AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.2

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 11th Lesson వైశాల్యాలు Exercise 11.2

ప్రశ్న 1.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యము 36 చ.సెం.మీ. AB = 4.2 సెం.మీ. అయిన ABEF సమాంతర చతుర్భుజము కనుగొనుము.
$C:\New folder\AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.2 10.png$
సాధన.
☐ABCD వైశాల్యము = 36 చ.సెం.మీ.
AB = 4.2 సెం.మీ.
36 = 4.2 × h
⇒ h = $\frac {36}{4.2}$
☐ABCD మరియు ☐ABEF లు ఒకే భూమి మరియు ఒకే జత సమాంతరాల మధ్యన గలవు. కావున
∴ ☐ABCD వై|| = ☐ABEF వై||
☐ABEF వై|| = భూమి × ఎత్తు = AB × ఎత్తు
∴ ఎత్తు = $\frac {36}{4.2}$ = 8.571 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము. DC భుజము పైకి గీయబడిన లంబము AE మరియు AD భుజము పైకి గీయబడిన లంబము CF. AB = 10 సెం.మీ., AE = 8 సెం.మీ. మరియు CF = 12 సెం.మీ. అయిన AD కొలత కనుగొనుము
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.2 2
సాధన.
సమాంతర చతుర్భుజపు వైశాల్యము = భూమి × ఎత్తు
AB × AE = AD × CF
⇒ 10 × 8 = 12 × AD
⇒ AD = $\frac{10 \times 8}{12}$ = 6.666………….
∴ AD = 6.7 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజములో AB, BC, CD మరియు AD భుజాల మధ్య బిందువులు వరుసగా E, F, G మరియు H లు అయిన (EFGH) వై|| = $\frac {1}{2}$(ABCD) వై|| అని చూపుము.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.2 3
సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
E, F, G మరియు H లు సమాంతర చతుర్భుజము యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులు, E మరియు Gలను కలుపుము.
∆EFG మరియు ☐EBCGలు ఒకే భూమి EG మరియు సమాంతరాలు EG మరియు BC ల మధ్యన కలవు.
∴ ∆EFG = $\frac {1}{2}$ ☐EBCG …….. (1)
అదే విధంగా,
∆EHG = $\frac {1}{2}$ ☐EGDA ……….. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి,
∆EFG + ∆EHG = $\frac {1}{2}$ ☐EBCG + $\frac {1}{2}$ ☐EGDA
☐EFGH = $\frac {1}{2}$ [☐EBCG + ☐EGDA]
☐EFGH = $\frac {1}{2}$ [☐ABCD] నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 4.
∆APM, ∆DPO, ∆OCN మరియు ∆MNBలను ఒకచోట చేర్చితే ఏ రకమైన చతుచ్భుజం వస్తుంది?
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.2 4
☐ABCD ఒక రాంబస్.
M, N, O, Pలు భుజాల మధ్య బిందువులు.
ఈ మధ్య బిందువులను కలుపగా ∆APM, ∆DPO, ∆OCN మరియు ∆MNB లు ఏర్పడినవి.
వీటిలో షేడ్ ప్రాంతం కలిగిన పటం ఏర్పడును.

ప్రశ్న 5.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజములో P మరియు Q అను రెండు బిందువులు వరుసగా DC మరియు ADలపై ఉంటే (∆APB) వై॥ = (∆BQC) వై॥ అని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.2 5
సాధన.
∆APB మరియు ☐ABCDలు ఒకే భూమి AB మరియు రెండు సమాంతరాలు AB మరియు CDల మధ్యన కలదు.
∴ ∆APB = $\frac {1}{2}$ ☐ABCD ……… (1)
అదే విధంగా ∆BCQ మరియు ☐BCDA లు ఒకే భూమి BC మరియు సమాంతరాలు BC, AD ల మధ్యన గలవు.
∴ ∆BCQ = $\frac {1}{2}$ ☐BCDA ……..(2)
కాని ☐ABCD మరియు ☐BCDA లు సమాంతరాలు.
∴ ∆APB = ∆BCQ[(1) మరియు (2) ల నుండి]

6. ABCD సమాంతర చతుర్భుజము అంతరములో P అనేది ఒక బిందువు అయిన కింది వానిని నిరూపించండి.

ప్రశ్న (i)
(∆APB) వై|| + (∆PCD) వై|| = $\frac {1}{2}$(ABCD) వై||
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.2 6
సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
P ఒక సమాంతర చతుర్భుజము యొక్క అంతర బిందువు AB కి సమాంతరంగా P గుండా ఒక $\overline{\mathrm{XY}}$ రేఖను గీయుము.
∆APB = $\frac {1}{2}$☐AXYB ……. (1)
[∵ ∆APB, ☐AXYB లు ఒకే భూమి ABమరియు AB, XY సమాంతర రేఖల మధ్యన కలవు]
మరియు ∆PCD = $\frac {1}{2}$☐CDXY …….. (2)
[∵ ∆PCD; ☐CDXYలు ఒకే భూమి CD మరియు సమాంతరాలు CD మరియు XY ల మధ్యన కలవు]
(1) మరియు (2) లను కలపగా
∆APB + ∆PCD = $\frac {1}{2}$☐AXYB + $\frac {1}{2}$☐CDXY
= $\frac {1}{2}$ [☐AXYB + ☐CDXY] [పటం నుండి]
= $\frac {1}{2}$ ☐ABCD

ప్రశ్న (ii)
(∆APD) వై|| + (∆PBC) వై॥ = (∆APB) వై॥ + (∆PCD) వై॥
(సూచన : AB కి సమాంతరముగా P నుండి ఒక రేఖను గీయుము).
సాధన.
LM // AD ను నిర్మించుము.
∆APD + ∆PBC = $\frac {1}{2}$ ☐AMLD + $\frac {1}{2}$BMLC
= $\frac {1}{2}$ [☐AMLD + ☐BMLC)
= $\frac {1}{2}$ ☐ABCD = ∆APB + ∆PCD [(i) నుండి] అని నిరూపించబడినది.
[∵ ∆APD, ☐AMLD లు ఒకే భూమి AD మరియు సమాంతరాలు AD మరియు LM ల మధ్యన కలవు]

ప్రశ్న 7.
ట్రెపీజియం యొక్క వైశాల్యము దాని సమాంతర భుజాల మొత్తాన్ని వాటి మధ్య దూరంతో గుణించగా వచ్చే లబ్ధంలో సగము ఉంటుందని నిరూపించండి.
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.2 7
☐ABCDఒక ట్రెపీజియం;
AB//CD మరియు DE ⊥ AB
☐ABCD = ∆ABC + ∆ADC
= $\frac {1}{2}$AB × DE + $\frac {1}{2}$DC × DE
[∵ ∆ = $\frac {1}{2}$ × భూమి × ఎత్తు]
= $\frac {1}{2}$ × DE (AB + DC) అని నిరూపించబడినది.

8. PQRS మరియు ABRS అనేవి రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలు. BR భుజముపై X అనేది ఒక బిందువు. అయిన
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.2 8

ప్రశ్న (i)
(PQRS) వై|| = (ABRS) వై ||
సాధన.
☐PQRS మరియు ☐ABRSలు ఒకే భూమి SR మరియు సమాంతర భుజాలు SR మరియు PB ల మధ్యన గలవు.
∴ ☐PQRS వై|| = ☐ABRS వై||

ప్రశ్న (ii)
(∆AXS) వై|| = $\frac {1}{2}$(PQRS) వై||
సాధన.
(1) నుండి ☐PQRS = ☐ABRS
☐ABRS మరియు ∆AXS లు ఒకే భూమి AS మరియు AS, BR అను సమాంతరాల మధ్యన కలవు.
∴ ∆AXS = $\frac {1}{2}$☐ABRS
= $\frac {1}{2}$☐PQRS ((1) నుండి) నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 9.
ఒక రైతుకు పటంలో చూపినట్లు PQRS సమాంతర చతుర్భుజు ఆకారములో పొలము ఉన్నది. RS భుజముపై మధ్యబిందువు A నుండి P, Q బిందువులను కలిపారు. పొలము ఎన్ని భాగాలుగా విభజింపబడినది ? ఏ భాగాలు ఏ ఆకారములో ఉన్నాయి ? రైతు తన పొలములో వరి మరియు వేరుశెనగ పంటను సమాన భాగాలలో వేయాలనుకుంటే, ఏ విధంగా వేస్తాడు ? కారణాలు తెలపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.2 9
సాధన.
పటం నుండి ∆APQ, ☐PQRSలు ఒకే భూవిం PQ
మరియు సమాంతరాలు PQ, SR ల మధ్యన కలవు.
∴ ∆APQ = $\frac {1}{2}$☐PQRS
⇒ ☐PQRS – ∆APQ = $\frac {1}{2}$☐PQRS
⇒ $\frac {1}{2}$☐PQRS = ∆ASP + ∆ARQ
∴ రైతు తన వేరుశనగ పంటను ∆APQ ప్రాంతంలో వేస్తాడు.
రైతు తన వరి పంటను ∆ARQ ప్రాంతంలోనూ, వేరుశెనగ పంటను ∆ASP ప్రాంతంలోను పండిస్తాడు.

ప్రశ్న 10.
రాంబస్ యొక్క వైశాల్యము, దాని కర్ణముల లబ్దములో సగం ఉంటుందని నిరూపించండి.
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.2 10
☐ABCD ఒక రాంబస్.
d₁ మరియు d₂ కర్ణాలు ‘O’ వద్ద ఖండించుకుంటాయి.
d₁ ⊥ d₂ కావున