Srinivas – Page 33 – AP Board Solutions

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.3

March 15, 2022

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 7th Lesson త్రిభుజాలు Exercise 7.3

ప్రశ్న 1.
ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము ABCలో AB = AC, AD అనేది A నుండి BCకి గీసిన లంబము అయిన
(i) BC భుజాన్ని AD సమద్విఖండన చేయునని
(ii) ∠A ని AD కోణ సమద్విఖండన చేయునని చూపండి.
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.3 1
ΔABC లో AB = AC మరియు AD ⊥ BC
i) ΔABD మరియు ΔACD లలో
AB = AC (దత్తాంశం)
∠ADB = ∠ADC (AD ⊥ BC)
AD = AD (ఉమ్మడి భుజము)
∴ ΔABD ≅ ΔACD
(∵ లం.క.భు. నియమము నుండి)
⇒ BD = CD (CPCT)
⇒ AD, BC ను సమద్విఖండన చేయును.

ii) ∠BAD = ∠CAD
(ΔAB, ΔACD ల యొక్క CPCT)
∴ AD అనునది ∠A యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ అగును.

ప్రశ్న 2.
ΔABC లో రెండు భుజములు AB, BC మరియు మధ్యగతం AM వరుసగా ΔPQR లో రెండు భుజములు PQ, QRలు మరియు మధ్యగతం PNకు సమానము (పటము చూడండి). అయిన
i) ΔABM ≅ ΔPON
ii) ΔABC ≅ ΔPQR అని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.3 2
సాధన.
దత్తాంశము నుండి AB = PQ
AM = PN
i) ΔABM మరియు ΔPQN లలో
AB = PQ (దత్తాంశము)
AM = PN (దత్తాంశము)
BM = QN
(∵ BC = QR ⇒ [latex]\frac {1}{2}[/latex]BC = [latex]\frac {1}{2}[/latex]QR ⇒ BM = QN)
∴ ΔΑΒΜ ≅ ΔΡQΝ
(∵ భు.భు. భు. నియమం ప్రకారం)

ii) ΔABC మరియు ΔPQR లలో
AB = PQ (దత్తాంశం)
BC = QR (దత్తాంశం)
∠ABC = ∠PQN [∵ ΔABM మరియు ΔPQN ల యొక్క CPCT (i) నుండి]
∴ ΔABC ≅ ΔPQR
(∵ భు.కో.భు. నియమం ప్రకారం)

ప్రశ్న 3.
ΔABC లో BE, CF లు రెండు సమాన లంబములు. లం.క.భు. సర్వసమానత్వ నియమాన్ని ఉపయోగించి AABC సమద్విబాహు త్రిభుజమని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.3 3
సాధన.
ΔABC లో BE, CF లు సమాన లంబాలు.
ΔBCE మరియు ΔCBF లలో
∠BEC = ∠CFB = 90° (∵ పటం నుండి)
BC = BC (ఉమ్మడి భుజం మరియు కర్ణము)
CF = BE (దత్తాంశము)
∴ ΔBEC ≅ ΔCBE
⇒ ∠EBC = ∠FCB (∵ CPCT)
కాని ఈ కోణాలు ΔABC యొక్క భుజాలైన AC మరియు AB ల అంతర కోణాలు.
⇒ AC = AB

ప్రశ్న 4.
ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము ABC లో AB = AC అయిన ∠B = ∠C అని నిరూపించండి.
(గమనిక : AP ⊥ BC అయ్యేటట్లు APని గీయండి, లం.క.భు. నియమాన్ని ఉపయోగించండి.)
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.3 4
దత్తాంశం : ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము మరియు AB = AC.
సారాంశం : ∠B = ∠C
D, BC మధ్య బిందువనుకొనుము.
నిర్మాణం : A, D లను కలుపుము.
ఉపపత్తి : ΔABD మరియు ΔACD లలో
AB = AC (దత్తాంశం)
BD = DC (నిర్మాణము)
AD = AD (ఉమ్మడి భుజము)
∴ ΔABD ≅ ΔACD
(∵ భు.భు.భు. నియమం ప్రకారం)
⇒ ∠B = ∠C [∵ CPCT]

ప్రశ్న 5.
ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము ABCలో AB = AC. AD = AB అగునట్లు భుజము BA ని D బిందువు వద్దకు పొడిగించినారు (పటము చూడండి). ∠BCD ఒక లంబకోణమని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.3 5
సాధన.

దత్తాంశం : ΔDBC లో; AB = AC; AD = AB
ΔABC లో
∠ABC + ∠ACB = ∠DAC ………. (1)
[∵ బాహ్య కోణము]
ΔACD లో
∠ADC + ∠ACD = ∠BAC …………..(2)
(1) & (2) లను కలుపగా,
∠DAC + ∠BAC = 2∠ACB + 2∠ACD
[∵ ∠ABC = ZACB
∠ADC = ∠ACD]
180° = 2 [∠ACB + ∠ACD]
180° = 2[∠BCD]
∴ ∠BCD = [latex]\frac{180^{\circ}}{2}[/latex] = 90°
(లేక)
పటం నుండి,
∠2 = x + x = 2x
∠1 = y + y = 2y
∠1 + ∠2 = 2x + 2y
180° = 2(x + y)
∴ x + y = [latex]\frac{180^{\circ}}{2}[/latex] = 90°

ప్రశ్న 6.
ΔABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము. దీనిలో ∠A = 90° మరియు AB = AC అయిన ∠B = ∠C అని చూపండి.
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.3 7
దత్తాంశం : ΔABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము.
∠A = 90° మరియు AB = AC
సారాంశం: ∠B = ∠C
నిర్మాణం : BC మధ్య బిందువు D ను, A ను కలుపుము.
ఉపపత్తి : ΔADC మరియు ΔADB లలో
AD = AD (ఉమ్మడి భుజం)
AC = AB (దత్తాంశం)
DC = DB (నిర్మాణము)
⇒ ΔADC ≅ ΔADB
⇒ ∠C = ∠B (CPCT)

ప్రశ్న 7.
ఒక సమబాహు త్రిభుజములో ప్రతీ కోణము 60° అని చూపండి.
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.3 8
దత్తాంశం : ΔABC ఒక సమబాహు త్రిభుజము.
మరియు AB = BC = CA
∠A = ∠B (∵ సమాన భుజాలకు ఎదురుగానున్న కోణాలు సమానము)
∠B = ∠C (∵ సమాన భుజాలకు ఎదురుగానున్న కోణాలు సమానము)
⇒ ∠A = ∠B = ∠C = x అనుకొనుము.
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ x + x + x = 180°
3x = 180°
⇒ y = [latex]\frac{180^{\circ}}{3}[/latex] = 60°
∴ సమబాహు త్రిభుజంలో ప్రతీ కోణము 60°.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2

March 15, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Exercise 13.2

ప్రశ్న 1.
ఒక సంచిలో 3 ఎరుపు, 5 నలుపు బంతులు కలవు. సంచి నుంచి యాదృచ్ఛికంగా ఒక బంతిని తీస్తే అది
(i) ఎరుపుదై ఉండుటకు
(ii) ఎరుపుది కాకపోవుటకు సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.
(i) సంచిలోని మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 3 ఎరుపు + 5 నలుపు = 8 బంతులు
ఎరుపు బంతి అగుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 3
ఎరుపు బంతి పొందుటకు గల సంభావ్యత .
P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{3}{8}[/latex]

(ii) P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) అనునది పరస్పర ఘటన అయిన
⇒ P(E) + P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = 1
P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = 1 – P(E)
P (E) = 1 – [latex]\frac{3}{8}[/latex]
= [latex]\frac{5}{8}[/latex].
∴ బంతి ఎరుపుది కాకపోవుటకు సంభావ్యత = [latex]\frac{5}{8}[/latex].

ప్రశ్న 2.
ఒక పెట్టెలో 5 ఎరుపు, 8 తెలుపు, 4 ఆకుపచ్చ గోళీలు కలవు. పెట్టె నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక గోళీను తీస్తే అది
(i) ఎరుపు
(ii) తెలుపు
(iii) ఆకుపచ్చకానిది అగుటకు – సంభావ్యతలు కనుగొనండి.
సాధన.
పెట్టెలోని మొత్తం గోళీల సంఖ్య = 5 ఎరుపు + 8 తెలుపు + 4 ఆకుపచ్చ
= 5 + 8 + 4 = 17

(i) ఎరుపు, గోళీల సంఖ్య = 5
ఎరుపు గోళీని పొందుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 5
ఎరుపు గోళీల సంభావ్యత P(R) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
∴ P(R) = [latex]\frac{5}{17}[/latex].

(ii) తెలుపు గోళీల సంఖ్య = 8 తెలుపు గోళీ లభించు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 8

P (W) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య/ మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
∴ P(W) = [latex]\frac{8}{17}[/latex]

(iii) ఆకుపచ్చని కాని మిగిలిన గోళీల సంఖ్య = 5 + 8 = 13
ఆకుపచ్చవి కాని గోళీ లభించు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 13
P([latex]\overline{\mathrm{G}}[/latex]) = P (ఆకుపచ్చకాని గోళీలు)
= అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
∴ P ([latex]\overline{\mathrm{G}}[/latex]) = [latex]\frac{13}{17}[/latex]
(లేదా)
ఆకుపచ్చ గోళీల సంభావ్యత = P(G)
= ఆకుపచ్చ గోళీల సంఖ్య / మొత్తం గోళీల సంఖ్య
= [latex]\frac{4}{17}[/latex]
⇒ P(G) + P([latex]\overline{\mathrm{G}}[/latex]) = 1
∴ P([latex]\overline{\mathrm{G}}[/latex]) = 1 – P(G)
= 1 – [latex]\frac{4}{17}[/latex] = [latex]\frac{13}{17}[/latex]

ప్రశ్న 3.
ఒక కిట్టి బ్యాంకు డబ్బాలో వంద 50పై నాణెములు, యాభై ₹ 1 నాణెములు, ఇరవై ₹ 2 నాణెములు, పది ₹ 5 నాణెములు ఉన్నాయి. డబ్బాను తలక్రిందులు చేసినప్పుడల్లా యాదృచ్ఛికంగా ఒక్క నాణెం పడుతుంటే అది
(i) 50 పై నాణెం అగుటకు,
(ii) ₹ 5 నాణెం ‘కాకపోవుటకు సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.
(i) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 1
∴ మొత్తం అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 180
50 పైసల నాణెం పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 100
50 పైసల నాణెం పొందుటకు సంభావ్యత

P (E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{100}{180}=\frac{5}{9}[/latex]

(ii) P(E) అనునది ₹ 5 యందు సంభావ్యత అనుకొనిన ₹ 5 నాణెం పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 10
∴ ₹ 5 పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{10}{180}=\frac{1}{18}[/latex]
కానీ, P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) ₹ 5 నాణెం కాకపోవుటకు గల సంభావ్యత అనుకొనుము.
P(E) + P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = 1
∴ P(([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = 1 – P(E)
= 1 – [latex]\frac{1}{18}[/latex]
∴ ₹ 5 నాణెం కాకపోవుటకు సంభావ్యత = [latex]\frac{17}{18}[/latex].

ప్రశ్న 4.
గోపి అక్వేరియం నుండి ఒక చేపను కొన్నాడు అక్వేరియంలో 5 మగ చేపలు, 8 ఆడ చేపలు ఉండినప్పుడు, వ్యాపారి యాదృచ్ఛికముగా ఒక చేపను తీసి ఇచ్చి ఉంటే, ఆ చేప మగ చేప అవడానికి సంభావ్యత ఎంత?

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 2

సాధన.
మగ చేపల సంఖ్య = 5
ఆడ చేపల సంఖ్య = 8
మొత్తం చేపల సంఖ్య = 5 మగ + 8 ఆడ = 13 చేపలు
ఒక చేపను బయటకు యాదృచ్ఛికంగా తీయుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 13
మొత్తం మగ చేపల సంఖ్య = 5 అయిన
మగ చేపను పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 5
మగ చేపను పొందుటకు గల సంభావ్యత P (E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
∴ P (E) = [latex]\frac{5}{13}[/latex].

ప్రశ్న 5.
ఒక ఆట నందు వేగంగా త్రిప్పబడిన బాణపు గుర్తు పటములో చూపబడినట్లు, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7 లేక 8 ని సూచిస్తూ ఆగుతుంది. అన్ని పర్యవసానములు సమసంభవములైతే క్రింది ఘటనల సంభావ్యతలు లెక్కించండి. బాణపు గుర్తు సూచించేది.
(i) 8
(ii) ఒక బేసిసంఖ్య
(iii) 2 కన్నా పెద్ద సంఖ్య
(iv) 9 కన్నా చిన్న సంఖ్య.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 3

సాధన.
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = {1, 2, …, 8} = 8
(i) ‘8’ సంఖ్యకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 1
∴ P(8) = [latex]\frac{1}{8}[/latex]

(ii)
త్రిప్పబడిన బాణపు గుర్తులో “బేసిసంఖ్య” లభించగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {1, 3, 5, 7} = 4
∴ P(బేసిసంఖ్య) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{4}{8}=\frac{1}{2}[/latex]

(iii) ‘2’ కంటే పెద్దదైన సంఖ్యను పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {3, 4, 5, 6, 7, 8} = 6
∴ P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{6}{8}=\frac{3}{4}[/latex] = 1.

(iv) 9 కంటే తక్కువ గల సంఖ్యను పొందగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 8 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
∴ P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{8}{8}[/latex] = 1
(లేదా)
9 కంటే తక్కువ గల సంఖ్యను పొందు ఘటన ఒక కచ్ఛిత ఘటన. కనుక దీని సంభావ్యత 1.

ప్రశ్న 6.
బాగుగా కలుపబడిన పేక ముక్కల (52) కట్ట నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక కార్డును తీస్తే అది క్రింది కార్డు అగుటకు సంభావ్యతలు లెక్కించండి.
(i) ఎరుపు రాజు
(ii) ముఖ కార్డు
(iii) ఎరుపు, ముఖ కార్డు
(iv) హృదయం గుర్తు గల జాకీ
(v) స్పేడ్
(vi) డైమండు గుర్తు గల రాణి
సాధన.
(i) పేక కట్ట నుండి “ఎరుపు రాజు” కార్డును తీయుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య =
∴ ఎరుపు రాజు కార్డును పొందుటకు గల సంభావ్యత P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{2}{52}=\frac{1}{26}[/latex]

(ii) ముఖకార్డు పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య 4 × 3 = 12 (K, Q, J)
∴ ముఖ కార్డు యాదృచ్ఛికంగా పొందు సంభావ్యత P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{12}{52}=\frac{3}{13}[/latex]

(iii) ఎరుపు, ముఖ కార్డు గల కార్డుల సంఖ్య = 2 × 3 = 6
∴ ఎరుపు, ముఖ కార్డు పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 6
∴ ఎరుపు, ముఖ కార్డు పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{3}{26}[/latex]

(iv) హృదయం గుర్తు గల జాకీ కార్డుల సంఖ్య =1
∴ హృదయం గుర్తు గల జాకీ కార్డుల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{1}{52}[/latex]

(v) స్పేడ్ కార్డుల సంఖ్య = 13
స్పేడ్ కార్డు పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 13
స్పేడ్ కార్డు పొందు సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
=[latex]\frac{13}{52}=\frac{1}{4}[/latex]

(vi) డైమండ్ గుర్తు గల రాణీ కార్డుల సంఖ్య = 1
∴ డైమండ్ గుర్తు గల రాణీ కార్డు పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{1}{52}[/latex]

ప్రశ్న 7.
పేక ముక్కలలోని డైమండు గుర్తు గల ఐదు కార్డులు; రాజు, రాణి, జాకీ మరియు ఏ స్లను మాత్రం తీసుకొని, – బాగా కలిపి, యాదృచ్ఛికంగా ఒక కార్డును ఎన్నుకొంటే
(i) ఆ కార్డు రాణి అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
(ii) రాణి కార్డును తొలగించి రెండవ కార్డును ఎన్నుకొంటే అది
(ఎ) ఏస్ అగుటకు
(బి) రాణి అగుటకు సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.
మొత్తం కార్డుల సంఖ్య = 5
(i) రాణికార్డు అయ్యే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య =1
∴ రాణి కార్డు పొందే సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{1}{5}[/latex]

(ii) 5 కార్డుల నుండి రాణి కార్డును తొలగించిన మిగిలిన కార్డుల సంఖ్య = 5 – 1 = 4
∴ మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 4.
(ఎ) రాణి కార్డును తొలగించి ఏస్ కార్డును పొందగల సంభావ్యత = [latex]\frac{1}{4}[/latex]

(బి) రాణి కార్డును తొలగించి మిగిలిన కార్డుల నుండి రాణి
కార్డును పొందగల సంభావ్యత = [latex]\frac{0}{4}[/latex] = 0.
(∵ రాణి కార్డు పొందగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 0)
∴ ఇది ఒక అసంభవ ఘటన.

ప్రశ్న 8.
లోపాలు గల 12 పెన్నులు పొరపాటుగా 132 మంచి పెన్నులలో కలసిపోయాయి. చూడగానే పెన్నులోని లోపాన్ని గుర్తించలేము. అయితే యాదృచ్ఛికంగా ఒక పెన్నును ఎన్నుకొంటే అది మంచి పెన్ను అవడానికి సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
మంచి పెన్నుల సంఖ్య = 132
లోపాలు గల పెన్నుల సంఖ్య = 12
∴ మొత్తం పెన్నుల సంఖ్య = 132 + 12 = 144
యాదృచ్ఛికంగా లభించగల మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 144
144 పెన్నుల నుండి ఒక మంచి పెన్ను యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకొనదగు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య =132
∴ ఒక మంచి పెన్ను పొందగల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{132}{144}=\frac{11}{12}[/latex]

ప్రశ్న 9.
20 విద్యుత్ బల్బులు కల పెట్టెలో 4 బల్బులు లోపాలు కలిగి ఉన్నవి. పెట్టె నుండి యాదృచ్ఛికంగా తీసిన బల్బు లోపాలు కలిగి ఉండుటకు సంభావ్యత ఎంత? ఒకవేళ అది మంచి బల్బు అయి ఉండి, దానిని పెట్టెలో పెట్టకుండా రెండవ బల్బును తీసుకొంటే అది కూడా మంచిదై ఉండుటకు సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
మొత్తం బల్బుల సంఖ్య = 20
లోపాలు గల బల్బుల సంఖ్య = 4
∴ లోపాలు లేని మంచి బల్బుల సంఖ్య = 20 – 4 = 16
∴ మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 20.
∴ లోపాలు గల బల్బును పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 4
∴ లోపాలు గల బల్బును పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య 205
= [latex]\frac{4}{20}=\frac{1}{5}[/latex]
ఒక మంచి బల్బును పెట్టె నుండి తీసి మరలా దానిలో వేయకుండా ఉంటే దానిలో గల మొత్తం బల్బుల సంఖ్య = 20 – 1 = 19.
∴ మొత్తం మంచి బల్బుల సంఖ్య = 16 – 1 = 15
∴ యాదృచ్ఛికంగా ఒక మంచి బల్బును పొందగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 15
∴ రెండవసారి మంచి బల్బును పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{15}{19}[/latex]

ప్రశ్న 10.
ఒక పెట్టెనందు 1 నుండి 90 వరకు వ్రాయబడి ఉన్న 90 ఫలకాలు ఉన్నాయి. వాటి నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక ఫలకాన్ని ఎన్నుకొంటే దానిపై క్రింది సంఖ్యలు ఉండుటకు సంభావ్యత ఎంతెంత ? (i) రెండంకెల సంఖ్య
(ii) ఖచ్చిత వర్గ సంఖ్య
(iii) 5చే భాగింపబడు సంఖ్య.
సాధన.
పెట్టెలోని మొత్తం ఫలకాల సంఖ్య = 90
పెట్టెనుండి ఒక ఫలకాన్ని యాదృచ్ఛికంగా తీయుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 90
(i) పెట్టెలోని రెండంకెల సంఖ్యలు = 81 {10, 11, 12, ………… 90}
∴ రెండంకెల సంఖ్య గల ఫలకాన్ని పొందగల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{81}{90}=\frac{9}{10}[/latex]

(ii) పెట్టెలోని ఖచ్చిత వర్గాలు గల సంఖ్యలు = 9 = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}
∴ ఖచ్చితమైన వర్గం గల ఒక ఫలకాన్ని పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 9
∴ ఖచ్చితమైన వర్గం గల ఫలకాన్ని ఎంచుకొనుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{9}{90}=\frac{1}{10}[/latex]

(iii) 1 నుండి 90 వరకు గల ‘5’ యొక్క గుణిజాల సంఖ్య = 18
{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90}
అనగా 5 యొక్క గుణిజం గల ఫలకాన్ని యాదృచ్ఛికంగా పొందుటకు గల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 18
∴ 5 యొక్క గుణిజం గల ఫలకాన్ని పొందుటకు గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{18}{90}=\frac{1}{5}[/latex]

ప్రశ్న 11.
పటంలో చూపినట్లు దీర్ఘచతురస్రాకార పలకపై 1మీ. వ్యాసం గల వృత్తం గీయబడి ఉన్నది. ఒక పాచికను ఈ పలకపై జారవిడిస్తే అది వృత్తంలో పడుటకు సంభావ్యత ఎంత?

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 5

సాధన.
ఇచ్చిన దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క పొడవు (1) = 3 మీ.
వెడల్పు (b) = 2 మీ.
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం (A) = పొడవు × వెడల్పు
= 3 × 2 = 6 చ.మీ.
ఇచ్చిన వృత్త వ్యాసం (d) = 1 మీ.
∴ నివృత్త వైశాల్యం = nd = 2 x 141 = 1 3.
∴ దీర్ఘ చతురస్రం పై గల వృత్తం పైకి పాచికను వేయగల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{\frac{22}{28}}{6}=\frac{\cdot 22}{28 \times 6}=\frac{11}{28 \times 3}=\frac{11}{84}[/latex]

ప్రశ్న 12.
ఒక వ్యాపారి వద్ద 144 పెన్నులు ఉన్నాయి. అందులో 20 లోపాలు కలిగి ఉన్నాయి. సుధ పెన్ను కొనడానికి వస్తే వ్యాపారి యాదృచ్ఛికంగా ఒక పెన్ను ఇస్తే దానిని
(i) సుధ కొనుటకు
(ii) కొనలేకపోవుటకు సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.
మొత్తం పెన్నుల సంఖ్య = 144
లోపాలు గల పెన్నుల సంఖ్య = 20
∴ మంచి పెన్నుల సంఖ్య = 144 – 20 = 124
∴ మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 144

(i) సుధ వాటిని కొనవలెనన్న అవి మంచివి/లోపాలు లేనివి అయి ఉండాలి.
∴ సుధ పెన్ను కొనుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 124.
∴ సుధ పెన్ను కొనుటకు కొనగల సంభావ్యత P(E) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{124}{144}=\frac{31}{36}[/latex]

(ii) అవి లోపాలు గల పెన్నులైనట్లయితే సుధ వాటిని కొనలేదు.
సుధ పెన్ను కొనలేకపోవుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 20
సుధ పెన్ను కొనలేకపోవుటకు సంభావ్యత P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{20}{144}=\frac{5}{36}[/latex]
(లేదా)
P (కొనలేనవి) = 1 – P (కొనగలవి)
P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = 1 – P(E)
= 1 – [latex]\frac{31}{36}[/latex] = [latex]\frac{5}{36}[/latex]

ప్రశ్న 13.
ఒకేసారి రెండు పాచికలను దొర్లించి వాటిపై సంఖ్యలను కూడినచో వచ్చు.
(i) మొత్తాల సంభావ్యతను తెలుపు పట్టికను పూరించండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 6

(ii) ఒక విద్యార్థి ఈ ప్రయోగంలో 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 అనే 11 పర్యవసానములు ఉన్నవి, కావున ఒక్కొక్క పర్యవసానము యొక్క సంభావ్యత – అన్నాడు. ఈ సమాధానంతో నీవు ఏకీభవిస్తావా? వివరించు.
సాధన.
(i) రెండు పాచికలను దొర్లించిన లభించగల మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 36

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 7

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 8

(ii) ఇచ్చిన పట్టిక నుండి (పై పట్టిక నుండి) విద్యార్థి యొక్క వివరణ తప్పు. ఇచ్చట ప్రతిదాని సంభావ్యత [latex]\frac{1}{11}[/latex] గా లేదు.
రెండు పాచికను దొర్లించినపుడు వచ్చు పర్యవసానాలు 2, 3, 4, …….. 12 లు కాదు.
ఇవి ప్రాథమిక పర్యవసానాలైన (1, 1), (1, 2) ……….. (6, 6) లో కొన్ని ప్రత్యేక ఘటనల పర్యవసానాలు 2, 3, 4, …….. 12.

ప్రశ్న 14.
ఒక రూపాయి నాణెమును 3 సార్లు ఎగురవేసి బొమ్మ, బొరుసులను పరిశీలించాలనుకొన్నారు. అవి మూడు బొమ్మలు లేక బొరుసులు అయితే హనీష్ గెలుస్తాడు. హనీష్ ఓడిపోవడానికి సంభావ్యత కనుగొనండి.
సాధన.
ఒక నాణేన్ని n సార్లు ఎగురవేసిన వచ్చు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 2ⁿ.
ఒక నాణేన్ని 3 సార్లు పైకి ఎగురవేసిన లభించగల మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 2³ = 8.
అవి ఈ క్రింది విధంగా కలవు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 9

∴ అన్నీ బొమ్మ మరియు అన్నీ బొరుసు కాని విభిన్న . పర్యవసానాల సంఖ్య = 8 – 2 = 6
∴ హనీష్ ఓడిపోవటానికి గల సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{6}{8}=\frac{3}{4}[/latex]

ప్రశ్న 15.
ఒక పాచికను.రెండుసార్లు దొర్లించారు. కనీసం ఒక్కసారి
(i) 5 పాచికపై కనిపించడానికి
(ii) 5 పాచికపై కనిపించకపోవడానికి సంభావ్యతలు ఎంతెంత?
సాధన.
పాచికను 2 సార్లు దొర్లించిన లభించదగు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 6² = 36.
పాచికను రెండుసార్లు దొర్లించినపుడు ఏర్పడు పర్యవసానాలు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 10

(i) రెండు పాచికలపై ‘5’ కనీసం ఒక సంఖ్యగా వచ్చు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 11
అవి. (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5,4), (5, 6) = 11
∴ P(E) = 5 పాచిక పై కనిపించడానికి సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{11}{36}[/latex]

(ii) పాచికపై ‘5’ సంఖ్య కన్పించని (సందర్భాలు) అనుకూల పర్యవసానాలు
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 6), (4.1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 6) = 25.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.2 11

(లేదా)
P(E) పాచికపై 5 కనిపించుటకు సంభావ్యత అయిన P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) పాచికపై 5 కనిపించకపోవుటకు సంభావ్యత అవుతుంది.
P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = 1 – P(E)
= 1 – [latex]\frac{11}{36}[/latex] = [latex]\frac{25}{36}[/latex]

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.2

March 15, 2022

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 7th Lesson త్రిభుజాలు Exercise 7.2

ప్రశ్న 1.
సమద్విబాహు త్రిభుజము ABC లో AB = AC. ∠B, ∠Cల కోణ సమద్విఖండన రేఖలు ‘O’ బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటాయి. A మరియు O బిందువులను కలపండి.
(i) OB = OC (ii) AO, ∠A కు కోణ సమద్విఖండనరేఖ.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.2 1
సాధన.
దత్తాంశము :
ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము.
AB = AC మరియు ∠B, ∠C ల కోణ సమద్విఖండన రేఖలు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొంటాయి.
సారాంశము :
i) OB = OC
ii) AO, ∠A కు కోణ సమద్విఖండన రేఖ
నిర్మాణము :
A మరియు O లను కలపండి.
ఉపపత్తి :
i) OB = OC
∠B = ∠C (సమానభుజాలకు ఎదురుగానున్న కోణాలు సమానం)
[latex]\frac {1}{2}[/latex]∠B = [latex]\frac {1}{2}[/latex]∠C (ఇరువైపులా 2 చే భాగించగా)
∠OBC = ∠OCB
⇒ OB = OC (∵ ΔOBC లో సమానకోణాలకు ఎదురుగానున్న భుజాలు)

ii) AAOB మరియు ΔAOC లలో
AB = AC (దత్తాంశము)
BO = CO (నిరూపించబడినది)
∠ABO = ∠ACO (∵ ∠B = ∠C)
∴ ΔAOB ≅ ΔAOC
∠BAO = ∠CAO [∵ ΔAOB మరియు ΔAOC ల యొక్క CPCT)
∴ AO, ∠A కు కోణ సమద్విఖండన రేఖ.

ప్రశ్న 2.
ΔABC లో AD అనేది BC భుజమునకు లంబ సమద్విఖండన రేఖ. (కింది పటాన్ని చూడండి). ΔABC, AB = AC అయ్యేటట్లున్న సమద్విబాహు త్రిభుజమని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.2 2
సాధన.
ΔABC లో AD ⊥ BC మరియు BD = DC
ΔABD మరియు ΔACD లలో
AD = AD (ఉమ్మడి భుజము)
BD = DC (దత్తాంశము)
∠ADB = ∠ADC (దత్తాంశము)
∴ ΔABD ≅ ΔACD (∵ భు.కో.భు ప్రకారం)
⇒ AB = AC (∵ ΔABD మరియు ΔACD ల యొక్క CPCT)
∴ ΔABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము.

ప్రశ్న 3.
ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము. సమాన భుజాలు AC, AB లకు గీసిన లంబాలు వరుసగా BE మరియు CF అయిన ఈ లంబాలు సమానమని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.2 3
సాధన.
దత్తాంశము నుండి ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము.
AC = AB; BD ⊥ AC; CE ⊥ AB
ΔBCD మరియు ΔCBE లలో
∠BDC = ∠CEB = 90° (దత్తాంశం నుండి)
∠BCD = ∠CBE (∵ త్రిభుజంలో సమాన భుజాలకు ఎదురుగా గల కోణాలు సమానం)
BC = BC
∴ ΔBCD ≅ ΔCBE (∵ కో.కో. భు. నియమము)
⇒ BD = CE (CPCT)

ప్రశ్న 4.
ΔABC లో AC, AB భుజాలకు గీసిన లంబాలు BE, CF లు సమానము (పటము చూడండి) అయిన
i) ΔABD ≅ ΔACE
ii) AB = AC అనగా ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజమని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.2 4
సాధన.
దత్తాంశం నుండి BD ⊥ AC; CE ⊥ AC
BD = CE
ΔABD మరియు ΔACE లలో
∠ADB = ∠AEC = 90° (దత్తాంశం నుండి)
∠A = ∠A (ఉమ్మడి కోణము)
BD = CE.
∴ ΔABD ≅ ΔACE (∵ కో.కో.భు. నియమం )
⇒ AB = AC (∵ CPCT)

ప్రశ్న 5.
ΔABC, ΔDBC లు ఒకే భుజము BC పై ఉన్న రెండు సమద్విబాహు త్రిభుజములు (పటము చూడండి) అయిన ∠ABD = ∠ACD అని చూపండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.2 5
సాధన.

దత్తాంశం : ΔABC మరియు ΔDBC లు సమద్విబాహు త్రిభుజాలు.
సారాంశము : ∠ABD = ∠ACD
నిర్మాణం : A మరియు D లను కలుపుము.
ఉపపత్తి : ΔABD మరియు ACD లలో
AB = AC (∵ సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క సమాన భుజాలు)
BD = CD (∵ సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క సమాన భుజాలు)
AD = AD (∵ ఉమ్మడి భుజము)
∴ ΔABD ≅ ΔACD
(∵ భు.భు.భు. నియమం నుండి)
⇒ ∠ABD = ∠ACD (CPCT)

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.1

March 15, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 13th Lesson సంభావ్యత Exercise 13.1

ప్రశ్న 1.
క్రింది ప్రవచనాలను పూరించండి.
(i) ఘటన E యొక్క సంభావ్యత + ఘటన ‘E కాదు’ సంభావ్యత = …………..
సాధన. 1

(ii) ఎల్లప్పుడు సాధ్యపడని ఘటన యొక్క సంభావ్యత ……….. దానిని ………. ఘటన అంటారు.
సాధన.
సున్న, అసంభవ ఘటన

(iii) కచ్చితంగా సంభవించే ఘటన యొక్క సంభావ్యత …………. దానిని ……….. ఘటన అంటారు.
సాధన.
1, కచ్చిత లేదా దృఢ

(iv) ఒక ప్రయోగంలోని అన్ని ప్రాథమిక ఘటనల యొక్క సంభావ్యతల మొత్తము
సాధన.
1

(v) ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యత ఎల్లప్పుడు ……………… కన్నా ఎక్కువ లేక సమానము మరియు …………… కన్నా తక్కువ లేక సమానముగా ఉంటుంది.
సాధన.
0 మరియు 1.

ప్రశ్న 2.
క్రింది ప్రయోగాలలో దేని పర్యవసానములు సమ సంభవములు? వివరించండి.
(i) స్టార్టు చేయబోయిన కారు స్టార్టు అవుతుంది లేక కాదు.
సాధన.
సమసంభవ ఘటన. రెండింటికీ ఒకే సంభావ్యత ([latex]\frac{1}{2}[/latex]) కలదు.

(ii) ఒక ఆటగాడు బాస్కెట్ బాల్ ను కొట్టబోతే, అది తగులుతుంది లేక తగలదు.
సాధన.
సమసంభవ ఘటన. రెండింటికీ ఒకే సంభావ్యత ([latex]\frac{1}{2}[/latex]) కలదు.

(iii) తప్పు-ఒప్పు ప్రశ్నకు సమాధానము వ్రాసినప్పుడు అది సరికావచ్చు, కాకపోవచ్చు.
సాధన.
సమసంభవ ఘటన. రెండింటికీ ఒకే సంభావ్యత కలదు.

(iv) పుట్టబోయే శిశువు అబ్బాయి లేక అమ్మాయి కావచ్చు.
సాధన.
సమసంభవ ఘటన.
రెండింటికీ ఒకే సంభావ్యత కలదు. అది [latex]\frac{1}{2}[/latex].

ప్రశ్న 3.
P(E) = 0.05 అయిన ‘E కాదు’ యొక్క సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
ఇచ్చినది P(E) = 0.05; P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = ?
P(E) + P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = 1
⇒ P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) + 0.05 = 1
∴ P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = 1 – 0.05 = 0.95

ప్రశ్న 4.
ఒక సంచిలో నిమ్మ వాసన గల చాక్లెట్లు ఉన్నాయి. మాలిని చూడకుండా సంచి నుండి ఒక చాకొలేట్ తీస్తే అది
(i) నారింజ వాసన గలది అవడానికి
(ii) నిమ్మ వాసనగలది అవడానికి సంభావ్యతలు లెక్కించండి.
సాధన.
సంచిలో నిమ్మ వాసన గల చాక్లెట్లు కలవు.
(i) ఆ సంచి నుండి నారింజ వాసన గల చాక్లెట్లు అగుట అసంభం కనుక దాని సంభావ్యత ‘0’,
(ii) నిమ్మ వాసన గల చాక్లెట్లను ఆ సంచి నుండి యాదృచ్ఛికంగా బయటకు తీయుట ఒక కచ్చిత ఘటన. ‘కావున దాని సంభావ్యత 1.

ప్రశ్న 5.
రహీమ్ ఒక పేకాట కార్డుల కట్టలోని అన్ని హృదయపు గుర్తు గల కార్డులను తొలగించాడు. ఇప్పుడు
సాధన.
పేక కట్టలోని మొత్తం కార్డుల సంఖ్య = 52
పేక కట్టలోని హృదయం ఆకారం గల కార్డుల సంఖ్య = 13
∴ హృదయం ఆకారం లేని కార్డుల సంఖ్య = 52 – 13 = 39.

(i) ఒక కార్డును ఎన్నుకొంటే అది ఏస్ అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
ఏస్ అయ్యే సంభావ్యత :
ఏస్ కార్డు అగుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 3

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.1 1

సాధ్యపడే అన్ని పర్యవసానాల సంఖ్య = 42 – 3 = 39
∴ సంభావ్యత = P(A)
= AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 సంభావ్యత Exercise 13.1 2

(ii) డైమండును ఎన్నుకొనే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
డైమండ్ ను ఎన్నుకునే సంభావ్యత :
డైమండ్ కార్డు అగుటకు కాగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 13
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 39
∴ P(A) = [latex]\frac{13}{39}=\frac{1}{3}[/latex]

(iii) హృదయం గుర్తు లేని కార్డు ఎన్నుకొనే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
హృదయం గుర్తు లేని కార్డు ఎన్నుకొనే సంభావ్యత :
హృదయం గల కార్డులను తొలగిస్తే మిగిలినవన్ని (39) హృదయం లేని కార్డులే అవుతాయి.
కావున హృదయం లేని కార్డును ఎన్నుకొను ఘటన ఖచ్చిత ఘటన. కావున ఈ ఘటన సంభావ్యత 1. (లేదా)
హృదయం లేని కార్డును ఎన్నుకొను పర్యవసానాల సంఖ్య = 39
మొత్తం పర్యవసానాలు = 39
∴ P(E) = అనుకూల పర్యవసానాలు 39 / మొత్తం పర్యవసానాలు
= [latex]\frac{39}{39}[/latex] = 1.

(iv) హృదయం గుర్తు గల ఏసను ఎన్నుకొనే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
హృదయం గుర్తు గల ఏస్ కార్డును ఎన్నుకొనడము అసంభవ ఘటన.
కావున ఈ ఘటన సంభావ్యత = ‘0’.
ఎందుకనగా పేకాట కట్ట నుండి అన్ని హృదయపు గుర్తుగల కార్డులను తొలగించాము.
మొత్తం సాధ్యపడే పర్యవసానాల సంఖ్య = 13.
∴ P(E) = [latex]\frac{0}{13}[/latex] = 0.

ప్రశ్న 6.
ముగ్గురు విద్యార్థులలో ఇద్దరి పుట్టినరోజులు సంవత్సరములో ఒకే రోజు రాని సంభావ్యత 0.992 అయిన ఒకే రోజు వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
సంభావ్యత P(E) = 0.992 అనుకొనుము.
ఇద్దరు విద్యార్థుల పుట్టినరోజు ఒకే రోజు అయ్యే సంభావ్యత = E యొక్క పరస్పర ఘటన = P(E) అగును.
∴ P(E) + P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = 1
⇒ P([latex]\overline{\mathrm{E}}[/latex]) = 1 – P(E) = 1 – 0.992 = 0.008
∴ ఆ ఇద్దరి విద్యార్థుల పుట్టిన రోజు ఒకే రోజు అయ్యే సంభావ్యత = 0.008.

ప్రశ్న 7.
ఒక పాచికను ఒకసారి దొర్లించినప్పుడు ఏర్పడు పర్యవసానములతో క్రింది ఘటనల సంభావ్యతలను కనుగొనండి.
(i) ప్రధానసంఖ్య
(ii) 2,6ల మధ్య సంఖ్య
(iii) బేసిసంఖ్య
సాధన.
(i) ఒక పాచికను ఒకసారి దొర్లించినపుడు వచ్చు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 6
అందు ప్రధాన సంఖ్యలు వచ్చు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {2, 3, 5} = 3
∴ ప్రధాన సంఖ్య అయ్యే సంభావ్యత = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{3}{6}=\frac{1}{2}[/latex]

(ii) 2 మరియు 6ల మధ్య సంఖ్యలు వచ్చు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {3, 4, 5} = 3
∴ 2 మరియు 6 ల మధ్య సంఖ్యలు లభించు సంభావ్యత
P(E) = ఆ అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{3}{6}=\frac{1}{2}[/latex]

(iii) బేసి సంఖ్య లభించు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = {1, 3, 5} = 3
∴ బేసి సంఖ్య అగుటకు సంభావ్యత P(E) = ఆనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{3}{6}=\frac{1}{2}[/latex]

ప్రశ్న 8.
ఒక పేకముక్కల కట్ట నుండి ఎరుపు రంగు రాజును తీయు సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
ఎరుపు రాజు రాగల అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య = 52.
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 52.
ఎరుపు రాజు కార్డు పొందుటకు ‘సంభావ్యత P (ఎరుపు రాజు) = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
= [latex]\frac{2}{52}=\frac{1}{26}[/latex]

ప్రశ్న 9.
పాచికలను, కార్డులను, పుట్టినరోజు సందర్భాలను ఉపయోగించుకొని ఐదు సమస్యలను తయారుచేసి వాటి సాధనలను గురించి మిత్రులతో, ఉపాధ్యాయునితో చర్చించండి.
సాధన.
ప్రాజెక్ట్ వర్క్ / తరగతిగది కృత్యం.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.1

March 15, 2022

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 7th Lesson త్రిభుజాలు Exercise 7.1

ప్రశ్న 1.
చతుర్భుజం ACBD లో, AC = AD మరియు ∠Aకు AB కోణ సమద్విఖండనరేఖ అయిన ΔABC ≅ ΔABD అని చూపండి. BC మరియు BD ల గురించి మీరు ఏమి చెప్పగలరు ?
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.1 1
సాధన.
దత్తాంశము AC = AD
∠BAC = ∠BAD
(∵ ∠A ను AB సమద్విఖండన చేయును)
ΔABC మరియు ΔABD లలో
AC = AD (∵ దత్తాంశము)
∠BAC = ∠BAD (∵ దత్తాంశము)
AB = AB (ఉమ్మడి భుజము)
భు-కో-భు నియమం ప్రకారము
ΔABC = ΔABD
రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానం కావున వాటి అనురూప భుజాలు సమానం.
∴ BC = BD

ప్రశ్న 2.
ABCD చతుర్భుజంలో AD = BC మరియు ∠DAB = ∠CBA అయిన
i) ΔABD ≅ ΔBAC
ii) BD = AC
iii) ∠ABD = ∠BAC అని నిరూపించుము.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.1 2
సాధన.
i) దత్తాంశం AD = BC మరియు
∠DAB = ∠CBA
ΔABD మరియు ΔBAC లలో
AB = AB (∵ ఉమ్మడి భుజము)
AD = BC (∵ దత్తాంశం)
∠DAB = ∠CBA (∵ దత్తాంశం)
భు-కో-భు నియమం ప్రకారం
ΔABD ≅ ΔBAC
ii) AC = BD (∵ CPCT)
iii) ∠ABD = ∠BAC [∵ CPCT , (i) నుండి]

ప్రశ్న 3.
AD, BCలు సమానము మరియు రేఖాఖండము AB కి లంబములు. అయిన CD రేఖాఖండము AB ని సమద్విఖండన చేయునని చూపుము.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.1 3
సాధన.
దతాంశం AD = BC; AD ⊥ AB; BC ⊥ AB
ΔBOC మరియు ΔAOD లలో
∠BOC = ∠AOD (∵ శీర్షాభిముఖ కోణములు సమానము)
∠OBC = ∠OAD (∵ లంబకోణము)
BC = AD
కో.కో.భు. నియమం నుండి,
∴ ΔOBC ≅ ΔOAD
∴ OB = OA (∵ CPCT)
∴ AB ని ‘O’ బిందువు సమద్విఖండన చేయును.
OD = OC
∴ CD ని ‘O’ బిందువు సమద్విఖండన చేయును.
⇒ CD రేఖాఖండము AB ని సమద్విఖండన చేయును.

ప్రశ్న 4.
l, m అనే ఒక జత సమాంతర రేఖలు p మరియు q అనే వేరొక జత సమాంతర రేఖలచే ఖండించబడినవి. అయిన ΔABC ≅ ΔCDA అని నిరూపించుము.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.1 4
సాధన.
దత్తాంశం l // m; p // q
ΔABC మరియు ΔCDA లలో
∠BAC = ∠DCA (∵ ఏకాంతర కోణములు సమానము)
∠ACB = ∠CAD
AC = AC
కో-భు-కో నియమము నుండి
∴ ΔABC ≅ ΔCDA

ప్రశ్న 5.
క్రింది పటంలో AC = AE; AB = AD మరియు ∠BAD = ∠EAC అయిన BC = DE అని నిరూపించుము.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.1 5
సాధన.
దత్తాంశం AC = AE, AB = AD మరియు
∠BAD = ∠EAC
ΔABC మరియు ΔADE లలో
AB = AD
AC = AE
∠BAD = ∠EAC
భు-కో-భు నియమం నుండి,
∴ ΔABC ≅ ΔADE
⇒ BC = DE (CPCT)

ప్రశ్న 6.
లంబకోణ త్రిభుజము ABC లో లంబకోణము C వద్ద ఉన్నది. కర్ణము AB యొక్క మధ్య బిందువు M. C బిందువును M కు కలిపి DM = CM అగునట్లు D బిందువు వద్దకు పొడిగించినారు. పటంలో చూపినట్లు D బిందువును B బిందువుకు కలిపినారు. అయిన క్రింది వాటిని నిరూపించండి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.1 6
i) ΔAMC ≅ ΔBMD
ii) ∠DBC ఒక లంబకోణము
iii) ΔDBC ≅ ΔACB
iv) CM = [latex]\frac {1}{2}[/latex]AB
సాధన.
దత్తాంశము ∠C = 90°
AB యొక్క మధ్య బిందువు M ;
DM = CM (i.e, DC మధ్య బిందువు M)
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.1 7
i) ΔAMC మరియు ΔBMD లలో
AM = BM (∵ AB మధ్య బిందువు M)
CM = DM (∵ CD మధ్య బిందువు M)
∠AMC = ∠BMD (∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
భు-కో-భు నియమం నుండి,
∴ ΔAMC ≅ ΔBMD

ii) ∠MDB = ∠MCA
(ΔAMC మరియు ΔBMD ల CPCT)
కాని ఈ కోణములు ఏకాంతర కోణాలు. అవి DB మరియు AC రేఖలను DC తిర్యగ్రేఖ ఖండించడం వలన ఏర్పడినవి.
∴ DB || AC
మరియు AC ⊥ BC; DB ⊥ BC
∴ ∠DBC ఒక లంబకోణం.

iii) ΔDBC మరియు ΔACB లలో
DB = AC (ΔBMD మరియు ΔAMC ల CPCT)
∠DBC = ∠ACB = 90° (నిరూపించబడినది)
BC = BC (ఉమ్మడి భుజము)
భు-కో-భు నియమము ప్రకారము,
ΔDBC ≅ ΔACB

iv) DC = AB (ΔDBC మరియు ΔACB ల యొక్క CPCT)
[latex]\frac {1}{2}[/latex]DC = [latex]\frac {1}{2}[/latex]AB (ఇరువైపులా 2 చే భాగించగా)
CM = [latex]\frac {1}{2}[/latex]AB

ప్రశ్న 7.
క్రింది పటంలో ABCD ఒక చతురస్రము మరియు ΔAPB ఒక సమబాహు త్రిభుజము అయిన ΔAPD ≅ ΔBPC అని నిరూపించుము.
(సూచన : ΔAPD మరియు ΔBPCలలో [latex]\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{BP}}[/latex] మరియు ∠PAD = ∠PBC = 90° – 60° = 30°)
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.1 8
సాధన.
దత్తాంశము □ABCD ఒక చతురస్రము.
ΔAPB ఒక సమబాహు త్రిభుజము.
ΔAPD మరియు ΔBPC లలో
AP = BP (∵ సమబాహు త్రిభుజ భుజాలు)
AD = BC (∵ చతురస్ర భుజములు)
∠PAD = ∠PBC [∵ 90° – 60°]
∴ ΔAPD ≅ ΔBPC (భు.కో.భు. నియమం ద్వారా)

ప్రశ్న 8.
క్రింది పటంలో AB = AC కావున ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము BA మరియు [latex]\overline{\mathrm{CA}}[/latex] లను [latex]\overline{\mathrm{AQ}}[/latex] = [latex]\overline{\mathrm{AP}}[/latex] అగునట్లు వరుసగా Q, P బిందువుల వద్దకు పొడిగించిన [latex]\overline{\mathrm{PB}}[/latex] = [latex]\overline{\mathrm{QC}}[/latex] అని నిరూపించుము.
(సూచన : ΔAPBమరియు ΔACQలను పోల్చుము)
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.1 9
సాధన.
దత్తాంశం నుండి ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము.
AP = AQ
ΔAPB మరియు ΔAQC లలో
AP = AQ (దత్తాంశము)
AB = AC (దత్తాంశము)
∠PAB = ∠QAC (∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ΔAPB = ΔAQC (∵ భు-కో-భు నియమము)
∴ [latex]\overline{\mathrm{PB}}[/latex] = [latex]\overline{\mathrm{QC}}[/latex] (ΔAPB మరియు ΔAQC ల యొక్క CPCT)

ప్రశ్న 9.
క్రింది పటంలో ΔABC లో BC మధ్య బిందువు D. DE ⊥ AB, DF ⊥ ACమరియు DE = DF అయిన ΔBED ≅ ΔCFD అని నిరూపించుము.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.1 10
సాధన.
దత్తాంశము నుండి ΔABC లో BC యొక్క మధ్య బిందువు D.
DF ⊥ AC; DE = DF
DE ⊥ AB
ΔBED మరియు ΔCFD లలో
∠BED = ∠CFD = 90° (దత్తాంశం నుండి)
BD = CD (∵ BC మధ్య బిందువు D)
ED = FD (దత్తాంశము)
∴ ΔBED ≅ ΔCFD (లం-క-భు నియమం ప్రకారం)

ప్రశ్న 10.
ఒక త్రిభుజములో ఒక కోణం యొక్క కోణ సమద్వి ఖండనరేఖ ఎదుటి భుజాన్ని కూడా సమద్విఖండన చేసిన ఆ త్రిభుజము సమద్విబాహు త్రిభుజమని చూపుము.
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.1 11
దత్తాంశం : ΔABC ఒక త్రిభుజము. A యొక్క కోణసమద్విఖండన రేఖ BC ను ఖండించును.
సారాంశం : ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము
ఉపపత్తి : ఒక త్రిభుజంలో శీర్షకోణ సమద్విఖండన రేఖ ఎదుటి భుజాన్ని సమాన నిష్పత్తిలో ఖండించును.
∴ [latex]\frac{A B}{A C}=\frac{B D}{D C}[/latex]
⇒ [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}[/latex] = 1 (:: దత్తాంశము)
⇒ AB = AC
∴ ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము.

ప్రశ్న 11.
ఇచ్చిన పటంలో ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము. లంబకోణము శీర్షము B వద్ద కలదు మరియు ∠BCA = 2∠BAC అయిన కర్ణము AC = 2BC అని చూపుము.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.1 12
(సూచన : BC = BD అగునట్లు CBని D బిందువు వద్దకు పొడిగించుము).
సాధన.

దత్తాంశము : ΔABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము.
∠B = 90° మరియు ∠BCA = 2∠BAC
సారాంశము : AC = 2BC
నిర్మాణం : CB ను D బిందువు వరకు పొడిగించుము.
BC = BD అగును. A, D లను కలుపుము.
ఉపపత్తి : ΔABC మరియు ΔABD లలో
AB = AB (ఉమ్మడి భుజం)
BC = BD (నిర్మాణము)
∠ABC = ∠ABD (∵ లంబకోణము)
∴ ΔABC ≅ ΔABD
⇒ AC = AD మరియు ∠BAC = ∠BAD = 30°
[∵ CPCT]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.1 14
ΔACD లో, ∠ACD = ∠ADC = ∠CAD = 60°
∴ ΔACD ఒక సమబాహు త్రిభుజము
⇒ AC = CD = AD
⇒ AC = 2BC (∵ BC మధ్య బిందువు C).

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions

March 14, 2022

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 6th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. కింది రేఖా సమీకరణాలను ax + by + c = 0 రూపంలో రాసి, ప్రతి సందర్భంలోనూ a, b మరియు c విలువలు రాయండి. [పేజీ నెం. 128]
i) 3x + 2y = 9
సాధన.
ఇచ్చిన రేఖ 3x + 2y = 9 ను ax + by + c = 0 రూపంలో వ్రాయగా 3x + 2y – 9 = 0.
∴ a = 3, b = 2, c = – 9

ii) – 2x + 3y = 6
సాధన.
ఇచ్చిన రేఖ – 2x + 3y = 6 ను ax + by + c = 0 రూపంలో వ్రాయగా
– 2x + 3y – 6 = 0 ⇒ 2x – 3y + 6 = 0
∴ a = 2, b = – 3, c = 6

iii) 9x – 5y = 10
సాధన.
ఇచ్చిన రేఖ 9x – 5y = 10 ను ax + by + c = 0 రూపంలో వ్రాయగా 9x – 5y – 10 = 0
∴ a = 9, b = – 5, c = – 10

iv) [latex]\frac{x}{2}-\frac{y}{3}-5=0[/latex]
సాధన.
ఇచ్చిన రేఖ [latex]\frac{x}{2}-\frac{y}{3}-5=0[/latex]
⇒ [latex]\frac{3 x-2 y-30}{6}[/latex] = 0 (2, 3 ల క.సా.గు = 6)
⇒ 3x – 2y – 30 = 0
∴ a = 3, b = – 2, c = – 30

v) 2x = y
సాధన.
ఇచ్చిన రేఖ 2x = y ను ax + by + c = 0 రూపంలో వ్రాయగా 2x – y = 0.
∴ a = 2, b = – 1, c = 0

2. i) కింది సమీకరణాలకు రేఖాచిత్రాలు గీయండి. [పేజీ నెం. 145]
a) x = 2
b) x = – 2
c) x = 4
d) x = – 4
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions 1

ii) ఈ రేఖాచిత్రాలన్నీ Y- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉన్నాయా ?
సాధన.
అవును, ఈ రేఖలన్నీ Y- అక్షానికి సమాంతరంగా వున్నాయి.

iii) ప్రతీ సందర్భంలో రేఖాచిత్రానికి, Y- అక్షానికి మధ్యగల దూరమును కనుగొనుము.
సాధన.

రేఖాచిత్రము	దూరము	మూల బిందువుకు కుడివైపు / ఎడమవైపు
a) x = 2	2 యూనిట్లు	కుడివైపు
b) x = – 2	2 యూనిట్లు	ఎడమవైపు
c) x = 4	4 యూనిట్లు	కుడివైపు
d) x = – 4	4 యూనిట్లు	ఎడమవైపు

3. i) కింది సమీకరణాలకు రేఖాచిత్రాలను గీయండి. [పేజీ నెం. 145]
a) y = 2
b) y = – 2
c) y = 3
d) y = – 3
సాధన.
ప్రశ్న 1 లో గల గ్రాఫును చూడుము.

ii) ఈ రేఖాచిత్రాలన్నీ X- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉన్నాయా ?
సాధన.
అవును, ఈ రేఖలన్నీ X – అక్షంకు సమాంతరంగా ఉన్నాయి.

iii) ప్రతీ సందర్భములో రేఖాచిత్రానికి, X- అక్షానికి మధ్యగల దూరమును కనుగొనుము.
సాధన.

రేఖాచిత్రము	దూరము	మూల బిందువుకు కుడివైపు / ఎడమవైపు
a) x = 2	2 యూనిట్లు	మూలబిందువుకు పైన
b) x = – 2	2 యూనిట్లు	మూలబిందువుకు కింద
c) x = 4	3 యూనిట్లు	మూలబిందువుకు పైన
d) x = – 4	3 యూనిట్లు	మూలబిందువుకు కింద

4. 3x – 2y = 5 సమీకరణమునకు 5 సాధనలను కనుగొనుము. [పేజీ నెం. 130]
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 3x – 2y = 5
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions 2

ప్రయత్నించండి

1. ఒక గ్రాఫ్ పేపరుపై (2, 4) బిందువును గుర్తించుము. ఈ బిందువు గుండా ఒక రేఖను గీచి కింది ప్రశ్నలకు సమాధానమిమ్ము. [పేజీ నెం. 135]
1. ఈ (2, 4) బిందువు గుండా మరొక రేఖను గీయగలవా ?
సాధన.
అవును, (2, 4) బిందువు గుండా మరొక రేఖను గీయగలను.

2. ఇలాంటి ఎన్ని రేఖలను గీయగలము ?
సాధన.
ఇలాంటివి అనంత రేఖలను గీయగలము.

3. (2, 4) బిందువు సాధనగా గల రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు ఎన్ని ఉన్నాయి ?
సాధన.
(2, 4) బిందువు సాధనగా అనంత రేఖీయ సమీకరణాలు ఉన్నాయి.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions 3

2. Y- అక్షం సమీకరణమును కనుగొనుము. [పేజీ నెం. 146]
సాధన.
Y- అక్షంపై గల బిందువులన్నింటికి x – నిరూపకము సున్న.
∴ Y- అక్షం సమీకరణము x = 0.

ఉదాహరణలు

1. సచిన్ మరియు సెహ్వాగ్ కలిసి 137 పరుగులు చేశారు. ఈ సమాచారమును రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణంగా వ్యక్తపరచండి. [పేజీ నెం. 125]
సాధన.
సచిన్ చేసిన పరుగుల సంఖ్యను ‘x’ మరియు సెహ్వాగ్ చేసిన పరుగుల సంఖ్యను ‘y’ అనుకొనిన
పై దత్తాంశమును సమీకరణ రూపంలో x + y = 137 గా రాయవచ్చు.

2. హేమ వయస్సు, మేరీ వయస్సుకు 4 రెట్లు. ఈ దత్తాంశమునకు సరిపోవు రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణమును రాయుము. [పేజీ నెం.126]
సాధన.
హేమ వయస్సును ‘x’ సంవత్సరాలు అని, మేరి వయస్సును ‘y’ సంవత్సరాలు అని అనుకొనుము.
అయితే దత్తాంశము ప్రకారము, హేమ వయస్సు = మేరి వయస్సుకు 4 రెట్లు.
అనగా x = 4y ⇒ x – 4y = 0 (ఎలా ?) ఇది ఒక రేఖీయ సమీకరణము అయినది.

3. ఒక సంఖ్య, దానిలోని అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్య కంటే 27 ఎక్కువ. సంఖ్యలోని ఒకట్ల, పదుల స్థానములోని అంకెలను వరుసగా x, y అనుకొని ఈ దత్తాంశమునకు సరిపోవు రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణమును రాయుము. [పేజీ నెం. 126]
సాధన.
ఒకట్ల స్థానములోని అంకె x మరియు పదుల స్థానములోని అంకె y అనుకొనిన ఆ సంఖ్య = 10y + x
సంఖ్యలోని అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్య = 10x + y (రెండు అంకెల సంఖ్య యొక్క స్థానవిలువను గుర్తుకు తెచ్చుకోండి).
∴ దత్తాంశము ప్రకారము
సంఖ్య – తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్య = 27.
∴ 10y + x – (10x + y) = 27
⇒ 10y + x – 10x – y – 27 = 0
⇒ 9y – 9x – 27 = 0
⇒ y – x – 3 = 0
∴ కావలసిన సమీకరణము x – y + 3 = 0.

4. కింది ప్రతి సమీకరణమును ax + by + c = 0 రూపంలో రాసి a, b మరియు c విలువలను కనుగొనుము. [పేజీ నెం. 126]
i) 3x + 4y = 5
ii) x – 5 = [latex]\sqrt{3}[/latex]y
iii) 3x = y
iv) [latex]\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=\frac{1}{6}[/latex]
v) 3x – 7 = 0
సాధన.
i) 3x + 4y = 5 ను 3x + 4y – 5 = 0 గా రాయవచ్చు. ఇచ్చట a = 3, b = 4 మరియు c = – 5.
ii) x – 5 = [latex]\sqrt{3}[/latex]y ని 1.x – [latex]\sqrt{3}[/latex]y – 5 = 0 గా రాయవచ్చు.
ఇచ్చట a = 1, b = – [latex]\sqrt{3}[/latex] మరియు c = – 5.
iii) సమీకరణము 3x = y ని 3x – y + 0 = 0 గా రాయవచ్చు. ఇచ్చట a = 3, b = – 1 మరియు c = 0.
iv) ఇచ్చిన సమీకరణము [latex]\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=\frac{1}{6}[/latex]
[latex]\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{1}{6}[/latex] = 0; a = [latex]\frac {1}{2}[/latex], b = [latex]\frac {1}{2}[/latex] మరియు c = [latex]\frac {-1}{6}[/latex]
v) 3x – 7 = 0 ని 3x + 0. y – 7 = 0 గా రాయవచ్చు.
∴ a = 3, b = 0; c = – 7.

5. ఈ క్రింది ప్రతి సమీకరణము ax + by + c = 0 రూపంలోకి మార్చి a, b మరియు c విలువలను కనుగొనుము. [పేజీ నెం. 127]
i) x = – 5
ii) y = 2
iii) 2x = 3
iv) 5y = – 3
సాధన.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions 4

6. 4x + y = 9 సమీకరణమునకు 4 వేరు వేరు సాధనలను కనుగొనుము. (పట్టికలో ఖాళీలను పూరింపుము). [పేజీ నెం. 130]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions 5
సాధన.

∴ (0, 9), ([latex]\frac {9}{4}[/latex], 0), (1, 5) మరియు (- 1, 13) లు కొన్ని సాధనలు.

7. కింది వానిలో ఏవి x + 2y = 4 సమీకరణానికి సాధన అవుతాయి ? (పట్టికలో ఖాళీలను పూరించుము.) [పేజీ నెం. 131]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions 7
i) (0, 2)
ii) (2, 0)
iii) (4, 0)
iv) ([latex]\sqrt{2}[/latex], – 3[latex]\sqrt{2}[/latex])
v) (1, 1)
vi) (- 2, 3)
సాధన.
ఒక జతను ఇచ్చిన సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించినపుడు LHS = RHS అయిన ఆ జతను ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క సాధన అంటామని మనకు తెలుసు.
ఇచ్చట ఇవ్వబడిన సమీకరణము x + 2y = 4
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions 8

8. 5x – 7y = k కు x = 3, y = 2 సాధన k అయిన విలువను కనుగొనుము. k విలువతో వచ్చే సమీకరణాన్ని రాయండి. [పేజీ నెం.132]
సాధన.
x = 3, y = 2 సాధన అని ఇవ్వబడింది కనుక 5x – 7y = k అయిన 5 × 3 – 7 × 2 = k
⇒ 15 – 14 = k ⇒ 1 = k :
∴ k = 1
కావలసిన సమీకరణం 5x – 7y = 1.

9. 5x + 3y – 7 = 0 యొక్క సాధన x = 2k + 1 మరియు y = k అయిన ఓ విలువ ఎంత ? [పేజీ నెం. 132]
సాధన.
5x + 3y – 7 = 0 సమీకరణమునకు x = 2k + 1; y = k సాధన ఇవ్వబడింది.
⇒ 5(2k + 1) + 3k – 7 = 0 ⇒ 10k + 5 + 3k – 7 = 0
⇒ 13k – 2 = 0 (ఇది ఒక ఏకచరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణము).
⇒ 13k = 2
∴ k = [latex]\frac {2}{13}[/latex]

10. y – 2x = 4 సమీకరణమునకు రేఖాచిత్రమును గీచి కింది ప్రశ్నలకు సమాధానమిమ్ము. [పేజీ నెం. 135]
i) (2, 8) బిందువు రేఖపై ఉన్నదా ? (2, 8) సమీకరణం యొక్క సాధన అవుతుందా ? (2, 8)ను సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించుట ద్వారా సరిచూడుము.
ii) (4, 2) బిందువు రేఖపై ఉన్నదా ? బీజీయ పద్ధతి ద్వారా (4, 2) సమీకరణానికి సాధన అవుతుందేమో సరిచూడుము.
iii) రేఖాచిత్రము నుంచి మరొక మూడు సాధనలను కనుగొనుము. అదే విధముగా సాధనలు కాని వానిని మూడింటిని కనుగొనుము.
సాధన.
ఇవ్వబడిన సమీకరణము y – 2x = 4 ⇒ y = 2x + 4
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions 9
A, B మరియు C బిందువులను గ్రాఫ్ మీద గుర్తించి వానిని కలిపిన పటములో చూపించిన విధంగా కలిపితే BC రేఖ వస్తుంది. ఇదియే మనకు కావలసిన y- 2x = 4 యొక్క రేఖాచిత్రము అవుతుంది.

i) (2, 8) బిందువును గ్రాఫ్ పేపరుపై గుర్తించిన BC రేఖపై ఉండడం గమనించవచ్చు.
బీజీయ పద్ధతిలో సరిచూచుట (2, 8) బిందువును సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించిన
LHS = y – 2x = 8 – 2 × 2 = 8 – 4 = 4 = RHS,
కనుక (2, 8) సాధన అవుతుంది.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions 10

ii) (4, 2) బిందువును గ్రాఫ్ పేపర్ పై గుర్తించిన అది BC రేఖమీద లేకపోవడాన్ని మీరు గమనించవచ్చు.
బీజీయ పద్దతిలో సరిచూచుట : (4, 2) ను ఇచ్చిన సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపిస్తే,
LHS = y – 2x = 2 – 2 × 4 = 2 – 8 = – 6 ≠ RHS
∴ (4, 2) సాధన కాదు.

iii) ఒకరేఖ మీది ఏ బిందువైనా సమీకరణానికి సాధన అవుతుందని మనకు తెలుసు. కనుక రేఖమీద ఏవైనా మూడు బిందువులు తీసుకుంటే అవి సాధనలు అవుతాయి. ఉదాహరణకు (- 4, – 4) …. అదే విధంగా రేఖమీదలేని ఏ బిందువు కూడా సాధన కాదని తెలుసు. కనుక రేఖ మీద లేని ఏవైనా మూడు బిందువులను తీసుకుంటే అవి సాధనలు కావు.
ఉదాహరణకు : (i) (1, 5); ………; ………

11. x – 2y = 3 యొక్క రేఖాచిత్రమును గీయుము. [పేజీ నెం. 136]
రేఖాచిత్రము నుంచి ఈ కింది వానిని కనుగొనుము.
i) x = – 5 అయ్యే విధంగా ఒక సాధన (x, y)
ii) y = 0 అయ్యే విధంగా ఒక సాధన (x, y)
iii) x = 0 అయ్యే విధంగా ఒక సాధన (x, y)
సాధన.
x – 2y = 3 ⇒ y = [latex]\frac{x-3}{2}[/latex]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions 11
గ్రాఫ్ పేపర్ పై A, B, C బిందువులు గుర్తించి వానిని కలిపిన కింది పటములో చూపిన విధంగా రేఖ వస్తుంది. ఈ రేఖయే కావలసిన x – 2y = 3 యొక్క రేఖాచిత్రము అవుతుంది.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions 12

i) x = – 5 అయ్యే ఒక సాధన (x, y) ని మనము కనుగొనవలె. అనగా రేఖమీద ఉంటూ దాని x – నిరూపకము ‘- 5′ అయ్యే బిందువును కనుగొనవలె. దీనిని కనుగొనుటకు x = – 5 వద్ద నుంచి Y – అక్షమునకు సమాంతరంగా ఒక రేఖను గీయవలె. అది గ్రాఫ్ ‘P’ వద్ద ఖండిస్తుంది అనుకొనుము. ఈ బిందువు ‘P’ నుంచి X – అక్షానికి సమాంతరంగా రేఖ గీచిన అది Y – అక్షమును – 4 వద్ద ఖండిస్తుంది. (తాకుతుంది).
కనుక P బిందువు నిరూపకాలు = (- 5, – 4)
P(- 5, – 4) బిందువు x – 2y = 3 రేఖపై ఉన్నది కావున అది ఒక సాధన అవుతుంది.

ii) y = 0 అయ్యే విధంగా ఒక సాధన (x, y) ని కనుగొనాలి.
y = 0 కనుక బిందువు (x, 0) అవుతుంది. కావున y = 0 కనుక బిందువు X- అక్షంపై ఉంటూ x – 2y = 3 రేఖాచిత్రము మీద ఉండే బిందువును కనుగొనాలి.
రేఖాచిత్రము నుంచి ఇలాంటి బిందువు (3, 0) అని గమనించగలము.
∴ సాధన = (3, 0).

iii) x = 0 అయ్యే విధంగా ఒక సాధన (x, y) ని కనుగొనవలె.
x = 0 కనుక బిందువు (0, y) అవుతుంది. అనగా బిందువు Y – అక్షంపై ఉంటుంది. అంటే Y – అక్షం పై ఉంటూ x – 2y = 3 గ్రాఫ్ మీద ఉండే బిందువును కనుగొనాలి.
రేఖాచిత్రము నుంచి ఇలాంటి బిందువు (0, [latex]\frac {-3}{2}[/latex]) అని గుర్తించగలము.
∴ సాధన = (0, [latex]\frac {-3}{2}[/latex])

12. ఒక పాఠశాలలో 25% బాలికలు, మిగిలినవారు బాలురు. ఈ సమాచారమునకు సరిపోవు రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణమును రూపొందించి దానికి రేఖాచిత్రము గీయుము. రేఖాచిత్రము నుంచి ఈ కింది ప్రశ్నలకు సమాధానమును రాబట్టుము. [పేజీ నెం. 138]
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions 13
i) బాలికల సంఖ్య 25 అయిన బాలుర సంఖ్య ఎంత ?
ii) బాలుర సంఖ్య 45 అయిన బాలికల సంఖ్య ఎంత ?
iii) బాలుర సంఖ్యకు మూడు వేరువేరు విలువలను తీసుకొని అనురూపంగా బాలికల సంఖ్యను కనుగొనుము. అదే విధంగా బాలికల సంఖ్యకు మూడు వేరువేరు విలువలను తీసుకొని అనురూపంగా బాలుర సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
బాలికల సంఖ్యను ‘x’ మరియు బాలుర సంఖ్యను ‘y’ అనుకొనిన
మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య = x + y
ఇచ్చిన దత్తాంశము ప్రకారము బాలికల సంఖ్య మొత్తం విద్యార్థులలో = 25% అంటే,
x = (x + y) లో 25% = (x + y) × [latex]\frac {25}{100}[/latex] లో (x + y) = [latex]\frac {1}{4}[/latex] (x + y)
x = [latex]\frac {1}{4}[/latex](x + y) ⇒ 4x = x + y ⇒ 3x = y
∴ కావలసిన సమీకరణము 3x = y లేదా 3x – y = 0.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions 14
గ్రాఫ్ పై A, B మరియు C బిందువులను గుర్తించి వానిని కలిపిన కింది పటములో చూపిన విధంగా AB రేఖ ఏర్పడుతుంది.
స్కేలు : X-అక్షం : 1 సెం.మీ. = 20 బాలికలు
Y-అక్షం : 1 సెం.మీ. = 20 బాలురు
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions 15
రేఖాచిత్రము నుండి ఈ కింది వానిని కనుగొనగలము.
i) బాలికల సంఖ్య 25 అయిన బాలుర సంఖ్య 75.
ii) బాలుర సంఖ్య 45 అయిన బాలికల సంఖ్య 15.
iii) బాలుర సంఖ్యకు మీకు నచ్చిన మూడు వేరువేరు సంఖ్యలను తీసుకొని వానికి అనురూపమైన బాలికల సంఖ్యను, అదే విధంగా బాలికల సంఖ్యకు మీకు నచ్చిన మూడు వేరువేరు సంఖ్యలను తీసుకొని వానికి అనురూపమైన బాలుర సంఖ్యను కనుగొనుము. ఇచ్చట గ్రాఫ్ ను, సమీకరణమును పరిశీలించండి. సమీకరణము y = 3x రూపంలో ఉంది మరియు సరళరేఖ మూల బిందువుగుండా పోతుంది. y = mx (m ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య) సమీకరణమునకు రేఖాచిత్రము గీచిన అది మూల బిందువు గుండా పోతుంది అని గమనిస్తారు.

13. కింది ప్రతి రేఖాచిత్రానికి నాలుగు సమీకరణాలు ఇవ్వబడినాయి. వానిలో రేఖాచిత్రాన్ని సూచించు సరియైన సమీకరణమును గుర్తించుము. [పేజీ నెం. 140]
i) సమీకరణాలు :
A) y = x
B) x + y = 0
C) y = 2x
D) 2 + 3y = 7x
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు InText Questions 16
ii) సమీకరణాలు :
A) y = x + 2
B) y = x – 2
C) y = – x + 2
D) x + 2y = 6

సాధన.
i) రేఖాచిత్రము (1, – 1) (0, 0) (- 1, 1) బిందువులు ఒకే రేఖ పై ఉండడం మనం గమనించవచ్చు. అనగా ఇవి కావలసిన సమీకరణానికి సాధనలు అవుతాయి. అంటే ఈ బిందువులను కావలసిన సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపిస్తే అది తృప్తి చెందుతుంది. మరి ఒక విధంగా చెప్పాలంటే ఈ బిందువులను ఏ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపిస్తే అది తృప్తి చెందుతుందో అదియే కావలసిన సమీకరణము.

(1, – 1) బిందువును మొదటి సమీకరణము y = x లో ప్రతిక్షేపించిన అది తృప్తి చెందదు. కనుక y = x కావలసిన సమీకరణం కాదు. అయితే రెండవ సమీకరణము తృప్తి చెందుతుంది. నిజానికి పై మూడు బిందువులకు ఈ సమీకరణము తృప్తి చెందుతుంది. కనుక x + y = 0 కావలసిన సమీకరణం అవుతుంది.
మిగిలిన రెండు సమీకరణాలలో ఈ బిందువులను ప్రతిక్షేపించినప్పుడు అవి తృప్తి చెందవు. కనుక అవి కావలసిన సమీకరణాలు కావు.

ii) రేఖాచిత్రములో (2, 0), (0, 2) మరియు (- 1, 3) బిందువులు రేఖపై ఉన్నాయి. ఈ బిందువులు మొదటి, రెండవ సమీకరణాలను తృప్తిపరచవు. మూడవ సమీకరణము y = – x + 2 ను తీసుకుందాం. దీనిలో పై బిందువులను ప్రతిక్షేపించినప్పుడు అది తృప్తి చెందుతుంది. కనుక y = – x + 2 కావలసిన సమీకరణం అవుతుంది. ఈ బిందువులు x + 2y = 6 ను తృప్తిపరుస్తాయోమో పరిశీలించుము.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions

March 14, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions

ఇది చేయండి:

ప్రశ్న 1.
కింది సందర్భాలకు పటాలను గీయండి. (పేజీ నెం. 297)
(i) ఒక వ్యక్తి ‘a’ ఊర్థ్వ కోణముతో ఒక గాలిపటాన్ని ఎగురవేస్తున్నాడు. గాలిపటాన్ని ‘1’ పొడవు గల దారంతో ఎగురవేస్తున్నాడు. ఈ సందర్భానికి పటాన్ని గీయండి.
(ii) ఒక నది యొక్క ఒక వైపు ఉన్న ‘h’ ఎత్తుగల చెట్టుపై నుండి నది యొక్క రెండు తీరాలను θ₁ మరియు θ₂ (θ₁ < θ₂) నిమ్న కోణాలతో ఒక వ్యక్తి పరిశీలించాడు. నది వెడల్పు ‘d’ అయిన ఈ సందర్భానికి పటాన్ని గీయండి.
సాధన.
(i) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 6

పై పటంలో
A పరిశీలకుని స్థానము
B గాలిపటము యొక్క స్థానము
AB అనునది ‘l’ పొడవు గల దారము.

(ii) AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 7

పటంలో
‘D’ పరిశీలకుని స్థానము
CD చెట్టు యొక్క ఎత్తు
AB నది వెడల్పు
θ₁ మరియు θ₂ లు నిమ్న కోణాలు.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
మీ పాఠశాల భవనం నుండి ‘d’ దూరంలో గల బిందువు నుండి భవనం పై భాగాన్ని ‘a’ ఊర్థ్వ కోణముతో పరిశీలించారు. ఈ పాఠశాల భవనం ఎత్తును కనుగొనడానికి ఏ త్రికోణమితీయ నిష్పత్తిని ఎంచుకొంటారు ? (పేజీ నెం. 297)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 8

పటమును అనుసరించి, ఆసన్న భుజము మరియు ఊర్థ్వకోణములను బట్టి tan α గాని cot α గాని ఎంచుకొంటాను.

ప్రశ్న 2.
‘x’ మీటర్ల పొడవు గల ఒక నిచ్చెన భూమితో ఆ కోణం చేస్తూ ఒక గోడకు వేయబడి ఉంది. నిచ్చెన పై భాగం స్పృశించిన గోడ స్థానం యొక్క ఎత్తును కనుక్కోవడానికి ఏ త్రికోణమితీయ నిష్పత్తిని ఎంచుకోవాలి ? (పేజీ నెం. 297)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 9

∆ABC లో B కు ఎదుటి భుజమును కనుగొనాలి. ఊర్థ్వకోణము, కర్ణముల విలువలు మనకు తెలియును కావున sin θ గాని cosec θ గాని ఎంచుకొంటాను.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
పరిశీలకుని నుండి d మీటర్ల దూరంలో నున్న ఒక క్లాక్ టవర్ యొక్క పై కొన C° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. ఈ సందర్భానికి తగిన పటాన్ని గీయండి. (పేజీ నెం. 295)
సాధన.
సమస్య ఆధారంగా ఈ క్రింది పటం గీయవచ్చు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 1

ప్రశ్న 2.
రింకి మొదటి అంతస్థులోని బాల్కనీ నుండి బయటి భూమిపై నున్న పూవును P° నిమ్నకోణంతో చూస్తుంది. మొదటి – అంతస్థు ఎత్తు X మీటర్లు. ఈ సందర్భానికి తగిన పటాన్ని గీయండి. (పేజీ నెం. 296)
సాధన.
ఇక్కడ ∠DAC = ∠ACB = β

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 2

ప్రశ్న 3.
ఒక పెద్ద త్రాడు సహాయంతో ఒక పెద్ద బెలూన్ గాలిలో తేలుతుంది. ఒక భవనంపై నున్న ఒక వ్యక్తి దాని పై భాగాన్ని θ₁ ఊర్ధ్వకోణంతో మరియు త్రాడు అడుగు భాగాన్ని θ₂ నిమ్నకోణంతో పరిశీలించాడు. ఆ భవనం ఎత్తు + అడుగులు. – ఈ సందర్భానికి తగిన పటాన్ని గీయండి. (పేజీ నెం. 296)
సాధన.
ఇక్కడ మనం గమనించగా,
∠BDA = ∠DAE

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 3

ప్రశ్న 4.
ఒక బాలుడు ఒక విద్యుత్ స్తంభం అడుగు భాగం నుండి 8 మీటర్ల దూరంలో ఉన్న బిందువు నుండి విద్యుత్ స్తంభం పై భాగాన్ని 60° ఊర్థ్వకోణాలతో పరిశీలించాడు. ఆ స్తంభం ఎత్తును కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 297)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 4

పటం నుండి, త్రిభుజం OAB నుండి
OB = 8 మీటర్లు ∠AOB = 60°
స్తంభం ఎత్తు = AB = h మీటర్లు అనుకొనగా, (∆DAB లో ∠AOB యొక్క ఆసన్న భుజం విలువ మనకు తెలుసు. మనం “ఎదుటి భుజం” విలువను కనుక్కోవాలి. కావున ఆసన్న భుజం మరియు ఎదుటి భుజాల నిష్పత్తి “tan” ను పరిగణించాలి). ”
tan 60° = [latex]\frac{A B}{O B}[/latex]
√3 = [latex]\frac{h}{8}[/latex] మీ.
∴ h = 8√3 మీ.

ప్రశ్న 5.
ఒక హెలికాప్టర్ లో ఉన్న రాజేందర్ భూమిపై ఉన్న ఒక వ్యక్తిని 45° నిమ్నకోణంతో పరిశీలించాడు. భూమిపై నుండి హెలీకాప్టర్ 50 మీటర్ల ఎత్తులో ఎగురుతూ ఉంటే, రాజేందర్‌కు, ఆ వ్యక్తి ఎంత దూరంలో ఉన్నాడు ? (పేజీ నెం. 298)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 5

పటం నుండి, త్రిభుజం OAB లో
OA = 50 మీటర్లు
∠POB = ∠OBA = 45°
OB = రాజేందర్ నుండి వ్యక్తి దూరం = x.
(త్రిభుజం OAB లో ∠OBA యొక్క 150 మీ. ఎదుటి భుజం కొలత మనకు తెలుసు. కర్ణం OB విలువ కనుక్కోవాలి. ఎదుటి భుజం కర్ణాల నిష్పత్తి “sin” కావున “sin” ను ఎంచుకొంటాం)
sin 45° = [latex]\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OB}}[/latex]
[latex]\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{50}{x}[/latex]
∴ x = 50√2 మీటర్లు
రాజేందర్ నుండి 50√2 మీటర్ల దూరంలో వ్యక్తి ఉన్నాడు.

ప్రశ్న 6.
30 మీటర్ల ఎత్తు గల ఒక గుడి పై భాగాన్ని, దాని ఇరువైపులా నున్న ఇద్దరు వ్యక్తులు 30° మరియ 60° ఊర్థ్వకోణాలలో పరిశీలించారు. ఆ ఇద్దరు వ్యక్తుల మధ్య దూరం ఎంత ? (పేజీ నెం. 301)
సాధన.
పటము నుండి దేవాలయం ఎత్తు BD = 30 మీటర్లు
మొదటి వ్యక్తి పరిశీలిస్తున్నపుడు ఊర్ధ్వకోణం ∠BAD = 30°
రెండవ వ్యక్తి పరిశీలిస్తున్నపుడు ఊర్ధ్వకోణం ∠BCD = 60°
మొదటి వ్యక్తి నుండి గుడి దూరం AD = x,
రెండవ వ్యక్తి నుండి గుడి దూరం CD = d అనుకొనగా

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 10

∆BAD నుండి

tan 30° = [latex]\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}[/latex]
[latex]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{30}{x}[/latex]
x = 30√3 ………….. (1)

∆BCD నుండి
tan 60° = [latex]\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}[/latex]
√3 = [latex]\frac{30}{\mathrm{~d}}[/latex]
d = [latex]\frac{30}{\sqrt{3}}[/latex] …………… (2)

(1) మరియు (2) ల నుండి ఇద్దరు వ్యక్తుల మధ్య దూరం = AD + DC = x + d
= 30√3 + [latex]\frac{30}{\sqrt{3}}[/latex]
= [latex]\frac{90+30}{\sqrt{3}}=\frac{120}{\sqrt{3}}[/latex]
= 40√3 మీటర్లు.

ప్రశ్న 7.
ఒక టవర్ పాదం వరకు ఒక చక్కని (straight) రహదారి ఉంది. ఆ టవర్ పై నిలబడి ఉన్న రామయ్య అనే వ్యక్తి దూరం నుండి వస్తున్న కారును 30°ల నిమ్నకోణంలో చూశాడు. సమవేగంతో వస్తున్న ఆ కారును 6 సెకండ్ల తర్వాత 600 నిమ్నకోణంలో గమనించాడు. ఈ స్థానం నుండి కారు టవర్‌ను చేరడానికి పట్టు కాలం ఎంత ? (పేజీ నెం. 301)
సాధన.
పటం నుండి,
6 సెకండ్లలో కారు ప్రయాణించిన దూరం = AB = x మీటర్లు
టవర్ ఎత్తు CD = h మీటర్లు
కారు ప్రయాణించాల్సిన మిగిలిన దూరం BC = d మీటర్లు
AC = AB + BC = (x + d) మీటర్లు
∠PDA = ∠DAC = 30°
∠PDB = ∠DBC = 60°

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు InText Questions 11

∆BCD నుండి,
tan 60° = [latex]\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BC}}[/latex]
√3 = [latex]\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{d}}[/latex]
⇒ h = √3d ………. (1)

∆ACD నుండి,
tan 30° = [latex]\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}[/latex]
[latex]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{(x+d)}[/latex]
⇒ h = [latex]\frac{(\mathrm{x}+\mathrm{d})}{\sqrt{3}}[/latex] …………… (2)
(1) మరియు (2)ల నుండి,
[latex]\frac{(\mathrm{x}+\mathrm{d})}{\sqrt{3}}[/latex] = √3d
x + d = 3d
x = 2d
⇒ d = [latex]\frac{x}{2}[/latex]
‘x’ మీటర్ల దూరం ప్రయాణించడానికి పట్టు కాలం = 6 సెకండ్లు
‘d’ = [latex]\frac{x}{2}[/latex] మీటర్ల దూరం ప్రయాణించడానికి పట్టు కాలం = 3 సెకండ్లు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise

March 14, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
1.2 మీటర్ల ఎత్తు గల బాలిక ఆకాశంలో క్షితిజ సమాంతరంగా, 88.2 మీటర్ల ఎత్తుతోపాటు గాలిలో ప్రయాణిస్తున్న బెలూనును 60° ఊర్ధ్వకోణంలో గమనించింది. కొంతకాలం తర్వాత ఆ ఊర్థ్వకోణం 300 గా మారింది. ఈ మధ్యకాలంలో బెలూను ప్రయాణించిన దూరం ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 1

పటం నుండి,
AD = బాలిక ఎత్తు = 1.2 మీ.
FH = EB = 88.2 మీ. అనునది AB క్షితిజ సమాంతరం నుండి బెలూనుకు గల ఎత్తు D పరిశీలన బిందువు.
ఊర్వకోణములు ∠FDG = 60° మరియు ∠EDC = 30.
FG = EC = 88.2 – 1.2 = 87 మీ.
బెలూను ప్రయాణించిన దూరము, HB = y మీ. మరియు AH = x మీ.
∴ DG = x మీ. ‘ మరియు GC = y మీ. ,
∆FGD లో,
tan 60° = [latex]\frac{\mathrm{FG}}{\mathrm{DG}}[/latex]
⇒ √3 = [latex]\frac{87}{x}[/latex]
⇒ x = [latex]\frac{87}{\sqrt{3}}[/latex] ……………… (1)
∆ECD లో,
tan 30° = [latex]\frac{E C}{D C}[/latex]
⇒ [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{87}{D G+G C}[/latex]
⇒ x + y = 87√3 …………… (2)
సమీకరణం (2) లో (1) ను ప్రతిక్షేపించగా,
[latex]\frac{87}{\sqrt{3}}[/latex] + y = 87√3
⇒ y = 87√3 – [latex]\frac{87}{\sqrt{3}}[/latex]

⇒ y = 87(√3 – [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex])

⇒ y = [latex]87\left(\frac{3-1}{\sqrt{3}}\right)[/latex]

⇒ y = [latex]\frac{87 \times 2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}[/latex]

⇒ y = [latex]\frac{87 \times 2 \sqrt{3}}{3}[/latex]
⇒ y = 29 × 2√3 = 58√3 మీ.
∴ బెలూను ప్రయాణించిన దూరం = 58√3 మీ.

ప్రశ్న 2.
ఒక భవన పాదం నుండి ఎదురుగా నున్న టవరు పై భాగం 30° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. టవరు పాదం నుండి భవనం పై భాగం 60° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. వాటి ఎత్తులు ఏ నిష్పత్తిలో ఉంటాయి ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 2

పటం నుండి, CD = టవరు ఎత్తు,
AB = భవనం ఎత్తు
AC = భవనంకు, టవరుకు మధ్యన గల దూరము
ఊర్ధ్వకోణములు ∠ACB = 60° మరియు ∠DAC = 30° ,
∆ABC నుండి,
tan 60° = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}[/latex]
⇒ √3 = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{x}}[/latex]
⇒ AB = √3x
∆ADC నుండి,
tan30° = [latex]\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}[/latex]
⇒ [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{C D}{x}[/latex]
⇒ CD = [latex]\frac{x}{\sqrt{3}}[/latex] ……………… (2)
భవనం మరియు టవరుల యొక్క ఎత్తుల నిష్పత్తి .
AB : CD = √3x : [latex]\frac{x}{\sqrt{3}}[/latex] = 3 : 1.

ప్రశ్న 3.
A, B మరియు C అను మూడు పడవలు ఒకే సరళరేఖలో ప్రయాణిస్తూ లైట్ హౌస్ వైపు వస్తున్నవి. ఆ పడవలలో నుండి లైట్ హౌస్ పై భాగాన్ని గమనించిన వరుసగా అవి a, 22 మరియు 3a ఊర్ద్వకోణాలను చేస్తున్నవి. A మరియు B పడవల మధ్య దూరం x అయిన ఆ లైట్ హౌస్ ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 3

పటం నుండి,
PQ = లైట్ హౌస్ యొక్క ఎత్తు = h మీ.
A = మొదటి పరిశీలన బిందువు
B = రెండవ పరిశీలన బిందువు
C = మూడవ పరిశీలన బిందువు
AB = x మరియు BC = y (దత్తాంశములో ఇవ్వలేదు)
బాహ్యకోణము = అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తము
∠PBQ = ∠BQA + ∠BAQ మరియు
∠PCQ = ∠CBQ + ∠CQB
∴ AB = x = QB.
sine నియమమును అనుసరించి,

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 4

∆PBQ నుండి,
sin 2a = [latex]\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{x}}[/latex]
⇒ 2 sin a cos a = [latex]\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{x}}[/latex]
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా,
⇒ 4 sin² a cos² a = [latex]\frac{h^{2}}{x^{2}}[/latex]
⇒ 4 . [latex]\frac{3 y-x}{4 y} \cdot \frac{x+y}{4 y}=\frac{h^{2}}{x^{2}}[/latex]
⇒ h² = [latex]\frac{x^{2}}{4 y^{2}}(3 y-x)(x+y)[/latex]
∴ h = [latex]\frac{x}{2 y} \sqrt{(3 y-x)(x+y)}[/latex]
∴ లైట్ హౌస్ ఎత్తు = [latex]\frac{x}{2 y} \sqrt{(3 y-x)(x+y)}[/latex]

ప్రశ్న 4.
ఒక దీర్ఘ ఘనాకారంలో ఉన్న గూడు లోపలి భాగంలో పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తుల నిష్పత్తి 1 : √2 : 1. ఆ గూటిలో పట్టు అతి పెద్ద కజ్ఞ, దాని భూమితో చేయు కోణం ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 5

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 6

గూడు (Cup board) యొక్క అంతర భాగము దీర్ఘ ఘనాకృతిలో కలదు. ‘
పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తుల నిష్పత్తి 1 : √2 : 1
పటంలో, గూడు యొక్క పొడవు AB మరియు BC ఎత్తు అయిన AC అనునది దానిలో పట్టగల కర్ర
యొక్క గరిష్ఠ పొడవు అగును. కర్ర భూమితో చేయు కోణము ‘θ’ అనుకొనుము.
∆ABC లో,
tan θ = [latex]\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}[/latex]
⇒ tan θ = [latex]\frac{1}{1}[/latex]
⇒ tan θ = tan 45°
θ = 45°
∴ గూటిలో పట్టు అతి పెద్ద కర్ర భూమితో చేయు కోణం 45°.

ప్రశ్న 5.
ఒక గోళాకార లోహపు బంతి ఘనపరిమాణం 232848 సెం.మీ. దానిని కరిగించి 120° లు శీర్షకోణము చేయు శంఖువు ఆకారంలో పోతపోశారు. అయిన దాని భూవ్యాసార్ధం, ఎత్తులను కనుగొనుము.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Optional Exercise 7

AC = ఏటవాలు ఎత్తు = l
AB = నిలువు ఎత్తు = h
BC = భూ వ్యాసార్థం = r
గోళాకార లోహపు బంతి ఘనపరిమాణం = 232848 cm³
లెక్క ప్రకారము గోళాకార లోహపు బంతి ఘనపరిమాణం = శంఖువు ఘనపరిమాణము
∴ [latex]\frac{1}{3}[/latex] πr²h = 232848
∆ABC లో tan 60° = [latex]\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}[/latex]
√3 = [latex]\frac{r}{h}[/latex]
⇒ r = √3h
[latex]\frac{1}{3}[/latex]π(√3h)² × h = 232848
[latex]\frac{1}{3}[/latex] × [latex]\frac{22}{7}[/latex] × 3 × h² × h = 232848
h³ = [latex]\frac{232848 \times 7}{22}[/latex]
h³ = 10584 × 7 = 74088
h³ = 42³
⇒ h = 42, కాని r = h√3
⇒ r = 42√3

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2

March 14, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2

ప్రశ్న 1.
ఒక TVటవర్ ఒక రోడ్డు ప్రక్కన నిటారుగా నిలబెట్టబడి ఉంది. రోడ్డుకు అవతలి వైపు నుండి టవర్ పై కొనను పరిశీలించిన 60° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. ఇంకా టవర్ పాదం మరియు ఈ స్థానాన్ని కలిపే సరళరేఖపై 10 మీటర్ల దూరం జరిగిన పిదప టవర్ పై కొన 30° ఊర్థ్వకోణం చేస్తుంది. టవర్ ఎత్తును మరియు రోడ్డు వెడల్పును కనుగొనండి.
సాధన.
పటము నుండి,
AB = TV టవర్ యొక్క ఎత్తు = h మీ. అనుకొనుము.
BD = రోడ్డు వెడల్పు = x మీ. అనుకొనుము.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 1

‘D’ మరియు ‘C’ లు పరిశీలన బిందువులు అనుకొనుము.
‘D’ వద్ద టవర్ చేయు ఊర్ధ్వకోణము 60°.
‘C’ మరియు ‘D’ ల మధ్యగల దూరము 10 మీ.
‘C’ వద్ద టవర్ చేయు ఊర్ల్వకోణము 30°.
BC = (x + 10) మీ.
లంబకోణ త్రిభుజము ADB లో,
tan 60° = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}[/latex]
⇒ √3 = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{x}}[/latex]
⇒ AB = √3x
⇒ h = √3x. ………. (1)
∆ACB నుండి,
tan 30° = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}[/latex]
⇒ [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{A B}{B D+D C}[/latex]
⇒ [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{A B}{x+10}[/latex]
⇒ AB = [latex]\frac{x+10}{\sqrt{3}}[/latex] …………………(2)
AB = √3x ను (2) లో ప్రతిక్షేపించగా,
⇒ √3x = [latex]\frac{x+10}{\sqrt{3}}[/latex]
⇒ (√3)²x = x + 10
⇒ 3x = x + 10
⇒ 3x – x = 10
⇒ 2x = 10
⇒ x= [latex]\frac{10}{2}[/latex] = 5 మీ.
⇒ x= 5 మీ.ను సమీకరణము (1) నందు ప్రతిక్షేపించగా,
⇒ AB = √3(5)
⇒ AB = 5√3
∴ టవర్ యొక్క ఎత్తు = 5√3 మీ. ,
రోడ్డు వెడల్పు = 5 మీ.

ప్రశ్న 2.
1.5 మీటర్ల ఎత్తుగల ఒక బాలుడు 30 మీటర్ల ఎత్తు గల గుడి పై కొనను కొంతదూరము నుండి పరిశీలిస్తున్నాడు. అతడు ఉన్న చోటు నుండి ముందుకు నడిచిన గుడి గోపురం కొన అతని కంటితో చేయు కోణం 300 నుండి 600లకు మారింది. అతడు నడిచిన దూరం ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 2

పటం నుండి, AB = గుడి యొక్క ఎత్తు = 30 మీ.
DC = AF = బాలుని ఎత్తు = 1.5 మీ.
‘D’ మొదటి పరిశీలన స్థానము.
‘E’ రెండవ పరిశీలన స్థానము.
DE = x మీ.
ఊర్ధ్వకోణములు ∠BDF = 30° మరియు ∠BEF = 60° అనుకొనుము.
DE = X మరియు EF = y అనుకొనుము.
BF = AB – AF
= 30 – 1.5 = 28.5 మీ.
లంబకోణ త్రిభుజం ∆BDF లో,
tan 30° = [latex]\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{DF}}[/latex]
⇒ [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{28.5}{x+y}[/latex]
⇒ x + y = 28.5√3 ………………(1)
లంబకోణ త్రిభుజం BEF లో,
tan 60° = [latex]\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EF}}[/latex]
⇒ √3 = [latex]\frac{28.5}{y}[/latex]
⇒ y = [latex]\frac{28.5}{\sqrt{3}}[/latex]
⇒ [latex]\frac{28.5}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}[/latex]
⇒ y = [latex]\frac{28.5 \sqrt{3}}{3}[/latex]
⇒ y = 9.5√3
∴ x + 9.5√3 = 28.5√3
∴ x = 28.5√3 – 9.5√4
∴ x = 19√3
= 19 (1.732) = 32.908 మీ.
∴ బాలుడు నడచిన దూరము = 32.908 మీ.

ప్రశ్న 3.
ఒక విగ్రహం 2 మీటర్ల ఎత్తుగల పీఠంపై నిలబెట్టబడి ఉంది. దానిని కొంత దూరం నుండి పరిశీలించిన విగ్రహం పై భాగం 60° మరియు పీఠంపై భాగం 45° ఊర్ధ్వకోణాలు చేస్తున్నాయి. విగ్రహం ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 3

పటము నుండి,
BC = పీఠం ఎత్తు = 2 మీ.
CD = విగ్రహం ఎత్తు = h మీ.
‘A’ పరిశీలన బిందువు.
AB = పీఠంకు, పరిశీలన బిందువుకు మధ్యన గల దూరము = x మీ:
ఊర్ధ్వకోణములు ∠DAB = 60° మరియు ∠CAB = 45.
లంబకోణ త్రిభుజము ∆BAD లో,
tan 60° = [latex]\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}[/latex]

⇒ √3 = [latex]\frac{C D+C B}{x}[/latex]

⇒ √3 = [latex]\frac{h+2}{\mathbf{x}}[/latex]

⇒ x = [latex]\frac{h+2}{\sqrt{3}}[/latex] ………………..(1)
లంబకోణ త్రిభుజము CAB లో
tan 45° = [latex]\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}[/latex]
⇒ 1 = [latex]\frac{2}{x}[/latex]
⇒ x = 2
x = 2 ను సమీకరణము (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
⇒ 2 = [latex]\frac{h+2}{\sqrt{3}}[/latex]
⇒ 2√3 = h + 2
⇒ h = 2√3 – 2
⇒ h = 2(√3 – 1)
⇒ h = 2(1.732 – 1)
⇒ h = 2(0.732)
⇒ h = 1.464 మీ.
∴ విగ్రహం ఎత్తు = 1.464 మీ.

ప్రశ్న 4.
ఒక భవనం పై నుండి ఒక సెల్ టవర్’ పై భాగాన్ని పరిశీలించిన 60° ఊర్ధ్వకోణం, దాని పాదము 450 నిమ్నకోణం చేస్తుంది. భవనం నుండి టవరకు గల మధ్యదూరం 7 మీటర్లు అయిన టవర్ ఎత్తును కనుగొనండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 4

పటం నుండి,
AB = సెల్ టవర్ ఎత్తు
CD = AE = భవనం ఎత్తు భవనం నుండి టవరకు గల మధ్య దూరం = 7 మీ.
ఊర్థ్వకోణములు ∠BDE = 60° మరియు ∠EDA = ∠DAC= 45°
DE = AC = 7 మీ.
∆BDE నుండి,
tan 60° = [latex]\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{DE}}[/latex]
⇒ √3 = [latex]\frac{\mathrm{BE}}{7}[/latex]
⇒ BE = 7√3 ……………. (1)
లంబకోణ త్రిభుజం ADC నుండి,
tan 45° = [latex]\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}[/latex]
⇒ 1 = [latex]\frac{\mathrm{CD}}{7}[/latex]
⇒ CD = 7 ……………… (2)
(1), (2) ల నుండి, టవర్ ఎత్తు = AB = AE + BE
= 7 + 7√3 = 7(1 + √3)
= 7(1 + 1.732) = 7(2.732) = 19.124 మీ.
∴ టవర్ యొక్క ఎత్తు = 19.124 మీ.

ప్రశ్న 5.
భూమితో 300ల ఊర్థ్వకోణం చేస్తూ 18 మీటర్ల పొడవున్న ఒక ధృడమైన లోహపు తీగ ఆధారంగా ఒక . విద్యుత్ స్థంభం నిలబెట్టబడి ఉంది. తీగపొడవు చాలా ఎక్కువ ఉన్న కారణంగా తీగలో కొంత భాగం కత్తిరించి, మిగిలిన దానిని భూమితో 60° కోణం చేస్తూ అమర్చబడింది. తీగలో కత్తిరించగా మిగిలిన తీగపొడవు ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 5

పటంలో,
AB = విద్యుత్తు స్థంభం ఎత్తు = h మీ.
BC = లోహపు తీగ అసలు పొడవు = 18 మీ.
X మరియు Yలు మొదటి మరియు రెండవ పరిశీలన స్థానములు.
AX = a + b మరియు AY = b అనుకొనుము.
ఊర్ధ్వకోణములు ∠BXA = 30° మరియు ∠BYA = 60°.
∆BAX నుండి,
sin 30° = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}[/latex]
⇒ [latex]\frac{1}{2}=\frac{h}{18}[/latex]
⇒ h = [latex]\frac{18}{2}[/latex] = 9

∆ABY నుండి,
tan60° = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BY}}[/latex]
⇒ √3 = [latex]\frac{h}{b}[/latex]
⇒ b = [latex]\frac{\mathrm{h}}{\sqrt{3}}[/latex]
⇒ b = [latex]\frac{9}{\sqrt{3}}[/latex] (1) నుండి)

∆ABY నుండి,
cos60° = [latex]\frac{A Y}{B Y}[/latex]
[latex]\frac{1}{2}=\frac{b}{B Y}[/latex]
⇒ BY = [latex]\frac{9}{\sqrt{3}} \times 2=\frac{18}{\sqrt{3}}[/latex]
⇒ BY = [latex]\frac{18}{\sqrt{3}}[/latex]
BY = 10.39261
∴ తీగను కత్తిరించగా మిగిలిన తీగపొడవు = BC – BY = 18 – 10.39261 = 7.608 మీ.

ప్రశ్న 6.
ఒక టవర్ అడుగుభాగం నుండి భవనం పై భాగం 30° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. భవనం అడుగుభాగం నుండి టవర్ పై భాగం 60° ఊర్థ్వకోణం చేస్తుంది. టవర్ ఎత్తు 30 మీటర్లు అయిన, భవనం ఎత్తు కనుగొనుము.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 6

పటం నుండి,
BC = టవర్ యొక్క ఎత్తు = 30 మీ.
AD = భవనం ఎత్తు = 7 మీ.
టవర్ అడుగు భాగం నుండి భవనం పై భాగం చేయు ఊర్థ్వకోణం = ∠BAC = 60°
భవనం అడుగుభాగం నుండి టవర్ పై భాగం చేయు ఊర్ధ్వకోణము = ∠ABD = 30°
భవనంకు, టవరకు మధ్యన గల దూరము = AB = x మీ.
∆ABD లో,
tan 30° = [latex]\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}[/latex]
⇒ [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x}[/latex]
h = [latex]\frac{x}{\sqrt{3}}[/latex] ………… (1)

∆BAC నుండి,
tan 60° = [latex]\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}[/latex]
⇒ √3 = [latex]\frac{30}{x}[/latex]
⇒ x = [latex]\frac{30}{\sqrt{3}}[/latex]
సమీకరణం (1) లో x విలువను ప్రతిక్షేపించగా,
⇒ h = [latex]\frac{30}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{30}{3}[/latex] = 10 మీ.
∴ భవనం ఎత్తు h = 10 మీ.

ప్రశ్న 7.
120 అడుగుల వెడల్పైన రోడ్డుకు ఇరువైపుల సమాన ఎత్తు కలిగిన రెండు స్తంభాలు నిలబెట్టబడి ఉన్నాయి. వాటి మధ్యలో ఉన్న రోడ్డుపై ఒక బిందువు నుండి వాటి పై భాగాలను పరిశీలించిన అవి 60° మరియు 30° ఊర్థ్వకోణాలు చేస్తున్నాయి. అయిన ఆ స్థంభాల ఎత్తు కనుగొనుము మరియు ప్రతి స్తంభము అడుగుభాగం నుండి బిందువుకు గల దూరమును కనుగొనుము.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 7

పటం నుండి,
AB = రోడ్డు వెడల్పు = 120 అడుగులు.
AE = BD = సమాన ఎత్తులు గల రెండు స్థంభాలు = 4 మీ.
‘C’ పరిశీలన బిందువు.
ఊర్థ్వకోణములు ∠BCD = 60° మరియు ∠ACE = 30°
BC = x అయిన AC = AB – BC = (120 – X) మీ.
∆ACE లో,
tan 30° = [latex]\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}[/latex]
⇒ [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{120-x}[/latex]
⇒ h√3 = 120 – x
⇒ h√3 + x = 120 ………………….(1)
∆BCD లో,
tan 60° = [latex]\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}[/latex]
⇒ √3 = [latex]\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{x}}[/latex]
⇒ h = √3x …………….. (2)
h = √3x ను సమీకరణం (1) నందు ప్రతిక్షేపించగా,
⇒ (√3x) √3 + x = 120
⇒ 3x + x = 120
⇒ 4x = 120
⇒ x = [latex]\frac{120}{4}[/latex] = 30 అడుగులు
మొదటి స్థంభం నుండి పరిశీలన బిందువుకు గల దూరం. (x) = 30 మీ.
⇒ x = 30 ను సమీకరణం (2) నందు ప్రతిక్షేపించగా,
⇒ h = 30√3 = 30 (1.732) = 51.96
∴ h = 51.96 మీ.

ప్రశ్న 8.
టవర్ తో ఒకే సరళరేఖపై ఉండే 4 మీటర్లు మరియు 9 మీటర్ల దూరంలో నున్న రెండు బిందువుల నుండి టవర్ కొనను పరిశీలించిన చేసే ఊర్ద్వకోణాలు పూరకాలు. టవర్ ఎత్తును కనుగొనండి.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 8

పటం నుండి,
AB = టవర్ యొక్క ఎత్తు = h మీ.
‘C’ మరియు ‘D’ లు భూమిపై రెండు పరిశీలన బిందువులు.
AC = 4 మీ. = మొదటి పరిశీలన స్థానం నుండి టవరకు గల దూరము.
AD = 9 మీ. = రెండవ పరిశీలన స్థానం నుండి టవరకు గల దూరము.
ఊర్థ్వకోణాలు ∠ACB = θ మరియు ∠ADB = 90° – θ అనుకొనుము.
లంబకోణ త్రిభుజం ABC లో,
tan θ = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}[/latex]

tan θ = [latex]\frac{h}{4}[/latex] ……….. (1)
∆ABD నుండి,
tan (90 – θ) = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}[/latex]

⇒ cot θ = [latex]\frac{\mathrm{h}}{9}[/latex]

⇒ [latex]\frac{1}{\tan \theta}=\frac{h}{9}[/latex]

⇒ tan θ = [latex]\frac{9}{h}[/latex] ………………………… (2)
(1), (2) ల నుండి,
[latex]\frac{h}{4}=\frac{9}{h}[/latex]
⇒ h² = 36 (అడ్డ గుణకారము చేయగా)
⇒ h = √36 = 6 మీ.
∴ టవర్ యొక్క ఎత్తు = 6 మీ.

ప్రశ్న 9.
భూమిపై నున్న A బిందువు నుండి ఒక జెట్ విమానాన్ని పరిశీలిస్తే 60° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. 15 సెకన్ల తర్వాత దాని ఊర్థ్వకోణం 309గా మారుతుంది. ఆ జెట్ విమానం 1500√3 మీటర్ల స్థిర ఎత్తులో ఎగురుతూ ఉంటే దాని వేగాన్ని కనుక్కోండి. (√3 = 1.732)
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.2 9

పటం నుండి,
P మరియు Qలు విమానం యొక్క రెండు స్థానములు.
‘A’ పరిశీలన బిందువు.
ABC అనునది ‘A’ గుండా పోవు ఒక క్షితిజ సమాంతర రేఖ.
‘A’ నుండి P మరియు Q ల యొక్క ఊర్థ్వకోణాలు వరుసగా 60° మరియు 30°.
∴ ∠PAB = 60°, ∠QAC = 30°.
జెట్ విమానపు స్థిర ఎత్తు = 1500√3 మీటర్లు.
∆ABP లో,
tan 60° = [latex]\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AB}}[/latex]

⇒ √3 = [latex]\frac{1500 \sqrt{3}}{\mathrm{AB}}[/latex]

⇒ AB = [latex]\frac{1500 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}[/latex]
= 1500 మీ.
∆ACQ లో,
tan 30° = [latex]\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{AC}}[/latex]
⇒ [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1500 \sqrt{3}}{\mathrm{AC}}[/latex]
⇒ AC = 1500 √3 × √3
⇒ AC = 1500 × 3 = 4500మీ.
పటం నుండి, PQ = BC = AC – AB
= 4500 – 1500 = 3000 మీటర్లు
ఆ విమానం 15 సెకన్లలో 3000 మీటర్లు ప్రయాణించినది.
∴ విమానపు వేగము = [latex]\frac{3000}{15}[/latex] = 200 మీ/సె.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.4

March 14, 2022

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 6th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Exercise 6.4

ప్రశ్న 1.
ఈ కింది సమీకరణాలను
a) సంఖ్యారేఖపై సూచించండి మరియు
b) కార్టీజియన్ తలముపై సూచించండి. (గ్రాఫ్ గీయండి)
i) x = 3
ii) y + 3 = 0
iii) y = 4
iv) 2x – 9 = 0
v) 3x + 5 = 0
సాధన.
i) x = 3 రేఖ, Y- అక్షంకు సమాంతరంగా ‘3’ యూనిట్ల దూరంలో, మూలబిందువుకు కుడి వైపున ఉండును.
ii) y + 3 = 0
⇒ y = – 3 రేఖ, X- అక్షంకు సమాంతరంగా ‘3’ యూనిట్ల దూరంలో, మూలబిందువుకు ఎడమ వైపున ఉండును.
iii) y = 4 రేఖ, X- అక్షంకు సమాంతరంగా ‘4’ యూనిట్ల దూరములో, మూలబిందువుకు పైన ఉంటుంది.
iv) 2x – 9 = 0
⇒ x = [latex]\frac {9}{2}[/latex] = 4.5 రేఖ, Y- అక్షంకు సమాంతరంగా 4.5 యూనిట్ల దూరములో, మూలబిందువుకు కుడి వైపున ఉండును.
v) 3x + 5 = 0
⇒ 3x = – 5
⇒ x = [latex]\frac {-5}{3}[/latex] రేఖ, Y- అక్షంకు సమాంతరంగా [latex]\frac {5}{3}[/latex] యూనిట్ల దూరములో మూలబిందువుకు ఎడమ వైపున ఉండును.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.4 1

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.4 3

ప్రశ్న 2.
2x – 11 = 0 ను
i) ఏక చరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణంగా భావించి
ii) రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణంగా భావించి జ్యామితీయ రూపంలో వ్యక్తపరచండి. (గ్రాఫ్ గీయండి.)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 2x – 11 = 0

x	5.5	5.5	5.5
y	– 3	1	5

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.4 4

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.4 5

ప్రశ్న 3.
3x + 2 = 8x – 8ను సాధించి సాధనను
i) సంఖ్యారేఖపై
ii) కార్టిజియన్ తలముపై సూచించాలి.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 3x + 2 = 8x – 8
3x – 8x = – 8 – 2
– 5x = – 10
x = [latex]\frac {-10}{-5}[/latex] = 2

x	2	2	2
y	5	6	– 4

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.4 6

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.4 7

ప్రశ్న 4.
కింది బిందువుల గుండా పోతూ X- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణాలను కనుగొనుము.
i) (0, – 3)
ii) (0, 4)
iii) (2, – 5)
iv) (3, 4)
సాధన.
i) ఇచ్చిన బిందువు (0, – 3)
X- అక్షంనకు సమాంతరంగా వుండు రేఖా సమీకరణం y = k
∴ కావలసిన రేఖా సమీకరణం y = – 3 (లేక) y + 3 = 0.

ii) ఇచ్చిన బిందువు (0, 4)
X- అక్షంనకు సమాంతరంగా వుండు రేఖా సమీకరణం y = k
∴ కావలసిన రేఖా సమీకరణం y = 4 (లేక) y – 4 = 0.

iii) ఇచ్చిన బిందువు (2, – 5)
X- అక్షంనకు సమాంతరంగా వుండు రేఖా సమీకరణం y = k
∴ కావలసిన రేఖా సమీకరణం y = – 5 (లేక) y + 5 = 0.

iv) ఇచ్చిన బిందువు (3, 4)
X- అక్షంనకు సమాంతరంగా వుండు రేఖా సమీకరణం y = k
∴ కావలసిన రేఖా సమీకరణం y = 4 (లేక) y – 4 = 0.

ప్రశ్న 5.
కింది బిందువుల గుండా పోతూ Y- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళరేఖల సమీకరణాలను కనుగొనుము.
(i) (- 4, 0)
(ii) (2, 0)
(iii) (3, 5)
(iv) (- 4, – 3)
సాధన.
Y- అక్షంకు సమాంతరంగా వుండు రేఖా సమీకరణం x = k
∴ కావలసిన సమీకరణములు
i) (-4, 0) గుండా పోతే ఏర్పడు రేఖా సమీకరణం x = – 4 (లేదా) x + 4 = 0
i) (2, 0) గుండా పోతే ఏర్పడు రేఖా సమీకరణం x = 2 (లేదా) x – 2 = 0
iii) (3, 5) గుండా పోతే ఏర్పడు రేఖా సమీకరణం x = 3 (లేదా) x – 3 = 0
iv) (- 4, – 3) గుండా పోతే ఏర్పడు రేఖా సమీకరణం x = – 4 (లేదా) x + 4 = 0

ప్రశ్న 6.
ఏవైనా మూడు సరళరేఖల సమీకరణాలను రాయుము.
i) X- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే
సాధన.
y = 3
y = – 4
y = 6

ii) Y- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే
సాధన.
x = – 2
x = 3
x = 4

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1

March 11, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1

ప్రశ్న 1.
భూమిపై ఒక టవర్ నిటారుగా నిలిచి ఉంది. ఆ టవర్ అడుగు నుండి 15 మీటర్ల దూరం నుండి ఆ టవర్ పై కొన 45° ఊర్ధ్వకోణంలో పరిశీలించబడింది. ఆ టవర్ ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 1

పటంలో ‘A’ పరిశీలన బిందువు.
AB అనునది పరిశీలన బిందువు నుండి టవర్ యొక్క అడుగుకు గల దూరము = 15 మీ.
BC అనునది టవర్ ఎత్తు ‘h’ అనుకొనుము.
ఊర్థ్వకోణము = ∠CAB = 45°
∆ABC లో
tan 45° = [latex]\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}[/latex]
⇒ 1 = [latex]\frac{h}{15}[/latex]
⇒ h = 15 మీ.
టవర్ ఎత్తు (h) = 15 మీ.

ప్రశ్న 2.
ఒక చెట్టు గాలికి విరిగి, విరిగిన పై భాగం భూమికి 300 ల కోణం చేస్తూ భూమిపై పడింది. చెట్టు అడుగుభాగం నుండి, కిందపడిన చెట్టుకొన మధ్య దూరం 6 మీటర్లు. చెట్టు విరగక ముందు ఆ చెట్టు ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 2

పటంలో, AC = చెట్టు అసలు ఎత్తు.
గాలి వీయడం వలన చెట్టు “B” వద్ద విరిగి, విరిగిన భాగము 30° కోణంతో D ను తాకెను.
AD = 6 మీ.
∆BAD లో,
tan 30° = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}[/latex]
⇒ [latex]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{AB}}{6}[/latex]
⇒ AB = [latex]\frac{6}{\sqrt{3}}[/latex] మీ.
∆BAD లో, cos 30° = [latex]\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}[/latex]
⇒ [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{B D}[/latex]
⇒ BD = [latex]\frac{12}{\sqrt{3}}[/latex]
∴ AC = AB + BC = AB + BD (::: BC = BD)
= [latex]\frac{6}{\sqrt{3}}+\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{18}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}[/latex] = 6√3 మీ.

ప్రశ్న 3.
ఒక పా లో పిల్లలు ఆడుకోవడానికి ఒక కాంట్రాక్టర్ ఒక జారుడు బల్లను ఏర్పాటు చేయాలనుకున్నారు. దానిని 2 మీటర్ల ఎత్తుతో, భూమితో 300 ల కోణం చేసేటట్లు ఏర్పరచాలనుకుంటే ఆ జారుడు బల్ల పొడవు ఎంత ఉంటుంది ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 3

పటంలో, ‘A’ భూమిపై పరిశీలన బిందువు అనుకొనుము.
‘C’ బల్లను ఏర్పాటు చేయు స్థానము.
A జారుడు బల్ల ఎత్తు = 2 మీ.
ఊర్థ్వకోణము = 30°
∆ABC లో sin 30° = [latex]\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}[/latex]
[latex]\frac{1}{2}=\frac{2}{h}[/latex]
h = 4 మీ.
∴ జారుడు బల్ల పొడవు = 4 మీ.

ప్రశ్న 4.
ఉదయం 7 గంటలకు 15 మీటర్ల ఎత్తు గల స్థంభం యొక్క నీడ పొడవు 5√3 మీటర్లు. ఆ సమయంలో సూర్యకిరణాలు, భూమితో ఎంత కోణం చేస్తున్నాయి?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 4

పటంలో, AB = స్థంభం అసలు ఎత్తు = 15 మీ.
BC = స్థంభం యొక్క నీడ పొ .కవు = 5/3 మీ.,
‘B’ అనునది ఆ సమయంలో సూర్యకిరణాలు,
భూమితో చేయు కోణం అనుకొనుము. లంబకోణ త్రిభుజం ∆ABC నుండి,
tan θ = [latex]\frac{A B}{B C}[/latex]
⇒ tane = [latex]\frac{15}{5 \sqrt{3}}[/latex]
⇒ tane = [latex]\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}=\frac{3 \sqrt{3}}{3}[/latex] = √3
⇒ tan θ = √3
⇒ tan θ = tan 60°
⇒ θ = 60°
∴ ఆ సమయంలో సూర్య కిరణాలు, భూమితో చేయు కోణము 60°.

ప్రశ్న 5.
పవన్ 10 మీటర్ల ఎత్తు గల స్తంభాన్ని 3 బలమైన తాళ్ళ సహాయంతో నిలబెట్టాలనుకున్నాడు. ఒక్కొక్క త్రాడు స్తంభంతో 30° కోణం చేయాల్సి ఉంటే ఎంత పొడవు తాడు తీసుకోవాలి ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 5

పటంలో, AB = స్తంభము యొక్క ఎత్తు = 10 మీ.
AC = త్రాడు యొక్క పొడవు.
త్రాడు, స్తంభంతో చేయు కోణము = 30°
∆ABC లో, cos 30° = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}[/latex]

⇒ [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{10}{\mathrm{AC}}[/latex]

⇒ AC = [latex]\frac{2 \times 10}{\sqrt{3}}[/latex]

= [latex]\frac{20}{\sqrt{3}}=\frac{20}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{20 \sqrt{3}}{3}[/latex]
కావలసిన తాడు పొడవు = 3 × [latex]\frac{20 \sqrt{3}}{3}[/latex] = 20√3 మీ.

ప్రశ్న 6.
విజయ్ భూమి నుండి 6 మీటర్ల ఎత్తు గల భవనంపై నుండి భూమిపై నున్న ఒక లక్ష్యాన్ని 60° నిమ్న కోణంలో బాణంతో ఛేదించాలనుకున్నాడు. విజయ్ నుండి లక్ష్యం ఎంత దూరంలో ఉంటుంది ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 6

పటంలో, BC = భవనం ఎత్తు = 6 మీ.
‘C’ పరిశీలన బిందువు మరియు A భూమిపై గల లక్ష్యం యొక్క స్థానము.
నిమ్నకోణము = ∠CAB = 60°
AB = భూమిపై గల లక్ష్యంకు, భవనంకు మధ్య గల దూరము.
∆ABC లో,
sin 60° = [latex]\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}[/latex]

⇒ [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{A C}[/latex]

⇒ AC = [latex]\frac{12}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}[/latex]
= [latex]\frac{12 \sqrt{3}}{3}[/latex] = 4√3 మీ. –
∴ విజయ్ నుండి లక్ష్యంకు గల దూరము AC = 4√3 మీ.

ప్రశ్న 7.
9 మీటర్ల ఎత్తు గల విద్యుత్ స్తంభంపై ఒక ఎలక్టీషియన్ మరమ్మత్తు పనిచేయాల్సి ఉంది. మరమ్మత్తు చేయడానికి ఆ స్తంభం పై నుండి 1.8 మీటర్ల తక్కువ ఎత్తుకు చేరాలి. ఒక నిచ్చెనను భూమిపై 60° కోణంతో పెట్టాల్సి వస్తే ఎంత పొడవు గల నిచ్చెనను తీసుకోవాలి ? నిచ్చెన అడుగుభాగం నుండి స్తంభం అడుగుభాగం దూరం ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 7

పటంలో, AB = విద్యుత్ స్తంభం ఎత్తు = 9 మీ.
AC = కావలసిన అసలు స్తంభం ఎత్తు = 7.2 మీ.
ఊర్ధ్వకోణము = ∠CDA = 60°
CD = నిచ్చెన పొడవు
AD = నిచ్చెన అడుగు భాగం నుండి స్తంభం అడుగు భాగంకు గల దూరము.
sin 60° = [latex]\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DC}}[/latex]
[latex]\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7.2}{\mathrm{DC}}[/latex]
∴ DC = 7.2 × [latex]\frac{2}{\sqrt{3}}[/latex]
∆ADC లో,
= 7.2 × [latex]\frac{2}{\sqrt{3}}[/latex] × [latex]\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}[/latex]
= 7.2 × [latex]\frac{2 \sqrt{3}}{3}[/latex]
నిచ్చెన పొడవు DC = 8.3136 మీ.
∆ADC లో,
⇒ tan 60° = [latex]\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DC}}[/latex]
⇒ √3 = [latex]\frac{7.2}{D C}[/latex]
⇒ AD = [latex]\frac{7.2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}[/latex] = 2.4√3
= 4.1568 మీ.
∴ నిచ్చెన అడుగు భాగం నుండి స్తంభం అడుగు భాగంకు గల దూరము = 4.1568 మీ.

ప్రశ్న 8.
ఒక నావ ఒక నదిని దాటాల్సి ఉంది. నదీ ప్రవాహం కారణంగా ఆ నదీ తీరంతో 60°ల కోణం చేస్తున్న ఆ నావ 600 మీటర్లు ప్రయాణించి అవతలి తీరాన్ని చేరింది. ఆ నది వెడల్సెంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 8

పటంలో, ‘A’ నావ వేరొక వైపుకు చేరవలసిన స్థానము.
‘C’ ప్రస్తుతము నావ ఉన్న స్థానము (లేక) పరిశీలన స్థానము.
AC = నావ ప్రయాణించిన దూరము = 600 మీ.
ఊర్ధ్వకోణము = ∠ACB = 60°
AB = నది అసలు వెడల్పు అనుకొనుము.
లంబకోణ త్రిభుజము ABC లో sin 60° = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}[/latex]
⇒ [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\mathrm{AB}}{600}[/latex]
⇒ AB = 600 × [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]
⇒ AB = 300√3 మీ.
∴ నది వెడల్పు = 300√3 మీ.

ప్రశ్న 9.
1.8 మీ. ఎత్తు ఉన్న ఒక పరిశీలకుడు ఒక తాటి చెట్టు నుండి 13.2 మీటర్ల దూరంలో ఉన్నాడు. ఆ చెట్టుపై పరిశీలకుడి కంటి నుండి 45° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. ఆ చెట్టు ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 9

పటంలో, DE = పరిశీలకుని ఎత్తు = 1.8 మీ.
AC = తాటి చెట్టు ఎత్తు.
‘D’ = పరిశీలన బిందువు.
BD = తాటి చెట్టు నుండి పరిశీలకునికి మధ్యన గల దూరము = 13.2 మీ.
ఊర్థ్వకోణము ∠ADB = 45° అనుకొనుము. మరియు DE = BC = 1.8 మీ.
లంబకోణ త్రిభుజము ABD లో,
tan 45° = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}[/latex]
⇒ 1 = [latex]\frac{\mathrm{AB}}{13.2}[/latex]
⇒ AB = 13.2 మీ.
AC = AB + BC = 13.2 + 1.8 = 15.0 మీ.
∴ తాటి చెట్టు ఎత్తు (AC) = 15 మీ.

ప్రశ్న 10.
క్రిందనున్న పటంలో AC = 6 సెం.మీ. AB = 5 సెం.మీ. మరియు BAC = 300 అయిన త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుగొనుము.
సాధన.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 10

ఇచ్చిన పటంలో BD ⊥ AC అవునట్లు BD ని గీద్దాము.
∆ADB లో ∠A = 30°
∴ sin 30° = [latex]\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}[/latex]
⇒ [latex]\frac{1}{2}=\frac{B D}{5}[/latex]
2BD = 5
⇒ BD = [latex]\frac{5}{2}[/latex]
ABC త్రిభుజ వైశాల్యం [latex]\frac{1}{2}[/latex] bh = [latex]\frac{1}{2}[/latex] AC × BD
= [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 6 × [latex]\frac{5}{2}[/latex]
= [latex]\frac{15}{2}[/latex] చు/సెం.మీ.

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3

March 11, 2022

SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 6th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Exercise 6.3

ప్రశ్న 1.
కింది వాని యొక్క రేఖా చిత్రాలను గీయుము.
i) 2y = -x + 1
ii) -x + y = 6
iii) 3x + 5y = 15
iv) [latex]\frac{x}{2}-\frac{y}{3}[/latex] = 3
సాధన.
i) 2y = -x + 1
⇒ x + 2y = 1

x	1	3
y	0	-1
(x, y)	(1, 0)	(3, -1)

ii) -x + y = 6

x	0	-6
y	6	0
(x, y)	(0, 6)	(-6, 0)

iii) 3x + 5y = 15

x	0	5
y	3	0
(x, y)	(0, 3)	(5, 0)

iv) [latex]\frac{x}{2}-\frac{y}{3}[/latex] = 3
⇒ [latex]\frac{3 x-2 y}{6}[/latex] = 3
⇒ 3x – 2y = 18

x	0	6
y	-9	0
(x, y)	(0, -9)	(6, 0)

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 1

ప్రశ్న 2.
కింది వాని యొక్క రేఖాచిత్రాలను గీసి, ప్రశ్నలకు సమాధానమిమ్ము.
i) y = x
ii) y = 2x
iii) y = – 2x ,
iv) y = 3x
v) y = – 3x
సాధన.
i) y = x

x	1	2
y	1	2
(x, y)	(1, 1)	(2, 2)

ii) y = 2x

x	1	2
y	2	4

iii) y = – 2x

x	1	2
y	– 2	– 4

iv) y = 3x

x	1	2
y	3	6

v) y = – 3x

x	1	2
y	-3	-6

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 2

i) ఇవన్నీ y = mx (m ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య) రూపంలో ఉన్నాయా ?
సాధన.
అవును. ఇవన్నీ y = mx రూపంలో వున్నాయి.

ii) వీని రేఖాచిత్రాలన్నీ మూలబిందువు గుండా పోతున్నాయా ?
సాధన.
అవును. వీటి రేఖాచిత్రాలన్నీ మూలబిందువు గుండా పోతున్నాయి.

iii) ఈ రేఖాచిత్రాలు ఆధారంగా నీవేమి నిర్ధారించగలవు ?
సాధన.
y = mx రూపంలో ఉన్న రేఖలన్నీ మూలబిందువు గుండా పోతాయని నిర్ధారించవచ్చు.

ప్రశ్న 3.
2x + 3y = 11 యొక్క రేఖాచిత్రాన్ని గీయుము. దీని నుండి x = 1 అయిన y విలువ ఎంత ? కనుగొనుము.
సాధన.

x	1	4
y	3	1

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 3
గ్రాఫ్ నుండి, x = 1 అయిన y = 3.

ప్రశ్న 4.
y – x = 2 యొక్క రేఖాచిత్రాన్ని గీయుము. దీని నుంచి
i) x = 4 అయినప్పుడు y విలువను
ii) y = -3 అయినప్పుడు x విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము y – x = 2 లేదా – x + y = 2

x	0	– 2
y	2	0

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 4
గ్రాఫు నుండి
i) x = 4 అయితే y = 6
ii) y = – 3 అయిన x = – 5

ప్రశ్న 5.
2x + 3y = 12 యొక్క రేఖాచిత్రం గీయుము. దీని నుండి
(i) y – నిరూపకము 3 అయ్యే విధంగా
(ii) x – నిరూపకము – 3 అయ్యే విధంగా సాధనలను కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము 2x + 3y = 12

x	0	6
y	4	0

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 5
i) గ్రాఫు నుండి, y = 3 అయినపుడు x = [latex]\frac {3}{2}[/latex]; సాధన ([latex]\frac {3}{2}[/latex], 3)
ii) గ్రాఫు నుండి, x = – 3 అయినపుడు y = 6; సాధన (-3, 6)

ప్రశ్న 6.
కింది సమీకరణాల రేఖాచిత్రాలను గీయండి. ఇది నిరూపక అక్షాలను ఖండించే బిందువులను కనుగొనండి.
i) 6x – 3y = 12
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 6x – 3y = 12

x	0	2
y	– 4	0

గ్రాఫు నుండి ఇచ్చిన రేఖ X – అక్షంను (2, 0) వద్ద మరియు Y – అక్షంను (0, – 4) వద్ద ఖండించును.

ii) -x+ 4y = 8
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం – x + 4y = 8

x	0	– 8
y	2	0

గ్రాఫు నుండి ఇచ్చిన రేఖ X – అక్షంను (-8, 0) వద్ద మరియు Y – అక్షంను (0, 2) వద్ద ఖండించును.

iii) 3x + 2y + 6 = 0
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణం 3x + 2y + 6 = 0

x	0	– 2
y	– 3	0

గ్రాఫు నుండి ఇచ్చిన రేఖ X – అక్షంను (-2, 0) వద్ద మరియు Y – అక్షంను (0, – 3) వద్ద ఖండించును.
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 6

ప్రశ్న 7.
రజియా మరియు ప్రీతి ఒక పాఠశాలలో 9వ తరగతి చదువుచున్నారు. వీరు సహజ విపత్తులు సంభవించినప్పుడు బాధితులకు సహాయం చేయుట కొరకు ఏర్పాటు చేసిన ప్రధానమంత్రి సహాయనిధికి ₹ 1000 ఇచ్చారు. ఈ సమాచారమునకు సరిపడు సమీకరణమును రూపొందించి దానికి రేఖాచిత్రమును గీయుము.
సాధన.
రజియా P.M.R.F కు ఇచ్చిన విరాళము = ₹ x అనుకొనుము.
ప్రీతి P.M.R.F కు ఇచ్చిన విరాళము = ₹ y అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారము x + y = 1000

x + y = 1000
x	200	300
y	800	700

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 7

ప్రశ్న 8.
గోపయ్య తన మొత్తం 5000 చ.మీ. వైశాల్యం కలిగిన రెండు వేరువేరు పొలాలలో వరిని, గోధుమలను పండించాడు. దీనికి సరిపడు సమీకరణంను రూపొందించి దానికి రేఖాచిత్రమును గీయుము.
సాధన.
గోపయ్య వరిని పండించిన పొలం వైశాల్యం = x చ.మీ.
మరియు గోధుమను పండించిన పొలం వైశాల్యం = y చ.మీ. అనుకొనుము.
∴ లెక్క ప్రకారము x + y = 5000

x + y = 5000
x	1000	2000
y	4000	3000

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 8

ప్రశ్న 9.
6 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి గల వస్తువుపై బలాన్ని ప్రయోగించినప్పుడు అది పొందిన త్వరణము, ప్రయోగించిన బలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. ఈ పరిశీలనకు సరిపడు సమీకరణమును రాసి, దానికి రేఖాచిత్రమును గీయుము.
సాధన.
వస్తువు ద్రవ్యరాశి = m = 6 kg; ప్రయోగించబడిన బలం = F, త్వరణము = a అయిన
లెక్క ప్రకారము, వస్తువుపై ప్రయోగించిన బలం, త్వరణానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
∴ f ∝ a ⇒ f = m · a ⇒ f = 6a

f = 6a
a	2	3
f	12	18

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 9

ప్రశ్న 10.
ఒక పర్వతము మీద నుంచి ఒక రాయి కింద పడుతూ ఉంది. దాని యొక్క వేగము v = 9.8t. (t = కాలము) దీనికి అనుగుణమైన రేఖాచిత్రమును గీచి, దాని నుండి ‘4’ సెకండ్ల సమయంలో దాని వేగమెంతో కనుగొనుము.
సాధన.
రాయి యొక్క వేగము v, రాయి ప్రయాణించిన కాలము = t
రాయి వేగము, కాలములకు మధ్యగల సంబంధము = v = 9.8t

v = 9.8 t
v	49	98
t	5	10

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 10
4 సెకండ్ల సమయములో రాయి వేగము = v = 9.8 × 4 = 39.2 మీ/సె².

ప్రశ్న 11.
ఒక ఎలక్షన్లో 60% ఓటర్లు తమ ఓటు హక్కును వినియోగించుకొనినారు. దీనికి సరిపడు రేఖాచిత్రము గీచి, దాని నుంచి కింది వానిని కనుగొనుము.
i) 1200 ఓటర్లు మాత్రమే తమ ఓటు హక్కును వినియోగించుకొన్న మొత్తం ఓటర్లు ఎంత మంది ?
ii) మొత్తం ఓటర్ల సంఖ్య 800 అయిన ఓటు హక్కును వినియోగించుకున్నవారెందరు?
[సూచన : ఓటు హక్కు వినియోగించుకున్న వారి సంఖ్య ‘x’ మరియు మొత్తం ఓటర్ల సంఖ్య ‘y’ అనుకొనిన x = 60% y]
సాధన.
మొత్తం ఓటర్ల సంఖ్య = y అనుకొనుము.
ఓటు హక్కును వినియోగించుకున్న ఓటర్ల సంఖ్య = x అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారం, x = yలో 60%

x	1200	480
y	2000	800

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 11
i) గ్రాఫ్ నుంచి x = 1200 అయిన మొత్తం ఓటర్ల సంఖ్య y = 2000.
ii) గ్రాఫ్ నుంచి y = 800 అయిన మొత్తం ఓటర్ల సంఖ్య x = 480.

ప్రశ్న 12.
రూప పుట్టినప్పుడు ఆమె తండ్రి వయస్సు 25 సం॥లు. ఈ దత్తాంశమునకు సరిపోవు సమీకరణమును రాసి దాని రేఖాచిత్రము గీసి దాని నుంచి ఈ కింది వానిని కనుగొనుము.
i) రూపకు 25 సం॥ల వయస్సు ఉన్నప్పుడు ఆమె తండ్రి వయస్సు.
ii) రూప తండ్రికి 40 సం॥ల వయస్సు ఉన్నప్పుడు రూప వయస్సు.
సాధన.
రూప తండ్రి వయస్సు = x సం॥ అనుకొనుము.
రూప వయస్సు = 9 సం॥లు
లెక్క ప్రకారం , x – y = 25 సం॥లు

x	40	50
y	15	25

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 12
గ్రాఫ్ నుండి,
i) రూపకు 25 సం॥లు ఉన్నప్పుడు ఆమె తండ్రి వయస్సు 50 సం॥లు.
ii) రూప తండ్రికి 40 సం॥లు ఉన్నప్పుడు ఆమె వయస్సు 15 సం॥లు.

ప్రశ్న 13.
ఒక ఆటో మొదటి గంట ప్రయాణానికి ₹ 15, తరువాత ప్రతీ గంట ప్రయాణానికి ₹ 8లు వసూలు చేయును. x కి.మీ. దూరానికి చెల్లించిన మొత్తం సొమ్ము ‘y’ అనుకొని ఈ సమాచారమునకు సరిపడు సమీకరణమును రాసి దానికి రేఖాచిత్రము గీయుము. రేఖాచిత్రము నుంచి చెల్లించిన మొత్తము ₹ 55 అయితే ప్రయోగించిన దూరమును మరియు 7 గంటలు ప్రయాణిస్తే చెల్లించవలసిన మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి గంట ప్రయాణానికి అగు ఛార్జీ = ₹ 15
మొదటి గంట తర్వాత ప్రతీ గంటకు అగు ఛార్జీ = ₹ 8
x కి.మీ. దూరముకు చెల్లించిన సొమ్ము = ₹ y
లెక్క ప్రకారం y = 15 + 8x
∴ 8x – y + 15 = 0

x	2	1
y	31	23

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 13
i) y = 55 అయితే x = 5 అగును.
ii) x = 7 అయిన y = 71 అగును.

ప్రశ్న 14.
పుస్తకాలను అద్దెకిచ్చే ఒక లైబ్రరీ మొదటి మూడు రోజులకు ఒక స్థిర మొత్తాన్ని ఆ తరువాత ప్రతి రోజుకు కొంత అదనపు మొత్తాన్ని వసూలు చేస్తుంది. జాన్ ఒక పుస్తకాన్ని 7 రోజులు ఉంచుకొని ₹ 27 లు చెల్లించాడు. మొదటి మూడు రోజుల స్థిర మొత్తాన్ని ₹ x మరియు ఆ తరువాత ప్రతీ రోజుకూ అదనంగా చెల్లించే మొత్తాన్ని ₹ y అనుకొని చెల్లించే స్థిరమొత్తము ₹ 7అయిన ప్రతీరోజూ అదనంగా చెల్లించే మొత్తాన్ని మరియు ప్రతీరోజూ అదనంగా చెల్లించే మొత్తము ₹ 4 అయిన మొదటి మూడు రోజులకు చెల్లించవలసిన స్థిరమొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
జాన్ ఒక పుస్తకాన్ని 7 రోజులు ఉంచుకొని చెల్లించిన మొత్తం సొమ్ము ₹ 27
మొదటి మూడు రోజులకు అగు మొత్తము = ₹ x (స్థిరము)
చివరి నాలుగు రోజులకు అగు మొత్తము = ₹ 4y (అదనంగా ప్రతీరోజూ అగు ఖర్చు ₹ y)
లెక్క ప్రకారం x + 4y = 27

x	3	11	7
y	6	4	5

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 14
x = 7 అయినపుడు y = 5.
y = 4 అయినపుడు x = 11.

ప్రశ్న 15.
హైదరాబాద్ రైల్వేస్టేషన్లో ఒక కారును నిలిపి ఉంచినందుకు మొదటి రెండు గంటలకు ₹ 50 ఆ తరువాత ప్రతి గంటకు ₹ 10 లు చెల్లించవలెను. ఈ సమాచారమునకు సరిపడు సమీకరణమును రాసి, రేఖాచిత్రమును గీయుము. దాని నుంచి కింది వానిని కనుగొనుము.
i) 3 గం॥లు కారును ఉంచిన చెల్లించిన మొత్తము
ii) 6 గం॥లు కారును ఉంచిన చెల్లించిన మొత్తము
iii) రేఖ చెల్లించిన మొత్తము ₹ 80 అయిన ఆమె ఎన్ని గంటలు కారును నిలిపి ఉంచింది ?
సాధన.
చెల్లించిన మొత్తము సొమ్ము = ₹ y
మొదటి రెండు గంటలకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము = ₹ 50.
ఒక గంటకు ₹ 10 ల చొప్పున x గంటలకు చెల్లించవలసిన మొత్తం సొమ్ము y = 50 + (x – 2) 10
⇒ y = 50 + 10 x – 20 ⇒ y = 10x + 30
∴ లెక్క ప్రకారం y = 10x + 30

x	3	5	6
y	60	80	90

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 15
i) మూడు గంటలకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము = 50 + 10 × 1 = ₹ 60
ii) ఆరు గంటలకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము = 50 + 10 × 4 = 50 + 40 = ₹ 90
iii) రేఖ తన కారును 5 గంటలు ఉంచినది.

ప్రశ్న 16.
సమీరా కారును 60 కి.మీ./గంట స్థిర వేగముతో నడుపుతుంది. దూరము – కాలము రేఖాచిత్రము గీసి, దాని నుంచి ఈ కింది సమయాలలో సమీరా ప్రయాణించిన దూరమును కనుగొనుము.
i) 1[latex]\frac {1}{2}[/latex] గంట
ii) 2 గంటలు
iii) 3[latex]\frac {1}{2}[/latex] గంటలు
సాధన.
కారు వేగము = 60 కి.మీ./గం.
ప్రయాణానికి తీసుకున్న సమయము = x గంటలు
ప్రయాణించిన దూరము = y గంటలు
లెక్క ప్రకారం, 60x = y ⇒ 60x – y = 0

x	2	4	5
y	120	240	300

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 16
i) 1[latex]\frac {1}{2}[/latex] గంటలలో కారు ప్రయాణించిన దూరము = 90 కి.మీ.
ii) 2 గంటలలో కారు ప్రయాణించిన దూరము = 120 కి.మీ.
iii) 3[latex]\frac {1}{2}[/latex] గంటలలో కారు ప్రయాణించిన దూరము = 210 కి.మీ.

ప్రశ్న 17.
నీటిలో హైడ్రోజన్ మరియు ఆక్సిజన్ అణుభారాల నిష్పత్తి 1 : 8. అయిన ఈ సమాచారాన్ని తెలియజేయు సమీకరణమును రూపొందించి దానికి రేఖాచిత్రం గీసి, దీని నుండి ఆక్సిజన్ పరిమాణము 12గ్రా॥ అయిన హైడ్రోజన్ పరిమాణమును, హైడ్రోజన్ పరిమాణము, [latex]\frac {3}{2}[/latex]గ్రా॥ అయినప్పుడు ఆక్సిజన్ పరిమాణమును కనుగొనుము.
(సూచన : హైడ్రోజన్ మరియు ఆక్సిజన్ పరిమాణాలను వరుసగా ‘x’, ‘y’ అనుకొనిన x : y = 1 : 8 ⇒ 8x = y)
సాధన.
నీటిలో హైడ్రోజన్ పరిమాణము = x గ్రా. అనుకొనుము.
ఆక్సిజన్ పరిమాణము = y గ్రా. అనుకొనుము.
నీటిలో హైడ్రోజన్, ఆక్సిజన్ నిష్పత్తి = 1 : 8
లెక్క ప్రకారం, 8x = y ⇒ 8x – y = 0

x	1	2	4	5
y	8	16	32	40

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 17
గ్రాఫ్ నుండి, నీటిలో ఆక్సిజన్ పరిమాణము 12 గ్రా. అయిన హైడ్రోజన్ పరిమాణము = [latex]\frac {3}{2}[/latex] గ్రా.
నీటిలో హైడ్రోజన్ పరిమాణము [latex]\frac {3}{2}[/latex] గ్రా. అయిన ఆక్సిజన్ పరిమాణము = 12 గ్రా.లు

ప్రశ్న 18.
28 లీటర్ల పాలు, నీళ్ల మిశ్రమములో వాని నిష్పత్తి 5 : 2 అయిన మిశ్రమమునకు, పాలకు మధ్యగల సంబంధంను తెలియజేయు సమీకరణమును రూపొందించి దానికి రేఖాచిత్రము గీయుము. దాని నుంచి పై మిశ్రమములో పాల పరిమాణమును కనుగొనుము.
(సూచన : మిశ్రమమునకు, పాలకు మధ్యగల నిష్పత్తి = 5 + 2 : 5 = 7 : 5)
సాధన.
మిశ్రమములో గల పాల పరిమాణం = x లి॥ అనుకొనుము.
మిశ్రమము యొక్క పరిమాణము = y లీ॥ అనుకొనుము.
మిశ్రమములో పాలు మరియు నీళ్ల నిష్పత్తి = 5 : 2
నిష్పత్తిలోని పదాల మొత్తము = 5 + 2 = 7
∴ పాల పరిమాణము ‘x’ = [latex]\frac {5}{7}[/latex]y లీ.
⇒ 7x = 5y ⇒ 7x – 5y = 0

x	10	20	25
y	14	28	35

AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 18
గ్రాఫ్ నుండి, మిశ్రమములోని పాల పరిమాణము = 20 లీటర్లు.

ప్రశ్న 19.
అమెరికా, కెనడా దేశాలలో ఉష్ణోగ్రతను ఫారన్ హీట్ మానంలో కొలుస్తారు. అయితే ఇండియా లాంటి దేశాలలో సెల్సియస్ మానంలో కొలుస్తారు. ఫారన్ హీట మానానికి, సెల్సియస్మనానికి మధ్య గల సంబంధం కింది సమీకరణం తెలియజేస్తుంది.
F= ([latex]\frac {9}{5}[/latex])C + 32
i) సెల్సియస్ డిగ్రీలను X – అక్షం మీద, ఫారన్ హీట్ డిగ్రీలను Y – అక్షం మీద తీసుకొని పై సమీకరణానికి రేఖాచిత్రము గీయుము.
ii) 30°C కి సమానమైన ఫారన్ హీట్ మానంలోని ఉష్ణోగ్రతలను కనుగొనుము.
iii) 95°F కు సమానమైన సెల్సియసమానంలోని ఉష్ణోగ్రతను కనుగొనుము.
iv) సెల్సియసమానములోనూ, ఫారన్ హీట్ మానంలోనూ ఒకే సంఖ్యా విలువలు కలిగి ఉండే ఉష్ణోగ్రత ఏమైనా ఉందా ? దాని విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
i) ఫారన్ హీట్ మానానికి, సెల్సియస్మనానికి మధ్యగల సంబంధము F = [latex]\frac {9}{5}[/latex]C + 32

C	20	30	35	– 40
F	68	86	95	– 40

C = 20 అయిన F = [latex]\frac {9}{5}[/latex] × 20 + 32 = 68
C = 30 అయిన F = [latex]\frac {9}{5}[/latex] × 30 + 32 = 86
C = 35 అయిన F = [latex]\frac {9}{5}[/latex] × 35 + 32 = 95
AP Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు Ex 6.3 19
గ్రాఫు నుండి,
ii) 30° C = 86° F
iii) 95° F = 35° C
iv) C = – 40 అయిన F = – 40