Practice the AP 10th Class Maths Bits with Answers 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 1.
A(5, 2), B(4,, 7) మరియు C(7, -4) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత ?
సాధన.
A (5, 2), B(4, 7), C(7, – 4)
∆ABC వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) |x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1 ) + x3(y1 – y2) |
= \(\frac{1}{2}\) |5(7 + 4) + 4(- 4 – 2) + 7(2 – 7) |
= \(\frac{1}{2}\) |55 – 24 – 35|
= \(\frac{1}{2}\) |- 4| = \(\frac{1}{2}\) × 4 = 2 చ.యూ

ప్రశ్న 2.
X – అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖవాలు ఎంత ?
జవాబు.
0

ప్రశ్న 3.
Y- అక్షానికి సమాంతరంగా గల రేఖవాలును తెల్పండి.
జవాబు.
నిర్వచితము కాదు

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 4.
(- sin 45°, cos 0°) బిందువును కలిగిన పాదము ఏది ?
జవాబు.
Q2

ప్రశ్న 5.
A, B, C లు సరేఖీయాలైన ∆ ABC వైశాల్యము ఎంత ?
జవాబు.
‘0’ చ.యూ.

ప్రశ్న 6.
గురుత్వకేంద్రం మధ్యగతాన్ని విభజించు నిష్పత్తిని తెల్పండి.
జవాబు.
2 : 1

ప్రశ్న 7.
(a cos θ, 0), (0, a sin θ) బిందువుల మధ్యదూరం కనుగొనుము.
(A) a
(B) √a
(C) a2
(D) a/2
జవాబు.
(A) a

సాధన.
(a cos θ, 0), (0, a sin θ) బిందువుల మధ్యదూరం
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 1

ప్రశ్న 8.
0(0, 0), A(1, 0), B(0, 1) శీర్షాలతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత ?
(A) 0
(B) \(\frac{1}{2}\) చ.యూ.
(C) 1
(D) \(\frac{1}{2}\)
జవాబు.
(B) \(\frac{1}{2}\) చ.యూ.

సాధన.
0(0, 0), A(1, 0), B(0, 1)
∆ OAB వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x1 (y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2) |
= \(\frac{1}{2}\)|0 (0 – 1) + 1 (1 – 0) + 0 (0 – 0) |
= \(\frac{1}{2}\) |0 + 1 + 0 | = \(\frac{1}{2}\) చ.యు.
(లేదా)
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 2
(0, 0), (1, 0), (0, 1) బిందువులతో లంబకోణ త్రిభుజం ఏర్పడుతుంది.
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\)ab = \(\frac{1}{2}\) × 1 × 1
= \(\frac{1}{2}\) చ.యూ.

ప్రశ్న 9.
(- 4, 0), (2, 0), (6, 0), (- 8, 0) బిందువులు నిరూపక తలంలో ఎక్కడ ఉంటాయి ?
జవాబు.
X – అక్షంపై ఉంటాయి.

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 10.
(0, 0), (x1, y1) బిందువుల మధ్య దూరం ……… యూనిట్లు.
జవాబు.
\(\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\)

ప్రశ్న 11.
Y – అక్షంనకు సమాంతరంగా ఉండే (x1, y1) మరియు (x1, y2) బిందువుల మధ్య దూరం ………
(A) |y1 – y2| లేదా |y2 – y1|
(B) |y22 – y12||y22 – y22l
(C) \(\sqrt{\left(x_{2}+x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}+y_{1}\right)^{2}}\)
(D) |x2 – x1|| లేదా |x1 – x2|
జవాబు.
(A) |y1 – y2| లేదా |y2 – y1|

ప్రశ్న 12.
(4, 5), (-6, 3) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం యొక్క మధ్య బిందువును కనుగొనుము.
సాధన.
(4, 5), (- 6, 3) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం
యొక్క మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{4+(-6)}{2}, \frac{5+3}{2}\right)\) = (- 1, 4)

ప్రశ్న 13.
(3, – 4) బిందువు నుండి X – అక్షానికి గల దూరం ఎంత ?
జవాబు.
4 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 14.
(- 4, a) మరియు (2, 8) బిందువుల మధ్య బిందువు (-1, 5) అయిన ‘a’ విలువ ఎంత ?
సాధన.
(- 4, a), (2, 8) ల మధ్య బిందువు = (- 1, 5)
\(\left(\frac{-4+2}{2}, \frac{a+8}{2}\right)\) = (-1, 5)
∴ \(\frac{a+8}{2}\) = 5 ⇒ a + 8 = 10 ⇒ a = 2

ప్రశ్న 15.
y = 5 యొక్క రేఖా చిత్రము …………….
(A) X – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండును.
(B) X- అక్షానికి లంబంగా ఉండును.
(C) Y – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండును.
(D) Y- అక్షానికి లంబంగా ఉండును.
జవాబు.
A మరియు D

ప్రశ్న 16.
(0, 7), (-7, 0) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత ?
సాధన.
\(\sqrt{(-7-0)^{2}+(0+7)^{2}}\) = \(\sqrt{49+49}\)
= √98 యూనిట్లు

ప్రశ్న 17.
y – అక్షం వాలు = …………
(A) నిర్వచింపబడదు
(B) 0
(C) నిర్వచింపబడును.
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(A) నిర్వచింపబడదు

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 18.
X – అక్షం నుండి (-4, 3) కు గల దూరం ఎంత ?
జవాబు.
3 యూనిట్లు

ప్రశ్న 19.
మూల బిందువు నుండి (2, 3) కు గల దూరం ఎంత ?
సాధన.
\(\sqrt{2^{2}+3^{2}}\) = \(\sqrt{4+9}\) = √13 ‘యూనిట్లు

ప్రశ్న 20.
Y- అక్షం నుండి (4, 0) కు గల దూరం ఎంత ?
జవాబు.
4 యూనిట్లు

ప్రశ్న 21.
(2, 3), (-2, 3) బిందువులను కలుపు రేఖా ఖండం మధ్య. బిందువు ఏది ?
సాధన.
(2, 3), (-2, 3) బిందువుల మధ్య బిందువు
= \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{3+3}{2}\right)\)
= (0, 3)

ప్రశ్న 22.
(0, 3), (3, 0), (0, 0) త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రంను కనుగొనుము.
సాధన.
గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{0+3+0}{3}, \frac{3+0+0}{3}\right)\)
= (1, 1)

ప్రశ్న 23.
P(X1, y1), Q(x2, y2) బిందువుల గుండా పోయే సరళరేఖ ధనాత్మక X – అక్షంతో ‘0’ కోణం చేయుచున్న, ఆ రేఖ వాలు ……….
(A) \(\frac{y_{2}+y_{1}}{x_{2}+x_{1}}\)
(B) θ
(C) \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)
(D) sin θ
జవాబు.
(C) \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

ప్రశ్న 24.
(- 1, 1) మరియు (1, 1) బిందువు గుండా పోవు రేఖ వాలును కనుగొనుము.
సాధన.
వాలు m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\) = \(\frac{1-1}{1+1}\) = \(\frac{0}{2}\) = 0
(లేదా)
(- 1, 1), (1, 1) బిందువులో y1 = y2 కావున ఈ బిందువులను కలుపు రేఖ X – అక్షానికి సమాంతరము.
కావున వాలు = 0.

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 25.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రము శీరములను సూచించే బిందువులు (0, 0), (4, 0), (4, 3) మరియు (0,3) అయిన దాని కర్ణం పొడవును కనుగొనుము.
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 3
దీర్ఘచతురస్ర కర్ణం AC పొడవు = \(\sqrt{\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{y}_{1}^{2}}\)
= \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}\) = \(\sqrt{9+16}\) = √25 = 5 యూ.

ప్రశ్న 26.
(x, y), (2, 0), (3, 2), (1, 2) లు సమాంతర చతుర్భుజ శీర్పాలు అయిన (x, y) =
(A) (0, 0)
(B) (4, 8)
(C) (1, 0)
(D) (5, 0)
జవాబు.
(A) (0, 0)

సాధన.
(x, y), (2, 0), (3, 2), (1, 2) లు సమాంతర చతుర్భుజ శీర్షాలు అయితే
(x, y), (3, 2) మధ్య బిందువు = (2, 0), (1, 2) మధ్యబిందువు
\(\left(\frac{x+3}{2}, \frac{y+2}{2}\right)=\left(\frac{2+1}{2}, \frac{0+2}{2}\right)\)
⇒ \(\frac{x+3}{2}=\frac{3}{2}\) మరియు \(\frac{y+2}{2}=\frac{2}{2}\)
∴ x + 3 = 3 ⇒ x = 0 మరియు
y + 2 = 2 ⇒ y = 0
∴ (x, y) = (0, 0)

ప్రశ్న 27.
A(3, 4) నుండి X – అక్షానికి, B(5, 7) నుండి Y- అక్షానికి గల దూరాల మొత్తం ఎంత ?
సాధన.
4 + 5 = 9 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 28.
క్రింది పటంలో ∆BOA వైశాల్యం చదరపు యూనిట్లలో తెల్పండి.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 4
సాధన.
\(\frac{1}{2}\) BOA వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × OA × OB
= \(\frac{1}{2}\) × 2 × 3 = 3 చ.యూ.
(లేదా)
శీర్షాలు B(0, 3), 000, 0), A(2, 0).
∆BOA వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) |x1 (y2 – y1) + x1(y3 – y1) + x3(y1 – y2)|
= \(\frac{1}{2}\) |0(0 – 0) + 0(0 – 3) + 2(3 – 0) |
= \(\frac{1}{2}\)|6| = 3 చ.యూ.

ప్రశ్న 29.
(3, 2), (- 6, y) మరియు (3, – 2) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రము ఆది బిందువు అయినచో y విలువను లెక్కించండి.
సాధన.
(3, 2), (-6, y), (3, – 2) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం గురుత్వ కేంద్రము ఆది బిందువు.
∴ \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) = (0, 0)
\(\left(\frac{3+(-6)+3}{3}, \frac{2+y+(-2)}{3}\right)\) = (0,0)
∴ y = 0

ప్రశ్న 30.
క్రింది వానిలో X – అక్షంపై ఉండని బిందువు ఏది ?
(A) – 2, 0
(B) (0, 2)
(C) (2, 0)
(D) (4, 0)
జవాబు.
(B) (0, 2)

ప్రశ్న 31.
హెరాన్ సూత్రం త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\sqrt{\mathbf{s}(\mathbf{s}-\mathbf{a})(\mathbf{s}-\mathbf{b})(\mathbf{s}-\mathbf{c})}\); s ‘అనేది త్రిభుజం యొక్క
(A) చుట్టుకొలత
(B) ఎత్తు
(C) చుట్టుకొలతలో సగం
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(C) చుట్టుకొలతలో సగం

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 32.
ఈ క్రింది వానిలో మూలబిందువుకు అతి దగ్గరగా ఉండే బిందువు ఏది ?
(A) (2, – 3)
(B) (5, 0)
(C) (0, – 5)
(D) (1, 3)
జవాబు.
(D) (1, 3)

ప్రశ్న 33.
ఒక సరళరేఖ (2, 3) మరియు (2, – 3) బిందువుల గుండా పోవుచున్నచో ……….
1) ఆ రేఖ X – అక్షానికి సమాంతరముగా ఉండును.
2) ఆ రేఖ Y – అక్షానికి సమాంతరముగా ఉండును.
3) ఆ రేఖ వాలు నిర్వచింపబడదు.
4) ఆ రేఖ వాలు సున్నా.
(A) 2 మరియు 3 సరియైనవి.
(B) 1 మరియు 2 సరియైనవి.
(C) 1 మరియు 3 సరియైనవి.
(D) 2 మరియు 4 సరియైనవి.
జవాబు.
(D) 2 మరియు 4 సరియైనవి.

ప్రశ్న 34.
(0, 5) బిందువు ఈ క్రింది వానిలో దేనికి చెందును ?
(A) X మరియు Y – అక్షాలు రెండింటికి
(B) మూలబిందువుకు
(C) Y – అక్షానికి
(D) X – అక్షానికి
జవాబు.
(C) Y – అక్షానికి

ప్రశ్న 35.
(0, sin 60°) మరియు (cos 30°, 0) బిందువుల గుండా పోవు రేఖ వాలు ఎంత ?
సాధన.
(0, sin 60°) = (o, \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)),
(cos 30°, 0) = (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\), 0)
∴ వాలు m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\) = \($\frac{0-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}-0}$\) = – 1

ప్రశ్న 36.
మూలబిందువు నుండి (3, 4) బిందువుకు గల దూరము ……….. యూ.
సాధన.
మూలబిందువు నుండి (3, 4) బిందువుకు గల దూరము
= \(\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\)
= \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}\) = \(\sqrt{9+16}\) = √25 = 5 యూ.

ప్రశ్న 37.
క్రింది త్రిభుజ వైశాల్యం 60 చ.యూ. అయిన x విలువను కనుగొనుము.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 5
సాధన.
∆ AOB వైశాల్యం = 60 చ.యూ,
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 6
\(\frac{1}{2}\) × 10 = 60
∴ 5x = 60 ⇒ x = \(\frac{60}{5}\) = 12

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 38.
(-a, 0), (0, b), (a, 0) శీర్షములుగా గల త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రంను కనుగొనుము.
సాధన.
గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{(-a)+0+a}{3}, \frac{0+b+0}{3}\right)\)
= \(\left(0, \frac{b}{3}\right)\)

ప్రశ్న 39.
ఇచ్చిన పటం నుండి ∆ OAB వైశాల్యం ఎంత ?
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 8
సాధన.
∆ DAB వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × OA × OB
= \(\frac{1}{2}\) × 3 × 4 = 6 చ.యూ.

ప్రశ్న 40.
P(x, y) .బిందువు నుండి Y-అక్షము వరకు గల దూరము ఎంత?
జవాబు.
|x| యూనిట్లు

ప్రశ్న 41.
బిందువులు (a, b), (b, c) మరియు (c, a) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజము యొక్క గురుత్వ కేంద్రం మూలబిందువు ఐతే a3 + b3 + c3 =
(A) abc
(B) a + b + c
(C) 3abc
(D) 0
జవాబు.
(C) 3abc

సాధన.
(a, b), (b, c), (c, a) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రము మూలబిందువు
∴ \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}}{3}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{3}\right)\) = (0, 0)
\(\left(\frac{a+b+c}{3}, \frac{b+c+a}{3}\right)\) = (0, 0)
a + b + c = 0 కావున
∴ a3 + b3 + c3 = 3 abc
[∵ x + y + z = 0 అయిన x3 + y3 + z3 = 3xyz]

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 42.
X – అక్షంపై గల బిందువును ఒకదానిని రాయండి.
జవాబు.
(4, 0) [∵ (a, 0) రూపంలో గల బిందువులన్నీ y- అక్షంపై ఉంటాయి]

ప్రశ్న 43.
Y- అక్షంపై గల బిందువును ఒకదానిని తెల్పండి.
జవాబు.
(0, 4) [∵ (0, a) రూపంలో గల బిందువులన్నీ Y – అక్షంపై ఉంటాయి]

ప్రశ్న 44.
(3, -2) బిందువు ఉండే పాదమును తెల్పండి.
జవాబు.
Q4

ప్రశ్న 45.
క్రింది బిందువులలో Q, పాదంలోని బిందువు ఏది ?
(A) (1, 3)
(B) (-2, 3)
(C) (-2, -3)
(D) (3, – 4)
జవాబు.
(C) (-2, -3)

ప్రశ్న 46.
(- 4, 0), (4, 0) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత ?
సాధన.
(- 4, 0), (4, 0) బిందువుల మధ్య దూరం
= |x2 – x1| = |4 + 4| = 8 యూ.

ప్రశ్న 47.
(0, -3) (0, -8) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత ?
సాధన.
(0, -3) (0, – 8) బిందువుల మధ్య దూరం
= |y2 – y1|
= |(-8) – (-3) |
= |- 8 + 3| = 5 యూ.

ప్రశ్న 48.
(x1, 0), (x2, 0) బిందువులకు సంబంధించి క్రింది. వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) రెండు బిందువులు x – అక్షంపై గల బిందువులు.
(B) రెండు బిందువుల మధ్య దూరం |x2 – x1 |.
(C) రెండు బిందువులను కలిపే రేఖవాలు సున్న.
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 49.
ప్రవచనం-I : (x1, y1), (x2, y2) బిందువుల మధ్య దూరం |y2 – y1| యూనిట్లు.
(A) I మాత్రమే సత్యం
(B) II మాత్రమే సత్యం
(C) I మరియు II లు రెండూ సత్యం
(D) I మరియు II లు రెండూ అసత్యం
జవాబు.
(C) I మరియు II లు రెండూ సత్యం

ప్రశ్న 50.
ప్రవచనం p: (3, 7), 16, 7) బిందువుల మధ్యదూరం 3′ యూనిట్లు.
వివరణ q : x1, y1), (x1, y2) బిందువుల మధ్యదూరం |y2 – y1| యూనిట్లు.
(A) p సత్యం, q సత్యం, p కి q సరైన వివరణ కాదు
(B)p సత్యం, q అసత్యం .
(C) p సత్యం , q సత్యం , p కి q సరైన వివరణ
(D)p అసత్యం, q సత్యం
జవాబు.
(A) p సత్యం, q సత్యం, p కి q సరైన వివరణ కాదు

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 51.
‘రెండు బిందువుల మధ్య దూరంనకు సూత్రాన్ని తెల్పండి.
సాధన.
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం
= \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) యూ.

ప్రశ్న 52.
(- 4, – 3), (8, – 3) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత?
సాధన.
(- 4, – 3), (8, – 3) బిందువుల మధ్య దూరం
= |x2 – x1|| = | 8 – (-4) | = 12 యూ.

ప్రశ్న 53.
(0, 3), (4, 0) బిందువుల మధ్యదూరమును కనుగొనుము.
సాధన.
(0, 3), (4, 0) బిందువుల మధ్య దూరం
= \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}\) = \(\sqrt{16+9}\) = √25 = 5 యూ.

ప్రశ్న 54.
(-2, 0) మరియు (0, 4) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత ?
సాధన.
(-2, 0), (0, 4) బిందువుల మధ్య దూరం
= \(\sqrt{2^{2}+(4)^{2}}\) = \(\sqrt{4+16}\) = √20 యూ.

ప్రశ్న 55.
(3, 8), (k, 8) బిందువుల మధ్య దూరం 6 అయిన k విలువ ఎంత ?
సాధన.
(3, 8), (k, 8) బిందువుల మధ్య దూరం = 6 యూ.
|x2 – x1] = |k – 3| = 6
k – 3 = ± 6
∴ k = 6 + 3 (లేదా) – 6 + 3 ,
∴ k = 9 (లేదా) – 3

ప్రశ్న 56.
క్రింది వానిలో (5, 7) .బిందువుకు 3 యూనిట్ల దూరంలో గల బిందువు
(A) (5, 10)
(B) (2, 7)
(C) (5, 4)
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 57.
(0, 5), (0, 0) (7, 0) బిందువులు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం
(A) లంబకోణ త్రిభుజం
(B) సమద్విబాహు త్రిభుజం
(C) లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం
(D) సమబాహు త్రిభుజం
జవాబు.
(A) లంబకోణ త్రిభుజం

ప్రశ్న 58.
A(4, 2), B (7, 5) అయిన \(\overline{\mathbf{A B}}\) పొడవు ఎంత ?
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 9

ప్రశ్న 59.
(a, b), (- a, – b) బిందువుల మధ్య దూరం = 2\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) అని చూపుము.
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 10

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 60.
క్రింది వానిలో (2, 3) బిందువు నుండి 5 యూనిట్ల దూరంలో X – అక్షంపై బిందువు ఏది ?
(A) (6, 0)
(B) (5, 0)
(C) (4, 0)
(D) (0, -2)
జవాబు.
(A) (6, 0)

సాధన.
X – అక్షం పై బిందువు (x, 0) అనుకొనుము.
(2, 3), (x, 0)ల మధ్య దూరం = \(\sqrt{(x-2)^{2}+(-3)^{2}}=5\)
⇒ (x – 2)2 + 9 = 25
⇒ (x – 2)2 = 16
⇒ x – 2 = √16 = ±4
⇒ x = 4 + 2 (లేదా) – 4 + 2
∴ x = 6 (లేదా) x = – 2.

ప్రశ్న 61.
ఒక వృత్తం యొక్క వ్యాసాగ్రాలు (- 3, 4), (6, – 8) అయితే ఆ వృత్త వ్యాసార్ధం ఎంత ?
సాధన.
వ్యాసం = (- 3, 4), (6, – 8) ల మధ్య దూరం
= \(\sqrt{(9)^{2}+(-12)^{2}}\)
= \(\sqrt{81+144}\) = √225 = 15
∴ వ్యాసార్ధం = \(\frac{15}{2}\) = 7.5 యూ.

ప్రశ్న 62.
A(x1, y2), B(x2, y2) అయిన \(\overline{\mathbf{A B}}\)ని k : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించు బిందువు నిరూపకాలు రాయండి.
సాధన.
\(\left(\frac{\mathrm{kx}_{2}+\mathrm{x}_{1}}{\mathrm{k}+1}, \frac{\mathrm{ky}_{2}+\mathrm{y}_{1}}{\mathrm{k}+1}\right)\)

ప్రశ్న 63.
(3, 5) మరియు (8, 10) బిందువులతో ఏర్పడు రేఖాఖండాన్ని 2 : 3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించు బిందువును కనుగొనుము.
సాధన.
(3, 5) మరియు (8, 10) బిందువులను కలుపు రేఖాఖండాన్ని 2 : 3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువు
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 11

ప్రశ్న 64.
క్రింది పటంలో ఇవ్వబడిన వృత్త కేంద్రాన్ని కనుగొనుము.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 12
సాధన.
వృత్త కేంద్రం = (5, 3), (3, 5) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండ మధ్యబిందువు
= \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{5+3}{2}, \frac{3+5}{2}\right)\)
= (4, 4)

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 65.
A(6, 9) మరియు B(-6, -9). అయిన \(\overline{\mathrm{AB}}\)ని మూలబిందువు విభజించు నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
సాధన.
1 : 1
[∵ A(6, 9), B(-6, -9) అయిన \(\overline{\mathrm{AB}}\) మధ్యబిందువు (0, 0) అవుతుంది. కావున విభజన నిష్పత్తి 1 : 1]
(లేదా)
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 13
(లేదా)
(6, 9), (-6, – 9) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండము విభజించు నిష్పత్తి m : n అనుకొనుము.
∴ \(\left(\frac{m(-6)+n(6)}{m+n}, \frac{m(-9)+n(9)}{m+n}\right)\) = (0, 0)
⇒ – 6m + 6n = 0
⇒ 6n = 6m
⇒ \(\frac{m}{n}=\frac{6}{6}=\frac{1}{1}\) ∴ m : n = 1 : 1

ప్రశ్న 66.
\(\overline{\mathrm{AB}}\) రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు వరుసగా P, Qలు అయిన క్రిందివానిలో ఏది సత్యం ?
(A) AP = PQ = QB
(B) AP > PQ > QB
(C) AP + PQ = QB
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(A) AP = PQ = QB

ప్రశ్న 67.
(5, -6), (-1, -4)లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని Y- అక్షం విభజించే నిష్పత్తిని తెల్పండి.
సాధన.
(5, -6), (-1, -4)లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని
Y- అక్షం విభజించే నిష్పత్తి = – (5) : – 1 = 5 : 1.
(x1, y1), (x2, y2) బిందువులను Y – అక్షం విభజించే నిష్పత్తి = – x1 : x2)
(లేదా)
(5, -6), (-1, – 4)లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని Y- అక్షంపై గల (0, p) బిందువు m : n నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొనుము.
\(\) = (0, p)
∴ \(\frac{-m+5 n}{m+n}\) = 0
⇒ – m + 5n = 0 ⇒ – m = – 5n
⇒ \(\frac{m}{n}=\frac{5}{1}\)
∴ m : n = 5:1

ప్రశ్న 68.
బిందువులు (7, 3), (6, -5) లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని x – అక్షం విభజించే నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన.
బిందువులు (7, 3), (6, –5) లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని
X- అక్షం విభజించే నిష్పత్తి = -(3) : – 5 = 3 : 5
(గమనిక : (x1, y1), (x2, y2) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని X-అక్షం – y1 : y2, నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది).
(లేదా )
(7, 3), (6, -5)లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని X – అక్షంపై గల (p, 0) బిందువు m : n నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొనుము.
\(\left(\frac{m(6)+n(7)}{m+n}, \frac{m(-5)+n(3)}{m+n}\right)\) = (p, 0)
∴ \(\frac{-5 m+3 n}{m+n}\) = 0
⇒ 5m + 3n = 0 ⇒ 5m = – 3n
\(\frac{m}{n}=\frac{3}{5}\)
∴ m : n = 3 : 5

ప్రశ్న 69.
(5, -2), (6, 4) మరియు (7, – 2) శీర్షాలు గల త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రమును కనుగొనుము.
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 14

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 70.
(3, -5), (-7, 4), (10, y) లు శీర్షాలు గల త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రము (2, -1) అయిన y విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 15

ప్రశ్న 71.
బిందువులు క్రింది. పటంలో చూపిన విధంగా కలవు అయితే \(\overline{\mathbf{A B}}\) ని ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 16
సాధన.
3 : 2

ప్రశ్న 72.
∆ ABC యొక్క గురుత్వ కేంద్రము G, మధ్యగతము AD అయితే AG : GDని రాయండి.
జవాబు.
2 : 1

ప్రశ్న 73.
A(-2, 8) మరియు B(-6, – 4) అయిన A, Bలను కలిపే రేఖాఖండపు మధ్యబిందువును కనుగొనుము.
సాధన.
AB మధ్యబిందువు = \(\left(\frac{-2+(-6)}{2}, \frac{8+(-4)}{2}\right)\)
= (- 4, 2)

ప్రశ్న 74.
A(-2, 3), B(6, 7) మరియు C(8, 3)లు సమాంతర చతుర్భుజం ABCD శీర్షాలైతే నాల్గవ శీర్షం D బిందు నిరూపకాలను కనుగొనుము.
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 17

ప్రశ్న 75.
A(4, 2), B(6, 5) మరియు C(1, 4) లు ∆ABC యొక్క శీర్షాలు మరియు AD మధ్యగతము అయిన D బిందువును కనుగొనుము.
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 18
AD మధ్యగతము. కావున BC మధ్య బిందువు D.
D = \(\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)\)

ప్రశ్న 76.
క్రింది పటంలో త్రిభుజం AOB వైశాల్యము ఎంత ?
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 19
సాధన.
∆ AOB వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × OA × OB.
= \(\frac{1}{2}\) × 4 × 6 = 12 చ.యూ.

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 77.
A(4, p) మరియు B(1, 0) బిందువుల మధ్య దూరం .5 యూనిట్లు అయితే
(A) p = 4 మాత్రమే
(B) p = – 4 మాత్రమే
(C) p = ± 4
(D) p = 0
సాధన.
(C) p = ± 4

ABల మధ్య దూరము
= \(\sqrt{(1-4)^{2}+(0-p)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+p^{2}}\) = 5 ⇒ 9 + p2 = 25
⇒ p2 = 25 – 9 = 16
∴ p = √16 = ± 4.

ప్రశ్న 78.
క్రింది పటంలో OA = AB మరియు ∠OAB = 90° అయిన \(\overline{\mathbf{O B}}\) యొక్క వాలు ఎంత ?
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 20
సాధన.
∠OAB = 90° మరియు OA = AB.
కావున ∆ABC లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజము
∴ θ = 45°
∴ OR, X – అక్షంతో చేసే కోణం θ = 45°
∴ OB వాలు m = tan θ = tan 45° = 1

క్రింది పటంలో ఇవ్వబడిన ABCD దీర్ఘచతురస్రాన్ని పరిశీలించండి.
ఈ సమాచారం ఆధారంగా 79 మరియు 80 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 21

ప్రశ్న 79.
శీర్షం D యొక్క నిరూపకాలు రాయండి.
జవాబు.
D నిరూపకాలు = (2, 3)

ప్రశ్న 80.
ABCD దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యము ఎంత ?
సాధన.
దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం = AB × BC
= 4 × 3 = 12 చ.యూ.

ప్రశ్న 81.
(1, 0), (3, 0) మరియు (0, 2) బిందువులతో ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యంను కనుగొనుము.
సాధన.
(1, 0), (3, 0), (0, 2) లతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\)|x1 (y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)
= \(\frac{1}{2}\) |1(0 – 2) + 3(2 – 0) + 0(0 – 0) |
= \(\frac{1}{2}\)|- 2 + 6 + 0|
= \(\frac{1}{2}\) |4|
= 2 చ.యూ.

ప్రశ్న 82.
(7,-2), (5, 1), (3, k) లు సరేఖీయాలైతే kవిలువ ఎంత?
సాధన.
A (7, -2), B(5, 1), C(3, k) లు సరేఖీయాలైతే k .
విలువ ∆ ABC వైశాల్యం
⇒ \(\frac{1}{2}\) |7(1 – k) + 5(k + 2) + 3(- 2 – 1)| = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\) |7 – 7k + 5k + 10 – 9| = 0
⇒ |- 2k + 8| = 0
⇒ -2k + 8 = 0 = – 2k = – 8
∴ k = \(\frac{-8}{-2}\) = 4
(లేదా)
AB వాలు = BC వాలు
\(\frac{1+2}{5-7}=\frac{k-1}{3-5}\) ⇒ \(\frac{3}{-2}=\frac{k-1}{-2}\)
⇒ k – 1 = 3 ⇒ k = 4

ప్రశ్న 83.
3x + 2y = 10 సరళరేఖపై గల ఒక బిందువును కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన సరళరేఖ 3x + 2y = 10 లో x = 0 – అనుకొనుము.
3(0) + 2y = 10 ⇒ y = \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ 3x + 2y = 10 పై గల ఒక బిందువు = (0, 5)

ప్రశ్న 84.
y = x + 7 సరళరేఖ X-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు ఏది ?
సాధన.
y = x + 7 సరళరేఖ X-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు వద్ద y = 0 అవుతుంది.
0 = x + 7 ⇒ x = – 7
X-అక్షాన్ని y = x + 7 సరళరేఖ ఖండించే బిందువు = (-7, 0)

ప్రశ్న 85.
(t, 2t), (-2, 6) మరియు (3, 1) బిందువులు సరేఖీయాలైతే 1 విలువ ఎంత ?
సాధన.
(t, 21) (-2, 6) వాలు = (-2, 6) (3, 1) వాలు
\(\frac{6-2 t}{-2-t}=\frac{-5}{5}\) ⇒ \(\frac{6-2 t}{-2-t}\) = – 1
⇒ 6 – 2t = 2 + t ⇒ 4 = 3t
∴ t = 3.

ప్రశ్న 86.
(-3, – 4) మరియు (1, 2)లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని Y- అక్షం విభజించే నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన.
(-3, – 4) మరియు (1, -2)లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని
Y- అక్షం విభజించే నిష్పత్తి
= – x1 : x2 = -(- 3) : 1 = 3:1

ప్రశ్న 87.
(0, 0), (3, 0), (0, – 3) లతో ఏర్పడు త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రమును కనుగొనుము.
సాధన.
గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{3}{3}, \frac{-3}{3}\right)\) = (1, -1)

ప్రశ్న 88.
(0,0), (2, 0), (0, 2) బిందువులతో ఏర్పడు త్రిభుజ చుట్టుకొలత ఎంత ?
సాధన.
0(0, 0), A(2, 0), B(0, 2) అనుకొనుము.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 21
∆AOBలో. OA = OB = 2 యూ.
∆AOB లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజము.
∴ AB2 = OB2 + OA2 = 22 + 22 = 8 .
AB = √8 = 2√2
చుట్టుకొలత = OA + 0B + AB
= 2 + 2 + 2√2
= 4 + 21√2 యూ.

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 89.
క్రింది వానిని జతపరచడంలో సరైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనుము.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 24
(A) a – ii, b – i, c – iii
(B) a – ii, b – iii, c-i
(C) a – iii, b-i, c-ii
(D) a – iii, b – ii, c-i
జవాబు.
(B) a – ii, b – iii, c-i

ప్రశ్న 90.
(a, b), (c, d), (e, f) లు నిరూపకాలుగా గల త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రాన్ని రాయండి.
సాధన.
గురుత్వ కేంద్రము = \(\left(\frac{a+c+e}{3}, \frac{b+d+f}{3}\right)\)

ప్రశ్న 91.
త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రమునకు చెందిన క్రింది ప్రవచనాలలో ఏవి సత్యము ?
ప్రవచనం-1 : త్రిభుజ మధ్యగతరేఖల మిళిత బిందువు గురుత్వ కేంద్రము.
ప్రవచనం-II : త్రిభుజ పరివృత్త కేంద్రము గురుత్వ కేంద్రము.
ప్రవచనం-III : గురుత్వ కేంద్రము మధ్యగతమును 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
ప్రవచనం-IV : త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రము
\(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
జవాబు.
I, III, IV ప్రవచనాలు సత్యము.

ప్రశ్న 92.
(3, 2), (0, 5) (-3, 2) మరియు (0, -1) బిందువులు శీర్షాలుగా గల ‘చతురస్ర వైశాల్యమును కనుగొనుము.
సాధన.
చతురస్ర భుజం = (3, 2), (0, 5) బిందువుల
మధ్య దూరం s = \(\sqrt{(0-3)^{2}+(5-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}\) = √18 .
∴ చతురస్ర వైశాల్యం s2 = (√8)2
= 18 చ.యూ.

ప్రశ్న 93.
ఇవ్వబడిన పటంలో A(28, 0), B (0, 2b) అయిన ∆AOB యొక్క మూడు శీర్షాలకు సమాన దూరంలో గల బిందువు
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 25
(A) \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\)
(B) \(\left(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}\right)\)
(c) (a, b)
(D) \(\left(\frac{2 \mathrm{a}+2 \mathrm{~b}}{3}, \frac{2 \mathrm{a}+2 \mathrm{~b}}{3}\right)\)
జవాబు.
(c) (a, b)

సాధన.
∆AOB లో మూడు శీర్షాలకు సమాన దూరంలో గల బిందువు = కర్ణం AB మధ్యబిందువు
= \(\left(\frac{2 a+0}{2}, \frac{0+2 b}{2}\right)\) = (a, b)
(లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం మధ్య బిందువు మూడు శీర్షాలకు సమాన దూరంలో ఉంటుంది. దీనిని పరివృత్త కేంద్రం అని అంటాము).

ప్రశ్న 94.
A(0, 3), B(0, 0), C(5,0) లు దీర్ఘచతురస్రం ABCD యొక్క మూడు శీర్షాలైతే ఆ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క ప్రతి కర్ణం పొడవు ఎంత ?
సాధన.
A(0, 3), B(0, 0), C(5,0) శీర్షాలుగా గల దీర్ఘచతురస్రం కర్ణాల పొడవు =
AC = \(\sqrt{5^{2}+3^{2}}\) = \(\sqrt{25+9}\) = √34 యూ.

ప్రశ్న 95.
A(2, 3), B(4, 5) అయిన \(\overleftrightarrow{A B}\) వాలు
(A) 1
(B) 2
(C) 0
(D) నిర్వచితము కాదు
జవాబు.
(A) 1

సాధన.
\(\overline{\mathrm{AB}}\) వాలు = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{5-3}{4-2}=\frac{2}{2}\) = 1

ప్రశ్న 96.
క్రింది పటంలో AB నిచ్చెన X – అక్షంతో పటంలో చూపినట్లు θ కోణం చేస్తుంటే నిచ్చెన యొక్క వాలు m =
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 26
(A) tan θ
(B) tan (180 – θ°)
(C) cot θ
(D) tan (90 + θ)
సాధన.
B [రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో చేసే కోణం యొక్క tan విలువ]
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 27
∴ AB వాలు = tan (180 – θ)

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 97.
A(3, 2), B(-8, 2) అయిన \(\overleftrightarrow{A B}\) వాలు
(A) -11
(B) 0
(C) 1
(D) – 1
సాధన.
(B) 0

\(\overleftrightarrow{A B}\) వాలు = \(\frac{2-2}{-8-3}\) = 0.

ప్రశ్న 98.
(loga , log10 100), (sin 90°, cos 90°) బిందువుల మధ్య దూరము 2 యూనిట్లు అని చూపుము.
సాధన.
loga a = 1 మరియు log10 100 = 2,
sin 90° = 1, cos 90° = 0
∴ (1, 2), (1, 0) బిందువుల మధ్య దూరం
= \(\sqrt{0^{2}+2^{2}}\) = 2 యూ.
(లేదా)
|y2 – y1| = |0 – 2| = 2 యూ.

ప్రశ్న 99.
A(5, – 4), B(5, 5) లను 2 : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువును కలిగి ఉండు పాదము
(A) Q1
(B) Q2
(C) Q3
(D) Q4
జవాబు.
(A) Q1

సాధన.
A(5, – 4), B (5, 5) లను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే చిందు
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 28
(5, 2) ∈ Q1

ప్రశ్న 100.
A, B, C బిందువులు ఒకే సరళరేఖపై అదే క్రమంలో కలవు. అయితే క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) AB + BC = AC
(B) ∆ABC వైశాల్యం = 0 .
(C) AB వాలు = BC వాలు
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 101.
త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుగొనుటకు హెరాన్ సూత్రంను తెల్పండి.
జవాబు.
త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

ప్రశ్న 102.
A, B, C లు సరేఖీయాలు మరియు AB = 3√2 , BC = 5√2 , AC = 2√2 అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) \(\overline{\mathrm{AC}}\)ని B అంతరంగా విభజిస్తుంది.
(B) \(\overline{\mathrm{AB}}\)ని C అంతరంగా విభజిస్తుంది.
(C) \(\overline{\mathrm{BC}}\)ని A అంతరంగా విభజిస్తుంది.
(D) పైవి ఏవీకావు
జవాబు.
(C) \(\overline{\mathrm{BC}}\)ని A అంతరంగా విభజిస్తుంది.

సాధన.
AB + AC = 3√2 + 2√2 = 5√2 = BC
కావున B, C లను A అంతరంగా విభజిస్తుంది.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 29

ప్రశ్న 103.
A(x, y) ఏదేని బిందువు, క్రింది సందర్భాలలో A బిందువును కలిగిన పాదమునకు జతపరుచుము.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 30
(A) a – i, b – v, c – iii, d – iv
(B) a-i, b – ii, c – iii, d – v
(C) a – v,b – iv, c viii, d-i
() a – i, b – iv, c – v, d – ii
జవాబు.
(A) a – i, b – v, c – iii, d – iv

ఈ క్రింది పటంలో ఇవ్వబడిన ABCD దీర్ఘచతురస్రాన్ని పరిశీలించండి.
ఈ సమాచారం ఆధారంగా 104 – 106 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 31

ప్రశ్న 104.
పై పటంలో ABCD ఒక చతురస్రము అయిన కర్ణం \(\overline{\mathrm{AC}}\) వాలు ఎంత?
సాధన.
AC వాలు = tan 45° = 1 (∵ AC, X – అక్షంతో 45° చేస్తుంది.)

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 105.
పై పటంలో ABCD ఒక చతురస్రము అయిన భుజం CD వాలు ఎంత ?
సాధన.
CD // X – అక్షం.
∴ CD వాలు = 0

ప్రశ్న 106.
పై పటంలో ARCD ఒక చతురస్రము అయిన భుజం BC వాలు ఎంత?
సాధన.
BC // Y – అక్షం. . …… ..
∴ BC వాలు నిర్వచించబడదు.

ప్రశ్న 107.
(2, 3) మరియు (p, 3) బిందువుల మధ్య దూరం 5 యూనిట్లు అయిన pవిలువను కనుగొనుము.
సాధన.
(2, 3), (p, 3) బిందువుల మధ్య దూరం = 5
|p – 2| = 5 = p – 2 = + 5
∴ p = 5 + 2 (లేదా) p = – 5 + 2
∴ p = 7 (లేదా) p = – 3

ప్రశ్న 108.
(2, 8) మరియు (2, k) బిందువుల మధ్య దూరం 3 యూనిట్లు అయిన ఓ విలువను కనుగొనుము.
(A) 11 మాత్రమే
(B) 5 మాత్రమే
(C) 11, 5
(D) కనుగొనలేము
జవాబు.
(C) 11, 5

సాధన.
(2, 8) మరియు (2, k) బిందువుల మధ్య దూరం = 3
|k – 8] = 3 ⇒ k – 8 = ± 3 ⇒ k = ±3 + 8
∴ k= 11 (లేదా) k = 5

ప్రశ్న 109.
A(0,-1), B(2, 1), C(0, 3) లు త్రిభుజ శీర్షాలు . B శీర్షం నుండి గీయబడిన మధ్యగతరేఖ పొడవు ఎంత?
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 32

ప్రశ్న 110.
(3, k) మరియు (4, 1) బిందువుల మధ్య దూరం √10 అయిన k= …………
(A) 4
(B) – 2
(C) A, B లు రెండూ
(D) 2
జవాబు.
(C) A, B లు రెండూ

సాధన.
(3, k) మరియు (4, 1) బిందువుల మధ్య దూరం = √0
= \(\sqrt{(4-3)^{2}+(1-k)^{2}}\) = √10
= \(\sqrt{1^{2}+(1-k)^{2}}\) = √10
= 1 + (1 – k)2 = 10
= (1 – k)2 = 10 – 1 = 9
= |1 – k| = √9 = ± 3.
= 1 – k= + 3 = 1 ± 3 = k
∴ k = 4 (లేదా) k = – 2.

ప్రశ్న 111.
(1, 2), (-1, x), (2, 3) బిందువులు సరేఖీయాలైన. x విలువ ……………
(A) – 4
(B) 0
(C) 4
(D) 10
జవాబు.
(B) 0

సాధన.
B (1, 2), (- 1, x) వాలు = (1, 2), (2, 3) వాలు
\(\)
⇒ \(\frac{x-2}{-2}\) = 1 ⇒ x – 2 = – 2
∴ x = 0

ప్రశ్న 112.
(sin2θ, sec2θ), (cos2 θ, – tan2θ) బిందువుల మధ్య బిందువు
(A) (1, 1)
(B) (0, 0)
(C) \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\)
(D) \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)
జవాబు.
(D) \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)

సాధన.
(sin2θ, sec2θ), (cos2 θ, – tan2θ) బిందువుల మధ్య బిందువు
= \(\left(\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{2}, \frac{\sec ^{2} \theta-\left(\tan ^{2} \theta\right)}{2}\right)\) = \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)
[∵ sin2 θ + cos2 θ = 1 మరియు sec2 θ – tan2 θ = 1]

ప్రశ్న 113.
క్రింది పటం నుండి 1 రేఖ యొక్క రేఖవాలు ఎంత ?
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 33
సాధన.
1 రేఖ వాలు = tan 60° = √3.

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 114.
(4, – p), X – అక్షంపై బిందువు అయిన p2 + 2p – 1 విలువ ఎంత ?
సాధన.
(4, – p), X- అక్షంపై బిందువు అయితే – p = 0
∴ p = 0, కావున
p2 + 2p – 1 = 02 + 2(0) – 1 = -1
(∵ X – అక్షంపై గల బిందువు (x, 0) రూపంలో ఉంటుంది.)

ప్రశ్న 115.
(a, 5) బిందువు a యొక్క ఏ విలువకు Y- అక్షంపై బిందువు అవుతుంది ?
జవాబు.
a = 0 అయినపుడు (a, 5) బిందువు Y – అక్షంపై బిందువు అవుతుంది.

ప్రశ్న 116.
త్రిభుజ వైశాల్యమును కనుగొనుటకు హెరాన్ సూత్రం \(\sqrt{\mathbf{s}(\mathbf{s}-\mathbf{a})(\mathbf{s}-\mathbf{b})(\mathbf{s}-\mathbf{c})}\) లో S ను a, b, c లలో తెల్పండి.
జవాబు.
S = \(\frac{a+b+c}{2}\)

ప్రశ్న 117.
క్రింది వానిని జతపరుచుము:
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 34
(A) a – ii, b – i, c – iii, d – iv
(B) a – ii, b – iv, c – i, d – iii
(C) a – iii, b – iv, c – i, d – iii
(D) a . ii, b – ii, c – i, d – iii
జవాబు.
(C) a – iii, b – iv, c – i, d – iii

ప్రశ్న 118.
వాలు ‘సున్న’ ‘0’ గా గల రేఖ (లేదా) x = k అను రేఖ
(A) X – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండును.
(B) X – అక్షానికి లంబంగా ఉండును.
(C) Y – అక్షానికి లంబంగా ఉండును.
(D) A మరియు C
జవాబు.
(D) A మరియు C

ప్రశ్న 119.
(0, 0) మరియు (√3 , 3) బిందువులను కలుపు రేఖ వాలు ఎంత ?
సాధన.
(0, 0), ( √3, 3) బిందువులను కలుపు రేఖ వాలు
= \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) = √3

ప్రశ్న 120.
(0, 0) మరియు ( √3, 3) బిందువులను కలుపు రేఖ X – అక్షం ధనదిశలో చేయు కోణం ఎంత ?
సాధన.
(0, 0), (√3, 3) బిందువులను కలుపు రేఖ వాలు
m = tan θ = \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) = √3
∴ θ = 60°
కావున (0, 0), (√3, 3) బిందువులను కలుపు రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో చేయు కోణము 60°.

ప్రశ్న 121.
A(x1, y1), B(x2, y2) అయిన AB రేఖ X- అక్షం ధన దిశలో 9 కోణం చేస్తున్నది. పై సమాచారాన్ని ఒక చిత్తు పటంలో చూపండి.
జవాబు.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 35

ప్రశ్న 122.
పై 121వ ప్రశ్నలోని AB రేఖకు సంబంధించి క్రింది వానిలో ఏది సత్యము ? –
(A) వాలు m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)
(B) వాలు m = tan θ
(C) A మరియు C
(D) వాలు m = \(\frac{x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}\)
జవాబు.
(C) A మరియు C

ఈ క్రింది పటాన్ని పరిశీలించండి. పటంలో ఇచ్చిన సమాచారం ఆధారంగా 123-127 వరకు ఇవ్వబడిన ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 36

ప్రశ్న 123.
∆ AOB వైశాల్యము ఎంత ?
సాధన.
∆ AOB వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × 3 × 4 = 6 చ.యూ.

ప్రశ్న 124.
\(\overline{\mathbf{A B}}\) పొడవును కనుగొనుము.
సాధన.
AB = \(\sqrt{(4-0)^{2}+(0-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9}\) = √25 = 5 యూ.

ప్రశ్న 125.
AB రేఖండాన్ని 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువును కనుగొనుము.
సాధన.
AB రేఖాఖండాన్ని 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు
= A, B మధ్య బిందువు
= \(\left(\frac{4+0}{2}, \frac{0+3}{2}\right)\) = \(\left(2, \frac{3}{2}\right)\)

ప్రశ్న 126.
∆ AOB చుట్టుకొలత ఎంత ?
సాధన.
∆ AOB చుట్టుకొలత = AO + OB + AB
= 3+ 4 + 5 = 12 యూ.

ప్రశ్న 127.
∆ AOB గురుత్వ కేంద్రాన్ని కనుగొనుము.
సాధన.
∆ AOB గురుత్వ కేంద్రము
\(\left(\frac{0+0+4}{3}, \frac{3+0+0}{3}\right)\) = \(\left(\frac{4}{3}, 1\right)\)

ప్రశ్న 128.
(7, 8) బిందువు నుండి X – అక్షానికి గల దూరము ఎంత ?
జవాబు.
8 యూనిట్లు

ప్రశ్న 129.
X – అక్షం నుండి 5 యూనిట్లు, Y – అక్షం నుండి 4 యూనిట్లు దూరంలో గల బిందువులలో (4, 5) ఒక బిందువు అయిన ఏదేని మరొక బిందువును రాయండి.
సాధన.
(- 4, – 5) లేదా (- 4, 5) లేదా (4, – 5).

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 130.
(a sin θ, 0), (0, a cos θ) బిందువుల మధ్య
దూరము ఎంత ?
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 37

ప్రశ్న 131.
క్రింది వానిలో ఏవి అసత్యము ? 0
(i) X- అక్షం వాలు = 1
(ii) Y – అక్షం వాలు = 0
(iii)(3, 0) బిందువు X – అక్షంపై ఉంటుంది.
(iv) (0, p) రూపంలో గల బిందువులు Y – అక్షంపై – ఉంటాయి.
(v) ఒక రేఖ X – అక్షం ధనదిశలో చేయు కోణం θ అయిన ఆ రేఖ వాలు m = cot θ.
జవాబు.
i, ii మరియు V అసత్యము

ప్రశ్న 132.
(3, 2), (-8, 2) బిందువులను కలుపు రేఖ X- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది. (సత్యం/అసత్యం)
జవాబు.
సత్యము

ప్రశ్న 133.
క్రింది వానిని జతపరుచుము:
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 38
(A) i – d, ii – a, iii – c, iv-b
(B) i – c, ii – d, iii – a, iv – b
(C)i – c, ii – b, iii – a, iv-d
(D) i-d, ii – c, iii – d, iv – a
జవాబు.
(B) i – c, ii – d, iii – a, iv – b

ప్రశ్న 134.
(X, -y) బిందువు Q, పాదంలో ఉంటే క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) x > 0, y > 0
(B) x < 0, y > 0
(C) x < 0, y < 0 (D) X > 0, y < 0 జవాబు. (D) X > 0, y < 0

నిరూపకం A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2) మరియు D(0, 2) బిందువులు ABCD చతురస్రం యొక్క శీర్షాలు.
పై సమాచారం ఆధారంగా 135 – 139 ప్రశ్నలకు

ప్రశ్న 135.
పై సమాచారాన్ని ఒక చిత్తుపటంలో చూపండి.
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 39

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 136.
చతురస్రం యొక్క భుజము పొడవు ఎంత ?
సాధన.
చతురస్ర భుజం పొడవు s = 2 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 137.
చతురస్ర వైశాల్యమును కనుగొనుము.
సాధన.
చతురస్ర వైశాల్యం = s2 = 22 = 4 చ.యూ.

ప్రశ్న 138.
చతురస్ర కర్ణము పొడవు ఎంత ?
సాధన.
కర్ణం AC పొడవు = \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}\)
= √8 = 2√2 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 139.
AC కర్ణము వాలు ఎంత ?
సాధన.
కర్ణం AC వాలు = 1
(∵ కర్ణం X – అక్షంతో 45° చేస్తుంది.)

ప్రశ్న 140.
ఒక వృత్త వ్యాసాగ్రాలు (5, 2) మరియు (-5, -2) అయిన ఆ వృత్త కేంద్రమును కనుగొనుము.
సాధన.
వృత్తి కేంద్రము = \($\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)$\)
= \(\left(\frac{5+(-5)}{2}, \frac{2+(-2)}{2}\right)\)
= (0, 0)

గమనిక : క్రింద ఇవ్వబడిన పటం సమబాహు త్రిభుజం ABC లో CD ⊥ AB.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 40
ఇచ్చిన సమాచారం ఆధారంగా 141 – 145 వరకు గల ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న 141.
∆ ABC యొక్క భుజం పొడవు ఎంత ?
సాధన.
∆ ABC యొక్క భుజం పొడవు
AB = |x2 – x1|| = |4 – (-2) | = 6 యూనిట్లు

ప్రశ్న 142.
D బిందువు యొక్క నిరూపకాలు కనుగొనుము.
సాధన.
AB మధ్య బిందువు D = \(\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{0+0}{2}\right)\)
= (1, 0)

ప్రశ్న 143.
CD పొడవు ఎంత ?
సాధన.
CD = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)a = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × 6 = 3√3
(లేదా )
C(1, 0), D(1, 3√3)
∴ CD = |y2 – y1| = | 3√3 – 0||
= 3√3 యూనిట్లు

ప్రశ్న 144.
∆ABC వైశాల్యము ఎంత ? ,
పాదన.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 41

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 145.
AC రేఖ వాలును కనుగొనుము.
సాధన.
AC వాలు m = tan 60° = 13
(∵ \(\overleftrightarrow{A B}\), X- అక్షం అవుతుంది, ∠CAB = 60°)

ప్రశ్న 146.
(sin 90°, tan 45°); (sec 60°, cos 90°) బిందువుల గుండా పోవు సరళరేఖ వాలు.
సాధన.
(sin 90°, tan 45°) = (1, 1),
(sec 60°, cos 90°) = (2, 0)
∴ (1, 1), (2, 0) బిందువులను కలిపే రేఖ వాలు
= \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\) = \(\frac{-1}{1}\) = – 1

ప్రశ్న 147.
(x1, y1), (x2, y2) బిందువులను కలుపు’ రేఖాఖండాన్ని m: n నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువును రాయండి.
సాధన.
\(\left(\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}, \frac{m y_{2}+n y_{1}}{m+n}\right)\)

ప్రశ్న 148.
ఒక సరళరేఖ యొక్క వాలు √3 అయిన ఆ రేఖ X – అక్షంతో ధన దిశలో చేయు కోణం ఎంత ?
సాధన.
సరళరేఖ వాలు m = tan θ = √3,
∴ θ = 60° సరళరేఖ X – అక్షంతో చేయు కోణం
= 60°

ప్రశ్న 149.
ఒక రేఖ యొక్క వాలు m = tan θ గా నిర్వచిస్తాము. ఇక్కడ 8, రేఖ X – అక్షం ధన దిశలో చేసే కోణము. (3, 7), (6, 10) బిందువుల గుండాపోవు రేఖ X- అక్షం ధన దిశలో చేసే కోణము ఎంత ?
సాధన.
(3, 7), (6, 10) కలిపే రేఖ వాలు
m = tan θ = \(\frac{\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}}{\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}}\)
tan θ = \(\frac{10-7}{6-3}=\frac{3}{3}\)
∴ θ = 50° (∵ tan 45° = 1)
(3, 7), (6, 10) బిందువులను కలిపే రేఖ ..
X- అక్షంతో 45° కోణం చేస్తుంది.

ప్రశ్న 150.
∆ ABC యొక్క వైశాల్యము ‘0’ చ.యూ. అయిన A, B, C బిందువులను గూర్చి నీవు ఏమి చెప్పగలవు ?
జవాబు.
A, B, C లు సరేఖీయాలు.

ప్రశ్న 151.
A, B, C లు సరేఖీయ బిందువులైన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
I) ∆ABC వైశాల్యం సున్న చ.యూ.
II) AB వాలు = BC వాలు = AC వాలు
(A) I మాత్రమే
(B) II మాత్రమే
(C) I మరియు II
(D) I మరియు II లు రెండూ అసత్యం
జవాబు.
(C) I మరియు II

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 152.
క్రింది వానిలో వేరుగా (విభిన్నంగా) ఉన్న దానిని గుర్తించుము.
P(-5, 0), Q- 3, 0), R(0, 3), S(3, 0), R(20, 0)
జవాబు.
R (∵ మిగిలిన బిందువులు అన్ని X – అక్షంపై గల బిందువులు. R, Y – అక్షంపై బిందువు)

ప్రశ్న 153.
క్రింది వానిని జతపరుచుము :
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 42
(A) i – a, ii – c, iii – d, iv-b
(B) i-d, ii – a, iii – b, iv – C
(C) i-d, ii – c, iii – a, iv-b
(D) i-d, ii – b, iii – c, iv – a
జవాబు.
(C) i-d, ii – c, iii – a, iv-b

ప్రశ్న 154.
AB రేఖాఖండాన్ని A, B బిందువుల మధ్యబిందువు విభజించే నిష్పత్తిని తెల్పండి.
జవాబు.
1 : 1

ఇవ్వబడిన పటంలో వృత్త కేంద్రము ‘0’ మరియు ∠OAB = 45°, అయిన క్రింది 155, 156 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 43

ప్రశ్న 155.
ABజ్యా పొడవు ఎంత ?
సాధన.
జ్యా AB = |x2 – x1| = |5 – 2| = 3 యూ.

ప్రశ్న 156.
వృత్త వ్యాసార్ధంను కనుగొనుము.
సాధన.
∆AOBA OA = OB ⇒ ∠A = ∠B = 45°
∴ AOB = 90°
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 44

ప్రశ్న 157.
x < 0, y> 0 అయిన (-x, y) బిందువు నిరూపక తలంలో ఏ పాదంలో ఉంటుంది ?
సాధన.
x < 0, y > 0 అయిన (-x, y) లో X – నిరూపకం ఋణాత్మకం, y – నిరూపకం ధనాత్మకం.
∴ (-x, y) ∈ Q2.

ప్రశ్న 158.
క్రింది రెండు ప్రవచనాలను సంతృప్తిపరచే చతుర్భుజమేది?
ప్రవచనం (A) : కర్ణాలు సమానం
ప్రవచనం (B) : అన్ని భుజాలు సమానం
(a) రాంబస్
(b) సమాంతర చతుర్భుజం
(c) దీర్ఘచతురస్రం
(d) చతురస్రం
జవాబు.
(d) చతురస్రం

ప్రశ్న 159.
క్రింది పటంలో కనుగొనండి.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 45
జవాబు.
6 చ|| యూనిట్లు

AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం

ప్రశ్న 160.
(2, 0) మరియు (- 2, 0) బిందువులను కలిపే రేఖవాలును కనుగొనండి.
సాధన.
AP 10th Class Maths Bits 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Bits 46

ప్రశ్న 161.
త్రిభుజ మధ్యగతరేఖల ఖండన బిందువును ఏమంటారు?
జవాబు.
త్రిభుజము యొక్క గురుత్వ కేంద్రము అంటారు.