Category: Class 10

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు Exercise 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.3

ప్రశ్న 1.
కింది వర్గ బహుపదులకు శూన్యాలను కనుగొని బహుపది గుణకాలకు; శూన్యాలకు గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి.
సాధన.
(i) x² – 2x – 8
(ii) 4s² – 4s + 1
(iii) 6x² -3-7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4
సాధన.
(i) x² – 2x – 8
p(x) = x² – 2x – 8 = 0 అయిన

⇒ x² – 4x + 2x – 8 = 0
⇒ x(x – 4) + 2 (x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x + 2) = 0
⇒ x – 4 = 0 లేదా x + 2 = 0
⇒ x = 4 లేదా x = – 2
p(x) శున్య విలువలు α = 4, β = – 2
శూన్య విలువల మొత్తం
(α + β) = 4 + (-2) = 2 = -(\(\frac{-2}{1}\))
=
శూన్య విలువల లబ్ధం
α . β = (4) (- 2) = – 8 = (\(-\frac{8}{1}\))
=

(ii) 4s² – 4s + 10
p(s) = 4s² – 4s + 1 = 0 అయిన
⇒ 4s² – 2s – 2s + 1 = 0
⇒ 2s(2s – 1) – 1 (2s – 1) = 0
⇒ (2s – 1) (2s – 1) = 0
⇒ 2s – 1 = 0 లేదా 2s – 1 = 0
⇒ 2s = 1 లేదా 2s = 1
⇒ s = \(\frac{1}{2}\) లేదా s = \(\frac{1}{2}\)

శూన్య విలువలు α = \(\frac{1}{2}\), β = \(\frac{1}{2}\)
శూన్య విలువల మొత్తం (α + β) = \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 1 = \(\frac{-(-4)}{4}\)

=

శూన్య విలువల లబ్దం
α . β = \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{4}\) =

(iii) 6x² – 3 – 7x
p(x) = 6x² – 7x – 3 = 0 అయిన

⇒ 6x² + 2x – 9x – 3 = 0
⇒ 2x(3x + 1) – 3 (3x + 1) = 0
⇒ (3x + 1) (2x – 3) = 0
⇒ 3x + 1 = 0 లేదా 2x – 3 = 0
⇒ x = \(-\frac{1}{3}\), లేదా x = \(\frac{3}{2}\),
శూన్య విలువలు α = \(-\frac{1}{3}\), β = \(\frac{3}{2}\),
శూన్య విలువల మొత్తం (α + β) = \(\frac{-1}{3}+\frac{3}{2}\)
\(\frac{-2+9}{6}=\frac{7}{6}=\frac{-(-7)}{6}\) =
శూన్య విలువల లబ్దం α . β = \(-\frac{1}{3} \times \frac{3}{2}=\frac{-3}{6}\)
=

(iv) 4u² + 8u
p(u) = 4u² + 8u = 0 అయిన
4u (u + 2) = 0
4u = 0 లేదా u + 2 = 0
u = 0 లేదా u = – 2
శూన్య విలువలు α = 0 మరియు β = -2
శూన్య విలువల మొత్తం
α + β = 0 + (- 2) = – 2 = – \(\frac{8}{4}\)
=

శూన్య విలువల లబ్దం
α . β = 0 (- 2) = 0 = \(\frac{0}{4}\)
=

(v) t² – 15
p(t) = t² – 15 = 0 అయిన
⇒ t² = 15 = t = ± \(\sqrt{15}\)
శూన్య విలువలు α = \(\sqrt{15}\) మరియు β = – \(\sqrt{15}\)
శూన్య విలువల మొత్తం
α + β = \(\sqrt{15}\) + (-\(\sqrt{15}\)) = 0
= \(\frac{0}{1}\) =

శూన్య విలువల లబ్ధం
α . β = \(\sqrt{15}\) × (-\(\sqrt{15}\)) = – 15
= \(\frac{-15}{1}\) =

(vi) 3x² – x – 4
p(x) = 3x² – x – 4 = 0 అయిన

⇒ 3x² – 4x + 3x – 4 = 0
⇒ x(3x – 4) + 1 (3x – 4) = 0
⇒ (3x – 4) (x + 1) = 0
⇒ 3x – 4 = 0 లేదా x + 1 = 0
⇒ 3x = 4 లేదా x = – 1
⇒ x = \(\frac{4}{3}\) లేదా x = – 1
శూన్య విలువలు α = \(\frac{4}{3}\) మరియు β = – 1
శూన్య విలువల మొత్తం (α + β) = \(\frac{4}{3}\) + (- 1) = \(\frac{4-3}{3}=\frac{1}{3}\)
= \(\frac{-(-1)}{3}\)
=

శూన్య విలువల లబ్ధం
α . β = \(\frac{4}{3}\) (- 1) = – \(\frac{4}{3}\)
=

ప్రశ్న 2.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తము మరియు లబ్దాలు వరుసగా ఇవ్వబడినవి. ప్రతి సందర్భంలోనూ ఆయా వర్గ బహుపదులను కనుగొనండి.
(i) \(\frac{1}{4}\), – 1
(ii) √2, \(\frac{1}{3}\)
(iii) 0, √5
(iv) 1, 1
(v) –\(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{4}\)
(vi) 4, 1
సాధన.
(i) శూన్య విలువలు α, β అనుకొనుము.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β = \(\frac{1}{4}\)
శూన్య విలువల లబ్దం α . β = – 1
α, β లు శూన్య విలువలుగా గల వర్గ బహుపది p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
కావలసిన వర్గ బహుపది p(x) = k [x² – (\(\frac{1}{4}\)) x + (- 1)]
= k [x² – \(\frac{x}{4}\) – 1]
= k \(\left[\frac{4 x^{2}-x-4}{4}\right]\)
k = 4 అయిన p(x) = 4 \(\left[\frac{4 x^{2}-x-4}{4}\right]\)
p(x) = 4x² – x – 4

(ii) √2, \(\frac{1}{3}\)
α + β = √2; αβ = \(\frac{1}{3}\)
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – √2x + \(\frac{1}{3}\)]
= k \(\left[\frac{3 x^{2}-3 \sqrt{2} x+1}{3} \underline{1}\right]\)
∴ k = 3 అయిన p(x) = 3x^{2</sup – 3√2x + 1}

(iii) 0, √5
α + β = 0, αβ = √5
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 0x + √5]
= k [x² + √5]
∴ k = 1 అయిన p(x) = x² + √5.

(iv) 1, 1
α + β = 1, αβ = 1
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – x + 1]
∴ k = 1 అయిన p(x) = x² – x + 1.

(v) – \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{4}\)
α + β = – \(\frac{1}{4}\); αβ = \(\frac{1}{4}\)
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – (- \(\frac{1}{4}\)) x + \(\frac{1}{4}\)]
= k [x² + \(\frac{x}{4}\) + \(\frac{1}{4}\)]
= k \(\left[\frac{4 x^{2}+x+1}{4}\right]\)
∴ k = 4 అయిన p(x) = 4x² + x + 1.

(vi) 4, 1
α + β = 4; αβ = 1
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 4x + 1].
∴ k = 1 అయిన p(x) = x² – 4x + 1

Note:
పై సమస్యలలో k యొక్క వివిధ విలువలకి వివిధ బహుపదులు వస్తాయి.

ప్రశ్న 3.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలు α, β లు దిగువ ఇవ్వబడినవి. ప్రతి సందర్భంలోనూ ఆయా బహుపదులను కనుగొనండి.

(i) 2, -1
(ii) √3, – √3
(iii) \(\frac{1}{4}\), – 1
(iv) \(\frac{1}{2}\), \(\frac{3}{2}\)
సాధన.
(i) 2, – 1
α = 2 మరియు β = – 1
α + β = 2 + (- 1) = 1
α . β = 2(- 1) = – 2
వర్గ బహుపది
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – x + (- 2)]
∴ k = 1 అయిన p(x) = x² – x – 2.

(ii) √3, – √3
α = √3 మరియు β = – √3
α + β = √3 + (- √3) = 0
αβ = (√3) (- √3) = – 3
వర్గ బహుపది
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ)
= k [x² – 0x – 3]
∴ k = 1 అయిన p(x) = x² – 3.

(iii) \(\frac{1}{4}\), – 1
α = \(\frac{1}{4}\) మరియు β = – 1
α + β = \(\frac{1}{4}\) + (- 1)
= \(\frac{1-4}{4}=\frac{-3}{4}\)
α. β = (\(\frac{1}{4}\)) (- 1) = – \(\frac{1}{4}\)
వర్గ బహుపది
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k[x² – \(-\frac{3}{4}\) x + (- \(\frac{1}{4}\))]
= \(\left[\frac{4 x^{2}+3 x-1}{4}\right]\)
∴ k = 4 అయిన p(x) = 4x² + 3x – 1.

(iv) \(\frac{1}{2}\), \(\frac{3}{2}\)
α = \(\frac{1}{2}\), β = \(\frac{3}{2}\)
α + β = \(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{4}{2}\) = 2
αβ = (\(\frac{1}{2}\)) (\(\frac{3}{2}\)) = \(\frac{3}{4}\)
వర్గ బహుపది
p(x) = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 2x + \(\frac{3}{4}\)]
= k \(\left[\frac{4 x^{2}-8 x+3}{4}\right]\)
k = 4 అయిన p(x) = 4x² – 8x + 3.

ప్రశ్న 4.
ఒక ఘన బహుపది x³ + 3x² – x – 3 యొక్క శూన్యాలు 1, – 1 మరియు – 3 అగునని సరిచూడండి. ఇదే విధంగా బహుపది గుణకాలకు, శూన్యాలకు మధ్యగల సంబంధాన్ని సరిచూడండి.
సాధన.
p(x) = x³ + 3x² – x – 3
p(1) = (1)³ + 3(1)² – (1) – 3
= 1 + 3 – 1 – 3
= 4 – 4
p(1) = 0 …………………(1)
p(- 1) = (- 1)³ + 3(- 1)² – (- 1) – 3
= – 1 + 3 + 1 – 3
= – 4 + 4
p(- 1) = 0 ……………..(2)
p(- 3) = (- 3)³ + 3 (- 3)² – (- 3) – 3
= – 27 + 27 + 3 – 3
= -30 + 30
p(-3) = 0 …………… (3)
(1), (2) మరియు (3) ల నుండి
p(1) = 0
p(- 1) = 0
p(- 3) = 0
కావున p(x) కు 1, – 1, – 3 లు శూన్య విలువలు అవుతాయి.
శూన్య విలువల మొత్తం
α + β + γ = 1 + (- 1) + (- 3)
= – 3
= \(\frac{-3}{1}\)
=

రెండేసి శూన్య విలువల లబ్దాల మొత్తం :
αβ + βγ + αγ = (1) (- 1) + (- 1) (- 3) + (1) (- 3)
= – 1 + 3 – 3
= – 1
= \(\frac{-1}{1}\)
=
శూన్య విలువల లబ్ధం αβγ = (1) (-1) (-3)
= 3
= -(\(\frac{-3}{1}\))
=

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు Exercise 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Exercise 3.2

ప్రశ్న 1.
కొన్ని p(x) బహుపదుల సంబంధిత y = p(x) యొక్క పటాలు దిగువ ఇవ్వబడినవి. p(x) యొక్క శూన్యాల సంఖ్యను పటాలు పరిశీలించి తెలపండి.

(i)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 0 (లేదా) శూన్య విలువలు లేవు.

(ii)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 1

(iii)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 3

(iv)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 2

(v)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 4

(vi)

సాధన.
శూన్య విలువల సంఖ్య = 3

ప్రశ్న 2.
క్రింది బహుపదుల శూన్యాలను కనుగొనండి. AS,
(i) p(x) = 3x
(ii) p(x) = x² + 5x + 6
(iii) p(x) = (x + 2) (x + 3)
(iv) p(x) = x² – 16
సాధన.
i) p(x) = 3x
p(x) = 0 అయిన 3x = 0
⇒ x = 0
∴ p(x) శూన్య విలువ = 0.

(ii) p(x) = x² + 5x + 6

p(x) = 0 అయిన x² + 5x + 6 = 0
x² + 3x + 2x + 6 = 0
x(x + 3) + 2 (x + 3) = 0
(x + 3) (x + 2) = 0
x + 3 = 0 లేదా x + 2 = 0
x = – 3 లేదా x = – 2
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు : – 3 మరియు -2.

(iii) p(x) = (x + 2) (x + 3)
p(x) = 0 అయిన (x + 2) (x + 3) = 0
(x + 2) = 0 లేదా (x + 3) = 0
x = – 2 లేదా x = – 3
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు – 3 మరియు – 2.

(iv) p(x) = x⁴ – 16
p(x) = 0 అయిన x⁴ – 16 = 0
⇒ (x²)² – 4² = 0
⇒ (x²) – 4) (x²) + 4) = 0
⇒ x ² – 4 = 0 లేదా x² + 4 = 0
⇒ x² = 4 లేదా x² = – 4
⇒ x = √4 లేదా ± \(\sqrt{-4}\)
⇒ x = ± 2 లేదా ± \(\sqrt{-4}\)
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 2, -2 మరియు ± \(\sqrt{-4}\).

ప్రశ్న 3.
క్రింది బహుపదులకు తగిన రేఖాచిత్రాలను గీచి, శూన్యాలను కనుగొనండి. ఫలితాలను సమర్థించండి.
(i) p(x) = x² – x – 12
(ii) p(x) = x² – 6x + 9
(iii) p(x) = x² – 4x + 5
(iv) p(x) = x² + 3x – 4
(v) p(x) = x – 1
సాధన.
(i) y = p(x) = x² – x – 12

p(x) = x² – x – 12 పరావలయం x – అక్షాన్ని (- 3, 0) మరియు (4, 0) బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది. గ్రాఫ్ నుండి p(x) = x² – x – 12 యొక్క శూన్య విలువలు – 3 మరియు 4.
p(x) = x² – x – 12 = 0 = x² – 4x + 3x – 12 = 0
⇒ x (x – 4) + 3 (x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x + 3) = 0
⇒ x – 4 = 0 లేదా x + 3 = 0
⇒ x = 4 లేదా x = – 3
p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 4 మరియు – 3. గ్రాఫ్ ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువలు, సమస్యాసాధన ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువలతో ఏకీభవిస్తున్నాయి.

(ii) v = p(x) = x- – 6x + 9

p(x) = x² – 6x + 9 పరావలయం X – అక్షాన్ని (3, 0) అనే ఒకే ఒక బిందువు వద్ద ఖండిస్తున్నది (స్పర్శిస్తున్నది). కాబట్టి p(x) = x² – 6x + 9 కు ఒకే ఒక శూన్య విలువ ఉంటుంది.
గ్రాఫ్ నుండి p(x) = x² – 6x + 9 యొక్క శూన్య విలువ 3.
p(x) = x² – 6x + 9 = 0
⇒ x² – 3x – 3x + 9 = 0
⇒ x{x – 3) – 3(x – 3) = 0 –
∴ (x – 3) (x – 3) = 0
⇒ x – 3 = 0 (or) x – 3 = 0
⇒ x = 3
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువ 3. గ్రాఫ్ నుండి కనుగొన్న శూన్య విలువ, సమస్యాసాధన ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువతో ఏకీభవిస్తున్నది.

(iii) y = p(x) = x² – 4x + 5

p(x) = x² – 4x + 5 పరావలయం X – అక్షాన్ని ఖండించడం లేదు. అనగా p(x) = x² – 4x + 5 కు వాస్తవ శూన్య విలువలు లేవు.

(iv) y = p(x) = x² + 3x – 4

1) p(x) = x² + 3x – 4 పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 4, 0) మరియు (1, 0) బిందువుల వద్ద ఖండిస్తున్నది.
∴ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు – 4 మరియు 1.

2) p(x) = x² + 3x – 4 — 0 చడు.
⇒ x² – x + 4x – 4 = 0
⇒ x(x – 1) + 4 (x – 1) = 0
⇒ (x – 1) (x + 4) = 0
⇒ x – 1 = 0 లేదా x + 4 = 0.
⇒ x = 1 లేదా x = – 4
p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 1 మరియు – 4.
∴ గ్రాఫ్ నుండి కనుగొన్న శూన్య విలువలు, సమస్యాసాధన ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువలతో ఏకీభవిస్తున్నాయి.

(v) y = p(x) = x² – 1

(i) P(x) = x² – 1 పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 1, 0) మరియు (1, 0) బిందువుల వద్ద ఖండిస్తున్నది.
∴ p(x) = x² – 1 యొక్క శూన్య విలువలు – 1 మరియు 1.

(ii) p(x) = x² – 1 = 0
⇒ x² = 1
⇒ x = √1 = ± 1
p(x) = x² – 1 యొక్క శూన్య విలువలు – 1 మరియు 1. గ్రాఫ్ నుండి కనుగొన్న శూన్య విలువలు, సమస్యాసాధన ద్వారా కనుగొన్న శూన్య విలువలతో
ఏకీభవిస్తున్నాయి.

ప్రశ్న 4.
p(x) = 4x² + 3x – 1 అనే బహుపదికి \(\frac{1}{4}\) మరియు – 1 అనేవి శూన్యాలు ఏవిధంగా అగునో తెలపండి.
సాధన.
p(x) = 4x² + 3x – 12
p(\(\frac{1}{4}\)) = 4(\(\frac{1}{4}\))² + 3(\(\frac{1}{4}\)) – 1
= \(4 \times \frac{1}{16}+\frac{3}{4}\) – 1
= \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{3}{4}\) – 1
= \(\frac{4}{4}\) – 1
= 1 – 1 = 0
p(\(\frac{1}{4}\)) = 0
అలాగే p(-1) = 4(- 1)² + 3(- 1) – 1
= 4 – 3 -1
= 4 – 4
p(- 1) = 0
∴ P(\(\frac{1}{4}\)) = 0 మరియు p(- 1) = 0 అవుతున్నది.
కాబట్టి p(x) కు \(\frac{1}{4}\) మరియు – 1 లు శూన్య విలువలు అవుతాయి.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 2 సమితులు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 2nd Lesson సమితులు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
కింద ఇవ్వబడిన ప్రతి దంతాల రకం యొక్క జాబితాను తయారుచేయండి. (పేజీ నెం.25)

(i) కుంతకాలు
సాధన.
(ప్రక్క, కుంతకం, మధ్య కుంతకం) (ఎడమ, కుడి, పై, కింద).

(ii) రదనికలు
సాధన.
(ఎడమ కింది రదనిక, ఎడమ పై రదనిక, కుడి కింది” రదనిక, కుడి పై రదనిక)

(iii) అగ్రచర్వణకాలు
సాధన.
(ఎడమ అగ్ర చర్వణకం, ఎడమ కింది అగ్రచర్వణకం, కుడిపై అగ్ర చర్వణకం, ఎడమ రెండవ కింది చర్వణకం, ఎడమ రెండవపై అగ్రచర్వణకం).

(iv) చర్వణకాలు
సాధన.
మొదటి ఎడమపై చర్వణకం, మొదటి కింది ఎడమ చర్వణకం,
రెండవ ఎడమపై చర్వణకం, రెండవ కింది ఎడమ చర్వణకం,
మూడవ ఎడమపై చర్వణకం, మూడవ కింది ఎడమ చర్వణకం,
రెండవ కుడిపై చర్వణకం, రెండవ కుడి కింది చర్వణకం,
మూడవ కుడిపై చర్వణకం, మూడవ కుడి కింద చర్వణకం.

ప్రశ్న 2.
ఈ కింది సముదాయాలలోని సామాన్య ధర్మాన్ని గుర్తించి రాయండి. (పేజీ నెం.26)

1. 2, 4, 6, 8, ……. . .
సాధన.
ఇవి అన్ని సరి సంఖ్యలు

2.
2, 3, 5, 7, 11, …………
సాధన.
ఇవి అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు

3. 1, 4, 9, 16, …………
సాధన.
ఇవి అన్ని ఖచ్చిత వర్గ సంఖ్యలు

4. జనవరి, ఫిబ్రవరి, మార్చి, ఏప్రిల్, ……………
సాధన.
ఇవి ఒక సంవత్సరంలో ఉండే నెలల ఆంగ్ల, పేర్లు.

5. బొటనవేలు, చూపుడువేలు, మధ్యవేలు, ఉంగరపు వేలు, చిటికనవేలు.
సాధన.
ఇవి ఒక వ్యక్తి వేళ్ళ పేర్లు.

ప్రశ్న 3.
ఈ క్రింది సమితులను రాయండి… (పేజీ నెం. 27)

1) మొదటి ఐదు ధన పూర్ణ సంఖ్యల సమితి
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4, 5}

2) 100 కంటే ఎక్కువ 125 కంటే తక్కువైన 5 యొక్క గుణిజాల సమితి
సాధన.
B = {105, 110, 115, 120}

3) మొదటి 5 ఘన సంఖ్యల సమితి
సాధన.
C = {1, 8, 27, 64, 125} .
4) రామానుజన్ సంఖ్యలోని అంకెల సమితి.
సాధన.
D = {1, 2, 7, 9}

ప్రశ్న 4.
ఈ కింది సంఖ్యలు ఏ సంఖ్యాసమితికి చెందుతాయో? – చెందవో ? నిర్ణయించి, సరియైన గుర్తుతో వ్యక్తపరచండి. (పేజీ నెం. 28)
(i) 1
సాధన.
1 ∈ N, 1 ∉ Q

(ii) 0
సాధన.
0 ∈ W, 0 ∉ N

(iii) -4
సాధన.
-4 ∈ Z, – 4 ∉ N

(iv) \(\frac{5}{6}\)
సాధన.
\(\frac{5}{6}\) ∈ Q, \(\frac{5}{6}\) ∉ N

(v) \(1 . \overline{3}\)
సాధన.
\(1 . \overline{3}\) ∈ Q, \(1 . \overline{3}\) ∉ Q’

(vi) √2
సాధన.
√2 ∈ Q’, √2 ∉ W

(vii) log 2
సాధన.
log 2 ∈ Q’, log 2 ∉ Z

(viii) 0.03
సాధన.
0.03 ∈ Q; 0.03 ∉ Q’

(ix) π
సాధన.
π∈ R, π ∉ N

(x) \(\sqrt{-4}\)
సాధన.
\(\sqrt{-4}\) ∈ i; \(\sqrt{-4}\) ∉ W.

ప్రశ్న 5.
కింది సమితులలోని మూలకాల జాబితాను రాయండి.
(i) G అనేది 20 కు రాయగల కారణాంకాలన్నింటిని కలిగిన సమితి.
(ii) F అనేది 17 మరియు 61 మధ్యగల 4 యొక్క గుణిజాలు మరియు 7చే భాగించబడే మూలకాల సమితి.
(iii) S = {x: X అనేది ‘MADAM’ అనే పదంలో గల అక్షరాల సమితి}
(iv)P = {x: X అనేది 3.5 మరియు 6.7 మధ్యగల పూర్ణాంకాల సమితి} (పేజీ నెం. 29)
సాధన.
(i) G = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
(ii) F = {28, 56}
(iii) S = {M, A, D}
(iv) P = {4, 5, 6}

ప్రశ్న 6.
క్రింది సమితులను రోస్టర్ రూపంలో రాయండి.
(i) B అనేది ఒక సంవత్సరంలో ఒక నెలకి 30 రోజులుగా గల అన్ని నెలల సమితి.
(ii) P అనేది 10 కంటే తక్కువైన అన్ని ప్రధాన , సంఖ్యల సమితి.
(iii) X అనేది ఇంద్రధనుస్సులో గల అన్ని రంగుల సమితి. (పేజీ నెం. 29)
సాధన.
(i) B = {ఏప్రిల్, జూన్, సెప్టెంబర్, నవంబర్ }
(ii) P = {2, 3, 5, 7}
(iii) {ఊదా, ముదురు నీలం, నీలం, ఆకుపచ్చ, పసుపు, నారింజ, ఎరుపు} (లేదా) {Violet, Indigo, Blue, Green, Yellow, Orange, Red}

ప్రశ్న 7.
A అనేది 12కు కారణాంకాలుగా గల సమితి. ఈ క్రింది వానిలో ఏది ‘A’ సమితికి చెందదు? (పేజీ నెం. 29)
(A) 1
(B) 4
(C) 5
(D) 12
సాధన.
[C]

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది సముదాయాలను పరిశీలించి, వాటి ధర్మాలను తెలిపే మరికొన్ని ‘సాధారణ ప్రవచనాలను’ రాయండి. (పేజీ నెం. 27)
(i) 2, 4, 6, 8, ……….
సాధన.
a) ఇవి అన్ని సరి సహజ సంఖ్యలు.
b) ఇవి అన్ని రెండు యొక్క గుణిజాలు.
C) ఇవి రెండు సామాన్య భేదంగాను, రెండు మొదటి పదంగాను గల అంకశ్రేఢిలోని పదాలు. ,
d) ఇవి అన్ని బేసి సంఖ్యలు కాని సహజ సంఖ్యలు.

(ii) 1, 4, 9, 16…..
సాధన.
a) ఇవి వరుస సహజ సంఖ్యల వర్గాలు.
b) వీని మధ్య భేదం ఒక అంకశ్రేణి a = 3, d = 2.

ప్రశ్న 2.
అకరణీయ సంఖ్యా సమితి (Q) ని, దానిలోని మూలకాలచే ‘ జాబితారూపం’లో సూచించగలరా ? (పేజీ నెం. 28)
సాధన.
అకరణీయ సంఖ్యా సమితిని జాబితా రూపంలో సూచించలేము. ఎందుకనగా ఇందులో అపరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలుంటాయి గనుక దీనిని జాబితా రూపంలో వ్రాయలేము.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
బీజగణిత మరియు రేఖాగణిత భావనలతో కొన్ని సమితులను ఏర్పరచండి. (పేజీ నెం. 30)
సాధన.
(i) A = {x : x² – 25 = 0 మరియు x ∈ Z}
(ii) B = {x : x = \(\frac{y}{y+1}\), y ∈ W మరియు y < 7}
(iii) C = {x : 3x – 2 < 15 మరియు x ∈ W}
(iv) D = {అల్పకోణ త్రిభుజం, లంబకోణ త్రిభుజం, అధిక కోణ త్రిభుజం}
(v) E = {కర్ణాలు లంబసమద్విఖండనం చేసుకొనే చతుర్భుజాలు}
(vi) F = {x = 3 సరళరేఖకు సమాంతరంగా గల రేఖల సమితి}
(vii) G = {అంతర కోణాల మొత్తం 360° గా గల బహుభుజుల సమితి}.

ప్రశ్న 2.
రోస్టర్ రూపంతో, సమితీ నిర్మాణ రూపంను జతపరచండి.

సాధన.
(i) d
(ii) c
(iii) a
(iv) b

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4}, C = {1, 2, 3, 4, 7}, F = { } అయిన క్రింది ఖాళీలను ⊂ లేదా ⊄ లతో పూరించండి. (పేజీ నెం. 34)
(i) A …… B
సాధన.
A ⊄ B

(ii) C ……. A
సాధన.
C ⊄ A

(iii) B …… A
సాధన.
B ⊂ A

(iv) A …… C
సాధన.
A ⊂ C

(v) B …… C
సాధన.
B ⊂ C

(vi) Φ …… B
సాధన.
Φ ⊂ B

ప్రశ్న 2.
క్రింది వాక్యాలలో ‘సత్యమైన’ వాటిని పేర్కొనండి. ((పేజీ నెం. 34)
(i) { } = Φ
సాధన.
సత్యం

(ii) Φ = 0
సాధన.
అసత్యం

(iii) 0 = {0}
సాధన.
అసత్యం

ప్రశ్న 3.
A = {1, 3, 7, 8} మరియు B = {2, 4, 7, 9} అయిన A ∩ B కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A = { 1, 3, 7, 8}, B = {2, 4, 7, 9}
∴ A ∩ B = {7}.

ప్రశ్న 4.
A = {6, 9, 11}; B = { } అయిన A ∪ Φ కనుక్కొండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A ∪ Φ = {6, 9, 11} ∪ { } = {6, 9, 11}
A ∪ Φ = A

ప్రశ్న 5.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; B = {2, 3, 5, 7}. A ∩ B కనుగొని, A ∩ B = B అని చూపండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {2, 3, 5, 7}
A ∩ B = {2, 3, 5, 7}
⇒ A ∩ B = B

ప్రశ్న 6.
A = {4, 5, 6}; B = {7, 8} అయిన A ∪ B = B ∪ A అని చూపండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A ∪ B = {4, 5, 6} ∪ {7, 8} = {4, 5, 6, 7, 8}
B ∪ A= {7, 8} U {4, 5, 6} = {4, 5, 6, 7, 8}
∴ A ∪ B = B ∪ A

ప్రశ్న 7.
A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6, 7} అయిన A – B మరియు B – A కనుగొనండి. A- B, B – A లు రెండు సమానమా? (పేజీ నెం. 39)
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7}
A – B = {1, 2, 3, 4, 5} {4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3}
B – A = {4, 5, 6, 7} {1, 2, 3, 4, 5} = { 6, 7}
A – B ≠ B – A

2వ పద్దతి :
వెన్ చిత్రం ద్వారా A – B, B – A ను కనుగొనడం

B – A = {6, 7}
A – B = {1 2, 3}
A – B ≠ B – A

ప్రశ్న 8.
V = {a, e, i, 0, U} మరియు B = {a, i, k, u} – అయిన V – B మరియు B – V లను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 39)
సాధన.
V = {a, e, i, 0, u}; B = {a, i, k, u}
V – B = {a, e, i, 0, u} – {a, i, k, u} = {e, o}
B – V = {a, i, k, u} – {a, e, 1, 0, u} = {k}

2వ పద్ధతి :
వెన్ చిత్రం ద్వారా

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
A = {చతుర్భుజాలు}, B = {చతురస్రం, దీర్ఘచతురస్రం, ట్రెపీజియం , రాంబస్}. A ⊂ B లేక B ⊂ A అవుతుందేమో పేర్కొనండి. నీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి. (పేజీ నెం. 34)
సాధన.
A = {చతుర్భుజాలు}
B = {చతురస్రం, దీర్ఘచతురస్రం. ట్రెపీజియం, రాంబస్ }

(i) A ⊄ B చతుర్భుజాల సమితి A లో సమాంతర చతుర్భుజం ఉంటుంది. కాని B సమితిలో సమాంతర చతుర్భుజం లేదు. కావున A ⊄ B.
(ii) B ⊂ A
B సమితిలోని మూలకాలైన చతురస్రం, దీర్ఘచతురస్రం, ట్రెపీజియం, రాంబన్లు అన్నీ చతుర్భుజాలే అనగా A B లోని మూలకాలన్నీ A లో ఉన్నాయి. కాబట్టి B ⊂ A.

ప్రశ్న 2.
A = {a, b, c, d} అయిన Aకి ఎన్ని — — ఉపసమితులున్నాయి? (పేజీ నెం. 34)
(A) 5
(B) 6
(C) 16
(D) 65
సాధన.
Hint: n మూలకాలు కలిగిన సమితికి గల ఉపసమితుల సంఖ్య 2ⁿ.
జవాబు : [C].

ప్రశ్న 3.
P అనేది 5 యొక్క కారణాంకాల సమితి. Q అనేది 25 యొక్క కారణాంకాల సమితి. R అనేది 125 యొక్క కారణాంకాల సమితి. క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ? (పేజీ నెం. 34)
(A) P ⊂ Q
(B) Q ⊂ R
(C) R ⊂ P
(D) T ⊂ R
సాధన.
Hint : P = {1, 5} Q = {1, 5, 25) R = {1, 5, 25, 125}
జవాబు : [C].

ప్రశ్న 4.
A అనేది 10 కంటే తక్కువైన ప్రధానాంకాల సమితి, B అనేది 10 కంటే తక్కువైన బేసి సంఖ్యల సమితి. C అనేది 10 కంటే తక్కువైన సరిసంఖ్యల సమితి. క్రింది వానిలో ‘సత్యమైన” వాక్యా లేవి ? (పేజీ నెం. 34)
(i) A ⊂ B
(ii) B ⊂ A
(iii) A ⊂ C
(iv) C ⊂ A
(v) B ⊂ C
(vi) Φ ⊂ A
సాధన.
A = {2, 3, 5, 7} B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {2, 4, 6, 8}
(i) A ⊂ B అసత్యం
(ii) B ⊂ A అసత్యం
(iii) A ⊂ C అసత్యం
(iv) C ⊂ A అసత్యం
(v) B ⊂ C అసత్యం
(vi) Φ ⊂ A సత్యం

ప్రశ్న 5.
A మరియు B వియుక్త సమితులు అయ్యేటట్లుగా కొన్ని సమితులు A మరియు B లు, వాని మూలకాలు ఎన్నుకొని జాబితా తయారుచేయండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A మరియు B లు వియుక్త సమితులు అయ్యేటట్లు A, B లకు కొన్ని ఉదాహరణలు.
ఉదా 1: A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {2, 4, 6, 8, 10}
ఉదా 2: A = {1, 3, 7, 21} B = {2, 4, 5, 8, 10, 20 40}
ఉదా 3: A = {1, 2, 3, 4, 5 6} B = {7 8 9 10}

ప్రశ్న 6.
A = {2, 3, 5} అయిన A ∪ Φ మరియు Φ ∪ A కనుగొని పోల్చండి. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A = {2, 3, 5}
A ∪ Φ = {2, 3, 5} ∪ { } = {2, 3, 5}
Φ ∪ A = { } ∪ {2, 3, 5} = {2, 3, 5}
∴ A ∪ Φ = Φ ∪ A = A

ప్రశ్న 7.
A = {1, 2, 3, 4}; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} అయిన A ∪ B, A ∩ B కనుగొనండి. ఫలితం నుండి మీరు ఏమి గమనించారు ? (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
(i) A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ∪ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B

(ii) A ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1, 2, 3, 4}
A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A మరియు A ∪ B ≠A ∩ B.

ప్రశ్న 8.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; B = {2, 4, 6, 8, 10} గా ఇవ్వబడినవి. A, B ల ఛేదనాన్ని కనుగొనండి.(పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {2, 4, 6, 8, 10} A, B ల ఛేదనము
A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ {2, 4, 6, 8, 10} = {2, 4, 6}

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఏవైనా రెండు వియుక్త సమితుల ఛేదనం శూన్య సమితి అవుతుంది. ఈ వాక్యం సత్యమా ? అసత్యమా? (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
సత్యం. వియుక్త సమితులలో ఉమ్మడి మూలకాలు ఉండవు కాబట్టి వియుక్త సమితుల ఛేదనం శూన్యసమితి.

ప్రశ్న 2.
సమితులు A – B, B – A మరియు A ∩ B పరస్పరం వియుక్త సమితులు అవుతాయి. కొన్ని ఉదాహరణల సహాయంతో ఈ సత్యాన్ని పరిశీలించండి. (పేజీ నెం. 39)
సాధన.
ఉదా 1 :
A = {1, 2, 3, 5, 8} B = {1, 2, 4, 6, 8, 10} అనుకుందాం .
A – B = {1, 2, 3, 5, 8} – {1, 2, 4, 6, 8, 10} = {3, 5}
B – A = {1, 2, 4, 6, 8, 10} – {1, 2, 3, 5, 8} = {4, 6, 10}
A ∩ B= {1, 2, 3, 5, 8} ∩ {1, 2, 4, 6, 8, 10} = {1, 2, 8}
A – B, B – A మరియు A ∩ B లలో ఉమ్మడి మూలకాలు లేవు.
కావున A – B, B – A, A ∩ Bలు వియుక్త సమితులు.

ఉదా : 2
A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} B = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} అనుకుందాం.
వెన్ చిత్రాల ద్వారా A – B, B – A, A∩ B లను కనుగొందాము.

A – B = {4, 8, 12, 24}

B – A {7, 14, 21, 42}

A ∩ B = {1, 2, 3, 6}
A- B, B – A, A ∩ Bలలో ఉమ్మడి మూలకాలు లేవు. కావున A – B, B – A, A ∩ B లు వియుక్త సమితులు.
గమనిక :
A – B, B – A, A ∩ Bలు పరస్పర వియుక్త సమితులు కాబట్టి
(A – B) ∩ (B – A ) = Φ
(B – A) ∩ (A ∩ B) = Φ
(A – B) ∩ (A ∩ B) = Φ.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది వానిలో శూన్యసమితులు ఏవి ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.(పేజీ నెం. 44)
(i) 2 మరియు 3 ల మధ్యనున్న పూర్ణసంఖ్యల సమితి.
(ii) 1 కంటే తక్కువైన సహజసంఖ్యా సమితి.
(iii) 2 చే భాగించినపుడు శేషం సున్న వచ్చే బేసిసంఖ్యా సమితి.
సాధన.
(i) శూన్యసమితి.
2 మరియు 3ల మధ్య, పూర్ణసంఖ్యలు లేవు. కాబట్టి శూన్యసమితి అవుతుంది.
(ii) శూన్యసమితి.
సహజసంఖ్యలలో 1కన్నా తక్కువైన సహజసంఖ్య లేదు. కాబట్టి శూన్యసమితి.
(iii) శూన్యసమితి.
2చే భాగించినపుడు శేషం సున్న వచ్చే బేసి సంఖ్యలు లేవు. కాబట్టి శూన్యసమితి.

ప్రశ్న 2.
క్రింది సమితులలో ఏవి పరిమిత సమితులో, ఏవి అపరిమిత సమితులో తెలపండి. నీ సమాధానానికి తగిన కారణాలు ఇవ్వండి. (పేజీ నెం. 44)
(i) A = {x : x ∈ N మరియు x < 100}
(ii) B = {x : x ∈ N మరియు x < 5}
(iii) C = {1², 2², 3², …….}
(iv) D = {1, 2, 3, 4}
(v) {x : x వారంలో ఒక రోజు}
సాధన.
(i) A = {x: x ∈ N మరియు x < 100} పరిమిత సమితి.
A సమితిలో 1 నుండి 99 వరకు గల సహజ సంఖ్యలు ఉంటాయి. అనగా A పరిమిత సంఖ్యలో 99 మూలకాలను కలిగి ఉంది. కావున పరిమిత సమితి అవుతుంది
(లేదా)
A = {x : x ∈ N మరియు x < 100}
A = {1, 2, 3, 4, ….., 98, 99}
A సమితి 99 మూలకాలను కలిగి ఉంది, కావున A పరిమిత సమితి.

(ii) B = {x : x ∈ N మరియు x < 5} పరిమిత సమితి.
సమితి B లో 1, 2, 3, 4, 5 అనే మూలకాలు మాత్రమే ఉంటాయి. B సమితి పరిమిత సంఖ్యలో 5 మూలకాలను కలిగి ఉంది. కావున పరిమిత సమితి.
(లేదా)
B = {x : x ∈ N మరియు x ≤ 5}
∴ B = {1, 2, 3, 4, 5}
B సమితిలో పరిమిత సంఖ్యలో 5 మూలకాలు కలవు. కావున B పరిమిత సమితి

(iii) C = {1², 2², 3², ………..}
అపరిమిత సమితి.
C సమితిలోని మూలకాలైన వర్గ సంఖ్యలు అనంతముగా ఉన్నాయి. కావున C అపరిమిత సమితి.

(iv) D = {1, 2, 3, 4}
పరిమిత సమితి సమితి D లో నాలుగు మూలకాలు కలవు. కావున పరిమిత సమితి,

(v) E = {x : x వారంలో ఒక రోజు పరిమిత సమితి}
సమితి E లో 7 మూలకాలు ఉంటాయి. (వారానికి 7 రోజులు) కావున పరిమిత సమితి
(లేదా )

E = {x : x వారంలో ఒక రోజు}
E = {ఆదివారం, సోమవారం, మంగళవారం, బుధవారం, గురువారం, శుక్రవారం, శనివారం}
E లో 7 మూలకాలు కలవు. కావున పరిమిత సమితి.
సూచన : ఒక సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్యను మనం నిర్ణయించగలిగితే ఆ సమితి పరిమిత సమితి అవుతుంది.
పై సమస్యలో n(A) = 99
n(B) = 5
n(C) = నిర్ణయించలేము
n(D) = 4
n(E) = 7

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమితులలో అపరిమిత సమితిని / చేయండి. (పేజీ నెం. 44)
(A) 10 కంటే తక్కువైన పూర్ణాంకాల సమితి
(B) 10 కంటే తక్కువైన ప్రధానసంఖ్యల సమితి
(C) 10 కంటే తక్కువైన పూర్ణసంఖ్యల సమితి
(D) 10 యొక్క కారణాంకాల సమితి
సాధన.
(A) x
(B) ×
(C) ✓
(D) X

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమితులలో ఏవి శూన్యసమితులు ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి. (పేజీ నెం. 44)
(i) A = {x : x² = 4 మరియు 3x = 9}.
(ii) ఒక తలంలోని మొత్తం త్రిభుజాలలో మూడు కోణాల మొత్తం 180° కంటే తక్కువైన త్రిభుజాల సమితి.
సాధన.
(i) A = {x : x² = 4 మరియు 3x = 9} శూన్యసమితి.
x² = 4 మరియు 3x = 9 అయ్యేటట్లు x విలువ వ్యవస్థితం కాదు. కావున Aలో ఎలాంటి మూలకాలు ఉండవు. కాబట్టి A శూన్యసమితి.
(ii) ఒక తలంలోని మొత్తం త్రిభుజాలలో మూడు కోణాల మొత్తం 180° కంటే తక్కువైన త్రిభుజాల సమితి శూన్యసమితి. ఏ త్రిభుజంలో అయినా మూడు కోణాల మొత్తం 180° కన్నా తక్కువగా ఉండవు. కాబట్టి శూన్యసమితి.

ప్రశ్న 2.
B = {x : x + 5 = 5} శూన్య సమితి కాదు. ఎందువలన ? (పేజీ నెం. 44)
సాధన.
x + 5 = 5 ⇒ x = 5 – 5
x = 0, B సమితిలో ‘0’ ఒక మూలకంగా కలదు కావున B శూన్యసమితి కాదు,
B = {0}

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
శూన్య సమితి పరిమిత సమితి అవుతుంది. ఈ వాక్యం సత్యమా ? లేదా అసత్యమా ? ఎందుకు? (పేజీ నెం. 44)
సాధన.
శూన్యసమితి పరిమిత సమితి. శూన్యసమితిలోని మూలకాల సంఖ్య సున్న (‘0’). సున్న ఒక పరిమిత సంఖ్య. కావున శూన్యసమితి పరిమిత సమితి.

(లేదా )

శూన్యసమితి పరిమిత సమితి కాదు అనుకొందాం. అప్పుడు శూన్యసమితి అపరిమిత సమితి అవుతుంది. అనగా శూన్యసమితిలో ‘అపరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలుంటాయి. కాని ఇది శూన్యసమితిలో మూలకాలు ఉండవు అనడానికి విరుద్దము. కావున శూన్యసమితి పరిమిత సమితి కాదు అనుకోవడం విరోధాభాసం.
∴ శూన్యసమితి పరిమిత సమితి.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
n(A), n(B), n(A ∩ B) మరియు n(A ∪ R)ల మధ్య సంబంధం ఏమిటి ? (పేజీ నెం. 45)
సాధన.
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) లేదా
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∪ D) లేదా
n(A ∪ B) + n(A ∩ B) = n(A) + n(B)

ప్రశ్న 2.
సమితులు A మరియు B లు వియుక్త సమితులైతే n(AUD) ని. ఎలా కనుగొంటారు ? (పేజీ నెం. 45)
సాధన.
A మరియు B సమితులు వియుక్త సమితులైన ఆ రెండు సమితులకు ఉమ్మడిగా ఎటువంటి మూలకాలు ఉండవు.
అనగా n (A ∩ B) = 0
అపుడు n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) నందు n(A ∩ B) = 0 ప్రతిక్షేపించగా n(A ∪ B) = n(A) + n(B) అగును.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
నీ తరగతి విద్యార్థులలో మంగళవారం పాఠశాలకు హాజరుకాని వారిని సమితి A అని, బుధవారం హాజరుకాని విద్యార్థుల సమితి B అనుకొందాం. అపుడు A = {రోజా, రాము, రవి} మరియు B = {రాము , ప్రీతి, హనీఫ్ } ఇపుడు మనం మంగళవారం లేక బుధవారం పాఠశాలకు హాజరుకాని విద్యార్థుల సమితి K, అనుకుంటే అపుడు రోజా ∈ K అవుతుందా ? రాము ∈ K అవుతుందా ? రవి ∈ K అవుతుందా ? హనీఫ్ ∈ K అవుతుందా ? ప్రీతి ∈ K అవుతుందా ? అఖిల ∈ K అవుతుందా ? (పేజీ నెం. 35&36)
సాధన.
రోజా, రాము, రవి, హనీఫ్ మరియు ప్రీతి అందరూ K సమితికి చెందుతారు. కాని అఖిల K సమితికి చెందదు. అందువలన, K = {రోజా, రాము, రవి, హనీఫ్, ప్రీతి}
ఇక్కడ మనం K ని A, B సమితుల సమ్మేళనం అంటారు. A, B సమితుల సమ్మేళనమనగా . A మరియు B సమితులలోని ఉమ్మడి ‘మూలకాలను ఒకేసారి తీసుకొని రెండింటిలోని మూలకాలన్నింటిని కలిగి వున్న సమితి అని అర్థం, సమితుల సమ్మేళనంను ‘µ’ గుర్తుతో సూచిస్తాం.

సంకేతంగా A UB అని రాస్తూ A యూనియన్ B అని చదువుతాం.
A ∪ B = {x : x ∈ A లేదా x ∈ B}

ప్రశ్న 2.
A = {2, 5, 6, 8} మరియు B = {5, 7, 9, 1} అయిన A ∪ B కనుగొనుము. పేజీ నెం. 36)
సాధన.
A ∪ B = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9}.
A ∪ B రాసేటపుడు A,B సమితులలోని ఉమ్మడి మూలకమైన 5ని ఒకేసారి తీసుకొన్నామని గమనించవచ్చు.

ప్రశ్న 3.
A = {a, e, i, 0, u} మరియు B = {a, i, u} అయిన A ∪ B = A అని చూపండి. (పేజీ నెం. 36)
సాధన.
A ∪ B = {a, e, i, 0, u} = A అవుతుంది.
ఈ ఉదాహరణ ద్వారా సమితి A మరియు దాని ఉప సమితి B ల సమ్మేళనం సమితి A అవుతుందని తెలుస్తుంది.
అంటే B ⊂ A అయితే A ∪ B = A.

ప్రశ్న 4.
A = {1, 2, 3, 4} మరియు B = {2, 4, 6, 8} అయిన A ∪ Bని వెన్ చిత్రాలలో వివరించండి. (పేజీ నెం. 36)
సాధన.

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

ప్రశ్న 5.
A = {5, 6, 7, 8} మరియు B = {7, 8, 9, 10} అయిన A ∩ B ని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 37)
సాధన.
A, B లలోని ఉమ్మడి మూలకాలు 7, 8.
∴ A ∩ B = {7, 8}.

ప్రశ్న 6.
A = {1, 2, 3} మరియు B = {3, 4, 5} అయిన A ∩ Bని వెన్ చిత్రాలలో వివరించండి. (పేజీ నెం. 37)
సాధన.
A, B సమితుల ఛేదనాన్ని వెన్ చిత్రాలలో క్రింది విధంలో చూపవచ్చు.

∴ A ∩ B = {3}.

ప్రశ్న 7.
A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6, 7} అనుకొనుము. A – Bని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 38)
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4, 5} మరియు B = {4, 5, 6, 7} అని ఇవ్వబడినవి.
‘A’ సమితికి మాత్రమే చెంది, సమితి ‘B’ కి చెందని మూలకాలను మాత్రం తీసుకొనాలి.
A – B = {1, 2, 3, 4, 5} – {4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3}.
∵ 4, 5 మూలకాలు B లో ఉన్నాయి.
కాబట్టి తీసుకోలేదు. అదేవిధంగా B – A అంటే, B సమితిలో ఉన్న మూలకాలను మాత్రమే తీసుకోవాలి.
B – A = {4, 5, 6, 7} – {1, 2, 3, 4, 5} .
B – A = {6, 7} (4, 5 మూలకాలు A లో ఉన్నాయి.)
A – B ≠ B – A అని గమనించండి.
A – B మరియు B – A ల వెన్ చిత్రం క్రింద చూపబడింది.

A – B = {1, 2, 3}
B – A = {6, 7}

ప్రశ్న 8.
క్రింది సమితులను తీసికుందాం. A = {p, q, r}, B = {q, p, r} (పేజీ నెం. 40)
సాధన.
పై సమితులలో A లోని ప్రతి మూలకం B లో కూడా ఉంది.
∴ A ⊆ B.
అదేవిధంగా సమితి B లోని ప్రతి మూలకం A లో కూడా ఉంది.
∴ B ⊆ A.

ప్రశ్న 9.
A = {1, 2, 3, ……} మరియు ‘N’ సహజ సంఖ్యా సమితి. అయిన A మరియు Nలు సమానమవుతాయేమో సరిచూడండి: (పేజీ నెం. 40)
సాధన.
రెండు సమితులలో మూలకాలు ఒకటి. కావున A మరియు N సమితులు రెండు కూడా సహజసంఖ్యా సమితులే. అందువలన సమితి A మరియు సమితి Nలు సమానం.
∴ A = N.

ప్రశ్న 10.
సమితులు A = {p, q, r, s} మరియు B= {1, 2, 3, 4} లు సమానమా ? (పేజీ నెం. 41)
సాధన.
సమితి A మరియు సమితి B లలో ఒకే మూలకాలు లేవు. కాబట్టి A ≠ B.

ప్రశ్న 11.
6 కంటే తక్కువైన ప్రధానాంకాల సమితిని A అనుకోండి. మరియు 30 కి ప్రధాన కారణాంకాలు గల సమితిని P అనుకోండి. A మరియు P సమానమా? సరిచూడండి. (పేజీ .నెం. 41)
సాధన.
6 కంటే తక్కువైన, ప్రధానాంకాల సమితి
A = {2, 3, 5}
30 కి ప్రధాన కారణాంకాలు 2, 3 మరియు 5. కావున
P= {2, 3, 5}
సమితి A మరియు Pలలో ఒకే రకమైన మూలకాలున్నాయి. కాబట్టి A మరియు P సమానం.

ప్రశ్న 12.
A = {x : x అనేది ‘ASSASSINATION అనే పదంలోని అక్షరం}
S = {x : x అనేది STATION అనే పదంలోని అక్షరం} అయిన A మరియు B సమితులు సమానం అని చూపండి. (పేజీ నెం. 41)
సాధన.
A = {x : x అనేది ‘ASSASSINATION’ అనే పదంలోని అక్షరం} అని ఇవ్వబడినది.
సమితి Aని ఈ విధంగా కూడా రాయవచ్చు.
A = {A,S, I, N,T,0}. ఎందుకంటే సమితిలోని మూలకాలు మరలా మరలా రాయకూడదు
B = {x : x అనేది STATION అనే పదంలోని అక్షరం} అని ఇవ్వబడింది.
B = {A, S,I, N,T,O} అని కూడా రా యవచ్చు కావున A మరియు B లోని మూలకాలు సమానం
A = B.

ప్రశ్న 13.
Φ, A = {1, 3}, B = {1, 5, 9}, C = {1, 3, 5, 7, 9} సమితులను తీసుకొందాం.. క్రింది ప్రతి సమితుల జతలలో C లేదా 4 గుర్తును ఉంచండి.
(i) Φ …… B
(ii) A …… B
(iii) A …… C
(iv) B …… C (పేజీ నెం: 41)
సాధన.
(i) Φ ⊂ B ఎందుకంటే శూన్య సమితి ప్రతి సమితికి ఉపసమితి అవుతుంది.
(ii) A ⊄ B, ఎందుకంటే 3 ∈ A కాని 3 ∉ B.
(iii) A ⊂ C, ఎందుకంటే 1, 3 ∈ A మరియు C.
(iv) B ⊂ C, ఎందుకనగా B లో ఉన్న ప్రతి మూలకం C లో కూడా ఉన్నది.

ప్రశ్న 14.
క్రింది సమితులలో ఏవి పరిమిత సమితులో, లేక అపరిమిత సమితులో పేర్కొనండి. (పేజీ నెం. 43)
(i) {x : x ∈ N మరియు (x – 1) (x – 2) = 0}
(ii) {x : x ∈ N మరియు x² = 4}
(iii) {x : x ∈ N మరియు 2x – 2 = 0}
(iv) {x : x ∈ N మరియు X ప్రధానసంఖ్య}
(v) {x : x ∈ N మరియు X బేసిసంఖ్య }
సాధన.
(i) ఈ సందర్భంలో X కి 1 లేదా 2 విలువలను – తీసుకోవచ్చు. కావున {1, 2} పరిమిత సమితి అవుతుంది. ఇది పరిమిత సమితి.
(ii) x² = 4 అనగా x = + 2 లేక – 2 కాని x ∈ N లేదా x ఒక సహజ సంఖ్య కాబట్టి {2}గా తీసుకోవాలి. ఇది కూడా పరిమిత సమితే,
(iii) దత్తసమితి x = 1 కాని 1 ∈ N కావున ఇది కూడా పరిమిత సమితి.
(iv) దత్తసమితిలో అన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి. ప్రధానసంఖ్యలు అనంతము కావున ఈ సమితి అపరిమిత సమితి.
(v) దత్తసమితిలో అనంతమైన బేసి సంఖ్యలున్నాయి. కావున ఈ సమితి కూడా అపరిమిత సమితియే.

ప్రశ్న 15.
A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {2, 4, 6, 8}; అయిన n(A ∪ B) కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 45)
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4, 5,} ⇒ n(A) = 5
B = {2, 4, 6, 8} ⇒ n(B) = 4
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} ⇒ n(AU B) = 7

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 2 సమితులు Exercise 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 2nd Lesson సమితులు Exercise 2.4

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమితులలో ఏవి శూన్యసమితులో, ఏవి కావో తెల్పండి.
(i) ఒక బిందువు గుండా వెళ్ళే సరళరేఖల సమితి
(ii) 2 చే భాగించబడే బేసి సహజ సంఖ్యల సమితి
(iii) {x : x ఒక సహజసంఖ్య, x < 5 మరియు x > 7}
(iv) {x : x ఏవేని రెండు సమాంతర రేఖల ఉమ్మడి బిందువు}
(v) సరి ప్రధాన సంఖ్యల సమితి
సాధన.
(i) శూన్యసమితి కాదు
(ii) శూన్యసమితి
(iii) శూన్యసమితి
(iv) శూన్యసమితి
(v) శూన్యసమితి కాదు

ప్రశ్న 2.
క్రింది సమితులలో ఏవి పరిమిత సమితులో, ఏవి అపరిమిత సమితులో తెలపండి.
(i) ఒక సంవత్సరంలోని నెలల సమితి
(ii) {1, 2, 3, ….. 99, 100}
(iii) 99 కంటే తక్కువగా గల ప్రధానసంఖ్యల సమితి
సాధన.
(i) పరిమిత సమితి
(ii) పరిమిత సమితి
(iii) పరిమిత సమితి

ప్రశ్న 3.
క్రింది సమితులలో ప్రతి సమితిని, పరిమిత సమితో
లేదా అపరిమిత సమితో తెల్పండి.
(i) ఆంగ్ల భాషలోని అక్షరాల సమితి
(ii) X – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే రేఖల సమితి
(iii) 5 యొక్క గుణిజాల సమితి
(iv) (0, 0) మూలబిందువు గుండా వెళ్ళే వృత్తాల సమితి
సాధన.
(i) పరిమిత సమితి
(ii) అపరిమిత సమితి
(iii) అపరిమిత సమితి
(iv) అపరిమిత సమితి

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 2 సమితులు Exercise 2.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 2nd Lesson సమితులు Exercise 2.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది వాటిలో సమసమితులు ఏవి?
i) A = {x : x అనేది ‘FOLLOW’ అనే పదంలోని ఒక అక్షరం}
(ii) B = {x : x అనేది ‘FLOW’ అనే పదంలోని ఒక అక్షరం} మరియు
(iii) C = {x : x అనేది ‘WOLF’ అనే పదంలోని ఒక అక్షరం}
సాధన.
(i) A = {F, O, L, W}
(ii) B = {F, L, 0, W}
(iii) C = {W, O, L, F}
A, B, C సమితులు ఒకే మూలకాలను కలిగి ఉన్నాయి.
∴ A = B = C.

ప్రశ్న 2.
క్రింది సమితులను పరిశీలించి, క్రింద ఇచ్చిన వాక్యాలు సరియగునట్లు = లేదా ≠ తో ఖాళీలను పూరించండి.
A = {1, 2, 3}; B = {మొదటి మూడు సహజ సంఖ్యలు} C = {a, b, c, d); D = {d, c, a, b} E= {a, e, i, 0, u}; F = {ఆంగ్లభాషలోని అచ్చుల సమితి}
(i) A …… B
సాధన.
A = B

(ii) A ……. E
సాధన.
A + E

(iii) C ……. D
సాధన.
C = D

(iv) D ….. F
సాధన.
D ≠ F

(v) F …… A
సాధన.
F ≠ A

(vi) D …… E
సాధన.
D ≠ E

(vii) F ……. B.
సాధన.
F ≠ B

ప్రశ్న 3.
క్రింద ఇచ్చిన ప్రతి సమితిలో A = B అవుతుందో, లేదో తెలపండి.
(i) A = {a, b, c, d} B = {d, c, a, b}
(ii) A = {4, 8, 12, 16} B = {8, 4, 16, 18}
(iii) A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {x : x ఒక ధన సరిపూర్ణ సంఖ్య మరియు x ≤ 10}
(iv) A = {x : x, 10 యొక్క గుణిజం} B = {10, 15, 20, 25, 30, ……}
సాధన.
(i) A = B
(ii) A ≠ B
(iii) A = B
(iv) A ≠ B

ప్రశ్న 4.
క్రింది వాక్యాలకు తగు కారణాలు పేర్కొనండి.
(i) {1, 2, 3, ……. 10} ≠ {x : x ∈ N మరియు 1 < x < 10}
(ii) {2, 4, 6, 8, 10} ≠ {x : x = 2n + 1 మరియు X ∈ N}
(iii) {5, 15, 30, 45} ≠ {x : x, 15 యొక్క గుణిజం}
(iv) {2, 3, 5, 7, 9} ≠ {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య}
సాధన.
(i) {1, 2, 3, …… 10} ≠ {x : x ∈ N మరియు 1 {1, 2, 3……. 10} ≠ {2, 3, 4, …..9}
రెండవ సమితిలో 1 మరియు 10 మూలకాలు లేవు.

(ii) {2, 4, 6, 8, 10} ≠ {x : x = 2n + 1 మరియు X E N}
{2, 4, 6, 8, 10} ≠ {3, 5, 7, 9, …..} 1)
(1) మొదటి సమితి 10లోపు సరిసంఖ్యలను సూచించగా, రెండవ సమితి 1తప్ప మిగిలిన బేసి సంఖ్యలను సూచిస్తున్నది.
(లేదా)
(2) మొదటి సమితి పరిమిత సమితి, రెండవ సమితి అపరిమిత సమితి.
(లేదా )
(3) మొదటి సమితి సరిసంఖ్యను సూచించగా, రెండవ సమితి బేసి సంఖ్యను సూచిస్తుంది.

(iii) {5, 15, 30, 45} ≠ {x : x, 15 యొక్క గుణిజం}
{5, 15, 30, 45} ≠ {15, 30, 45, 60 …… 1)
(1)మొదటి సమితిలో 5 అనే మూలకం 15 . యొక్క గుణిజం కాదు
(లేదా)
(2) మొదటి సమితిలోని 5 అనే మూలకం .రెండవ సమితిలో ఉండదు
(లేదా)
(3) మొదటి సమితి పరిమిత సమితి రెండవ సమితి అపరిమిత సమితి.

(iv) {2, 3, 5, 7, 9} ≠ {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య }
{2, 3, 5, 7, 9} ≠ {2, 3, 5, 7, 11, ……}
(1) మొదటి సమితిలోని 9 అనే మూలకం ప్రధాన సంఖ్య కాదు.
(లేదా)
(2) మొదటి సమితిలోని 9 అనే మూలకం రెండవ సమితిలో ఉండదు.
(లేదా)
(3) మొదటి సమితి పరిమిత సమితి. రెండవ సమితి అపరిమిత సమితి.

ప్రశ్న5.
క్రింది సమితులకు గల ఉపసమితులన్నింటి జాబితాను రాయండి.
(i) B = {p, q}
(ii) C = {x, y, z}
(iii) D = {a, b, c, d}
(iv) E = {1, 4, 9, 16}
(v) F = {10, 100, 1000}
సాధన.
(i) B = {p, q}
B యొక్క ఉపసమితులు
Φ,
{p}, {q}
{p, q}

(ii) C = {x, y, z}
C యొక్క ఉపసమితులు
Φ,
{x}, {y}, {x}
{x, y}, {x, Z}, {y, Z}
{x, y, z}

(iii) D = {a, b, c, d)
D యొక్క ఉపసమితులు
Φ,
{a}, {b}, {C}, {d}
{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d),
{a, b, c}, {a, c, d}, {a, b, d}, {b, c, d}
{a, b, c, d)

(iv) E = {1, 4, 9, 16}
E యొక్క ఉపసమితులు
Φ,
{1}, {4}, {9}, {16}
{1, 4}, {1, 9}, {1, 16}, {4, 9} {4, 16}, {9, 16}
{1, 4, 9}, {1, 9, 16}, {1, 4, 16 )
{4, 9, 16}
{1, 4, 9, 16}

(v) F = {10, 100, 1000}
F యొక్క ఉపసమితులు
Φ,
{10}, {100}, {1000}
{10,100}, {10, 1000}, {100, 1000};
{10, 100, 1000}
సూచన:
ఒక సమితిలో n మూలకాలుంటే ఆ సమితి యొక్క ఉపసమితుల సంఖ్య 2ⁿ.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 2 సమితులు Exercise 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 2nd Lesson సమితులు Exercise 2.2

ప్రశ్న 1.
A = {1, 2, 3, 4}; B = {1, 2, 3, 5, 6} అయిన A ∩ Bమరియు B ∩ A లను కనుగొనండి. రెండూ సమానమా ?
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5, 6}
A ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ {1, 2, 3, 5, 6}
= {1, 2, 3)
B ∩ A = {1, 2, 3, 5, 6} ∩ {1, 2, 3, 4}
= {1, 2, 3}
∴ A ∩ B = B ∩ A.

ప్రశ్న 2.
A = {0, 2, 4}, A ∩ Φ మరియు A ∩ A- కనుగొనుము. వ్యాఖ్యానించండి.
సాధన.
A = {0, 2, 4} June 2016, 15
A ∩ Φ = {0, 2, 4} ∩ { } = { }
A ∩ Φ = Φ
ఒక సమితి, శూన్యసమితుల ఛేదనం శూన్యసమితి.
A ∩ A = {0, 2, 4} ∩ {0, 2, 4}
= {0, 2, 4} = A
A ∩ A = A
∴ ఒక సమితి మరియు అదే సమితుల ఛేదనం మళ్ళీ అదే సమితి అవుతుంది.

ప్రశ్న 3.
A = {2, 4, 6, 8, 10} మరియు B= {3, 6, 9, 12, 15} అయిన A – B మరియు B – A లను కనుగొనుము.
సాధన.
A = {2, 4, 6, 8, 10}; B = {3, 6, 9, 12, 15}
A – B = {2, 4, 6, 8, 10} – {3, 6, 9, 12, 15}
= {2, 4, 8, 10}
B – A = {3, 6, 9, 12, 15} – {2, 4, 6, 8, 10}
= {3, 9, 12, 15}
A – B ≠ B – A.

ప్రశ్న 4.
A మరియు Bలు రెండు సమితులు, A ⊂ B అయిన A ∪ B ఎంత?
సాధన.
A మరియు B లు రెండు సమితులు. A ⊂ B అయిన A ∪ B = B

ప్రశ్న 5.
A = {x : x ఒక సహజసంఖ్య}
B = {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య}
C = {x : x ఒక బేసి సహజ సంఖ్య}
D = {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య} అయిన క్రింది వాటిని కనుగొనండి.
A ∩ B, A ∩ C, A ∩ D, B ∩ C, B ∩ D, C ∩ D.
సాధన.
A = {x : x ఒక సహజసంఖ్య } = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…………}
B = {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య} = {2, 4, 6, ……………..}
C = {x : x ఒక బేసి సహజసంఖ్య } = {1, 3, 5, 7, …………..}
D = {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య } = {2, 3, 5, 7, ………………}

(i) A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ……….} ∩ {2, 4, 6, ………….}
= {2, 4, 6, …………….}
A ∩ B = {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య }

(ii) A ∩ C = {1, 2, 3, 4, 5, ………..} ∩ {1, 3, 5, ………}
= {1, 3, 5, ………}
A ∩ C = {x : x ఒక బేసి సహజసంఖ్య }

(iii) A ∩ D = {1, 2, 3, 4, 5, ……….} ∩ {2, 3, 5, 7, ………….}
= {2, 3, 5, 7, …………….}
A ∩ D = {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య}

(iv) B ∩ C = {2, 4, 6, ……} ∩ {1, 3, 5, …….}
= Φ
B ∩ C = Φ

(v) B ∩ D = {2, 4, 6, …………} ∩ {2, 3, 5, 7, ……………}
= {2}
B ∩ D = {x : x ఒక సరి ప్రధానసంఖ్య }

(vi) C ∩ D = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ….} ∩{1, 3, 5, 7, 11, ……}
= {3, 5, 7, 11 ………}
C ∩ D = {x: X ఒక బేసి ప్రధానసంఖ్య }

2వ పద్ధతి :
A = {x : x ఒక సహజసంఖ్య}
B = {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య}
C = {x : x ఒక బేసి సహజసంఖ్య}
D = {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య}
B ⊂ A, C ⊂ A, D ⊂ A మరియు B, C,లు’ వియుక్త సమితులు అవుతాయి కావున,
A ∩ B = B = {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య}
A ∩ C = C = {x : x ఒక బేసి సహజసంఖ్య}
A ∩ D = D = {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య}
B ∩ C = Φ
B ∩ D = {x : x ఒక సరి ప్రధానసంఖ్య} = {2}
C ∩ D = {x : x ఒక బేసి ప్రధానసంఖ్య } = {3, 5, 7, 11, …………..}

3వ పద్దతి :
A = {x : x ఒక సహజసంఖ్య}
B = {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య }
C = {x : x ఒక బేసి సహజసంఖ్య }
D = {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య}
(i) A ∩ B = {x : x ఒక సహజసంఖ్య మరియు సరి సహజసంఖ్య}
= {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య}
(ii) A ∩ c = {x: x ఒక సహజసంఖ్య మరియు బేసి సహజసంఖ్య}
= {x : x ఒక బేసి సహజసంఖ్య}
(iii) A ∩ D = {x : X ఒక సహజన గఖ్య మరియు ప్రధానసంఖ్య}
= {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య }
(iv) B ∩ C = {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య మరియు బేసి సహజసంఖ్య}.
(v) B ∩ D = {x: X ఒక సరి సంఖ్య మరియు ప్రధాన సంఖ్య }
= {2}
(vi) C ∩ D = {x : x ఒక బేసి సహజసంఖ్య మరియు ప్రధానసంఖ్య}
= {x : x ఒక బేసి ప్రధాన సంఖ్య }

4వ పద్దతి :
వెన్ చిత్రం ద్వారా సాధించడం. A = {x : x ఒక సహజసంఖ్య}
B = {x: X ఒక సరి సహజసంఖ్య}
C = {x: X ఒక బేసి సహజసంఖ్య}
D = {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య}
B, C, D లు A కి ఉపసమితులు.
కావున A విశ్వసమితి అవుతుంది. ఈ

(i) A ∩ B = {2, 4, 6, 8, ……….}
= {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య }

(ii) A ∩ C = {1, 3, 5, 7, 9, ….}
= {x : x ఒక బేసి సహజసంఖ్య }

(iii) A ∩ D = {2, 3, 5, 7, ……….}
= {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య }

(iv) B ∩ C = { } = Φ

(v) B ∩ D = {2}
= {x : x ఒక సరి ప్రధానసంఖ్య }

(vi) C ∩ D = {3, 5, 7, ………}
= {x : x ఒక బేసి ప్రధాన సంఖ్య}

ప్రశ్న 6.
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21};
B = {4, 8, 12, 16, 20};
C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16};
D = {5, 10, 15, 20} అయిన క్రింది వానిని కనుగొనుము.
(i) A – B
(ii) A – C
(iii) A – D
(iv) B – A
(v) C – A
(vi) D – A
(vii) B – C
(viii) B – D
(ix) C – B
(x) D – B
సాధన.
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
B = {4, 8, 12, 16, 20}
C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
D = {5, 10, 15, 20}

(i) A – B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {3, 6, 9, 15, 18, 21}

(ii) A – C = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {3, 9, 15, 18, 21}

(iii) A – D = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {5, 10, 15, 20}
= {3, 6, 9, 12, 18, 21}

(iv) B- A = {4, 8, 12, 16, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {4, 8, 16, 20}

(v) C – A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {2, 4, 8, 10, 14, 16}

(vi) D – A = {5, 10, 15, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {5, 10, 20}

(vii) B – C = {4, 8, 12, 16, 20} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {20}

(viii) B – D = {4, 8, 12, 16, 20} – {5, 10, 15, 20}
= {4, 8, 12, 16}

(ix) C – B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {2, 6, 10, 14}

(x) D – B = {5, 10, 15, 20} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {5, 10, 15}

ప్రశ్న 7.
క్రింద ఇవ్వబడిన వాక్యాలు సత్యమా లేక అసత్యమా ? తెలపండి. మీ సమాధానాలను సమర్ధించండి..
(i) {2, 3, 4, 5} మరియు {3, 6} లు వియుక్త సమితులు
(ii) {a, e, i, 0, u} మరియు {a, b, c, d)లు వియుక్త సమితులు.
(iii) {2, 6, 10, 14} మరియు {3, 7, 11, 15} లు వియుక్త సమితులు.
(iv) {2, 6, 10} మరియు {3, 7, 11} లు వియుక్త సమితులు.
సాధన.
(i) {2, 3, 4, 5} మరియు {3, 6} లు వియుక్త సమితులు.
అసత్యం.
రెండు సమితులలో 3 ఉమ్మడి మూలకంగా కలదు. కావున వియుక్త సమితులు కావు.

(ii) {a, e, i, o, u} voBoo {a, b, c, d}.co వియుక్త సమితులు.
అసత్యం.
రెండు సమితులలోను a ఉమ్మడి మూలకంగా కలదు. కావున వియుక్త సమిత, కావు.

(iii) {2, 6, 10, 14} మరియు {3, 7, 11, 15} లు వియుక్త సమితులు.
సత్యం.
రెండు సమితులలో ఉమ్మడి మూలకాలు లేవు. . కావున వియుక్త సమితులు.

(iv) {2, 6, 10} మరియు {3, 7, 11} లు వియుక్త సమితులు. .
సత్యం .
రెండు సమితులలో ఉమ్మడి మూలకాలు లేవు. కావున వియుక్త సమితులు.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 2 సమితులు Exercise 2.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 2nd Lesson సమితులు Exercise 2.1

ప్రశ్న 1.
క్రింది వాటిలో ఏవి సమితులు ? మీ సమాధానాన్ని -సహేతుకంగా సమర్థించండి.
(i) “J” అనే అక్షరంతో ప్రారంభమయ్యే ఒక సంవత్సరంలో గల అన్ని నెలల సమూహాలు.
(ii) భారతదేశంలో గల అత్యంత ప్రతిభావంతులైన 10 మంది రచయితల సమూహం.
(iii) ప్రపంచంలో గల 11 మంది బాగా క్రికెట్ ఆడేటటువంటి “బ్యాట్స్మమెన్”ల టీమ్.
(iv) నీ తరగతిలో గల అందరు బాలుర సముదాయం .
(v) అన్ని సరి పూర్ణ సంఖ్యల సముదాయం .
సాధన.
(i) సమితి. {January, June, July}
సంవత్సరంలోని ఏ నెల అయిన దత్తసమితికి చెందుతుందో, లేదో నిర్ధారించవచ్చును. కావున సునిర్వచితము. కాబట్టి సమితి అవుతుంది.

(ii) సమితి కాదు.
భారతదేశంలో గల రచయితలలో 10 మంది అత్యంత ప్రతిభావంతులను నిర్ధారించలేము. అనగా ఇది సునిర్వచితం కాదు. కాబట్టి సమితి కాదు.

(iii) సమితి కాదు.
ప్రపంచంలో గల 11 మంది బాగా ఆడే బ్యాట్స్మ న్లను నిర్ధారించలేము. అనగా ఇది సునిర్వచితం కాదు. కాబట్టి సమితి కాదు.

(iv) సమితి.
ఏ బాలుడైనా మా తరగతికి చెందుతాడా, లేదా అని సులభంగా నిర్ధారించగలను. కావున ఇది • సునిర్వచితము. కాబట్టి సమితి అవుతుంది.

(v) సమితి.
ఎన్నుకొన్న ఏ పూర్ణసంఖ్య అయిన సరిసంఖ్య అవునా, కాదా అని నిర్ణయించవచ్చును. అనగా ఇది సునిర్వచితము. కాబట్టి సమితి అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
A= {0, 2, 4, 6}, B = {3, 5, 7}, C = {p, q, r} అయిన క్రింది ఖాళీలలో 6 లేదా ? సరైన గుర్తును పూరించండి.
(i) 0 …… A
సాధన.
∈

(ii) 3 ….. C
సాధన.
∉

(iii) 4 ….. B
సాధన.
∉

(iv) 8 ….. A
సాధన.
∉

(v) p ….. C
సాధన.
∈

(vi) 7 ….. B
సాధన.
∈

ప్రశ్న 3.
క్రింది వాక్యాలను గుర్తులనుపయోగించి వ్యక్తపరచండి.
(i) ‘x’ అనే మూలకం ‘A’కు చెందదు.
సాధన.
x ∉ A

(ii) ‘d’ అనేది ‘B’ సమితి యొక్క ఒక మూలకం.
సాధన.
D ∈ B

(iii) ‘1’ అనేది సహజ సంఖ్యాసమితి N కు చెందుతుంది.
సాధన.
1 ∈ N

(iv) ‘8’ అనేది P అనే ప్రధాన సంఖ్యల సమితికి చెందదు.
సాధన.
8 ∉ P

ప్రశ్న 4.
క్రింది వాక్యాలు సత్యమా ? అసత్యమా ? తెలపండి.
(i) 5 ∉ ప్రధాన సంఖ్యల సమితి
సాధన.
అసత్యం

(ii) S = {5, 6, 7} ⇒ 86 S.
సాధన.
అసత్యం

(iii) – 5 ∉ W, ‘W’ సమితి పూర్ణాంకాల సమితి.
సాధన.
సత్యం

(iv) \(\frac{8}{11}\)∈ Z, ‘Z’ అనేది పూర్ణసంఖ్యల సమితి.
సాధన.
అసత్యం

ప్రశ్న 5.
క్రింది సమితులను రోస్టర్ రూపంలో రాయండి.
(i) B = {x : x అనేది 6 కంటే తక్కువైన సహజసంఖ్య }
(ii) C = {x : x అనేది ఒక రెండంకెల సహజసంఖ్య మరియు రెండంకెల మొత్తం 8}
(iii)D ={x : x. అనేది 60ని భాగించగల ఒక ప్రధానసంఖ్య}
(iv) E= {BETTER అనే పదంలోని మొత్తం అక్షరాలు}
సాధన.
(i) B = {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) C = {17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80}
(iii) D = {2, 3, 5}
(iv) E = {B, E, T, R}

ప్రశ్న 6.
క్రింది సమితులను సమితి నిర్మాణ రూపంలో రాయండి.
(i) {3, 6, 9, 12}
(ii) {2, 4, 8, 16, 32}
(iii){5, 25, 125, 625}
(iv){1, 4, 9, 16, 25, ….. 100}
సాధన.
(i) A = {3, 6, 9, 12} అనుకొనుము.
A = {x : x అనేది 3 యొక్క గుణిజం మరియు x < 13}
(లేదా)
A = {x : x = 3n, n ∈ N మరియు n < 5}
(లేదా)
A = {x : x అనేది 13 కన్నా చిన్నదైన 3 యొక్క గుణిజం}

(ii) B = {2, 4, 8, 16, 32} అనుకొనుము.
B = {x : x = 2ⁿ, n ∈ N మరియు n <6}
(లేదా)
B = {x : x = 2ⁿ, n అనేది 6 కన్నా తక్కువైన సహజ సంఖ్య}

(iii) C = {5, 25, 125, 625} అనుకొంటే
C = {x : x = 5ⁿ, n ∈ N మరియు n <5}
(లేదా)
C = {x : x = 5ⁿ, n అనేది 5 కన్నా తక్కువైన సహజ సంఖ్య}

(iv) D = {1, 4, 9, 16, 25, …., 100} అనుకొంటే
D = {x : x అనేది ఒక వర్గ సంఖ్య మరియు x ≤ 100}
(లేదా)
D = {x : x = n, n ∈ N మరియు n ≤ 10}

ప్రశ్న 7.
క్రింది సమితులలోని మూలకాలన్నింటిని రోస్టర్ రూపంలో రాయండి.
(i) A = {x : x అనేది 50 కంటే ఎక్కువ, 100 కంటే తక్కువ అయిన సహజసంఖ్య }
(ii) B = {x : x ఒక పూర్ణసంఖ్య మరియు x* = 4}
(iii)D = {x : x అనేది “LOYAL” అనే పదంలోని ఒక అక్షరం}
సాధన.
(i) A = {51, 52, 53, 54 ………. 98, 99}
(ii) B = {-2, + 2}
(iii) D = {L, O, Y, A}

ప్రశ్న 8.
రోస్టర్ రూపం నుండి సమితి నిర్మాణరూపానికి జతపరచండి.

సాధన.
(i) c
(ii) a
(iii) d
(iv) b

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
n ఒక సహజ సంఖ్యగా కలిగిన సంఖ్య 6ⁿ యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 5 ఉంటుందా ? కారణాలు తెలపండి.
సాధన.
6ⁿ = (2 × 3)ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ
6ⁿ యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 5 ఉండదు.
కారణం:
n ఒక సహజ సంఖ్య అయిన 6ⁿ యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలలో 5 లేదు.

ప్రశ్న 2.
7 × 5 × 3 × 2 + 3 అనేది సంయుక్త సంఖ్య అగునా? నీ జవాబును సమర్థించండి.
సాధన.
7 × 5 × 3 × 2 + 3 = 3 (7 × 5 × 2 + 1)
= 3 × (70 + 1)
= 3 × 71
7 × 5 × 3 × 2 + 3 యొక్క కారణాంకాలు 3 మరియు 71. కావున సంయుక్త సంఖ్య అవుతుంది.

ప్రశ్న 3.
2√3 + √5 ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి. ఇదేవిధంగా (2√3 + √5) (2√3 – √5) అకరణీయ మగునో, కరణీయమగునో సరిచూడండి.
సాధన.
(i) 2√3 + √5 = x, x, ఒక అకరణీయ సంఖ్య అనుకుందాము.
2√3 = x – √5
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా,
(2√3)² = (x – √5)²
12 = x² – 2√5 x +5
2√5x = x² + 5 -12
√5 = \(\frac{x^{2}-7}{2 x}\)
x అకరణీయ సంఖ్య అయితే \(\frac{x^{2}-7}{2 x}\) ఒక అకరణీయ సంఖ్య కావున √5 అకరణీయ సంఖ్య. ఇది √5 ఒక కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము. కావున మన ఊహ 2√3 + √5 అకరణీయ సంఖ్య అనడం విరోధాభాసం.
∴ 2√3 + √5 ఒక కరణీయ సంఖ్య.

(ii) (2√3 + √5) (2√3 – √5)
= (2√3) – (√5)
= 12 – 5 = 7
ఒక అకరణీయ సంఖ్య కావున (2√3 + √5) (2√3 – √5) అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.

ప్రశ్న 4.
x² + y² = 6xy అయిన 2 log (x + y) = log x + log y + 3 log 2 అని చూపండి.
ధన.
x² + y² = 6xy
x² + y² + 2xy = 6xy + 2xy
(x + y)² = 8xy
ఇరువైపులా log తీసుకొనగా
log (x + y)² = log 8xy
2 log(x + y) = log 8 + log x + log y
[∵ log x^m = m log x]
[∵ log xy = log x + log y]
= log 2³ + log x + log y
= 3 log 2 + log x + log y
∴ 2 log(x + y)= log x + log y + 3 log 2

ప్రశ్న 5.
log₁₀ 2 = 0.3010 అయిన 4²⁰¹³ సంఖ్యలో ఎన్ని అంకెలుంటాయో తెలపండి.
సాధన.
x = 4²⁰¹³ అనుకుందాము
log x = log 4²⁰¹³
= log (2²)²⁰¹³
= log 2⁴⁰²⁶
= 4026 log 2 [∵ log x^m = m logy)
= 4026 × 0.3010 [ log 2 = 0.3010]
log x = 1211.826
log x యొక్క లాక్షణిక (పూర్ణాంకభాగం) 1211.
కావున X లో 1211 + 1 = 1212 అంకెలుంటాయి.
∴ 4²⁰¹³ సంఖ్యలో 1212 అంకెలుంటాయి.
సూచన :
ఒక సంఖ్య సంవర్గమానంలో పూర్ణాంక భాగం గురించి, దశాంశ భాగం గురించి మీ ఉపాధ్యాయుడిని అడిగి తెలుసుకోండి.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 1 పూర్ణ సంఖ్యలు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
a = bq + r అయ్యే విధంగా ధనపూర్ణ సంఖ్యలు a మరియు b లకు అనుగుణంగా q మరియు r ల విలువలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 3)
(i) a = 13, b = 3
(ii) a = 8, b = 80
(iii) a = 125, b = 5
(iv) a = 132, b= 11
సాధన.
(i) a = 13, b = 3

∴ 13 = 3(4) + 1
ఇది a = bq + r
రూపంలో ఉంది. ఇచ్చట q = 4, r = 1.2

(ii) a = 80, b = 8 అని తీసుకొనవలెను.

∴ 80 = 8(10) + 0 ను
a = bq + r తో పోల్చగా
q = 10; r = 0

iii) a = 125, b = 5

∴ 125 = 5(25) + 0 దీనిని 125
a = bq + r తో పోల్చగా .
q = 25; r = 0 అగును

(iv) a = 132, b = 11

∴ 132 = 11(12) + 0 దీనిని
132 a = bq + r తో పోల్చగా
q = 12; r = 0 అగును

ప్రశ్న 2.
యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయాన్ని ఉపయోగించి క్రింది వాటి యొక్క గ.సా.భాను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 4)
(i) 50 మరియు 70
(ii) 96 మరియు 72
(iii) 300 మరియు 550
(iv) 1860 మరియు 2015
సాధన.
యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయం ప్రకారం ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క గ.సా.భా కనుగొనాలంటే (a, b) లకు వాటిని a = bq + r రూపంలో వ్రాసి ఆ తదుపరి b = rs + t మరియు r = tu + v … రూపంలో వ్రాసి చివరకు శేషం ‘0’ వచ్చునంత వరకు (అనగా K = LM + 0 రూపం వరకు) చేయాలి. అపుడు ‘L’ అనునది a, b ల యొక్క గ.సా.భా అగును.

i) 50 మరియు 70
a = 70, b = 50 వీటిని a = bq + r రూపంలో వ్రాయగా
70 = 50 (1) + 20
50 = 20(2) + 10
20 = 10 (2) + 0
∴ 50, 70 ల గ.సా.భా = 10

(ii) 96 మరియు 72 ఇచ్చట a = 96; b = 72 వీటిని
a = bq + r రూపంలో వ్రాయగా
96 = 72(1) + 24
72 = 24 (3) + 0
కావున 96, 72ల గ.సా.భా = 24

(iii) 300 మరియు 550; a = 550; b = 300
వీటిని a = bq + r రూపంలో వ్రాయగా
550 = 300 (1) + 250
300 = 250 (1) + 50
250 = 50(5) + 0
∴ 300, 550 ల గ.సా.భా = 50

(iv) 1860 మరియు 2015
a = 2015, b = 1860 వీటిని a = bq + r రూపంలో వ్రాయగా,
2015 = 1860(1) + 155
1860 = 155(12) + 0
కావున 2015, 1860 ల గ.సా.భా = 155

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
పై “ఇవి చేయండి’ లోని q మరియు / ల స్వభావం ఏమిటి ? (పేజీ నెం. 3)
సాధన.
ఇవి చేయండిలో ఇవ్వబడిన ప్రతి a, b విలువలకు p మరియు r పూర్ణాంకాలు మరియు ఏకైకాలు అనగా ప్రతి a, b విలువలకు a = bq + r అయ్యే విధంగా q, r లకు సంబంధించి ఒకే ఒక విలువ చొప్పున వ్యవస్థితమగును.

ప్రశ్న 2.
1.2 మరియు 0.12ల గ.సా.భాను మీరు కనుగొనగలరా? మీ జవాబును సమర్ధించండి. (పేజీ నెం. 4)
సాధన.
1.2 మరియు 0.12ల గ.సా.భా కనుగొనగలము. 1.2 = 0.12(10) + 0; 1.2, 0.12లు పూర్ణాంకాలు కానప్పటికి వాటి గ.సా.భాను భాగహార పద్దతిన కనుగొనవచ్చు.
ఉదా : 1.2లీ Pepsi bottle ను, 0.12లీ. మరొక చిన్న’ water bottle నింపుటకు తీసుకొనవలసిన మరొక కొలపాత్ర గరిష్ట ఘ||ప = దాని గ.సా.భాయే.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయంలోని a = bq + r లో r = 0 అయిన a, b మరియు q మధ్య సంబంధం ఏమిటి ? (పేజీ నెం. 6)
సాధన.
a = bq + r నందు r = 0 అయిన a = bq అగును. అనగా \(\frac{a}{b}\) = q. అంటే ‘a’ ని ప నిశ్శేషంగా భాగిస్తుందని అర్థం.
∴ ‘a’ కు b ఒక కారణాంకం మరియు q కూడా మరొక కారణాంకం అగును.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
2310 ను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంగా రాయండి. ఈ సంఖ్యను నీ స్నేహితులు ఏవిధంగా కారణాంకాల లబ్ధంగా రాశారో చూడండి. నీవు చేసినట్లుగానే వారు కూడా చేశారా? చివరి ఫలితాన్ని, నీ స్నేహితుల ఫలితంతో సరిచూడుము. దీని కొరకు 3 లేదా 4 సంఖ్యలను తీసుకొని ప్రయత్నించుము. నీవు ఏమి గమనిస్తావు ? (పేజీ నెం. 7)
సాధన.

2310 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11
2310 = 3 × 5 × 2 × 7 × 11

2310 = 5 × 2 × 3 × 11 × 7
2310 = 11 × 3 × 7 × 2 × 5
2310 ని వేర్వేరు విధాలుగా ప్రధాన కారణాంకాల లబంగా రాసినప్పుడు ప్రధాన కారణాంకాల క్రమం మారిందే కాని ప్రధాన కారణాంకాలు మారలేదు. అనగా 2310ని ప్రధాన కారణాంకాల లంగా ఒకే విధంగా రాయవచ్చును.

ప్రశ్న 2.
ఇవ్వబడిన సంఖ్యల జతల యొక్క క.సా.గు మరియు గ.సా.భా లను ప్రధాన కారణాంక పద్ధతి ఆధారంగా కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 8)
(i) 120, 90
(ii) 50, 60
(iii) 37, 49
సాధన.
(i) 120, 90
120, 90 వీటిని ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధ పద్ధతిలో వ్రాయగా
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2³ × 3¹ × 5¹
90 = 2 × 3 × 3 × 5 = 2¹ × 3² × 5¹
గ.సా.కా = ఉమ్మడి (సామాన్య) కారణాంకాల కనిష్ఠ ఘాతాల లబ్దం
∴ 120, 90 లలో గల ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకాలు = 2, 3, 5
2, 3, 5 లలో కనిష్ఠ ఘాతాలు = 2¹, 3¹, 5¹
∴ గ.సా.కా = 2 × 3 × 5 = 30
120, 90 ల గ.సా.కా = 30
క.సా.గు = అన్ని ప్రధాన కారణాంకాల గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్దం 120, 90 లలో గల అన్ని ప్రధాన కారణాంకాలు = 2, 3, 5
2, 3, 5 ల గరిష్ఠ ఘాతాలు = 2³, 3², 5¹ .
∴ 120, 90 ల క.సా.గు = 2³ × 3² × 5¹
= 8 × 9 × 5 = 360
120, 90 ల క.సా.గు = 360.

(ii) 50, 60
50, 60 వీటిని ప్రధాన కారకాలు లజ్జ పద్దతిలో వ్రాయగా
50 = 2 × 5 × 5 = 2¹ × 5² = [2¹] × 5²
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3¹ × [5¹]
50, 60 లలో గల ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకాలు = 2, 5 2, 3 ల యొక్క కనిష్ఠ ఘాతాంకాల లబ్దం = 2 × 5 = 10
∴ 50, 60 ల గ.సా.కా = 10
50, 60 లలో గల అన్ని ప్రధాన కారణాంకాలు = 2, 3, 5
2, 3, 5ల ఘాతాలలో గరిష్ఠ ఘాతాలు = 2², 3, 5²
∴ 2, 3, 5 ల గరిష్ఠ ఘాతాల-లబ్ధం = 2² × 3 × 5² = 300
∴ 50, 60 ల క.సా.గు = వాటి యొక్క అన్ని ప్రధాన కారణాంకాల గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్దం = 300.

(iii) 37, 49
37, 49 లను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధ పద్ధతిలో వ్రాయగా
37 = 37 × 1; 49 = 7² × 1
37, 49 లలో గల సామాన్య కారణాంకం = 1
∴ 1 యొక్క కనిష్ఠ ఘాతాంకం కూడా ఒకటే కావున 37, 49ల గ.సా. కా = 1 మరియు
37, 49ల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారణాంకాలు = 37, 1, 7
37, 1, 7 ల యొక్క గరిష్ట ఘాతాలు = 37¹, 1¹, 7²
∴ 37, 7 ల యొక్క గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం = 37 × 7² = 1813
∴ 37, 49 ల క.సా.గు = 1813.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
‘n’ మరియు ‘m’ ఏవేని సహజ సంఖ్యలకు 3ⁿ × 4^m యొక్క ఫలిత సంఖ్య ) లేదా 5 తో అంతం కాదని చూపుము. (పేజీ నెం. 8)
సాధన.
3ⁿ × 4^m = 3ⁿ × (2²)^m
= 3ⁿ × 2^2m a
= 3ⁿ × 2^m × 2^m
అనగా పై లబ్దంలో 2, మరియు 3 అనే ప్రధాన కారణాంకాలు మాత్రమే గలవు. కాని ఒక సంఖ్య ‘0’ లేదా ‘5’ తో అంతం కావలెనన్న దాని ప్రధాన కారణాంకాలలో 5 ఖచ్చితంగా ఉండాలి.
కాని 3ⁿ × 4^m ఫలిత సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలలో 5 లేదు. కావున దాని ఫలిత సంఖ్య ‘0’ లేదా ‘5’ తో అంతం కాదు.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
కింది అంతమొందే దశాంశాలను అకరణీయ సంఖ్యలుగా (\(\frac{p}{q}\), q# 0 మరియు p, q లు సాపేక్ష ప్రధానాంకాలు) రాయండి. (పేజీ నెం. 10)
(i) 15.265
(ii) 0.1255
(iii) 0.4
(iv) 23.34
(v) 1215.8
సాధన.
(i) 15.265 = \(\frac{15265}{10^{3}}=\frac{5 \times 43 \times 71}{2^{3} \times 5^{3}}\)
= \(\frac{3053}{200}\)

(ii) 0.1255 = \(\frac{1255}{10^{4}}=\frac{5 \times 251}{2^{4} \times 5^{4}}=\frac{251}{2000}\)

(iii) 0.4 = \(\frac{4}{10}=\frac{2 \times 2}{5 \times 2}=\frac{2}{5}\)

(iv) 23.34 = \(\frac{2334}{10^{2}}=\frac{2 \times 3 \times 389}{2^{2} \times 5^{2}}\)
= \(\frac{1167}{50}\)

v) 1215.8 = \(\frac{12158}{10}=\frac{2 \times 6079}{2 \times 5}\)
= \(\frac{6079}{5}\)

ప్రశ్న 2.
కింది అకరణీయ సంఖ్యలు P రూపంలో ఉన్నాయి. ఇందులో q యొక్క రూపం 2ⁿ5^m మరియు ఇందులో n, m లు రుణేతర పూర్ణ సంఖ్యలు అయిన వీటిని దశాంశ రూపాలలోనికి మార్చండి. (పేజీ నెం. 11)
సాధన.
(i) \(\frac{3}{4}\)
= \(\frac{3}{4}=\frac{3}{2^{2}}=\frac{3 \times 5^{2}}{2^{2} \times 5^{2}}=\frac{3 \times 25}{(10)^{2}}=\frac{75}{100}\) = 0.75

(ii) \(\frac{7}{25}\)
\(\frac{7}{25}=\frac{7}{5^{2}}=\frac{7 \times 2^{2}}{5^{2} \times 2^{2}}=\frac{28}{100}\) = 0.28

(iii) \(\frac{51}{64}\)
\(\frac{51}{64}=\frac{3 \times 17}{2^{6}}=\frac{3 \times 17 \times 5^{6}}{2^{6} \times 5^{6}}=\frac{796875}{10^{6}}\) = 0.796875

(iv) \(\frac{14}{25}\)
= \(\frac{14}{5^{2}}=\frac{14 \times 2^{2}}{5^{2} \times 2^{2}}=\frac{14 \times 4}{10^{2}}\)
= \(\frac{56}{100}\) = 0.56

(v) \(\frac{80}{100}\)
= \(\frac{80}{2^{2} \times 5^{2}}\)
= 0.80 = 0.8

ప్రశ్న 3.
కింది అకరణీయ సంఖ్యలను దశాంశాలుగా రాయండి. భాగఫలంలో ఆవర్తనం చెందే అంకెల సమూహాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 11)
(i) \(\frac{1}{3}\)
(ii) \(\frac{2}{7}\)
(iii) \(\frac{5}{11}\)
(iv) \(\frac{10}{13}\)
సాధన.
(i) \(\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{3}\) = 0.3333 …….. = \(0 . \overline{3}\)
భాగఫలంలో ఆవర్తనం చెందే అంకెల సమూహం = 3.

(ii) \(\frac{2}{7}\)

\(\frac{2}{7}\) = 0.285714285 …..
ఆవర్తనం చెందే అంకెల సమూహం = 285714

(iii) \(\frac{5}{11}\)

\(\frac{5}{11}\) = 0.454545…
ఆవర్తనం చెందే అంకెల సమూహం = 45

iv) \(\frac{10}{13}\)

\(\frac{10}{13}\) = \(0 . \overline{769230}\)
ఆవర్తనం చెందే అంకెల సమూహం = 769230

ప్రవచనం:

ప్రశ్న 1.
p అనేది ఒక ప్రధానసంఖ్య మరియు a ఒక ధన పూర్ణ సంఖ్య అయితే “a² ను p నిశ్శేషంగా భాగిస్తే : ను p నిశ్శేషంగా” భాగిస్తుంది. (పేజీ నెం. 13)
నిరూపణ :
‘a’ అనేది ఒక ధన పూర్ణ సంఖ్య అయితే ఈ యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంను క్రింది విధంగా రాయవచ్చును.
a = p₁, p₂, …. , P_n, ఇందులో p₁, p₂, ….., p_n లు ప్రధానాంకాలు మరియు వేర్వేరుగా ఉండనవసరం లేదు.
అందుచే a² = (p₁, p₂., ….. P_n) (p₁ P₂, …………… P_n) = p₁², p₂²……….p_n². a² ను p నిశ్శేషంగా భాగించునని ఇవ్వబడినందున అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతంను అనుసరించి a² యొక్క ఒక ప్రధాన కారణాంకాల, లబ్ధం p₁, p₂, ….., p_n అగును. కావున p అనేది p₁, p₂, ….. P_n లలో ఒకటిగా వుంటుంది. ఇప్పుడు p₁, p₂, ……. P_n లలో p ఒకటిగా ఉన్నందున, p, a ను కూడా నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
p = 2, p = 5 మరియు a² = 1, 4, 9, 25, 36, 49, 64 మరియు 81 అయిన పైన నిరూపించిన ‘ ప్రవచనంను ఈ విలువలకు సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 14)
సాధన.
p = 2 తీసుకొందాం.
i) a² = 1 అయిన a = 1
a² = 1 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.
a = 1 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.

(ii) a² = 4 అయిన a = 2
a² = 4 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
a = 2 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

(iii) a² = 9 అయిన a = 3
a² = 9 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.
a = 3 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.

(iv) a² = 25 అయిన a = 5
a² = 25 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.
a = 5ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.

(v) a² = 36 అయిన a = 6
a² = 36 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
a = 6 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

(vi) a² = 49 అయిన a = 1
a² = 49 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.
a = 7 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.

(vii) a² = 64 అయిన a = 8
a² = 64 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
a = 8 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

(viii) a² = 81 అయిన a = 9
a² = 81 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.
a = 9 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.

p = 5 తీసుకొందాం a² విలువ 1, 4, 9, 36, 49, 64, 81 అయినప్పుడు a² ను p = 5 నిశ్శేషంగా భాగించదు. మరియు aను కూడా p = 5 నిశ్శేషంగా భాగించదు.

a² = 25 అయినప్పుడు a² ను p = 5 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది మరియు a = 5 ను కూడా p = 5 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
y = a^x లో y, a మరియు X ల స్వభావమేమిటి ? y యొక్క విలువ ఇచ్చినప్పుడు దాని అనురూప x విలువను ఎల్లప్పుడూ కనుగొనగలమా ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి. (పేజీ నెం. 17)
సాధన.
y = a^x నందు y విలువ ఎల్లప్పుడూ ధనాత్మకమే.
X విలువ ‘0’ అయిన y విలువ 1 అగును.
x విలువ ధనాత్మకమైన y విలువ 1 లేదా అంతకంటే ఎక్కువుండును.
x విలువ రుణాత్మకమైన y విలువ 1 కంటే తక్కువుండును. కాని ‘0’ కంటే ఎక్కువుండును.
y విలువ ఇచ్చినపుడు దాని అనురూప x – విలువను సూటిగా ఎల్లపుడూ సూటిగా కనుగొనలేము. గ్రాఫ్ సహాయంతో
రమారమి (సుమారు) విలువను కనుగొనవచ్చును.

ప్రశ్న 2.
2¹ = 2, 4¹ = 4, 8¹ = 8 మరియు 10¹ = 10 అని మీకు తెలుసు. వీటి నుండి log₂ 2, log₄ 4, log₈ 8 మరియు log₁₀ 10 విలువలు ఏమై ఉంటాయి ? దీని నుండి మీరు ఏమి సాధారణీకరణం చేస్తారు ? (పేజీ నెం. 18)
సాధన.
a^x = N అయితే log_a N = X అని తెలుసు,
2¹ = 2 ను సంవర్తమాన రూపంలో వ్రాయగా log₂ 2 = 1 4
4¹ = 4 ను సంవర్గమాన రూపంలో వ్రాయగా log₄ 4 = 1
8¹ = 8 ను సంవర్గమాన రూపంలో వ్రాయగా log₈ 8 =1
10¹ = 10 ను సంవర్తమాన రూపంలో వ్రాయగా log₁₀ 10 = 1
అనగా ఏదైనా ఒకటి కంటే పెద్దదైన సహజ సంఖ్య యొక్క సంవర్గమాన విలువ (అదే భూమికి) 1 అగును. దీనిని సూత్రీకరించి log_a a = 1 గా సాధారణీకరిస్తాం.

ప్రశ్న 3.
log₁₀0 వ్యవస్థితం అవుతుందా ? (పేజీ నెం. 18)
సాధన.
log₁₀ 0 వ్యవస్థితం కాదు. ఎందుకనగా a^x = 0 అయ్యేటట్లు (a > 1) x విలువ వ్యవస్థితం కాదు కావున log₁₀ 0 వ్యవస్థితం కాదు. కావున సంవర్గమానాలు అనేవి కేవలం ధన వాస్తవ సంఖ్యలకు మాత్రమే పరిమితం చేస్తాం.

ప్రశ్న4.
7 = 2^x అయితే x = log₂ 7 అని మనకు తెలుసు. అయితే 2^{log₂ 7} యొక్క విలువ ఎంత ? మీ సమాధానాన్ని మరికొన్ని ఉదాహరణలతో సమర్ధించండి. (పేజీ నెం. 21) పై దాని నుండి a^{log_a N} ను ఏ విధంగా సాధారణీకరిస్తారు?
సాధన.
7 = 2^x అయిన x = log₂ 7 = log₂ 7
x = log₂ 7 విలువను 2″ నందు ప్రతిక్షేపించగా 2^x = 2^{log₂ 7} = 7 (దత్తాంశము నుండి)
7 = 2^x అయిన 2^{log₂ 7} = 7 అగును.
ఉదా :
(1) 5 = 3^y అయితే y = log₃ 5 అయిన 3^{log₃ 5} విలువ ఎంత ?
5 = 3^y
∴ సంవర్తమాన రూపం ప్రకారం y = log₃ 5 ఈ విలువను 3^y = 5 నందు ప్రతిక్షేపించగా 3^{log₃ 5} = 5

(2) 10 = 9^x అయిన x = log₉ 10 అయిన 9^{log₉ 10} విలువ ఎంత?
9^x = 10 (దత్తాంశం) దీని యందు x విలువ ప్రతిక్షేపిద్దాం 9^{log₉ 10} = 10 అయితే 9^{log₉ 10} = 10 అగును. పైదాని నుండి a^x = N అయిన log_a N = X అగును
∴ alog_a N = N అగును b^{log_b M} = M గా సాధారణీకరిస్తాం.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
కింది సమీకరణాలలోని భూములను ఏ ఘాతాంకాలకు పెంచాలో రాయండి. (పేజీ నెం. 18)
(i) 7 = 2^x
(ii) 10 = 5^b
(iii) \(\frac{1}{81}\) = 3^c
(iv) 100 = 10^z
(v) \(\frac{1}{257}\) = 4^a
సాధన.
(i) 7 = 2^x
7 = 2^x నందు
x = 0 అయిన 2^x = 1 అగును
x = 1 అయిన 2^x = 2 అగును
x = 2 అయిన 2^x = 4 అగును
x = 3 అయిన 2^x = 8 అగును
అనగా x విలువ 2 పైబడి 3కు దగ్గరగా ఉండును. కాని ‘X’ యొక్క ఖచ్చిత విలువను నిర్ధారించలేము. అయితే పై (x, 2^x) విలువలను గ్రాఫ్ పై గుర్తించి 2^x = 7 అగునట్లు x విలువ ఉజ్జాయింపుగా తెలుసుకోవచ్చును.

(ii) 10 = 5^b నందు
b = 0 అయిన 5^b = 1 అగును. అదేవిధంగా
b = 1 అయిన 5^b = 5 అగును మరియు
b = 2 అయిన 5^b = 25 అగును.
కావునా 5^b = 10 అగునట్లు ‘b’ యొక్క ఖచ్చిత విలువను నిర్ధారించలేము.

(iii) \(\frac{1}{81}\) = 3^c నందు
c = 0 అయిన 3^c = 1 మరియు
c = – 2 అయిన 3^c = \(\frac{1}{9}\) మరియు
c = – 3 అయిన 3^c = \(\frac{1}{27}\) మరియు
c = – 4 అయిన 3^c = \(\frac{1}{81}\) అగును.
\(\frac{1}{81}\) = 3^c అనగా c = – 4 కావలెను.

(iv) 100 = 10^z నందు
z = 0 అయిన 10^z = 1
z = 1 అయిన 10^z = 10 అగును
z = 2 అయిన 10^z = 100 అగును
100 అగునట్లు 10^z నందు z = 2 గా తీసుకోవలెను.

(v) \(\frac{1}{257}\) = 4^a
a = 0 అయిన 4^a = 1
a = – 1 అయిన 4^a = \(\frac{1}{4}\)
a = – 2 అయిన 4^a = \(\frac{1}{16}\)
a = – 3 అయిన 4^a = \(\frac{1}{64}\)
a = – 4 అయిన 4^a = \(\frac{1}{256}\) అగును.
కాని \(\frac{1}{257}\) అగునట్లు ‘a’ విలువను ఖచ్చితంగా నిర్ధారించలేము.

ప్రశ్న 2.
కింది లబ్దాల సంవర్గమానాలను రెండు సంస్థమానాల. మొత్తంగా రాయండి. (పేజీ నెం. 19)
(i) 35 × 46
(ii) 235 × 437
(iii) 2437 × 3568
సాధన.
(i) 35 × 46 సూత్రం
log_a mn = log_a m + log_a n ప్రకారం
log (35 × 46) = log 35 + log 46
(ఏ ఆధారానికైనా)

(ii) 235 × 437
log (235 × 437) = log 235 + log 437

(iii) 2437 × 3568
log (2437 × 3568)
= log (2437) + log (3568)

ప్రశ్న 3.
కింది వాటి సంవర్గమానాలను రెండు సంవర్గమానాల భేదంగా రాయండి. (పేజీ నెం. 20)
(i) \(\frac{23}{34}\)
(ii) \(\frac{373}{275}\)
(iii) 4525 ÷ 3734
(iv) 5055 ÷ 3303
సాధన.
(i) \(\frac{23}{34}\) [log_a m= log_a m – log_a n]
log \(\frac{23}{34}\) = log 23 – log 34

(ii) log \(\frac{373}{275}\) = log 373 – log 275
(ఏ ఆధారానికైనా)

(iii) log \(\frac{4525}{3734}\) = log 4525 – log 3734

iv) log \(\frac{5055}{3303}\) = log 5055 – log 3303

ప్రశ్న 4.
log_a xⁿ = n log_a x ను ఉపయోగించి కింది ఘాతసంఖ్యల సంవర్గమానాలను మార్చి రాయండి. (పేజీ నెం. 21)
(i) log₂ 7²⁵
(ii) log₅ 8⁵⁰
(iii) log 5²³
(iv) log 1024
సాధన.
(i) log₂ 7²⁵ = 25 log₂ 7
(ii) log₅ 8⁵⁰= 50 log₅ 8
(iii) log 5²³ = 23 log 5
(iv) log 1024 = log 2¹⁰ = 10 log 2

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
కింది వాటిని ఘాతరూపంలో వ్రాసి తద్వారా చరరాశులను నిర్ణయించండి. (పేజీ నెం. 18)
(i) log₂ 32 = x
(ii) log₅ 625 = y
(iii) log₁₀ 10000 = z
iv) log₇ \(\frac{1}{343}\) = – a
సాధన.
సూత్రం : log_a N = x యొక్క ఘాతరూపం a^x = N అగును.

(i) log₂ 32 = x యొక్క ఘాతరూపం 2^x = 32 = 2⁵
∴ x = 5

(ii) log₅ 625 = y యొక్క ఘాతరూపం 5^y = 625 = 5⁴
∴ 5^y = 5⁴
⇒ y = 4

(iii) log₁₀ 10000 = z యొక్క ఘాతరూపం
10^z = 10000 = 10⁴
10^z = 10⁴
⇒ z = 4

iv) log₇ = – a యొక్క ఘాతరూపం
7^{– a} = \(\frac{1}{343}\)
7^{– a} = \(\frac{1}{7^{a}}=\frac{1}{343}=\frac{1}{7^{3}}\)
∴ \(\frac{1}{7^{\mathrm{a}}}=\frac{1}{7^{3}}\)
⇒ a = 3 అగును.

ప్రశ్న 2.
కింది వాటి విలువలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 21)
(i) log₂ 32
(ii) log_c √c
(iii) log₁₀ 0.001
(iv) \(\log _{\frac{2}{3}} \frac{8}{27}\)
సాధన.
(i) log₂ 32 = log₂ 2
= 5 log₂ 2
= 5(1) = 5

(ii) log_c √c = log_c c^{\(\frac{1}{2}\)}
= \(\frac{1}{2}\) log_c c
= \(\frac{1}{2}\) (1) = \(\frac{1}{2}\)

(iii) log₁₀ 0.001 = log₁₀ \(\frac{1}{1000}\)
= log₁₀ 10^-3
= – 3 log₁₀ 10
= – 3(1) = – 3.

(iv) \(\log _{\frac{2}{3}} \frac{8}{27}\) = \(\log _{\frac{2}{3}}\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\)
= \(3 \log _{\frac{2}{3}} \frac{2}{3}\) = 3(1) = 3.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
q ఏదైనా ఒక పూర్ణసంఖ్య అయినప్పుడు, ప్రతి ధన సరి పూర్ణ సంఖ్య 2q రూపంలో మరియు ప్రతి ధన బేసి పూర్ణ సంఖ్య 24 + 1 రూపంలో ఉంటుందని చూపుము. (పేజీ నెం. 5)
సాధన.
a ఒక ధనపూర్ణ సంఖ్య మరియు b = 2 అనుకుందాం.
అపుడు a = 2q + r (భాగహార న్యాయం ప్రకారం)
∴ ప్రతీ పూర్ణసంఖ్య q ≥ 0 కు r విలువ 0 లేదా 1 అవుతుంది. ఎందుకనగా 0 ≤ r < 2 కావున a = 2q + 0 లేదా a = 2q + 1 అగును.
‘a’ అనేది 2q + 0 రూపంలో ఉంటే అది సరి పూర్ణ సంఖ్య అగును.
a అనేది 2q + 1 రూపంలో ఉంటే అది సరి పూర్ణసంఖ్య కాదు. కావున ఖచ్చితంగా అపుడు బేసి సంఖ్య అగును. కావున ప్రతీ బేసి సంఖ్య a = 2q + 1 రూపంలో ఉండును.

ప్రశ్న 2.
q ఏదైనా ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయినప్పుడు, ప్రతి ధన బేసి సంఖ్య 4q + 1 లేదా 4q + 3 రూపంలో ఉంటుందని చూపుము. (పేజీ నెం. 5)
సాధన.
a ఏదైనా ఒక ధన బేసి పూర్ణసంఖ్య అనుకుందాం. a మరియు b = 4 పై యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధిని అనువర్తింపజేయగా 0 ≤ r < 4 కావున శేషం ‘0’ లేదా ‘1’ లేదా ‘2’ లేదా ‘3’ అవుతాయి. వీటి ఆధారంగా ‘a’ యొక్క ‘విలువలు 4q + 0 లేదా 4q + 1 లేదా 4q + 2 లేదా 4q + 3 కావచ్చును. వీటిలో 4q, 4q + 2 లు , ‘2’ చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును. కావున అవి సరిసంఖ్యలు అనగా అవి బేసి సంఖ్యలు కానేరవు.
∴ అందువల్ల బేసి సంఖ్య ‘a’ యొక్క రూపం = 4q + 1 లేదా 4q + 3 అగును.

ప్రశ్న 3.
n ఒక సహజసంఖ్యగా గల సంఖ్య 4ⁿ తీసుకోండి. n యొక్క ఏ విలువకైనా 4ⁿ విలువ గల సంఖ్య “సున్న’ అంకెతో అంతమౌతుందో, లేదో సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 7)
సాధన.
n సహజసంఖ్యగా గల సంఖ్య 4ⁿ విలువగల సంఖ్య సున్నతో అంతం కావాలంటే అది ‘5’ చే నిశ్శేషంగా భాగించబడాలి. అంటే 4ⁿ సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంలో 5 ఒక ప్రధాన సంఖ్యగా ఉండాలి. కాని ఇది సాధ్యం కాదు. ఎందువలన అనగా 4ⁿ = (2)²ⁿ. అందుచే 4ⁿ యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంలో లేనందున, n ఏ సహజ సంఖ్య విలువకైననూ 4ⁿ అనే సంఖ్య ‘సున్న’తో అంతముకానేరదు.

ప్రశ్న 4.
12 మరియు 18ల యొక్క ర… మను క.సా.గులను ప్రధాన కారణ వస్తు ” పద్దు ” కనుగొనుము. (పేజీ నెల. 7)
సాధన.
12, 18 లను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధ పద్ధతిలో విడదీయగా
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3¹
18 = 2 × 3 × 3 = 2¹ × 3² అగును.
గ.సా.కా అనగా ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క సామాన్య ప్రధాన కారణాంకాల కనిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం.
∴ 12, 18 ల యందు గల సామాన్య ప్రధాన కారణాంకాలు = 2, 3
∴ 12, 18 లలో 2, 3 ల యొక్క కనిష్ఠ ఘాతాలు _ = 2¹, 3¹
∴ 12, 18 ల గ.సా.కా = వాటి కనిష్ఠ ఘాతాల • లబ్ధం = 2¹ x 3¹ = 6
అదే విధంగా క.సా.గు అనగా –
ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలన్నింటి యొక్క గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్దం.
12, 18 ల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారణాంకాలు = 2, 3
12, 18 లలో 2, 3 ల యొక్క గరిష్ఠ ఘాతాలు = 2², 3²
12, 18 ల క.సా.గు = గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్దం .. = 2² × 3² = 4 × 9 = 36.

ప్రశ్న 5.
నిర్వచింపబడిన సిద్ధాంతాల ఆధారంగా, భాగహారం చేయకుండానే క్రింది అకరణీయ సంఖ్యలు అంతమయ్యే దశాంశాలో, అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశాలో తెలపండి. (పేజీ నెం. 12)
(i) \(\frac{16}{125}\)
(ii) \(\frac{25}{32}\)
(iii) \(\frac{100}{81}\)
(iv) \(\frac{41}{75}\)
సాధన.
\(\frac{16}{125}=\frac{16}{5 \times 5 \times 5}=\frac{16}{5^{3}}\)
(అంతమయ్యే దశాంశం)

(ii) \(\frac{25}{32}=\frac{25}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}=\frac{25}{2^{5}}\)
(అంతమయ్యే దశాంశం)

(iii) \(\frac{100}{81}=\frac{100}{3 \times 3 \times 3 \times 3}=\frac{100}{3^{4}}\)
(అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశం)

iv) \(\frac{41}{75}=\frac{41}{3 \times 5 \times 5}=\frac{41}{3 \times 5^{2}}\)
(అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశం)

ప్రశ్న 6.
కింది అకరణీయ సంఖ్యలను భాగహారం చేయకుండానే దశాంశ రూపంలో రాయండి. (పేజీ నెం. 12)
(i) \(\frac{35}{50}\)
(ii) \(\frac{21}{25}\)
(iii) \(\frac{7}{8}\)
సాధన.
(i) \(\frac{35}{50}\)
= \(\frac{7 \times 5}{2 \times 5 \times 5}=\frac{7}{2 \times 5}=\frac{7}{10^{1}}\) = 0.7

(ii) \(\frac{21}{25}\)
= \(\frac{21}{5 \times 5}=\frac{21 \times 2^{2}}{5 \times 5 \times 2^{2}}\)
= \(\frac{21 \times 4}{5^{2} \times 2^{2}}=\frac{84}{10^{2}}\) = 0.84

(iii) \(\frac{7}{8}\)
= \(\frac{7}{2 \times 2 \times 2}=\frac{7}{2^{3}}=\frac{7 \times 5^{3}}{\left(2^{3} \times 5^{3}\right)}\)
= \(\frac{7 \times 125}{(2 \times 5)^{3}}=\frac{875}{(10)^{3}}\) = 0.875

ప్రశ్న 7.
√2 ను కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 14)
సాధన.
ఈ నిరూపణ ‘విరోధాభాసం’ (పరోక్ష పద్దతి) ద్వారా చేయుచున్నందున మనం నిరూపించవలసిన ఫలితానికి విరుద్ధంగా √2 అనేది ఒక అకరణీయ సంఖ్య అని భావిద్దాం .

ఇది అకరణీయం అయితే, r మరియు S అనే రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు (s ≠ 0) √2 = \(\frac{a}{b}\) అయ్యేటట్లు వ్యవస్థితం అవుతుంది.

ఒకవేళ r మరియు S లకు 1 కాకుండా ఏదైనా సామాన్య కారణాంకం ఉంటే, ఆ సామాన్య కారణాంకం చేత భాగిస్తే మనకు √2 = \(\frac{a}{b}\), ఇందులో a మరియు b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలుగా వస్తుంది. దీని నుండి b√2 = a అవుతుంది.

ఇరువైపులా వర్గం చేసి, క్రమంలో అమర్చగా, మనకు 2b² = a² వస్తుంది. అంటే a² ను 2 భాగిస్తుంది.

ఇప్పుడు ప్రవచనం – 1ను బట్టి a² ను 2 భాగించినందున a ను కూడా ఇది భాగిస్తుంది. అందుచే, మనం తిరిగి a = 2c, c అనేది ఒక పూర్ణసంఖ్యగా రాయవచ్చు. ఇందులో ‘a’ విలువను ప్రతిక్షేపించగా, మనకు 2b² = 4c² అంటే b² = 2c² వస్తుంది. అంటే b² ను 2 భాగిస్తుంది మరియు bని 2 భాగిస్తుంది. (ప్రవచనం – 1లో p = 2). అందువలన a మరియు b లకు 2 ఒక సామాన్య కారణాంకం అయినది.

a, b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు మరియు 1 తప్ప వీటికి ఎటువంటి ఉమ్మడి కారణాంకాలు లేనందున మనం ప్రతిపాదించిన ‘√2 అనేది అకరణీయం అనే భావన విరుద్ధతకు దారి తీస్తుంది. అందుచే √2 అనేది ” కరణీయ సంఖ్యగా నిరూపించవచ్చును.

ప్రశ్న 8.
5 – √3 ని ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 15)
సాధన.
మనం నిరూపించాల్సిన భావనకు విరుద్ధంగా, 5 – √3 ని ఒక అకరణీయ సంఖ్యగా ఊహించండి.
అంటే 5 – √3 = \(\frac{a}{b}\) ఇందులో a, b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు మరియు b ≠ 0.
కావున 5 – \(\frac{a}{b}\) = √3
సమీకరణంను తారుమారు చేస్తే, మనకు √3 = 5 – \(\frac{a}{b}=\frac{5 b-a}{b}\) అని వస్తుంది.
a, b లు పూర్ణ సంఖ్యలు కావున మనకు 5 – \(\frac{a}{b}\) ఒక అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. కావున √3 కూడా, అకరణీయ సంఖ్యయే అగును. ఇది అసత్యం.
ఎందుకంటే √3 అనేది ఒక కరణీయ సంఖ్య.
ఈ భావన ఏర్పడటానికి, మనం ఊహించిన ప్రతిపాదన 5 – √3 ఒక అకరణీయ సంఖ్య అనే భావన తప్పు. అంటే ఇది ఒక విరోధాభాసం.
∴ 5 – √3 అనేది కరణీయ సంఖ్య అని మనం చెప్పవచ్చును.

ప్రశ్న 9.
3√2 అనేది ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి.(పేజీ నెం. 15)
సాధన.
మనం నిరూపించవలసిన భావనకు విరుద్ధంగా 3√2 అనేది ఒక అకరణీయ సంఖ్యగా ఊహించండి. a, bలు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు మరియు b ≠ 0 అయ్యేటట్లు 3√2 = \(\frac{a}{b}\) అవుతుంది.
క్రమంలో అమర్చగా, మనకు √2 = \(\frac{a}{3 b}\) అని వస్తుంది.
ఇందులో 3, a మరియు b లు పూర్ణసంఖ్యలు కావున \(\frac{a}{3 b}\) అనేది ఒక అకరణీయ సంఖ్య. అందుచే √2 కూడా ఒక అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. ఇది అసత్యం. ఎందుకంటే √2 ఒక కరణీయ సంఖ్య అనే సత్యానికి విరుద్ధభావన అందుచే ఇది ఒక విరోధాభాసం. కావున మనం 3√2 అనేది కరణీయ సంఖ్య . అని చెప్పవచ్చును.

ప్రశ్న 10.
√2 +√3 అనేది ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 15)
సాధన.
√2 + √3 అనేది ఒక అకరణీయ సంఖ్య అని ఊహించండి.
√2 + √3 = 2, ఇందు a, b లు పూర్ణసంఖ్యలు మరియు b = 0 అని తీసుకోండి.
కావున, √2 = \(\frac{a}{b}\) – √3 అగును. ఇరువైపులా వర్గం చేయగా, మనకు
2 = \(=\frac{a^{2}}{b^{2}}\) + 3 – 2\(\frac{a}{b}\) √3 వచ్చును
క్రమంలో అమర్చగా.
2\(\frac{a}{b}\) √3 = \(=\frac{a^{2}}{b^{2}}\) + 3 – 2 = \(=\frac{a^{2}}{b^{2}}\) + 1
అంటే √3 = \(\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b}\)
a, b లు పూర్ణసంఖ్యలు కావున, \(\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b}\) ఒక అకరణీయ సంఖ్య. ఇదేవిధంగా √3 కూడా ఒక అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. ఇది అసత్యం. ఎందుకంటే √3 అనేది ఒక కరణీయ సంఖ్య అనే సత్యానికి విరుద్ధభావన. ఇది ఒక విరోధాభాసం. కావున √2 + √3 అనేది ఒక కరణీయసంఖ్య అగును.

ప్రశ్న 11.
log \(\frac{343}{125}\) ను విస్తరించండి. (పేజీ నెం. 21)
సాధన.
log_a \(\frac{x}{y}\) = log_a x – log_a y అని మనకు తెలుసు.
∴ log \(\frac{343}{125}\) = log 343 – log 125
= log 7³ – log 5³
= 3 log 7 – 3 log 5
= 3[log 7 – log 5]

రెండవ పద్ధతి :
log \(\frac{343}{125}\) = log \(\left[\frac{7}{5}\right]^{3}\)
log_a xⁿ = n log_a x అని మనకు తెలుసు.
దీని నుండి
log \(\left[\frac{7}{5}\right]^{3}\) = 3 log \(\frac{7}{5}\)
= 3[log 7 – log 5]

ప్రశ్న 12.
2 log 3 + 3 log 5 – 5 log 2 ను ఒకే సంవర్గమానంగా రాయండి. (పేజీ నెం. 22)
సాధన.
2 log 3 + 3 log 5 – 5 log 2 ను ఒకే సంవర్గమానంగా వ్రాయుట.
2 log 3 + 3 log 5 – 5 log 2
= log 3² + log 5³ – log 2⁵
= log 9 + log 125 – log 32
= log (9 × 125) – log 32 [∵ log m + log n = log mn]
= log 1125 – log 32
= log 125 [∵ log m – log n = logm)

ప్రశ్న 13.
3^x = 5^{x – 2} సమీకరణాన్ని సాధించండి. (పేజీ నెం. 22)
సాధన.
3^x = 5^{x – 2} సంవర్గమాన రూపంలో వ్రాయగా
x log₁₀ 3 = (x – 2) log₁₀ 5
⇒ x log₁₀ 3 = x log₁₀ 5 – 2 log₁₀ 5
⇒ 2 log₁₀ 5 = x log₁₀ 5 – x log₁₀ 03
= x [log₁₀ 5 – log₁₀ 3]
∴ x = \(\frac{2 \log _{10} 5}{\log _{10} 5-\log _{10} 3}\)

ప్రశ్న 14.
2 log 5 + \(\frac{1}{2}\) log 9 – log 3 = log x అయితే x విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 22)
సాధన.
2 log 5 + \(\frac{1}{2}\) log 9 – log 3 = log x అయిన ,x విలువ కనుగొనుట.
log x = 2 log 5 + \(\frac{1}{2}\) log 9 – log 3
= log 5² + log 9^{\(\frac{1}{2}\)} – log 3
= log 25 + log √ 9 – log 3
= log 25 + log 3 – log3
log x = log25
∴ log x = log25
⇒ x = 25 అగును.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 1 పూర్ణ సంఖ్యలు Ex 1.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.5

ప్రశ్న1.
కింది వాటి విలువలను కనుగొనండి.
(i) log₂₅5
సాధన.
1వ పద్ధతి :
log₂₅5 = x అయిన 25^x = 5
[∵ log_an = x ⇒ a^x = n]
⇒ (5²)^x = 5
⇒ 5^2x = 5
⇒ 2x = 1
∴ x = \(\frac{1}{2}\)

2వ పద్దతి :
log₂₅5 = log₂₅ \(\sqrt{25}\)
= log₂₅ (25)^{\(\frac{1}{2}\)}
= \(\frac{1}{2}\) log₂₅ 25
[∵ log_a x^m = m log_a x)
∴ log₂₅ 5 = \(\frac{1}{2}\)

(లేదా)

3వ పద్ధతి :

\(\log _{a^{n}} x\) = log_a x
log₂₅ 5 = \(\log _{5^{2}} 5=\frac{1}{2} \log _{5} 5\)
log₂₅ 5 = \(\frac{1}{2}\) × 1 = \(\frac{1}{2}\)

(ii) log₈₁ 3
సాధన.
1వ పద్ధతి :
log₈₁ 3 = x అయిన
81^x = 3
(3⁴)^x = 3
3^4x = 3¹
4x = 1
x = \(\frac{1}{4}\)
∴ log₈₁ 3 = \(\frac{1}{4}\)

(లేదా)

2వ పద్ధతి :
log₈₁ 3 = log₈₁ (81)^{\(\frac{1}{4}\)}
[∵ (81)^{\(\frac{1}{4}\)} = (3⁴)^{\(\frac{1}{4}\)} = 3]
= \(\frac{1}{4}\) log₈₁ 81
= \(\frac{1}{4}\) . 1 = \(\frac{1}{4}\)
∴ log₈₁ 3 = \(\frac{1}{4}\)

(లేదా)

3వ పద్ధతి :
\(\log _{a} n x=\frac{1}{n} \log _{a} x\)
∴ log₈₁ 3 = \(\log _{3^{4}} 3\)
= \(\frac{1}{4}\) log₃ 3
= \(\frac{1}{4}\) × 1 = \(\frac{1}{4}\)

(iii) log₂ (\(\frac{1}{16}\))
సాధన.
log₂ (\(\frac{1}{16}\)) = x అయిన 2^x = \(\frac{1}{16}\)
2^x = \(\frac{1}{2^{4}}\)
2^x = 2^-4
x = – 4
= -4 log 2
∴ log₂ (\(\frac{1}{16}\)) = – 4

(లేదా)

\(\log _{2} \frac{1}{16}=\log _{2} \frac{1}{2^{4}}\)
= log₂ 2^-4 [∵ \(\frac{1}{a^{n}}=a^{-n}\)]
= – 4 log₂ 2 [∵ log_a x^m = m log_a x]
= – 4 (1)
∴ log₂ (\(\frac{1}{16}\)) = – 4

(iv) log₇ 1
సాధన.
log₇ 1 = 0 [∵ log_a 1 = 0]
log₇1 = x అయిన 7^x = 1 = 7⁰
x = 0.
∴ log₇1 = 0 .

(v) log_x √x
సాధన.
log_x √x = y అయిన x^y = x^x
x^y = x^{\(\frac{1}{2}\)}
y = \(\frac{1}{2}\)
∴ log_x √x = \(\frac{1}{2}\)

(లేదా)

log_x √x = log_x x^{\(\frac{1}{2}\)}
= \(\frac{1}{2}\) log_x x
[∵ log_a x^m = m log_a x]
= \(\frac{1}{2}\) (1)
∴ log_x √x = \(\frac{1}{2}\)

(vi) log₂ 512
సాధన.
log₂ 512 = x అయిన 2^x = 512 = 2⁹
x = 9
∴ log₂ 512 = 9

(లేదా)

2వ పద్ధతి :
log₂ 512 = log₂ 2⁹
= 9 log₂ 2 = 9 × 1 = 9

 

(vii) log₁₀0.01
సాధన.
log₁₀ 0.01 = x అయిన 10^x = 0.01
10^x = \(\frac{1}{100}=\frac{1}{10^{2}}\)
10^x = 10^-2
∴ x = – 2

(లేదా)

log₁₀ 0.01 = log₁₀ \(\frac{1}{100}\)
= log₁₀ \(\frac{1}{10^{2}}\)
= log₁₀ 10^-2
= – 2 log₁₀ 10
= – 2 (1)
∴ log₁₀ 0.01 = – 2

(viii) \(\log _{\frac{2}{3}}\left(\frac{8}{27}\right)\)
సాధన.

 

(ix) 2^{2 + log₂ 3}
సాధన.
2^{2 + log₂ 3} = (2²) (2^{log₂ 3})
= 4(2^{log₂ 3})
= 4(3) = 12 [∵ a^{log_a N = n}]

 

ప్రశ్న2.
కింది వాటిని log N రూపంలో రాసి వీలగు సందర్భాలలో వాటి విలువలను కనుగొనండి
(i) log 2 + log 5
సాధన.
log 2 + log 5 = log 2 × 5 = log 10 = log N
∴ N = 10 (∴ log_a x + log_a y = log_a xy).

(ii) log₂ 16 – log₂ 2
సాధన.
log₂ 16 – log₂ 2 = log₂ \(\frac{16}{2}\)
[∵ log m – log n = log \(\frac{m}{n}\)]
= log₂ 8 = log₂ 2³[∵ 8 = 2³] = 3

(iii) 3 log₆₄ 4
సాధన.
3 log₆₄ 4 = log₆₄ 4³
= log₆₄ 64 = 1.

(iv) 2 log 3 – 3 log 2
సాధన.
2 log 3 – 3 log 2 = log 3² – log 2³
[∵ m log_a x = log_a x^m]
= log 9 – log 8
= log \(\frac{9}{8}\) = log N
[∵ log_a x – log_a y = log_a \(\frac{x}{y}\)]
∴ N = \(\frac{9}{8}\)

(v) log 10 + 2 log 3 – log 2
సాధన.
log 10 + 2 log 3 – log 2
= log 10 + log 3² – log 2
= log 10 + log 9 – log 2
= log (10 × 9) – log 2
(∵ log m + log n = log mn]
= log 90 – log 2
= log \(\frac{90}{2}\) [∵ log m – log n = log \(\frac{m}{n}\)]
= log 45.

ప్రశ్న3.
x = log₂ 3 మరియు y = log₂ 5 అని ఇవ్వబడిన, కింది వాటి విలువలను x మరియు y లలో తెలపండి.
(i) log₂ 15
సాధన.
log₂ 15 = log₂ (5 × 3)
= log₂ 5 + log₂ 3
= x + y

(ii) log₂ 7.5
సాధన.
log₂ 7.5 = log₂ \(\frac{15}{2}\)
= log₂ 15 – log₂ 2
= log₂ (5 × 3) – log₂ 2
= log₂ 5 + log₂ 3 – log₂ 2
= x + y – 1

(iii) log₂ 60
సాధన.
log₂ 60 = log₂ (4 × 15)
= log₂ (2² × 5 × 3) |
= log₂ 2² + log₂ 5 + log₂ 3
= 2 log₂ 2 + log₂ 5 + log₂ 3
= 2 + x + y

(iv) log₂ 6750
సాధన.
log₂ 6750 = log₂ 53 x 33 x 2
= log₂ 5³ + log₂ 3³ + log₂ 2
= 3 log₂ 5 + 3 log₂ 3 + log₂ 2
= 3y + 3x + 1

ప్రశ్న4.
కింది వాటిని విస్తరింతండి.
(i) log 1000
సాధన.
log 1000 = log 10³ = 3 log 10
[∵ log_a x^m = m log_a x]
= 3 log 5 × 2
= 3[log 5 + log 21
[∵ log_a xy = log_a x + log_a y]

(లేదా)

log 1000 = log 2³ × 5³
[∵ 1000 = 10³ = (2 × 5)³ = 2³ × 5³]
= log 2³ + log 5³
log 1000 = 3 log 2 + 3 log 5
= 3 (log 2 + log 5)

(ii) log(\(\frac{128}{625}\))
సాధన.
log(\(\frac{128}{625}\)) = log 128 – log 625
[∵ \(\log _{a} \frac{x}{y}\) = log_a x – log_a y]
= log 2⁷ – log 5⁴
[∵ log_a x = m log_a x]
= 7 log 2 – 4 log 5

(iii) log x²y³z⁴
సాధన.
log x²y³z⁴ = log x² + log y³ + log z⁴
= 2 log x + 3 log y + 4 log z

(iv) log \(\frac{\mathbf{p}^{2} \mathbf{q}^{3}}{\mathbf{r}}\)
సాధన.
log \(\frac{\mathbf{p}^{2} \mathbf{q}^{3}}{\mathbf{r}}\) = log p²q³ – log r
[∵ log \(\frac{x}{y}\) = log_a x – log_a y]
= log p² + log q³ – log r
[∵ log xy = log_a x + log_a y]
= 2 log p + 3 log q – logr .
[∵ log_a xm = m log_a x]

(v) log \(\sqrt{\frac{x^{3}}{y^{2}}}\)
సాధన.
log \(\sqrt{\frac{x^{3}}{y^{2}}}\) = \(\log \left(\frac{x^{3}}{y^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \log \frac{x^{3}}{y^{2}}\)
= \(\frac{1}{2}\) [log x³ – log y²]
[∵ log_a \(\frac{x}{y}\) = log_a x – log_a y]
= \(\frac{1}{2}\) [3 log x – 2 log y]
[∵ log_a x^m = m log_a x]
= \(\frac{3}{2}\) log x – log y

(లేదా)
\(\log \sqrt{\frac{x^{3}}{y^{2}}}=\log \left(\frac{x^{3}}{y^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\log \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y}\)
= log x^{\(\frac{3}{2}\)} – log y
= \(\frac{3}{2}\) log x – log y.

ప్రశ్న5.
x² + y² = 25xy అయిన 2 log (x + y) = 3 log 3 + log x + log y అని నిరూపించండి.
సాధన.
x² + y² = 25xy. ఇరువైపులా 2xy ను కలుపగా
x² + y² + 2xy = 25xy + 2xy = 27xy
(x + y)² = 27xy ఇరువైపులా సంవర్గమానం తీసుకోగా
log (x + y)² = log 27xy
∴ 2 log (x + y) = log 27 + log x + logy
[∵ log mn = log m + log n]
⇒ 2 log (x + y) = log 3³ + log x + logy
= 3 log 3 + log x + logy
∴ LHS = RHS అని నిరూపించడమైనది.

ప్రశ్న6.
log \(\left(\frac{x+y}{3}\right)\) = \(\frac{1}{2}\) (log x + log y) అయిన \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\) విలువను కనుగొనండి.
సాధన.
log \(\left(\frac{x+y}{3}\right)\) = \(\frac{1}{2}\) (log x + log y)
log \(\frac{x+y}{3}\) = \(\frac{1}{2}\) log xy = log (xy)^{\(\frac{1}{2}\)}
log \(\frac{x+y}{3}\) = log (xy)^{\(\frac{1}{2}\)}
∴ \(\frac{x+y}{3}\) = (xy)^{\(\frac{1}{2}\)} = \(\sqrt{x y}\)
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
\(\left(\frac{x+y}{3}\right)^{2}\) = xy
\(\frac{x^{2}+y^{2}+2 x y}{9}\) = xy
⇒ x² + y² + 2xy = 9xy
x² + y² = 9xy – 2xy = 7xy
x² + y² = 7xy ఇరువైపులా Xy చే భాగించగా
\(\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}=\frac{7 x y}{x y}\)

\(\frac{x^{2}}{x y}+\frac{y^{2}}{x y}=\frac{7 x y}{x y}\) = 7

⇒ \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\) = 7

ప్రశ్న7.
(2.3)^x = (0.23)^y = 1000 అయిన \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\) విలువను కనుగొనండి:
సాధన.
a^x = N అయితే log_a N = x అని తెలుసు. దీనిని మరో విధంగా
a = N^{\(\frac{1}{x}\)} అనగా N^{\(\frac{1}{x}\)} = a అయిన log_N a = \(\frac{1}{x}\) అని తెలుసు.
అయితే log_a N = x అయిన log_N a = \(\frac{1}{x}\) అగును అని గ్రహించాలి.
ప్రస్తుత సమస్యలో
(2.3^x = 1000
⇒ log_2.3 1000 = x మరియు
log₁₀₀₀2.3 = \(\frac{1}{x}\) అని వ్రాయవచ్చు. ………………. (1)
అదే విధంగా
(0.23)^y = 1000
⇒ log_0.23 1000 = y
అనగా log₁₀₀₀0.23 = \(\frac{1}{y}\) అగును ……. (2)
∴ సమీకరణం 1, 2 ల విలువలు ప్రతిక్షేపించగా
\(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\) = log₁₀₀₀2.3 – log₁₀₀₀0.23
= log₁₀₀₀ \(\frac{2.3}{0.23}\)
[∵ log m – log n = log mn]
= log₁₀₀₀10
= \(\log _{10^{3}} 10^{1}=\frac{1}{3}\)
[∵ \(\log _{a^{n}} a^{m}=\frac{m}{n} \log _{a} a\)]

(లేదా)

log₁₀₀₀10 = log₁₀₀₀1000^{\(\frac{1}{3}\)}
= \(\frac{1}{3}\) log₁₀₀₀1000
= \(\frac{1}{3}\)
కావున (2.3)^x = (0.23)^y అయిన \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\) అగును.

ప్రశ్న8.
2^{x + 1} = 3^{1 – x} అయిన x విలువను కనుగొనండి.
సాధన.
2^{x + 1} = 3^{1 – x} ఇరువైపులా సంవర్గమాన రూపంలో వ్రాయగా
(x + 1) log 2 = (1 – x) log 3
⇒ x log 2 + log 2 = log 3 – x log 3
∴ x log 2 + x log 3 = log 3 – log 2
x [log 2 + log 3] = log 3 – log 2
x [log 6] = log (\(\frac{3}{2}\)) = log 1.5
[∵ log m + log n = log mn
log m – log n = log \(\frac{m}{n}\)]
⇒ x = \(\frac{\log 1.5}{\log 6}\) (లేదా)
x = \(\left[\frac{\log 3-\log 2}{\log 3+\log 2}\right]\)

ప్రశ్న9.
(i) log 2 కరణీయ సంఖ్యనా లేదా అకరణీయ సంఖ్యనా ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.
సాధన.
log₁₀ 2 అకరణీయ సంఖ్య అనుకొందాం.
∴ log₁₀ 2 = \(\frac{p}{q}\), p, q ∈ Z, q#0 అయ్యేటట్లు రాయగలము.
∴ 10^{\(\frac{p}{q}\)} = 2
10^p = 2^q ………….. (1)
p, q లు పూర్ణసంఖ్యలు.
(1) p = q = 0 అయినప్పుడు మాత్రమే సత్యము.

కాని అకరణీయ సంఖ్యల నిర్వచనం ప్రకారం q ≠ 0.
∴ 10^p = 2^q, p, q ∈ Z అనడము ఒక విరుద్ధత.
కావున log₁₀ 2 ఒక అకరణీయ సంఖ్య అనే మన భావన తప్పు.
∴ log₁₀ 2 ఒక కరణీయ సంఖ్య.

(ii) log 100 కరణీయ సంఖ్యనా లేదా అకరణీయ సంఖ్యనా ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.
సాధన.
log₁₀ 100
log₁₀ 100 = log₁₀ 10²
= 2 log₁₀ 10 = 2
2 ఒక అకరణీయ సంఖ్య కావున log 100 కూడా అకరణీయ సంఖ్య.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 1 పూర్ణ సంఖ్యలు Ex 1.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.4

ప్రశ్న1.
క్రింది వానిని కరణీయ సంఖ్యలుగా నిరూపించండి.
(i) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(ii) \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\)
(iii) 6 + √2
(iv) √5
(v) 3 + 2√5

సాధన.
(i) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
కావున \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}\), a, b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు మరియు b ≠ 0 గా రాయవచ్చును. ………… (1)
b = √2 a …………….. (2)
b² = 2a² (ఇరువైపులా వర్గం చేయగా)
అనగా b² ను 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
∴ b ను 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది (a² ను పై భాగిస్తే, a ను కూడా పై భాగిస్తుంది.)
కావున b = 2c గా రాయవచ్చును.
b² = 4c²
2a² = 4c² ((2) నుండి)
a² = 2c²
a² ను 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
∴ a ను 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
అనగా a మరియు b లకు 2 సామాన్య కారణాంకము.
a మరియు b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు కాదు. ……………. (3)
(1) మరియు (3) లు పరస్పర విరుద్దాలు. కావున \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) కరణీయసంఖ్య కాదు అనే మన ఊహ విరోధాభాసం.
∴ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) కరణీయ సంఖ్య.

2వ పద్ధతి :
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ను కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
కావున 2 × \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), అకరణీయ సంఖ్య (∵ అకరణీయ సంఖ్యల . లబ్ధం అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.)
= \(\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) = √2 అకరణీయ సంఖ్య
ఇది √2 కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము.
∴ మన ఊహ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) కరణీయసంఖ్య కాదు అనుకోవడం విరోధాభాసము.
కావున \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) కరణీయ సంఖ్య.

(ii) \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\)
\(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
కావున \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) = \(\frac{a}{b}\), a, b లు పరస్పర • ప్రధానాంకాలు మరియు b ≠ 0 గా రాయవచ్చును.
√5 = \(\frac{a}{b}\) – √3
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా

a, b లు పూర్ణ సంఖ్యలు అయిన \(\frac{a^{2}-2 b^{2}}{2 a b}\) అకరణీయ సంఖ్య కావున √3 ఒక అకరణీయ సంఖ్య.
ఇది √3 ఒక కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము.
కావున , మన ఊహ \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) ఒక కరణీయసంఖ్య కాదు అనడం విరోధాభాసం.
\(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) కరణీయ సంఖ్య.

2వ పద్ధతి :
\(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) కరణీయసంఖ్య .కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) = a అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
\(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) = a, a ∈ Q అనుకొందాం
√5 = a – √3 ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
5 = a² – 2a√3 + 3
2a√3 = a² + 3 – 5
√3 = \(\frac{a^{2}-2}{2 a}\)
a ∈ Q అయిన \(\frac{a^{2}-2}{2 a}\) కూడా అకరణీయ సంఖ్య
కావున √3 అకరణీయ సంఖ్య. ఇది √3 కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము.
కావున మన ఊహ \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) కరణీయ సంఖ్య కాదు అనడం విరోధాభాసం.
∴ \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) కరణీయ సంఖ్య.

(iii) 6 + √2
6 + √2 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు 6 + √2 అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
∴ 6 + √2 = \(\frac{a}{b}\), a, b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు మరియు b ≠ 0 గా రాయవచ్చు.
√2 = \(\frac{a}{b}\) – 6 = \(\frac{a-6 b}{b}\)
a, b లు పూర్ణ సంఖ్యలు అయిన \(\frac{a-6 b}{b}\) అకరణీయ సంఖ్య.
కావున √2 అకరణీయ సంఖ్య.
ఇది √2 కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము. కావున మన ఊహ 6 + √2 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనడం విరోధాభాసం.
∴ 6 + √2 కరణీయ సంఖ్య.

2వ పద్ధతి :
6 + √2 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు 6 + √2 అకరణీయ సంఖ్య.
∴ (6 + √2) – 6 అకరణీయ సంఖ్య (∵ రెండు అకరణీయ సంఖ్యల భేదం అకరణీయ సంఖ్య)
√2 అకరణీయ సంఖ్య. ఇది √2 కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము. కావున మన ఊహ 6 + √2 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనడం విరోధాభాసం.
∴ 6 + √2 కరణీయ సంఖ్య.

(iv) √5
√5 కరణీయసంఖ్య కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు √5 అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
కావున √5 = \(\frac{a}{b}\) ;
a, b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు, b ≠ 0 గా రాయవచ్చును. ………………. (1)
5 = \(\frac{a^{2}}{b^{2}}\)
a² = 5b² ………………. (2)
∴ a² ను 5 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
∴ a ను కూడా 5 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
కావున a = 5c గా రాయవచ్చును.
a² = 25c²
5b² = 25c² ((2) నుండి)
b² = 5c²
b² ను 5 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
∴ b ను కూడా 5 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. అనగా a మరియు b లకు 5 సామాన్య కారణాంకము.
∴ a మరియు b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు కాదు. ………………. (3)
(1) మరియు (3) లు పరస్పర విరుద్ధాలు. కావున మన ఊహ √5 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనడం విరోధాభాసం.
∴ √5 కరణీయ సంఖ్య.

(v) 3 + 2√5
3 + 2√5 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొనుము.
అప్పుడు 3 + 2√5 ఒక అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
3 + 2√5 = \(\frac{a}{b}\); a, b లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు మరియు b ≠ 0 గా రాయవచ్చు.
2√5 = \(\frac{a}{b}\) – 3
√5 = \(\frac{a-3 b}{2 b}\)
a, b లు పూర్ణాంకాలైతే \(\frac{a-3 b}{2 b}\) అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
కావున √5 అకరణీయ సంఖ్య.
కాని ఇది √5 కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము కావున మన ఊహ 3+ 2√5 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనడం విరోధాభాసం.
∴ 3 + 2√5 కరణీయ సంఖ్య.

2వ పద్ధతి :
3 + 2√5 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొంగాం.
3 + 2√5 అకరణీయ సంఖ్య.
(3 + 2√5) – 3 = 2√5 అకరణీయ సంఖ్య .
(∵ రెండు అకరణీయ సంఖ్యల భేదం అకరణీయ సంఖ్య)
⇒ \(\frac{1}{2}\) × 2√5 (∵ రెండు అకరణీయ సంఖ్యల లబ్దం అకరణీయ సంఖ్య)
= √5 అకరణీయ సంఖ్య
కాని ఇది √5 కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము. కావున 3 + 2√5 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనడం విరోధాభాసం.
∴ 3 + 2√5 కరణీయ సంఖ్య.

ప్రశ్న2.
p, q లు ప్రధానారకాలు అయితే √p + √q ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి.
సాధన.
p, qలు ప్రధానాంకాలు అయితే √p + √q ఒక కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకొందాం.
అప్పుడు √p + √q అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
√p + √q = a, a ఒక అకరణీయ సంఖ్య అనుకొందాం.
√q = a – √p ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
(√q)² = (a – √p)²
q = a² – 2a . √p + p .
2a√p = a² + p – q
√p = \(\frac{a^{2}+p-q}{2 a}\)
a అకరణీయ సంఖ్య, p, q లు ప్రధాన సంఖ్యలు అయిన \(\frac{a^{2}+p-q}{2 a}\) అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
కావున √p ఒక అకరణీయ సంఖ్య. ఇది p ప్రధాన సంఖ్య అయిన √p కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము.
కావున మన ఊహ p, q లు ప్రధాన సంఖ్యలు అయిన √p + √q కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకోవడం విరోధాభాసం.
∴ p, qలు ప్రధాన సంఖ్యలు అయిన √p + √q కరణీయ సంఖ్య.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 1 పూర్ణ సంఖ్యలు Ex 1.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Exercise 1.3

ప్రశ్న1.
కింది అకరణీయ సంఖ్యలను దశాంశ రూపంలో రాయండి. ఇందులో ఏవి అంతమయ్యే దశాంశాలో, ఏవి అంతంకాని ఆవర్తన దశాంశాలో తెలపండి.
(i) \(\frac{3}{8}\)

(ii) \(\frac{229}{400}\)

(iii) 4 \(\frac{1}{5}\)

(iv) \(\frac{2}{11}\)

(v) \(\frac{8}{125}\)
సాధన.
(i) \(\frac{3}{8}\)

\(\frac{3}{8}\) = 0.375 అంతమయ్యే దశాంశము.
(లేదా)
2వ పద్ధతి :
\(\frac{3}{8}=\frac{3}{2^{3}}=\frac{3 \times 5^{3}}{2^{3} \times 5^{3}}=\frac{3 \times 125}{(2 \times 5)^{3}}\) = \(\frac{375}{10^{3}}\) = 0.375
∴ \(\frac{3}{8}\) = 0.375 అంతమయ్యే దశాంశము.

(ii) \(\frac{229}{400}\)

∴ \(\frac{229}{400}\) = 0.5725 అంతమయ్యే దశాంశము.
400

(లేదా) 2వ పద్ధతి :
\(\frac{229}{400}=\frac{229}{2^{4} \times 5^{2}}=\frac{229 \times 5^{2}}{2^{4} \times 5^{4}}=\frac{5725}{10^{4}}\) = 0.5725
∴ \(\frac{229}{400}\) = 0.5725 అంతమయ్యే దశాంశము.

(iii) 4 \(\frac{1}{5}\)
4 \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{21}{5}\) = 4.2 అంతమయ్యే దశాంశము.
(లేదా)

2వ పద్ధతి :
\(4 \frac{1}{5}=\frac{21}{5}=\frac{21 \times 2}{5 \times 2}=\frac{42}{10}\) = 4.2 అంతమయ్యే దశాంశము.

(iv) \(\frac{2}{11}\)

∴ \(\frac{2}{11}\) = 0.18181. …… = \(0 . \overline{18}\)
అంతంకాని ఆవర్తన దశాంశము.

(v) \(\frac{8}{125}\)

\(\frac{8}{125}\) = 0.064 అంతమయ్యే దశాంశము.

(లేదా)
2వ పద్ధతి :
\(\frac{8}{125}=\frac{8}{5^{3}}=\frac{8 \times 2^{3}}{5^{3} \times 2^{3}}=\frac{64}{(10)^{3}}\) = 0.064

∴ \(\frac{8}{125}\) = 0.064 అంతమయ్యే దశాంశము.

ప్రశ్న2.
భాగహార ప్రక్రియ లేకుండానే క్రింది అకరణీయ సంఖ్యలలో వేటిని అంతమయ్యే దశాంశాలుగా రాయగలమో, వేటిని అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశాలుగా రాయగలమో తెలపండి.
(i) \(\frac{13}{3125}\)

(ii) \(\frac{11}{12}\)

(iii) \(\frac{64}{455}\)

(iv) \(\frac{15}{1600}\)

(v) \(\frac{29}{343}\)

(vi) \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\)

(vii) \(\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}\)

(viii) \(\frac{9}{15}\)

(ix) \(\frac{36}{100}\)

(x) \(\frac{77}{210}\)
సాధన.
(i) \(\frac{13}{3125}\)

\(\frac{13}{3125}=\frac{13}{5^{5}}=\frac{13}{2^{0} \times 5^{5}}\)

హారం (q) = 2ⁿ × 5^m రూపంలో కలదు.
∴ \(\frac{13}{3125}\) అంతమయ్యే దశాంశం.
.
(ii) \(\frac{11}{12}\)

\(\frac{11}{12}=\frac{11}{2^{2} \times 3}\)

హారం (q) = 2ⁿ × 5^m రూపంలో లేదు.
∴ \(\frac{11}{12}\) అంతంకాని ఆవర్తన దశాంశము.

(iii) \(\frac{64}{455}\)

\(\frac{15}{1600}=\frac{3 \times 5}{2^{6} \times 5^{2}}=\frac{3}{2^{6} \times 5^{1}}\)
హారం (q) = 2ⁿ × 5^m రూపంలో లేదు.
∴ \(\frac{64}{455}\) అంతంకాని ఆవర్తన దశాంశము.

(iv) \(\frac{15}{1600}\)

హారం (q) = 20 x 5m రూపంలో కలదు.
∴ \(\frac{15}{1600}\) అంతమయ్యే దశాంశము.

(v) \(\frac{29}{343}=\frac{29}{7^{3}}\)
హారం (q) = 2ⁿ × 5^m రూపంలో లేదు.
∴ \(\frac{29}{343}\) అంతంకాని ఆవర్తన దశాంశము.

(vi) \(\frac{23}{2^{3} \cdot 5^{2}}\)
హారం (q) = 2ⁿ × 5^m రూపంలో కలదు.
\(\frac{23}{2^{3} \cdot 5^{2}}\) అంతమయ్యే దశాంశము.

(vii) \(\frac{129}{2^{2} \cdot 5^{7} \cdot 7^{5}}\) అంతంకాని ఆవర్తన దశాంశము.
హారం (q) = 2ⁿ × 5^m రూపంలో లేదు.

(viii) \(\frac{9}{15}\)
\(\frac{9}{15}=\frac{3 \times 3}{3 \times 5}=\frac{3}{5}=\frac{3}{2^{0} \times 5^{1}}\)
హారం (q) = 2ⁿ × 5^m రూపంలో కలదు.
∴ \(\frac{9}{15}\) అంతమయ్యే దశాంశము.

(ix) \(\frac{36}{100}=\frac{2 \times 2 \times 3 \times 3}{10^{2}}\)
\(\frac{2^{2} \times 3^{2}}{2^{2} \times 5^{2}}=\frac{3^{2}}{5^{2}}=\frac{9}{2^{0} \times 5^{2}}\)
హారం (q) = 2ⁿ × 5^m రూపంలో కలదు.
∴ \(\frac{36}{100}\) అంతమయ్యే దశాంశము.

(x) \(\frac{77}{210}=\frac{7 \times 11}{2 \times 5 \times 7 \times 3}=\frac{11}{2 \times 5 \times 3}\)

హారం (q) = 2ⁿ × 5^m రూపంలో లేదు.
∴ \(\frac{77}{210}\) అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశము.

ప్రశ్న3.
సిద్దాంతం 1.3 ను అనుసరించి కింది అకరణీయ సంఖ్యల యొక్క దశాంశ రూపాన్ని తెలపండి.
(i) \(\frac{13}{25}\)
(ii) \(\frac{15}{16}\)
(iii) \(\frac{23}{2^{3} \cdot 5^{2}}\)
(iv) \(\frac{7218}{3^{2} \cdot 5^{2}}\)
(v) \(\frac{143}{110}\)
సాదన.
(i) \(\frac{13}{25}\)
\(\frac{13}{25}=\frac{13}{5^{2}}=\frac{13 \times 2^{2}}{5^{2} \times 2^{2}}\)

= \(\frac{13 \times 4}{(5 \times 2)^{2}}=\frac{52}{10^{2}}\) = 0.52

(ii) \(\frac{15}{16}\)

\(\frac{15}{16}=\frac{3 \times 5}{2^{4}}=\frac{3 \times 5 \times 5^{4}}{2^{4} \times 5^{4}}=\frac{3 \times 5 \times 625}{(2 \times 5)^{4}}\)

= \(\frac{9375}{(10)^{4}}\) = 0.9375

(iii) \(\frac{23}{2^{3} \cdot 5^{2}}\)

\(\frac{23}{2^{3} \cdot 5^{2}}=\frac{23 \times 5}{2^{3} \cdot 5^{2} \times 5}=\frac{115}{2^{3} \times 5^{3}}=\frac{115}{10^{3}}\) = 0.115

(iv) \(\frac{7218}{3^{2} \cdot 5^{2}}\)

\(\frac{7218}{3^{2} \cdot 5^{2}}=\frac{2 \times 3^{2} \times 401}{3^{2} \times 5^{2}}=\frac{2 \times 401 \times 2^{2}}{5^{2} \times 2^{2}}\)

= \(\frac{2 \times 401 \times 4}{10^{2}}=\frac{3208}{10^{2}}\) = 32.08

(v) \(\frac{143}{110}\)
\(\frac{143}{110}=\frac{11 \times 13}{2 \times 5 \times 11}=\frac{13}{10}\) = 1.3

ప్రశ్న4.
కింద కొన్ని వాస్తవసంఖ్యల దశాంశరూపాలు ఇవ్వబడినవి. ప్రతి సందర్భంలోనూ ఇవ్వబడిన సంఖ్య అకరణీయమో, కాదో తెలపండి. ఆ సంఖ్య అకరణీయమై ఉండి \(\frac{p}{q}\) రూపంలో రాయగలిగితే q యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలను గూర్చి నీవు ఏమి చెప్పగలవు ?
(i) 43.123456789
(ii) 0.120120012000120000…
(iii) \(43 . \overline{123456789}\)
సాధన.
(i) 43.123456789 అంతమయ్యే దశాంశము. కావున. అకరణీయము.
\(\frac{p}{q}\) రూపంలో రాయగలము.
q = 2ⁿ × 5^m రూపంలో ఉంటుంది.
m, n లు రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలు.
q యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలు 2 లేదా 5 లేదా 2, 5 లు.

(ii) 0.120120012000120000…….. అంతం
కావడం లేదు లేదా ఆవర్తనము కావడం లేదు:
కావున అకరణీయము కాదు.
∴ \(\frac{p}{q}\) రూపంలో రాయలేము.

(iii) \(43 . \overline{123456789}\) అంతంకాని ఆవర్తన – దశాంశము.
కావున అకరణీయ సంఖ్య.
∴ \(\frac{p}{q}\) రూపంలో రాయవచ్చును.
q = 2ⁿ x 5^m x 3^r x 7^s x 11^t ……. యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలలో 2, 5 లు ఉండవు.
లేదా 2, 5లతో పాటు ఇతర ప్రధానకారణాంకాలు ఉంటాయి.