AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.4

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Exercise 2.4

ప్రశ్న1.
కింది బహుపదులకు (x + 1) కారణాంకమగునో, లేదో నిర్ధారించండి.
i) x³ – x² – x + 1
సాధన.
f(-1) = (-1)³ – (-1)² – (-1) + 1
= – 1 – 1 + 1 + 1 = 0
∴ (x + 1) ఒక కారణాంకము.

ii) x⁴ – x³ + x² – x + 1
సాధన.
f(-1) = (-1)⁴ – (-1)³ + (-1)² – (-1) – 1
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
∴ (x + 1) కారణాంకము కాదు.

iii) x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 1
సాధన.
f(-1) = (-1)³ + 2(-1)³ + 2(-1)² + (-1) + 1
= 1 – 2 + 2 – 1 + 1 = 1
∴ (x + 1) కారణాంకము కాదు.

iv) x³ – x² – (3 – \(\sqrt{3}\))x + \(\sqrt{3}\)
సాధన.
f(-1) = (-1)³ – (-1)² – (3 – \(\sqrt{3}\)) (-1) + \(\sqrt{3}\)
= – 1 – 1 + 3 – \(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{3}\) = 1
∴ (x + 1) కారణాంకము కాదు.

ప్రశ్న2.
కారణాంక సిద్ధాంతం ఉపయోగించి, కింది బహుపదులలో ప్రతి సందర్భంలోనూ f(x) కు g(x) కారణాంకమగునో లేదో తెలపండి.
i) f(x) = 5x³ + x² – 5x – 1; g(x) = x + 1
[కారణాంక సిద్ధాంతం : f(x) ఒక బహుపది; f(a) = 0 అయితే (x – a) కు కారణాంకము f(x); a ∈ R]
సాధన.
g(x) = x + 1 = x – a అనుకొనుము.
∴ a = – 1
f(a) = f(-1) = 5(-1)³ + (-1)² – 5(-1) – 1
= – 5 + 1 + 5 – 1 = 0
∴ f(x) కు x + 1 కారణాంకము అగును.

ii) f(x) = x³ + 3x² + 3x + 1; g(x) = x +1
సాధన.
g(x) = x + 1 = x – a అనుకొనుము.
∴ a = -1
f(a) = f(-1) = (-1)³ + 3(-1)² + 3(-1) + 1
= – 1 + 3 – 3 + 1 = 0
∴ f(x) కు g(x) కారణాంకము అగును.

ii) f(x) = x³ – 4x² + x + 6; g(x) = x – 2
సాధన.
g(x) = x – 2 = x – a అనుకొనుము.
∴ a = 2; f(a) = f(2) = 2³ – 4(2)² + 2 + 6
= 8 – 16 + 2 + 6 = 0
∴ f(x) కు g(x) కారణాంకము అగును.

iv) f(x) = 3x³ + x² – 20x + 12; g(x) = 3x – 2
సాధన.
g(x) = 3x – 2 = x – \(\frac{2}{3}\) = x – a అనుకొనుము.
∴ a = \(\frac{2}{3}\)

∴ f(x) కు g(x) కారణాంకము అగును.

v) f(x) = 4x³ + 20x² + 33x + 18; g(x) = 2x + 3
సాధన.
g(x) = 2x + 3 = x + \(\frac{3}{2}\) = x – a అనుకొనుము.
∴ a = –\(\frac{3}{2}\)


∴ f(x) కు కారణాంకము g(x) అగును.

ప్రశ్న3.
x³ – 3x² – 10x + 24 నకు (x – 2), (x + 3) మరియు (x – 4) లు కారణాంకాలు అవుతాయని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము f(x) = x³ – 3x² – 10x + 24 అనుకొనుము.
(x – 2), (x + 3) మరియు (x – 4) లు f(x) కు కారణాంకాలైన అవి ఇచ్చు శేషాలు వరుసగా f(2), f(-3) మరియు f(4) అనుకొనుము.
f(2) = 2³ – 3(2)² – 10(2) + 24
= 8 – 12 – 20 + 24 = 0
∴ (x – 2), f(x) కు కారణాంకము.
f(-3) = (-3)³ – 3(-3)² – 10(-3) + 24
= – 27 – 27 + 30 + 24 = 0
∴ (x + 3), f(x) కు కారణాంకము.
f(4) = (4)³ – 3(4)² – 10(4) + 24
= 64 – 48 – 40 + 24 = 88 – 88 = 0
∴ (x – 4), f(x) కు కారణాంకము.

ప్రశ్న4.
x³ – 6x² – 19x + 84 నకు (x + 4), (x – 3) మరియు (x – 7) లు కారణాంకాలు అవుతాయని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము f(x) = x³ – 6x² – 19x + 84 అనుకొనుము.
(x + 4), (x – 3) మరియు (x – 7)లు కారణాంకాలైన అవి ఇచ్చు శేషాలు వరుసగా f(-4), f(3) మరియు f(7) అనుకొనుము.
f(-4) = (-4)³ – 6(-4)² – 19(-4) + 84
= – 64 – 96 + 76 + 84 = 0
∴ (x + 4), f(x) కు కారణాంకము.
f(3) = 3³ – 6(3) – 19(3) + 84
= 27 – 54 – 57 + 84 = 0
∴ (x – 3), f(x) కు కారణాంకము.
f(7) = 7³ – 6(7)² – 19(7) + 84
= 343 – 294 – 133 + 84 = 427 – 427 = 0
∴ (x – 7), f(x) కు కారణాంకము.

ప్రశ్న5.
px² + 5x + r అనే బహుపదికి (x – 2) మరియు \(\left(x-\frac{1}{2}\right)\) కారణాంకములైతే p = r అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము f(x) = px² + 5x + r అనుకొనుము.
f(x) కు (x – 2) మరియు \(\left(x-\frac{1}{2}\right)\) లు కారణాంకాలు కావున అవి ఏర్పరచు శేషాలు వరుసగా f(2) = 0 మరియు f(\(\frac {1}{2}\)) = 0 అగును.
∴ f(2) = p(2)² + 5(2) + r
= 4p + 10 + r = 0
⇒ 4p + r = -10 ……. (1)
∴ f(\(\frac {1}{2}\)) = 0
⇒ \(p\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+5\left(\frac{1}{2}\right)+r\) = 0
⇒ \(\frac{p}{4}+\frac{5}{2}+r=0\)
⇒ p + 10 + 4r = 0
⇒ p + 4r = – 10 ……….. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి,
4p + r = p + 4r
4p – p = 4r – r
3p = 3r
∴ p = r

ప్రశ్న6.
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e బహుపదికి (x² – 1) కారణాంకం అయితే a + c + e = b + d = 0 అని చూపండి.
సాధన.
f(x) = ax⁴ + bx³ + cx2 + dx + e అనుకొనుము.
(x² – 1), f(x) కు కారణాంకమైన
x² – 1 = (x + 1) (x – 1) కూడా కారణాంకాలు అగును.
f(x) కు (x – 1) కారణాంకమైన f(1) = 0 అగును.
∴ f(1) = a + b + c + d + e = 0 ……….. (1)
f(x)కు (x + 1) కారణాంకమైన f(-1) = 0 అగును.
∴ f(-1) = a + c + e – b – d = 0
⇒ a+ c + e = b + d ……….. (2)
సమీకరణము (2) ను సమీకరణము (1) నందు ప్రతిక్షేపించగా,

ప్రశ్న7.
కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) x³ – 2x² – x + 2
సాధన.
f(x) = x³ – 2x² – x + 2 అనుకొనుము.
x = 1 అనుకొనుము.
f(1) = 1³ – 2(1)² – 1 + 2
= – 1 – 2 – 1 + 2 = 0
∴ కారణాంక సిద్ధాంతం ప్రకారం (x – 1), f(x) కు కారణాంకము.
భాగహార పద్ధతి ప్రకారం,

∴ f(x) = (x – 1) (x² – x – 2)
= (x – 1) [x² – 2x + x -2]
= (x – 1) [x (x – 2) + 1 (x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

ii) x³ – 3x² – 9x – 5
సాధన.
f(x) = x³ – 3x² – 9x – 5 అనుకొనుము.
ట్రైల్ & ఎర్రర్ పద్ధతి ప్రకారం, x = -1 అనుకొనుము.
f(-1) = (-1)³ – 3(-1) – 9(-1) – 5
= – 1 – 3 + 9 – 5 = 0
∴ f(x) కు (x + 1) కారణాంకము.
[∵ కారణాంక సిద్ధాంతం ప్రకారం]
భాగహార పద్ధతి ద్వారా f(x)ను (x + 1) చే భాగించగా

∴ f(x) = (x + 1) (x² – 4x – 5)
కాని x² – 4x – 5 = x² – 5x + x – 5
= x (x – 5) + 1 (x – 5)
= (x – 5) (x + 1)
∴ f(x) = (x + 1) (x + 1) (x – 5)

iii) x³ + 13x² + 32x + 20
సాధన.
f(x) = x³ + 13x² + 32x + 20 అనుకొనుము.
x = -1 అనుకొనుము.
f(-1) = (-1)³ + 13(-1)² + 32(-1) + 20
= – 1 + 1³ – 32 + 20 = 33 – 33 = 0
∴ f(x) కు (x + 1) కారణాంకము.
[∵ కారణాంక సిద్ధాంతం ప్రకారం]
f(x) ను (x + 1) చే భాగించగా

∴ f(x) = (x + 1) (x² + 12x + 20)
= (x + 1) [x² + 10x + 2x + 20]
= (x + 1) [x (x + 10) + 2 (x + 10)]
= (x + 1) (x + 10) (x + 2)
∴ f(x) కు కారణాంకాలు (x + 1)(x + 2)(x + 10)

iv) y³ + y² – y – 1
సాధన.
f(y) = y³ + y² – y – 1 అనుకొనుము.
y = 1 అనుకొనుము.
f(1) = 1³ + 1² – 1 – 1 = 0
∴ (y – 1), f(y) కు కారణాంకము.
f(y) ను (y – 1) చే భాగించగా,

∴ f(y) = (y – 1) (y² + 2y + 1)
= (y – 1) (y + 1) (y + 1)

ప్రశ్న8.
ax² + bx + c మరియు bx² + ax + c అను బహుపదులకు ఉమ్మడి కారణాంకం x + 1 అయిన c = 0 మరియు a = b అని చూపండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు f(x) = ax² + bx + c మరియు
g(x) = bx² + ax + c అనుకొనుము.
f(x) మరియు g(x) లకు (x + 1) ఉమ్మడి కారణాంకము కావున
∴ f(-1) = g(-1)
⇒ a(-1)² + b(-1) + c
= b(-1)² + a(-1) + c
⇒ a – b + c = b – a + c
⇒ a + a = b + b
⇒ 2a = 2b
⇒ a = b
అదే విధముగా f(-1) = a – b + c = 0
⇒ b – b + c = 0 ⇒ c = 0

ప్రశ్న9.
x² – x – 6 మరియు x² + 3x – 18 లకు (x – a) ఉమ్మడి కారణాంకం అయిన ‘a’ విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు f(x) = x² – x – 6 మరియు
g(x) = x² + 3x – 18 అనుకొనుము.
(x – a) అనునది f(x) మరియు g(x) లకు ఉమ్మడి కారణాంకము కావున
∴ f(a) = g(a) = 0
⇒ a² – a – 6 = a² + 3a – 18
⇒ -a – 3a = – 18 + 6 ⇒ – 4a = – 12
∴ a = 3

ప్రశ్న10.
y³ – 2y² – 9y – 18 యొక్క ఒక కారణాంకం (y – 3) అయిన మిగిలిన రెండు కారణాంకాలు కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(y) = y³ – 2y² – 9y – 18 అనుకొనుము.
గమనిక : టెక్స్ట్ బుక్ లో, y³ – 2y – 9y- 18 అని ప్రింట్ అయినది.
దానికి బదులుగా
y³ – 2y² – 9y + 18 అని తీసుకోండి.
f(y) కు (y – 3) కారణాంకము కావున
f(y) ను (y – 3) చే భాగించగా,

∴ f(y) = (y – 3) (y² + y – 6)
= (y – 3) [y² + 3y – 2y – 6]
= (y – 3) [y (y+3) -2 (y + 3)]
= (y – 2) (y – 3) (y + 3)
f(x) యొక్క మిగిలిన రెండు కారణాంకములు (y – 2) మరియు (y + 3) లు అగును.