AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Ex 10.3

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Ex 10.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Exercise 10.3

ప్రశ్న 1.
శంఖువు భూ వైశాల్యం 38.5 చ.సెం.మీ. మన పరిమాణం 77 మ. సెం.మీ. అయిన దాని యొక్క ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
శంఖువు యొక్క భూ వైశాల్యం, πr² = 38.5 సెం.మీ².
శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం V = \(\frac {1}{3}\)πr²h = 77

∴ శంఖువు యొక్క ఎత్తు = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
శంఖువు ఘనపరిమాణం 462 ఘనపు మీటర్లు. భూ వ్యాసార్థం 7 మీటర్లు అయిన దాని ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
శంఖువు ఘనపరిమాణం V = \(\frac {1}{3}\)πr²h = 462 ఘ॥మీ.
వ్యాసార్ధము ‘r’ = 7 మీ.
ఎత్తు = h అనుకొనుము.
\(\frac {1}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 × h = 462
h = \(\frac{462 \times 3}{22 \times 7}\) = 9
∴ ఎత్తు = 9 మీ.

ప్రశ్న 3.
ఒక శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యం 308 చ.సెం.మీ. మరియు ఏటవాలు ఎత్తు 14 సెం.మీ. అయిన
(i) భూ వ్యాసార్ధం (ii) శంఖువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన.
శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యం , πrl = 308 చ. సెం.మీ.
ఏటవాలు ఎత్తు, l = 14 సెం.మీ.
(i) πrl = 308 చ. సెం.మీ. ; l = 14 సెం.మీ.
\(\frac {22}{7}\) × r × 14 = 308
⇒ r = \(\frac {308}{44}\) = 7 సెం.మీ.

(ii) శంఖుపు సంపూర్ణతల వైశాల్యం = πr (r + l)
\(\frac {22}{7}\) × 7 × (7 + 14)
= 22 × 21 = 462 సెం.మీ².

ప్రశ్న 4.
చ.సెం.మీ.కు 25 పైసల వంతున ఒక శంఖువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యమంతటికి రంగువేయటానికి అయ్యే ఖర్చు ₹176 అయిన, ఏటవాలు ఎత్తు 25 సెం.మీ. అయినప్పుడు దాని ఘనపరిమాణం కనుక్కోండి.
సాధన.
శంఖువు యొక్క ఏటవాలు ఎత్తు, l = 25 సెం.మీ.
25 పైసల వంతున చ.సెం.మీ.కు ఆగు ఖర్చు = ₹ 176
∴ శంఖువు యొక్క సంపుర్ణతల వైశాల్యం
= \(\frac {176}{25}\) × 100 = 176 × 4 = 704 సెం.మీ².
శంఖువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = πr(r + l)
= 704సెం.మీ²
కాబట్టి \(\frac {22}{7}\)r(r + 25) = 704
r(r + 25) = \(\frac{704 \times 7}{22}\) = 224
r² + 25r = 224
⇒ r² + 25r – 224 = 0
⇒ r² + 32r – 7r – 224 = 0
⇒ r(r +32) – 7 (r + 32) = 0
⇒ (r + 32) (r – 7) = 0
⇒ r = 7
h = \(\sqrt{l^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{25^{2}-7^{2}}=\sqrt{625-49}\)
= \(\sqrt{576}\)
= 24 సెం.మీ.
∴ శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం = \(\frac {1}{3}\)πr²h
= \(\frac {1}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 × 24
= 22 × 7 × 8 = 1232 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 5.
15 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల ఒక వృత్తాకార దళసరి కాగితం నుండి 216° సెక్టరు కోణం గల సెక్టరును కత్తిరించి దాని అంచులతో యున్న వ్యాసార్థములను వంచి శంఖువుగా మలిస్తే దాని యొక్క ఘనపరిమాణం ఎంత?
సాధన.
సెక్బారు యొక్క వ్యాసార్థం, ‘r’ = 15 సెం.మీ.
సెక్బారు కోణము, ‘x’ = 216°
∴ సెక్బారు పొడవు (l) = \(\frac {x}{360}\) × 2πr
= \(\frac {216}{360}\) × 2πr = \(\frac {3}{5}\) (2πr)
శంఖువు యొక్క చుట్టుకొలత = చాపము పొడవు శంఖువు యొక్క 2πr = వృత్తం యొక్క శంఖువు యొక్క వ్యాసార్థం ‘r’ = \(\frac {3}{5}\) × 15 = 9
వృత్త వ్యాసార్ధము, ‘r’ = శంఖువు యొక్క ఏటవాలు ఎత్తు (l) = 9 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఎత్తు (h) = \(\sqrt{l^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{225-81}\)
= \(\sqrt{144}\) = 12 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఘనపరిమాణము = \(\frac {1}{3}\) πr²h
= \(\frac {1}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 9 × 9 × 12
= 1018.285 ఘ. సెం.మీ.
= 1018.3 ఘ. సెం.మీ. (సుమారుగా)

ప్రశ్న 6.
ఒక గుదారం యొక్క ఎత్తు 9 మీ. దాని యొక్క వ్యాసం 24 మీ. అయిన దాని ఏటవాలు ఎత్తు ఎంత ? గుదారంను తయారుచేయడానికి కావలసిన గుడ్డ వెల చ.మీ. ₹14 అయిన మొత్తం గుడ్డ వెల ఎంత ?
సాధన.
శంఖు ఆకారపు ‘టెంట్ ఎత్తు ‘h’ = 9 మీ.
భూ వ్యాసము = 24 మీ.
భూ వ్యాసార్ధము ‘r’ = \(\frac{d}{2}=\frac{24}{2}\) = 12 మీ.
కాన్వాసు ఖరీదు = ₹14 చ.మీ.కు
శంఖువు వక్రతల వైశాల్యము = πrl
l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}\)
= \(\sqrt{225}\) = 15 మీ.
∴ వక్రతల వైశాల్యం = πrl = \(\frac {22}{7}\) × 12 × 15
చ.మీ.కు ₹14 చొప్పున అయిన ఖర్చు
= 14 × \(\frac {22}{7}\) × 12 × 15 = ₹7920

ప్రశ్న 7.
శంఖువు యొక్క ప్రకృతల వైశాల్యం 1159\(\frac {5}{9}\) చ.సెం.మీ. దాని యొక్క భూవైశాల్యం 254\(\frac {4}{7}\) చ.సెం.మీ. అయిన . దాని ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనుము.
సాధన.
శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= 1159\(\frac {5}{7}\) చ. సెం.మీ.
శంఖువు భూ వైశాల్యము = πr² = 254\(\frac {4}{7}\) చ.సెం.మీ.
\(\frac {22}{7}\) × r² = \(\frac {1782}{7}\)
∴ r² = \(\frac{1782}{7} \times \frac{7}{22}=\frac{1782}{22}\) = 81
= 178 x 7 – 1782 = 81
⇒ \(\sqrt{81}\) = 9 సెం.మీ.

πrl = \(\frac {8118}{7}\) చ.మీ. కావున

ప్రశ్న 8.
ఒక గుడారం 4.8 మీ. ఎత్తుగల స్థూపాకారంగా ఉంది. దానిపై 4.5 మీ. భూవ్యాసార్థం, కేంద్రం నుండి 10.8 మీ. ఎత్తు ఉండే విధముగా ఒక శంఖువు అమర్చబడి ఉంది. అయిన గుడారము తయారు చేయుటకు కావలసిన గుడ్డ వైశాల్యం ఎంత?
సాధన.

స్థూపపు వ్యాసార్ధం, l = 4.5 మీ.
స్థూపపు ఎత్తు = h = 4.8 మీ.
∴ స్థూపపు వక్రతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 4.5 × 48
= 135.771 మీ².
శంఖువు వ్యాసార్ధం ‘r’ = స్థూపపు వ్యాసార్ధం = 4.5 మీ.
శంఖువు ఎత్తు ‘h’ = 10.8 – 4.8 = 6 మీ.
∴ శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు
l = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{4.5^{2}+6^{2}}\)
= \(\sqrt{20.25+36}=\sqrt{56.25}\) = 7.5 మీ.
∴ శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= \(\frac {22}{7}\) × 4.5 × 7.5
= \(\frac {742.5}{7}\) = 106.071 మీ².
∴ కావలసిన కాన్వాసు గుడ్డ పరిమాణం = స్థూపపు వక్రతలవైశాల్యం + శంఖువు వక్రతలవైశాల్యం
= 135.771 + 106.071
= 241.842 మీ².

ప్రశ్న 9.
8 మీటర్ల ఎత్తు, 6 మీటర్ల భూవ్యాసార్థం కలిగిన శంఖువు ఆకృతి గుదారం తయారుచేయుటకు 3 మీ. వెడల్పు కలిగిన టార్పలిన్ గుడ్డ ఎంత పొడవును కలిగియుండాలి ? (మార్జినను, వృథా అయ్యే గుద్దను కూడా పరిగణనలోకి తీసుకొంటే సుమారుగా 20 సెం.మీ. పొడవు గల టార్పలిన్ అదనంగా వినియోగమవుతుంది). (π = 3.14)
సాధన.
శంఖువు వ్యాసార్ధము, r = 6 మీ.
శంఖువు ఎత్తు, h = 8మీ.
∴ ఏటవాలు ఎత్తు l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{\mathrm{6}^{2}+\mathrm{8}^{2}}\)
= \(\sqrt{36+64}=\sqrt{100}\)
=10 మీ.
∴ శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం = πrl = 3.14 × 6 × 10
= 188.4 మీ².
టార్పలిన్ పొడవు = l అనుకొనుము.
∴ టార్పలిన్ వైశాల్యము, lb = 188.4 + 0.6
= 189 మీ².
⇒ 3l = 189
⇒ l = \(\frac {189}{3}\) = 63 మీ.

ప్రశ్న 10.
ఒక జోకర్ యొక్క టోపి 7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము మరియు 27 సెం.మీ. ఎత్తు కలిగిన క్రమ వృత్త శంఖువు ఆకారంలో ఉంది. అటువంటి 10 టోపీలను తయారు చేయడానికి ఎంత వైశాల్యం గల బట్ట అవసరం?
సాధన.
శంఖువు వ్యాసార్ధము, r = 7 సెం.మీ.
శంఖువు ఎత్తు, h = 27 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు (l)
= \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}=\sqrt{7^{2}+27^{2}}\)
= \(\sqrt{49+729}=\sqrt{778}\)
∴ శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= \(\frac {22}{7}\) × 7 × \(\sqrt{778}\) = 22 × \(\sqrt{778}\)
∴ 10 టోపీలకు అవసరమైన బట్ట వైశాల్యం = 10 × 22 × \(\sqrt{778}\)
= 6136,383 సెం.మీ².

ప్రశ్న 11.
పటములో చూపిన విధముగా ఒక శంఖువు ఆకృతిలో ఉన్న పాత్ర భూవ్యాసం 5.2 మీ. మరియు ఏటవాలు ఎత్తు 6.8 మీ. కలిగి ఉంది. దానిలో నీరు నిమిషానికి 1.8 ఘనపు మీటర్ల చొప్పున నింపబడుతుంది. అయితే పాత్రను నింపడానికి పట్టేకాలం ఎంత ?

సాధన.
పటం నుండి శంఖువు వ్యాసము = 5.2 మీ.
దాని వ్యాసార్ధము ‘r’ = \(\frac {5.2}{2}\) = 26 మీ.
శంఖువు ఎత్తు = h = 6.8 మీ
∴ శంఖువు ఘనపరిమాణం = \(\frac {1}{3}\) πr²h
= \(\frac {1}{3}\) × \(\frac {1}{3}\) × 2.6 × 2.6 × 6.8 = \(\frac {1011.296}{21}\) = 48.156 మీ³.
ఒక సెకనులో పంపు ద్వారా ప్రవహించు నీటి పరిమాణం = 1.8మీ³.
∴ కావలసిన సమయం = మొత్తం ఘనపరిమాణం / 1.8
= \(\frac {48.156}{1.8}\) = 26.753 = 27 ని॥లు.

ప్రశ్న 12.
రెండు సరూప శంఖువుల యొక్క ఘనపరిమాణములు 121 మరియు 96, ఘనపు యూనిట్లు శంఖువులలో ఒకదాని ప్రక్కతల వైశాల్యం 157 చదరపు యూనిట్లు. అయిన రెండవ దాని ప్రక్కతల వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన.
రెండు సరూప శంఖువుల యొక్క ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి = 12π : 96π
= 1 : 8
= (1)³ : (2)³
= 1 : 2
∴ ఆ సరూప శంఖువుల ప్రక్కతల వైశాల్యాల నిష్పత్తి
= (1)² : (2)²
= 1 : 4
మొదటి శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యము = 15π చ||యూ
∴ 1 భాగము = 15π అయిన
4 భాగాలు = 4 × 15π = 60π
∴ రెండవ శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యము = 60π