Category: Class 9

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 జ్యామితీయ నిర్మాణాలు Ex 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 13th Lesson జ్యామితీయ నిర్మాణాలు Exercise 13.1

1. మూలబిందువు వద్ద దత్తకిరణంపై కింది కోణాలను నిర్మించి, నిరూపణ చేయండి.

ప్రశ్న (a)
90°
సాధన.

సోపానాలు :
→ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ఇచ్చిన కిరణము అనుకొనుము.
→ BA ను D వరకు పొడిగించుము.
→ కొంత వ్యాసార్ధంతో A కేంద్రంగా ఒక అర్ధ వృత్తంను గీయుము.
→ X మరియు Y లు కేంద్రాలుగా రెండు ఖండన చాపాలను ఒకే వ్యాసార్ధంతో గీయుము.
→ చాపాల ఖండన బిందువును, ‘A’ ను కలుపుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) కావలసిన లంబకోణము.

(లేదా)

సోపానాలు :
→ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ఇచ్చిన కిరణమనుకొనుము.
→ A కేంద్రంగా ఒక చాపంను గీయుము.
→ ముందుగా తీసుకున్న కొలతతో x కేంద్రంగా రెండు సమాన చాపాలను పటంలో చూపినట్లుగా గీయుము.
→ రెండు చాపాల ఖండన బిందువును, ‘A’ ను కలుపుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 90°
∆AXY లో \(\angle \mathrm{YAX}\) = 60° మరియు
∆AYC లో \(\angle \mathrm{YAC}\) = 30 ∴ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 90°

ప్రశ్న (b)
45°
సాధన.
సోపానాలు :
→ ఇచ్చిన \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) కిరణంతో 90° గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{BAD}\) = 45° అగునట్లు ఈ కోణమును సమద్విఖండన చేయుము.

[లేదా]

[∆AXZ ఒక సమబాహు త్రిభుజము మరియు
\(\angle \mathrm{YAZ}\) = 15°
∴ \(\angle \mathrm{XAY}\) = 45°]

సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 60° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) ను \(\angle \mathrm{BAD}\) = \(\angle \mathrm{DAC}\) = 30° లగా సమద్విఖండన చేయుము.
→ \(\angle \mathrm{DAC}\) ను \(\angle \mathrm{DAE}\) = \(\angle \mathrm{EAC}\) = 15° అగునట్లుగా సమద్విఖండన చేయుము.
∴ \(\angle \mathrm{BAE}\) = 45°

2. కింది కోణాలను కొలబద్ద, వృత్తలేఖిని సహాయంతో నిర్మించి, కోణమానినితో కొలిచి సరిచూడండి.

ప్రశ్న (a)
30°
సాధన.

సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{ABY}\) = 60° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{ABC}\) = \(\angle \mathrm{CBY}\) = 30° అగునట్లు
\(\angle \mathrm{ABY}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న (b)
22\(\frac {1}{2}\)°
సాధన.

సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{ABD}\) = 90° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{ABC}\) = \(\angle \mathrm{CBD}\) = 45° అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{ABD}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{ABE}\) = \(\angle \mathrm{EBC}\) = 22\(\frac {1}{2}\)°, అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{ABC}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న (c)
15°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{BAE}\) = 60° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = \(\angle \mathrm{CAE}\) = 30° అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{BAE}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{BAF}\) = \(\angle \mathrm{FAC}\) = 15° అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{BAC}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న (d)
75°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 60° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{CAD}\) = 60° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{BAE}\) = 90° అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{CAD}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{BAF}\) = 75° అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{CAE}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న (e)
105°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{ABC}\) = 90° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{CBE}\) = 30° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{ABD}\) = 105° ఏర్పడునట్లుగా \(\angle \mathrm{CBE}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న (f)
135°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు:
→ \(\angle \mathrm{ABC}\) = 120° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{CBD}\) = 30° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{ABE}\) = 135° ఏర్పడునట్లుగా \(\angle \mathrm{CBD}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న 3.
దత్త భుజం 4.5 సెం.మీ. తీసుకొని ఒక సమబాహు త్రిభుజం నిర్మించి, నిర్మాణాన్ని నిరూపించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ AB = 4.5 సెం.మీ.లతో రేఖాఖండంను గీయుము.
→ 4.5 సెం.మీ.ల వ్యాసార్థంతో A మరియు B.లు కేంద్రంగా చాపములను గీయుము. అవి C వద్ద ఖండించుకొనును.
→ A, C లను మరియు B, C లను కలుపుము.
→ మనకు కావలసిన ∆ABC ఏర్పడినది.

నిరూపణ :
∆ABC లో AB = AC ⇒ \(\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{B}\)
అదే విధంగా AB = BC ⇒ \(\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}\)
∴ \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}\)
కాని \(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}\) = 180°
∴ \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}\) = \(\frac {180°}{3}\) = 60°

ప్రశ్న 4.
దత్తభుజంను భూమిగా తీసుకొని, దత్తకోణం తెలిస్తే సమద్విబాహు త్రిభుజం నిర్మించి, నిర్మాణాన్ని నిరూపించండి. [సూచన : నిర్మాణాలకు మీకు నచ్చిన భుజం కొలత, కోణం కొలత తీసుకోవచ్చు)
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ ఏదైనా ఇచ్చిన కొలతతో AB రేఖాఖండమును గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{BAX}\) మరియు \(\angle \mathrm{ABY}\)ల వద్ద \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}\) అగునట్లుగా A మరియు B లను గీయుము.
→ \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{BY}}\) లను పొడిగించగా అవి C వద్ద ఖండించుకొనును.
→ ∆ABC కావలసిన త్రిభుజము.

నిరూపణ:
→ AB కు లంబంగా C నుండి ఒక లంబము CM ను గీయుము.
∆AMC మరియు ∆BMC లలో
\(\angle \mathrm{AMC}=\angle \mathrm{BMC}\) (∵ లంబకోణము)
\(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}\) (∵నిర్మాణము)
CM = CM (ఉమ్మడి భుజము)
∴ ∆AMC ≅ ∆BMC
⇒ AC = BC [CPCT]

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Exercise 2.3

ప్రశ్న1.
x³ + 3x² + 3x+ 1 ను కింది రేఖీయ బహుపదులతో భాగించునప్పుడు వచ్చే శేషాలు కనుగొనండి.
i) x + 1
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x³ + 3x² + 3x + 1 అనుకొనుము.
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం f(x) ను (x + 1) చే భాగించగా వచ్చు శేషము f(-1)
f(-1) = (-1)³ + 3(-1)² + 3(-1) + 1
= – 1 + 3 – 3 + 1 = 0

ii) x – \(\frac {1}{2}\)
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(\(\frac {1}{2}\))

iii) x
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(0)
∴ f(0) = 0³ + 3(0)² + 3(0) + 1 = 1

iv) x + π
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(-π)
∴ f(-π) = (-π)³ + 3(-π)² + 3(-π) + 1
= – π³ + 3π² – 3π + 1

v) 5 + 2x
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(\(\frac {-5}{2}\))

ప్రశ్న2.
x³ – px² + 6x – p ను x – p తో భాగిస్తే వచ్చే శేషం ఎంత ?
సాధన.
f(x) = x³ – px² + 6x – p అనుకొనుము.
(x – a) = x – p
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(p)
∴ f(p) = p³ – p(p)² + 6p – p
= p³ – p³ + 5p
= 5p

ప్రశ్న3.
2x² – 3x + 5 ను 2x – 3 చే భాగిస్తే వచ్చే శేషం ఎంత ? ఇది బహుపదిని కచ్చితంగా భాగించిందా ? కారణాలు తెలపండి.
సాధన.
ఇచ్చిన వర్గ బహుపది f(x) = 2x² – 3x + 5 అనుకొనుము.
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం f(x) ను (2x – 3) చే భాగించగా వచ్చు శేషము f(\(\frac {3}{2}\)) అగును.
f(\(\frac {3}{2}\)) =

∴ శేషము 5 కావున f(x) ను (2x – 3) కచ్చితంగా భాగించలేదు.

ప్రశ్న4.
9x³ – 3x² + x – 5 ను x – \(\frac {2}{3}\)చే భాగిస్తే వచ్చే శేషం ఎంత ?
సాధన.
f(x) = 9x³ – 3x² + x – 5 అనుకొనుము.
x – a = x – \(\frac {2}{3}\)
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం వచ్చు శేషము f(\(\frac {2}{3}\))

ప్రశ్న5.
2x³ + ax² + 3x – 5 మరియు x³ + x² – 4x + a బహుపదులను (x – 2) చే భాగించునప్పుడు వచ్చే శేషాలు సమానం అయితే a విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు f(x) = 2x³ + ax² + 3x – 5
మరియు g(x) = x³ + x² – 4x + a అనుకొనుము.
f(x) మరియు g(x) లు (x – 2) చే భాగించగా ఒకే శేషమును ఇచ్చినవి.
∴ f(2) = g(2)
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారము,
f(2) = 2(2)³ + a(2)² + 3(2) – 5
= 16 + 4a + 6 – 5
= 17 + 4a
g(2) = 2³ + 2² – 4(2) + a
= 8 + 4 – 8 + a
= 4 + a
దత్తాంశం ప్రకారము, f(2) = g(2)
17 + 4a = 4 + a
∴ 4a – a = 4 – 17
3a = – 13
a = \(\frac {-13}{3}\)

ప్రశ్న6.
x³ + ax² + 5 మరియు x³ – 2x² + a బహుపదులను (x+ 2) చే భాగించునపుడు వచ్చే శేషాలు సమానం అయితే ‘a’ విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు
f(x) = x³ + ax² + 5 మరియు
g(x) = x³ – 2x² + a అనుకొనుము.
దత్తాంశం ప్రకారము f(x) మరియు g(x) లు (x + 2) చే భాగించగా ఒకే శేషమును ఇచ్చును.
∴ f(-2) = g(-2)
శేష సిద్ధాంతం ప్రకారము,
f(-2) = (-2)³ + a(-2)² + 5
= -8 + 4a + 5 = 4a – 3
g(-2) = (-2)³ – 2(-2)² + a
= – 8 – 8 + a = a – 16
లెక్క ప్రకారము
4a – 3 = a – 16
4a – a = – 16 +3
⇒ 3a = – 13
⇒ a = \(\frac {-13}{3}\)

ప్రశ్న7.
f(x) = x⁴ – 3x² + 4 ను g(x) = x – 2 చే భాగిస్తే వచ్చే శేషం కనుగొనండి. ఫలితాన్ని భాగహారం చేసి సరిచూడండి.
సాధన.
దత్తాంశము f(x) = x⁴ – 3x² + 4
g(x) = x – 2
f(x) ను g(x) చే భాగించగా వచ్చే శేషము f(2).
f(2) = 2⁴ – 3(2)² + 4 = 16 – 12 + 4 = 8
భాగహారము:

∴ శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం మరియు భాగహారము ప్రకారం వచ్చిన శేషములు ఒక్కటే.

ప్రశ్న8.
p(x) = x³ – 6x² + 14x – 3ను g(x) = 1 – 2xచే భాగిస్తే వచ్చే శేషం ఎంత ? ఫలితాన్ని భాగహారం చేసి సరిచూడండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు p(x) = x³ – 6x² + 14x – 3 మరియు g(x) = 1 – 2x
శేష సిద్ధాంతము ప్రకారం p(x)ను g(x) చే భాగించగా వచ్చే శేషము p(1/2).

భాగహారము :

∴ శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం మరియు భాగహారము ప్రకారం వచ్చిన శేషములు ఒక్కటే.

ప్రశ్న9.
2x³ + 3x² + ax + b అను బహుపదిని (x – 2) చే భాగిస్తే శేషం 2 మరియు (x + 2) చే భాగిస్తే శేషం -2 వస్తే a, b ల విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశము f(x) = 2x³ + 3x² + ax + b
f(x) ను (x- 2) చే భాగించగా వచ్చు శేషము 2.
∴ f(2) = 2
⇒ f(2) = 2(2)³ + 3(2)² + a(2) + b = 2
⇒ 16 + 12 + 2a + b = 2
⇒ 2a + b = – 26 ………. (1)
f(x) ను (x + 2) చే భాగించగా వచ్చు శేషం – 2.
∴ f(-2) = -2
⇒ f(-2) = 2(-2)³ + 3(-2)² + a(-2) + b
= -2
= – 16 + 12 – 2a + b = -2
– 2a + b = 2 ……….. (2)
(1) మరియు (2) లను సాధించగా,

మరియు 2a – 12 = – 26
2a = – 26 + 12 = – 14
a = \(\frac {-14}{2}\) = -7
∴ a = -7 మరియు b = – 12

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 సంభావ్యత InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 14th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ఇవి చేయండి

1. ముందు పేజీ (పేజీ నెం. 293) లో ఇచ్చిన పట్టిక లోని ప్రతి పదానికి మరికొన్ని ఉదాహరణలు రాయండి. (పేజీ నెం. 294]
సాధన.
నిశ్చితం : ఆగస్టు 15న స్వాతంత్ర్య దినోత్సవం జరుపుకుంటాం.
అధిక సంభవం : ఒక పాచికను దొర్లించిన, ‘5’కు సమమైన లేక ‘5’ కంటే తక్కువ సంఖ్యను పొందుట.
సమ సంభవం : ఒక నాణేన్ని ఎగురవేసిన బొమ్మను పొందు అవకాశము.
అల్ప సంభవం : ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు ప్రధాన సంఖ్య లేక ప్రధానేతర సంఖ్యను పొందుట.
అసంభవం : ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు ఋణ సంఖ్యను పొందును.

2. కింది వాక్యాలను అల్పసంభవం, సమసంభవం, అధిక సంభవాలుగా వర్గీకరించండి. (పేజీ నెం. 294)

(a) ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు దాని ముఖంపై 5 వస్తుంది.
(b) నవంబర్ మాసంలో మీ ఊరిలో చల్లని గాలులు వీస్తాయి.
(c) భారత్ వచ్చే ఫుట్ బాల్ వరల్డ్ కప్ ని గెల్చుకోవడం.
(d) నాణేన్ని ఎగురవేసినప్పుడు బొమ్మ లేదా బొరుసు రావడం.
(e) నీవుకొన్న లాటరీ టికెట్టుకు బంపర్ బహుమతి రావడం.
సాధన.
(a) ఆల్ప సంభవం
(b) అధిక సంభవం
(c) అల్ప సంభవం
(d) సమ సంభవం
(e) అధిక సంభవం

3. ఒక నాణేన్ని తీసుకొని కింది పట్టికలో చూపిన విధంగా 10, 20, ….. సార్లు ఎగురవేయండి. ఫలితాలను – పట్టికలో రాయండి.

నాణేన్ని ఇంకా ఎక్కువసార్లు ఎగురవేసినప్పుడు ఏమి జరుగుతుందో ఊహించండి, (పేజీ నెం. 296)
సాధన.
స్వయంగా విద్యార్థులచే ఉపాధ్యాయులు చేయించండి.

4. మూడు నాణేలు (ఒకే విధమైనవి) ఒకేసారి ఎగుర వేసినప్పుడు ఏర్పడే పర్యవసానాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 299)

ప్రశ్న (a)
మొత్తం పర్యవసానాలు
సాధన.
మొత్తం పర్యవసానాలు : HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT.

ప్రశ్న (b)
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
సాధన.
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 8

ప్రశ్న (c)
కనీసం ఒక బొమ్మ వచ్చే సంభావ్యత (ఒకటి లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ బొమ్మలు)
సాధన.
కనీసం ఒక బొమ్మ వచ్చే సంభావ్యత
P = ఒక బొమ్మ వచ్చే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య = \(\frac {7}{8}\)

ప్రశ్న (d)
గరిష్ఠంగా రెండు బొమ్మలు పదే సంభావ్యత (రెండు లేదా అంతకన్నా తక్కువ బొమ్మలు)
సాధన.
గరిష్ఠంగా రెండు బొమ్మలు పడే సంభావ్యత
P = రెండు బొమ్మలు వచ్చే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య = \(\frac {7}{8}\)

ప్రశ్న (e)
బొమ్మ, బొరుసు లేని పర్యవసానాల సంభావ్యత
సాధన.
ఏదీ లేని పర్యవసానాల సంఖ్య
P = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య = \(\frac {1}{8}\)

ప్రయత్నించండి

1. ఒక స్కూటరుని స్టార్ట్ చేయాలనుకొన్నప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు ఏవి? (పేజీ నెం. 295)
సాధన.
స్టార్ట్ అవ్వడం, స్టార్ట్ కాకపోవడం.

2. పాచికను దొర్లించినప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానములు ఏవి ? (పేజీ నెం. 295)
సాధన.
పాచికను దొర్లించినపుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానములు 1, 2, 3, 4, 5 మరియు 6.

3. పటంలో చూపిన చక్రాన్ని ఒకసారి తిప్పినప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు ఏవి ? (సూచిక ఎక్కడైతే ఆగుతుందో దానిని పర్యవసానంగా తీసుకొంటాము) (పేజీ నెం. 295)

సాధన.
సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు : A, B మరియు C

4. ఒక జాడీలో 5 ఒకేరకమైన బంతులు గలవు. ఇవి తెలుపు, ఎరుపు, నీలం, బూడిద మరియు పసుపు రంగులలో కలవు. జాడీ వైపు చూడకుండా ఒక బంతిని తీయునప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు ఏవి ? (పేజీ నెం. 295)

సాధన.
జాడీ వైపు చూడకుండా ఒక బంతిని తీయునప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు 5. అవి : తెలుపు, ఎరుపు, నీలం, బూడిద మరియు పసుపు రంగుల బంతులు.

5. పాచికను ఒకసారి దొర్లించినప్పుడు ఏర్పడే కింది ఘటనల సంభావ్యతలను పట్టికలో రాయండి. (పేజీ నెం. 300)
సాధన.

6. కింద ఇచ్చిన వృత్తాకార పటం నుండి (పేజీ నెం. 306)

ప్రశ్న 1.
కంకణ ప్రాంతం B లో బల్లెం తగిలే సంభావ్యత
సాధన.
కంకణ ప్రాంతం ‘C’ యొక్క వైశాల్యం = πr²
= π × 1² = π చ.యూ.
కంకణ ప్రాంతం ‘B’ యొక్క వైశాల్యం = π (2² – 1²) = π (4 – 1) = 3π చ.యూ.
కంకణ ప్రాంతం ‘A’ యొక్క వైశాల్యం = π (3² – 2²) = π(9 – 4) = 5π చ.యూ.
కంకణ ప్రాంతం ‘B’ లో బల్లెం తగిలే సంభావ్యత
= \(\frac {అనుకూల ప్రాంతపు వైశాల్యం}{మొత్తం వైశాల్యం}\)
= \(\frac{3 \pi}{\pi+3 \pi+5 \pi}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 2.
కంకణ ప్రాంతం ‘C’ లో బల్లెం తగిలే సంభావ్యతను గణన చేయకుండానే శాతంలో తెల్పండి.
సాధన.
\(\frac {1}{9}\) × 100% = 11\(\frac {1}{9}\)%

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు (పేజీ నెం. 295)

1. మొదటి ఆటగాడికి, పాచిక పైముఖం (Topface) పై 6 పడే అవకాశం ఎక్కువ.
సాధన.
చెప్పలేము. ‘6’ పడు అవకాశం ఆటగాడు పాచికను త్రిప్పుటపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

2. ఆ తర్వాత ఆటగాడికి పాచిక పైముఖం (Topface) పై 6 పడే అవకాశం తక్కువ.
సాధన.
చెప్పలేము.

3. ఒకవేళ రెండో ఆటగాడికి పాచిక పైముఖం (Topface) పై 6 పడినట్లయితే, ఆ తర్వాత పాచిక దొర్లించే మూడో ఆటగాదికి పై ముఖంపై 6 పడే అవకాశం అసలు లేదు.
సాధన.
చెప్పలేము. ఎందుకనగా అది రెండవ ఆటగాడి ఫలితముపై ఆధారపడును.

ఉదాహరణలు

1. రెండు నాణాలను (ఒకే విధంగా ఉండే) ఒకేసారి పైకి ఎగురవేసిన (a) సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు (b) సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య (c) రెండూ బొమ్మలు వచ్చే సంభావ్యత (d) కనిష్ఠంగా ఒక బొమ్మ వచ్చే సంభావ్యత (e) బొమ్మ పడని సంభావ్యత మరియు (f) ఒకే ఒక బొమ్మపడే సంభావ్యతలను కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 298)
సాధన.
(a) సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు
1వ నాణెం.
బొమ్మ
బొమ్మ
బొరుసు
బొరుసు

2వ నాణెం
బొమ్మ
బొరుసు
బొమ్మ
బొరుసు
(b) మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య 4 .
(c) రెండూ బొమ్మ వచ్చే సంభావ్యత
= రెండు బొమ్మలు వచ్చే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac {1}{4}\)
(d) కనీసం ఒక బొమ్మపడే సంభావ్యత = \(\frac {3}{4}\)
(కనీసం ఒక బొమ్మ అనగా ఒకటి లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ బొమ్మలు).
(e) బొమ్మలేని పర్యవసానాల సంభావ్యత = \(\frac {1}{4}\)
(f) ఒకే ఒక్క బొమ్మ ఉండే పర్యవసానాల సంభావ్యత = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

2. ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు (a) దాని పై ముఖంపై వచ్చే ప్రతి అంకె యొక్క సంభావ్యతను పట్టికలో రాయండి. (b) అన్ని సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంభావ్యతల మొత్తం కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 299)
సాధన.
(a) పాచికను దొర్లించినప్పుడు సాధ్యమయ్యే మొత్తం ఆరు పర్యవసానాల్లో 4 అంకె ఒకసారి రావడానికి సాధ్యము కావు. సంభావ్యత 1/6.

(b) అన్ని పర్యవసానాల సంభావ్యతల మొత్తం
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6)
= \(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\) = 1

3. ఒక స్పిన్నర్ (గుండ్రంగా తిప్పేందుకు వీలైన చక్రం) 1000 సార్లు తిప్పడం జరిగింది. ప్రతిసారి తిప్పినప్పుడు పాచిక ఆగే ప్రదేశం యొక్క రంగు పట్టికలో రాసినప్పుడు, వాటి పౌనఃపున్యం కింది విధంగా ఉంది.

(a) స్పిన్నర్ నుండి సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు ఎన్ని ? అవి ఏవి ?
(b) ప్రతి రంగు పర్యవసానంగా వచ్చే సంభావ్యత కనుగొనండి.
(c) పట్టిక నుండి, ప్రతి రంగు యొక్క పౌనఃపున్యానికి, మొత్తం పౌనఃపున్యానికి నిష్పత్తిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 303)
సాధన.
(a) స్పిన్నర్ చూసినప్పుడు 5 సెక్టర్లు ఒకే వైశాల్యం గల ప్రదేశాలుగా ఉన్నాయి. ఇవన్నియూ 6 వేరు వేరు రంగులలో కలవు. అవి ఎరుపు, నారింజ, వంగపండు, పసుపు, ఆకుపచ్చ ఇవన్నియూ సమసంభవం కల్గిన పర్యవసానాలు, మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య 5.

(b) ప్రతి ఘటన యొక్క సంభావ్యత,
కావున P(ఎరుపు) = ఎరుపు వచ్చే పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac {1}{5}\) = 0.2.
అదే విధంగా P(నారింజ), P (వంగపండు), P (పసుపు) మరియు P (ఆకుపచ్చ) మరియు \(\frac {1}{5}\) లేదా 0.2.

(c) పట్టిక నుండి 1000 సార్లు స్పిన్నర్ తిప్పినపుడు 185 సార్లు ఎరుపుకు అనుకూలంగా ఉంది.
కావున ఎరుపు నిష్పత్తి = ప్రయోగాలలో ఎరుపు రంగు పౌనఃపున్యం / మొత్తం స్పిన్నరు త్రిప్పిన సంఖ్య
= \(\frac {185}{1000}\) = 0.185.
ఈ విధంగా మిగిలిన రంగులకి కూడా ఈ విధమైన నిష్పత్తులను రాసిన నారింజ, వంగపండు, పసుపు, ఆకుపచ్చలకు వరుసగా 0,195, 0.210, 0.206 మరియు 0.204 వచ్చింది.
(b), (c) లను పరిశీలించిన (c) లో కనుగొన్న నిష్పత్తులన్నీ (b) లోని ఆయారంగుల సంభావ్యతలకు దగ్గరగా ఉన్నాయి. అంటే మనం కనుగొన్న సంభావ్యత, ప్రయోగం తర్వాత కనుగొన్న నిష్పత్తులకు దాదాపు సమానంగా ఉన్నాయి.

4. ఒక సినిమా థియేటర్ కి విచ్చేసిన ప్రేక్షకుల సంఖ్య వయసుల వారీగా ఇవ్వబడ్డాయి. బంపర్ బహుమతి గెలుచుకోవడానికి ప్రతి ప్రేక్షకుడికి టికెట్టుతోపాటు ఒక నెంబరు ఈయబడింది. నెంబర్లలో నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక నెంబరును తీసినప్పుడు, కింద నీయబడిన ఘటనలకు సంభావ్యత కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 304)

మొత్తం ప్రేక్షకుల సంఖ్య = 505.
సాధన.
(a) వయసు 10 గాని అంతకంటే తక్కువగాని ఉన్న ప్రేక్షకుడి సంభావ్యత
10 గాని అంతకంటే తక్కువ వయసు ఉన్న ప్రేక్షకులు = 24 + 35 + 5 + 3 = 67
మొత్తం ప్రేక్షకుల సంఖ్య = 505
P (ప్రేక్షకుని వయసు ≤ 10 సంవత్సరాలు)
= \(\frac {67}{505}\)

(b) వయసు 16 గాని అంతకంటే తక్కువగాని ఉన్న స్త్రీ ప్రేక్షకుల సంభావ్యత
వయస్సు 16 గాని అంతకంటే తక్కువగాని ఉన్న స్త్రీ ప్రేక్షకులు = 53 + 35 + 5 = 93
P (స్త్రీ ప్రేక్షకుల వయసు ≤ 16 సంవత్సరాలు)
= \(\frac {93}{505}\)

(c) వయసు 17 గాని అంతకంటే ఎక్కువగాని ఉన్న పురుష ప్రేక్షకుల సంభావ్యత
వయస్సు 17 గాని అంతకంటే ఎక్కువగాని ఉన్న పురుష ప్రేక్షకులు = 121 + 51 + 18 = 190
P(పురుష ప్రేక్షకుల వయసు ≥ 17 సంవత్సరాలు)
= \(\frac{190}{505}=\frac{38}{101}\)

(d) వయసు 40 సం||రాలు పైబడిన ప్రేక్షకుల సంభావ్యత
వయసు 40 సం||రాలు పైబడిన ప్రేక్షకుల సంభావ్యత = 51 + 43 + 18 + 13 = 125
P (ప్రేక్షకుల వయసు > 40 సంవత్సరాలు)
= \(\frac{125}{505}=\frac{25}{101}\)

(e) పురుషులు కాకుండా ఉన్న ప్రేక్షకుల సంభావ్యత పురుషులు కాకుండా ఉన్న ప్రేక్షకులు
= 5 + 35 + 53 + 97 + 43 + 13 = 246
P (పురుషుడు కాని ప్రేక్షకుల సంఖ్య) = \(\frac {246}{505}\)

5. మూడు ఏకకేంద్ర వృత్తాకారాలతో (వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 3 సెం.మీ, 2 సెం.మీ. మరియు 1 సెం.మీ.) తయారుచేయబడిన ఒక దార్డ్ బోర్డు A, B మరియు C అనే ప్రాంతాలుగా విభజింపబడింది (పటం చూడండి). మొనతేలిన ఒక బల్లెం (dart) ను బోర్డుపైకి విసిరిన అది ప్రాంతం A లో తగిలే సంభావ్యత ఎంత ? A అనేది (బయట కంకణాకార ప్రాంతం). (పేజీ నెం. 305)

సాధన.
A ప్రాంతంలో తగిలే ఘటన యొక్క సంభావ్యత.
మొత్తం వృత్తాకార ప్రాంత వైశాల్యం (వ్యాసార్ధం 3 సెం.మీ.తో) = π(3)²
కంకణ ప్రాంతం (A) వైశాల్యం = π(3)² – π(2)²
బల్లెం కంకణ ప్రాంతం (A) లో తగిలే సంభావ్యత P(A)
[వృత్త వైశాల్యం = πr²
కంకణ వైశాల్యం = πR² – πr²
అని గుర్తుకు తెచ్చుకోండి.]
P(A) = ప్రాంతం A వైశాల్యం / మొత్తం వృత్తాకార వైశాల్యం
= \(\frac{\pi(3)^{2}-\pi(2)^{2}}{\pi(3)^{2}}=\frac{9 \pi-4 \pi}{9 \pi}\)
\(\frac {5}{9}\) = 0.556 %

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Exercise 2.2

ప్రశ్న1.
4x² – 5x + 3 అనేది బహుపది విలువలను కింది విలువల వద్ద కనుగొనండి.
i) x=0
సాధన.
x = 0 వద్ద 4x² – 5x + 3 విలువ
= 4(0)² – 5(0) + 3 = 3

ii) x = -1
సాధన.
x = – 1 వద్ద 4x² – 5x + 3 విలువ
= 4 (-1)² – 5 (-1) + 3 = 4 + 5 + 3 = 12

iii) x = 2
సాధన.
x = 2 వద్ద 4x² – 5x + 3 విలువ
= 4(2)² – 5(2) + 3 = 16 – 10 + 3 = 9

iv) x = \(\frac {1}{2}\)
సాధన.
x = \(\frac {1}{2}\) వద్ద 4x² – 5x + 3 విలువ
= \(4\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-5\left(\frac{1}{2}\right)+3\)
= 1 – \(\frac {5}{2}\) + 3 = 4 – \(\frac {5}{2}\) = \(\frac {3}{2}\)

ప్రశ్న2.
కింది బహుపదులలో p(0), p(1) మరియు p(2) విలువలు కనుగొనుము.
i) p(x) = x² – x + 1
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది p(x) = x² – x + 1
p(0) = 0² – 0 + 1 = 1
p(1) = 1² – 1 + 1 = 1
p(2) = 2² – 2 + 1 = 3

ii) p(y) = 2 + y + 2y² -y³
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది
p(y) = 2 + y + 2y² – y³
p(0) = 2 + 0 + 2(0)² – 0³ = 2
p(1) = 2 + 1 + 2(1)² – 1³ = 4
p(2) = 2 + 2 + 2(2)² – 2³ = 4 + 8 – 8 = 4

iii) p(z) = z³
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది p(z) = z³
p(0) = 0³ = 0
p(1) = 1³ = 1
p(2) = 2³ = 8

iv) p(t) = (t – 1) (t + 1)
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది
p(t) = (t – 1) (t + 1) = t² – 1
p(0) = 0² – 1 = -1
p(1) = 1² – 1 = 0
p(2) = 2² – 1 =3

v) p(x) = x² – 3x + 2
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది p(x) = x² – 3x + 2
p(0) = 0² – 3(0) + 2 = 2
p(1) = 1² – 3(1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 0
p(2) = 2² – 3(2) + 2 = 4 – 6 + 2 = 0

ప్రశ్న3.
కింద ఇవ్వబడిన బహుపదులలో x యొక్క ఏ విలువలకు బహుపది శూన్యమగునో లేదో సరిచూడండి.
i) p(x) = 2x + 1; x = \(\frac {-1}{2}\)
సాధన.
x = \(\frac {-1}{2}\) వద్ద p(x) విలువ
\(p\left(\frac{-1}{2}\right)=2\left(\frac{-1}{2}\right)+1\) = -1 + 1=0
∴ x = \(\frac {-1}{2}\) అనునది p(x) కు శూన్య విలువ.

ii) p(x) = 5x – π; x = \(\frac {-3}{2}\)
సాధన.
x = \(\frac {-3}{2}\) వద్ద p(x) విలువ
\(p\left(\frac{-3}{2}\right)=5\left(\frac{-3}{2}\right)-\pi\) = \(\frac {-15}{2}\) – π ≠ 0
∴ x = \(\frac {-3}{2}\) అనునది p(x) కు శూన్య విలువ కాదు.

iii) p(x) = x² – 1; x = ±1
సాధన.
x = 1 మరియు – 1 వద్ద p(x) విలువ
p(1) = 1² – 1 = 0
P(-1) = (-1)² – 1 = 0
∴ x = ±1 అనునది p(x) యొక్క శూన్యవిలువ.

iv) p(x) = (x – 1)(x + 2); x = -1, -2
సాధన.
x = -1 వద్ద p(x) విలువ
p(-1) = (- 1 – 1) (- 1 + 2)
= -2 × 1= -2 ≠ 0
x = – 1, p(x) కు శూన్య విలువ కాదు.
x = -2 వద్ద p(x) విలువ
p(-2) = (- 2 – 1) (-2 + 2) = – 3 × 0 = 0
∴ x = – 2 అనునది p(x)కు శూన్యవిలువ.

v) p(y) = y²; y = 0
సాధన.
y = 0 వద్ద p(y) విలువ = p(0) = 0² = 0
∴ y = 0, p(y) కు శూన్యవిలువ.

vi) p(x) = ax + b; x = \(\frac{-b}{a}\)
సాధన.
x = \(\frac{-b}{a}\) వద్ద P(x) విలువ
\(\mathrm{p}\left(\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)=\mathrm{a}\left(\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)+\mathrm{b}\) b = – b + b = 0
∴ x = \(\frac{-b}{a}\), p(x) కు శూన్యవిలువ.

vii) f(x) = 3x² – 1; x = \(\frac{-1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
సాధన.
x = \(\frac{-1}{\sqrt{3}}\) వద్ద f(x) విలువ
\(f\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)=3\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)^{2}-1\) = \(\frac{3}{3}-1\) = 0
∴ x = \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\), f(x)కు శూన్యవిలువ
x = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) వద్ద f(x) విలువ = \(3\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-1\)
= 3 × \(\frac {4}{3}\) – 1 = 4 – 1 = 3 ≠ 0
∴ x = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\), f(x) కు శూన్యవిలువ కాదు.

viii) f(x) = 2x – 1; x = \(\frac {1}{2}\); –\(\frac {1}{2}\)
సాధన.
x = \(\frac {1}{2}\)వద్ద f(x) విలువ = 2(\(\frac {1}{2}\)) – 1 = 0
⇒ x = \(\frac {1}{2}\), f(x) కు శూన్యవిలువ. ఆ
x = –\(\frac {1}{2}\)వద్ద f(x) విలువ
= 2(-\(\frac {1}{2}\)) – 1 = – 1 – 1 = – 2 ≠ 0
⇒ x = –\(\frac {1}{2}\), f(x) కు శూన్యవిలువ కాదు.

ప్రశ్న4.
కింది బహుపదులకు శూన్య విలువలు కనుగొనండి.
i) f(x) = x + 2
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x + 2
x + 2 = 0
x = -2

ii) f(x) = x – 2
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x – 2
x – 2 = 0
x = 2

iii) f(x) = 2x + 3
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = 2x + 3
2x + 3 = 0
2x = – 3 ⇒ x = \(\frac {-3}{2}\)

iv) f(x) = 2x – 3
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = 2x – 3
2x – 3 = 0
2x = 3
x = \(\frac {3}{2}\)

v) f(x) = x²
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = x²
x² = 0
x = 0

vi) f(x) = px, p ≠ 0
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = px, p ≠ 0
px = 0
x = 0

vii) f(x) = px + q; p ≠ 0 మరియు p, q లు వాస్తవాలు.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = px + q; p ≠ 0
px + q = 0
px = -q ⇒ x = \(\frac{-q}{p}\)

ప్రశ్న5.
p(x) = 2x² – 3x + 7a అనే బహుపదికి శూన్య విలువ ‘2’ అయిన a యొక్క విలువను కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది p(x) = 2x² – 3x + 7
p(x) కు శూన్య విలువ ‘2’
∴ p(2) = 0
⇒ 2(2)² – 3(2) + 7a = 0
⇒ 8 – 6 + 7a = 0
⇒ 2 + 7a = 0
⇒ 7a = – 2 ⇒ a = \(\frac{-2}{7}\)

ప్రశ్న6.
f(x) = 2x³ – 3x² + ax + b అనే బహుపదికి 0 మరియు 1 అనేవి శూన్య విలువలు అయితే a, bల విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది f(x) = 2x³ – 3x² + ax + b
f(x) కు శూన్య విలువలు 0 మరియు 1
∴ 2(0)³ – 3(0)² + a(0) + b = 0
⇒ b = 0
అదే విధముగా f(1) = 0
⇒ 2(1)³ – 3(1)² + a(1) + 0 = 0
⇒ 2 – 3 + a = 0
⇒ a = 1
∴ a మరియు b విలువలు వరుసగా 1 మరియు 0.

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. \(\frac {-3}{4}\) ను సంఖ్యారేఖపై సూచించండి. (పేజీ నెం. 3)
సాధన.

సోపానం – 1: -2, -1, 0, 1, 2 లను సూచిస్తూ ఒక సంఖ్యారేఖ, గీయండి.
సోపానం – 2: ‘0’ కు ఎడమవైపు ప్రతి యూనిట్ ను నాలుగు సమాన భాగాలుగా చేయండి. ఇందు నుంచి 3 భాగాలను తీసుకోండి.
సోపానం – 3: సున్నా నుండి ఎడమవైపు గల 3వ బిందువు \(\frac {-3}{4}\) ను సూచిస్తుంది.

2. 0, 7, 10, – 4 లను \(\frac{p}{q}\) రూపంలో వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 3)
సాధన.
0 = \(\frac{0}{2}\)

3. నేననుకున్న సంఖ్యను చెప్పండి : మీ స్నేహితుడు 10 నుండి 100 మధ్యలో ఒక సంఖ్యను మనసులో అనుకున్నాడు. అతడనుకున్న సంఖ్యను నీవు అతి తక్కువ ప్రశ్నలడుగుతూ ఎలా రాబట్టగలవు? నీవడిగిన ప్రశ్నలకు మీ స్నేహితుడు కేవలం ‘అవును’ లేదా ‘కాదు’ అని మాత్రమే సమాధానమిస్తాడు. (పేజీ నెం. 3)
సాధన.
నా స్నేహితుడు 73 ను తీసుకున్నాడు అనుకొనుము. అతనిని అడిగిన ప్రశ్నల సరళావళి ఈ విధముగా కలదు.

ప్రశ్న : ఆ సంఖ్య మొదటి 50 సంఖ్యలలో కలదా ?
జ. కాదు.

ప్రశ్న : ఒకవేళ ఆ సంఖ్య 50, 60 ల మధ్యన కలదా ?
జ. కాదు.

ప్రశ్న : ఒకవేళ ఆ సంఖ్య 60, 70 ల మధ్యన కలదా ?
జ. కాదు.

ప్రశ్న : ఒకవేళ ఆ సంఖ్య 70, 80ల మధ్యన కలదా ?
జ. అవును.

ప్రశ్న : ఆ సంఖ్య ఏదైనా ప్రధాన సంఖ్యా ?
జ. అవును. (నా ఆలోచన :70, 80 ల మధ్యన 71, 73 లేక 79లు మాత్రమే ప్రధాన సంఖ్యలు కదా !)

ప్రశ్న : ఒకవేళ ఆ సంఖ్య 75 కన్నా చిన్న సంఖ్యేనా ?
జ. అవును. (నా ఆలోచన : అంటే ఆ సంఖ్య 71 లేక 73 అయి వుండాలి.)

ప్రశ్న : ఆ సంఖ్య 72 కన్నా చిన్నదేనా ?
జ. కాదు
∴ ఆ సంఖ్య 73. ఈ విధముగా మనము సంఖ్యా ధర్మా లైన/ రకాలైన సరి, బేసి, ప్రధాన, సంయుక్త మొ॥ వాటిని అనుసరించి ఈ రకపు సమస్యలను సాధించవచ్చును.

4. i) 2, 3 ల మధ్య సగటు పద్ధతి ద్వారా ఐదు అకరణీయ సంఖ్యలుంచండి. (పేజీ నెం. 4)
సాధన.
a మరియు b ల మధ్య \(\frac{a+b}{2}\) అను అకరణీయ సంఖ్య గలదు.
a = 2 మరియు b = 3 అనుకొనుము.
\(\frac{a+b}{2}=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}\)
∴ 2 < \(\frac{5}{2}\) < 3
ఈ పద్ధతిని కొనసాగిస్తే మనం 2 మరియు 3 ల మధ్య మరికొన్ని అకరణీయ సంఖ్యలను ఉంచవచ్చును.

ii) \(\frac {-3}{11}\) మరియు \(\frac {8}{11}\) ల మధ్య పది ఆకరణీయ సంఖ్యలుంచండి. (పేజీ నెం. 4)
సాధన.

5. i) \(\frac{1}{17}\) ను దశాంశ రూపంలో రాయండి. (పేజీ నెం. 5)
సాధన.

\(\frac{1}{17}\) = 0.0588235294117 ……..

ii) \(\frac{1}{19}\)ను దశాంశ రూపంలో రాయండి. (పేజీ నెం. 5)
సాధన.

\(\frac{1}{19}\) = 0.052631578………

6. కింది సంఖ్యల హారాలకు అకరణీయ కారణాంకాలు కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 20)
i) \(\frac{1}{2 \sqrt{3}}\)
సాధన.
\(\frac{1}{2 \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2 \times 3}=\frac{\sqrt{3}}{6}\)
∴ \(\sqrt{3}\) యొక్క అకరణీయ కారణాంకము \(\sqrt{3}\).

ii) \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)
సాధన.
\(\frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{3 \sqrt{5}}{5}\)
∴ \(\sqrt{5}\) యొక్క అకరణీయ కారణాంకము \(\sqrt{5}\)

iii) \(\frac{1}{\sqrt{8}}\)
సాధన.

∴ \(\sqrt{2}\) యొక్క అకరణీయ కారణాంకము \(\sqrt{2}\)

7. సూక్ష్మీకరించండి. (పేజీ నెం. 23)
i) (16)^1/2
సాధన.
(4 × 4)^1/2 = (4²)^1/2 = 4^2/2 = 4

ii) (128)^1/7
సాధన.
(128)^1/7 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)^1/7
=(2⁷)^1/7 = 2

iii) (343)^1/5
సాధన.
(343)^1/5 = (3 × 3 × 3 × 3 × 3)^1/5 = (3⁵)^1/5 = 3

8. కింది కరణులను ఘాతరూపంలో రాయండి. (పేజీ నెం. 24)
i) \(\sqrt{2}\)
సాధన.
\(\sqrt{2}\) = \(2^{\frac{1}{2}}\)

ii) \(\sqrt[3]{9}\)
సాధన.
\(\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{3 \times 3}\)
= \(\sqrt[3]{3^{2}}=3^{\frac{2}{3}}\)

iii) \(\sqrt[5]{20}\)
సాధన.
\(\sqrt[5]{20}\) = \(\sqrt[5]{2 \times 2 \times 5}=\sqrt[5]{2^{2} \times 5}\)
= \(2^{\frac{2}{5}} \times 5^{\frac{1}{5}}\)

iv) \(\sqrt[17]{19}\)
సాధన.
\(\sqrt[17]{19}\) = \(19^{\frac{1}{17}}\)

9. కింది కరణులను రాడికల్ రూపంలో రాయండి. (పేజీ నెం. 24)
i) \(5^{1 / 7}\)
ii) \(17^{1 / 6}\)
iii) \(5^{2 / 5}\)
iv) \(142^{1 / 2}\)
సాధన.
i) \(5^{1 / 7}\) = \(\sqrt[7]{5}\)
ii) \(17^{1 / 6}\) = \(\sqrt[6]{17}\)
iii) \(5^{2 / 5}\) = \(\sqrt[5]{5^{2}}=\sqrt[5]{5 \times 5}=\sqrt[5]{25}\)
iv) \(142^{1 / 2}\) = \(\sqrt{142}\)

ప్రయత్నించండి

1. కింది సంఖ్యల దశాంశ విలువలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 6)
i) \(\frac{1}{2}\)
ii) \(\frac{1}{2^{2}}\)
iii) \(\frac{1}{5}\)
iv) \(\frac{1}{5 \times 2}\)
v) \(\frac{3}{10}\)
vi) \(\frac{27}{25}\)
vii) \(\frac{1}{3}\)
viii) \(\frac{7}{6}\)
ix) \(\frac{5}{12}\)
x) \(\frac{1}{7}\)
సాధన.
i) \(\frac{1}{2}\) = 0.5
ii) \(\frac{1}{2^{2}}\) = \(\frac{1}{4}\) = 0.25
iii) \(\frac{1}{5}\) = 0.2
iv) \(\frac{1}{5 \times 2}\) = \(\frac{1}{10}\) = 0.1
v) \(\frac{3}{10}\) = 0.3

vi) \(\frac{27}{25}\)

vii) \(\frac{1}{3}\)

viii) \(\frac{7}{6}\)

ix) \(\frac{5}{12}\)

x) \(\frac{1}{7}\)

2. \(\sqrt{3}\) యొక్క విలువను ఆరు దశాంశ స్థానాల వరకు భాగహార పద్ధతిలో కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 10)
సాధన.

సోపానం-1 : 3 తర్వాత దశాంశ బిందువుని ఉంచుము.
3.00 00 00 00 00 00 00
సోపానం-2 : దశాంశ బిందువు తరువాత ‘0’ లు రాయుము.
సోపానం-3 : ‘0’ లను జతలుగా చేసి పైన బార్‌ను గీయుము.
సోపానం-4 : పిదప సంపూర్ణ వర్గము కనుగొను పద్ధతిని అనుకరించుము.
∴ \(\sqrt{3}\) = 1.732050

3. \(\sqrt{5}\) మరియు –\(\sqrt{5}\) లను సంఖ్యారేఖపై సూచించండి. (పేజీ నెం. 12)
(సూచన : 5 = 2² + 1²)
సాధన.
సోపానం-1 : 2 యూనిట్ల పొడవు, ఒక యూనిట్ వెడల్పుగా గల ఒక దీర్ఘచతురస్రం OABC ను సున్నా వద్ద గీయుము.
సోపానం-2 : ఆ దీర్ఘచతురస్ర కర్ణము
OB = \(\sqrt{\mathrm{OA}^{2}+\mathrm{AB}^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+1^{2}}\) = \(\sqrt{4+1}\) = \(\sqrt{5}\)
సోపానం-3 : ఒక వృత్తలేఖినిని ఉపయోగించి ‘O’ కేంద్రముగా OB వ్యాసార్ధంతో సంఖ్యారేఖ పై ‘O’ కు ఇరువైపులా చాపములను గీయగా అవి సంఖ్యారేఖ పై D మరియు D’ల వద్ద ఖండించుచున్నవి.
సోపానం-4 : సంఖ్యారేఖపై D విలువ \(\sqrt{5}\) ను మరియు D’ విలువ –\(\sqrt{5}\) ను సూచిస్తుంది.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. \(\sqrt{2}\) ను \(\frac{\sqrt{2}}{1}\) గా అంటే \(\frac{p}{q}\) రూపంలో రాయవచ్చు కనుక ఇది ఒక అకరణీయ సంఖ్య అని కృతి చెప్పింది. నీవు ఆమె వాదనతో ఏకీభవిస్తావా ? (పేజీ నెం. 10)
సాధన.
నేను ఏకీభవించను, ఎందుకనగా
\(\sqrt{2}\) ను \(\frac{\sqrt{2}}{1}\) గా వ్రాయడమన్నది \(\frac{p}{q}\) రూపము కాదు. \(\frac{p}{q}\)లో p మరియు q లు పూర్ణసంఖ్యలు కాని \(\sqrt{2}\) పూర్ణసంఖ్య కాదు.

తరగతి కృత్యం

“వర్గమూల సర్పిలం” నిర్మించుట. (పేజీ నెం. 15)
వర్గమూల సర్పిలాన్ని నిర్మించుటకు పెద్ద సైజు కాగితాన్ని తీసుకొని కింద సూచించిన సోపానాలనుసరించండి.
సాధన.

సోపానం 1 : ‘O’ బిందువు నుంచి ప్రారంభించి 1 సెం.మీ. పొడవు గల రేఖాఖండం \(\overline{\mathrm{OP}}\) ని గీయండి.
సోపానం 2 : \(\overline{\mathrm{OP}}\) కి లంబంగా \(\overline{\mathrm{PQ}}\) ను 1 సెం.మీ.
పొడవుగా PO ను గీయండి.
(ఇక్కడ OP = PQ = 14 సెం.మీ.)
సోపానం 3 : O, Q లను కలపండి. (OQ = \(\sqrt{2}\))
సోపానం 4 : QR = 1 సెం.మీ. పొడవుతోOQ కు లంబంగా రేఖాఖండాన్ని గీయండి.
సోపానం 5 : O, R లను కలపండి. (OR = \(\sqrt{3}\))
సోపానం 6 : RS = 1 సెం.మీ. పొడవుతో \(\overline{\mathrm{OR}}\) కు లంబంగా RS రేఖాఖండాన్ని గీయండి.
సోపానం 7 : ఇదే పద్ధతిని మరికొన్ని సోపానాలకు కొనసాగించండి. అప్పుడు \(\overline{\mathrm{PQ}}, \overline{\mathrm{QR}}, \overline{\mathrm{RS}}, \overline{\mathrm{ST}}, \overline{\mathrm{TU}}\) ……. రేఖాఖండాలచే ఒక అందమయిన సర్పిలాకారం ఏర్పడుటను చూడవచ్చు. ఇక్కడ \(\overline{\mathrm{OQ}}, \overline{\mathrm{OR}}, \overline{\mathrm{OS}}, \overline{\mathrm{OT}}, \overline{\mathrm{OU}}\) లు వరుసగా \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}\) లను సూచిస్తాయి.

ఉదాహరణలు

1. \(\frac {5}{3}\) మరియు –\(\frac {5}{3}\) లను సంఖ్యారేఖపై సూచించండి. (పేజీ నెం. 3)
సాధన.
– 2, -1, 0, 1, 2 లను సూచిస్తూ ఒక పూర్ణ సంఖ్యారేఖ గీయండి.

సున్నాకు కుడి మరియు ఎడమల వైపు ప్రతి యూనిట్ ను మూడు సమాన భాగాలుగా చేయండి. ఇందు నుంచి 5 భాగాలను తీసుకోండి. సున్నా నుంచి కుడివైపుగల ఐదవ బిందువు \(\frac {5}{3}\) ను మరియు ఎడమవైపుగల ఐదవ బిందువు –\(\frac {5}{3}\) ను సూచిస్తుంది.

2. కింది వాక్యాలలో సరియైనవి ఏవి ? మీ జవాబును ఒక ఉదాహరణతో సమర్థించండి.
i) ప్రతి అకరణీయ సంఖ్య ఒక పూర్ణ సంఖ్య అవుతుంది.
ii) ప్రతి పూర్ణ సంఖ్య ఒక అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
iii) సున్నా ఒక అకరణీయ సంఖ్య. (పేజీ నెం. 3)
సాధన.
i) సరికాదు. ఉదాహరణకు \(\frac {7}{8}\) ఒక అకరణీయ సంఖ్య కాని పూర్ణ సంఖ్య కాదు.

ii) సరియైనది. ఎందుకంటే ఏ పూర్ణ సంఖ్యనయినా \(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) (q ≠ 0) రూపంలో రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు -2 ఒక పూర్ణ సంఖ్య – 2 = \(\frac{-2}{1}=\frac{-4}{2}\) ఒక అకరణీయ సంఖ్య (ఏదేని పూర్ణసంఖ్య ‘b’ ని \(\frac{b}{1}\)గా గాయవచ్చు.)

iii) సరియైనది. ఎందుకంటే 0 ను \(\frac{0}{2}, \frac{0}{7}, \frac{0}{13}\)గా రాయవచ్చు. (‘0’ ను \(\frac{0}{x}\)గా రాయవచ్చు. ఇక్కడ ‘x’ పూర్ణసంఖ్య మరియు x ≠ 0)

3. 3 మరియు 4 ల మధ్య రెండు అకరణీయ సంఖ్యలను సగటు పద్ధతిలో కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 4)
సాధన.
1వ పద్ధతి : a మరియు b ల మధ్య \(\frac{a+b}{2}\) అను అకరణీయ సంఖ్య ఉంటుంది. ఇక్కడ a = 3 మరియు b = 4, (\(\frac{a+b}{2}\)), ‘a’, ‘b’ల సగటు అని, అది ‘a’, ‘b’ల మధ్య ఉండునని మనకు తెలుసు.
కాబట్టి, (\(\frac{(3+4)}{2}=\frac{7}{2}\)) = 1 అను అకరణీయ సంఖ్య 3 మరియు 4 ల మధ్య ఉంటుంది. 3 < \(\frac {7}{2}\) < 4
ఈ పద్దతిని కొనసాగిస్తే 3 మరియు 4 ల మధ్య మరికొన్ని అకరణీయ సంఖ్యలనుంచవచ్చు.

2వ పద్ధతి : మరొక సులభమయిన పద్ధతిని గమనిద్దాం. మనం రెండు అకరణీయ సంఖ్యలుంచాలి కాబట్టి 3, 4లను 2 + 1 = 3 హారాలుగా గల అకరణీయ సంఖ్యలుగా రాస్తాము.
అనగా 3 = \(\frac{3}{1}=\frac{6}{2}=\frac{9}{3}\) మరియు
4 = \(\frac{4}{1}=\frac{8}{2}=\frac{12}{3}=\frac{16}{4}\)
కాబట్టి 3 మరియు 4ల మధ్య \(\frac{10}{3}, \frac{11}{3}\) లు రెండు అకరణీయ సంఖ్యలు అవుతాయి.
3 = \(\frac{9}{3}<\left(\frac{10}{3}<\frac{11}{3}\right)<\frac{12}{3}\) = 4
ఇప్పుడు మనం 3, 4 ల మధ్య ఐదు అకరణీయ సంఖ్యలుంచాలి అంటే 3, 4 లను 5 + 1 = 6 హారాలుగా గల అకరణీయ సంఖ్యలుగా రాస్తాము.
అనగా 3 = \(\frac{18}{6}\) మరియు 4 = \(\frac {24}{6}\)

ఈ విధంగా 3, 4ల మధ్య అనంతమయిన అకరణీయ సంఖ్యలుంటాయని మనకు తెలుస్తుంది. మరి ఏవైనా రెండు వేరే అకరణీయ సంఖ్యల మధ్య కూడా ఇదే విధంగా లెక్కలేనన్ని అకరణీయ సంఖ్యలుంటాయని చూపవచ్చా ? ప్రయత్నించండి. దీని నుంచి మనం ఏ రెండు అకరణీయ సంఖ్యల మధ్యనైనా అనంతమైన సంఖ్యలో అకరణీయ సంఖ్యలు వ్యవస్థితమవుతాయని చెప్పవచ్చు.

4. \(\frac {7}{16}\), \(\frac {2}{3}\) మరియు \(\frac {10}{7}\) లను దశాంశ భిన్నాలుగా రాయండి. (పేజీ నెం. 5)
సాధన.

\(\frac {7}{16}\) = 0.4375 అంతమయ్యే దశాంశం.

\(\frac {10}{7}\) = \(1 . \overline{428571}\) అంతంకాని ఆవర్తిత దశాంశం.

\(\frac {2}{3}\) = 0.666 = \(0 . \overline{6}\) అంతంకాని ఆవర్తిత దశాంశం.

5. 3.28 ని \(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) రూపంలో రాయండి. (ఇక్కడ q ≠ 0 మరియు p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు) (పేజీ నెం. 5)
సాధన.

6. \(1 . \overline{62}\)ను \(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) రూపంలో రాయండి. p, q లు పూర్ణసంఖ్యలు మరియు q ≠ 0. (పేజీ నెం. 6)
సాధన.
x = 1.626262 ……. (1) అనుకొనుము.
సమీకరణం (1)ని ఇరువైపులా 100 చే గుణించగా
100x = 162.6262 ….. (2)
సమీకరణం (2) నుంచి (1) ని తీసివేయగా

7. \(\sqrt{2}\)ను సంఖ్యారేఖపై సూచించండి. (పేజీ నెం. 11)
సాధన.
ఒక యూనిట్ భుజముగాగల చతురస్రం OABC ని సంఖ్యారేఖపై 0 వద్ద గీయండి.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం
OB = \(\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\)

OB = \(\sqrt{2}\) అని మనకు తెలుసు. ఒక వృత్తలేఖినిని ఉపయోగించి O కేంద్రంగా OB వ్యాసార్థంతో సంఖ్యారేఖపై O కు కుడివైపున K వద్ద ఖండించునట్లుగా ఒక చాపాన్ని గీయండి.
K అనునది సంఖ్యారేఖ పై \(\sqrt{2}\) ను సూచిస్తుంది.

8. \(\sqrt{3}\) ను సంఖ్యారేఖపై సూచించండి. (పేజీ నెం. 11)
సాధన.
పటం (i) ను ఒకసారి గుర్తుకు తెచ్చుకోండి.

పటం (ii)
పటం (ii) లో 1 యూనిట్ ప్రమాణంలో BD ని OB కి లంబంగా ఉండే విధంగా గీయండి. O, D లను కలపండి.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రకారం
OD = \(\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{2+1}\) = \(\sqrt{3}\)
ఒక వృత్తలేఖినిని ఉపయోగించి O కేంద్రంగా OD వ్యాసార్ధంతో సంఖ్యారేఖపై 0 కు కుడివైపున ‘L’ వద్ద ఖండించునట్లు ఒక చాపాన్ని గీయండి. ‘L’ అనునది సంఖ్యారేఖపై \(\sqrt{3}\) ను సూచిస్తుంది. ఈ విధంగా ఏదైనా ధనపూర్ణసంఖ్య n కు \(\sqrt{n-1}\) ను సంఖ్యారేఖ పై సూచించిన తరువాత \(\sqrt{n}\) ను సూచించవచ్చు.

9. \(\frac {1}{5}\) మరియు \(\frac {2}{7}\) ల మధ్యగల పై రెండు కరణీయ సంఖ్యలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 13)
సాధన.
\(\frac {1}{5}\) = 0.20 అని మనకు తెలుసు.
\(\frac {2}{7}\) = \(0 . \overline{285714}\)
\(\frac {1}{5}\) మరియు \(\frac {2}{7}\) ల దశాంశ రూపాలను పరిశీలించండి.
ఈ రెండింటి మధ్య అనంతమయిన కరణీయ సంఖ్యలు ఉంచవచ్చు. ఉదాహరణకు …..
0.201201120111 …………
0.24114111411114 ……..,
0.25231617181912 ……..,
0.267812147512 ……….,
ఇలాగే \(\frac {1}{5}\) మరియు \(\frac {2}{7}\) ల మధ్య మరో నాలుగు కరణీయ సంఖ్యలు రాయగలవా ?

10. 3 మరియు 4 ల మధ్యగల ఒక కరణీయ సంఖ్యను రాయండి. (పేజీ నెం. 13)
సాధన.
ab ఒక సంపూర్ణ వర్గం కాకుండునట్లు a, b లు ఏవయినా రెండు ధన అకరణీయ సంఖ్యలయితే \(\sqrt{a b}\) అనునది a, b ల మధ్య ఉండే కరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
∴ 3 మరియు 4 ల మధ్య కరణీయ సంఖ్య
= \(\sqrt{3 \times 4}\) = \(\sqrt{3} \times \sqrt{4}\)
= \(\sqrt{3} \times 2\) = \(2 \sqrt{3}\)

11. కింది లబ్దాలు కరణీయ సంఖ్యలు అవుతాయో లేక అకరణీయ సంఖ్యలవుతాయో తెలపండి. (పేజీ నెం. 13)
i) (3 + \(\sqrt{3}\)) + (3 – \(\sqrt{3}\))
ii) (3 + \(\sqrt{3}\)) (3 – \(\sqrt{3}\))
iii) \(\frac{10}{2 \sqrt{5}}\)
iv) (\(\sqrt{2}\) + 2)²
సాధన.
i) (3+ \(\sqrt{3}\)) + (3 – \(\sqrt{3}\))
= 3 + \(\sqrt{3}\) + 3 – \(\sqrt{3}\)
= 6, ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

ii) (3 + \(\sqrt{3}\)) (3 – \(\sqrt{3}\))
(a + b) (a – b) = a² – b²అని మనకు తెలుసు.
(3 + \(\sqrt{3}\)) (3 – \(\sqrt{3}\)) = 3² – (\(\sqrt{3}\))²
= 9 – 3 = 6,
ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

12. \(3.5 \overline{8}\) ను 4 దశాంశ స్థానాల వరకు క్రమానుగత వర్ధన పద్ధతిలో సంఖ్యారేఖపై చూపించండి. (పేజీ నెం. 17)
సాధన.
క్రమానుగత వర్ధన పద్ధతిని 3.5888 ని గుర్తించండి.

13. (i) 5\(\sqrt{2}\) (ii) \(\frac{5}{\sqrt{2}}\) (ii) 21 + \(\sqrt{3}\) (iv) π + 3లు కరణీయ సంఖ్యలవుతాయేమో చూడండి. (పేజీ నెం. 18)
సాధన.
\(\sqrt{2}\) = 1.414 .., \(\sqrt{3}\) = 1.732 …, π = 3.1415 … అని మనకు తెలుసు.
(i) 5\(\sqrt{2}\) = 5(1.414 …) = 7.070 ….
(ii) \(\frac{5}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{5}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{5 \sqrt{2}}{2}=\frac{7.070}{2}\) = 3.535 … (i నుంచి)
(iii) 21 + \(\sqrt{3}\) = 21 + 1.732 = 22.732 ….
(iv) π + 3 = 3.1415 … + 3 = 6.1415 ……..

ఇవన్నీ అంతము మరియు ఆవర్తితం కాని దశాంశాలు. కాబట్టి ఇవి కరణీయ సంఖ్యలు.

14. 5\(\sqrt{3}\) + 7\(\sqrt{5}\) ను 3\(\sqrt{5}\) – 7\(\sqrt{3}\) నుండి తీసివేయండి. (పేజీ నెం. 18)
సాధన.
(3\(\sqrt{5}\) – 7\(\sqrt{3}\)) – (5\(\sqrt{3}\) + 7\(\sqrt{5}\))
= 3\(\sqrt{5}\) – 7\(\sqrt{3}\) – 5\(\sqrt{3}\) – 7\(\sqrt{5}\)
= -4\(\sqrt{5}\) – 12\(\sqrt{3}\)
= – (4\(\sqrt{5}\) + 12\(\sqrt{3}\))

15. 6\(\sqrt{3}\)ను 13\(\sqrt{3}\) తో గుణించండి. (పేజీ నెం. 19)
సాధన:
6\(\sqrt{3}\) × 13\(\sqrt{3}\) = 6 × 13 × \(\sqrt{3}\) × \(\sqrt{3}\) = 78 × 3 = 234
వర్గమూలాలకు సంబంధించిన కొన్ని ధర్మాలు కింద ఇవ్వబడినవి.
a, b లు ఏవైనా రెండు వాస్తవసంఖ్యలు అయితే

ఈ ధర్మాలనుపయోగించే వివిధ సందర్భాలను ఇప్పుడు మనం చూద్దాం.

16. కింది సమాసాలను సూక్ష్మీకరించండి. (పేజీ నెం. 19)
i) (3 + \(\sqrt{3}\)) (2 + \(\sqrt{2}\))
ii) (2 + \(\sqrt{3}\)) (2 – \(\sqrt{3}\))
iii) (\(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{2}\))²
iv) (\(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{2}\)) (\(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{2}\))
సాధన.
i) (3 + \(\sqrt{3}\)) (2 + \(\sqrt{2}\))
= 6 + 3\(\sqrt{2}\) + 2\(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{6}\)
ii) (2 + \(\sqrt{3}\)) (2 – \(\sqrt{3}\)) = 2² – (\(\sqrt{3}\))²
4 – 3 = 1
iii) (\(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{2}\))²
= (\(\sqrt{5}\))2 + 2\(\sqrt{5}\)\(\sqrt{2}\) + (\(\sqrt{2}\))²
= 5 + 2\(\sqrt{10}\) + 2 = 7 + 2\(\sqrt{10}\)
iv) (\(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{2}\)) (\(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{2}\))
= (\(\sqrt{5}\))² – (\(\sqrt{2}\))² = 5 – 2 = 3

17. \(\sqrt{5}\) యొక్క హారాన్ని అకరణీయం చేయండి. (పేజీ నెం. 21)
సాధన.
\((a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})\) = a² – b అని మనకు తెలుసు.
\(\frac{1}{4+\sqrt{5}}\) యొక్క లవహారాలను 4 – \(\sqrt{5}\) తో గుణించగా

18. \(\frac{1}{7+4 \sqrt{3}}\) యొక్క హారాన్ని అకరణీయం చేయండి. (పేజీ నెం. 21)
సాధన.

19. \(\frac{1}{7+4 \sqrt{3}}+\frac{1}{2+\sqrt{5}}\) ను సూక్ష్మీకరించండి. (పేజీ నెం. 21)
సాధన.
7 + 4\(\sqrt{3}\) యొక్క అకరణీయ కారణాంకం 7 – 4\(\sqrt{3}\) మరియు 2 + \(\sqrt{5}\) యొక్క అకరణీయ కారణాంకం 2 – \(\sqrt{5}\)

20. సూక్ష్మీకరించండి. (పేజీ నెం. 23)

సాధన.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 సంభావ్యత Ex 14.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 14th Lesson సంభావ్యత Exercise 14.1

1. 1-6 అంకెలు ముఖాలుగా గల ఒక పాదికను దొర్లించి, పై ముఖంపై వచ్చిన అంకెను గుర్తించారు. ఇది ఒక యాదృచిక ప్రయోగంగా భావించిన.

ప్రశ్న (a)
సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు ఏవి ?
సాధన.
సాధ్యమగు పర్యవసానాలు 1, 2, 3, 4,5 మరియు 6

ప్రశ్న (b)
అవి సమసంభవ పర్యవసానాలా ? ఎందుకు ?
సాధన.
అవును, అవి సమ సంభవ పర్యవసానాలు. ఎందుకనగా ప్రతి ఒక్క పర్యవసానము ఏర్పడుటకు సమాన అవకాశం కలదు (లేక) ఏర్పడకపోవుటకు కూడా సమాన అవకాశం కలదు.

ప్రశ్న (c)
పాచిక పై ముఖంపై సంయుక్త సంఖ్య వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
పర్యవసానాలు = 4, 6
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 2
మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు = 1, 2, 3, 4, 5 మరియు 6
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 6
సంభావ్యత = \(\frac {సాధ్యపడు పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\)
= \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

2. ఒక నాణేన్ని 100 సార్లు ఎగురవేసినప్పుడు పర్యవసానాలు కింది విధంగా ఉన్నాయి.
బొమ్మ : 45 సార్లు
బొరుసు : 55 సార్లు అయిన
బొమ్మ = 45 సార్లు
బొరుసు = 56 సార్లు
మొత్తము = 100 సార్లు

ప్రశ్న (a)
ప్రతి పర్యవసానం యొక్క సంభాష్యత కనుక్కోండి.
సాధన.
బొమ్మ పడు సంభావ్యత = P(H) = \(\frac {45}{100}\)
బొరుసు పడే సంభావ్యత = P(T) = \(\frac {55}{100}\)
[∵ సంభావ్యత = \(\frac {సాధ్యపడు పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\)]

ప్రశ్న (b)
ప్రయోగంలో అన్ని పర్యవసానాల సంభావ్యతల మొత్తం కనుక్కోంది.
సాధన.
ప్రయోగంలో అన్ని పర్యవసానాల సంభావ్యతల మొత్తము = P(H) + P(T)
= \(\frac{45}{100}+\frac{55}{100}=\frac{100}{100}\) = 1

3. నాలుగు రంగులు గల ఒక స్పిన్నర్ ను (పటం చూడండి) మన ఒకసారి తిప్పినప్పుడు

ప్రశ్న (a)
సూచిక ఆగుటకు అధిక అవకాశం గల రంగు ఏది ?
సాధన.
ఎరుపు = 5 సెక్టార్లు
నీలం = 3 సెక్టార్లు
ఆకుపచ్చ = 3 సెక్టార్లు
పసుపు = 1 సెక్టారు
మొత్తము = 5 + 3 + 3 + 1 = 12 సెక్టార్లు
∴ సూచిక ఆగుటకు అధిక అవకాశము గల రంగు ఎరుపు.

ప్రశ్న (b)
సూచిక ఆగుటకు తక్కువ అవకాశం గల రంగు ఏది?
సాధన.
సూచిక ఆగుటకు తక్కువ అవకాశము గల రంగు పసుపు,

ప్రశ్న (c)
సూచిక ఆగుటకు సమాన అవకాశం గల రంగు ఏది?
సాధన.
సూచిక ఆగుటకు సమాన అవకాశము గల రంగులు నీలము మరియు ఆకుపచ్చ. కారణము రెండు రంగులు సమాన సెక్టార్లను కలిగి ఉన్నాయి.

ప్రశ్న (d)
తెలుపు రంగుపై సూచిక ఆగుటకు అవకాశం ఎంత?
సాధన.
తెలుపు రంగుకు సెక్టారు లేదు కావున సూచిక ఆగు అవకాశం లేదు.

ప్రశ్న (e)
సూచిక ఏదైనా రంగుపై కచ్చితంగా ఆగుతుందని చెప్పగలవా ?
సాధన.
చెప్పలేము, ఎందుకనగా ఇది ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగము.

4. ఒక సంచిలో ఒక సైజుగల 5 ఆకుపచ్చ రంగు గోళీలు, 3 నీలం రంగు గోళీలు, 2 ఎరుపు రంగు గోళీలు మరియు 2 పసుపు రంగు గోళీలు కలవు. వీటి నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక గోళీని తీసిన

ప్రశ్న (a)
అన్ని రంగుల పర్యవసానాలు సమ సంభవమా ? వివరించండి.
సాధన.
ఇది సమ సంభవము కాదు. ఎందుకనగా అన్ని రకాల గోళీలు సమాన సంఖ్యలో లేవు.

ప్రశ్న (b)
కింది రంగుల గోళీలు వచ్చు సంభాష్యత కనుక్కోండి. i.e., P(ఆకుపచ్చ), P(నీలం), P (ఎరుపు) మరియు P (పసుపు)
సాధన.
ఆకుపచ్చ గోళీలు = 5
నీలం గోళీలు = 3
ఎరుపు గోళీలు = 2
పసుపు గోళీలు = 2
మొత్తము = 12
సంభావ్యత = \(\frac {అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\)
P(ఆకుపచ్చ) = \(\frac {5}{12}\)
P(నీలం) = \(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)
P(ఎరుపు) = \(\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\)
P(పసుపు) = \(\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న (c)
అన్ని పర్యవసానాల సంభావ్యతల మొత్తం ఎంత ?
సాధన.
P(ఆకుపచ్చ) + P(నీలం) + P(ఎరుపు). + P(పసుపు)
= \(\frac{5}{12}+\frac{3}{12}+\frac{2}{12}+\frac{2}{12}\)
= \(\frac{5+3+2+2}{12}=\frac{12}{12}\) = 1

5. ఆంగ్ల భాషలోని అక్షరాలలో ఒక అక్షరాన్ని యాదృశ్చికంగా ఎన్నుకొనిన, ఆ అక్షరం కింద ఇవ్వబడిన ఘటన అయ్యే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
మొత్తం అక్షరాలు = 26 [A, B, C …… Z]
సంభావ్యత = \(\frac {అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\)

ప్రశ్న (a)
ఒక అచ్చు
సాధన.
అచ్చుల సంభావ్యత = \(\frac {5}{26}\)

ప్రశ్న (b)
P అనే అక్షరం తరువాత వచ్చు అక్షరాలు
సాధన.
P తర్వాత వచ్చు అక్షరాలు = 10
[Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z]
‘P’ తర్వాత వచ్చు అక్షరాల సంభావ్యత = \(\frac{10}{26}=\frac{5}{13}\)

ప్రశ్న (c)
అచ్చు లేదా హల్లు
సాధన.
అచ్చు లేదా హల్లుల సంఖ్య = 26
[A నుండి 2 వరకు అన్ని అక్షరాలు)
అచ్చు లేదా హల్లుల సంభావ్యత = \(\frac {26}{26}\) = 1

ప్రశ్న (d)
అచ్చుకానిది
సాధన.
అచ్చుకానిది = 21
(A, E, I, 0, Uలు తప్ప మిగిలిన అక్షరాలు)
అచ్చుకాని వాటి సంభావ్యత = 2

ప్రశ్న 6.
సంచిపై 5 కిలోలు అని రాయబడిన గోధుమపిండి గల సంచుల అసలు బరువులు కిందినివ్వబడ్డాయి (కి.గ్రా.లలో)
4.97, 5.05, 5.08, 5.03, 5.00, 5.06, 5.08, 4.98, 5.04, 5.07, 5.00
వీటిల్లో యాదృశ్చికంగా ఒక సంచిని తీసినప్పుడు అది 5 కిలోల కంటే ఎక్కువ బరువు ఉండే సంభావ్యత కనుగొనుము.
సాధన.
బస్తాల సగటు = 11
5 కిలోల కంటే ఎక్కువ బరువు గల సంచుల సంఖ్య = 7
[5.05, 5.08, 5.03, 5.06, 5.08, 5.04, 5.07]
∴ సంభావ్యత = \(\frac {అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\)
P(E) = \(\frac {7}{11}\)

7. ఒక పట్టణంలో బీమా సంస్థ 2000 మంది డ్రైవర్లను యాదృచ్చికంగా (ఏ డ్రైవర్‌కు కూడా ప్రత్యేక ప్రాముఖ్యత ఇవ్వకుండా) ఎంపిక చేసింది. వీరి వయసుకు, వీరు చేసిన ప్రమాదాలకు మధ్య ఏదైన సంబంధం అధ్యయనం చేయడం కోసం, కొంత సమాచారం సేకరించింది. ఆ సమాచారం కింది పట్టికలో రాయబడింది.

ఒక డ్రైవరును యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసిన

ప్రశ్న (i)
డ్రైవరు 18 – 29 మధ్య వయసు కలిగి ఉండి మూడు ప్రమాదాలు చేసిన సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
మొత్తం ప్రమాదాల సంఖ్య = 440 + 160 + 110+ 61 + 35 + 505 + 125 + 60 + 22 + 18 + 360 + 45 + 35 + 15 + 9 = 2000
ఘటన : డ్రైవరు (18 – 29) మధ్య వయస్సు కలిగి ఉండి మూడు ప్రమాదాల సంఖ్య = 61
∴ సంభావ్యత P(E) = \(\frac {అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\) = \(\frac {61}{2000}\)

ప్రశ్న (ii)
డ్రైవరు 30-50 మధ్య వయసు కలిగి ఉండి 1 గాని అంతకన్నా ఎక్కువగాని ప్రమాదాలు చేసిన సంభావ్యత
సాధన.
అనుకూల ఫలితాలు = 125 + 60 + 22 + 18 = 225
మొత్తం ప్రమాదాల సంఖ్య = 2000
∴ సంభావ్యత P(E) = \(\frac{1305}{2000}=\frac{261}{400}\)

ప్రశ్న (iii)
డ్రైవరు ప్రమాదాలు చేయని సంభావ్యత
సాధన.
అనుకూల ఫలితాలు = 440 + 505 + 360 = 1305
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 2000
∴ సంభావ్యత P(E) = \(\frac{1305}{2000}=\frac{261}{400}\)

ప్రశ్న 8.
యాదృచ్ఛికంగా ఒక మొనతేలిన ఐల్లెం (డార్ట్)ను పటంలో చూపిన చతురస్రాకార బోర్డువైపు విసరగా అది షేడి చేసి ప్రాంతంలో తగిలే సంభావ్యత ఎంత ? (x విలువ \(\frac {22}{7}\) తీసుకొని, జవాబును శాతంలో తెల్పండి.)
సాధన.

వృత్త వ్యాసార్ధం = r = 2 సెం.మీ.
వృత్త వైశాల్యం = A = πr² = \(\frac {22}{7}\) × 2 × 2 = \(\frac {88}{7}\) సెం.మీ².
చతురస్ర భుజము = 2 × వ్యాసార్థం
= 2 × 2 = 4 సెం.మీ.
చతురస్ర వైశాల్యం = s²
= 4 × 4 = 16 సెం.మీ².
∴ షేక్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం = చతురస్ర వైశాల్యం – వృత్త వైశాల్యం
= 16 – \(\frac{88}{7}=\frac{112-88}{7}=\frac{24}{7}\)
∴ షేడ్ చేసిన ప్రాంతంలో తగిలే సంభావ్యత = \(\frac {అనుకూల ప్రాంతపు వైశాల్యం}{ మొత్తం వైశాల్యం}\)
P(E) = \(\frac{\frac{24}{7}}{16}=\frac{24}{7 \times 16}=\frac{3}{14}\)
∴ సంభావ్యత శాతములో = \(\frac {3}{14}\) × 100% = \(\frac {300%}{14}\) = 21.428%

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 2 బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Ex 2.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 2nd Lesson బహుపదులు మరియు కారణాంక విభజన Exercise 2.1

ప్రశ్న1.
కింద ఇవ్వబడిన ప్రతి బహుపది యొక్క పరిమాణం కనుగొనండి.
i) x⁵ – x⁴ + 3
ii) x² + x – 5
iii) 5
iv) 3x⁶ + 6y³ – 7
v) 4 – y²
vi) 5t – \(\sqrt{3}\)
సాధన.
i) x⁵ – x⁴ + 3 పరిమాణం – 5.
ii) x² + x – 5 పరిమాణం – 2.
iii) 5 పరిమాణం – 0.
iv) 3x⁶ + 6y³ – 7 పరిమాణం – 6.
v) 4 – y² పరిమాణం – 2.
vi) 5t – \(\sqrt{3}\) పరిమాణం – 1.

ప్రశ్న2.
కింది బహుపదులలో ఏక చరరాశితో కూడిన బహుపదులేవి? ఏవికావు ? సకారణంగా తెలపండి.
i) 3x² – 2x + 5
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది ‘x’ అను ఏక చరరాశితో ఏర్పడినది.

ii) x² + \(\sqrt{2}\)
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది ‘x’ అను ఏక చరరాశితో ఏర్పడినది.

iii) p² – 3p + q
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపది ఏక చరరాశితో ఏర్పడిన బహుపది కాదు. ఎందుకనగా దీనిలో p మరియు q అను చరరాశులు కలవు.

iv) y + \(\frac{2}{y}\)
సాధన.
ఇచ్చిన సమాసము బహుపది కాదు. ఎందుకనగా రెండవ పదము హారములో చరరాశిని కలిగి వున్నది.

v) 5\(\sqrt{x}\) + x\(\sqrt{5}\)
సాధన.
ఇచ్చిన సమాసము .బహుపది కాదు. ఎందుకనగా మొదటి పదపు చరరాశి పరిమాణం పూర్ణసంఖ్య కాదు కాబట్టి.

vi) x¹⁰⁰ + y¹⁰⁰
సాధన.
ఇచ్చిన సమాసము నందు రెండు చరరాశులు కలవు.
కావున ఇది ఏక చరరాశి బహుపది కాదు.

ప్రశ్న3.
కింది వానిలో x³ యొక్క గుణకాలను రాయండి.
i) x³ + x +1
సాధన.
x³ గుణకము 1.

ii) 2 – x³ + x²
సాధన.
x³ గుణకము – 1.

iii) \(\sqrt{2}\)x³ + 5
సాధన.
x³ గుణకము \(\sqrt{2}\).

iv) 2x³ + 5
సాధన.
x³ గుణకము 2.

v) \(\frac{\pi}{2} x^{3}+x\)
సాధన.
x³ గుణకము \(\frac{\pi}{2}\).

vi) –\(\frac {2}{3}\)x³
సాధన.
x³ గుణకము – \(\frac {1}{2}\)

vii) 2x² + 5
x³ గుణకము ‘0’.

viii) 4
సాధన.
x³ గుణకము ‘0’.

ప్రశ్న4.
కింది బహుపదులను రేఖీయ, వర్గ మరియు ఘన బహుపదులుగా వర్గీకరించండి.
i) 5x² + x – 7
సాధన.
దీని యొక్క పరిమాణం ‘2’ కావున ఇది వర్గ బహుపది.

ii) x – x³
సాధన.
దీని యొక్క పరిమాణం ‘3’ కావున ఇది ఘన బహుపది.

iii) x² + x + 4
సాధన.
దీని యొక్క పరిమాణం ‘2’ కావున ఇది వర్గ బహుపది.

iv) x – 1
సాధన.
దీని యొక్క పరిమాణం ‘1’ కావున ఇది రేఖీయ బహుపది.

v) 3p
సాధన.
దీని యొక్క పరిమాణం ‘1’ కావున ఇది రేఖీయ బహుపది.

vi) πr²
సాధన.
దీని యొక్క పరిమాణం (2) కావున ఇది వర్గ బహుపది.

ప్రశ్న5.
కింది ప్రవచనాలు. సత్యమో, అసత్యమో తెల్పండి. సమాధానాలకు కారణాలు తెలపండి.
i) ద్విపదిలో కనీసం రెండు పదాలుంటాయి.
ii) ప్రతి బహుపది ఒక ద్విపది అవుతుంది.
iii) ద్విపది యొక్క పరిమాణం 3 కూడా కావచ్చు.
iv) శూన్య బహుపది యొక్క పరిమాణం సున్న.
v) x² + 2xy + y² బహుపది పరిమాణం 2.
vi) πr²
సాధన.
i) ద్విపదిలో కనీసం రెండు పదాలుంటాయి. – సత్యము
ii) ప్రతి బహుపది ఒక ద్విపది అవుతుంది. – అసత్యం
[∵ బహుపదిలో రెండు కంటే ఎక్కువ పదాలుంటాయి]
iii) ద్విపది యొక్క పరిమాణం 3 కూడా కావచ్చు. – అసత్యము
iv) శూన్య బహుపది యొక్క పరిమాణం సున్న. – అసత్యం
v) x² + 2xy + y² బహుపది పరిమాణం 2. – సత్యము
vi) πr² అనేది ఒక ఏకపది. – సత్యం

ప్రశ్న6.
10 వ పరిమాణం కలిగిన ఒక ఏకపదికి, త్రిపదికి ఒక్కొక్క ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
సాధన.
– 7x¹⁰ అను ఏకపది పరిమాణము 10.
3x²y⁸ + 7xy – 8 అను త్రిపది పరిమాణము 10.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 గణితములో నిరూపణలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు InText Questions

ఇవి చేయండి.

1. ఏవైనా 5 వాక్యములు రాసి అవి సత్యమో/అసత్యమో నిర్ణయించి, కారణాలు తెల్పంది. (పేజీ నెం. 311)
సాధన.
(i) 9 ప్రధాన సంఖ్య – అసత్యము
ఇది ఒక ప్రవచనము ఎందుకనగా దీని సత్య విలువను మనము చెప్పగలము. ఇది అసత్యము. ‘9’ కి (1 మరియు 9) కాక ఇంకనూ కొన్ని కారణాంకాలు గలవు.
(ii) x విలువ 5 కన్నా తక్కువ – సత్యమో లేక అసత్యమో చెప్పలేము.
ఇది ప్రవచనము కాదు ఎందుకనగా ఇది సత్యమో లేక అసత్యమో చెప్పలేము. కావున ఇది ఒక వాక్యము మాత్రమే.
(iii) 3 + 5 = 8 – సత్యము
పై వాక్యము సత్యము కావున ఇది ఒక ప్రవచనము.
(iv) రెండు బేసి సంఖ్యల మొత్తము సరిసంఖ్య – సత్యము. పై వాక్యము సత్యమని సరి చూచుటకు 3 + 5 = 8 లేక, 5 + 7 = 12 వంటి విలువలను తీసుకుంటారు. కావున ఈ వాక్యము ఒక ప్రవచనము.
(v) \(\frac {x}{2}\) + 3 = 9 – ఇది సత్యమో లేక అసత్యమో చెప్పలేము.
పై వాక్యము ప్రవచనము కాదు. ఎందుకనగా x విలువ లేకుండా సత్య విలువను నిర్ధారించలేము.

ప్రయత్నించండి

1. 1. 3 ఒక ప్రధాన సంఖ్య
2. రెందు బేసి సంఖ్యల లబ్ధము ఒక సరిసంఖ్య.
3. x ఏదైనా ఒక వాస్తవ సంఖ్య అయితే 4x + x = 5x
4. భూమికి కల ఒకే ఒక ఉపగ్రహము చంద్రుడు.
5. రాము ఒక మంచి డ్రైవరు.
6. “లీలావతి” అను గ్రంథమును భాస్కరుడు రచించెను.
7. అన్ని సరి సంఖ్యలు సంయుక్త సంఖ్యలు.
8. రాంబస్ ఒక చతురస్రము.
9. x > 7.
10. 4 మరియు 5 పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు.
11. సిల్వర్ ఫిష్ అను చేప సిల్వర్ తో చేయబడింది.
12. భూమిని పరిపాలించుటకు మనుష్యులు కలరు.
13. x ఏదైనా ఒక వాస్తవ సంఖ్య అయిన 2x > x.
14. క్యూబా రాజధాని హవానా.
పై వాక్యములలో ప్రత్యుదాహరణల ద్వారా, అసత్యమని నిర్ణయించగల ప్రవచనములు ఏవి ? (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
ప్రవచనాలు – 2, 7, 8, 13 లను ఒక ప్రత్యుదాహరణ ద్వారా నిర్ణయించవచ్చును.
2. రెండు బేసి పూర్ణ సంఖ్యల లబ్దము సరిసంఖ్య.
ప్రత్యుదాహరణ : 3 మరియు 5 లు చేసి పూర్ణ సంఖ్యలు. కావున వాటి లబ్ధము 3 × 5 = 15 సరిసంఖ్య కాదు.
7. అన్ని సరిసంఖ్యలు సంయుక్త సంఖ్యలు.
ప్రత్యుదాహరణ : ‘2’ సరి ప్రధాన సంఖ్య.
8. ఒక రాంబస్, చతురస్రము.

ప్రత్యుదాహరణ : 40°, 140°, 40°, 140°లు కావున ఇది ఒక రాంబస్.
13. 2x > x, x ఏదేని సంఖ్య అయిన
ప్రత్యుదాహరణ : x = – 3 అయిన 2x = 2 (-3) = – 6
ఇక్కడ – 6 < – 3 అగును.

2. పైథాగరస్ యొక్క ప్రజాదరణ దృష్యా వారి అనుయూయుదొకడు లంబకోణ త్రిభుజ భుజాల మధ్య మరొక సంబంధం కలదని భావించాడు. (పేజీ నెం. 319)

సాధన.
ఈ భావన పై త్రిభుజాలకు సత్యము.
(i) 3² = 5 + 4
9 = 5 + 4
(ii) 5² = 25 = 12 + 13
25 = 12 + 13
(iii) 7² = 49 = 24 + 25
49 = 24 + 25
కాని ఈ నియమం చిన్న సంఖ్య భుజంకు వర్తించదు.
ఉదా :

సిద్ధాంతములు :

1. త్రిభుజములోని మూడు కోణముల మొత్తం 180°. (పేజీ నెం. 318)

2. రెండు బేసి సంఖ్యల లబ్ధం, బేసిసంఖ్య. (పేజీ నెం. 318)

3. రెండు వరుస సరి సహజ సంఖ్యల లబ్ధం, 4 చే భాగింపబడుతుంది. (పేజీ నెం. 318)

4. ఒక త్రిభుజములోని మూడు అంతర కోణముల మొత్తం 180°. (పేజీ నెం. 324)
సాధన.
నిరూపణ : ABC ఒక త్రిభుజము.
\(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{CAB}\) = 180° అని నిరూపించవలెను

BA కు సమాంతరంగా C నుండి CE అను రేఖను గీయుము.
BC ను D వరకు పొడిగించండి.
CE | | BA మరియు AC ఒక తిర్యగ్రేఖ.
కావున \(\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{ACE}\) (ఏకాంతర కోణాలు) ……………….(1)
అదే విధంగా \(\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{DCE}\) (సదృశ కోణాలు) ………….. (2)

నీవు ఈ సిద్ధాంతము 4వ అధ్యాయములో నేర్చుకొన్నదే. మనము సిద్ధాంతాల నిరూపణకు తరచుగా వాటి పటాలను గీయుట చాలా ముఖ్యము. అయినప్పటికి నిరూపణ అనునది తార్కికంగా ఉండవలెను. సామాన్యంగా ఆ రెండు రేఖలు లంబంగా ఖండించుకొనునట్లు కన్పించుచున్నది కావున ఆ రెండు కోణాల కొలతలు 90° అంటాం. ఇలాంటి తర్కములో మోసపోవచ్చు. కాబట్టి తగు జాగ్రత్త అవసరము.

పై నిరూపణలోని ప్రతి వివరణ వెనుక కల కారణాలు పరిశీలిద్దాము.
సోపానము 1: పై సిద్ధాంతం త్రిభుజ ధర్మాలపై ఆధారపడి ఉన్నది. కావున త్రిభుజం ABCతో ప్రారంభిద్దాం.

సోపానము 2 : సిద్ధాంతంలో BA కు సమాంతరంగా CE గీసి, BCను D వరకు పొడిగించితిమి. నిరూపణకు ఇది చాలా ముఖ్యమైన సోపానము.

సోపానము 3 : మనకు తెలిసిన పూర్వ సిద్ధాంతాల ఆధారంగా ఏకాంతర కోణాలు సదృశకోణాల ధర్మాల ఆధారంగా \(\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{ACE}\) మరియు \(\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{DCE}\) అని చెప్పగలము.

సోపానము 4 : “ఒక సమీకరణమునకు రెండువైపులా సమాన అంశములు కలిపిన ఆ సమీకరణములో మార్పు ఉండదు” అను యూక్లిడ్ సామాన్య భావన ఆధారంగా \(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{DCE}+\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{ACE}\) అని రాసితిమి.
దీని మండి త్రిభుజము మూడు కోణాల మొత్తం రేఖీయ కోణముల మొత్తమునకు సమానమని చెప్పబడినది.

సోపానము 5 : “ఒక వస్తువుతో రెండు వస్తువులు సమానమైన, ఆ రెండు వస్తువులు సమానము” అను యూక్లిడ్ సామాన్యభావన ద్వారా మనము \(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{DCE}+\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{ACE}\) = 180° అని చెప్పగలము. 2 మరియు 3 లో గల సిద్ధాంతాలను (విశ్లేషణ చేయకయే) నిరూపిద్దాం.

5. రెండు బేసి సంఖ్యల లబ్ధము బేసి సంఖ్య. (పేజీ నెం. 325)
సాధన.
నిరూపణ : x మరియు y రెండు బేసిసంఖ్యలు అనుకొనుము.
మనము xy ఒక బేసిసంఖ్య అని చూపాలి.
x, yలు బేసిసంఖ్యలు అయిన
x = (2m – 1), y = 2n – 1 (m, n లు ఏదైనా రెండు సహజసంఖ్యలు) గా రాయవచ్చు. అప్పుడు,
xy = (2m – 1) (2n – 1)
= 4mm – 2m – 2n + 1
= 4mm – 2m – 2n + 2 – 1
= 2(2m – m – n + 1) – 1
2mn – m – n + 1 – 1, lను ఏదేని సహజ సంఖ్యఅనుకొనిన
= 2l – 1, l ∈ N
ఇది కచ్చితంగా బేసి సంఖ్యయే.

6. రెండు వరుస సరిసంఖ్యల లబ్ధము 4చే భాగింపబడును. (పేజీ నెం. 326)
సాధన.
రెండు వరుస సరిసంఖ్యలు 2m, 2m + 2 (n ఏదైనా ఒక సహజసంఖ్య), వాటి లబ్దము 2m (2m + 2). 4ను భాగింపబడును అని నిరూపించాలి. (నిరూపణకు మీరు సొంతంగా ప్రయత్నించండి.)

ఉదాహరణలు :

1. ప్రధాన సంఖ్యల నిర్వచనము నుండి 3 ఒక ప్రధాన సంఖ్య అని చెప్పగలము. కావున ఇది ఒక ప్రవచనము. మిగిగిన వాక్యములలో ప్రవచనములలో గణిత పరంగా నిరూపించగలిగేవి ఏవి? (పేజీ నెం. 312)

2. రెండు బేసి సంఖ్యల లబ్దము ఒక సరిసంఖ్య. ఏవైన రెందు బేసి సంఖ్యలు 8, 5 తీసుకొనుము. వాటి లబ్దము 3 × 5 = 15 ఇది సరిసంఖ్యకాదు. (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
ఈ ప్రవచన సత్య విలువ అసత్యము. కనుక ఒక ప్రత్యుదాహరణ ద్వారా మనము ఈ ప్రవచన సత్య విలువ నిర్ణయించగలము. ఒక ఉదాహరణ ద్వారా ఒక ప్రవచనం అసత్యము అని చెప్పవచ్చు. ఇటువంటి ఉదాహరణను ప్రత్యుదాహరణ అంటారు.

3. క్రింది వాక్యములను పరిశీలించండి. “భూమిని పరిపాలించుటకు మనుష్యులు కలరు”, “రాము ఒక మంచి డ్రైవర్”. (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
ఈ వాక్యములు సందిగ్గదతో కూడి ఉన్న వాక్యములు. భూమిని పాలించుట అనునది కచ్చితముగా ఏ ప్రాంతము అనేది చెప్పబడలేదు. అదే విధముగా రెండవ వాక్యములో ఎటువంటి నైపుణ్యము మంచిదో అనేది స్పష్టంగా చెప్పబడలేదు. గణిత ప్రవచనములు కొన్ని పదాల కలయికతో, అందరికి స్పష్టంగా అర్థమగుతూ అది సత్యమో అసత్యమో నిర్ణయించగలిగేలా ఉండాలి.

4. భూమికి కల ఒకే ఒక ఉపగ్రహం చంద్రుడు. లీలావతి అను గ్రంథమును భాస్కరుడు రచించెను. ఈ వాక్యములు ప్రవచనములు అవునో కాదో ఎట్లు
నిర్ణయించగలవు? (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
ఈ వాక్యములలో సందిగ్ధత లేదు, కాని కొంత నిరూపించవలసిన అవసరము కలదు. దీనిని నిర్ధారించుటకు పూర్వము నిరూపించబడిన అంశములపై సంబంధించిన అంశములు తెలిసి ఉండాలి, రెండవ వాక్యము కొరకు పుస్తక రచయితలు వాటికి సంబంధించిన అంశములు చారిత్రక గ్రంథములు తెలియవలెను.

5. కింది ప్రవచనములు షరతులకు లోబడి సరియగు సత్య ప్రవచనములు అగునట్లుగా తిరిగి రాయండి.

1. ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య x కు 3x > x.
2. ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య x కు x² ≥ x.
3. ఒక సంఖ్యను 2తో భాగించగా వచ్చిన సంఖ్య మొదటి సంఖ్యలో సగముండును.
4. ఒక వృత్తములో ఒక జ్యా వృత్తముపై ఏదైన ఒక బిందువు వద్ద ఏర్పరచు కోణము 90°.
5. ఒక చతుర్భుజంలో అన్ని భుజాలు సమానమైన అది ఒక చతురస్రము. (పేజీ నెం. 313)

సాధన.

1. x > 0 అయిన 3x >x.
2. x ≤ 0 లేదా x ≥ 1 అయిన x² ≥ x.
3. 0 తప్ప మిగిలిన సంఖ్యలను 2 తో భాగిస్తే వచ్చు సంఖ్య మొదటి సంఖ్యలో సగముండును.
4. ఒక వృత్తములో వృత్త వ్యాసము, వృత్తముపై ఏదైనా ఒక బిందువు వద్ద ఏర్పరచు కోణము 90°.
5. ఒక చతుర్భుజంలోని అన్ని భుజాలు, కోణాలు సమానమైన అది ఒక చతురస్రము.

6. కింది వరుసల చుక్కలు ఒక వరుస క్రమ సంఖ్యలను సూచిస్తుంది. (పేజీ నెం. 318)

(a) తరువాతి మూడు పదాలు కనుక్కోండి.
(b) 100వ పదము కనుక్కోండి.
(c) nవ పదము కనుక్కోండి.
ఇచ్చట కల సంఖ్యలు T₁ = 2, T₂ = 6, T₃ = 12, T₄ = 20 గా కలదు. T₅, T₆, T_n పదములను ఊహించగలరా ? T_n అను పదమును ఒక భావనగా తీసుకుందాం. పై విషయాన్ని తిరిగి ఇలా రాస్తే మనకు సాధనకు ఉపయోగపడవచ్చు.

సాధన.
కావున T₅ = T₄ + 10 = 20 + 10 = 30 = 5 × 6
T₆ = T₅ + 12 = 30 + 12 = 42
= 6 × 7………. T₇ ఊహించండి,
T₁₀₀ = 100 × 101 = 10, 100
T_n = n × (n + 1) = n² + n

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు Ex 1.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.4

ప్రశ్న1.
కింది వానిని సూక్ష్మీకరించండి.
i) (5 + \(\sqrt{7}\)) (2 + \(\sqrt{5}\))
సాధన.
(5 + \(\sqrt{7}\)) (2 + \(\sqrt{5}\))
= 10 + 5\(\sqrt{5}\) + 2\(\sqrt{7}\) + \(\sqrt{35}\)

ii) (5+ \(\sqrt{5}\)) (5 – \(\sqrt{5}\))
సాధన.
(5 + \(\sqrt{5}\)) (5 – \(\sqrt{5}\)) = (5)² – (\(\sqrt{5}\))²
= 25 – 5 = 20

iii) (\(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{7}\))²
సాధన.
(\(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{7}\))² = (\(\sqrt{3}\))² + (\(\sqrt{7}\))² + 2(\(\sqrt{3}\)) (\(\sqrt{7}\))
= 3 + 7 + 2\(\sqrt{21}\) = 10 + 2\(\sqrt{21}\)

iv) (\(\sqrt{11}\) – \(\sqrt{7}\))(\(\sqrt{11}\) + \(\sqrt{7}\))
సాధన.
(\(\sqrt{11}\) – \(\sqrt{7}\))(\(\sqrt{11}\) + \(\sqrt{7}\))
= (\(\sqrt{11}\))² – (\(\sqrt{7}\))²
= 11 – 7 = 4

ప్రశ్న2.
కింది వానిలో అకరణీయ సంఖ్యలేవి? కరణీయ సంఖ్య లేవి?
i) 5 – \(\sqrt{3}\)
ii) \(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{2}\)
iii) (\(\sqrt{2}\) – 2)²
iv) \(\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}\)
v) 2π
vi) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
vii) (2 + \(\sqrt{2}\)) (2 – \(\sqrt{2}\))
సాధన.
i) 5 – \(\sqrt{3}\) – కరణీయ సంఖ్య
ii) \(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{2}\) – కరణీయ సంఖ్య
iii) (\(\sqrt{2}\) – 2)² – కరణీయ సంఖ్య
iv) \(\frac{2 \sqrt{7}}{7 \sqrt{7}}\) – అకరణీయ సంఖ్య
v) 2π – కరణీయ సంఖ్య కాదు
vi) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) – కరణీయ సంఖ్య
vii) (2 + \(\sqrt{2}\)) (2 – \(\sqrt{2}\)) – అకరణీయ సంఖ్య

ప్రశ్న3.
కింది సమీకరణాలలో x, y, z మొదలగు చరరాశులు అకరణీయ సంఖ్యలను సూచిస్తాయా ? కరణీయ సంఖ్యలను సూచిస్తాయా ?
i) x² = 7
ii) y² = 16
iii) z² = 0.02
iv) u² = \(\frac{17}{4}\)
v) w² = 27
vi) t⁴ = 256
సాధన.
i) x² = 7 ⇒ x = \(\sqrt{7}\) ఒక కరణీయ సంఖ్య
ii) y² = 16 ⇒ y = \(\sqrt{16}\) = 4 ఒక అకరణీయ సంఖ్య
iii) z² = 0.02 ⇒ z = \(\sqrt{0.02}\) ఒక కరణీయ సంఖ్య
iv) u² = \(\frac{17}{4}\) ⇒ u = \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) ఒక కరణీయ సంఖ్య
v) w² = 27 ⇒ w = 3\(\sqrt{3}\) ఒక కరణీయ సంఖ్య
vi) t⁴ = 256 ⇒ t = \(\sqrt[4]{256}=\sqrt[4]{4^{4}}\) = 4 ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

ప్రశ్న4.
ఒక వృత్తపరిధికి, దాని వ్యాసానికి గల నిష్పత్తి \(\frac{c}{d}\)ని π సూచిస్తాము. మరి π ను కరణీయసంఖ్య అని ఎందుకు పరిగణిస్తారు ?
సాధన.
వృత్తపరిధి (c) మరియు వ్యాసము (d) లు పోల్చదగిన పొడవులు కావు. అనగా ఆ రెంటిని కచ్చితంగా కొలిచే మాపనము లేదు. కాబట్టి π ను కరణీయ సంఖ్యగా పరిగణిస్తాము.

ప్రశ్న5.
హారాలను అకరణీయం చేయండి.
i) \(\frac{1}{3+\sqrt{2}}\)
సాధన.

ii) \(\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}\)
సాధన.

iii) \(\frac{1}{\sqrt{7}}\)
సాధన.
\(\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{1}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}\)

iv) \(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)
సాధన.

ప్రశ్న6.
హారాలను అకరణీయం చేసి సూక్ష్మీకరించండి.
i) \(\frac{6-4 \sqrt{2}}{6+4 \sqrt{2}}\)
సాధన.

ii) \(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\)
సాధన.

iii) \(\frac{3 \sqrt{5}-\sqrt{7}}{3 \sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
సాధన.

iv) \(\frac{3 \sqrt{5}-\sqrt{7}}{3 \sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
సాధన.

ప్రశ్న7.
\(\sqrt{2}\) = 1.414, \(\sqrt{3}\) = 1.732 మరియు \(\sqrt{5}\) = 2.236 అయితే \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{15}}{2 \sqrt{2}}\) విలువను మూడు దశాంశ స్థానాల వరకు కనుగొనండి.
సాధన.

ప్రశ్న8.
విలువలు కనుగొనండి.
i) 64^1/6
సాధన.
64^1/6 = (2⁶)^1/6 = 2

ii) 32^1/5
సాధన.
32^1/5 = (2⁵)^1/5 = 2

iii) 625^1/4
సాధన.
625^1/4 = (5⁴)^1/4 = 5

iv) 16^3/2
సాధన.
16^3/2 = (4²)^3/2 = 4³ = 64

v) 243^2/5
సాధన.
243^2/5 = (3⁵)^2/5 = 3² = 9

vi) (46656)^-1/6
సాధన.
(46656)^-1/6 = (6⁶)^-1/6
= 6^-1 = \(\frac{1}{6^{1}}\) = \(\frac {1}{6}\)
[∵ 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 46656]

ప్రశ్న9.
\(\sqrt[4]{81}-8 \sqrt[3]{343}+15 \sqrt[5]{32}+\sqrt{225}\) ను సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.

= (3⁴)^1/4 – 8(7³)^1/4 + 15(2⁵)^1/5 + 15
= 3 – 8 × 7 + 15 × 2 + 15
= 3 – 56 + 30 + 15 = -8

ప్రశ్న10.
‘a’ మరియు ‘b’ లు ఏవైనా అకరణీయసంఖ్యలు అయితే కింది సమీకరణాలలో a, b విలువలు కనుక్కోండి.
i) \(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=a+b \sqrt{6}\)
సాధన.
\(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)
హారంను అకరణీయం చేయగా,

5 + 2\(\sqrt{6}\) ను a + b\(\sqrt{6}\) తో పోల్చగా
a = 5 మరియు b = 2

ii) \(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2 \sqrt{5}-3 \sqrt{3}}=a-b \sqrt{15}\)
సాధన.
\(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2 \sqrt{5}-3 \sqrt{3}}\)
హారమును అకరణీయం చేయగా,

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 గణితములో నిరూపణలు Ex 15.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు Exercise 15.4

1. కింది వాటిలో ఏవి ప్రవచనములు ? ఏవి ప్రవచనములు కావో ? కారణాలు తెల్పుతూ చెప్పండి.

ప్రశ్న (i)
ఆమె కళ్లు నీలంగా కలవు.
సాధన.
ఇది గణిత ప్రవచనము కాదు.

ప్రశ్న (ii)
x + 7 = 18
సాధన.
ఇది గణిత ప్రవచనము కాదు. దీని సత్య విలువను కనుగొనుట సాధ్యం కాదు.

ప్రశ్న (iii)
ఈ రోజు ఆదివారము కాదు.
సాధన.
ఇది ప్రవచనము కాదు. ఇది సంబద్ధతా ప్రవచనము.

ప్రశ్న (iv)
x యొక్క అన్ని విలువలకు, x + 0 = x
సాధన.
ఇది ఒక గణిత ప్రవచనము.

ప్రశ్న (v)
ఇప్పుడు సమయం ఎంత ?
సాధన.
ఇది గణిత ప్రవచనము కాదు.

2. కింది ప్రవచనములను ప్రత్యుదాహరణ ద్వారా అసత్యములని తెలపండి.

ప్రశ్న (i)
ప్రతి దీర్ఘచతురస్రము ఒక చతురస్రము.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రము మరియు చతురస్రములు సమ కోణాలను కలిగి ఉంటాయి. అవి లంబ కోణాలు కాని భుజాలు సమానంగా ఉండవు.

ప్రశ్న (ii)
ఏవైనా వాస్తవ సంఖ్యలు x, y లకు
\(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) = x + y
సాధన.
x = 3; y = 8 అనుకొనుము.
\(\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{3^{2}+8^{2}}=\sqrt{9+64}=\sqrt{73}\)
x + y = 3 + 8 = 11
ఇక్కడ \(\sqrt{73}\) ≠ 11
∴ \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) ≠ x + y

ప్రశ్న (iii)
n ఒక పూర్ణసంఖ్య అయిన 2n2 + 11 ఒక ప్రధానాంకము.
సాధన.
n = 11 అయిన 2n2 + 11 = 2(11)2 + 11
= 11 (2 × 11 + 1) = 11 × (22 + 1)
= 11 × 23 ప్రధాన సంఖ్య కాదు.

ప్రశ్న (iv)
రెందు త్రిభుజములలో అనురూపకోణాలు సమానమైన, ఆ త్రిభుజములు సర్వసమానములు.
సాధన.

రెండు త్రిభుజాలలో అనురూప కోణాలు సమానమైన, ఆ త్రిభుజాలు సరూపాలు మాత్రమే.

ప్రశ్న (v)
ఒక చతుర్భుజంలోని అన్ని భుజాలు సమానములైన అది చతురస్రము.
సాధన.
ఒక రాంబస్ చతురస్రము కాదు కాని దాని భుజాలు సమానము.

ప్రశ్న 3.
రెండు బేసిసంఖ్యల మొత్తము ఒక సరిసంఖ్య అని నిరూపించండి.
సాధన.

ప్రశ్న 4.
రెండు సరిసంఖ్యల లబ్దము ఒక సరిసంఖ్య అని నిరూపించండి.
సాధన.

ప్రశ్న 5.
“x ఒక బేసిసంఖ్య అయిన x2 కూడా ఒక బేసిసంఖ్య” నిరూపించండి.
సాధన.
‘x’ ఒక బేసిసంఖ్య అనుకొనుము.
x = 2m + 1 (బేసిసంఖ్యల సాధారణ రూపము)
x2 = (2m + 1)2 (ఇరువైపులా వర్గం చేయగా)
= 4m2 + 4m + 1
= 2 (2m2 + 2m) + 1
= 2k + 1 {K = 2m2 + 2m}
x2 కూడా ఒక బేసిసంఖ్య

6. కింది వాటిని పరిశీలించండి. వాటిలో ఏది సరియైనది సరిచూడండి.

ప్రశ్న (i)
ఒక సంఖ్యను తలుచుకోండి. దానిని రెట్టింపుచేసి ‘9’ కలపండి. దానికి తలచిన సంఖ్యను కలపండి. 3తో భాగించండి. తిరిగి ‘4’ కలపండి. తిరిగి ఆ ఫలితము నుండి తలచిన సంఖ్యను తీసివేయండి. ఫలితం ‘7’ వచ్చును.
సాధన.
ఒక సంఖ్య = xను ఎన్నుకొనుము.
రెట్టింపు చేయగా = 2x
‘9’ కలుపగా = 2x + 9
తలచిన సంఖ్యను కలుపగా = 2x + 9 + x
= 3x + 9
‘3’ చే భాగించగా = (3x + 9) ÷ 3
= \(\frac{3 x}{3}+\frac{9}{3}\)
= x + 3
తిరిగి ‘4’ కలుపగా = x + 3 + 4
= x + 7
తిరిగి ఫలితం నుండి తలచిన సంఖ్యను తీసివేయగా
= x + 7 – x = 7
∴ ఫలితము = 7 (సత్యము)

ప్రశ్న (ii)
ఒక 3 – అంకెల సంఖ్యను రాసి, 6 – అంకెల సంఖ్య అగునట్లు, రెండుసార్లు రాయండి. (ఉదా : 425 ను 425425 గా రాయండి) ఈ 6 – అంకెల సంఖ్య (425425) 7, 11 మరియు 13 చే నిశ్శేషముగా భాగింపబడును.
సాధన.
మూడంకెల సంఖ్య xyz అనుకొనుము.
6 – అంకెల సంఖ్య అగునట్లు రెండుసార్లు వ్రాయగా
= xyzxyz
= xyz × (1001)
= xyz × (7 × 11 × 13)
ఈ పరికల్పన సత్యము.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 గణితములో నిరూపణలు Ex 15.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు Exercise 15.3

1.

ప్రశ్న (i)
ఏవేని మూడు వరుస బేసిసంఖ్యల లబ్దము కనుగొనుము.
ఉదా : 1 × 3 × 5 = 15; 3 × 5 × 7 = 105; 5 × 7 × 9 = ……
సాధన.
1 × 3 × 5 = 15
3 × 5 × 7 = 105
5 × 7 × 9 = 315
7 × 9 × 11 = 693
→ ఏవేని మూడు వరుస బేసి సంఖ్యల లబ్ధము ఒక బేసి సంఖ్య.
→ మూడు వరుస బేసి సంఖ్యల లబ్దము ‘3’ చే భాగించబడును.

ప్రశ్న (ii)
ఏవేని మూడు వరుస సరిసంఖ్యల మొత్తం కనుగొనుము.
2 + 4 + 6 = 12; 4 + 6 + 8 = 18; 6 + 8 + 10 = 24; 8 + 10 + 12 = 30 ….
పై ఉదాహరణలలో ఏదైనా క్రమ ధర్మాన్ని గుర్తించారా ? మరి మీ పరికల్పన ఏమిటి ?
సాధన.
2 + 4 + 6 = 12; 4 + 6 + 8 = 18;
6 + 8 + 10 = 24; 8 + 10 + 12 = 30
→ మూడు వరుస సరిసంఖ్యల మొత్తము ఒక సరి సంఖ్య
→ మూడు వరుస సరి సంఖ్యల మొత్తము, ‘6’ చే భాగించబడును. కావున ఇవి ‘6 యొక్క గుణిజాలు.

ప్రశ్న 2.
పాస్కల్ త్రిభుజము గమనించండి.
అడ్డు వరుస – 1 : 1 = 11⁰
అద్దు వరుస – 2 : 11 = 11¹
అడ్డు వరుస – 3 : 121 = 11²
అడ్డు వరుస – 4, 5 గురించి ఊహించి, భావన తయారు చేయండి.
అది అడ్డు వరుస – 6 కు సరిపోతుందో లేదో గమనించండి.

సాధన.
అడ్డు వరుస – 4 : 1331 = 11³
అడ్డు వరుస – 5 : 14641 = 11⁴
అడ్డు వరుస – 6 : 11⁵
∴ అద్దు వరుస – n = 11^{n – 1}
అవును, అది అడ్డు వరుస 6కు సరిపోవును.

3. కింది వరుస క్రమాన్ని గమనించండి.

ప్రశ్న (i)
28 = 2² × 7¹; 28 కారణాంకాల సంఖ్య
(2 + 1)(1 + 1) = 3 × 2 = 6
28 కు గల 6 కారణాంకాలు 1, 2, 4, 7, 14, 28
సాధన.
24 = 2³ × 3¹
24కు గల కారణాంకాల సంఖ్య = (3 + 1)(1 + 1) = 4 × 2 = 8
ఆ కారణాంకాలు [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 మరియు24]

ప్రశ్న (ii)
30 = 2¹ × 3¹ × 5¹, కారణాంకాల సంఖ్య (1 + 1)
(1 + 1) (1 + 1) = 2 × 2 × 2 = 8
30కు కల 8కారణాంకాలు 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 పై ఉదాహరణలలోని క్రమాన్ని గుర్తించండి.
(సూచన : ప్రతి లబ్ధంలో ప్రధానకారణాంక ఘాతాంకం + 1 ఒక కారణాంకంగా గుర్తించండి)
సాధన.
36 = 2² × 3²
36 కు గల కారణాంకాల సంఖ్య
= (2 + 1)(2 + 1) = 3 × 3 = 9
ఆ కారణాంకాలు [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 మరియు 36]
∴ N = a^p. b^q. c^r ………..
ఇక్కడ N ఒక సహజ సంఖ్య .
a, b, c ప్రధానాంకాలు మరియు p, q, r లు ధన పూర్ణ సంఖ్యలు అయిన N యొక్క కారణాంకాల సంఖ్య
N = (p + 1) (q +1)(r + 1)………………

ప్రశ్న 4.
కింది క్రమాన్ని గమనించండి.
1² = 1
11² = 121
111² = 12321
1111² = 1234321
11111² = 123454321
కింది వాటిపై మీరు పరికల్పన చేయగలరా ?
111111² =
1111111² =
మీ పరికల్పన సరిచూచుకోండి.
సాధన.
111111² = 12345654321
1111111² = 1234567654321
(111 …… n సార్లు)²
= (123 … (n – 1) n (n – 1) (n – 2) ….. 1)
ఈ పరికల్పన సత్యమే.

ప్రశ్న 5.
ఈ పుస్తకంలో కల 5 స్వీకృతాలు సేకరించండి.
సాధన.

1. ఒక బిందువు నుండి మరొక బిందువుకు ఒకే ఒక సరళరేఖను గీయగలము.
2. రేఖాఖండాన్ని రెండు వైపులా పొడిగించగా సరళరేఖ ఏర్పడును.
3. ఒక బిందువు కేంద్రంగా ఏదైనా వ్యాసార్ధంతో ఒక వృత్తంను గీయగలము.
4. ఒక రేఖకు సమాంతరంగా ఉన్న రేఖలు ఒకదాని కొకటి సమాంతరాలు.
5. అన్ని లంబకోడాలు ఒకదానికొకటి సమానము.

ప్రశ్న 6.
P(x) = x² + x + 41 బహుపదినందు x, యొక్క వివిధ సహజ సంఖ్యలకు p(x) ను కనుగొనుము. x యొక్క అన్ని సహజ సంఖ్యలకు పై బహుపది p(x) ప్రధాన సంఖ్య అనగలమా ? x = 41 తీసుకుని సరిచూడండి. ఏమి గమనించితిరి?
సాధన.
p(x) = x² + x + 41
P(0) = 0² + 0 + 41 = 41 – ప్రధాన సంఖ్య
p(1) = 1² + 1 + 41 = 43 – ప్రధాన సంఖ్య
p(2) = 2² + 2 + 41 = 47 – ప్రధాన సంఖ్య
p(3) = 3² + 3 + 41 = 53 – ప్రధాన సంఖ్య
p(41) = 41² + 41 + 41
= 41 (41 + 1 + 1) = 41 × 43 ప్రధాన సంఖ్య కాదు.
∴ p(x) = x² + x + 41 విలువ ‘x’ యొక్క అన్ని విలువలకు ప్రధానాంకము కాదు.
∴ “p(x) = x² + x + 41 ప్రధాన సంఖ్య” అను పరికల్పన అసత్యము.

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు Ex 1.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.3

ప్రశ్న1.
2.874 ను సంఖ్యారేఖపై క్రమానుగత వర్ధన పద్ధతిలో చూపించండి.
సాధన.
సోపానం – 1:

సోపానం – 2:

సోపానం – 3:

ప్రశ్న2.
\(5 . \overline{28}\) ను సంఖ్యారేఖపై క్రమానుగత వర్ధన పద్ధతిలో 2 స్థానాల వరకు చూపించండి.
సాధన.
సోపానం – 1:

సోపానం – 2:

సోపానం – 3:

సోపానం – 4: