Srinivas

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 5 అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 5th Lesson అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట Exercise 5.3

ప్రశ్న1.
సుధాకర్ తన ఇంటి మరమ్మత్తుల కొరకు బ్యాంకు నుండి ₹ 15,000 అప్పు తీసుకున్నాడు. అతడు సంవత్సరము నకు 9% వడ్డీరేటు చొప్పున 8 సంవత్సరముల కాలానికి అప్పుతీసుకొనిన, అతడు ప్రతీనెల ఎంత మొత్తము చెల్లించాలి ?
సాధన.
P = 15,000
R = 9%
T = 8 సం॥ = \(\frac {8}{12}\) నెలలు

అతడు నెలనెలా చెల్లించాల్సిన వడ్డీ = ₹ 900

ప్రశ్న2.
ఒక టెలివిజన్ ని ₹ 21,000 లకు కొన్నారు. ఒక సంవత్సరము తరువాత దాని విలువ 5% తగ్గినది (వస్తువుల వాడకము, కాలమును బట్టి వాటి విలువ తగ్గును). ఒక సంవత్సరము తరువాత ఆ టెలివిజన్ విలువ ఎంత?
సాధన.
టెలివిజన్ కొన్న విలువ = ₹ 21,000
ఒక సం॥ తరువాత దాని విలువ = 21000 – 21000 లో 5%

= 21000 – 1050
= ₹ 19,950

ప్రశ్న3.
₹ 8000 లపై 5% వడ్డీ రేటు చొప్పున ప్రతీ సంవత్సరమున కొకసారి వడ్డీ తిరగ కట్టబడిన రెండు సంవత్సరములకు అయ్యే చక్రవడ్డీని, మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
P = ₹ 8000; R = 5%
ప్రతి సం॥నకు ఒకసారి చొప్పున వడ్డీ తిరగకట్టిన రెండు సంవత్సరాలకు 2 కాల వ్యవధులు వస్తాయి.
∴ n = 2

∴ మొత్తం (A) = ₹ 8820
చక్రవడ్డీ (C.I.) = మొత్తం – అసలు
= 8820 – 8000 = ₹820

ప్రశ్న4.
₹ 6500 లపై మొదటి సంవత్సరము 5% చొప్పున రెండవ సంవత్సరము 6% వడ్డీ రేటు చొప్పున ప్రతీ సంవత్సరము వడ్డీ తిరిగకట్టబడిన 2 సంవత్సరములకు అయ్యే చక్రవడ్డీని, మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
P = ₹ 6500, R = 5%, T = 1 సం॥
∴ I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{6500 \times 5 \times 1}{100}\)
= 325
∴ A = P + I = 6500 + 325 = 6825
∴ P = 6825 (రెండవ సంవత్సరం మొదట్లో మొత్తం అసలు అగును)
R = 6%, T = 1 సం॥
∴ I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{6825 \times 6 \times 1}{100}\)
∴ A = P + I = 6825 + 409.5
∴ మొత్తము = ₹ 7234.50
చక్రవడ్డీ = ₹ 409.5

ప్రశ్న5.
ప్రతిభ ఒక ఋణ సంస్థ (ఫైనాన్స్ కంపెనీ) నుండి మొదటి కారును కొనడానికి ₹ 47000 లను 17% వడ్డీ రేటుతో 5 సంవత్సరములకు సాధారణ వడ్డీకి అప్పు తీసుకున్నది. అయిన (a) ఆమె ఋణ సంస్థకు ఎంత మొత్తము చెల్లించాలి. (b) ఆ మొత్తాన్ని సమాన వాయిదాలలో చెల్లించాలంటే ఆమె ప్రతీ నెల ఎంత మొత్తము చెల్లించాలి.
సాధన.
P = ₹47000, R = 17%, T = 5 సం॥

∴ చెల్లించాల్సిన మొత్తం (A) = P + I
= 47000 + 39,950 = 86950
a) ఋణసంస్థకు ఆమె చెల్లించాల్సిన మొత్తం = ₹ 86950
b) ఆ మొత్తాన్ని సమాన వాయిదాల్లో చెల్లించాలంటే ఆమె ప్రతినెల చెల్లించాల్సిన మొత్తం

ప్రశ్న6.
2011వ సంవత్సరములో హైదరాబాదు జనాభా 68,09,000 అది ప్రతీ సంవత్సరము 4.7% చొప్పున పెరుగుచున్న 2015వ సంవత్సరము. చివరి నాటికి హైదరాబాదు జనాభా ఎంత అవుతుంది ?
సాధన.
2011 లో హైదరాబాద్ జనాభా = 68,09,000
ప్రతి సం॥ అది 4.7% చొప్పున పెరుగుచున్న 2015 నాటికి హైదరాబాద్ జనాభా
= 6809000 \(\left(1+\frac{4.7}{100}\right)^{4}\)
[∵ P = 6809000, R = 4.7%, n = 4(2015 – 2011)
= 6809000 × \(\frac{104.7}{100} \times \frac{104.7}{100} \times \frac{104.7}{100} \times \frac{104.7}{100}\)
= ₹ 81,82,199

ప్రశ్న7.
₹ 10,000 లను 8\(\frac {1}{2}\)% చొప్పున సంవత్సరమున కొకసారి వడ్డీ తిరిగి లెక్కకట్టు పద్ధతిలో పొదుపుచేసిన 1 సంవత్సరము 3 నెలల కాలంలో వచ్చే చక్రవడ్డీని కనుగొనండి.
సాధన.
P = ₹ 10,000 ; R = 8\(\frac {1}{2}\)% = \(\frac {17}{2}\)%
T = 1 సం॥

= 50 × 17 = 850
∴ I = ₹ 850
∴ A = P + I = 10,000 + 850
A = 10,850
∴ P = 10,850 ; R = 8\(\frac {1}{2}\)% = \(\frac {17}{2}\)%
T(n) = 3 నెలలు = \(\frac {3}{12}\) సం॥ = \(\frac {1}{4}\) సం॥
∴ I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{10850 \times \frac{17}{2} \times \frac{1}{4}}{100}\)
= \(\frac{10850 \times 17}{800}\)
I = ₹ 230.5625
∴ అసలు (A) = P + I
= 10850 + 230.5625
= ₹ 11080. 5625

ప్రశ్న8.
ఆరిఫ్ ఒక బ్యాంక్ నుండి ₹ 80,000 లను వడ్డీరేటు 10% చొప్పున అప్పు తీసుకొనెను. (i) సంవత్సరము మరియు (ii) 6 నెలలు తిరిగి వడ్డీ కట్టు కాల వ్యవధులుగా తీసుకొని 1\(\frac {1}{2}\) సంవత్సరములకు వడ్డీ కట్టిన ఆ రెండు మొత్తముల భేదమును కనుగొనుము.
సాధన.
P = ₹ 80,000; R = 10%; T = 1 సం॥
∴ I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{80000 \times 10 \times 1}{100}\) = 8000
∴ A = P + I = 80000 + 8000 = ₹ 88,000
మరలా 6 నె॥లకు అగు వడ్డీ :
P = 80000
R= 10%
T = 6 నె॥లు
= \(\frac {1}{2}\) సం॥
I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{80000 \times \frac{1}{2} \times 10}{100}\)
= 4000

i) ఒక సంవత్సరం 6 నెలల తరువాత కట్టవలసిన మొత్తం = వడ్డీ + అసలు
= 88000 + 4000
A1 = ₹ 92000

ii) 6 నెలలకొకసారి, చక్రవడ్డీ కట్టవలెనన్న 1\(\frac {1}{2}\) సం॥ చొప్పున 3 కాలవ్యవధులు వస్తాయి.
∴ n = 3 అగును.
R = \(\frac {10}{2}\) = 5%
P = ₹ 80,000

∴ రెండు మొత్తాల మధ్య భేదం = A₂ – A₁ = 92610 – 92000
= ₹ 610

ప్రశ్న9.
నేను ప్రసాద్ వద్ద నుండి ₹ 12000 లను 6% వడ్డీ రేటు చొప్పున సాధారణ వడ్డీకి 2 సంవత్సరముల కాలానికి అప్పు తీసుకున్నాను. నేను అదే మొత్తమును 6% వడ్డీ రేటు చొప్పున సంవత్సరమునకొకసారి తిరిగి వడ్డీ కట్టు పద్ధతిన అప్పు తీసుకున్నచో ఎంతసొమ్ము అదనంగా చెల్లించవలసి వస్తుంది ?
సాధన.
ప్రసాదు వద్ద నుండి తీసుకున్న సొమ్ము = (P)
= ₹ 12000
T = 2 సం॥ R = 6%
∴ I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{12000 \times 2 \times 6}{100}\)
I = ₹ 1440
మొత్తం = అసలు + వడ్డీ
A₁ = P + I = 12000 + 1440
= ₹ 13440
∴ 2 సం॥ల తరువాత సాధారణ వడ్డీ రేటు 6% చొప్పున చెల్లించాల్సిన మొత్తం = ₹ 13440
చక్రవడ్డీ చొప్పున 2 సం॥ల తరువాత చెల్లించాల్సిన మొత్తం
P = ₹ 12,000, R = 6%, n = 2 సం॥

∴ చక్రవడ్డీ, సాధారణ వడ్డీల ద్వారా వచ్చు మొత్తాలలో భేదం = 13483.2 – 13440
= ₹ 43.20

ప్రశ్న10.
ఒక ప్రయోగశాలలో, ప్రయోగమును నిర్వహించి బాక్టీరియాలో పెరుగుదల రేటు గంటకు 2.5% అని గుర్తించినారు. ప్రారంభంలో బాక్టీరియా సంఖ్య, 5,06,000 లు వున్నచో రెండు గంటల తరువాత ఆ బాక్టీరియా సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.
ప్రారంభంలో ప్రయోగశాలలో గల బాక్టీరియాల సంఖ్య = 5,06,060
గంటకు 2.5 % రేటుతో పెరిగిన, 2 గం॥ల తరువాత ఆ బాక్టీరియాల సంఖ్య
∵ n = 2 గం॥లు

ప్రశ్న11.
కమల బ్యాంకు నుండి స్కూటరు కొనే నిమిత్తం ₹26400 లను 15% వడ్డీ రేటు చొప్పున సంవత్సరమున కొకసారి తిరిగి వడ్డీ కట్టు పద్ధతిలో అప్పు తెచ్చుకున్నది. 2 సంవత్సరముల 4 నెలల తరువాత అప్పు మొత్తము తీర్చివేయవలెనన్న ఆమె చెల్లించవలసిన మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
కమల బ్యాంకు నుండి తీసుకున్న మొత్తం = ₹ 26400
వడ్డీ రేటు (R) = 15% చొప్పున 2 సం॥లకు అగు మొత్తం

∴ తదుపరి 4 నెలలకు వడ్డీ కట్టుటకు మొత్తం (₹ 34914) అసలు అగును.
∴ P = 34914, R = 15%, T = 4 నెలలు = \(\frac {4}{22}\) సం॥
= \(\frac {1}{3}\) సం॥
I = \(\frac{\mathrm{PTR}}{100}\) = \(\frac{34914 \times 15 \times \frac{1}{3}}{100}\)
= ₹ 1745.7
∴ 2 సం॥ల 4 నెలల కాలానికి కమల బ్యాంక్ వారికి చెల్లించాల్సిన మొత్తం = 34914 + 1745.7
= ₹ 36659.7

ప్రశ్న12.
భారతి ₹ 12500 లను 12% వడ్డీ రేటు చొప్పున 3 సంవత్సరముల కాలానికి సాధారణ వడ్డీకి అప్పు తీసుకున్నది. మాధురి అదే మొత్తాన్ని అదేకాలానికి 10% వడ్డీ రేటుతో సంవత్సరమునకొకసారి తిరిగి వడ్డీ కట్టు పద్ధతిన అప్పుతెచ్చినది. ఆ ఇద్దరిలో ఎవరు ఎక్కువ వడ్డీని చెల్లించెదరు ? ఎంత ఎక్కువ వడ్డీని చెల్లించెదరు?
సాధన.
భారతి తీసుకున్న అసలు సొమ్ము
P = ₹ 12500
R = 12%
T = 3 సం॥లు
సాధారణ వడ్డీ (I) = \(\frac{\mathrm{PTR}}{100}\)
= \(\frac{12500 \times 12 \times 3}{100}\)
= 125 × 36 = 4500
∴ 3 సం॥ల తరువాత చెల్లించాల్సిన మొత్తం
A₁ = P + I = 12500 + 4500
A₁ = ₹ 17,000
మాధురి చక్రవడ్డీ చొప్పున కట్టాల్సిన మొత్తం

∴ A₁ > A₂
A₁ – A₂ = 17000 – 16637.5
= ₹ 362.5
∴ భారతి, మాధురి కంటే ₹ 362.5 ఎక్కువ వడ్డీ చెల్లించాల్సి ఉంటుంది.

ప్రశ్న13.
₹ 10000 ల విలువ గల యంత్ర సామగ్రిలో తరుగుదల రేటు 5%. అయిన 1 సంవత్సరము తరువాత దాని విలువ ఎంత ?
సాధన.
10,000 విలువ గల యంత్రసామాగ్రి 5% తరుగుదల రేటు ప్రకారం 1 సం॥ తరువాత దాని విలువ

= 95 × 100 = ₹ 9500

ప్రశ్న14.
ఒక పట్టణ ప్రస్తుత జనాభా 12 లక్షలు. సంవత్సరమునకు 4% చొప్పున జనాభా పెరుగుతూ వుంటే 2 సంవత్సరముల తరువాత ఆ పట్టణ జనాభా ఎంత?
సాధన.
పట్టణ ప్రస్తుత జనాభా = 12,00,000
సం॥నకు 4% చొప్పున జనాభా పెరుగుతూ ఉంటే 2 సం॥ల తరువాత ఆ పట్టణ జనాభా

ప్రశ్న15.
₹ 1000 లను 10% వడ్డీరేటు చొప్పున త్రైమాసికంగా తిరిగి వడ్డీ కట్టు పద్ధతిన 1 సంవత్సర కాలానికి అయ్యే చక్రవడ్డీని కనుగొనండి.
సాధన.
₹ 1000 లను 10% వడ్డీ రేటు చొప్పున త్రైమాసికంగా తిరిగి వడ్డీ కట్టిన 1 సం॥కాలానికి అయ్యే మొత్తం
A = \(\mathrm{P}\left(1+\frac{\mathrm{R}}{100}\right)^{\mathrm{n}}\)
త్రైమాసికంగా చక్రవడ్డీ కట్టవలెనన్న 1 సం॥నకు 4 కాలవ్యవధులు వస్తాయి.
∴ n = 4, P = 1000, R = \(\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\)%
∴ A = \(\mathrm{P}\left(1+\frac{\mathrm{R}}{100}\right)^{\mathrm{n}}\)
= \(1000 \times\left(1+\frac{5 / 2}{100}\right)^{4}\)

సం॥ కాలానికి అయ్యే చక్రవడ్డీ = 1103.81 – 1000 = ₹ 103.81

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 5 అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 5th Lesson అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట Exercise 5.2

ప్రశ్న1.
2012వ సంవత్సరములో ప్రపంచం మొత్తం మీద అంతర్జాలమును (Internet) ఉపయోగించువారి సంఖ్య 36.4 కోట్లుగా అంచనా వేయడమైనది. వచ్చే 10 సంవత్సరాలలో ఈ సంఖ్య 125% పెరుగునని అంచనా వేయబడినది. అయిన 2022వ సంవత్సరములో అంతర్జాలమును ఉపయోగిస్తారని అంచనా వేయబడిన వారి సంఖ్య ఎంత.?
సాధన.
2012వ సం॥లో ప్రపంచంలో అంతర్జాలాన్ని ఉపయోగించు వారి సంఖ్య = 36.4 కోట్లు.
వచ్చే 10 సం॥లలో ఈ సంఖ్య పెరిగే శాతం = 125%
∴ 2022 లో అంతర్జాలం ఉపయోగించువారి సంఖ్య
= 36.4 కోట్లు + 36.4 కోట్లలో 125%
= 36.4 + \(\frac {125}{100}\) × 36.4
= 36.4 + 45.5
= 81.9 కోట్లు

ప్రశ్న2.
ఒక గృహ యజమాని తన ఇంటి అద్దెను ప్రతీ సంవత్సరము .5% పెంచును. ప్రస్తుతము ఆ ఇంటి అద్దె ₹2500 అయిన రెండు సంవత్సరముల తరువాత ఆ ఇంటి అద్దె ఎంత ?
సాధన.
ప్రస్తుత ఇంటి అద్దె = ₹ 2500
ప్రతి సం॥ 5% ఇంటి అద్దె పెంచుతూ ఉంటే 2 సం॥ల తరువాత ఇంటి అద్దె

ప్రశ్న3.
ఒక కంపెనీ విలువ సోమవారమునాడు ₹ 7.50. మంగళవారము నాడు అది 6% పెరిగి, బుధవారము నాడు 1.5% తగ్గినది. మరల గురువారము నాడు 2% తగ్గిన, శుక్రవారము నాడు ఉదయం ఆ షేర్ విలువ ఎంత ?
సాధన.
శుక్రవారం ఉదయంనాడు ఆ షేర్ విలువ

ప్రశ్న4.
చాలా జిరాక్స్ యంత్రాలలో ప్రతీసారి పరిమాణ శాతమును మార్చడం ద్వారా ఇచ్చిన ప్రతి యొక్క పరిమాణమును పెంచడం లేదా తగ్గించడం చేయవచ్చును. రేష్మా తన వద్ద నున్న 2 సెం.మీ., 4 సెం.మీ. బొమ్మను పరిమాణం పెంచాలని కోరుకున్నది. ఆమె జిరాక్స్ యంత్రములో 150% వేసి దాని ప్రతిని తీసుకున్నది. అయిన ఆమెకు లభించిన ప్రతిలోని బొమ్మ పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన ప్రతి యొక్క పొడవు = 2 సెం.మీ.
వెడల్పు = 4 సెం.మీ.
∴ పొడవు 150% పెరిగిన దాని కొలత
= 2 లో 150%
= \(\frac {150}{100}\) × 2 : 1.5 × 2 = 3 సెం.మీ.
వెడల్పు 150% పెరిగిన దాని కొలత
= 4 లో 150%
= \(\frac {150}{100}\) × 4 = 1.5 × 4 = 6 సెం.మీ.
∴ పొడవు = 3 సెం.మీ; వెడల్పు = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న5.
ఒక పుస్తకము ముద్రిత వెల ₹ 150. దానిపై 15% రుసుము లభించిన ఆ పుస్తకమును కొనుటకు ఎంత మొత్తము చెల్లించవలెను ?
సాధన.
పుస్తకం యొక్క ముద్రిత వెల = ₹ 150
దానిపై లభించిన రుసుము శాతం = 15 %
∴ రుసుము = 150 లో 15%
= \(\frac {15}{100}\) × 150
= ₹ 22.5
∴ ఆ పుస్తకపు కొన్నవెల = 150 – 22.5
= ₹ 127.50

ప్రశ్న6.
ఒక కానుక ప్రకటన వెల₹ 176 దానిని దుకాణదారుడు మీకు ₹ 165 లకు అమ్మిన మీకు లభించిన రుసుమును, రుసుము శాతమును కనుగొనండి.
సాధన.
కానుక ప్రకటనవెల = ₹ 176
అమ్మినవెల = 165
రుసుము = ప్రకటన వెల – అమ్మినవెల
= 176 – 165 = ₹ 11

ప్రశ్న7.
ఒక దుకాణదారుడు ప్రతీ బల్బు ₹ 10 చొప్పున 200 బల్బులను కొనెను. కాని అందులో 5 బల్బులు కాలిపోయి నందున వాటిని బయట పడేసినాడు. మిగిలిన బల్బులను ఒక్కొక్కటి ₹ 12 చొప్పున అమ్మిన మొత్తము మీద అతనికి లాభమా ? నష్టమా ? ఎంత శాతము ?
సాధన.
ప్రతి బల్బు ₹ 10 చొప్పున 200 బల్బుల కొన్నవెల = 200 × 10 = 2000
అందు 5 బల్బులు కాలిపోయిన మిగిలినవి = 200 – 5 = 195
ఒక్కొక్కటి ₹ 12 చొప్పున 195 బల్బుల అమ్మకపు వెల = 195 × 12 = 2340
∴ అమ్మినవెల > కొన్నవెల
∴ లాభం = అమ్మినవెల – కొన్నవెల
= 2340 – 2000 = 340

ప్రశ్న8.
ఈ క్రింది పట్టికలో సరియైన గడులను అవసరమైనచోట మాత్రమే నింపుము.

సాధన.

ప్రశ్న9.
ఒక బల్లను ₹ 2,142,లకు అమ్మగా 5% లాభము వచ్చెను. దానిపై 10% లాభము రావలెనన్న దానిని ఎంతకు అమ్మవలెను ?
సాధన.
ఒక బల్ల అమ్మకపు వెల = ₹ 2142
లాభశాతం = 5%
కొన్నవెల = 100 × \(\frac{2142}{(100+5)}\)
= 100 × \(\frac{2142}{105}\)
= ₹ 2040
షాపువాని వద్ద బల్ల కొన్నవెల మనం మరొక వ్యక్తికి అమ్మేటపుడు అమ్మినవెల అవుతుంది.
∴ అమ్మినవెల = ₹ 2040
లాభశాతం = 10%
అయిన కొన్నవెల = 2040 \(\left(1+\frac{10}{100}\right)\)
= 2040 × \(\frac{110}{100}\)
= ₹ 2244

ప్రశ్న10.
గోపి ఒక గడియారమును 12% లాభమునకు ఇబ్రహీమ్ కు అమ్మెను. ఇబ్రహీమ్ దానిని 5% నష్టమునకు జాను అమ్మెను. జాన్ ఆ గడియారమునకు ₹ 1,330 చెల్లించిన గోపి ఆ గడియారమును ఎంతకు అమ్మెను?
సాధన.
జాన్ గడియారమును కొన్నవెల = ₹ 1330
గోపి ఆ గడియారాన్ని అమ్మినవెల
= 1330 × \(\frac{100}{(100+12)}\) × \(\frac{100}{(100-5)}\)
= 1330 × \(\frac{100}{112}\) × \(\frac{100}{95}\)
∴ గోపి గడియారం కొన్నవెల = ₹ 1250

ప్రశ్న11.
మధు మరియు కవిత ఒక క్రొత్త ఇంటిని ₹3,20,000 లకు కొనిరి. కొన్ని ఆర్థిక ఇబ్బందుల వల్ల ఆ ఇంటిని ₹ 2,80,000 లకు అమ్మిన (a) వారికి వచ్చిన నష్టమును (b) నష్టశాతమును కనుగొనుము.
సాధన.
ఇల్లు కొన్న వెల = ₹ 3,20,000
అమ్మినవెల = ₹ 2,80,000
∴ అమ్మినవెల < కొన్నవెల
a) ∴ నష్టము = కొన్నవెల – అమ్మినవెల
= 3,20,000 – 2,80,000
= 40,000

ప్రశ్న12.
ఒక పాత కార్లను కొని, అమ్ము దుకాణదారుడు ఒక పాత కారును ₹ 1,50,000 లకు కొని దాని మరమ్మత్తులు మరియు రంగు వేయుటకు ₹ 20,000 ఖర్చు చేసెను. అతడు ఆ కారును ₹ 2,00,000 లకు అమ్మిన అతనికి లాభమా ? నష్టమా ? ఎంత శాతము?
సాధన.
పాత కారు కొన్నవెల = అసలు ధర + మరమ్మత్తులు
= 1,50,000 + 20,000
= 1,70,000
ఆ కారు అమ్మినవెల = ₹ 2,00,000
∴ అమ్మినవెల > కొన్నవెల
∴ లాభము = అమ్మినవెల – కొన్నవెల
= 2,00,000 – 1,70,000
లాభం = 30,000

ప్రశ్న13.
లలిత తన పుట్టిన రోజును స్నేహితులతో జరుపుకొనుటకు హోటలు నుండి పార్సెల్ తెప్పించినది. 5% VAT తో కలిపి ₹ 1,450 బిల్లు వేయబడినది. హోటలు వారు బిల్లు మొత్తముపై 8% రుసుము ఇచ్చిన లలిత హోటలు వాడికి కట్టవలసిన మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
5% VAT తో వేయబడిన బిల్లు మొత్తం = ₹ 1450
బిల్లుపై 8% రుసుము ఇచ్చిన రుసుము = 1450 లో 8%
= \(\frac{8}{100}\) ×1450 = ₹ 116
∴ రుసుము = ₹ 116
∴ లలిత హోటల్ వారికి కట్టవలసిన మొత్తం (రుసుము పోను) = 1450 – 116
= ₹1334/-

ప్రశ్న14.
క్రింది పట్టికలో VAT తో కలిసిన బిల్లు మొత్తము వ్రాయబడినది. VAT కలపక ముందు ఆ వస్తువుల ధరను కనుగొనుము.

సాధన.

ప్రశ్న15.
ఈ క్రింద ఇచ్చిన వస్తువులకు 8.5% అమ్మకం పన్నుకలుపగా వచ్చిన ధర ఈయబడినది. వాటి కొన్నవెలను కనుగొనుము.
(i) టవలు ₹ 50 (ii) రెండు సబ్బులు ఒక్కొక్కటి ₹ 35
సాధన.
అమ్మకపు పన్ను = 8.5%
(i) టవలు ధర = ₹ 50
అమ్మకపు పన్ను = 50 లో 8.5%
\(\frac{8.5}{100}\) × 50 = ₹ 4.25
∴ కొన్నవెల = అసలు ధర + అమ్మకపు పన్ను
= 50 + 4.25 = 54.25

(ii) రెండు సబ్బులు ఒక్కొక్కటి ₹ 35 చొప్పున వాటి మొత్తం = 2 × 35 = 70
అమ్మకపు పన్ను = 70 లో 8.5%
\(\frac{8.5}{100}\) × 70 = ₹ 5.95
∴ కొన్నవెల = అసలు ధర + అమ్మకపు పన్ను
= 70 + 5.95 = ₹ 75.95

ప్రశ్న16.
ఒక సూపర్ బజారులోని వస్తువు వెలలు 4% అమ్మకపు పన్ను కలిపినను రూపాయలకు సవరింపు అవసరం లేక ‘n’ రూపాయలు అగునట్లు రూపాయలు మరియు పైసలలో నిర్ణయించెను. ‘n’ ధనసంఖ్య అయిన, ‘n’ విలువ కనిష్ఠంగా ఎంత ఉండవచ్చును ?
సాధన.
వస్తువు వెల = ₹ x అనుకొనుము.
వస్తువు వెలపై 4% అమ్మకపు పన్ను విధించగా పెరిగిన వస్తువు వెల
⇒ x + 4% of x = n

∴ n, 26 కు ఒక కనిష్ఠ గుణిజం కావలెను. అపుడు మాత్రమే ‘n’ ను ఖచ్చితంగా పైసలలో కాకుండా రూపాయలలో వ్యక్తం చేయగలం.
∴ n = 13, 26, 39, ….
∴ n = 13 (∵ 13 కనిష్ఠ గుణిజం)

∴ కావలసిన వస్తువు యొక్క వెల
= 12.50 + \(\frac {4}{100}\) × 12.50
= 12.50 + 0.5 = ₹ 13

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 5 అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 5th Lesson అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట Exercise 5.1

ప్రశ్న1.
క్రింది వాటికి నిష్పత్తులను కనుగొనుము.
i) స్మిత తన కార్యాలయంలో రోజుకు 6 గంటలు పని చేయును. కాజల్ తన కార్యాలయములో రోజుకు 8 గంటలు పనిచేయును. అయిన వారి పనిగంటల నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
ii) ఒక కుండలో 8 లీటర్ల పాలు, మరియొకదానిలో 750 మి.లీ. పాలు ఉన్నాయి. వాటి నిష్పత్తి ఎంత ?
iii) ఒక సైకిలు వేగము గంటకు 15 కి.మీ. ఒక స్కూటర్ -. వేగము గంటకు 30 కి.మీ. వాటి వేగముల నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన.
i) స్మిత మరియు కాజల్ పనిగంటల నిష్పత్తి = 6 : 8
= (2 × 3) : (2 × 4) = 3 : 4

ii) 8 లీటర్లు : 750 మి. లీ.
= 8 × 1000 మి.లీ. : 750 మి.లీ.

iii) సైకిల్, స్కూటర్ వేగాల నిష్పత్తి
= 15 : 30 = (15 × 1) : (15 × 2) = 1 : 2

ప్రశ్న2.
5 : 8 మరియు 3 : 7 ల బహుళ నిష్పత్తి 45 : x అయిన x విలువ ఎంత ?
సాధన.
5 : 8 మరియు 3 : 7 ల బహుళ నిష్పత్తి

ప్రశ్న3.
7 : 5 మరియు 8 : x ల బహుళ నిష్పత్తి 84 : 60 అయిన x విలువ ఎంత ?
సాధన.

ప్రశ్న4.
3 : 4 మరియు 4 : 5 విలోమ నిష్పత్తుల బహుళ నిష్పత్తి 45 : x అయిన x విలువ ఎంత.?
సాధన.
4 : 5 యొక్క విలోమ నిష్పత్తి = 5 : 4
∴ 3 : 4, 5 : 4 ల బహుళ నిష్పత్తి = 45 : x

ప్రశ్న5.
ఒక ప్రాథమిక పాఠశాలలో 60 మంది విద్యార్థులకు ముగ్గురు ఉపాధ్యాయులు ఉండవలెను. ఆ పాఠశాలలో 400 మంది విద్యార్థులు చేరిన ఇదే నిష్పత్తిలో ఎంతమంది ఉపాధ్యాయులు కావలెను ?
సాధన.
60 మంది విద్యార్థులకు ముగ్గురు ఉపాధ్యాయుల చొప్పున 400 మంది విద్యార్థులకు కావలసిన ఉపాధ్యాయుల సంఖ్య
⇒ 60 : 3 = 400 : x ⇒ \(\frac{60}{3}=\frac{400}{x}\)

∴ 400 మంది విద్యార్థులకు కావలసిన ఉపాధ్యాయుల సంఖ్య = 20

ప్రశ్న6.
ఇచ్చిన పటములో ABC ఒక త్రిభుజము, ప్రతీసారి ఒక జత భుజాల కొలతలు తీసుకుంటూ రాయడానికి వీలైన అన్ని నిష్పత్తులను రాయండి.

(సూచన : AB, BC భుజాల నిష్పత్తి = 8 : 6)
సాధన.
ΔABC లో
AB : BC = 8 : 6 = 4 : 38
⇒ BC : AB = 6 : 8 = 3 : 4
BC : CA = 6 : 10 = 3 : 5
⇒ CA : BC = 10 : 6 = 5 : 3
CA : AB = 10 : 8 = 5 : 4
= AB : CA = 8 : 10 = 4 : 5

ప్రశ్న7.
24 మంది విద్యార్థులలో 9 మందికి ఒక పరీక్షలో 75% కంటే తక్కువ మార్కులు వచ్చినవి. 75% కంటే తక్కువ మార్కులు వచ్చిన విద్యార్థుల సంఖ్యకు, 75% కంటే ఎక్కువ మార్కులు వచ్చిన విద్యార్థుల సంఖ్యకు గల నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన.
24 మంది విద్యార్థులలో 75% కంటే తక్కువ మార్కులు వచ్చిన విద్యార్థుల సంఖ్య = 9
75% కంటే ఎక్కువ మార్కులు వచ్చిన విద్యార్థుల సంఖ్య = 24 – 9 = 15
∴ 75 % కంటే తక్కువ మార్కులు వచ్చిన విద్యార్థుల సంఖ్యకు, 75% కంటే ఎక్కువ మార్కులు వచ్చిన విద్యార్థుల సంఖ్యకు గల నిష్పత్తి = 9 : 15
= (3 × 3) : (3 × 5)
= 3 : 5

ప్రశ్న8.
MISSISSIPPI’ అనే పదములోని అచ్చుల సంఖ్యకు, హల్లుల సంఖ్యకు నిష్పత్తి కనుగొని, దానిని కనిష్ఠ పదాలలో తెలపండి.
సాధన.
MISSISSIPPI అనే పదంలో గల హల్లుల సంఖ్య = (MSSSSPP) = 7
అచ్చుల సంఖ్య = (IIII) = 4
∴ పై పదంలో అచ్చుల మరియు హల్లుల సంఖ్యకు గల నిష్పత్తి = 4 : 7

ప్రశ్న9.
రాజేంద్ర, రెహానాలు ఒక వ్యాపారము చేయుచున్నారు. రెహానా ప్రతీనెల వచ్చిన లాభములో 25% తీసుకుంటుంది. ఒక నెలలో రెహానా తీసుకున్న మొత్తం ₹ 2080 అయిన ఆ నెలలో వారికి వచ్చిన మొత్తము లాభమును కనుగొనండి.
సాధన.
మొత్తం లాభం = x అనుకొనిన
x లో 25 % = 2080

⇒ x = 2080 × 4
∴ x = ₹ 8320

ప్రశ్న10.
ΔABCలో AB= 2.2 సెం.మీ., BC= 1.5 సెం.మీ. మరియు AC = 2.3 సెం.మీ. ΔXYZ లో XY = 4.4 సెం.మీ., YZ = 3 సెం.మీ. మరియు XZ = 4.6 సెం.మీ. అయిన AB : XY, BC : YZ, AC : XZ లను కనుగొనండి. ΔABC భుజాల కొలతలు, ΔXYZ భుజాల కొలతలతో అనుపాతంలో ఉన్నాయా?
(సూచన : రెండు త్రిభుజములలో సదృశ భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో వున్న ఆ త్రిభుజాలు అనుపాతంలో ఉండునని చెప్పవచ్చును)
సాధన.

∴ రెండు త్రిభుజాలలోని భుజాలు ఒకే అనుపాతంలో ఉన్నవి.
∴ ΔABC ~ ΔXYZ

ప్రశ్న11.
మాధురి ఒక సూపర్ మార్కెట్ కు పోగా అక్కడ సరుకుల మారిన ధరలు ఇలా ఉన్నాయి. బియ్యం ధరలో 5% తగ్గుదల, జామ్ మరియు పండ్లపై 8% తగ్గుదల మరియు నూనె, పప్పులపై 10% పెరుగుదల వున్నవి. అయిన ఆ మారిన ధరలు కనుగొనుటకు మాధురికి సహాయము చేయండి.

సాధన.

ప్రశ్న12.
ఒక క్లబ్ లో క్రిందటి సంవత్సరము 2075 మంది చేరినారు. ఈ సంవత్సరము చేరినవారి సంఖ్య 4% తగ్గిన (a) తగ్గినవారి సంఖ్యను (b) ఈ సంవత్సరము చేరిన వారి సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
క్రిందటి సంవత్సరం క్లబ్ లో చేరినవారి సంఖ్య = 2075
ఈ సంవత్సరం చేరినవారి సంఖ్య 4 % తగ్గిన
a) తగ్గినవారి సంఖ్య : 2075 లో 4%

b) ఈ సం॥ చేరిన వారి సంఖ్య
= 2075 – 2075 లో 4%
= 2075 – \(\frac {4}{100}\) × 2075
= 2075 – 83 = 1992

ప్రశ్న13.
ఒక రైతుకు గత సంవత్సరము ప్రత్తి పంటలో 1720 బస్తాల దిగుబడి వచ్చినది. ఈ సంవత్సరములో ఆమె ప్రత్తి. పంటపై దిగుబడి 20% ఎక్కువ వచ్చునని భావించుచున్నది. అయిన ఈ సంవత్సరము ఆమె ఎన్ని బస్తాల దిగుబడిని ఆశిస్తున్నది?
సాధన.
గత సంవత్సరం ప్రత్తి పంటలో వచ్చిన ప్రతి బస్తాల దిగుబడి = 1720
20 % ఎక్కువ దిగుబడి వస్తుందని ఆశించిన రాగల బస్తాల సంఖ్య = 1720 లో 20%
= \(\frac {20}{100}\) × 1720
= 2 × 172
= 344
∴ మొత్తం ఆశించు బస్తాల సంఖ్య = 1720 + 344
= 2064

ప్రశ్న14.
P, Qలు AB రేఖాఖండంపై, \(\overline{\mathrm{AB}}\) కి ఒకే వైపునకు గల బిందువులు. P బిందువు \(\overline{\mathrm{AB}}\) ను 2 : 3 లో, Q బిందువు \(\overline{\mathrm{AB}}\) ను 3 : 4 లో విభజించుచున్నవి. PQ = 2 సెం.మీ. అయిన AB రేఖాఖండపు పొడవును కనుగొనుము.
సాధన.
C అనునది AB మధ్య బిందువు.
P అను బిందువు ABను 2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

Q అనునది AB ను 3 : 4 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
PQ = 2 సెం.మీ. (ఇచ్చినది)
PQ = QB – PB = 4 – 3 = 1 భాగం
= 2 సెం.మీ.
∴ AB పొడవు = AQ+ QB (‘Q’ బిందువు దృష్ట్యా )
= 3 + 4 = 7 భాగాలు
AB పొడవు = AP + PB (‘P’ బిందువు దృష్ట్యా)
= 2 + 3 = 5 భాగాలు
∴ 5, 7 భాగాల కనిష్ఠ గుణిజం (అనగా క.సా.గు)
= 5 × 7 = 35
∴ AB పొడవు = 35 భాగాలు
= 35 × 2 = 70 సెం.మీ.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
పరిమిత అంకశ్రేణికి 3 ఉదాహరణలు, అనంత అంకశ్రేణికి 3 ఉదాహరణలు ఇమ్ము. (పేజీ నెం. 130)
సాధన.
పరిమిత అంకశ్రేఢులు :
(i) 0, 5, 10, 15, 20, 25
(ii) 50, 47, 44, 41, ………., 11
(iii) 5, 41, 4, 3, ………., \(\frac{1}{2}\)
అనంత అంకశ్రేఢులు :
(i) 0, 5, 10, 15, 20, 25, ………….
(ii) 50, 47, 44, 41, ……………..
ti) 5, 41, 4, 3, ………..

ప్రశ్న2.
ఏదైనా ఒక అంకశ్రేణిని తీసుకొనుము. (పేజీ నెం. 131)
సాధన.
10, 13, 16, 19, 22, ………, 52.

ప్రశ్న 3.
జాబితాలోని ప్రతి పదమునకు ఏదైనా ఒక స్థిర సంఖ్యను కలుపుము. ఫలిత సంఖ్యలను జాబితా రూపంలో రాయుము. (పేజీ నెం. 131)
సాధన.
10 + 2, 13 + 2, 16 + 2, 19 + 2, 22 + 2, …… 52 + 2
జాబితారూపం : 12, 15, 18, 21, 24, ….., 54.

ప్రశ్న 4.
అదే విధంగా అంకశ్రేణిలో ప్రతి పదము నుంచి ఏదైనా ఒక స్థిర సంఖ్యను తీసివేసి ఫలిత సంఖ్యలను జాబితాగా రాయుము. (పేజీ నెం. 131)
సాధన.
10 – 4, 13 – 4, 16 – 4, 19 – 4, 22 – 4, ………., 52 – 4
జాబితారూపం :
6, 9, 12, 15, 18, ……. 48.

ప్రశ్న 5.
అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదమును ఏదైనా ఒక స్థిరసంఖ్యచే గుణించి ఫలిత సంఖ్యలను జాబితాగా రాయుము. మరియు అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదమును ఏదైనా ఒక స్థిరసంఖ్యచే భాగించి ఫలిత సంఖ్యలను జాబితాగా రాయుము. (పేజీ నెం. 131)
సాధన.
a) 10 × 5, 13 × 5, 16 × 5, 19 × 5, 22 × 5, …………, 52 × 5
జాబితారూపం :
50, 65, 80, 95, 110 ……. 260

b) \(\frac{10}{4}\), \(\frac{13}{4}\), \(\frac{16}{4}\), \(\frac{19}{4}\), \(\frac{22}{4}\), ……………… \(\frac{52}{4}\)
జాబితారూపం :
2\(\frac{1}{2}\), 3\(\frac{1}{4}\), 4, 4\(\frac{3}{4}\), 5\(\frac{1}{2}\), ……, 13.

ప్రశ్న 6.
క్రొత్తగా ఏర్పడిన జాబితాలన్నీ అంకశ్రేఢులు అవుతాయేమో పరిశీలించుము. (పేజీ నెం. 132)
సాధన.
క్రొత్తగా ఏర్పడిన జాబితాలు :
12, 15, 18, 21, 24 ………, 54 అంకశ్రేఢి
6, 9, 12, 15, 18 ………., 48 అంకశ్రేఢి
50, 65, 80, 95, 110 ……. 260 అంకశ్రేఢి
2\(\frac{1}{2}\), 3\(\frac{1}{4}\), 4, 4\(\frac{3}{4}\), 5\(\frac{1}{2}\), ……, 13-అంకశ్రేణి
క్రొత్తగా ఏర్పడిన జాబితాలన్నీ అంకశ్రేడులే.

ప్రశ్న 7.
చివరగా నీ అభిప్రాయం ఏమిటి ? (పేజీ నెం. 132)
సాధన.
ఒక అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదానికి ఒక స్థిర సంఖ్యను కలిపినా, తీసివేసినా, గుణించినా, భాగించినా వచ్చే సంఖ్యలు కూడా అంకశ్రేణిలో ఉంటాయి. (భాగహారంలో స్థిర సంఖ్యగా సున్నాను తీసుకోకూడదు.)

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
(i) క్రింది వానిలో ఏవి అంకశ్రేఢులు ? ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 128)
(a) 2, 3, 5, 7, 8, 10, 15, ……
సాధన.
అంకశ్రేణి కాదు. ఎందుకనగా మొదటి పదం 2కు 1 కలిపితే 2వ పదం 3 వస్తుంది. కాని రెండవ పదంకు 2 కలిపితే 3వ పదం 5 వస్తుంది. ఇక్కడ రెండు సందర్భాలలోను కలుపుతున్న స్థిరసంఖ్య సమానంగా లేదు.

(b) 2, 5, 7, 10, 12, 15, ………….
సాధన.
అంకశ్రేణి కాదు. ఎందుకనగా
మొదటి పదం 2కు 3 కలపడం వలన 2వ పదం 5, అలాగే 2వ పదానికి 2 కలపడం వలన 3వ పదం 7 వస్తున్నది. కాని 3వ పదం 7కు 3 కలపడం వలన 4వ పదం 10 వస్తుంది. అన్ని సందర్భాలలోను
కలుపుతున్న స్థిరసంఖ్య సమానంగా లేదు.

(c) – 1, – 3, – 5, – 1, …………..
సాధన.
అంకశ్రేణి. ఎందుకనగా ..
మొదటి పదం – 1కు – 2 కలిపిన 2వ పదం -3, – 2వ పదం – 3కు – 2 కలిపిన 3వ పదం – 5, 3వ పదం .- 5కి – 2 కలిపిన 4వ పదం – 7 వస్తుంది. అన్ని సందర్భాలలోను ఒకే స్థిరసంఖ్య – 2 ను
కలుపుతున్నాము.

(ii) ఏవైనా మూడు అంకశ్రేఢులను రాయుము. (పేజీ నెం. 128)
సాధన.
(i) 1, 4, 7, 10, 13, 16, ………….
(ii) 4, 1, -2, -5, -8, ………….
(iii) 5, 15, 25, 35, 45, …………

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

(a) ఒక పాఠశాలలో ప్రార్థనా సమయంలో వరుసగా నిలబడిన విద్యార్థుల ఎత్తులు (సెం.మీ.లలో) 147, 148, 149, ……. 157. (పేజీ నెం. 129)
(b) ఒక పట్టణములో జనవరి మాసంలో ఒక వారంలో నమోదైన కనిష్ట ఉష్ణోగ్రతల ఆరోహణ క్రమము – 3.1, – 3.0, – 2.9, – 2.8, – 2.7, – 2.6, – 2.5
(c) ₹ 1000 ల అప్పు 5% సొమ్మును ప్రతీ నెల చెల్లిస్తున్న, ప్రతి నెల చివర ఇంకనూ చెల్లించవలసిన సొమ్ము ₹ 950, ₹ 900, ₹ 850, ₹ 800, …, ₹ 50.
(d) ఒక పాఠశాలలో 1 నుంచి 12వ తరగతి వరకూ ప్రతి తరగతిలో అత్యధిక మార్కులు సాధించిన వారికి ఇచ్చే బహుమతుల విలువ వరుసగా ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300, ₹ 350, ……₹ 750
(e) 10 నెలలలో ప్రతి నెలలో ₹ 50 లు చొప్పున పొదుపు చేసిన ప్రతినెల చివరలో ఉండే మొత్తం సొమ్ము వరుసగా ₹ 50, ₹ 100, ₹ 150, ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300,
₹ 350, ₹ 400, ₹ 450, ₹ 500.

ప్రశ్న 1.
పైన పేర్కొనబడిన ప్రతి జాబితా ఏవిధంగా అంకశ్రేణి అవుతుందో ఆలోచించుము. మీ మిత్రునితో చర్చించుము.(పేజీ నెం. 129)
సాధన.
(a) 147 , 148, 149, …….., 157
సామాన్యభేదం
d = 148 – 147 = 149 – 148 = …… = 1
జాబితాలోని ప్రతిపదం దాని ముందున్న పదానికి 1 కలపడం వలన వస్తుంది. కావున అంకశ్రేఢి అవుతుంది.

(b) – 3.1, – 3.0, – 2.9, – 2.8, – 2.7, – 2.6, – 2.5
సామాన్య భేదం d = – 3.0 – (-3.1)
= – 2.9 – (- 3.0) = …….. = 0.1
సామాన్యభేదం (d) అన్ని సందర్భాలలోను సమానం. కావున అంకశ్రేణి అవుతుంది.

(c) 950, 900, 850, 800, ……, 50
సామాన్యభేదం d = 900 – 950
= 850 – 900 = ….. = – 50
సామాన్య భేదం (d) అన్ని సందర్భాలలోను సమానం. కావున అంకశ్రేణి అవుతుంది.

(d) 200, 250, 300, 350, . . . . ., 750
సామాన్యభేదం d = 250 – 200
= 300 – 250 = …. = 50
సామాన్యభేదం (d) అన్ని సందర్భాలలోను సమానం. కావున అంకశ్రేణి అవుతుంది.

(e) 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500
సామాన్యభేదం d = 100 – 50
= 150 – 100 = …… = 50,
సామాన్యభేదం (d) అన్ని సందర్భాలలోను సమానం. కావున అంకశ్రేణి అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
పైన ఇవ్వబడిన ప్రతి జాబితాకు సామాన్యభేదంను కనుగొనుము. సామాన్యభేదం ఎప్పుడు ధనాత్మకమో ఆలోచించుము. (పేజీ నెం. 129)
సాధన.
(a) సామాన్యభేదం d = 148 – 147 = 1
(b) సామాన్యభేదం d = – 3.0 – (- 3.1) = – 3.0 + 3.1= 0.1
(c) సామాన్యభేదం d = 900 – 950 = – 50
(d) సామాన్యభేదం d = 250 – 200 = 50
(e) సామాన్యభేదం d = 100 – 50 = 50
అంకశ్రేణిలోని పదాలు ఆరోహణక్రమంలో ఉంటే సామాన్యభేధం ధనాత్మకము.

ప్రశ్న 3.
సామాన్యభేదం ఒక చిన్న ధనాత్మక విలువ వుండేటట్లు ఒక అంకశ్రేణిని తయారుచేయుము. (పేజీ నెం. 129)
సాదన.
2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, ………, 3.

ప్రశ్న 4.
సామాన్యభేదం ఒక పెద్ద ధనాత్మక విలువగా వుండేటట్లు ఒక
అంకశ్రేణిని తయారుచేయుము. (పేజీ నెం. 129)
సాధన.
2, 1002, 2002, 3002, 4002, ……..

ప్రశ్న 5.
సామాన్య భేదం ఋణాత్మకంగా వుండేటట్లు ఒక అంకశ్రేణిని రాయుము. (పేజీ నెం. 129)
సాధన. 20, 16, 12, 8, 4, 0, ……….

కృత్యము:

(i) అగ్గిపుల్లల సహాయంతో క్రింది ఆకారాలను ఏర్పరచుము. :(పేజీ నెం. 129)

సాధన.

(ii) ప్రతి ఆకారానికి కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్యను వరుసగా రాయుము. (పేజీ నెం. 129)
సాధన.
అగ్గిపుల్లల సంఖ్య 3, 5, 7, 9.

(iii) జాబితాలో రెండు వరుస సంఖ్యల మధ్య గల భేదం ఒకే విధంగా (స్థిరంగా) ఉందా ? (పేజీ నెం. 130)
సాధన.
రెండు వరుస సంఖ్యల మధ్యగల భేదం ఒకే విధంగా 2కు సమానంగా ఉంది.

(iv) ఈ సంఖ్యల జాబితా ఒక అంకశ్రేణి అవుతుందా ?
సాధన.
అవును, అంకశ్రేణి అవుతుంది. . (పేజీ నెం. 130)

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇవ్వబడిన ప్రతి అంకశ్రేణిలో పేర్కొన్న పదాల మొత్తమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 143)

(i) 16, 11, 6, ………., 23 పదాలు.
సాధన.
a = 16, d = a₂ – a₁ = 11 – 16 = – 5, n = 23
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
23 పదాల మొత్తం S₂₃ = \(\frac{23}{2}\) [2(16) + (23 – 1)(- 5)]
= \(\frac{23}{2}\) [32 – 110]
= \(\frac{23 \times(-78)}{2}\) = – 23 × 39 = – 897

(ii) – 0.5, – 1.0, – 1.5, ………….., 10 పదాలు.
సాధన.
a = – 0.5, d = a₂ – a₁ = (- 1.0) – (- 0.5) = – 0.5, n = 10
∴ S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2(- 0.5) + (10 – 1)(- 0.5)]
= \(\frac{10}{2}\) [- 1.0 + 9(- 0.5)]
= 5[- 1.0 – 4.5]
= 5[- 5.5] = – 27.5
S₁₀ = – 27.5

(iii) -1, \(\frac{1}{4}\), \(\frac{3}{2}\), ……. 10 పదాలు.
సాధన.
a = – 1, d = a₂ – a₁
= \(\frac{1}{4}\) – (- 1) = 1 + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{5}{4}\)
n = 10
∴ S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2(- 1) + (10 – 1)(\(\frac{5}{4}\))]
= 5[- 2 + 9 × \(\frac{5}{4}\)]
= 5[- 2 + \(\frac{45}{4}\)]
= 5 \(\left[\frac{-8+45}{4}\right]\)
S₁₀ = \(\frac{5 \times 37}{4}=\frac{185}{4}\) = 46.25.

ఇవి చేయండి:
క్రింది వానిలో గుణశ్రేడులు కానివేవో కొనుగొనుము.

ప్రశ్న 1.
6, 12, 24, 48, …………
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{12}{6}\) = 2;

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{24}{12}\) = 2;

\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{48}{24}\) = 2
ప్రతి సందర్భంలోను \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = 2
కావున గుణ శ్రేఢి అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
1, 4, 9, 16, …………….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{4}{1}\) = 2;
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{9}{4}\) = 2;
\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{16}{9}\) = 2 ………….
అన్ని సందర్భాలలో \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) సమానంకాదు. కావున గుణశ్రేణి కాదు.

ప్రశ్న 3.
1, – 1, 1, – 1, ………………….
సాధన.
అన్ని పదాలు ‘శూన్యేతరాలు.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-1}{1}\) = – 1;

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{1}{-1}\) = – 1,

\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{-1}{1}\) = – 1
అన్ని సందర్భాలు \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = 1
కావున ఇది గుణశ్రేణి అవుతుంది.

ప్రశ్న 4.
– 4, – 20, – 100, – 500, ………..
సాధన.
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-20}{-4}\) = 5;

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{-100}{-20}\) = 5;

\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{-500}{-100}\) = 5
అన్ని సందర్భా లలో \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = 5.
కావున ఇది గుణ శ్రేణి అవుతుంది.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇచ్చిన ప్రతి జాబితా ఎందుకు గుణశ్రేఢి అవుతుందో వివరించుము. (పేజీ నెం. 149)
1వ జాబితా : 1, 4, 16, 64, 256, ……….
సాధన.
1, 4, 16, 64, 256, …………….
ఇప్పుడు \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{a_{5}}{a_{4}}\) = 4
కావున ఇది గుణశ్రేణి.

2వ జాబితా : 550, 605, 665.5, …………….
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{\mathrm{a}_{2}}{\mathrm{a}_{1}}=\frac{605}{550}=\frac{11}{10}\)
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{665.5}{60.5}=\frac{6655}{6050}=\frac{11}{10}\)
ప్రతి సందర్భం లోను \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = \(\frac{11}{10}\)
కావున ఇది గుణశ్రేణి.

3వ జాబితా : 256, 128, 64, 32, …………
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{128}{256}=\frac{1}{2}\);
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{64}{128}=\frac{1}{2}\);
\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{32}{64}=\frac{1}{2}\)
ప్రతి సందర్భం లోను \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = \(\frac{1}{2}\)
కావున ఇది గుణశ్రేణి.

4వ జాబితా : 18, 16.2, 14.58, 13.122, ……..
సాధన.
18, 16.2, 14.58, 13.122, ………..
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{16.2}{18}=\frac{162}{180}=\frac{9}{10}\) = 0.9
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{14.58}{16.2}=\frac{1458}{1620}\) = 0.9
\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{13.122}{14.58}=\frac{13122}{14580}\) = 0.9
అన్ని సందర్భాలలో \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = 0.9 (సమానము).
కావున ఇది గుణ శ్రేఢి అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
ఒక గుణశ్రేణిని నిర్ణయించుటకు కావలసిన అంశాలేమిటి ? (పేజీ నెం. 149)
సాధన.
ఒక గుణ శ్రేణిని నిర్ణయించుటకు కావలసిన అంశాలు: అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
1) మొదటి పదము
2) సామాన్య నిష్పత్తి
3) శ్రేణిలోని పదాల సంఖ్య.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
అంకశ్రేణి \(\frac{1}{4}\), \(\frac{-1}{4}\), \(\frac{-3}{4}\), \(\frac{-5}{4}\), ……, లో మొదటి పదం a ను, సామాన్య భేదం d లను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 132)
సాధన.
మొదటి పదం a = \(\frac{1}{4}\)
సామాన్య భేదం d = \(\frac{-1}{4}\) – \(\frac{4}{4}\)
= \(\frac{-1-1}{4}\)
= \(\frac{-2}{4}\) = \(\frac{-1}{2}\).

ప్రశ్న 2.
క్రింది వానిలో ఏవి అంకశ్రేఢులు? ఒకవేళ అంకశ్రేణి అయితే తరువాత వచ్చే రెండు పదాలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 132)
(i) 4, 10, 16, 22, . . .
సాధన.
d = a₂ – a₁ = 10 – 4 = 6
d = a₃ – a₂ = 16 – 10 = 6
d = a₄ – a₃ = 22 – 16 = 6
ప్రతిసారి సామాన్యభేదం (d) సమానము.
కావున ఇచ్చిన జాబితా ఒక అంకశ్రేణి. జాబితాలో తరువాత రెండు పదాలు : 22 + 6 = 28 మరియు 28 + 6 = 34.

(ii) 1, – 1, – 3, – 5, . . . . .
సాధన.
d = a₂ – a₁ = – 1 – 1 = – 2
d = a₃ – a₂ = – 3 – (- 1)
= – 3 + 1 = – 2
d = a₄ – a₃ = – 5 – (- 3)
= – 5 + 3 = – 2
ప్రతిసారి సామాన్యభేదం (d) సమానము.
కావున ఇచ్చిన జాబితా ఒక అంకశ్రేణి.
జాబితాలో తరువాత రెండు పదాలు : – 5 + (- 2) = – 7 మరియు – 7 + (- 2) = – 9.

(iii) – 2, 2, – 2, 2, – 2, …….
సాధన.
d = a₂ – a₁ = 2 – (- 2) = 2 + 2 = 4
d = a₃ – a₂ = – 2 – 2 = – 4
ఇక్కడ a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ కావున అంకశ్రేణి కాదు.

(iv) 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, …………..
సాధన.
d = a₂ – a₁ = 1 – 1 = 0
d = a₃ – a₂ = 1 – 1 = 0
d = a₄ – a₃ = 2 – 1 = 1
ఇచ్చట, a₂ – a₁ = a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₂
అనగా ఇచ్చిన సంఖ్యల జాబితా అంకశ్రేణి కాదు.

(v) x, 2x, 3x, 4x ………..
సాధన.
d = a₂ – a₁ = 2x – x = x
d = a₃ – a₂ = 3x – 2x = x
d = a₄ – a₃ = 4x – 3x = x
ప్రతిసారి సామాన్యభేదం (d) సమానం.
కావున ఇచ్చిన జాబితా ఒక అంకశ్రేణి.
జాబితాలో తరువాత 2 పదాలు : 4x + x = 5x మరియు 5x + x = 6x.

ప్రశ్న 3.
5, 1, – 3, – 7 . . . అంకశ్రేణిలో. 10వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 136)
సాధన.
5, 1, -3, -7. . . .
a = 5, d = a₂ – a₁ = 1 – 5 = – 4 మరియు n = 10.
n వ పదం a_n = a + (n – 1) d
a₁₀ = 5 + (10 – 1) (- 4)
= 5 – 36 = – 31
∴ అంకశ్రేణిలో 10వ పదము = -31.

ప్రశ్న 6.
21, 18, 15, ……. అంకశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము ‘- 81’ అవుతుంది ? ఏదైనా ఒక పదము ‘0’ అవుతుందా ? నీ సమాధానమునకు కారణాలిమ్ము. (పేజీ నెం. 136)
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణి 21, 18, 15, ……
a = 21, d = a₂ – a₁ = 18 – 21 = – 3 మరియు a_n = – 81.
n వ పదం a_n = a + ( n – 1) d
– 81 = 21 + (n – 1) (- 3)
– 81 = 21 – 3n + 3
– 81 = 24 – 31
– 81-24 = – 3n
– 105 = – 3n
\(\frac{105}{3}\) = 35
∴. n = 35.
అనగా పై అంకశ్రేణిలో 35వ పదము – 81 అవుతుంది.
తరువాత ఒక పదం 0 అవుతుందా అనగా a_n = 0.
అయ్యే విధంగా n ∈ N అయ్యేటట్లు nను కనుగొనాలి.
a_n = a + (n – 1) 4 = 0
21 + (n – 1) (- 3) = 0
21 – 3n + 3 = 0
24 = 3n
n = \(\frac{24}{3}\) = 8
n = 8 మరియు 8 ∈ N అనగా అంకశ్రేణిలో 8వ పదము సున్నా అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
3వ పదము 5; 7వ పదము 9గా వుండునట్లు ఒక అంకశ్రేణిని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 137)
సాధన.
లెక్క ప్రకారం,
a₃ = a + 2d = 5 ……. (1)
a₇ = a + 6d = 9……… (2)
సమీకరణాలు (1) మరియు (2) ల నుంచి,
(2) – (1)

d = 1 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a + 2(1) = 5
⇒ a = 5 – 2 = 3
∴ a = 3, 4 = 1.
∴ కావలసిన అంకశ్రేణి : 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ………..

ప్రశ్న 8.
5, 11, 17, 23, . . . జాబితాలో 301 ఉంటుందో లేదో కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 137)
సాధన.
ఇచ్చిన జాబితా
5, 11, 17, 23, . . . .
a₂ – a₁= 11 – 5 = 6,
a₃ – a₂ = 17 – 11 = 6,
a₄ – a₃ = 23 – 17 = 6
……………………….
అన్ని సందర్భాలలో a_{k + 1} – a_k సమానము.
∴ ఇచ్చిన జాబితా ఒక అంకశ్రేఢి అవుతుంది.
ఈ అంకశ్రేణిలో a = 5, d = 6 మరియు ఈ జాబితాలో nవ పదం a_n = 301 అనుకొందాం.
అప్పుడు, a_n = a + (n – 1) d = 301
= 5 + (n – 1) 6 = 301
= 5 + 6n – 6 = 301
6n – 1 = 301
6n = 301 + 1 = 302
n = \(\frac{302}{6}=\frac{151}{3}\)
పదాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడు ఒక సహజ సంఖ్య అవుతుంది.
కాని \(\frac{151}{3}\) సహజసంఖ్య కాదు. కావున 301 ఇచ్చిన జాబితాలో ఉండదు.

ప్రశ్న 9.
3 చే భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని ? (పేజీ నెం. 137)
సాధన.
3చే భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యల జాబితా : 12, 15, 18, 21, …………., 99
ఇది ఒక అంకశ్రేణి, ఇక్కడ a = 12, d = 3 మరియు a_n = 99.
a_n = a + (n – 1) d = 99
= 12 + (n – 1) 3 = 99
= 12 + 3n – 3 = 99
3n + 9 = 99
3n = 99 – 9 = 90
n = \(\frac{90}{3}\) = 30
∴ 3చే భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యలు 30 కలవు.

ప్రశ్న 10.
10, 7, 4, . . ., – 62 అంకశ్రేణిలో చివరి నుంచి 11వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 138)
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేఢి 10, 7, 4, …….., – 62 లో చివరి
నుంచి 11వ పదమును కనుగొనవలెనన్న ముందుగా ఈ శ్రేణిలో ఎన్ని పదాలున్నాయో కనుగొనవలెను.
∴ a = 10, d = a₂ – a₁ = 7 – 10 = – 3,
a_n = – 62
a_n = a + (n – 1) d = – 62.
= 10 + (n – 1) (- 3) = – 62
10 – 3n + 3 = – 62
– 3n = – 62 – 13 = – 75
3n = 75
⇒ n = \(\frac{175}{3}\) = 25
∴ n = 25.
అనగా ఇవ్వబడిన శ్రేణిలో 25 పదాలుంటాయి. (25 – 11) + 1 = 14 + 1 = 15
కావున చివరి నుండి 11వ పదం మొదటి నుండి 15వ పదం అవుతుంది.
∴ a₁₅ = 10 + (15 – 1) (- 3)
= 10 + (14) (-3)
= 10 – 42 = – 32
∴ చివరి నుండి 11వ పదం = – 32.

ప్రశ్న 11.
₹ 1000 లకు సంవత్సరానికి 8% బారు వడ్డీ ప్రకారము ప్రతి సంవత్సరానికి అయ్యే వడ్డీని కనుగొనుము. ఈ వడ్డీల జాబితా ఒక అంకశ్రేణి అవుతుందా ? ఒకవేళ అంకశ్రేణి అయితే 30వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 138)
(లేదా)
రూ. 1,000 లను 8% బారువడ్డీ చొప్పున ప్రతి సంవత్స రానికి అయ్యే వడ్డీని లెక్కగట్టుము. 1వ, 2వ మరియు 3వ సంవత్సరాలకు అయిన వడ్డీలు అంకశ్రేణిని సూచిస్తాయా? అయితే 30 సంవత్సరాలకు చెల్లించవలసిన మొత్తం వడ్డీ ఎంత ?
సాధన.
అసలు = ₹ 1000, R = 8%
బారువడ్డీ I = \(\frac{\mathrm{PTR}}{100}\)
∴ 1వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీ = \(\frac{1000 \times 8 \times 1}{100}\) = ₹ 80

2వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీ = \(\frac{1000 \times 8 \times 2}{100}\)= ₹ 160

3వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీ = \(\frac{1000 \times 8 \times 3}{100}\) = ₹ 240

4వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీ = \(\frac{1000 \times 8 \times 4}{100}\) = ₹ 320
………………………………………………..
………………………………………………..

∴ 1వ, 2వ, 3వ, 4వ సం||ల చివర అయ్యే వడ్డీల విలువలు వరుసగా 80, 160, 240, 320, ………….
పై జాబితాలో ఏ రెండు వరుస పదాల భేదము (80) స్థిరము.
కావున ఇది ఒక అంకశ్రేణి అవుతుంది. 30 సం||ల చివర అయ్యే వడ్డీని 230 అవుతుంది.
∴ a₃₀ = a + (30 – 1) d
= 80 + 29 × 80
= 80 + 2320
a₃₀ = 2400
30 సం||ముల చివర అయ్యే వడ్డీ = ₹ 2400.
(లేదా)
∴ 30 సంవత్సరాలలో చెల్లించు మొత్తం వడ్డీ = S₃₀ = \(\frac{n}{2}\) (a + 1)
= \(\frac{30}{2}\) (80 + 2400)
= 15 × 2840 = రూ. 37200.

ప్రశ్న 12.
ఒక పూలపాదులో మొదటి వరుసలో 23 గులాబీ చెట్లు, రెండవ వరుసలో 21, మూడవ వరుసలో 19 ….. ఉన్నాయి. చివరి వరుసలో 5 చెట్లు ఉన్న ఎన్ని వరుసలలో గులాబీ చెట్లు కలవు ? (పేజీ నెం. 139)
సాధన.
1వ, 2వ, 3వ, ……. వరుసలలో గల గులాబీ చెట్లు 23, 21, 19, ………, 5
ఏ రెండు వరుస పదాల భేదమైనా 2. కావున అంకశ్రేణి.
∴ పూలపాదులలోని వరుసల సంఖ్య n అయిన a = 23, d = 21 – 23 = – 2 మరియు a_n = 5
a_n = a + (n – 1) d = 5
= 23 + (n – 1) (- 2) = 5
= 23 – 2n + 2 = 5
= 25 – 2n = 5
= – 2n = 5 – 25 = – 20
∴ 2n = 20
n = \(\frac{20}{2}\) = 10
∴ n = 10
∴ పూలపాదులోని వరుసల సంఖ్య = 10.

ప్రశ్న 13.
ఒక అంకశ్రేణిలో మొదటి పదం 10 మరియు మొదటి 14 పదాల మొత్తము 1050 అయిన 20వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 143)
సాధన.
ఇక్కడ a = 10, S₁₄ = 1050, n = 14
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
S₁₄ = \(\frac{10}{2}\) [2(10) + (14 – 1) d] = 1050
7 [20 + 13d] = 1050
140 + 91d = 1050
91d = 1050 – 140 = 910
d = \(\frac{910}{91}\) = 10
∴ 20 వ పదం a₂₀ = 10 + (20 – 1) 10
[a_n = a + (n – 1) d].
= 10 + 190
a₂₀ = 200.

ప్రశ్న 14.
24, 21, 18, . .. అంకశ్రేణిలో ఎన్ని పదాల మొత్తం 78 అవుతుంది ? (పేజీ నెం. 143)
సాధన.
ఇచ్చట a = 24, d = a₂ – a₁
= 21 – 24 = – 3,
S_n = 78, n = ?
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] = 78
= \(\frac{n}{2}\) [48 + (n – 1) ( – 3)] = 78
= \(\frac{n}{2}\) [ 48 – 3n + 3] = 78
= \(\frac{n}{2}\) [51 – 3n] = 78
51n – 3n² = 78 X 2 = 156
– 3n² + 51n – 156 = 0
– 3 [n² – 17n + 52] = 0
n² – 17n + 52 = 0
n² – 4n – 13n + 52 = 0
n (n – 4) – 13 (n – 4) = 0
(n – 4) (n – 13) = 0
∴ n – 4 = 0 లేదా n – 13 = 0
⇒ n = 4 లేదా 13 n యొక్క రెండు విలువలు సహజసంఖ్యలే కావున రెండు విలువలు తీసుకొనవచ్చును. అనగా పదాల సంఖ్య 4 లేదా 13.

ప్రశ్న 15.
క్రింది వాని మొత్తాలను కనుగొనుము.
(i) మొదటి 1000 ధనపూర్ణ సంఖ్యలు
(ii) మొదటి nధనపూర్ణ సంఖ్యలు (పేజీ నెం. 144)
సాధన.
(i) మొదటి 1000 ధనపూర్ణ సంఖ్యల జాబితా 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …….. 1000 , ఇవి A.P లో కలవు.
a = 1, d = 2 – 1 = 1; n = 1000 మరియు l = 1000 (∵ l చివరి పదము)
S_n = \(\frac{n}{2}\) (a + l)
S₁₀₀₀ = \(\frac{1000}{2}\) (1 + 1000)
= 500 × 1001
S₁₀₀₀ = 500500
మొదటి 1000 ధనపూర్ణ సంఖ్యల మొత్తం = 500500.

(ii) మొదటి n ధనపూర్ణ సంఖ్యల జాబితా – 1, 2, 3, 4, 5, …….., n . ఇవి A.P. లో కలవు.
a = 1, d = 2 – 1 = 1, n = n, 1 = n
S_n = 2 [a + l]
∴ S_n = 2 [1 + n]
S_n = \(\frac{n(n+1)}{2}\)
∴ మొదటి n ధనపూర్ణ సంఖ్యల మొత్తం S_n = \(\frac{n(n+1)}{2}\)

ప్రశ్న 16.
a_n = 3+ 2n ను 1వ పదంగా కలిగిన శ్రేణి యొక్క మొదటి 24 పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 144)
సాధన.
a_n = 3 + 2n,
a₁ = 3 + 2 × 1 = 5
a₂ = 3 + 2 × 2 = 7
a₃, = 3 + 2 × 3 = 9
…………………………..
……………………………
……………………………
సంఖ్యల జాబితా = 5, 7, 9, 11, ………….. ఈ జాబితా A.P. లో కలదు.
ఇచ్చట a = 5, d = a₂ – a₁ = 7 – 5 = 2, n = 24
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₂₄ = \(\frac{24}{2}\) [2(5) + (24 – 1) (2) |
= 12 [10 + 46]
S₂₄ = 12 × 56 = 672
ఇచ్చిన శ్రేణిలో 24 పదాల మొత్తం S₂₄4 = 672.

ప్రశ్న 17.
ఒక టెలివిజన్ తయారీ కంపెనీ 3వ సం||ములో 600 టెలివిజన్లను, 7వ సం||ము 700 టెలివిజన్ సెట్లను తయారు చేసింది. ఇది తయారీ చేసే టెలివిజన్ల సంఖ్య ప్రతీ సం||ము స్థిరంగా పెరుగుతూ ఉంటే
(i) 1వ సం||ములో అది తయారు చేసిన టెలివిజన్ల సంఖ్య
(ii) 10వ సం||ములో అది తయారు చేసిన టెలివిజన్ల సంఖ్య
(iii) మొదటి 7 సంవత్సరాలలో అది తయారు చేసిన మొత్తం సెట్ల సంఖ్యను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 145)
సాధన.
(i) ప్రతి సంవత్సరము తయారుచేసే టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్య ఒక స్థిర విలువతో పెరుగుతూ వుంటే 1వ, 2వ, 3వ, …., సం||లలో తయారయ్యే టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్యల జాబితా ఒక అంకశ్రేఢిని ఏర్పరుస్తుంది.
n వ సం||లో తయారుచేసే టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్యను a_n అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారం,a₃ = 600 మరియు a₇ = 700
⇒ a + 2d = 600 ………. (1)
a + 6d = 700 ……… (2)

d = 25 ను (1) లో రాయగా
a + 2(25) = 600
a + 50 = 600
a = 600 – 50 = 550
∴ మొదటి సంవత్సరంలో తయారైన టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్య = 550.

(ii) a₁₀ = a + 9d
= 550 + 9 × 25
= 550 + 225 = 775
∴ 10వ సం||లో తయారుచేసిన టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్య = 775.

(iii) S₇ = \(\frac{7}{2}\) [12 × 550 + (7 – 1) × 25]
= \(\frac{7}{2}\) [1100 + 150]
= \(\frac{7}{2}\) [1250] = 4375
అనగా మొదటి 7 సం||లలో తయారైన మొత్తం టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్య = 4375.

ప్రశ్న 18.
మొదటి పదము a = 3, సామాన్య నిష్పత్తి r = 2 అయిన గుణశ్రేణిని రాయుము. పేజీ నెం. 150)
సాధన.
మొదటి పదం a = 3
సామాన్యనిష్పత్తి r = 2
∴ రెండవ పదము = ar = 3 × 2 = 6
మూడవ పదము = 6 × 2 = 12
………………………………..
………………………………..
………………………………..
గుణశ్రేఢి: 3, 6, 12, 24, ………….

ప్రశ్న 19.
a = 256, r = \(\frac{-1}{2}\) అయిన గుణశ్రేణిని రాయుము. (పేజీ నెం. 150)
సాధన.
గుణశ్రేఢి సాధారణ రూపము = a, ar, ar², ar³, …………..
= 256, 256(\(\frac{-1}{2}\)), 257(\(\frac{-1}{2}\))², 256(\(\frac{-1}{2}\))³
= 256, – 128, 64, – 32, …….

ప్రశ్న 20.
గుణశ్రేణి 25, – 5, 1, 3 యొక్క సామాన్య నిష్పత్తిని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 150)
సాధన.
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-5}{25}=\frac{-1}{5}\)
గుణశ్రేఢి : 3, 6, 12, 24, ………

ప్రశ్న 21.
క్రింది జాబితాలో ఏవి గుణశ్రేణిలు అవుతాయి.
(i) 3, 6, 12, ……….
(ii) 64, – 32, 16, …………..
(iii) \(\frac{1}{64}\), \(\frac{1}{32}\), \(\frac{1}{8}\), ………
సాధన.
(i) 3, 6, 12, ……….
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{6}{3}\) = 2;
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{12}{6}\) = 2
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\)
కావున ఇవ్వబడిన జాబితా ఒక గుణ శ్రేఢిని అవుతుంది.
దీని సామాన్య నిష్పత్తి r = 2.

(ii) 645, – 32, 16, …………
సాధన.
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-32}{64}=\frac{-1}{2}\);
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{16}{-32}=\frac{-1}{2}\);
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{-1}{2}\)
కావున ఇవ్వబడిన జాబితా ఒక గుణ శ్రేఢిని అవుతుంది.
దీని సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{-1}{2}\)

(iii) \(\frac{1}{64}\), \(\frac{1}{32}\), \(\frac{1}{8}\), ………
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{1}{32}}{\frac{1}{64}}\) = 2;
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{32}}\) = 4
ఇచ్చట \(\frac{a_{2}}{a_{1}} \neq \frac{a_{3}}{a_{2}}\)
కావున ఇవ్వబడిన సంఖ్యల జాబితా ఒక గుణ శ్రేఢిని ఏర్పరచదు.

ప్రశ్న 22.
\(\frac{5}{2}\), \(\frac{5}{4}\), \(\frac{5}{8}\) …………. గుణశ్రేణి యొక్క 20వ పదమును మరియు n వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 154)
సాధన.
ఇచ్చట a = \(\frac{5}{2}\), r = \(\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{2}}=\frac{5}{4} \times \frac{2}{5}=\frac{1}{2}\)
గుణశ్రేణిలో n వ పదం a_n = ar^{n – 1}
a₂₀ = \(\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{19}=\frac{5}{2} \times \frac{1}{2^{19}}=\frac{5}{2^{20}}\)
మరియు n వ పదం
a_n = ar^{n – 1}
= \(\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}-1}=\frac{5}{2^{\mathrm{n}}}\)

ప్రశ్న 23.
2,272, 4, ….. గుణశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 128 అవుతుంది ? (పేజీ నెం. 154)
సాధన.
a = 2, r = \(\frac{2 \sqrt{2}}{2}\) = √2
లెక్క ప్రకారము n వ పదము = 128
a_n = ar^{n – 1} = 128
(√2)^{n – 1} = \(\frac{128}{4}\) = 64
⇒ 2^{\(\frac{n-1}{2}\)} = 2⁶ భూములు సమానం కావున ఘాతాంకాలు సమానం.
∴ \(\frac{n-1}{2}\) = 6
n – 1 = 12 ⇒ n = 12 + 1 = 13
అనగా 13వ పదము 128 అవుతుంది.

ప్రశ్న 24.
ఒక గుణ శ్రేణిలో 3వ పదము 24 మరియు 6వ పదము 192 అయిన 10వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 155)
సాధన.
గుణశ్రేణిలో 3వ పదం a₃ = ar² = 24 …….(1)
6వ పదం a₆ = ar⁵ = 192 ……(2)
(2) ÷ (1)
⇒ \(\frac{a r^{5}}{a r^{2}}=\frac{192}{24}\)
⇒ r³ = 8 = 2³
⇒ r = 2
r విలువను (1) లో రాయగా,
a (2)² = 24
⇒ 4a = 24
⇒ a = 4 = 6
∴ 10వ పదం a₁₀ = ar⁹ = 6(2)⁹
= 6 × 512 = 3072.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 4 ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 4th Lesson ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. క్రింది వానిని సూక్ష్మీకరించండి. (పేజీ నెం. 81)
(i) 3⁷ × 3³
(ii) 4 × 4 × 4 × 4 × 4
(iii) 3⁴ × 4³
సాధన.
(i) 3⁷ × 3³ = 3⁷⁺³ = 3¹⁰ [∵ a^m × aⁿ = a^m+n)
(ii) 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4⁵ [∵ a × a × a × ……. m సార్లు = a^m]
(iii) 3⁴ × 4³ = 81 × 64 = 5184

2. హైదరాబాద్ మరియు ఢిల్లీల మధ్య రైలు మార్గములో దూరము 1674.9 కి.మీ. దీనిని సెంటీమీటర్లలోకి మార్చి ఘాతాంక రూపంలో రాయండి. దీనిని శాస్త్రీయ రూపంలో కూడా రాయండి. (పేజీ నెం. 81)
సాధన.
హైదరాబాద్, ఢిల్లీల మధ్య దూరం
= 1674.9 కి. మీ. = 1674.9 × 1000 మీటర్లు = 1674900 మీ.
= 1674900 × 100 సెం.మీ. = 167490000 సెం.మీ.
= 167490000 సెం.మీ. = 16749 × 10⁴ సెం.మీ.

3. 10^-10 కు సమానమయ్యే విలువ ఎంత ? (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
10^-10 = \(\frac{1}{10^{10}}\) [∵ \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)]

4. క్రిందివాని గుణకార విలోమాలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 83)
(i) 3^-5
(ii) 4^-3
(iii) 7^-4
(iv) 7^-3
(v) x^-n
(vi) \(\frac{1}{4^{3}}\)
(vii) \(\frac{1}{10^{3}}\)
సాధన.
(i) 3^-5 ⇒ 3^-5 × x = 1 ⇒ x = \(\frac{1}{3^{-5}}\) = 3⁵ [∵ 3^-5 × 3⁵ = 1]
(ii) 4^-3 ⇒ 4^-3 × x = 1 ⇒ x = \(\frac{1}{4^{-3}}\) = 4³
(iii) 7^-4 ⇒ 7^-4 × x = 1 ⇒ x = \(\frac{1}{7^{-4}}\) = 7⁴
(iv) 7^-3 ⇒ 7^-3 × x = 1 ⇒ x = \(\frac{1}{7^{-3}}\) = 7³
(v) x^-n ⇒ x^-n × k = 1 ⇒ k = \(\frac{1}{x^{-n}}\) = xⁿ
(vi) \(\frac{1}{4^{3}}\) ⇒ \(\frac{1}{4^{3}}\) × x = 1 ⇒ x = 4³
(vii) \(\frac{1}{10^{3}}\) ⇒ \(\frac{1}{10^{3}}\) × x = 1 ⇒ x = 10³

5. క్రింది సంఖ్యలను ఘాతాంకాలను ఉపయోగించి విస్తృత రూపంలో వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 84)
(i) 543.67
సాధన.
543.67 = (5 × 100) + (4 × 10) + (3 × 10°) + \(\left(\frac{6}{10}\right)+\left(\frac{7}{10^{2}}\right)\)
= (5 × 10²) + (4 × 10) + (3 × 10°) + (6 × 10^-1) + (7 × 10^-2) [∵ aⁿ = a^-n]

(ii) 7054.243
సాధన.
7054.243 = (7 × 1000) + (0 × 100) + (5 × 10) + (4 × 10°) + \(\left(\frac{2}{10}\right)+\left(\frac{4}{100}\right)+\left(\frac{3}{1000}\right)\)
= (7 × 10³) + (0 × 10²) + (5 × 10¹) + (4 × 10°) + (2 × 10^-1) + (4 × 10^-2) + (3 × 10^-3)

(iii) 6540.305
సాధన.
6540.305 = (6 × 1000) + (5 × 100) + (4 × 10) + (0 × 10°) + \(\left(\frac{3}{10}\right)+\left(\frac{0}{100}\right)+\left(\frac{5}{1000}\right)\)
= (6 × 10³) + (5 × 10²) + (4 × 10¹) + (0 × 10°) + (3 × 10^-1) + (0 × 10^-2) + (5 × 10^-3)

(iv) 6523.450
సాధన.
6523.450 = (6 × 1000) + (5 × 100) + (2 × 10) + (3 × 10°) + \(\left(\frac{4}{10}\right)+\left(\frac{5}{100}\right)+\left(\frac{0}{1000}\right)\)
= (6 × 10³) + (5 × 10²) + (2 × 10¹) + (3 × 10°) + (4 × 10^-1) + (5 × 10^-2) + (0 × 10^-3)

6. క్రింది వానిని సూక్ష్మీకరించి ఒకే ఘాతాంకంగా వ్యక్తపరచుము. (పేజీ నెం. 85)
(i) 2^-3 × 2^-2
(ii) -7² × 7⁵
(iii) 3⁴ × 3^-5
(iv) 7⁵ × 7^-4 × 7^-6
(v) m⁵ × m^-10
(vi) (-5)^-3 × (-5)^-4
సాధన.

7. క్రింది వాక్యాలలోని సంఖ్యలను ప్రామాణిక రూపంలోనికి మార్చి వాక్యాలను తిరిగి వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 93)
i) భూమి నుంచి సూర్యుని దూరం 149,600,000,000 మీ.
సాధన.
149,600,000,000 మీ. = 1496 × 10⁸ మీ.

ii) సూర్యుని సరాసరి వ్యాసార్ధం 695000 కి.మీ.
సాధన.
695000 కి.మీ. = 695 × 10³ కి.మీ.

iii) మనిషి తల వెంట్రుకల మందం 0.005 నుంచి 0.001 సెం.మీ. వరకు ఉంటుంది.
సాధన.
0.005 నుండి 0.001 సెం.మీ.
= \(\frac{5}{1000}\) నుండి \(\frac{1}{1000}\) సెం.మీ.
= 5 × 10^-3 నుండి 1 × 10^-3 సెం.మీ.

iv) ఎవరెస్టు శిఖరం యొక్క ఎత్తు 8848 మీ.
సాధన.
8848 మీ. యొక్క ప్రామాణిక రూపం = 8848 మీ.

8. ఈ క్రింది సంఖ్యలను ప్రామాణిక రూపంలో వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 93)
(i) 0.0000456
(ii) 0.000000529
(iii) 0.0000000085
(iv) 6020000000
(v) 35400000000
(vi) 0.000437 × 10⁴
సాధన.
(i) 0.0000456 = \(\frac{456}{10000000}\) = 456 × 10^-7
(ii) 0.000000529 = \(\frac{529}{1000000000}\) = 529 × 10^-9
(iii) 0.0000000085 = \(\frac{85}{10000000000}\) = 85 × 10^-10
(iv) 6020000000 = 602 × 10000000 = 602 × 10⁷
(v) 35400000000 = 354 × 100000000 = 354 × 10⁸
(vi) 0.000437 × 10⁴ = \(\frac{437}{1000000}\) × 10⁴
= 437 × 10^-6 × 10⁴
= 437 × 10^{(-6 ) + 4}
= 437 × 10^-2

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 4 ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 4th Lesson ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు Exercise 4.2

1. క్రింది సంఖ్యలను ప్రామాణిక రూపంలో వ్యక్త పరచండి.
(i) 0.000000000947
సాధన.
= \(\frac{947}{1000000000000}\) = 947 × 10^-12

(ii) 543000000000
సాధన.
= 543 × 1000000000 = 543 × 10⁹

(iii) 48300000
సాధన.
= 483 × 100000 = 483 × 10⁵

(iv) 0.00009298
సాధన.
\(\frac{9298}{100000000}\) = 9298 × 10^-8

(v) 0.0000529
సాధన.
\(\frac{529}{10000000}\) = 529 × 10^-7

2. క్రింది సంఖ్యలను సాధారణ రూపంలో వ్యక్త పరచండి.
(i) 4.37 × 10⁵
సాధన.
= 4.37 × 100000 = 437000

(ii) 5.8 × 10⁷
సాధన.
= 5.8 × 10000000 = 58000000

(iii) 32.5 × 10^-4
సాధన.
= \(\frac{32.5}{10^{4}}=\frac{32.5}{10000}\) = 0.00325

(iv) 3.71529 × 10⁷
సాధన.
= 3.71529 × 10000000 = 37152900

(v) 3789 × 10^-5
సాధన.
= \(\frac{3789}{10^{5}}=\frac{3789}{100000}\) = 0.03789

(vi) 24.36 × 10^-3
సాధన.
\(\frac{24.36}{10^{3}}=\frac{24.36}{1000}\)
= 0.02436

3. క్రింది సమాచారంలోని సంఖ్యలను ప్రామాణిక రూపంలో వ్రాయండి.
(i) బాక్టీరియా పరిమాణము 0.0000004 మీ.
సాధన.
= \(\frac{4}{10000000}\) మీ. = 4 × 10^-7 మీ.

(ii) ఎర్రరక్త కణాల పరిమాణము 0.000007 మి.మీ.
సాధన.
= \(\frac{7}{1000000}\) = 7 × 10^-6 మి.మీ.

(iii) కాంతివేగము 300000000 మీ./సె.
సాధన.
= 3 × 10,00,00,000 = 3 × 10⁸ మీ./సె.

(iv) భూమికి, చంద్రునికి మధ్య దూరం 384467000 మీ. (సుమారుగా)
సాధన.
= 384467 × 1000 మీ.
= 384467 × 10³ మీ.

(v) ఎలక్ట్రాన్ ఆవేశం 0.0000000000000000016 కూలూంబులు.
సాధన.
= 0.0000000000000000016
= \(\frac{16}{10000000000000000000}\)
= \(\frac{16}{10^{19}}\)
= 16 × 10^-19 కూలూంబులు

(vi) పేపర్ యొక్క మందం 0.0016 సెం.మీ.
సాధన.
= 0.0016 సెం.మీ. = \(\frac{16}{10000}\)
= \(\frac{16}{10^{4}}\) = 16 × 10^-4 సెం.మీ.

(vii) కంప్యూటర్ చిప్ లోని తీగ వ్యాసం 0.000005 సెం.మీ.
సాధన.
= 0.000005 సెం.మీ. = \(\frac{5}{1000000}\) సెం.మీ.
= \(\frac{5}{10^{6}}\) = 5 × 10^-6 సెం.మీ.

4. ఒక పుస్తకాల కట్టలో 20 మి.మీ. మందం గల 5 పుస్తకాలు 0.016 మి.మీ, మందం గల 5 పేపర్లు కలవు. అయిన పుస్తకాల కట్ట యొక్క మొత్తం మందమును కనుగొనుము.
సాధన.
పుస్తకాల కట్ట యొక్క మొత్తం మందం = (5 పుస్తకాలు × పాటి మందం) + (5 పేపర్లు × వాటి మందం)
= (20 మి.మీ. × 5) + (0.016 మి.మీ. × 5)
= (100 మి.మీ. + 0.080 మి.మీ.)
= (100 + 0.08) మి.మీ.
= 100.08 మి.మీ.
= 1.0008 × 10² మి.మీ.

5. ఘాతాంకాలు కలిగిన కొన్ని సమస్యలను రాకేష్ క్రింది విధంగా సాధించాడు. నీవు రాకేష్ తో ఏకీభవిస్తావా ? నీ సమాధానమును సమర్థించుము.
(i) x^-3 × x^-2 = x^-6
సాధన.
⇒ x^{-3 + (-2)} = x^-6 [∵ am × an = am+n]
⇒ x^-5 = x^-6 ⇒ -5 ≠ -6
[∵ భూములు సమానం కావున ఘాతాంకాలు సమానాలు]
∴ ఈ సందర్భంలో రాకేష్ సమాధానంతో ఏకీభవించుట లేదు. ఎందుకనగా – 5 ≠ – 6 కావున.

(ii) \(\frac{x^{3}}{x^{2}}\) = x⁴
సాధన.
⇒ x^3-2 = x⁴ [∵ \(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\)]
⇒ x¹ = x⁴ ⇒ 1 ≠ 4
[∵ భూములు సమానం కావున ఘాతాంకాలు సమానాలు]
∴ ఈ సందర్భంలో రాకేష్ సమాధానంతో ఏకీభవించుట లేదు.

iii) (x²)³ = x²³ = x⁸
సాధన.
⇒ x^2×3= x^2×2×2 = x⁸ [∵ (a^m)ⁿ = a^mn)
⇒ x⁶ = x⁸ ⇒ 6 ≠ 8
∴ ఈ సందర్భంలో రాకేష్ సమాధానంతో ఏకీభవించుట లేదు.

iv) x^-2 = \(\sqrt{x}\)
సాధన.
⇒ x^-2 = x^1/2 [∵ \(\sqrt[n]{a}=a^{1 / n}\)]
⇒ -2 = \(\frac {1}{2}\)
∴ ఇది అసంభవం కావున ఈ సందర్భంలో కూడా రాకేష్ సమాధానంతో ఏకీభవించుట లేదు.

v) 3x^-1 = \(\frac{1}{3 x}\)
సాధన.
⇒ \(\frac{3}{x}=\frac{1}{3 x}\)
⇒ 3 × 3 = \(\frac{x}{x}\)
⇒ x⁰ = 9
⇒ 1 = 9
∴ ఇది అసంభవం కావున ఈ సందర్భంలో కూడా రాకేష్ సమాధానంతో ఏకీభవించుట లేదు.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 4 ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు Ex 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 4th Lesson ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు Exercise 4.1

1. సూక్ష్మీకరించి తగు కారణాలు తెలుపుము.
(i) 4^-3
(ii) (-2)⁷
(iii) \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-3}\)
(iv) (-3)^-4
సాధన.
(i) 4^-3 = \(\frac{1}{4^{3}}=\frac{1}{64}\)
[∵ \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)]

(ii) (-2)⁷ = – (2)⁷ = – 128 [∵ 7 బేసిసంఖ్య]
ఎందుకనగా (-a)ⁿ విస్తరణలో n బేసిసంఖ్య అయిన (-a)ⁿ = – aⁿ అగును.

(iii) \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-3}\)

(iv) (3)^-4 = \(\frac{1}{(-3)^{4}}\) [∵ \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)]
= \(\frac{1}{3^{4}}\) [∵ 4 ఒక సరిసంఖ్య]
= \(\frac {1}{81}\)

2. కింది వానిని సూక్ష్మీకరింపుము.
(i) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{4} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{5} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{6}\)
సాధన.
\(\left(\frac{1}{2}\right)^{4+5+6}=\left(\frac{1}{2}\right)^{15}\)
= \(\frac{1}{2^{15}}\) [∵ a^m × aⁿ = a^m+n]

(ii) (-2)⁷ × (-2)³ × (-2)⁴
సాధన.
(-2)⁷⁺³⁺⁷ = (-2)¹⁴ = 2¹⁴
[∵ (-a)ⁿ = aⁿ, n ఒక సరిసంఖ్య ]

(iii) 4⁴ × \(\left(\frac{5}{4}\right)^{4}\)
సాధన.
\(4^{4} \times \frac{5^{4}}{4^{4}}=5^{4}\)
[∵ \(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}\)]

(iv) \(\left[\frac{5^{-4}}{5^{-6}}\right] \times 5^{3}\)
సాధన.
= 5^-4 × (5⁶ × 5³) [∵ \(\frac{1}{a^{-n}}=a^{n}\)]
= 5^-4 × 5⁶⁺³ [∵ a^m × aⁿ = a^m+n]
= 5^-4 × 5⁹ = 5^(-4)+9 = 5⁵

(v) (-3)⁴ × 7⁴
సాధన.
= 3⁴ × 7⁴ [∵ 4 ఒక సరి సంఖ్య ]
= (3 × 7)⁴ = (21)⁴ [∵ a^m × b^m = (ab)^m]

3. సూక్ష్మీకరింపుము.
(i) \(2^{2} \times \frac{3^{2}}{2^{-2}} \times 3^{-1}\)
సాధన.
= 2² × 2² × 3² ×3^-1 [∵ \(\frac{1}{a^{-n}}=a^{n}\)]
= 2²⁺² × 3^2+(-1)
= 2⁴ × 3¹ = 16 × 3 = 48

(ii) (4^-1 × 3^-1) ÷ 6^-1
సాధన.
= \(\left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}\right) \div \frac{1}{6}\) [∵ \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)]
= \(\frac{1}{12}+\frac{1}{6}\)
= \(\frac {6}{12}\)
= \(\frac {1}{2}\)
= 2^-1

4. సూక్ష్మీకరించి తగు కారణాలు తెలపండి.
(i) (4⁰ + 5^-1) × 5² × \(\frac {1}{3}\)
సాధన.

(ii) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{-3} \times\left(\frac{1}{5}\right)^{-3}\)
సాధన.

(iii) (2^-1 + 3^-1 + 4^-1) × \(\frac {3}{4}\)
సాధన.

(iv) \(\frac{3^{-2}}{3} \times\left(3^{0}-3^{-1}\right)\)
సాధన.

(v) 1 + 2^-1 + 3^-1 + 4⁰
సాధన.

(vi) \(\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}\right]^{2}\)
సాధన.

5. సూక్ష్మీకరించి తగు కారణాలు తెలపండి.
(i) \(\left[\left(3^{2}-2^{2}\right) \div \frac{1}{5}\right]^{2}\)
(ii) ((5²)³ × 5⁴) ÷ 5⁶
సాధన.
(i) \(\left[\left(3^{2}-2^{2}\right) \div \frac{1}{5}\right]^{2}\)
= \(\left[5 \times \frac{5}{1}\right]^{2}\)
= (5²)² = 5⁴ = 625 [∵ (a^m)ⁿ = a^mn]

(ii) ((5²)³ × 5⁴) ÷ 5⁶
సాధన.

6. కింది వానిలో ‘n’ విలువను కనుగొనుము.
(i) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{5}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}\)
సాధన.

భూములు సమానమైన ఘాతాంకాలు సమానాలు.
⇒ n – 2 = 8 ⇒ n = 8 + 2 = 10
∴ n = 10

(ii) (-3)ⁿ⁺¹ × (-3)⁵ = (-3)^-4
సాధన.
⇒ (-3)ⁿ⁺¹⁺⁵ = (-3)^-4 [∵ a^m x aⁿ = a^m+n]
⇒ (-3)ⁿ⁺⁶ = (-3)^-4
⇒ n + 6 = -4
n = – 4 – 6 = – 10
∴ n = – 10

(iii) 7²ⁿ⁺¹ ÷ 49 = 7³
సాధన.

7. 2^-3 = \(\frac{1}{2^{x}}\) అయిన x విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
2^-3 = \(\frac{1}{2^{x}}\) = 2^-x [∵ \(\frac{1}{a^{n}}=a^{-n}\)]
⇒ 2^-3 = 2^-x
⇒ -x = -3
∴ x = 3

8. \(\left[\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} \div\left(\frac{4}{5}\right)^{-3}\right] \times\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}\) సూక్ష్మీకరించుము.
సాధన.

9. m = 3 మరియు n = 2 అయిన ఈ క్రింది వాని విలువలను కనుగొనుము.
i) 9m² – 10n³
ii) am²n²
iii) 2m³ + 3n² – 5m²n
iv) mⁿ – n^m
సాధన.
i) 9m² – 10n³ = 9(3)² – 10(2)³
= 9 × 9 – 10 × 8
= 81 – 80 = 1

ii) 2m²n²
= 2(3)²(2)²
= 2 × 9 × 4
= 72

iii) 2m³ + 3n² – 5m²n
= 2(3)³ + 3(2)² – 5(3)² × 2
= (2 × 27) + (3 × 4) – (5 × 9 × 2)
= 54 + 12 – 90
= 66 – 90
= – 24

iv) mⁿ – n^m = 3² – 2³
= 3 × 3 – 2 × 2 × 2 = 9 – 8 = 1

10. \(\left(\frac{4}{7}\right)^{-5} \times\left(\frac{7}{4}\right)^{-7}\) సూక్ష్మీకరించి తగు కారణాలు తెలపండి.
సాధన.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
121, 117, 113, ……….., అంకశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము మొదటి ఋణపదము అవుతుంది?
[సూచన : a_n < 0 అయ్యే విధంగా n విలువ కనుగొనుము]
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేఢి 121, 117, 113,
a = 121, d = a₂ – a₁ = 117 – 121 = – 4
a_n మొదటి రుణపదం అనుకొంటే a_n < 0 అయ్యేటట్లు కనిష్ఠ సహజసంఖ్య n ను కనుగొనాలి.
a_n < 0 = a + (n – 1) d < 0
⇒ 121 + (in – 1) (- 4) < 0
⇒ 121 – 4n + 4 < 0
⇒ 125 – 4n < 0
⇒ 125 < 4n
⇒ \(\frac{125}{4}\) < n
31.25 < n అయ్యేటట్లుంటే కనిష్ఠ సహజసంఖ్య n = 32 అవుతుంది. కావున 32వ పదము.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణిలో మొదటి రుణపదం అవుతుంది.

సరిచూచుకోవడం :
a₃₁ = a + 30d
= 121 + 30 (- 4)
= 121 – 120 = 1
a₃₂ = a + 31d
= 121 + 31 (- 4)
= 121 – 124 = – 3.

ప్రశ్న 2.
ఒక అంకశ్రేణిలో 3వ, 7వ పదాల మొత్తము 6 . మరియు వాని లబ్ధము 8 అయిన మొదటి 16 పదాల మొత్తము కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్దతి :
ఒక అంకశ్రేణిలో 3వ పదం, 7వ పదముల మొత్తం = 6
a₃ + a₇ = 6
⇒ a + 2d + a + 6d = 6
⇒ 2a + 8d = 6
⇒ 2 (a + 4d) = 3
⇒ a + 4d = 3
∴ a = 3 – 4d ………… (1)
మరియు వాని లబ్దం = 8
a₃ . a₇ = 8
⇒ (a + 2d) (a.+ 6d) = 9
⇒ (3 – 4d + 2d) (3 – 4d + 6d) = 8 (1) నుండి)
⇒ (3 – 2d) (3 + 2d) = 8
⇒ 9 – 4d² = 8
⇒ 4d² = 8 – 9 = 1
⇒ 4d² = 1
⇒ d² = \(\frac{1}{4}\)
d = \(\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm \frac{1}{2}\)
d = \(\frac{1}{2}\) అయిన
d = \(\frac{1}{2}\) ను (1) లో రాయగా
a = 3 4(\(\frac{1}{2}\)) = 3 . 2 = 1
a = 1, d = \(\frac{1}{2}\), n = 16
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + {n – d]
S_n = \(\frac{16}{2}\) [2(1) + (16 – 1) (\(\frac{1}{2}\))]
= 8 [2 + \(\frac{15}{2}\)]
= 8 × [latex]\frac{19}{2}[/latex]
S₁₆ = 76
d = – \(\frac{1}{2}\) అయిన
d = – \(\frac{1}{2}\) ను (1) లో రాయగా
a = 3 . 4(- \(\frac{1}{2}\)) = 3 + 2 = 5
a = 5, d = – \(\frac{1}{2}\) n = 16
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [2(5) + (16 – 1) (\(\frac{-1}{2}\))]
= 8 [10 – \(\frac{15}{2}\)]
S₁₆ = 20
S₁₆ = 76, 20
16 పదాల మొత్తం S₁₆ = 76, 20.

రెండవ పద్ధతి :
ఒక A.P. లో 3వ పదం = a + 2d = x;
7వ పదం = a + 6d = y
లెక్క ప్రకారం,
x + y = 6 ………. (1);
x + y = 8 ……….. (2)
(2) ⇒ y = \(\frac{8}{x}\) ని (1) లో రాయగా, x + \(\frac{8}{x}\) = 6 –
⇒ x² + 8 = 6x
⇒ x² – 6x + 8 = 0
⇒ x² – 4x – 2x + 8 = 0
⇒ (x – 4) (x – 2) = 0
x = 4 లేదా x = 2
x = 4 అయిన
(1) నుండి
4 + y = 6 ⇒ y = 2

d = \(\frac{1}{2}\) ను a + 2d = 4 లో రాయగా,
a + 2(- \(\frac{1}{2}\)) = 4
⇒ a – 1 = 4
⇒ a = 4 + 1 = 5
a = 5, d = – \(\frac{1}{2}\), n = 16

x = 2 అయిన
(1) నుండి 2 + y = 6 ⇒ y = 6 – 2 = 4

d = \(\frac{1}{2}\) ను a + 2d = 2 లో రాయగా
a + 2(\(\frac{1}{2}\)) = 2
⇒ a + 1 = 2
⇒ a = 2 – 1 = 1
a = 1, d = \(-\frac{1}{2}\), n = 16
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [2(5) + (16 – 1) (- 1)]
= 8 [10 – \(\frac{15}{2}\)]
= 8 × [latex]\frac{20-15}{2}[/latex]
= 8 × \(\frac{5}{2}\)
= 4 × 5 = 20
S₁₆ = 20
∴ 16 పదాల మొత్తం 20 లేదా 76.

ప్రశ్న 3.
ఒక నిచ్చెనకు 25 మెట్లు కలవు. మెట్ల యొక్క పొడవు క్రింది నుంచి పైకి ఏకరీతిగా తగ్గుతూవుంచి, క్రింది నుంచి మొదటి మెట్టు పొడవు 45 సెం.మీ. మరియు పై నుంచి మొదటి మెట్టు పొడవు 25 సెం.మీ. ఈ రెండింటి మధ్య దూరం 21/2 మీ. అయిన అన్ని మెట్ల తయారీకి కావలసిన చెక్క పొడవు ఎంత? [సూచన : మెట్ల సంఖ్య = \(\frac{250}{25}\) +1]

సాధన.
నిచ్చెన యొక్క రెండు వరుస మెట్ల మధ్య దూరం = 25 సెం.మీ.
క్రింది నుండి మొదటి మెట్టు పొడవు a₁ = 45 సెం.మీ.
పై నుండి మొదటి మెట్టు పొడవు a₁₁ = 25 సెం.మీ.
నిచ్చెన మొదటి మెట్టుకు, చివరి మెట్టుకు మధ్య దూరం = 2\(\frac{1}{2}\) మీ. = 250 సెం.మీ.
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [2(1) + (16 – 1) (\(\frac{1}{2}\))]
= \(\frac{16}{2}\) [2 + \(\frac{15}{2}\)]
= 8 \(\left[\frac{4+15}{2}\right]\)
= 4 × 19 = 76
S₁₆ = 76
∴. నిచ్చెన యొక్క మెట్ల సంఖ్య = \(\frac{250}{25}\) + 1 = 10 + 1 = 11
మెట్ల యొక్క పొడవు క్రింది నుండి పైకి ఏకరీతిన తగ్గుతూ ఉంది.
కావున మెట్ల పొడవుల జాబితా అంకశ్రేణి అవుతుంది. మెట్ల తయారీకి కావలసిన చెక్క పొడవు = A.P లోని 11 పదాల మొత్తం
S_n = \(\frac{11}{2}\) [45 + 25]
= \(\frac{11}{2}\) × 70
= 385 సెం.మీ.
S₁₁ = 3.85 మీ.

ప్రశ్న 4.
కొన్ని ఇండ్లు ఒక వరుసలో కలవు. దీనికి 1 నుంచి 49 వరకూ సంఖ్యలను కేటాయించటం జరిగింది. ఏదైనా ఒక ఇంటికి కేటాయించిన సంఖ్య X అనుకుంటే ; ఈ ఇంటికి ముందు – (Preceeding) ఉన్న ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తము, తరువాత ఉన్న ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తము సమానం అయ్యే విధంగా ఆ ఇంటి సంఖ్య X వ్యవస్థితమని చూపండి. మరియు x విలువను
కనుగొనుము. (సూచన : S_{x – 1} = S₄₉ – S_x]
సాధన.
మొదటి పద్ధతి : –
ఇంటి సంఖ్య x గల ఇళ్ళు దానికి ముందున్న ఇండ్ల సంఖ్య మొత్తం, తరువాత గల ఇండ్ల సంఖ్యలు సమానం అయ్యే విధంగా ఉంది అనుకొందాం.

⇒ \(\frac{x-1}{2}\) [1 + (x – 1)] = \(\frac{49-x}{2}\) [(x + 1) + 49]
[∵ (x + 1), (x + 2), …. , 49 వరకు గల పదాల సంఖ్య = 49 – x]
⇒ \(\left(\frac{x-1}{2}\right)[x]=\left(\frac{49-x}{2}\right)[x+50]\)

⇒ \(\frac{x^{2}-x}{2}=\frac{49 x+2450-x^{2}-50 x}{2}\)

⇒ x² – x = – x² – x + 2450
⇒ x² – x + x² + x = 2450
⇒ 2x² = 2450
⇒ x² = \(\frac{2450}{2}\) = 1225
x = √1225 = 35
x ఒక సహజసంఖ్య అవుతున్నది. కావున ఇచ్చిన నియమాలను పాటించేటట్లు x వ్యవస్థితము మరియు x = 35.

రెండవ పద్దతి :
x ఇంటి సంఖ్యల ఇళ్ళు దాని ముందున్న ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తం తరువాత గల ఇళ్ళ సంఖ్యల మొత్తం సమానం అయ్యేటట్లు కలదు అనుకుందాం.
ఇండ్ల సంఖ్య S₄₉ = {1 + 2 + 3 + ……………. } S₁ + {(x – 1) + x + (x + 1) + (x + 2) + ………….. + 49} S₂
S₁ + x + S₂ = S₄₉ ……….. (1)
S₁ = x సంఖ్య ఇంటికి ముందున్న ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తం.
S₂ = x సంఖ్య ఇంటికి తరువాత గల ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తం.
లెక్క ప్రకారం, S₁ = S₂ ……….. (2) మరియు
S₁ = 1 + 2 + 3 + ……… + x – 1
= \(\frac{x-1}{2}\)[1 + (x – 1)]
= ……………..(3)
S₄₉ = 1 + 2 + 3 + …… + 49
= \(\frac{49}{2}\) [1 + 49]
= \(\frac{49}{2}\) × 50
S₄₉ = 1225
∴ S₁ + x + S₂ = S₄₉ = 1225 [∵ S₁ = S₂]
2S₁ + x = 1225
2(\(\frac{x(x-1)}{2}\)) + x = 1225 [(3) నుండి)
x² – x + x = 1225
x² = 1225
x = √1225 = 35
x ఒక సహజ సంఖ్య కావున నియమాలను పాటించేటట్లు x వ్యవస్థతము.

ప్రశ్న 5.
క్రింది పటములో చూపిన విధంగా ఒక ఫుట్ బాల్ గ్రౌండ్ లో 16 మెట్లు కల ఒక మెట్ల సోపానము . కలదు. దీనిలో ప్రతి మెట్టు పొడవు 50 మీ. మరియు వెడల్పు \(\frac{1}{2}\) మీ. మొదటి మెట్టు భూమి నుంచి \(\frac{1}{4}\) మీ. ఎత్తులో మరియు ప్రతి మెట్టు దాని ముందున్న మెట్టుకు \(\frac{1}{4}\) మీ. ఎత్తులో ఉన్న ఆ మెట్ల సోపానాన్ని నిర్మించ డానికి కావలసిన కాంక్రీట్ యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము.
[సూచన : మొదటి సోపానము నిర్మించుటకు కావల్సిన కాంక్రీటు ఘనపరిమాణం = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × 50 మీ.]

సాధన.
ప్రతి మెట్టు పొడవు l = 50 మీ.
వెడల్పు b = \(\frac{1}{2}\) మీ.
ఎత్తు h = మొదటి మెట్టు \(\frac{1}{4}\) మీ. తరువాతి ప్రతి మెట్టు దాని ముందున్న మెట్టుకు \(\frac{1}{4}\) మీ. పెరుగును.
l = 50.మీ., b = \(\frac{1}{2}\) మీ.

దిమ్మె ఘనపరిమాణం V = V₁ + V₂ + V₃ + V₄ + ………. + V₁₅
= 25 × \(\frac{1}{4}\) + 25 × \(\frac{2}{4}\) + 25 × \(\frac{3}{4}\) + 25 × \(\frac{4}{4}\) …………… + 25 × \(\frac{15}{4}\)
= \(\frac{25}{4}\) [1 + 2 + 3 + 4 ………. + 15] [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) (a+ a_n)]
= \(\frac{25}{4}\) × [ \(\frac{15}{2}\) (1 + 15)]
= \(\frac{25}{4}\) × \(\frac{15}{2}\) x× 16
= 25 × 15 × 2
V = 750 ఘ.మీ.

V= 750 ఘ.మీ.

ప్రశ్న 6.
ఒక పనిని పూర్తి చేయుటకు 150 మంది కూలీలను నియమించారు. అయితే రెండవ రోజు వారిలో నలుగురు పనిలోకి రావటం మానుకున్నారు. మూడవ రోజు, మరి నలుగురు మానుకున్నారు. ప్రతిరోజూ ఈ విధంగా జరగటం వల్ల ఆ పని పూర్తి కావడానికి అనుకున్న రోజుల కంటే 8 రోజులు ఎక్కువ అవసరం పట్టింది. అయిన ఆ పని పూర్తి కావడానికి పట్టిన మొత్తం రోజులు ఎన్ని ? .. [సూచన : ప్రారంభంలో పని పూర్తి కావడానికి అవసరమయ్యే రోజుల సంఖ్యను ‘x’ అనుకొంటే
150x = \(\frac{x+8}{2}\) [2 × 150 + (x + 8 = 1) (- 4)]
సాధన.
ప్రారంభంలోని 150 మంది కూలీలతో పని పూర్తి కావడానికి కావలసిన రోజుల సంఖ్య x అనుకొనుము.
∴ ఆ పని పూర్తి కావడానికి కావలసిన మనుష్యుల సంఖ్య = 150x
రెండవ రోజు నుండి ప్రతిరోజు 4గురు చొప్పున పని మానివేస్తుంటే ప్రతి రోజు పనిచేసే మనుష్యుల జాబితా 150, 146, 142, 138, ……., (x + 8) పదాలు .
(లెక్క ప్రకారం పని పూర్తికావడానికి అనుకొన్న రోజులు కన్నా 8 రోజులు ఎక్కువ)
పనిచేసిన మొత్తం మనుష్యులు S_x+8
a = 150, d = a₂ – a₁ = 146 – 150 = – 4,
n = x +8
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1]d]
S_{x + 8} = \(\frac{x+8}{2}\) [2(150) + (x + 8 – 1) (- 4)]
= \(\frac{x+8}{2}\) [300 – 4x – 28]
= \(\frac{x+8}{2}\) [272 – 4x]
= \(\frac{x+8}{2}\) × 2 (136 – 2x)
= (x + 8) (136 – 2x)
= 136x – 2x² + 1088 – 16x
∴ S_{x + 8} = – 2x² + 120x + 1088
ఈ విలువ పని పూర్తికావడానికి కావలసిన మనుష్యులకు సమానం.
∴ 150x = S_{x + 8}
150x = – 2x² + 120x + 1088
2x² + 150x – 120x – 1088 = 0
2x² + 30x – 1088 = 0
2 [x² + 15x – 544] = 0
x² + 15x – 544 = 0
x² – 17x + 32x – 544 = 0
x (x – 17) + 32 (x – 17) = 0
(x – 17) (x + 32) = 0
x – 17 = 0 లేదా x + 32 = 0
x = 17 లేదా x = – 32
రోజుల సంఖ్య రుణాత్మకం కాదు.
కావున x = 17.
∴ పని పూర్తికావడానికి పట్టిన మొత్తం రోజులు x + 8 = 17 + 8 = 25.

ప్రశ్న 7.
ఒక యంత్రము వెల రూ. 5,00,600/-. మొదటి సంవత్సరము దీని వెలలో తగ్గుదల 15%, రెండవ సంవత్సరము 13\(\frac{1}{2}\)% మూడవ సం||ము ,12%….. ఈ విధానము కొనసాగించబడిన 10 సంవత్సరముల అనంతరము దాని వెల ఎంత ? ఇవ్వబడిన శాతాలన్నీ ప్రారంభ వెల పైననే పేర్కొనడం జరిగింది.
[సూచన : మొత్తం తగ్గుదల = 15 + 13\(\frac{1}{2}\) + 12 + ……. + 10 పదాలు S_n = \(\frac{10}{2}\) [30 – 13.5] = 82.5 %
∴ 10 సంవత్సరముల అనంతరము దాని వెల = 100 – 82.5 = 17.5 (అనగా 5,00,000 లో 17.5%)]
సాధన.
మొదటి పద్దతి : మొదట యంత్రం వెల = ₹ 5,00,000
యంత్రం యొక్క వెల తగ్గుదల ప్రారంభవెలపై ఇవ్వడం జరిగింది.

యంత్రం యొక్క ప్రారంభవెలలో 10 సం||ల తరువాత మొత్తం తగ్గుదల
15 + 13 \(\frac{1}{2}\) + 12 + …. 10 పదాలు.
a = 15, d = a₂ – a₁ = – 1\(\frac{1}{2}\)
= – \(\frac{3}{2}\), n = 10
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n -1) d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2(15) + 9 (\(\frac{-3}{2}\))]
= 5[30 – \(\frac{27}{2}\)] = 5 [30 – 13.5]
= 5 [ 16.5] = 82.5 %
10 సం||ల తరువాత యంత్రం ధర ప్రారంభ ధరలో 100 – 82.5 = 17.5%
∴ 10 సం||ల తరువాత’ యంత్రం ధర = 500000 × \(\frac{17.5}{100}\) = ₹ 87500.

2వ పద్దతి :
యంత్రం ప్రారంభ ధర = ₹ 5,00,000

10సంవత్సరాల తరువాత యంత్రంలో మొత్తం తగ్గుదల 75000 + 67500 + 60000 + ….. + 10 పదాలు
ఇది A.P. లో కలదు.
∴ a = 75000, d = – 7500, n = 10
∴ S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2(75000) + (10 – 1) (- 7500)]
= 5[150000 – 9 × 7500]
= 5[150000 – 67500]
= 5[82500] = 412500
∴ 10 సంవత్సరాల తరువాత యంత్రము వెల = 500000 – 412500 = ₹ 87500.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 3 చతుర్భుజాల నిర్మాణాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 3rd Lesson చతుర్భుజాల నిర్మాణాలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. 8 సెం.మీ. పొడవు గల ఒక జత కర్రపుల్లలు తీసుకోండి. అదేవిధంగా 6 సెం.మీ. పొడవు గల మరొక జత కర్రపుల్లలు తీసుకోండి. వీటితో ఒక దీర్ఘచతురస్రాకారాన్ని 6 సెమీ) ఏర్పరచండి. ఈ దీర్ఘ చతురస్రం ఇవ్వబడిన 4 కొలతలతో (పుల్లలు) ఏర్పడింది. దీనిని వెడల్పు పుల్ల వెంబడి నెమ్మదిగా, కదిలించండి. ఏర్పడిన ఈ కొత్త రకం ఆకారం పూర్వపు ఆకారమేనా ? పటం (ii) లో ఏర్పడిన చతుర్భుజానికి కొత్త రూపం వచ్చింది కదా ! ముందు దీర్ఘచతురస్రం ఇప్పుడు సమాంతర చతుర్భుజం అయింది. నీవు ఏమైన కర్రపుల్లల కొలతలు మార్చావా ? లేదు కదా ! భుజాల పొడవులు అదేవిధంగా ఉన్నాయి. కొత్తగా ఏర్పడిన చతుర్భుజ రూపాన్ని మరొకసారి వ్యతిరేక దిశలో కదిలించండి. చతుర్భుజా ఏ రూపం వచ్చింది ? తిరిగి మరలా సమాంతర చతుర్భుజం వచ్చింది. కాని ఇది పూర్తిగా వొక రూపం అని పటం (iii) చూసి గమనించవచ్చు. ఈ సందర్భంలోనూ నాలుగు కొలతలు ఒకే విధంగా ఉన్నాయి. దీనిని బట్టి నాలుగు కొలతలతో ఏకైక చతుర్భుజం ఏర్పడదని తెలుసుకోవచ్చు. మరి అయిదు కొలతలు ఒక ఏకైక చతుర్భుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయా? తిరిగి మనం కృత్యాన్ని కొనసాగిద్దాం . 8 సెం.మీ., 6 సెం.మీ. పొడవులు గల రెండు జతల పుల్లలతో దీర్ఘచతురస్రాన్ని ఏర్పరిచారు కదా ! పటం (iv) లో చూపిన విధంగా BD పొడవుకు సమానమయ్యే మరొక కర్రపుల్లను చేరుద్దాం. ఇప్పుడు ముందుగా చేసినట్లుగా వెడల్పు వెంబడి కదిపి చూడండి. ఆకారంలో మార్పు వచ్చిందా ? లేదు కదా! మార్పు చెందలేదని గమనిస్తారు. అందుచే ఐదవ కొలత (పుల్ల) దీర్ఘ చతురస్రాకారాన్ని మార్చడానికి వీలు లేకుండా చేయగలిగింది. మరొక రకమైన చతుర్భుజం ఏర్పడే అవకాశం లేకుండా ‘ (కొలతలు మార్చనంత వరకు) జరిగింది. దీనిని బట్టి ఒక చతుర్భుజం ఏకైకంగా ఏర్పడాలంటే ఐదు కొలతలు అవసరమని తెలుస్తున్నది. మరి. ఏ ఐదు కొలతలైనా ఏకైక చతుర్భుజాన్ని ఏర్పరచడానికి సరిపోతాయా ? (పేజీ నెం. 60)


సాధన.
అవును, సరిపోతాయి.

2. కావల్సిన సామగ్రి : కొలబద్ద, మూలమట్టాలు మరియు కోణమానిని. (పేజీ నెం. 61)
గుర్తుంచుకోవల్సినవి : రేఖలు సమాంతరాలో కాదో తెలుసుకొనుటకు మూలమట్టాలను మొదటి రేఖ నుండి రెండవ రేఖ వైపు జరపాలి.
కింది పటాలలో ధర్మాలను పరిశీలించడానికి తగు పరికరాలు ఎంచుకొని పరిశోధించి రాయండి.

ప్రతి చతుర్భుజానికి
a) ఎదుటి భుజాలు సమాంతరమో, కాదో చూడాలి.
b) ప్రతి కోణం కొలత కనుగొనాలి.
c) ప్రతి భుజం పొడవు కనుగొనాలి.

మీరు పరిశోధించి కనుగొన్న ఫలితాలను పట్టికలో నమోదు చేయండి.

సాధన.

3. 60° కోణాన్ని గీయగలరా ? (పేజీ నెం. 63)

సాధన.
వృత్తలేఖిని, స్కేలును ఉపయోగించి 60° కోణాన్ని నిర్మించవచ్చు.

4. BELT సమాంతర చతుర్భుజాన్ని, మరి ఏ ఇతర సమాంతర చతుర్భుజ ధర్మాల ఆధారంగా నిర్మించవచ్చో తెలిపి, నిర్మించి చూడండి. (పేజీ నెం. 75)
సాధన.
ఒక భుజం, ఒక కర్ణము, ఒక కోణం ఆధారంగా సమాంతర చతుర్భుజాన్ని నిర్మించవచ్చు.
BE = 5 సెం.మీ. ⇒ LT = 5 సెం.మీ.
∠B = 110° ⇒ ∠E = 180° – 110° = 70°
TE = 7.2 సెం.మీ.

ప్రయత్నించండి (పేజీ నెం. 70)

1. BA = 5 సెం.మీ., AT = 6 సెం.మీ. మరియు AS = 6.5 సెం.మీ. కొలతలతో BATS సమాంతర చతుర్భుజం గీయగలమా? వివరించండి.
సాధన.
BATS సమాంతర చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు భుజాలు సమానాలు.
∴ BA = ST = 5 సెం.మీ., AT = BS = 6 సెం.మీ., AS = 6.5 సెం.మీ.
∴ BATS సమాంతర చతుర్భుజాన్ని నిర్మించవచ్చు.
ఎందుకనగా దీనికి 3 స్వతంత్ర కొలతలు చాలు.

2. ఒక విద్యా ర్థి PL = 3 సెం.మీ., LA = 4 సెం.మీ., AY = 4.5 సెం.మీ., PY = 2 సెం.మీ. మరియు LY = 6 సెం.మీ. కొలతలతో PLAY అనే చతుర్భుజాన్ని నిర్మించడానికి ప్రయత్నించాడు. కాని సాధ్యం కాలేదు. ఎందుకు ? నీవు కూడా చతుర్భుజాన్ని గీయడానికి ప్రయత్నించి, తగు కారణాలు తెల్పండి.
సాధన.
PLAY అను చతుర్భుజ కొలతలు
PL = 3 సెం.మీ.
LA = 4 సెం.మీ.
AY = 4.5 సెం.మీ.
PY = 2 సెం.మీ.
LY = 6 సెం.మీ.
ఇచ్చట YP + PL < YL
(త్రిభుజం YPL లో రెండు భుజాల మొత్తం 3వ భుజం కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి. కానీ ఈ సందర్భంలో అలా సంభవించలేదు. )

PLAY అనునది ఒక చతుర్భుజం కాదు.
(∵ YL > YP)
∴ ఇచ్చిన కొలతలతో చతుర్భుజం నిర్మించలేము.
(ఎందుకనగా L నుండి గీసిన చాపము P నుండి గీసిన చాపములు ఖండించుకొనుటలేదు. Y, P, L లు ఒకే సరళరేఖపై కలవు. )

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి (పేజీ నెం. 63)

1. ప్రతి దీర్ఘచతురస్రం ఒక సమాంతర చతుర్భుజమేనా ? ప్రతి సమాంతర చతుర్భుజం ఒక దీర్ఘచతురస్రమేనా ?
సాధన.
అవును. ప్రతి దీర్ఘచతురస్రం ఒక సమాంతర చతుర్భుజం అగును. కాని ప్రతి సమాంతర చతుర్భుజం ఒక దీర్ఘ చతురస్రం కాదు.

2. ఉమ బెల్లం చక్కని దీర్ఘచతురస్రాకారంలో చేయాలనుకున్నది. అది దీర్ఘచతురస్రాకారంలోనే వుండాలంటే ఆమె దానిని ఎన్ని రకాలుగా పరిశీలించి ఆకారం తీసుకురావాలి ?
సాధన.
బెల్లం చక్కీని దీర్ఘచతురస్రాకారంలోనికి మార్చాలంటే దానిని i) చతుర్భుజం ii) సమలంబ చతుర్భుజం iii) సమాంతర చతుర్భుజాకారాలను పరిశీలించాలి.

3. AB = 4.5 సెం.మీ., BC = 5.2 సెం.మీ., CD = 4.8 సెం.మీ., కర్ణాలు AC = 5 సెం.మీ. మరియు BD = 5.4 సెం.మీ. కొలతలు గల ABCD చతుర్భుజాన్ని గీయడానికి ముందుగా ΔABDతో మొదలు పెట్టి నాల్గవ శీర్షం ‘C’ ని గుర్తించగలరా ? కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 72)
సాధన.
ΔABD నిర్మించడం సాధ్యం కాదు కావునా ముందుగా ΔABD తో మొదలు పెట్టి ABCD చతుర్భుజాన్ని నిర్మించడం సాధ్యం కాదు. [∵ AD పొడవు ఇవ్వబడలేదు)

4. PQ = 3 సెం.మీ., RS = 3 సెం.మీ., PS = 7.5 సెం.మీ., PR = 8 సెం.మీ. మరియు SQ = 4 సెం.మీ. కొలతలతో PORS చతుర్భుజం నిర్మించండి. నిర్మాణం ఏవిధంగా చేస్తారో వివరించండి. (పేజీ నెం. 72)
సాధన.
PQ = 3 సెం.మీ. RS = 3 సెం.మీ. PS = 7.5 సెం.మీ. PR = 8 సెం.మీ. SQ = 4 సెం.మీ.

∴ ఇచ్చిన కొలతలతో PQS త్రిభుజం నిర్మించలేము.
PQ+ QS < PS
∴ S శీర్షం నిర్మించవలెనన్న P నుండి గీసిన చాపం మరియు Q నుండి గీసిన చాపాలు ఖండించుకొనుట లేదు.
∴ S శీర్షం లేకుండా PQRS చతుర్భుజ నిర్మాణం సాధ్యం కాదు.

5. ప్రక్క పటంలో ఇచ్చిన కొలతలలో ∠P = 75°కు బదులు ∠P= 100° తీసుకుంటే PQRS చతుర్భుజం నిర్మించగలరా ? కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 74)
సాధన.
PQ = 4 సెం.మీ., QR = 4.8 సెం.మీ.,
∠P = 100°, ∠Q = 100°, ∠R = 120°
∴ ఇచ్చిన కొలతలతో PQRS చతుర్భుజం నిర్మించ గలం. ఎందుకనగా 4 కోణాల మొత్తం = 360°

6. PL = 6 సెం.మీ., LA = 9.5 సెం.మీ., ∠P = 75°, L = 15° మరియు ∠A = 140° కొలతలతో PLAN చతుర్భుజం గీయగలరా ? (పేజీ నెం. 74)
(ప్రతి సందర్భంలోనూ చిత్తు పటాలను గీచి, కొలతలను విశ్లేషించండి.) మీ యొక్క సమాధానాలకు తగిన కారణాలు తెలపండి.
సాధన.
PL = 6 సెం.మీ., LA = 9.5 సెం.మీ., ∠P = 75°, ∠L = 15°, ∠A = 140°

∴ ఇచ్చిన కొలతలతో PLAN చతుర్భుజం నిర్మించలేము.

7. AB = 5 సెం.మీ., BC = 4.5 సెం.మీ., CD = 6 సెం.మీ., ∠B = 100°, ∠C = 75° కొలతలు గల ABCD చతుర్భుజాన్ని BC భూమిగా తీసుకొని (AB భూమిగా కాకుండా) నిర్మించగలరా ? చిత్తుపటం గీచి నిర్మాణ సోపానాలను వివరించుము. (పేజీ నెం. 77)
సాధన.
AB = 5 సెం.మీ., BC = 4.5 సెం.మీ., CD = 6 సెం.మీ., ∠B = 100°, ∠C = 75°
నిర్మాణ క్రమం :
1. 4.5 సెం.మీ.ల వ్యాసార్ధంతో BC రేఖాఖండాన్ని నిర్మించితిని.
2. B, C లు కేంద్రాలుగా 100°; 75° వరుస కిరణాలు గీచితిని.
3. B, C లు కేంద్రాలుగా 5 సెం.మీ., 6 సెం.మీ., వ్యాసార్ధాలతో రెండు చాపాలను గీయగా అవి కిరణాలను ఖండించిన బిందువులను A, D లుగా గుర్తించితిని.
4. A, D లను కలిపితిని.
5. ∴ ABCD చతుర్భుజం ఏర్పడినది.

8. ప్రక్క పటంలో ABCD రాంబస్ ను AC భూమిగా తీసుకొని నిర్మించగలరా ? లేదంటే కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 79)

సాధన.

ABCD రాంబస్ లో AC భూమి కాకుండా BD ను భూమిగా తీసుకొని రాంబసను నిర్మించవచ్చు.

9. రాంబస్ లో రెండు కర్ణాల పొడవులు సమానం అయితే ఏ పటం ఏర్పడుతుంది ? చిత్తుపటం గీచి, తగు కారణాలను తెలపండి. (పేజీ నెం. 79)
(లేదా )
ఒక సమాంతర చతుర్భుజంలోని కర్ణాల పొడవులు సమానం అయిన సందర్భంలో ఏయే పటాలు ఏర్పడునో చిత్తు పటాలు గీచి, తగు కారణాలతో తెల్పండి.
సాధన.
ఒక రాంబ లోని రెండు కర్ణాల పొడవులు సమానం అయిన రాంబస్లో అన్ని భుజాలు సమానంగా ఉంటాయి కావునా అది ఒక చతురస్రం అవుతుంది. ∴ ABCD ఒక చతురస్రం.
[∵ AB = BC = CD = DA & AC = BD]