Srinivas – Page 36 – AP Board Solutions

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions

March 3, 2022

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions

ఇవి చేయండి

1 (i) ‘x’ చరరాశితో కూడిన రెండు బహుపదులు రాయండి. (పేజీ నెం. 29)
సాధన.
5x² + 2x – 8 మరియు 3x³ – 2x + 6.

(ii) ‘y’ చరరాశితో కూడిన మూడు బహుపదులు రాయండి. (పేజీ నెం. 29)
సాధన.
y³ – y² + y; 2y² + 7y – 9 + 3y³; y⁴ – y + 6 + 2y².

(iii) 2x² + 3xy + 5y² అనే బహుపది ఒక చరరాశితో ఉన్నదా ? (పేజీ నెం. 29)
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది x, y అను రెండు చరరాశులను కలిగివున్నది.

(iv) వివిధ రకాల ఘనాకార వస్తువులకు వైశాల్యం, ఘనపరిమాణం కనుగొనే సూత్రాలు రాయండి. వాటిలో చరరాశులను, స్థిరరాశులను తెలపండి. (పేజీ నెం. 29)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions 10

2. కింద ఇవ్వబడిన ప్రతి బహుపది యొక్క పరిమాణాలు రాయండి. (పేజీ నెం. 30)
i) 7x³ + 5x² + 2x – 6
ii) 7 – x + 3x²
iii) 5p – [latex]\sqrt{3}[/latex]
iv) 2
v) – 5xy²
సాధన.
i) పరిమాణం 3
ii) పరిమాణం 2
iii) పరిమాణం 1
iv) పరిమాణం 0
v) పరిమాణం 3

3. కింది వానిలో x² యొక్క గుణకాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 30)
i) 15 – 3x + 2x²
ii) 1 – x²
iii) πx² – 3x + 5
iv) [latex]\sqrt{2}[/latex]x² + 5x -1
సాధన.
x² గుణకము 2
x² గుణకము -1
x² గుణకము π
x² గుణకము [latex]\sqrt{2}[/latex]

4. కింద ఇవ్వబడిన బహుపదులలో సూచించిన చరరాశి విలువను ప్రతిక్షేపించి విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 33)
i) x = 1 వద్ద P(x) = 4x² – 3x + 7
సాధన.
x = 1 వద్ద p(x) యొక్క విలువ
= 4(1)² – 3(1) + 7 = 8

ii) y= 1 వద్ద q(y) = 2y3 – 4y + [latex]\sqrt{11}[/latex]
సాధన.
y = 1 వద్ద q(y) యొక్క విలువ
= 2(1)³ – 4(1) + [latex]\sqrt{11}[/latex] = -2 + [latex]\sqrt{11}[/latex]

iii) t = p (t∈R) వద్ద r(t) = 4t⁴ + 3t³ – t² + 6
సాధన.
t = pవద్ద r(t) యొక్క విలువ
= 4p⁴+ 3p³ – p² + 6

iv) z = 1 వద్ద s(z) = z³ – 1
సాధన.
z = 1 వద్ద S(z) యొక్క విలువ = 13 – 1 = 0

v) x = 1 వద్ద p(x) = 3x² + 5x – 7
సాధన.
x = 1 వద్ద p(x) యొక్క విలువ
= 3(1)² + 5(1) – 7 = 1

vi) z = 2 వద్ద q(2) = 5z³ – 4x + [latex]\sqrt{2}[/latex]
సాధన.
z = 2 వద్ద q(2) యొక్క విలువ
= 5(2)³ – 4(2) + [latex]\sqrt{2}[/latex]
= 40 – 8 + [latex]\sqrt{2}[/latex]
= 32 + [latex]\sqrt{2}[/latex]

5. కింది ఖాళీలను పూరించండి. (పేజీ నెం. 35)
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions 1
సాధన.

6. 3y³ + 2y² + y బహుపదిని ‘y’ చే భాగించి భాగహార సత్యం రాయండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
(3y³ + 2y² + y) ÷ y = [latex]\frac{3 y^{3}}{y}+\frac{2 y^{2}}{y}+\frac{y}{y}[/latex]
= 3y² + 2y +1
భాగహార సత్యము = (3y² + 2y + 1) · y
= 3y + 2y² + y

7. 4p²+ 2p + 2 ను ‘2p’ చే భాగించి భాగహార సత్యాన్ని రాయండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
(4p² + 2p + 2) ÷ 2 = [latex]\frac{4 p^{2}}{2 p}+\frac{2 p}{2 p}+\frac{2}{2 p}[/latex]
= 2p + 1 + [latex]\frac{1}{\mathrm{p}}[/latex]
భాగహార సత్యము = [latex]\left(2 p+1+\frac{1}{p}\right)[/latex] × 2p
= 4p² + 2p + 2

8. కింది వానిని కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 46)
1. 6x² + 19x + 15
సాధన.
6x² + 19x + 15
= 6x² + 10x + 9x + 15
= 2x (3x + 5) + 3 (3x + 5)
= (3x + 5) (2x + 3)

2. 10m² – 31m – 132
సాధన.
10m² – 31m – 132
= 10m² – 55m + 24m – 132
= 5m (2m – 11) + 12 (2m – 11)
= (2 – 11) (5m + 12)

3. 12x² + 11x + 2
సాధన.
12x² + 11x + 2 = 12x² + 8x + 3x + 2
= 4x (3x + 2) + 1 (3x + 2)
= (3x + 2) (4x + 1)

9. కింది సమాసాలకు సర్వసమీకరణాలనుపయోగించి లబ్దాలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 49)
i) (x + 5) (x + 5)
సాధన.
(x + 5) (x + 5)
= (x + 5)²
= x² + 2(5) (5) + 5²
= x²+ 10x + 25

ii) (p – 3) (p + 3)
సాధన.
(p – 3) (p + 3)
= p² – 3²
= p2 – 9

iii) (y – 1) (y – 1)
సాధన.
(y – 1) (y – 1)
= (y – 1)²
= y² – 2y + 1

iv) (t + 2) (t + 4)
సాధన.
(t + 2) (t + 4)
= t² + t (2 + 4) + 2 × 4
= 12 + 6t + 8

v) 102 × 98
సాధన.
102 × 98 = (100 + 2) (100 – 2)
= 1002 – 22
= 10000 – 4
= 9996

10. కింది వానిని తగిన సర్వసమీకరణాలనుపయోగించి కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 50)
i) 49a² + 70ab + 25b²
సాధన.
49a² + 70ab + 25b²
= (7a)² + 2 (7a) (5b) + (5b)²
= (7a + 5b)² = (7a + 5b) (7a + 5b)

ii) [latex]\frac{9}{16} x^{2}-\frac{y^{2}}{9}[/latex]
సాధన.
[latex]\frac{9}{16} x^{2}-\frac{y^{2}}{9}[/latex] = [latex]\left(\frac{3}{4} x\right)^{2}-\left(\frac{y}{3}\right)^{2}[/latex]
= [latex]\left(\frac{3}{4} x+\frac{y}{3}\right)\left(\frac{3}{4} x-\frac{y}{3}\right)[/latex]

iii) t² – 2t + 1
సాధన.
t² – 2t + 1 = (t)² – 2(t) (1) + (1)²
= (t – 1)² = (t – 1) (t – 1)

iv) x² + 3x + 2
సాధన.
x² + 3x + 2 = x² + (2 + 1) x + (2 × 1)
= (x + 2) (x + 1)

11. i) (p+ 2q + r)² ను విస్తరణ రూపంలో రాయండి. (పేజీ నెం. 52)
సాధన.
(p+ 2q + r)²
= (p)² + (2q)² + (r)² + 2 (p) (24) + 2 (2q) (r) + 2(r) (p)
= p² + 4q² + r² + 4pg + 4qr + 2rp

ii) (4x – 2y – 3z) ను సూత్రం ద్వారా విస్తరించండి. (పేజీ నెం. 52)
సాధన.
(4x – 2y – 3z)
= (4x)² + (-2y)² + (-3z)² + 2 (4x) (-2y) + 2 (-2y) (-3z) + 2 (-3z) (4x)
= 16x² + 4y² + 9z² – 16xy + 12yz – 24zx

iii) 4a² + b² + c² – 4ab + 2bc – 4ca ను సూత్రం ద్వారా కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 52)
సాధన.
4a² + b² + c² – 4ab + 2bc – 4ca
= (2a)² + (-b)² + (-c)² + 2(2a) (-b) + 2 (- b) (-c) + 2(-c) (2a)
= (2a – b – c)²
= (2a – b – c) (2a – b – c)

12. (x + 1)³ ను సర్వసమీకరణం ఉపయోగించి విస్తరించండి. (పేజీ నెం. 54)
సాధన.
(x + 1)³ = (x)³ + (1)³ + 3 (x) (1) (x + 1)
= x³ + 1 + 3x (x + 1)
= x³ + 1 + 3x² + 3x
= x³ + 3x² + 3x + 1

13. (3m – 2n)³ ను గుణించండి. (పేజీ నెం. 54)
సాధన.
(3m – 2n)³ = (3m)³ – 3 (3m)² (2n) + 3 (3m) (2n)² – (2n)³
= 27m³ – 54m²n + 36mn² – 8n³

14. a³ – 3a²b + 3ab² – b³ ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 54)
సాధన.
a³ – 3a²b + 3ab² – b³
= (a)³ – 3 (a)²(b) + 3 (a) (b)² – (b)³
= (a – b)³ = (a – b) (a – b) (a – b)

15. గుణకారం చేయకుండానే (a – b – c) (a² + b² + c² – ab + bc – ca) లబ్దంను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
ఇచ్చిన సమస్య సరిగా లేదు. సాధన సాధ్యపడదు.

16. సర్వసమీకరణం ఉపయోగించి 27a³ + b³ + 8c³ – 18abcని కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
27a³ + b³ + 8c³ – 18abc
= (32)³ + (b)³ + (2c)³ – 3(3a) (b) (2c)
= (3a + b + 2c) (9a² + b² + 4c² – 3ab – 2bc – 6ca)

ప్రయత్నించండి

1. x చరరాశితో కూడిన ద్విపదిని రాయండి. (పేజీ నెం. 31)
సాధన.
x చరరాశితో కూడిన ద్విపది 2x + 3x².

2. p చరరాశితో కూడిన 15 పదాలుండే బహుపదిని మీరు ఎలా రాస్తారు ? (పేజీ నెం. 31)
సాధన.
a₁₄P¹⁴ + a₁₃p¹³ + a₁₂p¹² + …… + a₁p + a₀

3. కింది బహుపదుల శూన్య విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 34)
1. 2x – 3
సాధన.
2x – 3 = 0
2x = 3
x = [latex]\frac {3}{2}[/latex]
∴ 2x – 3 యొక్క శూన్య విలువ [latex]\frac {3}{2}[/latex]

2. x² – 5x + 6
సాధన.
x² – 5x + 6 = 0
= x² – 3x – 2x + 6 = 0
= x(x – 3) – 2 (x – 3) = 0
= (x – 2) (x – 3) = 0
⇒ x – 2 = 0 లేక x – 3 = 0
⇒ x = 2 లేక x = 3
∴ x2 – 5x + 6 యొక్క శూన్య విలువలు 2 లేక 3.

3. x + 5
సాధన.
x + 5 = 0
x = -5
∴ x + 5 యొక్క శూన్య విలువ x = – 5.

4. xⁿ – 1 అను బహుపదికి (x – 1) ఒక కారణాంకమని చూపండి. (పేజీ నెం. 45)
సాధన.
p(x) = xⁿ – 1 అనుకొనుము.
x = 1 అయిన p(1) = 1ⁿ – 1 = 1 – 1 = 0
∴ p(1) = 0
∴ p(x) కు (x – 1) ఒక కారణాంకము.

5. కింది సర్వసమీకరణాలకు కూడా పటాలను గీచి నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 49)
i) (x + y)² ≡ x² + 2xy + y²
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions 3
సోపానం – 1: పటం – I వైశాల్యం = x · x = x²
సోపానం – 2 : పటం – II వైశాల్యం = x · y = xy
సోపానం – 3 : పటం – III వైశాల్యం = x · y = xy
సోపానం – 4 :.పటం – IV వైశాల్యం = y · y = y²
పెద్ద చతురస్ర వైశాల్యం = I, II, III మరియు IV ల వైశాల్యాల మొత్తము
∴ (x + y) (x + y) = x² + xy + xy + y²
(x + y)² = x² + 2xy + y²

ii) (x + y) (x + y) ≡ x² – y²
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions 4
సోపానం – 1 : పటం – I వైశాల్యం
= x (x – y) = x² – xy

సోపానం – 2 : పటం – II వైశాల్యం = (x – y) y = xy – y²
పెద్ద దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = I & II ల వైశాల్యాల మొత్తం
(x + y) (x – y) = x² – xy + xy – y² = x² – y²
∴ (x + y) (x – y) ≡ x² – y²

iii) (x + a) (x + b) ≡ x² + (a + b) x + ab
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions 5
సోపానం – 1 : పటం – I వైశాల్యం = x²
సోపానం – 2 : పటం – II వైశాల్యం = ax
సోపానం – 3 : పటం – III వైశాల్యం = bx
సోపానం – 4 : పటం – IV వైశాల్యం = ab
∴ పెద్ద దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = నాలుగు పటముల వైశాల్యాల మొత్తము
∴ (x + a) (x + b) = x² + ax + bx + ab
(x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab

6. (x – y)3 లబ్దంను గుణకారం చేయకుండా ఎలా కనుగొంటారు ? లభాన్ని గుణకారం చేసి సరిచూడండి. (పేజీ నెం.52)
సాధన.
(x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – 3y³
గుణకారం చేయగా, (∵ సర్వసమీకరణం)
(x – y)³ = (x – y)² (x – y)
= (x² – 2xy + y²) (x – y)
= x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
= x³ – 3x²y + 3xy² – y³
రెండూ సమానము.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. కింది సమాసాలలో ఏవి. బహుపదులు ? ఏవి కావు ? కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం.28)
i) 4x² + 5x – 2
ii) y² – 8
iii) 5
iv) 2x²+ [latex]\frac{3}{x}[/latex] – 5
v) [latex]\sqrt{3}[/latex]x² + 5y
vi) [latex]\frac{1}{x+1}[/latex]
vii) [latex]\sqrt{x}[/latex]
viii) 3xyz
సాధన.
i) 4x² + 5x – 2 – బహుపది.
ii) y² – 8 – బహుపది
iii) 5 – బహుపది
iv) 2x²+ [latex]\frac{3}{x}[/latex] – 5 – బహుపది కాదు
v) [latex]\sqrt{3}[/latex]x² + 5y – బహుపది
vi) [latex]\frac{1}{x+1}[/latex] – బహుపది కాదు
vii) [latex]\sqrt{x}[/latex] – బహుపది కాదు
viii) 3xyz – బహుపది
ఎందుకనగా వీటి చరరాశుల యొక్క ఘాతాలు – 1, -[latex]\frac {1}{2}[/latex]ల వంటి ఋణ పూర్ణసంఖ్య అయినది కావున.

2. ఒక చరరాశితో కూడిన 3వ పరిమాణ ఘనబహుపదిలో ఎన్ని పదాలుంటాయి ? కొన్ని ఉదాహరణలివ్వండి. (పేజీ నెం.31)
సాధన.
ఒక చరరాశితో కూడిన 3వ పరిమాణ ఘనబహుపదిలో గరిష్ఠంగా 4 పదాలుంటాయి.
ఉదా : x³ + 0, 2x³ + 2, 3y³ + 4y² + 4

3. వర్గ బహుపదికి రెండు శూన్య విలువలుంటాయి. మరి ‘n’వ పరిమాణ బహుపదికి ఎన్ని శూన్య విలువలుంటాయో చెప్పగలరా ? (పేజీ నెం.36) సాధన.
‘n’ వ పరిమాణ బహుపదికి ‘n’ శూన్య విలువలు ఉంటాయి.

శేష సిద్ధాంతము :

p(x) అనేది ఒక ఏక పరిమాణ లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ గరిష్ఠ పరిమాణంగల బహుపది మరియు ‘a’ అనేది వాస్తవ సంఖ్య అయినప్పుడు p(x) ను రేఖీయ బహుపది (x – a) చే భాగిస్తే వచ్చు శేషం p(a) అగును.
పై సిద్ధాంత నిరూపణను పరిశీలిద్దాం. (పేజీ నెం. 40)
ఉపపత్తి :
ఏకపరిమాణ లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ గరిష్ఠ పరిమాణంగల బహుపది p(x) ను తీసుకుందాం.
p(x) ను రేఖీయ బహుపది g(x) = (x – a) చే భాగించునప్పుడు భాగఫలం q(x) మరియు శేషం r(x) అనుకుందాం. అంటే p(x) మరియు g(x) అనేవి రెండు బహుపదులు అయిన సందర్భంలో p(x) యొక్క పరిమాణం ≥g(x) యొక్క పరిమాణం మరియు g(x) ≠ 0 అయితే మనకు q(x) మరియు r(x) అనే మరొక రెండు బహుపదులు వస్తాయి. ఇందులో r(x) = 0 లేదా r(x) పరిమాణం ఎప్పుడూ g(x) పరిమాణం కన్నా తక్కువగా ఉంటుంది.
భాగహార నియమం ప్రకారం
p(x) = g(x) · q(x) + r(x) గా రాయవచ్చు.
∴ p(x) = (x – a) · q(8) + r(x)
(∵ g(x) = (x – a))
(x – a) పరిమాణం 1 మరియు r(x) పరిమాణం (x – a) పరిమాణం కన్నా తక్కువ కనుక.
∴ r(x) పరిమాణం = 0, అంటే r(x) ఒక స్థిరరాశి.
దీనిని ‘K’ అనుకుంటే, ప్రతి వాస్తవ విలువ x కు r(x) = K.
కావున p(x) = (x – a) q(x) + K అగును.
x = a అయిన p(a) = (a – a) q(a) + K
= 0 + K = K
కావున సిద్ధాంతం నిరూపించబడినది.

కారణాంక సిద్ధాంతము :

బహుపది పరిమాణం n ≥ 1 గా గల బహుపది p(x) మరియు ‘a’ ఏదేని వాస్తవ సంఖ్య అయినపుడు (i) p(a) = 0 అయిన (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం అగును మరియు (ii) (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం అయిన p(a) = 1 అగును. ఈ సిద్ధాంతం యొక్క సరళతరమైన నిరూపణ పరిశీలిద్దాం. (పేజీ నెం.43)
ఉపపత్తి :
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం
p(x) = (x – a) q(x) + p(a)
i) p(a) = 0 అయిన సందర్భంలో p(x) = (x – a) q(x) + 0 అగును.
= (x – a) q(x)
దీనిని బట్టి p(x) కు (x – a) కారణాంకమని చెప్పవచ్చు. నిరూపించబడింది.

ii) ఇదే విధంగా (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం కావున p(x) = (x – a) సత్యం అవుతుంది. అనేది మరొక బహుపది.
∴ p(a) = (a – a) q(a)
= 0
∴ కావున (x – a) అనేది p(x) కు కారణాంకం అయిన p(a) = 0 అయినది.
ఈ విధంగా సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణలు

1. p(x) = x + 2 అయిన p(1), p(2), p(-1) మరియు p(-2) లను కనుగొనండి. బహుపది x + 2 యొక్క శూన్య విలువలు (పేజీ నెం.34)
సాధన.
p(x) = x + 2
x కు బదులు 1 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(1) = 1 + 2 = 3
అలాగే xకు బదులు 2 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(2) = 2 + 2 = 4
x బదులు – 1 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(-1) = – 1 + 2 = 1
x బదులు – 2 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(-2) = – 2 + 2 = 0.
దీనిని బట్టి 1, 2, -1 అనేవి ఇచ్చిన బహుపదికి శూన్య విలువలు కాలేదు. p (-2) = 0 అయినది కావున – 2 బహుపది శూన్య విలువ అయినది.

2. p(x) = 3x + 1 బహుపది యొక్క శూన్య విలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం.34)
సాధన.
p(x) యొక్క శూన్య విలువ కనుగొనడం అంటే బహుపది సమీకరణం. p(x) = 0 ను సాధన చేయడమే.
అనగా
3x + 1 = 0
3x = -1
x = -[latex]\frac {1}{3}[/latex]
కావున 3x + 1 బహుపది శూన్యవిలువ -[latex]\frac {1}{3}[/latex] అయినది.

3. బహుపది 2x – 1 యొక్క శూన్యవిలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 85)
సాధన.
p(x) యొక్క శూన్యవిలువ కనుగొనడం అంటే బహుపది సమీకరణం p(x) = 0 ను సాధించడమే.
కనుక p(x) = 2x – 1 అనుకోండి.
2x – 1 = 0 అవుతుంది.
x = [latex]\frac {1}{2}[/latex](ఎలా ?)
p([latex]\frac {1}{2}[/latex])విలువలను బహుపదిలో ప్రతిక్షేపించి సరిచూడండి.
ఇప్పుడు p(x) = ax + b, a ≠ 0, అయితే దీనిని రేఖీయ బహుపది అంటారు. దీని యొక్క శూన్యవిలువను ఎలా కనుగొంటారు ?
p(x) యొక్క శూన్యవిలువను కనుగొనాలంటే, p(x) = 0 బహుపది సమీకరణాన్ని సాధించాలి.
అంటే ax + b = 0, a ≠ 0
కావున ax = – ab
అనగా x = [latex]\frac{-b}{a}[/latex]
అందుచే x = [latex]\frac{-b}{a}[/latex] అనేది p(x) = ax + b యొక్క ఒకే ఒక శూన్యవిలువ అయినది. ఏక చరరాశిలోగల రేఖీయ బహుపదికి ఒకే ఒక శూన్య విలువ ఉంటుంది.

4. x² – 3x + 2 అనే బహుపదికి 2 మరియు 1 అనే విలువలు శూన్యాలవుతాయో, లేదో సరిచూడండి. (పేజీ నెం.36)
సాధన.
p(x) = x² – 3x + 2 అనుకొనుము.
x కు బదులు 2 ను ప్రతిక్షేపించగా
p(2) = (2)² – 3(2) + 2
= 4 – 6 + 2 = 0
అలాగే x ను 1 తో మార్చగా
p(1) = (1)² – 3(1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 0
కావున 2 మరియు 1 అనేవి రెండునూ x² – 3x + 2 యొక్క శూన్యవిలువలు అయినాయి.
శూన్యవిలువలు సరిచూడడానికి మరేమైనా విధానం ఉన్నదా ?
x² – 3x + 2 అనే బహుపది పరిమాణం ఎంత ? ఇది రేఖీయ బహుపది అవుతుందా ? కాదు. ఇది వర్గ బహుపది. కావున వర్గబహుపదికి రెండు శూన్యవిలువలు ఉంటాయని చెప్పవచ్చు.

5. x² + 2x – a అనే బహుపది యొక్క శూన్య విలువ 3 అయితే ‘a’ విలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం.36)
సాధన.
p(x) = x² + 2x – a అనుకొనుము.
బహుపది శూన్యవిలువ 3 కావున p(3) = 0.
x² + 2x – a = 0
x = 3 విలువ ప్రతిక్షేపించగా
(3)² + 2(3) – a = 0
9 + 6 – a = 0
15 – a = 0
-a = -15
లేదా a = 15

6. 3x² + x – 1 ను x + 1 చే భాగించండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
p(x) = 3x² + x – 1 మరియు q(x) = x + 1 అని తీసుకోండి.
p(x) ను q(x) చే భాగించాలి. మీరు ముందు తరగతులలో నేర్చుకున్న భాగహార విధానం గుర్తుకు తెచ్చుకోండి.
సోపానం 1 : [latex]\frac{3 x^{2}}{x}[/latex] = 3X భాగించగా ఇది భాగఫలంలో మొదటి పదం అగును.
సోపానం 2 : (x + 1) 3x = 3x² + 3x (గుణించగా)
3x + 3x నుండి 3x² + x, తీసివేయగా (-2x) వచ్చింది.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions 6
సోపానం 3 : [latex]\frac{-2 x}{x}[/latex] = – 2 (భాగించగా) ఇది భాగఫలంలో రెండవ షదం అయింది.
సోపానం 4 : (x + 1)(- 2) = – 2x – 2 (గుణించగా), దీనిని (- 2x – 1), నుండి తీసివేయగా ‘1’ వస్తుంది.
సోపానం 5 : భాగహారం ఆపివేసాం. శేషం 1 వచ్చింది. ఇది స్థిరరాశి. (స్థిరరాశిని ఎందుకు బహుపదితో భాగించలేమో చెప్పగలరా ?)
దీని నుండి మనకు భాగఫలం (3x – 2) మరియు శేషం (+1) వచ్చాయి.
గమనిక : భాగహార ప్రక్రియలో శేషం ‘సున్న’ గాని లేదా శేషం యొక్క పరిమాణం, విభాజక పరిమాణం కన్నా తక్కువైన సందర్భంలో ప్రక్రియ పూర్తయినదిగా భావిస్తాం .
ఇప్పుడు, దీని నుండి భాగహార సత్యాన్ని కింది విధంగా రాయవచ్చు.
3x² + x – 1 = (x + 1) (3x – 2) + 1
అంటే విభాజ్యం = (విభాజనం × భాగఫలం) + శేషం
ఈ బహుపది p(x) లో x కు బదులు – 1 ప్రతికేపించగా
p(x) = 3x² + x – 1
P(-1) = 3(-1)² + (-1) – 1
= 3(+1) + (-1) – 1 = 1.
[p(-1) యొక్క విలువ, భాగహారంలో శేషం (1) సమానమైనాయని మీరు భాగహారం చేసి పరిశీలించవచ్చు.]
కావున p(x) = 3x² + x – 1 ను (x + 1) చే భాగించగా వచ్చిన శేషం, p (-1) యొక్క విలువ అంటే x + 1 యొక్క శూన్య విలువ (i.e. x = -1) సమానం అయినాయి.

7. 2x⁴ – 4x³ – 3x – 1 అనే బహుపదిని (x – 1) చే భాగించి శేషాన్ని, విభాజకం యొక్క శూన్యవిలువతో సరిచూడండి. (పేజీ నెం.39)
సాధన.
f(x) = 2x⁴ – 4x³ – 3x – 1 అనుకోండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions 7
పొడవు భాగహార పద్ధతిలో, మనం మొదట 2x⁴, x ను ఎన్నిసార్లు హెచ్చిస్తే వస్తుందో చూడాలి.
[latex]\frac{2 x^{4}}{x}[/latex] = 2x³
ఇప్పుడు (x – 1) (2x³) = 2x⁴ – 2x³ గా గుణించాలి.
తిరిగి శేషంలో మొదటి పదం చూడాలి. (అంటే – 2×3) ఈ విధంగా భాగహారం పూర్తి చేయాలి.
ఇచ్చట భాగఫలం 2x³ – 2x² – 2x – 5 మరియు శేషం – 6 వచ్చింది.
ఇప్పుడు (x – 1) యొక్క శూన్య విలువ 1 కావున
x = 1 ని f(x) లో ప్రతిక్షేపిస్తే
f(x) = 2x⁴ – 4x³ – 3x – 1
f(1) = 2(1) – 4(1)³ – 3(1) – 1
= 2(1) – 4(1) – 3(1) – 1
= 2 – 4 – 3 – 1 = -6
భాగహారంలో వచ్చిన శేషం మరియు బహుపది f(x) నకు (x – 1) యొక్క శూన్య విలువ సమానమేనా ?

8. x3 + 1 ను (x + 1) తో భాగిస్తే వచ్చే శేషం కనుగొనుము. (పేజీ నెం.41)
సాధన.
ఇచ్చట p(x) = x³ + 1
రేఖీయ బహుపది x + 1 శూన్య విలువ -1
[x + 1 = 0 కావున x = -1]
x లో -1 ను ప్రతిక్షేపిస్తే
p(-1) = (-1)³ + 1 = – 1 + 1 = 0
కావున శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం (x³ + 1) ను (x + 1) చే భాగించగా ‘సున్న’ శేషం వచ్చింది.
దీని కొరకు x³ + 1 ను x + 1 చే భాగహారం చేసి సరిచూడవచ్చు.
ఇక్కడ (x + 1) ను (x³ + 1) కు కారణాంకమని నీవు చెప్పగలవా ?

9. x³ – 2x² – 5x + 4 బహుపదికి (x – 2) కారణాంకమా ? సరిచూడండి. (పేజీ నెం.41)
సాధన.
p(x) = x³ – 2x² – 5x + 4 అనుకోండి.
ఇచ్చిన బహుపదికి (x – 2) కారణాంకం అవునో లేదో తెలుసుకోవాలంటే
(x – 2) యొక్క శూన్యవిలువ 2 తో x కు బదులు ప్రతిక్షేపించాలి.
అనగా x – 2 = 0 ⇒ x = 2.
p(2) = (2)³ – 2(2)² – 5(2) + 4
= 8 – 2(4) – 10 + 4
= 8 – 8 – 10 + 4 = – 6.
శేషం ‘సున్న’ కానందున x³ – 2x² – 5x + 4 బహుపదికి (x – 2) కారణాంకం కాదు.

10. p(y) = 4y³ + 4y² – y – 1 అను బహుపది (2y + 1) నకు గుణిజం అవుతుందా ? సరిచూడండి. (పేజీ నెం.41)
సాధన.
p(y) ను (2y + 1) కచ్చితంగా భాగిస్తే p(y) కు (2y + 1) గుణిజం అవుతుందని మీకు తెలుసు.
అందువలన 2y + 1 యొక్క శూన్యవిలువ
అనగా y = [latex]\frac {-1}{2}[/latex], P(y) లో [latex]\frac {-1}{2}[/latex] ను ప్రతిక్షేపిస్తే
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions 8
కావున (2y + 1) అనేది p(y) కు కారణాంకం అయినది. దీనిని బట్టి p(y) అనేది (2y + 1) కి గుణిజం అని చెప్పవచ్చు.

11. ax³ + 3x² – 13 మరియు 2x³ – 5x + a అను బహుపదులు (x – 2) చే భాగించునప్పుడు శేషాలు సమానం అయితే ‘a’ విలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం.42)
సాధన.
p(x) = ax³ + 3x² – 13 మరియు
q(x) = 2x³ – 5x + a అనుకుందాం.
∵ p(x) మరియు q(x) లను (x – 2) చే భాగిస్తే శేషాలు సమానం.
∴ p(2) = q(2)
a(2)³ + 3(2)² – 13 = 2(2)³ – 5(2) + a
8a + 12 – 13 = 16 – 10 + a
8a – 1 = a + 6
8a – a = 6 + 1
7a = 7
a = 1

12. x³ + 2x² + 3x + 6 అనే బహుపదికి (x + 2) కారణాంకం అవుతుందా ? (పేజీ నెం.44)
సాధన.
p(x) = x³ + 2x²+ 3x + 6 మరియు
g(x) = x + 2 అనుకొనుము.
g(x) యొక్క శూన్య విలువ – 2
కావున p(-2) = (-2)³ + 2(-2)² + 3(-2) + 6
= -8+ 2(4) – 6 + 6
= – 8 + 8 – 6 + 6 = 0
కావున, కారణాంక సిద్ధాంతం ప్రకారం ఇచ్చిన బహుపది x³ + 2x² + 3x + 6 కు (x + 2) కారణాంకం అవుతుంది.

13. 2x³ – 9x² + x + K అను బహుపది సమాసానికి (2x – 3) కారణాంకం అయితే K విలువ కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 44)
సాధన.
(2x – 3) అనేది p(x) = 2x³ – 9x² + x + K బహుపదికి కారణాంకం.
(2x – 3) = 0 అయితే x = [latex]\frac {3}{2}[/latex]
∴ (2x – 3) యొక్క శూన్యవిలువ [latex]\frac {3}{2}[/latex]
అందుచే (2x – 3) అనేది p(x) కు కారణాంకం అయిన p([latex]\frac {3}{2}[/latex]) = 0 అగును.
p(x) = 2x³ – 9x² + x + K
⇒ P([latex]\frac {3}{2}[/latex]) = 2([latex]\frac {3}{2}[/latex])3 – 9([latex]\frac {3}{2}[/latex])2 + [latex]\frac {3}{2}[/latex] + K = 0
⇒ 2([latex]\frac {27}{8}[/latex]) – 9([latex]\frac {9}{4}[/latex]) + [latex]\frac {3}{2}[/latex] + K = 0
⇒ [latex]\left(\frac{27}{4}-\frac{81}{4}+\frac{3}{2}+K=0\right)[/latex] × 4
27 – 48 + 6 + 4K = 0
-48 + 4K = 0
4K = 48
కావున K = 12

14. (x – 1) అనేది x¹⁰ – 1 అనే బహుపది కారణాంకమని నిరూపించండి. ఇదే విధంగా x¹¹ – 1కు కూడా కారణాంకమని చూపండి. (పేజీ నెం. 45)
సాధన.
p(x) = x¹⁰– 1 మరియు g(x) = x¹¹ – 1 అనుకొనుము.
(x – 1) రెండు బహుపదులు p(x) మరియు g(x) లకు కారణాంకమౌతుందని చూపాలంటే p(1) = 0 మరియు g(1) = 0 అని చూపితే సరిపోతుంది.
ఇప్పుడు
p(x) = x¹⁰ – 1 మరియు g(x) = x¹¹ – 1
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన InText Questions 9
కనుక కారణాంక సిద్ధాంతం ప్రకారం (x – 1) అనేది p(x) మరియు g(x) లకు కారణాంకం అయినది.

15. 3x² + 11x + 6 ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం.46)
సాధన.
p, q లు అనేవి రెండు సంఖ్యలు మరియు
p + q = 11 మరియు pq = 3 × 6 = 18
సందర్భంలో p, q లను కనుగొనాలంటే
18 లబ్దంగా రాయగలిగే కారణాంకాల జతలను పరిశీలిస్తే (1, 18), (2, 9), (3, 6) జతలలో, (2, 9) జత p + q = 11 ను తృప్తి పరుస్తాయి.
కావున 3x² + 11x + 6 = 3x² + 2x + 9x + 6
= x(3x + 2) + 3(3x+2)
= (3x + 2) (x + 3)

16. 2x⁴ – 6x³ + 3x² + 3x – 2 అనే బహుపది x² – 3x + 2 చే భాగింపబడుతుందా ? సరిచూడండి. కారణాంక సిద్ధాంతం ఉపయోగించి ఏ విధంగా సరిచూస్తారు ? (పేజీ నెం.46)
సాధన.
విభాజకం ఒక రేఖీయ బహుపది కాదు. ఇది ఒక వర్గ బహుపది. వర్గబహుపది యొక్క మధ్య పదాన్ని విభజించి కారణాంకాలుగా కనుగొనుట మీరు నేర్చుకున్నారు కదా! ఆ విధంగా చేస్తే
x² – 3x + 2 = x² – 2x – x + 2
= x(x – 2) – 1 (x- 2)
= (x – 2) (x – 1)
2x⁴ – 6x³ + 3x² + 3x – 2 అనే బహుపదికి x² – 3x + 2 వర్గ బహుపది కారణాంకమని చూపాలంటే, (x – 2) మరియు (x – 1) లను కారణాంకాలుగా చూపాలి.
కావున p(x) = 2x⁴ – 6x³ + 3x² + 3x – 2 తీసుకుంటే
p(x) కు (x – 2) కారణాంకం అయిన
p(2) = 2(2)⁴ – 6(2)³ + 3(2)² + 3(2) – 2
= 2(16) – 6(8) + 3(4) + 6 – 2
= 32 – 48 + 12 + 6 – 2
= 50 – 50 = 0
p(2) = 0 కావున p(x) కు (x – 2) కారణాంకం అవుతుంది.
మరొక కారణాంకం (x – 1), p(x) కు కారణాంకం కావాలంటే
p(1) = 2(1)⁴ – 6(1)³ + 3(1)² + 3(1) – 2
= 2(1) – 6(1) + 3(1) + 3 – 2
= 2 – 6 + 3 + 3 – 2
= 8 – 8 = 0
∴ p(1) = 0 అయినందున. (x – 1) అనేది p(x)కు కారణాంకం అయింది.
(x – 2) మరియు (x – 1) రెండునూ p(x) కు కారణాంకాలైనందున వాటి లబ్ధం x² – 3x + 2 కూడా p(x) = 2x⁴ – 6x³ + 3x² + 3x – 2 కు కారణాంకం అవుతుంది.

17. x³ – 23x²+ 142x – 120 ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం.47)
సాధన.
p(x) = x³ – 23x² + 142x – 120 అనుకొనండి.
వీటితో ప్రయత్నిస్తే మనకు p(1) = 0 అవుతుంది (సరిచూడండి).
కావున p(x) కు (x – 1) కారణాంకం అవుతుంది.
తర్వాత p (x) ను (x – 1) చే భాగిస్తే మనకు x² – 22x + 120 వస్తుంది.
దీని కారణాంక విభజన మరొక విధంగా చేసి చూద్దాం
x³ – 23x² + 142x – 120
= x³ – x² – 22x² + 22x + 120x – 120
= x²(x – 1) – 22x(x – 1) + 120 (x – 1)
(ఎలా ?)
= (x – 1) (x² – 22x + 120)
ఇప్పుడు x² – 22x + 120 వర్గబహుపది కావున, మధ్యపదంను విడదీసి కారణాంకాలు కనుగొందాం.
x² – 22x + 120 = x² – 12x – 10x + 120
= x(x – 12) – 10(x – 12)
= (x – 12) (x – 10)
కావున x³ – 23x² + 142x – 120
= (x – 1)(x – 10)(x – 12) అయినది.

18. కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 49)
(i) x2 + 5x + 4
(ii) 9x² – 25
(iii) 25a² + 40ab + 16b²
(iv) 49x² – 112xy + 64y²
సాధన.
i) ఇచ్చట x² + 5x + 4 = x²+ (4 + 1)x + (4) (1)
ఈ బహుపదిని (x + a) (x + b).
≡ x² + (a + b)x + ab
అనే సర్వసమీకరణంతో పోల్చగా మనకు (x + 4) (x + 1) వస్తుంది.

ii) 9x² – 25 = (3x)² – (5)2
దీనిని x² – y² ≡ (x + y) (x – y) అను సర్వసమీకరణంతో పోల్చగా
∴ 9x² – 25 = (3x + 5) (3x – 5) అగును.

iii) ఇచ్చట బహుపది 25a² + 40ab + 16b²
= (5a)² + 2(5a) (4b) + (4b)²
ఈ సమాసాన్ని x² + 2xy + y² తో పోల్చగా, x = 5a మరియు y = 4b అని పరిశీలించవచ్చు.
(x + y)² ≡ x² + 2xy + y² సర్వసమీకరణము వినియోగిస్తే
మనకు 25a² + 40ab + 16b² = (5a + 4b)²
= (5a + 4b) (5a + 4b) అగును.

iv) ఇచ్చట 49x²– 112xy + 64y², మనకు
49x² = (7x)², 64y² = (8y)² మరియు 112 xy = 2(7x) (8y) అని తెలుస్తున్నది.
దీనిని సర్వసమీకరణం (x – y)² ≡ x² – 2xy + y² తో పోల్చగా
మనకు 49x² – 112xy + 64y²
= (7x)² = 2(7x) (8y) + (8y)²
= (7x – 8y)²
= (7x – 8y) (7x – 8y) అయినది.

19. (2a + 3b + 5)² ను సర్వసమీకరణం ద్వారా విస్తరించండి. (పేజీ నెం.51)
సాధన.
ఇచ్చిన సమాసంను (x + y + z)² తో పోల్చగా,
మనకు x = 24, y = 3b మరియు z = 5 వస్తాయి.
అందువలన సర్వసమీకరణం V, ద్వారా మనం (2a + 3b + 5)² = (2a)² + (3b)² + (5)² + 2(2a)(3b) + 2(3b) (5) + 2(5) (2a)
= 4a² + 9b² + 25 + 12ab + 30b + 20a.

20. (5x – y + z) (5x – y + z) యొక్క లబ్దాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం.51)
సాధన.
ఇచ్చట (5x – y + z) (5x – y + z)
= (5x + y + z)²
= [5x + (-y) + z]²
అందువలన మనం సర్వసమీకరణం V,
(x + y + z)² ≡ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx తో పోల్చగా మనకు
(5x + (-y) + z)² = (5x)² + (-y)² + (2)² + 2(5x) (-y) + 2(-y) (z) + 2(z) (5x)
= 25x² + y² + z² – 10xy – 2yz + 10zx

21. 4x² + 9y² + 25z² – 12xy – 30yz + 20zx ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ 38.51)
సాధన.
మనకు
4x² + 9y² + 25z² – 12xy – 30yz + 20zx
= [(2x)² + (-3y)² + (5z)² + 2(2x) (-3y) + 2(-3y)(5z) + 2(5z)(2x)]
సర్వ సమీకరణం V తో పోల్చగా
(x + y + z)² ≡ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx
మనకు = (2x – 3y + 5z)²
= (2x – 3y + 5z)(2x – 3y + 5z)

22. కింది ఘనాలను విస్తరించండి. (పేజీ నెం.53)
(1) (2a + 3b)³ (ii) (2p – 5)³
సాధన.
i) ఇచ్చిన సమాసాన్ని (x + y)3 తో పోల్చగా,
మనకు x = 2a మరియు y = 3b అగును.
కావున, సర్వసమీకరణం VI, వాడితే (2a + 3b)³
= (2a)³ + (3b)³ + 3(2a)(3b) (2a + 3b)
= 8a³ + 27b³ + 18ab (2a + 3b)
= 8a³ + 27b³ + 36a²b + 54 ab²
= 8a³ + 36a²b + 54ab² + 27b³

ii) ఇచ్చిన సమాసాన్ని (x – y) తో పోల్చగా, మనకు.
x = 2p మరియు y = 5 అగును.
కావున, సర్వసమీకరణం VII, వాడితే, (2p – 5)³
= (2p)³ – (5)³ – 3(2p)(5) (2p – 5)
= 8p3 – 125 – 30p (2p – 5)
= 8p3 – 125 – 60p² + 150p
= 8p3 – 60p² + 150p – 125.

23. కింది వానిని తగిన సర్వసమీకరణాలు ఉపయోగించి గణించండి. (పేజీ నెం.53)
(i) (103)³
(ii) (99)³
సాధన.
i) మనకు (103)³ = (100 + 3)³ వచ్చును.
దీనిని (x + y)³ ≡ x³ + y³ + 3xy(x + y) తో పోల్చగా, మనకు
= (100)³ + (3)³ + 3(100) (3) (100 + 3)
= 1000000 + 27 + 900(103)
= 1000000 + 27 + 92700
= 1092727

ii) మనకు (99)³ = (100 – 1)³
దీనిని (x – y)³ ≡ x – y – 3xy(x – y) తో పోల్చగా, మనకు
= (100)³ – (1)³ – 3(100) (1) (100 – 1)
= 1000000 – 1 – 300 (99)
= 1000000 – 1 – 29700
= 970299.

24. 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³ కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం.54)
సాధన.
ఇచ్చిన సమాసాన్ని మనం దిగువ విధంగా రాస్తే
8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³
= (2x)³+ 3(2x)² (3y) + 3(2x) (3y)² + (3y)³
దీనిని సర్వసమీకరణం VI తో పోల్చగా
(x + y)³ ≡ x³ + 3x²y + 3xy² + y²
మనకు = (2x + 3y)³
= (2x + 3y) (2x + 3y) (2x + 3y) కారణాంకాలుగా వస్తాయి.

25. లబ్ధం కనుగొనండి. (పేజీ నెం.54)
(2a + b + c) (4a² + b² + c² – 2ab – bc – 2ca)
సాధన.
ఇవ్వబడిన లబ్దాన్ని దిగువ విధంగా రాయవచ్చు.
= (2a + b + c) [(2a)² + b² + c² – (2a)(b) – (b)(c) – (c) (2a)]
సమీకరణం VIII తో పోల్చగా
(x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
≡ x³ + y³ + z³ – 3xyz
= (2a)³ + (b)³ + (c)³ – 3(2a) (b) (c)
= 8a³ + b³ + c³ – 6abc

26. a³ – 8b³ – 64c³ – 24abc ను కారణాంకాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం.55)
సాధన.
ఇవ్వబడిన సమాసం
a³ – 8b³ – 64c³ – 24abc
= (a)³ + (-2b)³ + (-4c)³ – 3(a)(-2b) (-4c)
దీనిని సర్వసమీకరణం VIII తో సరిపోల్చగా
x³ + y³ + z³ – 3xyz
≡ (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
మనకు
= (a – 2b – 4c) [(a)² + (-2b)² + (-4c)² – (a) (-2b) – (-2b) (-4c) – (-4c) (a)]
= (a – 2b – 4c) (a² + 4b² + 16c² + 2ab – 8bc + 4ca) కారణాంకాలుగా వస్తాయి.

27. ఒక దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం 2x² + 9x – 5 అయిన దీర్ఘచతురస్ర పొడవు, వెడల్పులకు తగిన అనుకూల కొలతల విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు, వెడల్పులను l, b లుగా తీసుకోండి.
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం = 2x² + 9x – 5
lb = 2x² + 9x – 5
= 2x² + 10x – x – 5
= 2x(x + 5) – 1(x + 5)
= (x + 5) (2x – 1)
l, b లకు తగిన అనుకూల కొలతల విలువలు తీసుకుంటే
∴పొడవు = (x + 5)
వెడల్పు = (2x – 1)
x = 1 అయిన l = 6, b = 1
x = 2 అయిన l = 7, b = 3
x = 3 అయిన l = 8, b = 5
…………….
…………….

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి Exercise 10.1

March 3, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి Exercise 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 10th Lesson క్షేత్రమితి Exercise 10.1

ప్రశ్న 1.
క్రమవృత్తాకార శంఖువు ఆకారములో నున్న జోకర్ టోపి యొక్క భూవ్యాసార్ధము 7. సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 24 సెం.మీ. ఇటువంటి 10 టోపిలను తయారు చేయడానికి కావలసిన గట్టి అట్టముక్క (షీట్) యొక్క పరిమాణము ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి Exercise 10.1 1

ఇచ్చినవి : శంఖువు ఆకార టోపి ,
వ్యాసార్ధం (r) = 7 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 24 సెం.మీ.
∴ ఏటవాలు ఎత్తు (l) = [latex]\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}[/latex]
= [latex]\sqrt{7^{2}+24^{2}}[/latex]
= [latex]\sqrt{49+576}=\sqrt{625}[/latex]
= 25 సెం.మీ.
∴ ఒక టోపి తయారుచేయుటకు కావలసిన బట్ట యొక్క పరిమాణం = శంఖువు యొక్క ప్రక్కతల వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 7 × 25 = 550 చ.సెం.మీ.
∴ 10 టోపీలను తయారుచేయుటకు అవసరం అగు బట్ట పరిమాణం = 10 × 550
= 5500 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
క్రీడా వస్తువులను తయారుచేసే కంపెనీ షటిల్ కాట్లను నిల్వ చేసేందుకు 100 స్థూపాకార కాగితపు డబ్బాలను తయారు చేయాలనుకొంది. స్థూపాకారపు డబ్బా యొక్క కొలతలు 35 సెం.మీ పొడవు/ఎత్తు మరియు భూ వ్యాసార్ధము 7 సెం.మీ ఉండే విధముగా మూతలులేని 100 డబ్బాలను తయారు చేయడానికి కావలసిన కాగితపు పరిమాణము ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి Exercise 10.1 2

ఇచ్చినవి :
స్థూపాకార కాగితపు డబ్బా వ్యాసార్ధం (r) = 7 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 35 సెం.మీ.
∴ ఒక స్థూపాకారపు డబ్బా తయారు r = 7 సెం.మీ.
చేయుటకు కావలసిన కాగితపు పరిమాణం = స్థూపం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 2πrh
= 2 × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × (7) × (35)
= 1540 చ. సెం.మీ.
∴ 100 స్థూపాకారపు డబ్బాలు తయారుచేయుటకు అవసరం అగు కాగితపు పరిమాణం.
= 1540 × 100 = 154000 చ.సెం.మీ.
= [latex]\frac{154000}{100 \times 100}[/latex]
= 15.4 చ|| మీ.

ప్రశ్న 3.
6 సెం.మీ భూవ్యాసార్ధము, 7 సెం.మీ ఎత్తు కల్గిన క్రమ వృత్తాకార శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుక్కోండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి Exercise 10.1 3

ఇచ్చినవి :
శంఖువు భూవ్యాసార్ధం (r) = 6 సెం.మీ.
శంఖువు యొక్క ఎత్తు (h) = 7 సెం.మీ.
శంఖువు ఘనపరిమాణము = [latex]\frac{1}{3}[/latex] πr²h
= [latex]\frac{1}{3}[/latex] × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 6 × 6 × 7
= 264 ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
ఒక స్థూపము యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము, శంఖువు యొక్క వక్రతల వైశాల్యమునకు సమానము. రెండింటి యొక్క భూవ్యాసార్ధములు సమానము అయిన స్థూపము యొక్క ఎత్తు, శంఖువు యొక్క ఏటవాలు ఎత్తుల నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి Exercise 10.1 4

స్థూపము, శంఖువు యొక్క భూవ్యాసార్ధములు సమానము.

CSA/ LSA స్థూపం యొక్క = 2πrh
CSA శంఖువు యొక్క = πrl
స్థూపం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం, శంఖువు యొక్క వక్రతల వైశాల్యానికి సమానం.
2πrh = πrl
[latex]\frac{\mathrm{h}}{l}=\frac{\pi \mathrm{r}}{2 \pi \mathrm{r}}[/latex];
[latex]\frac{\mathrm{h}}{l}=\frac{1}{2}[/latex]
⇒ h : 1 = 1 : 2.

ప్రశ్న 5.
ఒక స్వయం సహాయక బృందం 3 సెం.మీ. భూవ్యాసార్ధం మరియు 4 సెం.మీ ఎత్తు కలి శంఖువు ఆకారములో ఉన్న జోకర్ టోపీలను తయారు చేయాలనుకొంది. వారు 1000 చ.సెం.మీ రంగు కాగితము కలిగి యున్నచో దాని ద్వారా ఎన్ని టోపీలను తయారు చేయగలరు ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి Exercise 10.1 5

ఇచ్చినవి :
శంఖువు యొక్క వ్యాసార్ధం (r) = 3 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 4 సెం.మీ.
ఏటవాలు ఎత్తు (l) = [latex]\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}[/latex]
= [latex]\sqrt{3^{2}+4^{2}}[/latex]
= 5 సెం.మీ.
శంఖువు ఆకార టోపీ వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 3 × 5 చ.సెం.మీ.
∴ 1000 చ. సెం.మీ. కలిగిన కాగితం ద్వారా [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 3 × 5 చ.సెం.మీ.
వైశాల్యం గల టోపీలను తయారుచేయగల సంఖ్య = [latex]\frac{1000}{\frac{22}{7} \times 3 \times 5}[/latex]
= [latex]\frac{1000 \times 7}{66 \times 5}[/latex]
= 21 . 21 = 21

ప్రశ్న 6.
ఒక స్థూపము మరియు శంఖువు సమాన భూవ్యాసార్ధమును మరియు ఎత్తును కల్గియున్నాయి. అయినచో వాటి ఘనపరిమాణముల నిష్పత్తి 3 : 1 అని చూపుము.
సాధన.
శంఖువు ఘనపరిమాణం (V₁) = [latex]\frac{1}{3}[/latex] π²h
స్థూపం ఘనపరిమాణం (V₂) = πr²h
లెక్క ప్రకారం, స్థూపం మరియు శంఖువు ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి = [latex]\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{\pi r^{2} h}{\frac{1}{3} \pi r^{2} h}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{1}[/latex] = 3 : 1
∴ V₁ : V₂ = 3 : 1

ప్రశ్న 7.
స్థూపాకారముగా ఉన్న ఇనుప కడ్డీ యొక్క ఎత్తు 11 సెం.మీ. ‘మరియు భూవ్యాసము 7 సెం.మీ. అయినచో ఇటువంటి 50 ఇనుపకడ్డీల యొక్క మొత్తము ఘనపరిమాణము ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి Exercise 10.6

ఇచ్చినవి : స్థూపాకార వ్యాసం (d) = 7 సెం.మీ.
వ్యాసార్థం (r) = [latex]\frac{7}{2}[/latex] సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 11 సెం.మీ.
ఒక స్థూపాకార కడ్డీ ఘనపరిమాణం = πr²h
= [latex]\frac{22}{7}[/latex] × [latex]\frac{7}{2}[/latex] × [latex]\frac{7}{2}[/latex] × 11
= [latex]\frac{22 \times 77}{2 \times 2}=\frac{11 \times 77}{2}[/latex] ఘ. సెం.మీ.
అటువంటి 50 స్థూపాకార కడ్డీల మొత్తం ఘనపరిమాణం (V) = [latex]=\frac{11 \times 77}{2}[/latex] × 50
= 11 × 77 × 25
= 21175 ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 8.
ఒక ధాన్యపురాశి 12 మీటర్ల భూవ్యాసము మరియు 8 మీటర్ల ఎత్తు కల్గిన శంఖువు వలే ఉన్నది. అయనచో దాని ఘనపరిమాణము ఎంత ? ఆ ధాన్యపురాశిని కప్పడానికి కావలసిన గుడ్డ పరిమాణము ఎంత ? (π = 3.14 గా తీసుకొనుము)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి Exercise 10.1 7

ఇచ్చినవి : శంఖువు ఆకారపు ధాన్యరాశి భూవ్యాసము (d) = 12 మీ.
∴ భూవ్యాసార్ధం = [latex]\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{12}{2}[/latex] = 6 మీ.
శంఖువు ఎత్తు (h) = 8 మీ.
శంఖువాకారపు ధాన్యరాశి ఘనపరిమాణం V = [latex]\frac{1}{3}[/latex] πr²h
= [latex]\frac{1}{3}[/latex] × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 6 × 6 × 8
= 3.14 × 96 = 301.44 మీ³.
ఆ ధాన్యపు రాశిని కప్పడానికి కావలసిన గుడ్డ పరిమాణం = శంఖువు వక్రతల వైశాల్యము = πrl
= [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 6 × 10
= 3.14 × 60
= 188.4 చ.మీ.

l = [latex]\sqrt{r^{2}+h^{2}}[/latex]
= [latex]\sqrt{6^{2}+8^{2}}[/latex]
= √100 = 10.

ప్రశ్న 9.
ఒక శంఖువు యొక్క వక్రతల వైశాల్యము . 4070 చ. సెం.మీ. మరియు దాని వ్యాసము 70 సెం.మీ. అయినచో దాని ఏటవాలు ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చినవి : శంఖువు వ్యాసం (d) = 70 సెం.మీ.
వ్యాసార్థం (r) = [latex]\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{70}{2}[/latex] = 35 సెం.మీ.
దాని ఏటవాలు ఎత్తు (l) = ?
శంఖువు వక్రతల వైశాల్యము = 4070 చ.సెం.మీ. లెక్క ప్రకారము, πrl = 4070 సెం.మీ²
[latex]\frac{22}{7}[/latex] × 35 × l = 4070
110 × l = 4070
⇒ l = [latex]\frac{4070}{110}[/latex] = 37 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు (l) = 37 సెం.మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions

March 3, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది ఖాళీలను సరూపాలు సరూపాలు కావుచే పూరించండి. (పేజీ నెం. 194)
(i) అన్ని చతురస్రాలు ఎల్లప్పుడూ ……………………
సాధన.
సరూపాలు

(ii) అన్ని సమబాహు త్రిభుజాలు ఎల్లప్పుడూ ……………………
సాధన.
సరూపాలు

(iii) అన్ని సమద్విబాహు త్రిభుజాలు ……………………
సాధన.
సరూపాలు కావు.

(iv) సమాన సంఖ్యలో భుజాలు కలిగిన రెండు బహు భుజు లో అనురూపకోణాలు సమానము మరియు అనురూ పభుజులు సమానము అయిన అవి ……………………
సాధన.
సరూపాలు

(v) పరిమాణము తగ్గించబడిన లేదా పెంచబడిన ఒక వస్తువు యొక్క ఫోటోగ్రాు ……………………
సాధన.
సరూపాలు

(vi) రాంబస్ మరియు చతురస్రాలు ఒకదానికొకటి ……………….
సాధన.
సరూపాలు కావు.

ప్రశ్న 2.
క్రింది ప్రవచనాలు సత్యమో, అసత్యమో రాయండి. (పేజీ నెం. 194)
(i) రెండు సరూపపటాలు సర్వసమానాలు
సాధన.
అసత్యము

(ii) రెండు సర్వసమాన పటాలు సరూపాలు
సాధన.
సత్యము

(iii) రెండు బహుభుజులకు అనురూపకోణాలు సమానాలైన అవి సరూపాలు.
సాధన.
అసత్యము

ప్రశ్న 3.
ఈ క్రింది వాటికి రెండు వేరువేరు ఉదాహరణలివ్వండి. (i) సరూప పటాలు, (ii) సరూప పటాలు కానివి (పేజీ నెం. 194)
(i) సరూప పటాలు
సాధన.
(a) ఏవైనా రెండు వృత్తాలు
(b) ఏవైనా రెండు చతురస్రాలు
(c) ఏవైనా రెండు సమబాహు త్రిభుజాలు

(ii) సరూప పటాలు కానివి
సాధన.
(a) ఒక చతురస్రము మరియు ఒక రాంబస్
(b) ఒక చతురస్రము మరియు ఒక దీర్ఘచతురస్రము.

ప్రశ్న 4.
ఇచ్చిన పటంలో X యొక్క ఏ విలువ (లు)కు DE || AB అగును ? (పేజీ నెం. 200) AD = 8x + 9, CD = x + 3, BE = 3x + 4, CE = x.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 5

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC, DE || AB AD = 8x + 9, CD = x + 3, BE = 3x + 4 మరియు CE = x
ప్రాథమిక సిద్ధాంతమును అనుసరించి DE || AB
అయిన [latex]\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{DA}}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EB}}[/latex] అగును.
⇒ [latex]\frac{x+3}{8 x+9}=\frac{x}{3 x+4}[/latex]
(x + 3) (3x + 4) = x {8x + 9) (అడ్డ గుణకారము చేయగా),
⇒ x (3x + 4) + 3 (3x + 4) = 8x² + 9x
⇒ 3x² + 4x + 9x + 12 = 8x² + 9x
⇒ 8x² + 9x – 3x² – 13x – 12 = 0
⇒ 5x² – 4x – 12 = 0
⇒ 5x² – 10x + 6x – 12 = 0
⇒ 5x (x – 2) + 6 (x – 2) = 0
⇒ (5x + 6) (x – 2) = 0
⇒ 5x + 6 = 0 లేక X – 2 = 0
⇒ x = [latex]\frac{-6}{5}[/latex] లేక x = 2 విలువలకు DE || AB అగును.

ప్రశ్న 5.
∆ABC లో DE || BC. AD = x, DB = x = 2, AE = x + 2 మరియు EC = x – 1. అయిన x విలువను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 200)
సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC లో, DE || BC
ప్రాథమిక సిద్ధాంతము నుండి [latex]\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}[/latex]
⇒ [latex]\frac{x}{x-2}=\frac{x+2}{x-1}[/latex]
⇒ x (x – 1) = (x + 2) (x – 2)
⇒ x² – x = x² – 4
⇒ – x = – 4
∴ x = 4.

ప్రయత్నించండి :

ప్రశ్న 1.
∆PQRలో భుజాలు PQ మరియు PR లపై బిందువులు వరుసగా E మరియు F. ఈ క్రింది వాటిలో ప్రతి సందర్భంలో EF ||QR అవునో, కాదో తెల్పండి. (పేజీ నెం. 197)
(i) PE = 3.9 సెం.మీ, EQ = 3 సెం.మీ, PF = 3.6 సెం.మీ, FR = 2.4 సెం.మీ.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 7

ఇక్కడ, [latex]\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{3.9}{3}=\frac{1.3}{1}[/latex]

[latex]\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}=\frac{3.6}{2.4}=\frac{0.3}{0.2}[/latex]

[latex]\frac{P E}{E Q} \neq \frac{P F}{F R}[/latex]

కావున, EF // QR కాదు.

(ii) PE = 4 సెం.మీ, QE = 4.5 సెం.మీ, PF = 8 సెం.మీ, RF = 9 సెం.మీ.
సాధన.
ఇక్కడ, [latex]\frac{P E}{E Q}=\frac{4}{4.5}=\frac{0.8}{0.9}=\frac{8}{9}[/latex]

[latex]\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{RF}}=\frac{8}{9}[/latex]

[latex]\frac{P E}{E Q}=\frac{P F}{R F}[/latex] కావున
∴ EF || QR అగును.

(ii) PQ = 1.28 సెం.మీ, PR = 2.56 సెం.మీ, PE = 1.8 సెం.మీ, PF = 3.6 సెం.మీ.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 8

దత్తాంశము : PQ = 1.28 సెం.మీ.
PE = 1:8 సెం.మీ.
⇒ EQ = PE – PQ = 1.8 – 1.28
⇒ EQ = 0.52 సెం.మీ. మరియు
PR = 2.56 సెం.మీ.
PF = 3.6 సెం.మీ.
FR = PF – PR = 3.6 – 2.56 = 1.04 సెం.మీ.
ఇప్పుడు [latex]\frac{P E}{E Q}=\frac{1.8}{0.52}=\frac{0.9}{0.26}[/latex]
[latex]\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}=\frac{3.6}{1.04}=\frac{0.9}{0.26}[/latex]
[latex]\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}[/latex]
∴ EF || QR (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత విపర్యయము నుండి)

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది పటాలలో DE || BC (పేజీ నెం. 198)
(i) ECని కనుగొనుము.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 9

సాధన.
పటం నుండి [latex]\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}[/latex]
⇒ [latex]\frac{1.5}{3}=\frac{1}{E C}[/latex]
∴ EC = [latex]\frac{1.5}{3}[/latex] = 2 సెం.మీ.

(ii) AD ని కనుగొనుము.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 10

సాధన.
పటం నుండి [latex]\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}[/latex]
⇒ [latex]\frac{\mathrm{AD}}{7.2}=\frac{1.8}{5.4}[/latex]
∴ AD = [latex]\frac{1.8 \times 7.2}{5.4}[/latex] = 2.4 సెం.మీ.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
నిజ జీవితంలో ఇలా ‘స్కేలు’ను ఉపయోగించే సందర్భాలకు మరికొన్ని ఉదాహరణలు చెప్పగలరా ? (పేజీ నెం. 192)
సాధన.
స్కేలు గుణకంను మ్యాపుల తయారీలో, యంత్రాల తయారీ విభాగాలలో ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 2.
ఒక చతురస్రము, రాంబస్ సరూపాలని నీవు చెప్పగలవా? నీ మిత్రులతో చర్చించుము. ఆ నియమాలు ఎందుకు సరిపోతాయో లేదా ఎందుకు సరిపోవో కారణాలు వ్రాయుము. (పేజీ నెం. 193)
సాధన.
చతురస్రము మరియు రాంబస్ సరూపాలు కావు.
వాని, అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానం, కాని వాని అనురూప కోణములు సమానం కాదు. కావున ఇవి సరూపాలు కావు. –

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 11

[latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{RS}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PS}}[/latex]

∠A ≠ ∠P; ∠B ≠ ∠Q;
∠C ≠ ∠R; ∠D ≠ ∠S.

సిద్ధాంతములు:

ప్రశ్న 1.
ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము (థేల్స్ సిద్ధాంతము): ‘ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలను వేరువేరు బిందువులలో ఖండించిన, ఆ మిగిలిన రెండు భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో విభజింపబడతాయి. (పేజీ నెం. 195)
సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC లో DE || BC, DE రేఖ AB, AC భుజాలను వరుసగా D మరియు E.వద్ద ఖండించును.
సారాంశము : [latex]\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}[/latex]
నిర్మాణము : B, E మరియు C, D లను కలుపుము మరియు DM ⊥ AC, EN ⊥ AB లను గీయుము.
ఉపపత్తి : ∆ADE వైశాల్యము = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × AD × EN
∆BDE వైశాల్యము = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × BD × EN

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 12

మరల ∆ADE వైశాల్యము = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × AE × DM
∆CDE వైశాల్యము = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × EC × DM

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 13

∆BDE, ∆CDE లు ఒకే భూమి DE మరియు సమాంతర రేఖలు BC .మరియు DE ల మధ్య ఉన్నట్లు గమనించవచ్చును.
కావున ∆BDE వైశాల్యము = ∆CDE వైశాల్యము …… (3)
(1), (2), (3) ల నుండి
[latex]\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}[/latex]
కావున సిద్ధాంతము నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 2.
ప్రాథమిక సిద్ధాంతమునకు విపర్యయము : ఒక త్రిభుజములో ఏవైనా రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించు సరళరేఖ, మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉండును. (పేజీ నెం. 197)
సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC లో, [latex]\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}[/latex] అగునటు గీయబడిన సరళరేఖ DE
సారాంశము : DE || BC

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 14

ఉపపత్తి : DE, BCకి సమాంతరము కాదు అనుకొనుము. అపుడు BC కి సమాంతరంగా DE ను గీయుము.
అపుడు [latex]\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}^{1}}{\mathrm{E}^{1} \mathrm{C}}[/latex] (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి)
∴ [latex]\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}=\frac{\mathrm{AE}^{1}}{\mathrm{E}^{1} \mathrm{C}}[/latex] (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి)
ఇరువైపులా ‘1’ కలుపగా, E మరియు E’లు తప్పనిసరిగా ఏకీభవించాలి అని తెలుస్తుంది.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 15

= EC = E’C

ప్రాథమిక సిద్ధాంతం నుండి AE = EC మరియు AE’ = E’C అగును.
ఇది అసంభవం. కనుక E మరియు E’ లు ఏకీభవించును. కనుక DE’ అనునది రేఖయే.
∴ DE||BC అగును. సిద్ధాంతం నిరూపించబడినది.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది త్రిభుజాలు సరూపాలా ? సరూపాలయితే ఏ నియమం ఆధారంగానో వివరించండి. త్రిభుజాల సరూపకతను గుర్తులనుపయోగించి రాయండి. (పేజీ నెం. 207)

(i) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 19

సాధన.
పటంలో ∠G = ∠I మరియు ∠F= ∠K (ఏకాంతర కోణాలు) ∠FHG = ∠IHK (శీర్షాభిముఖ కోణాలు) కో.కో.కో. నియమం ప్రకారము ∆GFH ~ ∆IKH.

(ii) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 20

సాధన.
[latex]\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QR}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}[/latex];

[latex]\frac{\mathrm{LM}}{\mathrm{MN}}=\frac{3}{4}[/latex]

[latex]\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QR}} \neq \frac{\mathrm{LM}}{\mathrm{MN}}[/latex]
∴ ∆POR మరియు ∆LMN లు సరూపాలు కావు.

(iii) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 21

సాధన.
∠A = ∠A (ఉమ్మడి కోణం )
[latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{5}{5}[/latex] = 1;

[latex]\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{AY}}=\frac{2}{2}[/latex] = 1

⇒ [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{AY}}[/latex]
∴ ∆ABC మరియు ∆AXYలు భు.కో.భు. సరూపకత నియమం ప్రకారం సరూపకాలు.
∴ ∆ABC ~ ∆AXY.

(iv) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 22

సాధన.
∠A = ∠A (ఉమ్మడి కోణం)
[latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{8}{5 \frac{1}{3}}=\frac{8}{\frac{16}{3}}=8 \times \frac{3}{16}=\frac{3}{2}[/latex]

[latex]\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AJ}}=\frac{3}{2}[/latex];

[latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AJ}}[/latex] భు.కో. భు సరూపకత నియమం నుండి ∆ABC ~ ∆APJ
∴ ∆ABC మరియు ∆APJ లు సరూపాలు.

(v) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 23

సాధన.
∠A = ∠A = 90°
∠AOQ = ∠POB (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∠Q = ∠P (ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∆AOQ మరియు ∆BOPలు కో.కో..కో సరూపకత నియమము ప్రకారము సరూపాలు.
∆AOQ ~ ∆BOP.

(vi) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 24

సాధన.
∠A = ∠Q
∠B = ∠P
∠C = ∠R
∆ABC మరియు ∆QPR లు కో.కో.కో సరూపకత నియమం ప్రకారం సరూపకాలు. ∆ABC ~ ∆QPR.

(vii) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 25

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 26

∴ ∆ABC మరియు ∆PORలు సరూపకాలు కావు.

(viii) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 27

సాధన.
∠A = ∠P (దత్తాంశము)
[latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}[/latex];

[latex]\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}[/latex]

[latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} \neq \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}[/latex]
∴ ∆ABC మరియు ∆PQRలు సరూపకాలు కావు.

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది త్రిభుజాలు ఎందుకు సరూపాలో వివరించి అపుడు ‘x’ విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 207)

(i) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 28

సాధన.
దత్తాంశము : ∆PQR మరియు ∆LTS లలో ∠Q = ∠T, ∠R = ∠S
కో.కో. సరూపకత నియమము ప్రకారము
∆PQR ~ ∆LTS
కావున [latex]\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{LT}}{\mathrm{TS}}[/latex]

∴ [latex]\frac{5}{3}=\frac{x}{4.5}[/latex]
⇒ x = [latex]\frac{5 \times 4.5}{3}[/latex] = 5 × 1.5 = 7.5

(ii) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 29

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC మరియు ∆PQC లలో
∠B = ∠Q [∵ ∠PQC = 180° – 110° = 70° రేఖీయ ద్వయము]
∠C = ∠C [∵ ఉమ్మడి కోణాలు]
(క్రో.కో. సరూపకత నియమం ప్రకారం)
∴ ∆ABC ~ ∆PQC వాటి అనురూప భుజాల కొలతల నిష్పత్తి సమానం కావున
[latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QC}}[/latex]

[latex]\frac{5}{6}=\frac{x}{3}[/latex]
x = [latex]\frac{5}{6}[/latex] × 3
⇒ x = [latex]\frac{5}{2}[/latex] = 2.5

(iii) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 30

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC మరియు ∆ECD లలో ∠A = ∠E (దత్తాంశము)
∠ACB = ∠ECD [∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు]
∴ ∆ABC ~ ∆EDC (కో.కో. నియమం ప్రకారం)
కావున, [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{ED}}{\mathrm{DC}}[/latex]
[latex]\frac{24}{22} \equiv \frac{14}{x}[/latex]
24x = 22 × 14
⇒ x = [latex]\frac{5 \times 4.5}{3}[/latex] = 7.5

(iv) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 31

సాధన.
దత్తాంశము : ∆RAB మరియు ∆RST లలో
∠R = ∠R (ఉమ్మడి కోణం ) ∠A = ∠S S08W ∠B = ∠T [AB || ST కావున ఏర్పడిన సదృశ్య కోణాల జత]
∴ ∆RAB ~ ∆RST [∵ కో.కో.కో సరూపకత నియమం]
[latex]\frac{\mathrm{RA}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{RS}}{\mathrm{ST}}[/latex]
[latex]\frac{6}{9}=\frac{8}{x}[/latex]
⇒ x = [latex]\frac{9 \times 8}{6}[/latex] = 12.

(v) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 31

సాధన.
దత్తాంశము : ∆PQR మరియు ∆PMN లలో
∠P = ∠P (ఉమ్మడి కోణము)
∠Q = ∠M [∵ MN || QR కావున ఏర్పడిన సదృశ్య కోణాల జత]
∠R = ∠N
∴ ∆POR ~ ∆PMN [∵ కో.కో.కో సరూపకత నియమం]
[latex]\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{PN}}{\mathrm{MN}}[/latex]

[latex]\frac{4+x}{15}=\frac{4}{5}[/latex]
4 + x = [latex]\frac{4}{5}[/latex] × 15
4 + x = 12
∴ x = 12 – 4 = 8.

(vi) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 32

సాధన.
దత్తాంశము : ∆XYZ మరియు ∆XBA లలో
∠X= ∠X [∵ ఉమ్మడి కోణము]
∠B = ∠Y ∠A = ∠Z (∵ AB || ZY కావున ఏర్పడిన సదృశ్య కోణాల జత]
∴ ∆XYZ ~ ∆XBA [∵ కో.కో.కో సరూపకత]
[latex]\frac{\mathrm{XZ}}{\mathrm{YZ}}=\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{BA}}[/latex]

[latex]\frac{7.5+x}{18}=\frac{x}{12}[/latex]

7.5 + x = [latex]\frac{x}{12}[/latex] × 18
2(7.5 + x) = 3x
15 + 2x = 3x
15 = 3x – 2x
⇒ 15 = x .

(vii) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 33

సాధన.
దత్తాంశము :
గమనిక: ∠A = ∠E కో.కో.కో సరూపకత నియమం ప్రకారం ∆ABC ~ ∆EDC అగును.
మరియు [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{EC}}[/latex]
[latex]\frac{1.6}{x}=\frac{1.5}{15}[/latex]
x = [latex]\frac{15 \times 1.6}{1.5}[/latex] = 16

(viii) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 34

సాధన. ∆ABC మరియు ∆BEC లలో
∠C = ∠C (ఉమ్మడి కోణం)
∠ABC = ∠BEC (దత్తాంశము)
∴ ∆ABC ~ ∆BEC (కో.కో. నియమం)
[latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}[/latex]

⇒ [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}[/latex]

x = [latex]\frac{4.5}{6}[/latex] × 4 = 3 సెం.మీ.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
త్రిభుజముల సరూపత అనేది మిగిలిన బహుభుజుల సరూపత కంటే ఏ విధంగా భిన్నమైనదో మీ స్నేహితులతో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 203)
సాధన.
రెండు త్రిభుజాలలో రెండు అనురూప కోణాలు సమానమైన . ఆ రెండు త్రిభుజాలు . సరూపాలు అవుతాయి. కానీ బహుభుజులలో ఈ నియమము సంతృప్తినివ్వదు మరియు సరిపడదు. త్రిభుజాలలో వాటి అనురూప కోణాలు సమానమైన = వాటి అనురూప భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటాయి. కానీ ‘బహుభుజుల పరంగా ఇది సరిపడదు.

సిద్ధాంతములు:

ప్రశ్న 1.
త్రిభుజాల సరూపకతకు కో.కో.కో. నియమము : రెండు త్రిభుజాలలో అనురూప కోణాలు సమానంగా ఉంటే, వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానంగా ఉంటాయి. (అనుపాతంలో ఉంటాయి). ఇంకా ఆ రెండు భుజాలు సరూప త్రిభుజాలు అవుతాయి. (పేజీ నెం. 204)
సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC, ∆DEF లలో ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
సారాంశము : [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}[/latex]
నిర్మాణము : AB = DP మరియు AC = DQ అగునట్లు DE మరియు DF లపై , వరుసగా బిందువులు P మరియు Q లను గుర్తించుము. P, Q లను కలుపుము.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 35

ఉపపత్తి : ∆ABC = ∆DPQ (భు.కో.భు. నియమం నుండి)
దీని నుండి ∠B = ∠P = ∠E మరియు PQ || EF (ఉప ప్రాథమిక సిద్ధాంతం నుండి)
∴ [latex]\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PE}}=\frac{\mathrm{DQ}}{\mathrm{QF}}[/latex] (ప్రాథమిక సిద్ధాంతం నుండి)
అనగా [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}[/latex] (ప్రాథమిక సిద్ధాంతం నుండి)
అదే విధంగా [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}[/latex] కాబట్టి
[latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}[/latex]

ప్రశ్న 2.
త్రిభుజాల సరూపకతకు భు.భు.భు.. నియమము : రెండు త్రిభుజాలలో, ఒక త్రిభుజములోని భుజాలు వేరొక త్రిభుజములోని భుజాలకు అనుపాతములో వున్న ఆ రెండు త్రిభుజాలలోని అనురూప కోణాలు సమానము ఇంకా ఆ రెండు త్రిభుజాలు సరూపాలు. (పేజీ నెం. 205)
సాధన.
దత్తాంశము : [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{FD}}[/latex] (< 1) అగునట్లు ∆ABC మరియు ∆DEF లను తీసుకొనుము.
సారాంశము : ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 36

నిర్మాణము :. AB = DP మరియు AC = DQ అగునట్లు DE, DF లపై వరుసగా P మరియు Q బిందువులను గుర్తించుము, P, Q లను కలుపుము.
ఉపపత్తి : [latex]\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PE}}=\frac{\mathrm{DQ}}{\mathrm{QF}}[/latex] మరియు PQ || EF (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి)
కావున ∠P = ∠E మరియు ∠Q = ∠F (ఆసన్న కోణాలు)
∴ [latex]\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{DQ}}{\mathrm{DF}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{EF}}[/latex]
కానీ [latex]\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{DQ}}{\mathrm{DF}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}[/latex]
కానీ BC = PQ (నిర్మాణం నుండి)
∆ABC ≅ ∆DPQ (భు.భు.భు. సరూపకత నుండి)
కావున ∠A = ∠D, ∠B = ∠E మరియు ∠C = ∠F (కో.కో.కో. సరూపకత నుండి).

ప్రశ్న 3.
త్రిభుజాల సరూపకతకు భు.కో.భు. నియమము :
ఒక త్రిభుజములోని ఒక కోణము, వేరొక త్రిభుజములోని ఒక కోణమునకు సమానమై, ఈ కోణాలను కలిగి ఉన్న ∠A = ∠D భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సరూపాలు. (పేజీ నెం. 206)
సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC మరియు ∆DEF లలో [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}[/latex] (< 1) మరియు ∠A = ∠D.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 37

సారాంశము : ∆ABC ~ ∆DEF
నిర్మాణము : AB = DP మరియు AC = DQ అగునట్లు DE, DF భుజాలపై వరుసగా P, Q, బిందువులను గుర్తించుము. P, Q లను కలుపుము.
ఉపపత్తి : PQ || EF మరియు ∆ABC = ∆DPO
కావున ∠A = ∠D, ∠B = ∠P, ∠C = ∠Q
∴ ∆ABC ~ ∆DEF.

సిద్ధాంతములు:

ప్రశ్న 1.
రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తి వర్గమునకు సమానము. (పేజీ నెం. 211)
సాధన:

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 42

దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆PQR
సారాంశము : AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 43
= [latex]\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}\right)^{2}[/latex]
నిర్మాణము : AM ⊥ BC మరియు PN ⊥ QR గీయండి.

ఉపపతి : AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 44
= [latex]\frac{\mathrm{BC} \times \mathrm{AM}}{\mathrm{QR} \times \mathrm{PN}}[/latex] ………………. (1)
∆ABM మరియు ∆PQN లలో :
∠B = ∠Q (∵ ∆ABC ~ ∆POR)
∠M = ∠N = 90°
∆ABM ~ ∆PON (కో.కో.సరూపనియమం)
[latex]\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{PN}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}[/latex] ……… (2)
ఇంకా ∆ABC ~ ∆PQR (దత్తాంశము)
[latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}[/latex] …….. (3)
∴ AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 45
(1), (2), (3) ల నుండి = [latex]\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\right)^{2}[/latex]
సమీకరణము (3) నుండి

సిద్ధాంతము నిరూపించబడినది.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
∆ACBలో, ∠C = 90°, CD ⊥ AB అయిన [latex]\frac{B C^{2}}{A C^{2}}=\frac{B D}{A D}[/latex] అని నిరూపించండి., (పేజీ నెం. 218)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 51

∆ADC మరియు ∆CDB లు సరూపాలు

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 52

[latex]\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{AC}^{2}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}[/latex]
(సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానము]

ప్రశ్న 2.
15 మీటర్ల పొడవుగల ఒక నిచ్చెన రోడ్డుపై ఒక వైపున ఉన్న భవనంపై నేల నుండి 9 మీటర్ల ఎత్తున గల కిటికీని తాకింది. నిచ్చెన అడుగుభాగమును అదే ప్రదేశములో ఉంచి, నిచ్చెనను రోడ్డుకు అవతలి వైపున ఉన్న భవనముకు ఆనించగా అది 12 మీ. ఎత్తున గల కిటికీని తాకింది. అయిన ఆ రోడ్డు వెడల్పును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 218)
సాధన.
A మరియు D లు రోడ్డుపై ఒకవైపునున్న కిటికీలు. పైథాగరస్ సిద్దాంతం నుండి
AC² = AB² + BC²
15² = 9² + BC²
BC² = 225 – 81.
BC² = √144 = 12

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 53

అదే విధముగా CD² = DE² + CE²
⇒ 15² = 12² + CE²
⇒ CE² = 225 – 144
⇒ CE² = 181 = 9
రోడ్డు వెడల్పు (BE) = BC + CE = 12 + 9 = 21 మీ.

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన పటంలో AD ⊥ BC అయిన AB² + CD² = BD² + AC² అని చూపండి. (పేజీ నెం. 219)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 54

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABCE, AD ⊥ BC.
సారాంశము : AB² + CD² = BD² + AC²
ఉపపతి : ∆ABD ఒక లంబకోణ త్రిభుజము AB² – BD² = AD² ………… (1)
∆ACD ఒక లంబకోణ త్రిభుజము AC² – CD² = AD²
(1) మరియు (2) ల నుండి
AB² – BD² = AC² – CD²
AB² + CD² = BD² + AC² ……….. (2)

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజము మూడు భుజాల కొలతలు పూర్ణ సంఖ్యలైనపుడు కనీసము ఒకటి తప్పనిసరిగా సరిసంఖ్య అవుతుంది. ఎందుకు ? మీ మిత్రులతో మరియు ఉపాధ్యాయులతో చర్చించుము. (పేజీ నెం. 215)
సాధన.
దత్తాంశము : ఒక లంబకోణ త్రిభుజపు మూడు భుజాల కొలతలు పూర్ణ సంఖ్యలు.
సారాంశము : ఒక భుజము తప్పనిసరిగా సరిసంఖ్య.
సందర్భం – (i) : త్రిభుజ భుజాలు 3, 4, 5 లు పైథాగోరియన్ త్రికములు అయిన వాటిలో ‘4’ ఒక . సరిసంఖ్య కావున ఇచ్చిన ప్రవచనము సత్యము.
సందర్భం – (ii) : భుజాల కొలతలు పూర్ణ సంఖ్యల గుణకాలైన 3n, an మరియు 5n లు అగును. మరియు ‘4n’ ఒక సరిసంఖ్య.
∴ ఇచ్చిన ప్రవచనము సత్యము.
సందర్భం – (iii) : ఒక భుజము కొలత ‘n’ బేసి సంఖ్య అయిన n [latex]\frac{\mathrm{n}^{2}+1}{2}[/latex] మరియు [latex]\frac{\mathrm{n}^{2}-1}{2}[/latex] భుజాల కొలతలు అగును.
అదే విధముగా [latex]\frac{\mathrm{n}^{2}+1}{2}[/latex] ఒక సరి సంఖ్య.
[∵ n = 2k + 1 ,
n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1
n² – 1 = 4k² + 4k + 1 – 1
= 4 (k² + k)
= 2 (2k² + 2k) సరిసంఖ్య
∴ ఏ సందర్భంలోనైనా ఇచ్చిన ప్రవచనము సత్యము.

సిద్ధాంతములు :

ప్రశ్న 1.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజములో, లంబకోణము కలిగిన శీర్షము నుండి కర్ణానికి లంబము గీసిన, ఆ లంబానికి ఇరువైపులా ఏర్పడిన త్రిభుజాలు, ఇచ్చిన త్రిభుజానికి సరూపాలు మరియు అవి ఒకదానికొకటి కూడా సరూపాలు. (పేజీ నెం. 215)
సాధన.
ఉపపత్తి : ABCలంబకోణ త్రిభుజములో, లంబకోణము కలిగిన శీర్షము B.
B నుండి కర్ణము AC కి గీసిన లంబము BD.
∆ADB మరియు ∆ABCలలో ∠A = ∠A

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 55

మరియు ∠ADB = ∠ABC (ప్రతికోణం 909)
కావున ∆ADB ~ ∆ABC (కో.కో.కో సరూపకత) ……….. (1)
అదేవిధంగా, ∆BDC ~ ∆ABC (కో.కో.కో సరూపకత) ……. (2)
(1), (2) ల నుండి లంబము BD కి ఇరువైపులా నున్న త్రిభుజాలు మొత్తము త్రిభుజము ∆ABC కి సరూపాలు.
ఇంకా ∆ADB ~ ∆ABC
∆BDC ~ ∆ABC
కావున ∆ADB ~ ∆BDC.

ప్రశ్న 2.
బౌధాయన సిద్ధాంతము (పైథాగరస్ సిద్ధాంతము) : ఒక లంబకోణ త్రిభుజములో కర్ణము పొడవు యొక్క వర్గము, మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానం. (పేజీ నెం. 215)
సాధన.
దత్తాంశము : లంబకోణ త్రిభుజము ABC లో లంబ కోణాన్ని కలిగిన శీర్షము B.
సారాంశము : AC² = AB² + BC²
నిర్మాణము : BD ⊥ AC గీయుము.
ఉపపత్తి : ∆ADB ~ ∆ABC

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 56

(భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటాయి)

⇒ [latex]\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}[/latex]
AD. AC = AB²
ఇంకా, ∆BDC ~ ∆ABC ……… (1)
⇒ [latex]\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}[/latex]
CD. AC = BC² ……….. (2)
(1), (2) లను కలుపగా
AD . AC + CD. AC = AB² + BC²
AC (AD + CD) = AB² + BC²
AC . AC = AB² + BC²
[AC² = AB² + BC²].

ప్రశ్న 3.
పైథాగరస్ సిద్ధాంత విపర్యయము : –
ఒక త్రిభుజములో ఒక భుజము పొడవు యొక్క వర్గము మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవుల వర్గాల మొత్తానికి సమానమైన, మొదటి భుజానికి ఎదురుగా ఉండే కోణము లంబకోణము. (పేజీ నెం. 216)
సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABCలో AC² = AB² + BC²
సారాంశము : ∠B = 90° .

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 57

నిర్మాణము : PQ = AB మరియు QR = BC అగునట్లు Q వద్ద లంబకోణము ఉండే లంబకోణ త్రిభుజము POR ని నిర్మించుము.
ఉపపత్తి : ∆PQR లో PR² = PQ² + QR²
(∠Q = 90° కావున పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రకారం)
PR² = AB² + BC² (నిర్మాణము నుండి) ………………. (1)
కానీ AC² = AB² + BC² (దత్తాంశము) …………… (2)
AC = PR (1), (2) ల నుండి
ఇప్పుడు ∆ABC, ∆PQR లలో
AB = PQ (నిర్మాణము)
BC = QR (నిర్మాణము)
AC = PR (నిరూపితము).

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
∆ABC లో, DE || BC మరియు [latex]\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{3}{5}[/latex] AC = 5.6 సె.మీ. అయిన AE విలువ ఎంత? (పేజీ నెం. 199)
సాధన
∆ABC లో, DE || BC
⇒ [latex]\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}[/latex] (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము నుండి)
కానీ [latex]\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{3}{5}[/latex], కావున [latex]\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}=\frac{3}{5}[/latex]
AC = 5.6 సెం.మీ. మరియు AE : EC = 3:5
[latex]\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}-\mathrm{AE}}=\frac{3}{5}[/latex]
[latex]\frac{\mathrm{AE}}{5.6-\mathrm{AE}}=\frac{3}{5}[/latex] (అడ్డగుణకారం చేయగా)
5AE = (3 × 5.6) – 3AE
8AE = 16.8
AE = [latex]\frac{16.8}{8}[/latex] = 2.1 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
ఇచ్చిన పటంలో LM || AB AL = x – 3, AC = 2x, BM = x – 2 మరియు BC = 2x + 3 అయిన X విలువను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 200)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 2

సాధన.
∆ABC లో, LM || AB
⇒ [latex]\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{LC}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{MC}}[/latex] (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము నుండి) x -3
[latex]\frac{x-3}{2 x-(x-3)}=\frac{x-2}{(2 x+3)-(x-2)}[/latex]
[latex]\frac{x-3}{x+3}=\frac{x-2}{x+5}[/latex]
(x – 3) (x + 5) = (x – 2) (x + 3) (అడ్డగుణకారం చేయగా)
x² + 2x – 15 = x² + x – 6
⇒ 2x – 15 = x – 6
∴ x = 9.

ప్రశ్న 3.
ఒక చతుర్భుజము ABCD లో కర్ణములు ‘O’ బిందువు వద్ద ఖండించుకొనును మరియు [latex]\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}[/latex] అయిన అది ఒక ట్రెపీజియం అని చూపండి. (పేజీ నెం. 200)
సాధన.
దత్తాంశము : చతుర్భుజము ABCD లో, [latex]\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}[/latex]
సారాంశము : ABCD ఒక ట్రెపీజియం.
నిర్మాణము : ‘0’ బిందువు గుండా ABకి సమాంతరంగా రేఖను గీసిన అది DA ను బిందువు ‘X’ వద్ద ఖండించును.
ఉపపత్తి : ∆DABలో, XO || AB (నిర్మాణము నుండి)
⇒ [latex]\frac{\mathrm{DX}}{\mathrm{XA}}=\frac{\mathrm{DO}}{\mathrm{OB}}[/latex] (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము నుండి)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 3

[latex]\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XD}}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OD}}[/latex] ………….. (1)

కొని [latex]\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}[/latex] (దత్తాంశము)
[latex]\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OD}}[/latex] …………. (2)
(1) (2) ల నుండి
[latex]\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XD}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}[/latex]
∆ADC లో, [latex]\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XD}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}[/latex] అగునట్లు XO రేఖ ఉన్నది.
⇒ XO || DC (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము విపర్యయము నుండి)
⇒ AB || DC చతుర్భుజము ABCDలో, AB || DC
⇒ ABCD ఒక ట్రెపీజియం (నిర్వచనం ప్రకారం) కావున రుజువు చేయబడినది.

ప్రశ్న 4.
ట్రెపీజియం ABCD లో, AB || DC E మరియు F బిందువులు వరుసగా EF || AB ను కుట్లు సమాంతరం కాని భుజాలు AD, BC లపై ఉన్నవి. అయిన [latex]\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E D}}=\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F C}}[/latex] అని చూపండి. (పేజీ నెం. 201)
సాధన.
A, C బిందువులను కలుపగా ఏర్పడిన రేఖాఖండము EF ను G వద్ద ఖండించినది.
AB || DC మరియు EF || AB (దత్తాంశము)
⇒ EF || DC (ఒకే రేఖకు సమాంతరంగా ఉన్న రేఖలు సమాంతరాలు)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 4

∆ADC లో, EG || DC
కావున [latex]\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{GC}}[/latex]
(ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత ప్రకారం) ……… (1)
అదే విధంగా, ∆CAB లో, GF || AB
[latex]\frac{\mathrm{CG}}{\mathrm{GA}}=\frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FB}}[/latex] (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత ప్రకారం)
అనగా [latex]\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{GC}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}}[/latex] ………. (2)
(1) (2) ల నుండి, [latex]\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}}[/latex].

ప్రశ్న 5.
1.65మీ. పొడవు గల ఒక వ్యక్తి నీడ పొడవు 1.8 మీ. అదే సమయంలో, ఒక దీపస్తంభము 5.4 మీ. పొడవు గల నీడను ఏర్పరచిన, ఆ దీపస్తంభము పొడవు ఎంత ? (పేజీ నెం. 208)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 16

సాధన.
∆ABC మరియు ∆PCR లో
∠B = ∠Q = 90°
∠C = ∠R (AC || PR, ఏ సమయంలోనైనా సూర్యకిరణాలు సమాంతరాలు)
∆ABC ~ ∆PQR (కో కో సరూపనియమం ప్రకారం)
[latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}[/latex] (సరూపత్రిభుజాల అనురూపభుజాలు)
[latex]\frac{1.65}{\mathrm{PQ}}=\frac{1.8}{5.4}[/latex]

PQ = [latex]\frac{1.65 \times 5.4}{1.8}[/latex] = 4.95 మీ.
ఆ దీప స్తంభము ఎత్తు 4. 95 మీ.

ప్రశ్న 6.
ఒక గోపురము నుండి 87.6 మీటర్ల దూరములో నేలపై అద్దము ఊర్ధ్వ దిశలో ఉంచబడినది మరియు ఉంచిన ఆ అద్దములో ఒక వ్యక్తి గోపుర శిఖరమును చూసెను. వ్యక్తి అద్దము నుండి 0.4 మీ. దూరములో ఉన్నాడు. అతని కంటి చూపు భూమి నుండి 1.5 మీటర్ల ఎత్తులో నున్న ఆ గోపురము ఎత్తును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 209)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 17

సాధన.

∆ABC మరియు ∆EDC లో ∠ABC = ∠EDC = 90° ∠BCA = ∠EDC (పతన కోణము మరియు పరావర్తన కోణములు సమానము)
∆ABC ~ ∆EDC (కోకో సరూప నియమం)
[latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}}[/latex]

[latex]\frac{1.5}{\mathrm{~h}}=\frac{0.4}{87.6}[/latex]

h = [latex]\frac{1.5 \times 87.6}{0.4}[/latex] = 328.5 మీ.
కావున, ఆ గోపురము ఎత్తు 328. 5 మీ.

ప్రశ్న 7.
గోపాల్ తన ఇంటి హాలు ప్రక్క అపార్టుమెంటు పై అంతస్థులోని కిటికీ వద్ద నిలుచునే వ్యక్తులకు ఎప్పుడూ. కనిపిస్తూ ఉంటోందని ఆందోళన పడుతున్నాడు. దాని కొరకు వారికి కనిపించకుండా ఉండేటందుకు తన ఇంటి ప్రహరీ. గోడ ఎత్తు పెంచాలనుకొన్నాడు. కొలతలు పటంలో ఈయబడ్డాయి. ప్రహరీ గోడను ఎంత ఎత్తు వరకు నిర్మించాలి? (పేజీ నెం. 209)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 18

∆ABD మరియు ∆ACE లలో ∠B = ∠C = 90° ∠A = ∠A (ఉమ్మడి కోణం)
∆ABD ~ ∆ACE (కో కో సరూప నియమం)
[latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CE}}[/latex]
⇒ [latex]\frac{2}{8}=\frac{\mathrm{BD}}{1.2}[/latex]

BD = [latex]\frac{2 \times 1.2}{8}=\frac{2.4}{8}[/latex] = 0.3 మీ.
ప్రహరీగోడ కావలసిన ఎత్తు = 1.5 మీ + 0.3 మీ
1.8మీ ఎత్తు నిర్మించిన, ప్రహరీగోడ హాలు ప్రక్క ఇంటి వారికి కన్పించకుండా చేయవచ్చును.

ప్రశ్న 8.
రెండు సరూపత్రిభుజాల వైశాల్యాలు సమానమైన అవి సర్వసమాన త్రిభుజాలని చూపండి. (పేజీ నెం. 213)
సాధన.
∆ABC ~ ∆PQR

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 38

(∵ వైశాల్యాలు సమానము కావున)
[latex]\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}\right)^{2}[/latex] = 1
కావున AB² = PQ²
BC² = QR²
AC² = PR²
దీని నుండి మనకు AB = PQ
BC = QR
AC = PR లభిస్తుంది
∆ABC = ∆POR, (భు.భు.భు. సర్వసమాన నియమం)

ప్రశ్న 9.
∆ABC ~ ∆DEF మరియు వాటి వైశాల్యాలు వరుసగా 64 చ.సెం.మీ మరియు 121 సెం.మీ. ఇంకా EF = 15.4 సెం.మీ అయిన BC కొలతను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 213)
సాధన.
AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 39AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 39

[latex]\frac{64}{121}=\left(\frac{B C}{15.4}\right)^{2}[/latex]

[latex]\frac{8}{11}=\frac{\mathrm{BC}}{15.4}[/latex]

BC = [latex]\frac{8 \times 15.4}{11}[/latex] = 11.2 సెం.మీ.

ప్రశ్న 10.
ట్రెపీజియం ABCDలో AB || DC. ఇంకా కర్ణములు AC, BD లు ‘0’ వద్ద ఖండించుకొంటాయి. AB = 2CD అయిన త్రిభుజములు AOB మరియు COD ల వైశాల్యముల నిష్పత్తిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 213)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 40

ట్రెపీజియం ABCD లో AR || DC. ఇంకా AB = 2CD.
∆AOB, ∆COD లలో ∠AOB = ∠COD (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∠OAB = ∠OCD (ఏకాంతర కోణాలు)
∆AOB ~ ∆COD (కో.కో సరూప నియమం)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 41

∴ ∆AOB వైశాల్యము : ∆COD వైశాల్యము = 4 : 1.

ప్రశ్న 11.
25మీ. పొడవుగల ఒక నిచ్చెన, గోడపై 20 మీ. ఎత్తున గల ఒక కిటికీని తాకుచున్నది. అయిన ఆ నిచ్చెన అడుగుభాగము నేలపై గోడ నుండి ఎంత దూరములో ఉన్నది ? (పేజీ నెం. 217)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 47

∆ABC లో ∠C = 90°.
⇒AD² = AC² + BC² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతము)
25² = 20² + BC²
BC² = 625 – 400 = 225
BC = √225 = 15మీ.
కావున నిచ్చెన అడుగుభాగము నేలపై గోడ నుండి 15మీ. దూరములో ఉన్నది.

ప్రశ్న 12.
లంబకోణ త్రిభుజము ABC లో శీర్షము ‘A’ వద్ద లంబకోణము కలదు. BL మరియు CM లు దీనిలో మధ్యగతరేఖలు అయిన 4(BL² + CM²) = 5BC² అని చూపండి. (పేజీ నెం. 217)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 48

∆ABC లో ∠A = 90° BL, CM లు మధ్యగతరేఖలు
∆ABC లో, BC² = AB² + AC² …………. (1) (పైథాగరస్ సిద్ధాంతము)
∆ABL లో, BL² = AL² + AB²
కానీ BL² = [latex]\left(\frac{\mathrm{AC}}{2}\right)^{2}[/latex] + AB² (∵ AC మధ్యబిందువు L కావున)
BL² = [latex]\frac{\mathrm{AC}^{2}}{4}[/latex] + AB²
∴ 4BL² = AC² + 4AB² …………… (2)
∆CMA లో, CM² = AC² + AM²
CM² = AC² + [latex]\left(\frac{\mathrm{AB}}{2}\right)^{2}[/latex]
(∴ AB మధ్య బిందువు M కావున)
CM² = AC² + [latex]\frac{\mathrm{AB}^{2}}{4}[/latex]
4CM² = 4AC² + AB² ………….. (3)
(2), (3) లను కలుపగా ‘
4(BL ²+ CM²) = 5(AC² + AB²)
∴ 4(BL² + CM²) = 5BC² (1) నుండి.

ప్రశ్న 13.
దీర్ఘచతురస్రం ABCD అంతరంలో ఏదైనా బిందువు ‘O’ ఆయితే OB² + OD² = OA²+ OC² అని చూపండి. (పేజీ నెం. 218)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 49

‘0’ బిందువు గుండా BC కి సమాంతరంగా ఒక రేఖను గీసిన అది AB ని P వద్ద, DC ని Q వద్ద తాకును. అపుడు PQ || BC.
∴ PQ ⊥ AB మరియు PQ ⊥ DC.
(∵ ∠B = ∠C = 90°) కావున ∠BPQ = 90° & ∠CQP = 90°
∴ BPQC మరియు APQD లు రెండు దీర్ఘచతురస్రాలు.
∆OPB నుండి OB² = BP² + O² ……… (1)
అదేవిధంగా ∆OQD నుండి OD² = OQ² + DQ² ……… (2)
∆OQC నుండి OC² = OQ² + CQ² ……………. (3)
∆OAP నుండి OA² = AP² + OP²
(1), (2) లను కలుపగా
OB² + OD² = BP² + OP² + OQ² + DQ²
= CQ² + OP² + OQ² + AP² (∵ BP = CQ మరియు DQ = AP)
= CQ² + OQ² + OP² + AP²
= OC² + OA² ((3), (4) ల నుండి)

ప్రశ్న 14.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజములో కర్ణము, దాని అతి చిన్న భుజము రెట్టింపు కన్నా 6మీ. ఎక్కువ. మూడవ భుజము కర్ణము కన్నా 2 మీ. తక్కువ. అయిన ఆ త్రిభుజ భుజాలను కనుగొనుము: . (పేజీ నెం. 219)
సాధన.
అతి చిన్న భుజమును x మీ. అనుకొనుము.
అపుడు కర్ణము = (2x + 6) మీ. మరియు
మూడవ భుజము = (2x + 4) మీ.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము నుండి, (2x + 6)² = x² + (2x + 4)²
4x² + 24x + 36 = x² + 4x² + 16x + 16
x² – 8x – 20 = 0
⇒ (x – 10) (x + 2) = 0
⇒ x = 10 లేదా x = – 2
x అనేది త్రిభుజ భుజము కావున రుణవిలువ కానేరదు.
∴ x = 10
అందువలన, ఆ త్రిభుజభుజాలు 10 మీ., 26 మీ. మరియు 24 మీ.

ప్రశ్న 15.
లంబకోణ త్రిభుజము ABCలో లంబకోణము శీర్షము ‘C’ వద్ద కలదు. BC = a, CA = b, AB =’c అనుకొనుము. ఇంకా శీర్షము ‘C’ నుండి AB కి గీసిన లంబము పొడవు p అయిన (పేజీ నెం. 219)
(i) pc = ab
(ii) [latex]\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}[/latex] అని చూపండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు InText Questions 50

(i) CD ⊥ AB మరియు CD = p.
∆ABC వైశాల్యము [latex]\frac{1}{2}[/latex] × AB × CD = [latex]\frac{1}{2}[/latex] cp
అలాగే ∆ABC వైశాల్యము = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × BC × AC = [latex]\frac{1}{2}[/latex] ab
[latex]\frac{1}{2}[/latex] cp = [latex]\frac{1}{2}[/latex] ab
⇒ cp = ab ……. (1)

(ii) లంబకోణ త్రిభుజము ABCలో లంబకోణము శీర్షము ‘C’ వద్ద కలదు.
కావున AB² = BC² + AC²
c² = a² + b²
[latex]\left(\frac{a b}{p}\right)^{2}[/latex] = a² + b²
⇒ [latex]\frac{1}{p^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{(a b)^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}[/latex]

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions

March 3, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
i. ఏదైనా వ్యాసార్ధంతో వృత్తం గీయండి. ఏవైనా వేర్వేరు బిందువుల వద్ద నాలుగు స్పర్శరేఖలను గీయండి. ఇంకనూ ఈ వృత్తానికి ఎన్ని సరళరేఖలను గీయవచ్చు? (పేజీ నెం. 226)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 2

‘O’ అనునది వృత్త కేంద్రం. OA వృత్త వ్యాసార్ధం (r). l, m, n, p మరియు qలు వృత్తానికి A, B, C, D, E ల వద్ద గీచిన స్పర్శ రేఖలు.
∴ ఒక వృత్తానికి అనంతమైన స్పర్శ రేఖలు గీయవచ్చు.

ii. వృత్తానికి బాహ్యంలో ఇచ్చిన బిందువు నుండి ఎన్ని స్పర్శరేఖలను నీవు గీయగలవు ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 3

బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తానికి రెండు స్పర్శరేఖలు మాత్రమే గీయగలం. PA, PB లు వృత్తానికి గీచిన రెండు స్పర్శరేఖలు.

iii. పటంలో ఏ రేఖలు వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు అవుతాయి?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 1

p మరియు m లు వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు అగును.

ప్రశ్న 2.
ఒక కాగితముపై వృత్తాన్ని గీచి, దానిపై PQ ఛేదన రేఖను పటములో చూపిన విధంగా గీయండి. ఈ ఛేదనరేఖకు సమాంతరముగా ఇరువైపులా మరికొన్ని రేఖలను గీయండి. ఛేదనరేఖ వృత్తకేంద్రము వైపుకు జరుగుతున్న కొలదీ ‘వృత్త జ్యా’ పొడవు ఏమైంది ? ఏది పెద్ద జ్యా? ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉండే (పేజీ నెం. 227)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 4

సాధన.
(i) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 5

(ii) పై పటం నుండి ఛేదనరేఖ , వృత్త కేంద్రం వైపుకు జరుగుతున్న కొద్దీ వాని పొడవులు పెరుగును.
(iii) జ్యాలలో అతి పొడవైనది వృత్త కేంద్రం గుండా పోయే వ్యాసం.
(iv) వృత్తానికి గీచిన స్పర్శరేఖకు సమాంతరంగా ఒకే ఒక స్పర్శరేఖను గీయగలం.

ప్రయత్నించండి:

ఒక వృత్తముపై గల ఏదైనా బిందువు గుండా గీయబడిన స్పర్శరేఖ, ఆ స్పర్శ బిందువు వద్ద వ్యాసార్ధానికి లంబముగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 1.
పై సిద్ధాంతము యొక్క విపర్యయంను నీవు ఏవిధంగా నిరూపిస్తావు ? (పేజీ నెం. 228)
సాధన.
నిరూపణ :
దశాంశం : ‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తంలో OA అనునది AT సరళరేఖకు ‘A’ వద్ద లంబంగా కలదు.
సారాంశం : AT వృత్తానికి ‘A’ వద్ద ఒక స్పర్శరేఖ.
నిర్మాణం : AT స్పర్శరేఖ కానిచో AT (పొడిగించగా) వృత్తమునకు మరియొక బిందువు వద్ద కలియును. ఆ విధంగా P వద్ద కలిసెను అనుకొనుము. ), P లను కలిపితిని. (P, AT పై ఒక బిందువు.)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 6

ఉపపత్తి : OA = OP (వ్యాసార్ధాలు) కావున ∠OAP = ∠OPA
కానీ ∠OPA = 90°
ఒక త్రిభుజంలో రెండు లంబకోణాలు ఉండవు కనుక ఇది అసంభవం. కనుక AT స్పర్శరేఖ కాదను ఊహ సరికాదు.
∴ AT, వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అగును.

ప్రశ్న 2.
వృత్త కేంద్రము తెలియని సందర్భములో వృత్తముపై గల బిందువు గుండా వృత్తానికి స్పర్శరేఖను ఎలా గీస్తావు ?
సూచన : ∠QPX మరియు ∠PRQ అనే సమాన కోణాలను నిర్మించుము. నిర్మాణ క్రమాన్ని వివరించండి. (పేజీ నెం. 229)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 7

సాధన.
నిర్మాణ క్రమం :
1) వృత్తంపై P అను బిందువు గుండా PR అను ఒక జ్యాను గీచితిని.
2) ∠PRQ ను నిర్మించి కొలిచితిని.
3) ∠PRQ కు సమానమైన కోణాన్ని PX పై P వద్ద నిర్మించితిని.
4) PX ను ఇరువైపులా పొడిగించితిని.
∴ [latex]\overline{\mathrm{XY}}[/latex] వృత్తానికి P వద్ద ఒక స్పర్శరేఖ.
గమనిక :
జ్యాకు మరియు స్పర్శరేఖకు మధ్యగల కోణం దాని అనురూప వృత్త ఖండంలోని కోణానికి సమానం.

నిర్మాణ క్రమం :

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 8

1) ఇచ్చిన వృత్తానికి AB మరియు AC అను రెండు జ్యాలు గీయుము.

2) AB మరియు AC లపైకి గీయబడిన లంబ సమద్విఖండనరేఖల మిళితబిందువు వృత్త కేంద్రాన్ని ఏకీభవిస్తుంది.
3) ‘O’ వృత్త కేంద్రం అనుకుంటే 0, P లను కలుపుము.
4) OP పైకి ఒక లంబాన్ని P వద్ద గీచి దాని ఇరువైపులా పొడిగించుము.
∴ కావలసిన స్పర్శరేఖ P వద్ద ఏర్పడినది.

సిద్ధాంతము – 1:

ఒక వృత్తముపై గల ఏదైనా బిందువు గుండా గీయబడిన స్పర్శరేఖ, ఆ స్పర్శబిందువు వద్ద వ్యాసార్ధానికి లంబముగా ఉంటుంది. (పేజీ నెం. 227)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 9

దత్తాంశము : ‘O’ కేంద్రముగా గల వృత్తానికి స్పర్శరేఖ XY, P బిందువు AB గుండా గీయబడింది.
సారాంశము : OP, XY నకు లంబము అనగా (OP ⊥ XY).
ఉపపత్తి : ఇచ్చట మనము నిరూపించవలసిన వాక్యాన్ని తప్పుగా భావించి ఒక కొత్త ప్రతిపాదన చేస్తాము. ఈ ప్రతిపాదన లేదా ఊహ విరుద్ధతకు దారితీస్తుంది. ఈ పద్ధతిలో మనం OP అనేది XY పైన -P కాకుండా మరొక బిందువు Q ను తీసుకొని 0Q ను కలుపుదాం.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 10

Q బిందువు కచ్చితంగా వృత్తానికి బాహ్యంలోనే ఉంటుంది (ఎలా ?) (Q ఒకవేళ వృత్త అంతరంలో వుంటే XY అనేది వృత్తానికి స్పర్శరేఖ కాకుండా ఛేదన రేఖ అవుతుందని గమనించండి.)
అందువలన, OQ అనేది వ్యాసార్ధం OQ అనేది వ్యాసార్ధం OP కన్నా పొడవుగా వుంటుంది
అంటే OQ > OP
XY పైన గల ఏ ఇతర బిందువులకైన ఇది వర్తిస్తుంది. అందుచే ‘0’ నుండి XY పైకి గీయబడిన అన్ని పొడవులలో OP మాత్రమే మిక్కిలి చిన్నది అగును.
కనుక మనం ఊహించినట్లుగా OP, XY కు లంబంగా వుండదు అనే భావన తప్పు అని తేలినది. అందువలన OP XY రేఖకు లంబం.
గమనిక :
వృత్త వ్యాసార్ధానికి స్పర్శ బిందువు గుండా గీయబడిన’ రేఖను ఆ వృత్తానికి ఆ బిందువు వద్ద అభిలంబం (Normal) అని కూడా అంటారు.

ప్రయత్నంచండి:

ప్రశ్న 1.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతమును ఉపయోగించి వృత్తానికి బాహ్య బిందువు గుండా గీయబడిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానము అను సిద్ధాంతమును నిరూపించడానికి ఉపపత్తిని రాయండి. (పేజీ నెం. 231)
సాధన.
నిరూపణ :
దత్తాంశం ‘: ‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి PA మరియు PB లు బాహ్య బిందువు P నుండి గీచిన స్పర్శరేఖలు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 13

సారాంశం : PA = PB
ఉపపత్తి: ∆AOP నుండి ∠OAP = 90°,
∴ AP² = OP² – OA² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి)
= OP² – OB² [∵ OA = OB, వృత్త వ్యాసార్ధాలు సమానం]
= BP²
⇒ AP² = BP²
⇒ AP = BP
∴ బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తానికి గీచిన స్పర్శ – రేఖల పొడవులు సమానాలు.

ప్రశ్న 2.
∠BOA = 120° అగునట్లు OA మరియు OB వ్యాసార్ధాలను గీయండి. ∠BOA కు సమద్విఖండన రేఖను గీచి DA, OB లకు A మరియు B ల వద్ద లంబరేఖలు గీయండి. ఈ రేఖలు ∠BOA సమద్విఖండన రేఖను బాహ్యబిందువు వద్ద ఖండిస్తాయి. వీటినే మనకు కావల్సిన స్పర్శరేఖలుగా తీసుకొనవచ్చు. నిర్మాణము చేయండి.
సమర్థించండి. (పేజీ నెం. 235)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 14

సరిచూచుట :
OA ⊥ OP మరియు OB ⊥ PB
∆OAP, ∆OBP ల నుండి OA = OB
∠OAP = ∠OBP
OP = OP
∴ ∆OAP = ∆OBP
∴ PA = PB. [∵ అనురూప భుజాలు సమానాలు]

సుధాంతము – 2:
వృత్తానికి బాహ్యబిందువు గుండా గీయబడిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానము. (పేజీ నెం. 231)
సాధన.
దత్తాంశము : ‘O’ కేంద్రముగా గల వృత్తానికి, P అనే బిందువు బాహ్యంలో కలదు. P బిందువు గుండా వృత్తానికి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు PA మరియు PB
సారాంశము : PA = PB
ఉపపత్తి : OA, OB మరియు OP లను కలపండి. ∠OAP = ∠OBP = 90°

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 15

ఇప్పుడు ∆OAP మరియు ∆OBP లలో, OA = OB (ఒకే వృత్త వ్యాసార్ధాలు) OP = OP (ఉమ్మడి భుజము)
అందువలన లం.క.భు సర్వసమాన స్వీకృతం ప్రకారము ∆OAP ≅ ∆OBP అయినది.
దీని నుండి PA = PB అగును (సర్వసమాన త్రిభుజాలలో సరూపభాగాలు) నిరూపించబడినది.

ప్రవచనములు :

ప్రశ్న 1.
వృత్తానికి బాహ్యబిందువు నుండి గీయబడిన స్పర్శరేఖల మధ్య ఏర్పడే కోణ సమద్విఖండన రేఖపై ఆ వృత్తం యొక్క కేంద్రం వుంటుంది. దీనిని ఏవిధంగా నిరూపించగలమో ఆలోచించండి. (పేజీ నెం. 232)
సాధన.
నిరూపణ :’O’ కేంద్రముగా గల వృత్తానికి P ఒక బాహ్యబిందువు. PQ మరియు PR లు. P నుండి వృత్తం పైకి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు.
OQ మరియు OR లను కలపండి , త్రిభుజాలు OQP మరియు ORP లు సర్వసమానాలు, ఎందుకంటే

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 16

∠OQP = ∠ORP = 90 (సిద్దాంతం 1 ప్రకారం వృత్త వ్యాసార్ధానికి, స్పర్శరేఖకు మధ్య ఏర్పడిన కోణము లంబకోణం .)
OQ = OR (వ్యాసార్ధాలు)
OP ఉమ్మడి భుజము సర్వసమాన త్రిభుజాల సరూప భుజాలు సమానము కావున ∠OPQ = ∠OPR అగును.
కావున, OP అనేది ∠QPR యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ అగును. దీని నుండి వృత్త కేంద్రము స్పర్శరేఖల మధ్య ఏర్పడిన కోణం యొక్క సమద్విఖండన రేఖపై వుండునని చెప్పవచ్చును.

ప్రశ్న 2.
రెండు ఏకకేంద్ర వృత్తాలలో బాహ్యవృత్తము యొక్క జ్యా, అంతర వృత్తము యొక్క స్పర్శ బిందువు వద్ద సమద్విఖండన చేయబడును. ఇది ఏ విధముగా సత్యము అగునో చూద్దాం . . .. AS, (పేజీ నెం. 233)
సాధన.
నిరూపణ : O కేంద్రముగా గల రెండు వృత్తాలు C₁ మరియు C₂ అని ఇవ్వబడినవి. C₁ వృత్తము యొక్క జ్యా AB ను చిన్న వృత్తము C₂ ను P వద్ద తాకింది.
(పటం చూడండి) మనము AP = PB అగునని నిరూపించాలి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 17

O, P ల ను కలపండి.
C₂ వృత్తానికి AB స్పర్శరేఖ మరియు OP వ్యాసార్ధము . కావున సిద్ధాంతము 1 ప్రకారము
OP ⊥ AB అగును. ఇప్పుడు ∆OAP మరియు ∆OBP లు సర్వసమానాలు. దీని నుండి AP = PB అయినది.
OP అనేది కేంద్రం నుండి గీయబడిన లంబము కావున అది AB జ్యాను సమద్విఖండన చేస్తుంది.

ప్రశ్న 3.
‘O’ కేంద్రముగా గల వృత్తానికి బాహ్యబిందువు A నుండి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు AP మరియు AQ అయిన ∠PAQ = 2 ∠OPQ = 2 ∠OQP అగును. దీనిని నిరూపించగలవా ? (పేజీ నెం. 233)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 18

నిరూపణ : O కేంద్రముగా గల వృత్తానికి బాహ్యబిందువు, A నుండి రెండు స్పర్శరేఖలు AP మరియు AQ లు గీయబడ్డాయి. ఇందులో P, Q లు స్పర్శబిందువులు (పటం చూడండి.)
మనము ∠PAQ = ∠OPQ అని నిరూపించాలి.
∠PAQ = θ అయిన ఇప్పుడు సిద్ధాంతము ప్రకారము AP = AQ అగును.
కావున ∆APQ ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము అగును.
అందుచే, ∠APQ + ∠AQP + ∠PAQ = 180° (మూడు కోణాల మొత్తము).
∠APQ = ∠AQP = [latex]\frac{1}{2}[/latex] (180° – θ) = 90° – [latex]\frac{1}{2}[/latex] θ
ఇదే విధంగా, సిద్ధాంతము 1 ప్రకారము ∠OPQ = 90°
కావున, ∠OPQ = ∠OPA – ∠APQ
= 90° – [90 – [latex]\frac{1}{2}[/latex]θ] = [latex]\frac{1}{2}[/latex] θ = ∠PAQ
దీని నుండి ∠PAQ = ∠OPQ = 2∠OQP అగును.

ప్రశ్న 4.
ABCD చతుర్భుజంలోని అన్ని భుజాలను తాకే విధంగా ఒక వృత్తం అంతర్లిఖించబడిన. అది P, Q, R, S బిందువుల వద్ద AB + CD = BC + DA అగును.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 19

సాధన.
నిరూపణ : పటంలో చూపిన విధముగా ABCD భుజాలు AB, BC, CD మరియు DA లను వృత్తము P, Q, R, S బిందువుల వద్ద వరుసగా స్పర్శించింది.
సిద్ధాంతము’ 2 ప్రకారము, బాహ్యబిందువు నుండి వృత్తం పైకి గీయబడిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానము కావున
AP = AS
BP = BQ
DR = DS మరియు
CR = CQ
వీటిని కలుపగా, మనకు
AP + BP + DR + CR = AS + BQ + DS + CQ
లేదా (AP + PB) + (CR + DR) = (BQ + QC) + (DS + SA)
లేదా AB + CD = BC + DA

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
శంకర్ రూపొందించిన మరికొన్ని పటాలు ఇవ్వబడ్డాయి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 24

ఈ పటాల ఆకారాలను ఏవిధంగా విభజిస్తే వీటి వైశాల్యాలు సులభముగా కనుగొనగలము ? మీరు ఇటువంటి మరికొన్ని పటాలను రూపొందించి, విభిన్న పటాలుగా విభజించండి. (పేజీ నెం. 237).
సాధన.
AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 25 – రెండు దీర్ఘచతురస్రాలు

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 26 – ఒక దీర్ఘచతురస్రం మరియు వృత్తం

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 27 – ఒక శంఖువు మరియు వృత్తఖండం

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 28 – ఒక దీ|| చ|| మరియు రెండు అర్ధవృత్తాలు

విభిన్న ఆకారాల పటాలు –

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 29 – శంఖువు మరియు వృత్త ఖండం

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 30 – దీ||చ|| మరియు వృత్త ఖండం

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 31 – ఒక చతురస్రం మరియు 4 వృత్తఖండాలు.

ప్రశ్న 2.
వృత్త వ్యాసార్ధము 7 సెం.మీ మరియు దిగువ సెక్టరు కోణాలకు తగినట్లు సెక్టరు వైశాల్యము కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 239)
(i) 60°
(ii) 30°
(iii) 72°
(iv) 90°
(v) 120°

సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 32

ప్రశ్న 3.
ఒక గడియారంలో నిమిషాల ముల్లు పొడవు 14 సెం.మీ. 10 నిమిషాలలో ఈ ముల్లుచే ఏర్పడే ప్రదేశ వైశాల్యము కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 239)
సాధన.
నిముషాల ముల్లు 191 చేయు కోణం = [latex]\frac{360^{\circ}}{60}[/latex] = 6°
∴ 10ని||లో నిముషాల ముల్లు చేయు కోణం
= 10 × 6 = 60°
∴ వృత్త వ్యాసార్ధం = నిముషాల ముల్లు పొడవు = r = 14 సెం.మీ.
కోణం = x = 60°
∴ సెక్టార్ వైశాల్యం AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 33

= [latex]\frac{x}{360} \times \pi r^{2}[/latex]
= [latex]\frac{60}{360} \times \frac{22}{7}[/latex] × 14 × 14
= [latex]\frac{616}{6}[/latex] = 102.66 సెం.మీ².

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
అల్ప వృత్త ఖండ వైశాల్యమును ఉపయోగించి అధిక వృత్తఖండ వైశాల్యమును ఏవిధముగా కనుగొంటావు? (పేజీ నెం. 239)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 34

అధిక వృత్తఖండ వైశాల్యం = వృత్త వైశాల్యం – అల్ప వృత్త ఖండ వైశాల్యం.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
వృత్త వ్యాసార్ధము 5 సెం.మీ మరియు రెండు స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము 60° అయిన ఆ వృత్తానికి స్పర్శరేఖలను గీయండి. (పేజీ.నెం.235)
సాధన.
వృత్తం గీచి దానికి రెండు స్పర్శరేఖలను గీయుటను మనం పరిశీలిద్దాము. మనకు వృత్త వ్యాసార్ధము మరియు రెండు స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము ఇవ్వబడింది. వృత్తకేంద్రం నుండి బాహ్యబిందువునకు గల దూరము గాని, స్పర్శరేఖల పొడవులుగాని మనకు తెలియవు. కాని మనకు స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము మాత్రమే తెలుసు. దీని నుపయోగించి బాహ్యబిందువు నుండి కేంద్రానికి గల దూరాన్ని కనుగొంటే, మనము స్పర్శరేఖలను గీయవచ్చును.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 11

దీనిని ప్రారంభించడానికి ముందు 5 సెం.మీ వ్యాసార్ధము గల వృత్తాన్ని పరిశీలిద్దాము.
బాహ్యబిందువు ‘P’ నుండి PA మరియు PB లు అనేవి వృత్తానికి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు మరియు వీటి మధ్య కోణము 60°.
దీనిలో ∠APB = 60°. OP ని కలుపండి. OP అనేది ∠APB కి సమద్విఖండన రేఖ.
కావున ∠OPA = ∠OPB = [latex]\frac{60^{\circ}}{2}[/latex] = 30
[∵ ∆OAP = ∆OBP]
ఇప్పుడు ∆OAP లో Sin 30° = ఎదుటి భుజము / కర్ణము
= [latex]\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}[/latex]
[latex]\frac{1}{2}=\frac{5}{\mathrm{OP}}[/latex] (త్రికోణమితి నిష్పత్తుల నుండి)
⇒ OP = 10 సెం.మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 12

మనం ఇప్పుడు ‘O’ కేంద్రముగా 5 సెం.మీ వ్యాసార్ధంతో వృత్తము గీద్దాము. కేంద్రం నుండి 10 సెం.మీ దూరంలో ‘P’ అనే బిందువును గుర్తిద్దాము. OP ని కలిపి నిర్మాణము పై పటములో చూపిన విధముగా పూర్తి చేద్దాము.
PA మరియు PB అనేవి వృత్తానికి గీయబడిన ఒక – జత స్పర్శరేఖలు ఏర్పడతాయి.

ప్రశ్న 2.
పటములో వృత్త వ్యాసార్ధము 21 సెం.మీ. మరియు ∠AOB = 120° అయిన వృత్తఖండము AYB వైశాల్యము కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 239)
(π = [latex]\frac{22}{7}[/latex] మరియు √3 = 1.732 గా తీసుకోండి).
సాధన.
AYB వృత్తఖండ వైశాల్యము = OAYB సెక్టరు వైశాల్యము – ∆DAB వైశాల్యము
ఇప్పుడు OAYB సెక్టరు వైశాల్యము = [latex][/latex] × 21 × 21 చ.సెం.మీ
= 462 చ. సెం.మీ. …………. (1)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 20

∆OAB వైశాల్యము కనుగొనుటకు పటములో చూపిన విధముగా OM ⊥ AB ను గీయాలి.
OA = OB కావున లం.క.భు. సర్వసమాన నియమము ప్రకారము ∆AMO = ∆BMO అగును.
కావున, AB మధ్యబిందువు M అగును మరియు ∠AOM = ∠BOM = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 120° = 60°.
ఇప్పుడు OM = x సెం.మీ అనుకొనిన
∆OMA నుండి, OM = cos 60° లేదా,
[latex]\frac{x}{21}=\frac{1}{2}[/latex] (∵ cos 60° = [latex]\frac{1}{2}[/latex]) లేదా,
x = [latex]\frac{21}{2}[/latex]
కావున, OM = [latex]\frac{21}{2}[/latex] సెం.మీ

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 21

అలాగే, [latex]\frac{\text { AM }}{\text { OA }}[/latex] = sin 60
⇒ [latex]\frac{\text { AM }}{21}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] (sin 60° = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex])
కావున, AM = 21[latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] సెం.మీ.
అందువలన AB = 2AM = [latex]\frac{2 \times 21 \sqrt{3}}{2}[/latex] సెం.మీ. = 21√3 సెం.మీ.
దీని నుండి ∆OAB వైశాల్యము = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × AB × OM
= [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 21√3 × [latex]\frac{21}{2}[/latex] చ.సెం.మీ²
= [latex]\frac{441}{4}[/latex]√3 చ.సెం.మీ ……… (2)
ఈ విధంగా (1), (2) లను బట్టి AYB వృత్తఖండం వైశాల్యము
= (462 – [latex]\frac{441}{4}[/latex]√3) చ.సెం.మీ²
= [latex]\frac{21}{4}[/latex] (88 – 21√3) చ.సెం.మీ²
= 271.047 చ.సెం.మీ².

ప్రశ్న 3.
పటములో 0 కేంద్రముగా వృత్తములో PQ = 24 సెం.మీ. PR = 7 సెం.మీ మరియు వ్యాసము QR అని ఇవ్వబడింది. షేడ్ చేయబడిన వృత్తఖండము వైశాల్యము కనుగొనుము. (π = [latex]\frac{22}{7}[/latex] తీసుకోండి). (పేజీ నెం. 241)
సాధన.
షేడ్ చేయబడిన వృత్తఖండం వైశాల్యము = OQPR సెక్టరు వైశాల్యము – PQR త్రిభుజ వైశాల్యము.
QR వ్యాసము కావున, ∠QPR= 90° (అర్ధవృత్తములో కోణము) పైథాగరస్ సిద్ధాంతమును ఉపయోగించి,
∆QPR,
QR² = PQ² + PR²
= 24² + 7²
= 576 + 49 = 625
QR = √625 = 25 సెం.మీ

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 22

దీని నుండి వృత్త వ్యాసార్ధము = [latex]\frac{1}{2}[/latex] QR
= [latex]\frac{1}{2}[/latex] (25) = [latex]\frac{25}{2}[/latex] సెం.మీ
ఇపుడు, OQPR అర్ధవృత్త వైశాల్యము = [latex]\frac{1}{2}[/latex] πr²
= [latex]\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{25}{2} \times \frac{25}{2}[/latex]
= 327.38 చ.సెం.మీ ………………..(1)
QPR లంబకోణ త్రిభుజ వైశాల్యము = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × PR × PQ
= [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 7 × 24
= 84 చ.సెం.మీ …………………..(2)
(1), (2) లను బట్టి, షేడ్ చేయబడిన వృత్తఖండము వైశాల్యము = 327.38 – 84
= 243.38 చ.సెం.మీ².

ప్రశ్న 4.
పటములో చూపిన విధముగా ఒక గుండ్రని ఉపరితలము గల బల్లపై ఆరు సమాన ఆకృతులు కలవు. బల్లపై తలము యొక్క వ్యాసార్ధము 14 సెం.మీ అయిన చ.మీ ₹ 5 చొప్పున బల్లపై గల ఆకృతులకు రంగు వేయడానికి ఎంత ఖర్చు అవుతుంది ? (√3 = 1.732 తీసుకోండి) (పేజీ నెం. 241)
సాధన.
వృత్తములో అంతర్లిఖించబడిన క్రమషడ్భుజి యొక్క భుజము వృత్త వ్యాసార్ధానికి సమానమని మనకు తెలుసు.
∴ క్రమషడ్భుజి యొక్క ఒక్కొక్క భుజము = 14 సెం.మీ.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు InText Questions 23

అందువలన, ఆకృతి చేయబడిన ఆరు వృత్త ఖండాల వైశాల్యము = వృత్త వైశాల్యము – క్రమషడ్భుజి వైశాల్యము ఇపుడు, వృత్త వైశాల్యము = Tr
= [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 14 × 14 = 616 చ.సెం.మీ² ………………. (1)
క్రమషడ్భుజి వైశాల్యము
= 6 × [latex]\frac{\sqrt{3}}{4}[/latex] a²
= 6 × [latex]\frac{\sqrt{3}}{4}[/latex] × 14 × 14
= 509.2 చ.సెం.మీ² ……………… (2)
(1), (2) లను బట్టి ఆరు ఆకృతుల
మొత్తం వైశాల్యం = 616 – 509.21 = 106.79 చ.సెం.మీ²
దీని నుండి, చ.మీ ₹ 5 చొప్పున ఆరు ఆకృతులకు రంగు వేయుటకు అయ్యే ఖర్చు = ₹ 106.79 × 5 = ₹ 533.95

AP 9th Class Maths Bits 12th Lesson వృత్తాలు

March 3, 2022

Practice the AP 9th Class Maths Bits with Answers 12th Lesson వృత్తాలు on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 9th Class Maths Bits 12th Lesson వృత్తాలు

ఈ క్రింది వానిలో సరియైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనుము.

ప్రశ్న 1.
వృత్తపరిధికి సమానదూరంలో గల బిందువు ( )
(A) కేంద్రము
(B) అంతర కేంద్రము
(C) వ్యాసార్ధం
(D) పరివృత్త కేంద్రము
జవాబు.
(A) కేంద్రము

పటము నుండి (2 మరియు 3) లకు సమాధానాలిమ్ము.

AP 9th Class Maths Bits 12th Lesson వృత్తాలు Bits 1

ప్రశ్న 2.
వృత్త కేంద్రము ‘O’ అయిన AB ఒక ………..
(A) వ్యాసార్ధము
(B) వ్యాసము
(C) అర్ధవృత్తము
(D) స్పర్శరేఖ
జవాబు.
(B) వ్యాసము

ప్రశ్న 3.
AC మరియు ADలు ‘O’ నుండి సమాన దూరంలో ‘ ఉన్నట్లయితే
(A) AC = CO
(B) AD = DO
(C) AC = AD
(D) AO = AC
జవాబు.
(C) AC = AD

ప్రశ్న 4.
రెండు వ్యాసార్ధాలు మరియు ఒక చాపము మధ్యన ఆవరింపబడి వున్న వృత్త భాగం
(A) త్రిభుజం
(B) వృత్తపరిధి
(C) సెక్టారు
(D) వృత్త వ్యాసము
జవాబు.
(C) సెక్టారు

ప్రశ్న 5.
అధిక వృత్తఖండంలోని కోణము …….
(A) అధిక కోణము
(B) లంబకోణము
(C) సరళరేఖ
(D) అల్పకోణము
జవాబు.
(D) అల్పకోణము

ప్రశ్న 6.
అల్పవృత్త ఖండంలోని కోణము …………..
(A) అధిక కోణము
(B) శూన్యకోణము
(C) అల్ప కోణము
(D) లంబకోణము
జవాబు.
(A) అధిక కోణము

ప్రశ్న 7.
ఒక వ్యాసము వృత్తంను రెండుగా విభజించిన
(A) అసమాన వృత్తఖండాలు
(B) సమాన వృత్తఖండాలు
(C) చెప్పలేము
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(B) సమాన వృత్తఖండాలు

ప్రశ్న 8.
ఒక వృత్త కేంద్రము ‘O’ అయిన ‘O’ నుండి AB జ్యాకు గల దూరం, CD జ్యాకు గల దూరము కంటే ఎక్కువైన
(A) AB = CD
(B) AB > CD
(C) AB < CD
(D) వ్యా సం = AB + CD
జవాబు.
(C) AB < CD

ప్రశ్న 9.
పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రము. A మరియు C లు వృత్త పరిధిపై గల బిందువులు, AB = CD అయిన ∠AOB =
AP 9th Class Maths Bits 12th Lesson వృత్తాలు Bits 2
(A) ∠OAB
(B) ∠OBC
(C) ∠DOC
(D) ∠OCD
జవాబు.
(C) ∠DOC

ప్రశ్న 10.
పై పటంలో ∠AOB = ∠DOC అయిన
(A) AB = DC
(B) AB = OC
(C) DC = OA
(D) AB + CD
జవాబు.
(A) AB = DC

ప్రశ్న 11.
కింది పటంలో x విలువ
AP 9th Class Maths Bits 12th Lesson వృత్తాలు Bits 3
(A) 40
(B) 80°
(C) 320°
(D) 50°
జవాబు.
(B) 80°

ప్రశ్న 12.
పై పటంలో ∠C = 60° అయిన y =,
(A) 40°
(B) 80°
(C) 240°
(D) 120°
జవాబు.
(C) 240°

ప్రశ్న 13.
పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రమైన
AP 9th Class Maths Bits 12th Lesson వృత్తాలు Bits 4
(A) EF > CD > AB
(B) EF = CD = AB
(C) AB > CD > EF
(D) ఏదికాదు
జవాబు.
(C) AB > CD > EF

ప్రశ్న 14.
పటంలో ∠AOB = ∠COD; AB = 3 సెం.మీ. అయిన CD = ……
AP 9th Class Maths Bits 12th Lesson వృత్తాలు Bits 5
(A) 1.5 సెం.మీ
(B) 6 సెం.మీ.
(C) 3.5 సెం.మీ.
(D) 3 సెం.మీ.
జవాబు.
(D) 3 సెం.మీ.

ప్రశ్న 15.
పటంలో OM ⊥ AB మరియు AM = 6 సెం.మీ. . ఇక్కడ ‘0’ వృత్త కేంద్రమైన AB =
AP 9th Class Maths Bits 12th Lesson వృత్తాలు Bits 6
(A) 6 సెం.మీ.
(B) 12 సెం.మీ.
(C) 3 సెం.మీ..
(D) 6√6 సెం.మీ.
జవాబు.
(B) 12 సెం.మీ.

ప్రశ్న 16.
పటంలో ∠OMA =
AP 9th Class Maths Bits 12th Lesson వృత్తాలు Bits 7
(A) 45°
(B) 90°
(C) 180°
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(B) 90°

ప్రశ్న 17.
ఒక వృత్తంను తెలియజేయు బిందువుల సంఖ్య
(A) ఒకటి
(B) రెండు
(C) మూడు
(D) అనంతం
జవాబు.
(C) మూడు

ప్రశ్న 18.
ఇచ్చిన బిందువు నుండి గీయదగు వృత్తాల సంఖ్య
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) అనంతం
జవాబు.
(D) అనంతం

ప్రశ్న 19.
రెండు అతలీయ బిందువుల గుండా గీయదగు వృత్తాల సంఖ్య
(A) 2
(B) 4
(C) చాలా
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(C) చాలా

ప్రశ్న 20.
మూడు సరేఖీయాలు కాని బిందువుల గుండా గీయదగు వృత్తాల సంఖ్య
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
జవాబు.
(D) 1

ప్రశ్న 21.
పటంలో ∠ADB = ………….
AP 9th Class Maths Bits 12th Lesson వృత్తాలు Bits 8
(A) 45°
(B) 65°
(C) 25°
(D) 115°
జవాబు.
(B) 65°

ప్రశ్న 22.
పటంలో ∠ABC = ………..
AP 9th Class Maths Bits 12th Lesson వృత్తాలు Bits 9
(A) 55°
(B) 125°
(C) 35°
(D) చెప్పలేము
జవాబు.
(B) 125°

ప్రశ్న 23.
ఒక చతుర్భుజము చక్రీయమైన అది ఒక ……………………
(A) సమాంతర చతుర్భుజము
(B) ట్రెపీజియం
(C) రాంబస్
(D) దీర్ఘచతురస్రం
జవాబు.
(D) దీర్ఘచతురస్రం

ప్రశ్న 24.
ఒక చాపము కేంద్రము వద్ద ‘x°’ కోణము చేయుచున్న వృత్తపరిధిపై ఏదేని బిందువు వద్ద చేయు కోణము ………
(A) [latex]\frac{x^{\circ}}{2}[/latex]
(B) 2x°
(C) x°
(D) 180° – X°
జవాబు.
(A) [latex]\frac{x^{\circ}}{2}[/latex]

ప్రశ్న 25.
ఒక వృత్త కేంద్రము నుండి వృత్త జ్యాకు గీచిన లంబము దానిని ……………. చేయును.
(A) సమద్విఖండన
(B) సమాంతరము
(C) ప్రాజ్యాంతరము
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(A) సమద్విఖండన

క్రింది ఖాళీలను పూరింపుము.

ప్రశ్న 1.
వృత్త జ్యా లలో పొడవైన జ్యా ………………..
జవాబు.
వ్యాసము

ప్రశ్న 2.
సమాన జ్యా లు వృత్తకేంద్రం వద్ద ……………….. . కోణాలను ఏర్పరచును.
జవాబు.
సమాన

ప్రశ్న 3.
ఒక వృత్తఖండంలోని కోణాలు ……………………..
జవాబు.
సమానము

ప్రశ్న 4.
అర్ధవృత్తంలోని కోణము ………………..
జవాబు.
లంబకోణం

ప్రశ్న 5.
త్రిభుజ శీర్షాలను తాకుతూ పోవు వృత్తం ………………..
జవాబు.
పరివృత్తం

ప్రశ్న 6.
చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు కోణాలు ………………..
జవాబు.
సంపూరకాలు

ప్రశ్న 7.
AP 9th Class Maths Bits 12th Lesson వృత్తాలు Bits 10
పై పటంలో x° విలువ …………………….
జవాబు.
60°

ప్రశ్న 8.
AP 9th Class Maths Bits 12th Lesson వృత్తాలు Bits 12
పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రము అయిన x° విలువ …………………
జవాబు.
90°

ప్రశ్న 9.
AP 9th Class Maths Bits 12th Lesson వృత్తాలు Bits 11
పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రము అయిన x° విలువ ……………..
జవాబు.
35°

ప్రశ్న 10.
రెండు వృత్తాలు రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండించుకున్న వాటి కేంద్రాలు …………………… పై వుండును.
జవాబు.
ఉమ్మడి జ్యాల యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ

ప్రశ్న 11.
సమాన పొడవులు గల జ్యాలు …………… నుండి ……………. దూరంలో వుండును.
జవాబు.
వృత్తకేంద్రం, సమాన

ప్రశ్న 12.
లంబకోణ త్రిభుజంలో పరివృత్త కేంద్రము ………………
జవాబు.
కర్ణము యొక్క మధ్య బిందువు

ప్రశ్న 13.
అధిక కోణ త్రిభుజంలో పరివృత్త కేంద్రము ……………..
జవాబు.
త్రిభుజానికి బాహ్యంగా ఉండును

ప్రశ్న 14.
అల్పకోణ త్రిభుజపు పరివృత్త కేంద్రము …………….. ఉండును.
జవాబు.
త్రిభుజ అంతరంలో

ప్రశ్న 15.
వృత్తపు వ్యాసపు మధ్య బిందువు ……………….
జవాబు.
దాని కేంద్రము.

ప్రశ్న 16.
ఒకే కేంద్రాలు గల వృత్తాలు ………..
జవాబు.
ఏకకేంద్ర వృత్తాలు

ప్రశ్న 17.
AP 9th Class Maths Bits 12th Lesson వృత్తాలు Bits 13
∠AOB = ∠COD అయిన CD = ………..
జవాబు.
4.5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 18.
పై పటంలో ∆AOB ≅ ∆COD ………. ప్రకారం అగును.
జవాబు.
భు.కో.భు.

ప్రశ్న 19.
ఒక వృత్తంను తెలుపుటకు కావలసిన బిందువులు ………………..
జవాబు.
3

ప్రశ్న 20.
ఒక వృత్తంలో రెండు జ్యాలు అసమానాలైన చిన్న జ్యా వృత్త కేంద్రం నుండి …………. దూరంలో ఉండును.
జవాబు.
ఎక్కువ

జతపర్చుము:

(i)

గ్రూపు – A	గ్రూపు – B
1. అంత్య బిందువులు వృత్తంపై గల రేఖాఖండము వ్యాసం కాకుండా	A) వ్యాసార్ధం
2. వృత్తంను రెండు సమభాగాలుగా విభజించు రేఖాఖండం	B) ఛేదనరేఖ
3. వృత్త కేంద్రం నుండి వృత్తం పై గల బిందువుకు గల దూరము	C) జ్యా లు
4. వృత్తంను ఒకే ఒక బిందువు వద్ద స్పృశించు రేఖ	D) వ్యాసము
5. వృత్తంను రెండు భాగాలుగా విభజించు రేఖ	E) స్పర్శరేఖ

జవాబు.

గ్రూపు – A	గ్రూపు – B
1. అంత్య బిందువులు వృత్తంపై గల రేఖాఖండము వ్యాసం కాకుండా	C) జ్యా లు
2. వృత్తంను రెండు సమభాగాలుగా విభజించు రేఖాఖండం	D) వ్యాసము
3. వృత్త కేంద్రం నుండి వృత్తం పై గల బిందువుకు గల దూరము	A) వ్యాసార్ధం
4. వృత్తంను ఒకే ఒక బిందువు వద్ద స్పృశించు రేఖ	E) స్పర్శరేఖ
5. వృత్తంను రెండు భాగాలుగా విభజించు రేఖ	B) ఛేదనరేఖ

(ii)

గ్రూపు – A	గ్రూపు – B
1. వృత్త కేంద్రం నుండి రెండు సమాన జ్యాలకు గల దూరము	(A) సంపూరకాలు
2. ఒక చాపము వృత్తకేంద్రం వద్ద ఏర్పరచు కోణము, ఆ చాపం మిగిలిన వృత్తంపై ఏదైనా బిందువు వద్ద ఏర్పరచు కోణంకు …… గా వుండును.	(B) లంబకోణము
3. చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదుటి కోణాలు	(C) సమానము
4. అర్ధవృత్తంలోని కోణము	(D) సగము
5. ఏకకేంద్ర వృత్తాల వ్యాసార్ధాలు	(E) అసమానం

జవాబు.

గ్రూపు – A	గ్రూపు – B
1. వృత్త కేంద్రం నుండి రెండు సమాన జ్యాలకు గల దూరము	(C) సమానము
2. ఒక చాపము వృత్తకేంద్రం వద్ద ఏర్పరచు కోణము, ఆ చాపం మిగిలిన వృత్తంపై ఏదైనా బిందువు వద్ద ఏర్పరచు కోణంకు …… గా వుండును.	(D) సగము
3. చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదుటి కోణాలు	(A) సంపూరకాలు
4. అర్ధవృత్తంలోని కోణము	(B) లంబకోణము
5. ఏకకేంద్ర వృత్తాల వ్యాసార్ధాలు	(E) అసమానం

AP 9th Class Maths Bits 13th Lesson సంభావ్యత

March 3, 2022

Practice the AP 9th Class Maths Bits with Answers 13th Lesson సంభావ్యత on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 9th Class Maths Bits 13th Lesson సంభావ్యత

ఈ క్రింది వానిలో సరియైన సమాధానాన్ని – ఎన్నుకొనుము.

ప్రశ్న 1.
కింది పటంలో AB యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖ [latex]\overleftrightarrow{XY}[/latex] అయిన AX =
AP 9th Class Maths Bits 13th Lesson సంభావ్యత Bits 1
(A) AY
(B) BY
(C) BX
(D) XY
జవాబు.
(C) BX

ప్రశ్న 2.
పై పటంలో ∆ARO ఒక ………… త్రిభుజం.
(A) సమబాహు
(B) సమద్విబాహు
(C) విషమబాహు
(D) లంబకోణ
జవాబు.
(B) సమద్విబాహు

ప్రశ్న 3.
పై పటంలో ∆AXBE
(A) ∆ AYO
(B) ∆ BYO
(C) ∆ AKB
(D) ∆ BXO
జవాబు.
(D) ∆ BXO

ప్రశ్న 4.
ఇచ్చిన పటంలో ∠ABC యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ [latex]\overrightarrow{\mathbf{B F}}[/latex] అయిన
AP 9th Class Maths Bits 13th Lesson సంభావ్యత Bits 2
(A) ∠ABF = ∠CBF
(B) ∠ABF = ∠ABC
(C) ∠BF + ∠CBF = 90°
(D) ∠ABF + ∠CBF = 180°
జవాబు.
(A) ∠ABF = ∠CBF

ప్రశ్న 5.
క్రింది పటం నుండి ∆ABD ≅ ∆CBD అనునది ………….. నియమం ద్వారా నిరూపితము.
AP 9th Class Maths Bits 13th Lesson సంభావ్యత Bits 3
(A) భు.భు. భు.
(B) కో.భు.కో
(C) భు.కో.భు
(D) లం.క.భు.
జవాబు.
(A) భు.భు. భు.

ప్రశ్న 6.
∠DAC =
AP 9th Class Maths Bits 13th Lesson సంభావ్యత Bits 4
(A) ∠B + ∠A
(B) ∠A + ∠C
(C) ∠B + ∠C
(D) ∠A + ∠B + ∠C
జవాబు.
(C) ∠B + ∠C

ప్రశ్న 7.
వృత్తఖండంలోని కోణాలు ……..
(A) పూరకాలు
(B) సంపూరకాలు
(C) సమానాలు
(D) అసమానాలు
జవాబు.
(C) సమానాలు

ప్రశ్న 8.
అర్ధవృత్తంలోని కోణము ………
(A) లంబకోణం
(B) 180°
(C) లఘుకోణం
(D) గురుకోణం
జవాబు.
(A) లంబకోణం

ప్రశ్న 9.
కొలబద్ద మరియు వృత్తలేఖిని సహాయంతో పటాలను . నిర్మించుటను …………. అంటారు.
(A) రేఖాగణిత పద్ధతి
(B) దత్తాంశ పద్ధతి
(C) జ్యామితీయ నిర్మాణం
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(C) జ్యామితీయ నిర్మాణం

ప్రశ్న 10.
∆ABC లో [latex]\overrightarrow{\mathbf{B X}}[/latex] మరియు [latex]\overrightarrow{\mathbf{C Y}}[/latex] లు భూకోణాల సమద్విఖండన రేఖలయిన ∠BXC =
(A) 90° + [latex]\frac{1}{2}[/latex]∠A
(B) 90° – [latex]\frac{1}{2}[/latex]∠A
(C) 180° – [latex]\frac{1}{2}[/latex]∠A
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(A) 90° + [latex]\frac{1}{2}[/latex]∠A

AP 9th Class Maths Bits 14th Lesson సంభావ్యత

March 3, 2022

Practice the AP 9th Class Maths Bits with Answers 14th Lesson సంభావ్యత on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 9th Class Maths Bits 14th Lesson సంభావ్యత

కింది వానిలో సరియైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనుము.

ప్రశ్న 1.
ఒక నాణేన్ని ఎగుర వేసినపుడు “బొమ్మ” పడు సంభావ్యత ( )
(A) అల్ప సంభవం
(B) సమ సంభవం
(C) అధిక సంభవం
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(B) సమ సంభవం

ప్రశ్న 2.
ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు ‘6’ కంటే ఎక్కువ విలువ గల సంఖ్యను పొందు సంభావ్యత ( )
(A) అల్ప సంభవం.
(B) సమ సంభవం
(C) అధిక సంభవం
(D) అసాధ్యము
జవాబు.
(D) అసాధ్యము

ప్రశ్న 3.
ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు ఏర్పడు పర్యవసానాల సంఖ్య
(A) 1
(B) 4
(C) 6
(D) 4
జవాబు.
(C) 6

ప్రశ్న 4.
రెండు పాచికలను దొర్లించినపుడు ఏర్పడు పర్యవసానాల సంఖ్య
(A) 12
(B) 6
(C) 1
(D) 36
జవాబు.
(D) 36

ప్రశ్న 5.
ఒక నాణేన్ని ఎగురవేసిన, వచ్చు పర్యవసానాల సంఖ్య
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
జవాబు.
(B) 2

ప్రశ్న 6.
ఒక యాదృశ్చిక ప్రయోగంలో ఏర్పడే ఘటనలు ఖచ్చితమైనవిగాని, కచ్చితము కానివి ఏర్పడిన దానిని ……… అంటారు.
(A) గణిత ప్రయోగం
(B) యత్నం
(C) సరిసంఖ్య
(D) పర్యవసానం
జవాబు.
(B) యత్నం

ప్రశ్న 7.
ఒక యాదృశ్చిక ప్రయోగం యొక్క పర్యవసానంను ……… అంటారు.
(A) ఘటన
(B) యత్నం
(C) అవకాశం
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(A) ఘటన

ప్రశ్న 8.
ఒక నాణేన్ని ఎగురవేసిన బొమ్మ పదు సంభావ్యత
(A) 1
(B) [latex]\frac{1}{4}[/latex]
(C) [latex]\frac{1}{2}[/latex]
(D) [latex]\frac{1}{8}[/latex]
జవాబు.
(C) [latex]\frac{1}{2}[/latex]

ప్రశ్న 9.
రెండు నాణెములను ఎగురవేసిన రెండు బొమ్మలు పదు సంభావ్యత
(A) [latex]\frac{1}{2}[/latex]
(B) [latex]\frac{1}{4}[/latex]
(C) [latex]\frac{1}{6}[/latex]
(D) [latex]\frac{1}{8}[/latex]
జవాబు.
(B) [latex]\frac{1}{4}[/latex]

ప్రశ్న 10.
మూడు నాణెములను ఎగురవేసిన రెండు బొమ్మలు కచ్చితంగా పడు సంభావ్యత
(A) [latex]\frac{1}{8}[/latex]
(B) 8
(C) [latex]\frac{7}{8}[/latex]
(D) [latex]\frac{3}{8}[/latex]
జవాబు.
(C) [latex]\frac{7}{8}[/latex]

ప్రశ్న 11.
రెండు నాణెములను ఎగురవేసిన, బొమ్మ పడకుండుటకు సంభావ్యత .
(A) [latex]\frac{1}{8}[/latex]
(B) [latex]\frac{1}{4}[/latex]
(C) [latex]\frac{1}{2}[/latex]
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(B) [latex]\frac{1}{4}[/latex]

ప్రశ్న 12.
ఒక నాణెమును ఎగురవేసిన ఒక బొమ్మ మరియు ఒక బొరుసు పడు సంభావ్యతల మొత్తము
(A) [latex]\frac{1}{2}[/latex]
(B) [latex]\frac{3}{4}[/latex]
(C) 1
(D) 0
జవాబు.
(C) 1

ప్రశ్న 13.
ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు ఒక సరిసంఖ్య మరియు ఒక బేసిసంఖ్య ఏర్పడు సంభావ్యతల మొత్తము
(A) [latex]\frac{1}{2}[/latex]
(B) [latex]\frac{1}{6}[/latex]
(C) [latex]\frac{1}{3}[/latex]
(D) 1
జవాబు.
(D) 1

ప్రశ్న 14.
ఒక యాదృశ్చిక ప్రయోగంలో ఏర్పడు సంభావ్యతల మొత్తము
(A) 0
(B) – 1
(C) 1
(D) [latex]\frac{1}{2}[/latex]
జవాబు.
(C) 1

ప్రశ్న 15.
ఒక యాదృశ్చిక ప్రయోగంలో ఒక ఘటన ఏర్పడు సంభావ్యత
(A) 0
(B) 1
(C) – 1
(D) చెప్పలేము
జవాబు.
(B) 1

ప్రశ్న 16.
ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటన ఏర్పడని సంభావ్యత
(A) 0
(B) – 1
(C) 1
(D) 2
జవాబు.
(A) 0

ప్రశ్న 17.
ఒక ఘటన యొక్క సంభాష్యత విలువ ఎల్లప్పుడూ ……… ల మధ్య ఉందును.
(A) 1 మరియు 2
(B) – 1 మరియు 1
(C) -1 మరియు 0
(D) 0 మరియు 1
జవాబు.
(D) 0 మరియు 1

ప్రశ్న 18.
ఒక పేకల కట్ట నుండి తీయు పేకలపై 1 నుండి 10 వరకు గల సంఖ్యలు ఏర్పడు సంభావ్యత ( )
(A) [latex]\frac{2}{10}[/latex]
(B) [latex]\frac{1}{10}[/latex]
(C) [latex]\frac{5}{10}[/latex]
(D) [latex]\frac{2}{5}[/latex]
జవాబు.
(D) [latex]\frac{2}{5}[/latex]

ప్రశ్న 19.
“ఒక నెలలో చివరిరోజు ఆదివారం” ఏర్పడు సంభావ్యత
(A) [latex]\frac{2}{7}[/latex]
(B) [latex]\frac{1}{7}[/latex]
(C) [latex]\frac{3}{7}[/latex]
(D) [latex]\frac{4}{7}[/latex]
జవాబు.
(B) [latex]\frac{1}{7}[/latex]

ప్రశ్న 20.
ఒక పాచికను దొర్లించిన ఏర్పడు సమ ఘటనలు
(A) సరి సంఖ్యలు మరియు బేసి సంఖ్యలు
(B) ప్రధాన, సంయుక్త సంఖ్యలు
(C) ‘3’ inక్క గుణిజులు, ‘2’ యొక్క గుణిజాలు
(D) ‘3’ కంటే తక్కువ సంఖ్యలు, ‘B’ కంటే ఎక్కువ సంఖ్యలు
జవాబు.
(A) సరి సంఖ్యలు మరియు బేసి సంఖ్యలు

II. క్రింది ఖాళీలను పూరింపుము.

ప్రశ్న 1.
ఒక యాదృశ్చిక ప్రయోగం యొక్క ప్రతి పర్యవసానంను ………….. అంటారు.
జవాబు.
ఘటన

ప్రశ్న 2.
ఒక నాణెంను ఎగురవేసినపుడు బొమ్మ పడని సంభావ్యత ……………
జవాబు.
[latex]\frac{1}{2}[/latex]

ప్రశ్న 3.
ఒక నాణెంను ఎగుర వేసినపుడు బొమ్మ పడు సంభావ్యత ………………..
జవాబు.
[latex]\frac{1}{2}[/latex]

ప్రశ్న 4.
ఒక నాణెంను ఎగురవేసినపుడు బొరుసు పడని సంభావ్యత …………….
జవాబు.
[latex]\frac{1}{2}[/latex]

ప్రశ్న 5.
ఒక నాణెంను ఎగురవేసినపుడు బొరుసు పడు సంభావ్యత ……………..
జవాబు.
[latex]\frac{1}{2}[/latex]

ప్రశ్న 6.
ఒక పాచికకు ………….. ముఖాలుండును.
జవాబు.
6

ప్రశ్న 7.
ఒక నాణెంను 200 సార్లు ఎగురవేసిన, బొరుసు 65 సార్లు ఏర్పడిన, బొరుసు పడు సంభావ్యత ……………..
జవాబు.
[latex]\frac{13}{20}[/latex]

ప్రశ్న 8.
పై ప్రయోగంలో బొమ్మ పడు సంభావ్యత ………………
జవాబు.
[latex]\frac{9}{20}[/latex]

ప్రశ్న 9.
‘ఎరుపు, నీలం, ఆకుపచ్చలు గల ఒక స్పిన్నర్‌ను ఒకసారి తిప్పినపుడు సూచిక నీలం రంగుపై ఆగు , సంభావ్యత ………………
జవాబు.
[latex]\frac{1}{3}[/latex]

ప్రశ్న 10.
‘SMILE’ నుండి ‘M’ ను పొందు సంభావ్యత ………..
జవాబు.
[latex]\frac{1}{5}[/latex]

ప్రశ్న 11.
‘ROSE’ నుండి అచ్చును పొందు సంభావ్యత ………..
జవాబు.
[latex]\frac{1}{2}[/latex]

ప్రశ్న 12.
1 నుండి 100 వరకు గల సంఖ్యలలో కచ్చిత వర్గమును ఎన్నుకొను సంభావ్యత …………..
జవాబు.
[latex]\frac{1}{10}[/latex]

ప్రశ్న 13.
మూడు నాణెములను ఒకదాని తర్వాత ఒకటి ఎగుర వేసినప్పుడు రెండు బొమ్మలను పొందు సంభావ్యత
జవాబు.
[latex]\frac{3}{8}[/latex]

ప్రశ్న 14.
ఒక ఘటనను పొందు సంభావ్యతకు సూత్రము ……..
జవాబు.
AP 9th Class Maths Bits 14th Lesson సంభావ్యత Bits 1

ప్రశ్న 15.
ఒక సంచిలో 3 ఎరుపు బంతులు మరియు 8 నీలం బంతులున్నవి. ఆ సంచి నుండి ఎరుపు బంతిని తీయు సంభావ్యత ………………
జవాబు.
[latex]\frac{3}{11}[/latex]

ప్రశ్న 16.
పై ప్రయోగంలో ఆకుపచ్చ బంతిని పొందు సంభావ్యత ……………..
జవాబు.
0

ప్రశ్న 17.
ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు ఏర్పడు అనుకూల సంభావ్యతలు ……………..
జవాబు.
1, 2, 3, 4, 5, 6

ప్రశ్న 18.
ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు వచ్చు ప్రధాన సంఖ్య మరియు సంయుక్త సంఖ్యల సంభావ్యతల మొత్తము ……………..
జవాబు.
[latex]\frac{5}{6}[/latex]

ప్రశ్న 19.
మూడు నాణేలు ఎగురవేసినపుడు, కనీసం ఒక బొమ్మ పడు సంభావ్యత ………………
జవాబు.
[latex]\frac{7}{8}[/latex]

ప్రశ్న 20.
ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు ‘2’ కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను పొందు సంభావ్యత ……………..
జవాబు.
[latex]\frac{2}{3}[/latex]

జతపర్చుము:

(i)

గ్రూపు A.	గ్రూపు B
1. ఒక నాణెమును ఎగురవేసినపుడు బొమ్మ లేక బొరుసు ఏర్పడు సంభావ్యత	(A) తక్కువ సంభవం
2. ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు 3 గుణిజములు . ఏర్పడు సంభావ్యత	(B) అధిక సంభవం
3. 5 ఆకుపచ్చ మరియు 6 నల్లని బంతులు గల సంచి నుండి ఒక నల్ల బంతిని తీయు సంభావ్యత	(C) కొంత సంభవం
4. ‘సహజ సంఖ్యల నుండి ‘0’ ను ఎన్నుకొను సంభావ్యత	(D) సమ సంభవం
5. పూర్ణసంఖ్యల సమితి నుండి అకరణీయ సంఖ్యను ఎన్నుకొను సంభావ్యత	(E) అసంభవం

జవాబు.

గ్రూపు A.	గ్రూపు B
1. ఒక నాణెమును ఎగురవేసినపుడు బొమ్మ లేక బొరుసు ఏర్పడు సంభావ్యత	(D) సమ సంభవం
2. ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు 3 గుణిజములు . ఏర్పడు సంభావ్యత	(A) తక్కువ సంభవం
3. 5 ఆకుపచ్చ మరియు 6 నల్లని బంతులు గల సంచి నుండి ఒక నల్ల బంతిని తీయు సంభావ్యత	(B) అధిక సంభవం
4. ‘సహజ సంఖ్యల నుండి ‘0’ ను ఎన్నుకొను సంభావ్యత	(E) అసంభవం
5. పూర్ణసంఖ్యల సమితి నుండి అకరణీయ సంఖ్యను ఎన్నుకొను సంభావ్యత	(C) కొంత సంభవం

(ii)

గ్రూపు-A	గ్రూపు-B
1. యొక్క గుణిజము	(A) [latex]\frac{2}{3}[/latex]
2. ప్రధాన సంఖ్య	(B) [latex]\frac{1}{3}[/latex]
3. సంయుక్త సంఖ్య	(C) [latex]\frac{5}{6}[/latex]
4. ’5’ కంటే తక్కువ సంఖ్య	(D) [latex]\frac{1}{2}[/latex]
5. ‘1’ కంటే ఎక్కువ సంఖ్య	(E) [latex]\frac{1}{6}[/latex]

జవాబు.

గ్రూపు-A	గ్రూపు-B
1. యొక్క గుణిజము	(E) [latex]\frac{1}{6}[/latex]
2. ప్రధాన సంఖ్య	(D) [latex]\frac{1}{2}[/latex]
3. సంయుక్త సంఖ్య	(B) [latex]\frac{1}{3}[/latex]
4. ’5’ కంటే తక్కువ సంఖ్య	(A) [latex]\frac{2}{3}[/latex]
5. ‘1’ కంటే ఎక్కువ సంఖ్య	(C) [latex]\frac{5}{6}[/latex]

AP 9th Class Maths Bits 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు

March 3, 2022

Practice the AP 9th Class Maths Bits with Answers 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 9th Class Maths Bits 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు

ఈ క్రింది వానిలో సరియైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనుము.

ప్రశ్న 1.
“రెండు బేసి సంఖ్యల మొత్తము బేసిసంఖ్య” అను ప్రవచనము ఒక ………….. ప్రవచనము.
(A) ఎల్లప్పుడూ సత్యము
(B) ఎల్లప్పుడూ అసత్యము
(C) సందిగ్ధ
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(B) ఎల్లప్పుడూ అసత్యము

ప్రశ్న 2.
“ప్రతి సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధంగా, వ్యక్తపరచ వచ్చును” అను ప్రవచనము ఒక ………………….
(A) ఎల్లప్పుడూ సత్య ప్రవచనం
(B) ఎల్లప్పుడూ అసత్య ప్రవచనం
(C) కొన్నిసార్లు సత్య ప్రవచనం
(D) సందిగ్ధ ప్రవచనం
జవాబు.
(A) ఎల్లప్పుడూ సత్య ప్రవచనం

ప్రశ్న 3.
కొన్ని ఆలోచనల పరిశీలన, విశ్లేషణల తుది రూపమును …………… అంటారు .
(A) సారాంశము
(B) నిశ్చిత వాక్యము
(C) పరికల్పన
(D) ప్రతిఫలం
జవాబు.
(C) పరికల్పన

ప్రశ్న 4.
గణితము. ………….. పద్ధతిపై ఆధారపడును.
(A) ఆగమన
(B) నిగమన
(C) రెండూను
D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(B) నిగమన

ప్రశ్న 5.
“రెండు బేసి పూర్ణసంఖ్యల లబ్ధము సరిసంఖ్య”కు ప్రత్యుదాహరణ .
(A) 7 × 5 = 35
(B) 3 × 4 = 12
(C) 2 × 6 = 12
(D) సాధ్యం కాదు
జవాబు.
(A) 7 × 5 = 35

ప్రశ్న 6.
దేవుడు మరణం లేనివాడు. రాముడు దేవుడు. ఈ రెండు వాక్యాల నుండి ఏర్పరచు తుది ఫలితము
(A) రాముడు మరణం కలవాడు
(B) రాముడు దేవుడు
(C) దేవుడు రాముడు
(D) రాముడు మరణం లేనివాడు
జవాబు.
(D) రాముడు మరణం లేనివాడు

ప్రశ్న 7.
నిరూపించబడిన గణిత ప్రవచనము …………
(A) స్వీకృతము
(B) పరికల్పన
(C) సిద్ధాంతము
(D) చెప్పలేము
జవాబు.
(C) సిద్ధాంతము

ప్రశ్న 8.
పరికల్పనకు బదులుగా వాడు గణిత ప్రవచనము.
(A) స్వీకృతము
(B) ప్రాకల్పన
(C) సిద్ధాంతము
(D) చెప్పలేము
జవాబు.
(B) ప్రాకల్పన

ప్రశ్న 9.
ప్రాకల్పనలు ……….. పై ఆధారపడి పనిచేస్తాయి.
(A) ఆగమన పద్ధతి
(B) నిగమన పద్ధతి
(C) నిరూపణలు
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(A) ఆగమన పద్ధతి

ప్రశ్న 10.
“ఒక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత పెరిగిన దాని వైశాల్యం పెరుగును”కు ప్రాకల్పన
(A) సత్యము
(B) అసత్యము
(C) రెండునూ
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(B) అసత్యము

ప్రశ్న 11.
“ఒక లంబకోణ త్రిభుజములో చిన్న భుజము మీది వర్గము మిగిలిన రెండు భుజాల మొత్తంకు సమానము” కు ప్రత్యుదాహరణ
(A) (3, 4, 5)
(B) (5, 12, 13)
(C) (6, 8, 10)
(D) (7, 24, 25)
జవాబు.
(C) (6, 8, 10)

ప్రశ్న 12.
“ఏ కేంద్రమైనా మరియు వ్యాసార్ధముతోనైనా వృత్తంను గీయవచ్చును” ఒక ……………
(A) స్వీకృతము
(B) ప్రాకల్పన
(C) సిద్ధాంతము
(D) నిశ్చిత వాక్యము
జవాబు.
(A) స్వీకృతము

ప్రశ్న 13.
ఒక అసత్య స్వీకృతము ………. ను తెలుపును.
(A) సిద్ధాంతము
(B) సత్య ప్రవచనము
(C) విరుద్ధత
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(C) విరుద్ధత

ప్రశ్న 14.
రెండు స్వీకృతాలలో, ఒక స్వీకృతమును నిరూపించుటకు మరొక స్వీకృతమును ఉపయోగించిన అవి ………… స్వీకృతాలు.
(A) సంగత
(B) అసంగత
(C) అసత్య
(D) సత్య
జవాబు.
(B) అసంగత

ప్రశ్న 15.
ఒక ప్రవచనము మరియు దాని వ్యతిరేకము రెండూ సత్యా లైన దానిని ………….. అంటారు.
(A) పునరుక్తి
(B) విరుద్ధత
(C) ప్రాకల్పన
(D) ఉత్పాదనలు
జవాబు.
(B) విరుద్ధత

ప్రశ్న 16.
ఒక గణిత ప్రవచనమును తార్కిక – పద్ధతి ద్వారా నిరూపించుటను ………….. పద్దతి అంటారు.
(A) గణిత నిరూపణ
(B) వ్యతిరేక
(C) ప్రత్యుదాహరణ
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(A) గణిత నిరూపణ

ప్రశ్న 17.
రెండు వరుస సరిసంఖ్యల లబ్ధము ఎల్లప్పుడు ………. చే భాగించబడుతుంది.
(A) 3
(B) 5
(C) 4
(D) 8
జవాబు.
(C) 4

ప్రశ్న 18.
“2n² + 11 ఒక ప్రధాన సంఖ్య”కు ప్రత్యుదాహరణ
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 11
జవాబు.
(D) 11

ప్రశ్న 19.
“ఒక చతుర్భుజంలో అన్ని భుజాలు సమానమైన అది చతురస్రము” దీనికి ప్రత్యుదాహరణ
(A) దీర్ఘచతురస్రం
(B) రాంబస్
(C) ట్రెపీజియం
(D) సమాంతర చతుర్భుజం
జవాబు.
(B) రాంబస్

ప్రశ్న 20.
“త్రిభుజము అంతర కోణాల మొత్తము 180°” ను నిరూపించు పద్ధతి
(A) ప్రత్యుదాహరణ
(B) తార్కిక నిగమన పద్ధతి
(C) తార్కిక ఆగమన పద్ధతి
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(B) తార్కిక నిగమన పద్ధతి

ఖాళీలను పూరింపుము.

ప్రశ్న 1.
కొన్ని ఆలోచనల పరిశీలన, విశ్లేషణల తుది రూపమును …………. అంటారు .
జవాబు.
పరికల్పన

ప్రశ్న 2.
నిరూపణలు లేకుండా ప్రవచనాలు సత్యమనుకొను పద్ధతి …………….
జవాబు.
స్వీకృతం

ప్రశ్న 3.
నిర్ధారించబడిన ప్రవచనాలను …………… అంటారు.
జవాబు.
సిద్ధాంతం

ప్రశ్న 4.
సందిగ్ధం కానటువంటి ప్రవచనములు, సత్య విలువలు తెలుసుకొనుటకు ఉపయోగించు తార్కిక విధానము ………………………
జవాబు.
నిగమన పద్ధతి

ప్రశ్న 5.
‘x’ ఒక బేసిసంఖ్య అయితే “x” కూడా ………………………
జవాబు.
బేసిసంఖ్యయే

ప్రశ్న 6.
గోల్డ్ బాక్ పరికల్పన ……………………….
జవాబు.
4 గాని, 4 కన్న పెద్దదైన సరిసంఖ్యను రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తంగా రాయవచ్చు.

ప్రశ్న 7.
“అన్ని సమద్విబాహు త్రిభుజాలు సమబాహు త్రిభుజాల”కు ప్రత్యుదాహరణ ………………………
జవాబు.
5 సెం.మీ. , 5 సెం.మీ., 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న 8.
36కు కారణాంకాల సంఖ్య ………………………
జవాబు.
9

ప్రశ్న 9.
1² = 1
2²= 1 + 3
3² = 1 + 3 + 5
4² = 1 + 3 + 5 + 7
………………………
పై అమరికల ద్వారా ఏర్పడు భావనలు …………………..
జవాబు.
మొదటి ‘n’ బేసిసంఖ్యల వర్గము x²

ప్రశ్న 10.
6 = 2 × 3; 2 లేక 3లు 18ను భాగించును అదే విధముగా ‘6’, 18ను భాగించును.
3 × 5 = 15; 3 మరియు 5 లు 45ను భాగించును కావున 15, 45ను భాగించును.
3 × 8 = 24; 3 మరియు-వీలు 72ను భాగించును. కావున 24, 72 ను భాగించును. …………………..
రెండు వరుస ప్రధాన సంఖ్యలను ఒక సంఖ్య భాగించిన, వాటి లబ్దము కూడా ఆ సంఖ్యచే భాగించును. పై పరికల్పనను ఏర్పరచుటలో ఇమిడీ ఉన్న పద్దతి …………………..
జవాబు.
నిగమన తార్కిక

ప్రశ్న 11.
“దీర్ఘచతురస్రము 4-రేఖల సౌష్టము” ఒక …………………..
జవాబు.
ప్రవచనము

ప్రశ్న 12.
“ఎలా ఉన్నావు” ? ఒక …………………..
జవాబు.
నిశ్చిత వాక్యము

ప్రశ్న 13.
ఒక వాక్యము సత్యం గానీ, అసత్యం గానీ ఏదో ఒకటి అయితే అది ఒక …………………..
జవాబు.
ప్రవచనము

ప్రశ్న 14.
“ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య xకు x² ≥ x” ను సరిచేయుము ………………….. .
జవాబు.
x ≥ 1 అయిన x² ≥ x అగును

ప్రశ్న 15.
“ఒక చతుర్భుజంలో అన్ని భుజాలు సమానమైన అది చతురస్రము”ను సవరించగా …………………..
జవాబు.
ఒక చతుర్భుజంలో అన్ని భుజాలు సమానము మరియు ఒక కోణం 90° అయిన అది చతురస్రము

ప్రశ్న 16.
కొన్ని సాక్ష్యాలను తీసుకోవడం ద్వారా తార్కిక విధానం ద్వారా పరికల్పన చేయు పద్ధతి …………………..
జవాబు.
నిగమన .

ప్రశ్న 17.
“874924 × 765136 ల లబ్దము కూడా సరిసంఖ్య:” ఒక ……………… పధృతి ఫలితము.
జవాబు.
నిగమన

ప్రశ్న 18.
“త్రిభుజంలోని కోణాల మొత్తం 180°” ఒక …………..
జవాబు.
సిద్ధాంతము

ప్రశ్న 19.
3 + 4 + 5 = 12; 12, 3 చే భాగించబడును.
11 + 12 + 13 = 36; 36, 3 చే భాగించబడును.
16 + 17 + 18 = 51, 51, 3 చే భాగించబడును. ……………
పై అమరిక ఫలితంను నిరూపించిన పద్ధతి ……………
జవాబు.
ఆగమన

ప్రశ్న 20.
ఒక అసత్య స్వీకృతము, ………………. దారితీస్తుంది.
జవాబు.
విరుద్ధమైన

జతపరచుము.

(i)

గ్రూపు – A	గ్రూపు – B
1. స్వీకృతం	(A) 2 + 5 = 6
2. పరికల్పన	(B) x + y = 10
3. అనిశ్చిత వాక్యము	(c) ఏ సంఖ్య వర్గమైన ‘0’ కన్నా ఎక్కువ
4. సిద్ధాంతము	(D) 4 కన్నా ఎక్కువైనా ప్రతి సరిసంఖ్యను రెండు ప్రధానాంకాలుగా వ్రాయవచ్చు.
5. ప్రవచనము	(E) ఏదైనా కేంద్రము, వ్యాసార్ధాలతో వృత్తమును గీయవచ్చు.

జవాబు.

గ్రూపు – A	గ్రూపు – B
1. స్వీకృతం	(E) ఏదైనా కేంద్రము, వ్యాసార్ధాలతో వృత్తమును గీయవచ్చు.
2. పరికల్పన	(D) 4 కన్నా ఎక్కువైనా ప్రతి సరిసంఖ్యను రెండు ప్రధానాంకాలుగా వ్రాయవచ్చు.
3. అనిశ్చిత వాక్యము	(B) x + y = 10
4. సిద్ధాంతము	(c) ఏ సంఖ్య వర్గమైన ‘0’ కన్నా ఎక్కువ
5. ప్రవచనము	(A) 2 + 5 = 6

(ii)

గ్రూపు – A	గ్రూపు – B
1. తార్కిక ఆలోచనల ద్వారా సమస్యను సాధించు పద్ధతి	(A)ఆగమన పద్ధతి
2. సమాన క్రమము గల సామాన్యత మరియు అమరికలతో నిరూపించు పద్ధతి	(B) విరుద్ధత
3. ఒక ప్రవచనంకు ప్రత్యుదాహరణ ఇచ్చుట	(C) నిగమన పద్ధతి
4. ఒక ప్రవచనమును తార్కిక పద్ధతుల ద్వారా తెలుపుట	(D) సత్య నిరూపణ

జవాబు.

గ్రూపు – A	గ్రూపు – B
1. తార్కిక ఆలోచనల ద్వారా సమస్యను సాధించు పద్ధతి	(C) నిగమన పద్ధతి
2. సమాన క్రమము గల సామాన్యత మరియు అమరికలతో నిరూపించు పద్ధతి	(A)ఆగమన పద్ధతి
3. ఒక ప్రవచనంకు ప్రత్యుదాహరణ ఇచ్చుట	(B) విరుద్ధత
4. ఒక ప్రవచనమును తార్కిక పద్ధతుల ద్వారా తెలుపుట	(D) సత్య నిరూపణ

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Optional Exercise

March 2, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
బాహ్యబిందువు నుండి వృత్తము పైకి గీయబడిన రెండు స్పర్శరేఖల మధ్య కోణము మరియు రెండు స్పర్శ బిందువులను కేంద్రంతో కలుపుతూ గీయబడిన రేఖా ఖండాలు ఏర్పరచిన కోణానికి సంపూరకమని నిరూపించండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Optional Exercise 1

దత్తాంశం : ‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తమునకు PQ, PTలు బాహ్య బిందువు P నుండి వృత్తానికి గీయబడిన స్పర్శరేఖలు.
సారాంశం : ∠P + ∠QOT = 180°
ఉపపత్తి : OQ ⊥ PQ
[∵ వ్యాసార్ధం, స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉండును]
అదే విధంగా OT ⊥ PT
∴ ∠OQT + ∠OTP
= 90° + 90° = 180°
PQOT చతుర్భుజంలో ∠OTP + ∠TPQ + ∠PQO + ∠QOT = 360°
⇒ 180° + ∠P + ∠QOT = 360°
⇒ ∠P + ∠QOT = 180°
∴ సిద్ధాంతం నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 2.
5సెం.మీ వ్యాసార్ధముగా గల వృత్తములో PQ జ్యా పొడవు 8 సెం.మీ. P మరియు Q గుండా గీయబడిన స్పర్శరేఖలు | వద్ద ఖండించుకున్నాయి. (పటము చూడండి) అయిన TP పొడవును కనుగొనండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Optional Exercise 2

సాధన.
ఇచ్చినవి : ‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = OP = 5 సెం.మీ.
PQ జ్యా పొడవు = 8 సెం.మీ.;
TP పొడవు = ?
∆PTR, ∆QTRల నుండి PT = QT (స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానాలు)
∠PTR = ∠QTR [:: ∆POT = ∆POT]
TR = TR (ఉమ్మడి భుజం] .
PR = QR
∆OPR నుండి ∠PRO = 90°
[∵ వృత్త కేంద్రం నుండి గీచిన జ్యా పై రేఖ దానిని లంబ సమద్విఖండన చేయును]
∴ OR² = OP² – PR²
= 5² – 4² = 9
∴ OR = 3సెం.మీ.
∆OPT నుండి, ∠POT + ∠PTO = 90° ……………. (1)
⇒ ∠POR + ∠PTR = 90° ………………(2)
(1), (2) ల నుండి ∠OPR = ∠PTR అగును.
∴ ∆ORP ~ ∆PRT
∴ [latex]\frac{\mathrm{TP}}{\mathrm{PO}}=\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{RO}}[/latex]
⇒ [latex]\frac{\mathrm{TP}}{5}=\frac{4}{3}[/latex]
⇒ TP = [latex]\frac{4 \times 5}{3}=\frac{20}{3}[/latex] సెం.మీ.
∴ TP = 6.66 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
ఒక చతుర్భుజములో వృత్తము దాని నాలుగు భుజాలను తాకుతూ అంతర్లిఖించబడి వున్నచో ఆ చతుర్భుజము ఎదుటి భుజాలు వృత్త కేంద్రము వద్ద చేయు కోణాలు సంపూరకాలని నిరూపించండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Optional Exercise 3

దత్తాంశం : ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తం ABCD చతుర్భుజాన్ని AB, BC, CD, DA భుజాలపై వరుసగా P, Q, R, S వద్ద తాకుచున్నది.
సారాంశం : ∠AOB + ∠COD = 180°
∠AOD + ∠BOC = 180°
నిర్మాణం : (O, P), (O, Q), (O, R) (O, S) లను కలుపుము.
ఉపపత్తి : బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తం పైకి గీచిన స్పర్శరేఖలు కేంద్రం వద్ద సమాన కోణాలను చేస్తాయి.
అనగా ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4; ∠5 = ∠6; ∠7 = ∠8
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 360°
2 (∠2 + ∠3 + ∠6 + ∠7) = 360°
(లేదా) (∠2 + ∠3) + ∠6 + ∠7 = 180°
అదే విధంగా 2 (∠1 + ∠8 + ∠4 + ∠5) = 360°
⇒ (∠1 + ∠8) + (∠4 + ∠5) = 180°
కానీ, ∠AOB + ∠COD = 180° మరియు ∠AOD + ∠BOC = 180°
[∵ ∠2 + ∠3 = ∠AOB; ∠6 + ∠7 = ∠COD
∠1 + ∠8 = ∠AOD
∠4 + ∠5 = ∠BOC పటం నుండి]

ప్రశ్న 4.
8 సెం.మీ పొడవు గల AB రేఖాఖండాన్ని గీయండి. A కేంద్రముగా 4 సెం.మీ వ్యాసార్ధముతో ఒక వృత్తము, B కేంద్రముగా 3 సెం.మీ వ్యాసార్ధముతో మరొక వృత్తము గీయండి. ఒక వృత్త కేంద్రము నుండి మరొక వృత్తానికి స్పర్శరేఖలను గీయండి.
సాధన.
చిత్తు పటం :

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Optional Exercise 4

నిర్మాణ క్రమం :
(1) 8 సెం.మీల వ్యాసార్ధంచే AB అను రేఖాఖండాన్ని నిర్మించుము.
(2) A మరియు B కేంద్రాలుగా వరుసగా 4 సెం.మీ, 5 సెం.మీల వ్యాసార్థంచే రెండు వృత్తాలు నిర్మించుము.
(3) ABకి XY అను లంబసమద్వి ఖండన రేఖను గీయుము. అది AB ను M వద్ద ఖండించినది.
(4) M కేంద్రంగా MA లేదా MB వ్యాసార్థంచే ఒక వృత్తాన్ని గీయగా అది A కేంద్రంగా గల వృత్తాన్ని P, Q బిందువుల వద్ద B కేంద్రంగా గల వృత్తాన్ని R, S ల వద్ద ఖండించును.
(5) (B, P), (B, Q) మరియు (A, R), (A, S) లను కలుపుము.
∴ కావలసిన నిర్మాణం ఏర్పడినది.

ప్రశ్న 5.
ABC లంబకోణ త్రిభుజములో AB = 6 సెం.మీ, BC = 8 సెం.మీ మరియు ∠B = 90°. B శీర్షం నుండి AC పైకి గీయబడిన లంబము BD మరియు B, C, D బిందువుల గుండా వృత్తము గీయబడింది. A నుండి ఈ వృత్తము పైకి స్పర్శరేఖలను గీయండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Optional Exercise 5

నిర్మాణ క్రమం :
(1) AB = 6 సెం.మీ., LB = 90°, BC = 8 సెం.మీ.ల కొలతలతో AABC ను నిర్మించుము.
(2) AC పైకి B నుండి BD అను ఒక లంబాన్ని గీయుము.
(3) ABCDకి ఒక పరివృత్తాన్ని గీయుము. దాని కేంద్రం ‘E’ గా గుర్తించుము.
(4) A, Eలను కలుపుము. AE పై లంబ సమద్విఖండన రేఖ XY ను నిర్మించుము. అది AE ని M వద్ద ఖండించును.
(5) M కేంద్రంగా MA లేదా ME వ్యాసార్ధాలచే ఒక వృత్తాన్ని నిర్మించగా అది ABCD యొక్క పరివృత్తాన్ని P మరియు B వద్ద ఖండించినది.
∴ కావలసిన నిర్మాణం ఏర్పడినది.

ప్రశ్న 6.
A, B కేంద్రాలుగా గల రెండు వృత్తాలు C వద్ద స్పర్శించుకున్నాయి. AC = 8 సెం.మీ. మరియు AB = 3 సెం.మీ అయిన షేడ్ చేసిన ప్రదేశ వైశాల్యము కనుగొనుము.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Optional Exercise 6

సాధన.
A, B కేంద్రాలుగా గల రెండు వృత్తాల వ్యాసార్థాలు వరుసగా r₁ = 8 సెం.మీ. r₂ = 5 సెం.మీ.
[∵ AC = 8 సెం.మీ, AB = 3 సెం.మీ. ⇒ BC = 8 – 3 = 5 సెం.మీ]
షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = పెద్ద వృత్త వైశాల్యం – చిన్న వృత్త వైశాల్యం .
= πr₁² – πr₁²
= π (r₁² – r₁²)
= [latex]\frac{22}{7}[/latex] (8² – 5²)
= [latex]\frac{22}{7}[/latex] × (64 – 25)
= [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 39
= 204.28 సెం.మీ².

ప్రశ్న 7.
AB = 14 సెం.మీ. మరియు BC = 1 సెం.మీ కొలతలు ABCD దీర్ఘచతురస్రము గీయబడింది. DC, BC మరియు AD వ్యాసాలుగా గల మూడు అర్ధవృత్తాలు పటములో చూపినట్లుగా గీయబడినవి. అయిన షేడ్ చేసిన ప్రదేశ వైశాల్యమును కనుగొనుము.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Optional Exercise 7

సాధన.
మొత్తం ఇచ్చిన పట వైశాల్యం = (2 × AD వ్యాసంగా గల అర్ధవృత్త వైశాల్యం + దీ||చ|| ABCD వైశాల్యం)
= 2 × × πr² + (l × b)
= 2 × [latex]\frac{180}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}[/latex] + (14 × 7)
= [latex]\frac{77}{2}[/latex] + 98 = [latex]\frac{273}{2}[/latex] సెం.మీ.
షేడ్ చేయని ప్రాంత వైశాల్యం = [latex]\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{14}{2} \times \frac{14}{2}[/latex]
= 77 సెం.మీ²
షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = మొత్తం పట వైశాల్యం – షేడ్ చేయబడని ప్రాంత వైశాల్యం
= [latex]\frac{273}{2}[/latex] – 77 = [latex]\frac{273-154}{2}[/latex]
= [latex]\frac{119}{2}[/latex] = 59.5 సెం.మీ²

AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి

March 2, 2022

Practice the AP 10th Class Maths Bits with Answers 11th Lesson త్రికోణమితి on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి

ప్రశ్న1.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 1
పై పటంలో sin C = [latex]\frac{3}{5}[/latex] అయిన cos C విలువ. ఎంత ?
జవాబు :

sin C = [latex]\frac{3}{5}[/latex]
BC = 4 . 2.
(∵ 3, 4, 5 ప్రైథాగరియన్‌ త్రికాలు)
∴ cos C = [latex]\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{5}[/latex]

ప్రశ్న2.
sin³θ.cos θ + cos³θ . sin θ = sin θ cos θ అని చూపుము.
జవాబు :
L.H.S = sin³θ cosθ + cos³θ sinθ
= sin θ cos θ (sin² θ + cos² θ)
= sin θ cos θ (1)
= sin θ cos θ = R.H.S.

ప్రశ్న3.
sin θ = cos θ అయిన విలువ ఎంత ? (0 < θ < 90)
జవాబు :
sin θ = cos θ అయిన
(cos 45 = sin 45 = [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex])
θ= 45°
(లేదా)
sin θ = cos θ ⇒ cos (90 – θ) = cos θ
∴ 90 – θ = 0 ⇒ 90 = 2θ
⇒ θ = [latex]\frac{90}{2}[/latex] = 45°

ప్రశ్న4.
[latex]\frac{1}{\sec ^{2} A}+\frac{1}{{cosec}^{2} A}[/latex] = 1 అని చూపుము
జవాబు :
L.H.S = [latex]\frac{1}{\sec ^{2} A}+\frac{1}{{cosec}^{2} A}[/latex]
= cos² A + sin² A
= 1 = R.H.S.

ప్రశ్న5.
cos 60°. cos 30° + sin 60° . sin 30° విలువ ఎంత ?
జవాబు :
cos 60° · cos 30° + sin 60° : sin 30°
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 3

ప్రశ్న6.
tan θ cot θ = sec θ ·x అయిన x =
A) cos θ
B) sec θ
C) tan θ
D) cot θ
జవాబు :
A) cos θ

tan θ cot θ = sec θ . x
1 = sec θ . x
[latex]\frac{1}{\sec \theta}[/latex] = x ⇒ x = cos θ.

ప్రశ్న7.
cos 1° . cos 2° . cos 3o ….. cos 180° యొక్క విలువ ఎంత ?
జవాబు :
cos 1°. cos 2°

ప్రశ్న8.
x = sin θ, y = cos θ అయిన sin θ, cos θ ల సర్వసమీకరణాన్నిx, y లలో రాయగా
A) x² – y² = 1
B) y² – x² = 1
C) x² + y² = 1
D) x² = y².
జవాబు :
C) x² + y² = 1
[∵ sin² θ + cos² θ = 1 :
⇒ x² + y² = 1]

ప్రశ్న9.
cos 12° – sin 78° విలువ ఎంత ?
జవాబు :
cos 12° – sin 78°
= cos 12° – sin (90° – 12)°
= cos 12° – cos 12° = 0

ప్రశ్న10.
x= cosec θ + cot θ; y = cosec θ – cot θ అయిన ఈ క్రింది వాటిలో సరైనది ………………….
A) x + y = 0
B) x – y = 0
C) [latex]\frac{x}{y}[/latex] = 1
D) xy = 1
జవాబు :
D) xy = 1

(cosec θ + cot θ) (cosec θ – cot θ).
= cosec² θ – cot² θ = 1
∴ xy = 1

ప్రశ్న11.
cos (A – B) = ________
A) cos A cos B + sin A sin B
B) cos A sin A + cos B sin B
C) sin A sin B – cos A cos B
D) cos A cos B – sin A sin B
జవాబు :
A) cos A cos B + sin A sin B

ప్రశ్న12.
cos (90° – θ) = ________
జవాబు :
cos (90° – θ) = sin θ

ప్రశ్న13.
∆ABCలో of sin C = [latex]\frac{3}{5}[/latex] అయిన విలువను కనుగొనుము
జవాబు :
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 4
cos A = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{3}{5}[/latex]

ప్రశ్న14.
tan² θ – sec² θ = ________
జవాబు :
tan² θ – sec² 0 = -(sec² – tan² A) = -1

ప్రశ్న15.
sec (90° – A) = ________
జవాబు :
sec (90° – A) = cosec θ

ప్రశ్న16.
cosec θ + cot θ = 5 అయిన cosec θ – cot θ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
cosec² θ – cot² θ = 1
(cosec θ + cot θ) (cosec θ – cot θ) = 1
5(cosec θ – cot θ) = 1

∴ (cosec θ – cot θ) = [latex]\frac{1}{5}[/latex]

ప్రశ్న17.
x = 2 sec θ; y = 2 tan θ అయిన x² – y² = 4 అని చూపుము.
జవాబు :
x² – y² = (2 sec θ)² – (2 tan θ)²
= 4 sec² θ – 4 tan² θ
= 4 (sec² θ – tan²θ)
= 4 (1) = 4

ప్రశ్న18.
√3 tan θ = 1 అయిన 9 విలువ ఎంత ?
జవాబు :
√3 tan θ = 1 = tan θ = [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex]
∴ θ = 30°.

ప్రశ్న19.
(sec 60°) (cos 60°) విలువ ఎంత ?
జవాబు :
(sec 60°) (cos 60°) = 1 (∵ sec θ – cos θ = 1)
(లేదా)
(sec 60°) (cos 60°) = 2 × ½ = 1.

ప్రశ్న20.
sin (60° + 30°) = ________
జవాబు :
sin (60° + 30°) = sin 90° = 1

ప్రశ్న21.
sec θ + tan θ = 3 అయిన sec θ – tan θ విలువ ఎంత ? ________
జవాబు :
sec θ + tan θ = ½
⇒ sec² θ – tan² θ = 1
⇒ (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1
⇒ [latex]\frac{1}{2}[/latex] (sec θ – tan θ) = 1
∴ sec θ – tan θ = 1 × 2 = 2

ప్రశ్న22.
cot A = [latex]\frac{5}{12}[/latex] అయిన sin A + cos A విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 5
cot A = [latex]\frac{5}{12}[/latex]
AC = 13 (∵ 5, 12, 13 పైథాగరియన్ త్రికాలు)
∴ sin A + cos A = [latex]\frac{12}{13}+\frac{5}{13}=\frac{17}{13}[/latex]

ప్రశ్న23.
ఈ క్రింది వాటిలో sin x కు సాధ్యం కాని విలువ ఏది?
A) [latex]\frac{3}{4}[/latex]
B) [latex]\frac{3}{5}[/latex]
C) [latex]\frac{4}{5}[/latex]
D) [latex]\frac{5}{4}[/latex]
జవాబు :
D) [latex]\frac{5}{4}[/latex]

ప్రశ్న24.
sin θ = cos θ (0 < θ < 90) అయితే tan θ + cot θ విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
sin θ = cos θ
∴ θ = 45°. .
∴ tan θ + cot θ = tan 45 + cot 45
= 1 + 1 = 2
(లేదా)
sin θ = cos θ ⇒ [latex]\frac{\sin \theta}{\cos \theta}[/latex] = 1
⇒ tan θ =1
∴ cot θ = 1
కొబట్టి tan θ + cot θ = 1 + 1 = 2

ప్రశ్న25.
sec θ + tan θ = 3 అయితే sec θ – tan θ = [latex]\frac{1}{3}[/latex] అని చూపుము.
జవాబు :
sec θ + tan θ = 3
⇒ sec² θ – tan² θ = 1
⇒ (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1
⇒ 3 (sec θ – tan θ) = 1
∴ sec θ – tan θ = [latex]\frac{1}{3}[/latex]

ప్రశ్న26.
∆ABC నందు AB = c, BC = a, AC = b మరియు ∠BAC = θ అయిన ∆ABC వైశాల్యము ……….. (θ అల్పకోణం )
A) [latex]\frac{1}{2}[/latex] ab sin θ
B) [latex]\frac{1}{2}[/latex] ca sin θ
C) [latex]\frac{1}{2}[/latex] bc sin θ
D) [latex]\frac{1}{2}[/latex] b² sin θ
జవాబు :
C) [latex]\frac{1}{2}[/latex] bc sin θ

AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 6
∆ADB లో ∠D = 90°
sin θ = [latex]\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}[/latex]
⇒ BD = AB sin θ
= c sin θ

∆ABC వైశాల్యం. = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × భూమి × ఎత్తు
= [latex]\frac{1}{2}[/latex] × AC × BD
= [latex]\frac{1}{2}[/latex] bc sin a

ప్రశ్న27.
tan θ యొక్క విలువ cosec θ పదంలలో తెల్పండి.
జవాబు :
tan θ = [latex]\frac{1}{\cot \theta}=\frac{1}{\sqrt{{cosec}^{2} \theta-1}}[/latex]

ప్రశ్న28.
ఈ క్రింది వాటిని పరిశీలించండి :
i) sin² 20° + sin² 70° = 1
ii) log₂ (sin 90°) = 1
క్రింది వానిలో సరియైనది ఏది ?
A) i) మాత్రమే
B) ii) మాత్రమే
C) i) మరియు ii) లు
D) i) మరియు ii) లు కావు
జవాబు :
A) i) మాత్రమే

ప్రశ్న29.
క్రింది ఏ విలువను నిర్వచించలేము ?
A) sin 90°
B) cos 0°
C) sec 90°
D) cos 90°
జవాబు :
C) sec 90°

ప్రశ్న30.
[latex]\sqrt{\frac{1-\cos ^{2} \theta}{1+\cot ^{2} \theta}}[/latex] = sin² θ అని చూపుము
జవాబు :
[latex]\sqrt{\frac{1-\cos ^{2} \theta}{1+\cot ^{2} \theta}}=\sqrt{\frac{\sin ^{2} \theta}{{cosec}^{2} \theta}}=\frac{\sin \theta}{{cosec} \theta}[/latex]
= sin θ · sin θ = sin² θ.

ప్రశ్న31.
tan 36°. tan 54° + sin 30° విలువ ఎంత ?
జవాబు :
tan 36°. tan 54° + sin 30°
= tan 36°. tan (90° – 36°) + [latex]\frac{1}{2}[/latex]
= tan 36°. cot 36° + [latex]\frac{1}{2}[/latex] = 1 + [latex]\frac{1}{2}[/latex] = [latex]\frac{3}{2}[/latex]

ప్రశ్న32.
sin A = [latex]\frac{24}{25}[/latex] అయిన sec Aను కనుగొనుము
జవాబు :
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 7
sin A = [latex]\frac{24}{25}[/latex]
AC² = AB² + BC²
(25)² = AB² + (24)²
25² – 24² = AB²
(25 + 24) (25 – 24) = AB²
49(1) = AB²
AB = [latex]\sqrt{49}[/latex] = 7

ప్రశ్న33.
4 cos² θ – 3 = 0 అయిన sin θ = [latex]\frac{1}{2}[/latex] … అని చూపుము
జవాబు :
4 cos² θ – 3 = 0
⇒4 cos² θ = 3
⇒ cos² θ = [latex]\frac{3}{4}[/latex] = cos θ = [latex]\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]
∴ θ = 30°
∴ sin θ = sin 30° = [latex]\frac{1}{2}[/latex]
(లేదా)
4 cos² θ – 3 = 0
cos² θ = [latex]\frac{3}{4}[/latex]
sin² θ = 1 – cos² θ = 1 – [latex]\frac{3}{4}[/latex]
sin² θ = [latex]\frac{4-3}{4}=\frac{1}{4}[/latex]
:: sin θ = [latex]\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}[/latex]

ప్రశ్న34.
cosec θ + cot θ = 2 అయిన cos θ ను కనుగొనుము
జవాబు :
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 9

ప్రశ్న35.
cos (A + B) = 0 మరియు cos B = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] అయిన ‘A’ కోణమును కనుగొనుము
జవాబు :
cos (A + B) = 0 ⇒ A + B = 90°
cos B = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] = B = 30°
⇒ A + B = 90° ⇒ A + 30° = 90°
∴ A= 60°

ప్రశ్న36.
sin x = [latex]\frac{5}{7}[/latex] అయిన cosec x ను కనుగొనుము.
జవాబు :
sin x = [latex]\frac{5}{7}[/latex] అయితే cosec x = [latex]\frac{7}{5}[/latex]

ప్రశ్న37.
∠A = 75°, ∠B = 30°, అయిన tan (A – B) = 1 అని చూపుము.
జవాబు :
tan (A – B) = tan (75° – 30°)
= tan 45° = 1 .

ప్రశ్న38.
sec θ + tan θ = [latex]\frac{1}{3}[/latex] అయిన sec θ – tan θ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
sec θ + tan θ = [latex]\frac{1}{3}[/latex]
⇒ sec² θ – tan² θ = 1
⇒ (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1
⇒ [latex]\frac{1}{3}[/latex] (sec θ – tan θ) = 1
⇒ (sec θ – tan θ) = 1 × 3
∴ sec θ – tan θ = 3

ప్రశ్న39.
ఒక గడియారంలో 20 నిమిషాల వ్యవధిలో నిమిషాల ముల్లు చేయు కోణం ఎంత ?
జవాబు :
గడియారంలో 20 నిమిషాల వ్యవధిలో నిమిషాల ముల్లు చేయు కోణము = [latex]\frac{20}{60}[/latex] × 360° = 120°

ప్రశ్న40.
sec θ – tan θ = 3 అయిన sec θ + tan θ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
sec θ – tan θ = 3
⇒ sec²θ – tan²θ = 1
⇒ (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1
⇒ sec θ + tan θ (3) = 1
∴ sec θ + tan θ = [latex]\frac{1}{3}[/latex]

ప్రశ్న41.
క్రింది పటములో BC విలువను కనుగొనుము.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 10
జవాబు :
tan 30° = AB
⇒ [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{7}{\mathrm{BC}}[/latex] ⇒ BC = 7√3

ప్రశ్న42.
క్రింది పటం ∆ABC లో AB = ________ సెం.మీ.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 11
జవాబు :
AB² = AC² – BC²
= 17² – 15² = 289 – 225 = 64
∴ AB = [latex]\sqrt{64}[/latex] = 8.

ప్రశ్న43.
sin 2θ = cos 3θ అయిన θ = 15° అని చూపుము.
జవాబు :
sin 2θ = cos 3θ
sin 2θ = sin (90 – 3θ)
⇒ 2θ = 90 – 3θ
⇒ 2θ + 3θ = 90°
⇒ 5θ = 90° ⇒ θ = [latex]\frac{90^{\circ}}{5}[/latex] = 18°

ప్రశ్న44.
cos θ = [latex]\frac{3}{5}[/latex] అయిన sin θ = ________
జవాబు :
cos θ = [latex]\frac{3}{5}[/latex] అయిన sin θ = [latex]\frac{4}{5}[/latex]
(∵3, 4, 5 పైథాగరియన్ త్రికాలు)

ప్రశ్న45.
cos 60° + sin 30° యొక్క విలువ ఎంత ?
జవాబు :
cos 60° + sin 30° = [latex]\frac{1}{2}+\frac{1}{2}[/latex] = 1

ప్రశ్న46.
sec A + tan A = [latex]\frac{1}{5}[/latex] అయిన sec A – tan A విలువ ఎంత ?
జవాబు :
5

ప్రశ్న47.
tan θ యొక్క వ్యుత్తమంను తెల్పండి.
జవాబు :
cot θ

ప్రశ్న48.
(sec²θ – 1) (cosec²θ – 1) = 1 అని చూపుము.
జవాబు :
(sec²θ – 1) (cosec² θ – 1) = 1 .
= tan²θ – cot²θ = 1

ప్రశ్న49.
sin (90 – A) = [latex]\frac{1}{2}[/latex] అయితే A విలువ ఎంత ?
జవాబు :
(90 – A) = [latex]\frac{1}{2}[/latex] ⇒ 90 – A = 30°
∴ 90° – 30° = A ⇒ A = 60°

ప్రశ్న50.
క్రింది వానిలో sin A = [latex]\frac{5}{13}[/latex] నకు సరిపడు పటం
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 12
జవాబు :

ప్రశ్న51.
sin² 60° – sin² 30° విలువ ఎంత ?
జవాబు :
sin² 60° – sin² 30° = [latex]\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}[/latex]
= [latex]\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}[/latex]

ప్రశ్న52.
sin θ = [latex]\frac{a}{b}[/latex], అయిన tan θ ను a, b లలో తెల్పండి.
జవాబు :
sin θ = [latex]\frac{a}{b}[/latex]
∴ cos θ = [latex]\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}[/latex]
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 14

ప్రశ్న53.
cos² θ + sin² θ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
1

ప్రశ్న54.
sin θ = cos θ అయిన 2 tan θ + cos² θ విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
sin θ = cos θ అయిన θ = 45°
∴ 2 tan θ + cos2 θ = 2 tan 45° + cos² 45°
= 2(1) + [latex]\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}[/latex]
= 2 + [latex]\frac{1}{2}=\frac{5}{2}[/latex]

ప్రశ్న55.
cosec θ = 2 మరియు cot θ = √3p, ఇక్కడ θ లఘుకోణం అయిన ‘p’ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
cosec θ = 2, cot θ = √3p
cosec² θ – cot² θ = 1.
= (2)² – (√3p)² = 1
= 4 – 3p² = 1
= -3p² = 1 – 4 = -3 .
∴ p² = [latex]\frac{-3}{-3}[/latex] = 1
∴ p = √1 = ±1

ప్రశ్న56.
tan θ + sec θ = 8 అయిన sec θ – tan θ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
sec θ – tan θ = [latex]\frac{1}{8}[/latex]

ప్రశ్న57.
[latex]\left(\frac{11}{\cot ^{2} \theta}-\frac{11}{\cos ^{2} \theta}\right)[/latex] విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
[latex]\frac{11}{\cot ^{2} \theta}-\frac{11}{\cos ^{2} \theta}[/latex] = 11[latex]\left(\frac{1}{\cot ^{2} \theta}-\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\right)[/latex]
= 11 [tan²θ – sec² θ]
=-11 [sec² θ – tan²θ]
= -11 (1) = -11

ప్రశ్న58.
sec 2A = cosec (A – 27°) అయిన ∠A విలువ (2A లఘకోణము) ఎంత ?
జవాబు :
sec 2A = cosec (A – 27°)
cosec (90 – 2A) = cosec (A – 27°)
∴ 90 – 2A = A – 27
⇒ 90 + 27 = A + 2A
⇒ 3A = 117 = A = [latex]\frac{117}{3}[/latex] = 39°

ప్రశ్న59.
[latex]\frac{1-\sec ^{2} A}{{cosec}^{2} A-1}[/latex] = – tan⁴ A అని చూపుము.
జవాబు :
L.H.S. = [latex]\frac{1-\sec ^{2} A}{{cosec}^{2} A-1}[/latex]
= [latex]\frac{-\left(\sec ^{2} A-1\right)}{{cosec}^{2} A-1}=\frac{-\tan ^{2} A}{\cot ^{2} A}[/latex]
= – tan² A X tan² A
= – tan⁴ A = R.H.S.

ప్రశ్న60.
sin θ యొక్క గరిష్ట విలువ ఎంత ?
జవాబు :
sin θ యొక్క గరిష్ట విలువ ఎంత = 1

ప్రశ్న61.
tan θ = [latex]\frac{7}{8}[/latex] అయిన [latex]\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}[/latex]
జవాబు :
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 15

ప్రశ్న62.
క్రింది వానిలో ఏది త్రికోణమితీయ సర్వ సమీకరణము కాదు?
A) sin² 0 + cos² 0 = 1
B) sec² 0 – tan² 0 = 1
C) sec² 0 + cosec² 0 = 1
D) cosec² 0 – cot² 0 = 1
జవాబు :
C) sec² 0 + cosec² 0 = 1

ప్రశ్న63.
sec θ = 3k మరియు tan θ = [latex]\frac{3}{k}[/latex] అయిన [latex]\left(\mathbf{k}^{2}-\frac{1}{\mathbf{k}^{2}}\right)=\frac{1}{9}[/latex] అని చూపుము.
జవాబు :
sec θ = 3k, tan θ = [latex]\frac{3}{k}[/latex]
sec² θ – tan² θ = 1
⇒ (31)² – [latex]\left(\frac{3}{\mathrm{k}}\right)^{2}[/latex] = 1
⇒ 9[latex]\left(\mathrm{k}^{2}-\frac{1}{\mathrm{k}^{2}}\right)[/latex] = 1 ⇒ k – [latex]\frac{1}{\mathrm{k}^{2}}=\frac{1}{9}[/latex]

ప్రశ్న64.
క్రింది వానిని జతపరచడంలో సరైన సమాధానాన్ని

i) sin 90°	a) 0
ii) cosec 45°	b) 1
iii)tan 0°	c) √2
iv)cot 30°	d ) √3

A) i-b, ii-c, iii-a, iv-d
B) i-b, ii-a, iii-d, iv-c
C) i-a, ii-c, iii-b, iv-d
D) i-a, ii-b, iii-c, iv-d
జవాబు :
A) i-b, ii-c, iii-a, iv-d

ప్రశ్న65.
APQR యొక్క అంతరకోణాలు P, Q మరియు. R అయిన tan [latex][/latex]
A) sin [latex]\left(\frac{\mathrm{R}}{2}\right)[/latex]
B) cot R
C) cot [latex]\left(\frac{\mathrm{R}}{2}\right)[/latex]
D) tan [latex]\left(\frac{\mathrm{R}}{2}\right)[/latex]
జవాబు :
C) cot [latex]\left(\frac{\mathrm{R}}{2}\right)[/latex]

ప్రశ్న66.
[latex]\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}[/latex] విలువ
A) sin 60°
B) cos 30°
C) tan 60°
D) A మరియు B
జవాబు :
D) A మరియు B
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 16
∴ sin 60° మరియు cos 30°

ప్రశ్న67.
sin (x – 20)° = cos (3x – 10)° అయిన ‘x’ విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
sin (x – 20)° = cos (3x – 10)
[∵ sin A = cos B అయితే A + B = 90]
∴ x – 20 + 3x – 10 = 90
⇒ 4x = 90° + 30° = 120°
⇒ x = [latex]\frac{120^{\circ}}{4}[/latex] = 30°

ప్రశ్న68.
[latex]\frac{1}{\sec \theta}[/latex] 0 ≤ θ ≤ 90° యొక్క గరిష్ఠ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
2

ప్రశ్న69.
cos² 17° – sin² 73° యొక్క విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
cos² 17° – sin² 73°
= cos² (90° – 73°) – sin² 73°
= sin² 73° – sin² 73° = 0
(∵ cos (90 – θ) = sin θ)

ప్రశ్న70.
A = 30° అయిన sin 2A విలువ ఎంత ?
జవాబు :
A = 30° అయిన sin 2A = sin 60° = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]

ప్రశ్న71.
sin 45° + cos45° యొక్క విలువ √2 చూపుము.
జవాబు :
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 17

ప్రశ్న72.
లంబకోణ త్రిభుజం ABC లో, లంబకోణం ‘C’ వద్ద కలదు. tan A = [latex]\frac{8}{15}[/latex] అయిన cosec²A – 1 విలువ ఎంత ?
జవాబు :
tan A = [latex]\frac{8}{15}[/latex] మరియు
cosec² – A – 1 = cot² A
= [latex]\frac{1}{\tan ^{2} A}=\frac{1}{\left(\frac{8}{15}\right)^{2}}=\frac{225}{64}[/latex]

ప్రశ్న73.
[latex]\frac{1}{2}[/latex]tan² 45° = sin² A మరియు ‘A’ లఘుకోణము అయిన A విలువ ఎంత ?
జవాబు :
[latex]\frac{1}{2}[/latex]tan² 45° = sin² A
[latex]\frac{1}{2}[/latex](1)² = sin² A
⇒ [latex]\frac{1}{2}[/latex] = sin² A ⇒ sin A = [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex]
∴ A = 45° (∵ sin45° = [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex])

ప్రశ్న74.
వాక్యం – I : ∆ABC లో ∠A, ∠B మరియు ∠C లు త్రిభుజ అంతర కోణాలైన sin [latex]\frac{A+B}{2}[/latex] = cos[latex]\frac{C}{2}[/latex]
వాక్యం – II : x = sin θ, y = cos θ అయిన x² + y² = 0.
A) I మాత్రమే సత్యం
B) II మాత్రమే సత్యం
C) మరియు II లు రెండూ అసత్యం
D) I మరియు II లు రెండూ సత్యం
జవాబు :
C) మరియు II లు రెండూ అసత్యం

ప్రశ్న75.
tan θ =1 అయిన [latex]\frac{5 \sin \theta+4 \cos \theta}{5 \sin \theta-4 \cos \theta}[/latex] విలువను కనుగొనుము. (θ అల్పకోణము)
జవాబు :
tan θ = 1 ⇒ θ = 45° (∵ tan 45° = 1)
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 18

ప్రశ్న76.
cos 2θ = sin 4θ మరియు 2θ మరియు 4θ లు లఘుకోణాలైన ‘θ’ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
cos 2θ = sin 4θ
sin (90 – 2θ) = sin 4θ
∴ 90 – 2θ = 4θ ⇒ 90 = 4θ + 2θ = 6θ
∴ θ = [latex]\frac{90^{\circ}}{6}[/latex] = 15° ∴ θ = 15°
(లేదా)
2θ + 4θ = 90° (∵ sin A = cos B ⇒ A + B = 90°)
6θ = 90° ⇒ θ = [latex]\frac{90^{\circ}}{6}[/latex] = 15°

ప్రశ్న77.
θ విలువ క్రింది వానిలో ఏది అయినప్పుడు tan θ విలువని నిర్వచించలేము ?
A) 90°
B) 60°
C) 30°
D) 0°
జవాబు :
A) 90°

ప్రశ్న78.
sin x = cos x, 0 ≤ x ≤ 90° అయిన x విలువ ఎంత ?
జవాబు :
x = 45°

ప్రశ్న79.
క్రింది వానిలో tanA = [latex]\frac{5}{12}[/latex] ను ప్రాతినిధ్యపరుచుటకు సరైన పటము.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 19
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న80.
sin45° – cos 45° + cos 60° = tan θ అయిన θ విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
sin 45° . cos 45° + cos 60° = tan θ
[latex]\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}[/latex] = tan θ
[latex]\frac{1}{2}+\frac{1}{2}[/latex] = tan θ ⇒ tan θ = 1
∴ θ = 45°

→ క్రింది పటం నుండి ON = x; PN = y; OP = r; ∠PON = θ మరియు ∠PNO = 90° అయిన 81 మరియు 82 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 20

ప్రశ్న81.
cos θ ను x, r’ లలో తెల్పండి.
జవాబు :
cos θ = [latex]\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{r}}[/latex]

ప్రశ్న82.
tan θ ను x, y లలో తెల్పండి.
జవాబు :
tan θ = [latex]\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{r}}[/latex]

ప్రశ్న83.
sin θ cosec θ + cos θ . sec θ + tan θ. cot θ = 3 అని చూపుము
జవాబు :
sin θ cosec θ + cos θ . sec θ + tan θ. cot θ
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 21
= 1 + 1 + 1 = 3

ప్రశ్న84.
sin θ. cosec θ = x అయిన x విలువ ఎంత ?
జవాబు :
sin θ. cosec θ = x
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 22
∴ x = 1

ప్రశ్న85.
sin θ = [latex]\frac{a}{b}[/latex] అయిన cos θను a, b లలో తెల్పండి
జవాబు :
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 23

ప్రశ్న86.
sin θ = 12 అయిన tan θ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 24

ప్రశ్న87.
sin θ. sec θ = tan θ అని చూపుము.
జవాబు :
L.H.S. = sin θ. sec θ
= sin 8 . [latex]\frac{1}{\cos \theta}[/latex]
= [latex]\frac{\sin \theta}{\cos \theta}[/latex] = tan θ = R.H.S.

ప్రశ్న88.
[latex]\sqrt{1+\cot ^{2} \theta}[/latex] = cosec θ అని నిరూపించుము.
జవాబు :
[latex]\sqrt{1+\cot ^{2} \theta}=\sqrt{{cosec}^{2} \theta}[/latex] = cosec θ

ప్రశ్న89.
sec θ = [latex]\frac{13}{12}[/latex] అయిన sin θ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 25

ప్రశ్న90.
జతపరుచుము.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 26
A) i-c, ii-a, iii-d, iv-b
B) i-b, ii-d, iii-a, iv-c
C) i-a, ii-d, iii-c, iv-b
D) i-d, ii-b, iii-a, iv-c
జవాబు :
B) i-b, ii-d, iii-a, iv-c

ప్రశ్న91.
[latex]\sqrt{1+\sin A} \cdot \sqrt{1-\sin A}[/latex] = cos A అని చూపుము.
జవాబు :
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 27

ప్రశ్న92.
ప్రవచనం – A: sin 0°, sin 30°, sin 90° యొక్క విలువలు అంకశ్రేణిలో కలవు.
ప్రవచనం – B: tan 45°, sec 60°, cosec-30° యొక్క విలువలు ఒక గుణశ్రేణిని ఏర్పరుస్తాయి.
A) A సత్యం, B అసత్యం
B) A అసత్యం, B సత్యం
C) A సత్యం, B సత్యం
D) A అసత్యం, B అసత్యం
జవాబు :
C) A సత్యం, B సత్యం

ప్రశ్న93.
tan² 30° + 2cot² 60° విలువ ఎంత ?
జవాబు :
tan² 30° + 2cot² 60°
= [latex]\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}[/latex]
= [latex]\frac{1}{3}+2 \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{3}{3}[/latex] = 1

ప్రశ్న94.
sin² 75° + cos² 75° విలువ ఎంత ?
జవాబు :
1.
(sin² θ + cos² θ = 1)

ప్రశ్న95.
sin⁴ θ – cos⁴ θ =
A) 1
B) cos² θ – sin² θ
C) 2 sin² θ – 1
D) 2 sin² θ
జవాబు :
C) 2 sin² θ – 1

sin⁴ θ – cos⁴ θ = (sin² θ + cos² θ) (sin² θ – cos² θ)
= 1 (sin² θ – cos² θ)
= sin² θ – cos² θ
= sin² θ – (1 – sin² θ)
= sin² θ – 1 + sin² θ
= 2 sin² θ – 1

ప్రశ్న96.
tan θ = [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex]; అయిన cos θ విలువ ఎంత ? (θ అల్పకొణము)
జవాబు :
tan θ = [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex] ⇒ θ = 30°
∴ cos θ = cos 30° = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]

ప్రశ్న97.
(1 + tan θ)² = sec² θ + 2 tan θ అని చూపుము
జవాబు :
L.H.S. = (1 + tanθ)²
= 1² + tan² θ + 2(1) tan θ
(: (a + b)² = a² + b² + 2ab)
= 1 + tan² θ + 2 tan θ
= sec² θ + 2 tan θ = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.

ప్రశ్న98.
tan θ ను sec θ లలో తెలుపగా
A) [latex]\frac{\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}}{\sec \theta}[/latex]
B) [latex]\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}}[/latex]
C) [latex]\frac{1}{\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}}[/latex]
D) [latex]\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}[/latex]
జవాబు :
D) [latex]\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}[/latex]

sec² θ – tan² θ = 1
sec² A – 1= tan² θ
tan θ = [latex]\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}[/latex]

ప్రశ్న99.
5 sin A = 3 అయిన sec² A – tan² A విలువ ఎంత ?
జవాబు :
5 sin A = 3 అయిన sec² A – tan² A = 1
(∵ sec² A – tan² A = 1)

ప్రశ్న100.
tan θ ను sin θ లో తెల్పండి.
జవాబు :
tan θ = [latex]\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}}[/latex]
(∵ sin² θ + cos² θ = 1
cos² θ = 1 – sin² θ
cos θ = [latex]\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}[/latex])

ప్రశ్న101.
cos θ = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] మరియు 8 అల్పకోణము అయిన 4 sin² θ + tan² θ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
cos θ = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]
∴ θ = 30°
∴ 4 sin² θ + tan² θ
= 4 sin² 30° + tan² 30°
= 4[latex]\left(\frac{1}{2}\right)^{2}[/latex] + [latex]\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}[/latex] = 1 + [latex]\frac{1}{3}=\frac{4}{3}[/latex]

ప్రశ్న102.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 28
పటం నుండి, ∆ABC లో ∠B = 90°; ∠C = θ అయిన tan θ విలువను రాయండి.
జవాబు :
tan θ = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{15}{8}[/latex]

ప్రశ్న103.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 29
‘పటం నుండి cos θ విలువను తెల్పండి.
జవాబు :
cos θ = [latex]\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{8}{17}[/latex]

ప్రశ్న104.
cos 0° + sin 90° + √2 sin 45° = 3 అని చూపండి.
జవాబు :
cos 0° + sin 90° + √2 sin 45°
= 1 + 1 + √2 × [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex] = 1 + 1 + 1 = 3

ప్రశ్న105.
3 sin² 45° + 2 cos² 60° విలువ ఎంత ?
జవాబు :
3 sin² 45° + 2 cos² 60°
= 3[latex]\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}[/latex] + 2[latex]\left(\frac{1}{2}\right)^{2}[/latex]
= [latex]\frac{3}{2}+2 \times \frac{1}{4}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}[/latex] = 2

ప్రశ్న106.
sin (log₂ 1)° విలువ ఎంత ?
జవాబు :
sin (log₂ 1)° = sin 0° = 0 (∵ log 1 = 0)

ప్రశ్న107.
a⁴ – b⁴ = (a² + b²) (a² – b²) అనే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి sin⁴ θ – cos⁴ θ ను సూక్ష్మీకరించగా వచ్చు ఫలితం క్రింది వానిలో దేనికి సమానం ?
A) sin²θ – cos²θ
B) 2 sin²θ – 1
C) 1 – 2cos²θ
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

sin⁴θ – cos⁴θ
= (sin² θ + cos² θ) (sin² θ – cos² θ)
= sin² θ – cos² θ …….. (1)
= sinθ – (1 – sin²θ)
= sin²θ – 1 + sin²θ
= 2 sin²θ – 1 …….. (2)
(1) ⇒ (1 – cos² θ) – cos²θ = 1 – 2cos²θ

ప్రశ్న108.
tan θ + cot θ = 2 అయిన tan θ + cot θ విలువ ఎంత?
జవాబు :
tan θ + cot θ = 2
(tan θ + cot θ)² = (2)²

= tan² θ + cot² θ + 2 = 4
= tan² θ + cot² θ = 4 – 2 = 2

ప్రశ్న109.
క్రింది పట్టికలో లోపించిన విలువను తెల్పండి.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 31
జవాబు :
√3

ప్రశ్న110.
∆ABC లో sin A = [latex]\frac{3}{5}[/latex], cos A = [latex]\frac{4}{5}[/latex] అయిన ఆ త్రిభుజ కొలతలు వరుసగా BC, AB, AC లు క్రింది వానిలో ఏవి కావచ్చును ?
(A) 9, 12, 15
(B) 3, 4, 5,
(C) 12, 16, 20
(D) పైవన్నీ
జవాబు:
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న111.
(1 + tan² 60°)² విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
(1 + tan²60°)² = (1 + (√3)²)²
= 4² = 16

ప్రశ్న112.
క్రింది వానిని జతపరుచుము.

i) sec θ	a) [latex]\frac{1}{\sin \theta}[/latex]
ii) cosec θ	b) [latex]\frac{1}{\tan \theta}[/latex]
iii)cot θ	c) [latex]\frac{1}{\cos \theta}[/latex]

A) i-a, ii-b, iii-c
B) i-c, ii-a, iii-b
C) i-b, ii-a, iii-c,
D) i-a, ii-c, iii-b
జవాబు :
B) i-c, ii-a, iii-b

→ ఇవ్వబడిన పటాన్ని పరిశీలించి, 113, 114 ప్రశ్నలకు జవాబులు రాయండి.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 32

ప్రశ్న113.
sin A విలువను తెల్పండి.
జవాబు :
sin A = [latex]\frac{12}{13}[/latex]

ప్రశ్న114.
tan C విలువను రాయండి.
జవాబు :
tan C = [latex]\frac{5}{12}[/latex]

ప్రశ్న115.
α + β = 90° మరియు α = 2β అయిన cos² α + sin² β = [latex]\frac{1}{2}[/latex] అని చూపుము.
జవాబు :
α + β = 90°, α = 2β
2β + β = 90° ⇒ 3β = 90° ⇒ β = 30°
∴ α = 60°
cos² α + sin² β = cos² 60° + sin² 30°
= [latex]\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}[/latex]

ప్రశ్న116.
∆ABC లంబకోణ త్రిభుజంలో ∠B = 90°, BC = 24 సెం.మీ. మరియు tan C = [latex]\frac{5}{12}[/latex] అయిన కర్ణము AC పొడవు ఎంత ?
జవాబు :
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి 33
BC = 24 సెం.మీ. మరియు
tan C = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{5}{12}[/latex]
[latex]\frac{5}{12}=\frac{5 \mathrm{k}}{24}[/latex] ⇒ k= 2
AB = 10 సెం.మీ.
కర్ణం AC = [latex]\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}}=\sqrt{10^{2}+24^{2}}[/latex]
= [latex]\sqrt{100+576}=\sqrt{676}[/latex] = 26 సెం.మీ.
(లేదా)
tan C = [latex]\frac{5}{12}[/latex] (5, 12, 13 లు పైథాగరియన్ త్రికాలు),
BC = 24 సెం.మీ. (10, 24, 26 లు కూడా పైథాగరియన్ త్రికాలు)
∴ కర్ణం AC = 26 సెం.మీ.

ప్రశ్న 117.
క్రింది వానిని జతపరచడంలో సరైన సమాధానమును ఎన్నుకొనుము.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 1
(A) i-a, ii-b, iii-c
(B) i-b, ii-c, iii-a
(C) i-c, ii-b, iii-a
(D) i-c, ii-a, iii-b
జవాబు.
(C) i-c, ii-b, iii-a

ప్రశ్న 118.
ప్రవచనం P: sin α = cos β అయిన α + β = 90° (α, β లు అల్పకోణాలు)
ప్రవచనం – Q : sec θ = m, tan θ = n అయిన m² – 12 = 1 (0° < θ < 90°)
(A) P సత్యం, Q అసత్యం
(B) P సత్యం, Q సత్యం
(C) P అసత్యం, Q సత్యం
(D) P అసత్యం , Q అసత్యం .
జవాబు.
(B) P సత్యం, Q సత్యం

ప్రశ్న 119.
sin 60° విలువ
(A) cos 30°
(B) [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]
(C) A మరియు B
(D) [latex]\frac{1}{2}[/latex]
జవాబు.
(C) A మరియు B

ప్రశ్న 120.
A, B లు లఘుకోణాలైన sin (A – B) = [latex]\frac{1}{2}[/latex] sin A = [latex]\frac{1}{2}[/latex] అయిన B ని కనుగొనుము.
సాధన.
sin (A – B) = [latex]\frac{1}{2}[/latex] ⇒ A – B = 30°
sin A = [latex]\frac{1}{2}[/latex] ⇒ A = 30°
∴ 30° – B = 30° ⇒ B = 0°
(లేదా)
sin (A – B) = sin A = [latex]\frac{1}{2}[/latex]
∴ A – B = A ⇒ – B = A – A ⇒ B = 0

ప్రశ్న 121.
∆ ABC లో a = 3; b = 4; c=’5 అయిన cos A విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 2
cos A = [latex]\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}[/latex] = [latex]\frac{4}{5}[/latex]

ప్రశ్న 122.
sec A . [latex]\sqrt{1-\sin ^{2} A}[/latex] = 1 అని చూపుము.
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 3

ప్రశ్న 123.
sec²35° – co²55° = 1 అని నిరూపించండి.
సాధన.
sec²35° – cot² (90 – 35) (∵ cot (90 – θ) = tan θ)
sec²35° – tan²35° = 1

ప్రశ్న 124.
[latex]\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}[/latex] విలువ ఎంత ?
సాధన.
[latex]\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}[/latex] = [latex]\frac{\sin (90-72)}{\cos 72^{\circ}}[/latex] = [latex]\frac{\cos 72^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}[/latex] = 1

ప్రశ్న 125.
cos 1° ∙ cos 2° ∙ cos 3°…….. cos 90° విలువ ఎంత ?
సాధన.
cos 1° – cos 2° – cos 3° …….. cos 90° = 0 (∵ cos 90° = 0)

ప్రశ్న 126.
cot θ = p, sec θ = q అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) p² – q² = 1
(B) q² – p² = 1
(C) q² – [latex]\frac{1}{\mathrm{p}^{2}}[/latex] = 1
(D) [latex]\frac{1}{\mathrm{q}^{2}}[/latex] – p² = 1
సాధన.
C.
cot θ = p ⇒ tan θ = [latex]\frac{1}{\mathrm{p}}[/latex]
sec² θ – tan² θ = q² – [latex]\left(\frac{1}{p}\right)^{2}[/latex] = q² – [latex]\frac{1}{\mathrm{p}}[/latex]

ప్రశ్న 127.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజ భుజాలు పూర్ణాంకాలు మరియు tan θ = [latex]\frac{5}{12}[/latex], అయితే ఆ త్రిభుజము యొక్క కనిష్ఠ వైశాల్యము ఎంత ?
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 4
త్రిభుజము యొక్క కనిష్ట వైశాల్యము = [latex]\frac{1}{2}[/latex]ab
= [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 5 × 12 = 30 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 128.
[latex]\frac{\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}}{\sqrt{1+\cot ^{2} \theta}}[/latex] = tan θ అని చూపుము
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 5

ప్రశ్న 129.
sin² 47° + sin² 43° విలువ ఎంత ?
సాధన.
sin² 47° + sin² 43° .
= sin² 47° + sin² (90 – 47)°
= sin² 47° + cos² 47° = 1

ప్రశ్న 130.
cos [latex]\left(\frac{\theta}{2}\right)[/latex] = [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex] అయిన cos θ విలువ ఎంత ?
సాధన.
cos [latex]\left(\frac{\theta}{2}\right)[/latex] = [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex] ⇒ [latex]\frac{\theta}{2}[/latex] = 45° ⇒ θ = 90°
∴ cos θ = cos 90° = 0

ప్రశ్న 131.
sin θ = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] అయిన sin [latex]\left(\frac{\theta}{2}\right)[/latex] విలువ ఎంత ?
సాధన.
sin θ = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] ⇒ θ = 60° ∴ [latex]\frac{\theta}{2}[/latex] = 30°
sin [latex]\frac{\theta}{2}[/latex] = sin 30° = [latex]\frac{1}{2}[/latex]

ప్రశ్న 132.
(1 + cot² 45°)² విలువ ఎంత ?
సాధన.
(1 + cot² 45°)² = (1 + 1²)²
= (1 + 1)² = 2² = 4

ప్రశ్న 133.
[latex]\frac{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}[/latex] విలువ ఎంత ?
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 6

ప్రశ్న 134.
[latex]\frac{{cosec}^{2} \theta}{\cot \theta}[/latex] – cot θ = tan θ అని చూపుము.
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 7

ప్రశ్న 135.
[latex]\sqrt{\frac{\sec x+\tan x}{\sec x-\tan x}}[/latex] =
(A) sec x + tan x
(B) sec x – tan x
(C) 2 tan x
(D) 2 sec x
సాధన.
(A) sec x + tan x

AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 8

ప్రశ్న 136.
4 sin 30° ∙ sec 60° = x tan 45° అయిన విలువ ఎంత?
సాధన.
4 sin 30° ∙ sec 60° = x tan 45°
⇒ 4 × [latex]\left(\frac{1}{2}\right)[/latex](2) = x(1) ⇒ 4 = x
∴ x = 4

ప్రశ్న 137.
sin 60° cos 30° + cos 60°. sin 30° విలువ ఎంత?
సాధన.
sin 60° . cos 30° + cos 60°. sin 30°
= [latex]\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)[/latex]
= [latex]\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}[/latex] = 1
(లేదా)
sin 60° · cos 30° + cos 60°. sin 30°
= sin (60° + 30°) = sin 90° = 1

ప్రశ్న 138.
sin (A + B) = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]; cos B = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] అయిన A విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
sin (A + B) = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex], cos B = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]
A + B = 60°, B = 30°
A + 30° = 60° ⇒ A = 30°

ప్రశ్న 139.
[latex]\frac{\tan 45^{\circ}}{{cosec} 30^{\circ}}+\frac{\sec 60^{\circ}}{\cot 45^{\circ}}[/latex] =
(A) 2[latex]\frac{1}{2}[/latex]
(B) [latex]\frac{5}{2}[/latex]
(C) 2
(D) A మరియు B
సాధన.
(D) A మరియు B
[latex]\frac{\tan 45^{\circ}}{{cosec} 30^{\circ}}+\frac{\sec 60^{\circ}}{\cot 45^{\circ}}[/latex] = [latex]\frac{1}{2}+\frac{2}{1}[/latex] = 2[latex]\frac{1}{2}[/latex] = [latex]\frac{5}{2}[/latex]

ప్రశ్న 140.
cos (A – B) = [latex]\frac{1}{2}[/latex]; sin B = [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex] అయిన A విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
COS (A – B) = [latex]\frac{1}{2}[/latex], sin B = [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex]
A – B = 60°,
B = 45°
∴ A = 60° + B = 60° + 45° = 105°

ప్రశ్న 141.
cos 75° విలువ క్రింది వానిలో దేనికి సమానము ?
(A) sin 15°
(B) – sin 15°
(C) cos 15°
(D) [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]
సాధన.
(A) sin 15°
cos 75° = cos (90 – 15)° = sin 15.

ప్రశ్న 142.
(1 + tan² A) (1 – sin² A) = 1 అని చూపండి.
సాధన.
(1 + tan² A) (1 – sin² A)
= sec² A – cos² A
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 9

ప్రశ్న 143.
tan 30° =
(A) √3
(B) cot 60°
(C) [latex]$\frac{1}{\sqrt{3}}$[/latex]
(D) B మరియు C .
జవాబు.
(D) B మరియు C .

ప్రశ్న 144.
sin²45° + cos²45° + tan²45° = 2 అని నిరూపించుము.
సాధన.
sin²45° + cos²45° + tan²45°
= 1 + 1 = 2 [∵ sin²θ + cos² θ = 1]

ప్రశ్న 145.
[latex]\frac{\sin ^{4} A-\cos ^{4} A}{\sin ^{2} A-\cos ^{2} A}[/latex] = 1 అని చూపుము.
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 10

ప్రశ్న 146.
sin θ = [latex]\frac{1}{2}[/latex] అయిన cos [latex]\frac{3 \theta}{2}[/latex] విలువ ఎంత ?
సాధన.
sin θ = [latex]\frac{1}{2}[/latex] ⇒ θ = 30°
cos [latex]\left(\frac{3 \theta}{2}\right)[/latex] = cos[latex]\left(\frac{3(30)}{2}\right)[/latex]
= cos 45° = [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex]

ప్రశ్న 147.
cos (90 – θ) =
(A) cos θ
(B) sin θ
(C) – sin θ
(D) sec θ
సాధన.
(B) sin θ

ప్రశ్న 148.
[latex]\frac{\tan \theta \cdot \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}}{\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}}[/latex] = 1 అని నిరుపించుము
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 12

ప్రశ్న 149.
sec θ + tan θ = [latex]\frac{1}{5}[/latex] అయిన sin θ విలువను కనుగోనుము.
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 11

ప్రశ్న 150.
(sec 45° + tan 45°) (sec 45° – tan 45°) విలువ ఎంత?
సాధన.
(sec 45° + tan 45°) (sec 45° – tan 45°)
= (sec² 45° – tan² 45°)
= 1

ప్రశ్న 151.
sin 30° + cos 60° విలువ ఎంత?
సాధన.
sin 30° + cos 60° = [latex]\frac{1}{2}[/latex] + [latex]\frac{1}{2}[/latex] = 1

ప్రశ్న 152.
[latex]\sqrt{{cosec}^{2} \theta-\cot ^{2} \theta}[/latex] విలువ ఎంత?
సాధన.
[latex]\sqrt{{cosec}^{2} \theta-\cot ^{2} \theta}[/latex] = √1 = ± 1

ప్రశ్న 153.
tan A ను cos A లో రాయండి.
సాధన.
tan A = [latex]\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\sqrt{1-\cos ^{2} A}}{\cos A}[/latex]

ప్రశ్న 154.
[latex]\frac{1}{1-\sin \theta}+\frac{1}{1+\sin \theta}[/latex] = 2 sec² θ అని చూపుము
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 13

ప్రశ్న 155.
sec θ + tan θ = 4 అయిన cos θ విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 14

ప్రశ్న 156.
cot² θ = 3 అయిన cosec θ = i.
సాధన.
cot² θ = 3
cosec² θ – cot² θ = 1
⇒ cosec²θ – 3 = 1
⇒ cosec² θ = 1 + 3 = 4
⇒ cosec θ = 4 = 2
(లేదా)
cot² θ = 3 ⇒ cot θ = √3 ⇒ θ = 30°
∴ cosec θ = cosec 30° = 2

ప్రశ్న 157.
tan 0° విలువను రాయండి.
సాధన.
tan 0° = 0

ప్రశ్న 158.
cos θ = – cos θ అయిన θ విలువ ఎంత?
సాధన.
cos θ = – cos θ
⇒ cos θ + cos θ = 0
⇒ cos θ = [latex]\frac{0}{2}[/latex] = 0
∴ θ = 90°

ప్రశ్న 159.
sin θ = [latex]\frac{a}{b}[/latex]; cos θ = [latex]\frac{c}{d}[/latex] అయిన cot θ =
(A) [latex]\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{cd}}[/latex]
(B) [latex]\frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{ad}}[/latex]
(C) [latex]\frac{c a}{b d}[/latex]
(D) [latex]\frac{\mathrm{ad}}{\mathrm{bc}}[/latex]
సాధన.
(B) [latex]\frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{ad}}[/latex]

AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 15

ప్రశ్న 160.
A అల్ప కోణ౦ మరియు tan A = [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex] అయిన sin A విలువ ఎంత ?
సాధన.
tan A = [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex] ⇒ A = 30°
∴ sin A = sin 30° = [latex]\frac{1}{2}[/latex]

ప్రశ్న 161.
a sin θ = x; b cos θ = y అయిన [latex]\left(\frac{x}{a}\right)^{2}+\left(\frac{y}{b}\right)^{2}[/latex] =
(A) – 1
(B) 0
(C) 2
(D) 1
సాధన.
(D) 1
a sin θ = x, b cos θ = y
sin θ = [latex]\frac{x}{a}[/latex] cos θ = [latex]\frac{y}{b}[/latex]
∴ [latex]\left(\frac{x}{a}\right)^{2}+\left(\frac{y}{b}\right)^{2}[/latex] = sin² θ + cos² θ = 1

ప్రశ్న 162.
sin A = [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex] అయిన tan A విలువ ఎంత>
సాధన.
sin A = [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex] ⇒ A = 45°
∴ tan A = tan 45° = 1

ప్రశ్న 163.
cos (x – y) =
(A) cos x sin x + cos y sin y
(B) cos x sin y + cos y sin x
(C) sin x cos y + cos x sin y
(D) cos x cos y + sin x sin y
సాధన.
(D) cos x cos y + sin x sin y
cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y

ప్రశ్న 164.
sec θ = cosec θ అయిన θ విలువ =
(A) 90°
(B) 45°
(C) 30°
(D) 60°
సాధన.
(B) 45°

ప్రశ్న 165.
[latex]\frac{\sqrt{{cosec}^{2} \theta-1}}{{cosec} \theta}[/latex] =
(A) 1 + sec θ
(B) cosec θ + cot θ
(C) cos θ
(D) tan θ
సాధన.
(C) cos θ

AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 16

ప్రశ్న 166.
[latex]\frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}}[/latex] = tan θ అని చూపుము.
సాధన.
[latex]\frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}}[/latex] = [latex]\frac{\sin \theta}{\cos \theta}[/latex] = tan θ

ప్రశ్న 167.
cos A = sin B అయిన A + B = 90° అని చూపుము.
సాధన.
cos A = sin B
sin (90 – A) = sin B ⇒ 90 – A = B
∴ 90° = A + B

ప్రశ్న 168.
x = 2 cosec θ; y = 2 cot θ అయిన x² – y² విలువ ఎంత?
సాధన.
x = 2 cosec θ, y = 2 cot θ
x² – y² = (2 cosec θ)² – (2 cot θ)²
= 4 cosec² θ – 4 cot² θ
= 4 (cosec² θ – cot² θ)
= 4 (1) = 4

ప్రశ్న 169.
cos (A + B) = 0, cos B = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] అయిన A విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
cos (A + B) = 0, cos B = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]
∴ A + B = 90° B = 30°
∴ A + 30° = 90° ⇒ A = 90° – 30 = 60°

ప్రశ్న 170.
[latex]\frac{\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}}{\cos \theta}[/latex] =
(A) [latex]\frac{\tan \theta}{1+\tan \theta}[/latex]
(B) [latex]\frac{1}{\tan \theta}[/latex]
(C) cot θ
(D) sin θ
జవాబు.
(D) sin θ

ప్రశ్న 171.
[latex]\frac{\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}}{\cos \theta}[/latex] =
(A) tan θ
(B) cos θ
(C) sec θ
(D) cot θ
జవాబు.
(A) tan θ

ప్రశ్న 172.
[latex]\frac{1}{\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}}[/latex] =
(A) sin θ
(B) cos θ
(C) sec θ
(D) cosec θ
జవాబు.
(B) cos θ

ప్రశ్న 173.
cos θ . tan θ =
(A) cos θ
(B) cot θ
(C) sin θ
(D) cos² θ

ప్రశ్న 174.
క్రింది పటం ∆ ABC లో ∠C = 45° మరియు ∠B = 90° అయిన cos A విలువ ఎంత?
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 17
సాధన.
∆ ABC లో ∠B = 90° మరియు C = 45° కావున,
∴ ∠A = 45°; cos A = cos 45° = [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex]

ప్రశ్న 175.
sec² 33° – cot² 57° విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
sec² 33° – cot² 57°
= sec² (90 – 57) – cot² 57° (∵ sec (90 – θ) = cosec θ)
= cosec² 57° – cot² 57°
= 1

ప్రశ్న 176.
√3 cot 2θ = 1 అయిన θ విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
√3 cot 2θ = 1 ⇒ cot 2θ = [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex]
∴ 2θ = 60° (∵ cot 60° = [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex])
∴ θ = [latex]\frac{60^{\circ}}{2}[/latex] = 30°

ప్రశ్న 177.
sin (log₁₀1) విలువ ఎంత ?
సాధన.
sin (log₁₀1)° = sin 0° = 0 (∵ log_a 1 = 0)

ప్రశ్న 178.
cos θ = 3 అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) θ = 60°
(B) cos[latex]\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]
(C) sin[latex]\left(\frac{3 \theta}{4}\right)^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex]
(D) పైవన్నీ
సాధన.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 179.
cos θ ను sin θ లో తెల్పండి.
సాధన.
cos θ = [latex]\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}[/latex]

ప్రశ్న 180.
cos 0° + sin 90° + √3 cosec 60° విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
cos 0° + sin 90° + √3 cosec 60°
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 18
= 1 + 1 + 2 = 4

ప్రశ్న 181.
cos 60° ∙ cos 30° – sin60° ∙ sin30°విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
cos 60° ∙ cos 30° – sin 60° ∙ sin 30°
= [latex]\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}[/latex] = 0
(లేదా)
cos 60° ∙ Cos 30° – sin 60° ∙ sin 30
= cos (60 + 30)°
= cos 90° = 0
(∵cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B)

ప్రశ్న 182.
tan θ =
(A) [latex]\frac{1}{\cot \theta}[/latex]
(B) [latex]\sqrt{\sec ^{2} \theta+1}[/latex]
(C) [latex]\frac{\sin \theta}{\cos \theta}[/latex]
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 183.
క్రింది త్రికోణమీతియ నిష్పత్తి విలువలకు సమానమపు సంవర్గమాన విలువను జత చేయండి.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 19
(A) i-b, ii-a, iii-c, iv-d.
(B) i-c, ii-d, iii-b, iv-a
(C) i-a, ii-c, iii-d, iv-b
(D) i-d, ii-c, iii-b, iv-a
జవాబు.
(D) i-d, ii-c, iii-b, iv-a

ప్రశ్న 184.
√3 tan θ = 1 అయిన 6 విలువ ఎంత ? (θ అల్పకోణము)
సాధన.
√3 tan θ = 1 ⇒ tan θ = [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex]
∴ θ = 30° (∴ tan 30° = [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex])

ప్రశ్న 185.
[latex]\sqrt{{cosec}^{2} \theta-\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}[/latex] ను ఒకే త్రికోణమితీయ నిష్పత్తిలో తెల్పండి.
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 20

ప్రశ్న 186.
[latex]\sqrt{\frac{1-\cos ^{2} \theta}{1+\cot ^{2} \theta}}[/latex] =
(A) sin θ
(B) sin θ
(C) sin θ
(D) sin⁴ θ
సాధన.
(C) sin θ
[latex]\sqrt{\frac{1-\cos ^{2} \theta}{1+\cot ^{2} \theta}}=\sqrt{\frac{\sin ^{2} \theta}{{cosec}^{2} \theta}}[/latex]
= [latex]\sqrt{\sin ^{2} \theta \cdot \sin ^{2} \theta}[/latex] = sin² θ

ప్రశ్న 187.
cosec 60° × cos 90° విలువ ఎంత ?
సాధన.
cosec 60° × cos 90° = [latex]\frac{2}{\sqrt{3}}[/latex] × 0 = 0

ప్రశ్న 188.
sin 81° =
(A) cos 9°
(B) cos 81°
(C) – cos 9o
(D) cosec 81°
సాధన.
(A) cos 9°

ప్రశ్న 189.
tan θ = √3 అయితే sec θ విలువను కనుగోనుము
సాధన.
tan θ = √3 ⇒ θ = 60°
∴ sec θ = sec 60° = 2
(లేదా)
sec² θ = 1 + tan² θ
= 1 + (√3)² = 1 + 3 = 4
∴ sec θ = √4 = 2

ప్రశ్న 190.
cot²θ – [latex]\frac{1}{\sin ^{2} \theta}[/latex] = – 1 అని చూపుము.
సాధన.
cot²θ – [latex]\frac{1}{\sin ^{2} \theta}[/latex] = cot²θ – cosec²θ
= – (cosec² θ – cot² θ) = – 1

ప్రశ్న 191.
[latex]\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}[/latex] = …………….
(A) sec θ – tan θ
(B) sec θ + tan θ
(C) sec²θ – tan²θ
(D) 1
జవాబు.
(B) sec θ + tan θ

ప్రశ్న 192.
sin 29° – cos 61° యొక్క విలువ ఎంత?
సాధన.
sin 29° – cos 61°
= sin (90 – 61)° – cos 61°
= cos 61° – cos 61° = 0

ప్రశ్న 193.
tan 1° ∙ tan 2° ∙ tan 3° ……….. tan 89° యొక్క విలువ ఎంత ?
సాధన.
tan 1° ∙ tan 2° ∙ tan 3°……….. tan 89°
= tan (90 – 89)° . tan (90 – 88)° ………. tan 45°….. tan 88° ∙ tan 89°
= cot 89° . cot 88°….. tan 45°….. tan 88° ∙ tan 89 = tan 45° = 1

ప్రశ్న 194.
క్రింది వానిలో సరైన ప్రవచనాలను ఎన్నుకొనుము.
(i) 0 ≤ θ ≤ 90 అయిన 0 ≤ sin θ ≤ 1
(ii) tan A = cot B (A, B లు అల్పకోణాలు) అయితే A + B = 90°
(iii) cosec θ = p, cot θ = q అయిన p² + q² = 1
(iv) cos θ = x అయిన sin θ = [latex]\sqrt{1+x^{2}}[/latex].
సాధన.
(i) మరియు (ii) లు సత్యము.

ప్రశ్న 195.
పై 194 వ ప్రశ్నలో అసత్య ప్రవచనాలను గుర్తించి, వానిని సత్య ప్రవచనాలుగా మార్చండి.
సాధన.
(iii) మరియు (iv) లు అసత్య ప్రవచనాలు.
వానిని సత్య ప్రవచనాలుగా మార్చగా,
cosec θ = p, cot θ = q అయిన p² – q² = 1
cos θ = x అయిన sin θ = [latex]\sqrt{1-x^{2}}[/latex]

ప్రశ్న 196.
tan (15° + B) = √3 అయితే B విలువ ఎంత?
సాధన.
tan (15° + B) = √3 ⇒ 15 + B = 60°
∴ B = 60° – 15° = 45°

ప్రశ్న 197.
క్రింది వానిలో ఏది sin e విలువ కావచ్చును ? .
(A) √2
(B) [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex]
(C) √3
(D) 2
సాధన.
B
(∵ √2 = 1.414 ….. > 1,
√3 = 1.732 ….. > 1
2 > 1)

ప్రశ్న 198.
[latex]\sqrt{(\sec \theta+1)(\sec \theta-1)}[/latex] = tan θ అని చూపుము.
సాధన.
[latex]\sqrt{(\sec \theta+1)(\sec \theta-1)}[/latex] = [latex]\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}[/latex]
= tan θ

ప్రశ్న 199.
cosec θ + cot θ = 2 అయిన cosec θ – cot θ విలువ ఎంత ?
సాధన.
cosec θ + cot θ = 2 అయిన
cosec θ – cot θ = [latex]\frac{1}{2}[/latex]

ప్రశ్న 200.
క్రింది వానిలో cos θ విలువ కానిది ఏది ?
(A) [latex]\frac{3}{4}[/latex]
(B) [latex]\frac{1}{2}[/latex]
(C) [latex]\frac{4}{3}[/latex]
(D) 0
జవాబు.
(C) [latex]\frac{4}{3}[/latex]

ప్రశ్న 201.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) sin²θ + cos²θ = 1
(B) sin² θ = 1 – cos² θ
(C) cos² θ = 1 – sin² θ
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 202.
sin A = [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex], tan B = 1 అయిన క్రింది ఏది సత్యం ఏది సత్యం ? (A, B లు అల్పకోణాలు)
(i) A = B
(ii) A + B = 60°
(iii) sin (A + B) = 1
(iv) cos (A + B) = 1
(A) i మరియు ii
(B) i మరియు iii
(C) ii మరియు iv
(D) ii మరియు iii
జవాబు.
(B) i మరియు iii

ప్రశ్న 203.
క్రింది పటంలో AB పొడవును కనుగొనుము.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 21
సాధన.
∆ABCలో ∠B = 90°
∴ tan 30° = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}[/latex] = [latex]\frac{A B}{60}[/latex]
[latex]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{AB}}{60}[/latex] ⇒ AB = [latex]\frac{60}{\sqrt{3}}[/latex] మీ.

ప్రశ్న 204.
క్రింది వానిలో ఏది నిర్వచింపబడదు”?
(A) sin 45°
(B) cot 0°
(C) tan 0°
(D) sec 45°
జవాబు.
(B) cot 0°

ప్రశ్న 205.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ? ”
(A) sec²θ – tan²θ = 1
(B) sec²θ + tan²θ = 1
(c) tan²θ – sec² θ = 1
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(A) sec²θ – tan²θ = 1

ప్రశ్న 206.
A + B = 90° అయిన క్రింది వానిలో. ఏది సత్యం ?
(A) cos A = sin B
(B) tan A = cot B
(C) cosec A = sec A
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 207.
sec θ విలువ tan θ లో రాయండి.
సాధన.
sec²θ – tan² θ = 1
⇒ sec² 8 = 1 + tan²θ
⇒ sec θ = [latex]\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}[/latex].

ప్రశ్న 208.
జతపరుచుము.
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 22
(A) a – iii, b-i, c – iv, d – ii
(B) a – iv, b – ii, c-i, d – iii
(C) a – iii, b-ii, c – iv, d-i
(D) a – iv, b – iii, c-ii, d – i
జవాబు.
(B) a – iv, b – ii, c-i, d – iii

ప్రశ్న 209.
A, Bలు అల్పకోణాలు మరియు ∠A ≥ ∠B అయిన క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ?
(A) sin A ≥ sin B
(B) cos A ≤ cos B
(C) tan A ≤ tan B
(D) sec A ≥ sec B
జవాబు.
C) tan A < tan B

ప్రశ్న 210.
cosec θ, cot θ లలో సర్వసమీకరణాన్ని రాయండి.
సాధన.
cosec²θ – cot- θ = 1

ప్రశ్న 211.
sin 75° + cos 65° ను 0° మరియు 45° ల మధ్యగల విలువలో రాయండి.
సాధన.
sin 75° + cos 65°
= sin (90 – 15)° + cos (90 – 25)
= cos 15° + sin 25°

ప్రశ్న 212.
sin 73° + tan 73°ను cos, cot నిష్పత్తుల విలువలలో రాయండి.
సాధన.
sin 73° + tan 73°
= sin (90 – 17)° + tan (90 – 17)°
= cos 17° + cot 17°

ప్రశ్న 213.
tan θ = p, sec θ = q అయిన p, q ల మధ్య సంబంధము ………………. .
(A) p² = 1 + q²
(B) q² = 1 + p²
(C) p² + q² = 1
(D) p²= 2q²
సాధన.
(B) q² = 1 + p²
sec² θ = 1 + tan²θ
∴ q² = 1 + p²

ప్రశ్న 214.
cosec θ = m, cot θ = n అయిన క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం?
(A) m² – n² = 1
(B) sec θ = [latex]\frac{m}{n}[/latex]
(C) cos θ = [latex]\frac{n}{m}[/latex]
(D) m² + n² = 1
సాధన.
(A) m² – n² = 1
cosec² θ – cot² θ = 1
m² – n² = 1

ప్రశ్న 215.
sin θ = x అయిన cos θ ను x లో తెల్పండి.
సాధన.
cos θ = [latex]\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}[/latex] = [latex]\sqrt{1-x^{2}}[/latex].
(∵ sin θ = x)

ప్రశ్న 216.
sin 0°, sin 60°, sin 30°, sin θ, sin 90° విలువల యొక్క మధ్యగతం [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex] అయ్యేటట్లు θ విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
sin 0° = 0, sin 60° = [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex], sin 30° = [latex]\frac{1}{2}[/latex],
sin 90° = 1, sin θ = ?
sin 0°, sin 60°, sin 30°, sin θ, sin 90° ల మధ్యగతము = [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex]
∴ sin θ = [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex] ⇒ θ = 45°
[విలువలను ఆరోహణాక్రమంలో రాయగా
0, [latex]\frac{1}{2}[/latex], sin θ, [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex], 1.
sin θ, [latex]\frac{1}{2}[/latex] మరియు [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] ల మధ్య ఉన్నప్పుడే మధ్యగతం [latex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/latex] అయ్యే అవకాశం కలదు.)

ప్రశ్న 217.
sin 09°, sec 60°, cos 0°, tan 45° మరియు tan² θ విలువల యొక్క సగటు [latex]\frac{7}{5}[/latex] మరియు [latex]\frac{1}{2}[/latex] అల్పకోణము అయిన విలువ ఎంత ?
సాధన.
సగటు = [latex]\frac{\sin 0^{\circ}+\sec 60^{\circ}+\cos 0^{\circ}+\tan 45^{\circ}+\tan ^{2} \theta}{5}[/latex]
AP 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి Bits 23
∴ 4 + tan² θ = 7 ⇒ tan² θ = 7 – 4 = 3
∴ tan θ = √3 ⇒ θ = 60°

ప్రశ్న 218.
sec θ + tan θ = x, sec θ – tan θ = y అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(i) xy = 1
(ii) [latex]\frac{x}{y}[/latex] = 1
(iii) x² + y² = 1
(iv) x² – y² = 1
సాధన.
(i) సత్యం
(sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = xy
sec²θ – tan² θ = 1
(∴ (a + b) (a – b) = a² – b²)
∴ x ∙ y = 1.

ప్రశ్న219.
∠A కు ఎదుటి భుజం ఏది ?
జవాబు :
∠A కు ఎదుటి భుజం = BC

ప్రశ్న220.
∠C కు ఆసన్న భుజమును తెల్పండి.
జవాబు :
∠C కు ఆసన్న భుజము = BC

ప్రశ్న221.
∠A + ∠C విలువ ఎంత ?
జవాబు :
∠A + ∠C = 90° [∵ ∠B = 90°, ∠A + ∠B + ∠C = 180°]

ప్రశ్న222.
[latex]\frac{\mathbf{B C}}{\mathbf{A B}}[/latex] ని సూచించు ఏదేని ఒక త్రికోణమితీయ నిష్పత్తిని తెల్పండి.
జవాబు :
tan A (లేదా) cot C

ప్రశ్న223.
sin A = cos B అని నిరూపించండి.
జవాబు :
A + B = 90° ⇒ A = 90 – B
∴ sin A = sin (90 – B) = cos B [∵ sin (90 – θ) = cos θ]
∴ sin A = cos B

ప్రశ్న224.
[latex]\frac{\mathbf{B C}}{\mathbf{A C}}[/latex] నిష్పత్తికి ప్రాతినిథ్యం వహించు త్రికోణమితీయ నిష్పత్తి
A) tan A
B) sin A
C) cos C
D) B మరియు C
జవాబు :
D) B మరియు C

ప్రశ్న 225.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) AC > BC
B) AC > AB
C) A + C = 90°
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న226.
sec 16. cosec 74° – cot 74° – tan 16° విలువ కనుగొనండి.
జవాబు :
0 (సున్న)

ప్రశ్న227.
x = 2019° అయితే sin² x + cos² x విలువ ఎంత ?
జవాబు :
x = 2019°, అయితే sin² x + cos² x = sin²2019° + cos²2019°
= 1 [∵ sin² θ + cos² θ = 1]

ప్రశ్న228.
x ఒక అల్పకోణము మరియు sin x = cos x అయితే x విలువ ఎంత ?
జవాబు :
ఇచ్చినది, sin x = cos x
sin (90°- θ) = cos θ మనకు తెలుసు.
cos x = sin(90° -x)
= sin x = sin(90° -x)
(గమనిక : sin A = sin B, అయితే A = B]
⇒ x = 90° – x
⇒ 2x = 90°
∴ x = 45°

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.3

March 2, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.3

ప్రశ్న 1.
10 సెం.మీ వ్యాసార్ధముగా గల వృత్తములో ఒక జ్యా కేంద్రము వద్ద లంబకోణాన్ని ఏర్పరిస్తే, కింది ఇవ్వబడిన వృత్తఖండాల వైశాల్యాలు కనుగొనండి. (π = 3.14 అని తీసుకోండి.)
(i) అల్ప వృత్తఖండము
(ii) అధిక వృత్త ఖండము
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.3 1

PQ జ్యా కేంద్రం వద్ద చేయు కోణం (x°) = 90°
వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = 10 సెం.మీ.
(i) అల్ప వృత్త ఖండ వైశాల్యము = POQ సెక్టార్ వైశాల్యము – ∆POQ వైశాల్యము
POQ సెక్టార్ వైశాల్యము = [latex]\frac{x}{360}[/latex] × πr²
∆POQ వైశాల్యము = [latex]\frac{1}{2}[/latex] bh
∴ అల్ప వృత్త ఖండ వైశాల్యము = [latex]\frac{90}{360}[/latex] × 3.14 × 10 × 10 – [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 10 × 10
= 78.5 – 50 = 28.5 సెం.మీ

(ii) అధిక వృత్తఖండ వైశాల్యము = వృత్త వైశాల్యము – అల్పవృత్త ఖండ వైశాల్యము.
= πr² – 28.5
= [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 10 × 10 – 28.5
= 314 – 28.5
∴ అల్ప వృత్త ఖండ వైశాల్యము = 285.5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
12 సెం.మీ వ్యాసార్ధముగా గల వృత్తములో ఒక జ్యా కేంద్రము వద్ద 120° కోణాన్ని ఏర్పరచింది. జ్యాతో ఏర్పడిన సంబంధిత అల్పవృత్త ఖండం యొక్క వైశాల్యమును కనుగొనండి. (π = 3.14 మరియు (√3 = 1.732 తీసుకోండి)
సాధన.
వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = 12 సెం.మీ.
సెక్టార్ వైశాల్యం = [latex]\frac{x}{360}[/latex] × πr²
చాపము వృత్త కేంద్రం వద్ద చేయు కోణం x° = 120°

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.3 2

సెక్టార్ వైశాల్యం = [latex]\frac{120}{360}[/latex] × 3.14 × 12 × 12
= 150.72 సెం.మీ .
‘O’ నుండి PQ పైకి లంబాన్ని గీయగా అది M వద్ద ఖండించినది ∆OPM = ∆OQM
[∵ OP = OQ వ్యాసార్థాలు ∠P = ∠Q (సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉండు కోణాలు సమానాలు)
∠OMP = ∠OMQ భు.కో. భు నుండి అవి సరూపాలు)
∴ ∆OPQ వై.. = ∆OPM వై.. + ∆OQM వై|| –
= 2 ∆OPM వై||
∆OPM వై.. = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × PM × QM
కానీ cos 30° = [latex]\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{OP}}[/latex]
[∵ ∆OPQ లో ∆POQ = 120°
= [latex]\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=\frac{60^{\circ}}{2}[/latex] = 30°]
⇒ [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\mathrm{PM}}{12}[/latex]
⇒ PM = [latex]\frac{12 \times \sqrt{3}}{2}[/latex] = 6√3
అదే విధంగా, sin 30° = [latex]\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OP}}[/latex]
[latex]\frac{1}{2}=\frac{\text { OM }}{12}[/latex]
⇒ OM = 6 సెం.మీ.
∴ ∆ OPM వైశాల్యం = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 6√3 × 6 = 18√3
= 18 × 1.732 = 31.176 సెం.మీ²
∴ ∆OPQ వైశాల్యము = 2 × 31.176
= 62.352 సెం.మీ²
∴ అల్ప వృత్తఖండ వైశాల్యం PQ = POQ సెక్టార్ వైశాల్యం – ∆OPQ వైశాల్యం
= 150.72 – 62.352 = 88.368 సెం.మీ²

ప్రశ్న 3.
ఒక కారు అద్దముపై ఒకదానిపై అధ్యారోహణము (overlap) కాని నీటిని తుడిచే రెండు వైపర్లు వున్నాయి. ప్రతి వైపర్ పొడవు 25 సెం.మీ. 115° కోణముతో నీటిని తుడుస్తున్నది. ఒకేసారి రెండు వైపర్లు పనిచేయు సందర్భములో మొత్తం అద్దాన్ని శుభ్రపరిచే ప్రదేశ వైశాల్యము కనుగొనుము. (π = [latex]\frac{22}{7}[/latex] అని తీసుకోండి.)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.3 3

ప్రతి వైపర్ చేయు కోణం = 115°
రెండు వైపర్లు అద్దాన్ని శుభ్రపర్చు వైశాల్యం = వైపర్లు ఏర్పర్చు రెండు సెక్టార్ల వైశాల్యాల మొత్తం.
= 2 × [latex]\frac{x}{360}[/latex] × πr²
= 2 × [latex]\frac{115^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7}[/latex] × 25 × 25
= [latex]\frac{230}{360} \times \frac{22}{7}[/latex] × 25 × 25
= 1254.96 = 1255 సెం.మీ²

ప్రశ్న 4.
క్రింది పటములో ABCD చతురస్రం యొక్క భుజము 10 సెం.మీ పొడవు కలిగి వున్నది మరియు చతురస్రభుజము వ్యాసముగా గల అర్ధవృత్తాలు ప్రతిభుజము వైపున గీయబడ్డాయి. షేడ్ చేయబడిన ప్రదేశ వైశాల్యము కనుగొనుము. (π = 3.14 అని తీసుకోండి).

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.3 4

సాధన.
పటం నుండి షేడ్ చేయని భాగాలను I, II, III, IV లుగా గుర్తింపుము.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.3 5

Iవ ప్రాంత వైశాల్యం + III వ ప్రాంత వైశాల్యం = ABCD చతురస్ర వైశాల్యం – 5 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధం గల రెండు అర్ధవృత్తాల వైశాల్యాలు = 10 × 10 – 2 × [latex]\frac{1}{2}[/latex] × π × 5²
= 100 – 78.5 = 21.5 సెం.మీ²
అదే విధంగా II ప్రాంత వై + IV వ ప్రాంత వై = 21.5 సెం.మీ²
∴ షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = ABCD చతురస్ర వై| – షేడ్ చేయని 4 ప్రాంతాల వైశాల్యాల మొత్తం
= 100 – 2 × 21.5 = 100 – 43 = 57 సెం.మీ²

ప్రశ్న 5.
పటంలో ABCD చతురస్రభుజము 7 సెం.మీ మరియు APD మరియు BPC లు అర్ధవృత్తములు అయిన షేడ్ చేసిన ప్రదేశవైశాల్యము కనుగొనుము. (π = [latex]\frac{22}{7}[/latex] ను తీసుకోండి).

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.3 6

సాధన.
షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = ABCD చతురస్ర వైశాల్యం, 3. 5 సెం.మీలు వ్యాసార్ధం గల రెండు అర్ధ వృత్తాల వై॥ల మొత్తం.
= 7 × 7 – 2 × [latex]\frac{1}{2}[/latex] × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 3.5 × 3.5
= 49 – 38.5 = 10.5 సెం.మీ.²

ప్రశ్న 6.
పటములో 0 కేంద్రము మరియు 3.5 సెం.మీ వ్యాసార్ధముగా గల వృత్తములో OACB అనేది ఒక సెక్టరు పాదము OD = 2 సెం.మీ అయిన షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యము కనుగొనుము. (π = [latex]\frac{22}{7}[/latex] అని తీసుకోండి)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.3 7

సాధన.
OACD అనునది వృత్తంలోని 4వ భాగం గల ఒక సెక్టార్. షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = సెక్టార్ వైశాల్యం – ∆BOD వైశాల్యం
= [latex]\frac{x}{360}[/latex] × πr² – [latex]\frac{1}{2}[/latex] . OB . OD
= [latex]\frac{1}{4}[/latex] × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 3.5 × 3.5 – [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 3.5 × 2
= 9.625 – 3.5 = 6.125 సెం.మీ.

ప్రశ్న 7.
‘0’ కేంద్రముగా గల రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాల వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 21 సెం.మీ మరియు 7 సెం.మీ మరియు AB, CD లు రెండు చాపరేఖలు (పటము చూడండి). ∠AOB = 30° అయిన షేడ్ చేసిన ప్రదేశ వైశాల్యమును కనుగొనండి. (π = [latex]\frac{22}{7}[/latex] తీసుకోండి)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.3 8

సాధన.
షేడ్ చేయబడిన భాగము వైశాల్యం = AOB సెక్టార్ వైశాల్యం – OCD సెక్టార్ వైశాల్యం
= [latex]\frac{30}{360} \times \frac{22}{7}[/latex] × 21 × 21 – [latex]\frac{30}{360} \times \frac{22}{7}[/latex] × 7 × 7
[∵ సెక్టార్ వైశాల్యం = [latex]\frac{x}{360}[/latex] × πr²)
= [latex]\frac{1}{12}[/latex] × [latex]\frac{22}{7}[/latex] [441 – 49]
= [latex]\frac{22}{84}[/latex] × 392 = 102.66 సెం.మీ².

ప్రశ్న 8.
పటంలో వ్యాసార్ధము 10 సెం.మీ గా గల వృత్తంలో రెండు సెక్టరు పాదముల మధ్య ఏర్పడిన ఉమ్మడి ప్రదేశం (షేడ్ చేయబడినది) యొక్క వైశాల్యమును కనుగొనండి. (π = 3.14 అని తీసుకోండి)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.3 9

సాధన.
చాపానికి ఇరువైపులా P, Qబిందువులను గుర్తింపుము.
ABCD చతురస్ర కర్ణం BD అనుకొనుము.
DPB వృత్త ఖండ వైశాల్యం = ∆DPB సెక్టార్ వై! – ∆ABD వైశాల్యం
= [latex]\frac{x}{360}[/latex] × πr² – [latex]\frac{1}{2}[/latex] bh
= [latex]\frac{90}{360}[/latex] × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 10 × 10 – [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 10 × 10
= 78.57 – 50 = 28.5 సెం.మీ.
అదే విధంగా DQB వృత్త ఖండ వైశాల్యం = 28.5 సెం.మీ
∴ షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం= (DPB + DQB)
వృత్త ఖండాల వైశాల్యాలు = 28.5 + 28.5 = 57 సెం.మీ (లేదా)
చతురస్ర భుజం = 10
చతురస్ర వైశాల్యం = 10 × 10 = 100 సెం.మీ
A, C లు కేంద్రాలుగా గల 10 సెం.మీ వ్యాసార్ధాలుగా గల రెండు సెక్టార్ల వైశాల్యాలు = 2 × [latex]\frac{90}{360}[/latex] × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 10 × 10
= [latex]\frac{1100}{7}[/latex] = 157.14 సెం.మీ
షేడ్ చేయబడిన ప్రాంతం రెండింటికి ఉమ్మడి ప్రాంతం
∴ షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = రెండు సెక్టార్ల వైశాల్యం – చతురస్ర వైశాల్యం = 157 – 100 = 57 సెం.మీ².

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5

March 2, 2022

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Exercise 2.5

ప్రశ్న1.
తగిన సమీకరణాలను ఉపయోగించి కింది లబ్దాలు కనుగొనుము.
i) (x + 5) (x + 2)
సాధన.
(x + 5) (x + 2) = x² + (5 + 2)x + 5 × 2
[∵ (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab]
= x² + 7x + 10

ii) (x – 5) (x – 5)
సాధన.
(x – 5) (x – 5) = (x – 5)²
= x² – 2(x) (5) + 5²
[∵ (x – y)² = x² – 2xy + y²]
= x² – 10x + 25

iii) (3x + 2) (3x – 2)
సాధన.
(3x + 2) (3x – 2) = (3x)² – (2)²
[∵ (x + y) (x – y) = x² – y²]
= 9x² – 4

iv) [latex]\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)\left(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\right)[/latex]
సాధన.
[latex]\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)\left(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\right)[/latex]
= (x2)2 – [latex]\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{2}[/latex]
[∵ (x + y) (x – y) = x² – y²]
= x⁴ – [latex]\frac{1}{x^{4}}[/latex]

v) (1 + x) (1 + y)
సాధన.
(1 + x) (1 + x)
= (1 + x)² = 1² + 2 (1) (x) + x²
[∵ (x + y)² = x² + 2xy + y²]
= 1 + 2x + x²

ప్రశ్న2.
గుణకారం చేయకుండానే కింది లబ్దాలను గణించండి.
i) 101 × 99
సాధన.
101 × 99 = (100 + 1) (100 – 1)
= 100² – 1² = 10000 – 1 = 9999

ii) 999 × 999
సాధన.
999 × 999 = 999²
= (1000 – 1)²
= 10002 – 2 × (1000) × 1 + 1²
= 1000000 – 2000 + 1
= 998001

iii) 50[latex]\frac {1}{2}[/latex] × 49[latex]\frac {1}{2}[/latex]
సాధన.
50[latex]\frac {1}{2}[/latex] × 49[latex]\frac {1}{2}[/latex] = [latex]\left(50+\frac{1}{2}\right)\left(50-\frac{1}{2}\right)[/latex]
= 50² – [latex]\left(\frac{1}{2}\right)^{2}[/latex]
= 2500 – [latex]\frac {1}{4}[/latex]
= 2499[latex]\frac {3}{4}[/latex]
= [latex]\frac {9999}{4}[/latex]

iv) 501 × 501
సాధన.
501 × 501 = (500 + 1) (500 + 1)
= (500 + 1)²
= 5002 + 2 × (500) × 1 + 1²
= 250000 + 1000 + 1
= 251001

v) 30.5 × 29.5
సాధన.
30.5 × 29.5 = (30 + 0.5) (30 – 0.5)
= 30² – (0.5)²
= 900 – 0.25 = 899.75

ప్రశ్న3.
కింది బహుపదులను తగిన సర్వసమీకరణములను ఉపయోగించి కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) 16x² + 24xy + 9y²
సాధన.
16x² + 24xy + 9y²
= (4x)² + 2 (4x) (3y) + (3y)²
= (4x + 3y)² = (4x + 3y) (4x + 3y)
[∵ (x + y)² ≡ x² + 2xy + y²]

ii) 4y² – 4y + 1
సాధన.
4y² – 4y + 1 = (2y)² – 2 (2y) (1) + (1)²
= (2y – 1)²
= (2y – 1) (2y – 1) [∵ (x + y)² ≡ x² – 2xy + y²]

iii) 4x² + [latex]\frac{y^{2}}{25}[/latex]
సాధన.
4x² + [latex]\frac{y^{2}}{25}[/latex] = (2x)² – [latex]\left(\frac{y}{5}\right)^{2}[/latex]
= [latex]\left(2 x+\frac{y}{5}\right)\left(2 x-\frac{y}{5}\right)[/latex]
[∵ (x + y) (x – y) ≡ x² – y²]

iv) 18a² – 50
సాధన.
18a² – 50 = 2(9a² – 25)
= 2[(3a)² – (5)²]
= 2 (3a + 5) (3a – 5)
[∵ x² – y² ≡ (x + y) (x – y)]

v) x² + 5x + 6
సాధన.
x² + 5x + 6 = x² + (3 + 2)x + 3 × 2
= (x + 3) (x + 2)
[∵ (x + a) (x + b) ≡ x² + (a + b) x + a . b]

vi) 3p² – 24p + 36
సాధన.
3p² – 24p + 36
= 3[p² – 8p + 12]
= 3[p² + (-6)p + (-2)p + (-6) (-2)]
= 3 [p (p – 6) – 2 (p – 6)]
= 3 (p – 6) (p – 2)
[∵ (x + a) (x + b) ≡ x² + (a + b) x + ab]

ప్రశ్న4.
కింది వానిని తగిన సర్వసమీకరణాలను ఉపయోగించి విస్తరించండి.
i) (x + 2y + 4z)²
సాధన.
(x + 2y + 4z)²
= (x)² + (2y)2 + (4z)² + 2(x) (2y) + 2 (2y) (4z) + 2 (4z) (x)
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8zx
[∵ (x + y + z)² ≡ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx]

ii) (2a – 3b)³
సాధన.
(2a – 3b)³
= (2a)³ -3 (2a)² (3b) + 3(2a)(3b)² – (3b)³
= 8a³ – 3(4a²) (3b) + 3 (2a) (9b²) – 27b³
= 8a³ – 36a²b + 54ab² – 27b³
[∵ (a – b)³ ≡ a³ – 3a²b + 3ab² – b³]
(లేదా)
(2a – 3b)³
= (2a)³ – (3b)³ – 3(2a) (3b) (2a – 3b)
= 8a³ – 27b³ – 18ab (2a – 3b)
[∵ (a – b)³ ≡ a³ – b³ – 3ab (a – b)]

iii) (-2a + 5b – 3c)²
సాధన.
(- 2a + 5b – 3c)²
= (-2a)² + (5b)² + (-3c)² + 2 (-2a) (5b) + 2 (5b) (-3c) + 2 (-3c) (-2a)
= 4a² + 25b² + 9c² – 20ab – 30bc + 12ca
[∵ (x + y + z)² ≡ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx]

iv) [latex]\left(\frac{a}{4}-\frac{b}{2}+1\right)^{2}[/latex]
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5 1

v) (p + 1)³
సాధన.
(p + 1)³
= (p)³ + 3 (p)² (1) + 3 (p) (1)² + (1)³
[∵ (x + y)³ ≡ x³ + 3x²y + 3xy² + y³]
= p³ + 3p² + 3p +1

vi) [latex]\left(x-\frac{2}{3} y\right)^{3}[/latex]
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5 2
[∵ (x – y)³ ≡ x³ – 3x²y + 3xy² – y3]
= x³ – 2x²y + [latex]\frac{4 x y^{2}}{3}-\frac{8}{27} y^{3}[/latex]

ప్రశ్న5.
కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) 25x² + 16y² + 4z² – 40xy + 16yz – 20xz
సాధన.
25x² + 16y² + 4z² – 40xy + 16yz – 20xz
= (5x)² + (-4y)² + (-2z)² + 2(5x) (-4y) + 2 (-4y) (-2z) + 2 (-2z) (5x)
[∵ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx = (x + y + z)²]
= (5x – 4y – 2z)² = (-5x + 4y + 2z)²

ii) 9a² + 4b² + 16c² + 12ab – 16bc – 24ca
సాధన.
9a² + 4b² + 16c² + 12ab – 16bc – 24ca
= (3a)² + (2b)² + (-4c)² + 2 (3a) (2b) + 2 (2b) (-4c) + 2(-4c) (3a)
= (3a + 2b – 4c)²

ప్రశ్న6.
a + b + c = 9 మరియు ab + bc + ca = 26 అయిన a² + b² + c² విలువ కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశము a + b + c = 9
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా,
(a + b + c)² = 9²
⇒ a² + b² + c²+ 2 (ab + bc + ca) = 81
⇒ a² + b² + c² = 81 – 2 (ab + bc + ca) (ఇచ్చిన లెక్క ప్రకారము)
= 81 – 2 × 26
= 81 – 52
= 29

ప్రశ్న7.
కింది వానిని సర్వసమీకరణాలను ఉపయోగించి గణించండి.
i) (99)³
సాధన.
(99)³ = (100 – 1)³
= 100³ – 3 (100)² (1) + 3 (100) (1)² – 1³
[∵ (x – y)³ ≡ x³ – 3x²y + 3xy² – y³]
= 1000000 – 30000 + 300 – 1
= 970299

ii) (102)³
సాధన.
(102)³ = (100 + 2)³
= 100³ + 3 (100)² (2) + 3 (100) (2)² + 2³
[∵ (x + y)³ ≡ x³ + 3x²y + 3xy² + y]
= 1000000 + 60000 + 1200 + 8
= 1061208

iii) (998)³
సాధన.
(998)³ = (1000 – 2)³
[∵ (x – y)³ ≡ x³ – 3x²y + 3xy² – y³]
= 1000³ – 3(1000)² (2) + 3(1000) (2)² – 2³
= 1000000000 – 6000000 + 12000 – 8
= 994011992

iv) (1001)³
సాధన.
(1001)³ = (1000 + 1)³
[∵ (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³]
= 1000³ + 3(1000)² (1) + 3(1000) (1)² + 1³
= 1000000000 + 3000000 + 3000 + 1
= 1003003001

ప్రశ్న8.
కింది వానిని కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
సాధన.
దత్తాంశమును 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab² గా మార్చగా
= (2a)³ + (b)³ + 3 (2a)² (b) + 3 (2a) (b)²
= (2a + b)³

ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
సాధన.
దత్తాంశమును 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab² గా మార్చగా
= (2a)³ – (b)³ – 3 (2a)² (b) + 3 (2a) (b)²
= (2a – b)³

iii) 1 – 64a³ – 12a + 48a²
సాధన.
1 – 64a³ – 12a + 48a²
= (1)³ – (4a)³ – 3(1)² (4a) + 3(1) (4a)²
= (1 – 4a)³

iv) [latex]8 \mathrm{p}^{3}-\frac{12}{5} \mathrm{p}^{2}+\frac{6}{25} \mathrm{p}-\frac{1}{125}[/latex]
సాధన.
[latex]8 \mathrm{p}^{3}-\frac{12}{5} \mathrm{p}^{2}+\frac{6}{25} \mathrm{p}-\frac{1}{125}[/latex]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5 3

ప్రశ్న9.
i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
ii) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²) లను సరిచూడండి. అదే విధంగా గుణకారం చేసి లబ్దాన్ని పరిశీలించండి. వీటిని కూడా సర్వసమీకరణములని భావించవచ్చునా ?
1) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
సాధన.
దత్తాంశము x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
L.H.S = x³ + y³
R.H.S = (x + y) (x² – xy + y²)
= x (x² – xy + y²) + y (x² – xy + y²)
= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³
= x³ + y³ = L.H.S
∴ L.H.S = R.H.S
x = 3, y = 2 గా తీసుకొనిన
L.H.S = 3³ + 2³ = 27 + 8 = 35
R.H.S= (3 + 2) (3² – 3 × 2 + 2²)
= 5 × (9 – 6 + 4) = 5 × 7 = 35
∴ L.H.S = R.H.S

ii) x³ – y³ = (x + y) (x² + xy + y²)
సాధన.
దత్తాంశము x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
L.H.S = x³ – y³
R.H.S = (x – y) (x² + xy + y²)
= x (x² + xy + y²) -y (x² + xy + y²)
= x³ + x²y + xy² – x²y – xy² – y³
= x³ – y³ = L.H.S
L.H.S = 3³ – 2³ = 27 – 8 = 19
R.H.S = (3 – 2) (3² + 3 × 2 + 2²)
= 1 × (9 + 6 + 4) = 1 × 19 = 19
∴ L.H.S = R.H.S
పై రెండు సమీకరణాలను సర్వసమీకరణాలుగా వ్యవహరిస్తాము.

ప్రశ్న10.
9వ సమస్యలో ఫలితాల ఆధారంగా క్రింది వాటిని కారణాంకాలుగా విభజించండి.
i) 27a³ + 64b³
సాధన.
27a³ + 64b³ = (3a)³ + (4b)³
= (3a + 4b) {(3a)² – (3a) (4b) + (4b)²}
= (3a + 4b) (9a² – 12ab + 16b²)

ii) 343y³ – 1000
సాధన.
343y³ – 1000 = (7y)³ – (10)³
= (7y – 10) [(7y)² + (7y) (10) + (10)²)
= (7y – 10) (49y² + 70y + 100)

ప్రశ్న11.
సర్వసమీకరణం ఉపయోగించి 27×3 + y3 + z3 – 9xyz ను కారణాంకాలుగా విభజించండి.
సాధన.
దత్తాంశము 27x³ + y³ + z³ – 9xyz
= (3x)³ + (y)³ + (z)³ – 3 (3x) (y) (z)
= (3x + y + z) [(3x)² + y² + z² – (3x) (y) – (y) (z) – (z) (3x)
[∵ x³ + y³ + z³ – 3xyz ≡ (x + y + z) – (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= (3x + y + 2) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – zx)

ప్రశ్న12.
x³ + y³ + z³ – 3xyz = [latex]\frac {1}{2}[/latex] (x + y + z) [(x + y)² + (y – z)² + (z – x)²] సరిచూడండి.
సాధన.
దత్తాంశము x³ + y³ + z³ – 3xyz
= [latex]\frac {1}{2}[/latex](x + y + z) [(x – y)² + (y = z)² + (z = x)²]
R.H.S= [latex]\frac {1}{2}[/latex](x + y + z) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
= [latex]\frac {1}{2}[/latex](x + y + z) [x² + y² – 2xy + y² + z² – 2yz + z² + x² – 2xz]
= [latex]\frac {1}{2}[/latex](x + y + z) [2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2zx]
= [latex]\frac {1}{2}[/latex](x + y + z) (2) [x² + y² + z² – xy – yz – zx]
= (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= L.H.S

ప్రశ్న13.
x + y + z = 0 అయితే x³ + y³ + z³ = 3xyz అని నిరూపించండి.
సాధన.
దత్తాంశము x + y + z = 0
సర్వసమీకరణము
(x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz -zx)
= x³ + y³ + z³ – 3xyz అని మనకు తెలుసు.
x + y + z = 0 ను సర్వసమీకరణము నందు ప్రతిక్షేపించగా,
0 × (x² + y² + z² – xy – yz – zx) = x³ + y³ + z³ – 3xyz
⇒ x³ + y³ + z³ – 3xyz = 0
= x³ + y³ + z³ = 3xyz

ప్రశ్న14.
కింది సమాసాలలో ఘనాలను గణించకుండానే, ఫలితాలను కనుగొనండి.
i) (-10)³ + 7³ + 3³
సాధన.
దత్తాంశము (- 10)³ + 7³ + 3³
భూముల మొత్తం = – 10 + 7 + 3 = 0
సర్వసమీకరణము
(x + y + z) (x² + y²+ z² – xy – yz – zx)
= x³ + y³ + z³ – 3xyz నుండి
x³ + y³ + z³ = 3xyz కావున
∴ (-10)³ + 7³ + 3³ = 3 (-10) × (7) × 3
= -630

ii) (28)³ + (- 15)³ + (-13)³
సాధన.
దత్తాంశము (28)³ + (-15)³ + (-13)³
భూముల మొత్తం = 28 + (-15) + (-13) = 0
సర్వసమీకరణము
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx) నుండి x³ + y³ + z³ = 3xyz కావున
∴ (28)³ + (-15)³ + (-13)³
= 3 × 28 × (-15) × (13)
= 16380

iii) [latex]\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{3}-\left(\frac{5}{6}\right)^{3}[/latex]
సాధన.
దత్తాంశము [latex]\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{3}-\left(\frac{5}{6}\right)^{3}[/latex]ను [latex]\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{3}+\left(\frac{-5}{6}\right)^{3}[/latex] గా వ్రాయవచ్చును.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.5 4

iv) (0.2)³ – (0.3)³ + (0.1)³
సాధన.
దత్తాంశము (0.2)³ – (0.3)³ + (0.1)³ ను
= (0.2)³ + (-0.3)³ + (0.1)³ గా వ్రాయవచ్చును.
భూముల మొత్తం = 0.2 – 0.3 + 0.1 = 0
∴ (0.2)³ + (-0.3)³ + (0.1)³
= 3 × (0.2) (-0.3) (0.1) = – 0.018

ప్రశ్న15.
కింది దీర్ఘచతురస్రాల వైశాల్యాలకు ఇవ్వబడిన సమాసాలను బట్టి పొడవు, వెడల్పులకు తగిన అనుకూల కొలతల విలువలు తెలపండి.
సాధన.
ఇచ్చిన వైశాల్యము = 4a² + 4a – 3
= 4a² + 6a – 2a – 3
= 2a (2a + 3) -1 (2a + 3)
= (2a + 3) (2a – 1)
∴ పొడవు = (2a + 3); వెడల్పు = (2a – 1)

ii) 25a² – 35a + 12
సాధన.
ఇచ్చిన వైశాల్యము = 25a² – 35a + 12
= 25a² – 20a – 15a + 12
= 5a (5a – 4) – 3 (5a – 4)
= (5a – 4) (5a – 3)
∴ పొడవు = (5a – 3); వెడల్పు = (5a – 4)

ప్రశ్న16.
కింది దీర్ఘఘన ఘనపరిమాణాలకు ఇవ్వబడిన సమాసాలను బట్టి దీర్ఘఘనం యొక్క అనుకూల కొలతలు తెలపండి.
i) 3x³ – 12x
సాధన.
సమఘనపు ఘనపరిమాణము = 3x³ – 12x = 3x (x² – 4)
= 3x (x + 2) (x – 2)
{∵ a² – b² = (a + b) (a – b)}
∴ సమఘనపు అనుకూల కొలతలు వరుసగా
3x, (x + 2) మరియు (x – 2)

ii) 12y² + 8y – 20
సాధన.
ఇచ్చిన ఘనపు ఘనపరిమాణం
= 12y² + 8y – 20
= 4 (3y² + 2y – 5)
= 4 [3y² + 5y – 3y – 5]
= 4 [y (3y + 5) – 1 (3y + 5)]
= 4 (3y + 5) (y – 1)
∴ సమఘనపు అనుకూల కొలతలు వరుసగా
4, (3y + 5) మరియు (y – 1)

ప్రశ్న17.
2 (a² + b²) = (a + b)² అయిన a = b అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశం 2 (a² + b²) = (a + b)²
2a² + 2b²= a² + 2ab + b²
2a² – a² + 2b² – b² = 2ab
a² + b² = 2ab
a = b అయినపుడు మాత్రమే ఇది సాధ్యము.