Category: Class 9

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 6th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Exercise 6.4

ప్రశ్న 1.
ఈ కింది సమీకరణాలను
a) సంఖ్యారేఖపై సూచించండి మరియు
b) కార్టీజియన్ తలముపై సూచించండి. (గ్రాఫ్ గీయండి)
i) x = 3
ii) y + 3 = 0
iii) y = 4
iv) 2x – 9 = 0
v) 3x + 5 = 0
సాధన.
i) x = 3 రేఖ, Y- అక్షంకు సమాంతరంగా ‘3’ యూనిట్ల దూరంలో, మూలబిందువుకు కుడి వైపున ఉండును.
ii) y + 3 = 0
⇒ y = – 3 రేఖ, X- అక్షంకు సమాంతరంగా ‘3’ యూనిట్ల దూరంలో, మూలబిందువుకు ఎడమ వైపున ఉండును.
iii) y = 4 రేఖ, X- అక్షంకు సమాంతరంగా ‘4’ యూనిట్ల దూరములో, మూలబిందువుకు పైన ఉంటుంది.
iv) 2x – 9 = 0
⇒ x = \(\frac {9}{2}\) = 4.5 రేఖ, Y- అక్షంకు సమాంతరంగా 4.5 యూనిట్ల దూరములో, మూలబిందువుకు కుడి వైపున ఉండును.
v) 3x + 5 = 0
⇒ 3x = – 5
⇒ x = \(\frac {-5}{3}\) రేఖ, Y- అక్షంకు సమాంతరంగా \(\frac {5}{3}\) యూనిట్ల దూరములో మూలబిందువుకు ఎడమ వైపున ఉండును.

ప్రశ్న 2.
2x – 11 = 0 ను
i) ఏక చరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణంగా భావించి
ii) రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణంగా భావించి జ్యామితీయ రూపంలో వ్యక్తపరచండి. (గ్రాఫ్ గీయండి.)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 11 = 0

ప్రశ్న 3.
3x + 2 = 8x – 8ను సాధించి సాధనను
i) సంఖ్యారేఖపై
ii) కార్టిజియన్ తలముపై సూచించాలి.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 3x + 2 = 8x – 8
3x – 8x = – 8 – 2
– 5x = – 10
x = \(\frac {-10}{-5}\) = 2

ప్రశ్న 4.
కింది బిందువుల గుండా పోతూ X- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణాలను కనుగొనుము.
i) (0, – 3)
ii) (0, 4)
iii) (2, – 5)
iv) (3, 4)
సాధన.
i) ఇచ్చిన బిందువు (0, – 3)
X- అక్షంనకు సమాంతరంగా వుండు రేఖా సమీకరణం y = k
∴ కావలసిన రేఖా సమీకరణం y = – 3 (లేక) y + 3 = 0.

ii) ఇచ్చిన బిందువు (0, 4)
X- అక్షంనకు సమాంతరంగా వుండు రేఖా సమీకరణం y = k
∴ కావలసిన రేఖా సమీకరణం y = 4 (లేక) y – 4 = 0.

iii) ఇచ్చిన బిందువు (2, – 5)
X- అక్షంనకు సమాంతరంగా వుండు రేఖా సమీకరణం y = k
∴ కావలసిన రేఖా సమీకరణం y = – 5 (లేక) y + 5 = 0.

iv) ఇచ్చిన బిందువు (3, 4)
X- అక్షంనకు సమాంతరంగా వుండు రేఖా సమీకరణం y = k
∴ కావలసిన రేఖా సమీకరణం y = 4 (లేక) y – 4 = 0.

ప్రశ్న 5.
కింది బిందువుల గుండా పోతూ Y- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణాలను కనుగొనుము.
(i) (- 4, 0)
(ii) (2, 0)
(iii) (3, 5)
(iv) (- 4, – 3)
సాధన.
Y- అక్షంకు సమాంతరంగా వుండు రేఖా సమీకరణం x = k
∴ కావలసిన సమీకరణములు
i) (-4, 0) గుండా పోతే ఏర్పడు రేఖా సమీకరణం x = – 4 (లేదా) x + 4 = 0
i) (2, 0) గుండా పోతే ఏర్పడు రేఖా సమీకరణం x = 2 (లేదా) x – 2 = 0
iii) (3, 5) గుండా పోతే ఏర్పడు రేఖా సమీకరణం x = 3 (లేదా) x – 3 = 0
iv) (- 4, – 3) గుండా పోతే ఏర్పడు రేఖా సమీకరణం x = – 4 (లేదా) x + 4 = 0

ప్రశ్న 6.
ఏవైనా మూడు సరళరేఖల సమీకరణాలను రాయుము.
i) X- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే
సాధన.
y = 3
y = – 4
y = 6

ii) Y- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే
సాధన.
x = – 2
x = 3
x = 4

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు InText Questions

ప్రయత్నించండి

1. ‘l’ సెం.మీ. పొడవైన భుజం గల ఒక ఘనమును తీసుకోండి. ముందు కృత్యములో దీర్ఘమనమును కత్తిరించిన విధంగానే చేసి దాని యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యమును, సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం.216)
సాధన.

‘l’ సెం.మీ. భుజం గల ఒక ఘనమును కత్తిరించి, తెరచిన పైన పటంలో చూపిన విధంగా ఏర్పడును.
పటంలో A, B, C, D, E, F అను ‘l’ భుజంగా గల చతురస్రములు కలవు.
తలాలు A, C, D, F లు ఘనము యొక్క ప్రక్క తలాలను తెలియజేయుచున్నవి.
∴ ఘనపు ప్రక్కతల వైశాల్యము = 4l² చ.యూ.
మొత్తం ఆరు తలాలు కలిసి ఘనమును ఏర్పరచును.
∴ ఘనపు సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 6l² చ.యూ.

2. (a) ‘a’భుజముగా గల ఘనము యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం.217)

సాధన.
a భుజముగా గల ఘనము యొక్క ఘనపరిమాణము
V = భుజము³ = a³ ఘ. యూనిట్లు.

(b) అదే విధముగా ఒక ఘనము ఘనపరిమాణం 1000 ఘనపు సెంటీమీటర్లు అయితే దాని యొక్క భుజమును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం.217)
సాధన.
ఘనపరిమాణం = V = భుజము³
= 10 × 10 × 10 = 10³
∴ భూజము = 10 సెం.మీ.

3. స్థూపము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము మారకుండా దానియొక్క వ్యాసార్ధమును రెట్టింపు చేస్తే దాని ఎత్తులో కలిగే మార్పు ఎంత ? (పేజీ నెం. 225)
సాధన.
మొదటి స్థూపపు వ్యాసార్ధము మరియు ఎత్తులు వరుసగా r మరియు h అనుకొనుము.
ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2πrh
స్టూప వ్యాసార్థం రెట్టింపయిన, ప్రక్కతల వైశాల్యములో మార్పు లేకుండా ఉంటే దాని ఎత్తు h₁ అనుకొనుము.
కొత్త ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2πrh
= 2π (2r) (h₁)
⇒ 2πrh = 4πrh₁
∴ h₁ = \(\frac {2πrh}{4πr}\) = \(\frac {1}{2}\)h
∴ ఎత్తు, అసలు ఎత్తులో సగము ఉండును.

4. వాటర్ హీటరు యొక్క స్థూపాకార పైపు యొక్క పొడవు 14 మీటర్లు మరియు వ్యాసము 5 సెం.మీ. అయితే నీటిని వేడిచేసే ఈ హీటరు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం.225)
సాధన.
వ్యాసార్ధము (r) = వ్యాసము / 2 = \(\frac {5}{2}\) = 2.5 సెం.మీ.
పైపు పొడవు = ఎత్తు = 14 మీ.
హీటరు సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 2.5 × (2.5 + 14)
= \(\frac {110}{7}\) × 16.5 = \(\frac {1815}{7}\)
= 259.29 సెం.మీ.³

5. ‘r’ వ్యాసార్ధము, ‘l’ చాపము పొడవు గల సెక్టరును వృత్తాకార కాగితం నుండి కత్తిరించి శంఖువుగా తయారుచేయుము. శంఖువు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం A = πrl ను ఏ విధంగా ఉత్పాదిస్తావో చెప్పుము. (పేజీ నెం. 228)

సాధన.
వ్యాసార్థం ‘r’ మరియు చాపము పొడవు ‘l’ గా గల సెక్టరును వృత్తాకార కాగితం నుండి కత్తిరించి శంఖువుగా మార్చగా వ్యాసార్థం ‘r’, ఏటవాలు ఎత్తు ‘l’ గా మరియు చాపం పొడవు ‘l’ భూ చుట్టుకొలత 2πr గా మారును.
సెక్టరు వైశాల్యము = \(\frac {lr}{2}\) = శంఖువు వైశాల్యం

= \(\frac {2πrl}{2}\) = శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యము = πrl

6. గోళం ఉపరితల వైశాల్యాన్ని మీరు ఇంకేదైనా పద్ధతిలో కనుగొనగలరా ? (పేజీ నెం. 235)
సాధన.

గోళం ఉపరితల వైశాల్యానికి సూత్రంను కనుగొనుటకు గోళమును సర్వసమాన పిరమిడ్ యొక్క భూములన్నీ గోళ ఉపరితలాన్ని ఆక్రమిస్తున్నాయని ఊహించిన ఆ పటంపైన చూపబడినట్లుగా ఏర్పడును.
పై పటంలో అటువంటి ఒక పిరమిడను చూపటము జరిగినది. పిరమిడ్ యొక్క వైశాల్యంకు, ఘనపరిమాణంకు గల నిష్పత్తిని తీసుకొనగా,
పిరమిడ్ వైశాల్యం A.
పిరమిడ్ ఘనపరిమాణం V = (1/3) × A × r = (A × r) / 3
∴ పిరమిడ్ యొక్క వైశాల్యం, ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి A/V= A + (A × r) / 3 = (3 × A) / (A × r) = 3 / r
ఆ గోళమును n సర్వసమాన పిరమిడ్లుగా విభజించిన భూమిని అనుకొనుము.
n పిరమిడ్ యొక్క మొత్తం వైశాల్యం = n × A.
అదే విధంగా , పిరమిడ్ యొక్క మొత్తం ఘనపరిమాణము = n × V.
∴ గోళము యొక్క n పిరమిడ్ల యొక్క వైశాల్యాల మొత్తంకు, ఘనపరిమాణాల మొత్తంకు గల నిష్పత్తి = n × A / n × V = A / V
మనకు ముందుగానే A / V = 3 / r అనుకున్నాము
కావున, n × A_{పిరమిడ్} = A_గోళం
n × V_{పిరమిడ్} = V_గోళం (అన్ని పిరమిడ్ల వైశాల్యాలు (లేక) ఘనపరిమాణాలు, వరుసగా గోళము యొక్క ఉపరితల వైశాల్యంకు లేక ఘనపరిమాణంకు సమానము)
పై పరిశీలనల నుండి,

∴ గోళం యొక్క సంపూర్ణ ఉపరితల వైశాల్యం 4πr² అగును.

ఇవి చేయండి

1. 4 సెం.మీ. భుజముగా గల ఘనము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యమును, సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 216)

సాధన.
భుజము l = 4 సెం.మీ.
∴ ఘనము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = 4l²
= 4 × 4² = 4³ = 64 సెం.మీ².
∴ ఘనము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము
= 6l² = 6 × 4² = 6 × 16 = 96 సెం.మీ².

2. ఒక ఘనము యొక్క భుజమును 50% పెంచితే ఎంత శాతము దాని యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము పెరుగుతుంది ? (పేజీ నెం. 216)
సాధన.
ఘనపు భుజము = x యూనిట్లు అనుకొనుము.
ఘనము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 6l²
= 6x²చ, యూ.
కొత్త భుజము = x + xలో 50% = x + \(\frac {50x}{100}\) = x + \(\frac{x}{2}=\frac{3 x}{2}\)
కొత్త సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 6l²
= \(6\left(\frac{3 x}{2}\right)^{2}=6 \times \frac{9 x^{2}}{4}=\frac{27 x^{2}}{2}\)
వైశాల్యంలో పెరుగుదల = \(\frac{27 \mathrm{x}^{2}}{2}\) – 6x²
= \(\left(\frac{27-12}{2}\right) x^{2}=\frac{15}{2} x^{2}\)
∴ వైశాల్యంలో పెరుగుదల శాతము
= వైశాల్యంలో పెరుగుదల / అసలు వైశాల్యము × 100

ఇక్కడ x = పెరుగుదల / తగ్గుదల

3. ఒక దీర్ఘఘనం యొక్క పొడవు, వెడల్పు చురియు ఎత్తు విలువలు l = 12 సెం.మీ., b = 10 సెం.మీ. మరియు h= 8 సెం.మీ. అయిన ఆ దీర్ఘఘన ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 218)
సాధన.
దీర్ఘఘనపు పొడవు (l) = 12 సెం.మీ., వెడల్పు
(b) = 10 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు (b) = 8 సెం.మీ.
ఘనపరిమాణం V = lbh = 12 × 10 × 8
= 960 ఘ. సెం.మీ.

4. భుజం 10 సెం.మీ.గా గల సమఘనము యొక్క ఘనపరిమాణము కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 218)
సాధన.
ఘనపరిమాణము V = l³ = 10 × 10 × 10
= 1000 ఘ. సెం.మీ.

5. పటంలో చూపబడిన లంబకోణ సమద్విబాహం త్రిభుజాకార పట్టకము యొక్క ఘనపరిమాణము కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 218)

సాధన.
పట్టక ఘనపరిమాణము = పట్టక భూ వైశాల్యం × ఎత్తు
= \(\frac {1}{2}\) × 5 × 5 × 8
= 25 × 4
= 100 ఘ. సెం.మీ.

6. 10 సెం.మీ. భుజము కలిగిన చతురస్రాకార భూమి మరియు 8 సెం.మీ. ఎత్తు కలిగిన పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణము కనుక్కోంది. (పేజీ నెం. 219)
సాధన.
పిరమిడ్ ఘనపరిమాణము
= \(\frac {1}{3}\) × భూ వైశాల్యం × ఎత్తు
= \(\frac {1}{3}\) × 10 × 10 × 8 = \(\frac {800}{3}\) సెం.మీ.³
= 266.67 సెం.మీ³.

7. సమఘనము యొక్క ఘనపరిమాణము 1200 ఘనపు సెంటీమీటర్లు. సమఘనపు ఎత్తుతో సమాన ఎత్తు కలిగిన చతురస్రాకార పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 219)
సాధన.
చతుర రార పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణం
= \(\frac {1}{3}\) × సమఘన ఘనపరిమాణము
= \(\frac {1}{3}\) × 1200 = 400 ఘ. సెం.మీ.

8. క్రింది పటములో చూపబడిన స్థూపము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యంను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 221)

ప్రశ్న (i)
r = x సెం.మీ.; h = yసెం.మీ.
సాధన.
స్థూపపు ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh .
= 2πxy సెం.మీ.²

ప్రశ్న (ii)
d = 7 సెం.మీ.; h = 10 సెం.మీ.
సాధన.

స్థూపపు ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × \(\frac {7}{2}\) × 10
= 220 సెం.మీ.²

ప్రశ్న (iii)
r = 3 సెం.మీ.; b = 14 సెం.మీ.
సాధన.

స్థూపపు ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 3 × 14
= 264 సెం.మీ.²

9. ఈ కింది స్థూపముల యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 222)

సాధన.
(i) r = 7 సెం.మీ. ; h = 10 సెం.మీ.
స్థూపపు సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 (7 + 10)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 17
= 748 చ.సెం.మీ.

(ii) స్థూపం భూ వైశాల్యం = 250 చ.సెం.మీ. .
h = 7 సెం.మీ. ; πr² = 250 సెం.మీ.
πr² = 250 ⇒ \(\frac {22}{7}\) × r² = 250
⇒ r² = 125 × \(\frac {7}{11}\)
∴ r = \(\sqrt{\frac{875}{11}}\)
r = 8.9 సెం.మీ.
స్థూపపు సంపూర్ణతల వైశాల్యము =
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 8.9 (8.9 + 7)
= \(\frac{44 \times 8.9 \times 15.9}{7}=\frac{6226.44}{7}\)
= 889.50 (సుమారుగా)

10. ఒక లంబకోణ త్రిభుజాన్ని తీసుకోంది/ కత్తిరించండి. పటంలో చూపినట్లు దానికి ఒక సన్నని వెదురుషుల్లను లంబాకార భుజమును అతికించండి. కర్రయొక్క రెండు వైపులను పట్టుకొని చుట్టూ తిప్పండి. తిప్పేవేగము స్థిరముగా ఉండాలి. మీరు ఏమి గమనించారు? (పేజీ నెం. 229)
సాధన.

ఒక క్రమ వృత్తాకార శంఖువు ఏర్పడుటను గమనించితిని.

11. ఈ కింది క్రమ వృత్తాకార శంఖువు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం, సంపూర్ణతల వైశాల్యములను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 229)
సాధన.

OP = 2 సెం.మీ.; OB = 3.5 సెం.మీ.
OP = h = 2 సెం.మీ.
r = OB = 3.5 సెం.మీ.
ప్రక్కతల వైశాల్యము = πrl
కాని l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+3 \cdot 5^{2}}\)
= \(\sqrt{4+12.25}\)
= \(\sqrt{16.25}\) = 4.03
వక్రతల వైశాల్యము = \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 4.03
= 44.34 సెం.మీ².
సంపూర్ణతల వైశాల్యము = πr (r + l)
= \(\frac {22}{7}\) × 3.5(3.5 + 4.03)
= \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 7.53 = 82.83 సెం.మీ².

OP = 3.5 సెం.మీ.; AB = 10 సెం.మీ.
r = \(\frac {AB}{2}\) = 5 సెం.మీ. ; h = 3.5 సెం.మీ.
l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}=\sqrt{5^{2}+3.5^{2}}=\sqrt{25+12.25}\)
వ.త,వై. = πrl = \(\frac {22}{7}\) × 5 × 6.10
= 95.90 సెం.మీ².
స.త.వై = πr (r + 1)
= \(\frac {22}{7}\) × 5 × (5 + 6.10)
= 174.42 సెం.మీ².

12. ఒక క్రమ వృత్త స్థూపాకార వస్తువులో r వ్యాసార్ధముగా గల గోళం అమర్చబడినది. అయితే
(i) గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం
(ii) స్థూపము యొక్క వక్రతల వైశాల్యం
(iii) (i) మరియు (ii) వైశాల్యముల నిష్పత్తి కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 236)

సాధన.
(i) గోళం వ్యాసార్ధం = స్థూపం వ్యాసార్ధము = r
∴ గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr²
(ii) స్థూపం యొక్క వక్రతల వైశాల్యం = 2πr (2r) [∵ h = 2r] = 4πr²
(iii) (i) మరియు (ii) వైశాల్యా ల నిష్పత్తి = 4πr² : 4πr² = 1 : 1

13. ఈ కింది పటముల యొక్క ఉపరితల వైశాల్యములను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 236)

(i)

గోళం ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr²
గోళం వ్యాసార్ధం = 7 సెం.మీ.
గోళం ఉపరితల వై = 4 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 = 616 సెం.మీ².

(ii)

అడ్డగోళ ఉపరితల వైశాల్యము = 2πr² = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7
= 308 సెం.మీ²
స.త.వై = 3πr² = 3 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 = 462 సెం.మీ²

14. కింది పటంలో చూపబడిన గోళముల యొక్క ఘనపరిమాణములను కనుక్కోంది. (పేజీ నెం. 238)
సాధన.

r = 3 సెం.మీ.
V = \(\frac {22}{7}\)πr³ = \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 3 × 3 × 3
= 113.14 సెం.మీ³.

d = 5.4 సెం.మీ.
r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {5.4}{2}\) = 2.7 సెం.మీ.
V = \(\frac {4}{3}\)πr³ = \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 2.7 × 2.7 × 2.7 = 82.48 సెం.మీ³.

15. 6.3 సెం.మీ. వ్యాసార్థంగా గల గోళ ఘనపరిమాణమును కనుక్కోంది. (పేజీ నెం.238)
సాధన.
గోళ వ్యాసార్ధం r = 6.3 సెం.మీ.
గోళ ఘనపరిమాణము V= \(\frac {4}{3}\)πr³ = \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 6.3 × 6.3 × 6.3 = 1047.81 సెం.మీ³.

కృత్యం

1. భూమి, ఎత్తు సమానముగా గల ఘనము, చతురస్రాకార పిరమిడ్లను తీసుకొందాం. (పేజీ నెం. 218)

పిరమిడను ఒక ద్రవముతో నింపి ఆ ద్రవమును ఘనములో పూర్తిగా నింపండి. ఘనము నింపడానికి ఎన్నిసార్లు పిరమిడ్ నుపయోగించాలి ? పరిశీలిస్తే మూడుసార్లు అని తెలుస్తుంది.
దీనిని బట్టి, పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణం
= \(\frac {1}{3}\) × క్రమ పట్టకం ఘనపరిమాణం (ఒకే భూమి, ఒకే ఎత్తు)
= \(\frac {1}{3}\) × భూవైశాల్యం × ఎత్తు
సూచన : ఒక క్రమ పట్టకము, భూమికి లంబంగా ఉండేలా పక్క తలాలను కల్గి ఉంటుంది. మరియు ఆ పక్క తలాలన్నీ దీర్ఘచతురస్రాలే.

2. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార పలుచని అట్ట లేక కాగితమును తీసుకోండి. ఒక పొడవాటి దళసరి తీగను తీసుకొని పటములో చూపిన విధంగా అతికింపుము. తీగయొక్క రెండు చివరలను పట్టుకొని దీర్ఘచతురస్రాకార అట్టను వేగముగా త్రిప్పండి.

మీరు ఏమి గమనించారు ? కంటికి కనబడిన ఆకృతి ఎమిటి ? దానిని స్థూపముగా మీరు గుర్తించారా ? (పేజీ నెం. 220)

3. సెక్టరును శంఖువుగా మార్చే విధానం (పేజీ నెం. 227)
ఈ కింది సూచనలను పాటిస్తూ పటములో చూపిన విధముగా చేయండి.

(i) పటం (a) చూపిన విధంగా ఒక దళసరి కాగితముపై వృత్తమును గీయండి.
(ii) పటం (b) లో చూపినట్లు సెక్టరు AOB ను కత్తిరించండి.
(iii) పటం (c)లో చూపినట్లు A మరియు B చివరలను
ఒకదానితో ఒకటి తాకేటట్లు నెమ్మదిగా పటములో చూపిన విధముగా కలుషము. A, Bలు ఆధ్యారోహణము కాకూడదు. A, B లును అతికింపుము.
(iv) మీరు పొందిన ఆకృతి యొక్క లక్షణములు ఏమిటి? అది క్రమ వృత్తాకార శంఖువు అవుతుందా ?
‘OA’ మరియు ‘OB’ లను కలిపి శంఖువు తయారుచేసేటప్పుడు OA, OB మరియు చాపము AB ల యొక్క పొడవులలో గమనించిన మార్పులు ఏమిటి?

4. ఒక దళసరి కాగితంపై ఒక వృత్తమును గీయుము. దానిని కత్తిరింపుము. దాని వ్యాసము వెంబడి ఒక తీగను అతికింపుము. తీగ యొక్క రెండు చివరలు పట్టుకొని తిప్పుము. సమవేగముతో తిప్పితే మీరు ఏమి గమనించారు? (పేజీ నెం.235)

ఉదాహరణలు

1. 14 సెం.మీ. పొడవుగల దీర్ఘ చతురస్రాకార కాగితమునకు వెడల్పు వెంబడి రోల్ చేస్తే 20 సెం.మీ. వ్యాసార్థముగా గల స్థూపం ఏర్పడింది. అయిన స్థూపము (పటం 1) యొక్క ఘనపరిమాణము కనుక్కోండి. (π = \(\frac {22}{7}\) గా తీసుకొండి.) (పేజీ నెం. 222)
సాధన.
దీర్ఘచతురస్రాకార కాగితమును వెడల్పు వెంబడి రోల్ చేయగా ఏర్పడిన స్థూపము యొక్క ఎత్తు, కాగితపు వెడల్పునకు సమానమవుతుంది. అయితే

స్థూపము యొక్క ఎత్తు h = 14 సెం.మీ.
మరియు వ్యాసార్థం (r) = 20 సెం.మీ.
స్థూపము ఘనపరిమాణము V = πr²h
= \(\frac {22}{7}\) × 20 × 20 × 14 = 17600 ఘనపు సెంటీమీటర్లు
స్థూపపు ఘనపరిమాణము = 17600 ఘ, సెం.మీ.

2. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకారపు కాగితము 11 సెం.మీ. × 4 సెం.మీ. కొలతలను కల్గియుంది. దానిని అంచులు ఆధ్యారోహణము చెందకుండా ఉండే విధముగా, 4 సెం.మీ. ఎత్తు కల్గిన స్థూపముగా మలిస్తే, స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 223)
సాధన.
కాగితము యొక్క పొడవు, స్థూపము యొక్క భూపరిధికి సమానముగా, వెడల్పు ఎత్తునకు సమానముగా ఉంటుంది.

స్థూపపు వ్యాసార్ధము r = మరియు ఎత్తు = h స్టూపపు భూపరిధి = 2πr = 11 సెం.మీ.
2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 11
r = \(\frac {7}{4}\)సెం.మీ.
h = 4 సెం.మీ.
స్టూపపు ఘనపరిమాణం (V) = 2π²h
= \(\frac {22}{7}\) × \(\frac {7}{4}\) × \(\frac {7}{4}\) × 4 = 38.5 ఘనపు సెంటీమీటర్లు.

3. దీర్ఘచతురస్రాకారములో దళసరి కాగితము 14 సెం.మీ. × 18 సెం.మీ. కొలతలు కల్గియుంది. దానిని పొడవు వెంబడి చుట్టూ స్థూపమును తయారుచేసాము. స్థూపమును ఘనముగా (పూర్తిగా నింపబడిన) భావిస్తే దాని యొక్క వ్యాసార్ధమును, సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 223)
సాధన.
స్టూపము యొక్క ఎత్తు = 18 సెం.మీ.
స్థూపము యొక్క భూపరిధి = 44 సెం.మీ.
2πr = 44 సెం.మీ.
r = \(\frac{44}{2 \times \pi}=\frac{44 \times 7}{2 \times 22}\) = 7 సెం.మీ.
సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2πr(r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7(7 + 18)
= 1100 చ.సెం.మీ.

4. 5 మి.మీ. మందము కల్గిన వృత్తాకార ప్లేటులను ఒకదానిపై మరొకటి పేర్చి స్థూపముగా ఏర్పరిస్తే, దాని యొక్క పక్కతల వైశాల్యము 462 చ.సెం.మీ. స్థూపమును ఏర్పరిచేందుకు కావలసిన వృత్తాకార ప్లేటుల సంఖ్య ఎంత ? ప్లేటు యొక్క వ్యాసార్థమును 2. 3.5 సెం.మీ.గా తీసుకోండి. (పేజీ నెం. 224)
సాధన.
వృత్తాకార ప్లేటు యొక్క మందం = 5 మి.మీ.
= \(\frac {5}{10}\) సెం.మీ. = 0.5 సెం.మీ.
ప్లేటు యొక్క వ్యాసార్ధము = 3.5 సెం.మీ.
స్థూపము యొక్క పక్కతల వైశాల్యము = 462 చ. సెం.మీ.
∴ 2πrh = 462 ………… (i)
స్థూపము ఏర్పాటుకు అవసరమయ్యే ప్లేటుల సంఖ్య x అనుకొనుము.
∴ స్థూపము యొక్క ఎత్తు = h = ప్లేటు యొక్క మందం × ప్లేటుల సంఖ్య = 0.5x
∴ 2πrh = 2 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 0.5x ……. (ii)
(i) మరియు (ii) సమీకరణముల నుండి,
2 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 9.5x = 462
∴ x = \(\frac{462 \times 7}{2 \times 22 \times 3.5 \times 0.5}\) = 42 ప్లేట్లు.

5. ఒక గుల్ల లోహపు స్థూపము యొక్క బాహ్య వ్యాసార్ధము 8 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 10 సెం.మీ. మరియు సంపూర్ణతల వైశాల్యము . 338 π చ.సెం.మీ. గుల్ల లోహపు స్థూపము యొక్క మందమును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 224)
సాధన.

బాహ్య వ్యాసార్ధము = R = 8 సెం.మీ.
అంతర వ్యాసార్ధము = r
ఎత్తు = 10 సెం.మీ.
సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 338 π చ.సెం.మీ.
కాని సంపూర్ణతల వైశాల్యము = బయటి స్థూపము యొక్క పక్కతల వైశాల్యం (CSA) + లోపల యున్న స్థూపము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం (CSA) + 2 × భూ వైశాల్యము (కంకణము)
= 2πRh + 2πrh + 2π(R² – r²)
= 2π(Rh + rh + R² – r²)
∴ 2π(Rh + rh + R² – r²) = 338π
Rh + rh + R² – r² = 169
⇒ (10 × 8) + (r × 10) + 8² – r² = 100
⇒ r² – 10r + 25 = 0
⇒ (r – 5)² = 0
∴ r = 5
∴ లోహపు స్థూపము యొక్క మందం = R – r = (8 – 5) సెం.మీ. = 3 సెం.మీ.

6. ఒక మొక్కజొన్న కంకి శంఖువు ఆకారములో ఉంది. వెదల్పు ఎక్కువగాయున్న ప్రాంతపు వ్యాసార్థము 1.4 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు (పొడవు) 12 సెం.మీ. ప్రతి చ. సెం.మీ. ప్రాంతములో సుమారుగా 4 జొన్న గింజలుంటే మొత్తము ఎన్ని గింజలుంటాయి? (పేజీ నెం.230)
సాధన.

ఇక్కడ l = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)
= \(\sqrt{(1.4)^{2}+(12)^{2}}\) సెం.మీ.
= \(\sqrt{145.96}\) = 12.08 సెం.మీ. (సుమారుగా)
మొక్కజొన్న కంకి వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= \(\frac {22}{7}\) × 1.4 × 12.08 చ.సెం.మీ.
= 53.15 చ.సెం.మీ.
= 53.2 చ. సెం.మీ. (సుమారుగా)
మొక్కజొన్న కంకిలో 1 చ.సెం.మీ. వైశాల్యములో గల జొన్న గింజల సంఖ్య = 4
∴ మొక్క జొన్న కంకి ప్రక్కతల వైశాల్యములో గల మొత్తము జొన్న గింజల సంఖ్య = 53.2 × 4 = 212.8 = 213 (సుమారుగా),
అందుచే మొక్కజొన్న కంకి సుమారుగా 213 గింజలుంటాయి.

7. 5.6 సెం.మీ. భూవ్యాసార్ధము మరియు 158,4 చ.సెం.మీ. ప్రక్కతల వైశాల్యము గల శంఖువు యొక్క ఏటవాలు ఎత్తు మరియు శంఖువు ఎత్తులను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 231)
సాధన.
భూ వ్యాసార్ధము = 5.6 సెం.మీ.
ఎత్తు = h, ఏటవాలు ఎత్తు = l
వక్రతల వైశాల్యము = πrl = 158.4 చ.సెం.మీ.
⇒ \(\frac {22}{7}\) × 5.6 × l = 158.4
⇒ l = \(\frac{158.4 \times 7}{22 \times 5.6}=\frac{18}{2}\) = 9 సెం.మీ.
l² = r² + h² అని మనకు తెలుసు
h² = l² – r²= 9² – (5.6)²
= 81 – 31.36 = 49.64
h = \(\sqrt{49.64}\)
h = 7.05 సెం.మీ. (సుమారుగా)

8. ఒక గుడారం స్థూపముపై శంఖువు వలె ఉంది. శంఖువు యొక్క వ్యాసము స్థూపము భూవ్యాసము 24 మీటర్లకు సమానముగా యుంది. స్థూపము యొక్క ఎత్తు 11 మీ. మరియు శంఖువు యొక్క ఎత్తు 5 మీటర్లు, గుడారము తయారుచేయడానికి కావలసిన గుడ్డ చదరపు మీటరుకు ₹10 చొప్పున మొత్తము ఎంత ఖర్చవుతుంది ? (పేజీ నెం.231)
సాధన.
స్థూపపు భూవ్యాసము = శంఖువు వ్యాసం = 24 మీ.
∴ భూవ్యాసార్ధము = 12 మీ.
స్థూపము య్కొ ఎత్తు = 11 మీ. = h₁
శంఖము యొక్క ఎత్తు = 5 మీ. = h₂
శంఖము యొక్క ఏటవాటు ఎత్తు ‘l’ అనుకొందాం.
l = GD = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}\) = 13 మీ.

కావలసిన గుడ్డ వైశాల్యము = స్థూపము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం + శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యం
= 2πrh₁ + πrl
= πr (2h₁ + l)
= \(\frac {22}{7}\) × 12(2 × 11 + 13) చ.మీ.
= \(\frac{22 \times 12}{7}\) × 35 చ.మీ. = 22 × 60 చ.మీ. = 1320 చ.మీ.
గుడ్డ యొక్క వెల = ₹ 10 చదరపు మీటరుకు
∴ గుడ్డ యొక్క మొత్తం ఖరీదు = వెల × గుడ్డ యొక్క వైశాల్యం
= ₹10 × 1320 = ₹13,200

9. సైన్యము తన బేనొక్యాంప్ కొరకు శంఖువు ఆకారములో ఎత్తు 3 మీ. మరియు భూవ్యాసము 8 మీ.గా యున్న గుదారమును ఏర్పాటుచేసిన
(i) గుదారం తయారుచేయడానికి కావలసిన బట్ట యొక్క వెల చ.మీ.నకు ₹70 అయిన మొత్తము ఖర్చు ఎంత?
(ii) ప్రతి వ్యక్తికి 3.5 ఘనపు మీటర్ల గాలి కావలసి యుంటే గుడారములో కూర్చోగల వ్యక్తుల సంఖ్య ఎంత ? (పేజీ నెం. 232)
సాధన.

గుడారం యొక్క వ్యాసం = 8 మీ.
r = \(\frac{d}{2}=\frac{8}{2}\) = 4మీ.
ఎత్తు = 3 మీ.
ఏటవాలు ఎత్తు (l) = \(\sqrt{\mathrm{h}^{2}+\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{\mathrm{3}^{2}+\mathrm{4}^{2}}\) = \(\sqrt{25}\) = 5 మీ.
∴ గుడారం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం = πrl
= \(\frac {22}{7}\) × 4 × 5 = \(\frac {440}{7}\) చ.మీ.
శంఖువు ఘనపరిమాణం = \(\frac {1}{3}\)πr²h
= \(\frac {1}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 4 × 4 × 3
= \(\frac {352}{7}\) ఘనపు మీటర్లు
(i) గుదారం తయారీకి కావలసిన గుడ్డ ఖరీదు
= ప్రక్కతల వైశాల్యం × యూనిట్ల
= \(\frac {440}{7}\) × 70 = ₹4400

(ii) గుడారంలో కూర్చోగల వ్యక్తుల సంఖ్య = శంఖాకార గుడారం ఘనపరిమాణం / ప్రతి వ్యక్తికి కావల్సిన గాలి ఘనపరిమాణం
= \(\frac{352}{7} \div 3.5=\frac{352}{7} \times \frac{1}{3.5}\) – 14.36
= 14 మంది వ్యక్తులు (సుమారుగా)

10. గోళం ఉపరితల వైశాల్యం = 154 చ.సెం.మీ. అయిన దాని వ్యాసార్ధమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 238)
సాధన.
గోళం ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr²
4πr² = 154 ⇒ 4 × \(\frac {22}{7}\) × r² = 154
⇒ r² = \(\frac{154 \times 7}{4 \times 22}=\frac{7^{2}}{2^{2}}\)
⇒ r = \(\frac {7}{2}\) = 3.5 సెం.మీ.

11. ఒక అర్ధగోళాకారపు గిన్నె రాతితో తయారుచేయబడి 5 సెం.మీ. మందం కల్గియుంది. దాని లోపలి వ్యాసార్థం 35 సెం.మీ. అయిన గిన్నె యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యంను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 239)
సాధన.
వెలుపలి వ్యాసార్ధం R, లోపలి వ్యాసార్థం ‘r’.
మందం 5 సెం.మీ. అనుకొందాం.
∴ R = (r + 5) సెం.మీ. = (35 + 5) సెం.మీ.
= 40 సెం.మీ.

సంపూర్ణతల వైశాల్యం = బయటి ఉపరితల వైశాల్యం + లోపలి ఉపరితల వైశాల్యం + కంకణ వైశాల్యం
= 2πR² + 2πr² + π(R² – r²)
= π(2R² + 2r² + R² – r²)
= \(\frac {22}{7}\)(3R² + r²) = \(\frac {22}{7}\) (3 × 40² + 35²) చ.సెం.మీ.
= \(\frac{6025 \times 22}{7}\) చ.సెం.మీ.
= 18935.71 చ.సెం.మీ. (సుమారుగా)

12. అర్ధగోళాకారపు పై కప్పు కల్గిన ఒక భవనం (పటములో చూపిన విధంగా) నకు రంగు వేయాలి. పై కప్పు యొక్క భూపరిధి 17.6 మీ. ఆయిన 10 చ.సెం.మీ. వకు రంగు వేయుటకు 5 రూపాయలు చొప్పున భవనంనకు రంగువేయడానికి ఎంత ఖర్చు అవుతుంది? (పేజీ నెం. 299)
సాధన.

భవనంలోని వృత్తాకార ఉపరితల వైశాల్యంనకు మాత్రమే రంగు వేయాలి కనుక అర్ధగోళం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం కనుగొనాలి. పైకప్పు యొక్క భూపరిధి = 17.6 మీ.
∴ 17.6 = 2πr
అందుచే పై కప్పు యొక్క వ్యాసార్ధం = 17.6 × \(\frac{7}{2 \times 22}\) మీ. = 2.8 మీ.
పై కప్పు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πr²
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 2.8 × 28 చ.మీ.
= 49.28 చ.మీ.
100 చ.సెం.మీ. ప్రాంతమునకు రంగువేయడానికి అయ్యేఖర్చు = ₹ 5
∴ 1 చ.మీ. ప్రాంతమునకు రంగు వేయడానికి అయ్యే ఖర్చు = ₹500
∴ రంగు వేయడానికి అయ్యే మొత్తం ఖర్చు = 500 × 49.28 = ₹24640

13. ఒక సర్కస్ లో మోటార్ సైకిలిస్టు ఒక గుల్ల గోళాకార ఆకృతిలో విన్యాసములు చేయుచున్నాడు. గుల్ల గోళము యొక్క వ్యాసం 7 మీ, సైకిలిస్టు విన్యాసంలో తిరిగేందుకు అవకాశము ఉండే ప్రాంత వైశాల్యము ఎంత ? (పేజీ నెం. 240)
సాధన.
గోళం వ్యాసం = 7 మీ., వ్యాసార్ధం = 3.5 మీ.
అందుచే విన్యాసకుడు తిరగగలిగే ప్రాంత వైశాల్యం గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యంనకు సమానం.
4πr² = 4 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5 చ.మీ. = 154 చ.మీ.

14. షాటి ఫుటనకు ఉపయోగించే లోహపు గోళం యొక్క వ్యాసార్థం 4.9 సెం.మీ. లోహం యొక్క సాంద్రత 7.8 గ్రా. ఘనపు సెం.మీ. అయిన షాట్‌పుట్ యొక్క ద్రవ్యరాశి కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 240)
సాధన.
షాట్ పుట్ లోహపు గోళము కనుక దాని ద్రవ్యరాశి గోళము యొక్క ఘనపరిమాణం మరియు సాంద్రతల లబ్ధమునకు సమానము. అందుచే మనము గోళము యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుగొనాలి.
ఇప్పుడు గోళం ఘనపరిమాణం = \(\frac {4}{3}\)πr³
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 4.9 × 4.9 × 4.9 ఘ. సెం.మీ.
= 493 ఘ. సెం.మీ. (సమారుగా)
1 ఘనపు సెంటీ మీటరు లోహం యొక్క ద్రవ్యరాశి = 7.8 గ్రా.
అందుచే షాట్‌పుట్ యొక్క ద్రవ్యరాశి = 7.8 × 493 గ్రాములు = 3845.44 గ్రా. = 3.85 కి.గ్రా. (సుమారుగా)

15. ఒక అర్ధగోళాకారపు గిన్నె యొక్క వ్యాసార్ధం 3.5 సెం.మీ. దానిలో నింపగలిగే నీటి ఘనపరిమాణం ఎంత? (పేజీ నెం. 240)
సాధన.
గిన్నెలోని నీటి ఘనపరిమాణం = అర్ధగోళం ఘనపరిమాణం
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 3.5 ఘు. సెం.మీ.
= 89.8 ఘన సెం.మీ. (సమారుగా)

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 6th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Exercise 6.3

ప్రశ్న 1.
కింది వాని యొక్క రేఖా చిత్రాలను గీయుము.
i) 2y = -x + 1
ii) -x + y = 6
iii) 3x + 5y = 15
iv) \(\frac{x}{2}-\frac{y}{3}\) = 3
సాధన.
i) 2y = -x + 1
⇒ x + 2y = 1

ii) -x + y = 6

iii) 3x + 5y = 15

iv) \(\frac{x}{2}-\frac{y}{3}\) = 3
⇒ \(\frac{3 x-2 y}{6}\) = 3
⇒ 3x – 2y = 18

ప్రశ్న 2.
కింది వాని యొక్క రేఖాచిత్రాలను గీసి, ప్రశ్నలకు సమాధానమిమ్ము.
i) y = x
ii) y = 2x
iii) y = – 2x ,
iv) y = 3x
v) y = – 3x
సాధన.
i) y = x

ii) y = 2x

iii) y = – 2x

iv) y = 3x

v) y = – 3x

i) ఇవన్నీ y = mx (m ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య) రూపంలో ఉన్నాయా ?
సాధన.
అవును. ఇవన్నీ y = mx రూపంలో వున్నాయి.

ii) వీని రేఖాచిత్రాలన్నీ మూలబిందువు గుండా పోతున్నాయా ?
సాధన.
అవును. వీటి రేఖాచిత్రాలన్నీ మూలబిందువు గుండా పోతున్నాయి.

iii) ఈ రేఖాచిత్రాలు ఆధారంగా నీవేమి నిర్ధారించగలవు ?
సాధన.
y = mx రూపంలో ఉన్న రేఖలన్నీ మూలబిందువు గుండా పోతాయని నిర్ధారించవచ్చు.

ప్రశ్న 3.
2x + 3y = 11 యొక్క రేఖాచిత్రాన్ని గీయుము. దీని నుండి x = 1 అయిన y విలువ ఎంత ? కనుగొనుము.
సాధన.

గ్రాఫ్ నుండి, x = 1 అయిన y = 3.

ప్రశ్న 4.
y – x = 2 యొక్క రేఖాచిత్రాన్ని గీయుము. దీని నుంచి
i) x = 4 అయినప్పుడు y విలువను
ii) y = -3 అయినప్పుడు x విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము y – x = 2 లేదా – x + y = 2

గ్రాఫు నుండి
i) x = 4 అయితే y = 6
ii) y = – 3 అయిన x = – 5

ప్రశ్న 5.
2x + 3y = 12 యొక్క రేఖాచిత్రం గీయుము. దీని నుండి
(i) y – నిరూపకము 3 అయ్యే విధంగా
(ii) x – నిరూపకము – 3 అయ్యే విధంగా సాధనలను కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 2x + 3y = 12

i) గ్రాఫు నుండి, y = 3 అయినపుడు x = \(\frac {3}{2}\); సాధన (\(\frac {3}{2}\), 3)
ii) గ్రాఫు నుండి, x = – 3 అయినపుడు y = 6; సాధన (-3, 6)

ప్రశ్న 6.
కింది సమీకరణాల రేఖాచిత్రాలను గీయండి. ఇది నిరూపక అక్షాలను ఖండించే బిందువులను కనుగొనండి.
i) 6x – 3y = 12
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 6x – 3y = 12

గ్రాఫు నుండి ఇచ్చిన రేఖ X – అక్షంను (2, 0) వద్ద మరియు Y – అక్షంను (0, – 4) వద్ద ఖండించును.

ii) -x+ 4y = 8
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం – x + 4y = 8

గ్రాఫు నుండి ఇచ్చిన రేఖ X – అక్షంను (-8, 0) వద్ద మరియు Y – అక్షంను (0, 2) వద్ద ఖండించును.

iii) 3x + 2y + 6 = 0
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 3x + 2y + 6 = 0

గ్రాఫు నుండి ఇచ్చిన రేఖ X – అక్షంను (-2, 0) వద్ద మరియు Y – అక్షంను (0, – 3) వద్ద ఖండించును.

ప్రశ్న 7.
రజియా మరియు ప్రీతి ఒక పాఠశాలలో 9వ తరగతి చదువుచున్నారు. వీరు సహజ విపత్తులు సంభవించినప్పుడు బాధితులకు సహాయం చేయుట కొరకు ఏర్పాటు చేసిన ప్రధానమంత్రి సహాయనిధికి ₹ 1000 ఇచ్చారు. ఈ సమాచారమునకు సరిపడు సమీకరణమును రూపొందించి దానికి రేఖాచిత్రమును గీయుము.
సాధన.
రజియా P.M.R.F కు ఇచ్చిన విరాళము = ₹ x అనుకొనుము.
ప్రీతి P.M.R.F కు ఇచ్చిన విరాళము = ₹ y అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారము x + y = 1000

ప్రశ్న 8.
గోపయ్య తన మొత్తం 5000 చ.మీ. వైశాల్యం కలిగిన రెండు వేరువేరు పొలాలలో వరిని, గోధుమలను పండించాడు. దీనికి సరిపడు సమీకరణంను రూపొందించి దానికి రేఖాచిత్రమును గీయుము.
సాధన.
గోపయ్య వరిని పండించిన పొలం వైశాల్యం = x చ.మీ.
మరియు గోధుమను పండించిన పొలం వైశాల్యం = y చ.మీ. అనుకొనుము.
∴ లెక్క ప్రకారము x + y = 5000

ప్రశ్న 9.
6 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి గల వస్తువుపై బలాన్ని ప్రయోగించినప్పుడు అది పొందిన త్వరణము, ప్రయోగించిన బలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. ఈ పరిశీలనకు సరిపడు సమీకరణమును రాసి, దానికి రేఖాచిత్రమును గీయుము.
సాధన.
వస్తువు ద్రవ్యరాశి = m = 6 kg; ప్రయోగించబడిన బలం = F, త్వరణము = a అయిన
లెక్క ప్రకారము, వస్తువుపై ప్రయోగించిన బలం, త్వరణానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
∴ f ∝ a ⇒ f = m · a ⇒ f = 6a

ప్రశ్న 10.
ఒక పర్వతము మీద నుంచి ఒక రాయి కింద పడుతూ ఉంది. దాని యొక్క వేగము v = 9.8t. (t = కాలము) దీనికి అనుగుణమైన రేఖాచిత్రమును గీచి, దాని నుండి ‘4’ సెకండ్ల సమయంలో దాని వేగమెంతో కనుగొనుము.
సాధన.
రాయి యొక్క వేగము v, రాయి ప్రయాణించిన కాలము = t
రాయి వేగము, కాలములకు మధ్యగల సంబంధము = v = 9.8t

4 సెకండ్ల సమయములో రాయి వేగము = v = 9.8 × 4 = 39.2 మీ/సె².

ప్రశ్న 11.
ఒక ఎలక్షన్లో 60% ఓటర్లు తమ ఓటు హక్కును వినియోగించుకొనినారు. దీనికి సరిపడు రేఖాచిత్రము గీచి, దాని నుంచి కింది వానిని కనుగొనుము.
i) 1200 ఓటర్లు మాత్రమే తమ ఓటు హక్కును వినియోగించుకొన్న మొత్తం ఓటర్లు ఎంత మంది ?
ii) మొత్తం ఓటర్ల సంఖ్య 800 అయిన ఓటు హక్కును వినియోగించుకున్నవారెందరు?
[సూచన : ఓటు హక్కు వినియోగించుకున్న వారి సంఖ్య ‘x’ మరియు మొత్తం ఓటర్ల సంఖ్య ‘y’ అనుకొనిన x = 60% y]
సాధన.
మొత్తం ఓటర్ల సంఖ్య = y అనుకొనుము.
ఓటు హక్కును వినియోగించుకున్న ఓటర్ల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారం, x = yలో 60%

i) గ్రాఫ్ నుంచి x = 1200 అయిన మొత్తం ఓటర్ల సంఖ్య y = 2000.
ii) గ్రాఫ్ నుంచి y = 800 అయిన మొత్తం ఓటర్ల సంఖ్య x = 480.

ప్రశ్న 12.
రూప పుట్టినప్పుడు ఆమె తండ్రి వయస్సు 25 సం॥లు. ఈ దత్తాంశమునకు సరిపోవు సమీకరణమును రాసి దాని రేఖాచిత్రము గీసి దాని నుంచి ఈ కింది వానిని కనుగొనుము.
i) రూపకు 25 సం॥ల వయస్సు ఉన్నప్పుడు ఆమె తండ్రి వయస్సు.
ii) రూప తండ్రికి 40 సం॥ల వయస్సు ఉన్నప్పుడు రూప వయస్సు.
సాధన.
రూప తండ్రి వయస్సు = x సం॥ అనుకొనుము.
రూప వయస్సు = 9 సం॥లు
లెక్క ప్రకారం , x – y = 25 సం॥లు

గ్రాఫ్ నుండి,
i) రూపకు 25 సం॥లు ఉన్నప్పుడు ఆమె తండ్రి వయస్సు 50 సం॥లు.
ii) రూప తండ్రికి 40 సం॥లు ఉన్నప్పుడు ఆమె వయస్సు 15 సం॥లు.

ప్రశ్న 13.
ఒక ఆటో మొదటి గంట ప్రయాణానికి ₹ 15, తరువాత ప్రతీ గంట ప్రయాణానికి ₹ 8లు వసూలు చేయును. x కి.మీ. దూరానికి చెల్లించిన మొత్తం సొమ్ము ‘y’ అనుకొని ఈ సమాచారమునకు సరిపడు సమీకరణమును రాసి దానికి రేఖాచిత్రము గీయుము. రేఖాచిత్రము నుంచి చెల్లించిన మొత్తము ₹ 55 అయితే ప్రయోగించిన దూరమును మరియు 7 గంటలు ప్రయాణిస్తే చెల్లించవలసిన మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి గంట ప్రయాణానికి అగు ఛార్జీ = ₹ 15
మొదటి గంట తర్వాత ప్రతీ గంటకు అగు ఛార్జీ = ₹ 8
x కి.మీ. దూరముకు చెల్లించిన సొమ్ము = ₹ y
లెక్క ప్రకారం y = 15 + 8x
∴ 8x – y + 15 = 0

i) y = 55 అయితే x = 5 అగును.
ii) x = 7 అయిన y = 71 అగును.

ప్రశ్న 14.
పుస్తకాలను అద్దెకిచ్చే ఒక లైబ్రరీ మొదటి మూడు రోజులకు ఒక స్థిర మొత్తాన్ని ఆ తరువాత ప్రతి రోజుకు కొంత అదనపు మొత్తాన్ని వసూలు చేస్తుంది. జాన్ ఒక పుస్తకాన్ని 7 రోజులు ఉంచుకొని ₹ 27 లు చెల్లించాడు. మొదటి మూడు రోజుల స్థిర మొత్తాన్ని ₹ x మరియు ఆ తరువాత ప్రతీ రోజుకూ అదనంగా చెల్లించే మొత్తాన్ని ₹ y అనుకొని చెల్లించే స్థిరమొత్తము ₹ 7అయిన ప్రతీరోజూ అదనంగా చెల్లించే మొత్తాన్ని మరియు ప్రతీరోజూ అదనంగా చెల్లించే మొత్తము ₹ 4 అయిన మొదటి మూడు రోజులకు చెల్లించవలసిన స్థిరమొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
జాన్ ఒక పుస్తకాన్ని 7 రోజులు ఉంచుకొని చెల్లించిన మొత్తం సొమ్ము ₹ 27
మొదటి మూడు రోజులకు అగు మొత్తము = ₹ x (స్థిరము)
చివరి నాలుగు రోజులకు అగు మొత్తము = ₹ 4y (అదనంగా ప్రతీరోజూ అగు ఖర్చు ₹ y)
లెక్క ప్రకారం x + 4y = 27

x = 7 అయినపుడు y = 5.
y = 4 అయినపుడు x = 11.

ప్రశ్న 15.
హైదరాబాద్ రైల్వేస్టేషన్లో ఒక కారును నిలిపి ఉంచినందుకు మొదటి రెండు గంటలకు ₹ 50 ఆ తరువాత ప్రతి గంటకు ₹ 10 లు చెల్లించవలెను. ఈ సమాచారమునకు సరిపడు సమీకరణమును రాసి, రేఖాచిత్రమును గీయుము. దాని నుంచి కింది వానిని కనుగొనుము.
i) 3 గం॥లు కారును ఉంచిన చెల్లించిన మొత్తము
ii) 6 గం॥లు కారును ఉంచిన చెల్లించిన మొత్తము
iii) రేఖ చెల్లించిన మొత్తము ₹ 80 అయిన ఆమె ఎన్ని గంటలు కారును నిలిపి ఉంచింది ?
సాధన.
చెల్లించిన మొత్తము సొమ్ము = ₹ y
మొదటి రెండు గంటలకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము = ₹ 50.
ఒక గంటకు ₹ 10 ల చొప్పున x గంటలకు చెల్లించవలసిన మొత్తం సొమ్ము y = 50 + (x – 2) 10
⇒ y = 50 + 10 x – 20 ⇒ y = 10x + 30
∴ లెక్క ప్రకారం y = 10x + 30

i) మూడు గంటలకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము = 50 + 10 × 1 = ₹ 60
ii) ఆరు గంటలకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము = 50 + 10 × 4 = 50 + 40 = ₹ 90
iii) రేఖ తన కారును 5 గంటలు ఉంచినది.

ప్రశ్న 16.
సమీరా కారును 60 కి.మీ./గంట స్థిర వేగముతో నడుపుతుంది. దూరము – కాలము రేఖాచిత్రము గీసి, దాని నుంచి ఈ కింది సమయాలలో సమీరా ప్రయాణించిన దూరమును కనుగొనుము.
i) 1\(\frac {1}{2}\) గంట
ii) 2 గంటలు
iii) 3\(\frac {1}{2}\) గంటలు
సాధన.
కారు వేగము = 60 కి.మీ./గం.
ప్రయాణానికి తీసుకున్న సమయము = x గంటలు
ప్రయాణించిన దూరము = y గంటలు
లెక్క ప్రకారం, 60x = y ⇒ 60x – y = 0

i) 1\(\frac {1}{2}\) గంటలలో కారు ప్రయాణించిన దూరము = 90 కి.మీ.
ii) 2 గంటలలో కారు ప్రయాణించిన దూరము = 120 కి.మీ.
iii) 3\(\frac {1}{2}\) గంటలలో కారు ప్రయాణించిన దూరము = 210 కి.మీ.

ప్రశ్న 17.
నీటిలో హైడ్రోజన్ మరియు ఆక్సిజన్ అణుభారాల నిష్పత్తి 1 : 8. అయిన ఈ సమాచారాన్ని తెలియజేయు సమీకరణమును రూపొందించి దానికి రేఖాచిత్రం గీసి, దీని నుండి ఆక్సిజన్ పరిమాణము 12గ్రా॥ అయిన హైడ్రోజన్ పరిమాణమును, హైడ్రోజన్ పరిమాణము, \(\frac {3}{2}\)గ్రా॥ అయినప్పుడు ఆక్సిజన్ పరిమాణమును కనుగొనుము.
(సూచన : హైడ్రోజన్ మరియు ఆక్సిజన్ పరిమాణాలను వరుసగా ‘x’, ‘y’ అనుకొనిన x : y = 1 : 8 ⇒ 8x = y)
సాధన.
నీటిలో హైడ్రోజన్ పరిమాణము = x గ్రా. అనుకొనుము.
ఆక్సిజన్ పరిమాణము = y గ్రా. అనుకొనుము.
నీటిలో హైడ్రోజన్, ఆక్సిజన్ నిష్పత్తి = 1 : 8
లెక్క ప్రకారం, 8x = y ⇒ 8x – y = 0

గ్రాఫ్ నుండి, నీటిలో ఆక్సిజన్ పరిమాణము 12 గ్రా. అయిన హైడ్రోజన్ పరిమాణము = \(\frac {3}{2}\) గ్రా.
నీటిలో హైడ్రోజన్ పరిమాణము \(\frac {3}{2}\) గ్రా. అయిన ఆక్సిజన్ పరిమాణము = 12 గ్రా.లు

ప్రశ్న 18.
28 లీటర్ల పాలు, నీళ్ల మిశ్రమములో వాని నిష్పత్తి 5 : 2 అయిన మిశ్రమమునకు, పాలకు మధ్యగల సంబంధంను తెలియజేయు సమీకరణమును రూపొందించి దానికి రేఖాచిత్రము గీయుము. దాని నుంచి పై మిశ్రమములో పాల పరిమాణమును కనుగొనుము.
(సూచన : మిశ్రమమునకు, పాలకు మధ్యగల నిష్పత్తి = 5 + 2 : 5 = 7 : 5)
సాధన.
మిశ్రమములో గల పాల పరిమాణం = x లి॥ అనుకొనుము.
మిశ్రమము యొక్క పరిమాణము = y లీ॥ అనుకొనుము.
మిశ్రమములో పాలు మరియు నీళ్ల నిష్పత్తి = 5 : 2
నిష్పత్తిలోని పదాల మొత్తము = 5 + 2 = 7
∴ పాల పరిమాణము ‘x’ = \(\frac {5}{7}\)y లీ.
⇒ 7x = 5y ⇒ 7x – 5y = 0

గ్రాఫ్ నుండి, మిశ్రమములోని పాల పరిమాణము = 20 లీటర్లు.

ప్రశ్న 19.
అమెరికా, కెనడా దేశాలలో ఉష్ణోగ్రతను ఫారన్ హీట్ మానంలో కొలుస్తారు. అయితే ఇండియా లాంటి దేశాలలో సెల్సియస్ మానంలో కొలుస్తారు. ఫారన్ హీట మానానికి, సెల్సియస్మనానికి మధ్య గల సంబంధం కింది సమీకరణం తెలియజేస్తుంది.
F= (\(\frac {9}{5}\))C + 32
i) సెల్సియస్ డిగ్రీలను X – అక్షం మీద, ఫారన్ హీట్ డిగ్రీలను Y – అక్షం మీద తీసుకొని పై సమీకరణానికి రేఖాచిత్రము గీయుము.
ii) 30°C కి సమానమైన ఫారన్ హీట్ మానంలోని ఉష్ణోగ్రతలను కనుగొనుము.
iii) 95°F కు సమానమైన సెల్సియసమానంలోని ఉష్ణోగ్రతను కనుగొనుము.
iv) సెల్సియసమానములోనూ, ఫారన్ హీట్ మానంలోనూ ఒకే సంఖ్యా విలువలు కలిగి ఉండే ఉష్ణోగ్రత ఏమైనా ఉందా ? దాని విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
i) ఫారన్ హీట్ మానానికి, సెల్సియస్మనానికి మధ్యగల సంబంధము F = \(\frac {9}{5}\)C + 32

C = 20 అయిన F = \(\frac {9}{5}\) × 20 + 32 = 68
C = 30 అయిన F = \(\frac {9}{5}\) × 30 + 32 = 86
C = 35 అయిన F = \(\frac {9}{5}\) × 35 + 32 = 95

గ్రాఫు నుండి,
ii) 30° C = 86° F
iii) 95° F = 35° C
iv) C = – 40 అయిన F = – 40

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 6th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Exercise 6.2

ప్రశ్న 1.
కింది వానిలో ప్రతీ సమీకరణానికి మూడు వేరువేరు సాధనలను కనుగొనుము.
i) 3x + 4y = 7
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 3x + 4y = 7

ii) y = 6x
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము y = 6x ⇒ 6x – y = 0

iii) 2x – y = 7
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – y = 7

iv) 13x – 12y = 25
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 13x – 12y = 25

v) 10x + 11y = 21
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 10x + 11y = 21

vi) x + y = 0
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము x + y = 0

ప్రశ్న 2.
కింది సమీకరణాలకు (0, a) మరియు (b, 0) రూపంలోని సాధనలను కనుగొనండి.
i) 8x – y = 34
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 8x – y = 34.
x = 0 అయిన 8x – y = 34 ⇒ 8(0) – y = 34 ⇒ y = – 34
y = 0 అయిన 8x – y = 34 ⇒ 8x – 0 = 34 ⇒ 8x = 34 ⇒ x = \(\frac {17}{4}\)
∴ (0, a) మరియు (b, 0) రూపంలోని సాధనలు : (0, – 34), (\(\frac {17}{4}\), 0)

ii) 3x = 7y – 21
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 3x = 7y – 21.
x = 0 అయిన 3x = 7y – 21 ⇒ 3(0) = 7y – 21 ⇒ 7y = 21 ⇒ y = 3
y = 0 అయిన 3x = 7y – 21 ⇒ 3x = 7(0) – 21 ⇒ 3x = 21 ⇒ x = 7
∴ (0, a) మరియు (b, 0) రూపంలోని సాధనలు : (0, 3), (7, 0)

iii) 5x – 2y + 3 = 0
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 5x – 2y + 3 = 0.
x = 0 అయిన 5x – 2y + 3 = 0 ⇒ 5(0) – 2y + 3 = 0 ⇒ 2y = 3 ⇒ y = \(\frac {3}{2}\)
y = 0 అయిన 5x – 2y + 3 = 0 ⇒ 5x – 2(0) + 3 = 0 ⇒ 5x = – 3 ⇒ x = –\(\frac {3}{5}\)
∴ (0, a) మరియు (b, 0) రూపంలో గల సాధనలు (0, \(\frac {3}{2}\)), (\(\frac {-3}{5}\), 0)

ప్రశ్న 3.
కింది వానిలో ఏవి 2x – 5y = 10 సమీకరణానికి సాధనలు అవుతాయి ?
(i) (0, 2) (ii) (0, – 2) – (iii) (5, 0) (iv) (2\(\sqrt{3}\), – \(\sqrt{3}\)) (v) (\(\frac {1}{2}\), 2)
సాధన.
i) ఇచ్చిన బిందువు (0, 2); ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 5y = 10.
(0, 2) ను సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
2(0) – 5(2) = 10
-10 = 10
∴ L.H.S ≠ R.H.S
∴ (0, 2), 2x – 5y = 10 కు సాధన కాదు.

ii) ఇచ్చిన బిందువు (0, – 2); ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 5y = 10.
(0, – 2) ను సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
2(0) – 5 (-2) = 10
10 = 10
∴ L.H.S = R.H.S
∴ (0, – 2), 2x – 5y = 10 కు సాధన అవుతుంది.

iii) ఇచ్చిన బిందువు (5, 0); ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 5y = 10.
(5, 0) ను 2x – 5y = 10 నందు ప్రతిక్షేపించగా
2(5) – 5(0) = 10
10 = 10
∴ L.H.S = R.H.S
∴ (5, 0), 2x – 5y = 10 కు సాధన అవుతుంది.

iv) ఇచ్చిన బిందువు (2\(\sqrt{3}\), –\(\sqrt{3}\)); ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 5y = 10.
(2\(\sqrt{3}\), –\(\sqrt{3}\))ను 2x – 5y = 10 నందు ప్రతిక్షేపించగా
2(2\(\sqrt{3}\)) – 5(-\(\sqrt{3}\)) = 10 ⇒ 4\(\sqrt{3}\) + 5\(\sqrt{3}\) = 10 = 9\(\sqrt{3}\) ≠ 10
∴ L.H.S ≠ R.H.S
∴ (2\(\sqrt{3}\), – \(\sqrt{3}\)), 2x – 5y = 10 కు సాధన కాదు.

v) ఇచ్చిన బిందువు (1, 2)
ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 5y = 10.
(\(\frac {1}{2}\), 2) ను 2x – 5y = 10 నందు ప్రతిక్షేపించగా
2(\(\frac {1}{2}\)) – 5(2) = 10
1 – 10 = 10
– 9 = 10 (అసత్యము)
∴ (\(\frac {1}{2}\), 2), 2x – 5y = 10 కు సాధన కాదు.

ప్రశ్న 4.
2x + 3y = k సమీకరణానికి x = 2, y = 1 సాధన అయిన k విలువను కనుగొనుము. ఫలిత సమీకరణమునకు మరి రెండు సాధనలను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 2x + 3y = k కు ఇచ్చిన సాధన x = 2, y = 1.
కావున 2(2) + 3(1) = k ⇒ 4 + 3 = k ⇒ k = 7
∴ ఇచ్చిన సమీకరణము 2x + 3y = 7 గా మారినది.

∴ ఫలిత సమీకరణమునకు ఇంకనూ రెండు సాధనలు (0, \(\frac {7}{3}\)) మరియు (1, \(\frac {5}{3}\))

ప్రశ్న 5.
3x – 2y + 6 = 0 కు x = 2 – α మరియు y = 2 + α సాధన అయిన ‘α’ విలువను కనుగొనుము. ఫలిత సమీకరణంనకు 3 సాధనలను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 3x – 2y + 6 = 0, ఇచ్చిన సాధన x = 2 – α మరియు y = 2 + α
∴ 3 (2 – α) – 2 (2 + α) + 6 = 0
⇒ 6 – 3α – 4 – 2α + 6 = 0
⇒ 8 – 5α = 0 ⇒ – 5α = -8
∴ α = \(\frac {8}{5}\)
మరొక మూడు సాధనలు

ప్రశ్న 6.
3x + ay = 6కు x = 1, y = 1 సాధన అయితే ‘a’ విలువ ఎంత ?
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 3x + ay = 6, ఇచ్చిన సాధన x = 1, y = 1
= 3(1) + a(1) = 6 ⇒ 3 + a = 6 ⇒ a = 6 – 3 = 3

ప్రశ్న 7.
రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలను ఏవైనా ఐదింటిని రాయండి. ప్రతి సమీకరణానికి 3 వేరువేరు సాధనలను కనుగొనండి.
సాధన.
i) 2x – 4y = 10

ii) 5x + 6y = 15

iii) 3x – 4y = 12

iv) 2x – 7y = 9

v) 7x – 5y = 3

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Ex 10.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Exercise 10.4

ప్రశ్న 1.
ఒక గోళపు వ్యాసార్థం 2.5 సెం.మీ. అయిన దాని ఉపరితల వైశాల్యం, ఘనపరిమాణం ఎంత ?
సాధన.
గోళపు వ్యాసార్ధము, r = 3.5 సెం.మీ.
ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr² = 4 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5
= 4 × 22 × 0.5 × 3.5 = 154 సెం.మీ².
ఘనపరిమాణము = \(\frac {4}{3}\)πr³
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 3.5
= \(\frac{4 \times 22 \times 0.5 \times 12.25}{3}\)
= 179.666 సెం.మీ.³
= 179.7 సెం.మీ.³

ప్రశ్న 2.
ఒక గోళం ఉపరితల వైశాల్యం 1018\(\frac {2}{7}\) చ.సెం.మీ. అయిన దాని ఘనపరిమాణం ఎంత ?
సాధన.
గోళపు ఉపరితల వైశాల్యము = 4πr²
= 1018\(\frac {2}{7}\) సెం.మీ².
4πr² = \(\frac {7128}{7}\)
r² = \(\frac{7128 \times 7}{7 \times 4 \times 22}\)
r² = 81
r = \(\sqrt{81}\) = 9 సెం.మీ.
∴ గోళపు ఘనపరిమాణము = \(\frac {4}{3}\)πr³
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 9 × 9 × 9
= \(\frac {21384}{7}\) = 3054.857 సెం.మీ.³
= 3054.86 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 3.
గ్లోబులో భూమధ్యరేఖ పొడవు 44 సెం.మీ. అయిన దాని ఉపరితల వైశాల్యం ఎంత?
సాధన.
గ్లోబు యొక్క భూమధ్యరేఖ పొడవు
2πr = 44 సెం.మీ.
2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 44
∴ r = \(\frac{44 \times 7}{2 \times 22}\) = 7 సెం.మీ.
∴ ఉపరితల వైశాల్యము = 4πr²
= 4 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7
= 4 × 22 × 7 = 616 సెం.మీ².

ప్రశ్న 4.
ఒక గోళాకారపు బంతి యొక్క వ్యాసం 21 సెం.మీ. .. ఇటువంటి 5 బంతులను తయారుచేయడానికి కావలసిన పదార్ద పరిమాణం ఎంత?
సాధన.
గోళాకార బంతి యొక్క వ్యాసము ‘d’ = 21 సెం.మీ,
వ్యాసార్ధము ‘r’ = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {21}{2}\) = 10.5 సెం.మీ.
ఒక బంతి యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము = 4πr²
= 4 × \(\frac {22}{7}\) × 10.5 × 10.5
= 88 × 1.5 × 10.5 = 1386 సెం.మీ².
∴ అటువంటి 5 బంతులకు అవసరమైన పదార్థ పరిమాణము = 5 × 1386 = 6930 సెం.మీ².

ప్రశ్న 5.
రెండు గోళముల వ్యాసార్ధముల నిష్పత్తి 2 : 3. అయిన వాటి ఉపరితల వైశాల్యాలు మరియు ఘన పరిమాణముల నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
సాధన.
వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి = r₁ : r₂ = 2 : 3
ఉపరితల వైశాల్యాల నిష్పత్తి
= \(4 \pi r_{1}^{2}: 4 \pi r_{2}^{2}=r_{1}^{2}: r_{2}^{2}\)
= 2² : 3² = 4 : 9
ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి = \(\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}: \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}=r_{1}^{3}: r_{2}^{3}\)
= 2³ : 3³ = 8 : 27

ప్రశ్న 6.
10 సెం.మీ. వ్యాసార్ధముగా గల అర్ధగోళం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యంను కనుగొనుము. (π = 3.14 గా తీసుకొనుము)
సాధన.
అర్ధగోళపు వ్యాసార్ధము = 10 సెం.మీ.
అర్ధగోళ సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 3πr²
= 3 × 3.14 × 10 × 10 = 9.42 × 100
= 942 సెం.మీ².

ప్రశ్న 7.
ఒక గోళాకార బెలూన్ యొక్క వ్యాసం 14 సెం.మీ. నుండి 28 సెం.మీ. వరకు పెరిగే విధంగా గాలి నింపబడింది. ఈ రెండు సందర్భములలో గల ఉపరితల వైశాల్యముల నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
సాధన.
బెలూన్ యొక్క వ్యాసం, d = 14 సెం.మీ.
బెలూన్ వ్యాసార్థం, r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {14}{2}\) = 7 సెం.మీ.
∴ ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr² = 4 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7
= 88 × 7 = 616 సెం.మీ.²
గాలిని నింపినపుడు బెలూన్ వ్యాసము = 28 సెం.మీ.,
వ్యాసార్ధము = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {28}{2}\) = 14 సెం.మీ.
ఉపరితల వైశాల్యము = 4πr²
= 4 × \(\frac {22}{7}\) × 14 × 14
= 88 × 28 = 2464 సెం.మీ².
వైశాల్యాల నిష్పత్తి = 616 : 2464
= 1 : 4
(లేదా)
అసలు వ్యాసార్ధము = \(\frac {14}{2}\) = 7 సెం.మీ.
పెరిగిన వ్యాసార్ధము = \(\frac {28}{2}\) = 14 సెం.మీ.
వైశాల్యాల నిష్పత్తి = \(\mathrm{r}_{1}^{2}: \mathrm{r}_{2}^{2}=7^{2}: 14^{2}\)
= 7 × 7 : 14 × 14 = 1 : 4

ప్రశ్న 8.
0.25 సెం.మీ. మందం కల ఇత్తడితో ఒక అర్ధగోళాకార గిన్నెను తయారుచేశారు. గిన్నె లోపలి వ్యాసార్ధం 5 సెం.మీ. అయిన గిన్నె యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం మరియు లోపలితల వైశాల్యంనకు గల నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
సాధన.
అర్ధవృత్తపు లోపలి వ్యాసార్ధము = ‘r’ = 5 సెం.మీ.
అర్ధవృత్తపు బయటి వ్యాసార్ధము ‘R’ = లోపలి వ్యాసార్థం + మందం
= (5 + 0.25) సెం.మీ. = 5.25 సెం.మీ.
వైశాల్యాల నిష్పత్తి = 3πR² : 3πr²
= R² : r²
= (5.25)² : 5²
= 27.5625 : 25
= 1.1025 : 1
= 11025 : 10000
= 441 : 400
(గమనిక : వ్యాసార్ధంను వ్యాసంగా తీసుకున్న టెస్టుక్ జవాబును పొందవచ్చును)

ప్రశ్న 9.
ఒక సీసపు బంతి యొక్క వ్యాసం 21 సెం.మీ. దానిని తయారు చేయడానికి ఉపయోగించే సీసం యొక్క సాంద్రత 11.34 గ్రా. సెం.మీ³. అయిన బంతి యొక్క బరువు ఎంత ?
సాధన.
బంతి వ్యాసము = 2.1 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధము, r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {2.1}{2}\) = 1.05 సెం.మీ.
బంతి ఘనపరిమాణము ‘V’ = \(\frac {4}{3}\)πr³
= \(\frac {4}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 1.05³ = \(\frac {101.87}{21}\)
సీసపు సాంద్రత = 11.34 గ్రా|| సెం.మీ³
బంతి బరువు = ఘనపరిమాణము × సాంద్రత
= 4.851 × 11.34
= 55.010 గ్రా||లు

ప్రశ్న 10.
ఒక స్థూపాకార లోహము యొక్క వ్యాసం 5 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 3\(\frac {1}{3}\) సెం.మీ. దానిని కరిగించి ఒక గోళముగా తయారుచేస్తే దాని యొక్క వ్యాసం ఎంత ?
సాధన.
స్థూపపు వ్యాసము ‘d’ = 5 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధము, r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {5}{2}\) = 25 సెం.మీ.
సూపపు ఎత్తు, h = 3\(\frac {1}{3}\) = \(\frac {10}{3}\)సెం.మీ.
స్థూపపు ఘనపరిమాణం
= πr²h = \(\frac {22}{7}\) × 2.5 × 2.5 × \(\frac {10}{3}\)
దత్తాంశము నుండి స్థూపమును కరిగించి గోళముగా పోతపోసిరి.
∴ స్థూపపు ఘనపరిమాణం = గోళపు ఘనపరిమాణం
\(\frac {4}{3}\)πr³ = \(\frac {22}{7}\) × 2.5 × 2.5 × \(\frac {10}{3}\) (∴ r గోళపు వ్యాసార్ధము)
∴ r³ = \(\frac {3}{4}\) × 2.5 × 2.5 × \(\frac {10}{3}\)
r³ = 2.5³
∴ r = 2.5 సెం.మీ.
గోళపు వ్యాసము, d = 2r
= 2 × 2.5 = 5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 11.
10.5 సెం.మీ. వ్యాసము గల అర్ధగోళాకారపు గిన్నెలో నింపగల పాల యొక్క సామర్థ్యం ఎంత ?
సాధన.
అర్ధగోళాకారపు గిన్నె వ్యాసము = 10.5 సెం.మీ.
అర్ధగోళాకారపు గిన్నె వ్యాసార్ధం
= \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {10.5}{2}\) = 5.25 సెం.మీ.
గిన్నెలో పట్టు పాల పరిమాణము = గిన్నె ఘనపరిమాణం
= \(\frac {2}{3}\)πr³
= \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 5.25 × 5.25 × 5.25
= 303.1875 సెం.మీ³.
= \(\frac {303.1875}{1000}\)లీ. = 0303లీ.

ప్రశ్న 12.
ఒక అర్ధగోళాకార గిన్నె యొక్క వ్యాసం 9 సెం.మీ. గిన్నెలోగల ద్రవమును 3 సెం.మీ. వ్యాసం మరియు 3 సెం.మీ. ఎత్తుగల స్థూపాకారపు సీసాలలో నింపుతూ ఉంటే నిండుగా ఉన్న గిన్నెలోని ద్రవమును ఎన్ని సీసాలలో నింపవచ్చు ?
సాధన.
అర్ధగోళాకారపు గిన్నె వ్యాసము d = 9 సెం.మీ.
∴ ఆర్ధగోళాకారపు గిన్నె వ్యాసార్ధము,
r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {9}{2}\) = 4.5 సెం.మీ.
ద్రవపు ఘనపరిమాణం = గిన్నె ఘనపరిమాణము
= \(\frac {2}{3}\)πr³
= \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 4.5 × 4.5 × 4.5
స్థూపాకారపు సీసా వ్యాసము d = 3 సెం.మీ,
⇒ స్థూపాకారపు సీసా వ్యాసార్ధం
r = \(\frac {d}{2}\) = \(\frac {3.0}{2}\) = 1.5 సెం.మీ.
సీసా ఎత్తు, h = 3 సెం.మీ.
కావలసిన సీసాల సంఖ్య = n అనుకొనుము.
n సీసాల మొత్తం ఘనపరిమాణము = n . πr²h
ఈ ఘనపరిమాణం గిన్నెలోని ద్రవపు ఘనపరిమాణంకు సమానము.
n . \(\frac {22}{7}\) × 1.5 × 1.5 × 3
= \(\frac {2}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 4.5 × 4.5 × 4.5
∴ n = \(\frac{2}{3} \times \frac{20.25}{1.5}\) = 9
∴ కావలసిన సీసాల సంఖ్య = 9

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Ex 10.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Exercise 10.3

ప్రశ్న 1.
శంఖువు భూ వైశాల్యం 38.5 చ.సెం.మీ. మన పరిమాణం 77 మ. సెం.మీ. అయిన దాని యొక్క ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
శంఖువు యొక్క భూ వైశాల్యం, πr² = 38.5 సెం.మీ².
శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం V = \(\frac {1}{3}\)πr²h = 77

∴ శంఖువు యొక్క ఎత్తు = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
శంఖువు ఘనపరిమాణం 462 ఘనపు మీటర్లు. భూ వ్యాసార్థం 7 మీటర్లు అయిన దాని ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
శంఖువు ఘనపరిమాణం V = \(\frac {1}{3}\)πr²h = 462 ఘ॥మీ.
వ్యాసార్ధము ‘r’ = 7 మీ.
ఎత్తు = h అనుకొనుము.
\(\frac {1}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 × h = 462
h = \(\frac{462 \times 3}{22 \times 7}\) = 9
∴ ఎత్తు = 9 మీ.

ప్రశ్న 3.
ఒక శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యం 308 చ.సెం.మీ. మరియు ఏటవాలు ఎత్తు 14 సెం.మీ. అయిన
(i) భూ వ్యాసార్ధం (ii) శంఖువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన.
శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యం , πrl = 308 చ. సెం.మీ.
ఏటవాలు ఎత్తు, l = 14 సెం.మీ.
(i) πrl = 308 చ. సెం.మీ. ; l = 14 సెం.మీ.
\(\frac {22}{7}\) × r × 14 = 308
⇒ r = \(\frac {308}{44}\) = 7 సెం.మీ.

(ii) శంఖుపు సంపూర్ణతల వైశాల్యం = πr (r + l)
\(\frac {22}{7}\) × 7 × (7 + 14)
= 22 × 21 = 462 సెం.మీ².

ప్రశ్న 4.
చ.సెం.మీ.కు 25 పైసల వంతున ఒక శంఖువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యమంతటికి రంగువేయటానికి అయ్యే ఖర్చు ₹176 అయిన, ఏటవాలు ఎత్తు 25 సెం.మీ. అయినప్పుడు దాని ఘనపరిమాణం కనుక్కోండి.
సాధన.
శంఖువు యొక్క ఏటవాలు ఎత్తు, l = 25 సెం.మీ.
25 పైసల వంతున చ.సెం.మీ.కు ఆగు ఖర్చు = ₹ 176
∴ శంఖువు యొక్క సంపుర్ణతల వైశాల్యం
= \(\frac {176}{25}\) × 100 = 176 × 4 = 704 సెం.మీ².
శంఖువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = πr(r + l)
= 704సెం.మీ²
కాబట్టి \(\frac {22}{7}\)r(r + 25) = 704
r(r + 25) = \(\frac{704 \times 7}{22}\) = 224
r² + 25r = 224
⇒ r² + 25r – 224 = 0
⇒ r² + 32r – 7r – 224 = 0
⇒ r(r +32) – 7 (r + 32) = 0
⇒ (r + 32) (r – 7) = 0
⇒ r = 7
h = \(\sqrt{l^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{25^{2}-7^{2}}=\sqrt{625-49}\)
= \(\sqrt{576}\)
= 24 సెం.మీ.
∴ శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం = \(\frac {1}{3}\)πr²h
= \(\frac {1}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 × 24
= 22 × 7 × 8 = 1232 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 5.
15 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల ఒక వృత్తాకార దళసరి కాగితం నుండి 216° సెక్టరు కోణం గల సెక్టరును కత్తిరించి దాని అంచులతో యున్న వ్యాసార్థములను వంచి శంఖువుగా మలిస్తే దాని యొక్క ఘనపరిమాణం ఎంత?
సాధన.
సెక్బారు యొక్క వ్యాసార్థం, ‘r’ = 15 సెం.మీ.
సెక్బారు కోణము, ‘x’ = 216°
∴ సెక్బారు పొడవు (l) = \(\frac {x}{360}\) × 2πr
= \(\frac {216}{360}\) × 2πr = \(\frac {3}{5}\) (2πr)
శంఖువు యొక్క చుట్టుకొలత = చాపము పొడవు శంఖువు యొక్క 2πr = వృత్తం యొక్క శంఖువు యొక్క వ్యాసార్థం ‘r’ = \(\frac {3}{5}\) × 15 = 9
వృత్త వ్యాసార్ధము, ‘r’ = శంఖువు యొక్క ఏటవాలు ఎత్తు (l) = 9 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఎత్తు (h) = \(\sqrt{l^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{15^{2}-9^{2}}=\sqrt{225-81}\)
= \(\sqrt{144}\) = 12 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఘనపరిమాణము = \(\frac {1}{3}\) πr²h
= \(\frac {1}{3}\) × \(\frac {22}{7}\) × 9 × 9 × 12
= 1018.285 ఘ. సెం.మీ.
= 1018.3 ఘ. సెం.మీ. (సుమారుగా)

ప్రశ్న 6.
ఒక గుదారం యొక్క ఎత్తు 9 మీ. దాని యొక్క వ్యాసం 24 మీ. అయిన దాని ఏటవాలు ఎత్తు ఎంత ? గుదారంను తయారుచేయడానికి కావలసిన గుడ్డ వెల చ.మీ. ₹14 అయిన మొత్తం గుడ్డ వెల ఎంత ?
సాధన.
శంఖు ఆకారపు ‘టెంట్ ఎత్తు ‘h’ = 9 మీ.
భూ వ్యాసము = 24 మీ.
భూ వ్యాసార్ధము ‘r’ = \(\frac{d}{2}=\frac{24}{2}\) = 12 మీ.
కాన్వాసు ఖరీదు = ₹14 చ.మీ.కు
శంఖువు వక్రతల వైశాల్యము = πrl
l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}\)
= \(\sqrt{225}\) = 15 మీ.
∴ వక్రతల వైశాల్యం = πrl = \(\frac {22}{7}\) × 12 × 15
చ.మీ.కు ₹14 చొప్పున అయిన ఖర్చు
= 14 × \(\frac {22}{7}\) × 12 × 15 = ₹7920

ప్రశ్న 7.
శంఖువు యొక్క ప్రకృతల వైశాల్యం 1159\(\frac {5}{9}\) చ.సెం.మీ. దాని యొక్క భూవైశాల్యం 254\(\frac {4}{7}\) చ.సెం.మీ. అయిన . దాని ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనుము.
సాధన.
శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= 1159\(\frac {5}{7}\) చ. సెం.మీ.
శంఖువు భూ వైశాల్యము = πr² = 254\(\frac {4}{7}\) చ.సెం.మీ.
\(\frac {22}{7}\) × r² = \(\frac {1782}{7}\)
∴ r² = \(\frac{1782}{7} \times \frac{7}{22}=\frac{1782}{22}\) = 81
= 178 x 7 – 1782 = 81
⇒ \(\sqrt{81}\) = 9 సెం.మీ.

πrl = \(\frac {8118}{7}\) చ.మీ. కావున

ప్రశ్న 8.
ఒక గుడారం 4.8 మీ. ఎత్తుగల స్థూపాకారంగా ఉంది. దానిపై 4.5 మీ. భూవ్యాసార్థం, కేంద్రం నుండి 10.8 మీ. ఎత్తు ఉండే విధముగా ఒక శంఖువు అమర్చబడి ఉంది. అయిన గుడారము తయారు చేయుటకు కావలసిన గుడ్డ వైశాల్యం ఎంత?
సాధన.

స్థూపపు వ్యాసార్ధం, l = 4.5 మీ.
స్థూపపు ఎత్తు = h = 4.8 మీ.
∴ స్థూపపు వక్రతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 4.5 × 48
= 135.771 మీ².
శంఖువు వ్యాసార్ధం ‘r’ = స్థూపపు వ్యాసార్ధం = 4.5 మీ.
శంఖువు ఎత్తు ‘h’ = 10.8 – 4.8 = 6 మీ.
∴ శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు
l = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{4.5^{2}+6^{2}}\)
= \(\sqrt{20.25+36}=\sqrt{56.25}\) = 7.5 మీ.
∴ శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= \(\frac {22}{7}\) × 4.5 × 7.5
= \(\frac {742.5}{7}\) = 106.071 మీ².
∴ కావలసిన కాన్వాసు గుడ్డ పరిమాణం = స్థూపపు వక్రతలవైశాల్యం + శంఖువు వక్రతలవైశాల్యం
= 135.771 + 106.071
= 241.842 మీ².

ప్రశ్న 9.
8 మీటర్ల ఎత్తు, 6 మీటర్ల భూవ్యాసార్థం కలిగిన శంఖువు ఆకృతి గుదారం తయారుచేయుటకు 3 మీ. వెడల్పు కలిగిన టార్పలిన్ గుడ్డ ఎంత పొడవును కలిగియుండాలి ? (మార్జినను, వృథా అయ్యే గుద్దను కూడా పరిగణనలోకి తీసుకొంటే సుమారుగా 20 సెం.మీ. పొడవు గల టార్పలిన్ అదనంగా వినియోగమవుతుంది). (π = 3.14)
సాధన.
శంఖువు వ్యాసార్ధము, r = 6 మీ.
శంఖువు ఎత్తు, h = 8మీ.
∴ ఏటవాలు ఎత్తు l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{\mathrm{6}^{2}+\mathrm{8}^{2}}\)
= \(\sqrt{36+64}=\sqrt{100}\)
=10 మీ.
∴ శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం = πrl = 3.14 × 6 × 10
= 188.4 మీ².
టార్పలిన్ పొడవు = l అనుకొనుము.
∴ టార్పలిన్ వైశాల్యము, lb = 188.4 + 0.6
= 189 మీ².
⇒ 3l = 189
⇒ l = \(\frac {189}{3}\) = 63 మీ.

ప్రశ్న 10.
ఒక జోకర్ యొక్క టోపి 7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము మరియు 27 సెం.మీ. ఎత్తు కలిగిన క్రమ వృత్త శంఖువు ఆకారంలో ఉంది. అటువంటి 10 టోపీలను తయారు చేయడానికి ఎంత వైశాల్యం గల బట్ట అవసరం?
సాధన.
శంఖువు వ్యాసార్ధము, r = 7 సెం.మీ.
శంఖువు ఎత్తు, h = 27 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు (l)
= \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}=\sqrt{7^{2}+27^{2}}\)
= \(\sqrt{49+729}=\sqrt{778}\)
∴ శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం = πrl
= \(\frac {22}{7}\) × 7 × \(\sqrt{778}\) = 22 × \(\sqrt{778}\)
∴ 10 టోపీలకు అవసరమైన బట్ట వైశాల్యం = 10 × 22 × \(\sqrt{778}\)
= 6136,383 సెం.మీ².

ప్రశ్న 11.
పటములో చూపిన విధముగా ఒక శంఖువు ఆకృతిలో ఉన్న పాత్ర భూవ్యాసం 5.2 మీ. మరియు ఏటవాలు ఎత్తు 6.8 మీ. కలిగి ఉంది. దానిలో నీరు నిమిషానికి 1.8 ఘనపు మీటర్ల చొప్పున నింపబడుతుంది. అయితే పాత్రను నింపడానికి పట్టేకాలం ఎంత ?

సాధన.
పటం నుండి శంఖువు వ్యాసము = 5.2 మీ.
దాని వ్యాసార్ధము ‘r’ = \(\frac {5.2}{2}\) = 26 మీ.
శంఖువు ఎత్తు = h = 6.8 మీ
∴ శంఖువు ఘనపరిమాణం = \(\frac {1}{3}\) πr²h
= \(\frac {1}{3}\) × \(\frac {1}{3}\) × 2.6 × 2.6 × 6.8 = \(\frac {1011.296}{21}\) = 48.156 మీ³.
ఒక సెకనులో పంపు ద్వారా ప్రవహించు నీటి పరిమాణం = 1.8మీ³.
∴ కావలసిన సమయం = మొత్తం ఘనపరిమాణం / 1.8
= \(\frac {48.156}{1.8}\) = 26.753 = 27 ని॥లు.

ప్రశ్న 12.
రెండు సరూప శంఖువుల యొక్క ఘనపరిమాణములు 121 మరియు 96, ఘనపు యూనిట్లు శంఖువులలో ఒకదాని ప్రక్కతల వైశాల్యం 157 చదరపు యూనిట్లు. అయిన రెండవ దాని ప్రక్కతల వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన.
రెండు సరూప శంఖువుల యొక్క ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి = 12π : 96π
= 1 : 8
= (1)³ : (2)³
= 1 : 2
∴ ఆ సరూప శంఖువుల ప్రక్కతల వైశాల్యాల నిష్పత్తి
= (1)² : (2)²
= 1 : 4
మొదటి శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యము = 15π చ||యూ
∴ 1 భాగము = 15π అయిన
4 భాగాలు = 4 × 15π = 60π
∴ రెండవ శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యము = 60π

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 6th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Exercise 6.1

1. కింది సమీకరణాలను ax + by + c = 0 రూపంలో రాసి a, b మరియు c విలువలను కనుగొనుము.

ప్రశ్న i).
8x + 5y – 3 = 0
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 8x + 5y – 3 = 0
∴ a = 8, b = 5 మరియు c = – 3

ప్రశ్న ii).
28x – 35y = -7
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 28x – 35y = -7
దీనిని ax + by + c = 0 రూపంలో వ్రాయగా 28x – 35y + 7 = 0.
∴ a = 28, b = -35 మరియు c = 7

ప్రశ్న iii).
93x = 12 – 15y
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 93x = 12 – 15y
దీనిని ax + by + c = 0 రూపంలో వ్రాయగా 93x + 15y – 12 = 0.
∴ a = 93, b = 15 మరియు c = -12

ప్రశ్న iv).
2x = – 5y
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 2x = – 5y
దీనిని ax + by + c = 0 రూపంలో వ్రాయగా 2x + 5y + 0 = 0.
∴ a = 2, b = 5 మరియు c = 0

ప్రశ్న v).
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=7\)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణ \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=7\) ⇒ \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}-7=0\)
⇒ \(\frac{4 x+3 y-84}{12}=0\)
⇒ 4x + 3y – 84 = 0
∴ a = 4, b = 3 మరియు c = -84

ప్రశ్న vi).
y = –\(\frac {3}{2}\)x
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము y = –\(\frac {3}{2}\)x ⇒ 2y = -3x ⇒ 3x + 2y = 0
∴ a = 3, b = 2 మరియు c = 0

ప్రశ్న vii).
3x + 5y = 12
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 3x + 5y = 12 ⇒ 3x + 5y + (-12) = 0
∴ a = 3, b = 5 మరియు c = – 12

2. కింది ప్రతి సమీకరణమును ax + by + c = 0 గా రాసి a, b మరియు c విలువలను కనుగొనుము.

ప్రశ్న i).
2x = 5
సాధన.
2x = 5 ⇒ 2x – 5 = 0
2x – 5 = 0 ను ax + by + c = 0 తో పోల్చగా a = 2, b = 0 మరియు c = -5.

ప్రశ్న ii).
y – 2 = 0
సాధన.
y – 2 = 0 ను ax + by + c = 0 తో పోల్చగా a = 0, b = 1 మరియు c = – 2.

ప్రశ్న iii).
\(\frac{\mathrm{y}}{7}\) = 3
సాధన.
\(\frac{\mathrm{y}}{7}\) = 3 ⇒ y = 21 ⇒ y – 21 = 0
y – 21 = 0 ను ax + by + c = 0 తో పోల్చగా a = 0, b = 1 మరియు c = – 21.

ప్రశ్న iv).
x = \(\frac {-14}{13}\)
సాధన.
x = \(\frac {-14}{13}\) ⇒ 13x = – 14 ⇒ 13x + 14 = 0
13x + 14 = 0 ను ax + by + c = 0 తో పోల్చగా a = 13, b = 0 మరియు c = 14.

3. ఈ దత్తాంశమునకు సరిపోవు రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణమును రాయుము.

ప్రశ్న i).
రెండు సంఖ్యల మొత్తము 34.
సాధన.
x మరియు y లను రెండు సంఖ్యలు అనుకొనుము.
వాటి మొత్తం = 34
∴ x + y = 34 ⇒ x + y – 34 = 0
∴ కావలసిన రేఖీయ సమీకరణము x + y – 34 = 0.

ప్రశ్న ii).
ఒక బాల్ పెన్ను ఖరీదు, సిరాపెన్ను ఖరీదులో సగాని కంటే ₹ 5 లు తక్కువ.
సాధన.
సిరా పెన్ను ఖరీదు = ₹ x అనుకొనుము.
బాల్ పెన్ను ఖరీదు = ₹ y అనుకొనుము.
బాల్ పెన్ను ఖరీదు = సిరా పెన్ను ఖరీదులో సగాని కంటే ₹ 5 లు తక్కువ
₹ y = ₹\(\frac{x}{2}-5\)
y = \(\frac{x-10}{2}\)
2y = x – 10
∴ కావలసిన రేఖీయ సమీకరణము x – 2y – 10 = 0.

ప్రశ్న iii).
భార్గవికి వచ్చిన మార్కులు, సింధు మార్కులకు రెట్టింపు కంటే 10 ఎక్కువ.
సాధన.
సింధుకు వచ్చిన మార్కులు = x అనుకొనుము.
భార్గవికి వచ్చిన మార్కులు = y అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారము, భార్గవికి వచ్చిన మార్కులు, సింధు మార్కులకు రెట్టింపు కంటే 10 ఎక్కువ.
y = 2x + 10
∴ కావలసిన రేఖీయ సమీకరణము 2x – y + 10 = 0.

ప్రశ్న iv).
ఒక పెన్సిల్ వెల ₹ 2 మరియు ఒక బాల్ పెన్ను వెల ₹ 15. షీలా కొన్ని పెన్సిలను, కొన్ని బాల్ పెన్నులను కొని ₹ 100 లు చెల్లించినది.
సాధన.
ఒక పెన్సిల్ వెల = ₹ 2
ఒక బాల్ పెన్ను వెల = ₹ 15
షీలా కొన్న పెన్సిళ్ల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
షీలా కొన్న బాల్ పెన్నుల సంఖ్య = y అనుకొనుము.
x పెన్సిళ్ళ సంఖ్య = 2x
y పెన్నుల, సంఖ్య = 15y
లెక్క ప్రకారము, 2x పెన్సిళ్ళకు, 15y పెన్నులకు షీలా చెల్లించిన మొత్తము = ₹ 100
∴ కావలసిన రేఖీయ సమీకరణము 2x + 15y = 100.

ప్రశ్న v).
యామిని, ఫాతిమా 9వ తరగతి చదువుచున్నారు. వీరిరువురు కలసి ప్రధానమంత్రి సహాయనిధికి ₹ 200/- లు విరాళమిచ్చారు.
సాధన.
యామిని PMRF కు ఇచ్చిన విరాళము = ₹ x అనుకొనుము.
ఫాతిమా PMRF కు ఇచ్చిన విరాళము = ₹ y అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారము x + y = 200
∴ కావలసిన రేఖీయ సమీకరణము x + y = 200.

ప్రశ్న vi).
ఒక సంఖ్య, దానిలోని అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్యల మొత్తము 121. (సూచన: మొదటి సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానములోని అంకె x మరియు పదుల స్థానములోని అంకె y అనుకొనుము).
సాధన.
మొదటి సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె x మరియు పదుల స్థానములోని అంకె y అనుకొనుము.
∴ మొదటి సంఖ్య = 10y + x అనుకొనుము.
అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చు సంఖ్య = 10x + y
ఆ రెండు సంఖ్యల మొత్తము = 10y + x + 10x + y = 11x + 11y
లెక్క ప్రకారము, వాటి మొత్తము 11x + 11y = 121
x + y = 11
∴ కావలసిన రేఖీయ సమీకరణము x + y = 11.

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 5 నిరూపక జ్యామితి InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 5th Lesson నిరూపక జ్యామితి InText Questions

ఇవి చేయండి

1. మీ తరగతి గదిలో ఎవరైనా ఐదుగురు విద్యార్థులు కూర్చునే స్థానాన్ని వివరించండి. (పేజీ నెం. 108)
సాధన.
దీని సమాధానము తరగతి గదిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇది నోటి లెక్క. విద్యార్థి స్వయముగా తన తరగతి గదిని బట్టి సమస్యను సాధన చేయాలి.

2. కింద ఇచ్చిన బిందువులలో కొన్ని X – అక్షంపై ఉంటాయి. వాటిని గుర్తించండి. (పేజీ నెం.114)
i) (0, 5) ii) (0, 0) iii) (3, 0) iv) (-5, 0) v) (-2, -3) vi) (-6, 0) vii) (0, 6) viii) (0, a) ix) (b, 0)
సాధన.
బిందువులు (ii) (0, 0), (iii) (3, 0), (iv) (-5, 0), (vi) (-6, 0) మరియు (ix) (b, 0) లు X- అక్షంపై ఉంటాయి. వీటి y – నిరూపకము సున్నా కాబట్టి అవి X – అక్షంపై ఉన్నాయని నిర్ధారించవచ్చును.

3. కార్టీజియన్ తలంలో కింది బిందువులను స్థాపించండి. (పేజీ నెం. 120)
1. B (-2, 3) 2. L (6, -8) 3. U (6, 4) 4. E (-3, -3)
సాధన.

4. i) A, B, C, D, E బిందువుల నిరూపకాలు రాయండి. (పేజీ నెం. 121)
ii) F, G, H, I, J బిందువుల నిరూపకాలు రాయండి.
సాధన.
i) A(2, 9) ; B(5, 9); C(2, 6) ; D(5, 3) ; E(2, 3)
ii) F(-6, -2) ; G(-4, -5) ; H(-3, -7) ; 1(- 9, -7) ; J(-8, -5)

ప్రయత్నించండి

1. (0, x), (0, y), (0, 2) మరియు (0, – 5) లు ఏ అక్షంపై ఉంటాయి ? ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 114)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులన్నీ Y – అక్షంపై వుంటాయి. ఎందుకనగా వాటి యొక్క X – నిరూపకాలన్నీ సున్న కాబట్టి.

2. X – అక్షంపై ఉండే బిందువుల సాధారణ రూపం వ్రాయండి. (పేజీ నెం.114)
సాధన.
X – అక్షంపై ఉండే బిందువుల యొక్క సాధారణ రూపము (x, 0).

కృత్యం

1. జాతరలు, ఎగ్జిబిషన్లలో ఎప్పుడైనా నీవు “రింగ్ ఆట”ను చూశావా ? కొన్ని వస్తువులు అడ్డువరుసలోనూ మరియు నిలువు వరుసలలోనూ అమర్చి ఉంటాయి. వీటిపై మనం రింగ్ ను విసురుతాం. కింది చిత్రాన్ని గమనించండి. (పేజీ నెం. 108)
సాధన.

2. ఖాళీలను సరియైన సంఖ్యతో నింపండి.

సాధన.

3. 3వ నిలువు వరుస మరియు 4వ అడ్డువరుసలో ఉన్న వస్తువు; 4వ నిలువు వరుస మరియు 3వ అడ్డు వరుసలో ఉన్న వస్తువు ఒకటేనా ?
సాధన.
కాదు.

4. గ్లోబును చూసి హైదరాబాద్, న్యూఢిల్లీ, చెన్నె మరియు విశాఖపట్నం నగరాలను అక్షాంశ, రేఖాంశాల ఆధారంగా గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 123)

సృజనాత్మక కృత్యం

1. ఒక గ్రాఫ్ కాగితంపై కింద ఇవ్వబడిన బిందువుల జతలను గుర్తించి రేఖాఖండాలచే కలపండి. (పేజీ నెం. 123)
(1, 0) (0, 9); (2, 0) (0, 8); (3, 0) (0, 7); (4, 0) (0, 6);
(5, 0) (0, 5); (6, 0) (0, 4); (7,0) (0, 3); (8, 0) (0, 2); (9, 0) (0, 1).

ఉదాహరణలు

1. (i) P(8, 8) (ii) Q (6, -8) ల x నిరూపకం, y నిరూపకాలను వ్రాసి ప్రతి బిందువు యొక్క స్థానాన్ని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 112)
సాధన.
i) P (8, 8)
x – నిరూపకం (ప్రథమ నిరూపకం) = 8; y – నిరూపకం (ద్వితీయ నిరూపకం) = 8
P బిందువు X – అక్షం యొక్క ధనదిశలో Y – అక్షానికి 8 యూనిట్ల దూరంలో, మరియు Y – అక్షం యొక్క ధనదిశలో X – అక్షానికి 8 యూనిట్ల దూరంలో ఉంటుంది.

ii) Q (6, -8)
x – నిరూపకం = 6; y – నిరూపకం = -8
Q బిందువు X – అక్షం యొక్క ధనదిశలో Y – అక్షానికి 6 యూనిట్ల దూరంలో మరియు Y – అక్షం రుణదిశలో X – అక్షానికి 8 యూనిట్ల దూరంలో ఉంటుంది.

2. గ్రాఫ్ కాగితంలో సూచించిన బిందువుల నిరూపకాలు రాయండి. (పేజీ నెం.113)
సాధన.
1) P బిందువు నుంచి X – అక్షానికి లంబాన్ని గీయండి.
లంబరేఖ X – అక్షాన్ని 4 యూనిట్ల వద్ద ఖండించింది. కాబట్టి P యొక్క X నిరూపకం 4. అదేవిధంగా P బిందువు నుండి Y అక్షానికి లంబాన్ని గీయండి. లంబరేఖ Y అక్షాన్ని 3 యూనిట్ల వద్ద ఖండించింది. కాబట్టి P యొక్క Y నిరూపకం 3. కాబట్టి P బిందువు నిరూపకాలు (4, 3)

2) ఇదే పద్ధతినుపయోగించిన Q బిందువు యొక్క X నిరూపకం – 4 మరియు Y నిరూపకం 5.
Q బిందువు నిరూపకాలు (-4, 5).
3) R బిందువు యొక్క x నిరూపకం (-2) మరియు y నిరూపకం (- 4) R బిందువు నిరూపకాలు (-2, – 4).
4) S బిందువు నిరూపకాలు (4, -5)

3. గ్రాఫ్ కాగితంలో సూచించిన బిందువు నిరూపకాలు వ్రాయండి.
సాధన.
A బిందువు Y – అక్షం నుంచి 3 యూనిట్ల దూరంలో మరియు X – అక్షం నుంచి 0 యూనిట్ల దూరంలో ఉంది. కాబట్టి A యొక్క X – నిరూపకం 3 మరియు y – నిరూపకం 0. A బిందువు యొక్క నిరూపకాలు (3, 0). ఆలోచించి చర్చించండి.
i) B యొక్క నిరూపకాలు (2, 0), ఎందుకు ?
ii) C యొక్క నిరూపకాలు (- 1, 0), ఎందుకు ?
iii) D యొక్క నిరూపకాలు (-2.5, 0), ఎందుకు ?
iv) E యొక్క నిరూపకాలు (-4, 0) ఎందుకు ?

పై గ్రాఫ్ నుంచి X – అక్షంపై గల ప్రతిబిందువు X – అక్షం నుంచి సున్నా దూరంలో కలవు అని చెప్పవచ్చు. అందుచేత X – అక్షంపై ఉండే అన్ని బిందువుల Y నిరూపకాలు 0.
X – అక్షం సమీకరణం y = 0 చే సూచింపబడును.

4. గ్రాఫ్ కాగితంపై గుర్తించబడిన బిందువుల నిరూపకాలు రాయండి. (పేజీ నెం.114)
సాధన.
i) P బిందువు Y – అక్షం నుండి సున్నా యూనిట్ల దూరంలో ఉంది. కాబట్టి P యొక్క X నిరూపకం 0. P బిందువు X – అక్షం నుండి 5 యూనిట్ల దూరంలో ఉంది. కాబట్టి P యొక్క Y నిరూపకం 5.
కాబట్టి P యొక్క నిరూపకాలు (0, 5).

ఆలోచించండి, చర్చించండి :
ii) Q యొక్క నిరూపకాలు (0, 3.5), ఎందుకు ?
iii) R యొక్క నిరూపకాలు (0, 1), ఎందుకు ?
iv) S యొక్క నిరూపకాలు (0, -2), ఎందుకు ?
v) T యొక్క నిరూపకాలు (0, – 5), ఎందుకు ?
Y – అక్షంపై ఉండే ప్రతి బిందువు Y – అక్షం నుంచి 0 యూనిట్ల దూరంలో ఉంటుంది. కాబట్టి Y – అక్షంపై ఉండే ప్రతి బిందువు X నిరూపకం సున్న.
Y- అక్షం సమీకరణం X = 0 చే సూచింపబడును.

5. కింది లో బిందువులను పరిశీలించి పట్టికను పూర్తిచేయండి. (పేజీ నెం.115)

సాధన.

పై పట్టిక నుంచి బిందునిరూపకాల గుర్తులకు మరియు నిరూపకతలంలో ఆ బిందువు ఉండే పాదాలకు మధ్య సంబంధాన్ని మీరు పరిశీలించండి.

6. కింది బిందువులను కార్టీజియన్ తలంలో స్థాపించండి. (పేజీ నెం. 119)
(i) M (-2, 4) (ii) A (-5, -3) (iii) N (1, – 6)
సాధన.
గ్రాఫ్ కాగితంలో X – అక్షం మరియు Y – అక్షంను గీయండి.

i) M (-2, 4) బిందువు ఏ పాదంలో ఉంటుందో ఊహించండి.
x < 0, y > 0 కాబట్టి M రెండవ పాదంలో ఉంటుంది.
ఇప్పుడు బిందువును గుర్తిద్దాం. M (-2, 4) కావున 0 నుంచి ప్రారంభించి X – అక్షం రుణదిశలో 2 వరకు వెళ్ళండి.
అక్కడి నుండి ధన Y – అక్షం దిశలో పైకి 4 యూనిట్ల వరకు వెళ్ళి ఆగండి.
ii) A (-5, – 3) :
ఈ బిందువు మూడవ పాదంలో ఉంది.
మూల బిందువు 0 నుంచి ప్రారంభించి X – అక్షం రుణదిశలో – 5 వరకు వెళ్లి ఆగండి.
అక్కడి నుంచి రుణ Y – అక్షం దిశలో అంటే కింది వైపుకు 3 యూనిట్ల దూరం వరకు వెళ్లి ఆగండి. ఇదే మనకు కావలసిన బిందువు A (-5, – 3). iii) N (1, – 6) :
ఈ బిందువు ఏ పాదంలో ఉంటుంది ?
సున్నా నుంచి ప్రారంభించి X – అక్షం ధనదిశలో 1 యూనిట్ వరకు వెళ్లి ఆగండి, అక్కడి నుంచి రుణ Y – అక్షం దిశలో కింది వైపునకు 6 యూనిట్ల దూరం వరకు వెళ్లి ఆగండి. ఇదే మనకు కావలసిన బిందువు N (1, – 6).

7. T (4, – 2) మరియు V (- 2, 4) లను కార్టీజియన్ తలంలో స్థాపించండి.
సాధన.
గ్రాఫ్ కాగితంపై T (4, – 2) మరియు V (-2, 4) లను గుర్తించుము.
(4, – 2) మరియు (-2, 4) ఒకటేనా ? విభిన్నాలా ? ఆలోచించండి.

P (8, 3), Q (3, 8) లను గ్రాలో గుర్తించండి. A (4, -5) మరియు B (-5, 4) లను గ్రాలో గుర్తించండి. దీని నుండి (x, y) బిందువు, (y, x) బిందువులు విభిన్నాలా ? కాదా ? నిర్ణయించండి.
పై చర్చ నుంచి కార్టిజియన్ తలంలో (x, y) అనే బిందువు మరియు (y, x) అనే బిందువులు విభిన్నాలు అని మనం తెలుసుకున్నాం.
(x, y) లో x, y ల క్రమం ముఖ్యమైనది. అని మనం గమనించవచ్చు. అందుచేత (x, y) ను క్రమయుగ్మం అని అంటారు.
x ≠ y అయితే (x, y) ≠ (y, x).
కాని x = y అయితే (x, y) = (y, x) అగును.

8. ఒక గ్రాఫ్ కాగితంలో A(2, 2), B(6, 2), C(8, 5) మరియు D(4, 5) లను గుర్తించి అన్ని బిందువులను వరుసక్రమంలో సమాంతర చతుర్భుజం ఏర్పడేలాగా కలపండి. సమాంతర చతుర్భుజం వైశాల్యం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 120)
సాధన.
అన్ని బిందువులు Q₁ లో ఉన్నాయి. గ్రాఫ్ నుంచి సమాంతర చతుర్భుజం భుజం b = AB = 4 సెం.మీ. ఎత్తు h = 3 సెం.మీ.
సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం = భూమి × ఎత్తు = bh = 4 × 3 = 12 చ.సెం.మీ.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Ex 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Exercise 10.2

ప్రశ్న 1.
రెండు వైపులా మూయబడిన స్థూపాకారపు ట్యాంకు యొక్క ఎత్తు 1.4 మీటర్లు మరియు దాని భూవ్యాసార్ధము 56 సెం.మీ.గా యుండి లోహరేకుతో చేయబడియుంది. దీని సంపూర్ణతల వైశాల్యం ఎంత?
సాధన.
ట్యాంకు యొక్క భూ వ్యాసార్ధము ‘r’ = 56 సెం.మీ.
= \(\frac {56}{100}\) మీ. = 0.56 మీ
ట్యాంకు యొక్క ఎత్తు h = 1.4 మీ.
ట్యాంకు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2πr (r + h)
లోహరేకు యొక వైశాల్యం = 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 0.56 × (0.56 + 1.4)
= 2 × 22 × 0.08 × 1.96
= 6.8992 మీ²
= 6.90 మీ²

ప్రశ్న 2.
స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణము 308 ఘనపు సెంటి మీటర్లు, ఎత్తు 8 సెం.మీ. అయిన దాని ప్రక్కతల వైశాల్యమును, సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము.
సాధన.
స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణం V = πr²h
= 308 సెం.మీ³
స్థూపము యొక్క ఎత్తు h = 8 సెం.మీ.
∴ 308 = \(\frac {22}{7}\) . r² × 8
∴ r² = 308 × \(\frac {7}{22}\) × \(\frac {1}{8}\)
r² = 12.25
∴ r = \(\sqrt{12.25}\) = 3.5 సెం.మీ.
ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 8 = 176 సెం.మీ.²
సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 3.5 (3.5 + 8)
= 2 × 22 × 0.5 × 11.5 = 253 సెం.మీ.²

ప్రశ్న 3.
ఒక లోహపు దీర్ఘఘనము 22 సెం.మీ. × 15 సెం.మీ. × 7.5 సెం.మీ. కొలతలను కలిగియుంది. దానిని కరిగించి 14 సెం.మీ. ఎత్తుగల ఒక స్థూపముగా చేసిన దాని వ్యాసార్ధము ఎంత ?
సాధన.
లోహపు దీర్ఘఘనము యొక్క కొలతలు = 22 సెం.మీ. × 15 సెం.మీ. × 7.5 సెం.మీ.
స్థూపము యొక్క ఎత్తు, h = 14 సెం.మీ.
స్థూపముగా చేసిన దీర్ఘఘనము యొక్క ఘనపరిమాణం = స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణం
⇒ lbh = πr²h
⇒ 22 × 15 × 7.5 = \(\frac {22}{7}\) × r² × 14
⇒ r² = \(\frac{22 \times 15 \times 7.5 \times 7}{14 \times 22}\)
⇒ r² = 7.5 × 7.5 ⇒ r = 7.5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
ఒక నీటితొట్టి స్థూపాకారముగా ఉంటూ 616 లీటర్ల సామర్థ్యమును కలిగియుంది. ట్యాంకు వ్యాసం 5.6 మీటర్లు అయిన ట్యాంకు ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణము, V = πr²h = 616 లీ.
ట్యాంకు యొక్క వ్యాసం = 5.6 మీ.
వ్యాసార్ధం, r = \(\frac{d}{2}=\frac{5.6}{2}\) = 28 మీ.
ఎత్తు = h అనుకొనుము.
∴ πr²h = 616
\(\frac {22}{7}\) × 2.8 × 28 × h = 616
h = \(\frac{616 \times 7}{22 \times 2.8 \times 2.8}\) = 25
∴ ఎత్తు = 25 మీ.

ప్రశ్న 5.
ఒక లోహపు గొట్టం యొక్క పొడవు 77 సెం.మీ. దాని మధ్యచ్ఛేద అంతర వ్యాసం 4 సెం.మీ. మరియు బాహ్య వ్యాసం 4 సెం.మీ. (పటం చూడండి). అయిన ఈ క్రింది వానిని కనుగొనండి.

(i) లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యము
(ii) బాహ్య ప్రక్కతల వైశాల్యము
(iii) సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనండి.
సాధన.
(i) లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యము :
పైపు యొక్క ఎత్తు = 77 సెం.మీ.
లోపలి వ్యాసం = 4 సెం.మీ.
లోపలి వ్యాసార్ధం = \(\frac{d}{2}=\frac{4}{2}\) = 2 సెం.మీ.
∴ లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 2 × 77
= 88 × 11 = 968 సెం.మీ.²

(ii) బాహ్యప్రక్కతల వైశాల్యము :
బాహ్య వ్యాసం = 4.4 సెం.మీ.
∴ బాహ్య వ్యాసార్ధం r = \(\frac{d}{2}=\frac{4.4}{2}\) = 22 సెం.మీ.
పైపు యొక్క ఎత్తు = h = 77 సెం.మీ.
∴ బాహ్య ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 2.2 × 77
= 96.8 × 11
= 1064.8 సెం.మీ.²

(iii) సంపూర్ణతల వైశాల్యము :
సంపూర్ణతల వైశాల్యము = లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యము + బాహ్య ప్రక్కతల వైశాల్యము
= 968 + 1064.8
= 2032.8 సెం.మీ².

ప్రశ్న 6.
ఒక భవనము చుట్టూ 16 స్థూపాకార స్తంభములున్నవి. ప్రతి స్థూపాకార స్తంభము 56 సెం.మీ. వ్యాసము మరియు 35 మీ. ఎత్తులను కలిగియుంది. స్తంభముల ప్రక్కతల వైశాల్యమునకు రంగు వేసేందుకు చ.మీ.కు ₹ 5.50 వంతున ఎంత ఖర్చు అవుతుంది ?
సాధన.
స్థూపాకార స్తంభము యొక్క వ్యాసము = 56 సెం.మీ.
వ్యా సార్థము , r = \(\frac{d}{2}=\frac{56}{2}\) = 28 సెం.మీ.
= \(\frac {28}{100}\) మీ. = 0.28 మీ.
స్తంభము యొక్క ఎత్తు, h = 35 మీ.
మొత్తం స్తంభముల సంఖ్య = 16
రంగు వేసేందుకు ఒక చ.మీ.కు
అగు ఖర్చు = ₹5.50
ఒక స్తంభము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 0.28 × 35
= 2 × 22 × 0.04 × 35
= 61.6 మీ².
∴ 16 స్థూపాకార ప్తంభముల ప్రక్కతల వైశాల్యం
= 16 × 61.6
= 985.6 మీ.²
16 స్తంభములకు రంగు వేసేందుకు ఒక చ.మీ.కు
₹ 5.5 చొప్పున అగు ఖర్చు = 985.6 × 5.5
= ₹5420.8

ప్రశ్న 7.
ఒక రోడ్డు రోలరు యొక్క వ్యాసము 84 సెం.మీ., పొడవు 120 సెం.మీ. ఒక ఆటస్థలమును చదును చేయుటకు 500 సంపూర్ణ భ్రమణములు చేయవలసి ఉంది. అయితే ఆటస్థల వైశాల్యమును చ.మీ.లలో కనుగొనండి.
సాధన.
రోడ్డు రోలరు యొక్క వ్యాసము = 84 సెం.మీ.
వ్యాసార్థం = \(\frac {84}{2}\) = 42 సెం.మీ.
= \(\frac {42}{100}\) మీ. = 0.42 మీ.
రోడ్డు రోలరు యొక్క పొడవు = 120 సెం.మీ.
= \(\frac {120}{100}\) = 1.2 మీ.
ఆట స్థలమును చదునుచేయుటకు 500 సంపూర్ణ భ్రమణములు చేయవలసియుంది.
కాబట్టి 500 × రోలరు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = ఆటస్థలం యొక్క వైశాల్యము
∴ ఆటస్థలం యొక్క వైశాల్యము = 500 × 2πrh
= 500 × 2 × \(\frac {22}{7}\) × 0.42 × 1.2 = 1584 మీ²

ప్రశ్న 8.
వృత్తాకార బావి యొక్క లోపలి వ్యాసము 3.5 మీ., లోతు 10 మీ. అయిన (i) లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యము (ii) ప్రక్కతలాలను ప్లాస్టరింగ్ చేయుటకు చ.మీ.కు 40 రూపాయల వంతున ఎంత ఖర్చు అవుతుంది ?
సాధన.
వృత్తాకార బావి యొక్క లోపలి వ్యాసము d = 3.5మీ.
వ్యాసార్ధము, r = \(\frac{d}{2}=\frac{3.5}{2}\) = 1.75 మీ.
బావి యొక్క లోతు (h) – 10 మీ.
(i) లోపలి ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 1.75 × 10
= 110 మీ²

(ii) ప్లాస్టరింగ్ చేయుటకు చ.మీ.కు ₹ 40 చొప్పున
అగు ఖర్చు = 110 × 40
= ₹4400

9.

ప్రశ్న (i)
ఒక స్థూపాకార పెట్రోలు ట్యాంకు భూవ్యాసం 4.2 మీ., ఎత్తు 4.5 మీ. అయిన ట్యాంకు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుక్కోంది.
సాధన.
స్థూపాకార ట్యాంకు యొక్క వ్యాసము ‘d’ = 4.2 మీ.
వ్యాసార్ధము, r = \(\frac{d}{2}=\frac{4.2}{2}\) = 21 మీ.
ట్యాంకు యొక్క ఎత్తు 5 = 4.5 మీ.
ట్యాంకు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము
= 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 21 (2.1 + 4.5)
= 2 × 22 × 0.3 × 6.6 = 87.12 మీ.²

ప్రశ్న (ii)
ట్యాంకును తయారుచేసేందుకు వాడిన స్టీలులో \(\frac {1}{12}\) వ వంతు వృథా అయిన ఎంత పరిమాణపు స్టీలును ఉపయోగించారో లెక్కించుము.
సాధన.
వృథా అయిన స్టీలు పరిమాణం = \(\frac {1}{12}\)
ట్యాంకును తయారుచేసేందుకు వాడిన స్టీలు
= 1 – \(\frac {1}{12}\) = \(\frac {11}{12}\)
మొత్తం స్టీలు పరిమాణం = x మీ² అనుకొనుము.
\(\frac {11}{12}\)x = 87.12 మీ.²
∴ x = 87.12 × \(\frac {12}{11}\) = 95.04 మీ.²

ప్రశ్న 10.
ఒక వైపు మూయబడి స్థూపాకార ద్రమ్ యొక్క లోపలి వ్యాసార్ధము 28 సెం.మీ., ఎత్తు 21 మీ. అయిన ఆ ద్రమ్ లో నిల్వ చేయగల నీటి సామర్థ్యమును లీటర్లలో తెల్పుము. (1 లీటరు = 1000 ఘనపు సెంటీమీటర్లు)
సాధన.
స్థూపాకార డ్రమ్ యొక్క లోపలి వ్యాసార్ధము ‘r’ = 28 సెం.మీ.
ఎత్తు, h = 2.1 మీ. = 2.1 × 100 = 210 సెం.మీ.
డ్రమ్ యొక్క ఘనపరిమాణము = πr²h
= \(\frac {22}{7}\) × 28 × 28 × 210
= 22 × 4 × 28 × 210 = 517440 ఘ. సెం.మీ.
= \(\frac {517440}{1000}\) లీ. = 517.44 లీ.

ప్రశ్న 11.
ఒక స్థూపాకార వస్తువు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము 1760 చ.సెం.మీ. మరియు దాని ఘనపరిమాణము 12320 ఘనపు సెంటీమీటర్లు అయిన దాని ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
స్థూపాకార వస్తువు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2πrh
= 1760 సెం.మీ.²
స్థూపాకార వస్తువు యొక్క ఘనపరిమాణం = πr²h
= 12320 సెం.మీ.³
ఎత్తు = h అనుకొనుము.
ఘనపరిమాణం / ప్రక్కతల వైశాల్యం = \(\frac{\pi r^{2} h}{2 \pi r h}=\frac{12320}{1760}\)
⇒ \(\frac {r}{2}\) = 7
∴ r = 7 × 2 = 14 సెం.మీ.
2πrh = 1760 సెం.మీ.²
2 × \(\frac {22}{7}\) × 14h = 1760 సెం.మీ.
h = \(\frac{1760 \times 7}{2 \times 22 \times 14}\) = 20 సెం.మీ.
∴ స్థూపాకార వస్తువు యొక్క ఎత్తు = 20 సెం.మీ.

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 5 నిరూపక జ్యామితి Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 5th Lesson నిరూపక జ్యామితి Exercise 5.3

ప్రశ్న 1.
కింద ఇచ్చిన బిందువులను క్రమయుగ్మంగా రాసి కార్టీజియన్ తలంలో స్థాపించండి.

సాధన.

ప్రశ్న 2.
(5, -8) మరియు (-8, 5) లు ఒకటేనా లేక విభిన్నాలా ?
సాధన.
(5, – 8) మరియు (-8, 5) లు విభిన్నాలు.
(5, -8) బిందువు నిరూపకతలంపై Y – అక్షం నుండి ‘5’ యూనిట్ల దూరంలోనూ, X – అక్షం నుండి ‘-8’ యూనిట్ల దూరంలోనూ కలదు.
(-8, 5) బిందువు నిరూపకతలంపై Y – అక్షం నుండి ‘-8’ యూనిట్ల దూరంలోనూ, X – అక్షం నుండి ‘5’ యూనిట్ల దూరంలోనూ కలదు.

ప్రశ్న 3.
(1, 2), (1, 3), (1, – 4), (1, 0) మరియు (1, 8) బిందువుల స్థానాన్ని వివరించండి. వీటిని గ్రాఫ్ కాగితంపై స్థాపించండి. మీరు ఏం గమనించారు ?
సాధన.

ఇచ్చిన బిందువులన్నీ Y – అక్షానికి సమాంతరంగా మరియు ‘1’ యూనిట్ దూరంలో గల రేఖపై ఉన్నవి.

ప్రశ్న 4.
(5, 4), (-8, 4), (3,4), (0, 4), (-4, 4) , (-2, 4) బిందువులను గ్రాఫ్ కాగితంపై గుర్తించండి. ఏం గమనించారు ?
సాధన.

ఇచ్చిన బిందువులన్నీ X – అక్షానికి సమాంతరంగా మరియు ‘4’ యూనిట్ల దూరంలో గల రేఖపై ఉన్నవి.

ప్రశ్న 5.
(0, 0), (3, 0), (3, 4), (0, 4) బిందువులను గ్రాఫ్ కాగితంపై గుర్తించి అదే వరుసక్రనుంలో కలపండి. ఏర్పడిన దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యమును కనుగొనండి.
సాధన.

గ్రాఫ్ కాగితం నుండి దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = 12 చ.యూనిట్లు (లేక)
పొడవు = 4 యూనిట్లు, వెడల్పు = 3 యూనిట్లు
∴ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు = 4 × 3 = 12 చ.యూ.

ప్రశ్న 6.
(2, 3), (6, 3) మరియు (4, 7) బిందువులను నిరూపకతలంలో గుర్తించండి. ఈ బిందువులను రేఖాఖండాలచే కలుపగా ఏర్పడిన త్రిభుజ వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.

గ్రాఫ్ నుంచి త్రిభుజ భూమి = 4 యూనిట్లు ; ఎత్తు = 4 యూనిట్లు
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు = \(\frac {1}{2}\) × 4 × 4 = 8 చ.యూ.

ప్రశ్న 7.
కార్టీజియన్ తలంపై ప్రతి క్రమయుగ్మంలోని నిరూపకాల మొత్తం 5 అయ్యే విధంగా ఉండే ఆరు బిందువులను గుర్తించండి. సూచన : (-2, 7), (1, 4) ……
సాధన.
దత్తాంశం నుండి X నిరూపకము + y నిరూపకము = 5

ప్రశ్న 8.
కింది పటాన్ని పరిశీలించండి. పటం యొక్క శీర్షాలు A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P మరియు Q బిందు నిరూపకాలు రాయండి.

సాధన.
A (-3, 4) ; B (0, 5) ; C (3, 4) ; D (2, 4) ; E (2, 0) ; F (3, 0) ; G (3, -1); H (0, – 1); I (-3, – 1); J (-3, 0) ; K (-2, 0) ; L (-2, 4) ; M (-1, 0) ; N (-1, 3); O (0, 0) ; P (1, 3) మరియు Q (1, 0).

ప్రశ్న 9.
ఒక గ్రాఫ్ కాగితంలో కింది క్రమయుగ్మాల జతలను బిందువులుగా గుర్తించి, వాటిని రేఖాఖండాలచే కలపండి.
i) (2, 5), (4, 7) ii) (-3, 5) (-1, 7) iii) (-3, 4), (2, 4) iv) (-3, -5), (2, -5) v) (4, -2), (4, -3) vi) (-2, 4), (-2, 3) vii) (-2, 1), (-2, 0)
అదే గ్రాఫ్ పేపర్ పై కింది క్రమయుగ్మాల జతలను బిందువులుగా రేఖాఖండాలచే కలపండి.
viii) (-3, 5), (-3, 4) ix) (2, 5), (2, -4) x) (2, -4), (4, -2) xi) (2, -4), (4, -3) xii) (4, -2), (4, 7) xiii) (4, 7), (-1, 7) xiv) (-3, 2), (2, 2)
అప్పుడు మీరొక ఆశ్చర్యకరమైన పటాన్ని గమనించవచ్చు. అదేమిటి ?
సాధన.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Ex 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 10th Lesson ఉపరితల వైశాల్యములు మరియు ఘనపరిమాణములు Exercise 10.1

1. ఈ కింది క్రమ పట్టకము యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము మరియు సంపూర్ణతల వైశాల్యములను కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)

సాధన.
ప్రక్కతల వైశాల్యము = 4l²
= 4 × 4² = 64 సెం.మీ².
సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 6l²
= 6 × 4² = 96 సెం.మీ².

ప్రశ్న (ii)

సాధన.
ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2h (l + b)
= 2 × 5 (8 + 6)
= 10 × 14 = 140 సెం.మీ².
పంపూర్ణతల వైశాల్యము = 2 (lb+ bh + lh)
= 2(8 × 6 + 6 × 5 + 8 × 5)
= 2 (48 + 30 + 40)
= 236 సెం.మీ².

ప్రశ్న 2.
ఒక సమఘనము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం 1350 చదరపు మీటర్లు. అయిన దాని ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము.
సాధన.
ఘనము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము 6l² = 1350
l² = \(\frac {1350}{6}\)
l² = 225
l = \(\sqrt{225}\) = 15 మీ.
ఘనము యొక్క ఘనపరిమాణము = l³
= 15 × 15 × 15 = 3375 మీ³.

ప్రశ్న 3.
పొదవు 12మీ., వెడల్పు 10 మీ. మరియు 7.5 మీ. ఎత్తు కలిగిన గది యొక్క నాలుగు గోడల వైశాల్యమును కనుగొనండి. (ద్వారములు లేదా కిటికీలు లేని గదిగా ఊహించండి).
సాధన.
గది యొక్క పొడవు = 12 మీ.
గది యొక్క వెడల్పు = 10 మీ.
గది యొక్క ఎత్తు = 7.5 మీ.
నాలుగు గోడల వైశాల్యం A = 2h (l + b)
= 2 × 7.5 (12 + 10)
= 15 × 22 = 330 మీ²

ప్రశ్న 4.
ఒక దీర్ఘఘనము యొక్క ఘనపరిమాణం 1200 ఘనపు సెంటీమీటర్లు, దాని యొక్క పొడవు 15 సెం.మీ., వెడల్పు 10 సెం.మీ. అయిన ఎత్తును కనుగొనుము.
సాధన.
దీర్ఘఘనం యొక్క పొడవు, l = 15 సెం.మీ.
దీర్ఘఘనం యొక్క వెడల్పు, b = 10 సెం.మీ.
దీర్ఘఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం, V = lbh
= 1200 సెం.మీ³.
ఎత్తు = h ఆనుకొనుము.
∴ 15 × 10 × h = 1200
∴ h = \(\frac{1200}{15 \times 10}\) = 8 సెం.మీ.

5. ఒక పెట్టి యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము కింది సందర్భాలలో ఏ విధముగా మారుతుంది ? మాటలలో వ్యక్తపరచండి. ప్రతీ కొలత 3 సార్లు పెరిగినప్పుడు . పెట్టె సంపూర్ణతల వైశాల్యం ఏ విధంగా ఉంటుందో కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)
ప్రతీ కొలత రెట్టింపు చేసినప్పుడు
సాధన.
అసలు కొలతలు వరుసగా
పొడవు = l యూనిట్లు
వెడల్పు = b యూనిట్లు
ఎత్తు = 7 యూనిట్లు
సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2 (lb+ bh + lh)
ప్రతీ కొలతను రెట్టింపు చేసినపుడు
పొడవు = 2l, వెడల్పు = 2b, ఎత్తు = 2h
సంపూర్ణతల వైశాల్యము
= 2(2l . 2b + 2b . 2h + 2l . 2h)
= 2 (4lb + 4bh + 4lh)
= 4 × [2 (lb+ bh + lh)]
= 4 × అసలు సంపూర్ణతల వైశాల్యం
∴ సంపూర్ణతల వైశాల్యం 4 రెట్లు పెరుగును.

ప్రశ్న (ii)
ప్రతీ కొలతను మూడు రెట్లు చేసినప్పుడు
సాధన.
పెట్టి యొక్క అసలు మరియు మారిన కొలతలు వరుసగా l, b, h మరియు 3l, 3b, 3h అనుకొనుము.
అసలు సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2 (lb + bh + lh)
మారిన సంపూర్ణతల వైశాల్యం
= 2 (3l . 3b + 3b . 3h + 3l . 3h)
= 2 (9lb + 9bh + 9lh)
= 9 × [2(lb + bh + lh)]
= 9 × (అసలు సం.త.వై.)
సంపూర్ణతల వైశాల్యం 9 రెట్లుగా పెరిగినది.

పెట్టె యొక్క ప్రతీ కొలత n సార్లు పెరిగినపుడు :
పొడవు = nl, వెడల్పు = nb, ఎత్తు = nh
సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2 (nl . nb + nb . nh + nh . nl)
= 2 (n²lb + n²bh + n²lh)
= n² [2 (lb + bh + lh)]
∴ సంపూర్ణతల వైశాల్యం n² రెట్లు పెరుగును.

ప్రశ్న 6.
ఒక పట్టకపు భూమి త్రిభుజాకారములో ఉండి భుజం కొలతలు వరుసగా 8 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., 5 సెం.మీ. కలిగియుండి దాని యొక్క ఎత్తు 10 సెం.మీ. అయిన పట్టకము యొక్క ఘనపరిమాణము ఎంత?
సాధన.
పట్టకము యొక్క ఘనపరిమాణం = భూ వైశాల్యం × ఎత్తు
త్రిభుజాకారంలో ఉన్న భూమి యొక్క కొలతలు వరుసగా 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., 5 సెం.మీ.
∴ వైశాల్యం = s (s – a) (s – b) (s – c)
s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+4+5}{2}\) = 6
వైశాల్యం = \(\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}\)
= \(\sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1}\)
= 6 సెం.మీ.²
∴ పట్టకం యొక్క ఘనపరిమాణం
= భూ వైశాల్యం × ఎత్తు = 6 × 10 = 60 సెం.మీ.³
(లేదా)
త్రిభుజము యొక్క కొలతలు 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., మరియు 5 సెం.మీ. అయిన లంబకోణ త్రిభుజం.
∴ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం
= \(\frac {1}{2}\)bh = \(\frac {1}{2}\) × 3 × 4 = 6 సెం.మీ.²
పట్టకం యొక్క ఘనపరిమాణం
= భూ వైశాల్యం × ఎత్తు
= 6 × 10 = 60 సెం.మీ.³

ప్రశ్న 7.
ఒక క్రమ చతురస్రాకార పిరమిడ్ యొక్క భూ చుట్టుకొలత 16 మీటర్లు, ఎత్తు 3 మీటర్లు అయిన దాని ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము.
సాధన.
పిరమిడ్ భూ చుట్టుకొలత = 16మీ.
పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు.= 3 మీ.
పిరమిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణం = \(\frac {1}{3}\) × (భూ వైశాల్యం × ఎత్తు)
= \(\frac {1}{3}\) × 4 × 4 × 3 = 16 మీ.³
[4 × భుజం = 16 ∴ భుజము = 4 మీ. వైశాల్యం = s² = 4 × 4]

ప్రశ్న 8.
ఒలింపిక్స్ లోని ఈతకొలను 50 మీటర్ల పొడవు, 25 మీటర్ల వెడల్పు మరియు 3 మీటర్ల లోతుగల దీర్ఘఘనాకృతిలోయుంది. అది ఎన్ని లీటర్ల నీటిని నింపే సామర్థ్యము కలిగి ఉంది ?
సాధన.
దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉన్న ఈతకొలను యొక్క
పొడవు = 50 మీ. , వెడల్పు = 25 మీ. , లోతు = 3 మీ.
∴ ఈతకొలను యొక్క ఘనపరిమాణము
V = lbh
V = 50 × 25 × 3 = 3750 మీ.³
∴ ఈత కొలను 37,50 లీటర్ల నీటిని నింపే సామర్థ్యము కలిగి ఉంది. [∵ 1 మీ³. = 1లీ.]

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 5 నిరూపక జ్యామితి Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 5th Lesson నిరూపక జ్యామితి Exercise 5.2

ప్రశ్న 1.
నిరూపకతలంలో కింది బిందువులుండే పాదాలను రాయండి.
i) (-2, 3)
ii) (5, -3)
iii) (4, 2)
iv) (-7, -6)
v) (0, 8)
vi) (3, 0)
vii) (-4, 0)
viii) (0, -6)
సాధన.
i) (-2, 3) : Q₂ (రెండవ పాదము)
ii) (5, -3) : Q₄ (నాలుగవ పాదము)
iii) (4, 2) : Q₁ (మొదటి పాదము)
iv) (-7, -6) : Q₃ (మూడవ పాదము)
v) (0, 8) : Y – అక్షంపై ఉండును.
vi) (3, 0) : X – అక్షంపై ఉండును.
vii) (-4, 0) : X – అక్షంపై ఉండును.
viii) (0, -6) : Y – అక్షంపై ఉండును.

ప్రశ్న 2.
కింది బిందువుల x నిరూపకం మరియు y నిరూపకాలు రాయండి.
i) (4, – 8)
ii) (-5, 3)
iii) (0, 0)
iv) (5, 0)
v) (0, -8)
సాధన.

ప్రశ్న 3.
కింద ఇచ్చిన బిందువులలో ఏవి అక్షాలపై ఉంటాయి? అవి ఏ అక్షంపై ఉంటాయి ?
i) (-5, -8)
ii) (0, 13)
iii) (4, -2)
iv) (-2, 0)
v) (0, -8)
vi) (7, 0)
vii) (0, 0)
సాధన.
బిందువులు (0, 13), (0, -8) లు Y – అక్షంపై ఉంటాయి.
బిందువులు (-2, 0), (7, 0) లు X – అక్షంపై ఉంటాయి.
బిందువు (0, 0) X మరియు Y – అక్షాలపై ఉమ్మడిగా ఉంటుంది.
బిందువులు (-5, -8), (4, -2) లు ఏ అక్షంపై ఉండవు.

ప్రశ్న 4.
కింది సటము ఉపయోగించి కింది వానిని కనుగొనండి.
i) L యొక్క y నిరూపకం
ii) Q యొక్కy నిరూపకం
iii) (-2, -2) ను సూచించే బిందువు
iv) (5, -4)ను సూచించే బిందువు
v) N బిందువు యొక్క x నిరూపకం
vi) M బిందువు యొక్క x నిరూపకం

సాధన.
i) L యొక్క y – నిరూపకం – 7.
ii) Q యొక్క y – నిరూపకం 7.
iii) బిందువు ‘R’ (-2, -2) ను సూచించును.
iv) బిందువు ‘P’ (5, -4) ను సూచించును.
v) N బిందువు యొక్క x – నిరూపకము 4.
vi) M బిందువు యొక్క x – నిరూపకము -3.

ప్రశ్న 5.
కింది వాక్యాలు సత్యమా లేదా అసత్యమా తెలిపి వాక్యాన్ని సరిచేసి రాయండి.
i) నిరూపకతలంలో క్షితిజసమాంతరరేఖను Y – అక్షం అని అంటారు.
ii) నిరూపకతలంలో నిలువుగా ఉన్న రేఖను Y – అక్షం అని అంటారు.
iii) రెండు అక్షాలపై ఉన్న బిందువు మూలబిందువు.
iv)(2, -3) బిందువు మూడవ పాదంలో ఉంటుంది.
v) (-5, -3) బిందువు నాలుగవ పాదంలో ఉంటుంది.
vi) x < 0, y < 0 అయితే (-x, – y) అనే బిందువు ఒకటవ పాదంలో ఉంటుంది.
సాధన.
i) అసత్యము
సరియైన వాక్యము : నిరూపక తలంలో క్షితిజ సమాంతర రేఖను X – అక్షం అని అంటారు.
ii) సత్యము
iii) సత్యము
iv) అసత్యము
సరియైన వాక్యము : (2, -3) బిందువు నాల్గవ పాదంలో ఉంటుంది.
v) అసత్యము
సరియైన వాక్యము : (-5, -8) బిందువు మూడవ పాదంలో ఉంటుంది.
vi) సత్యము

ప్రశ్న 6.
కింద ఇచ్చిన క్రమయుగ్మాలను గ్రాఫ్ కాగితంపై గుర్తించి మీ పరిశీలనలు రాయండి.
i) (1, 0), (3, 0), (-2, 0), (-5, 0), (0, 0), (5, 0), (-6, 0)
ii) (0, 1), (0, 3), (0, -2), (0, -5), (0, 0), (0, 5), (0, -6)
సాధన.
i) అన్ని బిందువులు X – అక్షంపై వున్నవి.
ii) అన్ని బిందువులు Y – అక్షంపై వున్నవి.