Srinivas

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన పటంలో, \(\frac{Q T}{P R}=\frac{Q R}{Q S}\) మరియు ∠1 = ∠2 అయిన ∆PQS ~ ∆TQR అని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము : \(\frac{Q T}{P R}=\frac{Q R}{Q S}\) మరియు ∠1 = ∠2
సారాంశము : ∆PQS ~ ∆TQR
ఉపపత్తి : ∆PQR లో ∠1 = ∠2 కావున PQ = PR .
[∵ సమాన కోణాల ఎదుటి భుజాలు సమానము)
∴ \(\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QS}}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QS}}\)
∆TQR లో PS రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలు QT మరియు QR లను సమాన నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. కావున PS || TR. [ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత విపర్యయము]
∆PQS మరియు ∆TORలలో ∠QPS = ∠QTR
[∵ ∠P, ∠T లు ఆసన్నకోణాలు]
∠QSP = ∠QRT [PS || TR కావున ∠S, ∠Rలు ఆసన్న కోణాలు]
∠Q = ∠Q (ఉమ్మడి కోణము)
∴ ∆PQS ~ ∆TQR (కో.కో.కో సరూపకత నియమము నుండి).

ప్రశ్న 2.
రవి ఎత్తు 1.82 మీ. అతని ఇంటి పెరడులోని ఒక చెట్టు ఎత్తును తెలుసుకోవాలనుకున్నాడు. చెట్టు మొదలు నుండి నేలపై 12.20 మీటర్ల దూరము నడువగా అతని నీడ, చెట్టు నీడ చివరి భాగములు ఖచ్చితముగా ఏకీభవించినాయి. అతను ఇపుడు ఆ నీడ చివరి భాగము నుండి 6.10 మీ. దూరములో నిలబడి వున్నచో, ఆ చెట్టు ఎత్తు ఎంత ?

సాధన.
దత్తాంశము ప్రకారం, రవి ఎత్తు = BC = 1.82 మీ.
చెట్టు అడుగు నుండి రవి వద్దకు గల దూరము = BD = 12.2 మీ.
రవి నీడ పొడవు = BC = 6.10 మీ.
DE చెట్టును సూచిస్తుంది.
పటం నుండి ∆ABC ~ ∆ADE కావున \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AE}}\)
[సరూప త్రిభుజాల అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము]
\(\frac{6.10}{6.10+12.20}=\frac{1.82}{\mathrm{DE}}\)
DE = \(\frac{1.82 \times 18.30}{6.10}\)
∴ చెట్టు యొక్క ఎత్తు = 5.46 మీ.

ప్రశ్న 3.
సమాంతర చతుర్భుజము ABCD లో, AB పై ” ఏదేని బిందువు ‘F’. దాని కర్ణము AC, DP ని బిందువు ( వద్ద ఖండించును. అయిన CQ × PQ = QA × QD అని చూపండి.
సాధన. ”

దత్తాంశము : ▱ ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం. AB పై P ఒక బిందువు. DP మరియు AC లు Q వద్ద ఖండించుకొనును.
సారాంశము : CQ · PQ = QA · QD.
ఉపపత్తి : ∆CQD, ∆AQP లలో ∠QCD = ∠QAP, ∠CQD = ∠AQP
∴∠ODC = ∠OPA (∵ త్రిభుజ కోణాల మొత్తం ధర్మం )
ఆ విధముగా ∆CQD ~ ∆AQP (కో-కో-కో సరూప నియమం నుండి)
∴ \(\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}=\frac{\mathrm{QD}}{\mathrm{QP}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AP}}\) [∵ సరూప త్రిభుజాల అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము]
\(\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}=\frac{\mathrm{QD}}{\mathrm{QP}}\)
CQ . PQ = QA . QD [Q.E.D].

ప్రశ్న 4.
∆ABC మరియు ∆AMPలు రెండు లంబకోణ త్రిభుజములు. వీటిలో లంబకోణములు వరుసగా B మరియు M బిందువుల వద్ద కలవు. అయిన
(i) ∆ABC – ∆AMP
(ii) \(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}\) అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC; ∠B = 90°
∆AMP; ∠M = 90°
సారాంశము : (i) ∆ABC ~ ∆AMP
(ii) \(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}\)
ఉపపత్తి : (i) ∆ABC మరియు ∆AMP లలో ∠B = ∠M [ప్రతి కోణం 90°] ∠A = ∠A [ఉమ్మడి కోణం]
కావున ∠C = ∠P [త్రిభుజ కోణాల మొత్తం ధర్మం నుండి]
∆ABC ~ ∆AMP (కో-కో-కో- సరూపకత నుండి)

(ii) ∆ABC ~ ∆AMP (నిరూపించబడినది)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AM}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}\) [సరూప త్రిభుజాల, అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము]
∴ \(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}\).

ప్రశ్న 5.
ఒక విమానము విమానాశ్రయము నుండి, గంటకు 1000 కి.మీ. వేగముతో ఉత్తరము వైపు ప్రయాణించు చున్నది. అదే సమయంలో వేరొక విమానము అక్కడి నుండి గంటకు 1200 కి.మీ. వేగముతో పడమర వైపు ప్రయాణించుచున్నది. అయిన 12 గంటల తరువాత ఆ రెండు విమానాల మధ్యదూరము ఎంత ?
సాధన.
దత్తాంశము : ఉత్తర దిశలో మొదటి విమాన వేగము = 1000 కి.మీ./గం.
పడమర దిశలో రెండవ విమాన వేగము = 1200 కి.మీ./గం.
దూరము = వేగము × కాలము
1\(\frac{1}{2}\) గం||లో మొదటి విమానము ప్రయాణించిన దూరము = 1000 × 1\(\frac{1}{2}\)
= 1000 × \(\frac{3}{2}\) = 1500 కి.మీ.
1\(\frac{1}{2}\) గం||లో రెండవ విమానము ప్రయాణించిన దూరము = 1200 × \(\frac{3}{2}\) = 1800 కి.మీ.

పటం నుండి ∆ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము మరియు ∠A = 90°.
∴ AB² + AC² = BC² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి)
1500² + 1800² = BC²
BC² = 2250000 + 3240000
BC² = 5490000
BC = /5490000 = 100 × √549 m
= 100 × 23.43 = 2243కి.మీ.

ప్రశ్న 6.
లంబకోణ త్రిభుజము ABCలో లంబకోణము C వద్ద కలదు. P మరియు Q బిందువులు వరుసగా AC మరియు CB లపై బిందువులు ఇంకా ఆ భుజాలను అవి 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించును. అయిన
(i) 9AQ² = 9AC² + 4BC²
(ii) 9BP² = 9BC² + 4AC²
(iii) 9(AQ² + BP²) = 13AB² అని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము : ∆ABC లో ∠C = 90°
సారాంశము : (i) 9AQ² = 9AC² + 4BC²
(ii) 9BP² = 9BC² + 4AC²
(iii) 9(AQ² + BP²) = 13AB²
ఉపపత్తి : ∆ACQ లో ∠C = 90° కావున AC² + CQ² = AQ² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి)
AQ² = AC² + (\(\frac{1}{2}\)BC)²
[BC ని Q బిందువు 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. CQ = \(\frac{2}{3}\) BC]
AQ² = AC² + \(\frac{4}{9}\) BC²
AQ² = \(\frac{9 A C^{2}+4 B C^{2}}{9}\)
⇒ 9AQ² = 9AC² + 4BC² ……… (i)
CA పై P బిందువు 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించు విధముగా తీసుకున్నట్లయితే
BP² = PC² + BC²
BP² = (\(\frac{2}{3}\) AC)² + BC²
BP² = \(\frac{4}{9}\) AC² + BC²
BP² = \(\frac{4 \mathrm{AC}^{2}+9 \mathrm{BC}^{2}}{9}\)
9BP² = 4AC² + 9BC²

(ii) ∆PCB లో PB² = PC² + BC² [పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి)
PB² = (\(\frac{1}{3}\) AC)² + BC²
PB² = \(\frac{\mathrm{AC}^{2}}{9}\) + BC²
PB² = \(\frac{\mathrm{AC}^{2}+9 \mathrm{BC}^{2}}{9}\)
⇒ 9PB² = 9BC² + AC²

(iii) ∆ABC లో AC² + BC² = AB² [పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి]
(i) మరియు (ii) ల నుండి
9AQ² = 9AC² + 4BC²
9BP² = 9BC²+ 4AC² (కూడగా)
9AQ² + 9BP² = 13AC² + 13BC²
9 (AQ² + BP²) = 13 (AC² + BC²)
9 (AQ² + BP²) = 13 AB².

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 9 సమతల పటముల వైశాల్యములు Ex 9.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 9th Lesson సమతల పటముల వైశాల్యములు Exercise 9.2

ప్రశ్న1.
ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార షీట్ యొక్క కొలతలు 36 సెం.మీ × 25 సెం.మీ. షీట్ నుండి 3.5 సెం.మీ వ్యాసము కలిగిన 56 వృత్తాకార గుండీలను కత్తిరించగా మిగిలిన షీట్ వైశాల్యము ఎంత ?
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రాకార షీట్ కొలతలు = 36 సెం.మీ × 25 సెం.మీ
దీర్ఘచతురస్రాకార షీట్ పొడవు, l = 36 సెం.మీ
దీర్ఘచతురస్రాకార షీట్ వెడల్పు, b = 25 సెం.మీ
∴ దీర్ఘచతురస్రాకార షీట్ వైశాల్యం A = l × b
= 36 × 25 = 900 చ.సెం.మీ
వృత్తాకార గుండీ వ్యాసం, d = 3.5 సెం.మీ
వృత్తాకార గుండీ వ్యాసార్ధం,
r = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{3.5}{2}\) = 1.75 సెం.మీ
ఒక్కొక్క వృత్తాకార గుండీ వైశాల్యం = πr²
= 4 × (1.75)²

= 22 × 0.25 × 1.75 = 9.6250 చ.సెం.మీ
దీర్ఘచతురస్రాకార షీట్ నుంచి 56 వృత్తాకార గుండీలను కత్తిరించారు.
∴ 56 వృత్తాకార గుండీల వైశాల్యం
= 56 × ఒక్కొక్క వృత్తాకార గుండీ వైశాల్యం
= 56 × 9.6250 = 539 చ.సెం.మీ
మిగిలిన షీట్ వైశాల్యం = దీర్ఘచతురస్రాకార షీట్ వైశాల్యం – 56 వృత్తాకార గుండీల వైశాల్యం
= 900 – 539 = 361 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న2.
28 సెం.మీ భుజంగా గల చతురస్రంలో అంతర్లిఖించ బడిన వృత్త వైశాల్యమును కనుగొనుము.

(సూచన : వృత్తము యొక్క వ్యాసము చతురస్ర భుజమునకు సమానము)
సాధన.
వృత్త వ్యాసం, d = చతురస్ర భుజం = 28 సెం.మీ.
వృత్త వ్యా సం, d = 28 సెం.మీ
వృత్త వ్యాసార్ధం, r = \(\frac{\mathrm{d}}{2}\)

ప్రశ్న3.
క్రింది యివ్వబడిన పటములలో షేర్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యములను కనుగొనుము.
(i)

(గమనిక : d + \(\frac{\mathrm{d}}{2}+\frac{\mathrm{d}}{2}\) = 42)
d = 21
∴ చతురస్ర భుజం = 21 సెం.మీ. 42 సెం.మీ
సాధన.
పై పటంలో షేర్ చేయబడిన నాలుగు అర్ధవృత్తాలు
ఒకే చతురస్ర భుజంను వ్యాసాలుగా కలిగియున్నాయి.
∴ నాలుగు అర్ధవృత్తాలు ఒకే వ్యాసాలను కలిగి యుంటాయి.
పై పటం ప్రకారం,

∴ చతురస్ర భుజం, d = 21 సెం.మీ.
అర్ధవృత్త వ్యాసం = చతురస్ర భుజం = 21 సెం.మీ.
అర్ధవృత్త వ్యాసం = 21 సెం.మీ.

షేడ్ చేయబడిన నాలుగు అర్ధవృత్తాల వైశాల్యం
= 4 × ఒక్కొక్క అర్ధవృత్త వైశాల్యం
= 4 × 173.25
= 693 చ.సెం.మీ.

(ii)

సాధన.
పెద్ద వృత్త వ్యా సం = 21 మీ.

అర్ధవృత్త వ్యాసం = 10.5 మీ.
అర్ధవృత్త వ్యాసార్ధం = \(\frac {10.5}{2}\)
= 5.25 మీ.

∴ రెండు అర్ధవృత్తాల వైశాల్యం = 2 × 43.3125
= 86.6250 చ.మీ.
∴ షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = పెద్ద వృత్త వైశాల్యం – రెండు అర్ధవృత్తాల వైశాల్యం
= 346.5 – 86.6250
= 259.8750 చ.మీ.

ప్రశ్న4.
సమాన వ్యాసార్ధములు కలిగిన 4 అర్ధవృత్తములు మరియు సమాన వ్యాసార్ధాలు కలిగిన రెండు పెద్ద అర్ధవృత్తములు (ప్రతిది 42 సెం.మీ). పటములో చూపిన విధముగా జతచేయబడినవి. అయిన షేడ్ చేయబడిన ప్రాంతము వైశాల్యం కనుగొనండి.

సాధన.
పెద్ద అర్ధవృత్త వ్యాసం, d = 42 సెం.మీ.
పెద్ద అర్ధవృత్త వ్యాసార్థం, r = \(\frac {42}{2}\)
= 21 సెం.మీ.

షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = రెండు పెద్ద అర్ధవృత్తాల వైశాల్యం – 2 చిన్న అర్ధవృత్తాల వైశాల్యం + 2 చిన్న అర్ధవృత్తాల వైశాల్యం
= రెండు పెద్ద అర్ధవృత్తాల వైశాల్యం = 2 × పెద్ద అర్ధవృత్త వైశాల్యం
= 2 × 693 = 1386 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న5.
నాలుగు అర్ధవృత్తములు, రెండు పావు వృత్తములు పటంలో చూపిన విధంగా జత చేయబడినవి. OA = OB = OC = OD = 14 సెం.మీ. అయిన షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యమును కనుగొనుము.

సాధన.

OA = OB = OC = OD = 14 సెం.మీ.
పావు వృత్తం BXD వ్యాసార్ధం, r = 14 సెం.మీ.

∴ పావు వృత్తం AYC వైశాల్యం = 154 చ.సెం.మీ.
∴ షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = పావువృత్తం BXD వైశాల్యం – అర్ధవృత్తం OPB వైశాల్యం + అర్ధవృత్తం OQD వైశాల్యం + పావువృత్తం AYC వైశాల్యం – అర్ధవృత్తం ARO వైశాల్యం + అర్ధవృత్తం OSC వైశాల్యం
= పావు వృత్తం BXD వైశాల్యం + పావువృత్తం AYC వైశాల్యం
= 154 + 154 = 308 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న6.
పటంలో చూపిన విధంగా A, B, C మరియు D కేంద్రంగా గల సమాన వ్యాసార్ధములు కలిగిన నాలుగు వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకొంటున్నాయి. ABCD చతురస్రం యొక్క భుజం 7 సెం.మీ. అయిన షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం కనుగొనుము.

సాధన.

చతురస్ర భుజం, AB = BC = CD = DA = 7 సెం.మీ.
చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= 7 × 7
= 49 సెం.మీ.
పై పటం నుంచి,

చతురస్రంలో నాలుగు సెక్టార్లు గలవు. నాల్గింటి వైశాల్యాలు సమానం.
APQ సెక్టారు కోణం, x = 90°
వ్యాసార్ధం, r = 3.5 సెం.మీ.
సెక్టారు APQ వైశాల్యం

∴ నాలుగు సెక్టార్ల వైశాల్యం = 4 × ఒక్కొక్క సెక్టారు వైశాల్యం
= 4 × 9.625
= 38.5 చ.సెం.మీ.
∴ షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = చతురస్రం ABCD వైశాల్యం – 4 సెక్టార్ల వైశాల్యం
= 49 – 38.5 = 10.5 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న7.
ఒక సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యము \(49 \sqrt{3}\) చ.సెం.మీ. వృత్త కేంద్రమును శీర్షములుగా మూడు వృత్తములు బాహ్యముగా పటములో చూపిన విధముగా స్పృశించు కొంటున్నాయి. అయినచో వృత్తమును కలిగియుండని త్రిభుజ ప్రాంత వైశాల్యమును కనుగొనుము.

సాధన.
ΔABC ఒక సమబాహు త్రిభుజం,
సమబాహు త్రిభుజం ABC వైశాల్యం = \(49 \sqrt{3}\) చ.సెం.మీ
సమాన వ్యాసార్ధాలు గల మూడు వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటున్నాయి. ప్రతి వృత్తంలో ఒక సెక్టారు కలదు. మొత్తం మూడు సెక్టారులు గలవు. ప్రతి సెక్టారు కోణం 90° మరియు వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ. కావున మూడు సెక్టారుల వైశాల్యాలు సమానం.
సెక్టారు APQ కోణం, x = 60°
సెక్టారు APQ వ్యాసార్ధం, r = 7 సెం.మీ
∴ సెక్టార్ APQ వైశాల్యం

మూడు సెక్టార్ల వైశాల్యం = 3 × ఒక్కొక్క సెక్టార్ వైశాల్యం

వృత్తమును కలిగియుండని త్రిభుజ ప్రాంత వైశాల్యం = త్రిభుజం ABC వైశాల్యం – మూడు సెక్టార్ల వైశాల్యం
= \(49 \sqrt{3}\) – 77
= 49 × 1.7321 – 77 (∵ \(\sqrt{3}\) = 1.7321)
= 84.8729 – 77
= 7.8729 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న8.
(i) ‘a’ వ్యాసార్ధము కలిగిన నాలుగు సమాన వృత్తములు స్పృశించుకొంటున్నాయి. అయినచో ఆ వృత్తముల మధ్య ప్రాంత వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.

చతురస్రం ABCD భుజం, AB = BC = CD = DA
= a + a = 2a యూ
చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= 2a × 2a = 4a² చ.యూ.
నాలుగు వృత్తాలలో సమాన వైశాల్యాలు గల నాలుగు సెక్టార్లు గలవు.
సెక్టార్ APQ కోణం, x = 90°
సెక్టార్ APQ వ్యాసార్ధం, r = a

నాలుగు సెక్టార్ల వైశాల్యం = 4 × ఒక్కొక్క సెక్టార్ వైశాల్యం

∴ వృత్తముల మధ్య ప్రాంత వైశాల్యం = చతురస్రం ABCD వైశాల్యం – 4 సెక్టార్ల వైశాల్యం
= 4a² – πa² = (4 – π)a² చ.యూ

(ii) నాలుగు వృత్త వ్యాసార్ధములు సమానము మరియు ప్రతి వృత్తము మరో రెండు వృత్తములను బాహ్యంగా స్పృశించుకొంటూ ఉంటే వృత్త కేంద్రములు శీర్షములుగా ఒక చతురస్రమును ఏర్పాటు చేస్తే, ఆ చతురస్ర భుజము 24 మీ॥ అయిన ఆ వృత్తముల మధ్య ప్రాంతమును షేడ్ చేస్తే, షేడ్ చేయవలసిన ప్రాంత వైశాల్యము ఎంత ?
సాధన.

సమాన వ్యాసార్ధం గల నాలుగు వృత్తాలు బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటున్నాయి.
చతురస్ర భుజం = 24 సెం.మీ.
పై పటం నుంచి,
r + r = 24
2r = 24

షేడ్ చేయని ప్రాంతము = సమాన వైశాల్యం గల నాలుగు సెక్టార్లు
సెక్టార్ APQ కోణం, x = 90°
సెక్టార్ APQ వ్యాసార్ధం, r = 12 సెం.మీ.
సెక్టార్ APQ వైశాల్యం

షేడ్ చేయవలసిన ప్రాంతం 4 × ఒక్కొక్క సెక్టార్ వైశాల్యం
= 4 × 113.14 = 452.56 చ. సెం.మీ.

ప్రశ్న9.
క్రింది పటములో ABCD ఒక సమలంబ చతుర్భుజం AB || CD మరియు ∠BCD = 90° మరియు పావు భాగము వృత్తము తొలగించబడినది. AB = BC = 3.5 సెం.మీ॥ మరియు DE = 2 సెం.మీ. అయిన మిగిలిన ప్రాంతము యొక్క వైశాల్యమును కనుగొనుము.
(π = \(\frac {22}{7}\)గా తీసుకోండి)

సాధన.
ABCD ఒక సమలంబ చతుర్భుజం
AB || CD
∠BCD = 90°
AB = BC = 3.5 సెం.మీ.; DE = 2 సెం.మీ.

సమలంబ చతుర్భుజం ABCD వైశాల్యం:
సమాంతర భుజాల పొడవులు, AB = 3.5 సెం.మీ.
CD = DE + EC
= 2 + 3.5 = 5.5 సెం.మీ.
సమాంతర భుజాల మధ్య దూరం, BC = 3.5 సెం.మీ.
∴ సమలంబ చతుర్భుజం వైశాల్యం

పావు వృత్తం EBC వైశాల్యం:
పావు వృత్త వ్యాసార్ధం, r = 3.5 సెం.మీ.

సమలంబ చతుర్భుజం నుంచి పావు వృత్తంను తొలగించగా మిగిలిన ప్రాంత వైశాల్యం = సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం – పావువృత్త వైశాల్యం
= 15.75 – 9.625 = 6.125 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న10.
ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార పొలములో ఒక గుర్రము కట్టబడి ఉన్నది. దీర్ఘచతురస్ర కొలతలు 70 మీ మరియు 52 మీ కలిగియున్నది. దీర్ఘచతురస్రాకార పొలములో ఒక మూలలో 21 మీ. పొడవు కలిగిన ఒక తాడుకి గుర్రము కట్టబడియున్నది. అయిన గుర్రము కదలగలిగే ప్రాంత వైశాల్యము కనుగొనుము.

సాధన.
గుర్రం కదలగలిగే ప్రాంతం ఒక సెక్టారును సూచిస్తున్నది.
సెక్టార్ OPQ కోణం, x = 90°
సెక్టార్ OPQ వ్యాసార్ధం, r = 21 మీ.
సెక్టార్ OPQ వైశాల్యం

∴ గుర్రం కదలగలిగే ప్రాంత వైశాల్యం = 346.5 చ.మీ

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 9 సమతల పటముల వైశాల్యములు Ex 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 9th Lesson సమతల పటముల వైశాల్యములు Exercise 9.1

ప్రశ్న1.
సూచించిన విధముగా ఇచ్చిన ఆకృతులను విభజించండి.
(i) మూడు దీర్ఘచతురస్రాలు

సాధన.

దీర్ఘ చతురస్రం ABCD
దీర్ఘ చతురస్రం CEFG
దీర్ఘ చతురస్రం FHIJ

(ii) మూడు దీర్ఘచతురస్రాలుగా

సాధన.

దీర్ఘ చతురస్రం ABCD
దీర్ఘ చతురస్రం EFGH
దీర్ఘ చతురస్రం CHUJ

(iii) రెండు సమలంబ చతుర్భుజాలుగా

సాధన.

సమలంబ చతుర్భుజం ABEF
సమలంబ చతుర్భుజం BCDE

(iv) రెండు త్రిభుజాలు మరియు దీర్ఘచతురస్రము

సాధన.

త్రిభుజం ABC
త్రిభుజం DEF
దీర్ఘచతురస్రం ACDF

(v) మూడు త్రిభుజాలుగా

సాధన.

త్రిభుజం BCD
త్రిభుజం BDE
త్రిభుజం AEB

ప్రశ్న2.
ఈ క్రింది పటములు యొక్క వైశాల్యములను కనుగొనుము.
i)

సాధన.
పంచభుజి ABCDE వైశాల్యం = చతురస్రం ACDE వైశాల్యం + త్రిభుజం ABC వైశాల్యం
చతురస్రం ACDE వైశాల్యం:
చతురస్రం ACDE వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= ED × DC
= 4 × 4 = 16 చ.సెం.మీ

త్రిభుజం ABC వైశాల్యం:
పై పటం నుంచి BF = 6 – 4 = 2 సెం.మీ
Δ ABC వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\) × AC × BF

∴ పంచభుజి ABCDE వైశాల్యం, = చతురస్రం ACDE వైశాల్యం + ΔACB వైశాల్యం
= 16 + 4 = 20 చ.సెం.మీ

(ii)

సాధన.
షడ్భుజి ABCDEF వైశాల్యం = చతురస్రం ABCF వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం FCDE వైశాల్యం
చతురస్రం ABCF వైశాల్యం:
చతురస్రం ABCF వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= AB × BC
= 18 × 18
= 324 చ.సెం.మీ
సమలంబ చతుర్భుజం FCDE వైశాల్యం
= \(\frac {1}{2}\) × h(a + b)

= 4(25) = 100 చ. సెం.మీ
∴ షడ్భుజి ABCDEF వైశాల్యం = చతురస్రం ABCF వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం FCDE వైశాల్యం
= 324 + 100
= 424 చ.సెం.మీ

(iii)

సాధన.
షడ్భుజి ABCDEF వైశాల్యం = దీర్ఘచతురస్రం ABCD వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం ADEF వైశాల్యం
దీర్ఘచతురస్రం ABCD వైశాల్యం:
దీర్ఘచతురస్రం ABCD వైశాల్యం
= పొడవు × వెడల్పు
= AB × BC
= 20 × 15 = 300 చ.సెం.మీ

సమలంబ చతుర్భుజం ADEF వైశాల్యం:
పై పటం నుంచి సమాంతర భుజాలు \(\overline{\mathrm{AD}}, \overline{\mathrm{EF}}\) ల మధ్య దూరం, h = 28 – 20 = 8 సెం.మీ AD, a = 15 సెం.మీ ; EF, b = 6 సెం.మీ.
∴ సమలంబ చతుర్భుజం ADEF వైశాల్యం
= \(\frac {1}{2}\) × h(a + b)

= 4(21) = 84 చ.సెం.మీ .
షడ్భుజి ABCDEF వైశాల్యం = దీర్ఘ చతురస్రం ABCD వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం ADEF వైశాల్యం
= 300 + 84 = 384 చ. సెం.మీ

ప్రశ్న3.
ABCD చతుర్భుజములో కర్ణము AC = 10 సెం.మీ మరియు AC పై శీర్షములు B మరియు D నుండి గీచిన లంబములు 5 సెం.మీ మరియు 6 సెం.మీ. పొడవులు కలిగియుంటే ABCD చతుర్భుజము యొక్క వైశాల్యమును కనుగొనుము.
సాధన.

ABCD చతుర్భుజంలో కర్ణం AC, d = 10 సెం.మీ
B నుండి కర్ణం AC పై గీయబడిన లంబం h₁ = 5 సెం.మీ.
D నుండి కర్ణం AC పై గీయబడిన లంబం h₂ = 6 సెం.మీ

ప్రశ్న4.
క్రింది పటములో చూపబడిన ఫోటో ఫ్రేము యొక్క బయటి అంచుకొలతలు 28 సెం.మీ × 24 సెం.మీ మరియు లోపలి అంచు కొలతలు 20 సెం.మీ × 16 సెం.మీ. ఫ్రేమ్ వెడల్పు ఏకరీతిగా యున్నచో షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యమును కనుగొనుము.

సాధన.

ఫోటో ఫ్రేము బయటి అంచు కొలతలు = 28 సెం.మీ × 24 సెం.మీ
బయటి అంచు పొడవు = 28 సెం.మీ
బయటి అంచు వెడల్పు = 24 సెం.మీ
లోపలి అంచు కొలతలు = 20 సెం.మీ × 16 సెం.మీ
లోపలి అంచు పొడవు = 20 సెం.మీ
లోపలి అంచు వెడల్పు = 16 సెం.మీ
త్రిభుజం ABC వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\) × AC × CB

దీర్ఘచతురస్రం CDEB వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు
= CD × DE
= 20 × 4
= 80 చ.సెం.మీ
త్రిభుజం DEF వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\) × DF × DE

= 8 చ.సెం.మీ
∴ షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = త్రిభుజం ABC వైశాల్యం + దీర్ఘచతురస్రం CDEB వైశాల్యం + త్రిభుజం DEF వైశాల్యం
= 8 + 80 + 8
= 96 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న5.
ఈ క్రింది ఇవ్వబడిన పొలముల యొక్క వైశాల్యములను కనుగొనుము. కొలతలన్నియూ మీటర్లలో యున్నవి.
i)

సాధన.
సమలంబ చతుర్భుజం ABCH వైశాల్యం
= \(\frac {1}{2}\) × h(a + b)

= 40 (70) = 2800 చ.మీ
త్రిభుజం HCD వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × HC x HD

= 1600 చ.మీ
త్రిభుజం EID వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × EI × ID

= 1200 చ.మీ
సమలంబ చతుర్భుజం FGIE వైశాల్యం
= \(\frac {1}{2}\) × h(a + b)

= 35 (110) = 3850 చ.మీ
త్రిభుజం FGA వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × FG × GA

= 1250 చ.మీ
∴ పొలం వైశాల్యం = సమలంబ చతుర్భుజం ABCH వైశాల్యం + త్రిభుజం HCD వైశాల్యం + త్రిభుజం EID వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం FGIE వైశాల్యం + త్రిభుజం FGA వైశాల్యం
= 2800 + 1600 + 1200 + 3850 + 1250
= 10700 చ.మీ

(ii)

సాధన.
త్రిభుజం ABK వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × KB × KA

= 750 చ.మీ
సమలంబ చతుర్భుజం KBCI వైశాల్యం
= \(\frac {1}{2}\) × h(a + b)

= 30 (70) = 2100 చ.మీ
సమలంబ చతుర్భుజం ICDE వైశాల్యం
= \(\frac {1}{2}\) × h(a + b)

= 40(90)
= 3600 చ.మీ
త్రిభుజం FHE వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × FH × HE

= 400 చ.మీ
సమలంబ చతుర్భుజం GJHF వైశాల్యం
= \(\frac {1}{2}\) × h(a + b)

= 40 (60) = 2400 చ.మీ
త్రిభుజం GJA వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × GJ × JA

= 1400 చ.మీ
∴ పొలం వైశాల్యం = ΔKBA వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం KBCI వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం ICDE వైశాల్యం + ΔFHE వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం GJHF వైశాల్యం + ΔGJA వైశాల్యం
= 750 + 2100 + 3600 + 400 + 2400 + 1400
= 10650 చ.మీ

ప్రశ్న6.
సమలంబ చతుర్భుజంలోని సమాంతర భుజాల పొడవుల నిష్పత్తి 5 : 3 వాటి మధ్య దూరం 16 సెం.మీ. సమలంబ చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యము 960 చ. సెం.మీ అయిన సమాంతర భుజముల పొడవులను కనుగొనుమ.
సాధన.
సమలంబ చతుర్భుజంలోని సమాంతర భుజాల పొడవుల నిష్పత్తి = 5 : 3
∴ సమాంతర భుజాల పొడవులు = 5x, 3x
∴ a = 5x, b = 3x
సమాంతర భుజాల మధ్య దూరం, h = 16 సెం.మీ.
సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం
= \(\frac {1}{2}\) × h(a + b)

= 8 (8x) = 64 x
లెక్క ప్రకారం, సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం = 960 చ.సెం.మీ
∴ 64x = 960

x = 15
∴ సమాంతర భుజాల పొడవులు,
a = 5x = 5 × 15 = 75 సెం.మీ
b = 3x = 3 × 15 = 45 సెం.మీ

ప్రశ్న7.
ఒక భవనము యొక్క నేల 3000 టైల్స్ చే కప్పబడినది. ప్రతి టైల్ సమచతుర్భుజ ఆకృతిని కలిగియుండి కర్ణముల పొడవులు 45 సెం.మీ, 30 సెం.మీలు కలిగియున్నది. ప్రతీ టైల్ యొక్క వెల చదరపు మీటరుకు 20 రూపాయలు అయిన ఫ్లోరింగ్ నకు అయ్యే మొత్తము ఖర్చు ఎంత ?
సాధన.
ఒక భవనం యొక్క నేల 3000 టైల్స్ చే కప్పబడినది.
ప్రతి టైల్ సమచతుర్భుజం ఆకృతిని కలిగియున్నది.
టైల్ యొక్క కర్ణముల పొడవులు,
d₁ = 45 సెం.మీ, d₂ = 30 సెం.మీ
ఒక్కొక్క టైల్ వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\)d₁d₂

= 675 చ.సెం.మీ
∴ భవనం యొక్క నేల వైశాల్యం = 3000 × 675 = 2025000 చ.సెం.మీ

(∵ 1 చ.మీ. = 10000 చ.సెం.మీ)
= \(\frac {2025}{10}\) చ.మీ = 202.5 చ.మీ
టైల్ యొక్క చదరపు మీటరు ఖరీదు = ₹ 20
∴ ఫ్లోరింగ్ నకు అయ్యే మొత్తం ఖర్చు = ₹ 202.5 × 20 = ₹ 4050

ప్రశ్న8.
ఈ క్రింద పంచభుజి ఆకృతిలో యున్న పటం యివ్వబడినది. దీని వైశాల్యమును కనుగొనేందుకు జ్యోతి మరియు రషీదా దానిని రెండు వేర్వేరు విధాలుగా విభజించారు. అయిన రెండు విధాలుగా పంచభుజి వైశాల్యం కనుగొనండి. దాని నుండి ఏమి గమనించారు?

సాధన.
జ్యోతి విధానం :

సమలంబ చతుర్భుజం ABCF వైశాల్యం:
సమాంతర భుజాల పొడవులు, FC, a = 30 సెం.మీ.
AB, b = 15 సెం.మీ.
సమాంతర భుజాలు \(\overline{\mathrm{FC}}, \overline{\mathrm{AB}}\)ల మధ్య దూరం, h = 7.5 సెం.మీ.
సమలంబ చతుర్భుజం ABCF వైశాల్యం
= \(\frac {1}{2}\)h(a + b)
= \(\frac {1}{2}\) × 7.5 (30 + 15)

= 168.75 చ.సెం.మీ
సమలంబ చతుర్భుజం FEDC వైశాల్యం:
సమాంతర భుజాల పొడవులు, FC, a = 30 సెం.మీ.
ED, b = 15 సెం.మీ.
సమాంతర భుజాలు \(\overline{\mathrm{FC}}, \overline{\mathrm{ED}}\)ల మధ్య దూరం, h = 7.5 సెం.మీ.
సమలంబ చతుర్భుజం FEDC వైశాల్యం
= \(\frac {1}{2}\)h(a + b)
= \(\frac {1}{2}\) × 7.5 (30 + 15)

= 168.75 చ.సెం.మీ
∴ పంచభుజి ABCDE వైశాల్యం = సమలంబ చతుర్భుజం ABCF వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం FEDC వైశాల్యం
= 168.75 + 168.75
= 337.50 చ.సెం.మీ

రషీదా విధానం :

చతురస్రం ABDE వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= AE × ED
= 15 × 15
= 225 చ.సెం.మీ.
త్రిభుజం BDC వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\) × BD × CF
= \(\frac {1}{2}\) × 15 × 15
(∵ CF = 30 – 15 సెం.మీ)
= \(\frac {225}{2}\)
= 112.50 చ.సెం.మీ
∴ పంచభుజి ABCDE వైశాల్యం = చతురస్రం ABDE వైశాల్యం + త్రిభుజం BDC వైశాల్యం
= 225 + 112.50
= 337.500 చ.సెం.మీ
పంచభుజిని ఎన్ని విధాలుగా విభజించి చేసినా దాని వైశాల్యం మారదు. కచ్చితంగా చెప్పాలంటే ఏ బహుభుజినైనా ఎన్ని విధాలుగా విభజించి చేసినా దాని వైశాల్యం మారదు.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.3

ప్రశ్న 1.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజము మూడు భుజాలపై సమబాహు త్రిభుజాలు గీయబడ్డాయి. కర్ణము మీద గీసిన త్రిభుజ వైశాల్యము మిగిలిన రెండు భుజాల మీద గీసిన త్రిభుజాల వైశాల్యాల మొత్తమునకు సమానమని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము :
∆ABC లంబకోణ త్రిభుజం
∠B = 90°.
∆ABP, ∆AQC, ∆BCRల సమబాహు త్రిభుజాలు.

సారాంశము :
∆AQC వైశాల్యం = ∆APB వైశాల్యం + ∆BCR వైశాల్యం

నిరూపణ :
∆ABP ~ ∆BCR ~ ∆ACR (∵ సమబాహు త్రిభుజాలు ఎల్లప్పుడు సరూపాలు)

(∵ సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాని అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానం)

(పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి)

∴ ∆ACQ వైశాల్యం = ∆ ABP వైశాల్యం + ∆ BCR వైశాల్యం.

ప్రశ్న 2.
ఒక చతురస్రము భుజముపై గీచిన సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యము, ఆ చతురస్ర కర్ణముపై గీచిన సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యములో సగము వుంటుందని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము :
ABCD ఒక చతురస్రము ∆ABP మరియు ACQలు వరుసగా చతురస్ర భుజం, కర్ణాల మీద గీచిన సమబాహు త్రిభుజాలు.
సారాంశము :
∆ABP వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) ∆ACQ వైశాల్యం
నిరూపణ :

[∵ ∆ABP ~ ∆ACQ]
(∵ సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాని అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానం)

= \(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{(\sqrt{2} \mathrm{AB})^{2}}\) [ABCD చతుర్భుజంలో]

= \(\frac{A B^{2}}{2 A B^{2}}=\frac{1}{2}\) [AC = √2 AB]

∴ ∆ABP వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) ∆ACQ వైశాల్యం.

ప్రశ్న 3.
∆ ABCలో BC, CA, AB భుజాల మధ్య బిందువులు వరుసగా D, E, F. అయిన ∆DER మరియు ∆ABC ల వైశాల్యాల నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
సాధన.

దత్తాంశము :
∆ABCలో; D, E మరియు , F లు BC, CA మరియు AB భుజాల మధ్య బిందువులు. ∆ABCలో AB, ACల మధ్య బిందువులను కలుపగా EF ఏర్పడినది.
FE || BC కావున \(\frac{A F}{F B}=\frac{A E}{E C}\)
(ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత విపర్యయము నుండి)
అదే విధముగా AC మరియు BC లను DE ఒకే నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. కావున DE || AB.
□BDEFలో ఎదుటి భుజాలు సమాంతరాలు (BD || EF మరియు DE || BF)
కావున OBDEF ఒక సమాంతర చతుర్భుజము ఇక్కడ DF ఒక కర్ణము.
∴ ∆BDF = ∆DEF ………… (1)
అదే విధముగా ∆DEF = ∆CDE అని నిరూపించవచ్చును. ………… (2) [∵ CDEF ఒక సమాంతర చతుర్భుజం] మరియు
∆DEF = ∆AEF …………. (3) [∵ □AEDF ఒక సమాంతర చతుర్భుజం]
(1), (2) మరియు (3) ల నుండి
∆AEF ≈ ∆DEF ≈ ∆BDF ≈ ∆CDE
అదే విధముగా ,
∆ABC = ∆AEF + ∆DEF + ∆BDF + ∆CDE = 4. ∆DEF
∆ABC : ∆DEF = 4 : 1.

ప్రశ్న 4.
∆ABCలో, XY || AC మరియు XYఆ త్రిభుజాన్ని రెండు సమాన వైశాల్యాలు గల భాగాలుగా AX విభజించును. అయిన \(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XB}}\) నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
సాధన.

దత్తాంశము :
∆ABC లో XY | | AC.
సారాంశము :
\(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XB}}\) నిష్పత్తి , XY, ∆ABC ను సమాన వైశాల్యాలు గల భాగాలుగా విభజించును. ∆ABC, ∆XBY లలో ∠B = ∠B
∠A = ∠X [∵ XY || AC; ∠A, ∠X మరియు ∠C, ∠Yలు ఆసన్నకోణాల జత]
∆ABC ~ ∆XBY (కో.కో.కో సరూపకత ధర్మము ప్రకారము)
ఆ విధముగా \(\frac{\Delta \mathrm{ABC}}{\Delta \mathrm{XBY}}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{XB}^{2}}\)
[∵ రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తి వర్గమునకు సమానము)
\(\frac{2}{1}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{XB}^{2}}\)
[దత్తాంశంలో ∆BXY = ∆BAC కావున ∴ ∆ABC = 2 . ∆XBY]
2 = \(\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{XB}}\right)^{2}\)

2 = \(\left(\frac{\mathrm{AX}+\mathrm{XB}}{\mathrm{XB}}\right)^{2}\)

2 = \(\left(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XB}}+\frac{\mathrm{XB}}{\mathrm{XB}^{\prime}}\right)^{2}\)

2 = \(\left(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XB}}+1\right)^{2}\)

⇒ \(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XB}}\) + 1 = √2

⇒ \(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XB}}\) = √2 – 1
కావున ఆ నిష్పత్తి \(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XB}}=\frac{\sqrt{2}-1}{1}\).

ప్రశ్న 5.
రెండు సరూపత్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి – అనురూప మధ్యగతాల నిష్పత్తి వర్గానికి సమానమని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆XYZ
సారాంశము : \(\frac{\Delta \mathrm{ABC}}{\Delta \mathrm{XYZ}}=\frac{\mathrm{AD}^{2}}{\mathrm{XW}^{2}}\)
ఉపపత్తి : రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తి వర్గమునకు సమానము.
\(\frac{\Delta \mathrm{ABC}}{\Delta \mathrm{XYZ}}=\frac{\mathrm{AD}^{2}}{\mathrm{XW}^{2}}\) …………..(1) [∵ ∆ABC ~ ∆XYZ]
∆ABD మరియు ∆XYW లలో ∠B = ∠Y; ∠D = ∠W = 90°
(కో.కో.కో ఉప సిద్ధాంతము నుండి),
∆ABD ~ ∆XYW
∴ \(\frac{\Delta \mathrm{ABD}}{\Delta \mathrm{XYW}}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{XY}^{2}}=\frac{\mathrm{AD}^{2}}{\mathrm{XW}^{2}}\) …………..(2)
(1) మరియు (2) ల నుండి,
\(\frac{\Delta \mathrm{ABC}}{\Delta \mathrm{XYZ}}=\frac{\mathrm{AD}^{2}}{\mathrm{XW}^{2}}\)
ఆ విధముగా రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తి వర్గమునకు సమానము.

ప్రశ్న 6.
∆ABC ~ ∆DEF. BC = 3 సెం.మీ, EF = 4 సెం.మీ, ∆ABC వైశాల్యము = 54 చ.సెం.మీ అయిన ∆DEF వైశాల్యమును కనుగొనుము.
సాధన.

దత్తాంశము ప్రకారం, ∆ABC ~ ∆DEF.
BC = 3 సెం.మీ.; EF = 4 సెం.మీ. ∆ABC = 54 చ.సెం.మీ
∴ ∆ABC ~ DEF, కావున \(\frac{\Delta \mathrm{ABC}}{\Delta \mathrm{DEF}}=\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}}\)
[∵ సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి. వాటి అనురూప భుజాల వర్గ నిష్పత్తికి సమానము].
\(\frac{54}{\Delta \mathrm{DEF}}=\frac{3^{2}}{4^{2}}\)
∴ ∆DEF = \(\frac{54 \times 16}{9}\) = 96 సెం.మీ.

ప్రశ్న 7.
త్రిభుజము ABCలో AB భుజాన్ని P వద్ద, AC ని Q వద్ద తాకునట్లు PQ ఒక సరళరేఖ, ఇంకా AP = 1 సెం.మీ., BP = 3 సెం.మీ. AQ = 1.5 సెం.మీ., CQ = 4.5 సెం.మీ. అయిన ∆APQ వైశాల్యము = \(\frac{1}{16}\) (∆ABC వైశాల్యము) అని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము ప్రకారం, ∆ABC మరియు \(\overline{\mathrm{PQ}}\), AB ను P వద్ద మరియు AC ను Q వద్ద ఖండించుచున్నది.
AP = 1 సెం.మీ; AQ = 1.5 సెం.మీ BP = 3 సెం.మీ; CQ = 4.5 సెం.మీ
\(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{BP}}=\frac{1}{3}\) ……………. (1);
\(\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QC}}=\frac{1.5}{4.5}=\frac{1}{3}\) ……………(2)
(1) మరియు (2) ల నుండి \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{BP}}=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{CQ}}\)
[∵ PQ, AB మరియు AC లను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించింది]
ప్రాథమిక అనుపాత సిద్దాంత విపర్యయము నుండి PQ || BC.
∆APQ మరియు ∆ABC లలో
∠A = ∠A (ఉమ్మడి కోణం)
∠P = ∠B [∵ PQ || BC సమాంతరరేఖల అనురూప కోణాలు] .
∠Q = ∠C
∴ ∆APQ ~ ∆ABC [∵ కో.కో.కో సరూప నియమము నుండి]
\(\frac{\Delta \mathrm{APQ}}{\Delta \mathrm{ABC}}=\frac{\mathrm{AP}^{2}}{\mathrm{AB}^{2}}\)
[∵సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల ‘నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానము].
= \(\frac{1^{2}}{(3+1)^{2}}=\frac{1}{16}\)
∴ ∆APQ = \(\frac{1}{16}\) (∆ABC) నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 8.
రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాలు 81 చ.సెం.మీ మరియు 49 చ.సెం.మీ. పెద్ద త్రిభుజములో గీసిన లంబము పొడవు 4.5 సెం.మీ అయిన చిన్న త్రిభుజములో దాని అనురూప లంబము పొడవును కనుగొనండి. .
సాధన.

దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆DEF ∆ABC = 81 సెం.మీ²; ∆DEF = 49 సెం.మీ²; AX = 4.5 సెం.మీ
సారాంశము : DY పొడవు
ఉపపత్తి : \(\frac{\Delta \mathrm{ABC}}{\Delta \mathrm{DEF}}=\frac{\mathrm{AX}^{2}}{\mathrm{DY}^{2}}\)
[∵ రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానము]
\(\frac{81}{49}=\frac{(4.5)^{2}}{D Y^{2}}\)

⇒ \(\left(\frac{9}{7}\right)^{2}=\left(\frac{4.5}{D Y}\right)^{2}\)

⇒ \(\frac{9}{7}=\frac{4.5}{\mathrm{DY}}\)

⇒ DY = 4.5 × \(\frac{7}{9}\)

∴ DY = \(\frac{7}{2}\) = 3.5 సెం.మీ.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ InText Questions

ఇవి చేయండి

1. క్రింది పటాలలో సర్వసమాన పటాల జతలను గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 184)

సాధన.
పై పటాలలో సర్వసమాన పటాల జతలు (1, 10), (2, 6, 8), (3, 7), (12, 14), (9, 11).

2. క్రింది పటాల జతలను గమనించండి. అవి సర్వసమానాలేమో తెల్పండి. కారణాలు వివరించండి. పటాలను పేర్లతో చెప్పండి. (పేజీ నెం. 185)


సాధన.
i) ΔABC, ΔPQRల నుండి
∠A = ∠Q (కోణాలు సమానాలు)
భుజాలు సమానాలు అని ఇవ్వలేదు. కాని ఆ రెండు పటాలను ఒకదానిపై ఒకటి ఉంచిన అవి ఏకీభవిస్తాయి.
∴ ΔABC ≅ ΔPQR

ii) ΔPLM, ΔQNM ల నుండి
PL = QN (భుజం)
LM = MN (భుజం)
PM = QM (భుజం)
పై రెండు త్రిభుజాలలో అనురూప భుజాలు సమానం.
∴ ΔPLM ≅ ΔQNM

iii) ΔLMN, ΔPQR ల నుండి
NL ≠ PQ, LM ≠ QR, NM ≠ RP
∴ ΔLMN ≠ ΔPQR
(అనురూపకోణాలు ఇవ్వలేదు)

iv) ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం,
LMNO ఒక దీర్ఘచతురస్రం
దీర్ఘచతురస్రం మరియు సమాంతర చతుర్భుజం ఎప్పుడూ కూడా సర్వసమానాలు కాదు.

v) రెండు వృత్తాల నుండి
r₁ = r₂ = 2 యూ॥
రెండు వృత్తాలు సర్వసమానాలు.

3. క్రింది చిత్రాలలో మొదటి రేఖా చిత్రంతో సరూపంగా ఉన్న రేఖాచిత్రాలను గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 186)

సాధన.
a) (ii)
b) (ii)

4. ఒక గ్రాఫ్ కాగితంపై ఒక త్రిభుజాన్ని గీచి సూచీ భిన్నం 3గా గల విస్తరణ పటాన్ని గీయండి. ఆ రెండు పటాలు సరూపాలేనా ? (పేజీ నెం. 191)
సాధన.
సోపానం 1 : ΔPQR ని నిర్మించి, త్రిభుజంపై లేని ఏదేని బిందువు ‘C’ ని విస్తరణ కేంద్రంగా గుర్తించుము. ‘C’ ని త్రిభుజ – శీర్షాలతో కలిపి ముందుకు పొడిగించుము.

సోపానం 2 : వృత్తలేఖిని సహాయంతో పొడిగింపు రేఖలపై
CP’ = k (CP) = 3 CP
CQ’ = 3 CQ
CR’ = 3 CR
అగునట్లు P’, Q’ మరియు R’ బిందువులను గుర్తించుము.

సోపానం 3 : P’Q’, Q’R’ మరియు R’P’ లను కలుపుము.
ΔP’Q’R’ ~ ΔPQR అని గమనించవచ్చు.

5. ఒక చతురస్రాన్ని గీచి సూచీ భిన్నాలు 4, 5 గా గల విస్తరణ పటాలను గీయండి. నీవేమి గమనించితివి ? అలాగే ఏదేని ఒక పటాన్ని పొడిగించండి. (పేజీ నెం. 191)
సాధన.
కొన్నిసార్లు మనం పటాలను వాటి వాస్తవ పరిమాణం కన్నా పెద్దదిగా వేయవలసి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు సినిమా కటౌట్ (cut-outs) మీరు చూసి ఉంటారు. మరికొన్ని సార్లు పటాలను చిన్నవిగా గీయవలసి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు నమూనాలు గీచే సందర్భంగా అసలు పరిమాణం కన్నా చిన్నవిగా గీస్తాము. అంటే మనం పటాల ఆకారాలను పెద్దవిగా కాని చిన్నవిగా కాని చేయవలసిన అవసరం నిత్యజీవితంలో ఏర్పడుతూ ఉంటుంది. ఈ విధంగా పెద్ద లేదా చిన్న సరూప పటాలు గీసే పద్ధతిని “సరూప విస్తరణం” అంటారు.

పటంలో ☐ ABCD విస్తరణను గమనించండి. ☐ ABCD ఒక చతురస్రం గ్రాఫ్ కాగితంపై గీయబడినది.
ప్రతి శీర్షాలు A, B, C మరియు D లు ‘O’ నుండి కలుపబడి వాటి 4 రెట్లు దూరాలకు వరుసగా A’, B’, C’ మరియు D’ వరకు పొడిగింపబడినవి. ఇప్పుడు A’, B’, C’,D’ లు కలుపగా ☐ ABCDకు 4 రెట్లు కొలతలు గల చతురస్రమును ఏర్పరచినవి. ఇక్కడ ‘O’ ను విస్తరణ కేంద్రం అని మరియు
\(\frac{\mathrm{OA}^{\prime}}{\mathrm{OA}}=\frac{4}{1}\) = 4 ను సూచీ భిన్నం (scale factor) అని అంటారు.
\(\frac{\mathrm{OA}^{\prime}}{\mathrm{OA}}=\frac{5}{1}\) = 5 ను సూచీ భిన్నం అంటారు.

6. క్రింది ఆకారాలకు సాధ్యమైనన్ని సౌష్ఠవరేఖలు గీయండి. (పేజీ నెం. 193)

సాధన.

ప్రయత్నించండి

1. చాపిన చేతిలో ఒక స్కేలుని నిలువుగా పట్టుకొని మీ పాఠశాల భవనం ఏకీభవించునట్లు పాఠశాల నుండి దూరంగా జరుగుతూ సరిచేసుకొనుము. దీనికి సరిపడు పటాన్ని గీచి పాఠశాల భవనం ఎత్తుని అంచనా వేయండి. (పేజీ నెం. 189)
సాధన.
ఉదాహరణ ద్వారా వివరణ:
ఒక భవనం నుండి కొంత దూరములో గల బాలిక తనకెదురుగా గల పాఠశాల భవనం వైపు తన చేతిని చాపి ఒక స్కేలు పట్టుకొని నిలచి ఉన్నది. ఆమె తన చేతిలోని స్కేలు భవనముతో ఏకీభవించినట్లు పటంలో చూపినట్లు గమనించింది. ఈ వివరణను పై ఉదాహరణతో పోలిస్తే


స్కేలు పొడవు, బాలిక చేతి పొడవు మరియు బాలిక నుండి భవనమునకు గల దూరములను కొలచి భవనం ఎత్తును అంచనా వేయవచ్చు.

2. a) కింది వానిలో బిందు సౌష్ఠవం గల వాటిని గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 196)

సాధన.
బిందు సౌష్ఠవం గల పటాలు (i), (ii), (iii), (v)

b) పై పటాలలో రేఖా సౌష్ఠవాన్ని కలిగిన పటాలు ఏవి ?
సాధన.
రేఖా సౌష్ఠవాన్ని కలిగిన పటాలు (i), (iii), (v)

c) రేఖా సౌష్ఠవమునకు మరియు బిందు సౌష్ఠవానికి మధ్యగల సంబంధమేమి ?
సాధన.
ఒక జ్యామితీయ పటానికి రేఖాసౌష్ఠవ అక్షాల సంఖ్య = బిందు సౌష్ఠవ పరిమాణం.

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయుండి

1. ఒక జ్యామితి పటం యొక్క సౌష్ఠవ అక్షాల సంఖ్యకు మరియు దాని భ్రమణ పరిమాణానికి మధ్యగల సంబంధం ఏమిటి ? (పేజీ నెం. 195)
సాధన.
ఒక పటానికి మధ్యగా ఒక రేఖను గీచిన ఆ రేఖకు ఇరువైపులా గల భాగాలు ఒకే విధంగా ఉండి ఒకదానిని ఒకటి ఏకీభవిస్తే ఆ రేఖ ఆ పటానికి సౌష్ఠవ అక్షం అంటారు. భ్రమణ పరిమాణం అనగా ఎన్నిసార్లు ఒక ఆకారాన్ని భ్రమణం చేసి తిప్పగా అది మళ్ళీ మొదటి ఆకారాన్ని పొందుతుందో ఆ సంఖ్యను భ్రమణ పరిమాణం అంటారు.

∴ పై పట్టికను అనుసరించి ఒక జ్యామితి పటం యొక్క సౌష్ఠవ రేఖల సంఖ్య = భ్రమణ పరిమాణం అగును.

2. ఒక క్రమ బహుభుజికి గల సౌష్ఠవ అక్షాల సంఖ్య ఎంత ? ఒక క్రమ బహుభుజి భుజాల సంఖ్యకు మరియు దాని భ్రమణ సౌష్ఠవ పరిమాణమునకు మధ్యగల సంబంధమేమి ? (పేజీ నెం. 195)
సాధన.
ఒక క్రమ బహుభుజి యొక్క భుజాల సంఖ్య ‘n’ అయిన దాని సౌష్ఠవాక్షాల సంఖ్య ‘n’ అవుతుంది. అదేవిధంగా దాని భ్రమణ పరిమాణం కూడా ‘n’ అవుతుంది.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ Exercise 8.2

ప్రశ్న1.
ఆంగ్ల అక్షరమాలలోని పెద్ద అక్షరాలను (capital) కత్తిరించి నోటు పుస్తకంలో అతికించుము. వాటికి సాధ్యమైనన్ని సౌష్ఠవ అక్షాలను గీయండి.
i) రేఖా సౌష్ఠవం లేని అక్షరాలు ఎన్ని ?
ii) ఒకే సౌష్ఠవ అక్షాన్ని కలిగి ఉన్న అక్షరాలు ఎన్ని?
iii) రెండు సౌష్ఠవ అక్షాలను కలిగి ఉన్న అక్షరాలు ఎన్ని?
iv) రెండు కన్నా ఎక్కువ సౌష్ఠవ అక్షాలను కలిగియున్న అక్షరాలు ఎన్ని ?
v) ఏ అక్షరాలు భ్రమణ సౌష్ఠవాన్ని కలిగియున్నాయి?
vi) ఏ అక్షరాలు బిందు సౌష్ఠవాన్ని కలిగియున్నాయి?
సాధన.


సాధన.
i) రేఖా సౌష్ఠవం లేని అక్షరాలు → F, G, J, L, N, P, Q, R, S, Z.
ii) ఒకే సౌష్ఠవ అక్షాన్ని కలిగి ఉన్న అక్షరాలు → A, B, C, D, E, K, M, T, U, V, W, Y.
iii) రెండు సౌష్ఠవ అక్షాలను కలిగి ఉన్న అక్షరాలు → H, I, O, X.
iv) రెండు కన్నా ఎక్కువ సౌష్ఠవాక్షాలు గల అక్షరాలు → O, X.
v) భ్రమణ సౌష్ఠవాన్ని కలిగి ఉన్న అక్షరాలు → B, D, E, H, I, M, O, S, T, W, X, Z.
vi) బిందు సౌష్ఠవాన్ని కలిగి ఉన్న అక్షరాలు → O, X, M, W, H, I, E, D.

ప్రశ్న2.
క్రింది. పటాలకు సౌష్ఠవ అక్షాలను గీయండి. వానిలో బిందు సౌష్ఠవం కలిగిన పటాలను గుర్తించండి. సౌష్ఠవ అక్షాలకు, బిందుసౌష్ఠవమునకు మధ్య ఏదేని సంబంధం కలదా ?

సాధన.

ఇచ్చిన పటాలన్నియూ బిందు సౌష్ఠవాలను కలిగి ఉన్నాయి. సౌష్ఠవాక్షం కలిగిన ఆకారాలన్నియూ బిందు సౌష్ఠవం కల్గినవే.

ప్రశ్న3.
ప్రకృతిలో కనీసం ఒక సౌష్ఠవ అక్షాన్ని కలిగి ఉండే ముఖాలు గల వస్తువులను కొన్నింటిని పేర్కొనండి.
సాధన.

1. చందమామ [Moon]
2. అందంగా ఉండే మనిషి ముఖం
3. ఆరెంజ్ పండు
4. తామర పువ్వు
5. తూనీగ

ప్రశ్న4.
ఏవేని మూడు టెస్సలేషన్లను గీచి వానిలో ఉపయోగించిన ప్రాథమిక పటాలను తెల్పండి.
సాధన.
ఈ క్రింది టెస్సలేషన్లను గమనించండి. ఈ క్రింది వాటిని ఏర్పరచుటకు ఉపయోగించిన ప్రాథమిక ఆకృతులు :

ఈ అమరికలను ఏర్పరచుటకు పంచభుజాలు, దీర్ఘచతురస్రాలు, చతురస్రాలు మరియు సమబాహు త్రిభుజాలు ఉపయోగించారు. ఏ టెస్సలేషన్ అయినా ఈ ఆకృతుల ద్వారానే రూపొందిస్తారు.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 8 జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 8th Lesson జ్యామితీయ పటాల అన్వేషణ Exercise 8.1

ప్రశ్న1.
నిత్యమూ ఉపయోగించే మూడు జతల సర్వసమాన వస్తువులను పేర్కొనండి.
సాధన.
నిత్యం ఉపయోగించే సర్వసమాన వస్తువులు :
i) చెవి రింగుల జత
ii) సైకిల్ చక్రాలు
iii) భుజాల పొడవులు సమానంగా గల రెండు చతురస్రాకార కేకులు

ప్రశ్న2.
a) రెండు సర్వసమాన పటాలను గీయండి. అవి సరూపాలవుతాయా ? వివరించండి.
b) రెండు సరూప పటాలను’ తీసుకోండి. వాటిని జరిపినా, భ్రమణం చెందించినా లేదా త్రిప్పిన అవి సరూపాలుగానే ఉంటాయా ?
సాధన.
a) ∴ ΔABC ≅ ΔPQR

∴ ΔAB = PQ
AC = PR
BC = QR
∠A = ∠P
∠B = ∠Q
∠C = ∠R
∴ సర్వసమాన త్రిభుజాలు సరూపాలు అగును. కాని సరూప త్రిభుజాలు సర్వసమాన త్రిభుజాలు కావు.

∴ ΔXYZ ~ ΔSTU ల నుండి ఇవి సరూప పటాలు వీటిని భ్రమణం చెందించిన అవి మరలా సరూపాలు గానే ఉంటాయి. (∵ సరూపకత స్థిరత్వం).

ప్రశ్న3.
ΔABC ≅ ΔNMO అయిన అనురూప భుజాలను, అనురూప కోణాల జతలను తెల్పండి.
సాధన.

ΔABC ≅ ΔNMO సర్వసమాన త్రిభుజాల నుండి
AB = NM
BC = MO
AC = NO
∠A = ∠N
∠B = ∠M
∠C = ∠O

ప్రశ్న4.
క్రింది ప్రవచనాలు సత్యమవుతాయో, లేదో తెల్పండి. కారణాలను వివరించండి.
i) 3 సెం.మీ. భుజాలుగా గల రెండు చతురస్రాలలో ఒకదానిని 45° మేర భ్రమణం చెందించిన, అవి సర్వసమానాలు.
ii) 5 సెం.మీ. కర్ణాలుగా గల రెండు లంబకోణ త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు.
iii) 4 సెం.మీ. వ్యాసార్థంగా గల రెండు వృత్తాలు సర్వసమానాలు.
iv) 4 సెం.మీ. భుజంగా గల రెండు సమబాహు – త్రిభుజాలు ΔABC మరియు ΔLHN లు సర్వసమానాలు కావు.
v) ఒక బహుభుజి మరియు దాని ప్రతిబింబములు సర్వసమానాలు.
సాధన.
i) సత్యం, ఒక చతురస్రాన్ని 45° మేర భ్రమణం చెందించిన అది మొదటి చతురస్రం వలె ఉండును. అపుడు అవి సర్వసమానాలు అగును.
ii) సత్యం, రెండు లంబకోణ త్రిభుజాల కర్ణాలు సమానమైన వాని అనురూప భుజాలు, కోణాలు కూడా సమానంగా ఉండును.
∴ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానంగా ఉండును.

iii) సత్యం, రెండు వృత్త వ్యా సార్ధాలు (r1 = r2 = 4cm) సమానమైన అవి సర్వసమానాలు.
iv) అసత్యం.

ఒక త్రిభుజంలోని రెండు భుజాలు రెండవ త్రిభుజంలోని రెండు అనురూప భుజాలకు సమానమైన మూడవ భుజాలు కూడా అనుపాతంలో ఉంటాయి.
∴ ΔABC ≅ Δ LHN
కాని ΔABC ≠ ΔLHN అని ఇచ్చారు. కావునా ఇది అసత్యం .
v) సత్యం
ఒక బహుభుజి మరియు దాని ప్రతిబింబాలు ఒకదానికొకటి ఏకీభవిస్తాయి కావునా అవి సర్వసమానాలు.

ప్రశ్న5.
ఒక చతురస్ర బిందు మాపనిపై బహుభుజిని ఒకదానిని గీయండి. మరియు దాని వివిధ దిశలలో సర్వసమాన పటాలు మరియు ప్రతిబింబ పటాన్ని గీయండి.
సాధన.

∴ ABCDEF ~ A’B’C’D’E’F’

ప్రశ్న6.
ఒక గ్రాఫ్ కాగితంపై లేదా చతురస్ర బిందు మాపనిపై ఒక దీర్ఘచతురస్రాన్ని గీయండి. దానికి సరూప పటాన్ని నిర్మించండి. ఈ రెండు పటాల వైశాల్యాలు మరియు చుట్టుకొలతలు కనుగొని వాటి వాటి నిష్పత్తులను దీర్ఘచతురస్రాల భుజాల నిష్పత్తులతో పోల్చండి.
సాధన.

ప్రశ్న7.
ఒక ఇనుప కమ్మీ 7 స్థంభాలపై పటంలో చూపినట్లుగా ఉంచబడింది. ఏ రెండు స్థంభాల మధ్య దూరమైనా 1 మీ.కి సమానం మరియు చివరి స్థంభం ఎత్తు 10.5 మీ. అయిన అన్ని స్థంభాల ఎత్తులను కనుగొనండి.

సాధన.

మొదటి స్థంభం ఎత్తు h₁ = \(\frac {1}{7}\) × 10.5 = 1.5 మీ.
2వ స్థంభం ఎత్తు h₂ = \(\frac {2}{7}\) × 10.5 = 3 మీ.
3వ స్తంభం ఎత్తు h₃ = \(\frac {3}{7}\) × 10.5 = 4.5 మీ.
4వ స్తంభం ఎత్తు h₄ = \(\frac {4}{7}\) × 10.5 = 6 మీ.
5వ స్థంభం ఎత్తు h₅ = \(\frac {5}{7}\) × 10.5 = 7.5 మీ.
6వ స్థంభం ఎత్తు h₆ = \(\frac {6}{7}\) × 10.5 = 9 మీ.

ప్రశ్న8.
3 మీ. ఎత్తుగల ఒక నిలువు స్థంభం నుండి 5 మీ. దూరంలో నిలబడి, సుధ, ఒక భవనం పైభాగము మరియు స్థంభం పైభాగం ఒకే సరళరేఖలో ఉన్నట్లు గమనించినది. భవనం మరియు స్థంభాల మధ్య దూరం 10 మీ. అయిన భవనం ఎత్తు అంచనా వేయుము. (సుధ ఎత్తును లెక్కలోనికి తీసుకోకుండా)
సాధన.
ΔOAD ~ ΔOCD
రెండు సరూప త్రిభుజాల
అనురూప భుజాలు
అనుపాతంలో ఉంటాయి.

∴ \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}}\)
⇒ \(\frac{5}{15}=\frac{3}{h}\)
⇒ \(\frac{1}{3}=\frac{3}{h}\)
⇒ h = 3 × 3 = 9
h = భవనం ఎత్తు = 9 మీ.

ప్రశ్న9.
ఏదేని ఒక చతుర్భుజాన్ని గీయండి. సూచీ భిన్నం 3 ఉండునట్లు దాని విస్తరణ పటాన్ని గీయండి. వాటి అనురూప భుజాలను కొలిచి ఆ రెండు పటాలు సరూపాలేమో సరిచూడండి.
సాధన.

పై పటం నుండి ☐ ABCD ఒక చతుర్భుజం గ్రాఫ్ కాగితం పై గీయబడినది.
అన్ని శీర్షాలు A B C D లు 0 నుండి కలుపబడి వాటికి మూడు రెట్ల దూరాలు వరుసగా A’B’C’D’ లకు కలుపగా ☐ ABCD కు 3 రెట్లు కొలతలు గల చతుర్భుజాన్ని ఏర్పరచినవి.
ఇక్కడ ‘0’ ను విస్తరణ కేంద్రం అని
మరియు = \(\frac{\mathrm{OA}^{\prime}}{\mathrm{OA}}=\frac{3}{1}\) = 3 ను సూచీ భిన్నం అని అంటారు.
∴ □ ABCD ~ □ A’B’C’D’
(∵ వాని అనురూప భుజాలు సమానాలు)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}}=\frac{\mathrm{DA}}{\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}\)

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన పటంలో, ∠ADE = ∠B
(i) AABC – AADE అని చూపండి.
(ii) AD = 3.8 సెం.మీ., AE = 3.6 సెం.మీ. BE = 2.1 సెం.మీ. BC = 4.2 సెం.మీ. అయిన DE పొడవును కనుగొనండి.

సాధన.
(i) దత్తాంశము : ∆ABCలో ∠ADE = ∠B
సారాంశము : ∆ABC ~ ∆ADE.
ఉపపత్తి : ∆ABC మరియు ∆ADE లలో
∠A = ∠A (∵ ఉమ్మడి కోణము]
∠B = ∠ADE [∵ దత్తాంశము)
∠C = ∠AED ∵ త్రిభుజ కోణాల మొత్తము ధర్మము)
∴ ∆ABC ~ ∆ADE (కో.కో.కో సరూపకత నియమం ప్రకారం)

(ii) దత్తాంశము : AD = 3.8 సెం.మీ., AE = 3.6 సెం.మీ., BE = 2.1 సెం.మీ., BC = 4.2 సెం.మీ.,
సారాంశము : \(\overline{\mathrm{DE}}\) పొడవు.
ఉపపత్తి : ∆ABC ~ ∆ADE కావున \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}}\) [∵ అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము]
ఆ విధముగా \(\frac{4.2}{\mathrm{DE}}=\frac{3.6+2.1}{3.8}\) [∵ AB = AE + BE]
\(\frac{4.2}{\mathrm{DE}}=\frac{5.7}{3.8}\)
DE = \(\frac{4.2 \times 3.8}{5.7}=\frac{42 \times 38}{57 \times 10}\) = 2.8 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
రెండు సరూప త్రిభుజాల చుట్టుకొలతలు వరుసగా 30 సెం.మీ మరియు 20 సెం.మీ. మొదటి త్రిభుజములోని ఒక భుజము కొలత 12 సెం.మీ, అయిన రెండవ త్రిభుజములో దాని అనురూప భుజము కొలతను కనుగొనండి.
సాధన.

దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆PQR.
∆ABC చుట్టుకొలత = 30 సెం.మీ.
∆PQR చుట్టుకొలత = 20 సెం.మీ.
AB = 12 సెం.మీ.

∴ \(\frac{30}{20}=\frac{12}{x}\)
30 x = 20 × 12
x = \(\frac{20 \times 12}{30}\) = 8 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
90 సెం.మీ ఎత్తు గల ఒక బాలిక దీపస్తంభము నుండి దూరముగా 1.2మీ/సె. వేగముతో నడుచు చున్నది. దీపస్తంభము ఎత్తు 3.6 మీ అయిన 4 సెకండ్ల తరువాత ఏర్పడే ఆ బాలిక నీడ పొడవును కనుగొనుము.
సాధన.

దత్తాంశము : దీపపు స్తంభము ఎత్తు. = 3.6 మీ. = 360 సెం.మీ.
బాలిక వేగము = 1.2 మీ/సె.
4 సెకన్లలో బాలిక ప్రయాణించే దూరము = వేగము × కాలము = 1.2 × 4 = 4.8 మీ. = 480 సెం.మీ.
పటంలో \(\overline{\mathrm{CD}}\), బాలిక ఎత్తు = 90 సెం.మీ.
దీపపు స్తంభము నుండి బాలిక 4.8 మీ. ల దూరంలో ఉన్నపుడు బాలిక నీడ పొడవు = x మీ|| అనుకొనుము.
పటము నుండి ∆ABE ~ ∆DCE
[∵ ∠B = ∠C = 90° ∠E = ∠C ఉమ్మడి భుజం కో.కో సరూపకత ప్రకారం]
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{CE}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}\)

\(\frac{360}{90}=\frac{480+x}{x}\)

⇒ 4 = \(\frac{480+x}{x}\)
⇒ 4x = 480 + x
⇒ 4x – x = 480
⇒ 3x = 480
⇒ x = \(\frac{480}{3}\) = 160 సెం.మీ = 1.6 మీ.
∴ బాలిక నీడ పొడవు = 1.6 మీ.

ప్రశ్న 4.
CM మరియు RN లు వరుసగా ∆ABC మరియు ∆PQR లలో గీయబడిన మధ్యగత రేఖలు. ∆ABC ~ ∆POR అయిన
(i) ∆AMC ~ ∆PNR
(ii) \(\frac{\mathbf{C M}}{\mathbf{R N}}=\frac{\mathbf{A B}}{\mathbf{P Q}}\)
(iii) ∆CMB ~ ∆RNQ అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆PQR
CM, ∆ABC లో గీయబడిన మధ్యగతరేఖ
RN, ∆PQR లో గీయబడిన మధ్యగతరేఖ
సారాంశము:
(i) ∆AMC ~ ∆PNR.
(ii) \(\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\)
(iii) ∆CMB ~ ∆RNQ
ఉపపత్తి :
(i) ∆AMC మరియు ∆PNR లలో
\(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{PN}}\) మరియు ∠A = ∠P
[∵ ∆ABC, ∆PQR లలో \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{AB}}{\frac{1}{2} \mathrm{PQ}}\) మరియు M, N లు AB మరియు PQల మధ్య బిందువులు]
∴ ∆AMC ~ ∆PNR. [∵ భు. కో. భు సరూపకత నియమము నుండి]

(ii) (i) నుండి ∆AMC ~ ∆PNR కావున
\(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{PN}}=\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}\) [∵ రెండు సరూప త్రిభుజాల అనురూపభుజాల నిష్పత్తి సమానము]
ఆ విధముగా \(\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{AM} \times 2}{\mathrm{PN} \times 2}\) [లవ, హారాలను ‘2’ చే గుణించగా] CM _ AB
\(\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\) [2AM = AB; 2PN = PO]

(iii) ∆CMB మరియు ∆RNQ లలో ∠B = ∠Q [∆ABC ~ ∆PQR కావున వాటి అనురూప కోణాలు]
మరియు \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{RQ}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{QN}}\)
[∵ \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{RQ}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}} \Rightarrow \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{AB}}{\frac{1}{2} \mathrm{PQ}}\)]
ఆ విధముగా భు.కో. భు సరూపకత నియమము ప్రకారము
∆CMB ~ ∆RNQ.

ప్రశ్న 5.
ట్రెపీజియం ABCD లో AB || DC. కర్ణములు AC మరియు BD లు బిందువు ‘0’ వద్ద ఖండించుకొనును. త్రిభుజముల సరూప నియమాలను ఉపయోగించుకొని \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\) అని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము : ట్రెపీజియమ్ ABCDలో AB || DC. కర్ణములు AC మరియు BD లు బిందువు ‘0’ వద్ద ఖండించుకొనును. .
సారాంశము : \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\)
నిర్మాణము : AB కు సమాంతరంగా ‘0’ గుండా EF ను గీయుము.
ఉపపత్తి : ∆ACD లో, OE || CD [∵ నిర్మాణాల నుండి]
కావున \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{ED}}\) …………. (1)
(∵ ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి)
∆ABD లో OE || AB (నిర్మాణం నుండి)
కావున \(\frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OD}}\) ………….. (2) (∵ ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి)
(1), (2) ల నుండి \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\) అని నిరూపించబడింది.

ప్రశ్న 6.
AB, CD, PQలు BD కి గీసిన లంబాలు. AB = x, CD = Y మరియు PQ = Z అయిన \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\) అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము : పటం నుండి ∠B = ∠Q = ∠D = 90° మరియు AB || PQ || CD.
∆BQP, ∆BDC లలో
∠B = ∠B (ఉమ్మడి కోణం) , ∠Q = ∠D (90°) ∠P = ∠C (∵ త్రిభుజ కోణాల మొత్తం ధర్మము)
∴ ∆BQP ~ ∆BDC (కో.కో.కో సరూపకత నియమము నుండి)
కావున \(\frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{CD}}\) …………….. (1) [∵ అురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము)
∆DOP మరియు ∆DBA లలో ∠D = ∠D (ఉమ్మడి కోణము)
∠Q = ∠B . (90)
∴ ∆DQP ~ ∆DBA (కో.కో సరూప సిద్ధాంతం నుండి)
\(\frac{\mathrm{QD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{AB}}\) ………………..(2)
[∵ అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము]
(1) మరియు (2), లను కూడగా
\(\frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{BD}}+\frac{\mathrm{QD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{CD}}+\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{AB}}\)

\(\frac{\mathrm{BQ}+\mathrm{QD}}{\mathrm{BD}}=\mathrm{PQ}\left(\frac{1}{\mathrm{CD}}+\frac{1}{\mathrm{AB}}\right)\) \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BD}}=\mathrm{z}\left[\frac{1}{\mathrm{y}}+\frac{1}{\mathrm{x}}\right]\)

1 = \(z\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)\)

∴ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\).

ప్రశ్న 7.
4మీ. పొడవు గల ఒక జెండా స్తంభము 6మీ. పొడవు గల నీడను ఏర్పరచును. అదే సమయంలో దగ్గరలో గల ఒక భవనం 24మీ. పొడవు గల నీడను ఏర్పరచిన, ఆ భవనము ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.
దత్తాంశము : జెండా స్తంభము పొడవు = 4 మీ.
జెండా స్తంభపు నీడ పొడవు = 6మీ.
భవనపు పొడవు x మీ.|| అయిన దాని నీడ పొడవు 24 మీ.

AB = జెండా స్తంభపు పొడవు = 4 మీ.
BC = జెండా స్తంభపు నీడ పొడవు = 6 మీ.
PQ = భవనం ఎత్తు = x మీ. అనుకొనుము.
QR = భవనపు నీడ పొడవు = 24 మీ.
పటం నుండి ∠A = ∠P ∠B = ∠Q
∴ ∆ABC ~ ∆PQR . (కో.కో. సరూపకత నియమము)
కావున \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\)
[∵ అనురూప కోణాల నిష్పత్తి సమానము)
\(\frac{4}{x}=\frac{6}{24}\)
x = \(\frac{24 \times 4}{6}\) = 16 మీ.
∴ భవనం ఎత్తు = 16 మీ.

ప్రశ్న 8.
ABC మరియు FEG త్రిభుజాలలో AB ‘మరియు FE భుజాలపై D మరియు H బిందువులు వరుసగా ఏర్పడునట్లు ∠ACB మరియు ∠EGF లకు గీచిన కోణసమద్విఖండన రేఖలు వరుసగా CD మరియు GH లు ఇంకా ∆ABC ~ ∆FEG అయిన,
(i) \(\frac{\mathbf{C D}}{\mathbf{G H}}=\frac{\mathbf{A C}}{\mathbf{F G}}\)
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF అని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆FEG.
CD, ∠ACB యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ
GH, ∠EGF యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ
సారాంశము :
(i) \(\frac{\mathbf{C D}}{\mathbf{G H}}=\frac{\mathbf{A C}}{\mathbf{F G}}\)
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF
ఉపపత్తి :
(i) ∆ACD మరియు ∆FGH లలో ∠A = ∠F [∵ ∆ABC ~ ∆FEG లలో అనురూప కోణాలు)
∠ACD = ∠FGH [∵ ∠C = ∠G = \(\frac{1}{2}\)∠C = ∠G ⇒ ∠ACD = ∠FGH]
కో.కో.కో సరూపకత నియమము నుండి ∆ACD ~ ∆FGH
కావున \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{FG}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{GH}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{FH}}\) [∵ అనురూప కోణాల నిష్పత్తి సమానము] .
∴ \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{FG}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{GH}}\)

(ii) ∆DCB మరియు ∆HGE లలో ∠B = ∠E
[∵ ∆ABC ~ ∆FEG కావున అనురూప కోణాలు సమానము]
∠DCB = ∠HGE
[∵ ∠C = ∠G ⇒ \(\frac{1}{2}\) ∠C = \(\frac{1}{2}\) ∠G ⇒ ∠DCB = ∠HGE]
∴ ∆DCB ~ ∆HGE (కో.కో.కో సరూపకత నుండి)

(iii) ∆DCA మరియు ∆HGF లలో ∠A = ∠F
\(\frac{1}{2}\) ∠C = \(\frac{1}{2}\) ∠G ⇒ ∠DCA = ∠HGF
[∵ సరూప త్రిభుజాల అనురూపక కోణాలు సమానము]
∴ ∆DCA ~ ∆HGF [∵ కో.కో.కో సరూపకత నుండి]

ప్రశ్న 9.
∆ABC మరియు ∆DEF సరూపత్రిభుజాలలో గీసిన లంబాలు AX మరియు DYలు అయిన AX: DY = AB :: DE అని నిరూపించండి.
సాధన.

దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆DEF, AX ⊥ BC మరియు DY ⊥ EF.
సారాంశము : AX : DY = AB : DE.
ఉపపత్తి : ∆ABX మరియు ∆DEY లలో ∠ B = ∠ E [∵ ∆ABC ~ ∆DEF లలో అనురూప కోణాలు]
∠ AXB = ∠ DYE = 90°
∴ ∆ABX ~ ∆DEY (కో.కో. కో. సరూపకత నియమము).
⇒ AX : DY = AB : DE [Q.E.D.]
[∵ సరూప త్రిభుజాల యొక్క అనురూప భుజాల నిష్పత్తి]

ప్రశ్న 10.
ఇచ్చిన త్రిభుజము ABCకి సరూపంగా ఉంటూ, దాని భుజాలకు \(\frac{5}{3}\) రెట్లు ఉండే అనురూప భుజాలు కలిగిన త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
(1) ఏవైనా కొలతలతో ∆ABC ను నిర్మించుము.
(2) BC భుజానికి శీర్షము A ఉన్న వైపునకు వ్యతిరేక దిశలో దానితో అల్పకోణము చేయునట్లు BX కిరణమును గీయుము.
(3) ఈ BX పై BB₁ = B₁ B₂ = B₃B₄ = …. అగునట్లు ‘8’ బిందువులు B₁, B₂, B₃, …. B₈. లను గుర్తించుము.
(4) B₅, C ని కలుపుము.
(5) B₅C కి సమాంతరంగా ఉండేటట్లు B₈ వద్ద రేఖను గీయగా అది BC ను C’ వద్ద ఖండించును.
(6) ‘C’ గుండా CA కు సమాంతరంగా గీసిన రేఖ BA ను A’ వద్ద ఖండించును.
(7) ∆A’B’C’ మనకు కావలసిన త్రిభుజము.

ప్రశ్న 11.
4 సెం.మీ, 5 సెం.మీ, 6 సెం.మీ. కొలతలతో ఒక త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి. దీనితో సరూపంగా ఉంటూ ఈ త్రిభుజ భుజాలకు రెట్లు అనురూప భుజాల కొలతలు కలిగిన త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
(1) AB = 4 సెం.మీ., BC = 5 సెం.మీ మరియు CA = 6 సెం.మీ.ల కొలతలతో ∆ABC ను నిర్మించుము.
(2) BC భుజానికి శీర్షం ‘A’ ఉన్న వైపునకు వ్యతిరేక దిశలో దానితో అల్పకోణము చేయునట్లు BX కిరణమును గీయుము.
(3) ఈ BX పై BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ అగునట్లు మూడు బిందువులు B₁, B₂, B₃ లను గుర్తించుము.
(4) B₃, C లను కలుపుము.
(5) B₂ గుండా B₃ C కి సమాంతరంగా ఉండేటట్లు రేఖను గీసిన అది BC ని C’ వద్ద ఖండించును.
(6) A’ గుండా CA కు సమాంతరంగా గీసిన రేఖ BAను A’ వద్ద ఖండించును.
(7) కావున ∆A’B’C’ మనకు కావలసిన త్రిభుజము.

ప్రశ్న 12.
భూమి 8 సెం.మీ మరియు దానికి గీసిన లంబము 4సెం.మీ. ఉండునట్లు ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజమును గీయండి. ఈ ‘త్రిభుజ భుజాలకు 13 రెట్లు అనురూప భుజాల పొడవులు కలిగి, ఇచ్చిన త్రిభుజానికి సరూపంగా ఉండేటట్లు వేరొక త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
(1) BC = 8 సెం.మీ మరియు లంబము 4 సెం.మీ ఉండునట్లు ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజమును నిర్మించుము.

(2) BC భుజానికి శీర్షము A ఉన్న వైపునకు వ్యతిరేక దిశలో దానితో అల్పకోణము చేయునట్లు BX కిరణమును గీయుము.
(3) ఈ BX పై BB₁ = B₁ B₂ = B₂ B₃ అగునట్లు మూడు బిందువులు B₁, B₂, B₃, లను గుర్తించుము.
(4) B₂ C ని కలుపుము. B₂ నుండి B₃ C కి సమాంతరంగా ఉండేటట్లు రేఖను గీసిన అది BC ని C’ వద్ద ఖండించును.
(5) C’ గుండా CA కు సమాంతరంగా గీసిన రేఖ BA ను A’ వద్ద ఖండించును.
(6) కావున ∆A’BC’ మనకు కావలసిన త్రిభుజము.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 7 పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 7th Lesson పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలు, రేఖాచిత్రములు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. కొందరు భారతీయ క్రికెట్ ఆటగాళ్ళ ఎత్తులు క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ దత్తాంశమునకు మధ్యగతమును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 154)

క్రమసంఖ్య	ఆటగాని పేరు	ఎత్తు
1.	వి.వి.ఎస్. లక్ష్మ ణ్	5’11”
2.	పార్థివ్ పటేల్	5’3″
3.	హర్భజన్ సింగ్	6’0″
4.	సచిన్ టెండూల్కర్	5’5″
5.	గౌతమ్ గంభీర్	5’7″
6.	యువరాజ్ సింగ్	6’1″
7.	రాబిన్ ఊతప్ప	5’9″
8.	వీరేంద్ర సెహ్వాగ్	5’8″
9.	జహీర్ ఖాన్	6’0″
10.	ఎం.ఎస్. ధోనీ	5’11”

5’10” అనగా 5 అడుగుల 10 అంగుళాలు

సాధన.
దత్తాంశం యొక్క ఆరోహణ క్రమం : 5’3″, 5’5″, 5’7″, 5’8″, 5’9″, 5’11”, 5’11’, 60″, 60″, 6’1″
క్రీడాకారుల సంఖ్య n = 10 ఒక సరి సంఖ్య కావున మధ్యగతం \(\frac{\mathrm{n}}{2}\) మరియు \(\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right)\)ల సరాసరి అవుతుంది.
∴ మధ్యగతం M = \(\frac {10}{2}\), \(\left(\frac{10}{2}+1\right)\) = 5, 6 వ రాశుల సరాసరి

2. ఒక అపార్ట్ మెంట్ భవన సముదాయంలోని 90 మంది వ్యక్తుల వయస్సులు ప్రక్క వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనము నందు ఇవ్వబడ్డాయి. (పేజీ నెం. 158)

వయస్సు	వ్యక్తుల సంఖ్య
1 – 10	15
11 – 20	14
21 – 30	17
31 – 40	20
41 – 50	18
51 – 60	4
61 – 70	2

ఈ దత్తాంశము నుండి క్రింది ప్రశ్నలకు జవాబివ్వండి.
i) దత్తాంశము ఎన్ని తరగతులుగా విభజింపబడినది ?
ii) 21 – 30 తరగతిలో ఎంత మంది కలరు ?
iii) ఏ తరగతి వయస్సు వారు ఎక్కువ మంది కలరు ?
iv) చివరి తరగతిలోని ఇద్దరి వయస్సులు 61, 70 లేదా మరి ఏదైనా వయస్సువారిని చెప్పవచ్చా ?
సాధన.
i) 7 ii) 17 iii) 31 – 40 iv) చెప్పవచ్చు. అవి 62, 63, ……… 69.

3. ఒక తరగతిలోని 30 మంది విద్యార్థులు దుమికిన దూరాలు ఈ విధంగా ఉన్నవి. (పేజీ నెం. 160)

I. ఇచ్చిన తరగతి అంతరాలు విలీన తరగతి అంతరాలా ? మినహాయింపు తరగతి అంతరాలా ?
II. రెండవ తరగతి అంతరంలో ఎంత మంది విద్యార్థులు కలరు ?
III. 3.01 మీ. లేక అంతకన్నా ఎక్కువ దూరం దుమికిన వారెందరు ?
IV. 4.005 మీ. దూరం దుమికిన విద్యార్థి ఏ తరగతికి చెందుతాడు ?
సాధన.
I. విలీన తరగతులు
II. 7
III. 15 + 3 + 1 = 19
IV. 401 – 500

4. పై దత్తాంశములోని తరగతులకు హద్దులు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 160)
సాధన.
హద్దులు :
100.5 – 200.5
200:5 – 300.5
300.5 – 400.5
400.5 – 500.5
500.5 – 600.5

5. పై దత్తాంశములోని ఒక్కొక్క తరగతి అంతరమెంత ? (పేజీ నెం. 160)
సాధన.
100

6. క్రింది వర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనములకు పౌనఃపున్య బహుభుజులు నిర్మించండి. (పేజీ నెం. 174)
i) ఒక తరగతిలోని విద్యార్థుల మధ్య జరిగిన స్నేహపూర్వక క్రికెట్ ఆట నందు వారి పరుగుల వివరాలు

సాధన.

తరగతి అంతరం	పౌనఃపున్యం	మధ్య విలువలు
10 – 20	3	15
20 – 30	5	25
30 – 40	8	35
40 – 50	4	45
50 – 60	2	55

నిర్మాణ సోపానములు :
సోపానం – 1: తరగతి మధ్య విలువలను గణించవలెను.
సోపానం – 2 : దత్తాంశమునకు సోపాన రేఖా చిత్రమును నిర్మించి ప్రతి సోపానము యొక్క పై వెడల్పుల మధ్య బిందువులు B, C, D, E, F లను గుర్తించి కలుపవలెను.
సోపానం – 3 : తరగతుల యొక్క ముందు తరగతి, తరువాత తరగతులను ఊహించి వాని పౌనఃపున్యములు ‘0’గా తీసుకొని తరగతి మధ్య విలువలు గుర్తించవలెను.
సోపానం – 4 : మొదటి తరగతికి ముందు తరగతిని, చివరి తరగతికి తరువాత తరగతులను ఊహించుకోండి. అంటే 10 – 20 తరగతికి ‘ముందు తరగతిని X – అక్షమునకు ఋణాత్మక దిశలో 0 – 10 గా తీసుకోండి. అదే విధంగా 50 – 60 తరగతికి తరువాత తరగతిని 60 – 70 గా తీసుకోండి. వీటి మధ్య విలువలను A, G లుగా గుర్తించండి.
సోపానం – 5 : ఇప్పుడు B బిందువును Aతోనూ, F బిందువును G తోనూ కలిపితే పౌనఃపున్య బహుభుజి ఏర్పడుతుంది. పౌనఃపున్య బహుభుజి నిర్మించుటకు ప్రతిసారి సోపాన రేఖా చిత్రము నిర్మించనవసరము లేదు. దీనికి బదులుగా తరగతి మధ్య విలువలను, పౌనఃపున్యములను ఉపయోగించి పౌనఃపున్య బహుభుజిని నిర్మించవలెను.

ii). ఒక నాటక ప్రదర్శన కొరకు అమ్మిన టిక్కెట్ల వివరాలు

సాధన.

తరగతి అంతరం	పౌనఃపున్యం	మధ్య విలువలు
7.5 – 12.5	50	10
12.5 – 17.5	30	15
17.5 – 22.5	60	20
22.5 – 27.5	30	25
27.5 – 32.5	20	30

నిర్మాణ సోపానములు :
సోపానం – 1 : తరగతి మధ్యవిలువలు ఇచ్చియున్నారు. కావున తరగతి అంతరాలు గణించవలెను.
సోపానం – 2 : దత్తాంశానికి సోపాన రేఖా చిత్రం నిర్మించి ప్రతి సోపానం యొక్క వెడల్పుపై మధ్య బిందువులను B, C, D, E, F లుగా గుర్తించవలెను. తద్వారా వాటిని కలుపవలెను.
సోపానం – 3 : తరగతుల యొక్క ముందు తరగతి, తరువాత తరగతిని ఊఊహించి, వాని పౌనఃపున్యాలు ‘0’ గా తీసుకొని తరగతి మధ్య విలువలు ‘0’గా గుర్తించవలెను.
సోపానం – 4 : మొదటి తరగతికి ముందు తరగతిని 2.5 – 7.5 గాను చివరి తరగతికి తరువాత తరగతిని 32.5 – 37.5 గా ఊహించి వీటి మధ్య విలువలను A, G లుగా గుర్తించవలెను.
సోపానం – 5 : ఇప్పుడు A ను B తోను, G ను F తోను కలుపగా ABCDEFG ఒక బహుభుజి ఏర్పడినది.

ప్రయత్నించండి

1. ఏవైనా మూడు సంఖ్యాత్మక దత్తాంశములను, మూడు వివరణాత్మక దత్తాంశములను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 148)
సాధన.
సంఖ్యాత్మక దత్తాంశం :

వివరణాత్మక దత్తాంశం : అమరరాజా ఆదాయంలో 24% వృద్ధి

అమరరాజా బ్యాటరీస్ ఈ మూడో త్రైమాసికంలో రికార్డు స్థాయి ఆర్థిక ఫలితాలను నమోదు చేసింది. క్రితం ఆర్థిక సంవత్సరం ఇదే కాలంతో పోల్చినప్పుడు ఆదాయం 24 శాతం, నికరలాభం 23 శాతం పెరిగాయి. ఈ మూడో త్రైమాసికంలో రూ. 756. 90 నికర అమ్మకాల ఆదాయాన్ని నమోదు చేసింది. దీనిపై రూ. 80 కోట్ల నికరలాభం ఉంది. క్రితం ఆర్థిక సంవత్సరం ఇదే కాలంలో ఆదాయం రూ. 613 కోట్లు, నికరలాభం రూ. 65 కోట్లు మాత్రమే కావటం గమనార్హం. ఈ ఆర్థిక సంవత్సరం మొదటి 9 నెలల కాలంలో ఆదాయం రూ. 2,162 కోట్లు, రూ. 227 కోట్ల నికరలాభం ఉన్నాయి. క్రితం ఆర్థిక సంవత్సరం ఇదే కాలంలో ఆదాయం రూ. 1697 కోట్లు కాగా, అప్పట్లో నమోదైన నికరలాభం రూ. 157 కోట్లు. 9 నెలల కాలానికి కూడా ఆదాయంలో 27 శాతం, నికరలాభంలో 44 శాతం వృద్ధి కనిపిస్తున్నాయి. ఆటోమోటివ్ బ్యాటరీల విభాగం, పారిశ్రామిక బ్యాటరీల విభాగం ….. రెండూ కూడా రెండంకెల వృద్ధిని నమోదు చేసినట్లు అమరరాజా బ్యాటరీస్ ఎం.డి. జయదేవ్ గల్లా పేర్కొన్నారు.

2. పై సందర్భాలకు ఊహించిన అంక మధ్యమము, విచలనాల పట్టికను తయారు చేయండి. విచలనాల సరాసరి ఊహించిన అంక మధ్యమము మరియు నిజమైన అంకగణిత మధ్యమము విలువలను గమనించండి. ఏమి గమనించారు ? (పేజీ నెం. 151)
(సూచన : విచలనాల సరాసరితో పోల్చి చూడండి.)
సాధన.

∴ అసలు సగటు = \(\frac{\Sigma x_{i}}{N}=\frac{80}{5}\) = 16
∴ విచలనాల సరాసరి = \(\frac {-5}{5}\) = -1
∴ అంకగణిత సగటు = ఊహించిన సగటు + విచలనాల సరాసరి
17 + (-1) = 16
∴ ఊహించిన అంకమధ్యమం, నిజమైన అంకమధ్యమం రెండూ సమానం.

3. క్రింది దత్తాంశములకు అంకగణిత మధ్యమాలను అంచనావేసి వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 153)
i) 17, 25, 28, 35, 40
ii) 5, 6, 7, 8, 8, 10 10, 10, 12, 12, 13, 19, 19, 19, 20
పై సమస్యలను సాధారణ పద్ధతిలో సాధించుట ద్వారా పై సమాధానములను సరిచూడండి.
సాధన.
i) 17, 25, 28, 35, 40
ఊహించిన అంకమధ్యమం = 35

ii) 5, 6, 7, 8, 8, 10, 10, 10, 12, 12, 13, 19, 19, 19, 20
ఊహించిన అంకమధ్యమం = 10

4. 24, 65, 85, 12, 45, 35, 15 ల యొక్క మధ్యగతము కనుగొనండి.
సాధన.
24, 65, 85, 12, 45, 35, 15 ల ఆరోహణ క్రమం = 12, 15, 24, 35, 45, 65, 85
∴ రాశుల సంఖ్య (n) = 7 ఒక బేసి సంఖ్య
∴ మధ్యగతం = \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}=\frac{7+1}{2}\) = 4 వ రాశి
∴ మధ్యగతం = 35

5. x, 2x, 4x రాశుల మధ్యగతము 12 అయిన ఆ రాశుల సరాసరి ఎంత ? (పేజీ నెం. 155)
సాధన.
x, 25, 4x రాశుల మధ్యగతం = 2x
∴ 2x = 12 ⇒ x = 6
2x = 2 × 6 = 12
4x = 4 × 6 = 24
6, 12, 24 ల సరాసరి = \(\frac{6+12+24}{3}=\frac{42}{3}\) = 14

6. 24, 29, 34, 38, X అను దత్తాంశము యొక్క మధ్యగతము 29 అయిన x విలువ (పేజీ నెం. 155)
(i) x > 38 (ii) x < 29 (iii) 29, 34 ల మధ్య (iv) ఏదీకాదు.
సాధన.
24, 29, 34, 38, x ల మధ్యగతం = 29
n = 5 బేసి సంఖ్య
మధ్యగతం = \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}=\frac{5+1}{2}\) = 3వ రాశి
∴ 29 కంటే x చిన్నదైనపుడు మాత్రమే 29, 3వ రాశి కాగలదు.
∴ x < 29

7. ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యము …………… సంబంధము కలిగి ఉంటుంది. (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
ఎగువ హద్దులతో

8. అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యము …………. సంబంధము కలిగి ఉంటుంది. (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
దిగువ హద్దులతో

9. క్రింది దత్తాంశమునకు ఆరోహణ, అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 165)

సాధన.

10. పై దత్తాంశములో పౌనఃపున్యముల మొత్తం (రాశుల సంఖ్య) ఎంత ? చివరి తరగతి యొక్క ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యము ఎంత ? నీవేమి చెప్పగలవు ? (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
పై దత్తాంశంలో పౌనఃపున్యాల మొత్తం = 30
చివరి తరగతి యొక్క ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం = 30
∴ రాశుల మొత్తం = చివరి తరగతి ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం

11. ప్రక్క సోపాన రేఖా చిత్రమును పరిశీలించి ప్రశ్నలకు జవాబులివ్వండి. (పేజీ నెం. 169)
i) ఈ సోపాన రేఖా చిత్రము ఏ సమాచారమును సూచిస్తున్నది ?
ii) ఏ తరగతి నందు గరిష్ఠ సంఖ్యలో విద్యార్థులు కలరు ?
iii) ఎంతమంది విద్యార్థులు 5 గంటలు లేక అంతకన్నా ఎక్కువ సమయం T.V. ను వీక్షిస్తున్నారు ?
iv)ఎంత మంది విద్యార్థులపై సర్వే నిర్వహించబడినది ?
సాధన.
i) వివిధ సమయాలలో టి.వి.లు చూసే విద్యార్థుల సంఖ్య.
ii) 5వ తరగతి నందు గరిష్ఠ సంఖ్యలో విద్యార్థులు కలరు.
iii) 35 + 15 + 5 = 55 మంది
iv) సర్వే నిర్వహించబడిన విద్యార్థుల సంఖ్య = 10 + 15 + 20 + 35 + 15 + 5 = 100 మంది

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. ఒక దత్తాంశము యొక్క బాహుళకమునకు సమానమైన రాశులను కొన్నింటిని చేర్చగా దత్తాంశపు బాహుళకము ఎట్లు మారును ? (పేజీ నెం. 155)
సాధన.
ఒక దత్తాంశం యొక్క బాహుళకానికి సమానమైన రాశులను కొన్నింటిని చేర్చినా ఆ దత్తాంశపు బాహుళకంలో ఎటువంటి మార్పు ఉండదు.
ఉదా : 5, 6, 7, 8, 7, 9 ల బాహుళకం = 7
7 నకు 7, 7, 7, 7 లను చేర్చినా బాహుళకంలో మార్పు రాదు.

2. క్రింది రాశుల దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను వ్రాయండి. 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7. (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
వ్యాప్తి = గరిష్ట విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 7 – 1 = 6
తరగతుల సంఖ్య = 7 అయిన

3. క్రింది సంఖ్యల దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 161)
2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 9, 11, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 16, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 21, 22, 24, 24, 25. (సూచన : విలీన తరగతులను తీసుకోండి.)
సాధన.
వ్యాప్తి = గరిష్ఠ విలువ – కనిష్ఠ విలువ = 25 – 2 = 23

4. పై రెండు దత్తాంశములలో భేదమేమి ? వాని పౌనఃపున్య విభాజనములను ఏమంటారు ? (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
మొదటి పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలోని తరగతులు సంలీన తరగతులు, రెండవ పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలోని తరగతులు విలీన తరగతులు. పై రెండు దత్తాంశాలలో భేదం కేవలం తరగతులలో మాత్రమే కన్పిస్తుంది.

5. పై సమస్యల యొక్క పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలలో దేని నుండి మరలా దత్తాంశములోని రాశులను విడివిడిగా వ్రాయగలము ? (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
తరగతులు

6. ఒక కమ్మీ రేఖా చిత్రములో అన్ని కమ్మీల (పేజీ నెం. 168)
(a) పొడవులు సమానం (b) వెడల్పులు సమానం (c) వైశాల్యములు సమానం (d) విలువలు సమానం
సాధన.
(b) వెడల్పులు సమానం

7. ఒక కమ్మీ రేఖా చిత్రంలో ప్రతి కమ్మీ యొక్క పొడవు మిగిలిన కమ్మీల పొడవుపై ఆధారపడి ఉంటుందా ? (పేజీ నెం. 168)
సాధన.
లేదు

8. ఏదైనా ఒక కమ్మీలో చేసిన మార్పు మిగిలిన కమ్మీలలో మార్పును కలుగజేస్తుందా ? (పేజీ నెం. 168)
సాధన.
లేదు

9. ఏయే సందర్భములలో నిలువు కమ్మీ లేక అడ్డు కమ్మీ రేఖా చిత్రాలను ఉపయోగిస్తాము ? (పేజీ నెం. 168)
సాధన.
సమాన దూరములు కలిగి, సమాన వెడల్పుల, పౌనఃపున్యాలకు అనుపాతంలో గల పొడవులను సూచించుటకు నిలువు లేదా అడ్డు కమ్మీ రేఖా చిత్రాలను ఉపయోగిస్తాం.

10. సోపాన చిత్రంలో X – అక్షంపై తరగతి యొక్క హద్దులు గుర్తిస్తాం. కాని అవధులు కాదు. ఎందువల్ల ? (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
ఒక తరగతి యొక్క ఎగువ, దిగువ హద్దుల భేదం ఆ తరగతి అంతరాన్ని ఇస్తుంది. అందువలన X – అక్షంపై హద్దులు గుర్తిస్తాం.

11. సోపాన చిత్రంలో దీర్ఘచతురస్రాల వెడల్పులను నిర్ణయించు అంశమేది ? (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
తరగతి అంతరం

12. అన్ని దీర్ఘచతురస్రాల పొడవుల మొత్తం దేనిని సూచిస్తుంది ? (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
పౌనఃపున్యాల మొత్తం.

13. దత్తాంశములోని మొదటి తరగతికి ముందు తరగతి లేనిచో బహుభుజిని ఎట్లు పూరించగలవు ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
ముందు తరగతి పౌనఃపున్యం ‘0’ గా తీసుకొని దానిచే బిందువును కలుపవలెను.

14. ఒక దత్తాంశము యొక్క సోపాన రేఖా చిత్రము, పౌనఃపున్య బహుభుజిల వైశాల్యములు సమానము. ఎట్లు ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
రెండు చిత్రాలు తరగతి మధ్య విలువలపై ఆధారపడి నిర్మించబడతాయి.

15. పౌనఃపున్య బహుభుజి నిర్మాణమునకు ముందుగా సోపాన చిత్రము నిర్మించవలెనా ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
అవసరం లేదు

16. విభాజిత శ్రేణి/అవర్గీకృత పౌనఃపున్య విభాజనమునకు ‘పౌనఃపున్య బహుభుజి’ని గీయగలమా ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
గీయలేము.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1

ప్రశ్న 1.
∆PQRS లో \(\frac{\mathbf{P S}}{\mathbf{S Q}}=\frac{\mathbf{P T}}{\mathbf{T R}}\) అగునట్లు ST ఒక సరళరేఖ, ఇంకనూ ∠PST = ∠PRQ అయిన ∆PQR ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజమని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము : ∆PQR లో \(\frac{\mathbf{P S}}{\mathbf{S Q}}=\frac{\mathbf{P T}}{\mathbf{T R}}\) మరియు
∠PST = ∠PRQ.
సారాంశము : ∆POR ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము.
ఉపపత్తి : \(\frac{\mathbf{P S}}{\mathbf{S Q}}=\frac{\mathbf{P T}}{\mathbf{T R}}\) కావున ST || QR
(థమిక సిద్ధాంతపు విపర్యయము నుండి)
∴ ∠PST = ∠POR ………… (1) (ST || QR కావున వాటి సదృశ్య కోణాలు)
మరియు, ∠PST = ∠PRQ……….. (2) (దత్తాంశము)
(1), (2) ల నుండి, ∠PQR = ∠PRQ
∴ PR = PQ [త్రిభుజంలో సమాన కోణాలకు ఎదురుగా ఉన్న భుజాలు సమానము)
కావున ∆PQR సమద్విబాహు త్రిభుజము.

ప్రశ్న 2.
ఇచ్చిన పటంలో, LM || CB మరియు LN || CD అయిన AM = AN అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము : LM || CB మరియు LN || CD
∆ABC లో, LM || BC కావున

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన పటంలో, DE || AC మరియు DF || AE అయిన BF = BE అని చూపండి.

సాధన.
∆ABC లో, DE || AC కావున
\(\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DA}}\) …………. (1)
(థమిక సిద్ధాంతం నుండి) మరలా ∆ABE లో, DF || AE కావున
\(\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FE}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DA}}\) …………. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి
\frac{B E}{E C}=\frac{B F}{F E}\(\) అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 4.
ఒక త్రిభుజములో ఒక భుజము మధ్య బిందువు గుండా పోయేరేఖ, రెండవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉంటే అది మూడవ భుజాన్ని సమద్విఖండన చేస్తుందని చూపండి. (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము నుపయోగించి)
సాధన.

దత్తాంశము : AB మధ్య బిందువు D మరియు DE || BC
సారాంశము : AE = EC
నిరూపణ : ∆ABC లో DE || BC
∴ \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము)

\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) [AB మధ్య బిందువు D ∴ AD = DB]
1 = \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
∴ AE = EC
కావున DE, AC ని సమద్విఖండన చేస్తుంది.

ప్రశ్న5.
ఒక త్రిభుజములో రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖాఖండము మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉంటుందని చూపండి. (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత విపర్యయము నుపయోగించి)
సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC లో AB మధ్య బిందువు ‘D’
మరియు AC మధ్య బిందువు ‘E’.
సారాంశం : DE || BC.
ఉపపత్తి :

AB మధ్య బిందువు ‘D’,
AD = DB
⇒ \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}\) = 1 ………. (1)
మరియు AC మధ్య బిందువు ‘E’ అయిన
AE = EC
⇒ \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) = 1 ………… (2)
(1), (2) ల నుండి
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
ఒక త్రిభుజంలో ఏవైనా రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించు సరళరేఖ, మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా నుండును.
∴ DE || BC [∴ ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత విపర్యం నుండి నిరూపించబడినది].

ప్రశ్న 6.
ఇచ్చిన పటములో, DE || OQ మరియు DF || OR అయిన EF || QR అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము : ∆PQRలో DE || OQ; DF || OR
సారాంశము : EF || QR
ఉపపత్తి : ∆POQ లో DE || OQ, కావున ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతమును అనుసరించి
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{DO}}\) ………………(1)
∆PQR లో DF || OR కావున ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతమును అనుసరించి
\(\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}=\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{DO}}\) ……….. (2)
(1), (2) ల నుండి, \(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}\)
(1), (4) అంతు EQ , FR ఆ విధముగా APQR ను EF రేఖ PQ మరియు
PR లను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించుచున్నది.. కావున EF || QR. (ప్రాథమిక సిద్ధాంతపు విపర్యయం నుండి).

ప్రశ్న 7.
ఇచ్చిన పటంలో A, B, C లు వరుసగా OP, OQ మరియు OR లపై బిందువులు. AB || PQ మరియు AC || PR అయిన BC || QR అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము : ∆PQRలో AB || PQ; AC || PR.
సారాంశము : BC || QR
ఉపపత్తి : ∆POQలో AB || PQ కావున
\(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AP}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{BQ}}\) ………… (1)
∆OPRలో AC || PR కావున
\(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AP}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{CR}}\) ………… (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి \(\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{BQ}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{CR}}\)
ఆ విధముగా ∆OQR ను BC రేఖ OQ మరియు OR అను సమాన నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
∴ BC || QR.
[ప్రాథమిక సిద్ధాంత విపర్యయము నుండి)

ప్రశ్న 8.
ట్రెపీజియం ABCD లో AB||DC. దాని కర్ణములు పరస్పరం బిందువు ‘0’ వద్ద ఖండించుకొంటాయి. అయిన \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\) అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము : ట్రెపీజియము ABCD లో AB || CD మరియు AC, BD కర్ణాలు ‘O’ వద్ద ఖండించుచున్నవి.
సారాంశము : \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\)

నిర్మాణము : EF అనురేఖను CD మరియు AB లకు సమాంతరంగా ఉంటూ ‘O’ గుండా పోవు విధంగా గీయుము.
ఉపపత్తి: ∆ACDలో EO // CD కావున AO _ AE
\(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}\) …………… (1) [ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి]

∆ABD లో, EO || AB కావున
\(\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AE}}=\frac{\mathrm{DO}}{\mathrm{BO}}\) [ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి)

\(\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{DO}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}\) ……………… (2) [విలోమము చేయగా )
(1), (2) ల నుండి
\(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{DO}}\)

⇒ \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\) నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 9.
7.2 సెం.మీ పొడవు గల ఒక రేఖాఖండమును గీసి దానిని 5 : 3 నిష్పత్తిలో విభజించండి. ఏర్పడిన రెండు భాగముల పొడవులను కొలిచి రాయండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
(1) \(\overline{\mathrm{AB}}\) = 7.2 సెం. మీతో ఒక రేఖాఖండంను గీయుము.
2) ‘A’ వద్ద ∠BAX అను అల్పకోణంను గీయుము.
3) \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AX}}\) పై సమాన వ్యాసార్ధ కొలతలతో 5 + 3 = 8కి సమాన చాపములు (A₁, A₂, A₃, …… A₈) లను గీయుము.
4) A₈ మరియు B ను కలుపుము.
5) A₅ బిందువు గుండా \(\stackrel{\leftrightarrow}{A_{8} B}\) కి సమాంతర రేఖను గీయుము.
6) AB రేఖాఖండంను ‘C’ రేఖ 5 : 3 నిష్పత్తిలో ఖండించుచున్నది.
7) AC మరియు BC లను కొలవగా AC = 4.5 సెం.మీ. మరియు BC = 2.7 సెం.మీ.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Intext Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది పటం నుండి A, B, C, D, E, F, G, H బిందువుల నిరూపకాలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 159)

సాధన.
గుర్రం యొక్క స్థానం మూల బిందువుగా ఉందనుకోవాలి.
A (- 1, 2), B (1, 2), C (2, 1), D (2, – 1), E (1, – 2), F (- 1, – 2), G (- 2, – 1), H (- 2, 1).

ప్రశ్న 2.
8 కదలికల తర్వాత గుఱ్ఱం కదిలిన దూరం కనుగొనండి. అనగా మూలబిందువు (0, 0) నుండి A, B, C, D, E, F, G, H బిందువుల మధ్య దూరంను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 159)
సాధన.
గుర్రం (0, 0) నుండి, A కి కదిలిన దూరం + B కి కదిలిన దూరం + ……… + H కి కదిలిన దూరం
= 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
= 24 యూనిట్లు .

ప్రశ్న 3.
బిందువులు H మరియు C ల మధ్య దూరమెంత ? అలాగే బిందువులు A మరియు B ల మధ్య దూరమెంత? (పేజీ నెం. 159).
సాధన.
H మరియు C ల మధ్య దూరం = 4 యూనిట్లు
A మరియు B ల మధ్యదూరం = 2 యూనిట్లు

ప్రశ్న 4.
(- 4, 0), (2, 0), (6, 0), (-8, 0) బిందువులు నిరూపక తలంలో ఎక్కడ ఉంటాయి ? (పేజీ నెం. 160)
సాధన.
ఇచ్చిన అన్ని బిందువులు X – అక్షంపై ఉంటాయి.

ప్రశ్న 5.
(- 4, 0), (6, 0) బిందువుల మధ్య దూరమెంత ? (పేజీ నెం. 160)
సాధన.
(- 4, 0), 16, 0) బిందువులు X – అక్షంపై ఉంటాయి.
కావున వాని మధ్య దూరం = |x₂ – x₁|
= |6 – (- 4)| = |6 + 4| = 10 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 6.
కింది బిందువుల మధ్య దూరం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 162)
(i) (3, 8), 16, 8)
సాధన.
బిందువుల మధ్య దూరం = |x₂ – x₁|
(∵ రెండు బిందువులలో Y నిరూపకాలు సమానం)
= | 6 -3 | = 3 యూనిట్లు..

(ii) (- 4, – 3), (- 8, – 3)
సాధన.
బిందువుల మధ్య దూరం = |x₂ – x₁| (∵ రెండు బిందువులలో Y నిరూపకాలు సమానం)
= | – 8 – (- 4) | = | – 8 + 4 |
= | – 4 | = 4 యూనిట్లు.

(iii) (3, 4), (3, 8)
సాధన.
బిందువుల మధ్య దూరం = |y₂ – y₁| (∵ రెండు బిందువులలో X నిరూపకాలు సమానం)
= | 8 – 4 | = 4 యూనిట్లు.

(iv) (- 5, – 8), (- 5, – 12)
సాధన.
బిందువుల మధ్య దూరం = |y₂ – y₁|
= |- 12 – (- 8)|
= |- 12 + 8| ( ∵ రెండు బిందువులలో X నిరూపకాలు సమానం)
= | – 4 | = 4 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 7.
కింది బిందువుల మధ్య దూరం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 162)
(i) A (2, 0) మరియు B (0, 4)
సాధన.
A (2, 0) X – అక్షంపైన,
B (0, 4) Y – అక్షం పైన ఉంటాయి.

∆AOB లంబకోణ త్రిభుజము
OA = 2; OB = 4
AB² = OA² + OB²
AB² = (2)² + (4)²
AB = √(4 + 16) = √20 = 2√5
గమనిక : (x₁, 0), (0, y₁) బిందువుల మధ్య దూరం = √(x₁² + y₁²).

(ii) P(0, 5) మరియు Q (12, 0)
సాధన.
P (0, 5) మరియు Q (12, 0) .
P, Q ల మధ్య దూరం = \(\sqrt{(12)^{2}+(5)^{2}}\)
= \(\sqrt{144+25}=\sqrt{169}\) = 13
P, Q ల మధ్య దూరం = 13 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 8.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువుల మధ్య దూరం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 164)
(i) (7, 8) మరియు ( – 2, 3)
సాధన.
A (7, 8) మరియు B (- 2, 3)
A, B ల మధ్య దూరం = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-2-7)^{2}+(3-8)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-9)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{81+25}=\sqrt{106}\)

(ii) (- 8, 6) మరియు (2,0)
సాధన.
A (- 8, 6) మరియు B (2, 0)
X = – 8, x, = 2, y = 6, y) = 0
A, B ల మధ్య దూరం = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(2-(-8))^{2}+(0-6)^{2}}\)
= \(\sqrt{10^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{100+36}\)
= √136.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
(0, – 3), (0, – 8), (0, 6), (0, 4) బిందువులు నిరూపక తలంలో ఎక్కడ ఉంటాయి ? (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
అన్ని బిందువులు Y – అక్షంపై ఉంటాయి.

ప్రశ్న 2.
(0, – 3) మరియు (0, – 8) బిందువుల మధ్య దూరమెంత ? అలాగే Y – అక్షంపై ఉన్న బిందువుల మధ్యదూరం | y₂ – y₁| అవుతుందని చెప్పగలవా ? (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
(0, – 3), (0, – 8) లు Y – అక్షంపై గల బిందువులు.
వీని మధ్యదూరం= |y₂ – y₁|
= |- 8 – (- 3)| = |- 8 + 3| = |- 5 | యూనిట్లు
Y – అక్షంపై గల బిందువుల మధ్య దూరం = |y₂ – y₁| అవుతుంది.

ప్రశ్న 3.
మూలబిందువు ‘0’ మరియు బిందువు A (7, 4) ల మధ్యదూరం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 162)
సాధన.

పై పటం నుండి AB = 4 యూనిట్లు, OB = 7 యూనిట్లు
∆ABO లంబకోణ త్రిభుజము
OA² = OB² + BA²
= 7² + 4² = 49 + 16
OA² = 65
OA = √65 యూనిట్లు.

గమనిక :
మూలబిందువు (0, 0) నుండి (x₁, y₁) బిందువుకు గల దూరము \(\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\).
మూలబిందువు నుండి A (7, 4) కు గల దూరం = \(\sqrt{7^{2}+4^{2}}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\) యూనిట్లు.

ప్రశ్న 4.
ఒక రేఖాఖండం \(\overline{\mathrm{AB}}\) యొక్క తొలి, చివరి బిందువులు A(1, – 3) మరియు B(- 4, 4) అయిన AB మధ్య దూరాన్ని దగ్గరి దశాంశాలకు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 164)
సాధన.
A (1, – 3) మరియు B (- 4, 4) ..
x₁ = 1, x₂ = – 4, y₁ = – 3, y₂ = 4
AB ల మధ్య దూరం, d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-4-1)^{2}+(4-(-3))^{2}}\)
= \(\sqrt{(-5)^{2}+(7)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+49}=\sqrt{74}\)
AB ల మధ్య దూరం = 8.602

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
రెండు బిందువులలోని X లేదా 5 నిరూపకాలు సమానంగా (0 కాకుండా) ఉంటే వాటి మధ్యదూరం ఎలా కనుగొంటావు ? (పేజీ నెం, 161)
సాధన.
సందర్భం – 1:
రెండు బిందువులలోని x నిరూపకాలు సమానంగా ఉంటే ఆ రెండు బిందువులు Y- అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖపై ఉంటాయి.
కావున రెండు బిందువులలోని y నిరూపకాల భేదం |Y₂ – Y₁| ఆ రెండు బిందువుల మధ్య దూరం అవుతుంది.
(x₁, y₁), (x₂, y₂) బిందువుల మధ్య దూరం = |y₂ – y₁|

సందర్భం – 2:
రెండు బిందువులలోని y నిరూపకాలు సమానం అయితే ఆ బిందువులు X – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖపై ఉంటాయి. కావున ఈ రెండు బిందువులలోని X నిరూపకాల భేదం |x₂ – x₁| ఆ రెండు బిందువుల మధ్య దూరం అవుతుంది.
(x₁, y₁), (x₂, y₂) బిందువుల మధ్య దూరం = |x₂ – x₁|

ప్రశ్న 2.
రెండు బింధువులు నిరూపకతలంలోని వేర్వేరు పాదాలలో ఉంటే వాటి మధ్య దూరం ఎలా కనుగొంటారు? (పేజీ నెం. 163)
సాధన.
A, B అనే రెండు బిందువులు వేర్వేరు తలాలలో ఉంటే A, Bల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడానికి, A, B బిందువుల గుండా అక్షాలకు లంబ రేఖలను గీచి, \(\overline{\mathrm{AB}}\) కర్ణంగా గల లంబకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచాలి. అలా ఏర్పడిన లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క కర్ణం పొడవును పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి కనుగొంటాము. ఈ పొడవే A, B ల మధ్య దూరం అవుతుంది.
ఉదాహరణకు A(3, 4), B(- 2, – 5) లు వరుసగా 1వ, 3వ పాదాలలో కలవు. వీని మధ్యదూరం కనుగొందాము.
సాధన.
A (3, 2) గుండా Y – అక్షానికి లంబం AP, B (- 2, – 5) గుండా X – అక్షానికి లంబం BQ లను గీయాలి. వీటి ఖండన బిందువు C అవుతుంది.
ఇప్పుడు AC = 5 యూనిట్లు
BC = 7 యూనిట్లు .
లంబకోణ త్రిభుజం ∆ABCలో AB² = AC² + BC² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతము)
= 5² + 7²

AB² = 25 + 49 = 74
AB = √74 యూనిట్లు

గమనిక : A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) బిందువుల మధ్యదూరం సూత్రం రాబట్టిన తర్వాత అయితే రెండు బిందువుల మధ్య దూరం సూత్రం
d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) ను ఉపయోగించి ఒకే తలంలో గల ఏ రెండు బిందువుల మధ్య దూరాన్నైనా కనుగొనవచ్చును.

ప్రశ్న 3.
రాము, బిందువు P(x, y) మరియు మూలబిందువు O(0, 0)ల మధ్య దూరం \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) అని తెలిపెను. నీవు రాము తెలిపిన దానితో ఏకీభవిస్తున్నావా? లేదా? ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 163)
సాధన.
రాముతో ఏకీభవిస్తాను.
O(0, 0), P(x, y) ల మధ్య దూరం d = \(\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

ఈ విలువ రాము సమాధానంతో సరిపోతున్నది. కావున రాముతో ఏకీభవిస్తున్నాను.
(లేదా)

పై పటం నుండి, ∆PQO లంబకోణ త్రిభుజము.
PQ = y, QQ = x
OP² = OQ² + QP²
= x² + y²
OP = √(x² + y²⁾
ఈ విలువ, రాము సమాధానము ఒకటే. కావున ‘ రాము సమాధానంతో ఏకీభవిస్తాను.

ప్రశ్న 4.
రాము రెండు బిందువుల మధ్య దూరాన్ని ఈ విధంగా రాశాడు. AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 163)
సాధన.
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) బిందువుల మధ్య దూరం \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) కు సమానం.
A, B బిందువుల మధ్య దూరాన్ని AB గా రాస్తాము.
కావున AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) అని రాశాడు.

ప్రశ్న 5.
శ్రీధర్ రెండు బిందువులు T (5, 2) మరియు R (- 4, – 1) ల మధ్య దూరం 9.5 యూనిట్లుగా లెక్కించాడు. ఇపుడు మీరు రెండు బిందువులు P (4, 1) మరియు Q (-5, – 2) ల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి. మీరు కూడా శ్రీధర్ పొందిన సమాధానాన్నే పొందారా ? ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 164)
సాధన.
P(4, 1), Q (- 5, – 2) బిందువుల మధ్య దూరం
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం PQ = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-5-4)^{2}+(-2-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-9)^{2}+(-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{81+9}=\sqrt{90}\)
= 3√10 = 3√2 × √5
= 3 × 1.414 × 2.236 [∵ √2 = 1.413, √5 = 2.236]
PQ = 9.4851 = 9.5
PQ = 9.4851ను ఒక దశాంశానికి సవరించినపుడు మనం కూడా శ్రీధర్ పొందిన సమాధానాన్నే పొందుతున్నాము.
T (5, 2), R (- 4, – 1) బిందువులలోని x, y నిరూపకాల యొక్క గుర్తులను మార్చగా P (4, 1) మరియు Q (- 5, – 2) వస్తున్నాయి.
కాబట్టి TR = PQ అవుతుంది.

గమనిక :
P (x₁, y₁), Q (x₂, y₂) మరియు R(- x₁, – y₁), S (- x₂, – y₂) అయిన PQ = RS అగును.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
బిందువులు (3, 5) మరియు (8, 10) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును 2:3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించు బిందువును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 171)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు (3, 5), (8, 10) లను 2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు P (x, y) అనుకుందాం.
విభజించే సూత్రం – P(x, y) = \(=\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{2(8)+3(3)}{2+3}, \frac{2(10)+1(5)}{2+3}\right)\)

= \(\left(\frac{16+9}{5}, \frac{20+5}{5}\right)\)

= (\(\frac{25}{5}\), \(\frac{25}{5}\)) = (5, 5)
∴ కావలసిన బిందువు P(x, y) = (5, 5)

ప్రశ్న 2.
బిందువులు (2, 7) మరియు (12, -7) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండం యొక్క మధ్యబిందువును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 171)
సాధన.
(2, 7), (12, – 7) బిందువుల మధ్య బిందువు M (x, y) అనుకొనుము.
(x₁, y₁), (x₂, y₂) బిందువులతో ఏర్పడు రేఖ యొక్క మధ్యబిందువు నిరూపకాలు M(x,y) అనుకొనుము.
M(x, y) = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{2+12}{2}, \frac{7+(-7)}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{14}{2}, \frac{0}{2}\right)\) = (7, 0)
కావలసిన బిందువు M(x, y) = (7,0) .

ప్రశ్న 3.
బిందువులు (- 4, 6), (2, -2 ) మరియు (2, 5)లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రంను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
గురుత్వ కేంద్ర నిరూపకాలు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{-4+2+2}{3}, \frac{6+(-2)+5}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{-4+4}{3}, \frac{11-2}{3}\right)\)
= (0, \(\frac{9}{3}\)) = (0, 3)
∴ గురుత్వ కేంద్రం (0, 3)

ప్రశ్న 4.
బిందువులు (2, – 6) మరియు ( 4, 8) లను కలుపు రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 175)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A (2, – 6), B (- 4, 8).
A(2, – 6), B(- 4, 8) లను కలుపు రేఖాఖండము యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు P, Q అనుకుందాం.

\(\overline{\mathrm{AB}}\) రేఖాఖండాన్ని P 1 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
∴ P(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{1(-4)+2(2)}{1+2}, \frac{1(8)+2(-6)}{1+2}\right)\)

= \(\left(\frac{-4+4}{3}, \frac{8-12}{3}\right)=\left(\frac{0}{3}, \frac{-4}{3}\right)\)

= (1-4+2[2] 18 +2-))
∴ P = (0, \(\frac{-4}{3}\))
ఇపుడు \(\overline{\mathrm{AB}}\) రేఖాఖండాన్ని Q 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
Q (x, y) = \(\left(\frac{2(-4)+1(2)}{2+1}, \frac{2(8)+1(-6)}{2+1}\right)\)

= \(\left(\frac{-8+2}{3}, \frac{16-6}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{-6}{3}, \frac{10}{3}\right)=\left(-2, \frac{10}{3}\right)\)
∴ Q = (- 2, \(\frac{10}{3}\)) కావున (2, – 6) మరియు (- 4, 8) లను కలిపే రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు (0, \(-\frac{4}{3}\)) మరియు (- 2, \(\frac{10}{3}\)).

సరిచూచుకోవడం :
(i) \(\overline{\mathrm{AB}}\) యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు P, Q అయిన A, Bల మధ్యబిందువు, P, Qల మధ్యబిందువు ఒకటే అవుతుంది.
A, B ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{2+(-4)}{2}, \frac{-6+8}{2}\right)=\left(\frac{-2}{2}, \frac{2}{2}\right)\) = (-1.1)

P, Qల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{0+(-2)}{2}, \frac{\frac{-4}{3}+\frac{10}{3}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{2}, \frac{\frac{6}{3}}{2}\right)=\left(-1, \frac{2}{2}\right)\) = (- 1, 1)

(ii) AP, PQ, QB పొడవులను కనుగొని కూడా సరిచూచుకోవచ్చును.
AP = PQ = QB అవుతాయి.

ప్రశ్న 5.
బిందువులు (- 3, – 5), (- 6, – 8) లను కలుపు రేఖండము యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 175)
సాధన.
బిందువులు A (- 3, – 5), B (- 6, – 8) లను కలుపు రేఖాఖండము యొక్క ప్రాథాకరణ బిందువులు P, Q అనుకొంటే \(\overline{\mathrm{AB}}\) ను P 1 : 2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
P(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{1(-6)+2(-3)}{1+2}, \frac{1(-8)+2(-5)}{1+2}\right)\)

= \(\left(\frac{-6-6}{3}, \frac{-8-10}{3}\right)=\left(\frac{-12}{3}, \frac{-18}{3}\right)\)

= (- 4, – 6)
∴ P = (- 4, – 6)
ఇప్పుడు \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని Q 2 : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
Q(x, y) = \(\left(\frac{2(-6)+1(-3)}{2+1}, \frac{2(-8)+1(-5)}{2+1}\right)\)

= \(\left(\frac{-12-3}{3}, \frac{-16-5}{3}\right)=\left(\frac{-15}{3}, \frac{-21}{3}\right)\)
= (- 5 – 7)
Q = (- 5, – 7)
కావున బిందువులు (- 3, – 5), (- 6, – 8) లను కలుపు రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు (- 4, – 6) మరియు Q (- 5, – 7)

సరిచూచుకొనుట :
A, B మధ్యబిందువు = \(\left(\frac{(-3)+(-6)}{2}, \frac{(-5)+(-8)}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{-9}{2}, \frac{-13}{2}\right)\)

P, Q మధ్యబిందువు = \(\left(\frac{(-4)+(-5)}{2}, \frac{(-6)+(-7)}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{-9}{2}, \frac{-13}{2}\right)\)

కృత్యము:

బిందువులు A(4, 2), B(6, 5) మరియు C(1, 4) లు ∆ABC యొక్క శీర్షాలు.

ప్రశ్న 1.
A నుండి BC పైకి గీసిన మధ్యగతరేఖ D వద్ద కలుస్తుంది. అయిన D బిందువు నిరూపకాలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
B (6, 5) మరియు C(1, 4) ల మధ్యబిందువు
D(x, y) = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)\).

ప్రశ్న 2.
AP : PD = 2 : 1 అయ్యే విధంగా AD రేఖపై P బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
A(4, 2), D\(\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)\) లను 2 : 1 నిష్పత్తిలో -విభజించే బిందువు
∴ P = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{2\left(\frac{7}{2}\right)+1(4)}{2+1}, \frac{2\left(\frac{9}{2}\right)+1(2)}{2+1}\right)\)

= \(\left(\frac{7+4}{3}, \frac{9+2}{3}\right)\)

⇒ P = \(\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)\)

ప్రశ్న 3.
BE రేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువును మరియు CF రేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
A(4, 2), C (1, 4) ల మధ్య బిందువు E = \(\left(\frac{4+1}{2}, \frac{2+4}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}, 3\right)\)

A(4, 2), B (6, 5) ల మధ్య బిందువు F = \(\left(\frac{4+6}{2}, \frac{2+5}{2}\right)=\left(5, \frac{7}{2}\right)\)

(i) B(6, 5), E(\(\frac{5}{2}\). 3) లను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు
Q = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{2\left(\frac{5}{2}\right)+1(6)}{2+1}, \frac{2(3)+1(5)}{2+1}\right)\)

= \(\left(\frac{5+6}{3}, \frac{6+5}{3}\right)\)

⇒ Q = \(\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)\)

(ii) C(1, 4), F(5,7) లను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు
R = \(\left(\frac{2(5)+1(1)}{2+1}, \frac{2\left(\frac{7}{2}\right)+1(4)}{2+1}\right)\)
= \(\left(\frac{10+1}{3}, \frac{7+4}{3}\right)\)
⇒ R = (11 11)

ప్రశ్న 4.
మీరేమి గమనించారు ? “ఒక త్రిభుజంలోని ప్రతి మధ్యగతరేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు ఆ త్రిభుజం యొక్క గురుత్వకేంద్రం అవుతుంది”. (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
మధ్యగతాలను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువులు P, Q, Rలు ఏకీభవిస్తున్నాయి. మధ్యగతరేఖల మిళిత బిందువును గురుత్వ కేంద్రము అంటామని మనకు తెలుసు. P, Q, R లు ఈ గురుత్వ కేంద్రంతో ఏకీభవిస్తున్నాయి.

“అనగా “ఒక. త్రిభుజంలోని ప్రతి మధ్యగత రేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు ఆ త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రము అవుతుంది”.

ప్రయత్నించండి:

బిందువులు (2, 3), (x, y), (3, -2 ) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రం మూలబిందువు అయిన (x, y) లను కనుగొనండి.(పేజీ నెం. 173)
సాధన.
ఇచ్చినది (2, 3), (x, y), (3, -2) లు త్రిభుజ శీర్షాలు గురుత్వ కేంద్రం = (0,0)
అనగా
\(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) = (0, 0)

\(\left(\frac{2+x+3}{3}, \frac{3+y+(-2)}{3}\right)\) = (0, 0)

\(\left(\frac{5+x}{3}, \frac{y+1}{3}\right)\) = 0
⇒ 5 + x = 0
⇒ x = – 5
⇒ y + 1 = 0
⇒ y = – 1
∴ (x, y) = (- 5, – 1).

అలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

బిందువులు A(6, 9) మరియు B(- 6, – 9) లను కలుపు రేఖాఖందమును. (పేజీ నెం. 174)

(a) మూలబిందువు ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది ? ఆ రేఖా ఖండమునకు మూలబిందువును ఏమంటారు ?
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు : A (6, 9), B (- 6, – 9) లను మూలబిందువు m₁ : m₂ నిష్పత్తిలో విభిజిస్తుందని అనుకొందాం.

(0, 0) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1}(-6)+\mathrm{m}_{2}(6)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1}(-9)+\mathrm{m}_{2}(9)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

(0, 0) = \(\left(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-9 m_{1}+9 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

∴ \(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\) = 0
– 6m₁ + 6m₂ = 0
– 6m₁ = – 6m₂
⇒ 6m₁ = 6m₂

⇒ \(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{6}{6}=\frac{1}{1}\)
m₁ : m₂ = 1 : 1
∴ కావలసిన నిష్పత్తి = 1 : 1.
A, B బిందువులను మూలబిందువు 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
కావున మూలబిందువును AB రేఖాఖండానికి మధ్యబిందువు అంటారు.

(b) బిందువు P(2, 3) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది ?
సాధన.
A (6, 9), B (- 6, – 9) ను P (2, 3) m₁ : m₂ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొందాం. 1) 1 ( m (-6) + ma(6) ma (-9) + ma(9)]
(2, 3) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1}(-6)+\mathrm{m}_{2}(6)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1}(-9)+\mathrm{m}_{2}(9)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

(2, 3) = \(\left(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-9 m_{1}+9 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

∴ 2 = \(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\)
⇒ 2m₁ + 2m₂ = – 6m₁ + 6m₂
⇒ 8m₁ = 4m₂
\(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
m₁ : m₂ = 1 : 2

(c) బిందువు Q(- 2, – 3) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది ?
సాధన.
A (6, 9), B (- 6, – 9) లను Q (- 2, – 3) విభజించే నిష్పత్తి m₁ : m₂ అనుకొనుము.
(- 2, – 3) = \(\left(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-9 m_{1}+9 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

∴ – 2 = \(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\)
⇒ – 2m₁ – 2m₂ = – 6m₁ + 6m₂
4m₁ = 8m₂
\(\frac{\mathrm{m}_{1}}{\mathrm{~m}_{2}}=\frac{8}{4}=\frac{2}{1}\)
∴ m₁ : m₂ = 2 : 1

(d) బిందువులు P, Qలు AB ని ఎన్ని సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాయి ?
సాధన.

బిందువులు P, Q \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని 3 సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాయి.

(e) P, Q లను ఏమంటారు ?
సాధన.
P, Q లను AB యొక్క సమత్రిఖండన బిందువులని అంటారు. ఈ సమత్రిఖండన బిందువులను త్రిథాకరణ బిందువులని పిలుస్తాము.

ఇవి చేయండి:

కింద ఇవ్వబడిన శీర్షాలు గల త్రిభుజ వైశాల్యం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 180)
ప్రశ్న 1.
(5, 2) (3, – 5) మరియు (- 5, -1 )
సాధన.
బిందువులు: (5, 2), (3, – 5), మరియు (- 5, – 1) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం ∆ = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₂ – y₁)|
= \(\frac{1}{2}\) |5(- 5 – (- 1) + 3((- 1) – 2) + (- 5) (2 – (- 5))|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 5 + 1) + 3(- 3) + – 5(2 + 5)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 20 – 9 – 35|
= \(\frac{1}{2}\) |- 64|
= \(\frac{1}{2}\) × 64 = 32 చ.యూ.

ప్రశ్న 2.
(6, – 6), (3, – 7) మరియు (3, 3) (పేజీ నెం. 180)
సాధన.
(6, – 6), (3, – 7) మరియు (3, 3) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |6(- 7 – 3) +3(3 – (- 6)) + 3(- 6 – (- 7))|
= \(\frac{1}{2}\) | 6(- 10) + 3(9) + 3(1)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 60 + 27 + 3|
= \(\frac{1}{2}\) |- 30|
= \(\frac{1}{2}\) × 30 = 15 చ.యూ.

ప్రశ్న 3.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువులు సరేఖీయాలు అవుతాయా? కావా ? సరి చూడండి. (పేజీ నెం. 182)
(i) (1, – 1), (4, 1), (- 2, – 3)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు = (1, – 1), (4, 1), (- 2, – 3) లతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₂ – y₁)|
= \(\frac{1}{2}\) |1[1 – (- 3)] + 4[- 3 – (- 1) + (- 2)[- 1 – 1]|
= \(\frac{1}{2}\) |1(4) + 4 (- 2) – 2 (- 2)|
= \(\frac{1}{2}\) |4 – 8 + 4|
= \(\frac{1}{2}\) |0| = 0
∴ త్రిభుజ వైశాల్యము సున్న ‘0’ కావున ఇచ్చిన బిందువులు సరేఖీయాలు.

(ii) (1, -1), (2, 3), (2, 0)
సాధన.
(1, – 1), (2, 3), (2, 0) బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) | 1(3 – 0) + 2[0 – (- 1)] +2(- 1 – 3)|
= \(\frac{1}{2}\) |3 + 2 – 8|
= \(\frac{1}{2}\) |5 – 8|
= \(\frac{1}{2}\) |- 3|
= \(\frac{1}{2}\) × 3
= \(\frac{3}{2}\) చ.యూ.
∴ త్రిభుజ వైశాల్యము \(\frac{3}{2}\) చ.యూ. కావున ఇచ్చిన మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కావు.

(iii) (1, – 6), (3, – 4), (4, – 3)
సాధన.
(1, – 6), (3, – 4), (4, – 3) లతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) |1[- 4 – (- 3)] + 3[- 3 – (- 6)] + [- 6 – (- 4)]|
= \(\frac{1}{2}\) |1[- 4 + 3] + 3[- 3 + 6] + 4(- 6 – 4)|
= \(\frac{1}{2}\) |1 (- 1) + 3 (3) + 4 (- 2)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 1 + 9 – 8|
= \(\frac{1}{2}\) |9 – 9| = 0
∴ త్రిభుజ వైశాల్యము సున్న’ ‘0’ కావున ఇచ్చిన మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 4.
15 మీ, 17 మీ, 21 మీ భుజాలుగా గల త్రిభుజం వైశాల్యం (హెరాన్ సూత్రం ద్వారా) కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 189)
సాధన.
ఇచ్చిన త్రిభుజ భుజాలు
a = 15 మీ b = 17 మీ. మరియు c = 21 మీ.
∴ s =\(\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+17+21}{2}=\frac{53}{2}\)

s – a = \(\frac{53}{2}\) – 15 = \(\frac{53-30}{2}=\frac{23}{2}\)

s- b = \(\frac{53}{3}\) – 17 = \(\frac{53-34}{2}=\frac{19}{2}\)

s – c = \(\frac{53}{3}\) – 21 = \(\frac{53-42}{2}=\frac{11}{2}\)

త్రిభుజ వైశాల్యం (హెరాన్ సూత్రం) A = \(\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}\)
∴ A = \(\sqrt{\frac{53}{2}\left(\frac{23}{2}\right)\left(\frac{19}{2}\right)\left(\frac{11}{2}\right)}\)
A = \(\sqrt{\frac{53 \times 23 \times 19 \times 11}{16}}\)
A = \(\frac{1}{4} \sqrt{254771}\) చ.మీటర్లు.

ప్రశ్న 5.
బిందువులు (0, 0), (4, 0) మరియు (4, 3) లతో ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యంను హెరాన్ సూత్రం ద్వారా కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 183)
సాధన.
A (0, 0), B (4, 0), C(4, 3)
a = BC = |y₂ – y₁| = |3 – 0| = 3 యూనిట్లు

b = AC = \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
= \(\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}\)
= √25 = 5 యూనిట్లు

C = AB = |x₂ – x₁| = |4| = 4 యూ.
S = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+4+5}{2}\) = 6
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం (హెరాన్ సూత్రం)
A = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{6(6-3)(6-5)(6-4)}\)
= \(\sqrt{6 \times 3 \times 1 \times 2}=\sqrt{36}\) = 6 చ.యూ.
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం = 6 చ. యూనిట్లు.

సరిచూచుకొవడం :
3, 4, 5 భుజాలుగా గల త్రిభుజం లంబకోణ త్రిభుజం అవుతుంది.
∴ లంబకోణ త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × 3 × 4 = 6 చ. యూనిట్లు.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఏదేని ఒక బిందువు Aను X-అక్షంపై, మరొక బిందువు Bను Y- అక్షంపై తీసుకొని AOB త్రిభుజ వైశాల్యం కనుగొనండి. మీ మిత్రులు చేసిన వాటిని గమనించండి. మీరేం గమనించారు ? (పేజీ నెం. 178)
సాధన.

A(- 6, 0), B(0, 5) బిందువులు తీసుకొందాం.
∆AOB ఒక లంబకోణ త్రిభుజం అవుతుంది.
∆AOB యొక్క భూమి OA = 6 యూనిట్లు
ఎత్తు OA = 5 యూనిట్లు
∆AOB వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\) × 6 × 5 = 15 చ.యూ.

గమనించిన అంశాలు :
(i) X – అక్షంపై ఒక బిందువు, Y – అక్షంపై మరొకmబిందువు గల త్రిభుజం లంబకోణ – త్రిభుజం అవుతుంది.
(ii) బిందువులలోని x, y నిరూపకాలు ఒకటి భూమి, మరొకటి ఎత్తు అవుతుంది.
(iii) ఏర్పడు త్రిభుజం’ యొక్క వైశాల్యము x, y ల లబ్దంలో సగం ఉంటుంది.
(x₁ , 0) మరియు (0, y₁) మరియు నిరూపక అక్షాలతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం
A = \(\frac{1}{2}\) |x₁ y₁| చ.యూనిట్లు.

ప్రశ్న 2.
బిందువులు (0, – 1), (2, 1) (0, 3) మరియు (- 2, 1) లు శీర్షాలుగా గల చతురస్రము యొక్క వైశాల్యము కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 181)
సాధన.

ABCD చతురస్రాన్ని కర్ణం AC, ∆ABC మరియు ∆ADC అనే త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది.
∴ ∆ABCవైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁(y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |0 (1 – 3) + 2 [3 – (- 1)] + 0(- 1 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) |0 + 8 + 0|
= \(\frac{1}{2}\) |8| = 4 చ. యూనిట్లు,
∴ ∆ABC వైశాల్యం = 4 చ. యూనిట్లు.
∆ADC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |0(1 – 3) + (- 2) [ 3 – (- 1)] +0 (- 1 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) × 8 = 4 చ.యూ.
∆ADC వైశాల్యం = 4 చ.యూ.
చతురస్రం ABCD వైశాల్యం = 2 ∆ABC వైశాల్యం + ∆ADC వైశాల్యం
= 4 + 4 = 8 చ. యూనిట్లు

రెండవ పద్ధతి :
ABCD చతురస్రాన్ని కర్ణం AC రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలు ∆ABC మరియు ∆ADCలుగా విభజిస్తుంది.

∆ABC వైశాల్యం = ∆ADC వైశాల్యం
చతురస్రం ABCD వైశాల్యం = 2 × ∆ABC వైశాల్యం
= 2 × \(\frac{1}{2}\) |0(1 – 3) +2[3 – (- 1)] + 0(- 1 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) |0 + 2 (4) + 0|
= | 8| = 8 చ. యూనిట్లు
∴ ABCD చతుర్భుజ వైశాల్యం = 8 చ. యూనిట్లు

మూడవ పద్ధతి :
చతురస్రం ABCD యొక్క ఒక భుజం AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(2-0)^{2}+\left[(1-(-1))^{2}\right]}\)
= \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}\)
భుజం AB = √8 యూనిట్లు.
చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= √ 8 × √8 = 8 చ.యూనిట్లు.

నాలుగవ పద్ధతి :
కర్ణం AC పొడవు d = |y₂ – y₁|
= |3 – (- 1)| = |4| = 4 యూ.
చతురస్ర వైశాల్యం A = \(\frac{\mathrm{d}^{2}}{2}=\frac{4^{2}}{2}\)
= \(\frac{16}{2}\) = 8 చ.యూనిట్లు.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
బిందువులు A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) నిరూపకతలంపై ఉన్నవనుకొనుము. అయిన కింది త్రిభుజాల యొక్క వైశాల్యమును కనుగొనండి. మరియు వాటి వైశాల్యముల గురించి గ్రూపులలో మీ స్నేహితులతో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 178)

సాధన.
(i) 1వ పటం నుండి : –

A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) = (0, 0)
ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము,
∴ ∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\) BC × AB
= \(\frac{1}{2}\) |x₂ (y₁ – y₂) | చ.యూ.
గమనిక : వైశాల్యము ధనాత్మకము కావున పరమ మూల్యం | | ను తీసుకొంటాము. ..

(ii) 2వ పటం నుండి :

భూమి BC = ya
ఎత్తు AB = x₁ – x₂
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) BC × AB
= \(\frac{1}{2}\) |y₂ (x₂ – x₁)| చ.యూ.

(iii) 3వ పటం నుండి :

∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) AB × BC
= \(\frac{1}{2}\) |(x₂ – x₁) (y₂ – y₃) చ.యూ.

(iv) 4 వ పటం నుండి :

∴ ∆ABC వైశాల్యం – – BC X AB
= \(\frac{1}{2}\) |(x₂ – x₃) (y₁ – y₂)|

గమనిక :
X, Y అక్షాలకు సమాంతరంగా భుజాలు గల త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యము X నిరూపకాల భేదం మరియు y నిరూపకాల భేదాల లబ్దానికి సమానము. మరియు ఏర్పడే త్రిభుజము ‘ లంబకోణ త్రిభుజము అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
కింది. బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 181)
(i) (2, 0), (1, 2), (1, 6)
(ii) (3, 1), (5, 0), (1, 2)
(iii) (- 1.5, 3), (6, 2), (- 3, 4)
(a) మీరేం గమనించారు ?
(b) ఈ బిందువులను మూడు వేర్వేరు గ్రాఫులలో గుర్తించండి. మీరేం గమనించారు ? మీ మిత్రునితో చర్చించండి.
(c) వైశాల్యం ‘0’ (సున్నా) చ.యూనిట్లు గల త్రిభుజమును గీయగలమా ? మరి దీని అర్థమేమిటి ?
(i) (2, 0), (1, 2), (1, 6)
సాధన.
మూడవ బిందువు (- 1, 6) గా తీసుకొందాం.
(2, 0), (1, 2), (-1, 6) బిందువులు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం A = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃3) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |2(2 – 6) + 1(6 – 0) + (- 1)(0 – 2)|
= \(\frac{1}{2}\) (2(- 4) + 6 – 1(- 2)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 8 + 6 + 2|
= \(\frac{1}{2}\) |0| = 0.
త్రిభుజ వైశాల్యం = 0 చ. యూనిట్లు.

(ii) (3, 1), (5, 0), (1, 2)
సాధన.
∆ = \(\frac{1}{2}\) |3(0 – 2) + 5(2 – 1) + 1(1 – 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 6 + 5 + 1| = 0
త్రిభుజ వైశాల్యం = 0 చ. యూనిట్లు.

(iii) (- 1.5, 3), (6, 2), (- 3, 4)
సాధన.
రెండవ బిందువు (6, – 2) గా తీసుకొందాం.
(- 1.5, 3), (6, – 2) మరియు (- 3, 4)
బిందువులు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం, = \(\frac{1}{2}\) |(- 1.5) [- 2 – 4] + 6 (4 – 3) + (- 3) [3 – (- 2)]|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 1.5) (- 6) + 6 (1) – 3 (5)|
= \(\frac{1}{2}\) |9 + 6 – 15|
= \(\frac{1}{2}\) |15 – 15| = \(\frac{1}{2}\) |0| = 0

(a) పై మూడు సందర్భాలలోనూ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యము శూన్యము అనగా ఇచ్చిన బిందువులు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం ఏర్పడదు అని తెలుస్తున్నది. కావున మూడు సందర్భాలలోను ఇచ్చిన మూడు బిందువులు ఒకే రేఖపై ఉంటాయి. అనగా ఆ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు అవుతాయి. కాబట్టి వైశాల్యము ‘0’ (సున్నా) చ.యూనిట్లు గల త్రిభుజాన్ని గీయలేము. త్రిభుజ వైశాల్య సూత్రం = 0 చ. యూనిట్లు.
∆ ABC వైశాల్యం సున్న ⇒ A, B, C లు సరేఖీయాలు.

(b) ఈ బిందువులను మూడు వేర్వేరు గ్రాఫులలో గుర్తించండి. మీరేం గమనించారు? మీ మిత్రులతో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 181)
సాధన.
(2, 0), (1, 2), (- 1, 6), (3, 1), (5, 0), (1, 2), (- 1.5, 3), (6, – 2), (- 3, 4) లను గ్రాఫ్ పై గుర్తించుట.

కావున ఇచ్చిన బిందువులు సరేఖీయాలు.

(c) వైశాల్యం )(సున్నా). చ.యూనిట్లు గల త్రిభుజమును గీయగలమా ? మరి దీని అర్థమేమిటి ? (పేజీ నెం. 181)
సాధన.
వైశాల్యం 0 చ.యూ, గల త్రిభుజాన్ని నిర్మించలేము. దీని అర్థం ఇచ్చిన బిందువులు సరేఖీయాలు అనగా ఒకే సరళరేఖ పై గల బిందువులు

ఇవి చేయండి:

కిందనీయబడిన బిందువులను నిరూపకతలంపై గుర్తించి వాటిని కలుపుము.
(పేజీ నెం. 185)
(i) A(1, 2), B(- 3, 4) మరియు C(7,- 1)
(ii) P(3, – 5), Q(5, – 1), R(2, 1) మరియు S(1, 2) ఇందులో ఏది సరళరేఖను సూచిస్తుంది ? ఏది సూచించదు ? ఎందుకు?
సాధన.

(i) వ సమస్యలోని బిందువులు A, B, C లు – శేఖను సూచిస్తాయి.
(ii) వ సమస్యలోని బిందువులు P, Q, R, S లు సరళరేఖను సూచించవు.
ఎందుకనగా A, B, C లు సరేఖీయ బిందువులు. కాబట్టి ఒకే సరళరేఖపై ఉంటాయి. P, Q, R, S లు సరేఖీయాలు కావు. కావున ఒకే సరళరేఖపై ఉండవు.

కింది బిందువులతో ఏర్పడు రేఖాఖండము \(\overline{\mathbf{A B}}\) వాలును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 188)
(i) A(4, -6) మరియు B (7, 2)
సాధన.
\(\overline{\mathbf{A B}}\) వాలు, m =\(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{2-(-6)}{7-4}\)

= \(\frac{2+6}{3}\) = \(\frac{8}{3}\).

(ii) A(8, – 4) మరియు B (-4, 8)
సాధన.
AB వాలు, m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{8-(-6)}{-4-8}\)

= \(\frac{12}{-12}\) = – 1

(iii) A(- 2, – 5) మరియు B(1, – 7) .
సాధన.
AB వాలు, m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{-7-(-5)}{1-(-2)}=\frac{-7+5}{1+2}=\frac{-2}{3}\)

ప్రయత్నించండి:

కింద ఇవ్వబడిన బిందువులు \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖపై ఉన్నవి. \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖ వాలు. కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 188)
ప్రశ్న 1.
A(2, 1) మరియు B(2, 6)
సాధన.
\(\overline{\mathbf{A B}}\) వాలు, m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{6-1}{2-2}=\frac{6}{0}\) నిర్వచించబడదు.

ప్రశ్న 2.
A(- 4, 2) మరియు B (- 4, – 2)
\(\overline{\mathbf{A B}}\) వాలు, m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)
= \(\frac{-2-2}{-4-(-4)}\)
= \(\frac{-4}{-4+4}=\frac{4}{0}\) నిర్వచించబడదు.

ప్రశ్న 3.
A(- 2, 8) మరియు B (- 2, – 2)
సాధన.
\(\overline{\mathbf{A B}}\) వాలు, m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(=\frac{-2-8}{-2+2}\)

= \(\frac{-10}{0}\) నిర్వచించబడదు.

∴ వాలు నిర్వచింపబడదు.

ప్రశ్న 4.
“ఇచ్చిన బిందువులతో ఏర్పడు \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖాఖండం Y-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది”. ఈ వాక్యము సరైనదేనా ? ఎందుకు ? అయితే వాలు ఏ విధంగా ఉంటుంది? (పేజీ నెం. 188)
సాధన.
“ఇచ్చిన బిందువులతో ఏర్పడు \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖండము Y – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది” అనే ఈ వాక్యము సరైనదే. ఎందుకనగా ఇచ్చిన రెండు బిందువులలోని X నిరూపకాలు సమానంగా కలవు. అనగా ఇచ్చిన రెండు బిందువులు (x₁, y₁) మరియు (x₂, y₂) రూపంలో ఉన్నాయి. Y – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖల యొక్క వాలు నిర్వహించబడదు.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
y = x + 7 సమీకరణం ఒక సరళరేఖను సూచిస్తుందా? నిరూపకతలంలో గీసి చూడండి. ఈ సరళరేఖ X – అక్షాన్ని ఏ బిందువు వద్ద ఖండిస్తుంది? అదే విధంగా ఈ సరళరేఖ Y – అక్షంతో ఎంత కోణం చేస్తుంది ? మీ మిత్రులతో … చర్చించండి. : (పేజీ నెం. 185)
సాధన.
y = x + 7

y = x + 7 సూచించు సరళరేఖ X – అక్షాన్ని (0, – 7) బిందువు వద్ద ఖండిస్తుంది. మరియు ఈ సరళరేఖ 1 0 | y = 0 + 7 = 7 | (0, 7) .
Y- అక్షంతో ధనదిశలో 135° కోణాన్ని, రుణదిశలో 45° కోణాన్ని చేస్తుంది.
y= x + 7 గ్రాఫ్ :

ప్రశ్న 2.
బిందువులు A(3, 2), B (- 8, 2) లు \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖపై ఉన్నచో ఆ రేఖ వాలును కనుగొనండి. \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖ ఎప్పుడు X-అక్షమునకు సమాంతరంగా ఉంటుంది ? ఎందుకు ? మీ స్నేహితులతో గ్రూపులలో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 188)
సాధన.
బిందువులు = A (3, 2), B (- 8, 2) అయిన \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖవాలు (m) = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)
= \(\frac{2-2}{-8-3}=\frac{0}{-11}\) = 0
A, B బిందువులలో Y నిరూపకాలు సమానంగా ఉన్నప్పుడు \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖ X – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖ వాలు ‘0’, అనగా ఒక రేఖ వాలు ‘0’ (సున్న) అయితే ఆ రేఖ X – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
A (4, 0) మరియు B (8, 0) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత ? (పేజీ నెం. 162)
సాధన.
A, B లలో y – నిరూపకాలు సమానం.
A, B ల మధ్య దూరం = |x₂ – x₁|
= |8 – 4| = 4 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 2.
A మరియు B బిందువులు వరుసగా (8, 3), ( – 4, 3), అయిన వాటి మధ్యదూరాన్ని కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 162)
సాధన.
A (8, 3), B (- 4, 3), బిందువులలో y నిరూపకాలు సమానం.
A, B ల మధ్య దూరం = |x₂ – x₁|
. = |- 4 – 8|
= |- 12| = 12 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 3.
బిందువులు A(4, 3) మరియు B(8, 6)ల మధ్యదూరాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 164)
సాధన.
A (4, 3), B (8, 6) (x₁, y₁), (x₂, y₂) లతో పోల్చగా x₁ = 4, x₂ = 8, y₁ = 3, y₂ = 6
∴ AB ల మధ్య దూరం = d = \(\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(8-4)^{2}+(6-3)^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9}=\sqrt{25}\) = 5 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 4.
బిందువులు A (4, 2), B (7, 5) మరియు C(9, 7) లు ఒకే సరళరేఖపై ఉన్నాయని చూపండి. (పేజీ నెం. 164)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A (4, 2), B (7, 5), C (9, 7) AB, BC, AC లను కనుగొందాము.
బిందువుల మధ్య దూరం = \(\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2}}\)
AB = d = \(\sqrt{(7-4)^{2}+(5-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}\)
= \(\sqrt{9 \times 2}=3 \sqrt{2}\)

BC = \(\sqrt{(9-7)^{2}+(7-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{4 \times 2}=2 \sqrt{2}\)

AC = \(\sqrt{(9-4)^{2}+(7-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}\)
= \(\sqrt{25 \times 2}\) = 5√2
AB + BC = 3√2 + 2√2 = 5√2 = AC.
∴ AB + BC = AC.
కావున A(4, 2), B(7, 5) మరియు C(9, 7)లు ఒకే సరళరేఖపై ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 5.
బిందువులు (3, 2), (- 2, – 3) మరియు (2, 3)లు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయా ? (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A(3, 2), B(- 2, – 3), C(2, 3) AB, BC, AC లను కనుగొందాము.
AB = \(\sqrt{(-2-3)^{2}+(-3-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-5)^{2}+(-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+25}=\sqrt{50}\)
= 7.07 యూనిట్లు (సుమారుగా)

BC = \(\sqrt{[2-(-2)]^{2}+[3-(-3)]^{2}}\)
= \(\sqrt{4^{2}+6^{2}}=\sqrt{16+36}\)
= √52 = 7.21 యూనిట్లు (సుమారుగా)

AC = \(\sqrt{(2-3)^{2}+(3-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-1)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{2}\)` `
= 1.41 యూనిట్లు (సుమారుగా)
పై విలువలను బట్టి ఏ రెండు విలువల మొత్తమైనా మూడవ దాని కంటే ఎక్కువ. (త్రిభుజ అసమానత్వ నియమం ప్రకారం త్రిభుజంలో ఏవైనా రెండు భుజాల పొడవుల మొత్తం మూడవదాని కంటే ఎక్కువ) కావున బిందువులు A, B మరియు C లు ఒక విషమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.
`(లేదా)
AB, BC, ACలలో ఏ రెండు రేఖాఖండాల మొత్తమైనా మూడవ దానికి సమానం కాలేదు. అనగా A, B, C లు సరేఖీయాలు కావు. కావున A, B, Cలు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

ప్రశ్న 6.
బిందువులు (1, 7), (4, 2), (- 1, – 1) మరియు (- 4, 4) లు ఒక చతురస్రం యొక్క శీర్షాలు అవుతాయని చూపండి. (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A (1, 7), B (4, 2), C (-1, -1)
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)

AB = d = \(\sqrt{(4-1)^{2}+(2-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\) యూనిట్లు

BC = \(\sqrt{(-1-4)^{2}+(-1-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\) యూనిట్లు

CD = \(\sqrt{(-4-(-1))^{2}+(-4-(-1))^{2}}\)
= \(\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\) యూనిట్లు

DA = \(\sqrt{(-4-1)^{2}+(4-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\) యూనిట్లు
మరియు కర్ణాలు
AC = \(\sqrt{(-1-1)^{2}+(-1-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+64}=\sqrt{68}\) యూనిట్లు

BD = \(\sqrt{(-4-4)^{2}+(4-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{64+4}=\sqrt{68}\) యూనిట్లు
AB = BC = CD = DA మరియు AC = BD. నాలుగు భుజాలు సమానము మరియు కర్ణాలు సమానం.
∴ ABCD ఒక చతురస్రం అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
ప్రక్క పటం ఒక తరగతి గదిలోని డెస్క్ల యొక్క అమరికను చూపిస్తుంది. మాధురి, మీన, పల్లవిలు వరుసగా A (3, 1), B(6, 4) మరియు C(8, 6) స్థానాలలో కూర్చున్నారు. వారు ముగ్గురూ ఒకే సరళరేఖలో కూర్చున్నారని మీరు భావిస్తున్నారా ? మీ సమాధానానికి సరైన కారణం తెలపండి. (పేజీ నెం. 166)

సాధన.
A(3, 1), B(6, 4), C (8, 6)
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
AB = \(\sqrt{(6-3)^{2}+(4-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{9 \times 2}=3 \sqrt{2}\) యూనిట్లు

BC = \(\sqrt{(8-6)^{2}+(6-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+4}=\sqrt{4 \times 2}=2 \sqrt{2}\) యూనిట్లు

AC = \(\sqrt{(8-3)^{2}+(6-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+25}=\sqrt{25 \times 2}=\dot{5} \sqrt{2}\) యూనిట్లు

దీని నుండి ∴ AB + BC = 3√2 + 2√2 = 5√2 = AC
కాబట్టి A, B, C బిందువులు సరేఖీయాలు. కాబట్టి వారు ముగ్గురూ ఒకే సరళరేఖలో కూర్చున్నారు.

ప్రశ్న 8.
బిందువు (x, y) అనునది బిందువులు (7, 1) మరియు (3, 5) లకు – సమాన దూరంలో ఉన్నది. అయిన X మరియు y ల మధ్య సంబంధమును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 166).
సాధన.
P(x, y) బిందువు, A (7, 1) మరియు B (3, 5) లకు సమానదూరంలో ఉన్నది.
∴ AP = BP
⇒ AP² = BP²
AP = \(\sqrt{(7-x)^{2}+(1-y)^{2}}\)
⇒ AP² = (7 – x)² + (1 – y)²

BP = \(\sqrt{(3-x)^{2}+(5-y)^{2}}\)
⇒ BP² = (3 – x)² + (5 – y)²

(7 – x)² + (1 – y)² = (3 – x)² + (5 –²y)²
= 49 – 14x + x² + 1 – 2y + y²
= 9 – 6x + x² + 25 – 10y + y²
x² + y² – 14x – 2y + 50 – x² – y² + 6x + 10y – 34 = 0
– 8x + 8y + 16 = 0
– 8 [x – y – 2] = 0
∴ x – y – 2 = 0
కావలసిన సంబంధము x – y = 2.

ప్రశ్న 9.
A(6, 5) మరియు B(- 4, 3) లకు సమానదూరంలో Y-అక్షంపై ఉన్న బిందువు నిరూపకాలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 167)
సాధన.
Y-అక్షంపై గల బిందువు (0, y) రూపంలో ఉంటుంది.
∴ A (6, 5) మరియు B (- 4, 3) బిందువులకు సమాన దూరంలో Y-అక్షంపై నున్న బిందువు P(0, y) అనుకొందాము.
PA = \(\sqrt{(6-0)^{2}+(5-y)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+25-10 y+y^{2}}\)
= \(\sqrt{y^{2}-10 y+61}\)

PA² = y² – 10y + 61

PB = \(\sqrt{(-4-0)^{2}+(3-y)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9-6 y+y^{2}}\)
= \(\sqrt{y^{2}-6 y+25}\)

PB² = y² – 6y + 25
PA = PB
⇒ PA² = PB²
y² – 10y + 61 = y² – 6y + 25
y² – 10y + 61 – y² + 6y – 25 = 0
– 4y + 36 = 0
4y = 36
∴ y = \(\frac{36}{4}\) = 9
∴ కావలసిన బిందువు P (0, y) = (0, 9).

సరిచూచుట :
AP = \(\sqrt{(6-0)^{2}+.(5-9)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\)

BP = \(\sqrt{(-4-0)^{2}+(3-9)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+36}=\sqrt{52}\)

ప్రశ్న 10.
బిందువులు (4, – 3) మరియు (8, 5) లచే ఏర్పడు. రేఖాఖండమును 3 : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించు బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 171)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు (4, -3) మరియు (8, 5) లను P (x, y) 3 : 1 నిష్పత్తిలో విభిజిస్తుంది అనుకొనుము.
విభజన సూత్రం P(x, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{3(8)+1(4)}{3+1}, \frac{3(5)+1(-3)}{3+1}\right)\)

= \(\left(\frac{24+4}{4}, \frac{15-3}{4}\right)=\left(\frac{28}{4}, \frac{12}{4}\right)\)

∴ కావలసిన బిందువు P(x, y) = (7, 3).

ప్రశ్న 11.
బిందువులు (3, 0) మరియు (-1, 4) లచే ఏర్పడు – రేఖాఖండం యొక్క మధ్యబిందువును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 171)
సాధన.
బిందువులు (3, 0) మరియు (- 1, 4) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండం యొక్క మధ్యబిందువు M(x, y) అనుకొనిన,
మధ్యబిందువు M(x, y) = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
M(x, y) = \(\left(\frac{3+(-1)}{2}, \frac{0+4}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{2}{2}, \frac{4}{2}\right)\) = (1, 2).

ప్రశ్న 12.
బిందువులు (3, – 5), (- 7, 4), (10, – 2) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రంను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 173) .
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు (3, – 5), (- 7, 4), (10, – 2).
గురుత్వ కేంద్రం నిరూపకాలు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{3+(-7)+10}{3}, \frac{(-5)+4+(-2)}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{6}{3}, \frac{-3}{3}\right)\) = (2, – 1)
∴ గురుత్వ కేంద్రం = (2, – 1).

ప్రశ్న 13.
బిందువులు AC- 6, 10) మరియు B (3, – 8) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును బిందువు (-4, 6) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
A(- 6, 10), B(3, – 8) రేఖాఖండాన్ని (- 4, 6) అంతరంగా m₁ : m₂ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందనుకొనిన
(- 4, 6) = \(\left(\frac{3 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)
(x, y) = (a, b) ⇒ x = a మరియు y = b అని మనకు తెలుసు.
∴ – 4 = \(\frac{3 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\) ………. (1) మరియు

6 = \(\frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\) ……….. (2)

(1) ⇒ – 4m₁ – 4m₂ = 3m₁ – 6m₂
– 4m₁ – 3m₁ = – m₂ + 4m₂
– 7m₁ = – 2m₂
7m₁ = 2m₂
∴ \(\frac{\mathrm{m}_{1}}{\mathrm{~m}_{2}}=\frac{2}{7}\)
అనగా m₁ : m₂ = 2 : 7
ఈ నిష్పత్తి (2) సమీకరణాన్ని కూడా సంతృప్తిపరుస్తుందని చూపవచ్చును.
(2) ⇒ 6 =
∴ 6 = 6 కావున బిందువులు A (-6, 10) మరియు B (3, – 8) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును (- 4, 6) బిందువు 2 : 7 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

ప్రశ్న 14.
బిందువులు A(2, – 2) మరియు B(- 7, 4) లచే, ఏర్పడు రేఖాఖండము యొక్క ప్రాథాకరణ బిందువులు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 175)
సాధన.
AB రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు P మరియు Q లు అనుకొనిన AP = PQ = QB (పటంలో చూపినట్లు).

అందువల్ల AB రేఖాఖండాన్ని బిందువు P అంతరంగా 1 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. కావున విభజన సూత్రం నుండి.
P (x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{1(-7)+2(2)}{1+2}, \frac{1(4)+2(-2)}{1+2}\right)\)

= \(\left(\frac{-7+4}{3}, \frac{4-4}{3}\right)=\left(\frac{-3}{3}, \frac{0}{3}\right)\) = (- 1, 0)
ఇపుడు బిందువు Q కూడా AB రేఖాఖండాన్ని అంతరంగా 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
అందువల్ల బిందువు Q యొక్క నిరూపకాలు = \(\left(\frac{2(-7)+1(2)}{2+1}, \frac{2(4)+1(-2)}{2+1}\right)\)
అనగా \(\left(\frac{-14+2}{3}, \frac{8-2}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{-12}{3}, \frac{6}{3}\right)\) = (- 4, 2)
కాబట్టి, AB రేఖాఖండము యొక్క ప్రాథాకరణ బిందువులు P(- 1, 0) మరియు Q(- 4, 2).

ప్రశ్న 15.
బిందువులు (5, – 6) మరియు (- 1, – 4) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును Y- అక్షము ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది? ఆ ఖండన బిందువును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 176)
సాధన.
బిందువులు A(5, – 6) మరియు B(- 1, – 4) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండము AB ని Y – అక్షంపైనున్న బిందువు
P(0, y), m₁ : m₂ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందనుకొంటే
P(o, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1}(-1)+\mathrm{m}_{2}(5)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1}(-4)+\mathrm{m}_{2}(-6)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

(0, y) = \(\left(\frac{-m_{1}+5 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-4 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

⇒ \(\frac{-\mathrm{m}_{1}+5 \mathrm{~m}_{2}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\) = 0
⇒ – m₁ + 5m₂ = 0
⇒ – m₁ = – 5m₂
⇒ m₁ = 5m₂
\(\frac{\mathrm{m}_{1}}{\mathrm{~m}_{2}}=\frac{5}{1}\)
Y- అక్షం విభజించే నిష్పత్తి = m₁ : m₂ = 5 : 1
ఇప్పుడు y = \(\frac{-4 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\)

⇒ \(\frac{-4 \frac{m_{1}}{m_{2}}-6}{\frac{m_{1}}{m_{2}}+1}=\frac{-4\left(\frac{5}{1}\right)-6}{\frac{5}{1}+1}=\frac{-20-6}{6}\)

⇒ y = \(\frac{-26}{6}\) = \(\frac{-13}{3}\)
∴ ఖండన బిందువు P = ( 0, \(\frac{-13}{3}\))

2వ పద్ధతి :
A(x₁, y₁), B (x₂, y₂) బిందువులను Y- అక్షం విభజించే నిష్పత్తి m₁ : m₂ = – x₁ : x₂
∴ (5, – 6) మరియు (-1, – 4) లను Y – అక్షం విభజించే నిష్పత్తి = – x₁ : x₂ = – 5 : – 1
= 5 : 1
(5, – 6) మరియు (- 1, – 4) లను 5 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువే ఖండన బిందువు అవుతుంది.
∴ ఖండన బిందువు =
∴ ఖండన బిందువు P = (0, \(\frac{-13}{3}\))
3వ పద్ధతి :
పాఠ్యపుస్తకంలో కలదు చూడగలరు.

ప్రశ్న 16.
బిందువులు A(7, 3), B(6, 1), C(8, 2) మరియు D(9, 4)లు వరుసగా సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలని చూపండి. (పేజీ నెం. 176)
సాధన.
బిందువులు A(7, 3), B(6, 1), C(8, 2) మరియు D(9, 4) లు వరుసగా ఒక సమాంతర చతుర్భుజం శీర్షాలు అనుకొనిన, సమాంతర చతుర్భుజంలో కర్ణాలు పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకుంటాయని తెలుసు.
∴ అందువల్ల కర్ణాలు AC మరియు BD ల మధ్య బిందువులు సమానం కావాలి.
A (7, 3), C (8, 2) ల మధ్యబిందువు = \(\left(\frac{7+8}{2}, \frac{3+2}{2}\right)=\left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)\)
B(6, 1), D(9, 4) ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right)=\left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)\)
∴ AC మధ్య బిందువు = DB మధ్య బిందువు.
కాబట్టి బిందువులు A, B, C, D లు సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 17.
బిందువులు A(6, 1), B (8, 2), C(9, 4) మరియు D(p, 3) లు వరుసగా సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలయిన p యొక్క విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 177)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) D(p, 3) సమాంతర చతుర్భుజంలో కర్ణాలు పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకుంటాయని మనకు తెలుసు.
కాబట్టి AC మధ్య బిందువు = BD మధ్య బిందువు
\(\left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right)=\left(\frac{8+\mathrm{p}}{2}, \frac{5}{2}\right)\)

⇒ \(\left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)=\left(\frac{8+\mathrm{p}}{2}, \frac{5}{2}\right)\)

⇒ \(\frac{15}{2}=\frac{8+p}{2}\)
⇒ 15 = 8 + p
⇒ P = 15 – 8 =7
∴ p = 7.

ప్రశ్న 18.
బిందువులు A(1, – 1), B (- 4, 6), C(- 3, – 5)లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి..
సాధన.
A(1, – 1), B (- 4, 6), C(- 3, – 5) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |1(16 – (- 5) )+ (- 4) (- 5 _ (- 1)) + (- 3) (- 1 – 6)|
= \(\frac{1}{2}\) |11 + 16 + 21|
= \(\frac{1}{2}\) |48| = 24
∴ ∆ ABC వైశాల్యం = 24 చదరపు యూనిట్లు.

ప్రశ్న 19.
బిందువులు A(5, 2), B(4, 7) C(7, – 4)లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.
A(1, – 1), B (- 4, 6), C(- 3, – 5) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |5(7 – (- 4)) + 4(- 4 – 2) + 7(2 – 7)|
= \(\frac{1}{2}\) |5(11) + 4(- 6) + 7(- 5)|
= \(\frac{1}{2}\)|55 – 24 – 35|
= \(\frac{1}{2}\) |- 4|
= \(\frac{1}{2}\) × 4 = 2
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం = 24 చదరపు యూనిట్లు.

ప్రశ్న 20.
బిందువులు A(- 5, 7), B (- 4, – 5), C(- 1, – 6) మరియు D(4, 5) లు ఒక చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు అయిన , ABCD చతుర్భుజ. వైశాల్యం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 181)
సాధన.

A, B, C, D లు చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు.
కర్ణము BD, □ABCDA, ∆ABD మరియు ABCD అనే రెండు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది.
∆ABD వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |- 5 (- 5 – 5) + (- 4) (5 – 7) + 4 (7 – (-5))|
= \(\frac{1}{2}\) |50 + 8 + 48|
= \(\frac{1}{2}\) |106| = 53
చదరపు యూనిట్లు ∆BCD వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\)|- 4(- 6 – 5) + (- 1)(5 + 5) +4(- 5 – (- 6))|
= \(\frac{1}{2}\) |44 – 10 + 4|
= \(\frac{1}{2}\) |38| = 19 చ.యూ.
□ ABCD చతుర్భుజ వైశాల్యం = ∆ABD వైశాల్యం + ∆BCD వైశాల్యం
= 53 + 19 = 72 చదరపు యూనిట్లు

ప్రశ్న 21.
ఒక తలంలో ఉన్న బిందువులు (3, – 2), (- 2, 8) మరియు (0, 4)లు సరేఖీయ బిందువులు అని చూపండి. (పేజీ నెం. 182)
సాధన.
(3, – 2), (- 2, 8) మరియు (0, 4) లతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₂ – y₁)|
= \(\frac{1}{2}\) |3(8 – 4) + (- 2) (4 – (- 2)) + 0 ((- 2) – 8)|
= \(\frac{1}{2}\) |12 – 12| = 0
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం సున్నా ‘0’. కావున పై ఇచ్చిన మూడు బిందువులు సరేఖీయ బిందువులు.

ప్రశ్న 22.
బిందువులు (1, 2), (- 1, b), (- 3, – 4) సరేఖీయాలైతే ‘b’ విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 183)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
A(1, 2), B(- 1, b), C(- 3, – 4) అనుకొనుము.
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₂ – y₁)|
= \(\frac{1}{2}\) |1(b – (- 4)) + (- 1) (- 4 – 2) + (- 3)(2 – b)|
= \(\frac{1}{2}\) |(b + 4) – 1(- 6) – 3(2 – b)|
= \(\frac{1}{2}\) |1(b + 4) + 6 – 6 + 3b|
= \(\frac{1}{2}\) |b + 4 + 6 – 6 + 36|
= \(\frac{1}{2}\) |4b + 4|
= \(\frac{1}{2}\) × 2| 2b + 2 | = |2b + 2| = 0 (∵ ఇచ్చిన బిందువులు సరేఖీయాలు త్రిభుజ వైశాల్యం సున్న)
⇒ 2b + 2 = 0 ⇒ 2b = – 2
∴ b = \(\frac{-2}{2}\) = -1.

ప్రశ్న 23.
12మీ, 9మీ, 15మీ పొడవులు గల భుజాలతో ఏర్పడిన త్రిభుజ వైశాల్యంను “హెరాన్ సూత్రం”ను ఉపయోగించి కనుక్కొందాం. (పేజీ నెం. 183)
సాధన.
A = \(\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}\) (∵ S = \(\frac{a+b+c}{2}\))
S = \(\frac{12+9+15}{2}=\frac{36}{2}\) = 18 మీ.

అపుడు
S – a = 18 – 12 = 6 మీ.
S – b = 18 – 9 = 9 మీ.
S – C = 18 – 15 = 3 మీ.
A = \(\sqrt{18(6)(9)(3)}=\sqrt{2916}\) = 54 చదరపు మీటర్లు.

ప్రశ్న 24.
ఒక రేఖాఖండం యొక్క తొలి, చినరి బిందువుల వరుసగా (2, 3), (4, 5). ఆ రేఖాఖండం యొక్క వాలును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 188)
సాధన.
రేఖాఖండం యొక్క తొలి, చివరి బిందువులు (2, 3), (4, 5) అయిన ఆ రేఖాఖండం వాలు,
m = \(\frac{\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}}{\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}}=\frac{5-3}{4-2}=\frac{2}{2}\) = 1
∴ ఇచ్చిన రేఖాఖండం యొక్క వాలు = 1

ప్రశ్న 25.
బిందువులు P(2, 5) మరియు Q(x, 3) ల గుండా పోయే రేఖవాలు 2 అయిన x విలువను కనుగొనుము (పేజీ నెం. 186).
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు P(2, 5) మరియు Q(x, 3) గుండా పోయే రేఖవాలు 2.
pQ రేఖాఖండం వాలు m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\) = 2
⇒ \(\frac{3-5}{x-2}\) = 2
⇒ \(\frac{-2}{x-2}\) = – 2
⇒2x – 4 = 2
⇒ x = \(\frac{2}{2}\) = 1
∴ x =1