Category: Class 9

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 7th Lesson త్రిభుజాలు Exercise 7.3

ప్రశ్న 1.
ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము ABCలో AB = AC, AD అనేది A నుండి BCకి గీసిన లంబము అయిన
(i) BC భుజాన్ని AD సమద్విఖండన చేయునని
(ii) ∠A ని AD కోణ సమద్విఖండన చేయునని చూపండి.
సాధన.

ΔABC లో AB = AC మరియు AD ⊥ BC
i) ΔABD మరియు ΔACD లలో
AB = AC (దత్తాంశం)
∠ADB = ∠ADC (AD ⊥ BC)
AD = AD (ఉమ్మడి భుజము)
∴ ΔABD ≅ ΔACD
(∵ లం.క.భు. నియమము నుండి)
⇒ BD = CD (CPCT)
⇒ AD, BC ను సమద్విఖండన చేయును.

ii) ∠BAD = ∠CAD
(ΔAB, ΔACD ల యొక్క CPCT)
∴ AD అనునది ∠A యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ అగును.

ప్రశ్న 2.
ΔABC లో రెండు భుజములు AB, BC మరియు మధ్యగతం AM వరుసగా ΔPQR లో రెండు భుజములు PQ, QRలు మరియు మధ్యగతం PNకు సమానము (పటము చూడండి). అయిన
i) ΔABM ≅ ΔPON
ii) ΔABC ≅ ΔPQR అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము నుండి AB = PQ
AM = PN
i) ΔABM మరియు ΔPQN లలో
AB = PQ (దత్తాంశము)
AM = PN (దత్తాంశము)
BM = QN
(∵ BC = QR ⇒ \(\frac {1}{2}\)BC = \(\frac {1}{2}\)QR ⇒ BM = QN)
∴ ΔΑΒΜ ≅ ΔΡQΝ
(∵ భు.భు. భు. నియమం ప్రకారం)

ii) ΔABC మరియు ΔPQR లలో
AB = PQ (దత్తాంశం)
BC = QR (దత్తాంశం)
∠ABC = ∠PQN [∵ ΔABM మరియు ΔPQN ల యొక్క CPCT (i) నుండి]
∴ ΔABC ≅ ΔPQR
(∵ భు.కో.భు. నియమం ప్రకారం)

ప్రశ్న 3.
ΔABC లో BE, CF లు రెండు సమాన లంబములు. లం.క.భు. సర్వసమానత్వ నియమాన్ని ఉపయోగించి AABC సమద్విబాహు త్రిభుజమని చూపండి.

సాధన.
ΔABC లో BE, CF లు సమాన లంబాలు.
ΔBCE మరియు ΔCBF లలో
∠BEC = ∠CFB = 90° (∵ పటం నుండి)
BC = BC (ఉమ్మడి భుజం మరియు కర్ణము)
CF = BE (దత్తాంశము)
∴ ΔBEC ≅ ΔCBE
⇒ ∠EBC = ∠FCB (∵ CPCT)
కాని ఈ కోణాలు ΔABC యొక్క భుజాలైన AC మరియు AB ల అంతర కోణాలు.
⇒ AC = AB

ప్రశ్న 4.
ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము ABC లో AB = AC అయిన ∠B = ∠C అని నిరూపించండి.
(గమనిక : AP ⊥ BC అయ్యేటట్లు APని గీయండి, లం.క.భు. నియమాన్ని ఉపయోగించండి.)
సాధన.

దత్తాంశం : ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము మరియు AB = AC.
సారాంశం : ∠B = ∠C
D, BC మధ్య బిందువనుకొనుము.
నిర్మాణం : A, D లను కలుపుము.
ఉపపత్తి : ΔABD మరియు ΔACD లలో
AB = AC (దత్తాంశం)
BD = DC (నిర్మాణము)
AD = AD (ఉమ్మడి భుజము)
∴ ΔABD ≅ ΔACD
(∵ భు.భు.భు. నియమం ప్రకారం)
⇒ ∠B = ∠C [∵ CPCT]

ప్రశ్న 5.
ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము ABCలో AB = AC. AD = AB అగునట్లు భుజము BA ని D బిందువు వద్దకు పొడిగించినారు (పటము చూడండి). ∠BCD ఒక లంబకోణమని చూపండి.

సాధన.

దత్తాంశం : ΔDBC లో; AB = AC; AD = AB
ΔABC లో
∠ABC + ∠ACB = ∠DAC ………. (1)
[∵ బాహ్య కోణము]
ΔACD లో
∠ADC + ∠ACD = ∠BAC …………..(2)
(1) & (2) లను కలుపగా,
∠DAC + ∠BAC = 2∠ACB + 2∠ACD
[∵ ∠ABC = ZACB
∠ADC = ∠ACD]
180° = 2 [∠ACB + ∠ACD]
180° = 2[∠BCD]
∴ ∠BCD = \(\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90°
(లేక)
పటం నుండి,
∠2 = x + x = 2x
∠1 = y + y = 2y
∠1 + ∠2 = 2x + 2y
180° = 2(x + y)
∴ x + y = \(\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90°

ప్రశ్న 6.
ΔABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము. దీనిలో ∠A = 90° మరియు AB = AC అయిన ∠B = ∠C అని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశం : ΔABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము.
∠A = 90° మరియు AB = AC
సారాంశం: ∠B = ∠C
నిర్మాణం : BC మధ్య బిందువు D ను, A ను కలుపుము.
ఉపపత్తి : ΔADC మరియు ΔADB లలో
AD = AD (ఉమ్మడి భుజం)
AC = AB (దత్తాంశం)
DC = DB (నిర్మాణము)
⇒ ΔADC ≅ ΔADB
⇒ ∠C = ∠B (CPCT)

ప్రశ్న 7.
ఒక సమబాహు త్రిభుజములో ప్రతీ కోణము 60° అని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశం : ΔABC ఒక సమబాహు త్రిభుజము.
మరియు AB = BC = CA
∠A = ∠B (∵ సమాన భుజాలకు ఎదురుగానున్న కోణాలు సమానము)
∠B = ∠C (∵ సమాన భుజాలకు ఎదురుగానున్న కోణాలు సమానము)
⇒ ∠A = ∠B = ∠C = x అనుకొనుము.
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ x + x + x = 180°
3x = 180°
⇒ y = \(\frac{180^{\circ}}{3}\) = 60°
∴ సమబాహు త్రిభుజంలో ప్రతీ కోణము 60°.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 సాంఖ్యక శాస్త్రము InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము InText Questions

కృత్యం

1. తరగతిలోని విద్యార్థులను నాలుగు బృందాలుగా విభజించి, ఒక్కొక్క బృందమునకు కింద చూపిన దత్తాంశముల సేకరణకు కేటాయించారు. (పేజీ నెం. 195).
(i) మీ తరగతిలోని అందరు విద్యార్థుల బరువులు.
(ii) ఒక్కొక్క విద్యార్థి యొక్క (సోదరులు లేక సోదరిల సంఖ్య) తోబుట్టువుల సంఖ్య,
(iii) గత మాసంలో రోజువారీగా గైరుహాజరయిన వారి సంఖ్య
(iv) తరగతిలో ప్రతి విద్యార్థి యొక్క ఇంటి నుండి పాఠశాల దూరము.

2. మీ తరగతిలోని విద్యార్థుల ఇంటి పేరులో (ఆంగ్లములో) మొదటి అక్షరాలు (Initials) సేకరించండి. అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజక పట్టిక తయారుచేసి కింది ప్రశ్నలకు జవాబులివ్వండి. (పేజీ నెం. 197)
(i) ఎక్కువ మంది విద్యార్థుల ఇంటి పేర్ల మొదటి అక్షరం ఏది ?
(ii) ఎంతమంది విద్యార్థుల ఇంటిపేర్ల మొదటి అక్షరం T ?
(iii) ఏ అక్షరం అతి తక్కువ సార్లు ఉపయోగింపబడినది ?
సాధన.
విద్యార్థి కృత్యం.

ఇవి చేయండి

1. కింది వానిలో ఏది ప్రాథమిక, ఏది గౌణ దత్తాంశము? (పేజీ నెం. 195)

ప్రశ్న (i)
2001 నుండి 2010 వరకు మీ పాఠశాలలో నమోదు కాబడిన విద్యార్థుల వివరాలు.
సాధన.
గౌణ దత్తాంశము.

ప్రశ్న (ii)
వ్యాయామ ఉపాధ్యాయుడు నమోదు చేసిన మీ తరగతిలో విద్యార్థుల ఎత్తులు.
సాధన.
ప్రాథమిక దత్తాంశము.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. అంకగణిత మధ్యమము, మధ్యగతము, బాహుళకము విడివిడిగా ఉపయోగించు సందర్భములను మూడింటిని రాయండి. (పేజీ నెం. 202)
సాధన.
సగటు :
(a) కొంతమంది విద్యార్థులకు, మధ్యాహ్న భోజనంను ఏర్పాటుచేయు సందర్భంలో
(b) తరగతిలోని విద్యార్థుల మార్కులను పోల్చు సందర్భంలో
(c) ఒక నెలలో ఒక వర్తకుడు పొందు రోజు వారీ వేతనంను లెక్కించు సందర్భంలో

మధ్యగతం :
(a) ఒక సంస్థలోని ఉద్యోగుల జీతాలను లెక్కించు సందర్భంలో
(b) ఒక తరగతిలోని బాలురు మరియు బాలికల ఎత్తును కొలుచు సందర్భంలో

బాహుళకము:
(a) ఒక నగరంలో ఎక్కువగా ఉపయోగించు ప్రయాణ సాధనాలను తెలుసుకొను సందర్భంలో
(b) ఒక షూ షాపులో ఎక్కువగా అమ్ముడుపోవు షూ సైజును లెక్కించు సందర్భంలో

2. మీ తరగతిలోని విద్యార్థులను ఎత్తుల ఆధారంగా వర్గాలుగా విభజించండి. (ఉదాహరణకు బాలురు – బాలికలు) మరియు బాహుళకమును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 208)
సాధన.
విద్యార్థి తన తరగతి గదిలో ఉన్న బాలురు – బాలలికల ఎత్తులను తీసుకొని బాహుళకమును కనుగొనండి.

3. చెప్పుల దుకాణదారు చెప్పులు కొనుగోలు చేయునపుడు ఏ కొలత చెప్పులు ఎక్కువగా ఆర్డరు చేస్తాడు ? (పేజీ నెం. 208)
సాధన.
విద్యార్థి తనకు దగ్గరలోగల చెప్పుల దుకాణంకు వెళ్ళి సమాధానం రాబట్టవలెను.

ప్రయత్నించండి (పేజీ నెం . 207)

1. 75, 21, 56, 36, 81, 05, 42 రాశుల మధ్యగతాన్ని కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన దత్తాంశమును ఆరోహణ క్రమంలో వ్రాయగా 05, 21, 36, 42, 56, 75, 81.
దత్తాంశంలోని అంశాలు = 7 (బేసి సంఖ్య)
\(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\) వ పదము = \(\frac{\mathrm{7}+1}{2}\)
\(\frac {8}{2}\) = 4వ పదము
∴ మధ్యగతము = 42

2. ఆరోహణ క్రమములో ఉన్న దత్తాంశం 7, 10, 15, x, y, 27, 30 యొక్క మధ్యగతము 17. ఈ దత్తాంశమునకు 50 అను రాశిని చేర్చగా మధ్యగతము 18 అయినచో X మరియు y లను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 207)
సాధన.
ఆరోహణ క్రమంలో వున్న దత్తాంశము
7, 10, 15, x, y, 27, 30.
దత్తాంశంలోని అంశాల సంఖ్య n = 7 (బేసి సంఖ్య)
∴ మధ్యగతము = \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\) వ పదము = \(\frac{\mathrm{7}+1}{2}\) = \(\frac {8}{2}\) = 4వ పదము
∴ శవ పదము = x = 17 (సమస్య నుండి)
ఇచ్చిన దత్తాంశమునకు 50 అను రాశిని చేర్చిన ఏర్పడు మధ్యగతము 18.
50 ను చేర్చగా ఇచ్చిన దత్తాంశము 7, 10, 15, 17,y, 27, 30, 50
దత్తాంశంలోని అంశాల సంఖ్య = n= 8 (సరి సంఖ్య)
∴ మధ్యగతము = \(\left(\frac{\left(\frac{\mathrm{n}}{2}\right)+\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right)}{2}\right)\) వ పదము = \(\left(\frac{\left(\frac{\mathrm{n}}{2}\right)+\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right)}{2}\right)\) వ పదము
18 = \(\frac{17+y}{2}\) (సమస్య నుండి)
17 + y = 36 ⇒ y = 36 – 17 = 19

3. కింది దత్తాంశమునకు మధ్యగతము కనుగొనండి.

సాధన.

మధ్యగతము = (\(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\)) వ పదము = \(\frac{\mathrm{29}+1}{2}\) = 15 వ పదము
∴ 15వ అంశము = 15 (పట్టిక నుండి)

4. అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము యొక్క మధ్యగతంను కనుగొనునప్పుడు క్రమంలో వ్రాయవలెను. ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 208)
సాధన.
అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము యొక్క మధ్యగతంను కనుగొనునప్పుడు దత్తాంతంను ఆరోహణ / అవరోహణ క్రమంలో వ్రాయవలెను. ఎందుకనగా ఆ దత్తాంశంను సరిగ్గా సమ భాగముగా విభజించాలి కావున.

ఉదాహరణలు

1. గణిత పరీక్షలో 50 మంది విద్యార్థులు పొందిన మార్కులు ఈ విధంగా ఇవ్వబడ్డాయి.
5, 8, 6, 4, 2, 3, 4, 9, 10, 2, 1, 1, 3, 4, 5, 8, 6, 7, 10, 21, 1, 3, 4, 4, 5, 8, 6, 7, 10, 2, 8, 6, 4, 2, 5, 4, 9, 10, 2, 1, 1, 3, 4, 5 8, 6, 4, 5, 8 (పేజీ నెం. 196)
సాధన.

దత్తాంశమునకు గణన చిహ్నాలు ఉపయోగించి పట్టికలో చూపబడినది. ఒక మార్కును సాధించిన మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్యను ఆ మార్కు యొక్క పౌనఃపున్యం అందురు. ఉదాహరణకు 4 మార్కులు సాధించిన విద్యార్థుల సంఖ్య 9, అంటే 4 మార్కుల యొక్క పౌనఃపున్యము 9. ఈ పట్టికలోని గణన చిహ్నాలు ముడి దత్తాంశములోని రాశులను పోల్చి లెక్కించుటకు ఉపయోగపడతాయి.

పట్టికలోని అన్ని పౌనఃపున్యముల మొత్తము దత్తాంశములోని రాశుల మొత్తమును సూచిస్తుంది. ఈ విధంగా దత్తాంశములోని అన్ని విభిన్న రాశు లను పౌనఃపున్యములతో సూచించు పట్టికను ‘అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక’ లేక ‘రాశుల భారత్వ పట్టిక’ అంటారు.

2. ఒక బుట్టలోని 50 నారింజ పండ విడి విడి బరువులు (గ్రాములలో) కింది ఇవ్వబడ్డాయి. (పేజీ నెం. 197)
35, 45, 56, 50, 30, 110, 95, 40, 70, 100, 60, 80, 85, 60, 52, 95, 98, 35, 47, 45, 105, 90, 30, 50, 75, 95, 85, 80, 35, 45, 40, 50, 60, 65, 55, 45, 30, 90, 115, 65, 60, 40, 100, 55, 75, 110, 85, 95, 55, 50.
సాధన.
దత్తాంశములోని రాశులను ఒక్కసారిగా ప్రదర్శించుటకు, సమగ్రంగా, సులభంగా అర్థం చేసుకొనుటకు అనువుగా రావు లన్నింటిని తరగతులు, 30 – 39, 40 – 49, 50 – 59, ….. 100 – 109, 110 – 109 గా విభజిస్తాం . ఈ చిన్నచిన్న వర్గములను లేదా సమూహములను తరగతులు అంటారు. ఒక్కొక్క తరగతి యొక్క పరిమాణమును తరగతి పొడవు’ లేక ‘తరగతి వెడల్పు’ అంటారు. ఉదాహరణకు తరగతి 30 – 39 లో 30ను ‘దిగువ అవధి’ అని, 39ను ‘ఎగువ అవధి’ అని అంటారు. ఈ తరగతి పొడవు 10 (దిగువ, ఎగువ అవధులతో సహా).

దత్తాంశములోని రాశులను చిన్న చిన్న వర్గములుగా విభజించి పౌనఃపున్యములతో సూచించు పట్టికను ‘వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక’ అంటారు. ఇది దత్తాంశమును సమగ్రంగా, సంక్షిప్తంగా ప్రదర్శించి అర్థం చేసుకోవడం సులభతరం చేస్తుంది.

పై పౌనఃపున్య విభాజనములోని తరగతులు ఒకదానిపై ఒకటి అతిపాతం చెందుట లేదు అనగా ఏ విలువ రెండు తరగతులలో పునరావృతం కాదు. ఈ తరగతులను సమ్మిళిత తరగతులు అంటాం.

ఏ దత్తాంశములో అయినా ఎక్కువ తరగతి పొడవుతో తరగతి హద్దులు తక్కువ తరగతులకు లేక తక్కువ తరగతి పొడవుతో తక్కువ తరగతులను ఏర్పాటు చేసుకొనవచ్చును. కానీ తరగతులు మాత్రం ఒకదానిపై ఒకటి అతిపాతం చెందకూడదు. సామాన్యంగా మొదట దత్తాంశపు వ్యాప్తి (వ్యాప్తి = గరిష్ట దత్తాంశపు విలువ – కనిష్ఠ దత్తాంశపు విలువ) ని కనుగొందురు. వ్యాప్తిని ఉపయోగించి తరగతి పొడవు మరియు తరగతుల సంఖ్యను నిర్ణయింతురు. ఉదాహరణకు 30 – 35, 36 – 40, …. గా విభజింపవచ్చును.

పై దత్తాంశంలో ఒక నారింజపండు భారము 39.5 గ్రా. అయినచో ఆ విలువను ఏ తరగతికి చేర్చవలెను? 30 – 39 తరగతిలోనా లేక 40 – 49 తరగతిలోనా ?

ఇటువంటి సందర్భములలో తరగతుల యొక్క నిజ అవధులు లేక హద్దులు సహాయపడతాయి. ఒక తరగతి యొక్క ఎగువ అవధి, తరువాత తరగతి యొక్క దిగువ అవధుల సరాసరిని ఆ తరగతి యొక్క ఎగువ హద్దు అంటారు. అదే విలువ తరువాత తరగతి యొక్క దిగువ హద్దు అవుతుంది. ఇదే విధంగా అన్ని తరగతుల యొక్క హద్దులను రాయవచ్చు. మొదటి తరగతికి ముందు ఒక తరగతి ఊహించుకోవడం ద్వారా మొదటి తరగతి దిగువ హద్దును, అట్లే చివరి తరగతికి తరువాత ఒక తరగతిని ఊహించటం ద్వారా చివరి తరగతి యొక్క ఎగువ హద్దును లెక్కించవచ్చును.

హద్దులు ఏర్పరచిన తరువాత కూడా 39.5 ను ఏ తరగతిలో అనగా 29.5 – 39.5 లేక 39.5 – 49.5 చేర్చవలెననే సంశయము ఏర్పడుతుంది. సాంప్రదాయకంగా తరగతి యొక్క ఎగువహద్దు ఆ తరగతికి చెందదు అని గ్రహించవలెను. కావున 39,5 రాశి 39.5 – 49.5 తరగతికి చెందుతుంది.

30 – 40, 40 – 50, 50 – 60, … తరగతులు ఒక దానిపై ఒకటి అతిపాతం చెందుతాయి. ఈ తరగతులను ‘మినహాయింపు తరగతులు’ అంటారు. సమ్మిళిత తరగతుల హద్దులలో మినహాయింపు తరగతులు ఏర్పడుట గమనించవచ్చు. ఒక తరగతి ఎగువ మరియు దిగువ హద్దుల భేదము ఆ తరగతి అంతరము. కావున 90-99 తరగతి అంతరము 10.

3. సెప్టెంబరు నెలలో ఒక నగరము యొక్క సాపేక్ష అర్థత (శాతములలో) విలువలు కింది విధంగా ఇవ్వబడ్డాయి. (ఎందుకనగా 99.5 – 89.5 = 10) (పేజీ నెం. 199)

(i) 84 – 86, 86 – 88, …… తరగతి అంతరాలతో వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమును నిర్మించండి. .
(ii) దత్తాంశము వ్యాప్తి ఎంత ?
సాధన.
(i) ఇచ్చిన తరగతులతో గణన చిహ్నాల సహాయంతో నిర్మింపబడిన వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము.

(సూచన : దత్తాంశము 90; 90 – 92 తరగతికి 96; 96 – 98 తరగతికి చెందును.)
(ii) దత్తాంశము యొక్క వ్యాప్తి = గరిష్ట విలువ – కనిష్ఠ విలువ
= 99.2 – 84.9 = 14.3

4. ఒక వారము ఒక పట్టణపు వర్షపాతము 4 సెం.మీ., 5 సెం.మీ., 12 సెం.మీ., 3 సెం.మీ., 6 సెం.మీ., 8 సెం.మీ., 0.5 సెం.మీ. అని రికార్డు చేయబడినది. అయిన దినసరి సరాసరి వర్షపాతమెంత? (పేజీ నెం. 203)
సాధన.
వారంలో రోజువారీ వర్షపాతము (సెం.మీ.) = 4.5 సెం.మీ., 5 సెం.మీ., 12 సెం.మీ., 3 సెం.మీ., 6 సెం.మీ., 8 సెం.మీ., 0.5 సెం.మీ.
దత్తాంశములోని రాశుల సంఖ్య n = 7
అంకగణిత మధ్యమము \(\overline{\mathbf{x}}=\frac{\Sigma \mathbf{x}_{\mathbf{i}}}{\mathrm{n}}=\frac{\mathbf{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}+\ldots \ldots \mathrm{x}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}\), x₁, x₂, …… x_n రాశులు.
మరియు \(\overline{\mathrm{X}}\) వాటి సగటు = \(\frac{4+5+12+3+6+8+0.5}{7}=\frac{38.5}{7}\) = 5.5 సెం.మీ.

5. 10, 12, 18, 13 P మరియు 17 ల సరాసరి 15 అయిన P విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 204)
సాధన.
సరాసరి \(\overline{\mathbf{x}}=\frac{\Sigma \mathbf{x}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{n}}\)
15 = \(\frac{10+12+18+13+P+17}{6}\)
90 = 70 + P
P = 90 – 70 = 20

6. కింది పౌనఃపున్య విభాజనమునకు అంకగణితమధ్యమం కనుగొనండి (పేజీ నెం. 205)

సాధన.

సోపానం – 1 : ప్రతి వరుసలో f_i × x_i కనుగొనుము.
సోపానం – 2 : పౌనఃపున్యముల మొత్తం (Σf_i)
మరియు f_i × x_i లబ్ధముల మొత్తం (Σf_ix_i) లను కనుగొనుము,

సోపానం – 3 : అంకగణితమధ్యమము
\(\overline{\mathrm{X}}\) = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}=\frac{755}{50}\) = 15.1

7. కింది పౌనఃపున్య విభాజనము యొక్క అంకగణిత మధ్యమం 7.5 అయిన, ‘A’ విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 205)

సాధన.

పౌనఃపున్యముల మొత్తం (Σf_i) = 42 + A
రాశుల మొత్తం f_i × x_i(Σf_ix_i) = 306 + 8A
అంకగణిత మధ్యమం \(\overline{\mathrm{x}}\) = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)
ఇచ్చిన విలువ ప్రకారం = 7.5
కావున 7.5 = \(\frac {306 + 8A}{42 + A}\)
306 + 8A = 315 + 7.5 A
8A – 7.5A = 315 – 306
0.5A = 9
A = 18

8. కింది అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమునకు అంకగణిత మధ్యమము కనుగొనండి. (పేజీ నెం.206)

సాధన.

(i) సాధారణ పద్ధతి :
అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనపు సగటుకు కింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి.
\(\bar{x}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{7} \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\sum_{\mathrm{i}=1}^{7} \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}=\frac{622}{40}\) = 15.55

(ii) విచలన పద్దతి:

ఈ పద్ధతిలో దత్తాంశములోని ఏదైనా ఒకరాశిని ఊహించిన అంకగణిత మధ్యమంగా గుర్తించి అంకగణిత మధ్యమం కనుగొంటారు. ఈ దత్తాంశమునకు ఊహించిన అంకగణిత మధ్యమం A = 16 అనుకొని పట్టికను పూరించగా …..
పౌనఃపున్యముల మొత్తం = 40
విచలనముల f_i × d_i లబ్దాల మొత్తం = – 60 + 42.
Σf_id_i = – 18
అంకగణిత మధ్యమం \(\overline{\mathrm{X}}\) = A + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{d}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) = 16 + \(\frac {-18}{40}\)
= 16 – 0.45
= 15.55

9. కింద ఒక రోజు దుకాణదారుడు అమ్మిన పాదరక్షల సైజు నంబర్లు ఇవ్వబడినవి. బాహుళకము కనుగొనండి. 6, 7, 8, 9, 10, 6, 7, 10, 7, 6, 7, 9, 7, 6 (పేజీ నెం. 208)
సాధన.
దత్తాంశ రాశులను ఆరోహణ క్రమంలో రాయగా 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 10 లేక పౌనఃపున్య విభాజనము రాయగా

ఇచ్చట 7 అను సంఖ్య 5 సార్లు వచ్చింది.
∴ దత్తాంశము యొక్క బాహుళకము = 7.

10. 100 మార్కులకు నిర్వహించిన పరీక్షలో 20 మంది విద్యార్థుల మార్కులు
93, 84, 97, 98, 1000, 78, 86, 100, 85, 92, 55, 91, 90, 75, 94, 83, 60, 81, 95
(a) 91 – 100, 81 – 90 ……… తరగతులతో పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక తయారుచేయండి.
(b) బాహుళక తరగతిని గుర్తించండి. (అత్యధిక పౌనఃపున్యం గల తరగతిని ‘బాహుళక తరగతి’ అంటారు)
(c) మధ్యగతపు తరగతులను గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 209)
సాధన.
(a)

(b) గరిష్ఠ పౌనఃపున్యాలు ‘9’ గల తరగతి 91 – 100 కావున ఇదే బాహుళకపు తరగతి.
(c) 20 లో మధ్య మరాశి 10.
దత్తాంశములోని రాశులను ఆరోహణ లేక అవరోహణ క్రమములో ఎట్లు లెక్కించును 10వ రాశి 81 – 90 తరగతిలో గలదు. కావున 81 – 90ను మధ్యగత తరగతి అంటారు.

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 7th Lesson త్రిభుజాలు Exercise 7.2

ప్రశ్న 1.
సమద్విబాహు త్రిభుజము ABC లో AB = AC. ∠B, ∠Cల కోణ సమద్విఖండన రేఖలు ‘O’ బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటాయి. A మరియు O బిందువులను కలపండి.
(i) OB = OC (ii) AO, ∠A కు కోణ సమద్విఖండనరేఖ.

సాధన.
దత్తాంశము :
ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము.
AB = AC మరియు ∠B, ∠C ల కోణ సమద్విఖండన రేఖలు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొంటాయి.
సారాంశము :
i) OB = OC
ii) AO, ∠A కు కోణ సమద్విఖండన రేఖ
నిర్మాణము :
A మరియు O లను కలపండి.
ఉపపత్తి :
i) OB = OC
∠B = ∠C (సమానభుజాలకు ఎదురుగానున్న కోణాలు సమానం)
\(\frac {1}{2}\)∠B = \(\frac {1}{2}\)∠C (ఇరువైపులా 2 చే భాగించగా)
∠OBC = ∠OCB
⇒ OB = OC (∵ ΔOBC లో సమానకోణాలకు ఎదురుగానున్న భుజాలు)

ii) AAOB మరియు ΔAOC లలో
AB = AC (దత్తాంశము)
BO = CO (నిరూపించబడినది)
∠ABO = ∠ACO (∵ ∠B = ∠C)
∴ ΔAOB ≅ ΔAOC
∠BAO = ∠CAO [∵ ΔAOB మరియు ΔAOC ల యొక్క CPCT)
∴ AO, ∠A కు కోణ సమద్విఖండన రేఖ.

ప్రశ్న 2.
ΔABC లో AD అనేది BC భుజమునకు లంబ సమద్విఖండన రేఖ. (కింది పటాన్ని చూడండి). ΔABC, AB = AC అయ్యేటట్లున్న సమద్విబాహు త్రిభుజమని చూపండి.

సాధన.
ΔABC లో AD ⊥ BC మరియు BD = DC
ΔABD మరియు ΔACD లలో
AD = AD (ఉమ్మడి భుజము)
BD = DC (దత్తాంశము)
∠ADB = ∠ADC (దత్తాంశము)
∴ ΔABD ≅ ΔACD (∵ భు.కో.భు ప్రకారం)
⇒ AB = AC (∵ ΔABD మరియు ΔACD ల యొక్క CPCT)
∴ ΔABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము.

ప్రశ్న 3.
ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము. సమాన భుజాలు AC, AB లకు గీసిన లంబాలు వరుసగా BE మరియు CF అయిన ఈ లంబాలు సమానమని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము నుండి ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము.
AC = AB; BD ⊥ AC; CE ⊥ AB
ΔBCD మరియు ΔCBE లలో
∠BDC = ∠CEB = 90° (దత్తాంశం నుండి)
∠BCD = ∠CBE (∵ త్రిభుజంలో సమాన భుజాలకు ఎదురుగా గల కోణాలు సమానం)
BC = BC
∴ ΔBCD ≅ ΔCBE (∵ కో.కో. భు. నియమము)
⇒ BD = CE (CPCT)

ప్రశ్న 4.
ΔABC లో AC, AB భుజాలకు గీసిన లంబాలు BE, CF లు సమానము (పటము చూడండి) అయిన
i) ΔABD ≅ ΔACE
ii) AB = AC అనగా ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజమని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశం నుండి BD ⊥ AC; CE ⊥ AC
BD = CE
ΔABD మరియు ΔACE లలో
∠ADB = ∠AEC = 90° (దత్తాంశం నుండి)
∠A = ∠A (ఉమ్మడి కోణము)
BD = CE.
∴ ΔABD ≅ ΔACE (∵ కో.కో.భు. నియమం )
⇒ AB = AC (∵ CPCT)

ప్రశ్న 5.
ΔABC, ΔDBC లు ఒకే భుజము BC పై ఉన్న రెండు సమద్విబాహు త్రిభుజములు (పటము చూడండి) అయిన ∠ABD = ∠ACD అని చూపండి.

సాధన.

దత్తాంశం : ΔABC మరియు ΔDBC లు సమద్విబాహు త్రిభుజాలు.
సారాంశము : ∠ABD = ∠ACD
నిర్మాణం : A మరియు D లను కలుపుము.
ఉపపత్తి : ΔABD మరియు ACD లలో
AB = AC (∵ సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క సమాన భుజాలు)
BD = CD (∵ సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క సమాన భుజాలు)
AD = AD (∵ ఉమ్మడి భుజము)
∴ ΔABD ≅ ΔACD
(∵ భు.భు.భు. నియమం నుండి)
⇒ ∠ABD = ∠ACD (CPCT)

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 7th Lesson త్రిభుజాలు Exercise 7.1

ప్రశ్న 1.
చతుర్భుజం ACBD లో, AC = AD మరియు ∠Aకు AB కోణ సమద్విఖండనరేఖ అయిన ΔABC ≅ ΔABD అని చూపండి. BC మరియు BD ల గురించి మీరు ఏమి చెప్పగలరు ?

సాధన.
దత్తాంశము AC = AD
∠BAC = ∠BAD
(∵ ∠A ను AB సమద్విఖండన చేయును)
ΔABC మరియు ΔABD లలో
AC = AD (∵ దత్తాంశము)
∠BAC = ∠BAD (∵ దత్తాంశము)
AB = AB (ఉమ్మడి భుజము)
భు-కో-భు నియమం ప్రకారము
ΔABC = ΔABD
రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానం కావున వాటి అనురూప భుజాలు సమానం.
∴ BC = BD

ప్రశ్న 2.
ABCD చతుర్భుజంలో AD = BC మరియు ∠DAB = ∠CBA అయిన
i) ΔABD ≅ ΔBAC
ii) BD = AC
iii) ∠ABD = ∠BAC అని నిరూపించుము.

సాధన.
i) దత్తాంశం AD = BC మరియు
∠DAB = ∠CBA
ΔABD మరియు ΔBAC లలో
AB = AB (∵ ఉమ్మడి భుజము)
AD = BC (∵ దత్తాంశం)
∠DAB = ∠CBA (∵ దత్తాంశం)
భు-కో-భు నియమం ప్రకారం
ΔABD ≅ ΔBAC
ii) AC = BD (∵ CPCT)
iii) ∠ABD = ∠BAC [∵ CPCT , (i) నుండి]

ప్రశ్న 3.
AD, BCలు సమానము మరియు రేఖాఖండము AB కి లంబములు. అయిన CD రేఖాఖండము AB ని సమద్విఖండన చేయునని చూపుము.

సాధన.
దతాంశం AD = BC; AD ⊥ AB; BC ⊥ AB
ΔBOC మరియు ΔAOD లలో
∠BOC = ∠AOD (∵ శీర్షాభిముఖ కోణములు సమానము)
∠OBC = ∠OAD (∵ లంబకోణము)
BC = AD
కో.కో.భు. నియమం నుండి,
∴ ΔOBC ≅ ΔOAD
∴ OB = OA (∵ CPCT)
∴ AB ని ‘O’ బిందువు సమద్విఖండన చేయును.
OD = OC
∴ CD ని ‘O’ బిందువు సమద్విఖండన చేయును.
⇒ CD రేఖాఖండము AB ని సమద్విఖండన చేయును.

ప్రశ్న 4.
l, m అనే ఒక జత సమాంతర రేఖలు p మరియు q అనే వేరొక జత సమాంతర రేఖలచే ఖండించబడినవి. అయిన ΔABC ≅ ΔCDA అని నిరూపించుము.

సాధన.
దత్తాంశం l // m; p // q
ΔABC మరియు ΔCDA లలో
∠BAC = ∠DCA (∵ ఏకాంతర కోణములు సమానము)
∠ACB = ∠CAD
AC = AC
కో-భు-కో నియమము నుండి
∴ ΔABC ≅ ΔCDA

ప్రశ్న 5.
క్రింది పటంలో AC = AE; AB = AD మరియు ∠BAD = ∠EAC అయిన BC = DE అని నిరూపించుము.

సాధన.
దత్తాంశం AC = AE, AB = AD మరియు
∠BAD = ∠EAC
ΔABC మరియు ΔADE లలో
AB = AD
AC = AE
∠BAD = ∠EAC
భు-కో-భు నియమం నుండి,
∴ ΔABC ≅ ΔADE
⇒ BC = DE (CPCT)

ప్రశ్న 6.
లంబకోణ త్రిభుజము ABC లో లంబకోణము C వద్ద ఉన్నది. కర్ణము AB యొక్క మధ్య బిందువు M. C బిందువును M కు కలిపి DM = CM అగునట్లు D బిందువు వద్దకు పొడిగించినారు. పటంలో చూపినట్లు D బిందువును B బిందువుకు కలిపినారు. అయిన క్రింది వాటిని నిరూపించండి.

i) ΔAMC ≅ ΔBMD
ii) ∠DBC ఒక లంబకోణము
iii) ΔDBC ≅ ΔACB
iv) CM = \(\frac {1}{2}\)AB
సాధన.
దత్తాంశము ∠C = 90°
AB యొక్క మధ్య బిందువు M ;
DM = CM (i.e, DC మధ్య బిందువు M)

i) ΔAMC మరియు ΔBMD లలో
AM = BM (∵ AB మధ్య బిందువు M)
CM = DM (∵ CD మధ్య బిందువు M)
∠AMC = ∠BMD (∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
భు-కో-భు నియమం నుండి,
∴ ΔAMC ≅ ΔBMD

ii) ∠MDB = ∠MCA
(ΔAMC మరియు ΔBMD ల CPCT)
కాని ఈ కోణములు ఏకాంతర కోణాలు. అవి DB మరియు AC రేఖలను DC తిర్యగ్రేఖ ఖండించడం వలన ఏర్పడినవి.
∴ DB || AC
మరియు AC ⊥ BC; DB ⊥ BC
∴ ∠DBC ఒక లంబకోణం.

iii) ΔDBC మరియు ΔACB లలో
DB = AC (ΔBMD మరియు ΔAMC ల CPCT)
∠DBC = ∠ACB = 90° (నిరూపించబడినది)
BC = BC (ఉమ్మడి భుజము)
భు-కో-భు నియమము ప్రకారము,
ΔDBC ≅ ΔACB

iv) DC = AB (ΔDBC మరియు ΔACB ల యొక్క CPCT)
\(\frac {1}{2}\)DC = \(\frac {1}{2}\)AB (ఇరువైపులా 2 చే భాగించగా)
CM = \(\frac {1}{2}\)AB

ప్రశ్న 7.
క్రింది పటంలో ABCD ఒక చతురస్రము మరియు ΔAPB ఒక సమబాహు త్రిభుజము అయిన ΔAPD ≅ ΔBPC అని నిరూపించుము.
(సూచన : ΔAPD మరియు ΔBPCలలో \(\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{BP}}\) మరియు ∠PAD = ∠PBC = 90° – 60° = 30°)

సాధన.
దత్తాంశము □ABCD ఒక చతురస్రము.
ΔAPB ఒక సమబాహు త్రిభుజము.
ΔAPD మరియు ΔBPC లలో
AP = BP (∵ సమబాహు త్రిభుజ భుజాలు)
AD = BC (∵ చతురస్ర భుజములు)
∠PAD = ∠PBC [∵ 90° – 60°]
∴ ΔAPD ≅ ΔBPC (భు.కో.భు. నియమం ద్వారా)

ప్రశ్న 8.
క్రింది పటంలో AB = AC కావున ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము BA మరియు \(\overline{\mathrm{CA}}\) లను \(\overline{\mathrm{AQ}}\) = \(\overline{\mathrm{AP}}\) అగునట్లు వరుసగా Q, P బిందువుల వద్దకు పొడిగించిన \(\overline{\mathrm{PB}}\) = \(\overline{\mathrm{QC}}\) అని నిరూపించుము.
(సూచన : ΔAPBమరియు ΔACQలను పోల్చుము)

సాధన.
దత్తాంశం నుండి ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము.
AP = AQ
ΔAPB మరియు ΔAQC లలో
AP = AQ (దత్తాంశము)
AB = AC (దత్తాంశము)
∠PAB = ∠QAC (∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ΔAPB = ΔAQC (∵ భు-కో-భు నియమము)
∴ \(\overline{\mathrm{PB}}\) = \(\overline{\mathrm{QC}}\) (ΔAPB మరియు ΔAQC ల యొక్క CPCT)

ప్రశ్న 9.
క్రింది పటంలో ΔABC లో BC మధ్య బిందువు D. DE ⊥ AB, DF ⊥ ACమరియు DE = DF అయిన ΔBED ≅ ΔCFD అని నిరూపించుము.

సాధన.
దత్తాంశము నుండి ΔABC లో BC యొక్క మధ్య బిందువు D.
DF ⊥ AC; DE = DF
DE ⊥ AB
ΔBED మరియు ΔCFD లలో
∠BED = ∠CFD = 90° (దత్తాంశం నుండి)
BD = CD (∵ BC మధ్య బిందువు D)
ED = FD (దత్తాంశము)
∴ ΔBED ≅ ΔCFD (లం-క-భు నియమం ప్రకారం)

ప్రశ్న 10.
ఒక త్రిభుజములో ఒక కోణం యొక్క కోణ సమద్వి ఖండనరేఖ ఎదుటి భుజాన్ని కూడా సమద్విఖండన చేసిన ఆ త్రిభుజము సమద్విబాహు త్రిభుజమని చూపుము.
సాధన.

దత్తాంశం : ΔABC ఒక త్రిభుజము. A యొక్క కోణసమద్విఖండన రేఖ BC ను ఖండించును.
సారాంశం : ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము
ఉపపత్తి : ఒక త్రిభుజంలో శీర్షకోణ సమద్విఖండన రేఖ ఎదుటి భుజాన్ని సమాన నిష్పత్తిలో ఖండించును.
∴ \(\frac{A B}{A C}=\frac{B D}{D C}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\) = 1 (:: దత్తాంశము)
⇒ AB = AC
∴ ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము.

ప్రశ్న 11.
ఇచ్చిన పటంలో ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము. లంబకోణము శీర్షము B వద్ద కలదు మరియు ∠BCA = 2∠BAC అయిన కర్ణము AC = 2BC అని చూపుము.

(సూచన : BC = BD అగునట్లు CBని D బిందువు వద్దకు పొడిగించుము).
సాధన.

దత్తాంశము : ΔABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము.
∠B = 90° మరియు ∠BCA = 2∠BAC
సారాంశము : AC = 2BC
నిర్మాణం : CB ను D బిందువు వరకు పొడిగించుము.
BC = BD అగును. A, D లను కలుపుము.
ఉపపత్తి : ΔABC మరియు ΔABD లలో
AB = AB (ఉమ్మడి భుజం)
BC = BD (నిర్మాణము)
∠ABC = ∠ABD (∵ లంబకోణము)
∴ ΔABC ≅ ΔABD
⇒ AC = AD మరియు ∠BAC = ∠BAD = 30°
[∵ CPCT]

ΔACD లో, ∠ACD = ∠ADC = ∠CAD = 60°
∴ ΔACD ఒక సమబాహు త్రిభుజము
⇒ AC = CD = AD
⇒ AC = 2BC (∵ BC మధ్య బిందువు C).

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 సాంఖ్యక శాస్త్రము Ex 9.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము Exercise 9.2

ప్రశ్న 1.
ఒక సరుకుల రవాణా కార్యాలయంలోని పార్సిక్ష ఇరువులు కింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి. ఒక్కొక్క పార్సిలు యొక్క సరాసరి బరువెంత?

సాధన.

\(\overline{\mathrm{X}}\) = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}=\frac{17000}{200}=\frac{170}{2}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 85
∴ సగటు = 85

ప్రశ్న 2.
ఒక గ్రామములోని ప్రతి కుటుంబములో గల పిల్లల వివరాలు కింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి. ఒక్కొక్క కుటుంబములోని సరాసరి పిల్లల సంఖ్య కనుగొనండి.

సాధన.

\(\overline{\mathrm{X}}\) = \(\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{144}{84}\)
∴ సగటు = 1.714285

ప్రశ్న 3.
కింది పౌనఃపున్య విభాజనము యొక్క సరాసరి 7.2 అయిన ‘K’ విలువను కనుగొనండి.

సాధన.

Σf_i = 40 + k, Σf_ix_i = 260 + 10k
ఇచ్చిన సగటు \(\overline{\mathrm{X}}\) = 7.2
కాని సగటు \(\overline{\mathrm{X}}\) = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathbf{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[latex]
7.2 = [latex]\frac{260+10 k}{40+k}\)
288.0 + 7.2k = 260 + 10k
10k – 7.2k = 288 – 260
2.8k = 28
k = \(\frac {28}{2.8}\) = 10

ప్రశ్న 4.
భారతదేశ జన గణన ప్రకారం గ్రామములు, జనాభా వివరాలు కింది విధంగా ఇవ్వబడ్డాయి. (జనాభా దగ్గర వేలకు సవరించబడినది) ఒక్కొక్క గ్రామం యొక్క సరాసరి జనాభా ఎంత ?

సాధన.

Σf_i = 145 Σf_ix_i = 2571 వేలు
∴ సగటు \(\overline{\mathrm{X}}\) = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}=\frac{2571}{145}\) = 17.731 వేలు

ప్రశ్న 5.
AFLATOUN అనే సాంఘిక, ఆర్థిక విద్యావిషయక సంస్థ హైదరాబాదు జిల్లాలోని ఉన్నత పాఠశాలల విద్యార్థులచే పొదుపు కార్యక్రమమును ప్రారంభించింది. మండలాలవారీగా ఒక్క నెలలో పొదుపు చేయబడిన మొత్తాలు ఇవ్వబడ్డాయి.

ఒక్కొక్క మండలంలో పాఠశాలవారీ సరాసరి పొదుపు మొత్తమెంత ? జిల్లా మొత్తంమీద పాఠశాల సరాసరి పొదుపు ఎంత ?
సాధన.

Σf_i = 33 Σf_ix_i = 14652
∴ సగటు = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) =\(\frac{14652}{33}\) = ₹444

ప్రశ్న 6.
ఒక పాఠశాలలోని 9వ తరగతి బాల బాలికల ఎత్తుల వివరాలు ఈ విధంగా ఉన్నవి.

బాల బాలికల ఎత్తులను పోల్చండి.
సూచన : బాలబాలికల మధ్యగత ఎత్తును కనుగొనండి.]
సాధన.

బాలుర మధ్యగత తరగతి = \(\frac{37+1}{2}=\frac{38}{2}\) = 19 వ అంశము
∴ బాలుర యొక్క ఎత్తు = 147 సెం.మీ.
బాలికల మధ్యగత తరగతి = \(\frac{29+1}{2}=\frac{30}{2}\) = 15వ అంశము
∴ బాలికల యొక్క ఎత్తు = 152 సెం.మీ.

ప్రశ్న 7.
ప్రపంచ క్రికెట్ ఆటగాళ్లలో శతకాలు (100 పరుగులు) చేసిన వారి సంఖ్యలు కింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి.

ఈ దత్తాంశమునకు సరాసరి, మధ్యగతము, బాహుళకములను కనుగొనండి.
సాధన.

N = Σf_i = 139 Σf_ix_i = 1555
సగటు \(\overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}=\frac{1555}{139}\) = 11.187
మధ్యగతము = (\(\frac {N}{2}\) + 1) వ పదం \(\frac{139+1}{2}=\frac{140}{2}\) = 70వ పదం = 10 బాహుళకము = 5

ప్రశ్న 8.
కొత్త సంవత్సరాది సందర్భముగా ఒక మిఠాయి దుకాణం వారు మిఠాయి పొట్లాలను సిద్ధపరుచుచున్నారు. ఒక్కొక్క మీఠాయి పొట్లాం ధర, సిద్ధపరచిన పొట్లాల సంఖ్యలు కింది పౌనఃపున్య విభాజనములో ఇవ్వబడ్డాయి.

పై దత్తాంశమునకు అంకగణిత మధ్యమము, మధ్యగతము, బాహుళకములు కనుగొనండి.
సాధన.

N = Σf_i = 150 Σf_ix_i = 12000
సగటు = \(\overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}=\frac{12000}{150}\) = 80
మధ్యగతము = (\(\frac{N}{2}\) మరియు \(\frac{N}{2}\) + 1) ల సగటు = 75 మరియు 76 అంశాల సగటు = 75 బాహుళకం = 50

ప్రశ్న 9.
ముగ్గురు విద్యార్థుల సగటు బరువు 40 కి.గ్రా. వారిలో రంగా బరువు 46 8.గ్రా, మరియు మిగిలిన ఇద్దరు విద్యార్థులు రహీమ్, రేష్మాల బరువులు సమానం అయిన రహీమ్ బరువు ఎంత ?
సాధన.
రంగా బరువు = 46 కి.గ్రా.
రేష్మా బరువు = రహీమ్ బరువు = x కి.గ్రా. అనుకొనుము.
సగటు = విద్యార్ధుల బరువుల మొత్తం / విద్యార్థుల సంఖ్య = 40కి.గ్రా.
∴ 40 = \(\frac {46+x+x}{3}\)
40 × 3 = 46 + 2x
120 – 46 = 2x
2x = 74
∴ x = \(\frac {74}{2}\) = 37
∴ రహీమ్ బరువు = 37 కి.గ్రా.

ప్రశ్న 10.
ఒక ఉన్నత పాఠశాలలోని వివిధ తరగతుల విద్యార్థులు ఒక అనాథశరణాలయంనకు ఇచ్చిన విరాళములు (రూపాయలలో) కింది విధంగా ఉన్నవి.

ఈ వివరాలకు అంకగణిత మధ్యమము, మధ్యగతము, బాహుళకములు కనుగొనండి.
సాధన.

సగటు \(\overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}=\frac{900}{80}\) = 11.25
మధ్యగతము = (\(\frac{N}{2}\) మరియు \(\frac{N}{2}\) + 1) ల సగటు = \(\frac{80}{2}\), (\(\frac{80}{2}\) + 1) అంశాల సగటు
= 40 మరియు 41 అంశాల సగటు = ₹10
∴ ఈ బాహుళకము = ₹10

ప్రశ్న 11.
నాలుగు సంఖ్యలలో మొదటి రెండింటి సరాసరి 4, మొదటి మూడింటి సరాసరి కి, అన్నింటి సరాసరి 15 మరియు ఆ సంఖ్యలలో ఒకటి 2 అయిన మిగిలిన సంఖ్యలను కనుగొనుము.
సాధన.
సాధారణముగా సగటు = రాశుల మొత్తము / రాశుల సంఖ్య
దత్తాంశము 4 సంఖ్యల సగటు = 15 ⇒ 4 సంఖ్యల మొత్తము = 15 × 4 = 60
మొదటి 3 సంఖ్యల సగటు = 9 ⇒ మొదటి 3 సంఖ్యల మొత్తము = 9 × 3 = 27
మొదటి 2 సంఖ్యల సగటు = 4 ⇒ మొదటి 2 సంఖ్యల సగటు = 4 × 2 = 8
నాల్గవ సంఖ్య = నాలుగు సంఖ్యల మొత్తం-మూడు సంఖ్యల మొత్తం = 60 – 27 = 33
మూడవ సంఖ్య = మూడు సంఖ్యల మొత్తం – రెండు సంఖ్యల మొత్తం = 27 – 8 = 19
రెండవ సంఖ్య = రెండు సంఖ్యల మొత్తం – ఇచ్చిన సంఖ్య = 8 – 2 = 6
∴ మిగిలిన మూడు సంఖ్యలు = 6, 19, 33

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 6th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. కింది రేఖా సమీకరణాలను ax + by + c = 0 రూపంలో రాసి, ప్రతి సందర్భంలోనూ a, b మరియు c విలువలు రాయండి. [పేజీ నెం. 128]
i) 3x + 2y = 9
సాధన.
ఇచ్చిన రేఖ 3x + 2y = 9 ను ax + by + c = 0 రూపంలో వ్రాయగా 3x + 2y – 9 = 0.
∴ a = 3, b = 2, c = – 9

ii) – 2x + 3y = 6
సాధన.
ఇచ్చిన రేఖ – 2x + 3y = 6 ను ax + by + c = 0 రూపంలో వ్రాయగా
– 2x + 3y – 6 = 0 ⇒ 2x – 3y + 6 = 0
∴ a = 2, b = – 3, c = 6

iii) 9x – 5y = 10
సాధన.
ఇచ్చిన రేఖ 9x – 5y = 10 ను ax + by + c = 0 రూపంలో వ్రాయగా 9x – 5y – 10 = 0
∴ a = 9, b = – 5, c = – 10

iv) \(\frac{x}{2}-\frac{y}{3}-5=0\)
సాధన.
ఇచ్చిన రేఖ \(\frac{x}{2}-\frac{y}{3}-5=0\)
⇒ \(\frac{3 x-2 y-30}{6}\) = 0 (2, 3 ల క.సా.గు = 6)
⇒ 3x – 2y – 30 = 0
∴ a = 3, b = – 2, c = – 30

v) 2x = y
సాధన.
ఇచ్చిన రేఖ 2x = y ను ax + by + c = 0 రూపంలో వ్రాయగా 2x – y = 0.
∴ a = 2, b = – 1, c = 0

2. i) కింది సమీకరణాలకు రేఖాచిత్రాలు గీయండి. [పేజీ నెం. 145]
a) x = 2
b) x = – 2
c) x = 4
d) x = – 4
సాధన.

ii) ఈ రేఖాచిత్రాలన్నీ Y- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉన్నాయా ?
సాధన.
అవును, ఈ రేఖలన్నీ Y- అక్షానికి సమాంతరంగా వున్నాయి.

iii) ప్రతీ సందర్భంలో రేఖాచిత్రానికి, Y- అక్షానికి మధ్యగల దూరమును కనుగొనుము.
సాధన.

3. i) కింది సమీకరణాలకు రేఖాచిత్రాలను గీయండి. [పేజీ నెం. 145]
a) y = 2
b) y = – 2
c) y = 3
d) y = – 3
సాధన.
ప్రశ్న 1 లో గల గ్రాఫును చూడుము.

ii) ఈ రేఖాచిత్రాలన్నీ X- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉన్నాయా ?
సాధన.
అవును, ఈ రేఖలన్నీ X – అక్షంకు సమాంతరంగా ఉన్నాయి.

iii) ప్రతీ సందర్భములో రేఖాచిత్రానికి, X- అక్షానికి మధ్యగల దూరమును కనుగొనుము.
సాధన.

4. 3x – 2y = 5 సమీకరణమునకు 5 సాధనలను కనుగొనుము. [పేజీ నెం. 130]
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 3x – 2y = 5

ప్రయత్నించండి

1. ఒక గ్రాఫ్ పేపరుపై (2, 4) బిందువును గుర్తించుము. ఈ బిందువు గుండా ఒక రేఖను గీచి కింది ప్రశ్నలకు సమాధానమిమ్ము. [పేజీ నెం. 135]
1. ఈ (2, 4) బిందువు గుండా మరొక రేఖను గీయగలవా ?
సాధన.
అవును, (2, 4) బిందువు గుండా మరొక రేఖను గీయగలను.

2. ఇలాంటి ఎన్ని రేఖలను గీయగలము ?
సాధన.
ఇలాంటివి అనంత రేఖలను గీయగలము.

3. (2, 4) బిందువు సాధనగా గల రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు ఎన్ని ఉన్నాయి ?
సాధన.
(2, 4) బిందువు సాధనగా అనంత రేఖీయ సమీకరణాలు ఉన్నాయి.

2. Y- అక్షం సమీకరణమును కనుగొనుము. [పేజీ నెం. 146]
సాధన.
Y- అక్షంపై గల బిందువులన్నింటికి x – నిరూపకము సున్న.
∴ Y- అక్షం సమీకరణము x = 0.

ఉదాహరణలు

1. సచిన్ మరియు సెహ్వాగ్ కలిసి 137 పరుగులు చేశారు. ఈ సమాచారమును రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణంగా వ్యక్తపరచండి. [పేజీ నెం. 125]
సాధన.
సచిన్ చేసిన పరుగుల సంఖ్యను ‘x’ మరియు సెహ్వాగ్ చేసిన పరుగుల సంఖ్యను ‘y’ అనుకొనిన
పై దత్తాంశమును సమీకరణ రూపంలో x + y = 137 గా రాయవచ్చు.

2. హేమ వయస్సు, మేరీ వయస్సుకు 4 రెట్లు. ఈ దత్తాంశమునకు సరిపోవు రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణమును రాయుము. [పేజీ నెం.126]
సాధన.
హేమ వయస్సును ‘x’ సంవత్సరాలు అని, మేరి వయస్సును ‘y’ సంవత్సరాలు అని అనుకొనుము.
అయితే దత్తాంశము ప్రకారము, హేమ వయస్సు = మేరి వయస్సుకు 4 రెట్లు.
అనగా x = 4y ⇒ x – 4y = 0 (ఎలా ?) ఇది ఒక రేఖీయ సమీకరణము అయినది.

3. ఒక సంఖ్య, దానిలోని అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్య కంటే 27 ఎక్కువ. సంఖ్యలోని ఒకట్ల, పదుల స్థానములోని అంకెలను వరుసగా x, y అనుకొని ఈ దత్తాంశమునకు సరిపోవు రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణమును రాయుము. [పేజీ నెం. 126]
సాధన.
ఒకట్ల స్థానములోని అంకె x మరియు పదుల స్థానములోని అంకె y అనుకొనిన ఆ సంఖ్య = 10y + x
సంఖ్యలోని అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్య = 10x + y (రెండు అంకెల సంఖ్య యొక్క స్థానవిలువను గుర్తుకు తెచ్చుకోండి).
∴ దత్తాంశము ప్రకారము
సంఖ్య – తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్య = 27.
∴ 10y + x – (10x + y) = 27
⇒ 10y + x – 10x – y – 27 = 0
⇒ 9y – 9x – 27 = 0
⇒ y – x – 3 = 0
∴ కావలసిన సమీకరణము x – y + 3 = 0.

4. కింది ప్రతి సమీకరణమును ax + by + c = 0 రూపంలో రాసి a, b మరియు c విలువలను కనుగొనుము. [పేజీ నెం. 126]
i) 3x + 4y = 5
ii) x – 5 = \(\sqrt{3}\)y
iii) 3x = y
iv) \(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=\frac{1}{6}\)
v) 3x – 7 = 0
సాధన.
i) 3x + 4y = 5 ను 3x + 4y – 5 = 0 గా రాయవచ్చు. ఇచ్చట a = 3, b = 4 మరియు c = – 5.
ii) x – 5 = \(\sqrt{3}\)y ని 1.x – \(\sqrt{3}\)y – 5 = 0 గా రాయవచ్చు.
ఇచ్చట a = 1, b = – \(\sqrt{3}\) మరియు c = – 5.
iii) సమీకరణము 3x = y ని 3x – y + 0 = 0 గా రాయవచ్చు. ఇచ్చట a = 3, b = – 1 మరియు c = 0.
iv) ఇచ్చిన సమీకరణము \(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=\frac{1}{6}\)
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{1}{6}\) = 0; a = \(\frac {1}{2}\), b = \(\frac {1}{2}\) మరియు c = \(\frac {-1}{6}\)
v) 3x – 7 = 0 ని 3x + 0. y – 7 = 0 గా రాయవచ్చు.
∴ a = 3, b = 0; c = – 7.

5. ఈ క్రింది ప్రతి సమీకరణము ax + by + c = 0 రూపంలోకి మార్చి a, b మరియు c విలువలను కనుగొనుము. [పేజీ నెం. 127]
i) x = – 5
ii) y = 2
iii) 2x = 3
iv) 5y = – 3
సాధన.

6. 4x + y = 9 సమీకరణమునకు 4 వేరు వేరు సాధనలను కనుగొనుము. (పట్టికలో ఖాళీలను పూరింపుము). [పేజీ నెం. 130]

సాధన.

∴ (0, 9), (\(\frac {9}{4}\), 0), (1, 5) మరియు (- 1, 13) లు కొన్ని సాధనలు.

7. కింది వానిలో ఏవి x + 2y = 4 సమీకరణానికి సాధన అవుతాయి ? (పట్టికలో ఖాళీలను పూరించుము.) [పేజీ నెం. 131]

i) (0, 2)
ii) (2, 0)
iii) (4, 0)
iv) (\(\sqrt{2}\), – 3\(\sqrt{2}\))
v) (1, 1)
vi) (- 2, 3)
సాధన.
ఒక జతను ఇచ్చిన సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించినపుడు LHS = RHS అయిన ఆ జతను ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క సాధన అంటామని మనకు తెలుసు.
ఇచ్చట ఇవ్వబడిన సమీకరణము x + 2y = 4

8. 5x – 7y = k కు x = 3, y = 2 సాధన k అయిన విలువను కనుగొనుము. k విలువతో వచ్చే సమీకరణాన్ని రాయండి. [పేజీ నెం.132]
సాధన.
x = 3, y = 2 సాధన అని ఇవ్వబడింది కనుక 5x – 7y = k అయిన 5 × 3 – 7 × 2 = k
⇒ 15 – 14 = k ⇒ 1 = k :
∴ k = 1
కావలసిన సమీకరణం 5x – 7y = 1.

9. 5x + 3y – 7 = 0 యొక్క సాధన x = 2k + 1 మరియు y = k అయిన ఓ విలువ ఎంత ? [పేజీ నెం. 132]
సాధన.
5x + 3y – 7 = 0 సమీకరణమునకు x = 2k + 1; y = k సాధన ఇవ్వబడింది.
⇒ 5(2k + 1) + 3k – 7 = 0 ⇒ 10k + 5 + 3k – 7 = 0
⇒ 13k – 2 = 0 (ఇది ఒక ఏకచరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణము).
⇒ 13k = 2
∴ k = \(\frac {2}{13}\)

10. y – 2x = 4 సమీకరణమునకు రేఖాచిత్రమును గీచి కింది ప్రశ్నలకు సమాధానమిమ్ము. [పేజీ నెం. 135]
i) (2, 8) బిందువు రేఖపై ఉన్నదా ? (2, 8) సమీకరణం యొక్క సాధన అవుతుందా ? (2, 8)ను సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించుట ద్వారా సరిచూడుము.
ii) (4, 2) బిందువు రేఖపై ఉన్నదా ? బీజీయ పద్ధతి ద్వారా (4, 2) సమీకరణానికి సాధన అవుతుందేమో సరిచూడుము.
iii) రేఖాచిత్రము నుంచి మరొక మూడు సాధనలను కనుగొనుము. అదే విధముగా సాధనలు కాని వానిని మూడింటిని కనుగొనుము.
సాధన.
ఇవ్వబడిన సమీకరణము y – 2x = 4 ⇒ y = 2x + 4

A, B మరియు C బిందువులను గ్రాఫ్ మీద గుర్తించి వానిని కలిపిన పటములో చూపించిన విధంగా కలిపితే BC రేఖ వస్తుంది. ఇదియే మనకు కావలసిన y- 2x = 4 యొక్క రేఖాచిత్రము అవుతుంది.

i) (2, 8) బిందువును గ్రాఫ్ పేపరుపై గుర్తించిన BC రేఖపై ఉండడం గమనించవచ్చు.
బీజీయ పద్ధతిలో సరిచూచుట (2, 8) బిందువును సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించిన
LHS = y – 2x = 8 – 2 × 2 = 8 – 4 = 4 = RHS,
కనుక (2, 8) సాధన అవుతుంది.

ii) (4, 2) బిందువును గ్రాఫ్ పేపర్ పై గుర్తించిన అది BC రేఖమీద లేకపోవడాన్ని మీరు గమనించవచ్చు.
బీజీయ పద్దతిలో సరిచూచుట : (4, 2) ను ఇచ్చిన సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపిస్తే,
LHS = y – 2x = 2 – 2 × 4 = 2 – 8 = – 6 ≠ RHS
∴ (4, 2) సాధన కాదు.

iii) ఒకరేఖ మీది ఏ బిందువైనా సమీకరణానికి సాధన అవుతుందని మనకు తెలుసు. కనుక రేఖమీద ఏవైనా మూడు బిందువులు తీసుకుంటే అవి సాధనలు అవుతాయి. ఉదాహరణకు (- 4, – 4) …. అదే విధంగా రేఖమీదలేని ఏ బిందువు కూడా సాధన కాదని తెలుసు. కనుక రేఖ మీద లేని ఏవైనా మూడు బిందువులను తీసుకుంటే అవి సాధనలు కావు.
ఉదాహరణకు : (i) (1, 5); ………; ………

11. x – 2y = 3 యొక్క రేఖాచిత్రమును గీయుము. [పేజీ నెం. 136]
రేఖాచిత్రము నుంచి ఈ కింది వానిని కనుగొనుము.
i) x = – 5 అయ్యే విధంగా ఒక సాధన (x, y)
ii) y = 0 అయ్యే విధంగా ఒక సాధన (x, y)
iii) x = 0 అయ్యే విధంగా ఒక సాధన (x, y)
సాధన.
x – 2y = 3 ⇒ y = \(\frac{x-3}{2}\)

గ్రాఫ్ పేపర్ పై A, B, C బిందువులు గుర్తించి వానిని కలిపిన కింది పటములో చూపిన విధంగా రేఖ వస్తుంది. ఈ రేఖయే కావలసిన x – 2y = 3 యొక్క రేఖాచిత్రము అవుతుంది.

i) x = – 5 అయ్యే ఒక సాధన (x, y) ని మనము కనుగొనవలె. అనగా రేఖమీద ఉంటూ దాని x – నిరూపకము ‘- 5′ అయ్యే బిందువును కనుగొనవలె. దీనిని కనుగొనుటకు x = – 5 వద్ద నుంచి Y – అక్షమునకు సమాంతరంగా ఒక రేఖను గీయవలె. అది గ్రాఫ్ ‘P’ వద్ద ఖండిస్తుంది అనుకొనుము. ఈ బిందువు ‘P’ నుంచి X – అక్షానికి సమాంతరంగా రేఖ గీచిన అది Y – అక్షమును – 4 వద్ద ఖండిస్తుంది. (తాకుతుంది).
కనుక P బిందువు నిరూపకాలు = (- 5, – 4)
P(- 5, – 4) బిందువు x – 2y = 3 రేఖపై ఉన్నది కావున అది ఒక సాధన అవుతుంది.

ii) y = 0 అయ్యే విధంగా ఒక సాధన (x, y) ని కనుగొనాలి.
y = 0 కనుక బిందువు (x, 0) అవుతుంది. కావున y = 0 కనుక బిందువు X- అక్షంపై ఉంటూ x – 2y = 3 రేఖాచిత్రము మీద ఉండే బిందువును కనుగొనాలి.
రేఖాచిత్రము నుంచి ఇలాంటి బిందువు (3, 0) అని గమనించగలము.
∴ సాధన = (3, 0).

iii) x = 0 అయ్యే విధంగా ఒక సాధన (x, y) ని కనుగొనవలె.
x = 0 కనుక బిందువు (0, y) అవుతుంది. అనగా బిందువు Y – అక్షంపై ఉంటుంది. అంటే Y – అక్షం పై ఉంటూ x – 2y = 3 గ్రాఫ్ మీద ఉండే బిందువును కనుగొనాలి.
రేఖాచిత్రము నుంచి ఇలాంటి బిందువు (0, \(\frac {-3}{2}\)) అని గుర్తించగలము.
∴ సాధన = (0, \(\frac {-3}{2}\))

12. ఒక పాఠశాలలో 25% బాలికలు, మిగిలినవారు బాలురు. ఈ సమాచారమునకు సరిపోవు రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణమును రూపొందించి దానికి రేఖాచిత్రము గీయుము. రేఖాచిత్రము నుంచి ఈ కింది ప్రశ్నలకు సమాధానమును రాబట్టుము. [పేజీ నెం. 138]

i) బాలికల సంఖ్య 25 అయిన బాలుర సంఖ్య ఎంత ?
ii) బాలుర సంఖ్య 45 అయిన బాలికల సంఖ్య ఎంత ?
iii) బాలుర సంఖ్యకు మూడు వేరువేరు విలువలను తీసుకొని అనురూపంగా బాలికల సంఖ్యను కనుగొనుము. అదే విధంగా బాలికల సంఖ్యకు మూడు వేరువేరు విలువలను తీసుకొని అనురూపంగా బాలుర సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
బాలికల సంఖ్యను ‘x’ మరియు బాలుర సంఖ్యను ‘y’ అనుకొనిన
మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య = x + y
ఇచ్చిన దత్తాంశము ప్రకారము బాలికల సంఖ్య మొత్తం విద్యార్థులలో = 25% అంటే,
x = (x + y) లో 25% = (x + y) × \(\frac {25}{100}\) లో (x + y) = \(\frac {1}{4}\) (x + y)
x = \(\frac {1}{4}\)(x + y) ⇒ 4x = x + y ⇒ 3x = y
∴ కావలసిన సమీకరణము 3x = y లేదా 3x – y = 0.

గ్రాఫ్ పై A, B మరియు C బిందువులను గుర్తించి వానిని కలిపిన కింది పటములో చూపిన విధంగా AB రేఖ ఏర్పడుతుంది.
స్కేలు : X-అక్షం : 1 సెం.మీ. = 20 బాలికలు
Y-అక్షం : 1 సెం.మీ. = 20 బాలురు

రేఖాచిత్రము నుండి ఈ కింది వానిని కనుగొనగలము.
i) బాలికల సంఖ్య 25 అయిన బాలుర సంఖ్య 75.
ii) బాలుర సంఖ్య 45 అయిన బాలికల సంఖ్య 15.
iii) బాలుర సంఖ్యకు మీకు నచ్చిన మూడు వేరువేరు సంఖ్యలను తీసుకొని వానికి అనురూపమైన బాలికల సంఖ్యను, అదే విధంగా బాలికల సంఖ్యకు మీకు నచ్చిన మూడు వేరువేరు సంఖ్యలను తీసుకొని వానికి అనురూపమైన బాలుర సంఖ్యను కనుగొనుము. ఇచ్చట గ్రాఫ్ ను, సమీకరణమును పరిశీలించండి. సమీకరణము y = 3x రూపంలో ఉంది మరియు సరళరేఖ మూల బిందువుగుండా పోతుంది. y = mx (m ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య) సమీకరణమునకు రేఖాచిత్రము గీచిన అది మూల బిందువు గుండా పోతుంది అని గమనిస్తారు.

13. కింది ప్రతి రేఖాచిత్రానికి నాలుగు సమీకరణాలు ఇవ్వబడినాయి. వానిలో రేఖాచిత్రాన్ని సూచించు సరియైన సమీకరణమును గుర్తించుము. [పేజీ నెం. 140]
i) సమీకరణాలు :
A) y = x
B) x + y = 0
C) y = 2x
D) 2 + 3y = 7x

ii) సమీకరణాలు :
A) y = x + 2
B) y = x – 2
C) y = – x + 2
D) x + 2y = 6

సాధన.
i) రేఖాచిత్రము (1, – 1) (0, 0) (- 1, 1) బిందువులు ఒకే రేఖ పై ఉండడం మనం గమనించవచ్చు. అనగా ఇవి కావలసిన సమీకరణానికి సాధనలు అవుతాయి. అంటే ఈ బిందువులను కావలసిన సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపిస్తే అది తృప్తి చెందుతుంది. మరి ఒక విధంగా చెప్పాలంటే ఈ బిందువులను ఏ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపిస్తే అది తృప్తి చెందుతుందో అదియే కావలసిన సమీకరణము.

(1, – 1) బిందువును మొదటి సమీకరణము y = x లో ప్రతిక్షేపించిన అది తృప్తి చెందదు. కనుక y = x కావలసిన సమీకరణం కాదు. అయితే రెండవ సమీకరణము తృప్తి చెందుతుంది. నిజానికి పై మూడు బిందువులకు ఈ సమీకరణము తృప్తి చెందుతుంది. కనుక x + y = 0 కావలసిన సమీకరణం అవుతుంది.
మిగిలిన రెండు సమీకరణాలలో ఈ బిందువులను ప్రతిక్షేపించినప్పుడు అవి తృప్తి చెందవు. కనుక అవి కావలసిన సమీకరణాలు కావు.

ii) రేఖాచిత్రములో (2, 0), (0, 2) మరియు (- 1, 3) బిందువులు రేఖపై ఉన్నాయి. ఈ బిందువులు మొదటి, రెండవ సమీకరణాలను తృప్తిపరచవు. మూడవ సమీకరణము y = – x + 2 ను తీసుకుందాం. దీనిలో పై బిందువులను ప్రతిక్షేపించినప్పుడు అది తృప్తి చెందుతుంది. కనుక y = – x + 2 కావలసిన సమీకరణం అవుతుంది. ఈ బిందువులు x + 2y = 6 ను తృప్తిపరుస్తాయోమో పరిశీలించుము.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 సాంఖ్యక శాస్త్రము Ex 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము Exercise 9.1

ప్రశ్న 1.
కింది పౌనఃపున్య విభాజనము నుండి రాశులు, వాని పౌనఃపున్యములు గల పట్టిక తయారుచేయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 2.
9వ తరగతిలోని 36 మంది యొక్క రక్తం గ్రూపులు ఈ విధంగా ఉన్నవి.

ఈ దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను తయారుచేయండి. అతి సామాన్యమైన గ్రూపు ఏది ? అరుదైన గ్రూపు ఏది ?
సాధన.

పట్టిక నుంచి ‘O’ సామాన్య గ్రూపు మరియు ‘AB’ అరుదైన గ్రూపు.

ప్రశ్న 3.
ఒక్కొక్కసాగికి మూడు నాణెముల చొప్పున 30 సార్లు ఎగురవేసి ఒక్కొక్కసారికి పడిన బొమ్మలను లెక్కించడం కింది విధంగా ఉంది.

దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక తయారుచేయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 4.
ఒక టి.వి. ఛానల్ వారు ధూమపాన నిషేధముపై SMS (సంక్షిప్త సందేశాలు) అభిప్రాయములను ఆహ్వానించిరి. ఇచ్చిన ఐచ్ఛికములు, A – పూర్తి నిషేధము, B – బహిరంగ ప్రదేశములలో నిషేధము, C – నిషేధము అవసరం లేదు. అని ఇవ్వగా SMS సమాధానములు ఇట్లున్నవి:

దత్తాంశమునకు వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము తయారుచేయండి. సరియైన SMS సమాధానములు ఎన్ని ? వానిలో అధిక సంఖ్యాకుల అభిప్రాయము ఏది ?
సాధన.

మొత్తం వచ్చిన సమాధానములు = 19 + 36 + 10 = 65
అధిక సంఖ్యాకుల అభిప్రాయము = B.

ప్రశ్న 5.
కింది కమ్మీ రేఖాచిత్రము నుండి పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను రాయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 6.
కింది పటంలో ఇవ్వబడిన సోపాన రేఖాచిత్రము నుండి పౌనఃపున్య విభాజనమును తయారుచేయండి. రేఖాచిత్రములో ఉపయోగించిన (అక్షములపై) స్కేలును తెల్పండి.

సాధన.
పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక :

స్కేలు : X – అక్షం : 1 సెం.మీ. = 1 తరగతి అంతరం
Y – అక్షం : 1 సెం.మీ. = 10 మంది విద్యార్థులు

ప్రశ్న 7.
75 మార్కులకు రాయబడిన పరీక్షలో 30 మంది విద్యార్థులు సాధించిన మార్కులు ఇవ్వబడ్డాయి.
42, 21, 50, 37, 42, 37, 38, 42, 49, 52, 38, 53, 57, 47, 29, 59, 61, 33, 17, 17, 39, 44, 42, 39, 14, 7, 27, 19, 54,51. ఈ దత్తాంశమునకు సమాన తరగతులతో (0-10, 10-20 ….) పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక తయారుచేయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 8.
ఒక వీధిలోని 25 ఇండ్ల యొక్క నెలవారి విద్యుత్ వినియోగపు బిల్లులు (రూపాయలలో) ఇవ్వబడ్డాయి. తరగతి పొడవు రూ. 75 ఉందునట్లుగా ఈ దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక తయారుచేయండి.
170, 212,252, 225, 310,712,412, 425, 322, 325, 192, 198, 230, 320,412,530, 602, 724, 370, 402, 317,403, 405, 372,413.
సాధన.
పరిశీలనాంశాలలో కనిష్ఠ విలువ = 170
పరిశీలనాంశాలలో గరిష్ఠ విలువ = 724

ప్రశ్న 9.
ఒక సంస్థవారు తయారుచేసిన కారు బ్యాటరీలలో 40 బ్యాటరీల జీవిత కాలం (సంవత్సరాలలో) కింది విధంగా నమోదు చేసారు.

పై దత్తాంశమునకు మినహాయింపు తరగతులలో పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక తయారుచేయండి. తరగతి అంతరం 0.5 గా తీసుకొని 2-2.5 తరగతితో ప్రారంభించండి.
సాధన.

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 6th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Exercise 6.4

ప్రశ్న 1.
ఈ కింది సమీకరణాలను
a) సంఖ్యారేఖపై సూచించండి మరియు
b) కార్టీజియన్ తలముపై సూచించండి. (గ్రాఫ్ గీయండి)
i) x = 3
ii) y + 3 = 0
iii) y = 4
iv) 2x – 9 = 0
v) 3x + 5 = 0
సాధన.
i) x = 3 రేఖ, Y- అక్షంకు సమాంతరంగా ‘3’ యూనిట్ల దూరంలో, మూలబిందువుకు కుడి వైపున ఉండును.
ii) y + 3 = 0
⇒ y = – 3 రేఖ, X- అక్షంకు సమాంతరంగా ‘3’ యూనిట్ల దూరంలో, మూలబిందువుకు ఎడమ వైపున ఉండును.
iii) y = 4 రేఖ, X- అక్షంకు సమాంతరంగా ‘4’ యూనిట్ల దూరములో, మూలబిందువుకు పైన ఉంటుంది.
iv) 2x – 9 = 0
⇒ x = \(\frac {9}{2}\) = 4.5 రేఖ, Y- అక్షంకు సమాంతరంగా 4.5 యూనిట్ల దూరములో, మూలబిందువుకు కుడి వైపున ఉండును.
v) 3x + 5 = 0
⇒ 3x = – 5
⇒ x = \(\frac {-5}{3}\) రేఖ, Y- అక్షంకు సమాంతరంగా \(\frac {5}{3}\) యూనిట్ల దూరములో మూలబిందువుకు ఎడమ వైపున ఉండును.

ప్రశ్న 2.
2x – 11 = 0 ను
i) ఏక చరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణంగా భావించి
ii) రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణంగా భావించి జ్యామితీయ రూపంలో వ్యక్తపరచండి. (గ్రాఫ్ గీయండి.)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 11 = 0

ప్రశ్న 3.
3x + 2 = 8x – 8ను సాధించి సాధనను
i) సంఖ్యారేఖపై
ii) కార్టిజియన్ తలముపై సూచించాలి.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 3x + 2 = 8x – 8
3x – 8x = – 8 – 2
– 5x = – 10
x = \(\frac {-10}{-5}\) = 2

ప్రశ్న 4.
కింది బిందువుల గుండా పోతూ X- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణాలను కనుగొనుము.
i) (0, – 3)
ii) (0, 4)
iii) (2, – 5)
iv) (3, 4)
సాధన.
i) ఇచ్చిన బిందువు (0, – 3)
X- అక్షంనకు సమాంతరంగా వుండు రేఖా సమీకరణం y = k
∴ కావలసిన రేఖా సమీకరణం y = – 3 (లేక) y + 3 = 0.

ii) ఇచ్చిన బిందువు (0, 4)
X- అక్షంనకు సమాంతరంగా వుండు రేఖా సమీకరణం y = k
∴ కావలసిన రేఖా సమీకరణం y = 4 (లేక) y – 4 = 0.

iii) ఇచ్చిన బిందువు (2, – 5)
X- అక్షంనకు సమాంతరంగా వుండు రేఖా సమీకరణం y = k
∴ కావలసిన రేఖా సమీకరణం y = – 5 (లేక) y + 5 = 0.

iv) ఇచ్చిన బిందువు (3, 4)
X- అక్షంనకు సమాంతరంగా వుండు రేఖా సమీకరణం y = k
∴ కావలసిన రేఖా సమీకరణం y = 4 (లేక) y – 4 = 0.

ప్రశ్న 5.
కింది బిందువుల గుండా పోతూ Y- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణాలను కనుగొనుము.
(i) (- 4, 0)
(ii) (2, 0)
(iii) (3, 5)
(iv) (- 4, – 3)
సాధన.
Y- అక్షంకు సమాంతరంగా వుండు రేఖా సమీకరణం x = k
∴ కావలసిన సమీకరణములు
i) (-4, 0) గుండా పోతే ఏర్పడు రేఖా సమీకరణం x = – 4 (లేదా) x + 4 = 0
i) (2, 0) గుండా పోతే ఏర్పడు రేఖా సమీకరణం x = 2 (లేదా) x – 2 = 0
iii) (3, 5) గుండా పోతే ఏర్పడు రేఖా సమీకరణం x = 3 (లేదా) x – 3 = 0
iv) (- 4, – 3) గుండా పోతే ఏర్పడు రేఖా సమీకరణం x = – 4 (లేదా) x + 4 = 0

ప్రశ్న 6.
ఏవైనా మూడు సరళరేఖల సమీకరణాలను రాయుము.
i) X- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే
సాధన.
y = 3
y = – 4
y = 6

ii) Y- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే
సాధన.
x = – 2
x = 3
x = 4

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు InText Questions

ప్రయత్నించండి

1. ‘l’ సెం.మీ. పొడవైన భుజం గల ఒక ఘనమును తీసుకోండి. ముందు కృత్యములో దీర్ఘమనమును కత్తిరించిన విధంగానే చేసి దాని యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యమును, సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం.216)
సాధన.

‘l’ సెం.మీ. భుజం గల ఒక ఘనమును కత్తిరించి, తెరచిన పైన పటంలో చూపిన విధంగా ఏర్పడును.
పటంలో A, B, C, D, E, F అను ‘l’ భుజంగా గల చతురస్రములు కలవు.
తలాలు A, C, D, F లు ఘనము యొక్క ప్రక్క తలాలను తెలియజేయుచున్నవి.
∴ ఘనపు ప్రక్కతల వైశాల్యము = 4l² చ.యూ.
మొత్తం ఆరు తలాలు కలిసి ఘనమును ఏర్పరచును.
∴ ఘనపు సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 6l² చ.యూ.

2. (a) ‘a’భుజముగా గల ఘనము యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం.217)

సాధన.
a భుజముగా గల ఘనము యొక్క ఘనపరిమాణము
V = భుజము³ = a³ ఘ. యూనిట్లు.

(b) అదే విధముగా ఒక ఘనము ఘనపరిమాణం 1000 ఘనపు సెంటీమీటర్లు అయితే దాని యొక్క భుజమును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం.217)
సాధన.
ఘనపరిమాణం = V = భుజము³
= 10 × 10 × 10 = 10³
∴ భూజము = 10 సెం.మీ.

3. స్థూపము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము మారకుండా దానియొక్క వ్యాసార్ధమును రెట్టింపు చేస్తే దాని ఎత్తులో కలిగే మార్పు ఎంత ? (పేజీ నెం. 225)
సాధన.
మొదటి స్థూపపు వ్యాసార్ధము మరియు ఎత్తులు వరుసగా r మరియు h అనుకొనుము.
ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2πrh
స్టూప వ్యాసార్థం రెట్టింపయిన, ప్రక్కతల వైశాల్యములో మార్పు లేకుండా ఉంటే దాని ఎత్తు h₁ అనుకొనుము.
కొత్త ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2πrh
= 2π (2r) (h₁)
⇒ 2πrh = 4πrh₁
∴ h₁ = \(\frac {2πrh}{4πr}\) = \(\frac {1}{2}\)h
∴ ఎత్తు, అసలు ఎత్తులో సగము ఉండును.

4. వాటర్ హీటరు యొక్క స్థూపాకార పైపు యొక్క పొడవు 14 మీటర్లు మరియు వ్యాసము 5 సెం.మీ. అయితే నీటిని వేడిచేసే ఈ హీటరు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం.225)
సాధన.
వ్యాసార్ధము (r) = వ్యాసము / 2 = \(\frac {5}{2}\) = 2.5 సెం.మీ.
పైపు పొడవు = ఎత్తు = 14 మీ.
హీటరు సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 2.5 × (2.5 + 14)
= \(\frac {110}{7}\) × 16.5 = \(\frac {1815}{7}\)
= 259.29 సెం.మీ.³

5. ‘r’ వ్యాసార్ధము, ‘l’ చాపము పొడవు గల సెక్టరును వృత్తాకార కాగితం నుండి కత్తిరించి శంఖువుగా తయారుచేయుము. శంఖువు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం A = πrl ను ఏ విధంగా ఉత్పాదిస్తావో చెప్పుము. (పేజీ నెం. 228)

సాధన.
వ్యాసార్థం ‘r’ మరియు చాపము పొడవు ‘l’ గా గల సెక్టరును వృత్తాకార కాగితం నుండి కత్తిరించి శంఖువుగా మార్చగా వ్యాసార్థం ‘r’, ఏటవాలు ఎత్తు ‘l’ గా మరియు చాపం పొడవు ‘l’ భూ చుట్టుకొలత 2πr గా మారును.
సెక్టరు వైశాల్యము = \(\frac {lr}{2}\) = శంఖువు వైశాల్యం

= \(\frac {2πrl}{2}\) = శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యము = πrl

6. గోళం ఉపరితల వైశాల్యాన్ని మీరు ఇంకేదైనా పద్ధతిలో కనుగొనగలరా ? (పేజీ నెం. 235)
సాధన.

గోళం ఉపరితల వైశాల్యానికి సూత్రంను కనుగొనుటకు గోళమును సర్వసమాన పిరమిడ్ యొక్క భూములన్నీ గోళ ఉపరితలాన్ని ఆక్రమిస్తున్నాయని ఊహించిన ఆ పటంపైన చూపబడినట్లుగా ఏర్పడును.
పై పటంలో అటువంటి ఒక పిరమిడను చూపటము జరిగినది. పిరమిడ్ యొక్క వైశాల్యంకు, ఘనపరిమాణంకు గల నిష్పత్తిని తీసుకొనగా,
పిరమిడ్ వైశాల్యం A.
పిరమిడ్ ఘనపరిమాణం V = (1/3) × A × r = (A × r) / 3
∴ పిరమిడ్ యొక్క వైశాల్యం, ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి A/V= A + (A × r) / 3 = (3 × A) / (A × r) = 3 / r
ఆ గోళమును n సర్వసమాన పిరమిడ్లుగా విభజించిన భూమిని అనుకొనుము.
n పిరమిడ్ యొక్క మొత్తం వైశాల్యం = n × A.
అదే విధంగా , పిరమిడ్ యొక్క మొత్తం ఘనపరిమాణము = n × V.
∴ గోళము యొక్క n పిరమిడ్ల యొక్క వైశాల్యాల మొత్తంకు, ఘనపరిమాణాల మొత్తంకు గల నిష్పత్తి = n × A / n × V = A / V
మనకు ముందుగానే A / V = 3 / r అనుకున్నాము
కావున, n × A_{పిరమిడ్} = A_గోళం
n × V_{పిరమిడ్} = V_గోళం (అన్ని పిరమిడ్ల వైశాల్యాలు (లేక) ఘనపరిమాణాలు, వరుసగా గోళము యొక్క ఉపరితల వైశాల్యంకు లేక ఘనపరిమాణంకు సమానము)
పై పరిశీలనల నుండి,

∴ గోళం యొక్క సంపూర్ణ ఉపరితల వైశాల్యం 4πr² అగును.

ఇవి చేయండి

1. 4 సెం.మీ. భుజముగా గల ఘనము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యమును, సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 216)

సాధన.
భుజము l = 4 సెం.మీ.
∴ ఘనము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = 4l²
= 4 × 4² = 4³ = 64 సెం.మీ².
∴ ఘనము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము
= 6l² = 6 × 4² = 6 × 16 = 96 సెం.మీ².

2. ఒక ఘనము యొక్క భుజమును 50% పెంచితే ఎంత శాతము దాని యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము పెరుగుతుంది ? (పేజీ నెం. 216)
సాధన.
ఘనపు భుజము = x యూనిట్లు అనుకొనుము.
ఘనము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 6l²
= 6x²చ, యూ.
కొత్త భుజము = x + xలో 50% = x + \(\frac {50x}{100}\) = x + \(\frac{x}{2}=\frac{3 x}{2}\)
కొత్త సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 6l²
= \(6\left(\frac{3 x}{2}\right)^{2}=6 \times \frac{9 x^{2}}{4}=\frac{27 x^{2}}{2}\)
వైశాల్యంలో పెరుగుదల = \(\frac{27 \mathrm{x}^{2}}{2}\) – 6x²
= \(\left(\frac{27-12}{2}\right) x^{2}=\frac{15}{2} x^{2}\)
∴ వైశాల్యంలో పెరుగుదల శాతము
= వైశాల్యంలో పెరుగుదల / అసలు వైశాల్యము × 100

ఇక్కడ x = పెరుగుదల / తగ్గుదల

3. ఒక దీర్ఘఘనం యొక్క పొడవు, వెడల్పు చురియు ఎత్తు విలువలు l = 12 సెం.మీ., b = 10 సెం.మీ. మరియు h= 8 సెం.మీ. అయిన ఆ దీర్ఘఘన ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 218)
సాధన.
దీర్ఘఘనపు పొడవు (l) = 12 సెం.మీ., వెడల్పు
(b) = 10 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు (b) = 8 సెం.మీ.
ఘనపరిమాణం V = lbh = 12 × 10 × 8
= 960 ఘ. సెం.మీ.

4. భుజం 10 సెం.మీ.గా గల సమఘనము యొక్క ఘనపరిమాణము కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 218)
సాధన.
ఘనపరిమాణము V = l³ = 10 × 10 × 10
= 1000 ఘ. సెం.మీ.

5. పటంలో చూపబడిన లంబకోణ సమద్విబాహం త్రిభుజాకార పట్టకము యొక్క ఘనపరిమాణము కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 218)

సాధన.
పట్టక ఘనపరిమాణము = పట్టక భూ వైశాల్యం × ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\) × 5 × 5 × 8
= 25 × 4
= 100 ఘ. సెం.మీ.

6. 10 సెం.మీ. భుజము కలిగిన చతురస్రాకార భూమి మరియు 8 సెం.మీ. ఎత్తు కలిగిన పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణము కనుక్కోంది. (పేజీ నెం. 219)
సాధన.
పిరమిడ్ ఘనపరిమాణము
= \(\frac {1}{3}\) × భూ వైశాల్యం × ఎత్తు
= \(\frac {1}{3}\) × 10 × 10 × 8 = \(\frac {800}{3}\) సెం.మీ.³
= 266.67 సెం.మీ³.

7. సమఘనము యొక్క ఘనపరిమాణము 1200 ఘనపు సెంటీమీటర్లు. సమఘనపు ఎత్తుతో సమాన ఎత్తు కలిగిన చతురస్రాకార పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 219)
సాధన.
చతుర రార పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణం
= \(\frac {1}{3}\) × సమఘన ఘనపరిమాణము
= \(\frac {1}{3}\) × 1200 = 400 ఘ. సెం.మీ.

8. క్రింది పటములో చూపబడిన స్థూపము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యంను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 221)

ప్రశ్న (i)
r = x సెం.మీ.; h = yసెం.మీ.
సాధన.
స్థూపపు ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh .
= 2πxy సెం.మీ.²

ప్రశ్న (ii)
d = 7 సెం.మీ.; h = 10 సెం.మీ.
సాధన.

స్థూపపు ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × \(\frac {7}{2}\) × 10
= 220 సెం.మీ.²

ప్రశ్న (iii)
r = 3 సెం.మీ.; b = 14 సెం.మీ.
సాధన.

స్థూపపు ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 3 × 14
= 264 సెం.మీ.²

9. ఈ కింది స్థూపముల యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 222)

సాధన.
(i) r = 7 సెం.మీ. ; h = 10 సెం.మీ.
స్థూపపు సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 (7 + 10)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 17
= 748 చ.సెం.మీ.

(ii) స్థూపం భూ వైశాల్యం = 250 చ.సెం.మీ. .
h = 7 సెం.మీ. ; πr² = 250 సెం.మీ.
πr² = 250 ⇒ \(\frac {22}{7}\) × r² = 250
⇒ r² = 125 × \(\frac {7}{11}\)
∴ r = \(\sqrt{\frac{875}{11}}\)
r = 8.9 సెం.మీ.
స్థూపపు సంపూర్ణతల వైశాల్యము =
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 8.9 (8.9 + 7)
= \(\frac{44 \times 8.9 \times 15.9}{7}=\frac{6226.44}{7}\)
= 889.50 (సుమారుగా)

10. ఒక లంబకోణ త్రిభుజాన్ని తీసుకోంది/ కత్తిరించండి. పటంలో చూపినట్లు దానికి ఒక సన్నని వెదురుషుల్లను లంబాకార భుజమును అతికించండి. కర్రయొక్క రెండు వైపులను పట్టుకొని చుట్టూ తిప్పండి. తిప్పేవేగము స్థిరముగా ఉండాలి. మీరు ఏమి గమనించారు? (పేజీ నెం. 229)
సాధన.

ఒక క్రమ వృత్తాకార శంఖువు ఏర్పడుటను గమనించితిని.

11. ఈ కింది క్రమ వృత్తాకార శంఖువు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం, సంపూర్ణతల వైశాల్యములను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 229)
సాధన.

OP = 2 సెం.మీ.; OB = 3.5 సెం.మీ.
OP = h = 2 సెం.మీ.
r = OB = 3.5 సెం.మీ.
ప్రక్కతల వైశాల్యము = πrl
కాని l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+3 \cdot 5^{2}}\)
= \(\sqrt{4+12.25}\)
= \(\sqrt{16.25}\) = 4.03
వక్రతల వైశాల్యము = \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 4.03
= 44.34 సెం.మీ².
సంపూర్ణతల వైశాల్యము = πr (r + l)
= \(\frac {22}{7}\) × 3.5(3.5 + 4.03)
= \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 7.53 = 82.83 సెం.మీ².

OP = 3.5 సెం.మీ.; AB = 10 సెం.మీ.
r = \(\frac {AB}{2}\) = 5 సెం.మీ. ; h = 3.5 సెం.మీ.
l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}=\sqrt{5^{2}+3.5^{2}}=\sqrt{25+12.25}\)
వ.త,వై. = πrl = \(\frac {22}{7}\) × 5 × 6.10
= 95.90 సెం.మీ².
స.త.వై = πr (r + 1)
= \(\frac {22}{7}\) × 5 × (5 + 6.10)
= 174.42 సెం.మీ².

12. ఒక క్రమ వృత్త స్థూపాకార వస్తువులో r వ్యాసార్ధముగా గల గోళం అమర్చబడినది. అయితే
(i) గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం
(ii) స్థూపము యొక్క వక్రతల వైశాల్యం
(iii) (i) మరియు (ii) వైశాల్యముల నిష్పత్తి కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 236)

సాధన.
(i) గోళం వ్యాసార్ధం = స్థూపం వ్యాసార్ధము = r
∴ గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr²
(ii) స్థూపం యొక్క వక్రతల వైశాల్యం = 2πr (2r) [∵ h = 2r] = 4πr²
(iii) (i) మరియు (ii) వైశాల్యా ల నిష్పత్తి = 4πr² : 4πr² = 1 : 1

13. ఈ కింది పటముల యొక్క ఉపరితల వైశాల్యములను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 236)

(i)

గోళం ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr²
గోళం వ్యాసార్ధం = 7 సెం.మీ.
గోళం ఉపరితల వై = 4 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 = 616 సెం.మీ².

(ii)

అడ్డగోళ ఉపరితల వైశాల్యము = 2πr² = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7
= 308 సెం.మీ²
స.త.వై = 3πr² = 3 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 = 462 సెం.మీ²

14. కింది పటంలో చూపబడిన గోళముల యొక్క ఘనపరిమాణములను కనుక్కోంది. (పేజీ నెం. 238)
సాధన.

r = 3 సెం.మీ.
V = \(\frac {22}{7}\)πr³ = \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 3 × 3 × 3
= 113.14 సెం.మీ³.

d = 5.4 సెం.మీ.
r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {5.4}{2}\) = 2.7 సెం.మీ.
V = \(\frac {4}{3}\)πr³ = \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 2.7 × 2.7 × 2.7 = 82.48 సెం.మీ³.

15. 6.3 సెం.మీ. వ్యాసార్థంగా గల గోళ ఘనపరిమాణమును కనుక్కోంది. (పేజీ నెం.238)
సాధన.
గోళ వ్యాసార్ధం r = 6.3 సెం.మీ.
గోళ ఘనపరిమాణము V= \(\frac {4}{3}\)πr³ = \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 6.3 × 6.3 × 6.3 = 1047.81 సెం.మీ³.

కృత్యం

1. భూమి, ఎత్తు సమానముగా గల ఘనము, చతురస్రాకార పిరమిడ్లను తీసుకొందాం. (పేజీ నెం. 218)

పిరమిడను ఒక ద్రవముతో నింపి ఆ ద్రవమును ఘనములో పూర్తిగా నింపండి. ఘనము నింపడానికి ఎన్నిసార్లు పిరమిడ్ నుపయోగించాలి ? పరిశీలిస్తే మూడుసార్లు అని తెలుస్తుంది.
దీనిని బట్టి, పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణం
= \(\frac {1}{3}\) × క్రమ పట్టకం ఘనపరిమాణం (ఒకే భూమి, ఒకే ఎత్తు)
= \(\frac {1}{3}\) × భూవైశాల్యం × ఎత్తు
సూచన : ఒక క్రమ పట్టకము, భూమికి లంబంగా ఉండేలా పక్క తలాలను కల్గి ఉంటుంది. మరియు ఆ పక్క తలాలన్నీ దీర్ఘచతురస్రాలే.

2. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార పలుచని అట్ట లేక కాగితమును తీసుకోండి. ఒక పొడవాటి దళసరి తీగను తీసుకొని పటములో చూపిన విధంగా అతికింపుము. తీగయొక్క రెండు చివరలను పట్టుకొని దీర్ఘచతురస్రాకార అట్టను వేగముగా త్రిప్పండి.

మీరు ఏమి గమనించారు ? కంటికి కనబడిన ఆకృతి ఎమిటి ? దానిని స్థూపముగా మీరు గుర్తించారా ? (పేజీ నెం. 220)

3. సెక్టరును శంఖువుగా మార్చే విధానం (పేజీ నెం. 227)
ఈ కింది సూచనలను పాటిస్తూ పటములో చూపిన విధముగా చేయండి.

(i) పటం (a) చూపిన విధంగా ఒక దళసరి కాగితముపై వృత్తమును గీయండి.
(ii) పటం (b) లో చూపినట్లు సెక్టరు AOB ను కత్తిరించండి.
(iii) పటం (c)లో చూపినట్లు A మరియు B చివరలను
ఒకదానితో ఒకటి తాకేటట్లు నెమ్మదిగా పటములో చూపిన విధముగా కలుషము. A, Bలు ఆధ్యారోహణము కాకూడదు. A, B లును అతికింపుము.
(iv) మీరు పొందిన ఆకృతి యొక్క లక్షణములు ఏమిటి? అది క్రమ వృత్తాకార శంఖువు అవుతుందా ?
‘OA’ మరియు ‘OB’ లను కలిపి శంఖువు తయారుచేసేటప్పుడు OA, OB మరియు చాపము AB ల యొక్క పొడవులలో గమనించిన మార్పులు ఏమిటి?

4. ఒక దళసరి కాగితంపై ఒక వృత్తమును గీయుము. దానిని కత్తిరింపుము. దాని వ్యాసము వెంబడి ఒక తీగను అతికింపుము. తీగ యొక్క రెండు చివరలు పట్టుకొని తిప్పుము. సమవేగముతో తిప్పితే మీరు ఏమి గమనించారు? (పేజీ నెం.235)

ఉదాహరణలు

1. 14 సెం.మీ. పొడవుగల దీర్ఘ చతురస్రాకార కాగితమునకు వెడల్పు వెంబడి రోల్ చేస్తే 20 సెం.మీ. వ్యాసార్థముగా గల స్థూపం ఏర్పడింది. అయిన స్థూపము (పటం 1) యొక్క ఘనపరిమాణము కనుక్కోండి. (π = \(\frac {22}{7}\) గా తీసుకొండి.) (పేజీ నెం. 222)
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రాకార కాగితమును వెడల్పు వెంబడి రోల్ చేయగా ఏర్పడిన స్థూపము యొక్క ఎత్తు, కాగితపు వెడల్పునకు సమానమవుతుంది. అయితే

స్థూపము యొక్క ఎత్తు h = 14 సెం.మీ.
మరియు వ్యాసార్థం (r) = 20 సెం.మీ.
స్థూపము ఘనపరిమాణము V = πr²h
= \(\frac {22}{7}\) × 20 × 20 × 14 = 17600 ఘనపు సెంటీమీటర్లు
స్థూపపు ఘనపరిమాణము = 17600 ఘ, సెం.మీ.

2. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకారపు కాగితము 11 సెం.మీ. × 4 సెం.మీ. కొలతలను కల్గియుంది. దానిని అంచులు ఆధ్యారోహణము చెందకుండా ఉండే విధముగా, 4 సెం.మీ. ఎత్తు కల్గిన స్థూపముగా మలిస్తే, స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 223)
సాధన.
కాగితము యొక్క పొడవు, స్థూపము యొక్క భూపరిధికి సమానముగా, వెడల్పు ఎత్తునకు సమానముగా ఉంటుంది.

స్థూపపు వ్యాసార్ధము r = మరియు ఎత్తు = h స్టూపపు భూపరిధి = 2πr = 11 సెం.మీ.
2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 11
r = \(\frac {7}{4}\)సెం.మీ.
h = 4 సెం.మీ.
స్టూపపు ఘనపరిమాణం (V) = 2π²h
= \(\frac {22}{7}\) × \(\frac {7}{4}\) × \(\frac {7}{4}\) × 4 = 38.5 ఘనపు సెంటీమీటర్లు.

3. దీర్ఘచతురస్రాకారములో దళసరి కాగితము 14 సెం.మీ. × 18 సెం.మీ. కొలతలు కల్గియుంది. దానిని పొడవు వెంబడి చుట్టూ స్థూపమును తయారుచేసాము. స్థూపమును ఘనముగా (పూర్తిగా నింపబడిన) భావిస్తే దాని యొక్క వ్యాసార్ధమును, సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 223)
సాధన.
స్టూపము యొక్క ఎత్తు = 18 సెం.మీ.
స్థూపము యొక్క భూపరిధి = 44 సెం.మీ.
2πr = 44 సెం.మీ.
r = \(\frac{44}{2 \times \pi}=\frac{44 \times 7}{2 \times 22}\) = 7 సెం.మీ.
సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2πr(r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7(7 + 18)
= 1100 చ.సెం.మీ.

4. 5 మి.మీ. మందము కల్గిన వృత్తాకార ప్లేటులను ఒకదానిపై మరొకటి పేర్చి స్థూపముగా ఏర్పరిస్తే, దాని యొక్క పక్కతల వైశాల్యము 462 చ.సెం.మీ. స్థూపమును ఏర్పరిచేందుకు కావలసిన వృత్తాకార ప్లేటుల సంఖ్య ఎంత ? ప్లేటు యొక్క వ్యాసార్థమును 2. 3.5 సెం.మీ.గా తీసుకోండి. (పేజీ నెం. 224)
సాధన.
వృత్తాకార ప్లేటు యొక్క మందం = 5 మి.మీ.
= \(\frac {5}{10}\) సెం.మీ. = 0.5 సెం.మీ.
ప్లేటు యొక్క వ్యాసార్ధము = 3.5 సెం.మీ.
స్థూపము యొక్క పక్కతల వైశాల్యము = 462 చ. సెం.మీ.
∴ 2πrh = 462 ………… (i)
స్థూపము ఏర్పాటుకు అవసరమయ్యే ప్లేటుల సంఖ్య x అనుకొనుము.
∴ స్థూపము యొక్క ఎత్తు = h = ప్లేటు యొక్క మందం × ప్లేటుల సంఖ్య = 0.5x
∴ 2πrh = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 0.5x ……. (ii)
(i) మరియు (ii) సమీకరణముల నుండి,
2 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 9.5x = 462
∴ x = \(\frac{462 \times 7}{2 \times 22 \times 3.5 \times 0.5}\) = 42 ప్లేట్లు.

5. ఒక గుల్ల లోహపు స్థూపము యొక్క బాహ్య వ్యాసార్ధము 8 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 10 సెం.మీ. మరియు సంపూర్ణతల వైశాల్యము . 338 π చ.సెం.మీ. గుల్ల లోహపు స్థూపము యొక్క మందమును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 224)
సాధన.

బాహ్య వ్యాసార్ధము = R = 8 సెం.మీ.
అంతర వ్యాసార్ధము = r
ఎత్తు = 10 సెం.మీ.
సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 338 π చ.సెం.మీ.
కాని సంపూర్ణతల వైశాల్యము = బయటి స్థూపము యొక్క పక్కతల వైశాల్యం (CSA) + లోపల యున్న స్థూపము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం (CSA) + 2 × భూ వైశాల్యము (కంకణము)
= 2πRh + 2πrh + 2π(R² – r²)
= 2π(Rh + rh + R² – r²)
∴ 2π(Rh + rh + R² – r²) = 338π
Rh + rh + R² – r² = 169
⇒ (10 × 8) + (r × 10) + 8² – r² = 100
⇒ r² – 10r + 25 = 0
⇒ (r – 5)² = 0
∴ r = 5
∴ లోహపు స్థూపము యొక్క మందం = R – r = (8 – 5) సెం.మీ. = 3 సెం.మీ.

6. ఒక మొక్కజొన్న కంకి శంఖువు ఆకారములో ఉంది. వెదల్పు ఎక్కువగాయున్న ప్రాంతపు వ్యాసార్థము 1.4 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు (పొడవు) 12 సెం.మీ. ప్రతి చ. సెం.మీ. ప్రాంతములో సుమారుగా 4 జొన్న గింజలుంటే మొత్తము ఎన్ని గింజలుంటాయి? (పేజీ నెం.230)
సాధన.

ఇక్కడ l = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)
= \(\sqrt{(1.4)^{2}+(12)^{2}}\) సెం.మీ.
= \(\sqrt{145.96}\) = 12.08 సెం.మీ. (సుమారుగా)
మొక్కజొన్న కంకి వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= \(\frac {22}{7}\) × 1.4 × 12.08 చ.సెం.మీ.
= 53.15 చ.సెం.మీ.
= 53.2 చ. సెం.మీ. (సుమారుగా)
మొక్కజొన్న కంకిలో 1 చ.సెం.మీ. వైశాల్యములో గల జొన్న గింజల సంఖ్య = 4
∴ మొక్క జొన్న కంకి ప్రక్కతల వైశాల్యములో గల మొత్తము జొన్న గింజల సంఖ్య = 53.2 × 4 = 212.8 = 213 (సుమారుగా),
అందుచే మొక్కజొన్న కంకి సుమారుగా 213 గింజలుంటాయి.

7. 5.6 సెం.మీ. భూవ్యాసార్ధము మరియు 158,4 చ.సెం.మీ. ప్రక్కతల వైశాల్యము గల శంఖువు యొక్క ఏటవాలు ఎత్తు మరియు శంఖువు ఎత్తులను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 231)
సాధన.
భూ వ్యాసార్ధము = 5.6 సెం.మీ.
ఎత్తు = h, ఏటవాలు ఎత్తు = l
వక్రతల వైశాల్యము = πrl = 158.4 చ.సెం.మీ.
⇒ \(\frac {22}{7}\) × 5.6 × l = 158.4
⇒ l = \(\frac{158.4 \times 7}{22 \times 5.6}=\frac{18}{2}\) = 9 సెం.మీ.
l² = r² + h² అని మనకు తెలుసు
h² = l² – r²= 9² – (5.6)²
= 81 – 31.36 = 49.64
h = \(\sqrt{49.64}\)
h = 7.05 సెం.మీ. (సుమారుగా)

8. ఒక గుడారం స్థూపముపై శంఖువు వలె ఉంది. శంఖువు యొక్క వ్యాసము స్థూపము భూవ్యాసము 24 మీటర్లకు సమానముగా యుంది. స్థూపము యొక్క ఎత్తు 11 మీ. మరియు శంఖువు యొక్క ఎత్తు 5 మీటర్లు, గుడారము తయారుచేయడానికి కావలసిన గుడ్డ చదరపు మీటరుకు ₹10 చొప్పున మొత్తము ఎంత ఖర్చవుతుంది ? (పేజీ నెం.231)
సాధన.
స్థూపపు భూవ్యాసము = శంఖువు వ్యాసం = 24 మీ.
∴ భూవ్యాసార్ధము = 12 మీ.
స్థూపము య్కొ ఎత్తు = 11 మీ. = h₁
శంఖము యొక్క ఎత్తు = 5 మీ. = h₂
శంఖము యొక్క ఏటవాటు ఎత్తు ‘l’ అనుకొందాం.
l = GD = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}\) = 13 మీ.

కావలసిన గుడ్డ వైశాల్యము = స్థూపము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం + శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యం
= 2πrh₁ + πrl
= πr (2h₁ + l)
= \(\frac {22}{7}\) × 12(2 × 11 + 13) చ.మీ.
= \(\frac{22 \times 12}{7}\) × 35 చ.మీ. = 22 × 60 చ.మీ. = 1320 చ.మీ.
గుడ్డ యొక్క వెల = ₹ 10 చదరపు మీటరుకు
∴ గుడ్డ యొక్క మొత్తం ఖరీదు = వెల × గుడ్డ యొక్క వైశాల్యం
= ₹10 × 1320 = ₹13,200

9. సైన్యము తన బేనొక్యాంప్ కొరకు శంఖువు ఆకారములో ఎత్తు 3 మీ. మరియు భూవ్యాసము 8 మీ.గా యున్న గుదారమును ఏర్పాటుచేసిన
(i) గుదారం తయారుచేయడానికి కావలసిన బట్ట యొక్క వెల చ.మీ.నకు ₹70 అయిన మొత్తము ఖర్చు ఎంత?
(ii) ప్రతి వ్యక్తికి 3.5 ఘనపు మీటర్ల గాలి కావలసి యుంటే గుడారములో కూర్చోగల వ్యక్తుల సంఖ్య ఎంత ? (పేజీ నెం. 232)
సాధన.

గుడారం యొక్క వ్యాసం = 8 మీ.
r = \(\frac{d}{2}=\frac{8}{2}\) = 4మీ.
ఎత్తు = 3 మీ.
ఏటవాలు ఎత్తు (l) = \(\sqrt{\mathrm{h}^{2}+\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{\mathrm{3}^{2}+\mathrm{4}^{2}}\) = \(\sqrt{25}\) = 5 మీ.
∴ గుడారం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం = πrl
= \(\frac {22}{7}\) × 4 × 5 = \(\frac {440}{7}\) చ.మీ.
శంఖువు ఘనపరిమాణం = \(\frac {1}{3}\)πr²h
= \(\frac {1}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 4 × 4 × 3
= \(\frac {352}{7}\) ఘనపు మీటర్లు
(i) గుదారం తయారీకి కావలసిన గుడ్డ ఖరీదు
= ప్రక్కతల వైశాల్యం × యూనిట్ల
= \(\frac {440}{7}\) × 70 = ₹4400

(ii) గుడారంలో కూర్చోగల వ్యక్తుల సంఖ్య = శంఖాకార గుడారం ఘనపరిమాణం / ప్రతి వ్యక్తికి కావల్సిన గాలి ఘనపరిమాణం
= \(\frac{352}{7} \div 3.5=\frac{352}{7} \times \frac{1}{3.5}\) – 14.36
= 14 మంది వ్యక్తులు (సుమారుగా)

10. గోళం ఉపరితల వైశాల్యం = 154 చ.సెం.మీ. అయిన దాని వ్యాసార్ధమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 238)
సాధన.
గోళం ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr²
4πr² = 154 ⇒ 4 × \(\frac {22}{7}\) × r² = 154
⇒ r² = \(\frac{154 \times 7}{4 \times 22}=\frac{7^{2}}{2^{2}}\)
⇒ r = \(\frac {7}{2}\) = 3.5 సెం.మీ.

11. ఒక అర్ధగోళాకారపు గిన్నె రాతితో తయారుచేయబడి 5 సెం.మీ. మందం కల్గియుంది. దాని లోపలి వ్యాసార్థం 35 సెం.మీ. అయిన గిన్నె యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యంను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 239)
సాధన.
వెలుపలి వ్యాసార్ధం R, లోపలి వ్యాసార్థం ‘r’.
మందం 5 సెం.మీ. అనుకొందాం.
∴ R = (r + 5) సెం.మీ. = (35 + 5) సెం.మీ.
= 40 సెం.మీ.

సంపూర్ణతల వైశాల్యం = బయటి ఉపరితల వైశాల్యం + లోపలి ఉపరితల వైశాల్యం + కంకణ వైశాల్యం
= 2πR² + 2πr² + π(R² – r²)
= π(2R² + 2r² + R² – r²)
= \(\frac {22}{7}\)(3R² + r²) = \(\frac {22}{7}\) (3 × 40² + 35²) చ.సెం.మీ.
= \(\frac{6025 \times 22}{7}\) చ.సెం.మీ.
= 18935.71 చ.సెం.మీ. (సుమారుగా)

12. అర్ధగోళాకారపు పై కప్పు కల్గిన ఒక భవనం (పటములో చూపిన విధంగా) నకు రంగు వేయాలి. పై కప్పు యొక్క భూపరిధి 17.6 మీ. ఆయిన 10 చ.సెం.మీ. వకు రంగు వేయుటకు 5 రూపాయలు చొప్పున భవనంనకు రంగువేయడానికి ఎంత ఖర్చు అవుతుంది? (పేజీ నెం. 299)
సాధన.

భవనంలోని వృత్తాకార ఉపరితల వైశాల్యంనకు మాత్రమే రంగు వేయాలి కనుక అర్ధగోళం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం కనుగొనాలి. పైకప్పు యొక్క భూపరిధి = 17.6 మీ.
∴ 17.6 = 2πr
అందుచే పై కప్పు యొక్క వ్యాసార్ధం = 17.6 × \(\frac{7}{2 \times 22}\) మీ. = 2.8 మీ.
పై కప్పు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πr²
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 2.8 × 28 చ.మీ.
= 49.28 చ.మీ.
100 చ.సెం.మీ. ప్రాంతమునకు రంగువేయడానికి అయ్యేఖర్చు = ₹ 5
∴ 1 చ.మీ. ప్రాంతమునకు రంగు వేయడానికి అయ్యే ఖర్చు = ₹500
∴ రంగు వేయడానికి అయ్యే మొత్తం ఖర్చు = 500 × 49.28 = ₹24640

13. ఒక సర్కస్ లో మోటార్ సైకిలిస్టు ఒక గుల్ల గోళాకార ఆకృతిలో విన్యాసములు చేయుచున్నాడు. గుల్ల గోళము యొక్క వ్యాసం 7 మీ, సైకిలిస్టు విన్యాసంలో తిరిగేందుకు అవకాశము ఉండే ప్రాంత వైశాల్యము ఎంత ? (పేజీ నెం. 240)
సాధన.
గోళం వ్యాసం = 7 మీ., వ్యాసార్ధం = 3.5 మీ.
అందుచే విన్యాసకుడు తిరగగలిగే ప్రాంత వైశాల్యం గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యంనకు సమానం.
4πr² = 4 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5 చ.మీ. = 154 చ.మీ.

14. షాటి ఫుటనకు ఉపయోగించే లోహపు గోళం యొక్క వ్యాసార్థం 4.9 సెం.మీ. లోహం యొక్క సాంద్రత 7.8 గ్రా. ఘనపు సెం.మీ. అయిన షాట్‌పుట్ యొక్క ద్రవ్యరాశి కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 240)
సాధన.
షాట్ పుట్ లోహపు గోళము కనుక దాని ద్రవ్యరాశి గోళము యొక్క ఘనపరిమాణం మరియు సాంద్రతల లబ్ధమునకు సమానము. అందుచే మనము గోళము యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుగొనాలి.
ఇప్పుడు గోళం ఘనపరిమాణం = \(\frac {4}{3}\)πr³
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 4.9 × 4.9 × 4.9 ఘ. సెం.మీ.
= 493 ఘ. సెం.మీ. (సమారుగా)
1 ఘనపు సెంటీ మీటరు లోహం యొక్క ద్రవ్యరాశి = 7.8 గ్రా.
అందుచే షాట్‌పుట్ యొక్క ద్రవ్యరాశి = 7.8 × 493 గ్రాములు = 3845.44 గ్రా. = 3.85 కి.గ్రా. (సుమారుగా)

15. ఒక అర్ధగోళాకారపు గిన్నె యొక్క వ్యాసార్ధం 3.5 సెం.మీ. దానిలో నింపగలిగే నీటి ఘనపరిమాణం ఎంత? (పేజీ నెం. 240)
సాధన.
గిన్నెలోని నీటి ఘనపరిమాణం = అర్ధగోళం ఘనపరిమాణం
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 3.5 ఘు. సెం.మీ.
= 89.8 ఘన సెం.మీ. (సమారుగా)

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 6th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Exercise 6.3

ప్రశ్న 1.
కింది వాని యొక్క రేఖా చిత్రాలను గీయుము.
i) 2y = -x + 1
ii) -x + y = 6
iii) 3x + 5y = 15
iv) \(\frac{x}{2}-\frac{y}{3}\) = 3
సాధన.
i) 2y = -x + 1
⇒ x + 2y = 1

ii) -x + y = 6

iii) 3x + 5y = 15

iv) \(\frac{x}{2}-\frac{y}{3}\) = 3
⇒ \(\frac{3 x-2 y}{6}\) = 3
⇒ 3x – 2y = 18

ప్రశ్న 2.
కింది వాని యొక్క రేఖాచిత్రాలను గీసి, ప్రశ్నలకు సమాధానమిమ్ము.
i) y = x
ii) y = 2x
iii) y = – 2x ,
iv) y = 3x
v) y = – 3x
సాధన.
i) y = x

ii) y = 2x

iii) y = – 2x

iv) y = 3x

v) y = – 3x

i) ఇవన్నీ y = mx (m ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య) రూపంలో ఉన్నాయా ?
సాధన.
అవును. ఇవన్నీ y = mx రూపంలో వున్నాయి.

ii) వీని రేఖాచిత్రాలన్నీ మూలబిందువు గుండా పోతున్నాయా ?
సాధన.
అవును. వీటి రేఖాచిత్రాలన్నీ మూలబిందువు గుండా పోతున్నాయి.

iii) ఈ రేఖాచిత్రాలు ఆధారంగా నీవేమి నిర్ధారించగలవు ?
సాధన.
y = mx రూపంలో ఉన్న రేఖలన్నీ మూలబిందువు గుండా పోతాయని నిర్ధారించవచ్చు.

ప్రశ్న 3.
2x + 3y = 11 యొక్క రేఖాచిత్రాన్ని గీయుము. దీని నుండి x = 1 అయిన y విలువ ఎంత ? కనుగొనుము.
సాధన.

గ్రాఫ్ నుండి, x = 1 అయిన y = 3.

ప్రశ్న 4.
y – x = 2 యొక్క రేఖాచిత్రాన్ని గీయుము. దీని నుంచి
i) x = 4 అయినప్పుడు y విలువను
ii) y = -3 అయినప్పుడు x విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము y – x = 2 లేదా – x + y = 2

గ్రాఫు నుండి
i) x = 4 అయితే y = 6
ii) y = – 3 అయిన x = – 5

ప్రశ్న 5.
2x + 3y = 12 యొక్క రేఖాచిత్రం గీయుము. దీని నుండి
(i) y – నిరూపకము 3 అయ్యే విధంగా
(ii) x – నిరూపకము – 3 అయ్యే విధంగా సాధనలను కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 2x + 3y = 12

i) గ్రాఫు నుండి, y = 3 అయినపుడు x = \(\frac {3}{2}\); సాధన (\(\frac {3}{2}\), 3)
ii) గ్రాఫు నుండి, x = – 3 అయినపుడు y = 6; సాధన (-3, 6)

ప్రశ్న 6.
కింది సమీకరణాల రేఖాచిత్రాలను గీయండి. ఇది నిరూపక అక్షాలను ఖండించే బిందువులను కనుగొనండి.
i) 6x – 3y = 12
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 6x – 3y = 12

గ్రాఫు నుండి ఇచ్చిన రేఖ X – అక్షంను (2, 0) వద్ద మరియు Y – అక్షంను (0, – 4) వద్ద ఖండించును.

ii) -x+ 4y = 8
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం – x + 4y = 8

గ్రాఫు నుండి ఇచ్చిన రేఖ X – అక్షంను (-8, 0) వద్ద మరియు Y – అక్షంను (0, 2) వద్ద ఖండించును.

iii) 3x + 2y + 6 = 0
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 3x + 2y + 6 = 0

గ్రాఫు నుండి ఇచ్చిన రేఖ X – అక్షంను (-2, 0) వద్ద మరియు Y – అక్షంను (0, – 3) వద్ద ఖండించును.

ప్రశ్న 7.
రజియా మరియు ప్రీతి ఒక పాఠశాలలో 9వ తరగతి చదువుచున్నారు. వీరు సహజ విపత్తులు సంభవించినప్పుడు బాధితులకు సహాయం చేయుట కొరకు ఏర్పాటు చేసిన ప్రధానమంత్రి సహాయనిధికి ₹ 1000 ఇచ్చారు. ఈ సమాచారమునకు సరిపడు సమీకరణమును రూపొందించి దానికి రేఖాచిత్రమును గీయుము.
సాధన.
రజియా P.M.R.F కు ఇచ్చిన విరాళము = ₹ x అనుకొనుము.
ప్రీతి P.M.R.F కు ఇచ్చిన విరాళము = ₹ y అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారము x + y = 1000

ప్రశ్న 8.
గోపయ్య తన మొత్తం 5000 చ.మీ. వైశాల్యం కలిగిన రెండు వేరువేరు పొలాలలో వరిని, గోధుమలను పండించాడు. దీనికి సరిపడు సమీకరణంను రూపొందించి దానికి రేఖాచిత్రమును గీయుము.
సాధన.
గోపయ్య వరిని పండించిన పొలం వైశాల్యం = x చ.మీ.
మరియు గోధుమను పండించిన పొలం వైశాల్యం = y చ.మీ. అనుకొనుము.
∴ లెక్క ప్రకారము x + y = 5000

ప్రశ్న 9.
6 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి గల వస్తువుపై బలాన్ని ప్రయోగించినప్పుడు అది పొందిన త్వరణము, ప్రయోగించిన బలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. ఈ పరిశీలనకు సరిపడు సమీకరణమును రాసి, దానికి రేఖాచిత్రమును గీయుము.
సాధన.
వస్తువు ద్రవ్యరాశి = m = 6 kg; ప్రయోగించబడిన బలం = F, త్వరణము = a అయిన
లెక్క ప్రకారము, వస్తువుపై ప్రయోగించిన బలం, త్వరణానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
∴ f ∝ a ⇒ f = m · a ⇒ f = 6a

ప్రశ్న 10.
ఒక పర్వతము మీద నుంచి ఒక రాయి కింద పడుతూ ఉంది. దాని యొక్క వేగము v = 9.8t. (t = కాలము) దీనికి అనుగుణమైన రేఖాచిత్రమును గీచి, దాని నుండి ‘4’ సెకండ్ల సమయంలో దాని వేగమెంతో కనుగొనుము.
సాధన.
రాయి యొక్క వేగము v, రాయి ప్రయాణించిన కాలము = t
రాయి వేగము, కాలములకు మధ్యగల సంబంధము = v = 9.8t

4 సెకండ్ల సమయములో రాయి వేగము = v = 9.8 × 4 = 39.2 మీ/సె².

ప్రశ్న 11.
ఒక ఎలక్షన్లో 60% ఓటర్లు తమ ఓటు హక్కును వినియోగించుకొనినారు. దీనికి సరిపడు రేఖాచిత్రము గీచి, దాని నుంచి కింది వానిని కనుగొనుము.
i) 1200 ఓటర్లు మాత్రమే తమ ఓటు హక్కును వినియోగించుకొన్న మొత్తం ఓటర్లు ఎంత మంది ?
ii) మొత్తం ఓటర్ల సంఖ్య 800 అయిన ఓటు హక్కును వినియోగించుకున్నవారెందరు?
[సూచన : ఓటు హక్కు వినియోగించుకున్న వారి సంఖ్య ‘x’ మరియు మొత్తం ఓటర్ల సంఖ్య ‘y’ అనుకొనిన x = 60% y]
సాధన.
మొత్తం ఓటర్ల సంఖ్య = y అనుకొనుము.
ఓటు హక్కును వినియోగించుకున్న ఓటర్ల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారం, x = yలో 60%

i) గ్రాఫ్ నుంచి x = 1200 అయిన మొత్తం ఓటర్ల సంఖ్య y = 2000.
ii) గ్రాఫ్ నుంచి y = 800 అయిన మొత్తం ఓటర్ల సంఖ్య x = 480.

ప్రశ్న 12.
రూప పుట్టినప్పుడు ఆమె తండ్రి వయస్సు 25 సం॥లు. ఈ దత్తాంశమునకు సరిపోవు సమీకరణమును రాసి దాని రేఖాచిత్రము గీసి దాని నుంచి ఈ కింది వానిని కనుగొనుము.
i) రూపకు 25 సం॥ల వయస్సు ఉన్నప్పుడు ఆమె తండ్రి వయస్సు.
ii) రూప తండ్రికి 40 సం॥ల వయస్సు ఉన్నప్పుడు రూప వయస్సు.
సాధన.
రూప తండ్రి వయస్సు = x సం॥ అనుకొనుము.
రూప వయస్సు = 9 సం॥లు
లెక్క ప్రకారం , x – y = 25 సం॥లు

గ్రాఫ్ నుండి,
i) రూపకు 25 సం॥లు ఉన్నప్పుడు ఆమె తండ్రి వయస్సు 50 సం॥లు.
ii) రూప తండ్రికి 40 సం॥లు ఉన్నప్పుడు ఆమె వయస్సు 15 సం॥లు.

ప్రశ్న 13.
ఒక ఆటో మొదటి గంట ప్రయాణానికి ₹ 15, తరువాత ప్రతీ గంట ప్రయాణానికి ₹ 8లు వసూలు చేయును. x కి.మీ. దూరానికి చెల్లించిన మొత్తం సొమ్ము ‘y’ అనుకొని ఈ సమాచారమునకు సరిపడు సమీకరణమును రాసి దానికి రేఖాచిత్రము గీయుము. రేఖాచిత్రము నుంచి చెల్లించిన మొత్తము ₹ 55 అయితే ప్రయోగించిన దూరమును మరియు 7 గంటలు ప్రయాణిస్తే చెల్లించవలసిన మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి గంట ప్రయాణానికి అగు ఛార్జీ = ₹ 15
మొదటి గంట తర్వాత ప్రతీ గంటకు అగు ఛార్జీ = ₹ 8
x కి.మీ. దూరముకు చెల్లించిన సొమ్ము = ₹ y
లెక్క ప్రకారం y = 15 + 8x
∴ 8x – y + 15 = 0

i) y = 55 అయితే x = 5 అగును.
ii) x = 7 అయిన y = 71 అగును.

ప్రశ్న 14.
పుస్తకాలను అద్దెకిచ్చే ఒక లైబ్రరీ మొదటి మూడు రోజులకు ఒక స్థిర మొత్తాన్ని ఆ తరువాత ప్రతి రోజుకు కొంత అదనపు మొత్తాన్ని వసూలు చేస్తుంది. జాన్ ఒక పుస్తకాన్ని 7 రోజులు ఉంచుకొని ₹ 27 లు చెల్లించాడు. మొదటి మూడు రోజుల స్థిర మొత్తాన్ని ₹ x మరియు ఆ తరువాత ప్రతీ రోజుకూ అదనంగా చెల్లించే మొత్తాన్ని ₹ y అనుకొని చెల్లించే స్థిరమొత్తము ₹ 7అయిన ప్రతీరోజూ అదనంగా చెల్లించే మొత్తాన్ని మరియు ప్రతీరోజూ అదనంగా చెల్లించే మొత్తము ₹ 4 అయిన మొదటి మూడు రోజులకు చెల్లించవలసిన స్థిరమొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
జాన్ ఒక పుస్తకాన్ని 7 రోజులు ఉంచుకొని చెల్లించిన మొత్తం సొమ్ము ₹ 27
మొదటి మూడు రోజులకు అగు మొత్తము = ₹ x (స్థిరము)
చివరి నాలుగు రోజులకు అగు మొత్తము = ₹ 4y (అదనంగా ప్రతీరోజూ అగు ఖర్చు ₹ y)
లెక్క ప్రకారం x + 4y = 27

x = 7 అయినపుడు y = 5.
y = 4 అయినపుడు x = 11.

ప్రశ్న 15.
హైదరాబాద్ రైల్వేస్టేషన్లో ఒక కారును నిలిపి ఉంచినందుకు మొదటి రెండు గంటలకు ₹ 50 ఆ తరువాత ప్రతి గంటకు ₹ 10 లు చెల్లించవలెను. ఈ సమాచారమునకు సరిపడు సమీకరణమును రాసి, రేఖాచిత్రమును గీయుము. దాని నుంచి కింది వానిని కనుగొనుము.
i) 3 గం॥లు కారును ఉంచిన చెల్లించిన మొత్తము
ii) 6 గం॥లు కారును ఉంచిన చెల్లించిన మొత్తము
iii) రేఖ చెల్లించిన మొత్తము ₹ 80 అయిన ఆమె ఎన్ని గంటలు కారును నిలిపి ఉంచింది ?
సాధన.
చెల్లించిన మొత్తము సొమ్ము = ₹ y
మొదటి రెండు గంటలకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము = ₹ 50.
ఒక గంటకు ₹ 10 ల చొప్పున x గంటలకు చెల్లించవలసిన మొత్తం సొమ్ము y = 50 + (x – 2) 10
⇒ y = 50 + 10 x – 20 ⇒ y = 10x + 30
∴ లెక్క ప్రకారం y = 10x + 30

i) మూడు గంటలకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము = 50 + 10 × 1 = ₹ 60
ii) ఆరు గంటలకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము = 50 + 10 × 4 = 50 + 40 = ₹ 90
iii) రేఖ తన కారును 5 గంటలు ఉంచినది.

ప్రశ్న 16.
సమీరా కారును 60 కి.మీ./గంట స్థిర వేగముతో నడుపుతుంది. దూరము – కాలము రేఖాచిత్రము గీసి, దాని నుంచి ఈ కింది సమయాలలో సమీరా ప్రయాణించిన దూరమును కనుగొనుము.
i) 1\(\frac {1}{2}\) గంట
ii) 2 గంటలు
iii) 3\(\frac {1}{2}\) గంటలు
సాధన.
కారు వేగము = 60 కి.మీ./గం.
ప్రయాణానికి తీసుకున్న సమయము = x గంటలు
ప్రయాణించిన దూరము = y గంటలు
లెక్క ప్రకారం, 60x = y ⇒ 60x – y = 0

i) 1\(\frac {1}{2}\) గంటలలో కారు ప్రయాణించిన దూరము = 90 కి.మీ.
ii) 2 గంటలలో కారు ప్రయాణించిన దూరము = 120 కి.మీ.
iii) 3\(\frac {1}{2}\) గంటలలో కారు ప్రయాణించిన దూరము = 210 కి.మీ.

ప్రశ్న 17.
నీటిలో హైడ్రోజన్ మరియు ఆక్సిజన్ అణుభారాల నిష్పత్తి 1 : 8. అయిన ఈ సమాచారాన్ని తెలియజేయు సమీకరణమును రూపొందించి దానికి రేఖాచిత్రం గీసి, దీని నుండి ఆక్సిజన్ పరిమాణము 12గ్రా॥ అయిన హైడ్రోజన్ పరిమాణమును, హైడ్రోజన్ పరిమాణము, \(\frac {3}{2}\)గ్రా॥ అయినప్పుడు ఆక్సిజన్ పరిమాణమును కనుగొనుము.
(సూచన : హైడ్రోజన్ మరియు ఆక్సిజన్ పరిమాణాలను వరుసగా ‘x’, ‘y’ అనుకొనిన x : y = 1 : 8 ⇒ 8x = y)
సాధన.
నీటిలో హైడ్రోజన్ పరిమాణము = x గ్రా. అనుకొనుము.
ఆక్సిజన్ పరిమాణము = y గ్రా. అనుకొనుము.
నీటిలో హైడ్రోజన్, ఆక్సిజన్ నిష్పత్తి = 1 : 8
లెక్క ప్రకారం, 8x = y ⇒ 8x – y = 0

గ్రాఫ్ నుండి, నీటిలో ఆక్సిజన్ పరిమాణము 12 గ్రా. అయిన హైడ్రోజన్ పరిమాణము = \(\frac {3}{2}\) గ్రా.
నీటిలో హైడ్రోజన్ పరిమాణము \(\frac {3}{2}\) గ్రా. అయిన ఆక్సిజన్ పరిమాణము = 12 గ్రా.లు

ప్రశ్న 18.
28 లీటర్ల పాలు, నీళ్ల మిశ్రమములో వాని నిష్పత్తి 5 : 2 అయిన మిశ్రమమునకు, పాలకు మధ్యగల సంబంధంను తెలియజేయు సమీకరణమును రూపొందించి దానికి రేఖాచిత్రము గీయుము. దాని నుంచి పై మిశ్రమములో పాల పరిమాణమును కనుగొనుము.
(సూచన : మిశ్రమమునకు, పాలకు మధ్యగల నిష్పత్తి = 5 + 2 : 5 = 7 : 5)
సాధన.
మిశ్రమములో గల పాల పరిమాణం = x లి॥ అనుకొనుము.
మిశ్రమము యొక్క పరిమాణము = y లీ॥ అనుకొనుము.
మిశ్రమములో పాలు మరియు నీళ్ల నిష్పత్తి = 5 : 2
నిష్పత్తిలోని పదాల మొత్తము = 5 + 2 = 7
∴ పాల పరిమాణము ‘x’ = \(\frac {5}{7}\)y లీ.
⇒ 7x = 5y ⇒ 7x – 5y = 0

గ్రాఫ్ నుండి, మిశ్రమములోని పాల పరిమాణము = 20 లీటర్లు.

ప్రశ్న 19.
అమెరికా, కెనడా దేశాలలో ఉష్ణోగ్రతను ఫారన్ హీట్ మానంలో కొలుస్తారు. అయితే ఇండియా లాంటి దేశాలలో సెల్సియస్ మానంలో కొలుస్తారు. ఫారన్ హీట మానానికి, సెల్సియస్మనానికి మధ్య గల సంబంధం కింది సమీకరణం తెలియజేస్తుంది.
F= (\(\frac {9}{5}\))C + 32
i) సెల్సియస్ డిగ్రీలను X – అక్షం మీద, ఫారన్ హీట్ డిగ్రీలను Y – అక్షం మీద తీసుకొని పై సమీకరణానికి రేఖాచిత్రము గీయుము.
ii) 30°C కి సమానమైన ఫారన్ హీట్ మానంలోని ఉష్ణోగ్రతలను కనుగొనుము.
iii) 95°F కు సమానమైన సెల్సియసమానంలోని ఉష్ణోగ్రతను కనుగొనుము.
iv) సెల్సియసమానములోనూ, ఫారన్ హీట్ మానంలోనూ ఒకే సంఖ్యా విలువలు కలిగి ఉండే ఉష్ణోగ్రత ఏమైనా ఉందా ? దాని విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
i) ఫారన్ హీట్ మానానికి, సెల్సియస్మనానికి మధ్యగల సంబంధము F = \(\frac {9}{5}\)C + 32

C = 20 అయిన F = \(\frac {9}{5}\) × 20 + 32 = 68
C = 30 అయిన F = \(\frac {9}{5}\) × 30 + 32 = 86
C = 35 అయిన F = \(\frac {9}{5}\) × 35 + 32 = 95

గ్రాఫు నుండి,
ii) 30° C = 86° F
iii) 95° F = 35° C
iv) C = – 40 అయిన F = – 40

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 6th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Exercise 6.2

ప్రశ్న 1.
కింది వానిలో ప్రతీ సమీకరణానికి మూడు వేరువేరు సాధనలను కనుగొనుము.
i) 3x + 4y = 7
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 3x + 4y = 7

ii) y = 6x
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము y = 6x ⇒ 6x – y = 0

iii) 2x – y = 7
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – y = 7

iv) 13x – 12y = 25
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 13x – 12y = 25

v) 10x + 11y = 21
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 10x + 11y = 21

vi) x + y = 0
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము x + y = 0

ప్రశ్న 2.
కింది సమీకరణాలకు (0, a) మరియు (b, 0) రూపంలోని సాధనలను కనుగొనండి.
i) 8x – y = 34
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 8x – y = 34.
x = 0 అయిన 8x – y = 34 ⇒ 8(0) – y = 34 ⇒ y = – 34
y = 0 అయిన 8x – y = 34 ⇒ 8x – 0 = 34 ⇒ 8x = 34 ⇒ x = \(\frac {17}{4}\)
∴ (0, a) మరియు (b, 0) రూపంలోని సాధనలు : (0, – 34), (\(\frac {17}{4}\), 0)

ii) 3x = 7y – 21
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 3x = 7y – 21.
x = 0 అయిన 3x = 7y – 21 ⇒ 3(0) = 7y – 21 ⇒ 7y = 21 ⇒ y = 3
y = 0 అయిన 3x = 7y – 21 ⇒ 3x = 7(0) – 21 ⇒ 3x = 21 ⇒ x = 7
∴ (0, a) మరియు (b, 0) రూపంలోని సాధనలు : (0, 3), (7, 0)

iii) 5x – 2y + 3 = 0
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 5x – 2y + 3 = 0.
x = 0 అయిన 5x – 2y + 3 = 0 ⇒ 5(0) – 2y + 3 = 0 ⇒ 2y = 3 ⇒ y = \(\frac {3}{2}\)
y = 0 అయిన 5x – 2y + 3 = 0 ⇒ 5x – 2(0) + 3 = 0 ⇒ 5x = – 3 ⇒ x = –\(\frac {3}{5}\)
∴ (0, a) మరియు (b, 0) రూపంలో గల సాధనలు (0, \(\frac {3}{2}\)), (\(\frac {-3}{5}\), 0)

ప్రశ్న 3.
కింది వానిలో ఏవి 2x – 5y = 10 సమీకరణానికి సాధనలు అవుతాయి ?
(i) (0, 2) (ii) (0, – 2) – (iii) (5, 0) (iv) (2\(\sqrt{3}\), – \(\sqrt{3}\)) (v) (\(\frac {1}{2}\), 2)
సాధన.
i) ఇచ్చిన బిందువు (0, 2); ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 5y = 10.
(0, 2) ను సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
2(0) – 5(2) = 10
-10 = 10
∴ L.H.S ≠ R.H.S
∴ (0, 2), 2x – 5y = 10 కు సాధన కాదు.

ii) ఇచ్చిన బిందువు (0, – 2); ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 5y = 10.
(0, – 2) ను సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
2(0) – 5 (-2) = 10
10 = 10
∴ L.H.S = R.H.S
∴ (0, – 2), 2x – 5y = 10 కు సాధన అవుతుంది.

iii) ఇచ్చిన బిందువు (5, 0); ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 5y = 10.
(5, 0) ను 2x – 5y = 10 నందు ప్రతిక్షేపించగా
2(5) – 5(0) = 10
10 = 10
∴ L.H.S = R.H.S
∴ (5, 0), 2x – 5y = 10 కు సాధన అవుతుంది.

iv) ఇచ్చిన బిందువు (2\(\sqrt{3}\), –\(\sqrt{3}\)); ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 5y = 10.
(2\(\sqrt{3}\), –\(\sqrt{3}\))ను 2x – 5y = 10 నందు ప్రతిక్షేపించగా
2(2\(\sqrt{3}\)) – 5(-\(\sqrt{3}\)) = 10 ⇒ 4\(\sqrt{3}\) + 5\(\sqrt{3}\) = 10 = 9\(\sqrt{3}\) ≠ 10
∴ L.H.S ≠ R.H.S
∴ (2\(\sqrt{3}\), – \(\sqrt{3}\)), 2x – 5y = 10 కు సాధన కాదు.

v) ఇచ్చిన బిందువు (1, 2)
ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 5y = 10.
(\(\frac {1}{2}\), 2) ను 2x – 5y = 10 నందు ప్రతిక్షేపించగా
2(\(\frac {1}{2}\)) – 5(2) = 10
1 – 10 = 10
– 9 = 10 (అసత్యము)
∴ (\(\frac {1}{2}\), 2), 2x – 5y = 10 కు సాధన కాదు.

ప్రశ్న 4.
2x + 3y = k సమీకరణానికి x = 2, y = 1 సాధన అయిన k విలువను కనుగొనుము. ఫలిత సమీకరణమునకు మరి రెండు సాధనలను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 2x + 3y = k కు ఇచ్చిన సాధన x = 2, y = 1.
కావున 2(2) + 3(1) = k ⇒ 4 + 3 = k ⇒ k = 7
∴ ఇచ్చిన సమీకరణము 2x + 3y = 7 గా మారినది.

∴ ఫలిత సమీకరణమునకు ఇంకనూ రెండు సాధనలు (0, \(\frac {7}{3}\)) మరియు (1, \(\frac {5}{3}\))

ప్రశ్న 5.
3x – 2y + 6 = 0 కు x = 2 – α మరియు y = 2 + α సాధన అయిన ‘α’ విలువను కనుగొనుము. ఫలిత సమీకరణంనకు 3 సాధనలను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 3x – 2y + 6 = 0, ఇచ్చిన సాధన x = 2 – α మరియు y = 2 + α
∴ 3 (2 – α) – 2 (2 + α) + 6 = 0
⇒ 6 – 3α – 4 – 2α + 6 = 0
⇒ 8 – 5α = 0 ⇒ – 5α = -8
∴ α = \(\frac {8}{5}\)
మరొక మూడు సాధనలు

ప్రశ్న 6.
3x + ay = 6కు x = 1, y = 1 సాధన అయితే ‘a’ విలువ ఎంత ?
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 3x + ay = 6, ఇచ్చిన సాధన x = 1, y = 1
= 3(1) + a(1) = 6 ⇒ 3 + a = 6 ⇒ a = 6 – 3 = 3

ప్రశ్న 7.
రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలను ఏవైనా ఐదింటిని రాయండి. ప్రతి సమీకరణానికి 3 వేరువేరు సాధనలను కనుగొనండి.
సాధన.
i) 2x – 4y = 10

ii) 5x + 6y = 15

iii) 3x – 4y = 12

iv) 2x – 7y = 9

v) 7x – 5y = 3

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Ex 10.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Exercise 10.4

ప్రశ్న 1.
ఒక గోళపు వ్యాసార్థం 2.5 సెం.మీ. అయిన దాని ఉపరితల వైశాల్యం, ఘనపరిమాణం ఎంత ?
సాధన.
గోళపు వ్యాసార్ధము, r = 3.5 సెం.మీ.
ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr² = 4 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5
= 4 × 22 × 0.5 × 3.5 = 154 సెం.మీ².
ఘనపరిమాణము = \(\frac {4}{3}\)πr³
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 3.5
= \(\frac{4 \times 22 \times 0.5 \times 12.25}{3}\)
= 179.666 సెం.మీ.³
= 179.7 సెం.మీ.³

ప్రశ్న 2.
ఒక గోళం ఉపరితల వైశాల్యం 1018\(\frac {2}{7}\) చ.సెం.మీ. అయిన దాని ఘనపరిమాణం ఎంత ?
సాధన.
గోళపు ఉపరితల వైశాల్యము = 4πr²
= 1018\(\frac {2}{7}\) సెం.మీ².
4πr² = \(\frac {7128}{7}\)
r² = \(\frac{7128 \times 7}{7 \times 4 \times 22}\)
r² = 81
r = \(\sqrt{81}\) = 9 సెం.మీ.
∴ గోళపు ఘనపరిమాణము = \(\frac {4}{3}\)πr³
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 9 × 9 × 9
= \(\frac {21384}{7}\) = 3054.857 సెం.మీ.³
= 3054.86 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 3.
గ్లోబులో భూమధ్యరేఖ పొడవు 44 సెం.మీ. అయిన దాని ఉపరితల వైశాల్యం ఎంత?
సాధన.
గ్లోబు యొక్క భూమధ్యరేఖ పొడవు
2πr = 44 సెం.మీ.
2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 44
∴ r = \(\frac{44 \times 7}{2 \times 22}\) = 7 సెం.మీ.
∴ ఉపరితల వైశాల్యము = 4πr²
= 4 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7
= 4 × 22 × 7 = 616 సెం.మీ².

ప్రశ్న 4.
ఒక గోళాకారపు బంతి యొక్క వ్యాసం 21 సెం.మీ. .. ఇటువంటి 5 బంతులను తయారుచేయడానికి కావలసిన పదార్ద పరిమాణం ఎంత?
సాధన.
గోళాకార బంతి యొక్క వ్యాసము ‘d’ = 21 సెం.మీ,
వ్యాసార్ధము ‘r’ = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {21}{2}\) = 10.5 సెం.మీ.
ఒక బంతి యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము = 4πr²
= 4 × \(\frac {22}{7}\) × 10.5 × 10.5
= 88 × 1.5 × 10.5 = 1386 సెం.మీ².
∴ అటువంటి 5 బంతులకు అవసరమైన పదార్థ పరిమాణము = 5 × 1386 = 6930 సెం.మీ².

ప్రశ్న 5.
రెండు గోళముల వ్యాసార్ధముల నిష్పత్తి 2 : 3. అయిన వాటి ఉపరితల వైశాల్యాలు మరియు ఘన పరిమాణముల నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
సాధన.
వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి = r₁ : r₂ = 2 : 3
ఉపరితల వైశాల్యాల నిష్పత్తి
= \(4 \pi r_{1}^{2}: 4 \pi r_{2}^{2}=r_{1}^{2}: r_{2}^{2}\)
= 2² : 3² = 4 : 9
ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి = \(\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}: \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}=r_{1}^{3}: r_{2}^{3}\)
= 2³ : 3³ = 8 : 27

ప్రశ్న 6.
10 సెం.మీ. వ్యాసార్ధముగా గల అర్ధగోళం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యంను కనుగొనుము. (π = 3.14 గా తీసుకొనుము)
సాధన.
అర్ధగోళపు వ్యాసార్ధము = 10 సెం.మీ.
అర్ధగోళ సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 3πr²
= 3 × 3.14 × 10 × 10 = 9.42 × 100
= 942 సెం.మీ².

ప్రశ్న 7.
ఒక గోళాకార బెలూన్ యొక్క వ్యాసం 14 సెం.మీ. నుండి 28 సెం.మీ. వరకు పెరిగే విధంగా గాలి నింపబడింది. ఈ రెండు సందర్భములలో గల ఉపరితల వైశాల్యముల నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
సాధన.
బెలూన్ యొక్క వ్యాసం, d = 14 సెం.మీ.
బెలూన్ వ్యాసార్థం, r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {14}{2}\) = 7 సెం.మీ.
∴ ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr² = 4 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7
= 88 × 7 = 616 సెం.మీ.²
గాలిని నింపినపుడు బెలూన్ వ్యాసము = 28 సెం.మీ.,
వ్యాసార్ధము = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {28}{2}\) = 14 సెం.మీ.
ఉపరితల వైశాల్యము = 4πr²
= 4 × \(\frac {22}{7}\) × 14 × 14
= 88 × 28 = 2464 సెం.మీ².
వైశాల్యాల నిష్పత్తి = 616 : 2464
= 1 : 4
(లేదా)
అసలు వ్యాసార్ధము = \(\frac {14}{2}\) = 7 సెం.మీ.
పెరిగిన వ్యాసార్ధము = \(\frac {28}{2}\) = 14 సెం.మీ.
వైశాల్యాల నిష్పత్తి = \(\mathrm{r}_{1}^{2}: \mathrm{r}_{2}^{2}=7^{2}: 14^{2}\)
= 7 × 7 : 14 × 14 = 1 : 4

ప్రశ్న 8.
0.25 సెం.మీ. మందం కల ఇత్తడితో ఒక అర్ధగోళాకార గిన్నెను తయారుచేశారు. గిన్నె లోపలి వ్యాసార్ధం 5 సెం.మీ. అయిన గిన్నె యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం మరియు లోపలితల వైశాల్యంనకు గల నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
సాధన.
అర్ధవృత్తపు లోపలి వ్యాసార్ధము = ‘r’ = 5 సెం.మీ.
అర్ధవృత్తపు బయటి వ్యాసార్ధము ‘R’ = లోపలి వ్యాసార్థం + మందం
= (5 + 0.25) సెం.మీ. = 5.25 సెం.మీ.
వైశాల్యాల నిష్పత్తి = 3πR² : 3πr²
= R² : r²
= (5.25)² : 5²
= 27.5625 : 25
= 1.1025 : 1
= 11025 : 10000
= 441 : 400
(గమనిక : వ్యాసార్ధంను వ్యాసంగా తీసుకున్న టెస్టుక్ జవాబును పొందవచ్చును)

ప్రశ్న 9.
ఒక సీసపు బంతి యొక్క వ్యాసం 21 సెం.మీ. దానిని తయారు చేయడానికి ఉపయోగించే సీసం యొక్క సాంద్రత 11.34 గ్రా. సెం.మీ³. అయిన బంతి యొక్క బరువు ఎంత ?
సాధన.
బంతి వ్యాసము = 2.1 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధము, r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {2.1}{2}\) = 1.05 సెం.మీ.
బంతి ఘనపరిమాణము ‘V’ = \(\frac {4}{3}\)πr³
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 1.05³ = \(\frac {101.87}{21}\)
సీసపు సాంద్రత = 11.34 గ్రా|| సెం.మీ³
బంతి బరువు = ఘనపరిమాణము × సాంద్రత
= 4.851 × 11.34
= 55.010 గ్రా||లు

ప్రశ్న 10.
ఒక స్థూపాకార లోహము యొక్క వ్యాసం 5 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 3\(\frac {1}{3}\) సెం.మీ. దానిని కరిగించి ఒక గోళముగా తయారుచేస్తే దాని యొక్క వ్యాసం ఎంత ?
సాధన.
స్థూపపు వ్యాసము ‘d’ = 5 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధము, r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {5}{2}\) = 25 సెం.మీ.
సూపపు ఎత్తు, h = 3\(\frac {1}{3}\) = \(\frac {10}{3}\)సెం.మీ.
స్థూపపు ఘనపరిమాణం
= πr²h = \(\frac {22}{7}\) × 2.5 × 2.5 × \(\frac {10}{3}\)
దత్తాంశము నుండి స్థూపమును కరిగించి గోళముగా పోతపోసిరి.
∴ స్థూపపు ఘనపరిమాణం = గోళపు ఘనపరిమాణం
\(\frac {4}{3}\)πr³ = \(\frac {22}{7}\) × 2.5 × 2.5 × \(\frac {10}{3}\) (∴ r గోళపు వ్యాసార్ధము)
∴ r³ = \(\frac {3}{4}\) × 2.5 × 2.5 × \(\frac {10}{3}\)
r³ = 2.5³
∴ r = 2.5 సెం.మీ.
గోళపు వ్యాసము, d = 2r
= 2 × 2.5 = 5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 11.
10.5 సెం.మీ. వ్యాసము గల అర్ధగోళాకారపు గిన్నెలో నింపగల పాల యొక్క సామర్థ్యం ఎంత ?
సాధన.
అర్ధగోళాకారపు గిన్నె వ్యాసము = 10.5 సెం.మీ.
అర్ధగోళాకారపు గిన్నె వ్యాసార్ధం
= \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {10.5}{2}\) = 5.25 సెం.మీ.
గిన్నెలో పట్టు పాల పరిమాణము = గిన్నె ఘనపరిమాణం
= \(\frac {2}{3}\)πr³
= \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 5.25 × 5.25 × 5.25
= 303.1875 సెం.మీ³.
= \(\frac {303.1875}{1000}\)లీ. = 0303లీ.

ప్రశ్న 12.
ఒక అర్ధగోళాకార గిన్నె యొక్క వ్యాసం 9 సెం.మీ. గిన్నెలోగల ద్రవమును 3 సెం.మీ. వ్యాసం మరియు 3 సెం.మీ. ఎత్తుగల స్థూపాకారపు సీసాలలో నింపుతూ ఉంటే నిండుగా ఉన్న గిన్నెలోని ద్రవమును ఎన్ని సీసాలలో నింపవచ్చు ?
సాధన.
అర్ధగోళాకారపు గిన్నె వ్యాసము d = 9 సెం.మీ.
∴ ఆర్ధగోళాకారపు గిన్నె వ్యాసార్ధము,
r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {9}{2}\) = 4.5 సెం.మీ.
ద్రవపు ఘనపరిమాణం = గిన్నె ఘనపరిమాణము
= \(\frac {2}{3}\)πr³
= \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 4.5 × 4.5 × 4.5
స్థూపాకారపు సీసా వ్యాసము d = 3 సెం.మీ,
⇒ స్థూపాకారపు సీసా వ్యాసార్ధం
r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {3.0}{2}\) = 1.5 సెం.మీ.
సీసా ఎత్తు, h = 3 సెం.మీ.
కావలసిన సీసాల సంఖ్య = n అనుకొనుము.
n సీసాల మొత్తం ఘనపరిమాణము = n . πr²h
ఈ ఘనపరిమాణం గిన్నెలోని ద్రవపు ఘనపరిమాణంకు సమానము.
n . \(\frac {22}{7}\) × 1.5 × 1.5 × 3
= \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 4.5 × 4.5 × 4.5
∴ n = \(\frac{2}{3} \times \frac{20.25}{1.5}\) = 9
∴ కావలసిన సీసాల సంఖ్య = 9