Category: Class 9

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 11th Lesson వైశాల్యాలు Exercise 11.1

ప్రశ్న 1.
∆ABC లో \(\angle \mathrm{ABC}\) = 90°, AD = DC, AB = 12 సెం.మీ. మరియు BC = 6.5 సెం.మీ. అయిన ∆ADB వైశాల్యము కనుగొనండి.

సాధన.
∆ADB = \(\frac {1}{2}\) ∆ABC (∵ ∆ABC లో AD మధ్యగతము)
= \(\frac {1}{2}\)[\(\frac {1}{2}\)AB × BC)
= \(\frac {1}{2}\) × 12 × 6.5 = 19.5 చ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
PARS చతుర్భుజములో \(\angle \mathrm{QPS}=\angle \mathrm{SQR}\) = 90°, PQ = 12 సెం.మీ., PS = 9 సెం.మీ., QR = 8 సెం.మీ. మరియు SR = 17 సెం.మీ. అయిన PQRS వైశాల్యం కనుగొనండి. (సూచన : PQRSలో రెండు భాగాలున్నాయి రెండు భాగాలున్నాయి.

సాధన.
∆QPS వైశాల్యము
= \(\frac {1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\) × 9 x 12 = 54 చ.సెం.మీ.
∆QPS లో Q² = PQ² + PS²
QS = \(\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}\)
= \(\sqrt{225}\) = 15
∴ ∆QSR వైశాల్యము = \(\frac {1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\) × 15 × 8 = 60 చ. సెం.మీ.
☐PQRS = ∆QPS + ∆QSR
= 54 + 60 = 114 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
కింది పటములో ADCE ఒక దీర్ఘచతురస్రము అయిన ABCD ట్రెపీజియం వైశాల్యము కనుగొనండి. (సూచన : ABCD లో రెండు భాగాలున్నాయి)

సాధన.
ట్రెపీజియం వైశాల్యము
= \(\frac {1}{2}\) (సమాంతర భుజాల మొత్తం) × (ఎత్తు)
(A) = \(\frac {1}{2}\) (a + b) h
పటం నుండి, a = 3 + 3 = 6 సెం.మీ. .
b = 3 సెం.మీ. (∵ దీర్ఘచతురస్రపు ఎదుటి భుజాలు)
h = 8 సెం.మీ.
∴ A = \(\frac {1}{2}\)(6 + 3) × 8 = 36 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము. కర్ణములు AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకున్నాయి. (∆AOD) వై|| = (∆BOC) వై|| అని నిరూపించండి. (సూచన : సర్వసమాన పటాలు సమాన వైశాల్యాలు కలిగి ఉంటాయి.)

సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
కర్ణాలు AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకుంటాయి.
∆AOD మరియు ∆BOC లలో
AD = BC [∵ //^gm యొక్క ఎదుటి భుజాలు]
AO = OC [∵ కర్ణాలు సమద్విఖండన చేసుకొనును]
OD = OB
∴ ∆AOD ≅ ∆BOC (భు.భు.భు. నియమం ప్రకారం)
∴ ∆AOD = ∆BOC (సమాన వైశాల్యాలు గల త్రిభుజాలు)

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Ex 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 4th Lesson సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Exercise 4.3

ప్రశ్న 1.
l || m అయిన ∠1 మరియు ∠8 లు సంపూరక కోణాలని చూపుటలో ప్రతి ప్రవచనానికి కావలసిన కారణాలను రాయండి.


సాధన.

ప్రవచనం	కారణాలు
i) l // m	తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున బాహ్య కోణాలు ∠1 + ∠8 = 180°
ii) ∠1 = ∠5	ఆసన్న కోణాలు
iii) ∠5 + ∠8 = 180°	రేఖీయద్వయం
iv) ∠1 + ∠8 = 180°	తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున్న బాహ్యకోణాలు
v) ∠1, ∠8 సంపూరక కోణాలు	తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున్న బాహ్యకోణాలు

ప్రశ్న 2.
కింద పటంలో AB || CD; CD || EF మరియు y : z = 3 : 7 అయిన x విలువను కనుగొనుము.

సాధన.
దత్తాంశము : AB || CD; CD || EF
⇒ AB || EF మరియు y : z = 3 : 7
పటం నుండి x + y = 180° ……….. (1)
[∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున గల అంతరకోణాలు మొత్తం 180°]
అదే విధంగా y + z = 180 ………… (2)
y : z నిష్పత్తి యొక్క పదాల మొత్తము = 3 + 7 = 10
∴ y = \(\frac {1}{2}\) × 180° = 54°
z = \(\frac {7}{10}\) × 180° = 126°
(1), (2) ల నుండి,
x + y = y + z
⇒ x = z = 126°

ప్రశ్న 3.
కింది పటంలో AB || CD; EF ⊥ CD ఇంకనూ ∠GED = 126°. అయిన ∠AGE, ∠GEF మరియు ∠FGE కొలతలను కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశము : AB || CD; EF ⊥ CD మరియు
∠GED = 126°, ∠FED = 90° మరియు
∠GEF = ∠GED – ∠FED.
∠GEF = 126° – 90° = 36°
ΔGFE లో, ∠GEF + ∠FGE + ∠EFG = 180°
36 + ∠FGE + 90° = 180°
∠FGE = 180° – 126° = 54°
∠AGE = ∠GFE + ∠GEF
(∵ ΔGFE లో ∠AGE బాహ్యకోణం)
= 90° + 36° = 126°

ప్రశ్న 4.
కింది పటంలో PQ || ST, ∠PQR = 110° మరియు ∠RST = 130° అయిన ∠QRS ను కనుగొనండి.
(సూచన : బిందువు R గుండా ST రేఖకు సమాంతరంగా ఒక సరళరేఖను గీయండి.)

సాధన.

ఇచ్చిన పటంలో PQ || ST
STకి సమాంతరంగా ‘l’ అను రేఖను R ద్వారా గీయుము.
పటం నుండి, a + 110° = 180° [∵ c + 130° = 180° తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు అంతరకోణాల మొత్తం]
∴ a = 180° – 110° = 70°
c = 180° – 130° = 50°
అదే విధంగా a + b + c = 180°
(రేఖపై ఒక బిందువు వద్ద గల కోణములు)
70° + b + 50° = 180°
b = 180° – 120° = 60°
∴ ∠QRS = 60°

ప్రశ్న 5.
కింద పటంలో m || n సరళరేఖలు m, n లపై ఏవైనా రెండు బిందువులు వరుసగా A మరియు B. m, n రేఖల అంతరంలో C ఏదైనా ఒక బిందువు అయిన ∠ACB ని కనుగొనండి.

సాధన.

C అను బిందువుగుండా m మరియు n లకు ఒక సమాంతర రేఖ ‘l’ ను గీయుము.
పటం నుండి, x = a [∵ l మరియు m లకు ఏకాంతర కోణాలు]
y = b [∵ l మరియు n లకు ఏకాంతర కోణాలు]
∴ z = a + b = x + y

ప్రశ్న 6.
కింది పటంలో p || q మరియు r || s అయిన a, bల విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశము p || q మరియు r || s.
∴ పటం నుండి 2a = 80° (∵ ఆసన్న కోణాలు)
a = \(\frac{80^{\circ}}{2}\) = 40°
అదే విధంగా 80° + b = 180° (∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున వున్న అంతరకోణాలు)
∴ b = 180° – 80° = 100°

ప్రశ్న 7.
ఇచ్చిన పటంలో a || b మరియు c || d అయిన (i) ∠1, (ii) ∠2 లకు సర్వసమాన కోణాల పేర్లను రాయండి.

సాధన.
దత్తాంశం a || b మరియు c || d.
∠1 = ∠3 (∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∠1 = ∠5 (∵ ఆసన్న కోణాలు)
∠1 = ∠9 (∵ ఆసన్న కోణాలు)
అదే విధముగా ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7;
∠1 = ∠11 = ∠9 = ∠13 = ∠15
అదే విధముగా ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 మరియు
∠2 = ∠10 = ∠12 = ∠14 = ∠16

ప్రశ్న 8.
ఇచ్చిన పటంలో, బాణం గుర్తులున్న రేఖాఖండాలు సమాంతరాలు అయిన x, y విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
పటం నుండి
y = 59° (∵ ఏకాంతర కోణాలు సమానం)
x = 60° (∵ సదృశ కోణాలు సమానం)

ప్రశ్న 9.
కింది పటంలో బాణం గుర్తులున్న రేఖాఖండాలు సమాంతరాలు అయిన x, y విలువలను కనుగొనండి.

సాధన.
పటం నుండి 35° + 105° + y = 180°
∴ y = 180° – 140° = 40°
∴ x = 40° (∵ x, y లు ఆసన్న కోణాలు)

ప్రశ్న 10.
పటం మండి x, y విలువలను కనుగొనండి.

సాధన.
పటం నుండి 120° + x = 180°
(∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున్న బాహ్య కోణాలు)
∴ x = 180° – 120°
x = 60°
x = (3y + 6) (∵ ఆసన్న కోణాలు)
3y + 6 = 60°
⇒ 3y = 60° – 6° = 54°
y = \(\frac {54}{3}\) = 18°
∴ x = 60° మరియు y = 18°

ప్రశ్న 11.
పటం నుండి x, y విలువలను కనుగొనండి.

సాధన.
పటం నుండి 52° + 90° + (3y + 5)° = 180°
(∵ త్రిభుజపు అంతర కోణాలు)
∴ 3y + 147 = 180° ⇒ 3y = 33°
y = \(\frac {33}{3}\) = 11°
అదే విధముగా x + 65° + 52° = 180°
(∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున గల అంతర కోణాలు)
∴ x = 180° – 117° = 63°

ప్రశ్న 12.
కింది ప్రవచనానికి తగిన పటాన్ని గీయండి.
ఒక కోణము యొక్క రెండు భుజాలు వరుసగా వేరొక కోణము యొక్క రెండు భుజాలకు లంబరేఖలైన ఆ రెండు కోణములు సమానము లేదా సంపూరకాలు.
సాధన.

AO ⊥ PQ, OB ⊥ QR
కోణాలు అన్నీ సంపూరకాలు.

AO ⊥ PQ, OB ⊥ QR
కోణాలు సమానములు.

ప్రశ్న 13.
ఇచ్చిన పటంలో AB || CD; ∠APQ = 50° మరియు ∠PRD = 127° అయిన x, y విలువలను కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశము AB || CD మరియు
∠PRD = 127°
పటం నుండి x = 50° (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
అదే విధంగా y + 50° = 127°(∵ ఏకాంతర కోణాలు)
∴ y = 127 – 50 = 77°

ప్రశ్న 14.
క్రింది పటంలో PQ మరియు RSలు సమాంతరంగా ఉంచబడిన రెండు దర్పణాలు. పతన కిరణము \(\overline{\mathrm{AB}}\) దర్పణము PQ ని బిందువు B వద్ద తాకును. పరావర్తనకిరణము \(\overline{\mathrm{BC}}\) దర్పణము RSను Cబిందువు వద్ద తాకి మరల \(\overline{\mathrm{CD}}\) గుండా పరావర్తనము చెందును. అయిన AB || CD అని చూపుము.
(సూచన : సమాంతర రేఖలకు గీసిన లంబరేఖలు కూడా సమాంతర రేఖలు అవుతాయి.)

సాధన.

ఇచ్చిన పటంకు B మరియు Cల వద్ద లంబాలను గీయుము.
∠x = ∠y (పతన మరియు పరావర్తన కోణాలు సమానము)
∠y = ∠w (ఏకాంతర కోణాలు)
∠w = ∠z (పతన మరియు పరావర్తన కోణాలు సమానము)
∴ x + y = y + Z
(\(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{CD}}\) ల ఏకాంతర అంతరకోణాలు)
∴ AB || CD.

ప్రశ్న 15.
ఇచ్చిన పటాలలో AB || CD తిర్యగ్రేఖ EF సరళరేఖలు AB, CD లను వరుసగా G, H బిందువుల వద్ద ఖండించును. అయిన x, y విలువలు కనుగొనండి. కారణములను తెల్పుము.


సాధన.
పటం (i)
3x = y (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
2x + y = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
∴ 2x + 3x = 180°
5x = 180° ⇒ x = \(\frac {180}{5}\) = 36°
మరియు y = 3x = 3 × 36 = 108°

పటం (ii)
2x + 15 = 3x – 20° (∵ ఒకే వైపున్న శీర్షకోణాలు)
2x – 3x = – 20 – 15
– x = – 35
x = 35°

పటం (iii)
(4x – 23) + 3x = 180° (∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున గల అభిముఖ అంతర కోణాలు)
7x – 23 = 180°
7x = 203 ⇒ x = \(\frac {203}{7}\) = 29°

ప్రశ్న 16.
ఇచ్చిన పటంలో AB || CD, ‘t’ అనే తిర్యగ్రేఖ వీటిని వరుసగా E మరియు F బిందువుల వద్ద ఖండించును. ∠2 : ∠1 = 5 : 4 అయిన మిగిలిన కోణాల విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశము AB || CD మరియు ∠2 : ∠1 = 5 : 4
∠1 + ∠2 = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
∠2 : ∠1 ల నిష్పత్తుల మొత్తము = 5 + 4 = 9
∠1 = \(\frac {4}{9}\) × 180° = 80°
∠2 = \(\frac {5}{9}\) × 180° = 100
∠1, ∠3, ∠5, ∠7 ల విలువ 80°.
అదే విధంగా ∠2, ∠4, ∠6, ∠8ల విలువ 100°.

ప్రశ్న 17.
కింద ఇచ్చిన పటంలో AB || CD అయిన x, y, z ల విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశము AB || CD.
పటం నుండి (2x + 3x) + 80° = 180°
(∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునున్న కోణాల మొత్తము)
∴ 5x = 180° – 80° = 100°
x = \(\frac{100^{\circ}}{5}\) = 20°
ఇప్పుడు 3x = y (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
∴ y = 3 × 20° = 60°
మరియు y + z = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
∴ z = 180° – 60° = 120°

ప్రశ్న 18.
కింద ఇచ్చిన పటంలో AB || CD అయిన x, y, z విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశం AB || CD.
పటం నుండి x° + 70° + x° = 180°
(∵ రేఖపై ఒక బిందువు వద్ద గల కోణాలు)
∴ 2x = 180° – 70°
x = \(\frac{110^{\circ}}{2}\) = 55°
Δ ABC లో 90° + x° + y° = 180°
⇒ x + y = 180° – 90° = 90°
90° + 55° + y = 180°
y = 180° – 145° = 35°
మరియు x° + z° = 180°
[∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునవున్న అంతరకోణాలు]
55° + z = 180°
⇒ z = 180° – 55° = 125°

ప్రశ్న 19.
కింద ఇచ్చిన పటాలలో ప్రతి పటంలో AB || CD అయిన ప్రతీ సందర్భంలో X విలువను కనుగొనండి.

సాధన.

ప్రతి సందర్భంలోనూ ‘l’ అను రేఖను AB మరియు CD లకు సమాంతరంగా E గుండా గీయుము.

పటం (i)
a + 104° = 180° ⇒ a = 180° – 104° = 76°
b + 116° = 180° ⇒ b = 180° – 116° = 64°
[∵ ఒకే వైపునున్న అంతరకోణాలు]
∴ a + b = x = 76° + 64° = 140°

పటం (ii) a = 35°, b = 65° [∵ ఏకాంతరంగా వున్న అంతర కోణాలు]
x = a + b = 35° + 65° = 100°

పటం (iii)
a + 35° = 180° ⇒ a = 145°
b + 75° = 180° ⇒ b = 105°
[∵ ఒకే వైపునున్న అంతర కోణాలు]
∴ x = a + b = 145° + 105° = 250°

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. పటములో వృత్తం A నకు సర్వసమానంగా ఉన్న వృత్తాలను గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 262)

సాధన.
వృత్తం A నకు సర్వసమానంగా ఉన్న వృత్తం ‘E’.

2. వృత్తాల యొక్క ఏ కొలత వాటిని సర్వసమానం చేస్తుంది? (పేజీ నెం. 262)
సాధన.
వృత్తాల యొక్క వ్యాసార్ధములు వాటిని సర్వసమానం చేస్తుంది.

ప్రయత్నించండి

1. ‘O’ కేంద్రంగా కల వృత్తంలో AB ఒక జ్యా మరియు ‘M’ జ్యా మధ్య బిందువు. అయినా \(\overline{\mathrm{OM}}\), AB కి అంబింగా ఉండునని నిరూపించండి. (సూచన : OA, OB లను కలిపి ∆OAM మరియు ∆OBM లను పోల్చండి.) (పేజీ నెం. 267)

సాధన.

‘O’ వృత్త కేంద్రము.
AB ఒక జ్యా, M, AB పై మధ్య బిందువు.
A, B లను ‘O’ తో కలుపుము.
∆OMA మరియు ∆OMB లలో
OA = OB (వ్యాసార్ధాలు )
OM = OM (ఉమ్మడి భుజం)
MA = MB (దత్తాంశము)
∴ ∆OMA ≅ ∆OMB
(భు. భు.భు. సర్వసమాన ధర్మం )
∴ \(\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}\) (C.P.C.T).
కాని \(\angle \mathrm{OMA}\) మరియు \(\angle \mathrm{OMB}\) లు రేఖీయ ద్వయం
∴ \(\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}\) = 90°
i.e., OM ⊥ AB.

2. మూడు బిందువులు సరేఖీయాలైన, వాటి గుండా పోయేట్లు గీయగల వృత్తాలెన్ని? ఒక రేఖపై ఏవేని మూడు బిందువులను తీసుకొని వాటి గుండా పోయేటట్లు వృత్తాలను గీయడానికి ప్రయత్నించండి. (పేజీ నెం. 268)
సాధన.
మూడు బిందువులు సరేఖీయాలైన వాటి గుండాపోవు వృత్తంను గీయలేము.

3. పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రం మరియు AB = CD; OM మరియు ON లు వరుసగా \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\)లకు కేంద్రం నుండి గీచిన లంబాలు. అయిన OM = ON అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 269)

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము మరియు AB = CD జ్యాలు.
OM ⊥ AB; ON ⊥ CD
∆OMB మరియు ∆ONC లలో
OB = OC [∵ వ్యాసార్ధాలు]
BM = CN (∵ \(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)CD)
\(\angle \mathrm{OMB}=\angle \mathrm{ONC}\) [∵ ప్రతి కోణం 90°]
∴ ∆OMB ≅ ∆ONC (లం. క.భు. సర్వసమాన నియమం ప్రకారం )
OM = ON (C.P.C.T)

కృత్యం

1. ఈ క్రింది కృత్యాన్ని చేద్దాం. కాగితంపై ఒక బిందువును . గుర్తించండి. ఈ బిందువును కేంద్రంగా తీసుకొని ఏదేని వ్యాసార్ధంతో ఒక పృత్తాన్ని గీయండి. ఇదే కేంద్రంతో వ్యాసార్ధాన్ని పెంచి లేదా తగ్గించి మరికొన్ని వృత్తాలను గీయండి. ఈ కృత్యం ద్వారా గీచిన వృత్తాలను ఏమని పిలుస్తారు ? (పేజీ నెం. 261)

ఒకే కేంద్రం గల వృత్తాలను ఏకకేంద్ర వృత్తాలు అంటారు.

2. ఒక పలుచని గుండ్రని కాగితం (వృత్తాకార కాగితం) తీసుకొని, దానిని సగానికి (మధ్యకు) మడచి తెరవండి. మరలా మరొక సగానికి మడచి తెరవండి. ఇదే విధంగా అనేకసార్లు తిరిగి చేయండి. చివరికి తెరిచి చూస్తే మీరేమి గమనిస్తారు ? (పేజీ నెం. 262)

3. ఒక గ్రుండని (వృత్తాకార) కాగితాన్ని తీసుకోండి. వృత్త అంచులు ఏకీభవించునట్లు ఏదేని ఒక వ్యాసం వెంట మడవండి. మడతను తెరచి ఇంకొక వ్యాసం వెంబడి మడవండి. మడతను తెరచి చూసిన రెండు వ్యాసాలు కేంద్రం ‘O’ వద్ద ఖండించుకొనుటను గమనిస్తాం. రెండు జతల శీర్షాభిముఖ కోణాలు ఏర్పడుతాయి. ఇవి సమానం, వ్యాసం చివరి బిందువుల A, B, C మరియు D అని పేర్లు పెట్టండి.

జ్యాలు \(\overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{BD}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{AD}}\)లను గీయండి.
నాలుగు వృత్తఖండాలు 1, 2, 3 మరియు 4 లను కత్తిరించండి. ఈ ఖండాలను జతలుగా ఒకదానిపై మరొకటి ఉంచిన (1, 3) మరియు (2, 4) జతలు అంచులు ఏకీభవిస్తాయి. అంటే \(\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{BC}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BD}}\) అవుతాయా ?
ఒక ప్రత్యేక సందర్భములో పై ధర్మాన్ని పరిశీలించారు. ఇదే విషయాన్ని వేర్వేరు కొలతలుగల సమాన కోణాలు తీసుకొని సరిచూసిన జ్యాలు సమానమగును. కింది సిద్ధాంతము ద్వారా గమనించగలం. (పేజీ నెం. 265)

4. వృత్తాకారంలోగల ఒక కాగితాన్ని తీసుకొని దాని కేంద్రం ‘O’ ను గుర్తించండి. వృత్తం యొక్క కొంత భాగాన్ని మడచి తిరిగి తెరవండి. ఏర్పడిన మడత జ్యా ABను సూచిస్తుందనుకోండి. ఇంకొక మడత వృత్త కేంద్రం మరియు జ్యా మధ్య బిందువు గుండా పోయేటట్లు కాగితాన్ని మరల మడవండి. ఇప్పుడు మడతల మధ్య ఏర్పడిన కోణాలను కొలవండి, అవి లంబకోణాలు.

“కాబట్టి వృత్తకేంద్రం నుండి జ్యాను సమద్విఖండన చేసే రేఖ జ్యూకు లంబంగా ఉంటుంది” అని పరికల్పన చేయవచ్చు. (పేజీ నెం. 267)

5. వృత్తం దానిని సగానికి మధ్యలో మడవండి. ఇప్పుడు ఆర్ధవృత్త చాపపు అంచు దగ్గరయుంచి మడత విప్పిన మీకు రెండు సర్వసమాన జ్యాల మడతలు వచ్చును. వాటిని \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) లుగా గుర్తించండి కేంద్రాన్ని ‘O’ గా గుర్తించండి. కేంద్రం ‘O’ నుండి ప్రతి జ్యాకు లంబపు మడత పెట్టండి. విభాగిని ఉపయోగించి వృత్తకేంద్రం నుండి జ్యాలకు గల లంబ దూరాలను పోల్చండి.

ఈ కృత్యాన్ని వృత్తం మడత ద్వారా సమాన జ్యాలు ఏర్పరుస్తూ అనేకసార్లు మరలా చేయండి. మీ పరిశీలనలను . ఒక పరికల్పనగా తెల్పండి. సర్వసమాన జ్యాలు వృత్త కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉంటాయి. (పేజీ నెం. 269)

6. పటంలో చతుర్పులు తీరాలు A, B C మరియు Dలు ఒకే వృత్తం పైన గలవు. ఇటువంటి చతుర్భుజాలు ABCD లను మూడింటిని గీసి చతుర్భుజ కోణాలను కొలచి పట్టికను నింపండి.

పట్టిక నుండి నీవు ఏమి చెప్పగలవు ? (పేజీ నెం. 275)

సిద్ధాంతాలు

1. ఒక వృత్తంలోని రెండు జ్యాలు సమానమైతే అవి కేంద్రం వద్ద ఏర్పరచే కోణాలు సమానం. (పేజీ నెం. 265)
సాధన.
దత్తాంశం : ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తంలో \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) లు రెండు సమాన జ్యాలు. అవి కేంద్రం వద్ద ఏర్పరచిన కోణాలు \(\angle \mathrm{AOB}\) మరియు \(\angle \mathrm{AOB}\).
సారాంశం: \(\angle \mathrm{AOB}\) = \(\angle \mathrm{COD}\)
నిర్మాణం : వృత్త కేంద్రాన్ని జ్యాల యొక్క అంత్య బిందువులతో కలుపుము. ఇప్పుడు ∆AOB మరియు ∆COD లు ఏర్పడతాయి.
నిరూపణ:

∆AOB మరియు ∆COD లలో
AB = CD (దత్తాంశం)
OA = OC (ఒకే వృత్త వ్యాసార్ధాలు)
OB = OD (ఒకే వృత్త వ్యాసార్ధాలు)
కావున ∆AOB ≅ ∆COD (భు.భు.భు. నియమం)
కావున ∆AOB ≅ ∆COD (సర్వసమాన త్రిభుజపు అనురూప కోణాలు)

2. ఒక వృత్తంలోని జ్యాలు కేంద్రం వద్ద చేసే కోణాలు సమానమైన ఆ జ్యాలు సమానం.

ఇది ఇంతకు ముందు చెప్పబడిన సిద్ధాంతం యొక్క విపర్యయం ఇచ్చిన ప్రకారం
\(\angle \mathrm{PQR} \cong \angle \mathrm{MQN}\)
అని తీసుకుంటే \(\angle \mathrm{PQR} ≡ \angle \mathrm{MQN}\) అని మీరు గమనించగలరు. (పేజీ నెం. 266)

3. ఒక చాపము ఒక వృత్తకేంద్రం వద్ద ఏర్పరచుకోణం, ఆ చాపం మిగిలిన వృత్తంపై ఏదేని బిందువు వద్ద ఏర్పరిచే కోణానికి రెట్టింపు ఉంటుంది. (పేజీ నెం. 272)

సాధన.
‘O’ అనునది వృత్తకేంద్రం.
చాపము \(\overparen{\mathrm{PQ}}\) కేంద్రం వద్ద ఏర్పరచు కోణం \(\angle \mathrm{POQ}\).
Rఅనునది (\(\overparen{\mathrm{PQ}}\) పై లేనట్టి) మిగిలిన వృత్తం మీద ఏదేని ఒక బిందువు.
నిరూపణ : ఇక్కడ (i) \(\overparen{\mathrm{PQ}}\) ఒక అల్ప చాపం,
(ii) \(\overparen{\mathrm{PQ}}\) ఒక అర్ధవృత్తం మరియు
(iii) \(\overparen{\mathrm{PQ}}\) ఒక అధిక చాపం అయ్యే మూడు సందర్భాలు కలవు.
R బిందువును ‘O’ కలిపి S బిందువు దాకా పొడిగించడం ద్వారా నిరూపణను మొదలు పెడదాం. (అన్ని సందర్భాలలోనూ) అన్ని సందర్భాలలోను ∆ROP లో
OP = OR (ఒకే వృత్త వ్యాసార్ధాలు)
∴ \(\angle \mathrm{ORP}=\angle \mathrm{OPR}\) (సమద్విబాహు త్రిభుజంలో సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉండే కోణాలు సమానం).
\(\angle \mathrm{POS}\) కోణము ∆ROP కు బాహ్య కోణం (నిర్మాణం)
\(\angle \mathrm{POS}=\angle \mathrm{ORP}+\angle \mathrm{OPR}\) లేదా 2\(\angle \mathrm{OPR}\) ……. (1)
(∵ బాహ్యకోణం అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం)

ఇదే విధంగా ∆ROQ
\(\angle \mathrm{SOQ}=\angle \mathrm{ORQ}+\angle \mathrm{OQR}\) లేదా 2\(\angle \mathrm{ORQ}\) …….. (2)
(∵ బాహ్యకోణం అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం)
(1) మరియు (2) ల నుండి,
\(\angle \mathrm{POS}+\angle \mathrm{SOQ}=2(\angle \mathrm{ORP}+\angle \mathrm{ORQ})\)
అంటే ఇది \(\angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{QRP}\) తో సమానం ……….. (3)
కావున “ఒక చాపము వృత్త కేంద్రం వద్ద ఏర్పరచు కోణం, ఆ చాపం మిగిలిన వృత్తంపై ఏదేని బిందువు వద్ద ఏర్పరచే కోణానికి రెట్టింపు ఉంటుంది” అనే సిద్ధాంతం నిరూపించడమైనది.

4. రెండు బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం (ఆ రేఖాఖండానికి ఒకే వైపునగల) ఏవేని రెండు వేర్వేరు బిందువుల మధ్య ఏర్పరచు కోణాలు సమానం అయితే ఆ బిందువులన్నీ ఒకే వృత్తంపై ఉంటాయి. అంటే అవి చక్రీయాలు అవుతాయి. ఈ ఫలితం యొక్క సత్య విలువను కింది విధంగా పరిశీలించవచ్చు. (పేజీ నెం. 274)
సాధన.
దత్తాంశం : ఏవేని రెండు బిందువులు A, B లను కలుపు రేఖాఖండం \(\overline{\mathrm{AB}}\) నకు ఒకే వైపున గల రెండు బిందువులు C మరియు Dల వద్ద \(\overline{\mathrm{AB}}\) చేయు కోణాలు \(\angle \mathrm{ACB}\) మరియు \(\angle \mathrm{ADB}\) లు సమానమని ఈయబడినవి.

సారాంశం : A, B, C మరియు D లు ఒకే వృత్తం పైన బిందువులు అనగా చక్రీయ బిందువులు.
నిర్మాణం : సరేఖీయాలు కాని మూడు బిందువులు A, B మరియు Cల గుండాపోయేట్లు ఒక వృత్తాన్ని గీయండి.
నిరూపణ : \(\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB}\) అగునట్లుగా D = ‘D’ బిందువు వృత్తంపైన లేనట్లైతే

వృత్తంపై E లేదా ‘E’ అనే బిందువు, AD లేదా ADని పొడిగించినప్పుడు ఖండన బిందువుగా వ్యవస్థితం అవుతుంది. అంటే A, B, C మరియు E లు ఒక వృత్తంపై ఉంటాయి కనుక
\(\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{AEB}\) (ఎందువలన ?)
కానీ \(\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB}\) అని ఈయబడినది.
కాబట్టి \(\angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{ADB}\)
ఇది E మరియు Dలు ఏకీభవిస్తే తప్ప సాధ్యం కాదు. (ఎందువలన ?)
కావున E కూడా Dతో ఏకీభవిస్తుంది.

5. చక్రీయ చతుర్భుజంలోని ఎదుటి కోణాల జతలు సంపూరకాలు. (పేజీ నెం. 276)
సాధన.
దత్తాంశము : ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం,

6. ఒక చతుర్భుజంలో ఏ రెండు ఎదుటి కోణాల మొత్తం అయినా 180° అయితే అది చక్రీయ చతుర్భుజం అవుతుంది. (పేజీ నెం. 277)
సాధన.
దత్తాంశం :

చతుర్భుజం ABCD లో
\(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}\) = 180°
\(\angle \mathrm{DAB}+\angle \mathrm{BCD}\) = 180°
సారాంశం : ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం.
నిర్మాణం : సరేఖీయాలు కానీ బిందువులు A, B మరియు Cల గుండా ఒక వృత్తాన్ని గీయండి. వృత్తం D ద్వారా పోయినట్లైతే A, B, C, D ల చక్రీయాలు కావున సిద్ధాంతము నిరూపించినట్లే.
ఈ వృత్తం D బిందువు ద్వారా పోనట్లైతే ఆ వృత్తం \(\overline{\mathrm{CD}}\) ను లేదా \(\overline{\mathrm{CD}}\) ను పొడిగించినప్పుడు D వద్ద ఖండిస్తుంది. \(\overline{\mathrm{AE}}\) ను గీయండి.

నిరూపణ : ABCE ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం (నిర్మాణం)
\(\angle \mathrm{AEC}+\angle \mathrm{ABC}\) = 180° (చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదుటి కోణాల మొత్తం)
కాని \(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}\) = 180° (దత్తాంశం)
\(\angle \mathrm{AEC}+\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}\)
కానీ ఈ కోణాలలో ఒకటి ∆ADE యొక్క అంతరకోణం మరియు రెండవది బాహ్యకోణం. త్రిభుజ బాహ్య కోణం ఎల్లప్పుడూ దాని అంతరాభి. ముఖ కోణాల కన్నా ఎక్కువ అని మనకు తెలుసు.
∴ \(\angle \mathrm{AEC}=\angle \mathrm{ADC}\) అనునది ఒక విరుద్దత.
అంటే A, B మరియు Cల ద్వారా గీచిన వృత్తం D ద్వారా పోవట్లేదనే మన కల్పన అసత్యం. A, B మరియు C ల ద్వారా గీచిన వృత్తం D ద్వారా కూడా పోవును. A, B, C మరియు Dలు ఒకే వృత్తంపైని బిందువులు అంటే ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం.

ఉదాహరణలు

1. AB = 5 సెం.మీ.; \(\angle \mathrm{B}\) = 75° మరియు BC = 7 సెం.మీ. లుగా గల ∆ABC యొక్క పరిషృత్తాన్ని గీయండి. (పేజీ నెం. 268)
సాధన.

AB = 5 సెం.మీ. పొడవుగల రేఖాఖండాన్ని గీయండి. \(\angle \mathrm{B}\) = 75° ఉండునట్లు B వద్ద కోణకిరణం BX ను నిర్మించండి. B కేంద్రంగా 7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ఒక చాపరేఖను గీయండి. చాపరేఖ \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) ను C వద్ద ఖండించును. C మరియు A లను కలపగా ∆ABC ఏర్పడుతుంది. \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{BC}}\) లకు లంది సమద్విఖండన రేఖలు \(\overline{\mathrm{PQ}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{RS}}\) లను గీయండి. \(\overline{\mathrm{PQ}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{RS}}\) ల ఖండన బిందువు ‘O’. ఇప్పుడు ‘O’ ను కేంద్రంగా మరియు OA ను వ్యాసార్ధంగా ఒక వృత్తాన్ని గీయండి. B మరియు C బిందువుల ద్వారా కూడా పోతుంది. ఇదియే కావలసిన పరివృత్తం.

2. పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రం అయిన CD పొడవును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 269)

సాధన.
∆AOB మరియు ∆COD లలో
OA = OC (ఎందువలన?)
CB = OD (ఎందువలన ?)
\(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}\)
∆AOB ≅ ∆COD
AB = CD (సర్వసమాన త్రిభుజముల సర్వసమాన భాగాలు)
AB = 5 సెం.మీ. కావున CD = 5 సెం.మీ.

3. పక్క పటంలో ‘O’ కేంద్రంగా రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాలు కలవు. పెద్ద వృత్తం యొక్క జ్యా AD చిన్న వృత్తాన్ని B మరియు Cల వద్ద అందిస్తుంది. అయిన AB = CD అని చూపండి. (పేజీ నెం. 269)

దత్తాంశం : ‘O’ కేంద్రంగా కల ఏక కేంద్ర వృత్తాలలో పెద్ద వృత్తం యొక్క జ్యా \(\overline{\mathrm{AD}}\) చిన్న వృత్తాన్ని B మరియు Cల వద్ద ఖండిస్తోంది.
సారాంశం : AB = CD
నిర్మాణం: \(\overline{\mathrm{AD}}\)కు లంబంగా \(\overline{\mathrm{OE}}\) ను గీయుము.
నిరూపణ : ‘O’ కేంద్రంగా గల పెద్ద వృత్తానికి AD ఒక జ్యా మరియు \(\overline{\mathrm{OE}}\), \(\overline{\mathrm{AD}}\) కి లంబము.
∵ \(\overline{\mathrm{AD}}\) ను \(\overline{\mathrm{OE}}\) సమద్విఖండన చేస్తుంది (కేంద్రం నుండి జ్యాకు గీచిన లంబం, జ్యాను సమద్విఖండన చేస్తుంది.
∴ AE = ED ……….. (i)
‘O’ కేంద్రంగా గల చిన్న వృత్తానికి \(\overline{\mathrm{BC}}\) ఒక జ్యా మరియు \(\overline{\mathrm{AD}}\) కు \(\overline{\mathrm{OE}}\) లంబం.
∵ \(\overline{\mathrm{BC}}\) కు \(\overline{\mathrm{OE}}\) సమద్విఖండన చేస్తుంది. (పై సిద్ధాంతం నుండి)
∴ BE = CE …….. (ii)
సమీకరణం (ii) ను (i) నుండి తీసివేయగా,
AE – BE = ED – EC
AB = CD

4. ‘O’ అనునది వృత్త కేంద్రం. PQ ఒక వ్యాసము. అయిన 2PRQ = 90° అని నిరూపించుము. (లేదా) అర్ధవృత్తంలోని కోణం లంబకోణమని చూపండి. (పేజీ నెం. 273)
నిరూపణ:

‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తంలో PQ ఒక వ్యాసం అని ఈయబడినది. \(\angle \mathrm{PRQ}\) = 180° (సరళరేఖపై ఏదేని బిందువు వద్ద కోణం 180°)
మరియు \(\angle \mathrm{POQ}\) = 2\(\angle \mathrm{PRQ}\) (ఒక చాపం వృత్త కేంద్రం వద్ద ఏర్పరిచే కోణం, ఆ చాపం మిగిలిన వృత్తంపై ఏదేని బిందువు వద్ద ఏర్పరచే కోణానికి రెట్టింపు).
\(\angle \mathrm{PRQ}\) = \(\frac {180°}{2}\) = 90°

5. కింది పటంలో x° విలువను కనుగొనండి. (పేజీ వెం. 273)

సాధన.
\(\angle \mathrm{ACB}\) = 40° కావున
సిద్ధాంతం ప్రకారం, AB చాపం కేంద్రం వద్ద చేయుకోణం.
\(\angle \mathrm{AOB}\) = 2\(\angle \mathrm{ACB}\) = 2 × 40° = 80°
x° + \(\angle \mathrm{AOB}\) = 360°
కాబట్టి x° = 360° – 80° = 280°

6. పటంలో \(\angle \mathrm{A}\) = 120° అయిన \(\angle \mathrm{C}\)ను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 276)

సాధన.
ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం
కావున \(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}\) = 180°
120° + \(\angle \mathrm{C}\) = 180°
కావున \(\angle \mathrm{C}\) = 180° – 120° = 60°

7. పటంలో \(\overline{\mathrm{AB}}\) వృత్తం యొక్క ఒక వ్యాసము. జ్యా \(\overline{\mathrm{CD}}\) వృత్త వ్యాసార్ధానికి సమానం. \(\overline{\mathrm{AC}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{BD}}\) లు పొడిగించగా అవి E బిందువు వద్ద ఖండించుకొనును. అయిన \(\angle \mathrm{AEB}\) = 60° అని చూపండి. (పేజీ నెం. 277)
సాధన.

OC, OD మరియు BC లను కలపండి.
∆ODC ఒక సమబాహు త్రిభుజము (ఎందువలన?)
\(\angle \mathrm{COD}\) = 60°
ఇప్పుడు \(\angle \mathrm{CBD}\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathrm{COD}\) (ఎందువలన ?)
దీని నుండి \(\angle \mathrm{CBD}\) = 30°
మరల \(\angle \mathrm{ACB}\) = 90° (ఎందువలన ?)
కావున \(\angle \mathrm{BCE}\) = 180° – \(\angle \mathrm{ACB}\) = 90°
దీని నుండి \(\angle \mathrm{CEB}\) = 90° – 30° = 60°,
అంటే \(\angle \mathrm{AEB}\) = 60°

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 4th Lesson సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Exercise 4.2

ప్రశ్న1.
ఇచ్చిన పటంలో \(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{CD}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{EF}}\) సరళరేఖలు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొనును. x : y : z = 2 : 3 : 5 అయిన x, y మరియు z విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
పటము నుండి
2x + 2y + 2z = 360°
2 [x + y + z] = 360°
x + y + z = \(\frac{360}{2}\) = 180°
దత్తాంశము x : y : z = 2 : 3 : 5
నిష్పత్తిలోని పదాల మొత్తము
x + y + z = 2 + 3 + 5 = 10
∴ x = \(\frac{2}{10}\) × 180° = 36°
y = \(\frac{3}{10}\) × 180° = 54°
z = \(\frac{5}{10}\) × 180° = 90°
x, y మరియు z ల విలువలు వరుసగా
36°, 54°, 90°

ప్రశ్న2.
కింద ఇచ్చిన పటములలో x విలువను కనుగొనుము.
i)

సాధన.
పటము నుండి 3x + 18+ 93° = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
3x + 111° = 180°
3x = 180 – 111° = 69°
∴ x = \(\frac{69}{3}\) = 23°

ii)

సాధన.
పటము నుండి (x – 24)° + 29° + 296° = 360°
(∵ సంపూర్ణకోణము కనుక)
x + 301° = 360°
∴ x = 360° – 301° = 59°

iii)

సాధన.
పటము నుండి (2 + 3x)° = 62°
(∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు కనుక)
∴ 3x = 62 – 2
3x = 60° ⇒ x = \(\frac{60^{\circ}}{3}\) = 20°
∴ x = 20°

iv)

సాధన.
పటము నుండి 40 + (6x + 2) = 90°
6x + 42 = 90° (∵ పూరక కోణాలు కనుక)
6x = 90° – 42°
6x = 48 ⇒ x = \(\frac {48}{6}\) = 8°

ప్రశ్న3.
కింద పటంలో సరళరేఖలు \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) లు బిందువు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొనును. ∠AOC + ∠BOE = 70° మరియు ∠BOD = 40. అయిన ∠BOE మరియు పరావర్తనకోణం ∠COE ల కొలతలు కనుగొనుము.

సాధన.
దత్తాంశము ∠AOC + ∠BOE = 70°
∠BOD = 40°
∴ ∠AOC = 40°
(∵ ∠AOC, ∠BODలు శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ 40° + ∠BOE = 70°
⇒ ∠BOE = 70° – 40° = 30°
∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180°
(∵ AB ఒక రేఖ)
⇒ 40° + ∠COE + 30° = 180°
⇒ ∠COE = 180° – 70° = 110°
∴ పరావర్తన కోణం ∠COE = 110°

ప్రశ్న4.
కింద పటంలో సరళరేఖలు \(\overline{\mathrm{XY}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{MN}}\) లు బిందువు O వద్ద ఖండించుకొనును. ∠POY = 90°.
a : b = 2 : 3. అయిన కోణము c కొలతలు కనుగొనుము.

సాధన.
XY మరియు MN లు సరళరేఖలు.
∠POY = 90° మరియు a : b = 2 : 3 పటం నుండి a + b = 90°
a : bయొక్క పదాల మొత్తము = 2 + 3 = 5
∴ b = \(\frac{3}{5}\) × 90° = 54°
పటం నుండి b + c = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
54° + c = 180° ⇒ c = 180° – 54° = 126°

ప్రశ్న5.
కింద పటంలో ∠PQR = ∠PRQ అయిన ∠PQS = ∠PRT అని నిరూపించుము.

సాధన.
దత్తాంశము ∠PQR = ∠PRQ
పటం నుండి,
∠PQR + ∠PQS = 180° ……………. (1)
∠PRQ + ∠PRT = 180° …….. (2)
(1), (2) ల నుండి,
∠PQR + ∠PQS = ∠PRQ + ∠PRT
కాని ∠PQR = ∠PRQ
కావున ∠PQS = ∠PRT నిరూపించబడింది.

ప్రశ్న6.
ఇచ్చిన పటంలో x + y = w + z అయిన AOB ఒక సరళరేఖ అని నిరూపించండి.

సాధన.
దత్తాంశము x + y = w + z = k అనుకొనుము.
పటం నుండి, x + y + z + w = 360°
(∵ బిందువు చుట్టూ గల బిందువు)
x + y = z + w కావున
∴ x + y = z + z = \(\frac{360^{\circ}}{2}\)
∴ x + y = z + w = 180°
లేక
k + k = 360°
2k = 360° ⇒ k = \(\frac{360^{\circ}}{2}\) = 180°
(x, y) మరియు (z, w) లు ఆసన్న కోణాల జతలు వాటి మొత్తము 180°.
(x, y) మరియు (z, w) లు రేఖీయద్వయం అగును.
కావున AOB ఒక రేఖను సూచించును.

ప్రశ్న7.
కింద పటంలో \(\overline{\mathrm{PQ}}\) ఒక సరళరేఖ. కిరణము \(\overline{\mathrm{OR}}\), \(\overline{\mathrm{PQ}}\) సరళరేఖకు లంబముగానున్నది. \(\overline{\mathrm{OS}}\) అనేది \(\overline{\mathrm{OP}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OR}}\) ల మధ్యనున్న వేరొక కిరణము అయిన ∠ROS = \(\frac {1}{2}\)(∠QOS – ∠POS) అని నిరూపించండి.

సాధన.
దత్తాంశము : \(\overline{\mathrm{OR}}\) ⊥ \(\overline{\mathrm{PQ}}\) ⇒ ∠ROQ = 90°
\(\overline{\mathrm{OS}}\) అనునది \(\overline{\mathrm{OP}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OR}}\) ల మధ్యన గల వేరొక కిరణము.
సారాంశము :
∠ROS = \(\frac {1}{2}\)(∠QOS – ∠POS)
ఉపపత్తి : పటం నుండి,
∠ROS = ∠QOS – ∠QOR ………….. (1)
∠ROS = ∠ROP – ∠POS ………….. (2)
(1) మరియు (2) లను కూడగా,
∠ROS + ∠ROS = ∠QOS – ∠QOR + ∠ROP – ∠POS
[∵ ∠QOR = ∠ROP = 90°]
⇒2∠ROS = ∠QOS – ∠POS
⇒ ∠ROS = \(\frac {1}{2}\) [∠QOS – ∠POS]
అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న8.
∠XYZ = 64°. XY ని P బిందువు వరకు పొడిగించినారు. ∠ZYP ని కిరణము \(\overline{\mathrm{YQ}}\) సమద్వి ఖండన చేయును. ఈ సమాచారమును పటరూపములో చూపండి. అదేవిధంగా ∠XYQ మరియు పరావర్తన కోణము ∠QYP ల కొలతలు కనుగొనండి.
సాధన.

∠XYQ = 32° ; ∠QYP = 32°

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు Ex 12.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు Exercise 12.5

ప్రశ్న 1.
కింది పటాలలో x మరియు y విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన.
(i)

పటం నుండి x = y[∵ సమాన భుజాలకు ఎదురుగల కోణాలు]
కాని x + y + 30° = 180°
∴ x + y = 180° – 30° = 150°
⇒ x = y = \(\frac {150°}{2}\)= 75°

(ii)

పటం నుండి x° + 110° = 180° [∵ చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదుటి కోణాలు సంపూరకాలు]
y + 85° = 180
∴ x = 180° – 110°; y = 180° – 85°
x = 70°; y = 95°

(iii)

పటం నుండి x = 90° [అర్ధవృత్తంలోని కోణము]
∴ y = 90° – 50° [∵ కోణాల మొత్తం ధర్మం]
= 40°

ప్రశ్న 2.
ABCD చతుర్భుజంలోని A, B, C లు ఒకే వృత్తంపై ఉన్నాయి. మరియు \(\angle \mathbf{A}+\angle \mathbf{C}\) = 180° అయిన శీర్షం D కూడా అదే వృత్తంపై ఉంటుందని నిరూపించండి.
సాధన.
దత్తాంశము నుండి \(\angle \mathbf{A}+\angle \mathbf{C}\) = 180°
∴ \(\angle \mathbf{B}+\angle \mathbf{D}\) = 360° – 180° = 180°
[∵ చతుర్భుజంలోని కోణాల మొత్తం 360°)
☐ABCD లో, ఎదుటి కోణాల మొత్తము 180°.
∴ ☐ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజము.
i.e., A, B మరియు C లు వుండు అదే వృత్తం పైనే D కూడా ఉండును.

ప్రశ్న 3.
ఒక చక్రీయ సమచతుర్భుజం చతురస్రం అవుతుందని నిరూపించండి.
సాధన.

☐ABCD ఒక చక్రీయ సమచతుర్భుజము అనుకొనుము.
అదే విధంగా AB = BC = CD = DA మరియు \(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}\) = 180°
కాని సమచతుర్భుజము ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
∴ ఎదుటి కోణాల జతలు సమానము.
\(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}\) మరియు \(\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}\)
∴ \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{D}\)
= \(\frac {180°}{2}\) = 90°
∴ ☐ABCD ఒక చతురస్రము.

ప్రశ్న 4.
కింది వాటిని అన్నింటినీ ఒక వృత్తాన్ని గీచి అందులో అంతర్లిఖించండి. అటువంటి బహుభుజిని నిర్మించలేనిచో ‘సాధ్యం కాదు’ అని రాయండి. జ అని రాయండి.
(a) దీర్ఘచతురస్రం
(b) ట్రెపీజియం
(c) అధిక కోణ త్రిభుజం
(d) దీర్ఘచతురస్రం కాని సమాంతర చతుర్భుజం
(e) అల్పకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం
(f) \(\overline{\mathbf{PR}}\) వ్యాసంగా PQRS చతుర్భుజం
సాధన.
(a) దీర్ఘచతురస్రం

(b) ట్రెపీజియం

(c) అధిక కోణ త్రిభుజం

(d) దీర్ఘచతురస్రం కాని సమాంతర చతుర్భుజం (సాధ్యపడదు)
(e) అల్పకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం

(f) \(\overline{\mathbf{PR}}\) వ్యాసంగా PQRS చతుర్భుజం

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Ex 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 4th Lesson సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Exercise 4.1

ప్రశ్న1.
ఇచ్చిన పటంలో కింది వానిని గుర్తించి రాయుము.

i) ఏవైనా ఆరు బిందువులు
సాధన. A, B, C, D, P, Q, M, N …….. మొ॥నవి.

ii) ఏవైనా ఐదు రేఖాఖండములు
సాధన.
\(\overline{\mathrm{AX}}\), \(\overline{\mathrm{XM}}\), \(\overline{\mathrm{MP}}\), \(\overline{\mathrm{PB}}\), \(\overline{\mathrm{MN}}\), \(\overline{\mathrm{PQ}}\), \(\overline{\mathrm{AB}}\) ……. మొ॥నవి.

iii) ఏవైనా నాలుగు కిరణములు.
సాధన.
\(\overline{\mathrm{MA}}\), \(\overline{\mathrm{PA}}\), \(\overline{\mathrm{PB}}\), \(\overline{\mathrm{NC}}\), \(\overline{\mathrm{QD}}\) ……. మొ॥నవి.

iv) ఏవైనా నాలుగు సరళరేఖలు
సాధన.
\(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{CD}}\), \(\overline{\mathrm{EF}}\), \(\overline{\mathrm{GH}}\).

v) ఏవైనా నాలుగు సరేఖీయ బిందువులు
సాధన.
A, X, M, P మరియు B బిందువులు \(\overline{\mathrm{AB}}\) లో గలవు.
కావున అవి సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న2.
కింది పటాలను పరిశీలించి వాటిలోని కోణములు ఏరకమైనవో గుర్తించండి.

సాధన.
∠A – పరావర్తన కోణము
∠B – లంబ కోణము
∠C – అల్ప కోణము

ప్రశ్న3.
కింది ప్రవచనాలు సత్యమో, అసత్యమో తెలపండి.
i) ఒక కిరణమునకు అంత్యబిందువు లేడు.
ii) సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{BA}}\) లు ఒక్కటే.
iii) కిరణము \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు కిరణము \(\overline{\mathrm{BA}}\) లు ఒక్కటే.
iv) ఒక సరళరేఖకు పరిమిత పొడవు ఉండును.
v) ఒక తలమునకు పొడవు, వెడల్పులు ఉంటాయి. కాని మందము ఉండదు.
vi) రెండు వేరు వేరు బిందువుల గుండా ఒకే ఒక సరళరేఖను గీయగలము.
vii) రెండు సరళరేఖలు రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించుకొనును.
viii) రెండు ఖండనరేఖలు, ఒకే రేఖకు సమాంతర రేఖలు కాలేవు.
సాధన.
i) ఒక కిరణమునకు అంత్యబిందువు లేడు. – అసత్యం
ii) సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{BA}}\) లు ఒక్కటే. – సత్యం
iii) కిరణము \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు కిరణము \(\overline{\mathrm{BA}}\) లు ఒక్కటే. – అసత్యం
iv) ఒక సరళరేఖకు పరిమిత పొడవు ఉండును. – అసత్యం
v) ఒక తలమునకు పొడవు, వెడల్పులు ఉంటాయి. కాని మందము ఉండదు. – సత్యం
vi) రెండు వేరు వేరు బిందువుల గుండా ఒకే ఒక సరళరేఖను గీయగలము. – సత్యం
vii) రెండు సరళరేఖలు రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించుకొనును. – అసత్యం
viii) రెండు ఖండనరేఖలు, ఒకే రేఖకు సమాంతర రేఖలు కాలేవు. – సత్యం

ప్రశ్న4.
ఒక గడియారములో కింద ఇచ్చిన కాలము సూచింపబడునపుడు ఆ రెండు గడియారపు ముళ్ల మధ్య ఏర్పడు కోణము ఎంత ?
a) 9 : 00 గంటలు
b) 6 : 00 గంటలు
c) సా॥ 7 : 00 గంటలు
సాధన.

a) 12 గంటలు = 360°
1 గంట = \(\frac{360^{\circ}}{12}\) = 30°
∴ 9 గంటలపుడు గడియారపు ముళ్ల మధ్య కోణము = 3 × 30 = 90°

b)

6 గంటలు గడియారపు ముళ్ల మధ్య కోణము = 6 × 30° = 180°

c)

సా॥ 7 : 00 గంటలు
గడియారపు ముళ్ల మధ్య కోణము = 7 × 30° = 210°

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు Ex 12.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు Exercise 12.4

ప్రశ్న 1.
పటంలో ‘O’ వృత్తకేంద్రం మరియు \(\angle \mathrm{AOB}\) = 100° అయిన \(\angle \mathrm{ADB}\) ని కనుక్కోండి.

సాధన.

వృత్త కేంద్రము ‘O’
\(\angle \mathrm{AOB}\) = 100°
అదే విధంగా \(\angle \mathrm{ACB}\) = \(\frac {1}{2}\) \(\angle \mathrm{AOB}\)
[∵ ఒక చాపము వృత్తకేంద్రం వద్ద చేయు కోణం, ఆ చాపం మిగిలిన వృత్తంపై ఏ బిందువు వద్ద ఏర్పరచు కోణానికి రెట్టింపు]
= \(\frac {1}{2}\) × 100° = 50°
\(\angle \mathrm{ACB}\) మరియు \(\angle \mathrm{ADB}\) లు సంపూరకాలు.
[∵ చక్రీయ చతుర్భుజంలోని ఎదురెదురు కోణాలు]
∴ \(\angle \mathrm{ADB}\) = 180° – 50° = 130°
(లేక)
అధిక వృత్త చాపము \(\widehat{\mathrm{ACB}}\), D వద్ద ఏర్పరచు కోణము \(\angle \mathrm{ADB}\)
∴ \(\angle \mathrm{ADB}\) = \(\frac {1}{2}\) \(\angle \mathrm{AOB}\) (\(\widehat{\mathrm{ACB}}\) వృత్తకేంద్రం వద్ద ఏర్పరచు కోణము \(\angle \mathrm{AOB}\)
= \(\frac {1}{2}\) [360° – 100°] (పటం నుండి)
= \(\frac {1}{2}\) × 260° = 130°

ప్రశ్న 2.
కింది పటంలో \(\angle \mathrm{BAD}\) = 40° అయిన \(\angle \mathrm{BCD}\)ని కనుగొనండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము
∴ ∆OAB లో OA = OB (వ్యాసార్ధాలు)
∴ \(\angle \mathrm{OAB}\) = \(\angle \mathrm{OBA}\) = 40° (∵ సమాన భుజాలకు ఎదుటి కోణాలు)
\(\angle \mathrm{AOB}\) = 180° – (40° + 40°) (∵ ∆OAB యొక్క కోణాల మొత్తం ధర్మము)
= 180° – 80° = 100°
కాని \(\angle \mathrm{AOB}\) = \(\angle \mathrm{COD}\) = 100°
మరియు \(\angle \mathrm{OCD}\) = \(\angle \mathrm{ODC}\) = 40° [OC = OD]
= 40° ∆OAB లో లాగా
∴ \(\angle \mathrm{BCD}\) = 40°
(లేక)
∆OAB మరియు ∆OCDలలో
OA = OD (వ్యాసార్ధాలు)
OB = OC (వ్యాసార్ధాలు)
\(\angle \mathrm{AOB}\) = \(\angle \mathrm{COD}\) (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ∆OAB ≅ ∆OCD
∴ \(\angle \mathrm{BCD}\) = \(\angle \mathrm{OBA}\) = 40°
[∵ OB = OA ⇒ \(\angle \mathrm{DAB}\) = \(\angle \mathrm{DBA}\)]

ప్రశ్న 3.
కింది పటంలో ‘O’ వృత్తకేంద్రం మరియు \(\angle \mathrm{PQR}\) = 120° అయిన \(\angle \mathrm{PQR}\) మరియు \(\angle \mathrm{PSR}\) లను కనుగొనండి.

సాధన.
‘O’ వృత్తకేంద్రము మరియు \(\angle \mathrm{PQR}\) = 120°
\(\angle \mathrm{PQR}\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathrm{POR}\) [ [∵ ఒక చాపము వృత్త కేంద్రం వద్ద చేయు కోణం, ఆ చాపము మిగిలిన వృత్తంపై ఏ బిందువు వద్దనైనా ఏర్పరచు కోణంకు రెట్టింపు]
\(\angle \mathrm{PSR}\) = \(\frac {1}{2}\) [\(\widehat{\mathrm{PQR}}\) వృత్తకేంద్రం వద్ద ఏర్పరచ కోణము]
∴ \(\angle \mathrm{PSR}\) = \(\frac {1}{2}\)[360° – 120°] పటం నుండి
= \(\frac {1}{2}\) × 240 = 120°

ప్రశ్న 4.
ఒక సమాంతర చతుర్భుజం చక్రీయమైన, అది దీర్ఘచతురస్రం అవుతుంది. సమర్థించండి.
సాధన.

☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము అనుకొనుము.
A, B, C మరియు Dలు ఒకే వృత్తం పై గల శీర్షాలు.
∴ \(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}\) = 180° మరియు \(\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}\) = 180° [∵ చక్రీయ చతుర్భుజములో ఎదుటి కోణాలు సంపూరకాలు]
కానీ \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}\) మరియు \(\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}\)
[∵ ||^gm యొక్క ఎదుటి కోణాలు సమానం]
∴ \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}\) = \(\frac {180°}{2}\) = 90°
∴ ☐ABCD సమాంతర చతుర్భుజం ఒక దీర్ఘచతురస్రము.

ప్రశ్న 5.
కింది పటంలో ‘O’ వృత్తకేంద్రం OM = 3 సెం.మీ. మరియు AB = 8 సెం.మీ. అయిన వృత్త వ్యాసార్థాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన.

‘O’ వృత్త కేంద్రము.
OM, AB ను సమద్విఖండన చేయును.
∴ AM = \(\frac{\mathrm{AB}}{2}=\frac{8}{2}\) = 4 సెం.మీ.
OA² = OM² + AM²
[∵ పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి]
OA = \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}\)
= \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\) = 5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 6.
కింది పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రం మరియు OM, ONలు జ్యాలు PQ, RSలపై కేంద్రం నుండి గీచిన లంబాలు. OM = ON మరియు PQ = 6 సెం.మీ. అయిన RSను కనుక్కోండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము.
OM = ON మరియు OM ⊥ PQ; ON ⊥ RS
ఆ విధంగా PQ మరియు RSలు సమానము. [∵ వృత్తకేంద్రము నుండి సమాన దూరంలో గల జ్యాల పొడవులు సమానము]
∴ RS = PQ = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న 7.
A వృత్తకేంద్రం మరియు ABCD ఒక చతురస్రము. BD = 4 సెం.మీ. అయిన వృత్త వ్యాసార్ధం ఎంత ?

సాధన.

Aవృత్త కేంద్రము మరియు ABCD ఒక చతురస్రము అయిన AC మరియు BD లు కర్ణాలు.
AC = BD = 4 సెం.మీ.
కానీ AC వృత్త వ్యాసార్ధము
∴ వ్యాసార్ధము = 4 సెం.మీ.

ప్రశ్న 8.
ఏదేని వ్యాసార్ధంతో ఒక వృత్తాన్ని గీచి దాని కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉండేట్లు రెండు జ్యాలను గీయండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ P కేంద్రంగా ఒక వృత్తంను గీయుము.
→ ఏవైనా రెండు వ్యాసార్ధాలను గీయుము.
→ ఈ వ్యాసార్ధాలపై M మరియు N అను రెండు – బిందువులను గుర్తించుము. అవి PM = PN అగునట్లుగా గుర్తించాలి.
→ M మరియు Nల గుండా వ్యాసార్ధాలను లంబంగా ఉండునట్లు గీయుము.

ప్రశ్న 9.
కింది పటంలో ‘O’ వృత్తకేంద్రం మరియు AB, CDలు సమాన పొడవులు గల జ్యాలు \(\angle \mathbf{AOB}\) = 70° అయిన ∆OCD యొక్క కోణాలను కనుక్కోండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము
AB, CDలు సమాన జ్యాలు
⇒ సమాన జ్యాలు కేంద్రం వద్ద సమాన కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి.
∴ \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}\) = 70°
∆OCDలో \(\angle \mathrm{OCD}=\angle \mathrm{ODC}\) [∵ OC = OD; సమాన భుజాలకు ఎదుటి కోణాలు]
∴ \(\angle \mathrm{OCD}+\angle \mathrm{ODC}\) + 70° = 180°
⇒ \(\angle \mathrm{OCD}+\angle \mathrm{ODC}\) = 180° – 70° = 110°
∴ \(\angle \mathrm{OCD}+\angle \mathrm{ODC}\) = \(\frac {110°}{2}\) = 55°

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 3 జ్యామితీయ మూలాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 3rd Lesson జ్యామితీయ మూలాలు InText Questions

ఉదాహరణలు

1. A, B మరియు Cలు ఒకే సరళరేఖపై గల బిందువులు, B బిందువు A మరియు C ల మధ్య ఉన్నచో AC – AB = BC అని నిరూపించుము. (పేజీ నెం. 66)

సాధన.
AC మరియు AB + BC లు ఏకీభవిస్తాయి.
యూక్లిడ్ – 4 వ సాధారణ భావం ద్వారా “ఒక దానితో మరొకటి ఏకీభవించునవి సమానాలు” కావున AB + BC = AC అని చెప్పవచ్చు.
దీనిని AC లో ప్రతిక్షేపించగా AC – AB = BC

ఇక్కడ మనం రెండు బిందువుల గుండా ఒకే ఒక రేఖ ఉంటుందని తీసుకొనుటను గమనించండి.

2. ఇచ్చిన ఏ రేఖాఖండము పైన అయినా సమబాహు త్రిభుజం నిర్మించవచ్చు అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 66)
సాధన.
ఏదేని పొడవు గల ఒక రేఖాఖండము PQ ఇవ్వబడినది.

యూక్లిడ్ మూడవ స్వీకృతం భావన నుండి “ఇచ్చిన కేంద్రం, వ్యాసార్ధాలతో వృత్తాన్ని నిర్మించగలం”. కావున P కేంద్రంగా మరియు PQ వ్యాసార్ధం ఒక వృత్తాన్ని గీయండి. అదే విధంగా Q కేంద్రంగా QP వ్యాసార్ధంతో మరొక వృత్తాన్ని గీయండి. ఈ రెండు వృత్తాలు R వద్ద ఖండించుకొంటాయి. ‘R’ ను P మరియు Q లతో కలుపగా Δ PQR ఏర్పడుతుంది.

ఇప్పుడు ఈ విధంగా ఏర్పడిన త్రిభుజం సమబాహు త్రిభుజమని నిరూపించాలి. అంటే PQ = QR = RP అని చూపాలి.
PQ = PR (P కేంద్రంగా గల వృత్త వ్యాసార్ధాలు).
PQ = QR (Q కేంద్రంగా ‘గల వృత్త వ్యాసార్ధాలు)
యూక్లిడ్ సామాన్య భావనల నుండి “ఒకే రాశులకు సమానమైన రాశులు ఒకదానికి మరొకటి సమానాలు” కావున PQ = QR = RP. అందువలన Δ PQR ఒక సమబాహు త్రిభుజం P మరియు Q కేంద్రాలుగా గల వృత్తాలు ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటాయి అనే విషయాన్ని ప్రస్తావించకుండా యూక్లిడ్ తన నిరూపణలో వినియోగించడం గమనించండి.

3. రెండు వేర్వేరు రేఖలు ఒకటికన్నా ఎక్కువ సంఖ్యలో ఉమ్మడి బిందువులను కలిగియుండవు. (పేజీ నెం. 67)
సాధన.
దత్తాంశం : దత్తరేఖలు l మరియు m.
సారాంశం (నిరూపించవలసినది) : l మరియు m రేఖలకు ఒకే ఒక ఉమ్మడి బిందువు ఉంటుంది.
నిరూపణ : ఆ రెండు రేఖలు రెండు వేర్వేరు బిందువులు A మరియు B వద్ద ఖండించుకొనును అని అనుకొనుము.

ఇప్పుడు మనకు A మరియు B బిందువుల గుండా పోయే రేఖలు రెండు కలవు. ఇది యూక్లిడ్ స్వీకృతం “రెండు వేర్వేరు బిందువుల గుండా పోయే సరళరేఖ ఒకే ఒకటి ఉంటుంది” కి విరుద్ధంగా ఉంది. ఈ విరుద్ధత “రెండు బిందువుల గుండా రెండు వేర్వేరు రేఖలు కలవు” అని మనం అనుకొన్న ఊహ వలన వచ్చింది. కావున రెండు వేర్వేరు రేఖలు ఒకటి కన్నా మించి ఉమ్మడి బిందువులను కలిగియుండవు.

4. ప్రక్క పటంలో AC = XD; C మరియు D లు AB మరియు XY ల మధ్య బిందువులు. అయిన AB = XY చూపుము. (పేజీ నెం. 67)
సాధన.
AB = 2 AC
(AB మధ్యబిందువు C)
XY = 2 XD
(XY మధ్యబిందువు D)
మరియు AC = XD (దత్తాంశం)

∴ AB = XY
ఎందుకంటే “సమాన రాశుల రెట్టింపులు కూడా సమానమే” – యూక్లిడ్ సామాన్య భావన.

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 3 జ్యామితీయ మూలాలు Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 3rd Lesson జ్యామితీయ మూలాలు Exercise 3.1

ప్రశ్న1.
కింది వానికి జవాబులు ఇవ్వండి.
i) ఘనాలకు ఎన్ని కొలతలు ఉంటాయి ?
సాధన.
ఘనము త్రిమితీయ ఆకారము కావున దీనికి పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తు (లేక) లోతు అను మూడు కొలతలు ఉంటాయి.

ii) “యూక్లిడ్ ఎలిమెంట్స్” అనే గ్రంథంలో ఎన్ని పుస్తకములు ఉన్నాయి ?
సాధన.
“యూక్లిడ్ ఎలిమెంట్స్” అను గ్రంథంలో 13 పుస్తకాలు ఉన్నాయి.

iii) ఘనము మరియు దీర్ఘఘనములకు ఎన్ని తలములు ఉన్నాయి ?
సాధన.
ఘనము మరియు దీర్ఘ ఘనములకు ‘6’ తలాలు ఉండును.

iv) త్రిభుజ అంతర కోణాల మొత్తం ఎంత ?
సాధన.
త్రిభుజ అంతరకోణాల మొత్తము 180°.

v) జ్యామితిలోని మూడు అనిర్వచిత పదాలు రాయండి.
సాధన.
బిందువు, రేఖ మరియు తలము అను పదాలను అనిర్వచిత పదాలంటారు.

ప్రశ్న2.
కింది ప్రవచనాలు సత్యమో కాదో చెప్పండి. కారణాలు వివరించండి.
a) దత్త బిందువు గుండా పోవు ఒకే ఒక రేఖ ఉంటుంది.
b) అన్ని లంబకోణాలు సమానం.
c) సమాన వ్యాసార్ధాలు గల వృత్తాలు సమానం.
d) రేఖను ఇరువైపులా నిరంతరంగా పొడిగించి ‘రేఖ’ను పొందగలం.

e) పై పటం 2(d) నుండి AB > AC
సాధన.
a) అసత్యము
b) సత్యము
c) సత్యము
d) సత్యము
e) సత్యము

ప్రశ్న3.
పటం నుండి AH > AB + BC + CD అని చూపండి.

సాధన.
ఇచ్చిన రేఖ \(\overleftrightarrow{\mathrm{AH}}\)
పటము నుండి AB + BC + CD = AD
\(\overline{\mathrm{AD}}\) అనునది \(\overline{\mathrm{AH}}\) లో ఒక భాగము.
యూక్లిడ్ స్వీకృతము ప్రకారము కొంతభాగము అనునది మొత్తము కన్నా చిన్నది.
∴ AH > AD ⇒ AH > AB + BC + CD

ప్రశ్న4.
Q బిందువు P మరియు R బిందువుల మధ్య PQ = QR అగునట్లు ఉంటే PQ = \(\frac {1}{2}\)PR అని నిరూపించుము.
సాధన.

ఇచ్చిన రేఖ PR
PQ = QR
PR మీద Q ఒక బిందువు.
∴ PQ + QR = PR
మరియు PQ + PQ = PR [∵ PQ = QR]
2PQ = PR
∴ PQ = \(\frac {1}{2}\)PR

ప్రశ్న5.
5.2 సెం.మీ. భుజముగా గల ఒక సమబాహు త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.
సోపానం – 1: AB = 5.2 సెం.మీ. పొడవుతో ఒక రేఖాఖండము గీయుము.
సోపానం – 2: A కేంద్రంగా 5.2 సెం.మీ.లతో ఒక చాపమును గీయుము.
సోపానం – 3: B కేంద్రంగా 5.2 సెం.మీ.లతో మరొక చాపమును గీయుము.
సోపానం – 4: రెండు చాపముల ఖండన బిందువును C గా గుర్తింపుము. ABమరియు AC లను కలుపుము.

∴ మనకు కావలసిన 5.2 సెం.మీ. భుజంగా గల సమబాహు త్రిభుజము ABC ఏర్పడింది.

ప్రశ్న6.
పరికల్పన అంటే ఏమిటి ? ఒక ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
సాధన.
కొన్ని ప్రవచనాలను పరిశీలనల ద్వారా, వివేచనతో సత్యమని భావించి ఊహాత్మకంగా నిర్ణయిస్తాము. ఈ విధముగా సత్యం గానీ, అసత్యం గానీ నిరూపించబడని ప్రవచనాలను పరికల్పనలు అంటారు.
ఉదా : నాలుగు లేక అంతకన్నా పెద్దదైన ప్రతి సరిసంఖ్యను కూడా రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తంగా రాయవచ్చును. దీనిని “గోల్డ్ బాక్ పరికల్పన” అంటారు.

ప్రశ్న7.
P మరియు Q బిందువులను గుర్తించండి. P మరియు Q ల గుండా పోయే రేఖను గీయండి. PQ రేఖకు ఎన్ని సమాంతర రేఖలు గీయగలరు ?
సాధన.
PQ రేఖకు సమాంతరంగా, అనంత రేఖలను గీయగలము.

ప్రశ్న8.
పటంలో రెండు రేఖలు l మరియు m లపై మరొక రేఖ n కలదు. అంతరకోణాలు ∠1 మరియు ∠2ల మొత్తం 180° కన్నా తక్కువ అయిన l మరియు m రేఖల గురించి నీవేమి చెప్పగలవు ?

సాధన.
దత్తాంశము : lమరియు mలు ఏవైనా రెండు రేఖలు. n వాటి యొక్క తిర్యగ్రేఖ.
∠1 మరియు ∠2 ల మొత్తం 180° కన్నా తక్కువ అనగా ∠1 <90° మరియు ∠2 < 90° అగును.
ఈ కోణాల వైపు రేఖలను పొడిగించగా అవి ఖండించుకుంటాయి.

ప్రశ్న9.
కింది పటంలో ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4 మరియు ∠3 = ∠4 అయిన యూక్లిడ్ సామాన్య భావనలను అనుసరించి ∠1 మరియు ∠2ల మధ్య సంబంధాన్ని రాయండి.

సాధన.
దత్తాంశము : ∠1 = ∠3
∠3 = ∠4
∠2 = ∠4
∠1 = ∠2
∠1 మరియు ∠2 లు, ∠3 మరియు ∠4 లకు సమానము.
(∵ ఒకే రాశులకు సమానమైన రాశులు సమానమను యూక్లిడ్ సామాన్య భావనను అనుసరించి)

ప్రశ్న10.
కింది పటములో, BX = \(\frac {1}{2}\) AB, BY = \(\frac {1}{2}\) BC మరియు AB = BC అయిన BX = BY అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము :
BX = \(\frac {1}{2}\)AB
BY = \(\frac {1}{2}\)BC
AB = BC
సారాంశము :
BX = BY
ఉపపత్తి : AB = BC [∵ యూక్లిడ్ స్వీకృతము]
\(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)BC [యూక్లిడ్ భావన అయిన సమాన రాశులలో సగాలు సమానం]
BX = BY

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions

ఇవి చేయండి

1 (i) ‘x’ చరరాశితో కూడిన రెండు బహుపదులు రాయండి. (పేజీ నెం. 29)
సాధన.
5x² + 2x – 8 మరియు 3x³ – 2x + 6.

(ii) ‘y’ చరరాశితో కూడిన మూడు బహుపదులు రాయండి. (పేజీ నెం. 29)
సాధన.
y³ – y² + y; 2y² + 7y – 9 + 3y³; y⁴ – y + 6 + 2y².

(iii) 2x² + 3xy + 5y² అనే బహుపది ఒక చరరాశితో ఉన్నదా ? (పేజీ నెం. 29)
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది x, y అను రెండు చరరాశులను కలిగివున్నది.

(iv) వివిధ రకాల ఘనాకార వస్తువులకు వైశాల్యం, ఘనపరిమాణం కనుగొనే సూత్రాలు రాయండి. వాటిలో చరరాశులను, స్థిరరాశులను తెలపండి. (పేజీ నెం. 29)
సాధన.

2. కింద ఇవ్వబడిన ప్రతి బహుపది యొక్క పరిమాణాలు రాయండి. (పేజీ నెం. 30)
i) 7x³ + 5x² + 2x – 6
ii) 7 – x + 3x²
iii) 5p – \(\sqrt{3}\)
iv) 2
v) – 5xy²
సాధన.
i) పరిమాణం 3
ii) పరిమాణం 2
iii) పరిమాణం 1
iv) పరిమాణం 0
v) పరిమాణం 3

3. కింది వానిలో x² యొక్క గుణకాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 30)
i) 15 – 3x + 2x²
ii) 1 – x²
iii) πx² – 3x + 5
iv) \(\sqrt{2}\)x² + 5x -1
సాధన.
x² గుణకము 2
x² గుణకము -1
x² గుణకము π
x² గుణకము \(\sqrt{2}\)

4. కింద ఇవ్వబడిన బహుపదులలో సూచించిన చరరాశి విలువను ప్రతిక్షేపించి విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 33)
i) x = 1 వద్ద P(x) = 4x² – 3x + 7
సాధన.
x = 1 వద్ద p(x) యొక్క విలువ
= 4(1)² – 3(1) + 7 = 8

ii) y= 1 వద్ద q(y) = 2y3 – 4y + \(\sqrt{11}\)
సాధన.
y = 1 వద్ద q(y) యొక్క విలువ
= 2(1)³ – 4(1) + \(\sqrt{11}\) = -2 + \(\sqrt{11}\)

iii) t = p (t∈R) వద్ద r(t) = 4t⁴ + 3t³ – t² + 6
సాధన.
t = pవద్ద r(t) యొక్క విలువ
= 4p⁴ + 3p³ – p² + 6

iv) z = 1 వద్ద s(z) = z³ – 1
సాధన.
z = 1 వద్ద S(z) యొక్క విలువ = 13 – 1 = 0

v) x = 1 వద్ద p(x) = 3x² + 5x – 7
సాధన.
x = 1 వద్ద p(x) యొక్క విలువ
= 3(1)² + 5(1) – 7 = 1

vi) z = 2 వద్ద q(2) = 5z³ – 4x + \(\sqrt{2}\)
సాధన.
z = 2 వద్ద q(2) యొక్క విలువ
= 5(2)³ – 4(2) + \(\sqrt{2}\)
= 40 – 8 + \(\sqrt{2}\)
= 32 + \(\sqrt{2}\)

5. కింది ఖాళీలను పూరించండి. (పేజీ నెం. 35)

సాధన.

6. 3y³ + 2y² + y బహుపదిని ‘y’ చే భాగించి భాగహార సత్యం రాయండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
(3y³ + 2y² + y) ÷ y = \(\frac{3 y^{3}}{y}+\frac{2 y^{2}}{y}+\frac{y}{y}\)
= 3y² + 2y +1
భాగహార సత్యము = (3y² + 2y + 1) · y
= 3y + 2y² + y

7. 4p²+ 2p + 2 ను ‘2p’ చే భాగించి భాగహార సత్యాన్ని రాయండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
(4p² + 2p + 2) ÷ 2 = \(\frac{4 p^{2}}{2 p}+\frac{2 p}{2 p}+\frac{2}{2 p}\)
= 2p + 1 + \(\frac{1}{\mathrm{p}}\)
భాగహార సత్యము = \(\left(2 p+1+\frac{1}{p}\right)\) × 2p
= 4p² + 2p + 2

8. కింది వానిని కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 46)
1. 6x² + 19x + 15
సాధన.
6x² + 19x + 15
= 6x² + 10x + 9x + 15
= 2x (3x + 5) + 3 (3x + 5)
= (3x + 5) (2x + 3)

2. 10m² – 31m – 132
సాధన.
10m² – 31m – 132
= 10m² – 55m + 24m – 132
= 5m (2m – 11) + 12 (2m – 11)
= (2 – 11) (5m + 12)

3. 12x² + 11x + 2
సాధన.
12x² + 11x + 2 = 12x² + 8x + 3x + 2
= 4x (3x + 2) + 1 (3x + 2)
= (3x + 2) (4x + 1)

9. కింది సమాసాలకు సర్వసమీకరణాలనుపయోగించి లబ్దాలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 49)
i) (x + 5) (x + 5)
సాధన.
(x + 5) (x + 5)
= (x + 5)²
= x² + 2(5) (5) + 5²
= x²+ 10x + 25

ii) (p – 3) (p + 3)
సాధన.
(p – 3) (p + 3)
= p² – 3²
= p2 – 9

iii) (y – 1) (y – 1)
సాధన.
(y – 1) (y – 1)
= (y – 1)²
= y² – 2y + 1

iv) (t + 2) (t + 4)
సాధన.
(t + 2) (t + 4)
= t² + t (2 + 4) + 2 × 4
= 12 + 6t + 8

v) 102 × 98
సాధన.
102 × 98 = (100 + 2) (100 – 2)
= 1002 – 22
= 10000 – 4
= 9996

10. కింది వానిని తగిన సర్వసమీకరణాలనుపయోగించి కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 50)
i) 49a² + 70ab + 25b²
సాధన.
49a² + 70ab + 25b²
= (7a)² + 2 (7a) (5b) + (5b)²
= (7a + 5b)² = (7a + 5b) (7a + 5b)

ii) \(\frac{9}{16} x^{2}-\frac{y^{2}}{9}\)
సాధన.
\(\frac{9}{16} x^{2}-\frac{y^{2}}{9}\) = \(\left(\frac{3}{4} x\right)^{2}-\left(\frac{y}{3}\right)^{2}\)
= \(\left(\frac{3}{4} x+\frac{y}{3}\right)\left(\frac{3}{4} x-\frac{y}{3}\right)\)

iii) t² – 2t + 1
సాధన.
t² – 2t + 1 = (t)² – 2(t) (1) + (1)²
= (t – 1)² = (t – 1) (t – 1)

iv) x² + 3x + 2
సాధన.
x² + 3x + 2 = x² + (2 + 1) x + (2 × 1)
= (x + 2) (x + 1)

11. i) (p+ 2q + r)² ను విస్తరణ రూపంలో రాయండి. (పేజీ నెం. 52)
సాధన.
(p+ 2q + r)²
= (p)² + (2q)² + (r)² + 2 (p) (24) + 2 (2q) (r) + 2(r) (p)
= p² + 4q² + r² + 4pg + 4qr + 2rp

ii) (4x – 2y – 3z) ను సూత్రం ద్వారా విస్తరించండి. (పేజీ నెం. 52)
సాధన.
(4x – 2y – 3z)
= (4x)² + (-2y)² + (-3z)² + 2 (4x) (-2y) + 2 (-2y) (-3z) + 2 (-3z) (4x)
= 16x² + 4y² + 9z² – 16xy + 12yz – 24zx

iii) 4a² + b² + c² – 4ab + 2bc – 4ca ను సూత్రం ద్వారా కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 52)
సాధన.
4a² + b² + c² – 4ab + 2bc – 4ca
= (2a)² + (-b)² + (-c)² + 2(2a) (-b) + 2 (- b) (-c) + 2(-c) (2a)
= (2a – b – c)²
= (2a – b – c) (2a – b – c)

12. (x + 1)³ ను సర్వసమీకరణం ఉపయోగించి విస్తరించండి. (పేజీ నెం. 54)
సాధన.
(x + 1)³ = (x)³ + (1)³ + 3 (x) (1) (x + 1)
= x³ + 1 + 3x (x + 1)
= x³ + 1 + 3x² + 3x
= x³ + 3x² + 3x + 1

13. (3m – 2n)³ ను గుణించండి. (పేజీ నెం. 54)
సాధన.
(3m – 2n)³ = (3m)³ – 3 (3m)² (2n) + 3 (3m) (2n)² – (2n)³
= 27m³ – 54m²n + 36mn² – 8n³

14. a³ – 3a²b + 3ab² – b³ ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 54)
సాధన.
a³ – 3a²b + 3ab² – b³
= (a)³ – 3 (a)²(b) + 3 (a) (b)² – (b)³
= (a – b)³ = (a – b) (a – b) (a – b)

15. గుణకారం చేయకుండానే (a – b – c) (a² + b² + c² – ab + bc – ca) లబ్దంను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
ఇచ్చిన సమస్య సరిగా లేదు. సాధన సాధ్యపడదు.

16. సర్వసమీకరణం ఉపయోగించి 27a³ + b³ + 8c³ – 18abcని కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
27a³ + b³ + 8c³ – 18abc
= (32)³ + (b)³ + (2c)³ – 3(3a) (b) (2c)
= (3a + b + 2c) (9a² + b² + 4c² – 3ab – 2bc – 6ca)

ప్రయత్నించండి

1. x చరరాశితో కూడిన ద్విపదిని రాయండి. (పేజీ నెం. 31)
సాధన.
x చరరాశితో కూడిన ద్విపది 2x + 3x².

2. p చరరాశితో కూడిన 15 పదాలుండే బహుపదిని మీరు ఎలా రాస్తారు ? (పేజీ నెం. 31)
సాధన.
a₁₄P¹⁴ + a₁₃p¹³ + a₁₂p¹² + …… + a₁p + a₀

3. కింది బహుపదుల శూన్య విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 34)
1. 2x – 3
సాధన.
2x – 3 = 0
2x = 3
x = \(\frac {3}{2}\)
∴ 2x – 3 యొక్క శూన్య విలువ \(\frac {3}{2}\)

2. x² – 5x + 6
సాధన.
x² – 5x + 6 = 0
= x² – 3x – 2x + 6 = 0
= x(x – 3) – 2 (x – 3) = 0
= (x – 2) (x – 3) = 0
⇒ x – 2 = 0 లేక x – 3 = 0
⇒ x = 2 లేక x = 3
∴ x2 – 5x + 6 యొక్క శూన్య విలువలు 2 లేక 3.

3. x + 5
సాధన.
x + 5 = 0
x = -5
∴ x + 5 యొక్క శూన్య విలువ x = – 5.

4. xⁿ – 1 అను బహుపదికి (x – 1) ఒక కారణాంకమని చూపండి. (పేజీ నెం. 45)
సాధన.
p(x) = xⁿ – 1 అనుకొనుము.
x = 1 అయిన p(1) = 1ⁿ – 1 = 1 – 1 = 0
∴ p(1) = 0
∴ p(x) కు (x – 1) ఒక కారణాంకము.

5. కింది సర్వసమీకరణాలకు కూడా పటాలను గీచి నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 49)
i) (x + y)² ≡ x² + 2xy + y²

సోపానం – 1: పటం – I వైశాల్యం = x · x = x²
సోపానం – 2 : పటం – II వైశాల్యం = x · y = xy
సోపానం – 3 : పటం – III వైశాల్యం = x · y = xy
సోపానం – 4 :.పటం – IV వైశాల్యం = y · y = y²
పెద్ద చతురస్ర వైశాల్యం = I, II, III మరియు IV ల వైశాల్యాల మొత్తము
∴ (x + y) (x + y) = x² + xy + xy + y²
(x + y)² = x² + 2xy + y²

ii) (x + y) (x + y) ≡ x² – y²

సోపానం – 1 : పటం – I వైశాల్యం
= x (x – y) = x² – xy

సోపానం – 2 : పటం – II వైశాల్యం = (x – y) y = xy – y²
పెద్ద దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = I & II ల వైశాల్యాల మొత్తం
(x + y) (x – y) = x² – xy + xy – y² = x² – y²
∴ (x + y) (x – y) ≡ x² – y²

iii) (x + a) (x + b) ≡ x² + (a + b) x + ab

సోపానం – 1 : పటం – I వైశాల్యం = x²
సోపానం – 2 : పటం – II వైశాల్యం = ax
సోపానం – 3 : పటం – III వైశాల్యం = bx
సోపానం – 4 : పటం – IV వైశాల్యం = ab
∴ పెద్ద దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = నాలుగు పటముల వైశాల్యాల మొత్తము
∴ (x + a) (x + b) = x² + ax + bx + ab
(x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab

6. (x – y)3 లబ్దంను గుణకారం చేయకుండా ఎలా కనుగొంటారు ? లభాన్ని గుణకారం చేసి సరిచూడండి. (పేజీ నెం.52)
సాధన.
(x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – 3y³
గుణకారం చేయగా, (∵ సర్వసమీకరణం)
(x – y)³ = (x – y)² (x – y)
= (x² – 2xy + y²) (x – y)
= x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
= x³ – 3x²y + 3xy² – y³
రెండూ సమానము.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. కింది సమాసాలలో ఏవి. బహుపదులు ? ఏవి కావు ? కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం.28)
i) 4x² + 5x – 2
ii) y² – 8
iii) 5
iv) 2x² + \(\frac{3}{x}\) – 5
v) \(\sqrt{3}\)x² + 5y
vi) \(\frac{1}{x+1}\)
vii) \(\sqrt{x}\)
viii) 3xyz
సాధన.
i) 4x² + 5x – 2 – బహుపది.
ii) y² – 8 – బహుపది
iii) 5 – బహుపది
iv) 2x² + \(\frac{3}{x}\) – 5 – బహుపది కాదు
v) \(\sqrt{3}\)x² + 5y – బహుపది
vi) \(\frac{1}{x+1}\) – బహుపది కాదు
vii) \(\sqrt{x}\) – బహుపది కాదు
viii) 3xyz – బహుపది
ఎందుకనగా వీటి చరరాశుల యొక్క ఘాతాలు – 1, –\(\frac {1}{2}\)ల వంటి ఋణ పూర్ణసంఖ్య అయినది కావున.

2. ఒక చరరాశితో కూడిన 3వ పరిమాణ ఘనబహుపదిలో ఎన్ని పదాలుంటాయి ? కొన్ని ఉదాహరణలివ్వండి. (పేజీ నెం.31)
సాధన.
ఒక చరరాశితో కూడిన 3వ పరిమాణ ఘనబహుపదిలో గరిష్ఠంగా 4 పదాలుంటాయి.
ఉదా : x³ + 0, 2x³ + 2, 3y³ + 4y² + 4

3. వర్గ బహుపదికి రెండు శూన్య విలువలుంటాయి. మరి ‘n’వ పరిమాణ బహుపదికి ఎన్ని శూన్య విలువలుంటాయో చెప్పగలరా ? (పేజీ నెం.36) సాధన.
‘n’ వ పరిమాణ బహుపదికి ‘n’ శూన్య విలువలు ఉంటాయి.

శేష సిద్ధాంతము :

p(x) అనేది ఒక ఏక పరిమాణ లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ గరిష్ఠ పరిమాణంగల బహుపది మరియు ‘a’ అనేది వాస్తవ సంఖ్య అయినప్పుడు p(x) ను రేఖీయ బహుపది (x – a) చే భాగిస్తే వచ్చు శేషం p(a) అగును.
పై సిద్ధాంత నిరూపణను పరిశీలిద్దాం. (పేజీ నెం. 40)
ఉపపత్తి :
ఏకపరిమాణ లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ గరిష్ఠ పరిమాణంగల బహుపది p(x) ను తీసుకుందాం.
p(x) ను రేఖీయ బహుపది g(x) = (x – a) చే భాగించునప్పుడు భాగఫలం q(x) మరియు శేషం r(x) అనుకుందాం. అంటే p(x) మరియు g(x) అనేవి రెండు బహుపదులు అయిన సందర్భంలో p(x) యొక్క పరిమాణం ≥g(x) యొక్క పరిమాణం మరియు g(x) ≠ 0 అయితే మనకు q(x) మరియు r(x) అనే మరొక రెండు బహుపదులు వస్తాయి. ఇందులో r(x) = 0 లేదా r(x) పరిమాణం ఎప్పుడూ g(x) పరిమాణం కన్నా తక్కువగా ఉంటుంది.
భాగహార నియమం ప్రకారం
p(x) = g(x) · q(x) + r(x) గా రాయవచ్చు.
∴ p(x) = (x – a) · q(8) + r(x)
(∵ g(x) = (x – a))
(x – a) పరిమాణం 1 మరియు r(x) పరిమాణం (x – a) పరిమాణం కన్నా తక్కువ కనుక.
∴ r(x) పరిమాణం = 0, అంటే r(x) ఒక స్థిరరాశి.
దీనిని ‘K’ అనుకుంటే, ప్రతి వాస్తవ విలువ x కు r(x) = K.
కావున p(x) = (x – a) q(x) + K అగును.
x = a అయిన p(a) = (a – a) q(a) + K
= 0 + K = K
కావున సిద్ధాంతం నిరూపించబడినది.

కారణాంక సిద్ధాంతము :

బహుపది పరిమాణం n ≥ 1 గా గల బహుపది p(x) మరియు ‘a’ ఏదేని వాస్తవ సంఖ్య అయినపుడు (i) p(a) = 0 అయిన (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం అగును మరియు (ii) (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం అయిన p(a) = 1 అగును. ఈ సిద్ధాంతం యొక్క సరళతరమైన నిరూపణ పరిశీలిద్దాం. (పేజీ నెం.43)
ఉపపత్తి :
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం
p(x) = (x – a) q(x) + p(a)
i) p(a) = 0 అయిన సందర్భంలో p(x) = (x – a) q(x) + 0 అగును.
= (x – a) q(x)
దీనిని బట్టి p(x) కు (x – a) కారణాంకమని చెప్పవచ్చు. నిరూపించబడింది.

ii) ఇదే విధంగా (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం కావున p(x) = (x – a) సత్యం అవుతుంది. అనేది మరొక బహుపది.
∴ p(a) = (a – a) q(a)
= 0
∴ కావున (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం అయిన p(a) = 0 అయినది.
ఈ విధంగా సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణలు

1. p(x) = x + 2 అయిన p(1), p(2), p(-1) మరియు p(-2) లను కనుగొనండి. బహుపది x + 2 యొక్క శూన్య విలువలు (పేజీ నెం.34)
సాధన.
p(x) = x + 2
x కు బదులు 1 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(1) = 1 + 2 = 3
అలాగే xకు బదులు 2 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(2) = 2 + 2 = 4
x బదులు – 1 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(-1) = – 1 + 2 = 1
x బదులు – 2 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(-2) = – 2 + 2 = 0.
దీనిని బట్టి 1, 2, -1 అనేవి ఇచ్చిన బహుపదికి శూన్య విలువలు కాలేదు. p (-2) = 0 అయినది కావున – 2 బహుపది శూన్య విలువ అయినది.

2. p(x) = 3x + 1 బహుపది యొక్క శూన్య విలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం.34)
సాధన.
p(x) యొక్క శూన్య విలువ కనుగొనడం అంటే బహుపది సమీకరణం. p(x) = 0 ను సాధన చేయడమే.
అనగా
3x + 1 = 0
3x = -1
x = –\(\frac {1}{3}\)
కావున 3x + 1 బహుపది శూన్యవిలువ –\(\frac {1}{3}\) అయినది.

3. బహుపది 2x – 1 యొక్క శూన్యవిలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 85)
సాధన.
p(x) యొక్క శూన్యవిలువ కనుగొనడం అంటే బహుపది సమీకరణం p(x) = 0 ను సాధించడమే.
కనుక p(x) = 2x – 1 అనుకోండి.
2x – 1 = 0 అవుతుంది.
x = \(\frac {1}{2}\)(ఎలా ?)
p(\(\frac {1}{2}\))విలువలను బహుపదిలో ప్రతిక్షేపించి సరిచూడండి.
ఇప్పుడు p(x) = ax + b, a ≠ 0, అయితే దీనిని రేఖీయ బహుపది అంటారు. దీని యొక్క శూన్యవిలువను ఎలా కనుగొంటారు ?
p(x) యొక్క శూన్యవిలువను కనుగొనాలంటే, p(x) = 0 బహుపది సమీకరణాన్ని సాధించాలి.
అంటే ax + b = 0, a ≠ 0
కావున ax = – ab
అనగా x = \(\frac{-b}{a}\)
అందుచే x = \(\frac{-b}{a}\) అనేది p(x) = ax + b యొక్క ఒకే ఒక శూన్యవిలువ అయినది. ఏక చరరాశిలోగల రేఖీయ బహుపదికి ఒకే ఒక శూన్య విలువ ఉంటుంది.

4. x² – 3x + 2 అనే బహుపదికి 2 మరియు 1 అనే విలువలు శూన్యాలవుతాయో, లేదో సరిచూడండి. (పేజీ నెం.36)
సాధన.
p(x) = x² – 3x + 2 అనుకొనుము.
x కు బదులు 2 ను ప్రతిక్షేపించగా
p(2) = (2)² – 3(2) + 2
= 4 – 6 + 2 = 0
అలాగే x ను 1 తో మార్చగా
p(1) = (1)² – 3(1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 0
కావున 2 మరియు 1 అనేవి రెండునూ x² – 3x + 2 యొక్క శూన్యవిలువలు అయినాయి.
శూన్యవిలువలు సరిచూడడానికి మరేమైనా విధానం ఉన్నదా ?
x² – 3x + 2 అనే బహుపది పరిమాణం ఎంత ? ఇది రేఖీయ బహుపది అవుతుందా ? కాదు. ఇది వర్గ బహుపది. కావున వర్గబహుపదికి రెండు శూన్యవిలువలు ఉంటాయని చెప్పవచ్చు.

5. x² + 2x – a అనే బహుపది యొక్క శూన్య విలువ 3 అయితే ‘a’ విలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం.36)
సాధన.
p(x) = x² + 2x – a అనుకొనుము.
బహుపది శూన్యవిలువ 3 కావున p(3) = 0.
x² + 2x – a = 0
x = 3 విలువ ప్రతిక్షేపించగా
(3)² + 2(3) – a = 0
9 + 6 – a = 0
15 – a = 0
-a = -15
లేదా a = 15

6. 3x² + x – 1 ను x + 1 చే భాగించండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
p(x) = 3x² + x – 1 మరియు q(x) = x + 1 అని తీసుకోండి.
p(x) ను q(x) చే భాగించాలి. మీరు ముందు తరగతులలో నేర్చుకున్న భాగహార విధానం గుర్తుకు తెచ్చుకోండి.
సోపానం 1 : \(\frac{3 x^{2}}{x}\) = 3X భాగించగా ఇది భాగఫలంలో మొదటి పదం అగును.
సోపానం 2 : (x + 1) 3x = 3x² + 3x (గుణించగా)
3x + 3x నుండి 3x² + x, తీసివేయగా (-2x) వచ్చింది.

సోపానం 3 : \(\frac{-2 x}{x}\) = – 2 (భాగించగా) ఇది భాగఫలంలో రెండవ షదం అయింది.
సోపానం 4 : (x + 1)(- 2) = – 2x – 2 (గుణించగా), దీనిని (- 2x – 1), నుండి తీసివేయగా ‘1’ వస్తుంది.
సోపానం 5 : భాగహారం ఆపివేసాం. శేషం 1 వచ్చింది. ఇది స్థిరరాశి. (స్థిరరాశిని ఎందుకు బహుపదితో భాగించలేమో చెప్పగలరా ?)
దీని నుండి మనకు భాగఫలం (3x – 2) మరియు శేషం (+1) వచ్చాయి.
గమనిక : భాగహార ప్రక్రియలో శేషం ‘సున్న’ గాని లేదా శేషం యొక్క పరిమాణం, విభాజక పరిమాణం కన్నా తక్కువైన సందర్భంలో ప్రక్రియ పూర్తయినదిగా భావిస్తాం .
ఇప్పుడు, దీని నుండి భాగహార సత్యాన్ని కింది విధంగా రాయవచ్చు.
3x² + x – 1 = (x + 1) (3x – 2) + 1
అంటే విభాజ్యం = (విభాజనం × భాగఫలం) + శేషం
ఈ బహుపది p(x) లో x కు బదులు – 1 ప్రతికేపించగా
p(x) = 3x² + x – 1
P(-1) = 3(-1)² + (-1) – 1
= 3(+1) + (-1) – 1 = 1.
[p(-1) యొక్క విలువ, భాగహారంలో శేషం (1) సమానమైనాయని మీరు భాగహారం చేసి పరిశీలించవచ్చు.]
కావున p(x) = 3x² + x – 1 ను (x + 1) చే భాగించగా వచ్చిన శేషం, p (-1) యొక్క విలువ అంటే x + 1 యొక్క శూన్య విలువ (i.e. x = -1) సమానం అయినాయి.

7. 2x⁴ – 4x³ – 3x – 1 అనే బహుపదిని (x – 1) చే భాగించి శేషాన్ని, విభాజకం యొక్క శూన్యవిలువతో సరిచూడండి. (పేజీ నెం.39)
సాధన.
f(x) = 2x⁴ – 4x³ – 3x – 1 అనుకోండి.

పొడవు భాగహార పద్ధతిలో, మనం మొదట 2x⁴, x ను ఎన్నిసార్లు హెచ్చిస్తే వస్తుందో చూడాలి.
\(\frac{2 x^{4}}{x}\) = 2x³
ఇప్పుడు (x – 1) (2x³) = 2x⁴ – 2x³ గా గుణించాలి.
తిరిగి శేషంలో మొదటి పదం చూడాలి. (అంటే – 2×3) ఈ విధంగా భాగహారం పూర్తి చేయాలి.
ఇచ్చట భాగఫలం 2x³ – 2x² – 2x – 5 మరియు శేషం – 6 వచ్చింది.
ఇప్పుడు (x – 1) యొక్క శూన్య విలువ 1 కావున
x = 1 ని f(x) లో ప్రతిక్షేపిస్తే
f(x) = 2x⁴ – 4x³ – 3x – 1
f(1) = 2(1) – 4(1)³ – 3(1) – 1
= 2(1) – 4(1) – 3(1) – 1
= 2 – 4 – 3 – 1 = -6
భాగహారంలో వచ్చిన శేషం మరియు బహుపది f(x) నకు (x – 1) యొక్క శూన్య విలువ సమానమేనా ?

8. x3 + 1 ను (x + 1) తో భాగిస్తే వచ్చే శేషం కనుగొనుము. (పేజీ నెం.41)
సాధన.
ఇచ్చట p(x) = x³ + 1
రేఖీయ బహుపది x + 1 శూన్య విలువ -1
[x + 1 = 0 కావున x = -1]
x లో -1 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(-1) = (-1)³ + 1 = – 1 + 1 = 0
కావున శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం (x³ + 1) ను (x + 1) చే భాగించగా ‘సున్న’ శేషం వచ్చింది.
దీని కొరకు x³ + 1 ను x + 1 చే భాగహారం చేసి సరిచూడవచ్చు.
ఇక్కడ (x + 1) ను (x³ + 1) కు కారణాంకమని నీవు చెప్పగలవా ?

9. x³ – 2x² – 5x + 4 బహుపదికి (x – 2) కారణాంకమా ? సరిచూడండి. (పేజీ నెం.41)
సాధన.
p(x) = x³ – 2x² – 5x + 4 అనుకోండి.
ఇచ్చిన బహుపదికి (x – 2) కారణాంకం అవునో లేదో తెలుసుకోవాలంటే
(x – 2) యొక్క శూన్యవిలువ 2 తో x కు బదులు ప్రతిక్షేపించాలి.
అనగా x – 2 = 0 ⇒ x = 2.
p(2) = (2)³ – 2(2)² – 5(2) + 4
= 8 – 2(4) – 10 + 4
= 8 – 8 – 10 + 4 = – 6.
శేషం ‘సున్న’ కానందున x³ – 2x² – 5x + 4 బహుపదికి (x – 2) కారణాంకం కాదు.

10. p(y) = 4y³ + 4y² – y – 1 అను బహుపది (2y + 1) నకు గుణిజం అవుతుందా ? సరిచూడండి. (పేజీ నెం.41)
సాధన.
p(y) ను (2y + 1) కచ్చితంగా భాగిస్తే p(y) కు (2y + 1) గుణిజం అవుతుందని మీకు తెలుసు.
అందువలన 2y + 1 యొక్క శూన్యవిలువ
అనగా y = \(\frac {-1}{2}\), P(y) లో \(\frac {-1}{2}\) ను ప్రతిక్షేపిస్తే

కావున (2y + 1) అనేది p(y) కు కారణాంకం అయినది. దీనిని బట్టి p(y) అనేది (2y + 1) కి గుణిజం అని చెప్పవచ్చు.

11. ax³ + 3x² – 13 మరియు 2x³ – 5x + a అను బహుపదులు (x – 2) చే భాగించునప్పుడు శేషాలు సమానం అయితే ‘a’ విలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం.42)
సాధన.
p(x) = ax³ + 3x² – 13 మరియు
q(x) = 2x³ – 5x + a అనుకుందాం.
∵ p(x) మరియు q(x) లను (x – 2) చే భాగిస్తే శేషాలు సమానం.
∴ p(2) = q(2)
a(2)³ + 3(2)² – 13 = 2(2)³ – 5(2) + a
8a + 12 – 13 = 16 – 10 + a
8a – 1 = a + 6
8a – a = 6 + 1
7a = 7
a = 1

12. x³ + 2x² + 3x + 6 అనే బహుపదికి (x + 2) కారణాంకం అవుతుందా ? (పేజీ నెం.44)
సాధన.
p(x) = x³ + 2x² + 3x + 6 మరియు
g(x) = x + 2 అనుకొనుము.
g(x) యొక్క శూన్య విలువ – 2
కావున p(-2) = (-2)³ + 2(-2)² + 3(-2) + 6
= -8+ 2(4) – 6 + 6
= – 8 + 8 – 6 + 6 = 0
కావున, కారణాంక సిద్ధాంతం ప్రకారం ఇచ్చిన బహుపది x³ + 2x² + 3x + 6 కు (x + 2) కారణాంకం అవుతుంది.

13. 2x³ – 9x² + x + K అను బహుపది సమాసానికి (2x – 3) కారణాంకం అయితే K విలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 44)
సాధన.
(2x – 3) అనేది p(x) = 2x³ – 9x² + x + K బహుపదికి కారణాంకం.
(2x – 3) = 0 అయితే x = \(\frac {3}{2}\)
∴ (2x – 3) యొక్క శూన్యవిలువ \(\frac {3}{2}\)
అందుచే (2x – 3) అనేది p(x) కు కారణాంకం అయిన p(\(\frac {3}{2}\)) = 0 అగును.
p(x) = 2x³ – 9x² + x + K
⇒ P(\(\frac {3}{2}\)) = 2(\(\frac {3}{2}\))3 – 9(\(\frac {3}{2}\))2 + \(\frac {3}{2}\) + K = 0
⇒ 2(\(\frac {27}{8}\)) – 9(\(\frac {9}{4}\)) + \(\frac {3}{2}\) + K = 0
⇒ \(\left(\frac{27}{4}-\frac{81}{4}+\frac{3}{2}+K=0\right)\) × 4
27 – 48 + 6 + 4K = 0
-48 + 4K = 0
4K = 48
కావున K = 12

14. (x – 1) అనేది x¹⁰ – 1 అనే బహుపది కారణాంకమని నిరూపించండి. ఇదే విధంగా x¹¹ – 1కు కూడా కారణాంకమని చూపండి. (పేజీ నెం. 45)
సాధన.
p(x) = x¹⁰– 1 మరియు g(x) = x¹¹ – 1 అనుకొనుము.
(x – 1) రెండు బహుపదులు p(x) మరియు g(x) లకు కారణాంకమౌతుందని చూపాలంటే p(1) = 0 మరియు g(1) = 0 అని చూపితే సరిపోతుంది.
ఇప్పుడు
p(x) = x¹⁰ – 1 మరియు g(x) = x¹¹ – 1

కనుక కారణాంక సిద్ధాంతం ప్రకారం (x – 1) అనేది p(x) మరియు g(x) లకు కారణాంకం అయినది.

15. 3x² + 11x + 6 ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం.46)
సాధన.
p, q లు అనేవి రెండు సంఖ్యలు మరియు
p + q = 11 మరియు pq = 3 × 6 = 18
సందర్భంలో p, q లను కనుగొనాలంటే
18 లబ్దంగా రాయగలిగే కారణాంకాల జతలను పరిశీలిస్తే (1, 18), (2, 9), (3, 6) జతలలో, (2, 9) జత p + q = 11 ను తృప్తి పరుస్తాయి.
కావున 3x² + 11x + 6 = 3x² + 2x + 9x + 6
= x(3x + 2) + 3(3x+2)
= (3x + 2) (x + 3)

16. 2x⁴ – 6x³ + 3x² + 3x – 2 అనే బహుపది x² – 3x + 2 చే భాగింపబడుతుందా ? సరిచూడండి. కారణాంక సిద్ధాంతం ఉపయోగించి ఏ విధంగా సరిచూస్తారు ? (పేజీ నెం.46)
సాధన.
విభాజకం ఒక రేఖీయ బహుపది కాదు. ఇది ఒక వర్గ బహుపది. వర్గబహుపది యొక్క మధ్య పదాన్ని విభజించి కారణాంకాలుగా కనుగొనుట మీరు నేర్చుకున్నారు కదా! ఆ విధంగా చేస్తే
x² – 3x + 2 = x² – 2x – x + 2
= x(x – 2) – 1 (x- 2)
= (x – 2) (x – 1)
2x⁴ – 6x³ + 3x² + 3x – 2 అనే బహుపదికి x² – 3x + 2 వర్గ బహుపది కారణాంకమని చూపాలంటే, (x – 2) మరియు (x – 1) లను కారణాంకాలుగా చూపాలి.
కావున p(x) = 2x⁴ – 6x³ + 3x² + 3x – 2 తీసుకుంటే
p(x) కు (x – 2) కారణాంకం అయిన
p(2) = 2(2)⁴ – 6(2)³ + 3(2)² + 3(2) – 2
= 2(16) – 6(8) + 3(4) + 6 – 2
= 32 – 48 + 12 + 6 – 2
= 50 – 50 = 0
p(2) = 0 కావున p(x) కు (x – 2) కారణాంకం అవుతుంది.
మరొక కారణాంకం (x – 1), p(x) కు కారణాంకం కావాలంటే
p(1) = 2(1)⁴ – 6(1)³ + 3(1)² + 3(1) – 2
= 2(1) – 6(1) + 3(1) + 3 – 2
= 2 – 6 + 3 + 3 – 2
= 8 – 8 = 0
∴ p(1) = 0 అయినందున. (x – 1) అనేది p(x)కు కారణాంకం అయింది.
(x – 2) మరియు (x – 1) రెండునూ p(x) కు కారణాంకాలైనందున వాటి లబ్ధం x² – 3x + 2 కూడా p(x) = 2x⁴ – 6x³ + 3x² + 3x – 2 కు కారణాంకం అవుతుంది.

17. x³ – 23x²+ 142x – 120 ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం.47)
సాధన.
p(x) = x³ – 23x² + 142x – 120 అనుకొనండి.
వీటితో ప్రయత్నిస్తే మనకు p(1) = 0 అవుతుంది (సరిచూడండి).
కావున p(x) కు (x – 1) కారణాంకం అవుతుంది.
తర్వాత p (x) ను (x – 1) చే భాగిస్తే మనకు x² – 22x + 120 వస్తుంది.
దీని కారణాంక విభజన మరొక విధంగా చేసి చూద్దాం
x³ – 23x² + 142x – 120
= x³ – x² – 22x² + 22x + 120x – 120
= x²(x – 1) – 22x(x – 1) + 120 (x – 1)
(ఎలా ?)
= (x – 1) (x² – 22x + 120)
ఇప్పుడు x² – 22x + 120 వర్గబహుపది కావున, మధ్యపదంను విడదీసి కారణాంకాలు కనుగొందాం.
x² – 22x + 120 = x² – 12x – 10x + 120
= x(x – 12) – 10(x – 12)
= (x – 12) (x – 10)
కావున x³ – 23x² + 142x – 120
= (x – 1)(x – 10)(x – 12) అయినది.

18. కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 49)
(i) x2 + 5x + 4
(ii) 9x² – 25
(iii) 25a² + 40ab + 16b²
(iv) 49x² – 112xy + 64y²
సాధన.
i) ఇచ్చట x² + 5x + 4 = x² + (4 + 1)x + (4) (1)
ఈ బహుపదిని (x + a) (x + b).
≡ x² + (a + b)x + ab
అనే సర్వసమీకరణంతో పోల్చగా మనకు (x + 4) (x + 1) వస్తుంది.

ii) 9x² – 25 = (3x)² – (5)2
దీనిని x² – y² ≡ (x + y) (x – y) అను సర్వసమీకరణంతో పోల్చగా
∴ 9x² – 25 = (3x + 5) (3x – 5) అగును.

iii) ఇచ్చట బహుపది 25a² + 40ab + 16b²
= (5a)² + 2(5a) (4b) + (4b)²
ఈ సమాసాన్ని x² + 2xy + y² తో పోల్చగా, x = 5a మరియు y = 4b అని పరిశీలించవచ్చు.
(x + y)² ≡ x² + 2xy + y² సర్వసమీకరణము వినియోగిస్తే
మనకు 25a² + 40ab + 16b² = (5a + 4b)²
= (5a + 4b) (5a + 4b) అగును.

iv) ఇచ్చట 49x²– 112xy + 64y², మనకు
49x² = (7x)², 64y² = (8y)² మరియు 112 xy = 2(7x) (8y) అని తెలుస్తున్నది.
దీనిని సర్వసమీకరణం (x – y)² ≡ x² – 2xy + y² తో పోల్చగా
మనకు 49x² – 112xy + 64y²
= (7x)² = 2(7x) (8y) + (8y)²
= (7x – 8y)²
= (7x – 8y) (7x – 8y) అయినది.

19. (2a + 3b + 5)² ను సర్వసమీకరణం ద్వారా విస్తరించండి. (పేజీ నెం.51)
సాధన.
ఇచ్చిన సమాసంను (x + y + z)² తో పోల్చగా,
మనకు x = 24, y = 3b మరియు z = 5 వస్తాయి.
అందువలన సర్వసమీకరణం V, ద్వారా మనం (2a + 3b + 5)² = (2a)² + (3b)² + (5)² + 2(2a)(3b) + 2(3b) (5) + 2(5) (2a)
= 4a² + 9b² + 25 + 12ab + 30b + 20a.

20. (5x – y + z) (5x – y + z) యొక్క లబ్దాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం.51)
సాధన.
ఇచ్చట (5x – y + z) (5x – y + z)
= (5x + y + z)²
= [5x + (-y) + z]²
అందువలన మనం సర్వసమీకరణం V,
(x + y + z)² ≡ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx తో పోల్చగా మనకు
(5x + (-y) + z)² = (5x)² + (-y)² + (2)² + 2(5x) (-y) + 2(-y) (z) + 2(z) (5x)
= 25x² + y² + z² – 10xy – 2yz + 10zx

21. 4x² + 9y² + 25z² – 12xy – 30yz + 20zx ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ 38.51)
సాధన.
మనకు
4x² + 9y² + 25z² – 12xy – 30yz + 20zx
= [(2x)² + (-3y)² + (5z)² + 2(2x) (-3y) + 2(-3y)(5z) + 2(5z)(2x)]
సర్వ సమీకరణం V తో పోల్చగా
(x + y + z)² ≡ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx
మనకు = (2x – 3y + 5z)²
= (2x – 3y + 5z)(2x – 3y + 5z)

22. కింది ఘనాలను విస్తరించండి. (పేజీ నెం.53)
(1) (2a + 3b)³ (ii) (2p – 5)³
సాధన.
i) ఇచ్చిన సమాసాన్ని (x + y)3 తో పోల్చగా,
మనకు x = 2a మరియు y = 3b అగును.
కావున, సర్వసమీకరణం VI, వాడితే (2a + 3b)³
= (2a)³ + (3b)³ + 3(2a)(3b) (2a + 3b)
= 8a³ + 27b³ + 18ab (2a + 3b)
= 8a³ + 27b³ + 36a²b + 54 ab²
= 8a³ + 36a²b + 54ab² + 27b³

ii) ఇచ్చిన సమాసాన్ని (x – y) తో పోల్చగా, మనకు.
x = 2p మరియు y = 5 అగును.
కావున, సర్వసమీకరణం VII, వాడితే, (2p – 5)³
= (2p)³ – (5)³ – 3(2p)(5) (2p – 5)
= 8p3 – 125 – 30p (2p – 5)
= 8p3 – 125 – 60p² + 150p
= 8p3 – 60p² + 150p – 125.

23. కింది వానిని తగిన సర్వసమీకరణాలు ఉపయోగించి గణించండి. (పేజీ నెం.53)
(i) (103)³
(ii) (99)³
సాధన.
i) మనకు (103)³ = (100 + 3)³ వచ్చును.
దీనిని (x + y)³ ≡ x³ + y³ + 3xy(x + y) తో పోల్చగా, మనకు
= (100)³ + (3)³ + 3(100) (3) (100 + 3)
= 1000000 + 27 + 900(103)
= 1000000 + 27 + 92700
= 1092727

ii) మనకు (99)³ = (100 – 1)³
దీనిని (x – y)³ ≡ x – y – 3xy(x – y) తో పోల్చగా, మనకు
= (100)³ – (1)³ – 3(100) (1) (100 – 1)
= 1000000 – 1 – 300 (99)
= 1000000 – 1 – 29700
= 970299.

24. 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³ కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం.54)
సాధన.
ఇచ్చిన సమాసాన్ని మనం దిగువ విధంగా రాస్తే
8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³
= (2x)³+ 3(2x)² (3y) + 3(2x) (3y)² + (3y)³
దీనిని సర్వసమీకరణం VI తో పోల్చగా
(x + y)³ ≡ x³ + 3x²y + 3xy² + y²
మనకు = (2x + 3y)³
= (2x + 3y) (2x + 3y) (2x + 3y) కారణాంకాలుగా వస్తాయి.

25. లబ్ధం కనుగొనండి. (పేజీ నెం.54)
(2a + b + c) (4a² + b² + c² – 2ab – bc – 2ca)
సాధన.
ఇవ్వబడిన లబ్దాన్ని దిగువ విధంగా రాయవచ్చు.
= (2a + b + c) [(2a)² + b² + c² – (2a)(b) – (b)(c) – (c) (2a)]
సమీకరణం VIII తో పోల్చగా
(x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
≡ x³ + y³ + z³ – 3xyz
= (2a)³ + (b)³ + (c)³ – 3(2a) (b) (c)
= 8a³ + b³ + c³ – 6abc

26. a³ – 8b³ – 64c³ – 24abc ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం.55)
సాధన.
ఇవ్వబడిన సమాసం
a³ – 8b³ – 64c³ – 24abc
= (a)³ + (-2b)³ + (-4c)³ – 3(a)(-2b) (-4c)
దీనిని సర్వసమీకరణం VIII తో సరిపోల్చగా
x³ + y³ + z³ – 3xyz
≡ (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
మనకు
= (a – 2b – 4c) [(a)² + (-2b)² + (-4c)² – (a) (-2b) – (-2b) (-4c) – (-4c) (a)]
= (a – 2b – 4c) (a² + 4b² + 16c² + 2ab – 8bc + 4ca) కారణాంకాలుగా వస్తాయి.

27. ఒక దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం 2x² + 9x – 5 అయిన దీర్ఘచతురస్ర పొడవు, వెడల్పులకు తగిన అనుకూల కొలతల విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు, వెడల్పులను l, b లుగా తీసుకోండి.
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 2x² + 9x – 5
lb = 2x² + 9x – 5
= 2x² + 10x – x – 5
= 2x(x + 5) – 1(x + 5)
= (x + 5) (2x – 1)
l, b లకు తగిన అనుకూల కొలతల విలువలు తీసుకుంటే
∴పొడవు = (x + 5)
వెడల్పు = (2x – 1)
x = 1 అయిన l = 6, b = 1
x = 2 అయిన l = 7, b = 3
x = 3 అయిన l = 8, b = 5
…………….
…………….

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు Ex 12.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు Exercise 12.3

1. కింది త్రిభుజాలను గీచి వాటికి పరిషృత్తాలను నిర్మించండి.

ప్రశ్న (i)
∆ABC లో AB = 6 సెం.మీ., BC = 7 సెం.మీ., మరియు \(\angle \mathbf{A}\) = 60°.

సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
→ ఇచ్చిన కొలతలతో త్రిభుజంను నిర్మించుము.
→ భుజాలకు లంబసమద్విఖండన రేఖలను గీయుము.
→ లంబ సమద్విఖండన రేఖల మిళిత బిందువు ‘S’.
→ S కేంద్రముగా; SA వ్యాసార్ధంగా తీసుకొని ఒక వృత్తంను గీయుము. అది B మరియు C ల గుండా పోవును.
→ ఇదియే మనకు కావలసిన పరివృత్తము.

ప్రశ్న (ii)
∆PQR లో PQ = 5 సెం.మీ., QR = 6 సెం.మీ. మరియు RP = 8.2 సెం.మీ.

సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
→ ఇచ్చిన కొలతలతో ∆PQR ను నిర్మించుము.
→ PQ, QR మరియు RSలకు లంబసమద్విఖండన రేఖలను గీసిన అవి ‘S’ వద్ద ఖండించుకొనును.
→ S కేంద్రముగా SP వ్యాసార్ధంతో వృత్తంను గీయుము.
→ ఈ వృత్తం మిగిలిన శీర్షాల గుండా పోవును.
→ ఇదియే మనకు కావలసిన పరివృత్త త్రిభుజం.

ప్రశ్న (iii)
∆XYZ లో XY = 4.8 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{X}\) = 60° మరియు \(\angle \mathbf{Y}\) = 70°.

సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
→ ఇచ్చిన కొలతలతో, ∆XYZ ను గీయుము.
→ ∆XYZ యొక్క భుజాలు XY, YZ, ZX లకు లంబసమద్విఖండన రేఖలను గీయుము. ఇవి ఖండించుకొను బిందువును ‘S’ అనుకొనుము.
→ ‘S’ కేంద్రంగా \(\overline{\mathrm{SX}}\) వ్యాసార్ధంతో ఒక వృత్తంను గీయుము. అది Y మరియు Z లను తాకుతూ పోవును.
→ ఇదియే మనకు కావలసిన పరివృత్తము.

ప్రశ్న 2.
AB = 5.4 సెం.మీ. గీచి A, B ల గుండా పోయే రెండు వృత్తాలను గీయండి.

సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
→ AB = 5.4 సెం.మీ.లతో ఒక రేఖా ఖండంను గీయుము.
→ ABకు లంబంగా \(\stackrel{\leftrightarrow}{XY}\) అను లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.
→ XY పై ఏదైనా ఒక బిందువు P ను తీసుకొనుము.
→ P కేంద్రంగా PA వ్యాసార్థంతో ఒక వృత్తంను గీయుము.
→ XY పై మరొక బిందువు Q అనుకొనుము.
→ ‘Q’ కేంద్రంగా \(\overline{\mathrm{QA}}\) వ్యాసార్ధంతో మరొక వృత్తమును గీయుము.

ప్రశ్న 3.
రెండు వృత్తాలు రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండించుకుంటే వాటి కేంద్రాలు ఉమ్మడి జ్యా యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖపై ఉంటాయని నిరూపించండి.
సాధన.

P మరియు Qలు కేంద్రాలుగా గల రెండు వృత్తాలు A మరియు B అను రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండించుకొనుచున్నవి.
A, B లను కలుపగా \(\overline{\mathrm{AB}}\) అను ఉమ్మడి జ్యా ఏర్పడినది.
‘O’, P, Qల మధ్య బిందువు.
OP, OQ లను కలుపుము.
ΔAPO మరియు ΔBPO లలో
AP = BP (వ్యాసార్ధాలు)
PO = PO (ఉమ్మడి భుజము)
AO = BO (∵ O మధ్య బిందువు)
∴ ΔAPO ≅ ΔBPO (భు.భు.భు. నియమం ప్రకారం)
⇒ \(\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{BOP}\) [C.P.C.T]
కాని ఇవి రేఖీయ ద్వయాలు కావున
∴ \(\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{BOP}\) = 90°
అదే విధముగా ΔAOQ మరియు ΔBOQ లలో
AQ = BQ (వ్యాసార్ధాలు)
AO = BO (∵ AB మధ్య బిందువు O)
OQ = OQ (ఉమ్మడి భుజం)
∴ ΔAOQ ≅ ΔBOQ
\(\angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{BOQ}\) (C.P.C.T)
మరియు \(\angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{BOQ}\) = 180° (రేఖీయద్వయం)
∴ \(\angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{BOQ}\) = \(\frac {180°}{2}\) = 90° ఇప్పుడు \(\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{AOQ}\) = 180°
∴ PQ ఒక రేఖ

ప్రశ్న 4.
ఒక వృత్తంలో ఖండించుకొనుచున్న రెండు జ్యాలు వాటి అందన బిందువు ద్వారా పోయే వ్యాసంతో సమాన కోణాలు చేస్తే ఆ జ్యాల పొడవులు సమానమని నిరూపించండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రమనుకొనుము
PQ వృత్తవ్యాసము
\(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) అను రెండు జ్యాలు ‘E’ అను బిందువు వద్ద ఖండించుకొనుచున్నవి.
‘E’ వ్యాసముపై గల బిందువు.
\(\angle \mathrm{AEO}=\angle \mathrm{DEO}\)
AB మరియు CD ల పైకి ‘O’ నుండి OL మరియు
OM అను లంబాలను గీయుము.
∆LEO మరియు ∆MEOలలో
\(\angle \mathrm{LEO}=\angle \mathrm{MEO}\) (దత్తాంశం నుండి)
EO = EO (ఉమ్మడి భుజము)
\(\angle \mathrm{ELO}=\angle \mathrm{EMO}\) = 90° (నిర్మాణం నుండి)
∴ ∆LEO ≅ ∆MEO (∵ కో.భు. కో. నియమం ప్రకారం)
∴ OL = OM [C.P.C.T]
అదే విధముగా కేంద్రము ‘O’ నుండి \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) లు సమాన దూరంలో గల రెండు జ్యాలు.
∴ AB = CD (∵ కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో గల జ్యాలు) నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 5.
కింది పటంలో ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తంలో AB ఒక జ్యా CD వ్యాసం AB కు లంబంగా ఉంది. అయిన AD = BD అని చూపండి.

సాధన.
CD వృత్త వ్యాసము మరియు O వృత్త కేంద్రము.
CD ⊥ AB; M ఖండన బిందువనుకొనుము.
∆AMD మరియు ∆BMD లలో
AM = BM (∵ వృత్తంలోని జ్యాను, వృత్త వ్యాసార్ధం సమద్విఖండన చేయును)
\(\angle \mathrm{AMD}=\angle \mathrm{BMD}\) (∵ దత్తాంశము)
DM = DM (ఉమ్మడి భుజం)
∴ ∆AMD ≅ ∆BMD
⇒ AD = BD [C.P.C.T]

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు Exercise 12.2

ప్రశ్న 1.
పటంలో AB = CD మరియు \(\angle \mathrm{AOB}\) = 90° అయిన \(\angle \mathrm{COD}\) ను కనుగొనండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము.
AB = CD (పటం నుండి సమాన జ్యాలు)
∴ \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}\)
[∵ సమాన జ్యాలు కేంద్రం వద్ద సమాన కోణాలు ఏర్పరుస్తాయి]
\(\angle \mathrm{COD}\) = 90°
[∵ \(\angle \mathrm{AOB}\) = 90° దత్తాంశం]

ప్రశ్న 2.
వటంలో PQ = RS మరియు \(\angle \mathrm{ORS}\) = 48°. అయిన \(\angle \mathrm{OPQ}\) మరియు \(\angle \mathrm{ROS}\) లను కనుగొనండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము.
PQ = RS (∵ దత్తాంశము నుండి)
∴ \(\angle \mathrm{POQ}=\angle \mathrm{ROS}\) [∵ సమాన జ్యాలు వృత్త కేంద్రం వద్ద సమాన కోణాలను ఏర్పరచును)
∴ ∆ROS లో
\(\angle \mathrm{ORS}+\angle \mathrm{OSR}+\angle \mathrm{ROS}\) = 180°
(త్రిభుజ కోణాల మొత్తం ధర్మము)
48° + 48° + \(\angle \mathrm{ROS}\) = 180°
(∵ OR = OS(వ్యాసార్ధాలు); ∆ORS ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము)
∴ \(\angle \mathrm{ROS}\) = 180° – 96° = 84°
అదే విధంగా, \(\angle \mathrm{POQ}=\angle \mathrm{ROS}\) = 84°
∴ \(\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OQP}\)
[∵ OP = OQ; వ్యాసార్ధాలు)
= \(\frac {1}{2}\) [180° – 84°] = 48°

ప్రశ్న 3.
పటంలో PR మరియు QS లు రెండు వ్యాసాలు అయిన PQ = RS అగునా?

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము
[∵ PR, QS లు వృత్త వ్యాసాలు)
OP = OR (∵ వ్యాసార్ధాలు)
OQ = OS (∵ వ్యాసార్ధాలు)
\(\angle \mathrm{POQ}=\angle \mathrm{ROS}\) (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ∆OPQ ≅ ∆ORS (భు.కో.భు. నియమం ప్రకారం)
∴ PQ = RS [C.P.C.T]