Category: Class 9

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 5 నిరూపక జ్యామితి Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 5th Lesson నిరూపక జ్యామితి Exercise 5.1

ప్రశ్న 1.
ఒక ఆవాస ప్రాంతంలో ప్రధాన రహదారి ఉత్తర దక్షిణ దిశలలో ఉంది. దాని పటం కింద ఇవ్వబడినది. పటం సహాయంతో కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వ్రాయండి.


(i) తూర్పుదిక్కున వెళ్లునప్పుడు మూడవవీధిలో ఎడమవైపు మూడోస్థానంలో ఏం వుంది ?
(ii) తూర్పుదిక్కున వెళ్లునప్పుడు రెండవవీధిలో కుడివైపు రెండవ ఇంటి పేరు ఏమిటి ?
(iii) K గారి ఇల్లు ఏ స్థానంలో ఉందో వివరించండి.
(iv) తపాలాకార్యాలయం యొక్క స్థానం ఎక్కడ ఉందో వివరించండి.
(v) ఆసుపత్రి స్థలం యొక్క స్థానం ఎక్కడ ఉందో వివరించండి.
సాధన.
(i) నీటి ట్యాంక్
(ii) Mr. J యొక్క ఇల్లు
(iii) 2వ వీధిలో కుడివైపు మూడవ స్థానంలో ఉంది.
(iv) 4వ వీధిలో కుడివైపు మొదటి స్థానంలో ఉంది.
(v) 4వ వీధిలో ఎడమవైపు చివరి స్థానంలో ఉంది.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 11th Lesson వైశాల్యాలు InText Questions

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. 1 సెం.మీ. ప్రమాణము 5 మీ. లను సూచిస్తే, 6 చదరపు సెం.మీ. వైశాల్యము దేనిని సూచిస్తుంది ? (పేజీ నెం. 247)
సాధన.
1 సెం.మీ. = 5 మీ.
1 సెం.మీ.² = 1 సెం.మీ. × 1 సెం.మీ. = 5 మీ. × 5 మీ. = 25 చ.మీ.
∴ 6 చ.సెం.మీ. = 6 × 25 చ.మీ. = 150 చ.మీ.

2. 1 చ.మీ. = 100² చ.సెం.మీ. అని రజని అన్నది. నీవు ఏకీభవిస్తావా ? వివరించుము. (పేజీ నెం. 247)
సాధన.
1 చ.మీ. = 100 చ.సెం.మీ. కావున రజనీతో నేను ఏకీభవిస్తాను.

2. కింది పటాలలో ఏవి ఒకే భూమి, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉన్నాయి ? ఇటువంటి సందర్భములో భూమి (ఉమ్మడి భుజం) ని, రెండు సమాంతర రేఖలను తెలపండి. (పేజీ నెం. 249)

సాధన.
(a) పటం (a) లో ∆PCD మరియు ☐ABCD లు ఒకే భూమి CD మరియు ఒకే సమాంతర రేఖలు AB మరియు , CD ల మధ్యన కలవు.
(b) పటం (b) లో ☐PQRS మరియు ☐MNSRలు ఒకే భూమి SR పై గలవు. కాని ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్యన లేవు.
(c) పటం (c) లో ∆TRQ మరియు ☐PQRS లు ఒకే భూమి QR పై మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు PS మరియు QRల మధ్యన గలవు.
(d) పటం (d) లో ∆APD మరియు ☐ABCD లు ఒకే భూమి AD మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు AD మరియు BC ల మధ్యన గలవు.
(e) పటం (e) లో ఇచ్చిన నియమము పాటించబడ లేదు.

3. రెందు త్రిభుజాలు ABC మరియు DBCలను ఒకే భూమి మరియు ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉండునట్లు (పటంలో చూపిన విధంగా) గీయండి. AC మరియు BDU ఖండన బిందువుకు P లని పేరు పెట్టండి. CE || BA మరియు BF || CD లను AD రేఖపై E మరియు F లు ఉన్నట్లు గీయండి. (∆PAB) వైశాల్యము = (∆PDC) వైశాల్యములని మీరు చూపగలరా ?

సూచన: (ఈ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు కానప్పటికీ సమాన వైశాల్యములు కలిగి ఉన్నాయి.) (పేజీ నెం. 254)
సాధన.
☐ABCE వైశాల్యము = 2 × ∆ABC [∵ ∆ABC మరియు ☐ABCE లు ఒకే భూమి BC పై మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు BC మరియు AE ల మధ్యన గలవు]
⇒ ∆ABC = \(\frac {1}{2}\)☐ABCE ……. (1)
అదే విధముగా ☐BCDF = 2 × ∆BCD (∵ ∆BCD మరియు ☐BCDE లు ఒకే భూమి BC మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు BC మరియు DEల మధ్యన గలవు.)
∴ ∆BCD = \(\frac {1}{2}\)☐BCDF ……….. (2)
కాని ☐ABCE = ☐BCDF [∵ ☐ABCE మరియు ☐BCDF లు ఒకే భూమి BC మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు BC మరియు FE లపై కలవు]
(1) మరియు (2) ల నుండి , ∆ABC = ∆BCD
∆PAB + ∆PBC = ∆PBC + ∆PDC
⇒ ∆PAB = ∆PDC నిరూపించబడినది.

4. లంబకోణ త్రిభుజము ABCE A లంబకోణం. BC, CA మరియు AB లపై వరుసగా BCED, ACFG మరియు ABMN అనే చతురస్రాలు గీయబడ్డాయి. రేఖాఖందం AX ⊥ DE, BCని Y వద్ద, DE ని X వద్ద ఖండించింది. AD, AE లు కలుపబడ్డాయి. అదే విధంగా BF, CM లు కలుపబడ్డాయి. (పటంలో చూడండి). అయితే కింద వానిని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 258)

ప్రశ్న (i)
∆MBC ≅ ∆ABD
సాధన.
∆MBC మరియు ∆ABD లలో
MB = AB [∵ చతురస్ర భుజములు)
BC = BC [∵ ఉమ్మడి భుజము]
\(\angle \mathrm{MBC}=\angle \mathrm{ABD}\) [∵ \(\angle \mathrm{MBC}=\angle \mathrm{ABD}\) = 90° + \(\angle \mathrm{ABC}\)]
∴ ∆MBC ≅ ∆ABD (భు.కో.భు. నియమం ప్రకారం)

ప్రశ్న (ii)
(BYXD) వై॥ = 2 (∆MBC) వై॥
సాధన.
☐BYXD మరియు ∆ABD లు ఒకే భూమి BD మరియు రెండు సమాంతర రేఖలు BD, AX ల మధ్య కలవు కావున.
∴ ☐BYXD = 2 ∆ABD = 2 ∆MBC [∵ (i) నుండి]
∴ (BYXD)వై॥ = 2 (∆MBC)వై॥

ప్రశ్న (iii)
(BYXD) వై॥ = (ABMN) వై॥
సాధన.
(ABMN) వై॥ = 2 × (∆MBC) వై॥ [∵ ☐ABMN, ∆MBC లు ఒకే భూమి MB మరియు సమాంతర రేఖలు MB, NC ల మధ్య కలవు]
∴ ☐ABMN = ☐BYXD [(ii) నుండి]

ప్రశ్న (iv)
∆FCB = ∆ACE
సాధన.
∆FCB మరియు ∆ACE లలో
CB = CE (∵ ఒకే చతురస్రపు భుజాలు)
FC = AC (∵ ఒకే చతురస్రపు భుజాలు)
\(\angle \mathrm{FCE}=\angle \mathrm{ACE}\) (∵ \(\angle \mathrm{FCE}=\angle \mathrm{ACE}\) = 90° + \(\angle \mathrm{ACB}\))
∴ ∆FCB ≅ ∆ACE (భు. కో.భు. నియమం)

ప్రశ్న (v)
(CYXE) వై॥ = 2 (FCB) వై॥
సాధన.
☐CYXE మరియు ∆ACE లు ఒకే భూమి CE మరియు రెండు సమాంతర రేఖలు CE మరియు XYల మధ్యన గలవు.
∴ ☐CYXE = 2 × ∆ACE = 2 × ∆FCB [(iv) నుండి]

ప్రశ్న (vi)
(CYXE) వై॥ = (ACFG) వై॥
సాధన.
☐CYXE = 2 × ∆FCB [(v) నుండి]
= ☐ACFG [∵ ☐ACFG మరియు ∆FCB లు ఒకే భూమి CF మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు CF మరియు AGల మధ్యన కలవు.]

ప్రశ్న (vii)
(BCED) వై॥ = (ABMN) వై|| + (ACFG) వై॥
సాధన.
☐BCED = ☐BYXD + ☐CYXE (పటం నుండి)
= ☐ABMN + ☐ACFG [∵ ☐BYXD = ☐ABMN (iii) నుండి ☐CYXE = ☐ACFG (vi) నుండి] నిరూపించబడినది. ఫలితం (vii) ను మాటలలో రాయండి.
సాధన.
“ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణము మీది వర్గము, మిగిలిన రెండు భుజాల మీది వర్గాల మొత్తమునకు సమానము” దీనినే పైథాగరస్ సిద్ధాంతము అంటారు.

కృత్యం

1.


ఒక ఉల్లిపొర కాగితం (ట్రేసింగ్ పేపర్) పై రెండు జతల త్రిభుజాలను పటంలో చూపినట్లు గీయండి. త్రిభుజాలు I, II లను ఒకదానిపై ఒకటి పూర్తిగా ఏకీభవించునట్లు ఉంచండి. త్రిభుజాలు III మరియు IV లు ఒకే భూమి, ఒకే ఎత్తును కలిగిన ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము మరియు ఒక లంబకోణ త్రిభుజము. III మరియు IV పటాలు ఒకదానితో మరొకటి పూర్తిగా ఏకీభవించలేదు. I, II పటాలు ఒకదానితో మరొకటి పూర్తిగా ఏకీభవించినారు. కావున ఇవి సర్వసమాన పటాలు మరియు వీటి వైశాల్యాలు సమానము. ఎందుకనగా అవి ఆక్రమించిన ప్రదేశం సమానము. III, IV పటాలు ఒకదానితో మరొకటి ఏకీభవించలేదు. కనుక అవి సర్వసమాన పటాలుకావు.

వీటి వైశాల్యాలు సమానమేనా ?
పటం (V) ను పరిశీలిస్తే ఈ పటాలు సర్వసమానం కానప్పటికీ, ఇవి సమాన వైశాల్యం కలిగి ఉన్నాయి. (ఈ పటాలను కాగితాలతో కత్తిరించి మరియు త్రిభుజ వైశాల్య సూత్రం ద్వారా కనుగొని చూడండి) అందుచే III మరియు IV పటాలు సర్వసమాన పటాలుకానప్పటికీ, సమాన వైశాల్యాలు గల పటాలు అయినవి. (పేజీ నెం. 245)

2. ఒక గ్రాఫ్ కాగితముపై రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలు ABCD మరియు PQCD లను పటంలో చూపిన విధంగా గీయాలి.

ఈ రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలు ఒకే భూమి DC పైన మరియు ఒకే సమాంతర రేఖలు PB మరియు DCల మధ్య ఉన్నాయి. దీనిలో DCQA పట భాగము రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలలో ఉమ్మడి భాగమని స్పష్టమౌతున్నది. కావున మనము ∆DAP మరియు ∆CBQలు ఒకే వైశాల్యం కలిగి ఉంటాయని చెప్పగలిగితే అప్పుడు (PQCD) వైశాల్యము = (ABCD) వైశాల్యము అవుతుంది. (పేజీ నెం. 250)

3. పటంలో చూపిన విధంగా ఒక జత త్రిభుజాలను ఒకే భూమి లేదా సమాన భూములు, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య గ్రాఫ్ కాగితంపై గీయండి.
∆ABC మరియు ∆DBC లు అనేవి రెండు త్రిభుజాలు ఒకే భూమి BC పైన, ఒకే సమాంతర రేఖలు BC, AD ల మధ్య ఉన్నాయి.
ADని ఇరువైపులా పొడిగించుము మరియు CE || AB, BF || CDలను గీయండి. ఇప్పుడు సమాంతర చతుర్భుజాలు AECB మరియు FDCB లు ఒకే భూమి BC మరియు ఒకే సమాంతర రేఖలు BC మరియు EF ల మధ్య ఉన్నాయి. కావున (AECB) వై॥ = (FDCB) వై॥ (ఎలా ?)

దీని నుండి మనకు (∆ABC) వై॥ = \(\frac {1}{2}\) (సమాంతర చతుర్భుజం AFCB) వై॥ …………… (i)
మరియు (∆DBC) వై॥ = \(\frac {1}{2}\) (సమాంతర చతుర్భుజం FDCB) వై॥ అగును …….. (ii)
(i), (ii) నుండి, దీని నుండి (∆ABC) వై॥ = (∆DBC) వై॥ అని చెప్పవచ్చు.
మనం ∆ABC మరియు ∆DBCల వైశాల్యాలను ముందు కృత్యములో చెప్పినట్లుగా చదరాలను లెక్కించు పద్ధతి ద్వారా గణించి వైశాల్యములు ఎలా సమానం అవుతాయో సరిచూడవచ్చు. (పేజీ నెం. 254)

సిద్ధాంతాలు

1. ఒకే భూమి మరియు ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్యగల సమాంతర చతుర్భుణాల వైశాల్యాలు సమానము. (పేజీ నెం. 250)
సాధన.
ఉపపత్తి : ABCD మరియు PQCD అనే రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలు ఒకే భూమి DC మరియు రెండు సమాంతర రేఖలు DC మరియు PB ల మధ్య ఉన్నాయనుకుందాం. ∆DAP మరియు ∆CBQలలో

PD || CQ మరియు PB తిర్యగ్రేఖ వలన \(\angle \mathrm{DPA}=\angle \mathrm{CQB}\) మరియు AD || CB మరియు PB తిర్యగ్రేఖవలన \(\angle \mathrm{DAP}=\angle \mathrm{CBQ}\) ఇలాగే PQCD సమాంతర చతుర్భుజమైనందున PD = QC అగును. ఇందుచే ∆DAP, ∆CBQ లు రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలు మరియు వాటి వైశాల్యాలు సమానము.
కావున (PQCD) వై॥ = (AQCD) వై॥ + (DAP)వై॥ = (AQCD)వై॥ + (CBQ)వై॥ = (ABCD)వై॥ అగును.
గ్రాఫ్ కాగితములపై గీచిన సమాంతర చతుర్భుజాలలో చదరాల సంఖ్యను లెక్కించి ఫలితాన్ని సరిచూడవచ్చును.

రెండు సమాంతర చతుర్భుజాల వైశాల్యాలు సమానంగా ఉండడానికి అవి ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉన్ననూ, ఒకే భూమిపై ఉండనవసరం లేదని రేష్మా వాదించింది. దానికి సమాన భూమి ఉంటే సరిపోతుందని అన్నది. ఆమె వాదన అవగాహన కొరకు పైపటము పరిశీలిద్దాము.
AB = A₁B₁ అయిన A₁B₁C₁D₁ సమాంతర చతుర్భుజాన్ని ABCD సమాంతర చతుర్భుజముపై ఏకీభవించునట్లు ఉంచితే A శీర్షం A₁ పైన B శీర్షం B₁ పైన వచ్చాయి. అదే విధంగా \(\overline{\mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}}\),CD పై ఏకీభవించింది. కావున వీటి వైశాల్యాలు సమానమైనాయి.

2. రెండు త్రిభుజాలు ఒకే భూమి (లేదా సమాన భూములు) మరియు ఒకే వైశాల్యాలు కలిగి ఉంటే అవి ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉంటాయి. (పేజీ నెం. 255)

పటం పరిశీలించండి. BC భుజం పైన గల త్రిభుజాలు ఏవి ? ∆ABC, ∆DBC త్రిభుజాల ఎత్తులు ఏవి ?
ఒకే భూమిని కలిగి, వైశాల్యాలు సమానం అయితే, వాటి ఎత్తులు ఎలా ఉంటాయి ? A, Dలు సరేఖీయాలేనా ?

ఉదాహరణలు

1. ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము ABEF ఒక దీర్ఘచతురస్రము DG, AB పైకి గీచిన లంబము అయిన
(i) (ABCD) వై॥ = (ABEF) వై॥
(ii) (ABCD) వై॥ = AB × DG అని చూపండి. (పేజీ నెం. 251)
సాధన.

(i) దీర్ఘచతురస్రము కూడా ఒక సమాంతర చతుర్భుజమే.
∴ (ABCD) వై॥ = (ABEF) వై॥ ………. (1) (ఒకే భూమి, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉండే రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలు)

(ii) (ABCD) వై॥ = (ABEF) వై॥ (∴ (1) నుండి)
= AB × BE (∵ ABEF దీర్ఘచతురస్రం కావున)
= AB × DG
(∵ DG ⊥ AB మరియు DG = BE)
అందుచే (ABCD) వై॥ = AB × DG అయినది.
పై ఫలితము బట్టి మనము “సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యము. దాని భూమి (ఏదైనా ఒక భుజము) మరియు దానిపైకి గీయబడిన లంబాల పొడవుల లబ్దానికి సమానము” అని చెప్పవచ్చు.

2. త్రిభుజము ABC మరియు సమాంతర చతుర్భుజము ABEF లు ఒకే భూమి AB మరియు ఒకే సమాంతర రేఖలు AB మరియు EF ల మధ్య ఉంటే (∆ABC) వై॥ = \(\frac {1}{2}\)(ABEF) వై॥ అని చూపండి. (పేజీ నెం. 251)
సాధన.
BH || AC అగునట్లు B గుండా ఒక రేఖను గీస్తే అది పొడిగించిన FE ని H వద్ద ఖండించింది.
∴ ABHC ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.

BC కర్ణము దీనిని రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజించింది. కావున
(∆ABC) వై॥ = (∆BCH) వై॥
= \(\frac {1}{2}\)(ABHC) వై॥
కాని సమాంతర చతుర్భుజాలు ABHC మరియు ABEF లు ఒకే భూమి AB పైన AB || EF సమాంతరరేఖల మధ్య ఉన్నాయి. కావున (∆BHC) వై॥ = (ABEF) వై॥ అందువలన
(∆ABC) వై॥ = \(\frac {1}{2}\)(ABEF) వైశాల్యం అయినది.
దీని నుండి మనం “ఒకే భూమి, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్యన ఒక త్రిభుజము, సమాంతర చతుర్భుజము ఉంటే, త్రిభుజ వైశాల్యము, సమాంతర చతుర్భుజం వైశాల్యములో సగము ఉంటుంది” అని చెప్పవచ్చును.

3. ఒక రాంబిలో కర్ణాలు 12 సెం.మీ. మరియు 16 సెం.మీ. దాని ఆసన్న భుజాల మధ్య బిందువులను వరుస క్రమములో కలుపగా ఏర్పడే పటము యొక్క వైశాల్యము ఎంత ? (పేజీ నెం. 251)
సాధన.
ABCD రాంబస్ యొక్క భుజాలు AB, BC, CD మరియు DA ల మధ్య బిందువులు M, N, O మరియు Pలను వరుసలో కలుపగా ఏర్పడిన పటము MNOP.

ఏర్పడిన MNOPఏ ఆకారంలో ఉంది ? ఎందుకు ? PN కలిపితే PN || AB మరియు PN || DC అవుతాయి (ఎలా ?) ఒకే భూమి, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఒక త్రిభుజము, సమాంతర చతుర్భుజము ఉంటే త్రిభుజ వైశాల్యం, సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యంలో సగం ఉంటుందని మీకు తెలుసు.

పై ఫలితాన్ని బట్టి సమాంతరచతుర్భుజము ABNP మరియు త్రిభుజము MNP లు ఒకే భూమి PN పైన, ఒకే సమాంతరాలు PN మరియు AB ల మధ్య ఉన్నాయి.

∆MNP వై॥ = \(\frac {1}{2}\)ABPNవై॥ ……………… (i)
ఇదే విధముగా ∆PONవై॥ = \(\frac {1}{2}\)PNCDవై॥ ……………..(ii)
మరియు రాంబస్ వైశాల్యము = \(\frac {1}{2}\) × d₁d₂ కావున (i), (ii), (iii) లను బట్టి
(MNOP) వై॥ = (∆MNP) వై॥ + (∆PON) వై॥
= \(\frac {1}{2}\)(ABNP) వై॥ + \(\frac {1}{2}\)(ABCD) వై॥
= \(\frac {1}{2}\)(రాంబస్ ABCD) వై॥
= \(\frac {1}{2}\)(\(\frac {1}{2}\) × 12 × 16) = 48 చ. సెం.మీ.

4. ఒక త్రిభుజాన్ని దాని మధ్యగతము సమాన వైశాల్యాలు గల రెండు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుందని చూపండి. (పేజీ నెం. 255)
సాధన.

త్రిభుజము ABC లో AD మధ్యగతం అనుకోండి. ∆ABD మరియు ∆ADC లకు ఒకే ఉమ్మడి శీర్షం. దీని భూములు BD మరియు DCలు సమానము. AE ⊥ BC గీయండి.
ఇప్పుడు, (∆ABD) = \(\frac {1}{2}\) × భూమి BD × ∆ADB యొక్క ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\) × BD × AE
= \(\frac {1}{2}\) × DC × AE (∵ BD = DC)
= \(\frac {1}{2}\) × భూమి DC × ∆ACD యొక్క ఎత్తు
= ∆ACD వై॥
కావున (∆ABD) వై॥ = (∆ACD) వై అయినది.

5. కింది పటంలో ABCD ఒక చతుర్భుజం. AC ఒక కర్ణము, DE || AC మరియు BC ని పొడిగించగా అది E వద్ద ఖండించింది. అయిన (ABCD) వై॥ = (∆ABE) వై॥ అని చూపండి. (పేజీ నెం. 256)
సాధన.

(ABCD) వై॥ = (∆ABC) వై॥ + (∆DAC) వై॥
∆DAC మరియు ∆EAC లు ఒకే భూమి \(\overline{\mathrm{AC}}\)
మరియు ఒకే సమాంతరాలు DE || AC మధ్యగలవు.
(∆DAC) వై॥ = (∆EAC) వై॥ (ఎందుకు ?)
సమాన వైశాల్యాల పటాలను ఇరువైపులా కలుపగా
(∆DAC) వై॥ + (∆ABC) వై॥
= (∆EAC) వై॥ + (∆ABC) వై॥
కావున (ABCD) వై॥ = (∆ABE) వై॥

6. కింది పటంలో AP || BQ || CR. (∆AQC) వై॥ = (∆PBR) వై॥ అని చూపండి. (పేజీ నెం. 258)
సాధన.

∆ABQ మరియు ∆PBQ లు ఒకే భూమి BQ మరియు ఒకే సమాంతర రేఖలు AP || BQల మధ్య ఉన్నాయి.
కావున (∆ABQ) వై॥ = (∆PBQ) వై॥ …………. (1)
ఇదే విధంగా (∆CQB) వై॥ = (∆RQB) వై॥
(ఒకే భూమి BQ మరియు BQ || CR) …….. (2)
(1), (2) ఫలితాలను కలుపగా
(∆ABQ) వై॥ + (∆CQB) వై॥ = (∆PBQ) వై॥ + (∆RQB) వై॥
అందుచే ∆AQC వై॥ = ∆PBR వై॥ అయినది.

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 4th Lesson సరళ రేఖలు మరియు కోణములు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. మీ చుట్టు పక్కల జాగ్రత్తగా పరిశీలించి సరళరేఖలు మరియు కోణములను ఉపయోగించుకొనే ఏవైనా మూడు సందర్భాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 71)
సాధన.
నల్లబల్ల అంచులు, స్కేలు యొక్క అంచులు, టేబుల్ యొక్క అంచులు భుజాల కోణాలకు మరియు సరళరేఖలకు ఉదాహరణలు.

2. వాటి బొమ్మలను మీ నోట్ పుస్తకములో గీయండి. అటువంటి కొన్ని చిత్రములను సేకరించండి. (పేజీ నెం.71)
సాధన.

3. కింది కోణములకు పూరక, సంపూరక మరియు సంయుగ్మ కోణములను రాయండి. (పేజీ నెం.76)
a) 45°
b) 75°
c) 215°
d) 30°
e) 60°
f) 90°
g) 180°
సాధన.

4. కింది కోణములలో ఏ కోణాల జతలు పూరక మరియు సంపూరక కోణాల జతలు అవుతాయి? (పేజీ నెం. 76)

సాధన.
పటము (i) మరియు (ii) లు పూరక కోణాల జతలు అగును.
పటము (ii) మరియు (iii) లు సంపూరక కోణాల జతలు అగును.

5. కింద ఇచ్చిన కోణాలను, పూరక కోణాలు, రేఖీయద్వయం, శీర్షాభిముఖ కోణాలు మరియు ఆసన్న కోణాల జతలుగా వర్గీకరించండి. (పేజీ నెం. 80)


సాధన.
పటం (i) లో గల a మరియు b కోణాలు రేఖీయ ద్వయములు.
పటం (ii) లో గల a మరియు b కోణాలు ఆసన్న కోణాలు.
పటం (iii) లో గల a మరియు b కోణాలు పూరక కోణాలు.
పటం (iv) లో గల a మరియు b కోణాలు శీర్షాభిముఖ కోణాలు.

6. ప్రతి పటములో ‘a’ కోణము విలువను కనుగొని, కారణాలు వివరించండి. (పేజీ నెం.81)

సాధన.
i) పటం (i) లో 50° మరియు a కోణాలు రేఖీయద్వయం కావున a + 50° = 180°
a = 180° – 50° = 130°

ii) పటం (ii) లో a మరియు 43° లు శీర్షాభిముఖ కోణాలు కావున a = 43° అగును.

iii) పటం (iii) లో 209°, a మరియు 96° లు సంపూర్ణకోణాలు కావున
209° + 96° + a° = 360°
305° + a° = 360°
a° = 360° – 305° = 55°

iv) పటం (iv) లో a° మరియు 63°లు పూరక కోణాలు
కావున a° + 63° = 90°
a = 90° – 63° = 27°

7. కింది పటాలలో l, m లు రెండు సమాంతర రేఖలు మరియు n తిర్యగ్రేఖ. ప్రతి పటములో సూచించబడిన కోణము విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం.87)

సాధన.
x = 110° (ఏకాంతర బాహ్య కోణాలు సమానం)
y = 84° (ఏకాంతర అంతర కోణాలు సమానం)
z = 180° – 100° = 80° (తిర్యగ్రేఖకు ఒకేవైపు ఉన్న అంతర కోణాలు సంపూరకాలు)
s° = 53° (ఆసన్న కోణాలు సమానము)

8. కింది వాటిలో x విలువను కనుగొనండి మరియు కారణములను తెల్పండి. (పేజీ నెం.88)

సాధన.
i) ఆసన్న కోణములు సమానము కావున
11x – 2 = 75°
11x = 75 + 2 = 77
∴ x = \(\frac {77}{11}\)

ii) ఏకాంతర అంతర కోణాలు సమానము కావున
8x – 4 = 60°
8x = 60 + 4 = 64
x = \(\frac {64}{8}\) = 8

iii) ఏకాంతర బాహ్య కోణాలు సమానము
(14x – 1)° = (12x + 17)°
14x – 12x = 17 + 1
2x = 18
x = \(\frac {18}{2}\) = 9

iv) సదృశ్య కోణాలు సమానము
13x – 5 = 17x + 5
13x – 17x = 5 + 5
-4x = 10
x = \(\frac{10}{-4}=\frac{-5}{2}\)

9. సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{AD}}\) పై రెండు బిందువులు B, C లను గుర్తించండి. B, Cల వద్ద ∠ABQ, ∠BCS సమాన కోణాలను నిర్మించండి. QB, SC లను AD కి అవతలి వైపు పొడిగించగా PQ, RS సరళరేఖలు ఏర్పడును. ఏర్పడిన \(\overline{\mathrm{PQ}}\), \(\overline{\mathrm{RS}}\) సరళరేఖలకు ఉమ్మడి లంబరేఖలు \(\overline{\mathrm{EF}}\), \(\overline{\mathrm{GH}}\) లను గీయండి. \(\overline{\mathrm{EF}}\), \(\overline{\mathrm{GH}}\) లను కొలవండి. మీరు ఏమి గమనిస్తారు? దాని నుండి మీరు ఏమి నిర్ధారిస్తారు ? రెండు సరళరేఖల మధ్య లంబ దూరము సమానమైన ఆ రెండు రేఖలు సమాంతరాలు అని జ్ఞప్తికి తెచ్చుకోండి. (పేజీ నెం. 89)


సాధన.
∠ABQ = ∠BCS మరియు అవి AD రేఖ పై ఉన్నవి.
BQ // CS, EF మరియు GH సమాంతర రేఖలు PQ, RS ల పైకి గీయబడిన లంబాలు. కావున ఆ రెండు సరళరేఖల మధ్య లంబ దూరము సమానము కాబట్టి ఆ రెండు రేఖలు సమాంతరాలు.

ప్రయత్నించండి

1. కింద ఇచ్చిన (i, ii, iii మరియు iv) పటములలో ఆసన్న కోణాల జతలను, ఆసన్న కోణములు కాని జతలను గుర్తించి వ్రాయుము. (పేజీ నెం.77)

సాధన.
పటం (i) లో 21 మరియు 22 లు ఆసన్న కోణాలు.
పటం (ii) లో ఆసన్న కోణాలు లేవు.
పటం (iii) లో (∠1, ∠2), (∠2, ∠3) లు ఆసన్న కోణాల జతలు.
పటం (iv) లో ∠1 మరియు ∠2లు ఆసన్న కోణాలు.

ii. . కింది. పటములోని ఆసన్న కోణాల జతలను గుర్తించి రాయండి. (పేజీ నెం.77)

సాధన.
ఇచ్చిన పటములో (∠1, ∠2), (∠3, ∠4), (∠4, ∠5) మరియు (∠3, ∠5) లు ఆసన్న కోణాల జతలు.

2) i) ఇచ్చిన పటంలో ప్రశ్నార్థకం గుర్తు సూచించే కోణం విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 90)

సాధన.
పటం నుండి ఒక తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు గల బాహ్యకోణాలు సమానములు.
∴ ? = 110°

ii) ∠P విలువకు సమానంగా ఉండే కోణాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 90)
సాధన.
∠P = ∠Q = ∠R = 110° ఎందుకనగా అవి ఒక తిర్యగ్రేఖకు గల సదృశ్య కోణాలు.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. ఖండన రేఖలకు, మిళిత రేఖలకు గల భేదమేమిటి ? (పేజీ నెం. 74)
సాధన.
i) రెండు సరళరేఖలు ఏదైనా ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకుంటే వాటిని ఖండన రేఖలంటారు.
ii) మూడు అంతకన్నా ఎక్కువ సరళరేఖలు ఒకే బిందువు వద్ద ఖండించుకుంటే ఆ సరళరేఖలను మిళిత రేఖలంటారు.

2. రేఖీయద్వయం ఎప్పుడూ ఆసన్నకోణాలు అవుతాయి. కాని ఆసన్న కోణాల జత రేఖీయద్వయం కానవసరం లేదు. ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 77)
సాధన.
ఆసన్న కోణాల జత రేఖీయద్వయం కావలసిన అవసరం లేదు. ఎందుకనగా ఏర్పడవచ్చును.

3. ఒక త్రిభుజ భుజాలను వరుసగా పొడిగించగా ఏర్పడిన బాహ్యకోణాల మొత్తము ఎంత ? (పేజీ నెం. 99)
సాధన.
ΔABC ని మరియు దాని భుజాలను పొడిగించగా బాహ్యకోణాలు ఏర్పడతాయి.

∠1 = ∠A + ∠C
∠2 = ∠A + ∠B
∠3 = ∠B+ ∠C
∠1 + ∠2 + ∠3 = 2[∠A + ∠B + ∠C]
2 × 180° = 360°
∴ ఒక త్రిభుజ భుజాలను వరుసగా పొడిగించగా ఏర్పడిన బాహ్యకోణాల మొత్తము 360°.

సిద్ధాంతం :

రెండు సరళరేఖలు ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటే ఏర్పడిన శీర్షాభిముఖ కోణాల కొలతలు సమానం. (పేజీ నెం. 80)
సాధన.
దత్తాంశం : AB మరియు CD లు ‘O’ బిందువు వద్ద ఖండించుకొనే రెండు సరళరేఖలు.
సారాంశము :

i) ∠AOC = ∠BOD
ii) ∠AOD = ∠BOC
ఉపపత్తి : కిరణము \(\overline{\mathrm{OA}}\) సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{CD}}\) పై నున్నది. అందువలన, ∠AOC + ∠AOD = 180° (రేఖీయద్వయం స్వీకృతం) ……… (1)
అలాగే, ∠AOD + ∠BOD = 180° (ఎందుకు ?) …….. (2)
∠AOC + ∠AOD = ∠AOD + ∠BOD
((1) మరియు (2) ల నుండి)
∠AOC = ∠BOD (సమానంగానున్న కోణాలను రెండు వైపులా తొలగించగా)
అదే విధంగా మనం ∠AOD = ∠BOC అని నిరూపించవచ్చు.
దీనిని నీవు స్వంతంగా ప్రయత్నించు.

కృత్యం

1. ఈ క్రింది పటములలోని కోణములను కొలిచి పట్టికలో నింపండి. (పేజీ నెం. 78)

కింద ఇచ్చిన పటములలో, ప్రతీ పటములోని నాలుగు కోణములు 1, 2, 3, 4 లను కొలిచి పట్టికలో రాయండి. (పేజీ నెం.79)


శీర్షాభిముఖ కోణాల జతల గురించి నీవు ఏమి పరిశీలించావు ? అవి సమానముగా ఉన్నాయా ? సిద్ధాంత పరంగా దీనిని నిరూపిద్దాం .

2. ఒక స్కేలును, మూలమట్టాన్ని తీసుకోండి. పటములో చూపినట్లు మూలమట్టాన్ని స్కేలుపై అమర్చండి. మూలమట్టము ఏటవాలు అంచు చదునైన తలం వెంబడి పెన్సిల్ తో గీత గీయండి. ఇప్పుడు మూలమట్టాని , దాని క్షితిజ సమాంతర అంచు వెంబడి జరిపి, మరల ఏటవాలు అంచు వెంబడి గీత గీయండి. మనము గీసిన రెండు గీతలు సమాంతరంగా ఉండడాన్ని గమనించవచ్చును. అవి ఎందుకు సమాంతరం. ఉన్నాయి ? ఆలోచించి, మీ మిత్రులతో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 88)

3. పటం (1) లో చూపినట్లు ఒక పెద్ద కాగితపు త్రిభుజాన్ని గీసి కత్తిరించండి.
కోణాలను పటంలో చూపినట్లు కత్తిరించి సంఖ్యలచే సూచించండి.
పటం (2)లో చూపినట్లు, ఈ మూడు కోణాలను పక్క పక్కన వచ్చునట్లు అమర్చండి.

1. ఈ మూడు ఆసన్న కోణములు కలిసి ఏర్పరచిన కోణము ఏదో కనుగొనుము. ఈ కోణము విలువ ఎంత ?
2. ఒక త్రిభుజములోని కోణముల మొత్తమును గురించి రాయండి.
ఇప్పుడు సమాంతర రేఖలకు సంబంధించిన ప్రవచనాలను స్వీకృతులు మరియు సిద్ధాంతాల సహాయంతో రుజువు చేద్దాం. (పేజీ నెం.97)

ఉదాహరణలు

1. ఒక కోణము కొలత 62°, అయిన దాని పూరక కోణము విలువ ఎంత ? (పేజీ నెం.75)
సాధన.
పూరక కోణముల మొత్తము 90° కావున 62° కోణము యొక్క పూరక కోణము 90° – 62° = 28°
మరల ఈ కింది పటములను పరిశీలించి ప్రతి పటములోని కోణముల మొత్తము కనుగొనండి.

ప్రతి పటములో సూచించిన రెండు కోణముల మొత్తము ఎంత ? 180° కదా ! అటువంటి కోణాల జతలను ఏమని పిలుస్తారో మీకు తెలుసా ? వాటిని సంపూరక కోణాలు అంటారు. ఇచ్చిన కోణము x° అయిన దాని సంపూరక కోణము ఎంత ? x° కోణము యొక్క సంపూరక కోణము (180° – x°).

2. రెండు పూరక కోణముల నిష్పత్తి 4 : 5. అయిన ఆ కోణములు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 76)
సాధన.
కావలసిన కోణములను 4x మరియు 5x అనుకొనుము.
కావున 4x + 5x = 90° (ఎందుకు ?)
9x = 90° ⇒ x = 10°
కాబట్టి కావలసిన కోణములు 40° మరియు 50°.

3. కింది పటంలో \(\overline{\mathrm{AB}}\) ఒక సరళరేఖ. అయిన ‘x’ విలువను కనుగొని దాని సహాయంతో ∠AOC, ∠COD మరియు ∠BOD లను కనుగొనండి. (పేజీ నెం.81)

సాధన.
\(\overline{\mathrm{AB}}\) అనేది ఒక సరళరేఖ. దీనిపై ‘O’ బిందువు వద్ద ఏర్పడిన కోణముల మొత్తము 180°.
∴ (3x + 7)° + (2x – 19)° + x = 180° (∵ రేఖీయ కోణాలు)
⇒ 6x – 12 = 180 ⇒ 6x = 192 ⇒ x = 32°
కావున, ∠AOC = (3x + 7)°
= (3 × 32 + 7)° = 103°,
∠COD = (2x – 19)°×
= (2 × 32 – 19)9° = 45°,
BOD = 32°.

4. కింది పటంలో PQ మరియు RS సరళరేఖలు, బిందువు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి. ∠POR : ∠ROQ = 5 : 7 అయిన అన్ని కొలతలు కనుగొనుము. (పేజీ నెం.81)

సాధన.
∠POR + ∠ROQ = 180° (రేఖీయ ద్వయం)
కాని ∠POR : ∠ROQ = 5 : 7 (దత్తాంశం)
కావున, ∠POR = \(\frac {5}{12}\) × 180 = 75°
అదే విధంగా, ∠ROQ = \(\frac {7}{12}\) × 180 = 105°
ఇప్పుడు, ∠POS = ∠ROQ = 105° (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
మరియు ∠SOQ = ∠POR = 75. (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)

5. కింది పటంలో AOB ఒక సరళరేఖ.
∠COD = 90°, ∠BOE = 72° అయిన ∠AOC, ∠BOD మరియు ∠AOE కోణముల కొలతలు లెక్కించండి. (పేజీ నెం.82)

సాధన.
AOB ఒక సరళరేఖ, కావున
∠AOE + ∠BOE = 180° (రేఖీయ ద్వయం)
⇒ 3x° + 72° = 180°
⇒ 3x° = 108° ⇒ x = 36°.
ఒక బిందువు వద్ద ఏర్పడే కోణముల మొత్తం 360° అని మనకు తెలుసు.
∴ ∠AOC + ∠COD + ∠BOD = 180° (∵ సరళకోణం )
⇒ x° + 90° + y° = 180°
⇒ 36° + 90° + y° = 180°
y° = 180° – 126° = 54°
∴ ∠AOC = 36°, ∠BOD = 54° మరియు ∠AOE = 108°.

6. ఇచ్చిన పటంలో కిరణము \(\overline{\mathrm{OS}}\) సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{PQ}}\) పై ఉన్నది. కిరణము \(\overline{\mathrm{OR}}\) మరియు కిరణము \(\overline{\mathrm{OT}}\) లు వరుసగా ∠POS మరియు ∠SOQ ల కోణ సమద్వి ఖండన రేఖలు. అయిన ∠ROT కొలతను కనుగొనండి. (పేజీ నెం.82)

సాధన.
కిరణము \(\overline{\mathrm{OS}}\) సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{PQ}}\) పై ఉన్నది.
కావున, ∠POS + ∠SOQ = 180° (రేఖీయద్వయం)
∠POS = x° అనుకొనుము.
∴ x° + ∠SOQ = 180° (ఎలా అయింది ?)
కావున, ∠SOQ = 180° – x°
∠POS కు \(\overline{\mathrm{OR}}\) కోణ సమద్విఖండన రేఖ.
∴ ∠ROS = \(\frac {1}{2}\) × ∠POS
= \(\frac {1}{2}\) × x = \(\frac{x}{2}\)
ఇదే విధంగా ∠SOT = \(\frac {1}{2}\) × ∠SOQ
= \(\frac {1}{2}\) × (180° – x°)
= 90° – \(\frac{x^{\circ}}{2}\)
ఇప్పుడు, ∠ROT = ∠ROS + ∠SOT
= \(\frac{x^{\circ}}{2}+\left(90^{\circ}-\frac{x^{\circ}}{2}\right)\)
= 90°

7. కింది పటంలో \(\overline{\mathrm{OP}}\), \(\overline{\mathrm{OQ}}\), \(\overline{\mathrm{OR}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OS}}\) లు నాలుగు కిరణములు అయిన ∠POQ+ ∠QOR + ∠SOR + ∠POS = 360° అని నిరూపించుము. (పేజీ నెం.83)

సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో \(\overline{\mathrm{OP}}\), \(\overline{\mathrm{OQ}}\), \(\overline{\mathrm{OR}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OS}}\) లలో ఏదైనా ఒక కిరణమునకు వ్యతిరేక కిరణము గీయుము.
\(\overline{\mathrm{TOQ}}\) సరళరేఖ అగునట్లు కిరణము \(\overline{\mathrm{OT}}\) గీయుము.
ఇప్పుడు కిరణము OP సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{TQ}}\) పై ఉండును.
∴ ∠TOP + ∠POQ = 180° ………… (1) (రేఖీయద్వయం)
ఇదే విధంగా \(\overline{\mathrm{OS}}\) సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{TQ}}\) పై ఉన్నది.
∴ ∠TOS + ∠SOQ = 180°……….. (2) (ఎందుకు ?)
కాని ∠SOQ = ∠SOR + ∠QOR
సమీకరణం (2) లో రాయగా
∠TOS + ∠SOR + ∠QOR = 180° ……… (3)
(1) మరియు (3) సమీకరణములను కలుపగా
∠TOP + ∠POQ + ∠TOS + ∠SOR + ∠QOR = 360° …….. (4)
కాని ∠TOP + ∠TOS = ∠POS
అందువలన సమీకరణము (4) కింది విధముగా మారును.
∠POQ + ∠QOR + ∠SOR + ∠POS = 360°

8. ఇచ్చిన పటంలో AB || CD అయిన ‘x’ విలువను కనుగొనండి.

సాధన.
E గుండా AB || CD లకు సమాంతరంగా ఉండేటట్లు
EF సరళరేఖను గీయండి. EF || CD మరియు CE తిర్య గ్రేఖ.
∴ ∠DCE + ∠CEF = 180°
[∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునుండే అంతర కోణాలు]
⇒ x° + ∠CEF = 180° ⇒ ∠CEF = (180 – x°).
మరల, EF || AB మరియు, AE ఒక తిర్యగ్రేఖ.
∠BAE + ∠AEF = 180°
[∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు నుండే అంతర కోణాలు]
⇒ 105° + ∠AEC + ∠CEF = 180°
⇒ 105° + 25° + (180° – x°) = 180°
⇒ 310 – x° = 180°
కావున, x = 130°.

9. కింది పటంలో x, y, z మరియు a, b, c ల విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 91)

సాధన.
ఇచ్చట మనకు
y° = 110 (∵ సదృశ కోణాలు)
⇒ x° + y° = 1800 (రేఖీయద్వయం)
⇒ x° + 110° = 180°
⇒ x° = (180° – 110°) = 70°
z° = x° = 70° – (∵ సదృశ కోణాలు)
c° = 65 (ఎలా ?)
a° + c° = 180° [రేఖీయద్వయం]
⇒ a° + 65° = 180°
⇒ a° = (180° – 65°) = 115°
b° = c° = 65°. [∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు]
అందువలన a = 115°, b = 65°, c = 65°, x = 70°, y = 110°, z = 70°

10. కింది పటంలో EF || GH, AB || CD అయిన x కనుగొనండి. (పేజీ నెం.91)

సాధన.
4x° = ∠APR (ఎందుకు ?)
∠APR = ∠PQS (ఎందుకు ?)
∠PQS + ∠SQB = 180° (ఎందుకు ?)
4x° + (3x + 5)° = 180°
7x° + 5° = 180°
x = \(\frac{180^{\circ}-5^{\circ}}{7}\) = 25°

11. ఇచ్చిన పటంలో, PQ || RS. ∠MXQ = 135°, ∠MYR = 40° అయిన ∠XMY కొలతలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 92)

సాధన.
బిందువు M ద్వారా PQ సరళరేఖకు సమాంతరంగా ఉండేటట్లు సరళరేఖ AB ని నిర్మించండి.
ఇప్పుడు, AB || PQ మరియు PQ || RS.
∴ AB || RS
ఇప్పుడు ∠QXM + ∠XMB = 180°
(∴ AB || PQ, మరియు XM తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు ఉన్న అంతర కోణాలు)
అందుచేత, 135° + ∠XMB = 180°
∴ ∠XMB = 45° ……….. (1)
అలాగే ∠BMY = ∠MYR
(AB || RS ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∠BMY = 40°………… (2)
(1), (2) లను కలుపగా
∠XMB + ∠BMY = 45° + 40 అనగా ∠XMY = 85°.

12. ఇచ్చిన రెండు రేఖలను ఒక తిర్యగ్రేఖ ఖండించగా ఏర్పడిన ఒక జత సదృశ కోణాల కోణ సమద్విఖండన రేఖలు సమాంతర రేఖలైన, ఇచ్చిన రెండు రేఖలు కూడా సమాంతర రేఖలు అవుతాయి అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 92)
సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో తిర్యగ్రేఖ \(\overline{\mathrm{AD}}\) ఇచ్చిన రెండు రేఖలు \(\overline{\mathrm{PQ}}\), \(\overline{\mathrm{RS}}\) లను వరుసగా బిందువులు B, C ల వద్ద ఖండించుచున్నది. ∠ABQ కోణ సమద్విఖండన రేఖ \(\overline{\mathrm{BE}}\) అలాగే ∠BCS కోణ సమద్విఖండన రేఖ \(\overline{\mathrm{CF}}\) ఇంకా BE || CF.
మనము PQ || RS అని నిరూపించాలి. ఈ కింది వానిలో ఏదైనా ఒక జత నిరూపించిన సరిపోతుంది.
i. సదృశకోణాలు సమానం.
ii. ఏకాంతర కోణాల జత లేదా ఏక బాహ్యకోణాల – జత సమానము.
iii. తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునున్న అంతర కోణాలు సంపూరకాలు.
ఇచ్చిన పటములో, మనము ఒక జత సదృశకోణాలు సమానము అని నిరూపిద్దాము.
దత్తాంశం నుండి ∠ABQ కు BE కోణ సమద్వి ఖండనరేఖ.
∠ABE = \(\frac {1}{2}\) ∠ABQ…….. (1)

అదే విధంగా, ∠BCS కు CF కోణసమద్విఖండనరేఖ.
∠BCF= \(\frac {1}{2}\)∠BCS ………. (2)
కాని సమాంతర రేఖలు BE, CF లకు \(\overline{\mathrm{AD}}\) ఒక తిర్యగ్రేఖ.
అందువలన ∠ABE = ∠BCF (సదృశ కోణాల స్వీకృతము) ….. (3)
(1), (2), (3) సమీకరణముల నుండి
\(\frac {1}{2}\)∠ABQ = \(\frac {1}{2}\)∠BCS
∴ ∠ABQ = ∠BCS
కాని \(\overline{\mathrm{PQ}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{RS}}\) సరళరేఖలను తిర్యగ్రేఖ \(\overline{\mathrm{AD}}\) ఖండించగా ఏర్పడిన సదృశకోణాల జత, మరియు అవి సమానంగా ఉన్నాయి.
కావున PQ || RS (సదృశకోణాల విపర్యయ స్వీకృతము)

13. కింది పటంలో, AB || CD మరియు CD || EF. అలాగే EA ⊥ AB. ∠BEF = 55° అయిన x, y, z విలువలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 93)

సాధన.
BE ని G దాకా పొడిగించుము.
ఇప్పుడు ∠GEF = 180° – 55° (ఎందుకు ?)
=125°
అలాగే ∠GEF = x = y = 125° (ఎందుకు ?)
ఇప్పుడు. z = 90° – 55° (ఎందుకు ?)
= 35°
రెండు సరళ రేఖలు సమాంతర రేఖలని చూపు పద్దతులు :
1. సదృశకోణాల జత సమానమని చూపుట.
2. ఏకాంతర కోణాల జత సమానమని చూపుట.
3. తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునున్న అంతర కోణాలు సంపూరకాలు అని చూపుట.
4. ఒక తలంలో ఇచ్చిన రెండు సరళరేఖలు, మూడవ రేఖకు లంబరేఖలని చూపుట.
5. ఇచ్చిన రెండు సరళరేఖలను, మూడవ రేఖకు సమాంతర రేఖలని చూపుట.

14. ఒక త్రిభుజ కోణాలు (2x) , (3x + 5) ° మరియు (4x – 14)° అయిన x విలువను కనుగొని, దాని సహాయంతో త్రిభుజ కోణాల విలువలు కనుగొనంది. (పేజీ నెం. 99)
సాధన.
త్రిభుజములోని కోణాల మొత్తం 180° అని మనకు తెలుసు.
∴ 2x° + 3x° + 5° + 4x° – 14° = 180°
⇒ 9x° – 9° = 180°
⇒ 9x° = 180° + 9° = 189°
⇒ x = \(\frac{189^{\circ}}{9^{\circ}}\) = 21
∴ 2x° = (2 × 21)° = 42°,
(3x + 5)° = [(3 × 21 + 5)° = 68°.
(4x – 14)° = [(4 × 21) – 14]° = 70°
కావున ఆ త్రిభుజ కోణాలు 42°, 68° మరియు 70°.

15. కింది పటంలో AB || QR, ∠BAQ = 142° మరియు ∠ABP = 100°. అయిన (i) ∠APB (ii) ∠AQR మరియు (iii) ∠QRP లను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 99)

సాధన.
i) ∠APB = x° అనుకొనుము.
ΔPAB లో భుజము PA ను Q బిందువు దాకా పొడిగించగా 7 బాహ్యకోణం
∠BAQ = ∠ABP + ∠APB
⇒ 142° = 100° + x°
⇒ x° = (142° – 100°) = 42°.
∴ ∠APB = 42°,

ii) ఇప్పుడు AB || QR మరియు PQ ఒక తిర్యగ్రేఖ.
∴ ∠BAQ + ∠AQR = 180° [తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునున్న అంతరకోణాల మొత్తం 180°]
⇒ 142° + ∠AQR = 180°,
∴ ∠AQR = (180° – 142°) = 38°

iii) AB || QR మరియు PR తిర్యగ్రేఖ కావున
∠QRP = ∠ABP = 100° (సదృశ కోణాలు)

16. కింది పటములోని సమాచారము ఉపయోగించి x విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 100)

సాధన.
ఇచ్చిన పటములో ABCD ఒక చతుర్భుజము. దీనిని రెండు త్రిభుజములుగా చేయడానికి ప్రయత్నించండి.
AC బిందువులను కలిపి దానిని బిందువు E దాకా పొడిగించండి.

∠DAE = p°,
∠BAE = q°,
∠DCE = z° మరియు
∠ECB = t°.
ఒక త్రిభుజ బాహ్యకోణము దాని అంతరాభిముఖ కోణముల మొత్తమునకు సమానము కావున
z° = p° + 26°
t° = q° + 38°
∴ z° + t° = p° + q° + (26 + 38)°
= p° + q° + 64°
కాని p° + q° = 46. (∵ ∠DAB = 46°)
కావున z° + t° = 46 + 64 = 110°.
అందువలన x° = z° + t° = 110°.

17. ఇచ్చిన పటంలో ∠A = 40. \(\overline{\mathrm{BO}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CO}}\) లు వరుసగా ∠B మరియు ∠Cల కోణ సమద్విఖండన రేఖలు అయిన ∠BOC కొలతలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 100)

సాధన.
BO అనేది ∠B యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ.
CO అనేది ∠C యొక్క కోణ సమద్విఖండనరేఖ.
∠CBO = ∠ABO = x° అనుకోండి.
∠BCO = ∠ACO = y° అనుకోండి.
అప్పుడు ∠B = (2x)°, ∠C = (2y)° మరియు ∠A = 40°.
కాని ∠A + ∠B + ∠C = 180°. (ఎలా ?)
2x° + 2y° + 40° = 180°
⇒ 2(x + y)° = 140°
⇒ x° + y° = \(\frac{140^{\circ}}{2}\) = 70°.
కావున ∠BOC = 180° – 70° = 110°.

18. కింది పటంలో ఇచ్చిన సమాచారం ఆధారంగా x, y ల విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం.100)

సాధన.
ΔABC యొక్క భుజము BC, బిందువు D వరకు పొడిగించబడినది.
బాహ్యకోణము ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC
∴ 100° = 65° + x°
⇒ x° = (100° – 65°) = 35°.
∠CAD = ∠BAC = 35°
ΔACD లో :
∠CAD + ∠ACD + ∠CDA = 180°
(త్రిభుజములోని కోణముల మొత్తం)
⇒ 35° + 100° + y° = 180°
⇒ 135° + y° = 180°
⇒ y° = (180°- 135°) = 45°
కావున x = 35°, y = 45°.

19. కింది పటంలో ఇచ్చిన సమాచారం ఆధారంగా x, y ల విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 101)

సాధన.
ΔABC యొక్క భుజము BC, బిందువు D వరకు పొడిగించబడినది.
∴ బాహ్యకోణము ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC
⇒ x° = 30° + 35° = 65°.
మరల ΔDCE లో భుజము CE బిందువు A వరకు పొడిగించబడినది.
∴ బాహ్యకోణము ∠DEA = ∠EDC + ∠ECD
⇒ y° = 45 + x° = 45° + 65° = 110°.
కావున x° = 65°, y = 110°.

20. కింది పటంలో QT ⊥ PR, ∠TQR = 40° మరియు ∠SPR = 30° అయిన x, y ల విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం.101)

సాధన.
ΔTQR లో 90° + 40° + x = 180°
(త్రిభుజములోని కోణముల మొత్తం ధర్మం)
∴ x° = 50°
ఇప్పుడు y° = ∠SPR + x° (త్రిభుజ బాహ్యకోణం)
∴ y° = 30° + 50° = 80°

21. ఇచ్చిన పటంలో ΔABC భుజములు AB, AC లు వరుసగా , E, D బిందువుల వద్దకు పొడిగించబడ్డాయి. ∠CBE, ∠BCD కోణ సమద్విఖండన రేఖలు వరుసగా BO, CO లు బిందువు O వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి. అయిన ∠BOC = 90° – \(\frac {1}{2}\) ∠BAC అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం.101)

సాధన.
∠CBE యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ BO.
∴ ∠CBO = \(\frac {1}{2}\) ∠CBE
= \(\frac {1}{2}\)(180° – y°)
= 90° – \(\frac{y^{\circ}}{2}\) ……… (1)
అదే విధంగా, ∠BCD యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ CO.
∴ ∠BCO = \(\frac {1}{2}\) ∠BCD
= \(\frac {1}{2}\)(180° – z°)
= 90° – \(\frac{z^{\circ}}{2}\) ……… (2)
ΔBOCలో ∠BOC + ∠BCO + ∠CBO = 180° ………. (3)
(1), (2) సమీకరణాలను (3) లో ప్రతిక్షేపించగా
∠BOC + 90° – \(\frac{z^{\circ}}{2}\) + 90° – \(\frac{y^{\circ}}{2}\) = 180
కావున ∠BOC = \(\frac{z^{\circ}}{2}+\frac{y^{\circ}}{2}\)
లేదా, ∠BOC = \(\frac {1}{2}\)(y° + z°) ……. (4)
దీనిని x° + y° + z° = 180°
(త్రిభుజములోని కోణముల మొత్తం ధర్మం)
∴ y° + z° = 180° – x°
∴ (4) సమీకరణంలో రాయగా
∠BOC = \(\frac {1}{2}\)(180° – x)
= 90° – \(\frac{x^{\circ}}{2}\)
= 90° – \(\frac {1}{2}\)∠BAC

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 11th Lesson వైశాల్యాలు Exercise 11.3

1. ∆ABC లో (పటం చూడండి), మధ్యగతరేఖ AD యొక్క మధ్యబిందువు E అయిన

ప్రశ్న (i)
∆ABE వై|| = ∆ACE వై||
సాధన.
∆ABC లో, AD మధ్యగతము.
∴ ∆ABD = ∆ACD ………..(1)
(∵ ఒక త్రిభుజంలోని మధ్యగతము దానిని రెండు సమాన త్రిభుజాలుగా విభజించును)
అదే విధంగా ∆ABD లో BE మధ్యగతము
∴ ∆ABE = ∆BED = \(\frac {1}{2}\)∆ABD ……….. (2)
అదే విధంగా ∆ACD లో CE మధ్యగతము
∴ ∆ACE = ∆CDE = \(\frac {1}{2}\)∆ACD ……. (3)
(1), (2) మరియు (3) ల నుండి;
∆ABE = ∆ACE అని నిరూపించబడినది.
(లేక)
∆ABD = ∆ACD
[∵ ∆ABC లో AD మధ్యగతము)
\(\frac {1}{2}\)∆ABD = \(\frac {1}{2}\)∆ACD [2చే భాగించగా]
∆ABE = ∆AEC [∵ ∆ABD కు BE మధ్యగతము]
[∆ACD కు CE మధ్యగతము]

ప్రశ్న (ii)
∆ABE వై|| = \(\frac {1}{4}\)(∆ABC) వై||
సాధన.
∆ABE = \(\frac {1}{2}\)∆ABD
[(i) నుండి; ∆ABD యొక్క మధ్యగతం BE]
∆ABE = \(\frac {1}{2}\) [\(\frac {1}{2}\)∆ABC]
[∵ ∆ABC యొక్క మధ్యగతము AD]
= \(\frac {1}{4}\)∆ABC
అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 2.
సమాంతర చతుర్భుజములో కర్ణాలు, దానిని సమాన వైశాల్యం గల నాలుగు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తాయని చూపండి.
సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
కర్ణాలు AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించు కుంటాయి.
∆ABC మరియు ☐ABCDలు ఒకే భూమి AB మరియు ఒకే సమాంతరాలు AB మరియు CDల మధ్యన కలవు.

∴ ∆ABC = \(\frac {1}{2}\) ☐ABCD
∆ABC లో; BO మధ్యగతము
[∵ AC, BD కర్ణాల మధ్య ఖండన బిందువు O]
∴ ∆AOB ≅ ∆BOC …….. (1)
[∵ ఒక త్రిభుజంలో మధ్యగతము ఆ త్రిభుజంను సమాన వైశాల్యాలు గల రెండు త్రిభుజాలుగా విభజించును]
అదే విధంగా ∆ABD మరియు ☐ABCD లు ఒకే భూమి AB మరియు రెండు సమాంతరాలు AB, CDల మధ్యన కలవు.
∴ ∆ABD = \(\frac {1}{2}\)☐ABCD
మరియు ∆AOB = ∆AOD …… (2)
[∵ ∆ABD యొక్క మధ్యగతము AO]
(1) మరియు (2)ల నుండి,
∆AOB = ∆BOC = ∆AOD
అదే విధముగా ∆AOD = ∆COD
[∵ ∆ACD మధ్య గత రేఖ OD]
∴ ∆AOB = ∆BOC = ∆COD = ∆AOD
అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 3.
పటంలో త్రిభుజాలు ∆ABC మరియు ∆ABD ఒకే భూమి AB పైన ఉన్నాయి. CD రేఖాఖండం \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని O వద్ద సమద్విఖండన చేస్తే (∆ABC) వై॥ = (∆ABD) వై॥ అని చూపండి.

సాధన.
పటం నుండి ∆AOC మరియు ∆BOD లలో
OA = OB [∵ దత్తాంశము]
OC = OD
\(\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOD}\) (శీర్షాభిముఖ కోణాలు]
∴ ∆AOC ≅ ∆BOD (భు.కో.భు. నియమం)
ఆ విధంగా AC = BD (CPCT)
\(\angle \mathrm{OAC}=\angle \mathrm{OBD}\) (CPCT)
కాని AC, BDల యొక్క ఏకాంతర కోణాలు
∴ AC // BD
అదే విధంగా AC = BD మరియు AC // BD;
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
☐ABCD యొక్క కర్ణము AB
⇒ ∆ABC ≅ ∆ABD (∵ ఒక సమాంతర చతుర్భుజమును కర్ణము రెండు సర్వ సమాన త్రిభుజాలుగా విభజించును)
∴ (∆ABC) వైశాల్యము = (∆ABD) వైశాల్యము

4. పటంలో చూపిన విధంగా ∆ABC లో D, E, F లు వరుసగా భుజాలు BC, CA మరియు AB యొక్క మధ్య బిందువులు అయిన కింది వానిని నిరూపించండి.

ప్రశ్న (i)
BDEF ఒక సమాంతర చతుర్భుజము
సాధన.
∆ABC లో D, E మరియు F లు భుజాల మధ్య బిందువులు.
∴ EF// BC
EF = \(\frac {1}{2}\)BC
FD // AC
FD = \(\frac {1}{2}\)AC
ED // AB
ED = \(\frac {1}{2}\)AB [∵ ఒక త్రిభుజపు రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలుపగా ఆ రేఖాఖండం మూడవ భుజంకు సమాంతరము మరియు దానిలో సగముండును.]
∴ ☐BDEFలో
BD = EF (∵ BC మధ్య బిందువు D మరియు \(\frac {1}{2}\)BC = EF]
DE = BF
∴ ☐BDEF ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.

ప్రశ్న (ii)
(∆DEF) వై || = \(\frac {1}{4}\)(∆ABC) వై ||
సాధన.
☐BDEFఒక సమాంతర చతుర్భుజం ((i) నుండి) కావున ∆BDF = ∆DEF
అదే విధముగా ☐CDFE; ☐AEDF లు సమాంతర చతుర్భూజాలు.
∴ ∆DEF = ∆CDE = ∆AEF
∴ ∆ABC = ∆AEF + ∆BDF + ∆CDF + ∆DEF = 4∆DEF
⇒ ∆DEF = \(\frac {1}{4}\)∆ABC

ప్రశ్న (iii)
(BDEF) వై || = \(\frac {1}{2}\)(∆ABC) వై ||.
సాధన.
☐BDEF = 2∆DEF ……….. (1)
((ii) నుండి)
∆ABC = 4 ∆DEF ………… (2)
((ii) నుండి)
(1) మరియు (2) నుండి,
∆ABC = 2 (2∆DEF) = 2 ☐BDEF అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 5.
పటంలో చూపిన విధంగా ∆ABCలో D మరియు E బిందువులు వరుసగా AB, AC భుజాల పై గల బిందువులు మరియు (∆DBC) వై॥ = (∆EBC) వై॥ అయిన DE // BC అని చూపండి.

సాధన.
∆DBC = ∆EBC
రెండు త్రిభుజాలు ఒకే భూమి BC మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు BC మరియు DE ల మధ్యన కలవు. కావున వాటి వైశాల్యాలు సమానము.
∴ BC // DE.

ప్రశ్న 6.
కింది పటంలో BC కు సమాంతరంగా A గుండా XY అనే రేఖ గీయబడింది. BE || CA మరియు CF || BA లను గీస్తే అవి XY ను E మరియు Fల వద్ద వరుసగా ఖండిస్తే (∆ABE) వై॥ = (∆ACF) వై॥ అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశం XY//BC; BE//CA; CF//BA
చతుర్భుజం ABCF లో AB//CF మరియు BC//AF
కావున ☐ABCF ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
☐ABCE మరియు ☐ACBE లలో
∆ABC = ∆ACE …….. (1);
∆ABC = ∆ABE ……. (2) [∵ ఒక సమాంతర చతుర్భుజమును కర్ణము రెండు సరూప త్రిభుజములుగా విభజించును]
∴ ∆ACF = ∆ABE [(1) మరియు (2) ల నుండి] నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 7.
కింది పటంలో ABCD ట్రెపీజియంలో AB//DC కర్ణాలు AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకున్నాయి.
(∆AOD) వై|| = (∆BOX) వై॥ అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశం AB // CD
∆ADC మరియు ∆BCD లు ఒకే భూమి మరియు ఒకే సమాంతరాలు AB మరియు CDల మధ్యన కలవు.
AB // CD.
∴ ∆ADC = ∆BCD
⇒ ∆ADC – ∆COD = ∆BCD – ∆COD
⇒ ∆AOD = ∆BOC (పటం నుండి)

8. కింది పటంలో ABCDE ఒక పంచభుజి. B గుండా ACకు సమాంతరంగా గీచిన రేఖ, పొడిగించిన DCని F వద్ద ఖండించిన కింది వానిని నిరూపించుము.

ప్రశ్న (i)
(∆ACB) వై॥ = (∆ACF) వై ॥
సాధన.
ABCDE ఒక పంచభుజి మరియు AC//BF
∆ACB మరియు ∆ACF లు ఒకే భూమి AC మరియు ఒకే సమాంతరాలు AC//BF ల మధ్యన కలవు.
∴ ∆ACB = ∆ACF

ప్రశ్న (ii)
(AEDF) వై ॥ = (ABCDE) వై ॥

సాధన.
☐AEDF = ☐AEDC + ∆ACF
= ☐DAEDC + ∆ABC
[∵ ∆ACF = ∆ACB]
= (ABCDE) వై॥ నిరూపించబడినది

ప్రశ్న 9.
కిందీ పటంలో ∆RAS వై॥ = ∆RBS వై॥ మరియు ∆QRB వై॥ = ∆PAS పై॥ అయిన చతుర్భుజాలు PQRS మరియు RSBA లు రెండునూ ట్రెపీజియమ్ ని చూపండి.

సాధన.
∆RAS = ∆RBS ……. (1)
రెండు త్రిభుజాలు ఒకే భూమి RS మరియు ఒకే జత సమాంతర రేఖలు RS మరియు AB ల మధ్యన కలవు. కాబట్టి వాటి వైశాల్యాలు సమానము. మరియు RS//AB
∴ ☐ABRS చతుర్భుజం నందు AB//RS.
∴ ☐ABRS (లేదా) ☐RSBA ఒక ట్రెపీజియమ్
∆QRB = ∆PAS (దత్తాంశం)
⇒ ∆QRB – ∆RBS = ∆PAS – ∆RAS
[(1) నుండి ∆RBS = ∆RAS]
⇒ ∆QRS = ∆PRS.
ఈ త్రిభుజాలు ఒకే భూమి RS పై మరియు RS మరియు PQల మధ్యన కలవు. కావున వాటి వైశాల్యాలు సమానము, PQ//RS.
PQRS చతుర్భుజంలో PQ//RS. కావున ☐PQRS ట్రెపీజియము.

ప్రశ్న 10.
ఒక గ్రామంలో రామయ్య అనే వ్యక్తికి చతుర్భుజాకారంలో ఖాళీ స్థలం కలదు. ఆ గ్రామ పంచాయితీలో పాఠశాల నిర్మాణానికి అతని స్థలంలో ఒక మూలలో కొంత భాగం కావల్సివచ్చింది. ఆయన స్థలాన్ని ఇవ్వడానికి అంగీకరిస్తూ, దానికి బదులుగా అంతే వైశాల్యం గల స్థలాన్ని పొందితే ఏ విధంగా ఆ స్థలం వస్తుందో వివరించండి. (స్థలం యొక్క చిత్తు పటం గీయండి.)
సాధన.

పటం నుండి ☐ABCD రామయ్య పొలం అనుకొనుము.
∆MCD లో పాఠశాల నిర్మాణము జరుగును.
M, BC మధ్య బిందువు
☐ABCD ≅ ∆ADE
BD కర్ణంను గీయుము.
C గుండా BD కి సమాంతర రేఖను గీయుము. అది BC ని E వద్ద ఖండించును.
D, Eలను కలుపుము. ∆ADE మనకు కావలసిన త్రిభుజము.
పరిశీలన:
∆CED మరియు ∆CEBలు ఒకే భూమి CE మరియు ఒక జత సమాంతరాలు CE, DB ల మధ్యన ఉన్నవి.

∴ ∆CED = ∆CEB (పటం నుండి)
∆CEM + ∆CMD = ∆CEM + ∆BME
∴ ∆CMD = ∆BME
∴ ∆ADE = ☐ABCD

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Ex 4.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 4th Lesson సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Exercise 4.4

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన త్రిభుజంలో x, y మరియు z ల విలువలను కనుగొనుము.

సాధన.
పటం (i) లో
x° = 50° + 60°
(∵ ఒక త్రిభుజంలో బాహ్య కోణము, అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తంకు సమానము)
∴ x = 110°

పటం (ii) లో
° = 60° + 70°
(∵ ఒక త్రిభుజంలో బాహ్య కోణము, అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తంకు సమానము)
∴ z = 130°

పటం (iii) లో
y° = 35° + 45° = 80°
∴ y° = 80°
(∵ ఒక త్రిభుజంలో బాహ్య కోణము, అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తంకు సమానము)

ప్రశ్న 2.
ఇచ్చిన పటంలో AS // BT; ∠4 = ∠5, ∠ASTని \(\overline{\mathrm{SB}}\) కోణసమద్విఖండన చేస్తుంది. అయిన ∠1 విలువను కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశము AS // BT.
∠4 = ∠5 మరియు \(\overline{\mathrm{SB}}\), ∠AST ను కోణసమద్వి ఖండన చేయును.
∴ లెక్క ప్రకారము ∠2 = ∠3 ………….. (1)
AS // BT రేఖల నుండి ∠2 = ∠5 (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ΔBST లో ∠3 = ∠5 = ∠4 కావున
ΔBST ఒక సమబాహు త్రిభుజము మరియు ప్రతి కోణము 60° లుగా వుండును.
∴ ∠3 = ∠2 = 60° [సమీకరణము (1) నుండి]
ఇప్పుడు ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
∴ ∠1 + 60° + 60° = 180°
[∵ ఒక రేఖ పై గల బిందువు వద్ద కోణములు]
∴ ∠1 = 180° – 120° = 60°

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన పటంలో AB // CD; BC // DE అయిన x, y ల విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశము నుండి AB // CD మరియు BC // DE.
∴ 3x = 105°
(∵ AB // CD కావున సమాంతర కోణములు)
x = \(\frac{105^{\circ}}{3}\) = 35°
అదే విధముగా BC // DE
∴ ∠D = 105° (∵ ఏకాంతర కోణములు)
ఇప్పుడు ΔCDE లో
24° + 105° + y = 180° (∵ కోణముల మొత్తము)
∴ y = 180° – 129° = 51°

ప్రశ్న 4.
కింద పటంలో BE ⊥ DA మరియు CD ⊥ DA అని ఇవ్వబడినది. అయిన ∠1 ≅ ∠3 అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము ప్రకారము
BE ⊥ DA మరియు CD ⊥ DA.
⇒ CD మరియు BE లు DA రేఖకు లంబాలు.
⇒ CD // BE (లేక) ∠D = ∠E ⇒ CD // BE
(∵ CD, BE రేఖలకు DA తిర్యగ్రేఖ అయిన ఆసన్న కోణాలు సమానము)
ఇప్పుడు ∠1 = ∠3 అని (∵ ఏకాంతర కోణాలు) నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 5.
x, y ల ఏ విలువలకు, AD, BC రేఖలు సమాంతర రేఖలు అవుతాయి ?

సాధన.
AD, BC రేఖలు సమాంతరాలు.
x – y = 30° …….. (1) (∵ ఆసన్న కోణాలు)
2x = 8y …………….. (2) (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
(1) & (2) లను సాధించగా,

y = 10° ను సమీకరణము (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
x – 10° = 30° ⇒ x = 40°
∴ x = 40° మరియు y = 10°

ప్రశ్న 6.
పటంలో x, y ల విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
పటం నుండి y + 140° = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
∴ y = 180° – 140° = 40°
మరియు x° = 30° + y°
(∵ బాహ్యకోణము = అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తం)
x° = 30° + 40° = 70°

ప్రశ్న 7.
కింది పటంలో, బాణం గుర్తులచే సూచింపబడిన రేఖాఖండములు సమాంతరములు అయిన x, y ల విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
పటం నుండి
x° = 30° (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
y° = 45° + x° (∵ బాహ్యకోణం = అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తము)
y = 45° + 30° = 75°

ప్రశ్న 8.
ఇచ్చిన పటంలో ∠PQR భుజాలు వరుసగా QP మరియు RQ, S మరియు T బిందువుల వద్దకు పొడిగించ బడ్డాయి. ∠SPR = 135°, ∠PQT = 110° అయిన ∠PRQ కొలతలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాశం నుండి ∠SPR = 135° మరియు ∠PQT = 110°
పటము నుండి,
∠SPR + ∠RPQ = 180°
∠PQT + ∠PQR = 180° [∵ రేఖీయద్వయం]
⇒ ∠RPQ = 180° – ∠SPR
= 180° – 135° = 45°
⇒ ∠PQR = 180° – ∠PQT.
= 180° – 110° = 70°
ΔPQRలో ∠RPQ + ∠PQR + ∠PRQ = 180°
∴ 45° + 70° + ∠PRQ = 180°
∴ ∠PRQ = 180° – 115° = 65°

ప్రశ్న 9.
ఇచ్చిన పటంలో ∠X = 62°; ∠XYZ = 54°. ΔXYZ లో ∠XYZ మరియు ∠XZY ల కోణ సమద్విఖండన రేఖలు వరుసగా YO మరియు ZO అయిన ∠OZY మరియు ∠YOZ ల కొలతలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశం నుండి ∠X = 62° మరియు ∠Y = 54°
∠XYZల కోణ సమద్విఖండన రేఖలు వరుసగా YO మరియు ZO లు అగును.
ΔXYZలో
∠X + ∠XYZ + ∠XZY = 180°
62° + 54° + ∠XZY = 180°
⇒ ∠XZY = 180° – 116° = 64°
ΔOYZ లో
∠OYZ = \(\frac {1}{2}\)∠XYZ = \(\frac {1}{2}\) × 54° = 27
(∵ ∠XYZ యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ YO)
∠OZY = \(\frac {1}{2}\)∠XZY = \(\frac {1}{2}\) × 64° = 32°
(∵ ∠XYZ యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ OZ)
మరియు ∠OYZ + ∠OZY + ∠YOZ = 180°
⇒ 27° + 32° + ∠YOZ = 180°
⇒ ∠YOZ = 180° – 59° = 121°

ప్రశ్న 10.
ఇచ్చిన పటంలో AB || DE, ∠BAC = 35° మరియు ∠CDE = 53° అయిన ∠DCE కొలతలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశం ప్రకారం AB || DE, ∠BAC = 35° మరియు ∠CDE = 53°
∠BAC = ∠E = 35° (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
ΔCDE లో
∠C + ∠D + ∠E = 180°
∴ ∠DCE + 53° + 35° = 180°
⇒ ∠DCE = 180° – 88° = 92°

ప్రశ్న 11.
ఇచ్చిన పటంలో PQ, RS లు T బిందువు వద్ద ఖండించు కొంటాయి. ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° మరియు ∠TSQ = 75° అయిన కొలతలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశం నుండి ∠PRT = 40°; ∠RPT = 95%; మరియు ∠TSQ = 75°
ΔPRT లో ∠P + ∠R + ∠PTR = 180° (∵ త్రిభుజ కోణాల ధర్మం )
95° + 40° + ∠PTR = 180°
⇒ ∠PTR = 180° – 135° = 45°
∴ ∠PTR = ∠STQ (∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
ΔSTQ లో ∠S + ∠Q + ∠STQ = 180° (∵ త్రిభుజ కోణాల ధర్మం)
75° + ∠SQT + 45° = 180°
∴ ∠SQT = 180° – 120° = 60°

ప్రశ్న 12.
కింది పటంలో ΔABC లో ∠B = 50° మరియు ∠C = 70°. AB, AC భుజాలు పొడిగించగా ఏర్పడిన బాహ్యకోణాల కోణసమద్విఖండన రేఖలు ఖండించుకొనగా ‘z’ ఏర్పడినది. ‘z’ విలువను కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశం నుండి ΔABC లో ∠B = 50° మరియు ∠C = 70°
AB, AC లను పొడిగించగా ఏర్పడిన, బాహ్యకోణాల కోణ సమద్విఖండన రేఖలు ఖండించుకొనగా z ఏర్పడినది.
పటం నుండి 50° + 2x = 180°
70° + 2y = 180
∴ 2x = 180° – 50
2x = 130°
x = \(\frac{130^{\circ}}{2}\)
= 65°

2y = 180° – 70°
2y = 110°
y = \(\frac{110^{\circ}}{2}\)
= 55°

ΔBOC లో x + y + z = 180°
65° + 55° + z = 180°
z = 180° – 120° = 60°

ప్రశ్న 13.
ఇచ్చిన పటంలో PQ ⊥ PS, PQ // SR, ∠SQR = 28° మరియు ∠QRT = 65° అయిన x, y విలువలు కనుగొనుము.

సాధన.
దత్తాంశం నుండి PQ ⊥ PS; PQ // SR
∠SQR = 28°, ∠QRT = 65°
పటం నుండి ∠QSR = x° (∵ PQ // SR రేఖల ఏకాంతర కోణాలు)
65° = x + 28° (∵ బాహ్యకోణం = అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తం)
∴ x° = 65° – 28° = 37°
మరియు x° + y° = 90°
[∵ PQ ⊥ PS మరియు PQ // SR ⇒ ∠P = ∠S]
37° + y = 90°
∴ y = 90° – 37° = 53°

ప్రశ్న 14.
ఇచ్చిన పటంలో ΔABC భుజం AC బిందువు D వరకు పొడిగించబడినది. ∠BCD = 125° అయిన ∠A : ∠B = 2 : 3 అయిన m ∠A, m ∠B లను కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశం నుండి, ∠BCD = 125°
ΔABC లో భుజం AC బిందువు D వరకు పొడిగించబడినది.
∠A : ∠B = 2 : 3
నిష్పత్తిలో పదాల మొత్తము = 2 + 3 = 5
ఒక త్రిభుజంలో బాహ్యకోణము = అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తము
∠BCD = ∠A + ∠B
∠A = \(\frac {2}{5}\) × 125° = 50°
∠B = \(\frac {3}{5}\) × 125° = 75°

ప్రశ్న 15.
కింది పటంలో. BC // DE, ∠BAC = 35° మరియు ∠BCE = 102° అని ఇవ్వబడినది. అయిన i) ∠BCA ii) ∠ADE మరియు iii) ∠CED ల కొలతలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశము నుండి BC // DE ; ∠BAC = 35° మరియు ∠BCE = 102°
i) పటం నుండి
102° + ∠BCA = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
∴ ∠BCA = 180° – 102° = 78°

ii) ∠ADE + ∠CBD = 180°
(∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున్న అంతరకోణాలు)
∠ADE + (78° + 35°) = 180°
(∵ ∠CBD = ∠BAC + ∠BCA)
∴ ∠ADE = 180° – 113° = 67°

iii) పటముల నుండి
∠CED = ∠BCA = 78° (∵ ఏక అంతర కోణాలు)

ప్రశ్న 16.
కింది పటంలో AB = AC; ∠BAC = 36%; ∠ADB = 45° మరియు ∠AEC = 40° అని ఇవ్వబడినది. అయిన i) ∠ABC ii) ∠ACB iii) ∠DAB iv) ∠EACల విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశం నుండి AB = AC, ∠BAC = 36°,
∠ADB = 45°, ∠AEC = 40°
(i) & (ii)
ΔABC లో AB = AC
⇒ ∠ABC = ∠ACB
మరియు త్రిభుజ కోణాల ధర్మం ప్రకారం
36° + ∠ABC + ∠ACB = 180°
∴ ∠ABC = \(\frac{180^{\circ}-36^{\circ}}{2}=\frac{144^{\circ}}{2}\) = 72°
∠ACB = 72°

iii) పటం నుండి
∠ABD + ∠ABC = 180°
∠ABD = 180° – 72° = 108°
ΔABD లో ∠DAB + ∠ABD + ∠D = 180°
∠DAB + 108° + 45° = 180°
∠DAB = 180° – 153° = 27°

iv) ΔADE లో
∠D + ∠A + ∠E = 180°
45° + ∠A + 40° = 180°
⇒ ∠A = 180° – 85° = 95°
∠A = ∠DAB + 36° + ∠EAC
95° = 27° + 36° + ∠EAC
∴ ∠EAC = 95° – 63° = 32°

ప్రశ్న 17.
ఇచ్చిన పటములోని సమాచారము ఆధారంగా x, y విలువలు కనుగొనుము.

సాధన.
పటం నుండి ΔACB లో
34° + 62° + ∠ACB = 180°
∴ ∠ACB = 180° – 96° = 84°
మరియు x + ∠ACB = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
x + 84° = 180°
x = 180° – 84° = 96°
(లేదా)
x = 34° + 62° = 96° (∵ ΔABC లో x బాహ్య కోణము)
y = 24° + x°
= 24° + 96° = 120°
(∵ ΔDCE లో y బాహ్య కోణము)

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 11th Lesson వైశాల్యాలు Exercise 11.2

ప్రశ్న 1.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యము 36 చ.సెం.మీ. AB = 4.2 సెం.మీ. అయిన ABEF సమాంతర చతుర్భుజము కనుగొనుము.

సాధన.
☐ABCD వైశాల్యము = 36 చ.సెం.మీ.
AB = 4.2 సెం.మీ.
36 = 4.2 × h
⇒ h = \(\frac {36}{4.2}\)
☐ABCD మరియు ☐ABEF లు ఒకే భూమి మరియు ఒకే జత సమాంతరాల మధ్యన గలవు. కావున
∴ ☐ABCD వై|| = ☐ABEF వై||
☐ABEF వై|| = భూమి × ఎత్తు = AB × ఎత్తు
∴ ఎత్తు = \(\frac {36}{4.2}\) = 8.571 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము. DC భుజము పైకి గీయబడిన లంబము AE మరియు AD భుజము పైకి గీయబడిన లంబము CF. AB = 10 సెం.మీ., AE = 8 సెం.మీ. మరియు CF = 12 సెం.మీ. అయిన AD కొలత కనుగొనుము

సాధన.
సమాంతర చతుర్భుజపు వైశాల్యము = భూమి × ఎత్తు
AB × AE = AD × CF
⇒ 10 × 8 = 12 × AD
⇒ AD = \(\frac{10 \times 8}{12}\) = 6.666………….
∴ AD = 6.7 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజములో AB, BC, CD మరియు AD భుజాల మధ్య బిందువులు వరుసగా E, F, G మరియు H లు అయిన (EFGH) వై|| = \(\frac {1}{2}\)(ABCD) వై|| అని చూపుము.

సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
E, F, G మరియు H లు సమాంతర చతుర్భుజము యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులు, E మరియు Gలను కలుపుము.
∆EFG మరియు ☐EBCGలు ఒకే భూమి EG మరియు సమాంతరాలు EG మరియు BC ల మధ్యన కలవు.
∴ ∆EFG = \(\frac {1}{2}\) ☐EBCG …….. (1)
అదే విధంగా,
∆EHG = \(\frac {1}{2}\) ☐EGDA ……….. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి,
∆EFG + ∆EHG = \(\frac {1}{2}\) ☐EBCG + \(\frac {1}{2}\) ☐EGDA
☐EFGH = \(\frac {1}{2}\) [☐EBCG + ☐EGDA]
☐EFGH = \(\frac {1}{2}\) [☐ABCD] నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 4.
∆APM, ∆DPO, ∆OCN మరియు ∆MNBలను ఒకచోట చేర్చితే ఏ రకమైన చతుచ్భుజం వస్తుంది?
సాధన.

☐ABCD ఒక రాంబస్.
M, N, O, Pలు భుజాల మధ్య బిందువులు.
ఈ మధ్య బిందువులను కలుపగా ∆APM, ∆DPO, ∆OCN మరియు ∆MNB లు ఏర్పడినవి.
వీటిలో షేడ్ ప్రాంతం కలిగిన పటం ఏర్పడును.

ప్రశ్న 5.
ABCD సమాంతర చతుర్భుజములో P మరియు Q అను రెండు బిందువులు వరుసగా DC మరియు ADలపై ఉంటే (∆APB) వై॥ = (∆BQC) వై॥ అని చూపండి.

సాధన.
∆APB మరియు ☐ABCDలు ఒకే భూమి AB మరియు రెండు సమాంతరాలు AB మరియు CDల మధ్యన కలదు.
∴ ∆APB = \(\frac {1}{2}\) ☐ABCD ……… (1)
అదే విధంగా ∆BCQ మరియు ☐BCDA లు ఒకే భూమి BC మరియు సమాంతరాలు BC, AD ల మధ్యన గలవు.
∴ ∆BCQ = \(\frac {1}{2}\) ☐BCDA ……..(2)
కాని ☐ABCD మరియు ☐BCDA లు సమాంతరాలు.
∴ ∆APB = ∆BCQ[(1) మరియు (2) ల నుండి]

6. ABCD సమాంతర చతుర్భుజము అంతరములో P అనేది ఒక బిందువు అయిన కింది వానిని నిరూపించండి.

ప్రశ్న (i)
(∆APB) వై|| + (∆PCD) వై|| = \(\frac {1}{2}\)(ABCD) వై||

సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
P ఒక సమాంతర చతుర్భుజము యొక్క అంతర బిందువు AB కి సమాంతరంగా P గుండా ఒక \(\overline{\mathrm{XY}}\) రేఖను గీయుము.
∆APB = \(\frac {1}{2}\)☐AXYB ……. (1)
[∵ ∆APB, ☐AXYB లు ఒకే భూమి ABమరియు AB, XY సమాంతర రేఖల మధ్యన కలవు]
మరియు ∆PCD = \(\frac {1}{2}\)☐CDXY …….. (2)
[∵ ∆PCD; ☐CDXYలు ఒకే భూమి CD మరియు సమాంతరాలు CD మరియు XY ల మధ్యన కలవు]
(1) మరియు (2) లను కలపగా
∆APB + ∆PCD = \(\frac {1}{2}\)☐AXYB + \(\frac {1}{2}\)☐CDXY
= \(\frac {1}{2}\) [☐AXYB + ☐CDXY] [పటం నుండి]
= \(\frac {1}{2}\) ☐ABCD

ప్రశ్న (ii)
(∆APD) వై|| + (∆PBC) వై॥ = (∆APB) వై॥ + (∆PCD) వై॥
(సూచన : AB కి సమాంతరముగా P నుండి ఒక రేఖను గీయుము).
సాధన.
LM // AD ను నిర్మించుము.
∆APD + ∆PBC = \(\frac {1}{2}\) ☐AMLD + \(\frac {1}{2}\)BMLC
= \(\frac {1}{2}\) [☐AMLD + ☐BMLC)
= \(\frac {1}{2}\) ☐ABCD = ∆APB + ∆PCD [(i) నుండి] అని నిరూపించబడినది.
[∵ ∆APD, ☐AMLD లు ఒకే భూమి AD మరియు సమాంతరాలు AD మరియు LM ల మధ్యన కలవు]

ప్రశ్న 7.
ట్రెపీజియం యొక్క వైశాల్యము దాని సమాంతర భుజాల మొత్తాన్ని వాటి మధ్య దూరంతో గుణించగా వచ్చే లబ్ధంలో సగము ఉంటుందని నిరూపించండి.
సాధన.

☐ABCDఒక ట్రెపీజియం;
AB//CD మరియు DE ⊥ AB
☐ABCD = ∆ABC + ∆ADC
= \(\frac {1}{2}\)AB × DE + \(\frac {1}{2}\)DC × DE
[∵ ∆ = \(\frac {1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు]
= \(\frac {1}{2}\) × DE (AB + DC) అని నిరూపించబడినది.

8. PQRS మరియు ABRS అనేవి రెండు సమాంతర చతుర్భుజాలు. BR భుజముపై X అనేది ఒక బిందువు. అయిన

ప్రశ్న (i)
(PQRS) వై|| = (ABRS) వై ||
సాధన.
☐PQRS మరియు ☐ABRSలు ఒకే భూమి SR మరియు సమాంతర భుజాలు SR మరియు PB ల మధ్యన గలవు.
∴ ☐PQRS వై|| = ☐ABRS వై||

ప్రశ్న (ii)
(∆AXS) వై|| = \(\frac {1}{2}\)(PQRS) వై||
సాధన.
(1) నుండి ☐PQRS = ☐ABRS
☐ABRS మరియు ∆AXS లు ఒకే భూమి AS మరియు AS, BR అను సమాంతరాల మధ్యన కలవు.
∴ ∆AXS = \(\frac {1}{2}\)☐ABRS
= \(\frac {1}{2}\)☐PQRS ((1) నుండి) నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 9.
ఒక రైతుకు పటంలో చూపినట్లు PQRS సమాంతర చతుర్భుజు ఆకారములో పొలము ఉన్నది. RS భుజముపై మధ్యబిందువు A నుండి P, Q బిందువులను కలిపారు. పొలము ఎన్ని భాగాలుగా విభజింపబడినది ? ఏ భాగాలు ఏ ఆకారములో ఉన్నాయి ? రైతు తన పొలములో వరి మరియు వేరుశెనగ పంటను సమాన భాగాలలో వేయాలనుకుంటే, ఏ విధంగా వేస్తాడు ? కారణాలు తెలపండి.

సాధన.
పటం నుండి ∆APQ, ☐PQRSలు ఒకే భూవిం PQ
మరియు సమాంతరాలు PQ, SR ల మధ్యన కలవు.
∴ ∆APQ = \(\frac {1}{2}\)☐PQRS
⇒ ☐PQRS – ∆APQ = \(\frac {1}{2}\)☐PQRS
⇒ \(\frac {1}{2}\)☐PQRS = ∆ASP + ∆ARQ
∴ రైతు తన వేరుశనగ పంటను ∆APQ ప్రాంతంలో వేస్తాడు.
రైతు తన వరి పంటను ∆ARQ ప్రాంతంలోనూ, వేరుశెనగ పంటను ∆ASP ప్రాంతంలోను పండిస్తాడు.

ప్రశ్న 10.
రాంబస్ యొక్క వైశాల్యము, దాని కర్ణముల లబ్దములో సగం ఉంటుందని నిరూపించండి.
సాధన.

☐ABCD ఒక రాంబస్.
d₁ మరియు d₂ కర్ణాలు ‘O’ వద్ద ఖండించుకుంటాయి.
d₁ ⊥ d₂ కావున

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 వైశాల్యాలు Ex 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 11th Lesson వైశాల్యాలు Exercise 11.1

ప్రశ్న 1.
∆ABC లో \(\angle \mathrm{ABC}\) = 90°, AD = DC, AB = 12 సెం.మీ. మరియు BC = 6.5 సెం.మీ. అయిన ∆ADB వైశాల్యము కనుగొనండి.

సాధన.
∆ADB = \(\frac {1}{2}\) ∆ABC (∵ ∆ABC లో AD మధ్యగతము)
= \(\frac {1}{2}\)[\(\frac {1}{2}\)AB × BC)
= \(\frac {1}{2}\) × 12 × 6.5 = 19.5 చ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
PARS చతుర్భుజములో \(\angle \mathrm{QPS}=\angle \mathrm{SQR}\) = 90°, PQ = 12 సెం.మీ., PS = 9 సెం.మీ., QR = 8 సెం.మీ. మరియు SR = 17 సెం.మీ. అయిన PQRS వైశాల్యం కనుగొనండి. (సూచన : PQRSలో రెండు భాగాలున్నాయి రెండు భాగాలున్నాయి.

సాధన.
∆QPS వైశాల్యము
= \(\frac {1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\) × 9 x 12 = 54 చ.సెం.మీ.
∆QPS లో Q² = PQ² + PS²
QS = \(\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}\)
= \(\sqrt{225}\) = 15
∴ ∆QSR వైశాల్యము = \(\frac {1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\) × 15 × 8 = 60 చ. సెం.మీ.
☐PQRS = ∆QPS + ∆QSR
= 54 + 60 = 114 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
కింది పటములో ADCE ఒక దీర్ఘచతురస్రము అయిన ABCD ట్రెపీజియం వైశాల్యము కనుగొనండి. (సూచన : ABCD లో రెండు భాగాలున్నాయి)

సాధన.
ట్రెపీజియం వైశాల్యము
= \(\frac {1}{2}\) (సమాంతర భుజాల మొత్తం) × (ఎత్తు)
(A) = \(\frac {1}{2}\) (a + b) h
పటం నుండి, a = 3 + 3 = 6 సెం.మీ. .
b = 3 సెం.మీ. (∵ దీర్ఘచతురస్రపు ఎదుటి భుజాలు)
h = 8 సెం.మీ.
∴ A = \(\frac {1}{2}\)(6 + 3) × 8 = 36 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము. కర్ణములు AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకున్నాయి. (∆AOD) వై|| = (∆BOC) వై|| అని నిరూపించండి. (సూచన : సర్వసమాన పటాలు సమాన వైశాల్యాలు కలిగి ఉంటాయి.)

సాధన.
☐ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
కర్ణాలు AC మరియు BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకుంటాయి.
∆AOD మరియు ∆BOC లలో
AD = BC [∵ //^gm యొక్క ఎదుటి భుజాలు]
AO = OC [∵ కర్ణాలు సమద్విఖండన చేసుకొనును]
OD = OB
∴ ∆AOD ≅ ∆BOC (భు.భు.భు. నియమం ప్రకారం)
∴ ∆AOD = ∆BOC (సమాన వైశాల్యాలు గల త్రిభుజాలు)

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Ex 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 4th Lesson సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Exercise 4.3

ప్రశ్న 1.
l || m అయిన ∠1 మరియు ∠8 లు సంపూరక కోణాలని చూపుటలో ప్రతి ప్రవచనానికి కావలసిన కారణాలను రాయండి.


సాధన.

ప్రశ్న 2.
కింద పటంలో AB || CD; CD || EF మరియు y : z = 3 : 7 అయిన x విలువను కనుగొనుము.

సాధన.
దత్తాంశము : AB || CD; CD || EF
⇒ AB || EF మరియు y : z = 3 : 7
పటం నుండి x + y = 180° ……….. (1)
[∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున గల అంతరకోణాలు మొత్తం 180°]
అదే విధంగా y + z = 180 ………… (2)
y : z నిష్పత్తి యొక్క పదాల మొత్తము = 3 + 7 = 10
∴ y = \(\frac {1}{2}\) × 180° = 54°
z = \(\frac {7}{10}\) × 180° = 126°
(1), (2) ల నుండి,
x + y = y + z
⇒ x = z = 126°

ప్రశ్న 3.
కింది పటంలో AB || CD; EF ⊥ CD ఇంకనూ ∠GED = 126°. అయిన ∠AGE, ∠GEF మరియు ∠FGE కొలతలను కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశము : AB || CD; EF ⊥ CD మరియు
∠GED = 126°, ∠FED = 90° మరియు
∠GEF = ∠GED – ∠FED.
∠GEF = 126° – 90° = 36°
ΔGFE లో, ∠GEF + ∠FGE + ∠EFG = 180°
36 + ∠FGE + 90° = 180°
∠FGE = 180° – 126° = 54°
∠AGE = ∠GFE + ∠GEF
(∵ ΔGFE లో ∠AGE బాహ్యకోణం)
= 90° + 36° = 126°

ప్రశ్న 4.
కింది పటంలో PQ || ST, ∠PQR = 110° మరియు ∠RST = 130° అయిన ∠QRS ను కనుగొనండి.
(సూచన : బిందువు R గుండా ST రేఖకు సమాంతరంగా ఒక సరళరేఖను గీయండి.)

సాధన.

ఇచ్చిన పటంలో PQ || ST
STకి సమాంతరంగా ‘l’ అను రేఖను R ద్వారా గీయుము.
పటం నుండి, a + 110° = 180° [∵ c + 130° = 180° తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు అంతరకోణాల మొత్తం]
∴ a = 180° – 110° = 70°
c = 180° – 130° = 50°
అదే విధంగా a + b + c = 180°
(రేఖపై ఒక బిందువు వద్ద గల కోణములు)
70° + b + 50° = 180°
b = 180° – 120° = 60°
∴ ∠QRS = 60°

ప్రశ్న 5.
కింద పటంలో m || n సరళరేఖలు m, n లపై ఏవైనా రెండు బిందువులు వరుసగా A మరియు B. m, n రేఖల అంతరంలో C ఏదైనా ఒక బిందువు అయిన ∠ACB ని కనుగొనండి.

సాధన.

C అను బిందువుగుండా m మరియు n లకు ఒక సమాంతర రేఖ ‘l’ ను గీయుము.
పటం నుండి, x = a [∵ l మరియు m లకు ఏకాంతర కోణాలు]
y = b [∵ l మరియు n లకు ఏకాంతర కోణాలు]
∴ z = a + b = x + y

ప్రశ్న 6.
కింది పటంలో p || q మరియు r || s అయిన a, bల విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశము p || q మరియు r || s.
∴ పటం నుండి 2a = 80° (∵ ఆసన్న కోణాలు)
a = \(\frac{80^{\circ}}{2}\) = 40°
అదే విధంగా 80° + b = 180° (∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున వున్న అంతరకోణాలు)
∴ b = 180° – 80° = 100°

ప్రశ్న 7.
ఇచ్చిన పటంలో a || b మరియు c || d అయిన (i) ∠1, (ii) ∠2 లకు సర్వసమాన కోణాల పేర్లను రాయండి.

సాధన.
దత్తాంశం a || b మరియు c || d.
∠1 = ∠3 (∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∠1 = ∠5 (∵ ఆసన్న కోణాలు)
∠1 = ∠9 (∵ ఆసన్న కోణాలు)
అదే విధముగా ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7;
∠1 = ∠11 = ∠9 = ∠13 = ∠15
అదే విధముగా ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 మరియు
∠2 = ∠10 = ∠12 = ∠14 = ∠16

ప్రశ్న 8.
ఇచ్చిన పటంలో, బాణం గుర్తులున్న రేఖాఖండాలు సమాంతరాలు అయిన x, y విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
పటం నుండి
y = 59° (∵ ఏకాంతర కోణాలు సమానం)
x = 60° (∵ సదృశ కోణాలు సమానం)

ప్రశ్న 9.
కింది పటంలో బాణం గుర్తులున్న రేఖాఖండాలు సమాంతరాలు అయిన x, y విలువలను కనుగొనండి.

సాధన.
పటం నుండి 35° + 105° + y = 180°
∴ y = 180° – 140° = 40°
∴ x = 40° (∵ x, y లు ఆసన్న కోణాలు)

ప్రశ్న 10.
పటం మండి x, y విలువలను కనుగొనండి.

సాధన.
పటం నుండి 120° + x = 180°
(∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున్న బాహ్య కోణాలు)
∴ x = 180° – 120°
x = 60°
x = (3y + 6) (∵ ఆసన్న కోణాలు)
3y + 6 = 60°
⇒ 3y = 60° – 6° = 54°
y = \(\frac {54}{3}\) = 18°
∴ x = 60° మరియు y = 18°

ప్రశ్న 11.
పటం నుండి x, y విలువలను కనుగొనండి.

సాధన.
పటం నుండి 52° + 90° + (3y + 5)° = 180°
(∵ త్రిభుజపు అంతర కోణాలు)
∴ 3y + 147 = 180° ⇒ 3y = 33°
y = \(\frac {33}{3}\) = 11°
అదే విధముగా x + 65° + 52° = 180°
(∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున గల అంతర కోణాలు)
∴ x = 180° – 117° = 63°

ప్రశ్న 12.
కింది ప్రవచనానికి తగిన పటాన్ని గీయండి.
ఒక కోణము యొక్క రెండు భుజాలు వరుసగా వేరొక కోణము యొక్క రెండు భుజాలకు లంబరేఖలైన ఆ రెండు కోణములు సమానము లేదా సంపూరకాలు.
సాధన.

AO ⊥ PQ, OB ⊥ QR
కోణాలు అన్నీ సంపూరకాలు.

AO ⊥ PQ, OB ⊥ QR
కోణాలు సమానములు.

ప్రశ్న 13.
ఇచ్చిన పటంలో AB || CD; ∠APQ = 50° మరియు ∠PRD = 127° అయిన x, y విలువలను కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశము AB || CD మరియు
∠PRD = 127°
పటం నుండి x = 50° (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
అదే విధంగా y + 50° = 127°(∵ ఏకాంతర కోణాలు)
∴ y = 127 – 50 = 77°

ప్రశ్న 14.
క్రింది పటంలో PQ మరియు RSలు సమాంతరంగా ఉంచబడిన రెండు దర్పణాలు. పతన కిరణము \(\overline{\mathrm{AB}}\) దర్పణము PQ ని బిందువు B వద్ద తాకును. పరావర్తనకిరణము \(\overline{\mathrm{BC}}\) దర్పణము RSను Cబిందువు వద్ద తాకి మరల \(\overline{\mathrm{CD}}\) గుండా పరావర్తనము చెందును. అయిన AB || CD అని చూపుము.
(సూచన : సమాంతర రేఖలకు గీసిన లంబరేఖలు కూడా సమాంతర రేఖలు అవుతాయి.)

సాధన.

ఇచ్చిన పటంకు B మరియు Cల వద్ద లంబాలను గీయుము.
∠x = ∠y (పతన మరియు పరావర్తన కోణాలు సమానము)
∠y = ∠w (ఏకాంతర కోణాలు)
∠w = ∠z (పతన మరియు పరావర్తన కోణాలు సమానము)
∴ x + y = y + Z
(\(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{CD}}\) ల ఏకాంతర అంతరకోణాలు)
∴ AB || CD.

ప్రశ్న 15.
ఇచ్చిన పటాలలో AB || CD తిర్యగ్రేఖ EF సరళరేఖలు AB, CD లను వరుసగా G, H బిందువుల వద్ద ఖండించును. అయిన x, y విలువలు కనుగొనండి. కారణములను తెల్పుము.


సాధన.
పటం (i)
3x = y (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
2x + y = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
∴ 2x + 3x = 180°
5x = 180° ⇒ x = \(\frac {180}{5}\) = 36°
మరియు y = 3x = 3 × 36 = 108°

పటం (ii)
2x + 15 = 3x – 20° (∵ ఒకే వైపున్న శీర్షకోణాలు)
2x – 3x = – 20 – 15
– x = – 35
x = 35°

పటం (iii)
(4x – 23) + 3x = 180° (∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున గల అభిముఖ అంతర కోణాలు)
7x – 23 = 180°
7x = 203 ⇒ x = \(\frac {203}{7}\) = 29°

ప్రశ్న 16.
ఇచ్చిన పటంలో AB || CD, ‘t’ అనే తిర్యగ్రేఖ వీటిని వరుసగా E మరియు F బిందువుల వద్ద ఖండించును. ∠2 : ∠1 = 5 : 4 అయిన మిగిలిన కోణాల విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశము AB || CD మరియు ∠2 : ∠1 = 5 : 4
∠1 + ∠2 = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
∠2 : ∠1 ల నిష్పత్తుల మొత్తము = 5 + 4 = 9
∠1 = \(\frac {4}{9}\) × 180° = 80°
∠2 = \(\frac {5}{9}\) × 180° = 100
∠1, ∠3, ∠5, ∠7 ల విలువ 80°.
అదే విధంగా ∠2, ∠4, ∠6, ∠8ల విలువ 100°.

ప్రశ్న 17.
కింద ఇచ్చిన పటంలో AB || CD అయిన x, y, z ల విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశము AB || CD.
పటం నుండి (2x + 3x) + 80° = 180°
(∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునున్న కోణాల మొత్తము)
∴ 5x = 180° – 80° = 100°
x = \(\frac{100^{\circ}}{5}\) = 20°
ఇప్పుడు 3x = y (∵ ఏకాంతర కోణాలు)
∴ y = 3 × 20° = 60°
మరియు y + z = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
∴ z = 180° – 60° = 120°

ప్రశ్న 18.
కింద ఇచ్చిన పటంలో AB || CD అయిన x, y, z విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
దత్తాంశం AB || CD.
పటం నుండి x° + 70° + x° = 180°
(∵ రేఖపై ఒక బిందువు వద్ద గల కోణాలు)
∴ 2x = 180° – 70°
x = \(\frac{110^{\circ}}{2}\) = 55°
Δ ABC లో 90° + x° + y° = 180°
⇒ x + y = 180° – 90° = 90°
90° + 55° + y = 180°
y = 180° – 145° = 35°
మరియు x° + z° = 180°
[∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునవున్న అంతరకోణాలు]
55° + z = 180°
⇒ z = 180° – 55° = 125°

ప్రశ్న 19.
కింద ఇచ్చిన పటాలలో ప్రతి పటంలో AB || CD అయిన ప్రతీ సందర్భంలో X విలువను కనుగొనండి.

సాధన.

ప్రతి సందర్భంలోనూ ‘l’ అను రేఖను AB మరియు CD లకు సమాంతరంగా E గుండా గీయుము.

పటం (i)
a + 104° = 180° ⇒ a = 180° – 104° = 76°
b + 116° = 180° ⇒ b = 180° – 116° = 64°
[∵ ఒకే వైపునున్న అంతరకోణాలు]
∴ a + b = x = 76° + 64° = 140°

పటం (ii) a = 35°, b = 65° [∵ ఏకాంతరంగా వున్న అంతర కోణాలు]
x = a + b = 35° + 65° = 100°

పటం (iii)
a + 35° = 180° ⇒ a = 145°
b + 75° = 180° ⇒ b = 105°
[∵ ఒకే వైపునున్న అంతర కోణాలు]
∴ x = a + b = 145° + 105° = 250°

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. పటములో వృత్తం A నకు సర్వసమానంగా ఉన్న వృత్తాలను గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 262)

సాధన.
వృత్తం A నకు సర్వసమానంగా ఉన్న వృత్తం ‘E’.

2. వృత్తాల యొక్క ఏ కొలత వాటిని సర్వసమానం చేస్తుంది? (పేజీ నెం. 262)
సాధన.
వృత్తాల యొక్క వ్యాసార్ధములు వాటిని సర్వసమానం చేస్తుంది.

ప్రయత్నించండి

1. ‘O’ కేంద్రంగా కల వృత్తంలో AB ఒక జ్యా మరియు ‘M’ జ్యా మధ్య బిందువు. అయినా \(\overline{\mathrm{OM}}\), AB కి అంబింగా ఉండునని నిరూపించండి. (సూచన : OA, OB లను కలిపి ∆OAM మరియు ∆OBM లను పోల్చండి.) (పేజీ నెం. 267)

సాధన.

‘O’ వృత్త కేంద్రము.
AB ఒక జ్యా, M, AB పై మధ్య బిందువు.
A, B లను ‘O’ తో కలుపుము.
∆OMA మరియు ∆OMB లలో
OA = OB (వ్యాసార్ధాలు )
OM = OM (ఉమ్మడి భుజం)
MA = MB (దత్తాంశము)
∴ ∆OMA ≅ ∆OMB
(భు. భు.భు. సర్వసమాన ధర్మం )
∴ \(\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}\) (C.P.C.T).
కాని \(\angle \mathrm{OMA}\) మరియు \(\angle \mathrm{OMB}\) లు రేఖీయ ద్వయం
∴ \(\angle \mathrm{OMA}=\angle \mathrm{OMB}\) = 90°
i.e., OM ⊥ AB.

2. మూడు బిందువులు సరేఖీయాలైన, వాటి గుండా పోయేట్లు గీయగల వృత్తాలెన్ని? ఒక రేఖపై ఏవేని మూడు బిందువులను తీసుకొని వాటి గుండా పోయేటట్లు వృత్తాలను గీయడానికి ప్రయత్నించండి. (పేజీ నెం. 268)
సాధన.
మూడు బిందువులు సరేఖీయాలైన వాటి గుండాపోవు వృత్తంను గీయలేము.

3. పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రం మరియు AB = CD; OM మరియు ON లు వరుసగా \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\)లకు కేంద్రం నుండి గీచిన లంబాలు. అయిన OM = ON అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 269)

సాధన.
‘O’ వృత్త కేంద్రము మరియు AB = CD జ్యాలు.
OM ⊥ AB; ON ⊥ CD
∆OMB మరియు ∆ONC లలో
OB = OC [∵ వ్యాసార్ధాలు]
BM = CN (∵ \(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)CD)
\(\angle \mathrm{OMB}=\angle \mathrm{ONC}\) [∵ ప్రతి కోణం 90°]
∴ ∆OMB ≅ ∆ONC (లం. క.భు. సర్వసమాన నియమం ప్రకారం )
OM = ON (C.P.C.T)

కృత్యం

1. ఈ క్రింది కృత్యాన్ని చేద్దాం. కాగితంపై ఒక బిందువును . గుర్తించండి. ఈ బిందువును కేంద్రంగా తీసుకొని ఏదేని వ్యాసార్ధంతో ఒక పృత్తాన్ని గీయండి. ఇదే కేంద్రంతో వ్యాసార్ధాన్ని పెంచి లేదా తగ్గించి మరికొన్ని వృత్తాలను గీయండి. ఈ కృత్యం ద్వారా గీచిన వృత్తాలను ఏమని పిలుస్తారు ? (పేజీ నెం. 261)

ఒకే కేంద్రం గల వృత్తాలను ఏకకేంద్ర వృత్తాలు అంటారు.

2. ఒక పలుచని గుండ్రని కాగితం (వృత్తాకార కాగితం) తీసుకొని, దానిని సగానికి (మధ్యకు) మడచి తెరవండి. మరలా మరొక సగానికి మడచి తెరవండి. ఇదే విధంగా అనేకసార్లు తిరిగి చేయండి. చివరికి తెరిచి చూస్తే మీరేమి గమనిస్తారు ? (పేజీ నెం. 262)

3. ఒక గ్రుండని (వృత్తాకార) కాగితాన్ని తీసుకోండి. వృత్త అంచులు ఏకీభవించునట్లు ఏదేని ఒక వ్యాసం వెంట మడవండి. మడతను తెరచి ఇంకొక వ్యాసం వెంబడి మడవండి. మడతను తెరచి చూసిన రెండు వ్యాసాలు కేంద్రం ‘O’ వద్ద ఖండించుకొనుటను గమనిస్తాం. రెండు జతల శీర్షాభిముఖ కోణాలు ఏర్పడుతాయి. ఇవి సమానం, వ్యాసం చివరి బిందువుల A, B, C మరియు D అని పేర్లు పెట్టండి.

జ్యాలు \(\overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{BD}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{AD}}\)లను గీయండి.
నాలుగు వృత్తఖండాలు 1, 2, 3 మరియు 4 లను కత్తిరించండి. ఈ ఖండాలను జతలుగా ఒకదానిపై మరొకటి ఉంచిన (1, 3) మరియు (2, 4) జతలు అంచులు ఏకీభవిస్తాయి. అంటే \(\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{BC}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BD}}\) అవుతాయా ?
ఒక ప్రత్యేక సందర్భములో పై ధర్మాన్ని పరిశీలించారు. ఇదే విషయాన్ని వేర్వేరు కొలతలుగల సమాన కోణాలు తీసుకొని సరిచూసిన జ్యాలు సమానమగును. కింది సిద్ధాంతము ద్వారా గమనించగలం. (పేజీ నెం. 265)

4. వృత్తాకారంలోగల ఒక కాగితాన్ని తీసుకొని దాని కేంద్రం ‘O’ ను గుర్తించండి. వృత్తం యొక్క కొంత భాగాన్ని మడచి తిరిగి తెరవండి. ఏర్పడిన మడత జ్యా ABను సూచిస్తుందనుకోండి. ఇంకొక మడత వృత్త కేంద్రం మరియు జ్యా మధ్య బిందువు గుండా పోయేటట్లు కాగితాన్ని మరల మడవండి. ఇప్పుడు మడతల మధ్య ఏర్పడిన కోణాలను కొలవండి, అవి లంబకోణాలు.

“కాబట్టి వృత్తకేంద్రం నుండి జ్యాను సమద్విఖండన చేసే రేఖ జ్యూకు లంబంగా ఉంటుంది” అని పరికల్పన చేయవచ్చు. (పేజీ నెం. 267)

5. వృత్తం దానిని సగానికి మధ్యలో మడవండి. ఇప్పుడు ఆర్ధవృత్త చాపపు అంచు దగ్గరయుంచి మడత విప్పిన మీకు రెండు సర్వసమాన జ్యాల మడతలు వచ్చును. వాటిని \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) లుగా గుర్తించండి కేంద్రాన్ని ‘O’ గా గుర్తించండి. కేంద్రం ‘O’ నుండి ప్రతి జ్యాకు లంబపు మడత పెట్టండి. విభాగిని ఉపయోగించి వృత్తకేంద్రం నుండి జ్యాలకు గల లంబ దూరాలను పోల్చండి.

ఈ కృత్యాన్ని వృత్తం మడత ద్వారా సమాన జ్యాలు ఏర్పరుస్తూ అనేకసార్లు మరలా చేయండి. మీ పరిశీలనలను . ఒక పరికల్పనగా తెల్పండి. సర్వసమాన జ్యాలు వృత్త కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉంటాయి. (పేజీ నెం. 269)

6. పటంలో చతుర్పులు తీరాలు A, B C మరియు Dలు ఒకే వృత్తం పైన గలవు. ఇటువంటి చతుర్భుజాలు ABCD లను మూడింటిని గీసి చతుర్భుజ కోణాలను కొలచి పట్టికను నింపండి.

పట్టిక నుండి నీవు ఏమి చెప్పగలవు ? (పేజీ నెం. 275)

సిద్ధాంతాలు

1. ఒక వృత్తంలోని రెండు జ్యాలు సమానమైతే అవి కేంద్రం వద్ద ఏర్పరచే కోణాలు సమానం. (పేజీ నెం. 265)
సాధన.
దత్తాంశం : ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తంలో \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) లు రెండు సమాన జ్యాలు. అవి కేంద్రం వద్ద ఏర్పరచిన కోణాలు \(\angle \mathrm{AOB}\) మరియు \(\angle \mathrm{AOB}\).
సారాంశం: \(\angle \mathrm{AOB}\) = \(\angle \mathrm{COD}\)
నిర్మాణం : వృత్త కేంద్రాన్ని జ్యాల యొక్క అంత్య బిందువులతో కలుపుము. ఇప్పుడు ∆AOB మరియు ∆COD లు ఏర్పడతాయి.
నిరూపణ:

∆AOB మరియు ∆COD లలో
AB = CD (దత్తాంశం)
OA = OC (ఒకే వృత్త వ్యాసార్ధాలు)
OB = OD (ఒకే వృత్త వ్యాసార్ధాలు)
కావున ∆AOB ≅ ∆COD (భు.భు.భు. నియమం)
కావున ∆AOB ≅ ∆COD (సర్వసమాన త్రిభుజపు అనురూప కోణాలు)

2. ఒక వృత్తంలోని జ్యాలు కేంద్రం వద్ద చేసే కోణాలు సమానమైన ఆ జ్యాలు సమానం.

ఇది ఇంతకు ముందు చెప్పబడిన సిద్ధాంతం యొక్క విపర్యయం ఇచ్చిన ప్రకారం
\(\angle \mathrm{PQR} \cong \angle \mathrm{MQN}\)
అని తీసుకుంటే \(\angle \mathrm{PQR} ≡ \angle \mathrm{MQN}\) అని మీరు గమనించగలరు. (పేజీ నెం. 266)

3. ఒక చాపము ఒక వృత్తకేంద్రం వద్ద ఏర్పరచుకోణం, ఆ చాపం మిగిలిన వృత్తంపై ఏదేని బిందువు వద్ద ఏర్పరిచే కోణానికి రెట్టింపు ఉంటుంది. (పేజీ నెం. 272)

సాధన.
‘O’ అనునది వృత్తకేంద్రం.
చాపము \(\overparen{\mathrm{PQ}}\) కేంద్రం వద్ద ఏర్పరచు కోణం \(\angle \mathrm{POQ}\).
Rఅనునది (\(\overparen{\mathrm{PQ}}\) పై లేనట్టి) మిగిలిన వృత్తం మీద ఏదేని ఒక బిందువు.
నిరూపణ : ఇక్కడ (i) \(\overparen{\mathrm{PQ}}\) ఒక అల్ప చాపం,
(ii) \(\overparen{\mathrm{PQ}}\) ఒక అర్ధవృత్తం మరియు
(iii) \(\overparen{\mathrm{PQ}}\) ఒక అధిక చాపం అయ్యే మూడు సందర్భాలు కలవు.
R బిందువును ‘O’ కలిపి S బిందువు దాకా పొడిగించడం ద్వారా నిరూపణను మొదలు పెడదాం. (అన్ని సందర్భాలలోనూ) అన్ని సందర్భాలలోను ∆ROP లో
OP = OR (ఒకే వృత్త వ్యాసార్ధాలు)
∴ \(\angle \mathrm{ORP}=\angle \mathrm{OPR}\) (సమద్విబాహు త్రిభుజంలో సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉండే కోణాలు సమానం).
\(\angle \mathrm{POS}\) కోణము ∆ROP కు బాహ్య కోణం (నిర్మాణం)
\(\angle \mathrm{POS}=\angle \mathrm{ORP}+\angle \mathrm{OPR}\) లేదా 2\(\angle \mathrm{OPR}\) ……. (1)
(∵ బాహ్యకోణం అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం)

ఇదే విధంగా ∆ROQ
\(\angle \mathrm{SOQ}=\angle \mathrm{ORQ}+\angle \mathrm{OQR}\) లేదా 2\(\angle \mathrm{ORQ}\) …….. (2)
(∵ బాహ్యకోణం అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం)
(1) మరియు (2) ల నుండి,
\(\angle \mathrm{POS}+\angle \mathrm{SOQ}=2(\angle \mathrm{ORP}+\angle \mathrm{ORQ})\)
అంటే ఇది \(\angle \mathrm{POQ}=2 \angle \mathrm{QRP}\) తో సమానం ……….. (3)
కావున “ఒక చాపము వృత్త కేంద్రం వద్ద ఏర్పరచు కోణం, ఆ చాపం మిగిలిన వృత్తంపై ఏదేని బిందువు వద్ద ఏర్పరచే కోణానికి రెట్టింపు ఉంటుంది” అనే సిద్ధాంతం నిరూపించడమైనది.

4. రెండు బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం (ఆ రేఖాఖండానికి ఒకే వైపునగల) ఏవేని రెండు వేర్వేరు బిందువుల మధ్య ఏర్పరచు కోణాలు సమానం అయితే ఆ బిందువులన్నీ ఒకే వృత్తంపై ఉంటాయి. అంటే అవి చక్రీయాలు అవుతాయి. ఈ ఫలితం యొక్క సత్య విలువను కింది విధంగా పరిశీలించవచ్చు. (పేజీ నెం. 274)
సాధన.
దత్తాంశం : ఏవేని రెండు బిందువులు A, B లను కలుపు రేఖాఖండం \(\overline{\mathrm{AB}}\) నకు ఒకే వైపున గల రెండు బిందువులు C మరియు Dల వద్ద \(\overline{\mathrm{AB}}\) చేయు కోణాలు \(\angle \mathrm{ACB}\) మరియు \(\angle \mathrm{ADB}\) లు సమానమని ఈయబడినవి.

సారాంశం : A, B, C మరియు D లు ఒకే వృత్తం పైన బిందువులు అనగా చక్రీయ బిందువులు.
నిర్మాణం : సరేఖీయాలు కాని మూడు బిందువులు A, B మరియు Cల గుండాపోయేట్లు ఒక వృత్తాన్ని గీయండి.
నిరూపణ : \(\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB}\) అగునట్లుగా D = ‘D’ బిందువు వృత్తంపైన లేనట్లైతే

వృత్తంపై E లేదా ‘E’ అనే బిందువు, AD లేదా ADని పొడిగించినప్పుడు ఖండన బిందువుగా వ్యవస్థితం అవుతుంది. అంటే A, B, C మరియు E లు ఒక వృత్తంపై ఉంటాయి కనుక
\(\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{AEB}\) (ఎందువలన ?)
కానీ \(\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB}\) అని ఈయబడినది.
కాబట్టి \(\angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{ADB}\)
ఇది E మరియు Dలు ఏకీభవిస్తే తప్ప సాధ్యం కాదు. (ఎందువలన ?)
కావున E కూడా Dతో ఏకీభవిస్తుంది.

5. చక్రీయ చతుర్భుజంలోని ఎదుటి కోణాల జతలు సంపూరకాలు. (పేజీ నెం. 276)
సాధన.
దత్తాంశము : ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం,

6. ఒక చతుర్భుజంలో ఏ రెండు ఎదుటి కోణాల మొత్తం అయినా 180° అయితే అది చక్రీయ చతుర్భుజం అవుతుంది. (పేజీ నెం. 277)
సాధన.
దత్తాంశం :

చతుర్భుజం ABCD లో
\(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}\) = 180°
\(\angle \mathrm{DAB}+\angle \mathrm{BCD}\) = 180°
సారాంశం : ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం.
నిర్మాణం : సరేఖీయాలు కానీ బిందువులు A, B మరియు Cల గుండా ఒక వృత్తాన్ని గీయండి. వృత్తం D ద్వారా పోయినట్లైతే A, B, C, D ల చక్రీయాలు కావున సిద్ధాంతము నిరూపించినట్లే.
ఈ వృత్తం D బిందువు ద్వారా పోనట్లైతే ఆ వృత్తం \(\overline{\mathrm{CD}}\) ను లేదా \(\overline{\mathrm{CD}}\) ను పొడిగించినప్పుడు D వద్ద ఖండిస్తుంది. \(\overline{\mathrm{AE}}\) ను గీయండి.

నిరూపణ : ABCE ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం (నిర్మాణం)
\(\angle \mathrm{AEC}+\angle \mathrm{ABC}\) = 180° (చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదుటి కోణాల మొత్తం)
కాని \(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}\) = 180° (దత్తాంశం)
\(\angle \mathrm{AEC}+\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}\)
కానీ ఈ కోణాలలో ఒకటి ∆ADE యొక్క అంతరకోణం మరియు రెండవది బాహ్యకోణం. త్రిభుజ బాహ్య కోణం ఎల్లప్పుడూ దాని అంతరాభి. ముఖ కోణాల కన్నా ఎక్కువ అని మనకు తెలుసు.
∴ \(\angle \mathrm{AEC}=\angle \mathrm{ADC}\) అనునది ఒక విరుద్దత.
అంటే A, B మరియు Cల ద్వారా గీచిన వృత్తం D ద్వారా పోవట్లేదనే మన కల్పన అసత్యం. A, B మరియు C ల ద్వారా గీచిన వృత్తం D ద్వారా కూడా పోవును. A, B, C మరియు Dలు ఒకే వృత్తంపైని బిందువులు అంటే ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం.

ఉదాహరణలు

1. AB = 5 సెం.మీ.; \(\angle \mathrm{B}\) = 75° మరియు BC = 7 సెం.మీ. లుగా గల ∆ABC యొక్క పరిషృత్తాన్ని గీయండి. (పేజీ నెం. 268)
సాధన.

AB = 5 సెం.మీ. పొడవుగల రేఖాఖండాన్ని గీయండి. \(\angle \mathrm{B}\) = 75° ఉండునట్లు B వద్ద కోణకిరణం BX ను నిర్మించండి. B కేంద్రంగా 7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో ఒక చాపరేఖను గీయండి. చాపరేఖ \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) ను C వద్ద ఖండించును. C మరియు A లను కలపగా ∆ABC ఏర్పడుతుంది. \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{BC}}\) లకు లంది సమద్విఖండన రేఖలు \(\overline{\mathrm{PQ}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{RS}}\) లను గీయండి. \(\overline{\mathrm{PQ}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{RS}}\) ల ఖండన బిందువు ‘O’. ఇప్పుడు ‘O’ ను కేంద్రంగా మరియు OA ను వ్యాసార్ధంగా ఒక వృత్తాన్ని గీయండి. B మరియు C బిందువుల ద్వారా కూడా పోతుంది. ఇదియే కావలసిన పరివృత్తం.

2. పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రం అయిన CD పొడవును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 269)

సాధన.
∆AOB మరియు ∆COD లలో
OA = OC (ఎందువలన?)
CB = OD (ఎందువలన ?)
\(\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{COD}\)
∆AOB ≅ ∆COD
AB = CD (సర్వసమాన త్రిభుజముల సర్వసమాన భాగాలు)
AB = 5 సెం.మీ. కావున CD = 5 సెం.మీ.

3. పక్క పటంలో ‘O’ కేంద్రంగా రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాలు కలవు. పెద్ద వృత్తం యొక్క జ్యా AD చిన్న వృత్తాన్ని B మరియు Cల వద్ద అందిస్తుంది. అయిన AB = CD అని చూపండి. (పేజీ నెం. 269)

దత్తాంశం : ‘O’ కేంద్రంగా కల ఏక కేంద్ర వృత్తాలలో పెద్ద వృత్తం యొక్క జ్యా \(\overline{\mathrm{AD}}\) చిన్న వృత్తాన్ని B మరియు Cల వద్ద ఖండిస్తోంది.
సారాంశం : AB = CD
నిర్మాణం: \(\overline{\mathrm{AD}}\)కు లంబంగా \(\overline{\mathrm{OE}}\) ను గీయుము.
నిరూపణ : ‘O’ కేంద్రంగా గల పెద్ద వృత్తానికి AD ఒక జ్యా మరియు \(\overline{\mathrm{OE}}\), \(\overline{\mathrm{AD}}\) కి లంబము.
∵ \(\overline{\mathrm{AD}}\) ను \(\overline{\mathrm{OE}}\) సమద్విఖండన చేస్తుంది (కేంద్రం నుండి జ్యాకు గీచిన లంబం, జ్యాను సమద్విఖండన చేస్తుంది.
∴ AE = ED ……….. (i)
‘O’ కేంద్రంగా గల చిన్న వృత్తానికి \(\overline{\mathrm{BC}}\) ఒక జ్యా మరియు \(\overline{\mathrm{AD}}\) కు \(\overline{\mathrm{OE}}\) లంబం.
∵ \(\overline{\mathrm{BC}}\) కు \(\overline{\mathrm{OE}}\) సమద్విఖండన చేస్తుంది. (పై సిద్ధాంతం నుండి)
∴ BE = CE …….. (ii)
సమీకరణం (ii) ను (i) నుండి తీసివేయగా,
AE – BE = ED – EC
AB = CD

4. ‘O’ అనునది వృత్త కేంద్రం. PQ ఒక వ్యాసము. అయిన 2PRQ = 90° అని నిరూపించుము. (లేదా) అర్ధవృత్తంలోని కోణం లంబకోణమని చూపండి. (పేజీ నెం. 273)
నిరూపణ:

‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తంలో PQ ఒక వ్యాసం అని ఈయబడినది. \(\angle \mathrm{PRQ}\) = 180° (సరళరేఖపై ఏదేని బిందువు వద్ద కోణం 180°)
మరియు \(\angle \mathrm{POQ}\) = 2\(\angle \mathrm{PRQ}\) (ఒక చాపం వృత్త కేంద్రం వద్ద ఏర్పరిచే కోణం, ఆ చాపం మిగిలిన వృత్తంపై ఏదేని బిందువు వద్ద ఏర్పరచే కోణానికి రెట్టింపు).
\(\angle \mathrm{PRQ}\) = \(\frac {180°}{2}\) = 90°

5. కింది పటంలో x° విలువను కనుగొనండి. (పేజీ వెం. 273)

సాధన.
\(\angle \mathrm{ACB}\) = 40° కావున
సిద్ధాంతం ప్రకారం, AB చాపం కేంద్రం వద్ద చేయుకోణం.
\(\angle \mathrm{AOB}\) = 2\(\angle \mathrm{ACB}\) = 2 × 40° = 80°
x° + \(\angle \mathrm{AOB}\) = 360°
కాబట్టి x° = 360° – 80° = 280°

6. పటంలో \(\angle \mathrm{A}\) = 120° అయిన \(\angle \mathrm{C}\)ను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 276)

సాధన.
ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం
కావున \(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}\) = 180°
120° + \(\angle \mathrm{C}\) = 180°
కావున \(\angle \mathrm{C}\) = 180° – 120° = 60°

7. పటంలో \(\overline{\mathrm{AB}}\) వృత్తం యొక్క ఒక వ్యాసము. జ్యా \(\overline{\mathrm{CD}}\) వృత్త వ్యాసార్ధానికి సమానం. \(\overline{\mathrm{AC}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{BD}}\) లు పొడిగించగా అవి E బిందువు వద్ద ఖండించుకొనును. అయిన \(\angle \mathrm{AEB}\) = 60° అని చూపండి. (పేజీ నెం. 277)
సాధన.

OC, OD మరియు BC లను కలపండి.
∆ODC ఒక సమబాహు త్రిభుజము (ఎందువలన?)
\(\angle \mathrm{COD}\) = 60°
ఇప్పుడు \(\angle \mathrm{CBD}\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathrm{COD}\) (ఎందువలన ?)
దీని నుండి \(\angle \mathrm{CBD}\) = 30°
మరల \(\angle \mathrm{ACB}\) = 90° (ఎందువలన ?)
కావున \(\angle \mathrm{BCE}\) = 180° – \(\angle \mathrm{ACB}\) = 90°
దీని నుండి \(\angle \mathrm{CEB}\) = 90° – 30° = 60°,
అంటే \(\angle \mathrm{AEB}\) = 60°

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 4th Lesson సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Exercise 4.2

ప్రశ్న1.
ఇచ్చిన పటంలో \(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{CD}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{EF}}\) సరళరేఖలు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొనును. x : y : z = 2 : 3 : 5 అయిన x, y మరియు z విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
పటము నుండి
2x + 2y + 2z = 360°
2 [x + y + z] = 360°
x + y + z = \(\frac{360}{2}\) = 180°
దత్తాంశము x : y : z = 2 : 3 : 5
నిష్పత్తిలోని పదాల మొత్తము
x + y + z = 2 + 3 + 5 = 10
∴ x = \(\frac{2}{10}\) × 180° = 36°
y = \(\frac{3}{10}\) × 180° = 54°
z = \(\frac{5}{10}\) × 180° = 90°
x, y మరియు z ల విలువలు వరుసగా
36°, 54°, 90°

ప్రశ్న2.
కింద ఇచ్చిన పటములలో x విలువను కనుగొనుము.
i)

సాధన.
పటము నుండి 3x + 18+ 93° = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
3x + 111° = 180°
3x = 180 – 111° = 69°
∴ x = \(\frac{69}{3}\) = 23°

ii)

సాధన.
పటము నుండి (x – 24)° + 29° + 296° = 360°
(∵ సంపూర్ణకోణము కనుక)
x + 301° = 360°
∴ x = 360° – 301° = 59°

iii)

సాధన.
పటము నుండి (2 + 3x)° = 62°
(∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు కనుక)
∴ 3x = 62 – 2
3x = 60° ⇒ x = \(\frac{60^{\circ}}{3}\) = 20°
∴ x = 20°

iv)

సాధన.
పటము నుండి 40 + (6x + 2) = 90°
6x + 42 = 90° (∵ పూరక కోణాలు కనుక)
6x = 90° – 42°
6x = 48 ⇒ x = \(\frac {48}{6}\) = 8°

ప్రశ్న3.
కింద పటంలో సరళరేఖలు \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) లు బిందువు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొనును. ∠AOC + ∠BOE = 70° మరియు ∠BOD = 40. అయిన ∠BOE మరియు పరావర్తనకోణం ∠COE ల కొలతలు కనుగొనుము.

సాధన.
దత్తాంశము ∠AOC + ∠BOE = 70°
∠BOD = 40°
∴ ∠AOC = 40°
(∵ ∠AOC, ∠BODలు శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ 40° + ∠BOE = 70°
⇒ ∠BOE = 70° – 40° = 30°
∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180°
(∵ AB ఒక రేఖ)
⇒ 40° + ∠COE + 30° = 180°
⇒ ∠COE = 180° – 70° = 110°
∴ పరావర్తన కోణం ∠COE = 110°

ప్రశ్న4.
కింద పటంలో సరళరేఖలు \(\overline{\mathrm{XY}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{MN}}\) లు బిందువు O వద్ద ఖండించుకొనును. ∠POY = 90°.
a : b = 2 : 3. అయిన కోణము c కొలతలు కనుగొనుము.

సాధన.
XY మరియు MN లు సరళరేఖలు.
∠POY = 90° మరియు a : b = 2 : 3 పటం నుండి a + b = 90°
a : bయొక్క పదాల మొత్తము = 2 + 3 = 5
∴ b = \(\frac{3}{5}\) × 90° = 54°
పటం నుండి b + c = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
54° + c = 180° ⇒ c = 180° – 54° = 126°

ప్రశ్న5.
కింద పటంలో ∠PQR = ∠PRQ అయిన ∠PQS = ∠PRT అని నిరూపించుము.

సాధన.
దత్తాంశము ∠PQR = ∠PRQ
పటం నుండి,
∠PQR + ∠PQS = 180° ……………. (1)
∠PRQ + ∠PRT = 180° …….. (2)
(1), (2) ల నుండి,
∠PQR + ∠PQS = ∠PRQ + ∠PRT
కాని ∠PQR = ∠PRQ
కావున ∠PQS = ∠PRT నిరూపించబడింది.

ప్రశ్న6.
ఇచ్చిన పటంలో x + y = w + z అయిన AOB ఒక సరళరేఖ అని నిరూపించండి.

సాధన.
దత్తాంశము x + y = w + z = k అనుకొనుము.
పటం నుండి, x + y + z + w = 360°
(∵ బిందువు చుట్టూ గల బిందువు)
x + y = z + w కావున
∴ x + y = z + z = \(\frac{360^{\circ}}{2}\)
∴ x + y = z + w = 180°
లేక
k + k = 360°
2k = 360° ⇒ k = \(\frac{360^{\circ}}{2}\) = 180°
(x, y) మరియు (z, w) లు ఆసన్న కోణాల జతలు వాటి మొత్తము 180°.
(x, y) మరియు (z, w) లు రేఖీయద్వయం అగును.
కావున AOB ఒక రేఖను సూచించును.

ప్రశ్న7.
కింద పటంలో \(\overline{\mathrm{PQ}}\) ఒక సరళరేఖ. కిరణము \(\overline{\mathrm{OR}}\), \(\overline{\mathrm{PQ}}\) సరళరేఖకు లంబముగానున్నది. \(\overline{\mathrm{OS}}\) అనేది \(\overline{\mathrm{OP}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OR}}\) ల మధ్యనున్న వేరొక కిరణము అయిన ∠ROS = \(\frac {1}{2}\)(∠QOS – ∠POS) అని నిరూపించండి.

సాధన.
దత్తాంశము : \(\overline{\mathrm{OR}}\) ⊥ \(\overline{\mathrm{PQ}}\) ⇒ ∠ROQ = 90°
\(\overline{\mathrm{OS}}\) అనునది \(\overline{\mathrm{OP}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OR}}\) ల మధ్యన గల వేరొక కిరణము.
సారాంశము :
∠ROS = \(\frac {1}{2}\)(∠QOS – ∠POS)
ఉపపత్తి : పటం నుండి,
∠ROS = ∠QOS – ∠QOR ………….. (1)
∠ROS = ∠ROP – ∠POS ………….. (2)
(1) మరియు (2) లను కూడగా,
∠ROS + ∠ROS = ∠QOS – ∠QOR + ∠ROP – ∠POS
[∵ ∠QOR = ∠ROP = 90°]
⇒2∠ROS = ∠QOS – ∠POS
⇒ ∠ROS = \(\frac {1}{2}\) [∠QOS – ∠POS]
అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న8.
∠XYZ = 64°. XY ని P బిందువు వరకు పొడిగించినారు. ∠ZYP ని కిరణము \(\overline{\mathrm{YQ}}\) సమద్వి ఖండన చేయును. ఈ సమాచారమును పటరూపములో చూపండి. అదేవిధంగా ∠XYQ మరియు పరావర్తన కోణము ∠QYP ల కొలతలు కనుగొనండి.
సాధన.

∠XYQ = 32° ; ∠QYP = 32°

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు Ex 12.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు Exercise 12.5

ప్రశ్న 1.
కింది పటాలలో x మరియు y విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన.
(i)

పటం నుండి x = y[∵ సమాన భుజాలకు ఎదురుగల కోణాలు]
కాని x + y + 30° = 180°
∴ x + y = 180° – 30° = 150°
⇒ x = y = \(\frac {150°}{2}\)= 75°

(ii)

పటం నుండి x° + 110° = 180° [∵ చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదుటి కోణాలు సంపూరకాలు]
y + 85° = 180
∴ x = 180° – 110°; y = 180° – 85°
x = 70°; y = 95°

(iii)

పటం నుండి x = 90° [అర్ధవృత్తంలోని కోణము]
∴ y = 90° – 50° [∵ కోణాల మొత్తం ధర్మం]
= 40°

ప్రశ్న 2.
ABCD చతుర్భుజంలోని A, B, C లు ఒకే వృత్తంపై ఉన్నాయి. మరియు \(\angle \mathbf{A}+\angle \mathbf{C}\) = 180° అయిన శీర్షం D కూడా అదే వృత్తంపై ఉంటుందని నిరూపించండి.
సాధన.
దత్తాంశము నుండి \(\angle \mathbf{A}+\angle \mathbf{C}\) = 180°
∴ \(\angle \mathbf{B}+\angle \mathbf{D}\) = 360° – 180° = 180°
[∵ చతుర్భుజంలోని కోణాల మొత్తం 360°)
☐ABCD లో, ఎదుటి కోణాల మొత్తము 180°.
∴ ☐ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజము.
i.e., A, B మరియు C లు వుండు అదే వృత్తం పైనే D కూడా ఉండును.

ప్రశ్న 3.
ఒక చక్రీయ సమచతుర్భుజం చతురస్రం అవుతుందని నిరూపించండి.
సాధన.

☐ABCD ఒక చక్రీయ సమచతుర్భుజము అనుకొనుము.
అదే విధంగా AB = BC = CD = DA మరియు \(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}\) = 180°
కాని సమచతుర్భుజము ఒక సమాంతర చతుర్భుజము.
∴ ఎదుటి కోణాల జతలు సమానము.
\(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}\) మరియు \(\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}\)
∴ \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{D}\)
= \(\frac {180°}{2}\) = 90°
∴ ☐ABCD ఒక చతురస్రము.

ప్రశ్న 4.
కింది వాటిని అన్నింటినీ ఒక వృత్తాన్ని గీచి అందులో అంతర్లిఖించండి. అటువంటి బహుభుజిని నిర్మించలేనిచో ‘సాధ్యం కాదు’ అని రాయండి. జ అని రాయండి.
(a) దీర్ఘచతురస్రం
(b) ట్రెపీజియం
(c) అధిక కోణ త్రిభుజం
(d) దీర్ఘచతురస్రం కాని సమాంతర చతుర్భుజం
(e) అల్పకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం
(f) \(\overline{\mathbf{PR}}\) వ్యాసంగా PQRS చతుర్భుజం
సాధన.
(a) దీర్ఘచతురస్రం

(b) ట్రెపీజియం

(c) అధిక కోణ త్రిభుజం

(d) దీర్ఘచతురస్రం కాని సమాంతర చతుర్భుజం (సాధ్యపడదు)
(e) అల్పకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం

(f) \(\overline{\mathbf{PR}}\) వ్యాసంగా PQRS చతుర్భుజం

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 4 సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Ex 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 4th Lesson సరళ రేఖలు మరియు కోణములు Exercise 4.1

ప్రశ్న1.
ఇచ్చిన పటంలో కింది వానిని గుర్తించి రాయుము.

i) ఏవైనా ఆరు బిందువులు
సాధన. A, B, C, D, P, Q, M, N …….. మొ॥నవి.

ii) ఏవైనా ఐదు రేఖాఖండములు
సాధన.
\(\overline{\mathrm{AX}}\), \(\overline{\mathrm{XM}}\), \(\overline{\mathrm{MP}}\), \(\overline{\mathrm{PB}}\), \(\overline{\mathrm{MN}}\), \(\overline{\mathrm{PQ}}\), \(\overline{\mathrm{AB}}\) ……. మొ॥నవి.

iii) ఏవైనా నాలుగు కిరణములు.
సాధన.
\(\overline{\mathrm{MA}}\), \(\overline{\mathrm{PA}}\), \(\overline{\mathrm{PB}}\), \(\overline{\mathrm{NC}}\), \(\overline{\mathrm{QD}}\) ……. మొ॥నవి.

iv) ఏవైనా నాలుగు సరళరేఖలు
సాధన.
\(\overline{\mathrm{AB}}\), \(\overline{\mathrm{CD}}\), \(\overline{\mathrm{EF}}\), \(\overline{\mathrm{GH}}\).

v) ఏవైనా నాలుగు సరేఖీయ బిందువులు
సాధన.
A, X, M, P మరియు B బిందువులు \(\overline{\mathrm{AB}}\) లో గలవు.
కావున అవి సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న2.
కింది పటాలను పరిశీలించి వాటిలోని కోణములు ఏరకమైనవో గుర్తించండి.

సాధన.
∠A – పరావర్తన కోణము
∠B – లంబ కోణము
∠C – అల్ప కోణము

ప్రశ్న3.
కింది ప్రవచనాలు సత్యమో, అసత్యమో తెలపండి.
i) ఒక కిరణమునకు అంత్యబిందువు లేడు.
ii) సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{BA}}\) లు ఒక్కటే.
iii) కిరణము \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు కిరణము \(\overline{\mathrm{BA}}\) లు ఒక్కటే.
iv) ఒక సరళరేఖకు పరిమిత పొడవు ఉండును.
v) ఒక తలమునకు పొడవు, వెడల్పులు ఉంటాయి. కాని మందము ఉండదు.
vi) రెండు వేరు వేరు బిందువుల గుండా ఒకే ఒక సరళరేఖను గీయగలము.
vii) రెండు సరళరేఖలు రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించుకొనును.
viii) రెండు ఖండనరేఖలు, ఒకే రేఖకు సమాంతర రేఖలు కాలేవు.
సాధన.
i) ఒక కిరణమునకు అంత్యబిందువు లేడు. – అసత్యం
ii) సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు సరళరేఖ \(\overline{\mathrm{BA}}\) లు ఒక్కటే. – సత్యం
iii) కిరణము \(\overline{\mathrm{AB}}\) మరియు కిరణము \(\overline{\mathrm{BA}}\) లు ఒక్కటే. – అసత్యం
iv) ఒక సరళరేఖకు పరిమిత పొడవు ఉండును. – అసత్యం
v) ఒక తలమునకు పొడవు, వెడల్పులు ఉంటాయి. కాని మందము ఉండదు. – సత్యం
vi) రెండు వేరు వేరు బిందువుల గుండా ఒకే ఒక సరళరేఖను గీయగలము. – సత్యం
vii) రెండు సరళరేఖలు రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించుకొనును. – అసత్యం
viii) రెండు ఖండనరేఖలు, ఒకే రేఖకు సమాంతర రేఖలు కాలేవు. – సత్యం

ప్రశ్న4.
ఒక గడియారములో కింద ఇచ్చిన కాలము సూచింపబడునపుడు ఆ రెండు గడియారపు ముళ్ల మధ్య ఏర్పడు కోణము ఎంత ?
a) 9 : 00 గంటలు
b) 6 : 00 గంటలు
c) సా॥ 7 : 00 గంటలు
సాధన.

a) 12 గంటలు = 360°
1 గంట = \(\frac{360^{\circ}}{12}\) = 30°
∴ 9 గంటలపుడు గడియారపు ముళ్ల మధ్య కోణము = 3 × 30 = 90°

b)

6 గంటలు గడియారపు ముళ్ల మధ్య కోణము = 6 × 30° = 180°

c)

సా॥ 7 : 00 గంటలు
గడియారపు ముళ్ల మధ్య కోణము = 7 × 30° = 210°