SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Exercise 2.5

ప్రశ్న1.
తగిన సమీకరణాలను ఉపయోగించి కింది లబ్దాలు కనుగొనుము.
i) (x + 5) (x + 2)
సాధన.
(x + 5) (x + 2) = x2 + (5 + 2)x + 5 × 2
[∵ (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab]
= x2 + 7x + 10

ii) (x – 5) (x – 5)
సాధన.
(x – 5) (x – 5) = (x – 5)2
= x2 – 2(x) (5) + 52
[∵ (x – y)2 = x2 – 2xy + y2]
= x2 – 10x + 25

iii) (3x + 2) (3x – 2)
సాధన.
(3x + 2) (3x – 2) = (3x)2 – (2)2
[∵ (x + y) (x – y) = x2 – y2]
= 9x2 – 4

iv) \(\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)\left(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\right)\)
సాధన.
\(\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)\left(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\right)\)
= (x2)2 – \(\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{2}\)
[∵ (x + y) (x – y) = x2 – y2]
= x4 – \(\frac{1}{x^{4}}\)

v) (1 + x) (1 + y)
సాధన.
(1 + x) (1 + x)
= (1 + x)2 = 12 + 2 (1) (x) + x2
[∵ (x + y)2 = x2 + 2xy + y2]
= 1 + 2x + x2

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5

ప్రశ్న2.
గుణకారం చేయకుండానే కింది లబ్దాలను గణించండి.
i) 101 × 99
సాధన.
101 × 99 = (100 + 1) (100 – 1)
= 1002 – 12 = 10000 – 1 = 9999

ii) 999 × 999
సాధన.
999 × 999 = 9992
= (1000 – 1)2
= 10002 – 2 × (1000) × 1 + 12
= 1000000 – 2000 + 1
= 998001

iii) 50\(\frac {1}{2}\) × 49\(\frac {1}{2}\)
సాధన.
50\(\frac {1}{2}\) × 49\(\frac {1}{2}\) = \(\left(50+\frac{1}{2}\right)\left(50-\frac{1}{2}\right)\)
= 502 – \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
= 2500 – \(\frac {1}{4}\)
= 2499\(\frac {3}{4}\)
= \(\frac {9999}{4}\)

iv) 501 × 501
సాధన.
501 × 501 = (500 + 1) (500 + 1)
= (500 + 1)2
= 5002 + 2 × (500) × 1 + 12
= 250000 + 1000 + 1
= 251001

v) 30.5 × 29.5
సాధన.
30.5 × 29.5 = (30 + 0.5) (30 – 0.5)
= 302 – (0.5)2
= 900 – 0.25 = 899.75

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5

ప్రశ్న3.
కింది బహుపదులను తగిన సర్వసమీకరణములను ఉపయోగించి కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) 16x2 + 24xy + 9y2
సాధన.
16x2 + 24xy + 9y2
= (4x)2 + 2 (4x) (3y) + (3y)2
= (4x + 3y)2 = (4x + 3y) (4x + 3y)
[∵ (x + y)2 ≡ x2 + 2xy + y2]

ii) 4y2 – 4y + 1
సాధన.
4y2 – 4y + 1 = (2y)2 – 2 (2y) (1) + (1)2
= (2y – 1)2
= (2y – 1) (2y – 1) [∵ (x + y)2 ≡ x2 – 2xy + y2]

iii) 4x2 + \(\frac{y^{2}}{25}\)
సాధన.
4x2 + \(\frac{y^{2}}{25}\) = (2x)2 – \(\left(\frac{y}{5}\right)^{2}\)
= \(\left(2 x+\frac{y}{5}\right)\left(2 x-\frac{y}{5}\right)\)
[∵ (x + y) (x – y) ≡ x2 – y2]

iv) 18a2 – 50
సాధన.
18a2 – 50 = 2(9a2 – 25)
= 2[(3a)2 – (5)2]
= 2 (3a + 5) (3a – 5)
[∵ x2 – y2 ≡ (x + y) (x – y)]

v) x2 + 5x + 6
సాధన.
x2 + 5x + 6 = x2 + (3 + 2)x + 3 × 2
= (x + 3) (x + 2)
[∵ (x + a) (x + b) ≡ x2 + (a + b) x + a . b]

vi) 3p2 – 24p + 36
సాధన.
3p2 – 24p + 36
= 3[p2 – 8p + 12]
= 3[p2 + (-6)p + (-2)p + (-6) (-2)]
= 3 [p (p – 6) – 2 (p – 6)]
= 3 (p – 6) (p – 2)
[∵ (x + a) (x + b) ≡ x2 + (a + b) x + ab]

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5

ప్రశ్న4.
కింది వానిని తగిన సర్వసమీకరణాలను ఉపయోగించి విస్తరించండి.
i) (x + 2y + 4z)2
సాధన.
(x + 2y + 4z)2
= (x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2(x) (2y) + 2 (2y) (4z) + 2 (4z) (x)
= x2 + 4y2 + 16z2 + 4xy + 16yz + 8zx
[∵ (x + y + z)2 ≡ x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx]

ii) (2a – 3b)3
సాధన.
(2a – 3b)3
= (2a)3 -3 (2a)2 (3b) + 3(2a)(3b)2 – (3b)3
= 8a3 – 3(4a2) (3b) + 3 (2a) (9b2) – 27b3
= 8a3 – 36a2b + 54ab2 – 27b3
[∵ (a – b)3 ≡ a3 – 3a2b + 3ab2 – b3]
(లేదా)
(2a – 3b)3
= (2a)3 – (3b)3 – 3(2a) (3b) (2a – 3b)
= 8a3 – 27b3 – 18ab (2a – 3b)
[∵ (a – b)3 ≡ a3 – b3 – 3ab (a – b)]

iii) (-2a + 5b – 3c)2
సాధన.
(- 2a + 5b – 3c)2
= (-2a)2 + (5b)2 + (-3c)2 + 2 (-2a) (5b) + 2 (5b) (-3c) + 2 (-3c) (-2a)
= 4a2 + 25b2 + 9c2 – 20ab – 30bc + 12ca
[∵ (x + y + z)2 ≡ x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx]

iv) \(\left(\frac{a}{4}-\frac{b}{2}+1\right)^{2}\)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5 1

v) (p + 1)3
సాధన.
(p + 1)3
= (p)3 + 3 (p)2 (1) + 3 (p) (1)2 + (1)3
[∵ (x + y)3 ≡ x3 + 3x2y + 3xy2 + y3]
= p3 + 3p2 + 3p +1

vi) \(\left(x-\frac{2}{3} y\right)^{3}\)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5 2
[∵ (x – y)3 ≡ x3 – 3x2y + 3xy2 – y3]
= x3 – 2x2y + \(\frac{4 x y^{2}}{3}-\frac{8}{27} y^{3}\)

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5

ప్రశ్న5.
కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) 25x2 + 16y2 + 4z2 – 40xy + 16yz – 20xz
సాధన.
25x2 + 16y2 + 4z2 – 40xy + 16yz – 20xz
= (5x)2 + (-4y)2 + (-2z)2 + 2(5x) (-4y) + 2 (-4y) (-2z) + 2 (-2z) (5x)
[∵ x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx = (x + y + z)2]
= (5x – 4y – 2z)2 = (-5x + 4y + 2z)2

ii) 9a2 + 4b2 + 16c2 + 12ab – 16bc – 24ca
సాధన.
9a2 + 4b2 + 16c2 + 12ab – 16bc – 24ca
= (3a)2 + (2b)2 + (-4c)2 + 2 (3a) (2b) + 2 (2b) (-4c) + 2(-4c) (3a)
= (3a + 2b – 4c)2

ప్రశ్న6.
a + b + c = 9 మరియు ab + bc + ca = 26 అయిన a2 + b2 + c2 విలువ కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశము a + b + c = 9
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా,
(a + b + c)2 = 92
⇒ a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) = 81
⇒ a2 + b2 + c2 = 81 – 2 (ab + bc + ca) (ఇచ్చిన లెక్క ప్రకారము)
= 81 – 2 × 26
= 81 – 52
= 29

ప్రశ్న7.
కింది వానిని సర్వసమీకరణాలను ఉపయోగించి గణించండి.
i) (99)3
సాధన.
(99)3 = (100 – 1)3
= 1003 – 3 (100)2 (1) + 3 (100) (1)2 – 13
[∵ (x – y)3 ≡ x3 – 3x2y + 3xy2 – y3]
= 1000000 – 30000 + 300 – 1
= 970299

ii) (102)3
సాధన.
(102)3 = (100 + 2)3
= 1003 + 3 (100)2 (2) + 3 (100) (2)2 + 23
[∵ (x + y)3 ≡ x3 + 3x2y + 3xy2 + y]
= 1000000 + 60000 + 1200 + 8
= 1061208

iii) (998)3
సాధన.
(998)3 = (1000 – 2)3
[∵ (x – y)3 ≡ x3 – 3x2y + 3xy2 – y3]
= 10003 – 3(1000)2 (2) + 3(1000) (2)2 – 23
= 1000000000 – 6000000 + 12000 – 8
= 994011992

iv) (1001)3
సాధన.
(1001)3 = (1000 + 1)3
[∵ (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3]
= 10003 + 3(1000)2 (1) + 3(1000) (1)2 + 13
= 1000000000 + 3000000 + 3000 + 1
= 1003003001

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5

ప్రశ్న8.
కింది వానిని కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2
సాధన.
దత్తాంశమును 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2 గా మార్చగా
= (2a)3 + (b)3 + 3 (2a)2 (b) + 3 (2a) (b)2
= (2a + b)3

ii) 8a3 – b3 – 12a2b + 6ab2
సాధన.
దత్తాంశమును 8a3 – b3 – 12a2b + 6ab2 గా మార్చగా
= (2a)3 – (b)3 – 3 (2a)2 (b) + 3 (2a) (b)2
= (2a – b)3

iii) 1 – 64a3 – 12a + 48a2
సాధన.
1 – 64a3 – 12a + 48a2
= (1)3 – (4a)3 – 3(1)2 (4a) + 3(1) (4a)2
= (1 – 4a)3

iv) \(8 \mathrm{p}^{3}-\frac{12}{5} \mathrm{p}^{2}+\frac{6}{25} \mathrm{p}-\frac{1}{125}\)
సాధన.
\(8 \mathrm{p}^{3}-\frac{12}{5} \mathrm{p}^{2}+\frac{6}{25} \mathrm{p}-\frac{1}{125}\)
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5 3

ప్రశ్న9.
i) x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
ii) x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2) లను సరిచూడండి. అదే విధంగా గుణకారం చేసి లబ్దాన్ని పరిశీలించండి. వీటిని కూడా సర్వసమీకరణములని భావించవచ్చునా ?
1) x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
సాధన.
దత్తాంశము x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
L.H.S = x3 + y3
R.H.S = (x + y) (x2 – xy + y2)
= x (x2 – xy + y2) + y (x2 – xy + y2)
= x3 – x2y + xy2 + x2y – xy2 + y3
= x3 + y3 = L.H.S
∴ L.H.S = R.H.S
x = 3, y = 2 గా తీసుకొనిన
L.H.S = 33 + 23 = 27 + 8 = 35
R.H.S= (3 + 2) (32 – 3 × 2 + 22)
= 5 × (9 – 6 + 4) = 5 × 7 = 35
∴ L.H.S = R.H.S

ii) x3 – y3 = (x + y) (x2 + xy + y2)
సాధన.
దత్తాంశము x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
L.H.S = x3 – y3
R.H.S = (x – y) (x2 + xy + y2)
= x (x2 + xy + y2) -y (x2 + xy + y2)
= x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3
= x3 – y3 = L.H.S
L.H.S = 33 – 23 = 27 – 8 = 19
R.H.S = (3 – 2) (32 + 3 × 2 + 22)
= 1 × (9 + 6 + 4) = 1 × 19 = 19
∴ L.H.S = R.H.S
పై రెండు సమీకరణాలను సర్వసమీకరణాలుగా వ్యవహరిస్తాము.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5

ప్రశ్న10.
9వ సమస్యలో ఫలితాల ఆధారంగా క్రింది వాటిని కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) 27a3 + 64b3
సాధన.
27a3 + 64b3 = (3a)3 + (4b)3
= (3a + 4b) {(3a)2 – (3a) (4b) + (4b)2}
= (3a + 4b) (9a2 – 12ab + 16b2)

ii) 343y3 – 1000
సాధన.
343y3 – 1000 = (7y)3 – (10)3
= (7y – 10) [(7y)2 + (7y) (10) + (10)2)
= (7y – 10) (49y2 + 70y + 100)

ప్రశ్న11.
సర్వసమీకరణం ఉపయోగించి 27×3 + y3 + z3 – 9xyz ను కారణాంకాలుగా విభజించండి.
సాధన.
దత్తాంశము 27x3 + y3 + z3 – 9xyz
= (3x)3 + (y)3 + (z)3 – 3 (3x) (y) (z)
= (3x + y + z) [(3x)2 + y2 + z2 – (3x) (y) – (y) (z) – (z) (3x)
[∵ x3 + y3 + z3 – 3xyz ≡ (x + y + z) – (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
= (3x + y + 2) (9x2 + y2 + z2 – 3xy – yz – zx)

ప్రశ్న12.
x3 + y3 + z3 – 3xyz = \(\frac {1}{2}\) (x + y + z) [(x + y)2 + (y – z)2 + (z – x)2] సరిచూడండి.
సాధన.
దత్తాంశము x3 + y3 + z3 – 3xyz
= \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) [(x – y)2 + (y = z)2 + (z = x)2]
R.H.S= \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) [(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]
= \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) [x2 + y2 – 2xy + y2 + z2 – 2yz + z2 + x2 – 2xz]
= \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) [2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx]
= \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) (2) [x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx]
= (x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
= L.H.S

ప్రశ్న13.
x + y + z = 0 అయితే x3 + y3 + z3 = 3xyz అని నిరూపించండి.
సాధన.
దత్తాంశము x + y + z = 0
సర్వసమీకరణము
(x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz -zx)
= x3 + y3 + z3 – 3xyz అని మనకు తెలుసు.
x + y + z = 0 ను సర్వసమీకరణము నందు ప్రతిక్షేపించగా,
0 × (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = x3 + y3 + z3 – 3xyz
⇒ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0
= x3 + y3 + z3 = 3xyz

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5

ప్రశ్న14.
కింది సమాసాలలో ఘనాలను గణించకుండానే, ఫలితాలను కనుగొనండి.
i) (-10)3 + 73 + 33
సాధన.
దత్తాంశము (- 10)3 + 73 + 33
భూముల మొత్తం = – 10 + 7 + 3 = 0
సర్వసమీకరణము
(x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
= x3 + y3 + z3 – 3xyz నుండి
x3 + y3 + z3 = 3xyz కావున
∴ (-10)3 + 73 + 33 = 3 (-10) × (7) × 3
= -630

ii) (28)3 + (- 15)3 + (-13)3
సాధన.
దత్తాంశము (28)3 + (-15)3 + (-13)3
భూముల మొత్తం = 28 + (-15) + (-13) = 0
సర్వసమీకరణము
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) నుండి x3 + y3 + z3 = 3xyz కావున
∴ (28)3 + (-15)3 + (-13)3
= 3 × 28 × (-15) × (13)
= 16380

iii) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{3}-\left(\frac{5}{6}\right)^{3}\)
సాధన.
దత్తాంశము \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{3}-\left(\frac{5}{6}\right)^{3}\)ను \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{3}+\left(\frac{-5}{6}\right)^{3}\) గా వ్రాయవచ్చును.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5 4

iv) (0.2)3 – (0.3)3 + (0.1)3
సాధన.
దత్తాంశము (0.2)3 – (0.3)3 + (0.1)3 ను
= (0.2)3 + (-0.3)3 + (0.1)3 గా వ్రాయవచ్చును.
భూముల మొత్తం = 0.2 – 0.3 + 0.1 = 0
∴ (0.2)3 + (-0.3)3 + (0.1)3
= 3 × (0.2) (-0.3) (0.1) = – 0.018

ప్రశ్న15.
కింది దీర్ఘచతురస్రాల వైశాల్యాలకు ఇవ్వబడిన సమాసాలను బట్టి పొడవు, వెడల్పులకు తగిన అనుకూల కొలతల విలువలు తెలపండి.
సాధన.
ఇచ్చిన వైశాల్యము = 4a2 + 4a – 3
= 4a2 + 6a – 2a – 3
= 2a (2a + 3) -1 (2a + 3)
= (2a + 3) (2a – 1)
∴ పొడవు = (2a + 3); వెడల్పు = (2a – 1)

ii) 25a2 – 35a + 12
సాధన.
ఇచ్చిన వైశాల్యము = 25a2 – 35a + 12
= 25a2 – 20a – 15a + 12
= 5a (5a – 4) – 3 (5a – 4)
= (5a – 4) (5a – 3)
∴ పొడవు = (5a – 3); వెడల్పు = (5a – 4)

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5

ప్రశ్న16.
కింది దీర్ఘఘన ఘనపరిమాణాలకు ఇవ్వబడిన సమాసాలను బట్టి దీర్ఘఘనం యొక్క అనుకూల కొలతలు తెలపండి.
i) 3x3 – 12x
సాధన.
సమఘనపు ఘనపరిమాణము = 3x3 – 12x = 3x (x2 – 4)
= 3x (x + 2) (x – 2)
{∵ a2 – b2 = (a + b) (a – b)}
∴ సమఘనపు అనుకూల కొలతలు వరుసగా
3x, (x + 2) మరియు (x – 2)

ii) 12y2 + 8y – 20
సాధన.
ఇచ్చిన ఘనపు ఘనపరిమాణం
= 12y2 + 8y – 20
= 4 (3y2 + 2y – 5)
= 4 [3y2 + 5y – 3y – 5]
= 4 [y (3y + 5) – 1 (3y + 5)]
= 4 (3y + 5) (y – 1)
∴ సమఘనపు అనుకూల కొలతలు వరుసగా
4, (3y + 5) మరియు (y – 1)

ప్రశ్న17.
2 (a2 + b2) = (a + b)2 అయిన a = b అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశం 2 (a2 + b2) = (a + b)2
2a2 + 2b2= a2 + 2ab + b2
2a2 – a2 + 2b2 – b2 = 2ab
a2 + b2 = 2ab
a = b అయినపుడు మాత్రమే ఇది సాధ్యము.