Mahesh

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Ex 10.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Exercise 10.3

ప్రశ్న 1.
శంఖువు భూ వైశాల్యం 38.5 చ.సెం.మీ. మన పరిమాణం 77 మ. సెం.మీ. అయిన దాని యొక్క ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
శంఖువు యొక్క భూ వైశాల్యం, πr² = 38.5 సెం.మీ².
శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం V = \(\frac {1}{3}\)πr²h = 77

∴ శంఖువు యొక్క ఎత్తు = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
శంఖువు ఘనపరిమాణం 462 ఘనపు మీటర్లు. భూ వ్యాసార్థం 7 మీటర్లు అయిన దాని ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
శంఖువు ఘనపరిమాణం V = \(\frac {1}{3}\)πr²h = 462 ఘ॥మీ.
వ్యాసార్ధము ‘r’ = 7 మీ.
ఎత్తు = h అనుకొనుము.
\(\frac {1}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 × h = 462
h = \(\frac{462 \times 3}{22 \times 7}\) = 9
∴ ఎత్తు = 9 మీ.

ప్రశ్న 3.
ఒక శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యం 308 చ.సెం.మీ. మరియు ఏటవాలు ఎత్తు 14 సెం.మీ. అయిన
(i) భూ వ్యాసార్ధం (ii) శంఖువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన.
శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యం , πrl = 308 చ. సెం.మీ.
ఏటవాలు ఎత్తు, l = 14 సెం.మీ.
(i) πrl = 308 చ. సెం.మీ. ; l = 14 సెం.మీ.
\(\frac {22}{7}\) × r × 14 = 308
⇒ r = \(\frac {308}{44}\) = 7 సెం.మీ.

(ii) శంఖుపు సంపూర్ణతల వైశాల్యం = πr (r + l)
\(\frac {22}{7}\) × 7 × (7 + 14)
= 22 × 21 = 462 సెం.మీ².

ప్రశ్న 4.
చ.సెం.మీ.కు 25 పైసల వంతున ఒక శంఖువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యమంతటికి రంగువేయటానికి అయ్యే ఖర్చు ₹176 అయిన, ఏటవాలు ఎత్తు 25 సెం.మీ. అయినప్పుడు దాని ఘనపరిమాణం కనుక్కోండి.
సాధన.
శంఖువు యొక్క ఏటవాలు ఎత్తు, l = 25 సెం.మీ.
25 పైసల వంతున చ.సెం.మీ.కు ఆగు ఖర్చు = ₹ 176
∴ శంఖువు యొక్క సంపుర్ణతల వైశాల్యం
= \(\frac {176}{25}\) × 100 = 176 × 4 = 704 సెం.మీ².
శంఖువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = πr(r + l)
= 704సెం.మీ²
కాబట్టి \(\frac {22}{7}\)r(r + 25) = 704
r(r + 25) = \(\frac{704 \times 7}{22}\) = 224
r² + 25r = 224
⇒ r² + 25r – 224 = 0
⇒ r² + 32r – 7r – 224 = 0
⇒ r(r +32) – 7 (r + 32) = 0
⇒ (r + 32) (r – 7) = 0
⇒ r = 7
h = \(\sqrt{l^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{25^{2}-7^{2}}=\sqrt{625-49}\)
= \(\sqrt{576}\)
= 24 సెం.మీ.
∴ శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం = \(\frac {1}{3}\)πr²h
= \(\frac {1}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 × 24
= 22 × 7 × 8 = 1232 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 5.
15 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల ఒక వృత్తాకార దళసరి కాగితం నుండి 216° సెక్టరు కోణం గల సెక్టరును కత్తిరించి దాని అంచులతో యున్న వ్యాసార్థములను వంచి శంఖువుగా మలిస్తే దాని యొక్క ఘనపరిమాణం ఎంత?
సాధన.
సెక్బారు యొక్క వ్యాసార్థం, ‘r’ = 15 సెం.మీ.
సెక్బారు కోణము, ‘x’ = 216°
∴ సెక్బారు పొడవు (l) = \(\frac {x}{360}\) × 2πr
= \(\frac {216}{360}\) × 2πr = \(\frac {3}{5}\) (2πr)
శంఖువు యొక్క చుట్టుకొలత = చాపము పొడవు శంఖువు యొక్క 2πr = వృత్తం యొక్క శంఖువు యొక్క వ్యాసార్థం ‘r’ = \(\frac {3}{5}\) × 15 = 9
వృత్త వ్యాసార్ధము, ‘r’ = శంఖువు యొక్క ఏటవాలు ఎత్తు (l) = 9 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఎత్తు (h) = \(\sqrt{l^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{225-81}\)
= \(\sqrt{144}\) = 12 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఘనపరిమాణము = \(\frac {1}{3}\) πr²h
= \(\frac {1}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 9 × 9 × 12
= 1018.285 ఘ. సెం.మీ.
= 1018.3 ఘ. సెం.మీ. (సుమారుగా)

ప్రశ్న 6.
ఒక గుదారం యొక్క ఎత్తు 9 మీ. దాని యొక్క వ్యాసం 24 మీ. అయిన దాని ఏటవాలు ఎత్తు ఎంత ? గుదారంను తయారుచేయడానికి కావలసిన గుడ్డ వెల చ.మీ. ₹14 అయిన మొత్తం గుడ్డ వెల ఎంత ?
సాధన.
శంఖు ఆకారపు ‘టెంట్ ఎత్తు ‘h’ = 9 మీ.
భూ వ్యాసము = 24 మీ.
భూ వ్యాసార్ధము ‘r’ = \(\frac{d}{2}=\frac{24}{2}\) = 12 మీ.
కాన్వాసు ఖరీదు = ₹14 చ.మీ.కు
శంఖువు వక్రతల వైశాల్యము = πrl
l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}\)
= \(\sqrt{225}\) = 15 మీ.
∴ వక్రతల వైశాల్యం = πrl = \(\frac {22}{7}\) × 12 × 15
చ.మీ.కు ₹14 చొప్పున అయిన ఖర్చు
= 14 × \(\frac {22}{7}\) × 12 × 15 = ₹7920

ప్రశ్న 7.
శంఖువు యొక్క ప్రకృతల వైశాల్యం 1159\(\frac {5}{9}\) చ.సెం.మీ. దాని యొక్క భూవైశాల్యం 254\(\frac {4}{7}\) చ.సెం.మీ. అయిన . దాని ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనుము.
సాధన.
శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= 1159\(\frac {5}{7}\) చ. సెం.మీ.
శంఖువు భూ వైశాల్యము = πr² = 254\(\frac {4}{7}\) చ.సెం.మీ.
\(\frac {22}{7}\) × r² = \(\frac {1782}{7}\)
∴ r² = \(\frac{1782}{7} \times \frac{7}{22}=\frac{1782}{22}\) = 81
= 178 x 7 – 1782 = 81
⇒ \(\sqrt{81}\) = 9 సెం.మీ.

πrl = \(\frac {8118}{7}\) చ.మీ. కావున

ప్రశ్న 8.
ఒక గుడారం 4.8 మీ. ఎత్తుగల స్థూపాకారంగా ఉంది. దానిపై 4.5 మీ. భూవ్యాసార్థం, కేంద్రం నుండి 10.8 మీ. ఎత్తు ఉండే విధముగా ఒక శంఖువు అమర్చబడి ఉంది. అయిన గుడారము తయారు చేయుటకు కావలసిన గుడ్డ వైశాల్యం ఎంత?
సాధన.

స్థూపపు వ్యాసార్ధం, l = 4.5 మీ.
స్థూపపు ఎత్తు = h = 4.8 మీ.
∴ స్థూపపు వక్రతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 4.5 × 48
= 135.771 మీ².
శంఖువు వ్యాసార్ధం ‘r’ = స్థూపపు వ్యాసార్ధం = 4.5 మీ.
శంఖువు ఎత్తు ‘h’ = 10.8 – 4.8 = 6 మీ.
∴ శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు
l = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{4.5^{2}+6^{2}}\)
= \(\sqrt{20.25+36}=\sqrt{56.25}\) = 7.5 మీ.
∴ శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= \(\frac {22}{7}\) × 4.5 × 7.5
= \(\frac {742.5}{7}\) = 106.071 మీ².
∴ కావలసిన కాన్వాసు గుడ్డ పరిమాణం = స్థూపపు వక్రతలవైశాల్యం + శంఖువు వక్రతలవైశాల్యం
= 135.771 + 106.071
= 241.842 మీ².

ప్రశ్న 9.
8 మీటర్ల ఎత్తు, 6 మీటర్ల భూవ్యాసార్థం కలిగిన శంఖువు ఆకృతి గుదారం తయారుచేయుటకు 3 మీ. వెడల్పు కలిగిన టార్పలిన్ గుడ్డ ఎంత పొడవును కలిగియుండాలి ? (మార్జినను, వృథా అయ్యే గుద్దను కూడా పరిగణనలోకి తీసుకొంటే సుమారుగా 20 సెం.మీ. పొడవు గల టార్పలిన్ అదనంగా వినియోగమవుతుంది). (π = 3.14)
సాధన.
శంఖువు వ్యాసార్ధము, r = 6 మీ.
శంఖువు ఎత్తు, h = 8మీ.
∴ ఏటవాలు ఎత్తు l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{\mathrm{6}^{2}+\mathrm{8}^{2}}\)
= \(\sqrt{36+64}=\sqrt{100}\)
=10 మీ.
∴ శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం = πrl = 3.14 × 6 × 10
= 188.4 మీ².
టార్పలిన్ పొడవు = l అనుకొనుము.
∴ టార్పలిన్ వైశాల్యము, lb = 188.4 + 0.6
= 189 మీ².
⇒ 3l = 189
⇒ l = \(\frac {189}{3}\) = 63 మీ.

ప్రశ్న 10.
ఒక జోకర్ యొక్క టోపి 7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము మరియు 27 సెం.మీ. ఎత్తు కలిగిన క్రమ వృత్త శంఖువు ఆకారంలో ఉంది. అటువంటి 10 టోపీలను తయారు చేయడానికి ఎంత వైశాల్యం గల బట్ట అవసరం?
సాధన.
శంఖువు వ్యాసార్ధము, r = 7 సెం.మీ.
శంఖువు ఎత్తు, h = 27 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు (l)
= \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}=\sqrt{7^{2}+27^{2}}\)
= \(\sqrt{49+729}=\sqrt{778}\)
∴ శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= \(\frac {22}{7}\) × 7 × \(\sqrt{778}\) = 22 × \(\sqrt{778}\)
∴ 10 టోపీలకు అవసరమైన బట్ట వైశాల్యం = 10 × 22 × \(\sqrt{778}\)
= 6136,383 సెం.మీ².

ప్రశ్న 11.
పటములో చూపిన విధముగా ఒక శంఖువు ఆకృతిలో ఉన్న పాత్ర భూవ్యాసం 5.2 మీ. మరియు ఏటవాలు ఎత్తు 6.8 మీ. కలిగి ఉంది. దానిలో నీరు నిమిషానికి 1.8 ఘనపు మీటర్ల చొప్పున నింపబడుతుంది. అయితే పాత్రను నింపడానికి పట్టేకాలం ఎంత ?

సాధన.
పటం నుండి శంఖువు వ్యాసము = 5.2 మీ.
దాని వ్యాసార్ధము ‘r’ = \(\frac {5.2}{2}\) = 26 మీ.
శంఖువు ఎత్తు = h = 6.8 మీ
∴ శంఖువు ఘనపరిమాణం = \(\frac {1}{3}\) πr²h
= \(\frac {1}{3}\) × \(\frac {1}{3}\) × 2.6 × 2.6 × 6.8 = \(\frac {1011.296}{21}\) = 48.156 మీ³.
ఒక సెకనులో పంపు ద్వారా ప్రవహించు నీటి పరిమాణం = 1.8మీ³.
∴ కావలసిన సమయం = మొత్తం ఘనపరిమాణం / 1.8
= \(\frac {48.156}{1.8}\) = 26.753 = 27 ని॥లు.

ప్రశ్న 12.
రెండు సరూప శంఖువుల యొక్క ఘనపరిమాణములు 121 మరియు 96, ఘనపు యూనిట్లు శంఖువులలో ఒకదాని ప్రక్కతల వైశాల్యం 157 చదరపు యూనిట్లు. అయిన రెండవ దాని ప్రక్కతల వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన.
రెండు సరూప శంఖువుల యొక్క ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి = 12π : 96π
= 1 : 8
= (1)³ : (2)³
= 1 : 2
∴ ఆ సరూప శంఖువుల ప్రక్కతల వైశాల్యాల నిష్పత్తి
= (1)² : (2)²
= 1 : 4
మొదటి శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యము = 15π చ||యూ
∴ 1 భాగము = 15π అయిన
4 భాగాలు = 4 × 15π = 60π
∴ రెండవ శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యము = 60π

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Ex 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Exercise 10.2

ప్రశ్న 1.
రెండు వైపులా మూయబడిన స్థూపాకారపు ట్యాంకు యొక్క ఎత్తు 1.4 మీటర్లు మరియు దాని భూవ్యాసార్ధము 56 సెం.మీ.గా యుండి లోహరేకుతో చేయబడియుంది. దీని సంపూర్ణతల వైశాల్యం ఎంత?
సాధన.
ట్యాంకు యొక్క భూ వ్యాసార్ధము ‘r’ = 56 సెం.మీ.
= \(\frac {56}{100}\) మీ. = 0.56 మీ
ట్యాంకు యొక్క ఎత్తు h = 1.4 మీ.
ట్యాంకు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2πr (r + h)
లోహరేకు యొక వైశాల్యం = 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 0.56 × (0.56 + 1.4)
= 2 × 22 × 0.08 × 1.96
= 6.8992 మీ²
= 6.90 మీ²

ప్రశ్న 2.
స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణము 308 ఘనపు సెంటి మీటర్లు, ఎత్తు 8 సెం.మీ. అయిన దాని ప్రక్కతల వైశాల్యమును, సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము.
సాధన.
స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణం V = πr²h
= 308 సెం.మీ³
స్థూపము యొక్క ఎత్తు h = 8 సెం.మీ.
∴ 308 = \(\frac {22}{7}\) . r² × 8
∴ r² = 308 × \(\frac {7}{22}\) × \(\frac {1}{8}\)
r² = 12.25
∴ r = \(\sqrt{12.25}\) = 3.5 సెం.మీ.
ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 8 = 176 సెం.మీ.²
సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 (3.5 + 8)
= 2 × 22 × 0.5 × 11.5 = 253 సెం.మీ.²

ప్రశ్న 3.
ఒక లోహపు దీర్ఘఘనము 22 సెం.మీ. × 15 సెం.మీ. × 7.5 సెం.మీ. కొలతలను కలిగియుంది. దానిని కరిగించి 14 సెం.మీ. ఎత్తుగల ఒక స్థూపముగా చేసిన దాని వ్యాసార్ధము ఎంత ?
సాధన.
లోహపు దీర్ఘఘనము యొక్క కొలతలు = 22 సెం.మీ. × 15 సెం.మీ. × 7.5 సెం.మీ.
స్థూపము యొక్క ఎత్తు, h = 14 సెం.మీ.
స్థూపముగా చేసిన దీర్ఘఘనము యొక్క ఘనపరిమాణం = స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణం
⇒ lbh = πr²h
⇒ 22 × 15 × 7.5 = \(\frac {22}{7}\) × r² × 14
⇒ r² = \(\frac{22 \times 15 \times 7.5 \times 7}{14 \times 22}\)
⇒ r² = 7.5 × 7.5 ⇒ r = 7.5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
ఒక నీటితొట్టి స్థూపాకారముగా ఉంటూ 616 లీటర్ల సామర్థ్యమును కలిగియుంది. ట్యాంకు వ్యాసం 5.6 మీటర్లు అయిన ట్యాంకు ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణము, V = πr²h = 616 లీ.
ట్యాంకు యొక్క వ్యాసం = 5.6 మీ.
వ్యాసార్ధం, r = \(\frac{d}{2}=\frac{5.6}{2}\) = 28 మీ.
ఎత్తు = h అనుకొనుము.
∴ πr²h = 616
\(\frac {22}{7}\) × 2.8 × 28 × h = 616
h = \(\frac{616 \times 7}{22 \times 2.8 \times 2.8}\) = 25
∴ ఎత్తు = 25 మీ.

ప్రశ్న 5.
ఒక లోహపు గొట్టం యొక్క పొడవు 77 సెం.మీ. దాని మధ్యచ్ఛేద అంతర వ్యాసం 4 సెం.మీ. మరియు బాహ్య వ్యాసం 4 సెం.మీ. (పటం చూడండి). అయిన ఈ క్రింది వానిని కనుగొనండి.

(i) లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యము
(ii) బాహ్య ప్రక్కతల వైశాల్యము
(iii) సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనండి.
సాధన.
(i) లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యము :
పైపు యొక్క ఎత్తు = 77 సెం.మీ.
లోపలి వ్యాసం = 4 సెం.మీ.
లోపలి వ్యాసార్ధం = \(\frac{d}{2}=\frac{4}{2}\) = 2 సెం.మీ.
∴ లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 2 × 77
= 88 × 11 = 968 సెం.మీ.²

(ii) బాహ్యప్రక్కతల వైశాల్యము :
బాహ్య వ్యాసం = 4.4 సెం.మీ.
∴ బాహ్య వ్యాసార్ధం r = \(\frac{d}{2}=\frac{4.4}{2}\) = 22 సెం.మీ.
పైపు యొక్క ఎత్తు = h = 77 సెం.మీ.
∴ బాహ్య ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 2.2 × 77
= 96.8 × 11
= 1064.8 సెం.మీ.²

(iii) సంపూర్ణతల వైశాల్యము :
సంపూర్ణతల వైశాల్యము = లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యము + బాహ్య ప్రక్కతల వైశాల్యము
= 968 + 1064.8
= 2032.8 సెం.మీ².

ప్రశ్న 6.
ఒక భవనము చుట్టూ 16 స్థూపాకార స్తంభములున్నవి. ప్రతి స్థూపాకార స్తంభము 56 సెం.మీ. వ్యాసము మరియు 35 మీ. ఎత్తులను కలిగియుంది. స్తంభముల ప్రక్కతల వైశాల్యమునకు రంగు వేసేందుకు చ.మీ.కు ₹ 5.50 వంతున ఎంత ఖర్చు అవుతుంది ?
సాధన.
స్థూపాకార స్తంభము యొక్క వ్యాసము = 56 సెం.మీ.
వ్యా సార్థము , r = \(\frac{d}{2}=\frac{56}{2}\) = 28 సెం.మీ.
= \(\frac {28}{100}\) మీ. = 0.28 మీ.
స్తంభము యొక్క ఎత్తు, h = 35 మీ.
మొత్తం స్తంభముల సంఖ్య = 16
రంగు వేసేందుకు ఒక చ.మీ.కు
అగు ఖర్చు = ₹5.50
ఒక స్తంభము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 0.28 × 35
= 2 × 22 × 0.04 × 35
= 61.6 మీ².
∴ 16 స్థూపాకార ప్తంభముల ప్రక్కతల వైశాల్యం
= 16 × 61.6
= 985.6 మీ.²
16 స్తంభములకు రంగు వేసేందుకు ఒక చ.మీ.కు
₹ 5.5 చొప్పున అగు ఖర్చు = 985.6 × 5.5
= ₹5420.8

ప్రశ్న 7.
ఒక రోడ్డు రోలరు యొక్క వ్యాసము 84 సెం.మీ., పొడవు 120 సెం.మీ. ఒక ఆటస్థలమును చదును చేయుటకు 500 సంపూర్ణ భ్రమణములు చేయవలసి ఉంది. అయితే ఆటస్థల వైశాల్యమును చ.మీ.లలో కనుగొనండి.
సాధన.
రోడ్డు రోలరు యొక్క వ్యాసము = 84 సెం.మీ.
వ్యాసార్థం = \(\frac {84}{2}\) = 42 సెం.మీ.
= \(\frac {42}{100}\) మీ. = 0.42 మీ.
రోడ్డు రోలరు యొక్క పొడవు = 120 సెం.మీ.
= \(\frac {120}{100}\) = 1.2 మీ.
ఆట స్థలమును చదునుచేయుటకు 500 సంపూర్ణ భ్రమణములు చేయవలసియుంది.
కాబట్టి 500 × రోలరు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = ఆటస్థలం యొక్క వైశాల్యము
∴ ఆటస్థలం యొక్క వైశాల్యము = 500 × 2πrh
= 500 × 2 × \(\frac {22}{7}\) × 0.42 × 1.2 = 1584 మీ²

ప్రశ్న 8.
వృత్తాకార బావి యొక్క లోపలి వ్యాసము 3.5 మీ., లోతు 10 మీ. అయిన (i) లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యము (ii) ప్రక్కతలాలను ప్లాస్టరింగ్ చేయుటకు చ.మీ.కు 40 రూపాయల వంతున ఎంత ఖర్చు అవుతుంది ?
సాధన.
వృత్తాకార బావి యొక్క లోపలి వ్యాసము d = 3.5మీ.
వ్యాసార్ధము, r = \(\frac{d}{2}=\frac{3.5}{2}\) = 1.75 మీ.
బావి యొక్క లోతు (h) – 10 మీ.
(i) లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 1.75 × 10
= 110 మీ²

(ii) ప్లాస్టరింగ్ చేయుటకు చ.మీ.కు ₹ 40 చొప్పున
అగు ఖర్చు = 110 × 40
= ₹4400

9.

ప్రశ్న (i)
ఒక స్థూపాకార పెట్రోలు ట్యాంకు భూవ్యాసం 4.2 మీ., ఎత్తు 4.5 మీ. అయిన ట్యాంకు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుక్కోంది.
సాధన.
స్థూపాకార ట్యాంకు యొక్క వ్యాసము ‘d’ = 4.2 మీ.
వ్యాసార్ధము, r = \(\frac{d}{2}=\frac{4.2}{2}\) = 21 మీ.
ట్యాంకు యొక్క ఎత్తు 5 = 4.5 మీ.
ట్యాంకు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము
= 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 21 (2.1 + 4.5)
= 2 × 22 × 0.3 × 6.6 = 87.12 మీ.²

ప్రశ్న (ii)
ట్యాంకును తయారుచేసేందుకు వాడిన స్టీలులో \(\frac {1}{12}\) వ వంతు వృథా అయిన ఎంత పరిమాణపు స్టీలును ఉపయోగించారో లెక్కించుము.
సాధన.
వృథా అయిన స్టీలు పరిమాణం = \(\frac {1}{12}\)
ట్యాంకును తయారుచేసేందుకు వాడిన స్టీలు
= 1 – \(\frac {1}{12}\) = \(\frac {11}{12}\)
మొత్తం స్టీలు పరిమాణం = x మీ² అనుకొనుము.
\(\frac {11}{12}\)x = 87.12 మీ.²
∴ x = 87.12 × \(\frac {12}{11}\) = 95.04 మీ.²

ప్రశ్న 10.
ఒక వైపు మూయబడి స్థూపాకార ద్రమ్ యొక్క లోపలి వ్యాసార్ధము 28 సెం.మీ., ఎత్తు 21 మీ. అయిన ఆ ద్రమ్ లో నిల్వ చేయగల నీటి సామర్థ్యమును లీటర్లలో తెల్పుము. (1 లీటరు = 1000 ఘనపు సెంటీమీటర్లు)
సాధన.
స్థూపాకార డ్రమ్ యొక్క లోపలి వ్యాసార్ధము ‘r’ = 28 సెం.మీ.
ఎత్తు, h = 2.1 మీ. = 2.1 × 100 = 210 సెం.మీ.
డ్రమ్ యొక్క ఘనపరిమాణము = πr²h
= \(\frac {22}{7}\) × 28 × 28 × 210
= 22 × 4 × 28 × 210 = 517440 ఘ. సెం.మీ.
= \(\frac {517440}{1000}\) లీ. = 517.44 లీ.

ప్రశ్న 11.
ఒక స్థూపాకార వస్తువు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము 1760 చ.సెం.మీ. మరియు దాని ఘనపరిమాణము 12320 ఘనపు సెంటీమీటర్లు అయిన దాని ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
స్థూపాకార వస్తువు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2πrh
= 1760 సెం.మీ.²
స్థూపాకార వస్తువు యొక్క ఘనపరిమాణం = πr²h
= 12320 సెం.మీ.³
ఎత్తు = h అనుకొనుము.
ఘనపరిమాణం / ప్రక్కతల వైశాల్యం = \(\frac{\pi r^{2} h}{2 \pi r h}=\frac{12320}{1760}\)
⇒ \(\frac {r}{2}\) = 7
∴ r = 7 × 2 = 14 సెం.మీ.
2πrh = 1760 సెం.మీ.²
2 × \(\frac {22}{7}\) × 14h = 1760 సెం.మీ.
h = \(\frac{1760 \times 7}{2 \times 22 \times 14}\) = 20 సెం.మీ.
∴ స్థూపాకార వస్తువు యొక్క ఎత్తు = 20 సెం.మీ.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Ex 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Exercise 10.1

1. ఈ కింది క్రమ పట్టకము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము మరియు సంపూర్ణతల వైశాల్యములను కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)

సాధన.
ప్రక్కతల వైశాల్యము = 4l²
= 4 × 4² = 64 సెం.మీ².
సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 6l²
= 6 × 4² = 96 సెం.మీ².

ప్రశ్న (ii)

సాధన.
ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2h (l + b)
= 2 × 5 (8 + 6)
= 10 × 14 = 140 సెం.మీ².
పంపూర్ణతల వైశాల్యము = 2 (lb+ bh + lh)
= 2(8 × 6 + 6 × 5 + 8 × 5)
= 2 (48 + 30 + 40)
= 236 సెం.మీ².

ప్రశ్న 2.
ఒక సమఘనము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం 1350 చదరపు మీటర్లు. అయిన దాని ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము.
సాధన.
ఘనము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము 6l² = 1350
l² = \(\frac {1350}{6}\)
l² = 225
l = \(\sqrt{225}\) = 15 మీ.
ఘనము యొక్క ఘనపరిమాణము = l³
= 15 × 15 × 15 = 3375 మీ³.

ప్రశ్న 3.
పొదవు 12మీ., వెడల్పు 10 మీ. మరియు 7.5 మీ. ఎత్తు కలిగిన గది యొక్క నాలుగు గోడల వైశాల్యమును కనుగొనండి. (ద్వారములు లేదా కిటికీలు లేని గదిగా ఊహించండి).
సాధన.
గది యొక్క పొడవు = 12 మీ.
గది యొక్క వెడల్పు = 10 మీ.
గది యొక్క ఎత్తు = 7.5 మీ.
నాలుగు గోడల వైశాల్యం A = 2h (l + b)
= 2 × 7.5 (12 + 10)
= 15 × 22 = 330 మీ²

ప్రశ్న 4.
ఒక దీర్ఘఘనము యొక్క ఘనపరిమాణం 1200 ఘనపు సెంటీమీటర్లు, దాని యొక్క పొడవు 15 సెం.మీ., వెడల్పు 10 సెం.మీ. అయిన ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘఘనం యొక్క పొడవు, l = 15 సెం.మీ.
దీర్ఘఘనం యొక్క వెడల్పు, b = 10 సెం.మీ.
దీర్ఘఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం, V = lbh
= 1200 సెం.మీ³.
ఎత్తు = h ఆనుకొనుము.
∴ 15 × 10 × h = 1200
∴ h = \(\frac{1200}{15 \times 10}\) = 8 సెం.మీ.

5. ఒక పెట్టి యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము కింది సందర్భాలలో ఏ విధముగా మారుతుంది ? మాటలలో వ్యక్తపరచండి. ప్రతీ కొలత 3 సార్లు పెరిగినప్పుడు . పెట్టె సంపూర్ణతల వైశాల్యం ఏ విధంగా ఉంటుందో కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)
ప్రతీ కొలత రెట్టింపు చేసినప్పుడు
సాధన.
అసలు కొలతలు వరుసగా
పొడవు = l యూనిట్లు
వెడల్పు = b యూనిట్లు
ఎత్తు = 7 యూనిట్లు
సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2 (lb+ bh + lh)
ప్రతీ కొలతను రెట్టింపు చేసినపుడు
పొడవు = 2l, వెడల్పు = 2b, ఎత్తు = 2h
సంపూర్ణతల వైశాల్యము
= 2(2l . 2b + 2b . 2h + 2l . 2h)
= 2 (4lb + 4bh + 4lh)
= 4 × [2 (lb+ bh + lh)]
= 4 × అసలు సంపూర్ణతల వైశాల్యం
∴ సంపూర్ణతల వైశాల్యం 4 రెట్లు పెరుగును.

ప్రశ్న (ii)
ప్రతీ కొలతను మూడు రెట్లు చేసినప్పుడు
సాధన.
పెట్టి యొక్క అసలు మరియు మారిన కొలతలు వరుసగా l, b, h మరియు 3l, 3b, 3h అనుకొనుము.
అసలు సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2 (lb + bh + lh)
మారిన సంపూర్ణతల వైశాల్యం
= 2 (3l . 3b + 3b . 3h + 3l . 3h)
= 2 (9lb + 9bh + 9lh)
= 9 × [2(lb + bh + lh)]
= 9 × (అసలు సం.త.వై.)
సంపూర్ణతల వైశాల్యం 9 రెట్లుగా పెరిగినది.

పెట్టె యొక్క ప్రతీ కొలత n సార్లు పెరిగినపుడు :
పొడవు = nl, వెడల్పు = nb, ఎత్తు = nh
సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2 (nl . nb + nb . nh + nh . nl)
= 2 (n²lb + n²bh + n²lh)
= n² [2 (lb + bh + lh)]
∴ సంపూర్ణతల వైశాల్యం n² రెట్లు పెరుగును.

ప్రశ్న 6.
ఒక పట్టకపు భూమి త్రిభుజాకారములో ఉండి భుజం కొలతలు వరుసగా 8 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., 5 సెం.మీ. కలిగియుండి దాని యొక్క ఎత్తు 10 సెం.మీ. అయిన పట్టకము యొక్క ఘనపరిమాణము ఎంత?
సాధన.
పట్టకము యొక్క ఘనపరిమాణం = భూ వైశాల్యం × ఎత్తు
త్రిభుజాకారంలో ఉన్న భూమి యొక్క కొలతలు వరుసగా 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., 5 సెం.మీ.
∴ వైశాల్యం = s (s – a) (s – b) (s – c)
s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+4+5}{2}\) = 6
వైశాల్యం = \(\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}\)
= \(\sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1}\)
= 6 సెం.మీ.²
∴ పట్టకం యొక్క ఘనపరిమాణం
= భూ వైశాల్యం × ఎత్తు = 6 × 10 = 60 సెం.మీ.³
(లేదా)
త్రిభుజము యొక్క కొలతలు 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., మరియు 5 సెం.మీ. అయిన లంబకోణ త్రిభుజం.
∴ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం
= \(\frac {1}{2}\)bh = \(\frac {1}{2}\) × 3 × 4 = 6 సెం.మీ.²
పట్టకం యొక్క ఘనపరిమాణం
= భూ వైశాల్యం × ఎత్తు
= 6 × 10 = 60 సెం.మీ.³

ప్రశ్న 7.
ఒక క్రమ చతురస్రాకార పిరమిడ్ యొక్క భూ చుట్టుకొలత 16 మీటర్లు, ఎత్తు 3 మీటర్లు అయిన దాని ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము.
సాధన.
పిరమిడ్ భూ చుట్టుకొలత = 16మీ.
పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు.= 3 మీ.
పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణం = \(\frac {1}{3}\) × (భూ వైశాల్యం × ఎత్తు)
= \(\frac {1}{3}\) × 4 × 4 × 3 = 16 మీ.³
[4 × భుజం = 16 ∴ భుజము = 4 మీ. వైశాల్యం = s² = 4 × 4]

ప్రశ్న 8.
ఒలింపిక్స్ లోని ఈతకొలను 50 మీటర్ల పొడవు, 25 మీటర్ల వెడల్పు మరియు 3 మీటర్ల లోతుగల దీర్ఘఘనాకృతిలోయుంది. అది ఎన్ని లీటర్ల నీటిని నింపే సామర్థ్యము కలిగి ఉంది ?
సాధన.
దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉన్న ఈతకొలను యొక్క
పొడవు = 50 మీ. , వెడల్పు = 25 మీ. , లోతు = 3 మీ.
∴ ఈతకొలను యొక్క ఘనపరిమాణము
V = lbh
V = 50 × 25 × 3 = 3750 మీ.³
∴ ఈత కొలను 37,50 లీటర్ల నీటిని నింపే సామర్థ్యము కలిగి ఉంది. [∵ 1 మీ³. = 1లీ.]

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 11th Lesson వైశాల్యాలు InText Questions

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. 1 సెం.మీ. ప్రమాణము 5 మీ. లను సూచిస్తే, 6 చదరపు సెం.మీ. వైశాల్యము దేనిని సూచిస్తుంది ? (పేజీ నెం. 247)
సాధన.
1 సెం.మీ. = 5 మీ.
1 సెం.మీ.² = 1 సెం.మీ. × 1 సెం.మీ. = 5 మీ. × 5 మీ. = 25 చ.మీ.
∴ 6 చ.సెం.మీ. = 6 × 25 చ.మీ. = 150 చ.మీ.

2. 1 చ.మీ. = 100² చ.సెం.మీ. అని రజని అన్నది. నీవు ఏకీభవిస్తావా ? వివరించుము. (పేజీ నెం. 247)
సాధన.
1 చ.మీ. = 100 చ.సెం.మీ. కావున రజనీతో నేను ఏకీభవిస్తాను.

2. కింది పటాలలో ఏవి ఒకే భూమి, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉన్నాయి ? ఇటువంటి సందర్భములో భూమి (ఉమ్మడి భుజం) ని, రెండు సమాంతర రేఖలను తెలపండి. (పేజీ నెం. 249)

సాధన.
(a) పటం (a) లో ∆PCD మరియు ☐ABCD లు ఒకే భూమి CD మరియు ఒకే సమాంతర రేఖలు AB మరియు , CD ల మధ్యన కలవు.
(b) పటం (b) లో ☐PQRS మరియు ☐MNSRలు ఒకే భూమి SR పై గలవు. కాని ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్యన లేవు.
(c) పటం (c) లో ∆TRQ మరియు ☐PQRS లు ఒకే భూమి QR పై మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు PS మరియు QRల మధ్యన గలవు.
(d) పటం (d) లో ∆APD మరియు ☐ABCD లు ఒకే భూమి AD మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు AD మరియు BC ల మధ్యన గలవు.
(e) పటం (e) లో ఇచ్చిన నియమము పాటించబడ లేదు.

3. రెందు త్రిభుజాలు ABC మరియు DBCలను ఒకే భూమి మరియు ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉండునట్లు (పటంలో చూపిన విధంగా) గీయండి. AC మరియు BDU ఖండన బిందువుకు P లని పేరు పెట్టండి. CE || BA మరియు BF || CD లను AD రేఖపై E మరియు F లు ఉన్నట్లు గీయండి. (∆PAB) వైశాల్యము = (∆PDC) వైశాల్యములని మీరు చూపగలరా ?

సూచన: (ఈ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు కానప్పటికీ సమాన వైశాల్యములు కలిగి ఉన్నాయి.) (పేజీ నెం. 254)
సాధన.
☐ABCE వైశాల్యము = 2 × ∆ABC [∵ ∆ABC మరియు ☐ABCE లు ఒకే భూమి BC పై మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు BC మరియు AE ల మధ్యన గలవు]
⇒ ∆ABC = \(\frac {1}{2}\)☐ABCE ……. (1)
అదే విధముగా ☐BCDF = 2 × ∆BCD (∵ ∆BCD మరియు ☐BCDE లు ఒకే భూమి BC మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు BC మరియు DEల మధ్యన గలవు.)
∴ ∆BCD = \(\frac {1}{2}\)☐BCDF ……….. (2)
కాని ☐ABCE = ☐BCDF [∵ ☐ABCE మరియు ☐BCDF లు ఒకే భూమి BC మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు BC మరియు FE లపై కలవు]
(1) మరియు (2) ల నుండి , ∆ABC = ∆BCD
∆PAB + ∆PBC = ∆PBC + ∆PDC
⇒ ∆PAB = ∆PDC నిరూపించబడినది.

4. లంబకోణ త్రిభుజము ABCE A లంబకోణం. BC, CA మరియు AB లపై వరుసగా BCED, ACFG మరియు ABMN అనే చతురస్రాలు గీయబడ్డాయి. రేఖాఖందం AX ⊥ DE, BCని Y వద్ద, DE ని X వద్ద ఖండించింది. AD, AE లు కలుపబడ్డాయి. అదే విధంగా BF, CM లు కలుపబడ్డాయి. (పటంలో చూడండి). అయితే కింద వానిని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 258)

ప్రశ్న (i)
∆MBC ≅ ∆ABD
సాధన.
∆MBC మరియు ∆ABD లలో
MB = AB [∵ చతురస్ర భుజములు)
BC = BC [∵ ఉమ్మడి భుజము]
\(\angle \mathrm{MBC}=\angle \mathrm{ABD}\) [∵ \(\angle \mathrm{MBC}=\angle \mathrm{ABD}\) = 90° + \(\angle \mathrm{ABC}\)]
∴ ∆MBC ≅ ∆ABD (భు.కో.భు. నియమం ప్రకారం)

ప్రశ్న (ii)
(BYXD) వై॥ = 2 (∆MBC) వై॥
సాధన.
☐BYXD మరియు ∆ABD లు ఒకే భూమి BD మరియు రెండు సమాంతర రేఖలు BD, AX ల మధ్య కలవు కావున.
∴ ☐BYXD = 2 ∆ABD = 2 ∆MBC [∵ (i) నుండి]
∴ (BYXD)వై॥ = 2 (∆MBC)వై॥

ప్రశ్న (iii)
(BYXD) వై॥ = (ABMN) వై॥
సాధన.
(ABMN) వై॥ = 2 × (∆MBC) వై॥ [∵ ☐ABMN, ∆MBC లు ఒకే భూమి MB మరియు సమాంతర రేఖలు MB, NC ల మధ్య కలవు]
∴ ☐ABMN = ☐BYXD [(ii) నుండి]

ప్రశ్న (iv)
∆FCB = ∆ACE
సాధన.
∆FCB మరియు ∆ACE లలో
CB = CE (∵ ఒకే చతురస్రపు భుజాలు)
FC = AC (∵ ఒకే చతురస్రపు భుజాలు)
\(\angle \mathrm{FCE}=\angle \mathrm{ACE}\) (∵ \(\angle \mathrm{FCE}=\angle \mathrm{ACE}\) = 90° + \(\angle \mathrm{ACB}\))
∴ ∆FCB ≅ ∆ACE (భు. కో.భు. నియమం)

ప్రశ్న (v)
(CYXE) వై॥ = 2 (FCB) వై॥
సాధన.
☐CYXE మరియు ∆ACE లు ఒకే భూమి CE మరియు రెండు సమాంతర రేఖలు CE మరియు XYల మధ్యన గలవు.
∴ ☐CYXE = 2 × ∆ACE = 2 × ∆FCB [(iv) నుండి]

ప్రశ్న (vi)
(CYXE) వై॥ = (ACFG) వై॥
సాధన.
☐CYXE = 2 × ∆FCB [(v) నుండి]
= ☐ACFG [∵ ☐ACFG మరియు ∆FCB లు ఒకే భూమి CF మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు CF మరియు AGల మధ్యన కలవు.]

ప్రశ్న (vii)
(BCED) వై॥ = (ABMN) వై|| + (ACFG) వై॥
సాధన.
☐BCED = ☐BYXD + ☐CYXE (పటం నుండి)
= ☐ABMN + ☐ACFG [∵ ☐BYXD = ☐ABMN (iii) నుండి ☐CYXE = ☐ACFG (vi) నుండి] నిరూపించబడినది. ఫలితం (vii) ను మాటలలో రాయండి.
సాధన.
“ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణము మీది వర్గము, మిగిలిన రెండు భుజాల మీది వర్గాల మొత్తమునకు సమానము” దీనినే పైథాగరస్ సిద్ధాంతము అంటారు.

కృత్యం

1.


ఒక ఉల్లిపొర కాగితం (ట్రేసింగ్ పేపర్) పై రెండు జతల త్రిభుజాలను పటంలో చూపినట్లు గీయండి. త్రిభుజాలు I, II లను ఒకదానిపై ఒకటి పూర్తిగా ఏకీభవించునట్లు ఉంచండి. త్రిభుజాలు III మరియు IV లు ఒకే భూమి, ఒకే ఎత్తును కలిగిన ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము మరియు ఒక లంబకోణ త్రిభుజము. III మరియు IV పటాలు ఒకదానితో మరొకటి పూర్తిగా ఏకీభవించలేదు. I, II పటాలు ఒకదానితో మరొకటి పూర్తిగా ఏకీభవించినారు. కావున ఇవి సర్వసమాన పటాలు మరియు వీటి వైశాల్యాలు సమానము. ఎందుకనగా అవి ఆక్రమించిన ప్రదేశం సమానము. III, IV పటాలు ఒకదానితో మరొకటి ఏకీభవించలేదు. కనుక అవి సర్వసమాన పటాలుకావు.

వీటి వైశాల్యాలు సమానమేనా ?
పటం (V) ను పరిశీలిస్తే ఈ పటాలు సర్వసమానం కానప్పటికీ, ఇవి సమాన వైశాల్యం కలిగి ఉన్నాయి. (ఈ పటాలను కాగితాలతో కత్తిరించి మరియు త్రిభుజ వైశాల్య సూత్రం ద్వారా కనుగొని చూడండి) అందుచే III మరియు IV పటాలు సర్వసమాన పటాలుకానప్పటికీ, సమాన వైశాల్యాలు గల పటాలు అయినవి. (పేజీ నెం. 245)

2. ఒక గ్రాఫ్ కాగితముపై రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలు ABCD మరియు PQCD లను పటంలో చూపిన విధంగా గీయాలి.

ఈ రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలు ఒకే భూమి DC పైన మరియు ఒకే సమాంతర రేఖలు PB మరియు DCల మధ్య ఉన్నాయి. దీనిలో DCQA పట భాగము రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలలో ఉమ్మడి భాగమని స్పష్టమౌతున్నది. కావున మనము ∆DAP మరియు ∆CBQలు ఒకే వైశాల్యం కలిగి ఉంటాయని చెప్పగలిగితే అప్పుడు (PQCD) వైశాల్యము = (ABCD) వైశాల్యము అవుతుంది. (పేజీ నెం. 250)

3. పటంలో చూపిన విధంగా ఒక జత త్రిభుజాలను ఒకే భూమి లేదా సమాన భూములు, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య గ్రాఫ్ కాగితంపై గీయండి.
∆ABC మరియు ∆DBC లు అనేవి రెండు త్రిభుజాలు ఒకే భూమి BC పైన, ఒకే సమాంతర రేఖలు BC, AD ల మధ్య ఉన్నాయి.
ADని ఇరువైపులా పొడిగించుము మరియు CE || AB, BF || CDలను గీయండి. ఇప్పుడు సమాంతర చతుర్భుజాలు AECB మరియు FDCB లు ఒకే భూమి BC మరియు ఒకే సమాంతర రేఖలు BC మరియు EF ల మధ్య ఉన్నాయి. కావున (AECB) వై॥ = (FDCB) వై॥ (ఎలా ?)

దీని నుండి మనకు (∆ABC) వై॥ = \(\frac {1}{2}\) (సమాంతర చతుర్భుజం AFCB) వై॥ …………… (i)
మరియు (∆DBC) వై॥ = \(\frac {1}{2}\) (సమాంతర చతుర్భుజం FDCB) వై॥ అగును …….. (ii)
(i), (ii) నుండి, దీని నుండి (∆ABC) వై॥ = (∆DBC) వై॥ అని చెప్పవచ్చు.
మనం ∆ABC మరియు ∆DBCల వైశాల్యాలను ముందు కృత్యములో చెప్పినట్లుగా చదరాలను లెక్కించు పద్ధతి ద్వారా గణించి వైశాల్యములు ఎలా సమానం అవుతాయో సరిచూడవచ్చు. (పేజీ నెం. 254)

సిద్ధాంతాలు

1. ఒకే భూమి మరియు ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్యగల సమాంతర చతుర్భుణాల వైశాల్యాలు సమానము. (పేజీ నెం. 250)
సాధన.
ఉపపత్తి : ABCD మరియు PQCD అనే రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలు ఒకే భూమి DC మరియు రెండు సమాంతర రేఖలు DC మరియు PB ల మధ్య ఉన్నాయనుకుందాం. ∆DAP మరియు ∆CBQలలో

PD || CQ మరియు PB తిర్యగ్రేఖ వలన \(\angle \mathrm{DPA}=\angle \mathrm{CQB}\) మరియు AD || CB మరియు PB తిర్యగ్రేఖవలన \(\angle \mathrm{DAP}=\angle \mathrm{CBQ}\) ఇలాగే PQCD సమాంతర చతుర్భుజమైనందున PD = QC అగును. ఇందుచే ∆DAP, ∆CBQ లు రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలు మరియు వాటి వైశాల్యాలు సమానము.
కావున (PQCD) వై॥ = (AQCD) వై॥ + (DAP)వై॥ = (AQCD)వై॥ + (CBQ)వై॥ = (ABCD)వై॥ అగును.
గ్రాఫ్ కాగితములపై గీచిన సమాంతర చతుర్భుజాలలో చదరాల సంఖ్యను లెక్కించి ఫలితాన్ని సరిచూడవచ్చును.

రెండు సమాంతర చతుర్భుజాల వైశాల్యాలు సమానంగా ఉండడానికి అవి ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉన్ననూ, ఒకే భూమిపై ఉండనవసరం లేదని రేష్మా వాదించింది. దానికి సమాన భూమి ఉంటే సరిపోతుందని అన్నది. ఆమె వాదన అవగాహన కొరకు పైపటము పరిశీలిద్దాము.
AB = A₁B₁ అయిన A₁B₁C₁D₁ సమాంతర చతుర్భుజాన్ని ABCD సమాంతర చతుర్భుజముపై ఏకీభవించునట్లు ఉంచితే A శీర్షం A₁ పైన B శీర్షం B₁ పైన వచ్చాయి. అదే విధంగా \(\overline{\mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}}\),CD పై ఏకీభవించింది. కావున వీటి వైశాల్యాలు సమానమైనాయి.

2. రెండు త్రిభుజాలు ఒకే భూమి (లేదా సమాన భూములు) మరియు ఒకే వైశాల్యాలు కలిగి ఉంటే అవి ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉంటాయి. (పేజీ నెం. 255)

పటం పరిశీలించండి. BC భుజం పైన గల త్రిభుజాలు ఏవి ? ∆ABC, ∆DBC త్రిభుజాల ఎత్తులు ఏవి ?
ఒకే భూమిని కలిగి, వైశాల్యాలు సమానం అయితే, వాటి ఎత్తులు ఎలా ఉంటాయి ? A, Dలు సరేఖీయాలేనా ?

ఉదాహరణలు

1. ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము ABEF ఒక దీర్ఘచతురస్రము DG, AB పైకి గీచిన లంబము అయిన
(i) (ABCD) వై॥ = (ABEF) వై॥
(ii) (ABCD) వై॥ = AB × DG అని చూపండి. (పేజీ నెం. 251)
సాధన.

(i) దీర్ఘచతురస్రము కూడా ఒక సమాంతర చతుర్భుజమే.
∴ (ABCD) వై॥ = (ABEF) వై॥ ………. (1) (ఒకే భూమి, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉండే రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలు)

(ii) (ABCD) వై॥ = (ABEF) వై॥ (∴ (1) నుండి)
= AB × BE (∵ ABEF దీర్ఘచతురస్రం కావున)
= AB × DG
(∵ DG ⊥ AB మరియు DG = BE)
అందుచే (ABCD) వై॥ = AB × DG అయినది.
పై ఫలితము బట్టి మనము “సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యము. దాని భూమి (ఏదైనా ఒక భుజము) మరియు దానిపైకి గీయబడిన లంబాల పొడవుల లబ్దానికి సమానము” అని చెప్పవచ్చు.

2. త్రిభుజము ABC మరియు సమాంతర చతుర్భుజము ABEF లు ఒకే భూమి AB మరియు ఒకే సమాంతర రేఖలు AB మరియు EF ల మధ్య ఉంటే (∆ABC) వై॥ = \(\frac {1}{2}\)(ABEF) వై॥ అని చూపండి. (పేజీ నెం. 251)
సాధన.
BH || AC అగునట్లు B గుండా ఒక రేఖను గీస్తే అది పొడిగించిన FE ని H వద్ద ఖండించింది.
∴ ABHC ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.

BC కర్ణము దీనిని రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజించింది. కావున
(∆ABC) వై॥ = (∆BCH) వై॥
= \(\frac {1}{2}\)(ABHC) వై॥
కాని సమాంతర చతుర్భుజాలు ABHC మరియు ABEF లు ఒకే భూమి AB పైన AB || EF సమాంతరరేఖల మధ్య ఉన్నాయి. కావున (∆BHC) వై॥ = (ABEF) వై॥ అందువలన
(∆ABC) వై॥ = \(\frac {1}{2}\)(ABEF) వైశాల్యం అయినది.
దీని నుండి మనం “ఒకే భూమి, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్యన ఒక త్రిభుజము, సమాంతర చతుర్భుజము ఉంటే, త్రిభుజ వైశాల్యము, సమాంతర చతుర్భుజం వైశాల్యములో సగము ఉంటుంది” అని చెప్పవచ్చును.

3. ఒక రాంబిలో కర్ణాలు 12 సెం.మీ. మరియు 16 సెం.మీ. దాని ఆసన్న భుజాల మధ్య బిందువులను వరుస క్రమములో కలుపగా ఏర్పడే పటము యొక్క వైశాల్యము ఎంత ? (పేజీ నెం. 251)
సాధన.
ABCD రాంబస్ యొక్క భుజాలు AB, BC, CD మరియు DA ల మధ్య బిందువులు M, N, O మరియు Pలను వరుసలో కలుపగా ఏర్పడిన పటము MNOP.

ఏర్పడిన MNOPఏ ఆకారంలో ఉంది ? ఎందుకు ? PN కలిపితే PN || AB మరియు PN || DC అవుతాయి (ఎలా ?) ఒకే భూమి, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఒక త్రిభుజము, సమాంతర చతుర్భుజము ఉంటే త్రిభుజ వైశాల్యం, సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యంలో సగం ఉంటుందని మీకు తెలుసు.

పై ఫలితాన్ని బట్టి సమాంతరచతుర్భుజము ABNP మరియు త్రిభుజము MNP లు ఒకే భూమి PN పైన, ఒకే సమాంతరాలు PN మరియు AB ల మధ్య ఉన్నాయి.

∆MNP వై॥ = \(\frac {1}{2}\)ABPNవై॥ ……………… (i)
ఇదే విధముగా ∆PONవై॥ = \(\frac {1}{2}\)PNCDవై॥ ……………..(ii)
మరియు రాంబస్ వైశాల్యము = \(\frac {1}{2}\) × d₁d₂ కావున (i), (ii), (iii) లను బట్టి
(MNOP) వై॥ = (∆MNP) వై॥ + (∆PON) వై॥
= \(\frac {1}{2}\)(ABNP) వై॥ + \(\frac {1}{2}\)(ABCD) వై॥
= \(\frac {1}{2}\)(రాంబస్ ABCD) వై॥
= \(\frac {1}{2}\)(\(\frac {1}{2}\) × 12 × 16) = 48 చ. సెం.మీ.

4. ఒక త్రిభుజాన్ని దాని మధ్యగతము సమాన వైశాల్యాలు గల రెండు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుందని చూపండి. (పేజీ నెం. 255)
సాధన.

త్రిభుజము ABC లో AD మధ్యగతం అనుకోండి. ∆ABD మరియు ∆ADC లకు ఒకే ఉమ్మడి శీర్షం. దీని భూములు BD మరియు DCలు సమానము. AE ⊥ BC గీయండి.
ఇప్పుడు, (∆ABD) = \(\frac {1}{2}\) × భూమి BD × ∆ADB యొక్క ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\) × BD × AE
= \(\frac {1}{2}\) × DC × AE (∵ BD = DC)
= \(\frac {1}{2}\) × భూమి DC × ∆ACD యొక్క ఎత్తు
= ∆ACD వై॥
కావున (∆ABD) వై॥ = (∆ACD) వై అయినది.

5. కింది పటంలో ABCD ఒక చతుర్భుజం. AC ఒక కర్ణము, DE || AC మరియు BC ని పొడిగించగా అది E వద్ద ఖండించింది. అయిన (ABCD) వై॥ = (∆ABE) వై॥ అని చూపండి. (పేజీ నెం. 256)
సాధన.

(ABCD) వై॥ = (∆ABC) వై॥ + (∆DAC) వై॥
∆DAC మరియు ∆EAC లు ఒకే భూమి \(\overline{\mathrm{AC}}\)
మరియు ఒకే సమాంతరాలు DE || AC మధ్యగలవు.
(∆DAC) వై॥ = (∆EAC) వై॥ (ఎందుకు ?)
సమాన వైశాల్యాల పటాలను ఇరువైపులా కలుపగా
(∆DAC) వై॥ + (∆ABC) వై॥
= (∆EAC) వై॥ + (∆ABC) వై॥
కావున (ABCD) వై॥ = (∆ABE) వై॥

6. కింది పటంలో AP || BQ || CR. (∆AQC) వై॥ = (∆PBR) వై॥ అని చూపండి. (పేజీ నెం. 258)
సాధన.

∆ABQ మరియు ∆PBQ లు ఒకే భూమి BQ మరియు ఒకే సమాంతర రేఖలు AP || BQల మధ్య ఉన్నాయి.
కావున (∆ABQ) వై॥ = (∆PBQ) వై॥ …………. (1)
ఇదే విధంగా (∆CQB) వై॥ = (∆RQB) వై॥
(ఒకే భూమి BQ మరియు BQ || CR) …….. (2)
(1), (2) ఫలితాలను కలుపగా
(∆ABQ) వై॥ + (∆CQB) వై॥ = (∆PBQ) వై॥ + (∆RQB) వై॥
అందుచే ∆AQC వై॥ = ∆PBR వై॥ అయినది.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 11th Lesson వైశాల్యాలు Exercise 11.3

1. ∆ABC లో (పటం చూడండి), మధ్యగతరేఖ AD యొక్క మధ్యబిందువు E అయిన

ప్రశ్న (i)
∆ABE వై|| = ∆ACE వై||
సాధన.
∆ABC లో, AD మధ్యగతము.
∴ ∆ABD = ∆ACD ………..(1)
(∵ ఒక త్రిభుజంలోని మధ్యగతము దానిని రెండు సమాన త్రిభుజాలుగా విభజించును)
అదే విధంగా ∆ABD లో BE మధ్యగతము
∴ ∆ABE = ∆BED = \(\frac {1}{2}\)∆ABD ……….. (2)
అదే విధంగా ∆ACD లో CE మధ్యగతము
∴ ∆ACE = ∆CDE = \(\frac {1}{2}\)∆ACD ……. (3)
(1), (2) మరియు (3) ల నుండి;
∆ABE = ∆ACE అని నిరూపించబడినది.
(లేక)
∆ABD = ∆ACD
[∵ ∆ABC లో AD మధ్యగతము)
\(\frac {1}{2}\)∆ABD = \(\frac {1}{2}\)∆ACD [2చే భాగించగా]
∆ABE = ∆AEC [∵ ∆ABD కు BE మధ్యగతము]
[∆ACD కు CE మధ్యగతము]

ప్రశ్న (ii)
∆ABE వై|| = \(\frac {1}{4}\)(∆ABC) వై||
సాధన.
∆ABE = \(\frac {1}{2}\)∆ABD
[(i) నుండి; ∆ABD యొక్క మధ్యగతం BE]
∆ABE = \(\frac {1}{2}\) [\(\frac {1}{2}\)∆ABC]
[∵ ∆ABC యొక్క మధ్యగతము AD]
= \(\frac {1}{4}\)∆ABC
అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 2.
సమాంతర చతుర్భుజములో కర్ణాలు, దానిని సమాన వైశాల్యం గల నాలుగు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తాయని చూపండి.
సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
కర్ణాలు AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించు కుంటాయి.
∆ABC మరియు ☐ABCDలు ఒకే భూమి AB మరియు ఒకే సమాంతరాలు AB మరియు CDల మధ్యన కలవు.

∴ ∆ABC = \(\frac {1}{2}\) ☐ABCD
∆ABC లో; BO మధ్యగతము
[∵ AC, BD కర్ణాల మధ్య ఖండన బిందువు O]
∴ ∆AOB ≅ ∆BOC …….. (1)
[∵ ఒక త్రిభుజంలో మధ్యగతము ఆ త్రిభుజంను సమాన వైశాల్యాలు గల రెండు త్రిభుజాలుగా విభజించును]
అదే విధంగా ∆ABD మరియు ☐ABCD లు ఒకే భూమి AB మరియు రెండు సమాంతరాలు AB, CDల మధ్యన కలవు.
∴ ∆ABD = \(\frac {1}{2}\)☐ABCD
మరియు ∆AOB = ∆AOD …… (2)
[∵ ∆ABD యొక్క మధ్యగతము AO]
(1) మరియు (2)ల నుండి,
∆AOB = ∆BOC = ∆AOD
అదే విధముగా ∆AOD = ∆COD
[∵ ∆ACD మధ్య గత రేఖ OD]
∴ ∆AOB = ∆BOC = ∆COD = ∆AOD
అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 3.
పటంలో త్రిభుజాలు ∆ABC మరియు ∆ABD ఒకే భూమి AB పైన ఉన్నాయి. CD రేఖాఖండం \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని O వద్ద సమద్విఖండన చేస్తే (∆ABC) వై॥ = (∆ABD) వై॥ అని చూపండి.

సాధన.
పటం నుండి ∆AOC మరియు ∆BOD లలో
OA = OB [∵ దత్తాంశము]
OC = OD
\(\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOD}\) (శీర్షాభిముఖ కోణాలు]
∴ ∆AOC ≅ ∆BOD (భు.కో.భు. నియమం)
ఆ విధంగా AC = BD (CPCT)
\(\angle \mathrm{OAC}=\angle \mathrm{OBD}\) (CPCT)
కాని AC, BDల యొక్క ఏకాంతర కోణాలు
∴ AC // BD
అదే విధంగా AC = BD మరియు AC // BD;
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
☐ABCD యొక్క కర్ణము AB
⇒ ∆ABC ≅ ∆ABD (∵ ఒక సమాంతర చతుర్భుజమును కర్ణము రెండు సర్వ సమాన త్రిభుజాలుగా విభజించును)
∴ (∆ABC) వైశాల్యము = (∆ABD) వైశాల్యము

4. పటంలో చూపిన విధంగా ∆ABC లో D, E, F లు వరుసగా భుజాలు BC, CA మరియు AB యొక్క మధ్య బిందువులు అయిన కింది వానిని నిరూపించండి.

ప్రశ్న (i)
BDEF ఒక సమాంతర చతుర్భుజము
సాధన.
∆ABC లో D, E మరియు F లు భుజాల మధ్య బిందువులు.
∴ EF// BC
EF = \(\frac {1}{2}\)BC
FD // AC
FD = \(\frac {1}{2}\)AC
ED // AB
ED = \(\frac {1}{2}\)AB [∵ ఒక త్రిభుజపు రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలుపగా ఆ రేఖాఖండం మూడవ భుజంకు సమాంతరము మరియు దానిలో సగముండును.]
∴ ☐BDEFలో
BD = EF (∵ BC మధ్య బిందువు D మరియు \(\frac {1}{2}\)BC = EF]
DE = BF
∴ ☐BDEF ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.

ప్రశ్న (ii)
(∆DEF) వై || = \(\frac {1}{4}\)(∆ABC) వై ||
సాధన.
☐BDEFఒక సమాంతర చతుర్భుజం ((i) నుండి) కావున ∆BDF = ∆DEF
అదే విధముగా ☐CDFE; ☐AEDF లు సమాంతర చతుర్భూజాలు.
∴ ∆DEF = ∆CDE = ∆AEF
∴ ∆ABC = ∆AEF + ∆BDF + ∆CDF + ∆DEF = 4∆DEF
⇒ ∆DEF = \(\frac {1}{4}\)∆ABC

ప్రశ్న (iii)
(BDEF) వై || = \(\frac {1}{2}\)(∆ABC) వై ||.
సాధన.
☐BDEF = 2∆DEF ……….. (1)
((ii) నుండి)
∆ABC = 4 ∆DEF ………… (2)
((ii) నుండి)
(1) మరియు (2) నుండి,
∆ABC = 2 (2∆DEF) = 2 ☐BDEF అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 5.
పటంలో చూపిన విధంగా ∆ABCలో D మరియు E బిందువులు వరుసగా AB, AC భుజాల పై గల బిందువులు మరియు (∆DBC) వై॥ = (∆EBC) వై॥ అయిన DE // BC అని చూపండి.

సాధన.
∆DBC = ∆EBC
రెండు త్రిభుజాలు ఒకే భూమి BC మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు BC మరియు DE ల మధ్యన కలవు. కావున వాటి వైశాల్యాలు సమానము.
∴ BC // DE.

ప్రశ్న 6.
కింది పటంలో BC కు సమాంతరంగా A గుండా XY అనే రేఖ గీయబడింది. BE || CA మరియు CF || BA లను గీస్తే అవి XY ను E మరియు Fల వద్ద వరుసగా ఖండిస్తే (∆ABE) వై॥ = (∆ACF) వై॥ అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశం XY//BC; BE//CA; CF//BA
చతుర్భుజం ABCF లో AB//CF మరియు BC//AF
కావున ☐ABCF ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
☐ABCE మరియు ☐ACBE లలో
∆ABC = ∆ACE …….. (1);
∆ABC = ∆ABE ……. (2) [∵ ఒక సమాంతర చతుర్భుజమును కర్ణము రెండు సరూప త్రిభుజములుగా విభజించును]
∴ ∆ACF = ∆ABE [(1) మరియు (2) ల నుండి] నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 7.
కింది పటంలో ABCD ట్రెపీజియంలో AB//DC కర్ణాలు AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకున్నాయి.
(∆AOD) వై|| = (∆BOX) వై॥ అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశం AB // CD
∆ADC మరియు ∆BCD లు ఒకే భూమి మరియు ఒకే సమాంతరాలు AB మరియు CDల మధ్యన కలవు.
AB // CD.
∴ ∆ADC = ∆BCD
⇒ ∆ADC – ∆COD = ∆BCD – ∆COD
⇒ ∆AOD = ∆BOC (పటం నుండి)

8. కింది పటంలో ABCDE ఒక పంచభుజి. B గుండా ACకు సమాంతరంగా గీచిన రేఖ, పొడిగించిన DCని F వద్ద ఖండించిన కింది వానిని నిరూపించుము.

ప్రశ్న (i)
(∆ACB) వై॥ = (∆ACF) వై ॥
సాధన.
ABCDE ఒక పంచభుజి మరియు AC//BF
∆ACB మరియు ∆ACF లు ఒకే భూమి AC మరియు ఒకే సమాంతరాలు AC//BF ల మధ్యన కలవు.
∴ ∆ACB = ∆ACF

ప్రశ్న (ii)
(AEDF) వై ॥ = (ABCDE) వై ॥

సాధన.
☐AEDF = ☐AEDC + ∆ACF
= ☐DAEDC + ∆ABC
[∵ ∆ACF = ∆ACB]
= (ABCDE) వై॥ నిరూపించబడినది

ప్రశ్న 9.
కిందీ పటంలో ∆RAS వై॥ = ∆RBS వై॥ మరియు ∆QRB వై॥ = ∆PAS పై॥ అయిన చతుర్భుజాలు PQRS మరియు RSBA లు రెండునూ ట్రెపీజియమ్ ని చూపండి.

సాధన.
∆RAS = ∆RBS ……. (1)
రెండు త్రిభుజాలు ఒకే భూమి RS మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు RS మరియు AB ల మధ్యన కలవు. కాబట్టి వాటి వైశాల్యాలు సమానము. మరియు RS//AB
∴ ☐ABRS చతుర్భుజం నందు AB//RS.
∴ ☐ABRS (లేదా) ☐RSBA ఒక ట్రెపీజియమ్
∆QRB = ∆PAS (దత్తాంశం)
⇒ ∆QRB – ∆RBS = ∆PAS – ∆RAS
[(1) నుండి ∆RBS = ∆RAS]
⇒ ∆QRS = ∆PRS.
ఈ త్రిభుజాలు ఒకే భూమి RS పై మరియు RS మరియు PQల మధ్యన కలవు. కావున వాటి వైశాల్యాలు సమానము, PQ//RS.
PQRS చతుర్భుజంలో PQ//RS. కావున ☐PQRS ట్రెపీజియము.

ప్రశ్న 10.
ఒక గ్రామంలో రామయ్య అనే వ్యక్తికి చతుర్భుజాకారంలో ఖాళీ స్థలం కలదు. ఆ గ్రామ పంచాయితీలో పాఠశాల నిర్మాణానికి అతని స్థలంలో ఒక మూలలో కొంత భాగం కావల్సివచ్చింది. ఆయన స్థలాన్ని ఇవ్వడానికి అంగీకరిస్తూ, దానికి బదులుగా అంతే వైశాల్యం గల స్థలాన్ని పొందితే ఏ విధంగా ఆ స్థలం వస్తుందో వివరించండి. (స్థలం యొక్క చిత్తు పటం గీయండి.)
సాధన.

పటం నుండి ☐ABCD రామయ్య పొలం అనుకొనుము.
∆MCD లో పాఠశాల నిర్మాణము జరుగును.
M, BC మధ్య బిందువు
☐ABCD ≅ ∆ADE
BD కర్ణంను గీయుము.
C గుండా BD కి సమాంతర రేఖను గీయుము. అది BC ని E వద్ద ఖండించును.
D, Eలను కలుపుము. ∆ADE మనకు కావలసిన త్రిభుజము.
పరిశీలన:
∆CED మరియు ∆CEBలు ఒకే భూమి CE మరియు ఒక జత సమాంతరాలు CE, DB ల మధ్యన ఉన్నవి.

∴ ∆CED = ∆CEB (పటం నుండి)
∆CEM + ∆CMD = ∆CEM + ∆BME
∴ ∆CMD = ∆BME
∴ ∆ADE = ☐ABCD

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 11th Lesson వైశాల్యాలు Exercise 11.2

ప్రశ్న 1.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యము 36 చ.సెం.మీ. AB = 4.2 సెం.మీ. అయిన ABEF సమాంతర చతుర్భుజము కనుగొనుము.

సాధన.
☐ABCD వైశాల్యము = 36 చ.సెం.మీ.
AB = 4.2 సెం.మీ.
36 = 4.2 × h
⇒ h = \(\frac {36}{4.2}\)
☐ABCD మరియు ☐ABEF లు ఒకే భూమి మరియు ఒకే జత సమాంతరాల మధ్యన గలవు. కావున
∴ ☐ABCD వై|| = ☐ABEF వై||
☐ABEF వై|| = భూమి × ఎత్తు = AB × ఎత్తు
∴ ఎత్తు = \(\frac {36}{4.2}\) = 8.571 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము. DC భుజము పైకి గీయబడిన లంబము AE మరియు AD భుజము పైకి గీయబడిన లంబము CF. AB = 10 సెం.మీ., AE = 8 సెం.మీ. మరియు CF = 12 సెం.మీ. అయిన AD కొలత కనుగొనుము

సాధన.
సమాంతర చతుర్భుజపు వైశాల్యము = భూమి × ఎత్తు
AB × AE = AD × CF
⇒ 10 × 8 = 12 × AD
⇒ AD = \(\frac{10 \times 8}{12}\) = 6.666………….
∴ AD = 6.7 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజములో AB, BC, CD మరియు AD భుజాల మధ్య బిందువులు వరుసగా E, F, G మరియు H లు అయిన (EFGH) వై|| = \(\frac {1}{2}\)(ABCD) వై|| అని చూపుము.

సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
E, F, G మరియు H లు సమాంతర చతుర్భుజము యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులు, E మరియు Gలను కలుపుము.
∆EFG మరియు ☐EBCGలు ఒకే భూమి EG మరియు సమాంతరాలు EG మరియు BC ల మధ్యన కలవు.
∴ ∆EFG = \(\frac {1}{2}\) ☐EBCG …….. (1)
అదే విధంగా,
∆EHG = \(\frac {1}{2}\) ☐EGDA ……….. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి,
∆EFG + ∆EHG = \(\frac {1}{2}\) ☐EBCG + \(\frac {1}{2}\) ☐EGDA
☐EFGH = \(\frac {1}{2}\) [☐EBCG + ☐EGDA]
☐EFGH = \(\frac {1}{2}\) [☐ABCD] నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 4.
∆APM, ∆DPO, ∆OCN మరియు ∆MNBలను ఒకచోట చేర్చితే ఏ రకమైన చతుచ్భుజం వస్తుంది?
సాధన.

☐ABCD ఒక రాంబస్.
M, N, O, Pలు భుజాల మధ్య బిందువులు.
ఈ మధ్య బిందువులను కలుపగా ∆APM, ∆DPO, ∆OCN మరియు ∆MNB లు ఏర్పడినవి.
వీటిలో షేడ్ ప్రాంతం కలిగిన పటం ఏర్పడును.

ప్రశ్న 5.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజములో P మరియు Q అను రెండు బిందువులు వరుసగా DC మరియు ADలపై ఉంటే (∆APB) వై॥ = (∆BQC) వై॥ అని చూపండి.

సాధన.
∆APB మరియు ☐ABCDలు ఒకే భూమి AB మరియు రెండు సమాంతరాలు AB మరియు CDల మధ్యన కలదు.
∴ ∆APB = \(\frac {1}{2}\) ☐ABCD ……… (1)
అదే విధంగా ∆BCQ మరియు ☐BCDA లు ఒకే భూమి BC మరియు సమాంతరాలు BC, AD ల మధ్యన గలవు.
∴ ∆BCQ = \(\frac {1}{2}\) ☐BCDA ……..(2)
కాని ☐ABCD మరియు ☐BCDA లు సమాంతరాలు.
∴ ∆APB = ∆BCQ[(1) మరియు (2) ల నుండి]

6. ABCD సమాంతర చతుర్భుజము అంతరములో P అనేది ఒక బిందువు అయిన కింది వానిని నిరూపించండి.

ప్రశ్న (i)
(∆APB) వై|| + (∆PCD) వై|| = \(\frac {1}{2}\)(ABCD) వై||

సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
P ఒక సమాంతర చతుర్భుజము యొక్క అంతర బిందువు AB కి సమాంతరంగా P గుండా ఒక \(\overline{\mathrm{XY}}\) రేఖను గీయుము.
∆APB = \(\frac {1}{2}\)☐AXYB ……. (1)
[∵ ∆APB, ☐AXYB లు ఒకే భూమి ABమరియు AB, XY సమాంతర రేఖల మధ్యన కలవు]
మరియు ∆PCD = \(\frac {1}{2}\)☐CDXY …….. (2)
[∵ ∆PCD; ☐CDXYలు ఒకే భూమి CD మరియు సమాంతరాలు CD మరియు XY ల మధ్యన కలవు]
(1) మరియు (2) లను కలపగా
∆APB + ∆PCD = \(\frac {1}{2}\)☐AXYB + \(\frac {1}{2}\)☐CDXY
= \(\frac {1}{2}\) [☐AXYB + ☐CDXY] [పటం నుండి]
= \(\frac {1}{2}\) ☐ABCD

ప్రశ్న (ii)
(∆APD) వై|| + (∆PBC) వై॥ = (∆APB) వై॥ + (∆PCD) వై॥
(సూచన : AB కి సమాంతరముగా P నుండి ఒక రేఖను గీయుము).
సాధన.
LM // AD ను నిర్మించుము.
∆APD + ∆PBC = \(\frac {1}{2}\) ☐AMLD + \(\frac {1}{2}\)BMLC
= \(\frac {1}{2}\) [☐AMLD + ☐BMLC)
= \(\frac {1}{2}\) ☐ABCD = ∆APB + ∆PCD [(i) నుండి] అని నిరూపించబడినది.
[∵ ∆APD, ☐AMLD లు ఒకే భూమి AD మరియు సమాంతరాలు AD మరియు LM ల మధ్యన కలవు]

ప్రశ్న 7.
ట్రెపీజియం యొక్క వైశాల్యము దాని సమాంతర భుజాల మొత్తాన్ని వాటి మధ్య దూరంతో గుణించగా వచ్చే లబ్ధంలో సగము ఉంటుందని నిరూపించండి.
సాధన.

☐ABCDఒక ట్రెపీజియం;
AB//CD మరియు DE ⊥ AB
☐ABCD = ∆ABC + ∆ADC
= \(\frac {1}{2}\)AB × DE + \(\frac {1}{2}\)DC × DE
[∵ ∆ = \(\frac {1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు]
= \(\frac {1}{2}\) × DE (AB + DC) అని నిరూపించబడినది.

8. PQRS మరియు ABRS అనేవి రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలు. BR భుజముపై X అనేది ఒక బిందువు. అయిన

ప్రశ్న (i)
(PQRS) వై|| = (ABRS) వై ||
సాధన.
☐PQRS మరియు ☐ABRSలు ఒకే భూమి SR మరియు సమాంతర భుజాలు SR మరియు PB ల మధ్యన గలవు.
∴ ☐PQRS వై|| = ☐ABRS వై||

ప్రశ్న (ii)
(∆AXS) వై|| = \(\frac {1}{2}\)(PQRS) వై||
సాధన.
(1) నుండి ☐PQRS = ☐ABRS
☐ABRS మరియు ∆AXS లు ఒకే భూమి AS మరియు AS, BR అను సమాంతరాల మధ్యన కలవు.
∴ ∆AXS = \(\frac {1}{2}\)☐ABRS
= \(\frac {1}{2}\)☐PQRS ((1) నుండి) నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 9.
ఒక రైతుకు పటంలో చూపినట్లు PQRS సమాంతర చతుర్భుజు ఆకారములో పొలము ఉన్నది. RS భుజముపై మధ్యబిందువు A నుండి P, Q బిందువులను కలిపారు. పొలము ఎన్ని భాగాలుగా విభజింపబడినది ? ఏ భాగాలు ఏ ఆకారములో ఉన్నాయి ? రైతు తన పొలములో వరి మరియు వేరుశెనగ పంటను సమాన భాగాలలో వేయాలనుకుంటే, ఏ విధంగా వేస్తాడు ? కారణాలు తెలపండి.

సాధన.
పటం నుండి ∆APQ, ☐PQRSలు ఒకే భూవిం PQ
మరియు సమాంతరాలు PQ, SR ల మధ్యన కలవు.
∴ ∆APQ = \(\frac {1}{2}\)☐PQRS
⇒ ☐PQRS – ∆APQ = \(\frac {1}{2}\)☐PQRS
⇒ \(\frac {1}{2}\)☐PQRS = ∆ASP + ∆ARQ
∴ రైతు తన వేరుశనగ పంటను ∆APQ ప్రాంతంలో వేస్తాడు.
రైతు తన వరి పంటను ∆ARQ ప్రాంతంలోనూ, వేరుశెనగ పంటను ∆ASP ప్రాంతంలోను పండిస్తాడు.

ప్రశ్న 10.
రాంబస్ యొక్క వైశాల్యము, దాని కర్ణముల లబ్దములో సగం ఉంటుందని నిరూపించండి.
సాధన.

☐ABCD ఒక రాంబస్.
d₁ మరియు d₂ కర్ణాలు ‘O’ వద్ద ఖండించుకుంటాయి.
d₁ ⊥ d₂ కావున

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 11th Lesson వైశాల్యాలు Exercise 11.1

ప్రశ్న 1.
∆ABC లో \(\angle \mathrm{ABC}\) = 90°, AD = DC, AB = 12 సెం.మీ. మరియు BC = 6.5 సెం.మీ. అయిన ∆ADB వైశాల్యము కనుగొనండి.

సాధన.
∆ADB = \(\frac {1}{2}\) ∆ABC (∵ ∆ABC లో AD మధ్యగతము)
= \(\frac {1}{2}\)[\(\frac {1}{2}\)AB × BC)
= \(\frac {1}{2}\) × 12 × 6.5 = 19.5 చ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
PARS చతుర్భుజములో \(\angle \mathrm{QPS}=\angle \mathrm{SQR}\) = 90°, PQ = 12 సెం.మీ., PS = 9 సెం.మీ., QR = 8 సెం.మీ. మరియు SR = 17 సెం.మీ. అయిన PQRS వైశాల్యం కనుగొనండి. (సూచన : PQRSలో రెండు భాగాలున్నాయి రెండు భాగాలున్నాయి.

సాధన.
∆QPS వైశాల్యము
= \(\frac {1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\) × 9 x 12 = 54 చ.సెం.మీ.
∆QPS లో Q² = PQ² + PS²
QS = \(\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}\)
= \(\sqrt{225}\) = 15
∴ ∆QSR వైశాల్యము = \(\frac {1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\) × 15 × 8 = 60 చ. సెం.మీ.
☐PQRS = ∆QPS + ∆QSR
= 54 + 60 = 114 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
కింది పటములో ADCE ఒక దీర్ఘచతురస్రము అయిన ABCD ట్రెపీజియం వైశాల్యము కనుగొనండి. (సూచన : ABCD లో రెండు భాగాలున్నాయి)

సాధన.
ట్రెపీజియం వైశాల్యము
= \(\frac {1}{2}\) (సమాంతర భుజాల మొత్తం) × (ఎత్తు)
(A) = \(\frac {1}{2}\) (a + b) h
పటం నుండి, a = 3 + 3 = 6 సెం.మీ. .
b = 3 సెం.మీ. (∵ దీర్ఘచతురస్రపు ఎదుటి భుజాలు)
h = 8 సెం.మీ.
∴ A = \(\frac {1}{2}\)(6 + 3) × 8 = 36 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము. కర్ణములు AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకున్నాయి. (∆AOD) వై|| = (∆BOC) వై|| అని నిరూపించండి. (సూచన : సర్వసమాన పటాలు సమాన వైశాల్యాలు కలిగి ఉంటాయి.)

సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
కర్ణాలు AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకుంటాయి.
∆AOD మరియు ∆BOC లలో
AD = BC [∵ //^gm యొక్క ఎదుటి భుజాలు]
AO = OC [∵ కర్ణాలు సమద్విఖండన చేసుకొనును]
OD = OB
∴ ∆AOD ≅ ∆BOC (భు.భు.భు. నియమం ప్రకారం)
∴ ∆AOD = ∆BOC (సమాన వైశాల్యాలు గల త్రిభుజాలు)

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. పటములో వృత్తం A నకు సర్వసమానంగా ఉన్న వృత్తాలను గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 262)

సాధన.
వృత్తం A నకు సర్వసమానంగా ఉన్న వృత్తం ‘E’.

2. వృత్తాల యొక్క ఏ కొలత వాటిని సర్వసమానం చేస్తుంది? (పేజీ నెం. 262)
సాధన.
వృత్తాల యొక్క వ్యాసార్ధములు వాటిని సర్వసమానం చేస్తుంది.

ప్రయత్నించండి

1. ‘O’ కేంద్రంగా కల వృత్తంలో AB ఒక జ్యా మరియు ‘M’ జ్యా మధ్య బిందువు. అయినా \(\overline{\mathrm{OM}}\), AB కి అంబింగా ఉండునని నిరూపించండి. (సూచన : OA, OB లను కలిపి ∆OAM మరియు ∆OBM లను పోల్చండి.) (పేజీ నెం. 267)

సాధన.

‘O’ వృత్త కేంద్రము.
AB ఒక జ్యా, M, AB పై మధ్య బిందువు.
A, B లను ‘O’ తో కలుపుము.
∆OMA మరియు ∆OMB లలో
OA = OB (వ్యాసార్ధాలు )
OM = OM (ఉమ్మడి భుజం)
MA = MB (దత్తాంశము)
∴ ∆OMA ≅ ∆OMB
(భు. భు.భు. సర్వసమాన ధర్మం )
∴ \(\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}\) (C.P.C.T).
కాని \(\angle \mathrm{OMA}\) మరియు \(\angle \mathrm{OMB}\) లు రేఖీయ ద్వయం
∴ \(\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}\) = 90°
i.e., OM ⊥ AB.

2. మూడు బిందువులు సరేఖీయాలైన, వాటి గుండా పోయేట్లు గీయగల వృత్తాలెన్ని? ఒక రేఖపై ఏవేని మూడు బిందువులను తీసుకొని వాటి గుండా పోయేటట్లు వృత్తాలను గీయడానికి ప్రయత్నించండి. (పేజీ నెం. 268)
సాధన.
మూడు బిందువులు సరేఖీయాలైన వాటి గుండాపోవు వృత్తంను గీయలేము.

3. పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రం మరియు AB = CD; OM మరియు ON లు వరుసగా \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\)లకు కేంద్రం నుండి గీచిన లంబాలు. అయిన OM = ON అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 269)

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము మరియు AB = CD జ్యాలు.
OM ⊥ AB; ON ⊥ CD
∆OMB మరియు ∆ONC లలో
OB = OC [∵ వ్యాసార్ధాలు]
BM = CN (∵ \(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)CD)
\(\angle \mathrm{OMB}=\angle \mathrm{ONC}\) [∵ ప్రతి కోణం 90°]
∴ ∆OMB ≅ ∆ONC (లం. క.భు. సర్వసమాన నియమం ప్రకారం )
OM = ON (C.P.C.T)

కృత్యం

1. ఈ క్రింది కృత్యాన్ని చేద్దాం. కాగితంపై ఒక బిందువును . గుర్తించండి. ఈ బిందువును కేంద్రంగా తీసుకొని ఏదేని వ్యాసార్ధంతో ఒక పృత్తాన్ని గీయండి. ఇదే కేంద్రంతో వ్యాసార్ధాన్ని పెంచి లేదా తగ్గించి మరికొన్ని వృత్తాలను గీయండి. ఈ కృత్యం ద్వారా గీచిన వృత్తాలను ఏమని పిలుస్తారు ? (పేజీ నెం. 261)

ఒకే కేంద్రం గల వృత్తాలను ఏకకేంద్ర వృత్తాలు అంటారు.

2. ఒక పలుచని గుండ్రని కాగితం (వృత్తాకార కాగితం) తీసుకొని, దానిని సగానికి (మధ్యకు) మడచి తెరవండి. మరలా మరొక సగానికి మడచి తెరవండి. ఇదే విధంగా అనేకసార్లు తిరిగి చేయండి. చివరికి తెరిచి చూస్తే మీరేమి గమనిస్తారు ? (పేజీ నెం. 262)

3. ఒక గ్రుండని (వృత్తాకార) కాగితాన్ని తీసుకోండి. వృత్త అంచులు ఏకీభవించునట్లు ఏదేని ఒక వ్యాసం వెంట మడవండి. మడతను తెరచి ఇంకొక వ్యాసం వెంబడి మడవండి. మడతను తెరచి చూసిన రెండు వ్యాసాలు కేంద్రం ‘O’ వద్ద ఖండించుకొనుటను గమనిస్తాం. రెండు జతల శీర్షాభిముఖ కోణాలు ఏర్పడుతాయి. ఇవి సమానం, వ్యాసం చివరి బిందువుల A, B, C మరియు D అని పేర్లు పెట్టండి.

జ్యాలు \(\overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{BD}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{AD}}\)లను గీయండి.
నాలుగు వృత్తఖండాలు 1, 2, 3 మరియు 4 లను కత్తిరించండి. ఈ ఖండాలను జతలుగా ఒకదానిపై మరొకటి ఉంచిన (1, 3) మరియు (2, 4) జతలు అంచులు ఏకీభవిస్తాయి. అంటే \(\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{BC}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BD}}\) అవుతాయా ?
ఒక ప్రత్యేక సందర్భములో పై ధర్మాన్ని పరిశీలించారు. ఇదే విషయాన్ని వేర్వేరు కొలతలుగల సమాన కోణాలు తీసుకొని సరిచూసిన జ్యాలు సమానమగును. కింది సిద్ధాంతము ద్వారా గమనించగలం. (పేజీ నెం. 265)

4. వృత్తాకారంలోగల ఒక కాగితాన్ని తీసుకొని దాని కేంద్రం ‘O’ ను గుర్తించండి. వృత్తం యొక్క కొంత భాగాన్ని మడచి తిరిగి తెరవండి. ఏర్పడిన మడత జ్యా ABను సూచిస్తుందనుకోండి. ఇంకొక మడత వృత్త కేంద్రం మరియు జ్యా మధ్య బిందువు గుండా పోయేటట్లు కాగితాన్ని మరల మడవండి. ఇప్పుడు మడతల మధ్య ఏర్పడిన కోణాలను కొలవండి, అవి లంబకోణాలు.

“కాబట్టి వృత్తకేంద్రం నుండి జ్యాను సమద్విఖండన చేసే రేఖ జ్యూకు లంబంగా ఉంటుంది” అని పరికల్పన చేయవచ్చు. (పేజీ నెం. 267)

5. వృత్తం దానిని సగానికి మధ్యలో మడవండి. ఇప్పుడు ఆర్ధవృత్త చాపపు అంచు దగ్గరయుంచి మడత విప్పిన మీకు రెండు సర్వసమాన జ్యాల మడతలు వచ్చును. వాటిని \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) లుగా గుర్తించండి కేంద్రాన్ని ‘O’ గా గుర్తించండి. కేంద్రం ‘O’ నుండి ప్రతి జ్యాకు లంబపు మడత పెట్టండి. విభాగిని ఉపయోగించి వృత్తకేంద్రం నుండి జ్యాలకు గల లంబ దూరాలను పోల్చండి.

ఈ కృత్యాన్ని వృత్తం మడత ద్వారా సమాన జ్యాలు ఏర్పరుస్తూ అనేకసార్లు మరలా చేయండి. మీ పరిశీలనలను . ఒక పరికల్పనగా తెల్పండి. సర్వసమాన జ్యాలు వృత్త కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉంటాయి. (పేజీ నెం. 269)

6. పటంలో చతుర్పులు తీరాలు A, B C మరియు Dలు ఒకే వృత్తం పైన గలవు. ఇటువంటి చతుర్భుజాలు ABCD లను మూడింటిని గీసి చతుర్భుజ కోణాలను కొలచి పట్టికను నింపండి.

పట్టిక నుండి నీవు ఏమి చెప్పగలవు ? (పేజీ నెం. 275)

సిద్ధాంతాలు

1. ఒక వృత్తంలోని రెండు జ్యాలు సమానమైతే అవి కేంద్రం వద్ద ఏర్పరచే కోణాలు సమానం. (పేజీ నెం. 265)
సాధన.
దత్తాంశం : ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తంలో \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) లు రెండు సమాన జ్యాలు. అవి కేంద్రం వద్ద ఏర్పరచిన కోణాలు \(\angle \mathrm{AOB}\) మరియు \(\angle \mathrm{AOB}\).
సారాంశం: \(\angle \mathrm{AOB}\) = \(\angle \mathrm{COD}\)
నిర్మాణం : వృత్త కేంద్రాన్ని జ్యాల యొక్క అంత్య బిందువులతో కలుపుము. ఇప్పుడు ∆AOB మరియు ∆COD లు ఏర్పడతాయి.
నిరూపణ:

∆AOB మరియు ∆COD లలో
AB = CD (దత్తాంశం)
OA = OC (ఒకే వృత్త వ్యాసార్ధాలు)
OB = OD (ఒకే వృత్త వ్యాసార్ధాలు)
కావున ∆AOB ≅ ∆COD (భు.భు.భు. నియమం)
కావున ∆AOB ≅ ∆COD (సర్వసమాన త్రిభుజపు అనురూప కోణాలు)

2. ఒక వృత్తంలోని జ్యాలు కేంద్రం వద్ద చేసే కోణాలు సమానమైన ఆ జ్యాలు సమానం.

ఇది ఇంతకు ముందు చెప్పబడిన సిద్ధాంతం యొక్క విపర్యయం ఇచ్చిన ప్రకారం
\(\angle \mathrm{PQR} \cong \angle \mathrm{MQN}\)
అని తీసుకుంటే \(\angle \mathrm{PQR} ≡ \angle \mathrm{MQN}\) అని మీరు గమనించగలరు. (పేజీ నెం. 266)

3. ఒక చాపము ఒక వృత్తకేంద్రం వద్ద ఏర్పరచుకోణం, ఆ చాపం మిగిలిన వృత్తంపై ఏదేని బిందువు వద్ద ఏర్పరిచే కోణానికి రెట్టింపు ఉంటుంది. (పేజీ నెం. 272)

సాధన.
‘O’ అనునది వృత్తకేంద్రం.
చాపము \(\overparen{\mathrm{PQ}}\) కేంద్రం వద్ద ఏర్పరచు కోణం \(\angle \mathrm{POQ}\).
Rఅనునది (\(\overparen{\mathrm{PQ}}\) పై లేనట్టి) మిగిలిన వృత్తం మీద ఏదేని ఒక బిందువు.
నిరూపణ : ఇక్కడ (i) \(\overparen{\mathrm{PQ}}\) ఒక అల్ప చాపం,
(ii) \(\overparen{\mathrm{PQ}}\) ఒక అర్ధవృత్తం మరియు
(iii) \(\overparen{\mathrm{PQ}}\) ఒక అధిక చాపం అయ్యే మూడు సందర్భాలు కలవు.
R బిందువును ‘O’ కలిపి S బిందువు దాకా పొడిగించడం ద్వారా నిరూపణను మొదలు పెడదాం. (అన్ని సందర్భాలలోనూ) అన్ని సందర్భాలలోను ∆ROP లో
OP = OR (ఒకే వృత్త వ్యాసార్ధాలు)
∴ \(\angle \mathrm{ORP}=\angle \mathrm{OPR}\) (సమద్విబాహు త్రిభుజంలో సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉండే కోణాలు సమానం).
\(\angle \mathrm{POS}\) కోణము ∆ROP కు బాహ్య కోణం (నిర్మాణం)
\(\angle \mathrm{POS}=\angle \mathrm{ORP}+\angle \mathrm{OPR}\) లేదా 2\(\angle \mathrm{OPR}\) ……. (1)
(∵ బాహ్యకోణం అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం)

ఇదే విధంగా ∆ROQ
\(\angle \mathrm{SOQ}=\angle \mathrm{ORQ}+\angle \mathrm{OQR}\) లేదా 2\(\angle \mathrm{ORQ}\) …….. (2)
(∵ బాహ్యకోణం అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం)
(1) మరియు (2) ల నుండి,
\(\angle \mathrm{POS}+\angle \mathrm{SOQ}=2(\angle \mathrm{ORP}+\angle \mathrm{ORQ})\)
అంటే ఇది \(\angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{QRP}\) తో సమానం ……….. (3)
కావున “ఒక చాపము వృత్త కేంద్రం వద్ద ఏర్పరచు కోణం, ఆ చాపం మిగిలిన వృత్తంపై ఏదేని బిందువు వద్ద ఏర్పరచే కోణానికి రెట్టింపు ఉంటుంది” అనే సిద్ధాంతం నిరూపించడమైనది.

4. రెండు బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం (ఆ రేఖాఖండానికి ఒకే వైపునగల) ఏవేని రెండు వేర్వేరు బిందువుల మధ్య ఏర్పరచు కోణాలు సమానం అయితే ఆ బిందువులన్నీ ఒకే వృత్తంపై ఉంటాయి. అంటే అవి చక్రీయాలు అవుతాయి. ఈ ఫలితం యొక్క సత్య విలువను కింది విధంగా పరిశీలించవచ్చు. (పేజీ నెం. 274)
సాధన.
దత్తాంశం : ఏవేని రెండు బిందువులు A, B లను కలుపు రేఖాఖండం \(\overline{\mathrm{AB}}\) నకు ఒకే వైపున గల రెండు బిందువులు C మరియు Dల వద్ద \(\overline{\mathrm{AB}}\) చేయు కోణాలు \(\angle \mathrm{ACB}\) మరియు \(\angle \mathrm{ADB}\) లు సమానమని ఈయబడినవి.

సారాంశం : A, B, C మరియు D లు ఒకే వృత్తం పైన బిందువులు అనగా చక్రీయ బిందువులు.
నిర్మాణం : సరేఖీయాలు కాని మూడు బిందువులు A, B మరియు Cల గుండాపోయేట్లు ఒక వృత్తాన్ని గీయండి.
నిరూపణ : \(\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB}\) అగునట్లుగా D = ‘D’ బిందువు వృత్తంపైన లేనట్లైతే

వృత్తంపై E లేదా ‘E’ అనే బిందువు, AD లేదా ADని పొడిగించినప్పుడు ఖండన బిందువుగా వ్యవస్థితం అవుతుంది. అంటే A, B, C మరియు E లు ఒక వృత్తంపై ఉంటాయి కనుక
\(\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{AEB}\) (ఎందువలన ?)
కానీ \(\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB}\) అని ఈయబడినది.
కాబట్టి \(\angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{ADB}\)
ఇది E మరియు Dలు ఏకీభవిస్తే తప్ప సాధ్యం కాదు. (ఎందువలన ?)
కావున E కూడా Dతో ఏకీభవిస్తుంది.

5. చక్రీయ చతుర్భుజంలోని ఎదుటి కోణాల జతలు సంపూరకాలు. (పేజీ నెం. 276)
సాధన.
దత్తాంశము : ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం,

6. ఒక చతుర్భుజంలో ఏ రెండు ఎదుటి కోణాల మొత్తం అయినా 180° అయితే అది చక్రీయ చతుర్భుజం అవుతుంది. (పేజీ నెం. 277)
సాధన.
దత్తాంశం :

చతుర్భుజం ABCD లో
\(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}\) = 180°
\(\angle \mathrm{DAB}+\angle \mathrm{BCD}\) = 180°
సారాంశం : ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం.
నిర్మాణం : సరేఖీయాలు కానీ బిందువులు A, B మరియు Cల గుండా ఒక వృత్తాన్ని గీయండి. వృత్తం D ద్వారా పోయినట్లైతే A, B, C, D ల చక్రీయాలు కావున సిద్ధాంతము నిరూపించినట్లే.
ఈ వృత్తం D బిందువు ద్వారా పోనట్లైతే ఆ వృత్తం \(\overline{\mathrm{CD}}\) ను లేదా \(\overline{\mathrm{CD}}\) ను పొడిగించినప్పుడు D వద్ద ఖండిస్తుంది. \(\overline{\mathrm{AE}}\) ను గీయండి.

నిరూపణ : ABCE ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం (నిర్మాణం)
\(\angle \mathrm{AEC}+\angle \mathrm{ABC}\) = 180° (చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదుటి కోణాల మొత్తం)
కాని \(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}\) = 180° (దత్తాంశం)
\(\angle \mathrm{AEC}+\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}\)
కానీ ఈ కోణాలలో ఒకటి ∆ADE యొక్క అంతరకోణం మరియు రెండవది బాహ్యకోణం. త్రిభుజ బాహ్య కోణం ఎల్లప్పుడూ దాని అంతరాభి. ముఖ కోణాల కన్నా ఎక్కువ అని మనకు తెలుసు.
∴ \(\angle \mathrm{AEC}=\angle \mathrm{ADC}\) అనునది ఒక విరుద్దత.
అంటే A, B మరియు Cల ద్వారా గీచిన వృత్తం D ద్వారా పోవట్లేదనే మన కల్పన అసత్యం. A, B మరియు C ల ద్వారా గీచిన వృత్తం D ద్వారా కూడా పోవును. A, B, C మరియు Dలు ఒకే వృత్తంపైని బిందువులు అంటే ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం.

ఉదాహరణలు

1. AB = 5 సెం.మీ.; \(\angle \mathrm{B}\) = 75° మరియు BC = 7 సెం.మీ. లుగా గల ∆ABC యొక్క పరిషృత్తాన్ని గీయండి. (పేజీ నెం. 268)
సాధన.

AB = 5 సెం.మీ. పొడవుగల రేఖాఖండాన్ని గీయండి. \(\angle \mathrm{B}\) = 75° ఉండునట్లు B వద్ద కోణకిరణం BX ను నిర్మించండి. B కేంద్రంగా 7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ఒక చాపరేఖను గీయండి. చాపరేఖ \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) ను C వద్ద ఖండించును. C మరియు A లను కలపగా ∆ABC ఏర్పడుతుంది. \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{BC}}\) లకు లంది సమద్విఖండన రేఖలు \(\overline{\mathrm{PQ}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{RS}}\) లను గీయండి. \(\overline{\mathrm{PQ}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{RS}}\) ల ఖండన బిందువు ‘O’. ఇప్పుడు ‘O’ ను కేంద్రంగా మరియు OA ను వ్యాసార్ధంగా ఒక వృత్తాన్ని గీయండి. B మరియు C బిందువుల ద్వారా కూడా పోతుంది. ఇదియే కావలసిన పరివృత్తం.

2. పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రం అయిన CD పొడవును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 269)

సాధన.
∆AOB మరియు ∆COD లలో
OA = OC (ఎందువలన?)
CB = OD (ఎందువలన ?)
\(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}\)
∆AOB ≅ ∆COD
AB = CD (సర్వసమాన త్రిభుజముల సర్వసమాన భాగాలు)
AB = 5 సెం.మీ. కావున CD = 5 సెం.మీ.

3. పక్క పటంలో ‘O’ కేంద్రంగా రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాలు కలవు. పెద్ద వృత్తం యొక్క జ్యా AD చిన్న వృత్తాన్ని B మరియు Cల వద్ద అందిస్తుంది. అయిన AB = CD అని చూపండి. (పేజీ నెం. 269)

దత్తాంశం : ‘O’ కేంద్రంగా కల ఏక కేంద్ర వృత్తాలలో పెద్ద వృత్తం యొక్క జ్యా \(\overline{\mathrm{AD}}\) చిన్న వృత్తాన్ని B మరియు Cల వద్ద ఖండిస్తోంది.
సారాంశం : AB = CD
నిర్మాణం: \(\overline{\mathrm{AD}}\)కు లంబంగా \(\overline{\mathrm{OE}}\) ను గీయుము.
నిరూపణ : ‘O’ కేంద్రంగా గల పెద్ద వృత్తానికి AD ఒక జ్యా మరియు \(\overline{\mathrm{OE}}\), \(\overline{\mathrm{AD}}\) కి లంబము.
∵ \(\overline{\mathrm{AD}}\) ను \(\overline{\mathrm{OE}}\) సమద్విఖండన చేస్తుంది (కేంద్రం నుండి జ్యాకు గీచిన లంబం, జ్యాను సమద్విఖండన చేస్తుంది.
∴ AE = ED ……….. (i)
‘O’ కేంద్రంగా గల చిన్న వృత్తానికి \(\overline{\mathrm{BC}}\) ఒక జ్యా మరియు \(\overline{\mathrm{AD}}\) కు \(\overline{\mathrm{OE}}\) లంబం.
∵ \(\overline{\mathrm{BC}}\) కు \(\overline{\mathrm{OE}}\) సమద్విఖండన చేస్తుంది. (పై సిద్ధాంతం నుండి)
∴ BE = CE …….. (ii)
సమీకరణం (ii) ను (i) నుండి తీసివేయగా,
AE – BE = ED – EC
AB = CD

4. ‘O’ అనునది వృత్త కేంద్రం. PQ ఒక వ్యాసము. అయిన 2PRQ = 90° అని నిరూపించుము. (లేదా) అర్ధవృత్తంలోని కోణం లంబకోణమని చూపండి. (పేజీ నెం. 273)
నిరూపణ:

‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తంలో PQ ఒక వ్యాసం అని ఈయబడినది. \(\angle \mathrm{PRQ}\) = 180° (సరళరేఖపై ఏదేని బిందువు వద్ద కోణం 180°)
మరియు \(\angle \mathrm{POQ}\) = 2\(\angle \mathrm{PRQ}\) (ఒక చాపం వృత్త కేంద్రం వద్ద ఏర్పరిచే కోణం, ఆ చాపం మిగిలిన వృత్తంపై ఏదేని బిందువు వద్ద ఏర్పరచే కోణానికి రెట్టింపు).
\(\angle \mathrm{PRQ}\) = \(\frac {180°}{2}\) = 90°

5. కింది పటంలో x° విలువను కనుగొనండి. (పేజీ వెం. 273)

సాధన.
\(\angle \mathrm{ACB}\) = 40° కావున
సిద్ధాంతం ప్రకారం, AB చాపం కేంద్రం వద్ద చేయుకోణం.
\(\angle \mathrm{AOB}\) = 2\(\angle \mathrm{ACB}\) = 2 × 40° = 80°
x° + \(\angle \mathrm{AOB}\) = 360°
కాబట్టి x° = 360° – 80° = 280°

6. పటంలో \(\angle \mathrm{A}\) = 120° అయిన \(\angle \mathrm{C}\)ను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 276)

సాధన.
ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం
కావున \(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}\) = 180°
120° + \(\angle \mathrm{C}\) = 180°
కావున \(\angle \mathrm{C}\) = 180° – 120° = 60°

7. పటంలో \(\overline{\mathrm{AB}}\) వృత్తం యొక్క ఒక వ్యాసము. జ్యా \(\overline{\mathrm{CD}}\) వృత్త వ్యాసార్ధానికి సమానం. \(\overline{\mathrm{AC}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{BD}}\) లు పొడిగించగా అవి E బిందువు వద్ద ఖండించుకొనును. అయిన \(\angle \mathrm{AEB}\) = 60° అని చూపండి. (పేజీ నెం. 277)
సాధన.

OC, OD మరియు BC లను కలపండి.
∆ODC ఒక సమబాహు త్రిభుజము (ఎందువలన?)
\(\angle \mathrm{COD}\) = 60°
ఇప్పుడు \(\angle \mathrm{CBD}\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathrm{COD}\) (ఎందువలన ?)
దీని నుండి \(\angle \mathrm{CBD}\) = 30°
మరల \(\angle \mathrm{ACB}\) = 90° (ఎందువలన ?)
కావున \(\angle \mathrm{BCE}\) = 180° – \(\angle \mathrm{ACB}\) = 90°
దీని నుండి \(\angle \mathrm{CEB}\) = 90° – 30° = 60°,
అంటే \(\angle \mathrm{AEB}\) = 60°

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు Ex 12.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు Exercise 12.5

ప్రశ్న 1.
కింది పటాలలో x మరియు y విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన.
(i)

పటం నుండి x = y[∵ సమాన భుజాలకు ఎదురుగల కోణాలు]
కాని x + y + 30° = 180°
∴ x + y = 180° – 30° = 150°
⇒ x = y = \(\frac {150°}{2}\)= 75°

(ii)

పటం నుండి x° + 110° = 180° [∵ చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదుటి కోణాలు సంపూరకాలు]
y + 85° = 180
∴ x = 180° – 110°; y = 180° – 85°
x = 70°; y = 95°

(iii)

పటం నుండి x = 90° [అర్ధవృత్తంలోని కోణము]
∴ y = 90° – 50° [∵ కోణాల మొత్తం ధర్మం]
= 40°

ప్రశ్న 2.
ABCD చతుర్భుజంలోని A, B, C లు ఒకే వృత్తంపై ఉన్నాయి. మరియు \(\angle \mathbf{A}+\angle \mathbf{C}\) = 180° అయిన శీర్షం D కూడా అదే వృత్తంపై ఉంటుందని నిరూపించండి.
సాధన.
దత్తాంశము నుండి \(\angle \mathbf{A}+\angle \mathbf{C}\) = 180°
∴ \(\angle \mathbf{B}+\angle \mathbf{D}\) = 360° – 180° = 180°
[∵ చతుర్భుజంలోని కోణాల మొత్తం 360°)
☐ABCD లో, ఎదుటి కోణాల మొత్తము 180°.
∴ ☐ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజము.
i.e., A, B మరియు C లు వుండు అదే వృత్తం పైనే D కూడా ఉండును.

ప్రశ్న 3.
ఒక చక్రీయ సమచతుర్భుజం చతురస్రం అవుతుందని నిరూపించండి.
సాధన.

☐ABCD ఒక చక్రీయ సమచతుర్భుజము అనుకొనుము.
అదే విధంగా AB = BC = CD = DA మరియు \(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}\) = 180°
కాని సమచతుర్భుజము ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
∴ ఎదుటి కోణాల జతలు సమానము.
\(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}\) మరియు \(\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}\)
∴ \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{D}\)
= \(\frac {180°}{2}\) = 90°
∴ ☐ABCD ఒక చతురస్రము.

ప్రశ్న 4.
కింది వాటిని అన్నింటినీ ఒక వృత్తాన్ని గీచి అందులో అంతర్లిఖించండి. అటువంటి బహుభుజిని నిర్మించలేనిచో ‘సాధ్యం కాదు’ అని రాయండి. జ అని రాయండి.
(a) దీర్ఘచతురస్రం
(b) ట్రెపీజియం
(c) అధిక కోణ త్రిభుజం
(d) దీర్ఘచతురస్రం కాని సమాంతర చతుర్భుజం
(e) అల్పకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం
(f) \(\overline{\mathbf{PR}}\) వ్యాసంగా PQRS చతుర్భుజం
సాధన.
(a) దీర్ఘచతురస్రం

(b) ట్రెపీజియం

(c) అధిక కోణ త్రిభుజం

(d) దీర్ఘచతురస్రం కాని సమాంతర చతుర్భుజం (సాధ్యపడదు)
(e) అల్పకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం

(f) \(\overline{\mathbf{PR}}\) వ్యాసంగా PQRS చతుర్భుజం

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు Ex 12.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు Exercise 12.4

ప్రశ్న 1.
పటంలో ‘O’ వృత్తకేంద్రం మరియు \(\angle \mathrm{AOB}\) = 100° అయిన \(\angle \mathrm{ADB}\) ని కనుక్కోండి.

సాధన.

వృత్త కేంద్రము ‘O’
\(\angle \mathrm{AOB}\) = 100°
అదే విధంగా \(\angle \mathrm{ACB}\) = \(\frac {1}{2}\) \(\angle \mathrm{AOB}\)
[∵ ఒక చాపము వృత్తకేంద్రం వద్ద చేయు కోణం, ఆ చాపం మిగిలిన వృత్తంపై ఏ బిందువు వద్ద ఏర్పరచు కోణానికి రెట్టింపు]
= \(\frac {1}{2}\) × 100° = 50°
\(\angle \mathrm{ACB}\) మరియు \(\angle \mathrm{ADB}\) లు సంపూరకాలు.
[∵ చక్రీయ చతుర్భుజంలోని ఎదురెదురు కోణాలు]
∴ \(\angle \mathrm{ADB}\) = 180° – 50° = 130°
(లేక)
అధిక వృత్త చాపము \(\widehat{\mathrm{ACB}}\), D వద్ద ఏర్పరచు కోణము \(\angle \mathrm{ADB}\)
∴ \(\angle \mathrm{ADB}\) = \(\frac {1}{2}\) \(\angle \mathrm{AOB}\) (\(\widehat{\mathrm{ACB}}\) వృత్తకేంద్రం వద్ద ఏర్పరచు కోణము \(\angle \mathrm{AOB}\)
= \(\frac {1}{2}\) [360° – 100°] (పటం నుండి)
= \(\frac {1}{2}\) × 260° = 130°

ప్రశ్న 2.
కింది పటంలో \(\angle \mathrm{BAD}\) = 40° అయిన \(\angle \mathrm{BCD}\)ని కనుగొనండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము
∴ ∆OAB లో OA = OB (వ్యాసార్ధాలు)
∴ \(\angle \mathrm{OAB}\) = \(\angle \mathrm{OBA}\) = 40° (∵ సమాన భుజాలకు ఎదుటి కోణాలు)
\(\angle \mathrm{AOB}\) = 180° – (40° + 40°) (∵ ∆OAB యొక్క కోణాల మొత్తం ధర్మము)
= 180° – 80° = 100°
కాని \(\angle \mathrm{AOB}\) = \(\angle \mathrm{COD}\) = 100°
మరియు \(\angle \mathrm{OCD}\) = \(\angle \mathrm{ODC}\) = 40° [OC = OD]
= 40° ∆OAB లో లాగా
∴ \(\angle \mathrm{BCD}\) = 40°
(లేక)
∆OAB మరియు ∆OCDలలో
OA = OD (వ్యాసార్ధాలు)
OB = OC (వ్యాసార్ధాలు)
\(\angle \mathrm{AOB}\) = \(\angle \mathrm{COD}\) (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ∆OAB ≅ ∆OCD
∴ \(\angle \mathrm{BCD}\) = \(\angle \mathrm{OBA}\) = 40°
[∵ OB = OA ⇒ \(\angle \mathrm{DAB}\) = \(\angle \mathrm{DBA}\)]

ప్రశ్న 3.
కింది పటంలో ‘O’ వృత్తకేంద్రం మరియు \(\angle \mathrm{PQR}\) = 120° అయిన \(\angle \mathrm{PQR}\) మరియు \(\angle \mathrm{PSR}\) లను కనుగొనండి.

సాధన.
‘O’ వృత్తకేంద్రము మరియు \(\angle \mathrm{PQR}\) = 120°
\(\angle \mathrm{PQR}\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathrm{POR}\) [ [∵ ఒక చాపము వృత్త కేంద్రం వద్ద చేయు కోణం, ఆ చాపము మిగిలిన వృత్తంపై ఏ బిందువు వద్దనైనా ఏర్పరచు కోణంకు రెట్టింపు]
\(\angle \mathrm{PSR}\) = \(\frac {1}{2}\) [\(\widehat{\mathrm{PQR}}\) వృత్తకేంద్రం వద్ద ఏర్పరచ కోణము]
∴ \(\angle \mathrm{PSR}\) = \(\frac {1}{2}\)[360° – 120°] పటం నుండి
= \(\frac {1}{2}\) × 240 = 120°

ప్రశ్న 4.
ఒక సమాంతర చతుర్భుజం చక్రీయమైన, అది దీర్ఘచతురస్రం అవుతుంది. సమర్థించండి.
సాధన.

☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము అనుకొనుము.
A, B, C మరియు Dలు ఒకే వృత్తం పై గల శీర్షాలు.
∴ \(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}\) = 180° మరియు \(\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}\) = 180° [∵ చక్రీయ చతుర్భుజములో ఎదుటి కోణాలు సంపూరకాలు]
కానీ \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}\) మరియు \(\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}\)
[∵ ||^gm యొక్క ఎదుటి కోణాలు సమానం]
∴ \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}\) = \(\frac {180°}{2}\) = 90°
∴ ☐ABCD సమాంతర చతుర్భుజం ఒక దీర్ఘచతురస్రము.

ప్రశ్న 5.
కింది పటంలో ‘O’ వృత్తకేంద్రం OM = 3 సెం.మీ. మరియు AB = 8 సెం.మీ. అయిన వృత్త వ్యాసార్థాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన.

‘O’ వృత్త కేంద్రము.
OM, AB ను సమద్విఖండన చేయును.
∴ AM = \(\frac{\mathrm{AB}}{2}=\frac{8}{2}\) = 4 సెం.మీ.
OA² = OM² + AM²
[∵ పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి]
OA = \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}\)
= \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\) = 5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 6.
కింది పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రం మరియు OM, ONలు జ్యాలు PQ, RSలపై కేంద్రం నుండి గీచిన లంబాలు. OM = ON మరియు PQ = 6 సెం.మీ. అయిన RSను కనుక్కోండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము.
OM = ON మరియు OM ⊥ PQ; ON ⊥ RS
ఆ విధంగా PQ మరియు RSలు సమానము. [∵ వృత్తకేంద్రము నుండి సమాన దూరంలో గల జ్యాల పొడవులు సమానము]
∴ RS = PQ = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న 7.
A వృత్తకేంద్రం మరియు ABCD ఒక చతురస్రము. BD = 4 సెం.మీ. అయిన వృత్త వ్యాసార్ధం ఎంత ?

సాధన.

Aవృత్త కేంద్రము మరియు ABCD ఒక చతురస్రము అయిన AC మరియు BD లు కర్ణాలు.
AC = BD = 4 సెం.మీ.
కానీ AC వృత్త వ్యాసార్ధము
∴ వ్యాసార్ధము = 4 సెం.మీ.

ప్రశ్న 8.
ఏదేని వ్యాసార్ధంతో ఒక వృత్తాన్ని గీచి దాని కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉండేట్లు రెండు జ్యాలను గీయండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ P కేంద్రంగా ఒక వృత్తంను గీయుము.
→ ఏవైనా రెండు వ్యాసార్ధాలను గీయుము.
→ ఈ వ్యాసార్ధాలపై M మరియు N అను రెండు – బిందువులను గుర్తించుము. అవి PM = PN అగునట్లుగా గుర్తించాలి.
→ M మరియు Nల గుండా వ్యాసార్ధాలను లంబంగా ఉండునట్లు గీయుము.

ప్రశ్న 9.
కింది పటంలో ‘O’ వృత్తకేంద్రం మరియు AB, CDలు సమాన పొడవులు గల జ్యాలు \(\angle \mathbf{AOB}\) = 70° అయిన ∆OCD యొక్క కోణాలను కనుక్కోండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము
AB, CDలు సమాన జ్యాలు
⇒ సమాన జ్యాలు కేంద్రం వద్ద సమాన కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి.
∴ \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}\) = 70°
∆OCDలో \(\angle \mathrm{OCD}=\angle \mathrm{ODC}\) [∵ OC = OD; సమాన భుజాలకు ఎదుటి కోణాలు]
∴ \(\angle \mathrm{OCD}+\angle \mathrm{ODC}\) + 70° = 180°
⇒ \(\angle \mathrm{OCD}+\angle \mathrm{ODC}\) = 180° – 70° = 110°
∴ \(\angle \mathrm{OCD}+\angle \mathrm{ODC}\) = \(\frac {110°}{2}\) = 55°

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు Ex 12.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు Exercise 12.3

1. కింది త్రిభుజాలను గీచి వాటికి పరిషృత్తాలను నిర్మించండి.

ప్రశ్న (i)
∆ABC లో AB = 6 సెం.మీ., BC = 7 సెం.మీ., మరియు \(\angle \mathbf{A}\) = 60°.

సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
→ ఇచ్చిన కొలతలతో త్రిభుజంను నిర్మించుము.
→ భుజాలకు లంబసమద్విఖండన రేఖలను గీయుము.
→ లంబ సమద్విఖండన రేఖల మిళిత బిందువు ‘S’.
→ S కేంద్రముగా; SA వ్యాసార్ధంగా తీసుకొని ఒక వృత్తంను గీయుము. అది B మరియు C ల గుండా పోవును.
→ ఇదియే మనకు కావలసిన పరివృత్తము.

ప్రశ్న (ii)
∆PQR లో PQ = 5 సెం.మీ., QR = 6 సెం.మీ. మరియు RP = 8.2 సెం.మీ.

సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
→ ఇచ్చిన కొలతలతో ∆PQR ను నిర్మించుము.
→ PQ, QR మరియు RSలకు లంబసమద్విఖండన రేఖలను గీసిన అవి ‘S’ వద్ద ఖండించుకొనును.
→ S కేంద్రముగా SP వ్యాసార్ధంతో వృత్తంను గీయుము.
→ ఈ వృత్తం మిగిలిన శీర్షాల గుండా పోవును.
→ ఇదియే మనకు కావలసిన పరివృత్త త్రిభుజం.

ప్రశ్న (iii)
∆XYZ లో XY = 4.8 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{X}\) = 60° మరియు \(\angle \mathbf{Y}\) = 70°.

సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
→ ఇచ్చిన కొలతలతో, ∆XYZ ను గీయుము.
→ ∆XYZ యొక్క భుజాలు XY, YZ, ZX లకు లంబసమద్విఖండన రేఖలను గీయుము. ఇవి ఖండించుకొను బిందువును ‘S’ అనుకొనుము.
→ ‘S’ కేంద్రంగా \(\overline{\mathrm{SX}}\) వ్యాసార్ధంతో ఒక వృత్తంను గీయుము. అది Y మరియు Z లను తాకుతూ పోవును.
→ ఇదియే మనకు కావలసిన పరివృత్తము.

ప్రశ్న 2.
AB = 5.4 సెం.మీ. గీచి A, B ల గుండా పోయే రెండు వృత్తాలను గీయండి.

సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
→ AB = 5.4 సెం.మీ.లతో ఒక రేఖా ఖండంను గీయుము.
→ ABకు లంబంగా \(\stackrel{\leftrightarrow}{XY}\) అను లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.
→ XY పై ఏదైనా ఒక బిందువు P ను తీసుకొనుము.
→ P కేంద్రంగా PA వ్యాసార్థంతో ఒక వృత్తంను గీయుము.
→ XY పై మరొక బిందువు Q అనుకొనుము.
→ ‘Q’ కేంద్రంగా \(\overline{\mathrm{QA}}\) వ్యాసార్ధంతో మరొక వృత్తమును గీయుము.

ప్రశ్న 3.
రెండు వృత్తాలు రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండించుకుంటే వాటి కేంద్రాలు ఉమ్మడి జ్యా యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖపై ఉంటాయని నిరూపించండి.
సాధన.

P మరియు Qలు కేంద్రాలుగా గల రెండు వృత్తాలు A మరియు B అను రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండించుకొనుచున్నవి.
A, B లను కలుపగా \(\overline{\mathrm{AB}}\) అను ఉమ్మడి జ్యా ఏర్పడినది.
‘O’, P, Qల మధ్య బిందువు.
OP, OQ లను కలుపుము.
ΔAPO మరియు ΔBPO లలో
AP = BP (వ్యాసార్ధాలు)
PO = PO (ఉమ్మడి భుజము)
AO = BO (∵ O మధ్య బిందువు)
∴ ΔAPO ≅ ΔBPO (భు.భు.భు. నియమం ప్రకారం)
⇒ \(\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{BOP}\) [C.P.C.T]
కాని ఇవి రేఖీయ ద్వయాలు కావున
∴ \(\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{BOP}\) = 90°
అదే విధముగా ΔAOQ మరియు ΔBOQ లలో
AQ = BQ (వ్యాసార్ధాలు)
AO = BO (∵ AB మధ్య బిందువు O)
OQ = OQ (ఉమ్మడి భుజం)
∴ ΔAOQ ≅ ΔBOQ
\(\angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{BOQ}\) (C.P.C.T)
మరియు \(\angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{BOQ}\) = 180° (రేఖీయద్వయం)
∴ \(\angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{BOQ}\) = \(\frac {180°}{2}\) = 90° ఇప్పుడు \(\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{AOQ}\) = 180°
∴ PQ ఒక రేఖ

ప్రశ్న 4.
ఒక వృత్తంలో ఖండించుకొనుచున్న రెండు జ్యాలు వాటి అందన బిందువు ద్వారా పోయే వ్యాసంతో సమాన కోణాలు చేస్తే ఆ జ్యాల పొడవులు సమానమని నిరూపించండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రమనుకొనుము
PQ వృత్తవ్యాసము
\(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) అను రెండు జ్యాలు ‘E’ అను బిందువు వద్ద ఖండించుకొనుచున్నవి.
‘E’ వ్యాసముపై గల బిందువు.
\(\angle \mathrm{AEO}=\angle \mathrm{DEO}\)
AB మరియు CD ల పైకి ‘O’ నుండి OL మరియు
OM అను లంబాలను గీయుము.
∆LEO మరియు ∆MEOలలో
\(\angle \mathrm{LEO}=\angle \mathrm{MEO}\) (దత్తాంశం నుండి)
EO = EO (ఉమ్మడి భుజము)
\(\angle \mathrm{ELO}=\angle \mathrm{EMO}\) = 90° (నిర్మాణం నుండి)
∴ ∆LEO ≅ ∆MEO (∵ కో.భు. కో. నియమం ప్రకారం)
∴ OL = OM [C.P.C.T]
అదే విధముగా కేంద్రము ‘O’ నుండి \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) లు సమాన దూరంలో గల రెండు జ్యాలు.
∴ AB = CD (∵ కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో గల జ్యాలు) నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 5.
కింది పటంలో ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తంలో AB ఒక జ్యా CD వ్యాసం AB కు లంబంగా ఉంది. అయిన AD = BD అని చూపండి.

సాధన.
CD వృత్త వ్యాసము మరియు O వృత్త కేంద్రము.
CD ⊥ AB; M ఖండన బిందువనుకొనుము.
∆AMD మరియు ∆BMD లలో
AM = BM (∵ వృత్తంలోని జ్యాను, వృత్త వ్యాసార్ధం సమద్విఖండన చేయును)
\(\angle \mathrm{AMD}=\angle \mathrm{BMD}\) (∵ దత్తాంశము)
DM = DM (ఉమ్మడి భుజం)
∴ ∆AMD ≅ ∆BMD
⇒ AD = BD [C.P.C.T]

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు Exercise 12.2

ప్రశ్న 1.
పటంలో AB = CD మరియు \(\angle \mathrm{AOB}\) = 90° అయిన \(\angle \mathrm{COD}\) ను కనుగొనండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము.
AB = CD (పటం నుండి సమాన జ్యాలు)
∴ \(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}\)
[∵ సమాన జ్యాలు కేంద్రం వద్ద సమాన కోణాలు ఏర్పరుస్తాయి]
\(\angle \mathrm{COD}\) = 90°
[∵ \(\angle \mathrm{AOB}\) = 90° దత్తాంశం]

ప్రశ్న 2.
వటంలో PQ = RS మరియు \(\angle \mathrm{ORS}\) = 48°. అయిన \(\angle \mathrm{OPQ}\) మరియు \(\angle \mathrm{ROS}\) లను కనుగొనండి.

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము.
PQ = RS (∵ దత్తాంశము నుండి)
∴ \(\angle \mathrm{POQ}=\angle \mathrm{ROS}\) [∵ సమాన జ్యాలు వృత్త కేంద్రం వద్ద సమాన కోణాలను ఏర్పరచును)
∴ ∆ROS లో
\(\angle \mathrm{ORS}+\angle \mathrm{OSR}+\angle \mathrm{ROS}\) = 180°
(త్రిభుజ కోణాల మొత్తం ధర్మము)
48° + 48° + \(\angle \mathrm{ROS}\) = 180°
(∵ OR = OS(వ్యాసార్ధాలు); ∆ORS ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము)
∴ \(\angle \mathrm{ROS}\) = 180° – 96° = 84°
అదే విధంగా, \(\angle \mathrm{POQ}=\angle \mathrm{ROS}\) = 84°
∴ \(\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OQP}\)
[∵ OP = OQ; వ్యాసార్ధాలు)
= \(\frac {1}{2}\) [180° – 84°] = 48°

ప్రశ్న 3.
పటంలో PR మరియు QS లు రెండు వ్యాసాలు అయిన PQ = RS అగునా?

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము
[∵ PR, QS లు వృత్త వ్యాసాలు)
OP = OR (∵ వ్యాసార్ధాలు)
OQ = OS (∵ వ్యాసార్ధాలు)
\(\angle \mathrm{POQ}=\angle \mathrm{ROS}\) (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ∆OPQ ≅ ∆ORS (భు.కో.భు. నియమం ప్రకారం)
∴ PQ = RS [C.P.C.T]