Category: Class 9

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు Ex 12.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు Exercise 12.4

ప్రశ్న 1.
పటంలో ‘O’ వృత్తకేంద్రం మరియు \(\angle \mathrm{AOB}\) = 100° అయిన \(\angle \mathrm{ADB}\) ని కనుక్కోండి.

సాధన.

వృత్త కేంద్రము ‘O’
\(\angle \mathrm{AOB}\) = 100°
అదే విధంగా \(\angle \mathrm{ACB}\) = \(\frac {1}{2}\) \(\angle \mathrm{AOB}\)
[∵ ఒక చాపము వృత్తకేంద్రం వద్ద చేయు కోణం, ఆ చాపం మిగిలిన వృత్తంపై ఏ బిందువు వద్ద ఏర్పరచు కోణానికి రెట్టింపు]
= \(\frac {1}{2}\) × 100° = 50°
\(\angle \mathrm{ACB}\) మరియు \(\angle \mathrm{ADB}\) లు సంపూరకాలు.
[∵ చక్రీయ చతుర్భుజంలోని ఎదురెదురు కోణాలు]
∴ \(\angle \mathrm{ADB}\) = 180° – 50° = 130°
(లేక)
అధిక వృత్త చాపము \(\widehat{\mathrm{ACB}}\), D వద్ద ఏర్పరచు కోణము \(\angle \mathrm{ADB}\)
∴ \(\angle \mathrm{ADB}\) = \(\frac {1}{2}\) \(\angle \mathrm{AOB}\) (\(\widehat{\mathrm{ACB}}\) వృత్తకేంద్రం వద్ద ఏర్పరచు కోణము \(\angle \mathrm{AOB}\)
= \(\frac {1}{2}\) [360° – 100°] (పటం నుండి)
= \(\frac {1}{2}\) × 260° = 130°

ప్రశ్న 2.
కింది పటంలో \(\angle \mathrm{BAD}\) = 40° అయిన \(\angle \mathrm{BCD}\)ని కనుగొనండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము
∴ ∆OAB లో OA = OB (వ్యాసార్ధాలు)
∴ \(\angle \mathrm{OAB}\) = \(\angle \mathrm{OBA}\) = 40° (∵ సమాన భుజాలకు ఎదుటి కోణాలు)
\(\angle \mathrm{AOB}\) = 180° – (40° + 40°) (∵ ∆OAB యొక్క కోణాల మొత్తం ధర్మము)
= 180° – 80° = 100°
కాని \(\angle \mathrm{AOB}\) = \(\angle \mathrm{COD}\) = 100°
మరియు \(\angle \mathrm{OCD}\) = \(\angle \mathrm{ODC}\) = 40° [OC = OD]
= 40° ∆OAB లో లాగా
∴ \(\angle \mathrm{BCD}\) = 40°
(లేక)
∆OAB మరియు ∆OCDలలో
OA = OD (వ్యాసార్ధాలు)
OB = OC (వ్యాసార్ధాలు)
\(\angle \mathrm{AOB}\) = \(\angle \mathrm{COD}\) (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ∆OAB ≅ ∆OCD
∴ \(\angle \mathrm{BCD}\) = \(\angle \mathrm{OBA}\) = 40°
[∵ OB = OA ⇒ \(\angle \mathrm{DAB}\) = \(\angle \mathrm{DBA}\)]

ప్రశ్న 3.
కింది పటంలో ‘O’ వృత్తకేంద్రం మరియు \(\angle \mathrm{PQR}\) = 120° అయిన \(\angle \mathrm{PQR}\) మరియు \(\angle \mathrm{PSR}\) లను కనుగొనండి.

సాధన.
‘O’ వృత్తకేంద్రము మరియు \(\angle \mathrm{PQR}\) = 120°
\(\angle \mathrm{PQR}\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathrm{POR}\) [ [∵ ఒక చాపము వృత్త కేంద్రం వద్ద చేయు కోణం, ఆ చాపము మిగిలిన వృత్తంపై ఏ బిందువు వద్దనైనా ఏర్పరచు కోణంకు రెట్టింపు]
\(\angle \mathrm{PSR}\) = \(\frac {1}{2}\) [\(\widehat{\mathrm{PQR}}\) వృత్తకేంద్రం వద్ద ఏర్పరచ కోణము]
∴ \(\angle \mathrm{PSR}\) = \(\frac {1}{2}\)[360° – 120°] పటం నుండి
= \(\frac {1}{2}\) × 240 = 120°

ప్రశ్న 4.
ఒక సమాంతర చతుర్భుజం చక్రీయమైన, అది దీర్ఘచతురస్రం అవుతుంది. సమర్థించండి.
సాధన.

☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము అనుకొనుము.
A, B, C మరియు Dలు ఒకే వృత్తం పై గల శీర్షాలు.
∴ \(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}\) = 180° మరియు \(\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}\) = 180° [∵ చక్రీయ చతుర్భుజములో ఎదుటి కోణాలు సంపూరకాలు]
కానీ \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}\) మరియు \(\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}\)
[∵ ||^gm యొక్క ఎదుటి కోణాలు సమానం]
∴ \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}\) = \(\frac {180°}{2}\) = 90°
∴ ☐ABCD సమాంతర చతుర్భుజం ఒక దీర్ఘచతురస్రము.

ప్రశ్న 5.
కింది పటంలో ‘O’ వృత్తకేంద్రం OM = 3 సెం.మీ. మరియు AB = 8 సెం.మీ. అయిన వృత్త వ్యాసార్థాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన.

‘O’ వృత్త కేంద్రము.
OM, AB ను సమద్విఖండన చేయును.
∴ AM = \(\frac{\mathrm{AB}}{2}=\frac{8}{2}\) = 4 సెం.మీ.
OA² = OM² + AM²
[∵ పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి]
OA = \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}\)
= \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\) = 5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 6.
కింది పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రం మరియు OM, ONలు జ్యాలు PQ, RSలపై కేంద్రం నుండి గీచిన లంబాలు. OM = ON మరియు PQ = 6 సెం.మీ. అయిన RSను కనుక్కోండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము.
OM = ON మరియు OM ⊥ PQ; ON ⊥ RS
ఆ విధంగా PQ మరియు RSలు సమానము. [∵ వృత్తకేంద్రము నుండి సమాన దూరంలో గల జ్యాల పొడవులు సమానము]
∴ RS = PQ = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న 7.
A వృత్తకేంద్రం మరియు ABCD ఒక చతురస్రము. BD = 4 సెం.మీ. అయిన వృత్త వ్యాసార్ధం ఎంత ?

సాధన.

Aవృత్త కేంద్రము మరియు ABCD ఒక చతురస్రము అయిన AC మరియు BD లు కర్ణాలు.
AC = BD = 4 సెం.మీ.
కానీ AC వృత్త వ్యాసార్ధము
∴ వ్యాసార్ధము = 4 సెం.మీ.

ప్రశ్న 8.
ఏదేని వ్యాసార్ధంతో ఒక వృత్తాన్ని గీచి దాని కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉండేట్లు రెండు జ్యాలను గీయండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ P కేంద్రంగా ఒక వృత్తంను గీయుము.
→ ఏవైనా రెండు వ్యాసార్ధాలను గీయుము.
→ ఈ వ్యాసార్ధాలపై M మరియు N అను రెండు – బిందువులను గుర్తించుము. అవి PM = PN అగునట్లుగా గుర్తించాలి.
→ M మరియు Nల గుండా వ్యాసార్ధాలను లంబంగా ఉండునట్లు గీయుము.

ప్రశ్న 9.
కింది పటంలో ‘O’ వృత్తకేంద్రం మరియు AB, CDలు సమాన పొడవులు గల జ్యాలు \(\angle \mathbf{AOB}\) = 70° అయిన ∆OCD యొక్క కోణాలను కనుక్కోండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము
AB, CDలు సమాన జ్యాలు
⇒ సమాన జ్యాలు కేంద్రం వద్ద సమాన కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి.
∴ \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}\) = 70°
∆OCDలో \(\angle \mathrm{OCD}=\angle \mathrm{ODC}\) [∵ OC = OD; సమాన భుజాలకు ఎదుటి కోణాలు]
∴ \(\angle \mathrm{OCD}+\angle \mathrm{ODC}\) + 70° = 180°
⇒ \(\angle \mathrm{OCD}+\angle \mathrm{ODC}\) = 180° – 70° = 110°
∴ \(\angle \mathrm{OCD}+\angle \mathrm{ODC}\) = \(\frac {110°}{2}\) = 55°

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 3 జ్యామితీయ మూలాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 3rd Lesson జ్యామితీయ మూలాలు InText Questions

ఉదాహరణలు

1. A, B మరియు Cలు ఒకే సరళరేఖపై గల బిందువులు, B బిందువు A మరియు C ల మధ్య ఉన్నచో AC – AB = BC అని నిరూపించుము. (పేజీ నెం. 66)

సాధన.
AC మరియు AB + BC లు ఏకీభవిస్తాయి.
యూక్లిడ్ – 4 వ సాధారణ భావం ద్వారా “ఒక దానితో మరొకటి ఏకీభవించునవి సమానాలు” కావున AB + BC = AC అని చెప్పవచ్చు.
దీనిని AC లో ప్రతిక్షేపించగా AC – AB = BC

ఇక్కడ మనం రెండు బిందువుల గుండా ఒకే ఒక రేఖ ఉంటుందని తీసుకొనుటను గమనించండి.

2. ఇచ్చిన ఏ రేఖాఖండము పైన అయినా సమబాహు త్రిభుజం నిర్మించవచ్చు అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 66)
సాధన.
ఏదేని పొడవు గల ఒక రేఖాఖండము PQ ఇవ్వబడినది.

యూక్లిడ్ మూడవ స్వీకృతం భావన నుండి “ఇచ్చిన కేంద్రం, వ్యాసార్ధాలతో వృత్తాన్ని నిర్మించగలం”. కావున P కేంద్రంగా మరియు PQ వ్యాసార్ధం ఒక వృత్తాన్ని గీయండి. అదే విధంగా Q కేంద్రంగా QP వ్యాసార్ధంతో మరొక వృత్తాన్ని గీయండి. ఈ రెండు వృత్తాలు R వద్ద ఖండించుకొంటాయి. ‘R’ ను P మరియు Q లతో కలుపగా Δ PQR ఏర్పడుతుంది.

ఇప్పుడు ఈ విధంగా ఏర్పడిన త్రిభుజం సమబాహు త్రిభుజమని నిరూపించాలి. అంటే PQ = QR = RP అని చూపాలి.
PQ = PR (P కేంద్రంగా గల వృత్త వ్యాసార్ధాలు).
PQ = QR (Q కేంద్రంగా ‘గల వృత్త వ్యాసార్ధాలు)
యూక్లిడ్ సామాన్య భావనల నుండి “ఒకే రాశులకు సమానమైన రాశులు ఒకదానికి మరొకటి సమానాలు” కావున PQ = QR = RP. అందువలన Δ PQR ఒక సమబాహు త్రిభుజం P మరియు Q కేంద్రాలుగా గల వృత్తాలు ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటాయి అనే విషయాన్ని ప్రస్తావించకుండా యూక్లిడ్ తన నిరూపణలో వినియోగించడం గమనించండి.

3. రెండు వేర్వేరు రేఖలు ఒకటికన్నా ఎక్కువ సంఖ్యలో ఉమ్మడి బిందువులను కలిగియుండవు. (పేజీ నెం. 67)
సాధన.
దత్తాంశం : దత్తరేఖలు l మరియు m.
సారాంశం (నిరూపించవలసినది) : l మరియు m రేఖలకు ఒకే ఒక ఉమ్మడి బిందువు ఉంటుంది.
నిరూపణ : ఆ రెండు రేఖలు రెండు వేర్వేరు బిందువులు A మరియు B వద్ద ఖండించుకొనును అని అనుకొనుము.

ఇప్పుడు మనకు A మరియు B బిందువుల గుండా పోయే రేఖలు రెండు కలవు. ఇది యూక్లిడ్ స్వీకృతం “రెండు వేర్వేరు బిందువుల గుండా పోయే సరళరేఖ ఒకే ఒకటి ఉంటుంది” కి విరుద్ధంగా ఉంది. ఈ విరుద్ధత “రెండు బిందువుల గుండా రెండు వేర్వేరు రేఖలు కలవు” అని మనం అనుకొన్న ఊహ వలన వచ్చింది. కావున రెండు వేర్వేరు రేఖలు ఒకటి కన్నా మించి ఉమ్మడి బిందువులను కలిగియుండవు.

4. ప్రక్క పటంలో AC = XD; C మరియు D లు AB మరియు XY ల మధ్య బిందువులు. అయిన AB = XY చూపుము. (పేజీ నెం. 67)
సాధన.
AB = 2 AC
(AB మధ్యబిందువు C)
XY = 2 XD
(XY మధ్యబిందువు D)
మరియు AC = XD (దత్తాంశం)

∴ AB = XY
ఎందుకంటే “సమాన రాశుల రెట్టింపులు కూడా సమానమే” – యూక్లిడ్ సామాన్య భావన.

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 3 జ్యామితీయ మూలాలు Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 3rd Lesson జ్యామితీయ మూలాలు Exercise 3.1

ప్రశ్న1.
కింది వానికి జవాబులు ఇవ్వండి.
i) ఘనాలకు ఎన్ని కొలతలు ఉంటాయి ?
సాధన.
ఘనము త్రిమితీయ ఆకారము కావున దీనికి పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తు (లేక) లోతు అను మూడు కొలతలు ఉంటాయి.

ii) “యూక్లిడ్ ఎలిమెంట్స్” అనే గ్రంథంలో ఎన్ని పుస్తకములు ఉన్నాయి ?
సాధన.
“యూక్లిడ్ ఎలిమెంట్స్” అను గ్రంథంలో 13 పుస్తకాలు ఉన్నాయి.

iii) ఘనము మరియు దీర్ఘఘనములకు ఎన్ని తలములు ఉన్నాయి ?
సాధన.
ఘనము మరియు దీర్ఘ ఘనములకు ‘6’ తలాలు ఉండును.

iv) త్రిభుజ అంతర కోణాల మొత్తం ఎంత ?
సాధన.
త్రిభుజ అంతరకోణాల మొత్తము 180°.

v) జ్యామితిలోని మూడు అనిర్వచిత పదాలు రాయండి.
సాధన.
బిందువు, రేఖ మరియు తలము అను పదాలను అనిర్వచిత పదాలంటారు.

ప్రశ్న2.
కింది ప్రవచనాలు సత్యమో కాదో చెప్పండి. కారణాలు వివరించండి.
a) దత్త బిందువు గుండా పోవు ఒకే ఒక రేఖ ఉంటుంది.
b) అన్ని లంబకోణాలు సమానం.
c) సమాన వ్యాసార్ధాలు గల వృత్తాలు సమానం.
d) రేఖను ఇరువైపులా నిరంతరంగా పొడిగించి ‘రేఖ’ను పొందగలం.

e) పై పటం 2(d) నుండి AB > AC
సాధన.
a) అసత్యము
b) సత్యము
c) సత్యము
d) సత్యము
e) సత్యము

ప్రశ్న3.
పటం నుండి AH > AB + BC + CD అని చూపండి.

సాధన.
ఇచ్చిన రేఖ \(\overleftrightarrow{\mathrm{AH}}\)
పటము నుండి AB + BC + CD = AD
\(\overline{\mathrm{AD}}\) అనునది \(\overline{\mathrm{AH}}\) లో ఒక భాగము.
యూక్లిడ్ స్వీకృతము ప్రకారము కొంతభాగము అనునది మొత్తము కన్నా చిన్నది.
∴ AH > AD ⇒ AH > AB + BC + CD

ప్రశ్న4.
Q బిందువు P మరియు R బిందువుల మధ్య PQ = QR అగునట్లు ఉంటే PQ = \(\frac {1}{2}\)PR అని నిరూపించుము.
సాధన.

ఇచ్చిన రేఖ PR
PQ = QR
PR మీద Q ఒక బిందువు.
∴ PQ + QR = PR
మరియు PQ + PQ = PR [∵ PQ = QR]
2PQ = PR
∴ PQ = \(\frac {1}{2}\)PR

ప్రశ్న5.
5.2 సెం.మీ. భుజముగా గల ఒక సమబాహు త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.
సోపానం – 1: AB = 5.2 సెం.మీ. పొడవుతో ఒక రేఖాఖండము గీయుము.
సోపానం – 2: A కేంద్రంగా 5.2 సెం.మీ.లతో ఒక చాపమును గీయుము.
సోపానం – 3: B కేంద్రంగా 5.2 సెం.మీ.లతో మరొక చాపమును గీయుము.
సోపానం – 4: రెండు చాపముల ఖండన బిందువును C గా గుర్తింపుము. ABమరియు AC లను కలుపుము.

∴ మనకు కావలసిన 5.2 సెం.మీ. భుజంగా గల సమబాహు త్రిభుజము ABC ఏర్పడింది.

ప్రశ్న6.
పరికల్పన అంటే ఏమిటి ? ఒక ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
సాధన.
కొన్ని ప్రవచనాలను పరిశీలనల ద్వారా, వివేచనతో సత్యమని భావించి ఊహాత్మకంగా నిర్ణయిస్తాము. ఈ విధముగా సత్యం గానీ, అసత్యం గానీ నిరూపించబడని ప్రవచనాలను పరికల్పనలు అంటారు.
ఉదా : నాలుగు లేక అంతకన్నా పెద్దదైన ప్రతి సరిసంఖ్యను కూడా రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తంగా రాయవచ్చును. దీనిని “గోల్డ్ బాక్ పరికల్పన” అంటారు.

ప్రశ్న7.
P మరియు Q బిందువులను గుర్తించండి. P మరియు Q ల గుండా పోయే రేఖను గీయండి. PQ రేఖకు ఎన్ని సమాంతర రేఖలు గీయగలరు ?
సాధన.
PQ రేఖకు సమాంతరంగా, అనంత రేఖలను గీయగలము.

ప్రశ్న8.
పటంలో రెండు రేఖలు l మరియు m లపై మరొక రేఖ n కలదు. అంతరకోణాలు ∠1 మరియు ∠2ల మొత్తం 180° కన్నా తక్కువ అయిన l మరియు m రేఖల గురించి నీవేమి చెప్పగలవు ?

సాధన.
దత్తాంశము : lమరియు mలు ఏవైనా రెండు రేఖలు. n వాటి యొక్క తిర్యగ్రేఖ.
∠1 మరియు ∠2 ల మొత్తం 180° కన్నా తక్కువ అనగా ∠1 <90° మరియు ∠2 < 90° అగును.
ఈ కోణాల వైపు రేఖలను పొడిగించగా అవి ఖండించుకుంటాయి.

ప్రశ్న9.
కింది పటంలో ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4 మరియు ∠3 = ∠4 అయిన యూక్లిడ్ సామాన్య భావనలను అనుసరించి ∠1 మరియు ∠2ల మధ్య సంబంధాన్ని రాయండి.

సాధన.
దత్తాంశము : ∠1 = ∠3
∠3 = ∠4
∠2 = ∠4
∠1 = ∠2
∠1 మరియు ∠2 లు, ∠3 మరియు ∠4 లకు సమానము.
(∵ ఒకే రాశులకు సమానమైన రాశులు సమానమను యూక్లిడ్ సామాన్య భావనను అనుసరించి)

ప్రశ్న10.
కింది పటములో, BX = \(\frac {1}{2}\) AB, BY = \(\frac {1}{2}\) BC మరియు AB = BC అయిన BX = BY అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము :
BX = \(\frac {1}{2}\)AB
BY = \(\frac {1}{2}\)BC
AB = BC
సారాంశము :
BX = BY
ఉపపత్తి : AB = BC [∵ యూక్లిడ్ స్వీకృతము]
\(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)BC [యూక్లిడ్ భావన అయిన సమాన రాశులలో సగాలు సమానం]
BX = BY

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions

ఇవి చేయండి

1 (i) ‘x’ చరరాశితో కూడిన రెండు బహుపదులు రాయండి. (పేజీ నెం. 29)
సాధన.
5x² + 2x – 8 మరియు 3x³ – 2x + 6.

(ii) ‘y’ చరరాశితో కూడిన మూడు బహుపదులు రాయండి. (పేజీ నెం. 29)
సాధన.
y³ – y² + y; 2y² + 7y – 9 + 3y³; y⁴ – y + 6 + 2y².

(iii) 2x² + 3xy + 5y² అనే బహుపది ఒక చరరాశితో ఉన్నదా ? (పేజీ నెం. 29)
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది x, y అను రెండు చరరాశులను కలిగివున్నది.

(iv) వివిధ రకాల ఘనాకార వస్తువులకు వైశాల్యం, ఘనపరిమాణం కనుగొనే సూత్రాలు రాయండి. వాటిలో చరరాశులను, స్థిరరాశులను తెలపండి. (పేజీ నెం. 29)
సాధన.

2. కింద ఇవ్వబడిన ప్రతి బహుపది యొక్క పరిమాణాలు రాయండి. (పేజీ నెం. 30)
i) 7x³ + 5x² + 2x – 6
ii) 7 – x + 3x²
iii) 5p – \(\sqrt{3}\)
iv) 2
v) – 5xy²
సాధన.
i) పరిమాణం 3
ii) పరిమాణం 2
iii) పరిమాణం 1
iv) పరిమాణం 0
v) పరిమాణం 3

3. కింది వానిలో x² యొక్క గుణకాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 30)
i) 15 – 3x + 2x²
ii) 1 – x²
iii) πx² – 3x + 5
iv) \(\sqrt{2}\)x² + 5x -1
సాధన.
x² గుణకము 2
x² గుణకము -1
x² గుణకము π
x² గుణకము \(\sqrt{2}\)

4. కింద ఇవ్వబడిన బహుపదులలో సూచించిన చరరాశి విలువను ప్రతిక్షేపించి విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 33)
i) x = 1 వద్ద P(x) = 4x² – 3x + 7
సాధన.
x = 1 వద్ద p(x) యొక్క విలువ
= 4(1)² – 3(1) + 7 = 8

ii) y= 1 వద్ద q(y) = 2y3 – 4y + \(\sqrt{11}\)
సాధన.
y = 1 వద్ద q(y) యొక్క విలువ
= 2(1)³ – 4(1) + \(\sqrt{11}\) = -2 + \(\sqrt{11}\)

iii) t = p (t∈R) వద్ద r(t) = 4t⁴ + 3t³ – t² + 6
సాధన.
t = pవద్ద r(t) యొక్క విలువ
= 4p⁴ + 3p³ – p² + 6

iv) z = 1 వద్ద s(z) = z³ – 1
సాధన.
z = 1 వద్ద S(z) యొక్క విలువ = 13 – 1 = 0

v) x = 1 వద్ద p(x) = 3x² + 5x – 7
సాధన.
x = 1 వద్ద p(x) యొక్క విలువ
= 3(1)² + 5(1) – 7 = 1

vi) z = 2 వద్ద q(2) = 5z³ – 4x + \(\sqrt{2}\)
సాధన.
z = 2 వద్ద q(2) యొక్క విలువ
= 5(2)³ – 4(2) + \(\sqrt{2}\)
= 40 – 8 + \(\sqrt{2}\)
= 32 + \(\sqrt{2}\)

5. కింది ఖాళీలను పూరించండి. (పేజీ నెం. 35)

సాధన.

6. 3y³ + 2y² + y బహుపదిని ‘y’ చే భాగించి భాగహార సత్యం రాయండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
(3y³ + 2y² + y) ÷ y = \(\frac{3 y^{3}}{y}+\frac{2 y^{2}}{y}+\frac{y}{y}\)
= 3y² + 2y +1
భాగహార సత్యము = (3y² + 2y + 1) · y
= 3y + 2y² + y

7. 4p²+ 2p + 2 ను ‘2p’ చే భాగించి భాగహార సత్యాన్ని రాయండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
(4p² + 2p + 2) ÷ 2 = \(\frac{4 p^{2}}{2 p}+\frac{2 p}{2 p}+\frac{2}{2 p}\)
= 2p + 1 + \(\frac{1}{\mathrm{p}}\)
భాగహార సత్యము = \(\left(2 p+1+\frac{1}{p}\right)\) × 2p
= 4p² + 2p + 2

8. కింది వానిని కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 46)
1. 6x² + 19x + 15
సాధన.
6x² + 19x + 15
= 6x² + 10x + 9x + 15
= 2x (3x + 5) + 3 (3x + 5)
= (3x + 5) (2x + 3)

2. 10m² – 31m – 132
సాధన.
10m² – 31m – 132
= 10m² – 55m + 24m – 132
= 5m (2m – 11) + 12 (2m – 11)
= (2 – 11) (5m + 12)

3. 12x² + 11x + 2
సాధన.
12x² + 11x + 2 = 12x² + 8x + 3x + 2
= 4x (3x + 2) + 1 (3x + 2)
= (3x + 2) (4x + 1)

9. కింది సమాసాలకు సర్వసమీకరణాలనుపయోగించి లబ్దాలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 49)
i) (x + 5) (x + 5)
సాధన.
(x + 5) (x + 5)
= (x + 5)²
= x² + 2(5) (5) + 5²
= x²+ 10x + 25

ii) (p – 3) (p + 3)
సాధన.
(p – 3) (p + 3)
= p² – 3²
= p2 – 9

iii) (y – 1) (y – 1)
సాధన.
(y – 1) (y – 1)
= (y – 1)²
= y² – 2y + 1

iv) (t + 2) (t + 4)
సాధన.
(t + 2) (t + 4)
= t² + t (2 + 4) + 2 × 4
= 12 + 6t + 8

v) 102 × 98
సాధన.
102 × 98 = (100 + 2) (100 – 2)
= 1002 – 22
= 10000 – 4
= 9996

10. కింది వానిని తగిన సర్వసమీకరణాలనుపయోగించి కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 50)
i) 49a² + 70ab + 25b²
సాధన.
49a² + 70ab + 25b²
= (7a)² + 2 (7a) (5b) + (5b)²
= (7a + 5b)² = (7a + 5b) (7a + 5b)

ii) \(\frac{9}{16} x^{2}-\frac{y^{2}}{9}\)
సాధన.
\(\frac{9}{16} x^{2}-\frac{y^{2}}{9}\) = \(\left(\frac{3}{4} x\right)^{2}-\left(\frac{y}{3}\right)^{2}\)
= \(\left(\frac{3}{4} x+\frac{y}{3}\right)\left(\frac{3}{4} x-\frac{y}{3}\right)\)

iii) t² – 2t + 1
సాధన.
t² – 2t + 1 = (t)² – 2(t) (1) + (1)²
= (t – 1)² = (t – 1) (t – 1)

iv) x² + 3x + 2
సాధన.
x² + 3x + 2 = x² + (2 + 1) x + (2 × 1)
= (x + 2) (x + 1)

11. i) (p+ 2q + r)² ను విస్తరణ రూపంలో రాయండి. (పేజీ నెం. 52)
సాధన.
(p+ 2q + r)²
= (p)² + (2q)² + (r)² + 2 (p) (24) + 2 (2q) (r) + 2(r) (p)
= p² + 4q² + r² + 4pg + 4qr + 2rp

ii) (4x – 2y – 3z) ను సూత్రం ద్వారా విస్తరించండి. (పేజీ నెం. 52)
సాధన.
(4x – 2y – 3z)
= (4x)² + (-2y)² + (-3z)² + 2 (4x) (-2y) + 2 (-2y) (-3z) + 2 (-3z) (4x)
= 16x² + 4y² + 9z² – 16xy + 12yz – 24zx

iii) 4a² + b² + c² – 4ab + 2bc – 4ca ను సూత్రం ద్వారా కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 52)
సాధన.
4a² + b² + c² – 4ab + 2bc – 4ca
= (2a)² + (-b)² + (-c)² + 2(2a) (-b) + 2 (- b) (-c) + 2(-c) (2a)
= (2a – b – c)²
= (2a – b – c) (2a – b – c)

12. (x + 1)³ ను సర్వసమీకరణం ఉపయోగించి విస్తరించండి. (పేజీ నెం. 54)
సాధన.
(x + 1)³ = (x)³ + (1)³ + 3 (x) (1) (x + 1)
= x³ + 1 + 3x (x + 1)
= x³ + 1 + 3x² + 3x
= x³ + 3x² + 3x + 1

13. (3m – 2n)³ ను గుణించండి. (పేజీ నెం. 54)
సాధన.
(3m – 2n)³ = (3m)³ – 3 (3m)² (2n) + 3 (3m) (2n)² – (2n)³
= 27m³ – 54m²n + 36mn² – 8n³

14. a³ – 3a²b + 3ab² – b³ ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 54)
సాధన.
a³ – 3a²b + 3ab² – b³
= (a)³ – 3 (a)²(b) + 3 (a) (b)² – (b)³
= (a – b)³ = (a – b) (a – b) (a – b)

15. గుణకారం చేయకుండానే (a – b – c) (a² + b² + c² – ab + bc – ca) లబ్దంను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
ఇచ్చిన సమస్య సరిగా లేదు. సాధన సాధ్యపడదు.

16. సర్వసమీకరణం ఉపయోగించి 27a³ + b³ + 8c³ – 18abcని కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
27a³ + b³ + 8c³ – 18abc
= (32)³ + (b)³ + (2c)³ – 3(3a) (b) (2c)
= (3a + b + 2c) (9a² + b² + 4c² – 3ab – 2bc – 6ca)

ప్రయత్నించండి

1. x చరరాశితో కూడిన ద్విపదిని రాయండి. (పేజీ నెం. 31)
సాధన.
x చరరాశితో కూడిన ద్విపది 2x + 3x².

2. p చరరాశితో కూడిన 15 పదాలుండే బహుపదిని మీరు ఎలా రాస్తారు ? (పేజీ నెం. 31)
సాధన.
a₁₄P¹⁴ + a₁₃p¹³ + a₁₂p¹² + …… + a₁p + a₀

3. కింది బహుపదుల శూన్య విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 34)
1. 2x – 3
సాధన.
2x – 3 = 0
2x = 3
x = \(\frac {3}{2}\)
∴ 2x – 3 యొక్క శూన్య విలువ \(\frac {3}{2}\)

2. x² – 5x + 6
సాధన.
x² – 5x + 6 = 0
= x² – 3x – 2x + 6 = 0
= x(x – 3) – 2 (x – 3) = 0
= (x – 2) (x – 3) = 0
⇒ x – 2 = 0 లేక x – 3 = 0
⇒ x = 2 లేక x = 3
∴ x2 – 5x + 6 యొక్క శూన్య విలువలు 2 లేక 3.

3. x + 5
సాధన.
x + 5 = 0
x = -5
∴ x + 5 యొక్క శూన్య విలువ x = – 5.

4. xⁿ – 1 అను బహుపదికి (x – 1) ఒక కారణాంకమని చూపండి. (పేజీ నెం. 45)
సాధన.
p(x) = xⁿ – 1 అనుకొనుము.
x = 1 అయిన p(1) = 1ⁿ – 1 = 1 – 1 = 0
∴ p(1) = 0
∴ p(x) కు (x – 1) ఒక కారణాంకము.

5. కింది సర్వసమీకరణాలకు కూడా పటాలను గీచి నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 49)
i) (x + y)² ≡ x² + 2xy + y²

సోపానం – 1: పటం – I వైశాల్యం = x · x = x²
సోపానం – 2 : పటం – II వైశాల్యం = x · y = xy
సోపానం – 3 : పటం – III వైశాల్యం = x · y = xy
సోపానం – 4 :.పటం – IV వైశాల్యం = y · y = y²
పెద్ద చతురస్ర వైశాల్యం = I, II, III మరియు IV ల వైశాల్యాల మొత్తము
∴ (x + y) (x + y) = x² + xy + xy + y²
(x + y)² = x² + 2xy + y²

ii) (x + y) (x + y) ≡ x² – y²

సోపానం – 1 : పటం – I వైశాల్యం
= x (x – y) = x² – xy

సోపానం – 2 : పటం – II వైశాల్యం = (x – y) y = xy – y²
పెద్ద దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = I & II ల వైశాల్యాల మొత్తం
(x + y) (x – y) = x² – xy + xy – y² = x² – y²
∴ (x + y) (x – y) ≡ x² – y²

iii) (x + a) (x + b) ≡ x² + (a + b) x + ab

సోపానం – 1 : పటం – I వైశాల్యం = x²
సోపానం – 2 : పటం – II వైశాల్యం = ax
సోపానం – 3 : పటం – III వైశాల్యం = bx
సోపానం – 4 : పటం – IV వైశాల్యం = ab
∴ పెద్ద దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = నాలుగు పటముల వైశాల్యాల మొత్తము
∴ (x + a) (x + b) = x² + ax + bx + ab
(x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab

6. (x – y)3 లబ్దంను గుణకారం చేయకుండా ఎలా కనుగొంటారు ? లభాన్ని గుణకారం చేసి సరిచూడండి. (పేజీ నెం.52)
సాధన.
(x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – 3y³
గుణకారం చేయగా, (∵ సర్వసమీకరణం)
(x – y)³ = (x – y)² (x – y)
= (x² – 2xy + y²) (x – y)
= x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
= x³ – 3x²y + 3xy² – y³
రెండూ సమానము.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. కింది సమాసాలలో ఏవి. బహుపదులు ? ఏవి కావు ? కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం.28)
i) 4x² + 5x – 2
ii) y² – 8
iii) 5
iv) 2x² + \(\frac{3}{x}\) – 5
v) \(\sqrt{3}\)x² + 5y
vi) \(\frac{1}{x+1}\)
vii) \(\sqrt{x}\)
viii) 3xyz
సాధన.
i) 4x² + 5x – 2 – బహుపది.
ii) y² – 8 – బహుపది
iii) 5 – బహుపది
iv) 2x² + \(\frac{3}{x}\) – 5 – బహుపది కాదు
v) \(\sqrt{3}\)x² + 5y – బహుపది
vi) \(\frac{1}{x+1}\) – బహుపది కాదు
vii) \(\sqrt{x}\) – బహుపది కాదు
viii) 3xyz – బహుపది
ఎందుకనగా వీటి చరరాశుల యొక్క ఘాతాలు – 1, –\(\frac {1}{2}\)ల వంటి ఋణ పూర్ణసంఖ్య అయినది కావున.

2. ఒక చరరాశితో కూడిన 3వ పరిమాణ ఘనబహుపదిలో ఎన్ని పదాలుంటాయి ? కొన్ని ఉదాహరణలివ్వండి. (పేజీ నెం.31)
సాధన.
ఒక చరరాశితో కూడిన 3వ పరిమాణ ఘనబహుపదిలో గరిష్ఠంగా 4 పదాలుంటాయి.
ఉదా : x³ + 0, 2x³ + 2, 3y³ + 4y² + 4

3. వర్గ బహుపదికి రెండు శూన్య విలువలుంటాయి. మరి ‘n’వ పరిమాణ బహుపదికి ఎన్ని శూన్య విలువలుంటాయో చెప్పగలరా ? (పేజీ నెం.36) సాధన.
‘n’ వ పరిమాణ బహుపదికి ‘n’ శూన్య విలువలు ఉంటాయి.

శేష సిద్ధాంతము :

p(x) అనేది ఒక ఏక పరిమాణ లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ గరిష్ఠ పరిమాణంగల బహుపది మరియు ‘a’ అనేది వాస్తవ సంఖ్య అయినప్పుడు p(x) ను రేఖీయ బహుపది (x – a) చే భాగిస్తే వచ్చు శేషం p(a) అగును.
పై సిద్ధాంత నిరూపణను పరిశీలిద్దాం. (పేజీ నెం. 40)
ఉపపత్తి :
ఏకపరిమాణ లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ గరిష్ఠ పరిమాణంగల బహుపది p(x) ను తీసుకుందాం.
p(x) ను రేఖీయ బహుపది g(x) = (x – a) చే భాగించునప్పుడు భాగఫలం q(x) మరియు శేషం r(x) అనుకుందాం. అంటే p(x) మరియు g(x) అనేవి రెండు బహుపదులు అయిన సందర్భంలో p(x) యొక్క పరిమాణం ≥g(x) యొక్క పరిమాణం మరియు g(x) ≠ 0 అయితే మనకు q(x) మరియు r(x) అనే మరొక రెండు బహుపదులు వస్తాయి. ఇందులో r(x) = 0 లేదా r(x) పరిమాణం ఎప్పుడూ g(x) పరిమాణం కన్నా తక్కువగా ఉంటుంది.
భాగహార నియమం ప్రకారం
p(x) = g(x) · q(x) + r(x) గా రాయవచ్చు.
∴ p(x) = (x – a) · q(8) + r(x)
(∵ g(x) = (x – a))
(x – a) పరిమాణం 1 మరియు r(x) పరిమాణం (x – a) పరిమాణం కన్నా తక్కువ కనుక.
∴ r(x) పరిమాణం = 0, అంటే r(x) ఒక స్థిరరాశి.
దీనిని ‘K’ అనుకుంటే, ప్రతి వాస్తవ విలువ x కు r(x) = K.
కావున p(x) = (x – a) q(x) + K అగును.
x = a అయిన p(a) = (a – a) q(a) + K
= 0 + K = K
కావున సిద్ధాంతం నిరూపించబడినది.

కారణాంక సిద్ధాంతము :

బహుపది పరిమాణం n ≥ 1 గా గల బహుపది p(x) మరియు ‘a’ ఏదేని వాస్తవ సంఖ్య అయినపుడు (i) p(a) = 0 అయిన (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం అగును మరియు (ii) (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం అయిన p(a) = 1 అగును. ఈ సిద్ధాంతం యొక్క సరళతరమైన నిరూపణ పరిశీలిద్దాం. (పేజీ నెం.43)
ఉపపత్తి :
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం
p(x) = (x – a) q(x) + p(a)
i) p(a) = 0 అయిన సందర్భంలో p(x) = (x – a) q(x) + 0 అగును.
= (x – a) q(x)
దీనిని బట్టి p(x) కు (x – a) కారణాంకమని చెప్పవచ్చు. నిరూపించబడింది.

ii) ఇదే విధంగా (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం కావున p(x) = (x – a) సత్యం అవుతుంది. అనేది మరొక బహుపది.
∴ p(a) = (a – a) q(a)
= 0
∴ కావున (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం అయిన p(a) = 0 అయినది.
ఈ విధంగా సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణలు

1. p(x) = x + 2 అయిన p(1), p(2), p(-1) మరియు p(-2) లను కనుగొనండి. బహుపది x + 2 యొక్క శూన్య విలువలు (పేజీ నెం.34)
సాధన.
p(x) = x + 2
x కు బదులు 1 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(1) = 1 + 2 = 3
అలాగే xకు బదులు 2 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(2) = 2 + 2 = 4
x బదులు – 1 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(-1) = – 1 + 2 = 1
x బదులు – 2 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(-2) = – 2 + 2 = 0.
దీనిని బట్టి 1, 2, -1 అనేవి ఇచ్చిన బహుపదికి శూన్య విలువలు కాలేదు. p (-2) = 0 అయినది కావున – 2 బహుపది శూన్య విలువ అయినది.

2. p(x) = 3x + 1 బహుపది యొక్క శూన్య విలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం.34)
సాధన.
p(x) యొక్క శూన్య విలువ కనుగొనడం అంటే బహుపది సమీకరణం. p(x) = 0 ను సాధన చేయడమే.
అనగా
3x + 1 = 0
3x = -1
x = –\(\frac {1}{3}\)
కావున 3x + 1 బహుపది శూన్యవిలువ –\(\frac {1}{3}\) అయినది.

3. బహుపది 2x – 1 యొక్క శూన్యవిలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 85)
సాధన.
p(x) యొక్క శూన్యవిలువ కనుగొనడం అంటే బహుపది సమీకరణం p(x) = 0 ను సాధించడమే.
కనుక p(x) = 2x – 1 అనుకోండి.
2x – 1 = 0 అవుతుంది.
x = \(\frac {1}{2}\)(ఎలా ?)
p(\(\frac {1}{2}\))విలువలను బహుపదిలో ప్రతిక్షేపించి సరిచూడండి.
ఇప్పుడు p(x) = ax + b, a ≠ 0, అయితే దీనిని రేఖీయ బహుపది అంటారు. దీని యొక్క శూన్యవిలువను ఎలా కనుగొంటారు ?
p(x) యొక్క శూన్యవిలువను కనుగొనాలంటే, p(x) = 0 బహుపది సమీకరణాన్ని సాధించాలి.
అంటే ax + b = 0, a ≠ 0
కావున ax = – ab
అనగా x = \(\frac{-b}{a}\)
అందుచే x = \(\frac{-b}{a}\) అనేది p(x) = ax + b యొక్క ఒకే ఒక శూన్యవిలువ అయినది. ఏక చరరాశిలోగల రేఖీయ బహుపదికి ఒకే ఒక శూన్య విలువ ఉంటుంది.

4. x² – 3x + 2 అనే బహుపదికి 2 మరియు 1 అనే విలువలు శూన్యాలవుతాయో, లేదో సరిచూడండి. (పేజీ నెం.36)
సాధన.
p(x) = x² – 3x + 2 అనుకొనుము.
x కు బదులు 2 ను ప్రతిక్షేపించగా
p(2) = (2)² – 3(2) + 2
= 4 – 6 + 2 = 0
అలాగే x ను 1 తో మార్చగా
p(1) = (1)² – 3(1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 0
కావున 2 మరియు 1 అనేవి రెండునూ x² – 3x + 2 యొక్క శూన్యవిలువలు అయినాయి.
శూన్యవిలువలు సరిచూడడానికి మరేమైనా విధానం ఉన్నదా ?
x² – 3x + 2 అనే బహుపది పరిమాణం ఎంత ? ఇది రేఖీయ బహుపది అవుతుందా ? కాదు. ఇది వర్గ బహుపది. కావున వర్గబహుపదికి రెండు శూన్యవిలువలు ఉంటాయని చెప్పవచ్చు.

5. x² + 2x – a అనే బహుపది యొక్క శూన్య విలువ 3 అయితే ‘a’ విలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం.36)
సాధన.
p(x) = x² + 2x – a అనుకొనుము.
బహుపది శూన్యవిలువ 3 కావున p(3) = 0.
x² + 2x – a = 0
x = 3 విలువ ప్రతిక్షేపించగా
(3)² + 2(3) – a = 0
9 + 6 – a = 0
15 – a = 0
-a = -15
లేదా a = 15

6. 3x² + x – 1 ను x + 1 చే భాగించండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
p(x) = 3x² + x – 1 మరియు q(x) = x + 1 అని తీసుకోండి.
p(x) ను q(x) చే భాగించాలి. మీరు ముందు తరగతులలో నేర్చుకున్న భాగహార విధానం గుర్తుకు తెచ్చుకోండి.
సోపానం 1 : \(\frac{3 x^{2}}{x}\) = 3X భాగించగా ఇది భాగఫలంలో మొదటి పదం అగును.
సోపానం 2 : (x + 1) 3x = 3x² + 3x (గుణించగా)
3x + 3x నుండి 3x² + x, తీసివేయగా (-2x) వచ్చింది.

సోపానం 3 : \(\frac{-2 x}{x}\) = – 2 (భాగించగా) ఇది భాగఫలంలో రెండవ షదం అయింది.
సోపానం 4 : (x + 1)(- 2) = – 2x – 2 (గుణించగా), దీనిని (- 2x – 1), నుండి తీసివేయగా ‘1’ వస్తుంది.
సోపానం 5 : భాగహారం ఆపివేసాం. శేషం 1 వచ్చింది. ఇది స్థిరరాశి. (స్థిరరాశిని ఎందుకు బహుపదితో భాగించలేమో చెప్పగలరా ?)
దీని నుండి మనకు భాగఫలం (3x – 2) మరియు శేషం (+1) వచ్చాయి.
గమనిక : భాగహార ప్రక్రియలో శేషం ‘సున్న’ గాని లేదా శేషం యొక్క పరిమాణం, విభాజక పరిమాణం కన్నా తక్కువైన సందర్భంలో ప్రక్రియ పూర్తయినదిగా భావిస్తాం .
ఇప్పుడు, దీని నుండి భాగహార సత్యాన్ని కింది విధంగా రాయవచ్చు.
3x² + x – 1 = (x + 1) (3x – 2) + 1
అంటే విభాజ్యం = (విభాజనం × భాగఫలం) + శేషం
ఈ బహుపది p(x) లో x కు బదులు – 1 ప్రతికేపించగా
p(x) = 3x² + x – 1
P(-1) = 3(-1)² + (-1) – 1
= 3(+1) + (-1) – 1 = 1.
[p(-1) యొక్క విలువ, భాగహారంలో శేషం (1) సమానమైనాయని మీరు భాగహారం చేసి పరిశీలించవచ్చు.]
కావున p(x) = 3x² + x – 1 ను (x + 1) చే భాగించగా వచ్చిన శేషం, p (-1) యొక్క విలువ అంటే x + 1 యొక్క శూన్య విలువ (i.e. x = -1) సమానం అయినాయి.

7. 2x⁴ – 4x³ – 3x – 1 అనే బహుపదిని (x – 1) చే భాగించి శేషాన్ని, విభాజకం యొక్క శూన్యవిలువతో సరిచూడండి. (పేజీ నెం.39)
సాధన.
f(x) = 2x⁴ – 4x³ – 3x – 1 అనుకోండి.

పొడవు భాగహార పద్ధతిలో, మనం మొదట 2x⁴, x ను ఎన్నిసార్లు హెచ్చిస్తే వస్తుందో చూడాలి.
\(\frac{2 x^{4}}{x}\) = 2x³
ఇప్పుడు (x – 1) (2x³) = 2x⁴ – 2x³ గా గుణించాలి.
తిరిగి శేషంలో మొదటి పదం చూడాలి. (అంటే – 2×3) ఈ విధంగా భాగహారం పూర్తి చేయాలి.
ఇచ్చట భాగఫలం 2x³ – 2x² – 2x – 5 మరియు శేషం – 6 వచ్చింది.
ఇప్పుడు (x – 1) యొక్క శూన్య విలువ 1 కావున
x = 1 ని f(x) లో ప్రతిక్షేపిస్తే
f(x) = 2x⁴ – 4x³ – 3x – 1
f(1) = 2(1) – 4(1)³ – 3(1) – 1
= 2(1) – 4(1) – 3(1) – 1
= 2 – 4 – 3 – 1 = -6
భాగహారంలో వచ్చిన శేషం మరియు బహుపది f(x) నకు (x – 1) యొక్క శూన్య విలువ సమానమేనా ?

8. x3 + 1 ను (x + 1) తో భాగిస్తే వచ్చే శేషం కనుగొనుము. (పేజీ నెం.41)
సాధన.
ఇచ్చట p(x) = x³ + 1
రేఖీయ బహుపది x + 1 శూన్య విలువ -1
[x + 1 = 0 కావున x = -1]
x లో -1 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(-1) = (-1)³ + 1 = – 1 + 1 = 0
కావున శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం (x³ + 1) ను (x + 1) చే భాగించగా ‘సున్న’ శేషం వచ్చింది.
దీని కొరకు x³ + 1 ను x + 1 చే భాగహారం చేసి సరిచూడవచ్చు.
ఇక్కడ (x + 1) ను (x³ + 1) కు కారణాంకమని నీవు చెప్పగలవా ?

9. x³ – 2x² – 5x + 4 బహుపదికి (x – 2) కారణాంకమా ? సరిచూడండి. (పేజీ నెం.41)
సాధన.
p(x) = x³ – 2x² – 5x + 4 అనుకోండి.
ఇచ్చిన బహుపదికి (x – 2) కారణాంకం అవునో లేదో తెలుసుకోవాలంటే
(x – 2) యొక్క శూన్యవిలువ 2 తో x కు బదులు ప్రతిక్షేపించాలి.
అనగా x – 2 = 0 ⇒ x = 2.
p(2) = (2)³ – 2(2)² – 5(2) + 4
= 8 – 2(4) – 10 + 4
= 8 – 8 – 10 + 4 = – 6.
శేషం ‘సున్న’ కానందున x³ – 2x² – 5x + 4 బహుపదికి (x – 2) కారణాంకం కాదు.

10. p(y) = 4y³ + 4y² – y – 1 అను బహుపది (2y + 1) నకు గుణిజం అవుతుందా ? సరిచూడండి. (పేజీ నెం.41)
సాధన.
p(y) ను (2y + 1) కచ్చితంగా భాగిస్తే p(y) కు (2y + 1) గుణిజం అవుతుందని మీకు తెలుసు.
అందువలన 2y + 1 యొక్క శూన్యవిలువ
అనగా y = \(\frac {-1}{2}\), P(y) లో \(\frac {-1}{2}\) ను ప్రతిక్షేపిస్తే

కావున (2y + 1) అనేది p(y) కు కారణాంకం అయినది. దీనిని బట్టి p(y) అనేది (2y + 1) కి గుణిజం అని చెప్పవచ్చు.

11. ax³ + 3x² – 13 మరియు 2x³ – 5x + a అను బహుపదులు (x – 2) చే భాగించునప్పుడు శేషాలు సమానం అయితే ‘a’ విలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం.42)
సాధన.
p(x) = ax³ + 3x² – 13 మరియు
q(x) = 2x³ – 5x + a అనుకుందాం.
∵ p(x) మరియు q(x) లను (x – 2) చే భాగిస్తే శేషాలు సమానం.
∴ p(2) = q(2)
a(2)³ + 3(2)² – 13 = 2(2)³ – 5(2) + a
8a + 12 – 13 = 16 – 10 + a
8a – 1 = a + 6
8a – a = 6 + 1
7a = 7
a = 1

12. x³ + 2x² + 3x + 6 అనే బహుపదికి (x + 2) కారణాంకం అవుతుందా ? (పేజీ నెం.44)
సాధన.
p(x) = x³ + 2x² + 3x + 6 మరియు
g(x) = x + 2 అనుకొనుము.
g(x) యొక్క శూన్య విలువ – 2
కావున p(-2) = (-2)³ + 2(-2)² + 3(-2) + 6
= -8+ 2(4) – 6 + 6
= – 8 + 8 – 6 + 6 = 0
కావున, కారణాంక సిద్ధాంతం ప్రకారం ఇచ్చిన బహుపది x³ + 2x² + 3x + 6 కు (x + 2) కారణాంకం అవుతుంది.

13. 2x³ – 9x² + x + K అను బహుపది సమాసానికి (2x – 3) కారణాంకం అయితే K విలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 44)
సాధన.
(2x – 3) అనేది p(x) = 2x³ – 9x² + x + K బహుపదికి కారణాంకం.
(2x – 3) = 0 అయితే x = \(\frac {3}{2}\)
∴ (2x – 3) యొక్క శూన్యవిలువ \(\frac {3}{2}\)
అందుచే (2x – 3) అనేది p(x) కు కారణాంకం అయిన p(\(\frac {3}{2}\)) = 0 అగును.
p(x) = 2x³ – 9x² + x + K
⇒ P(\(\frac {3}{2}\)) = 2(\(\frac {3}{2}\))3 – 9(\(\frac {3}{2}\))2 + \(\frac {3}{2}\) + K = 0
⇒ 2(\(\frac {27}{8}\)) – 9(\(\frac {9}{4}\)) + \(\frac {3}{2}\) + K = 0
⇒ \(\left(\frac{27}{4}-\frac{81}{4}+\frac{3}{2}+K=0\right)\) × 4
27 – 48 + 6 + 4K = 0
-48 + 4K = 0
4K = 48
కావున K = 12

14. (x – 1) అనేది x¹⁰ – 1 అనే బహుపది కారణాంకమని నిరూపించండి. ఇదే విధంగా x¹¹ – 1కు కూడా కారణాంకమని చూపండి. (పేజీ నెం. 45)
సాధన.
p(x) = x¹⁰– 1 మరియు g(x) = x¹¹ – 1 అనుకొనుము.
(x – 1) రెండు బహుపదులు p(x) మరియు g(x) లకు కారణాంకమౌతుందని చూపాలంటే p(1) = 0 మరియు g(1) = 0 అని చూపితే సరిపోతుంది.
ఇప్పుడు
p(x) = x¹⁰ – 1 మరియు g(x) = x¹¹ – 1

కనుక కారణాంక సిద్ధాంతం ప్రకారం (x – 1) అనేది p(x) మరియు g(x) లకు కారణాంకం అయినది.

15. 3x² + 11x + 6 ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం.46)
సాధన.
p, q లు అనేవి రెండు సంఖ్యలు మరియు
p + q = 11 మరియు pq = 3 × 6 = 18
సందర్భంలో p, q లను కనుగొనాలంటే
18 లబ్దంగా రాయగలిగే కారణాంకాల జతలను పరిశీలిస్తే (1, 18), (2, 9), (3, 6) జతలలో, (2, 9) జత p + q = 11 ను తృప్తి పరుస్తాయి.
కావున 3x² + 11x + 6 = 3x² + 2x + 9x + 6
= x(3x + 2) + 3(3x+2)
= (3x + 2) (x + 3)

16. 2x⁴ – 6x³ + 3x² + 3x – 2 అనే బహుపది x² – 3x + 2 చే భాగింపబడుతుందా ? సరిచూడండి. కారణాంక సిద్ధాంతం ఉపయోగించి ఏ విధంగా సరిచూస్తారు ? (పేజీ నెం.46)
సాధన.
విభాజకం ఒక రేఖీయ బహుపది కాదు. ఇది ఒక వర్గ బహుపది. వర్గబహుపది యొక్క మధ్య పదాన్ని విభజించి కారణాంకాలుగా కనుగొనుట మీరు నేర్చుకున్నారు కదా! ఆ విధంగా చేస్తే
x² – 3x + 2 = x² – 2x – x + 2
= x(x – 2) – 1 (x- 2)
= (x – 2) (x – 1)
2x⁴ – 6x³ + 3x² + 3x – 2 అనే బహుపదికి x² – 3x + 2 వర్గ బహుపది కారణాంకమని చూపాలంటే, (x – 2) మరియు (x – 1) లను కారణాంకాలుగా చూపాలి.
కావున p(x) = 2x⁴ – 6x³ + 3x² + 3x – 2 తీసుకుంటే
p(x) కు (x – 2) కారణాంకం అయిన
p(2) = 2(2)⁴ – 6(2)³ + 3(2)² + 3(2) – 2
= 2(16) – 6(8) + 3(4) + 6 – 2
= 32 – 48 + 12 + 6 – 2
= 50 – 50 = 0
p(2) = 0 కావున p(x) కు (x – 2) కారణాంకం అవుతుంది.
మరొక కారణాంకం (x – 1), p(x) కు కారణాంకం కావాలంటే
p(1) = 2(1)⁴ – 6(1)³ + 3(1)² + 3(1) – 2
= 2(1) – 6(1) + 3(1) + 3 – 2
= 2 – 6 + 3 + 3 – 2
= 8 – 8 = 0
∴ p(1) = 0 అయినందున. (x – 1) అనేది p(x)కు కారణాంకం అయింది.
(x – 2) మరియు (x – 1) రెండునూ p(x) కు కారణాంకాలైనందున వాటి లబ్ధం x² – 3x + 2 కూడా p(x) = 2x⁴ – 6x³ + 3x² + 3x – 2 కు కారణాంకం అవుతుంది.

17. x³ – 23x²+ 142x – 120 ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం.47)
సాధన.
p(x) = x³ – 23x² + 142x – 120 అనుకొనండి.
వీటితో ప్రయత్నిస్తే మనకు p(1) = 0 అవుతుంది (సరిచూడండి).
కావున p(x) కు (x – 1) కారణాంకం అవుతుంది.
తర్వాత p (x) ను (x – 1) చే భాగిస్తే మనకు x² – 22x + 120 వస్తుంది.
దీని కారణాంక విభజన మరొక విధంగా చేసి చూద్దాం
x³ – 23x² + 142x – 120
= x³ – x² – 22x² + 22x + 120x – 120
= x²(x – 1) – 22x(x – 1) + 120 (x – 1)
(ఎలా ?)
= (x – 1) (x² – 22x + 120)
ఇప్పుడు x² – 22x + 120 వర్గబహుపది కావున, మధ్యపదంను విడదీసి కారణాంకాలు కనుగొందాం.
x² – 22x + 120 = x² – 12x – 10x + 120
= x(x – 12) – 10(x – 12)
= (x – 12) (x – 10)
కావున x³ – 23x² + 142x – 120
= (x – 1)(x – 10)(x – 12) అయినది.

18. కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 49)
(i) x2 + 5x + 4
(ii) 9x² – 25
(iii) 25a² + 40ab + 16b²
(iv) 49x² – 112xy + 64y²
సాధన.
i) ఇచ్చట x² + 5x + 4 = x² + (4 + 1)x + (4) (1)
ఈ బహుపదిని (x + a) (x + b).
≡ x² + (a + b)x + ab
అనే సర్వసమీకరణంతో పోల్చగా మనకు (x + 4) (x + 1) వస్తుంది.

ii) 9x² – 25 = (3x)² – (5)2
దీనిని x² – y² ≡ (x + y) (x – y) అను సర్వసమీకరణంతో పోల్చగా
∴ 9x² – 25 = (3x + 5) (3x – 5) అగును.

iii) ఇచ్చట బహుపది 25a² + 40ab + 16b²
= (5a)² + 2(5a) (4b) + (4b)²
ఈ సమాసాన్ని x² + 2xy + y² తో పోల్చగా, x = 5a మరియు y = 4b అని పరిశీలించవచ్చు.
(x + y)² ≡ x² + 2xy + y² సర్వసమీకరణము వినియోగిస్తే
మనకు 25a² + 40ab + 16b² = (5a + 4b)²
= (5a + 4b) (5a + 4b) అగును.

iv) ఇచ్చట 49x²– 112xy + 64y², మనకు
49x² = (7x)², 64y² = (8y)² మరియు 112 xy = 2(7x) (8y) అని తెలుస్తున్నది.
దీనిని సర్వసమీకరణం (x – y)² ≡ x² – 2xy + y² తో పోల్చగా
మనకు 49x² – 112xy + 64y²
= (7x)² = 2(7x) (8y) + (8y)²
= (7x – 8y)²
= (7x – 8y) (7x – 8y) అయినది.

19. (2a + 3b + 5)² ను సర్వసమీకరణం ద్వారా విస్తరించండి. (పేజీ నెం.51)
సాధన.
ఇచ్చిన సమాసంను (x + y + z)² తో పోల్చగా,
మనకు x = 24, y = 3b మరియు z = 5 వస్తాయి.
అందువలన సర్వసమీకరణం V, ద్వారా మనం (2a + 3b + 5)² = (2a)² + (3b)² + (5)² + 2(2a)(3b) + 2(3b) (5) + 2(5) (2a)
= 4a² + 9b² + 25 + 12ab + 30b + 20a.

20. (5x – y + z) (5x – y + z) యొక్క లబ్దాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం.51)
సాధన.
ఇచ్చట (5x – y + z) (5x – y + z)
= (5x + y + z)²
= [5x + (-y) + z]²
అందువలన మనం సర్వసమీకరణం V,
(x + y + z)² ≡ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx తో పోల్చగా మనకు
(5x + (-y) + z)² = (5x)² + (-y)² + (2)² + 2(5x) (-y) + 2(-y) (z) + 2(z) (5x)
= 25x² + y² + z² – 10xy – 2yz + 10zx

21. 4x² + 9y² + 25z² – 12xy – 30yz + 20zx ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ 38.51)
సాధన.
మనకు
4x² + 9y² + 25z² – 12xy – 30yz + 20zx
= [(2x)² + (-3y)² + (5z)² + 2(2x) (-3y) + 2(-3y)(5z) + 2(5z)(2x)]
సర్వ సమీకరణం V తో పోల్చగా
(x + y + z)² ≡ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx
మనకు = (2x – 3y + 5z)²
= (2x – 3y + 5z)(2x – 3y + 5z)

22. కింది ఘనాలను విస్తరించండి. (పేజీ నెం.53)
(1) (2a + 3b)³ (ii) (2p – 5)³
సాధన.
i) ఇచ్చిన సమాసాన్ని (x + y)3 తో పోల్చగా,
మనకు x = 2a మరియు y = 3b అగును.
కావున, సర్వసమీకరణం VI, వాడితే (2a + 3b)³
= (2a)³ + (3b)³ + 3(2a)(3b) (2a + 3b)
= 8a³ + 27b³ + 18ab (2a + 3b)
= 8a³ + 27b³ + 36a²b + 54 ab²
= 8a³ + 36a²b + 54ab² + 27b³

ii) ఇచ్చిన సమాసాన్ని (x – y) తో పోల్చగా, మనకు.
x = 2p మరియు y = 5 అగును.
కావున, సర్వసమీకరణం VII, వాడితే, (2p – 5)³
= (2p)³ – (5)³ – 3(2p)(5) (2p – 5)
= 8p3 – 125 – 30p (2p – 5)
= 8p3 – 125 – 60p² + 150p
= 8p3 – 60p² + 150p – 125.

23. కింది వానిని తగిన సర్వసమీకరణాలు ఉపయోగించి గణించండి. (పేజీ నెం.53)
(i) (103)³
(ii) (99)³
సాధన.
i) మనకు (103)³ = (100 + 3)³ వచ్చును.
దీనిని (x + y)³ ≡ x³ + y³ + 3xy(x + y) తో పోల్చగా, మనకు
= (100)³ + (3)³ + 3(100) (3) (100 + 3)
= 1000000 + 27 + 900(103)
= 1000000 + 27 + 92700
= 1092727

ii) మనకు (99)³ = (100 – 1)³
దీనిని (x – y)³ ≡ x – y – 3xy(x – y) తో పోల్చగా, మనకు
= (100)³ – (1)³ – 3(100) (1) (100 – 1)
= 1000000 – 1 – 300 (99)
= 1000000 – 1 – 29700
= 970299.

24. 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³ కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం.54)
సాధన.
ఇచ్చిన సమాసాన్ని మనం దిగువ విధంగా రాస్తే
8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³
= (2x)³+ 3(2x)² (3y) + 3(2x) (3y)² + (3y)³
దీనిని సర్వసమీకరణం VI తో పోల్చగా
(x + y)³ ≡ x³ + 3x²y + 3xy² + y²
మనకు = (2x + 3y)³
= (2x + 3y) (2x + 3y) (2x + 3y) కారణాంకాలుగా వస్తాయి.

25. లబ్ధం కనుగొనండి. (పేజీ నెం.54)
(2a + b + c) (4a² + b² + c² – 2ab – bc – 2ca)
సాధన.
ఇవ్వబడిన లబ్దాన్ని దిగువ విధంగా రాయవచ్చు.
= (2a + b + c) [(2a)² + b² + c² – (2a)(b) – (b)(c) – (c) (2a)]
సమీకరణం VIII తో పోల్చగా
(x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
≡ x³ + y³ + z³ – 3xyz
= (2a)³ + (b)³ + (c)³ – 3(2a) (b) (c)
= 8a³ + b³ + c³ – 6abc

26. a³ – 8b³ – 64c³ – 24abc ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం.55)
సాధన.
ఇవ్వబడిన సమాసం
a³ – 8b³ – 64c³ – 24abc
= (a)³ + (-2b)³ + (-4c)³ – 3(a)(-2b) (-4c)
దీనిని సర్వసమీకరణం VIII తో సరిపోల్చగా
x³ + y³ + z³ – 3xyz
≡ (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
మనకు
= (a – 2b – 4c) [(a)² + (-2b)² + (-4c)² – (a) (-2b) – (-2b) (-4c) – (-4c) (a)]
= (a – 2b – 4c) (a² + 4b² + 16c² + 2ab – 8bc + 4ca) కారణాంకాలుగా వస్తాయి.

27. ఒక దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం 2x² + 9x – 5 అయిన దీర్ఘచతురస్ర పొడవు, వెడల్పులకు తగిన అనుకూల కొలతల విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు, వెడల్పులను l, b లుగా తీసుకోండి.
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 2x² + 9x – 5
lb = 2x² + 9x – 5
= 2x² + 10x – x – 5
= 2x(x + 5) – 1(x + 5)
= (x + 5) (2x – 1)
l, b లకు తగిన అనుకూల కొలతల విలువలు తీసుకుంటే
∴పొడవు = (x + 5)
వెడల్పు = (2x – 1)
x = 1 అయిన l = 6, b = 1
x = 2 అయిన l = 7, b = 3
x = 3 అయిన l = 8, b = 5
…………….
…………….

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు Ex 12.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు Exercise 12.3

1. కింది త్రిభుజాలను గీచి వాటికి పరిషృత్తాలను నిర్మించండి.

ప్రశ్న (i)
∆ABC లో AB = 6 సెం.మీ., BC = 7 సెం.మీ., మరియు \(\angle \mathbf{A}\) = 60°.

సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
→ ఇచ్చిన కొలతలతో త్రిభుజంను నిర్మించుము.
→ భుజాలకు లంబసమద్విఖండన రేఖలను గీయుము.
→ లంబ సమద్విఖండన రేఖల మిళిత బిందువు ‘S’.
→ S కేంద్రముగా; SA వ్యాసార్ధంగా తీసుకొని ఒక వృత్తంను గీయుము. అది B మరియు C ల గుండా పోవును.
→ ఇదియే మనకు కావలసిన పరివృత్తము.

ప్రశ్న (ii)
∆PQR లో PQ = 5 సెం.మీ., QR = 6 సెం.మీ. మరియు RP = 8.2 సెం.మీ.

సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
→ ఇచ్చిన కొలతలతో ∆PQR ను నిర్మించుము.
→ PQ, QR మరియు RSలకు లంబసమద్విఖండన రేఖలను గీసిన అవి ‘S’ వద్ద ఖండించుకొనును.
→ S కేంద్రముగా SP వ్యాసార్ధంతో వృత్తంను గీయుము.
→ ఈ వృత్తం మిగిలిన శీర్షాల గుండా పోవును.
→ ఇదియే మనకు కావలసిన పరివృత్త త్రిభుజం.

ప్రశ్న (iii)
∆XYZ లో XY = 4.8 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{X}\) = 60° మరియు \(\angle \mathbf{Y}\) = 70°.

సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
→ ఇచ్చిన కొలతలతో, ∆XYZ ను గీయుము.
→ ∆XYZ యొక్క భుజాలు XY, YZ, ZX లకు లంబసమద్విఖండన రేఖలను గీయుము. ఇవి ఖండించుకొను బిందువును ‘S’ అనుకొనుము.
→ ‘S’ కేంద్రంగా \(\overline{\mathrm{SX}}\) వ్యాసార్ధంతో ఒక వృత్తంను గీయుము. అది Y మరియు Z లను తాకుతూ పోవును.
→ ఇదియే మనకు కావలసిన పరివృత్తము.

ప్రశ్న 2.
AB = 5.4 సెం.మీ. గీచి A, B ల గుండా పోయే రెండు వృత్తాలను గీయండి.

సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
→ AB = 5.4 సెం.మీ.లతో ఒక రేఖా ఖండంను గీయుము.
→ ABకు లంబంగా \(\stackrel{\leftrightarrow}{XY}\) అను లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.
→ XY పై ఏదైనా ఒక బిందువు P ను తీసుకొనుము.
→ P కేంద్రంగా PA వ్యాసార్థంతో ఒక వృత్తంను గీయుము.
→ XY పై మరొక బిందువు Q అనుకొనుము.
→ ‘Q’ కేంద్రంగా \(\overline{\mathrm{QA}}\) వ్యాసార్ధంతో మరొక వృత్తమును గీయుము.

ప్రశ్న 3.
రెండు వృత్తాలు రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండించుకుంటే వాటి కేంద్రాలు ఉమ్మడి జ్యా యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖపై ఉంటాయని నిరూపించండి.
సాధన.

P మరియు Qలు కేంద్రాలుగా గల రెండు వృత్తాలు A మరియు B అను రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండించుకొనుచున్నవి.
A, B లను కలుపగా \(\overline{\mathrm{AB}}\) అను ఉమ్మడి జ్యా ఏర్పడినది.
‘O’, P, Qల మధ్య బిందువు.
OP, OQ లను కలుపుము.
ΔAPO మరియు ΔBPO లలో
AP = BP (వ్యాసార్ధాలు)
PO = PO (ఉమ్మడి భుజము)
AO = BO (∵ O మధ్య బిందువు)
∴ ΔAPO ≅ ΔBPO (భు.భు.భు. నియమం ప్రకారం)
⇒ \(\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{BOP}\) [C.P.C.T]
కాని ఇవి రేఖీయ ద్వయాలు కావున
∴ \(\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{BOP}\) = 90°
అదే విధముగా ΔAOQ మరియు ΔBOQ లలో
AQ = BQ (వ్యాసార్ధాలు)
AO = BO (∵ AB మధ్య బిందువు O)
OQ = OQ (ఉమ్మడి భుజం)
∴ ΔAOQ ≅ ΔBOQ
\(\angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{BOQ}\) (C.P.C.T)
మరియు \(\angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{BOQ}\) = 180° (రేఖీయద్వయం)
∴ \(\angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{BOQ}\) = \(\frac {180°}{2}\) = 90° ఇప్పుడు \(\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{AOQ}\) = 180°
∴ PQ ఒక రేఖ

ప్రశ్న 4.
ఒక వృత్తంలో ఖండించుకొనుచున్న రెండు జ్యాలు వాటి అందన బిందువు ద్వారా పోయే వ్యాసంతో సమాన కోణాలు చేస్తే ఆ జ్యాల పొడవులు సమానమని నిరూపించండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రమనుకొనుము
PQ వృత్తవ్యాసము
\(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) అను రెండు జ్యాలు ‘E’ అను బిందువు వద్ద ఖండించుకొనుచున్నవి.
‘E’ వ్యాసముపై గల బిందువు.
\(\angle \mathrm{AEO}=\angle \mathrm{DEO}\)
AB మరియు CD ల పైకి ‘O’ నుండి OL మరియు
OM అను లంబాలను గీయుము.
∆LEO మరియు ∆MEOలలో
\(\angle \mathrm{LEO}=\angle \mathrm{MEO}\) (దత్తాంశం నుండి)
EO = EO (ఉమ్మడి భుజము)
\(\angle \mathrm{ELO}=\angle \mathrm{EMO}\) = 90° (నిర్మాణం నుండి)
∴ ∆LEO ≅ ∆MEO (∵ కో.భు. కో. నియమం ప్రకారం)
∴ OL = OM [C.P.C.T]
అదే విధముగా కేంద్రము ‘O’ నుండి \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) లు సమాన దూరంలో గల రెండు జ్యాలు.
∴ AB = CD (∵ కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో గల జ్యాలు) నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 5.
కింది పటంలో ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తంలో AB ఒక జ్యా CD వ్యాసం AB కు లంబంగా ఉంది. అయిన AD = BD అని చూపండి.

సాధన.
CD వృత్త వ్యాసము మరియు O వృత్త కేంద్రము.
CD ⊥ AB; M ఖండన బిందువనుకొనుము.
∆AMD మరియు ∆BMD లలో
AM = BM (∵ వృత్తంలోని జ్యాను, వృత్త వ్యాసార్ధం సమద్విఖండన చేయును)
\(\angle \mathrm{AMD}=\angle \mathrm{BMD}\) (∵ దత్తాంశము)
DM = DM (ఉమ్మడి భుజం)
∴ ∆AMD ≅ ∆BMD
⇒ AD = BD [C.P.C.T]

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు Exercise 12.2

ప్రశ్న 1.
పటంలో AB = CD మరియు \(\angle \mathrm{AOB}\) = 90° అయిన \(\angle \mathrm{COD}\) ను కనుగొనండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము.
AB = CD (పటం నుండి సమాన జ్యాలు)
∴ \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}\)
[∵ సమాన జ్యాలు కేంద్రం వద్ద సమాన కోణాలు ఏర్పరుస్తాయి]
\(\angle \mathrm{COD}\) = 90°
[∵ \(\angle \mathrm{AOB}\) = 90° దత్తాంశం]

ప్రశ్న 2.
వటంలో PQ = RS మరియు \(\angle \mathrm{ORS}\) = 48°. అయిన \(\angle \mathrm{OPQ}\) మరియు \(\angle \mathrm{ROS}\) లను కనుగొనండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము.
PQ = RS (∵ దత్తాంశము నుండి)
∴ \(\angle \mathrm{POQ}=\angle \mathrm{ROS}\) [∵ సమాన జ్యాలు వృత్త కేంద్రం వద్ద సమాన కోణాలను ఏర్పరచును)
∴ ∆ROS లో
\(\angle \mathrm{ORS}+\angle \mathrm{OSR}+\angle \mathrm{ROS}\) = 180°
(త్రిభుజ కోణాల మొత్తం ధర్మము)
48° + 48° + \(\angle \mathrm{ROS}\) = 180°
(∵ OR = OS(వ్యాసార్ధాలు); ∆ORS ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము)
∴ \(\angle \mathrm{ROS}\) = 180° – 96° = 84°
అదే విధంగా, \(\angle \mathrm{POQ}=\angle \mathrm{ROS}\) = 84°
∴ \(\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OQP}\)
[∵ OP = OQ; వ్యాసార్ధాలు)
= \(\frac {1}{2}\) [180° – 84°] = 48°

ప్రశ్న 3.
పటంలో PR మరియు QS లు రెండు వ్యాసాలు అయిన PQ = RS అగునా?

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము
[∵ PR, QS లు వృత్త వ్యాసాలు)
OP = OR (∵ వ్యాసార్ధాలు)
OQ = OS (∵ వ్యాసార్ధాలు)
\(\angle \mathrm{POQ}=\angle \mathrm{ROS}\) (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ∆OPQ ≅ ∆ORS (భు.కో.భు. నియమం ప్రకారం)
∴ PQ = RS [C.P.C.T]

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు Exercise 12.1

ప్రశ్న 1.
పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రం. అయిన దిగువ ఇవ్వబడిన భాగాల పేర్లు తెలపండి.
(i) \(\overline{\mathbf{AO}}\)
(ii) \(\overline{\mathbf{AB}}\)
(iii) \(\widehat{\mathrm{BC}}\)
(iv) \(\overline{\mathbf{AC}}\)
(v) \(\widehat{\mathrm{DCB}}\)
(vi) \(\widehat{\mathrm{ACB}}\)
(vii) \(\overline{\mathbf{AD}}\)
(viii) షేడ్ చేసిన ప్రాంతం

సాధన.
(i) \(\overline{\mathbf{AO}}\) – వ్యాసార్ధము
(ii) \(\overline{\mathbf{AB}}\) – వ్యాసము
(iii) \(\widehat{\mathrm{BC}}\) – అల్ప వృత్త చాపము
(iv) \(\overline{\mathbf{AC}}\) – జ్యా
(v) \(\widehat{\mathrm{DCB}}\) – అధిక వృత్త చాపము
(vi) \(\widehat{\mathrm{ACB}}\) – అర్ధ వృత్తము
(vii) \(\overline{\mathbf{AD}}\) – జ్యా
(viii) షేడ్ చేసిన ప్రాంతం – అల్ప వృత్త ఖండము

ప్రశ్న 2.
సత్యమో, అసత్యమో తెల్పండి.
(i) వృత్తం అది ఉండే తలాన్ని మూడు భాగాలుగా విభజిస్తుంది. ( )
(ii) ఒక జ్యా మరియు అల్పచాపముల మధ్య ఆవరింపబడిన ప్రాంతమే అల్పవృత్తఖండం. ( )
(iii) ఒక జ్యా మరియు అధిక చాపముల మధ్య ఆవరించబడిన ప్రాంతమే అధిక వృత్త ఖండం. ( )
(iv) వ్యాసము వృత్తాన్ని రెండు అసమ భాగాలుగా విభజిస్తుంది. ( )
(v) రెండు వ్యాసార్ధాలు మరియు ఒక జ్యా చే ఆవరింపబడిన ప్రాంతమే సెక్టర్. ( )
(vi) వృత్త జ్యాలన్నింటిలో పెద్ద దానిని వ్యాసం అంటారు. ( )
(vii) ఏ వ్యాసం మధ్య బిందువైనా వృత్త కేంద్రం అవుతుంది. ( )
సాధన.
(i) సత్యము
(ii) సత్యము
(iii) సత్యము
(iv) అసత్యము
(v) అసత్యము
(vi) సత్యము.
(vii) సత్యము

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 జ్యామితీయ నిర్మాణాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 13th Lesson జ్యామితీయ నిర్మాణాలు InText Questions

ప్రయత్నించండి

1. కింది పటాలలో భుజాలను, రోణాలను, కర్ణాలను పరిశీలించి వాటి పేర్లు తెలపండి. అదేవిధంగా వాటి ధర్మాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 283)

సాధన.
పటం (1)లో
\(\angle \mathrm{B}\) మరియు \(\angle \mathrm{F}\) ల యొక్క కోణసమద్విఖండనరేఖ BF.
చతుర్భుజం BEFD లో BE = BD = DF = EF
∴ ఇది ఒక రాంబస్.

పటం (2)లో
BD = BE
FD = FE
∴ BEFD ఒక గాలిపటం.
\(\angle \mathrm{B}\) మరియు \(\angle \mathrm{F}\) ల కోణసమద్విఖండన రేఖ BF.

2. ఒక వృత్తంపై ఏదేని బిందువు తీసుకొని వృత్త వ్యాసార్థంతో సమాన వ్యాసార్థంతో ఎన్ని చాపాలను గీస్తే వృత్తం ఎన్ని సమాన భాగాలుగా విభజింపబడుతుంది ? నీవు ఎలా చెప్పగలవు ? ఈ సందర్భంలో జ్యూ యొక్క పొడవు ఎంత అవుతుంది? (పేజీ నెం. 284)
సాధన.

P ఒక వృత్త కేంద్రమనుకొనుము.
వృత్తపరిధిపై A ఒక బిందువనుకొనుము.
అది 2π భాగాలుగా విభజించబడినదనుకొనుము.
∴ \(\frac {వృత్తపరిధి}{వ్యాసార్థం}\) = \(\frac {2πr}{r}\) = 2π

3. ∆ABC లో \(\angle \mathrm{B}\) = 60° , \(\angle \mathrm{C}\) = 45° మరియు AB + BC + CA = 11 సెం.మీ. లతో త్రిభుజాన్ని నిర్మించగా, మీరు వేరొక పద్ధతిలో త్రిభుజాన్ని నిర్మించగలరా ? (సూచన : \(\angle \mathrm{YXL}\) = \(\frac {60°}{2}\) = 30° మరియు
\(\angle \mathrm{YXM}\) = \(\frac {45°}{2}\) = 22\(\frac {1}{2}\)° తీసుకోండి.) (పేజీ నెం. 289)

సాధన.

(i) XY = 11 సెం.మీ. లను గీయుము. (AB + BC + CA = 11 సెం.మీ.)
(ii) \(\angle \mathrm{YXP}\) = 30° అగునట్లుగా X వద్ద కోణంను నిర్మించుము. (\(\frac{\mathrm{B}}{2}=\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30° )
(iii) \(\angle \mathrm{XYQ}\) = 22\(\frac {1}{2}\)° అగునట్లుగా Y వద్ద కోణంను నిర్మించుము. (\(\frac{C}{2}=\frac{45^{\circ}}{2}=22 \frac{1}{2}\))
(iv) \(\overrightarrow{\mathrm{XP}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{YQ}}\) లు A వద్ద ఖండించుకొనును.
(v) A వద్ద, \(\angle \mathrm{XAB}\) = 30° అగునట్లుగా \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ను గీయుము. B, XY పై బిందువు.
(vi) అదే విధముగా \(\angle \mathrm{YAC}\) = 22\(\frac {1}{2}\)° = అగునట్లుగా \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) ను గీయుము. C, XY పై బిందువు.
(vii) ∆ABC మనకు కావలసిన త్రిభుజము.

4. ఇవ్వబడిన వృత్తఖండంలో కోణం ‘లంబకోణం’ అయితే అది ఎటువంటి వృత్తఖండం అవుతుంది ? పటం గీచి, కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 290)
సాధన.

వృత్తఖండంలోని కోణం ‘లంబకోణం’ అయితే కేంద్రం వద్ద దాని కోణం 2 × 90° = 180° అగును. ఆ విధముగా ఆ రేఖా ఖండము, ఆ వృత్తానికి వ్యాసముగా మారును. మరియు ఆ వృత్తఖండం, అర్ధవృత్తంగా మారును.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. BC = 6 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 60° మరియు AB + AC = 5 సెం.మీ. కొలతతో ∆ABC త్రిభుజం నిర్మించగలరా ? లేకపోతే, తగు కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 286)
సాధన.
ఇచ్చిన కొలతలతో ∆ABC ను నిర్మించలేము. ఎందుకగా AB + AC < BC.
ఒక త్రిభుజంలో రెండు భుజాల మొత్తము మూడవ భుజానికంటే ఎక్కువ.

2. BC = 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 30° మరియు AB – AC = 1.6 సెం.మీ. . కొలతలతో కోణం \(\angle \mathbf{B}\)కి బదులు \(\angle \mathbf{C}\) తీసుకొని నిర్మిస్తే త్రిభుజం ఏర్పడుతుందా ? చిత్తుపటం గీచి, నిర్మించి చూడండి. BC = 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{C}\) = 309, AB – AC = 1.6 సెం.మీ. . (పేజీ నెం. 287)
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
1. BC – 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{C}\) = 30° మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) = AB – AC = 1.6 సెం.మీ. లతో ∆BCD ను నిర్మించుము.
2. BD కు లంబసమద్విఖండన రేఖను గీయుము. CD ని పొడిగించిన అది A వద్ద ఖండించును.
3. B, A లను కలుపుము.
4. మనకు కావలసిన ∆ABC ఏర్పడినది.

ఉదాహరణలు :

1. AB అనే దత్తరేఖా ఖండానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీచి, నిర్మాణాన్ని తార్కికంగా సమర్థించుము. (పేజీ నెం. 280)
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: దత్త రేఖాఖండం AB ను గీయండి.
సోపానం – 2 : కేంద్రాలుగా కన్నా ఎక్కువ వ్యాసార్ధంతో రేఖాఖండానికి ఇరువైపులా రెండు చాపములు ఒకదానికొకటి ఖండించుకునేటట్లు గీయాలి.
సోపానం – 3 : ‘B’ కేంద్రముగా, అదే వ్యాసార్ధంతో మరి రెండు చాపములను మొదటి చాపములు ఖండించునట్లు గీయాలి.
సోపానం – 4 : ఖండన బిందువులకు P మరియు Q అని పేర్లు పెట్టి P, Q లను కలపాలి.
సోపానం – 5 : “\(\overline{\mathrm{AB}}\) యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ PQ” అనే నిర్మాణాన్ని నీవు ఏ విధంగా సమర్థించగలవు ?
POQ రేఖ AB కి లంబసమద్విఖండన రేఖ అవుతుంది.
పై నిర్మాణ క్రమము నుండి AB రేఖకు, “PQ ఒక లంబ సమద్విఖండన రేఖ” అవుతుంది అని కారణాలతో ఎలా భావించగలవు ?
నిర్మాణం యొక్క పటంను గీచి, A ను P, Qలతోనూ, B ను P మరియు Qలతోనూ కలపాలి.
త్రిభుజ సర్వసమాన నియమాల ఆధారంగా మనం ఈ ప్రవచనాన్ని నిరూపిస్తాం.

2. దత్తకోణం ABC కి సమద్విఖండన రేఖను గీయండి. (పేజీ నెం. 282)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: దత్తకోణం \(\angle \mathrm{ABC}\) ని తీసుకొనుము.
సోపానం – 2 : B కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్థంతో \(\overline{\mathrm{BA}}, \overline{\mathrm{BC}}\) కిరణాలను D, E ల మధ్య ఖండించునట్లు పటంలో చూపినట్లు చాపం గీయండి.

సోపానం – 3 : E మరియు Dలు కేంద్రములుగా సమాన వ్యాసార్ధంతో రెండు చాపములు F వద్ద ఖండించునట్లు గీయండి.

సోపానం – 4 : BF కిరణంను గీయండి. ఇదే \(\angle \mathrm{ABC}\) కి కోణ సమద్విఖండన రేఖ అగును.
పై నిర్మాణాన్ని తార్కికంగా నిరూపించిన విధం పరిశీలిద్దాం. D, F మరియు E, F లను కలపండి. త్రిభుజ సర్వసమాన నియమాలను బట్టి కింది విధంగా నిరూపిద్దాం.

3. తొలి బిందువు A నుండి AB కిరణం గీచి, \(\angle \mathbf{BAC}\) = 60° అగునట్లు AC తిరణాన్ని గీయండి. (పేజీ నెం. 283)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: AB కిరణాన్ని గీచి కొంత వ్యాసార్ధంతో A కేంద్రంగా
AB ను D వద్ద ఖండించునట్లు ఒక చాపం గీయండి.

సోపానం – 2 : D కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్థంతో మొదటి చాపాన్ని E వద్ద ఖండించునట్లు మరొక చాపాన్ని గీయాలి. (పటంలో చూపిన విధంగా)

సోపానం – 3 : E గుండా పోతున్నట్లుగా AC కిరణాన్ని గీస్తే మనకు కావలసిన కోణం \(\angle \mathbf{BAC}\) = 60 వస్తుంది.

మనం చేసిన నిర్మాణంను నిరూపించాలంటే పటంలో D, Eని కలపాలి. నిరూపణను దిగువ విధంగా చేయవచ్చు.

ఉపపత్తి :

4. BC = 5 సెం.మీ., AB + AC = 8 సెం.మీ, మరియు \(\angle \mathbf{ABC}\) = 60° కొలతలలో ∆ABC నిర్మించండి. (పేజీ నెం. 284)
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: ∆ABC చిత్తు పటంను గీచి ఇవ్వబడిన కొలతలు గుర్తించాలి. (AB + AC = 8 సెం.మీ. కొలతను ఎందుకు గుర్తించలేకపోయారు ?)
మరి త్రిభుజ మూడవ శీర్షం A ను నిర్మాణంలో ఎలా గుర్తిస్తారు ?

విశ్లేషణ : AB + AC = 8 సెం.మీ. కావున BA ను D వరకు పొడిగిస్తే
BD = 8 సెం.మీ. అవుతుంది.
∴ BD = BA + AD = 8 సెం.మీ.
కాని AB + AC = 8 సెం.మీ. (దత్తాంశం)
∵ AD = AC
BD పైన Aను గుర్తించడానికి మీరు ఏమి చేస్తారు ?
A బిందువు C మరియు D లకు సమాన దూరంలో ఉంటుంది. కావున, \(\overline{\mathrm{CD}}\) యొక్క లంబ సమద్విఖండన BD ను ఖండించే బిందువు A అవుతుంది.

సోపానం -2 : \(\overline{\mathrm{BC}}\) = 5 సెం.మీ. (త్రిభుజం భూమి) రేఖాఖండం గీచి B వద్ద \(\angle \mathbf{CBX}\) = 60° కోణం నిర్మించాలి.

సోపానం – 3 : B కేంద్రంగా 8 సెం.మీ. (AB + AC = 8 సెం.మీ.)
\(\overrightarrow{BX}\) ను D వద్ద ఖండించునట్లు ఒక చాపం గీయాలి.

సోపానం – 4 : CD ని కలిపి CD కు లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీస్తే అది BD ని A వద్ద ఖండిస్తుంది.

సోపానం – 5 : AC లను కలిపితే మనకు కావల్సిన ABC త్రిభుజం వస్తుంది.

మనం ఇప్పుడు నిర్మాణాన్ని నిరూపిద్దాం.

ఉపపత్తి : A బిందువు \(\overline{\mathrm{CD}}\) యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖపై ఉంది.
∵ AC = AD కావున
AB + AC = AB + AD = BD = 8 సెం.మీ.
అందుచే ∆ABC మనకు కావల్సిన త్రిభుజం అయింది.

5. BC = 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 30° మరియు AB – AC = 1.6 సెం.మీ. కొలతలతో ∆ABC నిర్మించండి. (పేజీ నెం. 286)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు:
సోపానం – 1 : ∆ABC యొక్క చిత్తుపటం గీచి ఇవ్వబడిన కొలతలను గుర్తించాలి.
(AB – AC = 1.6 సెం.మీ. కొలతను ఎలా గుర్తిస్తారు?)

విశ్లేషణ : AB – AC – 1.6 సెం.మీ. కావున AB > AC అగును.
AD = AC అగునట్లు AB పై D అని బిందువును గుర్తించాలి.
ఇప్పుడు BD = AB – AC = 1.6 సెం.మీ.
అందుచే C, Dని కలిపి దానికి లంబసమద్విఖండన చేస్తే మూడవ శీర్భం A ను BD పై గుర్తించవచ్చును.
అవసరమైతే BDని పొడిగించాలి. A, C ని కలిపితే.
కావలసిన త్రిభుజం ABC వస్తుంది.

సోపానం – 2 : భు.కో.భు. త్రిభుజ నియమం అనుసరించి BC = 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 30° మరియు BD = 1.6 సెం.మీ. . (i.e., AB – AC) ∆BCD ని నిర్మించాలి.

సోపానం – 3 : CD యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీస్తే అది BDX రేఖను A వద్ద ఖండిస్తుంది.

సోపానం – 4 : A, C లను కలిపితే ∆ABC వస్తుంది.

6. BC = 5 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 45° మరియు AC – AB = 1.8 సెం.మీ. కొలతలతో ∆ABC నిర్మించండి. (పేజీ నెం. 287)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: ∆ABC యొక్క చిత్తుపటాన్ని గీచి ఇచ్చిన కొలతలు గుర్తించాలి. AC – AB = 1.8 సెం.మీ. కొలతను ఎలా గుర్తించగలరో విశ్లేషణ చేయండి.

విశ్లేషణ : AB < AC కావున AC – AB = 1.8 సెం.మీ. ను BD గా తీసుకోవాలంటే, AD = AC అయినట్లు AC పై D బిందువును గుర్తించండి. ఇప్పుడు BD = AC – AB = 1.8 అగును. (∵BD =AD – AB మరియు AD = AC)
C, Dని కలిపి CD కి లంబసమద్విఖండన రేఖను గీస్తే దానిపై A ను గుర్తించవచ్చు.

సోపానం – 2 : BC = 5 సెంమీ. రేఖాఖండం గీచి, \(\angle \mathrm{CBX}\) = 45° కోణం నిర్మించాలి.
B కేంద్రంగా 1.8 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో (BD = AC – AB) ఒక చాపం గీయగా అది \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) రేఖను BC కి ఎదురుగా పొడిగిస్తే దానిని D వద్ద ఖండిస్తుంది.

సోపానం – 3 : D, C ని కలిపి దానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖ గీయాలి.

సోపానం – 4 : ఇది \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) రేఖను A వద్ద ఖండిస్తుంది. AC ని కలిపితే మనకు కావలసిన త్రిభుజం ∆ABC వస్తుంది.
ఇప్పుడు మనం పై నిర్మాణంను తార్కికంగా నిరూపిద్దాం.

విశ్లేషణ : ∆ABC లో భూమి BCని, \(\angle \mathrm{B}\) కోణాన్ని నిర్మించాం.
DC యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖపై A బిందువు ఉన్నది కావున
∴ AD = AC అగును.
అంటే, AB + BD = AC
కావున BD = AC – AB అయినది.
= 1.8 సెం.మీ.
ఇదే మనకు కావలసిన త్రిభుజం ∆ABC అవుతుంది.

7. ∆ABC లో \(\angle \mathrm{B}\) = 60°, \(\angle \mathrm{C}\) = 45° మరియు AB + BC + CA = 11 సెం.మీ. అయిన త్రిభుజం నిర్మించండి.
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: ∆ABC త్రిభుజం యొక్క చిత్తుపటంను గీచి ఇవ్వబడిన కొలతలు గుర్తించాలి.
(త్రిభుజ చుట్టుకొలతను ఎలా గుర్తిస్తారు ?)

విశ్లేషణ : త్రిభుజం చుట్టుకొలత AB + BC + CA కు సమానమయ్యే రేఖాఖండం XY గీయాలి. \(\angle \mathrm{B}\)కు సమానంగా \(\angle \mathrm{YXL}\) నూ, \(\angle \mathrm{C}\) కు సమానం అయ్యేటట్లు \(\angle \mathrm{XYM}\) ను నిర్మించి, వాటిని సమద్విఖండన చేయాలి. ఈ రెండు సమద్విఖండన రేఖలు.

A వద్ద ఖండించుకున్నాయనుకోండి,
AX యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖ XY ను B వద్ద, AY యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖ C వద్ద ఖండిస్తాయి.
AB, AC లను కలిపితే మనకు కావలసిన త్రిభుజం ABC వస్తుంది.

సోపానం – 2 : XY = 11 సెం.మీ. (ఎందుకంటే XY = AB + BC + CA) రేఖాఖండాన్ని గీయాలి.

సోపానం – 3: \(\angle \mathrm{YXL}\) = 60° మరియు \(\angle \mathrm{XYM}\) = 45° కోణాలను నిర్మించి, వాటికి సమద్విఖండన రేఖలు గీయాలి.

సోపానం – 4 : ఈ రెండు సమద్విఖండన రేఖల ఖండన బిందువుకు, A అని పేరు పెట్టాలి.

సోపానం – 5 : AX మరియు AY లకు లంబసమద్విఖండన రేఖలను గీస్తే అవి \(\overline{\mathrm{XY}}\) ను వరుసగా B మరియు Cల వద్ద ఖండిస్తాయి.
AB మరియు AC లను కలపాలి.
మనకు కావల్సిన త్రిభుజం ABC వస్తుంది.
ఈ నిర్మాణంను మనం కింది విధంగా నిరూపిద్దాం.

ఉపపత్తి : AX యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ PQ పై B ఉంటుంది.
∴ XB = AB మరియు అదేవిధంగా CY = AC.
దీని నుండి AB + BC + CA = XB + BC + CY = XY తిరిగి \(\angle \mathrm{BAX}\) = \(\angle \mathrm{AXB}\) (∆AXB లో XB = AB) మరియు \(\angle \mathrm{ABC}\) = \(\angle \mathrm{BAX}\) + \(\angle \mathrm{AXB}\) (∆ABC యొక్క బాహ్యకోణం)
= 2\(\angle \mathrm{AXB}\) = \(\angle \mathrm{YXL}\) = 60°.
ఇదే విధంగా \(\angle \mathrm{ACB}\) = \(\angle \mathrm{XYM}\) = 45° అగును.
∴ \(\angle \mathrm{B}\) = 60° మరియు \(\angle \mathrm{B}\) = 45° అయినది.

8. 7 సెం.మీ. పొడవుగల వృత్త వ్యా పై 60° కోణములను కలిగి ఉండే వృత్త ఖండాన్ని నిర్మించుము. (పేజీ నెం. 289)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: ఒక వృత్తాన్ని, 60° కలిగి ఉండే వృత్తఖండం యొక్క (అధిక వృత్తఖండం గీయాలి. ఎందుకు ?) చిత్తు పటం గీయాలి.
కేంద్రం లేకుండా వృత్తాన్ని గీయగలవా ?

విశ్లేషణ : ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తం తీసుకోండి.
AB అనేది దత్త వృత్త జ్యా మరియు C = 60° కోణం గల ACB వృత్తఖండం మనం నిర్మించవలసినది.
\(\widehat{\mathrm{AXB}}\) వృత్తచాపం వృత్తంపై C వద్ద చేసిన కోణం 60° అనుకోండి.
\(\angle \mathrm{ACB}\) = 60° కావున \(\angle \mathrm{AOB}\) = 60° × 2 – 120° (ఎలా?)
∆OAB లో OA – OB (సమాన వ్యాసార్ధాలు) కావున
\(\widehat{\mathrm{OAB}}\) = \(\widehat{\mathrm{OBA}}\) = \(\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30°
అందుచే మన ∆OAB గీయగలం. అప్పుడు వృత్తానికి OA = OB వ్యాసార్ధం అవుతుంది.

సోపానం – 2 : AB = 7 సెం.మీ. రేఖాఖండం గీయండి.

సోపానం – 3: \(\angle \mathrm{BAX}\) = 30° మరియు \(\angle \mathrm{YBA}\) = 30° ఉండేటట్లు \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}, \overrightarrow{\mathrm{BY}}\) కిరణాలను గీయగా అవి O వద్ద ఖండించుకుంటాయి. (సూచన : వృత్తలేఖిని ఉపయోగించి 60° కోణం నిర్మించి, దానిని సమద్విఖండన చేస్తే 30° కోణం వస్తుంది.)

సోపానం – 4 : O కేంద్రంగా OA = OB = r వ్యాసార్ధంతో వృత్తం గీయాలి.

సోపానం – 5 : అధిక వృత్త చాపంపై ‘C’ బిందువు గుర్తించాలి.

A, C మరియు B, C లను కలిపితే \(\angle \mathrm{ACB}\) = 60° వస్తుంది.
ఈ వృత్తఖండం మనకు కావలసిన వృత్తఖండం అవుతుంది. పై నిర్మాణాన్ని నిరూపిద్దాం.
ఉపపత్తి : OA = OB (వృత్త వ్యాసార్థం)
∴ \(\angle \mathrm{OAB}+\angle \mathrm{OBA}\) = 30° + 30° = 60°
\(\angle \mathrm{AOB}\) = 180° – 60° = 120°
\(\widehat{\mathrm{AXB}}\) దాపం వృత్త కేంద్రం వద్ద చేయుకోణం 120°.
∴ \(\angle \mathrm{ACB}\) = \(\frac {120°}{2}\) = 60°
కావున ACB మనకు కావలసిన వృత్తఖండం అగును.

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Exercise 2.5

ప్రశ్న1.
తగిన సమీకరణాలను ఉపయోగించి కింది లబ్దాలు కనుగొనుము.
i) (x + 5) (x + 2)
సాధన.
(x + 5) (x + 2) = x² + (5 + 2)x + 5 × 2
[∵ (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab]
= x² + 7x + 10

ii) (x – 5) (x – 5)
సాధన.
(x – 5) (x – 5) = (x – 5)²
= x² – 2(x) (5) + 5²
[∵ (x – y)² = x² – 2xy + y²]
= x² – 10x + 25

iii) (3x + 2) (3x – 2)
సాధన.
(3x + 2) (3x – 2) = (3x)² – (2)²
[∵ (x + y) (x – y) = x² – y²]
= 9x² – 4

iv) \(\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)\left(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\right)\)
సాధన.
\(\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)\left(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\right)\)
= (x2)2 – \(\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{2}\)
[∵ (x + y) (x – y) = x² – y²]
= x⁴ – \(\frac{1}{x^{4}}\)

v) (1 + x) (1 + y)
సాధన.
(1 + x) (1 + x)
= (1 + x)² = 1² + 2 (1) (x) + x²
[∵ (x + y)² = x² + 2xy + y²]
= 1 + 2x + x²

ప్రశ్న2.
గుణకారం చేయకుండానే కింది లబ్దాలను గణించండి.
i) 101 × 99
సాధన.
101 × 99 = (100 + 1) (100 – 1)
= 100² – 1² = 10000 – 1 = 9999

ii) 999 × 999
సాధన.
999 × 999 = 999²
= (1000 – 1)²
= 10002 – 2 × (1000) × 1 + 1²
= 1000000 – 2000 + 1
= 998001

iii) 50\(\frac {1}{2}\) × 49\(\frac {1}{2}\)
సాధన.
50\(\frac {1}{2}\) × 49\(\frac {1}{2}\) = \(\left(50+\frac{1}{2}\right)\left(50-\frac{1}{2}\right)\)
= 50² – \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
= 2500 – \(\frac {1}{4}\)
= 2499\(\frac {3}{4}\)
= \(\frac {9999}{4}\)

iv) 501 × 501
సాధన.
501 × 501 = (500 + 1) (500 + 1)
= (500 + 1)²
= 5002 + 2 × (500) × 1 + 1²
= 250000 + 1000 + 1
= 251001

v) 30.5 × 29.5
సాధన.
30.5 × 29.5 = (30 + 0.5) (30 – 0.5)
= 30² – (0.5)²
= 900 – 0.25 = 899.75

ప్రశ్న3.
కింది బహుపదులను తగిన సర్వసమీకరణములను ఉపయోగించి కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) 16x² + 24xy + 9y²
సాధన.
16x² + 24xy + 9y²
= (4x)² + 2 (4x) (3y) + (3y)²
= (4x + 3y)² = (4x + 3y) (4x + 3y)
[∵ (x + y)² ≡ x² + 2xy + y²]

ii) 4y² – 4y + 1
సాధన.
4y² – 4y + 1 = (2y)² – 2 (2y) (1) + (1)²
= (2y – 1)²
= (2y – 1) (2y – 1) [∵ (x + y)² ≡ x² – 2xy + y²]

iii) 4x² + \(\frac{y^{2}}{25}\)
సాధన.
4x² + \(\frac{y^{2}}{25}\) = (2x)² – \(\left(\frac{y}{5}\right)^{2}\)
= \(\left(2 x+\frac{y}{5}\right)\left(2 x-\frac{y}{5}\right)\)
[∵ (x + y) (x – y) ≡ x² – y²]

iv) 18a² – 50
సాధన.
18a² – 50 = 2(9a² – 25)
= 2[(3a)² – (5)²]
= 2 (3a + 5) (3a – 5)
[∵ x² – y² ≡ (x + y) (x – y)]

v) x² + 5x + 6
సాధన.
x² + 5x + 6 = x² + (3 + 2)x + 3 × 2
= (x + 3) (x + 2)
[∵ (x + a) (x + b) ≡ x² + (a + b) x + a . b]

vi) 3p² – 24p + 36
సాధన.
3p² – 24p + 36
= 3[p² – 8p + 12]
= 3[p² + (-6)p + (-2)p + (-6) (-2)]
= 3 [p (p – 6) – 2 (p – 6)]
= 3 (p – 6) (p – 2)
[∵ (x + a) (x + b) ≡ x² + (a + b) x + ab]

ప్రశ్న4.
కింది వానిని తగిన సర్వసమీకరణాలను ఉపయోగించి విస్తరించండి.
i) (x + 2y + 4z)²
సాధన.
(x + 2y + 4z)²
= (x)² + (2y)2 + (4z)² + 2(x) (2y) + 2 (2y) (4z) + 2 (4z) (x)
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8zx
[∵ (x + y + z)² ≡ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx]

ii) (2a – 3b)³
సాధన.
(2a – 3b)³
= (2a)³ -3 (2a)² (3b) + 3(2a)(3b)² – (3b)³
= 8a³ – 3(4a²) (3b) + 3 (2a) (9b²) – 27b³
= 8a³ – 36a²b + 54ab² – 27b³
[∵ (a – b)³ ≡ a³ – 3a²b + 3ab² – b³]
(లేదా)
(2a – 3b)³
= (2a)³ – (3b)³ – 3(2a) (3b) (2a – 3b)
= 8a³ – 27b³ – 18ab (2a – 3b)
[∵ (a – b)³ ≡ a³ – b³ – 3ab (a – b)]

iii) (-2a + 5b – 3c)²
సాధన.
(- 2a + 5b – 3c)²
= (-2a)² + (5b)² + (-3c)² + 2 (-2a) (5b) + 2 (5b) (-3c) + 2 (-3c) (-2a)
= 4a² + 25b² + 9c² – 20ab – 30bc + 12ca
[∵ (x + y + z)² ≡ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx]

iv) \(\left(\frac{a}{4}-\frac{b}{2}+1\right)^{2}\)
సాధన.

v) (p + 1)³
సాధన.
(p + 1)³
= (p)³ + 3 (p)² (1) + 3 (p) (1)² + (1)³
[∵ (x + y)³ ≡ x³ + 3x²y + 3xy² + y³]
= p³ + 3p² + 3p +1

vi) \(\left(x-\frac{2}{3} y\right)^{3}\)
సాధన.

[∵ (x – y)³ ≡ x³ – 3x²y + 3xy² – y3]
= x³ – 2x²y + \(\frac{4 x y^{2}}{3}-\frac{8}{27} y^{3}\)

ప్రశ్న5.
కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) 25x² + 16y² + 4z² – 40xy + 16yz – 20xz
సాధన.
25x² + 16y² + 4z² – 40xy + 16yz – 20xz
= (5x)² + (-4y)² + (-2z)² + 2(5x) (-4y) + 2 (-4y) (-2z) + 2 (-2z) (5x)
[∵ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx = (x + y + z)²]
= (5x – 4y – 2z)² = (-5x + 4y + 2z)²

ii) 9a² + 4b² + 16c² + 12ab – 16bc – 24ca
సాధన.
9a² + 4b² + 16c² + 12ab – 16bc – 24ca
= (3a)² + (2b)² + (-4c)² + 2 (3a) (2b) + 2 (2b) (-4c) + 2(-4c) (3a)
= (3a + 2b – 4c)²

ప్రశ్న6.
a + b + c = 9 మరియు ab + bc + ca = 26 అయిన a² + b² + c² విలువ కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశము a + b + c = 9
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా,
(a + b + c)² = 9²
⇒ a² + b² + c² + 2 (ab + bc + ca) = 81
⇒ a² + b² + c² = 81 – 2 (ab + bc + ca) (ఇచ్చిన లెక్క ప్రకారము)
= 81 – 2 × 26
= 81 – 52
= 29

ప్రశ్న7.
కింది వానిని సర్వసమీకరణాలను ఉపయోగించి గణించండి.
i) (99)³
సాధన.
(99)³ = (100 – 1)³
= 100³ – 3 (100)² (1) + 3 (100) (1)² – 1³
[∵ (x – y)³ ≡ x³ – 3x²y + 3xy² – y³]
= 1000000 – 30000 + 300 – 1
= 970299

ii) (102)³
సాధన.
(102)³ = (100 + 2)³
= 100³ + 3 (100)² (2) + 3 (100) (2)² + 2³
[∵ (x + y)³ ≡ x³ + 3x²y + 3xy² + y]
= 1000000 + 60000 + 1200 + 8
= 1061208

iii) (998)³
సాధన.
(998)³ = (1000 – 2)³
[∵ (x – y)³ ≡ x³ – 3x²y + 3xy² – y³]
= 1000³ – 3(1000)² (2) + 3(1000) (2)² – 2³
= 1000000000 – 6000000 + 12000 – 8
= 994011992

iv) (1001)³
సాధన.
(1001)³ = (1000 + 1)³
[∵ (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³]
= 1000³ + 3(1000)² (1) + 3(1000) (1)² + 1³
= 1000000000 + 3000000 + 3000 + 1
= 1003003001

ప్రశ్న8.
కింది వానిని కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
సాధన.
దత్తాంశమును 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab² గా మార్చగా
= (2a)³ + (b)³ + 3 (2a)² (b) + 3 (2a) (b)²
= (2a + b)³

ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
సాధన.
దత్తాంశమును 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab² గా మార్చగా
= (2a)³ – (b)³ – 3 (2a)² (b) + 3 (2a) (b)²
= (2a – b)³

iii) 1 – 64a³ – 12a + 48a²
సాధన.
1 – 64a³ – 12a + 48a²
= (1)³ – (4a)³ – 3(1)² (4a) + 3(1) (4a)²
= (1 – 4a)³

iv) \(8 \mathrm{p}^{3}-\frac{12}{5} \mathrm{p}^{2}+\frac{6}{25} \mathrm{p}-\frac{1}{125}\)
సాధన.
\(8 \mathrm{p}^{3}-\frac{12}{5} \mathrm{p}^{2}+\frac{6}{25} \mathrm{p}-\frac{1}{125}\)

ప్రశ్న9.
i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
ii) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²) లను సరిచూడండి. అదే విధంగా గుణకారం చేసి లబ్దాన్ని పరిశీలించండి. వీటిని కూడా సర్వసమీకరణములని భావించవచ్చునా ?
1) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
సాధన.
దత్తాంశము x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
L.H.S = x³ + y³
R.H.S = (x + y) (x² – xy + y²)
= x (x² – xy + y²) + y (x² – xy + y²)
= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³
= x³ + y³ = L.H.S
∴ L.H.S = R.H.S
x = 3, y = 2 గా తీసుకొనిన
L.H.S = 3³ + 2³ = 27 + 8 = 35
R.H.S= (3 + 2) (3² – 3 × 2 + 2²)
= 5 × (9 – 6 + 4) = 5 × 7 = 35
∴ L.H.S = R.H.S

ii) x³ – y³ = (x + y) (x² + xy + y²)
సాధన.
దత్తాంశము x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
L.H.S = x³ – y³
R.H.S = (x – y) (x² + xy + y²)
= x (x² + xy + y²) -y (x² + xy + y²)
= x³ + x²y + xy² – x²y – xy² – y³
= x³ – y³ = L.H.S
L.H.S = 3³ – 2³ = 27 – 8 = 19
R.H.S = (3 – 2) (3² + 3 × 2 + 2²)
= 1 × (9 + 6 + 4) = 1 × 19 = 19
∴ L.H.S = R.H.S
పై రెండు సమీకరణాలను సర్వసమీకరణాలుగా వ్యవహరిస్తాము.

ప్రశ్న10.
9వ సమస్యలో ఫలితాల ఆధారంగా క్రింది వాటిని కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) 27a³ + 64b³
సాధన.
27a³ + 64b³ = (3a)³ + (4b)³
= (3a + 4b) {(3a)² – (3a) (4b) + (4b)²}
= (3a + 4b) (9a² – 12ab + 16b²)

ii) 343y³ – 1000
సాధన.
343y³ – 1000 = (7y)³ – (10)³
= (7y – 10) [(7y)² + (7y) (10) + (10)²)
= (7y – 10) (49y² + 70y + 100)

ప్రశ్న11.
సర్వసమీకరణం ఉపయోగించి 27×3 + y3 + z3 – 9xyz ను కారణాంకాలుగా విభజించండి.
సాధన.
దత్తాంశము 27x³ + y³ + z³ – 9xyz
= (3x)³ + (y)³ + (z)³ – 3 (3x) (y) (z)
= (3x + y + z) [(3x)² + y² + z² – (3x) (y) – (y) (z) – (z) (3x)
[∵ x³ + y³ + z³ – 3xyz ≡ (x + y + z) – (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= (3x + y + 2) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – zx)

ప్రశ్న12.
x³ + y³ + z³ – 3xyz = \(\frac {1}{2}\) (x + y + z) [(x + y)² + (y – z)² + (z – x)²] సరిచూడండి.
సాధన.
దత్తాంశము x³ + y³ + z³ – 3xyz
= \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) [(x – y)² + (y = z)² + (z = x)²]
R.H.S= \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
= \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) [x² + y² – 2xy + y² + z² – 2yz + z² + x² – 2xz]
= \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) [2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2zx]
= \(\frac {1}{2}\)(x + y + z) (2) [x² + y² + z² – xy – yz – zx]
= (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= L.H.S

ప్రశ్న13.
x + y + z = 0 అయితే x³ + y³ + z³ = 3xyz అని నిరూపించండి.
సాధన.
దత్తాంశము x + y + z = 0
సర్వసమీకరణము
(x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz -zx)
= x³ + y³ + z³ – 3xyz అని మనకు తెలుసు.
x + y + z = 0 ను సర్వసమీకరణము నందు ప్రతిక్షేపించగా,
0 × (x² + y² + z² – xy – yz – zx) = x³ + y³ + z³ – 3xyz
⇒ x³ + y³ + z³ – 3xyz = 0
= x³ + y³ + z³ = 3xyz

ప్రశ్న14.
కింది సమాసాలలో ఘనాలను గణించకుండానే, ఫలితాలను కనుగొనండి.
i) (-10)³ + 7³ + 3³
సాధన.
దత్తాంశము (- 10)³ + 7³ + 3³
భూముల మొత్తం = – 10 + 7 + 3 = 0
సర్వసమీకరణము
(x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= x³ + y³ + z³ – 3xyz నుండి
x³ + y³ + z³ = 3xyz కావున
∴ (-10)³ + 7³ + 3³ = 3 (-10) × (7) × 3
= -630

ii) (28)³ + (- 15)³ + (-13)³
సాధన.
దత్తాంశము (28)³ + (-15)³ + (-13)³
భూముల మొత్తం = 28 + (-15) + (-13) = 0
సర్వసమీకరణము
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx) నుండి x³ + y³ + z³ = 3xyz కావున
∴ (28)³ + (-15)³ + (-13)³
= 3 × 28 × (-15) × (13)
= 16380

iii) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{3}-\left(\frac{5}{6}\right)^{3}\)
సాధన.
దత్తాంశము \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{3}-\left(\frac{5}{6}\right)^{3}\)ను \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{3}+\left(\frac{-5}{6}\right)^{3}\) గా వ్రాయవచ్చును.

iv) (0.2)³ – (0.3)³ + (0.1)³
సాధన.
దత్తాంశము (0.2)³ – (0.3)³ + (0.1)³ ను
= (0.2)³ + (-0.3)³ + (0.1)³ గా వ్రాయవచ్చును.
భూముల మొత్తం = 0.2 – 0.3 + 0.1 = 0
∴ (0.2)³ + (-0.3)³ + (0.1)³
= 3 × (0.2) (-0.3) (0.1) = – 0.018

ప్రశ్న15.
కింది దీర్ఘచతురస్రాల వైశాల్యాలకు ఇవ్వబడిన సమాసాలను బట్టి పొడవు, వెడల్పులకు తగిన అనుకూల కొలతల విలువలు తెలపండి.
సాధన.
ఇచ్చిన వైశాల్యము = 4a² + 4a – 3
= 4a² + 6a – 2a – 3
= 2a (2a + 3) -1 (2a + 3)
= (2a + 3) (2a – 1)
∴ పొడవు = (2a + 3); వెడల్పు = (2a – 1)

ii) 25a² – 35a + 12
సాధన.
ఇచ్చిన వైశాల్యము = 25a² – 35a + 12
= 25a² – 20a – 15a + 12
= 5a (5a – 4) – 3 (5a – 4)
= (5a – 4) (5a – 3)
∴ పొడవు = (5a – 3); వెడల్పు = (5a – 4)

ప్రశ్న16.
కింది దీర్ఘఘన ఘనపరిమాణాలకు ఇవ్వబడిన సమాసాలను బట్టి దీర్ఘఘనం యొక్క అనుకూల కొలతలు తెలపండి.
i) 3x³ – 12x
సాధన.
సమఘనపు ఘనపరిమాణము = 3x³ – 12x = 3x (x² – 4)
= 3x (x + 2) (x – 2)
{∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
∴ సమఘనపు అనుకూల కొలతలు వరుసగా
3x, (x + 2) మరియు (x – 2)

ii) 12y² + 8y – 20
సాధన.
ఇచ్చిన ఘనపు ఘనపరిమాణం
= 12y² + 8y – 20
= 4 (3y² + 2y – 5)
= 4 [3y² + 5y – 3y – 5]
= 4 [y (3y + 5) – 1 (3y + 5)]
= 4 (3y + 5) (y – 1)
∴ సమఘనపు అనుకూల కొలతలు వరుసగా
4, (3y + 5) మరియు (y – 1)

ప్రశ్న17.
2 (a² + b²) = (a + b)² అయిన a = b అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశం 2 (a² + b²) = (a + b)²
2a² + 2b²= a² + 2ab + b²
2a² – a² + 2b² – b² = 2ab
a² + b² = 2ab
a = b అయినపుడు మాత్రమే ఇది సాధ్యము.

Andhra Pradesh SCERT AP State Board Syllabus 9th Class Maths Important Bits with Answers in English and Telugu Medium are part of AP Board 9th Class Textbook Solutions.

Students can also read AP Board 9th Class Maths Solutions for board exams.

AP State Syllabus 9th Class Maths Important Bits with Answers in English and Telugu

9th Class Maths Bits in English Medium

• Chapter 1 Real Numbers Bits
• Chapter 2 Polynomials and Factorisation Bits
• Chapter 3 The Elements of Geometry Bits
• Chapter 4 Lines and Angles Bits
• Chapter 5 Co-Ordinate Geometry Bits
• Chapter 6 Linear Equation in Two Variables Bits
• Chapter 7 Triangles Bits
• Chapter 8 Quadrilaterals Bits
• Chapter 9 Statistics Bits
• Chapter 10 Surface Areas and Volumes Bits
• Chapter 11 Areas Bits
• Chapter 12 Circles Bits
• Chapter 13 Geometrical Constructions Bits
• Chapter 14 Probability Bits
• Chapter 15 Proofs in Mathematics Bits

9th Class Maths Bits in Telugu Medium

• 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Bits
• 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Bits
• 3rd Lesson జ్యామితీయ మూలాలు Bits
• 4th Lesson సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Bits
• 5th Lesson నిరూపక జ్యామితి Bits
• 6th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Bits
• 7th Lesson త్రిభుజాలు Bits
• 8th Lesson చతుర్భుజాలు Bits
• 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము Bits
• 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Bits
• 11th Lesson వైశాల్యాలు Bits
• 12th Lesson వృత్తాలు Bits
• 13th Lesson జ్యామితీయ నిర్మాణాలు Bits
• 14th Lesson సంభావ్యత Bits
• 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు Bits

AP State Syllabus Bits with Answers

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Exercise 2.4

ప్రశ్న1.
కింది బహుపదులకు (x + 1) కారణాంకమగునో, లేదో నిర్ధారించండి.
i) x³ – x² – x + 1
సాధన.
f(-1) = (-1)³ – (-1)² – (-1) + 1
= – 1 – 1 + 1 + 1 = 0
∴ (x + 1) ఒక కారణాంకము.

ii) x⁴ – x³ + x² – x + 1
సాధన.
f(-1) = (-1)⁴ – (-1)³ + (-1)² – (-1) – 1
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
∴ (x + 1) కారణాంకము కాదు.

iii) x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 1
సాధన.
f(-1) = (-1)³ + 2(-1)³ + 2(-1)² + (-1) + 1
= 1 – 2 + 2 – 1 + 1 = 1
∴ (x + 1) కారణాంకము కాదు.

iv) x³ – x² – (3 – \(\sqrt{3}\))x + \(\sqrt{3}\)
సాధన.
f(-1) = (-1)³ – (-1)² – (3 – \(\sqrt{3}\)) (-1) + \(\sqrt{3}\)
= – 1 – 1 + 3 – \(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{3}\) = 1
∴ (x + 1) కారణాంకము కాదు.

ప్రశ్న2.
కారణాంక సిద్ధాంతం ఉపయోగించి, కింది బహుపదులలో ప్రతి సందర్భంలోనూ f(x) కు g(x) కారణాంకమగునో లేదో తెలపండి.
i) f(x) = 5x³ + x² – 5x – 1; g(x) = x + 1
[కారణాంక సిద్ధాంతం : f(x) ఒక బహుపది; f(a) = 0 అయితే (x – a) కు కారణాంకము f(x); a ∈ R]
సాధన.
g(x) = x + 1 = x – a అనుకొనుము.
∴ a = – 1
f(a) = f(-1) = 5(-1)³ + (-1)² – 5(-1) – 1
= – 5 + 1 + 5 – 1 = 0
∴ f(x) కు x + 1 కారణాంకము అగును.

ii) f(x) = x³ + 3x² + 3x + 1; g(x) = x +1
సాధన.
g(x) = x + 1 = x – a అనుకొనుము.
∴ a = -1
f(a) = f(-1) = (-1)³ + 3(-1)² + 3(-1) + 1
= – 1 + 3 – 3 + 1 = 0
∴ f(x) కు g(x) కారణాంకము అగును.

ii) f(x) = x³ – 4x² + x + 6; g(x) = x – 2
సాధన.
g(x) = x – 2 = x – a అనుకొనుము.
∴ a = 2; f(a) = f(2) = 2³ – 4(2)² + 2 + 6
= 8 – 16 + 2 + 6 = 0
∴ f(x) కు g(x) కారణాంకము అగును.

iv) f(x) = 3x³ + x² – 20x + 12; g(x) = 3x – 2
సాధన.
g(x) = 3x – 2 = x – \(\frac{2}{3}\) = x – a అనుకొనుము.
∴ a = \(\frac{2}{3}\)

∴ f(x) కు g(x) కారణాంకము అగును.

v) f(x) = 4x³ + 20x² + 33x + 18; g(x) = 2x + 3
సాధన.
g(x) = 2x + 3 = x + \(\frac{3}{2}\) = x – a అనుకొనుము.
∴ a = –\(\frac{3}{2}\)


∴ f(x) కు కారణాంకము g(x) అగును.

ప్రశ్న3.
x³ – 3x² – 10x + 24 నకు (x – 2), (x + 3) మరియు (x – 4) లు కారణాంకాలు అవుతాయని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము f(x) = x³ – 3x² – 10x + 24 అనుకొనుము.
(x – 2), (x + 3) మరియు (x – 4) లు f(x) కు కారణాంకాలైన అవి ఇచ్చు శేషాలు వరుసగా f(2), f(-3) మరియు f(4) అనుకొనుము.
f(2) = 2³ – 3(2)² – 10(2) + 24
= 8 – 12 – 20 + 24 = 0
∴ (x – 2), f(x) కు కారణాంకము.
f(-3) = (-3)³ – 3(-3)² – 10(-3) + 24
= – 27 – 27 + 30 + 24 = 0
∴ (x + 3), f(x) కు కారణాంకము.
f(4) = (4)³ – 3(4)² – 10(4) + 24
= 64 – 48 – 40 + 24 = 88 – 88 = 0
∴ (x – 4), f(x) కు కారణాంకము.

ప్రశ్న4.
x³ – 6x² – 19x + 84 నకు (x + 4), (x – 3) మరియు (x – 7) లు కారణాంకాలు అవుతాయని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము f(x) = x³ – 6x² – 19x + 84 అనుకొనుము.
(x + 4), (x – 3) మరియు (x – 7)లు కారణాంకాలైన అవి ఇచ్చు శేషాలు వరుసగా f(-4), f(3) మరియు f(7) అనుకొనుము.
f(-4) = (-4)³ – 6(-4)² – 19(-4) + 84
= – 64 – 96 + 76 + 84 = 0
∴ (x + 4), f(x) కు కారణాంకము.
f(3) = 3³ – 6(3) – 19(3) + 84
= 27 – 54 – 57 + 84 = 0
∴ (x – 3), f(x) కు కారణాంకము.
f(7) = 7³ – 6(7)² – 19(7) + 84
= 343 – 294 – 133 + 84 = 427 – 427 = 0
∴ (x – 7), f(x) కు కారణాంకము.

ప్రశ్న5.
px² + 5x + r అనే బహుపదికి (x – 2) మరియు \(\left(x-\frac{1}{2}\right)\) కారణాంకములైతే p = r అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము f(x) = px² + 5x + r అనుకొనుము.
f(x) కు (x – 2) మరియు \(\left(x-\frac{1}{2}\right)\) లు కారణాంకాలు కావున అవి ఏర్పరచు శేషాలు వరుసగా f(2) = 0 మరియు f(\(\frac {1}{2}\)) = 0 అగును.
∴ f(2) = p(2)² + 5(2) + r
= 4p + 10 + r = 0
⇒ 4p + r = -10 ……. (1)
∴ f(\(\frac {1}{2}\)) = 0
⇒ \(p\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+5\left(\frac{1}{2}\right)+r\) = 0
⇒ \(\frac{p}{4}+\frac{5}{2}+r=0\)
⇒ p + 10 + 4r = 0
⇒ p + 4r = – 10 ……….. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి,
4p + r = p + 4r
4p – p = 4r – r
3p = 3r
∴ p = r

ప్రశ్న6.
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e బహుపదికి (x² – 1) కారణాంకం అయితే a + c + e = b + d = 0 అని చూపండి.
సాధన.
f(x) = ax⁴ + bx³ + cx2 + dx + e అనుకొనుము.
(x² – 1), f(x) కు కారణాంకమైన
x² – 1 = (x + 1) (x – 1) కూడా కారణాంకాలు అగును.
f(x) కు (x – 1) కారణాంకమైన f(1) = 0 అగును.
∴ f(1) = a + b + c + d + e = 0 ……….. (1)
f(x)కు (x + 1) కారణాంకమైన f(-1) = 0 అగును.
∴ f(-1) = a + c + e – b – d = 0
⇒ a+ c + e = b + d ……….. (2)
సమీకరణము (2) ను సమీకరణము (1) నందు ప్రతిక్షేపించగా,

ప్రశ్న7.
కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) x³ – 2x² – x + 2
సాధన.
f(x) = x³ – 2x² – x + 2 అనుకొనుము.
x = 1 అనుకొనుము.
f(1) = 1³ – 2(1)² – 1 + 2
= – 1 – 2 – 1 + 2 = 0
∴ కారణాంక సిద్ధాంతం ప్రకారం (x – 1), f(x) కు కారణాంకము.
భాగహార పద్ధతి ప్రకారం,

∴ f(x) = (x – 1) (x² – x – 2)
= (x – 1) [x² – 2x + x -2]
= (x – 1) [x (x – 2) + 1 (x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

ii) x³ – 3x² – 9x – 5
సాధన.
f(x) = x³ – 3x² – 9x – 5 అనుకొనుము.
ట్రైల్ & ఎర్రర్ పద్ధతి ప్రకారం, x = -1 అనుకొనుము.
f(-1) = (-1)³ – 3(-1) – 9(-1) – 5
= – 1 – 3 + 9 – 5 = 0
∴ f(x) కు (x + 1) కారణాంకము.
[∵ కారణాంక సిద్ధాంతం ప్రకారం]
భాగహార పద్ధతి ద్వారా f(x)ను (x + 1) చే భాగించగా

∴ f(x) = (x + 1) (x² – 4x – 5)
కాని x² – 4x – 5 = x² – 5x + x – 5
= x (x – 5) + 1 (x – 5)
= (x – 5) (x + 1)
∴ f(x) = (x + 1) (x + 1) (x – 5)

iii) x³ + 13x² + 32x + 20
సాధన.
f(x) = x³ + 13x² + 32x + 20 అనుకొనుము.
x = -1 అనుకొనుము.
f(-1) = (-1)³ + 13(-1)² + 32(-1) + 20
= – 1 + 1³ – 32 + 20 = 33 – 33 = 0
∴ f(x) కు (x + 1) కారణాంకము.
[∵ కారణాంక సిద్ధాంతం ప్రకారం]
f(x) ను (x + 1) చే భాగించగా

∴ f(x) = (x + 1) (x² + 12x + 20)
= (x + 1) [x² + 10x + 2x + 20]
= (x + 1) [x (x + 10) + 2 (x + 10)]
= (x + 1) (x + 10) (x + 2)
∴ f(x) కు కారణాంకాలు (x + 1)(x + 2)(x + 10)

iv) y³ + y² – y – 1
సాధన.
f(y) = y³ + y² – y – 1 అనుకొనుము.
y = 1 అనుకొనుము.
f(1) = 1³ + 1² – 1 – 1 = 0
∴ (y – 1), f(y) కు కారణాంకము.
f(y) ను (y – 1) చే భాగించగా,

∴ f(y) = (y – 1) (y² + 2y + 1)
= (y – 1) (y + 1) (y + 1)

ప్రశ్న8.
ax² + bx + c మరియు bx² + ax + c అను బహుపదులకు ఉమ్మడి కారణాంకం x + 1 అయిన c = 0 మరియు a = b అని చూపండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు f(x) = ax² + bx + c మరియు
g(x) = bx² + ax + c అనుకొనుము.
f(x) మరియు g(x) లకు (x + 1) ఉమ్మడి కారణాంకము కావున
∴ f(-1) = g(-1)
⇒ a(-1)² + b(-1) + c
= b(-1)² + a(-1) + c
⇒ a – b + c = b – a + c
⇒ a + a = b + b
⇒ 2a = 2b
⇒ a = b
అదే విధముగా f(-1) = a – b + c = 0
⇒ b – b + c = 0 ⇒ c = 0

ప్రశ్న9.
x² – x – 6 మరియు x² + 3x – 18 లకు (x – a) ఉమ్మడి కారణాంకం అయిన ‘a’ విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు f(x) = x² – x – 6 మరియు
g(x) = x² + 3x – 18 అనుకొనుము.
(x – a) అనునది f(x) మరియు g(x) లకు ఉమ్మడి కారణాంకము కావున
∴ f(a) = g(a) = 0
⇒ a² – a – 6 = a² + 3a – 18
⇒ -a – 3a = – 18 + 6 ⇒ – 4a = – 12
∴ a = 3

ప్రశ్న10.
y³ – 2y² – 9y – 18 యొక్క ఒక కారణాంకం (y – 3) అయిన మిగిలిన రెండు కారణాంకాలు కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(y) = y³ – 2y² – 9y – 18 అనుకొనుము.
గమనిక : టెక్స్ట్ బుక్ లో, y³ – 2y – 9y- 18 అని ప్రింట్ అయినది.
దానికి బదులుగా
y³ – 2y² – 9y + 18 అని తీసుకోండి.
f(y) కు (y – 3) కారణాంకము కావున
f(y) ను (y – 3) చే భాగించగా,

∴ f(y) = (y – 3) (y² + y – 6)
= (y – 3) [y² + 3y – 2y – 6]
= (y – 3) [y (y+3) -2 (y + 3)]
= (y – 2) (y – 3) (y + 3)
f(x) యొక్క మిగిలిన రెండు కారణాంకములు (y – 2) మరియు (y + 3) లు అగును.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 జ్యామితీయ నిర్మాణాలు Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 13th Lesson జ్యామితీయ నిర్మాణాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 1.
BC = 7 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 75° మరియు AB + AC = 12 సెం.మీ.లతో ∆ABC నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ BC = 7 సెం.మీ.లుగా ఒక రేఖాఖండంను గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{B}\) = 75° లతో \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) కిరణాన్ని నిర్మించండి.
→ \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) పై BD = AB + AC అగునట్లుగా D బిందువును గీయుము.
→ D, C లను కలుపుము మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) కు లంబసమద్విఖండన రేఖను గీయగా అది BD ను A వద్ద ఖండించును.
→ A, C లను కలుపగా మనకు కావలసిన ∆ABC ఏర్పడినది.

ప్రశ్న 2.
QR = 8 సెం.మీ., \(\angle \mathrm{Q}\) = 60° మరియు PQ – PR= 3.5 సెం.మీ. లతో ∆PQR నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ QR = 8 సెం.మీ.లతో ఒక రేఖాఖండమును గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{RQX}\) = 30° అగునట్లుగా Q వద్ద నుండి \(\overrightarrow{\mathrm{QX}}\) ను గీయుము.
→ \(\overrightarrow{\mathrm{QX}}\) పై QS = PQ – PR = 3.5 సెం.మీ. అగునట్లుగా S బిందువును గుర్తించుము. → S, Rలను కలుపుము.
→ \(\overline{\mathrm{QR}}\) కు లంబసమద్విఖండనరేఖను గీయగా అది, \(\overrightarrow{\mathrm{QX}}\) ను ‘P’ వద్ద ఖండించును.
→ P, Rలను కలుపగా ∆PQR ఏర్పడింది.

ప్రశ్న 3.
\(\angle \mathbf{Y}\) = 30°, \(\angle \mathbf{Z}\) = 60° మరియు XY + YZ + ZX = 10 సెం.మీ.లతో ∆XYZ నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు:
→ AB = XY + YZ+ZX = 10 సెం.మీ. లతో ఒక రేఖాఖండంను గీయుము.
→ A వద్ద \(\angle BAP\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathbf{Y}\) మరియు B వద్ద \(\angle ABQ\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathbf{Z}\) అగునట్లుగా గీయుము. వాటిని కలుపగా అవి B వద్ద కలుసుకొనును.
→ XA మరియు XBలకు లంబసమద్విఖండన రేఖలను గీయగా అవి \(\overline{\mathrm{AB}}\) ను Y మరియు Zల వద్ద ఖండించును.
→ X నుండి Y ను మరియు X నుండి Z ను కలుపగా ∆XYZ ఏర్పడును.

ప్రశ్న 4.
భూమి 7.5 సెం.మీ. మరియు కర్ణం, మూడవ భుజం కొలతల మొత్తం 15 సెం.మీ.గా గల లంబకోణ త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ BC = 7.5 సెం.మీ. లతో ఒక రేఖాఖండాన్ని గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{CBX}\) = 90° లను నిర్మించుము.
→ BD = 15 సెం.మీ. లు అగునట్లుగా \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) పై D ను గుర్తించుము.
→ C, D లను కలుపుము.
→ \(\overline{\mathrm{CD}}\) కు లంబసమద్విఖండనరేఖ గీయగా అది BD ను A వద్ద ఖండించును.
→ A, C లను కలుపగా ∆ABC ఏర్పడును.

5. 5 సెం.మీ. పొడవుగల వృత్త జ్యా తీసుకొని కింది కోణాలను కలిగి ఉండే వృత్తఖండాలను నిర్మించండి.

ప్రశ్న (i)
90°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 90° మరియు \(\angle \mathrm{BOC}\) = 180° లతో ఒక చిత్తు పటంను గీయుము.
→ BC = 5 సెం.మీ.లతో రేఖాఖండమును గీయుము.
→ BC కు లంబసమద్విఖండన రేఖను గీయుము. అది BC ను ఖండించు బిందువు O అగును.
→ OB లేక OC వ్యాసార్థంతో O కేంద్రంగా చాపాలను గీయుము.
→ చాపముపై ఏదైనా బిందువు వద్ద A ను గుర్తించి, B మరియు C లను కలుపుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 90°

ప్రశ్న (ii)
90°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు:
→ BC = 5 సెం.మీ. లతో ఒక రేఖాఖండంను గీయుము.
→ BC = 5 సెం.మీ., \(\angle \mathrm{B}\) = 45° = \(\angle \mathrm{C}\) అగునట్లు ∆BOC ను నిర్మించుము.
→ OB లేక OC ను వ్యాసార్ధంతో ‘O’ కేంద్రంగా ఒక వృత్త చాపమును గీయుము,
→ వృత్తఖండంపై A బిందువును గుర్తించి B మరియు C లను కలుపుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 45°

ప్రశ్న (iii)
120°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు:
→ AB = 5 సెం.మీ.లతో ఒక రేఖాఖండంను గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{A}\) = 30°; \(\angle \mathrm{B}\) = 30°; AB = 5 లతో ∆AOB ను గీయుము.
→ ‘O’ కేంద్రముగా ఒక వృత్తఖండంను గీయుము.
→ వృత్తఖండంకు ఎదురుగా C బిందువును గుర్తించి, B మరియు C లను కలుపుము.
→ \(\angle \mathrm{ACB}\) = 120°