AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు Ex 1.4

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు Ex 1.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.4

ప్రశ్న1.
కింది వానిని సూక్ష్మీకరించండి.
i) (5 + \(\sqrt{7}\)) (2 + \(\sqrt{5}\))
సాధన.
(5 + \(\sqrt{7}\)) (2 + \(\sqrt{5}\))
= 10 + 5\(\sqrt{5}\) + 2\(\sqrt{7}\) + \(\sqrt{35}\)

ii) (5+ \(\sqrt{5}\)) (5 – \(\sqrt{5}\))
సాధన.
(5 + \(\sqrt{5}\)) (5 – \(\sqrt{5}\)) = (5)² – (\(\sqrt{5}\))²
= 25 – 5 = 20

iii) (\(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{7}\))²
సాధన.
(\(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{7}\))² = (\(\sqrt{3}\))² + (\(\sqrt{7}\))² + 2(\(\sqrt{3}\)) (\(\sqrt{7}\))
= 3 + 7 + 2\(\sqrt{21}\) = 10 + 2\(\sqrt{21}\)

iv) (\(\sqrt{11}\) – \(\sqrt{7}\))(\(\sqrt{11}\) + \(\sqrt{7}\))
సాధన.
(\(\sqrt{11}\) – \(\sqrt{7}\))(\(\sqrt{11}\) + \(\sqrt{7}\))
= (\(\sqrt{11}\))² – (\(\sqrt{7}\))²
= 11 – 7 = 4

ప్రశ్న2.
కింది వానిలో అకరణీయ సంఖ్యలేవి? కరణీయ సంఖ్య లేవి?
i) 5 – \(\sqrt{3}\)
ii) \(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{2}\)
iii) (\(\sqrt{2}\) – 2)²
iv) \(\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}\)
v) 2π
vi) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
vii) (2 + \(\sqrt{2}\)) (2 – \(\sqrt{2}\))
సాధన.
i) 5 – \(\sqrt{3}\) – కరణీయ సంఖ్య
ii) \(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{2}\) – కరణీయ సంఖ్య
iii) (\(\sqrt{2}\) – 2)² – కరణీయ సంఖ్య
iv) \(\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}\) – అకరణీయ సంఖ్య
v) 2π – కరణీయ సంఖ్య కాదు
vi) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) – కరణీయ సంఖ్య
vii) (2 + \(\sqrt{2}\)) (2 – \(\sqrt{2}\)) – అకరణీయ సంఖ్య

ప్రశ్న3.
కింది సమీకరణాలలో x, y, z మొదలగు చరరాశులు అకరణీయ సంఖ్యలను సూచిస్తాయా ? కరణీయ సంఖ్యలను సూచిస్తాయా ?
i) x² = 7
ii) y² = 16
iii) z² = 0.02
iv) u² = \(\frac{17}{4}\)
v) w² = 27
vi) t⁴ = 256
సాధన.
i) x² = 7 ⇒ x = \(\sqrt{7}\) ఒక కరణీయ సంఖ్య
ii) y² = 16 ⇒ y = \(\sqrt{16}\) = 4 ఒక అకరణీయ సంఖ్య
iii) z² = 0.02 ⇒ z = \(\sqrt{0.02}\) ఒక కరణీయ సంఖ్య
iv) u² = \(\frac{17}{4}\) ⇒ u = \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) ఒక కరణీయ సంఖ్య
v) w² = 27 ⇒ w = 3\(\sqrt{3}\) ఒక కరణీయ సంఖ్య
vi) t⁴ = 256 ⇒ t = \(\sqrt[4]{256}=\sqrt[4]{4^{4}}\) = 4 ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

ప్రశ్న4.
ఒక వృత్తపరిధికి, దాని వ్యాసానికి గల నిష్పత్తి \(\frac{c}{d}\)ని π సూచిస్తాము. మరి π ను కరణీయసంఖ్య అని ఎందుకు పరిగణిస్తారు ?
సాధన.
వృత్తపరిధి (c) మరియు వ్యాసము (d) లు పోల్చదగిన పొడవులు కావు. అనగా ఆ రెంటిని కచ్చితంగా కొలిచే మాపనము లేదు. కాబట్టి π ను కరణీయ సంఖ్యగా పరిగణిస్తాము.

ప్రశ్న5.
హారాలను అకరణీయం చేయండి.
i) \(\frac{1}{3+\sqrt{2}}\)
సాధన.

ii) \(\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}\)
సాధన.

iii) \(\frac{1}{\sqrt{7}}\)
సాధన.
\(\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{1}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}\)

iv) \(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)
సాధన.

ప్రశ్న6.
హారాలను అకరణీయం చేసి సూక్ష్మీకరించండి.
i) \(\frac{6-4 \sqrt{2}}{6+4 \sqrt{2}}\)
సాధన.

ii) \(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\)
సాధన.

iii) \(\frac{3 \sqrt{5}-\sqrt{7}}{3 \sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
సాధన.

iv) \(\frac{3 \sqrt{5}-\sqrt{7}}{3 \sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
సాధన.

ప్రశ్న7.
\(\sqrt{2}\) = 1.414, \(\sqrt{3}\) = 1.732 మరియు \(\sqrt{5}\) = 2.236 అయితే \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{15}}{2 \sqrt{2}}\) విలువను మూడు దశాంశ స్థానాల వరకు కనుగొనండి.
సాధన.

ప్రశ్న8.
విలువలు కనుగొనండి.
i) 64^1/6
సాధన.
64^1/6 = (2⁶)^1/6 = 2

ii) 32^1/5
సాధన.
32^1/5 = (2⁵)^1/5 = 2

iii) 625^1/4
సాధన.
625^1/4 = (5⁴)^1/4 = 5

iv) 16^3/2
సాధన.
16^3/2 = (4²)^3/2 = 4³ = 64

v) 243^2/5
సాధన.
243^2/5 = (3⁵)^2/5 = 3² = 9

vi) (46656)^-1/6
సాధన.
(46656)^-1/6 = (6⁶)^-1/6
= 6^-1 = \(\frac{1}{6^{1}}\) = \(\frac {1}{6}\)
[∵ 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 46656]

ప్రశ్న9.
\(\sqrt[4]{81}-8 \sqrt[3]{343}+15 \sqrt[5]{32}+\sqrt{225}\) ను సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.

= (3⁴)^1/4 – 8(7³)^1/4 + 15(2⁵)^1/5 + 15
= 3 – 8 × 7 + 15 × 2 + 15
= 3 – 56 + 30 + 15 = -8

ప్రశ్న10.
‘a’ మరియు ‘b’ లు ఏవైనా అకరణీయసంఖ్యలు అయితే కింది సమీకరణాలలో a, b విలువలు కనుక్కోండి.
i) \(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=a+b \sqrt{6}\)
సాధన.
\(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)
హారంను అకరణీయం చేయగా,

5 + 2\(\sqrt{6}\) ను a + b\(\sqrt{6}\) తో పోల్చగా
a = 5 మరియు b = 2

ii) \(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2 \sqrt{5}-3 \sqrt{3}}=a-b \sqrt{15}\)
సాధన.
\(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2 \sqrt{5}-3 \sqrt{3}}\)
హారమును అకరణీయం చేయగా,