AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.2

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Exercise 2.2

ప్రశ్న1.
4x² – 5x + 3 అనేది బహుపది విలువలను కింది విలువల వద్ద కనుగొనండి.
i) x=0
సాధన.
x = 0 వద్ద 4x² – 5x + 3 విలువ
= 4(0)² – 5(0) + 3 = 3

ii) x = -1
సాధన.
x = – 1 వద్ద 4x² – 5x + 3 విలువ
= 4 (-1)² – 5 (-1) + 3 = 4 + 5 + 3 = 12

iii) x = 2
సాధన.
x = 2 వద్ద 4x² – 5x + 3 విలువ
= 4(2)² – 5(2) + 3 = 16 – 10 + 3 = 9

iv) x = \(\frac {1}{2}\)
సాధన.
x = \(\frac {1}{2}\) వద్ద 4x² – 5x + 3 విలువ
= \(4\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-5\left(\frac{1}{2}\right)+3\)
= 1 – \(\frac {5}{2}\) + 3 = 4 – \(\frac {5}{2}\) = \(\frac {3}{2}\)

ప్రశ్న2.
కింది బహుపదులలో p(0), p(1) మరియు p(2) విలువలు కనుగొనుము.
i) p(x) = x² – x + 1
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది p(x) = x² – x + 1
p(0) = 0² – 0 + 1 = 1
p(1) = 1² – 1 + 1 = 1
p(2) = 2² – 2 + 1 = 3

ii) p(y) = 2 + y + 2y² -y³
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది
p(y) = 2 + y + 2y² – y³
p(0) = 2 + 0 + 2(0)² – 0³ = 2
p(1) = 2 + 1 + 2(1)² – 1³ = 4
p(2) = 2 + 2 + 2(2)² – 2³ = 4 + 8 – 8 = 4

iii) p(z) = z³
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది p(z) = z³
p(0) = 0³ = 0
p(1) = 1³ = 1
p(2) = 2³ = 8

iv) p(t) = (t – 1) (t + 1)
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది
p(t) = (t – 1) (t + 1) = t² – 1
p(0) = 0² – 1 = -1
p(1) = 1² – 1 = 0
p(2) = 2² – 1 =3

v) p(x) = x² – 3x + 2
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది p(x) = x² – 3x + 2
p(0) = 0² – 3(0) + 2 = 2
p(1) = 1² – 3(1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 0
p(2) = 2² – 3(2) + 2 = 4 – 6 + 2 = 0

ప్రశ్న3.
కింద ఇవ్వబడిన బహుపదులలో x యొక్క ఏ విలువలకు బహుపది శూన్యమగునో లేదో సరిచూడండి.
i) p(x) = 2x + 1; x = \(\frac {-1}{2}\)
సాధన.
x = \(\frac {-1}{2}\) వద్ద p(x) విలువ
\(p\left(\frac{-1}{2}\right)=2\left(\frac{-1}{2}\right)+1\) = -1 + 1=0
∴ x = \(\frac {-1}{2}\) అనునది p(x) కు శూన్య విలువ.

ii) p(x) = 5x – π; x = \(\frac {-3}{2}\)
సాధన.
x = \(\frac {-3}{2}\) వద్ద p(x) విలువ
\(p\left(\frac{-3}{2}\right)=5\left(\frac{-3}{2}\right)-\pi\) = \(\frac {-15}{2}\) – π ≠ 0
∴ x = \(\frac {-3}{2}\) అనునది p(x) కు శూన్య విలువ కాదు.

iii) p(x) = x² – 1; x = ±1
సాధన.
x = 1 మరియు – 1 వద్ద p(x) విలువ
p(1) = 1² – 1 = 0
P(-1) = (-1)² – 1 = 0
∴ x = ±1 అనునది p(x) యొక్క శూన్యవిలువ.

iv) p(x) = (x – 1)(x + 2); x = -1, -2
సాధన.
x = -1 వద్ద p(x) విలువ
p(-1) = (- 1 – 1) (- 1 + 2)
= -2 × 1= -2 ≠ 0
x = – 1, p(x) కు శూన్య విలువ కాదు.
x = -2 వద్ద p(x) విలువ
p(-2) = (- 2 – 1) (-2 + 2) = – 3 × 0 = 0
∴ x = – 2 అనునది p(x)కు శూన్యవిలువ.

v) p(y) = y²; y = 0
సాధన.
y = 0 వద్ద p(y) విలువ = p(0) = 0² = 0
∴ y = 0, p(y) కు శూన్యవిలువ.

vi) p(x) = ax + b; x = \(\frac{-b}{a}\)
సాధన.
x = \(\frac{-b}{a}\) వద్ద P(x) విలువ
\(\mathrm{p}\left(\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)=\mathrm{a}\left(\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)+\mathrm{b}\) b = – b + b = 0
∴ x = \(\frac{-b}{a}\), p(x) కు శూన్యవిలువ.

vii) f(x) = 3x² – 1; x = \(\frac{-1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
సాధన.
x = \(\frac{-1}{\sqrt{3}}\) వద్ద f(x) విలువ
\(f\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)=3\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)^{2}-1\) = \(\frac{3}{3}-1\) = 0
∴ x = \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\), f(x)కు శూన్యవిలువ
x = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) వద్ద f(x) విలువ = \(3\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-1\)
= 3 × \(\frac {4}{3}\) – 1 = 4 – 1 = 3 ≠ 0
∴ x = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\), f(x) కు శూన్యవిలువ కాదు.

viii) f(x) = 2x – 1; x = \(\frac {1}{2}\); –\(\frac {1}{2}\)
సాధన.
x = \(\frac {1}{2}\)వద్ద f(x) విలువ = 2(\(\frac {1}{2}\)) – 1 = 0
⇒ x = \(\frac {1}{2}\), f(x) కు శూన్యవిలువ. ఆ
x = –\(\frac {1}{2}\)వద్ద f(x) విలువ
= 2(-\(\frac {1}{2}\)) – 1 = – 1 – 1 = – 2 ≠ 0
⇒ x = –\(\frac {1}{2}\), f(x) కు శూన్యవిలువ కాదు.

ప్రశ్న4.
కింది బహుపదులకు శూన్య విలువలు కనుగొనండి.
i) f(x) = x + 2
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x + 2
x + 2 = 0
x = -2

ii) f(x) = x – 2
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x – 2
x – 2 = 0
x = 2

iii) f(x) = 2x + 3
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = 2x + 3
2x + 3 = 0
2x = – 3 ⇒ x = \(\frac {-3}{2}\)

iv) f(x) = 2x – 3
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = 2x – 3
2x – 3 = 0
2x = 3
x = \(\frac {3}{2}\)

v) f(x) = x²
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x²
x² = 0
x = 0

vi) f(x) = px, p ≠ 0
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = px, p ≠ 0
px = 0
x = 0

vii) f(x) = px + q; p ≠ 0 మరియు p, q లు వాస్తవాలు.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = px + q; p ≠ 0
px + q = 0
px = -q ⇒ x = \(\frac{-q}{p}\)

ప్రశ్న5.
p(x) = 2x² – 3x + 7a అనే బహుపదికి శూన్య విలువ ‘2’ అయిన a యొక్క విలువను కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది p(x) = 2x² – 3x + 7
p(x) కు శూన్య విలువ ‘2’
∴ p(2) = 0
⇒ 2(2)² – 3(2) + 7a = 0
⇒ 8 – 6 + 7a = 0
⇒ 2 + 7a = 0
⇒ 7a = – 2 ⇒ a = \(\frac{-2}{7}\)

ప్రశ్న6.
f(x) = 2x³ – 3x² + ax + b అనే బహుపదికి 0 మరియు 1 అనేవి శూన్య విలువలు అయితే a, bల విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = 2x³ – 3x² + ax + b
f(x) కు శూన్య విలువలు 0 మరియు 1
∴ 2(0)³ – 3(0)² + a(0) + b = 0
⇒ b = 0
అదే విధముగా f(1) = 0
⇒ 2(1)³ – 3(1)² + a(1) + 0 = 0
⇒ 2 – 3 + a = 0
⇒ a = 1
∴ a మరియు b విలువలు వరుసగా 1 మరియు 0.