Srinivas

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 3 చతుర్భుజాల నిర్మాణాలు Ex 3.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 3rd Lesson చతుర్భుజాల నిర్మాణాలు Exercise 3.6

కింది ఇవ్వబడిన కొలతలతో కావల్సిన చతుర్భుజాలు నిర్మించండి.

(a) CART రాంబలో CR = 6 సెం.మీ., AT = 4.8 సెం.మీ.
సాధన.
నిర్మాణ క్రమం :
1. 6 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో \(\overline{\mathrm{CR}}\) కర్ణాన్ని నిర్మించితిని.

2. \(\overline{\mathrm{CR}}\) వ్యాసార్ధంలో సగం కంటే ఎక్కువ వ్యాసార్ధం తీసుకొని, C, R కేంద్రాల నుండి పైన, క్రింద గీచిన చాపాల ఖండన బిందువులు P, Q లుగా గుర్తించవలెను. P, Qలను కలుపగా CRకు లంబ సమద్విఖండన రేఖ ఏర్పడినది. వీటి ఖండన బిందువును ‘O’ గా గుర్తించితిని.
3. AT = 4.8 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంలో సగం వ్యాసార్ధం 2.4 సెం.మీ.లతో ‘O’ కేంద్రంగా రెండు చాపాలను పైన క్రింద గీయగా అవి లంబ సమద్విఖండన రేఖ \(\overline{\mathrm{PQ}}\)ను A, T ల వద్ద ఖండించుకొనును.
4. C, T లను, C, A లను, R, T లను, R, A లను కలిపితిని.
∴ CART రాంబస్ ఏర్పడినది.

(b) SOAP రాంబస్ లో SA = 4.3 సెం.మీ., OP = 5 సెం.మీ.
సాధన.
నిర్మాణ క్రమం :
1. 4.3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో \(\overline{\mathrm{SA}}\) రేఖాఖండాన్ని నిర్మించితిని.
2. 4.3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంలో సగానికంటే ఎక్కువ వ్యాసార్ధంతో S, Aల నుండి పైన క్రింద చాపాలను గీయగా, వాటి ఖండన బిందువులు X, Y లుగా గుర్తించితిని. X, Y లను కలిపితిని.
3. \(\overline{\mathrm{XY}}\), \(\overline{\mathrm{SA}}\) కు ఒక లంబ సమద్విఖండన రేఖ. వీటి ఖండన బిందువును ‘M’ గా గుర్తించితిని.
4. ‘M’ కేంద్రంగా OP వ్యాసార్ధంలో సగం వ్యాసార్ధం 2.5 సెం.మీ.లతో పైన క్రింది గీచిన చాపాలు O, P లవద్ద \(\overline{\mathrm{XY}}\) ను ఖండించినవి.

5. S, P లను S, Oలను మరియు P, Aలను, O, A లను కలిపితిని.
6. ∴ SOAP రాంబస్ ఏర్పడినది.

(c) JUMP చతురస్రంలో కర్ణం 4.2 సెం.మీ.
సాధన.
JM = UP = 4.2 సెం.మీ.
[∵ చతురస్రంలోని కర్ణాలు సమానాలు]

నిర్మాణ క్రమం :
1. 4.2 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో \(\overline{\mathrm{JM}}\) రేఖాఖండాన్ని (కర్ణం) నిర్మించితిని.
2. \(\overline{\mathrm{JM}}\) వ్యాసార్ధంలో సగాని కంటే ఎక్కువ వ్యాసార్ధంతో J, M కేంద్రాల నుండి పైన, క్రింద గీచిన చాపాల ఖండన బిందువులను X, Y లుగా గుర్తించితిని.
3. X, Y లను కలిపితిని. \(\overline{\mathrm{XY}}\), \(\overline{\mathrm{JM}}\) కు ఒక లంబ సమద్విఖండన రేఖ. ఇది \(\overline{\mathrm{XY}}\) ను ‘O’ వద్ద ఖండిస్తుంది.
4. ‘O’ కేంద్రంగా \(\overline{\mathrm{UP}}\) వ్యాసార్ధంలో సగం వ్యాసార్థంతో పైన, క్రింద గీచిన చాపాలు \(\overline{\mathrm{XY}}\) ను U, Pల వద్ద ఖండించును.
5. J, U లను, U, M లను మరియు J, P లను, M, P లను కలిపితిని.
∴ చతురస్రం JUMP ఏర్పడినది.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 3 చతుర్భుజాల నిర్మాణాలు Ex 3.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 3rd Lesson చతుర్భుజాల నిర్మాణాలు Exercise 3.5

కింది చతుర్భుజాలను ఇవ్వబడిన కొలతలతో నిర్మించండి.

(a) PQRS చతుర్భుజంలో PQ = 3.6 సెం.మీ., QR = 4.5 సెం.మీ., RS = 5.6 సెం.మీ., ∠PQR = 135° మరియు ∠QRS = 60°.
సాధన.
నిర్మాణ క్రమం :
1. 3.6 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో \(\overline{\mathrm{PQ}}\) రేఖాఖండాన్ని నిర్మించితిని.

2. Q కేంద్రంగా 135° కిరణాన్ని, 4.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ఒక చాపాన్ని గీయగా వాటి ఖండన బిందువును ‘R’ గా గుర్తించితిని.
3. R కేంద్రంగా 60° ల కిరణాన్ని, 5.6 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ఒక చాపం గీయగా, వాటి ఖండన బిందువును ‘S’ గా గుర్తించితిని.
4. R, S లను కలిపితిని.
∴ PQRS చతుర్భుజం ఏర్పడినది.

(b) LAMP చతుర్భుజంలో AM = MP = PL = 5 సెం.మీ., ∠M = 90° మరియు ∠P = 60°.
సాధన.
నిర్మాణ క్రమం :
1. 5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో \(\overline{\mathrm{AM}}\) రేఖాఖండాన్ని గీచితిని.

2. M కేంద్రంగా 90° కోణంతో ఒక కిరణాన్ని, 5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ఒక చాపాన్ని గీయగా, వాటి ఖండన బిందువును P గా గుర్తించితిని.
3. P కేంద్రంగా 60° కోణంతో ఒక కిరణాన్ని, 5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ఒక చాపాన్ని గీయగా వాటి ఖండన బిందువును L గా గుర్తించితిని.
4. A, L లను కలిపితిని.
∴ LAMP చతుర్భుజం ఏర్పడినది.

(c) ABCD ట్రెపీజియం (సమలంబ చతుర్భుజం)లో AB//CD, AB = 8 సెం.మీ., BC = 6 సెం.మీ., CD = 4 సెం.మీ., మరియు ∠B = 60°.
సాధన.
\(\overline{\mathrm{AB}}\)//\(\overline{\mathrm{CD}}\) అయిన ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° – 60° = 120 ∴ ∠C = 120°

నిర్మాణ క్రమం :
1. 8 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో \(\overline{\mathrm{AB}}\) రేఖాఖండాన్ని నిర్మించితిని.
2. ‘B’ కేంద్రంగా 60° ల కిరణాన్ని, 6 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ఒక చాపాన్ని గీయగా, వాటి ఖండన బిందువును ‘C’ గా గుర్తించితిని.
3. ‘C’ కేంద్రంగా 120° లతో ఒక కిరణాన్ని, 4 సెం.మీ.లతో ఒక చాపాన్ని గీయగా, వాటి ఖండన బిందువును ‘D’ గా గుర్తించితిని.
4. A, Dలను కలిపితిని.
∴ ABCD ట్రెపీజియం ఏర్పడినది.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.5

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇవ్వబడిన ప్రతి గుణిశ్రేణికి సామాన్యనిష్పత్తిని, nవ పదమును కనుగొనుము.
(i) 3, \(\frac{3}{2}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{3}{8}\), ……..
సాధన.
3, \(\frac{3}{2}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{3}{8}\), ……..
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{3}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{2}\)
nవ పదం a_n = a r^{n – 1}
= 3 × (\(\frac{1}{2}\))^{n – 1}

(ii) 2, – 6, 18, – 54
సాధన.
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-6}{2}\) = – 3
nవ పదం , a_n = a r^{n – 1}
= 2 × (- 3)^{n – 1.}

(iii) – 1, – 3, – 9, – 27, ………..
సాధన.
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-3}{-1}\) = 3
nవ పదం a_n = a r^{n – 1}
= (- 1) × 3^{n – 1} = – 3^{n – 1}

(iv) 5, 2, \(\frac{4}{5}\), \(\frac{8}{25}\), …………..
సాధన.
5, 2, \(\frac{4}{5}\), \(\frac{8}{25}\), …………..
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{2}{5}\)
1 వ పదం a_n = a r^{n – 1} = 5 × (\(\frac{2}{5}\))^{n – 1}

ప్రశ్న 2.
5, 25, 125, ….. అనే గుణశ్రేణి యొక్క 10వ, 1వ పదాలను కనుగొనుము.
సాధన.
5, 25, 125, …………….
a = 5, r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{25}{5}\) = 5
10 వ పదం a₁₀ = a . r⁹ = 5 × 5⁹ = 5¹⁰
nవ పదం a_n = a . r^{n – 1} = 5 × (5)^{n – 1}
= 5^{1 + n – 1} = 5ⁿ

ప్రశ్న 3.
క్రింది గుణశ్రేణిలలో పేర్కొన్న పదాలను కనుగొనుము.
(i) a₁ = 9; r = \(\frac{1}{3}\) అయిన a₇ = ?
సాధన.
a₁ = 9; r = \(\frac{1}{3}\)
ar₇ = ar⁶ – 9 × (\(\frac{1}{3}\) )⁶
= 3² × \(\frac{1}{3^{6}}\)
= \(\frac{1}{3^{4}}=\frac{1}{81}\)

(ii) a₁ = – 12; r = \(\frac{1}{3}\); అయిన a₆ = ?
సాధన.
a₁ = 12; r = \(\frac{1}{3}\)
a₆ = ar⁵ = – 12(\(\frac{1}{3}\))⁵
= \(\frac{-12}{3^{5}}=\frac{-4}{3^{4}}=\frac{4}{81}\)

ప్రశ్న 4.
(i) 2, 8, 32, …….. గుణ శ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 512 అవుతుంది ?
సాధన.
ఇచ్చిన గుణశ్రేఢ 2, 8, 32, ……….. 512
a = 2; r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{8}{2}\) = 4, a_n = 512
a_n = a . r^{n – 1} = 512
⇒ 2 × (4)^{n – 1} = 512

⇒ 2 × (2²)^{n – 1} = 2⁹
⇒ 2 × 2^{2(n – 1)}= 2⁹
⇒ 2^{2n – 1} = 2⁹
2n – 1 = 9
2n = 9 + 1 = 10 ,
n = \(\frac{10}{2}\) = 5
2, 8, 32, ….. శ్రేణిలో 5వ పదం 512 అవుతుంది.

(ii) √3, 3, 3√3, …………….. గుణశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 729 అవుతుంది?
సాధన.
ఇచ్చిన గుణశ్రేణి √3, 3, 3√3, …….. 729
a = 3; r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = √3
a_n = 729

a_n = a r^{n – 1} = 729
⇒ 3 × (√3)^{n – 1}= 729
⇒ (√3)ⁿ = 729
⇒ 3^n/2 = 3⁶
⇒ \(\frac{n}{2}\) = 6
⇒ n = 12
√3, 3, 3√3, …………….. గుణశ్రేణిలో 12వ పదం 729 అవుతుంది.

(iii) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{27}\), ………… గుణశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 2187 అవుతుంది ?
సాధన.
ఇచ్చిన గుణశ్రేణి \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{27}\), …………, \(\frac{1}{2187}\)
a = \(\frac{1}{3}\), r = \(\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{9} \times \frac{3}{1}=\frac{1}{3}\),
a_n = \(\frac{1}{2187}\)
a_n = a . r^{n – 1} = \(\frac{1}{2187}\)
⇒ \(\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{\mathrm{n}-1}=\frac{1}{2187}\)

⇒ \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\left(\frac{1}{3}\right)^{7}\)
n = 7

\(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{27}\), ………… గుణశ్రేణిలో 7వ పదం \(\frac{1}{2187}\) అవుతుంది.

ప్రశ్న 5.
ఒక గుణశ్రేణి యొక్క 8వ పదము 192 మరియు సామాన్య నిష్పత్తి 2 అయిన 12వ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
1వ పద్దతి :
ఒక గుణ శ్రేణిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192 ………. (1)
సామాన్య నిష్పత్తి r = 2 ను (1) లో రాయగా,
a(2)⁷ = 192
a × 128 = 192
⇒ a = \(\frac{192}{128}=\frac{3}{2}\)
∴ 12వ పదం a₁₂ = a r¹¹
= \(\frac{3}{2}\) × (2)¹¹
= 3 × 2¹⁰

2వ పద్ధతి :
గుణశ్రేణిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192 మరియు సామాన్య నిష్పత్తి r = 2 .
∴ 12వ పదం a₁₂ = ar¹¹ = ar⁷ × r⁴
= 192 × 2⁴
= 3 × 64 × 2⁴
= 3 × 2⁶ × 2⁴
= 3 × 2¹⁰

3వ పద్ధతి :
గుణశ్రేణిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192 సామాన్య నిష్పత్తి r = 2
a₉ = 192 × 2 = 3 × 20 × 2 = 3 × 27
a₁₀ = 3 × 2⁷ × 2 = 3 × 2⁸
a₁₁ = 3 × 2⁸ × 2 = 3 × 2⁹
a₁₂ = 3 × 2⁹ × 2 = 3 × 2¹⁰

ప్రశ్న 6.
ఒక గుణశ్రేణిలో నాల్గవ పదము \(\frac{2}{3}\) మరియు 7వ పదము \(\frac{16}{81}\) అయిన ఆ శ్రేణిని కనుగొనుము.
సాధన.
గుణ శ్రేణిలో నాల్గవ పదము a₄ = ar³ = \(\frac{2}{3}\) ………… (1)
7వ పదము a₇ = ar⁶ = \(\frac{16}{81}\) …………..(2)
(2) ÷ (1)
⇒ \(\frac{\mathrm{ar}^{6}}{\mathrm{ar}^{3}}=\frac{\frac{16}{81}}{\frac{2}{3}}=\frac{16}{81} \times \frac{3}{2}=\frac{8}{27}\) = \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\)

⇒ r³ = \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\)
∴ r = \(\frac{2}{3}\) or
r = \(\frac{2}{3}\) ని (1) లో రాయగా,
a\(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
a × \(\frac{8}{27}\) = \(\frac{2}{3}\)
⇒ a = \(\frac{2}{3} \times \frac{27}{8}=\frac{9}{4}1\)
∴ ఆ గుణశ్రేఢ a, ar, ar², ar³, ………….
\(\frac{9}{4}\), \(\frac{9}{4} \times \frac{2}{3}\), \(\frac{9}{4} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\), \(\frac{9}{4} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\), ………….
= \(\frac{9}{4}\), \(\frac{3}{2}\), 1, \(\frac{2}{3}\), ………….

ప్రశ్న 7.
162, 54, 18, …… గుణశ్రేణి మరియు \(\frac{2}{81}\), \(\frac{2}{27}\), \(\frac{2}{9}\) …… గుణ శ్రేఢుల 1వ పదాలు సమానము అయిన n విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన 1వ గుణశ్రేణి 162, 54, 18, ……,
a = 162, r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{54}{162}=\frac{1}{3}\)
nవ పదం a_n = a . r^{n – 1}
= 162 . (\(\frac{1}{3}\))^{n – 1}
= \(\frac{162}{3^{n-1}}\)
2వ గుణశ్రేణి
\(\frac{2}{81}\), \(\frac{2}{27}\), \(\frac{2}{9}\), …………………..
మొదటిపదం a = \(\frac{2}{81}\), r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}\)
= \(\frac{\frac{2}{27}}{\frac{2}{81}}=\frac{2}{27} \times \frac{81}{2}\) = 3

n వ పదం a_n = \(\frac{2}{81}\) (3)^{n – 1} = \(\frac{2 \times 3^{n-1}}{81}\)
లెక్క ప్రకారం రెండు గుణశ్రేఢుల n వ పదాలు సమానము.
\(\frac{162}{3^{n-1}}=\frac{2 \times 3^{n-1}}{81}\)
2 × 3^{n – 1} × 3^{n – 1} = 162 × 81 (అడ్డగుణకారము చేయగా)
3^{2n – 2} = \(\frac{162 \times 81}{2}\) = 81 × 81
3^{2n – 2} = 3⁴ × 3⁴ = 3⁸
3^{2n – 2} = 3⁸
∴ 2n – 2 = 8
2n = 8 + 2 = 10
n = \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ n = 5

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 3 చతుర్భుజాల నిర్మాణాలు Ex 3.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 3rd Lesson చతుర్భుజాల నిర్మాణాలు Exercise 3.4

కింది ఇవ్వబడిన కొలతలను ఉపయోగించి కావాల్సిన చతుర్భుజాలను నిర్మించండి.

(a) చతుర్భుజం HELP లో HE = 6 సెం.మీ., EL = 4.5 సెం.మీ., ∠H = 60°, ∠E = 105° మరియు ∠P = 120.
సాధన.
HELP చతుర్భుజంలో
HE = 6 సెం.మీ. EL = 4.5 సెం.మీ.
∠H = 60°, ∠E = 105°, ∠P = 120°
⇒ ∠L = 360° – (60° + 105° + 120°)
= 360° – 285° = 750

నిర్మాణ క్రమం :
1. 6 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో \(\overline{\mathrm{HE}}\) రేఖాఖండాన్ని నిర్మించితిని.
2. E కేంద్రంగా 105° కిరణాన్ని, 4.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో గీచిన చాపాల ఖండన బిందువును ‘L’ గా గుర్తించితిని.
3. H, L లు కేంద్రాలుగా 60°, 75°లతో వరుసగా రెండు కిరణాల ఖండన బిందువును ‘P’ గా గుర్తించితిని.
4. H, P లను, P, L లను కలిపితిని.
∴ HELP చతుర్భుజం ఏర్పడినది.

(b) సమాంతర చతుర్భుజం GRAM లో GR = AM = 5 సెం.మీ., RA = MG = 6.2 సెం.మీ. మరియు ∠R = 85°.
సాధన.
GRAM సమాంతర చతుర్భుజంలో
GR = AM = 5 సెం.మీ. RA = MG = 6.2 సెం.మీ. ∠R = 85°
నిర్మాణ క్రమం :
1. 5 సెం.మీ. వ్యాసార్థంతో \(\overline{\mathrm{GR}}\) రేఖాఖండాన్ని నిర్మించితిని.
2. R కేంద్రంగా 85° కోణంతో గీచిన కిరణాన్ని, 6.2 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో గీచిన చాపం ఖండించిన, ఖండన బిందువును ‘A’ గా గుర్తించితిని.
3. G, A లు కేంద్రాలుగా వరుసగా 6.2 సెం.మీ., 5 – సెం.మీ.లతో గీచిన చాపాల ఖండన బిందువును ‘M’ గా గుర్తించితిని.

4. G, M లను, A, M లను కలిపి తిని.
5. ∴ GRAM సమాంతర చతుర్భుజం ఏర్పడినది.

(c) దీర్ఘచతురస్రం FLAG లో భుజం FL = 6 సెం.మీ., మరియు LA = 4.2 సెం.మీ.
సాధన.
FL = AG = 6 సెం.మీ.
LA = FG = 4.2 సెం.మీ. ∠F = ∠L = 90°
(∵ దీర్ఘచతురస్రంలో ఎదురెదురు భుజాలు సమానాలు. ప్రతి కోణం 90° ఉంటుంది.)

నిర్మాణ క్రమం :
1. 6 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో \(\overline{\mathrm{FL}}\) రేఖాఖండాన్ని గీచితిని.
2. F కేంద్రంగా 90° లతో ఒక కిరణాన్ని మరియు 4.2 సెం.మీ.లతో ఒక చాపాన్ని గీయగా, వాటి ఖండన బిందువును ‘G’ గా గుర్తించితిని.
3. L కేంద్రంగా 90° లతో ఒక కిరణాన్ని మరియు 4.2 సెం.మీ.లతో ఒక చాపాన్ని గీయగా వాటి ఖండన బిందువును ‘A’ గా గుర్తించితిని.
4. G, A లను కలిపితిని.
5. ∴ GRAM దీర్ఘచతురస్రం ఏర్పడినది.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 3 చతుర్భుజాల నిర్మాణాలు Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 3rd Lesson చతుర్భుజాల నిర్మాణాలు Exercise 3.3

కింది ఇవ్వబడిన కొలతలను ఉపయోగించి కావల్సిన – చతుర్భుజాలను నిర్మించండి.

(a) GOLD అనే చతుర్భుజంలో OL = 7.5 సెం.మీ., GL = 6 సెం.మీ., LD = 5 సెం.మీ., DG = 5.5 సెం.మీ. మరియు OD = 10 సెం.మీ
సాధన.
నిర్మాణ క్రమం :
1. 7.5 సెం.మీ. వ్యాసార్థంతో \(\overline{\mathrm{OL}}\) రేఖాఖండాన్ని గీచితిని.
2. O, L లు కేంద్రాలుగా వరుసగా 10 సెం.మీ., 5 సెం.మీ.లతో గీచిన చాపాల ఖండన బిందువును ‘D’ గా గుర్తించితిని.

3. L, D లు కేంద్రాలుగా వరుసగా 6 సెం.మీ., 5.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధాలతో గీచిన చాపాల ఖండన బిందువును ‘G’ గా గుర్తించితిని.
4. O, G లను, L, G లను, O, D లను, L, D లను, G, D లను కలిపితిని.
∴ GOLD అను ఒక చతుర్భుజం ఏర్పడినది.

(b) PQRS చతుర్భుజంలో PQ = 4.2 సెం.మీ., QR = 3 సెం.మీ., PS = 2.8 సెం.మీ., PR= 4.5 సెం.మీ. మరియు QS = 5 సెం.మీ.
సాధన.
నిర్మాణ క్రమం :
1. 4.2 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో \(\overline{\mathrm{PQ}}\) రేఖాఖండాన్ని నిర్మించితిని.

2. P, Qలు కేంద్రాలుగా వరుసగా 4.5 సెం.మీ., 3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధాలతో గీచిన చాపాల ఖండన బిందువును ‘R’ గా గుర్తించితిని. P, R మరియు Q, Rలను కలిపితిని.
3. Q, Pలు కేంద్రాలుగా వరుసగా 5 సెం.మీ., 2.8 సెం.మీ. వ్యాసార్ధాలతో గీచిన చాపరేఖల ఖండన బిందువును ‘S’ గా గుర్తించితిని. P, S లను, Q, S లను, S, Rలను కలిపితిని.
∴ PORS అను ఒక చతుర్భుజం ఏర్పడినది.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 3 చతుర్భుజాల నిర్మాణాలు Ex 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 3rd Lesson చతుర్భుజాల నిర్మాణాలు Exercise 3.2

కింద ఇవ్వబడిన కొలతలను ఉపయోగించి చతుర్భుజాల నిర్మాణాలను చేయండి.

(a) ABCD చతుర్భుజములో AB = 4.5 సెం.మీ., BC = 5.5 సెం.మీ., CD = 4 సెం.మీ., AD = 6 సెం.మీ., మరియు AC = 7 సెం.మీ.
సాధన.

నిర్మాణ క్రమం :
1. 4.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ఒక \(\overline{\mathrm{AB}}\) రేఖాఖండాన్ని నిర్మించితిని.
2. A, B లు కేంద్రాలుగా వరుసగా 7 సెం.మీ., 5.5 సెం.మీ. వ్యాసార్దాలుగా గీచిన చాపాల ఖండన బిందువు ‘C’ గా గుర్తించితిని.
3. A. C లను, B, C లను కలిపితిని.
4. C, A లు కేంద్రాలుగా వరుసగా 4 సెం.మీ., 6 సెం.మీ. వ్యాసార్ధాలతో గీచిన చాపాల ఖండన బిందువు ‘D’ గా గుర్తించితిని.
5. D, C లను, A, D లను కలిపితిని.
∴ ABCD చతుర్భుజం ఏర్పడినది.

(b) PQRS చతుర్భుజములో PQ = 3.5 సెం.మీ., QR = 4 సెం.మీ., RS = 5 సెం.మీ., PS = 4.5 సెం.మీ., మరియు QS = 6.5 సెం.మీ.
సాధన.
నిర్మాణ క్రమం :
1. 3.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో \(\overline{\mathrm{PQ}}\) రేఖాఖండాన్ని గీచితిని.

2. P, Q లు కేంద్రాలుగా వరుసగా 4.5 సెం.మీ., 6.5 సెం.మీ. లచే రెండు చాపాలను గీయగా వాటి ఖండన బిందువును ‘S’ గా గుర్తించితిని.
3. S, Q లు కేంద్రాలుగా 5 సెం.మీ., 4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో గీచిన చాపాలు ఖండించుకొనగా, వాటి ఖండన బిందువును ‘R’ గా గుర్తించితిని.
4. P, S లను Q, S లను కలిపితిని. అదేవిధంగా S, Rలను Q, Rలను కలిపితిని.
∴ చతుర్భుజం PARS ఏర్పడినది.

(c) సమాంతర చతుర్భుజం ABCD లో AB = 6.సెం.మీ., BC = 4.5 సెం.మీ. మరియు BD = 7.5 సెం.మీ.
సాధన.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో
AB = CD = 6 సెం.మీ.
BC = AD = 4.5 సెం.మీ.

నిర్మాణ క్రమం :
1. 6 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో \(\overline{\mathrm{AB}}\) రేఖాఖండాన్ని గీచితిని.
2. A, B లు కేంద్రాలుగా 4.5 సెం.మీ., 7.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో గీచిన చాపాల ఖండన బిందువులను ‘D’ గా గుర్తించితిని. A, D మరియు B, D లను కలిపితిని.
3. D, B లు కేంద్రాలుగా 6. సెం.మీ., 4.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధాలతో గీచిన చాపాల ఖండన బిందువును ‘C’ గా గుర్తించితిని.
4. B, C మరియు D, C లను కలిపితిని.
∴ సమాంతర చతుర్భుజం ABCD ఏర్పడినది.

(d) సమచతుర్భుజం (రాంబస్) NICE లో NI = 4 సెం.మీ. మరియు IE = 5.6 సెం.మీ.
సాధన.
NI = IC = CE = NE = 4 సెం.మీ., IE = 5.6 సెం.మీ.

నిర్మాణ క్రమం :
1. 4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో \(\overline{\mathrm{NI}}\) రేఖాఖండాన్ని గీచితిని.
2. N, I లు కేంద్రాలుగా వరుసగా 4 సెం.మీ., 5.6 సెం.మీ. వ్యాసార్ధాలతో రెండు చాపాలను గీయగా వాటి ఖండన బిందువును ‘E’ గా గుర్తించితిని. N, E మరియు I, E లను కలిపితిని.
3. E, Iలు కేంద్రాలుగా వరుసగా 4 సెం.మీ., వ్యాసార్ధాలతో గీచిన రెండు చాపాల ఖండన బిందువును ‘C’ గా గుర్తించితిని.
4. E, C లను, I, C లను కలిపితిని.
∴ NICE రాంబస్ ఏర్పడినది.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.4

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది సంఘటనలలో ఏర్పడే సంఖ్యల జాబితాలలో ఏవి గుణశ్రేఢులను ఏర్పరుస్తాయి ?
(i) షర్మిల యొక్క మొదటి సం||ము జీతము 5,00,000/- ఆ తరువాత ప్రతి సం||ము ముందున్న సం||ము యొక్క జీతములో 10% పెరుగుతుంది.
సాధన.
షర్మిల మొదటి సం||ము జీతము = ₹ 5,00,000
2వ సం||ము జీతము = 5,00,000 \(\left(\frac{100+10}{100}\right)\) = ₹ 5,50,000
3వ సం||ము జీతము = 5,50,000 \(\left(\frac{100+10}{100}\right)\) = ₹ 6,05,000
ప్రతి సంవత్సరం షర్మిల జీతం జాబితా 5,00,000, 5,50,000, 6,05,000 ……………….
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{5,50,000}{5,00,000}=\frac{11}{10}\)

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{6,05,000}{5,50,000}=\frac{11}{10}\)

\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{11}{10}\)
కావున షర్మిల యొక్క జీతంతో ఏర్పడే సంఖ్యల జాబితా ఒక గుణశ్రేణి అవుతుంది.

(ii) 30 మెట్లు వున్న ఒక మెట్ల వంతెనలో అన్నింటి కంటే క్రింద ఉన్న మెట్టు నిర్మాణానికి 100 ఇటుకలు అవసరం. ఆ పై ప్రతి పై మెట్టు నిర్మాణానికి దాని క్రింద మెట్టు నిర్మాణానికి కావలసిన వాని ఇటుకల కంటే 2 చొప్పున తక్కువ ఇటుకలు అవసరమైన ప్రతి మెట్టు. నిర్మాణానికి అవసరమయ్యే ఇటుకల సంఖ్యల జాబితా. .
సాధన.
కింది మెట్టు నుండి మెట్ల నిర్మాణానికి అవసరమైన సంఖ్యల జాబితా . 100, 98, 96, 94, ………….. 30 పదాలు
ఇక్కడ \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{98}{100}=\frac{49}{50}\);

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{96}{98}=\frac{48}{49}\)

\(\frac{a_{2}}{a_{1}} \neq \frac{a_{3}}{a_{2}}\)
కావున పై సంఖ్యల జాబితా గుణశ్రేఢి కాదు.

(iii) 24 సెం.మీ భుజం పొడవు గల ఒక సమబాహు త్రిభుజము యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులను కలపటం వల్ల రెండవ త్రిభుజము, దాని భుజాల మధ్య బిందువులను కలపటం వల్ల మూడవ త్రిభుజమేర్పడును. ఈ విధానాన్ని అనంతంగా కొనసాగిస్తే మొదటి, రెండవ, మూడవ … త్రిభుజాల చుట్టుకొలతలు.

సాధన.
త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాల మధ్య బిందువులు కలిపే రేఖాఖండం మూడవ భుజంలో సగం ఉంటుంది.

త్రిభుజ చుట్టుకొలతల జాబితా 72, 36, 18, 9,
ఇందులో, \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{36}{72}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}\) \(\frac{\mathrm{a}_{4}}{\mathrm{a}_{3}}=\frac{9}{1.8}=\frac{1}{2}\)

………………
………………
………………
\(\frac{\mathrm{a}_{2}}{\mathrm{a}_{1}}=\frac{\mathrm{a}_{3}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{a}_{4}}{\mathrm{a}_{3}}=\ldots .=\frac{1}{2}\)
కావున త్రిభుజాల చుట్టుకొలత జాబితా గుణ శ్రేణిలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
గుణశ్రేణి యొక్క మొదటి పదము a, సామాన్యనిష్పత్తి r లు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి. అయిన మొదటి మూడు పదాలను రాయుము.
(i) a = 4; r= 3.
సాధన. a = 4; r = 3
మొదటి పదం a₁ = a = 4
రెండవ పదం a₂ = ar = 4 × 3 = 12
మూడవ పదం a₂₃ = ar² = 4 (3)²
= 4 × 9 = 36

(ii) a = √5; r = \(\frac{1}{5}\)
సాధన.
a = √5 ; r = \(\frac{1}{5}\)
మొదటి పదం a₁ = a = √5
రెండవ పదం a₂ = ar = √5 × \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
మూడవ పదం a₃ = ar² = √5 × (\(\frac{1}{5}\))²
= √5 × \(\frac{1}{25}\) = \(\frac{1}{5 \sqrt{5}}\).

(iii) a = 81; r = – \(\frac{1}{3}\)
సాధన.
a = 81; r = – \(\frac{1}{3}\)
మొదటి పదం a₁ = a = 81
రెండవ పదం a₂ = ar = 81 (- \(\frac{1}{3}\)) = – 27
మూడవ పదం a₃ = ar² = 81 × (- \(\frac{1}{3}\))²
= 81 (\(\frac{1}{9}\)) = 9

(iv) a = \(\frac{1}{67}\); r = 2.
సాధన.
a = \(\frac{1}{64}\); r = 2
a₁ = a = \(\frac{1}{64}\)
a₂ = ar = \(\frac{1}{64}\) x 2 = 1
a₃ = ar² = \(\frac{1}{64}\) × 2² _ 1 _1
= \(\frac{1}{64}\) × 4 = 16.

ప్రశ్న 3.
క్రింది వానిలో ఏవి గుణశ్రేఢులు ? గుణశ్రేఢి అయితే తరువాత వచ్చే మూడు పదాలను రాయుము.
(i) 4, 8, 16, ……….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{8}{4}\) = 2 మరియు \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{16}{8}\) = 2
∴ r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) = 2
కావున గుణశ్రేణి అవుతుంది.
తరువాత 3 పదాలు
[∵ 16 × 2 = 32
32 × 2 = 64
64 × 2 = 128]

(ii) \(\frac{1}{3}\), \(-\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{12}\), ……………
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{-1}{6}}{\frac{1}{3}}=\frac{-1}{6} \times \frac{3}{1}-\frac{-1}{2}\)

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{-1}{6}}=\frac{1}{12} \times \frac{-6}{1} \cdot \frac{-1}{2}\)

\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) కావున గుణశ్రేణి అవుతుంది.
తరువాత 3 పదాలు, \(-\frac{1}{24}\), \(\frac{1}{48}\), \(-\frac{1}{96}\)
[∵ \(\frac{1}{12} \times\left(\frac{-1}{2}\right)=\frac{-1}{24}\)

\(\left(\frac{-1}{24}\right) \times\left(\frac{-1}{2}\right)=\frac{1}{48}\)

\(\frac{1}{48} \times\left(\frac{-1}{2}\right)=-\frac{1}{96}\)].

(iii) 5, 55, 555, ……………….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{55}{5}\) = 11 మరియు \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{555}{55}=\frac{111}{11}\)
\(\frac{a_{2}}{a_{1}} \neq \frac{a_{3}}{a_{2}}\)కావున గుణశ్రేణి కాదు.

(iv) – 2, – 6, – 18, ……
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-6}{-2}\) = 3 మరియు \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{-18}{-6}\) = 3

\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) = 3
కావున ఇది గుణశ్రేణి అవుతుంది
a₄ = a .r³ = (- 2) × 3³ = – 2 × 27 = – 54
a₅ = a .r⁴ = (- 2) × 3⁴ = – 2 × 81 = – 162
a₆ = a .r⁵ = (- 2) × 3⁵ = – 2 × 243 = – 486
తరువాత మూడు పదాలు : – 54, – 162, – 486.

(v) \(\frac{1}{42}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{6}\), …………
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4} \times \frac{2}{1}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{6} \times \frac{4}{1}=\frac{2}{3}\)

\(\frac{a_{2}}{a_{1}} \neq \frac{a_{3}}{a_{2}}\) కావున ఇది గుణశ్రేణి కాదు.

(vi) 3, – 3², 3³, ……….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-3^{2}}{3}\) = – 3; \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{3^{3}}{-3^{2}}\) = – 3
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) = – 3కావున ఇది గుణ శ్రేణి.
తరువాత వచ్చు మూడు పదాలు . – 3⁴, 3⁵, – 3⁶
[∵ 3³ × – 3 = -3⁴
(- 3)⁴ × (- 3) = 3⁵
3⁵ × (- 3) = – 3⁶].

(vii) x, 1, \(\frac{1}{x}\),…………….. (x ≠ 0)
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{\Gamma}}=\frac{1}{x}\); \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{x}\)
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\dot{a}_{3}}{a_{2}}=\frac{1}{x}\)కావున ఇది గుణశ్రేణి అవుతుంది
తరువాత మూడు పదాలు \(\frac{1}{x^{2}}\), \(\frac{1}{x^{3}}\), \(\frac{1}{x^{4}}\)
[∵ \(\frac{1}{x} \times \frac{1}{x}=\frac{1}{x^{2}}\)
\(\frac{1}{x^{2}} \times \frac{1}{x}=\frac{1}{x^{3}}\)
\(\frac{1}{x^{3}} \times \frac{1}{x}=\frac{1}{x^{4}}\)]

(viii) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), 2, \(\frac{8}{\sqrt{2}}\), …………….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-2}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) = – 2√2

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{8}{\sqrt{2}}}{-2}=\frac{8}{\sqrt{2}} \times \frac{-1}{2}=\frac{-4}{\sqrt{2}}\) = 2√2

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) = 2√2 కావున ఇది గుణశ్రేణి.
తరువాత మూడు పదాలు : – 16, 32√2 , – 128
[4√2 × (- 2√2) = -16
(- 16) × (- 2√2) = 32√2
32√2 × (- 2√2) = – 128].

(ix) 0.4, 0.04, 0.004, ……….
సాధన.
0.4, 0.04, 0.004) …. (లేదా) \(\frac{4}{10}\), \(\frac{4}{100}\), \(\frac{4}{1000}\)………
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{0.04}{0.4}\) = \(\frac{4}{40}=\frac{1}{10}\)

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{0.004}{0.04}\) = \(\frac{4}{40}=\frac{1}{10}\)

∴ \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{1}{10}\)

\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{4}{100}}{\frac{4}{10}}\) = \(\frac{4}{100} \times \frac{10^{*}}{4}=\frac{1}{10}\)

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{4}{1000}}{\frac{4}{100}}\) = \(\frac{4}{1000} \times \frac{100}{4}=\frac{1}{10}\)

∴ \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{1}{10}\)
∴ తరువాత మూడు పదాలు . – 0.0004, 0.00004, 0.000004.

ప్రశ్న 4.
x, x + 2, x + 6 లు ఒక గుణ శ్రేణిలో మూడు వరుస పదాలైన x విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
x, x + 2, x + 6 లు ఒక గుణ శ్రేణిలో వరుస పదాలు
\(\frac{x+2}{x}=\frac{x+6}{x+2}\)
(x + 2)² = x(x + 6)
x² + 4x + 4 = x² + 6x
x² + 4x – x² – 6x = 4
– 2x = – 4
2x = 4
x = \(\frac{4}{2}\) = 2.

సరిచూచుట :
x, x + 2, x + 6
2, 4, 8లు G.P. లో కలవు.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 3 చతుర్భుజాల నిర్మాణాలు Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 3rd Lesson చతుర్భుజాల నిర్మాణాలు Exercise 3.1

కింద ఇవ్వబడిన కొలతలను ఉపయోగించి చతుర్భుజాల నిర్మాణాలను చేయండి. నిర్మాణ క్రమం రాయండి.

(a) ABCD చతుర్భుజంలో AB = 5.5 సెం.మీ., BC = 3.5 సెం.మీ., CD = 4 సెం.మీ., AD = 5 సెం.మీ., మరియు ∠A = 45°.
సాధన.
ABCD చతుర్భుజంలో AB = 5.5 సెం.మీ.,
BC = 3.5 సెం.మీ., CD = 4 సెం.మీ.,
AD = 5 సెం.మీ., A = 45°

నిర్మాణ క్రమం :
1. 5.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల \(\overline{\mathrm{AB}}\) రేఖాఖండాన్ని గీచితిని.
2. A కేంద్రంతో 45° కిరణాన్ని, 5 సెం.మీ.ల చాపాన్ని గీయగా వాటి ఖండన బిందువు ‘D’గా గుర్తించితిని.
3. D, B లు కేంద్రాలు వరుసగా 4 సెం.మీ., 3.5 సెం.మీ.ల వ్యాసార్ధాలతో గీచిన చాపాల ఖండన బిందువు ‘C’.
4. DC మరియు BC లను కలిపితిని.
∴ ABCD చతుర్భుజం ఏర్పడినది.

(b) BEST చతుర్భుజంలో BE = 2.9 సెం.మీ., ES = 3.2 సెం.మీ., ST = 2.7 సెం.మీ., BT = 3.4 సెం.మీ., మరియు ∠B = 75°.
సాధన.
BEST చతుర్భుజంలో BE = 2.9 సెం.మీ.,
ES = 3.2 సెం.మీ., ST = 2.7 సెం.మీ.,
BT = 3.4 సెం.మీ., ∠B = 75°

నిర్మాణ క్రమం :
1. 2.9 సెం.మీ. వ్యాసార్థం గల BE రేఖాఖండాన్నినిర్మించితిని.
2. B కేంద్రంగా 75° కోణంతో ఒక కిరణాన్ని, 3.4 సెం.మీ. వ్యాసార్థంతో ఒక చాపాన్ని గీయగా అవి ఖండించుకొన్న ఖండన బిందువు T గా గుర్తించితిని.
3. T, E లు కేంద్రాలుగా 2.7 సెం.మీ., 3.2 సెం.మీ.లతో వరుసగా రెండు చాపాలను గీయగా వాటి ఖండన బిందువు ‘S’ గా గుర్తించితిని.
4. T, S మరియు E, S లను కలిపితిని.
∴ BEST చతుర్భుజం ఏర్పడినది.

(c) సమాంతర చతుర్భుజం PQRS లో PQ = 4.5 సెం.మీ., QR = 3 సెం.మీ. మరియు ∠PQR = 60°.
సాధన.
PQ = 4.5 సెం.మీ., QR = 3 సెం.మీ. మరియు ∠PQR = 60°.
⇒ RS = 4.5 సెం.మీ. మరియు PS = 3 సెం.మీ. [∵ ఎదురెదురు భుజాలు సమానాలు]

నిర్మాణ క్రమం :
1. 4.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో \(\overline{\mathrm{PQ}}\) రేఖాఖండాన్ని నిర్మించితిని.
2. Q కేంద్రంగా 60° కోణంతో ఒక కిరణాన్ని, 3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ఒక చాపాన్ని గీయగా వాటి ఖండన బిందువును ‘R’ గా గుర్తించితిని.
3. R, P లు కేంద్రాలుగా వరుసగా 4.5 సెం.మీ., 3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధాలుగా రెండు చాపాలను గీయగా వాటి ఖండన బిందువు ‘S’ గా గుర్తించితిని.
4. P, Sలను; S, Rలను కలుపగా PQRS సమాంతర చతుర్భుజం ఏర్పడినది.

(d) రాంబస్ MATH లో AT = 4 సెం.మీ., ∠MAT = 120°.
సాధన.
రాంబస్ లో అన్ని భుజాలు సమానాలు కావున
MA = 4 సెం.మీ., AT = 4 సెం.మీ., TH = 4 సెం.మీ., MH = 4 సెం.మీ.,
∠MAT = 120°.

నిర్మాణ క్రమం :
1. 4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో \(\overline{\mathrm{MA}}\) రేఖాఖండాన్ని నిర్మించితిని.
2. A కేంద్రంగా 120° కోణంతో ఒక కిరణాన్ని, 4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ఒక చాపాన్ని గీయగా, వాటి ఖండన బిందువును ‘T’ గా గుర్తించితిని.
3. M, T లు కేంద్రాలుగా 4 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో రెండు చాపాలను గీయగా వాటి ఖండన బిందువును ‘H’ గా గుర్తించితిని.
4. M, H లను, T, H లను కలపగా MATH రాంబస్ ఏర్పడినది.

(e) దీర్ఘచతురస్రం FLAT లో FL = 5 సెం.మీ., LA = 3 సెం.మీ.
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రం FLAT లో FL = AT = 5 సెం.మీ.,
LA = TF = 3 సెం.మీ., ∠F = ∠L= ∠A = ∠T = 90°

నిర్మాణ క్రమం :
1. 5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో \(\overline{\mathrm{FL}}\) రేఖాఖండాన్ని నిర్మించితిని.
2. F కేంద్రంగా 90° ల కిరణాన్ని, 3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ఒక చాపాన్ని గీయగా, వాటి ఖండన బిందువును ‘T’ గా గుర్తించితిని.
3. T, L కేంద్రాల నుండి వరుసగా 5 సెం.మీ., 3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధాలతో చాపాలు గీయగా ఏర్పడిన ఖండన బిందువును ‘A’ గా గుర్తించితిని.
4. T, A లను, L, A లను కలిపితిని.
∴ FLAT దీర్ఘచతురస్రం ఏర్పడినది.

(f) చతురస్రం LUDO లో LU = 4.5 సెం.మీ.
సాధన.
చతురస్రం LUDO లో LU = UD = DO = LO = 4.5 సెం.మీ.

నిర్మాణ క్రమం :
1. 4.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంగా LU రేఖాఖండాన్ని గీచితిని.
2. Lకేంద్రంగా 90° కిరణాన్ని మరియు 4. 5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ఒక చాపాన్ని గీచితిని. అలాగే U కేంద్రంగా 90° కిరణాన్ని మరియు 4.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ఒక చాపాన్ని గీచితిని. వాటి ఖండన బిందువులను వరుసగా O,Dలుగా గుర్తించితిని.
3. O, D లను కలిపితిని.
∴ LUDO చతురస్రం ఏర్పడినది.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 2 ఏకచరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 2nd Lesson ఏకచరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions

ఇవి చేయండి (పేజీ నెం. 35)

ఈ క్రింది వానిలో ఏవి రేఖీయ సమీకరణాలు :
(i) 4x + 6 = 8
(ii) 4x – 5y = 9
(iii) 5x + 6xy – 4y² = 16
(iv) xy + yz + zx = 11
(v) 3x + 2y – 6 = 0
(vi) 3 = 2x + y
(vii) 7p+ 6q + 13s = 11
సాధన.
(i), (ii), (v), (vi) (vii) లు రేఖీయ సమీకరణాలు ఎందుకనగా ఆ సమీకరణాలలో ప్రతిదాని యొక్క పరిమాణం ఒకటి (1).

ఇవి చేయండి (పేజీ నెం. 36)

ఈ క్రింది వానిలో ఏవి సామాన్య సమీకరణాలు ?
(i) 3x + 5 = 14
(ii) 3x – 6 = x + 2
(iii) 3 = 2x + y
(iv) \(\frac{x}{3}\) + 5 = 0
(v) x² + 5x + 3 = 0
(vi) 5m – 6n = 0
(vii) 7p+ 6q + 13s = 11
(viii) 13t – 26 = 39
సాధన.
(i) 3x + 5 = 14
(ii) 3x – 6 = x + 2
(iv) \(\frac{x}{3}\) + 5 = 0
(viii) 13t – 26 = 39 లు సామాన్య సమీకరణాలు ఎందుకనగా ఇవి ax + b = 0 రూపంలో కలవు.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది అంకశ్రేఢులలో పేర్కొన్న పదాల మొత్తాలను ‘ కనుగొనుము.
(i) 2, 1, 12, ……… 10 పదాలు.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P : 2, 7, 12, …….. 10 పదాలు.
a = 2; d = a₂ – a₁ = 7 – 2 = 5; n = 10
S_n = \(\frac{n}{2}\) (2a + (n – 1)d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2 × 2 + (10 – 1) 5]
= 5 [4 + 45] = 5 × 49 = 245
∴ S₁₀ = 245.

(ii) – 37, – 33, – 29, ………….., 12 పదాలు
సాదన.
ఇచ్చిన A.P : – 37, – 33, – 29, …………, 12 పదాలు .
a = – 37; d = a₂ – a₁
= (- 33) – (- 37)
= – 33 + 37 = 4, n = 12
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [2 × (- 37) + (12 – 1)4]
= 6[- 74 + 11 × 4]
= 6[- 74 + 44] = 6 (- 30) = – 180
∴ S₁₂ = – 180.

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …………… 100 పదాలు.
సాదన.
ఇచ్చిన A.P : 0.6, 1.7, 2.8, ….. 100 పదాలు.
a = 0.6, d = a₂ – a₁ = 1.7 – 0.6 = 1.1, n = 100
S_n = \(\frac{n}{2}\) (2a + (n – 1)d]
S₁₀₀ = \(\frac{100}{2}\) [2 × 0.6 + (100 – 1) × 1.1]
= 50 [1.2 + 99 × 1.1]
= 50[1.2 + 108.9]
= 50 × 110.1 = 5505
∴ S₁₀₀ = 5505.

(iv) \(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{10}\), ………….., 11 పదాలు.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P: \(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{10}\), ………….., 11 పదాలు.
a = \(\frac{1}{15}\);
d = \(\frac{1}{12}\) – \(\frac{1}{15}\)
= \(\frac{5-4}{60}=\frac{1}{60}\)
n = 11
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₁₁ = \(\frac{11}{2}\) [2 × \(\frac{1}{15}\) + (11 – 1) × \(\frac{1}{60}\)]

= \(\frac{11}{2}\left[\frac{2}{15}+\frac{10}{60}\right]\)

= \(\frac{11}{2}\left[\frac{2}{15}+\frac{1}{6}\right]\)

= \(\frac{11}{2}\left[\frac{4+5}{30}\right]\)

= \(\frac{11}{2} \times \frac{9}{30}=\frac{33}{20}\)
∴ S₁₁ = \(\frac{33}{20}\).

ప్రశ్న 2.
క్రింది వాని మొత్తాలను కనుగొనుము.
(i) 7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 + ……….. + 84
సాధన.
ఇచ్చిన A.P : 7, 10\(\frac{1}{2}\), 14, ………. 84
∴ a = 7; d = a₂ – a₁ = 10\(\frac{1}{2}\) – 7 = 3\(\frac{1}{2}\)
d = 7\(\frac{1}{2}\); a_n = 84
a_n = a + (n – 1) d = 84
= 7 + (n – 1)(\(\frac{7}{2}\)) = 84
⇒ (n – 1) × \(\frac{7}{2}\) = 84 – 7
⇒ (n – 1) \(\frac{7}{2}\) = 77
⇒ n – 1 = 77 × \(\frac{7}{2}\)
⇒ n – 1 = 22
⇒ n = 22 + 1 = 23
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₂₃ = \(\frac{23}{2}\) [7 + 84]
= \(\frac{23}{2}\) (91)
= \(\frac{2093}{2}\) = 1046 \(\frac{1}{2}\)
∴ S₂₃ = 1046\(\frac{1}{2}\)

(లేదా)

S_n = [2a + (n – 1)d]
S₂₃ = \(\frac{23}{2}\) [2(7) + (23 – 1) \(\frac{7}{2}\)]
S₂₃ = \(\frac{23}{2}\) [14 + 22 × \(\frac{7}{2}\)]
= \(\frac{23}{2}\) [14 + 77]
= \(\frac{23}{2}\) (91)
= \(\frac{2093}{2}\)
∴ S₂₃ = 1046 \(\frac{1}{2}\).

(ii) 34 + 32 + 30 + … + 10
సాధన.
ఇచ్చిన A.P : 34, 32, 30, ………, 10
a = 34; d = a₂ – a₁ = 32 – 34 = – 2,
a_n = 10
a_n = a + (n – 1) d = 10 :
⇒ 34 + (n – 1) (- 2) = 10
⇒ 34 – 2n + 2 = 10
⇒ – 2n = 10 – 36 = – 26
⇒ 2n = 26
n = \(\frac{26}{2}\) = 13
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) [34 +10] = \(\frac{13}{2}\) × 44
∴ S₁₃ = 286.

(లేదా)

S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)]
= \(\frac{13}{2}\) [2(34) + (13 – 1) (- 2)]
= \(\frac{13}{2}\) [68 – 24)
= \(\frac{13}{2}\) × 44 = 286
∴ S₁₃ = 286.

(iii) – 5 + (- 8) + (- 11) + ……….. + (- 230)
సాధన.
ఇచ్చిన A.P:
(5) + (- 8) + (- 11) + ………….. + (- 230)
a = – 5,
d = a₂ – a₁ = (- 8) – (- 5). = – 8 + 5 = – 3,
a_n = – 230
a_n = a + (n – 1) d = – 230
(- 5) + (n – 1) × (- 3) = – 230
– 5 – 3n + 3 = – 230
– 3n = – 230 + 2
– 3n = – 228
⇒ 3n = 228
n = \(\frac{228}{3}\) = 76
S_n = \(\frac{n}{2}\) [(- 5) + (- 230)]
∴ S₁ = 35 × (- 235) = – 8930
(లేదా)
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1]d]
S₇₆ = \(\frac{76}{2}\) [2(- 5) + 75(- 3)]
= 38 [- 10 – 225]
= 38 × (- 235)
∴ S₇₆ = – 8930.

ప్రశ్న 3.
ఒక అంకశ్రేణిలో
(i) a = 5, d = 3, a_n = 50 అయిన n మరియు S_n లను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 5; d = 3; a_n = 50
a_n = a + (n – 1) 4 = 50
⇒ 5+ (n – 1) 3 = 50
⇒ 5 + 3n – 3 = 50
⇒ 3n = 50 – 2 = 48
⇒ n = \(\frac{48}{3}\) = 16.
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [5 + 50] = 8 × 55
∴ S₁₆ = 440.

(ii) a = 7, a₁₃ = 35 అయిన d ని మరియు S₁₃ ను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 7, a_n = 35
a₁₃ = a + 12d = 35
⇒ 12d = 35 – 7 = 28
⇒ d = \(\frac{28}{12}\) = \(\frac{7}{3}\)
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) [7 + 35]
= \(\frac{13}{2}\) × 42 = 13 × 21 = 273
∴ S₁₃ = 273.

(iii) a₁₂ = 37, d = 3 అయిన a ను మరియు S₁₂ ను కనుగొనుము.
సాధన.
a₁₂ = 37, d = 3
a₁₂ = a + 11d = 37
a + 11 (3) = 37
a + 33 = 37 ⇒ a = 37 – 33 = 4
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n ]
S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [4 + 37] = 6 × 41 = 246
∴ S₁₂ = 246.

(iv) a₃ = 15, S₁₀ = 125 అయిన d మరియు a₁₀ లను కనుగొనుము.
సాధన.
a₃ = 15, S₁₀ = 125
a₃ = a + 2d = 15 …………. (1)
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2a + (10 – 1)d] = 125
= 2a + 9d = \(\frac{125}{2}\)
2a + 9d = 25 ……………….(2)

d = -1 ను (1) లో రాయగా,
a + 2(- 1) = 15
a = 15 + 2 = 17
a₁₀ = a + 9d = 17 + 9 (- 1)
= 17 – 9 = 8
∴ d = – 1 మరియు a₁₀ = 8.

(v) a = 2, d = 8, S_n = 90 అయిన n మరియు a_n లను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 2; d = 8, S_n = 90
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] = 90
\(\frac{n}{2}\) [2(2) + (n – 1) 8] = 90
n [4 + 8n – 8] = 90 × 2 = 180
8n² – 4n – 180 = 0
4[2n² – n -45] = 0
2n² – n – 45 = 0
2n² – 10n + 9n – 45 = 0 (∵ 2 × – 45 = – 90)
2n [n – 5] + 9 [n – 5] = 0
(n – 5) (2n + 9) = 0
∴ n – 5 = 0 లేదా 2n + 9 = 0
పదాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడు ఒక సహజసంఖ్య.
∴ n – 5 = 0 ⇒ n = 5
∴ a₅, = a + 4d = 2 + 4(8)
= 2 + 32 = 34
∴ n = 5 మరియు a₅ = 34.

(లేదా)

S₅ = \(\frac{5}{2}\) [2 + a₅] = 90 [∵ S_n = (a + a_n)]
= 2 + a₅ = 90 × \(\frac{2}{5}\) = 36
a₅ = 36 – 2 = 34 .

(vi) a_n = 4, d = 2, S_n = – 14, అయిన n మరియు a లను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 4, d = 2, S_n = – 14
a_n = a + (n – 1) d = 4
= a + (n – 1) (2) = 4.
∴ a + 2n = 4 + 2 = 6
a = 6 – 2n, ………… (1)
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] = – 14
\(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) (2)] = – 14
\(\frac{n}{2}\) × 2[a + n – 1) = – 14
n [6 – 2n + n – 1] = – 14 [(1) నుండి]
n [5 – n] = – 14
5n – n² = – 14
n² – 5n = 14
⇒ n² – 5n – 14 = 0
n² – 7n + 2n – 14 = 0 (∵ 1 × (- 14) = – 14)
n (n – 7) + 2 (n – 7) = 0
(n – 7) (n + 2) = 0
పదాల సంఖ్య n ఎల్లప్పుడు ఒక సహజ సంఖ్య.
∴ n – 7 = 0
n = 7
n = 7 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a = 6 – 2 (7) = 6 – 14 = – 8
∴ n = 7, a = – 8.

(vii) l = 28, S = 144 మరియు పదాల సంఖ్య 9 అయిన a విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
l = a_n = 28, S = 144 మరియు n = 9.
[∵ A.P. లో చివరి పదాన్ని l తో సూచిస్తారు]
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n] = 144
\(\frac{9}{2}\) [a + 28] = 144
a + 28 = 144 × 2
a + 28 = 32
a = 32 – 28 = 4
∴ a = 4.

ప్రశ్న 4.
ఒక అంకశ్రేణిలో మొదటి, చివరి పదాలు వరుసగా 17 మరియు 350. సామాన్య భేదం 9 అయిన శ్రేణిలోని పదాల సంఖ్యను, పదాల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక అంకశ్రేఢిలో మొదటి పదం a = 17
చివరి పదం a_n = 350
సామాన్యభేదం d = 9
a_n = a + (n – 1) 4 = 350
17 + (n – 1) 9 = 350
17 + 9n – 9 = 350
9n + 8 = 350
9n = 350 – 8 = 342
n = \(\frac{342}{9}\) = 38
∴ n = 38.
ఇప్పుడు S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₃₈ = \(\frac{38}{2}\) [17 + 350] = 19 × 367
S₃₈= 6973
∴ పదాల సంఖ్య n = 38
38 పదాల మొత్తం S₃₈ = 6973.

ప్రశ్న 5.
ఒక అంకశ్రేణిలో 2వ, 3వ పదాలు వరుసగా 14 మరియు 18 అయిన 51 పదాల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక అంకశ్రేణిలో
2వ పదం a₂ = a + 4 = 14 ………… (1)
3వ పదం a₃ = a + 2d = 18 …………..(2)
పదాల సంఖ్య = 51
d = a₂ – a₁ = 18 – 14 = 4
d ను (1) లో రాయగా
a + 4 = 14 = a = 14 – 4 = 10
a = 10, d = 4, n = 51 అయిన
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₅₁ = \(\frac{51}{2}\) [2 × 10 + (51 – 1) × 4) |
= \(\frac{51}{2}\) [20 + 50 × 4]
= \(\frac{51}{2}\) × (20 + 200)
= \(\frac{51}{2}\) × 220
= 51 × 110 = 5610
∴ 51 పదాల మొత్తం S_n = 5610.

ప్రశ్న 6.
ఒక అంకశ్రేఢిలో మొదటి 7 పదాల మొత్తము 49 మరియు 17 పదాల మొత్తము 289 అయిన మొదటి n పదాల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
S₇ = 49 మరియు S₁₇ = 289
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₇ = \(\frac{7}{2}\) [2a + (7 – 1)d] = 49 .
= \(\frac{7}{2}\) [2a + 6d] = 49
2a + 6d = 49 × \(\frac{2}{7}\) = 14
∴ 2a + 6d = 14 ………. (1)
అలాగే S₁₇ = \(\frac{17}{2}\) [2a + 16d] = 289
2a + 16d = 289 × \(\frac{2}{27}\) = 34
∴ 2a + 16d = 34 ………. (2)

d = 2 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
2a + 6(2) = 14
2a = 14 – 12 = 2
∴ a = \(\frac{2}{2}\) = 1
a = 1, d = 2 అయిన S_n
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2 (1) + (n – 1) 2]
= \(\frac{n}{2}\) [2 + 2n – 2]
= \(\frac{n}{2}\) × 2n
S_n = n²
[Shortcut:-
S_n = 49 = 7²
S_n = 289 = 17²
S_n = n²
∴ మొదటి n పదాల మొత్తం S_n = n².

ప్రశ్న 7.
a_n క్రింది విధంగా నిర్వచించబడితే a₁, a₂, ………., a_n, అంకశ్రేణి అవుతుందని చూపండి. మరియు మొదటి 15 పదాల మొతమును కనుగొనండి.
(i) a_n = 3 + 4n
(ii) a_n = 9 – 5n
సాధన.
(i) a_n = 3 + 4n
a₁ = 3 + 4(1) = 7
a₂ = 3 + 4(2) = 3 + 8 = 11
a₃ = 3 + 4(3) = 3 + 12 = 15
a₄ = 3 + 4 (4) = 3 + 16 = 19
…………………………………………………………..
………………………………………………………….
a₁, a₂, a₃, …………… = 7, 11, 15, 19, ……………
d = a₂ – a₁ = 11 – 7 = 4
d = a₃ – a₂ = 15 – 11 = 4
d = a₄ – a₃ = 19 – 15 = 4
అన్ని సందర్భాలలోను , సమానము. కావున a₁, a₂, a₃, a₄, ….., a_n అంకశ్రేణి అవుతుంది.
15 పదాల మొత్తం a = 7, d = 4, n = 15
S₁₅ = \(\frac{15}{2}\) [2x 7 + (15 – 1) 4]
[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]]
= \(\frac{15}{2}\) (14 + 14 × 4]
= \(\frac{15}{2}\) [70]
= 15 × 35 = 525
∴ 15 పదాల మొత్తం S₁₅ = 525.

(ii) a_n = 9 – 5n
సాధన.
a₁ = 9 – 5 × 1= 9 – 5 = 4
a₂ = 9 – 5 × 2 = 9 – 10 = – 1
a₃ = 9 – 5 × 3 = 9 – 15 = – 6
a₄ = 9 – 5 × 4 = 9-20 = – 11
………………………………..
a₁, a₂, a₃, a₄ ………….. = 4, – 1, – 6, – 11, ……………
d = a₂ – a₁ = – 1 – 4 = – 5
d = a₃ – a₂ = – 6 – (- 1) = – 6 + 1 = – 5
d = a₄ – a₃ = – 11 -(- 6) = – 11 + 6 = – 5
………………………………………………..
………………………………………………..
అన్ని సందర్భాలలోను d సమానము. కావున a₁, a₂, a₃, a₄, …………… a_n అంకశ్రేఢి అవుతుంది.
15 పదాల మొత్తం a = 4, d = – 5, n = 15
S₁₅ = 15 [2(4) + (15 – 1) (- 5)]
= 15 [8 + 14 (- 5)]
= \(\frac{15}{2}\) × – 62 = 15 × – 31 = – 465
∴ 15 పదాల మొత్తం S₁₅ = 465.

ప్రశ్న 8.
ఒక అంకశ్రేణిలో మొదటి n పదాల మొత్తము 4n – na అయిన మొదటి పదం ఎంత ? (S, విలువే మొదటి పదము అవుతుందని గుర్తుకు తెచ్చుకోండి) మొదటి రెండు పదాల మొత్తం ఎంత ? రెండవ పదము ఎంత ? అదేవిధంగా 8వ పదమును, 10వ పదమును మరియు nవ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్దతి : 2
ఒక అంకశ్రేణిలో n పదాల మొత్తం S_n = 4n – na
మొదటిపదం a₁ = S₁ = 4 (1) – (1)² = 3
మొదటి రెండు పదాల మొత్తం S₂ = 4 (2) – (2)²
= 8 – 4 = 4
రెండవ పదం a₂ = S₂ – S₁ = 4 – 3 = 1
మొదటి మూడు పదాల మొత్తం S₃ = 4 x (3) – (3)²
= 12 – 9 = 3
మూడవ పదం a₃ = S₃ – S₂ = 3 – 4 = – 1
మొదటి తొమ్మిది పదాల మొత్తం S₉ = 4(9) – 9²
= 36 – 81 = – 45
మొదటి పది పదాల మొత్తం S₁₀ = 4(10) – 10²
= 40 – 100 = – 60
పదవ పదము = a₁₀ = S₁₀ – S₉
= – 60 – (- 45)
= – 60 + 45 = – 15
(n – 1) పదాల మొత్తం S_{n – 1}
= 4 (n – 1) – (n – 1)²
= 4n – 4 – (n² – 2n + 1)
= 4n – 4 – n² + 2n -1
S_{n – 1} = 6n – n² – 5
n పదాల మొత్తం S_n = 4n – n²
∴ n వ పదం a_n = S_n – S_{n – 1}
= (4n – n²) – (6n – n² – 5) ..
= 4n -n² – 6n + n² + 5
a_n = 5 – 2n.

రెండవ పద్ధతి :
అంకశ్రేణి n పదాల మొత్తం S_n = 4n – n²
మొదటి పదం a₁ = S₁ = 4(1) – (1)2²
= 4 – 1 = 3
మొదటి రెండు పదాల మొత్తం S₂ = 4(2) – (2)²
=8 – 4 = 4
రెండవ పదం a₂ = S₂ – S₁ = 4 – 3 = 1
∴ సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = 1 – 3 = – 2
∴ మూడవపదం a₃ = a₂ + d = 1 + (- 2) = – 1
పదవపదం a₁₀ = a + 9d = 3 + 9 (- 2)
= 3 – 18 = – 15
n వ పదము a_n = a + (n- 1) d
= 3 + (n – 1) (- 2)
= 3 – 2n + 2
a_n = 5 – 2n

మూడవ పద్ధతి :
అంకశ్రేణిలో S_n = 4n – n²
nవ పదం a_n = S_n – S_{n – 1} అవుతుంది.
S_{n – 1} = 4 (n – 1) – (n – 1)
= 4n -4 – (n² – 2n + 1)
= 4n – 4 – n² + 2n – 1
S_{n – 1} = 6n – n² – 5
a_n = S_n – S_{n – 1}
= (4n – n²) – (6n – n² – 5)
= 4n – n² – 6n + n² + 5
a_n = 5 – 2n
∴ మొదటి పదం a₁ = 5 – 2(1) = 3
మొదటి రెండు పదాల మొత్తం S₂ = 4(2) – 2²
= 8 – 4 = 4
a₂ = 5 – 2(2) = 5 – 4 = 1
a₃ = 5 – 2(3) = 5 – 6 = – 1
a_n = 5 – 2(10) = 5 – 20 = – 15
nవ పదం a_n = 5 – 2n.

ప్రశ్న 9.
6చే భాగించబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
6 చే భాగింపబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యల జాబితా 6, 12, 18, 24, …….. 40 పదాలు .
ఈ జాబితా అంకశ్రేణిలో కలదు.
a = 6, d = a₂ – a₁ = 12 – 6 = 6, n = 40
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₄₀ = \(\frac{40}{2}\) [2(6) + (40 – 1) (6)]
= 20 [12 + 39 × 6]
= 20 [12 + 234] = 20 × 246
S₄₀ = 4920.
6చే భాగింపబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యల, మొత్తం S₄₀ = 4920.

ప్రశ్న 10.
ఒక పాఠశాలలో విద్యావిషయక సంబంధిత విషయాలలో అత్యున్నత ప్రతిభ కనపరిచిన వారికి మొత్తం 700 రూపాయలకు 7 బహుమతులు ఇవ్వాలని భావించారు. ప్రతి బహుమతి విలువ దాని ముందున్న దానికి ₹ 20 తక్కువ అయిన ప్రతి బహుమతి విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
బహుమతులను a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, ………………. అనుకొనుము.
ప్రతి బహుమతి దాని ముందున్న బహుమతికన్నా ₹ 20 తక్కువ.
కావున, a₁, a₂, a₃, a₄, ….., a₇ లు Sn A.P. లో ఉంటాయి.
∴ సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = – 20
(∵ a₁ కన్నా a₂, 20 తక్కువగా ఉంటుంది.)
లెక్క ప్రకారం బహుమతుల మొత్తం S₇ = 700 .
S₇ = \(\frac{7}{2}\) [2a + (7 – 1) (- 20)] = 700
[2a + 6 (- 20)] = 700 × \(\frac{2}{7}\)
2a – 120 = 200
2a = 200 + 120 = 320
a = \(\frac{320}{2}\) = 160
∴ బహుమతుల విలువ a = a₁ = 160
a₂ = 160 – 20 = 140
a₃ = 140 – 20 = 120
a₄ = 120 – 20 = 100
a₅ = 100 – 20 = 80
a₆ = 80 – 20 = 60
a₇ = 60-20 = 40.

ప్రశ్న 11.
ఒక పాఠశాల ఆవరణలో పర్యావరణ పరిరక్షణకు విద్యార్థులు చెట్లు నాటాలని భావించారు. ప్రతి సెక్షను విద్యార్థులు వారు చదువుతున్న తరగతి సంఖ్యకు సమానమైన చెట్లను అనగా 1వ తరగతి చదువుచున్న ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు 1 చెట్టును, రెండవ తరగతి చదువుచున్న ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు 2 చెట్లను నాటాలని ఈ విధంగా 12వ తరగతి వరకూ చేయాలని నిర్ణయించుకున్నారు. అయితే ప్రతి తరగతిలో మూడు సెక్షన్లు ఉన్న మొత్తం నాటిన చెట్లు ఎన్ని?
సాధన.

మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటే చెట్ల సంఖ్య జాబితా 3, 6, 9, 12, ………….. 33, 36.
ఇది A.P లో కలదు.
12 తరగతులలోని మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 3 + 6, + 9 +:12 + …. + 36
a = 3, 4 = 6 – 3 = 3, n = 12
∴ S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [3 + 36]
[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a +1]].
= 6 × 39.
S₁₂ = 234
∴ ప్రతి తరగతిలోని మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 234.

రెండవ పద్ధతి :
ప్రతి తరగతిలోని ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు నాటిన చెట్ల సంఖ్య జాబితా 1, 2, 3, 4, 5, 6, ………… 11. 12 ఇది A.P లో కలదు.
ప్రతి తరగతిలోని ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 1 + 2 + 3 + ………….. + 11 + 12
a = 1, d = 1, n = 12 S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [1 + 12]
= 6 × 13 = 78 [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]]
ప్రతి తరగతిలోని ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 78
ప్రతి తరగతిలోని మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 78 × 3 = 234.

ప్రశ్న 12.
అర్ధ వృత్తాలచే ఒక సర్పిలాకారము తయారుచేయబడింది. పటంలో చూపిన విధంగా అర్ధవృత్తాల కేంద్రాలు A వద్ద ప్రారంభించబడి A, Bల మధ్య మారుతూ వున్నాయి. అనగా మొదటి అర్ధవృత్త కేంద్రము A, రెండవ అర్ధవృత్త కేంద్రము B, మూడవ అర్ధవృత్త కేంద్రము A …… మరియు అర్ధవృత్తాల వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 0.5 సెం.మీ., 1.0 సెం.మీ, 1.5 సెం.మీ, 20 సెం.మీ, … ఈ విధంగా మొత్తం 18 అర్ధవృత్తాలు వున్న సర్పిలం మొత్తం పొడవు ఎంత ? (x = 4) (సూచన : వరుస అర్ధవృత్తాల పొడవులు l₁, l₂, l₃, l₄ . . . మరియు వీని కేంద్రాలు వరుసగా A, B, A, B……..]

సాధన.
వరుస అర్ధవృత్తాల పొడవులు l₁, l₂, l₃, l₄, ……. మరియు వీటి కేంద్రాలు A, B, A, B
అర్ధవృత్తాల వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 0, 5 సెం.మీ., 1 సెం.మీ., 1, 5 సెం.మీ., 2 సెం.మీ…
l₁ = π(0.5) = 0.5π (∵ అర్ధవృత్త చాపం పొడవు l = πr)
l₂ = π(1) = π
l₃ = π(1.5) = 1.5π
l₄ = π(2) = 2π
……………………
…………………………
l₁, l₂, l₃, l₄, ……. లు A.P. లో కలవు.
13 అర్ధవృత్తాలు గల సర్పిలం మొత్తం పొడవు l₁, l₂, l₃, l₄, …………..l₁₃
0.5π + π + 1.5π + ……….. + 13 పదాలు ……… (1)
a = 0.5π, d = 0.57 మరియు n = 13
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) [2(0.5π) + ( 13 – 1) (0.5π)]
= \(\frac{13}{2}\) [π + 6π] = 13 × 7π
= \(\frac{13}{2}\) × 7 × \(\frac{22}{7}\) = 13 × 11
S₁₃ = 143 సెం.మీ.
∴ 13 అర్ధవృత్తాలున్న సర్పిలం మొత్తం పొడవు = 143 సెం.మీ.

(లేదా)
(1) ⇒ π (0.5 + 1 + 1.5 + 2 + ……… + 13 పదాలు )
S₁₃ = π [\(\frac{13}{2}\) (2 (0.5) + (13 – 1) (0.5)]
= π [\(\frac{13}{2}\) (1 + 6)]
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{13}{2}\) × 7 = 11 × 13
S₁₃ = 143 సెం.మీ.

 

ప్రశ్న 13.
200 చెక్క మొద్దులను క్రింది పటంలో చూపిన విధంగా అమర్చారు. అన్నింటి కంటే క్రింద వున్న వరుసలో 20 చెక్క మొద్దులను, దానిపై 19 మొద్దులను, దాని పైన 18 మొద్దులను ….. అమర్చిన మొత్తం 200 మొద్దులను అమర్చుటకు ఎన్ని వరుసలు కావాలి ? అన్నింటికంటే పైన వున్న వరుసలో ఎన్ని చెక్క మొద్దులు కలవు ?

సాధన.
క్రింది నుండి ప్రతి వరుసలోను గల చెక్క మొద్దుల సంఖ్య జాబితా 20, 19, 18, 17, ……. ఇది A. P. లో కలదు.
a = 20, d = a₂ – a₁ = 19 – 20 = -1
మొత్తం చెక్క మొద్దుల సంఖ్య S_n = 200
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] = 200
\(\frac{n}{2}\) [2(20) + (n – 1) (- 1)] = 200
\(\frac{n}{2}\) [40 – n+1] = 200
\(\frac{n}{2}\) [41 – n] = 200
41n – n² = 400
⇒41n – n² – 400 = 0
⇒ n² – 41n + 400 = 0
⇒ n² – 25n – 16n + 400 = 0 ( 1 × 400 = 400)

⇒ n (n – 25) – 16 (n – 25) = 0.
⇒ (n – 25) (n – 16) = 0
∴ n – 25 = 0 లేదా n – 16 = 0
n = 25 లేదా n = 16
n = 25 అసాధ్యము. కావున n = 16
(20, 19, 18, ……. జాబితాలో 25వ పదం రుణసంఖ్య అవుతుంది.)
అనగా ’20, 19, 18, …… శ్రేణిలో 16 పదాలుంటాయి. కావున 200 మొద్దులను అమర్చుటకు 16 వరుసలు కావాలి.
పై వరుసలోని మొద్దుల సంఖ్య = a₁₆ = a + 15d = 20 + 15(- 1) = 20 – 15 = 5
∴ పై వరుసలోని మొద్దుల సంఖ్య = 5. – A.P. 10వ తరగతి జీ గణితశాస్త్రం

ప్రశ్న 14.
బంతి మరియు బకెట్ ఆటలో, ప్రారంభంలో ఒక బకెట్ దానికి 5మీ. దూరంలో ఒక బంతి ఉంచబడినవి. మొత్తం 10 బంతులలో మిగిలిన బంతులు ఒకదానికొకటి 3మీ. దూరంలో పటంలో చూపిన విధంగా అమర్చబడినవి. ఆటలో పాల్గొనే వ్యక్తి మొదట బకెట్ వద్ద నుంచి బయలుదేరి మొదటి బంతివద్దకు పోయి దానిని తీసుకొని వెనుకకు వచ్చి ‘బకెట్లో వేయాలి. తరువాత తిరిగి బకెట్ నుంచి బయలుదేరి రెండవ బంతి వద్దకు పోయి దానిని తీసుకొని వచ్చి బకెట్లో వేయాలి. ఈ విధంగా అన్ని బంతులను బకెట్లో వేయవలెనన్న ఆ వ్యక్తి పరిగెత్తవలసిన మొత్తం దూరం ఎంత ? (సూచన : మొదటి, రెండవ బంతులను తీసుకొని రావడానికి ఆట ఆడే వ్యక్తి పరిగెత్తవలసిన దూరము వరుసగా 2 × 5 + 2 × (5 + 3)]

సాధన.

ప్రతి బంతి తీసుకురావడానికి వ్యక్తి ప్రయాణించిన దూరాల జాబితా 10, 16, 22, 28, …………….. 10 పదాలు.
ఇది A.P. లో కలదు.
a = 10; 4 = 16 – 10 = 6, n = 10.
∴ వ్యక్తి పరుగెత్తిన మొత్తం దూరం 10 + 16 + 22 + 28 + ……….. + 10 పదాలు.
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2 × 10 + (10 – 1) × 6] = 5[20 + 54] = 5 × 74
S₁₀ = 370
∴ వ్యక్తి పరుగెత్తిన మొత్తం దూరం = 370 మీ.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

ప్రశ్న 1.
మొదటి పదము a, సామాన్య భేదము d, nవ పదము a, అయిన క్రింది పట్టికను పూరింపుము. – AS,, AS,,

సాధన.

ప్రశ్న 2.
కింది వానిని కనుగొనుము.
(i) 10, 7, 4, …… అంకశ్రేణిలో 30వ పదము.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P. = 10, 7, 4, …………….
a₁ = 10;
d = a₂ – a₁ = 7 – 10 = – 3,
n= 30
a_n = a + (n – 1)
a₃₀ = 10 + (30 – 1) (- 3)
= 10 + 29 (- 3)
= 10 – 87 = – 77
∴ a₃₀ = – 77.

(ii) – 3, \(-\frac{1}{2}\), – 2, ………….. అంకశ్రేణిలో 11వ పదము.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P. = – 3, \(-\frac{1}{2}\), – 2, …………..
a = – 3; d = a₂ – a₁ = 3 – 3)
= \(-\frac{1}{2}\) + 3 = 2\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{5}{2}\)
n = 11
∴ a_n = a + (n – 1) d
a₁₁ = – 3 + (11 – 1) (\(\frac{5}{2}\))
= – 3 + 10(\(\frac{5}{2}\))
= – 3 + 25 = 22
∴ a₁₁ = 22.

ప్రశ్న 3.
క్రింది వానిని కనుగొనుము.
(i) a₁ = 2; a₃ = 26, అయిన a₂ ను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a₁ = a = 2
a₃ = 26
a_n = a + (n – 1) d
a₃ = 2 + (3 – 1) 4
= 2d= 26 – 2 = 24
d = \(\frac{24}{2}\) = 12
∴ a₂ = a + d = 2 + 12 = 14.

రెండవ పద్ధతి :
a₁, a₂, a₃ లు A.P. లో కలవు అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారం a₁ = 2, a₃ = 26
∴ 2, a₂, 26 లు A.P. లో కలవు.
a₂ – 2 = 26 – a₂
∴ a₂ + a₂ = 26 + 2
2a₂ = 28
∴ a₂ = \(\frac{28}{2}\) = 14.

మూడవ పద్ధతి :
a, b, c లు A.P. లో ఉంటే b = \(\frac{a+c}{2}\)
2, a₂, 26 లు A.P. లో కలవు.
∴ a₂ = \(\frac{2+26}{2}\) = \(\frac{28}{2}\) = 14.

(ii) a₂ = 13; a₄ = 3 అయిన a₁, a₃ లను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a₂ = a + d = 13 …….. (1)
a₄ = a + 3d = 3 …….. (2)
(1), (2) సమీకరణములు సాధించగా,

⇒ d = \(-\frac{10}{2}\) = – 5
a₁ = a₂ – d = 13 – (-5) = 13 + 5 = 18
a₃ = a₂ + d = 13 + (- 5) = 8
∴ a₁ = 18 మరియు a₃ = 8.

రెండవ పద్ధతి :
a₁, a₂, a₃, a₄ లు A.P. లో కలవు అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారము a₂ = 13, a₄ = 3
∴ a₁, 13, a₃, 3 లు A.P. లో కలవు
∴ 13 – a₁ = a₃ – 13 ……. (1) మరియు
a₃ – 13 = 3 – a₃ ……….. (2)
(2) ⇒ 2a₃ = 16
a₃ = \(\frac{16}{2}\) = 8
a₃ = 8 ని (1) లో రాయగా,
13 – a₁ = 8 – 13
– a₁ = – 5 – 13 = – 18
∴ a₁ = 18
∴ a₁ = 18 మరియు a₃ = 8.

మూడవ పద్ధతి :
a₁, 13, a₃, 3 లు A.P. లో కలవు.
∴ 13, a₃, 3 లు A.P. లో మూడు వరుస పదాలు.
∴ a₃ = \(\frac{13+3}{2}=\frac{16}{2}\) = 8
[a, b, c లు A.P. లో ఉంటే b = \(\frac{a+c}{2}\))
∴ సామాన్య భేదం d = a₃ – a₂ = 8 – 13 = – 5
∴ a₁ = a₂ – d = 13 – (- 5) = 13 + 5 = 18.
∴ a₁ = 18 మరియు a₃ = 8.

(iii) a₁ = 5, a₄ = 91/2 అయిన a₂, a₃ లను కనుగొనుము.
సాధన.
a₁ = a = 5.
a_n = a + (n – 1) d
a₄ = 5 + 3d = 9\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{19}{2}\)
3d = \(\frac{19}{2}\) – 5 = \(\frac{19-10}{2}\) = \(\frac{9}{2}\)
∴ d = \(\frac{9}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{3}{2}\)
∴ a₂ = a + d
= 5 + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{13}{2}\)
a₃ = a₂ + d
= \(\frac{13}{2}\) + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{16}{2}\) = 8

(iv) a₁ = – 4; a₆ = 6, అయిన a₂, a₃, a₄, a₅ లను కనుగొనుము. .
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a₁ = a = – 4
a₆ = a + 5d = 6
(- 4) + 5d = 6
⇒ 5d = 6 + 4 = 10
⇒ d = \(\frac{10}{5}\) = 2
∴ a₂ = – 4 + 2 = – 2
a₃ = – 2 + 2 = 0
a₄ = 0 + 2 = 2
a₅ = 2 + 2 = 4

రెండవ పద్దతి :
ఒక అంకశ్రేణిలో nవ పదం a_n, mవ పదం a_m అయిన సామాన్యభేదం
d = \(\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}\)
a₁ = – 4, a₆ = 6, n = 1; m = 6
d = \(\frac{6-(-4)}{6-1}=\frac{10}{5}\) = 2
∴ a₂ = a₁ + d = – 4 + 2 = – 2
a₃ = – 2 + 2 = 0
a₄ = 0 + 2 = 2
a₅ = 2 + 2 = 4.

(v) a₂ = 38; a₆ = – 22, అయిన a₁, a₃, a₄, a₅ లను కనుగొనుము.
సాధన.
a₂ = a + d = 38 ……………. (1)
a₆ = a + 5d = -22 …………… (2)
(2) – (1)

∴ a₁ = a₂ – d = 38 – (- 15) = 38 + 15 = 53
a₃ = a₂ + 4 = 38 + (-15) = 23
a₄ = 23 + (- 15) = 8
a₅ = 8 + (- 15) = – 7.

ప్రశ్న 4.
3, 8, 13, 18, … అంకశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 78 అవుతుంది ?
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణి : 3, 8, 13, 18, ……. 78 –
a = 3; d = a₂ – a₁ = 8 – 3 = 5,
a_n = 78
a_n = a + (n – 1) 4 = 78 .
⇒ 3 + (n – 1) (5) = 78
⇒ 3 + 5n – 5 = 78
⇒ 5n – 2 = 78
⇒ 5n = 78 + 2 = 80
⇒ n = \(\frac{80}{5}\) = 16
∴ 16 వ పదము 78 అవుతుంది.

ప్రశ్న 5.
క్రింద ఇవ్వబడిన అంకశ్రేఢులలోని పదాల సంఖ్యను కనుగొనుము.
(i) 7, 13, 19, . . . , 205
సాధన.
మొదటి పద్దతి :
ఇచ్చిన A.P : 7, 13, 19, …………, 205
a = 7; d = a₂ – a₁ = 13 – 7 = 6,
a_n = 205
a_n = a + (n – 1) d = 205
7 + (n – 1) 6 = 205
7 + 6n – 6 = 205
6n + 1 = 205
6n = 205 – 1 = 204
⇒ n = \(\frac{204}{6}\) = 34
ఇచ్చిన A.P లో 34 పదాలు ఉంటాయి.

రెండవ పద్ధతి:
d = \(\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}=\frac{a_{n}-a_{m}}{n-m}\)
a₁ = 7, a_n = 1, a_m = 205 అనుకొనుము.
d = 13 – 7 = 6
6 = \(\frac{205-7}{n-1}\)
⇒ n – 1 = \(\frac{198}{6}\) = 33
∴ n = 33 + 1 = 34.

(ii) 18, 15\(\frac{1}{2}\), 13, ………, – 47
సాధన. మొదటి పద్ధతి : –
ఇచ్చిన A.P: 18, 15\(\frac{1}{2}\), 1.3 ………….. – 47
a = 18, d = a₂ – a₁
= 15\(\frac{1}{2}\) – 18
= – 2\(\frac{1}{2}\) = – \(\frac{5}{2}\)
a_n = – 47
a_n = a + (n – 1) d = – 47
= 18 + (n – 1) × (- \(\frac{5}{2}\)) = – 47
(n – 1) (- \(\frac{5}{2}\)) = – 47 – 18 = – 65
\(\frac{-5 n+5}{2}\) = – 65
– 5n + 5 = – 130
– 5n = – 130 – 5 = – 135
5n = 135
⇒ n = \(\frac{135}{5}\) = 27
ఇచ్చిన A.P లో 27 పదాలు ఉంటాయి.

రెండవ పద్ధతి :
a_m = 18, d = 35; a_n = – 47
d = \(\frac{a_{n}-a_{m}}{n-m}\)

⇒ \(\frac{-5}{2}=\frac{-47-18}{n-1}\)

⇒ \(\frac{-5}{2}=\frac{-65}{n-1}\)

⇒ \(\frac{5}{2}=\frac{65}{n-1}\)
n – 1 = 65 × \(\frac{2}{5}\)
∴ n = 26 + 1 = 27.

ప్రశ్న 6.
11, 8, 5, 2… అంకశ్రేణిలో ‘- 150’ ఒక పదంగా ఉంటుందో లేదో పరిశీలించుము కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణి 11, 8, 5, 2, …… లో n వ పదం – 150 అనుకుందాము.
అప్పుడు, a = 11, d = a₂ – a₁ = 8 – 11 = – 3 మరియు a_n = – 150
a_n = a + (n – 1) d = – 150
⇒ 11 + (n – 1)X (- 3) = – 150
⇒ 11 – 3n + 3 = – 150
⇒ – 3n = – 150 – 14
⇒ – 3n = – 164
⇒ 3n = 164
⇒ n = \(\frac{164}{3}\) ………… (2)
అంకశ్రేణిలోని పదాల సంఖ్య n ఎల్లప్పుడూ ఒక సహజ సంఖ్య.
కాని n = \(\frac{164}{3}\) సహజసంఖ్య కాదు.
కావున 11, 8, 5, 2, ……. అంకశ్రేణిలో – 150 ఒక పదంగా ఉండదు.

ప్రశ్న 7.
ఒక అంకశ్రేణిలో 11వ పదము 38 మరియు 16వ పదము 78 అయిన 31వ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
a₁₁ = 38 మరియు a₁₆ = 73, a₃₁ = ?
::. a_n = a + (n – 1) d
a₁₁ = a + 10d = 38 …………. (1)
a₁₆ = a + 15d = 73 ,
(2) – (1)

d = 7 ను (1) లో రా యగా,
a + 70 = 38
⇒ a = 38 – 70 = – 32
31వ పదం a₃₁ = a + 30d
= – 32 + 30 (7)
= – 32 + 210 = 178
∴ 31వ పదం a_n = 178.

ప్రశ్న 8.
ఒక అంకశ్రేఢిలో 3వ, 9వ పదాలు వరుసగా 4, – 8 అయిన ఎన్నవ పదము ” (సున్న) అవుతుంది ?
సాధన.
ఒక A.P లో 3వ పదం
a₃ = a + 2d = 4 ……….(1)
9వ పదం a₉ = a + 8d = – 8 …………(2)
(2) – (1) ⇒

⇒ d = \(\frac{12}{6}\) = – 2
⇒ d = – 2 …………. (3)
∴ 4వ పదం a₄ = a₃ + d = 4 + (- 2) = 2
a₅ = a₄ + d = 2 + (- 2) = 0
∴ 5వ పదం సున్న (0) అవుతుంది.

(లేదా)

(3) ⇒ d = – 2 ను (1) లో రాయగా,
a + 2(- 2) = 4
⇒ a – 4 = 4
⇒ a = 8
a_n = 0 అయ్యేటట్లు n విలువ కనుగొనాలి.
a_n = a + (n – 1) d = 0
8 + (n – 1) (- 2) = 0
8 – 2n + 2 = 0
10 = 2n
⇒ \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ n = 5
కావున 5వ పదం ‘0’ (సున్న) అవుతుంది.

ప్రశ్న 9.
ఒక అంకశ్రేణిలో 17వ పదము 10వ పదం కంటే 7 ఎక్కువ. అయిన సామాన్య భేదం ఎంత ?
సాధన.
ఒక A.P లో 17వ పదం a₁₇ = a + 16d
10వ పదం a₁₀ = a + 9d
లెక్క ప్రకారం, a₁₇ = a₁₀ + 7
a + 16d = (a + 9d) + 7
a + 16d – a – 9d = 7
7d = 7
⇒ d = \(\frac{7}{7}\) = 1
∴ సామాన్యభేదం d = 1. .

ప్రశ్న 10.
రెండు అంకశ్రేఢుల సామాన్య భేదం సమానము. వాని 100వ పదాల మధ్య భేదం 100 అయిన వాని 1000వ పదాల మధ్య భేదమెంత ?
సాధన.
మొదటి అంకశ్రేణి మొదటి పదం = a
రెండవ అంకశ్రేణి మొదటి పదం = b
రెండు శ్రేఢుల యొక్క సామాన్యభేదం = d అనుకొనుము.
మొదటిశ్రేఢి 100వ పదం a₁₀₀ = a + 99d
రెండవశ్రేణి 100వ పదం b₁₀₀ = b + 99d
లెక్కప్రకారం, a₁₀₀ – b₁₀₀ = 100
(a + 99d) – (b + 99d) = 100
a – b = 100 ………….. (1)
ఇప్పుడు,
మొదటిశ్రేఢి 1000వ పదం a₁₀₀₀ = a + 999d
రెండవశ్రేణి’ 1000వ పదం b₁₀₀₀₀ = b + 999d
a₁₀₀₀ – b₁₀₀₀ = (a + 999d) – (b + 999d)
= a – b = 100 ((1) నుండి)
∴ 1000వ పదాల మధ్య తేడా 100.

ప్రశ్న 11.
7 చే భాగించబడే మూడంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని కలవు?
సాధన.
మొదటి పద్దతి’:
7 చే భాగింపబడే మూడంకెల సంఖ్యల జాబితా 105, 112, 119, 126, …………., 994 ఈ జాబితా అంకశ్రేణి అవుతుంది.
a = 105; d = a₂ – a₁ = 112 – 105 = 7;
a_n = 994
∴ a_n = a + (n – 1) d = 994
= 105 + (n – 1) 7 = 994
105 + 7n – 7 = 994
7n + 98 = 994
7n = 994 – 98 = 896
n = \(\frac{896}{7}\) = 128
∴ 7 చే భాగింపబడే మూడంకెల సంఖ్యలు 128 కలవు.

రెండవ పద్దతి :
d = \(\frac{a_{n}-a_{m}}{n-m}\)
a₁ = 105, a_n = 994, d = 7, m = 1
7 = \(\frac{994-105}{n-1}=\frac{896}{n-1}\)
n – 1 = \(\frac{889}{7}\) = 127
∴ n = 127 +1 = 128.

ప్రశ్న 12.
10 మరియు 250 ల మధ్య గల 4 యొక్క గుణిజాల సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
10 మరియు 250 ల మధ్య గల 4 యొక్క గుణిజాల జాబితా 12, 16, 20, ……… 248.
ఈ జాబితా A.P లో కలదు.
∴ a = 12, d = a₂ – a₁ = 16 – 12 = 4,
a_n = 248
a_n = a + (n – 1) d = 248 .
= 12 + (n- 1) 4 = 248
= 12 + 4n – 4 = 248
4n = 248 – 8 = 240
n = \(\frac{240}{4}\) = 60
∴ 10 మరియు 250 ల మధ్యగల 4 యొక్క గుణిజాల సంఖ్య = 60.

ప్రశ్న 13.
63, 65, 67, …. మరియు 3, 10, 17, ….. అంకశ్రేఢుల nవ పదాలు సమానము అయిన n విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి A.P = 63, 65, 67, ……………..
a = 63, d = a₂ – a₁ = 65 – 63 = 2
∴ nవ పదం a_n = a + (n-1) d
= 63 + (n – 1) 2
= 63 + 2n – 2
nవ పదం a_n = 2n + 61 ………….. (1)
రెండవ A.P. = 3, 10, 17, ……………….
a = 3, d = a₂ – a₁ = 10 – 3 = 7
nవ పదం a_n = 3 + (n -1 ) 7
= 3 + 7n – 7
nవ పదం a_n = 7n – 4 ………… (2)
కాని లెక్క ప్రకారం రెండు అంకశ్రేఢుల పదాలు సమానము.
∴ 7n – 4 = 2n + 61
7n – 2n = 61 + 4
5n = 65
n = \(\frac{65}{5}\) = 13
∴ n = 13.

ప్రశ్న 14.
3వ పదము 167; 7వ పదము, 5వ పదము కంటే 12 ఎక్కువగా గల ఒక అంకశ్రేఢిని కనుగొనుము.
సాధన.
A.P లో 3వ పదం a₃ = a + 2d = 16 ….. (1)
5వ పదం a₅ = a + 4d
7వ పదం a₇ = a + 6d
లెక్క ప్రకారం 7వ పదము, 5వ పదము కంటే 12 ఎక్కువ.
a + 6d = (a + 4d) + 12
a + 6d – a – 4d = 12
2d = 12 ⇒ d = \(\frac{12}{2}\) = 6
d = 6 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a + 2(6) = 16
a + 12 = 16
a = 16 – 12 = 4
a = 4 మరియు d = 6
∴ అంకశ్రేణి 4, 10, 16, 22, …………….

ప్రశ్న 15.
3, 8, 13, ….., 253 అంకశ్రేణి యొక్క చివరి నుంచి 20వ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్దతి :
ఇచ్చిన A.P = 3, 8, 13, ………., 253
ఇక్కడ a = 3, d = a₂ – a₁ = 8 – 3 = 5,
⇒a_n = 253
⇒ a_n = a + (n – 1) 4 = 253.
⇒ 3 + (n- 1) 5 = 253
⇒ 3 + 5n – 5 = 253
⇒ 5n = 253 + 2 = 255
⇒ n = \(\frac{255}{5}\) = 51
ఇచ్చిన A.P లో 51 పదాలు కలవు.
∴ చివరి నుండి 20వ పదం, మొదటి నుండి (51 – 20) + 1 = 32వ పదం అవుతుంది.
∴ 32వ పదం a₃₂ = 3 + (32 – 1) (5)
= 3 + 31 (5)
a₃₂ = 3 + 155 = 158
చివరి నుండి 20వ పదం = 158

2వ పద్దతి :
ఇచ్చిన A.P = 3, 8, 13, ….., 253
ఇక్కడ d = a₂ – a₁ = 8 – 3 = 5
ఇచ్చిన శ్రేణిని త్రిప్పి రాయగా వచ్చే 20వ పదమే ఇచ్చిన శ్రేఢి యొక్క చివరి నుండి 20వ పదం అవుతుంది. 253, 248, 243, ………., 13, 8, 3
ఈ శ్రేణిలో a = 253, d = a₂ – a₁
= 248 – 253 = – 5
a_n = 3
a_n = a + (n – 1) d = 3
253 + (n – 1) (- 5) = 3
253 – 5n + 5 = 3
258 – 5n = 3
– 5n = 3 – 258 = – 255
5n = 255
⇒ n = \(\frac{255}{5}\) = 51
∴ 20వ పదం a₂₀ = 253 + (20 – 1) (- 5)
= 253 – 95
a_n = 158
∴ 3, 8, 13, …………. 253 అంకశ్రేఢి యొక్క చివరి నుండి 20వ పదము = 158.

ప్రశ్న 16.
ఒక అంకశ్రేణిలో 4వ మరియు 8వ పదాల మొత్తము 24 మరియు 6వ, 10వ పదాల మొత్తము 44 అయిన మొదటి మూడు పదాలను కనుగొనుము.
సాధన.
A.P లో 4వ పదం = a + 3d
8వ పదం = a + 7d
లెక్క ప్రకారం 4వ, 8వ పదాల ,మొత్తం = 24
(a + 3d) + (a + 7d) = 24
= 2a + 10d = 24
2 (a + 5d) = 24
a + 5d = \(\frac{24}{2}\) = 12
∴ a + 5d = 12 ………….. (1)
ఇలాగే, 6వ పదం = a + 5d
10వ పదం = a + 9d
6వ మరియు 10వ పదాల మొత్తం 44
(a + 5d) + (a + 9d) = 44
2a + 140 = 44
2 (a + 7d) = 44
a + 7d = \(\frac{44}{2}\) = 22
a + 7d = 22 ………… (2)
(2) – (1)

d = \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ d = 2
d = 5ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a + 5(5) = 12 ⇒ a = 12 – 25 = – 13
∴ కావలసిన అంకశ్రేణిలోని మొదటి మూడు పదాలు
మొదటి పదం a₁ = a = – 13
రెండవ పదం a₂ = – 13 + 5 = – 8
మూడవ పదం a₃ = 3 – 8 + 5 = – 3

ప్రశ్న 17.
సుబ్బారావు 1995వ సం||లో నెలకు ₹ 5000 జీతంతో ఉద్యోగంలో చేరాడు. అతని జీతము సం||మునకు ₹ 200 పెరిగిన అతని జీతము ఏ సం||ములో ₹ 7000 అవుతుంది ?
సాధన.

జీతం యొక్క జాబితా
5000, 5200, 5400, 5600, ………….
ఈ జాబితా A.P లో కలదు.
∴ a = 5000, d = a₂ – a₁ = 5200 – 5000 = 200
a_n = 7000
a_n = a + (n – 1) 4 = 7000
= 5000 + (n – 1) 200 = 7000
= 5000 + 200 n – 200 = 7000
200 n = 7000 – 4800 = 2200
∴ n = \(\frac{2200}{200}\) = 11.
జాబితాలో 7000 11వ పదం అవుతుంది.
అనగా ,సుబ్బారావు ఉద్యోగంలో చేరినప్పటి నుండి 11వ సం||లో అతని జీతం ₹ 7000 అవుతుంది. (1995ను కూడా కలుపుకోవాలి)
∴ 2005 వ సం||లో సుబ్బారావు జీతం ₹ 7000 అవుతుంది.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 2 ఏకచరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 2.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 2nd Lesson ఏకచరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణాలు Exercise 2.5

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమీకరణాలను సాధించుము.
(i) \(\frac{n}{5}-\frac{5}{7}=\frac{2}{3}\)
సాధన.

(ii) \(\frac{x}{3}-\frac{x}{4}=14\)
సాధన.
\(\frac{4 x-3 x}{12}\) = 14 ⇒ \(\frac{\mathrm{x}}{12}\) = 14
⇒ x = 12 × 14 = 168
∴ x = 168

(iii) \(\frac{z}{2}+\frac{z}{3}-\frac{z}{6}=8\)
సాధన.
\(\frac{3 z+2 z-z}{6}\) = 8

(iv) \(\frac{2 p}{3}-\frac{p}{5}=11 \frac{2}{3}\)
సాధన.

(v) \(9 \frac{1}{4}=y-1 \frac{1}{3}\)
సాధన.

(vi) \(\frac{x}{2}-\frac{4}{5}+\frac{x}{5}+\frac{3 x}{10}=\frac{1}{5}\)
సాధన.

(vii) \(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}=\frac{x}{3}+\frac{1}{2}\)
సాధన.

(viii) \(\frac{2 x-3}{3 x+2}=\frac{-2}{3}\)
సాధన.
⇒ 3(2x – 3) = – 2(3x + 2)
⇒ 6x – 9 = – 6x – 4
⇒ 6x + 6x = – 4 + 9
⇒ 12x = 5
∴ x = \(\frac {5}{12}\)

(ix) \(\frac{8 p-5}{7 p+1}=\frac{-2}{4}\)
సాధన.
\(\frac{8 p-5}{7 p+1}=\frac{-1}{2}\)
⇒ 2(8p – 5) = -(7p + 1)
⇒ 16p – 10 = – 7p – 1
⇒ 16p + 7p = – 1 + 10
⇒ 23p = 9
∴ p = \(\frac {9}{23}\)

(x) \(\frac{7 y+2}{5}=\frac{6 y-5}{11}\)
సాధన.
⇒ 11(7y + 2) = 5 (6y – 5)
⇒ 77y + 22 = 30y – 25
⇒ 77y – 30y = – 25 – 22
⇒ 47y = – 47 ⇒ y = \(\frac {-47}{47}\)
∴ y = -1

(xi) \(\frac{x+5}{6}-\frac{x+1}{9}=\frac{x+3}{4}\)
సాధన.

⇒ 4(x + 13) = 18 (x + 3)
⇒ 4x + 52 = 18x + 54
⇒ 4x – 18x = 54 – 52
⇒ – 14x = 2

(xiii) \(\frac{3 t+1}{16}-\frac{2 t-3}{7}=\frac{t+3}{8}+\frac{3 t-1}{14}\)
సాధన.

– 11t – 38t = 34 – 55
= – 49t = – 21

ప్రశ్న 2.
ఒక సంఖ్య యొక్క 3వ భాగము దాని 5వ భాగము కంటే 4 ఎక్కువ అయిన ఆ సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక సంఖ్య ‘x’ అనుకొనుము.
x యొక్క 3వ భాగం = \(\frac{x}{3}\)
x యొక్క 5వ భాగం = \(\frac{x}{5}\)

ప్రశ్న 3.
రెండు ధనసంఖ్యల భేదం 36. ఒక దానిని రెండవ దానితో భాగించగా వచ్చే భాగఫలం 4 అయిన వానిని కనుగొనుము.
(సూచన : ఒక సంఖ్య ‘x’ అనుకొనిన రెండవ సంఖ్య ‘x – 36’)
సాధన.
రెండు ధనసంఖ్యలు x, (x – 36) అనుకొనుము.
ఒక దానిని రెండవ దానితో భాగించగా వచ్చు భాగఫలం 4 అయిన
⇒ \(\frac{x}{x-36}\) ⇒ 4 = x = 4(x – 36)
⇒ x = 4x – 144 ⇒ 4x – x = 144
⇒ 3x = 144 ⇒ x = 48
∴ ఆ ధనసంఖ్యలు = x, x – 36 = 48, 12.

ప్రశ్న 4.
ఒక భిన్నంలో లవం, హారం కంటే 4 తక్కువ. అయితే లవ, హారాలకు ఒకటి కలిపిన అది \(\frac {1}{2}\) కు సమానము అవుతుంది. అయిన ఆ భిన్నమును కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక భిన్నం \(\frac{x}{y}\) అనుకొనుము.
∴ లవం, హారం కంటే 4 తక్కువ అయిన లవం (x) = y – 4 అగును.
భిన్నం = \(\frac{y-4}{y}\)
లెక్క ప్రకారం \(\frac{y-4+1}{y+1}=\frac{1}{2}\) ⇒ \(\frac{y-3}{y+1}=\frac{1}{2}\)
⇒ 2 = 2(y – 3) = y + 1
⇒ 2(y – 6) = y + 1
⇒ 2y – y = 1 + 6 ⇒ y = 7
∴ కావలసిన భిన్నం = \(\frac{y-4}{y}=\frac{7-4}{7}=\frac{3}{7}\)

ప్రశ్న 5.
మూడు వరుస సంఖ్యలను 10, 17, 26 లచే భాగించినపుడు భాగఫలాల మొత్తం 10ని ఇచ్చే మూడు వరుస సంఖ్యలను కనుగొనుము.
(సూచన : మూడు వరుస సంఖ్యలను x, x + 1, x + 2 అనుకొనిన, \(\frac{x}{10}+\frac{x+1}{17}+\frac{x+2}{26}\) = 10)
సాధన.
మూడు వరుస సంఖ్యలు x, (x + 1), (x + 2) లు అనుకొనుము.,
x, (x + 1), (x + 2) లను 10, 17, 26 లచే
భాగించగా వచ్చు భాగఫలాల మొత్తం 10 అయిన

⇒ 221x + 130x + 130 + 85x + 170 = 22,100
⇒ 436x + 300 = 22,100
⇒ 436x = 22,100 – 300

∴ కావలసిన 3 వరుస సంఖ్యలు = 50, 51, 52.

ప్రశ్న 6.
40 మంది విద్యార్థులు గల తరగతిలో, బాలికల సంఖ్య, బాలుర సంఖ్యలో \(\frac {3}{5}\)వ వంతు అయిన బాలుర సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
తరగతిలోని విద్యార్థుల సంఖ్య = 40
బాలుర సంఖ్య = x అనుకొనుము.

ప్రశ్న 7.
15 సం॥ల తరువాత మేరి వయస్సు, ప్రస్తుత వయస్సుకు 4 రెట్లు. అయిన మేరి ప్రస్తుత వయస్సు ఎంత ?
సాధన.
మేరి ప్రస్తుత వయస్సు = x అనుకొనుము.
15 సం॥ల తరువాత మేరి వయస్సు = (x + 15) సం॥లు
లెక్క ప్రకారం (x + 15) = 4 × x ⇒ x + 15 = 4x
⇒ 4x – x = 15 ⇒ 3x = 15
⇒ x = 5
∴ మేరి ప్రస్తుత వయస్సు = 5 సం॥లు.

ప్రశ్న 8.
అరవింద్ దగ్గర వున్న కిడ్డీ బ్యాంక్ లో రూపాయి నాణెములు, అర్ధ రూపాయి నాణెములు గలవు. అర్ధ రూపాయి నాణెముల సంఖ్య, రూపాయి నాణెముల సంఖ్యకు 3 రెట్లు. నాణెముల మొత్తం విలువ ₹ 35 అయిన ఏఏ రకం నాణెములు ఎన్నెన్ని గలవు ?
సాధన.
రూపాయి నాణేల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
అర్ధ రూపాయి నాణేల సంఖ్య = 3 × x = 3x
నాణేల మొత్తం విలువ = ₹ \(\frac{3 x}{2}\) + x
∴ లెక్క ప్రకారం \(\frac{3 x}{2}\) + x = 35

∴ రూపాయి నాణేల సంఖ్య = 14
అర్ధ రూపాయి నాణేల సంఖ్య = 3x = 3 × 14 = 42

ప్రశ్న 9.
A మరియు B లు కలసి ఒక పనిని 12 రోజులలో పూర్తి చేయగలరు. A ఒక్కడే ఆ పనిని 20 రోజులలో పూర్తి చేసిన B ఒక్కడే ఆ పనిని ఎన్ని రోజులలో పూర్తి చేయగలడు ?
సాధన.
A, B లు ఒక పనిని 12 రోజులలో పూర్తి చేయగలిగిన,
వారు ఇరువురూ ఒక రోజులో చేసే పని = \(\frac {1}{2}\)
A అదే పనిని 20 రోజులలో పూర్తి చేయగలిగిన, అతని 1 రోజు పని = \(\frac {1}{20}\)
∴ B ఒక రోజు పని = \(\frac{1}{12}-\frac{1}{20}\)
= \(\frac{5-3}{60}\)
= \(\frac {2}{60}\)
= \(\frac {1}{30}\) వ వంతు
∴ ఆ పనిని పూర్తి చేయుటకు B కి పట్టు రోజులు = 30 రోజులు

ప్రశ్న 10.
ఒక రైలు 40 కి.మీ./గంట వేగంతో ప్రయాణించిన గమ్యస్థానమును 11 నిమిషాలు ఆలస్యంగా చేరును. ఒకవేళ 50 కి.మీ./గంట వేగంతో ప్రయాణించిన 5 నిమిషాలు ఆలస్యంగా చేరును. అయిన రైలు ప్రయాణించవలసిన దూరమును కనుగొనుము.
సాధన.
చేరవలసిన గమ్యస్థానం యొక్క దూరం = x కి.మీ. అనుకొనుము.
40 కి.మీ./గంట వేగంతో ‘x’ కి.మీ. ప్రయాణించుటకు పట్టు కాలం = \(\frac{x}{40}\) గం॥
50 కి.మీ./గంట వేగంతో ప్రయాణించుటకు పట్టు కాలం = \(\frac{x}{50}\) గం॥
కానీ దత్తాంశం ప్రకారం ఈ రెండింటి మధ్య తేడా = 11 – 5 = 6 ని॥ = \(\frac{6}{60}\) గంటలు

ప్రశ్న 11.
ఒక జింకల గుంపులో \(\frac{1}{4}\)వ భాగము అడవికి వెళ్ళినాయి. మొత్తంలో \(\frac{1}{3}\) వ భాగము పచ్చిక మైదానంలో వున్నాయి. మిగిలిన 15 నది ఒడ్డున నీరు త్రాగుతున్నాయి. అయిన మొత్తం జింకల సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
జింకల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
అడవికి వెళ్ళిన జింకల సంఖ్య = \(\frac{1}{4}\) × x = \(\frac{x}{4}\)
పచ్చిక మైదానంలోని జింకల సంఖ్య = \(\frac{1}{4}\) × x = \(\frac{1}{4}\)
∴ మిగిలిన జింకల సంఖ్య =

కాని, లెక్క ప్రకారం మిగిలిన జింకల సంఖ్య = 15
∴ \(\frac{5 x}{12}\) = 15

∴ మొత్తం జింకల సంఖ్య = 36

ప్రశ్న 12.
ఒక దుకాణదారుడు ఒక రేడియోను ₹ 903 లకు అమ్మటం వల్ల అతను 5% లాభాన్ని పొందుతాడు. అయిన రేడియో యొక్క కొన్నవెలను కనుగొనుము.
సాధన.
రేడియో అమ్మినవెల (S.P.) = ₹ 903
లాభశాతం = 5%
కోన్నవెల (C.P.) = ?

ప్రశ్న 13.
శేఖర్ తన వద్ద వున్న మిఠాయిలలో పావు భాగము రేణుకు, 5 మిఠాయిలు రాజికి ఇచ్చాడు. ఇంకా తన వద్ద 7 మిఠాయిలు మిగిలి వున్న అతని వద్ద మొదట వున్న మిఠాయిలు ఎన్ని ?
సాధన.
శేఖర్ వద్ద వున్న మిఠాయిల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
రేణుకకు ఇచ్చిన భాగం = \(\frac{1}{4}\) × x = \(\frac{x}{4}\)
రాజికి ఇచ్చిన మిఠాయిల సంఖ్య = 5
ఇంకా తన వద్ద నున్న మిఠాయిల సంఖ్య = 7
లెక్క ప్రకారం


∴ శేఖర్ వద్ద మొదట ఉన్న మిఠాయిల సంఖ్య = 16