SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.
AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 6th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Exercise 6.2
ప్రశ్న 1.
కింది వానిలో ప్రతీ సమీకరణానికి మూడు వేరువేరు సాధనలను కనుగొనుము.
i) 3x + 4y = 7
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 3x + 4y = 7
| x లేక y ల ఊహాత్మక విలువలు | సూక్ష్మీకరణ | సాధన |
| x = 0 | 3 × 0 + 4y = 7 ⇒ y = \(\frac {7}{4}\) | (0, \(\frac {7}{4}\)) |
| y = 0 | 3x + 4(0) = 7 ⇒ x = \(\frac {7}{3}\) | (\(\frac {7}{3}\), 0) |
| x = 1 | 3(1) + 4y = 7 ⇒ y = \(\frac{7-3}{4} \) = 1 | (1, 1) |
ii) y = 6x
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము y = 6x ⇒ 6x – y = 0
| x లేక y ల ఊహాత్మక విలువలు | సూక్ష్మీకరణ | సాధన |
| X = 0 | 6(0) – y = 0 ⇒ y = 0 | (0, 0) |
| Y = 0 | 6x – 0 = 0 ⇒ x = 0 | (0, 0) |
| X = 1 | 6(1) – y = 0 ⇒ y = 6 | (1, 6) |
| Y = 1 | 6x – 1 = 0 ⇒ 6x = 1 ⇒ x = 1/6 | (1/6, 1) |
iii) 2x – y = 7
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – y = 7
iv) 13x – 12y = 25
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 13x – 12y = 25
v) 10x + 11y = 21
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 10x + 11y = 21
vi) x + y = 0
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము x + y = 0
| x లేక y ల ఊహాత్మక విలువలు | సూక్ష్మీకరణ | సాధన |
| X = 0 | 0 + y = 0 ⇒ y = 0 | (0, 0) |
| x = 1 | 1 + y = 0 ⇒ y = -1 | (1, -1) |
| y = 1 | x + y = 0 ⇒ x = -1 | (-1, 1) |
ప్రశ్న 2.
కింది సమీకరణాలకు (0, a) మరియు (b, 0) రూపంలోని సాధనలను కనుగొనండి.
i) 8x – y = 34
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 8x – y = 34.
x = 0 అయిన 8x – y = 34 ⇒ 8(0) – y = 34 ⇒ y = – 34
y = 0 అయిన 8x – y = 34 ⇒ 8x – 0 = 34 ⇒ 8x = 34 ⇒ x = \(\frac {17}{4}\)
∴ (0, a) మరియు (b, 0) రూపంలోని సాధనలు : (0, – 34), (\(\frac {17}{4}\), 0)
ii) 3x = 7y – 21
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 3x = 7y – 21.
x = 0 అయిన 3x = 7y – 21 ⇒ 3(0) = 7y – 21 ⇒ 7y = 21 ⇒ y = 3
y = 0 అయిన 3x = 7y – 21 ⇒ 3x = 7(0) – 21 ⇒ 3x = 21 ⇒ x = 7
∴ (0, a) మరియు (b, 0) రూపంలోని సాధనలు : (0, 3), (7, 0)
iii) 5x – 2y + 3 = 0
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 5x – 2y + 3 = 0.
x = 0 అయిన 5x – 2y + 3 = 0 ⇒ 5(0) – 2y + 3 = 0 ⇒ 2y = 3 ⇒ y = \(\frac {3}{2}\)
y = 0 అయిన 5x – 2y + 3 = 0 ⇒ 5x – 2(0) + 3 = 0 ⇒ 5x = – 3 ⇒ x = –\(\frac {3}{5}\)
∴ (0, a) మరియు (b, 0) రూపంలో గల సాధనలు (0, \(\frac {3}{2}\)), (\(\frac {-3}{5}\), 0)
ప్రశ్న 3.
కింది వానిలో ఏవి 2x – 5y = 10 సమీకరణానికి సాధనలు అవుతాయి ?
(i) (0, 2) (ii) (0, – 2) – (iii) (5, 0) (iv) (2\(\sqrt{3}\), – \(\sqrt{3}\)) (v) (\(\frac {1}{2}\), 2)
సాధన.
i) ఇచ్చిన బిందువు (0, 2); ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 5y = 10.
(0, 2) ను సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
2(0) – 5(2) = 10
-10 = 10
∴ L.H.S ≠ R.H.S
∴ (0, 2), 2x – 5y = 10 కు సాధన కాదు.
ii) ఇచ్చిన బిందువు (0, – 2); ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 5y = 10.
(0, – 2) ను సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
2(0) – 5 (-2) = 10
10 = 10
∴ L.H.S = R.H.S
∴ (0, – 2), 2x – 5y = 10 కు సాధన అవుతుంది.
iii) ఇచ్చిన బిందువు (5, 0); ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 5y = 10.
(5, 0) ను 2x – 5y = 10 నందు ప్రతిక్షేపించగా
2(5) – 5(0) = 10
10 = 10
∴ L.H.S = R.H.S
∴ (5, 0), 2x – 5y = 10 కు సాధన అవుతుంది.
iv) ఇచ్చిన బిందువు (2\(\sqrt{3}\), –\(\sqrt{3}\)); ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 5y = 10.
(2\(\sqrt{3}\), –\(\sqrt{3}\))ను 2x – 5y = 10 నందు ప్రతిక్షేపించగా
2(2\(\sqrt{3}\)) – 5(-\(\sqrt{3}\)) = 10 ⇒ 4\(\sqrt{3}\) + 5\(\sqrt{3}\) = 10 = 9\(\sqrt{3}\) ≠ 10
∴ L.H.S ≠ R.H.S
∴ (2\(\sqrt{3}\), – \(\sqrt{3}\)), 2x – 5y = 10 కు సాధన కాదు.
v) ఇచ్చిన బిందువు (1, 2)
ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 5y = 10.
(\(\frac {1}{2}\), 2) ను 2x – 5y = 10 నందు ప్రతిక్షేపించగా
2(\(\frac {1}{2}\)) – 5(2) = 10
1 – 10 = 10
– 9 = 10 (అసత్యము)
∴ (\(\frac {1}{2}\), 2), 2x – 5y = 10 కు సాధన కాదు.
ప్రశ్న 4.
2x + 3y = k సమీకరణానికి x = 2, y = 1 సాధన అయిన k విలువను కనుగొనుము. ఫలిత సమీకరణమునకు మరి రెండు సాధనలను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 2x + 3y = k కు ఇచ్చిన సాధన x = 2, y = 1.
కావున 2(2) + 3(1) = k ⇒ 4 + 3 = k ⇒ k = 7
∴ ఇచ్చిన సమీకరణము 2x + 3y = 7 గా మారినది.
∴ ఫలిత సమీకరణమునకు ఇంకనూ రెండు సాధనలు (0, \(\frac {7}{3}\)) మరియు (1, \(\frac {5}{3}\))
ప్రశ్న 5.
3x – 2y + 6 = 0 కు x = 2 – α మరియు y = 2 + α సాధన అయిన ‘α’ విలువను కనుగొనుము. ఫలిత సమీకరణంనకు 3 సాధనలను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 3x – 2y + 6 = 0, ఇచ్చిన సాధన x = 2 – α మరియు y = 2 + α
∴ 3 (2 – α) – 2 (2 + α) + 6 = 0
⇒ 6 – 3α – 4 – 2α + 6 = 0
⇒ 8 – 5α = 0 ⇒ – 5α = -8
∴ α = \(\frac {8}{5}\)
మరొక మూడు సాధనలు
ప్రశ్న 6.
3x + ay = 6కు x = 1, y = 1 సాధన అయితే ‘a’ విలువ ఎంత ?
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 3x + ay = 6, ఇచ్చిన సాధన x = 1, y = 1
= 3(1) + a(1) = 6 ⇒ 3 + a = 6 ⇒ a = 6 – 3 = 3
ప్రశ్న 7.
రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలను ఏవైనా ఐదింటిని రాయండి. ప్రతి సమీకరణానికి 3 వేరువేరు సాధనలను కనుగొనండి.
సాధన.
i) 2x – 4y = 10
ii) 5x + 6y = 15
iii) 3x – 4y = 12
iv) 2x – 7y = 9
v) 7x – 5y = 3
