువలకు, AD, BC రేఖలు సమాంతర రేఖలు అవుతాయి ?

సాధన.
AD, BC రేఖలు సమాంతరాలు.
x – y = 30° …….. (1) (∵ ఆసన్న కోణాలు)
2x = 8y …………….. (2) (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
(1) & (2) లను సాధించగా,

y = 10° ను సమీకరణము (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
x – 10° = 30° ⇒ x = 40°
∴ x = 40° మరియు y = 10°

ప్రశ్న 6.
పటంలో x, y ల విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
పటం నుండి y + 140° = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
∴ y = 180° – 140° = 40°
మరియు x° = 30° + y°
(∵ బాహ్యకోణము = అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తం)
x° = 30° + 40° = 70°

ప్రశ్న 7.
కింది పటంలో, బాణం గుర్తులచే సూచింపబడిన రేఖాఖండములు సమాంతరములు అయిన x, y ల విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
పటం నుండి
x° = 30° (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
y° = 45° + x° (∵ బాహ్యకోణం = అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తము)
y = 45° + 30° = 75°

ప్రశ్న 8.
ఇచ్చిన పటంలో ∠PQR భుజాలు వరుసగా QP మరియు RQ, S మరియు T బిందువుల వద్దకు పొడిగించ బడ్డాయి. ∠SPR = 135°, ∠PQT = 110° అయిన ∠PRQ కొలతలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాశం నుండి ∠SPR = 135° మరియు ∠PQT = 110°
పటము నుండి,
∠SPR + ∠RPQ = 180°
∠PQT + ∠PQR = 180° [∵ రేఖీయద్వయం]
⇒ ∠RPQ = 180° – ∠SPR
= 180° – 135° = 45°
⇒ ∠PQR = 180° – ∠PQT.
= 180° – 110° = 70°
ΔPQRలో ∠RPQ + ∠PQR + ∠PRQ = 180°
∴ 45° + 70° + ∠PRQ = 180°
∴ ∠PRQ = 180° – 115° = 65°

ప్రశ్న 9.
ఇచ్చిన పటంలో ∠X = 62°; ∠XYZ = 54°. ΔXYZ లో ∠XYZ మరియు ∠XZY ల కోణ సమద్విఖండన రేఖలు వరుసగా YO మరియు ZO అయిన ∠OZY మరియు ∠YOZ ల కొలతలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశం నుండి ∠X = 62° మరియు ∠Y = 54°
∠XYZల కోణ సమద్విఖండన రేఖలు వరుసగా YO మరియు ZO లు అగును.
ΔXYZలో
∠X + ∠XYZ + ∠XZY = 180°
62° + 54° + ∠XZY = 180°
⇒ ∠XZY = 180° – 116° = 64°
ΔOYZ లో
∠OYZ = \(\frac {1}{2}\)∠XYZ = \(\frac {1}{2}\) × 54° = 27
(∵ ∠XYZ యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ YO)
∠OZY = \(\frac {1}{2}\)∠XZY = \(\frac {1}{2}\) × 64° = 32°
(∵ ∠XYZ యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ OZ)
మరియు ∠OYZ + ∠OZY + ∠YOZ = 180°
⇒ 27° + 32° + ∠YOZ = 180°
⇒ ∠YOZ = 180° – 59° = 121°

ప్రశ్న 10.
ఇచ్చిన పటంలో AB || DE, ∠BAC = 35° మరియు ∠CDE = 53° అయిన ∠DCE కొలతలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశం ప్రకారం AB || DE, ∠BAC = 35° మరియు ∠CDE = 53°
∠BAC = ∠E = 35° (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
ΔCDE లో
∠C + ∠D + ∠E = 180°
∴ ∠DCE + 53° + 35° = 180°
⇒ ∠DCE = 180° – 88° = 92°

ప్రశ్న 11.
ఇచ్చిన పటంలో PQ, RS లు T బిందువు వద్ద ఖండించు కొంటాయి. ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° మరియు ∠TSQ = 75° అయిన కొలతలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశం నుండి ∠PRT = 40°; ∠RPT = 95%; మరియు ∠TSQ = 75°
ΔPRT లో ∠P + ∠R + ∠PTR = 180° (∵ త్రిభుజ కోణాల ధర్మం )
95° + 40° + ∠PTR = 180°
⇒ ∠PTR = 180° – 135° = 45°
∴ ∠PTR = ∠STQ (∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
ΔSTQ లో ∠S + ∠Q + ∠STQ = 180° (∵ త్రిభుజ కోణాల ధర్మం)
75° + ∠SQT + 45° = 180°
∴ ∠SQT = 180° – 120° = 60°

ప్రశ్న 12.
కింది పటంలో ΔABC లో ∠B = 50° మరియు ∠C = 70°. AB, AC భుజాలు పొడిగించగా ఏర్పడిన బాహ్యకోణాల కోణసమద్విఖండన రేఖలు ఖండించుకొనగా ‘z’ ఏర్పడినది. ‘z’ విలువను కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశం నుండి ΔABC లో ∠B = 50° మరియు ∠C = 70°
AB, AC లను పొడిగించగా ఏర్పడిన, బాహ్యకోణాల కోణ సమద్విఖండన రేఖలు ఖండించుకొనగా z ఏర్పడినది.
పటం నుండి 50° + 2x = 180°
70° + 2y = 180
∴ 2x = 180° – 50
2x = 130°
x = \(\frac{130^{\circ}}{2}\)
= 65°

2y = 180° – 70°
2y = 110°
y = \(\frac{110^{\circ}}{2}\)
= 55°

ΔBOC లో x + y + z = 180°
65° + 55° + z = 180°
z = 180° – 120° = 60°

ప్రశ్న 13.
ఇచ్చిన పటంలో PQ ⊥ PS, PQ // SR, ∠SQR = 28° మరియు ∠QRT = 65° అయిన x, y విలువలు కనుగొనుము.

సాధన.
దత్తాంశం నుండి PQ ⊥ PS; PQ // SR
∠SQR = 28°, ∠QRT = 65°
పటం నుండి ∠QSR = x° (∵ PQ // SR రేఖల ఏకాంతర కోణాలు)
65° = x + 28° (∵ బాహ్యకోణం = అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తం)
∴ x° = 65° – 28° = 37°
మరియు x° + y° = 90°
[∵ PQ ⊥ PS మరియు PQ // SR ⇒ ∠P = ∠S]
37° + y = 90°
∴ y = 90° – 37° = 53°

ప్రశ్న 14.
ఇచ్చిన పటంలో ΔABC భుజం AC బిందువు D వరకు పొడిగించబడినది. ∠BCD = 125° అయిన ∠A : ∠B = 2 : 3 అయిన m ∠A, m ∠B లను కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశం నుండి, ∠BCD = 125°
ΔABC లో భుజం AC బిందువు D వరకు పొడిగించబడినది.
∠A : ∠B = 2 : 3
నిష్పత్తిలో పదాల మొత్తము = 2 + 3 = 5
ఒక త్రిభుజంలో బాహ్యకోణము = అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తము
∠BCD = ∠A + ∠B
∠A = \(\frac {2}{5}\) × 125° = 50°
∠B = \(\frac {3}{5}\) × 125° = 75°

ప్రశ్న 15.
కింది పటంలో. BC // DE, ∠BAC = 35° మరియు ∠BCE = 102° అని ఇవ్వబడినది. అయిన i) ∠BCA ii) ∠ADE మరియు iii) ∠CED ల కొలతలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశము నుండి BC // DE ; ∠BAC = 35° మరియు ∠BCE = 102°
i) పటం నుండి
102° + ∠BCA = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
∴ ∠BCA = 180° – 102° = 78°

ii) ∠ADE + ∠CBD = 180°
(∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున్న అంతరకోణాలు)
∠ADE + (78° + 35°) = 180°
(∵ ∠CBD = ∠BAC + ∠BCA)
∴ ∠ADE = 180° – 113° = 67°

iii) పటముల నుండి
∠CED = ∠BCA = 78° (∵ ఏక అంతర కోణాలు)

ప్రశ్న 16.
కింది పటంలో AB = AC; ∠BAC = 36%; ∠ADB = 45° మరియు ∠AEC = 40° అని ఇవ్వబడినది. అయిన i) ∠ABC ii) ∠ACB iii) ∠DAB iv) ∠EACల విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశం నుండి AB = AC, ∠BAC = 36°,
∠ADB = 45°, ∠AEC = 40°
(i) & (ii)
ΔABC లో AB = AC
⇒ ∠ABC = ∠ACB
మరియు త్రిభుజ కోణాల ధర్మం ప్రకారం
36° + ∠ABC + ∠ACB = 180°
∴ ∠ABC = \(\frac{180^{\circ}-36^{\circ}}{2}=\frac{144^{\circ}}{2}\) = 72°
∠ACB = 72°

iii) పటం నుండి
∠ABD + ∠ABC = 180°
∠ABD = 180° – 72° = 108°
ΔABD లో ∠DAB + ∠ABD + ∠D = 180°
∠DAB + 108° + 45° = 180°
∠DAB = 180° – 153° = 27°

iv) ΔADE లో
∠D + ∠A + ∠E = 180°
45° + ∠A + 40° = 180°
⇒ ∠A = 180° – 85° = 95°
∠A = ∠DAB + 36° + ∠EAC
95° = 27° + 36° + ∠EAC
∴ ∠EAC = 95° – 63° = 32°

ప్రశ్న 17.
ఇచ్చిన పటములోని సమాచారము ఆధారంగా x, y విలువలు కనుగొనుము.

సాధన.
పటం నుండి ΔACB లో
34° + 62° + ∠ACB = 180°
∴ ∠ACB = 180° – 96° = 84°
మరియు x + ∠ACB = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
x + 84° = 180°
x = 180° – 84° = 96°
(లేదా)
x = 34° + 62° = 96° (∵ ΔABC లో x బాహ్య కోణము)
y = 24° + x°
= 24° + 96° = 120°
(∵ ΔDCE లో y బాహ్య కోణము)