AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Ex 10.4

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Ex 10.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Exercise 10.4

ప్రశ్న 1.
ఒక గోళపు వ్యాసార్థం 2.5 సెం.మీ. అయిన దాని ఉపరితల వైశాల్యం, ఘనపరిమాణం ఎంత ?
సాధన.
గోళపు వ్యాసార్ధము, r = 3.5 సెం.మీ.
ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr² = 4 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5
= 4 × 22 × 0.5 × 3.5 = 154 సెం.మీ².
ఘనపరిమాణము = \(\frac {4}{3}\)πr³
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 3.5
= \(\frac{4 \times 22 \times 0.5 \times 12.25}{3}\)
= 179.666 సెం.మీ.³
= 179.7 సెం.మీ.³

ప్రశ్న 2.
ఒక గోళం ఉపరితల వైశాల్యం 1018\(\frac {2}{7}\) చ.సెం.మీ. అయిన దాని ఘనపరిమాణం ఎంత ?
సాధన.
గోళపు ఉపరితల వైశాల్యము = 4πr²
= 1018\(\frac {2}{7}\) సెం.మీ².
4πr² = \(\frac {7128}{7}\)
r² = \(\frac{7128 \times 7}{7 \times 4 \times 22}\)
r² = 81
r = \(\sqrt{81}\) = 9 సెం.మీ.
∴ గోళపు ఘనపరిమాణము = \(\frac {4}{3}\)πr³
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 9 × 9 × 9
= \(\frac {21384}{7}\) = 3054.857 సెం.మీ.³
= 3054.86 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 3.
గ్లోబులో భూమధ్యరేఖ పొడవు 44 సెం.మీ. అయిన దాని ఉపరితల వైశాల్యం ఎంత?
సాధన.
గ్లోబు యొక్క భూమధ్యరేఖ పొడవు
2πr = 44 సెం.మీ.
2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 44
∴ r = \(\frac{44 \times 7}{2 \times 22}\) = 7 సెం.మీ.
∴ ఉపరితల వైశాల్యము = 4πr²
= 4 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7
= 4 × 22 × 7 = 616 సెం.మీ².

ప్రశ్న 4.
ఒక గోళాకారపు బంతి యొక్క వ్యాసం 21 సెం.మీ. .. ఇటువంటి 5 బంతులను తయారుచేయడానికి కావలసిన పదార్ద పరిమాణం ఎంత?
సాధన.
గోళాకార బంతి యొక్క వ్యాసము ‘d’ = 21 సెం.మీ,
వ్యాసార్ధము ‘r’ = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {21}{2}\) = 10.5 సెం.మీ.
ఒక బంతి యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము = 4πr²
= 4 × \(\frac {22}{7}\) × 10.5 × 10.5
= 88 × 1.5 × 10.5 = 1386 సెం.మీ².
∴ అటువంటి 5 బంతులకు అవసరమైన పదార్థ పరిమాణము = 5 × 1386 = 6930 సెం.మీ².

ప్రశ్న 5.
రెండు గోళముల వ్యాసార్ధముల నిష్పత్తి 2 : 3. అయిన వాటి ఉపరితల వైశాల్యాలు మరియు ఘన పరిమాణముల నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
సాధన.
వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి = r₁ : r₂ = 2 : 3
ఉపరితల వైశాల్యాల నిష్పత్తి
= \(4 \pi r_{1}^{2}: 4 \pi r_{2}^{2}=r_{1}^{2}: r_{2}^{2}\)
= 2² : 3² = 4 : 9
ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి = \(\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}: \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}=r_{1}^{3}: r_{2}^{3}\)
= 2³ : 3³ = 8 : 27

ప్రశ్న 6.
10 సెం.మీ. వ్యాసార్ధముగా గల అర్ధగోళం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యంను కనుగొనుము. (π = 3.14 గా తీసుకొనుము)
సాధన.
అర్ధగోళపు వ్యాసార్ధము = 10 సెం.మీ.
అర్ధగోళ సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 3πr²
= 3 × 3.14 × 10 × 10 = 9.42 × 100
= 942 సెం.మీ².

ప్రశ్న 7.
ఒక గోళాకార బెలూన్ యొక్క వ్యాసం 14 సెం.మీ. నుండి 28 సెం.మీ. వరకు పెరిగే విధంగా గాలి నింపబడింది. ఈ రెండు సందర్భములలో గల ఉపరితల వైశాల్యముల నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
సాధన.
బెలూన్ యొక్క వ్యాసం, d = 14 సెం.మీ.
బెలూన్ వ్యాసార్థం, r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {14}{2}\) = 7 సెం.మీ.
∴ ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr² = 4 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7
= 88 × 7 = 616 సెం.మీ.²
గాలిని నింపినపుడు బెలూన్ వ్యాసము = 28 సెం.మీ.,
వ్యాసార్ధము = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {28}{2}\) = 14 సెం.మీ.
ఉపరితల వైశాల్యము = 4πr²
= 4 × \(\frac {22}{7}\) × 14 × 14
= 88 × 28 = 2464 సెం.మీ².
వైశాల్యాల నిష్పత్తి = 616 : 2464
= 1 : 4
(లేదా)
అసలు వ్యాసార్ధము = \(\frac {14}{2}\) = 7 సెం.మీ.
పెరిగిన వ్యాసార్ధము = \(\frac {28}{2}\) = 14 సెం.మీ.
వైశాల్యాల నిష్పత్తి = \(\mathrm{r}_{1}^{2}: \mathrm{r}_{2}^{2}=7^{2}: 14^{2}\)
= 7 × 7 : 14 × 14 = 1 : 4

ప్రశ్న 8.
0.25 సెం.మీ. మందం కల ఇత్తడితో ఒక అర్ధగోళాకార గిన్నెను తయారుచేశారు. గిన్నె లోపలి వ్యాసార్ధం 5 సెం.మీ. అయిన గిన్నె యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం మరియు లోపలితల వైశాల్యంనకు గల నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
సాధన.
అర్ధవృత్తపు లోపలి వ్యాసార్ధము = ‘r’ = 5 సెం.మీ.
అర్ధవృత్తపు బయటి వ్యాసార్ధము ‘R’ = లోపలి వ్యాసార్థం + మందం
= (5 + 0.25) సెం.మీ. = 5.25 సెం.మీ.
వైశాల్యాల నిష్పత్తి = 3πR² : 3πr²
= R² : r²
= (5.25)² : 5²
= 27.5625 : 25
= 1.1025 : 1
= 11025 : 10000
= 441 : 400
(గమనిక : వ్యాసార్ధంను వ్యాసంగా తీసుకున్న టెస్టుక్ జవాబును పొందవచ్చును)

ప్రశ్న 9.
ఒక సీసపు బంతి యొక్క వ్యాసం 21 సెం.మీ. దానిని తయారు చేయడానికి ఉపయోగించే సీసం యొక్క సాంద్రత 11.34 గ్రా. సెం.మీ³. అయిన బంతి యొక్క బరువు ఎంత ?
సాధన.
బంతి వ్యాసము = 2.1 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధము, r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {2.1}{2}\) = 1.05 సెం.మీ.
బంతి ఘనపరిమాణము ‘V’ = \(\frac {4}{3}\)πr³
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 1.05³ = \(\frac {101.87}{21}\)
సీసపు సాంద్రత = 11.34 గ్రా|| సెం.మీ³
బంతి బరువు = ఘనపరిమాణము × సాంద్రత
= 4.851 × 11.34
= 55.010 గ్రా||లు

ప్రశ్న 10.
ఒక స్థూపాకార లోహము యొక్క వ్యాసం 5 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 3\(\frac {1}{3}\) సెం.మీ. దానిని కరిగించి ఒక గోళముగా తయారుచేస్తే దాని యొక్క వ్యాసం ఎంత ?
సాధన.
స్థూపపు వ్యాసము ‘d’ = 5 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధము, r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {5}{2}\) = 25 సెం.మీ.
సూపపు ఎత్తు, h = 3\(\frac {1}{3}\) = \(\frac {10}{3}\)సెం.మీ.
స్థూపపు ఘనపరిమాణం
= πr²h = \(\frac {22}{7}\) × 2.5 × 2.5 × \(\frac {10}{3}\)
దత్తాంశము నుండి స్థూపమును కరిగించి గోళముగా పోతపోసిరి.
∴ స్థూపపు ఘనపరిమాణం = గోళపు ఘనపరిమాణం
\(\frac {4}{3}\)πr³ = \(\frac {22}{7}\) × 2.5 × 2.5 × \(\frac {10}{3}\) (∴ r గోళపు వ్యాసార్ధము)
∴ r³ = \(\frac {3}{4}\) × 2.5 × 2.5 × \(\frac {10}{3}\)
r³ = 2.5³
∴ r = 2.5 సెం.మీ.
గోళపు వ్యాసము, d = 2r
= 2 × 2.5 = 5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 11.
10.5 సెం.మీ. వ్యాసము గల అర్ధగోళాకారపు గిన్నెలో నింపగల పాల యొక్క సామర్థ్యం ఎంత ?
సాధన.
అర్ధగోళాకారపు గిన్నె వ్యాసము = 10.5 సెం.మీ.
అర్ధగోళాకారపు గిన్నె వ్యాసార్ధం
= \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {10.5}{2}\) = 5.25 సెం.మీ.
గిన్నెలో పట్టు పాల పరిమాణము = గిన్నె ఘనపరిమాణం
= \(\frac {2}{3}\)πr³
= \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 5.25 × 5.25 × 5.25
= 303.1875 సెం.మీ³.
= \(\frac {303.1875}{1000}\)లీ. = 0303లీ.

ప్రశ్న 12.
ఒక అర్ధగోళాకార గిన్నె యొక్క వ్యాసం 9 సెం.మీ. గిన్నెలోగల ద్రవమును 3 సెం.మీ. వ్యాసం మరియు 3 సెం.మీ. ఎత్తుగల స్థూపాకారపు సీసాలలో నింపుతూ ఉంటే నిండుగా ఉన్న గిన్నెలోని ద్రవమును ఎన్ని సీసాలలో నింపవచ్చు ?
సాధన.
అర్ధగోళాకారపు గిన్నె వ్యాసము d = 9 సెం.మీ.
∴ ఆర్ధగోళాకారపు గిన్నె వ్యాసార్ధము,
r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {9}{2}\) = 4.5 సెం.మీ.
ద్రవపు ఘనపరిమాణం = గిన్నె ఘనపరిమాణము
= \(\frac {2}{3}\)πr³
= \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 4.5 × 4.5 × 4.5
స్థూపాకారపు సీసా వ్యాసము d = 3 సెం.మీ,
⇒ స్థూపాకారపు సీసా వ్యాసార్ధం
r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {3.0}{2}\) = 1.5 సెం.మీ.
సీసా ఎత్తు, h = 3 సెం.మీ.
కావలసిన సీసాల సంఖ్య = n అనుకొనుము.
n సీసాల మొత్తం ఘనపరిమాణము = n . πr²h
ఈ ఘనపరిమాణం గిన్నెలోని ద్రవపు ఘనపరిమాణంకు సమానము.
n . \(\frac {22}{7}\) × 1.5 × 1.5 × 3
= \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 4.5 × 4.5 × 4.5
∴ n = \(\frac{2}{3} \times \frac{20.25}{1.5}\) = 9
∴ కావలసిన సీసాల సంఖ్య = 9