SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.
AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 4th Lesson సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Exercise 4.2
ప్రశ్న1.
ఇచ్చిన పటంలో \(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{CD}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{EF}}\) సరళరేఖలు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొనును. x : y : z = 2 : 3 : 5 అయిన x, y మరియు z విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.
పటము నుండి
2x + 2y + 2z = 360°
2 [x + y + z] = 360°
x + y + z = \(\frac{360}{2}\) = 180°
దత్తాంశము x : y : z = 2 : 3 : 5
నిష్పత్తిలోని పదాల మొత్తము
x + y + z = 2 + 3 + 5 = 10
∴ x = \(\frac{2}{10}\) × 180° = 36°
y = \(\frac{3}{10}\) × 180° = 54°
z = \(\frac{5}{10}\) × 180° = 90°
x, y మరియు z ల విలువలు వరుసగా
36°, 54°, 90°
ప్రశ్న2.
కింద ఇచ్చిన పటములలో x విలువను కనుగొనుము.
i)
సాధన.
పటము నుండి 3x + 18+ 93° = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
3x + 111° = 180°
3x = 180 – 111° = 69°
∴ x = \(\frac{69}{3}\) = 23°
ii)
సాధన.
పటము నుండి (x – 24)° + 29° + 296° = 360°
(∵ సంపూర్ణకోణము కనుక)
x + 301° = 360°
∴ x = 360° – 301° = 59°
iii)
సాధన.
పటము నుండి (2 + 3x)° = 62°
(∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు కనుక)
∴ 3x = 62 – 2
3x = 60° ⇒ x = \(\frac{60^{\circ}}{3}\) = 20°
∴ x = 20°
iv)
సాధన.
పటము నుండి 40 + (6x + 2) = 90°
6x + 42 = 90° (∵ పూరక కోణాలు కనుక)
6x = 90° – 42°
6x = 48 ⇒ x = \(\frac {48}{6}\) = 8°
ప్రశ్న3.
కింద పటంలో సరళరేఖలు \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) లు బిందువు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొనును. ∠AOC + ∠BOE = 70° మరియు ∠BOD = 40. అయిన ∠BOE మరియు పరావర్తనకోణం ∠COE ల కొలతలు కనుగొనుము.
సాధన.
దత్తాంశము ∠AOC + ∠BOE = 70°
∠BOD = 40°
∴ ∠AOC = 40°
(∵ ∠AOC, ∠BODలు శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ 40° + ∠BOE = 70°
⇒ ∠BOE = 70° – 40° = 30°
∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180°
(∵ AB ఒక రేఖ)
⇒ 40° + ∠COE + 30° = 180°
⇒ ∠COE = 180° – 70° = 110°
∴ పరావర్తన కోణం ∠COE = 110°
ప్రశ్న4.
కింద పటంలో సరళరేఖలు \(\overline{\mathrm{XY}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{MN}}\) లు బిందువు O వద్ద ఖండించుకొనును. ∠POY = 90°.
a : b = 2 : 3. అయిన కోణము c కొలతలు కనుగొనుము.
సాధన.
XY మరియు MN లు సరళరేఖలు.
∠POY = 90° మరియు a : b = 2 : 3 పటం నుండి a + b = 90°
a : bయొక్క పదాల మొత్తము = 2 + 3 = 5
∴ b = \(\frac{3}{5}\) × 90° = 54°
పటం నుండి b + c = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
54° + c = 180° ⇒ c = 180° – 54° = 126°
ప్రశ్న5.
కింద పటంలో ∠PQR = ∠PRQ అయిన ∠PQS = ∠PRT అని నిరూపించుము.
సాధన.
దత్తాంశము ∠PQR = ∠PRQ
పటం నుండి,
∠PQR + ∠PQS = 180° ……………. (1)
∠PRQ + ∠PRT = 180° …….. (2)
(1), (2) ల నుండి,
∠PQR + ∠PQS = ∠PRQ + ∠PRT
కాని ∠PQR = ∠PRQ
కావున ∠PQS = ∠PRT నిరూపించబడింది.
ప్రశ్న6.
ఇచ్చిన పటంలో x + y = w + z అయిన AOB ఒక సరళరేఖ అని నిరూపించండి.
సాధన.
దత్తాంశము x + y = w + z = k అనుకొనుము.
పటం నుండి, x + y + z + w = 360°
(∵ బిందువు చుట్టూ గల బిందువు)
x + y = z + w కావున
∴ x + y = z + z = \(\frac{360^{\circ}}{2}\)
∴ x + y = z + w = 180°
లేక
k + k = 360°
2k = 360° ⇒ k = \(\frac{360^{\circ}}{2}\) = 180°
(x, y) మరియు (z, w) లు ఆసన్న కోణాల జతలు వాటి మొత్తము 180°.
(x, y) మరియు (z, w) లు రేఖీయద్వయం అగును.
కావున AOB ఒక రేఖను సూచించును.
ప్రశ్న7.
కింద పటంలో \(\overline{\mathrm{PQ}}\) ఒక సరళరేఖ. కిరణము \(\overline{\mathrm{OR}}\), \(\overline{\mathrm{PQ}}\) సరళరేఖకు లంబముగానున్నది. \(\overline{\mathrm{OS}}\) అనేది \(\overline{\mathrm{OP}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OR}}\) ల మధ్యనున్న వేరొక కిరణము అయిన ∠ROS = \(\frac {1}{2}\)(∠QOS – ∠POS) అని నిరూపించండి.
సాధన.
దత్తాంశము : \(\overline{\mathrm{OR}}\) ⊥ \(\overline{\mathrm{PQ}}\) ⇒ ∠ROQ = 90°
\(\overline{\mathrm{OS}}\) అనునది \(\overline{\mathrm{OP}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OR}}\) ల మధ్యన గల వేరొక కిరణము.
సారాంశము :
∠ROS = \(\frac {1}{2}\)(∠QOS – ∠POS)
ఉపపత్తి : పటం నుండి,
∠ROS = ∠QOS – ∠QOR ………….. (1)
∠ROS = ∠ROP – ∠POS ………….. (2)
(1) మరియు (2) లను కూడగా,
∠ROS + ∠ROS = ∠QOS – ∠QOR + ∠ROP – ∠POS
[∵ ∠QOR = ∠ROP = 90°]
⇒2∠ROS = ∠QOS – ∠POS
⇒ ∠ROS = \(\frac {1}{2}\) [∠QOS – ∠POS]
అని నిరూపించబడినది.
ప్రశ్న8.
∠XYZ = 64°. XY ని P బిందువు వరకు పొడిగించినారు. ∠ZYP ని కిరణము \(\overline{\mathrm{YQ}}\) సమద్వి ఖండన చేయును. ఈ సమాచారమును పటరూపములో చూపండి. అదేవిధంగా ∠XYQ మరియు పరావర్తన కోణము ∠QYP ల కొలతలు కనుగొనండి.
సాధన.
∠XYQ = 32° ; ∠QYP = 32°