AP Board 10th Class Physics & Chemistry Study Material Textbook Solutions Guide State Syllabus

Andhra Pradesh SCERT AP State Board Syllabus SSC 10th Class Physical Science Physics and Chemistry Textbook Solutions Study Material Guide Pdf free download in English Medium and Telugu Medium are part of AP Board 10th Class Textbook Solutions.

Students can also go through AP Board 10th Class Physical Science Notes to understand and remember the concepts easily. Students can also read AP 10th Class Physical Science Chapter Wise Important Questions (Physics & Chemistry) for board exams.

AP State Syllabus 10th Class Physics Textbook Solutions Study Material Guide Pdf Free Download

AP State Syllabus 10th Class Chemistry Textbook Solutions Study Material Guide Pdf Free Download

AP State Syllabus 10th Class Physics Textbook Solutions Study Material Guide Pdf Free Download in Telugu Medium

  • Chapter 1 ఉష్ణం
  • Chapter 3 సమతల ఉపరితలాల వద్ద కాంతి వక్రీభవనం
  • Chapter 4 వక్రతలాల వద్ద కాంతి వక్రీభవనం
  • Chapter 5 మానవుని కన్ను – రంగుల ప్రపంచం
  • Chapter 9 విద్యుత్ ప్రవాహం
  • Chapter 10 విద్యుదయస్కాంతత్వం

AP State Syllabus 10th Class Chemistry Textbook Solutions Study Material Guide Pdf Free Download in Telugu Medium

  • Chapter 2 ఆమ్లాలు-క్షారాలు – లవణాలు
  • Chapter 6 పరమాణు నిర్మాణం
  • Chapter 7 మూలకాల వర్గీకరణ – ఆవర్తన పట్టిక
  • Chapter 8 రసాయన బంధం
  • Chapter 11 లోహ సంగ్రహణ శాస్త్రం
  • Chapter 12 కార్బన్ – దాని సమ్మేళనాలు

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
వర్గీకృత మరియు అవర్గీకృత దత్తాంశానికి సగటును కనుగొనవచ్చు. వీటిలో ఏది అత్యంత ఖచ్చితమైన సగటు అని నీవు భావిస్తావు ? ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 327)
సాధన.
వర్గీకృత దత్తాంశం ద్వారా అత్యంత ఖచ్చితమైన సగటును కనుగొనవచ్చును. . ఎందుకనగా వర్గీకృత దత్తాంశం తరగతులుగా విడగొట్టబడి ఉంటుంది. ఆ దత్తాంశం యొక్క పౌనఃపున్యాలు ఆ తరగతి ఆధారంగా నిర్ణయించబడి, ప్రతి ‘ అంశాన్ని పరిగణలోనికి తీసుకొంటాం. కావున, ఇది ఖచ్చితమైన సగటునిస్తుంది.

ప్రశ్న 2.
దత్తాంశ విశ్లేషణకు వర్గీకృత దత్తాంశము ఎప్పుడు అనువైనది ? (పేజీ నెం. 327)
సాధన.
దత్తాంశంలో రాశుల సంఖ్య చాలా ఎక్కువగా ఇచ్చినపుడు వర్గీకృత దత్తాంశం విశ్లేషణకు అనువైనది.

ప్రశ్న 3.
పై మూడు పద్ధతుల ద్వారా సాధించబడిన ఫలితము ఒకటేనా ? (పేజీ నెం. 331)
సాధన.
అవును.

ప్రశ్న 4.
ఒకవేళ x, మరియు f, లు చాలినంత చిన్నగా ఉంటే, : అపుడు ఏ పద్ధతిని ఎన్నుకోవడం అనుకూలమైనది ? (పేజీ నెం. 331)
సాధన.
ప్రత్యక్ష పద్ధతి.

ప్రశ్న 5.
ఒకవేళ xi మరియు fi ల విలువలు పెద్ద సంఖ్యలు అయినపుడు ఏ పద్ధతి సరియైన పద్ధతి ? (పేజీ నెం. 331)
సాధన.
సంక్షిప్త విచలన పద్ధతి.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది దత్తాంశానికి బాహుళకాన్ని కనుక్కోండి.
a) 5, 6, 9, 10, 6, 12, 3, 6, 11, 10, 4, 6, 7.
b) 20, 3, 7, 13, 3, 4, 6, 7, 19, 15, 7, 18, 3.
c) 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6. (పేజీ.నెం. 334)
సాధన.
బాహుళకం
a) 6 (తరచుగా వచ్చు విలువ)
b) 3, 7 (ద్విబాహుళకం)
c) బాహుళకం లేదు. బాహుళక రహిత దత్తాంశము.

ప్రశ్న 2.
బాహుళకము ఎల్లప్పుడు దత్తాంశమునకు మధ్యలో
ఉంటుందా ? (పేజీ నెం. 334)
సాధన.
ఉండనవసరం లేదు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions

ప్రశ్న 3.
10 క్రికెట్ మ్యా చ్ లో ఒక బౌలర్ తీసిన వికెట్లు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి. 2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3 (ఉదాహరణ – 4). ఈ దత్తాంశానికి మరొక రాశిని చేర్చగా బాహుళకము మారుతుందా ? వ్యాఖ్యానించండి. (పేజీ నెం. 334)
సాధన.
దత్తాంశానికి మరో అంశం కొత్తగా కలిపినపుడు దాని బాహుళకం – మారుతుందా లేదా అనేది మనం చేర్చిన దత్తాంశంపై ఆధారపడుతుంది. ఉదాహరణకు మనకు ఇచ్చిన దత్తాంశం నందు 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6 అను దానిలో 2 (3 సార్లు) ఉన్నది. కావున దీని బాహుళకం = 2.

అయితే మనం ఈ దత్తాంశానికి “3” అనే అంశాన్ని చేర్చితే ఆ దత్తాంశం 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6 గా మారును. అపుడు ఈ క్రొత్త దత్తాంశానికి 2 మరియు 3 లు రెండూ కూడా బాహుళకం అగును. అపుడు దీనిని ద్విబాహుళక దత్తాంశం అందురు, కావున ‘3’ చేర్చుటువల్ల బాహుళకం మారును. 3 కాకుండా ఏ ఇతర అంశాన్ని చేర్చినా బాహుళకం మారదు అని గుర్తించాలి.

ప్రశ్న 4.
ఒకవేళ ఉదాహరణ-4లోని రాశులలోని గరిష్ఠవిలువ ‘8’కి మారిన, దాని ప్రభావం అట్టి దత్తాంశం యొక్క బాహుళకంపై ఉంటుందా ? .వ్యాఖ్యానించుము. (పేజీ నెం. 334)
సాధన.
4లోని రాశులలో, గరిష్ట విలువ 8కి మారిన, దాని ప్రభావం బాహుళకంపై ఉండదు, బాహుళకం మారదు. గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువలకు. బాహుళకం మారనవసరం లేదు.”

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
సందర్భాన్ని బట్టి మనము తరగతిలోని విద్యార్థుల అందరి సరాసరి మార్కులు, లేక ఎక్కువమంది విద్యార్థులు పొందిన మార్కులు కనుగొంటాము. . . (పేజీ నెం. 336)
a) మొదటి సందర్భంలో మనం ఏ కేంద్రీయస్థానపు విలువను కనుక్కొంటాం ?
సాధన.
సగటు.
b) రెండవ సందర్భంలో మనం ఏ కేంద్రీయస్థానపు విలువను కనుక్కొంటాం ?
సాధన. బాహుళకము.

ప్రశ్న 2. వేరువేరు తరగతి అంతరాలు గల దత్తాంశమునకు కూడా బాహుళకము’ను కనుగొనవచ్చునా ? (పేజీ నెం. 336)
సాధన.
లేదు. విభిన్న తరగతి అంతరాలతో బాహుళకం కనుగొనలేము.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
ఒక పాఠశాలలోని 10వ తరగతికి చెందిన 30 మంది విద్యార్థులు గణితంలో పొందిన మార్కులు పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి. విద్యార్థులు పొందిన మార్కుల సగటు కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 324)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 1

సాధన.
పై దత్తాంశాన్ని క్రింద చూపిన పట్టికలో తిరిగి వ్రాయగా,

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 2

కాబట్టి, \(\overline{\mathbf{x}}\) = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)
= \(\frac{1779}{30}\) = 59.3
∴ మార్కుల సగటు = 59.3.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions

ప్రశ్న 2.
భారతదేశములోని వివిధ రాష్ట్రాలు మరియు కేంద్రపాలిత ప్రాంతాలకు చెందిన గ్రామీణ ప్రాంత ప్రాథమిక పాఠశాలల్లో గల మహిళా ఉపాధ్యాయుల శాతముల వివరములు ఈ క్రింది పట్టికలో పొందుపరచబడినాయి. పై మూడు పద్దతులనుపయోగించి మహిళా ఉపాధ్యాయుల సగటు శాతాన్ని కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 330)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 3

(NCERT వారు నిర్వహించిన 7వ అఖిలభారతీయ పాఠశాల విద్యా సర్వే గణాంకాల ప్రకారం)
సాధన.
తరగతి మధ్య విలువ xi కనుగొని, దానిని పట్టికలో పొందుపరుచుదాం.
ఇచ్చట a = 50, h = 10,
అపుడు di = xi – 50 మరియు ui = 10 –
ఇపుడు మనము di మరియు ui విలువలను కనుగొని పట్టికలో పొందుపరచగా

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 4

పై పట్టిక నుండి, Σfi = 35, Σfixi = 1390, Σfidi = – 360, Σfiui = – 36.
ప్రత్యక్ష పద్ధతి ద్వారా (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)
= 1390 = 39.71
ఊహించిన సగటు పద్ధతి ద్వారా (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{d}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)
= 50 + \(\frac{-360}{35}\)
= 50 – 10.29 = 39.71
సోపాన విచలన పద్ధతి ద్వారా (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
= 50 + \(\frac{-36}{35}\) × 10
= 39.71
∴ గ్రామీణ ప్రాంత ప్రాథమిక పాఠశాలల్లో గల మహిళా ఉపాధ్యాయుల సగటు శాతము = 39.71.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions

ప్రశ్న 3.
వన్డే క్రికెట్ ఆటలో బౌలర్లు సాధించిన వికెట్ల వివరాలను ఈ క్రింది పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో చూపించనైనది. సరియైన పద్ధతిని ఎంచుకొని బౌలర్లు సాధించిన సగటు వికెట్లను కనుగొనుము. ఇట్టి సగటు యొక్క ప్రాముఖ్యత ఏమిటి? (పేజీ నెం. 331)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 5

సాధన.
ఇచ్చట తరగతి పొడవులు వేరువేరుగా ఉన్నాయి, మరియు xi విలువలు పెద్దవిగా ఉన్నాయి. అయినప్పటికినీ సగటు కనుగొనడానికి సంక్షిప్త విచలన పద్ధతినే ఎంచుకుందాము; ఇచ్చట a = 200 మరియు మీ = 20.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 6

అందువల్ల (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
= 200 + \(\frac{-106}{45}\) × 20
= 200 – 47.11 = 152.89
∴ 45 మంది బౌలర్లు వన్డే క్రికెట్ లో సాధించిన వికెట్ల సగటు = 152.89.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions

ప్రశ్న 4.
10 క్రికెట్ మ్యా చ్ లలో ఒక బౌలర్ తీసిన వికెట్లు క్రింది కుటుంబ విధంగా ఉన్నాయి. 2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3. కుటుంబా ఈ దత్తాంశానికి ‘బాహుళకాన్ని’ కనుక్కోండి. – (పేజీ నెం. 334)
సాదన.
దత్తాంశములోని అంకెలను (రాశులను) ఒక పౌన క్రమపద్ధతిలో అమర్చగా అనగా 0, 1, 2, 2, 2, 3, బాప 3, 4, 5, 6.
ఇపుర పై దత్తాంశంను పరిశీలించగా, ఎక్కువ మ్యాచుల్లో బాప బౌలర్ ‘2’ వికెట్లను తీసినట్లుగా స్పష్టంగా తెలియుచున్నది. (అనగా 3 సార్లు).
అందువల్ల ఇవ్వబడిన దత్తాంశం యొక్క బాహుళకము 2.

ప్రశ్న 5.
ఒక ఆవాస ప్రాంతంలో కొంతమంది విద్యార్థుల బృందం బాప 20 కుటుంబాలను సర్వే చేసి, కుటుంబ సభ్యుల పౌన: సంఖ్యను ఈ క్రింద చూపిన పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో చూపనైనది. (పేజీ నెం. 335)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 7

ఈ దత్తాంశానికి ‘బాహుళకాన్ని’ కనుక్కోండి.
సాధన.
ఇచ్చట, గరిష్ఠ తరగతి పౌనఃపున్యము 8, ఈ పౌనఃపున్యానికి సంబంధించిన తరగతి 3-5. అందువల్ల బాహుళక తరగతి 3-5.
ఇపుడు,
బాహుళక తరగతి = 3-5,
మధ్యంతర తరగతి యొక్క దిగువహద్దు (l) = 3,
తరగతి పొడవు (h) = 2
బాహుళక తరగతి పౌనఃపున్యము (f1) = 8,
బాహుళక తరగతికి ముందున్న తరగతి యొక్క
పౌనఃపున్యము (f0) = 7,
బాహుళక తరగతికి తరువాత నున్న తరగతి యొక్క .
పౌనఃపున్యము (f2) = 2.
పై విలువలను, ఈ క్రింది సూత్రములో ప్రతిక్షేపించుదాం.
బాహుళకం = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
= 3 + \(\left(\frac{8-7}{2 \times 8-7-2}\right)\) × 2
ఆ పై దత్తాంశం యొక్క బాహుళకము 3.286. (2×8-7-2).

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions

ప్రశ్న 6.
ఒక తరగతిలో 30 మంది విద్యార్థులు ఒక గణిత పరీక్షలో పొందిన మార్కులు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక ఈ క్రింది నీయబడినది. ఈ దత్తాంశానికి ‘బాహుళకము’ను కనుగొనుము. అదే విధంగా బాహుళకము మరియు సగటులను పోల్చి, వ్యాఖ్యానించుము. (పేజీ నెం. 335) తరగతి అంతరం విద్యార్థుల సంఖ్య తరగతి మధ్య విలువ

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 8

సాధన.
దత్తాంశములోని ఎక్కువ మంది విద్యార్థులు (7గురు) ’40-55′ తరగతి అంతరంలో మార్కులు సాధించియున్నారు.
కనుక ’40-55′ అనేది బాహుళక తరగతి అవుతుంది.
మధ్యంతర తరగతి యొక్క దిగువ హద్దు (l) = 40,
తరగతి పొడవు (h) = 15,
బాహుళక తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము (f1) = 7,
బాహుళక తరగతికి ముందున్న తరగతి పౌనఃపున్యము (f0) = 3,
బాహుళక తరగతికి తరువాత నున్న తరగతి పౌనఃపున్యము (f2) = 6.
బాహుళకము = l + \(\left(\frac{\mathrm{f}_{1}-\mathrm{f}_{0}}{2 \mathrm{f}_{1}-\mathrm{f}_{0}-\mathrm{f}_{2}}\right)\) × h
= 40 + \(\left(\frac{7-3}{2 \times 7-6-3}\right)\) × 15
= 40 + 12 = 52.

వ్యాఖ్యానం (Interpretation) :
పై దత్తాంశానికి బాహుళకము 52; అదే విధంగా సగటు 62 (ఉదాహరణ – 1, ద్వారా) అని తెలియుచున్నది. అనగా తరగతిలోని 52 మార్కులు పొందిన విద్యార్థులు ఎక్కువ మంది ఉన్నారని, ఒక్కొక్క విద్యార్థి యొక్క సగటు మార్కులు 62 అని తెలుస్తుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions

ప్రశ్న 7.
ఒక పాఠశాలలోని 10వ తరగతి బాలికల ఎత్తు గురించి చేసిన సర్వే ఫలితాలు కింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి. వారి ఎత్తుల మధ్యగతము కనుగొనండి (పేజీ నెం. 342)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 9

సాధన.
మధ్యగతము కనుగొనుటకు మొదట తరగతి అంతరాలను, వాటి సంబంధిత పౌనఃపున్యములను కనుగొనవలెను. ఇచ్చిన విలువలు ఎగువహద్దు కన్నా తక్కువ సంచిత పౌనఃపున్యములు కావు, ఎత్తులు 140, 145, 150, …, లు ఎగువ హద్దులు, అనగా తరగతి అంతరాలు 140 కన్నా తక్కువ, 140 – 145, 145 – 150 ……. అవుతాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 10

పట్టికను పరిశీలిస్తే 140 కన్నా తక్కువ పొడవు గల బాలికల సంఖ్య 4 అనగా 140 కన్నా తక్కువ తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము 4.
145 సెం.మీ కన్నా తక్కువ పొడవు గలవారు 11 మంది. అనగా 140 – 145 తరగతి పౌనఃపున్యం 11 – 4 = 7.
ఇదే విధంగా మిగిలిన పౌనఃపున్యములను లెక్కించవచ్చు.
దత్తాంశంలోని రాశుల సంఖ్య n = 51,
\(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\)
\(\frac{n}{2}=\frac{51}{2}\) = 25.5
22 దత్తాంశంలోని 25. 5వ రాశి 145-150 తరగతికి చెందుతుంది.
∴ 145 – 150 మధ్యంతర తరగతి. మధ్యగత తరగతి దిగువహద్దు l = 145,
మధ్యగత తరగతికి ముందు తరగతి cf = 11,
సంచిత పౌనఃపున్యం మధ్యగత తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము f = 18,
మధ్యగత తరగతి పొడవు h = 5.
సూత్రమును ఉపయోగించి మధ్యగతం = l + \(\frac{\left(\frac{\mathrm{n}}{2}-\mathrm{cf}\right)}{\mathrm{f}}\) × h
= 145 + \(\frac{(25.5-11)}{18}\) × 5
= 145 + \(\frac{72.5}{4}\)
= 149.03
∴ బాలికల పొడవుల యొక్క మధ్యగతము 149.03 సెం.మీ అనగా తరగతిలో 50% మంది బాలికలు 149.03 సెం.మీ కన్నా ఎక్కువ పొడవు కలిగి ఉంటారు.
మిగిలిన 50% మంది 149.03 సెం.మీ. కన్నా తక్కువ ఫొడవు కలిగి ఉంటారు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions

ప్రశ్న 8.
క్రింది దత్తాంశము యొక్క మధ్యగతము 525 మరియు దత్తాంశంలోని రాశుల మొత్తం 100 అయిన x, y విలువలను కనుగొనండి. (పట్టికలో CI అనగా తరగతి అంతరం, Fr అనగా పౌనఃపున్యం) (పేజీ నెం. 344)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 11

సాధన.
దత్తాంశంలోని రాశుల సంఖ్య n = 100 అని ఇవ్వబడింది.
76 + x + y = 100, i.e., x + y = 24 (1)
మధ్యగతం 525 అను రాశి 500 – 600 తరగతికి చెందుతుంది.
కావున, l = 500, f = 20, cf = 36 + x, h = 100 .
సూత్రము ఉపయోగించి మధ్యగతము = l + \(\frac{\left(\frac{\mathrm{n}}{2}-\mathrm{cf}\right)}{\mathrm{f}}\) × h
525 = 500 + \(\frac{50-36-x}{20}\) × 100
525 – 500 = (14 – x) × 5
25 = 70 – 5x.
5x = 70 – 25 = 45
∴ x = 9.
సమీకరణం (1) నుండి 9 + y = 24
∴ y = 15.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 12

గమనిక : వేరువేరు తరగతి అంతరాలు గల దత్తాంశమునకు కూడా ఇదే సూత్రమును ఉపయోగించి మధ్యగతమును కనుగొనవచ్చు.

ప్రశ్న 9.
ఒక ప్రాంతములోని 30 అంగళ్ళ యొక్క సంవత్సర ఆదాయములు క్రింది పట్టిక రూపంలో ఇవ్వబడ్డాయి. (పేజీ నెం. 349)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 13

పై దత్తాంశమునకు రెండు ఓజీవ్ వక్రాలు గీయండి. అందు నుండి , లాభముల యొక్క మధ్యగతము కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన దత్తాంశములోని విలువలు దిగువ హద్దులు, సంబంధిత అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములు. వీటితో మొదట అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రము గీయుటకు అనువైన స్కేలు తీసుకొని
X-అక్షముపై దిగువహద్దులను, Y- అక్షముపై సంచిత లాభము పౌనఃపున్యములను గుర్తించి వాటిని కలుపుతూ సరళ వక్రమును గీయాలి.. ఇది అవరోహణ సంచిత
పౌనఃపున్య వక్రము అవుతుంది. ఇప్పుడు ఇచ్చిన దత్తాంశము నుండి తరగతి అంతరాలు, పౌనఃపున్యములు, ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములను తయారు చేయగా ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 14

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 15

పై దత్తాంశమునుండి ఏర్పడు బిందువులు (10, 2), (15, 14), (20, 16), (25, 20), (30, 23), (35, 27), (40, 30) బిందువులను అదే గ్రాఫ్ పై గుర్తించి సరళ వక్రముతో కలుపగా ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రము ఏర్పడుతుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం InText Questions 16

ఈ రెండు వక్రములు పరస్పరం ఖండించుకొన్న బిందువు నుండి X-అక్షం మీదకు లంబమును గీయగా, ‘ఆ లంబపాదము 17.5 అని గుర్తించవచ్చు. అనగా దత్తాంశము యొక్క మధ్యగతము (M) = 17.5 లక్షల రూపాయలు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4

ప్రశ్న 1.
50 మంది శ్రామికుల దినసరి భత్యములు క్రింది పౌనఃపున్య విభాజనములో ఇవ్వబడ్డాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 1

ఈ దత్తాంశమునకు ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యములను తయారు చేసి, ఓజీవ్ వక్రము గీయండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 2

ఓజీవ్ వక్రం కొరకు X-అక్షంపై ఎగువ హద్దులు, Y-అక్షంపై ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలు తీసుకొనవలెను. పై పట్టిక నుండి కావలసిన క్రమయుగ్మాలు = {(300, 12), (350, 26), (400, 34), (450, 40), (500, 50)}

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 3

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4

ప్రశ్న 2.
ఒక పాఠశాలలో జరిగిన వైద్య పరీక్షలలో తరగతిలోని 35 మంది విద్యార్థుల బరువులు క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 4

ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రము గీచి దాని నుండి మధ్యగతమును గుర్తించండి. ఈ దత్తాంశమునకు సూత్ర సహాయంతో మధ్యగతము కనుగొని రెండు విలువలు సరిచూడండి..
సాధన

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 5

⇒ \(\frac{n}{2}=\frac{35}{2}\) = 17.5
∴ మధ్యగతం = l + \(\left(\frac{\frac{\mathrm{n}}{2}-\mathrm{c} \cdot \mathrm{f}}{\mathrm{f}}\right)\) × h
l = 46, \(\frac{n}{2}\) = 17.5, cf = 14, f = 14, h = 2.
∴ మధ్యగతం = 46 + \(\frac{17.5-14}{14}\) × 2
= 46 + \(\frac{7}{14}\)
= 46 + 0.5
46.5 కి.గ్రా.
∴ ఓజీవ్ వక్రం మరియు సహజ పద్ధతి ద్వారా విద్యార్థుల బరువుల మధ్యగతం 46.5 కే.జీగా సరిచూడటమైనది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4

(లేదా)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 6

∴ ఓజివ్ వక్రం కొరకు X-అక్షంపై ఎగువ హద్దులు, Y-అక్షంపై ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలు తీసుకొనవలెను.
∴ కావలసిన క్రమయుగ్మాల సమితి = {(38, 0), (40, 3), (42, 5), (44, 9), (46, 14), (48, 28), (50, 32) (52, 35)}
∴ ఓజీవ్ వక్రానికి = \(\frac{n}{2}=\frac{35}{2}\) = 17.5 వద్ద లంబాన్ని గీయగా అది X – అక్షం పై చేయు నిరూపకమే దాని మధ్యగతం అగును.
∴ 35 మంది పిల్లల బరువుల మధ్యగతం = 46.5 కి.గ్రా.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 7

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4

ప్రశ్న 3.
ఒక గ్రామములోని 100 మంది రైతులు పొలములలో హెక్టారుకు దిగుబడి ధాన్యము క్రింది విభాజనము నందు ఇవ్వబడింది.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 8

ఈ దత్తాంశమునకు అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యము తయారుచేసి ఓజీవ్ వక్రము గీయండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 9

∴ ఓజీవ్ వక్రం కొరకు X-అక్షంపై తరగతి దిగువ హద్దులు, Y-అక్షంపై అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలు.
∴ కావలసిన క్రమయుగ్మాల సమితి = {(50, 100), (55, 98), (60, 90), (65, 78), (70, 54), (75, 16)}

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.4 10

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3

ప్రశ్న 1.
ఒక ఆవాస ప్రాంతములోని 68 మంది వినియోగదారుల యొక్క నెలసరి విద్యుత్ వినియోగం క్రింది’ పట్టికలో ఇవ్వబడింది. ఈ దత్తాంశమునకు అంకమధ్యమము, మధ్యగతము, బాహుళకములను కనుగొని వానిని పోల్చండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 1

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 2

మధ్యగతము :
మధ్యగతము = l + \(\frac{\left[\frac{n}{2}-c f\right]}{f}\) × h
l = మధ్యగత తరగతి దిగువహద్దు = 125
\(\frac{n}{2}=\frac{68}{2}\) = 34
cf = మధ్యగత తరగతి . ముందు తరగతి యొక్క సంచిత పౌనఃపున్యము [125 – 145]= 22
f = మధ్యగత తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము
h = మధ్యగత తరగతి పొడవు = 20
∴ మధ్యగతము = 125 + \(\frac{[34-22]}{20}\) × 20
= 125 + 12 = 137 యూనిట్లు.

సగటు:
సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
a = అనుకున్న సగటు
Σfiui = 7
h = 20
∴ సగటు (x) = 135 + \(\frac{7}{68}\) × 20
= 135 + 2.05 = 137.05
∴ సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = 137.05 యూనిట్లు.

బాహుళకము :
బాహుళకము = l + \(\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}\) × h
l = మధ్యగత తరగతి దిగువహద్దు = 125
f1 = 20, f0 = 13, f2 = 14, n = 20
∴ బాహుళకము = 125 + \(\frac{[20-13]}{2 \times 20-[13+14]}\) × 20
= 125 + \(\frac{7 \times 20}{40-27}\)
= 125 + \(\frac{140}{13}\)
125 + 10.76
= 135.76 = 135
∴ బాహుళకము = 135.76 యూనిట్లు.
ఈ దత్తాంశమునకు అంకమధ్యమము, మధ్యగతము, బాహుళకములు సుమారుగా ఒకేలా ఉన్నాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3

ప్రశ్న 2.
క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడిన 60 రాశుల మధ్యగతం 28.5 అయిన x, y విలువలు కనుగొనుము

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 3

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 4

దత్తాంశము ప్రకారము మధ్యగతము = 28.5
∴ మధ్యగతము = l + \(\frac{\left[\frac{\mathrm{n}}{2}-\mathrm{cf}\right]}{\mathrm{f}}\) × h
l = మధ్యగత తరగతి దిగువ హద్దు = 20
\(\frac{n}{2}=\frac{60}{2}\) = 30
cf = సంచిత పౌనఃపున్యము = 5 + x, f = 20, h = 10
∴ మధ్యగతము
⇒ 20 + \(\frac{30-(5+x)}{20}\) × 10 = 28.5
⇒ \(\frac{30-5-x}{2}\) = 28.5 – 20 = 8.5
⇒ 25 – x = 17
⇒ x = 25 – 17 = 8
N = 60 (ఇచ్చినది)
N = 45 + x + y
∴ 45 + x + y = 60
⇒ x + y = 60 – 45 = 15
∴ 8 + y = 15 (∵ x = 8]
y = 7
∴ x = 8, y = 7.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3

ప్రశ్న 3.
ఒక జీవిత బీమా సంస్థ ఉద్యోగి, పాలసీదారుల వయస్సులను బట్టి తయారు చేసిన విభాజన పట్టిక క్రింద ఇవ్వబడింది. ‘పాలసీదారుల వయస్సుల మధ్యగతం కనుగొనండి. (18 సంవత్సరముల నుండి 60 సంవత్సరముల వయస్సు గల వారికి మాత్రమే పాలసీలు ఇస్తారు)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 5

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 6

∴ 20 – 25 మధ్య వయస్సున్న వ్యక్తుల సంఖ్య = 6 – 2 = 4.
పరిశీలనాంశములు = 100; n = 100
\(\frac{n}{2}-\frac{100}{2}\) = 50, 50, 35 – 40 తరగతిలో ఉన్నది.
∴ మధ్యగత తరగతి = 35 – 40;
దిగువ హద్దు = l = 35
cf = 45; h = 5; f = 33
మధ్యగతము = l + \(\frac{\left(\frac{\mathrm{n}}{2}-\dot{\mathrm{c}}\right)}{\mathrm{f}}\) × h
= 35 + \(\frac{50-45}{53}\) × 5
= 35 + \(\frac{5 \times 5}{33}\) ‘
= 35 + 0.7575 = 35.7575
∴ మధ్యగతము = 35.76.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3

ప్రశ్న 4.
ఒక చెట్టు యొక్క 40 ఆకుల పొడవులు దగ్గర మి.మీ వరకు కొలిచి తయారు చేసిన క్రింది పట్టిక నుండి వాని పొడవులు మధ్యగతము కనుగొనండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 7

(సూచన : మధ్యగతము లెక్కించుటకు తరగతి హద్దులు నిర్మించవలెను)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 8

మధ్యగతము = l + \(\frac{\left(\frac{\mathrm{n}}{2}-\dot{\mathrm{c}}\right)}{\mathrm{f}}\) × h
= 144.5 + \(\frac{(20-17)}{12}\) × 19
= 144 + \(\frac{9}{4}\)
= 144 + 2.25
∴ మధ్యగతము = 146.75 మి.మీ. .
∴ ఆకుల యొక్క మధ్యగత పొడవు = 146.75 మి.మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3

ప్రశ్న 5.
ఒక పరిశీలనలో 400 నియాన్ బల్బుల జీవితకాలం క్రింది విభాజనములో ఇవ్వబడ్డాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 9

బల్బుల జీవితకాలములకు మధ్యగతము కనుగొనండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 10

∴ మధ్యగతము = l + \(\frac{\left(\frac{\mathrm{n}}{2}-\dot{\mathrm{c}}\right)}{\mathrm{f}}\) × h
l = 3000, \(\frac{n}{2}\) = 200, స.పౌ. = 130, f = 86, h = 500
⇒ మధ్యగతము = 3000 + \(\frac{(200-130)}{86}\) × 500
= 3000 + \(\frac{70 \times 500}{86}\)
= 3000 + \(\frac{35000}{86}\)
= 3000 + 406.98
= 3406.98
∴ బల్బుల మధ్యగత జీవితకాలం = 3406.98 గం.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3

ప్రశ్న 6.
ఒక టెలిఫోను డైరక్టరీ నుండి యాదృచ్ఛికంగా 100 ఇంటి పేర్లను తీసుకొన్నారు. వాటిలోని అక్షరాల సంఖ్యను బట్టి క్రింది పౌనఃపున్య విభాజనము తయారు చేయబడినది.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 11

ఇంటి పేర్లలోని అక్షరాల సంఖ్యకు అంకమధ్యమము, మధ్యగతము, బాహుళకములను కనుగొనండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 12

∴ మధ్యగతము = l + \(\frac{\left(\frac{\mathrm{n}}{2}-\mathrm{cf}\right)}{\mathrm{f}}\) × h
⇒ l = 7, \(\frac{n}{2}=\frac{100}{2}\) = 50,
సంచిత పౌనఃపున్యము = 36, f= 40, h = 3
∴ మధ్యగతము = 7 + \(\frac{(50-36)}{40}\) × 3
= 7 + \(\frac{14 \times 3}{40}\)
= 7 + 1.05 = 8.05
∴ మధ్యగతము = 8.05.

సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
a = ఊహించిన సగటు = 8.5
= 8.5 + \(\frac{(-6)}{100}\) × 3
= 8.5 + \(\frac{(-18)}{100}\)
= 8.5 – 0.18 = 8.32
∴ సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = 8.32
బాహుళకము = l + \(\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}\) × h
l = బాహుళక తరగతి యొక్క దిగువహద్దు = 72 f1 = 40, f0 = 30, f2 = 16, h = 3
∴ బాహుళకము = 7 + \(\frac{40-30}{80-(30+16)}\) × 3
= 7 + \(\frac{10 \times 3}{80-46}\)
= 7 + \(\frac{30}{34}\)
= 7 + 0.88
∴ బాహుళకము = 7.88.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3

ప్రశ్న 7.
క్రింది విభాజన పట్టికలో 30 మంది విద్యార్థుల బరువులు ఇవ్వబడ్డాయి. వారి బరువుల మధ్యగతము కనుగొనండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 13

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.3 14

∴ మధ్యగతము = \(\frac{l+\left(\frac{\mathrm{n}}{2}-\mathrm{c.f}\right)}{\mathrm{f}}\) × c
l = 50, \(\frac{n}{2}\) = 15, c.f. = 5, f = 8, h = 5
∴ మధ్యగతము = 50 + \(\frac{(15-5)}{8}\) × 5
= 50 + \(\frac{50}{8}\)
= 50 + 6.25
= 56.25
∴ మధ్యగతము = 56.25.
∴ 30 మంది విద్యార్థుల బరువుల మధ్యగతం = 56.25 కి.గ్రా.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2

ప్రశ్న 1.
ఒక సంవత్సర కాలంలో, ఒక వైద్యశాలలో చేరిన రోగుల యొక్క వయస్సుల వివరాలు ఈ క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడినాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 1

పై దత్తాంశానికి సగటు మరియు బాహుళకాలను కనుగొనుము. అదేవిధంగా అట్టి కేంద్ర స్థాన విలువలను పోల్చి వ్యాఖ్యానించుము.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 2

దత్తాంశం యొక్క బాహుళకము (Z) = l + \(\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}\) × h
l = బాహుళక తరగతి యొక్క దిగువ హద్దు = 35
h = బాహుళక తరగతి పొడవు = 10
f = బాహుళక తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము = 23
f1 = బాహుళక తరగతి ముందున్న తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము = 21
f0 = బాహుళక తరగతికి తరువాత నున్న తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము = 14
బాహుళకము = l + \(\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}\) × h
= 35 + \(\frac{23-21}{2 \times 23-(21+14)}\) × 10
= 35 + \(\frac{20}{11}\)
= 35 + 1.81 = 36.81
∴ బాహుళకము = 36.81 సం॥
సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
a = 40
Σfiui = – 37
Σfi = 80
h = 10
∴ సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
= 40 + \(\frac{-37}{80}\) × 10
= 40 – \(\frac{37}{8}\)
= 40 – 4.625 = 35.375
∴ ఒక సంవత్సర కాలంలో, ఒక వైద్యశాలలో చేరిన రోగుల యొక్క వయస్సు సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = 35.375సం||

వ్యాఖ్యానం :
ఒక వైద్యశాలలో చేరిన ఎక్కువ మంది యొక్క వయస్సు 36.8 సం||. కానీ సరాసరి వైద్యశాలలో చేరిన వారి వయస్సు 35.37 సం||. ఇక్కడ సగటు బాహుళకము కన్నా తక్కువగా ఉన్నది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది పట్టికలో 225 విద్యుత్ పరికరాల జీవితకాల (గంటలలో) వివరాలు ఇవ్వబడినాయి. . . . జీవితకాలం

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 3

పై విద్యుత్ పరికరాల జీవితకాల బాహుళకాన్ని కనుగొనుము.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 4

l = బాహుళక తరగతి యొక్క దిగువహద్దు = 60
h = బాహుళక తరగతి పొడవు = 20 .
f1 = బాహుళక తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము = 61
f0 = బాహుళక తరగతి ముందున్న తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము = 52
f2 = బాహుళక తరగతికి తరువాతనున్న తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము = 38
బాహుళకము = l + \(\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}\) × h
= 60 + \(\left[\frac{61-52}{2 \times 61-(52+38)}\right]\) × 20
= 60 + \(\frac{180}{32}\)
= 60 + 5.625
= 65.625
విద్యుత్ పరికరాల జీవితకాల బాహుళకము = 65.625.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2

ప్రశ్న 3.
ఒక గ్రామంలోని 200 కుటుంబాల యొక్క నెలసరి ఖర్చుల వివరాలను ఈ క్రింది పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో ఇవ్వబడినవి. అట్టి కుటుంబాల నెలసరి ఖర్చుల బాహుళకాన్ని కనుక్కోండి. అదే విధంగా నెలసరి సరాసరి ఖర్చును కనుక్కోండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 5

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 6

బాహుళకము :
l = 1500,
f1 = 40,
f0 = 24,
f2 = 33,
h = 500
∴ బాహుళకము = l + \(\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}\) × h
= 1500 + \(\frac{[40-24]}{2 \times 40-(24+33)}\) × 500
= 1500 + \(\frac{16 \times 500}{23}\)
= 1500 + \(\frac{8000}{23}\)
= 1500 + 347.82
= 1847.32
∴ బాహుళకము = ₹1847.82.
ఊహించిన సగటు (a) = 1750
∴ సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
= 1750 + \(\frac{365}{200}\) × 500
= 1750 + \(\frac{365 \times 5}{2}\)
= 1750 + 912.5
= ₹ 2662.5
ఇచ్చిన దత్తాంశం యొక్క బాహుళకం = ₹ 1847.83,
నెలసరి సరాసరి ఖర్చు = ₹ 2662.5.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2

ప్రశ్న 4.
రాష్ట్రాల వారీగా సెకండరీ పాఠశాలల్లో గల ఉపాధ్యాయ – విద్యార్థి నిష్పత్తి విలువలను ఈ క్రింది పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో ఇవ్వడమైనది. ఇట్టి దత్తాంశానికి బాహుళకాన్ని మరియు సగటును గణించండి. మరియు ఈ రెండు కేంద్రస్థాన విలువలపై వ్యాఖ్యానించుము.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 7

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 8

బాహుళకము :
l = 30, f1 = 9, f0 = 10, f2 = 3, h = 5.
∴ బాహుళకము = l + \(\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}\) × h
= 30 + \(\frac{[10-9]}{20-12}\) × 5
= 30 + \(\frac{5}{8}\)
= 30 + 0.625
∴ బాహుళకము = 30.625.

సగటు:
Σfi = 35
Σfiui = – 23
a = 32.5, h = 5
∴ సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
= 32.5 + \(\frac{-23}{35}\) × 5
= 32.5 – \(\frac{23}{7}\)
= 32.5 – 3.28
= 29.21.
∴ ఇచ్చిన దత్తాంశం యొక్క బాహుళకం = 30.6,
∴ సగటు = 29.21.
వ్యాఖ్యానం :
బాహుళకము ప్రకారం ఉపాధ్యాయ విద్యార్థి నిష్పత్తి 30.6 కానీ సరాసరి విలువ 29.2 గా గలదు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2

ప్రశ్న 5.
వన్డే క్రికెట్ మ్యాచుల్లో ప్రపంచంలో అత్యున్నత శ్రేణి బ్యాట్స్మ న్లు సాధించిన పరుగుల వివరాలను ఈ క్రింది పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో ఇవ్వడమైనది.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 9

పై దత్తాంశమునకు బాహుళకాన్ని కనుగొనుము
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 10

పరుగులు బ్యాట్స్మన్ల సంఖ్య
∴ l = 4000, f0 = 4, f` = 18, f2 = 9,.
h = 1000 (f) (4000 – 5000) 18 (f)
∴ బాహుళకం = l + \(\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}\) × h
= 4000 + \(\frac{18-4}{2 \times 18-[9+4]}\) × 1000
= 4000 + \(\frac{14000}{23}\)
= 4000 + 608.69
= 4608.69
∴ బాహుళకము = 4608.7 పరుగులు.

ప్రశ్న 6.
ఒక విద్యార్థి, రోడ్డుపై ఒక స్థానం నుంచి వెళ్ళుచున్న కార్ల సంఖ్యను ప్రతి మూడు నిమిషాలకు ఒకసారి (1 పీరియడ్), 100 పీరియడ్ లో లెక్కించి, వివరాలను ఈ క్రింది పట్టికలో క్రోడీకరించాడు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 11

పై దత్తాంశానికి “బాహుళకాన్ని” కనుక్కోండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.2 12

l = 40, f1 = 20, f0 = 12, f2 = 11, h = 10
∴ బాహుళకము = l + \(\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-\left(f_{0}+f_{2}\right)}\) × h
= 40 + \(\frac{(20-12)}{2 \times 20-(12+11)}\) × 10
= 40 + \(\frac{80}{17}\)
= 40 + 4.7
44.7
బాహుళకము = 44.7 కార్లు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1

ప్రశ్న 1.
ఒక గ్రామంలో కొంతమంది విద్యార్థుల జట్టు ‘పర్యావరణ పరిరక్షణ – అవగాహన’ అనే కార్యక్రమంలో భాగంగా, 20 – ఇండ్లలో సర్వే నిర్వహించి, ఎన్నెన్ని మొక్కలు నాటినారో సమాచారాన్ని సేకరించి, ఈ క్రింది పట్టికలో నమోదు చేసినారు. సగటున ఒక ఇంటికి ఎన్ని మొక్కలు నాటినారో కనుక్కోండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 1

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 2

దత్తాంశం యొక్క సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
a = ఊహించిన సగటు = 7
Σfiui = 11
Σfi = 20
h = 2
సగటు చెట్ల సంఖ్య (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
= 7 + \(\frac{11}{20}\) × 2
= 7 + 1.1
∴ సగటు చెట్ల సంఖ్య (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = 8.1

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1

ప్రశ్న 2.
ఒక కర్మాగారంలోని 50 మంది కార్మికుల దినసరి భత్యము ఈ క్రింది పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో ఇవ్వబడినవి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 3

తగు పద్ధతిని ఎంచుకొని ఆ కర్మాగారంలోని కార్మికుల సగటు భత్యమును కనుక్కోండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 4

దత్తాంశం యొక్క సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
a = ఊహించిన సగటు = 275
Σfiui = 38
Σfi = 50
h = 50
∴ కార్మికుల సగటు భత్యము (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
= 275 + \(\frac{38}{50}\) × 50 = 275 + 38
∴ కార్మికుల సగటు భత్యము (?) = 313.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1

ప్రశ్న 3.
ఒక ఆవాసప్రాంతంలో పిల్లల రోజువారి చేతి ఖర్చులు (pocket allowance) వివరాలను ఈ క్రింది పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో ఇవ్వడమైనది. పిల్లల సగటు చేతి ఖర్చు ( 18 అయిన క్రింది పట్టికలో లోపించిన పౌనఃపున్యం(f)ను కనుగొనుము.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 5

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 6

దత్తాంశం యొక్క సగటు \(\overline{\mathbf{x}}\) = 18
పౌనఃపున్యం యొక్క విలువ (f) = ?
∴ Σf = 44 +f
Σfiui = 752 + 20f
∴ సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
⇒ \(\frac{752+20 \mathrm{f}}{44+\mathrm{f}}\) = 18
⇒ 752 + 20f = 792 + 18f
⇒ 2f = 40
∴ లోపించిన పౌనఃపున్యం (f) = 20.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1

ప్రశ్న 4.
ఒక వైద్యశాలలో వైద్యులు 30 మంది స్త్రీలకు వైద్య పరీక్షలు నిర్వహించి, వారి యొక్క హృదయ స్పందనలను క్రింద చూపిన పట్టికలో క్రోడీకరించారు. తగు విధానాన్ని ఎంచుకొని ఇట్టి స్త్రీల యొక్క హృదయస్పందనల సరాసరి (ఒక నిమిషానికి). కనుక్కోండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 7

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 8

∴ తరగతి అంతరం (h) = 3
Σfixi = 4
Σfi = 30
ఊహించిన సగటు (a) = 75.5
∴ హృదయ స్పందనల సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
= 75.5 + \(\frac{4}{30}\) × 3
= 75.5 + 0.4 = 75.9
∴ హృదయ స్పందనల సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = 75.9.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1

ప్రశ్న 5.
పండ్ల మార్కెట్లో, పండ్ల వ్యాపారులు ‘నారింజపండ్లను పెట్టెలలో ఉంచి అమ్ముతారు. ఒక్కొక్క పెట్టెలో ఉండే ‘నారింజపండ్ల’ సంఖ్య వేరువేరుగా ఉంటుంది. పెట్టెల్లోని నారింజపండ్ల పంపకాన్ని ఈ క్రింది
AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 9

ఒక్కొక్క పెట్టెలో ఉండే నారింజపండ్ల సగటు కనుక్కోండి. సగటు కనుగొనుటకు ఏ పద్ధతిని ఎంచుకుంటారో తెల్పండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 10

∴ ఊహించిన సగటు (a) = 22
Σfi = 400
Σfiui = 25
h = 5
సగటును కనుగొనుటకు సంక్షిప్త విచలన పద్ధతిని ఎంచుకొంటాం.
∴ సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
= 22 + \(\frac{25}{400}\) × 5
= 22 + 0.31 = 22.31
∴ ఒక్కొక్క పెట్టెలోని నారింజపండ్ల సగటు సంఖ్య (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = 22.31.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1

ప్రశ్న 6.
ఒక ఆవాసప్రాంతంలోని 25 కుటుంబాలకు సంబంధించిన దినసరి భోజన ఖర్చుల వివరాలను ఈ క్రింది పట్టికలో ఇవ్వడమైనది.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 11

తగు పద్ధతిని ఎంచుకొని, ఒక్కో కుటుంబానికి అయ్యే సగటు భోజన ఖర్చును కనుక్కోండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 12

ఊహించిన సగటు (a) = 225
Σfiui = – 7
Σfi = 25
తరగతి యొక్క అంతరం (h) = 50
ఒక్కో కుటుంబానికి అయ్యే సగటు భోజన ఖర్చు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
= 225 + \(\frac{(-7)}{25}\) × 50
= 225 – 14
LI . ఒక్కో కుటుంబానికి అయ్యే సగటు భోజన ఖర్చు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = 211.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1

ప్రశ్న 7.
ఒక పట్టణంలోని 30 నివాస ప్రాంతాలలో, గాలిలో గల’ SO2 యొక్క గాఢత (in parts per million, i.e., ppm) ను ఈ క్రింది పట్టికలో క్రోడీకరించడమైనది.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 13

గాలిలో గల సగటు SO2 గాఢతను కనుక్కోండి
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 14

ఊహించిన సగటు (a) = 0.1
Σfiui = – 1
Σfi = 30, h = 0.04
∴ గాలిలో గల SO2 గాఢత సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
= 0.1 – \(\frac{(-1)}{30}\) × 0.04
= 0.1 – 0.00133
= 0.09867 ppm
∴ గాలిలో గల SO2 గాఢత సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = 0.099 ppm.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1

ప్రశ్న 8.
ఒక తరగతి ఉపాధ్యాయుడు ఒక టర్న్ లో తన తరగతికి చెందిన 40 మంది విద్యార్థుల హాజరు వివరాలను, ఈ క్రింది చూపిన పట్టికలో చూపడమైనది. ఈ టర్న్ లో ఒక విద్యార్థి సగటు హాజరు ఎంత ?

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 15

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 16

ఊహించిన సగటు (a) = 54.5
Σfiui = 73 .
Σfi = 40
h = 3
సగటు = (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
= 54.5 + \(\frac{(-73)}{40}\) × 3
= 49.025 = 49 రోజులు
టర్న్ లో ఒక విద్యార్థి సగటు హాజరు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = 49 రోజులు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 14th Lesson సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1

ప్రశ్న 9.
35 పట్టణాలకు సంబంధించి అక్షరాస్యత రేటు (శాతములలో) ఈ క్రింది పట్టికలో ఇవ్వడమైనది. సగటు అక్షరాస్యత రేటును కనుక్కోండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 17

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 సాంఖ్యకశాస్త్రం Exercise 14.1 18

∴ ఊహించిన సగటు (a) = 70
Σfi = 35
Σfiui = – 2
h = 10
∴ సగటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
= 70 + \(\frac{(-2)}{35}\) × 10
= 70 – \(\frac{20}{35}\) = 70 – 0.57
సగటు అక్షరాస్యత రేటు (\(\overline{\mathbf{x}}\)) = 69.43 %

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ఇవి చేయండి:

అ. క్రింది ఘటనలలో దేని పర్యవసానములన్నీ సమ సంభవాలు? (పేజీ నెం.. 307)

ప్రశ్న 1.
పాచిక (dies) ను ఎగురవేసినపుడు 1, 2, 3, 4, 5 లేక 6 పడుట.
సాధన.
ఒక పాచికను వేసిన దాని పై ముఖంపై 1, 2, 3, 4, 5 లేదా 6 సంఖ్యలు వచ్చుటకు (ఒక్కొక్కదానికి) సమాన అవకాశాలు కలవు.

ప్రశ్న 2.
5 ఎరుపు, 4 నీలం, 1 నలుపు బంతులు గల సంచి నుండి ఒక బంతిని యాదృచ్చికంగా తీయుట.
సాధన.
5 ఎరుపు బంతులు, 4 నీలం బంతులు, 1 నల్లని బంతి గల సంచి నుండి 2 వేర్వేరు రంగులు కల బంతులను బయటకు తీయుటకు (పొందుటకు) సమాన అవకాశాలు లేవు.

ప్రశ్న 3.
కారమ్స్ ఆటను గెలుచుట.
సాధన.
క్యారమ్స్ ఆట గెలుచుటకు ఇద్దరికీ సమాన అవకాశాలు , కలవు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 4.
రెండంకెల సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానము 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 లేక 9 అగుట.
సాధన.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 లేదా 9 నుండి రెండంకెల సంఖ్యను వ్రాయుటలో ఒకట్ల స్థానంలో పై అంకెలు వచ్చుటకు సమాన అవకాశాలు కలవు.

ప్రశ్న 5.
10 ఎరుపు, 10 నీలం, 10 నలుపు రంగు బంతులు గల సంచి నుండి ఒక బంతిని యాదృచ్చికంగా తీయుట.
సాధన.
10 ఎరుపు, 10 నీలం, 10 నలుపు బంతులు గల సంచి నుండి వేర్వేరు రంగులు గల బంతులు బయటకు తీయుటకు (పొందుటకు) సమాన అవకాశాలు కలవు.

ప్రశ్న 6.
జూలై నెలలో ఒక రోజు వర్షం రావడం.
సాధన.
జూలై నెలలో ఒక కచ్చితమైన రోజున వర్షం పడుటకు సమాన అవకాశాలు కలవు.

ఆ. పై అన్ని ఘటనల యొక్క పర్యవసానాలన్నీ సమ సంభవాలేనా?
సాధన.
అన్ని ఘటనల ఫలితాలు సమాన అవకాశాలను కలిగి ఉండవు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ఇ. పర్యవసానాలన్నీ సమసంభవాలైన 5 ఘటనలను, సమసంభవాలు కాని 5 ఘటనలను పేర్కొనండి.
సాధన.
సమాన అవకాశాలు గల ఘటనలు : –
ఎ) ఒక పాచికను వేసిన సరి లేదా బేసిసంఖ్యను పొందే ఘటనలు.
బి) ఒక నాణేన్ని ఎగురవేసిన బొమ్మ లేదా బొరుసు పొందే ఘటనలు.
సి) 1 నుండి 10 వరకు సంఖ్యలు రాసిన కార్డుల నుండి సరి లేదా బేసిసంఖ్య గల పేక పొందే ఘటనలు.
డి) 8 ఆకుపచ్చ మరియు 8 నల్లని ,బంతులు గల సంచి నుండి ఆకుపచ్చ లేదా నల్లని బంతిని తీయగల ఘటనలు.
ఇ) 20 మంది బాలురు మరియు 20 మంది బాలికలు గల ఒక తరగతి నుండి ఒక బాలుడు లేదా బాలికను ఎన్నుకొను ఘటనలు.
ఎఫ్) పేకముక్కల కట్ట నుండి ఎరుపు లేదా నలుపు రంగు కార్డును ఎన్నుకోగల ఘటనలు.

సమాన అవకాశాలు లేని ఘటనలు :
ఎ) ఒక పాచికను విసిరిన దానిపై “ప్రధాన” లేదా “సంయుక్త” సంఖ్యను పొందే ఘటనలు.
బి) 1 నుండి 5 సంఖ్యలు గల పేకముక్కల నుండి సరి లేదా బేసి సంఖ్య గల పేకను పొందే ఘటనలు.
సి) 1, 2, ….. 10 సంఖ్యలలో 3 యొక్క గుణిజం లేదా 3 యొక్క గుణిజం కాని సంఖ్యను ఎన్నుకొనే ఘటనలు.
డి) ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు 5 కంటే తక్కువైన (చిన్నదైన) సంఖ్య లేదా 5 కంటే పెద్దదైన సంఖ్యను పొందే ఘటనలు.
ఇ) 5 ఆకుపచ్చ మరియు 8 తెలుపు బంతుల నుండి ఒక తెలుపు లేదా ఆకుపచ్చ బంతిని పొందగల (తీయగల) ఘటనలు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 7.
సమసంభవ పర్యవసానములు గల ఐదు సందర్భాలను పేర్కొని వాని ప్రతిరూప ఆవరణలను వ్రాయండి. . , సమసంభవము మరియు పరస్పర వర్ణిత ఘటనల యొక్క సంభావ్యతను ఎట్లు గమనించవచ్చునో కొన్ని ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాము . (పేజీ.నెం.309)
సాధన.
a) ఒక నాణేన్ని పైకి ఎగురవేసిన బొమ్మ లేదా బొరుసు పొందే సందర్భం.
∴ ప్రతిరూప ఆవరణము S = {T, H}

b) ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు సరి లేదా బేసి సంఖ్యను పొందటం.
∴ ప్రతిరూప ఆవరణము S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

c) షటిల్ ఆటను గెలిచే సందర్భం .
∴ ప్రతిరూప ఆవరణం S = {గెలుపు, ఓటమి}.

d) 3 నీలం మరియు 3 నల్లని బంతులు గల సంచి నుండి ఒక నలుపు లేదా నీలం బంతిని . యాదృచ్చికంగా తీసే సందర్భం.
∴ ప్రతిరూప ఆవరణం S = {నీలం, నల్లని బంతులు}.

e) పేక ముక్కల కట్ట నుండి 1 నలుపు లేదా 1 ఎరుపు పేక ముక్కను యాదృచ్ఛికంగా తీసే సందర్భం
∴ ప్రతిరూప ఆవరణం S = {నలుపు, ఎరుపు}

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 8.
(i) బొమ్మ పడుట అనేది బొరుసు పడుటకు పూరక ఘటనా? – కారణాలు తెలపండి. (పేజీ.నెం.311)
సాధన.
ఒక నాణెమును ఎగురవేసినపుడు సాధ్యమగు పర్యవసానాల సమితి S = {T, H}
బొమ్మపడు ఘటన కాకుండా Sలో మిగిలిన ఘటన పర్యవసానం బొరుసు పడుట. కావున ‘ బొమ్మపడు ఘటన, బొరుసు పడు ‘ఘటనకు పూరక ఘటన అవుతుంది.

(ii) పాచికతో 1 పడుట అనేది 2, 3, 4, 5, 6 పడుట అనే ఘటనలకు పూరక ఘటనయేనా? (పేజీ.నెం.311)
సాధన.
అవును, పూరక ఘటనలే.
‘1’ అను సంఖ్యను పొందు సంభావ్యత = \(\frac{1}{6}\) [P(E)]
2,3,4,5,6 సంఖ్యలను పొందు సంభావ్యత = P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = \(\frac{5}{6}\)
∴ P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = \(\frac{1}{6}\) [P(E)] + \(\frac{5}{6}\)
= \(\frac{1}{6}\) [P(E)] = 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

(iii) పరస్పరం పూరక ఘటనలయ్యే జతలకు 5 ఉదాహరణలు ఇవ్వండి. (పేజీ నెం. 311).
సాధన.
ఎ) ఒక పాచికను . దొర్లించినపుడు సరిసంఖ్య పడే ఘటన, బేసిసంఖ్య పడే ఘటనలు ఒకదానికొకటి పరస్పరం పూరక ఘటనలు అగును.
బి) ఒక పేకకట్ట నుండి ఎరుపు పేకముక్క లేదా నలుపు పేక ముక్క పొందే ఘటనలు పరస్పరం పూరక ఘటనలు అగును.
సి) 1,2,… 8 సంఖ్యల నుండి సరి లేదా బేసి సంఖ్యలను యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకొను ఘటనలు పరస్పరం పూరక ఘటనలు అగును.
డి) వారం రోజులలో ఒక ఆదివారం లేదా మిగిలిన 6 రోజులలో ఆదివారం కాకుండుట అనే ఘటనలు పరస్పరం పూరక ఘటనలు.
ఇ) పరుగు పందెంలో గెలుపు మరియు ఓటముల సంభావ్యతలు పరస్పరం పూరక ఘటనలు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఒక పాప వద్ద గల పాచిక ముఖంపై A,B,C,D,E,F లని ముద్రించబడి యున్నది. ఆ పాచికను దొర్లించినపుడు
(i) A
(ii) D పడే సంభావ్యతలను లెక్కించండి. (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = {A, B, C, D, E, F} = 6
(i) ‘A’ పడే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 1
‘A’ ను పొందు సంభావ్యత = P(A)
= ‘A’ కు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / సాధ్యపడు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{1}{6}\)

(ii) ‘D’ పడే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 1
‘D’ ను పొందు సంభావ్యత = P(D)
= ‘D’ కు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / సాధ్యపడు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న 2.
క్రింది వానిలో ఏవి ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచించలేవు? (పేజీ నెం. 312)
(a) 2.3
(b) – 1.5
(c) 15 %
(d) 0.7
సాధన.
a) 2.3 ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచించలేదు.
b) – 1.5 ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచించలేదు.
c) 15 % ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచిస్తుంది.
d) 0.7 ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచిస్తుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 3.
మీ దగ్గర ఒక కట్ట పేకాట కార్డులు బాగుగా కలుపబడి ఉన్నాయి అనుకొనండి. వాటి నుండి యాదృచ్చికముగా తీసిన కార్డు
1. రాణి అగుటకు సంభావ్యత ఎంత?
2. ముఖ కార్డు అగుటకు సంభావ్యత ఎంత?
3. స్పేడ్ అగుటకు సంభావ్యత ఎంత?
4. స్పేడ్, ముఖకార్డు అగుటకు సంభావ్యత ఎంత?
5. ముఖకార్డు కాకపోవుటకు సంభావ్యత ఎంత? (పేజీ నెం. 313, 314)
సాధన.
1. మొత్తం సాధ్యపడు పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
రాణి పేక ముక్కను పొందు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 4 AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions 1
రాణి ముక్కను పొందు సంభావ్యత = P(E)
= అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / సాధ్యపడు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{4}{52}-\frac{1}{13}\)

2. ముఖ కార్లు గల ముక్కలు J, Q, K.
ముఖ కార్డు పొందు అనుకూల పర్యవసానాలు = 4 × 3 = 12
సాధ్యపడు అన్ని పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
∴ P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య/ సాధ్యపడు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{12}{52}-\frac{3}{13}\)

3. స్పేడ్ ముక్కల సంఖ్య = 13
మొత్తం కార్డుల సంఖ్య = 52
∴ కావలసిన సంభావ్యత = స్పేడ్ కార్డులగుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / సాధ్యపడు అన్ని పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{13}{52}-\frac{3}{13}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

4. స్పేడ్, ముఖకార్డు అగుటకు గల ‘అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions 2 = 3
అన్ని పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
∴ సంభావ్యత P(E) = \(\frac{3}{52}\)

5. స్పేడ్ ముఖ కార్డు అగుటకు సంభావ్యత P(E) = \(\frac{12}{52}\)
∴ స్పేడ్ ముఖ కార్డు కాకుండుటకు సంభావ్యత = P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{12}{52}\)
= \(\frac{52-12}{52}\)
= \(\frac{40}{52}\) = \(\frac{10}{13}\)
(లేదా)
స్పేడ్ ముఖ కార్డు కాకుండుటకు అనుకూల పర్య వసానాల సంఖ్య = 40 (52-12 = 40]
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
∴ సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యపడు పర్యవసానాల సంఖ్య _ 40 _ 10
= \(\frac{40}{52}\) = \(\frac{10}{13}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఏదైనా ఆటలో ఏ జట్టువారు మొదటి బంతిని తీసుకోవాలో నిర్ణయించడానికి నాణెమును వేయడమే నిష్పాక్షికం అంటారెందుకు? (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
బొమ్మ పడుటకు గల సంభావ్యత = \(\frac{1}{2}\)
బొరుసు పడుటకు గల సంభావ్యత = \(\frac{1}{2}\)
రెండు ఘటనల సంభావ్యత సమానం. కనుక
∴ నాణెం ఎగురవేయుటయే నిష్పాక్షికం.

ప్రశ్న 2.
ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యత \(\frac{7}{2}\) ఉంటుందా? వివరించండి. (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యత \(\frac{7}{2}\) అగుట అసాధ్యం .
\(\frac{7}{2}\) = 3 \(\frac{1}{2}\), ఇది 1 కన్నా ఎక్కువ
∴ ఏ ఘటన యొక్క సంభావ్యతైనా ‘0’ నుండి ‘1’ వరకు ఉండును. [0 ≤ P(E) ≤ 1]. కావున అసాధ్యము.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 3.
క్రింది వాటిలో ఏయే వాదనలు సత్యములు?
(i) రెండు నాణెములు ఎగురవేసినప్పుడు 3 పర్యవసానాలు ఉంటాయి. రెండు బొమ్మలు, రెండు బొరుసులు, ఒక్కటి బొమ్మ మరొకటి బొరుసు. కనుక ఒక్కొక్క పర్యవసానము యొక్క సంభావ్యత \(\frac{1}{3}\).

(ii) ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు పడేది సరిసంఖ్య లేక బేసి సంఖ్య. కావున బేసి సంఖ్య పడే సంభావ్యత (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
(i) ఇది అసత్యము.
కారణం : అన్ని పర్యవసానాల సంఖ్య = 4. అవి, HH, HT, TH, TT.
∴ రెండు బొమ్మలు పడు సంభావ్యత = \(\frac{1}{4}\)
రెండు బొరుసులు పడు సంభావ్యత = \(\frac{1}{4}\)
ఒక బొమ్మ లేదా బొరుసు పడుటకు సంభావ్యత = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{4}\)

(ii) సత్యం .
కారణం : సాధ్యపడే మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
బేసిసంఖ్య పొందుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 3 = {1, 3, 5}
సరిసంఖ్య పొందుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = (2, 4, 6) = 3
∴ బేసిసంఖ్య పడే సంభావ్యత P(E) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
ఒక నాణెమును ఒకసారి ఎగురవేసినప్పుడు బొమ్మపడే సంభావ్యతను, బొరుసు పడే సంభావ్యతను లెక్కించండి. (పేజీ నెం. 309)
సాధన.
నాణెమును ఒకసారి ఎగురవేసినప్పుడు సాధ్యపడు పర్యవసానములు రెండు, బొమ్మ (H) లేక బొరుసు (T). బొమ్మ పడుట అనే ఘటన E అయితే అనుకూల పర్యవసానములు 1.
P(E) = P (బొమ్మ) = Eకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / సాధ్యపడు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{1}{2}\)
ఇదే విధంగా బొరుసు పడు అనే ఘటన F అయిన
P(F) = P (బొరుసు) = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 2.
ఒక సంచిలో ఒక ఎరుపు బంతి, ఒక నీలం బంతి, ఒక పసుపు రంగు బంతి ఉన్నాయి. అన్ని బంతులు ఒకే పరిమాణము కలిగి ఉన్నాయి. సంచిలోనికి చూడకుండా మానస ఒక బంతిని తీస్తే ఆ బంతి
(i) పసుపు రంగు బంతి
(ii) ఎరుపు బంతి
(iii) నీలం బంతి అవడానికి ‘ సంభావ్యతలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 309)
సాధన.
మానస చూడకుండా బంతిని తీసుకున్నది.
కావున అన్ని పర్యవసానములు సమసంభవములు. పసుపు రంగు బంతిని తీయు ఘటన Y, నీలం బంతి తీయు ఘటన B మరియు ఎరుపు బంతి తీయు ఘటన R అయిన ప్రతిరూప ఆవరణము {Y, B, R}.
పర్యవసానములు = 3.
(i) Y కి అనుకూల పర్యవసానములు = 1.
∴ P(Y) = \(\frac{1}{3}\)
అదే విధముగా P(R) = \(\frac{1}{3}\), P(B) = \(\frac{1}{3}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 3.
ఒక పాచికను ఒకసారి దొర్లించినపుడు
(i) 4 కన్నా ఎక్కువ పడు ఘటన సంభావ్యత
(ii) 4 లేక అంతకన్నా తక్కువ పడు ఘటన సంభావ్యతను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 310)
9985174864
సాధన.
(i) ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు ప్రతిరూప ఆవరణము S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
మొత్తం పర్యవసానములు n(S)= 6
4 కన్నా ఎక్కువ’ అను ఘటనకు అనుకూల పర్యవసానాలు E = {5, 6}
E కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 2
∴ ఘటన E యొక్క సంభావ్యత P(E) = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

(ii) F అనే ఘటన 4 లేక అంతకన్నా తక్కువ పడుట అయిన ప్రతిరూప ఆవరణము S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
మొత్తం పర్యవసానాలు n(S) = 6
F కు అనుకూల పర్యవసానాలు F = {1, 2, 3, 4}
అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(F)= 4
∴ ఘటన F యొక్క సంభావ్యత P(F) = \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)

ప్రశ్న 4.
బాగుగా కలుపబడిన పేకాట కార్డుల కట్టలో 52 కార్డుల నుండి’ ఒక్క కార్డు తీయుటలో అది
(i) ఏస్ అగుటకు
(ii) ఏస్ కాకపోవుటకు సంభావ్యతలను లెక్కించండి. (పేజీ నెం. 313)
సాధన.
కార్డులు బాగుగా కలుపబడ్డాయి. కావున పర్యవసానాలన్నీ సమసంభవములుగా పరిగణించాలి.
(i) ఒక కట్టలో 4 ఏన్లు ఉంటాయి. తీసుకొన్న కార్డు ఏస్ అవడం అనే ఘటన E అయితే E కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 4
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
∴ కార్డు ఏస్ అగుటకు సంభావ్యత, .
P(E) = \(\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)

(ii) తీసుకున్న కార్డు ఏస్ కాదు అనే ఘటన F అయితే F కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 52 – 4 = 48
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 52
∴ కార్డు ఏస్ కాకపోవుటకు సంభావ్యత P(F) = \(\frac{48}{52}=\frac{12}{13}\)

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి :
ఘటన F అనగా E కానిది \(\overline{\mathrm{E}}\) కావున పూరక ఘటనలను ఉపయోగించి F యొక్క సంభావ్యత కనుగొనవచ్చు.
P(F) = P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{1}{13}\) = \(\frac{12}{3}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 5.
సంగీత, రేష్మాలు టెన్నిస్ ఆటను ఆడుతున్నారు. సంగీత గెలిచే సంభావ్యత 0.62 అయినప్పుడు రేష్మ గెలిచే సంభాష్యత కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 314)
సాధన.
సంగీత, రేష్మాలు ఆటను గెలిచే ఘటనలను S, Rలు సూచిస్తున్నాయి అనుకొనుము.
సంగీత గెలిచే సంభావ్యత = P(S) = 0.62 (దత్తాంశం)
పూరక సంభావ్యతలను అనుసరించి, రేష్మ గెలిచే సంభావ్యత = P(R) = 1 – P(S)
= 1 – 0.62 = 0.38

ప్రశ్న 6.
శారద, హమీద మంచి స్నేహితులు. వారిద్దరి పుట్టిన రోజు పండుగలు సంవత్సరంలో (లీపు సంవత్సరం . కాదు)
(i) వేరువేరు రోజు రావడానికి?
(ii) ఒకే రోజు రావడానికి సంభాష్యతలు లెక్కించండి. (పేజీ నెం. 314)
సాధన.
సంవత్సరంలో 365 రోజులలో ఇద్దరిలో ఎవరి పుట్టిన రోజు అయినా ఏరోజు అయినా రావచ్చును. కావున మొత్తం 365 పర్యవసానాలు సమసంభవములని పరిగణించాలి.
(i) శారద, హమీదల పుట్టినరోజులు వేరువేరు రోజులు అవడానికి అనుకూల పర్యవసానాలు
= 365 – 1 = 364
∴ P (వేరువేరు పుట్టినరోజులు) = \(\frac{364}{365}\)

(ii) P (ఒకే రోజు పుట్టినరోజు) = 1 – P (వేరు వేరు పుట్టినరోజులు)
= 1 – \(\frac{364}{365}\) = \(\frac{1}{365}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 7.
40 మంది విద్యార్థులు గల తరగతిలో 25 మంది బాలికలు, 16 మంది బాలురు’ ఉన్నారు. తరగతి ప్రతినిధిని నియమించడానికై, వారి ఉపాధ్యాయురాలు అందరి పేర్లను విడివిడి కార్డులపై వ్రాసి, ఒక పెట్టెలో వేసి బాగా కలిపి, ఒక కార్డును తీశారు. ఆ కార్డుపై పేరు i) అమ్మాయి లేక ii) అబ్బాయిది కావడానికి సంభావ్యతలు లెక్కించండి. =(పేజీ నెం. 315)
సాధన.
కార్డులన్నీ. సమానం అయితే 40 మందిలో ఎవరి పేరు కార్డు అయినా రావచ్చును.
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 40

(i) తీసిన కార్డుపై అమ్మాయి పేరు ఉండడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 25
∴ P(అమ్మాయి పేరుగల కార్డు) = P(అమ్మాయి)
= \(\frac{25}{40}=\frac{5}{8}\)

(ii) తీసిన కార్డుపై అబ్బాయి పేరు ఉండడానికి అనుకూల పర్యవసానాలు = 15
∴ P (అబ్బాయి పేరు గల కార్డు) = P (అబ్బాయి)
= \(\frac{15}{40}=\frac{3}{8}\)
(లేదా)
P (అబ్బాయి) = 1 – P (అబ్బాయి. కానిది)
= 1 – P (అమ్మాయి)
= 1 – \(\frac{5}{8}\) = \(\frac{3}{8}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 8.
ఒక పెట్టెలో 3 నీలం, 2 తెలుపు, 4 ఎరుపు గోళీలు కలవు. యాదృచ్ఛికంగా పెట్టె నుండి ఒక గోళీను తీసుకొంటే అది (i) తెలుపు
(ii) నీలం
(iii)ఎరుపు రంగు గోళీ అగుటకు సంభావ్యతలు గమనించండి. (పేజీ నెం. 316)
సాధన.
యాదృచ్ఛికంగా గోళీను తీసుకొనుట అనగా అన్ని పర్యవసానాలు సమసంభవాలు.
∴ ప్రతిరూప ఆవరణలోని పర్యవసానాల సంఖ్య = 3 + 2 + 4 = 9.
తెల్లని గోళీ తీయు ఘటనను W చే, నీలం గోళీ తీయు ఘటనను B చే, ఎరుపు గోళీ తీయు ఘటనను R చే గుర్తిస్తే
(i) W కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 2
∴ P(W) = \(\frac{2}{9}\)
అదేవిధంగా,

(ii)P(B) = \(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)
(iii) P(R) = \(\frac{4}{9}\)
∴ గమనిక P(W) + P(B) + P(R) = 1.

ప్రశ్న 9.
హర్ఫీత్ రెండు నాణెములను (₹ 1 మరియు ₹ 2) ఒకేసారి ఎగురవేసినాడు. కనీసం ఒక బొమ్మ పడుటకు సంభావ్యత కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 317)
సాధన.
బొమ్మను Hతో, బొరుసును Tతో సూచిస్తే, రెండు నాణెములు ఎగురవేసినప్పుడు ఏర్పడు అన్ని , పర్యవసానములు (H, H), (H, T), (T, H), (T, T) ఇవి అన్నీ సమసంభవాలే. ఇందు (H, H) అనగా మొదటి నాణెం (₹ 1) బొమ్మ, రెండవ నాణెం (₹ 2) బొమ్మ అని అర్థం. అట్లే (H, T) అనగా మొదటి నాణెం బొమ్మ రెండవ నాణెం బొరుసు అని అర్థం. అట్లే మిగిలిన పర్యవసానాలు.
కనీసం ఒక బొమ్మకు అనుకూల పర్యవసానాలు E = {(H, H), (H, T), (T, H)}
E కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 3.
∴ P(E) = \(\frac{3}{4}\)
(∵ ప్రతిరూప ఆవరణలో పర్యవసానాలు = 4)
అనగా హర్పీత్ కనీసం ఒక బొమ్మ పొందే సంభావ్యత = \(\frac{3}{4}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 10.
(వార్షిక పరీక్షలకు కాదు) మ్యూజికల్ చైర్స్ ఆటలో, ఆట మొదలైన 2 నిమిషాల లోపు ఏదో ఒక సమయంలో పాట ఆగుతుంది. ఆటగాళ్ళు ఆగాలి. అయితే ఆట మొదలైన \(\frac{1}{2}\) నిమిషంలోపు పాట ఆపు ఘటనకు సంభావ్యతను లెక్కించండి. (పేజీ నెం. 317)
సాధన.
పాట ఆపు సమయం యొక్క పర్యవసానాలు 0 మరియు 2ల మధ్య గల అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు. దీనిని సంఖ్యారేఖపై సూచిస్తే….

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions 3

ఈ నిమిషంలోపు పాట ఆగును అను ఘటనకు E ను సూచిస్తే Eకు అనుకూల పర్యవసానములు అనగా సంఖ్యారేఖపై 0, \(\frac{1}{2}\), ల మధ్య గల అన్ని బిందువులు ) కు, 2కు మధ్యగల దూరం 2 అయిన 0, \(\frac{1}{2}\)ల మధ్య దూరం \(\frac{1}{2}\) అవుతుంది. ప్రయోగంలోని అన్ని పర్యవసానములన్నీ సమ సంభవములు కావున మొత్తం దూరం (కాలం) 2 అని, E కు అనుకూల దూరం (కాలం) అని పరిగణించవచ్చును.
∴ P(E) = E అనుకూల దూరము / మొత్తం దూరము
= \(\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}\)

ప్రశ్న 11.
క్రింది పటంలో చూపబడిన దీర్ఘచతురస్రాకార ప్రాంతంలో ఒక హెలికాప్టరు ‘ కూలిపోయిందని సమాచారం వచ్చింది. అది కొలను (lake)లో కూలిపోయి ఉండుటకు సంభావ్యత ఎంత? (పేజీ నెం. 318)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions 4

సాధన.
మొత్తం దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలములో హెలికాప్టర్ ఏ, బిందువు వద్ద అయినా కూలి ఉండవచ్చును.
∴ ఘటన S జరుగుటకు పూర్తి స్థల వైశాల్యము
n(s) = (4.5 × 9) కి.మీ.2 = 40.5 కి.మీ.2
ఘటన E జరుగుటకు అనుకూల ప్రాంతము
n(E) = (2 × 3) కి.మీ.2 = 6 కి.మీ.2
∴ P (హెలికాప్టరు సరస్సులో కూలుట) = \(\frac{6}{40.5}=\frac{4}{27}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ప్రశ్న 12.
ఒక పెట్టెలోని 100 చొక్కాలలో 88 సరిగ్గా ఉన్నవి. 8 చొక్కాలు కొద్ది లోపాలను, 4 చొక్కాలు ఎక్కువ లోపాలను కలిగి ఉన్నాయి. జానీ అనే వ్యాపారి మంచి చొక్కాలను మాత్రమే కొంటాడు. సుజాత అను మరొక వ్యాపారి ఎక్కువ లోపాలున్న చొక్కాలను మాత్రమే నిరాకరిస్తుంది. (కొనదు). పెట్టెలో నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక చొక్కాను తీస్తే ఎవరు కొనే సంభావ్యత ఎంత?
(i) జానీ
(ii) సుజాత. (పేజీ నెం. 318)
సాధన.
పెట్టెలోని 100 చొక్కాలలో నుండి 1 చొక్కా యాదృచ్ఛికంగా తీయబడినది అనగా పర్యవసానములన్నీ సమసంభవాలు.
(i) జానీ కొనుటకు అనుకూల పర్యవసానాలు = 88
P (జానీ చొక్కాను కొనుట) = \(\frac{88}{100}\) = 0.88

(ii)సుజాత చొక్కా కొనుటకు అనుకూల పర్యవసానాలు = 88 + 8 = 96
P(సుజాత చొక్కాను కొనుట) = \(\frac{96}{100}\) = 0.96.

ప్రశ్న 13.
రెండు పాచికలు, ఒకటి ఎర్రనిది, ఒకటి పసుపుది, ఒకేసారి దొర్లించడం జరిగింది. సాధ్యపడు అన్ని పర్యవసానములను పేర్కొనండి. రెండు పాచికలపై కనిపించే సంఖ్యల మొత్తం.
(i) 8
(ii) 13 మరియు
(iii) 12 లేక అంతకన్నా తక్కువ అవడానికి సంభావ్యతలు ఎంతెంత? (పేజీ నెం. 319)
సాధన.
ఎరుపు పాచికపై 1 ఉన్నప్పుడు తెలుపు పాచికపై 1, 2, 3, 4, 5 లేక. 6 ఏదయినా ఉండవచ్చును. అట్లే ఎరుపు పాచికపై ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘5’ లేక ‘6’ లు ఉన్నప్పుడు కూడా వివిధ పర్యవసానములు ఉంటాయి. ప్రయోగంలో సాధ్యపడు అన్ని పర్యవసానములు పట్టికలో క్రమయుగ్మాలుగా చూపబడ్డాయి. ప్రతి క్రమయుగ్మంలో మొదటిది ఎరుపు పాచికపై సంఖ్య, రెండవది తెలుపు పాచికపై సంఖ్య.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత InText Questions 5

కావున ఉదాహరణకు (1,4), (4, 1) క్రమయుగ్మాలు సమానం కావు.

∴ మొత్తం సాధ్యపడు పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 6 × 6 = 36.
(i) ఘటన E (రెండు సంఖ్యల మొత్తం 8) యొక్క అనుకూల పర్యవసానాలు = {{2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
E కు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య n(E) = 5
∴ P(E) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{5}{36}\)

(ii) ఘటన F (రెండు సంఖ్యల మొత్తం 13) కు అనుకూల పర్యవసానాలు శూన్యము.
∴ P(F) = \(\frac{0}{36}\) = 0.

(iii) ఘటన G (12 లేక అంతకన్నా తక్కువ)కు అన్ని పర్యవసానాలు అనుకూలములే.
∴ P(G) = \(\frac{36}{36}\) = 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Optional Exercise

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
ఇద్దరు వినియోగదారులు శ్యామ్, ఏక్తాలు ఒక అంగడిలో ఒకే వారము (మంగళవారం నుండి శనివారం వరకు) దర్శించారు. వారిద్దరు విడివిడిగా ఏరోజు అయినా దర్శించి ఉండవచ్చును. అయిన ఆ ఇద్దరు
(i) ఒకే రోజు
(ii) ప్రక్క ప్రక్క రోజులు
(iii) వేరువేరు రోజులు అంగడిని దర్శించి ఉండడానికి సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Optional Exercise 1

(మంగళ, మంగళ), (మంగళ, బుధ) (మంగళ, గురు), (మంగళ, శుక్ర), (మంగళ, శని), (బుధ, మంగళ), (బుధ, బుధ), (బుధ, గరు), (బుధ, శుక్ర), (బుధ, శని), (గురు, మంగళ), (గురు, బుధ), (గురు, గురు), (గురు, శుక్ర), (గురు, శని), (శుక్ర, మంగళ) (శుక్ర, బుధ), (శుక్ర, గురు), (శుక్ర, శుక్ర), (శుక్ర, శని), (శని, మంగళ), (శని, బుధ), (శని, గురు), (శని, శుక్ర), (శని, శని).
∴ మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 5 × 5 = 52 = 25.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Optional Exercise

(i) ఇద్దరూ ఒకే రోజులో ఆ అంగడిని సందర్శించగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 5
అవి: (మంగళ, మంగళ), (బుధ, బుధ), (గురు, గురు), (శుక్ర, శుక్ర), (శని, శని) = 5
∴ ఇద్దరూ ఆ అంగడిని ఒకే రోజులో దర్శించుకోగల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{5}{25}=\frac{1}{5}\)

(ii) ప్రక్క ప్రక్క రోజులలో ఆ అంగడిని సందర్శించగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 8
అవి : (మంగళ, బుధ), (బుధ, గురు), (గురు, శుక్ర) (శుక్ర, శని) (బుధ, మంగళ), (గురు, బుధ), (శుక్ర, గురు), (శని, శుక్ర) = 8
∴ ఇద్దరూ ఆ అంగడిని ప్రక్క ప్రక్క రోజులలోదర్శించుకోగల సంభావ్యత = \(\frac{8}{25}\).

(iii) ఇద్దరూ వేర్వేరు రోజులలో ఆ అంగడిని దర్శించి ఉండటానికి గల సంభావ్యత,
P(E) = ఇద్దరూ ఒకే రోజు ఆ అంగడిని సందర్శించిన సంభావ్యత.
∴ P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)
∴ వేర్వేరు రోజులలో ఆ అంగడిని సందర్శించగల సంభావ్యత = \(\frac{4}{5}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Optional Exercise

ప్రశ్న 2.
ఒక సంచిలో 5 ఎరుపు బంతులు, కొన్ని నీలం – బంతులు కలవు. యాదృచ్ఛికంగా నీలం బంతి తీయు సంభావ్యత, ఎరుపు బంతి తీయు సంభావ్యతకు రెట్టింపు అయిన ఎన్ని నీలం బంతులు కలవు?
సాధన.
సంచిలోని ఎరుపు బంతుల సంఖ్య = 5
లెక్కప్రకారం యాదృచ్ఛికంగా నీలం బంతి తీయు సంభావ్యత, ఎరుపు బంతి తీయు సంభావ్యతకు రెట్టింపు.
∴ నీలం బంతుల సంఖ్య = 5 × 2 = 10
(లేదా )
నీలం బంతుల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
ఎరుపు బంతుల సంఖ్య = 5
మొత్తం బంతుల సంఖ్య = x + 5
ఎరుపు బంతులను తీయగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 5
∴ P(R) = \(\frac{5}{x+5}\)
లెక్కప్రకారం
P(B) = 2 × \(\frac{5}{x+5}\)
= \(\frac{10}{x+5}\)
∴ \(\frac{5}{x+5}\) + \(\frac{10}{x+5}\) = 1
[∵ P(R) + P(B) = 1]
⇒ \(\frac{5+10}{x+5}\) = 1
⇒ 15 = x + 5
⇒ x = 15 – 5
⇒ x = 10.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Optional Exercise

ప్రశ్న 3.
ఒక పెట్టెలో 12 బంతులు కలవు. అందు x బంతులు నల్లనివి. పెట్టె నుండి యాదృచ్చికంగా తీసిన బంతి నలుపుది అవడానికి సంభావ్యత ఎంత? ఇంకా 6 నలుపు బంతులు కలిపితే అప్పుడు మొత్తం నుండి నలుపు బంతి తీయు సంభావ్యత రెట్టింపు (ప్రస్తుతం కన్నా) అవుతుంది. అయిన X ఎంత?
సాధన.
నలుపు బంతుల సంఖ్య = x
పెట్టెలోని మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 12
ఒక నలుపు బంతిని యాదృచ్ఛికంగా తీయుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{x}{12}\) ……………. (1)
ఆ పెట్టెలో 6 నలుపు బంతులనుంచగా
∴ మొత్తం అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = x + 6 అనుకొనుము.
∴ ఆ పెట్టెలలోని మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 12 + 6 = 18
∴ నల్లని బంతిని పొందు సంభావ్యత = \(\frac{x+6}{18}\) …….. (2)
లెక్కప్రకారం,
\(\frac{x+6}{18}=2 \cdot \frac{x}{12}\)
⇒ \(\frac{x+6}{18}=\frac{x}{6}\)
⇒ \(\frac{x+6}{3}\) = x
⇒ x + 6 = 3x
⇒ 3x – x = 6
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3 .
సరిచూచుట :
(1) వ సమీకరణం నుండి \(\frac{x}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)
(2) వ సమీకరణం నుండి \(\frac{x+6}{18}=\frac{3+6}{18}\)
= \(\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\)
(1) వ సమీకరణం నుండి (1) × 2 = \(\frac{1}{4}\) × 2
= \(\frac{1}{2}\)
ఇది సత్యం. నిరూపించబడినది.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Optional Exercise

ప్రశ్న 4.
ఒక పాత్రలో 24 గోళీలు ఉన్నాయి. అందులో కొన్ని ఆకుపచ్చనివి, కొన్ని నీలం రంగువి. పాత్ర నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఆకుపచ్చరంగు గోళీ తీయు సంభావ్యత \(\frac{2}{3}\) అయిన నీలం గోళీ తీయు సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
పాత్రలో గల మొత్తం గోళీల సంఖ్య = 24
అందు ఆకుపచ్చ గోళీల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
నీలం గోళీల సంఖ్య = 24 – x
పాత్ర నుండి ఆకుపచ్చ గోళీలను పొందు సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{x}{24}\)
లెక్కప్రకారం,
\(\frac{x}{24}=\frac{2}{3}\)
⇒ 3x = 24 × 2
⇒ x = \(\frac{24 \times 2}{3}\) = 16
∴ ఆకుపచ్చ గోళీల సంఖ్య = 16
∴ నీలం గోళీల సంఖ్య = 24 – x = 24 – 16 = 8.
నీలం గోళీ తీయు సంభావ్యత = \(\frac{8}{24}=\frac{1}{3}\)
(లేదా)
∴ P(G) = \(\frac{2}{3}\)
P(B) + P(G) = 1
⇒ P(B) = 1 – P(G)
= 1 – \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{1}{3}\)
పాత్రలోని నీలం గోళీల సంఖ్య = \(\frac{1}{3}\) × 24 = 8.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Exercise 13.2

ప్రశ్న 1.
ఒక సంచిలో 3 ఎరుపు, 5 నలుపు బంతులు కలవు. సంచి నుంచి యాదృచ్ఛికంగా ఒక బంతిని తీస్తే అది
(i) ఎరుపుదై ఉండుటకు
(ii) ఎరుపుది కాకపోవుటకు సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.
(i) సంచిలోని మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 3 ఎరుపు + 5 నలుపు = 8 బంతులు
ఎరుపు బంతి అగుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 3
ఎరుపు బంతి పొందుటకు గల సంభావ్యత .
P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{3}{8}\)

(ii) P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) అనునది పరస్పర ఘటన అయిన
⇒ P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E)
P (E) = 1 – \(\frac{3}{8}\)
= \(\frac{5}{8}\).
∴ బంతి ఎరుపుది కాకపోవుటకు సంభావ్యత = \(\frac{5}{8}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 2.
ఒక పెట్టెలో 5 ఎరుపు, 8 తెలుపు, 4 ఆకుపచ్చ గోళీలు కలవు. పెట్టె నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక గోళీను తీస్తే అది
(i) ఎరుపు
(ii) తెలుపు
(iii) ఆకుపచ్చకానిది అగుటకు – సంభావ్యతలు కనుగొనండి.
సాధన.
పెట్టెలోని మొత్తం గోళీల సంఖ్య = 5 ఎరుపు + 8 తెలుపు + 4 ఆకుపచ్చ
= 5 + 8 + 4 = 17

(i) ఎరుపు, గోళీల సంఖ్య = 5
ఎరుపు గోళీని పొందుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 5
ఎరుపు గోళీల సంభావ్యత P(R) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
∴ P(R) = \(\frac{5}{17}\).

(ii) తెలుపు గోళీల సంఖ్య = 8 తెలుపు గోళీ లభించు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 8

P (W) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య/ మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
∴ P(W) = \(\frac{8}{17}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

(iii) ఆకుపచ్చని కాని మిగిలిన గోళీల సంఖ్య = 5 + 8 = 13
ఆకుపచ్చవి కాని గోళీ లభించు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 13
P(\(\overline{\mathrm{G}}\)) = P (ఆకుపచ్చకాని గోళీలు)
= అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
∴ P (\(\overline{\mathrm{G}}\)) = \(\frac{13}{17}\)
(లేదా)
ఆకుపచ్చ గోళీల సంభావ్యత = P(G)
= ఆకుపచ్చ గోళీల సంఖ్య / మొత్తం గోళీల సంఖ్య
= \(\frac{4}{17}\)
⇒ P(G) + P(\(\overline{\mathrm{G}}\)) = 1
∴ P(\(\overline{\mathrm{G}}\)) = 1 – P(G)
= 1 – \(\frac{4}{17}\) = \(\frac{13}{17}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 3.
ఒక కిట్టి బ్యాంకు డబ్బాలో వంద 50పై నాణెములు, యాభై ₹ 1 నాణెములు, ఇరవై ₹ 2 నాణెములు, పది ₹ 5 నాణెములు ఉన్నాయి. డబ్బాను తలక్రిందులు చేసినప్పుడల్లా యాదృచ్ఛికంగా ఒక్క నాణెం పడుతుంటే అది
(i) 50 పై నాణెం అగుటకు,
(ii) ₹ 5 నాణెం ‘కాకపోవుటకు సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.
(i) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 1
∴ మొత్తం అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 180
50 పైసల నాణెం పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 100
50 పైసల నాణెం పొందుటకు సంభావ్యత

P (E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{100}{180}=\frac{5}{9}\)

(ii) P(E) అనునది ₹ 5 యందు సంభావ్యత అనుకొనిన ₹ 5 నాణెం పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 10
∴ ₹ 5 పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{10}{180}=\frac{1}{18}\)
కానీ, P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) ₹ 5 నాణెం కాకపోవుటకు గల సంభావ్యత అనుకొనుము.
P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1
∴ P((\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{1}{18}\)
∴ ₹ 5 నాణెం కాకపోవుటకు సంభావ్యత = \(\frac{17}{18}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 4.
గోపి అక్వేరియం నుండి ఒక చేపను కొన్నాడు అక్వేరియంలో 5 మగ చేపలు, 8 ఆడ చేపలు ఉండినప్పుడు, వ్యాపారి యాదృచ్ఛికముగా ఒక చేపను తీసి ఇచ్చి ఉంటే, ఆ చేప మగ చేప అవడానికి సంభావ్యత ఎంత?

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 2

సాధన.
మగ చేపల సంఖ్య = 5
ఆడ చేపల సంఖ్య = 8
మొత్తం చేపల సంఖ్య = 5 మగ + 8 ఆడ = 13 చేపలు
ఒక చేపను బయటకు యాదృచ్ఛికంగా తీయుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 13
మొత్తం మగ చేపల సంఖ్య = 5 అయిన
మగ చేపను పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 5
మగ చేపను పొందుటకు గల సంభావ్యత P (E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
∴ P (E) = \(\frac{5}{13}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 5.
ఒక ఆట నందు వేగంగా త్రిప్పబడిన బాణపు గుర్తు పటములో చూపబడినట్లు, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7 లేక 8 ని సూచిస్తూ ఆగుతుంది. అన్ని పర్యవసానములు సమసంభవములైతే క్రింది ఘటనల సంభావ్యతలు లెక్కించండి. బాణపు గుర్తు సూచించేది.
(i) 8
(ii) ఒక బేసిసంఖ్య
(iii) 2 కన్నా పెద్ద సంఖ్య
(iv) 9 కన్నా చిన్న సంఖ్య.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 3

సాధన.
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = {1, 2, …, 8} = 8
(i) ‘8’ సంఖ్యకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 1
∴ P(8) = \(\frac{1}{8}\)

(ii)
త్రిప్పబడిన బాణపు గుర్తులో “బేసిసంఖ్య” లభించగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {1, 3, 5, 7} = 4
∴ P(బేసిసంఖ్య) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)

(iii) ‘2’ కంటే పెద్దదైన సంఖ్యను పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {3, 4, 5, 6, 7, 8} = 6
∴ P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\) = 1.

(iv) 9 కంటే తక్కువ గల సంఖ్యను పొందగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 8 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
∴ P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{8}{8}\) = 1
(లేదా)
9 కంటే తక్కువ గల సంఖ్యను పొందు ఘటన ఒక కచ్ఛిత ఘటన. కనుక దీని సంభావ్యత 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 6.
బాగుగా కలుపబడిన పేక ముక్కల (52) కట్ట నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక కార్డును తీస్తే అది క్రింది కార్డు అగుటకు సంభావ్యతలు లెక్కించండి.
(i) ఎరుపు రాజు
(ii) ముఖ కార్డు
(iii) ఎరుపు, ముఖ కార్డు
(iv) హృదయం గుర్తు గల జాకీ
(v) స్పేడ్
(vi) డైమండు గుర్తు గల రాణి
సాధన.
(i) పేక కట్ట నుండి “ఎరుపు రాజు” కార్డును తీయుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 4
∴ ఎరుపు రాజు కార్డును పొందుటకు గల సంభావ్యత P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{2}{52}=\frac{1}{26}\)

(ii) ముఖకార్డు పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య 4 × 3 = 12 (K, Q, J)
∴ ముఖ కార్డు యాదృచ్ఛికంగా పొందు సంభావ్యత P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{12}{52}=\frac{3}{13}\)

(iii) ఎరుపు, ముఖ కార్డు గల కార్డుల సంఖ్య = 2 × 3 = 6
∴ ఎరుపు, ముఖ కార్డు పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 6
∴ ఎరుపు, ముఖ కార్డు పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{3}{26}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

(iv) హృదయం గుర్తు గల జాకీ కార్డుల సంఖ్య =1
∴ హృదయం గుర్తు గల జాకీ కార్డుల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{1}{52}\)

(v) స్పేడ్ కార్డుల సంఖ్య = 13
స్పేడ్ కార్డు పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 13
స్పేడ్ కార్డు పొందు సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
=\(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)

(vi) డైమండ్ గుర్తు గల రాణీ కార్డుల సంఖ్య = 1
∴ డైమండ్ గుర్తు గల రాణీ కార్డు పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{1}{52}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 7.
పేక ముక్కలలోని డైమండు గుర్తు గల ఐదు కార్డులు; రాజు, రాణి, జాకీ మరియు ఏ స్లను మాత్రం తీసుకొని, – బాగా కలిపి, యాదృచ్ఛికంగా ఒక కార్డును ఎన్నుకొంటే
(i) ఆ కార్డు రాణి అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
(ii) రాణి కార్డును తొలగించి రెండవ కార్డును ఎన్నుకొంటే అది
(ఎ) ఏస్ అగుటకు
(బి) రాణి అగుటకు సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.
మొత్తం కార్డుల సంఖ్య = 5
(i) రాణికార్డు అయ్యే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య =1
∴ రాణి కార్డు పొందే సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{1}{5}\)

(ii) 5 కార్డుల నుండి రాణి కార్డును తొలగించిన మిగిలిన కార్డుల సంఖ్య = 5 – 1 = 4
∴ మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 4.
(ఎ) రాణి కార్డును తొలగించి ఏస్ కార్డును పొందగల సంభావ్యత = \(\frac{1}{4}\)

(బి) రాణి కార్డును తొలగించి మిగిలిన కార్డుల నుండి రాణి
కార్డును పొందగల సంభావ్యత = \(\frac{0}{4}\) = 0.
(∵ రాణి కార్డు పొందగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 0)
∴ ఇది ఒక అసంభవ ఘటన.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 8.
లోపాలు గల 12 పెన్నులు పొరపాటుగా 132 మంచి పెన్నులలో కలసిపోయాయి. చూడగానే పెన్నులోని లోపాన్ని గుర్తించలేము. అయితే యాదృచ్ఛికంగా ఒక పెన్నును ఎన్నుకొంటే అది మంచి పెన్ను అవడానికి సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
మంచి పెన్నుల సంఖ్య = 132
లోపాలు గల పెన్నుల సంఖ్య = 12
∴ మొత్తం పెన్నుల సంఖ్య = 132 + 12 = 144
యాదృచ్ఛికంగా లభించగల మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 144
144 పెన్నుల నుండి ఒక మంచి పెన్ను యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకొనదగు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య =132
∴ ఒక మంచి పెన్ను పొందగల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{132}{144}=\frac{11}{12}\)

ప్రశ్న 9.
20 విద్యుత్ బల్బులు కల పెట్టెలో 4 బల్బులు లోపాలు కలిగి ఉన్నవి. పెట్టె నుండి యాదృచ్ఛికంగా తీసిన బల్బు లోపాలు కలిగి ఉండుటకు సంభావ్యత ఎంత? ఒకవేళ అది మంచి బల్బు అయి ఉండి, దానిని పెట్టెలో పెట్టకుండా రెండవ బల్బును తీసుకొంటే అది కూడా మంచిదై ఉండుటకు సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
మొత్తం బల్బుల సంఖ్య = 20
లోపాలు గల బల్బుల సంఖ్య = 4
∴ లోపాలు లేని మంచి బల్బుల సంఖ్య = 20 – 4 = 16
∴ మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 20.
∴ లోపాలు గల బల్బును పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 4
∴ లోపాలు గల బల్బును పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య 205
= \(\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\)
ఒక మంచి బల్బును పెట్టె నుండి తీసి మరలా దానిలో వేయకుండా ఉంటే దానిలో గల మొత్తం బల్బుల సంఖ్య = 20 – 1 = 19.
∴ మొత్తం మంచి బల్బుల సంఖ్య = 16 – 1 = 15
∴ యాదృచ్ఛికంగా ఒక మంచి బల్బును పొందగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 15
∴ రెండవసారి మంచి బల్బును పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{15}{19}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 10.
ఒక పెట్టెనందు 1 నుండి 90 వరకు వ్రాయబడి ఉన్న 90 ఫలకాలు ఉన్నాయి. వాటి నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక ఫలకాన్ని ఎన్నుకొంటే దానిపై క్రింది సంఖ్యలు ఉండుటకు సంభావ్యత ఎంతెంత ? (i) రెండంకెల సంఖ్య
(ii) ఖచ్చిత వర్గ సంఖ్య
(iii) 5చే భాగింపబడు సంఖ్య.
సాధన.
పెట్టెలోని మొత్తం ఫలకాల సంఖ్య = 90
పెట్టెనుండి ఒక ఫలకాన్ని యాదృచ్ఛికంగా తీయుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 90
(i) పెట్టెలోని రెండంకెల సంఖ్యలు = 81 {10, 11, 12, ………… 90}
∴ రెండంకెల సంఖ్య గల ఫలకాన్ని పొందగల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{81}{90}=\frac{9}{10}\)

(ii) పెట్టెలోని ఖచ్చిత వర్గాలు గల సంఖ్యలు = 9 = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}
∴ ఖచ్చితమైన వర్గం గల ఒక ఫలకాన్ని పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 9
∴ ఖచ్చితమైన వర్గం గల ఫలకాన్ని ఎంచుకొనుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\)

(iii) 1 నుండి 90 వరకు గల ‘5’ యొక్క గుణిజాల సంఖ్య = 18
{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90}
అనగా 5 యొక్క గుణిజం గల ఫలకాన్ని యాదృచ్ఛికంగా పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 18
∴ 5 యొక్క గుణిజం గల ఫలకాన్ని పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 11.
పటంలో చూపినట్లు దీర్ఘచతురస్రాకార పలకపై 1మీ. వ్యాసం గల వృత్తం గీయబడి ఉన్నది. ఒక పాచికను ఈ పలకపై జారవిడిస్తే అది వృత్తంలో పడుటకు సంభావ్యత ఎంత?

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 5

సాధన.
ఇచ్చిన దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క పొడవు (1) = 3 మీ.
వెడల్పు (b) = 2 మీ.
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం (A) = పొడవు × వెడల్పు
= 3 × 2 = 6 చ.మీ.
ఇచ్చిన వృత్త వ్యాసం (d) = 1 మీ.
∴ నివృత్త వైశాల్యం = nd = 2 x 141 = 1 3.
∴ దీర్ఘ చతురస్రం పై గల వృత్తం పైకి పాచికను వేయగల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{\frac{22}{28}}{6}=\frac{\cdot 22}{28 \times 6}=\frac{11}{28 \times 3}=\frac{11}{84}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 12.
ఒక వ్యాపారి వద్ద 144 పెన్నులు ఉన్నాయి. అందులో 20 లోపాలు కలిగి ఉన్నాయి. సుధ పెన్ను కొనడానికి వస్తే వ్యాపారి యాదృచ్ఛికంగా ఒక పెన్ను ఇస్తే దానిని
(i) సుధ కొనుటకు
(ii) కొనలేకపోవుటకు సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.
మొత్తం పెన్నుల సంఖ్య = 144
లోపాలు గల పెన్నుల సంఖ్య = 20
∴ మంచి పెన్నుల సంఖ్య = 144 – 20 = 124
∴ మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 144

(i) సుధ వాటిని కొనవలెనన్న అవి మంచివి/లోపాలు లేనివి అయి ఉండాలి.
∴ సుధ పెన్ను కొనుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 124.
∴ సుధ పెన్ను కొనుటకు కొనగల సంభావ్యత P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{124}{144}=\frac{31}{36}\)

(ii) అవి లోపాలు గల పెన్నులైనట్లయితే సుధ వాటిని కొనలేదు.
సుధ పెన్ను కొనలేకపోవుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 20
సుధ పెన్ను కొనలేకపోవుటకు సంభావ్యత P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{20}{144}=\frac{5}{36}\)
(లేదా)
P (కొనలేనవి) = 1 – P (కొనగలవి)
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{31}{36}\) = \(\frac{5}{36}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 13.
ఒకేసారి రెండు పాచికలను దొర్లించి వాటిపై సంఖ్యలను కూడినచో వచ్చు.
(i) మొత్తాల సంభావ్యతను తెలుపు పట్టికను పూరించండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 6

(ii) ఒక విద్యార్థి ఈ ప్రయోగంలో 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 అనే 11 పర్యవసానములు ఉన్నవి, కావున ఒక్కొక్క పర్యవసానము యొక్క సంభావ్యత – అన్నాడు. ఈ సమాధానంతో నీవు ఏకీభవిస్తావా? వివరించు.
సాధన.
(i) రెండు పాచికలను దొర్లించిన లభించగల మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 36

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 7

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 8

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

(ii) ఇచ్చిన పట్టిక నుండి (పై పట్టిక నుండి) విద్యార్థి యొక్క వివరణ తప్పు. ఇచ్చట ప్రతిదాని సంభావ్యత \(\frac{1}{11}\) గా లేదు.
రెండు పాచికను దొర్లించినపుడు వచ్చు పర్యవసానాలు 2, 3, 4, …….. 12 లు కాదు.
ఇవి ప్రాథమిక పర్యవసానాలైన (1, 1), (1, 2) ……….. (6, 6) లో కొన్ని ప్రత్యేక ఘటనల పర్యవసానాలు 2, 3, 4, …….. 12.

ప్రశ్న 14.
ఒక రూపాయి నాణెమును 3 సార్లు ఎగురవేసి బొమ్మ, బొరుసులను పరిశీలించాలనుకొన్నారు. అవి మూడు బొమ్మలు లేక బొరుసులు అయితే హనీష్ గెలుస్తాడు. హనీష్ ఓడిపోవడానికి సంభావ్యత కనుగొనండి.
సాధన.
ఒక నాణేన్ని n సార్లు ఎగురవేసిన వచ్చు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 2n.
ఒక నాణేన్ని 3 సార్లు పైకి ఎగురవేసిన లభించగల మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 23 = 8.
అవి ఈ క్రింది విధంగా కలవు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 9

∴ అన్నీ బొమ్మ మరియు అన్నీ బొరుసు కాని విభిన్న . పర్యవసానాల సంఖ్య = 8 – 2 = 6
∴ హనీష్ ఓడిపోవటానికి గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 15.
ఒక పాచికను.రెండుసార్లు దొర్లించారు. కనీసం ఒక్కసారి
(i) 5 పాచికపై కనిపించడానికి
(ii) 5 పాచికపై కనిపించకపోవడానికి సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.
పాచికను 2 సార్లు దొర్లించిన లభించదగు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 62 = 36.
పాచికను రెండుసార్లు దొర్లించినపుడు ఏర్పడు పర్యవసానాలు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 10

(i) రెండు పాచికలపై ‘5’ కనీసం ఒక సంఖ్యగా వచ్చు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 11
అవి. (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5,4), (5, 6) = 11
∴ P(E) = 5 పాచిక పై కనిపించడానికి సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{11}{36}\)

(ii) పాచికపై ‘5’ సంఖ్య కన్పించని (సందర్భాలు) అనుకూల పర్యవసానాలు
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 6), (4.1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 6) = 25.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 11

(లేదా)
P(E) పాచికపై 5 కనిపించుటకు సంభావ్యత అయిన P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) పాచికపై 5 కనిపించకపోవుటకు సంభావ్యత అవుతుంది.
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{11}{36}\) = \(\frac{25}{36}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Exercise 13.1

ప్రశ్న 1.
క్రింది ప్రవచనాలను పూరించండి.
(i) ఘటన E యొక్క సంభావ్యత + ఘటన ‘E కాదు’ సంభావ్యత = …………..
సాధన. 1

(ii) ఎల్లప్పుడు సాధ్యపడని ఘటన యొక్క సంభావ్యత ……….. దానిని ………. ఘటన అంటారు.
సాధన.
సున్న, అసంభవ ఘటన

(iii) కచ్చితంగా సంభవించే ఘటన యొక్క సంభావ్యత …………. దానిని ……….. ఘటన అంటారు.
సాధన.
1, కచ్చిత లేదా దృఢ

(iv) ఒక ప్రయోగంలోని అన్ని ప్రాథమిక ఘటనల యొక్క సంభావ్యతల మొత్తము
సాధన.
1

(v) ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యత ఎల్లప్పుడు ……………… కన్నా ఎక్కువ లేక సమానము మరియు …………… కన్నా తక్కువ లేక సమానముగా ఉంటుంది.
సాధన.
0 మరియు 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.1

ప్రశ్న 2.
క్రింది ప్రయోగాలలో దేని పర్యవసానములు సమ సంభవములు? వివరించండి.
(i) స్టార్టు చేయబోయిన కారు స్టార్టు అవుతుంది లేక కాదు.
సాధన.
సమసంభవ ఘటన. రెండింటికీ ఒకే సంభావ్యత (\(\frac{1}{2}\)) కలదు.

(ii) ఒక ఆటగాడు బాస్కెట్ బాల్ ను కొట్టబోతే, అది తగులుతుంది లేక తగలదు.
సాధన.
సమసంభవ ఘటన. రెండింటికీ ఒకే సంభావ్యత (\(\frac{1}{2}\)) కలదు.

(iii) తప్పు-ఒప్పు ప్రశ్నకు సమాధానము వ్రాసినప్పుడు అది సరికావచ్చు, కాకపోవచ్చు.
సాధన.
సమసంభవ ఘటన. రెండింటికీ ఒకే సంభావ్యత కలదు.

(iv) పుట్టబోయే శిశువు అబ్బాయి లేక అమ్మాయి కావచ్చు.
సాధన.
సమసంభవ ఘటన.
రెండింటికీ ఒకే సంభావ్యత కలదు. అది \(\frac{1}{2}\).

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.1

ప్రశ్న 3.
P(E) = 0.05 అయిన ‘E కాదు’ యొక్క సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
ఇచ్చినది P(E) = 0.05; P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = ?
P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1
⇒ P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) + 0.05 = 1
∴ P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – 0.05 = 0.95

ప్రశ్న 4.
ఒక సంచిలో నిమ్మ వాసన గల చాక్లెట్లు ఉన్నాయి. మాలిని చూడకుండా సంచి నుండి ఒక చాకొలేట్ తీస్తే అది
(i) నారింజ వాసన గలది అవడానికి
(ii) నిమ్మ వాసనగలది అవడానికి సంభావ్యతలు లెక్కించండి.
సాధన.
సంచిలో నిమ్మ వాసన గల చాక్లెట్లు కలవు.
(i) ఆ సంచి నుండి నారింజ వాసన గల చాక్లెట్లు అగుట అసంభం కనుక దాని సంభావ్యత ‘0’,
(ii) నిమ్మ వాసన గల చాక్లెట్లను ఆ సంచి నుండి యాదృచ్ఛికంగా బయటకు తీయుట ఒక కచ్చిత ఘటన. ‘కావున దాని సంభావ్యత 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.1

ప్రశ్న 5.
రహీమ్ ఒక పేకాట కార్డుల కట్టలోని అన్ని హృదయపు గుర్తు గల కార్డులను తొలగించాడు. ఇప్పుడు
సాధన.
పేక కట్టలోని మొత్తం కార్డుల సంఖ్య = 52
పేక కట్టలోని హృదయం ఆకారం గల కార్డుల సంఖ్య = 13
∴ హృదయం ఆకారం లేని కార్డుల సంఖ్య = 52 – 13 = 39.

(i) ఒక కార్డును ఎన్నుకొంటే అది ఏస్ అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
ఏస్ అయ్యే సంభావ్యత :
ఏస్ కార్డు అగుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 3

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.1 1

సాధ్యపడే అన్ని పర్యవసానాల సంఖ్య = 42 – 3 = 39
∴ సంభావ్యత = P(A)
= AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.1 2

(ii) డైమండును ఎన్నుకొనే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
డైమండ్ ను ఎన్నుకునే సంభావ్యత :
డైమండ్ కార్డు అగుటకు కాగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 13
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 39
∴ P(A) = \(\frac{13}{39}=\frac{1}{3}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.1

(iii) హృదయం గుర్తు లేని కార్డు ఎన్నుకొనే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
హృదయం గుర్తు లేని కార్డు ఎన్నుకొనే సంభావ్యత :
హృదయం గల కార్డులను తొలగిస్తే మిగిలినవన్ని (39) హృదయం లేని కార్డులే అవుతాయి.
కావున హృదయం లేని కార్డును ఎన్నుకొను ఘటన ఖచ్చిత ఘటన. కావున ఈ ఘటన సంభావ్యత 1. (లేదా)
హృదయం లేని కార్డును ఎన్నుకొను పర్యవసానాల సంఖ్య = 39
మొత్తం పర్యవసానాలు = 39
∴ P(E) = అనుకూల పర్యవసానాలు 39 / మొత్తం పర్యవసానాలు
= \(\frac{39}{39}\) = 1.

(iv) హృదయం గుర్తు గల ఏసను ఎన్నుకొనే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
హృదయం గుర్తు గల ఏస్ కార్డును ఎన్నుకొనడము అసంభవ ఘటన.
కావున ఈ ఘటన సంభావ్యత = ‘0’.
ఎందుకనగా పేకాట కట్ట నుండి అన్ని హృదయపు గుర్తుగల కార్డులను తొలగించాము.
మొత్తం సాధ్యపడే పర్యవసానాల సంఖ్య = 13.
∴ P(E) = \(\frac{0}{13}\) = 0.

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.1

ప్రశ్న 6.
ముగ్గురు విద్యార్థులలో ఇద్దరి పుట్టినరోజులు సంవత్సరములో ఒకే రోజు రాని సంభావ్యత 0.992 అయిన ఒకే రోజు వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
సంభావ్యత P(E) = 0.992 అనుకొనుము.
ఇద్దరు విద్యార్థుల పుట్టినరోజు ఒకే రోజు అయ్యే సంభావ్యత = E యొక్క పరస్పర ఘటన = P(E) అగును.
∴ P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1
⇒ P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E) = 1 – 0.992 = 0.008
∴ ఆ ఇద్దరి విద్యార్థుల పుట్టిన రోజు ఒకే రోజు అయ్యే సంభావ్యత = 0.008.

ప్రశ్న 7.
ఒక పాచికను ఒకసారి దొర్లించినప్పుడు ఏర్పడు పర్యవసానములతో క్రింది ఘటనల సంభావ్యతలను కనుగొనండి.
(i) ప్రధానసంఖ్య
(ii) 2,6ల మధ్య సంఖ్య
(iii) బేసిసంఖ్య
సాధన.
(i) ఒక పాచికను ఒకసారి దొర్లించినపుడు వచ్చు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 6
అందు ప్రధాన సంఖ్యలు వచ్చు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {2, 3, 5} = 3
∴ ప్రధాన సంఖ్య అయ్యే సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(ii) 2 మరియు 6ల మధ్య సంఖ్యలు వచ్చు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {3, 4, 5} = 3
∴ 2 మరియు 6 ల మధ్య సంఖ్యలు లభించు సంభావ్యత
P(E) = ఆ అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(iii) బేసి సంఖ్య లభించు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {1, 3, 5} = 3
∴ బేసి సంఖ్య అగుటకు సంభావ్యత P(E) = ఆనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.1

ప్రశ్న 8.
ఒక పేకముక్కల కట్ట నుండి ఎరుపు రంగు రాజును తీయు సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
ఎరుపు రాజు రాగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.1 3 = 52.
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 52.
ఎరుపు రాజు కార్డు పొందుటకు ‘సంభావ్యత P (ఎరుపు రాజు) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac{2}{52}=\frac{1}{26}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 13.1

ప్రశ్న 9.
పాచికలను, కార్డులను, పుట్టినరోజు సందర్భాలను ఉపయోగించుకొని ఐదు సమస్యలను తయారుచేసి వాటి సాధనలను గురించి మిత్రులతో, ఉపాధ్యాయునితో చర్చించండి.
సాధన.
ప్రాజెక్ట్ వర్క్ / తరగతిగది కృత్యం.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions

ఇది చేయండి:

ప్రశ్న 1.
కింది సందర్భాలకు పటాలను గీయండి. (పేజీ నెం. 297)
(i) ఒక వ్యక్తి ‘a’ ఊర్థ్వ కోణముతో ఒక గాలిపటాన్ని ఎగురవేస్తున్నాడు. గాలిపటాన్ని ‘1’ పొడవు గల దారంతో ఎగురవేస్తున్నాడు. ఈ సందర్భానికి పటాన్ని గీయండి.
(ii) ఒక నది యొక్క ఒక వైపు ఉన్న ‘h’ ఎత్తుగల చెట్టుపై నుండి నది యొక్క రెండు తీరాలను θ1 మరియు θ21 < θ2) నిమ్న కోణాలతో ఒక వ్యక్తి పరిశీలించాడు. నది వెడల్పు ‘d’ అయిన ఈ సందర్భానికి పటాన్ని గీయండి.
సాధన.
(i) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 6

పై పటంలో
A పరిశీలకుని స్థానము
B గాలిపటము యొక్క స్థానము
AB అనునది ‘l’ పొడవు గల దారము.

(ii) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 7

పటంలో
‘D’ పరిశీలకుని స్థానము
CD చెట్టు యొక్క ఎత్తు
AB నది వెడల్పు
θ1 మరియు θ2 లు నిమ్న కోణాలు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
మీ పాఠశాల భవనం నుండి ‘d’ దూరంలో గల బిందువు నుండి భవనం పై భాగాన్ని ‘a’ ఊర్థ్వ కోణముతో పరిశీలించారు. ఈ పాఠశాల భవనం ఎత్తును కనుగొనడానికి ఏ త్రికోణమితీయ నిష్పత్తిని ఎంచుకొంటారు ? (పేజీ నెం. 297)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 8

పటమును అనుసరించి, ఆసన్న భుజము మరియు ఊర్థ్వకోణములను బట్టి tan α గాని cot α గాని ఎంచుకొంటాను.

ప్రశ్న 2.
‘x’ మీటర్ల పొడవు గల ఒక నిచ్చెన భూమితో ఆ కోణం చేస్తూ ఒక గోడకు వేయబడి ఉంది. నిచ్చెన పై భాగం స్పృశించిన గోడ స్థానం యొక్క ఎత్తును కనుక్కోవడానికి ఏ త్రికోణమితీయ నిష్పత్తిని ఎంచుకోవాలి ? (పేజీ నెం. 297)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 9

∆ABC లో B కు ఎదుటి భుజమును కనుగొనాలి. ఊర్థ్వకోణము, కర్ణముల విలువలు మనకు తెలియును కావున sin θ గాని cosec θ గాని ఎంచుకొంటాను.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
పరిశీలకుని నుండి d మీటర్ల దూరంలో నున్న ఒక క్లాక్ టవర్ యొక్క పై కొన C° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. ఈ సందర్భానికి తగిన పటాన్ని గీయండి. (పేజీ నెం. 295)
సాధన.
సమస్య ఆధారంగా ఈ క్రింది పటం గీయవచ్చు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 1

ప్రశ్న 2.
రింకి మొదటి అంతస్థులోని బాల్కనీ నుండి బయటి భూమిపై నున్న పూవును P° నిమ్నకోణంతో చూస్తుంది. మొదటి – అంతస్థు ఎత్తు X మీటర్లు. ఈ సందర్భానికి తగిన పటాన్ని గీయండి. (పేజీ నెం. 296)
సాధన.
ఇక్కడ ∠DAC = ∠ACB = β

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 2

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions

ప్రశ్న 3.
ఒక పెద్ద త్రాడు సహాయంతో ఒక పెద్ద బెలూన్ గాలిలో తేలుతుంది. ఒక భవనంపై నున్న ఒక వ్యక్తి దాని పై భాగాన్ని θ1 ఊర్ధ్వకోణంతో మరియు త్రాడు అడుగు భాగాన్ని θ2 నిమ్నకోణంతో పరిశీలించాడు. ఆ భవనం ఎత్తు + అడుగులు. – ఈ సందర్భానికి తగిన పటాన్ని గీయండి. (పేజీ నెం. 296)
సాధన.
ఇక్కడ మనం గమనించగా,
∠BDA = ∠DAE

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 3

ప్రశ్న 4.
ఒక బాలుడు ఒక విద్యుత్ స్తంభం అడుగు భాగం నుండి 8 మీటర్ల దూరంలో ఉన్న బిందువు నుండి విద్యుత్ స్తంభం పై భాగాన్ని 60° ఊర్థ్వకోణాలతో పరిశీలించాడు. ఆ స్తంభం ఎత్తును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 297)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 4

పటం నుండి, త్రిభుజం OAB నుండి
OB = 8 మీటర్లు ∠AOB = 60°
స్తంభం ఎత్తు = AB = h మీటర్లు అనుకొనగా, (∆DAB లో ∠AOB యొక్క ఆసన్న భుజం విలువ మనకు తెలుసు. మనం “ఎదుటి భుజం” విలువను కనుక్కోవాలి. కావున ఆసన్న భుజం మరియు ఎదుటి భుజాల నిష్పత్తి “tan” ను పరిగణించాలి). ”
tan 60° = \(\frac{A B}{O B}\)
√3 = \(\frac{h}{8}\) మీ.
∴ h = 8√3 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions

ప్రశ్న 5.
ఒక హెలికాప్టర్ లో ఉన్న రాజేందర్ భూమిపై ఉన్న ఒక వ్యక్తిని 45° నిమ్నకోణంతో పరిశీలించాడు. భూమిపై నుండి హెలీకాప్టర్ 50 మీటర్ల ఎత్తులో ఎగురుతూ ఉంటే, రాజేందర్‌కు, ఆ వ్యక్తి ఎంత దూరంలో ఉన్నాడు ? (పేజీ నెం. 298)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 5

పటం నుండి, త్రిభుజం OAB లో
OA = 50 మీటర్లు
∠POB = ∠OBA = 45°
OB = రాజేందర్ నుండి వ్యక్తి దూరం = x.
(త్రిభుజం OAB లో ∠OBA యొక్క 150 మీ. ఎదుటి భుజం కొలత మనకు తెలుసు. కర్ణం OB విలువ కనుక్కోవాలి. ఎదుటి భుజం కర్ణాల నిష్పత్తి “sin” కావున “sin” ను ఎంచుకొంటాం)
sin 45° = \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OB}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{50}{x}\)
∴ x = 50√2 మీటర్లు
రాజేందర్ నుండి 50√2 మీటర్ల దూరంలో వ్యక్తి ఉన్నాడు.

ప్రశ్న 6.
30 మీటర్ల ఎత్తు గల ఒక గుడి పై భాగాన్ని, దాని ఇరువైపులా నున్న ఇద్దరు వ్యక్తులు 30° మరియ 60° ఊర్థ్వకోణాలలో పరిశీలించారు. ఆ ఇద్దరు వ్యక్తుల మధ్య దూరం ఎంత ? (పేజీ నెం. 301)
సాధన.
పటము నుండి దేవాలయం ఎత్తు BD = 30 మీటర్లు
మొదటి వ్యక్తి పరిశీలిస్తున్నపుడు ఊర్ధ్వకోణం ∠BAD = 30°
రెండవ వ్యక్తి పరిశీలిస్తున్నపుడు ఊర్ధ్వకోణం ∠BCD = 60°
మొదటి వ్యక్తి నుండి గుడి దూరం AD = x,
రెండవ వ్యక్తి నుండి గుడి దూరం CD = d అనుకొనగా

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 10

∆BAD నుండి

tan 30° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{30}{x}\)
x = 30√3 ………….. (1)

∆BCD నుండి
tan 60° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}\)
√3 = \(\frac{30}{\mathrm{~d}}\)
d = \(\frac{30}{\sqrt{3}}\) …………… (2)

(1) మరియు (2) ల నుండి ఇద్దరు వ్యక్తుల మధ్య దూరం = AD + DC = x + d
= 30√3 + \(\frac{30}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{90+30}{\sqrt{3}}=\frac{120}{\sqrt{3}}\)
= 40√3 మీటర్లు.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions

ప్రశ్న 7.
ఒక టవర్ పాదం వరకు ఒక చక్కని (straight) రహదారి ఉంది. ఆ టవర్ పై నిలబడి ఉన్న రామయ్య అనే వ్యక్తి దూరం నుండి వస్తున్న కారును 30°ల నిమ్నకోణంలో చూశాడు. సమవేగంతో వస్తున్న ఆ కారును 6 సెకండ్ల తర్వాత 600 నిమ్నకోణంలో గమనించాడు. ఈ స్థానం నుండి కారు టవర్‌ను చేరడానికి పట్టు కాలం ఎంత ? (పేజీ నెం. 301)
సాధన.
పటం నుండి,
6 సెకండ్లలో కారు ప్రయాణించిన దూరం = AB = x మీటర్లు
టవర్ ఎత్తు CD = h మీటర్లు
కారు ప్రయాణించాల్సిన మిగిలిన దూరం BC = d మీటర్లు
AC = AB + BC = (x + d) మీటర్లు
∠PDA = ∠DAC = 30°
∠PDB = ∠DBC = 60°

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 11

∆BCD నుండి,
tan 60° = \(\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BC}}\)
√3 = \(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{d}}\)
⇒ h = √3d ………. (1)

∆ACD నుండి,
tan 30° = \(\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{(x+d)}\)
⇒ h = \(\frac{(\mathrm{x}+\mathrm{d})}{\sqrt{3}}\) …………… (2)
(1) మరియు (2)ల నుండి,
\(\frac{(\mathrm{x}+\mathrm{d})}{\sqrt{3}}\) = √3d
x + d = 3d
x = 2d
⇒ d = \(\frac{x}{2}\)
‘x’ మీటర్ల దూరం ప్రయాణించడానికి పట్టు కాలం = 6 సెకండ్లు
‘d’ = \(\frac{x}{2}\) మీటర్ల దూరం ప్రయాణించడానికి పట్టు కాలం = 3 సెకండ్లు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
1.2 మీటర్ల ఎత్తు గల బాలిక ఆకాశంలో క్షితిజ సమాంతరంగా, 88.2 మీటర్ల ఎత్తుతోపాటు గాలిలో ప్రయాణిస్తున్న బెలూనును 60° ఊర్ధ్వకోణంలో గమనించింది. కొంతకాలం తర్వాత ఆ ఊర్థ్వకోణం 300 గా మారింది. ఈ మధ్యకాలంలో బెలూను ప్రయాణించిన దూరం ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 1

పటం నుండి,
AD = బాలిక ఎత్తు = 1.2 మీ.
FH = EB = 88.2 మీ. అనునది AB క్షితిజ సమాంతరం నుండి బెలూనుకు గల ఎత్తు D పరిశీలన బిందువు.
ఊర్వకోణములు ∠FDG = 60° మరియు ∠EDC = 30.
FG = EC = 88.2 – 1.2 = 87 మీ.
బెలూను ప్రయాణించిన దూరము, HB = y మీ. మరియు AH = x మీ.
∴ DG = x మీ. ‘ మరియు GC = y మీ. ,
∆FGD లో,
tan 60° = \(\frac{\mathrm{FG}}{\mathrm{DG}}\)
⇒ √3 = \(\frac{87}{x}\)
⇒ x = \(\frac{87}{\sqrt{3}}\) ……………… (1)
∆ECD లో,
tan 30° = \(\frac{E C}{D C}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{87}{D G+G C}\)
⇒ x + y = 87√3 …………… (2)
సమీకరణం (2) లో (1) ను ప్రతిక్షేపించగా,
\(\frac{87}{\sqrt{3}}\) + y = 87√3
⇒ y = 87√3 – \(\frac{87}{\sqrt{3}}\)

⇒ y = 87(√3 – \(\frac{1}{\sqrt{3}}\))

⇒ y = \(87\left(\frac{3-1}{\sqrt{3}}\right)\)

⇒ y = \(\frac{87 \times 2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

⇒ y = \(\frac{87 \times 2 \sqrt{3}}{3}\)
⇒ y = 29 × 2√3 = 58√3 మీ.
∴ బెలూను ప్రయాణించిన దూరం = 58√3 మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 2.
ఒక భవన పాదం నుండి ఎదురుగా నున్న టవరు పై భాగం 30° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. టవరు పాదం నుండి భవనం పై భాగం 60° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. వాటి ఎత్తులు ఏ నిష్పత్తిలో ఉంటాయి ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 2

పటం నుండి, CD = టవరు ఎత్తు,
AB = భవనం ఎత్తు
AC = భవనంకు, టవరుకు మధ్యన గల దూరము
ఊర్ధ్వకోణములు ∠ACB = 60° మరియు ∠DAC = 30° ,
∆ABC నుండి,
tan 60° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
⇒ √3 = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{x}}\)
⇒ AB = √3x
∆ADC నుండి,
tan30° = \(\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{C D}{x}\)
⇒ CD = \(\frac{x}{\sqrt{3}}\) ……………… (2)
భవనం మరియు టవరుల యొక్క ఎత్తుల నిష్పత్తి .
AB : CD = √3x : \(\frac{x}{\sqrt{3}}\) = 3 : 1.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 3.
A, B మరియు C అను మూడు పడవలు ఒకే సరళరేఖలో ప్రయాణిస్తూ లైట్ హౌస్ వైపు వస్తున్నవి. ఆ పడవలలో నుండి లైట్ హౌస్ పై భాగాన్ని గమనించిన వరుసగా అవి a, 22 మరియు 3a ఊర్ద్వకోణాలను చేస్తున్నవి. A మరియు B పడవల మధ్య దూరం x అయిన ఆ లైట్ హౌస్ ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 3

పటం నుండి,
PQ = లైట్ హౌస్ యొక్క ఎత్తు = h మీ.
A = మొదటి పరిశీలన బిందువు
B = రెండవ పరిశీలన బిందువు
C = మూడవ పరిశీలన బిందువు
AB = x మరియు BC = y (దత్తాంశములో ఇవ్వలేదు)
బాహ్యకోణము = అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తము
∠PBQ = ∠BQA + ∠BAQ మరియు
∠PCQ = ∠CBQ + ∠CQB
∴ AB = x = QB.
sine నియమమును అనుసరించి,

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 4

∆PBQ నుండి,
sin 2a = \(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{x}}\)
⇒ 2 sin a cos a = \(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{x}}\)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా,
⇒ 4 sin2 a cos2 a = \(\frac{h^{2}}{x^{2}}\)
⇒ 4 . \(\frac{3 y-x}{4 y} \cdot \frac{x+y}{4 y}=\frac{h^{2}}{x^{2}}\)
⇒ h2 = \(\frac{x^{2}}{4 y^{2}}(3 y-x)(x+y)\)
∴ h = \(\frac{x}{2 y} \sqrt{(3 y-x)(x+y)}\)
∴ లైట్ హౌస్ ఎత్తు = \(\frac{x}{2 y} \sqrt{(3 y-x)(x+y)}\)

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 4.
ఒక దీర్ఘ ఘనాకారంలో ఉన్న గూడు లోపలి భాగంలో పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తుల నిష్పత్తి 1 : √2 : 1. ఆ గూటిలో పట్టు అతి పెద్ద కజ్ఞ, దాని భూమితో చేయు కోణం ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 5

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 6

గూడు (Cup board) యొక్క అంతర భాగము దీర్ఘ ఘనాకృతిలో కలదు. ‘
పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తుల నిష్పత్తి 1 : √2 : 1
పటంలో, గూడు యొక్క పొడవు AB మరియు BC ఎత్తు అయిన AC అనునది దానిలో పట్టగల కర్ర
యొక్క గరిష్ఠ పొడవు అగును. కర్ర భూమితో చేయు కోణము ‘θ’ అనుకొనుము.
∆ABC లో,
tan θ = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\)
⇒ tan θ = \(\frac{1}{1}\)
⇒ tan θ = tan 45°
θ = 45°
∴ గూటిలో పట్టు అతి పెద్ద కర్ర భూమితో చేయు కోణం 45°.

AP Board 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 5.
ఒక గోళాకార లోహపు బంతి ఘనపరిమాణం 232848 సెం.మీ. దానిని కరిగించి 120° లు శీర్షకోణము చేయు శంఖువు ఆకారంలో పోతపోశారు. అయిన దాని భూవ్యాసార్ధం, ఎత్తులను కనుగొనుము.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 7

AC = ఏటవాలు ఎత్తు = l
AB = నిలువు ఎత్తు = h
BC = భూ వ్యాసార్థం = r
గోళాకార లోహపు బంతి ఘనపరిమాణం = 232848 cm3
లెక్క ప్రకారము గోళాకార లోహపు బంతి ఘనపరిమాణం = శంఖువు ఘనపరిమాణము
∴ \(\frac{1}{3}\) πr2h = 232848
∆ABC లో tan 60° = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\)
√3 = \(\frac{r}{h}\)
⇒ r = √3h
\(\frac{1}{3}\)π(√3h)2 × h = 232848
\(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3 × h2 × h = 232848
h3 = \(\frac{232848 \times 7}{22}\)
h3 = 10584 × 7 = 74088
h3 = 423
⇒ h = 42, కాని r = h√3
⇒ r = 42√3