Category: Class 10

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.3

ప్రశ్న 1.
10 సెం.మీ వ్యాసార్ధముగా గల వృత్తములో ఒక జ్యా కేంద్రము వద్ద లంబకోణాన్ని ఏర్పరిస్తే, కింది ఇవ్వబడిన వృత్తఖండాల వైశాల్యాలు కనుగొనండి. (π = 3.14 అని తీసుకోండి.)
(i) అల్ప వృత్తఖండము
(ii) అధిక వృత్త ఖండము
సాధన.

PQ జ్యా కేంద్రం వద్ద చేయు కోణం (x°) = 90°
వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = 10 సెం.మీ.
(i) అల్ప వృత్త ఖండ వైశాల్యము = POQ సెక్టార్ వైశాల్యము – ∆POQ వైశాల్యము
POQ సెక్టార్ వైశాల్యము = \(\frac{x}{360}\) × πr²
∆POQ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) bh
∴ అల్ప వృత్త ఖండ వైశాల్యము = \(\frac{90}{360}\) × 3.14 × 10 × 10 – \(\frac{1}{2}\) × 10 × 10
= 78.5 – 50 = 28.5 సెం.మీ

(ii) అధిక వృత్తఖండ వైశాల్యము = వృత్త వైశాల్యము – అల్పవృత్త ఖండ వైశాల్యము.
= πr² – 28.5
= \(\frac{22}{7}\) × 10 × 10 – 28.5
= 314 – 28.5
∴ అల్ప వృత్త ఖండ వైశాల్యము = 285.5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
12 సెం.మీ వ్యాసార్ధముగా గల వృత్తములో ఒక జ్యా కేంద్రము వద్ద 120° కోణాన్ని ఏర్పరచింది. జ్యాతో ఏర్పడిన సంబంధిత అల్పవృత్త ఖండం యొక్క వైశాల్యమును కనుగొనండి. (π = 3.14 మరియు (√3 = 1.732 తీసుకోండి)
సాధన.
వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = 12 సెం.మీ.
సెక్టార్ వైశాల్యం = \(\frac{x}{360}\) × πr²
చాపము వృత్త కేంద్రం వద్ద చేయు కోణం x° = 120°

సెక్టార్ వైశాల్యం = \(\frac{120}{360}\) × 3.14 × 12 × 12
= 150.72 సెం.మీ .
‘O’ నుండి PQ పైకి లంబాన్ని గీయగా అది M వద్ద ఖండించినది ∆OPM = ∆OQM
[∵ OP = OQ వ్యాసార్థాలు ∠P = ∠Q (సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉండు కోణాలు సమానాలు)
∠OMP = ∠OMQ భు.కో. భు నుండి అవి సరూపాలు)
∴ ∆OPQ వై.. = ∆OPM వై.. + ∆OQM వై|| –
= 2 ∆OPM వై||
∆OPM వై.. = \(\frac{1}{2}\) × PM × QM
కానీ cos 30° = \(\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{OP}}\)
[∵ ∆OPQ లో ∆POQ = 120°
= \(\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30°]
⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\mathrm{PM}}{12}\)
⇒ PM = \(\frac{12 \times \sqrt{3}}{2}\) = 6√3
అదే విధంగా, sin 30° = \(\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OP}}\)
\(\frac{1}{2}=\frac{\text { OM }}{12}\)
⇒ OM = 6 సెం.మీ.
∴ ∆ OPM వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × 6√3 × 6 = 18√3
= 18 × 1.732 = 31.176 సెం.మీ²
∴ ∆OPQ వైశాల్యము = 2 × 31.176
= 62.352 సెం.మీ²
∴ అల్ప వృత్తఖండ వైశాల్యం PQ = POQ సెక్టార్ వైశాల్యం – ∆OPQ వైశాల్యం
= 150.72 – 62.352 = 88.368 సెం.మీ²

ప్రశ్న 3.
ఒక కారు అద్దముపై ఒకదానిపై అధ్యారోహణము (overlap) కాని నీటిని తుడిచే రెండు వైపర్లు వున్నాయి. ప్రతి వైపర్ పొడవు 25 సెం.మీ. 115° కోణముతో నీటిని తుడుస్తున్నది. ఒకేసారి రెండు వైపర్లు పనిచేయు సందర్భములో మొత్తం అద్దాన్ని శుభ్రపరిచే ప్రదేశ వైశాల్యము కనుగొనుము. (π = \(\frac{22}{7}\) అని తీసుకోండి.)
సాధన.

ప్రతి వైపర్ చేయు కోణం = 115°
రెండు వైపర్లు అద్దాన్ని శుభ్రపర్చు వైశాల్యం = వైపర్లు ఏర్పర్చు రెండు సెక్టార్ల వైశాల్యాల మొత్తం.
= 2 × \(\frac{x}{360}\) × πr²
= 2 × \(\frac{115^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7}\) × 25 × 25
= \(\frac{230}{360} \times \frac{22}{7}\) × 25 × 25
= 1254.96 = 1255 సెం.మీ²

ప్రశ్న 4.
క్రింది పటములో ABCD చతురస్రం యొక్క భుజము 10 సెం.మీ పొడవు కలిగి వున్నది మరియు చతురస్రభుజము వ్యాసముగా గల అర్ధవృత్తాలు ప్రతిభుజము వైపున గీయబడ్డాయి. షేడ్ చేయబడిన ప్రదేశ వైశాల్యము కనుగొనుము. (π = 3.14 అని తీసుకోండి).

సాధన.
పటం నుండి షేడ్ చేయని భాగాలను I, II, III, IV లుగా గుర్తింపుము.

Iవ ప్రాంత వైశాల్యం + III వ ప్రాంత వైశాల్యం = ABCD చతురస్ర వైశాల్యం – 5 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధం గల రెండు అర్ధవృత్తాల వైశాల్యాలు = 10 × 10 – 2 × \(\frac{1}{2}\) × π × 5²
= 100 – 78.5 = 21.5 సెం.మీ²
అదే విధంగా II ప్రాంత వై + IV వ ప్రాంత వై = 21.5 సెం.మీ²
∴ షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = ABCD చతురస్ర వై| – షేడ్ చేయని 4 ప్రాంతాల వైశాల్యాల మొత్తం
= 100 – 2 × 21.5 = 100 – 43 = 57 సెం.మీ²

ప్రశ్న 5.
పటంలో ABCD చతురస్రభుజము 7 సెం.మీ మరియు APD మరియు BPC లు అర్ధవృత్తములు అయిన షేడ్ చేసిన ప్రదేశవైశాల్యము కనుగొనుము. (π = \(\frac{22}{7}\) ను తీసుకోండి).

సాధన.
షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = ABCD చతురస్ర వైశాల్యం, 3. 5 సెం.మీలు వ్యాసార్ధం గల రెండు అర్ధ వృత్తాల వై॥ల మొత్తం.
= 7 × 7 – 2 × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5
= 49 – 38.5 = 10.5 సెం.మీ.²

ప్రశ్న 6.
పటములో 0 కేంద్రము మరియు 3.5 సెం.మీ వ్యాసార్ధముగా గల వృత్తములో OACB అనేది ఒక సెక్టరు పాదము OD = 2 సెం.మీ అయిన షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యము కనుగొనుము. (π = \(\frac{22}{7}\) అని తీసుకోండి)

సాధన.
OACD అనునది వృత్తంలోని 4వ భాగం గల ఒక సెక్టార్. షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = సెక్టార్ వైశాల్యం – ∆BOD వైశాల్యం
= \(\frac{x}{360}\) × πr² – \(\frac{1}{2}\) . OB . OD
= \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 – \(\frac{1}{2}\) × 3.5 × 2
= 9.625 – 3.5 = 6.125 సెం.మీ.

ప్రశ్న 7.
‘0’ కేంద్రముగా గల రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాల వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 21 సెం.మీ మరియు 7 సెం.మీ మరియు AB, CD లు రెండు చాపరేఖలు (పటము చూడండి). ∠AOB = 30° అయిన షేడ్ చేసిన ప్రదేశ వైశాల్యమును కనుగొనండి. (π = \(\frac{22}{7}\) తీసుకోండి)

సాధన.
షేడ్ చేయబడిన భాగము వైశాల్యం = AOB సెక్టార్ వైశాల్యం – OCD సెక్టార్ వైశాల్యం
= \(\frac{30}{360} \times \frac{22}{7}\) × 21 × 21 – \(\frac{30}{360} \times \frac{22}{7}\) × 7 × 7
[∵ సెక్టార్ వైశాల్యం = \(\frac{x}{360}\) × πr²)
= \(\frac{1}{12}\) × \(\frac{22}{7}\) [441 – 49]
= \(\frac{22}{84}\) × 392 = 102.66 సెం.మీ².

ప్రశ్న 8.
పటంలో వ్యాసార్ధము 10 సెం.మీ గా గల వృత్తంలో రెండు సెక్టరు పాదముల మధ్య ఏర్పడిన ఉమ్మడి ప్రదేశం (షేడ్ చేయబడినది) యొక్క వైశాల్యమును కనుగొనండి. (π = 3.14 అని తీసుకోండి)

సాధన.
చాపానికి ఇరువైపులా P, Qబిందువులను గుర్తింపుము.
ABCD చతురస్ర కర్ణం BD అనుకొనుము.
DPB వృత్త ఖండ వైశాల్యం = ∆DPB సెక్టార్ వై! – ∆ABD వైశాల్యం
= \(\frac{x}{360}\) × πr² – \(\frac{1}{2}\) bh
= \(\frac{90}{360}\) × \(\frac{22}{7}\) × 10 × 10 – \(\frac{1}{2}\) × 10 × 10
= 78.57 – 50 = 28.5 సెం.మీ.
అదే విధంగా DQB వృత్త ఖండ వైశాల్యం = 28.5 సెం.మీ
∴ షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం= (DPB + DQB)
వృత్త ఖండాల వైశాల్యాలు = 28.5 + 28.5 = 57 సెం.మీ (లేదా)
చతురస్ర భుజం = 10
చతురస్ర వైశాల్యం = 10 × 10 = 100 సెం.మీ
A, C లు కేంద్రాలుగా గల 10 సెం.మీ వ్యాసార్ధాలుగా గల రెండు సెక్టార్ల వైశాల్యాలు = 2 × \(\frac{90}{360}\) × \(\frac{22}{7}\) × 10 × 10
= \(\frac{1100}{7}\) = 157.14 సెం.మీ
షేడ్ చేయబడిన ప్రాంతం రెండింటికి ఉమ్మడి ప్రాంతం
∴ షేడ్ చేయబడిన ప్రాంత వైశాల్యం = రెండు సెక్టార్ల వైశాల్యం – చతురస్ర వైశాల్యం = 157 – 100 = 57 సెం.మీ².

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.2

ప్రశ్న 1.
కింది వానికి సరియగు సమాధానమును గుర్తించి ప్రతి జవాబును సమర్థించండి.

(i) ఒక వృత్త స్పర్శరేఖకు, స్పర్శబిందువు గుండా గీచిన వ్యాసార్ధానికి మధ్య కోణము.
(a) 60°
(b) 30°
(c) 45°
(d) 90°
సాధన.
(d) 90°
కారణం : వృత్త వ్యాసార్ధం ఆ వృత్త స్పర్శరేఖకు స్పర్శ బిందువు వద్ద లంబంగా ఉంటుంది.

(ii) Q అనే బిందువు నుండి వృత్తం. మీదకు గీయబడిన స్పర్శ రేఖా పొడవు 24 సెం.మీ. మరియు.వృత్తకేంద్రం నుండి Q బిందువుకు గల దూరం 25 సెం.మీ. అయిన వృత్త వ్యాసార్ధము .
(a) 7 సెం.మీ.
(b) 12 సెం.మీ.
(c) 15 సెం.మీ.
(d) 24.5 సెం.మీ.
సాధన.
(a) 7 సెం.మీ.

OP = వ్యాసార్ధం = (r) = ?
OQ = 25 సెం.మీ. 24 సెం.మీ
PQ = 24 సెం.మీ.
OP² = OQ² – PQ²
OP = \(\sqrt{\mathrm{OQ}^{2}-\mathrm{PQ}^{2}}=\sqrt{25^{2}-24^{2}}\)
= \(\sqrt{625-576}\)
= √49 = 7
వృత్త వ్యా సార్ధం (r) = 7 సెం.మీ.

(iii) పటంలో ‘0’ కేంద్రముగా గల వృతానికి AP మరియు AQలు రెండు స్పర్శరేఖలు మరియు ∠POQ = 1109, అయిన ∠PAQ =

(a) 60°
(b) 70°
(c) 80°
(d) 90°
సాధన.
(b) 70°
∆OPAQ చతుర్భుజం నుండి
∠OPA – ∠OQA = 90°
∠POQ = 110°
∴ ∠O + ∠P + ∠A + ∠Q
⇒ 90° + 90° + 110° + ∠PAQ = 360°
∴ ∠PAQ = 70°

(iv) ‘O’ కేంద్రముగా వృత్తానికి బాహ్యబిందువు P నుండి PA మరియు PB అనే రెండు స్పర్శరేఖలు గీయబడ్డాయి. స్పర్శరేఖల మధ్యకోణము 80° అయిన ∠POA =
(a) 50°
(b) 60°
(c) 70°
(d) 80°
సాధన.
(a) 50°

∠APB = 80° అయితే = ∠AOB = 180° – 80° = 100°
[∵ ∠A + ∠B = 90° + 90° = 180°]
∴ ∠POA = \(\frac{100}{2}\) = 50°

(v) పటంలో ‘O’ కేంద్రముగా గల వృత్తానికి XY మరియు X’Y’ అనే రెండు సమాంతర స్పర్శరేఖలు గీయ బడ్డాయి. మరొక స్పర్శరేఖ AB, స్పర్శ బిందువు C గుండా పోతూ XY ను A వద్ద X’Y’ ను B వద్ద ఖండించింది అయిన ∠AOB =

(a) 80°
(b) 100°
(c) 90°
(d) 60°
సాధన.
(c) 90°

ప్రశ్న 2.
5 సెం.మీ మరియు 3 సెం.మీ వ్యాసార్ధములతో రెండు ఏకకేంద్ర వృత్తాలు గీయబడ్డాయి. చిన్న వృత్తాన్ని స్పర్శించే పెద్ద వృత్తము యొక్క జ్యా పొడవును కనుగొనండి.
సాధన.

రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాలలో R = 5 సెం.మీ., r = 3 సెం.మీ.
పటం నుండి పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి
∆OBP నుండి, BP = \(\sqrt{\mathrm{OB}^{2}-\mathrm{OP}^{2}}\)
= \(\sqrt{5^{2}-3^{2}}\) = 4 సెం.మీ.
∴ AB = AP + BP = 2 × BP
= 2 × 4 = 8 సెం.మీ.
[∵ OP, \(\overline{\mathrm{PB}}\) ను లంబ సమద్విఖండన చేస్తుంది.)
∴ జ్యా పొడవు = 8 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
ఒక సమాంతర చతుర్భుజములో వృత్తము అంతర్లిఖించ బడిన అది సమచతుర్భుజము అగునని చూపండి.
సాధన.

నిరూపణ : పటంలో చూపిన విధంగా ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో AB, BC, CD, DA భుజాలను వృత్తము వరుసగా P, Q, R, S ల వద్ద స్పృశించుచున్నది.
∴ AP = AS
[∵ బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తానికి గీచిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానాలు.]
BP = BQ
DR = DS
CR = CQ
పై సమీకరణాలను కలుపగా
⇒ AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS
⇒ (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + QC)
⇒ AB + CD = BC + DA
⇒ 2AB = 2BC [∵ సమాంతర చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు భుజాలు సమానాలు.
∴ AB = CD, BC = AD]
⇒ AB = BC
∴ సమాంతర చతుర్భుజంలో ఆసన్న భుజాలు సమానమైన అది ఒక రాంబస్ అగును.

ప్రశ్న 4.
కింది పటము త్రిభుజం ABCలో 3 సెం.మీ వ్యాసార్ధము గల ఒ 1 వృత్తం అంతర్లిఖించబడింది. స్పర్శబిందువు D, BC భుజాన్ని రెండు రేఖా ఖండాలుగా BD = 9 సెం.మీ., DC = 3 సెం.మీగా విభజించింది. అయిన AB మరియు AC భుజాల పొడవులు కనుగొనండి.

సాధన.

∆ABCలో ‘O’ కేంద్రంగా, 3సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల వృత్తం అంతర్లిఖించబడినది.
ఈ వృత్తం AB, BC, AC లను వరుసగా E, D, F బిందువుల వద్ద తాకుచున్నది.
పటం నుండి,
AB = AE + EB = (x + 9) సెం.మీ.
AC = AF + FC = (x + 3) సెం.మీ.
BC = BD + DC = 9 + 3 = 12 సెం.మీ.
OD = DC = CF = OF మరియు ∠D = 90° ( ఎందుకనగా స్పర్శ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖతో వ్యాసార్ధం లంబకోణాన్ని చేస్తుంది.)
∴ ODCF ఒక చతురస్రం; ∠C = 90° కావున ∆ACB ఒక లంబకోణ త్రిభుజము.
కర్ణం AB AB² = AC² + BC²
(∵ పైథాగరస్ సిద్ధాంతము నుండి)

(x + 9)² = (x + 3)² + 42²
x² + 18x + 81 = x² + 6x + 9 + 144
18x – 6x = 9 + 144 – 81 = 72
12x = 72
⇒ x = \(\frac{72}{12}\) = 6
x = 6
అపుడు AB = x + 9 = 6 + 9 = 15 సెం.మీ.
AC = x + 3 = 6 + 3 = 9 సెం.మీ.

ప్రశ్న 5.
6 సెం.మీ వ్యాసార్ధముతో ఒక వృత్తాన్ని గీయండి. కేంద్రము నుండి 10 సెం.మీ దూరములో బిందువు నుండి ఒక జత స్పర్శరేఖలను గీచి, వాటి పొడవులు కొలవండి. పైథాగరస్ సిద్దాంతం ఉపయోగించి సరిచూడండి.
సాధన.
నిర్మాణ క్రమము :
1) 6సెం.మీ వ్యాసార్ధంతో ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తాన్ని నిర్మించవలెను.
2) వృత్తానికి బాహ్యంగా కేంద్రం నుండి 10 సెం.మీ దూరంలో P అను బిందువును గుర్తించి, OP లను కలుపుము.
3) OP కు లంబసమద్విఖండన రేఖను గీయగా అది M వద్ద ఖండించినది.
4) M వృత్తాక్రమంలో MP లేదా MO వ్యాసార్ధంచే ఒక వృత్తాన్ని గీయవలెను. అది ‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తాన్ని A, B బిందువుల వద్ద స్పృశించును.
5) A, P మరియు P, B లను కలిపితిని.
6) ∴ PA, PB లు కావలసిన స్పర్శరేఖలు.
∴ PA = PB = 8 సెం.మీ.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతంచే సరిచూచుట :
∆OAP నుండి OA² + AP² = OP²
⇒ 6² + 8² = 10²
⇒ 36 + 64 = 100
⇒ 100 = 100 (సత్యం )
∴ PA, PB లు వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు అగును.

ప్రశ్న 6.
4 సెం.మీ వ్యాసార్ధముగా గల వృత్తానికి, 6 సెం.మీ : వ్యాసార్ధము గల ఏక కేంద్ర వృత్తంపై గల ఒక బిందువు నుండి స్పర్శరేఖను గీయండి. దాని పొడవును కొలవండి. గణనచేసి సరిచూడండి.
సాధన.

1) 4సెం.మీ, 6 సెం.మీల వ్యాసార్ధాలతో రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాలను గీయుము.
2) పెద్ద వృత్తంపై P అను బిందువును గుర్తించి, O, P లను కలుపుము.
3) OP పై లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీయగా అది • M వద్ద ఖండించినది.
4) ‘M’ కేంద్రంగా PM లేదా MO ను వ్యాసార్ధంగా తీసుకొని వృత్తాన్ని గీయగా అది చిత్తు వృత్తాన్ని Q వద్ద స్పృశించును.
5) P, Qలను కలుపగా, అది చిన్న వృత్తానికి కావలసిన స్పర్శరేఖ అగును.

ప్రశ్న 7.
ఒక చేతి, గాజు సహాయంతో ఒక వృత్తాన్ని గీయండి. . దాని బాహ్యంలో ఒక బిందువు తీసుకోండి. ఈ బిందువు మండి వృత్తము పైకి ఒక జత స్పర్శరేఖలను గీచి కొలవండి. మీరు ఏమి గమనించారు ?
సాధన.

నిర్మాణ క్రమం :
(1) ఒక గాజును తీసుకొని ఒక వృత్తాన్ని నిర్మించవలెను.
(2) AB, AC అను రెండు జ్యాలు ఒకదానికొకటి లంబంగా గీయగా, వాని లంబ సమద్విఖండన రేఖల మిళిత బిందువు వృత్త కేంద్రం ‘O’ అగును.
(3) వృత్తాన్ని బాహ్యంగా P అను బిందువును గుర్తించి, – O, P లను కలుపవలెను.
(4) OP కు లంబ సమద్విఖండన రేఖ గీయగా అది . OP ను ఖండించిన బిందువును M గా గుర్తించ వలెను.
(5) OM లేదా. MP వ్యాసార్ధంతో గీచిన వృత్తం మొదటి వృత్తాన్ని ఖండించిన ఖండన బిందువులను Q, R లుగా గుర్తింపుము. P, R మరియు P, Q లను కలుపుము.
∴ కావలసిన స్పర్శరేఖలు \(\overline{\mathrm{PR}}\), \(\overline{\mathrm{PQ}}\) లు అగును. (ముగింపు)

గమనిక :
వృత్తానికి బాహ్య బిందువు నుండి గీచిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానాలు.

ప్రశ్న 8.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజము ABC లో AB వ్యాసంగా గల ఒక వృత్తము కర్ణము AC ని P వద్ద ఖండించునట్లు గీయబడింది. P గుండా వృత్తానికి గీయబడిన స్పర్శరేఖ BC భుజాన్ని సమద్విఖండన చేస్తుందని నిరూపించండి.

సాధన.
దత్తాంశం : ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజం, AB వ్యాసం AC ని P వద్ద ఖండిస్తుంది.
ఉపపత్తి : P వద్ద గీయబడిన స్పర్శరేఖ BC ని Q వద్ద ఖండించెననుకొనుము.
సారాంశం : BQ = CQ అని చూపవలేను.
నిర్మాణం : B, P లను కలుపుము. ∠APB = 90° (‘.’ అర్ధవృత్తంలోని కోణం లంబకోణం)
∴ ∠BPC = 90° (APC ఒక రేఖాఖండం)
⇒ ∠BPC = ∠BAC + ∠BCA = 90°
⇒ ∠BPQ + ∠QPC = ∠BAC + ∠BCA
కాని ∠BPQ = ∠BAC నుండి
∴ ∠QPC = /BCA
∴ PQ = QC (∵ సమాన కోణాలకు ఎదురుగా ఉండు. భుజాలు సమానాలు)
∴ PQ = QB
QC = QB అనగా PQ, \(\overline{\mathrm{BC}}\) ను సమద్విఖండన చేయును.

ప్రశ్న 9.
‘0’ కేంద్రముగా వృత్తానికి బాహ్యంలో గల బిందువు ‘R’ గుండా స్పర్శరేఖను గీయండి. ఈ బిందువు నుండి మీరు ఎన్ని స్పర్శరేఖలను గీయగలరు ?
(సూచన : ఈ రెండు బిందువుల నుండి స్పర్శబిందువు సమాన దూరంలో ఉన్నది.)
సాధన.

ఒక బాహ్యబిందువు నుండి వృత్తానికి రెండు స్పర్శరేఖలు మాత్రమే గీయగలం.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు Exercise 9.1

ప్రశ్న 1.
కింది ఖాళీలను పూరించండి.
(i) వృత్తాన్ని, ఒక స్పర్శరేఖ ………………. బిందువు (ల) వద్ద ఖండిస్తుంది.
సాధన.
ఒక

(ii) వృత్తాన్ని ఒక రేఖ రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండిస్తే దానిని ………….. అంటారు.
సాధన.
వృత్త ఛేదన రేఖ

(iii) ఒక వృత్తానికి వ్యాసం చివరి బిందువుల వద్ద గీయగల సమాంతర స్పర్శరేఖల సంఖ్య
సాధన.
2

(iv) ఒక వృత్తానికి, దాని స్పర్శరేఖకు గల ఉమ్మడి బిందువును ……….. అంటారు.
సాధన.
స్పర్శ బిందువు

(v) ఒక వృత్తానికి మనము ………… స్పర్శరేఖలను గీయగలము.
సాధన.
అనంత

ప్రశ్న 2.
5 సెం.మీ వ్యాసార్ధముగా గల వృత్తాన్ని PQస్పర్శరేఖ P వద్ద తాకింది. వృత్త కేంద్రము ‘0’ నుండి స్పర్శరేఖపై గల బిందువు Q నకు దూరము OQ = 13 సెం.మీ. అయిన PQ పొడవును కనుగొనుము.
సాధన.

ఇచ్చిన వృత్త వ్యాసార్ధం r = OP = 5 సెం.మీ.
\(\overline{\mathrm{OQ}}\) = 12 సెం.మీ.
పటం నుండి పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం OP² + PQ² = OQ²
PQ² = OQ² – OP²
∴ PQ = \(\sqrt{\mathrm{OQ}^{2}-\mathrm{OP}^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}\)
= \(\sqrt{169-25}=\sqrt{144}\) = 12
PQ = 12 cm.

ప్రశ్న 3.
ఒక వృత్తాన్ని గీయండి. వృత్తానికి బాహ్యంలో గల ఒక రేఖకు సమాంతరముగా ఒక స్పర్శరేఖనూ, ఒక ఛేదన రేఖను గీయండి.
సాధన..

నిర్మాణ క్రమం :
(1) తగు వ్యాసార్థంచే వృత్తాన్ని నిర్మించవలెను.
(2) ఆ వృత్తానికి AB బ్యాను గీయవలెను.
(3) AB జ్యా కు సమాంతరంగా ఒక ఛేదన రేఖ 1 ను గీయవలెను.
(4) AB జ్యాకు మరియొక సమాంతరరేఖ m ను వృత్తానికి ‘P’ అను బిందువు వద్ద గీచిన, అది వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అగును.

ప్రశ్న 4.
9 సెం.మీ వ్యాసార్ధముగా గల వృత్తానికి, దాని కేంద్రం నుండి 15 సెం.మీ దూరంలో ఒక బిందువు కలదు. అయిన ఆ బిందువు నుండి వృత్తానికి గీయబడిన స్పర్శరేఖ పొడవును కనుగొనండి.
సాధన.

పటం నుండి వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = OP = 9 సెం.మీ.

కేంద్రం నుండి Q బిందువుకు గల దూరం d = \(\overline{\mathrm{OQ}}\) = 15 సెం.మీ.
స్పర్శరేఖ పొడవు = PQ = \(\sqrt{\mathrm{d}^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{15^{2}-9^{2}}\)
= \(\sqrt{225-81}\)
స్పర్శరేఖ పొడవు = √144 = 12 సెం.మీ.

ప్రశ్న 5.
ఒక వృత్త వ్యాసము చివరి బిందువుల వద్ద గీయబడిన స్పర్శరేఖలు సమాంతరమని చూపండి.
సాధన.
నిరూపణ (దత్తాంశం): ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్త వ్యాసం AB.
PQ, RS లు వృత్తానికి వరుసగా A, B బిందువుల వద్ద గీచిన స్పర్శరేఖలు.
సారాంశం : PQ || RS.

ఉపపత్తి : ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి OA వ్యాసార్ధం, PQ స్పర్శరేఖ.
∴ OA ⊥ PQ ……………..(1)
[∵ వ్యాసార్ధం, స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉండును.]
అదే విధంగా OB ⊥ RS …………. (2)
కాని OA మరియు OB, AB యొక్క భాగాలు. AB ⊥ PQ మరియు AB ⊥ RS.
∴ PQ || RS. [∵ ఒకే రేఖతో లంబంగా ఉండు రెండు సరళరేఖలు ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉండును.]
(లేదా) ఉపపత్తి : ‘O’ కేంద్రంగా గల ‘వృత్తానికి A వద్ద PQ స్పర్శరేఖ.
∠OAQ = 90°
అదే విధంగా, ∠OBS = 90°
∠OAQ + ∠OBS = 90° + 90° = 180°
∴ PQ || RS. (∵ తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపునగల అంతర కోణాల మొత్తం 180° అయిన అవి సమాంతర రేఖలగును.)

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన పటంలో, \(\frac{Q T}{P R}=\frac{Q R}{Q S}\) మరియు ∠1 = ∠2 అయిన ∆PQS ~ ∆TQR అని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము : \(\frac{Q T}{P R}=\frac{Q R}{Q S}\) మరియు ∠1 = ∠2
సారాంశము : ∆PQS ~ ∆TQR
ఉపపత్తి : ∆PQR లో ∠1 = ∠2 కావున PQ = PR .
[∵ సమాన కోణాల ఎదుటి భుజాలు సమానము)
∴ \(\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QS}}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QS}}\)
∆TQR లో PS రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలు QT మరియు QR లను సమాన నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. కావున PS || TR. [ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత విపర్యయము]
∆PQS మరియు ∆TORలలో ∠QPS = ∠QTR
[∵ ∠P, ∠T లు ఆసన్నకోణాలు]
∠QSP = ∠QRT [PS || TR కావున ∠S, ∠Rలు ఆసన్న కోణాలు]
∠Q = ∠Q (ఉమ్మడి కోణము)
∴ ∆PQS ~ ∆TQR (కో.కో.కో సరూపకత నియమము నుండి).

ప్రశ్న 2.
రవి ఎత్తు 1.82 మీ. అతని ఇంటి పెరడులోని ఒక చెట్టు ఎత్తును తెలుసుకోవాలనుకున్నాడు. చెట్టు మొదలు నుండి నేలపై 12.20 మీటర్ల దూరము నడువగా అతని నీడ, చెట్టు నీడ చివరి భాగములు ఖచ్చితముగా ఏకీభవించినాయి. అతను ఇపుడు ఆ నీడ చివరి భాగము నుండి 6.10 మీ. దూరములో నిలబడి వున్నచో, ఆ చెట్టు ఎత్తు ఎంత ?

సాధన.
దత్తాంశము ప్రకారం, రవి ఎత్తు = BC = 1.82 మీ.
చెట్టు అడుగు నుండి రవి వద్దకు గల దూరము = BD = 12.2 మీ.
రవి నీడ పొడవు = BC = 6.10 మీ.
DE చెట్టును సూచిస్తుంది.
పటం నుండి ∆ABC ~ ∆ADE కావున \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AE}}\)
[సరూప త్రిభుజాల అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము]
\(\frac{6.10}{6.10+12.20}=\frac{1.82}{\mathrm{DE}}\)
DE = \(\frac{1.82 \times 18.30}{6.10}\)
∴ చెట్టు యొక్క ఎత్తు = 5.46 మీ.

ప్రశ్న 3.
సమాంతర చతుర్భుజము ABCD లో, AB పై ” ఏదేని బిందువు ‘F’. దాని కర్ణము AC, DP ని బిందువు ( వద్ద ఖండించును. అయిన CQ × PQ = QA × QD అని చూపండి.
సాధన. ”

దత్తాంశము : ▱ ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం. AB పై P ఒక బిందువు. DP మరియు AC లు Q వద్ద ఖండించుకొనును.
సారాంశము : CQ · PQ = QA · QD.
ఉపపత్తి : ∆CQD, ∆AQP లలో ∠QCD = ∠QAP, ∠CQD = ∠AQP
∴∠ODC = ∠OPA (∵ త్రిభుజ కోణాల మొత్తం ధర్మం )
ఆ విధముగా ∆CQD ~ ∆AQP (కో-కో-కో సరూప నియమం నుండి)
∴ \(\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}=\frac{\mathrm{QD}}{\mathrm{QP}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AP}}\) [∵ సరూప త్రిభుజాల అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము]
\(\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AQ}}=\frac{\mathrm{QD}}{\mathrm{QP}}\)
CQ . PQ = QA . QD [Q.E.D].

ప్రశ్న 4.
∆ABC మరియు ∆AMPలు రెండు లంబకోణ త్రిభుజములు. వీటిలో లంబకోణములు వరుసగా B మరియు M బిందువుల వద్ద కలవు. అయిన
(i) ∆ABC – ∆AMP
(ii) \(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}\) అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC; ∠B = 90°
∆AMP; ∠M = 90°
సారాంశము : (i) ∆ABC ~ ∆AMP
(ii) \(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}\)
ఉపపత్తి : (i) ∆ABC మరియు ∆AMP లలో ∠B = ∠M [ప్రతి కోణం 90°] ∠A = ∠A [ఉమ్మడి కోణం]
కావున ∠C = ∠P [త్రిభుజ కోణాల మొత్తం ధర్మం నుండి]
∆ABC ~ ∆AMP (కో-కో-కో- సరూపకత నుండి)

(ii) ∆ABC ~ ∆AMP (నిరూపించబడినది)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AM}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}\) [సరూప త్రిభుజాల, అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము]
∴ \(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}\).

ప్రశ్న 5.
ఒక విమానము విమానాశ్రయము నుండి, గంటకు 1000 కి.మీ. వేగముతో ఉత్తరము వైపు ప్రయాణించు చున్నది. అదే సమయంలో వేరొక విమానము అక్కడి నుండి గంటకు 1200 కి.మీ. వేగముతో పడమర వైపు ప్రయాణించుచున్నది. అయిన 12 గంటల తరువాత ఆ రెండు విమానాల మధ్యదూరము ఎంత ?
సాధన.
దత్తాంశము : ఉత్తర దిశలో మొదటి విమాన వేగము = 1000 కి.మీ./గం.
పడమర దిశలో రెండవ విమాన వేగము = 1200 కి.మీ./గం.
దూరము = వేగము × కాలము
1\(\frac{1}{2}\) గం||లో మొదటి విమానము ప్రయాణించిన దూరము = 1000 × 1\(\frac{1}{2}\)
= 1000 × \(\frac{3}{2}\) = 1500 కి.మీ.
1\(\frac{1}{2}\) గం||లో రెండవ విమానము ప్రయాణించిన దూరము = 1200 × \(\frac{3}{2}\) = 1800 కి.మీ.

పటం నుండి ∆ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము మరియు ∠A = 90°.
∴ AB² + AC² = BC² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి)
1500² + 1800² = BC²
BC² = 2250000 + 3240000
BC² = 5490000
BC = /5490000 = 100 × √549 m
= 100 × 23.43 = 2243కి.మీ.

ప్రశ్న 6.
లంబకోణ త్రిభుజము ABCలో లంబకోణము C వద్ద కలదు. P మరియు Q బిందువులు వరుసగా AC మరియు CB లపై బిందువులు ఇంకా ఆ భుజాలను అవి 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించును. అయిన
(i) 9AQ² = 9AC² + 4BC²
(ii) 9BP² = 9BC² + 4AC²
(iii) 9(AQ² + BP²) = 13AB² అని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము : ∆ABC లో ∠C = 90°
సారాంశము : (i) 9AQ² = 9AC² + 4BC²
(ii) 9BP² = 9BC² + 4AC²
(iii) 9(AQ² + BP²) = 13AB²
ఉపపత్తి : ∆ACQ లో ∠C = 90° కావున AC² + CQ² = AQ² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి)
AQ² = AC² + (\(\frac{1}{2}\)BC)²
[BC ని Q బిందువు 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. CQ = \(\frac{2}{3}\) BC]
AQ² = AC² + \(\frac{4}{9}\) BC²
AQ² = \(\frac{9 A C^{2}+4 B C^{2}}{9}\)
⇒ 9AQ² = 9AC² + 4BC² ……… (i)
CA పై P బిందువు 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించు విధముగా తీసుకున్నట్లయితే
BP² = PC² + BC²
BP² = (\(\frac{2}{3}\) AC)² + BC²
BP² = \(\frac{4}{9}\) AC² + BC²
BP² = \(\frac{4 \mathrm{AC}^{2}+9 \mathrm{BC}^{2}}{9}\)
9BP² = 4AC² + 9BC²

(ii) ∆PCB లో PB² = PC² + BC² [పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి)
PB² = (\(\frac{1}{3}\) AC)² + BC²
PB² = \(\frac{\mathrm{AC}^{2}}{9}\) + BC²
PB² = \(\frac{\mathrm{AC}^{2}+9 \mathrm{BC}^{2}}{9}\)
⇒ 9PB² = 9BC² + AC²

(iii) ∆ABC లో AC² + BC² = AB² [పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి]
(i) మరియు (ii) ల నుండి
9AQ² = 9AC² + 4BC²
9BP² = 9BC²+ 4AC² (కూడగా)
9AQ² + 9BP² = 13AC² + 13BC²
9 (AQ² + BP²) = 13 (AC² + BC²)
9 (AQ² + BP²) = 13 AB².

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.3

ప్రశ్న 1.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజము మూడు భుజాలపై సమబాహు త్రిభుజాలు గీయబడ్డాయి. కర్ణము మీద గీసిన త్రిభుజ వైశాల్యము మిగిలిన రెండు భుజాల మీద గీసిన త్రిభుజాల వైశాల్యాల మొత్తమునకు సమానమని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము :
∆ABC లంబకోణ త్రిభుజం
∠B = 90°.
∆ABP, ∆AQC, ∆BCRల సమబాహు త్రిభుజాలు.

సారాంశము :
∆AQC వైశాల్యం = ∆APB వైశాల్యం + ∆BCR వైశాల్యం

నిరూపణ :
∆ABP ~ ∆BCR ~ ∆ACR (∵ సమబాహు త్రిభుజాలు ఎల్లప్పుడు సరూపాలు)

(∵ సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాని అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానం)

(పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి)

∴ ∆ACQ వైశాల్యం = ∆ ABP వైశాల్యం + ∆ BCR వైశాల్యం.

ప్రశ్న 2.
ఒక చతురస్రము భుజముపై గీచిన సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యము, ఆ చతురస్ర కర్ణముపై గీచిన సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యములో సగము వుంటుందని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము :
ABCD ఒక చతురస్రము ∆ABP మరియు ACQలు వరుసగా చతురస్ర భుజం, కర్ణాల మీద గీచిన సమబాహు త్రిభుజాలు.
సారాంశము :
∆ABP వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) ∆ACQ వైశాల్యం
నిరూపణ :

[∵ ∆ABP ~ ∆ACQ]
(∵ సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాని అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానం)

= \(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{(\sqrt{2} \mathrm{AB})^{2}}\) [ABCD చతుర్భుజంలో]

= \(\frac{A B^{2}}{2 A B^{2}}=\frac{1}{2}\) [AC = √2 AB]

∴ ∆ABP వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) ∆ACQ వైశాల్యం.

ప్రశ్న 3.
∆ ABCలో BC, CA, AB భుజాల మధ్య బిందువులు వరుసగా D, E, F. అయిన ∆DER మరియు ∆ABC ల వైశాల్యాల నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
సాధన.

దత్తాంశము :
∆ABCలో; D, E మరియు , F లు BC, CA మరియు AB భుజాల మధ్య బిందువులు. ∆ABCలో AB, ACల మధ్య బిందువులను కలుపగా EF ఏర్పడినది.
FE || BC కావున \(\frac{A F}{F B}=\frac{A E}{E C}\)
(ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత విపర్యయము నుండి)
అదే విధముగా AC మరియు BC లను DE ఒకే నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. కావున DE || AB.
□BDEFలో ఎదుటి భుజాలు సమాంతరాలు (BD || EF మరియు DE || BF)
కావున OBDEF ఒక సమాంతర చతుర్భుజము ఇక్కడ DF ఒక కర్ణము.
∴ ∆BDF = ∆DEF ………… (1)
అదే విధముగా ∆DEF = ∆CDE అని నిరూపించవచ్చును. ………… (2) [∵ CDEF ఒక సమాంతర చతుర్భుజం] మరియు
∆DEF = ∆AEF …………. (3) [∵ □AEDF ఒక సమాంతర చతుర్భుజం]
(1), (2) మరియు (3) ల నుండి
∆AEF ≈ ∆DEF ≈ ∆BDF ≈ ∆CDE
అదే విధముగా ,
∆ABC = ∆AEF + ∆DEF + ∆BDF + ∆CDE = 4. ∆DEF
∆ABC : ∆DEF = 4 : 1.

ప్రశ్న 4.
∆ABCలో, XY || AC మరియు XYఆ త్రిభుజాన్ని రెండు సమాన వైశాల్యాలు గల భాగాలుగా AX విభజించును. అయిన \(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XB}}\) నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
సాధన.

దత్తాంశము :
∆ABC లో XY | | AC.
సారాంశము :
\(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XB}}\) నిష్పత్తి , XY, ∆ABC ను సమాన వైశాల్యాలు గల భాగాలుగా విభజించును. ∆ABC, ∆XBY లలో ∠B = ∠B
∠A = ∠X [∵ XY || AC; ∠A, ∠X మరియు ∠C, ∠Yలు ఆసన్నకోణాల జత]
∆ABC ~ ∆XBY (కో.కో.కో సరూపకత ధర్మము ప్రకారము)
ఆ విధముగా \(\frac{\Delta \mathrm{ABC}}{\Delta \mathrm{XBY}}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{XB}^{2}}\)
[∵ రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తి వర్గమునకు సమానము)
\(\frac{2}{1}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{XB}^{2}}\)
[దత్తాంశంలో ∆BXY = ∆BAC కావున ∴ ∆ABC = 2 . ∆XBY]
2 = \(\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{XB}}\right)^{2}\)

2 = \(\left(\frac{\mathrm{AX}+\mathrm{XB}}{\mathrm{XB}}\right)^{2}\)

2 = \(\left(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XB}}+\frac{\mathrm{XB}}{\mathrm{XB}^{\prime}}\right)^{2}\)

2 = \(\left(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XB}}+1\right)^{2}\)

⇒ \(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XB}}\) + 1 = √2

⇒ \(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XB}}\) = √2 – 1
కావున ఆ నిష్పత్తి \(\frac{\mathrm{AX}}{\mathrm{XB}}=\frac{\sqrt{2}-1}{1}\).

ప్రశ్న 5.
రెండు సరూపత్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి – అనురూప మధ్యగతాల నిష్పత్తి వర్గానికి సమానమని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆XYZ
సారాంశము : \(\frac{\Delta \mathrm{ABC}}{\Delta \mathrm{XYZ}}=\frac{\mathrm{AD}^{2}}{\mathrm{XW}^{2}}\)
ఉపపత్తి : రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తి వర్గమునకు సమానము.
\(\frac{\Delta \mathrm{ABC}}{\Delta \mathrm{XYZ}}=\frac{\mathrm{AD}^{2}}{\mathrm{XW}^{2}}\) …………..(1) [∵ ∆ABC ~ ∆XYZ]
∆ABD మరియు ∆XYW లలో ∠B = ∠Y; ∠D = ∠W = 90°
(కో.కో.కో ఉప సిద్ధాంతము నుండి),
∆ABD ~ ∆XYW
∴ \(\frac{\Delta \mathrm{ABD}}{\Delta \mathrm{XYW}}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{XY}^{2}}=\frac{\mathrm{AD}^{2}}{\mathrm{XW}^{2}}\) …………..(2)
(1) మరియు (2) ల నుండి,
\(\frac{\Delta \mathrm{ABC}}{\Delta \mathrm{XYZ}}=\frac{\mathrm{AD}^{2}}{\mathrm{XW}^{2}}\)
ఆ విధముగా రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తి వర్గమునకు సమానము.

ప్రశ్న 6.
∆ABC ~ ∆DEF. BC = 3 సెం.మీ, EF = 4 సెం.మీ, ∆ABC వైశాల్యము = 54 చ.సెం.మీ అయిన ∆DEF వైశాల్యమును కనుగొనుము.
సాధన.

దత్తాంశము ప్రకారం, ∆ABC ~ ∆DEF.
BC = 3 సెం.మీ.; EF = 4 సెం.మీ. ∆ABC = 54 చ.సెం.మీ
∴ ∆ABC ~ DEF, కావున \(\frac{\Delta \mathrm{ABC}}{\Delta \mathrm{DEF}}=\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}}\)
[∵ సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి. వాటి అనురూప భుజాల వర్గ నిష్పత్తికి సమానము].
\(\frac{54}{\Delta \mathrm{DEF}}=\frac{3^{2}}{4^{2}}\)
∴ ∆DEF = \(\frac{54 \times 16}{9}\) = 96 సెం.మీ.

ప్రశ్న 7.
త్రిభుజము ABCలో AB భుజాన్ని P వద్ద, AC ని Q వద్ద తాకునట్లు PQ ఒక సరళరేఖ, ఇంకా AP = 1 సెం.మీ., BP = 3 సెం.మీ. AQ = 1.5 సెం.మీ., CQ = 4.5 సెం.మీ. అయిన ∆APQ వైశాల్యము = \(\frac{1}{16}\) (∆ABC వైశాల్యము) అని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము ప్రకారం, ∆ABC మరియు \(\overline{\mathrm{PQ}}\), AB ను P వద్ద మరియు AC ను Q వద్ద ఖండించుచున్నది.
AP = 1 సెం.మీ; AQ = 1.5 సెం.మీ BP = 3 సెం.మీ; CQ = 4.5 సెం.మీ
\(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{BP}}=\frac{1}{3}\) ……………. (1);
\(\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QC}}=\frac{1.5}{4.5}=\frac{1}{3}\) ……………(2)
(1) మరియు (2) ల నుండి \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{BP}}=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{CQ}}\)
[∵ PQ, AB మరియు AC లను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించింది]
ప్రాథమిక అనుపాత సిద్దాంత విపర్యయము నుండి PQ || BC.
∆APQ మరియు ∆ABC లలో
∠A = ∠A (ఉమ్మడి కోణం)
∠P = ∠B [∵ PQ || BC సమాంతరరేఖల అనురూప కోణాలు] .
∠Q = ∠C
∴ ∆APQ ~ ∆ABC [∵ కో.కో.కో సరూప నియమము నుండి]
\(\frac{\Delta \mathrm{APQ}}{\Delta \mathrm{ABC}}=\frac{\mathrm{AP}^{2}}{\mathrm{AB}^{2}}\)
[∵సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల ‘నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానము].
= \(\frac{1^{2}}{(3+1)^{2}}=\frac{1}{16}\)
∴ ∆APQ = \(\frac{1}{16}\) (∆ABC) నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 8.
రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాలు 81 చ.సెం.మీ మరియు 49 చ.సెం.మీ. పెద్ద త్రిభుజములో గీసిన లంబము పొడవు 4.5 సెం.మీ అయిన చిన్న త్రిభుజములో దాని అనురూప లంబము పొడవును కనుగొనండి. .
సాధన.

దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆DEF ∆ABC = 81 సెం.మీ²; ∆DEF = 49 సెం.మీ²; AX = 4.5 సెం.మీ
సారాంశము : DY పొడవు
ఉపపత్తి : \(\frac{\Delta \mathrm{ABC}}{\Delta \mathrm{DEF}}=\frac{\mathrm{AX}^{2}}{\mathrm{DY}^{2}}\)
[∵ రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానము]
\(\frac{81}{49}=\frac{(4.5)^{2}}{D Y^{2}}\)

⇒ \(\left(\frac{9}{7}\right)^{2}=\left(\frac{4.5}{D Y}\right)^{2}\)

⇒ \(\frac{9}{7}=\frac{4.5}{\mathrm{DY}}\)

⇒ DY = 4.5 × \(\frac{7}{9}\)

∴ DY = \(\frac{7}{2}\) = 3.5 సెం.మీ.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.2

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన పటంలో, ∠ADE = ∠B
(i) AABC – AADE అని చూపండి.
(ii) AD = 3.8 సెం.మీ., AE = 3.6 సెం.మీ. BE = 2.1 సెం.మీ. BC = 4.2 సెం.మీ. అయిన DE పొడవును కనుగొనండి.

సాధన.
(i) దత్తాంశము : ∆ABCలో ∠ADE = ∠B
సారాంశము : ∆ABC ~ ∆ADE.
ఉపపత్తి : ∆ABC మరియు ∆ADE లలో
∠A = ∠A (∵ ఉమ్మడి కోణము]
∠B = ∠ADE [∵ దత్తాంశము)
∠C = ∠AED ∵ త్రిభుజ కోణాల మొత్తము ధర్మము)
∴ ∆ABC ~ ∆ADE (కో.కో.కో సరూపకత నియమం ప్రకారం)

(ii) దత్తాంశము : AD = 3.8 సెం.మీ., AE = 3.6 సెం.మీ., BE = 2.1 సెం.మీ., BC = 4.2 సెం.మీ.,
సారాంశము : \(\overline{\mathrm{DE}}\) పొడవు.
ఉపపత్తి : ∆ABC ~ ∆ADE కావున \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}}\) [∵ అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము]
ఆ విధముగా \(\frac{4.2}{\mathrm{DE}}=\frac{3.6+2.1}{3.8}\) [∵ AB = AE + BE]
\(\frac{4.2}{\mathrm{DE}}=\frac{5.7}{3.8}\)
DE = \(\frac{4.2 \times 3.8}{5.7}=\frac{42 \times 38}{57 \times 10}\) = 2.8 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
రెండు సరూప త్రిభుజాల చుట్టుకొలతలు వరుసగా 30 సెం.మీ మరియు 20 సెం.మీ. మొదటి త్రిభుజములోని ఒక భుజము కొలత 12 సెం.మీ, అయిన రెండవ త్రిభుజములో దాని అనురూప భుజము కొలతను కనుగొనండి.
సాధన.

దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆PQR.
∆ABC చుట్టుకొలత = 30 సెం.మీ.
∆PQR చుట్టుకొలత = 20 సెం.మీ.
AB = 12 సెం.మీ.

∴ \(\frac{30}{20}=\frac{12}{x}\)
30 x = 20 × 12
x = \(\frac{20 \times 12}{30}\) = 8 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
90 సెం.మీ ఎత్తు గల ఒక బాలిక దీపస్తంభము నుండి దూరముగా 1.2మీ/సె. వేగముతో నడుచు చున్నది. దీపస్తంభము ఎత్తు 3.6 మీ అయిన 4 సెకండ్ల తరువాత ఏర్పడే ఆ బాలిక నీడ పొడవును కనుగొనుము.
సాధన.

దత్తాంశము : దీపపు స్తంభము ఎత్తు. = 3.6 మీ. = 360 సెం.మీ.
బాలిక వేగము = 1.2 మీ/సె.
4 సెకన్లలో బాలిక ప్రయాణించే దూరము = వేగము × కాలము = 1.2 × 4 = 4.8 మీ. = 480 సెం.మీ.
పటంలో \(\overline{\mathrm{CD}}\), బాలిక ఎత్తు = 90 సెం.మీ.
దీపపు స్తంభము నుండి బాలిక 4.8 మీ. ల దూరంలో ఉన్నపుడు బాలిక నీడ పొడవు = x మీ|| అనుకొనుము.
పటము నుండి ∆ABE ~ ∆DCE
[∵ ∠B = ∠C = 90° ∠E = ∠C ఉమ్మడి భుజం కో.కో సరూపకత ప్రకారం]
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{CE}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}\)

⇒ 4 = \(\frac{480+x}{x}\)
⇒ 4x = 480 + x
⇒ 4x – x = 480
⇒ 3x = 480
⇒ x = \(\frac{480}{3}\) = 160 సెం.మీ = 1.6 మీ.
∴ బాలిక నీడ పొడవు = 1.6 మీ.

ప్రశ్న 4.
CM మరియు RN లు వరుసగా ∆ABC మరియు ∆PQR లలో గీయబడిన మధ్యగత రేఖలు. ∆ABC ~ ∆POR అయిన
(i) ∆AMC ~ ∆PNR
(ii) \(\frac{\mathbf{C M}}{\mathbf{R N}}=\frac{\mathbf{A B}}{\mathbf{P Q}}\)
(iii) ∆CMB ~ ∆RNQ అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆PQR
CM, ∆ABC లో గీయబడిన మధ్యగతరేఖ
RN, ∆PQR లో గీయబడిన మధ్యగతరేఖ
సారాంశము:
(i) ∆AMC ~ ∆PNR.
(ii) \(\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\)
(iii) ∆CMB ~ ∆RNQ
ఉపపత్తి :
(i) ∆AMC మరియు ∆PNR లలో
\(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{PN}}\) మరియు ∠A = ∠P
[∵ ∆ABC, ∆PQR లలో \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{AB}}{\frac{1}{2} \mathrm{PQ}}\) మరియు M, N లు AB మరియు PQల మధ్య బిందువులు]
∴ ∆AMC ~ ∆PNR. [∵ భు. కో. భు సరూపకత నియమము నుండి]

(ii) (i) నుండి ∆AMC ~ ∆PNR కావున
\(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{PN}}=\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}\) [∵ రెండు సరూప త్రిభుజాల అనురూపభుజాల నిష్పత్తి సమానము]
ఆ విధముగా \(\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{AM} \times 2}{\mathrm{PN} \times 2}\) [లవ, హారాలను ‘2’ చే గుణించగా] CM _ AB
\(\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{RN}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\) [2AM = AB; 2PN = PO]

(iii) ∆CMB మరియు ∆RNQ లలో ∠B = ∠Q [∆ABC ~ ∆PQR కావున వాటి అనురూప కోణాలు]
మరియు \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{RQ}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{QN}}\)
[∵ \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{RQ}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}} \Rightarrow \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{AB}}{\frac{1}{2} \mathrm{PQ}}\)]
ఆ విధముగా భు.కో. భు సరూపకత నియమము ప్రకారము
∆CMB ~ ∆RNQ.

ప్రశ్న 5.
ట్రెపీజియం ABCD లో AB || DC. కర్ణములు AC మరియు BD లు బిందువు ‘0’ వద్ద ఖండించుకొనును. త్రిభుజముల సరూప నియమాలను ఉపయోగించుకొని \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\) అని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము : ట్రెపీజియమ్ ABCDలో AB || DC. కర్ణములు AC మరియు BD లు బిందువు ‘0’ వద్ద ఖండించుకొనును. .
సారాంశము : \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\)
నిర్మాణము : AB కు సమాంతరంగా ‘0’ గుండా EF ను గీయుము.
ఉపపత్తి : ∆ACD లో, OE || CD [∵ నిర్మాణాల నుండి]
కావున \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{ED}}\) …………. (1)
(∵ ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి)
∆ABD లో OE || AB (నిర్మాణం నుండి)
కావున \(\frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OD}}\) ………….. (2) (∵ ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి)
(1), (2) ల నుండి \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\) అని నిరూపించబడింది.

ప్రశ్న 6.
AB, CD, PQలు BD కి గీసిన లంబాలు. AB = x, CD = Y మరియు PQ = Z అయిన \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\) అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము : పటం నుండి ∠B = ∠Q = ∠D = 90° మరియు AB || PQ || CD.
∆BQP, ∆BDC లలో
∠B = ∠B (ఉమ్మడి కోణం) , ∠Q = ∠D (90°) ∠P = ∠C (∵ త్రిభుజ కోణాల మొత్తం ధర్మము)
∴ ∆BQP ~ ∆BDC (కో.కో.కో సరూపకత నియమము నుండి)
కావున \(\frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{CD}}\) …………….. (1) [∵ అురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము)
∆DOP మరియు ∆DBA లలో ∠D = ∠D (ఉమ్మడి కోణము)
∠Q = ∠B . (90)
∴ ∆DQP ~ ∆DBA (కో.కో సరూప సిద్ధాంతం నుండి)
\(\frac{\mathrm{QD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{AB}}\) ………………..(2)
[∵ అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానము]
(1) మరియు (2), లను కూడగా
\(\frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{BD}}+\frac{\mathrm{QD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{CD}}+\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{AB}}\)

1 = \(z\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)\)

∴ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\).

ప్రశ్న 7.
4మీ. పొడవు గల ఒక జెండా స్తంభము 6మీ. పొడవు గల నీడను ఏర్పరచును. అదే సమయంలో దగ్గరలో గల ఒక భవనం 24మీ. పొడవు గల నీడను ఏర్పరచిన, ఆ భవనము ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.
దత్తాంశము : జెండా స్తంభము పొడవు = 4 మీ.
జెండా స్తంభపు నీడ పొడవు = 6మీ.
భవనపు పొడవు x మీ.|| అయిన దాని నీడ పొడవు 24 మీ.

AB = జెండా స్తంభపు పొడవు = 4 మీ.
BC = జెండా స్తంభపు నీడ పొడవు = 6 మీ.
PQ = భవనం ఎత్తు = x మీ. అనుకొనుము.
QR = భవనపు నీడ పొడవు = 24 మీ.
పటం నుండి ∠A = ∠P ∠B = ∠Q
∴ ∆ABC ~ ∆PQR . (కో.కో. సరూపకత నియమము)
కావున \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\)
[∵ అనురూప కోణాల నిష్పత్తి సమానము)
\(\frac{4}{x}=\frac{6}{24}\)
x = \(\frac{24 \times 4}{6}\) = 16 మీ.
∴ భవనం ఎత్తు = 16 మీ.

ప్రశ్న 8.
ABC మరియు FEG త్రిభుజాలలో AB ‘మరియు FE భుజాలపై D మరియు H బిందువులు వరుసగా ఏర్పడునట్లు ∠ACB మరియు ∠EGF లకు గీచిన కోణసమద్విఖండన రేఖలు వరుసగా CD మరియు GH లు ఇంకా ∆ABC ~ ∆FEG అయిన,
(i) \(\frac{\mathbf{C D}}{\mathbf{G H}}=\frac{\mathbf{A C}}{\mathbf{F G}}\)
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF అని చూపండి.
సాధన.

దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆FEG.
CD, ∠ACB యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ
GH, ∠EGF యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ
సారాంశము :
(i) \(\frac{\mathbf{C D}}{\mathbf{G H}}=\frac{\mathbf{A C}}{\mathbf{F G}}\)
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF
ఉపపత్తి :
(i) ∆ACD మరియు ∆FGH లలో ∠A = ∠F [∵ ∆ABC ~ ∆FEG లలో అనురూప కోణాలు)
∠ACD = ∠FGH [∵ ∠C = ∠G = \(\frac{1}{2}\)∠C = ∠G ⇒ ∠ACD = ∠FGH]
కో.కో.కో సరూపకత నియమము నుండి ∆ACD ~ ∆FGH
కావున \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{FG}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{GH}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{FH}}\) [∵ అనురూప కోణాల నిష్పత్తి సమానము] .
∴ \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{FG}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{GH}}\)

(ii) ∆DCB మరియు ∆HGE లలో ∠B = ∠E
[∵ ∆ABC ~ ∆FEG కావున అనురూప కోణాలు సమానము]
∠DCB = ∠HGE
[∵ ∠C = ∠G ⇒ \(\frac{1}{2}\) ∠C = \(\frac{1}{2}\) ∠G ⇒ ∠DCB = ∠HGE]
∴ ∆DCB ~ ∆HGE (కో.కో.కో సరూపకత నుండి)

(iii) ∆DCA మరియు ∆HGF లలో ∠A = ∠F
\(\frac{1}{2}\) ∠C = \(\frac{1}{2}\) ∠G ⇒ ∠DCA = ∠HGF
[∵ సరూప త్రిభుజాల అనురూపక కోణాలు సమానము]
∴ ∆DCA ~ ∆HGF [∵ కో.కో.కో సరూపకత నుండి]

ప్రశ్న 9.
∆ABC మరియు ∆DEF సరూపత్రిభుజాలలో గీసిన లంబాలు AX మరియు DYలు అయిన AX: DY = AB :: DE అని నిరూపించండి.
సాధన.

దత్తాంశము : ∆ABC ~ ∆DEF, AX ⊥ BC మరియు DY ⊥ EF.
సారాంశము : AX : DY = AB : DE.
ఉపపత్తి : ∆ABX మరియు ∆DEY లలో ∠ B = ∠ E [∵ ∆ABC ~ ∆DEF లలో అనురూప కోణాలు]
∠ AXB = ∠ DYE = 90°
∴ ∆ABX ~ ∆DEY (కో.కో. కో. సరూపకత నియమము).
⇒ AX : DY = AB : DE [Q.E.D.]
[∵ సరూప త్రిభుజాల యొక్క అనురూప భుజాల నిష్పత్తి]

ప్రశ్న 10.
ఇచ్చిన త్రిభుజము ABCకి సరూపంగా ఉంటూ, దాని భుజాలకు \(\frac{5}{3}\) రెట్లు ఉండే అనురూప భుజాలు కలిగిన త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
(1) ఏవైనా కొలతలతో ∆ABC ను నిర్మించుము.
(2) BC భుజానికి శీర్షము A ఉన్న వైపునకు వ్యతిరేక దిశలో దానితో అల్పకోణము చేయునట్లు BX కిరణమును గీయుము.
(3) ఈ BX పై BB₁ = B₁ B₂ = B₃B₄ = …. అగునట్లు ‘8’ బిందువులు B₁, B₂, B₃, …. B₈. లను గుర్తించుము.
(4) B₅, C ని కలుపుము.
(5) B₅C కి సమాంతరంగా ఉండేటట్లు B₈ వద్ద రేఖను గీయగా అది BC ను C’ వద్ద ఖండించును.
(6) ‘C’ గుండా CA కు సమాంతరంగా గీసిన రేఖ BA ను A’ వద్ద ఖండించును.
(7) ∆A’B’C’ మనకు కావలసిన త్రిభుజము.

ప్రశ్న 11.
4 సెం.మీ, 5 సెం.మీ, 6 సెం.మీ. కొలతలతో ఒక త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి. దీనితో సరూపంగా ఉంటూ ఈ త్రిభుజ భుజాలకు రెట్లు అనురూప భుజాల కొలతలు కలిగిన త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
(1) AB = 4 సెం.మీ., BC = 5 సెం.మీ మరియు CA = 6 సెం.మీ.ల కొలతలతో ∆ABC ను నిర్మించుము.
(2) BC భుజానికి శీర్షం ‘A’ ఉన్న వైపునకు వ్యతిరేక దిశలో దానితో అల్పకోణము చేయునట్లు BX కిరణమును గీయుము.
(3) ఈ BX పై BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ అగునట్లు మూడు బిందువులు B₁, B₂, B₃ లను గుర్తించుము.
(4) B₃, C లను కలుపుము.
(5) B₂ గుండా B₃ C కి సమాంతరంగా ఉండేటట్లు రేఖను గీసిన అది BC ని C’ వద్ద ఖండించును.
(6) A’ గుండా CA కు సమాంతరంగా గీసిన రేఖ BAను A’ వద్ద ఖండించును.
(7) కావున ∆A’B’C’ మనకు కావలసిన త్రిభుజము.

ప్రశ్న 12.
భూమి 8 సెం.మీ మరియు దానికి గీసిన లంబము 4సెం.మీ. ఉండునట్లు ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజమును గీయండి. ఈ ‘త్రిభుజ భుజాలకు 13 రెట్లు అనురూప భుజాల పొడవులు కలిగి, ఇచ్చిన త్రిభుజానికి సరూపంగా ఉండేటట్లు వేరొక త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
(1) BC = 8 సెం.మీ మరియు లంబము 4 సెం.మీ ఉండునట్లు ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజమును నిర్మించుము.

(2) BC భుజానికి శీర్షము A ఉన్న వైపునకు వ్యతిరేక దిశలో దానితో అల్పకోణము చేయునట్లు BX కిరణమును గీయుము.
(3) ఈ BX పై BB₁ = B₁ B₂ = B₂ B₃ అగునట్లు మూడు బిందువులు B₁, B₂, B₃, లను గుర్తించుము.
(4) B₂ C ని కలుపుము. B₂ నుండి B₃ C కి సమాంతరంగా ఉండేటట్లు రేఖను గీసిన అది BC ని C’ వద్ద ఖండించును.
(5) C’ గుండా CA కు సమాంతరంగా గీసిన రేఖ BA ను A’ వద్ద ఖండించును.
(6) కావున ∆A’BC’ మనకు కావలసిన త్రిభుజము.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 8 సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు Exercise 8.1

ప్రశ్న 1.
∆PQRS లో \(\frac{\mathbf{P S}}{\mathbf{S Q}}=\frac{\mathbf{P T}}{\mathbf{T R}}\) అగునట్లు ST ఒక సరళరేఖ, ఇంకనూ ∠PST = ∠PRQ అయిన ∆PQR ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజమని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము : ∆PQR లో \(\frac{\mathbf{P S}}{\mathbf{S Q}}=\frac{\mathbf{P T}}{\mathbf{T R}}\) మరియు
∠PST = ∠PRQ.
సారాంశము : ∆POR ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము.
ఉపపత్తి : \(\frac{\mathbf{P S}}{\mathbf{S Q}}=\frac{\mathbf{P T}}{\mathbf{T R}}\) కావున ST || QR
(థమిక సిద్ధాంతపు విపర్యయము నుండి)
∴ ∠PST = ∠POR ………… (1) (ST || QR కావున వాటి సదృశ్య కోణాలు)
మరియు, ∠PST = ∠PRQ……….. (2) (దత్తాంశము)
(1), (2) ల నుండి, ∠PQR = ∠PRQ
∴ PR = PQ [త్రిభుజంలో సమాన కోణాలకు ఎదురుగా ఉన్న భుజాలు సమానము)
కావున ∆PQR సమద్విబాహు త్రిభుజము.

ప్రశ్న 2.
ఇచ్చిన పటంలో, LM || CB మరియు LN || CD అయిన AM = AN అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము : LM || CB మరియు LN || CD
∆ABC లో, LM || BC కావున

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన పటంలో, DE || AC మరియు DF || AE అయిన BF = BE అని చూపండి.

సాధన.
∆ABC లో, DE || AC కావున
\(\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DA}}\) …………. (1)
(థమిక సిద్ధాంతం నుండి) మరలా ∆ABE లో, DF || AE కావున
\(\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FE}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DA}}\) …………. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి
\frac{B E}{E C}=\frac{B F}{F E}\(\) అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 4.
ఒక త్రిభుజములో ఒక భుజము మధ్య బిందువు గుండా పోయేరేఖ, రెండవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉంటే అది మూడవ భుజాన్ని సమద్విఖండన చేస్తుందని చూపండి. (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము నుపయోగించి)
సాధన.

దత్తాంశము : AB మధ్య బిందువు D మరియు DE || BC
సారాంశము : AE = EC
నిరూపణ : ∆ABC లో DE || BC
∴ \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము)

\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) [AB మధ్య బిందువు D ∴ AD = DB]
1 = \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
∴ AE = EC
కావున DE, AC ని సమద్విఖండన చేస్తుంది.

ప్రశ్న5.
ఒక త్రిభుజములో రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖాఖండము మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉంటుందని చూపండి. (ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత విపర్యయము నుపయోగించి)
సాధన.
దత్తాంశము : ∆ABC లో AB మధ్య బిందువు ‘D’
మరియు AC మధ్య బిందువు ‘E’.
సారాంశం : DE || BC.
ఉపపత్తి :

AB మధ్య బిందువు ‘D’,
AD = DB
⇒ \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}\) = 1 ………. (1)
మరియు AC మధ్య బిందువు ‘E’ అయిన
AE = EC
⇒ \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) = 1 ………… (2)
(1), (2) ల నుండి
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
ఒక త్రిభుజంలో ఏవైనా రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించు సరళరేఖ, మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా నుండును.
∴ DE || BC [∴ ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత విపర్యం నుండి నిరూపించబడినది].

ప్రశ్న 6.
ఇచ్చిన పటములో, DE || OQ మరియు DF || OR అయిన EF || QR అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము : ∆PQRలో DE || OQ; DF || OR
సారాంశము : EF || QR
ఉపపత్తి : ∆POQ లో DE || OQ, కావున ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతమును అనుసరించి
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{DO}}\) ………………(1)
∆PQR లో DF || OR కావున ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతమును అనుసరించి
\(\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}=\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{DO}}\) ……….. (2)
(1), (2) ల నుండి, \(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}\)
(1), (4) అంతు EQ , FR ఆ విధముగా APQR ను EF రేఖ PQ మరియు
PR లను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించుచున్నది.. కావున EF || QR. (ప్రాథమిక సిద్ధాంతపు విపర్యయం నుండి).

ప్రశ్న 7.
ఇచ్చిన పటంలో A, B, C లు వరుసగా OP, OQ మరియు OR లపై బిందువులు. AB || PQ మరియు AC || PR అయిన BC || QR అని చూపండి.

సాధన.
దత్తాంశము : ∆PQRలో AB || PQ; AC || PR.
సారాంశము : BC || QR
ఉపపత్తి : ∆POQలో AB || PQ కావున
\(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AP}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{BQ}}\) ………… (1)
∆OPRలో AC || PR కావున
\(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AP}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{CR}}\) ………… (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి \(\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{BQ}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{CR}}\)
ఆ విధముగా ∆OQR ను BC రేఖ OQ మరియు OR అను సమాన నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
∴ BC || QR.
[ప్రాథమిక సిద్ధాంత విపర్యయము నుండి)

ప్రశ్న 8.
ట్రెపీజియం ABCD లో AB||DC. దాని కర్ణములు పరస్పరం బిందువు ‘0’ వద్ద ఖండించుకొంటాయి. అయిన \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\) అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము : ట్రెపీజియము ABCD లో AB || CD మరియు AC, BD కర్ణాలు ‘O’ వద్ద ఖండించుచున్నవి.
సారాంశము : \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\)

నిర్మాణము : EF అనురేఖను CD మరియు AB లకు సమాంతరంగా ఉంటూ ‘O’ గుండా పోవు విధంగా గీయుము.
ఉపపత్తి: ∆ACDలో EO // CD కావున AO _ AE
\(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}\) …………… (1) [ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి]

∆ABD లో, EO || AB కావున
\(\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AE}}=\frac{\mathrm{DO}}{\mathrm{BO}}\) [ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం నుండి)

\(\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{DO}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DE}}\) ……………… (2) [విలోమము చేయగా )
(1), (2) ల నుండి
\(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{CO}}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{DO}}\)

⇒ \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\) నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 9.
7.2 సెం.మీ పొడవు గల ఒక రేఖాఖండమును గీసి దానిని 5 : 3 నిష్పత్తిలో విభజించండి. ఏర్పడిన రెండు భాగముల పొడవులను కొలిచి రాయండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
(1) \(\overline{\mathrm{AB}}\) = 7.2 సెం. మీతో ఒక రేఖాఖండంను గీయుము.
2) ‘A’ వద్ద ∠BAX అను అల్పకోణంను గీయుము.
3) \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AX}}\) పై సమాన వ్యాసార్ధ కొలతలతో 5 + 3 = 8కి సమాన చాపములు (A₁, A₂, A₃, …… A₈) లను గీయుము.
4) A₈ మరియు B ను కలుపుము.
5) A₅ బిందువు గుండా \(\stackrel{\leftrightarrow}{A_{8} B}\) కి సమాంతర రేఖను గీయుము.
6) AB రేఖాఖండంను ‘C’ రేఖ 5 : 3 నిష్పత్తిలో ఖండించుచున్నది.
7) AC మరియు BC లను కొలవగా AC = 4.5 సెం.మీ. మరియు BC = 2.7 సెం.మీ.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Intext Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది పటం నుండి A, B, C, D, E, F, G, H బిందువుల నిరూపకాలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 159)

సాధన.
గుర్రం యొక్క స్థానం మూల బిందువుగా ఉందనుకోవాలి.
A (- 1, 2), B (1, 2), C (2, 1), D (2, – 1), E (1, – 2), F (- 1, – 2), G (- 2, – 1), H (- 2, 1).

ప్రశ్న 2.
8 కదలికల తర్వాత గుఱ్ఱం కదిలిన దూరం కనుగొనండి. అనగా మూలబిందువు (0, 0) నుండి A, B, C, D, E, F, G, H బిందువుల మధ్య దూరంను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 159)
సాధన.
గుర్రం (0, 0) నుండి, A కి కదిలిన దూరం + B కి కదిలిన దూరం + ……… + H కి కదిలిన దూరం
= 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
= 24 యూనిట్లు .

ప్రశ్న 3.
బిందువులు H మరియు C ల మధ్య దూరమెంత ? అలాగే బిందువులు A మరియు B ల మధ్య దూరమెంత? (పేజీ నెం. 159).
సాధన.
H మరియు C ల మధ్య దూరం = 4 యూనిట్లు
A మరియు B ల మధ్యదూరం = 2 యూనిట్లు

ప్రశ్న 4.
(- 4, 0), (2, 0), (6, 0), (-8, 0) బిందువులు నిరూపక తలంలో ఎక్కడ ఉంటాయి ? (పేజీ నెం. 160)
సాధన.
ఇచ్చిన అన్ని బిందువులు X – అక్షంపై ఉంటాయి.

ప్రశ్న 5.
(- 4, 0), (6, 0) బిందువుల మధ్య దూరమెంత ? (పేజీ నెం. 160)
సాధన.
(- 4, 0), 16, 0) బిందువులు X – అక్షంపై ఉంటాయి.
కావున వాని మధ్య దూరం = |x₂ – x₁|
= |6 – (- 4)| = |6 + 4| = 10 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 6.
కింది బిందువుల మధ్య దూరం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 162)
(i) (3, 8), 16, 8)
సాధన.
బిందువుల మధ్య దూరం = |x₂ – x₁|
(∵ రెండు బిందువులలో Y నిరూపకాలు సమానం)
= | 6 -3 | = 3 యూనిట్లు..

(ii) (- 4, – 3), (- 8, – 3)
సాధన.
బిందువుల మధ్య దూరం = |x₂ – x₁| (∵ రెండు బిందువులలో Y నిరూపకాలు సమానం)
= | – 8 – (- 4) | = | – 8 + 4 |
= | – 4 | = 4 యూనిట్లు.

(iii) (3, 4), (3, 8)
సాధన.
బిందువుల మధ్య దూరం = |y₂ – y₁| (∵ రెండు బిందువులలో X నిరూపకాలు సమానం)
= | 8 – 4 | = 4 యూనిట్లు.

(iv) (- 5, – 8), (- 5, – 12)
సాధన.
బిందువుల మధ్య దూరం = |y₂ – y₁|
= |- 12 – (- 8)|
= |- 12 + 8| ( ∵ రెండు బిందువులలో X నిరూపకాలు సమానం)
= | – 4 | = 4 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 7.
కింది బిందువుల మధ్య దూరం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 162)
(i) A (2, 0) మరియు B (0, 4)
సాధన.
A (2, 0) X – అక్షంపైన,
B (0, 4) Y – అక్షం పైన ఉంటాయి.

∆AOB లంబకోణ త్రిభుజము
OA = 2; OB = 4
AB² = OA² + OB²
AB² = (2)² + (4)²
AB = √(4 + 16) = √20 = 2√5
గమనిక : (x₁, 0), (0, y₁) బిందువుల మధ్య దూరం = √(x₁² + y₁²).

(ii) P(0, 5) మరియు Q (12, 0)
సాధన.
P (0, 5) మరియు Q (12, 0) .
P, Q ల మధ్య దూరం = \(\sqrt{(12)^{2}+(5)^{2}}\)
= \(\sqrt{144+25}=\sqrt{169}\) = 13
P, Q ల మధ్య దూరం = 13 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 8.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువుల మధ్య దూరం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 164)
(i) (7, 8) మరియు ( – 2, 3)
సాధన.
A (7, 8) మరియు B (- 2, 3)
A, B ల మధ్య దూరం = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-2-7)^{2}+(3-8)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-9)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{81+25}=\sqrt{106}\)

(ii) (- 8, 6) మరియు (2,0)
సాధన.
A (- 8, 6) మరియు B (2, 0)
X = – 8, x, = 2, y = 6, y) = 0
A, B ల మధ్య దూరం = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(2-(-8))^{2}+(0-6)^{2}}\)
= \(\sqrt{10^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{100+36}\)
= √136.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
(0, – 3), (0, – 8), (0, 6), (0, 4) బిందువులు నిరూపక తలంలో ఎక్కడ ఉంటాయి ? (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
అన్ని బిందువులు Y – అక్షంపై ఉంటాయి.

ప్రశ్న 2.
(0, – 3) మరియు (0, – 8) బిందువుల మధ్య దూరమెంత ? అలాగే Y – అక్షంపై ఉన్న బిందువుల మధ్యదూరం | y₂ – y₁| అవుతుందని చెప్పగలవా ? (పేజీ నెం. 161)
సాధన.
(0, – 3), (0, – 8) లు Y – అక్షంపై గల బిందువులు.
వీని మధ్యదూరం= |y₂ – y₁|
= |- 8 – (- 3)| = |- 8 + 3| = |- 5 | యూనిట్లు
Y – అక్షంపై గల బిందువుల మధ్య దూరం = |y₂ – y₁| అవుతుంది.

ప్రశ్న 3.
మూలబిందువు ‘0’ మరియు బిందువు A (7, 4) ల మధ్యదూరం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 162)
సాధన.

పై పటం నుండి AB = 4 యూనిట్లు, OB = 7 యూనిట్లు
∆ABO లంబకోణ త్రిభుజము
OA² = OB² + BA²
= 7² + 4² = 49 + 16
OA² = 65
OA = √65 యూనిట్లు.

గమనిక :
మూలబిందువు (0, 0) నుండి (x₁, y₁) బిందువుకు గల దూరము \(\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\).
మూలబిందువు నుండి A (7, 4) కు గల దూరం = \(\sqrt{7^{2}+4^{2}}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\) యూనిట్లు.

ప్రశ్న 4.
ఒక రేఖాఖండం \(\overline{\mathrm{AB}}\) యొక్క తొలి, చివరి బిందువులు A(1, – 3) మరియు B(- 4, 4) అయిన AB మధ్య దూరాన్ని దగ్గరి దశాంశాలకు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 164)
సాధన.
A (1, – 3) మరియు B (- 4, 4) ..
x₁ = 1, x₂ = – 4, y₁ = – 3, y₂ = 4
AB ల మధ్య దూరం, d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-4-1)^{2}+(4-(-3))^{2}}\)
= \(\sqrt{(-5)^{2}+(7)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+49}=\sqrt{74}\)
AB ల మధ్య దూరం = 8.602

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
రెండు బిందువులలోని X లేదా 5 నిరూపకాలు సమానంగా (0 కాకుండా) ఉంటే వాటి మధ్యదూరం ఎలా కనుగొంటావు ? (పేజీ నెం, 161)
సాధన.
సందర్భం – 1:
రెండు బిందువులలోని x నిరూపకాలు సమానంగా ఉంటే ఆ రెండు బిందువులు Y- అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖపై ఉంటాయి.
కావున రెండు బిందువులలోని y నిరూపకాల భేదం |Y₂ – Y₁| ఆ రెండు బిందువుల మధ్య దూరం అవుతుంది.
(x₁, y₁), (x₂, y₂) బిందువుల మధ్య దూరం = |y₂ – y₁|

సందర్భం – 2:
రెండు బిందువులలోని y నిరూపకాలు సమానం అయితే ఆ బిందువులు X – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖపై ఉంటాయి. కావున ఈ రెండు బిందువులలోని X నిరూపకాల భేదం |x₂ – x₁| ఆ రెండు బిందువుల మధ్య దూరం అవుతుంది.
(x₁, y₁), (x₂, y₂) బిందువుల మధ్య దూరం = |x₂ – x₁|

ప్రశ్న 2.
రెండు బింధువులు నిరూపకతలంలోని వేర్వేరు పాదాలలో ఉంటే వాటి మధ్య దూరం ఎలా కనుగొంటారు? (పేజీ నెం. 163)
సాధన.
A, B అనే రెండు బిందువులు వేర్వేరు తలాలలో ఉంటే A, Bల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడానికి, A, B బిందువుల గుండా అక్షాలకు లంబ రేఖలను గీచి, \(\overline{\mathrm{AB}}\) కర్ణంగా గల లంబకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచాలి. అలా ఏర్పడిన లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క కర్ణం పొడవును పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి కనుగొంటాము. ఈ పొడవే A, B ల మధ్య దూరం అవుతుంది.
ఉదాహరణకు A(3, 4), B(- 2, – 5) లు వరుసగా 1వ, 3వ పాదాలలో కలవు. వీని మధ్యదూరం కనుగొందాము.
సాధన.
A (3, 2) గుండా Y – అక్షానికి లంబం AP, B (- 2, – 5) గుండా X – అక్షానికి లంబం BQ లను గీయాలి. వీటి ఖండన బిందువు C అవుతుంది.
ఇప్పుడు AC = 5 యూనిట్లు
BC = 7 యూనిట్లు .
లంబకోణ త్రిభుజం ∆ABCలో AB² = AC² + BC² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతము)
= 5² + 7²

AB² = 25 + 49 = 74
AB = √74 యూనిట్లు

గమనిక : A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) బిందువుల మధ్యదూరం సూత్రం రాబట్టిన తర్వాత అయితే రెండు బిందువుల మధ్య దూరం సూత్రం
d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) ను ఉపయోగించి ఒకే తలంలో గల ఏ రెండు బిందువుల మధ్య దూరాన్నైనా కనుగొనవచ్చును.

ప్రశ్న 3.
రాము, బిందువు P(x, y) మరియు మూలబిందువు O(0, 0)ల మధ్య దూరం \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) అని తెలిపెను. నీవు రాము తెలిపిన దానితో ఏకీభవిస్తున్నావా? లేదా? ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 163)
సాధన.
రాముతో ఏకీభవిస్తాను.
O(0, 0), P(x, y) ల మధ్య దూరం d = \(\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

ఈ విలువ రాము సమాధానంతో సరిపోతున్నది. కావున రాముతో ఏకీభవిస్తున్నాను.
(లేదా)

పై పటం నుండి, ∆PQO లంబకోణ త్రిభుజము.
PQ = y, QQ = x
OP² = OQ² + QP²
= x² + y²
OP = √(x² + y²⁾
ఈ విలువ, రాము సమాధానము ఒకటే. కావున ‘ రాము సమాధానంతో ఏకీభవిస్తాను.

ప్రశ్న 4.
రాము రెండు బిందువుల మధ్య దూరాన్ని ఈ విధంగా రాశాడు. AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 163)
సాధన.
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) బిందువుల మధ్య దూరం \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) కు సమానం.
A, B బిందువుల మధ్య దూరాన్ని AB గా రాస్తాము.
కావున AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) అని రాశాడు.

ప్రశ్న 5.
శ్రీధర్ రెండు బిందువులు T (5, 2) మరియు R (- 4, – 1) ల మధ్య దూరం 9.5 యూనిట్లుగా లెక్కించాడు. ఇపుడు మీరు రెండు బిందువులు P (4, 1) మరియు Q (-5, – 2) ల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి. మీరు కూడా శ్రీధర్ పొందిన సమాధానాన్నే పొందారా ? ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 164)
సాధన.
P(4, 1), Q (- 5, – 2) బిందువుల మధ్య దూరం
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం PQ = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-5-4)^{2}+(-2-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-9)^{2}+(-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{81+9}=\sqrt{90}\)
= 3√10 = 3√2 × √5
= 3 × 1.414 × 2.236 [∵ √2 = 1.413, √5 = 2.236]
PQ = 9.4851 = 9.5
PQ = 9.4851ను ఒక దశాంశానికి సవరించినపుడు మనం కూడా శ్రీధర్ పొందిన సమాధానాన్నే పొందుతున్నాము.
T (5, 2), R (- 4, – 1) బిందువులలోని x, y నిరూపకాల యొక్క గుర్తులను మార్చగా P (4, 1) మరియు Q (- 5, – 2) వస్తున్నాయి.
కాబట్టి TR = PQ అవుతుంది.

గమనిక :
P (x₁, y₁), Q (x₂, y₂) మరియు R(- x₁, – y₁), S (- x₂, – y₂) అయిన PQ = RS అగును.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
బిందువులు (3, 5) మరియు (8, 10) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును 2:3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించు బిందువును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 171)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు (3, 5), (8, 10) లను 2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు P (x, y) అనుకుందాం.
విభజించే సూత్రం – P(x, y) = \(=\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{2(8)+3(3)}{2+3}, \frac{2(10)+1(5)}{2+3}\right)\)

= \(\left(\frac{16+9}{5}, \frac{20+5}{5}\right)\)

= (\(\frac{25}{5}\), \(\frac{25}{5}\)) = (5, 5)
∴ కావలసిన బిందువు P(x, y) = (5, 5)

ప్రశ్న 2.
బిందువులు (2, 7) మరియు (12, -7) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండం యొక్క మధ్యబిందువును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 171)
సాధన.
(2, 7), (12, – 7) బిందువుల మధ్య బిందువు M (x, y) అనుకొనుము.
(x₁, y₁), (x₂, y₂) బిందువులతో ఏర్పడు రేఖ యొక్క మధ్యబిందువు నిరూపకాలు M(x,y) అనుకొనుము.
M(x, y) = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{2+12}{2}, \frac{7+(-7)}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{14}{2}, \frac{0}{2}\right)\) = (7, 0)
కావలసిన బిందువు M(x, y) = (7,0) .

ప్రశ్న 3.
బిందువులు (- 4, 6), (2, -2 ) మరియు (2, 5)లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రంను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
గురుత్వ కేంద్ర నిరూపకాలు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{-4+2+2}{3}, \frac{6+(-2)+5}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{-4+4}{3}, \frac{11-2}{3}\right)\)
= (0, \(\frac{9}{3}\)) = (0, 3)
∴ గురుత్వ కేంద్రం (0, 3)

ప్రశ్న 4.
బిందువులు (2, – 6) మరియు ( 4, 8) లను కలుపు రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 175)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A (2, – 6), B (- 4, 8).
A(2, – 6), B(- 4, 8) లను కలుపు రేఖాఖండము యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు P, Q అనుకుందాం.

\(\overline{\mathrm{AB}}\) రేఖాఖండాన్ని P 1 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
∴ P(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{1(-4)+2(2)}{1+2}, \frac{1(8)+2(-6)}{1+2}\right)\)

= \(\left(\frac{-4+4}{3}, \frac{8-12}{3}\right)=\left(\frac{0}{3}, \frac{-4}{3}\right)\)

= (1-4+2[2] 18 +2-))
∴ P = (0, \(\frac{-4}{3}\))
ఇపుడు \(\overline{\mathrm{AB}}\) రేఖాఖండాన్ని Q 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
Q (x, y) = \(\left(\frac{2(-4)+1(2)}{2+1}, \frac{2(8)+1(-6)}{2+1}\right)\)

= \(\left(\frac{-8+2}{3}, \frac{16-6}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{-6}{3}, \frac{10}{3}\right)=\left(-2, \frac{10}{3}\right)\)
∴ Q = (- 2, \(\frac{10}{3}\)) కావున (2, – 6) మరియు (- 4, 8) లను కలిపే రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు (0, \(-\frac{4}{3}\)) మరియు (- 2, \(\frac{10}{3}\)).

సరిచూచుకోవడం :
(i) \(\overline{\mathrm{AB}}\) యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు P, Q అయిన A, Bల మధ్యబిందువు, P, Qల మధ్యబిందువు ఒకటే అవుతుంది.
A, B ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{2+(-4)}{2}, \frac{-6+8}{2}\right)=\left(\frac{-2}{2}, \frac{2}{2}\right)\) = (-1.1)

P, Qల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{0+(-2)}{2}, \frac{\frac{-4}{3}+\frac{10}{3}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{2}, \frac{\frac{6}{3}}{2}\right)=\left(-1, \frac{2}{2}\right)\) = (- 1, 1)

(ii) AP, PQ, QB పొడవులను కనుగొని కూడా సరిచూచుకోవచ్చును.
AP = PQ = QB అవుతాయి.

ప్రశ్న 5.
బిందువులు (- 3, – 5), (- 6, – 8) లను కలుపు రేఖండము యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 175)
సాధన.
బిందువులు A (- 3, – 5), B (- 6, – 8) లను కలుపు రేఖాఖండము యొక్క ప్రాథాకరణ బిందువులు P, Q అనుకొంటే \(\overline{\mathrm{AB}}\) ను P 1 : 2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
P(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{1(-6)+2(-3)}{1+2}, \frac{1(-8)+2(-5)}{1+2}\right)\)

= \(\left(\frac{-6-6}{3}, \frac{-8-10}{3}\right)=\left(\frac{-12}{3}, \frac{-18}{3}\right)\)

= (- 4, – 6)
∴ P = (- 4, – 6)
ఇప్పుడు \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని Q 2 : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
Q(x, y) = \(\left(\frac{2(-6)+1(-3)}{2+1}, \frac{2(-8)+1(-5)}{2+1}\right)\)

= \(\left(\frac{-12-3}{3}, \frac{-16-5}{3}\right)=\left(\frac{-15}{3}, \frac{-21}{3}\right)\)
= (- 5 – 7)
Q = (- 5, – 7)
కావున బిందువులు (- 3, – 5), (- 6, – 8) లను కలుపు రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు (- 4, – 6) మరియు Q (- 5, – 7)

సరిచూచుకొనుట :
A, B మధ్యబిందువు = \(\left(\frac{(-3)+(-6)}{2}, \frac{(-5)+(-8)}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{-9}{2}, \frac{-13}{2}\right)\)

P, Q మధ్యబిందువు = \(\left(\frac{(-4)+(-5)}{2}, \frac{(-6)+(-7)}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{-9}{2}, \frac{-13}{2}\right)\)

కృత్యము:

బిందువులు A(4, 2), B(6, 5) మరియు C(1, 4) లు ∆ABC యొక్క శీర్షాలు.

ప్రశ్న 1.
A నుండి BC పైకి గీసిన మధ్యగతరేఖ D వద్ద కలుస్తుంది. అయిన D బిందువు నిరూపకాలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
B (6, 5) మరియు C(1, 4) ల మధ్యబిందువు
D(x, y) = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)\).

ప్రశ్న 2.
AP : PD = 2 : 1 అయ్యే విధంగా AD రేఖపై P బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
A(4, 2), D\(\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)\) లను 2 : 1 నిష్పత్తిలో -విభజించే బిందువు
∴ P = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{2\left(\frac{7}{2}\right)+1(4)}{2+1}, \frac{2\left(\frac{9}{2}\right)+1(2)}{2+1}\right)\)

= \(\left(\frac{7+4}{3}, \frac{9+2}{3}\right)\)

⇒ P = \(\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)\)

ప్రశ్న 3.
BE రేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువును మరియు CF రేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
A(4, 2), C (1, 4) ల మధ్య బిందువు E = \(\left(\frac{4+1}{2}, \frac{2+4}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}, 3\right)\)

A(4, 2), B (6, 5) ల మధ్య బిందువు F = \(\left(\frac{4+6}{2}, \frac{2+5}{2}\right)=\left(5, \frac{7}{2}\right)\)

(i) B(6, 5), E(\(\frac{5}{2}\). 3) లను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు
Q = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{2\left(\frac{5}{2}\right)+1(6)}{2+1}, \frac{2(3)+1(5)}{2+1}\right)\)

= \(\left(\frac{5+6}{3}, \frac{6+5}{3}\right)\)

⇒ Q = \(\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)\)

(ii) C(1, 4), F(5,7) లను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు
R = \(\left(\frac{2(5)+1(1)}{2+1}, \frac{2\left(\frac{7}{2}\right)+1(4)}{2+1}\right)\)
= \(\left(\frac{10+1}{3}, \frac{7+4}{3}\right)\)
⇒ R = (11 11)

ప్రశ్న 4.
మీరేమి గమనించారు ? “ఒక త్రిభుజంలోని ప్రతి మధ్యగతరేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు ఆ త్రిభుజం యొక్క గురుత్వకేంద్రం అవుతుంది”. (పేజీ నెం. 172)
సాధన.
మధ్యగతాలను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువులు P, Q, Rలు ఏకీభవిస్తున్నాయి. మధ్యగతరేఖల మిళిత బిందువును గురుత్వ కేంద్రము అంటామని మనకు తెలుసు. P, Q, R లు ఈ గురుత్వ కేంద్రంతో ఏకీభవిస్తున్నాయి.

“అనగా “ఒక. త్రిభుజంలోని ప్రతి మధ్యగత రేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు ఆ త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రము అవుతుంది”.

ప్రయత్నించండి:

బిందువులు (2, 3), (x, y), (3, -2 ) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రం మూలబిందువు అయిన (x, y) లను కనుగొనండి.(పేజీ నెం. 173)
సాధన.
ఇచ్చినది (2, 3), (x, y), (3, -2) లు త్రిభుజ శీర్షాలు గురుత్వ కేంద్రం = (0,0)
అనగా
\(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) = (0, 0)

\(\left(\frac{2+x+3}{3}, \frac{3+y+(-2)}{3}\right)\) = (0, 0)

\(\left(\frac{5+x}{3}, \frac{y+1}{3}\right)\) = 0
⇒ 5 + x = 0
⇒ x = – 5
⇒ y + 1 = 0
⇒ y = – 1
∴ (x, y) = (- 5, – 1).

అలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

బిందువులు A(6, 9) మరియు B(- 6, – 9) లను కలుపు రేఖాఖందమును. (పేజీ నెం. 174)

(a) మూలబిందువు ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది ? ఆ రేఖా ఖండమునకు మూలబిందువును ఏమంటారు ?
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు : A (6, 9), B (- 6, – 9) లను మూలబిందువు m₁ : m₂ నిష్పత్తిలో విభిజిస్తుందని అనుకొందాం.

(0, 0) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1}(-6)+\mathrm{m}_{2}(6)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1}(-9)+\mathrm{m}_{2}(9)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

(0, 0) = \(\left(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-9 m_{1}+9 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

∴ \(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\) = 0
– 6m₁ + 6m₂ = 0
– 6m₁ = – 6m₂
⇒ 6m₁ = 6m₂

⇒ \(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{6}{6}=\frac{1}{1}\)
m₁ : m₂ = 1 : 1
∴ కావలసిన నిష్పత్తి = 1 : 1.
A, B బిందువులను మూలబిందువు 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
కావున మూలబిందువును AB రేఖాఖండానికి మధ్యబిందువు అంటారు.

(b) బిందువు P(2, 3) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది ?
సాధన.
A (6, 9), B (- 6, – 9) ను P (2, 3) m₁ : m₂ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొందాం. 1) 1 ( m (-6) + ma(6) ma (-9) + ma(9)]
(2, 3) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1}(-6)+\mathrm{m}_{2}(6)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1}(-9)+\mathrm{m}_{2}(9)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

(2, 3) = \(\left(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-9 m_{1}+9 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

∴ 2 = \(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\)
⇒ 2m₁ + 2m₂ = – 6m₁ + 6m₂
⇒ 8m₁ = 4m₂
\(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
m₁ : m₂ = 1 : 2

(c) బిందువు Q(- 2, – 3) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది ?
సాధన.
A (6, 9), B (- 6, – 9) లను Q (- 2, – 3) విభజించే నిష్పత్తి m₁ : m₂ అనుకొనుము.
(- 2, – 3) = \(\left(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-9 m_{1}+9 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

∴ – 2 = \(\frac{-6 m_{1}+6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\)
⇒ – 2m₁ – 2m₂ = – 6m₁ + 6m₂
4m₁ = 8m₂
\(\frac{\mathrm{m}_{1}}{\mathrm{~m}_{2}}=\frac{8}{4}=\frac{2}{1}\)
∴ m₁ : m₂ = 2 : 1

(d) బిందువులు P, Qలు AB ని ఎన్ని సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాయి ?
సాధన.

బిందువులు P, Q \(\overline{\mathrm{AB}}\) ని 3 సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాయి.

(e) P, Q లను ఏమంటారు ?
సాధన.
P, Q లను AB యొక్క సమత్రిఖండన బిందువులని అంటారు. ఈ సమత్రిఖండన బిందువులను త్రిథాకరణ బిందువులని పిలుస్తాము.

ఇవి చేయండి:

కింద ఇవ్వబడిన శీర్షాలు గల త్రిభుజ వైశాల్యం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 180)
ప్రశ్న 1.
(5, 2) (3, – 5) మరియు (- 5, -1 )
సాధన.
బిందువులు: (5, 2), (3, – 5), మరియు (- 5, – 1) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం ∆ = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₂ – y₁)|
= \(\frac{1}{2}\) |5(- 5 – (- 1) + 3((- 1) – 2) + (- 5) (2 – (- 5))|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 5 + 1) + 3(- 3) + – 5(2 + 5)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 20 – 9 – 35|
= \(\frac{1}{2}\) |- 64|
= \(\frac{1}{2}\) × 64 = 32 చ.యూ.

ప్రశ్న 2.
(6, – 6), (3, – 7) మరియు (3, 3) (పేజీ నెం. 180)
సాధన.
(6, – 6), (3, – 7) మరియు (3, 3) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |6(- 7 – 3) +3(3 – (- 6)) + 3(- 6 – (- 7))|
= \(\frac{1}{2}\) | 6(- 10) + 3(9) + 3(1)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 60 + 27 + 3|
= \(\frac{1}{2}\) |- 30|
= \(\frac{1}{2}\) × 30 = 15 చ.యూ.

ప్రశ్న 3.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువులు సరేఖీయాలు అవుతాయా? కావా ? సరి చూడండి. (పేజీ నెం. 182)
(i) (1, – 1), (4, 1), (- 2, – 3)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు = (1, – 1), (4, 1), (- 2, – 3) లతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₂ – y₁)|
= \(\frac{1}{2}\) |1[1 – (- 3)] + 4[- 3 – (- 1) + (- 2)[- 1 – 1]|
= \(\frac{1}{2}\) |1(4) + 4 (- 2) – 2 (- 2)|
= \(\frac{1}{2}\) |4 – 8 + 4|
= \(\frac{1}{2}\) |0| = 0
∴ త్రిభుజ వైశాల్యము సున్న ‘0’ కావున ఇచ్చిన బిందువులు సరేఖీయాలు.

(ii) (1, -1), (2, 3), (2, 0)
సాధన.
(1, – 1), (2, 3), (2, 0) బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) | 1(3 – 0) + 2[0 – (- 1)] +2(- 1 – 3)|
= \(\frac{1}{2}\) |3 + 2 – 8|
= \(\frac{1}{2}\) |5 – 8|
= \(\frac{1}{2}\) |- 3|
= \(\frac{1}{2}\) × 3
= \(\frac{3}{2}\) చ.యూ.
∴ త్రిభుజ వైశాల్యము \(\frac{3}{2}\) చ.యూ. కావున ఇచ్చిన మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కావు.

(iii) (1, – 6), (3, – 4), (4, – 3)
సాధన.
(1, – 6), (3, – 4), (4, – 3) లతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) |1[- 4 – (- 3)] + 3[- 3 – (- 6)] + [- 6 – (- 4)]|
= \(\frac{1}{2}\) |1[- 4 + 3] + 3[- 3 + 6] + 4(- 6 – 4)|
= \(\frac{1}{2}\) |1 (- 1) + 3 (3) + 4 (- 2)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 1 + 9 – 8|
= \(\frac{1}{2}\) |9 – 9| = 0
∴ త్రిభుజ వైశాల్యము సున్న’ ‘0’ కావున ఇచ్చిన మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 4.
15 మీ, 17 మీ, 21 మీ భుజాలుగా గల త్రిభుజం వైశాల్యం (హెరాన్ సూత్రం ద్వారా) కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 189)
సాధన.
ఇచ్చిన త్రిభుజ భుజాలు
a = 15 మీ b = 17 మీ. మరియు c = 21 మీ.
∴ s =\(\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+17+21}{2}=\frac{53}{2}\)

s – a = \(\frac{53}{2}\) – 15 = \(\frac{53-30}{2}=\frac{23}{2}\)

s- b = \(\frac{53}{3}\) – 17 = \(\frac{53-34}{2}=\frac{19}{2}\)

s – c = \(\frac{53}{3}\) – 21 = \(\frac{53-42}{2}=\frac{11}{2}\)

త్రిభుజ వైశాల్యం (హెరాన్ సూత్రం) A = \(\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}\)
∴ A = \(\sqrt{\frac{53}{2}\left(\frac{23}{2}\right)\left(\frac{19}{2}\right)\left(\frac{11}{2}\right)}\)
A = \(\sqrt{\frac{53 \times 23 \times 19 \times 11}{16}}\)
A = \(\frac{1}{4} \sqrt{254771}\) చ.మీటర్లు.

ప్రశ్న 5.
బిందువులు (0, 0), (4, 0) మరియు (4, 3) లతో ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యంను హెరాన్ సూత్రం ద్వారా కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 183)
సాధన.
A (0, 0), B (4, 0), C(4, 3)
a = BC = |y₂ – y₁| = |3 – 0| = 3 యూనిట్లు

b = AC = \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
= \(\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}\)
= √25 = 5 యూనిట్లు

C = AB = |x₂ – x₁| = |4| = 4 యూ.
S = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+4+5}{2}\) = 6
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం (హెరాన్ సూత్రం)
A = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{6(6-3)(6-5)(6-4)}\)
= \(\sqrt{6 \times 3 \times 1 \times 2}=\sqrt{36}\) = 6 చ.యూ.
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం = 6 చ. యూనిట్లు.

సరిచూచుకొవడం :
3, 4, 5 భుజాలుగా గల త్రిభుజం లంబకోణ త్రిభుజం అవుతుంది.
∴ లంబకోణ త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × 3 × 4 = 6 చ. యూనిట్లు.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఏదేని ఒక బిందువు Aను X-అక్షంపై, మరొక బిందువు Bను Y- అక్షంపై తీసుకొని AOB త్రిభుజ వైశాల్యం కనుగొనండి. మీ మిత్రులు చేసిన వాటిని గమనించండి. మీరేం గమనించారు ? (పేజీ నెం. 178)
సాధన.

A(- 6, 0), B(0, 5) బిందువులు తీసుకొందాం.
∆AOB ఒక లంబకోణ త్రిభుజం అవుతుంది.
∆AOB యొక్క భూమి OA = 6 యూనిట్లు
ఎత్తు OA = 5 యూనిట్లు
∆AOB వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\) × 6 × 5 = 15 చ.యూ.

గమనించిన అంశాలు :
(i) X – అక్షంపై ఒక బిందువు, Y – అక్షంపై మరొకmబిందువు గల త్రిభుజం లంబకోణ – త్రిభుజం అవుతుంది.
(ii) బిందువులలోని x, y నిరూపకాలు ఒకటి భూమి, మరొకటి ఎత్తు అవుతుంది.
(iii) ఏర్పడు త్రిభుజం’ యొక్క వైశాల్యము x, y ల లబ్దంలో సగం ఉంటుంది.
(x₁ , 0) మరియు (0, y₁) మరియు నిరూపక అక్షాలతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం
A = \(\frac{1}{2}\) |x₁ y₁| చ.యూనిట్లు.

ప్రశ్న 2.
బిందువులు (0, – 1), (2, 1) (0, 3) మరియు (- 2, 1) లు శీర్షాలుగా గల చతురస్రము యొక్క వైశాల్యము కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 181)
సాధన.

ABCD చతురస్రాన్ని కర్ణం AC, ∆ABC మరియు ∆ADC అనే త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది.
∴ ∆ABCవైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁(y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |0 (1 – 3) + 2 [3 – (- 1)] + 0(- 1 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) |0 + 8 + 0|
= \(\frac{1}{2}\) |8| = 4 చ. యూనిట్లు,
∴ ∆ABC వైశాల్యం = 4 చ. యూనిట్లు.
∆ADC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |0(1 – 3) + (- 2) [ 3 – (- 1)] +0 (- 1 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) × 8 = 4 చ.యూ.
∆ADC వైశాల్యం = 4 చ.యూ.
చతురస్రం ABCD వైశాల్యం = 2 ∆ABC వైశాల్యం + ∆ADC వైశాల్యం
= 4 + 4 = 8 చ. యూనిట్లు

రెండవ పద్ధతి :
ABCD చతురస్రాన్ని కర్ణం AC రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలు ∆ABC మరియు ∆ADCలుగా విభజిస్తుంది.

∆ABC వైశాల్యం = ∆ADC వైశాల్యం
చతురస్రం ABCD వైశాల్యం = 2 × ∆ABC వైశాల్యం
= 2 × \(\frac{1}{2}\) |0(1 – 3) +2[3 – (- 1)] + 0(- 1 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) |0 + 2 (4) + 0|
= | 8| = 8 చ. యూనిట్లు
∴ ABCD చతుర్భుజ వైశాల్యం = 8 చ. యూనిట్లు

మూడవ పద్ధతి :
చతురస్రం ABCD యొక్క ఒక భుజం AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(2-0)^{2}+\left[(1-(-1))^{2}\right]}\)
= \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}\)
భుజం AB = √8 యూనిట్లు.
చతురస్ర వైశాల్యం = భుజం × భుజం
= √ 8 × √8 = 8 చ.యూనిట్లు.

నాలుగవ పద్ధతి :
కర్ణం AC పొడవు d = |y₂ – y₁|
= |3 – (- 1)| = |4| = 4 యూ.
చతురస్ర వైశాల్యం A = \(\frac{\mathrm{d}^{2}}{2}=\frac{4^{2}}{2}\)
= \(\frac{16}{2}\) = 8 చ.యూనిట్లు.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
బిందువులు A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) నిరూపకతలంపై ఉన్నవనుకొనుము. అయిన కింది త్రిభుజాల యొక్క వైశాల్యమును కనుగొనండి. మరియు వాటి వైశాల్యముల గురించి గ్రూపులలో మీ స్నేహితులతో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 178)

సాధన.
(i) 1వ పటం నుండి : –

A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) = (0, 0)
ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము,
∴ ∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\) BC × AB
= \(\frac{1}{2}\) |x₂ (y₁ – y₂) | చ.యూ.
గమనిక : వైశాల్యము ధనాత్మకము కావున పరమ మూల్యం | | ను తీసుకొంటాము. ..

(ii) 2వ పటం నుండి :

భూమి BC = ya
ఎత్తు AB = x₁ – x₂
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) BC × AB
= \(\frac{1}{2}\) |y₂ (x₂ – x₁)| చ.యూ.

(iii) 3వ పటం నుండి :

∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) AB × BC
= \(\frac{1}{2}\) |(x₂ – x₁) (y₂ – y₃) చ.యూ.

(iv) 4 వ పటం నుండి :

∴ ∆ABC వైశాల్యం – – BC X AB
= \(\frac{1}{2}\) |(x₂ – x₃) (y₁ – y₂)|

గమనిక :
X, Y అక్షాలకు సమాంతరంగా భుజాలు గల త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యము X నిరూపకాల భేదం మరియు y నిరూపకాల భేదాల లబ్దానికి సమానము. మరియు ఏర్పడే త్రిభుజము ‘ లంబకోణ త్రిభుజము అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
కింది. బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 181)
(i) (2, 0), (1, 2), (1, 6)
(ii) (3, 1), (5, 0), (1, 2)
(iii) (- 1.5, 3), (6, 2), (- 3, 4)
(a) మీరేం గమనించారు ?
(b) ఈ బిందువులను మూడు వేర్వేరు గ్రాఫులలో గుర్తించండి. మీరేం గమనించారు ? మీ మిత్రునితో చర్చించండి.
(c) వైశాల్యం ‘0’ (సున్నా) చ.యూనిట్లు గల త్రిభుజమును గీయగలమా ? మరి దీని అర్థమేమిటి ?
(i) (2, 0), (1, 2), (1, 6)
సాధన.
మూడవ బిందువు (- 1, 6) గా తీసుకొందాం.
(2, 0), (1, 2), (-1, 6) బిందువులు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం A = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃3) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |2(2 – 6) + 1(6 – 0) + (- 1)(0 – 2)|
= \(\frac{1}{2}\) (2(- 4) + 6 – 1(- 2)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 8 + 6 + 2|
= \(\frac{1}{2}\) |0| = 0.
త్రిభుజ వైశాల్యం = 0 చ. యూనిట్లు.

(ii) (3, 1), (5, 0), (1, 2)
సాధన.
∆ = \(\frac{1}{2}\) |3(0 – 2) + 5(2 – 1) + 1(1 – 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 6 + 5 + 1| = 0
త్రిభుజ వైశాల్యం = 0 చ. యూనిట్లు.

(iii) (- 1.5, 3), (6, 2), (- 3, 4)
సాధన.
రెండవ బిందువు (6, – 2) గా తీసుకొందాం.
(- 1.5, 3), (6, – 2) మరియు (- 3, 4)
బిందువులు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం, = \(\frac{1}{2}\) |(- 1.5) [- 2 – 4] + 6 (4 – 3) + (- 3) [3 – (- 2)]|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 1.5) (- 6) + 6 (1) – 3 (5)|
= \(\frac{1}{2}\) |9 + 6 – 15|
= \(\frac{1}{2}\) |15 – 15| = \(\frac{1}{2}\) |0| = 0

(a) పై మూడు సందర్భాలలోనూ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యము శూన్యము అనగా ఇచ్చిన బిందువులు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం ఏర్పడదు అని తెలుస్తున్నది. కావున మూడు సందర్భాలలోను ఇచ్చిన మూడు బిందువులు ఒకే రేఖపై ఉంటాయి. అనగా ఆ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు అవుతాయి. కాబట్టి వైశాల్యము ‘0’ (సున్నా) చ.యూనిట్లు గల త్రిభుజాన్ని గీయలేము. త్రిభుజ వైశాల్య సూత్రం = 0 చ. యూనిట్లు.
∆ ABC వైశాల్యం సున్న ⇒ A, B, C లు సరేఖీయాలు.

(b) ఈ బిందువులను మూడు వేర్వేరు గ్రాఫులలో గుర్తించండి. మీరేం గమనించారు? మీ మిత్రులతో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 181)
సాధన.
(2, 0), (1, 2), (- 1, 6), (3, 1), (5, 0), (1, 2), (- 1.5, 3), (6, – 2), (- 3, 4) లను గ్రాఫ్ పై గుర్తించుట.

కావున ఇచ్చిన బిందువులు సరేఖీయాలు.

(c) వైశాల్యం )(సున్నా). చ.యూనిట్లు గల త్రిభుజమును గీయగలమా ? మరి దీని అర్థమేమిటి ? (పేజీ నెం. 181)
సాధన.
వైశాల్యం 0 చ.యూ, గల త్రిభుజాన్ని నిర్మించలేము. దీని అర్థం ఇచ్చిన బిందువులు సరేఖీయాలు అనగా ఒకే సరళరేఖ పై గల బిందువులు

ఇవి చేయండి:

కిందనీయబడిన బిందువులను నిరూపకతలంపై గుర్తించి వాటిని కలుపుము.
(పేజీ నెం. 185)
(i) A(1, 2), B(- 3, 4) మరియు C(7,- 1)
(ii) P(3, – 5), Q(5, – 1), R(2, 1) మరియు S(1, 2) ఇందులో ఏది సరళరేఖను సూచిస్తుంది ? ఏది సూచించదు ? ఎందుకు?
సాధన.

(i) వ సమస్యలోని బిందువులు A, B, C లు – శేఖను సూచిస్తాయి.
(ii) వ సమస్యలోని బిందువులు P, Q, R, S లు సరళరేఖను సూచించవు.
ఎందుకనగా A, B, C లు సరేఖీయ బిందువులు. కాబట్టి ఒకే సరళరేఖపై ఉంటాయి. P, Q, R, S లు సరేఖీయాలు కావు. కావున ఒకే సరళరేఖపై ఉండవు.

కింది బిందువులతో ఏర్పడు రేఖాఖండము \(\overline{\mathbf{A B}}\) వాలును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 188)
(i) A(4, -6) మరియు B (7, 2)
సాధన.
\(\overline{\mathbf{A B}}\) వాలు, m =\(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{2-(-6)}{7-4}\)

= \(\frac{2+6}{3}\) = \(\frac{8}{3}\).

(ii) A(8, – 4) మరియు B (-4, 8)
సాధన.
AB వాలు, m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{8-(-6)}{-4-8}\)

= \(\frac{12}{-12}\) = – 1

(iii) A(- 2, – 5) మరియు B(1, – 7) .
సాధన.
AB వాలు, m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{-7-(-5)}{1-(-2)}=\frac{-7+5}{1+2}=\frac{-2}{3}\)

ప్రయత్నించండి:

కింద ఇవ్వబడిన బిందువులు \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖపై ఉన్నవి. \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖ వాలు. కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 188)
ప్రశ్న 1.
A(2, 1) మరియు B(2, 6)
సాధన.
\(\overline{\mathbf{A B}}\) వాలు, m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{6-1}{2-2}=\frac{6}{0}\) నిర్వచించబడదు.

ప్రశ్న 2.
A(- 4, 2) మరియు B (- 4, – 2)
\(\overline{\mathbf{A B}}\) వాలు, m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)
= \(\frac{-2-2}{-4-(-4)}\)
= \(\frac{-4}{-4+4}=\frac{4}{0}\) నిర్వచించబడదు.

ప్రశ్న 3.
A(- 2, 8) మరియు B (- 2, – 2)
సాధన.
\(\overline{\mathbf{A B}}\) వాలు, m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(=\frac{-2-8}{-2+2}\)

= \(\frac{-10}{0}\) నిర్వచించబడదు.

∴ వాలు నిర్వచింపబడదు.

ప్రశ్న 4.
“ఇచ్చిన బిందువులతో ఏర్పడు \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖాఖండం Y-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది”. ఈ వాక్యము సరైనదేనా ? ఎందుకు ? అయితే వాలు ఏ విధంగా ఉంటుంది? (పేజీ నెం. 188)
సాధన.
“ఇచ్చిన బిందువులతో ఏర్పడు \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖండము Y – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది” అనే ఈ వాక్యము సరైనదే. ఎందుకనగా ఇచ్చిన రెండు బిందువులలోని X నిరూపకాలు సమానంగా కలవు. అనగా ఇచ్చిన రెండు బిందువులు (x₁, y₁) మరియు (x₂, y₂) రూపంలో ఉన్నాయి. Y – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖల యొక్క వాలు నిర్వహించబడదు.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
y = x + 7 సమీకరణం ఒక సరళరేఖను సూచిస్తుందా? నిరూపకతలంలో గీసి చూడండి. ఈ సరళరేఖ X – అక్షాన్ని ఏ బిందువు వద్ద ఖండిస్తుంది? అదే విధంగా ఈ సరళరేఖ Y – అక్షంతో ఎంత కోణం చేస్తుంది ? మీ మిత్రులతో … చర్చించండి. : (పేజీ నెం. 185)
సాధన.
y = x + 7

y = x + 7 సూచించు సరళరేఖ X – అక్షాన్ని (0, – 7) బిందువు వద్ద ఖండిస్తుంది. మరియు ఈ సరళరేఖ 1 0 | y = 0 + 7 = 7 | (0, 7) .
Y- అక్షంతో ధనదిశలో 135° కోణాన్ని, రుణదిశలో 45° కోణాన్ని చేస్తుంది.
y= x + 7 గ్రాఫ్ :

ప్రశ్న 2.
బిందువులు A(3, 2), B (- 8, 2) లు \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖపై ఉన్నచో ఆ రేఖ వాలును కనుగొనండి. \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖ ఎప్పుడు X-అక్షమునకు సమాంతరంగా ఉంటుంది ? ఎందుకు ? మీ స్నేహితులతో గ్రూపులలో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 188)
సాధన.
బిందువులు = A (3, 2), B (- 8, 2) అయిన \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖవాలు (m) = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)
= \(\frac{2-2}{-8-3}=\frac{0}{-11}\) = 0
A, B బిందువులలో Y నిరూపకాలు సమానంగా ఉన్నప్పుడు \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖ X – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో \(\overline{\mathbf{A B}}\) రేఖ వాలు ‘0’, అనగా ఒక రేఖ వాలు ‘0’ (సున్న) అయితే ఆ రేఖ X – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
A (4, 0) మరియు B (8, 0) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత ? (పేజీ నెం. 162)
సాధన.
A, B లలో y – నిరూపకాలు సమానం.
A, B ల మధ్య దూరం = |x₂ – x₁|
= |8 – 4| = 4 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 2.
A మరియు B బిందువులు వరుసగా (8, 3), ( – 4, 3), అయిన వాటి మధ్యదూరాన్ని కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 162)
సాధన.
A (8, 3), B (- 4, 3), బిందువులలో y నిరూపకాలు సమానం.
A, B ల మధ్య దూరం = |x₂ – x₁|
. = |- 4 – 8|
= |- 12| = 12 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 3.
బిందువులు A(4, 3) మరియు B(8, 6)ల మధ్యదూరాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 164)
సాధన.
A (4, 3), B (8, 6) (x₁, y₁), (x₂, y₂) లతో పోల్చగా x₁ = 4, x₂ = 8, y₁ = 3, y₂ = 6
∴ AB ల మధ్య దూరం = d = \(\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(8-4)^{2}+(6-3)^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9}=\sqrt{25}\) = 5 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 4.
బిందువులు A (4, 2), B (7, 5) మరియు C(9, 7) లు ఒకే సరళరేఖపై ఉన్నాయని చూపండి. (పేజీ నెం. 164)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A (4, 2), B (7, 5), C (9, 7) AB, BC, AC లను కనుగొందాము.
బిందువుల మధ్య దూరం = \(\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2}}\)
AB = d = \(\sqrt{(7-4)^{2}+(5-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}\)
= \(\sqrt{9 \times 2}=3 \sqrt{2}\)

BC = \(\sqrt{(9-7)^{2}+(7-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{4 \times 2}=2 \sqrt{2}\)

AC = \(\sqrt{(9-4)^{2}+(7-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}\)
= \(\sqrt{25 \times 2}\) = 5√2
AB + BC = 3√2 + 2√2 = 5√2 = AC.
∴ AB + BC = AC.
కావున A(4, 2), B(7, 5) మరియు C(9, 7)లు ఒకే సరళరేఖపై ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 5.
బిందువులు (3, 2), (- 2, – 3) మరియు (2, 3)లు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయా ? (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A(3, 2), B(- 2, – 3), C(2, 3) AB, BC, AC లను కనుగొందాము.
AB = \(\sqrt{(-2-3)^{2}+(-3-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-5)^{2}+(-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+25}=\sqrt{50}\)
= 7.07 యూనిట్లు (సుమారుగా)

BC = \(\sqrt{[2-(-2)]^{2}+[3-(-3)]^{2}}\)
= \(\sqrt{4^{2}+6^{2}}=\sqrt{16+36}\)
= √52 = 7.21 యూనిట్లు (సుమారుగా)

AC = \(\sqrt{(2-3)^{2}+(3-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-1)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{2}\)` `
= 1.41 యూనిట్లు (సుమారుగా)
పై విలువలను బట్టి ఏ రెండు విలువల మొత్తమైనా మూడవ దాని కంటే ఎక్కువ. (త్రిభుజ అసమానత్వ నియమం ప్రకారం త్రిభుజంలో ఏవైనా రెండు భుజాల పొడవుల మొత్తం మూడవదాని కంటే ఎక్కువ) కావున బిందువులు A, B మరియు C లు ఒక విషమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.
`(లేదా)
AB, BC, ACలలో ఏ రెండు రేఖాఖండాల మొత్తమైనా మూడవ దానికి సమానం కాలేదు. అనగా A, B, C లు సరేఖీయాలు కావు. కావున A, B, Cలు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

ప్రశ్న 6.
బిందువులు (1, 7), (4, 2), (- 1, – 1) మరియు (- 4, 4) లు ఒక చతురస్రం యొక్క శీర్షాలు అవుతాయని చూపండి. (పేజీ నెం. 165)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A (1, 7), B (4, 2), C (-1, -1)
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)

AB = d = \(\sqrt{(4-1)^{2}+(2-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\) యూనిట్లు

BC = \(\sqrt{(-1-4)^{2}+(-1-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\) యూనిట్లు

CD = \(\sqrt{(-4-(-1))^{2}+(-4-(-1))^{2}}\)
= \(\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\) యూనిట్లు

DA = \(\sqrt{(-4-1)^{2}+(4-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\) యూనిట్లు
మరియు కర్ణాలు
AC = \(\sqrt{(-1-1)^{2}+(-1-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+64}=\sqrt{68}\) యూనిట్లు

BD = \(\sqrt{(-4-4)^{2}+(4-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{64+4}=\sqrt{68}\) యూనిట్లు
AB = BC = CD = DA మరియు AC = BD. నాలుగు భుజాలు సమానము మరియు కర్ణాలు సమానం.
∴ ABCD ఒక చతురస్రం అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
ప్రక్క పటం ఒక తరగతి గదిలోని డెస్క్ల యొక్క అమరికను చూపిస్తుంది. మాధురి, మీన, పల్లవిలు వరుసగా A (3, 1), B(6, 4) మరియు C(8, 6) స్థానాలలో కూర్చున్నారు. వారు ముగ్గురూ ఒకే సరళరేఖలో కూర్చున్నారని మీరు భావిస్తున్నారా ? మీ సమాధానానికి సరైన కారణం తెలపండి. (పేజీ నెం. 166)

సాధన.
A(3, 1), B(6, 4), C (8, 6)
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
AB = \(\sqrt{(6-3)^{2}+(4-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{9 \times 2}=3 \sqrt{2}\) యూనిట్లు

BC = \(\sqrt{(8-6)^{2}+(6-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+4}=\sqrt{4 \times 2}=2 \sqrt{2}\) యూనిట్లు

AC = \(\sqrt{(8-3)^{2}+(6-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+25}=\sqrt{25 \times 2}=\dot{5} \sqrt{2}\) యూనిట్లు

దీని నుండి ∴ AB + BC = 3√2 + 2√2 = 5√2 = AC
కాబట్టి A, B, C బిందువులు సరేఖీయాలు. కాబట్టి వారు ముగ్గురూ ఒకే సరళరేఖలో కూర్చున్నారు.

ప్రశ్న 8.
బిందువు (x, y) అనునది బిందువులు (7, 1) మరియు (3, 5) లకు – సమాన దూరంలో ఉన్నది. అయిన X మరియు y ల మధ్య సంబంధమును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 166).
సాధన.
P(x, y) బిందువు, A (7, 1) మరియు B (3, 5) లకు సమానదూరంలో ఉన్నది.
∴ AP = BP
⇒ AP² = BP²
AP = \(\sqrt{(7-x)^{2}+(1-y)^{2}}\)
⇒ AP² = (7 – x)² + (1 – y)²

BP = \(\sqrt{(3-x)^{2}+(5-y)^{2}}\)
⇒ BP² = (3 – x)² + (5 – y)²

(7 – x)² + (1 – y)² = (3 – x)² + (5 –²y)²
= 49 – 14x + x² + 1 – 2y + y²
= 9 – 6x + x² + 25 – 10y + y²
x² + y² – 14x – 2y + 50 – x² – y² + 6x + 10y – 34 = 0
– 8x + 8y + 16 = 0
– 8 [x – y – 2] = 0
∴ x – y – 2 = 0
కావలసిన సంబంధము x – y = 2.

ప్రశ్న 9.
A(6, 5) మరియు B(- 4, 3) లకు సమానదూరంలో Y-అక్షంపై ఉన్న బిందువు నిరూపకాలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 167)
సాధన.
Y-అక్షంపై గల బిందువు (0, y) రూపంలో ఉంటుంది.
∴ A (6, 5) మరియు B (- 4, 3) బిందువులకు సమాన దూరంలో Y-అక్షంపై నున్న బిందువు P(0, y) అనుకొందాము.
PA = \(\sqrt{(6-0)^{2}+(5-y)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+25-10 y+y^{2}}\)
= \(\sqrt{y^{2}-10 y+61}\)

PA² = y² – 10y + 61

PB = \(\sqrt{(-4-0)^{2}+(3-y)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9-6 y+y^{2}}\)
= \(\sqrt{y^{2}-6 y+25}\)

PB² = y² – 6y + 25
PA = PB
⇒ PA² = PB²
y² – 10y + 61 = y² – 6y + 25
y² – 10y + 61 – y² + 6y – 25 = 0
– 4y + 36 = 0
4y = 36
∴ y = \(\frac{36}{4}\) = 9
∴ కావలసిన బిందువు P (0, y) = (0, 9).

సరిచూచుట :
AP = \(\sqrt{(6-0)^{2}+.(5-9)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\)

BP = \(\sqrt{(-4-0)^{2}+(3-9)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+36}=\sqrt{52}\)

ప్రశ్న 10.
బిందువులు (4, – 3) మరియు (8, 5) లచే ఏర్పడు. రేఖాఖండమును 3 : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించు బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 171)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు (4, -3) మరియు (8, 5) లను P (x, y) 3 : 1 నిష్పత్తిలో విభిజిస్తుంది అనుకొనుము.
విభజన సూత్రం P(x, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{3(8)+1(4)}{3+1}, \frac{3(5)+1(-3)}{3+1}\right)\)

= \(\left(\frac{24+4}{4}, \frac{15-3}{4}\right)=\left(\frac{28}{4}, \frac{12}{4}\right)\)

∴ కావలసిన బిందువు P(x, y) = (7, 3).

ప్రశ్న 11.
బిందువులు (3, 0) మరియు (-1, 4) లచే ఏర్పడు – రేఖాఖండం యొక్క మధ్యబిందువును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 171)
సాధన.
బిందువులు (3, 0) మరియు (- 1, 4) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండం యొక్క మధ్యబిందువు M(x, y) అనుకొనిన,
మధ్యబిందువు M(x, y) = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
M(x, y) = \(\left(\frac{3+(-1)}{2}, \frac{0+4}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{2}{2}, \frac{4}{2}\right)\) = (1, 2).

ప్రశ్న 12.
బిందువులు (3, – 5), (- 7, 4), (10, – 2) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రంను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 173) .
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు (3, – 5), (- 7, 4), (10, – 2).
గురుత్వ కేంద్రం నిరూపకాలు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{3+(-7)+10}{3}, \frac{(-5)+4+(-2)}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{6}{3}, \frac{-3}{3}\right)\) = (2, – 1)
∴ గురుత్వ కేంద్రం = (2, – 1).

ప్రశ్న 13.
బిందువులు AC- 6, 10) మరియు B (3, – 8) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును బిందువు (-4, 6) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది ? (పేజీ నెం. 173)
సాధన.
A(- 6, 10), B(3, – 8) రేఖాఖండాన్ని (- 4, 6) అంతరంగా m₁ : m₂ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందనుకొనిన
(- 4, 6) = \(\left(\frac{3 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)
(x, y) = (a, b) ⇒ x = a మరియు y = b అని మనకు తెలుసు.
∴ – 4 = \(\frac{3 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\) ………. (1) మరియు

6 = \(\frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\) ……….. (2)

(1) ⇒ – 4m₁ – 4m₂ = 3m₁ – 6m₂
– 4m₁ – 3m₁ = – m₂ + 4m₂
– 7m₁ = – 2m₂
7m₁ = 2m₂
∴ \(\frac{\mathrm{m}_{1}}{\mathrm{~m}_{2}}=\frac{2}{7}\)
అనగా m₁ : m₂ = 2 : 7
ఈ నిష్పత్తి (2) సమీకరణాన్ని కూడా సంతృప్తిపరుస్తుందని చూపవచ్చును.
(2) ⇒ 6 =
∴ 6 = 6 కావున బిందువులు A (-6, 10) మరియు B (3, – 8) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును (- 4, 6) బిందువు 2 : 7 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

ప్రశ్న 14.
బిందువులు A(2, – 2) మరియు B(- 7, 4) లచే, ఏర్పడు రేఖాఖండము యొక్క ప్రాథాకరణ బిందువులు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 175)
సాధన.
AB రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు P మరియు Q లు అనుకొనిన AP = PQ = QB (పటంలో చూపినట్లు).

అందువల్ల AB రేఖాఖండాన్ని బిందువు P అంతరంగా 1 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. కావున విభజన సూత్రం నుండి.
P (x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{1(-7)+2(2)}{1+2}, \frac{1(4)+2(-2)}{1+2}\right)\)

= \(\left(\frac{-7+4}{3}, \frac{4-4}{3}\right)=\left(\frac{-3}{3}, \frac{0}{3}\right)\) = (- 1, 0)
ఇపుడు బిందువు Q కూడా AB రేఖాఖండాన్ని అంతరంగా 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
అందువల్ల బిందువు Q యొక్క నిరూపకాలు = \(\left(\frac{2(-7)+1(2)}{2+1}, \frac{2(4)+1(-2)}{2+1}\right)\)
అనగా \(\left(\frac{-14+2}{3}, \frac{8-2}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{-12}{3}, \frac{6}{3}\right)\) = (- 4, 2)
కాబట్టి, AB రేఖాఖండము యొక్క ప్రాథాకరణ బిందువులు P(- 1, 0) మరియు Q(- 4, 2).

ప్రశ్న 15.
బిందువులు (5, – 6) మరియు (- 1, – 4) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును Y- అక్షము ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది? ఆ ఖండన బిందువును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 176)
సాధన.
బిందువులు A(5, – 6) మరియు B(- 1, – 4) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండము AB ని Y – అక్షంపైనున్న బిందువు
P(0, y), m₁ : m₂ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందనుకొంటే
P(o, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1}(-1)+\mathrm{m}_{2}(5)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1}(-4)+\mathrm{m}_{2}(-6)}{\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

(0, y) = \(\left(\frac{-m_{1}+5 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-4 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

⇒ \(\frac{-\mathrm{m}_{1}+5 \mathrm{~m}_{2}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\) = 0
⇒ – m₁ + 5m₂ = 0
⇒ – m₁ = – 5m₂
⇒ m₁ = 5m₂
\(\frac{\mathrm{m}_{1}}{\mathrm{~m}_{2}}=\frac{5}{1}\)
Y- అక్షం విభజించే నిష్పత్తి = m₁ : m₂ = 5 : 1
ఇప్పుడు y = \(\frac{-4 m_{1}-6 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\)

⇒ \(\frac{-4 \frac{m_{1}}{m_{2}}-6}{\frac{m_{1}}{m_{2}}+1}=\frac{-4\left(\frac{5}{1}\right)-6}{\frac{5}{1}+1}=\frac{-20-6}{6}\)

⇒ y = \(\frac{-26}{6}\) = \(\frac{-13}{3}\)
∴ ఖండన బిందువు P = ( 0, \(\frac{-13}{3}\))

2వ పద్ధతి :
A(x₁, y₁), B (x₂, y₂) బిందువులను Y- అక్షం విభజించే నిష్పత్తి m₁ : m₂ = – x₁ : x₂
∴ (5, – 6) మరియు (-1, – 4) లను Y – అక్షం విభజించే నిష్పత్తి = – x₁ : x₂ = – 5 : – 1
= 5 : 1
(5, – 6) మరియు (- 1, – 4) లను 5 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువే ఖండన బిందువు అవుతుంది.
∴ ఖండన బిందువు =
∴ ఖండన బిందువు P = (0, \(\frac{-13}{3}\))
3వ పద్ధతి :
పాఠ్యపుస్తకంలో కలదు చూడగలరు.

ప్రశ్న 16.
బిందువులు A(7, 3), B(6, 1), C(8, 2) మరియు D(9, 4)లు వరుసగా సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలని చూపండి. (పేజీ నెం. 176)
సాధన.
బిందువులు A(7, 3), B(6, 1), C(8, 2) మరియు D(9, 4) లు వరుసగా ఒక సమాంతర చతుర్భుజం శీర్షాలు అనుకొనిన, సమాంతర చతుర్భుజంలో కర్ణాలు పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకుంటాయని తెలుసు.
∴ అందువల్ల కర్ణాలు AC మరియు BD ల మధ్య బిందువులు సమానం కావాలి.
A (7, 3), C (8, 2) ల మధ్యబిందువు = \(\left(\frac{7+8}{2}, \frac{3+2}{2}\right)=\left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)\)
B(6, 1), D(9, 4) ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right)=\left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)\)
∴ AC మధ్య బిందువు = DB మధ్య బిందువు.
కాబట్టి బిందువులు A, B, C, D లు సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 17.
బిందువులు A(6, 1), B (8, 2), C(9, 4) మరియు D(p, 3) లు వరుసగా సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలయిన p యొక్క విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 177)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) D(p, 3) సమాంతర చతుర్భుజంలో కర్ణాలు పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకుంటాయని మనకు తెలుసు.
కాబట్టి AC మధ్య బిందువు = BD మధ్య బిందువు
\(\left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right)=\left(\frac{8+\mathrm{p}}{2}, \frac{5}{2}\right)\)

⇒ \(\left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)=\left(\frac{8+\mathrm{p}}{2}, \frac{5}{2}\right)\)

⇒ \(\frac{15}{2}=\frac{8+p}{2}\)
⇒ 15 = 8 + p
⇒ P = 15 – 8 =7
∴ p = 7.

ప్రశ్న 18.
బిందువులు A(1, – 1), B (- 4, 6), C(- 3, – 5)లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి..
సాధన.
A(1, – 1), B (- 4, 6), C(- 3, – 5) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |1(16 – (- 5) )+ (- 4) (- 5 _ (- 1)) + (- 3) (- 1 – 6)|
= \(\frac{1}{2}\) |11 + 16 + 21|
= \(\frac{1}{2}\) |48| = 24
∴ ∆ ABC వైశాల్యం = 24 చదరపు యూనిట్లు.

ప్రశ్న 19.
బిందువులు A(5, 2), B(4, 7) C(7, – 4)లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.
A(1, – 1), B (- 4, 6), C(- 3, – 5) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |5(7 – (- 4)) + 4(- 4 – 2) + 7(2 – 7)|
= \(\frac{1}{2}\) |5(11) + 4(- 6) + 7(- 5)|
= \(\frac{1}{2}\)|55 – 24 – 35|
= \(\frac{1}{2}\) |- 4|
= \(\frac{1}{2}\) × 4 = 2
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం = 24 చదరపు యూనిట్లు.

ప్రశ్న 20.
బిందువులు A(- 5, 7), B (- 4, – 5), C(- 1, – 6) మరియు D(4, 5) లు ఒక చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు అయిన , ABCD చతుర్భుజ. వైశాల్యం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 181)
సాధన.

A, B, C, D లు చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు.
కర్ణము BD, □ABCDA, ∆ABD మరియు ABCD అనే రెండు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది.
∆ABD వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |- 5 (- 5 – 5) + (- 4) (5 – 7) + 4 (7 – (-5))|
= \(\frac{1}{2}\) |50 + 8 + 48|
= \(\frac{1}{2}\) |106| = 53
చదరపు యూనిట్లు ∆BCD వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\)|- 4(- 6 – 5) + (- 1)(5 + 5) +4(- 5 – (- 6))|
= \(\frac{1}{2}\) |44 – 10 + 4|
= \(\frac{1}{2}\) |38| = 19 చ.యూ.
□ ABCD చతుర్భుజ వైశాల్యం = ∆ABD వైశాల్యం + ∆BCD వైశాల్యం
= 53 + 19 = 72 చదరపు యూనిట్లు

ప్రశ్న 21.
ఒక తలంలో ఉన్న బిందువులు (3, – 2), (- 2, 8) మరియు (0, 4)లు సరేఖీయ బిందువులు అని చూపండి. (పేజీ నెం. 182)
సాధన.
(3, – 2), (- 2, 8) మరియు (0, 4) లతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₂ – y₁)|
= \(\frac{1}{2}\) |3(8 – 4) + (- 2) (4 – (- 2)) + 0 ((- 2) – 8)|
= \(\frac{1}{2}\) |12 – 12| = 0
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం సున్నా ‘0’. కావున పై ఇచ్చిన మూడు బిందువులు సరేఖీయ బిందువులు.

ప్రశ్న 22.
బిందువులు (1, 2), (- 1, b), (- 3, – 4) సరేఖీయాలైతే ‘b’ విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 183)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
A(1, 2), B(- 1, b), C(- 3, – 4) అనుకొనుము.
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₂ – y₁)|
= \(\frac{1}{2}\) |1(b – (- 4)) + (- 1) (- 4 – 2) + (- 3)(2 – b)|
= \(\frac{1}{2}\) |(b + 4) – 1(- 6) – 3(2 – b)|
= \(\frac{1}{2}\) |1(b + 4) + 6 – 6 + 3b|
= \(\frac{1}{2}\) |b + 4 + 6 – 6 + 36|
= \(\frac{1}{2}\) |4b + 4|
= \(\frac{1}{2}\) × 2| 2b + 2 | = |2b + 2| = 0 (∵ ఇచ్చిన బిందువులు సరేఖీయాలు త్రిభుజ వైశాల్యం సున్న)
⇒ 2b + 2 = 0 ⇒ 2b = – 2
∴ b = \(\frac{-2}{2}\) = -1.

ప్రశ్న 23.
12మీ, 9మీ, 15మీ పొడవులు గల భుజాలతో ఏర్పడిన త్రిభుజ వైశాల్యంను “హెరాన్ సూత్రం”ను ఉపయోగించి కనుక్కొందాం. (పేజీ నెం. 183)
సాధన.
A = \(\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}\) (∵ S = \(\frac{a+b+c}{2}\))
S = \(\frac{12+9+15}{2}=\frac{36}{2}\) = 18 మీ.

అపుడు
S – a = 18 – 12 = 6 మీ.
S – b = 18 – 9 = 9 మీ.
S – C = 18 – 15 = 3 మీ.
A = \(\sqrt{18(6)(9)(3)}=\sqrt{2916}\) = 54 చదరపు మీటర్లు.

ప్రశ్న 24.
ఒక రేఖాఖండం యొక్క తొలి, చినరి బిందువుల వరుసగా (2, 3), (4, 5). ఆ రేఖాఖండం యొక్క వాలును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 188)
సాధన.
రేఖాఖండం యొక్క తొలి, చివరి బిందువులు (2, 3), (4, 5) అయిన ఆ రేఖాఖండం వాలు,
m = \(\frac{\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}}{\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}}=\frac{5-3}{4-2}=\frac{2}{2}\) = 1
∴ ఇచ్చిన రేఖాఖండం యొక్క వాలు = 1

ప్రశ్న 25.
బిందువులు P(2, 5) మరియు Q(x, 3) ల గుండా పోయే రేఖవాలు 2 అయిన x విలువను కనుగొనుము (పేజీ నెం. 186).
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు P(2, 5) మరియు Q(x, 3) గుండా పోయే రేఖవాలు 2.
pQ రేఖాఖండం వాలు m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\) = 2
⇒ \(\frac{3-5}{x-2}\) = 2
⇒ \(\frac{-2}{x-2}\) = – 2
⇒2x – 4 = 2
⇒ x = \(\frac{2}{2}\) = 1
∴ x =1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
వృత్తం ‘Q’ యొక్క కేంద్రం -అక్షంపై ఉన్నది. మరియు 2. (0, 7) మరియు (0, -1) లు ఆ వృత్తం పై బిందువులు. వృత్తం ‘Q’ ధన X-అక్షాన్ని బిందువు (P, 0) వద్ద ఖండించిన ‘P’ విలువ ఎంత ?
సాధన.

పై పటం నుండి వృత్తంపై బిందువులు A (0, 7), B (0, – 1) అనుకుంటే A, B లు వ్యాసాగ్రాలు.
వృత్తకేంద్రం ‘O’ = A, B ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{7-1}{2}\right)\) = (0, 3)
∴ వృత్తకేంద్రం = (0, 3)
వృత్త వ్యాసార్ధం r = OA = |7 – 3| = 4 యూనిట్లు
వృత్తం Q ధన X – అక్షాన్ని (P, 0) వద్ద ఖండించును.
O(0, 3), P(P, 0)
∴ OP = r = 4
\(\sqrt{\mathrm{P}^{2}+3^{2}}\) = 4
\(\sqrt{\mathrm{P}^{2}+9}\) = 4
⇒ P² + 9 = 16
⇒ P² = 16 – 9 = 7
⇒ P = √7,

2వ పద్ధతి :
పై పటం నుండి వృత్త కేంద్రం O = A, B ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{7-1}{2}\right)\) = (0, 3)
A (0, 7), (P, 0) బిందువులు వృత్తం పై కలవు.
∴ OA = OP
\(\sqrt{(0-0)^{2}+(7-3)^{2}}=\sqrt{(P-0)^{2}+(0-3)^{2}}\)
\(\sqrt{4^{2}}=\sqrt{\mathrm{P}^{2}+9}\)
⇒ 4² = P² + 9
16 – 9 = P²
7 = P²
√7 = P.

ప్రశ్న 2.
బిందువులు A(2, 3), B(- 2, – 3) మరియు C(4, 3) శీర్చాలతో త్రిభుజం ∆ABC ఏర్పడినది. భుజం BC మరియు. శీర్షం A యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖల ఖండన బిందువును కనుగొనండి.
సాధన.

A (2, 3), B (- 2, – 3), C (4, 3) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం ∆ ABC
BC ని A యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ D వద్ద ఖండిస్తున్నది అనుకొనుము.
అప్పుడు \(\) ……….. (1) (∵ కోణ సమద్విఖండన సిద్ధాంతము)
AB = \(\sqrt{(-2-2)^{2}+(-3-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+36}=\sqrt{52}\)
= 2√13

AC = \(\sqrt{(4-2)^{2}+(3-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+0^{2}}\) = 2

∴ \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{2 \sqrt{13}}{2}\) = √13 : 1
(∵ AB, AC లను (1) లో రాయగా)
అనగా BCని D అంతరంగా√13 : 1 నిష్పత్తిలో ఖండిస్తుంది.
∴ D = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

D = \(\left(\frac{\sqrt{13} \times 4+1(-2)}{\sqrt{13}+1}, \frac{\sqrt{13} \times 3+1(-3)}{\sqrt{13}+1}\right)\)

D = \(\left[\frac{4 \sqrt{13}-2}{\sqrt{13}+1}, \frac{3 \sqrt{13}-3}{\sqrt{13}+1}\right]\)
BC ని A యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ ఖండించే బిందువు D = \(\left[\frac{4 \sqrt{13}-2}{\sqrt{13}+1}, \frac{3 \sqrt{13}-3}{\sqrt{13}+1}\right]\).

సరిచూచుట :
B, D, C లు సరేఖీయాలు అవుతాయని చూపి సరిచూసుకోవచ్చును.

ప్రశ్న 3.
సమబాహు త్రిభుజం ∆ABC యొక్క భుజం BC X – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంది. దాని భుజాలు BC, CA, AB ల గుండా పోయే సరళరేఖల వాలులు కనుగొనుము.
సాధన.

∆ABC సమబాహు త్రిభుజం AB = BC = AC = a యూనిట్లు మరియు B(x₁, y₁) అనుకొందాం.
BC మధ్య బిందువు D మరియు AD; ∆ABC యొక్క ఎత్తు = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)a యూనిట్లు అవుతుంది.
D = AC ల మధ్యబిందువు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{1}+a}{2}, \frac{y_{1}+y_{1}}{2}\right)=\left(\frac{2 x_{1}+a}{2}, y_{1}\right)\) మరియు C = (x₁ + a,y₁),
A \(\left(\frac{2 x_{1}+a}{2}, y_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)\)
ఇప్పుడు, AB పాలు = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

∴ AB వాలు = √3
BC వాలు = \(\frac{y_{1}-y_{1}}{x_{1}+a-x_{1}}=\frac{0}{a}\) = 0
లేదా BC, X – అక్షానికి సమాంతరం. కావున BC వాలు = 0
AC వాలు = \(\frac{y_{1}-\left(y_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)}{x_{1}+a-\left(\frac{2 x_{1}+a}{2}\right)}\)

= \(\frac{y_{1}-y_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2} a}{x_{1}+a-x_{1}-\frac{a}{2}}\)

= \(\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} a}{\frac{a}{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{2} a \times \frac{2}{a}\) = – √3

AC వాలు = – √3.

2వ పద్ధతి :

∆ABC సమబాహు త్రిభుజం AB = BC = AC = a యూనిట్లు
X – అక్షంపై BC భుజం కలదు అనుకుందాం. (ప్రతిరేఖ దానికదే సమాంతరము కాబట్టి BC X – అక్షం)
B (0, 0) అయిన C(a, 0) అవుతుంది. BC ల మధ్యబిందువు
D = \(\left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right)\) = (\(\frac{a}{2}\), 0)
AD = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a
[సమబాహు త్రిభుజ ఉన్నతి = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × భుజం]
∴ A = (\(\frac{a}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a)
∴ త్రిభుజ శీర్షాలు A(\(\frac{a}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a), B(0, 0), C(a, 0)

∴ AB రేఖ వాలు = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{0-\frac{\sqrt{3}}{2} a}{0-\frac{a}{2}}\)
= \(-\frac{\sqrt{3}}{2} a \times-\frac{2}{a}=\sqrt{3}\)

BC-రేఖ వాలు = \(\frac{0-0}{a-0}=\frac{0}{a}=0\)

AC రేఖ వాలు = \(\frac{0-\frac{\sqrt{3}}{2} a}{0-\frac{a}{2}}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} a}{\frac{a}{2}}\)
= \(\frac{-\sqrt{3}}{2} a \times \frac{2}{a}=-\sqrt{3}\).

3వ పద్ధతి :

∆ABC సమబాహు త్రిభుజము మరియు BC, X – అక్షానికి సమాంతరము. \(\overleftrightarrow{A B}\) రేఖ X – అక్షం ధనదిశలో చేసే కోణము θ₁, అనుకొనుము.
θ₁, = ∠ABC = 60° (∵ BC // X – అక్షం, θ₁, మరియు ∠ABC లు సదృశ్యకోణాలు)
\(\overleftrightarrow{A C}\) X – అక్షం ధనదిశలో చేసే కోణం θ₂, అనుకొనుము. ర
θ₂ = ∠ACD = 120° [∵ BC // X – అక్షం, మరియు θ₂, ∠ACD లు సదృశ్యకోణాలు] కాని వాలు నిర్వచనం ఒక రేఖ X – అక్షం యొక్క ధనదిశలో చేసే కోణం θ అయితే ఆ రేఖవాలు ,
m = tan θ.
∴ A, B రేఖవాలు = tan θ₁ = tan 60° = √3
A, C రేఖవాలు = tan θ₂ = tan 120° .
= tan (90 + 30)
= – cot 30° = – √3 B
BC రేఖవాలు = tan 0° = 0 [∵ BC // X -అక్షం కాబట్టి X -అక్షంతో BC చేసే కోణం 0°].

ప్రశ్న 4.
a > b అయ్యేటట్లు భుజాలు ‘a’, ‘b’లు కలిగిన ఒక లంబకోణ త్రిభుజం ∆ABC ఉంది. దానిలో లంబకోణం యొక్క సమద్విఖండన రేఖ ద్వారా ఏర్పడిన రెండు చిన్న త్రిభుజాల లంబకేంద్రాల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనుము.
సాధన.
పటంలో చూపినట్లు ∆ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజం
AC – కర్ణం ; ∠B = 90° అనుకుందాం
\(\overline{\mathrm{BG}}\) కోణ సమద్విఖండన రేఖ వలన ఏర్పడే చిన్న త్రిభుజాలు వరుసగా ∆ABG, ∆BCG అనుకుందాం.
A, B, C శీర్షాల నిరూపకాలు వరుసగా A(0, a), B(0,0), C(b, 0) అనుకుందాం .

∴ \(\overline{\mathrm{BG}}\) వాలు = m = tan 45° = 1 (∵ BG, ∠B యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ)
మరియు \(\overline{\mathrm{AC}}\) వాలు = 0 = \(\frac{0-a}{b-0}=\frac{-a}{b}\),
అదే విధంగా \(\overline{\mathrm{BC}}\) అనునది X – అక్షంపై గలదు కావున \(\overline{\mathrm{BC}}\) వాలు = 0

(I) \(\overline{\mathrm{BD}}\) అనునది \(\overline{\mathrm{AC}}\) పైకి గీయబడిన ‘ఉన్నతి’ అనుకుందాం.
∴ \(\overline{\mathrm{BD}}\) వాలు = \(\frac{b}{a}\)
(∵ m₁, m₂ = – 1, m, = 6)
∴ \(\overline{\mathrm{BD}}\) సమీకరణం = (y – 0) = \(\frac{b}{a}\) (x – 0)
⇒ bx = ay లేదా bx – ay = 0 – (1) అదే విధంగా.

(II) \(\overline{\mathrm{AE}}\) అనునది ∆ABG నందలి. \(\overline{\mathrm{BD}}\) పైకి గీయబడిన ‘ఉన్నతి’ అనుకుందాం = \(\overline{\mathrm{AE}}\) వాలు = – 1
(∵ m₁, m₂ = – 1) అయిన
ఉన్నతి \(\overline{\mathrm{AE}}\) సమీకరణం = (y – a) = 1(x – 0)
⇒ x – y = – a లేదా x – y + a = 0 – (2)
ఇపుడు (1), (2) సమీకరణాల ఖండన బిందువు అనునది రెండు ఉన్నతుల (\(\overline{\mathrm{AE}}\), \(\overline{\mathrm{BD}}\)) ఖండన బిందువు అనగా AABG యొక్క లంబకేంద్రం అగును.
∴ by – ay = 0 ______ (1) ⇒ bx – ay = 0
x – y = – a _________ (2) ⇒ ax – dy = – a²

x = \(\frac{a^{2}}{b-a}\) మరియు y = x + a .
⇒ y = \(\frac{a^{2}}{b-a}\) + a
= \(\frac{a^{2}+a b-a^{2}}{b-a}=\frac{a b}{b-a}\)
∴ ∆ABG యొక్క లంబ కేంద్రం ‘F’ యొక్క నిరూపకాలు = F|\(\left(\frac{a^{2}}{b-a}, \frac{a b}{b-a}\right)\)
అదే విధంగా ∆BCG నందు,
\(\overline{\mathrm{GC}}\) వాలు = \(\overline{\mathrm{AC}}\) వాలు = – \(\frac{a}{b}\)

‘B’ నుండి \(\overline{\mathrm{GC}}\) మీదకు గీయబడు లంబం \(\overline{\mathrm{BD}}\) గుండా పోవును.
(∵ ఒక రేఖకు ఒక బిందువు గుండా ఒకే ఒక లంబం గీయగలం)
∴ \(\overline{\mathrm{BH}}\) అనునది \(\overline{\mathrm{CG}}\) పైకి గల ఉన్నతి అనుకుందాం
[Note : a > b కావున ∆ABC నందు. ∠A ≠ ∠C ≠ 45 కావున ∆ABG, ∆BGC లలో ఒకటి తప్పనిసరిగా అధిక కోణ త్రిభుజం అగును)
\(\overline{\mathrm{BH}}\) వాలు = \(\overline{\mathrm{BD}}\) వాలు = \(\frac{b}{a}\)

∴ \(\overline{\mathrm{BH}}\) సమీకరణం = \(\overline{\mathrm{BH}}\) సమీకరణం = bx – ay = 0 ((1) నుండి)
మరియు \(\overline{\mathrm{CJ}}\) అనునది \(\overline{\mathrm{BG}}\) పైకి లంబం
∴ \(\overline{\mathrm{CJ}}\) వాలు = – 1 (∵ \(\overline{\mathrm{BG}}\) వాలు = 1)
∴ \(\overline{\mathrm{CJ}}\) సమీకరణం = (y – 0) = – 1(x – b)
⇒ x + y = b – (3)
∴ ABCG యొక్క ఉన్నతులు (\(\overline{\mathrm{CJ}}\), \(\overline{\mathrm{BH}}\)) ఖండన బిందువు,
దాని యొక్క లంబ కేంద్రం అగును.

⇒ x = \(\frac{a b}{b+a}\) అయిన y = – x + b = – \(\frac{a b}{b+a}\) + b
= \(\frac{-\not ab+\not ab+b^{2}}{b+a}=\frac{b^{2}}{b+a}\)
∴ K (\(\frac{a b}{b+a}\), \(\frac{b^{2}}{b+a}\) అనునది ∆BGC యొక్క లంబకేంద్రం నిరూపకాలు.
∴ రెండు లంబకేంద్రాల మధ్య దూరం \(\overline{\mathrm{KF}}\) =

ప్రశ్న 5.
2x + 3y – 6 = 0 అను సరళరేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రంను కనుగొనుము.
సాధన.

ఇచ్చిన సరళరేఖ 2x + 3y – 6 = 0
X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు B వద్ద y నిరూపకం సున్న అనగా y = 0
y = 0 ⇒ 2x + 3(0) – 6 =.0
⇒ 2x – 6 = 0 ⇒ 2x = 6,
x = \(\frac{6}{2}\) = 3
∴ B(3, 0) ఇదే విధంగా
x = 0 ⇒ 2(0) + 3y – 6 = 0
⇒ y = 2
∴ A(0, 2)
∴ 2x + 3y – 6 = 0 మరియు నిరూపకాక్షాలతో ఏర్పరిచే త్రిభుజ శీర్షాలు A(0, 2), 000, 0), B(3, 0)
∆ABC గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{0+0+3}{3}, \frac{2+0+0}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{3}{3}, \frac{2}{3}\right)\)
∆ABC గురుత్వకేంద్రం = (1, \(\frac{2}{3}\))

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.4

ప్రశ్న 1.
రెండు బిందువులను కలుపుచూ గీయబడిన రేఖవాలు కనుగొనండి.
(i) (4, – 8) మరియు (5, – 2)
సాధన.
(4, – 8) మరియు (5, – 2) కలుపు రేఖావాలు
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-2-(-8)}{5-4}\)
m = \(\frac{-2+8}{1}\) = 6

(ii) (0, 0) మరియు (13,3)
సాధన.
(0, 0) మరియు (√3, 3) కలుపు రేఖావాలు
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{3-0}{\sqrt{3}-0}=\frac{3}{\sqrt{3}}\) = √3.

(iii) (2a, 3b) మరియు (a, – b)
సాధన.
(2a, 3b) మరియు (a, – b) కలుపు రేఖావాలు
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-b-3 b}{a-2 a}\)
= \(\frac{-4b}{-a}\)
= \(\frac{4b}{a}\)

(iv) (a, 0) మరియు (0, b)
సాధన.
(a, 0) మరియు (0, b) కలుపు రేఖావాలు
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{b-0}{0-a}=\frac{-b}{a}\).

(v) A(- 1.4, -3.7), B(- 2.4, 1.3)
సాధన.
A(- 1.4, – 3.7) మరియు B(- 2.4, 1.3) అయిన
\(\overleftrightarrow{A B}\) రేఖావాలు,
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{1.3-(-3.7)}{-2.4-(-1.4)}\)

= \(\frac{1.3+3.7}{-2.4+1.4}=\frac{5}{-1}\) = – 5

(vi) A(3, – 2), B(- 6, – 2)
సాధన.
A(3, – 2) మరియు B(- 6, – 2) అయిన \(\overleftrightarrow{A B}\) రేఖావాలు,
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{\Gamma}}=\frac{-2-(-2)}{-6-3}\)
= \(\frac{-2+2}{-9}=\frac{0}{-9}\)
వాలు m = 0 కావున \(\overleftrightarrow{A B}\) X-అక్షానికి సమాంతరము.

(vii) A(- 3\(\frac{1}{2}\), 3), B(- 7, 2\(\frac{1}{2}\))
సాధన.
A (- 3\(\frac{1}{2}\) – 3) మరియు B (- 7, 2\(\frac{1}{2}\)) అయిన \(\overleftrightarrow{A B}\)
రేఖావాలు; m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

∴ AB రేఖావాలు, m = \(\frac{1}{7}\).

(viii) A(0, 4), B(4, 0)
సాధన.
A(0, 4) మరియు B(4, 0) అయిన \(\overleftrightarrow{A B}\) రేఖావాలు,
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{0-4}{4-0}=\frac{-4}{4}\) = – 1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3

ప్రశ్న 1.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువులు శీర్షాలుగా కలిగిన త్రిభుజ – వైశాల్యం కనుక్కోండి. .
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, – 4)
సాధన.
A (2, 3), B (- 1, 0),C (2, – 4) ,
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁(y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)|

= \(\frac{1}{2}\) |2[0 – (- 4)] + (- 1)(- 4 – 3) + 2 (3 – 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |2 (4) – 1 (- 7) + 2 (3)|
= \(\frac{1}{2}\) |8 + 7 + 6|
= \(\frac{1}{2}\) × 21
= \(\frac{21}{2}\)
∴ ∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{21}{2}\) చ.యూ.

మరొక పద్ధతి :

= \(\frac{1}{2}\)

త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) – (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁)|

=

త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(2 × 0 + (- 1) × (- 4) + 2 × 3) – (3 × (- 1) + 0 × 2 + (- 4) ×2) |
= \(\frac{1}{2}\) (0 + 4 + 6) – (- 3 + 0 – 8)|
= \(\frac{1}{2}\) |10 – (- 11)|
= \(\frac{1}{2}\) |21|
= \(\frac{1}{2}\) × 21 = \(\frac{21}{2}\)
త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{21}{2}\) చయూ.

(ii) (- 5, – 1), (3, – 5) మరియు (5, 2)
సాధన.
A (- 5, – 1), B (3, – 5), C (5, 2) అనుకొనుము.
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 5) (- 5 – 2) + 3[2 – (- 1)] + 5[- 1 – (- 5)]|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 5) (- 7) + 3 (3) + 5 (4)|
= \(\frac{1}{2}\) |35 + 9 + 20|
= \(\frac{1}{2}\) |64|
= \(\frac{1}{2}\) × 64 = 32 చ.యూ.
∆ABC వైశాల్యం = 32 చ.యూ.

మరొక పద్ధతి :

=

∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(- 5) × (- 5) + 3 × 2 + 5 × (- 1)| – [(- 1) (3) + (- 5) × (5) + 2 × (- 5)]
= \(\frac{1}{2}\) |(25 + 6 – 5) – (- 3 – 25 – 10)|
= \(\frac{1}{2}\) |26 – (- 38)|
= \(\frac{1}{2}\) |26 + 38|
= \(\frac{1}{2}\) |64| = \(\frac{1}{2}\) × 64 = 32 చ.యూ.
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం = 32 చ.యూ.

(iii) (0,0), (3, 0) మరియు (0, 2)
సాధన.
A (0, 0), B (3, 0), C (0, 2) అనుకుందాం.
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |0(0 – 2) + 3(2 +0) + 0(0 – 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |6|
= \(\frac{1}{2}\) × 6 = 3 చ.యూ.

మరొక పద్ధతి :

=

త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(0 × 0 + 3 × 2 + 0 × 0) – (0 × 3 + 0 × 0 + 2 × 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |6 – 0|
= \(\frac{1}{2}\) |6|
= \(\frac{1}{2}\) × 6 = 3 చ.యూ.

ప్రశ్న 2.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువులు సరేఖీయాలైతే ‘k’ విలువను కనుగొనండి.
(i) (7, – 2), (5, 1) మరియు (3, k)
సాధన.
A (7, – 2), B (5, 1),C (3, k) అనుకొనుము.
∆ABC వైశాల్యం : = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |7(1 – k) + 5[k – (- 2)] + 3(- 2 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) |7 – 7k + 5k + 10 – 9|
= |8 – 2k|
సరేఖీయాలు కావున ∆ABC వైశాల్యం సున్న
∴ |8 – 2k| = 0
8 – 2k = 0
8 = 2k
⇒ \(\frac{8}{2}\) = k
∴ k = 4.

(ii) (8, 1), (k, – 4) మరియు (2, – 5)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A (8, 1), B (k, – 4), C (2, – 5) లు సరేఖీయాలు..
∴ ∆ABC = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)| = 0
= \(\frac{1}{2}\) |8(- 4 – (- 5)) + k(- 5 – 1) +2[1 – (- 4)] = 0
= \(\frac{1}{2}\) |8 (1) + k (- 6) + 2 (5)| = 0
= \(\frac{1}{2}\) |8 – 6k + 10| = 0
∴ 18 – 6k = 0
⇒ 18 = 6k
⇒ \(\frac{18}{6}\) = k.
∴ k = 3.

సరిచూచుకోవడం :
k = 3 అయిన A(8, 1), B (3, – 4), C(2, – 5)
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |8 (- 4 + 5) + 3(- 5 – 1) + 2 (1 + 4)|
\(\frac{1}{2}\) |8 – 18 + 10| = 0

(iii) (k, k), (2, 3) మరియు (4, – 1)
సాధన..
A (k, k), B (2, 3) మరియు C (4, – 1) లు సరేఖీయాలు అయితే ∆ABC వైశాల్యం సున్న.
\(\frac{1}{2}\) |k[(3 – (- 1)) + 2(- 1 – k) +4(k – 3)]| = 0
= \(\frac{1}{2}\) |4k – 2 – 2k + 4k – 12| = 0
= \(\frac{1}{2}\) |6k -14| = 0
6k – 14 = 0
⇒ 6k = 14
⇒ k = \(\frac{14}{6}=\frac{7}{3}\)
∴ k = \(\frac{7}{3}\)

ప్రశ్న 3.
బిందువులు (0, – 1), (2, 1) మరియు (0, 3) శీర్షాలుగా కలిగిన త్రిభుజ వైశాల్యం, మరియు దాని భుజాల మధ్యబిందువులను కలుపగా ఏర్పడిన త్రిభుజ వైశాల్యాల నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
సాధన.

ఇచ్చిన బిందువులు A (0, – 1), B (2, 1), C (0, 3) అనుకొందాం.
AB, BC, ACల మధ్య బిందువులు వరుసగా D, E, F లు అనుకొనుము.
AB మధ్యబిందువు D = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right)\) = (1, 0)

BC మధ్యబిందువు E = \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) =(1, 2)

AC మధ్యబిందువు F = \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{-1+3}{2}\right)\) = (0, 1)
A(0, – 1), B(2, 1), C(0, 3)
x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = 0,
y₁ = – 1, y₂ = 1, y₃ = 3
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |0(1 – 3) + 2[3 – (- 1)] + 0 (- 1 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) |0 + 2 (4) + 0|
= \(\frac{1}{2}\) |8| = \(\frac{1}{2}\) × 8 = 4 చ.యూ.
∆ABCవైశాలం = 4 చ.యూనిట్లు
భుజాల మధ్యబిందువులు D(1, 0), E (1, 2), F (0, 1) లతో ఏర్పడే త్రిభుజం ∆DEF వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) |1(2 – 1) + 1(1 – 0) + 0 (1 – 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |1 (1) + 1(1)|
∴ ∆DEF వైశాల్యం = 1 చ.యూనిట్
∆ABC మరియు ∆DEF ల వైశాల్యాల నిష్పత్తి = 4 : 1.

ప్రశ్న 4.
బిందువులు (- 4, – 2), (-3, – 5),(3, – 2) మరియు . (2, 3)లు శీర్షాలుగా గల చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.

ఇచ్చిన బిందువులు A (- 4, – 2), B (- 3, – 5), C (3, – 2) మరియు D (2, 3) అనుకుంటే □ABCDని AC రెండు త్రిభుజాలు ∆ABC మరియు ∆ADC గా విభజిస్తుంది. .
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 4(- 5 – (- 2)] + (- 3)(- 2 – (- 2)] + 3[- 2 – (- 5)]|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 4) [- 5 + 2] – 3(- 2 + 2) + 3 [- 2 + 5]|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 4) (- 3) – 3(0) + 3 (3)|
= \(\frac{1}{2}\) |12 – 0 + 9|
= \(\frac{1}{2}\) |21| = 11 చ.యూ.

∆ADC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(- 4) [3 – (- 2)] + (- 2) – (- 2)] + 3(- 2) – 3]
= \(\frac{1}{2}\) |(- 4) (5) + 2 (0) + 3 (- 5)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 20 + 0 – 15|
= \(\frac{1}{2}\) |- 35]
= \(\frac{1}{2}\) × 35 = \(\frac{35}{2}\) చ.యూ, ”

□ABCD వైశాల్యము = ∆ABC వైశాల్యం + ∆ADC వైశాల్యం
= \(\frac{21}{2}\) + \(\frac{35}{2}\)
= \(\frac{56}{2}\) = 28 చ.యూనిట్లు

రెండవ పద్ధతి : .

A (- 4, – 2), B (- 3, – 5),C (3, – 2)మరియు D (2, 3) అనుకొనుము.
□ABCD వైశాల్యం = ∆ABD వైశాల్యం + ∆BDC వైశాల్యం

=

= \(\frac{1}{2}\) |(20 – 9 – 4) – (6 – 10 – 12)| + \(\frac{1}{2}\) |(- 9 – 4 – 15) – (- 10 + 9 +6)|
= \(\frac{1}{2}\) |7 + 16| + \(\frac{1}{2}\) |- 28 – 5|
= \(\frac{1}{2}\) |23| + \(\frac{1}{2}\) |33|
= \(\frac{1}{2}\) (23 + 33)
= \(\frac{1}{2}\) × 56 = 28 చ.యూనిట్లు
□ABCD వైశాల్యం = 28 చ.యూనిట్లు.

ప్రశ్న 5.
క్రింది బిందువులచే ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యమును హెరాస్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనుము.
(i) (1, 1), (1, 4) మరియు (5, 1).
(ii) (2, 3), (- 1, 3) మరియు (2, – 1)
సాధన.
(i) A (1, 1), B (1, 4) మరియు C (5, 1)
c = AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(1-1)^{2}+(4-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{0+3^{2}}\) = 3 యూనిట్లు

a = BC = \(\sqrt{(5-1)^{2}+(1-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9}=\sqrt{25}\) = 5 యూనిట్లు

b = AC = \(\sqrt{(5-1)^{2}+(1-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{4^{2}+0}\) = 4 యూనిట్లు

s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+4+5}{2}=\frac{12}{2}\) = 6

త్రిభుజ వైశాల్యం హెరాన్ సూత్రం = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{6(6-5)(6-4)(6-3)}\)
= \(\sqrt{6 \times 1 \times 2 \times 3}\)
= √36 = 6 చ.యూ.

(ii) (2, 3), (- 1, 3) మరియు (2, -1)
(2, 3) (- 1, 3) మరియు (2, – 1) బిందువులచే ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యంను హెరాన్ సూత్రంను ఉపయోగించి కనుగొనుట.
పటంలో చూపినట్లు AABC యొక్క శీర్షాల నిరూపకాలు A(2, 3), B(- 1, 3) మరియు C(2, – 1) అనుకుందాం.

∴ ఆ త్రిభుజ భుజాల పొడవులు, AB = c, BC = a, CA = b తో సూచిస్తాం.
హెరాన్ సూత్ర పద్ధతిన త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
ఇక్కడ s = \(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}\) కావున మనం భుజాల పొడవులు కనుగొందాం.
భుజాల పొడవులను \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) సూత్ర సహాయాన కనుగొందాం.
∴ AB = c = (2, 3) మరియు (- 1, 3) బిందువుల మధ్య దూరం.
c = \(\sqrt{(2-(-1))^{2}+(3-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{(2+1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{3^{2}+0}=\sqrt{3^{2}}\) = 3 మరియు

BC = a = (-1, 3) మరియు (2, – 1)ల మధ్య దూరం
a = \(\sqrt{(-1-2)^{2}+[3-(-1)]^{2}}\)
= \(\sqrt{(-3)^{2}+(3+1)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\) = 5

మరియు CA = b = (2, – 1) మరియు (2, 3) బిందువుల మధ్య దూరం
b = \(\sqrt{(2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{0^{2}+4^{2}}=\sqrt{16}\) = 4

∴ a = 5, b = 4, c = 3.
⇒ s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+4+3}{2}=\frac{12}{2}\)
∴ ∆ABC వైశాల్యము = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
=\(\sqrt{6(6-5)(6-4)(6-3)}\)
= \(\sqrt{6(1)(2)(3)}\)
= \(\sqrt{6 \times 6}\) = 6 చllయూనిట్లు
∴ ఇచ్చిన త్రిభుజ వైశాల్యము = 6 చ|| యూనిట్లు.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2

ప్రశ్న 1.
బిందువులు (- 1, 7) మరియు (4, – 3). లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును 2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
బిందువులు P (- 1, 7), Q (4, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును 2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు
(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

(x, y) = \(\left(\frac{2(4)+3(-1)}{2+3}, \frac{2(-3)+3(7)}{2+3}\right)\)

= \(\left(\frac{8-3}{5}, \frac{-6+21}{5}\right)=\left(\frac{5}{5}, \frac{15}{5}\right)\) = (1, 3).

ప్రశ్న 2.
బిందువులు (4, – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాండము యొక్క త్రిథాకరణ బిందువుల నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
బిందువులు (4, – 1) మరియు (-2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును P, Q లు త్రిథాకరణ బిందువులు అనుకొందాం.

(4, – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండాన్ని P 1 : 2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
P(x, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{1(-2)+2(4)}{1+2}, \frac{1(-3)+2(-1)}{1+2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2+8}{3}, \frac{-3-2}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{6}{3}, \frac{-5}{3}\right)\)

= (2, \(\frac{-5}{3}\))
∴ P = (2, \(\frac{-5}{3}\))
ఇప్పుడు (4 – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండాన్ని Q 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
Q(x, y) = \(\left(\frac{2(-2)+1(4)}{2+1}, \frac{2(-3)+1(-1)}{2+1}\right)\)

= \(\left(\frac{-4+4}{3}, \frac{-6-1}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{0}{3}, \frac{-7}{3}\right)\)

= (0, \(\frac{-7}{3}\))
∴ Q = (0, \(\frac{-7}{3}\))
కావున (4, – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు (2, \(\frac{-5}{3}\)), (0, \(\frac{-7}{3}\))

సరిచూచుకొనుట :
(4, – 1) మరియు. (- 2, – 3) ల మధ్యబిందువు
= \(\left(\frac{4+(-2)}{2}, \frac{(-1)+(-3)}{2}\right)\)
= (1, – 2)
P(2, \(\frac{-5}{3}\)), Q(0, \(\frac{-7}{3}\)) ల మధ్యబిందువు
= \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{\left(\frac{-5}{3}\right)+\left(\frac{-7}{3}\right)}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{2}{2}, \frac{\frac{-12}{3}}{2}\right)\) = (1, – 2).

ప్రశ్న 3.
బిందువులు (- 3, 10) మరియు (6, – 8) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును బిందువు (- 1, 6) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందో కనుగొనండి.
సాధన.
బిందువులు (- 3, 10) మరియు (6, – 8) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును (- 1, 6), m₁ : m₂.
నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది అనుకుందాం.
విభజన సూత్రం
P (x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

(- 1, 6) = \(\left(\frac{m_{1}(6)+m_{1}(-3)}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1}(-8)+m_{2}(10)}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

(- 1, 6) = \(\left(\frac{6 m_{1}-3 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

∴ \(\frac{6 m_{1}-3 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\) = – 1

∴ 6m₁ – 3m₂ = – m₁ – m₂
6m₁ + m₁ = – m₂ + 3m₂
7m₁ = 3m₂
⇒ \(\frac{\mathrm{m}_{1}}{\mathrm{~m}_{2}}=\frac{2}{7}\)
విభజన నిష్పత్తి m₁ : m₁ = 2 : 7.

2వ పద్దతి :
ఇచ్చిన బిందువులు (- 3, 10) మరియు (6, – 8) యొక్క రేఖాఖండాన్ని బిందువు (- 1, 6) λ : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొందాం.
∴ (- 1, 6) = \(\left(\frac{\lambda(6)+1(-3)}{\lambda+1}, \frac{\lambda(-8)+1(10)}{\lambda+1}\right)\)

(- 1, 6) = \(\left(\frac{6 \lambda-3}{\lambda+1}, \frac{-8 \lambda+10}{\lambda+1}\right)\)

∴ \(\frac{6 \lambda-3}{\lambda+1}\) = – 1

⇒ 6λ – 3 = – λ – 1
⇒ 6λ + λ = – 1 + 3
7λ = 2
λ = \(\frac{2}{7}\)
విభజన నిష్పత్తి λ : 1 = \(\frac{2}{7}\) : 1 = 2 : 7

ప్రశ్న 4.
బిందువులు (1, 2), (4, y), (x, 6) మరియు (3, 5) లు వరుసగా ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఆశీర్షాలయిన x, y ల విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.

ఇచ్చిన బిందువులు . A (1, 2), B (4, y), C (x, 6) మరియు D (3, 5) లు ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు.
∴ కర్ణం AC యొక్క మధ్యబిందువు = కర్ణం BD మధ్యబిందువు
\(\left(\frac{1+x}{2}, \frac{2+6}{2}\right)=\left(\frac{4+3}{2}, \frac{y+5}{2}\right)\)

∴ \(\frac{1+x}{2}=\frac{7}{2}\)
⇒ 2 + 2x = 14
⇒ 2x = 14 – 2
⇒ 2x = 12
∴ x = \(\frac{12}{2}\) = 6
\(\frac{y+5}{2}\) = 4
⇒ y + 5 = 8
⇒ y = 8 – 5
⇒ y = 3
x = 6, y = 3.

ప్రశ్న 5.
AB వ్యాసంగా గల వృత్తం యొక్క కేంద్రము (2, – 3) మరియు వృత్తం పైనున్న ఒక బిందువు B(1, 4) అయిన A బిందువు యొక్క నిరూపకాలు కనుగొనండి.
సాధన.

AB వ్యాసంగా గల వృత్తానికి AB యొక్క మధ్య బిందువు వృత్తకేంద్రం అవుతుంది.
∴ A(x, y), B (1, 4)ల మధ్య బిందువు = కేంద్రము (2, – 3)
\(\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}\right)\) = (2, 3)
∴ \(\frac{x+1}{2}\) = 2
⇒ x + 1 = 4
⇒ x = 4 – 1 = 3
∴ \(\frac{y+4}{2}\) = – 3
⇒ y + 4 = – 6
⇒ y = – 4 – 6 = – 10
∴ A బిందువు యొక్క నిరూపకాలు (3, – 10).

ప్రశ్న 6.
బిందువులు A, B లు వరుసగా (- 2, – 2) మరియు (2, – 4). AB రేఖాఖండంపై AP = \(\frac{3}{7}\) AB అయ్యే విధంగా P బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
A (- 2, – 2), B (2, – 4) రేఖాఖండముపై AP = \(\frac{3}{7}\) AB అయ్యే విధంగా P బిందువు కలదు.

AP = \(\frac{3}{7}\) AB
⇒ \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{7}\)
⇒ AP : AB = 3:7
కావున PB = AB – AP = 7 – 3 = 4
∴ AP : PB = 3 : 4
A (- 2, – 2), B (2, – 4) ను P 3 : 4 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.

విభజన సూత్రం P(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{3(2)+4(-2)}{3+4}, \frac{3(-4)+4(-2)}{3+4}\right)\)

= \(\left(\frac{6-8}{7}, \frac{-12-8}{7}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right)\)
కావలసిన బిందువు P(x, y) = \(\left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right)\).

ప్రశ్న 7.
బిందువులు A(- 4, 0) మరియు B(0, 6) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును నాలుగు సమభాగాలుగా విభజించు బిందువుల నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
A (- 4, 0), B (0, 6) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండము \(\overline{\mathrm{AB}}\) ను నాలుగు సమభాగాలుగా విభజించే బిందువులు P, Q, R అనుకొందాం.

\(\overline{\mathrm{AB}}\) ని P 1 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. విభజన సూత్రం
P(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

P = \(\left(\frac{1(0)+3(-4)}{1+3}, \frac{1(6)+3(0)}{1+3}\right)\)

= \(\left(\frac{-12}{4}, \frac{6}{4}\right)\)

= (- 3, \(\frac{3}{2}\))
\(\overline{\mathrm{AB}}\) ను Q 2 : 2 = 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. అనగా A, B ల మధ్య బిందువు
Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-4+0}{.2}, \frac{0+6}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-4}{2}, \frac{6}{2}\right)\) = (- 2, 3)
AB ని R 3 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
∴ R = \(\left(\frac{3(0)+1(-4)}{3+1}, \frac{3(6)+1(0)}{3+1}\right)\)

= \(\left(\frac{-4}{4}, \frac{18}{4}\right)=\left(-1, \frac{9}{2}\right)\)

A (- 4, 0), B (0, 6) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని నాలుగు సమానభాగాలుగా విభజించు బిందువులు (- 3, \(\frac{3}{2}\)), (- 2, 3) మరియు (- 1, \(\frac{9}{2}\)).

రెండవ పద్ధతి :
A (- 4, 0), B (0, 6) ల యొక్క రేఖాఖండమును P, Q, R లు వరుసగా నాలుగు సమభాగాలుగా విభజిస్తాయి అనుకుందాం.

A, B ల మధ్య బిందువు Q
A, Q ల మధ్య బిందువు P
Q, B ల మధ్య బిందువు R అవుతాయి.
కావున A, B ల మధ్య బిందువు
Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \([\left(\frac{-4+0}{2}, \frac{0+6}{2}\right)/latex] = (- 2, 3)
A (- 4, 0), Q(- 2, 3) ల మధ్య బిందువు
P = [latex]\left(\frac{-4+(-2)}{2}, \frac{0+3}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-6}{2}, \frac{3}{2}\right)=\left(-3, \frac{3}{2}\right)\)

Q (- 2, 3), B (0, 6) ల మధ్య బిందువు R
R = \(\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{3+6}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{2}, \frac{9}{2}\right)=\left(-1, \frac{9}{2}\right)\)
A, B లను నాలుగు సమ భాగాలుగా విభజించే బిందువులు P = (- 3, \(\frac{3}{2}\)), Q = (- 2, 3) , R = (- 1, \(\frac{9}{2}\)).

ప్రశ్న 8.
బిందువులు A(- 2, 2) మరియు B(2, 8)లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజించు బిందువుల నిరూపకాలను కనుగొనండి.
పాదన.

A (- 2, 2), B (2, 8) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని P, Q, R లు నాలుగు సమభాగాలుగా విభజిస్తాయి అనుకొనుము.
A (- 2, 2), B (2, 8) రేఖాఖండాన్ని P 1 : 3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
P(x, y) = \(=\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{2-6}{4}, \frac{8+6}{4}\right)\)

= \(\left(\frac{-4}{4}, \frac{14}{4}\right)=\left(-1, \frac{7}{2}\right)\)

P= (- 1, \(\frac{7}{2}\))
A (- 2, 2), B (2, 8) రేఖాఖండాన్ని Q 2 : 2 = 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. అనగా Q, AB కి మధ్యబిందువు
∴ Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{0}{2}, \frac{10}{2}\right)\) = (0, 5)

A (- 2, 2), B (2, 8) రేఖాఖండాన్ని R 3:1 = 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
R = \(\left(\frac{3(2)+1(-2)}{3+1}, \frac{3(8)+1(2)}{3+1}\right)\)

= \(\left(\frac{6-2}{4}, \frac{24+2}{4}\right)\)

= \(\left(\frac{4}{4}, \frac{26}{4}\right)=\left(1, \frac{13}{2}\right)\)

A, B లను నాలుగు సమ భాగాలుగా విభజించే బిందువులు (- 1, \(\frac{7}{2}\)), (0, 5) మరియు (1, \(\frac{13}{2}\)).

రెండవ పద్ధతి :
A, B కి మధ్య బిందువు Q
A, Q కి మధ్య బిందువు P
Q, R కి మధ్య బిందువు R అవుతాయి.
Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)=\left(\frac{0}{2}, \frac{10}{2}\right)\) = (0, 5)

P = A(- 2, 2), Q (0, 5) ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{2+5}{2}\right)=\left(-1, \frac{7}{2}\right)\)

R= Q(0, 5); B(2, 8) ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{5+8}{2}\right)=\left(\frac{2}{2}, \frac{13}{2}\right)=\left(1, \frac{13}{2}\right)\)
∴ కావలసిన బిందువులు (-1, \(\frac{7}{2}\)), (0, 5), (1, \(\frac{13}{2}\)).

ప్రశ్న 9.
బిందువులు (a + b, a – b) మరియు (a – b, a + b)లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును అంతరంగా 3 : 2 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
(a + b, a – b) మరియు (a – b, a + b) ల రేఖాఖండాన్ని అంతరంగా P (x, y) 3 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొనుము.

∴ P (x, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

P = \(\left(\frac{3(a-b)+2(a+b)}{3+2} ; \frac{3(a+b)+2(a-b)}{3+2}\right)\)

= \(\left(\frac{3 a-3 b+2 a+2 b}{5}, \frac{3 a+3 b+2 a-2 b}{5}\right)\)

= \(\left(\frac{5 a-b}{5}, \frac{5 a+b}{5}\right)\)
∴ కావలసిన బిందువులు = \(\left(\frac{5 a-b}{5}, \frac{5 a+b}{5}\right)\).

ప్రశ్న 10.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువులతో ఏర్పడు త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రమును కనుగొనండి.
(i) (- 1, 3), (6, – 3) మరియు (- 3, 6)
సాధన.
(- 1, 3), (6, – 3) మరియు (- 3, 6) బిందువులచే ఏర్పడే త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రం
= \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{-1+6+(-3)}{3}, \frac{3+(-3)+6}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{2}{3}, \frac{6}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}, 2\right)\)
∴ గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{2}{3}, 2\right)\)

(ii) (6, 2), (0,0) మరియు (4, – 7) .
సాధన.
(6, 2), (0, 0) మరియు (4, – 7) లతో ఏర్పడు త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రం
= \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}}{3}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{6+0+4}{3} ; \frac{2+0+(-7)}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{10}{3}, \frac{-5}{3}\right)\)
∴ గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{10}{3}, \frac{-5}{3}\right)\)

(iii) (1, – 1), (0, 6) మరియు (- 3, 0)
సాధన.
(1, – 1), (0, 6) మరియు (-3, 0) లతో ఏర్పడు త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రం
= = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}}{3}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{1+0+(-3)}{3}, \frac{-1+6+0}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{3}, \frac{5}{3}\right)\)

∴ గురుత్వకేంద్రం = \(\left(\frac{-2}{3}, \frac{5}{3}\right)\)