AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions

ఇవి చేయండి

1 (i) ‘x’ చరరాశితో కూడిన రెండు బహుపదులు రాయండి. (పేజీ నెం. 29)
సాధన.
5x² + 2x – 8 మరియు 3x³ – 2x + 6.

(ii) ‘y’ చరరాశితో కూడిన మూడు బహుపదులు రాయండి. (పేజీ నెం. 29)
సాధన.
y³ – y² + y; 2y² + 7y – 9 + 3y³; y⁴ – y + 6 + 2y².

(iii) 2x² + 3xy + 5y² అనే బహుపది ఒక చరరాశితో ఉన్నదా ? (పేజీ నెం. 29)
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది x, y అను రెండు చరరాశులను కలిగివున్నది.

(iv) వివిధ రకాల ఘనాకార వస్తువులకు వైశాల్యం, ఘనపరిమాణం కనుగొనే సూత్రాలు రాయండి. వాటిలో చరరాశులను, స్థిరరాశులను తెలపండి. (పేజీ నెం. 29)
సాధన.

2. కింద ఇవ్వబడిన ప్రతి బహుపది యొక్క పరిమాణాలు రాయండి. (పేజీ నెం. 30)
i) 7x³ + 5x² + 2x – 6
ii) 7 – x + 3x²
iii) 5p – \(\sqrt{3}\)
iv) 2
v) – 5xy²
సాధన.
i) పరిమాణం 3
ii) పరిమాణం 2
iii) పరిమాణం 1
iv) పరిమాణం 0
v) పరిమాణం 3

3. కింది వానిలో x² యొక్క గుణకాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 30)
i) 15 – 3x + 2x²
ii) 1 – x²
iii) πx² – 3x + 5
iv) \(\sqrt{2}\)x² + 5x -1
సాధన.
x² గుణకము 2
x² గుణకము -1
x² గుణకము π
x² గుణకము \(\sqrt{2}\)

4. కింద ఇవ్వబడిన బహుపదులలో సూచించిన చరరాశి విలువను ప్రతిక్షేపించి విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 33)
i) x = 1 వద్ద P(x) = 4x² – 3x + 7
సాధన.
x = 1 వద్ద p(x) యొక్క విలువ
= 4(1)² – 3(1) + 7 = 8

ii) y= 1 వద్ద q(y) = 2y3 – 4y + \(\sqrt{11}\)
సాధన.
y = 1 వద్ద q(y) యొక్క విలువ
= 2(1)³ – 4(1) + \(\sqrt{11}\) = -2 + \(\sqrt{11}\)

iii) t = p (t∈R) వద్ద r(t) = 4t⁴ + 3t³ – t² + 6
సాధన.
t = pవద్ద r(t) యొక్క విలువ
= 4p⁴ + 3p³ – p² + 6

iv) z = 1 వద్ద s(z) = z³ – 1
సాధన.
z = 1 వద్ద S(z) యొక్క విలువ = 13 – 1 = 0

v) x = 1 వద్ద p(x) = 3x² + 5x – 7
సాధన.
x = 1 వద్ద p(x) యొక్క విలువ
= 3(1)² + 5(1) – 7 = 1

vi) z = 2 వద్ద q(2) = 5z³ – 4x + \(\sqrt{2}\)
సాధన.
z = 2 వద్ద q(2) యొక్క విలువ
= 5(2)³ – 4(2) + \(\sqrt{2}\)
= 40 – 8 + \(\sqrt{2}\)
= 32 + \(\sqrt{2}\)

5. కింది ఖాళీలను పూరించండి. (పేజీ నెం. 35)

సాధన.

6. 3y³ + 2y² + y బహుపదిని ‘y’ చే భాగించి భాగహార సత్యం రాయండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
(3y³ + 2y² + y) ÷ y = \(\frac{3 y^{3}}{y}+\frac{2 y^{2}}{y}+\frac{y}{y}\)
= 3y² + 2y +1
భాగహార సత్యము = (3y² + 2y + 1) · y
= 3y + 2y² + y

7. 4p²+ 2p + 2 ను ‘2p’ చే భాగించి భాగహార సత్యాన్ని రాయండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
(4p² + 2p + 2) ÷ 2 = \(\frac{4 p^{2}}{2 p}+\frac{2 p}{2 p}+\frac{2}{2 p}\)
= 2p + 1 + \(\frac{1}{\mathrm{p}}\)
భాగహార సత్యము = \(\left(2 p+1+\frac{1}{p}\right)\) × 2p
= 4p² + 2p + 2

8. కింది వానిని కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 46)
1. 6x² + 19x + 15
సాధన.
6x² + 19x + 15
= 6x² + 10x + 9x + 15
= 2x (3x + 5) + 3 (3x + 5)
= (3x + 5) (2x + 3)

2. 10m² – 31m – 132
సాధన.
10m² – 31m – 132
= 10m² – 55m + 24m – 132
= 5m (2m – 11) + 12 (2m – 11)
= (2 – 11) (5m + 12)

3. 12x² + 11x + 2
సాధన.
12x² + 11x + 2 = 12x² + 8x + 3x + 2
= 4x (3x + 2) + 1 (3x + 2)
= (3x + 2) (4x + 1)

9. కింది సమాసాలకు సర్వసమీకరణాలనుపయోగించి లబ్దాలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 49)
i) (x + 5) (x + 5)
సాధన.
(x + 5) (x + 5)
= (x + 5)²
= x² + 2(5) (5) + 5²
= x²+ 10x + 25

ii) (p – 3) (p + 3)
సాధన.
(p – 3) (p + 3)
= p² – 3²
= p2 – 9

iii) (y – 1) (y – 1)
సాధన.
(y – 1) (y – 1)
= (y – 1)²
= y² – 2y + 1

iv) (t + 2) (t + 4)
సాధన.
(t + 2) (t + 4)
= t² + t (2 + 4) + 2 × 4
= 12 + 6t + 8

v) 102 × 98
సాధన.
102 × 98 = (100 + 2) (100 – 2)
= 1002 – 22
= 10000 – 4
= 9996

10. కింది వానిని తగిన సర్వసమీకరణాలనుపయోగించి కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 50)
i) 49a² + 70ab + 25b²
సాధన.
49a² + 70ab + 25b²
= (7a)² + 2 (7a) (5b) + (5b)²
= (7a + 5b)² = (7a + 5b) (7a + 5b)

ii) \(\frac{9}{16} x^{2}-\frac{y^{2}}{9}\)
సాధన.
\(\frac{9}{16} x^{2}-\frac{y^{2}}{9}\) = \(\left(\frac{3}{4} x\right)^{2}-\left(\frac{y}{3}\right)^{2}\)
= \(\left(\frac{3}{4} x+\frac{y}{3}\right)\left(\frac{3}{4} x-\frac{y}{3}\right)\)

iii) t² – 2t + 1
సాధన.
t² – 2t + 1 = (t)² – 2(t) (1) + (1)²
= (t – 1)² = (t – 1) (t – 1)

iv) x² + 3x + 2
సాధన.
x² + 3x + 2 = x² + (2 + 1) x + (2 × 1)
= (x + 2) (x + 1)

11. i) (p+ 2q + r)² ను విస్తరణ రూపంలో రాయండి. (పేజీ నెం. 52)
సాధన.
(p+ 2q + r)²
= (p)² + (2q)² + (r)² + 2 (p) (24) + 2 (2q) (r) + 2(r) (p)
= p² + 4q² + r² + 4pg + 4qr + 2rp

ii) (4x – 2y – 3z) ను సూత్రం ద్వారా విస్తరించండి. (పేజీ నెం. 52)
సాధన.
(4x – 2y – 3z)
= (4x)² + (-2y)² + (-3z)² + 2 (4x) (-2y) + 2 (-2y) (-3z) + 2 (-3z) (4x)
= 16x² + 4y² + 9z² – 16xy + 12yz – 24zx

iii) 4a² + b² + c² – 4ab + 2bc – 4ca ను సూత్రం ద్వారా కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 52)
సాధన.
4a² + b² + c² – 4ab + 2bc – 4ca
= (2a)² + (-b)² + (-c)² + 2(2a) (-b) + 2 (- b) (-c) + 2(-c) (2a)
= (2a – b – c)²
= (2a – b – c) (2a – b – c)

12. (x + 1)³ ను సర్వసమీకరణం ఉపయోగించి విస్తరించండి. (పేజీ నెం. 54)
సాధన.
(x + 1)³ = (x)³ + (1)³ + 3 (x) (1) (x + 1)
= x³ + 1 + 3x (x + 1)
= x³ + 1 + 3x² + 3x
= x³ + 3x² + 3x + 1

13. (3m – 2n)³ ను గుణించండి. (పేజీ నెం. 54)
సాధన.
(3m – 2n)³ = (3m)³ – 3 (3m)² (2n) + 3 (3m) (2n)² – (2n)³
= 27m³ – 54m²n + 36mn² – 8n³

14. a³ – 3a²b + 3ab² – b³ ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 54)
సాధన.
a³ – 3a²b + 3ab² – b³
= (a)³ – 3 (a)²(b) + 3 (a) (b)² – (b)³
= (a – b)³ = (a – b) (a – b) (a – b)

15. గుణకారం చేయకుండానే (a – b – c) (a² + b² + c² – ab + bc – ca) లబ్దంను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
ఇచ్చిన సమస్య సరిగా లేదు. సాధన సాధ్యపడదు.

16. సర్వసమీకరణం ఉపయోగించి 27a³ + b³ + 8c³ – 18abcని కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
27a³ + b³ + 8c³ – 18abc
= (32)³ + (b)³ + (2c)³ – 3(3a) (b) (2c)
= (3a + b + 2c) (9a² + b² + 4c² – 3ab – 2bc – 6ca)

ప్రయత్నించండి

1. x చరరాశితో కూడిన ద్విపదిని రాయండి. (పేజీ నెం. 31)
సాధన.
x చరరాశితో కూడిన ద్విపది 2x + 3x².

2. p చరరాశితో కూడిన 15 పదాలుండే బహుపదిని మీరు ఎలా రాస్తారు ? (పేజీ నెం. 31)
సాధన.
a₁₄P¹⁴ + a₁₃p¹³ + a₁₂p¹² + …… + a₁p + a₀

3. కింది బహుపదుల శూన్య విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 34)
1. 2x – 3
సాధన.
2x – 3 = 0
2x = 3
x = \(\frac {3}{2}\)
∴ 2x – 3 యొక్క శూన్య విలువ \(\frac {3}{2}\)

2. x² – 5x + 6
సాధన.
x² – 5x + 6 = 0
= x² – 3x – 2x + 6 = 0
= x(x – 3) – 2 (x – 3) = 0
= (x – 2) (x – 3) = 0
⇒ x – 2 = 0 లేక x – 3 = 0
⇒ x = 2 లేక x = 3
∴ x2 – 5x + 6 యొక్క శూన్య విలువలు 2 లేక 3.

3. x + 5
సాధన.
x + 5 = 0
x = -5
∴ x + 5 యొక్క శూన్య విలువ x = – 5.

4. xⁿ – 1 అను బహుపదికి (x – 1) ఒక కారణాంకమని చూపండి. (పేజీ నెం. 45)
సాధన.
p(x) = xⁿ – 1 అనుకొనుము.
x = 1 అయిన p(1) = 1ⁿ – 1 = 1 – 1 = 0
∴ p(1) = 0
∴ p(x) కు (x – 1) ఒక కారణాంకము.

5. కింది సర్వసమీకరణాలకు కూడా పటాలను గీచి నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 49)
i) (x + y)² ≡ x² + 2xy + y²

సోపానం – 1: పటం – I వైశాల్యం = x · x = x²
సోపానం – 2 : పటం – II వైశాల్యం = x · y = xy
సోపానం – 3 : పటం – III వైశాల్యం = x · y = xy
సోపానం – 4 :.పటం – IV వైశాల్యం = y · y = y²
పెద్ద చతురస్ర వైశాల్యం = I, II, III మరియు IV ల వైశాల్యాల మొత్తము
∴ (x + y) (x + y) = x² + xy + xy + y²
(x + y)² = x² + 2xy + y²

ii) (x + y) (x + y) ≡ x² – y²

సోపానం – 1 : పటం – I వైశాల్యం
= x (x – y) = x² – xy

సోపానం – 2 : పటం – II వైశాల్యం = (x – y) y = xy – y²
పెద్ద దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = I & II ల వైశాల్యాల మొత్తం
(x + y) (x – y) = x² – xy + xy – y² = x² – y²
∴ (x + y) (x – y) ≡ x² – y²

iii) (x + a) (x + b) ≡ x² + (a + b) x + ab

సోపానం – 1 : పటం – I వైశాల్యం = x²
సోపానం – 2 : పటం – II వైశాల్యం = ax
సోపానం – 3 : పటం – III వైశాల్యం = bx
సోపానం – 4 : పటం – IV వైశాల్యం = ab
∴ పెద్ద దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = నాలుగు పటముల వైశాల్యాల మొత్తము
∴ (x + a) (x + b) = x² + ax + bx + ab
(x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab

6. (x – y)3 లబ్దంను గుణకారం చేయకుండా ఎలా కనుగొంటారు ? లభాన్ని గుణకారం చేసి సరిచూడండి. (పేజీ నెం.52)
సాధన.
(x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – 3y³
గుణకారం చేయగా, (∵ సర్వసమీకరణం)
(x – y)³ = (x – y)² (x – y)
= (x² – 2xy + y²) (x – y)
= x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
= x³ – 3x²y + 3xy² – y³
రెండూ సమానము.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. కింది సమాసాలలో ఏవి. బహుపదులు ? ఏవి కావు ? కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం.28)
i) 4x² + 5x – 2
ii) y² – 8
iii) 5
iv) 2x² + \(\frac{3}{x}\) – 5
v) \(\sqrt{3}\)x² + 5y
vi) \(\frac{1}{x+1}\)
vii) \(\sqrt{x}\)
viii) 3xyz
సాధన.
i) 4x² + 5x – 2 – బహుపది.
ii) y² – 8 – బహుపది
iii) 5 – బహుపది
iv) 2x² + \(\frac{3}{x}\) – 5 – బహుపది కాదు
v) \(\sqrt{3}\)x² + 5y – బహుపది
vi) \(\frac{1}{x+1}\) – బహుపది కాదు
vii) \(\sqrt{x}\) – బహుపది కాదు
viii) 3xyz – బహుపది
ఎందుకనగా వీటి చరరాశుల యొక్క ఘాతాలు – 1, –\(\frac {1}{2}\)ల వంటి ఋణ పూర్ణసంఖ్య అయినది కావున.

2. ఒక చరరాశితో కూడిన 3వ పరిమాణ ఘనబహుపదిలో ఎన్ని పదాలుంటాయి ? కొన్ని ఉదాహరణలివ్వండి. (పేజీ నెం.31)
సాధన.
ఒక చరరాశితో కూడిన 3వ పరిమాణ ఘనబహుపదిలో గరిష్ఠంగా 4 పదాలుంటాయి.
ఉదా : x³ + 0, 2x³ + 2, 3y³ + 4y² + 4

3. వర్గ బహుపదికి రెండు శూన్య విలువలుంటాయి. మరి ‘n’వ పరిమాణ బహుపదికి ఎన్ని శూన్య విలువలుంటాయో చెప్పగలరా ? (పేజీ నెం.36) సాధన.
‘n’ వ పరిమాణ బహుపదికి ‘n’ శూన్య విలువలు ఉంటాయి.

శేష సిద్ధాంతము :

p(x) అనేది ఒక ఏక పరిమాణ లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ గరిష్ఠ పరిమాణంగల బహుపది మరియు ‘a’ అనేది వాస్తవ సంఖ్య అయినప్పుడు p(x) ను రేఖీయ బహుపది (x – a) చే భాగిస్తే వచ్చు శేషం p(a) అగును.
పై సిద్ధాంత నిరూపణను పరిశీలిద్దాం. (పేజీ నెం. 40)
ఉపపత్తి :
ఏకపరిమాణ లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ గరిష్ఠ పరిమాణంగల బహుపది p(x) ను తీసుకుందాం.
p(x) ను రేఖీయ బహుపది g(x) = (x – a) చే భాగించునప్పుడు భాగఫలం q(x) మరియు శేషం r(x) అనుకుందాం. అంటే p(x) మరియు g(x) అనేవి రెండు బహుపదులు అయిన సందర్భంలో p(x) యొక్క పరిమాణం ≥g(x) యొక్క పరిమాణం మరియు g(x) ≠ 0 అయితే మనకు q(x) మరియు r(x) అనే మరొక రెండు బహుపదులు వస్తాయి. ఇందులో r(x) = 0 లేదా r(x) పరిమాణం ఎప్పుడూ g(x) పరిమాణం కన్నా తక్కువగా ఉంటుంది.
భాగహార నియమం ప్రకారం
p(x) = g(x) · q(x) + r(x) గా రాయవచ్చు.
∴ p(x) = (x – a) · q(8) + r(x)
(∵ g(x) = (x – a))
(x – a) పరిమాణం 1 మరియు r(x) పరిమాణం (x – a) పరిమాణం కన్నా తక్కువ కనుక.
∴ r(x) పరిమాణం = 0, అంటే r(x) ఒక స్థిరరాశి.
దీనిని ‘K’ అనుకుంటే, ప్రతి వాస్తవ విలువ x కు r(x) = K.
కావున p(x) = (x – a) q(x) + K అగును.
x = a అయిన p(a) = (a – a) q(a) + K
= 0 + K = K
కావున సిద్ధాంతం నిరూపించబడినది.

కారణాంక సిద్ధాంతము :

బహుపది పరిమాణం n ≥ 1 గా గల బహుపది p(x) మరియు ‘a’ ఏదేని వాస్తవ సంఖ్య అయినపుడు (i) p(a) = 0 అయిన (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం అగును మరియు (ii) (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం అయిన p(a) = 1 అగును. ఈ సిద్ధాంతం యొక్క సరళతరమైన నిరూపణ పరిశీలిద్దాం. (పేజీ నెం.43)
ఉపపత్తి :
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం
p(x) = (x – a) q(x) + p(a)
i) p(a) = 0 అయిన సందర్భంలో p(x) = (x – a) q(x) + 0 అగును.
= (x – a) q(x)
దీనిని బట్టి p(x) కు (x – a) కారణాంకమని చెప్పవచ్చు. నిరూపించబడింది.

ii) ఇదే విధంగా (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం కావున p(x) = (x – a) సత్యం అవుతుంది. అనేది మరొక బహుపది.
∴ p(a) = (a – a) q(a)
= 0
∴ కావున (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం అయిన p(a) = 0 అయినది.
ఈ విధంగా సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణలు

1. p(x) = x + 2 అయిన p(1), p(2), p(-1) మరియు p(-2) లను కనుగొనండి. బహుపది x + 2 యొక్క శూన్య విలువలు (పేజీ నెం.34)
సాధన.
p(x) = x + 2
x కు బదులు 1 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(1) = 1 + 2 = 3
అలాగే xకు బదులు 2 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(2) = 2 + 2 = 4
x బదులు – 1 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(-1) = – 1 + 2 = 1
x బదులు – 2 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(-2) = – 2 + 2 = 0.
దీనిని బట్టి 1, 2, -1 అనేవి ఇచ్చిన బహుపదికి శూన్య విలువలు కాలేదు. p (-2) = 0 అయినది కావున – 2 బహుపది శూన్య విలువ అయినది.

2. p(x) = 3x + 1 బహుపది యొక్క శూన్య విలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం.34)
సాధన.
p(x) యొక్క శూన్య విలువ కనుగొనడం అంటే బహుపది సమీకరణం. p(x) = 0 ను సాధన చేయడమే.
అనగా
3x + 1 = 0
3x = -1
x = –\(\frac {1}{3}\)
కావున 3x + 1 బహుపది శూన్యవిలువ –\(\frac {1}{3}\) అయినది.

3. బహుపది 2x – 1 యొక్క శూన్యవిలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 85)
సాధన.
p(x) యొక్క శూన్యవిలువ కనుగొనడం అంటే బహుపది సమీకరణం p(x) = 0 ను సాధించడమే.
కనుక p(x) = 2x – 1 అనుకోండి.
2x – 1 = 0 అవుతుంది.
x = \(\frac {1}{2}\)(ఎలా ?)
p(\(\frac {1}{2}\))విలువలను బహుపదిలో ప్రతిక్షేపించి సరిచూడండి.
ఇప్పుడు p(x) = ax + b, a ≠ 0, అయితే దీనిని రేఖీయ బహుపది అంటారు. దీని యొక్క శూన్యవిలువను ఎలా కనుగొంటారు ?
p(x) యొక్క శూన్యవిలువను కనుగొనాలంటే, p(x) = 0 బహుపది సమీకరణాన్ని సాధించాలి.
అంటే ax + b = 0, a ≠ 0
కావున ax = – ab
అనగా x = \(\frac{-b}{a}\)
అందుచే x = \(\frac{-b}{a}\) అనేది p(x) = ax + b యొక్క ఒకే ఒక శూన్యవిలువ అయినది. ఏక చరరాశిలోగల రేఖీయ బహుపదికి ఒకే ఒక శూన్య విలువ ఉంటుంది.

4. x² – 3x + 2 అనే బహుపదికి 2 మరియు 1 అనే విలువలు శూన్యాలవుతాయో, లేదో సరిచూడండి. (పేజీ నెం.36)
సాధన.
p(x) = x² – 3x + 2 అనుకొనుము.
x కు బదులు 2 ను ప్రతిక్షేపించగా
p(2) = (2)² – 3(2) + 2
= 4 – 6 + 2 = 0
అలాగే x ను 1 తో మార్చగా
p(1) = (1)² – 3(1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 0
కావున 2 మరియు 1 అనేవి రెండునూ x² – 3x + 2 యొక్క శూన్యవిలువలు అయినాయి.
శూన్యవిలువలు సరిచూడడానికి మరేమైనా విధానం ఉన్నదా ?
x² – 3x + 2 అనే బహుపది పరిమాణం ఎంత ? ఇది రేఖీయ బహుపది అవుతుందా ? కాదు. ఇది వర్గ బహుపది. కావున వర్గబహుపదికి రెండు శూన్యవిలువలు ఉంటాయని చెప్పవచ్చు.

5. x² + 2x – a అనే బహుపది యొక్క శూన్య విలువ 3 అయితే ‘a’ విలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం.36)
సాధన.
p(x) = x² + 2x – a అనుకొనుము.
బహుపది శూన్యవిలువ 3 కావున p(3) = 0.
x² + 2x – a = 0
x = 3 విలువ ప్రతిక్షేపించగా
(3)² + 2(3) – a = 0
9 + 6 – a = 0
15 – a = 0
-a = -15
లేదా a = 15

6. 3x² + x – 1 ను x + 1 చే భాగించండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
p(x) = 3x² + x – 1 మరియు q(x) = x + 1 అని తీసుకోండి.
p(x) ను q(x) చే భాగించాలి. మీరు ముందు తరగతులలో నేర్చుకున్న భాగహార విధానం గుర్తుకు తెచ్చుకోండి.
సోపానం 1 : \(\frac{3 x^{2}}{x}\) = 3X భాగించగా ఇది భాగఫలంలో మొదటి పదం అగును.
సోపానం 2 : (x + 1) 3x = 3x² + 3x (గుణించగా)
3x + 3x నుండి 3x² + x, తీసివేయగా (-2x) వచ్చింది.

సోపానం 3 : \(\frac{-2 x}{x}\) = – 2 (భాగించగా) ఇది భాగఫలంలో రెండవ షదం అయింది.
సోపానం 4 : (x + 1)(- 2) = – 2x – 2 (గుణించగా), దీనిని (- 2x – 1), నుండి తీసివేయగా ‘1’ వస్తుంది.
సోపానం 5 : భాగహారం ఆపివేసాం. శేషం 1 వచ్చింది. ఇది స్థిరరాశి. (స్థిరరాశిని ఎందుకు బహుపదితో భాగించలేమో చెప్పగలరా ?)
దీని నుండి మనకు భాగఫలం (3x – 2) మరియు శేషం (+1) వచ్చాయి.
గమనిక : భాగహార ప్రక్రియలో శేషం ‘సున్న’ గాని లేదా శేషం యొక్క పరిమాణం, విభాజక పరిమాణం కన్నా తక్కువైన సందర్భంలో ప్రక్రియ పూర్తయినదిగా భావిస్తాం .
ఇప్పుడు, దీని నుండి భాగహార సత్యాన్ని కింది విధంగా రాయవచ్చు.
3x² + x – 1 = (x + 1) (3x – 2) + 1
అంటే విభాజ్యం = (విభాజనం × భాగఫలం) + శేషం
ఈ బహుపది p(x) లో x కు బదులు – 1 ప్రతికేపించగా
p(x) = 3x² + x – 1
P(-1) = 3(-1)² + (-1) – 1
= 3(+1) + (-1) – 1 = 1.
[p(-1) యొక్క విలువ, భాగహారంలో శేషం (1) సమానమైనాయని మీరు భాగహారం చేసి పరిశీలించవచ్చు.]
కావున p(x) = 3x² + x – 1 ను (x + 1) చే భాగించగా వచ్చిన శేషం, p (-1) యొక్క విలువ అంటే x + 1 యొక్క శూన్య విలువ (i.e. x = -1) సమానం అయినాయి.

7. 2x⁴ – 4x³ – 3x – 1 అనే బహుపదిని (x – 1) చే భాగించి శేషాన్ని, విభాజకం యొక్క శూన్యవిలువతో సరిచూడండి. (పేజీ నెం.39)
సాధన.
f(x) = 2x⁴ – 4x³ – 3x – 1 అనుకోండి.

పొడవు భాగహార పద్ధతిలో, మనం మొదట 2x⁴, x ను ఎన్నిసార్లు హెచ్చిస్తే వస్తుందో చూడాలి.
\(\frac{2 x^{4}}{x}\) = 2x³
ఇప్పుడు (x – 1) (2x³) = 2x⁴ – 2x³ గా గుణించాలి.
తిరిగి శేషంలో మొదటి పదం చూడాలి. (అంటే – 2×3) ఈ విధంగా భాగహారం పూర్తి చేయాలి.
ఇచ్చట భాగఫలం 2x³ – 2x² – 2x – 5 మరియు శేషం – 6 వచ్చింది.
ఇప్పుడు (x – 1) యొక్క శూన్య విలువ 1 కావున
x = 1 ని f(x) లో ప్రతిక్షేపిస్తే
f(x) = 2x⁴ – 4x³ – 3x – 1
f(1) = 2(1) – 4(1)³ – 3(1) – 1
= 2(1) – 4(1) – 3(1) – 1
= 2 – 4 – 3 – 1 = -6
భాగహారంలో వచ్చిన శేషం మరియు బహుపది f(x) నకు (x – 1) యొక్క శూన్య విలువ సమానమేనా ?

8. x3 + 1 ను (x + 1) తో భాగిస్తే వచ్చే శేషం కనుగొనుము. (పేజీ నెం.41)
సాధన.
ఇచ్చట p(x) = x³ + 1
రేఖీయ బహుపది x + 1 శూన్య విలువ -1
[x + 1 = 0 కావున x = -1]
x లో -1 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(-1) = (-1)³ + 1 = – 1 + 1 = 0
కావున శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం (x³ + 1) ను (x + 1) చే భాగించగా ‘సున్న’ శేషం వచ్చింది.
దీని కొరకు x³ + 1 ను x + 1 చే భాగహారం చేసి సరిచూడవచ్చు.
ఇక్కడ (x + 1) ను (x³ + 1) కు కారణాంకమని నీవు చెప్పగలవా ?

9. x³ – 2x² – 5x + 4 బహుపదికి (x – 2) కారణాంకమా ? సరిచూడండి. (పేజీ నెం.41)
సాధన.
p(x) = x³ – 2x² – 5x + 4 అనుకోండి.
ఇచ్చిన బహుపదికి (x – 2) కారణాంకం అవునో లేదో తెలుసుకోవాలంటే
(x – 2) యొక్క శూన్యవిలువ 2 తో x కు బదులు ప్రతిక్షేపించాలి.
అనగా x – 2 = 0 ⇒ x = 2.
p(2) = (2)³ – 2(2)² – 5(2) + 4
= 8 – 2(4) – 10 + 4
= 8 – 8 – 10 + 4 = – 6.
శేషం ‘సున్న’ కానందున x³ – 2x² – 5x + 4 బహుపదికి (x – 2) కారణాంకం కాదు.

10. p(y) = 4y³ + 4y² – y – 1 అను బహుపది (2y + 1) నకు గుణిజం అవుతుందా ? సరిచూడండి. (పేజీ నెం.41)
సాధన.
p(y) ను (2y + 1) కచ్చితంగా భాగిస్తే p(y) కు (2y + 1) గుణిజం అవుతుందని మీకు తెలుసు.
అందువలన 2y + 1 యొక్క శూన్యవిలువ
అనగా y = \(\frac {-1}{2}\), P(y) లో \(\frac {-1}{2}\) ను ప్రతిక్షేపిస్తే

కావున (2y + 1) అనేది p(y) కు కారణాంకం అయినది. దీనిని బట్టి p(y) అనేది (2y + 1) కి గుణిజం అని చెప్పవచ్చు.

11. ax³ + 3x² – 13 మరియు 2x³ – 5x + a అను బహుపదులు (x – 2) చే భాగించునప్పుడు శేషాలు సమానం అయితే ‘a’ విలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం.42)
సాధన.
p(x) = ax³ + 3x² – 13 మరియు
q(x) = 2x³ – 5x + a అనుకుందాం.
∵ p(x) మరియు q(x) లను (x – 2) చే భాగిస్తే శేషాలు సమానం.
∴ p(2) = q(2)
a(2)³ + 3(2)² – 13 = 2(2)³ – 5(2) + a
8a + 12 – 13 = 16 – 10 + a
8a – 1 = a + 6
8a – a = 6 + 1
7a = 7
a = 1

12. x³ + 2x² + 3x + 6 అనే బహుపదికి (x + 2) కారణాంకం అవుతుందా ? (పేజీ నెం.44)
సాధన.
p(x) = x³ + 2x² + 3x + 6 మరియు
g(x) = x + 2 అనుకొనుము.
g(x) యొక్క శూన్య విలువ – 2
కావున p(-2) = (-2)³ + 2(-2)² + 3(-2) + 6
= -8+ 2(4) – 6 + 6
= – 8 + 8 – 6 + 6 = 0
కావున, కారణాంక సిద్ధాంతం ప్రకారం ఇచ్చిన బహుపది x³ + 2x² + 3x + 6 కు (x + 2) కారణాంకం అవుతుంది.

13. 2x³ – 9x² + x + K అను బహుపది సమాసానికి (2x – 3) కారణాంకం అయితే K విలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 44)
సాధన.
(2x – 3) అనేది p(x) = 2x³ – 9x² + x + K బహుపదికి కారణాంకం.
(2x – 3) = 0 అయితే x = \(\frac {3}{2}\)
∴ (2x – 3) యొక్క శూన్యవిలువ \(\frac {3}{2}\)
అందుచే (2x – 3) అనేది p(x) కు కారణాంకం అయిన p(\(\frac {3}{2}\)) = 0 అగును.
p(x) = 2x³ – 9x² + x + K
⇒ P(\(\frac {3}{2}\)) = 2(\(\frac {3}{2}\))3 – 9(\(\frac {3}{2}\))2 + \(\frac {3}{2}\) + K = 0
⇒ 2(\(\frac {27}{8}\)) – 9(\(\frac {9}{4}\)) + \(\frac {3}{2}\) + K = 0
⇒ \(\left(\frac{27}{4}-\frac{81}{4}+\frac{3}{2}+K=0\right)\) × 4
27 – 48 + 6 + 4K = 0
-48 + 4K = 0
4K = 48
కావున K = 12

14. (x – 1) అనేది x¹⁰ – 1 అనే బహుపది కారణాంకమని నిరూపించండి. ఇదే విధంగా x¹¹ – 1కు కూడా కారణాంకమని చూపండి. (పేజీ నెం. 45)
సాధన.
p(x) = x¹⁰– 1 మరియు g(x) = x¹¹ – 1 అనుకొనుము.
(x – 1) రెండు బహుపదులు p(x) మరియు g(x) లకు కారణాంకమౌతుందని చూపాలంటే p(1) = 0 మరియు g(1) = 0 అని చూపితే సరిపోతుంది.
ఇప్పుడు
p(x) = x¹⁰ – 1 మరియు g(x) = x¹¹ – 1

కనుక కారణాంక సిద్ధాంతం ప్రకారం (x – 1) అనేది p(x) మరియు g(x) లకు కారణాంకం అయినది.

15. 3x² + 11x + 6 ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం.46)
సాధన.
p, q లు అనేవి రెండు సంఖ్యలు మరియు
p + q = 11 మరియు pq = 3 × 6 = 18
సందర్భంలో p, q లను కనుగొనాలంటే
18 లబ్దంగా రాయగలిగే కారణాంకాల జతలను పరిశీలిస్తే (1, 18), (2, 9), (3, 6) జతలలో, (2, 9) జత p + q = 11 ను తృప్తి పరుస్తాయి.
కావున 3x² + 11x + 6 = 3x² + 2x + 9x + 6
= x(3x + 2) + 3(3x+2)
= (3x + 2) (x + 3)

16. 2x⁴ – 6x³ + 3x² + 3x – 2 అనే బహుపది x² – 3x + 2 చే భాగింపబడుతుందా ? సరిచూడండి. కారణాంక సిద్ధాంతం ఉపయోగించి ఏ విధంగా సరిచూస్తారు ? (పేజీ నెం.46)
సాధన.
విభాజకం ఒక రేఖీయ బహుపది కాదు. ఇది ఒక వర్గ బహుపది. వర్గబహుపది యొక్క మధ్య పదాన్ని విభజించి కారణాంకాలుగా కనుగొనుట మీరు నేర్చుకున్నారు కదా! ఆ విధంగా చేస్తే
x² – 3x + 2 = x² – 2x – x + 2
= x(x – 2) – 1 (x- 2)
= (x – 2) (x – 1)
2x⁴ – 6x³ + 3x² + 3x – 2 అనే బహుపదికి x² – 3x + 2 వర్గ బహుపది కారణాంకమని చూపాలంటే, (x – 2) మరియు (x – 1) లను కారణాంకాలుగా చూపాలి.
కావున p(x) = 2x⁴ – 6x³ + 3x² + 3x – 2 తీసుకుంటే
p(x) కు (x – 2) కారణాంకం అయిన
p(2) = 2(2)⁴ – 6(2)³ + 3(2)² + 3(2) – 2
= 2(16) – 6(8) + 3(4) + 6 – 2
= 32 – 48 + 12 + 6 – 2
= 50 – 50 = 0
p(2) = 0 కావున p(x) కు (x – 2) కారణాంకం అవుతుంది.
మరొక కారణాంకం (x – 1), p(x) కు కారణాంకం కావాలంటే
p(1) = 2(1)⁴ – 6(1)³ + 3(1)² + 3(1) – 2
= 2(1) – 6(1) + 3(1) + 3 – 2
= 2 – 6 + 3 + 3 – 2
= 8 – 8 = 0
∴ p(1) = 0 అయినందున. (x – 1) అనేది p(x)కు కారణాంకం అయింది.
(x – 2) మరియు (x – 1) రెండునూ p(x) కు కారణాంకాలైనందున వాటి లబ్ధం x² – 3x + 2 కూడా p(x) = 2x⁴ – 6x³ + 3x² + 3x – 2 కు కారణాంకం అవుతుంది.

17. x³ – 23x²+ 142x – 120 ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం.47)
సాధన.
p(x) = x³ – 23x² + 142x – 120 అనుకొనండి.
వీటితో ప్రయత్నిస్తే మనకు p(1) = 0 అవుతుంది (సరిచూడండి).
కావున p(x) కు (x – 1) కారణాంకం అవుతుంది.
తర్వాత p (x) ను (x – 1) చే భాగిస్తే మనకు x² – 22x + 120 వస్తుంది.
దీని కారణాంక విభజన మరొక విధంగా చేసి చూద్దాం
x³ – 23x² + 142x – 120
= x³ – x² – 22x² + 22x + 120x – 120
= x²(x – 1) – 22x(x – 1) + 120 (x – 1)
(ఎలా ?)
= (x – 1) (x² – 22x + 120)
ఇప్పుడు x² – 22x + 120 వర్గబహుపది కావున, మధ్యపదంను విడదీసి కారణాంకాలు కనుగొందాం.
x² – 22x + 120 = x² – 12x – 10x + 120
= x(x – 12) – 10(x – 12)
= (x – 12) (x – 10)
కావున x³ – 23x² + 142x – 120
= (x – 1)(x – 10)(x – 12) అయినది.

18. కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 49)
(i) x2 + 5x + 4
(ii) 9x² – 25
(iii) 25a² + 40ab + 16b²
(iv) 49x² – 112xy + 64y²
సాధన.
i) ఇచ్చట x² + 5x + 4 = x² + (4 + 1)x + (4) (1)
ఈ బహుపదిని (x + a) (x + b).
≡ x² + (a + b)x + ab
అనే సర్వసమీకరణంతో పోల్చగా మనకు (x + 4) (x + 1) వస్తుంది.

ii) 9x² – 25 = (3x)² – (5)2
దీనిని x² – y² ≡ (x + y) (x – y) అను సర్వసమీకరణంతో పోల్చగా
∴ 9x² – 25 = (3x + 5) (3x – 5) అగును.

iii) ఇచ్చట బహుపది 25a² + 40ab + 16b²
= (5a)² + 2(5a) (4b) + (4b)²
ఈ సమాసాన్ని x² + 2xy + y² తో పోల్చగా, x = 5a మరియు y = 4b అని పరిశీలించవచ్చు.
(x + y)² ≡ x² + 2xy + y² సర్వసమీకరణము వినియోగిస్తే
మనకు 25a² + 40ab + 16b² = (5a + 4b)²
= (5a + 4b) (5a + 4b) అగును.

iv) ఇచ్చట 49x²– 112xy + 64y², మనకు
49x² = (7x)², 64y² = (8y)² మరియు 112 xy = 2(7x) (8y) అని తెలుస్తున్నది.
దీనిని సర్వసమీకరణం (x – y)² ≡ x² – 2xy + y² తో పోల్చగా
మనకు 49x² – 112xy + 64y²
= (7x)² = 2(7x) (8y) + (8y)²
= (7x – 8y)²
= (7x – 8y) (7x – 8y) అయినది.

19. (2a + 3b + 5)² ను సర్వసమీకరణం ద్వారా విస్తరించండి. (పేజీ నెం.51)
సాధన.
ఇచ్చిన సమాసంను (x + y + z)² తో పోల్చగా,
మనకు x = 24, y = 3b మరియు z = 5 వస్తాయి.
అందువలన సర్వసమీకరణం V, ద్వారా మనం (2a + 3b + 5)² = (2a)² + (3b)² + (5)² + 2(2a)(3b) + 2(3b) (5) + 2(5) (2a)
= 4a² + 9b² + 25 + 12ab + 30b + 20a.

20. (5x – y + z) (5x – y + z) యొక్క లబ్దాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం.51)
సాధన.
ఇచ్చట (5x – y + z) (5x – y + z)
= (5x + y + z)²
= [5x + (-y) + z]²
అందువలన మనం సర్వసమీకరణం V,
(x + y + z)² ≡ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx తో పోల్చగా మనకు
(5x + (-y) + z)² = (5x)² + (-y)² + (2)² + 2(5x) (-y) + 2(-y) (z) + 2(z) (5x)
= 25x² + y² + z² – 10xy – 2yz + 10zx

21. 4x² + 9y² + 25z² – 12xy – 30yz + 20zx ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ 38.51)
సాధన.
మనకు
4x² + 9y² + 25z² – 12xy – 30yz + 20zx
= [(2x)² + (-3y)² + (5z)² + 2(2x) (-3y) + 2(-3y)(5z) + 2(5z)(2x)]
సర్వ సమీకరణం V తో పోల్చగా
(x + y + z)² ≡ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx
మనకు = (2x – 3y + 5z)²
= (2x – 3y + 5z)(2x – 3y + 5z)

22. కింది ఘనాలను విస్తరించండి. (పేజీ నెం.53)
(1) (2a + 3b)³ (ii) (2p – 5)³
సాధన.
i) ఇచ్చిన సమాసాన్ని (x + y)3 తో పోల్చగా,
మనకు x = 2a మరియు y = 3b అగును.
కావున, సర్వసమీకరణం VI, వాడితే (2a + 3b)³
= (2a)³ + (3b)³ + 3(2a)(3b) (2a + 3b)
= 8a³ + 27b³ + 18ab (2a + 3b)
= 8a³ + 27b³ + 36a²b + 54 ab²
= 8a³ + 36a²b + 54ab² + 27b³

ii) ఇచ్చిన సమాసాన్ని (x – y) తో పోల్చగా, మనకు.
x = 2p మరియు y = 5 అగును.
కావున, సర్వసమీకరణం VII, వాడితే, (2p – 5)³
= (2p)³ – (5)³ – 3(2p)(5) (2p – 5)
= 8p3 – 125 – 30p (2p – 5)
= 8p3 – 125 – 60p² + 150p
= 8p3 – 60p² + 150p – 125.

23. కింది వానిని తగిన సర్వసమీకరణాలు ఉపయోగించి గణించండి. (పేజీ నెం.53)
(i) (103)³
(ii) (99)³
సాధన.
i) మనకు (103)³ = (100 + 3)³ వచ్చును.
దీనిని (x + y)³ ≡ x³ + y³ + 3xy(x + y) తో పోల్చగా, మనకు
= (100)³ + (3)³ + 3(100) (3) (100 + 3)
= 1000000 + 27 + 900(103)
= 1000000 + 27 + 92700
= 1092727

ii) మనకు (99)³ = (100 – 1)³
దీనిని (x – y)³ ≡ x – y – 3xy(x – y) తో పోల్చగా, మనకు
= (100)³ – (1)³ – 3(100) (1) (100 – 1)
= 1000000 – 1 – 300 (99)
= 1000000 – 1 – 29700
= 970299.

24. 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³ కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం.54)
సాధన.
ఇచ్చిన సమాసాన్ని మనం దిగువ విధంగా రాస్తే
8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³
= (2x)³+ 3(2x)² (3y) + 3(2x) (3y)² + (3y)³
దీనిని సర్వసమీకరణం VI తో పోల్చగా
(x + y)³ ≡ x³ + 3x²y + 3xy² + y²
మనకు = (2x + 3y)³
= (2x + 3y) (2x + 3y) (2x + 3y) కారణాంకాలుగా వస్తాయి.

25. లబ్ధం కనుగొనండి. (పేజీ నెం.54)
(2a + b + c) (4a² + b² + c² – 2ab – bc – 2ca)
సాధన.
ఇవ్వబడిన లబ్దాన్ని దిగువ విధంగా రాయవచ్చు.
= (2a + b + c) [(2a)² + b² + c² – (2a)(b) – (b)(c) – (c) (2a)]
సమీకరణం VIII తో పోల్చగా
(x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
≡ x³ + y³ + z³ – 3xyz
= (2a)³ + (b)³ + (c)³ – 3(2a) (b) (c)
= 8a³ + b³ + c³ – 6abc

26. a³ – 8b³ – 64c³ – 24abc ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం.55)
సాధన.
ఇవ్వబడిన సమాసం
a³ – 8b³ – 64c³ – 24abc
= (a)³ + (-2b)³ + (-4c)³ – 3(a)(-2b) (-4c)
దీనిని సర్వసమీకరణం VIII తో సరిపోల్చగా
x³ + y³ + z³ – 3xyz
≡ (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
మనకు
= (a – 2b – 4c) [(a)² + (-2b)² + (-4c)² – (a) (-2b) – (-2b) (-4c) – (-4c) (a)]
= (a – 2b – 4c) (a² + 4b² + 16c² + 2ab – 8bc + 4ca) కారణాంకాలుగా వస్తాయి.

27. ఒక దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం 2x² + 9x – 5 అయిన దీర్ఘచతురస్ర పొడవు, వెడల్పులకు తగిన అనుకూల కొలతల విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు, వెడల్పులను l, b లుగా తీసుకోండి.
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 2x² + 9x – 5
lb = 2x² + 9x – 5
= 2x² + 10x – x – 5
= 2x(x + 5) – 1(x + 5)
= (x + 5) (2x – 1)
l, b లకు తగిన అనుకూల కొలతల విలువలు తీసుకుంటే
∴పొడవు = (x + 5)
వెడల్పు = (2x – 1)
x = 1 అయిన l = 6, b = 1
x = 2 అయిన l = 7, b = 3
x = 3 అయిన l = 8, b = 5
…………….
…………….