AP 10th Class Maths Bits 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు

Practice the AP 10th Class Maths Bits with Answers 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 10th Class Maths Bits 9th Lesson వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు మరియు ఛేదనరేఖలు

ప్రశ్న 1.
వృత్తానికి గీచిన స్పర్శరేఖకు సమాంతరంగా అదే వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
1.

ప్రశ్న 2.
వృత్తాన్ని రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండించు సరళరేఖను ……… అంటారు.
జవాబు.
ఛేదన రేఖ .

ప్రశ్న 3.
వృత్తానికి అంతరంగా గల బిందువు నుండి ఆ వృత్తానికి – గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
0

ప్రశ్న 4.
ఈ క్రింది పటం నందు ∠APB = 60° మరియు OP = 10 సెం.మీ. అయిన PA పొడవు ఎంత ?

సాధన.
∆ POA లో ∠APO = 60. = 30° మరియు OP = 10 సెం.మీ.
cos 30° = \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{OP}}\) ⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = \(\frac{\mathrm{AP}}{10}\)
⇒ AP = 5√3 సెం.మీ.

ప్రశ్న 5.
వృత్తానికి గరిష్ఠంగా గీయగలిగే స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
అనంతము.

ప్రశ్న 6.
ఒక వృత్త స్పర్శరేఖకు, స్పర్శబిందువు వద్ద గీచిన వ్యాసార్ధానికి మధ్య కోణం ఎంత ?
జవాబు.
90°

ప్రశ్న 7.
ఒక వృత్తం ABCD చతుర్భుజ భుజాలను అంతరంగా తాకిన AB + CD = ………..
(A) BC + DA
(B) AC + BD
(C) 2AC + 2BD
(D) 2BC + 2DA
జవాబు.
(A) BC + DA

ప్రశ్న 8.

పై పటంలో AC = 5 అయిన BC విలువ ఎంత ?
సాధన.
BC = \(\frac{\mathrm{AC}}{2}\) = \(\frac{5}{2}\) = 2.5

ప్రశ్న 9.
వృత్తాలకు స్పర్శరేఖలు 9. వృత్త కేంద్రం వద్ద ఏర్పడు కోణముల మొత్తం ఎంత ?
జవాబు.
180°

ప్రశ్న 10.
వృత్తంలో గీయదగు జ్యాల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
అనంతము

ప్రశ్న 11.
వృత్త వ్యాసం 10.2 సెం.మీ. అయిన వ్యాసార్ధం r విలువ ఎంత ?
సాధన.
వ్యాసార్ధం = \(\frac{10.2}{2}\) = 5.1 సెం.మీ.

ప్రశ్న 12.
అర్ధవృత్త వ్యాసార్ధం ‘I’ అయిన దాని చుట్టుకొలత ………………..
(A) πr + 2r
(B) r(π + 2)
(C) \(\frac{36}{7}\)r
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 13.
ఈ క్రింది వాటిలో సరైనది కానిది ఏది ?
i) ఒక బాహ్య బిందువు నుండి ఒక వృత్తంనకు -గరిష్ఠంగా గీయగల స్పర్శలేఖల సంఖ్య = 2
ii) ఒక బాహ్యబిందువు నుండి ఒక వృత్తంనకు గరిష్ఠంగా గీయగల ఛేదన రేఖల సంఖ్య = 2
(A) i మాత్రమే
(B) ii మాత్రమే
(C) i మరియు ii లు
(D) i కాదు మరియు ii కాదు
జవాబు.
(B) ii మాత్రమే

ప్రశ్న 14.
ఒక వృత్తానికి గీచిన స్పర్శరేఖకు సమాంతరంగా అదే వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
1

ప్రశ్న 15.
‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తమునకు బాహ్య బిందువు P – నుండి PA మరియు PB స్పర్శ రేఖలు గీయబడినవి, ∠APP = 30° అయిన ∠AOB విలువను కనుగొనుము.
సాధన.

∠AOB = 180° – 30° = 150°

ప్రశ్న 16.
P బిందువు నుండి 5 సెం.మీ. వ్యాసార్థం గల ఒక వృత్తమునకు గీచిన స్పర్శరేఖ పొడవు 12 సెం.మీ. అయిన P బిందువు నుండి వృత్త కేంద్రమునకు గల దూరం ఎంత ?
సాధన.

OP² = 0A² + AP² = 5² + 12² = 169
వృత్త కేంద్రం నుండి P కి గల దూరము
OP = √169 = 13 సెం.మీ.

ప్రశ్న 17.
క్రింది పటంలో ∠APB = 40° అయితే ∠AOB ఎంత ?

సాధన.
∠AOB = 180° – 40° = 140°

ప్రశ్న 18.
‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్త వ్యాసార్ధం 5 సెం.మీ. అనే బిందువు వృత్తకేంద్రం నుండి 3 సెం.మీ. దూరంలో ఉంది. అయినచో P నుండి వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.
r< OP
∴ P బిందువు వృత్త అంతర బిందువు.
∴ P నుండి వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖలు = 0.

ప్రశ్న 19.
ఒక గడియారంలో 20 నిమిషాల వ్యవధిలో నిమిషాల ముల్లు చేయు కోణము ఎంత ?
సాధన.
120° [∵ \(\frac{360^{\circ}}{60^{\circ}}\) × 20 = 120°]

ప్రశ్న 20.
7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధమును మరియు 120° కోణమును కలిగిన సెక్టారు వైశాల్యంను కనుగొనుము.
సాధన.
సెక్టారు వైశాల్యం = \(\frac{x}{360}\)
= \(\frac{120}{360}\) × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7
= 51.3 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 21.
కింది పటములో’∠AOB = 120° అయిన ∠APO ను కనుగొనుము.

సాధన.
∠AOB = 120°
∴ ∠APB = 60°
∴ ∠APO = \(\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30°

ప్రశ్న 22.
ఒక వృత్తానికి వ్యాసం చివరి బిందువుల వద్ద గీయగలిగే సమాంతర స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
2

ప్రశ్న 23.
అర్ధవృత్తంలోని కోణం విలువ ఎంత ?
జవాబు.
90°

ప్రశ్న 24.
ఒక అంతరంగా ఉండే బిందువు నుండి గీయగల ధనరేఖలు సంఖ్య ……………..
జవాబు.
0

ప్రశ్న 25.
3 సెం.మీ.ల వ్యాసార్థంగల వృత్తమునకు బాహ్య బిందువు A నుండి గీచిన స్పర్శ రేఖ పొడవు 4 సెం.మీ. అయితే వృత్త కేంద్రం నుండి A కు గల దూరము ఎంత ?
సాధన.
కేంద్రం నుండి A కి గల దూరం
= \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}\) = √25 = 5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 26.
క్రింది పటంలో PA మరియు PB లు స్పర్శరేఖలు. వాటి మధ్య కోణం 60°. అయిన OA, OP మరియు APల పొడవుల నిష్పత్తిని రాయండి.

సాధన.

∠APB = 60%; ∠APO = 30°
∴ sin 30° = \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}\) ⇒ \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}\)
⇒ 0A : OP = 1 : 2
cos 30° = \(\frac{A P}{O P}\) ⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = \(\frac{A P}{O P}\)
⇒ 0P : AP = 2 : √3
∴ OA : OP : AP = 1 : 2 : √3
లేదా )
∆ APO లో కోణాలు 30°, 60°, 90°.
∴ భుజాల నిష్పత్తి = OA : AP : OP
= 1 : √3 : 2
∴ OA : OP : AP = 1 : 2 : √3

ప్రశ్న 27.
రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాల వ్యాసార్ధాలు 6 సెం.మీ., 10 సెం.మీ.లు పెద్ద వృత్తానికి జ్యా, చిన్న వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అయిన దాని పొడవు ఎంత ?
సాధన.

∆ ACO లో ∠C = 90°
∴ 10² = AC² + 6²
100 = AC² + 36
AC² = 100 – 36 = 64
AC = √64 = 8
∴ AB = 2AC = 2 × 8 = 16 సెం.మీ.

ప్రశ్న 28.
6 సెం.మీ. ల వ్యాసార్ధం గల ఒక వృత్త కేంద్రం నుండి బాహ్య బిందువుకు గల దూరం 10 సెం.మీ. అయిన ఆ బాహ్య బిందువు నుండి గీచిన స్పర్శరేఖు) పొడవును కనుగొనుము.
సాధన.
స్పర్శరేఖ పొడవు l = \(\sqrt{\mathrm{d}^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{10^{2}-6^{2}}\) = √64 = 8 సెం.మీ.

ప్రశ్న 29.
a, b లు (a > b) వ్యాసార్ధాలుగా గల రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాలలో పెద్ద వృత్త జ్యా AR చిన్న వృత్తానికి స్పర్శరేఖ అయినచో AB జ్యా పొడవును a, b లలో తెల్పండి.

సాధన.
AC = \(\sqrt{\mathrm{OA}^{2}-\mathrm{OC}^{2}}\) = \(\sqrt{a^{2}-b^{2}}\)
∴ AB = 2AC = 2\(\sqrt{a^{2}-b^{2}}\)

ప్రశ్న 30.
క్రింది పటంలో x విలువ ఎంత ?

సాధన.
x° = \(\frac{240^{\circ}}{2}\) = 120°

ప్రశ్న 31.
∆ABC యొక్క చుట్టుకొలత 28 సెం.మీ. అయిన AF + BD + CE విలువ ఎంత ?

సాధన.
AF + BD + CE = \(\frac{28}{2}\) = 14 సెం.మీ.

ప్రశ్న 32.
6 సెం.మీ.లు వ్యాసార్ధంగా గల వృత్త కేంద్రం నుండి 8 సెం.మీల దూరంలో ఒక బిందువు ఉన్నచో ఆ వృత్త స్పర్శరేఖ పొడవు ఎంత ?
సాధన.
r = 6, d = 8
∴ స్పర్శరేఖ పొడవు = \(\sqrt{\mathrm{d}^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{8^{2}-6^{2}}\) = \(\sqrt{64-36}\) = √28 సెం.మీ.

ప్రశ్న 33.
అధిక వృత్త ఖండంలోని కోణం
(A) అధిక కోణం
(B) అల్పకోణం
(C) లంబకోణం
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(B) అల్పకోణం

ప్రశ్న 34.
క్రింది పటంలో AP, BP లు స్పర్శరేఖలు మరియు AP = 6x + 17, BP = 5 అయిన X విలువను కనుగొనుము.

సాధన.
AP = BP ⇒ 6x + 17 = 5
⇒ 6x = 5 – 17 = – 12
∴ x = \(\frac{-12}{6}\) = -2

ప్రశ్న 35.
క్రింది పటంలో ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి PA, – PB లు స్పర్శరేఖలు అయిన వీటి పొడవులు తెల్పండి.

సాధన.
స్పర్శరేఖ పొడవు PA = PB = \(\sqrt{\mathrm{d}^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{13^{2}-5^{2}}\) = \(\sqrt{169-25}\) = √144
= 12 సెం.మీ.

ప్రశ్న 36.
పటం నుండి ‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి PT స్పర్శరేఖ అయిన X విలువ ఎంత ?

సాధన.
x° = ∠P + ∠T (త్రిభుజ బాహ్యకోణం, దాని అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం)
= 42° + 90°
∴ x = 132°

ప్రశ్న 37.
‘r’ వ్యాసార్ధంగా గల వృత్తంలో కేంద్రం నుండి ‘d’ దూరంలో P అను బిందువు వృత్తానికి బాహ్యంగా ఉన్నచో, ఆ వృత్త స్పర్శరేఖ పొడవు ఎంత ?
జవాబు.
\(\sqrt{\mathrm{d}^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)

ప్రశ్న 38.
పటం నుండి PT వృత్తానికి T వద్ద స్పర్శరేఖ. వృత్త వ్యాసార్థం 1 సెం.మీ మరియు OP = 25 సెం.మీ అయిన ఆ స్పర్శరేఖ పొడవును కనుగొనుము.

సాధన.
స్పర్శరేఖ పొడవు PT = \(\sqrt{25^{2}-7^{2}}\)
= \(\sqrt{625-49}\) = √576 = 24 సెం.మీ,

ప్రశ్న 39.
‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్త వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ, p అనే బిందువు వృత్త కేంద్రం నుండి 7 సెం.మీ. దూరంలో ఉంది అయినచో P నుండి వృత్తానికి గీయగల స్పర్శ రేఖల సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.
1

ప్రశ్న 40.
పై 39వ ప్రశ్నలో వృత్తకేంద్రం నుండి Pకి గల దూరం 5 సెం.మీ. అయిన వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత?
జవాబు.
0

ప్రశ్న 41.
పై 39వ ప్రశ్నలో వృత్తానికి వృత్తకేంద్రం నుండి Pకి గల దూరం 9 సెం.మీ. అయిన వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
2

ప్రశ్న 42.
3 సెం.మీలు వ్యాసార్ధం గల వృత్తానికి గీయబడిన రెండు స్పర్శ రేఖల మధ్య కోణం 60° అయిన ప్రతి స్పర్శరేఖ పొడవు ఎంత ?
సాధన.

∠APB = 60° ⇒ ∠APO = 30°
∆PAO లో ∠A = 90°
∴ tan 30° = \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{PA}}\) = \(\frac{3}{\mathrm{PA}}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\mathrm{PA}}\) ⇒ PA = 3√3 సెం.మీ.
∴ స్పర్శరేఖ పొడవు PA = PB = 3√3 సెం.మీ.

ప్రశ్న 43.
ఒక వృత్తానికి గీచిన రెండు స్పర్శరేఖల మధ్యకోణం 60°. అయిన ఆ వృత్త వ్యాసార్ధాలు కేంద్రం వద్ద చేయు కోణం విలువ ఎంత ?
సాధన.
వ్యాసార్ధాల మధ్య కోణం = 180° – 60° = 120°

ప్రశ్న 44.
5 సెం.మీ., 13 సెం.మీ.లు వ్యాసార్ధాలుగా గల రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాలలో ఒకదానికి స్పర్శరేఖ రెండవ వృత్తానికి జ్యా అయిన ఆ జ్యా పొడవు ఎంత ?
సాధన.

∆AMO లో 4M = 90°
AM = \(\sqrt{13^{2}-5^{2}}\) = \(\sqrt{144}\) = 12
∴ AB = 2AM = 24 సెం.మీ.

ప్రశ్న 45.
ఒక వృత్తాన్ని గీచి దానిలో అల్ప వృత్తఖండాన్ని షేడ్ చేయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 46.
ఒక గడియారంలో 10 నిమిషాల వ్యవధిలో నిమిషాల ముల్లు చేయు కోణము ఎంత ?
జవాబు.
60°

ప్రశ్న 47.
ఒక బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తానికి గీయదగు స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
2

ప్రశ్న 48.
(i) ఒక వృత్త వ్యాసమునకు చివరి బిందువుల వద్ద గీయబడిన స్పర్శరేఖలు సమాంతరాలు.
(ii) బాహ్యబిందువు నుండి వృత్తానికి గీచిన స్పర్శరేఖలు సమానాలు.
(iii) బాహ్యబిందువు నుండి వృత్తానికి అనంతంగా స్పర్శరేఖలు గీయవచ్చును.
(A) i, ii మరియు iii లు సత్యం
(B) 1 మరియు iii మాత్రమే సత్యం
(C) i మరియు ii మాత్రమే సత్యం
(D) ii మరియు iii మాత్రమే సత్యం
జవాబు.
(C) i మరియు ii మాత్రమే సత్యం

ప్రశ్న 49.
ప్రవచనం-I: వృత్తానికి బాహ్యబిందువు నుంచి గీచిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానము.
ప్రవచనం-II: వృత్త వ్యాసం చివరి బిందువుల వద్ద గీచిన స్పర్శరేఖలు లంబరేఖలు.
(A) I మాత్రమే సత్యం
(B) II మాత్రమే సత్యం
(C) I మరియు II లు రెండూ సత్యం
(D) I మరియు II లు రెండూ అసత్యం
జవాబు.
(A) I మాత్రమే సత్యం

ప్రశ్న 50.
వృత్త స్పర్శ బిందువు వద్ద వ్యాసార్ధానికి, స్పర్శరేఖకు మధ్యగల కోణం ఎంత ?
జవాబు.
90°

ప్రశ్న 51.
ఒక వృత్త వ్యాసార్ధం 8√2 సెం.మీ. ఆ వృత్తంలో – అంతర్లిఖించబడిన చతురస్ర భుజం పొడవు ఎంత ?
సాధన.

వృత్త వ్యాసార్ధం r = 8√2 సెం.మీ.
∴ వ్యాసం = చతురస్ర కర్ణం d = 16√2
∴ చతురస్ర భుజం = 16 సెం.మీ.
(చతురస్ర కర్ణం d = √2 × భుజం)

ప్రశ్న 52.
8 సెం.మీల వ్యాసార్ధం గల వృత్తంలో అంతర్లిఖించబడిన చతురస్ర వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన.

ప్రశ్న 53.
6 సెం.మీ భుజం గల చతురస్రంలో ఒక వృత్తం ఇమిడి ఉన్నచో అ వృత్త వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన.

వృత్త వ్యాసం d = చతురస్ర భుజం = 6 సెం.మీ.
∴ వ్యాసార్ధం r = 3 సెం.మీ.
∴ వృత్త వైశాల్యం A = πr² = 9π చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 54.
వృత్తంపై గల బిందువు వద్ద గీయగల స్పర్శరేఖలు ఎన్ని
జవాబు.
1

ప్రశ్న 55.
వృత్త ఛేదనరేఖకు సమాంతరంగా గీయగల స్పర్శ రేఖల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
2

ప్రశ్న 56.
క్రింది పటంలో రెండు ఏకకేంద్ర వృత్తాలలో పెద్ద వృత్త జ్యా, చిన్న వృత్తాన్ని M వద్ద స్పర్శిస్తున్నది. అయితే M నిరూపకాలు కనుగొనుము.

సాధన.
A, B ల మధ్యబిందువు

ప్రశ్న 57.
క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ?
(A) ఒక వృత్య వ్యాసము చివరి బిందువుల వద్ద గీయబడిన స్పర్శరేఖలు సమాంతరాలు.
(B) వృత్తానికి బాహ్యబిందువు నుండి యబడిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానము.
(C) వృత్తముపై గల ఏదైనా బిందువు గుండా గీయబడిన స్పర్శరేఖ ఆ స్పర్శబిందువు వద్ద వ్యాసార్ధానికి లంబంగా . ఉంటుంది.
(D) వృత్తం యొక్క స్పర్శరేఖ ఆ వృత్తాన్ని రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది.
జవాబు.
(D) వృత్తం యొక్క స్పర్శరేఖ ఆ వృత్తాన్ని రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది.

ప్రశ్న 58.
ఒక చతురస్రం యొక్క నాలుగు భుజాలను తాకుచూ అంతరంగా ఒక వృత్తం పటంలో చూపినట్లు ఉంటే

(A) AB + CD = AD + BC
(B) AB + CD > AD + BC
(C) AB + CD < AD + BC
(D) AB + BC = AD + DC
జవాబు.
(A) AB + CD = AD + BC

ప్రశ్న 59.
వృత్తానికి ఛేదన రేఖను గీయండి. ఛేదన రేఖ
జవాబు.

ప్రశ్న 60.
క్రింది పటంలో ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి PT స్పర్శరేఖ మరియు PQ జ్యా, ∠TPQ = 40° అయ్యేటట్లు ఉంటే ∠POQ విలువను కనుగొనుము.

సాధన.
∠OPT = 90°
∴ ∠OPQ = 90°- 40° = 50°
∠OOP = 50°(OP = 0Q)
∴∠POQ = 180° – 100° = 80°

ప్రశ్న 61.
క్రింది పటంలో AD, AE మరియు BCలు వరుసగా D, E మరియు Fల వద్ద వృత్తానికి సర్శరేఖలు అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?

(A) AE = AB + BC + CA
(B) 2AE = AB + BC + CA
(C) BAB = AB + BC + CA
(D) 4AE = AB + BC + CA
జవాబు.
(B) 2AE = AB + BC + CA

ప్రశ్న 62.
క్రింది పటంలో AP=5 సెం.మీ., BP = 7 సెం.మీ., AC = 14 సెం.మీ. అయిన BC భుజం పొడవును కనుగొనుము.

సాధన.
CR = AC – AR = 14 – 5 = 9 (∵ AR = AP = 5)
∴ BC = CQ + QB = CR + PB
= 7 + 9 = 16 సెం.మీ.

ప్రశ్న 63.
ఒక వృత్తానికి A బిందువు నుండి గీచిన స్పర్శరేఖల మధ్యగల కోణము 60°. మరియు రెండు స్పర్శరేఖలు వృత్తాన్ని P, Q బిందువుల వద్ద స్పర్శిస్తుంటే ∆APQ ఏ రకమైన త్రిభుజము ∆APQ గూర్చి నీవు ఏమి చెప్పగలవు ?

జవాబు.
సమబాహు త్రిభుజము.

ప్రశ్న 64.
పై 63వ ప్రశ్నలో. AP = 9 సెం.మీ. అయిన PQ విలువ ఎంత?
జవాబు.
9 సెం.మీ.

ప్రశ్న 65.
క్రింది పటంలో AP, BP లు వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు అయిన X విలువ ఎంత ?

సాధన.
AP = BP = x² + 3x – 2 = x² – x + 6 \

⇒ 4x – 8 = 0 ⇒ 4x = 8
∴ x = 2

ప్రశ్న 66.
వృత్త కేంద్రం నుండి 24 సెం.మీ. దూరంలో గల R బిందువు నుండి వృత్తానికి గీచిన స్పర్శరేఖ పొడవు 25 సెం.మీ. అయిన వృత్త వ్యాసార్ధము ఎంత ?
సాధన.
r = \(\sqrt{l^{2}-\mathrm{d}^{2}}\)
= \(\sqrt{25^{2}-24^{2}}=\)
= \(\sqrt{49}\)
= 149

ప్రశ్న 67.
క్రింది పటంలో వృత్తము, చతుర్భుజాన్ని అంతరంగా స్పర్శిస్తున్నది. మరియు AB = 6 సెం.మీ., BC = 7 సెం.మీ., CD = 4 సెం.మీ. అయిన భుజం AD పొడవు ఎంత ?

సాధన.
AB + CD = BC + AD
6 + 4 = 7 + AD
10-7 = AD
∴ AD = 3 సెం.మీ.

ప్రశ్న 68.
ఒక వృత్తాన్ని అల్ప, అధిక వృత్త ఖండాలుగా విభజించి, అధిక వృత్త ఖండాన్ని షేర్ చేయండి.
జవాబు.

ప్రశ్న 69.
క్రింది పటంలో షేర్ చేసిన సెక్టారు వైశాల్యమును x, r లలో రాయండి.

సాధన.
సెక్టరు వైశాల్యం A = \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr²

ప్రశ్న 70.
ఒక వృత్త కేంద్రం వద్ద 60° కోణం చేయు సెక్టారు వైశాల్యానికి, వృత్త వైశాల్యానికి గల నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన.
వృత్త కేంద్రం వద్ద 60° చేయు సెక్టరు వైశాల్యానికి, వృత్త వైశాల్యానికి గల నిష్పత్తి
= \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr² : πr²
= \(\frac{1}{6}\) : 1 = 1 : 6

ప్రశ్న 71.
వృత్త కేంద్రం వద్ద 90° కోణము చేయు సెక్టారు వైశాల్యమును వృత్త వైశాల్యంలో ఎంత శాతము ఉంటుంది ?
సాధన.

ప్రశ్న 72.
14 సెం.మీ. వ్యాసంగా గల వృత్త వ్యాసానికి సమాన భుజం, గల చతురస్రము క్రింది పటంలో చూపినట్లు ఉంటే షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యము ఎంత ?

సాధన.
షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం = చతురస్ర వైశాల్యం – అర్ధవృత్త వైశాల్యం ,
d = s = 14 సెం.మీ. ; r = 7 సెం.మీ.
= s² – \(\frac{1}{2}\) πr²

= 196 – 77 = 119 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 73.
‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి T నుండి గీచిన : స్పర్శరేఖలు TP, IQలు మరియు ∠PTQ = 50° అయిన ∠QTO విలువ ఎంత ?

సాధన.
∠QTO = \(\frac{50^{\circ}}{2}\) = 25°.

ప్రశ్న 74.
ABCD చతుర్భుజంలో ‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తంలో చతుర్భుజ భుజాలను P,Q, R, S వద్ద స్పర్శించునట్లు అంతర్లిఖించబడినది. మరియు AP = 5 సెం.మీ., BP = 7 సెం.మీ., CQ = 4 సెం.మీ., DR = 6 సెం.మీ., అయిన చతుర్భుజం ABCD చుట్టుకొలతను కనుగొనుము.

సాధన.

చతుర్భుజం చుట్టుకొలత
= AB + BC + CD + AD
= 12 + 11 + 10 + 11 = 44 సెం.మీ.

ప్రశ్న 75.
0 కేంద్రంగా గల వృత్తంలో ABCD చతురస్రము అంతరిఖించబడినది. వృత్త మరియు చతురస్ర వైశాల్యాల నిష్పత్తి π : 2 అని చూపుము.

సాధన.
వృత్త వైశాల్యం : చతురస్ర వైశాల్యం = πr² : s²
= π\(\left(\frac{\mathrm{AC}}{2}\right)^{2}\) : \(\left(\frac{\mathrm{AC}}{\sqrt{2}}\right)^{2}\)
= π \(\frac{A C^{2}}{4}\) : \(\frac{A C^{2}}{2}\) = \(\frac{\pi}{2}\) : 1
= π : 2

ప్రశ్న 76.
క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ?
(i) వృత్తానికి రెండు బిందువులలో ఖండించే రేఖను స్పర్శరేఖ అంటారు.
(ii) వృత్తాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద ఖండించే రేఖను ఛేదనరేఖ అంటారు.
(A) i మాత్రమే
(B) ii మాత్రమే
(C) i మరియు ii
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
C

ప్రశ్న 77.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) వృత్తానికి బాహ్యంగా గల బిందువు నుండి రెండు స్పర్శరేఖలను గీయగలము.
(B) వృత్తంపై గల బిందువు ద్వారా ఒకే ఒక స్పర్శరేఖను గీయగలము.
(C) వృత్తానికి అంతరంగా గల బిందువు నుండి స్పర్శరేఖలను గీయలేము.
(D) పైవి అన్నీ
జవాబు.
(D) పైవి అన్నీ

ప్రశ్న 78.
క్రింది పటంలో PA మరియు PB లు వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు మరియు ∠APP = 120° అయిన ∠AOP విలువ ఎంత ?

సాధన.
∠AOP = 180° – (90° + 609) = 30°

ప్రశ్న 79.
r వ్యాసార్ధంగా గల సెక్టారు కేంద్రం వద్ద చేయు కోణం x° అయిన సెక్టారు వైశాల్యమును కనుగొను సూత్రమును రాయండి.
సాధన.
\(\frac{x^{\circ}}{360}\) × πr²

ప్రశ్న 80.
క్రింది పటంలో ABCD చతురస్ర భుజము 7 సెం.మీ. APD మరియు BPC లు అర్ధవృత్తములు అయిన షేడ్ చేసిన ప్రదేశ వైశాల్యము కనుగొనుము.

సాధన.
షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం = చతురస్ర వైశాల్యం – 2 × అర్ధవృత్త వైశాల్యం
s = 7; r = \(\frac{7}{2}\)

= 49 – \(\frac{77}{2}\)
= 49 – 38.5 = 10.5 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 81.
జతపరచండి.

(A) i- a, ii – b, iii – c, iv-d
(B) i-c, ii – a, iii – b, iv-d
(C) i- c, ii – d, iii – b, iv – a
(D) i- a, ii – c, iii -d, iv-b
జవాబు.
(B) i-c, ii – a, iii – b, iv-d

ప్రశ్న 82.
r₁, r₂ వ్యాసార్ధాలుగా గల రెండు వృత్త వైశాల్యాలు R వ్యాసార్ధంగా గల పెద్ద వృత్త వైశాల్యానికి సమానమైన
(A) r₁² + r₂² < R²
(B) r₁² + r₂² = R²
(C) r₁² + r₂² > R²
(D) r₁ + r₂ = R
జవాబు.
(B) r₁² + r₂² = R²

ప్రశ్న 83.
వృత్తంపై గల భిందువు వద్ద వృత్తానికి స్పర్శరేఖ చిత్తు పటం గీయండి.
జవాబు.

ప్రశ్న 84.
క్రింది పటాన్ని పరిశీలించి, క్రింది వానిని సూచించు అక్షరాలను తెల్పండి.

(i) జ్యా
(ii) ఛేదనరేఖ
(iii) స్పర్శరేఖ
జవాబు.
(i) జ్యా – 1,
(ii) ఛేదనరేఖ – n,
(iii) స్పర్శరేఖ – m

ప్రశ్న 85.
ప్రవచనం-I : వృత్తానికి బాహ్యబిందువు నుండి గీయబడిన స్పర్శరేఖల కోణ సమద్విఖండన రేఖపై ఆ వృత్త కేంద్రం ఉంటుంది.
ప్రవచనం-II : రెండు ఏకకేంద్ర వృత్తాలలో బాహ్య వృత్తము యొక్క జ్యా అంతరవృత్తము యొక్క స్పర్శ బిందువు వద్ద సమద్విఖండనము చేయబడును.
(A) I సత్యం , II అసత్యం
(B) I మరియు II లు రెండూ సత్యం
(C) I అసత్యం , II సత్యం
(D) I మరియు II లు రెండూ అసత్యం
జవాబు.
B

ప్రశ్న 86.
క్రింది పటంలో ∠PAQ =

(A) 240PQ
(B) 2∠OQP
(C) A మరియు B
(D) ∠OPQ
జవాబు.
(C) A మరియు B

ప్రశ్న 87.
క్రింది పటంలో AP, AQ లు ‘0’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు మరియు ∠PAQ = 30° అయిన ∠OPQ విలువను కనుగొనుము.

సాధన.
2∠OPQ = ∠PAQ
∴ ∠OPQ = \(\frac{30^{\circ}}{2}\) = 150°

ప్రశ్న 88.
క్రింది పటంలో సర్వసమాన త్రిభుజాల జతను గుర్తును ఉపయోగించి రాయండి.

జవాబు.
∆OAP ≅ ∆OBP

ప్రశ్న 89.
క్రింది పటంలో షేర్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యము.

(A) π(R² – r²)
(B) πR² – πr²
(C) π(R + r) (R – r)
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 90.
సెక్టరు వైశాల్యం A = \(\frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr² లో × దేనిని సూచిస్తుంది ?
జవాబు.
X = సెక్టరు కోణము

ప్రశ్న 91.
క్రింది దీర్ఘచతురస్రం ABCD పటంలో చూపిన విధంగా రెండు అర్ధవృత్తాలు కలవు. అయితే షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం ……….
(A) lb – πb²
(B) lb – \(\frac{\pi b^{2}}{4}\)
(C) lb – \(\frac{\pi b^{2}}{2}\)
(D) lb + πb²
జవాబు.
B

గమనిక : r వ్యాసార్ధం గల వృత్తానికి కేంద్రం నుండి ‘d’ దూరంలో గల బిందువు నుండి (d > r) ఒక స్పర్శరేఖను గీచారు. ఈ సమాచారం ఆధారంగా 92, 93 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న 92.
పై సమాచారాన్ని సూచించు పటం (చిత్తు పటం) గీయండి.
జవాబు.

ప్రశ్న 93.
స్పర్శరేఖ పొడవును r, d లలో తెల్పండి.
జవాబు.
స్పర్శరేఖ పొడవు = \(\sqrt{\mathrm{d}^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)

గమనిక : క్రింది పటాన్ని పరిశీలించి, 94-98 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న 94.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) OP < OA i
(B) OQ <OA
(C) OA² = OP² + AP²
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 95.
∠APO ను తెల్పండి.
జవాబు.
APO = 90°

ప్రశ్న 96. ∠0AQ విలువ ఎంత ?
జవాబు.
∠OAQ = 300

ప్రశ్న 97.
OP : AP: OA నిష్పత్తిని తెల్పండి.
జవాబు.
1 : √3 : 22

ప్రశ్న 98.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యము ?
i) AP = BP
ii) ∆APO ≅ ∆AQO
iii) ∠APO = ∠AQO = 60°
(A) i మరియు ii
(B) ii మరియు iii
(C) i మరియు iii
(D) i, ii మరియు iii
జవాబు.
(D) i, ii మరియు iii

ప్రశ్న 99.
విభాగం-1 లో ఇవ్వబడిన నియమాలకు, విభాగం-2లో ఇవ్వబడిన కారణం (వివరణకు) జతచేయుటలో సరైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనుము.

(A) i-c, ii-a, iii-d, iv-b
(B) i-c, ii-d, iii-b, iv-a
(C) i-d, ii-b, iii-c, iv-a
(D) i-d, ii-a, iii-b, iv-c
జవాబు.
(B) i-c, ii-d, iii-b, iv-a

ప్రశ్న 100.
A అనే బిందువు యొక్క వివిధ సందర్భాలలో వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్యకు జతచేయండి.

(A) i-b, ii-c, iii-a
(B) i-a, ii-b, iii-c
(C) i-c, ii-b, iii-a
(D) i-b, ii-a, iii-c
జవాబు.
(C) i-c, ii-b, iii-a

ప్రశ్న 101.
log 1000 విలువను వ్యాసార్ధంగా గల వృత్త కేంద్రం నుండి 5 యూనిట్లు దూరంలో గల బిందువు నుండి గీచిన స్పర్శరేఖ పొడవును కనుగొనుము.
సాధన.
వ్యాసార్ధం r = log 1000
= log 10³ = 3 log10 = 3
కేంద్రం నుండి బిందువు దూరం d = 5
∴ స్పర్శరేఖ పొడవు l = \(\sqrt{\mathrm{d}^{2}-\mathrm{r}^{2}}\)
= \(\sqrt{(5)^{2}-(3)^{2}}\) = \(\sqrt{25-9}\) = √16
= 4 యూనిట్లు

ప్రశ్న 102.
క్రింది పటంలో OA = tan² 60, XA = sec^{2</sup 60 అయిన OX ను కనుగొనుము.
సాధన.
r = OA = tan2 60 = (√3)2 = 3
స్పర్శరేఖ పొడవు XA = sec2 60 = (2)2 = 4
OX2 = 0A22 + XA2
= 32 + 42 = 9 + 16 = 25
∴ OX = √25 = 5 యూనిట్లు}

ప్రశ్న 103.
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాలు (p(x) = ax² + bx + c యొక్క శూన్యాలు) ఒక వృత్తానికి బాహ్యబిందువు నుండి గీచిన స్పర్శరేఖల పొడవులు అయితే b² – 4ac విలువ ఎంత ?
జవాబు.
b² – 4ac = 0 (∵ స్పర్శరేఖ పొడవులు సమానం
కావున మూలాలు (శూన్యాలు) సమానాలు).

ప్రశ్న 104.
ఒక వృత్తానికి గీచిన రెండు సమాంతర స్పర్శరేఖల మధ్య దూరము 10 సెం.మీ. అయిన ఆ వృత్త వ్యాసార్ధము ఎంత ?
సాధన.
వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{10}{2}\) = 5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 105.
క్రింది పటంలో ‘O’ వృత్తకేంద్రము. OA = 7 సెం.మీ., AX = 10 సెం.మీ., ∠AXO = 30° అయిన షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యము ఎంత ?

సాధన.
షేడ్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం = 0A × త్రిభుజ వైశాల్యం – సెక్టరు వైశాల్యం

ప్రశ్న 106.
క్రింది పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రము అయితే AOAX చుట్టుకొలత ఎంత ?

సాధన.
OX = 5 యూనిట్లు (3, 4, 5 పైథాగరియన్ త్రికాలు)

ప్రశ్న 107.
గడియారంలో నిమిషాల ముల్లు పొడవు 7 సెం.మీ. అయిన అది 1 గంటలో తిరిగిన దూరాన్ని కనుగొనండి.
జవాబు.
44 సెం.మీ.

ప్రశ్న 108.
ఒక వృత్తంలో అల్పవృత్త ఖండం యొక్క చిత్తు పటాన్ని గీచి, దానిని షేక్ చేయండి.
జవాబు.

ప్రశ్న 109.
ఒక వృత్త బాహ్యములో గల బిందువు నుండి ఆ వృత్తానికి ఎన్ని స్పర్శరేఖలు గీయవచ్చు?
సాధన.

ఒక వృత్త బాహ్యములో గల బిందువు నుండి ఆ వృత్తానికి కేవలం రెండు స్పర్శరేఖలు గీయవచ్చును. PA, PB లు స్పర్శరేఖలు.

ప్రశ్న 110.
స్పర్శ బిందువు వద్ద వృత్తవ్యాసార్థానికి, స్పర్శరేఖకు మధ్య గల కోణము విలువ ఎంత ?
జవాబు.
90°

ప్రశ్న 111.
ఒక అర్ధవృత్తములో, కేంద్రము వద్ద కోణము ఎంత?
జవాబు.
180°