Srinivas

Practice the AP 10th Class Maths Bits with Answers 3rd Lesson బహుపదులు on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 10th Class Maths Bits 3rd Lesson బహుపదులు

ప్రశ్న 1.
రేఖీయ బహుపది ax + b యొక్క శూన్య విలువ ఎంత?
సాధన.
ax + b = 0 ⇒ ax = -b ⇒ x = \(\frac{-b}{a}\)
∴ ax + b యొక్క శూన్య విలువ \(\frac{-b}{a}\)

ప్రశ్న 2.
ax² + bx + c యొక్క శూన్యాల లబ్దం ‘0’ అయిన
(A) a = 0
(B) b = 0
(C) c = 0
(D) a = c.
జవాబు.
(C) c = 0

ప్రశ్న 3.
x³ – 5x² + 6x యొక్క రెండు శూన్యాలు 2, 3 అయిన మూడవ శూన్యము ఏది ?
సాధన.
x³ – 5x² + 6x యొక్క రెండు శూన్యాలు 2, 3.
α = 2, β = 3 అనుకొనుము. γ = \(\frac{-b}{-a}\)
∴ శూన్యాల మొత్తం α + β + γ = 2
2 + 3 + γ = \(\frac{-(-5)}{1}\) = 5
γ = 0
(లేదా)
x³ – 5x² + 6x లో స్థిరపదం లేదు కావున ‘O’ ఒక శూన్యం అవుతుంది.
∴ కావున మూడవ శూన్యం = ‘0’

ప్రశ్న 4.
5x⁷ – 6x⁵ + 7x – 6 బహుపది పరిమాణం ఎంత?
జవాబు.
7

ప్రశ్న 5.
2x² – 8x + 6 బహుపది శూన్యాల మొత్తంను కనుగొనుము.
సాధన.
శూన్యాల మొత్తం = \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{-(-8)}{2}\) = 4

ప్రశ్న 6.
3x³ – 5x² – 11x – 3 ఘన బహుపది శూన్యాల లబ్ధం ఎంత ?
సాధన.
ఘనబహుపది శూన్యాల లబ్ధం = \(\frac{-d}{a}\) = \(\frac{-(-3)}{2}\) = 1

ప్రశ్న 7.
p(x) = 4x² + 3x + 1 బహుపది x = – 1 వద్ద బహుపది విలువ ఎంత ?
సాధన.
p(- 1) = 4(- 1)² + 3(- 1) + 1
= 4 – 3 + 1 = 2

ప్రశ్న 8.
px + q రేఖీయ బహుపది యొక్క శూన్య విలువను రాయండి.
సాధన.
px + q = 0 ⇒ px = – q ⇒ x = \(\frac{-\mathrm{q}}{\mathrm{p}}\)
∴ px + q యొక్క శూన్య విలువ \(\frac{-\mathrm{q}}{\mathrm{p}}\)

ప్రశ్న 9.
4y² – 5y + 1 ఒక ……………….
(A) రేఖీయ బహుపది
(B) ఘన బహుపది
(C) స్థిర బహుపది
(D) వర్గ బహుపది
జవాబు.
(D) వర్గ బహుపది

ప్రశ్న 10.
4x + 6y = 18 యొక్క రేఖా చిత్రం ఒక ……………. అది మూల బిందువు గుండా వెళ్ళదు.
(A) వక్రరేఖ
(B) కర్ణము
(C) సరళరేఖ
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(C) సరళరేఖ

ప్రశ్న 11.
x² – x – 6 బహుపది శూన్యాలు α, β అయిన α² + β² విలువ ఎంత?
సాధన.
α, β = \(\frac{c}{a}\) = \(\frac{-6}{1}\) = – 6
∴ α²β² = (αβ)² = (- 6)² = 36

ప్రశ్న 12.
p(x) = x² – 8x + kను (x – 1) తో భాగించగా శేషం ‘6’ అయిన ఓ విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
p(x) = x² – 8x + kను (x – 1) చే భాగించగా
శేషం p(1) = 6
∴ p(1) = (1)² – 8(1) + k = 6
⇒ 7 + k = 6
⇒ k = 13
(లేదా)

లెక్క ప్రకారం, శేషం = 6
∴ k – 7 = 6 ⇒ k = 13

ప్రశ్న 13.
రేఖీయ బహుపది ax – b శూన్య విలువ ఏది ?
సాధన.
ax – b = 0 ⇒ ax = b ⇒ x = \(\frac{b}{a}\)
∴ ax – b యొక్క శూన్య విలువ = \(\frac{b}{a}\)

ప్రశ్న 14.
2x² – 3x + 6 యొక్క శూన్యాల లబ్ధంను కనుగొనుము.
సాధన.
శూన్యాల లబ్ధం = \(\frac{c}{a}\) = \(\frac{6}{2}\) = 3

ప్రశ్న 15.
bx² + ax + c యొక్క శూన్యాల మొత్తంను రాయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 16.
x³ + 3x² – x + 2 యొక్క శూన్యాలు α, β, γ అయిన αβγ విలువ ఎంత ?
సాధన.
αβγ = \(\frac{-\mathrm{d}}{\mathrm{a}}\) = \(\frac{-2}{1}\) = 2

ప్రశ్న 17.
2, 3 లను శూన్యాలుగా కలిగిన వర్గ బహుపదిని రాయండి.
సాధన.
2, 3 లను శూన్యాలుగా గల వర్గ బహుపది
k[x² – (α + β)x + αβ] = k[x² – (5)x + 6]
k = 1,
∴ కావలసిన వర్గబహుపది = x² – 5x + 6

ప్రశ్న 18.
ఈ క్రింది వాటిలో ఒకే ఒక శూన్య విలువ కలిగిన బహుపది ఏది ?
(A) p(x) = 2x² – 3x + 4
(B) p(x) = x² – 2x + 1
(C) p(x) = 2x + 3
(D) p(x) = 5
సాధన.
B, C [ఒకే శూన్యం ఉంటే b² – 4ac = 0 కావాలి]
Aలో p(x) = 2x² – 3x + 4,
= 9 – 4(2) (4) = 9 – 32 < 0
Bలో p(x) = x² – 2x + 1,
= 4 – 4(1) (1) = 0
∴ B సరైన సమాధానం.
(C)లో p(x) = 2x + 3.
⇒ 2x + 3 = 0 ⇒ x = \(\frac{-3}{2}\) (ఒకే శూన్య విలువ).

ప్రశ్న 19.
క్రింది పటంలో దీర్ఘ చతురస్రంను పరిశీలించిన, దాని వైశాల్యానికి బహుపది ప్రమేయంను కనుగొనుము.

సాధన.
వైశాల్య బహుపది A(x) = (10 – x) (x + 3)
= 10x + 30 – x² – 3x
= – x² + 7x + 30

ప్రశ్న 20.
7x¹⁷ – 17x¹¹ + 27x⁵ – అను బహుపదిలో x⁷ యొక్క గుణకం ఎంత ?
జవాబు.
0

ప్రశ్న 21.
x² + x + 1 యొక్క శూన్యాలు α, β అయిన \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) విలువను లెక్కించండి.
సాధన.
x² + x + 1 యొక్క శూన్యాలు α, β.

ప్రశ్న 22.
x³ – 2x² + 3x – 4 బహుపది శూన్యాల మొత్తం ఎంత ?
సాధన.
శూన్యాల మొత్తం = \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{-(-2)}{1}\) = 2

ప్రశ్న 23.
p(x) = x² + kx – 8 యొక్క ఒక శూన్యము 4 అయిన k విలువ ఎంత ?
సాధన.
p(x) = x² + kx – 8 యొక్క ఒక శూన్యం α = 4
∴ p(4) = 0
⇒ (4)² + k(4) – 8 = 0
⇒ 16 + 4k – 8 = 0
⇒ 4k + 8 = 0
⇒ 4k = – 8
⇒ k = \(\frac{-8}{4}\) =-2.

ప్రశ్న 24.
√2x² – 3x + 1 అనే బహుపది పరిమాణం ఎంత ?
జవాబు.
2

ప్రశ్న 25.
f(x) = 5x² + 13x + k యొక్క ఒక శూన్యము రెండవ శూన్యానికి విలోమమైన k = 5 అని చూపుము.
సాధన.
f(x) = 5x² + 13x + k యొక్క శూన్యాలు α, \(\frac{1}{\alpha}\) అనుకొనుము. (ఒకదానికొకటి విలోమాలు).

Short cut: ax² + bx + c వర్గ బహుపది శూన్యాలు ఒకదానికొకటి. గుణకార విలోమాలు (వ్యుత్ర్కమాలైన) అయిన a = c.
∴ k = 5

ప్రశ్న 26.
p(x) = x² + kx – 9 యొక్క ఒక శూన్యము ‘3’ అయిన kవిలువ ఎంత ?
సాధన.
p(x) = x² + kx – 9 యొక్క ఒక శూన్యం 3
కావున, p(3) = 0.
∴ p(3) = (3)² + k(3) – 9 = 0
⇒ 9 + 3k – 9 = 0 ⇒ 3k = 0
∴ k = 0

ప్రశ్న 27.
α, β, γలు ఘనబహుపది ax³ + bx² + cx + d, (a ≠ 0) యొక్క శూన్యాలు అయిన αβγ =
జవాబు.
αβγ = \(\frac{-\mathrm{d}}{\mathrm{a}}\)

ప్రశ్న 28.
√2 మరియు – √2 శూన్యాలుగా గల వర్గ బహుపదిని కనుగొనుము.
సాధన.
√2 మరియు – √Z శూన్యాలుగా గల వర్గ బహుపది
= x² – (α + β)x + αβ

= x² – 2

ప్రశ్న 29.
5x⁷ – 6x⁵ + 7x – 4 అనే బహుపది యొక్క పరిమాణం ఎంత ?
జవాబు.
7

ప్రశ్న 30.
ఈ క్రింది పటంలోని రేఖాచిత్రము సూచించు శూన్య విలువల సంఖ్య ఎంత ?

జవాబు.
0

ప్రశ్న 31.
x² + 5x + 6 బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తము ఎంత ?
సాధన.
బహుపది శూన్యాల మొత్తం = \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{-5}{1}\) = 5

ప్రశ్న 32.
జతపరుచుము:
ax³ + bx² + cx + d, (a ≠ 0) అనే ఘన బహుపది యొక్క శూన్యాలు α, β, γ అయితే

(A) (i) – c, (ii) — b, (iii) – a
(B) (i) – a, (ii) – b, (iii) – C
(C) (i) – b, (ii) – a, (iii) – c
(D) (i) – c, (ii) – a, (iii) – b
జవాబు.
(A) (i) – c, (ii) — b, (iii) – a

ప్రశ్న 33.
5x – 3 అనునది ………… బహుపది.
(A) రేఖీయ
(B) వర్గ
(C) ఘన
(D) A మరియు B
జవాబు.
(A) రేఖీయ

ప్రశ్న 34.
రేఖాచిత్రములోని బహుపది యొక్క శూన్యాల సంఖ్య ……………………….

జవాబు.
3

ప్రశ్న 35.
α, βలు x² + 5x + k బహుపది యొక్క శూన్యాలు మరియు α – β = 3 అయిన kవిలువ ఎంత ?
(A) 6
(B) 9
(C) 5
(D) 4
సాధన.
x² + 5x + k యొక్క శూన్యాలు α, β మరియు α – β = 3
∴ α + β = \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{-5}{1}\)= – 5

(- 1)² + 5(- 1) + k = 0
1 – 5 + k = 0 ⇒ k = 4
(లేదా)
α + β = – 5, αβ = k మరియు α – β = 3
(α + β)² = (α – β)² + 4αβ
(- 5)² = 3² + 4k
25 – 9 = 4k
⇒ k = \(\frac{16}{4}\) = 4

ప్రశ్న 36.
క్రింది వానిలో బహుపది కానిది ఏది
(A) x² + √2x + 4
(B) x² + 2√x + 4
(C) x² + 2x – √2
(D) √2 x² + 2x + 4
జవాబు.
(B) x² + 2√x + 4

ప్రశ్న 37.
క్రింది వానిలో బహుపది ఏది ?
(A) 2x³ + 4x² + 5
(B) \(\frac{2}{x^{3}}\) + 4x² + 4x + 9
(C) 2x³ + 4x² + 5√x + 9
D) 2x^{– 3} + 4x² + 5
జవాబు.
A

ప్రశ్న 38.
5x² – 4x³ + x – 1 యొక్క పరిమాణమును తెల్పండి.
జవాబు.
3

ప్రశ్న 39.
వర్గ బహుపది యొక్క పరిమాణము ఎంత?
జవాబు.
2

ప్రశ్న 40.
ఘన బహుపది యొక్క పరిమాణము ఎంత ?
జవాబు.
3

ప్రశ్న 41.
p(x) = x² – 5x – 6 అయిన p(- 2) విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
p(- 2) = (- 2)² – 5(- 2) – 6
= 4 + 10 – 6 = 8

ప్రశ్న 42.
p(m) = m² – 3m + 1 అయిన p(1) + p(- 1) విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
p(m) = m² – 3m + 1
∴ p(1) + p(- 1) = [(1)² – 3(1) + 1] + [(- 1)² – 3(- 1) + 1]
= (- 1) + (5) = 4

ప్రశ్న 43.
p(x) = 3x⁴ – 5x³ + 7x² – 9x + 2 అయిన p(x) కు చెందిన క్రింది వానిని జతపరుచుము.

(A) i-b, ii – c, iii-d, iv – a
(B) i – c, ii – a, iii – d, iv – b
(C) i – c, ii – b, iii – a, iv-d
(D) i – b, ii-d, iii – a, iv-c
జవాబు.
(B) i – c, ii – a, iii – d, iv – b

ప్రశ్న 44.
p(x) = x² – 9 యొక్క శూన్యాలను కనుగొనుము.
సాధన.
p(x) = x² – 9 = x² – 9 = 0.
⇒ x² = 9 ⇒ x = √9 = ± 3.
శూన్యాలు = 3, -3

ప్రశ్న 45.
p(x) = x² – 2x – 3 నకు 3 ఒక శూన్యం అవుతుందని నిరూపించుము.
సాధన.
p(x) = x² – 2x – 3
= (3)² – 2(3) – 3 = 9 – 9 = 0
p(3) = 0
కావున p(x)కు 3 ఒక శూన్యం అవుతుంది.

ప్రశ్న 46.
క్రింది పటంలో \(\overleftrightarrow{A B}\) ను సూచించే రేఖీయ బహుపది – యొక్క శూన్య విలువను తెల్పండి.

జవాబు.
– 2

ప్రశ్న 47.
p(x) = x² – 10x + 25 యొక్క శూన్య విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
x² – 10x + 25 = x² – 2 ∙ x ∙ 5 + 5²
= (x – 5)²
⇒ (x – 5)² = 0
∴ x = 5
శూన్య విలువ = 5

ప్రశ్న 48.
బహుపది x³ – x² యొక్క ఒక శూన్యం ‘0’ అవుతుందని చూపుము.
సాధన.
p(x) = x³ – x²
p(0) = (0)³ – (0)² = 0
p(0) = 0 కావున ‘0’ ఒక శూన్యము.
(లేదా)
x³ – x² = 0 ⇒ x² (x – 1) = 0
x² = 0 (లేదా) x – 1 = 0
x = 0 (లేదా) x = 1
x³ – x² యొక్క శూన్యాలు 0, 1.
కావున ‘0’ ఒక శూన్యము.
(లేదా)
x³ – x² బహుపదిలో స్థిరపదం లేదు. కావున ‘0’ ఒక శూన్యం అవుతుంది.

ప్రశ్న 49.
బహుపది x³ – 4x యొక్క శూన్యాల సమితి ఏది ?
(A) {0, 2, -2}
(B) {0, 4, – 4}
(C) {0, 12, 12 }
(D) {1, -1, 2)
సాధన.
(A) {0, 2, -2}

వివరణ
x³ – 4x = 0 = x(x³ – 4) = 0
x = 0 (లేదా) x² – 4 = 0.
⇒ x² = 4 ⇒ x = √4 = ± 2
∴ శూన్యాలు 0, 2, – 2.

ప్రశ్న 50.
2 మరియు – 3 శూన్యాలుగా గల వర్గ బహుపదిని రాయండి.
సాధన.
α = 2, β = – 3
α + β = -1, αβ = – 6
వర్గబహుపది. = x² – (α + β)x + αβ
= x² – (- 1)x + (- 6)
= x² + x – 6

ప్రశ్న 51.
శూన్యాల మొత్తం (α + β) = 3, లబ్ధం (αβ) = – 10 గా గల వర్గ బహుపదిని రాయండి.
సాధన.
x² – (α + β)x + αβ = x² – 35 – 10.

ప్రశ్న 52.
x² + \(\frac{1}{6}\)x – 2 బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తంను కనుగొనుము.
సాధన.
శూన్యాల మొత్తం = \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{-\frac{1}{6}}{1}\) = – \(\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న 53.
\(\frac{1}{4}\) మరియు – 1 శూన్యాలుగా గల వర్గ బహుపదిని కనుగొనుము.
సాధన.
α = \(\frac{1}{4}\), β = – 1
∴ α + β = \(\frac{1}{4}\) + (- 1) = \(\frac{-3}{4}\)
αβ = (\(\frac{1}{4}\)) (- 1) = \(\frac{- 1}{4}\)
కావలసిన వర్గబహుపది
= k[x² – (α + β)x + αβ]
p(x) = k(x² – \(\left(\frac{-3}{4}\right)\)x – \(\frac{1}{4}\))
k = 4 అయిన p(x) = 4x² + 3x – 1.

ప్రశ్న 54.
y = ax² + bx + c రేఖాచిత్రం సూచించే పరావలయం పైవైపుకు వివృతం (తెరచుకొని)గా ఉంటే
(A) a < 0 (B) a = 0 (C) a > 0
(D) a = – 1
జవాబు.
(A) a < 0

ప్రశ్న 55.
ax² + bx + c యొక్క శూన్యాల మొత్తం ‘0’ అయిన
(A) a = 0
(B) b = 0
(C) c = 0
(D) a = c
జవాబు.
(B) b = 0

ప్రశ్న 56.
x² – 4x + 3 యొక్క శూన్యాల మొత్తం క్రింది వానిలో దేనికి సమానం?
(A) log₂16
(B) log₂8
(C) log₂4
(D) log₂2
జవాబు.
(A) log₂16

ప్రశ్న 57.
x² – 4 బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తం ఎంత ?
సాధన.
శూన్యాల మొత్తం = \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{0}{1}\) = 0.

ప్రశ్న 58.
α, β లు x² – x – 6 యొక్క శూన్యా α + β విలువను రాయండి.
సాధన.
α + β = \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{-(-1)}{1}\) = 1

ప్రశ్న 59.
α, β లు x² + 2x – 8 యొక్క శూన్యా లైతే α²β + αβ² విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
p(x) = x² + 2x – 8
∴ α + β = \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{-2}{1}\) = – 2
αβ = \(\frac{c}{a}\) = – 8
∴ α²β + αβ² = αβ(α + β)
= (-8) (-2) = 16

ప్రశ్న 60.
α, β లు x² – 3x + 2 యొక్క శూన్యాలైతే α³ + β³ విలువను లెక్కించండి.
సాధన.
α + β = 3, αβ = 2
α³ + β³ = (α + β)³ – 3αβ (α + β)
= (3)³ – 3(2) (3)
= 27 – 18 = 9
(లేదా)
p(x) = x² – 3x + 2 = 0
= x² – 2x – x + 2 = 0
= x(x – 2) – 1 (x – 2) = 0
= (x – 2) (x – 1) = 0
∴ x = 2 (లేదా) x = 1
α = 2, β = 1 అనుకొనుము.
α³ + β³ = (2)³ + (1)³ = 8 + 1 = 9

ప్రశ్న 61.
α, β లు 3x² + 125 – 12 కు శూన్యా లైతే క్రింది వానిలో ఏది సత్యం?
(A) α + β < αβ (B) α + β = αβ (C) α + β > αβ
(D) α + β = – αβ
సాధన.
(B) α + β = αβ

వివరణ
α + β = \(\frac{-12}{3}\) = – 4, αβ = \(\frac{-12}{3}\) = – 4
∴ α + β = αβ.

ప్రశ్న 62.
kx² – (k + 1) x – 3 బహుపది శూన్యాల మొత్తం \(\frac{7}{6}\) అయిన ఓ విలువ ఎంత ?
సాధన.
kx² – (k + 1) x – 3
శూన్యాల మొత్తం = \(\frac{7}{6}\)
\(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{-[-(k+1)]}{k}\) = \(\frac{7}{6}\) ⇒ \(\frac{\mathrm{k}+1}{\mathrm{k}}\) = \(\frac{7}{6}\)
⇒ 7k = 6k + 6 ⇒ k = 6

ప్రశ్న 63.
x² + (a + 1) x + b యొక్క శూన్యాలు 3 మరియు 4 అయిన a, b విలువలు కనుగొనుము.
సాధన.
α = 3, β = 4 అనుకొనుము.
α + β = – (a + 1)
7 = – a – 1 ⇒ a = – 1 – 7 = – 8
αβ = \(\frac{\mathrm{b}}{1}\) ⇒ 12 = b
∴ a = – 8, b = 12.

ప్రశ్న 64.
x² – 2kx + 8 యొక్క ఒక శూన్యము 2 అయిన k విలువ ఎంత ?
సాధన.
p(x) = x² – 2kx + 8 యొక్క ఒక శూన్యము 2
అయిన p(2) = 0
∴ p(2) = (2)² – 2k(2) + 8
⇒ 4 – 4k + 8 = 0
⇒ 12 = 4k
∴ k = 3

ప్రశ్న 65.
0 మరియు √5 లు శూన్యాలుగా గల వర్గ బహుపదిని రాయండి.
సాధన.
x² – (α + β)x + αβ
= x² – (0 + √5)x + 0(√5)
∴ 0, √5 లు శూన్యాలుగా గల వర్గ బహుపది
= x² – √5 x

ప్రశ్న 66.
6x² – 5x + 1 యొక్క శూన్యాలు α, β అయితే \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) విలువను గణించండి.
సాధన.

ప్రశ్న 67.
2x³ + kx² – 14x + 8 బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తం \(\frac{5}{2}\) అయిన ఓ విలువ ఎంత ?
సాధన.
p(x) = 2x³ + kx² – 14x + 8 యొక్క శూన్యాల
మైతం \(\frac{5}{2}\)
\(\frac{-b}{a}=\frac{-k}{2}=\frac{5}{2}\) ⇒ k = – 5

ప్రశ్న 68.
x³ + 4x² + 5x – 2 యొక్క శూన్యాలు α, β, γ అయిన αβ + βγ + γα విలువ ఎంత ?
సాధన.
αβ + βγ + γα = \(\frac{c}{a}=\frac{5}{1}\) = 5

ప్రశ్న 69.
4x³ + 8x² – 6x – 2 యొక్క శూన్య విలువలు α, β, γ అయిన α + β + γ విలువ ఎంత?
సాధన.
α + β + γ = \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{-8}{4}\) = – 2

ప్రశ్న 70.
x³ + 5x² + kx + 4 యొక్క శూన్య విలువలు α, β, γ మరియు αβ + βγ + γα = 0 అయిన k విలువ ఎంత ?
సాధన.
αβ + βγ + γα = 0
\(\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{a}}\) = \(\frac{\mathbf{k}}{1}\) = 0 ⇒ k = 0

ప్రశ్న 71.
x³ + 3x² – x – 2 యొక్క శూన్యాలు α, β, γ అయితే \(\frac{1}{\alpha^{3} \beta^{3} \gamma^{3}}\) విలువ ఎంత ?
సాధన.

ప్రశ్న 72.
ఘన బహుభుజి ax³ + bx² + cx + d యొక్క రెండు శూన్యాలు ‘0’ అయిన మూడవ శూన్య విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
ax³ + bx² + cx + d బహుపది యొక్క రెండు శూన్యాలు ‘0’
α = β = 0 అనుకొనుము.
శూన్యాల మొత్తం = α + β + γ = \(\frac{-b}{a}\)
0 + 0 + γ = \(\frac{-b}{a}\)
γ = \(\frac{-b}{a}\)
∴ మూడవ శూన్యము = \(\frac{-b}{a}\)

ప్రశ్న 73.
భాగహార నియమానికి సంబంధించి క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) అన్ని సందర్భాలలోను r(x) = 0
(B) r(x) పరిమాణం > g(x) పరిమాణం
(C) r(x) = 0 లేదా r(x) పరిమాణం < g(x) పరిమాణం
(D) r(x) = g(x)
జవాబు.
(D) r(x) = g(x)

ప్రశ్న 74.
x² – 5x + 6 నుx – 2 చే భాగించగా వచ్చు శేషము ఎంత ?
సాధన.
p(x) = x² – 5x + 6 ని (x – 2) చే భాగించగా
వచ్చు శేషము = p(2)
p(2) = 2² – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0
(లేదా)

ప్రశ్న 75.
p(x) = x² – 5x + 6, q(x) = x – 2 మరియు r(x) = 0 అయిన g(x) ను కనుగొనుము.
సాధన.
p(x) = x² – 5x + 6, g(x) = x – 2 మరియు
r(x) = 0, g(x) = ?
భాగహార నియమం: p(x) = g(x) q(x) + r(x) x2 – 5x + 6 = g(x) (x – 2) + 0
∴ \(\frac{x^{2}-5 x+6}{x-2}\) = g(x) = x – 3.
(లేదా)

ప్రశ్న 76.
ప్రవచనం X: వర్గ బహుపది గరిష్ఠంగా 2 శూన్యాలను కలిగి ఉంటుంది.
ప్రవచనం Y: వర్గ బహుపది గరిష్ఠంగా 4 పదాలను కలిగి ఉంటుంది.
(A) X మాత్రమే సత్యం
(B) Y మాత్రమే సత్యం
(C) X, Y లు రెండూ సత్యం
(D)X, Y లు రెండూ అసత్యం
జవాబు.
(A) X మాత్రమే సత్యం

→ గమనిక: ఇవ్వబడిన వర్గ బహుపది p(x) యొక్క ను పరిశీలించి 77-79 వరకు గల ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న 77.
p(x) యొక్క శూన్యాలను తెల్పండి.
జవాబు.
p(x) శూన్యాలు = – 2, 3,

ప్రశ్న 78.
p(x) బహుపదిని కనుగొనుము.
సాధన.
α = -2, β = 3
p(x) = x² – (-2 + 3)x + (- 2) (3)
= x² – x – 6

ప్రశ్న 79.
p(x) గ్రాఫ్ యొక్క ఆకారం పేరును తెల్పండి.
జవాబు.
పరావలయము.

ప్రశ్న 80.
p(x) = 2x – 5 యొక్క శూన్య విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
p(x) = 2x – 5 = 0 ⇒ 2x = 5 ⇒ x = \(\frac{5}{2}\)
p(x) యొక్క శూన్యము = \(\frac{5}{2}\)

ప్రశ్న 81.
p(x) = x² – 3x – 4 వక్రము x – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులలో ఒకటి (- 1, 0) అయిన మరొక బిందువును రాయండి.
సాధన.
p(x) = x² – 3x – 4 వక్రము X-అక్షాన్ని (- 1, 0) వద్ద ఖండిస్తున్నది.
కావున ఒక శూన్యం α = – 1
శూన్యాల మొత్తం α + β = \(\frac{-b}{a}\)
(-1) + β = \(\frac{-(-3)}{1}\)
⇒ β = 3 + 1 = 4
రెండవ శూన్యము = 4. కావున x – అక్షాన్ని ఖండించే ‘మరొక బిందువు (4, 0).
(లేదా)
αβ= – 4 = (- 1)β = – 4
∴ β = 4
(లేదా) .
p(x) = x² – 3x – 4 = 0
⇒ x² – 4x + x – 4 = 0
⇒ x(x – 4) + 1 (x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x + 1) = 0.
∴ శూన్యాలు 4, – 1
∴ X-అక్షాన్ని వక్రం ఖండించే బిందువులు (-1, 0), (4, 0).

ప్రశ్న 82.
x² – 2x – 15 యొక్క ఒక శూన్యము – 3 అయిన మరొక శూన్యమును కనుగొనుము.
సాధన.
x² – 21 – 15 యొక్క ఒక శూన్యము α = – 3.
α + β = \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{-(-2)}{1}\)
(- 3) + β = 2 ⇒ β = 5
αβ = \(\frac{c}{a}\) = – 15 ⇒ (- 3)β = – 15
∴ β = 5
రెండవ శూన్యము = 5.
(లేదా )
x² – 5x + 3x – 15 = 0
⇒ (x – 5) (x + 3) = 0
∴ శూన్యాలు 5, – 3.
రెండవ శూన్యము = 5.

ప్రశ్న 83.
క్రింది వానిలో, ఏది log₃27 మరియు log₃3 శూన్యాలుగా గల వర్గ బహుపది అవుతుంది?
(A) x² + 4x + 3
(B) x² – 4x + 3
(C) x² – 3x + 4
(D) x² + 3x – 4
సాధన.
(B) x² – 4x + 3

వివరణ
α = log₃ 27 = log₃3³ ⇒ 3 log₃ 3 = 3
β = log₃ 3 = 1
3, 1 శూన్యాలుగా గల వర్గబహుపది
= x² – 4x + 3.

ప్రశ్న 84.
p(x) బహుపది యొక్క పరిమాణం n అయిన p(x) లోని పదాల సంఖ్య గరిష్ఠంగా …………
(A) n – 1
(B) n
(C) n + 1
(D) 2n
జవాబు.
(C) n + 1

ప్రశ్న 85.
x² + 6x + k వక్రము X – అక్షాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శిస్తుంటే ఓ విలువ ఎంత ?
సాధన.
x² + 6x + k వక్రము X – అక్షాన్ని ఒకే ఒక బిందువు
వద్ద స్పర్శిస్తుంటే శూన్యాలు సమానము.
∴ α = β
సమాన శూన్యాలు, α, α
శూన్యాల మొత్తం α + α = \(\frac{-b}{a}\)
2α = – 6 ⇒ α = – 3
శూన్యాల లబ్దం α∙α = k
⇒ (-3)∙(- 3) = k ⇒ k = 9
(లేదా)
శూన్యాలు సమానం అయిన
b² – 4ac = 0
6² – 4(1) (k) = 0
36 – 4k = 0
36 = 4k
∴ k = 9

ప్రశ్న 86.
క్రింది రేఖాచిత్రం సూచించు బహుపది యొక్క శూన్యాల సంఖ్య ఎంత?

జవాబు.
4

ప్రశ్న 87.
క్రింది రేఖాచిత్రాన్ని సూచించే p(x) బహుపది యొక్క శూన్య విలువను రాయండి.

జవాబు.
1

ప్రశ్న 88.
x² + 7x + 10 బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తం ఎంత ?
జవాబు.
– 7

ప్రశ్న 89.
√3 మరియు – √3 శూన్యాలుగా గల వర్గ బహుపదిని కనుగొనుము.
సాధన.
α = √5 , β = – √3
α + β = 0, αβ = – 3
వర్గబహుపది = x² – (α + β)x + αβ
= x² – 0x + (-3)
= x² – 3

ప్రశ్న 90.
4x² – 4x + k ఒకే ఒక శూన్యాన్ని కలిగి ఉంటే k విలువ log లో తెలుపగా
(A) log₁₀100
(B) log₁₀1
(C) log₁₀10
(D) log₁₀\(\frac{1}{10}\).
సాధన.
(C) log₁₀10

వివరణ
4x² – 4x + k ఒకే ఒక శూన్యాన్ని కలిగి ఉంటే
b² ⇒ 4ac = 16 = 16 k
⇒ k = 1 = log₁₀10

ప్రశ్న 91.
ఘన బహుపది యొక్క వక్రము X-అక్షాన్ని ఖండించే గరిష్ఠ బిందువుల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
3

ప్రశ్న 92.
స్థిరపదం లోపించిన ఘనబహుపది శూన్యాల లబ్దం ఎంత ?
జవాబు.
0

ప్రశ్న 93.
BC = 2x, AD = x + 4 గా గల త్రిభుజ వైశాల్యానికి వర్గ బహుపది A(x) ని కనుగొనుము.

సాధన.
∆ABC వైశాల్యం A(x) = \(\frac{1}{2}\) BC × AD

A(x) = x² + 4x

ప్రశ్న 94.
2x³ – 3kx² + 4x + 8 యొక్క శూన్యాల మొత్తం 6 అయితే k విలువ ఎంత?
సాధన.
α + β + γ = 6
\(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{-(-3 k)}{2}\) = 6
⇒ 3k = 12
∴ k = 4

ప్రశ్న 95.
x³ + 3x² – x – 2 యొక్క శూన్యాలు α, β, γ అయిన αβγ విలువను రాయండి.
సాధన.
αβγ = \(\frac{-\mathrm{d}}{\mathrm{a}}=\frac{-(-2)}{1}\) = 2

ప్రశ్న 96.
x³ + 4x² – 5x – 2 యొక్క శూన్యాలు α, β, γ అయిన αβ + βγ + γα విలువ ఎంత?
సాధన.
αβ + βγ + γα = \(\frac{c}{a}\) = \(\frac{-5}{1}\) = – 5

ప్రశ్న 97.
p(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) బహుపది యొక్క శూన్యాలు α, β, γ అయిన α³ + β³ + γ³ విలువ ఎంత?
సాధన.
p(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3)
శూన్యాలు, α = 1, β = 2, γ= 3
α³ + β³ + γ³ = (1)³ + (1)³ + (1)³
= 1 + 8 + 27 = 36

ప్రశ్న 98.
(x – 1) (x² – x – 6) యొక్క రెండు శూన్యాలు 3, – 2 అయిన మూడవ శూన్యము విలువ ఎంత?
సాధన.
(x – 1) (x² – x – 6) యొక్క రెండు శూన్యాలు
3, – 2.
∴ x – 1 ఒక కారణాంకము కావున,
3వ శూన్యము = 1

ప్రశ్న 99.
α, β లు శూన్యాలుగా గల వర్గ బహుపదిని రాయండి.
సాధన.
k (x² – (α + β)x + αβ) (లేదా)
x² – (α + β)x + αβ

ప్రశ్న 100.
వర్గ బహుపదిలో x పదము లేకుంటే ఆ వర్గ బహుపది శూన్యాల మొత్తము ఎంత?
జవాబు.
0

ప్రశ్న 101.
p(x) = g(x) . q(x) + r(x) లో g(x) రేఖీయ బహుపది మరియు q(x) ఘన బహుపది అయిన p(x) పరిమాణము ఎంత ?
సాధన.
p(x) పరిమాణం = g(x) పరిమాణం + q(x) పరిమాణం
= 1 + 3 = 4

ప్రశ్న 102.
p(x) = g(x) . q(x) + r(x) లో p(x) పరిమాణం 5 మరియు q(x) పరిమాణం 3 అయిన g(x) పరిమాణము ఎంత?
సాధన.
g(x) పరిమాణం = 5 – 3 = 2

ప్రశ్న 103.
p(x) = g(x) . q(x) + r(x) లో g(x), p(x) కు కారణాంకం అయితే r(x) గురించి నీవు ఏమి చెప్పగలవు ?
జవాబు.
r(x) = 0.

ప్రశ్న 104.
p(x) = x³ – 9x + k ను x – 1 తో భాగించగా శేషం 10 అయిన kవిలువ ఎంత?
సాధన.
p(1) = 0 ⇒ (1)³ – 9(1) + k = 0 ⇒ k = 8
(లేదా)

లెక్క ప్రకారం, శేషం = 0.
k-8 = 0
∴ k = 8

ప్రశ్న 105.
ax² + bx + c వర్గ బహుపది యొక్క గ్రాఫ్ X-అక్షాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శిస్తుంటే ఆ స్పర్శ బిందువును తెల్పండి.
సాధన.
\(\left(\frac{-b}{2 a}, 0\right)\), [గ్రాఫ్ X – అక్షాన్ని ఒకే బిందువు వద్ద స్పర్శిస్తుంటే శూన్యాలు సమానాలు మరియు శూన్యాలు, \(\frac{-b}{2 a}, \frac{-b}{2 a}\), అవుతాయి.]

ప్రశ్న 106.
ఇచ్చిన దీర్ఘచతురస్రము యొక్క వైశాల్య బహుపది A(x) ను కనుగొనుము.

సాధన.
A(x) = పొడవు × వెడల్పు
= (x² + 1) (x) = x³ + x

ప్రశ్న 107.
α, β లు x² – 5x + k యొక్క శూన్యాలు మరియు α – β= 1 అయిన ఓ విలువ ఎంత ?
సాధన.
p(x) = x² – 5x + k యొక్క శూన్యాలు α, β
∴ α + β = \(\frac{-b}{a}\) = 5, αβ = \(\frac{c}{a}\) = k మరియు
α – β = 1, k = ?

3 + β = 5 ⇒ β = 2
∴ k = αβ = (3) (2) = 6

ప్రశ్న 108.
ఘన బహుపదిలో x² పదము లోపించిన ఆ ఘన బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తం ఎంత ?
జవాబు.
0

ప్రశ్న 109.
ax² – x + 6 యొక్క పరావలయం క్రింది వైపుకు తెరచుకొని ఉంటే క్రింది వానిలో ఏది a విలువ కావచ్చును ?
(A) – 1
(B) – 2
(C) – 4
(D) పైవి అన్నీ కావచ్చు
జవాబు.
(D) పైవి అన్నీ కావచ్చు

ప్రశ్న 110.
ఇచ్చిన పటానికి చుట్టుకొలతకు బహుపది p(x) ను కనుగొనుము.

సాధన.
చుట్టుకొలత p(x) = 2 (పొడవు + వెడల్పు)
= 2(x² + 1 + x).
p(x) = 2x² + 2x + 2

ప్రశ్న 111.
క్రింది వానిలో – శూన్యముగా గల బహుపది
(A) 2x – 3
(B) 4x – 6
(C) 81 – 12
(D) పైవి అన్ని
జవాబు.
(D) పైవి అన్ని

ప్రశ్న 112.
2 మరియు -5 లు శూన్యాలుగా గల బహుపది
(A) x² – 3x – 10
(B) x² + 3x – 10
(C) x² – 2x – 5
(D ) x² + 2x + 5.
జవాబు.
(B) x² + 3x – 10

ప్రశ్న 113.
√2 – 1 మరియు √2 + 1 లు శూన్యాలుగా గల వర్గ బహుపది
(A) 2x² – 4√2x + 2
(B) x² + – 2√2 x + 1
(C) 3x² – 6√2 x + 3
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 114.
0, 1 మరియు – 1 లు శూన్యాలుగా గల బహుపది
(A) x³ – x² + 1
(B) x³ + x²
(C) x³ – x²
(D) x³ – x
జవాబు.
(D) x³ – x

ప్రశ్న 115.
3x² – 10x + p యొక్క శూన్యాలు ఒకదానికొకటి వ్యుత్ర్కమాలైతే 2 విలువ ఎంత ?
జవాబు.
p = 3

ప్రశ్న 116.
ఇచ్చిన పటంలో ‘0’ వృత్త కేంద్రము, వ్యాసార్ధం OA = x + 1 అయిన వృత్త వైశాల్యంను సూచించు వర్గ బహుపదిని కనుగొనుము.

సాధన.
r = OA = x + 1
∴ వృత్త వైశాల్యం A(x) = πr²
= π(x + 1)²
= π(x² + 2x + 1)
= πx² + 2πx + π

ప్రశ్న 117.
ax³ + bx² + Cx + d ఘన బహుపదిని సూచించా లంటే a, b, c ∈ R మరియు
(A) a = 0
(B) a ≠ 0
(c) b = 0
(D) d ≠ 0
జవాబు.
(B) a ≠ 0

ప్రశ్న 118.
α, β లు బహుపది శూన్యాలు మరియు α + β = 7, αβ = 10గా గల బహుపదుల సమితి
(A) శూన్య సమితి
(B) ఏకమూలక సమితి
(C) అపరిమిత సమితి
(D) నిర్ణయించలేము
జవాబు.
(C) అపరిమిత సమితి

ప్రశ్న 119.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) x² – 49 యొక్క శూన్యాలు 7, -7
(B) x² – 49 యొక్క రేఖాచిత్రం X-అక్షాన్ని (7, 0), (-7, 0) వద్ద ఖండిస్తుంది.
(C) A మరియు B
(D) x – 2 యొక్క శూన్యము – 2
జవాబు.
(C) A మరియు B

ప్రశ్న 120.
రేఖీయ బహుపది యొక్క సాధారణ రూపాన్ని రాయండి.
జవాబు.
ax + b, a ≠ 0

ప్రశ్న 121.
ఘన బహుపది యొక్క సాధారణ రూపాన్ని తెల్పండి.
జవాబు.
ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0

ప్రశ్న 122.
p(x) = x³ – 36x యొక్క రెండు శూన్యాలు 6, – 6 అయిన మూడవ శూన్యం ఎంత ?
సాధన.
p(x) = x³ – 36x యొక్క రెండు శూన్యాలు,
6, – 6, మూడవ శూన్యం γ అనుకొనుము.
శూన్యాల మొత్తం α + β + γ = \(\frac{-b}{a}\)
= 6 + (- 6) + γ = 0
∴ γ = 0
(లేదా) శూన్యాల లబ్ధం ABy = \(\frac{-d}{a}\)
= 6 (-6) γ = \(\frac{0}{1}\) = 0
∴ γ = 0
(లేదా)
x³ – 36x = 0 ⇒ x (x² – 36) = 0
x = 0, x² – 36 = 0
⇒ x² = 36 ⇒ x = √36 = ± 6
∴ శూన్యాలు = 0, 6, – 6
∴ మూడవ శూన్యం = 0

ప్రశ్న 123.
క్రింది పటంలో చూపిన సరళరేఖ \(\overleftrightarrow{X Y}\)ని సూచించు రేఖీయ బహుపది ఏది?

(A) p(x) = x – 3
(B) p(x) = 2 – \(\frac{2}{3}\)x
(C) p(x) = 2 + \(\frac{2}{3}\)x
(D) p(x) = x + 3
సాధన.
(B) p(x) = 2 – \(\frac{2}{3}\)x

వివరణ:
యత్న-దోష పద్ధతిలో సాధించాలి.
(A) p(x) = x – 3 ⇒ y = x – 3, (0, 2) బిందువు గుండా పోదు.
∴ A సరైన సమాధానం కాదు.

(B) p(x) = 2 – \(\frac{2}{3}\)x ⇒ y = 2 – \(\frac{2}{3}\)x,
(0, 2) మరియు (3, 0) బిందువు గుండా. పోతుంది.
∴ B సరైన సమాధానము.

→ క్రింది రేఖాచిత్రంను పరిశీలించి, 124-127 వరకు గల ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న 124.
p(x) = ax² + bx + c అయితే క్రింది వానిలో ‘ ఏది సత్యం ?
(A) a > 0
(B) a < 0
(C) a = 0
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(B) a < 0

ప్రశ్న 125.
p(x) యొక్క శూన్యాల మొత్తం ఎంత ?
జవాబు.
2 + 4 = 6

ప్రశ్న 126.
p(x) యొక్క శూన్యాల లబ్ధం ఎంత ?
జవాబు.
2 × 4 = 8

ప్రశ్న 127.
ఈ క్రింది వానిలో ఏది p(x) యొక్క బహుపది ? ,
(A) x² – 6x -8 .
(B) – x² – 6x + 8
(C) – x² + 6x – 8
(D) x² + 6x – 8
జవాబు.
C

ప్రశ్న 128.
x² – 15x + p యొక్క ఒక శూన్యం -5 అయిన ‘p’ విలువ ఎంత?
సాధన.
p(x) = x² – 15x + p యొక్క ఒక శూన్యము = – 5
p(- 5) = 0 ⇒ (- 5)² – 15 (- 5) + p = 0
⇒ 25 + 75 + p = 0 ⇒ p = – 100

ప్రశ్న 129.
p(x) = 9x^a + 10x^b – 7x^c + x ఒక బహుపది. a, b, c యొక్క ఏ విలువలకైన క్రింది వానిలో ఏది p(x) యొక్క ఒక శూన్యం అవుతుంది ?
(A) 1
(B) 0
(C) – 1
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
B (∵ స్థిరపదం లేదు కావున ‘O’ ఒక శూన్యము)

ప్రశ్న 130.
p(x) = x^a – 2x^b + 3x^c – 2x అనే బహుపదికి a, b, cఏ విలువలకైనా క్రింది వానిలో ఏది శూన్యము?
(A) 1.
(B) 0.
(C) A మరియు B
(D) -1
సాధన.
C (∵ స్థిరపదం, లేదు కావున ‘O’ ఒక శూన్యము)
p(1) = 1 – 2 + 3 – 2 = 0 కావున 1 ఒక శూన్యము

ప్రశ్న 131.
క్రింది ఏ బహుపది యొక్క గ్రాఫ్ మూలబిందువు గుండా పోవు సరళరేఖను సూచిస్తుంది ?
(A) p(x) = 2x
(B) p(x) = x
(C) p(x) = – x
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

(∵ p(x) = y = mx రూపంలో గల బహుపది మూలబిందువు గుండా పోతుంది.)

ప్రశ్న 132.
p(x) = x² + kx + 9 యొక్క ఒక శూన్యము 3 అయిన kవిలువ ఎంత?
(A) – 6
(B) – 3
(C) 6
(D) 3
సాధన.
(A) – 6

వివరణ:
p(x) = x² + kx + 9 యొక్క ఒక శూన్యము 3.
p(3) = (3)² + 3k + 9 = 0
⇒ 3k + 18 = 0 ⇒ k = – 6

ప్రశ్న 133.
p(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e నకు ‘1’ ఒక శూన్యం అయిన క్రింది వానిలో ఏది ఎల్లప్పుడు సత్యం?
(A) a + b + c + d + e = 0
(B) a + c + e = b + d
(C) e = 0
(D ) a = e = 0
సాధన.
(A) a + b + c + d + e = 0

వివరణ:
p(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e ఆ యొక్క
ఒక శూన్యము = 1.
p(1) = a(1)⁴ + b(1)³ + c(1)² + d(1) + e = 0
∴ a + b + c + d + e = 0.

ప్రశ్న 134.
వర్గ బహుపది p(x) గ్రాఫ్ X-అక్షాన్ని OA = OB = 3 యూనిట్లు అవునట్లు ఖండించిన p(x) క్రింది వానిలో ఏది కావచ్చును ?
(A) x² – 9x + 27
(B) x² – 6x
(C) x² – 4x + 4
(D) x² – 9
సాధన.
(D) x² – 9

వివరణ:

వర్గబహుపది గ్రాఫ్ లో OA = OB = 3.
∴ శూన్యాలు – 3, 3 అవుతాయి.
∴ వర్గ బహుపది = x² – 9.

ప్రశ్న 135.
3x² – 5x + 6 యొక్క శూన్యాల విలోమాలను శూన్యాలుగా గల వర్గ బహుపదిని కనుగొనుము.
సాధన.
3x² – 5x + 6 యొక్క శూన్యాలు α, β అనుకొనుము.
కావలసిన వర్గబహుపది శూన్యాలు \(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\).
3x² – 5x + 6 యొక్క శూన్యాలు α, β

Short cut:
ax² + bx + c బహుపది యొక్క శూన్యాలు α, β అయిన \(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\) శూన్యాలుగా గల వర్గ బహుపది
= cx² + bx + a
∴ కావలసిన వర్గబహుపది = 6x² – 5x + 3.

ప్రశ్న 136.
ax² + bx + c వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలు ఒకదానికొకటి వ్యుత్తమాలైతే a = c అని చూపుము.
సాధన.
ax² + bx + c వర్గబహుపది శూన్యాలు ఒకదాని కొకటి వ్యుత్ప్రమాలు.
α ఒక శూన్యం అయిన, \(\frac{1}{\alpha}\) మరొక శూన్యం అవుతుంది.
∴ శూన్యాల లబ్ధం = \(\frac{c}{a}\)
\(\alpha \cdot \frac{1}{\alpha}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\) ⇒ 1 = \(\frac{c}{a}\)
∴ a = c

ప్రశ్న 137.
x² – 12x + p యొక్క శూన్యాలు 1 : 2 నిష్పత్తిలో ఉండాలంటే ‘p’ విలువ ఎంత ?
సాధన.
x² – 12x + p యొక్క శూన్యాలు 1 : 2 నిష్పత్తిలో కలవు.
∴ శూన్యాలు α, 2α అనుకొనుము.
శూన్యాల మొత్తం = \(\frac{-b}{a}\)
α + 2α = \(\frac{-(-12)}{1}\)
3α = 12 ⇒ α = 4
శూన్యాల లబ్దం = \(\frac{c}{a}\)
α ∙ 2α = \(\frac{p}{1}\) ⇒ 2α² = 2
2(4)² = p ⇒ p = 32

ప్రశ్న 138.
α, β, γలు శూన్యాలుగా గల ఘన బహుపదిని రాయండి.
సాధన.
x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x + αβγ

ప్రశ్న 139.
p పరిమాణం గల బహుపదిని (పరిమాణం గల ఒక బహుపదిచే భాగించినపుడు శేషం సున్నా అయిన భాగఫలం యొక్క పరిమాణం ఎంత ?
జవాబు.
p – q

ప్రశ్న 140.
ప్రవచనం-I: x² – 4x + 8 యొక్క శూన్యాల మొత్తం 4.
ప్రవచనం-II: ax²+ bx + c బహుపది యొక్క శూన్యాల లబ్ధం \(\frac{c}{\mathbf{a}}\).
(A) I సత్యం , II అసత్యం
(B) I సత్యం , II అసత్యం , I & II సరైన వివరణ’
(C) I సత్యం, II సత్యం, I & II సరైన వివరణ కాదు
(D) I మరియు II లు రెండూ అసత్యం
జవాబు.
(C) I సత్యం, II సత్యం, I & II సరైన వివరణ కాదు

ప్రశ్న 141.
సమాన శూన్యాలు కలిగిన ఒక వర్గ బహుపదిని రాయండి.
(లేదా)
ఒకే ఒక వాస్తవ శూన్యాన్ని కలిగిన వర్గబహుపదికీ ఉదాహరణనిమ్ము.
సాధన.
ఒకే ఒక శూన్యవిలువ కలిగిన వర్గ బహుపదికి ఉదాహరణ p(x) = (x – 2)² = x² – 4x + 4.

ప్రశ్న 142.
p(x) శూన్యాల మొత్తం సున్న మరియు అందులో ఒక శూన్యం. 4గా గల వర్గ బహుపదిని రాయండి.
సాధన.
α + β = 0 మరియు α = 4 ∴ β = – 4
∴ αβ = – 16
∴ p(x) = x² – 16

ప్రశ్న 143.
ఈ క్రింది వానిలో సత్యమేది ?
(A) ఒక బహుపది యందు స్థిర విలువ లేకుంటే దానికి – సున్న ఒక శూన్య విలువ
(B) శూన్య విలువ వద్ద బహుపది విలువ సున్న
(C) ఒక బహుపది (p, 0) వద్ద X – అక్షాన్ని ఖండించిన దాని శూన్య విలువ ‘p’
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 144.
క్రింది వానిలో ఏది. x³ – 6x² + 11x – 6 నకు శూన్యం కాదు?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
జవాబు.
(A) 0

(∵ స్థిరపదం – 6 కలదు. కావున ‘O’ ఒక శూన్యము కాదు.)

ప్రశ్న 145.
ax + b బహుపది గ్రాఫ్ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు ఏది ?
(A) \(\left(-\frac{b}{a}, 0\right)\)
(B) \(\left(\frac{b}{a}, 0\right)\)
(C) \(\left(0,-\frac{b}{a}\right)\)
(D) \(\left(0, \frac{b}{a}\right)\)
జవాబు.
(A) \(\left(-\frac{b}{a}, 0\right)\)

ప్రశ్న 146.
బహుపదుల భాగహార అల్ గారిథమ్ (భాగహార నియమం)ను రాయండి.
సాధన.
p(x) = g(x) ∙ q(x) + r(x)
r(x) = 0 లేదా r(x) పరిమాణం < g(x) పరిమాణం

ప్రశ్న 147.
p(x) = 2x² – 5x + 6 అయిన p(1) + p(2) విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
p(x) = 2x² – 5x + 6
∴ p(1) + p(2) = [2(1)² – 5(1) + 6] + [2(2)² – 5(2) + 6]
= (2 – 5 + 6) + (8 – 10 + 6)
= 3 + 4 = 7

ప్రశ్న 148.
శూన్యాలు సమానంగా గల వర్గ బహుపది యొక్క రేఖాంతం (గ్రాఫ్) చిత్తుపటాన్ని గీయండి.
(లేదా)
b² – 4ac = 0 అయ్యే సందర్భానికి వర్గ బహుపది చిత్తుపటాన్ని గీయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 149.
(x – 3) (x – 5) లచే సూచించబడిన బహుపది శూన్యం కానిది
(A) 3
(B) 5
(C) 4
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(C) 4

ప్రశ్న 150.
ఒక రేఖీయ బహుపదికి ఒక శూన్య విలువ ఉండాలంటే అది ……………………….
(A) X- అక్షాన్ని ఖండించాలి
(B) X- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండరాదు
(C) Y-అక్ష్యానికి సమాంతరంగా ఉండవచ్చు
(D) పైవన్ని
జవాబు.
(D) పైవన్ని

ప్రశ్న 151.
రెండు వాస్తవ మూలాలను కలిగిన వరబహుపది యొక్క రేఖాచిత్రం (గ్రాఫ్) యొక్క చిత్తు పటం గీయండి.
(లేదా)
b² – 4ac > 0 అయ్యే సందర్భంలో వర్గబహుపది యొక్క రేఖాచిత్రం యొక్క చిత్తు పటం గీయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 152.
3 శూన్యేతర వాస్తవ శూన్య విలువలు కలిగిన బహుపది పరిమాణం ……………
(A) 3 కంటే తక్కువ
(B) 3 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ
(C) 3 లేదా అంతకంటే తక్కువ
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(B) 3 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ

ప్రశ్న 153.
x³ – 12x² + px + q నందు రెండు శూన్యాలు సమానం మరియు 3వ శూన్యం 2 అయిన ‘q’ విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
x³ – 12x² + px + q యొక్క రెండు శూన్యాలు
సమానం మరియు 3వ శూన్యము 2.
∴ శూన్యాలు α, α, 2 అనుకొనుము. –
శూన్యాల మొత్తం α + α + 2 = \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{-(-12)}{1}\) = 12
∴ 2α + 2 = 12 ⇒ 2α = 10 ⇒ α = 5
శూన్యాల లబ్దం α ∙ α ∙ 2 = \(\frac{-\mathrm{d}}{\mathrm{a}}=\frac{-\mathrm{q}}{1}\)
∴ 5(5)2 = – q ⇒ 50 = – q ⇒ q = – 50

ప్రశ్న 154.
క్రింది వానిలో ఒకే ఒక శూన్యం గల బహుపది యొక్క రేఖాచిత్రం
(A)

(B)

(C)

(D)

జవాబు.
(B)

ప్రశ్న 155.
x² – px + q నందు గల రెండూ శూన్యాల విలువ సమానం కావలెనన్నా ……………. కావలెను.
(A) p² = q
(B) p² = 2q
(C) p² = 3q
(D) p² = 49
జవాబు.
(D) p² = 49

ప్రశ్న 156.
p(x) = x² – px + 5 అను బహుపది యొక్క p(2) విలువ 3 అయిన ‘p’ విలువ ఎంత?
సాధన.
p(2) = 3 ⇒ (2)² – 2p + 5 = 3
⇒ 9 – 2p = 3
⇒ – 2p = 3 – 9 = – 6 ⇒ p = 3

ప్రశ్న 157.
x² – 5√5 అను బహుపది శూన్యాల మొత్తం ఎంత ?
(A) 5√ 5
(B) 5 + √5
(C) 0
(D) 5 – √5
జవాబు.
(C) 0

ప్రశ్న 158.
క్రింది వానిలో ఏది రెండు వాస్తవ శూన్యాలు కలిగిన వర్గ బహుపది యొక్క రేఖాచిత్రము కావచ్చును?

జవాబు.
D

ప్రశ్న 159.
క్రింది వానిలో ఏది α, – α, α శూన్యాలుగా గల బహుపది?
(A) x³ – αx² – α²x – α³
(B) x³ – αx² – α²x + α³
(C) x³ + αx² – α²x – α³
(D) x³ – αx² + α²x – α³
జవాబు.
(B) x³ – αx² – α²x + α³

ప్రశ్న 160.
α, -α శూన్యాలుగా గల వర్గ బహుపదిని రాయండి.
జవాబు.
x² – α²

ప్రశ్న 161.
క్రింది రేఖాచిత్రంను సూచించు వర్గ బహుపదిని కనుగొనుము.

సాధన.
రేఖాచిత్రం సూచించు వర్గబహుపది శూన్యాలు 3, 5.
3, 5 శూన్యాలుగా గల వర్గ బహుపది
= x² – (3 + 5)x + (3) (5)
= x² – 8x + 15

→ గమనిక: α, β లు p(x) = x² – 3x + 2 యొక్క శూన్యాలు.
పై సమాచారం ఆధారంగా 162 – 169 వరకు గల ప్రశ్నలకు జవాబులు రాయండి.

ప్రశ్న 162.
x² – 3x + 2 యొక్క శూన్యాలు కనుగొనుము.
సాధన.
p(x) = x² – 3x + 2
∴ α + β = \(\frac{-b}{a}=\frac{-(-3)}{1}\) = 3
∴ α + β = 3 ………… (1)
∴ αβ = \(\frac{c}{a}\) = 2 ……. (2)
(లేదా)
x² – 3x + 2 యొక్క శూన్యాలు కనుగొని అందు నుండి కూడా సాధించవచ్చును.
x² – 3x + 2 = x² – 2x – x + 2 = 0 .
⇒ (x – 2) (x – 1) = 0
శూన్యాలు α = 2, β = 1 గా తీసుకొని సాధించ వచ్చును.

ప్రశ్న 163.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) = \(\frac{\beta+\alpha}{\alpha \beta}\) = \(\frac{3}{2}\)

ప్రశ్న 164.
α2 + β2 విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
α² + β² = (α + β)² – 2αβ
= (3)² – 2(2) = 9 – 4 = 5

ప్రశ్న 165.
α – β విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
(α – β)² = (α + β)² – 4αβ
= (3)² – 4(2) = 9 – 8 = 1
α – β = √1 = ± 1

ప్రశ్న 166.
α³ + β³ విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
α³ + β³ = (α + β)³ – 3αβ(α + β)
= (3)³ – 3(2) (3) = 27 – 18 = 9

ప్రశ్న 167.
α²β + αβ² విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
α²β + αβ² = αβ(α + β) = 2(3) = 6

ప్రశ్న 168.
\(\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}\) విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
\(\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}\) = \(\frac{\beta^{2}+\alpha^{2}}{\alpha^{2} \beta^{2}}\) = \(\frac{5}{2^{2}}=\frac{5}{4}\)
(∵ α² + β² = (α + β)² – 2αβ
= (3)² – 2(2) = 9 – 4 = 5)

ప్రశ్న 169.
α³ + β³ = 3αβ(α + β) విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
α³ + β³ = 3αβ(α + β)
= (α + β)³ = 3³ = 27.

ప్రశ్న 170.
α, β, γలు x³ + 3x² – x – 2 యొక్క శూన్యాలు అయిన క్రింది వానిని జతపరుచుము.

(A) i-a, ii-b, iii-c
(B) i-b, ii-a, iii-c
(C) i-c, ii-a, iii-
(d) i-b, ii-c, iii-a .
జవాబు.
(B) i-b, ii-a, iii-c

ప్రశ్న 171.
p(x) = x³ + 3x² – x – 3 యొక్క రెండు శూన్యాలు – 1 మరియు – 3 అయిన మూడవ శూన్యం ఎంత?
సాధన.
రెండు శూన్యాలు α = – 1, β = – 3
శూన్యాల మొత్తం α + β + γ = \(\frac{-b}{a}\)
(- 1) + (- 3) + γ = \(\frac{-3}{1}\)
– 4 + γ = – 3 ⇒ γ = – 3 + 4 = 1
(లేదా)
శూన్యాల లబ్ధం αβγ = \(\frac{-d}{a}\)
(-1) (-3)γ = \(\frac{-(-3)}{1}\)
γ = 1
∴ మూడవ శూన్యము = 1

ప్రశ్న 172.
ఘనబహుపది యొక్క రేఖాచిత్రము ‘చిత్తుపటాన్ని గీయండి.
జవాబు.

ప్రశ్న 173.
p(x) = 2x + 4 యొక్క రేఖాచిత్రం (గ్రాఫ్)ను గీయండి.
సాధన.
p(x) = y = 2x + 4

ప్రశ్న 174.
రేఖీయ బహుపది యొక్క చిత్తుపటాన్ని గీయండి.
జవాబు.

ప్రశ్న 175.
ప్రవచనం P: ax² + bx + c వర్గ బహుపది శూన్యాల మొత్తం \(\frac{c}{a}\)కి సమానము.
ప్రవచనం Q: ఘన బహుపది
ax³ + bx² + cx + d యొక్క శూన్యాల లబ్దము –\(\frac{b}{a}\) కి సమానము.
(A) P సత్యం, Q అసత్యం
(B) P అసత్యం, Q సత్యం
(C) P, Q లు రెండూ అసత్యం
(D) P, Q లు రెండూ సత్యం
జవాబు.
(C) P, Q లు రెండూ అసత్యం

గమనిక: p(x) = ax² + bx + c వర్గ బహుపదికి క్రింది సందర్భాలలో 176-179 వరకు గల ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న 176.
a < 0 మరియు రెండు వాస్తవ శూన్యాలు గల సందర్భంలో p(x) రేఖాచిత్రము చిత్తుపటం గీయండి.
జవాబు.

ప్రశ్న 177.
a < 0 మరియు సమాన వాస్తవ శూన్యాలు కలిగిన సందర్భం యొక్క రేఖాచిత్రము చిత్తుపటం గీయండి.
జవాబు.

ప్రశ్న 178.
a < 0 మరియు వాస్తవ శూన్యాలు లేనటువంటి సందర్భం యొక్క రేఖాచిత్రము (గ్రాఫ్) చిత్తుపటం గీయండి. జవాబు.

ప్రశ్న 179.
a > 0 మరియు వాస్తవ శూన్యాలు లేనటువంటి ‘ సందర్భంనకు రేఖాచిత్రము (గ్రాఫ్) చిత్తుపటం గీయండి.
జవాబు.

ప్రశ్న 180.
sin 90°, tan² 60° విలువలను శూన్యాలుగా గల వర్గబహుపదిని కనుగొనుము.
సాధన.
sin 90° = 1, tan² 60° = (√3)² = 3
∴ 1, 3 శూన్యాలుగా గల వర్తబహుపది
p(x) = x² – (1 + 3)x + 1(3)
= x² – 4x + 3

→ గమనిక: ABCD ఒక చతురస్రం మరియు దాని భుజము (x + 3) యూ॥ అయిన క్రింది 181-183 , ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న 181.
చతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలతను సూచించు బహుపదిని కనుగొనుము.
సాధన.
చుట్టుకొలత p(x) = 4s
= 4(x + 3) = 4x + 12

ప్రశ్న 182.
చతురస్రం ABCD వైశాల్యాన్ని సూచించే బహుపదిని కనుగొనుము.
సాధన.
వైశాల్యము A(x) = s²
= (x + 3)² = x² + 6x + 9

ప్రశ్న 183.
కర్ణం AC పొడవును సూచించు రేఖీయ బహుపదిని రాయండి.
సాధన.
కర్ణము D(x) = √2s = √2 (x + 3)
= √2 x + 3√2

ప్రశ్న 184.
“ఒకే శూన్య విలువలను కలిగిన అనేక వర్గబహుపదులు/ బహుపదులు వ్యవస్థితం” అవుతాయని రంజని, కాదు ఏకైకంగా వ్యవస్థితం అవుతుందని హరి అంటున్నారు. ఎవరి వాదనతో నీవు ఏకీభవిస్తావు ? నీ సమాధానాన్ని సమర్థించుము.
సాధన.
రంజని వాదనతో ఏకీభవిస్తాను.
కారణం: α, β శూన్యాలుగా గల వర్గబహుపది
= k(x² – (α + β) x + αβ); k ∈ R
k యొక్క వేర్వేరు విలువలకు వేర్వేరు బహుపదులు వ్యవస్థితం అవుతాయి.

ప్రశ్న 185.
క్రింది బహుపదుల రేఖాచిత్రాలను, బహుపదుల వివిధ సందర్భాలకు జతపరుచుము.

(A) i-e, ii – d, iii – a, iv – b
(B) i – c, ii – d, iii – a, iv – b
(C) i-e, ii – a, iii – b, iv – C
(D) i – c, ii-e, iii – d, iv – a
జవాబు.
(B) i – c, ii – d, iii – a, iv – b

ప్రశ్న 186.
α, β, γలు బహుపది px³ + qx² + rx + s యొక్క శూన్యాలైన, క్రింది వాటిలో సరైన మ్యాచింగ్ ఏది?

(a) A(i), B(ii), C(iii)
(b) A(ii), B(iii), C(i)
(c) A(iii), B(i), C(ii),
(d) A(ii), B(i), C(iii)
జవాబు.
(b) A(ii), B(iii), C(i)

ప్రశ్న 187.
3x – 2 బహుపది యొక్క శూన్యవిలువ ఏమిటి ?
సాధన.
f(x) = 3x – 2; f(x) = 0
3x – 2 = 0 ⇒ 3x = 2 ⇒ x = \(\frac{2}{3}\)

ప్రశ్న 188.
– \(\frac{\mathbf{k}}{\mathbf{a}}\) శూన్యముగా గల బహుపదిని చలరాశి ‘X’ లో వ్రాయుము.
సాధన.
x – \(\left(-\frac{k}{a}\right)\) = 0 ⇒ x + \(\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{a}}\) = 0
⇒ ax + k = 0
∴ పరిమాణము ‘1’ మరియు ‘x’ చలరాశిగా గల
ax + k = 0 బహుపది శూన్య విలువ –\(\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{a}}\)

Practice the AP 10th Class Maths Bits with Answers 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 10th Class Maths Bits 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు

ప్రశ్న1.
ఒక స్థూపము యొక్క పొడవు, నీడల నిష్పత్తి 1 : √3 అయిన సూర్యుని ఊర్ధ్వకోణము విలువ ఎంత ?
జవాబు :

tan θ = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
θ = 30.
సూర్యుని కిరణాల ఊర్థ్వకోణం = 30°

ప్రశ్న2.
20 మీ. పొడవు గల నిచ్చెన 10 మీ. ఎత్తు వద్ద గోడను తాకుచు క్షితిజ సమాంతరంతో నిచ్చెన చేసే కోణమును కనుగొనుము.
జవాబు :

sin θ = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\)
θ = 30°

ప్రశ్న3.
x మీ. పొడవు గల నిచ్చెన భూమితో ‘O’ కోణం చేయుచున్నట్లు గోడకు వేయబడింది. ఆ నిచ్చెన పాదం, గోడల మధ్య దూరాన్ని నేరుగా కనుక్కోవడానికి ఈ క్రిందివానిలో ఏ నిష్పత్తిని ఎంచుకుంటారు ?
A) sin θ
B) cos θ
C) tan θ
D) cot θ
జవాబు :
B) cos θ

ప్రశ్న4.
ఒక భవనం యొక్క అడుగుభాగం నుండి ‘d’ మీ. దూరంలో ఉన్న స్థానం నుండి భవనం యొక్క పై భాగంను ‘α’ ఊర్థ్వకోణంను చూస్తే భవనం ఎత్తును కనుగొనే సందర్భంలో ఈ క్రింది త్రికోణమితి నిష్పత్తులలో దీనిని ఉపయోగిస్తారు.
A) tan α
B) sin α
C) cos α
D) sec α
జవాబు :
A) tan α

ప్రశ్న5.
సూర్యుని ఊర్ధ్వకోణం 0° నుండి 90° పెరుగుతూ ఉంటే, స్థంభము యొక్క నీడ పొడవు _________
A) మార్పులేదు
B) పెరుగుతుంది
C) తగ్గుతుంది
D) చెప్పలేము
జవాబు :
C) తగ్గుతుంది

ప్రశ్న6.
12 మీ. ఎత్తు గల టవర్ పైభాగము నుండి నేలపై గల ఒక స్థలము 30°ల నిమ్నకోణాన్ని చేస్తుంది. నిమ్నకోణాన్ని చేసిన స్థానం నుండి టవర్ పై భాగానికి గల దూరం ఎంత ?
జవాబు :

sin 30° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{12}{\mathrm{AC}}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{12}{\mathrm{AC}}\) ⇒ AC = 24 మీ.
నిమ్నకోణాన్ని చేసిన స్థానం C నుండి టవరుపై భాగం A కు గల దూరం = 24 మీ. .

ప్రశ్న7.
సూర్యకిరణాలు భూమితో చేయు ఊర్ధ్వ కోణము 45° అయినపుడు 12 మీ. ఎత్తు గల చెట్టు ఏర్పరచు నీడ పొడవును కనుగొనుము.
జవాబు :

చెట్టు పొడవు = 12 మీ.
నీడ పొడవు AB.
tan 45° = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{12}{\mathrm{AB}}\)
1 =\(\frac{12}{\mathrm{AB}}\) ⇒ AB = 12 మీ.
∴ నీడ పొడవు = 12 మీ.

ప్రశ్న8.
క్రింద ఇవ్వబడిన పటం నుండి నిచ్చెన సారమును లెక్కించండి.

జవాబు :
cos 30° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{5}{\mathrm{AC}} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5}{\mathrm{AC}}\)
నిచ్చెన పొడవు AC = \(\frac{10}{\sqrt{3}}\)మీ.

ప్రశ్న9.
క్రింది పటములో BC ను కనుగొనుము.

జవాబు :
tan 30° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{20}{20}\) = 1
⇒ BC = 7√3 యూనిట్లు .

ప్రశ్న10.
20 మీ. ఎత్తు గల ఒక స్తంభం పై భాగాన్ని, బాస్ పాదం నుండి 20 మీ. దూరములో గల ఒక బాలుడు పరిశీలించినపుడు ఏర్పడు ఊర్ధ్వకోణం కోణము ఎంత?
జవాబు :

tan θ = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{20}{20}\) = 1
θ = 45°

ప్రశ్న11.
ఒక స్తంభం నీడ పొడవు, స్తంభం పొడవుతో సమానంగా వుంటే, స్థంభం సూర్యునితో చేయు ఊర్ధ్వకోణం 45° అని చూపుము.
జవాబు :

AB స్తంభం ఎత్తు = BC నీడ పొడవు
tan θ = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{h}}\) = 1
tan θ = 1
∴ θ = 45°

ప్రశ్న12.
20 మీ. పొడవు గల నిచ్చెన భూమితో 2 కోణం చేస్తూ 10మీ. పొడవు గల స్థంభంనకు వేయబడినది. అయిన a విలువ ఎంత ?
జవాబు :

sin α = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\)
∴ α = 30°

ప్రశ్న13.
ఒక చెట్టు యొక్క నీడ పొడవు 8 మీ. మరియు అది 45°ల కోణము చేయుచున్న దాని పొడవు
జవాబు :

tan 45° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AB}}{8}\)
1 = \(\frac{\mathrm{AB}}{8}\)
∴ చెట్టు ఎత్తు AB = 8 మీ.

ప్రశ్న14.
6 మీ. పొడవు గల స్తంభం యొక్క. నీడ 2√3 మీ. అయిన, ‘సూర్యకిరణాలు భూమితో చేయు కోణము ఎంత ?
జవాబు :


tan θ = √3
∴ θ = 60°
∴ సూర్యకిరణాలు భూమితో చేయు కోణము = 60°

ప్రశ్న15.
ఒక టవరు అడుగు భాగం నుండి 100 మీ. దూరంలో కలు బిందువు టవరుపై నుండి 60° నిమ్నకోణాన్ని “స్తున్నది. అయితే ఆ టవరు ఎత్తు ఎంత ?
జవాబు :
∆ABCలో

tan 60° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AB}}{100}\)
√3 = \(\frac{\mathrm{AB}}{100}\)
60° = AB = 100√3
∴ టవరు ఎత్తు AB = 100√3 మీ.

ప్రశ్న16.
ఒక టవరు ఎత్తు. 10 మీటర్లు, అది సూర్యునితో 45° కోణము చేయుచున్న దాని నీడ పొడవు ఎంత ?
జవాబు :
నీడ పొడవు = 10 మీ.
(∵ కోణము 45° అయిన టవరు ఎత్తు = వీడ పొడవు)

ప్రశ్న17.
ఒక టవరు నీడ, దాని పొడవుకు √3 రెట్లు అయిన ఆ టవరు సూర్యునితో ఏర్పరచు కోణము ఎంత ?
జవాబు :
tan θ = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{3} \mathrm{x}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ θ = 30°
టవరు సూర్యునితో చేయు కోణము = 30°

ప్రశ్న18.
పటంలో పరిశీలన స్థానము, వస్తువులు గుర్తించబడినవి అయిన నిమ్న కోణము విలువను తెల్పండి.

జవాబు :
సాధన. నిమ్న కోణం = ∠DCA

ప్రశ్న19.
పటంలో θ విలువ ఎంత?

జవాబు :
tan θ = \(\frac{100}{100 \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) ⇒ θ = 30°

ప్రశ్న20.
X మరియు Yఎత్తులు గల రెండు టవర్లు వాటి మధ్య బిందువు నుండి 30° మరియు 60°ల ఊర్ద్వకోడాలను ఏర్పరచిన X :Y విలువ ఎంత ?
జవాబు :

AM = MB
∆CBM లో
tan 30° = \(\frac{C B}{B M}=\frac{X}{B M} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{X}{B M}\)
⇒ X = \(\frac{\mathrm{BM}}{\sqrt{3}}\) …………(1)

∆DAM లో
tan 60° = \(\frac{\mathrm{DA}}{\mathrm{AM}}=\frac{\mathrm{Y}}{\mathrm{AM}}\) ⇒ √3 = \(\frac{\mathbf{Y}}{\mathbf{A M}}\)
⇒ Y = √3 AM ………. (2)

ప్రశ్న21.
నిమ్నకోణాన్ని నిర్వచించండి.
జవాబు :
నిమ్నకోణము : క్షితిజ సమాంతర రేఖకు, దృష్టి రేఖ క్రింద ఉన్నప్పుడు వాని మధ్య ఏర్పడే కోణాన్ని నిమ్న కోణము అంటారు.

ప్రశ్న22.
సూర్యునితో 60° కోణమును ఏర్పరచు, 6 మీ. పొడవు గల స్థూపము యొక్క నీడ పొడవు ఎంత ?
జవాబు :

tan60° = \(\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{AB}}=\frac{6}{\mathrm{AB}}\)
= √3 = \(\frac{6}{\mathrm{AB}}\)
నీడ పొడవు AB = \(\frac{6}{\sqrt{3}}\) మీ.

ప్రశ్న23.
12 మీ. ఎత్తు గల ఒక స్థూపము 4√3 మీ. పొడవు గల నీడను ఏర్పరచిన సూర్యునితో అది ఏర్పరచు కోణము విలువ ఎంత ?
జవాబు :

θ = 60°
– సూర్యకిరణాలు భూమితో 60° చేయును.

ప్రశ్న24.
ఇచ్చిన పటంలో A అను పరిశీలన .బిందువు నుండి – ‘C’ ను గమనించగా A వద్ద ఏర్పరచు నిమ్న కోణము విలువ ఎంత?

జవాబు :
θ = ∠C, tan C = \(\frac{4}{4 \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ C = θ = 30°
∴ నిమ్న కోణం θ = 30°

ప్రశ్న25.
ఒక వ్యక్తి యొక్క నీడ, అతని పొడవులు. సమానము అయిన సూర్యుని కిరణాలు భూమితో చేయు కోణము ఎంత ?
జవాబు :

tan θ = \(\frac{\mathbf{X}}{\mathbf{X}}\) = 1
θ = 45°
∴ సూర్యకిరణాలు భూమితో చేయు కోణము = 45°

ప్రశ్న26.
ఒక టవరు యొక్క నీడ పొడవు, దాని ఎత్తుకు \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) రెట్లు ఉన్న సూర్యకిరణాలు ఆ సమయంలో భూమితో చేయు కోణము ఎంత ?
జవాబు :

∴ సూర్యకిరణాలు భూమితో చేయు కోణము మన = θ = 60°.

ప్రశ్న27.
కింద ఇవ్వబడిన పటంలో, AB = 10 మీ. మరియు AC = 20 మీ. అయిన 6 విలువ ఎంత ?

జవాబు :
sin θ = \(\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\)
θ = 30°

ప్రశ్న28.
6 మీటర్ల పొడవు గల స్తంభము 2√3 మీటర్ల పొడవు గల నీడను ఏర్పరచిన, సూర్యుని ఊర్ధ్వ కోణము విలువ ఎంత ?
జవాబు :

∴ θ = 60.
∴ సూర్యుని ఊర్ధ్వకోణం = 60

ప్రశ్న29.
క్రింది పటంలో, AB = CD = 10√3 మీ. అయిన BC విలువ ఎంత ?

జవాబు :
∆ABM లో .
tan 30° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BM}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{10 \sqrt{3}}{\mathrm{BM}}\)
BM = 10√3 × √3 = 30 మీ.

∆DCM లో
tan 60° = \(\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{MC}}=\frac{10 \sqrt{3}}{\mathrm{MC}}\)
√3 = \(\frac{10 \sqrt{3}}{\mathrm{MC}}\) ⇒ MC = 10 మీ.
BC = BM + MC = 30 + 10 = 40 మీ.

ప్రశ్న30.
క్రింది పటంలో, AB = 10√3 మీ. అయిన CD = _________ మీ.

A) 10(√3 + 1)
B) 10√3
C) \(\frac{10}{\sqrt{3}}\)
D) 10(√3 – 1)
జవాబు :
D) 10(√3 – 1)

∆ABDలో BD = BA = 10√3 (∵ AD = 459)
∆ABCE tan 60° = \(\frac{10 \sqrt{3}}{\mathrm{BC}}\) = √3 = \(\frac{10 \sqrt{3}}{\mathrm{BC}}\)
BC = 10
CD = BD – BC = 10√5 – 10
= 100(√3 – 1)మీ.

ప్రశ్న31.
నిమ్నకోణాన్ని సూచించే పటాన్ని గీయండి.
జవాబు :

∠AOB నిమ్నకోణము.

ప్రశ్న32.
ఊర్థ్వకోణాన్ని నిర్వచించండి.
జవాబు :
ఊర్ద్వకోణము : క్షితిజ సమాంతర రేఖకు దృష్టిరేఖ పైన ఉన్నప్పుడు వాని మధ్య ఏర్పడే కోణాన్ని ఊర్థ్వకోణం అంటారు.

ప్రశ్న33.
ఊర్థ్వకోణాన్ని సూచించే పటాన్ని గీయండి.
జవాబు :

∠BOA ఊర్థ్వకోణము.

→ 100 మీ. పొడవు గల దారంతో ఎగురుతున్న ఒక గాలిపటం భూమితో 60° కోణము చేయుచున్నది.
పై సమాచారాన్ని చదివి 34, 35 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న34.
పై సమాచారాన్ని చూపు చిత్తుపటాన్ని గీయండి.
జవాబు :

BC = గాలి పటం ఎత్తు
AC = దారం పొడవు = 100 మీ.

ప్రశ్న35.
భూమి నుండి గాలిపటం ఎంత ఎత్తులో కలదు ?
జవాబు :
sin 60° = \(\frac{\mathrm{BC}}{100} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\mathrm{BC}}{100}\)
BC = 100 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 50√3.
గాలిపటం భూమి నుండి 50√3 మీ. ఎత్తులో కలదు.

ప్రశ్న36.
ఒక టవరు ఎత్తుకు మరియు దాని నీడ పొడవుల నిష్పత్తి √3:1 అయిన సూర్యకిరణాలు భూమితో చేయు కోణము విలువ ఎంత ?
జవాబు :

tan θ = \(\frac{\sqrt{3}}{1}\)= √3
θ = 60°
సూర్యకిరణాలు భూమితో చేయు కోణం θ = 60°.

ప్రశ్న37.
ఒక గుడి అడుగు భాగం నుండి 100 మీ. దూరం నుండి గుడి శిఖరంను 30° ఊర్ధ్వకోణంతో చూచిన గుడి ఎత్తు ఎంత ?
జవాబు :

tan 30° = \(\frac{\mathrm{AB}}{100}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{AB}}{100}\)
గుడి ఎత్తు AB = \(\frac{100}{\sqrt{3}}\) మీ.

ప్రశ్న38.
100√3 మీ. పొడవు గల సెల్ టవరు పైభాగాన్ని 100 మీ. దూరంలో గల ఒక పరిశీలనా స్థానం నుంచి చూచినచో ఊర్ధ్వ కోణమును కనుగొనుము.
జవాబు :

tan θ = 100√3
θ = 60°

ప్రశ్న39.
ఒక పర్వత శిఖరంపై నుండి శిఖరానికి ఒకే వైపుగల , రెండు వరుస కిలోమీటర్ల రాళ్ళను 45°, 30° లతో ‘ చూచిన పర్వత శిఖరం ఎత్తు ఎంత ?
జవాబు :

∆ABC లో
tan 45° = \(\frac{h}{x}\) ⇒ 1 = \(\frac{h}{x}\) ⇒ h = x …. (1)
∆ABD లో
tan 30° = \(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{x}+1} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{x}+1}\)
⇒ h√3 = x + 1
⇒ h√3 = h + 1 [∵ h = x]
⇒ h(√3 – 1) =1
⇒ h = \(\frac{1}{\sqrt{3}-1}\) కి.మీ.
∴ శిఖరం ఎత్తు = \(\frac{1}{\sqrt{3}-1}\) కి.మీ.

ప్రశ్న40.
భూమి నుండి 7 కి.మీ. ఎత్తులో ఎగురుతున్న విమానం నుండి, విమానానికి ఒకేవైపు భూమిపై గల రెండు వరుస కిలోమీటరు రాళ్ళు 609, 45° ల నిమ్నకోణం చేస్తున్నాయి. పై సమాచారాన్ని పటంలో చూపండి.
జవాబు :

AB – భూమి నుండి విమానం ఎత్తు
CD – రెండు వరుస కి.మీ., రాళ్ళ మధ్య దూరం = 1 కి.మీ.

ప్రశ్న41.
w మీ. వెడల్పు గల రోడ్డు ఒక వైపునుండి మరొక వైపు 4 మీ. ఎత్తు గల భవనం పై భాగాన్ని 45° ఊర్వకోణంతో చూచిన w, hల మధ్య సంబంధమును తెల్పండి.
జవాబు :

w = h
[∵ tan 45 = \(\frac{h}{w}\) ⇒ 1= \(\frac{h}{w}\) ⇒ h = w]

ప్రశ్న42.
h మీ. ఎత్తు గల పర్వత శిఖరం నుండి పర్వత అంచుల గుండా ప్రవహించే నదికి అవతలవైపు గల ఒక స్థానాన్ని 60° నిమ్మకోణంతో చూశారు. నది వెడల్పు x మీ. అయిన శ్రీ మరియు x ల మధ్య సంబంధమును రాయండి.
జవాబు :

∆ABC లో
tan 60° = \(\frac{h}{w}\)
= √3 = \(\frac{h}{w}\)
∴ h = √3x

ప్రశ్న43.
h మీ. ఎత్తు గల పర్వత శిఖరం నుండి పర్వత అంచుల గుండా ప్రవహించే నదికి అవతలవైపు గల ఒక స్థానాన్ని 60° నిమ్నకోణంతో చూశారు. నది వెడల్పు x మీ. అయిన స్త్రీ మరియు x ల మధ్య సంబంధమును సరియగు పటం ద్వారా చూపండి.
జవాబు :

AB = పర్వత శిఖరము ఎత్తు = h మీ.
BC = నది వెడల్పు = x మీ.

ప్రశ్న44.

పై పటంలోని నిమ్నకోణాన్ని గుర్తునుపయోగించి రాయండి.
జవాబు :
నిమ్నకోణం = ∠AOB

ప్రశ్న45.
క్రింది పటంలో AD = h మీ., BD = BC = y మీ., AC = x మీ., ∠ACB = 45° అయిన x, y మరియు h ను x, y లలో తెల్పండి.

జవాబు :
tan 45° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\) ⇒ 1 = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{x}}\) ⇒ AB = x
AD = AB + BD
h = x + y

ప్రశ్న46.
క్రింది పటంలో AD = h మీ., BD = BC = y మీ. AC = x మీ. మరియు ∠ACB = 30° అయిన h ను x లలో రాయండి.

జవాబు :

ప్రశ్న47.
46వ ప్రశ్నలో ACB = 60° అయిన h ను x లో రాయండి.
జవాబు :
tan 60° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\) = √3= \(\)
AB = √3x ………….. (1)

అలాగే cos 60° = \(\)
y = 2x …… (2)
h = AB + BD
= √3x + y = √3x + 2x
∴ h= (√3 + 2)x.

ప్రశ్న48.
1 మీ. పొడవు గల నిచ్చెన, 7 మీ. ఎత్తు వద్ద గోడతో 8 కోణం చేయుచున్నది. పై సందర్భాన్ని సూచించు పటాన్ని గీయండి.
జవాబు :

AC నిచ్చెన పొడవు = 1 మీ.,
AB గోడ ఎత్తు = h మీ.

→ క్రింది పటంలోని శంఖువు యొక్క శీర్షకోణము 609, వ్యాసార్ధం r = 7 సెం.మీ. అయితే క్రింది 49, 50 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న49.
శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు ఎంత ?
జవాబు :

శంఖువు శీర్షకోణం ∠AOB = 60°
∆OMB లో ∠MOB = 30°
MB = r = 7 సెం.మీ.
sin 30° = \(\frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{OB}} \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{7}{l}\)
⇒ l = ఏటవాలు ఎత్తు = 14 సెం.మీ.

ప్రశ్న50.
శంఖువు ఎత్తు ఎంత ?
జవాబు :
∆OMB లో
tan 30° = \(\frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{OM}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{7}{\mathrm{OM}}\)
⇒ OM = h = 7√3 సెం.మీ.

→ క్రింది పటంలోని నిమ్నకోణాన్ని పరిశీలించి, క్రింది 51-53 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న51.
దృష్టిరేఖను తెల్పండి.
జవాబు :
దృష్టిరేఖ \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\).

ప్రశ్న52.
క్షిషితిజ సమాంతరరేఖ ఏది ?
జవాబు :
క్షితిజ సమాంతరరేఖ \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\).

ప్రశ్న53.
పరిశీలనా స్థానం ఏది ?
జవాబు :
పరిశీలనా స్థానం : ‘O’.

ప్రశ్న54.
x మీ. పొడవు గల నిచ్చెనను భూమితో ‘B’ కోణం చేయునట్లు గోడకు వేయబడినది. ఆ నిచ్చెన పాదం మరియు గోడ పాదముల మధ్య దూరాన్ని నేరుగా కనుగొనుటకు నీవు, క్రింది వానిలో ఏ నిష్పత్తిని ఎన్నుకొంటావు ?
A) tan θ
B) sin θ
C) cos θ
D) cot θ
జవాబు :
C) cos θ

ప్రశ్న55.
x మీ. పొడవు గల నిచ్చెనను భూమితో ‘θ’ కోణం చేయునట్లు గోడకు వేయబడినది. నిచ్చెన గోడను తాకిన ఎత్తును నేరుగా కనుగొనుటకు సరైన నిష్పత్తి ఏది ?
జవాబు :
sin θ (లేదా) cosec θ

ప్రశ్న56.
ఒక నిచ్చెన భూమి నుండి X మీ. ఎత్తులో గల కిటికీని భూమితో, ‘θ’ కోణం చేయుచూ తాకుచున్నది. నిచ్చెన పొడవును నేరుగా కనుగొనుటకు నీవు ఈ క్రింది వానిలో ఏది సరైనదిగా భావిస్తున్నావు ?

A) sin θ
B) cosec θ
C) sec θ
D) A లేదా C
జవాబు :
D) A లేదా C

ప్రశ్న57.
ఒక నిచ్చెన భూమి నుండి X మీ. ఎత్తులో గల కిటికీని భూమితో ‘θ’ చేయుచూ తాకుచున్నది. నిచ్చెన పాదము మరియు గోడ పాదముల మధ్య దూరమును నేరుగా కనుగొనుటకు సరైన త్రికోణమితీయ నిష్పత్తి.

A) tan θ మాత్రమే
B) cot θ మాత్రమే
C) sin θ మాత్రమే
D) tan θ, cot θ లలో ఏదైనా
జవాబు :
D) tan θ, cot θ లలో ఏదైనా

ప్రశ్న58.
క్రింది పటంలో AB విమానం ఎత్తు X మీ., A పరిశీలకుని స్థానం, C సముద్రంలోని పడవ స్థానం అయిన, పరిశీలకుని నుండి పడవకు మధ్య గల దూరాన్ని (AC) ని నేరుగా కనుగొనుటకు సరైన త్రికోణమితీయ నిష్పత్తి.

A) sin (90 – θ)
B) cos θ
C) A లేదా B
D ) cos (90 – θ)
జవాబు :
C) A లేదా B

ప్రశ్న59.
క్రింది పటంలో AB విమానం ఎత్తు X మీ., A పరిశీలకుని స్థానం; C సముద్రంలోని పడవ స్థానం అయిన, పరిశీలకుని నుండి పడవకు సముద్రంపై గల దూరము (BC) ని కనుగొనుటకు నీవు క్రింది వానిలో దేనిని ఎన్నుకొంటావు ?

A) cos (90 – θ)
B) sin (90 – θ)
C) tan (90 – θ)
D) పైవన్నీ
జవాబు :
A) cos (90 – θ)

ప్రశ్న60.
x మీ. పొడవుగల నిచ్చెన భూమితో “0” కోణాన్ని చేస్తూ ఒక గోడను తాకుచున్నది. ఈ సమాచారాన్ని సూచించుటకు సరైన పటము.

జవాబు :

ప్రశ్న61.
క్రింది వానిలో నిమ్నకోణాన్ని సూచించు పటము

C) A మరియు B
D) ఏదీకాదు
జవాబు :

ప్రశ్న62.
100 మీ. ఎత్తుగల టవర్ పై భాగాన్ని కిరణ్ 30° ఊర్వకోణంతో చూశాడు. ఆ తరువాత అదే సరళరేఖ వెంబడి టవర్ వైపునకు 40 మీ. నడచి టవర్ పై భాగాన్ని 60° ఊర్ధ్వకోణంతో చూచినచో పై సమాచారాన్ని సూచించు పటము

జవాబు :

ప్రశ్న63.
క్రింది వానిలో ఊర్ధ్వకోణాన్ని సూచించు పటము ,

C) A మరియు B
D) ఏదీకాదు
జవాబు :

ప్రశ్న64.
క్రింది సంవర్గమాన విలువలకు సమానమవు త్రికోణమితీయ విలువలను జతపరచండి.

i) log2√2	a) cos 90°
ii) log22	b) sin 90°
iii) log21	c) cosec 30°
iv) log24	d) sin 30°

A) i-d, ii – b, iii – a, iv-c
B) i – c, ii – b, iii – a, iv-d
C) i-d, ii – a, iii – b, iv-c
D) i-b, ii -d, iii – a, iv-c
జవాబు :
A) i-d, ii – b, iii – a, iv-c

ప్రశ్న65.
క్రింది పటంలో నిచ్చెన పొడవును నేరుగా కనుగొనుటకు

i) సరళ tan θ ను,
ii) పూర్ణిమ sin θ ను
iii)సురేష్ cos θ ను,
iv) ఖాదర్ cot θ ను ఎంచుకొన్నారు.
ఎవరి ఎంపిక సరైనదని నీవు భావిస్తున్నావు ?
జవాబు :
iii) సురేష్ ఎంపిక సరైనది.

ప్రశ్న66.
క్రింది పటంలో గోడ ఎత్తు నేరుగా కనుగొనుటకు

i) కిరణ్ sin θ ను,
ii) సాహీరా, tan θ ను,
iii)యశోద cot θ ను
iv) పద్మా cosec θ ను ఎంచుకొన్నారు.
పై ఎంపికలో ఏ ఇద్దరి ఎంపిక సరైనదని నీవు భావిస్తున్నావు ?
జవాబు :
సాహీరా, యశోదల ఎంపిక సరైనది.

ప్రశ్న67.
100 మీటర్ల పొడవైన ఒక టవర్ యొక్క నీడ పొడవు 100√3 మీటర్లు అయిన ఆ సమయంలో సూర్యునితో చేసే ఊర్ధ్వకోణమెంత ?

జవాబు :
∆ABC లో
tan θ = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\) = tan θ = \(\frac{100}{100 \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
θ = 30°

ప్రశ్న68.
క్రింది పటంలో ∠B = 90° అయిన నిమ్నకోణాన్ని తెలపండి.

జవాబు :
∠DAC

Practice the AP 10th Class Maths Bits with Answers 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 10th Class Maths Bits 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

ప్రశ్న1.
క్రింది వానిలో ఏది రేఖీయ సమీకరణం కాదు?
A) 5 + 4x = y + 3
B) x + 2y = y – x
C) 3 – x = y² + 4
D) x + y = 0
జవాబు :
C) 3 – x = y² + 4

ప్రశ్న2.
4x + 6y = 15 మరియు 2x + 3y = 5 సమీకరణాల జత యొక్క సాధనలు ___________
A) ఏకైకము
B) అపరిమితము
C) సాధనలు లేవు
D) రెండు
జవాబు :
D) రెండు

ప్రశ్న3.
k యొక్క ఏ విలువకు 3x + 4y + 2 = 0 మరియు 9x + 12y + (k+ 1) = 0 రేఖీయ సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటాయి ?
జవాబు :
అనంత సాధనలు ఉంటే \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
⇒ \(\frac{3}{9}=\frac{4}{12}=\frac{2}{k+1}\)

⇒ k + 1 = 6 ⇒ k= 5

ప్రశ్న4.
రెండు పూరక కోణాలలో ఒకటి రెండవ దానికి రెట్టింపు అయిన వానిలో చిన్న కోణము విలువ ఎంత ?
జవాబు :
పూరక కోణాలు x, 90 – x అనుకొనుము.
ఒకటి రెండవ దానికి రెట్టింపు.
90 – x = 2x
90 = 3x
x = \(\frac{90}{3}\) = 30°
ఆ కోణాలు 30°, 90 – 30 = 60°
∴ చిన్న కోణము = 30°

ప్రశ్న5.
x + y = 6, x – y = 4 ల ఖండన బిందువును కనుగొనుము.
జవాబు :

5 + y = 6 ⇒ y = 1
∴ ఖండన బిందువు (5, 1).

ప్రశ్న6.
రెండు చరరాశులలో ఒక జత రేఖీయ సమీకరణాలు 2x – y = 4 మరియు 4x – 2y = 6 అయిన ఇవి
A) సంగతాలు
B) పరస్పరాధారితాలు
C) అసంగతాలు
D) చెప్పలేము
జవాబు :
C) అసంగతాలు

ప్రశ్న7.
3x – (x – 4) = 3x + 1 అను సమీకరణాన్ని తృప్తి పరచు ‘x’ విలువ ఎంత?
జవాబు :
3x – x + 4 = 3x + 1 ⇒ 4 – 1 = x
∴ x = 3

ప్రశ్న8.
2x + 3y – 5 = 0 కు అసంగతమయ్యే సమీకరణమును ఒక దానిని రాయండి.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) అయితే అసంగతాలు.
∴ 2x + 3y – 5 = 0 నకు అసంగతమయ్యే ఒక సమీకరణం = 4x + 6y – 20 = 0
(Note : x, y పదాలను ఒకే సంఖ్యతో గుణించి, స్థిరపదాన్ని వేరొక సంఖ్యతో గుణించాలి.)

ప్రశ్న9.
(2x – 1) – (1 – x) = 2x + 3 ని సంతృప్తి పరిచే x యొక్క విలువ ఎంత ?
జవాబు :
2x – 1 – 1 + x = 2x + 3
⇒ x = 3 + 2 = 5

ప్రశ్న10.
x = 2016, y = 2017 సరళరేఖల ఖండన బిందువును రాయండి.
జవాబు :
ఖండన బిందువు (2016, 2017).

ప్రశ్న11.
2x + 3y + k = 0, 6x + 9y + 3 = 0 సమీకరణముల జతకు అనంత సాధనలుంటే k విలువ ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) (∵ సాధనలు అనంతము)
⇒ \(\frac{2}{6}=\frac{3}{9}=\frac{k}{3} \Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{k}{3}\)
∴ k = 1

ప్రశ్న12.
a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు
a₂x + b₂y + c₂ = 0 అనే రేఖీయ సమీకరణాల జత సంగత సమీకరణాలు అయిన ____________
A) \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
B) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
C) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
D) A మరియు C
జవాబు :
D) A మరియు C

ప్రశ్న13.
2x – 3y = 8 రేఖ, X – అక్షాన్ని ఖండించు బిందువును, రాయండి.
జవాబు :
X – అక్షంను ఖండించే బిందువు వద్ద Y = 0
∴ 2x – 3(0) = 8 ⇒ x = 4
∴ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు = (4, 0)

ప్రశ్న14.
6x + 2y – 9 = 0 మరియు kx + y – 7 = 0 లకు సాధన లేకపోతే kవిలువ ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{\dot{c}_{1}}{c_{2}}\) (∵ సాధన లేదు కావున)
⇒ \(\frac{6}{\mathrm{k}}=\frac{2}{1} \neq \frac{9}{7} \Rightarrow \frac{6}{\mathrm{k}}\) = 2 ⇒ k = 3

ప్రశ్న15.
క్రింది వానిలో ఏక చరరాశి రేఖీయ సమీకరణంకు ఒక ఉదాహరణనివ్వండి.
జవాబు :
2x + 4 = 0

ప్రశ్న16.
క్రింది వానిలో ఏకచరరాశి రేఖీయ సమీకరణము ఏది?
A) 2x + 1 = y – 3
B) 2t – 1 = 12t + 5
C) 2x – 1 = x²
D) x² – x + 1 = 0
జవాబు :
B) 2t – 1 = 12t + 5

ప్రశ్న11.
5 (x – 3) = 10 సమీకరణం యొక్క సాధనను కనుగొనుము.
జవాబు :
5x – 15 = 10 ⇒ 5x = 25
∴ x = 5

ప్రశ్న18.
క్రింది వానిలో ఏది 2(x + 3) = 18 అనే సమీకరణానికి సాధన ?
జవాబు :
2x + 6 = 18 ⇒ 2x = 12
∴ x = 6

ప్రశ్న19.
2x – (4 – x) = 5 – x అనే సమీకరణాన్ని తృప్తి పరిచే x విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
2x – 4 + x = 5 – x
⇒ 4x = 9
∴ x = + \(\frac{9}{4}\)

ప్రశ్న20.
(x – 1) – (2x – 3) = x + 1 అనే సమీకరణానికి సాధనను కనుగొనుము.
జవాబు :
x – 1 – 2x + 3 = x + 1
⇒ 2 -1 = 2x
∴ x = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న21.
3x + 2y = 15 రేఖీయ సమీకరణానికి క్రింది వానిలో ఏది సాధన కాదు ?
A) x = 3, y = -3
B) x = 3, y = 3
C) x = 5, y = 0
D) x = 7, y = -3
జవాబు :
A) x = 3, y = -3

ప్రశ్న22.
x – 4y = 5 సమీకరణానికి క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
i) అనంతసాధనలు ఉంటాయి.
ii) x = 1, y = 1 ఒక సాధన.
A) i మాత్రమే
B) ii మాత్రమే
C) i మరియు ii
D) i మరియు ii లు సత్యం కావు.
జవాబు :
A) i మాత్రమే

ప్రశ్న23.
రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణము యొక్క సాధారణ రూపం తెల్పండి.
జవాబు :
a₁x + b₁y + c₁ = 0,
a₂x + b₂y + c₂ = 0

ప్రశ్న24.
a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 రేఖీయ సమీకరణాల జత. రెండు ఖండన రేఖలను సూచిస్తే క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}\)
B) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
C) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
D) పైవి అన్నీ
జవాబు :
A) \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}\)

ప్రశ్న25.
a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 రేఖీయ సమీకరణాల జత సమాంతర రేఖలను ఏర్పరుచుటకు అవసరమగు నియమాన్ని రాయండి.
జవాబు :
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)

ప్రశ్న26.
a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 రేఖీయ సమీకరణాలు ఏకీభవించే సరళ రేఖలను సూచిస్తే క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
B) \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)
C) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
D) \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
జవాబు :
C) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

ప్రశ్న27.
6x – 2y + 9 = 0 మరియు 3x – y + 12 = 0 లు సూచించే సరళరేఖలు సమాంతర రేఖలని చూపుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{6}{3}\) = 2
\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-2}{-1}\) = 2
\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\)
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) కావున సమాంతర రేఖలు.

ప్రశ్న28.
2x + 4y – 11 = 0 మరియు 4x + 8y – 22 = 0లు సూచించే సరళరేఖలు ఏకీభవించే రేఖలని , నిరూపించండి.
జవాబు :
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}, \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}=\frac{11}{22}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\) ఏకీభవించే రేఖలు.

ప్రశ్న29.
x – 2y = 6 మరియు 3x + 4y = 20 రేఖీయ సమీకరణాలు ‘ఖండన రేఖలా ? సమాంతర రేఖలా ? లేక ఏకీభవించే రేఖలా ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{3}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-2}{4}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
∴ఖండన రేఖలు

ప్రశ్న30.
సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతలో ఒక సమీకరణం 2x + 5y = 0 అయిన క్రింది వానిలో ఏది రెండవ సమీకరణం?
A) 4x + 2y + 10 = 0
B) 20x + 10y + 30 = 0
C) 8x + 4y – 30 = 0
D) 3x – 2y – 4 = 0
జవాబు :
D) 3x – 2y – 4 = 0

ప్రశ్న31.
పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జతలో ఒక – సమీకరణం 3x + 4y – 2 = 0 అయిన రెండవ సమీకరణమునొక దానిని రాయండి.
జవాబు :
6x + 8y – 4 = 0 (:: సమీకరణం మొత్తాన్ని ఒకే సంఖ్యతో గుణించాలి.)

ప్రశ్న32.
అసంగత సమీకరణాల జతలో ఒక సమీకరణం x + y = 2 అయిన క్రింది వానిలో ఏది రెండవ సమీకరణం అవుతుంది ?
A) 2x + 2y = 14
B) 3x + 3y = 8
C) 4x + 4y = 6
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న33.
L₁ = x + 2y – 4 = 0 మరియు
L₂ = 2x + my- n = 0 అయి L₁ మరియు L₂ లకు అనంతసాధనలు ఉంటే m + n విలువ ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{2}{m}=\frac{-4}{-n} \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{2}{m}\) ⇒ m = 4
\(\frac{1}{2}=\frac{4}{n}\) ⇒ n = 8
∴ m + n = 4 + 8 = 12

ప్రశ్న34.
L₁ = 2x + 2y – 8 = 0 మరియు L₂ = x + y – 4 = 0 లు ఏకీభవించే రేఖలు మరియు L₁ = kL₂ గా రాస్తే k విలువ ఎంత?
జవాబు :
L₁ = 2x + 2y – 8 = 0, L₂ = x + 2y – 4 = 0
= \(\frac{1}{2}\) (2x + 2y – 8) = 0
L₂ = \(\frac{1}{2}\)L₁ ⇒ L₁ = L₂
∴ k = 2

ప్రశ్న35.
3x + 2ky = 2 మరియు 2x + 5y + 1 = 0 సమాంతర రేఖలు అయితే kవిలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) ( సమాంతర రేఖలు)
\(\frac{3}{2}=\frac{2 k}{5} \neq \frac{-2}{1} \Rightarrow \frac{3}{2}=\frac{2 k}{5}\) ⇒ 4k = 15
k = \(\frac{15}{4}\)

ప్రశ్న36.
2x + y – 5 = 0 మరియు 3x – 2y – 4 = 0. రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క సాధనల సంఖ్య ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{3}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}\)
∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
∴ సాధన ఏకైకము.

ప్రశ్న37.
2x + py + 5 = 0 మరియు 3x + 3y – 6 = 0 సమీకరణాల జతకు ఏకైక సాధన ఉంటే p విలువను గడించండి.
జవాబు :
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \Rightarrow \frac{2}{3} \neq \frac{\mathrm{p}}{3}\) (సాధన ఏకైకము)
p ≠ 2.

ప్రశ్న38.
k యొక్క ఏ విలువకు 2x – ky + 3 = 0మరియు 4x + 6y – 5 = 0 సమాంతర రేఖలు అవుతాయి?
జవాబు :

ప్రశ్న39.
k యొక్క ఏ ధన విలువకు px + 3y- (p – 3) మరియు 12x + py – p = 0 రేఖీయ సమీకరణాలు ఏకీభవించే రేఖలు అవుతాయి ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)(ఏకీభవించే రేఖలు)
\(\frac{p}{12}=\frac{3}{p}=\frac{-(p-3)}{-p}\)
⇒ p² = 36 ⇒ p = √36 = ± 6

ప్రశ్న40.
2x + 3y = 5 మరియు 4x + ky = 10 సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటే. k విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\frac{2}{4}=\frac{3}{k}=\frac{5}{10} \Rightarrow \frac{3}{k}=\frac{1}{2}\) ⇒ k = 6

ప్రశ్న41.
ఏకైక సాధన (ఖండన రేఖలు) కలిగిన రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క రేఖాచిత్రం (గ్రాఫ్) యొక్క చిత్తు పటం గీయండి.
జవాబు :

ప్రశ్న42.
అసంగత | సమాంతర రేఖలు / సాధనలేనటువంటి రేఖీయ సమీకరణాల జత సూచించే రేఖాచిత్రం (గ్రాఫ్) చిత్తు పటం గీయండి.
జవాబు :

ప్రశ్న43.
క్రింది వానిలో ఏది సంగత సమీకరణాల జత యొక్క రేఖాచిత్రం (గ్రాఫ్) ?

జవాబు :
D) A మరియు’ B

ప్రశ్న44.
2x + 3y = 7 మరియు 8x + (a + b) y = 28, సమీకరణాల జతకు సాధనలు లేకుంటే a, bల మధ్య సంబంధంను రాయండి.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) (సాధనలు లేవు)
\(\frac{2}{8}=\frac{3}{a+b} \neq \frac{-7}{-28} \Rightarrow \frac{3}{a+b}=\frac{1}{4}\)
⇒ a + b = 12

ప్రశ్న45.
సంగత’ సమీకరణాల జత ___________
A) సమాంతర రేఖలు
B) ఎల్లప్పుడూ ఖండన రేఖలు.
C) ఎల్లప్పుడూ ఏకీభవించే రేఖలు
D) ఖండన రేఖలు లేదా ఏకీభవించే రేఖలు
జవాబు :
D) ఖండన రేఖలు లేదా ఏకీభవించే రేఖలు

ప్రశ్న46.
అసంగత సమీకరణాల జత
A) సమాంతర రేఖలు
B) ఖండన రేఖలు
C) ఏకీభవించే రేఖలు
D) ఖండన రేఖలు లేదా ఏకీభవించే రేఖలు
జవాబు :
A) సమాంతర రేఖలు

ప్రశ్న47.
√2x + √3y = 0 మరియు √3x – √8y = 0 జతకు సంబంధించి క్రింది వానిలో అసత్య వాక్యం ___________
A) సంగత సమీకరణాల జత
B) సాధన x = 0, y = 0
C) సమాంతర రేఖలు
D) పైవన్న
జవాబు :
C) సమాంతర రేఖలు

ప్రశ్న48.
\(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7 మరియు 9x – 10y = 14 రేఖీయ జత యొక్క సాధన ఏకైకమని నిరూపించండి.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{9}=\frac{1}{6}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{\frac{5}{3}}{-10}=-\frac{1}{6}\)
\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) కావున సాధన ఏకైకము.

ప్రశ్న49.
x – y = 8 మరియు 3x – 3y = k లకు సాధన లేకుంటే ఓ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}} \Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{-1}{-3} \neq \frac{-8}{-k}\)
\(\frac{1}{3} \neq \frac{8}{k}\) ⇒ k ≠ 24.

ప్రశ్న50.
క్రింది వానిలో ఏది. అసంగత సాధన లేని రేఖీయ సమీకరణాల గ్రాఫ్ ?

జవాబు :

ప్రశ్న51.
a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0 లకు క్రింది వానిని జతపరచుము.

i) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)	a) సంగతాలు
ii) \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)	b) అసంగతాలు
iii) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)

A) i-b, ii-a, iii-a
B) i-a, ii-a, iii-b
C) i-a, ii-b, iii-b
D) i-b, ii-a, iii-b
జవాబు :
B) i-a, ii-a, iii-b

ప్రశ్న52.
రేఖీయ సమీకరణాల.జతకు, వాని సాధనల సంఖ్యను జతపరుచుము.

i) \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)	a) అనంత సాధనలు
ii) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)	b) సాధన లేదు
iii) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)	c) ఏకైక సాధన

A) i-c, ii-b, iii-a
B) i-b, ii-c, iii-a
C) i-c, ii-a, iii-b
D) i-b, ii-a, iii-c
జవాబు :
A) i-c, ii-b, iii-a

ప్రశ్న53.

A) i-p, ii-q, iii-r
B) i-q, ii-p, iii-r
C) i-q, ii-r, iii-p.
D) i-r, ii-p, iii-q
జవాబు :
C) i-q, ii-r, iii-p.

ప్రశ్న54.

నియమము	రేఖాచిత్ర రూపము
i) \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)	p) సమాంతర రేఖలు
ii) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)	q) ఖండన రేఖలు
iii) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)	r) ఏకీభవించే రేఖలు

A) i-r, ii-p, iii-q
B) i-q, ii-r, iii-p
C) i-p, ii-q, iii-r
D) i-q, ii-p, iii-r
జవాబు :
D) i-q, ii-p, iii-r

ప్రశ్న55.
క్రింది ప్రవచనాలను వాని సత్యవిలువ (సత్యం – T, అసత్యం – F) లకు జతపరచుము.
i)సంగత సమీకరణాల జత రేఖాచిత్రము ఖండన రేఖలను లేదా ఏకీభవించే రేఖలను సూచిస్తుంది.
ii)అసంగత సమీకరణాల జత రేఖాచిత్రము ఖండన రేఖలను సూచిస్తుంది.
iii)అసంగత సమీకరణాల జతకు సాధన ఉండదు.
iv)ఏకీభవించే రేఖలను సూచించు రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన ఏకైకము.
A) i-T, ii-T, iii-F, iv-F
B) i-T, ii-F, iii-T, iv-F
C) i-F, ii-T, iii-r, iv-F
D) i-T, ii-T, iii-F, iv-T
జవాబు :
B) i-T, ii-F, iii-T, iv-F

ప్రశ్న56.
\(\frac{x+y}{x y}\)= 2, \(\frac{x-2 y}{x y}\) = 6 సమీకరణాలలో \(\frac{1}{x}\) = s, \(\frac{1}{y}\) = t గా రాస్తే వచ్చే రేఖీయ సమీకరణాల జతను రాయండి.
జవాబు :
\(\frac{x+y}{x y}\)= 2 ⇒ \(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\) = 2 ⇒ s + t = 2
\(\frac{x-2 y}{x y}\) = 6 ⇒ \(\frac{1}{y}-\frac{2}{x}\) = 6 ⇒ -2s + t = 6

ప్రశ్న57.
\(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}\) = 2 రేఖీయ సమీకరణ సాధనలు x = 4, y = k అయిన ఓ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}\) = 2 ⇒ \(\frac{2}{2}+\frac{3}{\sqrt{k}}\) = 2
⇒ \(\frac{3}{\sqrt{\mathrm{k}}}\) = 2 -1 = 1
∴ √k = 3 ⇒ k = 9

ప్రశ్న58.
\(\frac{5}{x+y}-\frac{2}{x-y}\) = 1, \(\frac{15}{x+y}+\frac{7}{x-y}\) = 10 సమీకరణాలను రేఖీయ సమీకరణాల జతగా మార్చి రాయండి.
జవాబు :
\(\frac{5}{x+y}-\frac{2}{x-y}\) = 1 = 5m – 2n = 1
\(\frac{15}{x+y}+\frac{7}{x-y}\) = 10 = 15m + 7n = 10
[∵ ఇక్కడ \(\frac{1}{x+y}\) = m మరియు \(\frac{1}{x-y}\) = n]

ప్రశ్న59.
“రెండు సంఖ్యల భేదం 26, మరియు ఒక సంఖ్య రెండవ సంఖ్యకు మూడు రెట్లు” పై నియమాలకు సూచించే రేఖీయ సమీకరణాల జతను రాయండి.
జవాబు :
x – y = 26 మరియు x = 3y ⇒ x – 3y = 0

ప్రశ్న60.
“రెండు సంపూరక కోణాలలో ఒక కోణం మరొక కోణం కన్నా 10 ఎక్కువ”. పై సమాచారాన్ని రేఖీయ సమీకరణాల జతగా రాయండి.
జవాబు :
x + y = 180 మరియు
x = y + 10 ⇒ x – y = 10

ప్రశ్న61.
ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజంలో
∠A = 4y + 20, ∠B = 3y – 5, ∠C = – 4x, ∠D = – 7x + 5 అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) 4x + 4y + 160 = 0 మరియు 7x + 3y + 180 = 0
B) 4x –4y + 20 = 0 మరియు 7x + 3y – 10 = 0
C) 4x + 3y – 10 = 0 మరియు 7x + 4y – 5 = 0
D) 4x – 4y + 160 = 0 మరియు 7x – 3y + 180 = 0
జవాబు :
D) 4x – 4y + 160 = 0 మరియు 7x – 3y + 180 = 0

ప్రశ్న62.
2x + 3y = 11.రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధనలు అనంతము అవునట్లు మరొక రేఖీయ సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు :
6x + 9y = 33

ప్రశ్న63.
సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క సాధన ___________
A) ఏకమూలక సమితి
B) అనంత సమితి
C) A లేదా B
D) రెండు మూలకాలు కలిగిన సమితి
జవాబు :
C) A లేదా B

ప్రశ్న64.
ప్రవచనం -P: ax + by +c = 0 రేఖీయ సమీకరణంను సూచించుటకు నియమాలు, a, b, c ∈ R మరియు a² + b² ≠ 0.
ప్రవచనం – Q: ax + by + c = 0 రేఖీయ సమీకరణ రేఖాచిత్రము (గ్రాఫ్) ఒక పరావలయము.
A) P మాత్రమే సత్యం
B) Q మాత్రమే సత్యం
C) P, Q లు రెండూ సత్యం
D) P, Q లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
A) P మాత్రమే సత్యం

ప్రశ్న65.
6x + (p² + k²) y – 32 = 0 మరియు 3x + 10y – 16= 0 సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటే p² + k² = 20 అని చూపుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) (:: అనంత సాధనలు కలవు)
\(\frac{6}{3}=\frac{p^{2}+k^{2}}{10}=\frac{-32}{-16} \Rightarrow \frac{p^{2}+k^{2}}{10}=2\)
∴ p² + k² = 20

ప్రశ్న66.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) ఖండన రేఖలను ఏర్పరిచే రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన ఏకైకము
B) అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన ఏకైకము
C) పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత సాధన ఏకైకము
D) పైవి అన్నీ
జవాబు :
A) ఖండన రేఖలను ఏర్పరిచే రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన ఏకైకము

ప్రశ్న67.
క్రింది వానిలో అసత్య వాక్యము.
A) అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల గ్రాఫ్ సమాంతర రేఖలు
B) ఖండన రేఖలు ఏర్పరిచే రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన ఏకైకము
C) పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క గ్రాఫ్ ఏకీభవించే రెండు రేఖలు
D) పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాలకు సాధన ఉండదు.
జవాబు :
D) పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాలకు సాధన ఉండదు.

ప్రశ్న68.
ఒకే తలంలోని రెండు లంబరేఖలను సూచించే రేఖీయ సమీకరణాల జత ఎల్లప్పుడు ___________
A) సంగత సమీకరణాలు
B) అసంగత సమీకరణాలు
C) పరస్పరాధారిత సమీకరణాలు
D) A మరియు B
జవాబు :
A) సంగత సమీకరణాలు

ప్రశ్న69.
(2, – 3) ని సాధనగా గల ఒక రేఖీయ సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు :
x + y = -1

ప్రశ్న70.
ప్రవచనం -X: 2x – 3y – 5 = 0 మరియు 6x – 9y – 1530లు సంగతాలు మరియు పరస్పరాధారితాలు.
ప్రవచనం – Y : రేఖీయ సమీకరణాల జతలో \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) అయిన అవి సంగతాలు మరియు పరస్పరాధారితాలు.
A) X, Y లు రెండూ సత్యం, XBY సరైన వివరణ కాదు
B) X, Y లు రెండూ సత్యం , X కి Y సరైన వివరణ
C) X – సత్యం, Y – అసత్యం
D)X, Y లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
B) X, Y లు రెండూ సత్యం , X కి Y సరైన వివరణ

ప్రశ్న71.
4x + py + 8 = 0 మరియు 2x + y + 2 = 0లు అసంగత సమీకరణాల జత అయితే p విలువ ఎంత ?
జవాబు :

ప్రశ్న72.
x + y = 5 మరియు 2x – 3y = 10 సమీకరణాల యొక్క ఖండన బిందువు (5, 0) అని చూపుము.
జవాబు :
ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాలు x + y = 5 ….. (1)
మరియు 2x – 3y = 10 ….. (2)
ఖండన బిందువు (5, 0), x = 5, y = 0 లను (1), (2) లలో రా యగా
(1) ⇒ 5 + 0 = 5 = 5 = 5 సత్యం
(2) ⇒ 2(5) – 3(0) = 10 = 10 = 10 సత్యం
∴ ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల ఖండన బిందువు = (5, 0)

ప్రశ్న73.
x + 3y = 4 మరియు 5x + py = 20 లు పరస్పరాధారిత సమీకరణాల జత అయిన pవిలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) (∵ పరస్పరాధారితాలు)
\(\frac{1}{5}=\frac{3}{p}=\frac{4}{20} \Rightarrow \frac{3}{p}=\frac{1}{5}\) ⇒ p = 5

ప్రశ్న74.
2x + 3y = 13 రేఖీయ సమీకరణాన్ని y = mx + c రూపంలో రాసిన m విలువ ఎంత ?
జవాబు :
2x + 3y = 13 ⇒ 3y = 13 – 2x
⇒ y = \(\frac{-2}{3} x+\frac{13}{3}\) = y = mx + c
∴ m = – \(\frac{2}{3}\)

ప్రశ్న75.
x + 3y = 6 మరియు 2x – 3y = 12 రేఖల ఖందన బిందువు ఏది ?
A) (3, 1)
B) (6, 0)
C) (3, -2)
D) (0,6)
జవాబు :
B) (6, 0)

ప్రశ్న76.
3x + y = 1 మరియు (2k – 1) x + (k – 1)y = 5 సమీకరణాల జతకు సాధన లేకపోతే kవిలువ ఎంత?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) (∵ సాధన లేదు కావున)
\(\frac{3}{2 k-1}=\frac{1}{k-1} \neq \frac{-1}{-5}\)
\(\frac{3}{2 k-1}=\frac{1}{k-1}\) ⇒ 3k – 3 = 2k – 1
⇒ 3 – 2k = -1 + 3
∴ k = 2

ప్రశ్న77.
5x + 2y = 4 మరియు 10x + ky = 8 రేఖీయ సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటే k విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\) ( :: అనంత సాధనలు కలవు కావున)
\(\frac{5}{10}=\frac{2}{k}=\frac{-4}{-8} \Rightarrow \frac{2}{k}=\frac{1}{2}\) ⇒ k = 4

ప్రశ్న78.
a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన లేకపోతే a₁ : a₂ = …………… ≠ c₁ : c₂.
A) b₁ : b₂
B) b₂ : b₁
C) b₁ : c₂
D) b₂ : c₁
జవాబు :
A) b₁ : b₂

ప్రశ్న79.
2x + y -5 = 0 మరియు 3x – 2y – 4 = 0 సమీకరణాలు సూచించే సరళరేఖలు (k, 1) బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటే kవిలువ ఎంత ?
జవాబు :
2x + y – 5 = 0 …… (1)
3x – 2y – 4 = 0 …… (2)
సాధన (k, 1)
∴ x = k, y = 1 విలువలు (1), (2) లలో ప్రతిక్షేపించగా
2(k) + 1 – 5 = 0 ⇒ 2k = 4 =k= 2
3k – 2(1) – 4 = 0 ⇒ 3k = 6 = k= 2
∴ k = 2

ప్రశ్న80.
2x + y – 5 = 0 మరియు x + 2y – 4 = 0 సమీకరణాల జతకు సాధన x = 2, y = 1 అయిన ఈ రేఖల ఖండన బిందువును రాయండి.
జవాబు :
(2, 1)

ప్రశ్న81.
x + y = 11, x – y = -3 సరళరేఖల ఖందన బిందువు ఏది ?
జవాబు :
x = \(\frac{11+(-3)}{2}=\frac{8}{2}\) = 4
y = \(\frac{11-(-3)}{2}=\frac{14}{2}\) = 7
సాధన x = 4, y = 7

ప్రశ్న82.
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) అయిన a₁x + b₁y + c₁ =0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 యొక్క గ్రాఫ్ ఏర్పరచు రేఖలు
A) ఖండన రేఖలు
B) లంబరేఖలు
C) ఏకీభవించు రేఖలు
D) నిర్ణయించలేము
జవాబు :
C) ఏకీభవించు రేఖలు

ప్రశ్న83.
క్రింది పటంలో చూపిన సరళరేఖలను సూచించు రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క సాధనను రాయండి.

జవాబు :
(2, 3)

ప్రశ్న84.
“రెండు పూరక కోణాలలో పెద్దకోణము, చిన్నకోణము కన్నా 20°లు ఎక్కువ”. ఇచ్చిన సమాచారాన్ని సూచించు రేఖీయ సమీకరణాల జతను రాయండి.
జవాబు :
కోణాలు x, y అనుకొనుము.
∴ x + y = 90 (పూరకాలు కావున) (పెద్ద కోణం x, చిన్న కోణం y)
x = y + 20 ⇒ x – y = 20.

ప్రశ్న85.
5 (x – 2) = x + 18 సమీకరణంను తృప్తిపరిచే x విలువను గణించండి.
జవాబు :
5x – 10 = x + 18 ⇒ 4x = 28
⇒ x = \(\frac{1}{2}\) = 7

ప్రశ్న86.
2x + y = 5 మరియు kx – y = 11 యొక్క సాధన z = 4, y = – 3 అయిన ఓ విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
k(4) – (- 3) = 11 ⇒ 4k + 3 = 11
= 4k = 8 ⇒ k = 2

ప్రశ్న87.
రెండు సంఖ్యల భేదం 16 మరియు ఆ సంఖ్యల నిష్పత్తి 3 : 1, (x > y). ఇచ్చిన సమాచారాన్ని x, yలలో రేఖీయ సమీకరణాల జతగా రాయండి.
జవాబు :
ఆ సంఖ్యలు x, y అనుకొనుము
x – y= 16 ………. (1) మరియు
\(\frac{x}{y}=\frac{3}{1}\) ⇒ x = 3y ⇒ x – 3y = (0) …….. (2)

ప్రశ్న88.
x + y = 5 రేఖీయ సమీకరణం యొక్క అను గీయండి.
జవాబు :
x + y = 5 పై గల బిందువులు

ప్రశ్న89.
x + 2y – 5 = 0 మరియు 5x – ky + 7 = 0 సమీకరణాల జతకు సాధనలు లేకపోతే k విలువను లెక్కించండి.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) (∵ సాధన లేదు కావున)
\(\frac{1}{5}=\frac{2}{-k} \neq \frac{-5}{7} \Rightarrow \frac{1}{5}=\frac{-2}{k}\) ⇒ k = – 10

ప్రశ్న90.
2x + ky = 1 మరియు 5x + 7y = -7 సమీకరణాల జతకు ఏకైక సాధన ఉంటే ఓ విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) (∵ ఏకైక సాధన కావున)
\(\frac{2}{5} \neq \frac{\mathrm{k}}{7} \Rightarrow \frac{14}{5}\) ≠ k ⇒ k ≠ \(\frac{14}{5}\)

ప్రశ్న91.
3x – 2y – 5 = 0 మరియు 6x – 4y – 10 = 0 రేఖీయ సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటాయని చూపుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}, \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}\)
∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\), కావున ఇచ్చిన రేఖీయ
సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటాయి.

ప్రశ్న92.
5x – y = 0 మరియు x – 5y = m + 2 అయిన m యొక్క ఏ విలువకు సమీకరణాల యొక్క సాధన x = 0, y = 0 అవుతుంది ?
జవాబు :
x = 0, y = 0ను x – 5y = m + 2 నందు ప్రతిక్షేపించగా
0 – 0 = m + 2
∴ m = -2

→ గమనిక : ఇచ్చిన సమాచారాన్ని పరిశీలించి, క్రింద ఇచ్చిన ప్రశ్నలు 93-96లకు సమాధానాలు రాయండి. “నగరపాలక ఉన్నత పాఠశాల వ్యాయామం ఉపాధ్యాయుడు 2 బ్యాట్లు మరియు 3 బంతులు ₹ 1650 కి మొదటి రోజు, 6 బ్యా లు మరియు 9 బంతులు ₹4950కి రెండవ రోజు కొన్నారు.”

ప్రశ్న93.
పై సమాచారాన్ని సూచించే రేఖీయ సమీకరణాల జతను x, y లలో రాయండి.
జవాబు :
బ్యాట్ ధర = ₹ x, బంతి ధర = ₹ y అనుకొనుము.
∴ 2x + 3y = 1650 …….. (1)
6x + 9y = 4950 …….. (2)

ప్రశ్న94.
పై సమాచారాన్ని సూచించే రేఖీయ సమీకరణాల గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖలు
A) ఖండన రేఖలు
B) ఏకీభవించని సమాంతరాలు
C) ఏకీభవించే రేఖలు
D) A మరియు C
జవాబు :
C) ఏకీభవించే రేఖలు

ప్రశ్న95.
బ్యాట్ మరియు బంతి యొక్క వెలను కనుగొనుము.
జవాబు :

∴ రేఖీయ సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటాయి. కావున బ్యాట్ మరియు బంతి యొక్క ఖచ్చితమైన ధరను నిర్ణయించలేము.

ప్రశ్న96.
బ్యాట్ విలువ ₹ 750 అయిన బంతి వెల ఎంత ?
జవాబు :
బ్యాట్ విలువ x = ₹ 750 ని 2x + 3y = 1650లో ప్రతిక్షేపించగా
2(750) + 3y = 1650
⇒ 1500 + 3y = 1650
⇒ 3y = 150 = y = 50.
∴ బంతి వెల = ₹ 50

ప్రశ్న97.
ax = by, by = ax సాధనను కనుగొనుము.
జవాబు :
సాధన x = 0, y = 0 (ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాలలో స్థిరపదాలు c₁, c₂, లు లేవు. కావున x = 0, y = 0 సాధన అవుతుంది).

ప్రశ్న98.
x + 2y = 3 మరియు 5x + ky + 7 = 0 జతకు సాధన లేకుంటే k విలువ ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) (∵ సాధన లేదు)
\(\frac{1}{5}=\frac{2}{k} \neq \frac{-3}{7} \Rightarrow \frac{1}{5}=\frac{2}{k}\) ⇒ k = 10

ప్రశ్న99.
2x + y – 50 = 0 మరియు 3x – 2y = 4 = 0 యొక్క
i) సాధన ఏకైకం అని చూపుము.
ii) ఖండన రేఖలను ఏర్పరుస్తాయని చూపుము.
iii) సంగత సమీకరణాలని చూపుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{3}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}\)
∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) కావున
i) సాధన ఏకైకము
ii) ఖండన రేఖలను ఏర్పరుస్తాయి.
iii) సంగత సమీకరణాల జత అవుతాయి.

ప్రశ్న100.
2x + 5y = 3 మరియు (k + 1)x + 2(k + 2)y = 2k జతకు k యొక్క ఏ విలువకు అనంత సాధనలు ఉంటాయి ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) (:: అనంత సాధనలు)
\(\frac{2}{k+1}=\frac{5}{2(k+2)}=\frac{-3}{-2 k}\)
\(\frac{2}{k+1}=\frac{3}{2 k}\) ⇒ 4k = 3k + 3 ⇒ k = 3.

ప్రశ్న101.
cx – y = 2 మరియు 16x – 4y — 8 జతకు అనంత సాధనలుంటే c విలువ ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{c}{16}=\frac{-1}{-4}=\frac{-2}{-8} \Rightarrow \frac{c}{16}=\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)
∴ c = 4

ప్రశ్న102.
2x – 3y = 5 మరియు 4x – 6y = 15 జతకు
i) సాధన లేదని చూపుము.
ii) సమాంతర రేఖలను సూచిస్తాయని చూపుము.
iii) అసంగత సమీకరణాల జత అని నిరూపించుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}, \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-5}{-15}=\frac{1}{3}\)
∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) కావున
i) సాధన లేదు
ii) సమాంతర రేఖలను సూచిస్తాయి.
iii) అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత.

ప్రశ్న103.

రేఖీయ సమీకరణాల జత-I	సాధన-II
i) 7x + y = 10 5x – y = 2 అయిన	a) x= 0, y = 0
ii) 5x – y = 0 7x + y = 0 అయిన	b) సాధన లేదు
iii) x + y = 5, 2x + 2y = 10, అయిన	c) x = 1, y = 3
iv) x + y = 5 x – y = 1, అయిన	d) x = 3, y = 2

అయిన జతపరచడంలో సరైన దానిని ఎన్నుకొనుము.
A) i – c, ii – b, iii – a, iv-d
B) i- c, ii-b, iii – d, iv – a
C) i-b, ii – c, iii – a, iv-d
D) i- c, ii – a, iii – b; iv-d
జవాబు :
C) i-b, ii – c, iii – a, iv-d

ప్రశ్న104.
క్రింది వానిలో సంగత సమీకరణాల జత .
i) 2x + 3y = 13
8x + 12y = 52

ii) 2x + 3y = 13
3x + 2y = 12
A) i మాత్రమే
B) ii మాత్రమే
C) i మరియు ii
D) ఏదీకాదు
జవాబు :
C) i మరియు ii

ప్రశ్న105.
3x + 4y = 2 మరియు 6x + 8y = 4 జతకు
i) అనంత సాధనలు ఉంటాయని చూపుము.
ii) సంగత సమీకరణాలని చూపుము.
iii) ఏకీభవించే రేఖలను సూచిస్తాయని చూపుము.
జవాబు :
3x + 4y – 2 = 0 మరియు 6x + 8y – 4 = 0
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}, \frac{c_{1}}{c_{2}} \mp \frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}\)
\(\) కావున
i) అనంత సాధనలు ఉంటాయి.
ii) సంగత సమీకరణాల జత.
iii) ఏకీభవించే రేఖలను సూచిస్తాయి.

ప్రశ్న106.
x + y – 16 = 0 మరియు x – ky + 2 = 0 యొక్క సాధన (10, 6) అయిన ఓ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
x + y – 16 = 0 మరియు x – ky + 2 = 0 సాధన (10, 6)
∴ x = 10, y = 6 ను X – ky + 2 = 0 లో
ప్రతిక్షేపించగా, . 10 – 6k + 2 = 0 ⇒ 12 = 6k = k = 2

ప్రశ్న107.
(2, 1) ని సాధనగా గల రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏది ?
i) x + y = 3 మరియు x – y = 1.
ii) 2x – y = 3 మరియు x – 2y = 0
iii)2x + y = 7 మరియు 3x + y =7
A) i, ii మరియు iii
B) i, iii
C) i, ii
D) ii, iii
జవాబు :
C) i, ii

ప్రశ్న108.
ఈ క్రింది సమీకరణాలలో అనంత సాధనలు గల రేఖీయ సమీకరణాల జత
A) 2x – 5y = 4; 0.5x – 1.25y = 1
B) x + 2y = 8, 8x + 16y = 64
C) x + y = 77; \(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\) = 38.5
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న109.
“3 పెన్సిల్లు మరియు 2 పెన్నుల వెల ₹ 19, అలాగే ” 2 పెన్సిల్లు మరియు 3 పెన్నుల వెల ₹ 21″. ” పై సమాచారాన్ని సూచించే రేఖీయ సమీకరణాల జతను రాయండి.
జవాబు :
పెన్సిల్ వెల = ₹ x, పెన్ను వెల = ₹ y అనుకొనుము
3x + 2y = ₹ 19 మరియు 2x + 3y = ₹ 21.

ప్రశ్న110.
పై రేఖీయ సమీకరణాల జత సంగత సమీకరణాల జత అని చూపుము.
జవాబు :
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{3}{2}, \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{2}{3}, \frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}\)
∴ సంగత సమీకరణాల జత.

ప్రశ్న111.
ఏకైక సాధన కలిగిన రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఒక ఉదాహరణను ఇవ్వండి. (లేదా) సంగత సమీకరణాల జతకు ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు :
ఏకైక సాధన గల / సంగత సమీకరణాల జతకు ఉదాహరణ.
3x + 2y = 19 మరియు 2x + 3y = 21
(గమనిక : \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) అయ్యే విధంగా ఏవైనా జత రేఖీయ సమీకరణాలను రాయవచ్చును.)

ప్రశ్న112.
సాధన లేనటువంటి అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఒక ఉదాహరణనివ్వండి.
జవాబు :
సాధన లేనటువంటి / అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఉదాహరణ 3x + 2y = 5 మరియు 9x + 6y = 10.
(గమనిక : \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) అయ్యే విధంగా రాయడం)

ప్రశ్న113.
kx + ly = m; px + qy = r అను సమీకరణ జత ఏకైక సాధన కలిగి ఉండటానికి కావలసిన నియమాన్ని రాయండి.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) (ఏకైక సాధన)
\(\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{p}} \neq \frac{l}{\mathrm{q}}\) ⇒ pl ≠ kq.

ప్రశ్న114.
2x + 3y = 10 సమీకరణంతో అనంత సాధనలు కలిగి ఉండేటట్లు వేరొక రేఖీయ సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు :
ఇచ్చిన సమీకరణం 2x + 3y = 10 తో అనంత సాధనలు కలిగి ఉండాలి. కావలసిన సమీకరణం
4x + 6y = 20 (ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని 2తో గుణించగా)

ప్రశ్న115.
px + qy = r మరియు qx + py = sలు ఒకే ఒక ఉమ్మడి బిందువును కలిగి ఉంటే p² ≠ q² అని చూపుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}} \Rightarrow \frac{p}{q} \neq \frac{q}{p}\) (ఒకే ఉమ్మడి బిందువు)
∴ p² ≠ q²

ప్రశ్న116.
రెండు సరళరేఖలు అనంత సాధనలు కలిగి ఉంటే వాటి – యందు ‘x’ చరరాశి యొక్క గుణకాల నిష్పత్తి =
A) y గుణకాల నిష్పత్తి
B) స్థిరరాశుల నిష్పత్తి
C) A మరియు B
D) ఏదీకాదు
జవాబు :
C) A మరియు B

ప్రశ్న117.
అనంత సాధనలు కలిగిన (ఏకీభవించే రేఖలను) రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఒక ఉదాహరణనివ్వండి.
జవాబు :
అనంత సాధనలు కలిగిన రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఉదాహరణ : 2x + 3y = 8 మరియు
4x + 6y = 16 (∵\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) అయ్యే విధంగా రాయడం అనగా మొదటి సమీకరణం రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్య (2) తో గుణించుము).

ప్రశ్న118.
5 పెన్నులు మరియు 2 పెన్సిల్స్ ధర ‘p’ రూ||, 3 పెన్నులు మరియు 2 పెన్సిల్ ధర ‘q’ రూ॥లు అయిన 2 పెన్నులు మరియు ఒక పెన్సిల్ ధరను p, q లలో తెల్పండి.
జవాబు :
పెన్ను ధర = ₹ x, పెన్సిల్ ధర = ₹ y అనుకొనుము.
∴ 5x + 2y.= p ……… (1)
8x + 2y = q ……… (2)

∴ 2 పెన్నులు, ఒక పెన్సిల్ ధర = 2x + y = ?

⇒ 2x + y = \(\frac{p+q}{4}\)
∴ 2 పెన్నులు, ఒక పెన్సిల్ ధర = \(\frac{p+q}{4}\)

ప్రశ్న119.
“రెండు సంఖ్యల మొత్తం 35, వాని భేదం 15″. ఇచ్చిన సమాచారాన్ని x, y ‘లు చరరాశులుగా గల రేఖీయ సమీకరణాల జతగా చూపండి.
జవాబు :
x + y = 35 మరియు x – y = 15.

ప్రశ్న120.
ఈ క్రింది వానిలో సమాంతర రేఖలు కాని జత ఏది ?
A) 2x-y = 8, x – 0.5y = 10
B) px – 2y = p, 3px – 6y = q
C) x + y = 5, 5x + 5y = 3
D) పైవేవీ కావు
జవాబు :
D) పైవేవీ కావు

ప్రశ్న121.
క్రింది పటం నందలి రేఖాచిత్రంను సూచించు సమీకరణాలు ___________

A) ఏకైక సాధన కలవి
B) సాధనలు లేనివి
C) అనంత సాధనలు కలవి
D) పైవేవీ కావు
జవాబు :
A) ఏకైక సాధన కలవి

ప్రశ్న122.
వాదన -1 : 3x + 2y – 80 = 0 మరియు 4x + 3y – 110 = 0 ల సాధన ఏకైకము.
వివరణ – II : a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 జతకు \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\) అయిన సాధన ఉండదు.
A) I మరియు II లు రెండూ సత్యం, వాదన I & II సరైన వివరణ
B) I మరియు II లు రెండూ సత్యం, వాదన I & II సరైన వివరణ కాదు
C) I సత్యం, II అసత్యం, వాదన I & II సరైన వివరణ
D) I మరియు II లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
B) I మరియు II లు రెండూ సత్యం, వాదన I & II సరైన వివరణ కాదు

ప్రశ్న123.
3x – 2y = 4 సరళరేఖ Y – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువును కనుగొనుము.
జవాబు :
3x – 2y = 4 లో x = 0 రాయగా
0 – 2y = 4 ⇒ y = -2
∴ Y – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు = (0, – 2)

ప్రశ్న124.
క్రింది వానిలో ఏది ఇచ్చిన పటంలో చూపిన సరళరేఖను సూచించు రేఖీయ సమీకరణం అవుతుంది ?

A) 2x + y + 4 = 0
B) 2x-y- 4 = 0
C) 2x – y + 4 = 0
D) పైవన్నీ
జవాబు :
A) 2x + y + 4 = 0 (యత్నదోష పద్ధతిలో ప్రయత్నించగా)

ప్రశ్న125.
2x – 3y = 9 అను రేఖతో సమాంతరంగా ఉండే రేఖను ఒకదానిని రాయండి.
జవాబు :
2x – 3y = 9 తో సమాంతరంగా ఉండే మరొక రేఖ 4x- 6y = 27(\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) అయ్యే విధంగా రాయాలి. ఇచ్చిన సమీకరణంలో x, y పదాలను ఒక సంఖ్యతో, స్థిరపదాలను మరొక సంఖ్యతో గుణించాలి. ఇక్కడ x, y పదాలను 2, స్థిరపదాన్ని 3తో గుణించాము)

ప్రశ్న126.
y = x + 2 రేఖా చిత్రం X – అక్షాన్ని A వద్ద, y = x – 2 రేఖా చిత్రం B వద్ద ఖండించినచో A, B బిందువుల మధ్య దూరంను కనుగొనుము.
జవాబు :
y = x + 2, X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు A = (-2, 0) y = x – 2,
X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు B = (2, 0)
(-2, 0), (2, 0) బిందువుల మధ్య దూరం
= |x₂ – x₁| = 4

ప్రశ్న127.
mx + y -5 = 0 మరియు 3x – ny-4 = 0 సమీకరణాల జతకు సాధన (2, 1) అయిన m, nల మధ్య సంబంధంను కనుగొనుము. సాధన. mx + y – 5 = 0 మరియు 3x – ny – 4 = 0
జవాబు :
m(2) + (1) – 5=0
2m = 4
m = 2
m = n.

3(2) – n(1) – 4 = 0
– n + 2 = 0
n = 2

ప్రశ్న128.
x = 2020, y = 2021 సరళరేఖల ఖండన బిందువును రాయండి.
జవాబు :
(2020, 2021)

ప్రశ్న129.
4 సం||ల క్రితం నా వయస్సు, 5 సం||ల తరువాత నా వయస్సుల మొత్తం 36 సం||. “ప్రస్తుతం నా వయస్సు x సం||.”
పై సమాచారాన్ని సూచించే రేఖీయ సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు :
(x – 4) + (x + 5) = 36
∴ 2x + 1 = 36 ⇒ 2x – 35 = 0

ప్రశ్న130.
x = 2022 రేఖీయ సమీకరణానికి చెందిన క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ?
A) X – అక్షానికి సమాంతరము
B) Y – అక్షానికి సమాంతరము
C) X – అక్షాన్ని (2022, 0) బిందువు వద్ద ఖండిస్తుంది. .
D) పైవన్నీ
జవాబు :
A) X – అక్షానికి సమాంతరము

ప్రశ్న131.
ఈ క్రింది వానిలో ఏది ఏకైక సాధన కలిగిన రేఖీయ సమీకరణాల జతను సూచించు రేఖాచిత్రము ?

జవాబు :

ప్రశ్న132.
ఈ క్రింది వానిలో అనంత సాధనలు గల రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క గ్రాఫ్ ఏది ?

జవాబు :

ప్రశ్న133.
ఈ క్రింది రేఖాచిత్రాలలో ఏది సాధనలేని (అసంగత) రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క రేఖాచిత్రము ?

జవాబు :

ప్రశ్న134.
క్రింది రేఖాచిత్రాలకు, వాని రేఖీయ సమీకరణాల జతకు గల సాధనల సంఖ్యను జతచేయుము.

A) 1-a, 2-b, 3- c
B ) 1-b, 2-a, 3-C
C) 1-c, 2-a, 3-b
D) 1-a, 2-c, 3-b
జవాబు :
D) 1-a, 2-c, 3-b

ప్రశ్న135.
y = ax + b రేఖీయ సమీకరణం X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువును కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\left(\frac{-b}{a}, 0\right)\) [∵ y = 0 ⇒ 0 = ax + b
⇒ ax =-b ⇒ x= \(\frac{-b}{a}\)]

ప్రశ్న136.
y = px + q యొక్క రేఖాచిత్రం Y – అక్షాన్న ఖండించు బిందువును తెల్పండి.
A) (\(\frac{-q}{p}\),0)
B) (0, q)
C) (0, p)
D) \(\left(\frac{-q}{p}, \frac{p}{q}\right)\)
జవాబు :
B (0, q) [∵ x = 0 ⇒ y = 0 + q ⇒ y = q]

ప్రశ్న137.
ax + by = c అనునది రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణంను సూచించుటకు అవసరమైన నియమాలు
a) a,b,c ∈ R
b) a² + b² ≠ 0
A) a మాత్రమే
B) b మాత్రమే
C) a మరియు b
D) a, b లలో ఏదో ఒకటి
జవాబు :
C) a మరియు b

ప్రశ్న138.
ఈ క్రింది వానిలో రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణం
A) 2x – 5y = 8
B) 3x = 9y
C) 5y = 35x
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న139.
క్రింది వానిలో ఏది x – 2y = 5 తో సమాంతర రేఖను ఏర్పరుస్తుంది ?
A) 2x – 4y = 10
B) – x + 2y = – 5
C) \(\frac{x}{2}\) – y = \(\frac{5}{4}\)
D) పైవన్నీ
జవాబు :
C) \(\frac{x}{2}\) – y = \(\frac{5}{4}\)

ప్రశ్న140.
x – y = 7 ను ఖండించే రేఖ ___________
A) x + y = 7
B ) 2x – 2y = 10
C) 3x – 3y = 21
D) ఏదీకాదు
జవాబు :
A) x + y = 7

→ క్రింది దత్తాంశాన్ని చదివి 141, 142 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.
ఒక రోజు 1 కిలో బంగాళాదుంపలు మరియు 2 కిలోల టమోటాల ధర ₹ 30 రెండు రోజుల తర్వాత 2 కిలోల బంగాళదుంపలు మరియు 4 కిలోల టమోటాల ధర ₹ 66 గా ఉన్నది.

ప్రశ్న141.
పై దత్తాంశానికి రెండు చరరాశులు x మరియు yలతో కూడిన రేఖీయ సమీకరణాల జతను రాయండి.
జవాబు :
x + 2y = 30, 2x + 4y = 66 (లేదా)
x + 2y = 33

ప్రశ్న142.
పై దత్తాంశం ఏ రేఖీయ సమీకరణాల వ్యవస్థను ప్రాతినిథ్యపరుస్తుంది ?
జవాబు :
సమాంతర రేఖలు, సాధనలేదు.

ప్రశ్న143.
‘k’ యొక్క ఏ విలువకు రేఖీయ సమీకరణాల జత x + 2y = 7 మరియు 3x – ky = 21 అనంత సాధనలు కలిగి ఉంటుంది ?
జవాబు :
x + 2y = 7 మరియు 3x – ky = 21 సమీకరణాలు అనంత సాధనలు కలిగి ఉన్నాయి. కావున,

ప్రశ్న144.
y = 3 అయిన 4x – 7y = 9 లో ‘X’ విలువ ఎంత ?’
జవాబు :
దత్తాంశం ప్రకారం 4x – 7y = 9
y = 3, అయిన 4x – 7(3) = 9
⇒ 4x – 21 = 9
⇒ 4x = 30
⇒ x = \(\frac{30}{4}=\frac{15}{2}\)

ప్రశ్న145.
లహరి రెండు పెన్నులు మరియు అయిదు పెన్సిళ్లను రూ. 30 కు కొనుగోలు చేసింది. ఈ సమాచారాన్ని చలరాసులు x మరియు y లో రేఖీయ సమీకరణంగా వ్రాయుము.
జవాబు :
ఒక్కొక్క పెన్ను వెల ₹ x మరియు
ఒక్కొక్క పెన్సిల్ వెల ₹ y అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారం, 2x + 5y = 30