SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.3 Textbook Exercise Questions and Answers.
AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Exercise 2.3
ప్రశ్న1.
x3 + 3x2 + 3x+ 1 ను కింది రేఖీయ బహుపదులతో భాగించునప్పుడు వచ్చే శేషాలు కనుగొనండి.
i) x + 1
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 అనుకొనుము.
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం f(x) ను (x + 1) చే భాగించగా వచ్చు శేషము f(-1)
f(-1) = (-1)3 + 3(-1)2 + 3(-1) + 1
= – 1 + 3 – 3 + 1 = 0
ii) x – \(\frac {1}{2}\)
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(\(\frac {1}{2}\))
iii) x
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(0)
∴ f(0) = 03 + 3(0)2 + 3(0) + 1 = 1
iv) x + π
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(-π)
∴ f(-π) = (-π)3 + 3(-π)2 + 3(-π) + 1
= – π3 + 3π2 – 3π + 1
v) 5 + 2x
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(\(\frac {-5}{2}\))
ప్రశ్న2.
x3 – px2 + 6x – p ను x – p తో భాగిస్తే వచ్చే శేషం ఎంత ?
సాధన.
f(x) = x3 – px2 + 6x – p అనుకొనుము.
(x – a) = x – p
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(p)
∴ f(p) = p3 – p(p)2 + 6p – p
= p3 – p3 + 5p
= 5p
ప్రశ్న3.
2x2 – 3x + 5 ను 2x – 3 చే భాగిస్తే వచ్చే శేషం ఎంత ? ఇది బహుపదిని కచ్చితంగా భాగించిందా ? కారణాలు తెలపండి.
సాధన.
ఇచ్చిన వర్గ బహుపది f(x) = 2x2 – 3x + 5 అనుకొనుము.
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం f(x) ను (2x – 3) చే భాగించగా వచ్చు శేషము f(\(\frac {3}{2}\)) అగును.
f(\(\frac {3}{2}\)) =
∴ శేషము 5 కావున f(x) ను (2x – 3) కచ్చితంగా భాగించలేదు.
ప్రశ్న4.
9x3 – 3x2 + x – 5 ను x – \(\frac {2}{3}\)చే భాగిస్తే వచ్చే శేషం ఎంత ?
సాధన.
f(x) = 9x3 – 3x2 + x – 5 అనుకొనుము.
x – a = x – \(\frac {2}{3}\)
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(\(\frac {2}{3}\))
ప్రశ్న5.
2x3 + ax2 + 3x – 5 మరియు x3 + x2 – 4x + a బహుపదులను (x – 2) చే భాగించునప్పుడు వచ్చే శేషాలు సమానం అయితే a విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు f(x) = 2x3 + ax2 + 3x – 5
మరియు g(x) = x3 + x2 – 4x + a అనుకొనుము.
f(x) మరియు g(x) లు (x – 2) చే భాగించగా ఒకే శేషమును ఇచ్చినవి.
∴ f(2) = g(2)
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారము,
f(2) = 2(2)3 + a(2)2 + 3(2) – 5
= 16 + 4a + 6 – 5
= 17 + 4a
g(2) = 23 + 22 – 4(2) + a
= 8 + 4 – 8 + a
= 4 + a
దత్తాంశం ప్రకారము, f(2) = g(2)
17 + 4a = 4 + a
∴ 4a – a = 4 – 17
3a = – 13
a = \(\frac {-13}{3}\)
ప్రశ్న6.
x3 + ax2 + 5 మరియు x3 – 2x2 + a బహుపదులను (x+ 2) చే భాగించునపుడు వచ్చే శేషాలు సమానం అయితే ‘a’ విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు
f(x) = x3 + ax2 + 5 మరియు
g(x) = x3 – 2x2 + a అనుకొనుము.
దత్తాంశం ప్రకారము f(x) మరియు g(x) లు (x + 2) చే భాగించగా ఒకే శేషమును ఇచ్చును.
∴ f(-2) = g(-2)
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారము,
f(-2) = (-2)3 + a(-2)2 + 5
= -8 + 4a + 5 = 4a – 3
g(-2) = (-2)3 – 2(-2)2 + a
= – 8 – 8 + a = a – 16
లెక్క ప్రకారము
4a – 3 = a – 16
4a – a = – 16 +3
⇒ 3a = – 13
⇒ a = \(\frac {-13}{3}\)
ప్రశ్న7.
f(x) = x4 – 3x2 + 4 ను g(x) = x – 2 చే భాగిస్తే వచ్చే శేషం కనుగొనండి. ఫలితాన్ని భాగహారం చేసి సరిచూడండి.
సాధన.
దత్తాంశము f(x) = x4 – 3x2 + 4
g(x) = x – 2
f(x) ను g(x) చే భాగించగా వచ్చే శేషము f(2).
f(2) = 24 – 3(2)2 + 4 = 16 – 12 + 4 = 8
భాగహారము:
∴ శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం మరియు భాగహారము ప్రకారం వచ్చిన శేషములు ఒక్కటే.
ప్రశ్న8.
p(x) = x3 – 6x2 + 14x – 3ను g(x) = 1 – 2xచే భాగిస్తే వచ్చే శేషం ఎంత ? ఫలితాన్ని భాగహారం చేసి సరిచూడండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు p(x) = x3 – 6x2 + 14x – 3 మరియు g(x) = 1 – 2x
శేష సిద్ధాంతము ప్రకారం p(x)ను g(x) చే భాగించగా వచ్చే శేషము p(1/2).
భాగహారము :
∴ శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం మరియు భాగహారము ప్రకారం వచ్చిన శేషములు ఒక్కటే.
ప్రశ్న9.
2x3 + 3x2 + ax + b అను బహుపదిని (x – 2) చే భాగిస్తే శేషం 2 మరియు (x + 2) చే భాగిస్తే శేషం -2 వస్తే a, b ల విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశము f(x) = 2x3 + 3x2 + ax + b
f(x) ను (x- 2) చే భాగించగా వచ్చు శేషము 2.
∴ f(2) = 2
⇒ f(2) = 2(2)3 + 3(2)2 + a(2) + b = 2
⇒ 16 + 12 + 2a + b = 2
⇒ 2a + b = – 26 ………. (1)
f(x) ను (x + 2) చే భాగించగా వచ్చు శేషం – 2.
∴ f(-2) = -2
⇒ f(-2) = 2(-2)3 + 3(-2)2 + a(-2) + b
= -2
= – 16 + 12 – 2a + b = -2
– 2a + b = 2 ……….. (2)
(1) మరియు (2) లను సాధించగా,
మరియు 2a – 12 = – 26
2a = – 26 + 12 = – 14
a = \(\frac {-14}{2}\) = -7
∴ a = -7 మరియు b = – 12