Mahesh

SCERT AP 8th Class Biology Study Material Pdf 11th Lesson మనకు అనారోగ్యం ఎందుకు కలుగుతుంది? Textbook Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Biology 11th Lesson Questions and Answers మనకు అనారోగ్యం ఎందుకు కలుగుతుంది?

8th Class Biology 11th Lesson మనకు అనారోగ్యం ఎందుకు కలుగుతుంది? Textbook Questions and Answers

అభ్యసనాన్ని మెరుగుపరచుకుందాం

ప్రశ్న 1.
మీరు గత సంవత్సరం ఎన్నిసార్లు అస్వస్థతకు లోనైనారు ? మీరు ఏ ఏ వ్యాధులతో బాధపడ్డారు ?
(ఎ) పై వ్యాధులను నివారించడానికి మీరు రోజువారీగా ఏదైనా అలవాటును మార్చుకోగలరా ఆలోచించి రాయండి.
(బి) పై వ్యాధులు రాకుండా నివారించడానికి మీ పరిసరాలలో ఎటువంటి మార్పు తీసుకొని రావాలనుకుంటున్నారు ?
జవాబు:
నేను గత సంవత్సరం చాలాసార్లు అస్వస్థతకు లోనై విరేచనాలు, టైఫాయిడ్ జ్వరంతో బాధపడ్డాను.
(ఎ) ఆ వ్యాధులను నివారించడానికి నేను రోజూ ఒక గుడ్డు, ఆకుకూరలు తినుటకు అలవాటుపడ్డాను. అంతేకాక కాచి చల్లార్చిన నీటిని తాగుతున్నాను.
(బి) ఆ వ్యాధులు రాకుండా నివారించడానికి మా పరిసరాలలో ఈ కింది మార్పులు తీసుకురావాలని అనుకుంటున్నాను.
అవి :

1. పరిసరాలు శుభ్రంగా ఉంచుట.
2. ఆహార పదార్థాలపై ఎల్లప్పుడూ మూతలు ఉంచుట.
3. వ్యర్థ పదార్థాలను చెత్తబుట్టలో వేయుట.
4. రక్షిత మంచినీటి సౌకర్యం ఏర్పాటుచేయుట.

ప్రశ్న 2.
డాక్టర్/నర్స్ / ఆరోగ్య కార్యకర్తలు అస్వస్థతతో ఉన్న రోగులతో ఎక్కువగా గడుపుతుంటారు. అయినా వారు అస్వస్థతకు ” గురికారు ఎందుకు ? ఆలోచించి రాయండి.
జవాబు:
డాక్టర్ / నర్స్ / ఆరోగ్య కార్యకర్తలు అస్వస్థతతో ఉన్న రోగులతో ఎక్కువగా గడుపుతుంటారు. అయినా అస్వస్థతకు గురికారు. ఎందుకంటే వారు ఆరోగ్య నియమాలు చక్కగా పాటిస్తారు. దీనివలన వ్యాధి నిరోధక శక్తి ఎక్కువగా ఉంటుంది.

డాక్టర్ / నర్స్ / ఆరోగ్య కార్యకర్తలకు వ్యాధులు ఎలా వ్యాపిస్తాయో తెలుసు కాబట్టి వారు కచ్చితంగా పరిశుభ్రత నియమాలు పాటిస్తారు. అంతేకాక అంటువ్యాధులకు చికిత్స చేసేటప్పుడు సరైన ఆరోగ్య రక్షణ సూత్రాలు పాటిస్తారు. పోషక ఆహారం ఎక్కువగా తీసుకుంటారు.

ప్రశ్న 3.
సాంక్రమిక (అంటువ్యాధులు), అసాంక్రమిక వ్యాధులకు మధ్య గల భేదాలను రాయండి.
జవాబు:

సాంక్రమిక వ్యాధులు	అసాంక్రమిక వ్యాధులు
1. సూక్ష్మజీవుల వలన వచ్చే వ్యాధులను సాంక్రమిక వ్యాధులు అంటారు.	1. శరీర అంతర్భాగాలలో మార్పు వలన వచ్చే వ్యాధులను అసాంక్రమిక వ్యాధులు అంటారు.
2. ఈ వ్యాధులు గుర్తించటం తేలిక.	2. ఈ వ్యాధులు గుర్తించటం అంత తేలిక కాదు
3. శరీరంలో ఉన్న రోగనిరోధక శక్తి పై ఈ వ్యాధులు ఆధారపడును.	3. తీసుకొనే ఆహారం, ఒత్తిడి మొదలైన అంశాలు ప్రభావంపై ఆధారపడును.
4. మలేరియా, టైఫాయిడ్, గవదబిళ్ళలు మొదలైన వ్యాధులు.	4. అధిక రక్తపీడనం, స్థూలకాయత్వం, గుండెపోటు మొదలైన వ్యాధులు.

ప్రశ్న 4.
స్వల్పకాలిక వ్యాధులు ఎందుకు దీర్ఘకాలిక వ్యాధులుగా మారతాయి ?
జవాబు:
స్వల్పకాలిక వ్యాధులకు తరచు గురి అవుతూ ఉన్నప్పుడు, స్వల్పకాలిక వ్యాధులను సరిగా గుర్తించలేనప్పుడు, స్వల్పకాలిక వ్యాధులను నిర్లక్ష్యం చేసినపుడు, స్వల్పకాలికంగా ఉన్నప్పుడు సరిగా చికిత్స చేయకపోయినప్పుడు దీర్ఘకాలిక వ్యాధులుగా మారతాయి. ఉదా : ఊపిరితిత్తులకు సంబంధించిన వ్యాధులు.

ప్రశ్న 5.
ఒక బాలుడికి నెలక్రితం మశూచి వచ్చింది. ఇప్పుడు తగ్గింది. అతను మశూచి వచ్చిన పిల్లలతో కలసి ఉంటున్నాడు. అతనికి మశూచి మరలా వస్తుందా ! రాదా ! ఎందుకు ?
జవాబు:
ఒక బాలుడికి నెలక్రితం మశూచి వచ్చింది. ఇప్పుడు తగ్గింది. అతను మశూచి వచ్చిన పిల్లలతో ‘కలిసి ఉన్నా అతనికి మశూచి మరలా రాదు. ఎందుకు అంటే మన శరీరంలో ఉన్న వ్యాధి నిరోధక శక్తి వ్యాధి జనక జీవితో మొదటగా ప్రవేశించినప్పుడు ప్రత్యేకంగా పోరాడే శక్తిని కలిగి ఉంటుంది.

అది మొదటిగా వ్యాధి జనక క్రిములను గుర్తిస్తుంది. వాటిపై ప్రతిస్పందించి, జీవితాంతం వాటిని ప్రత్యేకంగా గుర్తు పెట్టుకుంటుంది. రెండవసారి అదే వ్యాధి జనక జీవి లేదా దానికి సంబంధించిన మరొక వ్యాధి జనక జీవి శరీరంలో ప్రవేశించినప్పుడు మన శరీరంలోని వ్యాధి నిరోధక శక్తి చాలా బలంగా పోరాడి మొదటిసారి కంటే తొందరగా వ్యాధి జనక జీవులను శరీరం నుంచి తొలగిస్తుంది.

ప్రశ్న 6.
వ్యాధికి సంబంధించి సత్వర కారకాలు, దోహదపడే కారకాలు అంటే ఏమిటో వివరించండి.
జవాబు:
ఏదైనా వ్యాధిని ఒక సూక్ష్మజీవి కలుగచేయును. అది ఆ వ్యాధి కలుగజేయుటకు కారణం కాబట్టి దానిని సత్వర కారకం అంటారు. ఆ సూక్ష్మజీవి ఆ వ్యక్తి శరీరంలో వ్యాధి పెంచుటకు కొన్ని కారకాలు అనగా అతనికి ఉన్న ఇతర శారీరక సమస్యలు కారణం అవుతాయి. వీటిని వ్యాధి దోహద కారకాలు అంటారు.

ఉదా : ఒక వ్యక్తికి శరీరంలో వ్యాధి జనక జీవుల వలన అతనికి పుండ్లు వచ్చినాయి. కానీ అతనికి చక్కెర వ్యాధి ఉంది. అప్పుడు పుండ్లు ఇంకా ఎక్కువగా పెరుగుతాయి. పుండ్లు రావడానికి కారణమైన వ్యాధి జనకజీవులు సత్వర కారకాలు అయితే, చక్కెర వ్యాధి పుండ్లు పెరుగుటకు దోహద కారకాలు.

ప్రశ్న 7.
ఆరోగ్య కార్యకర్తను అడిగి వ్యాధి వ్యాప్తి గురించి తెలుసుకొనుటకు ప్రశ్నావళిని తయారుచేయండి.
జవాబు:
1. వ్యాధి వ్యాప్తి ఎన్ని రకాలుగా జరుగును ?

2. గజ్జి అనేది ప్రత్యక్ష తాకిడి వలన వ్యాపించును. అవును / కాదు
3. కలరా వ్యాధిని ఈగలు వ్యాప్తి చేస్తాయి. అవును / కాదు
4. గాలి ద్వారా కొన్ని వ్యాధులు వ్యాప్తి చెందును. అవును / కాదు
5. నీటి ద్వారా కొన్ని వ్యాధులు వ్యాప్తి చెందును. అవును / కాదు
6. వ్యా ధి వ్యాప్తి తెలుసుకొంటే నివారణ తేలిక. అవును / కాదు.

ప్రశ్న 8.
లీష్మేనియా, ట్రిపానోజోమా బొమ్మలు గీసి, భాగాలు గుర్తించండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 9.
రాము మశూచి వ్యాధితో బాధపడుతున్నాడు. ఇతరులకు వ్యాధి సోకకుండా ఉండటానికి రాముకు నీవిచ్చే సలహాలు ఏమిటి ?
జవాబు:
రాము మశూచి వ్యాధితో బాధపడుతున్నాడు. ఇతరులకు ఆ వ్యాధి సోకకుండా ఉండటానికి రాముకు నేను ఇచ్చే సలహాలు :
1. ఇతరులకు రామును ఆరు అడుగుల కంటే ఎక్కువ దూరంగా ఉంచుతాను. కారణం ఆరు అడుగుల లోపు ముఖాముఖిగా ఉంటే ఈ వ్యాధి వ్యాపించును.
2. శరీరం నుంచి విడుదల అయ్యే ద్రవాలు ఇతరులపై పడకుండా జాగ్రత్తగా ఉండమని సలహా ఇస్తాను.
3. అతను ఉపయోగించిన వస్తువులను, బట్టలను, మంచాన్ని ఇతరులతో కలవకుండా జాగ్రత్తగా ఉంచాలి.
4. మొదటి వారం రోజులు ఎక్కువగా వ్యాపించును కాబట్టి. అతనిని చాలా దూరంగా ఉంచాలి.
గమనిక : భారతదేశంలో ఉన్న రాము మశూచి వ్యాధితో బాధపడడు. కాబట్టి అతనికి నేను ఇచ్చే సలహాలు ఏమి ఉండవు. కారణం ప్రపంచం నుంచి ఈ వ్యాధి ఎప్పుడో సంపూర్ణంగా నిర్మూలించారు.

ప్రశ్న 10.
వ్యాధులను నిరోధించడంలో టీకాల పాత్రను ఎలా ప్రశంసిస్తావు ?
జవాబు:
వ్యాధులను నిరోధించడంలో టీకాల పాత్ర చాలా ఉంది. టీకాల వలన భారతదేశం నుండి మశూచి వ్యాధి పూర్తిగా నిర్మూలించాము. అదే విధంగా పిల్లలలో మరో భయంకరమైన వ్యాధి అయిన పోలియో వ్యాధి పూర్తిగా నిర్మూలించుటకు చర్యలు జరుగుతున్నాయి.

టీకాల వలన మాతా-శిశు రక్షణ జరుగుతున్నది. ఇటువంటి టీకాలను కనిపెట్టిన శాస్త్రవేత్త, జీవశాస్త్రం సాధించిన అభివృద్ధిని చూసి నేను చాలా సంతోషపడుతున్నాను. దీని గురించి ‘టీకాల డే’ అని ఒక రోజు నేను సెలబ్రేట్ చేసి జీవశాస్త్రమునకు కృతజ్ఞత తెలుపుకొంటాను.

ప్రశ్న 11.
మీ ప్రాంతంలో సాధారణంగా ఉండే వ్యాధులను తెలుసుకోవడానికి సర్వే నిర్వహించండి. ఈ వ్యాధులు ప్రబలడానికి గల కారణాలను తెలుసుకుని మీ గ్రామపంచాయతీ / మున్సిపాలిటి వారికి వ్యాధులను నివారించటానికి మీరు ఏ సూచనలు చేస్తారు?
జవాబు:
మా ప్రాంతంలో సాధారణంగా ఉండే వ్యాధులను తెలుసుకోవడానికి సర్వే నిర్వహించాను. సర్వేలో ఎక్కువ వచ్చే వ్యాధులు డయేరియా, మలేరియా, డెంగ్యూ.

ఈ వ్యాధులు నివారించటానికి మా మున్సిపాలిటీకి ఇచ్చే సూచనలు :

1. రక్షిత మంచినీటి సరఫరా చేయాలి.
2. ఆరోగ్య కార్యకర్తల ద్వారా వ్యాధులు వచ్చే కాలం గురించి ముందుగా వివరించాలి.
3. ఆ వ్యాధులు రావడానికి గల కారణాలు వివరించాలి.
4. కాచి చల్లార్చిన నీటిని త్రాగమని మీడియా ద్వారా ప్రజలకు తెలియచేయాలి.
5. కలుషిత ఆహార పదార్థాలు తినవద్దని ప్రజలకు చెప్పాలి.
6. చెత్తాచెదారాలను రోడ్డుపై వేయకుండా జాగ్రత్తగా వారు తీసుకువెళ్ళే బండిలో వేయాలని, దాని వలన కలుగు లాభాలు ముందుగా ప్రజలకు తెలియచేయాలి.
7. దోమలు పెరగకుండా ఉండుటకు తీసుకోవలసిన జాగ్రత్తలు చెప్పాలి.
8. దోమకాటు నుండి కాపాడుకొనుటకు దోమతెరలను ఉపయోగించమని తెలియచేయాలి.
9. వ్యాధి వచ్చిన వెంటనే చికిత్స చేయుటకు వీలుగా ఆసుపత్రిలో సిబ్బంది మరియు మందులు ఏర్పాటుచేయాలి.
10. పరిసరాలు శుభ్రంగా ఉంచాలి.
    గమనిక : గ్రామపంచాయతి అయితే ఆ పేరు రాయాలి.

8th Class Biology 11th Lesson మనకు అనారోగ్యం ఎందుకు కలుగుతుంది? InText Questions and Answers

కృత్యములు

1. పరిశుభ్రమైన త్రాగే మంచినీటి సరఫరా కొరకు మీ ప్రాంతంలో (గ్రామ పంచాయతీ పరిధిలో కాని / పురపాలక సంఘాలు, కార్పొరేషన్ కాని) కల్పించబడిన సౌకర్యాలను తెలుసుకోండి.
జవాబు:
పరిశుభ్రమైన. తాగే మంచినీటి సరఫరా కొరకు మా ప్రాంతంలో గ్రామ పంచాయతీ పరిధిలో వాటర్ ట్యాంక్ ఏర్పాటు చేసి వాటిని శుద్ధి చేసి రక్షిత మంచినీటిని పంపుల ద్వారా అన్ని ఇళ్లకు పంపులైన్ కనెక్షన్ల ద్వారా పంపిస్తారు. ఇంకా పంపు కనెక్షన్లు తీసుకోని వారి కొరకు గ్రామ పంచాయతి వీధి పంపులు ఏర్పాటుచేసింది.

2. మీ ప్రాంతంలోని ప్రజలందరికీ ఈ సౌకర్యాలు అందుబాటులో ఉన్నాయా ? ఎందుకు లేవో చర్చించండి.
జవాబు:
మా ప్రాంతంలోని ప్రజలందరికి ఈ సౌకర్యాలు అందుబాటులో లేవు. కారణాలు :
1. ప్రజలకు రక్షిత మంచినీటి పై సరైన అవగాహన లేకపోవటం.
2. కొత్తగా ఏర్పడిన ఇళ్లకు ప్రభుత్వం వారు వెంటనే పంపులైన్ కనెక్షన్ ఇవ్వకపోవటం. ప్రజలు ఇంకా నదులు, చెరువులపై మంచినీటి కోసం ఆధారపడి ఉండటం వలన.

3. (a) మీ పరిసరాలలో ఏర్పడే ఘనరూప వ్యర్థ పదార్థాలను మీ గ్రామపంచాయతి / మున్సిపాలిటీవారు ఎలా నిర్వహిస్తారో, తెలుసుకోండి.
జవాబు:
మా గ్రామ పంచాయతివారు మా పరిసరాలలో ఏర్పడిన వ్యర్థ పదార్థాలను సేకరించుటకు కొంతమంది ఉద్యోగులను ఏర్పాటుచేసుకున్నారు. వారు ప్రతిరోజూ బండిలో ఘనరూప వ్యర్థ పదార్థాలను ఇంటికి వచ్చి తీసుకువెళ్తారు. రోడ్లపై చెత్త – కుండీలను ఏర్పాటుచేశారు.

(b) వారు తీసుకొనే చర్యలు సరిపోతాయా ?
జవాబు:
వారు తీసుకొనే చర్యలు సరిపోవు.

(c) వాటిని మెరుగుపరచటానికి మీరిచ్చే సూచనలేవి ?
జవాబు:
1. వాటిని మెరుగుపరచటానికి ప్రతిరోజూ ఇళ్లకు రెండుసార్లు వచ్చి చెత్తను తీసుకువెళ్లే ఏర్పాటుచేయాలి.
2. ప్రతిరోజూ చెత్త కుండీలలోని చెత్త తీసివేయాలి.
3. ఘనరూపంలో ఉన్న పొడి, తడి చెత్తను వేరు వేరుగా సేకరించే ఏర్పాటుచేయాలి.

(d) ఒక వారంలో ఏర్పడే ఘనరూప చెత్తను తగ్గించడానికి మీ కుటుంబ సభ్యులు ఎటువంటి కింది చర్యలు తీసుకుంటారు?
జవాబు:
ఒక వారంలో ఏర్పడే ఘనరూప చెత్తను తగ్గించడానికి మా కుటుంబ సభ్యులు ఈ కింది చర్యలు తీసుకుంటారు.

1. పాలిథీన్ కవర్ల వాడకం తగ్గిస్తారు.
2. కూరగాయలు, వాటి తొక్కులు, మినప పొట్టు మొ||నవి దగ్గరలో ఉన్న పశువులకు వేస్తారు.
3. ఆహార పదార్థాలు ఎక్కువ వృథా చేయరు.
4. పునర్వినియోగించే పదార్థాలను ప్రోత్సహిస్తారు.

4. ఐదుమంది చొప్పున జట్లుగా ఏర్పడండి. మీకు తెలిసిన వ్యాధుల జాబితా రాయండి. ఏ వ్యాధి లక్షణాలు ఎలా ఉంటాయో జట్లలో చర్చించి రాయండి.
జవాబు:

5. మీ చుట్టుప్రక్కల ఉన్న కొన్ని కుటుంబాలను సర్వే చేసి ఈ కింది విషయాలను కనుక్కోండి.

(a) గత మూడు నెలల్లో ఎంతమంది స్వల్పకాలిక వ్యాధులకు లోనయ్యారు ?
జవాబు:
6 నుంచి 10 మంది.

(b) అదే కాలంలో ఎంతమంది దీర్ఘకాలిక వ్యాధికి గురయ్యారు ?
జవాబు:
ఒకరిద్దరు.

(c) మొత్తంగా ఎంతమంది ఈ వ్యాధులకు గురైనారు ?
జవాబు:
7 నుంచి 12 మంది వరకు

(d) aవ ప్రశ్న మరియు 6వ ప్రశ్న యొక్క జవాబులు ఒకేలా ఉన్నాయా ?
జవాబు:
లేవు.

(e) bవ ప్రశ్న మరియు Cవ ప్రశ్న యొక్క జవాబులు ఏ విధంగా వేరుగా ఉన్నాయి ?
జవాబు:
b ప్రశ్నకు జవాబు దీర్ఘకాలిక వ్యాధికి గురి అయిన వారి సంఖ్యను తెలియచేయును. c ప్రశ్నకు జవాబు స్వల్ప మరియు దీర్ఘకాలిక వ్యాధులకు గురైన వారి సంఖ్యను తెలియచేయును.

(f) జవాబులు వేరు వేరుగా ఎందుకున్నాయి ? ఈ విధమైన వ్యాధులు సాధారణ మానవునిపై ఎటువంటి ప్రభావం చూపుతాయి?
జవాబు:
కారణం ఇవ ప్రశ్న స్వల్పకాలిక వ్యాధులు, bవ ప్రశ్న దీర్ఘకాలిక వ్యాధులు. స్వల్పకాలిక వ్యాధుల వలన ఆరోగ్యం పూర్తిగా దెబ్బతినదు. తిరిగి కోలుకోవచ్చు. దీర్ఘకాలిక వ్యాధుల వలన ఆరోగ్యం పూర్తిగా దెబ్బతినే అవకాశం ఉంది.

6.

(a) మీ తరగతిలో ఎంతమంది జలుబు / దగ్గు / జ్వరంతో బాధపడుతున్నారో తెలుసుకోండి.
జవాబు:
20 నుంచి 30 మంది

(b) ఎన్ని రోజుల నుంచి బాధపడుతున్నారు.?
జవాబు:
3 నుంచి 4 రోజులు

(c) యాంటీబయోటిక్స్ ఎంతమంది తీసుకుంటున్నారు ? (మీ తల్లిదండ్రులను అడిగి తెలుసుకోండి.)
జవాబు:
ఒక 20 మంది.

(d) యాంటీబయోటిక్స్ తీసుకొన్న తరువాత కూడా ఎన్ని రోజులు అస్వస్థులుగా ఉన్నారు ?
జవాబు:
2 నుంచి 3 రోజులు.

(e) యాంటీబయోటిక్స్ తీసుకోని వారు ఎన్ని రోజులు జలుబుతో బాధపడ్డారు ?
జవాబు:
4 నుంచి 7 రోజులు.

(f) రెండు గ్రూక్స్ మధ్య తేడా ఏమిటి ?
జవాబు:
రెండు గ్రూప్ ల మధ్య తేడా లేదు.

(g) తేడా ఉంటే ఎందుకు ? లేకపోతే ఎందుకో చెప్పండి.
జవాబు:
జలుబు అనేది వైరసకు సంబంధించిన వ్యాధి. వైరస్ వ్యాధులకు యాంటీబయోటిక్స్ వేసుకున్నప్పటికీ అవి వ్యాధి. తీవ్రతను కాని, వ్యాధి వ్యవధిని కాని తగ్గించవు.

7. మీ పరిసరాలలో ఆర్థికంగా బాగా ఉన్న పది కుటుంబాలు మరియు ఆర్థికంగా వెనుకబడిన పది కుటుంబాలపై సర్వే నిర్వహించండి.
జవాబు:
ప్రతి కుటుంబంలో 5 సంవత్సరాలలోపు వయస్సు గల పిల్లలు ఉండేలా చూడండి. ఈ పిల్లల ఎత్తును కొలవండి. వయస్సుకు తగిన ఎత్తును సూచించే గ్రాఫ్ గీయండి.

(a) రెండు గ్రూపులలో ఏమైనా తేడా ఉందా ? ఉంటే ఎందుకుంది ?
జవాబు:
రెండు గ్రూపులలో తేడా ఉంది. ఆర్థికంగా వెనుకబడిన కుటుంబాలలో పిల్లలు వయస్సుకు తగిన ఎత్తు లేరు. కారణం వారికి పోషకాహార లోపం, వ్యాధులు ఎక్కువగా రావటం, పరిశుభ్రత లోపం మొదలైనవి.

(b) తేడాలు ఏమీ లేవా ? దీనిని బట్టి ఆర్థికంగా బాగా ఉన్నవాళ్లకి, బీదవాళ్లకి ఆరోగ్యంలో వ్యత్యాసం లేదనుకుంటున్నారా?
జవాబు:
ఆర్థికంగా బాగా ఉన్నవాళ్ళకి, బీదవాళ్లకి ఆరోగ్యంలో వ్యత్యాసం పోషకాహార లోపం వలన ఉంటుంది.

8. పిచ్చి కుక్క లేదా ఇతర వ్యాధిగ్రస్థ జంతువులు కాటేసినప్పుడు ‘ర్యాబిస్’ వైరస్ వ్యాప్తి చెందుతుంది. జంతువులకు, మానవులకు యాంటి ర్యాబిస్ వ్యాక్సిన్ మందు అందుబాటులో ఉంది. మీ పరిసరాలలో ‘ర్యాబిస్’ వ్యాధిని నివారించడానికి గ్రామ పంచాయతి / మున్సిపాలిటీ వారు తీసుకున్న చర్యలు మరియు కార్యాచరణ ప్రణాళిక ఏమిటో తెలుసుకోవడానికి ప్రయత్నించండి. ఈ చర్యలు సరిపోతాయా ? సరిపోకపోతే మెరుగుపరచే చర్యలకు మీరిచ్చే సూచనలేమిటి ?
జవాబు:
మా పరిసరాలలో ర్యాబిస్ వ్యాధిని నివారించడానికి మున్సిపాలిటీవారు తీసుకున్న చర్యలు మరియు కార్యాచరణ ప్రణాళిక.

1. ఏ కుక్క కరిచినా ర్యాబిస్ వ్యాధి టీకాను వెంటనే తీసుకోమని ప్రచారం చేయుట.
2. ర్యాబిస్ వ్యాధి వ్యాక్సిన్ అన్ని ప్రభుత్వ ఆసుపత్రుల్లో ఉంచుట.
3. వీధి కుక్కల జనాభాను తగ్గించుట.
4. కుక్కలకు ముందుగా ఇంజక్షన్లు చేయుట. పైన చెప్పిన చర్యలు సరిపోవు.

మెరుగుపరుచుటకు సూచనలు :

1. కుక్కలకు కుటుంబ నియంత్రణ ఆపరేషన్లు చేయుట.
2. వీధి కుక్కలు అన్నింటికీ టీకాలు వేయించుట.
3. పిచ్చి వచ్చిన కుక్కలను వెంటనే ప్రత్యేకమైన ప్రదేశాలలో ఉంచి మిగతా వాటికి వ్యాధి రాకుండా చూచుట.
4. వ్యాధి వచ్చిన కుక్కలను దూరంగా ఉంచి చికిత్స చేయుట.
5. వ్యాధితో చనిపోయిన కుక్కలను జాగ్రత్తగా ఎవరూ వెళ్లని ప్రదేశాలలో పాతి పెట్టుట.

పాఠ్యాంశములోని ప్రశ్నలు

1. మీ గ్రామపంచాయితీ కార్యాలయాన్ని సందర్శించి అక్కడ గోడల మీద రాసిన ఆరోగ్య సూత్రాలు తెలపండి. (పేజీ.నెం. 177)
జవాబు:

1. కాచి చల్లార్చిన నీటిని త్రాగండి.
2. ఆహార పదార్థాలపై ఈగలు వాలకుండా గిన్నెలపైన మూతలు పెట్టండి.
3. దోమకాటు నుండి కాపాడుకోవడానికి దోమతెరలను ఉపయోగించండి.
4. పరిసరాలను పరిశుభ్రంగా ఉంచండి.
5. చుట్టు ప్రక్కల నీరు నిల్వ ఉండకుండా చూడండి.
6. వండే ముందు కూరగాయలను శుభ్రంగా కడగండి.
7. ఆరుబయట మలవిసర్జన చేయకండి. టాయిలెట్లు ఉపయోగించండి.
8. వేడిగా ఉన్న ఆహారం మాత్రమే తినండి.
9. భోజనం మరియు టాయిలెట్‌కు ముందు, తర్వాత చేతులు శుభ్రంగా కడుక్కోండి.

2. ఆరోగ్య అలవాట్లు, జాగ్రత్తల సూచనల వలన మనకేమి తెలుస్తుంది ? (పేజీ.నెం. 177)
జవాబు:
ఆరోగ్య అలవాట్లు, జాగ్రత్తల సూచనల వలన మనం ఆరోగ్య నియమాలు, జాగ్రత్తలు పాటించాలని తెలుస్తుంది.

3. ఈ సూచనలు పాటించని వాళ్లకు ఏమవుతుంది ? (పేజీ.నెం. 177)
జవాబు:
అనారోగ్యం కలుగును.

4. మనకు దోమలు ఏ కాలంలో ఎక్కువగా కనబడతాయి ? మనపై అవి ఎటువంటి ప్రభావాన్ని చూపుతాయి ? (పేజీ.నెం. 177)
జవాబు:
మనకు దోమలు ఎక్కువగా వర్షాకాలం, శీతాకాలంలో కనబడును. అవి మనపై చాలా రకాల వ్యాధులు కలుగచేయును.
ఉదా : మలేరియా, చికున్ గున్యా, డెంగ్యూ, ఫైలేరియా.

5. కాచి చల్లార్చిన నీరు త్రాగడం వలన, ఈగలు ఆహార పదార్థాల మీద వాలకుండా చూడటం, దోమకాటు బారిన పడకుండా నివారించగలిగితే మనము ఆరోగ్యంగా ఉంటాం. అసలు ఆరోగ్యం అంటే ఏమిటి ? మనమెందుకు అనారోగ్యం పాలవుతాం? (పేజీ.నెం. 177)
జవాబు:
శారీరకంగా, మానసికంగా, సామాజికంగా బాగా పనిచేయడమే ఆరోగ్యం అంటారు. మనమెందుకు అనారోగ్యం పాలవుతామంటే పరిసరాలు శుభ్రంగా ఉంచుకోకపోవటం వలన, వ్యక్తిగత శుభ్రత పాటించకపోవటం వలన, ఆరోగ్య నియమాలు పాటించకపోవటం వలన, వ్యాధి నిరోధక శక్తి తగ్గటం వలన, ఒత్తిడి, మానసిక ఆందోళనల వలన.

6. మంచి ఆరోగ్యానికి కావల్సిన పరిస్థితులు, వ్యాధి రహితంగా ఉండటానికి కావల్సిన పరిస్థితులు ఒకే రకంగా సమాధానాలు . ఉంటాయా ? వేరు వేరుగా ఉంటాయా ? ఎందుకు ? (పేజీ.నెం. 179)
జవాబు:
మంచి ఆరోగ్యానికి కావల్సిన పరిస్థితులు, వ్యాధి రహితంగా ఉండటానికి కావల్సిన పరిస్థితులు వేరు వేరుగా ఉంటాయి. కారణం ఆరోగ్యం, వ్యాధి రహితం వేరు వేరు కాబట్టి.

ఆరోగ్యం గురించి మాట్లాడేటప్పుడు సమాజం గురించి, ప్రజల గురించి కూడా మాట్లాడతాం. వ్యాధి గురించి మాట్లాడేటప్పుడు వ్యక్తిగతంగా బాధపడే వ్యక్తులను గురించి మాత్రమే మాట్లాడతాం.

7. వ్యాధి రహితంగా ఉండటానికి కావల్సిన రెండు పరిస్థితులను వివరించండి. (పేజీ.నెం. 179)
జవాబు:
వ్యాధి రహితంగా ఉండటానికి కావల్సిన రెండు పరిస్థితులు :
1. పరిసరాలు శుభ్రంగా ఉంచుకోవటం : దీని వలన ఎటువంటి వ్యాధి జనక జీవులు పరిసరాలలో పెరగవు. అందువలన అందరూ వ్యాధి రహితంగా ఉంటారు.
2. వ్యాధిని సరిగా గుర్తించుట : వ్యాధిని సరిగా గుర్తించుట వలన సరైన చికిత్స చేసి వ్యాధి రహితంగా చేయవచ్చు మరియు టీకాలు వేసి వ్యాధిని నివారించవచ్చు.

8. అస్వస్థతకు గురైన వ్యక్తి నుండి అన్ని రకాల వ్యాధులు వ్యాప్తి చెందుతాయా ? ఇలా వ్యాప్తి చెందని వ్యాధులేమైనా ఉన్నాయా ? అవి ఏమిటి ? (పేజీ.నెం. 181)
జవాబు:
అస్వస్థతకు గురైన వ్యక్తి నుండి అన్ని రకాలుగా వ్యాధులు వ్యాప్తి చెందవు. అస్వస్థతకు గురైన వ్యక్తి నుండి వ్యాప్తి చెందని వ్యాధులు ఉన్నాయి. అవి అసాంక్రమిక వ్యాధులు.
ఉదా : బి.పి., డయాబెటిస్, గుండెపోటు.

9. అస్వస్థతకు గురైన వ్యక్తిని తాకకున్నా కూడా వ్యాప్తి చెందే వ్యాధులు ఏవి ? (పేజీ.నెం. 181)
జవాబు:
అస్వస్థతకు గురైన వ్యక్తిని తాకకున్నా కూడా వ్యాప్తి చెందే వ్యాధులు : కలరా, టైఫాయిడ్, ధనుర్వాతం, క్షయ, మలేరియా.

10. సాంక్రమిక జీవుల నుండి వ్యాప్తి చెందని వ్యాధులు ఏవి ? (పేజీ.నెం. 181)
జవాబు:
సాంక్రమిక జీవుల నుండి వ్యాప్తి చెందని వ్యాధులు అసాంక్రమిక వ్యాధులు.

11. నీకు అస్వస్థతగా అనిపించి డాక్టర్ దగ్గరకు వెళ్ళాలనుకునే ఏవైనా-3 కారణాలు తెలపండి. నీవు తెలిపిన మూడు కారణాలలో ఏదో ఒక లక్షణం మాత్రమే నీలో కన్పిస్తే నీవు డాక్టరు వద్దకు వెళ్లాలనుకుంటావా ? ఎందుకు ? (పేజీ.నెం. 182)
జవాబు:
నాకు అస్వస్థతగా అనిపించి డాక్టరు దగ్గరకు వెళ్ళాలనుకునే 3 కారణాలు : (1) జలుబు (2) దగ్గు (3) జ్వరం వీటిలో ఏ ఒక్క కారణం కనిపించినా డాక్టరు వద్దకు వెళ్తాను. ఎందుకంటే – మందుల్ని మన ఇష్టం వచ్చినట్లు వేసుకుంటే స్వల్పకాలిక వ్యాధులు దీర్ఘకాలిక వ్యాధులుగా మారతాయి.

12. ఈ క్రింది వానిలో ఏ సందర్భం నీ ఆరోగ్యంపై దీర్ఘకాల ప్రభావం చూపే అవకాశముంది ?
1. కామెర్ల వ్యాధి సోకిన సందర్భంగా
2. నీ తలలో పేలు ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు
3. నీ ముఖంపై మచ్చలు ఏర్పడినపుడు (పేజీ.నెం.184)
జవాబు:
కామెర్ల వ్యాధి సోకిన సందర్భంగా ఆరోగ్యంపై దీర్ఘకాల ప్రభావం చూపే అవకాశముంది. ఈ వ్యాధిలో కాలేయం దెబ్బతినుట వలన జీర్ణశక్తి మందగించి, రోగి నీరసపడతాడు. కాలేయ, జీర్ణ వ్యవస్థలు పునరుద్ధరించబడటానికి సమయం పడుతుంది. ఒక్కొక్క మార్పు ఇది ప్రాణాంతకంగా కూడ పరిణమించవచ్చు.

13. వ్యాధి ఎలా వ్యాప్తి చెందును ? (పేజీ.నెం. 184)
జవాబు:
వ్యాధి జనక జీవులు వ్యాధిగ్రస్తుడైన వ్యక్తి నుండి ఇతర వ్యక్తులకు వివిధ మార్గాల ద్వారా వ్యాప్తి చెందును. అవి :

1. ప్రత్యక్ష తాకిడి
2. గాలి ద్వారా
3. నీరు, ఆహారం ద్వారా
4. జంతువుల ద్వారా

14. వాహకాలు అనగానేమి ? (పేజీ.నెం. 184)
జవాబు:
వ్యాధి జనక జీవులు ఉన్నప్పటికి వ్యాధికి గురికాని జీవులను వాహకాలు అంటారు. వ్యాధులను ఒకరి నుండి మరొకరి
వ్యాప్తి చేయు జీవులు.

15. వ్యాధులను నివారించే విధానాల గురించి వ్రాయుము. (పేజీ.నెం. 184)
జవాబు:
వ్యాధులను నివారించే విధానాలు రెండు.
1. సర్వసాధారణమైనది
2. ప్రతి వ్యాధికి ప్రత్యేకమైనది.
సాధారణ నివారణ సూత్రాన్ని పాటించి వ్యాధి వ్యాప్తిని నిరోధించడం సర్వసాధారణమైన అంశం.

దానికి ఈ కింది నియమాలు పాటించాలి.

1. గాలి వలన వ్యాప్తి చెందే వ్యాధి జనకాల వ్యాప్తిని నిరోధించడానికి ఎక్కువ జనాభా లేని ప్రదేశాలలో గాలి, వెలుతురు ధారాళంగా వచ్చే ప్రదేశాలలో నివసించే ఏర్పాటు చేయటం.
2. నీటి ద్వారా వ్యాధులను నివారించుటకు రక్షిత మంచినీటి సౌకర్యం ఏర్పాటు.
3. పరిశుభ్రమైన వాతావరణం కల్పించినట్లయితే వ్యాధి వాహకాల నుండి విముక్తి.
4. వ్యాధి నిరోధక శక్తిని బాగా పెంచుకొనుట. ప్రత్యేకమైన నివారణ పద్ధతిలో వ్యాధి జనక జీవులతో పోరాడే వ్యాధి నిరోధక లక్షణాన్ని కలిగి ఉండటమే.

16. మనం అస్వస్టులుగా ఉన్నప్పుడు పోషక విలువలు కలిగిన ఆహార పదార్థాలు ఎందుకు తీసుకుంటారు ? (పేజీ.నెం. 189)
జవాబు:
వ్యాధి నిరోధక శక్తి పెరుగుటకు.

17. వివిధ పద్ధతుల ద్వారా వ్యాధి వ్యాప్తి ఎలా జరుగుతుంది ? (పేజీ.నెం. 189)
జవాబు:
వ్యాధి జనక జీవులు వ్యాధిగ్రస్తుడైన వ్యక్తి నుండి ఇతర వ్యక్తులకు వివిధ మార్గాల ద్వారా వ్యాప్తి చెందును. అవి :

1. ప్రత్యక్ష తాకిడి
2. గాలి ద్వారా
3. నీరు, ఆహారం ద్వారా
4. జంతువుల ద్వారా

18. సాంక్రమిక వ్యాధులు ప్రబలకుండా మీ పాఠశాలలో ఎటువంటి జాగ్రత్తలు తీసుకుంటారు ? (పేజీ.నెం. 189)
జవాబు:

1. వ్యాధులు వచ్చిన పిల్లలను ఇంటివద్ద ఉండిపో అని చెబుతారు.
2. తరగతి గదిలోకి గాలి, వెలుతురు వచ్చే ఏర్పాటు చేస్తారు.
3. ఆరోగ్య నియమాల గురించి వివరిస్తారు.
4. టీకాలు వేయించుకోమని చెబుతారు.
5. పాఠశాల ఆవరణాన్ని పరిశుభ్రంగా ఉంచటం.
6. బోరింగ్ వద్ద నీరు నిల్వకుండా చూడటం.
7. పరిసరాలలో మొక్కలు పెంచటం.
8. ఆహార వ్యర్థాలను కంపోస్ట్ పిట్ కు చేర్చటం.
9. కాగితాలు, కాయల వ్యర్థాలను కుళ్లబెట్టి మట్టిలో కలపడం ద్వారా పాఠశాలలో వ్యాధులు ప్రబలకుండా జాగ్రత్త పడతాం.

19. అసంక్రామ్యత అంటే ఏమిటి ? (పేజీ.నెం. 189)
జవాబు:
ఒక వ్యక్తి ఒక వ్యాధికి పలుసార్లు గురి అయినప్పుడు ఆ వ్యాధిని ఎదురుకొనే శక్తి అతనికి వస్తుంది. దీనిని అసంక్రామ్యత అంటారు.

20. మీ ప్రాథమిక ఆరోగ్య కేంద్రాలలో వ్యాధి నిరోధకత కార్యక్రమాలేవి ? మీ ప్రాంతంలో తరుచు ఎదురయ్యే ఆరోగ్య సమస్యలేవి ? (పేజీ.నెం. 189)
జవాబు:
మా థమిక ఆరోగ్య కేంద్రాలలో వ్యాధి నిరోధకతకు ఈ కింది కార్యక్రమాలు ఉన్నాయి.

1. పోషకాహారం యొక్క ఆవశ్యకతను తెలియచేయుట
2. చిన్న చిన్న వ్యాధులకు చికిత్స
3. రక్షిత మంచినీటి ఆవశ్యకత
4. పరిసరాల శుభ్రత గురించి తెలియచేయుట
5. వ్యాధి రాకుండా తల్లి పిల్లలకు టీకాలు వేయుట.
6. ఏ కాలంలో ఏ వ్యాధులు వస్తాయో వాటిని ఎలా ఎదుర్కోవాలో ప్రజలకు తెలియచేయుట.
   మా ప్రాంతంలో తరుచూ ఎదురయ్యే ఆరోగ్య సమస్యలు డయేరియా, మలేరియా, డెంగ్యూ మొదలైనవి.

21. ఈ పాఠం మీద వ్యాఖ్యానం రాయడానికి పై ప్రశ్నల గురించి మీ తరగతిలో చర్చించండి. మీ నోటు పుస్తకంలో వ్యాసంగా రాయండి. (పేజీ.నెం. 189)
జవాబు:
ఒక వ్యక్తి శారీరకంగాను, మానసికంగా, సామాజికంగా బాగా ఉంటే దానిని ఆరోగ్యం అంటారు. వ్యాధి జనక జీవులు శరీరంలోనికి ప్రవేశించటం వలన శరీర జీవక్రియలు సరిగా జరగవు. దీనిని వ్యాధి అంటాము. ఆరోగ్యంగా ఉండటానికి, వ్యాధి రహిత స్థితికి మధ్య చాలా వ్యత్యాసం ఉంది. వ్యాధిని కలుగచేయు కారకాలను వ్యాధి కారకాలు అంటారు. అవి సజీవ కారకాలు, నిర్జీవ కారకాలు.

వ్యాధులు రెండు రకాలుగా ఉంటాయి. అవి తీసుకొనే సమయాన్ని బట్టి (1) స్వల్పకాలిక వ్యాధులు (2) దీర్ఘకాలిక వ్యాధులు. స్వల్పకాలిక వ్యాధులను నిర్లక్ష్యం చేస్తే అవి దీర్ఘకాలిక వ్యాధులుగా మారే అవకాశం ఉంది. , వ్యాధి కలిగే విధానాన్ని బట్టి వ్యాధులు రెండు రకాలు. సాంక్రమిక వ్యాధులు, అసాంక్రమిక వ్యాధులు.

ముఖ్యంగా మానవునిలో వైరస్లు, బ్యాక్టీరియాలు, శిలీంధ్రాలు, ప్రోటోజోవాలు, కొన్ని క్రిమికీటకాలు వ్యాధి జనకాలుగా, వాహకాలుగా గుర్తించారు. వ్యాధి ఒకరి నుండి మరొకరికి వ్యాప్తి చెందుటను వ్యాధి వ్యాప్తి అంటారు. వ్యాధి వ్యాప్తి .

1. గాలి ద్వారా
2. నీరు, ఆహారం ద్వారా
3. ప్రత్యక్ష తాకిడి ద్వారా
4. జంతువుల ద్వారా జరుగును.

వ్యాధులను నయం చేసే సూత్రాలు అమలు చేయాలి. అవసరమైన యాంటీబయోటిక్స్, ఇతర మందులు వాడాలి. వ్యాధి వచ్చిన తరువాత మందులు వాడటం కంటే నివారించుట మంచిది. వ్యాధి నివారణకు ఈ కింది నియమాలు పాటించాలి.

1. ఇంట్లోకి, పాఠశాలలోకి గాలి, వెలుతురు ఉండే విధంగా చేయుట.
2. రక్షిత మంచి నీటిని తాగుట.
3. పరిసరాలు పరిశుభ్రంగా ఉంచుకొనుట
4. పోషకాహారం తీసుకొనుట
5. వ్యక్తిగత పరిశుభ్రత కలిగి ఉండటం
6. సాంక్రమిక వ్యాధులు వచ్చిన పిల్లలను ఇంటి దగ్గర ఉంచుట
7. పిల్లలకు టీకాలు ఇప్పించుట.
8. వ్యాధి నిరోధక శక్తి అవసరం గురించి చెప్పుట

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 8th Lesson చతుర్భుజాలు InText Questions

ప్రయత్నించండి

1. AB ని E వరకు పొడిగించండి. \(\angle \mathrm{CBE}\) ని కనుగొనండి. మీరు ఏమి గమనించారు ? \(\angle \mathrm{ABC}\) మరియు \(\angle \mathrm{CBE}\) లు ఎటువంటి కోణాలు ? (పేజీ నెం. 177)

సాధన.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము మరియు
\(\angle \mathrm{A}\) = 40°
∴ ABC = 180° – 409
= 140 CBE = 40° (: A మరియు CBE లు
సదృశ కోణాలు) మరియు 2CBE మరియు LABC లు రేఖీయద్వయాలు.

2. ∆ABC త్రిభుజం గీయండి. \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{AC}}\) మధ్య బిందువులుగా E మరియు F లుగా గుర్తించండి. E, F లను పటంలో చూపిన విధంగా కలపండి. త్రిభుజంలో EF కొలతను, మూడవ భుజం BC కొలతను కొలవండి. అదే విధంగా \(\angle \mathrm{AEF}\) మరియు \(\angle \mathrm{ABC}\) కోణాలను కలపండి.
మనకు \(\angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{ABC}\) మరియు \(\overline{\mathrm{EF}}\) = \(\frac {1}{2}\) \(\overline{\mathrm{BC}}\) అని వస్తుంది.
ఈ కోణాలు EF, BC రేఖలపై తిర్యగ్రేఖ AB తో ఏర్పడిన సదృశకోణాలు కావున మనం EF//BC అని చెప్పవచ్చు. మరికొన్ని త్రిభుజాలు గీచి, ఫలితాలను సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 188)

సాధన.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. చతురస్రంలో కర్ణాలు సమానమని, అవి పరస్పరం లంబ సమద్విఖందన చేసుకుంటాయని చూపండి. (పేజీ నెం. 185)
సాధన.

ABCD ఒక చతురస్రము అనుకొనుము.
AB = BC = CD = DA అగును.
∆ABC మరియు ∆BAD లలో
AB = AB (ఉమ్మడి భూమి)
\(\angle \mathrm{B} = \angle \mathrm{A}\) (ప్రతికోణం 90°)
BC = AD (సమాన భుజాలు)
∴ ∆ABC ≅ ∆BAD (భు.కో. భు నియమము నుండి)
⇒ AC = BD (CPCT)
అదే విధముగా ∆AOB మరియు ∆COD లలో
\(\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OCD}\) [∵ ఏకాంతర కోణాలు]
\(\angle \mathrm{OBA}=\angle \mathrm{ODC}\) [∵ ఏకాంతర కోణాలు]
AB = DC (చతురస్ర భుజాలు)
∴ ∆AOB ≅ ∆COD (కో.భు. కో, నియమం)
కావున AO = OC (CPCT) ⇒ AC మధ్య బిందువు O
BO = OD (CPCT) ⇒ BD మధ్య బిందువు O
∴ AC మరియు BDల మధ్య బిందువు O.
∴ కర్ణాలు సమద్విఖండన చేసుకొనును.
∆AOB మరియు ∆COB లలో
AB = BC (దత్తాంశము)
OB = OB (ఉమ్మడి భుజము)
AO = OC (నిరూపించబడినది)
∴ ∆AOB ≅ ∆COB
(భు. భు, భు. నియమం ప్రకారం)
⇒ \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COB}\) (CPCT)
కాని \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COB}\) = 180° (∵ రేఖీయద్వయము)
∴ \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COB}\) = \(\frac {180°}{2}\) = 90°
అదే విధముగా \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}\) (∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
\(\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{AOD}\)
(∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ AC ⊥ BD
చతురస్రంలోని కర్ణాలు లంబసమద్విఖండన చేసుకొనును.

2. రాంబలో కర్ణాలు దానిని నాలుగు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజిస్తాయని చూపండి. (పేజీ నెం. 185)
సాధన.

ABCD ఒక రాంబస్
AC మరియు BD లు ‘O’ బిందువు వద్ద ఖండించ
∆AOB మరియు ∆COD లలో
\(\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OCD}\) (ఏకాంతర కోణాలు)
AB = CD (రాంబస్ నిర్వచనం)
\(\angle \mathrm{OBA}=\angle \mathrm{ODC}\) (ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∆AOB ≅ ∆COD ……. (1) (కో.భు. కో. నియమం ద్వారా)
⇒ AO = OC (CPCT)
అదే విధముగా ∆AOD ≅ ∆COD ……… (2) [∵ AO = OC; AD = CD; OD = OD భు.భు. భు. నియమం ప్రకారం]
ఇదే విధముగా ∆AOD ≅ ∆COB ……….. (3) అని నిరూపించవచ్చును.
(1), (2) మరియు (3) ల గుండి,
∆AOB ≅ ∆BOC ≅ ∆COD ≅ ∆AOD
∴ రాంబస్ యొక్క కర్ణాలు దానిని నాలుగు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజిస్తాయి.

ఇవి చేయండి

ఒక సమాంతర చతుర్భుజాకారంలో కాగితాన్ని కత్తిరించండి. దాని కర్ణం వెంబడి మరలా కత్తిరించండి. ఎటువంటి ఆకారాలు ఏర్పడ్డాయి ? ఈ రెండు త్రిభుజాలను గూర్చి మీరు ఏమి చెబుతారు ? (పేజీ నెం. 179)
సాధన.

కాగితాన్ని కర్ణం వెంబడి కత్తిరించగా రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలు ఏర్పడ్డాయి.

సిద్ధాంతాలు

1. సమాంతర చతుర్భుజమును కర్ణము రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది. (పేజీ నెం. 179)
సాధన.

ABCD సమాంతర చతుర్భుజంను తీసుకోండి.
A, C లను కలపండి. సమాంతర చతుర్భుజానికి AC కర్ణం అవుతుంది.
AB || DC మరియు తిర్యగ్రేఖ కావున
\(\angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{CAB}\) (ఏకాంతర కోణాలు)
ఇదే విధంగా DA || CB మరియు AC తిర్యగ్రేఖ.
కావున \(\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}\) అయినది.
ఇప్పుడు ∆ACD మరియు ∆CAB లలో
\(\angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{CAB}\) మరియు \(\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}\)
అలాగే AC = CA(ఉమ్మడి భుజం)
అందువలన ∆ABC ≅ ∆CDA అయినది.
దీని అర్థం ఈ రెండు త్రిభుజాలు కో.భు.కో నియమము (కోణం, భుజం మరియు కోణం) ప్రకారం సర్వసమానాలు. అందుచే కర్ణం AC సమాంతర చతుర్భుజాన్ని రెండు సర్వసమాన పటాలుగా విభజించిందని చెప్పవచ్చు.

2. సమాంతర చతుర్భుజము ఎదుటి భుజాలు సమానము. (పేజీ నెం. 180)
సాధన.

కర్ణం, సమాంతర చతుర్భుజాన్ని రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుందని మనం నిరూపించాం.
పటంలో ∆ACD ≅ ∆CAB అయినది.
అందువలన AB = DC మరియు \(\angle \mathrm{CBA}=\angle \mathrm{ADC}\) అగును.
అలాగే AD = BC మరియు \(\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{ACB}\)\(\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{DCA}\)
∴ \(\angle \mathrm{ACB}+\angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{DAC}+\angle \mathrm{CAB}\) అందుచే \(\angle \mathrm{DCB}=\angle \mathrm{DAB}\)
దీని నుండి సమాంతర చతుర్భుజంలో
(i) ఎదుటి భుజాలు సమానమని
(ii) ఎదుటి కోణాలు సమానమని చెప్పవచ్చు.

3. ఒక చతుర్భుజములో ప్రతి ఇత ఎదుటి భుజాలు సమానము అయితే, అది సమాంతర చతుర్భుజమగును. (పేజీ నెం. 180)
సాధన.

ABCD చతుర్భుజము AB = DC మరియు BC = AD అని తీసుకోండి. కర్ణం AC ను గీయండి.
త్రిభుజాలు ∆ABC మరియు ∆CDA పరిశీలించండి.
మనకు BC = AD, AB = DC మరియు AC = CA (ఉమ్మడి భుజం)
కావున ∆ABC ≅ ∆CDA
అందువలన \(\angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{DAC}\), AC తిర్యగ్రేఖతో కలసి ఉన్నందున AB || DC అగును. ……. (1)
ఇదే విధంగా \(\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{CAB}\), CA తిర్యగ్రేఖలో కలిసి ఉన్నందున BC || AD అయినది. …….. (2)
(1), (2) లను బట్టి ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము అయినది.

4. ఒక చతుర్భుజములో ప్రతి జత ఎదుటి కోణాలు సమానము అయితే అది సమాంతర చతుర్భుజము. (పేజీ నెం.181)
సాధన.

ABCD చతుర్భుజములో \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}\) మరియు \(\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}\) అయిన ABCD సమాంతర చతుర్భుజమని నిరూపించాలి.
\(\angle \mathrm{A} + \angle \mathrm{B} + \angle \mathrm{C} + \angle \mathrm{D}\) = 360° అని మనకు తెలుసు.
∴ \(\angle \mathrm{A} + \angle \mathrm{B} + \angle \mathrm{C} + \angle \mathrm{D}\) = \(\frac {360°}{2}\)
అదే విధంగా, \(\angle \mathrm{A} + \angle \mathrm{B}\) = 180°
DC ని E వైపు పొడిగించగా,
\(\angle \mathrm{C} + \angle \mathrm{BCE}\) = 180° కావున \(\angle \mathrm{BCE}=\angle \mathrm{ADC}\) అగును.
\(\angle \mathrm{BCE}=\angle \mathrm{D}\) అయితే AD || BC (ఎందుకు ?)
DC ని తిర్యగ్రేఖగా తీసుకో అదే విధంగా AB || DC అని నిరూపించవచ్చు.
కావున ABCD సమాంతర చతుర్భుజము అయినది.

5. సమాంతర చతుర్భుజములో కర్ణాలు పరస్పరము సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి. (పేజీ నెం. 181)
సాధన.

ABCD సమాంతర చతుర్భుజము గీయాలి.
రెండు కర్ణాలు AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకున్నట్లు గీయాలి.
∆OAB మరియు ∆OCD లలో
పటంలో ఏర్పడిన కోణాలను \(\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4\)గా గుర్తించాలి.
\(\angle 1=\angle 3\) (AB || CD మరియు AC తిర్యగ్రేఖ చేసిన ఏకాంతర కోణాలు)
\(\angle 2=\angle 4\) (ఎలా ?) (ఏకాంతర కోణాలు)
మరియు AB = CD (సమాంతర చతుర్భుజ ధర్మం)
కావున కో.భు.కో. త్రిభుజ సర్వసమానత్వ నియమం ప్రకారం
∆OCD ≅ ∆OAB అగును.
అందువలన CO = OA, DO = OB అయినవి. అంటే కర్ణములు పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకున్నవి. మనం ఇప్పుడు దీని విపర్యయం కూడా సత్యమో, కాదో పరిశీలిద్దాం. అంటే దీని విపర్యయం “ఒక చతుర్భుజము కర్ణములు పరస్పరము సమద్విఖండన చేసుకుంటే, ఆది సమాంతర చతుర్భుజం” అవుతుంది.

6. ఒక చతుర్భుజంలో కర్ణములు పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకుంటే అది సమాంతర చతుర్భుజము అగును. (పేజీ నెం. 182)
సాధన.

ABCD ఒక చతుర్భుజం.
AC, BD కర్ణాలు ‘O’ వద్ద ఖండించుకున్నాయి.
OA = OC, OB = OD అగునట్లు
మనం ABCD ని ఒక సమాంతర చతుర్భుజమని చూపాలి.

7. ఒక త్రిభుజములో రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలుపుతూ గీయబడిన రేఖ, మూడవ భుజానికి సమాంతరముగానూ, మరియు దానిలో సగము ఉంటుంది. (పేజీ నెం. 188)
సాధన.
∆ABC లో AB మధ్యబిందువు E మరియు AC మధ్య బిందువు F.
సారాంశం:
(i) EF || BC
(ii) EF = \(\frac {1}{2}\)BC

ఉపపత్తి : EF ను ని కలిపి పొడిగించి BAకు సమాంతరంగా C నుండి ఒక రేఖను గీస్తే, అది పొడిగించిన EF రేఖను D వద్ద ఖండిస్తుంది. ∆AEF మరియు ∆CDF
AF = CF (AC మధ్యబిందువు)
\(\angle \mathrm{AFE}=\angle \mathrm{CFD}\) (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
మరియు \(\angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{CDF}\) (CD || BA తో ED తిర్యగ్రేఖ చేసిన ఏకాంతర కోణాలు)
కో. భు, కో, సర్వసమానత్వ నియమము ప్రకారం
∴ ∆AEF ≅ ∆CDF అయినది.
కావున AE = CD మరియు EF = DF (సర్వసమాన త్రిభుజాల సరూపభాగాలు)
AE = BE అని మనకు ఇవ్వబడింది.
కనుక BE = CD అయింది.
BE || CD మరియు BE = CD కావున BCDE ఒక సమాంతర చతుర్భుజము అయినది.
అందుచే ED || BC
⇒ EF || BC
BCDE సమాంతర చతుర్భుజము కావున ED = BC (ఎలా ?) (∵ DF = EF)
FD = EF అని చూపినందున
∴ 2EF = BC అగును. అందువలన EF = \(\frac {1}{2}\)BC అయినది.

8. ఒక త్రిభుజములో ఒక భుజము యొక్క మధ్య బిందువు నుండి వేరొక భుజానికి సమాంతరముగా గీయబడిన రేఖ, మూడవ భుజాన్ని సమద్విఖండన చేస్తుంది. (పేజీ నెం. 189)
సాధన.
∆ABC గీయాలి. AB మధ్య బిందువుగా Eని గుర్తించాలి. E గుండా BC కి సమాంతరముగా ‘l’ అనే రేఖను గీయాలి. ఇది AC ని F వద్ద ఖండించిందని అనుకుందాము.
CD || BA ను నిర్మించాలి. మనం AF = CF అని చూపాలి.

అందుచే ∆AEF మరియు ∆CFD లను తీసుకోండి.
\(\angle \mathrm{EAF}=\angle \mathrm{DCF}\) (BA || CD మరియు AC తిర్యగ్రేఖ) (ఎలా ?)
\(\angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{D}\)
(BA || CD మరియు ED తిర్యగ్రేఖ) (ఎలా ?)
కాని ఏవైనా రెండు భుజాలను సమానంగా చూపలేదు. కావున మనం వీటిని సర్వసమాన . త్రిభుజాలని చెప్పలేము.
అందువలన EB || DC మరియు ED || BC తీసుకోండి. కావున EDCB ఒక సమాంతర చతుర్భుజము అయినది. దీని నుండి BE = DC అయినది.
కాని BE = AE కావున మనకు AE = DC అని వచ్చింది. అందుచే కో.భు. కో. నియమం ప్రకారము
∆AEF ≅ ∆CFD అయినది.
∴ AF = CF అగును.

ఉప సిద్ధాంతాలు

1. దీర్ఘచతురస్రంలో ప్రతీకోణము లంబకోణము అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 182)
సాధన.

దీర్ఘచతురస్రమనేది ఒక సమాంతర చతుర్భుజము మరియు ఒక కోణము లంబకోణము.
ABCD ఒక దీర్ఘచతురస్రము.
ఒక కోణం \(\angle \mathrm{A}\) = 90° అనుకోండి.
మనం \(\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{D}\) = 90° అని చూపాలి.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజము.
కావున AD || BC మరియు AB తిర్యగ్రేఖ
కావున \(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}\) = 180° (తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునగల అంతరకోణాల మొత్తం) కాని \(\angle \mathrm{A}\) = 90° (తీసుకోబడింది)
∴ \(\angle \mathrm{B}\) = 180° – \(\angle \mathrm{A}\)
= 180° – 90° = 90°
ఇప్పుడు \(\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}\) మరియు \(\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{B}\) (సమాంతర చతుర్భుజంలో)
కావున \(\angle \mathrm{C}\) = 90° మరియు \(\angle \mathrm{D}\) = 90° అయింది. అందుచే దీర్ఘచతురస్రములో ప్రతికోణం లంబకోణము అగును.

2. రాంబలో కర్ణాలు పరస్పరం లంబాలుగా ఉంటాయని చూపండి. (పేజీ నెం.183)
సాధన.

అన్ని భుజాలు సమానంగా గల సమాంతర చతుర్భుజమును రాంబస్ అంటారని మీకు తెలుసు. ABCD ఒక రాంబస్ AC మరియు BD .కరాలు O వద్ద ఖండించుకున్నాయనుకొనండి.
మనం AC కర్ణం, BD కర్ణానికి లంబంగా ఉంటుందని చూపాలి.
∆AOB మరియు ∆BOC లను తీసుకొండి
OA = OC (సమాంతర చతుర్భుజము కర్ణాలు పరస్పరం)
OB = OB(∆AOB మరియు ∆BOC ఉమ్మడి భుజం)
AB = BC (రాంబన్లో భుజాలు)
అందువలన ∆AOB ≅ ∆BOC (డు.భు.భు. నియమము)
కావున \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}\)
కాని \(\angle \mathrm{AOB}+\angle \mathrm{BOC}\) = 180° (రేఖీయద్వయం)
అందుచే 2\(\angle \mathrm{AOB}\) = 180°
లేదా \(\angle \mathrm{AOB}\) = \(\frac {180°}{2}\) = 90°
ఈ విధంగా \(\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COD}=\angle \mathrm{AOD}\) = 90° అయినది.
కావున AC కర్ణం, BD కర్ణానికి లంబం అని తెలిసింది.
అందుచే రాంబస్ లో కర్ణాలు ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉంటాయి.

3. ABCD సమాంతర చతుర్భుజములో AC కర్ణం \(\angle \mathrm{A}\)ను సమద్విఖండన చేస్తే ABCD ఒక రాంబస్ అవుతుందని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 183)
సాధన.

ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
అందుచే AB || DC. AC తిర్యగ్రేఖ \(\angle \mathrm{A}\), \(\angle \mathrm{C}\) లను ఖండించింది.
ఈ కావున \(\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DCA}\) (ఏకాంతర కోణాలు) …………. (1)
\(\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DAC}\) …………. (2)
కాని AC కర్ణం, \(\angle \mathrm{A}\)ను సమద్విఖండన చేసింది. కనుక \(\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DAC}\)
∴ \(\angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{DAC}\) ………. (3)
అందుచే AC కర్ణం \(\angle \mathrm{C}\) ని కూడా సమద్విఖండన చేసింది.
(1), (2) మరియు (3) లను బట్టి, మనకు
\(\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{BCA}\)
ΔABCలో \(\angle \mathrm{BCA}\) అంటే BC = AB (సమద్విబాహు త్రిభుజము)
కాని AB = DC మరియు BC = AD (సమాంతర చతుర్భుజము ABCD లో ఎదుటి భుజాలు)
∴ AB = BC = CD = DA
ఈ విధంగా ABCD రాంబస్ అయినది.

4. దీర్ఘచతురస్రంలో కర్ణాలు సమానమని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 184)
సాధన.

ABCD ఒక దీర్ఘచతురస్రము AC మరియు BD లు వాని కర్ణాలు. మనకు AC = BD అని తెలియాలి.
ABCD దీర్ఘచతురస్రమంటే ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము మరియు దానిలో ప్రతీ కోణము ఒక లంబకోణము.
ΔABC మరియు ΔBAD లను తీసుకోండి.
AB = BA (ఉమ్మడి భుజం)
\(\angle \mathrm{B}\) = \(\angle \mathrm{A}\) = 90° (దీర్ఘచతురస్రములో ప్రతీ కోణం )
BC = AD (దీర్ఘచతురస్రములో ఎదుటి భుజాలు)
అందువలన ΔABC ≅ ΔBAD (యు.కో. భు, నియమం) అగును.
దీని నుండి, AC = BD లేదా దీర్ఘచతురస్రములో కర్ణాలు సమానమని చెప్పవచ్చు.

5. సమాంతర చతుర్భుజములో కోణ సమద్విఖండన రేఖలు దీర్ఘచతురస్రాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి. (పేజీ నెం. 184)
సాధన.

ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము \(\angle \mathrm{A},\angle \mathrm{B},\angle \mathrm{C}\) మరియు \(\angle \mathrm{A}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖలు P, Q, R, S ల వద్ద ఖండించుకొని చతుర్భుజాన్ని ఏర్పరిచాయి. (పటం చూడండి)
ABCD సమాంతర చతుర్భుజములో AD || BC, AB ని తిర్యగ్రేఖగా తీసుకుంటే,
\(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}\) = 180° (సమాంతర చతుర్భుజములో పక్క కోణాలు)
కాని \(\angle \mathrm{BAP}\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathrm{A}\) మరియు \(\angle \mathrm{ABP}\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathrm{B}\)(AP, BP లు \(\angle \mathrm{A}\) మరియు \(\angle \mathrm{B}\) యొక్క సమద్విఖండన రేఖలు)

కావున PQRS లో నాలుగు కోణాలు 90° కు సమానము. అందుచే PQRS ను దీర్ఘచతురస్రమని చెప్పవచ్చు.

ఉదాహరణలు

1. ABCD సమాంతర చతుర్భుజము మరియు \(\angle \mathrm{A}\) = 60° మిగిలిన కోణాల కొలతలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం.176)
సాధన.

సమాంతర చతుర్భుజములో ఎదుటి కోణాలు సమానము. కావున ABCD సమాంతర చతుర్భుజము
\(\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}\) = 60° మరియు \(\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}\)
సమాంతర చతుర్భుజములో పక్క కోణాల మొత్తం 180°
\(\angle \mathrm{A}\) మరియు \(\angle \mathrm{B}\) లు పక్క కోణాలు కావున
\(\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{B}\) = 180° – \(\angle \mathrm{A}\)
= 180° – 60°
= 120°
అందుచే మిగిలిన కోణాలు 120°, 60°, 120° అవుతాయి.

2. ABCD సమాంతర చతుర్భుజము \(\angle \mathrm{DAB}\) = 40° అయిన మిగిలిన కోణాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 177)
సాధన.

ABCD సమాంతర చతుర్భుజము కావున
\(\angle \mathrm{DAB}=\angle \mathrm{BCD}\) = 40° మరియు AC || BC ప్రక్క కోణాల మొత్తము
\(\angle \mathrm{CBA}=\angle \mathrm{DAB}\) = 180°
∴ \(\angle \mathrm{CBA} = 180 – 40° = 140°
దీనిద్వారా [latex]\angle \mathrm{ADC}\) = 140° అయితే \(\angle \mathrm{BCD}\) = 40°

3. సమాంతర చతుర్భుజములో రెండు ఆసన్నభుజాలు వరుసగా 4.5 సెం.మీ. మరియు 3 సెం.మీ. దాని చుట్టుకొలత కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 177)
సాధన.
సమాంతర చతుర్భుజము ఎదుటి భుజాల కొలతలు – సమానము.
కావున మిగిలిన రెండు భుజాలు 4.5 సెం.మీ. మరియు 3 సెం.మీ. కలిగి ఉంటాయి.
కావున, దీని చుట్టుకొలత = 4.5 + 3 + 4.5 + 3
= 15 సెం.మీ.

4. ABCD సమాంతర చతుర్భుజములో పక్కకోణాలు \(\angle \mathrm{A}\) మరియు \(\angle \mathrm{B}\) యొక్క సమద్విఖందన రేఖలు P వద్ద ఖండించుకున్నాయి. ఆయిన \(\angle \mathrm{APB}\) = 90° అని చూపండి. (పేజీ నెం. 177)
సాధన.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము పక్క కోణాలు \(\angle \mathrm{A}\) మరియు \(\angle \mathrm{B}\) యొక్క సమద్విఖండన రేఖలు \(\overline{\mathrm{AP}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{BP}}\) లు సమాంతర చతుర్భుజములో పక్క కోణాలు సంపూరకాలు కావున
\(\angle \mathrm{A}\) + \(\angle \mathrm{B}\) = 180°
\(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathrm{A}\) + \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathrm{B}\) = \(\frac {180°}{2}\)
⇒ \(\angle \mathrm{PAB}\) + \(\angle \mathrm{PBA}\) = 90°

∆APB లో
\(\angle \mathrm{PAB}\) + APB + \(\angle \mathrm{PBA}\) = 180°
(త్రిభుజము మూడు కోణాల మొత్తము)
\(\angle \mathrm{APB}\) = 180° – (\(\angle \mathrm{PAB}\) + \(\angle \mathrm{PBA}\))
= 180° – 90°
= 90°
నిరూపించబడినది.

5. \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{DC}}\) రెండు సమాంతర రేఖలు. తిర్యగ్రేఖ l, \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని P వద్ద \(\overline{\mathrm{DC}}\) ని R వద్ద ఖండించింది. అయిన అంతరకోణాల సమద్విఖందన రేఖలు దీర్ఘచతురస్రాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.

(పేజీ నెం. 185)
సాధన.
\(\overline{\mathrm{AB}}\) || \(\overline{\mathrm{DC}}\), తిర్యగ్రేఖ l \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని P వద్ద \(\overline{\mathrm{DC}}\) ని R వద్ద ఖండించింది.
\(\overline{\mathrm{PQ}}\), \(\overline{\mathrm{RQ}}\), \(\overline{\mathrm{RS}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{PS}}\) లు \(\angle \mathrm{RPB},\angle \mathrm{CRP},\angle \mathrm{DRP}\) మరియు \(\angle \mathrm{APR}\)ల యొక్క సమద్విఖండన రేఖలు అనుకొనండి.
\(\angle \mathrm{BPR}=\angle \mathrm{DRP}\) (ఏకాంతర కోణాలు) ……. (1)

కాని \(\angle \mathrm{RPQ}\) = \(\frac {1}{2}\) \(\angle \mathrm{BPR}\)
(∵ \(\overline{\mathrm{PQ}}\), \(\angle \mathrm{BPR}\) యొక్క సమద్విఖండన రేఖ)
అలాగే \(\angle \mathrm{PRS}\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathrm{DRP}\) (∵ \(\overline{\mathrm{RS}}\), \(\angle \mathrm{DRP}\) యొక్క సమద్విఖండన రేఖ) …………….. (2)
(1), (2) లను బట్టి
\(\angle \mathrm{RPQ}=\angle \mathrm{PRS}\)
ఇవి \(\overline{\mathrm{PR}}\) తిర్యగ్రేఖగా \(\overline{\mathrm{PQ}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{RS}}\) రేఖలపై ఏర్పరచిన ఏకాంతర కోణాలు, కావున
∴ \(\overline{\mathrm{PQ}}\) || \(\overline{\mathrm{RS}}\)
ఇదేవిధంగా \(\angle \mathrm{PRQ}=\angle \mathrm{RPS}\) కావున \(\overline{\mathrm{PS}}\) || \(\overline{\mathrm{RQ}}\)
అందువలన PQRS ఒక సమాంతర చతుర్భుజం అయినది …………… (3)
మనకు \(\angle \mathrm{BPR}=\angle \mathrm{CRP}\) = 180° (తిర్యగ్రేఖ (l) ఒకే వైపున ఏర్పరచిన అంతరకోణాలు కావున \(\overline{\mathrm{AB}}\) || \(\overline{\mathrm{DC}}\))

(3), (4) లను బట్టి PQRS సమాంతర చతుర్భుజము మరియు
ప్రతీకోణము లంబకోణము అయినది. కావున PQRS ఒక దీర్ఘచతురస్రము.

6. ∆ABC లో BC భుజం మీదకు మధ్యగతం AD గీయబడినది. AD = ED అగునట్లు 5 వరకు పొదిగించబడినది. ఆయిన ABEC ఒక సమాంతర చతుర్భుజాన్ని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 186)
సాధన.

∆ABC త్రిభుజములో AD మధ్యగతం.
AD = ED అగునట్లు AD ని E వరకు పొడిగించబడింది.
BE మరియు CE లను కలపండి.
∆ABD మరియు ECD లలో
BD = DC (BC మధ్య బిందువు D)
\(\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{EDC}\) (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
AD = ED (ఇవ్వబడినది)
కావున ∆ABD ≅ ∆EDC అయినది. (భు.కో.భు. నియమము)
అందువలన AB = CE (సర్వసమాన త్రిభుజాలలో సరూప భాగాలు)
అలాగే \(\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{ECD}\)
ఇవి \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{BC}}\) రేఖలతో \(\overline{\mathrm{CE}}\) తిర్యగ్రేఖ చేసిన ఏకాంతర కోణాలు.
∴ \(\overline{\mathrm{AB}}\) || \(\overline{\mathrm{CE}}\)
ABEC చతుర్భుజంలో
AB || CE మరియు AB = CE
అయినందున ABEC ఒక సమాంతర చతుర్భుజము అయినది.

7. ∆ABC లో D, E మరియు F లు వరుసగా AB, BC మరియు CA భుజాల మధ్యబిందువులు. వీటిని ఒకదానితో మరొకటి కలుపగా ఏర్పడిన నాలుగు త్రిభుజాలు సర్వసమానాలని చూపండి. (పేజీ నెం. 190)

సాధన.
∆ABC లో D, E లు వరుసగా \(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{BC}}\) భుజాల మధ్యబిందువులు.
కావున మధ్యబిందువు సిద్ధాంతం ప్రకారము DE || AC
ఇదే విధంగా DF || BC మరియు EF || AB అగును.
అందువలన ADEF, BEFD మరియు CFDE లు సమాంతర చతుర్భుజాలు.
ఇప్పుడు ADEF సమాంతర చతుర్భుజములో DF కర్ణం.
కావున ∆ADF ≅ ∆DEF
(కర్ణం, సమాంతర చతుర్భుజాన్ని రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా చేసింది)
ఇదే విధంగా ∆BDE ≅ ∆DEF మరియు ∆CEF ≅ ∆DEF అగును.
కనుక నాలుగు త్రిభుజాలు సర్వసమానములు అయినవి. దీని నుండి “త్రిభుజ భుజాల మధ్య బిందువులను కలుపగా ఏర్పడిన నాలుగు భుజాలు సర్వసమానములని” నిరూపించాము.

8. l, m మరియు n అనే మూడు సమాంతర రేఖలను ని మరియు qఅనే రెండు తిర్యగ్రేఖలు A, B, C మరియు D, E, F ల వద్ద ఖండించాయి. తిర్యగ్రేఖ p. ఈ సమాంతర రేఖలను రెండు సమాన అంతరఖండాలు AB, BC లుగా విభజిస్తే q తిర్యగ్రేఖ కూడా సమాన ఆంతరఖండాలు DE మరియు EF లుగా విభజిస్తుందని చూపండి. (పేజీ నెం. 191)

సాధన.
AB, BC మరియు DE, EF ల మధ్య సమానత్వ భావనతో సమన్వయ పరచాలి. A నుండి Fకు రేఖను గీయగా అది ‘m’ రేఖను G వద్ద ఖండించిందనుకొనండి.
∆ACF లో AB = BC (దత్తాంశము)
కావున AC మధ్యబిందువు B మరియు BG || CF (ఎలా ?) అందుచే AF యొక్క మధ్యబిందువు G అయినది (త్రిభుజ మధ్య బిందువు సిద్ధాంతం) , ఇప్పుడు ∆AFD ఇదే రీతిలో పరిశీలించగా G అనేది AF కు మధ్యబిందువు మరియు GE || AD కావున DF మధ్యబిందువు E ఆగును.
ఇందు మూలంగా DE = EF అయినది.
ఈ విధంగా I, m మరియు n రేఖలు q తిర్యగ్రేఖపై కూడా సమాన అంతర ఖండాలు చేసాయి.

9. ∆ABC లో AD మరియు BE లు రెండు మధ్యగత రేఖలు మరియు BE || DF (పటంలో చూడండి). అయిన CF = \(\frac {1}{4}\)AC అని చూపండి. (పేజీ నెం. 191)
సాధన.
∆ABC లో BC మధ్యబిందువు D మరియు BE || DF. మధ్యబిందువు సిద్ధాంతం ప్రకారము CE మధ్యబిందువు F అగును.

∴ CF = \(\frac {1}{2}\)CE
= \(\frac {1}{2}\) (\(\frac {1}{2}\)AC) (ఏలా ?
కావున CF = \(\frac {1}{4}\) AC అయినది.

10. ABCత్రిభుజంలో BC, CA మరియు AB భుజాలకు సమాంతరంగా A, B మరియు Cల గుండా సమాంతర రేఖలు గీస్తే అవి P,Q మరియు Rల వద్ద ఖండించు కున్నాయి. ∆PQR త్రిభుజము చుట్టుకొలత AABC త్రిభుజము చుట్టుకొలతకు రెట్టింపు ఉంటుందని చూపండి.
(పేజీ నెం.191)
సాధన.
AB || QP మరియు BC || RQ కావున ABCQ ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
ఇదే విధంగా BCAR, ABPC లు కూడా సమాంతర చతుర్భుజాలు అవుతాయి.

∴ BC = AQ మరియు BC = RA
⇒ QR మధ్యబిందువు A అగును.
ఇదేవిధంగా B, C లు వరుసగా PR మరియు PQల మధ్య బిందువులు అవుతాయి.
∴ AB = \(\frac {1}{2}\)PQ; BC = \(\frac {1}{2}\)QR మరియు
CA = \(\frac {1}{2}\) PR (ఎలా?) (సంబంధిత సిద్ధాంతం చెప్పండి)
ఇప్పుడు ∆PQR చుట్టుకొలత = PQ + QR + PR
= 2AB + 2BC + 2CA
= 2(AB + BC + CA)
= 2 (∆ABC యొక్క చుట్టుకొలత).

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 8th Lesson చతుర్భుజాలు Exercise 8.4

ప్రశ్న 1.
ABC త్రిభుజంలో AB పై D ఒక బిందువు మరియు AD = \(\frac {1}{4}\) AB. ఇదే విధంగా AC పై బిందువు E మరియు AE = \(\frac {1}{4}\)AC, DE = 2 సెం.మీ. అయిన BC ఎంత?
సాధన.

∆ABC లో D మరియు E లు AB మరియు AC లపై గల బిందువులు.
ఈ బిందువులు AD = \(\frac {1}{4}\) AB మరియు AE = \(\frac {1}{4}\) AC.
X, Yలు AB మరియు AC ల మధ్య బిందువులు అనుకొనుము.
D, E మరియు X, Y లను కలుపుము.
∆AXY, D, E E AX మరియు AY ల మధ్య బిందువులు.
∴ DE // XY మరియు DE = \(\frac {1}{2}\)XY
DE = 2 సెం.మీ. కావున
⇒ 2 = \(\frac {1}{2}\)XY
⇒ XY = 2 × 2 = 4 సెం.మీ.
అదే విధంగా ∆ABC లో X, Y లు AB మరియు AC ల మధ్య బిందువులు.
∴ XY // BC మరియు XY = \(\frac {1}{2}\)BC
XY = 4 సెం.మీ.
కావున BC = 4 × 2 = 8 సెం.మీ

ప్రశ్న 2.
ABCD చతుర్భుజములో AB, BC, CD మరియు DA ల మధ్య బిందువులు E, F, G మరియు H లు అయిన EFGH సమాంతర చతుర్భుజమని నిరూపించుము.
సాధన.

ABCD చతుర్భుజములో భుజాల యొక్క మధ్య బిందువులు E, F, G మరియు H లు.
∆ABC లో AB మరియు BC ల యొక్క మధ్య బిందువులు E మరియు F అనుకొనుము.
∴ EF // AC మరియు EF – – AC . అట్లాగే AACD లో HG // AC
మరియు HG = \(\frac {1}{2}\) AC
∴ EF // HG మరియు EF = HG
చతుర్భుజము EFGH లో EF = HG మరియు EF // HG.
∴ EFGH ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.

ప్రశ్న 3.
రాంబస్ యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులను వరుసగా కలిపితే ఏర్పడే పటం దీర్ఘచతురస్రమని చూపండి.
సాధన.

☐ABCD ఒక రాంబస్.
P, Q, R మరియు వీలు రాంబస్ ☐ABCD యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులు,
∆ABC లో P, Qలు AB మరియు BCల యొక్క మధ్య బిందువులు.
∴ PQ // AC మరియు PQ = \(\frac {1}{2}\)AC ……… (1)
అదే విధంగా ∆ADC లో S, R లు AD మరియు CDల యొక్క మధ్య బిందువులు.
∴ SR // AC మరియు SR = \(\frac {1}{2}\)AC …….. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి
PQ // SR మరియు PQ = SR
అదే విధముగా QR // PS మరియు QR = PS
∴ ☐PQRS ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
రాంబన్ యొక్క కర్ణాలు లంబనమద్విఖండన చేసుకొనును కావున \(\angle \mathrm{AOB}\) = 90°
∴ \(\angle \mathrm{P}=\angle \mathrm{AOB}\) = 90°
[//^gm PYOX యొక్క ఎదుటి కోణాలు]
∴ PQRS ఒక దీర్ఘచతురస్రము. ఎందుకనగా రెండు జతల ఎదుటి భుజాలు సమానము మరియు సమాంతరాలు, ఒక కోణము 90° కాబట్టి.

ప్రశ్న 4.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజములో AB, DCE మధ్య బిందువులు వరుసగా E మరియు F అయిన AF మరియు EC రేఖాఖండాలు కర్ణము BD ని త్రిథాకరిస్తాయని చూపండి.

సాధన.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము. E మరియు Fలు AB మరియు CD భుజాల మధ్య బిందువులు.
∴ AE = \(\frac {1}{2}\)AB మరియు CF = \(\frac {1}{2}\)CD
అదే విధముగా AE = CF [∵ AB = CD]
చతుర్భుజము AECF లో AE = CF మరియు
AE // CF కావున AECF ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
∆EQB మరియు ∆FDP లలో
EB = FD [//^gm యొక్క సగ భుజాలు సమానము]
\(\angle \mathrm{EBQ}=\angle \mathrm{FDP}\) [EB // FD కావున ఏకాంతర కోణాలు]
\(\angle \mathrm{QEB}=\angle \mathrm{PFD}\)
[∵ \(\angle \mathrm{QED}=\angle \mathrm{QCF}=\angle \mathrm{PFD}\)]
∴ ∆EQB ≅ ∆FPD (తో. భు. తో. నియమం)
∴ BQ = DP [∵ CPCT] ………. (1)
∆DQC లో; PF // QC మరియు F, DC భుజపు మధ్య బిందువు
DQ మధ్య బిందువు P కావున
DP PQ …………. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి, DP = PQ = QB.
∴ కర్ణము BD ని AF మరియు CE లు త్రిథాకరిస్తాయి.

ప్రశ్న 5.
చతుర్భుజములో ఎదుటి భుజాల మధ్య బిందువులను కలుపుతూ గీయబడిన రేఖాఖండాలు సమద్విఖండన చేసుకుంటాయని చూపండి.
సాధన.

ABCD ఒక చతుర్భుజము అనుకొనుము.
P, Q, R, S లు చతుర్భుజము ABCD యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులు.
(P, Q), (Q, R), (R, S) మరియు (S, P) లను కలుపుము.
∆ABC లో P, Qలు AB మరియు BC ల మధ్య బిందువులు.
∴ PQ // AC మరియు PQ = \(\frac {1}{2}\)AC ……… (1)
∆ADC నుండి, S, Rలు AD మరియు CDల మధ్య బిందువులు.
∴ SR // AC మరియు SR = \(\frac {1}{2}\)AC …….. (2)
∴ (1) మరియు (2) ల నుండి,
PQ = SR మరియు PQ // SR
∴ PQRS ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
PQRS సమాంతర చతుర్భుజములో PR మరియు QSలు కర్ణాలు.
∴ PR మరియు QS లు సమద్విఖండన చేసుకొనును.

ప్రశ్న 6.
ABC లంబకోణ త్రిభుజములో C లంబకోణం. కర్ణము ABమధ్యబిందువు M గుందా BCకు సమాంతరముగా గీచిన రేఖ AC ని D వద్ద ఖండిస్తే కింది వానిని నిరూపించండి.
(i) AC మధ్య బిందువు D
(ii) MD ⊥ AC
(iii) CM = MA = \(\frac {1}{2}\)AB

సాధన.

∆ABC లో \(\angle \mathrm{C}\) = 90° మరియు AB యొక్క మధ్యబిందువు M.
(i) AC పై D ఒక బిందువు అనుకొనుము. AC యొక్క మధ్య బిందువు D’ అనుకొనుము.
∴ AD’ = D’C
BC కి సమాంతరంగా గల రేఖ D’M.
కాని దత్తాంశం ప్రకారము DM, BC కి సమాంతర రేఖ. దీనిని బట్టి ఒక బిందువు M గుండా పోవు రెండు రేఖలు ఒక రేఖకు సమాంతరము అని నిరూపితమైనది. ఇది అసంభవము.
∴ D’ అనునది Dతో ఏకీభవిస్తుంది.
∴ AC మధ్య బిందువు ‘D’ అగును.

(ii) సమస్య (i) నుండి DM // BC అదే విధముగా \(\angle \mathrm{ADM}=\angle \mathrm{ACB}\) = 90° (సదృశ్యకోణాలు)
⇒ MD ⊥ AC

(iii) ΔADM మరియు ΔCDM లలో
AD = CD [∵ సమస్య (i) నుండి AC మధ్య బిందువు D]
\(\angle \mathrm{ADM}=\angle \mathrm{MDC}\) (∵ ప్రతీ కోణము 90°)
DM = DM (ఉమ్మడి భుజము)
∴ ∆ADM ≅ ∆CDM (భు.కో.భు. నియమం ప్రకారం)
⇒ CM = MA (CPCT)
⇒ CM = \(\frac {1}{2}\) AB (∵ AB మధ్య బిందువు M)
∴ CM = MA = \(\frac {1}{2}\) AB

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 8th Lesson చతుర్భుజాలు Exercise 8.3

ప్రశ్న 1.
సమాంతర చతుర్భుజము ఎదుటి కోణాలు (3x – 2)° మరియు (x + 48)° అయిన సమాంతర చతుర్భుజములో ప్రతీ కోణాన్ని కనుగొనండి.
సాధన.
సమాంతర చతుర్భుజము ఎదుటి కోణాలు
(3x – 2)° మరియు (x + 48)°
సమాంతర చతుర్భుజంలో ఎదుటి కోణాలు సమానము.
3x – 2 = x + 48
3x – x = 48 + 2
2x = 50
x = \(\frac {50}{2}\) = 25°
∴ ఇచ్చిన కోణాలు (3x – 2)° (x + 48)°
= 3x – 2 = (3 × 25 – 2)° = (75 – 2)° = 73°
x + 48° = (25 + 48)° = 73°
సమాంతర చతుర్భుజంలోని వరుస కోణాలు సంపూరకాలు కావున మిగిలిన రెండు కోణాలు (180° – 73°) మరియు (180° – 73°) = 107° మరియు 107°
∴ నాలుగు కోణాలు 78°, 107°, 73° మరియు 107°.

ప్రశ్న 2.
సమాంతర చతుర్భుజములో ఒక కోణం, అతి చిన్న కోణమునకు రెట్టింపు కన్నా 24° తక్కువ అయిన సమాంతర చతుర్భుజంలో అన్ని కోణాలను కనుగొనుము.
సాధన.
సమాంతర చతుర్భుజములోని అతి చిన్న కోణం = x
దాని ఆసన్న కోణము = (180 – x)°
లెక్క ప్రకారము (180 – x)° = (2x – 24)°
(∵ ఎదుటి కోణాలు సమానము)
180 + 24 = 2x + x
3x = 204
x = \(\frac {204}{3}\) = 68°
∴ మిగిలిన కోణాలు 68°; (2 × 68 – 24)°
68°; (2 × 68 – 24)°
= 68°, 112°, 68°, 112°

ప్రశ్న 3.
కింది పటంలో ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము. BC యొక్క మధ్య బిందువు E. AB మరియు DE లను F వరకు పొడిగించిన, AF = 2AB అని నిరూపించండి.

సాధన.

ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
E, BC యొక్క మధ్య బిందువు.
G, AD యొక్క మధ్య బిందువు.
G మరియు E లను కలుపుము.
∆AFD లో AD మరియు DF ల మధ్య బిందువులను కలుపగా
GE // AF మరియు GE = \(\frac {1}{2}\) AF
కాని GE = AB [∵ ABEG సమాంతర చతుర్భుజంలో AB, GE లు ఒక జత ఎదుటి భుజాలు]
∴ \(\frac {1}{2}\)AF = AB
∴ AF = 2AB

ప్రశ్న 4.
కింది పటంలో ABCDఒక సమాంతర చతుర్భుజము. AB, DCల యొక్క మధ్య బిందువు P మరియు Qలు అయిన PBCQ ఒక సమాంతర చతుర్భుజమని చూపండి.

సాధన.

ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము
P,Qలు AB, CDల మధ్య బిందువులు.
P, Qలను కలుపుము.
AB = CD (సమాంతర చతుర్భుజ ఎదుటి భుజాలు)
\(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)CD
PB = QC మరియు PB//QC.
చతుర్భుజం PBCQ లో PB = QC; PB//QC
కావున ☐PBCQ ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.

ప్రశ్న 5.
ABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము మరియు AB = AC. బాహ్యకోణం QAC నకు AD సమద్విఖండనరేఖ అయితే
(i) \(\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}\)
(ii) ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజమని చూపండి.

సాధన.
∆ABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము; AB = AC
\(\angle \mathrm{QAC}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ AD.
(i) ∆ABC లో, AB = AC ⇒ \(\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{ACB}\)
(సమాన భుజాలకు ఎదుటి కోణాలు)
\(\angle \mathrm{QAC}=\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{ACB}\)
\(\angle \mathrm{QAC}=\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{BCA}\)
(∵ \(\angle \mathrm{QAC}=\angle \mathrm{B}\))
⇒ \(\frac {1}{2}\) \(\angle \mathrm{OAC}\) = \(\frac {1}{2}\) [2\(\angle \mathrm{BCA}\)]
⇒ \(\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}\) [∵ \(\angle \mathrm{QAC}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ AD]

(ii) సమస్య (i) నుండి \(\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}\)
ఈ కోణాలు, AD మరియు BC రేఖలను AC అను తిర్యగ్రేఖ ఖండించడం వలన ఏర్పడిన ఏకాంతర కోణాలు.
∴ AD // BC
చతుర్భుజం ABCD లో AB // DC; BC / AD
∴ ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.

ప్రశ్న 6.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము AP మరియు CQలు శీర్షాలు A మరియు Cల నుండి కర్ణం BD పైకి గీచిన లంబాలు (పటంలో చూడండి) అయిన (i) ∆APB ≅ ∆CQD (ii) AP = CO అని చూపండి.

సాధన.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము మరియు
BD ఒక కర్ణము.
AP ⊥ BD మరియు CQ ⊥ BD
(i) ∆APB మరియు ∆CQD లలో
AB = CD (∵ సమాంతర చతుర్భుజము ABCD యొక్క ఎదుటి భుజాలు)
\(\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{CQD}\) = 90°
\(\angle \mathrm{PBA}=\angle \mathrm{QDC}\) (ఒకదాని తరువాత ఒకటి ఏర్పడు అంతర కోణాలు)
∴ ∆APB ≅ ∆CQD (కో.కో.భు. నియమం ప్రకారం)

(ii) సమస్య (i) నుంచి ∆APB ≅ ∆CQD
⇒ AP = CQ (CPCT)

ప్రశ్న 7.
∆ABC మరియు ∆DEF లలో AB//DE; BC= EF మరియు BC//EF. శీర్షాలు A, B మరియు Cలు వరుసగా D, E మరియు F లకు కలుపబడినవి (పటం చూడండి) అయిన
(i) ABED ఒక సమాంతర చతుర్భుజము
(ii) BCFE ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
(iii) AC = DF
(iv) ∆ABC ≅ ∆DEF అని చూపండి.

సాధన.

దత్తాంశము నుండి AB//DE; BC = EF
చతుర్భుజం ☐BCFE లో
BC = EF మరియు BC//EF
కావున ☐BCFE ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
చతుర్భుజము ☐ABED లో
AB//ED మరియు AB = ED
కావున ☐ABED ఒక సమాంతర చతుర్భుజము
∆ABC మరియు ∆DEF లలో
AB = DE
BC = EF
\(\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{DEF}\) (సమాంతర భుజాల రెండు కోణాలు)
∴ ∆ABC ≅ ∆DEF
⇒ AC = DF (∵ CPCT)
(లేక)
AD = BE = CF ((i) మరియు (ii) ల నుండి)
ACFD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
ఆ విధముగా AC = DF (∵ సమాంతర చతుర్భుజపు ఎదుటి భుజాలు)

ప్రశ్న 8.
ABCDఒక సమాంతర చతుర్భుజము. AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకున్నాయి. P, Qలు BD కర్ణంపై త్రిథాకరించబడిన బిందువులైన CQ//AP మరియు AC కర్ణం, PQను సమద్విఖండన చేయునని చూపండి (పటం చూడండి).

సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
BD దాని యొక్క కర్ణము.
P మరియు Qలు BD పై సమత్రిఖండన బిందువులు.
∆APB మరియు ∆CQD లలో
AB = CD(∵ //^gm ABCD యొక్క ఎదుటి భుజాలు)
BP = DQ (దత్తాంశము)
\(\angle \mathrm{ABP}=\angle \mathrm{CDQ}\) (AB, DC సమాంతర రేఖలను BD అను తిర్యగ్రేఖ ఖండించగా ఏర్పడు ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∆APB ≅ ∆CQD (భు.కో.భు. నియమము)
అదే విధముగా ∆AQD మరియు ∆CPB లలో
AD = BC (//^gm ABCD యొక్క ఎదుటి భుజాలు)
DQ = BP (దత్తాంశము)
\(\angle \mathrm{ADQ}=\angle \mathrm{CBP}\)
(AD మరియు BC సమాంతర రేఖలను \(\overline{\mathrm{BD}}\) తిర్యగ్రేఖ ఖండించగా ఏర్పడిన ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∆AQD ≅ ∆CPB
చతుర్భుజము ☐APCQ లో
AP = CQ(∵ ∆APB, ∆CQDల యొక్క CPCT)
AQ = CP(∵ ∆AQD, ∆CPBల యొక్క CPCT)
∴ ☐APCQ ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
∴ CQ// AP (//^gm APCQ యొక్క ఎదుటి భుజాలు) మరియు AC, PQ ను సమద్విఖండన చేస్తుంది.
[∵ //^gm APCQ యొక్క కర్ణాలు)

ప్రశ్న 9.
ABCD ఒక చతురస్రము. E, F, G మరియు Hలు వరుసగా AB, BC, CD మరియు DA లపై గల బిందువులు AE = BF – CG = DH అయినచో EFGH ఒక చతురస్రమని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశం నుండి ABCD ఒక చతురస్రము.
AB, BC, CD మరియు DA భుజాల మధ్య బిందువులు E, F, G, మరియు H లు మరియు AE = BF = CG = DH.
∆ABC లో E, F లు AB మరియు BC ల మధ్య బిందువులు.
∴ EF // AC మరియు EF = \(\frac {1}{2}\) AC
అదే విధముగా GH//AC మరియు GH = AC
GF//BD మరియు GF = \(\frac {1}{2}\)BD
HE//BD మరియు HE = \(\frac {1}{2}\)BD
కాని AC = BD (∵ చతురస్రము యొక్క కర్ణాలు)
∴ EF = FG = GH = HE
∴ EFGH ఒక రాంబస్ మరియు AC ⊥ BD (∵ రాంబస్ యొక్క కర్ణాలు)
∴ //^gm OIEJ లో \(\angle \mathrm{IOJ}=\angle \mathrm{E}\) [∵ ఎదుటి కోణాలు]
∴ \(\angle \mathrm{E}\)= 90°
చతుర్భుజం EFGH లో అన్ని భుజాలు సమానము మరియు ఒక కోణం 90° కావున EFGH ఒక చతురస్రము.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 8th Lesson చతుర్భుజాలు Exercise 8.2

ప్రశ్న 1.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము మరియు ABEF ఒక దీర్ఘచతురస్రము అయిన ∆AFD ≅ ∆BEC అని చూపండి.

సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
☐ABEF ఒక దీర్ఘచతురస్రము.
∆AFD మరియు ∆BEC లలో
AF = BE (∵ ☐ABEF దీర్ఘచతురస్రపు ఎదుటి భుజాలు)
AD = BC (∵ ☐ABCD సమాంతర చతుర్భుజపు ఎదుటి భుజాలు)
DF = CE (∵ AB = DC = DE + EC
AB = EF = DE + DF)
∴ ∆AFD ≅ ∆BEC (భు. భు. భు నియమం)

ప్రశ్న 2.
రాంబలో కర్ణాలు దానిని నాలుగు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజిస్తాయని నిరూపించండి.
సాధన.

☐ABCD ఒక రాంబస్.
AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొనును అనుకొనుము.
∆AOB మరియు ∆COD లలో
\(\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OCD}\) (ఏకాంతర కోణాలు)
AB = CD (రాంబస్ నిర్వచనం)
\(\angle \mathrm{OBA}=\angle \mathrm{ODC}\)……. (1) (ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∆AOB ≅ ∆COD (కో.భు.కో. నియమం)
⇒ AO = OC (CPCT)
మరియు ∆AOD ≅ ∆COD ……… (2) [∵ AO = OC; AD = CD; OD = OD భు.భు.భు. నియమం]
అదే విధముగా,
∆AOD ≅ ∆COB …. (3) అని నిరూపించవచ్చును.
(1), (2) మరియు (3) ల నుండి,
∆AOB ≅ ∆BOC ≅ ∆COD ≅ ∆AOD
∴ రాంబస్ కర్ణాలు రాంబను 4 సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజించును.

ప్రశ్న 3.
ABCD చతుర్భుజములో \(\angle \mathrm{C}\) మరియు \(\angle \mathrm{D}\)ల యొక్క సమద్విఖందన రేఖలు O వద్ద ఖండించుకుంటే \(\angle \mathrm{COD}\) = \(\frac {1}{2}\) (\(\angle \mathrm{A}\) + \(\angle \mathrm{B}\)) అని చూపండి.
సాధన.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 8th Lesson చతుర్భుజాలు Exercise 8.1

ప్రశ్న 1.
కింది ప్రవచనాలు ‘సత్యమో’ లేదా ‘అసత్యమో’ తెలపండి.
(i) ప్రతి సమాంతర చతుర్భుజము ఒక ట్రెపీజియం అగును.
(ii) అన్ని సమాంతర చతుర్భుజాలు, చతుర్భుజాలే.
(iii) అన్ని ట్రెపీజియమ్ లు, సమాంతర చతుర్భుజాలే.
(iv) చతురస్రము అనేది రాంబస్ అవుతుంది.
(v) ప్రతి రాంబస్ కూడా ఒక చతురస్రము.
(vi) అన్ని సమాంతర చతుర్భుజాలు, దీర్ఘచతురస్రాలే.
సాధన.
(i) సత్యము
(ii) సత్యము
(iii) అసత్యము
(iv) సత్యము
(v) అసత్యము
(vi) అసత్యము

ప్రశ్న 2.
కింది పట్టికలో చతుర్భుజ ధర్మాలు ఆయా పటాలకు వర్తిస్తే “అవును” అనీ, వర్తించకపోతే “కాదు” అనీ రాయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 3.
ABCD ట్రెపీజియంలో AB || CD, AD = BC అయితే \(\angle \mathrm{A}\) = \(\angle \mathrm{B}\) మరియు \(\angle \mathrm{C}\) = \(\angle \mathrm{D}\) అవుతాయని చూపండి.
సాధన.
ABCD ట్రెపీజియంలో AB || CD; AD = BC, DC = AE అగునట్లుగా AB పై ‘E’ బిందువును గుర్తించుము.

E మరియు C లను కలుపుము.
AECD చతుర్భుజంలో
∴ AE // DC మరియు AE = DC
∴ AECDఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
∴ AD//EC
\(\angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{CEB}\) (ఆసన్న కోణాలు) ……….. (1)
ΔCEB లో CE = CB (∵ CE = AD)
∴ \(\angle \mathrm{CEB}=\angle \mathrm{CBE}\) (సమాన భుజాలకెదురుగా వున్న కోణాలు) …….. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి,
\(\angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{CBE}\) ⇒ \(\angle \mathrm{A}\) = \(\angle \mathrm{B}\)
\(\angle \mathrm{D}\) = \(\angle \mathrm{AEC}\) (∵ సమాంతర చతుర్భుజంలోని ఎదురు కోణాలు)
= \(\angle \mathrm{ECB}+\angle \mathrm{CBE}\) [∵ ΔBCE యొక్క బాహ్య కోణము \(\angle \mathrm{AEC}\))
= \(\angle \mathrm{ECB}+\angle \mathrm{CEB}\) [∵ \(\angle \mathrm{CBE}=\angle \mathrm{CEB}\)
= \(\angle \mathrm{ECB}+\angle \mathrm{ECD}\) [∵ \(\angle \mathrm{ECD}=\angle \mathrm{CEB}\) ఏకాంతర కోణాలు]
= \(\angle \mathrm{BCD}\) = \(\angle \mathrm{C}\)
∴ \(\angle \mathrm{C}\) = \(\angle \mathrm{D}\)

ప్రశ్న 4.
చతుర్భుజములో కోణాల నిష్పత్తి 1 : 2 : 3 : 4 అయిన ప్రతీ కోణం కొలతను కనుగొనండి.
సాధన.
చతుర్భుజములోని కోణాల నిష్పత్తి = 1 : 2 : 3 : 4
కోణ నిష్పత్తుల మొత్తము = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
చతుర్భుజంలోని నాలుగు కోణాల మొత్తము = 360°
∴ మొదటి కోణ పరిమాణము = \(\frac {1}{10}\) × 360° = 36°
రెండవ కోణ పరిమాణము = \(\frac {2}{10}\) × 360° = 72°
మూడవ కోణ పరిమాణము = \(\frac {3}{10}\) × 360° = 108°
నాల్గవ కోణ పరిమాణము = \(\frac {4}{10}\) × 360° = 144°

ప్రశ్న 5.
ABCD ఒక దీర్ఘచతురస్రము AC కర్ణం అయిన ∆ACD లో కోణాలను కనుగొనండి. కారణాలు తెలపండి.
సాధన.

ABCD ఒక దీర్ఘచతురస్రము; AC ఒక కర్ణము.
∆ACD లో \(\angle \mathrm{D}\) = 90° [∵ \(\angle \mathrm{D}\) దీర్ఘచతురస్రపు ఒక కోణము]
\(\angle \mathrm{A}\) + \(\angle \mathrm{C}\) = 90° [∵ \(\angle \mathrm{D}\) = 90° ⇒ \(\angle \mathrm{A}\) + \(\angle \mathrm{C}\) = 180° – 90° = 90°]
\(\angle \mathrm{D}\) లంబకోణము మరియు \(\angle \mathrm{A}\), \(\angle \mathrm{C}\)లు పూరకాలు.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 సాంఖ్యక శాస్త్రము InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము InText Questions

కృత్యం

1. తరగతిలోని విద్యార్థులను నాలుగు బృందాలుగా విభజించి, ఒక్కొక్క బృందమునకు కింద చూపిన దత్తాంశముల సేకరణకు కేటాయించారు. (పేజీ నెం. 195).
(i) మీ తరగతిలోని అందరు విద్యార్థుల బరువులు.
(ii) ఒక్కొక్క విద్యార్థి యొక్క (సోదరులు లేక సోదరిల సంఖ్య) తోబుట్టువుల సంఖ్య,
(iii) గత మాసంలో రోజువారీగా గైరుహాజరయిన వారి సంఖ్య
(iv) తరగతిలో ప్రతి విద్యార్థి యొక్క ఇంటి నుండి పాఠశాల దూరము.

2. మీ తరగతిలోని విద్యార్థుల ఇంటి పేరులో (ఆంగ్లములో) మొదటి అక్షరాలు (Initials) సేకరించండి. అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజక పట్టిక తయారుచేసి కింది ప్రశ్నలకు జవాబులివ్వండి. (పేజీ నెం. 197)
(i) ఎక్కువ మంది విద్యార్థుల ఇంటి పేర్ల మొదటి అక్షరం ఏది ?
(ii) ఎంతమంది విద్యార్థుల ఇంటిపేర్ల మొదటి అక్షరం T ?
(iii) ఏ అక్షరం అతి తక్కువ సార్లు ఉపయోగింపబడినది ?
సాధన.
విద్యార్థి కృత్యం.

ఇవి చేయండి

1. కింది వానిలో ఏది ప్రాథమిక, ఏది గౌణ దత్తాంశము? (పేజీ నెం. 195)

ప్రశ్న (i)
2001 నుండి 2010 వరకు మీ పాఠశాలలో నమోదు కాబడిన విద్యార్థుల వివరాలు.
సాధన.
గౌణ దత్తాంశము.

ప్రశ్న (ii)
వ్యాయామ ఉపాధ్యాయుడు నమోదు చేసిన మీ తరగతిలో విద్యార్థుల ఎత్తులు.
సాధన.
ప్రాథమిక దత్తాంశము.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. అంకగణిత మధ్యమము, మధ్యగతము, బాహుళకము విడివిడిగా ఉపయోగించు సందర్భములను మూడింటిని రాయండి. (పేజీ నెం. 202)
సాధన.
సగటు :
(a) కొంతమంది విద్యార్థులకు, మధ్యాహ్న భోజనంను ఏర్పాటుచేయు సందర్భంలో
(b) తరగతిలోని విద్యార్థుల మార్కులను పోల్చు సందర్భంలో
(c) ఒక నెలలో ఒక వర్తకుడు పొందు రోజు వారీ వేతనంను లెక్కించు సందర్భంలో

మధ్యగతం :
(a) ఒక సంస్థలోని ఉద్యోగుల జీతాలను లెక్కించు సందర్భంలో
(b) ఒక తరగతిలోని బాలురు మరియు బాలికల ఎత్తును కొలుచు సందర్భంలో

బాహుళకము:
(a) ఒక నగరంలో ఎక్కువగా ఉపయోగించు ప్రయాణ సాధనాలను తెలుసుకొను సందర్భంలో
(b) ఒక షూ షాపులో ఎక్కువగా అమ్ముడుపోవు షూ సైజును లెక్కించు సందర్భంలో

2. మీ తరగతిలోని విద్యార్థులను ఎత్తుల ఆధారంగా వర్గాలుగా విభజించండి. (ఉదాహరణకు బాలురు – బాలికలు) మరియు బాహుళకమును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 208)
సాధన.
విద్యార్థి తన తరగతి గదిలో ఉన్న బాలురు – బాలలికల ఎత్తులను తీసుకొని బాహుళకమును కనుగొనండి.

3. చెప్పుల దుకాణదారు చెప్పులు కొనుగోలు చేయునపుడు ఏ కొలత చెప్పులు ఎక్కువగా ఆర్డరు చేస్తాడు ? (పేజీ నెం. 208)
సాధన.
విద్యార్థి తనకు దగ్గరలోగల చెప్పుల దుకాణంకు వెళ్ళి సమాధానం రాబట్టవలెను.

ప్రయత్నించండి (పేజీ నెం . 207)

1. 75, 21, 56, 36, 81, 05, 42 రాశుల మధ్యగతాన్ని కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన దత్తాంశమును ఆరోహణ క్రమంలో వ్రాయగా 05, 21, 36, 42, 56, 75, 81.
దత్తాంశంలోని అంశాలు = 7 (బేసి సంఖ్య)
\(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\) వ పదము = \(\frac{\mathrm{7}+1}{2}\)
\(\frac {8}{2}\) = 4వ పదము
∴ మధ్యగతము = 42

2. ఆరోహణ క్రమములో ఉన్న దత్తాంశం 7, 10, 15, x, y, 27, 30 యొక్క మధ్యగతము 17. ఈ దత్తాంశమునకు 50 అను రాశిని చేర్చగా మధ్యగతము 18 అయినచో X మరియు y లను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 207)
సాధన.
ఆరోహణ క్రమంలో వున్న దత్తాంశము
7, 10, 15, x, y, 27, 30.
దత్తాంశంలోని అంశాల సంఖ్య n = 7 (బేసి సంఖ్య)
∴ మధ్యగతము = \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\) వ పదము = \(\frac{\mathrm{7}+1}{2}\) = \(\frac {8}{2}\) = 4వ పదము
∴ శవ పదము = x = 17 (సమస్య నుండి)
ఇచ్చిన దత్తాంశమునకు 50 అను రాశిని చేర్చిన ఏర్పడు మధ్యగతము 18.
50 ను చేర్చగా ఇచ్చిన దత్తాంశము 7, 10, 15, 17,y, 27, 30, 50
దత్తాంశంలోని అంశాల సంఖ్య = n= 8 (సరి సంఖ్య)
∴ మధ్యగతము = \(\left(\frac{\left(\frac{\mathrm{n}}{2}\right)+\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right)}{2}\right)\) వ పదము = \(\left(\frac{\left(\frac{\mathrm{n}}{2}\right)+\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right)}{2}\right)\) వ పదము
18 = \(\frac{17+y}{2}\) (సమస్య నుండి)
17 + y = 36 ⇒ y = 36 – 17 = 19

3. కింది దత్తాంశమునకు మధ్యగతము కనుగొనండి.

సాధన.

మధ్యగతము = (\(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\)) వ పదము = \(\frac{\mathrm{29}+1}{2}\) = 15 వ పదము
∴ 15వ అంశము = 15 (పట్టిక నుండి)

4. అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము యొక్క మధ్యగతంను కనుగొనునప్పుడు క్రమంలో వ్రాయవలెను. ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 208)
సాధన.
అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము యొక్క మధ్యగతంను కనుగొనునప్పుడు దత్తాంతంను ఆరోహణ / అవరోహణ క్రమంలో వ్రాయవలెను. ఎందుకనగా ఆ దత్తాంశంను సరిగ్గా సమ భాగముగా విభజించాలి కావున.

ఉదాహరణలు

1. గణిత పరీక్షలో 50 మంది విద్యార్థులు పొందిన మార్కులు ఈ విధంగా ఇవ్వబడ్డాయి.
5, 8, 6, 4, 2, 3, 4, 9, 10, 2, 1, 1, 3, 4, 5, 8, 6, 7, 10, 21, 1, 3, 4, 4, 5, 8, 6, 7, 10, 2, 8, 6, 4, 2, 5, 4, 9, 10, 2, 1, 1, 3, 4, 5 8, 6, 4, 5, 8 (పేజీ నెం. 196)
సాధన.

దత్తాంశమునకు గణన చిహ్నాలు ఉపయోగించి పట్టికలో చూపబడినది. ఒక మార్కును సాధించిన మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్యను ఆ మార్కు యొక్క పౌనఃపున్యం అందురు. ఉదాహరణకు 4 మార్కులు సాధించిన విద్యార్థుల సంఖ్య 9, అంటే 4 మార్కుల యొక్క పౌనఃపున్యము 9. ఈ పట్టికలోని గణన చిహ్నాలు ముడి దత్తాంశములోని రాశులను పోల్చి లెక్కించుటకు ఉపయోగపడతాయి.

పట్టికలోని అన్ని పౌనఃపున్యముల మొత్తము దత్తాంశములోని రాశుల మొత్తమును సూచిస్తుంది. ఈ విధంగా దత్తాంశములోని అన్ని విభిన్న రాశు లను పౌనఃపున్యములతో సూచించు పట్టికను ‘అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక’ లేక ‘రాశుల భారత్వ పట్టిక’ అంటారు.

2. ఒక బుట్టలోని 50 నారింజ పండ విడి విడి బరువులు (గ్రాములలో) కింది ఇవ్వబడ్డాయి. (పేజీ నెం. 197)
35, 45, 56, 50, 30, 110, 95, 40, 70, 100, 60, 80, 85, 60, 52, 95, 98, 35, 47, 45, 105, 90, 30, 50, 75, 95, 85, 80, 35, 45, 40, 50, 60, 65, 55, 45, 30, 90, 115, 65, 60, 40, 100, 55, 75, 110, 85, 95, 55, 50.
సాధన.
దత్తాంశములోని రాశులను ఒక్కసారిగా ప్రదర్శించుటకు, సమగ్రంగా, సులభంగా అర్థం చేసుకొనుటకు అనువుగా రావు లన్నింటిని తరగతులు, 30 – 39, 40 – 49, 50 – 59, ….. 100 – 109, 110 – 109 గా విభజిస్తాం . ఈ చిన్నచిన్న వర్గములను లేదా సమూహములను తరగతులు అంటారు. ఒక్కొక్క తరగతి యొక్క పరిమాణమును తరగతి పొడవు’ లేక ‘తరగతి వెడల్పు’ అంటారు. ఉదాహరణకు తరగతి 30 – 39 లో 30ను ‘దిగువ అవధి’ అని, 39ను ‘ఎగువ అవధి’ అని అంటారు. ఈ తరగతి పొడవు 10 (దిగువ, ఎగువ అవధులతో సహా).

దత్తాంశములోని రాశులను చిన్న చిన్న వర్గములుగా విభజించి పౌనఃపున్యములతో సూచించు పట్టికను ‘వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక’ అంటారు. ఇది దత్తాంశమును సమగ్రంగా, సంక్షిప్తంగా ప్రదర్శించి అర్థం చేసుకోవడం సులభతరం చేస్తుంది.

పై పౌనఃపున్య విభాజనములోని తరగతులు ఒకదానిపై ఒకటి అతిపాతం చెందుట లేదు అనగా ఏ విలువ రెండు తరగతులలో పునరావృతం కాదు. ఈ తరగతులను సమ్మిళిత తరగతులు అంటాం.

ఏ దత్తాంశములో అయినా ఎక్కువ తరగతి పొడవుతో తరగతి హద్దులు తక్కువ తరగతులకు లేక తక్కువ తరగతి పొడవుతో తక్కువ తరగతులను ఏర్పాటు చేసుకొనవచ్చును. కానీ తరగతులు మాత్రం ఒకదానిపై ఒకటి అతిపాతం చెందకూడదు. సామాన్యంగా మొదట దత్తాంశపు వ్యాప్తి (వ్యాప్తి = గరిష్ట దత్తాంశపు విలువ – కనిష్ఠ దత్తాంశపు విలువ) ని కనుగొందురు. వ్యాప్తిని ఉపయోగించి తరగతి పొడవు మరియు తరగతుల సంఖ్యను నిర్ణయింతురు. ఉదాహరణకు 30 – 35, 36 – 40, …. గా విభజింపవచ్చును.

పై దత్తాంశంలో ఒక నారింజపండు భారము 39.5 గ్రా. అయినచో ఆ విలువను ఏ తరగతికి చేర్చవలెను? 30 – 39 తరగతిలోనా లేక 40 – 49 తరగతిలోనా ?

ఇటువంటి సందర్భములలో తరగతుల యొక్క నిజ అవధులు లేక హద్దులు సహాయపడతాయి. ఒక తరగతి యొక్క ఎగువ అవధి, తరువాత తరగతి యొక్క దిగువ అవధుల సరాసరిని ఆ తరగతి యొక్క ఎగువ హద్దు అంటారు. అదే విలువ తరువాత తరగతి యొక్క దిగువ హద్దు అవుతుంది. ఇదే విధంగా అన్ని తరగతుల యొక్క హద్దులను రాయవచ్చు. మొదటి తరగతికి ముందు ఒక తరగతి ఊహించుకోవడం ద్వారా మొదటి తరగతి దిగువ హద్దును, అట్లే చివరి తరగతికి తరువాత ఒక తరగతిని ఊహించటం ద్వారా చివరి తరగతి యొక్క ఎగువ హద్దును లెక్కించవచ్చును.

హద్దులు ఏర్పరచిన తరువాత కూడా 39.5 ను ఏ తరగతిలో అనగా 29.5 – 39.5 లేక 39.5 – 49.5 చేర్చవలెననే సంశయము ఏర్పడుతుంది. సాంప్రదాయకంగా తరగతి యొక్క ఎగువహద్దు ఆ తరగతికి చెందదు అని గ్రహించవలెను. కావున 39,5 రాశి 39.5 – 49.5 తరగతికి చెందుతుంది.

30 – 40, 40 – 50, 50 – 60, … తరగతులు ఒక దానిపై ఒకటి అతిపాతం చెందుతాయి. ఈ తరగతులను ‘మినహాయింపు తరగతులు’ అంటారు. సమ్మిళిత తరగతుల హద్దులలో మినహాయింపు తరగతులు ఏర్పడుట గమనించవచ్చు. ఒక తరగతి ఎగువ మరియు దిగువ హద్దుల భేదము ఆ తరగతి అంతరము. కావున 90-99 తరగతి అంతరము 10.

3. సెప్టెంబరు నెలలో ఒక నగరము యొక్క సాపేక్ష అర్థత (శాతములలో) విలువలు కింది విధంగా ఇవ్వబడ్డాయి. (ఎందుకనగా 99.5 – 89.5 = 10) (పేజీ నెం. 199)

(i) 84 – 86, 86 – 88, …… తరగతి అంతరాలతో వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమును నిర్మించండి. .
(ii) దత్తాంశము వ్యాప్తి ఎంత ?
సాధన.
(i) ఇచ్చిన తరగతులతో గణన చిహ్నాల సహాయంతో నిర్మింపబడిన వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము.

(సూచన : దత్తాంశము 90; 90 – 92 తరగతికి 96; 96 – 98 తరగతికి చెందును.)
(ii) దత్తాంశము యొక్క వ్యాప్తి = గరిష్ట విలువ – కనిష్ఠ విలువ
= 99.2 – 84.9 = 14.3

4. ఒక వారము ఒక పట్టణపు వర్షపాతము 4 సెం.మీ., 5 సెం.మీ., 12 సెం.మీ., 3 సెం.మీ., 6 సెం.మీ., 8 సెం.మీ., 0.5 సెం.మీ. అని రికార్డు చేయబడినది. అయిన దినసరి సరాసరి వర్షపాతమెంత? (పేజీ నెం. 203)
సాధన.
వారంలో రోజువారీ వర్షపాతము (సెం.మీ.) = 4.5 సెం.మీ., 5 సెం.మీ., 12 సెం.మీ., 3 సెం.మీ., 6 సెం.మీ., 8 సెం.మీ., 0.5 సెం.మీ.
దత్తాంశములోని రాశుల సంఖ్య n = 7
అంకగణిత మధ్యమము \(\overline{\mathbf{x}}=\frac{\Sigma \mathbf{x}_{\mathbf{i}}}{\mathrm{n}}=\frac{\mathbf{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}+\ldots \ldots \mathrm{x}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}\), x₁, x₂, …… x_n రాశులు.
మరియు \(\overline{\mathrm{X}}\) వాటి సగటు = \(\frac{4+5+12+3+6+8+0.5}{7}=\frac{38.5}{7}\) = 5.5 సెం.మీ.

5. 10, 12, 18, 13 P మరియు 17 ల సరాసరి 15 అయిన P విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 204)
సాధన.
సరాసరి \(\overline{\mathbf{x}}=\frac{\Sigma \mathbf{x}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{n}}\)
15 = \(\frac{10+12+18+13+P+17}{6}\)
90 = 70 + P
P = 90 – 70 = 20

6. కింది పౌనఃపున్య విభాజనమునకు అంకగణితమధ్యమం కనుగొనండి (పేజీ నెం. 205)

సాధన.

సోపానం – 1 : ప్రతి వరుసలో f_i × x_i కనుగొనుము.
సోపానం – 2 : పౌనఃపున్యముల మొత్తం (Σf_i)
మరియు f_i × x_i లబ్ధముల మొత్తం (Σf_ix_i) లను కనుగొనుము,

సోపానం – 3 : అంకగణితమధ్యమము
\(\overline{\mathrm{X}}\) = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}=\frac{755}{50}\) = 15.1

7. కింది పౌనఃపున్య విభాజనము యొక్క అంకగణిత మధ్యమం 7.5 అయిన, ‘A’ విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 205)

సాధన.

పౌనఃపున్యముల మొత్తం (Σf_i) = 42 + A
రాశుల మొత్తం f_i × x_i(Σf_ix_i) = 306 + 8A
అంకగణిత మధ్యమం \(\overline{\mathrm{x}}\) = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)
ఇచ్చిన విలువ ప్రకారం = 7.5
కావున 7.5 = \(\frac {306 + 8A}{42 + A}\)
306 + 8A = 315 + 7.5 A
8A – 7.5A = 315 – 306
0.5A = 9
A = 18

8. కింది అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమునకు అంకగణిత మధ్యమము కనుగొనండి. (పేజీ నెం.206)

సాధన.

(i) సాధారణ పద్ధతి :
అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనపు సగటుకు కింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి.
\(\bar{x}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{7} \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\sum_{\mathrm{i}=1}^{7} \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}=\frac{622}{40}\) = 15.55

(ii) విచలన పద్దతి:

ఈ పద్ధతిలో దత్తాంశములోని ఏదైనా ఒకరాశిని ఊహించిన అంకగణిత మధ్యమంగా గుర్తించి అంకగణిత మధ్యమం కనుగొంటారు. ఈ దత్తాంశమునకు ఊహించిన అంకగణిత మధ్యమం A = 16 అనుకొని పట్టికను పూరించగా …..
పౌనఃపున్యముల మొత్తం = 40
విచలనముల f_i × d_i లబ్దాల మొత్తం = – 60 + 42.
Σf_id_i = – 18
అంకగణిత మధ్యమం \(\overline{\mathrm{X}}\) = A + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{d}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) = 16 + \(\frac {-18}{40}\)
= 16 – 0.45
= 15.55

9. కింద ఒక రోజు దుకాణదారుడు అమ్మిన పాదరక్షల సైజు నంబర్లు ఇవ్వబడినవి. బాహుళకము కనుగొనండి. 6, 7, 8, 9, 10, 6, 7, 10, 7, 6, 7, 9, 7, 6 (పేజీ నెం. 208)
సాధన.
దత్తాంశ రాశులను ఆరోహణ క్రమంలో రాయగా 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 10 లేక పౌనఃపున్య విభాజనము రాయగా

ఇచ్చట 7 అను సంఖ్య 5 సార్లు వచ్చింది.
∴ దత్తాంశము యొక్క బాహుళకము = 7.

10. 100 మార్కులకు నిర్వహించిన పరీక్షలో 20 మంది విద్యార్థుల మార్కులు
93, 84, 97, 98, 1000, 78, 86, 100, 85, 92, 55, 91, 90, 75, 94, 83, 60, 81, 95
(a) 91 – 100, 81 – 90 ……… తరగతులతో పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక తయారుచేయండి.
(b) బాహుళక తరగతిని గుర్తించండి. (అత్యధిక పౌనఃపున్యం గల తరగతిని ‘బాహుళక తరగతి’ అంటారు)
(c) మధ్యగతపు తరగతులను గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 209)
సాధన.
(a)

(b) గరిష్ఠ పౌనఃపున్యాలు ‘9’ గల తరగతి 91 – 100 కావున ఇదే బాహుళకపు తరగతి.
(c) 20 లో మధ్య మరాశి 10.
దత్తాంశములోని రాశులను ఆరోహణ లేక అవరోహణ క్రమములో ఎట్లు లెక్కించును 10వ రాశి 81 – 90 తరగతిలో గలదు. కావున 81 – 90ను మధ్యగత తరగతి అంటారు.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 సాంఖ్యక శాస్త్రము Ex 9.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము Exercise 9.2

ప్రశ్న 1.
ఒక సరుకుల రవాణా కార్యాలయంలోని పార్సిక్ష ఇరువులు కింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి. ఒక్కొక్క పార్సిలు యొక్క సరాసరి బరువెంత?

సాధన.

\(\overline{\mathrm{X}}\) = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}=\frac{17000}{200}=\frac{170}{2}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) = 85
∴ సగటు = 85

ప్రశ్న 2.
ఒక గ్రామములోని ప్రతి కుటుంబములో గల పిల్లల వివరాలు కింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి. ఒక్కొక్క కుటుంబములోని సరాసరి పిల్లల సంఖ్య కనుగొనండి.

సాధన.

\(\overline{\mathrm{X}}\) = \(\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{144}{84}\)
∴ సగటు = 1.714285

ప్రశ్న 3.
కింది పౌనఃపున్య విభాజనము యొక్క సరాసరి 7.2 అయిన ‘K’ విలువను కనుగొనండి.

సాధన.

Σf_i = 40 + k, Σf_ix_i = 260 + 10k
ఇచ్చిన సగటు \(\overline{\mathrm{X}}\) = 7.2
కాని సగటు \(\overline{\mathrm{X}}\) = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathbf{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}[latex]
7.2 = [latex]\frac{260+10 k}{40+k}\)
288.0 + 7.2k = 260 + 10k
10k – 7.2k = 288 – 260
2.8k = 28
k = \(\frac {28}{2.8}\) = 10

ప్రశ్న 4.
భారతదేశ జన గణన ప్రకారం గ్రామములు, జనాభా వివరాలు కింది విధంగా ఇవ్వబడ్డాయి. (జనాభా దగ్గర వేలకు సవరించబడినది) ఒక్కొక్క గ్రామం యొక్క సరాసరి జనాభా ఎంత ?

సాధన.

Σf_i = 145 Σf_ix_i = 2571 వేలు
∴ సగటు \(\overline{\mathrm{X}}\) = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}=\frac{2571}{145}\) = 17.731 వేలు

ప్రశ్న 5.
AFLATOUN అనే సాంఘిక, ఆర్థిక విద్యావిషయక సంస్థ హైదరాబాదు జిల్లాలోని ఉన్నత పాఠశాలల విద్యార్థులచే పొదుపు కార్యక్రమమును ప్రారంభించింది. మండలాలవారీగా ఒక్క నెలలో పొదుపు చేయబడిన మొత్తాలు ఇవ్వబడ్డాయి.

ఒక్కొక్క మండలంలో పాఠశాలవారీ సరాసరి పొదుపు మొత్తమెంత ? జిల్లా మొత్తంమీద పాఠశాల సరాసరి పొదుపు ఎంత ?
సాధన.

Σf_i = 33 Σf_ix_i = 14652
∴ సగటు = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)
\(\overline{\mathrm{X}}\) =\(\frac{14652}{33}\) = ₹444

ప్రశ్న 6.
ఒక పాఠశాలలోని 9వ తరగతి బాల బాలికల ఎత్తుల వివరాలు ఈ విధంగా ఉన్నవి.

బాల బాలికల ఎత్తులను పోల్చండి.
సూచన : బాలబాలికల మధ్యగత ఎత్తును కనుగొనండి.]
సాధన.

బాలుర మధ్యగత తరగతి = \(\frac{37+1}{2}=\frac{38}{2}\) = 19 వ అంశము
∴ బాలుర యొక్క ఎత్తు = 147 సెం.మీ.
బాలికల మధ్యగత తరగతి = \(\frac{29+1}{2}=\frac{30}{2}\) = 15వ అంశము
∴ బాలికల యొక్క ఎత్తు = 152 సెం.మీ.

ప్రశ్న 7.
ప్రపంచ క్రికెట్ ఆటగాళ్లలో శతకాలు (100 పరుగులు) చేసిన వారి సంఖ్యలు కింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి.

ఈ దత్తాంశమునకు సరాసరి, మధ్యగతము, బాహుళకములను కనుగొనండి.
సాధన.

N = Σf_i = 139 Σf_ix_i = 1555
సగటు \(\overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}=\frac{1555}{139}\) = 11.187
మధ్యగతము = (\(\frac {N}{2}\) + 1) వ పదం \(\frac{139+1}{2}=\frac{140}{2}\) = 70వ పదం = 10 బాహుళకము = 5

ప్రశ్న 8.
కొత్త సంవత్సరాది సందర్భముగా ఒక మిఠాయి దుకాణం వారు మిఠాయి పొట్లాలను సిద్ధపరుచుచున్నారు. ఒక్కొక్క మీఠాయి పొట్లాం ధర, సిద్ధపరచిన పొట్లాల సంఖ్యలు కింది పౌనఃపున్య విభాజనములో ఇవ్వబడ్డాయి.

పై దత్తాంశమునకు అంకగణిత మధ్యమము, మధ్యగతము, బాహుళకములు కనుగొనండి.
సాధన.

N = Σf_i = 150 Σf_ix_i = 12000
సగటు = \(\overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}=\frac{12000}{150}\) = 80
మధ్యగతము = (\(\frac{N}{2}\) మరియు \(\frac{N}{2}\) + 1) ల సగటు = 75 మరియు 76 అంశాల సగటు = 75 బాహుళకం = 50

ప్రశ్న 9.
ముగ్గురు విద్యార్థుల సగటు బరువు 40 కి.గ్రా. వారిలో రంగా బరువు 46 8.గ్రా, మరియు మిగిలిన ఇద్దరు విద్యార్థులు రహీమ్, రేష్మాల బరువులు సమానం అయిన రహీమ్ బరువు ఎంత ?
సాధన.
రంగా బరువు = 46 కి.గ్రా.
రేష్మా బరువు = రహీమ్ బరువు = x కి.గ్రా. అనుకొనుము.
సగటు = విద్యార్ధుల బరువుల మొత్తం / విద్యార్థుల సంఖ్య = 40కి.గ్రా.
∴ 40 = \(\frac {46+x+x}{3}\)
40 × 3 = 46 + 2x
120 – 46 = 2x
2x = 74
∴ x = \(\frac {74}{2}\) = 37
∴ రహీమ్ బరువు = 37 కి.గ్రా.

ప్రశ్న 10.
ఒక ఉన్నత పాఠశాలలోని వివిధ తరగతుల విద్యార్థులు ఒక అనాథశరణాలయంనకు ఇచ్చిన విరాళములు (రూపాయలలో) కింది విధంగా ఉన్నవి.

ఈ వివరాలకు అంకగణిత మధ్యమము, మధ్యగతము, బాహుళకములు కనుగొనండి.
సాధన.

సగటు \(\overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}=\frac{900}{80}\) = 11.25
మధ్యగతము = (\(\frac{N}{2}\) మరియు \(\frac{N}{2}\) + 1) ల సగటు = \(\frac{80}{2}\), (\(\frac{80}{2}\) + 1) అంశాల సగటు
= 40 మరియు 41 అంశాల సగటు = ₹10
∴ ఈ బాహుళకము = ₹10

ప్రశ్న 11.
నాలుగు సంఖ్యలలో మొదటి రెండింటి సరాసరి 4, మొదటి మూడింటి సరాసరి కి, అన్నింటి సరాసరి 15 మరియు ఆ సంఖ్యలలో ఒకటి 2 అయిన మిగిలిన సంఖ్యలను కనుగొనుము.
సాధన.
సాధారణముగా సగటు = రాశుల మొత్తము / రాశుల సంఖ్య
దత్తాంశము 4 సంఖ్యల సగటు = 15 ⇒ 4 సంఖ్యల మొత్తము = 15 × 4 = 60
మొదటి 3 సంఖ్యల సగటు = 9 ⇒ మొదటి 3 సంఖ్యల మొత్తము = 9 × 3 = 27
మొదటి 2 సంఖ్యల సగటు = 4 ⇒ మొదటి 2 సంఖ్యల సగటు = 4 × 2 = 8
నాల్గవ సంఖ్య = నాలుగు సంఖ్యల మొత్తం-మూడు సంఖ్యల మొత్తం = 60 – 27 = 33
మూడవ సంఖ్య = మూడు సంఖ్యల మొత్తం – రెండు సంఖ్యల మొత్తం = 27 – 8 = 19
రెండవ సంఖ్య = రెండు సంఖ్యల మొత్తం – ఇచ్చిన సంఖ్య = 8 – 2 = 6
∴ మిగిలిన మూడు సంఖ్యలు = 6, 19, 33

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 సాంఖ్యక శాస్త్రము Ex 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 9th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రము Exercise 9.1

ప్రశ్న 1.
కింది పౌనఃపున్య విభాజనము నుండి రాశులు, వాని పౌనఃపున్యములు గల పట్టిక తయారుచేయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 2.
9వ తరగతిలోని 36 మంది యొక్క రక్తం గ్రూపులు ఈ విధంగా ఉన్నవి.

ఈ దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను తయారుచేయండి. అతి సామాన్యమైన గ్రూపు ఏది ? అరుదైన గ్రూపు ఏది ?
సాధన.

పట్టిక నుంచి ‘O’ సామాన్య గ్రూపు మరియు ‘AB’ అరుదైన గ్రూపు.

ప్రశ్న 3.
ఒక్కొక్కసాగికి మూడు నాణెముల చొప్పున 30 సార్లు ఎగురవేసి ఒక్కొక్కసారికి పడిన బొమ్మలను లెక్కించడం కింది విధంగా ఉంది.

దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక తయారుచేయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 4.
ఒక టి.వి. ఛానల్ వారు ధూమపాన నిషేధముపై SMS (సంక్షిప్త సందేశాలు) అభిప్రాయములను ఆహ్వానించిరి. ఇచ్చిన ఐచ్ఛికములు, A – పూర్తి నిషేధము, B – బహిరంగ ప్రదేశములలో నిషేధము, C – నిషేధము అవసరం లేదు. అని ఇవ్వగా SMS సమాధానములు ఇట్లున్నవి:

దత్తాంశమునకు వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము తయారుచేయండి. సరియైన SMS సమాధానములు ఎన్ని ? వానిలో అధిక సంఖ్యాకుల అభిప్రాయము ఏది ?
సాధన.

మొత్తం వచ్చిన సమాధానములు = 19 + 36 + 10 = 65
అధిక సంఖ్యాకుల అభిప్రాయము = B.

ప్రశ్న 5.
కింది కమ్మీ రేఖాచిత్రము నుండి పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను రాయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 6.
కింది పటంలో ఇవ్వబడిన సోపాన రేఖాచిత్రము నుండి పౌనఃపున్య విభాజనమును తయారుచేయండి. రేఖాచిత్రములో ఉపయోగించిన (అక్షములపై) స్కేలును తెల్పండి.

సాధన.
పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక :

తరగతి	విద్యార్థుల సంఖ్య
I	40
II	55
III	65
IV	30
V	15

స్కేలు : X – అక్షం : 1 సెం.మీ. = 1 తరగతి అంతరం
Y – అక్షం : 1 సెం.మీ. = 10 మంది విద్యార్థులు

ప్రశ్న 7.
75 మార్కులకు రాయబడిన పరీక్షలో 30 మంది విద్యార్థులు సాధించిన మార్కులు ఇవ్వబడ్డాయి.
42, 21, 50, 37, 42, 37, 38, 42, 49, 52, 38, 53, 57, 47, 29, 59, 61, 33, 17, 17, 39, 44, 42, 39, 14, 7, 27, 19, 54,51. ఈ దత్తాంశమునకు సమాన తరగతులతో (0-10, 10-20 ….) పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక తయారుచేయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 8.
ఒక వీధిలోని 25 ఇండ్ల యొక్క నెలవారి విద్యుత్ వినియోగపు బిల్లులు (రూపాయలలో) ఇవ్వబడ్డాయి. తరగతి పొడవు రూ. 75 ఉందునట్లుగా ఈ దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక తయారుచేయండి.
170, 212,252, 225, 310,712,412, 425, 322, 325, 192, 198, 230, 320,412,530, 602, 724, 370, 402, 317,403, 405, 372,413.
సాధన.
పరిశీలనాంశాలలో కనిష్ఠ విలువ = 170
పరిశీలనాంశాలలో గరిష్ఠ విలువ = 724

ప్రశ్న 9.
ఒక సంస్థవారు తయారుచేసిన కారు బ్యాటరీలలో 40 బ్యాటరీల జీవిత కాలం (సంవత్సరాలలో) కింది విధంగా నమోదు చేసారు.

పై దత్తాంశమునకు మినహాయింపు తరగతులలో పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక తయారుచేయండి. తరగతి అంతరం 0.5 గా తీసుకొని 2-2.5 తరగతితో ప్రారంభించండి.
సాధన.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు InText Questions

ప్రయత్నించండి

1. ‘l’ సెం.మీ. పొడవైన భుజం గల ఒక ఘనమును తీసుకోండి. ముందు కృత్యములో దీర్ఘమనమును కత్తిరించిన విధంగానే చేసి దాని యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యమును, సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం.216)
సాధన.

‘l’ సెం.మీ. భుజం గల ఒక ఘనమును కత్తిరించి, తెరచిన పైన పటంలో చూపిన విధంగా ఏర్పడును.
పటంలో A, B, C, D, E, F అను ‘l’ భుజంగా గల చతురస్రములు కలవు.
తలాలు A, C, D, F లు ఘనము యొక్క ప్రక్క తలాలను తెలియజేయుచున్నవి.
∴ ఘనపు ప్రక్కతల వైశాల్యము = 4l² చ.యూ.
మొత్తం ఆరు తలాలు కలిసి ఘనమును ఏర్పరచును.
∴ ఘనపు సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 6l² చ.యూ.

2. (a) ‘a’భుజముగా గల ఘనము యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం.217)

సాధన.
a భుజముగా గల ఘనము యొక్క ఘనపరిమాణము
V = భుజము³ = a³ ఘ. యూనిట్లు.

(b) అదే విధముగా ఒక ఘనము ఘనపరిమాణం 1000 ఘనపు సెంటీమీటర్లు అయితే దాని యొక్క భుజమును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం.217)
సాధన.
ఘనపరిమాణం = V = భుజము³
= 10 × 10 × 10 = 10³
∴ భూజము = 10 సెం.మీ.

3. స్థూపము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము మారకుండా దానియొక్క వ్యాసార్ధమును రెట్టింపు చేస్తే దాని ఎత్తులో కలిగే మార్పు ఎంత ? (పేజీ నెం. 225)
సాధన.
మొదటి స్థూపపు వ్యాసార్ధము మరియు ఎత్తులు వరుసగా r మరియు h అనుకొనుము.
ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2πrh
స్టూప వ్యాసార్థం రెట్టింపయిన, ప్రక్కతల వైశాల్యములో మార్పు లేకుండా ఉంటే దాని ఎత్తు h₁ అనుకొనుము.
కొత్త ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2πrh
= 2π (2r) (h₁)
⇒ 2πrh = 4πrh₁
∴ h₁ = \(\frac {2πrh}{4πr}\) = \(\frac {1}{2}\)h
∴ ఎత్తు, అసలు ఎత్తులో సగము ఉండును.

4. వాటర్ హీటరు యొక్క స్థూపాకార పైపు యొక్క పొడవు 14 మీటర్లు మరియు వ్యాసము 5 సెం.మీ. అయితే నీటిని వేడిచేసే ఈ హీటరు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం.225)
సాధన.
వ్యాసార్ధము (r) = వ్యాసము / 2 = \(\frac {5}{2}\) = 2.5 సెం.మీ.
పైపు పొడవు = ఎత్తు = 14 మీ.
హీటరు సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 2.5 × (2.5 + 14)
= \(\frac {110}{7}\) × 16.5 = \(\frac {1815}{7}\)
= 259.29 సెం.మీ.³

5. ‘r’ వ్యాసార్ధము, ‘l’ చాపము పొడవు గల సెక్టరును వృత్తాకార కాగితం నుండి కత్తిరించి శంఖువుగా తయారుచేయుము. శంఖువు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం A = πrl ను ఏ విధంగా ఉత్పాదిస్తావో చెప్పుము. (పేజీ నెం. 228)

సాధన.
వ్యాసార్థం ‘r’ మరియు చాపము పొడవు ‘l’ గా గల సెక్టరును వృత్తాకార కాగితం నుండి కత్తిరించి శంఖువుగా మార్చగా వ్యాసార్థం ‘r’, ఏటవాలు ఎత్తు ‘l’ గా మరియు చాపం పొడవు ‘l’ భూ చుట్టుకొలత 2πr గా మారును.
సెక్టరు వైశాల్యము = \(\frac {lr}{2}\) = శంఖువు వైశాల్యం

= \(\frac {2πrl}{2}\) = శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యము = πrl

6. గోళం ఉపరితల వైశాల్యాన్ని మీరు ఇంకేదైనా పద్ధతిలో కనుగొనగలరా ? (పేజీ నెం. 235)
సాధన.

గోళం ఉపరితల వైశాల్యానికి సూత్రంను కనుగొనుటకు గోళమును సర్వసమాన పిరమిడ్ యొక్క భూములన్నీ గోళ ఉపరితలాన్ని ఆక్రమిస్తున్నాయని ఊహించిన ఆ పటంపైన చూపబడినట్లుగా ఏర్పడును.
పై పటంలో అటువంటి ఒక పిరమిడను చూపటము జరిగినది. పిరమిడ్ యొక్క వైశాల్యంకు, ఘనపరిమాణంకు గల నిష్పత్తిని తీసుకొనగా,
పిరమిడ్ వైశాల్యం A.
పిరమిడ్ ఘనపరిమాణం V = (1/3) × A × r = (A × r) / 3
∴ పిరమిడ్ యొక్క వైశాల్యం, ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి A/V= A + (A × r) / 3 = (3 × A) / (A × r) = 3 / r
ఆ గోళమును n సర్వసమాన పిరమిడ్లుగా విభజించిన భూమిని అనుకొనుము.
n పిరమిడ్ యొక్క మొత్తం వైశాల్యం = n × A.
అదే విధంగా , పిరమిడ్ యొక్క మొత్తం ఘనపరిమాణము = n × V.
∴ గోళము యొక్క n పిరమిడ్ల యొక్క వైశాల్యాల మొత్తంకు, ఘనపరిమాణాల మొత్తంకు గల నిష్పత్తి = n × A / n × V = A / V
మనకు ముందుగానే A / V = 3 / r అనుకున్నాము
కావున, n × A_{పిరమిడ్} = A_గోళం
n × V_{పిరమిడ్} = V_గోళం (అన్ని పిరమిడ్ల వైశాల్యాలు (లేక) ఘనపరిమాణాలు, వరుసగా గోళము యొక్క ఉపరితల వైశాల్యంకు లేక ఘనపరిమాణంకు సమానము)
పై పరిశీలనల నుండి,

∴ గోళం యొక్క సంపూర్ణ ఉపరితల వైశాల్యం 4πr² అగును.

ఇవి చేయండి

1. 4 సెం.మీ. భుజముగా గల ఘనము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యమును, సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 216)

సాధన.
భుజము l = 4 సెం.మీ.
∴ ఘనము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = 4l²
= 4 × 4² = 4³ = 64 సెం.మీ².
∴ ఘనము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము
= 6l² = 6 × 4² = 6 × 16 = 96 సెం.మీ².

2. ఒక ఘనము యొక్క భుజమును 50% పెంచితే ఎంత శాతము దాని యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము పెరుగుతుంది ? (పేజీ నెం. 216)
సాధన.
ఘనపు భుజము = x యూనిట్లు అనుకొనుము.
ఘనము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 6l²
= 6x²చ, యూ.
కొత్త భుజము = x + xలో 50% = x + \(\frac {50x}{100}\) = x + \(\frac{x}{2}=\frac{3 x}{2}\)
కొత్త సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 6l²
= \(6\left(\frac{3 x}{2}\right)^{2}=6 \times \frac{9 x^{2}}{4}=\frac{27 x^{2}}{2}\)
వైశాల్యంలో పెరుగుదల = \(\frac{27 \mathrm{x}^{2}}{2}\) – 6x²
= \(\left(\frac{27-12}{2}\right) x^{2}=\frac{15}{2} x^{2}\)
∴ వైశాల్యంలో పెరుగుదల శాతము
= వైశాల్యంలో పెరుగుదల / అసలు వైశాల్యము × 100

ఇక్కడ x = పెరుగుదల / తగ్గుదల

3. ఒక దీర్ఘఘనం యొక్క పొడవు, వెడల్పు చురియు ఎత్తు విలువలు l = 12 సెం.మీ., b = 10 సెం.మీ. మరియు h= 8 సెం.మీ. అయిన ఆ దీర్ఘఘన ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 218)
సాధన.
దీర్ఘఘనపు పొడవు (l) = 12 సెం.మీ., వెడల్పు
(b) = 10 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు (b) = 8 సెం.మీ.
ఘనపరిమాణం V = lbh = 12 × 10 × 8
= 960 ఘ. సెం.మీ.

4. భుజం 10 సెం.మీ.గా గల సమఘనము యొక్క ఘనపరిమాణము కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 218)
సాధన.
ఘనపరిమాణము V = l³ = 10 × 10 × 10
= 1000 ఘ. సెం.మీ.

5. పటంలో చూపబడిన లంబకోణ సమద్విబాహం త్రిభుజాకార పట్టకము యొక్క ఘనపరిమాణము కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 218)

సాధన.
పట్టక ఘనపరిమాణము = పట్టక భూ వైశాల్యం × ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\) × 5 × 5 × 8
= 25 × 4
= 100 ఘ. సెం.మీ.

6. 10 సెం.మీ. భుజము కలిగిన చతురస్రాకార భూమి మరియు 8 సెం.మీ. ఎత్తు కలిగిన పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణము కనుక్కోంది. (పేజీ నెం. 219)
సాధన.
పిరమిడ్ ఘనపరిమాణము
= \(\frac {1}{3}\) × భూ వైశాల్యం × ఎత్తు
= \(\frac {1}{3}\) × 10 × 10 × 8 = \(\frac {800}{3}\) సెం.మీ.³
= 266.67 సెం.మీ³.

7. సమఘనము యొక్క ఘనపరిమాణము 1200 ఘనపు సెంటీమీటర్లు. సమఘనపు ఎత్తుతో సమాన ఎత్తు కలిగిన చతురస్రాకార పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 219)
సాధన.
చతుర రార పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణం
= \(\frac {1}{3}\) × సమఘన ఘనపరిమాణము
= \(\frac {1}{3}\) × 1200 = 400 ఘ. సెం.మీ.

8. క్రింది పటములో చూపబడిన స్థూపము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యంను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 221)

ప్రశ్న (i)
r = x సెం.మీ.; h = yసెం.మీ.
సాధన.
స్థూపపు ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh .
= 2πxy సెం.మీ.²

ప్రశ్న (ii)
d = 7 సెం.మీ.; h = 10 సెం.మీ.
సాధన.

స్థూపపు ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × \(\frac {7}{2}\) × 10
= 220 సెం.మీ.²

ప్రశ్న (iii)
r = 3 సెం.మీ.; b = 14 సెం.మీ.
సాధన.

స్థూపపు ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 3 × 14
= 264 సెం.మీ.²

9. ఈ కింది స్థూపముల యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 222)

సాధన.
(i) r = 7 సెం.మీ. ; h = 10 సెం.మీ.
స్థూపపు సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 (7 + 10)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 17
= 748 చ.సెం.మీ.

(ii) స్థూపం భూ వైశాల్యం = 250 చ.సెం.మీ. .
h = 7 సెం.మీ. ; πr² = 250 సెం.మీ.
πr² = 250 ⇒ \(\frac {22}{7}\) × r² = 250
⇒ r² = 125 × \(\frac {7}{11}\)
∴ r = \(\sqrt{\frac{875}{11}}\)
r = 8.9 సెం.మీ.
స్థూపపు సంపూర్ణతల వైశాల్యము =
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 8.9 (8.9 + 7)
= \(\frac{44 \times 8.9 \times 15.9}{7}=\frac{6226.44}{7}\)
= 889.50 (సుమారుగా)

10. ఒక లంబకోణ త్రిభుజాన్ని తీసుకోంది/ కత్తిరించండి. పటంలో చూపినట్లు దానికి ఒక సన్నని వెదురుషుల్లను లంబాకార భుజమును అతికించండి. కర్రయొక్క రెండు వైపులను పట్టుకొని చుట్టూ తిప్పండి. తిప్పేవేగము స్థిరముగా ఉండాలి. మీరు ఏమి గమనించారు? (పేజీ నెం. 229)
సాధన.

ఒక క్రమ వృత్తాకార శంఖువు ఏర్పడుటను గమనించితిని.

11. ఈ కింది క్రమ వృత్తాకార శంఖువు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం, సంపూర్ణతల వైశాల్యములను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 229)
సాధన.

OP = 2 సెం.మీ.; OB = 3.5 సెం.మీ.
OP = h = 2 సెం.మీ.
r = OB = 3.5 సెం.మీ.
ప్రక్కతల వైశాల్యము = πrl
కాని l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+3 \cdot 5^{2}}\)
= \(\sqrt{4+12.25}\)
= \(\sqrt{16.25}\) = 4.03
వక్రతల వైశాల్యము = \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 4.03
= 44.34 సెం.మీ².
సంపూర్ణతల వైశాల్యము = πr (r + l)
= \(\frac {22}{7}\) × 3.5(3.5 + 4.03)
= \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 7.53 = 82.83 సెం.మీ².

OP = 3.5 సెం.మీ.; AB = 10 సెం.మీ.
r = \(\frac {AB}{2}\) = 5 సెం.మీ. ; h = 3.5 సెం.మీ.
l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}=\sqrt{5^{2}+3.5^{2}}=\sqrt{25+12.25}\)
వ.త,వై. = πrl = \(\frac {22}{7}\) × 5 × 6.10
= 95.90 సెం.మీ².
స.త.వై = πr (r + 1)
= \(\frac {22}{7}\) × 5 × (5 + 6.10)
= 174.42 సెం.మీ².

12. ఒక క్రమ వృత్త స్థూపాకార వస్తువులో r వ్యాసార్ధముగా గల గోళం అమర్చబడినది. అయితే
(i) గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం
(ii) స్థూపము యొక్క వక్రతల వైశాల్యం
(iii) (i) మరియు (ii) వైశాల్యముల నిష్పత్తి కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 236)

సాధన.
(i) గోళం వ్యాసార్ధం = స్థూపం వ్యాసార్ధము = r
∴ గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr²
(ii) స్థూపం యొక్క వక్రతల వైశాల్యం = 2πr (2r) [∵ h = 2r] = 4πr²
(iii) (i) మరియు (ii) వైశాల్యా ల నిష్పత్తి = 4πr² : 4πr² = 1 : 1

13. ఈ కింది పటముల యొక్క ఉపరితల వైశాల్యములను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 236)

(i)

గోళం ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr²
గోళం వ్యాసార్ధం = 7 సెం.మీ.
గోళం ఉపరితల వై = 4 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 = 616 సెం.మీ².

(ii)

అడ్డగోళ ఉపరితల వైశాల్యము = 2πr² = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7
= 308 సెం.మీ²
స.త.వై = 3πr² = 3 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 = 462 సెం.మీ²

14. కింది పటంలో చూపబడిన గోళముల యొక్క ఘనపరిమాణములను కనుక్కోంది. (పేజీ నెం. 238)
సాధన.

r = 3 సెం.మీ.
V = \(\frac {22}{7}\)πr³ = \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 3 × 3 × 3
= 113.14 సెం.మీ³.

d = 5.4 సెం.మీ.
r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {5.4}{2}\) = 2.7 సెం.మీ.
V = \(\frac {4}{3}\)πr³ = \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 2.7 × 2.7 × 2.7 = 82.48 సెం.మీ³.

15. 6.3 సెం.మీ. వ్యాసార్థంగా గల గోళ ఘనపరిమాణమును కనుక్కోంది. (పేజీ నెం.238)
సాధన.
గోళ వ్యాసార్ధం r = 6.3 సెం.మీ.
గోళ ఘనపరిమాణము V= \(\frac {4}{3}\)πr³ = \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 6.3 × 6.3 × 6.3 = 1047.81 సెం.మీ³.

కృత్యం

1. భూమి, ఎత్తు సమానముగా గల ఘనము, చతురస్రాకార పిరమిడ్లను తీసుకొందాం. (పేజీ నెం. 218)

పిరమిడను ఒక ద్రవముతో నింపి ఆ ద్రవమును ఘనములో పూర్తిగా నింపండి. ఘనము నింపడానికి ఎన్నిసార్లు పిరమిడ్ నుపయోగించాలి ? పరిశీలిస్తే మూడుసార్లు అని తెలుస్తుంది.
దీనిని బట్టి, పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణం
= \(\frac {1}{3}\) × క్రమ పట్టకం ఘనపరిమాణం (ఒకే భూమి, ఒకే ఎత్తు)
= \(\frac {1}{3}\) × భూవైశాల్యం × ఎత్తు
సూచన : ఒక క్రమ పట్టకము, భూమికి లంబంగా ఉండేలా పక్క తలాలను కల్గి ఉంటుంది. మరియు ఆ పక్క తలాలన్నీ దీర్ఘచతురస్రాలే.

2. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార పలుచని అట్ట లేక కాగితమును తీసుకోండి. ఒక పొడవాటి దళసరి తీగను తీసుకొని పటములో చూపిన విధంగా అతికింపుము. తీగయొక్క రెండు చివరలను పట్టుకొని దీర్ఘచతురస్రాకార అట్టను వేగముగా త్రిప్పండి.

మీరు ఏమి గమనించారు ? కంటికి కనబడిన ఆకృతి ఎమిటి ? దానిని స్థూపముగా మీరు గుర్తించారా ? (పేజీ నెం. 220)

3. సెక్టరును శంఖువుగా మార్చే విధానం (పేజీ నెం. 227)
ఈ కింది సూచనలను పాటిస్తూ పటములో చూపిన విధముగా చేయండి.

(i) పటం (a) చూపిన విధంగా ఒక దళసరి కాగితముపై వృత్తమును గీయండి.
(ii) పటం (b) లో చూపినట్లు సెక్టరు AOB ను కత్తిరించండి.
(iii) పటం (c)లో చూపినట్లు A మరియు B చివరలను
ఒకదానితో ఒకటి తాకేటట్లు నెమ్మదిగా పటములో చూపిన విధముగా కలుషము. A, Bలు ఆధ్యారోహణము కాకూడదు. A, B లును అతికింపుము.
(iv) మీరు పొందిన ఆకృతి యొక్క లక్షణములు ఏమిటి? అది క్రమ వృత్తాకార శంఖువు అవుతుందా ?
‘OA’ మరియు ‘OB’ లను కలిపి శంఖువు తయారుచేసేటప్పుడు OA, OB మరియు చాపము AB ల యొక్క పొడవులలో గమనించిన మార్పులు ఏమిటి?

4. ఒక దళసరి కాగితంపై ఒక వృత్తమును గీయుము. దానిని కత్తిరింపుము. దాని వ్యాసము వెంబడి ఒక తీగను అతికింపుము. తీగ యొక్క రెండు చివరలు పట్టుకొని తిప్పుము. సమవేగముతో తిప్పితే మీరు ఏమి గమనించారు? (పేజీ నెం.235)

ఉదాహరణలు

1. 14 సెం.మీ. పొడవుగల దీర్ఘ చతురస్రాకార కాగితమునకు వెడల్పు వెంబడి రోల్ చేస్తే 20 సెం.మీ. వ్యాసార్థముగా గల స్థూపం ఏర్పడింది. అయిన స్థూపము (పటం 1) యొక్క ఘనపరిమాణము కనుక్కోండి. (π = \(\frac {22}{7}\) గా తీసుకొండి.) (పేజీ నెం. 222)
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రాకార కాగితమును వెడల్పు వెంబడి రోల్ చేయగా ఏర్పడిన స్థూపము యొక్క ఎత్తు, కాగితపు వెడల్పునకు సమానమవుతుంది. అయితే

స్థూపము యొక్క ఎత్తు h = 14 సెం.మీ.
మరియు వ్యాసార్థం (r) = 20 సెం.మీ.
స్థూపము ఘనపరిమాణము V = πr²h
= \(\frac {22}{7}\) × 20 × 20 × 14 = 17600 ఘనపు సెంటీమీటర్లు
స్థూపపు ఘనపరిమాణము = 17600 ఘ, సెం.మీ.

2. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకారపు కాగితము 11 సెం.మీ. × 4 సెం.మీ. కొలతలను కల్గియుంది. దానిని అంచులు ఆధ్యారోహణము చెందకుండా ఉండే విధముగా, 4 సెం.మీ. ఎత్తు కల్గిన స్థూపముగా మలిస్తే, స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 223)
సాధన.
కాగితము యొక్క పొడవు, స్థూపము యొక్క భూపరిధికి సమానముగా, వెడల్పు ఎత్తునకు సమానముగా ఉంటుంది.

స్థూపపు వ్యాసార్ధము r = మరియు ఎత్తు = h స్టూపపు భూపరిధి = 2πr = 11 సెం.మీ.
2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 11
r = \(\frac {7}{4}\)సెం.మీ.
h = 4 సెం.మీ.
స్టూపపు ఘనపరిమాణం (V) = 2π²h
= \(\frac {22}{7}\) × \(\frac {7}{4}\) × \(\frac {7}{4}\) × 4 = 38.5 ఘనపు సెంటీమీటర్లు.

3. దీర్ఘచతురస్రాకారములో దళసరి కాగితము 14 సెం.మీ. × 18 సెం.మీ. కొలతలు కల్గియుంది. దానిని పొడవు వెంబడి చుట్టూ స్థూపమును తయారుచేసాము. స్థూపమును ఘనముగా (పూర్తిగా నింపబడిన) భావిస్తే దాని యొక్క వ్యాసార్ధమును, సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 223)
సాధన.
స్టూపము యొక్క ఎత్తు = 18 సెం.మీ.
స్థూపము యొక్క భూపరిధి = 44 సెం.మీ.
2πr = 44 సెం.మీ.
r = \(\frac{44}{2 \times \pi}=\frac{44 \times 7}{2 \times 22}\) = 7 సెం.మీ.
సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2πr(r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7(7 + 18)
= 1100 చ.సెం.మీ.

4. 5 మి.మీ. మందము కల్గిన వృత్తాకార ప్లేటులను ఒకదానిపై మరొకటి పేర్చి స్థూపముగా ఏర్పరిస్తే, దాని యొక్క పక్కతల వైశాల్యము 462 చ.సెం.మీ. స్థూపమును ఏర్పరిచేందుకు కావలసిన వృత్తాకార ప్లేటుల సంఖ్య ఎంత ? ప్లేటు యొక్క వ్యాసార్థమును 2. 3.5 సెం.మీ.గా తీసుకోండి. (పేజీ నెం. 224)
సాధన.
వృత్తాకార ప్లేటు యొక్క మందం = 5 మి.మీ.
= \(\frac {5}{10}\) సెం.మీ. = 0.5 సెం.మీ.
ప్లేటు యొక్క వ్యాసార్ధము = 3.5 సెం.మీ.
స్థూపము యొక్క పక్కతల వైశాల్యము = 462 చ. సెం.మీ.
∴ 2πrh = 462 ………… (i)
స్థూపము ఏర్పాటుకు అవసరమయ్యే ప్లేటుల సంఖ్య x అనుకొనుము.
∴ స్థూపము యొక్క ఎత్తు = h = ప్లేటు యొక్క మందం × ప్లేటుల సంఖ్య = 0.5x
∴ 2πrh = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 0.5x ……. (ii)
(i) మరియు (ii) సమీకరణముల నుండి,
2 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 9.5x = 462
∴ x = \(\frac{462 \times 7}{2 \times 22 \times 3.5 \times 0.5}\) = 42 ప్లేట్లు.

5. ఒక గుల్ల లోహపు స్థూపము యొక్క బాహ్య వ్యాసార్ధము 8 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 10 సెం.మీ. మరియు సంపూర్ణతల వైశాల్యము . 338 π చ.సెం.మీ. గుల్ల లోహపు స్థూపము యొక్క మందమును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 224)
సాధన.

బాహ్య వ్యాసార్ధము = R = 8 సెం.మీ.
అంతర వ్యాసార్ధము = r
ఎత్తు = 10 సెం.మీ.
సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 338 π చ.సెం.మీ.
కాని సంపూర్ణతల వైశాల్యము = బయటి స్థూపము యొక్క పక్కతల వైశాల్యం (CSA) + లోపల యున్న స్థూపము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం (CSA) + 2 × భూ వైశాల్యము (కంకణము)
= 2πRh + 2πrh + 2π(R² – r²)
= 2π(Rh + rh + R² – r²)
∴ 2π(Rh + rh + R² – r²) = 338π
Rh + rh + R² – r² = 169
⇒ (10 × 8) + (r × 10) + 8² – r² = 100
⇒ r² – 10r + 25 = 0
⇒ (r – 5)² = 0
∴ r = 5
∴ లోహపు స్థూపము యొక్క మందం = R – r = (8 – 5) సెం.మీ. = 3 సెం.మీ.

6. ఒక మొక్కజొన్న కంకి శంఖువు ఆకారములో ఉంది. వెదల్పు ఎక్కువగాయున్న ప్రాంతపు వ్యాసార్థము 1.4 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు (పొడవు) 12 సెం.మీ. ప్రతి చ. సెం.మీ. ప్రాంతములో సుమారుగా 4 జొన్న గింజలుంటే మొత్తము ఎన్ని గింజలుంటాయి? (పేజీ నెం.230)
సాధన.

ఇక్కడ l = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)
= \(\sqrt{(1.4)^{2}+(12)^{2}}\) సెం.మీ.
= \(\sqrt{145.96}\) = 12.08 సెం.మీ. (సుమారుగా)
మొక్కజొన్న కంకి వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= \(\frac {22}{7}\) × 1.4 × 12.08 చ.సెం.మీ.
= 53.15 చ.సెం.మీ.
= 53.2 చ. సెం.మీ. (సుమారుగా)
మొక్కజొన్న కంకిలో 1 చ.సెం.మీ. వైశాల్యములో గల జొన్న గింజల సంఖ్య = 4
∴ మొక్క జొన్న కంకి ప్రక్కతల వైశాల్యములో గల మొత్తము జొన్న గింజల సంఖ్య = 53.2 × 4 = 212.8 = 213 (సుమారుగా),
అందుచే మొక్కజొన్న కంకి సుమారుగా 213 గింజలుంటాయి.

7. 5.6 సెం.మీ. భూవ్యాసార్ధము మరియు 158,4 చ.సెం.మీ. ప్రక్కతల వైశాల్యము గల శంఖువు యొక్క ఏటవాలు ఎత్తు మరియు శంఖువు ఎత్తులను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 231)
సాధన.
భూ వ్యాసార్ధము = 5.6 సెం.మీ.
ఎత్తు = h, ఏటవాలు ఎత్తు = l
వక్రతల వైశాల్యము = πrl = 158.4 చ.సెం.మీ.
⇒ \(\frac {22}{7}\) × 5.6 × l = 158.4
⇒ l = \(\frac{158.4 \times 7}{22 \times 5.6}=\frac{18}{2}\) = 9 సెం.మీ.
l² = r² + h² అని మనకు తెలుసు
h² = l² – r²= 9² – (5.6)²
= 81 – 31.36 = 49.64
h = \(\sqrt{49.64}\)
h = 7.05 సెం.మీ. (సుమారుగా)

8. ఒక గుడారం స్థూపముపై శంఖువు వలె ఉంది. శంఖువు యొక్క వ్యాసము స్థూపము భూవ్యాసము 24 మీటర్లకు సమానముగా యుంది. స్థూపము యొక్క ఎత్తు 11 మీ. మరియు శంఖువు యొక్క ఎత్తు 5 మీటర్లు, గుడారము తయారుచేయడానికి కావలసిన గుడ్డ చదరపు మీటరుకు ₹10 చొప్పున మొత్తము ఎంత ఖర్చవుతుంది ? (పేజీ నెం.231)
సాధన.
స్థూపపు భూవ్యాసము = శంఖువు వ్యాసం = 24 మీ.
∴ భూవ్యాసార్ధము = 12 మీ.
స్థూపము య్కొ ఎత్తు = 11 మీ. = h₁
శంఖము యొక్క ఎత్తు = 5 మీ. = h₂
శంఖము యొక్క ఏటవాటు ఎత్తు ‘l’ అనుకొందాం.
l = GD = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}\) = 13 మీ.

కావలసిన గుడ్డ వైశాల్యము = స్థూపము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం + శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యం
= 2πrh₁ + πrl
= πr (2h₁ + l)
= \(\frac {22}{7}\) × 12(2 × 11 + 13) చ.మీ.
= \(\frac{22 \times 12}{7}\) × 35 చ.మీ. = 22 × 60 చ.మీ. = 1320 చ.మీ.
గుడ్డ యొక్క వెల = ₹ 10 చదరపు మీటరుకు
∴ గుడ్డ యొక్క మొత్తం ఖరీదు = వెల × గుడ్డ యొక్క వైశాల్యం
= ₹10 × 1320 = ₹13,200

9. సైన్యము తన బేనొక్యాంప్ కొరకు శంఖువు ఆకారములో ఎత్తు 3 మీ. మరియు భూవ్యాసము 8 మీ.గా యున్న గుదారమును ఏర్పాటుచేసిన
(i) గుదారం తయారుచేయడానికి కావలసిన బట్ట యొక్క వెల చ.మీ.నకు ₹70 అయిన మొత్తము ఖర్చు ఎంత?
(ii) ప్రతి వ్యక్తికి 3.5 ఘనపు మీటర్ల గాలి కావలసి యుంటే గుడారములో కూర్చోగల వ్యక్తుల సంఖ్య ఎంత ? (పేజీ నెం. 232)
సాధన.

గుడారం యొక్క వ్యాసం = 8 మీ.
r = \(\frac{d}{2}=\frac{8}{2}\) = 4మీ.
ఎత్తు = 3 మీ.
ఏటవాలు ఎత్తు (l) = \(\sqrt{\mathrm{h}^{2}+\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{\mathrm{3}^{2}+\mathrm{4}^{2}}\) = \(\sqrt{25}\) = 5 మీ.
∴ గుడారం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం = πrl
= \(\frac {22}{7}\) × 4 × 5 = \(\frac {440}{7}\) చ.మీ.
శంఖువు ఘనపరిమాణం = \(\frac {1}{3}\)πr²h
= \(\frac {1}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 4 × 4 × 3
= \(\frac {352}{7}\) ఘనపు మీటర్లు
(i) గుదారం తయారీకి కావలసిన గుడ్డ ఖరీదు
= ప్రక్కతల వైశాల్యం × యూనిట్ల
= \(\frac {440}{7}\) × 70 = ₹4400

(ii) గుడారంలో కూర్చోగల వ్యక్తుల సంఖ్య = శంఖాకార గుడారం ఘనపరిమాణం / ప్రతి వ్యక్తికి కావల్సిన గాలి ఘనపరిమాణం
= \(\frac{352}{7} \div 3.5=\frac{352}{7} \times \frac{1}{3.5}\) – 14.36
= 14 మంది వ్యక్తులు (సుమారుగా)

10. గోళం ఉపరితల వైశాల్యం = 154 చ.సెం.మీ. అయిన దాని వ్యాసార్ధమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 238)
సాధన.
గోళం ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr²
4πr² = 154 ⇒ 4 × \(\frac {22}{7}\) × r² = 154
⇒ r² = \(\frac{154 \times 7}{4 \times 22}=\frac{7^{2}}{2^{2}}\)
⇒ r = \(\frac {7}{2}\) = 3.5 సెం.మీ.

11. ఒక అర్ధగోళాకారపు గిన్నె రాతితో తయారుచేయబడి 5 సెం.మీ. మందం కల్గియుంది. దాని లోపలి వ్యాసార్థం 35 సెం.మీ. అయిన గిన్నె యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యంను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 239)
సాధన.
వెలుపలి వ్యాసార్ధం R, లోపలి వ్యాసార్థం ‘r’.
మందం 5 సెం.మీ. అనుకొందాం.
∴ R = (r + 5) సెం.మీ. = (35 + 5) సెం.మీ.
= 40 సెం.మీ.

సంపూర్ణతల వైశాల్యం = బయటి ఉపరితల వైశాల్యం + లోపలి ఉపరితల వైశాల్యం + కంకణ వైశాల్యం
= 2πR² + 2πr² + π(R² – r²)
= π(2R² + 2r² + R² – r²)
= \(\frac {22}{7}\)(3R² + r²) = \(\frac {22}{7}\) (3 × 40² + 35²) చ.సెం.మీ.
= \(\frac{6025 \times 22}{7}\) చ.సెం.మీ.
= 18935.71 చ.సెం.మీ. (సుమారుగా)

12. అర్ధగోళాకారపు పై కప్పు కల్గిన ఒక భవనం (పటములో చూపిన విధంగా) నకు రంగు వేయాలి. పై కప్పు యొక్క భూపరిధి 17.6 మీ. ఆయిన 10 చ.సెం.మీ. వకు రంగు వేయుటకు 5 రూపాయలు చొప్పున భవనంనకు రంగువేయడానికి ఎంత ఖర్చు అవుతుంది? (పేజీ నెం. 299)
సాధన.

భవనంలోని వృత్తాకార ఉపరితల వైశాల్యంనకు మాత్రమే రంగు వేయాలి కనుక అర్ధగోళం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం కనుగొనాలి. పైకప్పు యొక్క భూపరిధి = 17.6 మీ.
∴ 17.6 = 2πr
అందుచే పై కప్పు యొక్క వ్యాసార్ధం = 17.6 × \(\frac{7}{2 \times 22}\) మీ. = 2.8 మీ.
పై కప్పు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πr²
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 2.8 × 28 చ.మీ.
= 49.28 చ.మీ.
100 చ.సెం.మీ. ప్రాంతమునకు రంగువేయడానికి అయ్యేఖర్చు = ₹ 5
∴ 1 చ.మీ. ప్రాంతమునకు రంగు వేయడానికి అయ్యే ఖర్చు = ₹500
∴ రంగు వేయడానికి అయ్యే మొత్తం ఖర్చు = 500 × 49.28 = ₹24640

13. ఒక సర్కస్ లో మోటార్ సైకిలిస్టు ఒక గుల్ల గోళాకార ఆకృతిలో విన్యాసములు చేయుచున్నాడు. గుల్ల గోళము యొక్క వ్యాసం 7 మీ, సైకిలిస్టు విన్యాసంలో తిరిగేందుకు అవకాశము ఉండే ప్రాంత వైశాల్యము ఎంత ? (పేజీ నెం. 240)
సాధన.
గోళం వ్యాసం = 7 మీ., వ్యాసార్ధం = 3.5 మీ.
అందుచే విన్యాసకుడు తిరగగలిగే ప్రాంత వైశాల్యం గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యంనకు సమానం.
4πr² = 4 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5 చ.మీ. = 154 చ.మీ.

14. షాటి ఫుటనకు ఉపయోగించే లోహపు గోళం యొక్క వ్యాసార్థం 4.9 సెం.మీ. లోహం యొక్క సాంద్రత 7.8 గ్రా. ఘనపు సెం.మీ. అయిన షాట్‌పుట్ యొక్క ద్రవ్యరాశి కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 240)
సాధన.
షాట్ పుట్ లోహపు గోళము కనుక దాని ద్రవ్యరాశి గోళము యొక్క ఘనపరిమాణం మరియు సాంద్రతల లబ్ధమునకు సమానము. అందుచే మనము గోళము యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుగొనాలి.
ఇప్పుడు గోళం ఘనపరిమాణం = \(\frac {4}{3}\)πr³
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 4.9 × 4.9 × 4.9 ఘ. సెం.మీ.
= 493 ఘ. సెం.మీ. (సమారుగా)
1 ఘనపు సెంటీ మీటరు లోహం యొక్క ద్రవ్యరాశి = 7.8 గ్రా.
అందుచే షాట్‌పుట్ యొక్క ద్రవ్యరాశి = 7.8 × 493 గ్రాములు = 3845.44 గ్రా. = 3.85 కి.గ్రా. (సుమారుగా)

15. ఒక అర్ధగోళాకారపు గిన్నె యొక్క వ్యాసార్ధం 3.5 సెం.మీ. దానిలో నింపగలిగే నీటి ఘనపరిమాణం ఎంత? (పేజీ నెం. 240)
సాధన.
గిన్నెలోని నీటి ఘనపరిమాణం = అర్ధగోళం ఘనపరిమాణం
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 3.5 ఘు. సెం.మీ.
= 89.8 ఘన సెం.మీ. (సమారుగా)

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Ex 10.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Exercise 10.4

ప్రశ్న 1.
ఒక గోళపు వ్యాసార్థం 2.5 సెం.మీ. అయిన దాని ఉపరితల వైశాల్యం, ఘనపరిమాణం ఎంత ?
సాధన.
గోళపు వ్యాసార్ధము, r = 3.5 సెం.మీ.
ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr² = 4 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5
= 4 × 22 × 0.5 × 3.5 = 154 సెం.మీ².
ఘనపరిమాణము = \(\frac {4}{3}\)πr³
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 3.5
= \(\frac{4 \times 22 \times 0.5 \times 12.25}{3}\)
= 179.666 సెం.మీ.³
= 179.7 సెం.మీ.³

ప్రశ్న 2.
ఒక గోళం ఉపరితల వైశాల్యం 1018\(\frac {2}{7}\) చ.సెం.మీ. అయిన దాని ఘనపరిమాణం ఎంత ?
సాధన.
గోళపు ఉపరితల వైశాల్యము = 4πr²
= 1018\(\frac {2}{7}\) సెం.మీ².
4πr² = \(\frac {7128}{7}\)
r² = \(\frac{7128 \times 7}{7 \times 4 \times 22}\)
r² = 81
r = \(\sqrt{81}\) = 9 సెం.మీ.
∴ గోళపు ఘనపరిమాణము = \(\frac {4}{3}\)πr³
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 9 × 9 × 9
= \(\frac {21384}{7}\) = 3054.857 సెం.మీ.³
= 3054.86 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 3.
గ్లోబులో భూమధ్యరేఖ పొడవు 44 సెం.మీ. అయిన దాని ఉపరితల వైశాల్యం ఎంత?
సాధన.
గ్లోబు యొక్క భూమధ్యరేఖ పొడవు
2πr = 44 సెం.మీ.
2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 44
∴ r = \(\frac{44 \times 7}{2 \times 22}\) = 7 సెం.మీ.
∴ ఉపరితల వైశాల్యము = 4πr²
= 4 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7
= 4 × 22 × 7 = 616 సెం.మీ².

ప్రశ్న 4.
ఒక గోళాకారపు బంతి యొక్క వ్యాసం 21 సెం.మీ. .. ఇటువంటి 5 బంతులను తయారుచేయడానికి కావలసిన పదార్ద పరిమాణం ఎంత?
సాధన.
గోళాకార బంతి యొక్క వ్యాసము ‘d’ = 21 సెం.మీ,
వ్యాసార్ధము ‘r’ = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {21}{2}\) = 10.5 సెం.మీ.
ఒక బంతి యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము = 4πr²
= 4 × \(\frac {22}{7}\) × 10.5 × 10.5
= 88 × 1.5 × 10.5 = 1386 సెం.మీ².
∴ అటువంటి 5 బంతులకు అవసరమైన పదార్థ పరిమాణము = 5 × 1386 = 6930 సెం.మీ².

ప్రశ్న 5.
రెండు గోళముల వ్యాసార్ధముల నిష్పత్తి 2 : 3. అయిన వాటి ఉపరితల వైశాల్యాలు మరియు ఘన పరిమాణముల నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
సాధన.
వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి = r₁ : r₂ = 2 : 3
ఉపరితల వైశాల్యాల నిష్పత్తి
= \(4 \pi r_{1}^{2}: 4 \pi r_{2}^{2}=r_{1}^{2}: r_{2}^{2}\)
= 2² : 3² = 4 : 9
ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి = \(\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}: \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}=r_{1}^{3}: r_{2}^{3}\)
= 2³ : 3³ = 8 : 27

ప్రశ్న 6.
10 సెం.మీ. వ్యాసార్ధముగా గల అర్ధగోళం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యంను కనుగొనుము. (π = 3.14 గా తీసుకొనుము)
సాధన.
అర్ధగోళపు వ్యాసార్ధము = 10 సెం.మీ.
అర్ధగోళ సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 3πr²
= 3 × 3.14 × 10 × 10 = 9.42 × 100
= 942 సెం.మీ².

ప్రశ్న 7.
ఒక గోళాకార బెలూన్ యొక్క వ్యాసం 14 సెం.మీ. నుండి 28 సెం.మీ. వరకు పెరిగే విధంగా గాలి నింపబడింది. ఈ రెండు సందర్భములలో గల ఉపరితల వైశాల్యముల నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
సాధన.
బెలూన్ యొక్క వ్యాసం, d = 14 సెం.మీ.
బెలూన్ వ్యాసార్థం, r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {14}{2}\) = 7 సెం.మీ.
∴ ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr² = 4 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7
= 88 × 7 = 616 సెం.మీ.²
గాలిని నింపినపుడు బెలూన్ వ్యాసము = 28 సెం.మీ.,
వ్యాసార్ధము = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {28}{2}\) = 14 సెం.మీ.
ఉపరితల వైశాల్యము = 4πr²
= 4 × \(\frac {22}{7}\) × 14 × 14
= 88 × 28 = 2464 సెం.మీ².
వైశాల్యాల నిష్పత్తి = 616 : 2464
= 1 : 4
(లేదా)
అసలు వ్యాసార్ధము = \(\frac {14}{2}\) = 7 సెం.మీ.
పెరిగిన వ్యాసార్ధము = \(\frac {28}{2}\) = 14 సెం.మీ.
వైశాల్యాల నిష్పత్తి = \(\mathrm{r}_{1}^{2}: \mathrm{r}_{2}^{2}=7^{2}: 14^{2}\)
= 7 × 7 : 14 × 14 = 1 : 4

ప్రశ్న 8.
0.25 సెం.మీ. మందం కల ఇత్తడితో ఒక అర్ధగోళాకార గిన్నెను తయారుచేశారు. గిన్నె లోపలి వ్యాసార్ధం 5 సెం.మీ. అయిన గిన్నె యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం మరియు లోపలితల వైశాల్యంనకు గల నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
సాధన.
అర్ధవృత్తపు లోపలి వ్యాసార్ధము = ‘r’ = 5 సెం.మీ.
అర్ధవృత్తపు బయటి వ్యాసార్ధము ‘R’ = లోపలి వ్యాసార్థం + మందం
= (5 + 0.25) సెం.మీ. = 5.25 సెం.మీ.
వైశాల్యాల నిష్పత్తి = 3πR² : 3πr²
= R² : r²
= (5.25)² : 5²
= 27.5625 : 25
= 1.1025 : 1
= 11025 : 10000
= 441 : 400
(గమనిక : వ్యాసార్ధంను వ్యాసంగా తీసుకున్న టెస్టుక్ జవాబును పొందవచ్చును)

ప్రశ్న 9.
ఒక సీసపు బంతి యొక్క వ్యాసం 21 సెం.మీ. దానిని తయారు చేయడానికి ఉపయోగించే సీసం యొక్క సాంద్రత 11.34 గ్రా. సెం.మీ³. అయిన బంతి యొక్క బరువు ఎంత ?
సాధన.
బంతి వ్యాసము = 2.1 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధము, r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {2.1}{2}\) = 1.05 సెం.మీ.
బంతి ఘనపరిమాణము ‘V’ = \(\frac {4}{3}\)πr³
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 1.05³ = \(\frac {101.87}{21}\)
సీసపు సాంద్రత = 11.34 గ్రా|| సెం.మీ³
బంతి బరువు = ఘనపరిమాణము × సాంద్రత
= 4.851 × 11.34
= 55.010 గ్రా||లు

ప్రశ్న 10.
ఒక స్థూపాకార లోహము యొక్క వ్యాసం 5 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 3\(\frac {1}{3}\) సెం.మీ. దానిని కరిగించి ఒక గోళముగా తయారుచేస్తే దాని యొక్క వ్యాసం ఎంత ?
సాధన.
స్థూపపు వ్యాసము ‘d’ = 5 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధము, r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {5}{2}\) = 25 సెం.మీ.
సూపపు ఎత్తు, h = 3\(\frac {1}{3}\) = \(\frac {10}{3}\)సెం.మీ.
స్థూపపు ఘనపరిమాణం
= πr²h = \(\frac {22}{7}\) × 2.5 × 2.5 × \(\frac {10}{3}\)
దత్తాంశము నుండి స్థూపమును కరిగించి గోళముగా పోతపోసిరి.
∴ స్థూపపు ఘనపరిమాణం = గోళపు ఘనపరిమాణం
\(\frac {4}{3}\)πr³ = \(\frac {22}{7}\) × 2.5 × 2.5 × \(\frac {10}{3}\) (∴ r గోళపు వ్యాసార్ధము)
∴ r³ = \(\frac {3}{4}\) × 2.5 × 2.5 × \(\frac {10}{3}\)
r³ = 2.5³
∴ r = 2.5 సెం.మీ.
గోళపు వ్యాసము, d = 2r
= 2 × 2.5 = 5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 11.
10.5 సెం.మీ. వ్యాసము గల అర్ధగోళాకారపు గిన్నెలో నింపగల పాల యొక్క సామర్థ్యం ఎంత ?
సాధన.
అర్ధగోళాకారపు గిన్నె వ్యాసము = 10.5 సెం.మీ.
అర్ధగోళాకారపు గిన్నె వ్యాసార్ధం
= \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {10.5}{2}\) = 5.25 సెం.మీ.
గిన్నెలో పట్టు పాల పరిమాణము = గిన్నె ఘనపరిమాణం
= \(\frac {2}{3}\)πr³
= \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 5.25 × 5.25 × 5.25
= 303.1875 సెం.మీ³.
= \(\frac {303.1875}{1000}\)లీ. = 0303లీ.

ప్రశ్న 12.
ఒక అర్ధగోళాకార గిన్నె యొక్క వ్యాసం 9 సెం.మీ. గిన్నెలోగల ద్రవమును 3 సెం.మీ. వ్యాసం మరియు 3 సెం.మీ. ఎత్తుగల స్థూపాకారపు సీసాలలో నింపుతూ ఉంటే నిండుగా ఉన్న గిన్నెలోని ద్రవమును ఎన్ని సీసాలలో నింపవచ్చు ?
సాధన.
అర్ధగోళాకారపు గిన్నె వ్యాసము d = 9 సెం.మీ.
∴ ఆర్ధగోళాకారపు గిన్నె వ్యాసార్ధము,
r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {9}{2}\) = 4.5 సెం.మీ.
ద్రవపు ఘనపరిమాణం = గిన్నె ఘనపరిమాణము
= \(\frac {2}{3}\)πr³
= \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 4.5 × 4.5 × 4.5
స్థూపాకారపు సీసా వ్యాసము d = 3 సెం.మీ,
⇒ స్థూపాకారపు సీసా వ్యాసార్ధం
r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {3.0}{2}\) = 1.5 సెం.మీ.
సీసా ఎత్తు, h = 3 సెం.మీ.
కావలసిన సీసాల సంఖ్య = n అనుకొనుము.
n సీసాల మొత్తం ఘనపరిమాణము = n . πr²h
ఈ ఘనపరిమాణం గిన్నెలోని ద్రవపు ఘనపరిమాణంకు సమానము.
n . \(\frac {22}{7}\) × 1.5 × 1.5 × 3
= \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 4.5 × 4.5 × 4.5
∴ n = \(\frac{2}{3} \times \frac{20.25}{1.5}\) = 9
∴ కావలసిన సీసాల సంఖ్య = 9