SCERT AP 9th Class Maths Solutions Chapter 7 త్రిభుజాలు Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.
AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 7th Lesson త్రిభుజాలు Exercise 7.1
ప్రశ్న 1.
చతుర్భుజం ACBD లో, AC = AD మరియు ∠Aకు AB కోణ సమద్విఖండనరేఖ అయిన ΔABC ≅ ΔABD అని చూపండి. BC మరియు BD ల గురించి మీరు ఏమి చెప్పగలరు ?
సాధన.
దత్తాంశము AC = AD
∠BAC = ∠BAD
(∵ ∠A ను AB సమద్విఖండన చేయును)
ΔABC మరియు ΔABD లలో
AC = AD (∵ దత్తాంశము)
∠BAC = ∠BAD (∵ దత్తాంశము)
AB = AB (ఉమ్మడి భుజము)
భు-కో-భు నియమం ప్రకారము
ΔABC = ΔABD
రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానం కావున వాటి అనురూప భుజాలు సమానం.
∴ BC = BD
ప్రశ్న 2.
ABCD చతుర్భుజంలో AD = BC మరియు ∠DAB = ∠CBA అయిన
i) ΔABD ≅ ΔBAC
ii) BD = AC
iii) ∠ABD = ∠BAC అని నిరూపించుము.
సాధన.
i) దత్తాంశం AD = BC మరియు
∠DAB = ∠CBA
ΔABD మరియు ΔBAC లలో
AB = AB (∵ ఉమ్మడి భుజము)
AD = BC (∵ దత్తాంశం)
∠DAB = ∠CBA (∵ దత్తాంశం)
భు-కో-భు నియమం ప్రకారం
ΔABD ≅ ΔBAC
ii) AC = BD (∵ CPCT)
iii) ∠ABD = ∠BAC [∵ CPCT , (i) నుండి]
ప్రశ్న 3.
AD, BCలు సమానము మరియు రేఖాఖండము AB కి లంబములు. అయిన CD రేఖాఖండము AB ని సమద్విఖండన చేయునని చూపుము.
సాధన.
దతాంశం AD = BC; AD ⊥ AB; BC ⊥ AB
ΔBOC మరియు ΔAOD లలో
∠BOC = ∠AOD (∵ శీర్షాభిముఖ కోణములు సమానము)
∠OBC = ∠OAD (∵ లంబకోణము)
BC = AD
కో.కో.భు. నియమం నుండి,
∴ ΔOBC ≅ ΔOAD
∴ OB = OA (∵ CPCT)
∴ AB ని ‘O’ బిందువు సమద్విఖండన చేయును.
OD = OC
∴ CD ని ‘O’ బిందువు సమద్విఖండన చేయును.
⇒ CD రేఖాఖండము AB ని సమద్విఖండన చేయును.
ప్రశ్న 4.
l, m అనే ఒక జత సమాంతర రేఖలు p మరియు q అనే వేరొక జత సమాంతర రేఖలచే ఖండించబడినవి. అయిన ΔABC ≅ ΔCDA అని నిరూపించుము.
సాధన.
దత్తాంశం l // m; p // q
ΔABC మరియు ΔCDA లలో
∠BAC = ∠DCA (∵ ఏకాంతర కోణములు సమానము)
∠ACB = ∠CAD
AC = AC
కో-భు-కో నియమము నుండి
∴ ΔABC ≅ ΔCDA
ప్రశ్న 5.
క్రింది పటంలో AC = AE; AB = AD మరియు ∠BAD = ∠EAC అయిన BC = DE అని నిరూపించుము.
సాధన.
దత్తాంశం AC = AE, AB = AD మరియు
∠BAD = ∠EAC
ΔABC మరియు ΔADE లలో
AB = AD
AC = AE
∠BAD = ∠EAC
భు-కో-భు నియమం నుండి,
∴ ΔABC ≅ ΔADE
⇒ BC = DE (CPCT)
ప్రశ్న 6.
లంబకోణ త్రిభుజము ABC లో లంబకోణము C వద్ద ఉన్నది. కర్ణము AB యొక్క మధ్య బిందువు M. C బిందువును M కు కలిపి DM = CM అగునట్లు D బిందువు వద్దకు పొడిగించినారు. పటంలో చూపినట్లు D బిందువును B బిందువుకు కలిపినారు. అయిన క్రింది వాటిని నిరూపించండి.
i) ΔAMC ≅ ΔBMD
ii) ∠DBC ఒక లంబకోణము
iii) ΔDBC ≅ ΔACB
iv) CM = \(\frac {1}{2}\)AB
సాధన.
దత్తాంశము ∠C = 90°
AB యొక్క మధ్య బిందువు M ;
DM = CM (i.e, DC మధ్య బిందువు M)
i) ΔAMC మరియు ΔBMD లలో
AM = BM (∵ AB మధ్య బిందువు M)
CM = DM (∵ CD మధ్య బిందువు M)
∠AMC = ∠BMD (∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
భు-కో-భు నియమం నుండి,
∴ ΔAMC ≅ ΔBMD
ii) ∠MDB = ∠MCA
(ΔAMC మరియు ΔBMD ల CPCT)
కాని ఈ కోణములు ఏకాంతర కోణాలు. అవి DB మరియు AC రేఖలను DC తిర్యగ్రేఖ ఖండించడం వలన ఏర్పడినవి.
∴ DB || AC
మరియు AC ⊥ BC; DB ⊥ BC
∴ ∠DBC ఒక లంబకోణం.
iii) ΔDBC మరియు ΔACB లలో
DB = AC (ΔBMD మరియు ΔAMC ల CPCT)
∠DBC = ∠ACB = 90° (నిరూపించబడినది)
BC = BC (ఉమ్మడి భుజము)
భు-కో-భు నియమము ప్రకారము,
ΔDBC ≅ ΔACB
iv) DC = AB (ΔDBC మరియు ΔACB ల యొక్క CPCT)
\(\frac {1}{2}\)DC = \(\frac {1}{2}\)AB (ఇరువైపులా 2 చే భాగించగా)
CM = \(\frac {1}{2}\)AB
ప్రశ్న 7.
క్రింది పటంలో ABCD ఒక చతురస్రము మరియు ΔAPB ఒక సమబాహు త్రిభుజము అయిన ΔAPD ≅ ΔBPC అని నిరూపించుము.
(సూచన : ΔAPD మరియు ΔBPCలలో \(\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{BP}}\) మరియు ∠PAD = ∠PBC = 90° – 60° = 30°)
సాధన.
దత్తాంశము □ABCD ఒక చతురస్రము.
ΔAPB ఒక సమబాహు త్రిభుజము.
ΔAPD మరియు ΔBPC లలో
AP = BP (∵ సమబాహు త్రిభుజ భుజాలు)
AD = BC (∵ చతురస్ర భుజములు)
∠PAD = ∠PBC [∵ 90° – 60°]
∴ ΔAPD ≅ ΔBPC (భు.కో.భు. నియమం ద్వారా)
ప్రశ్న 8.
క్రింది పటంలో AB = AC కావున ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము BA మరియు \(\overline{\mathrm{CA}}\) లను \(\overline{\mathrm{AQ}}\) = \(\overline{\mathrm{AP}}\) అగునట్లు వరుసగా Q, P బిందువుల వద్దకు పొడిగించిన \(\overline{\mathrm{PB}}\) = \(\overline{\mathrm{QC}}\) అని నిరూపించుము.
(సూచన : ΔAPBమరియు ΔACQలను పోల్చుము)
సాధన.
దత్తాంశం నుండి ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము.
AP = AQ
ΔAPB మరియు ΔAQC లలో
AP = AQ (దత్తాంశము)
AB = AC (దత్తాంశము)
∠PAB = ∠QAC (∵ శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ΔAPB = ΔAQC (∵ భు-కో-భు నియమము)
∴ \(\overline{\mathrm{PB}}\) = \(\overline{\mathrm{QC}}\) (ΔAPB మరియు ΔAQC ల యొక్క CPCT)
ప్రశ్న 9.
క్రింది పటంలో ΔABC లో BC మధ్య బిందువు D. DE ⊥ AB, DF ⊥ ACమరియు DE = DF అయిన ΔBED ≅ ΔCFD అని నిరూపించుము.
సాధన.
దత్తాంశము నుండి ΔABC లో BC యొక్క మధ్య బిందువు D.
DF ⊥ AC; DE = DF
DE ⊥ AB
ΔBED మరియు ΔCFD లలో
∠BED = ∠CFD = 90° (దత్తాంశం నుండి)
BD = CD (∵ BC మధ్య బిందువు D)
ED = FD (దత్తాంశము)
∴ ΔBED ≅ ΔCFD (లం-క-భు నియమం ప్రకారం)
ప్రశ్న 10.
ఒక త్రిభుజములో ఒక కోణం యొక్క కోణ సమద్వి ఖండనరేఖ ఎదుటి భుజాన్ని కూడా సమద్విఖండన చేసిన ఆ త్రిభుజము సమద్విబాహు త్రిభుజమని చూపుము.
సాధన.
దత్తాంశం : ΔABC ఒక త్రిభుజము. A యొక్క కోణసమద్విఖండన రేఖ BC ను ఖండించును.
సారాంశం : ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము
ఉపపత్తి : ఒక త్రిభుజంలో శీర్షకోణ సమద్విఖండన రేఖ ఎదుటి భుజాన్ని సమాన నిష్పత్తిలో ఖండించును.
∴ \(\frac{A B}{A C}=\frac{B D}{D C}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\) = 1 (:: దత్తాంశము)
⇒ AB = AC
∴ ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజము.
ప్రశ్న 11.
ఇచ్చిన పటంలో ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము. లంబకోణము శీర్షము B వద్ద కలదు మరియు ∠BCA = 2∠BAC అయిన కర్ణము AC = 2BC అని చూపుము.
(సూచన : BC = BD అగునట్లు CBని D బిందువు వద్దకు పొడిగించుము).
సాధన.
దత్తాంశము : ΔABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము.
∠B = 90° మరియు ∠BCA = 2∠BAC
సారాంశము : AC = 2BC
నిర్మాణం : CB ను D బిందువు వరకు పొడిగించుము.
BC = BD అగును. A, D లను కలుపుము.
ఉపపత్తి : ΔABC మరియు ΔABD లలో
AB = AB (ఉమ్మడి భుజం)
BC = BD (నిర్మాణము)
∠ABC = ∠ABD (∵ లంబకోణము)
∴ ΔABC ≅ ΔABD
⇒ AC = AD మరియు ∠BAC = ∠BAD = 30°
[∵ CPCT]
ΔACD లో, ∠ACD = ∠ADC = ∠CAD = 60°
∴ ΔACD ఒక సమబాహు త్రిభుజము
⇒ AC = CD = AD
⇒ AC = 2BC (∵ BC మధ్య బిందువు C).