SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Ex 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.
AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 4th Lesson సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Exercise 4.3
ప్రశ్న 1.
l || m అయిన ∠1 మరియు ∠8 లు సంపూరక కోణాలని చూపుటలో ప్రతి ప్రవచనానికి కావలసిన కారణాలను రాయండి.
సాధన.
| ప్రవచనం | కారణాలు |
| i) l // m | తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున బాహ్య కోణాలు ∠1 + ∠8 = 180° |
| ii) ∠1 = ∠5 | ఆసన్న కోణాలు |
| iii) ∠5 + ∠8 = 180° | రేఖీయద్వయం |
| iv) ∠1 + ∠8 = 180° | తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున్న బాహ్యకోణాలు |
| v) ∠1, ∠8 సంపూరక కోణాలు | తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున్న బాహ్యకోణాలు |
ప్రశ్న 2.
కింద పటంలో AB || CD; CD || EF మరియు y : z = 3 : 7 అయిన x విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
దత్తాంశము : AB || CD; CD || EF
⇒ AB || EF మరియు y : z = 3 : 7
పటం నుండి x + y = 180° ……….. (1)
[∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున గల అంతరకోణాలు మొత్తం 180°]
అదే విధంగా y + z = 180 ………… (2)
y : z నిష్పత్తి యొక్క పదాల మొత్తము = 3 + 7 = 10
∴ y = \(\frac {1}{2}\) × 180° = 54°
z = \(\frac {7}{10}\) × 180° = 126°
(1), (2) ల నుండి,
x + y = y + z
⇒ x = z = 126°
ప్రశ్న 3.
కింది పటంలో AB || CD; EF ⊥ CD ఇంకనూ ∠GED = 126°. అయిన ∠AGE, ∠GEF మరియు ∠FGE కొలతలను కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశము : AB || CD; EF ⊥ CD మరియు
∠GED = 126°, ∠FED = 90° మరియు
∠GEF = ∠GED – ∠FED.
∠GEF = 126° – 90° = 36°
ΔGFE లో, ∠GEF + ∠FGE + ∠EFG = 180°
36 + ∠FGE + 90° = 180°
∠FGE = 180° – 126° = 54°
∠AGE = ∠GFE + ∠GEF
(∵ ΔGFE లో ∠AGE బాహ్యకోణం)
= 90° + 36° = 126°
ప్రశ్న 4.
కింది పటంలో PQ || ST, ∠PQR = 110° మరియు ∠RST = 130° అయిన ∠QRS ను కనుగొనండి.
(సూచన : బిందువు R గుండా ST రేఖకు సమాంతరంగా ఒక సరళరేఖను గీయండి.)
సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో PQ || ST
STకి సమాంతరంగా ‘l’ అను రేఖను R ద్వారా గీయుము.
పటం నుండి, a + 110° = 180° [∵ c + 130° = 180° తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు అంతరకోణాల మొత్తం]
∴ a = 180° – 110° = 70°
c = 180° – 130° = 50°
అదే విధంగా a + b + c = 180°
(రేఖపై ఒక బిందువు వద్ద గల కోణములు)
70° + b + 50° = 180°
b = 180° – 120° = 60°
∴ ∠QRS = 60°
ప్రశ్న 5.
కింద పటంలో m || n సరళరేఖలు m, n లపై ఏవైనా రెండు బిందువులు వరుసగా A మరియు B. m, n రేఖల అంతరంలో C ఏదైనా ఒక బిందువు అయిన ∠ACB ని కనుగొనండి.
సాధన.
C అను బిందువుగుండా m మరియు n లకు ఒక సమాంతర రేఖ ‘l’ ను గీయుము.
పటం నుండి, x = a [∵ l మరియు m లకు ఏకాంతర కోణాలు]
y = b [∵ l మరియు n లకు ఏకాంతర కోణాలు]
∴ z = a + b = x + y
ప్రశ్న 6.
కింది పటంలో p || q మరియు r || s అయిన a, bల విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశము p || q మరియు r || s.
∴ పటం నుండి 2a = 80° (∵ ఆసన్న కోణాలు)
a = \(\frac{80^{\circ}}{2}\) = 40°
అదే విధంగా 80° + b = 180° (∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున వున్న అంతరకోణాలు)
∴ b = 180° – 80° = 100°
ప్రశ్న 7.
ఇచ్చిన పటంలో a || b మరియు c || d అయిన (i) ∠1, (ii) ∠2 లకు సర్వసమాన కోణాల పేర్లను రాయండి.
సాధన.
దత్తాంశం a || b మరియు c || d.
∠1 = ∠3 (∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∠1 = ∠5 (∵ ఆసన్న కోణాలు)
∠1 = ∠9 (∵ ఆసన్న కోణాలు)
అదే విధముగా ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7;
∠1 = ∠11 = ∠9 = ∠13 = ∠15
అదే విధముగా ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 మరియు
∠2 = ∠10 = ∠12 = ∠14 = ∠16
ప్రశ్న 8.
ఇచ్చిన పటంలో, బాణం గుర్తులున్న రేఖాఖండాలు సమాంతరాలు అయిన x, y విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.
పటం నుండి
y = 59° (∵ ఏకాంతర కోణాలు సమానం)
x = 60° (∵ సదృశ కోణాలు సమానం)
ప్రశ్న 9.
కింది పటంలో బాణం గుర్తులున్న రేఖాఖండాలు సమాంతరాలు అయిన x, y విలువలను కనుగొనండి.
సాధన.
పటం నుండి 35° + 105° + y = 180°
∴ y = 180° – 140° = 40°
∴ x = 40° (∵ x, y లు ఆసన్న కోణాలు)
ప్రశ్న 10.
పటం మండి x, y విలువలను కనుగొనండి.
సాధన.
పటం నుండి 120° + x = 180°
(∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున్న బాహ్య కోణాలు)
∴ x = 180° – 120°
x = 60°
x = (3y + 6) (∵ ఆసన్న కోణాలు)
3y + 6 = 60°
⇒ 3y = 60° – 6° = 54°
y = \(\frac {54}{3}\) = 18°
∴ x = 60° మరియు y = 18°
ప్రశ్న 11.
పటం నుండి x, y విలువలను కనుగొనండి.
సాధన.
పటం నుండి 52° + 90° + (3y + 5)° = 180°
(∵ త్రిభుజపు అంతర కోణాలు)
∴ 3y + 147 = 180° ⇒ 3y = 33°
y = \(\frac {33}{3}\) = 11°
అదే విధముగా x + 65° + 52° = 180°
(∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున గల అంతర కోణాలు)
∴ x = 180° – 117° = 63°
ప్రశ్న 12.
కింది ప్రవచనానికి తగిన పటాన్ని గీయండి.
ఒక కోణము యొక్క రెండు భుజాలు వరుసగా వేరొక కోణము యొక్క రెండు భుజాలకు లంబరేఖలైన ఆ రెండు కోణములు సమానము లేదా సంపూరకాలు.
సాధన.
AO ⊥ PQ, OB ⊥ QR
కోణాలు అన్నీ సంపూరకాలు.
AO ⊥ PQ, OB ⊥ QR
కోణాలు సమానములు.
ప్రశ్న 13.
ఇచ్చిన పటంలో AB || CD; ∠APQ = 50° మరియు ∠PRD = 127° అయిన x, y విలువలను కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశము AB || CD మరియు
∠PRD = 127°
పటం నుండి x = 50° (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
అదే విధంగా y + 50° = 127°(∵ ఏకాంతర కోణాలు)
∴ y = 127 – 50 = 77°
ప్రశ్న 14.
క్రింది పటంలో PQ మరియు RSలు సమాంతరంగా ఉంచబడిన రెండు దర్పణాలు. పతన కిరణము \(\overline{\mathrm{AB}}\) దర్పణము PQ ని బిందువు B వద్ద తాకును. పరావర్తనకిరణము \(\overline{\mathrm{BC}}\) దర్పణము RSను Cబిందువు వద్ద తాకి మరల \(\overline{\mathrm{CD}}\) గుండా పరావర్తనము చెందును. అయిన AB || CD అని చూపుము.
(సూచన : సమాంతర రేఖలకు గీసిన లంబరేఖలు కూడా సమాంతర రేఖలు అవుతాయి.)
సాధన.
ఇచ్చిన పటంకు B మరియు Cల వద్ద లంబాలను గీయుము.
∠x = ∠y (పతన మరియు పరావర్తన కోణాలు సమానము)
∠y = ∠w (ఏకాంతర కోణాలు)
∠w = ∠z (పతన మరియు పరావర్తన కోణాలు సమానము)
∴ x + y = y + Z
(\(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{CD}}\) ల ఏకాంతర అంతరకోణాలు)
∴ AB || CD.
ప్రశ్న 15.
ఇచ్చిన పటాలలో AB || CD తిర్యగ్రేఖ EF సరళరేఖలు AB, CD లను వరుసగా G, H బిందువుల వద్ద ఖండించును. అయిన x, y విలువలు కనుగొనండి. కారణములను తెల్పుము.
సాధన.
పటం (i)
3x = y (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
2x + y = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
∴ 2x + 3x = 180°
5x = 180° ⇒ x = \(\frac {180}{5}\) = 36°
మరియు y = 3x = 3 × 36 = 108°
పటం (ii)
2x + 15 = 3x – 20° (∵ ఒకే వైపున్న శీర్షకోణాలు)
2x – 3x = – 20 – 15
– x = – 35
x = 35°
పటం (iii)
(4x – 23) + 3x = 180° (∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున గల అభిముఖ అంతర కోణాలు)
7x – 23 = 180°
7x = 203 ⇒ x = \(\frac {203}{7}\) = 29°
ప్రశ్న 16.
ఇచ్చిన పటంలో AB || CD, ‘t’ అనే తిర్యగ్రేఖ వీటిని వరుసగా E మరియు F బిందువుల వద్ద ఖండించును. ∠2 : ∠1 = 5 : 4 అయిన మిగిలిన కోణాల విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశము AB || CD మరియు ∠2 : ∠1 = 5 : 4
∠1 + ∠2 = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
∠2 : ∠1 ల నిష్పత్తుల మొత్తము = 5 + 4 = 9
∠1 = \(\frac {4}{9}\) × 180° = 80°
∠2 = \(\frac {5}{9}\) × 180° = 100
∠1, ∠3, ∠5, ∠7 ల విలువ 80°.
అదే విధంగా ∠2, ∠4, ∠6, ∠8ల విలువ 100°.
ప్రశ్న 17.
కింద ఇచ్చిన పటంలో AB || CD అయిన x, y, z ల విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశము AB || CD.
పటం నుండి (2x + 3x) + 80° = 180°
(∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునున్న కోణాల మొత్తము)
∴ 5x = 180° – 80° = 100°
x = \(\frac{100^{\circ}}{5}\) = 20°
ఇప్పుడు 3x = y (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
∴ y = 3 × 20° = 60°
మరియు y + z = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
∴ z = 180° – 60° = 120°
ప్రశ్న 18.
కింద ఇచ్చిన పటంలో AB || CD అయిన x, y, z విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశం AB || CD.
పటం నుండి x° + 70° + x° = 180°
(∵ రేఖపై ఒక బిందువు వద్ద గల కోణాలు)
∴ 2x = 180° – 70°
x = \(\frac{110^{\circ}}{2}\) = 55°
Δ ABC లో 90° + x° + y° = 180°
⇒ x + y = 180° – 90° = 90°
90° + 55° + y = 180°
y = 180° – 145° = 35°
మరియు x° + z° = 180°
[∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునవున్న అంతరకోణాలు]
55° + z = 180°
⇒ z = 180° – 55° = 125°
ప్రశ్న 19.
కింద ఇచ్చిన పటాలలో ప్రతి పటంలో AB || CD అయిన ప్రతీ సందర్భంలో X విలువను కనుగొనండి.
సాధన.
ప్రతి సందర్భంలోనూ ‘l’ అను రేఖను AB మరియు CD లకు సమాంతరంగా E గుండా గీయుము.
పటం (i)
a + 104° = 180° ⇒ a = 180° – 104° = 76°
b + 116° = 180° ⇒ b = 180° – 116° = 64°
[∵ ఒకే వైపునున్న అంతరకోణాలు]
∴ a + b = x = 76° + 64° = 140°
పటం (ii) a = 35°, b = 65° [∵ ఏకాంతరంగా వున్న అంతర కోణాలు]
x = a + b = 35° + 65° = 100°
పటం (iii)
a + 35° = 180° ⇒ a = 145°
b + 75° = 180° ⇒ b = 105°
[∵ ఒకే వైపునున్న అంతర కోణాలు]
∴ x = a + b = 145° + 105° = 250°