AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.3 Textbook Exercise Questions and Answers.
AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 11th Lesson వైశాల్యాలు Exercise 11.3
1. ∆ABC లో (పటం చూడండి), మధ్యగతరేఖ AD యొక్క మధ్యబిందువు E అయిన
ప్రశ్న (i)
∆ABE వై|| = ∆ACE వై||
సాధన.
∆ABC లో, AD మధ్యగతము.
∴ ∆ABD = ∆ACD ………..(1)
(∵ ఒక త్రిభుజంలోని మధ్యగతము దానిని రెండు సమాన త్రిభుజాలుగా విభజించును)
అదే విధంగా ∆ABD లో BE మధ్యగతము
∴ ∆ABE = ∆BED = \(\frac {1}{2}\)∆ABD ……….. (2)
అదే విధంగా ∆ACD లో CE మధ్యగతము
∴ ∆ACE = ∆CDE = \(\frac {1}{2}\)∆ACD ……. (3)
(1), (2) మరియు (3) ల నుండి;
∆ABE = ∆ACE అని నిరూపించబడినది.
(లేక)
∆ABD = ∆ACD
[∵ ∆ABC లో AD మధ్యగతము)
\(\frac {1}{2}\)∆ABD = \(\frac {1}{2}\)∆ACD [2చే భాగించగా]
∆ABE = ∆AEC [∵ ∆ABD కు BE మధ్యగతము]
[∆ACD కు CE మధ్యగతము]
ప్రశ్న (ii)
∆ABE వై|| = \(\frac {1}{4}\)(∆ABC) వై||
సాధన.
∆ABE = \(\frac {1}{2}\)∆ABD
[(i) నుండి; ∆ABD యొక్క మధ్యగతం BE]
∆ABE = \(\frac {1}{2}\) [\(\frac {1}{2}\)∆ABC]
[∵ ∆ABC యొక్క మధ్యగతము AD]
= \(\frac {1}{4}\)∆ABC
అని నిరూపించబడినది.
ప్రశ్న 2.
సమాంతర చతుర్భుజములో కర్ణాలు, దానిని సమాన వైశాల్యం గల నాలుగు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తాయని చూపండి.
సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
కర్ణాలు AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించు కుంటాయి.
∆ABC మరియు ☐ABCDలు ఒకే భూమి AB మరియు ఒకే సమాంతరాలు AB మరియు CDల మధ్యన కలవు.
∴ ∆ABC = \(\frac {1}{2}\) ☐ABCD
∆ABC లో; BO మధ్యగతము
[∵ AC, BD కర్ణాల మధ్య ఖండన బిందువు O]
∴ ∆AOB ≅ ∆BOC …….. (1)
[∵ ఒక త్రిభుజంలో మధ్యగతము ఆ త్రిభుజంను సమాన వైశాల్యాలు గల రెండు త్రిభుజాలుగా విభజించును]
అదే విధంగా ∆ABD మరియు ☐ABCD లు ఒకే భూమి AB మరియు రెండు సమాంతరాలు AB, CDల మధ్యన కలవు.
∴ ∆ABD = \(\frac {1}{2}\)☐ABCD
మరియు ∆AOB = ∆AOD …… (2)
[∵ ∆ABD యొక్క మధ్యగతము AO]
(1) మరియు (2)ల నుండి,
∆AOB = ∆BOC = ∆AOD
అదే విధముగా ∆AOD = ∆COD
[∵ ∆ACD మధ్య గత రేఖ OD]
∴ ∆AOB = ∆BOC = ∆COD = ∆AOD
అని నిరూపించబడినది.
ప్రశ్న 3.
పటంలో త్రిభుజాలు ∆ABC మరియు ∆ABD ఒకే భూమి AB పైన ఉన్నాయి. CD రేఖాఖండం \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని O వద్ద సమద్విఖండన చేస్తే (∆ABC) వై॥ = (∆ABD) వై॥ అని చూపండి.
సాధన.
పటం నుండి ∆AOC మరియు ∆BOD లలో
OA = OB [∵ దత్తాంశము]
OC = OD
\(\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOD}\) (శీర్షాభిముఖ కోణాలు]
∴ ∆AOC ≅ ∆BOD (భు.కో.భు. నియమం)
ఆ విధంగా AC = BD (CPCT)
\(\angle \mathrm{OAC}=\angle \mathrm{OBD}\) (CPCT)
కాని AC, BDల యొక్క ఏకాంతర కోణాలు
∴ AC // BD
అదే విధంగా AC = BD మరియు AC // BD;
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
☐ABCD యొక్క కర్ణము AB
⇒ ∆ABC ≅ ∆ABD (∵ ఒక సమాంతర చతుర్భుజమును కర్ణము రెండు సర్వ సమాన త్రిభుజాలుగా విభజించును)
∴ (∆ABC) వైశాల్యము = (∆ABD) వైశాల్యము
4. పటంలో చూపిన విధంగా ∆ABC లో D, E, F లు వరుసగా భుజాలు BC, CA మరియు AB యొక్క మధ్య బిందువులు అయిన కింది వానిని నిరూపించండి.
ప్రశ్న (i)
BDEF ఒక సమాంతర చతుర్భుజము
సాధన.
∆ABC లో D, E మరియు F లు భుజాల మధ్య బిందువులు.
∴ EF// BC
EF = \(\frac {1}{2}\)BC
FD // AC
FD = \(\frac {1}{2}\)AC
ED // AB
ED = \(\frac {1}{2}\)AB [∵ ఒక త్రిభుజపు రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలుపగా ఆ రేఖాఖండం మూడవ భుజంకు సమాంతరము మరియు దానిలో సగముండును.]
∴ ☐BDEFలో
BD = EF (∵ BC మధ్య బిందువు D మరియు \(\frac {1}{2}\)BC = EF]
DE = BF
∴ ☐BDEF ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
ప్రశ్న (ii)
(∆DEF) వై || = \(\frac {1}{4}\)(∆ABC) వై ||
సాధన.
☐BDEFఒక సమాంతర చతుర్భుజం ((i) నుండి) కావున ∆BDF = ∆DEF
అదే విధముగా ☐CDFE; ☐AEDF లు సమాంతర చతుర్భూజాలు.
∴ ∆DEF = ∆CDE = ∆AEF
∴ ∆ABC = ∆AEF + ∆BDF + ∆CDF + ∆DEF = 4∆DEF
⇒ ∆DEF = \(\frac {1}{4}\)∆ABC
ప్రశ్న (iii)
(BDEF) వై || = \(\frac {1}{2}\)(∆ABC) వై ||.
సాధన.
☐BDEF = 2∆DEF ……….. (1)
((ii) నుండి)
∆ABC = 4 ∆DEF ………… (2)
((ii) నుండి)
(1) మరియు (2) నుండి,
∆ABC = 2 (2∆DEF) = 2 ☐BDEF అని నిరూపించబడినది.
ప్రశ్న 5.
పటంలో చూపిన విధంగా ∆ABCలో D మరియు E బిందువులు వరుసగా AB, AC భుజాల పై గల బిందువులు మరియు (∆DBC) వై॥ = (∆EBC) వై॥ అయిన DE // BC అని చూపండి.
సాధన.
∆DBC = ∆EBC
రెండు త్రిభుజాలు ఒకే భూమి BC మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు BC మరియు DE ల మధ్యన కలవు. కావున వాటి వైశాల్యాలు సమానము.
∴ BC // DE.
ప్రశ్న 6.
కింది పటంలో BC కు సమాంతరంగా A గుండా XY అనే రేఖ గీయబడింది. BE || CA మరియు CF || BA లను గీస్తే అవి XY ను E మరియు Fల వద్ద వరుసగా ఖండిస్తే (∆ABE) వై॥ = (∆ACF) వై॥ అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశం XY//BC; BE//CA; CF//BA
చతుర్భుజం ABCF లో AB//CF మరియు BC//AF
కావున ☐ABCF ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
☐ABCE మరియు ☐ACBE లలో
∆ABC = ∆ACE …….. (1);
∆ABC = ∆ABE ……. (2) [∵ ఒక సమాంతర చతుర్భుజమును కర్ణము రెండు సరూప త్రిభుజములుగా విభజించును]
∴ ∆ACF = ∆ABE [(1) మరియు (2) ల నుండి] నిరూపించబడినది.
ప్రశ్న 7.
కింది పటంలో ABCD ట్రెపీజియంలో AB//DC కర్ణాలు AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకున్నాయి.
(∆AOD) వై|| = (∆BOX) వై॥ అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశం AB // CD
∆ADC మరియు ∆BCD లు ఒకే భూమి మరియు ఒకే సమాంతరాలు AB మరియు CDల మధ్యన కలవు.
AB // CD.
∴ ∆ADC = ∆BCD
⇒ ∆ADC – ∆COD = ∆BCD – ∆COD
⇒ ∆AOD = ∆BOC (పటం నుండి)
8. కింది పటంలో ABCDE ఒక పంచభుజి. B గుండా ACకు సమాంతరంగా గీచిన రేఖ, పొడిగించిన DCని F వద్ద ఖండించిన కింది వానిని నిరూపించుము.
ప్రశ్న (i)
(∆ACB) వై॥ = (∆ACF) వై ॥
సాధన.
ABCDE ఒక పంచభుజి మరియు AC//BF
∆ACB మరియు ∆ACF లు ఒకే భూమి AC మరియు ఒకే సమాంతరాలు AC//BF ల మధ్యన కలవు.
∴ ∆ACB = ∆ACF
ప్రశ్న (ii)
(AEDF) వై ॥ = (ABCDE) వై ॥
సాధన.
☐AEDF = ☐AEDC + ∆ACF
= ☐DAEDC + ∆ABC
[∵ ∆ACF = ∆ACB]
= (ABCDE) వై॥ నిరూపించబడినది
ప్రశ్న 9.
కిందీ పటంలో ∆RAS వై॥ = ∆RBS వై॥ మరియు ∆QRB వై॥ = ∆PAS పై॥ అయిన చతుర్భుజాలు PQRS మరియు RSBA లు రెండునూ ట్రెపీజియమ్ ని చూపండి.
సాధన.
∆RAS = ∆RBS ……. (1)
రెండు త్రిభుజాలు ఒకే భూమి RS మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు RS మరియు AB ల మధ్యన కలవు. కాబట్టి వాటి వైశాల్యాలు సమానము. మరియు RS//AB
∴ ☐ABRS చతుర్భుజం నందు AB//RS.
∴ ☐ABRS (లేదా) ☐RSBA ఒక ట్రెపీజియమ్
∆QRB = ∆PAS (దత్తాంశం)
⇒ ∆QRB – ∆RBS = ∆PAS – ∆RAS
[(1) నుండి ∆RBS = ∆RAS]
⇒ ∆QRS = ∆PRS.
ఈ త్రిభుజాలు ఒకే భూమి RS పై మరియు RS మరియు PQల మధ్యన కలవు. కావున వాటి వైశాల్యాలు సమానము, PQ//RS.
PQRS చతుర్భుజంలో PQ//RS. కావున ☐PQRS ట్రెపీజియము.
ప్రశ్న 10.
ఒక గ్రామంలో రామయ్య అనే వ్యక్తికి చతుర్భుజాకారంలో ఖాళీ స్థలం కలదు. ఆ గ్రామ పంచాయితీలో పాఠశాల నిర్మాణానికి అతని స్థలంలో ఒక మూలలో కొంత భాగం కావల్సివచ్చింది. ఆయన స్థలాన్ని ఇవ్వడానికి అంగీకరిస్తూ, దానికి బదులుగా అంతే వైశాల్యం గల స్థలాన్ని పొందితే ఏ విధంగా ఆ స్థలం వస్తుందో వివరించండి. (స్థలం యొక్క చిత్తు పటం గీయండి.)
సాధన.
పటం నుండి ☐ABCD రామయ్య పొలం అనుకొనుము.
∆MCD లో పాఠశాల నిర్మాణము జరుగును.
M, BC మధ్య బిందువు
☐ABCD ≅ ∆ADE
BD కర్ణంను గీయుము.
C గుండా BD కి సమాంతర రేఖను గీయుము. అది BC ని E వద్ద ఖండించును.
D, Eలను కలుపుము. ∆ADE మనకు కావలసిన త్రిభుజము.
పరిశీలన:
∆CED మరియు ∆CEBలు ఒకే భూమి CE మరియు ఒక జత సమాంతరాలు CE, DB ల మధ్యన ఉన్నవి.
∴ ∆CED = ∆CEB (పటం నుండి)
∆CEM + ∆CMD = ∆CEM + ∆BME
∴ ∆CMD = ∆BME
∴ ∆ADE = ☐ABCD