AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 చతుర్భుజాలు Ex 8.3 Textbook Exercise Questions and Answers.
AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 8th Lesson చతుర్భుజాలు Exercise 8.3
ప్రశ్న 1.
సమాంతర చతుర్భుజము ఎదుటి కోణాలు (3x – 2)° మరియు (x + 48)° అయిన సమాంతర చతుర్భుజములో ప్రతీ కోణాన్ని కనుగొనండి.
సాధన.
సమాంతర చతుర్భుజము ఎదుటి కోణాలు
(3x – 2)° మరియు (x + 48)°
సమాంతర చతుర్భుజంలో ఎదుటి కోణాలు సమానము.
3x – 2 = x + 48
3x – x = 48 + 2
2x = 50
x = \(\frac {50}{2}\) = 25°
∴ ఇచ్చిన కోణాలు (3x – 2)° (x + 48)°
= 3x – 2 = (3 × 25 – 2)° = (75 – 2)° = 73°
x + 48° = (25 + 48)° = 73°
సమాంతర చతుర్భుజంలోని వరుస కోణాలు సంపూరకాలు కావున మిగిలిన రెండు కోణాలు (180° – 73°) మరియు (180° – 73°) = 107° మరియు 107°
∴ నాలుగు కోణాలు 78°, 107°, 73° మరియు 107°.
ప్రశ్న 2.
సమాంతర చతుర్భుజములో ఒక కోణం, అతి చిన్న కోణమునకు రెట్టింపు కన్నా 24° తక్కువ అయిన సమాంతర చతుర్భుజంలో అన్ని కోణాలను కనుగొనుము.
సాధన.
సమాంతర చతుర్భుజములోని అతి చిన్న కోణం = x
దాని ఆసన్న కోణము = (180 – x)°
లెక్క ప్రకారము (180 – x)° = (2x – 24)°
(∵ ఎదుటి కోణాలు సమానము)
180 + 24 = 2x + x
3x = 204
x = \(\frac {204}{3}\) = 68°
∴ మిగిలిన కోణాలు 68°; (2 × 68 – 24)°
68°; (2 × 68 – 24)°
= 68°, 112°, 68°, 112°
ప్రశ్న 3.
కింది పటంలో ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము. BC యొక్క మధ్య బిందువు E. AB మరియు DE లను F వరకు పొడిగించిన, AF = 2AB అని నిరూపించండి.
సాధన.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
E, BC యొక్క మధ్య బిందువు.
G, AD యొక్క మధ్య బిందువు.
G మరియు E లను కలుపుము.
∆AFD లో AD మరియు DF ల మధ్య బిందువులను కలుపగా
GE // AF మరియు GE = \(\frac {1}{2}\) AF
కాని GE = AB [∵ ABEG సమాంతర చతుర్భుజంలో AB, GE లు ఒక జత ఎదుటి భుజాలు]
∴ \(\frac {1}{2}\)AF = AB
∴ AF = 2AB
ప్రశ్న 4.
కింది పటంలో ABCDఒక సమాంతర చతుర్భుజము. AB, DCల యొక్క మధ్య బిందువు P మరియు Qలు అయిన PBCQ ఒక సమాంతర చతుర్భుజమని చూపండి.
సాధన.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము
P,Qలు AB, CDల మధ్య బిందువులు.
P, Qలను కలుపుము.
AB = CD (సమాంతర చతుర్భుజ ఎదుటి భుజాలు)
\(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)CD
PB = QC మరియు PB//QC.
చతుర్భుజం PBCQ లో PB = QC; PB//QC
కావున ☐PBCQ ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
ప్రశ్న 5.
ABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము మరియు AB = AC. బాహ్యకోణం QAC నకు AD సమద్విఖండనరేఖ అయితే
(i) \(\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}\)
(ii) ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజమని చూపండి.
సాధన.
∆ABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము; AB = AC
\(\angle \mathrm{QAC}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ AD.
(i) ∆ABC లో, AB = AC ⇒ \(\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{ACB}\)
(సమాన భుజాలకు ఎదుటి కోణాలు)
\(\angle \mathrm{QAC}=\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{ACB}\)
\(\angle \mathrm{QAC}=\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{BCA}\)
(∵ \(\angle \mathrm{QAC}=\angle \mathrm{B}\))
⇒ \(\frac {1}{2}\) \(\angle \mathrm{OAC}\) = \(\frac {1}{2}\) [2\(\angle \mathrm{BCA}\)]
⇒ \(\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}\) [∵ \(\angle \mathrm{QAC}\) యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ AD]
(ii) సమస్య (i) నుండి \(\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}\)
ఈ కోణాలు, AD మరియు BC రేఖలను AC అను తిర్యగ్రేఖ ఖండించడం వలన ఏర్పడిన ఏకాంతర కోణాలు.
∴ AD // BC
చతుర్భుజం ABCD లో AB // DC; BC / AD
∴ ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
ప్రశ్న 6.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము AP మరియు CQలు శీర్షాలు A మరియు Cల నుండి కర్ణం BD పైకి గీచిన లంబాలు (పటంలో చూడండి) అయిన (i) ∆APB ≅ ∆CQD (ii) AP = CO అని చూపండి.
సాధన.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము మరియు
BD ఒక కర్ణము.
AP ⊥ BD మరియు CQ ⊥ BD
(i) ∆APB మరియు ∆CQD లలో
AB = CD (∵ సమాంతర చతుర్భుజము ABCD యొక్క ఎదుటి భుజాలు)
\(\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{CQD}\) = 90°
\(\angle \mathrm{PBA}=\angle \mathrm{QDC}\) (ఒకదాని తరువాత ఒకటి ఏర్పడు అంతర కోణాలు)
∴ ∆APB ≅ ∆CQD (కో.కో.భు. నియమం ప్రకారం)
(ii) సమస్య (i) నుంచి ∆APB ≅ ∆CQD
⇒ AP = CQ (CPCT)
ప్రశ్న 7.
∆ABC మరియు ∆DEF లలో AB//DE; BC= EF మరియు BC//EF. శీర్షాలు A, B మరియు Cలు వరుసగా D, E మరియు F లకు కలుపబడినవి (పటం చూడండి) అయిన
(i) ABED ఒక సమాంతర చతుర్భుజము
(ii) BCFE ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
(iii) AC = DF
(iv) ∆ABC ≅ ∆DEF అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము నుండి AB//DE; BC = EF
చతుర్భుజం ☐BCFE లో
BC = EF మరియు BC//EF
కావున ☐BCFE ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
చతుర్భుజము ☐ABED లో
AB//ED మరియు AB = ED
కావున ☐ABED ఒక సమాంతర చతుర్భుజము
∆ABC మరియు ∆DEF లలో
AB = DE
BC = EF
\(\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{DEF}\) (సమాంతర భుజాల రెండు కోణాలు)
∴ ∆ABC ≅ ∆DEF
⇒ AC = DF (∵ CPCT)
(లేక)
AD = BE = CF ((i) మరియు (ii) ల నుండి)
ACFD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
ఆ విధముగా AC = DF (∵ సమాంతర చతుర్భుజపు ఎదుటి భుజాలు)
ప్రశ్న 8.
ABCDఒక సమాంతర చతుర్భుజము. AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకున్నాయి. P, Qలు BD కర్ణంపై త్రిథాకరించబడిన బిందువులైన CQ//AP మరియు AC కర్ణం, PQను సమద్విఖండన చేయునని చూపండి (పటం చూడండి).
సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
BD దాని యొక్క కర్ణము.
P మరియు Qలు BD పై సమత్రిఖండన బిందువులు.
∆APB మరియు ∆CQD లలో
AB = CD(∵ //gm ABCD యొక్క ఎదుటి భుజాలు)
BP = DQ (దత్తాంశము)
\(\angle \mathrm{ABP}=\angle \mathrm{CDQ}\) (AB, DC సమాంతర రేఖలను BD అను తిర్యగ్రేఖ ఖండించగా ఏర్పడు ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∆APB ≅ ∆CQD (భు.కో.భు. నియమము)
అదే విధముగా ∆AQD మరియు ∆CPB లలో
AD = BC (//gm ABCD యొక్క ఎదుటి భుజాలు)
DQ = BP (దత్తాంశము)
\(\angle \mathrm{ADQ}=\angle \mathrm{CBP}\)
(AD మరియు BC సమాంతర రేఖలను \(\overline{\mathrm{BD}}\) తిర్యగ్రేఖ ఖండించగా ఏర్పడిన ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∆AQD ≅ ∆CPB
చతుర్భుజము ☐APCQ లో
AP = CQ(∵ ∆APB, ∆CQDల యొక్క CPCT)
AQ = CP(∵ ∆AQD, ∆CPBల యొక్క CPCT)
∴ ☐APCQ ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
∴ CQ// AP (//gm APCQ యొక్క ఎదుటి భుజాలు) మరియు AC, PQ ను సమద్విఖండన చేస్తుంది.
[∵ //gm APCQ యొక్క కర్ణాలు)
ప్రశ్న 9.
ABCD ఒక చతురస్రము. E, F, G మరియు Hలు వరుసగా AB, BC, CD మరియు DA లపై గల బిందువులు AE = BF – CG = DH అయినచో EFGH ఒక చతురస్రమని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశం నుండి ABCD ఒక చతురస్రము.
AB, BC, CD మరియు DA భుజాల మధ్య బిందువులు E, F, G, మరియు H లు మరియు AE = BF = CG = DH.
∆ABC లో E, F లు AB మరియు BC ల మధ్య బిందువులు.
∴ EF // AC మరియు EF = \(\frac {1}{2}\) AC
అదే విధముగా GH//AC మరియు GH = AC
GF//BD మరియు GF = \(\frac {1}{2}\)BD
HE//BD మరియు HE = \(\frac {1}{2}\)BD
కాని AC = BD (∵ చతురస్రము యొక్క కర్ణాలు)
∴ EF = FG = GH = HE
∴ EFGH ఒక రాంబస్ మరియు AC ⊥ BD (∵ రాంబస్ యొక్క కర్ణాలు)
∴ //gm OIEJ లో \(\angle \mathrm{IOJ}=\angle \mathrm{E}\) [∵ ఎదుటి కోణాలు]
∴ \(\angle \mathrm{E}\)= 90°
చతుర్భుజం EFGH లో అన్ని భుజాలు సమానము మరియు ఒక కోణం 90° కావున EFGH ఒక చతురస్రము.