SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.
AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 7th Lesson త్రిభుజాలు Exercise 7.3
ప్రశ్న 1.
ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము ABCలో AB = AC, AD అనేది A నుండి BCకి గీసిన లంబము అయిన
(i) BC భుజాన్ని AD సమద్విఖండన చేయునని
(ii) ∠A ని AD కోణ సమద్విఖండన చేయునని చూపండి.
సాధన.
ΔABC లో AB = AC మరియు AD ⊥ BC
i) ΔABD మరియు ΔACD లలో
AB = AC (దత్తాంశం)
∠ADB = ∠ADC (AD ⊥ BC)
AD = AD (ఉమ్మడి భుజము)
∴ ΔABD ≅ ΔACD
(∵ లం.క.భు. నియమము నుండి)
⇒ BD = CD (CPCT)
⇒ AD, BC ను సమద్విఖండన చేయును.
ii) ∠BAD = ∠CAD
(ΔAB, ΔACD ల యొక్క CPCT)
∴ AD అనునది ∠A యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ అగును.
ప్రశ్న 2.
ΔABC లో రెండు భుజములు AB, BC మరియు మధ్యగతం AM వరుసగా ΔPQR లో రెండు భుజములు PQ, QRలు మరియు మధ్యగతం PNకు సమానము (పటము చూడండి). అయిన
i) ΔABM ≅ ΔPON
ii) ΔABC ≅ ΔPQR అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశము నుండి AB = PQ
AM = PN
i) ΔABM మరియు ΔPQN లలో
AB = PQ (దత్తాంశము)
AM = PN (దత్తాంశము)
BM = QN
(∵ BC = QR ⇒ \(\frac {1}{2}\)BC = \(\frac {1}{2}\)QR ⇒ BM = QN)
∴ ΔΑΒΜ ≅ ΔΡQΝ
(∵ భు.భు. భు. నియమం ప్రకారం)
ii) ΔABC మరియు ΔPQR లలో
AB = PQ (దత్తాంశం)
BC = QR (దత్తాంశం)
∠ABC = ∠PQN [∵ ΔABM మరియు ΔPQN ల యొక్క CPCT (i) నుండి]
∴ ΔABC ≅ ΔPQR
(∵ భు.కో.భు. నియమం ప్రకారం)
ప్రశ్న 3.
ΔABC లో BE, CF లు రెండు సమాన లంబములు. లం.క.భు. సర్వసమానత్వ నియమాన్ని ఉపయోగించి AABC సమద్విబాహు త్రిభుజమని చూపండి.
సాధన.
ΔABC లో BE, CF లు సమాన లంబాలు.
ΔBCE మరియు ΔCBF లలో
∠BEC = ∠CFB = 90° (∵ పటం నుండి)
BC = BC (ఉమ్మడి భుజం మరియు కర్ణము)
CF = BE (దత్తాంశము)
∴ ΔBEC ≅ ΔCBE
⇒ ∠EBC = ∠FCB (∵ CPCT)
కాని ఈ కోణాలు ΔABC యొక్క భుజాలైన AC మరియు AB ల అంతర కోణాలు.
⇒ AC = AB
ప్రశ్న 4.
ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము ABC లో AB = AC అయిన ∠B = ∠C అని నిరూపించండి.
(గమనిక : AP ⊥ BC అయ్యేటట్లు APని గీయండి, లం.క.భు. నియమాన్ని ఉపయోగించండి.)
సాధన.
దత్తాంశం : ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము మరియు AB = AC.
సారాంశం : ∠B = ∠C
D, BC మధ్య బిందువనుకొనుము.
నిర్మాణం : A, D లను కలుపుము.
ఉపపత్తి : ΔABD మరియు ΔACD లలో
AB = AC (దత్తాంశం)
BD = DC (నిర్మాణము)
AD = AD (ఉమ్మడి భుజము)
∴ ΔABD ≅ ΔACD
(∵ భు.భు.భు. నియమం ప్రకారం)
⇒ ∠B = ∠C [∵ CPCT]
ప్రశ్న 5.
ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము ABCలో AB = AC. AD = AB అగునట్లు భుజము BA ని D బిందువు వద్దకు పొడిగించినారు (పటము చూడండి). ∠BCD ఒక లంబకోణమని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశం : ΔDBC లో; AB = AC; AD = AB
ΔABC లో
∠ABC + ∠ACB = ∠DAC ………. (1)
[∵ బాహ్య కోణము]
ΔACD లో
∠ADC + ∠ACD = ∠BAC …………..(2)
(1) & (2) లను కలుపగా,
∠DAC + ∠BAC = 2∠ACB + 2∠ACD
[∵ ∠ABC = ZACB
∠ADC = ∠ACD]
180° = 2 [∠ACB + ∠ACD]
180° = 2[∠BCD]
∴ ∠BCD = \(\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90°
(లేక)
పటం నుండి,
∠2 = x + x = 2x
∠1 = y + y = 2y
∠1 + ∠2 = 2x + 2y
180° = 2(x + y)
∴ x + y = \(\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90°
ప్రశ్న 6.
ΔABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము. దీనిలో ∠A = 90° మరియు AB = AC అయిన ∠B = ∠C అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశం : ΔABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము.
∠A = 90° మరియు AB = AC
సారాంశం: ∠B = ∠C
నిర్మాణం : BC మధ్య బిందువు D ను, A ను కలుపుము.
ఉపపత్తి : ΔADC మరియు ΔADB లలో
AD = AD (ఉమ్మడి భుజం)
AC = AB (దత్తాంశం)
DC = DB (నిర్మాణము)
⇒ ΔADC ≅ ΔADB
⇒ ∠C = ∠B (CPCT)
ప్రశ్న 7.
ఒక సమబాహు త్రిభుజములో ప్రతీ కోణము 60° అని చూపండి.
సాధన.
దత్తాంశం : ΔABC ఒక సమబాహు త్రిభుజము.
మరియు AB = BC = CA
∠A = ∠B (∵ సమాన భుజాలకు ఎదురుగానున్న కోణాలు సమానము)
∠B = ∠C (∵ సమాన భుజాలకు ఎదురుగానున్న కోణాలు సమానము)
⇒ ∠A = ∠B = ∠C = x అనుకొనుము.
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ x + x + x = 180°
3x = 180°
⇒ y = \(\frac{180^{\circ}}{3}\) = 60°
∴ సమబాహు త్రిభుజంలో ప్రతీ కోణము 60°.