Category: Bit Bank

Practice the AP 10th Class Maths Bits with Answers 11th Lesson త్రికోణమితి on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 10th Class Maths Bits 11th Lesson త్రికోణమితి

ప్రశ్న1.

పై పటంలో sin C = \(\frac{3}{5}\) అయిన cos C విలువ. ఎంత ?
జవాబు :

sin C = \(\frac{3}{5}\)
BC = 4 . 2.
(∵ 3, 4, 5 ప్రైథాగరియన్‌ త్రికాలు)
∴ cos C = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{5}\)

ప్రశ్న2.
sin³θ.cos θ + cos³θ . sin θ = sin θ cos θ అని చూపుము.
జవాబు :
L.H.S = sin³θ cosθ + cos³θ sinθ
= sin θ cos θ (sin² θ + cos² θ)
= sin θ cos θ (1)
= sin θ cos θ = R.H.S.

ప్రశ్న3.
sin θ = cos θ అయిన విలువ ఎంత ? (0 < θ < 90)
జవాబు :
sin θ = cos θ అయిన
(cos 45 = sin 45 = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\))
θ= 45°
(లేదా)
sin θ = cos θ ⇒ cos (90 – θ) = cos θ
∴ 90 – θ = 0 ⇒ 90 = 2θ
⇒ θ = \(\frac{90}{2}\) = 45°

ప్రశ్న4.
\(\frac{1}{\sec ^{2} A}+\frac{1}{{cosec}^{2} A}\) = 1 అని చూపుము
జవాబు :
L.H.S = \(\frac{1}{\sec ^{2} A}+\frac{1}{{cosec}^{2} A}\)
= cos² A + sin² A
= 1 = R.H.S.

ప్రశ్న5.
cos 60°. cos 30° + sin 60° . sin 30° విలువ ఎంత ?
జవాబు :
cos 60° · cos 30° + sin 60° : sin 30°

ప్రశ్న6.
tan θ cot θ = sec θ ·x అయిన x =
A) cos θ
B) sec θ
C) tan θ
D) cot θ
జవాబు :
A) cos θ

tan θ cot θ = sec θ . x
1 = sec θ . x
\(\frac{1}{\sec \theta}\) = x ⇒ x = cos θ.

ప్రశ్న7.
cos 1° . cos 2° . cos 3o ….. cos 180° యొక్క విలువ ఎంత ?
జవాబు :
cos 1°. cos 2°

ప్రశ్న8.
x = sin θ, y = cos θ అయిన sin θ, cos θ ల సర్వసమీకరణాన్నిx, y లలో రాయగా
A) x² – y² = 1
B) y² – x² = 1
C) x² + y² = 1
D) x² = y².
జవాబు :
C) x² + y² = 1
[∵ sin² θ + cos² θ = 1 :
⇒ x² + y² = 1]

ప్రశ్న9.
cos 12° – sin 78° విలువ ఎంత ?
జవాబు :
cos 12° – sin 78°
= cos 12° – sin (90° – 12)°
= cos 12° – cos 12° = 0

ప్రశ్న10.
x= cosec θ + cot θ; y = cosec θ – cot θ అయిన ఈ క్రింది వాటిలో సరైనది ………………….
A) x + y = 0
B) x – y = 0
C) \(\frac{x}{y}\) = 1
D) xy = 1
జవాబు :
D) xy = 1

(cosec θ + cot θ) (cosec θ – cot θ).
= cosec² θ – cot² θ = 1
∴ xy = 1

ప్రశ్న11.
cos (A – B) = ________
A) cos A cos B + sin A sin B
B) cos A sin A + cos B sin B
C) sin A sin B – cos A cos B
D) cos A cos B – sin A sin B
జవాబు :
A) cos A cos B + sin A sin B

ప్రశ్న12.
cos (90° – θ) = ________
జవాబు :
cos (90° – θ) = sin θ

ప్రశ్న13.
∆ABCలో of sin C = \(\frac{3}{5}\) అయిన విలువను కనుగొనుము
జవాబు :

cos A = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{3}{5}\)

ప్రశ్న14.
tan² θ – sec² θ = ________
జవాబు :
tan² θ – sec² 0 = -(sec² – tan² A) = -1

ప్రశ్న15.
sec (90° – A) = ________
జవాబు :
sec (90° – A) = cosec θ

ప్రశ్న16.
cosec θ + cot θ = 5 అయిన cosec θ – cot θ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
cosec² θ – cot² θ = 1
(cosec θ + cot θ) (cosec θ – cot θ) = 1
5(cosec θ – cot θ) = 1

∴ (cosec θ – cot θ) = \(\frac{1}{5}\)

ప్రశ్న17.
x = 2 sec θ; y = 2 tan θ అయిన x² – y² = 4 అని చూపుము.
జవాబు :
x² – y² = (2 sec θ)² – (2 tan θ)²
= 4 sec² θ – 4 tan² θ
= 4 (sec² θ – tan²θ)
= 4 (1) = 4

ప్రశ్న18.
√3 tan θ = 1 అయిన 9 విలువ ఎంత ?
జవాబు :
√3 tan θ = 1 = tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ θ = 30°.

ప్రశ్న19.
(sec 60°) (cos 60°) విలువ ఎంత ?
జవాబు :
(sec 60°) (cos 60°) = 1 (∵ sec θ – cos θ = 1)
(లేదా)
(sec 60°) (cos 60°) = 2 × ½ = 1.

ప్రశ్న20.
sin (60° + 30°) = ________
జవాబు :
sin (60° + 30°) = sin 90° = 1

ప్రశ్న21.
sec θ + tan θ = 3 అయిన sec θ – tan θ విలువ ఎంత ? ________
జవాబు :
sec θ + tan θ = ½
⇒ sec² θ – tan² θ = 1
⇒ (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1
⇒ \(\frac{1}{2}\) (sec θ – tan θ) = 1
∴ sec θ – tan θ = 1 × 2 = 2

ప్రశ్న22.
cot A = \(\frac{5}{12}\) అయిన sin A + cos A విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :

cot A = \(\frac{5}{12}\)
AC = 13 (∵ 5, 12, 13 పైథాగరియన్ త్రికాలు)
∴ sin A + cos A = \(\frac{12}{13}+\frac{5}{13}=\frac{17}{13}\)

ప్రశ్న23.
ఈ క్రింది వాటిలో sin x కు సాధ్యం కాని విలువ ఏది?
A) \(\frac{3}{4}\)
B) \(\frac{3}{5}\)
C) \(\frac{4}{5}\)
D) \(\frac{5}{4}\)
జవాబు :
D) \(\frac{5}{4}\)

ప్రశ్న24.
sin θ = cos θ (0 < θ < 90) అయితే tan θ + cot θ విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
sin θ = cos θ
∴ θ = 45°. .
∴ tan θ + cot θ = tan 45 + cot 45
= 1 + 1 = 2
(లేదా)
sin θ = cos θ ⇒ \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) = 1
⇒ tan θ =1
∴ cot θ = 1
కొబట్టి tan θ + cot θ = 1 + 1 = 2

ప్రశ్న25.
sec θ + tan θ = 3 అయితే sec θ – tan θ = \(\frac{1}{3}\) అని చూపుము.
జవాబు :
sec θ + tan θ = 3
⇒ sec² θ – tan² θ = 1
⇒ (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1
⇒ 3 (sec θ – tan θ) = 1
∴ sec θ – tan θ = \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న26.
∆ABC నందు AB = c, BC = a, AC = b మరియు ∠BAC = θ అయిన ∆ABC వైశాల్యము ……….. (θ అల్పకోణం )
A) \(\frac{1}{2}\) ab sin θ
B) \(\frac{1}{2}\) ca sin θ
C) \(\frac{1}{2}\) bc sin θ
D) \(\frac{1}{2}\) b² sin θ
జవాబు :
C) \(\frac{1}{2}\) bc sin θ

∆ADB లో ∠D = 90°
sin θ = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}\)
⇒ BD = AB sin θ
= c sin θ

∆ABC వైశాల్యం. = \(\frac{1}{2}\) × భూమి × ఎత్తు
= \(\frac{1}{2}\) × AC × BD
= \(\frac{1}{2}\) bc sin a

ప్రశ్న27.
tan θ యొక్క విలువ cosec θ పదంలలో తెల్పండి.
జవాబు :
tan θ = \(\frac{1}{\cot \theta}=\frac{1}{\sqrt{{cosec}^{2} \theta-1}}\)

ప్రశ్న28.
ఈ క్రింది వాటిని పరిశీలించండి :
i) sin² 20° + sin² 70° = 1
ii) log₂ (sin 90°) = 1
క్రింది వానిలో సరియైనది ఏది ?
A) i) మాత్రమే
B) ii) మాత్రమే
C) i) మరియు ii) లు
D) i) మరియు ii) లు కావు
జవాబు :
A) i) మాత్రమే

ప్రశ్న29.
క్రింది ఏ విలువను నిర్వచించలేము ?
A) sin 90°
B) cos 0°
C) sec 90°
D) cos 90°
జవాబు :
C) sec 90°

ప్రశ్న30.
\(\sqrt{\frac{1-\cos ^{2} \theta}{1+\cot ^{2} \theta}}\) = sin² θ అని చూపుము
జవాబు :
\(\sqrt{\frac{1-\cos ^{2} \theta}{1+\cot ^{2} \theta}}=\sqrt{\frac{\sin ^{2} \theta}{{cosec}^{2} \theta}}=\frac{\sin \theta}{{cosec} \theta}\)
= sin θ · sin θ = sin² θ.

ప్రశ్న31.
tan 36°. tan 54° + sin 30° విలువ ఎంత ?
జవాబు :
tan 36°. tan 54° + sin 30°
= tan 36°. tan (90° – 36°) + \(\frac{1}{2}\)
= tan 36°. cot 36° + \(\frac{1}{2}\) = 1 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{3}{2}\)

ప్రశ్న32.
sin A = \(\frac{24}{25}\) అయిన sec Aను కనుగొనుము
జవాబు :

sin A = \(\frac{24}{25}\)
AC² = AB² + BC²
(25)² = AB² + (24)²
25² – 24² = AB²
(25 + 24) (25 – 24) = AB²
49(1) = AB²
AB = \(\sqrt{49}\) = 7

ప్రశ్న33.
4 cos² θ – 3 = 0 అయిన sin θ = \(\frac{1}{2}\) … అని చూపుము
జవాబు :
4 cos² θ – 3 = 0
⇒4 cos² θ = 3
⇒ cos² θ = \(\frac{3}{4}\) = cos θ = \(\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ θ = 30°
∴ sin θ = sin 30° = \(\frac{1}{2}\)
(లేదా)
4 cos² θ – 3 = 0
cos² θ = \(\frac{3}{4}\)
sin² θ = 1 – cos² θ = 1 – \(\frac{3}{4}\)
sin² θ = \(\frac{4-3}{4}=\frac{1}{4}\)
:: sin θ = \(\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న34.
cosec θ + cot θ = 2 అయిన cos θ ను కనుగొనుము
జవాబు :

ప్రశ్న35.
cos (A + B) = 0 మరియు cos B = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) అయిన ‘A’ కోణమును కనుగొనుము
జవాబు :
cos (A + B) = 0 ⇒ A + B = 90°
cos B = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = B = 30°
⇒ A + B = 90° ⇒ A + 30° = 90°
∴ A= 60°

ప్రశ్న36.
sin x = \(\frac{5}{7}\) అయిన cosec x ను కనుగొనుము.
జవాబు :
sin x = \(\frac{5}{7}\) అయితే cosec x = \(\frac{7}{5}\)

ప్రశ్న37.
∠A = 75°, ∠B = 30°, అయిన tan (A – B) = 1 అని చూపుము.
జవాబు :
tan (A – B) = tan (75° – 30°)
= tan 45° = 1 .

ప్రశ్న38.
sec θ + tan θ = \(\frac{1}{3}\) అయిన sec θ – tan θ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
sec θ + tan θ = \(\frac{1}{3}\)
⇒ sec² θ – tan² θ = 1
⇒ (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1
⇒ \(\frac{1}{3}\) (sec θ – tan θ) = 1
⇒ (sec θ – tan θ) = 1 × 3
∴ sec θ – tan θ = 3

ప్రశ్న39.
ఒక గడియారంలో 20 నిమిషాల వ్యవధిలో నిమిషాల ముల్లు చేయు కోణం ఎంత ?
జవాబు :
గడియారంలో 20 నిమిషాల వ్యవధిలో నిమిషాల ముల్లు చేయు కోణము = \(\frac{20}{60}\) × 360° = 120°

ప్రశ్న40.
sec θ – tan θ = 3 అయిన sec θ + tan θ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
sec θ – tan θ = 3
⇒ sec²θ – tan²θ = 1
⇒ (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1
⇒ sec θ + tan θ (3) = 1
∴ sec θ + tan θ = \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న41.
క్రింది పటములో BC విలువను కనుగొనుము.

జవాబు :
tan 30° = AB
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{7}{\mathrm{BC}}\) ⇒ BC = 7√3

ప్రశ్న42.
క్రింది పటం ∆ABC లో AB = ________ సెం.మీ.

జవాబు :
AB² = AC² – BC²
= 17² – 15² = 289 – 225 = 64
∴ AB = \(\sqrt{64}\) = 8.

ప్రశ్న43.
sin 2θ = cos 3θ అయిన θ = 15° అని చూపుము.
జవాబు :
sin 2θ = cos 3θ
sin 2θ = sin (90 – 3θ)
⇒ 2θ = 90 – 3θ
⇒ 2θ + 3θ = 90°
⇒ 5θ = 90° ⇒ θ = \(\frac{90^{\circ}}{5}\) = 18°

ప్రశ్న44.
cos θ = \(\frac{3}{5}\) అయిన sin θ = ________
జవాబు :
cos θ = \(\frac{3}{5}\) అయిన sin θ = \(\frac{4}{5}\)
(∵3, 4, 5 పైథాగరియన్ త్రికాలు)

ప్రశ్న45.
cos 60° + sin 30° యొక్క విలువ ఎంత ?
జవాబు :
cos 60° + sin 30° = \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\) = 1

ప్రశ్న46.
sec A + tan A = \(\frac{1}{5}\) అయిన sec A – tan A విలువ ఎంత ?
జవాబు :
5

ప్రశ్న47.
tan θ యొక్క వ్యుత్తమంను తెల్పండి.
జవాబు :
cot θ

ప్రశ్న48.
(sec²θ – 1) (cosec²θ – 1) = 1 అని చూపుము.
జవాబు :
(sec²θ – 1) (cosec² θ – 1) = 1 .
= tan²θ – cot²θ = 1

ప్రశ్న49.
sin (90 – A) = \(\frac{1}{2}\) అయితే A విలువ ఎంత ?
జవాబు :
(90 – A) = \(\frac{1}{2}\) ⇒ 90 – A = 30°
∴ 90° – 30° = A ⇒ A = 60°

ప్రశ్న50.
క్రింది వానిలో sin A = \(\frac{5}{13}\) నకు సరిపడు పటం

జవాబు :

ప్రశ్న51.
sin² 60° – sin² 30° విలువ ఎంత ?
జవాబు :
sin² 60° – sin² 30° = \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
= \(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న52.
sin θ = \(\frac{a}{b}\), అయిన tan θ ను a, b లలో తెల్పండి.
జవాబు :
sin θ = \(\frac{a}{b}\)
∴ cos θ = \(\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}\)

ప్రశ్న53.
cos² θ + sin² θ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
1

ప్రశ్న54.
sin θ = cos θ అయిన 2 tan θ + cos² θ విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
sin θ = cos θ అయిన θ = 45°
∴ 2 tan θ + cos2 θ = 2 tan 45° + cos² 45°
= 2(1) + \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\)
= 2 + \(\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)

ప్రశ్న55.
cosec θ = 2 మరియు cot θ = √3p, ఇక్కడ θ లఘుకోణం అయిన ‘p’ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
cosec θ = 2, cot θ = √3p
cosec² θ – cot² θ = 1.
= (2)² – (√3p)² = 1
= 4 – 3p² = 1
= -3p² = 1 – 4 = -3 .
∴ p² = \(\frac{-3}{-3}\) = 1
∴ p = √1 = ±1

ప్రశ్న56.
tan θ + sec θ = 8 అయిన sec θ – tan θ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
sec θ – tan θ = \(\frac{1}{8}\)

ప్రశ్న57.
\(\left(\frac{11}{\cot ^{2} \theta}-\frac{11}{\cos ^{2} \theta}\right)\) విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\frac{11}{\cot ^{2} \theta}-\frac{11}{\cos ^{2} \theta}\) = 11\(\left(\frac{1}{\cot ^{2} \theta}-\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\right)\)
= 11 [tan²θ – sec² θ]
=-11 [sec² θ – tan²θ]
= -11 (1) = -11

ప్రశ్న58.
sec 2A = cosec (A – 27°) అయిన ∠A విలువ (2A లఘకోణము) ఎంత ?
జవాబు :
sec 2A = cosec (A – 27°)
cosec (90 – 2A) = cosec (A – 27°)
∴ 90 – 2A = A – 27
⇒ 90 + 27 = A + 2A
⇒ 3A = 117 = A = \(\frac{117}{3}\) = 39°

ప్రశ్న59.
\(\frac{1-\sec ^{2} A}{{cosec}^{2} A-1}\) = – tan⁴ A అని చూపుము.
జవాబు :
L.H.S. = \(\frac{1-\sec ^{2} A}{{cosec}^{2} A-1}\)
= \(\frac{-\left(\sec ^{2} A-1\right)}{{cosec}^{2} A-1}=\frac{-\tan ^{2} A}{\cot ^{2} A}\)
= – tan² A X tan² A
= – tan⁴ A = R.H.S.

ప్రశ్న60.
sin θ యొక్క గరిష్ట విలువ ఎంత ?
జవాబు :
sin θ యొక్క గరిష్ట విలువ ఎంత = 1

ప్రశ్న61.
tan θ = \(\frac{7}{8}\) అయిన \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
జవాబు :

ప్రశ్న62.
క్రింది వానిలో ఏది త్రికోణమితీయ సర్వ సమీకరణము కాదు?
A) sin² 0 + cos² 0 = 1
B) sec² 0 – tan² 0 = 1
C) sec² 0 + cosec² 0 = 1
D) cosec² 0 – cot² 0 = 1
జవాబు :
C) sec² 0 + cosec² 0 = 1

ప్రశ్న63.
sec θ = 3k మరియు tan θ = \(\frac{3}{k}\) అయిన \(\left(\mathbf{k}^{2}-\frac{1}{\mathbf{k}^{2}}\right)=\frac{1}{9}\) అని చూపుము.
జవాబు :
sec θ = 3k, tan θ = \(\frac{3}{k}\)
sec² θ – tan² θ = 1
⇒ (31)² – \(\left(\frac{3}{\mathrm{k}}\right)^{2}\) = 1
⇒ 9\(\left(\mathrm{k}^{2}-\frac{1}{\mathrm{k}^{2}}\right)\) = 1 ⇒ k – \(\frac{1}{\mathrm{k}^{2}}=\frac{1}{9}\)

ప్రశ్న64.
క్రింది వానిని జతపరచడంలో సరైన సమాధానాన్ని

i) sin 90°	a) 0
ii) cosec 45°	b) 1
iii)tan 0°	c) √2
iv)cot 30°	d ) √3

A) i-b, ii-c, iii-a, iv-d
B) i-b, ii-a, iii-d, iv-c
C) i-a, ii-c, iii-b, iv-d
D) i-a, ii-b, iii-c, iv-d
జవాబు :
A) i-b, ii-c, iii-a, iv-d

ప్రశ్న65.
APQR యొక్క అంతరకోణాలు P, Q మరియు. R అయిన tan \(\)
A) sin \(\left(\frac{\mathrm{R}}{2}\right)\)
B) cot R
C) cot \(\left(\frac{\mathrm{R}}{2}\right)\)
D) tan \(\left(\frac{\mathrm{R}}{2}\right)\)
జవాబు :
C) cot \(\left(\frac{\mathrm{R}}{2}\right)\)

ప్రశ్న66.
\(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}\) విలువ
A) sin 60°
B) cos 30°
C) tan 60°
D) A మరియు B
జవాబు :
D) A మరియు B

∴ sin 60° మరియు cos 30°

ప్రశ్న67.
sin (x – 20)° = cos (3x – 10)° అయిన ‘x’ విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
sin (x – 20)° = cos (3x – 10)
[∵ sin A = cos B అయితే A + B = 90]
∴ x – 20 + 3x – 10 = 90
⇒ 4x = 90° + 30° = 120°
⇒ x = \(\frac{120^{\circ}}{4}\) = 30°

ప్రశ్న68.
\(\frac{1}{\sec \theta}\) 0 ≤ θ ≤ 90° యొక్క గరిష్ఠ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
2

ప్రశ్న69.
cos² 17° – sin² 73° యొక్క విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
cos² 17° – sin² 73°
= cos² (90° – 73°) – sin² 73°
= sin² 73° – sin² 73° = 0
(∵ cos (90 – θ) = sin θ)

ప్రశ్న70.
A = 30° అయిన sin 2A విలువ ఎంత ?
జవాబు :
A = 30° అయిన sin 2A = sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ప్రశ్న71.
sin 45° + cos45° యొక్క విలువ √2 చూపుము.
జవాబు :

ప్రశ్న72.
లంబకోణ త్రిభుజం ABC లో, లంబకోణం ‘C’ వద్ద కలదు. tan A = \(\frac{8}{15}\) అయిన cosec²A – 1 విలువ ఎంత ?
జవాబు :
tan A = \(\frac{8}{15}\) మరియు
cosec² – A – 1 = cot² A
= \(\frac{1}{\tan ^{2} A}=\frac{1}{\left(\frac{8}{15}\right)^{2}}=\frac{225}{64}\)

ప్రశ్న73.
\(\frac{1}{2}\)tan² 45° = sin² A మరియు ‘A’ లఘుకోణము అయిన A విలువ ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{1}{2}\)tan² 45° = sin² A
\(\frac{1}{2}\)(1)² = sin² A
⇒ \(\frac{1}{2}\) = sin² A ⇒ sin A = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
∴ A = 45° (∵ sin45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\))

ప్రశ్న74.
వాక్యం – I : ∆ABC లో ∠A, ∠B మరియు ∠C లు త్రిభుజ అంతర కోణాలైన sin \(\frac{A+B}{2}\) = cos\(\frac{C}{2}\)
వాక్యం – II : x = sin θ, y = cos θ అయిన x² + y² = 0.
A) I మాత్రమే సత్యం
B) II మాత్రమే సత్యం
C) మరియు II లు రెండూ అసత్యం
D) I మరియు II లు రెండూ సత్యం
జవాబు :
C) మరియు II లు రెండూ అసత్యం

ప్రశ్న75.
tan θ =1 అయిన \(\frac{5 \sin \theta+4 \cos \theta}{5 \sin \theta-4 \cos \theta}\) విలువను కనుగొనుము. (θ అల్పకోణము)
జవాబు :
tan θ = 1 ⇒ θ = 45° (∵ tan 45° = 1)

ప్రశ్న76.
cos 2θ = sin 4θ మరియు 2θ మరియు 4θ లు లఘుకోణాలైన ‘θ’ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
cos 2θ = sin 4θ
sin (90 – 2θ) = sin 4θ
∴ 90 – 2θ = 4θ ⇒ 90 = 4θ + 2θ = 6θ
∴ θ = \(\frac{90^{\circ}}{6}\) = 15° ∴ θ = 15°
(లేదా)
2θ + 4θ = 90° (∵ sin A = cos B ⇒ A + B = 90°)
6θ = 90° ⇒ θ = \(\frac{90^{\circ}}{6}\) = 15°

ప్రశ్న77.
θ విలువ క్రింది వానిలో ఏది అయినప్పుడు tan θ విలువని నిర్వచించలేము ?
A) 90°
B) 60°
C) 30°
D) 0°
జవాబు :
A) 90°

ప్రశ్న78.
sin x = cos x, 0 ≤ x ≤ 90° అయిన x విలువ ఎంత ?
జవాబు :
x = 45°

ప్రశ్న79.
క్రింది వానిలో tanA = \(\frac{5}{12}\) ను ప్రాతినిధ్యపరుచుటకు సరైన పటము.

జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న80.
sin45° – cos 45° + cos 60° = tan θ అయిన θ విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
sin 45° . cos 45° + cos 60° = tan θ
\(\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\) = tan θ
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\) = tan θ ⇒ tan θ = 1
∴ θ = 45°

→ క్రింది పటం నుండి ON = x; PN = y; OP = r; ∠PON = θ మరియు ∠PNO = 90° అయిన 81 మరియు 82 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న81.
cos θ ను x, r’ లలో తెల్పండి.
జవాబు :
cos θ = \(\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{r}}\)

ప్రశ్న82.
tan θ ను x, y లలో తెల్పండి.
జవాబు :
tan θ = \(\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{r}}\)

ప్రశ్న83.
sin θ cosec θ + cos θ . sec θ + tan θ. cot θ = 3 అని చూపుము
జవాబు :
sin θ cosec θ + cos θ . sec θ + tan θ. cot θ

= 1 + 1 + 1 = 3

ప్రశ్న84.
sin θ. cosec θ = x అయిన x విలువ ఎంత ?
జవాబు :
sin θ. cosec θ = x

∴ x = 1

ప్రశ్న85.
sin θ = \(\frac{a}{b}\) అయిన cos θను a, b లలో తెల్పండి
జవాబు :

ప్రశ్న86.
sin θ = 12 అయిన tan θ విలువ ఎంత ?
జవాబు :

ప్రశ్న87.
sin θ. sec θ = tan θ అని చూపుము.
జవాబు :
L.H.S. = sin θ. sec θ
= sin 8 . \(\frac{1}{\cos \theta}\)
= \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) = tan θ = R.H.S.

ప్రశ్న88.
\(\sqrt{1+\cot ^{2} \theta}\) = cosec θ అని నిరూపించుము.
జవాబు :
\(\sqrt{1+\cot ^{2} \theta}=\sqrt{{cosec}^{2} \theta}\) = cosec θ

ప్రశ్న89.
sec θ = \(\frac{13}{12}\) అయిన sin θ విలువ ఎంత ?
జవాబు :

ప్రశ్న90.
జతపరుచుము.

A) i-c, ii-a, iii-d, iv-b
B) i-b, ii-d, iii-a, iv-c
C) i-a, ii-d, iii-c, iv-b
D) i-d, ii-b, iii-a, iv-c
జవాబు :
B) i-b, ii-d, iii-a, iv-c

ప్రశ్న91.
\(\sqrt{1+\sin A} \cdot \sqrt{1-\sin A}\) = cos A అని చూపుము.
జవాబు :

ప్రశ్న92.
ప్రవచనం – A: sin 0°, sin 30°, sin 90° యొక్క విలువలు అంకశ్రేణిలో కలవు.
ప్రవచనం – B: tan 45°, sec 60°, cosec-30° యొక్క విలువలు ఒక గుణశ్రేణిని ఏర్పరుస్తాయి.
A) A సత్యం, B అసత్యం
B) A అసత్యం, B సత్యం
C) A సత్యం, B సత్యం
D) A అసత్యం, B అసత్యం
జవాబు :
C) A సత్యం, B సత్యం

ప్రశ్న93.
tan² 30° + 2cot² 60° విలువ ఎంత ?
జవాబు :
tan² 30° + 2cot² 60°
= \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}\)
= \(\frac{1}{3}+2 \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{3}{3}\) = 1

ప్రశ్న94.
sin² 75° + cos² 75° విలువ ఎంత ?
జవాబు :
1.
(sin² θ + cos² θ = 1)

ప్రశ్న95.
sin⁴ θ – cos⁴ θ =
A) 1
B) cos² θ – sin² θ
C) 2 sin² θ – 1
D) 2 sin² θ
జవాబు :
C) 2 sin² θ – 1

sin⁴ θ – cos⁴ θ = (sin² θ + cos² θ) (sin² θ – cos² θ)
= 1 (sin² θ – cos² θ)
= sin² θ – cos² θ
= sin² θ – (1 – sin² θ)
= sin² θ – 1 + sin² θ
= 2 sin² θ – 1

ప్రశ్న96.
tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\); అయిన cos θ విలువ ఎంత ? (θ అల్పకొణము)
జవాబు :
tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) ⇒ θ = 30°
∴ cos θ = cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ప్రశ్న97.
(1 + tan θ)² = sec² θ + 2 tan θ అని చూపుము
జవాబు :
L.H.S. = (1 + tanθ)²
= 1² + tan² θ + 2(1) tan θ
(: (a + b)² = a² + b² + 2ab)
= 1 + tan² θ + 2 tan θ
= sec² θ + 2 tan θ = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.

ప్రశ్న98.
tan θ ను sec θ లలో తెలుపగా
A) \(\frac{\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}}{\sec \theta}\)
B) \(\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}}\)
C) \(\frac{1}{\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}}\)
D) \(\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}\)
జవాబు :
D) \(\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}\)

sec² θ – tan² θ = 1
sec² A – 1= tan² θ
tan θ = \(\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}\)

ప్రశ్న99.
5 sin A = 3 అయిన sec² A – tan² A విలువ ఎంత ?
జవాబు :
5 sin A = 3 అయిన sec² A – tan² A = 1
(∵ sec² A – tan² A = 1)

ప్రశ్న100.
tan θ ను sin θ లో తెల్పండి.
జవాబు :
tan θ = \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}}\)
(∵ sin² θ + cos² θ = 1
cos² θ = 1 – sin² θ
cos θ = \(\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}\))

ప్రశ్న101.
cos θ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) మరియు 8 అల్పకోణము అయిన 4 sin² θ + tan² θ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
cos θ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ θ = 30°
∴ 4 sin² θ + tan² θ
= 4 sin² 30° + tan² 30°
= 4\(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\) + \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}\) = 1 + \(\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\)

ప్రశ్న102.

పటం నుండి, ∆ABC లో ∠B = 90°; ∠C = θ అయిన tan θ విలువను రాయండి.
జవాబు :
tan θ = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{15}{8}\)

ప్రశ్న103.

‘పటం నుండి cos θ విలువను తెల్పండి.
జవాబు :
cos θ = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{8}{17}\)

ప్రశ్న104.
cos 0° + sin 90° + √2 sin 45° = 3 అని చూపండి.
జవాబు :
cos 0° + sin 90° + √2 sin 45°
= 1 + 1 + √2 × \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = 1 + 1 + 1 = 3

ప్రశ్న105.
3 sin² 45° + 2 cos² 60° విలువ ఎంత ?
జవాబు :
3 sin² 45° + 2 cos² 60°
= 3\(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\) + 2\(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
= \(\frac{3}{2}+2 \times \frac{1}{4}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\) = 2

ప్రశ్న106.
sin (log₂ 1)° విలువ ఎంత ?
జవాబు :
sin (log₂ 1)° = sin 0° = 0 (∵ log 1 = 0)

ప్రశ్న107.
a⁴ – b⁴ = (a² + b²) (a² – b²) అనే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి sin⁴ θ – cos⁴ θ ను సూక్ష్మీకరించగా వచ్చు ఫలితం క్రింది వానిలో దేనికి సమానం ?
A) sin²θ – cos²θ
B) 2 sin²θ – 1
C) 1 – 2cos²θ
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

sin⁴θ – cos⁴θ
= (sin² θ + cos² θ) (sin² θ – cos² θ)
= sin² θ – cos² θ …….. (1)
= sinθ – (1 – sin²θ)
= sin²θ – 1 + sin²θ
= 2 sin²θ – 1 …….. (2)
(1) ⇒ (1 – cos² θ) – cos²θ = 1 – 2cos²θ

ప్రశ్న108.
tan θ + cot θ = 2 అయిన tan θ + cot θ విలువ ఎంత?
జవాబు :
tan θ + cot θ = 2
(tan θ + cot θ)² = (2)²

= tan² θ + cot² θ + 2 = 4
= tan² θ + cot² θ = 4 – 2 = 2

ప్రశ్న109.
క్రింది పట్టికలో లోపించిన విలువను తెల్పండి.

జవాబు :
√3

ప్రశ్న110.
∆ABC లో sin A = \(\frac{3}{5}\), cos A = \(\frac{4}{5}\) అయిన ఆ త్రిభుజ కొలతలు వరుసగా BC, AB, AC లు క్రింది వానిలో ఏవి కావచ్చును ?
(A) 9, 12, 15
(B) 3, 4, 5,
(C) 12, 16, 20
(D) పైవన్నీ
జవాబు:
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న111.
(1 + tan² 60°)² విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
(1 + tan²60°)² = (1 + (√3)²)²
= 4² = 16

ప్రశ్న112.
క్రింది వానిని జతపరుచుము.

i) sec θ	a) \(\frac{1}{\sin \theta}\)
ii) cosec θ	b) \(\frac{1}{\tan \theta}\)
iii)cot θ	c) \(\frac{1}{\cos \theta}\)

A) i-a, ii-b, iii-c
B) i-c, ii-a, iii-b
C) i-b, ii-a, iii-c,
D) i-a, ii-c, iii-b
జవాబు :
B) i-c, ii-a, iii-b

→ ఇవ్వబడిన పటాన్ని పరిశీలించి, 113, 114 ప్రశ్నలకు జవాబులు రాయండి.

ప్రశ్న113.
sin A విలువను తెల్పండి.
జవాబు :
sin A = \(\frac{12}{13}\)

ప్రశ్న114.
tan C విలువను రాయండి.
జవాబు :
tan C = \(\frac{5}{12}\)

ప్రశ్న115.
α + β = 90° మరియు α = 2β అయిన cos² α + sin² β = \(\frac{1}{2}\) అని చూపుము.
జవాబు :
α + β = 90°, α = 2β
2β + β = 90° ⇒ 3β = 90° ⇒ β = 30°
∴ α = 60°
cos² α + sin² β = cos² 60° + sin² 30°
= \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న116.
∆ABC లంబకోణ త్రిభుజంలో ∠B = 90°, BC = 24 సెం.మీ. మరియు tan C = \(\frac{5}{12}\) అయిన కర్ణము AC పొడవు ఎంత ?
జవాబు :

BC = 24 సెం.మీ. మరియు
tan C = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{5}{12}\)
\(\frac{5}{12}=\frac{5 \mathrm{k}}{24}\) ⇒ k= 2
AB = 10 సెం.మీ.
కర్ణం AC = \(\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}}=\sqrt{10^{2}+24^{2}}\)
= \(\sqrt{100+576}=\sqrt{676}\) = 26 సెం.మీ.
(లేదా)
tan C = \(\frac{5}{12}\) (5, 12, 13 లు పైథాగరియన్ త్రికాలు),
BC = 24 సెం.మీ. (10, 24, 26 లు కూడా పైథాగరియన్ త్రికాలు)
∴ కర్ణం AC = 26 సెం.మీ.

ప్రశ్న 117.
క్రింది వానిని జతపరచడంలో సరైన సమాధానమును ఎన్నుకొనుము.

(A) i-a, ii-b, iii-c
(B) i-b, ii-c, iii-a
(C) i-c, ii-b, iii-a
(D) i-c, ii-a, iii-b
జవాబు.
(C) i-c, ii-b, iii-a

ప్రశ్న 118.
ప్రవచనం P: sin α = cos β అయిన α + β = 90° (α, β లు అల్పకోణాలు)
ప్రవచనం – Q : sec θ = m, tan θ = n అయిన m² – 12 = 1 (0° < θ < 90°)
(A) P సత్యం, Q అసత్యం
(B) P సత్యం, Q సత్యం
(C) P అసత్యం, Q సత్యం
(D) P అసత్యం , Q అసత్యం .
జవాబు.
(B) P సత్యం, Q సత్యం

ప్రశ్న 119.
sin 60° విలువ
(A) cos 30°
(B) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(C) A మరియు B
(D) \(\frac{1}{2}\)
జవాబు.
(C) A మరియు B

ప్రశ్న 120.
A, B లు లఘుకోణాలైన sin (A – B) = \(\frac{1}{2}\) sin A = \(\frac{1}{2}\) అయిన B ని కనుగొనుము.
సాధన.
sin (A – B) = \(\frac{1}{2}\) ⇒ A – B = 30°
sin A = \(\frac{1}{2}\) ⇒ A = 30°
∴ 30° – B = 30° ⇒ B = 0°
(లేదా)
sin (A – B) = sin A = \(\frac{1}{2}\)
∴ A – B = A ⇒ – B = A – A ⇒ B = 0

ప్రశ్న 121.
∆ ABC లో a = 3; b = 4; c=’5 అయిన cos A విలువను కనుగొనుము.
సాధన.

cos A = \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}\) = \(\frac{4}{5}\)

ప్రశ్న 122.
sec A . \(\sqrt{1-\sin ^{2} A}\) = 1 అని చూపుము.
సాధన.

ప్రశ్న 123.
sec²35° – co²55° = 1 అని నిరూపించండి.
సాధన.
sec²35° – cot² (90 – 35) (∵ cot (90 – θ) = tan θ)
sec²35° – tan²35° = 1

ప్రశ్న 124.
\(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\) విలువ ఎంత ?
సాధన.
\(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\) = \(\frac{\sin (90-72)}{\cos 72^{\circ}}\) = \(\frac{\cos 72^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\) = 1

ప్రశ్న 125.
cos 1° ∙ cos 2° ∙ cos 3°…….. cos 90° విలువ ఎంత ?
సాధన.
cos 1° – cos 2° – cos 3° …….. cos 90° = 0 (∵ cos 90° = 0)

ప్రశ్న 126.
cot θ = p, sec θ = q అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) p² – q² = 1
(B) q² – p² = 1
(C) q² – \(\frac{1}{\mathrm{p}^{2}}\) = 1
(D) \(\frac{1}{\mathrm{q}^{2}}\) – p² = 1
సాధన.
C.
cot θ = p ⇒ tan θ = \(\frac{1}{\mathrm{p}}\)
sec² θ – tan² θ = q² – \(\left(\frac{1}{p}\right)^{2}\) = q² – \(\frac{1}{\mathrm{p}}\)

ప్రశ్న 127.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజ భుజాలు పూర్ణాంకాలు మరియు tan θ = \(\frac{5}{12}\), అయితే ఆ త్రిభుజము యొక్క కనిష్ఠ వైశాల్యము ఎంత ?
సాధన.

త్రిభుజము యొక్క కనిష్ట వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\)ab
= \(\frac{1}{2}\) × 5 × 12 = 30 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 128.
\(\frac{\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}}{\sqrt{1+\cot ^{2} \theta}}\) = tan θ అని చూపుము
సాధన.

ప్రశ్న 129.
sin² 47° + sin² 43° విలువ ఎంత ?
సాధన.
sin² 47° + sin² 43° .
= sin² 47° + sin² (90 – 47)°
= sin² 47° + cos² 47° = 1

ప్రశ్న 130.
cos \(\left(\frac{\theta}{2}\right)\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) అయిన cos θ విలువ ఎంత ?
సాధన.
cos \(\left(\frac{\theta}{2}\right)\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ⇒ \(\frac{\theta}{2}\) = 45° ⇒ θ = 90°
∴ cos θ = cos 90° = 0

ప్రశ్న 131.
sin θ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) అయిన sin \(\left(\frac{\theta}{2}\right)\) విలువ ఎంత ?
సాధన.
sin θ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ⇒ θ = 60° ∴ \(\frac{\theta}{2}\) = 30°
sin \(\frac{\theta}{2}\) = sin 30° = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 132.
(1 + cot² 45°)² విలువ ఎంత ?
సాధన.
(1 + cot² 45°)² = (1 + 1²)²
= (1 + 1)² = 2² = 4

ప్రశ్న 133.
\(\frac{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}\) విలువ ఎంత ?
సాధన.

ప్రశ్న 134.
\(\frac{{cosec}^{2} \theta}{\cot \theta}\) – cot θ = tan θ అని చూపుము.
సాధన.

ప్రశ్న 135.
\(\sqrt{\frac{\sec x+\tan x}{\sec x-\tan x}}\) =
(A) sec x + tan x
(B) sec x – tan x
(C) 2 tan x
(D) 2 sec x
సాధన.
(A) sec x + tan x

ప్రశ్న 136.
4 sin 30° ∙ sec 60° = x tan 45° అయిన విలువ ఎంత?
సాధన.
4 sin 30° ∙ sec 60° = x tan 45°
⇒ 4 × \(\left(\frac{1}{2}\right)\)(2) = x(1) ⇒ 4 = x
∴ x = 4

ప్రశ్న 137.
sin 60° cos 30° + cos 60°. sin 30° విలువ ఎంత?
సాధన.
sin 60° . cos 30° + cos 60°. sin 30°
= \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\)
= \(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}\) = 1
(లేదా)
sin 60° · cos 30° + cos 60°. sin 30°
= sin (60° + 30°) = sin 90° = 1

ప్రశ్న 138.
sin (A + B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\); cos B = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) అయిన A విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
sin (A + B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), cos B = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
A + B = 60°, B = 30°
A + 30° = 60° ⇒ A = 30°

ప్రశ్న 139.
\(\frac{\tan 45^{\circ}}{{cosec} 30^{\circ}}+\frac{\sec 60^{\circ}}{\cot 45^{\circ}}\) =
(A) 2\(\frac{1}{2}\)
(B) \(\frac{5}{2}\)
(C) 2
(D) A మరియు B
సాధన.
(D) A మరియు B
\(\frac{\tan 45^{\circ}}{{cosec} 30^{\circ}}+\frac{\sec 60^{\circ}}{\cot 45^{\circ}}\) = \(\frac{1}{2}+\frac{2}{1}\) = 2\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{5}{2}\)

ప్రశ్న 140.
cos (A – B) = \(\frac{1}{2}\); sin B = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) అయిన A విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
COS (A – B) = \(\frac{1}{2}\), sin B = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
A – B = 60°,
B = 45°
∴ A = 60° + B = 60° + 45° = 105°

ప్రశ్న 141.
cos 75° విలువ క్రింది వానిలో దేనికి సమానము ?
(A) sin 15°
(B) – sin 15°
(C) cos 15°
(D) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
సాధన.
(A) sin 15°
cos 75° = cos (90 – 15)° = sin 15.

ప్రశ్న 142.
(1 + tan² A) (1 – sin² A) = 1 అని చూపండి.
సాధన.
(1 + tan² A) (1 – sin² A)
= sec² A – cos² A

ప్రశ్న 143.
tan 30° =
(A) √3
(B) cot 60°
(C) \($\frac{1}{\sqrt{3}}$\)
(D) B మరియు C .
జవాబు.
(D) B మరియు C .

ప్రశ్న 144.
sin²45° + cos²45° + tan²45° = 2 అని నిరూపించుము.
సాధన.
sin²45° + cos²45° + tan²45°
= 1 + 1 = 2 [∵ sin²θ + cos² θ = 1]

ప్రశ్న 145.
\(\frac{\sin ^{4} A-\cos ^{4} A}{\sin ^{2} A-\cos ^{2} A}\) = 1 అని చూపుము.
సాధన.

ప్రశ్న 146.
sin θ = \(\frac{1}{2}\) అయిన cos \(\frac{3 \theta}{2}\) విలువ ఎంత ?
సాధన.
sin θ = \(\frac{1}{2}\) ⇒ θ = 30°
cos \(\left(\frac{3 \theta}{2}\right)\) = cos\(\left(\frac{3(30)}{2}\right)\)
= cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

ప్రశ్న 147.
cos (90 – θ) =
(A) cos θ
(B) sin θ
(C) – sin θ
(D) sec θ
సాధన.
(B) sin θ

ప్రశ్న 148.
\(\frac{\tan \theta \cdot \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}}{\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}}\) = 1 అని నిరుపించుము
సాధన.

ప్రశ్న 149.
sec θ + tan θ = \(\frac{1}{5}\) అయిన sin θ విలువను కనుగోనుము.
సాధన.

ప్రశ్న 150.
(sec 45° + tan 45°) (sec 45° – tan 45°) విలువ ఎంత?
సాధన.
(sec 45° + tan 45°) (sec 45° – tan 45°)
= (sec² 45° – tan² 45°)
= 1

ప్రశ్న 151.
sin 30° + cos 60° విలువ ఎంత?
సాధన.
sin 30° + cos 60° = \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 1

ప్రశ్న 152.
\(\sqrt{{cosec}^{2} \theta-\cot ^{2} \theta}\) విలువ ఎంత?
సాధన.
\(\sqrt{{cosec}^{2} \theta-\cot ^{2} \theta}\) = √1 = ± 1

ప్రశ్న 153.
tan A ను cos A లో రాయండి.
సాధన.
tan A = \(\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\sqrt{1-\cos ^{2} A}}{\cos A}\)

ప్రశ్న 154.
\(\frac{1}{1-\sin \theta}+\frac{1}{1+\sin \theta}\) = 2 sec² θ అని చూపుము
సాధన.

ప్రశ్న 155.
sec θ + tan θ = 4 అయిన cos θ విలువను కనుగొనుము.
సాధన.

ప్రశ్న 156.
cot² θ = 3 అయిన cosec θ = i.
సాధన.
cot² θ = 3
cosec² θ – cot² θ = 1
⇒ cosec²θ – 3 = 1
⇒ cosec² θ = 1 + 3 = 4
⇒ cosec θ = 4 = 2
(లేదా)
cot² θ = 3 ⇒ cot θ = √3 ⇒ θ = 30°
∴ cosec θ = cosec 30° = 2

ప్రశ్న 157.
tan 0° విలువను రాయండి.
సాధన.
tan 0° = 0

ప్రశ్న 158.
cos θ = – cos θ అయిన θ విలువ ఎంత?
సాధన.
cos θ = – cos θ
⇒ cos θ + cos θ = 0
⇒ cos θ = \(\frac{0}{2}\) = 0
∴ θ = 90°

ప్రశ్న 159.
sin θ = \(\frac{a}{b}\); cos θ = \(\frac{c}{d}\) అయిన cot θ =
(A) \(\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{cd}}\)
(B) \(\frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{ad}}\)
(C) \(\frac{c a}{b d}\)
(D) \(\frac{\mathrm{ad}}{\mathrm{bc}}\)
సాధన.
(B) \(\frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{ad}}\)

ప్రశ్న 160.
A అల్ప కోణ౦ మరియు tan A = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) అయిన sin A విలువ ఎంత ?
సాధన.
tan A = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) ⇒ A = 30°
∴ sin A = sin 30° = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 161.
a sin θ = x; b cos θ = y అయిన \(\left(\frac{x}{a}\right)^{2}+\left(\frac{y}{b}\right)^{2}\) =
(A) – 1
(B) 0
(C) 2
(D) 1
సాధన.
(D) 1
a sin θ = x, b cos θ = y
sin θ = \(\frac{x}{a}\) cos θ = \(\frac{y}{b}\)
∴ \(\left(\frac{x}{a}\right)^{2}+\left(\frac{y}{b}\right)^{2}\) = sin² θ + cos² θ = 1

ప్రశ్న 162.
sin A = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) అయిన tan A విలువ ఎంత>
సాధన.
sin A = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ⇒ A = 45°
∴ tan A = tan 45° = 1

ప్రశ్న 163.
cos (x – y) =
(A) cos x sin x + cos y sin y
(B) cos x sin y + cos y sin x
(C) sin x cos y + cos x sin y
(D) cos x cos y + sin x sin y
సాధన.
(D) cos x cos y + sin x sin y
cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y

ప్రశ్న 164.
sec θ = cosec θ అయిన θ విలువ =
(A) 90°
(B) 45°
(C) 30°
(D) 60°
సాధన.
(B) 45°

ప్రశ్న 165.
\(\frac{\sqrt{{cosec}^{2} \theta-1}}{{cosec} \theta}\) =
(A) 1 + sec θ
(B) cosec θ + cot θ
(C) cos θ
(D) tan θ
సాధన.
(C) cos θ

ప్రశ్న 166.
\(\frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}}\) = tan θ అని చూపుము.
సాధన.
\(\frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}}\) = \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) = tan θ

ప్రశ్న 167.
cos A = sin B అయిన A + B = 90° అని చూపుము.
సాధన.
cos A = sin B
sin (90 – A) = sin B ⇒ 90 – A = B
∴ 90° = A + B

ప్రశ్న 168.
x = 2 cosec θ; y = 2 cot θ అయిన x² – y² విలువ ఎంత?
సాధన.
x = 2 cosec θ, y = 2 cot θ
x² – y² = (2 cosec θ)² – (2 cot θ)²
= 4 cosec² θ – 4 cot² θ
= 4 (cosec² θ – cot² θ)
= 4 (1) = 4

ప్రశ్న 169.
cos (A + B) = 0, cos B = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) అయిన A విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
cos (A + B) = 0, cos B = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ A + B = 90° B = 30°
∴ A + 30° = 90° ⇒ A = 90° – 30 = 60°

ప్రశ్న 170.
\(\frac{\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}}{\cos \theta}\) =
(A) \(\frac{\tan \theta}{1+\tan \theta}\)
(B) \(\frac{1}{\tan \theta}\)
(C) cot θ
(D) sin θ
జవాబు.
(D) sin θ

ప్రశ్న 171.
\(\frac{\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}}{\cos \theta}\) =
(A) tan θ
(B) cos θ
(C) sec θ
(D) cot θ
జవాబు.
(A) tan θ

ప్రశ్న 172.
\(\frac{1}{\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}}\) =
(A) sin θ
(B) cos θ
(C) sec θ
(D) cosec θ
జవాబు.
(B) cos θ

ప్రశ్న 173.
cos θ . tan θ =
(A) cos θ
(B) cot θ
(C) sin θ
(D) cos² θ

ప్రశ్న 174.
క్రింది పటం ∆ ABC లో ∠C = 45° మరియు ∠B = 90° అయిన cos A విలువ ఎంత?

సాధన.
∆ ABC లో ∠B = 90° మరియు C = 45° కావున,
∴ ∠A = 45°; cos A = cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

ప్రశ్న 175.
sec² 33° – cot² 57° విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
sec² 33° – cot² 57°
= sec² (90 – 57) – cot² 57° (∵ sec (90 – θ) = cosec θ)
= cosec² 57° – cot² 57°
= 1

ప్రశ్న 176.
√3 cot 2θ = 1 అయిన θ విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
√3 cot 2θ = 1 ⇒ cot 2θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ 2θ = 60° (∵ cot 60° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\))
∴ θ = \(\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30°

ప్రశ్న 177.
sin (log₁₀1) విలువ ఎంత ?
సాధన.
sin (log₁₀1)° = sin 0° = 0 (∵ log_a 1 = 0)

ప్రశ్న 178.
cos θ = 3 అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) θ = 60°
(B) cos\(\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(C) sin\(\left(\frac{3 \theta}{4}\right)^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(D) పైవన్నీ
సాధన.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 179.
cos θ ను sin θ లో తెల్పండి.
సాధన.
cos θ = \(\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}\)

ప్రశ్న 180.
cos 0° + sin 90° + √3 cosec 60° విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
cos 0° + sin 90° + √3 cosec 60°

= 1 + 1 + 2 = 4

ప్రశ్న 181.
cos 60° ∙ cos 30° – sin60° ∙ sin30°విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
cos 60° ∙ cos 30° – sin 60° ∙ sin 30°
= \(\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}\) = 0
(లేదా)
cos 60° ∙ Cos 30° – sin 60° ∙ sin 30
= cos (60 + 30)°
= cos 90° = 0
(∵cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B)

ప్రశ్న 182.
tan θ =
(A) \(\frac{1}{\cot \theta}\)
(B) \(\sqrt{\sec ^{2} \theta+1}\)
(C) \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 183.
క్రింది త్రికోణమీతియ నిష్పత్తి విలువలకు సమానమపు సంవర్గమాన విలువను జత చేయండి.

(A) i-b, ii-a, iii-c, iv-d.
(B) i-c, ii-d, iii-b, iv-a
(C) i-a, ii-c, iii-d, iv-b
(D) i-d, ii-c, iii-b, iv-a
జవాబు.
(D) i-d, ii-c, iii-b, iv-a

ప్రశ్న 184.
√3 tan θ = 1 అయిన 6 విలువ ఎంత ? (θ అల్పకోణము)
సాధన.
√3 tan θ = 1 ⇒ tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ θ = 30° (∴ tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\))

ప్రశ్న 185.
\(\sqrt{{cosec}^{2} \theta-\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}\) ను ఒకే త్రికోణమితీయ నిష్పత్తిలో తెల్పండి.
సాధన.

ప్రశ్న 186.
\(\sqrt{\frac{1-\cos ^{2} \theta}{1+\cot ^{2} \theta}}\) =
(A) sin θ
(B) sin θ
(C) sin θ
(D) sin⁴ θ
సాధన.
(C) sin θ
\(\sqrt{\frac{1-\cos ^{2} \theta}{1+\cot ^{2} \theta}}=\sqrt{\frac{\sin ^{2} \theta}{{cosec}^{2} \theta}}\)
= \(\sqrt{\sin ^{2} \theta \cdot \sin ^{2} \theta}\) = sin² θ

ప్రశ్న 187.
cosec 60° × cos 90° విలువ ఎంత ?
సాధన.
cosec 60° × cos 90° = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) × 0 = 0

ప్రశ్న 188.
sin 81° =
(A) cos 9°
(B) cos 81°
(C) – cos 9o
(D) cosec 81°
సాధన.
(A) cos 9°

ప్రశ్న 189.
tan θ = √3 అయితే sec θ విలువను కనుగోనుము
సాధన.
tan θ = √3 ⇒ θ = 60°
∴ sec θ = sec 60° = 2
(లేదా)
sec² θ = 1 + tan² θ
= 1 + (√3)² = 1 + 3 = 4
∴ sec θ = √4 = 2

ప్రశ్న 190.
cot²θ – \(\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\) = – 1 అని చూపుము.
సాధన.
cot²θ – \(\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\) = cot²θ – cosec²θ
= – (cosec² θ – cot² θ) = – 1

ప్రశ్న 191.
\(\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}\) = …………….
(A) sec θ – tan θ
(B) sec θ + tan θ
(C) sec²θ – tan²θ
(D) 1
జవాబు.
(B) sec θ + tan θ

ప్రశ్న 192.
sin 29° – cos 61° యొక్క విలువ ఎంత?
సాధన.
sin 29° – cos 61°
= sin (90 – 61)° – cos 61°
= cos 61° – cos 61° = 0

ప్రశ్న 193.
tan 1° ∙ tan 2° ∙ tan 3° ……….. tan 89° యొక్క విలువ ఎంత ?
సాధన.
tan 1° ∙ tan 2° ∙ tan 3°……….. tan 89°
= tan (90 – 89)° . tan (90 – 88)° ………. tan 45°….. tan 88° ∙ tan 89°
= cot 89° . cot 88°….. tan 45°….. tan 88° ∙ tan 89 = tan 45° = 1

ప్రశ్న 194.
క్రింది వానిలో సరైన ప్రవచనాలను ఎన్నుకొనుము.
(i) 0 ≤ θ ≤ 90 అయిన 0 ≤ sin θ ≤ 1
(ii) tan A = cot B (A, B లు అల్పకోణాలు) అయితే A + B = 90°
(iii) cosec θ = p, cot θ = q అయిన p² + q² = 1
(iv) cos θ = x అయిన sin θ = \(\sqrt{1+x^{2}}\).
సాధన.
(i) మరియు (ii) లు సత్యము.

ప్రశ్న 195.
పై 194 వ ప్రశ్నలో అసత్య ప్రవచనాలను గుర్తించి, వానిని సత్య ప్రవచనాలుగా మార్చండి.
సాధన.
(iii) మరియు (iv) లు అసత్య ప్రవచనాలు.
వానిని సత్య ప్రవచనాలుగా మార్చగా,
cosec θ = p, cot θ = q అయిన p² – q² = 1
cos θ = x అయిన sin θ = \(\sqrt{1-x^{2}}\)

ప్రశ్న 196.
tan (15° + B) = √3 అయితే B విలువ ఎంత?
సాధన.
tan (15° + B) = √3 ⇒ 15 + B = 60°
∴ B = 60° – 15° = 45°

ప్రశ్న 197.
క్రింది వానిలో ఏది sin e విలువ కావచ్చును ? .
(A) √2
(B) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(C) √3
(D) 2
సాధన.
B
(∵ √2 = 1.414 ….. > 1,
√3 = 1.732 ….. > 1
2 > 1)

ప్రశ్న 198.
\(\sqrt{(\sec \theta+1)(\sec \theta-1)}\) = tan θ అని చూపుము.
సాధన.
\(\sqrt{(\sec \theta+1)(\sec \theta-1)}\) = \(\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}\)
= tan θ

ప్రశ్న 199.
cosec θ + cot θ = 2 అయిన cosec θ – cot θ విలువ ఎంత ?
సాధన.
cosec θ + cot θ = 2 అయిన
cosec θ – cot θ = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 200.
క్రింది వానిలో cos θ విలువ కానిది ఏది ?
(A) \(\frac{3}{4}\)
(B) \(\frac{1}{2}\)
(C) \(\frac{4}{3}\)
(D) 0
జవాబు.
(C) \(\frac{4}{3}\)

ప్రశ్న 201.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) sin²θ + cos²θ = 1
(B) sin² θ = 1 – cos² θ
(C) cos² θ = 1 – sin² θ
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 202.
sin A = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), tan B = 1 అయిన క్రింది ఏది సత్యం ఏది సత్యం ? (A, B లు అల్పకోణాలు)
(i) A = B
(ii) A + B = 60°
(iii) sin (A + B) = 1
(iv) cos (A + B) = 1
(A) i మరియు ii
(B) i మరియు iii
(C) ii మరియు iv
(D) ii మరియు iii
జవాబు.
(B) i మరియు iii

ప్రశ్న 203.
క్రింది పటంలో AB పొడవును కనుగొనుము.

సాధన.
∆ABCలో ∠B = 90°
∴ tan 30° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\) = \(\frac{A B}{60}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{AB}}{60}\) ⇒ AB = \(\frac{60}{\sqrt{3}}\) మీ.

ప్రశ్న 204.
క్రింది వానిలో ఏది నిర్వచింపబడదు”?
(A) sin 45°
(B) cot 0°
(C) tan 0°
(D) sec 45°
జవాబు.
(B) cot 0°

ప్రశ్న 205.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ? ”
(A) sec²θ – tan²θ = 1
(B) sec²θ + tan²θ = 1
(c) tan²θ – sec² θ = 1
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(A) sec²θ – tan²θ = 1

ప్రశ్న 206.
A + B = 90° అయిన క్రింది వానిలో. ఏది సత్యం ?
(A) cos A = sin B
(B) tan A = cot B
(C) cosec A = sec A
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 207.
sec θ విలువ tan θ లో రాయండి.
సాధన.
sec²θ – tan² θ = 1
⇒ sec² 8 = 1 + tan²θ
⇒ sec θ = \(\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}\).

ప్రశ్న 208.
జతపరుచుము.

(A) a – iii, b-i, c – iv, d – ii
(B) a – iv, b – ii, c-i, d – iii
(C) a – iii, b-ii, c – iv, d-i
(D) a – iv, b – iii, c-ii, d – i
జవాబు.
(B) a – iv, b – ii, c-i, d – iii

ప్రశ్న 209.
A, Bలు అల్పకోణాలు మరియు ∠A ≥ ∠B అయిన క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ?
(A) sin A ≥ sin B
(B) cos A ≤ cos B
(C) tan A ≤ tan B
(D) sec A ≥ sec B
జవాబు.
C) tan A < tan B

ప్రశ్న 210.
cosec θ, cot θ లలో సర్వసమీకరణాన్ని రాయండి.
సాధన.
cosec²θ – cot- θ = 1

ప్రశ్న 211.
sin 75° + cos 65° ను 0° మరియు 45° ల మధ్యగల విలువలో రాయండి.
సాధన.
sin 75° + cos 65°
= sin (90 – 15)° + cos (90 – 25)
= cos 15° + sin 25°

ప్రశ్న 212.
sin 73° + tan 73°ను cos, cot నిష్పత్తుల విలువలలో రాయండి.
సాధన.
sin 73° + tan 73°
= sin (90 – 17)° + tan (90 – 17)°
= cos 17° + cot 17°

ప్రశ్న 213.
tan θ = p, sec θ = q అయిన p, q ల మధ్య సంబంధము ………………. .
(A) p² = 1 + q²
(B) q² = 1 + p²
(C) p² + q² = 1
(D) p²= 2q²
సాధన.
(B) q² = 1 + p²
sec² θ = 1 + tan²θ
∴ q² = 1 + p²

ప్రశ్న 214.
cosec θ = m, cot θ = n అయిన క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం?
(A) m² – n² = 1
(B) sec θ = \(\frac{m}{n}\)
(C) cos θ = \(\frac{n}{m}\)
(D) m² + n² = 1
సాధన.
(A) m² – n² = 1
cosec² θ – cot² θ = 1
m² – n² = 1

ప్రశ్న 215.
sin θ = x అయిన cos θ ను x లో తెల్పండి.
సాధన.
cos θ = \(\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}\) = \(\sqrt{1-x^{2}}\).
(∵ sin θ = x)

ప్రశ్న 216.
sin 0°, sin 60°, sin 30°, sin θ, sin 90° విలువల యొక్క మధ్యగతం \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) అయ్యేటట్లు θ విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
sin 0° = 0, sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), sin 30° = \(\frac{1}{2}\),
sin 90° = 1, sin θ = ?
sin 0°, sin 60°, sin 30°, sin θ, sin 90° ల మధ్యగతము = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
∴ sin θ = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ⇒ θ = 45°
[విలువలను ఆరోహణాక్రమంలో రాయగా
0, \(\frac{1}{2}\), sin θ, \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), 1.
sin θ, \(\frac{1}{2}\) మరియు \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ల మధ్య ఉన్నప్పుడే మధ్యగతం \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) అయ్యే అవకాశం కలదు.)

ప్రశ్న 217.
sin 09°, sec 60°, cos 0°, tan 45° మరియు tan² θ విలువల యొక్క సగటు \(\frac{7}{5}\) మరియు \(\frac{1}{2}\) అల్పకోణము అయిన విలువ ఎంత ?
సాధన.
సగటు = \(\frac{\sin 0^{\circ}+\sec 60^{\circ}+\cos 0^{\circ}+\tan 45^{\circ}+\tan ^{2} \theta}{5}\)

∴ 4 + tan² θ = 7 ⇒ tan² θ = 7 – 4 = 3
∴ tan θ = √3 ⇒ θ = 60°

ప్రశ్న 218.
sec θ + tan θ = x, sec θ – tan θ = y అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(i) xy = 1
(ii) \(\frac{x}{y}\) = 1
(iii) x² + y² = 1
(iv) x² – y² = 1
సాధన.
(i) సత్యం
(sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = xy
sec²θ – tan² θ = 1
(∴ (a + b) (a – b) = a² – b²)
∴ x ∙ y = 1.

ప్రశ్న219.
∠A కు ఎదుటి భుజం ఏది ?
జవాబు :
∠A కు ఎదుటి భుజం = BC

ప్రశ్న220.
∠C కు ఆసన్న భుజమును తెల్పండి.
జవాబు :
∠C కు ఆసన్న భుజము = BC

ప్రశ్న221.
∠A + ∠C విలువ ఎంత ?
జవాబు :
∠A + ∠C = 90° [∵ ∠B = 90°, ∠A + ∠B + ∠C = 180°]

ప్రశ్న222.
\(\frac{\mathbf{B C}}{\mathbf{A B}}\) ని సూచించు ఏదేని ఒక త్రికోణమితీయ నిష్పత్తిని తెల్పండి.
జవాబు :
tan A (లేదా) cot C

ప్రశ్న223.
sin A = cos B అని నిరూపించండి.
జవాబు :
A + B = 90° ⇒ A = 90 – B
∴ sin A = sin (90 – B) = cos B [∵ sin (90 – θ) = cos θ]
∴ sin A = cos B

ప్రశ్న224.
\(\frac{\mathbf{B C}}{\mathbf{A C}}\) నిష్పత్తికి ప్రాతినిథ్యం వహించు త్రికోణమితీయ నిష్పత్తి
A) tan A
B) sin A
C) cos C
D) B మరియు C
జవాబు :
D) B మరియు C

ప్రశ్న 225.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) AC > BC
B) AC > AB
C) A + C = 90°
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న226.
sec 16. cosec 74° – cot 74° – tan 16° విలువ కనుగొనండి.
జవాబు :
0 (సున్న)

ప్రశ్న227.
x = 2019° అయితే sin² x + cos² x విలువ ఎంత ?
జవాబు :
x = 2019°, అయితే sin² x + cos² x = sin²2019° + cos²2019°
= 1 [∵ sin² θ + cos² θ = 1]

ప్రశ్న228.
x ఒక అల్పకోణము మరియు sin x = cos x అయితే x విలువ ఎంత ?
జవాబు :
ఇచ్చినది, sin x = cos x
sin (90°- θ) = cos θ మనకు తెలుసు.
cos x = sin(90° -x)
= sin x = sin(90° -x)
(గమనిక : sin A = sin B, అయితే A = B]
⇒ x = 90° – x
⇒ 2x = 90°
∴ x = 45°

Practice the AP 10th Class Maths Bits with Answers 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 10th Class Maths Bits 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు

ప్రశ్న 1.
వృత్తానికి గీచిన స్పర్శరేఖకు సమాంతరంగా అదే వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
1.

ప్రశ్న 2.
వృత్తాన్ని రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండించు సరళరేఖను ……… అంటారు.
జవాబు.
ఛేదన రేఖ .

ప్రశ్న 3.
వృత్తానికి అంతరంగా గల బిందువు నుండి ఆ వృత్తానికి – గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
0

ప్రశ్న 4.
ఈ క్రింది పటం నందు ∠APB = 60° మరియు OP = 10 సెం.మీ. అయిన PA పొడవు ఎంత ?

సాధన.
∆ POA లో ∠APO = 60. = 30° మరియు OP = 10 సెం.మీ.
cos 30° = \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{OP}}\) ⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = \(\frac{\mathrm{AP}}{10}\)
⇒ AP = 5√3 సెం.మీ.

ప్రశ్న 5.
వృత్తానికి గరిష్ఠంగా గీయగలిగే స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
అనంతము.

ప్రశ్న 6.
ఒక వృత్త స్పర్శరేఖకు, స్పర్శబిందువు వద్ద గీచిన వ్యాసార్ధానికి మధ్య కోణం ఎంత ?
జవాబు.
90°

ప్రశ్న 7.
ఒక వృత్తం ABCD చతుర్భుజ భుజాలను అంతరంగా తాకిన AB + CD = ………..
(A) BC + DA
(B) AC + BD
(C) 2AC + 2BD
(D) 2BC + 2DA
జవాబు.
(A) BC + DA

ప్రశ్న 8.

పై పటంలో AC = 5 అయిన BC విలువ ఎంత ?
సాధన.
BC = \(\frac{\mathrm{AC}}{2}\) = \(\frac{5}{2}\) = 2.5

ప్రశ్న 9.
వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు 9. వృత్త కేంద్రం వద్ద ఏర్పడు కోణముల మొత్తం ఎంత ?
జవాబు.
180°

ప్రశ్న 10.
వృత్తంలో గీయదగు జ్యాల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
అనంతము

ప్రశ్న 11.
వృత్త వ్యాసం 10.2 సెం.మీ. అయిన వ్యాసార్ధం r విలువ ఎంత ?
సాధన.
వ్యాసార్ధం = \(\frac{10.2}{2}\) = 5.1 సెం.మీ.

ప్రశ్న 12.
అర్ధవృత్త వ్యాసార్ధం ‘I’ అయిన దాని చుట్టుకొలత ………………..
(A) πr + 2r
(B) r(π + 2)
(C) \(\frac{36}{7}\)r
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 13.
ఈ క్రింది వాటిలో సరైనది కానిది ఏది ?
i) ఒక బాహ్య బిందువు నుండి ఒక వృత్తంనకు -గరిష్ఠంగా గీయగల స్పర్శలేఖల సంఖ్య = 2
ii) ఒక బాహ్యబిందువు నుండి ఒక వృత్తంనకు గరిష్ఠంగా గీయగల ఛేదన రేఖల సంఖ్య = 2
(A) i మాత్రమే
(B) ii మాత్రమే
(C) i మరియు ii లు
(D) i కాదు మరియు ii కాదు
జవాబు.
(B) ii మాత్రమే

ప్రశ్న 14.
ఒక వృత్తానికి గీచిన స్పర్శరేఖకు సమాంతరంగా అదే వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
1

ప్రశ్న 15.
‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తమునకు బాహ్య బిందువు P – నుండి PA మరియు PB స్పర్శ రేఖలు గీయబడినవి, ∠APP = 30° అయిన ∠AOB విలువను కనుగొనుము.
సాధన.

∠AOB = 180° – 30° = 150°

ప్రశ్న 16.
P బిందువు నుండి 5 సెం.మీ. వ్యాసార్థం గల ఒక వృత్తమునకు గీచిన స్పర్శరేఖ పొడవు 12 సెం.మీ. అయిన P బిందువు నుండి వృత్త కేంద్రమునకు గల దూరం ఎంత ?
సాధన.

OP² = 0A² + AP² = 5² + 12² = 169
వృత్త కేంద్రం నుండి P కి గల దూరము
OP = √169 = 13 సెం.మీ.

ప్రశ్న 17.
క్రింది పటంలో ∠APB = 40° అయితే ∠AOB ఎంత ?

సాధన.
∠AOB = 180° – 40° = 140°

ప్రశ్న 18.
‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్త వ్యాసార్ధం 5 సెం.మీ. అనే బిందువు వృత్తకేంద్రం నుండి 3 సెం.మీ. దూరంలో ఉంది. అయినచో P నుండి వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.
r< OP
∴ P బిందువు వృత్త అంతర బిందువు.
∴ P నుండి వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖలు = 0.

ప్రశ్న 19.
ఒక గడియారంలో 20 నిమిషాల వ్యవధిలో నిమిషాల ముల్లు చేయు కోణము ఎంత ?
సాధన.
120° [∵ \(\frac{360^{\circ}}{60^{\circ}}\) × 20 = 120°]

ప్రశ్న 20.
7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధమును మరియు 120° కోణమును కలిగిన సెక్టారు వైశాల్యంను కనుగొనుము.
సాధన.
సెక్టారు వైశాల్యం = \(\frac{x}{360}\)
= \(\frac{120}{360}\) × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7
= 51.3 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 21.
కింది పటములో’∠AOB = 120° అయిన ∠APO ను కనుగొనుము.

సాధన.
∠AOB = 120°
∴ ∠APB = 60°
∴ ∠APO = \(\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30°

ప్రశ్న 22.
ఒక వృత్తానికి వ్యాసం చివరి బిందువుల వద్ద గీయగలిగే సమాంతర స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
2

ప్రశ్న 23.
అర్ధవృత్తంలోని కోణం విలువ ఎంత ?
జవాబు.
90°

ప్రశ్న 24.
ఒక అంతరంగా ఉండే బిందువు నుండి గీయగల ధనరేఖలు సంఖ్య ……………..
జవాబు.
0

ప్రశ్న 25.
3 సెం.మీ.ల వ్యాసార్థంగల వృత్తమునకు బాహ్య బిందువు A నుండి గీచిన స్పర్శ రేఖ పొడవు 4 సెం.మీ. అయితే వృత్త కేంద్రం నుండి A కు గల దూరము ఎంత ?
సాధన.
కేంద్రం నుండి A కి గల దూరం
= \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}\) = √25 = 5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 26.
క్రింది పటంలో PA మరియు PB లు స్పర్శరేఖలు. వాటి మధ్య కోణం 60°. అయిన OA, OP మరియు APల పొడవుల నిష్పత్తిని రాయండి.

సాధన.

∠APB = 60%; ∠APO = 30°
∴ sin 30° = \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}\) ⇒ \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}\)
⇒ 0A : OP = 1 : 2
cos 30° = \(\frac{A P}{O P}\) ⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = \(\frac{A P}{O P}\)
⇒ 0P : AP = 2 : √3
∴ OA : OP : AP = 1 : 2 : √3
లేదా )
∆ APO లో కోణాలు 30°, 60°, 90°.
∴ భుజాల నిష్పత్తి = OA : AP : OP
= 1 : √3 : 2
∴ OA : OP : AP = 1 : 2 : √3

ప్రశ్న 27.
రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాల వ్యాసార్ధాలు 6 సెం.మీ., 10 సెం.మీ.లు పెద్ద వృత్తానికి జ్యా, చిన్న వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అయిన దాని పొడవు ఎంత ?
సాధన.

∆ ACO లో ∠C = 90°
∴ 10² = AC² + 6²
100 = AC² + 36
AC² = 100 – 36 = 64
AC = √64 = 8
∴ AB = 2AC = 2 × 8 = 16 సెం.మీ.

ప్రశ్న 28.
6 సెం.మీ. ల వ్యాసార్ధం గల ఒక వృత్త కేంద్రం నుండి బాహ్య బిందువుకు గల దూరం 10 సెం.మీ. అయిన ఆ బాహ్య బిందువు నుండి గీచిన స్పర్శరేఖు) పొడవును కనుగొనుము.
సాధన.
స్పర్శరేఖ పొడవు l = \(\sqrt{\mathrm{d}^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{10^{2}-6^{2}}\) = √64 = 8 సెం.మీ.

ప్రశ్న 29.
a, b లు (a > b) వ్యాసార్ధాలుగా గల రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాలలో పెద్ద వృత్త జ్యా AR చిన్న వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అయినచో AB జ్యా పొడవును a, b లలో తెల్పండి.

సాధన.
AC = \(\sqrt{\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{OC}^{2}}\) = \(\sqrt{a^{2}-b^{2}}\)
∴ AB = 2AC = 2\(\sqrt{a^{2}-b^{2}}\)

ప్రశ్న 30.
క్రింది పటంలో x విలువ ఎంత ?

సాధన.
x° = \(\frac{240^{\circ}}{2}\) = 120°

ప్రశ్న 31.
∆ABC యొక్క చుట్టుకొలత 28 సెం.మీ. అయిన AF + BD + CE విలువ ఎంత ?

సాధన.
AF + BD + CE = \(\frac{28}{2}\) = 14 సెం.మీ.

ప్రశ్న 32.
6 సెం.మీ.లు వ్యాసార్ధంగా గల వృత్త కేంద్రం నుండి 8 సెం.మీల దూరంలో ఒక బిందువు ఉన్నచో ఆ వృత్త స్పర్శరేఖ పొడవు ఎంత ?
సాధన.
r = 6, d = 8
∴ స్పర్శరేఖ పొడవు = \(\sqrt{\mathrm{d}^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{8^{2}-6^{2}}\) = \(\sqrt{64-36}\) = √28 సెం.మీ.

ప్రశ్న 33.
అధిక వృత్త ఖండంలోని కోణం
(A) అధిక కోణం
(B) అల్పకోణం
(C) లంబకోణం
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(B) అల్పకోణం

ప్రశ్న 34.
క్రింది పటంలో AP, BP లు స్పర్శరేఖలు మరియు AP = 6x + 17, BP = 5 అయిన X విలువను కనుగొనుము.

సాధన.
AP = BP ⇒ 6x + 17 = 5
⇒ 6x = 5 – 17 = – 12
∴ x = \(\frac{-12}{6}\) = -2

ప్రశ్న 35.
క్రింది పటంలో ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి PA, – PB లు స్పర్శరేఖలు అయిన వీటి పొడవులు తెల్పండి.

సాధన.
స్పర్శరేఖ పొడవు PA = PB = \(\sqrt{\mathrm{d}^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{13^{2}-5^{2}}\) = \(\sqrt{169-25}\) = √144
= 12 సెం.మీ.

ప్రశ్న 36.
పటం నుండి ‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి PT స్పర్శరేఖ అయిన X విలువ ఎంత ?

సాధన.
x° = ∠P + ∠T (త్రిభుజ బాహ్యకోణం, దాని అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం)
= 42° + 90°
∴ x = 132°

ప్రశ్న 37.
‘r’ వ్యాసార్ధంగా గల వృత్తంలో కేంద్రం నుండి ‘d’ దూరంలో P అను బిందువు వృత్తానికి బాహ్యంగా ఉన్నచో, ఆ వృత్త స్పర్శరేఖ పొడవు ఎంత ?
జవాబు.
\(\sqrt{\mathrm{d}^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)

ప్రశ్న 38.
పటం నుండి PT వృత్తానికి T వద్ద స్పర్శరేఖ. వృత్త వ్యాసార్థం 1 సెం.మీ మరియు OP = 25 సెం.మీ అయిన ఆ స్పర్శరేఖ పొడవును కనుగొనుము.

సాధన.
స్పర్శరేఖ పొడవు PT = \(\sqrt{25^{2}-7^{2}}\)
= \(\sqrt{625-49}\) = √576 = 24 సెం.మీ,

ప్రశ్న 39.
‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్త వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ, p అనే బిందువు వృత్త కేంద్రం నుండి 7 సెం.మీ. దూరంలో ఉంది అయినచో P నుండి వృత్తానికి గీయగల స్పర్శ రేఖల సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.
1

ప్రశ్న 40.
పై 39వ ప్రశ్నలో వృత్తకేంద్రం నుండి Pకి గల దూరం 5 సెం.మీ. అయిన వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత?
జవాబు.
0

ప్రశ్న 41.
పై 39వ ప్రశ్నలో వృత్తానికి వృత్తకేంద్రం నుండి Pకి గల దూరం 9 సెం.మీ. అయిన వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
2

ప్రశ్న 42.
3 సెం.మీలు వ్యాసార్ధం గల వృత్తానికి గీయబడిన రెండు స్పర్శ రేఖల మధ్య కోణం 60° అయిన ప్రతి స్పర్శరేఖ పొడవు ఎంత ?
సాధన.

∠APB = 60° ⇒ ∠APO = 30°
∆PAO లో ∠A = 90°
∴ tan 30° = \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{PA}}\) = \(\frac{3}{\mathrm{PA}}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\mathrm{PA}}\) ⇒ PA = 3√3 సెం.మీ.
∴ స్పర్శరేఖ పొడవు PA = PB = 3√3 సెం.మీ.

ప్రశ్న 43.
ఒక వృత్తానికి గీచిన రెండు స్పర్శరేఖల మధ్యకోణం 60°. అయిన ఆ వృత్త వ్యాసార్ధాలు కేంద్రం వద్ద చేయు కోణం విలువ ఎంత ?
సాధన.
వ్యాసార్ధాల మధ్య కోణం = 180° – 60° = 120°

ప్రశ్న 44.
5 సెం.మీ., 13 సెం.మీ.లు వ్యాసార్ధాలుగా గల రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాలలో ఒకదానికి స్పర్శరేఖ రెండవ వృత్తానికి జ్యా అయిన ఆ జ్యా పొడవు ఎంత ?
సాధన.

∆AMO లో 4M = 90°
AM = \(\sqrt{13^{2}-5^{2}}\) = \(\sqrt{144}\) = 12
∴ AB = 2AM = 24 సెం.మీ.

ప్రశ్న 45.
ఒక వృత్తాన్ని గీచి దానిలో అల్ప వృత్తఖండాన్ని షేడ్ చేయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 46.
ఒక గడియారంలో 10 నిమిషాల వ్యవధిలో నిమిషాల ముల్లు చేయు కోణము ఎంత ?
జవాబు.
60°

ప్రశ్న 47.
ఒక బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తానికి గీయదగు స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
2

ప్రశ్న 48.
(i) ఒక వృత్త వ్యాసమునకు చివరి బిందువుల వద్ద గీయబడిన స్పర్శరేఖలు సమాంతరాలు.
(ii) బాహ్యబిందువు నుండి వృత్తానికి గీచిన స్పర్శరేఖలు సమానాలు.
(iii) బాహ్యబిందువు నుండి వృత్తానికి అనంతంగా స్పర్శరేఖలు గీయవచ్చును.
(A) i, ii మరియు iii లు సత్యం
(B) 1 మరియు iii మాత్రమే సత్యం
(C) i మరియు ii మాత్రమే సత్యం
(D) ii మరియు iii మాత్రమే సత్యం
జవాబు.
(C) i మరియు ii మాత్రమే సత్యం

ప్రశ్న 49.
ప్రవచనం-I: వృత్తానికి బాహ్యబిందువు నుంచి గీచిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానము.
ప్రవచనం-II: వృత్త వ్యాసం చివరి బిందువుల వద్ద గీచిన స్పర్శరేఖలు లంబరేఖలు.
(A) I మాత్రమే సత్యం
(B) II మాత్రమే సత్యం
(C) I మరియు II లు రెండూ సత్యం
(D) I మరియు II లు రెండూ అసత్యం
జవాబు.
(A) I మాత్రమే సత్యం

ప్రశ్న 50.
వృత్త స్పర్శ బిందువు వద్ద వ్యాసార్ధానికి, స్పర్శరేఖకు మధ్యగల కోణం ఎంత ?
జవాబు.
90°

ప్రశ్న 51.
ఒక వృత్త వ్యాసార్ధం 8√2 సెం.మీ. ఆ వృత్తంలో – అంతర్లిఖించబడిన చతురస్ర భుజం పొడవు ఎంత ?
సాధన.

వృత్త వ్యాసార్ధం r = 8√2 సెం.మీ.
∴ వ్యాసం = చతురస్ర కర్ణం d = 16√2
∴ చతురస్ర భుజం = 16 సెం.మీ.
(చతురస్ర కర్ణం d = √2 × భుజం)

ప్రశ్న 52.
8 సెం.మీల వ్యాసార్ధం గల వృత్తంలో అంతర్లిఖించబడిన చతురస్ర వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన.

ప్రశ్న 53.
6 సెం.మీ భుజం గల చతురస్రంలో ఒక వృత్తం ఇమిడి ఉన్నచో అ వృత్త వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన.

వృత్త వ్యాసం d = చతురస్ర భుజం = 6 సెం.మీ.
∴ వ్యాసార్ధం r = 3 సెం.మీ.
∴ వృత్త వైశాల్యం A = πr² = 9π చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 54.
వృత్తంపై గల బిందువు వద్ద గీయగల స్పర్శరేఖలు ఎన్ని
జవాబు.
1

ప్రశ్న 55.
వృత్త ఛేదనరేఖకు సమాంతరంగా గీయగల స్పర్శ రేఖల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
2

ప్రశ్న 56.
క్రింది పటంలో రెండు ఏకకేంద్ర వృత్తాలలో పెద్ద వృత్త జ్యా, చిన్న వృత్తాన్ని M వద్ద స్పర్శిస్తున్నది. అయితే M నిరూపకాలు కనుగొనుము.

సాధన.
A, B ల మధ్యబిందువు

ప్రశ్న 57.
క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ?
(A) ఒక వృత్య వ్యాసము చివరి బిందువుల వద్ద గీయబడిన స్పర్శరేఖలు సమాంతరాలు.
(B) వృత్తానికి బాహ్యబిందువు నుండి యబడిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానము.
(C) వృత్తముపై గల ఏదైనా బిందువు గుండా గీయబడిన స్పర్శరేఖ ఆ స్పర్శబిందువు వద్ద వ్యాసార్ధానికి లంబంగా . ఉంటుంది.
(D) వృత్తం యొక్క స్పర్శరేఖ ఆ వృత్తాన్ని రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది.
జవాబు.
(D) వృత్తం యొక్క స్పర్శరేఖ ఆ వృత్తాన్ని రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది.

ప్రశ్న 58.
ఒక చతురస్రం యొక్క నాలుగు భుజాలను తాకుచూ అంతరంగా ఒక వృత్తం పటంలో చూపినట్లు ఉంటే

(A) AB + CD = AD + BC
(B) AB + CD > AD + BC
(C) AB + CD < AD + BC
(D) AB + BC = AD + DC
జవాబు.
(A) AB + CD = AD + BC

ప్రశ్న 59.
వృత్తానికి ఛేదన రేఖను గీయండి. ఛేదన రేఖ
జవాబు.

ప్రశ్న 60.
క్రింది పటంలో ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి PT స్పర్శరేఖ మరియు PQ జ్యా, ∠TPQ = 40° అయ్యేటట్లు ఉంటే ∠POQ విలువను కనుగొనుము.

సాధన.
∠OPT = 90°
∴ ∠OPQ = 90°- 40° = 50°
∠OOP = 50°(OP = 0Q)
∴∠POQ = 180° – 100° = 80°

ప్రశ్న 61.
క్రింది పటంలో AD, AE మరియు BCలు వరుసగా D, E మరియు Fల వద్ద వృత్తానికి సర్శరేఖలు అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?

(A) AE = AB + BC + CA
(B) 2AE = AB + BC + CA
(C) BAB = AB + BC + CA
(D) 4AE = AB + BC + CA
జవాబు.
(B) 2AE = AB + BC + CA

ప్రశ్న 62.
క్రింది పటంలో AP=5 సెం.మీ., BP = 7 సెం.మీ., AC = 14 సెం.మీ. అయిన BC భుజం పొడవును కనుగొనుము.

సాధన.
CR = AC – AR = 14 – 5 = 9 (∵ AR = AP = 5)
∴ BC = CQ + QB = CR + PB
= 7 + 9 = 16 సెం.మీ.

ప్రశ్న 63.
ఒక వృత్తానికి A బిందువు నుండి గీచిన స్పర్శరేఖల మధ్యగల కోణము 60°. మరియు రెండు స్పర్శరేఖలు వృత్తాన్ని P, Q బిందువుల వద్ద స్పర్శిస్తుంటే ∆APQ ఏ రకమైన త్రిభుజము ∆APQ గూర్చి నీవు ఏమి చెప్పగలవు ?

జవాబు.
సమబాహు త్రిభుజము.

ప్రశ్న 64.
పై 63వ ప్రశ్నలో. AP = 9 సెం.మీ. అయిన PQ విలువ ఎంత?
జవాబు.
9 సెం.మీ.

ప్రశ్న 65.
క్రింది పటంలో AP, BP లు వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు అయిన X విలువ ఎంత ?

సాధన.
AP = BP = x² + 3x – 2 = x² – x + 6 \

⇒ 4x – 8 = 0 ⇒ 4x = 8
∴ x = 2

ప్రశ్న 66.
వృత్త కేంద్రం నుండి 24 సెం.మీ. దూరంలో గల R బిందువు నుండి వృత్తానికి గీచిన స్పర్శరేఖ పొడవు 25 సెం.మీ. అయిన వృత్త వ్యాసార్ధము ఎంత ?
సాధన.
r = \(\sqrt{l^{2}-\mathrm{d}^{2}}\)
= \(\sqrt{25^{2}-24^{2}}=\)
= \(\sqrt{49}\)
= 149

ప్రశ్న 67.
క్రింది పటంలో వృత్తము, చతుర్భుజాన్ని అంతరంగా స్పర్శిస్తున్నది. మరియు AB = 6 సెం.మీ., BC = 7 సెం.మీ., CD = 4 సెం.మీ. అయిన భుజం AD పొడవు ఎంత ?

సాధన.
AB + CD = BC + AD
6 + 4 = 7 + AD
10-7 = AD
∴ AD = 3 సెం.మీ.

ప్రశ్న 68.
ఒక వృత్తాన్ని అల్ప, అధిక వృత్త ఖండాలుగా విభజించి, అధిక వృత్త ఖండాన్ని షేర్ చేయండి.
జవాబు.

ప్రశ్న 69.
క్రింది పటంలో షేర్ చేసిన సెక్టారు వైశాల్యమును x, r లలో రాయండి.

సాధన.
సెక్టరు వైశాల్యం A = \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr²

ప్రశ్న 70.
ఒక వృత్త కేంద్రం వద్ద 60° కోణం చేయు సెక్టారు వైశాల్యానికి, వృత్త వైశాల్యానికి గల నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన.
వృత్త కేంద్రం వద్ద 60° చేయు సెక్టరు వైశాల్యానికి, వృత్త వైశాల్యానికి గల నిష్పత్తి
= \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr² : πr²
= \(\frac{1}{6}\) : 1 = 1 : 6

ప్రశ్న 71.
వృత్త కేంద్రం వద్ద 90° కోణము చేయు సెక్టారు వైశాల్యమును వృత్త వైశాల్యంలో ఎంత శాతము ఉంటుంది ?
సాధన.

ప్రశ్న 72.
14 సెం.మీ. వ్యాసంగా గల వృత్త వ్యాసానికి సమాన భుజం, గల చతురస్రము క్రింది పటంలో చూపినట్లు ఉంటే షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యము ఎంత ?

సాధన.
షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం = చతురస్ర వైశాల్యం – అర్ధవృత్త వైశాల్యం ,
d = s = 14 సెం.మీ. ; r = 7 సెం.మీ.
= s² – \(\frac{1}{2}\) πr²

= 196 – 77 = 119 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 73.
‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి T నుండి గీచిన : స్పర్శరేఖలు TP, IQలు మరియు ∠PTQ = 50° అయిన ∠QTO విలువ ఎంత ?

సాధన.
∠QTO = \(\frac{50^{\circ}}{2}\) = 25°.

ప్రశ్న 74.
ABCD చతుర్భుజంలో ‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తంలో చతుర్భుజ భుజాలను P,Q, R, S వద్ద స్పర్శించునట్లు అంతర్లిఖించబడినది. మరియు AP = 5 సెం.మీ., BP = 7 సెం.మీ., CQ = 4 సెం.మీ., DR = 6 సెం.మీ., అయిన చతుర్భుజం ABCD చుట్టుకొలతను కనుగొనుము.

సాధన.

చతుర్భుజం చుట్టుకొలత
= AB + BC + CD + AD
= 12 + 11 + 10 + 11 = 44 సెం.మీ.

ప్రశ్న 75.
0 కేంద్రంగా గల వృత్తంలో ABCD చతురస్రము అంతరిఖించబడినది. వృత్త మరియు చతురస్ర వైశాల్యాల నిష్పత్తి π : 2 అని చూపుము.

సాధన.
వృత్త వైశాల్యం : చతురస్ర వైశాల్యం = πr² : s²
= π\(\left(\frac{\mathrm{AC}}{2}\right)^{2}\) : \(\left(\frac{\mathrm{AC}}{\sqrt{2}}\right)^{2}\)
= π \(\frac{A C^{2}}{4}\) : \(\frac{A C^{2}}{2}\) = \(\frac{\pi}{2}\) : 1
= π : 2

ప్రశ్న 76.
క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ?
(i) వృత్తానికి రెండు బిందువులలో ఖండించే రేఖను స్పర్శరేఖ అంటారు.
(ii) వృత్తాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద ఖండించే రేఖను ఛేదనరేఖ అంటారు.
(A) i మాత్రమే
(B) ii మాత్రమే
(C) i మరియు ii
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
C

ప్రశ్న 77.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) వృత్తానికి బాహ్యంగా గల బిందువు నుండి రెండు స్పర్శరేఖలను గీయగలము.
(B) వృత్తంపై గల బిందువు ద్వారా ఒకే ఒక స్పర్శరేఖను గీయగలము.
(C) వృత్తానికి అంతరంగా గల బిందువు నుండి స్పర్శరేఖలను గీయలేము.
(D) పైవి అన్నీ
జవాబు.
(D) పైవి అన్నీ

ప్రశ్న 78.
క్రింది పటంలో PA మరియు PB లు వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు మరియు ∠APP = 120° అయిన ∠AOP విలువ ఎంత ?

సాధన.
∠AOP = 180° – (90° + 609) = 30°

ప్రశ్న 79.
r వ్యాసార్ధంగా గల సెక్టారు కేంద్రం వద్ద చేయు కోణం x° అయిన సెక్టారు వైశాల్యమును కనుగొను సూత్రమును రాయండి.
సాధన.
\(\frac{x^{\circ}}{360}\) × πr²

ప్రశ్న 80.
క్రింది పటంలో ABCD చతురస్ర భుజము 7 సెం.మీ. APD మరియు BPC లు అర్ధవృత్తములు అయిన షేడ్ చేసిన ప్రదేశ వైశాల్యము కనుగొనుము.

సాధన.
షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం = చతురస్ర వైశాల్యం – 2 × అర్ధవృత్త వైశాల్యం
s = 7; r = \(\frac{7}{2}\)

= 49 – \(\frac{77}{2}\)
= 49 – 38.5 = 10.5 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 81.
జతపరచండి.

(A) i- a, ii – b, iii – c, iv-d
(B) i-c, ii – a, iii – b, iv-d
(C) i- c, ii – d, iii – b, iv – a
(D) i- a, ii – c, iii -d, iv-b
జవాబు.
(B) i-c, ii – a, iii – b, iv-d

ప్రశ్న 82.
r₁, r₂ వ్యాసార్ధాలుగా గల రెండు వృత్త వైశాల్యాలు R వ్యాసార్ధంగా గల పెద్ద వృత్త వైశాల్యానికి సమానమైన
(A) r₁² + r₂² < R²
(B) r₁² + r₂² = R²
(C) r₁² + r₂² > R²
(D) r₁ + r₂ = R
జవాబు.
(B) r₁² + r₂² = R²

ప్రశ్న 83.
వృత్తంపై గల భిందువు వద్ద వృత్తానికి స్పర్శరేఖ చిత్తు పటం గీయండి.
జవాబు.

ప్రశ్న 84.
క్రింది పటాన్ని పరిశీలించి, క్రింది వానిని సూచించు అక్షరాలను తెల్పండి.

(i) జ్యా
(ii) ఛేదనరేఖ
(iii) స్పర్శరేఖ
జవాబు.
(i) జ్యా – 1,
(ii) ఛేదనరేఖ – n,
(iii) స్పర్శరేఖ – m

ప్రశ్న 85.
ప్రవచనం-I : వృత్తానికి బాహ్యబిందువు నుండి గీయబడిన స్పర్శరేఖల కోణ సమద్విఖండన రేఖపై ఆ వృత్త కేంద్రం ఉంటుంది.
ప్రవచనం-II : రెండు ఏకకేంద్ర వృత్తాలలో బాహ్య వృత్తము యొక్క జ్యా అంతరవృత్తము యొక్క స్పర్శ బిందువు వద్ద సమద్విఖండనము చేయబడును.
(A) I సత్యం , II అసత్యం
(B) I మరియు II లు రెండూ సత్యం
(C) I అసత్యం , II సత్యం
(D) I మరియు II లు రెండూ అసత్యం
జవాబు.
B

ప్రశ్న 86.
క్రింది పటంలో ∠PAQ =

(A) 240PQ
(B) 2∠OQP
(C) A మరియు B
(D) ∠OPQ
జవాబు.
(C) A మరియు B

ప్రశ్న 87.
క్రింది పటంలో AP, AQ లు ‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు మరియు ∠PAQ = 30° అయిన ∠OPQ విలువను కనుగొనుము.

సాధన.
2∠OPQ = ∠PAQ
∴ ∠OPQ = \(\frac{30^{\circ}}{2}\) = 150°

ప్రశ్న 88.
క్రింది పటంలో సర్వసమాన త్రిభుజాల జతను గుర్తును ఉపయోగించి రాయండి.

జవాబు.
∆OAP ≅ ∆OBP

ప్రశ్న 89.
క్రింది పటంలో షేర్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యము.

(A) π(R² – r²)
(B) πR² – πr²
(C) π(R + r) (R – r)
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 90.
సెక్టరు వైశాల్యం A = \(\frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr² లో × దేనిని సూచిస్తుంది ?
జవాబు.
X = సెక్టరు కోణము

ప్రశ్న 91.
క్రింది దీర్ఘచతురస్రం ABCD పటంలో చూపిన విధంగా రెండు అర్ధవృత్తాలు కలవు. అయితే షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం ……….
(A) lb – πb²
(B) lb – \(\frac{\pi b^{2}}{4}\)
(C) lb – \(\frac{\pi b^{2}}{2}\)
(D) lb + πb²
జవాబు.
B

గమనిక : r వ్యాసార్ధం గల వృత్తానికి కేంద్రం నుండి ‘d’ దూరంలో గల బిందువు నుండి (d > r) ఒక స్పర్శరేఖను గీచారు. ఈ సమాచారం ఆధారంగా 92, 93 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న 92.
పై సమాచారాన్ని సూచించు పటం (చిత్తు పటం) గీయండి.
జవాబు.

ప్రశ్న 93.
స్పర్శరేఖ పొడవును r, d లలో తెల్పండి.
జవాబు.
స్పర్శరేఖ పొడవు = \(\sqrt{\mathrm{d}^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)

గమనిక : క్రింది పటాన్ని పరిశీలించి, 94-98 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న 94.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) OP < OA i
(B) OQ <OA
(C) OA² = OP² + AP²
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 95.
∠APO ను తెల్పండి.
జవాబు.
APO = 90°

ప్రశ్న 96. ∠0AQ విలువ ఎంత ?
జవాబు.
∠OAQ = 300

ప్రశ్న 97.
OP : AP: OA నిష్పత్తిని తెల్పండి.
జవాబు.
1 : √3 : 22

ప్రశ్న 98.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యము ?
i) AP = BP
ii) ∆APO ≅ ∆AQO
iii) ∠APO = ∠AQO = 60°
(A) i మరియు ii
(B) ii మరియు iii
(C) i మరియు iii
(D) i, ii మరియు iii
జవాబు.
(D) i, ii మరియు iii

ప్రశ్న 99.
విభాగం-1 లో ఇవ్వబడిన నియమాలకు, విభాగం-2లో ఇవ్వబడిన కారణం (వివరణకు) జతచేయుటలో సరైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనుము.

(A) i-c, ii-a, iii-d, iv-b
(B) i-c, ii-d, iii-b, iv-a
(C) i-d, ii-b, iii-c, iv-a
(D) i-d, ii-a, iii-b, iv-c
జవాబు.
(B) i-c, ii-d, iii-b, iv-a

ప్రశ్న 100.
A అనే బిందువు యొక్క వివిధ సందర్భాలలో వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్యకు జతచేయండి.

(A) i-b, ii-c, iii-a
(B) i-a, ii-b, iii-c
(C) i-c, ii-b, iii-a
(D) i-b, ii-a, iii-c
జవాబు.
(C) i-c, ii-b, iii-a

ప్రశ్న 101.
log 1000 విలువను వ్యాసార్ధంగా గల వృత్త కేంద్రం నుండి 5 యూనిట్లు దూరంలో గల బిందువు నుండి గీచిన స్పర్శరేఖ పొడవును కనుగొనుము.
సాధన.
వ్యాసార్ధం r = log 1000
= log 10³ = 3 log10 = 3
కేంద్రం నుండి బిందువు దూరం d = 5
∴ స్పర్శరేఖ పొడవు l = \(\sqrt{\mathrm{d}^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{(5)^{2}-(3)^{2}}\) = \(\sqrt{25-9}\) = √16
= 4 యూనిట్లు

ప్రశ్న 102.
క్రింది పటంలో OA = tan² 60, XA = sec^{2</sup 60 అయిన OX ను కనుగొనుము.
సాధన.
r = OA = tan2 60 = (√3)2 = 3
స్పర్శరేఖ పొడవు XA = sec2 60 = (2)2 = 4
OX2 = 0A22 + XA2
= 32 + 42 = 9 + 16 = 25
∴ OX = √25 = 5 యూనిట్లు}

ప్రశ్న 103.
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాలు (p(x) = ax² + bx + c యొక్క శూన్యాలు) ఒక వృత్తానికి బాహ్యబిందువు నుండి గీచిన స్పర్శరేఖల పొడవులు అయితే b² – 4ac విలువ ఎంత ?
జవాబు.
b² – 4ac = 0 (∵ స్పర్శరేఖ పొడవులు సమానం
కావున మూలాలు (శూన్యాలు) సమానాలు).

ప్రశ్న 104.
ఒక వృత్తానికి గీచిన రెండు సమాంతర స్పర్శరేఖల మధ్య దూరము 10 సెం.మీ. అయిన ఆ వృత్త వ్యాసార్ధము ఎంత ?
సాధన.
వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{10}{2}\) = 5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 105.
క్రింది పటంలో ‘O’ వృత్తకేంద్రము. OA = 7 సెం.మీ., AX = 10 సెం.మీ., ∠AXO = 30° అయిన షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యము ఎంత ?

సాధన.
షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం = 0A × త్రిభుజ వైశాల్యం – సెక్టరు వైశాల్యం

ప్రశ్న 106.
క్రింది పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రము అయితే AOAX చుట్టుకొలత ఎంత ?

సాధన.
OX = 5 యూనిట్లు (3, 4, 5 పైథాగరియన్ త్రికాలు)

ప్రశ్న 107.
గడియారంలో నిమిషాల ముల్లు పొడవు 7 సెం.మీ. అయిన అది 1 గంటలో తిరిగిన దూరాన్ని కనుగొనండి.
జవాబు.
44 సెం.మీ.

ప్రశ్న 108.
ఒక వృత్తంలో అల్పవృత్త ఖండం యొక్క చిత్తు పటాన్ని గీచి, దానిని షేక్ చేయండి.
జవాబు.

ప్రశ్న 109.
ఒక వృత్త బాహ్యములో గల బిందువు నుండి ఆ వృత్తానికి ఎన్ని స్పర్శరేఖలు గీయవచ్చు?
సాధన.

ఒక వృత్త బాహ్యములో గల బిందువు నుండి ఆ వృత్తానికి కేవలం రెండు స్పర్శరేఖలు గీయవచ్చును. PA, PB లు స్పర్శరేఖలు.

ప్రశ్న 110.
స్పర్శ బిందువు వద్ద వృత్తవ్యాసార్థానికి, స్పర్శరేఖకు మధ్య గల కోణము విలువ ఎంత ?
జవాబు.
90°

ప్రశ్న 111.
ఒక అర్ధవృత్తములో, కేంద్రము వద్ద కోణము ఎంత?
జవాబు.
180°

Practice the AP 10th Class Maths Bits with Answers 10th Lesson క్షేత్రమితి on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 10th Class Maths Bits 10th Lesson క్షేత్రమితి

ప్రశ్న1.
సమాన వ్యాసము మరియు ఎత్తులు గల ఒక శంఖువు మరియు స్థూపం యొక్క ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి ?
జవాబు :
1:3

ప్రశ్న2.
స్థూపం ఘనపరిమాణంనకు సూత్రాన్ని రాయండి.
జవాబు :
πr²h

ప్రశ్న3.
శంఖువు ఘనపరిమాణం కనుగొనుటకు ఉపయోగించే సూత్రాన్ని రాయండి.
జవాబు :
\(\frac{1}{3}\)πr²h

ప్రశ్న4.
గోళము, స్థూపము, శంఖువు ఒకే ఎత్తు, ఒకే వ్యాసార్ధాన్ని కలిగి ఉంటే వాటి వక్రతల వైశాల్యాల నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :
4: 4: √5

ప్రశ్న5.
ఘనం సంపూర్ణతల వైశాల్యము 54 సెం.మీ.2 అయిన దాని భుజం పొడవు ఎంత ?
జవాబు :
6a² = 54 ⇒ a² = \(\frac{54}{6}\) = 9 సెం.మీ.
a = √9 = 3 సెం.మీ.

ప్రశ్న6.
క్రమ వృత్తాకార స్థూప భూ వైశాల్యం 154 సెం.మీ2 అయిన దాని వ్యాసార్ధం ఎంత ?
జవాబు :
πr² = 154
⇒ r² = 154 × \(\frac{7}{22}\) = 7 × 7
⇒ r² = 7²
∴ r = 7 సెం.మీ.

ప్రశ్న7.
ఒక శంఖువు వ్యాసం మరియు ఎత్తు 8 సెం.మీ. మరియు 3 సెం.మీ. అయిన దాని ఏటవాలు ఎత్తును కనుగొనుము.
జవాబు :
ఏటవాలు ఎత్తు l = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)
\(\sqrt{4^{2}+3^{2}}\) = 5 సెం.మీ.
(∵ d = 8 ⇒ r = 4)

ప్రశ్న8.
వ్యాసార్ధం r గా గల అర్ధగోళ ఉపరితల వైశాల్యము ఎంత ?
జవాబు :
3πr²

ప్రశ్న9.
1 సెం.మీ. భుజంగా గల ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం ఎంత ?
జవాబు :
1 ఘ. సెం.మీ. (లేదా) 1 సెం.మీ.³

ప్రశ్న10.
రెండు గోళాల ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి 8:27 అయిన వాటి వక్రతల వైశాల్యాల నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :
4:9

ప్రశ్న11.
‘ఫుట్ బాల్’ ఏ జ్యా మితీయ నమూనా ?
జవాబు :
గోళం

ప్రశ్న12.
శంఖువు వ్యాసార్ధం (r), ఎత్తు (h), ఏటవాలు (l) అయిన ఈ క్రింది వాటిలో ఏది అసత్యం ?
A) ఎల్లప్పుడు l > h
B) ఎల్లప్పుడు l >r
C) ఎల్లప్పుడు r > l
D) l² = r² + h²
జవాబు :
C) ఎల్లప్పుడు r > l

ప్రశ్న13.
ఒక శంఖువు భూ వ్యాసార్ధం (r), ఎత్తు (h), వాలు ఎత్తు (l), అయిన ‘l’ విలువ ‘r’ మరియు ‘h’ పదాలలో తెల్పండి.
జవాబు :
l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)

ప్రశ్న14.
రెండు గోళాల ఘనపరిమాణముల నిష్పత్తి 8 : 27 అయితే వాటి వక్రతల వైశాల్యముల మధ్యగల నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :
4:9

ప్రశ్న15.
‘α’ భుజము కలిగిన ఒక సమఘనాకార పెట్టెలో పూర్తిగా అమరగలిగిన ఒక ఘనాకృతిలో గల బంతిని ఉంచితే, ఆ బంతి యొక్క ఘనపరిమాణము ఎంత ?
జవాబు :
r = \(\frac{α}{2}\)
∴ బంతి ఘనపరిమాణం = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)πr³
= \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)π\(\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{3}\) = \(\frac{1}{6}\)πα³

ప్రశ్న16.
పట్టకం యొక్క భూవైశాల్యం 30 చ.సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 10 సెం.మీ. అయిన పట్టకము ఘనపరిమాణంను కనుగొనుము.
జవాబు :
పట్టకం ఘనపరిమాణం = భూవైశాల్యం × ఎత్తు
= 30 × 10 = 300 ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న17.
ఘనము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము 96 ఘ. సెం.మీ. అయిన ఆ ఘనము యొక్క భుజం ఎంత?
జవాబు :
6a² = 96 ⇒ a² = 16
∴ a = \(\sqrt{16}\) = 4 సెం.మీ.

ప్రశ్న18.
ఒక క్రమ వృత్తాకార స్థూపము యొక్క వ్యాసార్ధం 6 సెం.మీ., ఎత్తు 1 సెం.మీ., అయిన దాని ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము.
జవాబు :
r = 6, h = 7
స్థూపం ఘనపరిమాణం V = πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × (6)² × 7 = 22 × 36
= 792 ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న19.
‘r’ వ్యాసార్ధం గల ఒక గోళం, స్థూపంలో, సరిగ్గా అమరింది. గోళం ఉపరితల వైశాల్యం స్థూపం యొక్క ……………. కు సమానం
A) సంపూర్ణతల వైశాల్యం
B) వక్రతల వైశాల్యం
C) ఘనపరిమాణం
D) ఏదీకాదు
జవాబు :
B) వక్రతల వైశాల్యం

ప్రశ్న20.
10 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల గోళ వక్రతల వైశాల్యంను πలలో తెల్పండి.
జవాబు :
గోళం వక్రతల వైశాల్యం = 4πr²
= 4π(10²) = 400 π చ. సెం.మీ.

ప్రశ్న21.
ఒక సమ ఘనం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం 216 సెం.మీ.2 అయిన దాని ఘనపరిమాణము ఎంత?
జవాబు :
6a² = 216 ⇒ a² = 36.
⇒ a = \(\sqrt{36}\) = 6 సెం.మీ.
∴ ఘనపరిమాణం V = a³ = 6³ = 216 ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న22.
ప్రాచీన భారత గణిత శాస్త్రవేత్త ఆర్యభట్ట యొక్క ప్రసిద్ధ గ్రంథం
A) ఆర్య తర్కం
B) ఆర్య భట్టీయం
C) సిద్ధాంత శిరోమణి
D) కరణ కుతూహలం
జవాబు :
B) ఆర్య భట్టీయం

ప్రశ్న23.
క్రింది A, B పాత్రలలో ఏ పాత్రలో ఎక్కువ నీటిని నింపవచ్చును ? (A, Bలు స్థూపాకారంలో కలవు)

A) A
B) B
C) A, Bలలో సమాన పరిమాణంలో నీటిని నింపవచ్చును.
D) నిర్ణయించలేము
జవాబు :
B) B

ప్రశ్న24.
8 × 4 × 1 కొలతలు గల దీర్ఘఘనంలో ఉంచగల అతి పెద్ద కర్ర పొడవు ఎంత ?
జవాబు :
అతి పెద్ద కర్ర పొడవు = \(\sqrt{l^{2}+b^{2}+h^{2}}\)
= \(\sqrt{8^{2}+4^{2}+1^{2}}=\sqrt{64+16+1}=\sqrt{81}\)
= 9 యూనిట్లు

ప్రశ్న25.
ఒక స్థూపము మరియు శంఖువు సమాన భూవ్యాసార్ధమును మరియు ఎత్తును కల్గియున్నాయి. అయినచో వాటి ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :
3:1

ప్రశ్న26.
7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల ఘన అర్ధగోళం సంపూర్ణతల వైశాల్యంను కనుగొనుము.
జవాబు :
r = 7, అర్ధగోళ సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 3πr²
= 3 × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7.
= 3 × 22 × 7 = 462 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న27.
ఒక ఘనం సంపూర్ణతల వైశాల్యం 96 చ.సెం.మీ. అయిన దాని ఘనపరిమాణం ఎంత ?
జవాబు :
6a² = 96 ⇒ a² = 16 ⇒ a = 4
∴ ఘనం ఘనపరిమాణం V = a³
= 4³ = 64 ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న28.
3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము మరియు 8 సెం.మీ. ఎత్తు కలిగిన శంఖువు ఘనపరిమాణంను π లో తెల్పండి.
జవాబు :
r = 3, h = 8,
శంఖువు ఘనపరిమాణం = \(\frac{1}{3}\)πr²h
= \(\frac{1}{3}\) π(3)² × 8 = 24 π ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న29.
ఒకే వ్యాసార్థం, ఎత్తు గల ఒక స్థూపము మరియు ఒక శంఖువు కలవు. స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణం 27 ఘనపు యూనిట్లు అయిన శంఖువు ఘనపరిమాణం ఎంత ?
జవాబు :
శంఖువు ఘనపరిమాణం = \(\frac{1}{3}\) స్థూపం ఘనపరిమాణం
= \(\frac{1}{3}\) × 27 = 9 ఘ.యూనిట్లు.

ప్రశ్న30.
షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం

A) r² (2 – π)
B) r² (4 – π)
C) r² (5 – π)
D) r² (6 – π)
జవాబు :
B) r² (4 – π)

ప్రశ్న31.
7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంగా గల అర్ధగోళ సంపూర్ణతల వైశాల్యంను π లో తెల్పండి.
జవాబు :
r = 7 సెం.మీ., . అర్ధగోళ సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 3πr²
= 3π(7)² = 147 π చ. సెం.మీ.

ప్రశ్న32.
16 సెం.మీ. వ్యాసం, 15 సెం.మీ.లు ఎత్తు గల శంఖువు యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యంను π లో తెల్పండి.
జవాబు :
d = 16 ⇒ r = 8, h = 15.
∴ l = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{8^{2}+15^{2}}\)
= \(\sqrt{64+225}=\sqrt{289}\) = 17

శంఖువు ప్రక్కతల వైశాల్యం = πrl
= π(8) (17) = 136 π చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న33.
వ్యాసార్థం r, ఎత్తు యూనిట్లుగా గల శంఖువు ఆకార ప్లాస్కునిండా నీరు కలదు. m వ్యాసార్ధం గల స్థూపాకార ప్లాస్కులో నీటిని నింపగా ఆ నీటి మట్టం ఎత్తును h, π లలో తెల్పండి.
జవాబు :
స్థూపం ఘనపరిమాణం = శంఖువు ఘనపరిమాణం

నీటి మట్టం ఎత్తు h₁ = \(\frac{r^{2} h}{3 m^{2}}\)

ప్రశ్న34.
రెండు గోళాల ఉపరితల వైశాల్యాల నిష్పత్తి 1 : 4 అయిన వాని ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :
4πr₁² : 4πr₁² = 1 : 4
⇒ r₁² : r₂² ⇒ r₁ : r₂ = 1 : 2
V₁ : V₂ = \(\frac{4}{3}\)πr₁³ : \(\frac{4}{3}\)πr₂³ = r₁³ : r₂³
= 1³ : 2³ = 1:8

ప్రశ్న35.
4.2 సెం.మీ. భుజంగా గల ఒక సమఘనం నుండి తయారుచేయగల అతి పెద్ద శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం ఎంత ?
జవాబు :
శంఖువు ఎత్తు = భూవ్యాసం = ఘనం భుజం = 4.2
h = 4.2, r = \(\frac{4.2}{2}\) = 2.1

ప్రశ్న36.
6 సెం.మీ.లు వ్యాసంగా గల ఒక లోహపు గోళాన్ని 2 సెం.మీ.లు. వ్యాసంగా గల ఒక సన్నని తీగగా మార్చగా దాని పొడవు ఎంత ?
జవాబు :
గోళం ఘనపరిమాణం = తీగ ఘనపరిమాణం

ప్రశ్న37.
‘r’ వ్యాసార్ధంగా గల ఒక లోహపు గోళాన్ని ‘r” యూనిట్లు ఎత్తు గల ఒక లోహపు శంఖువుగా మలిస్తే దాని వ్యాసార్ధం, గోళ్ల వ్యాసార్ధమునకు ఎన్ని రెట్లు ఉంటుంది ?
జవాబు :
\(\frac{4}{3}\)πr₂³ = \(\frac{1}{3}\)πr₂²(r₁) (శంఖువు ఎత్తు h = r₁ r₂ – శంఖువు వ్యాసార్ధం )
4r₁³ = r₂²r₁² =4r₁² = r₂ ⇒ r₂ = r₂ = \(\sqrt{4 r_{1}^{2}}\) = 2r₁ శంఖువు వ్యాసార్ధం, గోళం వ్యాసార్ధానికి 2 రెట్లు ఉంటుంది.

ప్రశ్న38.
49 × 33 × 24 సెం.మీ.లు కొలతలు గల ఒక దీర్ఘఘనాన్ని ఒక గోళంగా మలిస్తే దాని వ్యాసార్థం విలువ ఎంత?
జవాబు :
గోళం ఘనపరిమాణం = దీర్ఘఘనం ఘనపరిమాణం

ప్రశ్న39.
ఒక శంఖువు యొక్క వ్యాసార్థం r, ఎత్తు h, ఏటవాలు ఎత్తు = l అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) l² = r² + h²
B) l² > r² + h²
C) l² < r² + h²
D) l = r + h
జవాబు :
A) l² = r² + h²

ప్రశ్న40.
8 సెం.మీ.లు వ్యాసార్ధం. గల ఒక గోళం నుండి 1 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల బంతులు ఎన్ని తయారు చేయగలం ?
జవాబు :

ప్రశ్న41.
శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం πrl లో ‘l’ దేనిని సూచిస్తుంది / దేనికి ప్రాతినిథ్యం వహిస్తుంది ?
జవాబు :
ఏటవాలు ఎత్తు

ప్రశ్న42.
రెండు శంఖువుల ఘనపరిమాణాల . నిష్పత్తి 4 : 5 మరియు వాని వ్యాసార్ధాల నిష్పత్తి 2 : 3. వాని ఎత్తుల నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :

ప్రశ్న43.
సమాన భూ వ్యాసార్ధాలు వ్యాసార్ధానికి సమాన ఎత్తు గల ఒక శంఖువు మరియు అర్ధగోళం యొక్క ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తిని తెల్పండి.
జవాబు :
శంఖువు ఘనపరిమాణం = అర్ధగోళ ఘనపరిమాణం

ప్రశ్న44.
స్థూపాకార పాత్ర ఘనపరిమాణం, 448 π సెం.మీ 3, దాని ఎత్తు 7 సెం.మీ. అయిన దాని వ్యాసార్ధం ఎంత?
జవాబు :

ప్రశ్న45.
14 సెం.మీ.లు భుజంగా గల ఒక సమఘనంలో ఏర్పరచగల (అమర్చగల) అతి పెద్ద స్థూపాకారం యొక్క ఘనపరిమాణంను లెక్కించండి.
జవాబు :
స్థూపం భూవ్యాసం = సమఘనం యొక్క భుజం
స్థూపం భూవ్యాసం d = 14 సెం.మీ.
∴ స్థూపం వ్యాసార్ధం r = 7 సెం.మీ.,
ఎత్తు h = 14 సెం.మీ. .

∴ అతి పెద్ద స్థూపం ఘనపరిమాణం = πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × 7² × 14.
= 22 × 7 × 14 = 2,156 ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న46.
షటిల్ కాక్ ఈ క్రింది రెండు ఆకారాల సమ్మేళనం.
A) స్థూపం, గోళం
B) గోళం, శంఖువు
C) స్థూపం, అర్ధగోళం
D) అర్ధగోళం, అర్ధశంఖువు
జవాబు :
D) అర్ధగోళం, అర్ధశంఖువు

ప్రశ్న47.
ప్రవచనం-A : సమాన . భూవ్యాసార్ధము మరియు ఎత్తును కలిగిన స్థూపం మరియు శంఖువుల ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి 1 : 3.
ప్రవచనం-B : ఒక అర్ధగోళం యొక్క వక్రతల మరియు సంపూర్ణతల వైశాల్యాల నిష్పత్తి 2 : 3.
A) A – సత్యం, P – అసత్యం
B) A – అసత్యం, B – సత్యం
C) A, B లు రెండూ సత్యం
D) A, B లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
A) A – సత్యం, P – అసత్యం

ప్రశ్న48.
ఒక స్థూపం యొక్క వ్యాసార్ధాన్ని రెట్టింపు చేసి దాని ఎత్తును మార్చకుండా ఉంటే దాని ప్రక్కతల వైశాల్యంలో పెరుగుదల ఎన్ని రెట్లు ఉంటుంది ?
జవాబు :
స్థూపం ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
r₁ → 2r, h₁ → h.
వ్యాసార్ధం రెట్టింపు అయిన తరువాత స్థూపం ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2π(2r)h = 4πrh
∴ పెరుగుదల = 4πrh – 2πrh
= 2πrh చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న49.
6 సెం.మీ. భుజంగా గల ఒక సమఘనం నుండి 2 సెం.మీ.లు భుజం గల సమఘనాలు ఎన్ని తయారు చేయగలం ?
జవాబు :
తయారు చేయగల సమఘనాల సంఖ్య

ప్రశ్న50.
ఒక గోళం యొక్క ఘనపరిమాణము మరియు ఉపరితలం వైశాల్యాలు సంఖ్యాపరంగా సమానాలు. ఆ గోళం వ్యాసార్ధంను కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\frac{4}{3}\)πr³ = 4πr² ⇒ r = 3
∴ గోళం వ్యాసార్ధం = 3 యూనిట్లు

ప్రశ్న51.
వ్యాసం ‘d’ గా గల ఒక గోళం యొక్క ఘనపరిమాణంను dలో తెల్పండి.
జవాబు :
గోళం ఘనపరిమాణం = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3}\)π\(\left(\frac{d}{2}\right)^{3}=\frac{1}{6}\) πd³

ప్రశ్న52.
రెండు గోళాల వ్యాసార్ధాల నిష్పత్తి 2 : 3 అయిన వాని . ఉపరితల వైశాల్యాల నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :
రెండు గోళాల వ్యాసార్ధాల నిష్పత్తి = 2:3
వాని ఉపరితల వైశాల్యాల నిష్పత్తి = 2² : 3²
= 4:9

ప్రశ్న53.
‘r’ వ్యాసార్ధంగా గల ఒక అర్ధగోళంలో అమర్చగల అతిపెద్ద శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం ఎంత ?
జవాబు :

శంఖువు వ్యాసార్ధం r = r, ఎత్తు h = r
∴ శంఖువు ఘనపరిమాణం = \(\frac{1}{3}\)π²h
\(\frac{1}{3}\)π²(r) = \(\frac{1}{3}\)π³ ఘ. యూనిట్లు

ప్రశ్న54.
ఒక స్థూపం, శంఖువు మరియు అర్ధగోళాలు ఒకే భూవ్యాసార్ధం మరియు ఎత్తులు కల్గి ఉన్నచో వాని ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తిని రాయండి.
A) 3 : 1 : 2
B) 3 : 2 : 1
C) 1 : 2 : 3
D) 1 : 3 : 2
జవాబు :
A) 3 : 1 : 2

ప్రశ్న55.

పై పటంలో వాడిగా చెక్క పెన్ను చూపడం జరిగినది. ఈ ఘనాకృతిలో గల త్రిమితీయ ఆకారాల పేర్లను తెల్పండి / పై పటం ఏఏ ఘనాకృతల సమ్మేళనము ?
జవాబు :
అర్ధగోళము, స్థూపము, శంఖువు.

ప్రశ్న56.
ఒక స్థూపం యొక్క ఎత్తును రెట్టింపు చేసి దాని వ్యాసార్ధాన్ని 3 రెట్లు చేసిన దాని ఉపరితల వైశాల్యం మొదటి స్థూపం ఉపరితల వైశాల్యమునకు ఎన్ని రెట్లు?
జవాబు :
మొదటి స్థూపం ఉపరితల వైశాల్యం = 2πrh
ఎత్తును రెట్టింపు, వ్యాసార్ధాన్ని 3 రెట్లు చేసిన స్థూపం ఉపరితల వైశాల్యం = 2π(3r)(2h)
= 12πrh = 6(2πrh)
కొత్త ఘనం ఉపరితల వైశాల్యం, మొదటి స్థూపం ఉపరితల వైశాల్యానికి 6 రెట్లు.

ప్రశ్న57.
x యూనిట్లు భుజంగా గల సమఘనంలో అంతర్లి ఖితమైన గోళం వ్యాసంను x లలో తెల్పండి.
జవాబు :
వ్యాసం d = x యూనిట్లు

ప్రశ్న58.
క్రింది వానిని జతపరచడంలో సరైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనుము..

A) i-d, ii-b, iii-c, iv-a
B) i-a, ii-c, iii-b, iv-d
C) i-b, ii-a, iii-c, iv-d
D) i-d, ii-c, iii-b, iv-a
జవాబు :
A) i-d, ii-b, iii-c, iv-a

ప్రశ్న59.
అర్ధగోళం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం కనుగొనుటకు సూత్రాన్ని రాయండి.
జవాబు :
అర్ధగోళ సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 3πr²

ప్రశ్న60.
శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు l ను r, h లలో తెల్పండి.
జవాబు :
l = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)

ప్రశ్న61.
ఒక సమఘనం యొక్క భుజాన్ని రెట్టింపు చేయగా, దాని ఘనపరిమాణం, మొదటి ఘనం ఘనపరిమాణానికి ఎన్ని రెట్లు ?
జవాబు :
ఘనం ఘనపరిమాణం = a³
a → 22 అయిన ఘనం ఘనపరిమాణం = (2a)³ = 8a³
కొత్త ఘనం ఘనపరిమాణం, మొదటి ఘనం ఘనపరిమాణంనకు 8 రెట్లు.

ప్రశ్న62.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజాన్ని దాని కర్ణం పరంగా భ్రమణం చేస్తే అది ఏర్పరచు త్రిమితీయ ఆకారము ఏది ?
జవాబు :
శంఖువు

ప్రశ్న63.
గుల్ల అర్ధగోళాకార పాత్ర యొక్క లోపలి మరియు బయటి వ్యాసార్ధాలు వరుసగా r, R అయిన దాని సంపూర్ణతల . వైశాల్యం ………….
A) π(3R² + r²)
B) π(R² + r²)
C) π(R² + 3r²)
D) π(R² – r²)
జవాబు :
A) π(3R² + r²)

ప్రశ్న64.
10 సెం.మీ.లు వ్యాసార్థం గల ఒక గోళాన్ని 8 చిన్న సమాన గోళాలుగా మార్చగా చిన్న గోళాల యొక్క వ్యాసార్లమెంత ?
జవాబు :
చిన్న గోళ వ్యాసార్ధం r అనుకొనుము. 10 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం గల గోళం ఘనపరిమాణం
= 8 చిన్న గోళాల మొత్తం ఘనపరిమాణం

ప్రశ్న65.
శీర్షకోణం 60° గా గల శంఖువు యొక్క ఎత్తు, ఏటవాలు ఎత్తుల నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :

∠BAD = 60°; ∆ACDలో
cos 30° = \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\mathrm{h}}{l}\)
∴ h: 1 = √3 : 2,
(లేదా)
∆ACD లో కోణాలు 30°, 60, 90°.
భూజాల నిష్పత్తి r : h: 1 = 1 : √3 : 2
∴ h : 1 = √3 : 2

ప్రశ్న66.
శీర్షకోణం 60° గా గల శంఖువు భూవ్యాసార్ధ, ఎత్తుల నిష్పత్తి ఎంత ? (పై 65వ ప్రశ్న పటం చూడండి)
జవాబు :
tan 30° = \(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{h}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{h}}\)
∴ r : h = 1 : √3

ప్రశ్న67.
ఒక దీర్ఘఘనాకార ట్రక్కు నందు నింపగల – సంచుల సంఖ్యను లెక్కించడానికి క్రింది వానిలో దేనిని లెక్కించాలి ?
A) ప్రక్కతల వైశాల్యము
B) సంపూర్ణతల వైశాల్యము
C) ఘనపరిమాణము
D) భూతల వైశాల్యము
జవాబు :
C) ఘనపరిమాణము

ప్రశ్న68.
శంఖువు సంపూర్ణతల వైశాల్యంనకు సూత్రం తెల్పండి.
జవాబు :
శంఖువు సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 4πr²

ప్రశ్న69.
స్థూపం సంపూర్ణతల వైశాల్యంను కనుగొనుటకు నీవు ఈ క్రింది వానిలో దేనిని ఎన్నుకుంటావు ?
A) 4πr²
B) 3πr²
C) 2πr (r + h)
D) πr (r +h)
జవాబు :
C) 2πr (r + h)

ప్రశ్న70.
అర్ధగోళం, సంపూర్ణతల వైశాల్యం, గోళం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యముల నిష్పత్తిని తెల్పండి.
జవాబు :
3πr² : 4πr² = 3 : 4

ప్రశ్న71.
సమాన వ్యాసార్ధాలు కలిగిన అర్ధగోళ సంపూర్ణతల వైశాల్యం, గోళ సంపూర్ణతల వైశాల్యములో ఎంత శాతము ఉంటుంది ?
జవాబు :
\(\frac{3 \pi r^{2}}{4 \pi r^{2}}\) × 100 = 75%

ప్రశ్న72.
i) భూవ్యాసార్ధం 3 సెం.మీ., ఎత్తు 4 సెం.మీ.గా గల శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు 5 సెం.మీ.
ii) శంఖువు యొక్క భూవ్యాసార్ధం లో, ఎత్తు h గా గల శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు l = \(\sqrt{\mathbf{r}^{2}+\mathbf{h}^{2}}\)
A) (i) సత్యం, (ii) సత్యం మరియు (i) కి (ii) సరైన వివరణ కాదు.
B) (i) సత్యం, (ii) సత్యం మరియు (i) & (ii) సరైన వివరణ.
C) (i) అసత్యం , (ii) సత్యం మరియు (i) కి (ii) . సరైన వివరణ.
D) (i) అసత్యం, (ii) అసత్యం మరియు (i) & (ii) సరైన వివరణ కాదు.
జవాబు :
B) (i) సత్యం, (ii) సత్యం మరియు (i) & (ii) సరైన వివరణ.

ప్రశ్న73.
ఒక వృత్తాకార స్థూపము యొక్క భూవ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 14 సెం.మీ. అయిన ఆ స్థూపం సంపూర్ణతల, వక్రతల వైశాల్యాల నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :
r = 7, h = 14 సంపూర్ణతల వైశాల్యం : వక్రతల వైశాల్యం

= r + h: h
= 7 + 14 : 14 = 21 : 14 = 3:2

ప్రశ్న74.
గోళం, స్థూపం, శంఖువు ఒకే వ్యాసార్ధాన్ని, ఎత్తును కలిగి ఉంటే వాటి యొక్క ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి ……
A) 1 : 2 : 3
B) 2 : 3 : 1
C) 3 : 2 : 1
D ) 3 : 1 : 2
జవాబు :
B) 2 : 3 : 1

ప్రశ్న75.
ఒక వృత్తాకార స్థూపం వ్యాసార్ధం 6 సెం.మీ., ఎత్తు 7 సెం.మీ. అయిన దాని ఘనపరిమాణం ఎంత ?
జవాబు :
వృత్తాకార స్థూపం వ్యాసార్ధం r = 6, ఎత్తు h=7
ఘనపరిమాణం = πr²h = \(\frac{22}{7}\) × (6)² × (7)
= 22 × 36
= 792 సెం.మీ.³

ప్రశ్న76.
పటంలోని A, B పాత్రలకు సంబంధించి క్రింది వానిలో ఏది సత్యము ?

A) A పాత్ర యొక్క ఘనపరిమాణం B పాత్ర ఘనపరిమాణం కన్నా ఎక్కువ
B) A పాత్ర యొక్క ఘనపరిమాణం B పాత్ర ఘనపరిమాణం కన్నా తక్కువ
C) A, B పాత్రల యొక్క ఘనపరిమాణాలు సమానము
D) పైవి అన్నీ
జవాబు :
B) A పాత్ర యొక్క ఘనపరిమాణం B పాత్ర ఘనపరిమాణం కన్నా తక్కువ

ప్రశ్న77.
24 సెం.మీ. ఎత్తు, 6 సెం.మీ. భూవ్యాసార్ధము కలిగిన శంఖువు ఆకారంలోని మట్టిని, రిషి గోళముగా గల మట్టి ముద్దగా మార్చిన ఆ గోళం యొక్క వ్యాసార్ధము ఎంత ?
జవాబు :
శంఖువు ఎత్తు h = 24 సెం.మీ. ,
వ్యాసార్ధము r = 6 సెం.మీ., గోళం వ్యాసార్ధం r=?
గోళం ఘనపరిమాణం = శంఖువు ఘనపరిమాణం

⇒ r³ = 6³
∴ r = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న78.
ఘనం ప్రక్కతల వైశాల్యం A = 4s², sను Aలలో తెల్పండి.
జవాబు :
4s² = A ⇒ s² = \(\frac{\mathrm{A}}{4}\) ⇒ s = \(\sqrt{\frac{A}{4}}=\frac{\sqrt{A}}{2}\)

ప్రశ్న79.
ఒక దీర్ఘ ఘనాకార బహుమతి పెట్టెను కప్పి ఉంచిన మెరుపు కాగిత వైశాల్యం కావలెనన్న దీర్ఘఘనం యొక్క క్రింది దేనిని లెక్కించాలి ?
A) ప్రక్కతల వైశాల్యము
B) సంపూర్ణతల వైశాల్యము
C) ఘనపరిమాణము
D) కర్ణము
జవాబు :
B) సంపూర్ణతల వైశాల్యము

ప్రశ్న80.
ఒక స్థూపము. మరియు శంఖువులు సమాన భూ వ్యాసార్ధములు మరియు ఎత్తులను కలిగి ఉంటే శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం స్థూప ఘనపరిమాణంలో ఎంత శాతము ?
జవాబు :
స్థూపం, శంఖువుల ఘనపరిమాణముల నిష్పత్తి
= 3 : 1
∴ శంఖువు ఘనపరిమాణ శాతం = \(\frac{1}{3}\) × 100
= 33\(\frac{1}{3}\)%
∴ శంఖువు ఘనపరిమాణం, స్థూప ఘనపరిమాణంలో
33 % ఉంటుంది.

ప్రశ్న81.
గోళం సంపూర్ణతల వైశాల్యం A = 4πr² అయిన r విలువను Aలో రాయండి.
జవాబు :
4πr² = A ⇒ r² = \(\frac{\mathrm{A}}{4 \pi}\)
⇒ r = \(\sqrt{\frac{\mathrm{A}}{4 \pi}}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\mathrm{A}}{\pi}}\)

ప్రశ్న82.
4 సెం.మీ. భుజంగా గల రెండు ఘనాలను ప్రక్కప్రక్కన కలుపబడిన క్రొత్తగా ఏర్పడిన దీర్ఘఘన సంపూర్ణతల వైశాల్యము ఎంత ?
జవాబు :
కొత్తగా ఏర్పడిన దీర్ఘఘన సంపూర్ణతల వైశాల్యం ,
= 10a² = 10(4)² = 160 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న83.
ఒక వృత్తాకార స్థూపం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం x ; భూ వైశాల్యము y; సంపూర్ణతల వైశాల్యం A అయిన A, x, y ల మధ్య సంబంధమును రాయండి.
జవాబు :
A = x + 2y

ప్రశ్న84.
ప్రవచనం-1 : స్థూపాకార పాత్రలో స్థూపాకార పాత్ర వ్యాసార్ధానికి సమాన వ్యాసార్ధం మరియు సమాన ఎత్తు కలిగిన గోళాన్ని అంతర్లీనపరిచిన గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము, స్థూపం యొక్క వక్రతల వైశాల్యమునకు సమానము.
ప్రవచనం-II : పొడవు 1, వెడల్పు b, ఎత్తు h . యూనిట్లుగా గల దీర్ఘఘనం సంపూర్ణతల వైశాల్యం 2h(l + b) చ.యూనిట్లు.
A) I సత్యం, II అసత్యం
B) I అసత్యం, II సత్యం
C) I సత్యం మరియు II అసత్యం
D) I అసత్యం మరియు II అసత్యం
జవాబు :
C) I సత్యం మరియు II అసత్యం

ప్రశ్న85.
వాక్యం-a: ఘనాకార వస్తువుల సముదాయ ఉపరితల వైశాల్యము ఆ ఆకృతిలోని అన్ని ఘనాకార వస్తువుల ఉపరితల వైశాల్యముల మొత్తమునకు సమానము.
వాక్యం-b : ఘనాకార వస్తువు సముదాయ ఘన పరిమాణం, ఆ వస్తువులోని అన్ని ఘనాకార వస్తువుల ఘనపరిమాణముల మొత్తమునకు సమానము.
A) a – సత్యం, b – సత్యం
B) a – సత్యం, b – అసత్యం
C) a – అసత్యం మరియు b – సత్యం
D) a – అసత్యం మరియు b – అసత్యం
జవాబు :
C) a – అసత్యం మరియు b – సత్యం

ప్రశ్న86.
ఒక ఘనాకార వస్తువు అకృతిని, వేరొక ఘనాకార ఆకృతిగా మార్చిన వాని యొక్క క్రింది దేనిలో మార్పు ఉండదు ?
A) ఘనపరిమాణం
B) సంపూర్ణతల వైశాల్యము
C) ప్రక్కతల వక్రతల వైశాల్యం
D) భూవైశాల్యము
జవాబు :
A) ఘనపరిమాణం

ప్రశ్న87.
క్రింది పటంలో చూపిన స్థూపం మరియు శంఖువుల యొక్క వక్రతల వైశాల్యములు సమానం అయిన స్థూపం ఎత్తు l, శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు l ల నిష్పత్తి ఎంత ?

జవాబు :
స్థూపం వక్రతల వైశాల్యం = శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం

⇒ \(\frac{\mathrm{h}}{l}=\frac{1}{2}\) = h: 1 = 1 : 2

→ క్రింది ఆకృతుల చిత్తు పటాలు గీయండి (88-91)

ప్రశ్న88.
ఒక ఘనాకార వస్తువు ఒక చివర అర్ధగోళము, మరో చివర శంఖువు ఆకారము కలిగిన స్థూపము వలె ఉన్నది.
జవాబు :

ప్రశ్న89.
ఒక నీటి ట్యాంకు రెండు చివరలా అర్ధగోళాకారము కలిగిన స్థూపాకారంలో కలదు.
జవాబు :

ప్రశ్న90.
ఒక ఆట వస్తువు అర్ధగోళం యొక్క సమతల ఉపరితలంపై క్రమ వృత్తాకార శంఖువు ఆకార భాగం యొక్క వృత్తాకార, భూభాగము కలుపబడి ఉన్నది.
జవాబు :

ప్రశ్న91.
శంఖువు ఆకార ఐస్ క్రీమ్ కోన్ ఐస్ క్రీం పైతలం అర్ధగోళాకారంలో ఉన్నట్లు. నింపబడినది.
జవాబు :

ప్రశ్న92.
10 లీటర్ల పరిమాణం కల్గిన నూనె డబ్బా యొక్క ఘనపరిమాణం (సెం.మీ.³) లో తెలపండి.
జవాబు :
10,000 సెం.మీ.³

ప్రశ్న93.
క్రింది ఇవ్వబడిన ప్రవచనాలలో సరైన జవాబును ఎన్నుకొనండి.
ప్రవచనం (A) : సమాన భూమి మరియు సమాన ఎత్తులు కల్గిన శంఖువు మరియు ‘స్థూపం ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి 3:1
ప్రవచనం (B) : సమాన భూమి మరియు సమాన ఎత్తులు కల్గిన గోళం మరియు శంఖువుల ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి 2 :1
i) A మరియు B లు రెండూ సత్యం
ii) A సత్యం , B అసత్యం
iii) A అసత్యం , B సత్యం
iv) A మరియు B లు రెండూ అసత్యాలే
జవాబు :
iv) A మరియు B లు రెండూ అసత్యాలే

ప్రశ్న94.
ఆహార ధాన్యాలను ఒకే భూమి పొడవు మరియు ఎత్తును కలిగిన కంటైనర్లలో నిల్వ చేయాలి. నిర్దిష్ట పరిమాణంలో ధాన్యాలను నిల్వ చేయడం కొరకు ఏ రకం కంటైనర్లు తక్కువ సంఖ్యలో అవసరం అవుతాయి ?
i) క్రమవృత్తాకార స్తూపం
ii) సమఘనం
iii) క్రమవృత్తాకార శంఖువు
జవాబు :
ii) సమఘనం

ప్రశ్న95.
ఒక దీర్ఘ ఘనాకార తెరచి ఉన్న వాటర్ ట్యాంకు బాహ్య కొలతలు పొడవు x యూనిట్లు, వెడల్పు y యూనిట్లు మరియు ఎత్తు 2 యూనిట్లు. గోడ యొక్క మందం ‘a’ యూనిట్లు అయితే, వాటర్ ట్యాంక్ లోపలి కొలతలు వ్యక్తీకరించండి.
జవాబు :
బాహ్య కొలతలు : పొడవు = x యూనిట్లు; వెడల్పు = y యూనిట్లు మరియు ఎత్తు = z యూనిట్లు. గోడ యొక్క మందం = a యూనిట్లు.
లోపలి కొలతలు :
పొడవు = x -a – a = x – 2a యూనిట్లు
(:: రెండు వైపుల గోడ మందము తీసివేయబడినది.)

వెడల్పు = y – a – a = y – 2a యూనిట్లు
(: రెండు వైపుల గోడ మందము తీసివేయబడినది.)

ఎత్తు = z – aయూనిట్లు (∵ పై భాగము తెరిచి యుండుట వలన క్రింది భాగము వెడల్పు మాత్రమే తీసివేయబడినది.)

Practice the AP 10th Class Maths Bits with Answers 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 10th Class Maths Bits 8th Lesson సరూప త్రిభుజాలు

ప్రశ్న1.
∆ABCలో BC² + AB² = AC² అయిన……. లంబకోణమును కలిగిన శీర్షము.
A) A
B) B
C) C
D) నిర్ణయించలేము
జవాబు :
B) B

ప్రశ్న2.
∆ABCలో \(\frac{\mathbf{A D}}{\mathbf{D B}}=\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E C}}\), D, Eలు AB, ACలపై బిందువులైన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) DE ∥ AB
B) DE ∥ AC
C) DE ∥ BC
D) DE ⊥ BC
జవాబు :
C) DE ∥ BC

ప్రశ్న3.
ఇచ్చిన పటంలో LM ∥ BC మరియు LN ∥ CD అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?

A) \(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MB}}=\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{LC}}\)
B) \(\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{ND}}=\frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{LC}}\)
C) \(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{ND}}\)
D) పైవి అన్నీ
జవాబు :
D) పైవి అన్నీ

ప్రశ్న4.
∆ABC ~ ∆DEF వాటి వైశాల్యాలు 64 సెం.మీ.² మరియు 121 సెం.మీ.² అయిన అనురూప భుజాల నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
జవాబు :

∴ అనురూప భుజాల నిష్పత్తి = 8 : 11

ప్రశ్న5.
‘a’ భుజంగా గల క్రమ షడ్భుజ వైశాల్యము ఎంత ?
జవాబు :
‘a’ భుజంగా గల క్రమ షడ్భుజ వైశాల్యం
= 6 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) a²

ప్రశ్న6.
ఒకడు తూర్పునకు 6 మీ., అచ్చట నుండి ఉత్తరమునకు 8 మీ. నడచిన ప్రారంభ స్థానము నుండి అతను ఎంత దూరంలో కలడు ?
జవాబు :
ప్రారంభం నుండి అతను గల దూరం AC.

AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = 6² + 8² = 100
⇒ AC = \(\sqrt{100}\) = 10 మీ.

ప్రశ్న7.
ఇచ్చిన పటంలో ∆BDA ~ ∆ADC అయితే ∠CAD విలువ ఎంత ?

జవాబు :
∠CAD = 90°

ప్రశ్న8.
క్రింది వానిలో ఏవి లంబకోణ త్రిభుజ భుజాలకు ఉదాహరణ ?
A) 5, 6, 9
B) 5, 12, 13
C) 5, 11, 12
D) 7, 8, 9
జవాబు :
B) 5, 12, 13

ప్రశ్న9.
‘a’ భుజంగా గల సమబాహు త్రిభుజం ఎత్తును తెల్పండి.
జవాబు :
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a

ప్రశ్న10.
∆ABC ~ ∆NYL, ∠C = 60°, ∠B = 70° అయిన ∠X విలువ ఎంత ?
జవాబు :
∠X = 50°

ప్రశ్న11.
ఇచ్చిన స్కేలు గుణకం ప్రకారం ఇచ్చిన త్రిభుజానికి సరూపంగా ఉండేటట్లు త్రిభుజాన్ని నిర్మించడానికి ఆధారంగా ఉపయోగపడేది
A) భు.భు.భు. సరూపత
B) కో.కో.కో. సరూపత
C) థమిక అనుపాత సిద్ధాంతం
D) A మరియు C
జవాబు :
D) A మరియు C

ప్రశ్న12.
∆ABC ~ ∆EDC అయిన, కింద సూచించ పటాలలో సరైన పటం …….

జవాబు :

ప్రశ్న13.
∆ABC నందు ∠C = 90°, BC = a, CA = b AB = c మరియు ‘p’ అనునది ‘C’ నుండి AB పైకి గీచిన లంబం పొడవు అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం?

జవాబు :
C) \(\frac{1}{\mathrm{p}^{2}}=\frac{1}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{1}{\mathrm{~b}^{2}}\)

ప్రశ్న14.
∆ABC లో AC = 12 సెం.మీ., AB = 5 సెం.మీ మరియు ∠BAC = 30° అయితే ∆ABC వైశాల్యమును కనుగొనుము.
జవాబు :

∆ADB లో ∠A = 30°
sin 30° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}\)
\(\frac{1}{2}=\frac{\mathrm{BD}}{5}\)
∴ BD = \(\frac{5}{2}\)
∴ ∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\)bh
= \(\frac{1}{2}\) × AC × DB
5 = \(\frac{1}{2}\) × 12 × \(\frac{5}{2}\)
= 15 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న15.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజములోని భుజాలు పూర్ణాంకములు అయితే దానిలో కనీసము ఒక కొలత …………..
A) 3 యొక్క గుణిజము
B) 9 యొక్క గుణిజము
C) 2 యొక , గుణిజము
D) 7 యొక్క గుణిజము
జవాబు :
C) 2 యొక , గుణిజము

ప్రశ్న16.
క్రింది పటంలో ‘x’ విలువను a, bమరియు C పదాలలో తెల్పండి.

A) x = \(\frac{\mathrm{ac}}{\mathrm{b}+\mathrm{c}}\)
B) x = \(\frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{b}+\mathrm{c}}\)
C) x = \(\frac{b+c}{a c}\)
D) x = \(\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{a}+\mathrm{c}}\)
జవాబు :
A) x = \(\frac{\mathrm{ac}}{\mathrm{b}+\mathrm{c}}\)

∆LMK- ∆PNK
∴\(\frac{\mathrm{LM}}{\mathrm{PN}}=\frac{\mathrm{MK}}{\mathrm{NK}} \Rightarrow \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{b}+\mathrm{c}}{\mathrm{c}}\)
= x(b + c) = ac
∴ x = \(\frac{a c}{b+c}\)

ప్రశ్న17.
ఇచ్చిన పటంలో ∆ABC, DE ∥BC, AD = 1.5 సెం.మీ., DB = 6 సెం.మీ., AE = x సెం.మీ., EC = 8 సెం.మీ. అయిన x విలువ ఎంత ?

జవాబు :
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} \Rightarrow \frac{1.5}{6}=\frac{\mathrm{AE}}{8}\)
⇒ AE = \(\frac{1.5 \times 8}{6}\) = 2 సెం.మీ

ప్రశ్న18.
∆ABC ~ ∆DEF మరియు వైశాల్యము (∆ABC) వైశాల్యము (∆DEF) = 49 : 100 అయిన DE : AB ని కనుగొనుము.
జవాబు :
DE : AB = \(\sqrt{100}\) : \(\sqrt{49}\) = 10 : 7

ప్రశ్న19.
‘x’ సెం.మీ. భుజముగా గల సమబాహు – త్రిభుజ ఉన్నతి ……. ,సెం.మీ.²
A) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)x
B) \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)x
C) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)x²
D) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)x²
జవాబు :
A) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ప్రశ్న20.
క్రింది పటము నుండి ADE వైశాల్యము : ABC వైశాల్యముని కనుగొనుము.

జవాబు :
∆AED ~ ∆ACB
∴ ∆ADE వైశాల్యము : ∆ABC వైశాల్యము
AE² : AC² = 9 : 64.

ప్రశ్న21.
∆ABC లో E మరియు Fలు వరుసగా AB మరియు AC భుజాలపై గల బిందువులు. AE = 2 సెం.మీ., EB = 2.5 సెం.మీ., AF = 4 సెం.మీ., FC = 5 సెం.మీ., అయిన …….
A) EF ⊥ BC:
B) EF ⊥ AB
C) EF ∥ BC
D) EF ∥ AB
జవాబు :
C) EF ∥ BC

ప్రశ్న22.
క్రింది పటము నుండి ‘x’ విలువ ఎంత ? ,

జవాబు :
AC = 5 సెం.మీ. [3, 4, 5; 5, 12, 13 పైథాగరియన్ త్రికాలు]
∴ AB = x = 13 సెం.మీ.

ప్రశ్న23.
రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాలు 100 చ. సెంమీ., 164 చ.సెం.మీ. వాటిలో పెద్ద త్రిభుజ మధ్యగతం పొడవు 10 సెం.మీ. అయితే చిన్న త్రిభుజ మధ్యగతం పొడవు ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{100}{64}=\left(\frac{M_{1}}{M_{2}}\right)^{2}=\left(\frac{10}{M_{2}}\right)^{2}\)
⇒ \(\left(\frac{10}{8}\right)^{2}=\left(\frac{10}{\mathrm{M}_{2}}\right)^{2}\) ⇒ M₂ = 8
చిన్న త్రిభుజ మధ్యగతం = 8 సెం.మీ.

ప్రశ్న24.
∆POR ~ ∆XYZ మరియు ∠X = 30°, ∠Q = 50°, అయిన ∠Z విలువ ఎంత ?
జవాబు :
∠P = ∠X = 30°, ∠Q = ∠Y = 50°,
∠R = ∠Z = ?
∴ ∠Z = 180 – (50 + 30) = 100°

ప్రశ్న25.
ఇచ్చిన పటం నుండి x విలువను కనుగొనుము.

జవాబు :
\(\frac{x}{3}=\frac{5}{5}\) ⇒ x = 3

ప్రశ్న26.
∆ABC ~ ∆PQR మరియు ∠A + ∠B = 115°, అయిన ∠R విలువ ఎంత ?
జవాబు :
∠R = 65°

ప్రశ్న27.
∆ABC లో DE ∥ BC, AD = 2 సెం.మీ., DE = 3 సెం.మీ. మరియు AB = 6 సెం.మీ. అయిన BC భుజం పొడవు ఎంత ?
జవాబు :

ADE ~ ABC
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}\)
\(\frac{2}{6}=\frac{3}{\mathrm{BC}}\)
⇒ BC = 9 సెం.మీ.

ప్రశ్న28.
పటంలో ∠BDE విలువ కనుగొనుము.

జవాబు :
∠B = 60°, ∠E = ∠C = 75°
∠BDE = ∠BAC = 180 – (60+ 75) = 45°

ప్రశ్న29.
క్రింది వానిలో త్రిభుజ వైశాల్యమును కనుగొను సూత్రము
A) A = \(\frac{1}{2}\) bh
B) A = \(\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}\)
C) A = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
D) A మరియు C
జవాబు :
D) A మరియు C

ప్రశ్న30.
రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి 144:441 అయిన వాటి చుట్టుకొలతల నిష్పత్తి ఎంత?
జవాబు :
\(\sqrt{144}: \sqrt{441}\) = 12 : 21 = 4:7

ప్రశ్న31.
క్రింది ఇచ్చిన వాక్యా లలో సరియైనది. ”
A) అన్ని అల్పకోణ త్రిభుజాలు సరూపాలు.
B) అన్ని అధికకోణ త్రిభుజాలు సరూపాలు.
C) అన్ని లంబకోణ త్రిభుజాలు సరూపాలు.
D) అన్ని సమద్విబాహు లంబకోణ త్రిభుజాలు సరూపాలు.
జవాబు :
D) అన్ని సమద్విబాహు లంబకోణ త్రిభుజాలు సరూపాలు.

→ క్రింది పటంలో ∠BAC = 90° మరియు AD ⊥ BC. పటాన్ని పరిశీలించి 32 మరియు 33 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న32.
∠DAC విలువ ఎంత ?
జవాబు :
∠DAC = 180 – (90 + 35) = 55°

ప్రశ్న33.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) BC² = AB² + AC²
B) AD² = BD · DC
C) ∆ADB ~ ∆CDA .
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న34.
క్రింది పటంలో ∠A = 90°, BD = 5, AD = 5√3 , మరియు DC = x అయిన x విలువను కనుగొనుము.

జవాబు :
AD² = BD . DC
(5√5)² = 5x ⇒ x = \(\frac{25 \times 3}{5}\) = 15

ప్రశ్న35.
∆ABC ~ ∆DEF, BC = 4 సెం.మీ, EF = 5 సెం.మీ మరియు ∆ABC వైశాల్యం 80 సెం.మీ2 అయిన ∆DEF వైశాల్యం ఎంత ?
జవాబు :

ప్రశ్న36.
ప్రవచనం-A : సరూప త్రిభుజాలు అన్ని సర్వసమాన త్రిభుజాలు అవుతాయి.
ప్రవచనం-B : అన్ని లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజాలు సరూపాలు.
A) A సత్యం, B అసత్యం
B) A అసత్యం, B సత్యం
C) A, B లు రెండూ సత్యం
D) A, B లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
B) A అసత్యం , B సత్యం

ప్రశ్న37.
రెండు త్రిభుజాలు సరూపాలు కావడానికి అవసరమగు నియమాలు ఏవి ?
i) వాటి అనురూప కోణాలు సమానంగా, ఉండాలి.
ii) వాటి అనురూప భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో ఉండాలి.
A). పై రెండు నియమాలను పాటించాలి.
B) పై వానిలో ఏదో ఒక నియమాన్ని పాటిస్తే సరిపోతుంది.
C) పై రెండు నియమాలు సరిపోవు.
D) రెండు త్రిభుజాలు ఎప్పుడూ సరూపాలు కావు.
జవాబు :
B) పై వానిలో ఏదో ఒక నియమాన్ని పాటిస్తే సరిపోతుంది.

ప్రశ్న38.
∆ABC లో DE ∥ BC మరియు AD : DB = 1 : 2, అయిన ∆ADE : ∆ABC ని రాయండి.
జవాబు :

∆ADE : ∆ABC
= AD² : AB²
= 1² : 3²
= 1:9

ప్రశ్న39.
∆ABC ~ ∆PQR. BC మధ్య బిందువు M మరియు QR మధ్యబిందువు N. ∆ABC = 100 సెం.మీ2. ∆POR = 144 సెం.మీ² మరియు AM = 4 సెం.మీ అయిన PN విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :

ప్రశ్న40.
భు.కో. భు. నియమాన్ని తెల్పండి.
జవాబు :
ఒక త్రిభుజములోని ఒక కోణము, వేరొక త్రిభుజము లోని ఒక కోణము సమానమై, ఈ కోణాలను కలిగివున్న భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సరూపాలు.

ప్రశ్న41.
∆PQR లో PQ = 6√3 సెం.మీ., PR = 12 సెం.మీ. మరియు QR = 6 సెం.మీ. అయిన ∠Q కొలతను కనుగొనుము.
జవాబు :
PR² = 122 = 144 – PQ2 = (63)2 = 108,
QR2 = 62 = 36 – ‘PQ2 + QR2 = 108 – 36 = 144 = PR2
∴ ∠Q = 90° (పైథాగరస్ సిద్ధాంత విపర్యయము) .

ప్రశ్న42.
రాంబలోని కర్ణాలు 24 సెం.మీ మరియు 32 సెం.మీ అయిన రాంబస్ చుట్టుకొలతను సెం.మీ.లలో తెల్పండి.
జవాబు :

ABCD రాంబస్ కర్ణాలు AC = 24 సెం.మీ.,
BD = 32 సెం.మీ.
OA = 12 సెం.మీ., OD = 16 సెం.మీ.
∴ AD² = AO² + OD²
= 12² + 16²
= 144 + 256 = 400
AD = \(\sqrt{400}\) = 20
రాంబస్ చుట్టుకొలత = 4 x 20 = 80 సెం.మీ.
(లేదా)
AC² + BD² = 4 AB²
⇒ (24)² + (32)² = 4AB²
⇒ 4 AB² = 576 + 1024 = 1600
⇒ AB² = \(\frac{1600}{4}\) = 400 ⇒ AB = 20
రాంబస్ చుట్టుకొలత = 4 × 20 = 80 సెం.మీ.

ప్రశ్న43.
క్రింది వానిలో ఏవి లంబకోణ త్రిభుజ భుజాలు కావు ?
A) 9, 15, 12
B) 9, 5, 7
C) 400, 300, 500
D) 2, √5, 1
జవాబు :
B) 9, 5, 7

ప్రశ్న44.
సమద్విబాహు త్రిభుజం PORలో PR = QR మరియు PQ² = 2PR², అయిన 4R విలువ ఎంత ?
జవాబు :
∠R = 90°

ప్రశ్న45.
∆ABC లో AB, BC మరియు CA భుజాల మధ్య 2, బిందువులు వరుసగా D, E మరియు F లు అయిన ∆DEF : ∆ABC ని తెల్పండి.
జవాబు :
1 : 4

ప్రశ్న46.
స్కేలు గుణకము k విలువకు పటాల రూపానికి జతపరుచుము.

i) k >1	a) పెద్దవి చేయబడ్డ సరూప పటాలు
ii) k<1	b) సర్వసమాన పటాలు
iii) k = 1	c) చిన్నవి చేయబడ్డ సరూప పటాలు

A) i-a, ii-b, iii-c
B) i-b, ii-a, iii-c
C) i-a, ii-c, iii-b
D) i-b, ii-c, iii-a
జవాబు :
C) i-a, ii-c, iii-b

ప్రశ్న47.
రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాలు 25 మీ². మరియు 36 మీ². చిన్న త్రిభుజము మధ్యగతము 10 మీ. అయిన పెద్ద త్రిభుజ మధ్యగతం విలువ ఎంత ?
జవాబు :

ప్రశ్న48.
“రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాలు సమానం అయిన అవి సర్వసమానాలు”. (సత్యం/అసత్యం)
జవాబు :
సత్యం

ప్రశ్న49.
∆ABC మరియు ∆BDE లు రెండు సమబాహు త్రిభుజాలు, ‘D’, BC పై మధ్య బిందువు అయిన ∆ABC మరియు ∆BDE త్రిభుజ వైశాల్యాల నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :

∴ ∆ABC : ∆BDE = 4 : 1

ప్రశ్న50.

∆ABC లోని భుజాల మధ్య బిందువులను కలుపగా ఏర్పడిన నాలుగు త్రిభుజాలు ఎల్లప్పుడూ
A) సమబాహు త్రిభుజాలు
B) సమద్విబాహు త్రిభుజాలు
C) ∆ABC కి సర్వసమానాలు
D) ∆ABC కి సరూపాలు
జవాబు :
D) ∆ABC కి సరూపాలు

ప్రశ్న51.
“రెండు త్రిభుజాలలో ఒక త్రిభుజములోని భుజాలకు వేరొక త్రిభుజంలోని భుజాలు అనుపాతంలో ఉన్న ఆ త్రిభుజాలు సరూపాలు” అనునది ఏ సరూపకత నియమము ?
జవాబు :
భు.భు.భు. నియమం

ప్రశ్న52.
∆ABC ~ ∆XYZ; ∠C = 60°, ∠B = 75° అయిన ∠Z విలువ ఎంత ?
జవాబు :
∠C = ∠Z = 60°

ప్రశ్న53.
రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాలు 36 సెం.మీ మరియు 64 సెం.మీ2. మొదటి త్రిభుజపు ఒక భుజం 6 సెం.మీ అయిన రెండవ త్రిభుజంలోని అనురూప భుజం కొలత ఎంత ?
జవాబు :

∴ x = 8 సెం.మీ.

ప్రశ్న54.
పటంలో D, E లు AB మరియు AC ల మధ్య బిందువులు అయిన ∆ADE : ▢BCED ఎంత? ”

1 : 3

ప్రశ్న55.
∆PQR లంబకోణ త్రిభుజ భుజాలు PQ మరియు PRలు అయిన PQ = 5 సెం.మీ., PR = 13 సెం.మీ., ∠Q = 90° అయిన QR విలువ ఎంత ?
జవాబు :

PR² = PQ² + OR²
13² – 5² = QR²
144 = QR²
∴ QR = 144 = 12 సెం.మీ.
(లేదా)
5, 12, 13 పైథాగరియన్ త్రికాలు
∴ QR = 12 సెం.మీ.

ప్రశ్న56.
క్రింది పటంలో D, Eలు AB మరియు ACల మధ్య బిందువులు. DE = 4 సెం.మీ అయిన BC కొలతను కనుగొనుము..

జవాబు :
BC = 2DE = 2 × 4 = 8 సెం.మీ.

ప్రశ్న57.
‘a’ యూనిట్లు భుజంగా గల సమబాహు త్రిభుజం వైశాల్యం ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{\sqrt{3}}{4}\)a² చ.యూనిట్లు

ప్రశ్న58.
∆ABC లో DE, AB మరియు AC లను 1:3 నిష్పత్తిలో విభజించిన BC = 4.8 సెం.మీ. అయిన DEని కనుగొనుము.

జవాబు :
AB, AC లను DE ఒకే నిష్పత్తి 1 : 3లో విభజిస్తున్నది.
DE ∥BC, BC = 4.8
∆ADE ~ ∆ABC
\(\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}} \Rightarrow \frac{\mathrm{DE}}{4.8}=\frac{1}{4}\)
⇒ DE = \(\frac{1}{4}\) × 4.8 = 1.2 సెం.మీ.

ప్రశ్న59.
క్రింది పటంలో AB = 2.5 సెం.మీ, AC = 3.5 సెం.మీ, AD, BAC యొక్క కోణ సమద్విఖండనరేఖ అయిన BD: DC = ……

A) 5:3
B) 3:5
C) 5:7
D) 2:7
జవాబు :
C (కోణసమద్విఖండన రేఖ ఎదుటి భుజాన్ని మిగిలిన రెండు భుజాల నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. 2.5 : 3.5 = 5:7]

ప్రశ్న60.
ఒక చతురస్ర కర్ణము 7√2 సెం.మీ అయిన ఆ చతురస్ర వైశాల్యం ఎంత ?
జవాబు :
చతురస్ర కర్ణం d = √2s = 7√2
∴ భుజం s = 7 సెం.మీ.
∴ చతురస్ర వైశాల్యం = 7² = 49 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న61.
పటంలో ∠BAD = ∠CAD; AB = 3.4 సెం.మీ, BD = 4 సెం.మీ, BC = 10 సెం.మీ అయిన AC విలువను కనుగొనుము.

జవాబు :
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}} \Rightarrow \frac{3.4}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{6}\) ⇒ AC = \(\frac{3.4 \times 6}{4}\)
= 5.1 సెం.మీ.

ప్రశ్న62.
రెండు సరూప త్రిభుజ భుజాల నిష్పత్తి 1 : 2 అయిన వాటి వైశాల్యా ల నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :
వైశాల్యా ల నిష్పత్తి = 7² : 2² = 49 : 4

ప్రశ్న63.
∆ABC ~ ∆POR; ∠A = 32°, ∠R = 650 అయిన ∠B విలువ ఎంత ?
జవాబు :
∠A = ∠P = 32°, ∠C = ∠R = 65°
∴ ∠B = ∠Q = 83°

ప్రశ్న64.
∆POR ~ ∆ABC అయిన y + 2 ఎంత?

జవాబు :

Y + Z = 4 + 3√3

ప్రశ్న65.
పై 64వ ప్రశ్నలో త్రిభుజాల యొక్క స్కేలు గుణకం k విలువ ఎంత?
జవాబు :
స్కేలు గుణకం k = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{QR}}\)
= \(\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\)

ప్రశ్న66.
∆ABC ~ ∆LMN అయిన వాటి చుట్టుకొలతలు 60 సెం.మీ. మరియు 48.సెం.మీ., LM = 8 సెం.మీ. అయిన AB విలువను కనుగొనుము.
A) 12
B) 15
C) 8
D) 10
జవాబు :
D, \(\frac{60}{48}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{LM}} \Rightarrow \frac{60}{48}=\frac{\mathrm{AB}}{8}\)
⇒ AB = \(\frac{60 \times 8}{48}\) = 10 సెం.మీ.

ప్రశ్న67.
∆ABC ~ ∆PQR మరియు ..
\(\frac{\mathbf{A B}}{\mathbf{P Q}}=\frac{\mathbf{B C}}{\mathbf{Q R}}=\frac{\mathbf{A C}}{\mathbf{P R}}\) = k; k 1 అయిన
A) ∆ABC కన్నా ∆PCR పెద్ద పటము.
B) ∆ABC కన్నా ∆POR చిన్న పటము.
C) ∆ABC, ∆POR లు సర్వసమాన పటాలు.
D) పైవి అన్నీ సాధ్యము
జవాబు :
B) ∆ABC కన్నా ∆POR చిన్న పటము.

ప్రశ్న68.
∆ABC = ∆XYZ, \(\frac{\mathbf{A B}}{\mathbf{X Y}}=\frac{\mathbf{B C}}{\mathbf{Y Z}}=\frac{\mathbf{A C}}{\mathbf{X Z}}\) = k అయిన
A) k = 1
B) k > 1
C) k < 1
D) నిర్ణయించలేము
జవాబు :
A) k = 1

ప్రశ్న69.
∆ABC లో DE// BC మరియు D, Eలు వరుసగా AB, AC లపై బిందువులైన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
B) \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
C) \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}\)
D) \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{EC}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{DB}}\)
జవాబు :
A) \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)

ప్రశ్న70.
∆PQR లో EF ∥ QR, E, Fలు PQ, PRలపై బిందువులు. మరియు PE = 4 సెం.మీ.,
QE = 4.5 సెం.మీ., PF = 8 సెం.మీ. అయిన RF విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :

\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}} \Rightarrow \frac{4}{4.5}=\frac{8}{\mathrm{RF}}\)
∴ RF = \(\frac{8 \times 4.5}{4}\) = 9 సెం.మీ.

ప్రశ్న71.
క్రింది పటంలో DE ∥ BC అయిన AC విలువను లెక్కించండి.

జవాబు :

ప్రశ్న72.
క్రింది పటంలో DE ∥ BC మరియు BD = 7.2 సెం.మీ., AC = 7.2 సెం.మీ., EC = 5.4 సెం.మీ. అయిన AD విలువ ఎంత ?

జవాబు :

ప్రశ్న73.
∆ABC లో DE ∥ BC మరియు \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{3}{5}\) AC = 5.6 సెం.మీ. అయిన AE విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :

ప్రశ్న74.
ఇచ్చిన పటంలో ∆ABC ~ ∆EDC అయిన AB = 1.6 సెంమీ., CD = 15 సెం.మీ., BC = 1.5 సెం.మీ. అయిన x విలువ ఎంత ?

జవాబు :
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}} \Rightarrow \frac{1.6}{\mathrm{x}}=\frac{1.5}{15}\) ⇒ x = 16 సెం.మీ.

ప్రశ్న75.
4 మీ. పొడవు గల ఒక జెండా స్తంభము 6 మీ. పొడవు గల నీడను ఏర్పరిచిన సమయంలో 24 మీ. ఎత్తు గల భవనం ఏర్పరిచే నీడ పొడవు ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{4}{6}=\frac{24}{x}\) (24 మీ. ఎత్తుగల భవనం నీడ పొడవు = x మీ.)
:. భవనం నీడ పొడవు x = 24 × \(\frac{6}{4}\) = 36 మీ.

ప్రశ్న76.
క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ?
A) రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాలు సమానమైన అవి సర్వసమాన త్రిభుజాలు.
B) రెండు త్రిభుజాలలో, ఒక త్రిభుజంలోని భుజాలు వేరొక త్రిభుజంలోని భుజాలకు అనుపాతంలో ఉన్న ఆ రెండు త్రిభుజాలలోని అనురూప కోణాలు సమానము.
C) ఒక త్రిభుజములోని ఏవైనా రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించు సరళరేఖ మూడవ భుజానికి లంబము.
D) ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీచిన రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
జవాబు :
C) ఒక త్రిభుజములోని ఏవైనా రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించు సరళరేఖ మూడవ భుజానికి లంబము.

ప్రశ్న77.
రెండు సరూప త్రిభుజాల చుట్టుకొలతలు వరుసగా 40 సెం.మీ., 28 సెం.మీ. మొదటి త్రిభుజంలోని ఒక భుజం కొలత 10 సెం.మీ. అయిన రెండవ త్రిభుజంలోని అనురూప భుజం కొలత ఎంత ?
\(\frac{40}{28}=\frac{10}{x}\) ⇒ x = 10 × \(\frac{28}{40}\) ⇒ x = 7 సెం.మీ.
∴ రెండవ త్రిభుజ అనురూప భుజం = 7 సెం.మీ.

ప్రశ్న78.
∆PORలో PQ, QRల మధ్యబిందువులు M, N లు మరియు PR = x సెం.మీ., MN = y సెం.మీ. అయిన x, y ల మధ్య సంబంధమును రాయండి.

జవాబు :
x = 2y

ప్రశ్న79.
క్రింది పటంలో ∆ARB – ∆SRT మరియు RA = 6 సెం.మీ., AS = 2 సెం.మీ., AB = 9 సెం.మీ. అయిన ST విలువ ఎంత ?

జవాబు :
∆ARB – ∆SRT ⇒ \(\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{ST}}\)
⇒ \(\frac{6}{8}=\frac{9}{\mathrm{ST}}\) ⇒ ST = 9 × \(\frac{8}{6}=\frac{72}{6}\) = 12 సెం.మీ.

ప్రశ్న80.
క్రింది పటంలో AB ∥DE మరియు AB = 24 సెం.మీ., DE = 12 సెం.మీ., BC = 22 సెం.మీ. అయిన CD ని కనుగొనుము.

జవాబు :
∆ABC ~ ∆EDC
∴ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DC}} \Rightarrow \frac{24}{12}=\frac{22}{\mathrm{DC}}\) ⇒ 2 = \(\)
∴ DC = \(\frac{22}{2}\) = 11 సెం.మీ.

ప్రశ్న81.
క్రింది ఇవ్వబడిన లంబకోణ త్రిభుజాలలో ∠PQR = ∠LTS అయిన x విలువ ఎంత ?

జవాబు :
∆PRQ ~ ∆LST
⇒ \(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{LT}}=\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{TS}} \Rightarrow \frac{5}{\mathrm{x}}=\frac{3}{4.5}\)
⇒ 3x = 5 × 4.5
⇒ x = \(\frac{5 \times 4.5}{3}\) = 7.5 సెం.మీ.

ప్రశ్న82.
∆ABC ~ ∆DEF, వాని వైశాల్యాలు వరుసగా 64 చ.సెం.మీ., 121 చ.సెం.మీ. మరియు EF = 15.4 సెం.మీ. అయిన AB విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\frac{\Delta \mathrm{ABC}}{\Delta \mathrm{DEF}}=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\right)^{2}\)
∆DEF లోని EF భుజానికి BC అనురూప భుజం అవుతుంది. కావున AB విలువను కనుగొనలేము.

ప్రశ్న83.
ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతాన్ని నిర్వచించుము.
జవాబు :
ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము (వేల్స్ సిద్ధాంతము):

ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలను వేరు వేరు బిందువులలో ఖండించిన, ఆ మిగిలిన రెండు భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో విభజింపబడతాయి.
∆ABC లో DE ∥ BC అయిన \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
దీనినే ‘థేల్స్’ సిద్ధాంతము (లేక) ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము అంటారు.

ప్రశ్న84.
క్రింది వానిలో ఏవి లంబకోణ త్రిభుజ భుజాల కొలతలు ?
i) 3, 4, 5
ii) 7, 12, 15
iii) 3, 6, 8
iv) 13, 12, 5
A) i, ii
B) i, ii, iii
C) i, iv
D) i, iii, iv
జవాబు :
C) i, iv

ప్రశ్న85.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో AB = 3 సెం.మీ., BC = 4 సెం.మీ., AC = 5 సెం.మీ. అయిన లంబకోణాన్ని కలిగిన శీర్షము ఏది ?
జవాబు :
AC² = AB² + BC² కావున లంబకోణం కలిగిన శీర్షం = B.

ప్రశ్న86.
ABCD ట్రెపీజియంలో AB ∥ DC మరియు కర్ణాలు AC, BDలు ‘O’ బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటే
A) \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OD}}\)
B) \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DC}}\)
C) \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OB}}\)
D) \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{AB}}\)
జవాబు :
A) \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OD}}\)

ప్రశ్న87.
PQ² = PR² + QR² అయ్యేటట్లు ∆PQR భుజాలను కలిగి ఉంటే ఆ త్రిభుజము
A) ∆POR లంబకోణ త్రిభుజము మరియు ∠P = 90.
B) ∆PQR అధికకోణ త్రిభుజము మరియు ∠R అధిక కోణము.
C) ∆PQR లంబకోణ త్రిభుజము మరియు ∠R = 90°.
D) ∆POR అధికకోణ త్రిభుజము మరియు ∠P అధిక కోణము.
జవాబు :
C) ∆PQR లంబకోణ త్రిభుజము మరియు ∠R = 90°.

ప్రశ్న88.
ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంత విపర్యయాన్ని రాయుము.
జవాబు :

ఒక త్రిభుజములో ఏవైనా రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజించు సరళరేఖ, మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉండును.
∆ABCలో, \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) అయిన l ∥ BC అగును. దీనినే ‘థేల్స్ సిద్ధాంతపు విపర్యయము’ లేదా ‘ప్రాథమిక సిద్ధాంతపు విపర్యయము’ అంటారు.

ప్రశ్న89.
ట్రెపీజియం ABCD లో AB ∥ DC, E మరియు F లు వరుసగా EF ∥ AB అగునట్లు AD, BCలపై నున్న బిందువులైన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం?
(లేదా)
క్రింది పటంలో AB ∥ DC మరియు EF ∥ AB అయ్యేటట్లు ABCD ఒక ట్రెపీజియం అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?

A) \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BC}}\)
B) \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FB}}\)
C) \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}}\)
D) \(\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}}\)
జవాబు :
C) \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}}\)

ప్రశ్న90.
ABCD ట్రెపీజియంలో AB ∥ DC, మరియు కర్ణాలు AC, BD లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొంటే ∆AOB మరియు ∆COD కు సంబంధించి క్రింది దేనితో నీవు ఏకీభవిస్తావు ?
(లేదా)
ఇచ్చిన పటంలో ABCD ట్రెపీజియం , AB ∥ CD అయిన కింది వానిలో దేనితో నీవు ఏకీభవిస్తావు ?

A) ∆AOB ~ ∆COD
B) ∆AOB వైశాల్యం = ∆COD వైశాల్యం
C) ∆AOB ≅ ∆COD
D) ∆AOB, ∠COD లు లంబకోణ త్రిభుజాలు
జవాబు :
A) ∆AOB ~ ∆COD

ప్రశ్న91.
ఒక వ్యక్తి 24 మీ. పడమర వైపు ప్రయాణించిన తరువాత 10 మీ. దక్షిణం వైపు ప్రయాణించాడు. అతను బయలు దేరిన స్థానం నుండి ఎంత దూరంలో కలడు ?
జవాబు :

(బయలుదేరిన స్థానం A నుండి ప్రస్తుతం గల స్థానం Cకి గల దూరం)
AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = 24² + 10² = 576 + 100
∴ AC = \(\sqrt{676}\)= 26 సెం.మీ.

ప్రశ్న92.
12 సెం.మీ., 5 సెం.మీ. లు ఆసన్న భుజాలుగా గల దీర్ఘ చతురస్ర కర్ణము పొడవును కనుగొనుము.
జవాబు :
దీర్ఘచతురస్ర కర్ణం పొడవు = \(\sqrt{l^{2}+b^{2}}\)
= \(\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{169}\) = 13 సెం.మీ.

ప్రశ్న93.
క్రింది పటంలో ABCD దీర్ఘ చతురస్రము మరియు AB = l మీ., BC = b మీ., AC = d మీ. అయిన d ను l, b లలో తెల్పండి.

జవాబు :
d² = l² + b²
⇒ d = \(\sqrt{l^{2}+b^{2}}\)

ప్రశ్న94.
ఉదయం 9 గంటల సమయంలో 18 మీ. పొడవు గల చెట్టు 9 మీ. పొడవు గల నీడను ఏర్పరచిన, అదే సమయ 40 మీ. ఎత్తుగల సెల్ టవరు నీడ పొడవు ఎంత?
జవాబు :
\(\frac{18}{9}=\frac{40}{x}\) (x సెల్ టవరు నీడ పొడవు)
2 = \(\frac{40}{x}\) ⇒ x = \(\frac{40}{2}\) = 20

ప్రశ్న95.
క్రింది పటంలో ∠ACB = ∠AED = 90° మరియు ∠ADE= ABC అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?

A) ∆ABC ~ ∆DEA
B) ∆ABC ~ ∆ADE
C) ∆ABC ~ ∆EDA
D) ∆ABC ~ ∆AED
జవాబు :
B) ∆ABC ~ ∆ADE

ప్రశ్న96.
క్రింది పటంలో ∆ABC లో ∠B = 90° మరియు BD I AC అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?

A) ∆ADB ~ ∆ABC
B) ∆BDC ~ ∆ABC
C) ∆ADB ~ ∆BDC .
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న97.
12 మీ. పొడవు గల విద్యుత్ స్తంభానికి 20 మీ. పొడవు గల ఒక తీగ కట్టబడినది. తీగ యొక్క రెండవ చివరను ఒక మేకుకు కట్టి, భూమిపై స్తంభం నుండి ఎంత దూరంలో ఆ మేకును పాతిన తీగ బిగుతుగా నుండును ?
జవాబు :
తీగ బిగుతుగా ఉండుటకు స్తంభం నుండి మేకును నాటు దూరము = BC

⇒ AC² = AB² + BC²
⇒ 20² = 12² + BC²
⇒ 400 – 144 = BC²
⇒ 256 = BC² = BC = 16 మీ.

ప్రశ్న98.
ఒక వ్యక్తి x మీటర్ల దూరం తూర్పు వైపునకు ప్రయాణించి తరువాత 5 మీటర్లు ఉత్తరంవైపు ప్రయాణించాడు. ప్రస్తుతం అతను ప్రారంభ స్థానం. నుండి 4 మీటర్ల దూరంలో కలడు.
పై సమాచారాన్ని పటంలో చూపండి.
జవాబు :

ప్రశ్న99.
పై 98వ ప్రశ్నలో ‘d’ విలువను x, y లలో తెల్పండి.
జవాబు :
d² = x² + y²
d = \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

ప్రశ్న100.
∆ABC మరియు ∆XYZ లలో \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{XY}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{YZ}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{XZ}}=\frac{3}{5}\) అయిన ∆ABC వైశాల్యము ∆XYZ వైశాల్యంలో ఎంత శాతము ?
జవాబు :

∴ ∆ABC వైశాల్యం ∆XYZ వైశాల్యంలో 36% ఉంటుంది.

ప్రశ్న101.
క్రింది పటంలో PQ ∥ RS అయిన క్రింది వానిలో దేనిని నీవు సత్యంగా అంగీకరిస్తావు ?

A) ∆POQ ~ ∆SOR
B) ∆POQ = ∆SOR
C) ∠POQ = 2∠SOR
D) పైవన్నీ
జవాబు :
A) ∆POQ ~ ∆SOR

ప్రశ్న102.
∆ABC లో ∠B = 90° అయిన AC² = AB² + BC² అనునది
A) ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతము
B) పైథాగరస్ సిద్ధాంతము
C) పైథాగరస్ సిద్ధాంత విపర్యయము
D) లం.క.భు. నియమము
జవాబు :
B) పైథాగరస్ సిద్ధాంతము

ప్రశ్న103.
క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ?
A) ఒక లంబకోణ త్రిభుజము మూడు కొలతలు పూర్ణసంఖ్యలైనపుడు కనీసము ఒకటి తప్పనిసరిగా సరిసంఖ్య అవుతుంది.
B) ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం మీది వర్గము మిగిలిన రెండు భుజాల మీది వర్గాల మొత్తానికి సమానము.
C) ∆PQR లో PQ² = PR² + RQ² అయిన R = 90°
D) ఒక లంబకోణ త్రిభుజం ABC లో ∠B =90° అయిన ∠A, ∠C లు సంపూరక కోణాలు.
జవాబు :
D) ఒక లంబకోణ త్రిభుజం ABC లో ∠B =90° అయిన ∠A, ∠C లు సంపూరక కోణాలు.

ప్రశ్న104.
రెండు సరూప త్రిభుజ వైశాల్యాల నిష్పత్తి a:9 అయిన , వాని భుజాల నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :
భుజాల నిష్పత్తి = √a : 3.

ప్రశ్న105.
∆ABC ~ ∆POR మరియు AB² = PQ, QR = 4, BC = 1 అయిన AB విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}} \Rightarrow \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AB}^{2}}=\frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{4}\)
∴ AB = 4.

ప్రశ్న106.
క్రింది పటంలో DE ∥ BC అయిన CE =

A) AD.AE
B) \(\frac{\text { AD.EA }}{\text { DB }}\)
C) \(\frac{\text { DB.EA }}{\text { AD }}\)
D) ఏదీకాదు
జవాబు :
C) \(\frac{\text { DB.EA }}{\text { AD }}\)

ప్రశ్న107.
క్రింది పటంలో చూపినట్లు X, Y, Zలు QR, PR, PQల యొక్క మధ్యబిందువులు. మరియు ∆XYR వైశాల్యము 8 సెం.మీ² అయిన పై పటం నందు షేడ్ చేయని ప్రాంత వైశాల్యము ఎంత ?

జవాబు :
\(\frac{8}{4}\) = 2 సెం.మీ²

ప్రశ్న108.

పై ట్రెపీజియం నందు PQ ∥ RS ∥ TU అయిన PT. UR = ………..
A) PT.TS
B) PT.QU
C) TS.DU
D) TS.UR
జవాబు :
C) TS.DU

ప్రశ్న109.
∆POR – ∆STU, ∠P = 30° అయిన ∠Q + ∠U విలువ ఎంత ?
జవాబు :
∠Q + ∠U = 180° – 30° = 150°

ప్రశ్న110.
PORS ట్రెపీజియం నందు PR, QS లపై గల ఉమ్మడి బిందువు ‘T’ మరియు PT = 20, QT = 4, RT = 5 అయిన ST = ……. సెం.మీ.
జవాబు :

పై ట్రెపీజియం PORS లో
∆PTQ ~ ∆RTS

ప్రశ్న111.
4.2 సెం.మీ. పొడవుగల రేఖాఖండాన్ని 5 : 2 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు వల్ల ఏర్పడే రెండు రేఖాఖండాల పొడవుల భేదం = ………… సెం.మీ.
జవాబు :
\(\frac{4.2}{7}\) × (5 – 2) = 1.8 సెం.మీ.

ప్రశ్న112.
ఈ క్రింది వానిలో క్రమ బహుభుజి కానిది …..
A) సమబాహు త్రిభుజం
B) చతురస్రం
C) రాంబస్
D) పైవన్నీ
జవాబు :
C) రాంబస్

ప్రశ్న113.
సమద్విబాహు త్రిభుజం ఒక క్రమ బహుభుజి కాదు. ఎందుకనగా ………
A) దానియందలి అన్ని కోణాలు సమానం కాదు
B) దాని యందలి భుజాలన్నీ సమానం కాదు.
C) దానికి ఒక స్థిరమైన ఆకారం లేదు.
D) ‘A’ మరియు ‘B’ రెండూ
జవాబు :
D) ‘A’ మరియు ‘B’ రెండూ

ప్రశ్న114.
పైథాగరస్ సిద్ధాంత విపర్యయమును రాయుము.
జవాబు :
ఒక త్రిభుజములో ఒక భుజము మీది వర్గము మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానమైన, మొదటి భుజానికి ఎదురుగా ఉండే కోణము లంబకోణము అనగా త్రిభుజము లంబకోణ త్రిభుజమవుతుంది.

ప్రశ్న115.
∠P = 60°, ∠R = 60° మరియు ∆ABC ~ ∆PQR అయిన ఈ క్రింది వాటిలో సత్యమేది ?
A) ∠B = 60°
B) ∆ABC సమబాహు త్రిభుజం
C) ∠A = 60°
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న116.
∆ABC ~ ∆POR మరియు AB = 4 సెం.మీ., BC = 5 సెం.మీ., AC = 6 సెం.మీ., PQ = 12 సెం.మీ. అయిన ∆POR చుట్టుకొలత ఎంత?
జవాబు :

⇒ ∆PQR చుట్టుకొలత = 15 × 3 = 45 సెం.మీ.

ప్రశ్న117.

‘పై పటంలో ∠A = ∠E అయిన పటంలోని సరూప త్రిభుజాలను గుర్తునుపయోగించి సూచించండి.
జవాబు :
∆ABC ~ ∆EDC (లేదా)
∆BAC ~ ∆DEC (లేదా)
∆CAB ~ ∆CED …..

ప్రశ్న118.
రెండు సరూప త్రిభుజ వైశాల్యాల నిష్పత్తి 8 : 8 అయిన అవి ఎల్లప్పుడూ ………… త్రిభుజాలు.
A) సమబాహు
B) లంబకోణ
C) సర్వసమాన
D)సర్వసమాన సమబాహు
జవాబు :
C) సర్వసమాన

ప్రశ్న119.
∆ ABC నందు ∠B = 90°, భుజాల పొడవులన్నీ పూర్ణాంకాలే అయితే,
A) కనీసం ఒక బేసి సంఖ్య ఉండును.
B) కనీసం ఒక సరి సంఖ్య ఉండును.
C) కనీసం రెండు సరి సంఖ్యలు ఉండును.
D) కనీసం రెండు బేసి సంఖ్యలు ఉండును.
జవాబు :
B) కనీసం ఒక సరి సంఖ్య ఉండును.

→ “∆ABCలో ∠A = ∠B అయిన BC = AC”. – పై ప్రవచనం ఆధారంగా 120, 121 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న120.
పై ప్రవచనం యొక్క వ్యతిరేక ప్రవచనం రాయండి.
జవాబు :
∆ABC లో ∠A ≠ ∠B అయిన BC ≠ AC
(లేదా)
∆ABC లో ∠A = ∠B కానిచో BC = AC కాదు

ప్రశ్న121.
పై ప్రవచనం యొక్క విపర్యయమును రాయండి.
జవాబు :
∆ABC లో BC = AC అయిన ∠A = ∠B.

ప్రశ్న122.
క్రింది ABCD దీర్ఘచతురస్రం నందు (OA + OB) (OA – OB) విలువ క్రింది వానిలో దేనికి సమానము ?

A) OD²
B) OC²
C) OD² + OC²
D) OD² – OC²
జవాబు :
D) OD² – OC²

OA² + 0C² = OD² + OB²
⇒ OA² – OB² = OD² – OC²
⇒ (OA + OB) (OA – OB) = OD² – OC²

ప్రశ్న123.
∆ABC, ∆DEF లలో AB = DE, BC = EF మరియు AC = DF అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) ∠A = ∠D
B) ∆ABC: ∆DEF
C) ∆ABC వైశాల్యం = ∆DEF వైశాల్యం
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న124.
ఇచ్చిన పటంలో DE ∥ BC, AD : DB = 3:2, DE = 10 సెం.మీ.

క్రింది వానిని జతపరుచుము.

i) AE : EC	a) 3 : 5
ii) AE : AC	b) 9 : 25
iii) ∆ADE వైశాల్యం : ∆ABC వైశాల్యం	c) 3 : 2
iv) EC : AC	d) 2 : 5

A) i-c, ii-a, iii-b, iv-d
B) i-a, ii-b, iii-d, iv-c
C) i-c, ii-b, iii-d, iv-a
D) i-c, ii-d, iii-b, iv-a
జవాబు :
A) i-c, ii-a, iii-b, iv-d

ప్రశ్న125.
వివిధ సందర్భాలలో మనం గణితంలో ఉపయోగించే గుర్తులను ఆయా సందర్భాలకు జతపరుచుము.

i) =	a) సరూపాలు
ii) ~	b) సర్వసమానాలు
iii) ⇒	c) అయినచో
iv) ∥	d) సమాంతరాలు

A) i-b, ii-c, iii-a, iv-d
B) i-b, ii-d, iii-c, iv-a
C) i-a, ii-c, iii-d, iv-b
D) i-b, ii-a, iii-c, iv-d
జవాబు :
D) i-b, ii-a, iii-c, iv-d

ప్రశ్న126.
రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి 3 : 5 అయిన వాటి చుట్టుకొలతల నిష్పత్తిని రాయండి.
జవాబు :
√3 : √5.

ప్రశ్న127.
రెండు సరూప త్రిభుజాల చుట్టుకొలతల నిష్పత్తి 4 : 9 అయిన వాటి వైశాల్యాల నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :
2 : 3

ప్రశ్న128.
రెండు సరూప త్రిభుజాల చుట్టుకొలతల నిష్పత్తి 25 : 16 అయిన వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :
25 : 16

ప్రశ్న129.
క్రింది పటం నందు ∆POR ~ ∆TSR అయిన APOR చుట్టుకొలతను కనుగొనుము.

జవాబు :

= ∆PQR చుట్టుకొలత = 4(3 + √3)
= 12 + 4√5 సెం.మీ.

ప్రశ్న130.
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) యూనిట్లు భుజంగా గల సమబాహు త్రిభుజంతో √3 స్కేలు గుణకంగా గల సరూప త్రిభుజ వైశాల్యంను కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) భుజంగా గల సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం

(లేదా)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) యూనిట్లు భుజంగా గల సమబాహు త్రిభుజంతో
√3 స్కేలు గుణకంగా గల సరూప త్రిభుజ భుజం
= √3\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{3}{2}\)

∴ \(\frac{3}{2}\) యూనిట్లు భుజంగా గల సమబాహు త్రిభుజ

ప్రశ్న131.
చతురస్ర కర్ణం 8 సెం.మీ. అయిన దాని చుట్టుకొలత 16√2 చ.సెం.మీ. అని చూపండి.
జవాబు :
చతురస్ర కర్ణం d = 8 సెం.మీ. (చతురస్రంలో కర్ణం d = √2s)
√2 s = 8 ⇒ s = \(\frac{8}{\sqrt{2}}\)
చుట్టుకొలత = 4s = 4 × \(\frac{8}{\sqrt{2}}=\frac{32}{\sqrt{2}}=\frac{32 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\)
= 16√2 సెం.మీ.

ప్రశ్న132.
క్రింది పటాల సరూపకతను, వాని నియమాలకు జతపరుచుము.

A) i-b, ii-a, iii-c
B) i-c, ii-b, iii-a
C) i-c, ii-a, iii-b
D) i-b, ii-c, iii-a’
జవాబు :
C) i-c, ii-a, iii-b

ప్రశ్న133.
∆ABC నందు (AB + BC) (AB – BC) = AC² అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) ∠A = 90°
B) ∠B = 90°
C) ∠C = 90°
D) ఏదీకాదు
జవాబు :
C) ∠C = 90°

(AB + BC) (AB – BC) = AC²
∴ AB² – BC² = AC²
⇒ AB² = AC² + BC² (పైథాగరస్ సిద్ధాంత విపర్యయము)
∴ ∠C = 90°

ప్రశ్న134.
ఒక సమబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం √3 చ.యూ. అయిన దాని చుట్టుకొలత ఎంత ?
జవాబు :
సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) a = √3
= a = √3 × \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
∴ a² = 4 ⇒ a = √4 = 2
చుట్టుకొలత = 3a = 3 × 2 = 6 యూనిట్లు,

ప్రశ్న135.
∆ABC – ∆POR, ∠A + ∠R= 135° అయిన ∠B + ∠Q విలువ ఎంత ?
జవాబు :
∆ABC ~ ∆POR, ∠A + ∠R = 135°
⇒ ∠A + ∠C = 135°
∴ ∠B = ∠Q = 180° – 135° = 45°
⇒ ∠B + ∠ = 90°

ప్రశ్న136.
క్రింద ఇవ్వబడిన సరూప త్రిభుజాలను, వాని గుర్తులను జతపరుచుము.

A) i-a, ii-b, iii-d, iv-c
B) i-d, ii-b, iii-a, iv-c
C) i-b, ii-a; iii-c, iv-d
D) i-c, ii-b, iii-a, iv-d
జవాబు :
B) i-d, ii-b, iii-a, iv-c

ప్రశ్న137.
90 సెం.మీ. ఎత్తు గల బాలిక దీపస్తంభము నుండి 1.2 మీ./సె. వేగంతో నడుస్తున్నది. దీపస్తంభం ఎత్తు 3.6.మీ. అయిన 4 సెకండ్ల తరువాత ఆ బాలిక పొడవు ఎంత ?
పై సమస్యా సాధనకు సరిపడు చిత్తుపటాన్ని గీయండి.
జవాబు :

AB = దీపస్తంభము
DE = బాలిక

ప్రశ్న138.
q ⇒ p యొక్క విపర్యయమును గుర్తును ఉపయోగించి రాయండి.
జవాబు :
q ⇒ p యొక్క విపర్యయము p ⇒ q.

→ గమనిక : క్రింద ఇవ్వబడిన పటంలోని సమాచారాన్ని – ఉపయోగించుకొని 139-141 వరకు గల ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న139.
పటంలోని త్రిభుజాల సరూపకతను గుర్తులను ఉపయోగించి రాయండి.
జవాబు :
∆ABC ~ ∆QPR

ప్రశ్న140.
x విలువ ఎంత ?
జవాబు :

ప్రశ్న141.
y విలువ ఎంత ?
జవాబు :
∆ABC లో (∵ 3, 4, 5 పైథాగరియన్ త్రికాలు)
∠B = 90°
∴BC = 4 యూనిట్లు
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{QP}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{PR}} \Rightarrow \frac{3}{4.5}=\frac{4}{\mathrm{PR}}\) ⇒ PR= \(\frac{4 \times 4.5}{3}\)
= 6 యూనిట్లు
(లేదా)
∆PQR లో PQ = 4.5, QR = 7.5, PR = ?, ∠P = 90°
QR² = PQ² + PR²
⇒ (7.5)² = (4.5)² + PR²
⇒ (7.5)² – (4.5)² = PR²
⇒ (7.5 + 4.5) (7.5 – 4.5) = PR²
⇒ 12 × 3 = PR²
⇒ PR² = 36 ⇒ PR = \(\sqrt{36}\) = 6 యూనిట్లు

→ ఇచ్చిన పటం ఆధారంగా 142, -143 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న142.
పటంలోని రెండు త్రిభుజాలు.ఏ సరూపకతా నియమం – ప్రకారం.సరూపాలు ?
జవాబు :
కో.కో.కో నియమం (లేదా) కో.కో (లేదా) భు.కో. భు.

ప్రశ్న143.
రెండు త్రిభుజాల యొక్క సరూపకతను గుర్తును ఉపయోగించి రాయండి.
జవాబు :
∆AXY ~ ∆ABC

ప్రశ్న144.
సరూప పటాలకు ఒక ఉదాహరణనివ్వండి.
జవాబు :
రెండు వృత్తాలు (లేదా) రెండు చతురస్రాలు (లేదా) రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలు (లేదా) రెండు లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజాలు.

ప్రశ్న145.
సరూపంకాని పటాలకు ఒక ఉదాహరణనివ్వండి.
జవాబు :
ఒక త్రిభుజం, ఒక చతురస్రం (లేదా) వృత్తం, చతుర్భుజం.

ప్రశ్న146.
రాంబస్ ఒక క్రమబహుభుజి అని కౌశిక్ అంటున్నాడు. – కొశిక్ సమాధానాన్ని నీవు సమర్థిస్తావా! వ్యతిరేకిస్తావా ! ఎందుకు ?
జవాబు :
కౌశిక్ సమాధానాన్ని వ్యతిరేకిస్తాను. ఎందుకనగా రాంబస్లో నాలుగు భుజాలు సమానం, కాని నాలుగు కోణాలు సమానం కాదు. కావున రాంబస్ క్రమ బహుభుజి కాదు.

ప్రశ్న147.
“దీర్ఘ చతురస్రంలోని కోణాలన్నీ సమానాలు, కావున దీర్ఘచతురస్రం ఒక క్రమబహుభుజి అని ఆలం అంటున్నాడు. ఆలం వాదన సరైనదా ? కాదా ! ఎందుకు ?
జవాబు :
ఆలం వాదన సరైనది కాదు. ఎందుకనగా దీర్ఘ చతురస్రంలోని నాలుగు కోణాలు సమానం కాని నాలుగు భుజాలు సమానం కాదు. కావున దీర్ఘచతురస్రం క్రమ బహుభుజి కాదు.

ప్రశ్న148.
రెండు బహుభుజులు సరూపాలు కావడానికి అవసరమగు నియమాలు తెల్పండి.
జవాబు :
రెండు బహుభుజులు ‘సరూపం కావాలంటే

1. వాటి అనురూప కోణాలు సమానంగా ఉండాలి.
2. వాటి అనురూప భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో ఉండాలి.

ప్రశ్న149.
i) అనురూప కోణాలు సమానం కావాలి.
ii) అనురూప భుజాల నిష్పత్తి సమానం కావాలి.’ రెండు త్రిభుజాలు సరూపాలు కావడానికి పై రెండు నియమాలలో ఏదోకటి సరిపోతుంది అని సురేష్ అంటు న్నారు. సురేష్ సమాధానంతో నీవు ఏకీభవిస్తావా ? లేదా ?
జవాబు :
సురేష్ సమాధానంతో ఏకీభవిస్తాను.

ప్రశ్న150.
రెండు సరూప త్రిభుజాల చుట్టుకొలతలు వరుసగా 24 సెం.మీ. మరియు 18 సెం.మీ. మొదటి త్రిభుజ ఒక భుజం 8 సెం.మీ. అయిన రెండవ త్రిభుజంలో అనురూప భుజం పొడవెంత?
జవాబు :
6

ప్రశ్న151.
∆ARC లో ∠B = 90° మరియు BD ⊥ AC. AD = 8 సెం.మీ., BD = 4 సెం.మీ. అయిన CD పొడవెంత?
జవాబు :
2√3 సెం.మీ.

ప్రశ్న152.
∆ARC మరియు ∆DEF లలో ∠B = ∠E, ∠C = 4, అయిన క్రింది ప్రవచనాలలో ఏది సత్యమైనది ?
A) \(\frac{\mathbf{A B}}{\mathbf{D E}}=\frac{\mathbf{C A}}{\mathbf{E F}}\)
B) \(\frac{\mathbf{B C}}{\mathbf{E F}}=\frac{\mathbf{A B}}{\mathbf{F D}}\)
C) \(\frac{\mathbf{A B}}{\mathbf{D E}}=\frac{\mathbf{B C}}{\mathbf{E F}}\)
D) \(\frac{\mathbf{C A}}{\mathbf{F D}}=\frac{\mathbf{A B}}{\mathbf{E F}}\)
జవాబు :
C) \(\frac{\mathbf{A B}}{\mathbf{D E}}=\frac{\mathbf{B C}}{\mathbf{E F}}\)

ప్రశ్న153.
క్రింది పటంలో DE ∥ BC, AD = 4.5 సెం.మీ., BD = 9 సెం.మీ., మరియు EC = 8 సెం.మీ., AE పొడవును కనుగొనండి.

జవాబు :
AD = 4.5 సెం.మీ., BD = 9 సెం.మీ. EC = 8 సెం.మీ.
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}} \Rightarrow \frac{4.5}{9}=\frac{\mathrm{AE}}{8}\) ⇒ 9AE = 36
∴ AE = 4 సెం.మీ.

ప్రశ్న154.
“వృత్తాలు”, “చతురస్రాలు” మరియు “త్రిభుజాలు” వీటిలో ఏవి ఎల్లప్పుడూ సరూపాలు కానివి ఏవి ?
జవాబు :
త్రిభుజాలు.

ప్రశ్న155.
∆ABC, ∆DEF లు రెండు సమబాహు త్రిభుజ భుజాల పొడవులు వరుసగా 4 సెం.మీ. మరియు5 సెం.మీ. అయితే \(\frac{{ar}(\Delta D E F)}{{ar}(\Delta A B C)}\) ను కనుగొనుము.
జవాబు :
రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి, వాటి అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానము.
\(\frac{(\Delta \mathrm{DEF})}{(\Delta \mathrm{ABC})}=\frac{5^{2}}{4^{2}}=\frac{25}{16}\)

ప్రశ్న156.
∆ABC ~ ∆DEF మరియు ∠A = ∠D = 90%, అయితే ∠B + ∠F విలువ కనుగొనండి.
జవాబు :
∆ABC ~ ∆DEF
⇒ A = ∠D = 90°
∠B = ∠E; C = ∠F
∆ABC లో ∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A = ∠D = 90° ను తీసుకొనగా
⇒ 90° + B + C = 180°
⇒ ∠B + ∠C = 90°
∠C = ∠F గా తీసుకొనగా
⇒ ∠B + ∠F = 90°

ప్రశ్న157.
క్రింది పటంలో AB ∥ CD సరూప, త్రిభుజాల సమానత్వమును వ్రాయండి.

జవాబు :
∠AEB = ∠CED ( శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
కో.కో.కో. సరూప నియమం ప్రకారం
∴ ∠BEA = ∠CDE లు సరూపాలు.
∆BEA ~ ∆CDE

Practice the AP 10th Class Maths Bits with Answers 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 1.
A(5, 2), B(4,, 7) మరియు C(7, -4) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన.
A (5, 2), B(4, 7), C(7, – 4)
∆ABC వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) |x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁ ) + x₃(y₁ – y₂) |
= \(\frac{1}{2}\) |5(7 + 4) + 4(- 4 – 2) + 7(2 – 7) |
= \(\frac{1}{2}\) |55 – 24 – 35|
= \(\frac{1}{2}\) |- 4| = \(\frac{1}{2}\) × 4 = 2 చ.యూ

ప్రశ్న 2.
X – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖవాలు ఎంత ?
జవాబు.
0

ప్రశ్న 3.
Y- అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖవాలును తెల్పండి.
జవాబు.
నిర్వచితము కాదు

ప్రశ్న 4.
(- sin 45°, cos 0°) బిందువును కలిగిన పాదము ఏది ?
జవాబు.
Q₂

ప్రశ్న 5.
A, B, C లు సరేఖీయాలైన ∆ ABC వైశాల్యము ఎంత ?
జవాబు.
‘0’ చ.యూ.

ప్రశ్న 6.
గురుత్వకేంద్రం మధ్యగతాన్ని విభజించు నిష్పత్తిని తెల్పండి.
జవాబు.
2 : 1

ప్రశ్న 7.
(a cos θ, 0), (0, a sin θ) బిందువుల మధ్యదూరం కనుగొనుము.
(A) a
(B) √a
(C) a²
(D) a/2
జవాబు.
(A) a

సాధన.
(a cos θ, 0), (0, a sin θ) బిందువుల మధ్యదూరం

ప్రశ్న 8.
0(0, 0), A(1, 0), B(0, 1) శీర్షాలతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత ?
(A) 0
(B) \(\frac{1}{2}\) చ.యూ.
(C) 1
(D) \(\frac{1}{2}\)
జవాబు.
(B) \(\frac{1}{2}\) చ.యూ.

సాధన.
0(0, 0), A(1, 0), B(0, 1)
∆ OAB వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂) |
= \(\frac{1}{2}\)|0 (0 – 1) + 1 (1 – 0) + 0 (0 – 0) |
= \(\frac{1}{2}\) |0 + 1 + 0 | = \(\frac{1}{2}\) చ.యు.
(లేదా)

(0, 0), (1, 0), (0, 1) బిందువులతో లంబకోణ త్రిభుజం ఏర్పడుతుంది.
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\)ab = \(\frac{1}{2}\) × 1 × 1
= \(\frac{1}{2}\) చ.యూ.

ప్రశ్న 9.
(- 4, 0), (2, 0), (6, 0), (- 8, 0) బిందువులు నిరూపక తలంలో ఎక్కడ ఉంటాయి ?
జవాబు.
X – అక్షంపై ఉంటాయి.

ప్రశ్న 10.
(0, 0), (x₁, y₁) బిందువుల మధ్య దూరం ……… యూనిట్లు.
జవాబు.
\(\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\)

ప్రశ్న 11.
Y – అక్షంనకు సమాంతరంగా ఉండే (x₁, y₁) మరియు (x₁, y₂) బిందువుల మధ్య దూరం ………
(A) |y₁ – y₂| లేదా |y₂ – y₁|
(B) |y₂² – y₁²||y₂² – y₂²l
(C) \(\sqrt{\left(x_{2}+x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}+y_{1}\right)^{2}}\)
(D) |x₂ – x₁|| లేదా |x₁ – x₂|
జవాబు.
(A) |y₁ – y₂| లేదా |y₂ – y₁|

ప్రశ్న 12.
(4, 5), (-6, 3) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం యొక్క మధ్య బిందువును కనుగొనుము.
సాధన.
(4, 5), (- 6, 3) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం
యొక్క మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{4+(-6)}{2}, \frac{5+3}{2}\right)\) = (- 1, 4)

ప్రశ్న 13.
(3, – 4) బిందువు నుండి X – అక్షానికి గల దూరం ఎంత ?
జవాబు.
4 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 14.
(- 4, a) మరియు (2, 8) బిందువుల మధ్య బిందువు (-1, 5) అయిన ‘a’ విలువ ఎంత ?
సాధన.
(- 4, a), (2, 8) ల మధ్య బిందువు = (- 1, 5)
\(\left(\frac{-4+2}{2}, \frac{a+8}{2}\right)\) = (-1, 5)
∴ \(\frac{a+8}{2}\) = 5 ⇒ a + 8 = 10 ⇒ a = 2

ప్రశ్న 15.
y = 5 యొక్క రేఖా చిత్రము …………….
(A) X – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండును.
(B) X- అక్షానికి లంబంగా ఉండును.
(C) Y – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండును.
(D) Y- అక్షానికి లంబంగా ఉండును.
జవాబు.
A మరియు D

ప్రశ్న 16.
(0, 7), (-7, 0) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత ?
సాధన.
\(\sqrt{(-7-0)^{2}+(0+7)^{2}}\) = \(\sqrt{49+49}\)
= √98 యూనిట్లు

ప్రశ్న 17.
y – అక్షం వాలు = …………
(A) నిర్వచింపబడదు
(B) 0
(C) నిర్వచింపబడును.
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(A) నిర్వచింపబడదు

ప్రశ్న 18.
X – అక్షం నుండి (-4, 3) కు గల దూరం ఎంత ?
జవాబు.
3 యూనిట్లు

ప్రశ్న 19.
మూల బిందువు నుండి (2, 3) కు గల దూరం ఎంత ?
సాధన.
\(\sqrt{2^{2}+3^{2}}\) = \(\sqrt{4+9}\) = √13 ‘యూనిట్లు

ప్రశ్న 20.
Y- అక్షం నుండి (4, 0) కు గల దూరం ఎంత ?
జవాబు.
4 యూనిట్లు

ప్రశ్న 21.
(2, 3), (-2, 3) బిందువులను కలుపు రేఖా ఖండం మధ్య. బిందువు ఏది ?
సాధన.
(2, 3), (-2, 3) బిందువుల మధ్య బిందువు
= \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{3+3}{2}\right)\)
= (0, 3)

ప్రశ్న 22.
(0, 3), (3, 0), (0, 0) త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రంను కనుగొనుము.
సాధన.
గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{0+3+0}{3}, \frac{3+0+0}{3}\right)\)
= (1, 1)

ప్రశ్న 23.
P(X₁, y₁), Q(x₂, y₂) బిందువుల గుండా పోయే సరళరేఖ ధనాత్మక X – అక్షంతో ‘0’ కోణం చేయుచున్న, ఆ రేఖ వాలు ……….
(A) \(\frac{y_{2}+y_{1}}{x_{2}+x_{1}}\)
(B) θ
(C) \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)
(D) sin θ
జవాబు.
(C) \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

ప్రశ్న 24.
(- 1, 1) మరియు (1, 1) బిందువు గుండా పోవు రేఖ వాలును కనుగొనుము.
సాధన.
వాలు m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\) = \(\frac{1-1}{1+1}\) = \(\frac{0}{2}\) = 0
(లేదా)
(- 1, 1), (1, 1) బిందువులో y₁ = y₂ కావున ఈ బిందువులను కలుపు రేఖ X – అక్షానికి సమాంతరము.
కావున వాలు = 0.

ప్రశ్న 25.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రము శీరములను సూచించే బిందువులు (0, 0), (4, 0), (4, 3) మరియు (0,3) అయిన దాని కర్ణం పొడవును కనుగొనుము.
సాధన.

దీర్ఘచతురస్ర కర్ణం AC పొడవు = \(\sqrt{\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{y}_{1}^{2}}\)
= \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}\) = \(\sqrt{9+16}\) = √25 = 5 యూ.

ప్రశ్న 26.
(x, y), (2, 0), (3, 2), (1, 2) లు సమాంతర చతుర్భుజ శీర్పాలు అయిన (x, y) =
(A) (0, 0)
(B) (4, 8)
(C) (1, 0)
(D) (5, 0)
జవాబు.
(A) (0, 0)

సాధన.
(x, y), (2, 0), (3, 2), (1, 2) లు సమాంతర చతుర్భుజ శీర్షాలు అయితే
(x, y), (3, 2) మధ్య బిందువు = (2, 0), (1, 2) మధ్యబిందువు
\(\left(\frac{x+3}{2}, \frac{y+2}{2}\right)=\left(\frac{2+1}{2}, \frac{0+2}{2}\right)\)
⇒ \(\frac{x+3}{2}=\frac{3}{2}\) మరియు \(\frac{y+2}{2}=\frac{2}{2}\)
∴ x + 3 = 3 ⇒ x = 0 మరియు
y + 2 = 2 ⇒ y = 0
∴ (x, y) = (0, 0)

ప్రశ్న 27.
A(3, 4) నుండి X – అక్షానికి, B(5, 7) నుండి Y- అక్షానికి గల దూరాల మొత్తం ఎంత ?
సాధన.
4 + 5 = 9 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 28.
క్రింది పటంలో ∆BOA వైశాల్యం చదరపు యూనిట్లలో తెల్పండి.

సాధన.
\(\frac{1}{2}\) BOA వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × OA × OB
= \(\frac{1}{2}\) × 2 × 3 = 3 చ.యూ.
(లేదా)
శీర్షాలు B(0, 3), 000, 0), A(2, 0).
∆BOA వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₁) + x₁(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |0(0 – 0) + 0(0 – 3) + 2(3 – 0) |
= \(\frac{1}{2}\)|6| = 3 చ.యూ.

ప్రశ్న 29.
(3, 2), (- 6, y) మరియు (3, – 2) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రము ఆది బిందువు అయినచో y విలువను లెక్కించండి.
సాధన.
(3, 2), (-6, y), (3, – 2) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం గురుత్వ కేంద్రము ఆది బిందువు.
∴ \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) = (0, 0)
\(\left(\frac{3+(-6)+3}{3}, \frac{2+y+(-2)}{3}\right)\) = (0,0)
∴ y = 0

ప్రశ్న 30.
క్రింది వానిలో X – అక్షంపై ఉండని బిందువు ఏది ?
(A) – 2, 0
(B) (0, 2)
(C) (2, 0)
(D) (4, 0)
జవాబు.
(B) (0, 2)

ప్రశ్న 31.
హెరాన్ సూత్రం త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\sqrt{\mathbf{s}(\mathbf{s}-\mathbf{a})(\mathbf{s}-\mathbf{b})(\mathbf{s}-\mathbf{c})}\); s ‘అనేది త్రిభుజం యొక్క
(A) చుట్టుకొలత
(B) ఎత్తు
(C) చుట్టుకొలతలో సగం
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(C) చుట్టుకొలతలో సగం

ప్రశ్న 32.
ఈ క్రింది వానిలో మూలబిందువుకు అతి దగ్గరగా ఉండే బిందువు ఏది ?
(A) (2, – 3)
(B) (5, 0)
(C) (0, – 5)
(D) (1, 3)
జవాబు.
(D) (1, 3)

ప్రశ్న 33.
ఒక సరళరేఖ (2, 3) మరియు (2, – 3) బిందువుల గుండా పోవుచున్నచో ……….
1) ఆ రేఖ X – అక్షానికి సమాంతరముగా ఉండును.
2) ఆ రేఖ Y – అక్షానికి సమాంతరముగా ఉండును.
3) ఆ రేఖ వాలు నిర్వచింపబడదు.
4) ఆ రేఖ వాలు సున్నా.
(A) 2 మరియు 3 సరియైనవి.
(B) 1 మరియు 2 సరియైనవి.
(C) 1 మరియు 3 సరియైనవి.
(D) 2 మరియు 4 సరియైనవి.
జవాబు.
(D) 2 మరియు 4 సరియైనవి.

ప్రశ్న 34.
(0, 5) బిందువు ఈ క్రింది వానిలో దేనికి చెందును ?
(A) X మరియు Y – అక్షాలు రెండింటికి
(B) మూలబిందువుకు
(C) Y – అక్షానికి
(D) X – అక్షానికి
జవాబు.
(C) Y – అక్షానికి

ప్రశ్న 35.
(0, sin 60°) మరియు (cos 30°, 0) బిందువుల గుండా పోవు రేఖ వాలు ఎంత ?
సాధన.
(0, sin 60°) = (o, \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)),
(cos 30°, 0) = (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\), 0)
∴ వాలు m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\) = \($\frac{0-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}-0}$\) = – 1

ప్రశ్న 36.
మూలబిందువు నుండి (3, 4) బిందువుకు గల దూరము ……….. యూ.
సాధన.
మూలబిందువు నుండి (3, 4) బిందువుకు గల దూరము
= \(\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\)
= \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}\) = \(\sqrt{9+16}\) = √25 = 5 యూ.

ప్రశ్న 37.
క్రింది త్రిభుజ వైశాల్యం 60 చ.యూ. అయిన x విలువను కనుగొనుము.

సాధన.
∆ AOB వైశాల్యం = 60 చ.యూ,

\(\frac{1}{2}\) × 10 = 60
∴ 5x = 60 ⇒ x = \(\frac{60}{5}\) = 12

ప్రశ్న 38.
(-a, 0), (0, b), (a, 0) శీర్షములుగా గల త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రంను కనుగొనుము.
సాధన.
గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{(-a)+0+a}{3}, \frac{0+b+0}{3}\right)\)
= \(\left(0, \frac{b}{3}\right)\)

ప్రశ్న 39.
ఇచ్చిన పటం నుండి ∆ OAB వైశాల్యం ఎంత ?

సాధన.
∆ DAB వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × OA × OB
= \(\frac{1}{2}\) × 3 × 4 = 6 చ.యూ.

ప్రశ్న 40.
P(x, y) .బిందువు నుండి Y-అక్షము వరకు గల దూరము ఎంత?
జవాబు.
|x| యూనిట్లు

ప్రశ్న 41.
బిందువులు (a, b), (b, c) మరియు (c, a) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజము యొక్క గురుత్వ కేంద్రం మూలబిందువు ఐతే a³ + b³ + c³ =
(A) abc
(B) a + b + c
(C) 3abc
(D) 0
జవాబు.
(C) 3abc

సాధన.
(a, b), (b, c), (c, a) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రము మూలబిందువు
∴ \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}}{3}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{3}\right)\) = (0, 0)
\(\left(\frac{a+b+c}{3}, \frac{b+c+a}{3}\right)\) = (0, 0)
a + b + c = 0 కావున
∴ a³ + b³ + c³ = 3 abc
[∵ x + y + z = 0 అయిన x³ + y³ + z³ = 3xyz]

ప్రశ్న 42.
X – అక్షంపై గల బిందువును ఒకదానిని రాయండి.
జవాబు.
(4, 0) [∵ (a, 0) రూపంలో గల బిందువులన్నీ y- అక్షంపై ఉంటాయి]

ప్రశ్న 43.
Y- అక్షంపై గల బిందువును ఒకదానిని తెల్పండి.
జవాబు.
(0, 4) [∵ (0, a) రూపంలో గల బిందువులన్నీ Y – అక్షంపై ఉంటాయి]

ప్రశ్న 44.
(3, -2) బిందువు ఉండే పాదమును తెల్పండి.
జవాబు.
Q₄

ప్రశ్న 45.
క్రింది బిందువులలో Q, పాదంలోని బిందువు ఏది ?
(A) (1, 3)
(B) (-2, 3)
(C) (-2, -3)
(D) (3, – 4)
జవాబు.
(C) (-2, -3)

ప్రశ్న 46.
(- 4, 0), (4, 0) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత ?
సాధన.
(- 4, 0), (4, 0) బిందువుల మధ్య దూరం
= |x₂ – x₁| = |4 + 4| = 8 యూ.

ప్రశ్న 47.
(0, -3) (0, -8) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత ?
సాధన.
(0, -3) (0, – 8) బిందువుల మధ్య దూరం
= |y₂ – y₁|
= |(-8) – (-3) |
= |- 8 + 3| = 5 యూ.

ప్రశ్న 48.
(x₁, 0), (x₂, 0) బిందువులకు సంబంధించి క్రింది. వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) రెండు బిందువులు x – అక్షంపై గల బిందువులు.
(B) రెండు బిందువుల మధ్య దూరం |x₂ – x₁ |.
(C) రెండు బిందువులను కలిపే రేఖవాలు సున్న.
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 49.
ప్రవచనం-I : (x₁, y₁), (x₂, y₂) బిందువుల మధ్య దూరం |y₂ – y₁| యూనిట్లు.
(A) I మాత్రమే సత్యం
(B) II మాత్రమే సత్యం
(C) I మరియు II లు రెండూ సత్యం
(D) I మరియు II లు రెండూ అసత్యం
జవాబు.
(C) I మరియు II లు రెండూ సత్యం

ప్రశ్న 50.
ప్రవచనం p: (3, 7), 16, 7) బిందువుల మధ్యదూరం 3′ యూనిట్లు.
వివరణ q : x₁, y₁), (x₁, y₂) బిందువుల మధ్యదూరం |y₂ – y₁| యూనిట్లు.
(A) p సత్యం, q సత్యం, p కి q సరైన వివరణ కాదు
(B)p సత్యం, q అసత్యం .
(C) p సత్యం , q సత్యం , p కి q సరైన వివరణ
(D)p అసత్యం, q సత్యం
జవాబు.
(A) p సత్యం, q సత్యం, p కి q సరైన వివరణ కాదు

ప్రశ్న 51.
‘రెండు బిందువుల మధ్య దూరంనకు సూత్రాన్ని తెల్పండి.
సాధన.
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం
= \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) యూ.

ప్రశ్న 52.
(- 4, – 3), (8, – 3) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత?
సాధన.
(- 4, – 3), (8, – 3) బిందువుల మధ్య దూరం
= |x₂ – x₁|| = | 8 – (-4) | = 12 యూ.

ప్రశ్న 53.
(0, 3), (4, 0) బిందువుల మధ్యదూరమును కనుగొనుము.
సాధన.
(0, 3), (4, 0) బిందువుల మధ్య దూరం
= \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}\) = \(\sqrt{16+9}\) = √25 = 5 యూ.

ప్రశ్న 54.
(-2, 0) మరియు (0, 4) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత ?
సాధన.
(-2, 0), (0, 4) బిందువుల మధ్య దూరం
= \(\sqrt{2^{2}+(4)^{2}}\) = \(\sqrt{4+16}\) = √20 యూ.

ప్రశ్న 55.
(3, 8), (k, 8) బిందువుల మధ్య దూరం 6 అయిన k విలువ ఎంత ?
సాధన.
(3, 8), (k, 8) బిందువుల మధ్య దూరం = 6 యూ.
|x₂ – x₁] = |k – 3| = 6
k – 3 = ± 6
∴ k = 6 + 3 (లేదా) – 6 + 3 ,
∴ k = 9 (లేదా) – 3

ప్రశ్న 56.
క్రింది వానిలో (5, 7) .బిందువుకు 3 యూనిట్ల దూరంలో గల బిందువు
(A) (5, 10)
(B) (2, 7)
(C) (5, 4)
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 57.
(0, 5), (0, 0) (7, 0) బిందువులు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం
(A) లంబకోణ త్రిభుజం
(B) సమద్విబాహు త్రిభుజం
(C) లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం
(D) సమబాహు త్రిభుజం
జవాబు.
(A) లంబకోణ త్రిభుజం

ప్రశ్న 58.
A(4, 2), B (7, 5) అయిన \(\overline{\mathbf{A B}}\) పొడవు ఎంత ?
సాధన.

ప్రశ్న 59.
(a, b), (- a, – b) బిందువుల మధ్య దూరం = 2\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) అని చూపుము.
సాధన.

ప్రశ్న 60.
క్రింది వానిలో (2, 3) బిందువు నుండి 5 యూనిట్ల దూరంలో X – అక్షంపై బిందువు ఏది ?
(A) (6, 0)
(B) (5, 0)
(C) (4, 0)
(D) (0, -2)
జవాబు.
(A) (6, 0)

సాధన.
X – అక్షం పై బిందువు (x, 0) అనుకొనుము.
(2, 3), (x, 0)ల మధ్య దూరం = \(\sqrt{(x-2)^{2}+(-3)^{2}}=5\)
⇒ (x – 2)² + 9 = 25
⇒ (x – 2)² = 16
⇒ x – 2 = √16 = ±4
⇒ x = 4 + 2 (లేదా) – 4 + 2
∴ x = 6 (లేదా) x = – 2.

ప్రశ్న 61.
ఒక వృత్తం యొక్క వ్యాసాగ్రాలు (- 3, 4), (6, – 8) అయితే ఆ వృత్త వ్యాసార్ధం ఎంత ?
సాధన.
వ్యాసం = (- 3, 4), (6, – 8) ల మధ్య దూరం
= \(\sqrt{(9)^{2}+(-12)^{2}}\)
= \(\sqrt{81+144}\) = √225 = 15
∴ వ్యాసార్ధం = \(\frac{15}{2}\) = 7.5 యూ.

ప్రశ్న 62.
A(x₁, y₂), B(x₂, y₂) అయిన \(\overline{\mathbf{A B}}\)ని k : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించు బిందువు నిరూపకాలు రాయండి.
సాధన.
\(\left(\frac{\mathrm{kx}_{2}+\mathrm{x}_{1}}{\mathrm{k}+1}, \frac{\mathrm{ky}_{2}+\mathrm{y}_{1}}{\mathrm{k}+1}\right)\)

ప్రశ్న 63.
(3, 5) మరియు (8, 10) బిందువులతో ఏర్పడు రేఖాఖండాన్ని 2 : 3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించు బిందువును కనుగొనుము.
సాధన.
(3, 5) మరియు (8, 10) బిందువులను కలుపు రేఖాఖండాన్ని 2 : 3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువు

ప్రశ్న 64.
క్రింది పటంలో ఇవ్వబడిన వృత్త కేంద్రాన్ని కనుగొనుము.

సాధన.
వృత్త కేంద్రం = (5, 3), (3, 5) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండ మధ్యబిందువు
= \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{5+3}{2}, \frac{3+5}{2}\right)\)
= (4, 4)

ప్రశ్న 65.
A(6, 9) మరియు B(-6, -9). అయిన \(\overline{\mathrm{AB}}\)ని మూలబిందువు విభజించు నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
సాధన.
1 : 1
[∵ A(6, 9), B(-6, -9) అయిన \(\overline{\mathrm{AB}}\) మధ్యబిందువు (0, 0) అవుతుంది. కావున విభజన నిష్పత్తి 1 : 1]
(లేదా)

(లేదా)
(6, 9), (-6, – 9) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండము విభజించు నిష్పత్తి m : n అనుకొనుము.
∴ \(\left(\frac{m(-6)+n(6)}{m+n}, \frac{m(-9)+n(9)}{m+n}\right)\) = (0, 0)
⇒ – 6m + 6n = 0
⇒ 6n = 6m
⇒ \(\frac{m}{n}=\frac{6}{6}=\frac{1}{1}\) ∴ m : n = 1 : 1

ప్రశ్న 66.
\(\overline{\mathrm{AB}}\) రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు వరుసగా P, Qలు అయిన క్రిందివానిలో ఏది సత్యం ?
(A) AP = PQ = QB
(B) AP > PQ > QB
(C) AP + PQ = QB
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(A) AP = PQ = QB

ప్రశ్న 67.
(5, -6), (-1, -4)లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని Y- అక్షం విభజించే నిష్పత్తిని తెల్పండి.
సాధన.
(5, -6), (-1, -4)లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని
Y- అక్షం విభజించే నిష్పత్తి = – (5) : – 1 = 5 : 1.
(x₁, y₁), (x₂, y₂) బిందువులను Y – అక్షం విభజించే నిష్పత్తి = – x₁ : x₂)
(లేదా)
(5, -6), (-1, – 4)లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని Y- అక్షంపై గల (0, p) బిందువు m : n నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొనుము.
\(\) = (0, p)
∴ \(\frac{-m+5 n}{m+n}\) = 0
⇒ – m + 5n = 0 ⇒ – m = – 5n
⇒ \(\frac{m}{n}=\frac{5}{1}\)
∴ m : n = 5:1

ప్రశ్న 68.
బిందువులు (7, 3), (6, -5) లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని x – అక్షం విభజించే నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన.
బిందువులు (7, 3), (6, –5) లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని
X- అక్షం విభజించే నిష్పత్తి = -(3) : – 5 = 3 : 5
(గమనిక : (x₁, y₁), (x₂, y₂) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని X-అక్షం – y₁ : y₂, నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది).
(లేదా )
(7, 3), (6, -5)లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని X – అక్షంపై గల (p, 0) బిందువు m : n నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొనుము.
\(\left(\frac{m(6)+n(7)}{m+n}, \frac{m(-5)+n(3)}{m+n}\right)\) = (p, 0)
∴ \(\frac{-5 m+3 n}{m+n}\) = 0
⇒ 5m + 3n = 0 ⇒ 5m = – 3n
\(\frac{m}{n}=\frac{3}{5}\)
∴ m : n = 3 : 5

ప్రశ్న 69.
(5, -2), (6, 4) మరియు (7, – 2) శీర్షాలు గల త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రమును కనుగొనుము.
సాధన.

ప్రశ్న 70.
(3, -5), (-7, 4), (10, y) లు శీర్షాలు గల త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రము (2, -1) అయిన y విలువను కనుగొనుము.
సాధన.

ప్రశ్న 71.
బిందువులు క్రింది. పటంలో చూపిన విధంగా కలవు అయితే \(\overline{\mathbf{A B}}\) ని ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది

సాధన.
3 : 2

ప్రశ్న 72.
∆ ABC యొక్క గురుత్వ కేంద్రము G, మధ్యగతము AD అయితే AG : GDని రాయండి.
జవాబు.
2 : 1

ప్రశ్న 73.
A(-2, 8) మరియు B(-6, – 4) అయిన A, Bలను కలిపే రేఖాఖండపు మధ్యబిందువును కనుగొనుము.
సాధన.
AB మధ్యబిందువు = \(\left(\frac{-2+(-6)}{2}, \frac{8+(-4)}{2}\right)\)
= (- 4, 2)

ప్రశ్న 74.
A(-2, 3), B(6, 7) మరియు C(8, 3)లు సమాంతర చతుర్భుజం ABCD శీర్షాలైతే నాల్గవ శీర్షం D బిందు నిరూపకాలను కనుగొనుము.
సాధన.

ప్రశ్న 75.
A(4, 2), B(6, 5) మరియు C(1, 4) లు ∆ABC యొక్క శీర్షాలు మరియు AD మధ్యగతము అయిన D బిందువును కనుగొనుము.
సాధన.

AD మధ్యగతము. కావున BC మధ్య బిందువు D.
D = \(\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)\)

ప్రశ్న 76.
క్రింది పటంలో త్రిభుజం AOB వైశాల్యము ఎంత ?

సాధన.
∆ AOB వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × OA × OB.
= \(\frac{1}{2}\) × 4 × 6 = 12 చ.యూ.

ప్రశ్న 77.
A(4, p) మరియు B(1, 0) బిందువుల మధ్య దూరం .5 యూనిట్లు అయితే
(A) p = 4 మాత్రమే
(B) p = – 4 మాత్రమే
(C) p = ± 4
(D) p = 0
సాధన.
(C) p = ± 4

ABల మధ్య దూరము
= \(\sqrt{(1-4)^{2}+(0-p)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+p^{2}}\) = 5 ⇒ 9 + p² = 25
⇒ p² = 25 – 9 = 16
∴ p = √16 = ± 4.

ప్రశ్న 78.
క్రింది పటంలో OA = AB మరియు ∠OAB = 90° అయిన \(\overline{\mathbf{O B}}\) యొక్క వాలు ఎంత ?

సాధన.
∠OAB = 90° మరియు OA = AB.
కావున ∆ABC లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజము
∴ θ = 45°
∴ OR, X – అక్షంతో చేసే కోణం θ = 45°
∴ OB వాలు m = tan θ = tan 45° = 1

క్రింది పటంలో ఇవ్వబడిన ABCD దీర్ఘచతురస్రాన్ని పరిశీలించండి.
ఈ సమాచారం ఆధారంగా 79 మరియు 80 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న 79.
శీర్షం D యొక్క నిరూపకాలు రాయండి.
జవాబు.
D నిరూపకాలు = (2, 3)

ప్రశ్న 80.
ABCD దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యము ఎంత ?
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = AB × BC
= 4 × 3 = 12 చ.యూ.

ప్రశ్న 81.
(1, 0), (3, 0) మరియు (0, 2) బిందువులతో ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యంను కనుగొనుము.
సాధన.
(1, 0), (3, 0), (0, 2) లతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\)|x₁ (y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)
= \(\frac{1}{2}\) |1(0 – 2) + 3(2 – 0) + 0(0 – 0) |
= \(\frac{1}{2}\)|- 2 + 6 + 0|
= \(\frac{1}{2}\) |4|
= 2 చ.యూ.

ప్రశ్న 82.
(7,-2), (5, 1), (3, k) లు సరేఖీయాలైతే kవిలువ ఎంత?
సాధన.
A (7, -2), B(5, 1), C(3, k) లు సరేఖీయాలైతే k .
విలువ ∆ ABC వైశాల్యం
⇒ \(\frac{1}{2}\) |7(1 – k) + 5(k + 2) + 3(- 2 – 1)| = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\) |7 – 7k + 5k + 10 – 9| = 0
⇒ |- 2k + 8| = 0
⇒ -2k + 8 = 0 = – 2k = – 8
∴ k = \(\frac{-8}{-2}\) = 4
(లేదా)
AB వాలు = BC వాలు
\(\frac{1+2}{5-7}=\frac{k-1}{3-5}\) ⇒ \(\frac{3}{-2}=\frac{k-1}{-2}\)
⇒ k – 1 = 3 ⇒ k = 4

ప్రశ్న 83.
3x + 2y = 10 సరళరేఖపై గల ఒక బిందువును కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన సరళరేఖ 3x + 2y = 10 లో x = 0 – అనుకొనుము.
3(0) + 2y = 10 ⇒ y = \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ 3x + 2y = 10 పై గల ఒక బిందువు = (0, 5)

ప్రశ్న 84.
y = x + 7 సరళరేఖ X-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు ఏది ?
సాధన.
y = x + 7 సరళరేఖ X-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు వద్ద y = 0 అవుతుంది.
0 = x + 7 ⇒ x = – 7
X-అక్షాన్ని y = x + 7 సరళరేఖ ఖండించే బిందువు = (-7, 0)

ప్రశ్న 85.
(t, 2t), (-2, 6) మరియు (3, 1) బిందువులు సరేఖీయాలైతే 1 విలువ ఎంత ?
సాధన.
(t, 21) (-2, 6) వాలు = (-2, 6) (3, 1) వాలు
\(\frac{6-2 t}{-2-t}=\frac{-5}{5}\) ⇒ \(\frac{6-2 t}{-2-t}\) = – 1
⇒ 6 – 2t = 2 + t ⇒ 4 = 3t
∴ t = 3.

ప్రశ్న 86.
(-3, – 4) మరియు (1, 2)లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని Y- అక్షం విభజించే నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన.
(-3, – 4) మరియు (1, -2)లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని
Y- అక్షం విభజించే నిష్పత్తి
= – x₁ : x₂ = -(- 3) : 1 = 3:1

ప్రశ్న 87.
(0, 0), (3, 0), (0, – 3) లతో ఏర్పడు త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రమును కనుగొనుము.
సాధన.
గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{3}{3}, \frac{-3}{3}\right)\) = (1, -1)

ప్రశ్న 88.
(0,0), (2, 0), (0, 2) బిందువులతో ఏర్పడు త్రిభుజ చుట్టుకొలత ఎంత ?
సాధన.
0(0, 0), A(2, 0), B(0, 2) అనుకొనుము.

∆AOBలో. OA = OB = 2 యూ.
∆AOB లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజము.
∴ AB² = OB² + OA² = 2² + 2² = 8 .
AB = √8 = 2√2
చుట్టుకొలత = OA + 0B + AB
= 2 + 2 + 2√2
= 4 + 21√2 యూ.

ప్రశ్న 89.
క్రింది వానిని జతపరచడంలో సరైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనుము.

(A) a – ii, b – i, c – iii
(B) a – ii, b – iii, c-i
(C) a – iii, b-i, c-ii
(D) a – iii, b – ii, c-i
జవాబు.
(B) a – ii, b – iii, c-i

ప్రశ్న 90.
(a, b), (c, d), (e, f) లు నిరూపకాలుగా గల త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రాన్ని రాయండి.
సాధన.
గురుత్వ కేంద్రము = \(\left(\frac{a+c+e}{3}, \frac{b+d+f}{3}\right)\)

ప్రశ్న 91.
త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రమునకు చెందిన క్రింది ప్రవచనాలలో ఏవి సత్యము ?
ప్రవచనం-1 : త్రిభుజ మధ్యగతరేఖల మిళిత బిందువు గురుత్వ కేంద్రము.
ప్రవచనం-II : త్రిభుజ పరివృత్త కేంద్రము గురుత్వ కేంద్రము.
ప్రవచనం-III : గురుత్వ కేంద్రము మధ్యగతమును 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
ప్రవచనం-IV : త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రము
\(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
జవాబు.
I, III, IV ప్రవచనాలు సత్యము.

ప్రశ్న 92.
(3, 2), (0, 5) (-3, 2) మరియు (0, -1) బిందువులు శీర్షాలుగా గల ‘చతురస్ర వైశాల్యమును కనుగొనుము.
సాధన.
చతురస్ర భుజం = (3, 2), (0, 5) బిందువుల
మధ్య దూరం s = \(\sqrt{(0-3)^{2}+(5-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}\) = √18 .
∴ చతురస్ర వైశాల్యం s² = (√8)²
= 18 చ.యూ.

ప్రశ్న 93.
ఇవ్వబడిన పటంలో A(28, 0), B (0, 2b) అయిన ∆AOB యొక్క మూడు శీర్షాలకు సమాన దూరంలో గల బిందువు

(A) \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\)
(B) \(\left(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}\right)\)
(c) (a, b)
(D) \(\left(\frac{2 \mathrm{a}+2 \mathrm{~b}}{3}, \frac{2 \mathrm{a}+2 \mathrm{~b}}{3}\right)\)
జవాబు.
(c) (a, b)

సాధన.
∆AOB లో మూడు శీర్షాలకు సమాన దూరంలో గల బిందువు = కర్ణం AB మధ్యబిందువు
= \(\left(\frac{2 a+0}{2}, \frac{0+2 b}{2}\right)\) = (a, b)
(లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం మధ్య బిందువు మూడు శీర్షాలకు సమాన దూరంలో ఉంటుంది. దీనిని పరివృత్త కేంద్రం అని అంటాము).

ప్రశ్న 94.
A(0, 3), B(0, 0), C(5,0) లు దీర్ఘచతురస్రం ABCD యొక్క మూడు శీర్షాలైతే ఆ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క ప్రతి కర్ణం పొడవు ఎంత ?
సాధన.
A(0, 3), B(0, 0), C(5,0) శీర్షాలుగా గల దీర్ఘచతురస్రం కర్ణాల పొడవు =
AC = \(\sqrt{5^{2}+3^{2}}\) = \(\sqrt{25+9}\) = √34 యూ.

ప్రశ్న 95.
A(2, 3), B(4, 5) అయిన \(\overleftrightarrow{A B}\) వాలు
(A) 1
(B) 2
(C) 0
(D) నిర్వచితము కాదు
జవాబు.
(A) 1

సాధన.
\(\overline{\mathrm{AB}}\) వాలు = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{5-3}{4-2}=\frac{2}{2}\) = 1

ప్రశ్న 96.
క్రింది పటంలో AB నిచ్చెన X – అక్షంతో పటంలో చూపినట్లు θ కోణం చేస్తుంటే నిచ్చెన యొక్క వాలు m =

(A) tan θ
(B) tan (180 – θ°)
(C) cot θ
(D) tan (90 + θ)
సాధన.
B [రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో చేసే కోణం యొక్క tan విలువ]

∴ AB వాలు = tan (180 – θ)

ప్రశ్న 97.
A(3, 2), B(-8, 2) అయిన \(\overleftrightarrow{A B}\) వాలు
(A) -11
(B) 0
(C) 1
(D) – 1
సాధన.
(B) 0

\(\overleftrightarrow{A B}\) వాలు = \(\frac{2-2}{-8-3}\) = 0.

ప్రశ్న 98.
(log_a , log₁₀ 100), (sin 90°, cos 90°) బిందువుల మధ్య దూరము 2 యూనిట్లు అని చూపుము.
సాధన.
log_a a = 1 మరియు log₁₀ 100 = 2,
sin 90° = 1, cos 90° = 0
∴ (1, 2), (1, 0) బిందువుల మధ్య దూరం
= \(\sqrt{0^{2}+2^{2}}\) = 2 యూ.
(లేదా)
|y₂ – y₁| = |0 – 2| = 2 యూ.

ప్రశ్న 99.
A(5, – 4), B(5, 5) లను 2 : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువును కలిగి ఉండు పాదము
(A) Q₁
(B) Q₂
(C) Q₃
(D) Q₄
జవాబు.
(A) Q₁

సాధన.
A(5, – 4), B (5, 5) లను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే చిందు

(5, 2) ∈ Q₁

ప్రశ్న 100.
A, B, C బిందువులు ఒకే సరళరేఖపై అదే క్రమంలో కలవు. అయితే క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) AB + BC = AC
(B) ∆ABC వైశాల్యం = 0 .
(C) AB వాలు = BC వాలు
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 101.
త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుగొనుటకు హెరాన్ సూత్రంను తెల్పండి.
జవాబు.
త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

ప్రశ్న 102.
A, B, C లు సరేఖీయాలు మరియు AB = 3√2 , BC = 5√2 , AC = 2√2 అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) \(\overline{\mathrm{AC}}\)ని B అంతరంగా విభజిస్తుంది.
(B) \(\overline{\mathrm{AB}}\)ని C అంతరంగా విభజిస్తుంది.
(C) \(\overline{\mathrm{BC}}\)ని A అంతరంగా విభజిస్తుంది.
(D) పైవి ఏవీకావు
జవాబు.
(C) \(\overline{\mathrm{BC}}\)ని A అంతరంగా విభజిస్తుంది.

సాధన.
AB + AC = 3√2 + 2√2 = 5√2 = BC
కావున B, C లను A అంతరంగా విభజిస్తుంది.

ప్రశ్న 103.
A(x, y) ఏదేని బిందువు, క్రింది సందర్భాలలో A బిందువును కలిగిన పాదమునకు జతపరుచుము.

(A) a – i, b – v, c – iii, d – iv
(B) a-i, b – ii, c – iii, d – v
(C) a – v,b – iv, c viii, d-i
() a – i, b – iv, c – v, d – ii
జవాబు.
(A) a – i, b – v, c – iii, d – iv

ఈ క్రింది పటంలో ఇవ్వబడిన ABCD దీర్ఘచతురస్రాన్ని పరిశీలించండి.
ఈ సమాచారం ఆధారంగా 104 – 106 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న 104.
పై పటంలో ABCD ఒక చతురస్రము అయిన కర్ణం \(\overline{\mathrm{AC}}\) వాలు ఎంత?
సాధన.
AC వాలు = tan 45° = 1 (∵ AC, X – అక్షంతో 45° చేస్తుంది.)

ప్రశ్న 105.
పై పటంలో ABCD ఒక చతురస్రము అయిన భుజం CD వాలు ఎంత ?
సాధన.
CD // X – అక్షం.
∴ CD వాలు = 0

ప్రశ్న 106.
పై పటంలో ARCD ఒక చతురస్రము అయిన భుజం BC వాలు ఎంత?
సాధన.
BC // Y – అక్షం. . …… ..
∴ BC వాలు నిర్వచించబడదు.

ప్రశ్న 107.
(2, 3) మరియు (p, 3) బిందువుల మధ్య దూరం 5 యూనిట్లు అయిన pవిలువను కనుగొనుము.
సాధన.
(2, 3), (p, 3) బిందువుల మధ్య దూరం = 5
|p – 2| = 5 = p – 2 = + 5
∴ p = 5 + 2 (లేదా) p = – 5 + 2
∴ p = 7 (లేదా) p = – 3

ప్రశ్న 108.
(2, 8) మరియు (2, k) బిందువుల మధ్య దూరం 3 యూనిట్లు అయిన ఓ విలువను కనుగొనుము.
(A) 11 మాత్రమే
(B) 5 మాత్రమే
(C) 11, 5
(D) కనుగొనలేము
జవాబు.
(C) 11, 5

సాధన.
(2, 8) మరియు (2, k) బిందువుల మధ్య దూరం = 3
|k – 8] = 3 ⇒ k – 8 = ± 3 ⇒ k = ±3 + 8
∴ k= 11 (లేదా) k = 5

ప్రశ్న 109.
A(0,-1), B(2, 1), C(0, 3) లు త్రిభుజ శీర్షాలు . B శీర్షం నుండి గీయబడిన మధ్యగతరేఖ పొడవు ఎంత?
సాధన.

ప్రశ్న 110.
(3, k) మరియు (4, 1) బిందువుల మధ్య దూరం √10 అయిన k= …………
(A) 4
(B) – 2
(C) A, B లు రెండూ
(D) 2
జవాబు.
(C) A, B లు రెండూ

సాధన.
(3, k) మరియు (4, 1) బిందువుల మధ్య దూరం = √0
= \(\sqrt{(4-3)^{2}+(1-k)^{2}}\) = √10
= \(\sqrt{1^{2}+(1-k)^{2}}\) = √10
= 1 + (1 – k)² = 10
= (1 – k)² = 10 – 1 = 9
= |1 – k| = √9 = ± 3.
= 1 – k= + 3 = 1 ± 3 = k
∴ k = 4 (లేదా) k = – 2.

ప్రశ్న 111.
(1, 2), (-1, x), (2, 3) బిందువులు సరేఖీయాలైన. x విలువ ……………
(A) – 4
(B) 0
(C) 4
(D) 10
జవాబు.
(B) 0

సాధన.
B (1, 2), (- 1, x) వాలు = (1, 2), (2, 3) వాలు
\(\)
⇒ \(\frac{x-2}{-2}\) = 1 ⇒ x – 2 = – 2
∴ x = 0

ప్రశ్న 112.
(sin²θ, sec²θ), (cos² θ, – tan²θ) బిందువుల మధ్య బిందువు
(A) (1, 1)
(B) (0, 0)
(C) \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\)
(D) \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)
జవాబు.
(D) \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)

సాధన.
(sin²θ, sec²θ), (cos² θ, – tan²θ) బిందువుల మధ్య బిందువు
= \(\left(\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{2}, \frac{\sec ^{2} \theta-\left(\tan ^{2} \theta\right)}{2}\right)\) = \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)
[∵ sin² θ + cos² θ = 1 మరియు sec² θ – tan² θ = 1]

ప్రశ్న 113.
క్రింది పటం నుండి 1 రేఖ యొక్క రేఖవాలు ఎంత ?

సాధన.
1 రేఖ వాలు = tan 60° = √3.

ప్రశ్న 114.
(4, – p), X – అక్షంపై బిందువు అయిన p² + 2p – 1 విలువ ఎంత ?
సాధన.
(4, – p), X- అక్షంపై బిందువు అయితే – p = 0
∴ p = 0, కావున
p² + 2p – 1 = 0² + 2(0) – 1 = -1
(∵ X – అక్షంపై గల బిందువు (x, 0) రూపంలో ఉంటుంది.)

ప్రశ్న 115.
(a, 5) బిందువు a యొక్క ఏ విలువకు Y- అక్షంపై బిందువు అవుతుంది ?
జవాబు.
a = 0 అయినపుడు (a, 5) బిందువు Y – అక్షంపై బిందువు అవుతుంది.

ప్రశ్న 116.
త్రిభుజ వైశాల్యమును కనుగొనుటకు హెరాన్ సూత్రం \(\sqrt{\mathbf{s}(\mathbf{s}-\mathbf{a})(\mathbf{s}-\mathbf{b})(\mathbf{s}-\mathbf{c})}\) లో S ను a, b, c లలో తెల్పండి.
జవాబు.
S = \(\frac{a+b+c}{2}\)

ప్రశ్న 117.
క్రింది వానిని జతపరుచుము:

(A) a – ii, b – i, c – iii, d – iv
(B) a – ii, b – iv, c – i, d – iii
(C) a – iii, b – iv, c – i, d – iii
(D) a . ii, b – ii, c – i, d – iii
జవాబు.
(C) a – iii, b – iv, c – i, d – iii

ప్రశ్న 118.
వాలు ‘సున్న’ ‘0’ గా గల రేఖ (లేదా) x = k అను రేఖ
(A) X – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండును.
(B) X – అక్షానికి లంబంగా ఉండును.
(C) Y – అక్షానికి లంబంగా ఉండును.
(D) A మరియు C
జవాబు.
(D) A మరియు C

ప్రశ్న 119.
(0, 0) మరియు (√3 , 3) బిందువులను కలుపు రేఖ వాలు ఎంత ?
సాధన.
(0, 0), ( √3, 3) బిందువులను కలుపు రేఖ వాలు
= \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) = √3

ప్రశ్న 120.
(0, 0) మరియు ( √3, 3) బిందువులను కలుపు రేఖ X – అక్షం ధనదిశలో చేయు కోణం ఎంత ?
సాధన.
(0, 0), (√3, 3) బిందువులను కలుపు రేఖ వాలు
m = tan θ = \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) = √3
∴ θ = 60°
కావున (0, 0), (√3, 3) బిందువులను కలుపు రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో చేయు కోణము 60°.

ప్రశ్న 121.
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) అయిన AB రేఖ X- అక్షం ధన దిశలో 9 కోణం చేస్తున్నది. పై సమాచారాన్ని ఒక చిత్తు పటంలో చూపండి.
జవాబు.

ప్రశ్న 122.
పై 121వ ప్రశ్నలోని AB రేఖకు సంబంధించి క్రింది వానిలో ఏది సత్యము ? –
(A) వాలు m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)
(B) వాలు m = tan θ
(C) A మరియు C
(D) వాలు m = \(\frac{x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}\)
జవాబు.
(C) A మరియు C

ఈ క్రింది పటాన్ని పరిశీలించండి. పటంలో ఇచ్చిన సమాచారం ఆధారంగా 123-127 వరకు ఇవ్వబడిన ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న 123.
∆ AOB వైశాల్యము ఎంత ?
సాధన.
∆ AOB వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × 3 × 4 = 6 చ.యూ.

ప్రశ్న 124.
\(\overline{\mathbf{A B}}\) పొడవును కనుగొనుము.
సాధన.
AB = \(\sqrt{(4-0)^{2}+(0-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9}\) = √25 = 5 యూ.

ప్రశ్న 125.
AB రేఖండాన్ని 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువును కనుగొనుము.
సాధన.
AB రేఖాఖండాన్ని 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు
= A, B మధ్య బిందువు
= \(\left(\frac{4+0}{2}, \frac{0+3}{2}\right)\) = \(\left(2, \frac{3}{2}\right)\)

ప్రశ్న 126.
∆ AOB చుట్టుకొలత ఎంత ?
సాధన.
∆ AOB చుట్టుకొలత = AO + OB + AB
= 3+ 4 + 5 = 12 యూ.

ప్రశ్న 127.
∆ AOB గురుత్వ కేంద్రాన్ని కనుగొనుము.
సాధన.
∆ AOB గురుత్వ కేంద్రము
\(\left(\frac{0+0+4}{3}, \frac{3+0+0}{3}\right)\) = \(\left(\frac{4}{3}, 1\right)\)

ప్రశ్న 128.
(7, 8) బిందువు నుండి X – అక్షానికి గల దూరము ఎంత ?
జవాబు.
8 యూనిట్లు

ప్రశ్న 129.
X – అక్షం నుండి 5 యూనిట్లు, Y – అక్షం నుండి 4 యూనిట్లు దూరంలో గల బిందువులలో (4, 5) ఒక బిందువు అయిన ఏదేని మరొక బిందువును రాయండి.
సాధన.
(- 4, – 5) లేదా (- 4, 5) లేదా (4, – 5).

ప్రశ్న 130.
(a sin θ, 0), (0, a cos θ) బిందువుల మధ్య
దూరము ఎంత ?
సాధన.

ప్రశ్న 131.
క్రింది వానిలో ఏవి అసత్యము ? 0
(i) X- అక్షం వాలు = 1
(ii) Y – అక్షం వాలు = 0
(iii)(3, 0) బిందువు X – అక్షంపై ఉంటుంది.
(iv) (0, p) రూపంలో గల బిందువులు Y – అక్షంపై – ఉంటాయి.
(v) ఒక రేఖ X – అక్షం ధనదిశలో చేయు కోణం θ అయిన ఆ రేఖ వాలు m = cot θ.
జవాబు.
i, ii మరియు V అసత్యము

ప్రశ్న 132.
(3, 2), (-8, 2) బిందువులను కలుపు రేఖ X- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది. (సత్యం/అసత్యం)
జవాబు.
సత్యము

ప్రశ్న 133.
క్రింది వానిని జతపరుచుము:

(A) i – d, ii – a, iii – c, iv-b
(B) i – c, ii – d, iii – a, iv – b
(C)i – c, ii – b, iii – a, iv-d
(D) i-d, ii – c, iii – d, iv – a
జవాబు.
(B) i – c, ii – d, iii – a, iv – b

ప్రశ్న 134.
(X, -y) బిందువు Q, పాదంలో ఉంటే క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) x > 0, y > 0
(B) x < 0, y > 0
(C) x < 0, y < 0 (D) X > 0, y < 0 జవాబు. (D) X > 0, y < 0

నిరూపకం A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2) మరియు D(0, 2) బిందువులు ABCD చతురస్రం యొక్క శీర్షాలు.
పై సమాచారం ఆధారంగా 135 – 139 ప్రశ్నలకు

ప్రశ్న 135.
పై సమాచారాన్ని ఒక చిత్తుపటంలో చూపండి.
సాధన.

ప్రశ్న 136.
చతురస్రం యొక్క భుజము పొడవు ఎంత ?
సాధన.
చతురస్ర భుజం పొడవు s = 2 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 137.
చతురస్ర వైశాల్యమును కనుగొనుము.
సాధన.
చతురస్ర వైశాల్యం = s² = 2² = 4 చ.యూ.

ప్రశ్న 138.
చతురస్ర కర్ణము పొడవు ఎంత ?
సాధన.
కర్ణం AC పొడవు = \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}\)
= √8 = 2√2 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 139.
AC కర్ణము వాలు ఎంత ?
సాధన.
కర్ణం AC వాలు = 1
(∵ కర్ణం X – అక్షంతో 45° చేస్తుంది.)

ప్రశ్న 140.
ఒక వృత్త వ్యాసాగ్రాలు (5, 2) మరియు (-5, -2) అయిన ఆ వృత్త కేంద్రమును కనుగొనుము.
సాధన.
వృత్తి కేంద్రము = \($\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)$\)
= \(\left(\frac{5+(-5)}{2}, \frac{2+(-2)}{2}\right)\)
= (0, 0)

గమనిక : క్రింద ఇవ్వబడిన పటం సమబాహు త్రిభుజం ABC లో CD ⊥ AB.

ఇచ్చిన సమాచారం ఆధారంగా 141 – 145 వరకు గల ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న 141.
∆ ABC యొక్క భుజం పొడవు ఎంత ?
సాధన.
∆ ABC యొక్క భుజం పొడవు
AB = |x₂ – x₁|| = |4 – (-2) | = 6 యూనిట్లు

ప్రశ్న 142.
D బిందువు యొక్క నిరూపకాలు కనుగొనుము.
సాధన.
AB మధ్య బిందువు D = \(\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{0+0}{2}\right)\)
= (1, 0)

ప్రశ్న 143.
CD పొడవు ఎంత ?
సాధన.
CD = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)a = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × 6 = 3√3
(లేదా )
C(1, 0), D(1, 3√3)
∴ CD = |y₂ – y₁| = | 3√3 – 0||
= 3√3 యూనిట్లు

ప్రశ్న 144.
∆ABC వైశాల్యము ఎంత ? ,
పాదన.

ప్రశ్న 145.
AC రేఖ వాలును కనుగొనుము.
సాధన.
AC వాలు m = tan 60° = 13
(∵ \(\overleftrightarrow{A B}\), X- అక్షం అవుతుంది, ∠CAB = 60°)

ప్రశ్న 146.
(sin 90°, tan 45°); (sec 60°, cos 90°) బిందువుల గుండా పోవు సరళరేఖ వాలు.
సాధన.
(sin 90°, tan 45°) = (1, 1),
(sec 60°, cos 90°) = (2, 0)
∴ (1, 1), (2, 0) బిందువులను కలిపే రేఖ వాలు
= \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\) = \(\frac{-1}{1}\) = – 1

ప్రశ్న 147.
(x₁, y₁), (x₂, y₂) బిందువులను కలుపు’ రేఖాఖండాన్ని m: n నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువును రాయండి.
సాధన.
\(\left(\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}, \frac{m y_{2}+n y_{1}}{m+n}\right)\)

ప్రశ్న 148.
ఒక సరళరేఖ యొక్క వాలు √3 అయిన ఆ రేఖ X – అక్షంతో ధన దిశలో చేయు కోణం ఎంత ?
సాధన.
సరళరేఖ వాలు m = tan θ = √3,
∴ θ = 60° సరళరేఖ X – అక్షంతో చేయు కోణం
= 60°

ప్రశ్న 149.
ఒక రేఖ యొక్క వాలు m = tan θ గా నిర్వచిస్తాము. ఇక్కడ 8, రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో చేసే కోణము. (3, 7), (6, 10) బిందువుల గుండాపోవు రేఖ X- అక్షం ధన దిశలో చేసే కోణము ఎంత ?
సాధన.
(3, 7), (6, 10) కలిపే రేఖ వాలు
m = tan θ = \(\frac{\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}}{\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}}\)
tan θ = \(\frac{10-7}{6-3}=\frac{3}{3}\)
∴ θ = 50° (∵ tan 45° = 1)
(3, 7), (6, 10) బిందువులను కలిపే రేఖ ..
X- అక్షంతో 45° కోణం చేస్తుంది.

ప్రశ్న 150.
∆ ABC యొక్క వైశాల్యము ‘0’ చ.యూ. అయిన A, B, C బిందువులను గూర్చి నీవు ఏమి చెప్పగలవు ?
జవాబు.
A, B, C లు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 151.
A, B, C లు సరేఖీయ బిందువులైన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
I) ∆ABC వైశాల్యం సున్న చ.యూ.
II) AB వాలు = BC వాలు = AC వాలు
(A) I మాత్రమే
(B) II మాత్రమే
(C) I మరియు II
(D) I మరియు II లు రెండూ అసత్యం
జవాబు.
(C) I మరియు II

ప్రశ్న 152.
క్రింది వానిలో వేరుగా (విభిన్నంగా) ఉన్న దానిని గుర్తించుము.
P(-5, 0), Q- 3, 0), R(0, 3), S(3, 0), R(20, 0)
జవాబు.
R (∵ మిగిలిన బిందువులు అన్ని X – అక్షంపై గల బిందువులు. R, Y – అక్షంపై బిందువు)

ప్రశ్న 153.
క్రింది వానిని జతపరుచుము :

(A) i – a, ii – c, iii – d, iv-b
(B) i-d, ii – a, iii – b, iv – C
(C) i-d, ii – c, iii – a, iv-b
(D) i-d, ii – b, iii – c, iv – a
జవాబు.
(C) i-d, ii – c, iii – a, iv-b

ప్రశ్న 154.
AB రేఖాఖండాన్ని A, B బిందువుల మధ్యబిందువు విభజించే నిష్పత్తిని తెల్పండి.
జవాబు.
1 : 1

ఇవ్వబడిన పటంలో వృత్త కేంద్రము ‘0’ మరియు ∠OAB = 45°, అయిన క్రింది 155, 156 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న 155.
ABజ్యా పొడవు ఎంత ?
సాధన.
జ్యా AB = |x₂ – x₁| = |5 – 2| = 3 యూ.

ప్రశ్న 156.
వృత్త వ్యాసార్ధంను కనుగొనుము.
సాధన.
∆AOBA OA = OB ⇒ ∠A = ∠B = 45°
∴ AOB = 90°

ప్రశ్న 157.
x < 0, y> 0 అయిన (-x, y) బిందువు నిరూపక తలంలో ఏ పాదంలో ఉంటుంది ?
సాధన.
x < 0, y > 0 అయిన (-x, y) లో X – నిరూపకం ఋణాత్మకం, y – నిరూపకం ధనాత్మకం.
∴ (-x, y) ∈ Q₂.

ప్రశ్న 158.
క్రింది రెండు ప్రవచనాలను సంతృప్తిపరచే చతుర్భుజమేది?
ప్రవచనం (A) : కర్ణాలు సమానం
ప్రవచనం (B) : అన్ని భుజాలు సమానం
(a) రాంబస్
(b) సమాంతర చతుర్భుజం
(c) దీర్ఘచతురస్రం
(d) చతురస్రం
జవాబు.
(d) చతురస్రం

ప్రశ్న 159.
క్రింది పటంలో కనుగొనండి.

జవాబు.
6 చ|| యూనిట్లు

ప్రశ్న 160.
(2, 0) మరియు (- 2, 0) బిందువులను కలిపే రేఖవాలును కనుగొనండి.
సాధన.

ప్రశ్న 161.
త్రిభుజ మధ్యగతరేఖల ఖండన బిందువును ఏమంటారు?
జవాబు.
త్రిభుజము యొక్క గురుత్వ కేంద్రము అంటారు.

Practice the AP 10th Class Maths Bits with Answers 6th Lesson శ్రేఢులు on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 10th Class Maths Bits 6th Lesson శ్రేఢులు

ప్రశ్న1.
1, -1, – 3, ……. A.P. యొక్క సామాన్య భేదంను రాయండి.
జవాబు :
సామాన్య భేదం d = a₂ – a₁ = 1 – 1 = -2

ప్రశ్న2.
0.6, 1.9, 3.2, ……… అంకశ్రేణి సామాన్యభేదంను కనుగొనండి.
జవాబు :
d = 1.9 – 0.6 = 1.3

ప్రశ్న3.
14, 11, 8, …. అంకశ్రేణిలో మొదటి ఋణ పదమును తెల్పండి.
జవాబు :
ఇచ్చిన అంకశ్రేణిని పొడిగించగా
14, 11, 8, 5, 2 – 1,…….
∴ మొదటి ఋణపదం = -1

ప్రశ్న4.
ఒక గుణ శ్రేణి నందు n వ పదం ar^n-1 అయిన r సూచించునది ………
A) సామాన్య భేదం
B) సామాన్య నిష్పత్తి
C) మొదటి పదం
D) వ్యాసార్ధం
జవాబు :
B

ప్రశ్న5.
ఒక A.P. లో n వ పదం a_n = 3 + 2n అయిన సామాన్య భేదం ఎంత ?
జవాబు :
a_n = 3 + 2n,
∴ a₁ = 3+ 2 = 5,
a₁ = 3 + 2(2) = 7
సామాన్య భేదం d = a₂ – a₁ = 7 – 5 = 2.
(Note: nవ పదంలో n గుణకమే సామాన్య భేదం అవుతుంది. ∴ d = 2)

ప్రశ్న6.
ఒక అంకశ్రేణి x – y,x, x + y, ….. యొక్క సామాన్య భేదంను కనుగొనుము.
జవాబు :
d = x – (x – y) = x – x + y =y.

ప్రశ్న7.
2a-b, 4a – 3b, 6a-5bశ్రేణి యందు సామాన్య భేదంను గణించండి.
జవాబు :
d = (4a – 3b) – (2a – b)
= 4a – 3b – 2a + b = 2a – 26

ప్రశ్న8.
ఒక గుణ శ్రేణి నందు మొదటి పదం 20 మరియు 4వ పదం 540 అయిన సామాన్య నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
జవాబు :
గుణశ్రేణిలో a = 20,
4 వ పదం a₄ = ar³ = 540,

∴ r = 3

ప్రశ్న9.
అంకశ్రేఢి యొక్క ‘n’ పదాల మొత్తంనకు సూత్రాన్ని తెల్పండి.
జవాబు :
S_n = \(\frac{n}{2}\)[22 + (n – 1)d] (లేదా)
S_n = \(\frac{1}{2}\)[a + l]

ప్రశ్న10.
ఒక అంకశ్రేణి నందు 3వ పదం 5, 7వ పదం 9 అయిన ఆ శ్రేఢి సామాన్య భేదం ఎంత ?
జవాబు :

Short cut :
a₇ – a₃ ⇒ 4d = 9 – 5 = 4
∴ d = 1

ప్రశ్న11.
√2 సామాన్య నిష్పత్తి గల గుణశ్రేణినొక దానిని రాయండి.
జవాబు :
1, √2, 2, 2√2, ……….

ప్రశ్న12.
ఒక అంకశ్రేణిలో a₂₅ – a₁₂ =- 52 అయిన దాని సామాన్య భేదమును కనుగొనుము.
జవాబు :
a₂₅ – a₁₂ = (a + 24d) – (a + 11d) =-52
⇒ 240 – 11d = – 52
⇒ 13d = – 52
∴ d = \(\frac{-52}{13}\) = -4

ప్రశ్న13.
log 2 + log 4 + log 8 + log 16 + ….. శ్రేణిలోని పది పదముల మొత్తము
A) 45 log 2
B) 90 log 2
C) 10 log 2
D) 55 log 2
జవాబు :
log 2 + log 4 + log 8 + log 16 +… 10 పదాలు.
log 2¹ + log 2² + log 2³ + log 2⁴ + ….. + log 2¹⁰
= log 2 + 2 log 2 + 3 log 2 + 4 log 2 + ……. + 10 log 2
= [1 + 2 + 3 + 4 + ……. + 10] log 2
= 55 log 2
(లేదా)
log (2¹ × 2² × 2³ × …….. 2¹⁰)
= log 2^{1+ 2 + 3 + …… + 10}
= log2⁵⁵ = 55 log 2

ప్రశ్న14.
24, 21, 18, ….. అంకశ్రేణిలో ఋణపదము అయ్యే మొదటి పదము ఏది ?
జవాబు :
ఇచ్చిన అంకశ్రేడిని కొనసాగించగా
24, 21, 18, 15, 12, 9, 6, 3, 0, – 3, ……
మొదటి ఋణ పదం a₁₀ = -3

ప్రశ్న15.
మొదటి 100 సహజ సంఖ్యల మొత్తంను కనుగొనుము.
A) 4050
B)4500
C) 5500
D) 5050
జవాబు :
D మొదటి n సహజ సంఖ్యల మొత్తం = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}\)
n = 100, మొదటి 100 సహజ సంఖ్యల మొత్తం
\(\frac{100 \times 101}{2}\) = 50 × 101 = 5050

ప్రశ్న16.
a, b, cలు గుణశ్రేణిలో ఉంటే be a, Cలలో తెల్పండి.
జవాబు :
a, b, c లు A.P. లో ఉంటే b – a = c – b
⇒ 2b = a + c ⇒ b = \(\frac{a+c}{2}\)

ప్రశ్న17.
గుణశ్రేణి 3, .3√3 , 9, ……… లో ఎన్నవ పదం 243 అగును ?
జవాబు :
3, 3√3, 9, …………
a = 3, r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{3 \sqrt{3}}{3}\) = √3, a_n = 243
a 3 G.P లో a_n = a.r^n-1 = 243
3(√3)^n-1 = 243
= (√3)^n-1 = \(\frac{243}{3}\) = 81
⇒ 3^n-1/2 = 3⁴ ⇒ \(\frac{\mathrm{n}-1}{2}\) = 4 ⇒ n – 1 = 8
∴ n = 9
9వ పదం 243 అవుతుంది.
(లేదా)
ఇచ్చిన G.P పొడిగించగా
3, 3√3, 9, 9√3, 27, 27√3, 81, 81√3, 243, ……
9వ పదం 243 అవుతుంది.

ప్రశ్న18.
x, x + 2, x + 6 లు గుణశ్రేణిలో మూడు వరుస పదాలైన ‘X’ విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
x, x + 2, x + 6 లు G.Pలో మూడు వరుస పదాలు అయిన
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}} \Rightarrow \frac{x+2}{x}=\frac{x+6}{x+2}\)
(x + 2)² = x(x + 6)

⇒ 4 = 6x – 4x ⇒ 4 = 2x ⇒ x = \(\frac{4}{2}\) = 2

ప్రశ్న19.
ఒక అంకశ్రేణిలో మొదటి రెండు పదాలు వరుసగా -3 మరియు 4 అయితే 21 వ పదంను కనుగొనుము.
జవాబు :
మొదటి పదం a₁ = a = -3,
రెండవ పదం a₂ = 4
∴ d = a₂ – a₁ = 4 – (- 3) = 7.
21వ పదం a_n = a + 20 d
=-3 + 20 (7) = 137

ప్రశ్న20.
ఒక అంకశ్రేణిలో a₁₈ – a₁₄ = 32 అయితే సామాన్య భేదం ఎంత ?
జవాబు :
a₁₈ – a₁₄ = 32 ⇒ 4d = 32
d = \(\frac{32}{4}\) = 8

ప్రశ్న21.
ఒక అంకశ్రేణిలో a = 1, a_n = 20 మరియు S_n = 399 అయిన n విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
a = 1, a_n = 1 = 20, S_n = 399
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + l] = 399
⇒ \(\frac{n}{2}\)[1 + 20] = 399
⇒ n(21) = 399 × 2
⇒ \(\frac{399 \times 2}{21}\) = 19 × 2 = 38

ప్రశ్న22.
\(\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}\) ……. అనే గుణశ్రేణిలో వన్నవ పదం \(\frac{1}{2187}\) అవుతుంది ?
జవాబు :

(లేదా)
\(\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{1}{243}, \frac{1}{729}, \frac{1}{2187}\) (గుణశ్రేణిని పోడిగించగా)
∴ 7వ పదం 3787 అవుతుంది.

ప్రశ్న23.
4, a, 9 గుణశ్రేణిలో ఉంటే a విలువ ఎంత ?
జవాబు :
4, a, 9 లు G. P. లో ఉంటే \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\)
⇒ \(\frac{a}{4}=\frac{9}{a}\) ⇒ a² = 9 × 4 = 36
∴ a = \(\sqrt{36}\) = ± 6.

ప్రశ్న24.
\(\sqrt{3}, \sqrt{12}, \sqrt{27}\) అంకశ్రేఢిలోని తరువాత పదంను రాయండి.
జవాబు :
\(\sqrt{3}, \sqrt{12}, \sqrt{27}=\sqrt{3}, \sqrt{4 \times 3}, \sqrt{9 \times 3}\)
= \(\sqrt{3}, 2 \sqrt{3}, 3 \sqrt{3}\)
∴ తరువాత పదం 4√3 = \(\sqrt{48}\)

ప్రశ్న25.
అంకశ్రేణి యొక్క పదాంతరము ‘2’ అయిన a₁₀ – a₅ విలువ ఎంత?
జవాబు :
d = 2, ∴ a₁₀ – a₅ = 5d = 5(2) = 10

ప్రశ్న26.
గుణశేరిలోని 5వ పదము 32 మరియు 7వ పదము 128. అయిన గుణశ్రేఢి సామాన్య నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
జవాబు :
G.P లో a₅ = ar⁴ = 32; a₇ = ar⁶ = 128

r² = 4 ⇒ r = 4 = ± 2

ప్రశ్న27.
log₂ 2, log₂ 4, log₂ 8 అంకశ్రేణి యొక్క సామాన్య భేదము 1 అని చూపండి.
జవాబు :
log₂ 2 = 1,
log₂ 4 = log₂ 2² = 2 log₂ 2 = 2
∴ a₁ = 1, a₂ = 2
∴ సామాన్య భేదం a₂ – a₁ = 2 – 1 = 1

ప్రశ్న28.
క్రింది సంఖ్యల జాబితాలో అంకశ్రేణి ఏది ?
A) 1, 3, 6, 10, 15, ………
B) 100, 80, 60, 40, …….
C) 2, 4, 8, 16, ……
D) 3, 3, 4, 4, 5, 5, …….
జవాబు :
B) 100, 80, 60, 40, …….

ప్రశ్న29.
క్రింది సంఖ్యల జాబితాలో అంకశ్రేణి కానిది ఏది ?
A) 1, 2, 3, 4, ……..
B) 3, 3, 3, 3, ……..
C) 6, 3, 0, – 3, ……
D) 6, 4, 1, – 3, ……..
జవాబు :
D) 6, 4, 1, – 3, ……..

ప్రశ్న30.
అంకశ్రేణికి ఉదాహరణను రాయండి.
జవాబు :
3, 6, 9, 12, ………….

ప్రశ్న31.
అంకశ్రేణికి చెందిన క్రింది ఏది అసత్యం ?
A) జాబితాలోని రెండు వరుస సంఖ్యల మధ్య గల భేదం స్థిరము.
B) పరిమిత అంకశ్రేణికి చివరి పదము ఉంటుంది.
C) జాబితాలోని రెండు వరుస సంఖ్యల నిష్పత్తి స్థిరము.
D) అపరిమిత అంకశ్రేణికి చివరి పదం ఉండదు.
జవాబు :
C) జాబితాలోని రెండు వరుస సంఖ్యల నిష్పత్తి స్థిరము.

ప్రశ్న32.
5, 2, -1, – 4, ……. శ్రేణిలో k + 1 వ పదము 5 – 3k అయిన kవ పదంను కనుగొనుము.
జవాబు :
5, 2, -1, – 4, ……. అంకశ్రేఢి (A.P.)లో కలవు. .
a = 5, d = 2-5 = -3
a_k+1 = 5 – 3k అయిన
a_k = a_k+1 + (- 3) = 5 – 3k – 3
kవ పదము a_k = 2 – 3k.

ప్రశ్న33.
ఒక అంకశ్రేణిలో a₂₅ – a₂₀ = 60 అయిన a₁₅ – a₁₀ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
a₂₅ – a₂₀ = 60 ⇒ 5d = 60 …… (1)
ఇప్పుడు a₁₅ – a₁₀ = 5d = 60 [(1) నుండి]
(లేదా)
a₂₅ – a₂₀ = a₁₅ – a₁₀ = 60

ప్రశ్న34.
4, 10, 16, 22, ….. ఇంకశ్రేణిలో 10వ పదము ఎంత?
జవాబు :
ఇచ్చిన A.P. : 4, 10, 16, 22, ……
a = 4, d = 10 – 4 = 6,
a₁₀ = a + 9d = 4 + 54 = 58
(లేదా)
ఇచ్చిన A.P. ని పొడిగించగా
4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52, 58
∴ 10వ పదము = 58

ప్రశ్న35.
క్రింది వానిని జతపరచడంలో సరైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనుము..

i) అంకశ్రేణిలో 1వ పదము	a) arn-1
ii) అంకశ్రేణిలో n పదాల మొత్తం	b) \(\frac{n}{2}\)[2a+(n – 1)d]
iii)గుణ శ్రేణిలో 1వ పదము	c) a + (n – 1)d

A) i-a, ii-b, iii-c
B) i-c, ii-b, iii-a
C) i-c, ii-a, iii- b
D ) i-b, ii-a, iii-c
జవాబు :
B) i-c, ii-b, iii-a

ప్రశ్న36.
\(\frac{1}{4}, \frac{-1}{4}, \frac{-3}{4}, \frac{-5}{4}\) ……. అంకశ్రేణి యొక్క సామాన్య భేదంను కనుగొనుము.
జవాబు :

ప్రశ్న37.
ఒక అంకశ్రేణి మొదటి పదం a = 4, పదాంతరం d =-3 అయిన ఆ శ్రేఢి 4వ పదమును రాయండి.
జవాబు :
a = 4, d = -3.
4వ పదం a_a = a + 3d ,
= 4 + 3(- 3) = 4 – 9 = -5

ప్రశ్న38.
ఇచ్చిన పటంలో x విలువ ఎంత ?

జవాబు :
\(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న39.
2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), 4, ………… A.P. లో తరువాత పదంను కనుగొనుము.
జవాబు :
2, 1, 3, . , ……. తరువాత పదం
∴ a = 2, d = \(\frac{5}{2}\) – 2 = \(\frac{1}{2}\)
∴ a₆ = a + 5d
= 2 + 5(½) = 2 + \(\frac{5}{2}\) = \(\frac{9}{2}\)
(లేదా)
ఆ శ్రేఢ 2, 2½, 3, 3½, 4, 4½
కావలసిన పదం = 4½ = \(\frac{9}{2}\)

ప్రశ్న40.
3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2, ……….. A.P. యొక్క సామాన్య భేదంను కనుగొనుము.
జవాబు :
సామాన్య భేదం d = a₂ – a₂
= (3 + √2) – 3 = √2

ప్రశ్న41.
5, 1, -3, -1, ….. ఒక అంకశ్రేణిని ఏర్పరుస్తాయి అని చూపుము.
జవాబు :
ఇచ్చిన A.P. : 5, 1, – 3, – 7, – 11, – 15,
– 19, – 23, – 27, – 31
(లేదా)
a = 5, d = a₂ – a₁ = 1 – 5 = -4,
a₁₀ = a + 9d = ?
a₁₀ = 5 + 9(-4) = 5 – 36 = -31.

ప్రశ్న42.
√2, √8, \(\sqrt{18}, \sqrt{32}\), ….. అంకశ్రేణి లో తరువాత పదంను రాయండి.
జవాబు :

ప్రశ్న43.
21, 18, 15, …… శ్రేణిలో – 81 ఎన్నవ పదము ?
జవాబు :
a = 21, d = 18 – 21 = -3, a_n = -81,
n = ?
a_n = a + (n – 1)d = – 81
⇒ 21 + (n – 1) (- 3) = – 81
⇒ (n – 1) (- 3) = – 81 – 21 = – 102
⇒ n – 1 = \(\frac{-102}{-3}\) = 34
∴ n = 34 + 1 = 35

ప్రశ్న44.
21, 18, 15, …… A.P. లో సున్న ఎన్నవ పదం అవుతుంది ?
జవాబు :
21, 18, 15, 12, 9, 6, 3, 0, …… (ఇచ్చిన A.P. ని పొడిగించగా).
∴ 8వ పదం సున్న అవుతుంది.
(లేదా)
a_n = a + (n – 1)d = 0
⇒ 21 + (n – 1) (- 3) = 0
⇒ (n – 1) (- 3) = – 21
⇒ n – 1 = \(\frac{-21}{-3}\) = -21
∴ n = 7 + 1 = 8

ప్రశ్న45.
log_a a, log_a a⁴, log_a a⁷, log_a a¹⁰ ………. ఒక
A) గుణశ్రేఢి
B) అంకశ్రేఢి
C) హరాత్మక శ్రేఢి
D) ఏదీకాదు
జవాబు :
B) అంకశ్రేఢి

log_a a, 4 log_a a, 7 log_a a, 10 log_a a గా ఇచ్చిన A.P. ని రాయవచ్చును.
a₂ – a₁ – 4 loga – log a = 3 log a
a₃ – a₂ = 7 log a – 4 log a = 3 log a
a₄ – a₃ = 10 log a – 7 log a = 3 log a
∴ సామాన్య భేదం సమానం. కావున అంకశ్రేణి.
(లేదా)
దత్తాంశము log_a a, log_a a⁴, log_a a⁷, log_a a¹⁰… a₂ – a₁ = log_aa⁴ – log a
= log \(\frac{a^{4}}{a}\) = log a₃

a₃ – a₂ = log_a a⁷ – log_a a⁴
= log \(\frac{a^{7}}{a^{4}}\) = log a³

a₄ – a₃ = log_aa¹⁰ – log_aa⁷
= log \(\frac{a^{10}}{a^{7}}\) = log a³
∴ సామాన్య భేదం సమానం. కావున అంకశ్రే.

ప్రశ్న46.
మొదటి 10 సహజ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{10 \times 11}{2}\) = 55

ప్రశ్న47.
1, 8, 4, 16, 2 సంఖ్యలను r = \(\frac{1}{2}\) అయ్యే విధంగా గుణ శ్రేణిలో అమర్చుము.
జవాబు :
1, 8, 4, 16, 2 లను r = \(\frac{1}{2}\) అయ్యే విధంగా గుణ శ్రేణిలో అమర్చగా
16, 8, 4, 2, 1 (∵ r< 1 కాబట్టి GP అవరోహణ’ క్రమంలో ఉంటుంది.)

ప్రశ్న48.
మొదటి పదం 3.5, పదాంతరము సున్న (0) గా గల అంకశ్రేఢి 108వ పదము ఎంత ?
జవాబు :
a = 3.5, d = 0
∴ a₁₀₈ = a + 107d = 3.5 + 0 = 3.5

ప్రశ్న49.
ఒక A.P. లో a₁ = 2 మరియు a₃ = 18 అయిన a₂ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
a₁ = 2, a + 2d = 18 = 2 + 2d = 18
⇒ 2d = 16 ⇒ d = 8
a₂ = a + d = 2 + 8 = 10
(లేదా)
a₂ = \(\frac{a_{1}+a_{3}}{2}=\frac{2+18}{2}\) = 10

ప్రశ్న50.
3, 8, 13, 18, …., 78 శ్రేణిలోని పదాల సంఖ్యను కనుగొనుము.
జవాబు :
3, 8, 13, 18, …., 78
a = 3, 4 = 5, a = 78, n = ?
a_n = a + (n – 1)d = 78
⇒ 3 + (n – 1) 5 = 78
⇒ (n – 1) 5 = 75 ⇒ n – 1 = 15
∴ n = 16.

ప్రశ్న51.
(x + 2), 2x, (2x + 2) లు అంకశ్రేణిలో 3 వరుస పదాలైతే x విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
x + 2, 25, 2x + 2 లు A.P. లో కలవు.
(2x) – (x + 2) = (2x + 2) – 2x
x – 2 = 2 ⇒ x = 4

ప్రశ్న52.
క్రింధి వానిలో ఏవి అంకశ్రేణిలో గల లంబకోణ త్రిభుజ భుజాలు అవుతాయి ?
A) 6, 8, 10
B) 3, 5, 7
C) 2, 4, 6
D) పైవన్నీ
జవాబు :
A) 6, 8, 10

ప్రశ్న53.
7, 13, 19, ……. అంకశ్రేణిలో 10వ పదమును కనుగొనుము.
జవాబు :
a = 7, d = 13 – 7 = 6, a₁₀ = ?
10వ పదం = a + 9d
= 7 + 9(6) = 7 + 54 = 61
(లేదా)
ఇచ్చిన A.P. ని 10 పదాల వరకు పొడిగించగా, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61
10వ పదం a₁₀ = 61

ప్రశ్న54.
– 11, -7, – 3, 1, ….. జాబితా ఒక అంకశ్రేఢి అని నిరూపించండి.
జవాబు :
– 11, -1, -3, 1, 5, …..
a₂ – a₁ = (-7) – (-11) = 4
a₃ – a₂ = (-3) – (-7) = 4
a₄ – a₃ = 1 – (- 3) = 4
సామాన్య భేదం అన్ని సందర్భాలలో సమానం.
∴ అంకశ్రేఢి అవుతుంది.

ప్రశ్న55.
25, 20, 15, ….. శ్రేణిలో ఎన్నవ పదం మొదటి ఋణ సంఖ్య అవుతుంది ?
జవాబు :
25, 20, 15, …… లో మొదటి ఋణ పదం = ?
a = 25, d = 20 – 25 =-5, a_n < 0
a + (n – 1)d < 0
⇒ 25 + (n-1) (-5) < 0
⇒ (n – 1) (-5) < – 25 ⇒ n – 1 > \(\frac{-25}{-5}\) = 5
⇒ n – 1 > 5 = n > 6.
కావున 7వ పదం మొదటి ఋణసంఖ్య అవుతుంది.
(లేదా)
ఇచ్చిన A.P. : 25, 20, 15, 10, 5, 0, – 5
మొదటి ఋణ సంఖ్య 7వ పదము.

ప్రశ్న56.
ఒక అంకశ్రేణి యొక్క n వ పదం a_n = 2n + 3 అయిన 12వ పదంను కనుగొనుము.
జవాబు :
a_n = 2n + 3 ⇒ a₁₂ = 2(12) + 3 = 27

ప్రశ్న57.
ఒక అంకశ్రేణి యొక్క nవ పదము 7 – 2n అయిన ఆ అంకశ్రేఢి సామాన్య భేదంను తెల్పండి.
జవాబు :
a = 7 – 2n
∴ a₁ = 7 – 2(1) = 5
a₂ = 7 – 2(2) = 3
d = a₂ – a₁ = 3 – 5 = – 2.
(లేదా)
a_n = 7 – 2n of n గుణకం = d = – 2

ప్రశ్న58.
x, y, z లు అంకశ్రేణిలో ఉంటే క్రింది ఏది సత్యం ?
A) y = \(\frac{x+z}{2}\)
B) 2y = x + z
C) y – x = z – y
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న59.
24, 21, 18, …. అంకశ్రేణి యొక్క S₄ = S₁₃ =78 అయిన ఆ శ్రేఢి యొక్క 5వ పదం నుండి 13వ పదం వరకు గల పదాల మొత్తం ఎంత ?
జవాబు :
0,

S₁₃ = S₄ + S_{(5 నుండి 13 వరకు)},
⇒ S₁₃ – S₄ = S_{(5 నుండి 13 వరకు)} (∵S₁₃ = S₄)
0 = S_{(5 నుండి 13 వరకు)}

ప్రశ్న60.
క్రింది వానిలో అంకశ్రేఢి యొక్క ఏది సత్యం ?
A) a_n = S + S_n-1
B) a_n = a + (n – 1) d
C) S_n = n(2a + (n – 1) d]
D) పైవన్నీ
జవాబు :
B) a_n = a + (n – 1) d

ప్రశ్న61.
ఒక అంకశ్రేణి 17వ పదం, 10వ పదంకన్నా 21 ఎక్కువ అయిన సామాన్యభేదం ఎంత ?
జవాబు :
a₁₇ = a₁₇ + 21 ⇒ a₁₇ – a₁₀ = 21
⇒ 7d = 21 =d = 3

ప్రశ్న62.
1 మరియు 250ల మధ్య గల 4 యొక్క గుణిజాల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు :
1, 250 మధ్యగల 4 యొక్క గుణిజాలు
4, 8, 12, …….., 248
a = 4, d = 8 – 4 = 4, a = 248, n = ?
a_n = a + (n – 1)d = 248
⇒ 4 + (n – 1) 4 = 248
⇒ (n – 1) 4 = 244
n – 1 = \(\frac{244}{4}\) = 61
n = 61 + 1 = 62
1, 250 మధ్యగల 4 యొక్క గుణిజాల సంఖ్య = 62
(లేదా )
1, 250 మధ్యగల గుణిజాలు … (4, 8, 12, 16, 20, ………, 248)
= (4 × 1, 4 × 2, 4 × 3, ….., 4 × 62)
∴ 1, 250 మధ్యగల 4 యొక్క గుణిజాల సంఖ్య = 62

ప్రశ్న63.
ఒక అంకశ్రేఢ a₂ = 6 మరియు a₇ = – 4 అయిన a_n = 0 అయ్యేట్లు n విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
a₇ – a₂ = 5d = (- 4) – (6) = – 10
d = = =-2
a = a₁ = 6 – (-2) = 8, d = -2
a_n = 0, n = ?
a_n = a + (n – 1)d = 0
= 8 + (n – 1) (-2) = 0
= (n – 1) (-2) = -8
= n – 1 = \(\frac{-8}{-2}\) = 4
n = 4 + 1 = 5.
(లేదా)
d = -2
ఆ శ్రేఢి a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇
8, 6, 4, 2, 0, -2, -4
∴ n – 5

ప్రశ్న64.
– 11, – 8, – 5, ……. 49 అంకశ్రేణిలో చివరి 2. నుండి 4వ పదమును రాయండి.
జవాబు :
– 11, – 8, – 5, ……, 49 అంకశ్రేణిలో చివరి నుండి 4వ పదము = 40.
ఆ శ్రేఢి = -11, -8, -5,…… 40, 43, 46, 49

ప్రశ్న65.
a = -1.25, d = -0.25 అయిన a్మను లెక్కించండి.
జవాబు :
a. = – 1.25, d = 0.25
a = a + 3d
= (- 1.25) + 3(-0.25)
= 1.25 – 0.75 = -2,

ప్రశ్న66.
ప్రవచనం-1 : అంకశ్రేఢి యొక్క nవ పదం a_n = a.r^n-1
ప్రవచనం-II : గుణశ్రేఢి యొక్క nవ పదం a_n = a + (n – 1) d
A) I సత్యం, II అసత్యం
B) I అసత్యం, II సత్యం
C) I మరియు II లు రెండూ సత్యం
D) I మరియు II లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
D) I మరియు II లు రెండూ అసత్యం

ప్రశ్న67.
2, 7, 12, ……. అంకశ్రేణిలో 10 పదాల మొత్తం ఎంత ?
జవాబు :
a = 2, d = 7 – 2 = 5, a_n = 10, S_n = ?
S = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d
= \(\frac{10}{2}\) [4 + 9(5)] = 5(49) = 245

ప్రశ్న68.
ఒక అంకశ్రేణిలో a = 7, a₁₃ = 35 అయిన S₁₃ = 273 అని చూపుము.
జవాబు :
a = 7, a₁₃ = 1 = 35; S₁₃ = ?, n = 13.
S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= \(\frac{13}{2}\) [7+ 35] = 13 × 21 = 273

ప్రశ్న69.
– 37, – 33, – 29, ….. అంకశ్రేణిలో 12 పదాల మొత్తంను కనుగొనుము.
జవాబు :
a = – 37, d = – 33 – (-37) = 4, n = 12 1.
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] .
= \(\frac{12}{2}\) [2(-37) + 11(4)]
= 6 (-74 + 44) = 6 (30) = – 180

ప్రశ్న70.
S = {x/x అనేది 2n + 3, n వ పదంగా గల అంకశ్రేణిలోని పదము, మరియు n < 6} అయిన S సమితిని రోస్టర్ రూపంలో రాయండి.
జవాబు :
a_n = 2n + 3
n = 1, a₁ = 2(1) + 3 = 5,
a₂ = 2(2) + 3 = 7,
a₃ = 2(3) + 3 = 9,……..
S = {5, 7, 9, 11, 13, 15}

ప్రశ్న71.
ఒక త్రిభుజంలోని కోణాలు సామాన్య భేదం 10గా గల అంకశ్రేణిలో ఉంటే ఆ కోణాలను కనుగొనుము.
జవాబు :
మూడు కోణాలు a, a + d, a + 2d అనుకొనుము.
(∵అంకశ్రేఢిలో కలవు), d = 10 మూడు కోణాల మొత్తం .
a + a + d + a + 2d = 180°
3a + 3d = 1800
3a + 30 = 180° ( d = 10)
3a = 180 – 30 = 150°
a = 50°
∴ మూడు కోణాలు 50, 60, 70°.

ప్రశ్న72.
6 చే భాగింపబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యల మొత్తంను లెక్కించండి.
జవాబు :
6 చే భాగింపబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యలు
6, 12, 18, ……….., 40 పదాలు
a = 6, d = 12 – 6 = 6, a_n = 40, S_n = ?
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
= \(\frac{40}{2}\)[12 + 39 × 6]
= 20 × 246 = 4920
(లేదా)
(6 + 12 + 18 + ……. + 40 పదాలు )
= 6(1 + 2 + 3 + 4 + …. + 40]

= 3 × 40 × 41 = 4,920.

ప్రశ్న73.
అంకశ్రేణి n వ పదం an = 9 – 5n అయిన ఆ అంకశ్రేఢి మొదటి 15 పదాల మొత్తం ఎంత ?
జవాబు :
a_n = 9 – 5n
a₁ = a = 9-5(1) = 4
a₂ = 9-5(2) = -1
d = a₂ – a₁ = -1 – 4 = -5
n = 15, S_n = ?
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
= \(\frac{15}{2}\) [8 + 14 (-5)] = \(\frac{15}{2}\)(-62)
=- 465

ప్రశ్న74.
ఒక అంకశ్రేణిలో n పదాల మొత్తం 2n² + 3n అయిన ఆ అంకశ్రేణి సామాన్యభేదం 4 అని చూపండి.
జవాబు :
S_n = 2n² + 3n
S₁ = a₁ = 2(1)² + 3(1) = 5
S₂ = a₁ + a₂ = 2(2)² + 3(2)
= 8 + 6 = 14
a₂ = 14 – 5 = 9
∴ d = a₂ – a₁ = 9 – 5 = 4

ప్రశ్న75.
ఒక అంకశ్రేణి n పదాల మొత్తం 3n² + 5n అయిన ఆ శ్రేఢి యొక్క 2 వ పదంను రాయండి.
జవాబు :
S_n = 3n² + 5n
S₁ = a₁ = 3(1)² + 5(1) = 8
S₂ = a₁ + a₂ = 3(2)² + 5(2) = 22
a₂ = 22 – a₁ = 22 – 8 = 14
(లేదా)
a₂ = S₂ -S₁
= [3(2)² + 5(2)] – [3(1)² + 5(1)]
= 22 – 8 = 14

ప్రశ్న76.
a₇ = 4, d = 2 మరియు S₈ = – 8 అయిన ఆ శ్రేణిలో S₉ = 0 అని చూపుము.
జవాబు :
a₇ = 4, d = 2
a + 6d = 4 ⇒ a + 6(2) = 4
⇒ a + 12 = 4 .
⇒ a = -8
a = -8, d = 2 .

S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1]d]
= \(\frac{9}{2}\)[2 (-8) + (9 – 1) (2)]
= \(\frac{9}{2}\)[- 16 + 16] = 0
∴ S₉ = 0

ప్రశ్న77.
100 నుండి 200 వరకు గల బేసి సంఖ్యల మొత్తం ఎంత ?
జవాబు :
100, 200 మధ్యగల బేసి సంఖ్యలు
101, 103, 105, ….., 199
a = 101, d = 2, a_n = 199, n = ?, S_n = ?
a_n = a + (n – 1)d = 199
⇒ 101 + (n – 1) (2) = 199
⇒ (n – 1) (2) = 199 – 101 = 98
⇒ n – 1 = \(\frac{98}{2}\) = 49
∴ n = 49 + 1 = 50
S = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
= \(\frac{50}{2}\) [202 + 49 × 2]
= 25 × 300 = 7500
(లేదా)
100 నుండి 200 వరకు గల బేసి సంఖ్యల మొత్తం ‘= (1 నుండి 200 వరకు గల బేసి సంఖ్యల మొత్తం)
– (1 నుండి 100 వరకు గల బేసి సంఖ్యల మొత్తం)
= (100)² – (50)² = 10000 – 2500 = 7500

ప్రశ్న78.
మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనుము.
జవాబు :
1, 3, 5, …, n పదాలు , a = 1, d = 2

ప్రశ్న79.
క్రింది వానిలో గుణశ్రేఢి ఏది ?
A) 6, 12, 24, ….
B) 1, 4, 9, 16, ……
C) 0, 3, 9, 27, …
D) పైవన్నీ
జవాబు :
A) 6, 12, 24, ….

ప్రశ్న80.
ఒక గుణ శ్రేఢి మొదటి పదం ar² మరియు సామాన్య. నిష్పత్తి r అయిన ఆ శ్రేఢి 5వ పదంను రాయండి.
జవాబు :
మొదటి పదం a = a₁ = ar,
సామాన్య భేదం = r
a₂ = ar³r.r = ar³
a₃ = ar⁴,
a₄ = ar⁵
∴ a₅ = ar⁶
(లేదా)
a_n = ar², r = r, n = 5
∴ a_n = ar^n-1
= as = ar²(r)^5-1 = ar²r⁴
a₅ = ar⁶

ప్రశ్న81.
\(\frac{1}{16}, \frac{1}{64}, \frac{1}{256}\) ….. గుణశ్రేణి సామాన్య నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :

ప్రశ్న82.
క్రింది వానిలో సామాన్య నిష్పత్తి 3 గా గల గుణ శ్రేణి ఏది ?
A) 1, 3, 9, 27, ….
B) 5, 15, 45, 135,
C) 2, 6, 18, 54, ..
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న83.
x, \(\frac{4 x}{3}, \frac{5 x}{3}, 2 x, \frac{7 x}{3}\) …….. అంకశ్రేణిలో 7వ పదమును కనుగొనుము.
జవాబు :

ప్రశ్న84.
మొదటి పదం a = 3, సామాన్యనిష్పత్తి r = 2 గా గల గుణశ్రేణిని రాయండి.
జవాబు :
a = 3, r = 2గా గల గుణశేథి 3, 6, 12, 24, …

ప్రశ్న85.
64, -32, 16, – 8, … గుణశ్రేఢి అని చూపుము.
జవాబు :
64, -32, 16, – 8, …….
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-32}{64}=-\frac{1}{2}, \frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{16}{-32}=-\frac{1}{2}\)
\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{-8}{16}=-\frac{1}{2}\)
∴ సామాన్య భేదం స్థిరము.
∴ ఇచ్చిన సంఖ్యలు గుణశ్రేణిలో కలవు.

ప్రశ్న86.
6 చే భాగింపబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యల మొత్తము కనుగొనుము. ఈ సమస్యా సాధనా సోపాన క్రమంలో సరైన దానిని ఎన్నుకొనుము.
సోపానం (a) : S_n = A [2a + (n – 1)d] ,
సోపానం (b) : 6చే భాగింపబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యలు 6, 12, 18, 24, ….., 40 పదాలు
సోపానం (c) : S₄₀ = \(\frac{40}{2}\) [2(6)+ (40 -1)(6)] = 20 [12 + 234]
సోపానం (d) : a = 6, d = a₂ – a₁ = 6, n = 40
సోపానం (e) : S₄₀ = 20 × 246 = 4920
A) b, e, c, a, d
B ) c, b, a, d, e
C) b, a, c, e, d
D) b, d, a, c, e
జవాబు :
D) b, d, a, c, e

ప్రశ్న87.
a = √5, r = \(\frac{1}{5}\) గా గల గుణశ్రేణి యొక్క 2వ పదంను రాయండి.
జవాబు :
a₂, = ar = √5 × \(\frac{1}{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)

ప్రశ్న88.
-2, 6, – 18, 54, ….. గుణ శ్రేణిలో తరువాతి పదం తెల్పండి.
జవాబు :
– 2, 6, – 18, 54 లో తరువాత పదం a₅ = ?
a = – 2, r =-3
a₅ = a.r⁴ = (-2) (- 3)⁴
=- 2 (81) = – 162

ప్రశ్న89.
x, 1, \(\frac{1}{x}\), … గుణశ్రేణిలో తరువాతి పదంను రాయండి.
జవాబు :
x, 1, \(\frac{1}{x}\)లు గుణశ్రేణిలో కలవు.
a = x, r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{1}{x}\)
∴ తరువాత పదం = \(\frac{1}{x} \times \frac{1}{x}=\frac{1}{x^{2}}\)

ప్రశ్న90.
x, 4, 4x లు గుణశ్రేణిలో మూడు వరుస పదాలైతే x విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
x, 4, 4x లు గుణశ్రేణిలో 3 వరుస పదాలు
∴ \(\frac{4}{x}=\frac{4 x}{4} \Rightarrow \frac{4}{x}\)
⇒ 4 = x² = x = √4 = +2

ప్రశ్న91.
అగ్గిపుల్లల సహాయంతో మోహన్ క్రింది ఆకారాలను తయారు చేశాడు. ప్రతి ఆకారానికి వాడిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య వరుసగా ఏ శ్రేణి అవుతుంది ?

జవాబు :
అంకశ్రేణి

ప్రశ్న92.
0.4, 0.04, 0.004, …… గుణశ్రేణి సామాన్య నిష్పత్తిని తెల్పండి.
జవాబు :

ప్రశ్న93.
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\), -2, \(\frac{8}{\sqrt{2}}\) …. గుణశ్రేణి తరువాత పదంను గుణశ్రేణి తరువాత పదంను కనుగొనుము.
జవాబు :

ప్రశ్న94.
\(\frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8}\) …….. గుణ శ్రేణిలో nవ పదమును కనుగొనుము
జవాబు :

ప్రశ్న95.
2, 8, 32, …….గుణ శ్రేణిలో ఎన్నవ పదం 512 అవుతుంది ?
జవాబు :
2, 8, 32, …….
a = 2, r = \(\frac{8}{2}\) = 4, a_n = 512, n = ?
a_n = ar^n-1 = 512
⇒ 2(4)^n-1 = 512
⇒ 4^n-1 = \(\frac{512}{2}\) = 256 = 4⁴
∴n – 1 = 4 ⇒ n = 5
∴ 5వ పదం 512 అవుతుంది.
(లేదా)
ఇచ్చిన G.P. ని పొడిగించగా
2, 8, 32, 128, 512, ……
∴ 5వ పదం = 512

ప్రశ్న96.
ఒక గుణ శ్రేఢి 3వ పదం 36 మరియు 6వ పదం 972 అయిన ఆ గుణశ్రేఢి 4వ పదమును కనుగొనుము.
జవాబు :
a₃ = ar² = 36, a₆ = ar⁵ = 972

నాల్గవ పదం a₄ = a₃, r = 36 × 3 = 108

ప్రశ్న97.
గుణశ్రేఢి యొక్క n వ పదం కనుగొను సూత్రాన్ని రాయండి.
జవాబు :
గుణ శ్రేఢిలో 1వ పదము a_n = a.r^n-1

ప్రశ్న98.
2, – 6, 18, – 54, ….. గుణ శ్రేఢి n వ పదమును రాయండి.
జవాబు :
2 = 2, r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-6}{2}\) = – 3, a_n = ?
a_n = a.r^n-1 = 2(- 3)^n-1

ప్రశ్న99.
a₁ = 9, r = \(\frac{1}{3}\) గా గల గుణశ్రేణిలో ఇలను కనుగొనుము.
జవాబు :
a₁ = 9, r = \(\frac{1}{3}\)
a₅ = ar⁴ = 9\(\left(\frac{1}{3}\right)^{4}\) = 9 × \(\frac{1}{81}=\frac{1}{9}\)

ప్రశ్న100.
ఒక గుణశ్రేణి యొక్క n వ పదం 3 \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). ఆ గుణశ్రేణి యొక్క సామాన్య నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న101.
2, 2√2 , 4, …… గుణశ్రేణిలో ఎన్నవ పదం 64 అవుతుంది ?
జవాబు :
2, 2√2 , 4, ……….
a = 2, r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{2 \sqrt{2}}{2}\) = √2 , a_n = 64.
a_n = ar^n-1 = 64
⇒ 2(√2)^n-1 = 64 ⇒ (√2)^n-1 = \(\frac{64}{2}\) = 32
⇒ 2^{\(\frac{\mathrm{n}-1}{2}\)} = 2⁵ ⇒ \(\frac{\mathrm{n}-1}{2}\) = 5
⇒ n – 1 = 10 ⇒ n = 11
(లేదా)
2, 2√2, 4, 4√2, 8, 8√2, 16, 16√2, 32, 32√2, 64 గా రాయవచ్చును.
∴ 11వ పదం 64 అవుతుంది.

ప్రశ్న102.
x – 1, x – 2, x – 3, ….. అంకశ్రేణిలో 10 పదాల మొత్తం ఎంత ?
జవాబు :
x – 1, x – 2, x – 3, ….. (x – 10) అంకశ్రేణిలో 10 పదాల మొత్తం
a = x – 1, d = (x – 2) – (x – 1) = – 1,
n= 10
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + l]
= \(\frac{10}{2}\) [(x-1) + (x – 10)]
S₁₀ =5(2x – 11) = 10x – 55
(లేదా)
(x – 1) + (x – 2) + (x – 3) +…. + (x – 10)
= 10x – (1 + 2 + 3 + …. + 10)
= 10x – \(\frac{10 \times 11}{2}\) = 10x – 55

ప్రశ్న103.
a₁ = – 12, r = \(\frac{1}{3}\) గా గల గుణశ్రేణిలో 6వ పదాన్ని కనుగొనుము.
జవాబు :
a₆ = (- 12) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{5}\)
= -12 × \(\frac{1}{3^{5}}=\frac{-4}{3^{4}}=\frac{-4}{81}\)

ప్రశ్న104.
2x, (x + 10), (3x + 2) లు అంకశ్రేణిలో ఉంటే x విలువ ………..
A) 6
B) 3
C) 5
D) 4
జవాబు :
A) 6

2x, (x + 10), (3x + 2) లు A.P లో కలవు.
∴ (x + 10) – (2x) = (3x + 2) – (x + 10)
x + 10 – 2x = 3x + 2 – x – 10.
⇒ 10 – x = 2x – 8
⇒ – x – 2x = – 8 – 10
⇒ – 3x = – 18 ⇒ x = \(\frac{-18}{-3}\) = 6.

ప్రశ్న105.
ప్రాచీన భారతీయ గణితశాస్త్రవేత్త ఆర్యభట్ట యొక్క ప్రసిద్ధ గ్రంథము …………
A) ఆర్యతర్కం
B) ఆర్యభట్టీయం
C) సిద్ధాంత శిరోమణి
D) కరణకుతూహలం
జవాబు :
B) ఆర్యభట్టీయం

ప్రశ్న106.
క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ?
A) అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదానికి ఒక స్థిర సంఖ్యను – కలుపగా వచ్చే ఫలిత జాబితా అంకశ్రేణి.
B) అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదము నుంచి ఒక స్థిరసంఖ్యను తీసివేయగా ఫలిత జాబితా అంకశ్రేణి.
C) అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదాన్ని ఒక స్థిర సంఖ్యతో గుణించగా వచ్చే ఫలిత జాబితా అంకశ్రేణి.
D) అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదాన్ని ఒక స్థిర సంఖ్యతో భాగించగా వచ్చే ఫలిత జాబితా ఒక గుణ శ్రేఢి.
జవాబు :
D) అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదాన్ని ఒక స్థిర సంఖ్యతో భాగించగా వచ్చే ఫలిత జాబితా ఒక గుణ శ్రేఢి.

ప్రశ్న107.
6, 2 – 2, – 6, …… అంకశ్రేణి సామాన్య భేదం ఎంత ?
జవాబు :
సామాన్య భేదం d = a₂ – a₁ = 2 – 6 = -4

ప్రశ్న108.
క్రింది వానిని జతపరుచుము :

i) మొదటి n సహజ సంఖ్యల మొత్తం	a) \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}\)
ii) మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం	b) n2
iii)మొదటి n సరి సంఖ్యల మొత్తం	c) n(n + 1)

A) i-a, ii-b, iii-c
B) i-b, ii-c, iii-a
C) i-c, ii-a, iii-b
D) i-a, ii-c, iii-b
జవాబు :
A) i-a, ii-b, iii-c

ప్రశ్న109.
2x, 3x, 4x, ….. అంకశ్రేణిలో 10వ పదంను రాయండి.
జవాబు :
a = 2x, d = 3x – 2x = x
a₁₀ = a + 9d = 2x + 9x = 11x
(లేదా)
ఇచ్చిన A.P. ని 10 పదాల వరకు రాయగా 2x, 3x, 4x, 5x, 6x, 7x, 8x, 9x, 10x, 11x
10వ పదము a₁₀ = 11x

ప్రశ్న110.
ఒక టాక్సీ మొదటి కి.మీ. ప్రయాణానికి ₹ 20 ల చొప్పున, తరువాత ప్రతి కి.మీ.కు ₹8 ల చొప్పున చెల్లించవలసిన, 15 కి.మీ. ప్రయాణానికి అయ్యే సొమ్మును కనుగొనుము.
జవాబు :
ప్రతి కి.మీ.కి వరుసగా చెల్లించాల్సిన సొమ్ము
= 20, 28, 36, ……… A. P. లో కలదు.
a = 20, d = 8, a₁₅ = ?
a₁₅ = a + 14d.
= 20 + 14(8)
= 20 + 112 = ₹ 132

ప్రశ్న111.
√2, √8, √18 అంకశ్రేణిలో తరువాత పదం ఏది?
జవాబు :
ఇచ్చిన A.P. : √2, √8, √18 , ………
= \(\sqrt{1 \times 2}, \sqrt{4 \times 2}, \sqrt{9 \times 2}\), …….
= √2, 2√2, 3√2, ………..
∴ తరువాత పదం = 4√2 = \(\sqrt{16 \times 2}=\sqrt{32}\)

ప్రశ్న112.
√3, √12, √27 , ….. అంకశ్రేణిలో 5వ పదమును కనుగొనుము.
జవాబు :
√3, √12, √27 , …… A.P లో 5వ పదం.
\(\sqrt{3}, \sqrt{4 \times 3}, \sqrt{9 \times 3}\)….
= 13, 2/3, 3/3, ……..
5వ పదం 5/3 = \(\sqrt{25 \times 3}\) = \(\sqrt{75}\)

ప్రశ్న113.
ఒక గుణశ్రేణి యొక్క 1వ పదం a_n = 3(2)^n-1 అయిన క్రింది వానిని జతపరుచుము.

i) మొదటి పదం a	a) 2
ii) సామాన్య నిష్పత్తి	b) 3
iii)రెండవ పదం a<sub>2</sub>	c) 6
iv)నాల్గవ పదం a<sub>4</sub>	d) 24

A) i-c, ii-b, iii-d, iv-a
B) i-b, ii-a, iii-c, iv-d
C) i-a, ii-c, iii-b, iv-d
D) i-c, ii-a, iii-b, iv-d
జవాబు :
B) i-b, ii-a, iii-c, iv-d

ప్రశ్న114.
log a, log b, log cలు అంకశ్రేణిలో ఉంటే క్రింది వానిలో ఏది నిజం ?
A) log b² = log ac
B) b² = ac
C) 2 log b = log ac
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న115.
sin 0°, sin 30°, sin 90° విలువలు వరుసగా ఏ శ్రేడిని ఏర్పరుస్తాయి ?
జవాబు :
0, \(\frac{1}{2}\), 1 [:: sin 0° = 0, sin 30° = \(\frac{1}{2}\), sin 90° = 1]
అంకశ్రేణిని ఏర్పరుస్తాయి.

ప్రశ్న116.
a = 7, d = 3, n = 8 గా గల అంకశ్రేఢి యొక్క a_n+1 ను కనుగొనుము.
జవాబు :
a_n+1 = a₈₊₁
= a₉ = a + 8d = 7 + 8(3) = 31

ప్రశ్న117.
sin 30, sin 90°, cosec 30° విలువలు వరుసగా ఏ శ్రేణిని ఏర్పరుస్తాయి ?
జవాబు :
\(\frac{1}{2}\), 1, sin 30° = \(\frac{1}{2}\), sin 90° = 1, cosec 30° = 2]
గుణశ్రేణిని ఏర్పరుస్తాయి.

ప్రశ్న118.
a₂ = 13, a₄ = 3 గా గల అంకశ్రేణిలో ఇ, విలువ ఎంత ?
జవాబు :
a₃ = \(\frac{a_{4}+a_{2}}{2}=\frac{3+13}{2}\) = 8
a₁, a₂, a₃, a₄, లు A.P.లో కలవు
= a₁, 13, a₃, 3
a₃ – 13 = 3 – a₃
⇒ 2a₃ = 16 ⇒ a₃ = \(\frac{16}{2}\) = 8

ప్రశ్న119.
“చతురస్రం / దీర్ఘచతురస్రంలోని నాలుగు కోణాల విలువలు వరుసగా ఒక గుణ శ్రేణిలో ఉంటాయి” అని రిషి అంటున్నారు. రిషి తెల్పిన ప్రవచనాన్ని సమర్ధించండి.
జవాబు :
చతురస్రం / దీర్ఘచతురస్రంలోని నాలుగు కోణాల ‘విలువలు వరుసగా 90, 90, 90, 90.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{90}{90}\) = 1, \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{90}{90}\) = 1, \(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{90}{90}\) = 1, \(\) = 1
సామాన్య భేదం అన్ని సందర్భాలలో సమానంగా కలదు. కావున చతురస్ర / దీర్ఘచతురస్ర కోణాలు గుణ శ్రేణిలో ఉంటాయి. కావున రిషి చెప్పిన ప్రవచనంతో ఏకీభవిస్తాను.

ప్రశ్న120.
ఒక అంకశ్రేణి సామాన్య భేదం – 3 మరియు 18వ పదం – 5 అయితే ఆ శ్రేఢి మొదటి పదం ఎంత ?
జవాబు :
d = 3, a₁₈ ⇒ a + 17d = -5
⇒ a + 17(- 3) = . 5
⇒ a = – 5 + 51 = 46

ప్రశ్న121.
క్రింద ఇవ్వబడిన అసత్య ప్రవచనాన్ని సత్య ప్రవచనంగా మార్చి రాయండి.
ప్రవచనం : ఒక అంకశ్రేణిలో n పదాల మొత్తం
S_n = a + (n – 1]d
జవాబు :
ఒక అంకశ్రేణిలో n పదాల మొత్తం =
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
(లేదా)
S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]

ప్రశ్న122.
1 నుంచి 100 వరకు గల అన్ని సహజ సంఖ్యల మొత్తాన్ని సూక్ష్మ పద్ధతిలో తెలిపిన గణితశాస్త్రజ్ఞుడు
A) యూలర్
B) ఆర్యభట్ట
C) గాస్
D) రామానుజం
జవాబు :
C) గాస్

ప్రశ్న123.
24, 21, 18, ……. అంకశ్రేణిలో మొదటి నాలుగు పదాల మొత్తం ఎంత ?
జవాబు :
a₁ = 24, a₂ = 21, a₃ = 18,
d = 21 – 24 = -3
a₄ = a + 3d = 24 – 9
a₄ = 15
S₄ = 24 + 21 + 18 + 15 = 78

ప్రశ్న124.
మొదటి n ధనపూర్ణ సంఖ్యల (సహజ సంఖ్యల) మొత్తమునకు సూత్రాన్ని రాయండి.
జవాబు :
\(\frac{n(n+1)}{2}\)

ప్రశ్న125.
a_n = 3 + 2n గా గల అంకశ్రేణిలో 5వ పదంను కనుగొనుము.
జవాబు :
a_n = 3 + 2n, a₅ = 3 + 2(5) = 13

ప్రశ్న126.
వాక్యం X : a, b, c లు అంకశ్రేణిలో ఉంటే b = \(\frac{a+c}{2}\)
వాక్యం Y : a, b, c లు గుణశ్రేణిలో ఉంటే b² = ac
A) X – సత్యం, Y – అసత్యం
B) X – సత్యం, Y – సత్యం
C) X – అసత్యం, Y – సత్యం
D) X – అసత్యం , Y – అసత్యం
జవాబు :
B) X – సత్యం , Y – సత్యం

ప్రశ్న127.
3n + 5 కు 1వ పదంగా గల అంకశ్రేణి సామాన్య భేదం ఎంత ?
జవాబు :
3

ప్రశ్న128.
ఒక అంకశ్రేణి n పదాల మొత్తం
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]., సూత్ర పదాలను వాని వివరణకు జతపరుచుము.

i) a	p) n పదాల మొత్తము
ii) d	q) పదాల సంఖ్య
iii) Sn	r) మొదటి పదం
iv) n	s) సామాన్య భేదం

A) is, ii-p, iii-r, iv-q
B) i-r, ii-p, iii-q, iv-S
C) i-r, ii-s, iii-p, iv-q
D) is, ii-r, iii-p, iv-4
జవాబు :
C) i-r, ii-s, iii-p, iv-q

ప్రశ్న129.
1, 3, 5, 7, 9, ……. శ్రేణిలో మొదటి 20 పదాల మొత్తం …………….
A) 900
B) 100
C) 1600
D) 400
జవాబు :
D) 400

n = 20, S_n = n² = 202 = 400
(∵ 1, 3, 5, ….. బేసి సంఖ్యలు)

ప్రశ్న130.
అంకశ్రేణి n పదాల మొత్తం S_n = n² + 3n అయిన ఆ అంకశ్రేఢి n వ పదము …….
A) 2n
B) 2n – 2
C) 2n + 2
D) 2n – 1,
జవాబు :
S_n = n² + 3n
a_n = S_n – S_n-1
= (n² + 3n) – [[n – 1)² + 3(n – 1)]
= (n² + 3n) – [n² – 2n + 1 + 3n – 3]
= n² + 3n – (n² + n – 2)
= n² + 3n – n² – n + 2
= 2n + 2
(లేదా)
S_n = n² + 3n
a₁ = S₁ = (1)² + 3(1) = 4
S₂ = a₁ + a₂
= (2)² + 3(2) = 4 + 6 = 10

∴ a₂ = 10 – 4 = 6
d = a₂ – a₁ = 6 – 4 = 2
a_n = a + (n – 1)d
= 4 + (n – 1)2 = 2n + 2

ప్రశ్న131.
అంకశ్రేఢ nపదాల మొత్తం S_n = n² + 5n అయిన ఆ అంకశ్రేఢి 7వ పదమును కనుగొనుము.
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
జవాబు :
B) 18

S_n = n² + 5n, a₇ = ?
a₇ = S₇ – S₆
= [[7)² + 5(7)] – [[6)² + 5(6)]
= 84 – 66 = 18

ప్రశ్న132.
ఒక అంకశ్రేణిలో n పదాల మొత్తం S_n = an² + 5n అయిన క్రింది వానిని జతపరుచుము.

i) మొదటి పదము a	a) 450
ii) సామాన్య భేదం d	b) 9
iii)10 పదాల మొత్తం S10	c) 17
iv) రెండవ పదము a2	d) 8.

A) i-c, ii-b, iii-d, iv-a.
B) i-b, ii-d, iii-a, iv-c
C) i-a, ii-b, iii-c, iv-d
D) i-d, ii-b, iii-c, iv-a
జవాబు :
B) i-b, ii-d, iii-a, iv-c

ప్రశ్న133.
వాక్యం X : అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదాన్ని స్థిర సంఖ్య (ఒకే సంఖ్య)తో గుణించగా ఏర్పడు సంఖ్యల జాబితా తిరిగి అంకశ్రేణి అవుతుంది.
వాక్యం Y : అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదాన్ని ఒక స్థిర సంఖ్యతో భాగించగా వచ్చు నూతన సంఖ్యల జాబితా తిరిగి అంకశ్రేఢి అవుతుంది.
A) X, Y లు రెండూ సత్యం
B) X, Y లు రెండూ అసత్యం
C) X – సత్యం, Y – అసత్యం
D) X – అసత్యం , Y – సత్యం
జవాబు :
C) X – సత్యం, Y – అసత్యం

ప్రశ్న134.
125, – 25, 5, ……. గుణశ్రేణి నాల్గవ పదమును రాయండి.
జవాబు :
a = 125, r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-25}{125}=\frac{-1}{5}\)
a₄ = a₃r = 5 × \(\frac{-1}{5}\) = -1

ప్రశ్న135.
ఒక గుణశ్రేణి మొదటి పదం \(\frac{1}{64}\), సామాన్య నిష్పత్తి 2 అయిన ఆ గుణ శ్రేఢి 9వ పదము ఎంత ?
జవాబు :
a = \(\frac{1}{64}\), r = 2,
a₉ = ar⁸ = \(\frac{1}{64}\) × 2⁸ = \(\frac{1}{2^{6}}\) × 2⁸
= 2² = 4

ప్రశ్న136.
సామాన్య నిష్పత్తి 2గా గల ఒక గుణ శ్రేణిని రాయండి.
జవాబు :
r = 2 గా గల ఒక గుణశ్రేఢి 3, 6, 12, 24, …..

ప్రశ్న137.
3, -3², 3³, ……….. గుణ శ్రేణిలో సామాన్య నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :
-3

ప్రశ్న138.
\(\frac{1}{3},-\frac{1}{6}, \frac{1}{12}\) గుణశ్రేణిలో తరువాత పదం ఏది ?
జవాబు :
\(\frac{1}{24}\)

ప్రశ్న139.
ఒక గుణశ్రేఢిలో 3వ పదం 24 మరియు 6వ పదం 192 అయిన ఆ గుణశ్రేణి సామాన్య నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :
G.P. లో a₃ = ar² = 24, a₆ = ar⁵ = 192
\(\frac{a_{6}}{a_{3}}=\frac{a r^{5}}{a r^{2}}=\frac{192}{24}\) ⇒ r³ = 8 = 2³
∴ r = 2

ప్రశ్న140.
2, 2√2, 4, ….. గుణశ్రేణిలో 6వ పదం ఏది ?
జవాబు :
2, 2√2, 4 ను 6 పదాల వరకు పొడిగించగా
2, 2√2, 4, 4√2, 8, 8√2.

ప్రశ్న141.
గుణశ్రేణి యొక్క క్రింది వానిని జతపరుచుము.
√3, √6, 2√3, 2√6, …………

i) మొదటి పదం a	a) 4√3
ii) సామాన్య నిష్పత్తి r	b) √3
iii)3వ పదము a3	c) 2√3
iv) 5వ పదము a5	d) √2

A) i-a, ii-c, iii-b, iv-d
B) i-b, ii-a, iii-d, iv-c
C) i-b, ii-d, iii-c, iv-a
D) i-b, ii-a, iii-c, iv-d
జవాబు :
C) i-b, ii-d, iii-c, iv-a

ప్రశ్న142.
√3, √6, 2√3, ……. గుణశ్రేణి సామాన్య నిష్పత్తి √2 అని చూపుము.
జవాబు :

ప్రశ్న143.
1, \(-\frac{1}{3}, \frac{1}{9},-\frac{1}{27}\) ……. గుజశ్రేణిలో 6వ పదమును కనుగొనుము.
జవాబు :

ప్రశ్న144.
p) 1, \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}\) …………….
q) 1, 2, 4, 8, …….. అయితే
A) p-గుణ శ్రేణి, q-అంకశ్రేణి
B) p, q లు రెండూ అంకశ్రేఢులు
C) p, q లు రెండూ గుణ శ్రేఢులు
D) p-అంకశ్రేణి, q-గుణ శ్రేడి C
జవాబు :
C) p, q లు రెండూ గుణ శ్రేఢులు

ప్రశ్న145.
x, y, z లు గుణశ్రేణిలో ఉంటే,
i) y² = xz
ii) 2 log y = log x + log z
A) i – మాత్రమే సత్యం
B) ii – మాత్రమే సత్యం
C) i మరియు ii సత్యం
D) i మరియు ii లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
C) i మరియు ii సత్యం

ప్రశ్న146.
3, 5, 7, 9, ……… 201 అంకశ్రేణిలో చివరి నుండి 5వ పదంను రాయండి.
జవాబు :
3, 5, 7, 9, ……., 201 అంకశ్రేణిలో చివరి నుండి 5వ పదం
ఇచ్చిన A.P ని చివరి నుండి రాయగా
201, 199, 197, 195, 193, ……., 9, 7, 5, 3
చివరి నుండి 5వ పదం 193.

ప్రశ్న147.
a_n = 3n + 7 అంకశ్రేణిలో మొదటి పదము ఏది?
జవాబు :
a_n = 3n +7
∴ a₁₅ = 3(1) + 7 = 10.

ప్రశ్న148.
a_n = 3 + 4n అంకశ్రేణిలో 15వ పదం ఏది ?
జవాబు :
a_n = 3 + 4n
∴ a₁₅ = 3 + 4(15) = 63.

ప్రశ్న149.
p(x) = (x + 1) (x – 2) (x – 5) ఘన బహుపది యొక్క శూన్యాలు ఏ శ్రేణిలో ఉంటాయి ?
జవాబు :
p(x) శూన్యాలు, -1, 2, 5 లు అంకశ్రేణిలో ఉంటాయి.

ప్రశ్న150.
A అనేది a_n = 2n గా గల అంకశ్రేణిలో మొదటి ‘నాలుగు పదాలుగా గల సమితి, B అనేది a = 2^n-1గా గల గుణశ్రేఢిలో మొదటి నాలుగు పదాలుగా గల సమితి అయిన A ∩ B సమితిని కనుగొనుము.
A) {2, 4, 8}
B) {2, 4, 6, 8}
C) {1, 2, 4, 8}
D) {1, 2, 4, 6, 8}
జవాబు :
A) {2, 4, 8}

A = {2, 4, 6, 8}, B = {1, 2, 4, 8}
A ∩ B = {2, 4, 8}

ప్రశ్న151.
5\(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\) n వ పదంగా గల గుణశ్రేణిలో 4వ పదంను కనుగొనుము.
జవాబు :
a_n = 5\(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\)

ప్రశ్న152.
\(\frac{1}{16}, \frac{1}{8}, \frac{1}{4}\) ……. గుణశ్రేణిలో మొదటి పూర్ణసంఖ్య ఏది ?
జవాబు :
ఇచ్చిన G.P. = \(\frac{1}{16}, \frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}\),1, 2, 3, ….. గా రాయవచ్చును.
∴ ఇచ్చిన G.P లో 1 మొదటి పూర్ణసంఖ్య అవుతుంది.

ప్రశ్న153.
A అనేది a_n = 2n గా గల అంకశ్రేణిలో మొదటి నాలుగు పదాలుగా గల సమితి, B అనేది a_n = 2^n-1 గా గల గుణశ్రేణిలో మొదటి నాలుగు పదాలుగా గల సమితి అయిన A ∪ B ని కనుగొనుము.
జవాబు :
A ∪ B = {1, 2, 4, 6, 8}

ప్రశ్న154.
ఒక AP నందలి ప్రతీ పదాన్ని 3 చే గుణించినపుడు ఏర్పడిన అంకశ్రేణి నందు పదాంతరం ……….. రెట్లు పెరుగును.
జవాబు :
3

→ గమనిక : “ఒక ఆటో మొదటి కి.మీ. ప్రయాణానికి ₹30, ఆపై ప్రతి కి.మీ. ప్రయాణానికి ₹ 10 చొప్పున చెల్లించవలసి యున్నది”. పై సమాచారం ఆధారంగా 155-158 వరకు గల ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న155.
ప్రతి కి.మీ. చెల్లించాల్సిన సొమ్ము జాబితా రాయండి.
జవాబు :
30, 40, 50, 60, 70, 80, ……

ప్రశ్న156.
ఏర్పడిన జాబితా ఏ శ్రేణిలో ఉంటుంది ?
జవాబు :
అంకశ్రేణి

ప్రశ్న157.
ఏర్పడిన జాబితాలో సామాన్య భేదం ఎంత ?
జవాబు :
d = a₂ – a₁ = 40 – 30 = 10

ప్రశ్న158.
ఆటోలో 3 కి.మీ. ప్రయాణించినచో చెల్లించాల్సిన సొమ్ము ఎంత ?
జవాబు :
3 కి.మీ. ప్రయాణానికి చెల్లించాల్సిన సొమ్ము
a₃ = 50

ప్రశ్న159.
ఒక GP నందు 5వ పదం a₅, 6వ పదం a్య అయిన (a₅) (a₆) విలువ క్రింది వానిలో దేనికి సమానం ?
A) a.a₇
B) a(a₁₁)
C) a(a₁₀)
D) a(a₁₂)
జవాబు :
C) a(a₁₀)

a₅ = art, a₆ = ars
= a₅.a₆ = a².r⁹ = a.ar⁹ = a.a₁₀

ప్రశ్న160.
4, x, 9 లు GP లో ఉన్న x విలువ ఎంత ?
జవాబు :
4, x, 9 లు G.P లో ఉంటే \(\frac{x}{4}=\frac{9}{x}\) = x² = 36
∴ x = \(\sqrt{36}\) = ± 6.

ప్రశ్న161.
AP నందు 8వ పదం 10, 18వ పదం 15 అయిన సామాన్య భేదంను కనుగొనుము.
జవాబు :
a₈ = 10, a₁₈ = 15,
a₁₈ – a₈ = 10d = 15 – 10 = 5
∴ d = \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న162.
a, b ల మధ్య ‘n’ పదాలుండేటట్లు ఒక అంకశ్రేణి ఉంటే ఆ శ్రేణి సామాన్య భేదం
A) \(\frac{b-a}{n+1}\)
B) \(\frac{a+b}{n-1}\)
C) \(\frac{b-a}{n-1}\)
D) \(\frac{b+a}{n-1}\)
జవాబు :
A) \(\frac{b-a}{n+1}\)

ప్రశ్న163.
క్రిందివానిలో √3 సామాన్య నిష్పత్తిగా గల గుణశ్రేణి
A) 3, 9, 27, …..
B) √3, 3, 3√3, ….
C) 3, \(\frac{1}{3}, \frac{1}{9}\)
D) √3, 2√3, 3√3, ….
జవాబు :
B) √3, 3, 3√3, ….

→ గమనిక : “ఒక గుణశ్రేణి యొక్క 1వ పదం a_n = a.r^n-1 పై సమాచారం ఆధారంగా 164-166 వరకు గల ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న164.
పై సూత్రంలో ‘r’ దేనిని సూచిస్తుంది ?
జవాబు :
సామాన్య నిష్పత్తి

ప్రశ్న165.
a = 3, r = 3 అయిన 2, విలువ ఎంత ?
జవాబు :
a₃ = 3(√3)^3-1 = 3(√3)² = 9

ప్రశ్న166.
n + 1వ పదం a_n+1 ను కనుగొనుము.
జవాబు :
a_n+1 = a(r)^{(n + 1) – 1} = ar_n

ప్రశ్న167.
5, 10, 20, 40,……….. గుణశ్రేణిలో 120 ఒక పదంగా ఉండదని చూపండి.
జవాబు :
ఇచ్చిన G.P లో a = 5, r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{10}{5}\) = 2
a 5 ఇచ్చిన G.P ని పొడిగించగా 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …..
కావున 120 ఇచ్చిన G.Pలో ఒక పదంగా ఉండదు.

ప్రశ్న168.
అంకశ్రేణిలో గల 6వ, 7వ, 8వ పదాల మొత్తం 678 అయిన 7వ పదం ఎంత ?
జవాబు :
a₆ + a₇ + a₈ = (a + 5d) + (a + 6d) + (a + 7d) = 678
= 3a + 18d = 3(a + 6d) = 678
= 3 . a₇ = 678
= a₇ = \(\frac{678}{3}\) = 226.

ప్రశ్న169.
ఏదైనా శ్రేఢి (GP | AP) నందు S₁₀ – S₉ విలువ ఆ శ్రేఢి ఎన్నవ పదానికి సమానము ?
జవాబు :
10వ పదము.

ప్రశ్న170.
ఒక గుణ శ్రేణిలో a_n7 = (- 1)ⁿ. 2020 అయిన ఆ శ్రేణి సామాన్య నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
జవాబు :
a_n = (-1)ⁿ 2020, :
a₁ = – 2020, a₂ = 2020
సామాన్య భేదం r = \(\frac{\mathrm{a}_{2}}{\mathrm{a}_{1}}=\frac{2020}{-2020}\) = -1

ప్రశ్న171.
3⁴ × 3⁸ × 3¹² ….. (16 పదాలు) లబ్దం
A) 3⁵⁴⁴
B) 3⁶⁴
C) 3⁴⁵⁶
D) 3¹⁶
జవాబు :
A) 3⁵⁴⁴

3⁴ × 3⁸ × 3¹² ….. 16 పదాలు
= 3^{4 + 8 + 12 …….. (16 పదాలు)} ……. (1)
ఇపుడు 4 + 8 + 12 + ……. + 16
a = 4, d = 4, n = 16, S_n = ?
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1 d]

∴ లబ్దం = 3⁵⁴⁴

ప్రశ్న172.
(1 + 5) + (4 + 9) + (7 + 13) + ………….. (10 పదాలు) మొత్తం ఎంత ?
జవాబు :
(1 + 5) + (4 + 9) + (7 + 13) + …. 10 పదాల మొత్తం
= 6 + 13 + 20 + ……. 10 పదాలు A.P లో కలవు.
a = 6, d = 13 – 6 = 7, n = 10

S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (in = 1)d]
= \(\frac{10}{2}\) [12 + 63] = 5(75) = 375

ప్రశ్న173.
x, y, 2 లు అంకశ్రేణిలో కలవు. y = 46 అయిన x + y + Z విలువ ఎంత ?
జవాబు :
x, y, 2 లు A.P లో ఉంటే
y – x = z – y = 2y = x + Z,
∴ x + y + 7 = 3y = 3 (46) = 138

ప్రశ్న174.
p, q, r లు AP లో కలవు. q = 40 అయిన p+ r విలువ ఎంత ?
జవాబు :
p, q, r లు A.P లో కలవు.
∴ 2q = p + r
∴ p + r = 2(40) = 80

ప్రశ్న175.
x, y, z లు GP లో గలవు. y = 14 అయిన xz విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
x, y, z లు G.P లో ఉంటే
\(\frac{y}{x}=\frac{z}{y}\) ⇒ y²= (14)² = 196

ప్రశ్న176.
p, q, r లు GP లో గలవు. q = 12 అయిన pqr + 1 విలువ కనుగొనుము.
జవాబు :
p, q, r లు G.P లో ఉంటే q² = pr
par = q = (12)³ = 1728
∴ pqr + 1 = 1729.

ప్రశ్న177.
3, 7, 9, 12, ….. ఒక అంకశ్రేణి. (సత్యం / అసత్యం )
జవాబు :
అసత్యం

ప్రశ్న178.
ఒక AP నందు మొదటి ‘n’ పదాల మొత్తం S_n = 4n² + 5n అయిన మొదటి పదం ఎంత ?
జవాబు :
a₁ = S₁ = 4(1)² + 5(1) = 9

ప్రశ్న179.
a మొదటి పదం, 1 చివరి పదంగా గల అంకశ్రేఢి n- పదాల మొత్తం S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l) (సత్యం / అసత్యం)
జవాబు :
సత్యం

ప్రశ్న180.
tan A, tan B, tan C లు G.P. లో ఉండిన cot A, cot B, cot C లు గుణశ్రేఢిలో ఉండును అని చూపుము.
జవాబు :
tan A, tan B, tan C లు G.P. లో కలవు.
⇒ \(\frac{\tan \mathrm{B}}{\tan \mathrm{A}}=\frac{\tan \mathrm{C}}{\tan \mathrm{B}}\)
⇒ tan B’ cot A = tan C . cot B.
⇒ \(\frac{\cot A}{\cot B}=\frac{\cot B}{\cot C}\) (‘: సామాన్య నిష్పత్తి సమానం)
∴ cot A, cot B, cot C లు G.P. లో కలవు.

ప్రశ్న181.
అపరిమిత అంకశ్రేణికి ఒక ఉదాహరణనిమ్ము.
జవాబు :
అపరిమిత అంకశ్రేణికి ఒక ఉదాహరణ : 1, 3, 5, 7, 9, ……….

ప్రశ్న182.
పరిమిత గుణశ్రేణికి ఒక ఉదాహరణనిమ్ము.
జవాబు :
పరిమిత గుణ శ్రేణికి ఒక ఉదాహరణ :
1, 3, 9, 27, ………..

ప్రశ్న183.
రెండు అంకశ్రేఢుల యొక్క ‘n’ వ పదాల నిష్పత్తి 2n + 3 : 4n + 5 అయిన ఆ రెండు శ్రేఢుల ’10’ వ పదాల యొక్క నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :
రెండు అంకశ్రేఢుల nవ పదాల నిష్పత్తి
\(\frac{a_{n}}{A_{n}}=\frac{2 n+3}{4 n+5}\)
∴ \(\frac{\mathrm{a}_{10}}{\mathrm{~A}_{10}}=\frac{2(10)+3}{4(10)+5}=\frac{23}{45}\)
10వ పదాల నిష్పత్తి = 23 : 45
(లేదా)
1వ శ్రేణిలో 10వ పదం
= a_n = 2n + 3 = 2(10) + 3 = 23
2వ శ్రేణిలో 10వ పదం
= a_n = 4n + 5 = 4(10) + 5 = 45
10వ పదాల నిష్పత్తి = 23:45

ప్రశ్న184.
cos2 60, cos- 45, cos2 30 లు అంకశ్రేణిలో కలవు అని చూపండి.
జవాబు :
cos² 60 = \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\)
cos² 45 = \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{1}{2}\)
cos² 30 = \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}\)
∴ cos² 60, cos² 45, cos² 30 విలువల జాబితా \(\)
a₂ – a₁ = \(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)
a₃ – a₂ = \(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)
సామాన్య భేదం సమానం కావున అంకశ్రేణిలో ఉంటాయి.

ప్రశ్న185.
3⁵, 3⁷, 3⁹ లు గుణశ్రేణిలో కలవు. పై ప్రవచనాన్ని సమర్థించండి.
జవాబు :
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{3^{7}}{3^{5}}\) = 3²
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{3^{9}}{3^{7}}\) = 3²
సామాన్య నిష్పత్తి సమానము.
∴ కావున GPలో ఉంటాయి.

ప్రశ్న186.
1, 4, – 2, 10, 7 లు అంకశ్రేణిలో ఉండునట్లు అమర్చుము.
జవాబు :
1, 4, – 2, 10, 7 లను అంకశ్రేణిలో అమర్చగా
-2, 1, 4, 7, 10 (లేదా) 10, 7, 4, 1, -2

→ గమనిక : “2020 సంవత్సరం క్యాలెండర్ నవంబర్ నెలలో మొదటి ఆదివారం 1వ తేదీన వచ్చినది”.
పై సమాచారం ఆధారంగా 187-190 వరకు గల ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న187.
నవంబర్ 2020 క్యాలెండర్ నందు ఆదివారము వచ్చు తేదీలను సూచించు సంఖ్యల జాబితా రాయండి.
జవాబు :
ఆదివారం వచ్చు తేదీల సంఖ్యల జాబితా
1, 8, 15, 22, 29.

ప్రశ్న188.
పై జాబితా ఏ శ్రేణి అవుతుంది ?
జవాబు :
పై జాబితా అంకశ్రేఢి అవుతుంది.

ప్రశ్న189.
పై జాబితా యొక్క సామాన్య భేదం ఎంత ?
జవాబు :
d = a₂ – a₁ = 8 – 1 = 7,

ప్రశ్న190.
పై జాబితాలో 30 ఒక పదం అవుతుందా ? కాదా ? .
జవాబు :
పై జాబితాలో 30 ఒక పదం కాదు.

ప్రశ్న191.
క్రింది పటంలో ఇవ్వబడిన త్రిభుజ భుజాల మధ్య బిందువులను కలుపుతూ ఏర్పడిన వరుస త్రిభుజాల చుట్టుకొలతలు ఏ రకమైన శ్రేణిని ఏర్పరుస్తాయి ?

జవాబు :
గుణశ్రేణి.