Category: Class 9

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Exercise 2.1

ప్రశ్న1.
కింద ఇవ్వబడిన ప్రతి బహుపది యొక్క పరిమాణం కనుగొనండి.
i) x⁵ – x⁴ + 3
ii) x² + x – 5
iii) 5
iv) 3x⁶ + 6y³ – 7
v) 4 – y²
vi) 5t – \(\sqrt{3}\)
సాధన.
i) x⁵ – x⁴ + 3 పరిమాణం – 5.
ii) x² + x – 5 పరిమాణం – 2.
iii) 5 పరిమాణం – 0.
iv) 3x⁶ + 6y³ – 7 పరిమాణం – 6.
v) 4 – y² పరిమాణం – 2.
vi) 5t – \(\sqrt{3}\) పరిమాణం – 1.

ప్రశ్న2.
కింది బహుపదులలో ఏక చరరాశితో కూడిన బహుపదులేవి? ఏవికావు ? సకారణంగా తెలపండి.
i) 3x² – 2x + 5
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది ‘x’ అను ఏక చరరాశితో ఏర్పడినది.

ii) x² + \(\sqrt{2}\)
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది ‘x’ అను ఏక చరరాశితో ఏర్పడినది.

iii) p² – 3p + q
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది ఏక చరరాశితో ఏర్పడిన బహుపది కాదు. ఎందుకనగా దీనిలో p మరియు q అను చరరాశులు కలవు.

iv) y + \(\frac{2}{y}\)
సాధన.
ఇచ్చిన సమాసము బహుపది కాదు. ఎందుకనగా రెండవ పదము హారములో చరరాశిని కలిగి వున్నది.

v) 5\(\sqrt{x}\) + x\(\sqrt{5}\)
సాధన.
ఇచ్చిన సమాసము .బహుపది కాదు. ఎందుకనగా మొదటి పదపు చరరాశి పరిమాణం పూర్ణసంఖ్య కాదు కాబట్టి.

vi) x¹⁰⁰ + y¹⁰⁰
సాధన.
ఇచ్చిన సమాసము నందు రెండు చరరాశులు కలవు.
కావున ఇది ఏక చరరాశి బహుపది కాదు.

ప్రశ్న3.
కింది వానిలో x³ యొక్క గుణకాలను రాయండి.
i) x³ + x +1
సాధన.
x³ గుణకము 1.

ii) 2 – x³ + x²
సాధన.
x³ గుణకము – 1.

iii) \(\sqrt{2}\)x³ + 5
సాధన.
x³ గుణకము \(\sqrt{2}\).

iv) 2x³ + 5
సాధన.
x³ గుణకము 2.

v) \(\frac{\pi}{2} x^{3}+x\)
సాధన.
x³ గుణకము \(\frac{\pi}{2}\).

vi) –\(\frac {2}{3}\)x³
సాధన.
x³ గుణకము – \(\frac {1}{2}\)

vii) 2x² + 5
x³ గుణకము ‘0’.

viii) 4
సాధన.
x³ గుణకము ‘0’.

ప్రశ్న4.
కింది బహుపదులను రేఖీయ, వర్గ మరియు ఘన బహుపదులుగా వర్గీకరించండి.
i) 5x² + x – 7
సాధన.
దీని యొక్క పరిమాణం ‘2’ కావున ఇది వర్గ బహుపది.

ii) x – x³
సాధన.
దీని యొక్క పరిమాణం ‘3’ కావున ఇది ఘన బహుపది.

iii) x² + x + 4
సాధన.
దీని యొక్క పరిమాణం ‘2’ కావున ఇది వర్గ బహుపది.

iv) x – 1
సాధన.
దీని యొక్క పరిమాణం ‘1’ కావున ఇది రేఖీయ బహుపది.

v) 3p
సాధన.
దీని యొక్క పరిమాణం ‘1’ కావున ఇది రేఖీయ బహుపది.

vi) πr²
సాధన.
దీని యొక్క పరిమాణం (2) కావున ఇది వర్గ బహుపది.

ప్రశ్న5.
కింది ప్రవచనాలు. సత్యమో, అసత్యమో తెల్పండి. సమాధానాలకు కారణాలు తెలపండి.
i) ద్విపదిలో కనీసం రెండు పదాలుంటాయి.
ii) ప్రతి బహుపది ఒక ద్విపది అవుతుంది.
iii) ద్విపది యొక్క పరిమాణం 3 కూడా కావచ్చు.
iv) శూన్య బహుపది యొక్క పరిమాణం సున్న.
v) x² + 2xy + y² బహుపది పరిమాణం 2.
vi) πr²
సాధన.
i) ద్విపదిలో కనీసం రెండు పదాలుంటాయి. – సత్యము
ii) ప్రతి బహుపది ఒక ద్విపది అవుతుంది. – అసత్యం
[∵ బహుపదిలో రెండు కంటే ఎక్కువ పదాలుంటాయి]
iii) ద్విపది యొక్క పరిమాణం 3 కూడా కావచ్చు. – అసత్యము
iv) శూన్య బహుపది యొక్క పరిమాణం సున్న. – అసత్యం
v) x² + 2xy + y² బహుపది పరిమాణం 2. – సత్యము
vi) πr² అనేది ఒక ఏకపది. – సత్యం

ప్రశ్న6.
10 వ పరిమాణం కలిగిన ఒక ఏకపదికి, త్రిపదికి ఒక్కొక్క ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
సాధన.
– 7x¹⁰ అను ఏకపది పరిమాణము 10.
3x²y⁸ + 7xy – 8 అను త్రిపది పరిమాణము 10.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 గణితములో నిరూపణలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు InText Questions

ఇవి చేయండి.

1. ఏవైనా 5 వాక్యములు రాసి అవి సత్యమో/అసత్యమో నిర్ణయించి, కారణాలు తెల్పంది. (పేజీ నెం. 311)
సాధన.
(i) 9 ప్రధాన సంఖ్య – అసత్యము
ఇది ఒక ప్రవచనము ఎందుకనగా దీని సత్య విలువను మనము చెప్పగలము. ఇది అసత్యము. ‘9’ కి (1 మరియు 9) కాక ఇంకనూ కొన్ని కారణాంకాలు గలవు.
(ii) x విలువ 5 కన్నా తక్కువ – సత్యమో లేక అసత్యమో చెప్పలేము.
ఇది ప్రవచనము కాదు ఎందుకనగా ఇది సత్యమో లేక అసత్యమో చెప్పలేము. కావున ఇది ఒక వాక్యము మాత్రమే.
(iii) 3 + 5 = 8 – సత్యము
పై వాక్యము సత్యము కావున ఇది ఒక ప్రవచనము.
(iv) రెండు బేసి సంఖ్యల మొత్తము సరిసంఖ్య – సత్యము. పై వాక్యము సత్యమని సరి చూచుటకు 3 + 5 = 8 లేక, 5 + 7 = 12 వంటి విలువలను తీసుకుంటారు. కావున ఈ వాక్యము ఒక ప్రవచనము.
(v) \(\frac {x}{2}\) + 3 = 9 – ఇది సత్యమో లేక అసత్యమో చెప్పలేము.
పై వాక్యము ప్రవచనము కాదు. ఎందుకనగా x విలువ లేకుండా సత్య విలువను నిర్ధారించలేము.

ప్రయత్నించండి

1. 1. 3 ఒక ప్రధాన సంఖ్య
2. రెందు బేసి సంఖ్యల లబ్ధము ఒక సరిసంఖ్య.
3. x ఏదైనా ఒక వాస్తవ సంఖ్య అయితే 4x + x = 5x
4. భూమికి కల ఒకే ఒక ఉపగ్రహము చంద్రుడు.
5. రాము ఒక మంచి డ్రైవరు.
6. “లీలావతి” అను గ్రంథమును భాస్కరుడు రచించెను.
7. అన్ని సరి సంఖ్యలు సంయుక్త సంఖ్యలు.
8. రాంబస్ ఒక చతురస్రము.
9. x > 7.
10. 4 మరియు 5 పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు.
11. సిల్వర్ ఫిష్ అను చేప సిల్వర్ తో చేయబడింది.
12. భూమిని పరిపాలించుటకు మనుష్యులు కలరు.
13. x ఏదైనా ఒక వాస్తవ సంఖ్య అయిన 2x > x.
14. క్యూబా రాజధాని హవానా.
పై వాక్యములలో ప్రత్యుదాహరణల ద్వారా, అసత్యమని నిర్ణయించగల ప్రవచనములు ఏవి ? (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
ప్రవచనాలు – 2, 7, 8, 13 లను ఒక ప్రత్యుదాహరణ ద్వారా నిర్ణయించవచ్చును.
2. రెండు బేసి పూర్ణ సంఖ్యల లబ్దము సరిసంఖ్య.
ప్రత్యుదాహరణ : 3 మరియు 5 లు చేసి పూర్ణ సంఖ్యలు. కావున వాటి లబ్ధము 3 × 5 = 15 సరిసంఖ్య కాదు.
7. అన్ని సరిసంఖ్యలు సంయుక్త సంఖ్యలు.
ప్రత్యుదాహరణ : ‘2’ సరి ప్రధాన సంఖ్య.
8. ఒక రాంబస్, చతురస్రము.

ప్రత్యుదాహరణ : 40°, 140°, 40°, 140°లు కావున ఇది ఒక రాంబస్.
13. 2x > x, x ఏదేని సంఖ్య అయిన
ప్రత్యుదాహరణ : x = – 3 అయిన 2x = 2 (-3) = – 6
ఇక్కడ – 6 < – 3 అగును.

2. పైథాగరస్ యొక్క ప్రజాదరణ దృష్యా వారి అనుయూయుదొకడు లంబకోణ త్రిభుజ భుజాల మధ్య మరొక సంబంధం కలదని భావించాడు. (పేజీ నెం. 319)

సాధన.
ఈ భావన పై త్రిభుజాలకు సత్యము.
(i) 3² = 5 + 4
9 = 5 + 4
(ii) 5² = 25 = 12 + 13
25 = 12 + 13
(iii) 7² = 49 = 24 + 25
49 = 24 + 25
కాని ఈ నియమం చిన్న సంఖ్య భుజంకు వర్తించదు.
ఉదా :

సిద్ధాంతములు :

1. త్రిభుజములోని మూడు కోణముల మొత్తం 180°. (పేజీ నెం. 318)

2. రెండు బేసి సంఖ్యల లబ్ధం, బేసిసంఖ్య. (పేజీ నెం. 318)

3. రెండు వరుస సరి సహజ సంఖ్యల లబ్ధం, 4 చే భాగింపబడుతుంది. (పేజీ నెం. 318)

4. ఒక త్రిభుజములోని మూడు అంతర కోణముల మొత్తం 180°. (పేజీ నెం. 324)
సాధన.
నిరూపణ : ABC ఒక త్రిభుజము.
\(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{CAB}\) = 180° అని నిరూపించవలెను

BA కు సమాంతరంగా C నుండి CE అను రేఖను గీయుము.
BC ను D వరకు పొడిగించండి.
CE | | BA మరియు AC ఒక తిర్యగ్రేఖ.
కావున \(\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{ACE}\) (ఏకాంతర కోణాలు) ……………….(1)
అదే విధంగా \(\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{DCE}\) (సదృశ కోణాలు) ………….. (2)

నీవు ఈ సిద్ధాంతము 4వ అధ్యాయములో నేర్చుకొన్నదే. మనము సిద్ధాంతాల నిరూపణకు తరచుగా వాటి పటాలను గీయుట చాలా ముఖ్యము. అయినప్పటికి నిరూపణ అనునది తార్కికంగా ఉండవలెను. సామాన్యంగా ఆ రెండు రేఖలు లంబంగా ఖండించుకొనునట్లు కన్పించుచున్నది కావున ఆ రెండు కోణాల కొలతలు 90° అంటాం. ఇలాంటి తర్కములో మోసపోవచ్చు. కాబట్టి తగు జాగ్రత్త అవసరము.

పై నిరూపణలోని ప్రతి వివరణ వెనుక కల కారణాలు పరిశీలిద్దాము.
సోపానము 1: పై సిద్ధాంతం త్రిభుజ ధర్మాలపై ఆధారపడి ఉన్నది. కావున త్రిభుజం ABCతో ప్రారంభిద్దాం.

సోపానము 2 : సిద్ధాంతంలో BA కు సమాంతరంగా CE గీసి, BCను D వరకు పొడిగించితిమి. నిరూపణకు ఇది చాలా ముఖ్యమైన సోపానము.

సోపానము 3 : మనకు తెలిసిన పూర్వ సిద్ధాంతాల ఆధారంగా ఏకాంతర కోణాలు సదృశకోణాల ధర్మాల ఆధారంగా \(\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{ACE}\) మరియు \(\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{DCE}\) అని చెప్పగలము.

సోపానము 4 : “ఒక సమీకరణమునకు రెండువైపులా సమాన అంశములు కలిపిన ఆ సమీకరణములో మార్పు ఉండదు” అను యూక్లిడ్ సామాన్య భావన ఆధారంగా \(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{DCE}+\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{ACE}\) అని రాసితిమి.
దీని మండి త్రిభుజము మూడు కోణాల మొత్తం రేఖీయ కోణముల మొత్తమునకు సమానమని చెప్పబడినది.

సోపానము 5 : “ఒక వస్తువుతో రెండు వస్తువులు సమానమైన, ఆ రెండు వస్తువులు సమానము” అను యూక్లిడ్ సామాన్యభావన ద్వారా మనము \(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{DCE}+\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{ACE}\) = 180° అని చెప్పగలము. 2 మరియు 3 లో గల సిద్ధాంతాలను (విశ్లేషణ చేయకయే) నిరూపిద్దాం.

5. రెండు బేసి సంఖ్యల లబ్ధము బేసి సంఖ్య. (పేజీ నెం. 325)
సాధన.
నిరూపణ : x మరియు y రెండు బేసిసంఖ్యలు అనుకొనుము.
మనము xy ఒక బేసిసంఖ్య అని చూపాలి.
x, yలు బేసిసంఖ్యలు అయిన
x = (2m – 1), y = 2n – 1 (m, n లు ఏదైనా రెండు సహజసంఖ్యలు) గా రాయవచ్చు. అప్పుడు,
xy = (2m – 1) (2n – 1)
= 4mm – 2m – 2n + 1
= 4mm – 2m – 2n + 2 – 1
= 2(2m – m – n + 1) – 1
2mn – m – n + 1 – 1, lను ఏదేని సహజ సంఖ్యఅనుకొనిన
= 2l – 1, l ∈ N
ఇది కచ్చితంగా బేసి సంఖ్యయే.

6. రెండు వరుస సరిసంఖ్యల లబ్ధము 4చే భాగింపబడును. (పేజీ నెం. 326)
సాధన.
రెండు వరుస సరిసంఖ్యలు 2m, 2m + 2 (n ఏదైనా ఒక సహజసంఖ్య), వాటి లబ్దము 2m (2m + 2). 4ను భాగింపబడును అని నిరూపించాలి. (నిరూపణకు మీరు సొంతంగా ప్రయత్నించండి.)

ఉదాహరణలు :

1. ప్రధాన సంఖ్యల నిర్వచనము నుండి 3 ఒక ప్రధాన సంఖ్య అని చెప్పగలము. కావున ఇది ఒక ప్రవచనము. మిగిగిన వాక్యములలో ప్రవచనములలో గణిత పరంగా నిరూపించగలిగేవి ఏవి? (పేజీ నెం. 312)

2. రెండు బేసి సంఖ్యల లబ్దము ఒక సరిసంఖ్య. ఏవైన రెందు బేసి సంఖ్యలు 8, 5 తీసుకొనుము. వాటి లబ్దము 3 × 5 = 15 ఇది సరిసంఖ్యకాదు. (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
ఈ ప్రవచన సత్య విలువ అసత్యము. కనుక ఒక ప్రత్యుదాహరణ ద్వారా మనము ఈ ప్రవచన సత్య విలువ నిర్ణయించగలము. ఒక ఉదాహరణ ద్వారా ఒక ప్రవచనం అసత్యము అని చెప్పవచ్చు. ఇటువంటి ఉదాహరణను ప్రత్యుదాహరణ అంటారు.

3. క్రింది వాక్యములను పరిశీలించండి. “భూమిని పరిపాలించుటకు మనుష్యులు కలరు”, “రాము ఒక మంచి డ్రైవర్”. (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
ఈ వాక్యములు సందిగ్గదతో కూడి ఉన్న వాక్యములు. భూమిని పాలించుట అనునది కచ్చితముగా ఏ ప్రాంతము అనేది చెప్పబడలేదు. అదే విధముగా రెండవ వాక్యములో ఎటువంటి నైపుణ్యము మంచిదో అనేది స్పష్టంగా చెప్పబడలేదు. గణిత ప్రవచనములు కొన్ని పదాల కలయికతో, అందరికి స్పష్టంగా అర్థమగుతూ అది సత్యమో అసత్యమో నిర్ణయించగలిగేలా ఉండాలి.

4. భూమికి కల ఒకే ఒక ఉపగ్రహం చంద్రుడు. లీలావతి అను గ్రంథమును భాస్కరుడు రచించెను. ఈ వాక్యములు ప్రవచనములు అవునో కాదో ఎట్లు
నిర్ణయించగలవు? (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
ఈ వాక్యములలో సందిగ్ధత లేదు, కాని కొంత నిరూపించవలసిన అవసరము కలదు. దీనిని నిర్ధారించుటకు పూర్వము నిరూపించబడిన అంశములపై సంబంధించిన అంశములు తెలిసి ఉండాలి, రెండవ వాక్యము కొరకు పుస్తక రచయితలు వాటికి సంబంధించిన అంశములు చారిత్రక గ్రంథములు తెలియవలెను.

5. కింది ప్రవచనములు షరతులకు లోబడి సరియగు సత్య ప్రవచనములు అగునట్లుగా తిరిగి రాయండి.

1. ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య x కు 3x > x.
2. ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య x కు x² ≥ x.
3. ఒక సంఖ్యను 2తో భాగించగా వచ్చిన సంఖ్య మొదటి సంఖ్యలో సగముండును.
4. ఒక వృత్తములో ఒక జ్యా వృత్తముపై ఏదైన ఒక బిందువు వద్ద ఏర్పరచు కోణము 90°.
5. ఒక చతుర్భుజంలో అన్ని భుజాలు సమానమైన అది ఒక చతురస్రము. (పేజీ నెం. 313)

సాధన.

1. x > 0 అయిన 3x >x.
2. x ≤ 0 లేదా x ≥ 1 అయిన x² ≥ x.
3. 0 తప్ప మిగిలిన సంఖ్యలను 2 తో భాగిస్తే వచ్చు సంఖ్య మొదటి సంఖ్యలో సగముండును.
4. ఒక వృత్తములో వృత్త వ్యాసము, వృత్తముపై ఏదైనా ఒక బిందువు వద్ద ఏర్పరచు కోణము 90°.
5. ఒక చతుర్భుజంలోని అన్ని భుజాలు, కోణాలు సమానమైన అది ఒక చతురస్రము.

6. కింది వరుసల చుక్కలు ఒక వరుస క్రమ సంఖ్యలను సూచిస్తుంది. (పేజీ నెం. 318)

(a) తరువాతి మూడు పదాలు కనుక్కోండి.
(b) 100వ పదము కనుక్కోండి.
(c) nవ పదము కనుక్కోండి.
ఇచ్చట కల సంఖ్యలు T₁ = 2, T₂ = 6, T₃ = 12, T₄ = 20 గా కలదు. T₅, T₆, T_n పదములను ఊహించగలరా ? T_n అను పదమును ఒక భావనగా తీసుకుందాం. పై విషయాన్ని తిరిగి ఇలా రాస్తే మనకు సాధనకు ఉపయోగపడవచ్చు.

సాధన.
కావున T₅ = T₄ + 10 = 20 + 10 = 30 = 5 × 6
T₆ = T₅ + 12 = 30 + 12 = 42
= 6 × 7………. T₇ ఊహించండి,
T₁₀₀ = 100 × 101 = 10, 100
T_n = n × (n + 1) = n² + n

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు Ex 1.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.4

ప్రశ్న1.
కింది వానిని సూక్ష్మీకరించండి.
i) (5 + \(\sqrt{7}\)) (2 + \(\sqrt{5}\))
సాధన.
(5 + \(\sqrt{7}\)) (2 + \(\sqrt{5}\))
= 10 + 5\(\sqrt{5}\) + 2\(\sqrt{7}\) + \(\sqrt{35}\)

ii) (5+ \(\sqrt{5}\)) (5 – \(\sqrt{5}\))
సాధన.
(5 + \(\sqrt{5}\)) (5 – \(\sqrt{5}\)) = (5)² – (\(\sqrt{5}\))²
= 25 – 5 = 20

iii) (\(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{7}\))²
సాధన.
(\(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{7}\))² = (\(\sqrt{3}\))² + (\(\sqrt{7}\))² + 2(\(\sqrt{3}\)) (\(\sqrt{7}\))
= 3 + 7 + 2\(\sqrt{21}\) = 10 + 2\(\sqrt{21}\)

iv) (\(\sqrt{11}\) – \(\sqrt{7}\))(\(\sqrt{11}\) + \(\sqrt{7}\))
సాధన.
(\(\sqrt{11}\) – \(\sqrt{7}\))(\(\sqrt{11}\) + \(\sqrt{7}\))
= (\(\sqrt{11}\))² – (\(\sqrt{7}\))²
= 11 – 7 = 4

ప్రశ్న2.
కింది వానిలో అకరణీయ సంఖ్యలేవి? కరణీయ సంఖ్య లేవి?
i) 5 – \(\sqrt{3}\)
ii) \(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{2}\)
iii) (\(\sqrt{2}\) – 2)²
iv) \(\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}\)
v) 2π
vi) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
vii) (2 + \(\sqrt{2}\)) (2 – \(\sqrt{2}\))
సాధన.
i) 5 – \(\sqrt{3}\) – కరణీయ సంఖ్య
ii) \(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{2}\) – కరణీయ సంఖ్య
iii) (\(\sqrt{2}\) – 2)² – కరణీయ సంఖ్య
iv) \(\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}\) – అకరణీయ సంఖ్య
v) 2π – కరణీయ సంఖ్య కాదు
vi) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) – కరణీయ సంఖ్య
vii) (2 + \(\sqrt{2}\)) (2 – \(\sqrt{2}\)) – అకరణీయ సంఖ్య

ప్రశ్న3.
కింది సమీకరణాలలో x, y, z మొదలగు చరరాశులు అకరణీయ సంఖ్యలను సూచిస్తాయా ? కరణీయ సంఖ్యలను సూచిస్తాయా ?
i) x² = 7
ii) y² = 16
iii) z² = 0.02
iv) u² = \(\frac{17}{4}\)
v) w² = 27
vi) t⁴ = 256
సాధన.
i) x² = 7 ⇒ x = \(\sqrt{7}\) ఒక కరణీయ సంఖ్య
ii) y² = 16 ⇒ y = \(\sqrt{16}\) = 4 ఒక అకరణీయ సంఖ్య
iii) z² = 0.02 ⇒ z = \(\sqrt{0.02}\) ఒక కరణీయ సంఖ్య
iv) u² = \(\frac{17}{4}\) ⇒ u = \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) ఒక కరణీయ సంఖ్య
v) w² = 27 ⇒ w = 3\(\sqrt{3}\) ఒక కరణీయ సంఖ్య
vi) t⁴ = 256 ⇒ t = \(\sqrt[4]{256}=\sqrt[4]{4^{4}}\) = 4 ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

ప్రశ్న4.
ఒక వృత్తపరిధికి, దాని వ్యాసానికి గల నిష్పత్తి \(\frac{c}{d}\)ని π సూచిస్తాము. మరి π ను కరణీయసంఖ్య అని ఎందుకు పరిగణిస్తారు ?
సాధన.
వృత్తపరిధి (c) మరియు వ్యాసము (d) లు పోల్చదగిన పొడవులు కావు. అనగా ఆ రెంటిని కచ్చితంగా కొలిచే మాపనము లేదు. కాబట్టి π ను కరణీయ సంఖ్యగా పరిగణిస్తాము.

ప్రశ్న5.
హారాలను అకరణీయం చేయండి.
i) \(\frac{1}{3+\sqrt{2}}\)
సాధన.

ii) \(\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}\)
సాధన.

iii) \(\frac{1}{\sqrt{7}}\)
సాధన.
\(\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{1}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}\)

iv) \(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)
సాధన.

ప్రశ్న6.
హారాలను అకరణీయం చేసి సూక్ష్మీకరించండి.
i) \(\frac{6-4 \sqrt{2}}{6+4 \sqrt{2}}\)
సాధన.

ii) \(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\)
సాధన.

iii) \(\frac{3 \sqrt{5}-\sqrt{7}}{3 \sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
సాధన.

iv) \(\frac{3 \sqrt{5}-\sqrt{7}}{3 \sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
సాధన.

ప్రశ్న7.
\(\sqrt{2}\) = 1.414, \(\sqrt{3}\) = 1.732 మరియు \(\sqrt{5}\) = 2.236 అయితే \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{15}}{2 \sqrt{2}}\) విలువను మూడు దశాంశ స్థానాల వరకు కనుగొనండి.
సాధన.

ప్రశ్న8.
విలువలు కనుగొనండి.
i) 64^1/6
సాధన.
64^1/6 = (2⁶)^1/6 = 2

ii) 32^1/5
సాధన.
32^1/5 = (2⁵)^1/5 = 2

iii) 625^1/4
సాధన.
625^1/4 = (5⁴)^1/4 = 5

iv) 16^3/2
సాధన.
16^3/2 = (4²)^3/2 = 4³ = 64

v) 243^2/5
సాధన.
243^2/5 = (3⁵)^2/5 = 3² = 9

vi) (46656)^-1/6
సాధన.
(46656)^-1/6 = (6⁶)^-1/6
= 6^-1 = \(\frac{1}{6^{1}}\) = \(\frac {1}{6}\)
[∵ 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 46656]

ప్రశ్న9.
\(\sqrt[4]{81}-8 \sqrt[3]{343}+15 \sqrt[5]{32}+\sqrt{225}\) ను సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.

= (3⁴)^1/4 – 8(7³)^1/4 + 15(2⁵)^1/5 + 15
= 3 – 8 × 7 + 15 × 2 + 15
= 3 – 56 + 30 + 15 = -8

ప్రశ్న10.
‘a’ మరియు ‘b’ లు ఏవైనా అకరణీయసంఖ్యలు అయితే కింది సమీకరణాలలో a, b విలువలు కనుక్కోండి.
i) \(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=a+b \sqrt{6}\)
సాధన.
\(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)
హారంను అకరణీయం చేయగా,

5 + 2\(\sqrt{6}\) ను a + b\(\sqrt{6}\) తో పోల్చగా
a = 5 మరియు b = 2

ii) \(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2 \sqrt{5}-3 \sqrt{3}}=a-b \sqrt{15}\)
సాధన.
\(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2 \sqrt{5}-3 \sqrt{3}}\)
హారమును అకరణీయం చేయగా,

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 గణితములో నిరూపణలు Ex 15.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు Exercise 15.4

1. కింది వాటిలో ఏవి ప్రవచనములు ? ఏవి ప్రవచనములు కావో ? కారణాలు తెల్పుతూ చెప్పండి.

ప్రశ్న (i)
ఆమె కళ్లు నీలంగా కలవు.
సాధన.
ఇది గణిత ప్రవచనము కాదు.

ప్రశ్న (ii)
x + 7 = 18
సాధన.
ఇది గణిత ప్రవచనము కాదు. దీని సత్య విలువను కనుగొనుట సాధ్యం కాదు.

ప్రశ్న (iii)
ఈ రోజు ఆదివారము కాదు.
సాధన.
ఇది ప్రవచనము కాదు. ఇది సంబద్ధతా ప్రవచనము.

ప్రశ్న (iv)
x యొక్క అన్ని విలువలకు, x + 0 = x
సాధన.
ఇది ఒక గణిత ప్రవచనము.

ప్రశ్న (v)
ఇప్పుడు సమయం ఎంత ?
సాధన.
ఇది గణిత ప్రవచనము కాదు.

2. కింది ప్రవచనములను ప్రత్యుదాహరణ ద్వారా అసత్యములని తెలపండి.

ప్రశ్న (i)
ప్రతి దీర్ఘచతురస్రము ఒక చతురస్రము.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రము మరియు చతురస్రములు సమ కోణాలను కలిగి ఉంటాయి. అవి లంబ కోణాలు కాని భుజాలు సమానంగా ఉండవు.

ప్రశ్న (ii)
ఏవైనా వాస్తవ సంఖ్యలు x, y లకు
\(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) = x + y
సాధన.
x = 3; y = 8 అనుకొనుము.
\(\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{3^{2}+8^{2}}=\sqrt{9+64}=\sqrt{73}\)
x + y = 3 + 8 = 11
ఇక్కడ \(\sqrt{73}\) ≠ 11
∴ \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) ≠ x + y

ప్రశ్న (iii)
n ఒక పూర్ణసంఖ్య అయిన 2n2 + 11 ఒక ప్రధానాంకము.
సాధన.
n = 11 అయిన 2n2 + 11 = 2(11)2 + 11
= 11 (2 × 11 + 1) = 11 × (22 + 1)
= 11 × 23 ప్రధాన సంఖ్య కాదు.

ప్రశ్న (iv)
రెందు త్రిభుజములలో అనురూపకోణాలు సమానమైన, ఆ త్రిభుజములు సర్వసమానములు.
సాధన.

రెండు త్రిభుజాలలో అనురూప కోణాలు సమానమైన, ఆ త్రిభుజాలు సరూపాలు మాత్రమే.

ప్రశ్న (v)
ఒక చతుర్భుజంలోని అన్ని భుజాలు సమానములైన అది చతురస్రము.
సాధన.
ఒక రాంబస్ చతురస్రము కాదు కాని దాని భుజాలు సమానము.

ప్రశ్న 3.
రెండు బేసిసంఖ్యల మొత్తము ఒక సరిసంఖ్య అని నిరూపించండి.
సాధన.

సోపానాలు	కారణాలు
1. (2m + l), (2n + 1) లు రెండు బేసి సంఖ్యలనుకొనుము. 2. (2m + 1) + (2n + 1) = (2m + 2n + 2) = 2(m + n + 1) = 2k నిరూపించబడినది.	బేసి సంఖ్యల సాధారణ రూపము రెండు సంఖ్యలను కలుపగా 2k, k అను సరిసంఖ్యల నిర్వచనము.

ప్రశ్న 4.
రెండు సరిసంఖ్యల లబ్దము ఒక సరిసంఖ్య అని నిరూపించండి.
సాధన.

సోపానాలు	కారణాలు
1. 2m మరియు 2n లు రెండు సరిసంఖ్యలనుకొనుము. 2.  2m . 2n – 4mn = 2 (2mn) = 2K 3. 2K, K = 2mn 4. 2k సరిసంఖ్య నిరూపించబడినది.	సరిసంఖ్యల సాధారణ రూపము. లభాలను తీసుకొనగాసంఖ్యలను సవరించగా సరిసంఖ్యల నిర్వచనము నుండి

ప్రశ్న 5.
“x ఒక బేసిసంఖ్య అయిన x2 కూడా ఒక బేసిసంఖ్య” నిరూపించండి.
సాధన.
‘x’ ఒక బేసిసంఖ్య అనుకొనుము.
x = 2m + 1 (బేసిసంఖ్యల సాధారణ రూపము)
x2 = (2m + 1)2 (ఇరువైపులా వర్గం చేయగా)
= 4m2 + 4m + 1
= 2 (2m2 + 2m) + 1
= 2k + 1 {K = 2m2 + 2m}
x2 కూడా ఒక బేసిసంఖ్య

6. కింది వాటిని పరిశీలించండి. వాటిలో ఏది సరియైనది సరిచూడండి.

ప్రశ్న (i)
ఒక సంఖ్యను తలుచుకోండి. దానిని రెట్టింపుచేసి ‘9’ కలపండి. దానికి తలచిన సంఖ్యను కలపండి. 3తో భాగించండి. తిరిగి ‘4’ కలపండి. తిరిగి ఆ ఫలితము నుండి తలచిన సంఖ్యను తీసివేయండి. ఫలితం ‘7’ వచ్చును.
సాధన.
ఒక సంఖ్య = xను ఎన్నుకొనుము.
రెట్టింపు చేయగా = 2x
‘9’ కలుపగా = 2x + 9
తలచిన సంఖ్యను కలుపగా = 2x + 9 + x
= 3x + 9
‘3’ చే భాగించగా = (3x + 9) ÷ 3
= \(\frac{3 x}{3}+\frac{9}{3}\)
= x + 3
తిరిగి ‘4’ కలుపగా = x + 3 + 4
= x + 7
తిరిగి ఫలితం నుండి తలచిన సంఖ్యను తీసివేయగా
= x + 7 – x = 7
∴ ఫలితము = 7 (సత్యము)

ప్రశ్న (ii)
ఒక 3 – అంకెల సంఖ్యను రాసి, 6 – అంకెల సంఖ్య అగునట్లు, రెండుసార్లు రాయండి. (ఉదా : 425 ను 425425 గా రాయండి) ఈ 6 – అంకెల సంఖ్య (425425) 7, 11 మరియు 13 చే నిశ్శేషముగా భాగింపబడును.
సాధన.
మూడంకెల సంఖ్య xyz అనుకొనుము.
6 – అంకెల సంఖ్య అగునట్లు రెండుసార్లు వ్రాయగా
= xyzxyz
= xyz × (1001)
= xyz × (7 × 11 × 13)
ఈ పరికల్పన సత్యము.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 గణితములో నిరూపణలు Ex 15.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు Exercise 15.3

1.

ప్రశ్న (i)
ఏవేని మూడు వరుస బేసిసంఖ్యల లబ్దము కనుగొనుము.
ఉదా : 1 × 3 × 5 = 15; 3 × 5 × 7 = 105; 5 × 7 × 9 = ……
సాధన.
1 × 3 × 5 = 15
3 × 5 × 7 = 105
5 × 7 × 9 = 315
7 × 9 × 11 = 693
→ ఏవేని మూడు వరుస బేసి సంఖ్యల లబ్ధము ఒక బేసి సంఖ్య.
→ మూడు వరుస బేసి సంఖ్యల లబ్దము ‘3’ చే భాగించబడును.

ప్రశ్న (ii)
ఏవేని మూడు వరుస సరిసంఖ్యల మొత్తం కనుగొనుము.
2 + 4 + 6 = 12; 4 + 6 + 8 = 18; 6 + 8 + 10 = 24; 8 + 10 + 12 = 30 ….
పై ఉదాహరణలలో ఏదైనా క్రమ ధర్మాన్ని గుర్తించారా ? మరి మీ పరికల్పన ఏమిటి ?
సాధన.
2 + 4 + 6 = 12; 4 + 6 + 8 = 18;
6 + 8 + 10 = 24; 8 + 10 + 12 = 30
→ మూడు వరుస సరిసంఖ్యల మొత్తము ఒక సరి సంఖ్య
→ మూడు వరుస సరి సంఖ్యల మొత్తము, ‘6’ చే భాగించబడును. కావున ఇవి ‘6 యొక్క గుణిజాలు.

ప్రశ్న 2.
పాస్కల్ త్రిభుజము గమనించండి.
అడ్డు వరుస – 1 : 1 = 11⁰
అద్దు వరుస – 2 : 11 = 11¹
అడ్డు వరుస – 3 : 121 = 11²
అడ్డు వరుస – 4, 5 గురించి ఊహించి, భావన తయారు చేయండి.
అది అడ్డు వరుస – 6 కు సరిపోతుందో లేదో గమనించండి.

సాధన.
అడ్డు వరుస – 4 : 1331 = 11³
అడ్డు వరుస – 5 : 14641 = 11⁴
అడ్డు వరుస – 6 : 11⁵
∴ అద్దు వరుస – n = 11^{n – 1}
అవును, అది అడ్డు వరుస 6కు సరిపోవును.

3. కింది వరుస క్రమాన్ని గమనించండి.

ప్రశ్న (i)
28 = 2² × 7¹; 28 కారణాంకాల సంఖ్య
(2 + 1)(1 + 1) = 3 × 2 = 6
28 కు గల 6 కారణాంకాలు 1, 2, 4, 7, 14, 28
సాధన.
24 = 2³ × 3¹
24కు గల కారణాంకాల సంఖ్య = (3 + 1)(1 + 1) = 4 × 2 = 8
ఆ కారణాంకాలు [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 మరియు24]

ప్రశ్న (ii)
30 = 2¹ × 3¹ × 5¹, కారణాంకాల సంఖ్య (1 + 1)
(1 + 1) (1 + 1) = 2 × 2 × 2 = 8
30కు కల 8కారణాంకాలు 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 పై ఉదాహరణలలోని క్రమాన్ని గుర్తించండి.
(సూచన : ప్రతి లబ్ధంలో ప్రధానకారణాంక ఘాతాంకం + 1 ఒక కారణాంకంగా గుర్తించండి)
సాధన.
36 = 2² × 3²
36 కు గల కారణాంకాల సంఖ్య
= (2 + 1)(2 + 1) = 3 × 3 = 9
ఆ కారణాంకాలు [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 మరియు 36]
∴ N = a^p. b^q. c^r ………..
ఇక్కడ N ఒక సహజ సంఖ్య .
a, b, c ప్రధానాంకాలు మరియు p, q, r లు ధన పూర్ణ సంఖ్యలు అయిన N యొక్క కారణాంకాల సంఖ్య
N = (p + 1) (q +1)(r + 1)………………

ప్రశ్న 4.
కింది క్రమాన్ని గమనించండి.
1² = 1
11² = 121
111² = 12321
1111² = 1234321
11111² = 123454321
కింది వాటిపై మీరు పరికల్పన చేయగలరా ?
111111² =
1111111² =
మీ పరికల్పన సరిచూచుకోండి.
సాధన.
111111² = 12345654321
1111111² = 1234567654321
(111 …… n సార్లు)²
= (123 … (n – 1) n (n – 1) (n – 2) ….. 1)
ఈ పరికల్పన సత్యమే.

ప్రశ్న 5.
ఈ పుస్తకంలో కల 5 స్వీకృతాలు సేకరించండి.
సాధన.

1. ఒక బిందువు నుండి మరొక బిందువుకు ఒకే ఒక సరళరేఖను గీయగలము.
2. రేఖాఖండాన్ని రెండు వైపులా పొడిగించగా సరళరేఖ ఏర్పడును.
3. ఒక బిందువు కేంద్రంగా ఏదైనా వ్యాసార్ధంతో ఒక వృత్తంను గీయగలము.
4. ఒక రేఖకు సమాంతరంగా ఉన్న రేఖలు ఒకదాని కొకటి సమాంతరాలు.
5. అన్ని లంబకోడాలు ఒకదానికొకటి సమానము.

ప్రశ్న 6.
P(x) = x² + x + 41 బహుపదినందు x, యొక్క వివిధ సహజ సంఖ్యలకు p(x) ను కనుగొనుము. x యొక్క అన్ని సహజ సంఖ్యలకు పై బహుపది p(x) ప్రధాన సంఖ్య అనగలమా ? x = 41 తీసుకుని సరిచూడండి. ఏమి గమనించితిరి?
సాధన.
p(x) = x² + x + 41
P(0) = 0² + 0 + 41 = 41 – ప్రధాన సంఖ్య
p(1) = 1² + 1 + 41 = 43 – ప్రధాన సంఖ్య
p(2) = 2² + 2 + 41 = 47 – ప్రధాన సంఖ్య
p(3) = 3² + 3 + 41 = 53 – ప్రధాన సంఖ్య
p(41) = 41² + 41 + 41
= 41 (41 + 1 + 1) = 41 × 43 ప్రధాన సంఖ్య కాదు.
∴ p(x) = x² + x + 41 విలువ ‘x’ యొక్క అన్ని విలువలకు ప్రధానాంకము కాదు.
∴ “p(x) = x² + x + 41 ప్రధాన సంఖ్య” అను పరికల్పన అసత్యము.

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు Ex 1.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.3

ప్రశ్న1.
2.874 ను సంఖ్యారేఖపై క్రమానుగత వర్ధన పద్ధతిలో చూపించండి.
సాధన.
సోపానం – 1:

సోపానం – 2:

సోపానం – 3:

ప్రశ్న2.
\(5 . \overline{28}\) ను సంఖ్యారేఖపై క్రమానుగత వర్ధన పద్ధతిలో 2 స్థానాల వరకు చూపించండి.
సాధన.
సోపానం – 1:

సోపానం – 2:

సోపానం – 3:

సోపానం – 4:

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు Ex 1.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.2

ప్రశ్న1.
కింది సంఖ్యలను కరణీయ మరియు అకరణీయ సంఖ్యలుగా వర్గీకరించండి.
i) \(\sqrt{27}\)
ii) \(\sqrt{441}\)
iii) 30.232342345…
iv) 7.484848…
v) 11.2132435465…
vi) 0.3030030003…
సాధన.
i) కరణీయ సంఖ్య
ii) అకరణీయ సంఖ్య
iii) కరణీయ సంఖ్య
iv) అకరణీయ సంఖ్య
v) కరణీయ సంఖ్య
vi) కరణీయ సంఖ్య

ప్రశ్న2.
అకరణీయ సంఖ్యలకు, కరణీయ సంఖ్యలకు మధ్యగల నాలుగు భేదాలను ఉదాహరణలతో తెలుపండి.
సాధన.
i) కరణీయ సంఖ్యను \(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) రూపంలో వ్యక్తపరచలేము.
ఇక్కడ p మరియు q లు పూర్ణసంఖ్యలు మరియు q ≠ 0.
ఉదా : \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}\) మొ॥నవి.

ii) అకరణీయ సంఖ్యను \(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) రూపంలో వ్యక్తపరచవచ్చును.
ఉదా : – 3 = \(\frac {-3}{1}\) మరియు \(\frac {5}{4}\) మొ॥నవి.

ప్రశ్న3.
\(\frac {5}{7}\) మరియు \(\frac {7}{9}\) ల మధ్యగల ఒక కరణీయ సంఖ్య కనుగొనండి.
సాధన.
\(\frac {5}{7}\) మరియు \(\frac {7}{9}\) ల యొక్క దశాంశ రూపములు
\(\frac {5}{7}\) = \(0 . \overline{714285}\) …., \(\frac {7}{9}\) = 0.7777 ….. = \(0 . \overline{7}\)
∴ \(\frac {5}{7}\) మరియు \(\frac {7}{9}\) ల మధ్యన గల కరణీయ సంఖ్య 0.727543 ……

ప్రశ్న4.
0.7 మరియు 0.77 ల మధ్య గల రెండు కరణీయ సంఖ్యలు కనుగొనండి.
సాధన.
0.7 మరియు 0.77 ల మధ్యగల రెండు కరణీయ సంఖ్యల రూపము
0.70101100111000111……. మరియు 0.70200200022…

ప్రశ్న5.
\(\sqrt{5}\) విలువను 3 దశాంశ స్థానాల వరకు కనుగొనండి.
సాధన.

∴ \(\sqrt{5}\) = 2.236
[\(\sqrt{5}\) విలువ కచ్చితముగా 2.23606 కు సమానం కాదు]

ప్రశ్న6.
భాగహార పద్ధతిలో \(\sqrt{7}\) విలువను ఆరు దశాంశ స్థానాల వరకు కనుగొనండి.
సాధన.

ప్రశ్న7.
\(\sqrt{10}\) ను సంఖ్యారేఖపై సూచించండి.
సాధన.
సోపానం-1 : సంఖ్యారేఖను గీయుము.

సోపానం-2 : OABC దీర్ఘచతురస్రమును పొడవు 3 యూనిట్లు మరియు వెడల్పు 1 యూనిట్ ఉండేలా గీయుము.
సోపానం-3 : OB కర్ణమును గీయుము.
సోపానం-4 : ‘O’ కేంద్రంగా OB వ్యాసార్ధముతో ఒక చాపమును గీయగా అది సంఖ్యారేఖను D వద్ద ఖండించును.
సోపానం-5 : సంఖ్యారేఖ పై గల ‘D’ విలువ \(\sqrt{10}\) ను సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న8.
2, 3 ల మధ్య గల రెండు కరణీయ సంఖ్యలు కనుగొనండి.
సాధన.
ab ఒక సంపూర్ణవర్గం కాకుండునట్లు a, b లు ఏవైనా రెండు ధన అకరణీయ సంఖ్యలయితే \(\sqrt{a b}\) అనునది
a, b ల మధ్య ఉండే కరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
∴ 2 మరియు 3ల మధ్యన గల కరణీయ సంఖ్య \(\sqrt{6}\)

ప్రశ్న9.
కింది వాక్యాలు సత్యమా ? అసత్యమా ? ఒక ఉదాహరణతో సమర్థించండి.
i) ప్రతి కరణీయ సంఖ్య ఒక వాస్తవ సంఖ్య అవుతుంది.
సాధన.
సత్యము (∵ వాస్తవ సంఖ్యల సమితి కరణీయ మరియు అకరణీయ సంఖ్యలు రెండింటినీ కలిగి ఉంటుంది.)

ii) ప్రతి అకరణీయ సంఖ్య ఒక వాస్తవ సంఖ్య అగును.
సాధన.
సత్యము (∵ వాస్తవ సంఖ్యల సమితి కరణీయ మరియు అకరణీయ సంఖ్యలు రెండింటినీ కలిగి ఉంటుంది.)

iii) ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య అకరణీయ సంఖ్య కొనవసరం లేదు.
సాధన.
అసత్యము
(∵ అకరణీయ సంఖ్యలన్నియూ వాస్తవ సంఖ్యలే.)

iv) n ఒక సంపూర్ణవర్గం అయితే \(\sqrt{n}\) ఒక కరణీయ సంఖ్య కాదు.
సాధన.
సత్యము (∵ కరణీయ సంఖ్య నిర్వచనం ప్రకారం)

v) n ఒక సంపూర్ణవర్గం అయితే \(\sqrt{n}\) ఒక కరణీయ సంఖ్య.
సాధన.
అసత్యము (∵ అకరణీయ సంఖ్య నిర్వచనం ప్రకారం)

vi) ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య ఒక కరణీయ సంఖ్యయే.
సాధన.
అసత్యము (∵ వాస్తవ సంఖ్యలు కరణీయ సంఖ్యలతో పాటు అకరణీయ సంఖ్యలను కూడా కలిగి ఉంటాయి.)

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు Ex 1.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.1

ప్రశ్న1.
a) ఏవైనా మూడు అకరణీయ సంఖ్యలు రాయండి.
సాధన.
\(\frac{3}{4}, \frac{5}{9}, \frac{2}{7}\)

b) అకరణీయ సంఖ్యను మీ సొంత మాటలలో వివరించండి.
సాధన.
\(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) రూపంలో వ్యక్తపరచగలిగిన ఏ సంఖ్యనైనా అకరణీయ సంఖ్య అంటారు.
ఉదా: \(\frac{3}{5}, \frac{-4}{9}, \frac{5}{6}, \ldots \ldots \ldots\)

ప్రశ్న2.
కింది వాక్యాలకు ఒక్కొక్క ఉదాహరణను ఇవ్వండి.
i) అకరణీయ సంఖ్య అయి పూర్ణ సంఖ్య కాని సంఖ్య.
సాధన.
\(\frac {7}{11}\)

ii) పూర్ణాంకమయి సహజ సంఖ్య కాని సంఖ్య.
సాధన.
‘0’ (సున్న)

iii) పూర్ణ సంఖ్యయై పూర్ణాంకం కాని సంఖ్య.
సాధన.
-8

iv) సహజ సంఖ్య, పూర్ణాంకము, పూర్ణ సంఖ్య మరియు అకరణీయ సంఖ్య అన్నీ అయ్యే సంఖ్య.
సాధన.
5

v) పూర్ణ సంఖ్యయై సహజ సంఖ్య కాని సంఖ్య.
సాధన.
– 4

ప్రశ్న3.
1 మరియు 2ల మధ్యగల ఐదు అకరణీయ సంఖ్యలు కనుగొనండి.
సాధన.
1 మరియు 2ల మధ్య 5 అకరణీయ సంఖ్యలుండాలి.
కావున 1 మరియు 2 ల హారాలను 1 + 5 = 6 గా వ్రాస్తాము.
∴ 1 = 1 × \(\frac {6}{6}\) మరియు 2 = \(\frac{2 \times 6}{6}=\frac{12}{6}\)
ఇప్పుడు

ప్రశ్న4.
\(\frac {2}{3}\) మరియు \(\frac {3}{5}\) ల మధ్య మూడు అకరణీయ సంఖ్యలుంచుము.
సాధన.
a, b ల మధ్యగల అకరణీయ సంఖ్య \(\frac{a+b}{2}\) కావున
అదే విధముగా a = \(\frac {2}{3}\), b = \(\frac {3}{5}\) అనుకొనుము.

ప్రశ్న5.
\(\frac {8}{5}\) మరియు \(\frac {-8}{5}\) లను సంఖ్యారేఖపై సూచించండి.
సాధన.

సోపానం-1 : – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 లను సూచిస్తూ ఒక సంఖ్యారేఖను గీయండి.
సోపానం-2 : ఆ సంఖ్యారేఖ పై సున్నాకు కుడి మరియు ఎడమవైపు ప్రతి యూనిట్ ను ఐదు సమాన భాగాలుగా చేయండి.
సోపానం-3 : సున్నా నుండి కుడివైపు గల ఎనిమిదవ బిందువు \(\frac {8}{5}\)ను మరియు ఎడమవైపు గల ఎనిమిదవ బిందువు \(\frac {-8}{5}\)ను సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న6.
కింది అకరణీయ సంఖ్యలను దశాంశ రూపంలో రాయండి.
I. i) \(\frac {242}{1000}\)
సాధన.
\(\frac {242}{1000}\) = 0.242

ii) \(\frac {354}{500}\)
సాధన.
\(\frac {354}{500}\)
= \(\frac{354 \times 2}{500 \times 2}\)
= \(\frac {708}{1000}\)
= 0.708

iii) \(\frac {2}{5}\)
సాధన.
\(\frac {2}{5}\)
= \(\frac{2 \times 2}{5 \times 2}\)
= \(\frac {4}{10}\)
= 0.4

iv) \(\frac {115}{4}\)
సాధన.

∴ \(\frac {115}{4}\) = 28.75

II. i) \(\frac {2}{3}\)
సాధన.

∴ \(\frac {2}{3}\) = 0.6666 ……. = \(0 . \overline{6}\)

ii) \(\frac {-25}{36}\)
సాధన.

∴ \(\frac {-25}{36}\) = -0.6944 ….. = \(-0.69 \overline{4}\)

iii) \(\frac {22}{7}\)
సాధన.

∴ \(\frac {22}{7}\) = 3.14285 ……

iv) \(\frac {11}{9}\)
సాధన.

∴ \(\frac {11}{9}\) = 1.222 …… = \(1 . \overline{2}\)

ప్రశ్న7.
కింది వాటిని \(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) (p, q లు పూర్ణసంఖ్యలు మరియు – q ≠ 0) రూపంలో రాయండి.
i) 0.36
సాధన.
0.36 = \(\frac{36}{100}=\frac{9}{25}\)

ii) 15.4
సాధన.
15.4 = \(\frac{154}{10}=\frac{77}{5}\)

iii) 10.25
సాధన.
10.25 = \(\frac{1025}{100}=\frac{41}{4}\)

iv) 3.25
సాధన:
3.25 = \(\frac{325}{100}=\frac{13}{4}\)

ప్రశ్న8.
కింది వాటిని \(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) (p, q లు పూర్ణసంఖ్యలు మరియు q ≠ 0) రూపంలో రాయండి.
i) \(0 . \overline{5}\)
సాధన.
x = \(0 . \overline{5}\) = 0.5555……… అనుకొనుము.
అవధి ‘1’ కావున ఇరువైపులా 10 చే గుణించగా

∴ \(0 . \overline{5}\) యొక్క \(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) రూపము \(\frac {5}{9}\) అగును.

ii) \(3 . \overline{8}\)
సాధన.
x = \(3 . \overline{8}\) అనుకొనుము.
x = 3.888 ………
అవధి ‘1’ కావున ఇరువైపులా 10 చే గుణించగా

∴ \(3 . \overline{8}\) యొక్క \(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) రూపము \(\frac {35}{9}\) అగును.

iii) \(0 . \overline{36}\)
సాధన.
x = \(0 . \overline{36}\) అనుకొనుము.
x = 0.363636 …………
అవధి ‘2’ కావున ఇరువైపులా 100 చే గుణించగా

∴ \(0 . \overline{36}\) యొక్క \(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) రూపము \(\frac {4}{11}\) అగును.

iv) \(0 . \overline{36}\)
సాధన.
x = \(3.12 \overline{7}\) అనుకొనుము.
x = 3.12777 ……….
అవధి ‘1’ కావున ఇరువైపులా 10 చే గుణించగా

∴ \(3.12 \overline{7}\) యొక్క \(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) రూపము \(\frac {563}{180}\) అగును.

ప్రశ్న9.
కింద ఇచ్చిన ఏ సంఖ్యలు అంతమయ్యే దశాంశాలో భాగహారం చేయకుండానే గుర్తించండి.
i) \(\frac{3}{25}\)
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క హారంను గమనించుము.
హారంలో ‘2’ లేక ‘5’ లేక “2 మరియు 5”ల లబ్దముగాని వుంటే ఆ అకరణీయ సంఖ్య అంతమయ్యే దశాంశమగును.
∴ ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క హారము 25 = 5 × 5
కావున \(\frac{3}{25}\) అంతమగు దశాంశము.

ii) \(\frac{11}{18}\)
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య హారము 18 = 2 × 3 × 3
∴ \(\frac{11}{18}\) అంతము కాని దశాంశము.

iii) \(\frac{13}{20}\)
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క హారము 20 = 2 × 2 × 5
∴ \(\frac{13}{20}\) అంతమగు దశాంశము.

iv) \(\frac{41}{42}\)
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క హారము 42 = 2 × 3 × 7
∴ \(\frac{41}{42}\) అంతము కాని దశాంశము.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 గణితములో నిరూపణలు Ex 15.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు Exercise 15.2

1. కింది ప్రశ్నలను నిగమన పద్ధతి ద్వారా ఆలోచించి సాధించండి.

ప్రశ్న (i)
మనుషులందరూ మరణం కలవారే. జీవన్ ఒక మనిషి. రెండు వాక్యముల నుండి జీవన్ గురించి ఏమి చెప్పగలరు?
సాధన.
పై రెండు వాక్యాల నుండి జీవన్ ఒక మనిషి, కావున మరణం కలవాడు.

ప్రశ్న (ii)
తెలుగు ప్రజలందరూ భారతీయులే. x ఒక భారతీయుడు. x తెలుగువాడు అని చెప్పగలవా ?
సాధన.
చెప్పలేము. x అనే భారతీయుడు, ఏదో ఒక రాష్ట్రంకు చెందినవాడై ఉండాలి.
ఉదాహరణకు తమిళుడు, గుజరాతీ, కన్నడీయుడు … మొ||లైన వారు.

ప్రశ్న (iii)
అంగారక గ్రహవాసుల నాలుకలు ఎర్రగా ఉంటాయి. గులాగ్ (Gulag) అంగారక గ్రహవాసి. రెండు వాక్యముల నుండి గులాగ్ గురించి ఏమి చెప్పగలవు ?
సాధన.
గులాగ్ ఎర్రని నాలుక కలవాడు.

ప్రశ్న (iv)
కింది కార్టూన్ నందు ఇచ్చిన బొమ్మలో రాజు యొక్క వివేచనలో (ఆలోచన) గల తప్పును తెల్పండి.

సాధన.
చురుకైన వారందరూ అధ్యక్షులుకారు. కావున రాజు చురుకైన వాడే కానీ అధ్యక్షుడు కాడు.

ప్రశ్న 2.
నీకు, నాలుగు కార్డులు ఇవ్వబడినవి. ప్రతి కార్డుపై ఒక వైపు అంకెలు రెండవ వైపు ఇంగ్లీషు అక్షరములు ఇవ్వబడినవి. వీటికి “ఒక కార్డుకు ఒక వైపు హల్లు ఉంటే, రెండవ వైపు బేసి సంఖ్య ఉంటుంది” అను నియమం కలదు. ఏ రెండు కార్డులను తిప్పిన మనము పై నియమము ఉన్నదో లేదో సరిచూడగలమా ?

సాధన.
నియమము : ఒక కార్డుకు ఒకవైపు హల్లు ఉంటే, రెండవ వైపు బేసి సంఖ్య వుండును.
కార్డులు B మరియు 8 లను తిప్పిన పై నియమమును సరిచూడగలము.
‘B’ ను తిప్పినపుడు సరిసంఖ్యవున్నచో నియమము పాటించనట్లే.
‘8’ ను తిప్పినపుడు అచ్చు ఏర్పడినచో నియమం పాటించనట్లే.

ప్రశ్న 3.
కింది పట్టికలో కొన్ని సంఖ్యలు ఇవ్వబడినవి. మనము అనుకున్న సంఖ్యలను చెప్పుటకు 8 సూచనలు ఇవ్వబడ్డాయి. అందు నాలుగు సూచనలు సత్యము. కాని అవి సంఖ్యను కనుక్కోవడానికి ఉపయోగపడవు. నాలుగు సూచనలు సంఖ్యను కనుక్కోవడానికి కచ్చితంగా కావాలి. అయితే ఒక సంఖ్యను కనుక్కొనుటకు సూచనలు.
(a) ఆ సంఖ్య 9 కంటే పెద్దది.
(b) ఆ సంఖ్య 10 యొక్క గుణిజము కాదు.
(c) ఆ సంఖ్య 7 యొక్క గుణిజము.
(d) ఆ సంఖ్య బేసి సంఖ్య.
(e) ఆ సంఖ్య 11 యొక్క గుణిజము కాదు.
(f) ఆ సంఖ్య 200 కంటే చిన్నది.
(g) దాని ఒకట్ల స్థానములోని అంకె పదుల స్థానములోని అంకెకన్నా పెద్దది.
(h) దాని పదుల స్థానములోని అంకె బేసిసంఖ్య. ఆ సంఖ్య ఏది ?

సాధన.

సూచన	సారాంశము
a	ఆ సంఖ్య 10 నుండి 99 ల మధ్య కలదు. ఈ సూచన ఉపయోగం లేదు.
b	ఆ సంఖ్య 10, 20, 30, …… 90 లలో ఏదీకాదు.
c	ఆ సంఖ్య 7, 14, 21, 28, 35, 42, … 98లలో ఏదో ఒకటి అయ్యి వుండవచ్చు.
d	ఆ సంఖ్య 7, 21, 35, 49, 63, 77, 91 లలో ఏదో ఒకటి అయ్యి వుండును.
e	ఆ సంఖ్య 7, 21, 35, 49, 63, 91 లలో ఏదో ఒకటై ఉండును.
f	ఉపయోగము లేదు.
g	ఆ సంఖ్య 35, 49 లలో ఏదో ఒకటి అగును.
h	ఆ సంఖ్య 35.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 గణితములో నిరూపణలు Ex 15.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు Exercise 15.1

1. కింది వాక్యములు సత్యమో లేక అసత్యమో లేక సందిగ్ధ వాక్యమో తెలియజేస్తూ వివరించండి.

ప్రశ్న (i)
ఒక నెలలో 27 రోజులు కలవు.
సాధన.
ఈ వాక్యము ఎల్లప్పుడూ అసత్యమే. ఒక నెలలో 30 లేక 31 రోజులు మాత్రమే ఉంటాయి. ఒక్క ఫిబ్రవరి నెలలో తప్పు.

ప్రశ్న (ii)
మకర సంక్రాంతి శుక్రవారము రోజున వచ్చును.
సాధన.
ఈ వాక్యము సందిగ్ధ వాక్యము. మకర సంక్రాంతి నువులు వారంలో ఏ రోజునైనా వచ్చును.

ప్రశ్న (iii)
హైదరాబాద్ నందు ఉష్ణోగ్రత 2°C.
సాధన.
ఈ వాక్యం ఎల్లప్పుడూ అసత్యము.

ప్రశ్న (iv)
జీవరాశికల ఒకే ఒక గ్రహం భూమి.
సాధన.
ఇది ఎల్లప్పుడూ సత్యమని చెప్పలేము.

ప్రశ్న (v)
కుక్కలు ఎగరగలవు.
సాధన.
ఇది ఎల్లప్పుడూ అసత్యము. కుక్కలు ఎల్లప్పుడూ ఎగరలేవు.

ప్రశ్న (vi)
ఫిబ్రవరి నెలలో 28 రోజులు మాత్రమే ఉంటాయి.
సాధన.
ఇది సందిగ్ధ వాక్యము. లీపు సంవత్సరంలో ఫిబ్రవరికి 29 రోజులుండును.

2. కింది వాక్యములు సత్యమో లేదా అసత్యమో తెలియజేస్తూ వివరించండి.

ప్రశ్న (i)
చతుర్భుజంలోని అంతరకోణాల మొత్తం 350°.
సాధన.
అసత్యము. చతుర్భుజంలోని అంతర కోణాల మొత్తము 360°

ప్రశ్న (ii)
ఏదైనా ఒక వాస్తవ సంఖ్య xకు x² ≥ 0.
సాధన.
సత్యము. ఈ వాక్యము అన్ని x విలువలకు సత్యము.

ప్రశ్న (iii)
రాంబస్ ఒక సమాంతర చతురస్రము.
సాధన.
సత్యము. రాంబస్ ఎదురెదురు భుజాల జతలు సమాంతరాలు కావున రాంబస్ సమాంతర చతుర్భుజము.

ప్రశ్న (iv)
రెండు సరిసంఖ్యల మొత్తము ఒక సరిసంఖ్య.
సాధన.
సత్యము. ఈ వాక్యము ఏవైనా రెండు సరిసంఖ్యలకు సాధ్యము.

ప్రశ్న (v)
ఒక వర్గ సంఖ్యను, రెండు బేసి సంఖ్యల మొత్తంగా రాయవచ్చు. సాధన. సందిగ్ధ వాక్యము. ఒక వర్గ సంఖ్యను, రెండు బేసి సంఖ్యల మొత్తంగా రాయలేము.

3. కింది ప్రవచనములు సత్య ప్రవచనములు అగునట్లు, తగు నియమములు వినియోగించి తిరిగి రాయండి.

ప్రశ్న (i)
అన్ని సంఖ్యలను ప్రధాన కారణాంకముల లబ్ధముగా రాయవచ్చును.
సాధన.
ఏ సహజసంఖ్య అయిన ‘1’ కంటే ఎక్కువైన సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా వ్రాయవచ్చును.

ప్రశ్న (ii)
ఒక వాస్తవ సంఖ్య యొక్క రెండు రెట్లు ఎల్లప్పుడు సరిసంఖ్య.
సాధన.
ఒక వాస్తవ సంఖ్య యొక్క రెండు రెట్లు ఎల్లప్పుడు సరిసంఖ్యయే.

ప్రశ్న (iii)
ఏదైనా xకు 3x + 1 > 4.
సాధన.
ఏదైనా సంఖ్య x > 1 కు 3x + 1 > 4 అగును.

ప్రశ్న (iv)
ఏదైనా xకు x³ ≥ 0.
సాధన.
ఏదైనా x > 0 కు x³ ≥ 0.

ప్రశ్న (v)
ప్రతి త్రిభుజంలోను మధ్యగతము కోణ సమద్విఖండన రేఖ అగును.
సాధన.
ఒక సమబాహు త్రిభుజంలో మధ్యగతము కోణ సమద్విఖండన రేఖ అగును.

ప్రశ్న 4.
“అన్ని x > yకు x² > y² అగును” అను ప్రవచనము అసత్యమనుటకు ప్రత్యుదాహరణనివ్వండి.
సాధన.
x = – 8 మరియు y = – 10 అయితే
x > y, x² = (-8)² = 64 మరియు
y² = (- 10)² = 100
కాని x² > y² అసత్యము [∵ 64 < 100]

Andhra Pradesh SCERT AP State Board Syllabus 9th Class Textbook Solutions and Study Material Pdf in English Medium and Telugu Medium are part of AP Board Solutions.

AP State Syllabus 9th Class Textbook Solutions Study Material Guide Pdf Free Download

• AP Board 9th Class Maths Solutions
• AP Board 9th Class Physical Science Solutions
• AP Board 9th Class Biology Solutions
• AP Board 9th Class Social Studies Solutions
• AP Board 9th Class English Solutions
• AP Board 9th Class Hindi Solutions
• AP Board 9th Class Telugu Solutions
• AP 9th Class Telugu Important Questions
• AP 9th Class Maths Important Questions
• AP 9th Class Physical Science Important Questions
• AP 9th Class Biology Important Questions
• AP 9th Class Social Studies Important Questions
• AP 9th Class Maths Bits with Answers
• AP 9th Class Physical Science Bits with Answers
• AP 9th Class Biology Bits with Answers
• AP 9th Class Social Studies Bits with Answers
• AP State Board 9th Class Maths Notes
• AP State Board 9th Class Physical Science Notes
• AP State Board 9th Class Biology Notes
• AP State Board 9th Class Social Studies Notes

Andhra Pradesh SCERT AP State Board Syllabus 9th Class Hindi Textbook Solutions and Study Material Pdf are part of AP Board 9th Class Textbook Solutions.

AP State Syllabus 9th Class Hindi Textbook Solutions Study Material Guide Pdf Free Download

• Chapter 1 जिस देश में गंगा बहती है..
• Chapter 2 गानेवाली चिड़िया
• Chapter 3 बदलें अपनी सोच
• उपवाचक Chapter 1 तारे ज़मीं पर
• Chapter 4 प्रकृति की सीख
• Chapter 5 फुटबॉल
• Chapter 6 बेटी के नाम पत्र
• उपवाचक Chapter 2 सम्मक्का-सारक्का जातरा
• Chapter 7 मेरा जीवन
• Chapter 8 यक्ष प्रश्न
• Chapter 9 रमज़ान
• उपवाचक Chapter 3 बुद्धिमान बालक
• Chapter 10 अमर वाणी
• Chapter 11 सुनीता विलियम्स
• Chapter 12 जागो ग्राहक जागो!
• उपवाचक Chapter 4 अपना स्थान स्वयं बनायें
• पत्र लेखन
• निबंध लेखन
• शब्दकोश