Category: Class 8

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 కారణాంక విభజన Ex 12.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 12th Lesson కారణాంక విభజన Exercise 12.3

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది భాగహారములను చేయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది బహుపదులను ఇచ్చిన ఏకపదిచే భాగింపుము.
సాధన.

ప్రశ్న 3.
ఈ క్రింది భాగహారములను చేయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 4.
సూచించిన విధముగా భాగహారమును చేయండి.
సాధన.
(i) (x² +7x + 12) ÷ (x + 3)
x² + 7x + 12 = x² + 3x + 4x + 12
= x(x + 3) + 4(x + 3)
= (x + 3) (x + 4)

(ii) (x² – 8x + 12) ÷ (x – 6)
⇒ x² – 8x + 12 = x² – 6x – 2x + 12
= x(x – 6) – 2(x – 6)
= (x – 6) (x – 2)
∴ (x² – 8x + 12) ÷ (x – 6)

(iii) (p² + 5p + 4) ÷ (p + 1)
p² + 5p + 4 = p² + p + 4p + 1
= p(p + 1) + 4(p + 1)
= (p + 1) (p + 4)
∴ (p² + 5p + 4) ÷ (p + 1)

(iv) 15ab(a² – 7a + 10) ÷ 3b(a – 2)
15ab(a² – 7a + 10)
= 15ab(a² – 5a – 2a + 10)
= 15ab [(a² – 2a) – (5a – 10)]
= 15ab [a(a – 2) – 5(a – 2)]
= 15ab (a – 2) (a – 5)
∴ 15ab (a² – 7a + 10) ÷ 3b (a – 2)

(v) 15lm (2p² – 2q²) + 3l (p + q)
15lm (2p² – 2q²) = 15lm × 2(p² – q²)
= 30lm (p + q) (p – q)
∴ 15lm(2p² – 2q²) ÷ 3l (p + q)

(vi) 26z³ (32z² – 18) ÷ 13z² (4z – 3)
= 26z³ (2 × 16z² – 2 × 9)
= 26z³ × 2 [16z² – 9]
= 52z³ [(4z)² – (3)²]
= 52z³ [4z + 3] (4z – 3)
∴ 26z³ (32z³ – 18) ÷ 13z² (4z – 3)

= 4z(4z + 3)

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 5 అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 5th Lesson అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట Exercise 5.3

ప్రశ్న1.
సుధాకర్ తన ఇంటి మరమ్మత్తుల కొరకు బ్యాంకు నుండి ₹ 15,000 అప్పు తీసుకున్నాడు. అతడు సంవత్సరము నకు 9% వడ్డీరేటు చొప్పున 8 సంవత్సరముల కాలానికి అప్పుతీసుకొనిన, అతడు ప్రతీనెల ఎంత మొత్తము చెల్లించాలి ?
సాధన.
P = 15,000
R = 9%
T = 8 సం॥ = \(\frac {8}{12}\) నెలలు

అతడు నెలనెలా చెల్లించాల్సిన వడ్డీ = ₹ 900

ప్రశ్న2.
ఒక టెలివిజన్ ని ₹ 21,000 లకు కొన్నారు. ఒక సంవత్సరము తరువాత దాని విలువ 5% తగ్గినది (వస్తువుల వాడకము, కాలమును బట్టి వాటి విలువ తగ్గును). ఒక సంవత్సరము తరువాత ఆ టెలివిజన్ విలువ ఎంత?
సాధన.
టెలివిజన్ కొన్న విలువ = ₹ 21,000
ఒక సం॥ తరువాత దాని విలువ = 21000 – 21000 లో 5%

= 21000 – 1050
= ₹ 19,950

ప్రశ్న3.
₹ 8000 లపై 5% వడ్డీ రేటు చొప్పున ప్రతీ సంవత్సరమున కొకసారి వడ్డీ తిరగ కట్టబడిన రెండు సంవత్సరములకు అయ్యే చక్రవడ్డీని, మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
P = ₹ 8000; R = 5%
ప్రతి సం॥నకు ఒకసారి చొప్పున వడ్డీ తిరగకట్టిన రెండు సంవత్సరాలకు 2 కాల వ్యవధులు వస్తాయి.
∴ n = 2

∴ మొత్తం (A) = ₹ 8820
చక్రవడ్డీ (C.I.) = మొత్తం – అసలు
= 8820 – 8000 = ₹820

ప్రశ్న4.
₹ 6500 లపై మొదటి సంవత్సరము 5% చొప్పున రెండవ సంవత్సరము 6% వడ్డీ రేటు చొప్పున ప్రతీ సంవత్సరము వడ్డీ తిరిగకట్టబడిన 2 సంవత్సరములకు అయ్యే చక్రవడ్డీని, మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
P = ₹ 6500, R = 5%, T = 1 సం॥
∴ I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{6500 \times 5 \times 1}{100}\)
= 325
∴ A = P + I = 6500 + 325 = 6825
∴ P = 6825 (రెండవ సంవత్సరం మొదట్లో మొత్తం అసలు అగును)
R = 6%, T = 1 సం॥
∴ I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{6825 \times 6 \times 1}{100}\)
∴ A = P + I = 6825 + 409.5
∴ మొత్తము = ₹ 7234.50
చక్రవడ్డీ = ₹ 409.5

ప్రశ్న5.
ప్రతిభ ఒక ఋణ సంస్థ (ఫైనాన్స్ కంపెనీ) నుండి మొదటి కారును కొనడానికి ₹ 47000 లను 17% వడ్డీ రేటుతో 5 సంవత్సరములకు సాధారణ వడ్డీకి అప్పు తీసుకున్నది. అయిన (a) ఆమె ఋణ సంస్థకు ఎంత మొత్తము చెల్లించాలి. (b) ఆ మొత్తాన్ని సమాన వాయిదాలలో చెల్లించాలంటే ఆమె ప్రతీ నెల ఎంత మొత్తము చెల్లించాలి.
సాధన.
P = ₹47000, R = 17%, T = 5 సం॥

∴ చెల్లించాల్సిన మొత్తం (A) = P + I
= 47000 + 39,950 = 86950
a) ఋణసంస్థకు ఆమె చెల్లించాల్సిన మొత్తం = ₹ 86950
b) ఆ మొత్తాన్ని సమాన వాయిదాల్లో చెల్లించాలంటే ఆమె ప్రతినెల చెల్లించాల్సిన మొత్తం

ప్రశ్న6.
2011వ సంవత్సరములో హైదరాబాదు జనాభా 68,09,000 అది ప్రతీ సంవత్సరము 4.7% చొప్పున పెరుగుచున్న 2015వ సంవత్సరము. చివరి నాటికి హైదరాబాదు జనాభా ఎంత అవుతుంది ?
సాధన.
2011 లో హైదరాబాద్ జనాభా = 68,09,000
ప్రతి సం॥ అది 4.7% చొప్పున పెరుగుచున్న 2015 నాటికి హైదరాబాద్ జనాభా
= 6809000 \(\left(1+\frac{4.7}{100}\right)^{4}\)
[∵ P = 6809000, R = 4.7%, n = 4(2015 – 2011)
= 6809000 × \(\frac{104.7}{100} \times \frac{104.7}{100} \times \frac{104.7}{100} \times \frac{104.7}{100}\)
= ₹ 81,82,199

ప్రశ్న7.
₹ 10,000 లను 8\(\frac {1}{2}\)% చొప్పున సంవత్సరమున కొకసారి వడ్డీ తిరిగి లెక్కకట్టు పద్ధతిలో పొదుపుచేసిన 1 సంవత్సరము 3 నెలల కాలంలో వచ్చే చక్రవడ్డీని కనుగొనండి.
సాధన.
P = ₹ 10,000 ; R = 8\(\frac {1}{2}\)% = \(\frac {17}{2}\)%
T = 1 సం॥

= 50 × 17 = 850
∴ I = ₹ 850
∴ A = P + I = 10,000 + 850
A = 10,850
∴ P = 10,850 ; R = 8\(\frac {1}{2}\)% = \(\frac {17}{2}\)%
T(n) = 3 నెలలు = \(\frac {3}{12}\) సం॥ = \(\frac {1}{4}\) సం॥
∴ I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{10850 \times \frac{17}{2} \times \frac{1}{4}}{100}\)
= \(\frac{10850 \times 17}{800}\)
I = ₹ 230.5625
∴ అసలు (A) = P + I
= 10850 + 230.5625
= ₹ 11080. 5625

ప్రశ్న8.
ఆరిఫ్ ఒక బ్యాంక్ నుండి ₹ 80,000 లను వడ్డీరేటు 10% చొప్పున అప్పు తీసుకొనెను. (i) సంవత్సరము మరియు (ii) 6 నెలలు తిరిగి వడ్డీ కట్టు కాల వ్యవధులుగా తీసుకొని 1\(\frac {1}{2}\) సంవత్సరములకు వడ్డీ కట్టిన ఆ రెండు మొత్తముల భేదమును కనుగొనుము.
సాధన.
P = ₹ 80,000; R = 10%; T = 1 సం॥
∴ I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{80000 \times 10 \times 1}{100}\) = 8000
∴ A = P + I = 80000 + 8000 = ₹ 88,000
మరలా 6 నె॥లకు అగు వడ్డీ :
P = 80000
R= 10%
T = 6 నె॥లు
= \(\frac {1}{2}\) సం॥
I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{80000 \times \frac{1}{2} \times 10}{100}\)
= 4000

i) ఒక సంవత్సరం 6 నెలల తరువాత కట్టవలసిన మొత్తం = వడ్డీ + అసలు
= 88000 + 4000
A1 = ₹ 92000

ii) 6 నెలలకొకసారి, చక్రవడ్డీ కట్టవలెనన్న 1\(\frac {1}{2}\) సం॥ చొప్పున 3 కాలవ్యవధులు వస్తాయి.
∴ n = 3 అగును.
R = \(\frac {10}{2}\) = 5%
P = ₹ 80,000

∴ రెండు మొత్తాల మధ్య భేదం = A₂ – A₁ = 92610 – 92000
= ₹ 610

ప్రశ్న9.
నేను ప్రసాద్ వద్ద నుండి ₹ 12000 లను 6% వడ్డీ రేటు చొప్పున సాధారణ వడ్డీకి 2 సంవత్సరముల కాలానికి అప్పు తీసుకున్నాను. నేను అదే మొత్తమును 6% వడ్డీ రేటు చొప్పున సంవత్సరమునకొకసారి తిరిగి వడ్డీ కట్టు పద్ధతిన అప్పు తీసుకున్నచో ఎంతసొమ్ము అదనంగా చెల్లించవలసి వస్తుంది ?
సాధన.
ప్రసాదు వద్ద నుండి తీసుకున్న సొమ్ము = (P)
= ₹ 12000
T = 2 సం॥ R = 6%
∴ I = \(\frac{\text { PTR }}{100}\)
= \(\frac{12000 \times 2 \times 6}{100}\)
I = ₹ 1440
మొత్తం = అసలు + వడ్డీ
A₁ = P + I = 12000 + 1440
= ₹ 13440
∴ 2 సం॥ల తరువాత సాధారణ వడ్డీ రేటు 6% చొప్పున చెల్లించాల్సిన మొత్తం = ₹ 13440
చక్రవడ్డీ చొప్పున 2 సం॥ల తరువాత చెల్లించాల్సిన మొత్తం
P = ₹ 12,000, R = 6%, n = 2 సం॥

∴ చక్రవడ్డీ, సాధారణ వడ్డీల ద్వారా వచ్చు మొత్తాలలో భేదం = 13483.2 – 13440
= ₹ 43.20

ప్రశ్న10.
ఒక ప్రయోగశాలలో, ప్రయోగమును నిర్వహించి బాక్టీరియాలో పెరుగుదల రేటు గంటకు 2.5% అని గుర్తించినారు. ప్రారంభంలో బాక్టీరియా సంఖ్య, 5,06,000 లు వున్నచో రెండు గంటల తరువాత ఆ బాక్టీరియా సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.
ప్రారంభంలో ప్రయోగశాలలో గల బాక్టీరియాల సంఖ్య = 5,06,060
గంటకు 2.5 % రేటుతో పెరిగిన, 2 గం॥ల తరువాత ఆ బాక్టీరియాల సంఖ్య
∵ n = 2 గం॥లు

ప్రశ్న11.
కమల బ్యాంకు నుండి స్కూటరు కొనే నిమిత్తం ₹26400 లను 15% వడ్డీ రేటు చొప్పున సంవత్సరమున కొకసారి తిరిగి వడ్డీ కట్టు పద్ధతిలో అప్పు తెచ్చుకున్నది. 2 సంవత్సరముల 4 నెలల తరువాత అప్పు మొత్తము తీర్చివేయవలెనన్న ఆమె చెల్లించవలసిన మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
కమల బ్యాంకు నుండి తీసుకున్న మొత్తం = ₹ 26400
వడ్డీ రేటు (R) = 15% చొప్పున 2 సం॥లకు అగు మొత్తం

∴ తదుపరి 4 నెలలకు వడ్డీ కట్టుటకు మొత్తం (₹ 34914) అసలు అగును.
∴ P = 34914, R = 15%, T = 4 నెలలు = \(\frac {4}{22}\) సం॥
= \(\frac {1}{3}\) సం॥
I = \(\frac{\mathrm{PTR}}{100}\) = \(\frac{34914 \times 15 \times \frac{1}{3}}{100}\)
= ₹ 1745.7
∴ 2 సం॥ల 4 నెలల కాలానికి కమల బ్యాంక్ వారికి చెల్లించాల్సిన మొత్తం = 34914 + 1745.7
= ₹ 36659.7

ప్రశ్న12.
భారతి ₹ 12500 లను 12% వడ్డీ రేటు చొప్పున 3 సంవత్సరముల కాలానికి సాధారణ వడ్డీకి అప్పు తీసుకున్నది. మాధురి అదే మొత్తాన్ని అదేకాలానికి 10% వడ్డీ రేటుతో సంవత్సరమునకొకసారి తిరిగి వడ్డీ కట్టు పద్ధతిన అప్పుతెచ్చినది. ఆ ఇద్దరిలో ఎవరు ఎక్కువ వడ్డీని చెల్లించెదరు ? ఎంత ఎక్కువ వడ్డీని చెల్లించెదరు?
సాధన.
భారతి తీసుకున్న అసలు సొమ్ము
P = ₹ 12500
R = 12%
T = 3 సం॥లు
సాధారణ వడ్డీ (I) = \(\frac{\mathrm{PTR}}{100}\)
= \(\frac{12500 \times 12 \times 3}{100}\)
= 125 × 36 = 4500
∴ 3 సం॥ల తరువాత చెల్లించాల్సిన మొత్తం
A₁ = P + I = 12500 + 4500
A₁ = ₹ 17,000
మాధురి చక్రవడ్డీ చొప్పున కట్టాల్సిన మొత్తం

∴ A₁ > A₂
A₁ – A₂ = 17000 – 16637.5
= ₹ 362.5
∴ భారతి, మాధురి కంటే ₹ 362.5 ఎక్కువ వడ్డీ చెల్లించాల్సి ఉంటుంది.

ప్రశ్న13.
₹ 10000 ల విలువ గల యంత్ర సామగ్రిలో తరుగుదల రేటు 5%. అయిన 1 సంవత్సరము తరువాత దాని విలువ ఎంత ?
సాధన.
10,000 విలువ గల యంత్రసామాగ్రి 5% తరుగుదల రేటు ప్రకారం 1 సం॥ తరువాత దాని విలువ

= 95 × 100 = ₹ 9500

ప్రశ్న14.
ఒక పట్టణ ప్రస్తుత జనాభా 12 లక్షలు. సంవత్సరమునకు 4% చొప్పున జనాభా పెరుగుతూ వుంటే 2 సంవత్సరముల తరువాత ఆ పట్టణ జనాభా ఎంత?
సాధన.
పట్టణ ప్రస్తుత జనాభా = 12,00,000
సం॥నకు 4% చొప్పున జనాభా పెరుగుతూ ఉంటే 2 సం॥ల తరువాత ఆ పట్టణ జనాభా

ప్రశ్న15.
₹ 1000 లను 10% వడ్డీరేటు చొప్పున త్రైమాసికంగా తిరిగి వడ్డీ కట్టు పద్ధతిన 1 సంవత్సర కాలానికి అయ్యే చక్రవడ్డీని కనుగొనండి.
సాధన.
₹ 1000 లను 10% వడ్డీ రేటు చొప్పున త్రైమాసికంగా తిరిగి వడ్డీ కట్టిన 1 సం॥కాలానికి అయ్యే మొత్తం
A = \(\mathrm{P}\left(1+\frac{\mathrm{R}}{100}\right)^{\mathrm{n}}\)
త్రైమాసికంగా చక్రవడ్డీ కట్టవలెనన్న 1 సం॥నకు 4 కాలవ్యవధులు వస్తాయి.
∴ n = 4, P = 1000, R = \(\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\)%
∴ A = \(\mathrm{P}\left(1+\frac{\mathrm{R}}{100}\right)^{\mathrm{n}}\)
= \(1000 \times\left(1+\frac{5 / 2}{100}\right)^{4}\)

సం॥ కాలానికి అయ్యే చక్రవడ్డీ = 1103.81 – 1000 = ₹ 103.81

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 కారణాంక విభజన Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 12th Lesson కారణాంక విభజన Exercise 12.2

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది సమాసాలను కారణాంకములుగా విభజించండి.
సాధన.
(i) a² + 10a + 25
= (a)² + 2 × a × 5 + (5)²
ఇది a² + 2ab + b² రూపంలో కలదు.
a² + 2ab + b² = (a + b)² = (a + 5)²

(ii) l² + 16l + 64
= (l)² – 2 × l × 8 + (8)²
ఇది a² – 2ab + b² రూపంలో కలదు.
∴ a² – 2ab + b² = (a – b)²
∴ l² + 16l + 64 = (l – 8)² = (l – 8)(l – 8)

(iii) 36x² + 96xy + 64y²
= (6x)² + 2 × 6x × 8y + (8y)²
ఇది a² + 2ab + b² రూపంలో కలదు.
∴ a² + 2ab + b² = (a + b)²
∴ 36x² + 96xy + 64y²
= (6x + 8y)² = (6x + 8y) (6x + 8y)

(iv) 25x² + 9y² – 30xy
= (5x)² + (3y)² – 2 × 5x × 3y
ఇది a² + b² – 2ab రూపంలో కలదు.
∴ a² + b² – 2ab = (a – b)²
∴ 25x² + 9y² – 30xy
= (5x – 3y)² = (5x – 3y) (5x – 3y)

(v) 25m² – 40mn + 16n²
= (5m)² – 2 × 5m × 4n + (4n)²
ఇది a² – 2ab + b² రూపంలో కలదు.
∴ a² – 2ab + b² = (a – b)²
∴ 25m² – 40 mn + 16n²
= (5m – 4n)²
= (5m – 4n)(5m – 4n)

(vi) 81x² – 198 xy + 121y²
= (9x)² – 2 × 9x × 11y + (11y)²
ఇది a² – 2ab + b² రూపంలో కలదు.
∴ a² – 2ab + b² = (a – b)²
∴ 81x² – 198xy + 121y²
= (9x – 11y)² = (9x – 11y) (9x – 11y)

(vii) (x + y)² – 4xy
(సూచన : మొదట (x + y)² ను విస్తరించండి)
= (x + y)² – 4xy
= x² + y² + 2xy – 4xy
= x² + y² – 2xy
= (x – y)² = (x – y) (x – y)

(viii) l⁴ + 4l²m² + 4m⁴
= (l²)² + 2 x l² x 2m² + (2m²)²
ఇది a² + 2ab + b² రూపంలో కలదు.
∴ a² + 2ab + b² = (a + b)²
∴ l⁴ + 4/l²m² + 4m⁴
= (l² + 2m²)² = (l² + 2m²) (l² + 2m²)

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది వాటిని కారణాంకములుగా విభజించండి.
సాధన.
(i) x² – 36
(x)² – (6)² ఇది a² – b² రూపంలో కలదు.
a² – b² = (a + b) (a – b)
x² – 36 = (x + 6) (x – 6)

(ii) 49x² – 25y²
= (7x)² – (5y)²
= (7x + 5y) (7x – 5y)

(iii) m² – 121
= (m)² – (11)²
= (m + 11) (m – 11)

(iv) 81 – 64x²
= (9)² – (8x)²
= (9+ 8x) (9 – 8x)

(v) x²y² – 64
= (xy)² – (8)²
= (xy + 8) (xy-8)

(vi) 6x² – 54
= 6x² – 6 × 9
= 6(x² – 9)
= 6[(x)² – (3)²]
= 6(x + 3) (x – 3)

(vii) x² – 81
= (x)² – (9)²
= (x + 9)(x – 9)

(viii) 2x – 32x⁵
= 2x – 2x × 16x⁴
= 2x (1 – 16x⁴)
= 2x [1² – (4x²)²]
= 2x (1 + 4x²)(1 – 4x²)
= 2x (1 + 4x²) [(1² – (2x)²]
= 2x (1 + 4x²) (1 + 2x) (1 – 2x)

(ix) 81x⁴ – 121x²
= x²(81x² – 121)
= x² [(9x)² – (11)²]
= x² (9x + 11) (9x – 11)

(x) (p² – 2pq + q²) – r²
= (p – q)² – (r)² [∵ p² – 2pq + q² = (p – q)²]
= (p – q + r) (p – q – r)

(xi) (x + y)² – (x – y)²
ఇది a² – b² రూపంలో కలదు
a = x + y, b = x – y
∴ a² – b² = (a + b)(a – b)
= (x + y + x – y) [x + y – (x – y)]
= 2x [x + y – x + y]
= 2x × 2y = 4xy

ప్రశ్న 3.
ఈ క్రింది సమాసాలను కారణాంకములుగా విభజించండి.
సాధన.
(i) lx² + mx
= 1 × x × x + m × x = x (lx + m)

(ii) 7y² + 35z²
= 7 × y² + 7 × 5 × z²
= 7(y² + 5z²)

(iii) 3x⁴ + 6x³y + 9x²z
= 3 × x² × x² + 3 × 2 × x × x² × y + 3 × 3 × x² × z
= 3x² (x² + 2xy + 3z)

(iv) x² – ax – bx + ab
= (x² – ax) – (bx – ab)
= x(x – a) – b(x – a)
= (x – a) (x – b)

(v) 3ax – 6ay-8by + 4bx
= (3ax – 6ay) – (8by – 4bx)
= 3a (x – 2y) – 4b (2y – x)
= 3a (x – 2y) + 4b (x – 2y)
= (x – 2y)(3a + 4b)

(vi) mn + m +n +1
= (mn + m) + (n + 1)
= m (n + 1) + (n + 1)
= (n + 1) (m + 1)

(vii) 6ab – b² + 12ac – 2bc
= (6ab – b²) + (12ac – 2bc)
= (6 × a × b – b × b) + (6 × 2 × a × c – 2 × b × c)
= b [6a – b] + 2c [6a – b]
= (6a – b)(b + 2c)

(viii) p²q – pr² – pq + r²
= (p²q – pr²) – (pq – r²)
= (p × p × q – p × r × r) – (p × q – r × r)
= P(pq – r²) – (pq – r²) × 1
= (p – 1)(pq – r²)

(ix) x (y + z) – 5 (y + z)
= (y + 2)(x – 5)

ప్రశ్న 4.
ఈ క్రింది వాటిని కారణాంక విభజన చేయండి.
సాధన.
(i) x⁴ – y⁴
(x²)² – (y²)² ఇది a² – b² రూపంలో కలదు
a² – b² = (a + b)(a – b)
x⁴ – y⁴ = (x² + y²)(x² – y²)
= (x² + y²) (x + y) (x – y)
= (x² + y²) (x + y) (x – y)

(ii) a⁴ – (b + c)⁴
= (a²)² – [(b + c)²]²
= [a² + (b + c)²] [a² – (b + c)²]
= [a² + (b + c)²] (a + b + c) (a – (b + c)]
= (a + (b + c)²] (a + b + c) (a – b – c)

(iii) l² – (m – n)²
= (l)² – (m – n)²
= [l + m – n][l – (m – n)]
= [l + m – n] [l – m + n]

(iv) 49x² – \(\frac {16}{25}\)
= (7x)² – (\(\frac {4}{5}\))²
= (7x + \(\frac {4}{5}\)) (7x – \(\frac {4}{5}\))

(v) x⁴ – 2x²y² + y⁴
= [(x²)² – 2x²y² + (y²)²
ఇది a² – 2ab + b² రూపంలో కలదు
∴ a² – 2ab + b² = (a – b)²
(x²)² – 2x²y² + (y²)² = (x² – y²)²
= [(x)² – (y)²]²
= [(x + y) (x – y)]²
= (x + y)² (x – y)²
[∵ (ab)^m = a^m . b^m]

(vi) 4 (a + b)² – 9 (a – b)²
= [2(a + b)]² – [3(a – b)]²
= [2(a + b) + 3(a – b)] [2(a + b) – 3(a – b)]
= (2a + 2b + 3a – 3b) (2a + 2b – 3a + 3b)
= (5a – b) (5b – a)

ప్రశ్న 5.
ఈ క్రింది వాటిని కారణాంకములుగా విభజించంది.
సాధన.
(i) a² + 10a + 24
= a × a + 6a + 4a + 6 x 4
= a(a + 6) + 4(a + 6)
= (a + 6)(a + 4) లేదా
a² + 10a + 24

∴ a² + 10a + 24 = (a + 6) (a + 4)

(ii) x² + 9x + 18
= (x + 3)(x + 6)

∴ x² + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6)

(iii) p² – 10p +21
= (p – 7) (p – 3)

∴ p² – 10p + 21 = (p – 7) (p – 3)

(iv) x² – 4x – 32
= (x – 8)(x + 4)

∴ x² – 4x – 32 = (x – 8)(x + 4)

ప్రశ్న 6.
ఒక త్రిభుజము యొక్క భుజాల పొడవుల కొలతలు పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు దాని వైశాల్యం కూడా ఒక పూర్ణసంఖ్య. ఒక భుజం పొడవు 21 మరియు చుట్టుకొలత 48 అయిన అతి చిన్న భుజము పొడవు కనుక్కోండి.
సాధన.
త్రిభుజం చుట్టుకొలత

= AB + BC + CA = 48
⇒ c + a + b = 48
⇒ 21 + a + b = 48
⇒ a + b = 48 – 21 = 27
∴ a, bల పొడవు 10. 17 అయి ఉండాలి. ఎందు కనగా ఎల్లప్పుడూ
a + b > c ⇒ 10 + 17 > 21 ⇒ 27 > 21
∴ అతి చిన్న భుజం పొడవు = 10

ప్రశ్న 7.
x² + 3xy + x + my – m ను x, yలలో రెండు రేఖీయ కారణాంకములుగా వ్రాసిన ‘m’ విలువ కనుగొనుము. (x, y పదాల గుణకములు పూర్ణసంఖ్యలు)
సాధన.
ఇచ్చిన సమీకరణము x² + 3xy + x + my – m —————- (1)
x, y లలో రెండు రేఖీయ సమీకరణములు (x + 3y + a) మరియు (x + 0y + b) అగును.
వాటి లబ్దము = (x + 3y + a) (x+ 0y + b) = x² + 0xy + bx + 3xy + 0y² + 3by + ax + 0y + ab దీనిని సూక్ష్మీకరించగా
= x² + bx + ax + 3xy + 3by + ab ————- (2)
సమీకరణం (2)ను (1)తో పోల్చగా
x² + 3xy + x + my – m
= x² + (a + b)x + 3xy + 3by + ab
ఇరువైపులా సజాతి పదాలను పోల్చగా
(a + b)x = x ⇒ a + b = 1 ————- (3)
3by = my ⇒ 3b = m ⇒ b = \(\frac {m}{3}\)
b విలువను (3)లో ప్రతిక్షేపించగా
a = 1 – b = 1 – \(\frac {m}{3}\) = \(\frac{3-m}{3}\)
ab = – m కావున a మరియు b లను ప్రతిక్షేపించగా
(\(\frac {m}{3}\))(\(\frac{3-m}{3}\)) = – m
\(\frac{3 m-m^{2}}{9}\) = – m
⇒ 3m – m² = – 9m
⇒ m² – 9m – 3m = 0
⇒ m² – 12m = 0
⇒ m(m – 12) = 0
= m = 0 లేదా m = 12
m = 12 అయిన
b = \(\frac {12}{3}\) = 4 మరియు a = \(\frac{3-12}{3}=\frac{-9}{3}\) = -3
ఇచ్చిన సమాసానికి రేఖీయ కారణాంకాలు
= (x + 3y – 3), (x + 4)
m = 0 అయిన b = \(\frac {0}{3}\) = 0 మరియు
a = \(\frac{3-0}{3}=\frac{3}{3}\) = 1
∴ రేఖీయ కారణాంకాలు = (x + 3y + 1), x

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 5 అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 5th Lesson అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట Exercise 5.2

ప్రశ్న1.
2012వ సంవత్సరములో ప్రపంచం మొత్తం మీద అంతర్జాలమును (Internet) ఉపయోగించువారి సంఖ్య 36.4 కోట్లుగా అంచనా వేయడమైనది. వచ్చే 10 సంవత్సరాలలో ఈ సంఖ్య 125% పెరుగునని అంచనా వేయబడినది. అయిన 2022వ సంవత్సరములో అంతర్జాలమును ఉపయోగిస్తారని అంచనా వేయబడిన వారి సంఖ్య ఎంత.?
సాధన.
2012వ సం॥లో ప్రపంచంలో అంతర్జాలాన్ని ఉపయోగించు వారి సంఖ్య = 36.4 కోట్లు.
వచ్చే 10 సం॥లలో ఈ సంఖ్య పెరిగే శాతం = 125%
∴ 2022 లో అంతర్జాలం ఉపయోగించువారి సంఖ్య
= 36.4 కోట్లు + 36.4 కోట్లలో 125%
= 36.4 + \(\frac {125}{100}\) × 36.4
= 36.4 + 45.5
= 81.9 కోట్లు

ప్రశ్న2.
ఒక గృహ యజమాని తన ఇంటి అద్దెను ప్రతీ సంవత్సరము .5% పెంచును. ప్రస్తుతము ఆ ఇంటి అద్దె ₹2500 అయిన రెండు సంవత్సరముల తరువాత ఆ ఇంటి అద్దె ఎంత ?
సాధన.
ప్రస్తుత ఇంటి అద్దె = ₹ 2500
ప్రతి సం॥ 5% ఇంటి అద్దె పెంచుతూ ఉంటే 2 సం॥ల తరువాత ఇంటి అద్దె

ప్రశ్న3.
ఒక కంపెనీ విలువ సోమవారమునాడు ₹ 7.50. మంగళవారము నాడు అది 6% పెరిగి, బుధవారము నాడు 1.5% తగ్గినది. మరల గురువారము నాడు 2% తగ్గిన, శుక్రవారము నాడు ఉదయం ఆ షేర్ విలువ ఎంత ?
సాధన.
శుక్రవారం ఉదయంనాడు ఆ షేర్ విలువ

ప్రశ్న4.
చాలా జిరాక్స్ యంత్రాలలో ప్రతీసారి పరిమాణ శాతమును మార్చడం ద్వారా ఇచ్చిన ప్రతి యొక్క పరిమాణమును పెంచడం లేదా తగ్గించడం చేయవచ్చును. రేష్మా తన వద్ద నున్న 2 సెం.మీ., 4 సెం.మీ. బొమ్మను పరిమాణం పెంచాలని కోరుకున్నది. ఆమె జిరాక్స్ యంత్రములో 150% వేసి దాని ప్రతిని తీసుకున్నది. అయిన ఆమెకు లభించిన ప్రతిలోని బొమ్మ పొడవు, వెడల్పులను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన ప్రతి యొక్క పొడవు = 2 సెం.మీ.
వెడల్పు = 4 సెం.మీ.
∴ పొడవు 150% పెరిగిన దాని కొలత
= 2 లో 150%
= \(\frac {150}{100}\) × 2 : 1.5 × 2 = 3 సెం.మీ.
వెడల్పు 150% పెరిగిన దాని కొలత
= 4 లో 150%
= \(\frac {150}{100}\) × 4 = 1.5 × 4 = 6 సెం.మీ.
∴ పొడవు = 3 సెం.మీ; వెడల్పు = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న5.
ఒక పుస్తకము ముద్రిత వెల ₹ 150. దానిపై 15% రుసుము లభించిన ఆ పుస్తకమును కొనుటకు ఎంత మొత్తము చెల్లించవలెను ?
సాధన.
పుస్తకం యొక్క ముద్రిత వెల = ₹ 150
దానిపై లభించిన రుసుము శాతం = 15 %
∴ రుసుము = 150 లో 15%
= \(\frac {15}{100}\) × 150
= ₹ 22.5
∴ ఆ పుస్తకపు కొన్నవెల = 150 – 22.5
= ₹ 127.50

ప్రశ్న6.
ఒక కానుక ప్రకటన వెల₹ 176 దానిని దుకాణదారుడు మీకు ₹ 165 లకు అమ్మిన మీకు లభించిన రుసుమును, రుసుము శాతమును కనుగొనండి.
సాధన.
కానుక ప్రకటనవెల = ₹ 176
అమ్మినవెల = 165
రుసుము = ప్రకటన వెల – అమ్మినవెల
= 176 – 165 = ₹ 11

ప్రశ్న7.
ఒక దుకాణదారుడు ప్రతీ బల్బు ₹ 10 చొప్పున 200 బల్బులను కొనెను. కాని అందులో 5 బల్బులు కాలిపోయి నందున వాటిని బయట పడేసినాడు. మిగిలిన బల్బులను ఒక్కొక్కటి ₹ 12 చొప్పున అమ్మిన మొత్తము మీద అతనికి లాభమా ? నష్టమా ? ఎంత శాతము ?
సాధన.
ప్రతి బల్బు ₹ 10 చొప్పున 200 బల్బుల కొన్నవెల = 200 × 10 = 2000
అందు 5 బల్బులు కాలిపోయిన మిగిలినవి = 200 – 5 = 195
ఒక్కొక్కటి ₹ 12 చొప్పున 195 బల్బుల అమ్మకపు వెల = 195 × 12 = 2340
∴ అమ్మినవెల > కొన్నవెల
∴ లాభం = అమ్మినవెల – కొన్నవెల
= 2340 – 2000 = 340

ప్రశ్న8.
ఈ క్రింది పట్టికలో సరియైన గడులను అవసరమైనచోట మాత్రమే నింపుము.

సాధన.

ప్రశ్న9.
ఒక బల్లను ₹ 2,142,లకు అమ్మగా 5% లాభము వచ్చెను. దానిపై 10% లాభము రావలెనన్న దానిని ఎంతకు అమ్మవలెను ?
సాధన.
ఒక బల్ల అమ్మకపు వెల = ₹ 2142
లాభశాతం = 5%
కొన్నవెల = 100 × \(\frac{2142}{(100+5)}\)
= 100 × \(\frac{2142}{105}\)
= ₹ 2040
షాపువాని వద్ద బల్ల కొన్నవెల మనం మరొక వ్యక్తికి అమ్మేటపుడు అమ్మినవెల అవుతుంది.
∴ అమ్మినవెల = ₹ 2040
లాభశాతం = 10%
అయిన కొన్నవెల = 2040 \(\left(1+\frac{10}{100}\right)\)
= 2040 × \(\frac{110}{100}\)
= ₹ 2244

ప్రశ్న10.
గోపి ఒక గడియారమును 12% లాభమునకు ఇబ్రహీమ్ కు అమ్మెను. ఇబ్రహీమ్ దానిని 5% నష్టమునకు జాను అమ్మెను. జాన్ ఆ గడియారమునకు ₹ 1,330 చెల్లించిన గోపి ఆ గడియారమును ఎంతకు అమ్మెను?
సాధన.
జాన్ గడియారమును కొన్నవెల = ₹ 1330
గోపి ఆ గడియారాన్ని అమ్మినవెల
= 1330 × \(\frac{100}{(100+12)}\) × \(\frac{100}{(100-5)}\)
= 1330 × \(\frac{100}{112}\) × \(\frac{100}{95}\)
∴ గోపి గడియారం కొన్నవెల = ₹ 1250

ప్రశ్న11.
మధు మరియు కవిత ఒక క్రొత్త ఇంటిని ₹3,20,000 లకు కొనిరి. కొన్ని ఆర్థిక ఇబ్బందుల వల్ల ఆ ఇంటిని ₹ 2,80,000 లకు అమ్మిన (a) వారికి వచ్చిన నష్టమును (b) నష్టశాతమును కనుగొనుము.
సాధన.
ఇల్లు కొన్న వెల = ₹ 3,20,000
అమ్మినవెల = ₹ 2,80,000
∴ అమ్మినవెల < కొన్నవెల
a) ∴ నష్టము = కొన్నవెల – అమ్మినవెల
= 3,20,000 – 2,80,000
= 40,000

ప్రశ్న12.
ఒక పాత కార్లను కొని, అమ్ము దుకాణదారుడు ఒక పాత కారును ₹ 1,50,000 లకు కొని దాని మరమ్మత్తులు మరియు రంగు వేయుటకు ₹ 20,000 ఖర్చు చేసెను. అతడు ఆ కారును ₹ 2,00,000 లకు అమ్మిన అతనికి లాభమా ? నష్టమా ? ఎంత శాతము?
సాధన.
పాత కారు కొన్నవెల = అసలు ధర + మరమ్మత్తులు
= 1,50,000 + 20,000
= 1,70,000
ఆ కారు అమ్మినవెల = ₹ 2,00,000
∴ అమ్మినవెల > కొన్నవెల
∴ లాభము = అమ్మినవెల – కొన్నవెల
= 2,00,000 – 1,70,000
లాభం = 30,000

ప్రశ్న13.
లలిత తన పుట్టిన రోజును స్నేహితులతో జరుపుకొనుటకు హోటలు నుండి పార్సెల్ తెప్పించినది. 5% VAT తో కలిపి ₹ 1,450 బిల్లు వేయబడినది. హోటలు వారు బిల్లు మొత్తముపై 8% రుసుము ఇచ్చిన లలిత హోటలు వాడికి కట్టవలసిన మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
5% VAT తో వేయబడిన బిల్లు మొత్తం = ₹ 1450
బిల్లుపై 8% రుసుము ఇచ్చిన రుసుము = 1450 లో 8%
= \(\frac{8}{100}\) ×1450 = ₹ 116
∴ రుసుము = ₹ 116
∴ లలిత హోటల్ వారికి కట్టవలసిన మొత్తం (రుసుము పోను) = 1450 – 116
= ₹1334/-

ప్రశ్న14.
క్రింది పట్టికలో VAT తో కలిసిన బిల్లు మొత్తము వ్రాయబడినది. VAT కలపక ముందు ఆ వస్తువుల ధరను కనుగొనుము.

సాధన.

ప్రశ్న15.
ఈ క్రింద ఇచ్చిన వస్తువులకు 8.5% అమ్మకం పన్నుకలుపగా వచ్చిన ధర ఈయబడినది. వాటి కొన్నవెలను కనుగొనుము.
(i) టవలు ₹ 50 (ii) రెండు సబ్బులు ఒక్కొక్కటి ₹ 35
సాధన.
అమ్మకపు పన్ను = 8.5%
(i) టవలు ధర = ₹ 50
అమ్మకపు పన్ను = 50 లో 8.5%
\(\frac{8.5}{100}\) × 50 = ₹ 4.25
∴ కొన్నవెల = అసలు ధర + అమ్మకపు పన్ను
= 50 + 4.25 = 54.25

(ii) రెండు సబ్బులు ఒక్కొక్కటి ₹ 35 చొప్పున వాటి మొత్తం = 2 × 35 = 70
అమ్మకపు పన్ను = 70 లో 8.5%
\(\frac{8.5}{100}\) × 70 = ₹ 5.95
∴ కొన్నవెల = అసలు ధర + అమ్మకపు పన్ను
= 70 + 5.95 = ₹ 75.95

ప్రశ్న16.
ఒక సూపర్ బజారులోని వస్తువు వెలలు 4% అమ్మకపు పన్ను కలిపినను రూపాయలకు సవరింపు అవసరం లేక ‘n’ రూపాయలు అగునట్లు రూపాయలు మరియు పైసలలో నిర్ణయించెను. ‘n’ ధనసంఖ్య అయిన, ‘n’ విలువ కనిష్ఠంగా ఎంత ఉండవచ్చును ?
సాధన.
వస్తువు వెల = ₹ x అనుకొనుము.
వస్తువు వెలపై 4% అమ్మకపు పన్ను విధించగా పెరిగిన వస్తువు వెల
⇒ x + 4% of x = n

∴ n, 26 కు ఒక కనిష్ఠ గుణిజం కావలెను. అపుడు మాత్రమే ‘n’ ను ఖచ్చితంగా పైసలలో కాకుండా రూపాయలలో వ్యక్తం చేయగలం.
∴ n = 13, 26, 39, ….
∴ n = 13 (∵ 13 కనిష్ఠ గుణిజం)

∴ కావలసిన వస్తువు యొక్క వెల
= 12.50 + \(\frac {4}{100}\) × 12.50
= 12.50 + 0.5 = ₹ 13

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 5 అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 5th Lesson అనుపాతముతో రాశులను పోల్చుట Exercise 5.1

ప్రశ్న1.
క్రింది వాటికి నిష్పత్తులను కనుగొనుము.
i) స్మిత తన కార్యాలయంలో రోజుకు 6 గంటలు పని చేయును. కాజల్ తన కార్యాలయములో రోజుకు 8 గంటలు పనిచేయును. అయిన వారి పనిగంటల నిష్పత్తిని కనుగొనుము.
ii) ఒక కుండలో 8 లీటర్ల పాలు, మరియొకదానిలో 750 మి.లీ. పాలు ఉన్నాయి. వాటి నిష్పత్తి ఎంత ?
iii) ఒక సైకిలు వేగము గంటకు 15 కి.మీ. ఒక స్కూటర్ -. వేగము గంటకు 30 కి.మీ. వాటి వేగముల నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన.
i) స్మిత మరియు కాజల్ పనిగంటల నిష్పత్తి = 6 : 8
= (2 × 3) : (2 × 4) = 3 : 4

ii) 8 లీటర్లు : 750 మి. లీ.
= 8 × 1000 మి.లీ. : 750 మి.లీ.

iii) సైకిల్, స్కూటర్ వేగాల నిష్పత్తి
= 15 : 30 = (15 × 1) : (15 × 2) = 1 : 2

ప్రశ్న2.
5 : 8 మరియు 3 : 7 ల బహుళ నిష్పత్తి 45 : x అయిన x విలువ ఎంత ?
సాధన.
5 : 8 మరియు 3 : 7 ల బహుళ నిష్పత్తి

ప్రశ్న3.
7 : 5 మరియు 8 : x ల బహుళ నిష్పత్తి 84 : 60 అయిన x విలువ ఎంత ?
సాధన.

ప్రశ్న4.
3 : 4 మరియు 4 : 5 విలోమ నిష్పత్తుల బహుళ నిష్పత్తి 45 : x అయిన x విలువ ఎంత.?
సాధన.
4 : 5 యొక్క విలోమ నిష్పత్తి = 5 : 4
∴ 3 : 4, 5 : 4 ల బహుళ నిష్పత్తి = 45 : x

ప్రశ్న5.
ఒక ప్రాథమిక పాఠశాలలో 60 మంది విద్యార్థులకు ముగ్గురు ఉపాధ్యాయులు ఉండవలెను. ఆ పాఠశాలలో 400 మంది విద్యార్థులు చేరిన ఇదే నిష్పత్తిలో ఎంతమంది ఉపాధ్యాయులు కావలెను ?
సాధన.
60 మంది విద్యార్థులకు ముగ్గురు ఉపాధ్యాయుల చొప్పున 400 మంది విద్యార్థులకు కావలసిన ఉపాధ్యాయుల సంఖ్య
⇒ 60 : 3 = 400 : x ⇒ \(\frac{60}{3}=\frac{400}{x}\)

∴ 400 మంది విద్యార్థులకు కావలసిన ఉపాధ్యాయుల సంఖ్య = 20

ప్రశ్న6.
ఇచ్చిన పటములో ABC ఒక త్రిభుజము, ప్రతీసారి ఒక జత భుజాల కొలతలు తీసుకుంటూ రాయడానికి వీలైన అన్ని నిష్పత్తులను రాయండి.

(సూచన : AB, BC భుజాల నిష్పత్తి = 8 : 6)
సాధన.
ΔABC లో
AB : BC = 8 : 6 = 4 : 38
⇒ BC : AB = 6 : 8 = 3 : 4
BC : CA = 6 : 10 = 3 : 5
⇒ CA : BC = 10 : 6 = 5 : 3
CA : AB = 10 : 8 = 5 : 4
= AB : CA = 8 : 10 = 4 : 5

ప్రశ్న7.
24 మంది విద్యార్థులలో 9 మందికి ఒక పరీక్షలో 75% కంటే తక్కువ మార్కులు వచ్చినవి. 75% కంటే తక్కువ మార్కులు వచ్చిన విద్యార్థుల సంఖ్యకు, 75% కంటే ఎక్కువ మార్కులు వచ్చిన విద్యార్థుల సంఖ్యకు గల నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన.
24 మంది విద్యార్థులలో 75% కంటే తక్కువ మార్కులు వచ్చిన విద్యార్థుల సంఖ్య = 9
75% కంటే ఎక్కువ మార్కులు వచ్చిన విద్యార్థుల సంఖ్య = 24 – 9 = 15
∴ 75 % కంటే తక్కువ మార్కులు వచ్చిన విద్యార్థుల సంఖ్యకు, 75% కంటే ఎక్కువ మార్కులు వచ్చిన విద్యార్థుల సంఖ్యకు గల నిష్పత్తి = 9 : 15
= (3 × 3) : (3 × 5)
= 3 : 5

ప్రశ్న8.
MISSISSIPPI’ అనే పదములోని అచ్చుల సంఖ్యకు, హల్లుల సంఖ్యకు నిష్పత్తి కనుగొని, దానిని కనిష్ఠ పదాలలో తెలపండి.
సాధన.
MISSISSIPPI అనే పదంలో గల హల్లుల సంఖ్య = (MSSSSPP) = 7
అచ్చుల సంఖ్య = (IIII) = 4
∴ పై పదంలో అచ్చుల మరియు హల్లుల సంఖ్యకు గల నిష్పత్తి = 4 : 7

ప్రశ్న9.
రాజేంద్ర, రెహానాలు ఒక వ్యాపారము చేయుచున్నారు. రెహానా ప్రతీనెల వచ్చిన లాభములో 25% తీసుకుంటుంది. ఒక నెలలో రెహానా తీసుకున్న మొత్తం ₹ 2080 అయిన ఆ నెలలో వారికి వచ్చిన మొత్తము లాభమును కనుగొనండి.
సాధన.
మొత్తం లాభం = x అనుకొనిన
x లో 25 % = 2080

⇒ x = 2080 × 4
∴ x = ₹ 8320

ప్రశ్న10.
ΔABCలో AB= 2.2 సెం.మీ., BC= 1.5 సెం.మీ. మరియు AC = 2.3 సెం.మీ. ΔXYZ లో XY = 4.4 సెం.మీ., YZ = 3 సెం.మీ. మరియు XZ = 4.6 సెం.మీ. అయిన AB : XY, BC : YZ, AC : XZ లను కనుగొనండి. ΔABC భుజాల కొలతలు, ΔXYZ భుజాల కొలతలతో అనుపాతంలో ఉన్నాయా?
(సూచన : రెండు త్రిభుజములలో సదృశ భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో వున్న ఆ త్రిభుజాలు అనుపాతంలో ఉండునని చెప్పవచ్చును)
సాధన.

∴ రెండు త్రిభుజాలలోని భుజాలు ఒకే అనుపాతంలో ఉన్నవి.
∴ ΔABC ~ ΔXYZ

ప్రశ్న11.
మాధురి ఒక సూపర్ మార్కెట్ కు పోగా అక్కడ సరుకుల మారిన ధరలు ఇలా ఉన్నాయి. బియ్యం ధరలో 5% తగ్గుదల, జామ్ మరియు పండ్లపై 8% తగ్గుదల మరియు నూనె, పప్పులపై 10% పెరుగుదల వున్నవి. అయిన ఆ మారిన ధరలు కనుగొనుటకు మాధురికి సహాయము చేయండి.

వస్తువు	అసలు ధర	మారిన ధర
బియ్యం	₹ 30
జామ్	₹ 100
యాపిల్ పళ్ళు	₹ 280
నూనె	₹ 120
పప్పు	₹ 80

సాధన.

వస్తువు	అసలు ధర	మారిన ధర
బియ్యం	₹ 30	₹ 28.50
జామ్	₹ 100	₹ 92
యాపిల్ పళ్ళు	₹ 280	₹ 257.6
నూనె	₹ 120	₹ 132
పప్పు	₹ 80	₹ 88

ప్రశ్న12.
ఒక క్లబ్ లో క్రిందటి సంవత్సరము 2075 మంది చేరినారు. ఈ సంవత్సరము చేరినవారి సంఖ్య 4% తగ్గిన (a) తగ్గినవారి సంఖ్యను (b) ఈ సంవత్సరము చేరిన వారి సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
క్రిందటి సంవత్సరం క్లబ్ లో చేరినవారి సంఖ్య = 2075
ఈ సంవత్సరం చేరినవారి సంఖ్య 4 % తగ్గిన
a) తగ్గినవారి సంఖ్య : 2075 లో 4%

b) ఈ సం॥ చేరిన వారి సంఖ్య
= 2075 – 2075 లో 4%
= 2075 – \(\frac {4}{100}\) × 2075
= 2075 – 83 = 1992

ప్రశ్న13.
ఒక రైతుకు గత సంవత్సరము ప్రత్తి పంటలో 1720 బస్తాల దిగుబడి వచ్చినది. ఈ సంవత్సరములో ఆమె ప్రత్తి. పంటపై దిగుబడి 20% ఎక్కువ వచ్చునని భావించుచున్నది. అయిన ఈ సంవత్సరము ఆమె ఎన్ని బస్తాల దిగుబడిని ఆశిస్తున్నది?
సాధన.
గత సంవత్సరం ప్రత్తి పంటలో వచ్చిన ప్రతి బస్తాల దిగుబడి = 1720
20 % ఎక్కువ దిగుబడి వస్తుందని ఆశించిన రాగల బస్తాల సంఖ్య = 1720 లో 20%
= \(\frac {20}{100}\) × 1720
= 2 × 172
= 344
∴ మొత్తం ఆశించు బస్తాల సంఖ్య = 1720 + 344
= 2064

ప్రశ్న14.
P, Qలు AB రేఖాఖండంపై, \(\overline{\mathrm{AB}}\) కి ఒకే వైపునకు గల బిందువులు. P బిందువు \(\overline{\mathrm{AB}}\) ను 2 : 3 లో, Q బిందువు \(\overline{\mathrm{AB}}\) ను 3 : 4 లో విభజించుచున్నవి. PQ = 2 సెం.మీ. అయిన AB రేఖాఖండపు పొడవును కనుగొనుము.
సాధన.
C అనునది AB మధ్య బిందువు.
P అను బిందువు ABను 2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

Q అనునది AB ను 3 : 4 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
PQ = 2 సెం.మీ. (ఇచ్చినది)
PQ = QB – PB = 4 – 3 = 1 భాగం
= 2 సెం.మీ.
∴ AB పొడవు = AQ+ QB (‘Q’ బిందువు దృష్ట్యా )
= 3 + 4 = 7 భాగాలు
AB పొడవు = AP + PB (‘P’ బిందువు దృష్ట్యా)
= 2 + 3 = 5 భాగాలు
∴ 5, 7 భాగాల కనిష్ఠ గుణిజం (అనగా క.సా.గు)
= 5 × 7 = 35
∴ AB పొడవు = 35 భాగాలు
= 35 × 2 = 70 సెం.మీ.

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 4 ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 4th Lesson ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. క్రింది వానిని సూక్ష్మీకరించండి. (పేజీ నెం. 81)
(i) 3⁷ × 3³
(ii) 4 × 4 × 4 × 4 × 4
(iii) 3⁴ × 4³
సాధన.
(i) 3⁷ × 3³ = 3⁷⁺³ = 3¹⁰ [∵ a^m × aⁿ = a^m+n)
(ii) 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4⁵ [∵ a × a × a × ……. m సార్లు = a^m]
(iii) 3⁴ × 4³ = 81 × 64 = 5184

2. హైదరాబాద్ మరియు ఢిల్లీల మధ్య రైలు మార్గములో దూరము 1674.9 కి.మీ. దీనిని సెంటీమీటర్లలోకి మార్చి ఘాతాంక రూపంలో రాయండి. దీనిని శాస్త్రీయ రూపంలో కూడా రాయండి. (పేజీ నెం. 81)
సాధన.
హైదరాబాద్, ఢిల్లీల మధ్య దూరం
= 1674.9 కి. మీ. = 1674.9 × 1000 మీటర్లు = 1674900 మీ.
= 1674900 × 100 సెం.మీ. = 167490000 సెం.మీ.
= 167490000 సెం.మీ. = 16749 × 10⁴ సెం.మీ.

3. 10^-10 కు సమానమయ్యే విలువ ఎంత ? (పేజీ నెం. 83)
సాధన.
10^-10 = \(\frac{1}{10^{10}}\) [∵ \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)]

4. క్రిందివాని గుణకార విలోమాలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 83)
(i) 3^-5
(ii) 4^-3
(iii) 7^-4
(iv) 7^-3
(v) x^-n
(vi) \(\frac{1}{4^{3}}\)
(vii) \(\frac{1}{10^{3}}\)
సాధన.
(i) 3^-5 ⇒ 3^-5 × x = 1 ⇒ x = \(\frac{1}{3^{-5}}\) = 3⁵ [∵ 3^-5 × 3⁵ = 1]
(ii) 4^-3 ⇒ 4^-3 × x = 1 ⇒ x = \(\frac{1}{4^{-3}}\) = 4³
(iii) 7^-4 ⇒ 7^-4 × x = 1 ⇒ x = \(\frac{1}{7^{-4}}\) = 7⁴
(iv) 7^-3 ⇒ 7^-3 × x = 1 ⇒ x = \(\frac{1}{7^{-3}}\) = 7³
(v) x^-n ⇒ x^-n × k = 1 ⇒ k = \(\frac{1}{x^{-n}}\) = xⁿ
(vi) \(\frac{1}{4^{3}}\) ⇒ \(\frac{1}{4^{3}}\) × x = 1 ⇒ x = 4³
(vii) \(\frac{1}{10^{3}}\) ⇒ \(\frac{1}{10^{3}}\) × x = 1 ⇒ x = 10³

5. క్రింది సంఖ్యలను ఘాతాంకాలను ఉపయోగించి విస్తృత రూపంలో వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 84)
(i) 543.67
సాధన.
543.67 = (5 × 100) + (4 × 10) + (3 × 10°) + \(\left(\frac{6}{10}\right)+\left(\frac{7}{10^{2}}\right)\)
= (5 × 10²) + (4 × 10) + (3 × 10°) + (6 × 10^-1) + (7 × 10^-2) [∵ aⁿ = a^-n]

(ii) 7054.243
సాధన.
7054.243 = (7 × 1000) + (0 × 100) + (5 × 10) + (4 × 10°) + \(\left(\frac{2}{10}\right)+\left(\frac{4}{100}\right)+\left(\frac{3}{1000}\right)\)
= (7 × 10³) + (0 × 10²) + (5 × 10¹) + (4 × 10°) + (2 × 10^-1) + (4 × 10^-2) + (3 × 10^-3)

(iii) 6540.305
సాధన.
6540.305 = (6 × 1000) + (5 × 100) + (4 × 10) + (0 × 10°) + \(\left(\frac{3}{10}\right)+\left(\frac{0}{100}\right)+\left(\frac{5}{1000}\right)\)
= (6 × 10³) + (5 × 10²) + (4 × 10¹) + (0 × 10°) + (3 × 10^-1) + (0 × 10^-2) + (5 × 10^-3)

(iv) 6523.450
సాధన.
6523.450 = (6 × 1000) + (5 × 100) + (2 × 10) + (3 × 10°) + \(\left(\frac{4}{10}\right)+\left(\frac{5}{100}\right)+\left(\frac{0}{1000}\right)\)
= (6 × 10³) + (5 × 10²) + (2 × 10¹) + (3 × 10°) + (4 × 10^-1) + (5 × 10^-2) + (0 × 10^-3)

6. క్రింది వానిని సూక్ష్మీకరించి ఒకే ఘాతాంకంగా వ్యక్తపరచుము. (పేజీ నెం. 85)
(i) 2^-3 × 2^-2
(ii) -7² × 7⁵
(iii) 3⁴ × 3^-5
(iv) 7⁵ × 7^-4 × 7^-6
(v) m⁵ × m^-10
(vi) (-5)^-3 × (-5)^-4
సాధన.

7. క్రింది వాక్యాలలోని సంఖ్యలను ప్రామాణిక రూపంలోనికి మార్చి వాక్యాలను తిరిగి వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 93)
i) భూమి నుంచి సూర్యుని దూరం 149,600,000,000 మీ.
సాధన.
149,600,000,000 మీ. = 1496 × 10⁸ మీ.

ii) సూర్యుని సరాసరి వ్యాసార్ధం 695000 కి.మీ.
సాధన.
695000 కి.మీ. = 695 × 10³ కి.మీ.

iii) మనిషి తల వెంట్రుకల మందం 0.005 నుంచి 0.001 సెం.మీ. వరకు ఉంటుంది.
సాధన.
0.005 నుండి 0.001 సెం.మీ.
= \(\frac{5}{1000}\) నుండి \(\frac{1}{1000}\) సెం.మీ.
= 5 × 10^-3 నుండి 1 × 10^-3 సెం.మీ.

iv) ఎవరెస్టు శిఖరం యొక్క ఎత్తు 8848 మీ.
సాధన.
8848 మీ. యొక్క ప్రామాణిక రూపం = 8848 మీ.

8. ఈ క్రింది సంఖ్యలను ప్రామాణిక రూపంలో వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 93)
(i) 0.0000456
(ii) 0.000000529
(iii) 0.0000000085
(iv) 6020000000
(v) 35400000000
(vi) 0.000437 × 10⁴
సాధన.
(i) 0.0000456 = \(\frac{456}{10000000}\) = 456 × 10^-7
(ii) 0.000000529 = \(\frac{529}{1000000000}\) = 529 × 10^-9
(iii) 0.0000000085 = \(\frac{85}{10000000000}\) = 85 × 10^-10
(iv) 6020000000 = 602 × 10000000 = 602 × 10⁷
(v) 35400000000 = 354 × 100000000 = 354 × 10⁸
(vi) 0.000437 × 10⁴ = \(\frac{437}{1000000}\) × 10⁴
= 437 × 10^-6 × 10⁴
= 437 × 10^{(-6 ) + 4}
= 437 × 10^-2

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 కారణాంక విభజన Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 12th Lesson కారణాంక విభజన Exercise 12.1

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింద ఇచ్చిన పదముల యొక్క సామాన్య కారణాంకములు కనుక్కోండి.
సాధన.
(i) 8x, 24
8x = 2 × 2 × 2 × x
24 = 8 × 3 = 2 × 2 × 2 × 3
∴ 8x, 24 ల సామాన్య కారణాంకాలు = 2, 4, 8

(ii) 3a, 21ab
3a = 3 × a
21ab = 7 × 3 × a × b
∴ 3a, 21ab ల సామాన్య కారణాంకాలు = 3, a, 3a

(iii) 7xy, 35x²y³
7xy = 7 × x × y
35x²y³ = 7 × 5 × x × x × y × y × y
∴ 7xy, 35x²y³ల సామాన్య కారణాంకాలు
= 7, x, y, xy, 7xy, 7x, 7y

(iv) 4m², 6m², 8m³
4m² = 2 × 2 × m × m
6m² = 2 × 3 × m × m
8m² = 2 × 2 × 2 × m × m × m
∴ 4m², 6m², 8m³ల సామాన్య కారణాంకాలు
= 2, m, m², 2m, 2m²

(v) 15p, 20qr, 25rp
15p = 3 × 5 × p
20qr = 4 × 5 × q × r
25rp = 5 × 5 × r × p
∴ 15p, 20qr, 25rpల ఉమ్మడి కారణాంకాలు = 5

(vi) 4x², 6xy, 8y²x
4x² = 2 × 2 × x × x
6xy = 2 × 3 × x × y
8y²x = 2 × 2 × 2 × y × y × x
∴ 4x², 6xy, 8xy²ల సామాన్య కారణాంకాలు
= 2, x, 2x

(vii) 12 x²y, 18 xy²
12x²y = 2 × 2 × 3 × x × x × y
18xy² = 3 × 3 × 2 × x × y × y
∴ 12x²y, 18xy²ల సామాన్య కారణాంకాలు
= 2, 3, 6, x, y, xy, 2x, 2y, 2xy, 3x, 3y, 3xy, 6x, 6y, 6xy

ప్రశ్న 2.
ఈ క్రింది వాటిని కారణాంక విభజన చేయండి.
సాధన.
(i) 5x² – 25xy
= 5 × x × x – 5 × 5 × x × y
= 5 × x[x – 5 × y] = 5x [x – 5y]

(ii) 9a² – 6ax
= 3 × 3 × a × a – 2 × 3 × a × x = 3a[3a – 2x]

(iii) 7p² + 49pq
= 7 × p × p + 7 × 7 × p × q = 7p[p + 7q]

(iv) 36 a²b – 60 a²bc
= 2 × 2 × 3 × 3 × a × a × b – 2 × 2 × 3 × 5 × a × a × b × c
= 2 × 2 × 3 × a × a × b[3 – 5c]
= 12a²b[3 – 5c]

(v) 3a²bc + 6ab²c + 9abc²
= 3 × a × a × b × c + 3 × 2 × a × b × b × c + 3 × 3 × a × b × c × c
= 3abc [a + 2b + 3c]

(vi) 4p² + 5pq – 6pq²
= 2 × 2 × p × p + 5 × p × q – 2 × 3 × p × q × q
= p[4p + 5q – 6q²]

(vii) ut + at²
= u × t – a × t × t
= t[u + at]

ప్రశ్న 3.
ఈ క్రింది వాటికి కారణా౦క విభజన చేయండి.
సాధన.
(i) 3ax – 6ay + 8by – 4bx
= [3ax – 4bx] – [6ay – 8by]
= x[3a – 4b] – 2y [3a – 4b]
= (3a – 4b) [x – 2y]

(ii) x³ + 2x² + 5x + 10
= (x³ + 2x²) + (5x + 10)
= (x² × x + 2 × x²) + [5 × x + 5 × 2]
= x²(x + 2) + 5(x + 2)
= (x + 2)(x² + 5)

(iii) m² – mn + 4m – 4n
= (m² – mn) + (4m – 4n)
= (m × m – m × n) + (4 × m – 4 × n)
= m(m – n) + 4(m – n)
= (m – n) (m + 4)

(iv) a³ – a²b² – ab + b³
= (a³ – a²b²) – (ab – b³)
= (a² × a – a² × b²) – (a × b – b × b²)
= a²(a – b²) – b(a – b²)
= (a – b²) (a² – b)

(v) p²q – pr² – pq + r²
= (p²q – pr²) – (pq – r²)
= (p × p × q – p × r × r) – (p × q – r × r)
= P(pq – r²) – (pq – r²) × 1
= (p – 1) (pq – r²)

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 4 ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 4th Lesson ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు Exercise 4.2

1. క్రింది సంఖ్యలను ప్రామాణిక రూపంలో వ్యక్త పరచండి.
(i) 0.000000000947
సాధన.
= \(\frac{947}{1000000000000}\) = 947 × 10^-12

(ii) 543000000000
సాధన.
= 543 × 1000000000 = 543 × 10⁹

(iii) 48300000
సాధన.
= 483 × 100000 = 483 × 10⁵

(iv) 0.00009298
సాధన.
\(\frac{9298}{100000000}\) = 9298 × 10^-8

(v) 0.0000529
సాధన.
\(\frac{529}{10000000}\) = 529 × 10^-7

2. క్రింది సంఖ్యలను సాధారణ రూపంలో వ్యక్త పరచండి.
(i) 4.37 × 10⁵
సాధన.
= 4.37 × 100000 = 437000

(ii) 5.8 × 10⁷
సాధన.
= 5.8 × 10000000 = 58000000

(iii) 32.5 × 10^-4
సాధన.
= \(\frac{32.5}{10^{4}}=\frac{32.5}{10000}\) = 0.00325

(iv) 3.71529 × 10⁷
సాధన.
= 3.71529 × 10000000 = 37152900

(v) 3789 × 10^-5
సాధన.
= \(\frac{3789}{10^{5}}=\frac{3789}{100000}\) = 0.03789

(vi) 24.36 × 10^-3
సాధన.
\(\frac{24.36}{10^{3}}=\frac{24.36}{1000}\)
= 0.02436

3. క్రింది సమాచారంలోని సంఖ్యలను ప్రామాణిక రూపంలో వ్రాయండి.
(i) బాక్టీరియా పరిమాణము 0.0000004 మీ.
సాధన.
= \(\frac{4}{10000000}\) మీ. = 4 × 10^-7 మీ.

(ii) ఎర్రరక్త కణాల పరిమాణము 0.000007 మి.మీ.
సాధన.
= \(\frac{7}{1000000}\) = 7 × 10^-6 మి.మీ.

(iii) కాంతివేగము 300000000 మీ./సె.
సాధన.
= 3 × 10,00,00,000 = 3 × 10⁸ మీ./సె.

(iv) భూమికి, చంద్రునికి మధ్య దూరం 384467000 మీ. (సుమారుగా)
సాధన.
= 384467 × 1000 మీ.
= 384467 × 10³ మీ.

(v) ఎలక్ట్రాన్ ఆవేశం 0.0000000000000000016 కూలూంబులు.
సాధన.
= 0.0000000000000000016
= \(\frac{16}{10000000000000000000}\)
= \(\frac{16}{10^{19}}\)
= 16 × 10^-19 కూలూంబులు

(vi) పేపర్ యొక్క మందం 0.0016 సెం.మీ.
సాధన.
= 0.0016 సెం.మీ. = \(\frac{16}{10000}\)
= \(\frac{16}{10^{4}}\) = 16 × 10^-4 సెం.మీ.

(vii) కంప్యూటర్ చిప్ లోని తీగ వ్యాసం 0.000005 సెం.మీ.
సాధన.
= 0.000005 సెం.మీ. = \(\frac{5}{1000000}\) సెం.మీ.
= \(\frac{5}{10^{6}}\) = 5 × 10^-6 సెం.మీ.

4. ఒక పుస్తకాల కట్టలో 20 మి.మీ. మందం గల 5 పుస్తకాలు 0.016 మి.మీ, మందం గల 5 పేపర్లు కలవు. అయిన పుస్తకాల కట్ట యొక్క మొత్తం మందమును కనుగొనుము.
సాధన.
పుస్తకాల కట్ట యొక్క మొత్తం మందం = (5 పుస్తకాలు × పాటి మందం) + (5 పేపర్లు × వాటి మందం)
= (20 మి.మీ. × 5) + (0.016 మి.మీ. × 5)
= (100 మి.మీ. + 0.080 మి.మీ.)
= (100 + 0.08) మి.మీ.
= 100.08 మి.మీ.
= 1.0008 × 10² మి.మీ.

5. ఘాతాంకాలు కలిగిన కొన్ని సమస్యలను రాకేష్ క్రింది విధంగా సాధించాడు. నీవు రాకేష్ తో ఏకీభవిస్తావా ? నీ సమాధానమును సమర్థించుము.
(i) x^-3 × x^-2 = x^-6
సాధన.
⇒ x^{-3 + (-2)} = x^-6 [∵ am × an = am+n]
⇒ x^-5 = x^-6 ⇒ -5 ≠ -6
[∵ భూములు సమానం కావున ఘాతాంకాలు సమానాలు]
∴ ఈ సందర్భంలో రాకేష్ సమాధానంతో ఏకీభవించుట లేదు. ఎందుకనగా – 5 ≠ – 6 కావున.

(ii) \(\frac{x^{3}}{x^{2}}\) = x⁴
సాధన.
⇒ x^3-2 = x⁴ [∵ \(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\)]
⇒ x¹ = x⁴ ⇒ 1 ≠ 4
[∵ భూములు సమానం కావున ఘాతాంకాలు సమానాలు]
∴ ఈ సందర్భంలో రాకేష్ సమాధానంతో ఏకీభవించుట లేదు.

iii) (x²)³ = x²³ = x⁸
సాధన.
⇒ x^2×3= x^2×2×2 = x⁸ [∵ (a^m)ⁿ = a^mn)
⇒ x⁶ = x⁸ ⇒ 6 ≠ 8
∴ ఈ సందర్భంలో రాకేష్ సమాధానంతో ఏకీభవించుట లేదు.

iv) x^-2 = \(\sqrt{x}\)
సాధన.
⇒ x^-2 = x^1/2 [∵ \(\sqrt[n]{a}=a^{1 / n}\)]
⇒ -2 = \(\frac {1}{2}\)
∴ ఇది అసంభవం కావున ఈ సందర్భంలో కూడా రాకేష్ సమాధానంతో ఏకీభవించుట లేదు.

v) 3x^-1 = \(\frac{1}{3 x}\)
సాధన.
⇒ \(\frac{3}{x}=\frac{1}{3 x}\)
⇒ 3 × 3 = \(\frac{x}{x}\)
⇒ x⁰ = 9
⇒ 1 = 9
∴ ఇది అసంభవం కావున ఈ సందర్భంలో కూడా రాకేష్ సమాధానంతో ఏకీభవించుట లేదు.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట InText Questions

ఇవి చేయండి

1. త్రిమితీయాలు గల కొన్ని వస్తువుల పేర్లు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 282)
సాధన.
1. సమఘనం
2. స్థూపం
3. గోళం
4. దీర్ఘ ఘనం
5. శంఖువు

2. ద్విమితీయ ఆకారాలు గల కొన్ని పటముల పేర్లు వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 282)
సాధన.
1. చతురస్రం
2. దీర్ఘచతురస్రం
3. రేఖాఖండం
4. వృత్తం
5. త్రిభుజము

3. గాలిపటము (kite) చిత్రము గీయండి. అది ద్విమితీయ పటమా లేక త్రిమితీయ వస్తువా గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 282)
సాధన.

ఇది ఒక ద్విమితీయ పటం

4. ఘనము, దీర్ఘఘనాకారము గల కొన్ని వస్తువులను గుర్తించండి. (పేజీ నెం. 282)
సాధన.

5. వృత్తము, గోళము మధ్య తేడా ఏమిటి ?
సాధన.
వృత్తం – ఇది ఒక ద్విమితీయ ఆకారం ; గోళం – ఇది ఒక త్రిమితీయ వస్తువు.

6. కింద ఇచ్చిన పట్టకముల పేర్లు రాయంది. (పేజీ నెం. 290)

సాధన.
(i) సమఘనం
(ii) త్రిభుజాకార పట్టకం
(iii) పంచభుజాకార పట్టకం
(iv) షడ్భుజాకార పట్టకం దీర్ఘచతురస్రాకార పట్టకం

7. కింద ఇచ్చిన పిరమిడ్ ల పేర్లను రాయండి. (పేజీ నెం. 290)

సాధన.
(i) చతురస్రాకార పిరమిడ్
(ii) పంచభుజాకార పిరమిడ్
(iii) షడ్భుజాకార పిరమిడ్

8. కింది పట్టిక నందు వాటి భుజముల ఆధారంగా పిరమిడ్ పట్టకము యొక్క పేర్లను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 290)

పట్టకము / పిరమిడ్ యొక్క భుజాల సంఖ్య	పట్టకము పేరు	పిరమిడ్ పేరు
3 భుజములు
4 భుజములు
5 భుజములు
6 భుజములు
8 భుజములు

సాధన.

పట్టకము / పిరమిడ్ యొక్క భుజాల సంఖ్య	పట్టకము పేరు	పిరమిడ్ పేరు
3 భుజములు	త్రిభుజాకార పట్టకం	త్రిభుజాకార పిరమిడ్
4 భుజములు	చతురస్రాకార పట్టకం	చతురస్రాకార పిరమిడ్
5 భుజములు	పంచభుజాకార పట్టకం	పంచభుజాకార పిరమిడ్
6 భుజములు	షడ్భుజాకార పట్టకం	షడ్భుజాకార పిరమిడ్
8 భుజములు	అష్టభుజాకార పట్టకం	అష్టభుజాకార పిరమిడ్

9. పట్టకము, పిరమిడ్ల మధ్య తేడాలను వివరించండి. (పేజీ నెం. 290)
సాధన
పట్టకంలో పై, కింది తలాల యొక్క భుజాల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది.
పిరమిడ్ లో భూమి సమతలంగా ఉండి ఆ సమతలాల శీర్షాలతో ఏర్పడు అంచులన్నీ పైన ఒకే బిందువు వద్ద ఏకీభవిస్తాయి.

ప్రయత్నించండి

1. బహుముఖి ఫలకముగా గల వస్తువులకు 3 ఉదాహరణలు ఇవ్వండి. (పేజీ నెం. 287)
సాధన.
బహుముఖ ఫలకముగా గల వస్తువులు :

2. బహుముఖేతర ఫలకముగా గల వస్తువులకు 3 ఉదాహరణలు ఇవ్వండి. (పేజీ నెం. 282)
సాధన.
బహుముఖేతర ఫలకాలు గల వస్తువులు :

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి

1. ఒక వస్తువు వివిధ స్థానాల నుండి వివిధ ఆకారాలలో కనిపిస్తుంది. ఉదాహరణకు

పై పటమును పై నుండి చూసినప్పుడు, కింది నుండి చూసినప్పుడు కనిపించు ఆకారము యొక్క చుట్టుకొలత, వైశాల్యము కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 283)
సాధన.
ఒక్కొక్క తలం యొక్క భుజం ‘1’ యూనిట్ అనుకొనిన
వివిధ స్థానాలలోని ఆకారాలు (I)
1. ముందు నుండి చూసినపుడు
2. పై నుండి చూసినప్పుడు
3. కింద నుండి చూసినప్పుడు

వాటి వైశాల్యాలు (II)
A = (1 × 1) + (1 × 1) + (1 × 1) = 3 చ.యూ.
A= (1 + 1 + 1) × (1 + 1) = 3 × 2 = 6 చ.యూ.
A = (1 + 1 + 1) × (1 + 1) = 3 × 2 = 6 చ.యూ.

చుట్టుకొలతలు (III)
1. —————–> 1 + 1 + 1 = 3 యూనిట్లు
2. ————–> 2(l + b) = 2 (3 + 2) = 2 × 5 = 10 యూనిట్లు
3. ————–> 2(l + b) = 2 (3 + 2) = 2 × 5 = 10 యూనిట్లు

2. ఒక క్రమ పిరమిడ్ నందు అడుగు తలము యొక్క భుజముల సంఖ్య అనంతముగా పెంచినచో, ఆ పిరమిడ్ మార్పు చెందు ఆకారమును గమనించండి. (పేజీ నెం. 291)
సాధన.
ఒక క్రమ పిరమిడ్ నందు అడుగు తలము యొక్క భుజాల సంఖ్యను అనంతంగా పెంచినచో ఆ తలం ఒక వృత్తాకారాన్ని సంతరించుకుంటుంది. తద్వారా ఆ పిరమిడ్ ఒక శంఖువు ఆకారాన్ని ఆపాదించుకుంటుంది,

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 4 ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు Ex 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 4th Lesson ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు Exercise 4.1

1. సూక్ష్మీకరించి తగు కారణాలు తెలుపుము.
(i) 4^-3
(ii) (-2)⁷
(iii) \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-3}\)
(iv) (-3)^-4
సాధన.
(i) 4^-3 = \(\frac{1}{4^{3}}=\frac{1}{64}\)
[∵ \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)]

(ii) (-2)⁷ = – (2)⁷ = – 128 [∵ 7 బేసిసంఖ్య]
ఎందుకనగా (-a)ⁿ విస్తరణలో n బేసిసంఖ్య అయిన (-a)ⁿ = – aⁿ అగును.

(iii) \(\left(\frac{3}{4}\right)^{-3}\)

(iv) (3)^-4 = \(\frac{1}{(-3)^{4}}\) [∵ \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)]
= \(\frac{1}{3^{4}}\) [∵ 4 ఒక సరిసంఖ్య]
= \(\frac {1}{81}\)

2. కింది వానిని సూక్ష్మీకరింపుము.
(i) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{4} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{5} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{6}\)
సాధన.
\(\left(\frac{1}{2}\right)^{4+5+6}=\left(\frac{1}{2}\right)^{15}\)
= \(\frac{1}{2^{15}}\) [∵ a^m × aⁿ = a^m+n]

(ii) (-2)⁷ × (-2)³ × (-2)⁴
సాధన.
(-2)⁷⁺³⁺⁷ = (-2)¹⁴ = 2¹⁴
[∵ (-a)ⁿ = aⁿ, n ఒక సరిసంఖ్య ]

(iii) 4⁴ × \(\left(\frac{5}{4}\right)^{4}\)
సాధన.
\(4^{4} \times \frac{5^{4}}{4^{4}}=5^{4}\)
[∵ \(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}\)]

(iv) \(\left[\frac{5^{-4}}{5^{-6}}\right] \times 5^{3}\)
సాధన.
= 5^-4 × (5⁶ × 5³) [∵ \(\frac{1}{a^{-n}}=a^{n}\)]
= 5^-4 × 5⁶⁺³ [∵ a^m × aⁿ = a^m+n]
= 5^-4 × 5⁹ = 5^(-4)+9 = 5⁵

(v) (-3)⁴ × 7⁴
సాధన.
= 3⁴ × 7⁴ [∵ 4 ఒక సరి సంఖ్య ]
= (3 × 7)⁴ = (21)⁴ [∵ a^m × b^m = (ab)^m]

3. సూక్ష్మీకరింపుము.
(i) \(2^{2} \times \frac{3^{2}}{2^{-2}} \times 3^{-1}\)
సాధన.
= 2² × 2² × 3² ×3^-1 [∵ \(\frac{1}{a^{-n}}=a^{n}\)]
= 2²⁺² × 3^2+(-1)
= 2⁴ × 3¹ = 16 × 3 = 48

(ii) (4^-1 × 3^-1) ÷ 6^-1
సాధన.
= \(\left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}\right) \div \frac{1}{6}\) [∵ \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)]
= \(\frac{1}{12}+\frac{1}{6}\)
= \(\frac {6}{12}\)
= \(\frac {1}{2}\)
= 2^-1

4. సూక్ష్మీకరించి తగు కారణాలు తెలపండి.
(i) (4⁰ + 5^-1) × 5² × \(\frac {1}{3}\)
సాధన.

(ii) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{-3} \times\left(\frac{1}{5}\right)^{-3}\)
సాధన.

(iii) (2^-1 + 3^-1 + 4^-1) × \(\frac {3}{4}\)
సాధన.

(iv) \(\frac{3^{-2}}{3} \times\left(3^{0}-3^{-1}\right)\)
సాధన.

(v) 1 + 2^-1 + 3^-1 + 4⁰
సాధన.

(vi) \(\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{-2}\right]^{2}\)
సాధన.

5. సూక్ష్మీకరించి తగు కారణాలు తెలపండి.
(i) \(\left[\left(3^{2}-2^{2}\right) \div \frac{1}{5}\right]^{2}\)
(ii) ((5²)³ × 5⁴) ÷ 5⁶
సాధన.
(i) \(\left[\left(3^{2}-2^{2}\right) \div \frac{1}{5}\right]^{2}\)
= \(\left[5 \times \frac{5}{1}\right]^{2}\)
= (5²)² = 5⁴ = 625 [∵ (a^m)ⁿ = a^mn]

(ii) ((5²)³ × 5⁴) ÷ 5⁶
సాధన.

6. కింది వానిలో ‘n’ విలువను కనుగొనుము.
(i) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{5}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}\)
సాధన.

భూములు సమానమైన ఘాతాంకాలు సమానాలు.
⇒ n – 2 = 8 ⇒ n = 8 + 2 = 10
∴ n = 10

(ii) (-3)ⁿ⁺¹ × (-3)⁵ = (-3)^-4
సాధన.
⇒ (-3)ⁿ⁺¹⁺⁵ = (-3)^-4 [∵ a^m x aⁿ = a^m+n]
⇒ (-3)ⁿ⁺⁶ = (-3)^-4
⇒ n + 6 = -4
n = – 4 – 6 = – 10
∴ n = – 10

(iii) 7²ⁿ⁺¹ ÷ 49 = 7³
సాధన.

7. 2^-3 = \(\frac{1}{2^{x}}\) అయిన x విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
2^-3 = \(\frac{1}{2^{x}}\) = 2^-x [∵ \(\frac{1}{a^{n}}=a^{-n}\)]
⇒ 2^-3 = 2^-x
⇒ -x = -3
∴ x = 3

8. \(\left[\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} \div\left(\frac{4}{5}\right)^{-3}\right] \times\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}\) సూక్ష్మీకరించుము.
సాధన.

9. m = 3 మరియు n = 2 అయిన ఈ క్రింది వాని విలువలను కనుగొనుము.
i) 9m² – 10n³
ii) am²n²
iii) 2m³ + 3n² – 5m²n
iv) mⁿ – n^m
సాధన.
i) 9m² – 10n³ = 9(3)² – 10(2)³
= 9 × 9 – 10 × 8
= 81 – 80 = 1

ii) 2m²n²
= 2(3)²(2)²
= 2 × 9 × 4
= 72

iii) 2m³ + 3n² – 5m²n
= 2(3)³ + 3(2)² – 5(3)² × 2
= (2 × 27) + (3 × 4) – (5 × 9 × 2)
= 54 + 12 – 90
= 66 – 90
= – 24

iv) mⁿ – n^m = 3² – 2³
= 3 × 3 – 2 × 2 × 2 = 9 – 8 = 1

10. \(\left(\frac{4}{7}\right)^{-5} \times\left(\frac{7}{4}\right)^{-7}\) సూక్ష్మీకరించి తగు కారణాలు తెలపండి.
సాధన.

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 13th Lesson త్రిమితీయ వస్తువులను ద్విమితీయంగా చూపుట Exercise 13.2

ప్రశ్న 1.
కింది పటములో గల బహుముఖి యొక్క తలములు, శీర్షములు, అంచుల యొక్క సంఖ్యను లెక్కించండి. వాటికి ఆయిలర్ సూత్రాన్ని సరిచూడండి.
(లేదా)
భూమి పంచభుజిగాగల క్రమ పిరమిడ్ యొక్క F, V, E లను రాసి ఆయిలర్ నియమము వినియోగించండి.


సాధన.

ప్రశ్న 2.
చతురస్రాకార పట్టకము, సమఘనము ఒకటేనా ? వివరించండి.
సాధన.
చతురస్రాకార పట్టక భూమి, సమఘనం యొక్క భూమి రెండూ చతురస్రాకారాన్ని కలిగి ఉంటాయి. కావునా రెండూ ఒకటే.

ప్రశ్న 3.
ఏదైనా బహుముఖి 3 త్రిభుల తలములు కలిగి ఉంటుందా ? వివరించండి.
సాధన.
ఏ బహుముఖి కూడా 3 త్రిభుజ తలాలను కలిగి ఉండదు. త్రిభుజాకార పిరమిడ్ కూడా 4 తలాలను కలిగి ఉంటుంది.
∴ ఏ బహుముఖి అయిన కనీసం 4 త్రిభుజాకార తలాలు కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
ఏదైనా బహుముఖ 4 త్రిభుజ తలములు కలిగి ఉంటుందా ? వివరించండి.
సాధన.
అవును. త్రిభుజాకార పిరమిడ్ 4 త్రిభుజ తలాలను కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
కింది టేబుల్ నందలి ఖాళీలను ఆయిలర్ సూత్రము ఆధారముగా పూరించండి.

F	8	5	?
V	6	?	12
E	?	9	30

సాధన.

F	8	5	20
V	6	6	12
E	12	9	30

(i) E = V + F – 2 = 8 + 6 – 2 = 12
(ii) V = E + 2 – F = 9 + 2 – 5 = 6
(iii) F = E + 2 – V = 30 + 2 – 12 = 20

ప్రశ్న 6.
ఏదైనా ఒక బహుముఖి 10 తలములు, 20 అంచులు, 15 శీర్షములు కలిగి ఉంటుందా ? వివరించండి.
సాధన.
తలాలు = 10, అంచులు – 20, శీర్షాలు = 15
ఆయిలర్ సూత్రం ఆధారంగా ఏ బహుముఖి అయినను V + F – E = 2ను పాటించాలి.
∴ 15 + 10 – 20 = 2
⇒ 25 – 20 = 2
⇒ 5 ≠ 2
∴ 10 తలాలు, 20 అంచులు, 15 శీర్షాలు గల బహుముఖి ఉండుట అసాధ్యం.

ప్రశ్న 7.
కింది పట్టికను పూరించండి.
(లేదా)
చతురస్రాకార పిరమిడ్ యొక్క చిత్తు పటమును గీయండి.

సాధన.

ప్రశ్న 8.
కింద నీయబడిన వలరూపాల ద్వారా 3-D వస్తువులు లేక ఆకారాలను గుర్తించి వ్రాయండి.

సాధన.
(i) షడ్భుజాకార పిరమిడ్
(ii) దీర్ఘ ఘనం
(iii) పంచభుజాకార పిరమిడ్
(iv) స్టూపం
(v) ఘనం
(vi) షడ్భుజాకార పిరమిడ్
(vii) సమలంబ చతుర్భుజం

9. కింది వలరూపములను చెక్ రూల్ బుక్ నందు గీయండి. మరియు కింద నీయబడిన వల రూపములతో సమఘనము తయారుచేయగల వలరూపములను కనుగొనండి.

ప్రశ్న (i)

సాధన.
పై పటాలను చెక్ రూల్ పై గీయండి.
పై పటాల నుండి సమఘనం తయారుచేయగల వల రూపాలు a, b, c, e లు.

ప్రశ్న (ii)
కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలు ఇవ్వండి.
(a) నాలుగు శీర్షములు, 4 తలములు గల బహుముఖీని పేర్కొనండి.
(b) ఒక శీర్షము కూడా లేని ఘనాకారపు వస్తువును పేర్కొనండి.
(c) 12 అంచులు గల బహుముఖీని పేర్కొనండి.
(d) ఒకే ఒక తలము గల ఘనాకారపు వస్తువును పేర్కొనండి.
(e) సమఘనము, దీర్ఘఘనమునకు గల భేదములు వివరించండి.
(f) అంచుల సంఖ్య, శీర్షముల సంఖ్య, తలముల సంఖ్య సమానముగా గల రెండు బహుముఖిలను పేర్కొనండి.
(g) 5 శీర్షములు, 5 తలములు గల బహుముఖీని పేర్కొనండి.
సాధన.
(a) చతుర్భుజి
(b) గోళము
(c) ఘనం / దీర్ఘఘనం
(d) సమగోళము
(e) ఘనము ఒక క్రమతల ఫలకము (అనగా అన్ని భుజాలు సమానాలు), దీర్ఘఘనం క్రమ సమతల ఫలకం కాదు.
(f) ఘనము, దీర్ఘఘనము
(g) చతుర్భుజాకార పట్టకం

ప్రశ్న (iii)
కింది పటముల యొక్క పేర్లను పేర్కొనండి.

సాధన.
(a) అష్టభుజాకార పట్టకం
(b) అష్టభుజాకార పట్టకం
(c) త్రిభుజాకార పట్టకం
(d) పంచభుజాకార పట్టకం

SCERT AP 8th Class Maths Solutions Chapter 3 చతుర్భుజాల నిర్మాణాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 3rd Lesson చతుర్భుజాల నిర్మాణాలు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. 8 సెం.మీ. పొడవు గల ఒక జత కర్రపుల్లలు తీసుకోండి. అదేవిధంగా 6 సెం.మీ. పొడవు గల మరొక జత కర్రపుల్లలు తీసుకోండి. వీటితో ఒక దీర్ఘచతురస్రాకారాన్ని 6 సెమీ) ఏర్పరచండి. ఈ దీర్ఘ చతురస్రం ఇవ్వబడిన 4 కొలతలతో (పుల్లలు) ఏర్పడింది. దీనిని వెడల్పు పుల్ల వెంబడి నెమ్మదిగా, కదిలించండి. ఏర్పడిన ఈ కొత్త రకం ఆకారం పూర్వపు ఆకారమేనా ? పటం (ii) లో ఏర్పడిన చతుర్భుజానికి కొత్త రూపం వచ్చింది కదా ! ముందు దీర్ఘచతురస్రం ఇప్పుడు సమాంతర చతుర్భుజం అయింది. నీవు ఏమైన కర్రపుల్లల కొలతలు మార్చావా ? లేదు కదా ! భుజాల పొడవులు అదేవిధంగా ఉన్నాయి. కొత్తగా ఏర్పడిన చతుర్భుజ రూపాన్ని మరొకసారి వ్యతిరేక దిశలో కదిలించండి. చతుర్భుజా ఏ రూపం వచ్చింది ? తిరిగి మరలా సమాంతర చతుర్భుజం వచ్చింది. కాని ఇది పూర్తిగా వొక రూపం అని పటం (iii) చూసి గమనించవచ్చు. ఈ సందర్భంలోనూ నాలుగు కొలతలు ఒకే విధంగా ఉన్నాయి. దీనిని బట్టి నాలుగు కొలతలతో ఏకైక చతుర్భుజం ఏర్పడదని తెలుసుకోవచ్చు. మరి అయిదు కొలతలు ఒక ఏకైక చతుర్భుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయా? తిరిగి మనం కృత్యాన్ని కొనసాగిద్దాం . 8 సెం.మీ., 6 సెం.మీ. పొడవులు గల రెండు జతల పుల్లలతో దీర్ఘచతురస్రాన్ని ఏర్పరిచారు కదా ! పటం (iv) లో చూపిన విధంగా BD పొడవుకు సమానమయ్యే మరొక కర్రపుల్లను చేరుద్దాం. ఇప్పుడు ముందుగా చేసినట్లుగా వెడల్పు వెంబడి కదిపి చూడండి. ఆకారంలో మార్పు వచ్చిందా ? లేదు కదా! మార్పు చెందలేదని గమనిస్తారు. అందుచే ఐదవ కొలత (పుల్ల) దీర్ఘ చతురస్రాకారాన్ని మార్చడానికి వీలు లేకుండా చేయగలిగింది. మరొక రకమైన చతుర్భుజం ఏర్పడే అవకాశం లేకుండా ‘ (కొలతలు మార్చనంత వరకు) జరిగింది. దీనిని బట్టి ఒక చతుర్భుజం ఏకైకంగా ఏర్పడాలంటే ఐదు కొలతలు అవసరమని తెలుస్తున్నది. మరి. ఏ ఐదు కొలతలైనా ఏకైక చతుర్భుజాన్ని ఏర్పరచడానికి సరిపోతాయా ? (పేజీ నెం. 60)


సాధన.
అవును, సరిపోతాయి.

2. కావల్సిన సామగ్రి : కొలబద్ద, మూలమట్టాలు మరియు కోణమానిని. (పేజీ నెం. 61)
గుర్తుంచుకోవల్సినవి : రేఖలు సమాంతరాలో కాదో తెలుసుకొనుటకు మూలమట్టాలను మొదటి రేఖ నుండి రెండవ రేఖ వైపు జరపాలి.
కింది పటాలలో ధర్మాలను పరిశీలించడానికి తగు పరికరాలు ఎంచుకొని పరిశోధించి రాయండి.

ప్రతి చతుర్భుజానికి
a) ఎదుటి భుజాలు సమాంతరమో, కాదో చూడాలి.
b) ప్రతి కోణం కొలత కనుగొనాలి.
c) ప్రతి భుజం పొడవు కనుగొనాలి.

మీరు పరిశోధించి కనుగొన్న ఫలితాలను పట్టికలో నమోదు చేయండి.

సాధన.

3. 60° కోణాన్ని గీయగలరా ? (పేజీ నెం. 63)

సాధన.
వృత్తలేఖిని, స్కేలును ఉపయోగించి 60° కోణాన్ని నిర్మించవచ్చు.

4. BELT సమాంతర చతుర్భుజాన్ని, మరి ఏ ఇతర సమాంతర చతుర్భుజ ధర్మాల ఆధారంగా నిర్మించవచ్చో తెలిపి, నిర్మించి చూడండి. (పేజీ నెం. 75)
సాధన.
ఒక భుజం, ఒక కర్ణము, ఒక కోణం ఆధారంగా సమాంతర చతుర్భుజాన్ని నిర్మించవచ్చు.
BE = 5 సెం.మీ. ⇒ LT = 5 సెం.మీ.
∠B = 110° ⇒ ∠E = 180° – 110° = 70°
TE = 7.2 సెం.మీ.

ప్రయత్నించండి (పేజీ నెం. 70)

1. BA = 5 సెం.మీ., AT = 6 సెం.మీ. మరియు AS = 6.5 సెం.మీ. కొలతలతో BATS సమాంతర చతుర్భుజం గీయగలమా? వివరించండి.
సాధన.
BATS సమాంతర చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు భుజాలు సమానాలు.
∴ BA = ST = 5 సెం.మీ., AT = BS = 6 సెం.మీ., AS = 6.5 సెం.మీ.
∴ BATS సమాంతర చతుర్భుజాన్ని నిర్మించవచ్చు.
ఎందుకనగా దీనికి 3 స్వతంత్ర కొలతలు చాలు.

2. ఒక విద్యా ర్థి PL = 3 సెం.మీ., LA = 4 సెం.మీ., AY = 4.5 సెం.మీ., PY = 2 సెం.మీ. మరియు LY = 6 సెం.మీ. కొలతలతో PLAY అనే చతుర్భుజాన్ని నిర్మించడానికి ప్రయత్నించాడు. కాని సాధ్యం కాలేదు. ఎందుకు ? నీవు కూడా చతుర్భుజాన్ని గీయడానికి ప్రయత్నించి, తగు కారణాలు తెల్పండి.
సాధన.
PLAY అను చతుర్భుజ కొలతలు
PL = 3 సెం.మీ.
LA = 4 సెం.మీ.
AY = 4.5 సెం.మీ.
PY = 2 సెం.మీ.
LY = 6 సెం.మీ.
ఇచ్చట YP + PL < YL
(త్రిభుజం YPL లో రెండు భుజాల మొత్తం 3వ భుజం కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి. కానీ ఈ సందర్భంలో అలా సంభవించలేదు. )

PLAY అనునది ఒక చతుర్భుజం కాదు.
(∵ YL > YP)
∴ ఇచ్చిన కొలతలతో చతుర్భుజం నిర్మించలేము.
(ఎందుకనగా L నుండి గీసిన చాపము P నుండి గీసిన చాపములు ఖండించుకొనుటలేదు. Y, P, L లు ఒకే సరళరేఖపై కలవు. )

ఆలోచించి, చర్చించి వ్రాయండి (పేజీ నెం. 63)

1. ప్రతి దీర్ఘచతురస్రం ఒక సమాంతర చతుర్భుజమేనా ? ప్రతి సమాంతర చతుర్భుజం ఒక దీర్ఘచతురస్రమేనా ?
సాధన.
అవును. ప్రతి దీర్ఘచతురస్రం ఒక సమాంతర చతుర్భుజం అగును. కాని ప్రతి సమాంతర చతుర్భుజం ఒక దీర్ఘ చతురస్రం కాదు.

2. ఉమ బెల్లం చక్కని దీర్ఘచతురస్రాకారంలో చేయాలనుకున్నది. అది దీర్ఘచతురస్రాకారంలోనే వుండాలంటే ఆమె దానిని ఎన్ని రకాలుగా పరిశీలించి ఆకారం తీసుకురావాలి ?
సాధన.
బెల్లం చక్కీని దీర్ఘచతురస్రాకారంలోనికి మార్చాలంటే దానిని i) చతుర్భుజం ii) సమలంబ చతుర్భుజం iii) సమాంతర చతుర్భుజాకారాలను పరిశీలించాలి.

3. AB = 4.5 సెం.మీ., BC = 5.2 సెం.మీ., CD = 4.8 సెం.మీ., కర్ణాలు AC = 5 సెం.మీ. మరియు BD = 5.4 సెం.మీ. కొలతలు గల ABCD చతుర్భుజాన్ని గీయడానికి ముందుగా ΔABDతో మొదలు పెట్టి నాల్గవ శీర్షం ‘C’ ని గుర్తించగలరా ? కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 72)
సాధన.
ΔABD నిర్మించడం సాధ్యం కాదు కావునా ముందుగా ΔABD తో మొదలు పెట్టి ABCD చతుర్భుజాన్ని నిర్మించడం సాధ్యం కాదు. [∵ AD పొడవు ఇవ్వబడలేదు)

4. PQ = 3 సెం.మీ., RS = 3 సెం.మీ., PS = 7.5 సెం.మీ., PR = 8 సెం.మీ. మరియు SQ = 4 సెం.మీ. కొలతలతో PORS చతుర్భుజం నిర్మించండి. నిర్మాణం ఏవిధంగా చేస్తారో వివరించండి. (పేజీ నెం. 72)
సాధన.
PQ = 3 సెం.మీ. RS = 3 సెం.మీ. PS = 7.5 సెం.మీ. PR = 8 సెం.మీ. SQ = 4 సెం.మీ.

∴ ఇచ్చిన కొలతలతో PQS త్రిభుజం నిర్మించలేము.
PQ+ QS < PS
∴ S శీర్షం నిర్మించవలెనన్న P నుండి గీసిన చాపం మరియు Q నుండి గీసిన చాపాలు ఖండించుకొనుట లేదు.
∴ S శీర్షం లేకుండా PQRS చతుర్భుజ నిర్మాణం సాధ్యం కాదు.

5. ప్రక్క పటంలో ఇచ్చిన కొలతలలో ∠P = 75°కు బదులు ∠P= 100° తీసుకుంటే PQRS చతుర్భుజం నిర్మించగలరా ? కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 74)
సాధన.
PQ = 4 సెం.మీ., QR = 4.8 సెం.మీ.,
∠P = 100°, ∠Q = 100°, ∠R = 120°
∴ ఇచ్చిన కొలతలతో PQRS చతుర్భుజం నిర్మించ గలం. ఎందుకనగా 4 కోణాల మొత్తం = 360°

6. PL = 6 సెం.మీ., LA = 9.5 సెం.మీ., ∠P = 75°, L = 15° మరియు ∠A = 140° కొలతలతో PLAN చతుర్భుజం గీయగలరా ? (పేజీ నెం. 74)
(ప్రతి సందర్భంలోనూ చిత్తు పటాలను గీచి, కొలతలను విశ్లేషించండి.) మీ యొక్క సమాధానాలకు తగిన కారణాలు తెలపండి.
సాధన.
PL = 6 సెం.మీ., LA = 9.5 సెం.మీ., ∠P = 75°, ∠L = 15°, ∠A = 140°

∴ ఇచ్చిన కొలతలతో PLAN చతుర్భుజం నిర్మించలేము.

7. AB = 5 సెం.మీ., BC = 4.5 సెం.మీ., CD = 6 సెం.మీ., ∠B = 100°, ∠C = 75° కొలతలు గల ABCD చతుర్భుజాన్ని BC భూమిగా తీసుకొని (AB భూమిగా కాకుండా) నిర్మించగలరా ? చిత్తుపటం గీచి నిర్మాణ సోపానాలను వివరించుము. (పేజీ నెం. 77)
సాధన.
AB = 5 సెం.మీ., BC = 4.5 సెం.మీ., CD = 6 సెం.మీ., ∠B = 100°, ∠C = 75°
నిర్మాణ క్రమం :
1. 4.5 సెం.మీ.ల వ్యాసార్ధంతో BC రేఖాఖండాన్ని నిర్మించితిని.
2. B, C లు కేంద్రాలుగా 100°; 75° వరుస కిరణాలు గీచితిని.
3. B, C లు కేంద్రాలుగా 5 సెం.మీ., 6 సెం.మీ., వ్యాసార్ధాలతో రెండు చాపాలను గీయగా అవి కిరణాలను ఖండించిన బిందువులను A, D లుగా గుర్తించితిని.
4. A, D లను కలిపితిని.
5. ∴ ABCD చతుర్భుజం ఏర్పడినది.

8. ప్రక్క పటంలో ABCD రాంబస్ ను AC భూమిగా తీసుకొని నిర్మించగలరా ? లేదంటే కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 79)

సాధన.

ABCD రాంబస్ లో AC భూమి కాకుండా BD ను భూమిగా తీసుకొని రాంబసను నిర్మించవచ్చు.

9. రాంబస్ లో రెండు కర్ణాల పొడవులు సమానం అయితే ఏ పటం ఏర్పడుతుంది ? చిత్తుపటం గీచి, తగు కారణాలను తెలపండి. (పేజీ నెం. 79)
(లేదా )
ఒక సమాంతర చతుర్భుజంలోని కర్ణాల పొడవులు సమానం అయిన సందర్భంలో ఏయే పటాలు ఏర్పడునో చిత్తు పటాలు గీచి, తగు కారణాలతో తెల్పండి.
సాధన.
ఒక రాంబ లోని రెండు కర్ణాల పొడవులు సమానం అయిన రాంబస్లో అన్ని భుజాలు సమానంగా ఉంటాయి కావునా అది ఒక చతురస్రం అవుతుంది. ∴ ABCD ఒక చతురస్రం.
[∵ AB = BC = CD = DA & AC = BD]