Category: Bit Bank

Practice the AP 10th Class Maths Bits with Answers 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 10th Class Maths Bits 4th Lesson రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాల జత

ప్రశ్న1.
క్రింది వానిలో ఏది రేఖీయ సమీకరణం కాదు?
A) 5 + 4x = y + 3
B) x + 2y = y – x
C) 3 – x = y² + 4
D) x + y = 0
జవాబు :
C) 3 – x = y² + 4

ప్రశ్న2.
4x + 6y = 15 మరియు 2x + 3y = 5 సమీకరణాల జత యొక్క సాధనలు ___________
A) ఏకైకము
B) అపరిమితము
C) సాధనలు లేవు
D) రెండు
జవాబు :
D) రెండు

ప్రశ్న3.
k యొక్క ఏ విలువకు 3x + 4y + 2 = 0 మరియు 9x + 12y + (k+ 1) = 0 రేఖీయ సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటాయి ?
జవాబు :
అనంత సాధనలు ఉంటే \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
⇒ \(\frac{3}{9}=\frac{4}{12}=\frac{2}{k+1}\)

⇒ k + 1 = 6 ⇒ k= 5

ప్రశ్న4.
రెండు పూరక కోణాలలో ఒకటి రెండవ దానికి రెట్టింపు అయిన వానిలో చిన్న కోణము విలువ ఎంత ?
జవాబు :
పూరక కోణాలు x, 90 – x అనుకొనుము.
ఒకటి రెండవ దానికి రెట్టింపు.
90 – x = 2x
90 = 3x
x = \(\frac{90}{3}\) = 30°
ఆ కోణాలు 30°, 90 – 30 = 60°
∴ చిన్న కోణము = 30°

ప్రశ్న5.
x + y = 6, x – y = 4 ల ఖండన బిందువును కనుగొనుము.
జవాబు :

5 + y = 6 ⇒ y = 1
∴ ఖండన బిందువు (5, 1).

ప్రశ్న6.
రెండు చరరాశులలో ఒక జత రేఖీయ సమీకరణాలు 2x – y = 4 మరియు 4x – 2y = 6 అయిన ఇవి
A) సంగతాలు
B) పరస్పరాధారితాలు
C) అసంగతాలు
D) చెప్పలేము
జవాబు :
C) అసంగతాలు

ప్రశ్న7.
3x – (x – 4) = 3x + 1 అను సమీకరణాన్ని తృప్తి పరచు ‘x’ విలువ ఎంత?
జవాబు :
3x – x + 4 = 3x + 1 ⇒ 4 – 1 = x
∴ x = 3

ప్రశ్న8.
2x + 3y – 5 = 0 కు అసంగతమయ్యే సమీకరణమును ఒక దానిని రాయండి.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) అయితే అసంగతాలు.
∴ 2x + 3y – 5 = 0 నకు అసంగతమయ్యే ఒక సమీకరణం = 4x + 6y – 20 = 0
(Note : x, y పదాలను ఒకే సంఖ్యతో గుణించి, స్థిరపదాన్ని వేరొక సంఖ్యతో గుణించాలి.)

ప్రశ్న9.
(2x – 1) – (1 – x) = 2x + 3 ని సంతృప్తి పరిచే x యొక్క విలువ ఎంత ?
జవాబు :
2x – 1 – 1 + x = 2x + 3
⇒ x = 3 + 2 = 5

ప్రశ్న10.
x = 2016, y = 2017 సరళరేఖల ఖండన బిందువును రాయండి.
జవాబు :
ఖండన బిందువు (2016, 2017).

ప్రశ్న11.
2x + 3y + k = 0, 6x + 9y + 3 = 0 సమీకరణముల జతకు అనంత సాధనలుంటే k విలువ ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) (∵ సాధనలు అనంతము)
⇒ \(\frac{2}{6}=\frac{3}{9}=\frac{k}{3} \Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{k}{3}\)
∴ k = 1

ప్రశ్న12.
a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు
a₂x + b₂y + c₂ = 0 అనే రేఖీయ సమీకరణాల జత సంగత సమీకరణాలు అయిన ____________
A) \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
B) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
C) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
D) A మరియు C
జవాబు :
D) A మరియు C

ప్రశ్న13.
2x – 3y = 8 రేఖ, X – అక్షాన్ని ఖండించు బిందువును, రాయండి.
జవాబు :
X – అక్షంను ఖండించే బిందువు వద్ద Y = 0
∴ 2x – 3(0) = 8 ⇒ x = 4
∴ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు = (4, 0)

ప్రశ్న14.
6x + 2y – 9 = 0 మరియు kx + y – 7 = 0 లకు సాధన లేకపోతే kవిలువ ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{\dot{c}_{1}}{c_{2}}\) (∵ సాధన లేదు కావున)
⇒ \(\frac{6}{\mathrm{k}}=\frac{2}{1} \neq \frac{9}{7} \Rightarrow \frac{6}{\mathrm{k}}\) = 2 ⇒ k = 3

ప్రశ్న15.
క్రింది వానిలో ఏక చరరాశి రేఖీయ సమీకరణంకు ఒక ఉదాహరణనివ్వండి.
జవాబు :
2x + 4 = 0

ప్రశ్న16.
క్రింది వానిలో ఏకచరరాశి రేఖీయ సమీకరణము ఏది?
A) 2x + 1 = y – 3
B) 2t – 1 = 12t + 5
C) 2x – 1 = x²
D) x² – x + 1 = 0
జవాబు :
B) 2t – 1 = 12t + 5

ప్రశ్న11.
5 (x – 3) = 10 సమీకరణం యొక్క సాధనను కనుగొనుము.
జవాబు :
5x – 15 = 10 ⇒ 5x = 25
∴ x = 5

ప్రశ్న18.
క్రింది వానిలో ఏది 2(x + 3) = 18 అనే సమీకరణానికి సాధన ?
జవాబు :
2x + 6 = 18 ⇒ 2x = 12
∴ x = 6

ప్రశ్న19.
2x – (4 – x) = 5 – x అనే సమీకరణాన్ని తృప్తి పరిచే x విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
2x – 4 + x = 5 – x
⇒ 4x = 9
∴ x = + \(\frac{9}{4}\)

ప్రశ్న20.
(x – 1) – (2x – 3) = x + 1 అనే సమీకరణానికి సాధనను కనుగొనుము.
జవాబు :
x – 1 – 2x + 3 = x + 1
⇒ 2 -1 = 2x
∴ x = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న21.
3x + 2y = 15 రేఖీయ సమీకరణానికి క్రింది వానిలో ఏది సాధన కాదు ?
A) x = 3, y = -3
B) x = 3, y = 3
C) x = 5, y = 0
D) x = 7, y = -3
జవాబు :
A) x = 3, y = -3

ప్రశ్న22.
x – 4y = 5 సమీకరణానికి క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
i) అనంతసాధనలు ఉంటాయి.
ii) x = 1, y = 1 ఒక సాధన.
A) i మాత్రమే
B) ii మాత్రమే
C) i మరియు ii
D) i మరియు ii లు సత్యం కావు.
జవాబు :
A) i మాత్రమే

ప్రశ్న23.
రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణము యొక్క సాధారణ రూపం తెల్పండి.
జవాబు :
a₁x + b₁y + c₁ = 0,
a₂x + b₂y + c₂ = 0

ప్రశ్న24.
a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 రేఖీయ సమీకరణాల జత. రెండు ఖండన రేఖలను సూచిస్తే క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}\)
B) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
C) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
D) పైవి అన్నీ
జవాబు :
A) \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}\)

ప్రశ్న25.
a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 రేఖీయ సమీకరణాల జత సమాంతర రేఖలను ఏర్పరుచుటకు అవసరమగు నియమాన్ని రాయండి.
జవాబు :
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)

ప్రశ్న26.
a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 రేఖీయ సమీకరణాలు ఏకీభవించే సరళ రేఖలను సూచిస్తే క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
B) \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\)
C) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
D) \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
జవాబు :
C) \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)

ప్రశ్న27.
6x – 2y + 9 = 0 మరియు 3x – y + 12 = 0 లు సూచించే సరళరేఖలు సమాంతర రేఖలని చూపుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{6}{3}\) = 2
\(\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-2}{-1}\) = 2
\(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\)
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) కావున సమాంతర రేఖలు.

ప్రశ్న28.
2x + 4y – 11 = 0 మరియు 4x + 8y – 22 = 0లు సూచించే సరళరేఖలు ఏకీభవించే రేఖలని , నిరూపించండి.
జవాబు :
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}, \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}=\frac{11}{22}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\) ఏకీభవించే రేఖలు.

ప్రశ్న29.
x – 2y = 6 మరియు 3x + 4y = 20 రేఖీయ సమీకరణాలు ‘ఖండన రేఖలా ? సమాంతర రేఖలా ? లేక ఏకీభవించే రేఖలా ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{3}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-2}{4}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
∴ఖండన రేఖలు

ప్రశ్న30.
సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతలో ఒక సమీకరణం 2x + 5y = 0 అయిన క్రింది వానిలో ఏది రెండవ సమీకరణం?
A) 4x + 2y + 10 = 0
B) 20x + 10y + 30 = 0
C) 8x + 4y – 30 = 0
D) 3x – 2y – 4 = 0
జవాబు :
D) 3x – 2y – 4 = 0

ప్రశ్న31.
పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జతలో ఒక – సమీకరణం 3x + 4y – 2 = 0 అయిన రెండవ సమీకరణమునొక దానిని రాయండి.
జవాబు :
6x + 8y – 4 = 0 (:: సమీకరణం మొత్తాన్ని ఒకే సంఖ్యతో గుణించాలి.)

ప్రశ్న32.
అసంగత సమీకరణాల జతలో ఒక సమీకరణం x + y = 2 అయిన క్రింది వానిలో ఏది రెండవ సమీకరణం అవుతుంది ?
A) 2x + 2y = 14
B) 3x + 3y = 8
C) 4x + 4y = 6
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న33.
L₁ = x + 2y – 4 = 0 మరియు
L₂ = 2x + my- n = 0 అయి L₁ మరియు L₂ లకు అనంతసాధనలు ఉంటే m + n విలువ ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{2}{m}=\frac{-4}{-n} \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{2}{m}\) ⇒ m = 4
\(\frac{1}{2}=\frac{4}{n}\) ⇒ n = 8
∴ m + n = 4 + 8 = 12

ప్రశ్న34.
L₁ = 2x + 2y – 8 = 0 మరియు L₂ = x + y – 4 = 0 లు ఏకీభవించే రేఖలు మరియు L₁ = kL₂ గా రాస్తే k విలువ ఎంత?
జవాబు :
L₁ = 2x + 2y – 8 = 0, L₂ = x + 2y – 4 = 0
= \(\frac{1}{2}\) (2x + 2y – 8) = 0
L₂ = \(\frac{1}{2}\)L₁ ⇒ L₁ = L₂
∴ k = 2

ప్రశ్న35.
3x + 2ky = 2 మరియు 2x + 5y + 1 = 0 సమాంతర రేఖలు అయితే kవిలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) ( సమాంతర రేఖలు)
\(\frac{3}{2}=\frac{2 k}{5} \neq \frac{-2}{1} \Rightarrow \frac{3}{2}=\frac{2 k}{5}\) ⇒ 4k = 15
k = \(\frac{15}{4}\)

ప్రశ్న36.
2x + y – 5 = 0 మరియు 3x – 2y – 4 = 0. రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క సాధనల సంఖ్య ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{3}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}\)
∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
∴ సాధన ఏకైకము.

ప్రశ్న37.
2x + py + 5 = 0 మరియు 3x + 3y – 6 = 0 సమీకరణాల జతకు ఏకైక సాధన ఉంటే p విలువను గడించండి.
జవాబు :
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \Rightarrow \frac{2}{3} \neq \frac{\mathrm{p}}{3}\) (సాధన ఏకైకము)
p ≠ 2.

ప్రశ్న38.
k యొక్క ఏ విలువకు 2x – ky + 3 = 0మరియు 4x + 6y – 5 = 0 సమాంతర రేఖలు అవుతాయి?
జవాబు :

ప్రశ్న39.
k యొక్క ఏ ధన విలువకు px + 3y- (p – 3) మరియు 12x + py – p = 0 రేఖీయ సమీకరణాలు ఏకీభవించే రేఖలు అవుతాయి ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)(ఏకీభవించే రేఖలు)
\(\frac{p}{12}=\frac{3}{p}=\frac{-(p-3)}{-p}\)
⇒ p² = 36 ⇒ p = √36 = ± 6

ప్రశ్న40.
2x + 3y = 5 మరియు 4x + ky = 10 సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటే. k విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\frac{2}{4}=\frac{3}{k}=\frac{5}{10} \Rightarrow \frac{3}{k}=\frac{1}{2}\) ⇒ k = 6

ప్రశ్న41.
ఏకైక సాధన (ఖండన రేఖలు) కలిగిన రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క రేఖాచిత్రం (గ్రాఫ్) యొక్క చిత్తు పటం గీయండి.
జవాబు :

ప్రశ్న42.
అసంగత | సమాంతర రేఖలు / సాధనలేనటువంటి రేఖీయ సమీకరణాల జత సూచించే రేఖాచిత్రం (గ్రాఫ్) చిత్తు పటం గీయండి.
జవాబు :

ప్రశ్న43.
క్రింది వానిలో ఏది సంగత సమీకరణాల జత యొక్క రేఖాచిత్రం (గ్రాఫ్) ?

జవాబు :
D) A మరియు’ B

ప్రశ్న44.
2x + 3y = 7 మరియు 8x + (a + b) y = 28, సమీకరణాల జతకు సాధనలు లేకుంటే a, bల మధ్య సంబంధంను రాయండి.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) (సాధనలు లేవు)
\(\frac{2}{8}=\frac{3}{a+b} \neq \frac{-7}{-28} \Rightarrow \frac{3}{a+b}=\frac{1}{4}\)
⇒ a + b = 12

ప్రశ్న45.
సంగత’ సమీకరణాల జత ___________
A) సమాంతర రేఖలు
B) ఎల్లప్పుడూ ఖండన రేఖలు.
C) ఎల్లప్పుడూ ఏకీభవించే రేఖలు
D) ఖండన రేఖలు లేదా ఏకీభవించే రేఖలు
జవాబు :
D) ఖండన రేఖలు లేదా ఏకీభవించే రేఖలు

ప్రశ్న46.
అసంగత సమీకరణాల జత
A) సమాంతర రేఖలు
B) ఖండన రేఖలు
C) ఏకీభవించే రేఖలు
D) ఖండన రేఖలు లేదా ఏకీభవించే రేఖలు
జవాబు :
A) సమాంతర రేఖలు

ప్రశ్న47.
√2x + √3y = 0 మరియు √3x – √8y = 0 జతకు సంబంధించి క్రింది వానిలో అసత్య వాక్యం ___________
A) సంగత సమీకరణాల జత
B) సాధన x = 0, y = 0
C) సమాంతర రేఖలు
D) పైవన్న
జవాబు :
C) సమాంతర రేఖలు

ప్రశ్న48.
\(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7 మరియు 9x – 10y = 14 రేఖీయ జత యొక్క సాధన ఏకైకమని నిరూపించండి.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{9}=\frac{1}{6}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{\frac{5}{3}}{-10}=-\frac{1}{6}\)
\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) కావున సాధన ఏకైకము.

ప్రశ్న49.
x – y = 8 మరియు 3x – 3y = k లకు సాధన లేకుంటే ఓ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}} \Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{-1}{-3} \neq \frac{-8}{-k}\)
\(\frac{1}{3} \neq \frac{8}{k}\) ⇒ k ≠ 24.

ప్రశ్న50.
క్రింది వానిలో ఏది. అసంగత సాధన లేని రేఖీయ సమీకరణాల గ్రాఫ్ ?

జవాబు :

ప్రశ్న51.
a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0 లకు క్రింది వానిని జతపరచుము.

A) i-b, ii-a, iii-a
B) i-a, ii-a, iii-b
C) i-a, ii-b, iii-b
D) i-b, ii-a, iii-b
జవాబు :
B) i-a, ii-a, iii-b

ప్రశ్న52.
రేఖీయ సమీకరణాల.జతకు, వాని సాధనల సంఖ్యను జతపరుచుము.

A) i-c, ii-b, iii-a
B) i-b, ii-c, iii-a
C) i-c, ii-a, iii-b
D) i-b, ii-a, iii-c
జవాబు :
A) i-c, ii-b, iii-a

ప్రశ్న53.

A) i-p, ii-q, iii-r
B) i-q, ii-p, iii-r
C) i-q, ii-r, iii-p.
D) i-r, ii-p, iii-q
జవాబు :
C) i-q, ii-r, iii-p.

ప్రశ్న54.

A) i-r, ii-p, iii-q
B) i-q, ii-r, iii-p
C) i-p, ii-q, iii-r
D) i-q, ii-p, iii-r
జవాబు :
D) i-q, ii-p, iii-r

ప్రశ్న55.
క్రింది ప్రవచనాలను వాని సత్యవిలువ (సత్యం – T, అసత్యం – F) లకు జతపరచుము.
i)సంగత సమీకరణాల జత రేఖాచిత్రము ఖండన రేఖలను లేదా ఏకీభవించే రేఖలను సూచిస్తుంది.
ii)అసంగత సమీకరణాల జత రేఖాచిత్రము ఖండన రేఖలను సూచిస్తుంది.
iii)అసంగత సమీకరణాల జతకు సాధన ఉండదు.
iv)ఏకీభవించే రేఖలను సూచించు రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన ఏకైకము.
A) i-T, ii-T, iii-F, iv-F
B) i-T, ii-F, iii-T, iv-F
C) i-F, ii-T, iii-r, iv-F
D) i-T, ii-T, iii-F, iv-T
జవాబు :
B) i-T, ii-F, iii-T, iv-F

ప్రశ్న56.
\(\frac{x+y}{x y}\)= 2, \(\frac{x-2 y}{x y}\) = 6 సమీకరణాలలో \(\frac{1}{x}\) = s, \(\frac{1}{y}\) = t గా రాస్తే వచ్చే రేఖీయ సమీకరణాల జతను రాయండి.
జవాబు :
\(\frac{x+y}{x y}\)= 2 ⇒ \(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\) = 2 ⇒ s + t = 2
\(\frac{x-2 y}{x y}\) = 6 ⇒ \(\frac{1}{y}-\frac{2}{x}\) = 6 ⇒ -2s + t = 6

ప్రశ్న57.
\(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}\) = 2 రేఖీయ సమీకరణ సాధనలు x = 4, y = k అయిన ఓ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}\) = 2 ⇒ \(\frac{2}{2}+\frac{3}{\sqrt{k}}\) = 2
⇒ \(\frac{3}{\sqrt{\mathrm{k}}}\) = 2 -1 = 1
∴ √k = 3 ⇒ k = 9

ప్రశ్న58.
\(\frac{5}{x+y}-\frac{2}{x-y}\) = 1, \(\frac{15}{x+y}+\frac{7}{x-y}\) = 10 సమీకరణాలను రేఖీయ సమీకరణాల జతగా మార్చి రాయండి.
జవాబు :
\(\frac{5}{x+y}-\frac{2}{x-y}\) = 1 = 5m – 2n = 1
\(\frac{15}{x+y}+\frac{7}{x-y}\) = 10 = 15m + 7n = 10
[∵ ఇక్కడ \(\frac{1}{x+y}\) = m మరియు \(\frac{1}{x-y}\) = n]

ప్రశ్న59.
“రెండు సంఖ్యల భేదం 26, మరియు ఒక సంఖ్య రెండవ సంఖ్యకు మూడు రెట్లు” పై నియమాలకు సూచించే రేఖీయ సమీకరణాల జతను రాయండి.
జవాబు :
x – y = 26 మరియు x = 3y ⇒ x – 3y = 0

ప్రశ్న60.
“రెండు సంపూరక కోణాలలో ఒక కోణం మరొక కోణం కన్నా 10 ఎక్కువ”. పై సమాచారాన్ని రేఖీయ సమీకరణాల జతగా రాయండి.
జవాబు :
x + y = 180 మరియు
x = y + 10 ⇒ x – y = 10

ప్రశ్న61.
ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజంలో
∠A = 4y + 20, ∠B = 3y – 5, ∠C = – 4x, ∠D = – 7x + 5 అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) 4x + 4y + 160 = 0 మరియు 7x + 3y + 180 = 0
B) 4x –4y + 20 = 0 మరియు 7x + 3y – 10 = 0
C) 4x + 3y – 10 = 0 మరియు 7x + 4y – 5 = 0
D) 4x – 4y + 160 = 0 మరియు 7x – 3y + 180 = 0
జవాబు :
D) 4x – 4y + 160 = 0 మరియు 7x – 3y + 180 = 0

ప్రశ్న62.
2x + 3y = 11.రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధనలు అనంతము అవునట్లు మరొక రేఖీయ సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు :
6x + 9y = 33

ప్రశ్న63.
సంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క సాధన ___________
A) ఏకమూలక సమితి
B) అనంత సమితి
C) A లేదా B
D) రెండు మూలకాలు కలిగిన సమితి
జవాబు :
C) A లేదా B

ప్రశ్న64.
ప్రవచనం -P: ax + by +c = 0 రేఖీయ సమీకరణంను సూచించుటకు నియమాలు, a, b, c ∈ R మరియు a² + b² ≠ 0.
ప్రవచనం – Q: ax + by + c = 0 రేఖీయ సమీకరణ రేఖాచిత్రము (గ్రాఫ్) ఒక పరావలయము.
A) P మాత్రమే సత్యం
B) Q మాత్రమే సత్యం
C) P, Q లు రెండూ సత్యం
D) P, Q లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
A) P మాత్రమే సత్యం

ప్రశ్న65.
6x + (p² + k²) y – 32 = 0 మరియు 3x + 10y – 16= 0 సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటే p² + k² = 20 అని చూపుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) (:: అనంత సాధనలు కలవు)
\(\frac{6}{3}=\frac{p^{2}+k^{2}}{10}=\frac{-32}{-16} \Rightarrow \frac{p^{2}+k^{2}}{10}=2\)
∴ p² + k² = 20

ప్రశ్న66.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) ఖండన రేఖలను ఏర్పరిచే రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన ఏకైకము
B) అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన ఏకైకము
C) పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత సాధన ఏకైకము
D) పైవి అన్నీ
జవాబు :
A) ఖండన రేఖలను ఏర్పరిచే రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన ఏకైకము

ప్రశ్న67.
క్రింది వానిలో అసత్య వాక్యము.
A) అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల గ్రాఫ్ సమాంతర రేఖలు
B) ఖండన రేఖలు ఏర్పరిచే రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన ఏకైకము
C) పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క గ్రాఫ్ ఏకీభవించే రెండు రేఖలు
D) పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాలకు సాధన ఉండదు.
జవాబు :
D) పరస్పరాధారిత రేఖీయ సమీకరణాలకు సాధన ఉండదు.

ప్రశ్న68.
ఒకే తలంలోని రెండు లంబరేఖలను సూచించే రేఖీయ సమీకరణాల జత ఎల్లప్పుడు ___________
A) సంగత సమీకరణాలు
B) అసంగత సమీకరణాలు
C) పరస్పరాధారిత సమీకరణాలు
D) A మరియు B
జవాబు :
A) సంగత సమీకరణాలు

ప్రశ్న69.
(2, – 3) ని సాధనగా గల ఒక రేఖీయ సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు :
x + y = -1

ప్రశ్న70.
ప్రవచనం -X: 2x – 3y – 5 = 0 మరియు 6x – 9y – 1530లు సంగతాలు మరియు పరస్పరాధారితాలు.
ప్రవచనం – Y : రేఖీయ సమీకరణాల జతలో \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) అయిన అవి సంగతాలు మరియు పరస్పరాధారితాలు.
A) X, Y లు రెండూ సత్యం, XBY సరైన వివరణ కాదు
B) X, Y లు రెండూ సత్యం , X కి Y సరైన వివరణ
C) X – సత్యం, Y – అసత్యం
D)X, Y లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
B) X, Y లు రెండూ సత్యం , X కి Y సరైన వివరణ

ప్రశ్న71.
4x + py + 8 = 0 మరియు 2x + y + 2 = 0లు అసంగత సమీకరణాల జత అయితే p విలువ ఎంత ?
జవాబు :

ప్రశ్న72.
x + y = 5 మరియు 2x – 3y = 10 సమీకరణాల యొక్క ఖండన బిందువు (5, 0) అని చూపుము.
జవాబు :
ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాలు x + y = 5 ….. (1)
మరియు 2x – 3y = 10 ….. (2)
ఖండన బిందువు (5, 0), x = 5, y = 0 లను (1), (2) లలో రా యగా
(1) ⇒ 5 + 0 = 5 = 5 = 5 సత్యం
(2) ⇒ 2(5) – 3(0) = 10 = 10 = 10 సత్యం
∴ ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాల ఖండన బిందువు = (5, 0)

ప్రశ్న73.
x + 3y = 4 మరియు 5x + py = 20 లు పరస్పరాధారిత సమీకరణాల జత అయిన pవిలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) (∵ పరస్పరాధారితాలు)
\(\frac{1}{5}=\frac{3}{p}=\frac{4}{20} \Rightarrow \frac{3}{p}=\frac{1}{5}\) ⇒ p = 5

ప్రశ్న74.
2x + 3y = 13 రేఖీయ సమీకరణాన్ని y = mx + c రూపంలో రాసిన m విలువ ఎంత ?
జవాబు :
2x + 3y = 13 ⇒ 3y = 13 – 2x
⇒ y = \(\frac{-2}{3} x+\frac{13}{3}\) = y = mx + c
∴ m = – \(\frac{2}{3}\)

ప్రశ్న75.
x + 3y = 6 మరియు 2x – 3y = 12 రేఖల ఖందన బిందువు ఏది ?
A) (3, 1)
B) (6, 0)
C) (3, -2)
D) (0,6)
జవాబు :
B) (6, 0)

ప్రశ్న76.
3x + y = 1 మరియు (2k – 1) x + (k – 1)y = 5 సమీకరణాల జతకు సాధన లేకపోతే kవిలువ ఎంత?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) (∵ సాధన లేదు కావున)
\(\frac{3}{2 k-1}=\frac{1}{k-1} \neq \frac{-1}{-5}\)
\(\frac{3}{2 k-1}=\frac{1}{k-1}\) ⇒ 3k – 3 = 2k – 1
⇒ 3 – 2k = -1 + 3
∴ k = 2

ప్రశ్న77.
5x + 2y = 4 మరియు 10x + ky = 8 రేఖీయ సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటే k విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\) ( :: అనంత సాధనలు కలవు కావున)
\(\frac{5}{10}=\frac{2}{k}=\frac{-4}{-8} \Rightarrow \frac{2}{k}=\frac{1}{2}\) ⇒ k = 4

ప్రశ్న78.
a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధన లేకపోతే a₁ : a₂ = …………… ≠ c₁ : c₂.
A) b₁ : b₂
B) b₂ : b₁
C) b₁ : c₂
D) b₂ : c₁
జవాబు :
A) b₁ : b₂

ప్రశ్న79.
2x + y -5 = 0 మరియు 3x – 2y – 4 = 0 సమీకరణాలు సూచించే సరళరేఖలు (k, 1) బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటే kవిలువ ఎంత ?
జవాబు :
2x + y – 5 = 0 …… (1)
3x – 2y – 4 = 0 …… (2)
సాధన (k, 1)
∴ x = k, y = 1 విలువలు (1), (2) లలో ప్రతిక్షేపించగా
2(k) + 1 – 5 = 0 ⇒ 2k = 4 =k= 2
3k – 2(1) – 4 = 0 ⇒ 3k = 6 = k= 2
∴ k = 2

ప్రశ్న80.
2x + y – 5 = 0 మరియు x + 2y – 4 = 0 సమీకరణాల జతకు సాధన x = 2, y = 1 అయిన ఈ రేఖల ఖండన బిందువును రాయండి.
జవాబు :
(2, 1)

ప్రశ్న81.
x + y = 11, x – y = -3 సరళరేఖల ఖందన బిందువు ఏది ?
జవాబు :
x = \(\frac{11+(-3)}{2}=\frac{8}{2}\) = 4
y = \(\frac{11-(-3)}{2}=\frac{14}{2}\) = 7
సాధన x = 4, y = 7

ప్రశ్న82.
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) అయిన a₁x + b₁y + c₁ =0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 యొక్క గ్రాఫ్ ఏర్పరచు రేఖలు
A) ఖండన రేఖలు
B) లంబరేఖలు
C) ఏకీభవించు రేఖలు
D) నిర్ణయించలేము
జవాబు :
C) ఏకీభవించు రేఖలు

ప్రశ్న83.
క్రింది పటంలో చూపిన సరళరేఖలను సూచించు రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క సాధనను రాయండి.

జవాబు :
(2, 3)

ప్రశ్న84.
“రెండు పూరక కోణాలలో పెద్దకోణము, చిన్నకోణము కన్నా 20°లు ఎక్కువ”. ఇచ్చిన సమాచారాన్ని సూచించు రేఖీయ సమీకరణాల జతను రాయండి.
జవాబు :
కోణాలు x, y అనుకొనుము.
∴ x + y = 90 (పూరకాలు కావున) (పెద్ద కోణం x, చిన్న కోణం y)
x = y + 20 ⇒ x – y = 20.

ప్రశ్న85.
5 (x – 2) = x + 18 సమీకరణంను తృప్తిపరిచే x విలువను గణించండి.
జవాబు :
5x – 10 = x + 18 ⇒ 4x = 28
⇒ x = \(\frac{1}{2}\) = 7

ప్రశ్న86.
2x + y = 5 మరియు kx – y = 11 యొక్క సాధన z = 4, y = – 3 అయిన ఓ విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
k(4) – (- 3) = 11 ⇒ 4k + 3 = 11
= 4k = 8 ⇒ k = 2

ప్రశ్న87.
రెండు సంఖ్యల భేదం 16 మరియు ఆ సంఖ్యల నిష్పత్తి 3 : 1, (x > y). ఇచ్చిన సమాచారాన్ని x, yలలో రేఖీయ సమీకరణాల జతగా రాయండి.
జవాబు :
ఆ సంఖ్యలు x, y అనుకొనుము
x – y= 16 ………. (1) మరియు
\(\frac{x}{y}=\frac{3}{1}\) ⇒ x = 3y ⇒ x – 3y = (0) …….. (2)

ప్రశ్న88.
x + y = 5 రేఖీయ సమీకరణం యొక్క అను గీయండి.
జవాబు :
x + y = 5 పై గల బిందువులు

ప్రశ్న89.
x + 2y – 5 = 0 మరియు 5x – ky + 7 = 0 సమీకరణాల జతకు సాధనలు లేకపోతే k విలువను లెక్కించండి.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) (∵ సాధన లేదు కావున)
\(\frac{1}{5}=\frac{2}{-k} \neq \frac{-5}{7} \Rightarrow \frac{1}{5}=\frac{-2}{k}\) ⇒ k = – 10

ప్రశ్న90.
2x + ky = 1 మరియు 5x + 7y = -7 సమీకరణాల జతకు ఏకైక సాధన ఉంటే ఓ విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) (∵ ఏకైక సాధన కావున)
\(\frac{2}{5} \neq \frac{\mathrm{k}}{7} \Rightarrow \frac{14}{5}\) ≠ k ⇒ k ≠ \(\frac{14}{5}\)

ప్రశ్న91.
3x – 2y – 5 = 0 మరియు 6x – 4y – 10 = 0 రేఖీయ సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటాయని చూపుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}, \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}\)
∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\), కావున ఇచ్చిన రేఖీయ
సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటాయి.

ప్రశ్న92.
5x – y = 0 మరియు x – 5y = m + 2 అయిన m యొక్క ఏ విలువకు సమీకరణాల యొక్క సాధన x = 0, y = 0 అవుతుంది ?
జవాబు :
x = 0, y = 0ను x – 5y = m + 2 నందు ప్రతిక్షేపించగా
0 – 0 = m + 2
∴ m = -2

→ గమనిక : ఇచ్చిన సమాచారాన్ని పరిశీలించి, క్రింద ఇచ్చిన ప్రశ్నలు 93-96లకు సమాధానాలు రాయండి. “నగరపాలక ఉన్నత పాఠశాల వ్యాయామం ఉపాధ్యాయుడు 2 బ్యాట్లు మరియు 3 బంతులు ₹ 1650 కి మొదటి రోజు, 6 బ్యా లు మరియు 9 బంతులు ₹4950కి రెండవ రోజు కొన్నారు.”

ప్రశ్న93.
పై సమాచారాన్ని సూచించే రేఖీయ సమీకరణాల జతను x, y లలో రాయండి.
జవాబు :
బ్యాట్ ధర = ₹ x, బంతి ధర = ₹ y అనుకొనుము.
∴ 2x + 3y = 1650 …….. (1)
6x + 9y = 4950 …….. (2)

ప్రశ్న94.
పై సమాచారాన్ని సూచించే రేఖీయ సమీకరణాల గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖలు
A) ఖండన రేఖలు
B) ఏకీభవించని సమాంతరాలు
C) ఏకీభవించే రేఖలు
D) A మరియు C
జవాబు :
C) ఏకీభవించే రేఖలు

ప్రశ్న95.
బ్యాట్ మరియు బంతి యొక్క వెలను కనుగొనుము.
జవాబు :

∴ రేఖీయ సమీకరణాల జతకు అనంత సాధనలు ఉంటాయి. కావున బ్యాట్ మరియు బంతి యొక్క ఖచ్చితమైన ధరను నిర్ణయించలేము.

ప్రశ్న96.
బ్యాట్ విలువ ₹ 750 అయిన బంతి వెల ఎంత ?
జవాబు :
బ్యాట్ విలువ x = ₹ 750 ని 2x + 3y = 1650లో ప్రతిక్షేపించగా
2(750) + 3y = 1650
⇒ 1500 + 3y = 1650
⇒ 3y = 150 = y = 50.
∴ బంతి వెల = ₹ 50

ప్రశ్న97.
ax = by, by = ax సాధనను కనుగొనుము.
జవాబు :
సాధన x = 0, y = 0 (ఇచ్చిన రేఖీయ సమీకరణాలలో స్థిరపదాలు c₁, c₂, లు లేవు. కావున x = 0, y = 0 సాధన అవుతుంది).

ప్రశ్న98.
x + 2y = 3 మరియు 5x + ky + 7 = 0 జతకు సాధన లేకుంటే k విలువ ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) (∵ సాధన లేదు)
\(\frac{1}{5}=\frac{2}{k} \neq \frac{-3}{7} \Rightarrow \frac{1}{5}=\frac{2}{k}\) ⇒ k = 10

ప్రశ్న99.
2x + y – 50 = 0 మరియు 3x – 2y = 4 = 0 యొక్క
i) సాధన ఏకైకం అని చూపుము.
ii) ఖండన రేఖలను ఏర్పరుస్తాయని చూపుము.
iii) సంగత సమీకరణాలని చూపుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{3}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}\)
∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) కావున
i) సాధన ఏకైకము
ii) ఖండన రేఖలను ఏర్పరుస్తాయి.
iii) సంగత సమీకరణాల జత అవుతాయి.

ప్రశ్న100.
2x + 5y = 3 మరియు (k + 1)x + 2(k + 2)y = 2k జతకు k యొక్క ఏ విలువకు అనంత సాధనలు ఉంటాయి ?
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) (:: అనంత సాధనలు)
\(\frac{2}{k+1}=\frac{5}{2(k+2)}=\frac{-3}{-2 k}\)
\(\frac{2}{k+1}=\frac{3}{2 k}\) ⇒ 4k = 3k + 3 ⇒ k = 3.

ప్రశ్న101.
cx – y = 2 మరియు 16x – 4y — 8 జతకు అనంత సాధనలుంటే c విలువ ఎంత ?
జవాబు :
\(\frac{c}{16}=\frac{-1}{-4}=\frac{-2}{-8} \Rightarrow \frac{c}{16}=\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)
∴ c = 4

ప్రశ్న102.
2x – 3y = 5 మరియు 4x – 6y = 15 జతకు
i) సాధన లేదని చూపుము.
ii) సమాంతర రేఖలను సూచిస్తాయని చూపుము.
iii) అసంగత సమీకరణాల జత అని నిరూపించుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}, \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-5}{-15}=\frac{1}{3}\)
∴ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) కావున
i) సాధన లేదు
ii) సమాంతర రేఖలను సూచిస్తాయి.
iii) అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జత.

ప్రశ్న103.

అయిన జతపరచడంలో సరైన దానిని ఎన్నుకొనుము.
A) i – c, ii – b, iii – a, iv-d
B) i- c, ii-b, iii – d, iv – a
C) i-b, ii – c, iii – a, iv-d
D) i- c, ii – a, iii – b; iv-d
జవాబు :
C) i-b, ii – c, iii – a, iv-d

ప్రశ్న104.
క్రింది వానిలో సంగత సమీకరణాల జత .
i) 2x + 3y = 13
8x + 12y = 52

ii) 2x + 3y = 13
3x + 2y = 12
A) i మాత్రమే
B) ii మాత్రమే
C) i మరియు ii
D) ఏదీకాదు
జవాబు :
C) i మరియు ii

ప్రశ్న105.
3x + 4y = 2 మరియు 6x + 8y = 4 జతకు
i) అనంత సాధనలు ఉంటాయని చూపుము.
ii) సంగత సమీకరణాలని చూపుము.
iii) ఏకీభవించే రేఖలను సూచిస్తాయని చూపుము.
జవాబు :
3x + 4y – 2 = 0 మరియు 6x + 8y – 4 = 0
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}, \frac{c_{1}}{c_{2}} \mp \frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}\)
\(\) కావున
i) అనంత సాధనలు ఉంటాయి.
ii) సంగత సమీకరణాల జత.
iii) ఏకీభవించే రేఖలను సూచిస్తాయి.

ప్రశ్న106.
x + y – 16 = 0 మరియు x – ky + 2 = 0 యొక్క సాధన (10, 6) అయిన ఓ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
x + y – 16 = 0 మరియు x – ky + 2 = 0 సాధన (10, 6)
∴ x = 10, y = 6 ను X – ky + 2 = 0 లో
ప్రతిక్షేపించగా, . 10 – 6k + 2 = 0 ⇒ 12 = 6k = k = 2

ప్రశ్న107.
(2, 1) ని సాధనగా గల రేఖీయ సమీకరణాల జత ఏది ?
i) x + y = 3 మరియు x – y = 1.
ii) 2x – y = 3 మరియు x – 2y = 0
iii)2x + y = 7 మరియు 3x + y =7
A) i, ii మరియు iii
B) i, iii
C) i, ii
D) ii, iii
జవాబు :
C) i, ii

ప్రశ్న108.
ఈ క్రింది సమీకరణాలలో అనంత సాధనలు గల రేఖీయ సమీకరణాల జత
A) 2x – 5y = 4; 0.5x – 1.25y = 1
B) x + 2y = 8, 8x + 16y = 64
C) x + y = 77; \(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\) = 38.5
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న109.
“3 పెన్సిల్లు మరియు 2 పెన్నుల వెల ₹ 19, అలాగే ” 2 పెన్సిల్లు మరియు 3 పెన్నుల వెల ₹ 21″. ” పై సమాచారాన్ని సూచించే రేఖీయ సమీకరణాల జతను రాయండి.
జవాబు :
పెన్సిల్ వెల = ₹ x, పెన్ను వెల = ₹ y అనుకొనుము
3x + 2y = ₹ 19 మరియు 2x + 3y = ₹ 21.

ప్రశ్న110.
పై రేఖీయ సమీకరణాల జత సంగత సమీకరణాల జత అని చూపుము.
జవాబు :
\(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{3}{2}, \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}=\frac{2}{3}, \frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}} \neq \frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}}\)
∴ సంగత సమీకరణాల జత.

ప్రశ్న111.
ఏకైక సాధన కలిగిన రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఒక ఉదాహరణను ఇవ్వండి. (లేదా) సంగత సమీకరణాల జతకు ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు :
ఏకైక సాధన గల / సంగత సమీకరణాల జతకు ఉదాహరణ.
3x + 2y = 19 మరియు 2x + 3y = 21
(గమనిక : \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) అయ్యే విధంగా ఏవైనా జత రేఖీయ సమీకరణాలను రాయవచ్చును.)

ప్రశ్న112.
సాధన లేనటువంటి అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఒక ఉదాహరణనివ్వండి.
జవాబు :
సాధన లేనటువంటి / అసంగత రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఉదాహరణ 3x + 2y = 5 మరియు 9x + 6y = 10.
(గమనిక : \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) అయ్యే విధంగా రాయడం)

ప్రశ్న113.
kx + ly = m; px + qy = r అను సమీకరణ జత ఏకైక సాధన కలిగి ఉండటానికి కావలసిన నియమాన్ని రాయండి.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) (ఏకైక సాధన)
\(\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{p}} \neq \frac{l}{\mathrm{q}}\) ⇒ pl ≠ kq.

ప్రశ్న114.
2x + 3y = 10 సమీకరణంతో అనంత సాధనలు కలిగి ఉండేటట్లు వేరొక రేఖీయ సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు :
ఇచ్చిన సమీకరణం 2x + 3y = 10 తో అనంత సాధనలు కలిగి ఉండాలి. కావలసిన సమీకరణం
4x + 6y = 20 (ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని 2తో గుణించగా)

ప్రశ్న115.
px + qy = r మరియు qx + py = sలు ఒకే ఒక ఉమ్మడి బిందువును కలిగి ఉంటే p² ≠ q² అని చూపుము.
జవాబు :
\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}} \Rightarrow \frac{p}{q} \neq \frac{q}{p}\) (ఒకే ఉమ్మడి బిందువు)
∴ p² ≠ q²

ప్రశ్న116.
రెండు సరళరేఖలు అనంత సాధనలు కలిగి ఉంటే వాటి – యందు ‘x’ చరరాశి యొక్క గుణకాల నిష్పత్తి =
A) y గుణకాల నిష్పత్తి
B) స్థిరరాశుల నిష్పత్తి
C) A మరియు B
D) ఏదీకాదు
జవాబు :
C) A మరియు B

ప్రశ్న117.
అనంత సాధనలు కలిగిన (ఏకీభవించే రేఖలను) రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఒక ఉదాహరణనివ్వండి.
జవాబు :
అనంత సాధనలు కలిగిన రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఉదాహరణ : 2x + 3y = 8 మరియు
4x + 6y = 16 (∵\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) అయ్యే విధంగా రాయడం అనగా మొదటి సమీకరణం రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్య (2) తో గుణించుము).

ప్రశ్న118.
5 పెన్నులు మరియు 2 పెన్సిల్స్ ధర ‘p’ రూ||, 3 పెన్నులు మరియు 2 పెన్సిల్ ధర ‘q’ రూ॥లు అయిన 2 పెన్నులు మరియు ఒక పెన్సిల్ ధరను p, q లలో తెల్పండి.
జవాబు :
పెన్ను ధర = ₹ x, పెన్సిల్ ధర = ₹ y అనుకొనుము.
∴ 5x + 2y.= p ……… (1)
8x + 2y = q ……… (2)

∴ 2 పెన్నులు, ఒక పెన్సిల్ ధర = 2x + y = ?

⇒ 2x + y = \(\frac{p+q}{4}\)
∴ 2 పెన్నులు, ఒక పెన్సిల్ ధర = \(\frac{p+q}{4}\)

ప్రశ్న119.
“రెండు సంఖ్యల మొత్తం 35, వాని భేదం 15″. ఇచ్చిన సమాచారాన్ని x, y ‘లు చరరాశులుగా గల రేఖీయ సమీకరణాల జతగా చూపండి.
జవాబు :
x + y = 35 మరియు x – y = 15.

ప్రశ్న120.
ఈ క్రింది వానిలో సమాంతర రేఖలు కాని జత ఏది ?
A) 2x-y = 8, x – 0.5y = 10
B) px – 2y = p, 3px – 6y = q
C) x + y = 5, 5x + 5y = 3
D) పైవేవీ కావు
జవాబు :
D) పైవేవీ కావు

ప్రశ్న121.
క్రింది పటం నందలి రేఖాచిత్రంను సూచించు సమీకరణాలు ___________

A) ఏకైక సాధన కలవి
B) సాధనలు లేనివి
C) అనంత సాధనలు కలవి
D) పైవేవీ కావు
జవాబు :
A) ఏకైక సాధన కలవి

ప్రశ్న122.
వాదన -1 : 3x + 2y – 80 = 0 మరియు 4x + 3y – 110 = 0 ల సాధన ఏకైకము.
వివరణ – II : a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0 జతకు \(\frac{\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{b}_{1}}{\mathrm{~b}_{2}} \neq \frac{\mathrm{c}_{1}}{\mathrm{c}_{2}}\) అయిన సాధన ఉండదు.
A) I మరియు II లు రెండూ సత్యం, వాదన I & II సరైన వివరణ
B) I మరియు II లు రెండూ సత్యం, వాదన I & II సరైన వివరణ కాదు
C) I సత్యం, II అసత్యం, వాదన I & II సరైన వివరణ
D) I మరియు II లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
B) I మరియు II లు రెండూ సత్యం, వాదన I & II సరైన వివరణ కాదు

ప్రశ్న123.
3x – 2y = 4 సరళరేఖ Y – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువును కనుగొనుము.
జవాబు :
3x – 2y = 4 లో x = 0 రాయగా
0 – 2y = 4 ⇒ y = -2
∴ Y – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు = (0, – 2)

ప్రశ్న124.
క్రింది వానిలో ఏది ఇచ్చిన పటంలో చూపిన సరళరేఖను సూచించు రేఖీయ సమీకరణం అవుతుంది ?

A) 2x + y + 4 = 0
B) 2x-y- 4 = 0
C) 2x – y + 4 = 0
D) పైవన్నీ
జవాబు :
A) 2x + y + 4 = 0 (యత్నదోష పద్ధతిలో ప్రయత్నించగా)

ప్రశ్న125.
2x – 3y = 9 అను రేఖతో సమాంతరంగా ఉండే రేఖను ఒకదానిని రాయండి.
జవాబు :
2x – 3y = 9 తో సమాంతరంగా ఉండే మరొక రేఖ 4x- 6y = 27(\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) అయ్యే విధంగా రాయాలి. ఇచ్చిన సమీకరణంలో x, y పదాలను ఒక సంఖ్యతో, స్థిరపదాలను మరొక సంఖ్యతో గుణించాలి. ఇక్కడ x, y పదాలను 2, స్థిరపదాన్ని 3తో గుణించాము)

ప్రశ్న126.
y = x + 2 రేఖా చిత్రం X – అక్షాన్ని A వద్ద, y = x – 2 రేఖా చిత్రం B వద్ద ఖండించినచో A, B బిందువుల మధ్య దూరంను కనుగొనుము.
జవాబు :
y = x + 2, X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు A = (-2, 0) y = x – 2,
X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు B = (2, 0)
(-2, 0), (2, 0) బిందువుల మధ్య దూరం
= |x₂ – x₁| = 4

ప్రశ్న127.
mx + y -5 = 0 మరియు 3x – ny-4 = 0 సమీకరణాల జతకు సాధన (2, 1) అయిన m, nల మధ్య సంబంధంను కనుగొనుము. సాధన. mx + y – 5 = 0 మరియు 3x – ny – 4 = 0
జవాబు :
m(2) + (1) – 5=0
2m = 4
m = 2
m = n.

3(2) – n(1) – 4 = 0
– n + 2 = 0
n = 2

ప్రశ్న128.
x = 2020, y = 2021 సరళరేఖల ఖండన బిందువును రాయండి.
జవాబు :
(2020, 2021)

ప్రశ్న129.
4 సం||ల క్రితం నా వయస్సు, 5 సం||ల తరువాత నా వయస్సుల మొత్తం 36 సం||. “ప్రస్తుతం నా వయస్సు x సం||.”
పై సమాచారాన్ని సూచించే రేఖీయ సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు :
(x – 4) + (x + 5) = 36
∴ 2x + 1 = 36 ⇒ 2x – 35 = 0

ప్రశ్న130.
x = 2022 రేఖీయ సమీకరణానికి చెందిన క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ?
A) X – అక్షానికి సమాంతరము
B) Y – అక్షానికి సమాంతరము
C) X – అక్షాన్ని (2022, 0) బిందువు వద్ద ఖండిస్తుంది. .
D) పైవన్నీ
జవాబు :
A) X – అక్షానికి సమాంతరము

ప్రశ్న131.
ఈ క్రింది వానిలో ఏది ఏకైక సాధన కలిగిన రేఖీయ సమీకరణాల జతను సూచించు రేఖాచిత్రము ?

జవాబు :

ప్రశ్న132.
ఈ క్రింది వానిలో అనంత సాధనలు గల రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క గ్రాఫ్ ఏది ?

జవాబు :

ప్రశ్న133.
ఈ క్రింది రేఖాచిత్రాలలో ఏది సాధనలేని (అసంగత) రేఖీయ సమీకరణాల జత యొక్క రేఖాచిత్రము ?

జవాబు :

ప్రశ్న134.
క్రింది రేఖాచిత్రాలకు, వాని రేఖీయ సమీకరణాల జతకు గల సాధనల సంఖ్యను జతచేయుము.

A) 1-a, 2-b, 3- c
B ) 1-b, 2-a, 3-C
C) 1-c, 2-a, 3-b
D) 1-a, 2-c, 3-b
జవాబు :
D) 1-a, 2-c, 3-b

ప్రశ్న135.
y = ax + b రేఖీయ సమీకరణం X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువును కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\left(\frac{-b}{a}, 0\right)\) [∵ y = 0 ⇒ 0 = ax + b
⇒ ax =-b ⇒ x= \(\frac{-b}{a}\)]

ప్రశ్న136.
y = px + q యొక్క రేఖాచిత్రం Y – అక్షాన్న ఖండించు బిందువును తెల్పండి.
A) (\(\frac{-q}{p}\),0)
B) (0, q)
C) (0, p)
D) \(\left(\frac{-q}{p}, \frac{p}{q}\right)\)
జవాబు :
B (0, q) [∵ x = 0 ⇒ y = 0 + q ⇒ y = q]

ప్రశ్న137.
ax + by = c అనునది రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణంను సూచించుటకు అవసరమైన నియమాలు
a) a,b,c ∈ R
b) a² + b² ≠ 0
A) a మాత్రమే
B) b మాత్రమే
C) a మరియు b
D) a, b లలో ఏదో ఒకటి
జవాబు :
C) a మరియు b

ప్రశ్న138.
ఈ క్రింది వానిలో రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణం
A) 2x – 5y = 8
B) 3x = 9y
C) 5y = 35x
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న139.
క్రింది వానిలో ఏది x – 2y = 5 తో సమాంతర రేఖను ఏర్పరుస్తుంది ?
A) 2x – 4y = 10
B) – x + 2y = – 5
C) \(\frac{x}{2}\) – y = \(\frac{5}{4}\)
D) పైవన్నీ
జవాబు :
C) \(\frac{x}{2}\) – y = \(\frac{5}{4}\)

ప్రశ్న140.
x – y = 7 ను ఖండించే రేఖ ___________
A) x + y = 7
B ) 2x – 2y = 10
C) 3x – 3y = 21
D) ఏదీకాదు
జవాబు :
A) x + y = 7

→ క్రింది దత్తాంశాన్ని చదివి 141, 142 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.
ఒక రోజు 1 కిలో బంగాళాదుంపలు మరియు 2 కిలోల టమోటాల ధర ₹ 30 రెండు రోజుల తర్వాత 2 కిలోల బంగాళదుంపలు మరియు 4 కిలోల టమోటాల ధర ₹ 66 గా ఉన్నది.

ప్రశ్న141.
పై దత్తాంశానికి రెండు చరరాశులు x మరియు yలతో కూడిన రేఖీయ సమీకరణాల జతను రాయండి.
జవాబు :
x + 2y = 30, 2x + 4y = 66 (లేదా)
x + 2y = 33

ప్రశ్న142.
పై దత్తాంశం ఏ రేఖీయ సమీకరణాల వ్యవస్థను ప్రాతినిథ్యపరుస్తుంది ?
జవాబు :
సమాంతర రేఖలు, సాధనలేదు.

ప్రశ్న143.
‘k’ యొక్క ఏ విలువకు రేఖీయ సమీకరణాల జత x + 2y = 7 మరియు 3x – ky = 21 అనంత సాధనలు కలిగి ఉంటుంది ?
జవాబు :
x + 2y = 7 మరియు 3x – ky = 21 సమీకరణాలు అనంత సాధనలు కలిగి ఉన్నాయి. కావున,

ప్రశ్న144.
y = 3 అయిన 4x – 7y = 9 లో ‘X’ విలువ ఎంత ?’
జవాబు :
దత్తాంశం ప్రకారం 4x – 7y = 9
y = 3, అయిన 4x – 7(3) = 9
⇒ 4x – 21 = 9
⇒ 4x = 30
⇒ x = \(\frac{30}{4}=\frac{15}{2}\)

ప్రశ్న145.
లహరి రెండు పెన్నులు మరియు అయిదు పెన్సిళ్లను రూ. 30 కు కొనుగోలు చేసింది. ఈ సమాచారాన్ని చలరాసులు x మరియు y లో రేఖీయ సమీకరణంగా వ్రాయుము.
జవాబు :
ఒక్కొక్క పెన్ను వెల ₹ x మరియు
ఒక్కొక్క పెన్సిల్ వెల ₹ y అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారం, 2x + 5y = 30

Practice the AP 10th Class Maths Bits with Answers 13th Lesson సంభావ్యత on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 10th Class Maths Bits 13th Lesson సంభావ్యత

ప్రశ్న 1.
ఒక నాణేన్ని పైకి ఎగురవేసిన బొమ్మపడే సంభావ్యత ఎంత ?
జవాబు.
\(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 2.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో ఒక భుజాన్ని ఎన్నుకొంటే అది కర్ణం అయ్యే సంభావ్యత ఎంత ?
జవాబు.
\(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 3.
P(E) + P (E కాదు) = ………
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(A) 1

ప్రశ్న 4.
కరిష్మా, రేష్మలు చదరంగం ఆడుతున్నారు. కరిష్మా గెలిచే సంభావ్యత 0.59 అయిన రేష్మ గెలిచే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
రేష్మ గెలిచే సంభావ్యత = 1 – 0.59 = 0.41

ప్రశ్న 5.
వినీత అసంభవ ఘటనల సంభావ్యత ‘1’ అని, ధనలక్ష్మి ఖచ్చిత ఘటనల సంభావ్యత ‘0’ అని, శిరీష ఏదేని ఘటనల సంభావ్యత 0 నుండి 1 వరకు ఉండునని చెప్పిన, వీరిలో ఎవరితో ఏకీభవిస్తావు ?
సాధన.
శిరీష సమాధానంతో ఏకీభవిస్తాను.

ప్రశ్న 6.
క్రింది పటం నందు గల బంతులలో నీలిరంగు బంతి పొందుటకు గల సంభావ్యత ఎంత ?

సాధన.
నీలిరంగు బంతి పొందుటకు గల సంభావ్యత = \(\frac{3}{5}\)

ప్రశ్న 7.
90 పేజీలు గల పుస్తకంను తెరిచినపుడు ఖచ్చిత వర్గ సంఖ్య గల పేజీ నెంబరు రావడానికి గల సంభాష్యత ఎంత?
సాధన.
మొత్తం పర్యవసానాలు S = {1, 2, 3, 4, …., 90}
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 90
అనుకూల పర్యవసానాలు E = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}
n(E) = 9
∴ ఖచ్చిత వర్గ సంఖ్య రావడానికి గల సంభావ్యత
P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\)

ప్రశ్న 8.
బాగా కలుపబడిన పేక ముక్కల కట్టనుండి ఎరుపు రాజు తీయగల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
పేకకట్టలోని మొత్తం ముక్కల సంఖ్య n(s) = 52
పేకకట్టలోని ఎరుపు రాజుల సంఖ్య n(K) = 2
∴ P(K) = \(\frac{2}{52}\) = \(\frac{1}{26}\)

ప్రశ్న 9.
ప్రధాన సంఖ్య లేక సంయుక్త సంఖ్యను పొందు ఘటనలు
(A) పరస్పర వర్జిత ఘటనలు
(B) సమసంభవ ఘటనలు
(C) అసంభవ ఘటనలు
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(A) పరస్పర వర్జిత ఘటనలు

ప్రశ్న 10.
P(E) = 0.82 అయిన P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) ను లెక్కించుము.
సాధన.
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E) = 1 – 0.82 = 0.18

ప్రశ్న 11.
యాదృచ్చిక ప్రయోగంలోని పూరక ఘటనలు వరుసగా E, \(\overline{\mathrm{E}}\) లు అయితే ఈ క్రిందివానిలో సరైనది ఏది?
(A) P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 2
(B) P(E) + P((\(\overline{\mathrm{E}}\))) = 3
(C) P((\(\overline{\mathrm{E}}\))) + P(E) = 1
(D) P(E) + P((\(\overline{\mathrm{E}}\))) = 4
జవాబు.
(C) P((\(\overline{\mathrm{E}}\))) + P(E) = 1

ప్రశ్న 12.
ఈ క్రింది వానిలో ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యత కానిది ఏది?
(A) \(\frac{1}{2}\)
(B) \(\frac{4}{5}\)
(C) 0.7
(D) \(\frac{5}{4}\)
జవాబు.
(D) \(\frac{5}{4}\)

ప్రశ్న 13.
ఈ క్రింది వానిలో ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యత కానిది ఏది ?
(A) 0.2
(B) 1.\(\overline{3}\)
(C) 0.72
(D) \(\frac{2}{5}\)
జవాబు.
(B) 1.\(\overline{3}\)

ప్రశ్న 14.
P(E) = 0.09 అయిన.P (E కానిది) శాతములో వ్యక్తపరుచుము.
సాధన.
P (E కానిది) = 1 – P(E) = 1 – 0.09 = 0.91
= 0.91 × 100% = 91%

ప్రశ్న 15.
ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు ప్రధాన సంఖ్య వచ్చు సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
పాచిక దొర్లించినపుడు S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6};
n(S) = 6
ప్రధాన సంఖ్య వచ్చు పర్యవసానాలు
E = {2, 3, 5}; n(E) = 3
∴ P(E) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 16.
P(E) = 0.26, అయిన P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) విలువ ఎంత ?
సాధన.
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E) = 1 – 0.26 = 0.74

ప్రశ్న 17.
ఒక పాచిక దొర్లించినపుడు 7 వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
0 [∵ పాచికను దొర్లించినపుడు 7 రావడము అనునది అసాధ్య ఘటన]

ప్రశ్న 18.
క్రింది వానిలో సమసంభవ ఘటనలు కలిగిన ప్రయోగాలేవి?
(1) పాచిక దొర్లించినపుడు 1, 2, 3, 4, 5, 6 లలో ఒక అంకె వచ్చుట.
(2) ఒక.ఆటలో గెలుపు లేదా ఓటమి.
(3) నాణెం ఎగురవేసినపుడు బొమ్మ లేదా బొరుసు పడుట.
(A) 1, 2
(B) 2, 3
(C) 1, 3
(D) అన్నీ
జవాబు.
(D) అన్నీ

ప్రశ్న 19.
ఆంగ్ల అక్షరమాలలోని ఒక అక్షరాన్ని ఎంచుకొనినపుడు సంభావ్యత \(\frac{5}{26}\) అయినచో ఆ అక్షరం క్రింది వానిలో ఏది కావచ్చును ?
(A) హల్లు (consonant)
(B) అచ్చు (vowel)
(C) ఏదైనా కావచ్చు
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(B) అచ్చు (vowel)

ప్రశ్న 20.
P(E) = 1 అయిన P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = ……….
సాధన.
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 0 (∵ P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1)

ప్రశ్న 21.
ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు బేసి ప్రధాన సంఖ్యను పొందు సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
n(S) = 6, E = {3, 5}, n(E) = 2
∴ P(E) = \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 22.
రెండు పాచికలను ఒకేసారి దొర్లించినపుడు వాటిపై సంఖ్యలను కలిపిన 13. వచ్చు సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
0 [∵ రెండు పాచికలను దొర్లించినపుడు వాటిపై సంఖ్యలను కలిపిన 13 రావడం అసంభవ ఘటన]

ప్రశ్న 23.
P(E) = 0.05 అయిన P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) విలువ ఎంత ?
సాధన.
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E) = 1 – 0.05 = 0.95

ప్రశ్న 24.
క్రింది వానిలో ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచించునది ఏది?
(A) – 1.5
(B) 2.4
(C) 0.7
(D) 115%
జవాబు.
(C) 0.7

ప్రశ్న 25.
“BAHUBALI” అనే పదంలోని అక్షరం నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక అక్షరంను ఎన్నుకొన్న అది వచ్చకాకపోవడానికి సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
\(\frac{4}{8}\) = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 26.
రెండు పాచికలను దొర్లించి వాని ముఖ విలువలను కూడగా అది 8 కంటే పెద్దదైన బేసి సంఖ్య అగు సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
రెండు పాచికలను దొర్లించినపుడు మొత్తం పర్యవసానాలు
సంఖ్య n(S) = 36
రెండు పాచికలపై సంఖ్యల మొత్తం 8 కన్నా పెద్దదైన బేసి సంఖ్య. అవు పర్యవసానాలు
E = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6,3}, (5, 5) (6,5}}
n(E) = 6
∴ P(E) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న 27.
P(E) = 0.455 అయిన P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) ను కనుగొనుము.
సాధన.
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E) = 1 – 0.455 = 0.545

ప్రశ్న 28.
52 పేకముక్కల కట్ట నుండి ఒక కార్డును యాదృచ్ఛికంగా తీయగా అది ఒక డైమండ్ కార్డు (క్లజీ). అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
పేకముక్కల కట్టలోని మొత్తం కార్డులు n(S) = 52
డైమండ్ కార్డుల సంఖ్య n(D) = 13
∴ P(D) = \(\frac{n(D)}{n(S)}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)

ప్రశ్న 29.
క్రింది వానిని జతపరచడంలో సరైన సమాధానాన్ని ఎన్నుకొనుము.

(A) i-a, ii-b, iii-c
(B) i-c; ii-b, iii-a
(C) i-c, ii-a, iii-b
(D). i-a, ii-c, iii-b
జవాబు.
(C) i-c, ii-a, iii-b

ప్రశ్న 30.
ఒక పాచికను దొర్లించిన దానిపై సరిసంఖ్య పడు ఘటన సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(s) = 6
E = {2, 4, 6}, n(E) = 3
∴ P(E) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 31.
రెండు పాచికలను ఒకేసారి దొర్లించగా వాటి ముఖాలపై రెండు వేర్వేరు సంఖ్యలను పొందగల సంభావ్యతను కనుగోనుము.
సాధన.
రెండు పాచికలను దొర్లించినపుడు మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య n(S) = 36
రెండు పాచికలపై ఒకే సంఖ్య వచ్చు పర్యవసానాలు E := {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4,4), (5, 5), (6,6)}
n(E) = 6.
∴ P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)
రెండు పాచికలపై రెండు వేర్వేరు సంఖ్యలు పొందగల సం వ్యత
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E) = 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)

ప్రశ్న 32.
ఒక పాచికను దొర్లించిన 5 కంటే తక్కువ సంఖ్యను పొందే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
5 కన్నా తక్కువ వచ్చు పర్యవసానాలు
E = {1, 2, 3, 4}, n(E) = 4
∴ P(E) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\)

ప్రశ్న 33.
52 పేక ముక్కల కట్ట నుండి రాజు కార్డును తీయగల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
n(S) = 52,
పేకకట్టలోని రాజు కార్డుల సంఖ్య n(K) = 4
∴ P(K) = \(\frac{n(K)}{n(S)}=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)

ప్రశ్న 34.
30 కూపన్లు గల ఒక లక్కీ డిప్లో గోపి 2 కూపన్లు కొన్నాడు. అయిన అతడు ఆ లక్కీ డిప్ గెలుపొందగల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
n(S) = 30, n(E) = 2
∴ P(E) = \(\frac{2}{30}\) = \(\frac{1}{15}\)

ప్రశ్న 35.
రెండు పాచికలను దొర్లించగా వాటి ముఖాలపై ఒకే సంఖ్యను పొందగల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
n(S) = 36
రెండు పాచికలపై ఒకే సంఖ్య రాగల పర్యవసానాలు E = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4,4), (5, 5), (6,6)}
n(E) = 6
∴ P(E) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న 36.
ఒక పెట్టెలో 11 ఎరుపు, 6 తెలుపు, 9 ఆకుపచ్చ బంతులు కలవు. ఆ పెట్టె నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక బంతిని తీయగా అది ఆకుపచ్చ బంతి కాకుండుటకు గల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన:
మొత్తం బంతుల సంఖ్య n(S) = 11 + 6 + 9 = 26
ఆకుపచ్చ బంతులు కాని బంతుల సంఖ్య , .
n(E) = 11 + 6 = 17 ,
∴ P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}\) = \(\frac{17}{26}\)
(లేదా)
ఆకుపచ్చ బంతి అవు సంభావ్యత P(G) = \(\frac{9}{26}\)
∴ ఆకుపచ్చ బంతి కాకపోవుటకు సంభావ్యత
P(\(\overline{\mathrm{G}}\)) = 1 – \(\frac{9}{26}\) = \(\frac{17}{26}\)

ప్రశ్న 37.
ఒక బాక్స్ లో పెన్సిళ్ళు మరియు పెన్నులు కలవు. ఆ బాక్స్ నుండి ఒక పెన్ను తీయగల సంభావ్యత 0.65 అయిన పెన్ను లభించని సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
1 – 0.65 = 0.35

ప్రశ్న 38.
ఈ క్రింది వానిలో ఏవి సమసంభవ ఘటనలు?
(A) నాణేన్ని ఎగురవేయగా బొమ్మ లేదా బొరుసుపడుట
(B) ఒక పాచికను దొర్లించగా సంయుక్త సంఖ్య లేక ప్రధాన సంఖ్య వచ్చు ఘటనలు
(C) 50 లోపు సహజ సంఖ్యలలో 6 లేక 8 చే . భాగించబడే సంఖ్యను పొందుట
(D) హృదయం లేదా నలుపు కార్డును ఒక పేక కట్ట నుండి తీయగలుగుట
జవాబు.
(A) నాణేన్ని ఎగురవేయగా బొమ్మ లేదా బొరుసుపడుట

ప్రశ్న 39.
రెండు నాణేలను ఒకేసారిగా ఎగురవేయగా రెండూ బొరుసులు లభించని ఘటన సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
రెండు నాణెములు ఎగురవేసినపుడు
S = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T}}
n(S) = 4
రెండూ బొరుసులు లభించని పర్యవసానాలు
E = {(H, H), (H, T), (T, H)}, n(E) = 3
∴ P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}\) = \(\frac{3}{4}\)

ప్రశ్న 40.
రెండు నాణేలను ఎగురవేయగా కనీసం ఒక్క బొమ్మైనా లభించు సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
n(S) = 4, E = {(H, H), (H, T), (T, H)},
n(E) = 3
∴ కనీసం ఒక బొమ్మ అయినా లభించు సంభావ్యత
P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}\) = \(\frac{3}{4}\)

ప్రశ్న 41.
రెండు పాచికలను ఒకేసారి దొర్లించగా వాటి ముఖాలపై వచ్చు అంకెల మొత్తం 12 అగుటకు గల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
రెండు పాచికలు దొర్లించగా ఏర్పడు మొత్తం
పర్యవసానాలు n(S) = 36
రెండు పాచికల ముఖాలపై వచ్చు అంకెల మొత్తం 12 అవు పర్యవసానాలు E = {(6,6)}, n(E) = 1
∴ P(E) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{1}{36}\)

ప్రశ్న 42.
రెండు పాచికలను దొర్లించగా వాటి మొత్తం 3 లేదా 5 అయ్యే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
E = {(1, 2), (2, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}, n(E) = 6
∴ P(E) = \(\frac{6}{36}\) = \(\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న 43.
రెండు పాచికలను దొర్లించగా, వాటి ముఖాలపై వచ్చు అంకెల మొత్తం 11 అగుటకు గల సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
E = {(5, 6), (6, 5)}, n(E) = 2
∴ P(E) = \(\frac{2}{36}\) = \(\frac{1}{8}\)

ప్రశ్న 44.
“CORONA” అను పదం నుండి ఎన్నుకొను అక్షరం అచ్చు కాకపోవుటకు గల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
CORONA లోని అక్షరాల సంఖ్య n(s) = 6
అచ్చుకాని అక్షరాలు E = {C, R, N}, n(E) = 3
∴ P(E) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 45.
10వ తరగతిలో హాజరైన 30 మంది విద్యార్థులలో 18 మంది ఏకరూప దుస్తుల (uniform) లో, మిగిలినవారు విభిన్న దుస్తులలోను హాజరైనారు. ఎన్నుకొన్న విద్యార్థి ఏకరూప దుస్తులు ధరించుటకు గల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
n(S) = 30, n(U) = 18 .
∴ P(U) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{U})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{18}{30}\) = \(\frac{3}{5}\)

ప్రశ్న 46.
రెండు పాచికలను దొర్లించగా వాటి ముఖాలపై ఒకే సరిసంఖ్యలు ఏర్పడగల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
E = {{2, 2), (4, 4), (6,6)}, n(E) = 3
∴ P(E) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{3}{36}\) = \(\frac{1}{12}\)

ప్రశ్న 47.
రెండు పాచికలను దొర్లించగా వాటి పై సమాన బేసిసంఖ్యలు పొందగల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
E = {(1, 1), (3, 3), (5, 5)}, n(E) = 3
∴ P(E) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{3}{36}\) = \(\frac{1}{12}\)

ప్రశ్న 48.
రెండు పాచికలను దొర్లించగా వాటి ముఖాలపై గల సంఖ్యల లబ్దం, 6 పొందగల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
E = {(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)},
n(E) = 4
∴ P(E) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{4}{36}\) = \(\frac{1}{9}\)

ప్రశ్న 49.
ఒక పాచికను వేసినపుడు దానిపై సంయుక్త సంఖ్య పడు సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
E = {4, 6}, n(E) = 2
∴ P(E) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{2}{36}\) = \(\frac{1}{18}\)

ప్రశ్న 50.
పేకముక్కల కార్డులకట్ట నుండి నలుపు ముక్క కార్డును పొందగల సంభావ్యత (52 కార్డులలో) ఎంత ?
సాధన.
మొత్తం కారుల సంఖ్య n(s) = 52
నలుపు రంగు కార్డుల సంఖ్య n(B) = 26
∴ P(B) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{26}{52}\) = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 51.
6 ఎరుపు, 5 ఆకుపచ్చ, 3 నీలం బంతులు గల ఒక సంచి నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక ఆకుపచ్చ బంతిని పొందగల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
మొత్తం బంతుల సంఖ్య n(s) = 6 + 5 + 3 = 14
ఆకుపచ్చ బంతుల సంఖ్య n(G) = 5
∴ P(G) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{G})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{5}{14}\)

ప్రశ్న 52.
1 నుండి 50 వరకు గల సంఖ్యలలో ఒక సంఖ్యను ఎన్నుకొనిన అది ‘8’ చే భాగింపబడు సంఖ్య అవు సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
n(s) = 50 .
E = {8, 16, 24, 32, 40, 48}, n(E) = 6
∴ P(E) = \(\frac{6}{50}\) = \(\frac{3}{25}\)

ప్రశ్న 53.
ప్రవచనం – A : E అనే ఘటన సంభావ్యత P(E) అయితే P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 0.
ప్రవచనం – B : F అనే ఘటన సంభావ్యత P(F) అయితే 0 ≤ P(F) ≤ 1.
(i) A సత్యం, B అసత్యం
(ii) A ‘అసత్యం , B సత్యం
(iii) A సత్యం , B సత్యం
(iv) A అసత్యం, B అసత్యం
జవాబు.
(i) A సత్యం, B అసత్యం

ప్రశ్న 54.
ఖచ్చిత సంభవ ఘటన యొక్క సంభావ్యత ఎంత ?
జవాబు.
ఖచ్చిత సంభవ ఘటన యొక్క సంభావ్యత = 1

ప్రశ్న 55.
అసంభవ ఘటన యొక్క సంభావ్యత ఎంత ?
జవాబు.
అసంభవ ఘటన సంభావ్యత = 0

ప్రశ్న 56.
బాగా కలుపబడిన పేకముక్కల కట్టకు సంబంధించిన క్రింది ఘటనలను వాని సంభావ్యతకు జతపరుచుము.

(A) i-d, ii-b, iii-a, iv-c
(B) i-d, ii-a, iii-b, iv-c
(C) i-d, ii-c, iii-d, iv-a
(D) i-b, ii-a, iii-c, iv-a
జవాబు.
(A) i-d, ii-b, iii-a, iv-c

ప్రశ్న 57.
P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = ………………..
జవాబు.
1

ప్రశ్న 58.
28 గోళీలు గల ఒక పెట్టెలో ఆకుపచ్చవి ‘X’ మరియు మిగిలినవి తెలుపు .గోళీలు కలవు. ఆకుపచ్చ గోళీలు లభించగల సంభావ్యత \(\frac{2}{7}\) అయిన ఆకుపచ్చ గోళీల సంఖ్య, తెలుపు గోళీల సంఖ్య ఎంత?
సాధన.
మొత్తం గోళీలు n(s) = 28
ఆకుపచ్చ గోళీలు n(G) = x
P(G) = \(\frac{2}{7}\)

∴ ఆకుపచ్చ గోళీల సంఖ్య = 8
∴ తెలుపు గోళీల సంఖ్య = 28 – 8 = 20

ప్రశ్న 59.
‘E’ ఘటన యొక్క సంభావ్యత P(E) = \(\frac{2}{5}\) అయిన (\(\overline{\mathrm{E}}\)) యొక్క సంభావ్యత P (\(\overline{\mathrm{E}}\)) ఎంత?
సాధన.
P(E) = \(\frac{2}{5}\); P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E) = 1 – \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{3}{5}\)

ప్రశ్న 60.
52 పేకముక్కల కట్ట నుండి రాణి ముక్కను తీయు సంభావ్యత శాతములో తెల్పండి.
సాధన.
n(S) = 52, రాణి ముక్కల సంఖ్య
n(Q) = \(\frac{4}{52}\) = \(\frac{1}{13}\) = \(\frac{1}{13}\) × 100%
= \(\frac{100}{13}\)%
= 7\(\frac{9}{13}\)%

ప్రశ్న 61.
బాగా కలుపబడిన పేక ముక్కల కట్ట నుండి ఎరుపు జాకీ తీయగల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
n(S) = 52
ఎరుపు జాకీ కార్డుల సంఖ్య n(E) = 2
∴ P(E) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{2}{52}\) = \(\frac{1}{26}\)

ప్రశ్న 62.
బాగా కలుపబడిన పేక ముక్కల కట్ట నుండి ఎరుపు కార్డు తీయగల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
n(S) = 52; n(R) = 26
∴ P(R) = \(\frac{26}{52}\) = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 63.
ఒక నాణేన్ని ఎగురవేయగా బొరుసు లభించు సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు.
\(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 64.
రెండు ఘటనలకు సమాన పర్యవసానాలు ఉండగల వాటిని …………… ఘటనలు అంటారు.
(A) పూరక
(B) సమసంభవ
(C) కచ్చిత
(D) అసాధ్య
జవాబు.
(A) పూరక

ప్రశ్న 65.
ఒక ప్రయోగంలోని రెండు లేక అంతకన్నా ఎక్కువ ఘటనలలో ఒక ఘటన యొక్క సంభవము మిగిలిన అన్ని ఘటనల సంభవాలను నిరోధిస్తే ఆ ఘటనలను ………….. అంటారు.
(A) పరస్పర వర్జిత
(B) పూరక
(C) కచ్చిత
(D) అసాధ్య
జవాబు.
(A) పరస్పర వర్జిత

ప్రశ్న 66.
ఒక చీకటి గదిలో స్విచ్ వేస్తే, బల్బు వెలుగుటకు గల సంభావ్యత 0.35 అయిన అది వెలగకపోవుటకు సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
బల్బు వెలుగుటకు గల సంభావ్యత P(E) = 0.35
బల్బు వెలుగకపోవడానికి గల సంభావ్యత
P(E) = 1 – P(E) = 1 – 0.35 = 0.65

ప్రశ్న 67.
లీపు సంవత్సరం కాని సంవత్సరంలో 53వ వారం ఆదివారంతో ప్రారంభం అవుటకు గల సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
S = {ఆదివారం, సోమవారం, మంగళవారం, బుధవారం, గురువారం, శుక్రవారం, శనివారం}
n(s) = 7,
E = {ఆదివారం} ⇒ n(E) = 1
∴ P(E) = \(\frac{1}{7}\)

ప్రశ్న 68.
ఒక పాచికను దొర్లించగా దాని ముఖంపై “ప్రధాన” లేదా “సంయుక్త” సంఖ్య ఏర్పడని ఘటన సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ప్రధాన లేక సంయుక్త సంఖ్య ఏర్పడని ఘటన పర్యవసానాలు E = {1}, n(E) = 1
∴ P(E) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న 69.
క్రింది వానిలో ఏవి ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచించవు?
(i) \(\frac{7}{5}\)
(ii) 0.7
(iii) 25%
(iv) 1.52
(A) i, ii
(B) i, iv
(C) i, iii
(D) ii, iv
జవాబు.
(B) i, iv

ప్రశ్న 70.
ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు 4 కన్నా ఎక్కువ సంఖ్య పడు ఘటన సంభావ్యతను నిష్పత్తిలో తెల్పండి.
సాధన.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
E = {5, 6}, n(E) = 2
∴ P(E) = \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\) నిష్పత్తి = 1 : 3.

ప్రశ్న 71.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ? ,
(A) P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1
(B) 0 ≤ P(E) ≤ 1
(C) ఒక ప్రయోగ ప్రాథమిక ఘటనలు E, F, G.
అయిన P(E) + P(F) + P(G) = 1
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 72.
పేకకట్ట నుండి నలుపు రాజు కార్డు పొందు సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
\(\frac{2}{52}\) = \(\frac{1}{26}\) [∵ n(s) = 52, n(E) = 2]

ప్రశ్న 73.
రెండు నాణేలను ఎగురవేయగా రెండు బొరుసులు లభించగల సంభావ్యతను శాతంలో తెల్పండి.
సాధన.
S = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T}},
n(s) = 4
E = {(T, T}}, n(E) = 1
∴ P(E) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{1}{4}\) × 100% = 25%

ప్రశ్న 74.
P(E) = P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) అయిన P(E) = \(\frac{1}{2}\) నే అని చూపుము.
సాధన.
P(E) = P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) (దత్తాంశము)
P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1
⇒ P(E) + P(E) = 1 ⇒ 2P (E) = 1
∴ P(E) = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 75.
ఒక క్రికెట్ మ్యాచ్ లో ఇండియా ఓడిపోవుటకు గల సంభావ్యత 0.3 అయిన గెలుచుటకు గల సంభావ్యతను శాతంలో తెల్పండి.
సాధన.
ఇండియా ఓడిపోవుటకు గల సంభావ్యత = 0.3
ఇండియా గెలుచుటకు గల సంభావ్యత
= 1 – 0.3 = 0.7 = 0.7 × 100% = 70%

ప్రశ్న 76.
క్రింది వానిలో ఏది ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచిస్తుంది ?
(A) \(\frac{1}{3}\)
(B) 0.3
(C) 33%
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 77.
క్రింది వానిలో ఏది ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను ‘ సూచించలేదు ?
(A) 0.3
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{7}{5}\)
(D) 40%
జవాబు.
(C) \(\frac{7}{5}\)

ప్రశ్న 78.
ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యత P(E) = x అయిన P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) ని x పదాలలో తెల్పండి.
సాధన.
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E) = 1 – x

ప్రశ్న 79.
2004వ సంవత్సరంలో జన్మించిన ఇద్దరు, స్నేహితులు ఒకేరోజు పుట్టినరోజు జరుపుకొను ఘటన యొక్క సంభావ్యత ఎంత ?
(A) 365
(B) 365
(C) 366
(D) 366
జవాబు.
(C) 366 (∵ 2004 లీపు సంవత్సరము .రోజులు = 366) .

ప్రశ్న 80.
ఒక సాధారణ సంవత్సరంలో జన్మించిన ఇద్దరు స్నేహితులు ఒకే రోజు పుట్టినరోజు జరుపుకోక పోవడానికి గల సంభావ్యత ఎంత ?
జవాబు.
\(\frac{364}{365}\) 365
(∵ సాధారణ సంవత్సరంలోని రోజులు = 365
ఒకేరోజు జరుపుకోకపోవడానికి
అవకాశం గల రోజులు = 364)

ప్రశ్న 81.
“CORONA” అను పదం నుండి ఎన్నుకొన్న అక్షరం అచ్చు అవు సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
CORONA అనే పదంలోని అక్షరాల సంఖ్య
n(s) = 6
అందులో అచ్చుల సంఖ్య n(V) = 3
∴ P(V) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{V})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 82.
P(E) = 0.05 అయిన “E కాదు” యొక్క సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
P(E) = 0.05, P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – 0.05 = 0.95

ప్రశ్న 83.
క్రింది పటంలో చూపిన విధంగా ABCD దీర్ఘ చతురస్రాకారంలో గల అటవీ ప్రాంతం కలదు. ఈ అటవీ ప్రాంతంలో PORS అనే చతురస్రాకార చదునైన ప్రదేశం ఉంటే ఈ అటవీ ప్రాంతంలో కూలిన హెలికాప్టర్ చదునైన ప్రాంతంలో కూలిపోయి ఉండుటకు గల సంభావ్యతను కనుగొనుము.

సాధన.
చదునైన ప్రాంతంలో కూలిపోవుటకు గల సంభావ్యత

ప్రశ్న 84.
రెండు. పాచికలను దొర్లించినపుడు క్రింది వానిలో ఏవి అసంభవ ఘటనలు ?
(i) రెండు పాచికలపై వచ్చు సంఖ్యల మొత్తం 10.
(ii) రెండు పాచికలపై వచ్చు సంఖ్యల లబ్దం 40.
(iii) రెండింటిపైనా సమాన రెండంకెల సంఖ్య రావడం.
(iv) రెండింటి పైనా సమాన ప్రధాన సంఖ్య’ రావడం.
సాధన.
అసంభవ ఘటనలు, ii మరియు iii.

ప్రశ్న 85.
P(E) = 0.05 అయిన “E కాదు” యొక్క సంభావ్యతను శాతంలో తెల్పండి.
సాధన.
P(E) = 0.05
∴ P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – 0.05 = 0.95
= 0.95 × 100% = 95%

ప్రశ్న 86.
P(E) = 0.05 అయిన “E కాదు” యొక్క సంభావ్యతను అకరణీయ సంఖ్యారూపంలో \(\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{q}}\) రూపంలో రాయండి.
సాధన.
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – 0.05 = 0.95 = \(\frac{95}{100}\) = \(\frac{19}{20}=\)

ప్రశ్న 87.
రెండు పాచికలను దొర్లించగా వాటి ముఖాలపై ఒకే సంఖ్యను పొందగల సంభావ్యత దశాంశ రూపం
(A) అంతమవు దశాంశము
(B) అంతంకాని ఆవర్తన దశాంశము
(C) కరణీయ సంఖ్య
(D) పైవన్నీ
సాధన.
(B) అంతంకాని ఆవర్తన దశాంశము

వివరణ:
n(s) = 36
E = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6,6)}
n(E) = 6
∴ P(E) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{6}{36}\) = \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{1}{2 \times 3}\)
q = 2^m × 5ⁿ రూపంలో లేదు. కావున అంతంకాని ఆవర్తన దశాంశము.

ప్రశ్న 88.
E ఘటన సంభావ్యత 60% అయిన ‘E కాదు’ ఘటన సంభావ్యతను \(\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{q}}\) రూపంలో తెల్పండి.
సాధన.
P(E) = 60%, P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 40% = \(\frac{40}{100}\) = \(\frac{2}{5}\).

ప్రశ్న 89.
{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} అనే సమితి నుండి |x| < 2 అయ్యేటట్లు ఎంచుకొన్న ఒక సంఖ్య x అయిన x ను ఎంచుకొనే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
S = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, n(S) = 8
| x| < 2 అయ్యే పర్యవసానాలు E = {-1, 0, 1} n(E) = 3 ⇒ P(E) = \(\frac{3}{8}\) ప్రశ్న 90. {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} అనే సమితి నుండి . |x| ≤ 2 అయ్యేటట్లు x ను ఎంచుకొను సంభావ్యత ఎంత? సాధన. |x| ≤ 2. E = {-2, -1, 0, 1, 2}; n(E) = 5 P(E) = \(\frac{5}{8}\) ప్రశ్న 91. {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} అనే సమితి నుండి |x| > 2 అయ్యేటట్లు x ను ఎంచుకొను సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
|x| > 2
E = {-3, 3, 4}, n(E) = 3
P(E) = \(\frac{3}{8}\)

ప్రశ్న 92.
{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} అనే సమితి నుండి |x| ≥ 2 అయ్యేటట్లు X ను ఎంచుకొను సంభావ్యతను లెక్కించండి.
సాధన.
|x| ≥ 22
E= {-3, – 2, 2, 3, 4}, n(E) = 5
P(E) = \(\frac{5}{8}\)

ప్రశ్న 93.
క్రింది వానిలో అసత్య ప్రవచనాన్ని గుర్తించి దానిని సత్య ప్రవచనంగా మార్చండి.
(i) P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1
(ii) 0 ≤ P(E) ≤ 1
(iii) ఒక ప్రయోగంలో E, F, G లు ప్రాథమిక ఘటనలు అయిన P(E) + P(F) + P(G) = 3
సాధన.
(iii), P(E) + P[F) + P(G) = 3 అనునది అసత్య ప్రవచనము.
P(E) + P(F) + P(G) = 1 (సత్య ప్రవచనము)

ప్రశ్న 94.
P(G) = \(\frac{4}{17}\), P(\(\overline{\mathrm{G}}\)) = …………….
సాధన.
P(\(\overline{\mathrm{G}}\)) = \(\frac{4}{17}\), P(\(\overline{\mathrm{G}}\)) = 1 – \(\frac{4}{17}\) = \(\frac{13}{17}\)

ప్రశ్న 95.
2, 3, 4,.5, 2, 3, 6, 2, 8 లలో ఎన్నుకొన్న సంఖ్య ఈ దత్తాంశం యొక్క బాహుళకం అవు సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
n(S) = దత్తాంశంలోని రాశుల సంఖ్య = 9
బాహుళకము = 2
కావున ఎన్నుకొన్న సంఖ్య 2 కావడానికి అవకాశాలు
n(E) = 3
∴ P(E) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{3}{9}\) = \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 96.
A = {2012, 2013, 2014 ……. 2021} సమితి A నుంచి ఎన్నుకొన్న సంఖ్య లీపు సంవత్సరం అవు సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
n(A) = 10,
L = {2012, 2016, 2020}, n(L) = 3
∴ P(L) = \(\frac{3}{10}\)

ప్రశ్న 97.
ఈ క్రింది వానిలో ఏది సత్యము ?
(A) 0 ≤ P(E) ≤ 1
(B) 0 < P(E) < 1
C) P(E) ≤ 0
(D) ఏదీకాదు
జవాబు.
(A) 0 ≤ P(E) ≤ 1

ప్రశ్న 98.
“పూరక ఘటనల” ను నిర్వచించుము.
సాధన.
ఒక ప్రయోగములో ఒక ఘటన యొక్క అనుకూల పర్యవసానములు కాని, ప్రతిరూప ఆవరణలోని మిగిలిన అన్ని పర్యవసానములు గల ఘటనను మొదటి దాని యొక్క పూరక ఘటన అంటారు.

ప్రశ్న 99.
పూరక ఘటనలకు ఒక ఉదాహరణనివ్వండి.
సాధన.
పాచిక వేసినపుడు బేసిసంఖ్య పడే సంభావ్యత (E) అయితే బేసిసంఖ్య కానిది అయ్యే (E) ఘటన.

ప్రశ్న 100.
సమసంభవ ఘటనలు అనగానేమి ?
సాధన.
ఒక ప్రయోగంలో రెండు లేక అంతకన్నా ఎక్కువ ఘటనలు సంభవించడానికి సమాన అవకాశములు ఉంటే వాటిని సమసంభవ ఘటనలు అంటారు.

ప్రశ్న 101.
సమసంభవ ఘటనలకు ఒక ఉదాహరణనివ్వండి.
సాధన.
ఒక నాణేన్ని ఎగురవేసినపుడు బొమ్మ లేదా బొరుసు పడే ఘటనలు.

ప్రశ్న 102.
“పరస్పర వర్ణిత ఘటనలు” అనగానేమి ?
సాధన.
ఒక ప్రయోగంలోని రెండు లేక అంతకన్నా ఎక్కువ ఘటనలలో ఒక ఘటన యొక్క సంభవము మిగిలిన అన్ని ఘటనల సంభవమును నిరోధిస్తే ఆ ఘటనలను పరస్పర వర్జిత ఘటనలంటారు.

ప్రశ్న 103.
పరస్పర వర్ణిత ఘటనలకు ఒక ఉదాహరణనిమ్ము.
సాధన.
నాణేన్ని ఎగురవేసినపుడు బొమ్మ పడు ఘటన, బొరుసు పడు ఘటనలు.

ప్రశ్న 104.
దృఢ (ఖచ్చిత) ఘటనకు ఒక ఉదాహరణనిమ్ము.
సాధన.
పాచిక వేసినపుడు 6 లేదా 6 కంటే చిన్న సంఖ్య పడే ఘటన.

ప్రశ్న 105.
అసాధ్య (అసంభవ) ఘటనకు ఒక ఉదాహరణనిమ్ము.
సాధన.
ఒక పాచికను వేసిన ‘7’ను పొందు ఘటన.

ప్రశ్న 106.
రెండు నాణెములను ఎగురవేసినపుడు సాధ్యమగు అన్ని పర్యవసానములను రాయండి.
సాధన.
S = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T}}

ప్రశ్న 107.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} నుంచి ఎన్నుకొన్న సంఖ్య P(x) = x² – 4 యొక్క శూన్యము కావడానికి గల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(s) = n(A) = 6
P(x) = x² – 4 = (x + 2) (x – 2) యొక్క శూన్యాలు 2, – 2
P(x) యొక్క ఎన్నుకొన్న శూన్యం A లో ఉండుటకు గల అవకాశాలు = n(E) = 1
∴ P(E) = \(\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న 108.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} నుంచి ఎన్నుకొన్న సంఖ్య P(x) = x² – 4 యొక్క శూన్యము కాకపోవడానికి గల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = n(A) = 6
P(x) = x² – 4 = (x + 2) (x – 2) యొక్క శూన్యాలు 2, -2.
P(x) యొక్క ఎన్నుకొన్న శూన్యం A లో ఉండుటకు గల అవకాశాలు = n(E) = 1
∴ P(E) = 6
P(x) యొక్క ఎన్నుకొన్న శూన్యం A లో ఉండక పోవడానికి గల అవకాశాలు ,
= P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1 – P(E) = 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)

ప్రశ్న 109.
అసాధ్య ఘటన సంభావ్యత 1. (సత్యం / అసత్యం)
జవాబు.
అసత్యం

ప్రశ్న 110.
(i) P(E) + P (E) = – 1
(ii) P(E) + P(E) = 0
(iii) 0 ≤ P(E) ≤ 1
(iv) దృఢ ఖచ్చిత ఘటన సంభావ్యత 1.
పై ప్రవచనాలు సత్యం అయితే T అని, అసత్యమైతే F అని సూచించండి.
(A) i – T, ii – F, iii – T, iv – F
(B) i – F, ii – F, iii – T, iv-T
(C) i – F, ii – T, ili – F, iv-T
(D) i – T, ii – T, iii – F, iv – F
జవాబు.
(B) i – F, ii – F, iii – T, iv-T

→ 50 మంది విద్యార్థులు గల ఒక తరగతిలో విద్యార్థుల యొక్క రక్త గ్రూఫీ పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికన ఇవ్వడం జరిగినది.. దీనిని పరిశీలించి 111 – 114 వరకు గల ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న 111.
తరగతి నుంచి ఎన్నుకొన్న విద్యార్థి 0+ రక్త గ్రూష కలిగి ఉండుటకు సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
n(s) = Σf = 50; n(O⁺) = 24
⇒ P(O⁺) = \(\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{O}^{+}\right)}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}\) = \(\frac{24}{50}\) = \(\frac{12}{25}\)

ప్రశ్న 112.
క్రింది వానిలో ఏది అసాధ్య ఘటన ?
(i) ఎన్నుకొన్న విద్యార్థి 0^– రక్త గ్రూపును కలిగి ఉండుట.
(ii) ఎన్నుకొన్న విద్యార్థి AB^– రక్త గ్రూపును కలిగి ఉండుట
(iii)ఎన్నుకొన్న విద్యార్థి 0⁺ రక్త గ్రూపును కలిగి ఉండుట.
జవాబు.
(ii) ఎన్నుకొన్న విద్యార్థి AB^– రక్త గ్రూపును కలిగి ఉండుట

ప్రశ్న 113.
క్రింది వానిలో ఏ ఘటన యొక్క సంభావ్యత అత్యధికము?
(A) B⁺ గ్రూపు గల విద్యార్థిని ఎంపిక చేయడం.
(B) 0⁺ గ్రూపు గల విద్యార్థిని ఎంపిక చేయడం.
(C) AB^– గ్రూపు గల విద్యార్థిని ఎంపిక చేయడం.
(D) నిర్ణయించటేము.
జవాబు.
(B) 0⁺ గ్రూపు గల విద్యార్థిని ఎంపిక చేయడం.

ప్రశ్న 114.
ఎన్నుకొన్న విద్యార్థి O⁺ రక్త గ్రూపుకాని విద్యార్థి అవు సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
ఎన్నుకొన్న విద్యార్థి O⁺ గ్రూపు కాకపోవుటకు గల
అవకాశాలు = 50 – 24 = 26
∴ P(E) = \(\frac{26}{50}\) = \(\frac{13}{25}\)

ప్రశ్న 115.
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాలు సమాన వాస్తవ సంఖ్యలు కావడానికి గల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
S = {అసమాన వాస్తవ సంఖ్యలు, సమాన వాస్తవ సంఖ్యలు, వాస్తవ సంఖ్యలు కాకపోవడము}
n(S) = 3,
E = {సమాన వాస్తవ సంఖ్యలు} = n(E) = 1
∴ P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}\) = \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 116.
ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాలు సమాన వాస్తవ సంఖ్యలు కాకపోవడానికి గల సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
P(E) = \(\frac{1}{3}\) (పై ప్రశ్న నుండి)
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = సమాన వాస్తవ సంఖ్యలు. కాకపోవడానికి
సంభావ్యత = 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)

→ నైరుతి ఋతుపవనాలు ఆంధ్రప్రదేశ్ లోనికి జూన్ నెలలో ప్రవేశిస్తాయి. ఈ నెలలో 10 సెం.మీ. కన్నా ఎక్కువ వర్షపాతం నమోదు కావడానికి గల సంభావ్యత జూలో క్రింది విధంగా కలదు.

పై సమాచారం ఆధారంగా క్రింది 117 – 120 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న 117.
ఆంధ్రప్రదేశ్ రైతులు జూన్ నెల ఏ వారంలో విత్తనాలు విత్తుకొనుటకు అనువైనదిగా నీవు భావిస్తున్నావు ?
జవాబు.
3వ వారం

ప్రశ్న 118.
4వ వారంలో 10 సెం.మీ. కన్నా ఎక్కువ వర్షపాతం నమోదు అవు సంభావ్యతను \(\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{q}}\) రూపంలో తెల్పండి.
సాధన.
0.25 = \(\frac{25}{100}\) = \(\frac{1}{4}\)

ప్రశ్న 119.
జూన్ నెల ఏ వారంలో అత్యల్ప వర్షపాతం నమోదు కావడానికి అవకాశం కలదు ?
జవాబు.
1వ వారం.

ప్రశ్న 120.
జూన్ 3వ, 4వ వారంలలో 10 సెం.మీ. కన్నా ఎక్కువ వర్షపాతం నమోదవు సంభావ్యతల మొత్తం ఎంత ?
సాధన.
0.2 + 0.4 = 0.6

ప్రశ్న 121.
బాగా కలుపబడిన 52 కార్డులు గల ,పేక కట్ట నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక కార్డును ఎన్నుకొనగా అది ఏస్ గాని లేదా రాజు గాని కాని సంభావ్యత ఎంత ?
జవాబు.
\(\frac{11}{13}\)

Practice the AP 10th Class Maths Bits with Answers 14th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రం on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 10th Class Maths Bits 14th Lesson సాంఖ్యక శాస్త్రం

ప్రశ్న1.
a + 2, a, a – 2 ల అంకమధ్యమం, ఎంత ?
జవాబు :
a + 2, a, a – 2 ల అంకమధ్యమం

ప్రశ్న2.
క్రింది వానిలో కేంద్రీయ స్థాన విలువ కానిది.
A) అంకమధ్యమము (సగటు)
B) మధ్యగతము
C) బాహుళకము
D) క్రమ విదలనము
జవాబు :
D) క్రమ విదలనము

ప్రశ్న3.
‘ఓజీవ్’ వక్రాలనుపయోగించి ఏ కేంద్రీయ విలువను కనుగొంటారు ?
జవాబు :
మధ్యగతము

ప్రశ్న4.
8, 6, 4, x, 3, 6, 0 ల సగటు 4 అయిన x విలువను కనుగొనుము. రాశుల మొత్తం
జవాబు :

⇒ \(\frac{8+6+4+x+3+6+0}{7}\) = 4
⇒ \(\) = 4 ⇒ 27 + x = 28
∴ x = 28 – 27 = 1

ప్రశ్న5.
కొన్ని దత్తాంశములలోని అంత్య విలువలు క్రింది దేనిపై ఎక్కువ ప్రభావము చూపును ?
A) అంకమధ్యమము
B) మధ్యగతం లో
C) బాహుళకము
D) వ్యాప్తి
జవాబు :
A) అంకమధ్యమము

ప్రశ్న6.
ఒక దత్తాంశము నందు ‘n’ బేసి విలువలు ఉన్న మధ్యగతము ___________
A) \(\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)\)వ రాశి
B) nవ రాశి
C) \(\left(\frac{\mathrm{n}-1}{2}\right)\)వ రాశి
D) (n – 1)వ రాశి
జవాబు :
A) \(\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)\)వ రాశి

ప్రశ్న7.
10-25 తరగతి మార్కు ఎంత ?
A) 10
B) 25
C) 17.5
D) 17
జవాబు :
C) 17.5

ప్రశ్న8.
5, 3, 4, -2, 3, 2, 2, 1, P ల బాహుళకము 3 అయిన P విలువ ఎంత ?
జవాబు :
P = 3

ప్రశ్న9.
11-20 తరగతి పొడవును కనుగొనుము. .
A) 9
B) 10
C) 11
D) 20
జవాబు :
B) 10

ప్రశ్న10.
1,2, x, 3ల సగటు ‘0’ అయిన x విలువ ఎంత ?
జవాబు :
1, 2, x, 3 ల సగటు = 0
⇒ \(\frac{1+2+x+3}{4}\) = 0
⇒ 6 + x = 0 ⇒ x = -6

ప్రశ్న11.
15 పరిశీలనాంశాల మొత్తం 420 అయిన వాటి సగటు ఎంత ?
జవాబు :
15 పరిశీలనాంశాల మొత్తం 420.
∴ వాని సగటు = 75 = 28

ప్రశ్న12.
ఒక అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం గీయుటలో దృష్టిలో ఉంచుకోవలసినవి.
i) అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం; దిగువ హద్దులు.
ii) అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం; ఎగువ హద్దులు.
iii) ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం; దిగువ హద్దులు.
iv) ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం; ఎగువ హద్దులు.
జవాబు :
i) అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం; దిగువ హద్దులు.

ప్రశ్న13.
కింది పట్టికలు పరిశీలించండి.

ప్రత్యక్ష పద్ధతి ద్వారా ‘అంకగణిత’ సగటును కనుగొనేటపుడు ఉపయోగించే పౌనఃపున్య పట్టిక ___________
A) (1) మాత్రమే సత్యము.
B) (2) మాత్రమే సత్యము
C) (1) మరియు (2) లు సత్యము.
D) వీటిలో ఏదీకాదు
జవాబు :
A) (1) మాత్రమే సత్యము.

ప్రశ్న14.
x₁, x₂, x₃, ….. x_n అనే ‘n’ అంశాల సగటు ? x̄ అయితే \(\sum_{i=1}^{n}\)(x₁ – x̄) విలువ ఎంత ?
జవాబు :
0

ప్రశ్న15.
బాహుళకం సూత్రం = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h నందు f₁ దేనిని సూచించును ?
జవాబు :
f₁ = బాహుళక తరగతి ముందున్న తరగతి పౌనఃపున్యం.

ప్రశ్న16.
వర్గీకృత దత్తాంశము యొక్క రెండు ఓజివ్ వక్రముల యొక్క ఖండన బిందువులోని X – నిరూపకము ఏ కేంద్రీయ స్థాన విలువను సూచిస్తుంది ?
జవాబు :
మధ్యగతమును సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న17.
దిగువ వానిలో కేంద్రీయ స్థానవిలువ కానిది
A) సగటు
B) మధ్యగతం
C) వ్యాప్తి
D) బాహుళకం
జవాబు :
C) వ్యాప్తి

ప్రశ్న18.
3, 2, 4, 3, 5, 2, x, 6 దత్తాంశము యొక్క బాహుళకము 3 అయిన x విలువ ఎంత ?
జవాబు :
x = 3

ప్రశ్న19.
2, 3, 4, 5, 6, 7 ల మధ్యగతం ఎంత ?
జవాబు :
మధ్యగతం = \(\frac{4+5}{2}\) = 4.5

ప్రశ్న20.
ఇచ్చిన ఓజివ్ వక్రాల రేఖాచిత్రం నుండి మధ్యగతం విలువ ఎంత ?

జవాబు :
మధ్యగతము = 40

ప్రశ్న21.
పోటీ చేసిన ముగ్గురి నుండి మీ తరగతి లీడరుగా ఒకరిని ఎన్నుకొనుటకు మీరు ఎంచుకోదగిన కేంద్రీయ స్థానకొలత.
A) సగటు
B) బాహుళకం
C) మధ్యగతం
D) వ్యాప్తి
జవాబు :
B) బాహుళకం

ప్రశ్న22.
1, 3, 5, 7, 9, ……… 99 రాశుల మధ్యగతము ఎంత ?
జవాబు :
\(\left(\frac{99+1}{2}\right)\) వ రాశి మధ్యగతము అవుతుంది.
50వ రాశి = 50
∴ మధ్యగతము = 50

ప్రశ్న23.
జతపరచుము.

A) 1 → 1, 2 → p, 3 → q
B) 1 → 9, 2 → r. 3 → p
C) 1 → q, 2 → p, 3 → r
D) 1 → p, 2 → r, 3 → q
జవాబు :
D) 1 → p, 2 → r, 3 → q

ప్రశ్న24.
sin 0°, cos 0°, sin 90°, tan 45° విలువల బాహుళకము విలువ ఎంత ?
జవాబు :
బాహుళకము = 1 (∵ sin 0° = 0, cos 0° = 1,
sin 90° = 1, tan 45° = 1)

ప్రశ్న25.
మొదటి నాలుగు బేసి ప్రధాన సంఖ్యల సగటు ఎంత ?
జవాబు :
మొదటి నాలుగు బేసి ప్రధాన సంఖ్యలు 3, 5, 7, 11.
సగటు = \(\frac{3+5+7+11}{4}=\frac{26}{4}\) = 6.5

ప్రశ్న26.
x – 5, x, x + 5 ల సగటు ఎంత ?
జవాబు :
x – 5, x, x + 5 ల సగటు
= \(\frac{x-5+x+x+5}{3}=\frac{3 x}{3}\) = x

ప్రశ్న27.
3, 4, 5 మరియు x ల బాహుళకం 5 అయిన X విలువ ఎంత ?
జవాబు :
x = 5

ప్రశ్న28.
ఓజివ్ వక్రముల ఖండన బిందువు యొక్క x – నిరూపకము తెలియజేయునది
A) సగటు
B) మధ్యగతం
C) వ్యా ప్తి
D) బాహుళకం
జవాబు :
B) మధ్యగతం

ప్రశ్న29.
దిగువనీయబడిన దత్తాంశం యొక్క బాహుళకము ఎంత ?
5, 6, 9, 10, 6, 11, 4, 6, 10, 4
జవాబు :
బాహుళకము = 6

ప్రశ్న30.
సగటును గణించుటలో ఉపయోగించు \(\frac{x_{1}-a}{h}\) ను సూచించుటకు ఉపయోగించు గుర్తు
A) d_i
B) f_i
C) u_i
D) x̄
జవాబు :
C) u_i

ప్రశ్న31.
ఇచ్చిన దత్తాంశం యొక్క ఆరోహణ ఓజీవ్ వక్రం, అవరోహణ ఓజీవ్ వక్రాల ఖండన బిందువు (42, 18) అయిన మధ్యగతం ఎంత ?
జవాబు :
మధ్యగతము = 42

ప్రశ్న32.
1-10 తరగతి యొక్క పొడవు ఎంత ?
జవాబు :
1-10 తరగతి పొడవు = 10

ప్రశ్న33.
1-10, 11 – 20, 21 – 30 తరగతులు అయిన 11 – 20 తరగతి దిగువహద్దు ___________
జవాబు :
11 – 20 తరగతి దిగువ హద్దు = 10.5

ప్రశ్న34.
1-8, 9-16, 17-24 తరగతులుగా గల పౌనఃపున్య విభాజనంలో తరగతి పొడవు h విలువ ఎంత?
జవాబు :
తరగతి పొడవు h = 8

ప్రశ్న35.
1 – 10, 11 – 20 పౌనఃపున్య విభాజన తరగతులలో 1-10 తరగతి ఎగువ హద్దు ఎంత ?
జవాబు :
1-10 తరగతి ఎగువ హద్దు = 10.5

ప్రశ్న36.
పౌనఃపున్య బహుభుజినందు ఉపయోగించునవి.
A) తరగతి మధ్య విలువలు మరియు పౌనఃపున్యము
B) తరగతి హద్దులు మరియు పౌనఃపున్యము
C) ఎగువ హద్దులు, అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం
D) దిగువ హద్దులు, ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం
జవాబు :
A) తరగతి మధ్య విలువలు మరియు పౌనఃపున్యము

ప్రశ్న37.
ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రమును నిర్మించుటకు ఉపయోగించునవి.
A) తరగతి ఎగువ హద్దులు, ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం
B) తరగతి దిగువ హద్దులు, అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం
C) తరగతి మధ్య విలువలు, ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం
D) ఎగువ హద్దులు, ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం
జవాబు :
A) తరగతి ఎగువ హద్దులు, ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం

ప్రశ్న38.
13, 23, 12, 18, 26, 19, 14 ల మధ్యగతంను కనుగొనుము.
జవాబు :
ఇచ్చిన’ దత్తాంశంను ఆరోహణ క్రమంలో రాయగా

∴ మధ్యగతం = 18

ప్రశ్న39.
10, 2, 8, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 10 ల బాహుళకం ఎంత ?
జవాబు :
బాహుళకం = 10

ప్రశ్న40.
10, 15, 15, 10, 12, 13, 19, 15 ల బాహుళకం ఎంత ?
జవాబు :
బాహుళకం = 15

ప్రశ్న41.
వర్గీకరింపబడిన దత్తాంశానికి మధ్యగత సూత్రంను రాయండి.
జవాబు :
మధ్యగతం x̄ = l + \(\frac{\left(\frac{n}{2}-c f\right)}{f}\) × h

ప్రశ్న42.
ఈ క్రింది వానిలో ఏది ఊహించిన సగటు పద్దతిలో సగటు కనుగొనుటకు సూత్రము ?
A) (x̄) = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)
B) x̄ = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) × h
C) (x̄) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{d}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)
D) ఏదీకాదు
జవాబు :
C) (x̄) = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{d}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)

ప్రశ్న43.
కొన్ని రాశుల సగటు 9. అందు ప్రతి రాశిని 3చే గుణించి ‘1’ కలుపగా వచ్చు రాశుల సగటు ఎంత ?
జవాబు :
కొత్త సగటు = 9 × 3 + 1 = 27 + 1 = 28

ప్రశ్న44.
x_i, f_i, విలువలు పెద్ద సంఖ్యలు అయినపుడు సగటు కనుగొనుటకు ఈ క్రింది వానిలో సరియైన పద్ధతి ఏది?
A) ప్రత్యక్ష పద్ధతి
B) సోపాన విచలన పద్దతి
C) ఊహించిన సగటు పద్ధతి
D) ఏదీకాదు
జవాబు :
B) సోపాన విచలన పద్దతి

ప్రశ్న45.
ఒక దత్తాంశానికి, బాహుళకంకి సంబంధించి క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) ఉండవచ్చును లేదా లేకపోవచ్చును.
B) ఉన్నచో అది ఒకే ఒక అంశం కానవసరం లేదు.
C) దత్తాంశంలో ఎక్కువసార్లు పునరావృతం అయ్యే రాశి బాహుళకం అవుతుంది.
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న46.
12, 15, x, 19, 25ల మధ్యగతం 18 అయిన ‘x’ విలువ ఎంత ?
జవాబు :
x = 18

ప్రశ్న47.
\(\frac{x}{5}, x, \frac{x}{4}, \frac{x}{2}, \frac{x}{3}\)ల మధ్యగతం 8 అయిన x విలువ ఎంత ?
జవాబు :
దత్తాంశంలోని రాసులను ఆరోహణా క్రమంలో రాయగా
\(\frac{x}{5}, \frac{x}{4}, \frac{x}{3}, \frac{x}{2}\), x
∴ మధ్యగతము \(\frac{x}{3}\) = 8
∴ x = 24

ప్రశ్న48.
-3, – 5, -8, 0, 3, 2, – 10 ల మధ్యగతం ఏది ?
జవాబు :
ఇచ్చిన రాసులను ఆరోహణా క్రమంలో రాయగా

∴ మధ్యగతము = -3

ప్రశ్న49.
మధ్యగతం = 1 + \(\frac{\left(\frac{n}{2}-c f\right)}{f}\) × h లో ‘cf’ దేనిని సూచిస్తుంది ?
జవాబు :
cf- మధ్యగత తరగతి ముందున్న తరగతి సంచిత పౌనఃపున్యము.

ప్రశ్న50.
శ్రామికుల వేతనాలకు ప్రాతినిథ్య’ విలువ కనుగొన వలసి వచ్చినపుడు ఈ క్రింది వానిలో అనువైన కేంద్రీయ స్థానవిలువ ?
A) సగటు
B) మధ్యగతం
C) బాహుళకం
D) ఏదీకాదు
జవాబు :
B) మధ్యగతం

ప్రశ్న51.
1 – 5, 6 – 10, 11 – 15 లు ఒక పౌనఃపున్య – విభాజనం యొక్క తరగతులు అయిన 6-10 తరగతి ఎగువ హద్దు ఎంత ?
జవాబు :
6 – 10 తరగతి ఎగువ హద్దు = 10.5

ప్రశ్న52.
ఒక పౌనఃపున్య విభాజనం యొక్క తరగతులు 1 -9, 10 – 18, 19 – 27, ….. అయిన తరగతి పొడవు (l) ను కనుగొనుము.
జవాబు :
తరగతి అంతరం (l) = 9

ప్రశ్న53.
ఒక పౌనఃపున్య విభాజనపు తరగతి మధ్యవిలువ 35 మరియు దిగువహద్దు 30 అయిన ఎగువహద్దు ఎంత?
జవాబు :
ఎగువ హద్దు = 35 + (35 – 30)
= 35 + 5 = 40

ప్రశ్న54.
రెండు వరుస తరగతుల ఆరోహణా సంచిత పౌనఃపున్యాలు వరుసగా 72, 83 అయిన రెండవ తరగతి యొక్క పౌనఃపున్యము ఎంత ?
జవాబు :
ఆ.రెండవ తరగతి పౌనఃపున్యము = 83-72 = 9

ప్రశ్న55.
67, 79, 15, 0, 93, 44, 17 ల సగటు ఎంత ?
జవాబు :
67, 79, 15, 0, 93, 44, 17 ల సగటు

ప్రశ్న56.
క్రింది వానిని జతపరుచుము.

A) i-a, ii-c, iii-b, iv-d
B) i-b, ii-a, iii-d, iv-c
C) i-b, ii-d, iii-a, iv-c
D) i-a, ii-d, iii-c, iv-b
జవాబు :
C) i-b, ii-d, iii-a, iv-c

ప్రశ్న57.
32, 20, 32, 16, 27, 32 ల బాహుళకం ఎంత ? జ. బాహుళకం = 32 58. తరగతి మధ్య విలువలను క్రింది ఏ కేంద్రీయ స్థాన
విలువను గణించుటలో ఉపయోగిస్తాం ?
A) మధ్యగతము
B) సగటు
C) బాహుళకం
D) పైవన్నీ
జవాబు :
A) మధ్యగతము

ప్రశ్న59.
10, 20, 15, 29, 35, 42 ల మధ్యగతం ____________
A) 32
B) \(\frac{151}{6}\)
C) 24.5
D) నిర్వచితం కాదు
జవాబు :
C) 24.5

10, 20, 15, 29, 35, 42 లను ఆరోహణ క్రమంలో

మధ్యగతం = \(\frac{20+29}{2}=\frac{49}{2}\) = 24.5

ప్రశ్న60.
ఊహించిన సగటు పద్దతిలో సగటు గణించడంలో వాస్తవ సగటు, ఊహించిన సగటుకు సమానం అయితే Σf_id_i, విలువ ఎంత ?
జవాబు :
Σf_id_i = 0

ప్రశ్న61.
మొదటి ‘n’ సహజ సంఖ్యల సగటును కనుగొనుము.
జవాబు :
మొదటి ‘n’ సహజ సంఖ్యల మొత్తం = \(\frac{n(n+1)}{2}\)

ప్రశ్న62.
cos 0°, sin 90°, tan45°, cosec 30, sin 0° విలువల సగటు క్రింది వానిలో దేనికి సమానము ?
A) cot 45°
B ) 1
C) A మరియు B
D ) 5
జవాబు :
C) A మరియు B

[∵ cos 0° = 1, sin 90° = 1, tan 45° = 1, cosec 30° = 2, sin 0° = 0]
∴ 1, 1, 1, 2, 0 ల సగటు = \(\frac{1+1+1+2+0}{5}\)
= \(\frac{5}{5}\) = 1 = cot 45°.

ప్రశ్న63.
9, 11, 13, p, 18, 19 ల సగటు p అయిన p విలువ ఎంత?
జవాబు :
9, 11, 13, p, 18, 19 ల సగటు = p
⇒ \(\frac{9+11+13+p+18+19}{6}\) = p
⇒ 70 + p = 6p ⇒ 70 = 6p – p
⇒ 5p = 70 ⇒ p = \(\frac{70}{5}\) = 14

ప్రశ్న64.
n సరి సహజసంఖ్యల సగటు ఎంత ?
జవాబు :
n → రాశుల సంఖ్య n సరి సంఖ్యల మొత్తం = n(n + 1)

= n + 1

ప్రశ్న65.
n బేసి సహజసంఖ్యల సగటు ఎంత ?
జవాబు :
n బేసి సంఖ్యల మొత్తం = n²
సగటు = \(\frac{\mathrm{n}^{2}}{\mathrm{n}}\) = n

ప్రశ్న66.
n సహజసంఖ్యల బాహుళకం
A) \(\frac{n}{2}\)
B) \(\frac{n+1}{2}\)
C) n +1
D) నిర్వచింపబడలేదు.
జవాబు :
D) నిర్వచింపబడలేదు.

ప్రశ్న67.
వర్గీకృత దత్తాంశ బాహుళకం కనుగొనుటకు సూత్రాన్ని రాయండి.
జవాబు :
బాహుళకము Z = l + \(\frac{\left(f_{1}-f_{0}\right)}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\) × h

ప్రశ్న68.
మొదటి 10 సహజ సంఖ్యల సగటు ఎంత ?
జవాబు :
మొదటి 10 సహజ సంఖ్యల మొత్తం

ప్రశ్న69.
2, 3, 4, 2, 5, 6, 7, 6, 8, 9, 3 ల బాహుళకంను రాయండి.
జవాబు :
బాహుళకం = 3

ప్రశ్న70.
మొదటి 10 సహజ సంఖ్యల మధ్యగతం
A) 5
B) 6
C) 5.5
D) 4.5
జవాబు :
C) 5.5
మొదటి 10 సహజ సంఖ్యలు

మధ్యగతము = \(\frac{5+6}{2}\) = 5.5

ప్రశ్న71.
ప్రవచనం – I : దత్తాంశంలో n రాశుల యొక్క మధ్యగతం n బేసిసంఖ్య అయిన \(\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)\)వ రాశి అవుతుంది.
ప్రవచనం – II : ఓజీవ్ వక్రం గీయుటలో X – అక్షంపై సంచిత పౌనఃపున్యమును, Y-అక్షం పై తరగతి హద్దులను తీసుకొంటాము.
A) I మాత్రమే సత్యం
B) II మాత్రమే సత్యం
C) I మరియు II లు రెండూ సత్యం
D) I మరియు II లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
A) I మాత్రమే సత్యం

ప్రశ్న72.

పై దత్తాంశం యొక్క బాహుళకం ఎంత ?
జవాబు :
20

ప్రశ్న73.
క్రింది వానిలో ఏవి సత్యము ?
A) తరగతి యొక్క ఎగువహద్దు మరియు ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలతో ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం ఏర్పడుతుంది.
B) తరగతి యొక్క ఎగువహద్దు మరియు అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలతో అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం ఏర్పడుతుంది.
C) తరగతి దిగువ హద్దు మరియు ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలతో ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం ఏర్పడుతుంది.
D) తరగతి దిగువహద్దు మరియు అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలతో అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం ఏర్పడుతుంది.
జవాబు :
A) తరగతి యొక్క ఎగువహద్దు మరియు ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యాలతో ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రం ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న74.
అవర్గీకృత దత్తాంశం యొక్క సగటు
A) \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)
B) \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}\)
C) \(\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}\) × C
D) \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{C}}\)
జవాబు :
A) \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\)

ప్రశ్న75.
ఒక సగటు లెక్కించు సమస్య యందు
Σf_ix_i = 1860 మరియు సగటు x̄ = 62 అయిన Σf_i విలువ ఎంత ?
జవాబు :
x̄ = \(\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}\) ⇒ 62 = \(\frac{1860}{\Sigma f_{i}}\)
∴ Σf_i = \(\frac{1860}{62}\) = 30

ప్రశ్న76.
ఊహించిన సగటు’ పద్ధతిలో సగటుకు సూత్రాన్ని తెల్పండి.
జవాబు :
సగటు x̄ = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{d}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\);

→ క్రింది పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను పరిశీలించి, 77, 78 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న77.
పై పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక యొక్క బాహుళక తరగతిని నిర్ణయించండి.
జవాబు :
బాహుళక తరగతి = 14 – 17

ప్రశ్న78.
పట్టికలో బాహుళక తరగతి తరువాతనున్న తరగతి పౌనఃపున్యము (f₂) విలువ ఎంత ?
జవాబు :
f₂ = 4

ప్రశ్న79.

పై సంచిత పౌనఃపున్యమునకు సంబంధించి క్రింది వానిలో ఏది అసత్యము ?
A) పై పరిశీలనలోని విద్యార్థుల సంఖ్య 20.
B) మధ్యగత తరగతి దిగువ హద్దు 20.
C) 20 కన్నా తక్కువ మార్కులు తెచ్చుకొన్న విద్యార్థుల సంఖ్య 5.
D) మధ్యగత తరగతి పొడవు h = 10.
జవాబు :
C) 20 కన్నా తక్కువ మార్కులు తెచ్చుకొన్న విద్యార్థుల సంఖ్య 5.

→ క్రింది దత్తాంశము ఆధారంగా 80-82 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.
మధ్యగతము M = l + \(\left(\frac{\frac{n}{2}-\mathbf{c f}}{\mathbf{f}}\right)\) × h

ప్రశ్న80.
మధ్యగత తరగతి పౌనఃపున్యాన్ని సూచించు రాశి ఏది ?
జవాబు :
f

ప్రశ్న81.
దేనిని సూచిస్తుంది ?
జవాబు :
మధ్యగత తరగతి దిగువ హద్దు.

ప్రశ్న82.
‘n’ క్రింది వానిలో దేనిని సూచిస్తుంది ?
A) మధ్యగత తరగతి దిగువ హద్దు
B) దత్తాంశంలోని రాశుల సంఖ్య
C) మధ్యగత తరగతి పొడవు
D)మధ్యగత తరగతి పౌనఃపున్యము
జవాబు :
B) దత్తాంశంలోని రాశుల సంఖ్య

ప్రశ్న83.
అవర్గీకృత దత్తాంశ మధ్యగతమునకు చెందిన క్రింది ఏ ప్రవచనం అసత్యము ?
A) ఒక పరిశీలనలోని రాశులసంఖ్య n బేసిసంఖ్య \(\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)\)వ రాశి మధ్యగతం అవుతుంది.
B) పరిశీలనలోని రాశుల సంఖ్య సరిసంఖ్య అయిన \(\left(\frac{\mathrm{n}}{2}\right)\)వ రాశి మరియు \(\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right)\)వ రాశుల సరాసరి మధ్యగతం అవుతుంది.
C) మధ్యగతంను కనుగొనుటకు పరిశీలనలోని రాశులను ఆరోహణ లేదా అవరోహణా క్రమంలో అమర్చాలి.
D) పరిశీలనలోని రాశులలో ఎక్కువసార్లు పునరావృతం , అయ్యే రాశిని మధ్యగతము అంటారు.
జవాబు :
D) పరిశీలనలోని రాశులలో ఎక్కువసార్లు పునరావృతం , అయ్యే రాశిని మధ్యగతము అంటారు.

→ క్రింది దత్తాంశము ఆధారంగా 84, 85 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.
బాహుళకం Z = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h

ప్రశ్న84.
పై సూత్రంలో f, దేనిని సూచిస్తుంది ?
A) బాహుళక తరగతి పౌనఃపున్యము
B) బాహుళక తరగతి ముందున్న తరగతి పౌనఃపున్యము
C) బాహుళక తరగతి తరువాత తరగతి పౌనఃపున్యము
D) బాహుళక తరగతి దిగువ హద్దు
జవాబు :
A) బాహుళక తరగతి పౌనఃపున్యము

ప్రశ్న85.
పై సూత్రంలో బాహుళక తరగతి దిగువ హద్దును సూచించే రాశి
A) h
B) l
C) f₁
D) f₂
జవాబు :
B) l

ప్రశ్న86.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో గరిష్ఠ పౌనఃపున్యం ఉన్న తరగతిని బహుళక తరగతి అంటారు.
B) బాహుళకం Z = l + \(\left(\frac{\mathrm{f}_{1}-\mathrm{f}_{0}}{2 \mathrm{f}_{1}-\mathrm{f}_{0}-\mathrm{f}_{2}}\right)\) × h
C) పరిశీలనలో ఎక్కువసార్లు పునరావృతం అయ్యే రాశిని “బాహుళకము” అంటారు.
D) పైవి అన్నీ
జవాబు :
D) పైవి అన్నీ

ప్రశ్న87.
సంక్షిప్త విచలన పద్ధతిలో సగటు కనుగొనుటకు సూత్రమును రాయండి.
జవాబు :
x̄ = a + \(\left(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\right)\) × h

ప్రశ్న88.
ప్రత్యక్ష పద్ధతిలో సగటు x̄ = \(\frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}\) లో x_i, దేనిని సూచిస్తుంది ?
జవాబు :
x_i – తరగతి మధ్య విలువ

ప్రశ్న89.
రెండు పాఠశాలలోని విద్యార్థుల పరీక్షా ఫలితాల ద్వారా ఏ పాఠశాల సమర్థవంతంగా పనిచేస్తున్నదని నిర్ణయించుటకు నీవు ఎంచుకొనే కేంద్రీయ స్థాన విలువ
A) మధ్యగతము
B) బాహుళకము
C) సగటు
D) వ్యా ప్తి
జవాబు :
C) సగటు

ప్రశ్న90.
ఒక కంపెనీలో పనిచేయుచున్న ఉద్యోగుల జీతమునకు ప్రాతినిథ్య విలువ కనుగొనవలసి వచ్చినపుడు నీవు అనువైన కేంద్రీయస్థాన విలువగా దేనిని ఎంచుకొంటావు?
A) మధ్యగతము
B) బాహుళకము
C) సగటు
D) వ్యాప్తి
జవాబు :
A) మధ్యగతము

ప్రశ్న91.
ఒక కార్ల కంపెనీ తన యొక్క పరిశీలనలో ఎక్కువ మంది ఎరుపు రంగు కార్లను ఇష్టపడుతున్నారని వెల్లడించినది. ఆ కంపెనీ తన పరిశీలనలో ఎంచుకున్న కేంద్రీయ స్థాన విలువ ___________
A) మధ్యగతము
B) బాహుళకము
C) సగటు
D) వ్యాప్తి
జవాబు :
B) బాహుళకము

ప్రశ్న92.
“పాదరక్షలు” తయారుచేయు కంపెనీ వివిధ సైజు పాదరక్షలలో ఏ సైజు పాదరక్షలు ఎక్కువ తయారు చేయాలో నిర్ణయించుటకు ఏ కేంద్రీయ స్థాన విలువను పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి
జవాబు :
బాహుళకము

ప్రశ్న93.
ప్రవచనం I : ఆరోహణ, అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య వక్రాలను “ఓజీవ్ వక్రాలు” అని కూడా అంటారు.
ప్రవచనం II : ఓజీవ్ వక్రముల ఖండన బిందువు నుండి X – అక్షము పైకి ఒక లంబము గీయగా, ఆ లంబ పాదము దత్తాంశం యొక్క సగటు అవుతుంది.
A) I మాత్రమే సత్యం.
B) II మాత్రమే సత్యం
C) I మరియు II లు రెండూ సత్యం
D) I మరియు II లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
C) I మరియు II లు రెండూ సత్యం

ప్రశ్న94.
50 పరిశీలనల యొక్క ఓజీవ్ వక్రాల ఖండన బిందువు (15, 35) అయిన ఆ దత్తాంశం యొక్క మధ్యగతము ఎంత?
జవాబు :
15

ప్రశ్న95.
ఇవ్వబడిన పౌనఃపున్య విభాజనం యొక్క మధ్యగతాన్ని కనుగొనుటకు సహాయపడు రేఖా చిత్రాలు,
A) కమ్మీ చిత్రాలు
B) పౌనఃపున్య బహుభుజి
C) ‘ఓజీవ్’ వక్రాలు
D) సోపాన చిత్రాలు
జవాబు :
C) ‘ఓజీవ్’ వక్రాలు

→ క్రింది దత్తాంశము ఆధారంగా 96, 97 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న96.
పై పౌనఃపున్య విభాజనం యొక్క సగటు 3 అయిన y విలువ ఎంత ?
జవాబు :
సగటు = If \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) = 3
⇒ \(\frac{1+2 y+15+12+5}{1+y+5+3+1}\) = 3
⇒ \(\frac{33+2 y}{10+y}\) ⇒ 3 = 30 + 3y = 33 + 2y
⇒ 3y – 2y = 33 – 30
∴ y = 3

ప్రశ్న97.
పై దత్తాంశంలో y = 2 అయినపుడు సగటు ఎంత ?
జవాబు :
సగటు x̄ = \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}=\frac{1+4+15+12+5}{1+2+5+3+1}=\frac{37}{12}\) = 3.08

ప్రశ్న98.
తరగతి మధ్య విలువ

జవాబు :
C) A మరియు B

ప్రశ్న99.
మధ్యగతం = l + \(\frac{\left(\frac{n}{2}-\mathbf{c f}\right)}{\mathbf{f}}\) × h అయితే, క్రింది. వానిని జతపరుచుము.

A) i-d, ii-c, iii-a, iv-b
B) i-d, ii-b, iii-a, iv-c
C) i-b, ii-c, iii-d, iv-a
D) i-b, ii-a. iii-c, iv-d
జవాబు :
A) i-d, ii-c, iii-a, iv-b

ప్రశ్న100.
మొదటి 10 సహజ సంఖ్యల వ్యాప్తి ఎంత ?
జవాబు :
వ్యాప్తి = 10 -1 = 9

ప్రశ్న101.
మొదటి 10 పూర్ణాంకాల సగటు ఎంత ?
జవాబు :
మొదటి 10. పూర్ణాంకాలు
= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

ప్రశ్న102.
మొదటి ఐదు బేసి ప్రధాన సంఖ్యల సగటు ఎంత ?
జవాబు :
మొదటి ఐదు బేసి ప్రధాన సంఖ్యలు
= 3, 5, 7, 11, 13
సరాసరి = \(\frac{3+5+7+11+13}{5}=\frac{39}{5}\) = 7.8

ప్రశ్న103.
Σf_ix_i = 2020, n = 20 అయిన సగటు X విలువ ఎంత ?
జవాబు :
సగటు = \(\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{2020}{20}\) = 101 (∵ n = Σf_ix_i)

ప్రశ్న104.
మొదటి 6 ప్రధాన సంఖ్యల మధ్యగతంను కనుగొనుము.
జవాబు :
మొదటి 6 ప్రధాన సంఖ్యలు 2, 3, 5, 7, 11, 13
మధ్యగతం = \(\frac{5+7}{2}=\frac{12}{2}\) = 6

ప్రశ్న105.
\(\frac{1}{3}, \frac{7}{12}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{5}{6}\)ల సగటు ఎంత ?
జవాబు :

ప్రశ్న106.
మొదటి 5 సంయుక్త సంఖ్యల సగటు, మధ్యగతముల మొత్తం ఎంత ?
జవాబు :
మొదటి 5 సంయుక్త సంఖ్యలు 4, 6, 8, 9, 10.
సగటు = \(\frac{4+6+8+9+10}{5}=\frac{37}{5}\) = 7.4
మధ్యగతం = 8
సగటు, మధ్యగతంల మొత్తం = 7.4 + 8 = 15.4
25 = 7.4

ప్రశ్న107.
a + 1, a + 3, a + 4 మరియు a + 8ని సగటు (a + 4) అని చూపుము. .
జవాబు :

ప్రశ్న108.
5, 7, 9, X ల సగటు 9 అయిన X విలువ ఎంత ?
జవాబు :
5, 7, 9, x ల సగటు 9
\(\frac{5+7+9+x}{4}\) = 9
⇒ 21 + x = 36
∴ x = 36 – 21 = 15

ప్రశ్న109.
5, 9, 4, 3, 3, 5, 4, 2, 7 దత్తాంశం యొక్క బాహుళక సమితిని రాయండి.
జవాబు :
{3, 5}

→ గమనిక : క్రింది పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను పరిశీలించి, క్రింది 110-116 వరకు గల ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న110.
బాహుళక తరగతిని తెల్పండి.
జవాబు :
భాహుళక తరగతి = 40-50

ప్రశ్న111.
మధ్యగత తరగతి ఏది ?
జవాబు :
మధ్యగత తరగతి = 30-40

ప్రశ్న112.
ప్రతి తరగతి పొడవు ఎంత ?
జవాబు :
ప్రతి తరగతి పొడవు = 100

ప్రశ్న113.
మధ్యగత తరగతి మధ్యవిలువ ఎంత ?
జవాబు :
మధ్యగత తరగతి మధ్య విలువ = \(\frac{30+40}{2}\) = 35

ప్రశ్న114.
బాహుళక తరగతి దిగువ హద్దు ఏది ?
జవాబు :
బాహుళక తరగతి దిగువ హద్దు = 40

ప్రశ్న115.
ఆరోహణా సంచిత పౌనఃపున్య పట్టికను తయారు చేయండి.
జవాబు :
ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్య పట్టిక

n = Σf = 50

ప్రశ్న116.
n = Σf విలువ కనుగొనుము.
జవాబు :
n = Σf = 50

ప్రశ్న117.
3, 3, 4, 5, 7, 3, 5, x అనునది ఏకబాహుళక చల్లా శు మరియు బాహుళకం 5 అయిన x విలువ ఎంత?
జవాబు :
x = 3 తప్ప మిగిలిన అన్ని విలువలకు 5 బాహుళకం అవుతుంది.
∴ x ≠ 3

ప్రశ్న118.
1, 3, 5, 7, 9, …….. 19 లు అంకశ్రేణిలో కలవు. వీని యొక్క సగటును కనుగొనుము.
జవాబు :
సగటు = \(\frac{1+3+5+\ldots . .+19}{10}=\frac{10^{2}}{10}\) = 10
[∵ 1, 3,…… 19 లో 10 బేసి సంఖ్యలు కలవు. n బేసి సంఖ్యల మొత్తం = n²]

ప్రశ్న119.
మీ తండ్రిగారు కొత్తగా రెడీమేడ్ దుస్తుల షాపు ప్రారంభించాలి అనుకుంటున్నారు. ఆ షాపు కోసం ఏ సైజు బట్టలు ఎక్కువ కొనాలి అనడానికి ఏ కేంద్రీయ స్థాన విలువను పరిగణనలోనికి తీసుకొనమని మీ తండ్రిగారికి సూచిస్తావు ?
జవాబు :
బాహుళకం

ప్రశ్న120.
క్రింది వాదనలు పరిశీలించండి.
్రీరంజని : బాహుళకం ఎల్లప్పుడు, దత్తాంశంలోని రాశులలోని రాశి అవుతుంది.
కవిత , : మధ్యగతం దత్తాంశంలోని రాశులలో ఒక రాశి కావచ్చు, కాకపోవచ్చు.
నదీరా : సగటు ఎల్లప్పుడు దత్తాంశంలోని రాశు లలోని ఏదేని ఒక రాశి అవుతుంది.
రిషిక్ : ఒక దత్తాంశానికి ఒకటి కన్నా ఎక్కువ బాహుళకాలు ఉండవచ్చును.
పై వాదనలో ఎవరి వాదన అసత్యం/తప్పు అని నీవు భావిస్తున్నావు ?
జవాబు :
నదీరా వాదన అసత్యం అని భావిస్తున్నాను.

ప్రశ్న121.
a, b, c లు అంకశ్రేణిలో ఉంటే a, c ల సగటు b అవుతుందని చూపండి.
జవాబు :
a, b, c లు అంకశ్రేణిలో కలవు.
∴ b – a = c – b
⇒ b + b = a + c
⇒ 2b= a + c
⇒ b = \(\frac{a+b}{2}\) = a, c ల సగటు.

ప్రశ్న122.
“w, x, y, z లు అంకశ్రేణిలో నాలుగు వరుస పదాలైన w, 2 ల సగటుకు x, y ల సగటు సమానం” అని వెరోనిక . అంటున్నది. వెరోనిక సమాధానాన్ని సమర్థించండి.
జవాబు :
w, x, y, Z లు అంకశ్రేణిలో కలవు.
2, 5, 8, 11 లు A. P. లో గల నాలుగు వరుస పదాలు అనుకొనుము.
w = 2, x = 5, y = 8, 2 = 11 అవుతాయి.
w, z ల సగటు = \(\frac{2+11}{2}=\frac{13}{2}\) = 6.5
x, y ల సగటు = \(\frac{5+8}{2}=\frac{13}{2}\) = 6.5
∴ w, z ల సగటు = x, y ల సగటు కావున వెరోనిక వాదన సరైనది.

→ ఈ క్రింది పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక తరగతిలోని 40 మంది విద్యార్థుల గణితంలోని మార్కులను తెలియజేస్తున్నది.

పై సమాచారం ఆధారంగా 123-126 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న123.
x విలువ ఎంత ?
జవాబు :
n = Σf = 3 + 5 + 13 + x + 4 = 40
= 25 + x = 40
∴ x = 40 -25 = 15

ప్రశ్న124.
బాహుళక తరగతి దిగువ హద్దు ఎంత ?
జవాబు :
బాహుళక తరగతి దిగువ హద్దు = 30

ప్రశ్న125.
30 కన్నా తక్కువ మార్కులు పొందిన విద్యార్థుల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు :
30 కన్నా తక్కువ మార్కులు పొందిన విద్యార్థుల సంఖ్య
= 3 + 5 + 13 = 21

ప్రశ్న126.
పై పట్టిక నుండి బాహుళకం కనుగొనడంలో క్రింది వానిని జతపరచుము.

A) i-c, ii-d, iii-e, iv-a
B) i-d, ii-e, iii-a, iv-b
C) i-d, ii-c, iii-a, iv-b
D) i-b, ii-c, iii-a, iv-e
జవాబు :
C) i-d, ii-c, iii-a, iv-b

ప్రశ్న127.
\(\frac{1}{2}, 1, \frac{5}{2}, 2, \frac{3}{2}, 3, \frac{7}{2}\) ల మధ్యగతంను కనుగొనుము.
జవాబు :
\(\frac{1}{2}, 1, \frac{5}{2}, 2, \frac{3}{2}, 3, \frac{7}{2}\) లను ఆరోహణా క్రమంలో

∴ మధ్యగతం = 2

ప్రశ్న128.
A = {x : x అనేది 2, 3, 3, 4, 2, 5, 2, 3 యొక్క బాహుళకము} అయితే A సమితిని రాయండి.
జవాబు :
A = {2, 3}

ప్రశ్న129.
ఘన బహుపది p(x) = (x – 6) (x – 3) (x – 3) యొక్క శూన్యాల సగటు ఎంత ?
జవాబు :
p(x) = (x-6) (X – 3) (x – 3) యొక్క శూన్యాలు 6, 3, 3.
∴ సగటు = \(\frac{6+3+3}{3}=\frac{12}{3}\) = 4

ప్రశ్న130.
p(x) = x³ – 12x² + 9x + 27 యొక్క శూన్యా ల సగటు ఎంత ?
జవాబు :
p(x) = x³ – 12x² + 9x + 27 యొక్క శూన్యాల

ప్రశ్న131.
100 మంది విద్యార్థుల యొక్క సగటు ‘ మార్కులను ఊహించిన సగటు పద్దతిలో గణించినపుడు సురేష్ Σf_id_i, విలువ – 50 ని పొరపాటుగా 50గా తీసుకొని సగటు 65 గా నిర్ణయించాడు. అయితే సరైన సగటు ఎంత ?
జవాబు :
n = Σf_i = 100, x̄ = 65, Σf_id_i = 50
x̄ = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{d}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) = 65
⇒ a + \(\frac{50}{100}\) = 65 ⇒ a+ \(\frac{1}{2}\) = 65
a = 65 – 0.5 = 64.5
అసలైన సగటు కొరకు
a = 64.5, Σf_id_i = — 50, Σf_i = 100
సగటు x̄ = a + \(\frac{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}} \mathrm{d}_{\mathrm{i}}}{\Sigma \mathrm{f}_{\mathrm{i}}}\) = 64.5 + \(\frac{-50}{100}\)
= 64.5 – \(\frac{1}{2}\) = 64.5 – 0.5 = 64

Short Cut:
సురేష్ Σf_id_i = – 50 స్థానంలో పొరపాటుగా 50 ను తీసుకొన్నారు. అనగా 50 – (-50) = 100 ఎక్కువగా తీసుకొన్నారు. అనగా సగటు \(\frac{100}{100}\) = 1 ఎక్కువ అయి ఉంటుంది.
కావున, సరైన సగటు = 65 – 1 = 64.

ప్రశ్న132.
సంక్షిప్త విచలన పద్ధతిలో సగటు
x̄ = a + \(\left(\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right)\) × h లో సంక్షిప్త విచలనం 1, =
A) \(\frac{x_{1}+a}{h}\)
B) \(\frac{x_{1}-a}{h}\)
C) A మరియు B
D) x_i – a
జవాబు :
B) \(\frac{x_{1}-a}{h}\)

ప్రశ్న133.
“ఊహించిన సగటు” పద్ధతిలో సగటు సూత్రం
x̄ = a +\(\frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}^{\prime}}\) లో d_i క్రింది వానిలో దేనిని సూచిస్తుంది ?
A) x_i – a
B) x_i + a
C) \(\frac{x_{i}-a}{h}\)
D) \(\frac{x_{i}+a}{h}\)
జవాబు :
A) x_i – a

→ క్రింది ఓజివ్ వక్రాలను పరిశీలించి, 134-137 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న134.
గ్రాఫ్ నుండి ఇచ్చిన దత్తాంశం యొక్క మధ్యగతము ఎంత ?
జవాబు :
మధ్యగతం = (32, 20) లో x – నిరూపకము = 32

ప్రశ్న135.
దత్తాంశంలోని పరిశీలనాంశాల సంఖ్య n విలువ ఎంత?
జవాబు :
గ్రాఫ్ నుండి \(\frac{n}{2}\) = 20
∴ n = 40

ప్రశ్న136.
మధ్యగత తరగతి దిగువ హద్దు ఏది ?
జవాబు :
మధ్యగత తరగతి దిగువ హద్దు = 30

ప్రశ్న137.
ఆరోహణ ఓజీవ్ వక్రాన్ని సూచించు అక్షరం.
A) C₁
B) C₂
C) X
D) Y
జవాబు :
A) C₁

ప్రశ్న138.
x + 3, x + 5, x + 7 ల సగటును కనుగొనుము.
జవాబు :
x + 3, x + 5, x + 7 ల సగటు
= \(\frac{(x+3)+(x+5)+(x+7)}{3}\)
= \(\frac{3 x+15}{3}=\frac{3(x+5)}{3}\)
= x + 5

ప్రశ్న139.
ఒక అంకశ్రేణిలోని 5 పదాలు వరుసగా x-2, x – 1, x, x + 1, x + 2 అయిన క్రింది వానిలో ఏది ఈ పదాల సగటు అవుతుంది ?
A) ఇచ్చిన అంకశ్రేణిలో 3వ పదము
B) x
C) A మరియు B
D) 2x
జవాబు :
C) A మరియు B

ప్రశ్న140.
క్రింది విస్తరణ యొక్క సంక్షిప్త రూపాన్ని సంజ్ఞలు ఉపయోగించి రాయండి.
1+ 2 + 3 + 4 + ……….. + n
జవాబు :
Σn

Practice the AP 10th Class Maths Bits with Answers 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 10th Class Maths Bits 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు

ప్రశ్న 1.
log_a\(\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{y}}\)
(A) \(\frac{\log _{a} x}{\log _{a} y}\)
(B) log_ax – log_ay
(C) log_ax + log_ay
(D) log_ax – y.
జవాబు.
(B) log_ax – log_ay

ప్రశ్న 2.
0.0875 యొక్క \(\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{q}}\) రూపంను రాయండి.
సాధన.
0.0875 = \(\frac{875}{10000}\) = \(\frac{875}{2^{4} \times 5^{4}}\) = \(\frac{7}{2^{4} \times 5}\)

ప్రశ్న 3.
p ప్రధాన సంఖ్య అయిన √P
(A) సంయుక్త సంఖ్య
(B) అకరణీయ సంఖ్య
(C) ధనపూర్ణ సంఖ్య
(D) కరణీయ సంఖ్య
జవాబు
(D) కరణీయ సంఖ్య

ప్రశ్న 4.
\(\frac{52}{160}\) = \(\frac{13}{2^{n} \times 5^{m}}\) అయిన m + n విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
\(\frac{52}{160}\) = \(\frac{2^{2} \times 13}{2^{5} \times 5}\) = \(\frac{13}{2^{3} \times 5}\) = \(\frac{13}{2^{n} \times 5^{m}}\)
n = 3, m = 1
∴ m + n = 3 + 1 = 4

ప్రశ్న 5.
log 625 = k log 5 అయిన ఓ విలువ ఎంత ?
సాధన.
log 625 = k log 5
log 5⁴ = k log 5
4 log 5 = k log 5
∴ k = 4

ప్రశ్న 6.
log₂ x = 3 అయిన X విలువ ఎంత ?
సాధన.
log₂x = 3 ను ఘాతరూపంలో రాయగా
2³ = x
∴ x = 8

ప్రశ్న 7.
\(\frac{1}{2}\) మరియు √1 ల మధ్య గల అకరణీయ సంఖ్య ………………..
(A) \(\frac{9}{4}\)
(B) \(\frac{3}{4}\)
(C) \(\frac{5}{4}\)
(D) \(\frac{7}{4}\)
సాధన.
(B) \(\frac{3}{4}\)

వివరణ:
\(\frac{1}{2}\) మరియు √1 ల మధ్య గల అకరణీయ సంఖ్య
= \(\frac{\frac{1}{2}+1}{2}\) = \(\frac{\frac{3}{2}}{2}\) = \(\frac{3}{4}\)

ప్రశ్న 8.
కరణీయ, అకరణీయ సంఖ్యల సమ్మేళన సమితి ఏది?
జవాబు.
వాస్తవ సంఖ్యల సమితి (R).

ప్రశ్న 9.
3⁵ = 243 యొక్క సంవర్గమాన రూపం రాయండి.
సాధన.
log₃ 243 = 5

ప్రశ్న 10.
“అయినచో” అనే సంయోజకమునకు గుర్తును రాయండి.
జవాబు.
⇒

ప్రశ్న11.
729 యొక్క ప్రధాన కారణాంకంను రాయండి.
సాధన.
729 = 3⁶

ప్రశ్న 12.
X మరియు y లు రెండు ప్రధాన సంఖ్యలైతే వాటి గసాభా ఎంత ?
జవాబు.
1

ప్రశ్న 13.
log₁₀0.01 విలువ ఎంత ?
సాధన.
log₁₀0.01 = log₁₀10^-2
= – 2 log₁₀10 = – 2 (1) = – 2

ప్రశ్న 14.
0 నుండి 100 వరకు గల బేసి సంఖ్యల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు.
50

ప్రశ్న 15.
log₄ 8 = x యొక్క ఘాత రూపంను రాయండి.
సాధన.
4^x = 8

ప్రశ్న 16.
\(\frac{36}{2^{3} \times 5^{3}}\) విలువను దశాంశ రూపంలో తెల్పండి. ”
సాధన.
\(\frac{36}{2^{3} \times 5^{3}}\) = \(\frac{36}{(2 \times 5)^{3}}\) = \(\frac{36}{1000}\) = 0.03

ప్రశ్న 17.
రెండు సంఖ్యల కసాగు 108 మరియు గసాకా 9 అయిన అందులో ఒక సంఖ్య 54 అయిన రెండవ సంఖ్య ఎంత?
సాధన.
క.సా.గు × గ.సా.భా = రెండు సంఖ్యల లబ్దం
108 × 9 = 54 × x
∴ x = \(\frac{108 \times 9}{54}\) = 18

ప్రశ్న 18.
36 కు గల ప్రధాన కారణాంకాల సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.
36 = 2² × 3², కావున 36 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలు 2, 3.
∴ 36 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల సంఖ్య = 2

ప్రశ్న 19.
log₁₀0.001 = – 3 యొక్క ఘాతాంక రూపంను రాయండి.
సాధన.
10^-3 = 0.001

ప్రశ్న 20.
ఈ క్రింది వానిలో అకరణీయ సంఖ్య కానిది ……
(A) log₁₀3
(B) 5.\(\overline{23}\)
(C) 123.123
(D) \(\frac{10}{19}\)
జవాబు.
(A) log₁₀3

ప్రశ్న 21.
24, 36 ల క.సా.గు ను తెల్పండి.
సాధన.
24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3²,
24, 36 ల క.సా.గు = 2³ × 3² = 72

ప్రశ్న 22.
log₇1 విలువ ఎంత ?
జవాబు.
0

ప్రశ్న 23.
a^b = c యొక్క సంవర్గమాన రూపం
(A) log^a c = b
(B) log^b c = a
(C) log^a b = c
(D) log^b a = c
జవాబు.
(A) log^a c = b

ప్రశ్న 24.
3 log (x + 3) = log 27 అయిన x విలువ ఎంత?
సాధన.
3 log (x + 3) = log 27
log (x + 3)³ = log 27
∴ (x + 3)³ = 27
⇒ (x + 3)³ = 33
⇒ x + 3 = 3
⇒ x = 3 – 3 = 0
∴ x = 0

ప్రశ్న 25.
ఈ క్రింది అకరణీయ సంఖ్యలలో దేనికి అంతమయ్యే దశాంశ రూపం ఉంటుంది?
(A) \(\frac{11}{7000}\)
(B) \(\frac{91}{21000}\)
(C) \(\frac{343}{2^{3} \times 5^{3} \times 7^{3}}\)
(D) \(\frac{21}{9000}\)
జవాబు.
(C) \(\frac{343}{2^{3} \times 5^{3} \times 7^{3}}\)

ప్రశ్న 26.
log₂₅ 5 = \(\frac{1}{2}\) అని చూపుము.
సాధన.
log₂₅ 5 = x
∴ 25^x = 5 = √25
⇒ 25^x = 25^1/2
⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
∴ log₂₅5 = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 27.
2.\(\overline{6}\) కు సమానమైన అకరణీయ సంఖ్య
(A) \(\frac{7}{3}\)
(B) \(\frac{8}{3}\)
(C) \(\frac{16}{3}\)
(D) \(\frac{17}{7}\)
జవాబు.
(B) \(\frac{8}{3}\)

ప్రశ్న 28.
అంకగణిత థమిక సిద్ధాంతం క్రింది వానిలో దేనికి అనువర్తిస్తుంది ?
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
జవాబు.
(B) 3

ప్రశ్న 29.
6⁵⁰ విస్తరణలో చివరి అంకె ఏది ?
జవాబు.
6

ప్రశ్న 30.
ఈ క్రింది వానిలో అంతమయ్యే దశాంశం ఏది?
(A) \(\frac{10}{81}\)
(B) \(\frac{41}{75}\)
(C) \(\frac{8}{125}\)
(D) \(\frac{3}{14}\)
జవాబు.
(C) \(\frac{8}{125}\)

ప్రశ్న 31.
log₂ 32 విలువ ఎంత ?
సాధన.
log₂ 32 = log₂ 2⁵ = 5 log₂ 2 = 5(1) = 5

ప్రశ్న 32.
క్రింది వానిలో కరణీయ సంఖ్య కానిది ఏది ?
(A) √2
(B) √3
(C) √4
(D) √5
జవాబు.
(C) √4

ప్రశ్న 33.
6²⁰²⁰ + 5²⁰²¹ లో ఒకట్ల స్థానంలోని సంఖ్య
(A) 6
(B) 5
(C) 1
(D) 0
జవాబు.
(C) 1

ప్రశ్న 34.
log_a \(\sqrt{x^{4}}\) = y యొక్క ఘాతరూపం –
(A) a^y = x⁴
(B) y^a = 4
(C) a^y = x²
(D) x^y = a²
జవాబు.
(C) a^y = x²

ప్రశ్న 35.
6²⁰¹⁹ యొక్క విస్తరణ రూపంలోని ఒకట్ల స్థానంలో ఉండే అంకె ఏది ?
జవాబు.
6

ప్రశ్న 36.
క్రింది వానిలో కరణీయ సంఖ్య ఏది ?
(A) √4
(B) √3
(C) \(\frac{5}{2}\)
(D) \(\frac{2}{3}\)
జవాబు.
(B) √3

ప్రశ్న 37.
క్రింది వానిలో అకరణీయ సంఖ్య ఏది ?
(i) 2 – √3
(ii) √4 – √25
(A) (i) మాత్రమే
(B) (ii) మాత్రమే
(C) (i) మరియు (ii)
(D) (i) మరియు (ii)లు కావు
జవాబు.
(B) (ii) మాత్రమే

ప్రశ్న 38.
√2 మరియు √3 ల మధ్యగల అకరణీయ సంఖ్య
(A) \(\frac{3}{2}\)
(B) \(\frac{5}{2}\)
(C) \(\frac{1}{2}\)
(D) 1
జవాబు.
(A) \(\frac{3}{2}\)

ప్రశ్న 39.
క్రింది వానిలో \(\frac{1}{2}\) మరియు 1ల మధ్య లేనటువంటి ఒక అకరణీయ సంఖ్యను రాయండి.
జవాబు.
1.5

ప్రశ్న 40.
m ధన పూర్ణ సంఖ్య అయిన \(\sqrt{2 \mathrm{~m}+1}\) అకరణీయ సంఖ్య కావడానికి m యొక్క కనిష్ఠ విలువ ఎంత ?
సాధన.
m ధనపూర్ణ సంఖ్య మరియు \(\sqrt{2 \mathrm{~m}+1}\) అకరణీయ సంఖ్య అయిన 2m + 1 ఖచ్చిత వర్గం కావలెను.
∴ 2m + 1 = 1 లేదా 4 లేదా 9 …. కావలెను.
2m + 1 = 1 ⇒ m = 0
2m + 1 = 4 ⇒ m = \(\frac{3}{2}\)
2m + 1 = 9 ⇒ m = 4
0, \(\frac{3}{2}\)లు ధనపూర్ణ సంఖ్యలు కావు. కావున m యొక్క కనిష్ఠ విలువ = 4

ప్రశ్న 41.
x, yలు ప్రధానాంకాలు అయిన x³y² మరియు x²y³ల గ.సా.భాను రాయండి.
జవాబు.
x²y²

ప్రశ్న 42.
క్రింది వానిలో కరణీయ సంఖ్య ఏది ? –
(A) (2 + √3) + (2 – √3)
(B) (2 + √3) (2 – √3)
(C) √2 + √8
(D) √2.√8
జవాబు.
(C) √2 + √8

ప్రశ్న 43.
క్రింది వానిలో 5005 యొక్క ప్రధాన కారణాంకం కానిది.
(A) 11
(B) 7
(C) 5
(D) 3
జవాబు.
(D) 3

ప్రశ్న 44.
3825 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంను రాయండి.
సాధన.
3825 = 3² × 5² × 17

ప్రశ్న 45.
8232 = 2³ × 3 × 7ⁿ అయిన n విలువ ఎంత ?
సాధన.
8232 = 2³ × 3 × 7ⁿ
2³ × 3 × 7³ = 2³ × 3 × 7ⁿ
∴ n = 3

ప్రశ్న 46.
156 = 2² × 3 × k అయిన k విలువ ఎంత ?
సాధన.
156 = 2² × 3 × k
2² × 3 × 13 = 2² × 3 × k
∴ k = 13

ప్రశ్న 47.
2³ × 3² × 5 మరియు 2² × 3³ × 5² యొక్క గ.సా.కా
(A) 2³ × 3³ × 5²
(B) 2² × 3² × 5
(C) 2³ × 3² × 5
(D) 2 × 3 × 5
జవాబు.
(B) 2² × 3² × 5

ప్రశ్న 48.
120, 150 మరియు 210లగ.సా.5 k² – 6 అయిన k విలువ ఎంత?
సాధన.
120 = 2³ × 3 × 5
150 = 2 × 3 × 5²
210 = 2 × 3 × 5 × 7
గ.సా.కా = 2 × 3 × 5 = 30
∴ k² – 6 = 30
⇒ k² = 36
⇒ k = √36
⇒ k = ± 6

ప్రశ్న 49.
అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతమును రాయండి.
జవాబు.
అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతము: ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంగా రాయవచ్చును మరియు ప్రధాన కారణాంకాల క్రమం ఏదైనప్పటికి ఈ కారణాంకాల లబ్దము ఏకైకము.

ప్రశ్న 50.
29 మరియు 3 లకు యూక్లిడ్ భాగహార నియమం a = bq + rను అనువర్తింపజేస్తే q విలువ ఎంత ?
సాధన.
29 = 3 × 9 + 2
a = bq + r
∴ q = 9

ప్రశ్న 51.
2³ × 3 × 5 మరియు 2² × 5 × 7 యొక్క క.సా.గు ఎంత ?
సాధన.
క.సా.గు = 2³ × 3 × 5 × 7 = 840

ప్రశ్న 52.
a, b లు ధనపూర్ణ సంఖ్యలు అయిన a = bq + r అయ్యేటట్లు q, r అనే పూర్ణాంకాలు వ్యవస్థితం అనే యూక్లిడ్ భాగహార నియమంలో r విలువ ఎల్లప్పుడూ
(A) 0 ≤ r ≤ b
(B) 0 ≤ r ≤ b
(C) 1 < r < b
(D) 0 ≤ r < a
జవాబు.
(D) 0 ≤ r < a

ప్రశ్న 53.
రెండు సంఖ్యల లబ్దం 1600 మరియు వాని గ.సా.కా 5 అయిన ఆ సంఖ్యల క.సా.గు ఎంత ?
సాధన.
రెండు సంఖ్యల లబ్దం = క.సా.గు × గ.సా.భా
1600 = క.సా.గు × 5
∴ క.సా.గు = \(\frac{1600}{5}\) = 320

ప్రశ్న 54.
యూక్లిడ్ భాగహార నియమాన్ని రాయండి.
జవాబు.
యూక్లిడ్ భాగహార నియమం: a = bq + r,
0 ≤ r < b అయ్యే విధంగా a మరియు bల జతకు అనుగుణంగా q మరియు rలు ఏకైక ‘పూర్ణసంఖ్యలు వ్యవస్థితం అవుతాయి.

ప్రశ్న 55.
క్రింది వానిలో పరస్పర ప్రధానాంకాల జత
(A) (21, 49)
(B) (11, 55)
(C) (18, 25)
(D) (23, 69)
జవాబు.
(C) (18, 25)

ప్రశ్న 56.
23.34ను సూచించే అకరణీయ సంఖ్యను కనిష్ఠ రూపంలో రాయండి.
సాధన.
23.34 = \(\frac{2334}{100}\) = \(\frac{2334}{2^{2} \times 5^{2}}\) = \(\frac{1167}{2 \times 5^{2}}\)

ప్రశ్న 57.
కింది వానిలో అంతం కాని ఆవర్తనం అయ్యే దశాంశము ఏది ?
(A) \(\frac{105}{48}\)
(B) \(\frac{41}{75}\)
(C) \(\frac{25}{32}\)
(D) \(\frac{16}{125}\)
జవాబు.
(B) \(\frac{41}{75}\)

ప్రశ్న 58.
కింది వానిలో అంతమయ్యే దశాంశము ఏది ?
(A) \(\frac{11}{12}\)
(B) \(\frac{143}{110}\)
(C) \(\frac{41}{75}\)
(D) \(\frac{100}{81}\)
జవాబు.
(B) \(\frac{143}{110}\)

ప్రశ్న 59.
a = bq + r (a, bలు ధన పూర్ణసంఖ్యలు) యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయంలో r = 0 అయిన
(A) as b కారణాంకము
(B) a కి q కారణాంకము
(C) A మరియు B
(D) b కి q కారణాంకము
జవాబు.
(C) A మరియు B

ప్రశ్న 60.
\(\frac{21}{25}\) యొక్క దశాంశ రూపంను తెల్పండి.
(A) 0.8
(B) 8.4
(C) 0.48
(D) 0.84
సాధన.
(D) 0.84

వివరణ
\(\frac{21}{25}\) = \(\frac{21}{5^{2}}\) = \(\frac{21 \times 2^{2}}{5^{2} \times 2^{2}}\) = \(\frac{84}{10^{2}}\) = 0.84

ప్రశ్న 61.
\(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\) యొక్క దశాంశ రూపంను భాగహారం చేయకనే రాయండి.
సాధన.
\(\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}}\) = \(\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}} \times \frac{5}{5}\) = \(\frac{115}{10^{3}}\) = 0.115

ప్రశ్న 62.
\(\frac{129}{2^{3} 5^{2} \times 7^{k}}\) అంతమయ్యే దశాంశము అయిన ఓ విలువ ఎంత ?
సాధన.
\(\frac{129}{2^{3} 5^{2} \times 7^{k}}\) అంతమయ్యే దశాంశము అయిన
2³ × 5² × 7^k = 2^m5ⁿ రూపంలో ఉండాలి.
7^k = 1 కావాలి: 7^k = 7⁰
∴ k = 0

ప్రశ్న 63.
క్రింది వానిలో అంతంకాని ఆవర్తన దశాంశము
(A) \(\frac{2019}{2^{2} \times 5^{2}}\)
(B) \(\frac{2020}{2^{3} \times 5}\)
(C) \(\frac{2021}{2^{3} \times 3 \times 5^{2}}\)
(D) \(\frac{2022}{2^{3} \times 3 \times 5}\)
జవాబు.
(C) \(\frac{2021}{2^{3} \times 3 \times 5^{2}}\)

ప్రశ్న 64.
“రెండు కరణీయ సంఖ్యల మొత్తం ఎల్లప్పుడు కరణీయ సంఖ్య కాకపోవచ్చును” ఒక ఉదాహరణతో సమర్థించండి.
సాధన.
2 + √3 మరియు 5 – √3 లు కరణీయ సంఖ్యలు. వీని మొత్తం (2 + √3) + (5 – √3) = 7 ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

ప్రశ్న 65.
“రెండు కరణీయ సంఖ్యల భేదం ఎల్లప్పుడు కరణీయ సంఖ్య కాకపోవచ్చును”.
పై ప్రవచనాన్ని ఒక ఉదాహరణతో సమర్థించండి.
సాధన.
3 + √3 మరియు 2 + √3 లు కరణీయ సంఖ్యలు.
వీని భేదం (3 + √3) – (2 + √3)

ప్రశ్న 66.
ఇచ్చిన అకరణీయ సంఖ్యలను వాని దశాంశ రూపానికి జతపరచండి. .

(A) i-c, ii-a, iii-b, iv-d
(B) i-c, ii-d, iii-a, iv-b
(C) i-b, ii-d, iii-a, iv-c
(D) i-b, ii-d, iii-c, iv-a.
జవాబు.
(B) i-c, ii-d, iii-a, iv-b

ప్రశ్న 67.
√3 = \(\frac{3}{\sqrt{3}}\)ను \(\frac{p}{q}\) రూపంలో రాయవచ్చును. కావున √3 అకరణీయ సంఖ్య అని కిరణ్ అంటున్నారు. కిరణ్ వాదనతో నీవు ఏకీభవిస్తావా ? లేదా ? ఎందుకు ?
సాధన.
కిరణ్ వాదనతో ఏకీభవించను.
√3 = \(\frac{3}{\sqrt{3}}\)ను \(\frac{p}{q}\) రూపంలో రాయగలిగినప్పటికి p, qలు రెండూ పూర్ణసంఖ్యలు, q ≠ 0 అయితేనే \(\frac{p}{q}\) అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. √3 = \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{p}{q}\), q = √3 పూర్ణ సంఖ్య కాదు. కావున √3 అకరణీయ సంఖ్య అనే వాదన సరైనది కాదు.

ప్రశ్న 68.
\(\frac{17}{125}\) యొక్క దశాంశ రూపంలో దశాంశ భాగంలోని అంకెల సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.

ప్రశ్న 69.
\(\frac{237}{2^{\mathrm{n}} \times 5^{3}}\) యొక్క దశాంశ రూపం 4 దశాంశ అంకెల తర్వాత అంతమైతే n విలువ ఎంత ?
సాధన.
\(\frac{237}{2^{\mathrm{n}} \times 5^{3}}\) యొక్క దశాంశ రూపం 4 దశాంశ అంకెల తర్వాత అంతమైతే \(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) రూపంలో q = 2⁴ × 5³ గా ఉండాలి.
∴ n = 4

ప్రశ్న 70.
log₇7 విలువను తెల్పండి.
జవాబు.
1

ప్రశ్న 71.
\(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) (p, q లు సాపేక్ష ప్రధానాంకాలు, q ≠ 0) ను అంతమయ్యే దశాంశంగా రాయగలిగితే q యొక్క రూపంను రాయండి.
జవాబు.
2ⁿ × 5^m, n, m ∈ W

ప్రశ్న 72.
log_a 1 విలువ ఎంత ?
జవాబు.
0

ప్రశ్న 73.
log_a x = b ను ఘాతరూపంలో రాయండి.
జవాబు.
a_b = x

ప్రశ్న 74.
log₃ 9 = x అయిన x విలువ ఎంత ?
సాధన.
log₃ 9 = x ⇒ 3^x = 9 = 3²
∴ x = 2

ప్రశ్న 75.
log_c √c = 2 అయిన 2 విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
log_c √c = log_c c^1/2 = \(\frac{1}{2}\)log_cc = \(\frac{1}{2}\)(1) = \(\frac{1}{2}\)
(లేదా)
log_c √c = x అనుకొనుము.
c^x = √c ⇒ c^x = c^1/2
∴ x = \(\frac{1}{2}\)

ప్రశ్న 76.
2 log 3 + log 5 = log N అయిన N విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
2 log 3 + log 5 = log N
= log 3² + log 5
= log 9 + log 5
= log 45 = log N [∵ log m + log n = log mn]
∴ N = 45

ప్రశ్న 77.
log_a324 = 2 అయిన a విలువ ఎంత ?
సాధన.
log_a324 = 2 అయితే a² = 324 = 18²
∴ a = 18.
(లేదా)
log_a324 = 2
⇒ log_a 18² = 2
⇒ 2 log_a 18 = 2
⇒ log_a 18 = \(\frac{2}{2}\) = 1
⇒ log_a 18 = 1
∴ a = 18 (∵ log_aa = 1)

ప్రశ్న 78.
log_x√x = k + 3 అయిన ఓ విలువ ఎంత ?
సాధన.

ప్రశ్న 79.
log x²y^m24 = 2 log x + 5 log y + 4 log z అయిన m విలువ ఎంత ?
సాధన.
log x²y^m24 = 2 log x + 5 log y + 4 log z
= log x² + log y⁵ + log z⁴
(∵ log x^m = m log x)
= log x² ∙ y⁵ ∙ z⁴
∴ m = 5

ప్రశ్న 80.
కింది వానిలో ఏది సత్య౦ ?
(A) log₈64 = 2
(B) log₄64 = 3
(C) log₂64 = 4
(D) log₂64 = 6
సాధన.
(C) log₂64 = 4

ప్రశ్న 81.
log_2/3 x = 3 అయిన x విలువ ఏంత?
సాధన.
log_2/3 x = 3 ⇒ \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\) = x
∴ x = \(\frac{8}{27}\)

ప్రశ్న 82.
log₃ 27√3 విలువను కనుగోనుము.
సాధన.
log₃ 27√3 = log₃3³ × 3^1/2 = log₃3^{3 + 1/2}
= log₃3^7/2 = \(\frac{7}{2}\) log₃3 = \(\frac{7}{2}\)(1) = \(\frac{7}{2}\)
∴ x = \(\frac{7}{2}\)

ప్రశ్న 83.
log₁₀ 25 + log₁₀4 = 2 అని చూపుము.
సాధన.
log₁₀ 25 + log₁₀4 = log₁₀25 × 4
[∵ log x + log y = log xy]
= log₁₀100
= log₁₀10²2
= 2 log₁₀10 = 2

ప్రశ్న 84.
log x + log y = log (x + y) అయిన x ను y లో తెలపండి
సాధన.
log x + log y = log (x + y)
∴ log xy = log (x + y)
∴ xy = x + y
⇒ xy – x = y
⇒ x(y – 1) = y
∴ x = \(\frac{y}{y-1}\)

ప్రశ్న 85.
log₃27 + log₂16 = 7 అని చూపుము.
సాధన.
log₃27 + log₂16 = log₃3³ + log₂2⁴
(∵ log x^m = m log x)
= 3 log₃3 + 4 log₂2
= 3(1) + 4(1)
= 3 + 4 = 7

ప్రశ్న 86.
log (x + 1) – log (x – 1) = log\(\frac{5}{4}\) అయిన x విలువను గణించండి.
సాధన.
log (x + 1) – log (x – 1) = log\(\frac{5}{4}\)
log\(\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\) = log\(\frac{5}{4}\) [∵ logx – log y = log\(\frac{x}{y}\)]
∴ \(\frac{x+1}{x-1}\) = \(\frac{5}{4}\)
⇒ 5x – 5 = 4x + 4
⇒ 5x – 4x = 4 + 5 = 9
∴ x = 9

ప్రశ్న 87.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) ఏ శూన్యేతర ఆధారానికైనా ఒకటి సంవర్గమానం సున్న.
(B) ఏ శూన్యేతర ఆధారానికైనా ఒక సంఖ్య సంవర్గ మానం అదే సంఖ్య ఆధారానికి 1 అవుతుంది.
(C) ఒక సంఖ్య సంవర్గమానాలు వేర్వేరు ఆధారాలకు వేర్వేరుగా ఉంటాయి.
(D) పైవి అన్నీ
జవాబు.
D) పైవి అన్నీ

ప్రశ్న 88.
log 30 ని క్రింది ఏ రూపంలో రాయలేము?
(A) log 15 + log 2
(B) log 20 + log 10
(C) log 60 – log 2
(D) log 5 + log 6
జవాబు.
(B) log 20 + log 10

ప్రశ్న 89.
\(\log _{\sqrt{6}}\) 216 విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
\(\log _{\sqrt{6}}\) 216 = x అనుకొనుము.
(√6)^x = 216
⇒ 6^x/2 = 6³
⇒ \(\frac{x}{2}\) = 3
∴ x = 6

ప్రశ్న 90.
log₅(x² + 9) = 2 అయిన x విలువ ఎంత ?
సాధన.
logs(x² + 9) = 2 ⇒ 5² = x² + 9
∴ x² + 9 = 25 ⇒ x² = 25 – 9 = 16
∴ x = √16 = ± 4

ప్రశ్న 91.
log 6⁴ = 4 log 6. ఈ సూక్ష్మీకరణలో వాడిన సూత్రాన్ని రాయండి.
జవాబు.
log x^m

ప్రశ్న 92.
log (x – 1) + log (x + 1) = log 24 అయిన X విలువ ఎంత ?
సాధన.
log (x – 1) + log (x + 1) = log 24
log (x – 1) (x + 1) = log 24
∴ (x – 1) (x + 1) = 24
⇒ x² – 1 = 24 ⇒ x² = 25
∴ x = √25 = ± 5

ప్రశ్న 93.
3^log₃x = 4 అయిన X విలువ ఎంత ?
సాధన.
3^log₃x = 4 అయిన x = 4 (∵ a^log_ax = x)
(లేదా)
3^log₃x = 4 ను సంవర్గమాన రూపంలో రాయగా
log₃4 = log₃ x (∵ a^m = x ⇒ log_ax = m)
∴ x = 4

ప్రశ్న 94.
log₃3√3 విలువ ఎంత ?
సాధన.
log₃3√3 = x అనుకొనుము.
3^x = 3√3 = 3^3/2
∴ x = \(\frac{3}{2}\)

ప్రశ్న 95.
జతపరుచుము:

(A) i-d, ii-a, iii-c, iv-b
(B) i-d, ii-b, iii-a, iv-c
(C) i-d, ii-c, iii-b, iv-a
(D) i-c, ii-d, iii-b, iv-a
జవాబు.
(C) i-d, ii-c, iii-b, iv-a

ప్రశ్న 96.
log₈2 = y అయిన y విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
log₈2 = y
⇒ 8^y = 2 ⇒ (2³)y = 2 ⇒ 2^3y = 2¹
∴ 3y = 1 ⇒ y = \(\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 97.
సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారము
(A) e
(B) π
(C ) 10
(D) 1
జవాబు.
(A) e

ప్రశ్న 98.
log 10 + 2 log 3 – log 2 ను ఒకే సంవర్గమానంగా రాయండి.
సాధన.
log 10 + 2 log 3 – log 2
= log 10 + log 32 – log 2
= log 10 + log 9 – log 2
= log \(\frac{10 \times 9}{2}\) = log 45

ప్రశ్న 99.
జతపరుచుము:

(A) i-c, ii-b, iii-a
(B) i-a, ii-b, iii-c
(C) i-b, ii-c, iii-a
(D) i-b, ii-a, iii-c
జవాబు.
(A) i-c, ii-b, iii-a

ప్రశ్న 100.
log₂ 16 – log₂ 4 = 2 అని చూపుము.
సాధన.
log₂ 16 – log₂ 4 = log₂\(\frac{16}{4}\)
(∵ log x – log y = log \(\frac{x}{y}\))
= log₂ 4
= log₂2²
= 2 log₂ 2 = 2(1) = 2
(∵ log x^m = m log x)

ప్రశ్న 101.
log \(\frac{16}{81}\) = p (log 2 – log 3) అయిన p విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
log\(\frac{16}{81}\) = log 16 – log 81
= log 2⁴ – log 3⁴
= 4 log 2 – 4 log 3
= 4 (log 2 – log 3)
∴ 4 (log 2 – log 3) = p(log 2 – log 3)
∴ p = 4.

ప్రశ్న 102.
3² = 9 యొక్క సంవర్గమాన రూపంను రాయండి.
సాధన.
log₃9 = 2

ప్రశ్న 103.
“రెండు కరణీయ సంఖ్యల మొత్తం కరణీయ సంఖ్య కాకపోవచ్చు” అనడానికి క్రింది వానిలో ఏది సరైన ఉదాహరణ ?
(A) √2 + √3
(B) (√2 + √3) + (√2 – √3)
(C) (2 – √3) + (2 + √3)
(D) (2 – 2√3) + (2 + 5√3)
జవాబు.
(C) (2 – √3) + (2 + √3)

ప్రశ్న 104.
“రెండు కరణీయ సంఖ్యల లబ్దం కరణీయ సంఖ్య కాకపోవచ్చు” అని నిరూపించుటకు ఒక ఉదాహరణను ఇవ్వండి.
సాధన.
√2 మరియు 2√2 లు కరణీయ సంఖ్యలు.
వీని లబ్దం √2 × 2√2 = 4 ఒక అకరణీయ సంఖ్య.
(లేదా)
2 – √3 మరియు 2 + √3 లు కరణీయ సంఖ్యలు.
వీని లబ్ధం (2 – √3) (2 + √3)
= 2² – (√3)²
= 4 – 3 = 1 అకరణీయ సంఖ్య.

ప్రశ్న 105.
క్రింది వానిలో ఒకట్ల స్థానంలో సున్నను కలిగి ఉండే సంఖ్య ఏది?
(A) 2³ × 3⁵ × 7
(B) 2⁵ × 3² × 11
(C) 5² × 3³ × 7
(D) 2² × 3 × 5³
జవాబు.
(D) 2² × 3 × 5³
[∵ ‘0’ తో అంతం కావాలంటే ఆ సంఖ్య ప్రధాన కారణాంకాలలో 2 మరియు 5 ఉండాలి.]

ప్రశ్న 106.
log₁₀2 = 0.3010 అయిన log₁₀4 = 0.6020 అని చూపుము.
సాధన.
log₁₀4 = log₁₀2² = 2 log₁₀2
= 2 × 0.3010 = 0.6020

ప్రశ్న 107.
21252 = 3 × 7 × 2² × 23 × 11 = 2² × 7 × p × 11 × 23 అయిన p విలువ ఎంత ?
జవాబు.
p = 3

ప్రశ్న 108.
పై 107వ సమస్యలో pవిలువను కనుగొనుటలో నీవు ఉపయోగించుకొన్న సిద్ధాంతం పేరు రాయండి.
జవాబు.
అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతము.

ప్రశ్న 109.
4 మరియు 5 ల మధ్యగల ‘ఒక కరణీయ సంఖ్యను రాయండి.
సాధన.
4, 5 ల మధ్యగల కరణీయ సంఖ్య = \(\sqrt{4 \times 5}\) = \(\sqrt{20}\)
(లేదా)
4 = \(\sqrt{16}\), 5 = \(\sqrt{25}\). 4, 5 మధ్యగల కరణీయ సంఖ్యలు \(\sqrt{17}, \sqrt{18}, \sqrt{19}, \sqrt{20}, \sqrt{21}, \ldots . \sqrt{24}\) వీనిలో ఏదేని ఒకటి రాయవచ్చును.
(లేదా)
4, 5 మధ్యగల ఏదేని అంతంకాని ఆవర్తన దశాంశ భిన్నం కూడా కరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.
∴ 4, 5ల మధ్యగల కరణీయ సంఖ్యకు ఉదాహరణ
4.52374152932…….. 2

ప్రశ్న 110.
2 log 3 + 3 log 5 – 5 log 2 ను ఒకే సంవర్గ మానంగా రాయడంలో సోపానక్రమాన్ని ఎన్నుకొనుము.
సోపానం (a) : log 1125-log 32
సోపానం (b) : log 9 + log 125 – log 32,
సోపానం (c) : log (9 × 125) – log 32
సోపానం (d) : log \(\frac{1125}{32}\)
సోపానం (e) : log 3² + log 5³ – log 2⁵
(A) b, c, d, a, e
(B) d, e, b, c, a
(C) e, b, c, a, d C
(D) e, a, b, d, c
జవాబు.
(C) e, b, c, a, d C

ప్రశ్న 111.
√5 క్రింది ఏ రెండు సంఖ్యల మధ్య ఉంటుంది ?
(A) 4, 5
(B) 2, 3
(C) 25, 26
(D) 5, 6
జవాబు.
(B) 2, 3
(∵ 2 = √4 , 3 = √9 కావున వీని మధ్య √5 ఉంటుంది.)

ప్రశ్న 112.
క్రింది వానిలో అసత్య వాక్యము .
(A) ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాలుగా రాయవచ్చును.
(B) ప్రతి సంయుక్త సంఖ్య ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దము ఏకైకము.
(C) సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యల క.సా.గు వాని లబ్దానికి సమానం.
(D) సాపే ప్రధాన సంఖ్యల గ.సా.కా. 2
జవాబు.
(D) సాపే ప్రధాన సంఖ్యల గ.సా.కా. 2
(∵ సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యల గ.సా.బా = 1)

ప్రశ్న 113.
రెండు కరణీయ సంఖ్యల భేదం కరణీయ సంఖ్య కాకపోవచ్చు అని చెప్పడానికి క్రింది వానిలో ఏది సరైన ఉదాహరణ ?
(A) (4 + √5) – (6 + √5)
(B) (4 +√5) – (6 – √5)
(C) (√2 + √3) – (√2 – √3)
(D) 2√5 – √5
జవాబు.
(A) (4 + √5) – (6 + √5)

ప్రశ్న 114.
2.\(\overline{6}\) కు సమానమైన అకరణీయ సంఖ్య
(A) \(\frac{7}{3}\)
(B) \(\frac{8}{3}\)
(C) \(\frac{16}{7}\)
(D) \(\frac{17}{7}\)
జవాబు.
(B) \(\frac{8}{3}\)

ప్రశ్న 115.
క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ‘ ?
I) రెండు కరణీయ సంఖ్యల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ కరణీయ సంఖ్య
II) రెండు కరణీయ సంఖ్యల లబ్దం ఎల్లప్పుడూ అకరణీయ సంఖ్య
(A) I మాత్రమే
(B) II మాత్రమే
(C) I మరియు II
(D) పైవి ఏవీకావు
జవాబు.
(C) I మరియు II

ప్రశ్న 116.
a, bలు పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు a ≠ 0, b # 0, a, bల అన్ని విలువలకు \(\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b}\) ఒక
(A) సంయుక్త సంఖ్య
(B) అకరణీయ సంఖ్య
(C) ప్రధాన సంఖ్య
(D) కరణీయ సంఖ్య
జవాబు.
(B) అకరణీయ సంఖ్య

ప్రశ్న 117.
\(\frac{1}{4000}\) యొక్క దశాంశ రూపంను రాయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 118.
p, qలు సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు, q ≠ 0, అకరణీయ సంఖ్య \(\frac{p}{q}\) కు సంబంధించి క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ? (n, m ∈ W)
(A) q అనేది 10 యొక్క ఘాతసంఖ్య అయితే \(\frac{p}{q}\) అంతమయ్యే దశాంశం.
(B) q = 2ⁿ × 5^m రూపంలో ఉంటే \(\frac{p}{q}\) అంతమయ్యే దశాంశము.
(C) q = 2ⁿ × 5^m రూపంలో ఉంటే \(\frac{p}{q}\) అంతంకాని ఆవర్తన దశాంశము.
(D) q యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలలో 2 మరియు 5లతో పాటు ఇతర ప్రధాన కారణాంకాలుంటే \(\frac{p}{q}\) అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశము.
జవాబు.
(D) q యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలలో 2 మరియు 5లతో పాటు ఇతర ప్రధాన కారణాంకాలుంటే \(\frac{p}{q}\) అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశము.

ప్రశ్న 119.
క్రిడిది వానిలో ఒకట్ల స్థానంలో 5ను కలిగి ఉండే సంఖ్య ఏది ?
(A) 2 × 5³ × 3.
(B) 2³ × 3² ×7
(C) 2³ × 5 × 3²
(D) 3² × 5 × 7
జవాబు.
(D) 3² × 5 × 7

ప్రశ్న 120.
a = bq + r అయ్యే విధంగా a = 29, b = 6 అయిన a, r లను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 29, b = 6 ⇒ 29 = 6 × 4 + 5
a = bq + r
∴ q = 4, r = 5

ప్రశ్న 121.
p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు, q ≠ 0, \(\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{q}}\) రూపంలో రాయలేని వాస్తవ సంఖ్యలను ….. సంఖ్యలు అంటారు.
జవాబు.
కరణీయ

ప్రశ్న 122.
a = 42, b = 8 అయితే a విలువను a = bq + r రూపంలో తెల్పండి.
సాధన.
a = 42, b = 8.
∴ 42 = 8 × 5 + 2

ప్రశ్న 123.
0.00025 = \(\frac{25}{10^{x}}\) అయిన x విలువ ఎంత ?
సాధన.
0.00025 = \(\frac{25}{10^{5}}\) = \(\frac{25}{10^{x}}\)
∴ x = 5

ప్రశ్న 124.
క్రింది వానిని ఆరోహణా క్రమంలో రాయండి.
log₂ 4, log₂16, log₂ 8, log₂ 2
సాధన.
log₂ 2, log₂ 4, log₂ 8, log₂ 16
A.P. 10వ తరగతి జీ గణితశాస్త్రం |

ప్రశ్న 125.
0.375ను p, qలు పరస్పర ప్రధానాంకాలుగా \(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) రూపంలో రాసిన q విలువ క్రింది వానిలో ఏది కావచ్చును?
(A) 1000
(B) 40
(C) 8
(D) పైవన్నీ
సాధన.
(D) పైవన్నీ

వివరణ
0.375 = \(\frac{375}{1000}\) = \(\frac{15}{40}\) = \(\frac{3}{8}\)
∴ q = 1000, 40, 8 కావచ్చును.

ప్రశ్న 126.
\(\frac{7}{25}\) యొక్క దశాంశ రూపంను రాయండి.
సాధన.
\(\frac{7}{25}\) = \(\frac{7}{5^{2}} \times \frac{2^{2}}{2^{2}}\) = \(\frac{7 \times 4}{10^{2}}\) = \(\frac{28}{10^{2}}\) = 0.28

ప్రశ్న 127.
\(\frac{7218}{2^{2} \times 5^{2}}\) యొక్క దశాంశ రూపంను రాయండి.
సాధన.
\(\frac{7218}{2^{2} \times 5^{2}}\) = \(\frac{7218}{10^{2}}\) = 72.18

ప్రశ్న 128.
\(\frac{36}{2^{3} \times 5^{2}}\) ను దశాంశ రూపంలో తెల్పండి.
సాధన.

ప్రశ్న 129.
3√2 అకరణీయ సంఖ్య కావడానికి గుణించాల్సిన – కనిష్ఠ కరణీయ సంఖ్య ఏది ?
జవాబు.
√2

ప్రశ్న 130.
\(\frac{37}{2^{3} \times 5^{2} \times 7}\) అంతమయ్యే దశాంశం కావడానికి గుణించాల్సిన కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది ?
జవాబు.
7

ప్రశ్న 131.
ఒక సహజసంఖ్య 5తో అంతం కావాలంటే దాని ప్రధాన కారణాంకాలలో తప్పక ఉండాల్సిన కారణాంకం ఏది?
జవాబు.
5

ప్రశ్న 132.
16380 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం 2² × 5 × 7 × p² × 13 అయిన p విలువ ఎంత ?
సాధన.
16380 = 2² × 3² × 5 × 7 × 13
= 2² × 5 × 7 × p² × 13
∴ p = 3
(లేదా)
16380 = 2² × 5 × 7 × p² × 13
∴ \(\frac{16380}{2 \times 5 \times 7 \times 13}=\) = p²
⇒ 9 – p² ⇒ √9 = p
∴ p = 3

ప్రశ్న 133.
log₂₇ 9 = \(\frac{2}{3}\) అని చూపుము.
సాధన.
log₂₇9 = x అనుకొనుము.
∴ 27^x = 9 ⇒ (3³)^x = 3²
⇒ 3^3x = 3² ⇒ 3x = 2
∴ x = \(\frac{2}{3}\)

ప్రశ్న 134.
2 log 3 – 3 log 2 ను ఒకే సంవర్గమానంగా రాయండి.
సాధన.
2 log 3 – 3 log 2 = log 3² – log 2³
= log 9 – log 8 = log \(\frac{9}{8}\)
[∵ log x^m = m log x, log \(\frac{x}{y}\) = log x -logy]

ప్రశ్న 135.
3 log 2 + 2 log 5ను log N రూపంలో తెల్పండి.
సాధన.
3 log 2 + 2 log 5 = log 2³ + log 5²
= log 8 + log 25
= log (8 × 25)
= log 200

ప్రశ్న 136.
log 2 + log 3 ని ఒకే సంవర్గమానంగా రాయండి.
సాధన.
log 6 ( log x + log y = log xy)

ప్రశ్న 137.
log \(\frac{343}{125}\) = k(log 7 – log 5) అయిన ఓ విలువ ఎంత ?
సాధన.
log \(\frac{343}{125}\) = log \(\left(\frac{7}{5}\right)^{3}\)
= 3 log \(\frac{7}{5}\) = 3 (log 7 – log 5)
∴ 3 (log 7 – log 5) = k (log 7 – log 5)
∴ k = 3

ప్రశ్న 138.
\(\log _{\sqrt{2}}\) 4 విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
\(\log _{\sqrt{2}}\) 4 = x అనుకొనుము.
⇒ (√2)^xx = 4 ⇒ 2^x/2 = 2² ⇒ \(\frac{x}{2}\) = 2
∴ x = 4 (లేదా)
\(\log _{\sqrt{2}}\) (√2)⁴ = 4 \(\log _{\sqrt{2}}\) √2 = 4(1) =4

ప్రశ్న 139.
log₅5 మరియు log₅125ల సగటు క్రింది వానిలో దేనికి సమానము ?
(A) log₅25
(B) 2
(C) sec 60°
(D) పైవన్నీ
సాధన.
(D) పైవన్నీ

వివరణ:
log₅5 = 1,
log₅ 125 = log₅ 5³ = 3 log₅ 5 = 3
1, 3ల సగటు = \(\frac{1+3}{2}\) = 2
log₅ 25 = log₅ 5² = 2 log₅ 5 = 2
sec 60° = 2

ప్రశ్న 140.
log 243 + log 1 = log x అయిన X = 243 అని చూపుము.
సాధన.
log 243 + log 1 = log 243 × 1 = log 243
log 243 = log x
∴ x = 243

ప్రశ్న 141.
3 log₅ 4 = log₅ 2^m అయిన m విలువ ఎంత ?
సాధన.
3 log₅ 4 = log₅ 4³
= log₅ 64 = log₅ 2⁶ = log₅ 2^m
∴ m = 6

ప్రశ్న 142.
log 16 – log 2 ను log N రూపంలో రాయగా N విలువ ఎంత?
సాధన.
log 16 – log 2 = log \(\frac{16}{2}\) = log 8
∴ N = 8

ప్రశ్న 143.
log₁₀ 25 + log₁₀ 4 = x² అయిన x విలువ ఎంత?
సాధన.
log ₁₀ 25 + log₁₀ 4
= log₁₀ 100 = log₁₀ 10²
= 2 log₁₀ 10 = 2
∴ 2 = x² ⇒ x = √2

ప్రశ్న 144.
log 100 × log 99 × log 98 × …….. × log 2 × log 1 విలువ ఎంత ?
జవాబు.
0 [∵ log 1 = 0]

ప్రశ్న 145.
\(\log _{\sqrt{7}}\) 343 = x అయిన X విలువ ఎంత ?
సాధన.
\(\log _{\sqrt{7}}\) 343 = x ⇒ (√7)^x = 343
⇒ 7^x/2 = 7³ ⇒ \(\frac{x}{2}\) = 3
∴ x = 6

ప్రశ్న 146.
2^x = y మరియు log₂ y = 3 అయిన (x – y)² విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
2^x = y మరియు log₂ y = 3
⇒ log₂ 2^xx = 3 [∵ 2^x = y]
⇒ x log₂ 2 = 3
∴ x(1) = 3 ⇒ x = 3
∴ 2³ = y ⇒ y = 8
(x – y)² = (3 – 8)² = (- 5)² – 25

ప్రశ్న 147.
ఈ క్రింది వానిలో అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశము ఏది ?
(A) √4
(B) log₂32
(C) \(\frac{10}{3}\)
(D) \(\frac{3}{10}\)
జవాబు.
(C) \(\frac{10}{3}\)

ప్రశ్న 148.
log₂ 8, log₂ 16 ల క.సా.గు ………………..
(A) log₉ 324
(B) 12
(C) log₂ 2¹²
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 149.
a = 4q + r రూపంలో వ్రాయగలిగిన ‘r’ యొక్క గరిష్ఠ సాధ్య విలువ ఎంత ?
జవాబు.
3.

ప్రశ్న 150.
log₁₀ x = k అయిన క్రింది వానిని జతపరుచుము.

(A) i-c, ii-a, iii-b, iv-d
(B) i-d, ii-a, iii-b, iv-c
(C) i-c, ii-b, iii-a, iv-d
(D) i-d, ii-b, iii-a, iv-c
జవాబు.
(D) i-d, ii-b, iii-a, iv-c

ప్రశ్న 151.
x = log₂ 3 మరియు y = log₂ 5 అయిన log₂ 30 ని x, y లలో తెల్పండి.
సాధన.
x = log₂ 30 = log₂ (2 × 3 × 5)
= log₂ 2 + log₂ 3 + log₂ 5
= 1 + x + y

ప్రశ్న 152.
log₁₀ 2 = 0.3010 అయిన log₁₀ 5 విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
log₁₀ 5 = log₁₀ \(\left(\frac{10}{2}\right)\)
= log₁₀ 10 – log₁₀ 2
= 1 – 0.3010 = 0.6990

ప్రశ్న 153.
log₅ (x + 5) = 1 అయిన ‘X’ విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
log₅ (x + 5) = 1.
⇒ x + 5 = 5 = x = 0

ప్రశ్న 154.
2 log, x = 6 అయిన ‘X’, ‘y’ ల నుధ్య సంబంధమును తెల్పండి.
సాధన.
2 log, x = 6 = log, x = 3
∴ y³ = x

ప్రశ్న 155.
యూక్లిడ్ భాగహార నియమాన్ని ఉపయోగించి 60 మరియు 100 ల గ.సా.భాను కనుగొనడంలో గల సోపానాలను క్రమంలో అమర్చండి.
సోపానం (i) : 60 = 40(1) + 20
సోపానం (ii) : 100 = 60(1) + 40
సోపానం (iii) : 40 = 20(2) + 0
సోపానం (iv) : 60, 100 ల గ.సా.భా – 20
(A) (i), (ii), (iii), (iv)
(B) (ii), (i), (iii), (iv)
(C) (ii), (iv), (iii), (i)
(D) (iii), (ii), (iv), (i)
జవాబు.
(B) (ii), (i), (iii), (iv)

ప్రశ్న 156.
log (x² – 1) – log (x + 1) = log 9 అయిన ‘x’ విలువ ఎంత ?
సాధన.
log (x² – 1) – log (x + 1) = log 9 .
log\(\left(\frac{x^{2}-1}{x+1}\right)\) = log 9

⇒ x – 1 = 9
∴ x = 10

ప్రశ్న 157.
a = bq + r నందు a = 80, b = 10 అయినపుడు q + r విలువ ఎంత?
సాధన.
80 = 10 × 8 + 0
a = bq + r, q = 8, r = 0
∴ q + r = 8 + 0 = 8

ప్రశ్న 158.
log₃ 729 విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
log₃ 729 = log₃ 3⁶ = 6 log₃3 = 6

ప్రశ్న 159.
√p అనునది ఒక ప్రధాన సంఖ్య అయిన p యొక్క కనీస విలువ ఎంత ?
జవాబు.
2

ప్రశ్న 160.
ప్రవచనం I: \frac{13}{2^{3} \times 5}\(\) యొక్క దశాంశరూపం అంతమయ్యే దశాంశం అవుతుంది.
వివరణ (II): n, m లు రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలు మరియు q యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దం 2ⁿ × 5^m రూపంలో ఉంటే అకరణీయ సంఖ్య
x = \(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{q}}\) అయిన x యొక్క దశాంశ రూపం అంతమయ్యే డశాంశం అవుతుంది.
(A) I మరియు II లు రెండూ సత్యం, I & II సరైన వివరణ
(B) I సత్యం, II అసత్యం , I & II సరైన వివరణ
(C) I అసత్యం , II సత్యం , I కి II సరైన వివరణ
(D) I అసత్యం , II అసత్యం , I & II సరైన వివరణ కాదు
జవాబు.
(A) I మరియు II లు రెండూ సత్యం, I & II సరైన వివరణ

ప్రశ్న 161.
\(\left(a^{1 / x}=\frac{1}{p}\right)\) యొక్క సంవర్గమాన రూపం …………
(A) log_a p = \(\frac{-1}{\mathrm{X}}\)
(B) log_a \(\frac{1}{\mathrm{p}}\) = \(\frac{1}{\mathrm{x}}\)
C) ‘A’ మరియు ‘B’
(D) ఏదీకాదు
సాధన.
C) ‘A’ మరియు ‘B’

వివరణ:

ప్రశ్న 162.
2².3⁴.4² మరియు 2^x.3³.4⁵ ల గసాభా 2².3⁴.4² అయిన X విలువ ………………
(A) 2
(B) 22
(C) ≤ 2
(D) చెప్పలేము
జవాబు.
(B) 22

ప్రశ్న 163.
\(\log _{\sqrt{y}}\) y = x² అయిన x ను కనుగొనుము.
సాధన.

ప్రశ్న 164.
ఈ క్రింది వానిలో సత్యమేది ?
(A) ఋణ సంఖ్యల సంవర్గమానం ఋణాత్మకం
(B) కొన్ని సంఖ్యల సంవర్గమానం విలువ ఋణాత్మకం కావచ్చు
(C) అన్ని ధన సంఖ్యల సంవర్గమానం విలువ ధనాత్మకం
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(B) కొన్ని సంఖ్యల సంవర్గమానం విలువ ఋణాత్మకం కావచ్చు

ప్రశ్న 165.
మొదటి 3 ప్రధాన సంఖ్యల కసాగును రాయండి.
సాధన.
మొదటి 3 ప్రధాన సంఖ్యల క.సా.గు
= 2 × 3 × 5 = 30

ప్రశ్న 166.
ఈ క్రింది వానిలో అకరణీయ సంఖ్య –
(A) log₁₀1
(B) log₁₀10
(C) log₁₀₀10
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 167.
aⁿ యొక్క ఫలిత సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో ‘1’ ఉండవలెనన్న ‘a’ యొక్క సాధ్య విలువ
(A) 1
(B) 3
(C) 7
(D) పై వానిలో ఏదైనా ఒకటి
జవాబు.
(D) పై వానిలో ఏదైనా ఒకటి

ప్రశ్న 168.
2, 3 మధ్యగల కరణీయ సంఖ్య …………
(A) √5
(B) √6
(C) √7
(D) పైవన్నీ
జవాబు.
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న 169.
log₅x = y యొక్క ఘాత రూపంను రాయండి.
జవాబు.
5^y = x

ప్రశ్న 170.
log_{sin 30} tan 45 = 0 అని చూపుము.
సాధన.
log_{sin 30} tan 45 = log_1/2 1 = 0 (∵ log_a 1 = 0)

ప్రశ్న 171.
\(\frac{1}{\log _{a} 9}\) = 0.5 అయిన ‘a’ విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
\(\frac{1}{\log _{a} 9}\) = 0.5 = \(\frac{1}{2}\)
⇒ log_a 9 = 2 ⇒ a² = 9 = 3² ⇒ a = 3

ప్రశ్న 172.
0.45 యొక్క \(\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{q}}\) రూపంను రాయండి.
సాధన.
0.45 = \(\frac{45}{100}\) = \(\frac{9}{20}\)

ప్రశ్న 173.
\(\left(\log _{81} \sqrt{3^{16}}\right)\) విలువ ఎంత ?
సాధన.

ప్రశ్న 174.
log_o.50.0625 విలువ ఎంత?
సాధన.
log_o.50.0625 = log_0.5 (0.5)⁴
= 4 log_0.5 0.5 = 4
(లేదా)

ప్రశ్న175.
log₉ 4. log₉ 3. log₉ 2. log₉ 1 విలువ ఎంత ?
జవాబు :
0 (∵ log_a 1 = 0)

ప్రశ్న176.
ఈ క్రింది వానిలో సంయుక్త సంఖ్య ___________
A) 7 × 11 + 11
B) 7 × 11 × 13 + 13
C) 7 × 11 × 13 × 15
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న177.
ఏదైనా పూర్ణ సంఖ్య వర్గం ___________ రూపంలో ఉండును.
A) 4p
B) 4p + 1
C) 4p + 2
D) ‘A’ లేదా ‘B’
జవాబు :
D) ‘A’ లేదా ‘B’

ప్రశ్న178.
x = 2, q ≠0. \(\frac{p}{q}\) కనిష్ఠ రూపంలో
q = 2^m × 3ⁿ × 5^r, n ≠ 0 అయిన x గురించి నీవు ఏమి చెప్పగలవు ?
A) అంతమగు దశాంశము
B) అంతంకాని. ఆవర్తన దశాంశము
C) కరణీయ సంఖ్య
D) సహజ సంఖ్య
జవాబు :
B) అంతంకాని. ఆవర్తన దశాంశము

ప్రశ్న179.
log (sin θ) + log (cosec θ) విలువ ఎంత ?
జవాబు :
log (sin θ) + log (cosec θ)
= log sin θ × cosec θ [∵ log x + log y = log xy]
= log(sin θ × \(\frac{1}{\sin \theta}\))
= log (1) = 0

ప్రశ్న180.
log (tan θ) + log (cosec θ) + log (cos θ) = 0 అని చూపుము.
జవాబు :
log (tan θ) + log (cosec θ) + log (cos θ) = log (tan θ . cosec θ . cos θ)
[: log x + log y + log z = log (xyz)]

= log (1) = 0

ప్రశ్న181.
log_2/3 \(\left(\frac{27}{8}\right)\) విలువ ఎంత ?
జవాబు :
– 3

ప్రశ్న182.
ఆకరణీయ సంఖ్య \(\frac{7}{2^{2} \times 5}\) యొక్క దశాంశ రూపం రాయండి.
జవాబు :
0.35

ప్రశ్న183.
log_3√5 √5 యొక్క విలువ ఎంత ?
జవాబు :

ప్రశ్న184.
ఏ వాక్యముతో నీవు ఏకీభవిస్తావు ?
P : రెండు కరణీయ సంఖ్యల లబ్దం ఎల్లప్పుడూ – అకరణీయ సంఖ్యే.
Q : అకరణీయ మరియు కరణీయ సంఖ్యల లబ్దం ఎల్లప్పుడూ కరణీయ సంఖ్య.
i) P మాత్రమే
ii) Q మాత్రమే
iii) P మరియు Q
జవాబు :
ii) Q మాత్రమే

ప్రశ్న185.
3 log_2 = x ను ఘాతరూపంలో వ్రాయుము.
జవాబు :
3 log₂ 2 = x
log₂2₃ = x ⇒ log₂ 8 = x ⇒ 2_x = 8

Practice the AP 10th Class Maths Bits with Answers 2nd Lesson సమితులు on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 10th Class Maths Bits 2nd Lesson సమితులు

ప్రశ్న1.
A, B లు వియుక్త సమితులైతే కింది వానిలో ఏది సత్యం?
A) n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
B) A ∩ B = Φ
C) A & B
D) n(A ∪ B) = n(A) = n(B)
జవాబు :
C) A & B

ప్రశ్న2.
n(A) = 5, n(B) = 7 మరియు ACB అయిన n(A ∪ D) విలువ ఎంత ?
జవాబు :
7

ప్రశ్న3.
క్రింది వెన్ చిత్రంలో షేర్ చేసిన ప్రాంతాన్ని సూచించు సమితిని రాయండి.

జవాబు :
A ∩ B

ప్రశ్న4.
A ⊂ B అయితే A – B = ________
A) A
B) B
C) μ
D) Φ
జవాబు :
D) Φ

ప్రశ్న5.
చంద్రునిపై నివసించు మనుజుల సమితి ________
A) శూన్యసమితి
B) విశ్వసమితి P
C) పరిమిత సమితి
D) అపరిమిత సమితి
జవాబు :
A) శూన్యసమితి

ప్రశ్న6.
క్రింద ఇవ్వబడిన వెన్ చిత్రములో క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?

A) A ∪ B = Φ
B) A ∪ B = μ
C) A ∩ B = μ
D) A ∩ B = Φ
జవాబు :
D) A ∩ B = Φ

ప్రశ్న7.
ఈ క్రింది వానిలో పరిమిత సమితికి ఉదాహరణ ________
A) {x/x ∈N మరియు x² = 9}
B) 2, 3 ల మధ్య గల అకరణీయ సంఖ్యల సమితి
C) సరి ప్రధాన సంఖ్య అన్ని గుణిజాల సమితి
D) అన్ని బేసి ప్రధాన సంఖ్యల సమితి
జవాబు :
A) {x/x ∈N మరియు x² = 9}

ప్రశ్న8.
Φ సమితి యొక్క ఉప సమితుల సంఖ్య.
జవాబు :
1

ప్రశ్న9.
ఈ క్రింది ప్రవచనాలలో ఏది అసత్యము ?
A) ప్రతీ సమితి దానికదే ఉపసమితి.
B) శూన్య సమితి ప్రతీ సమితికి ఉపసమితి.
C) రెండు వియుక్త సమితుల ఛేదనము ఒక శూన్య సమితి.
D) ఒక అపరిమిత సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య సున్న.
జవాబు :
D) ఒక అపరిమిత సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య సున్న.

ప్రశ్న10.
n(A) = 12, n(A ∩ B) = 5 అయితే n(A – B) విలువ ఎంత ?
జవాబు :
n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B)
= 12 – 5 =7.

ప్రశ్న11.
A = {x:x అనేది HEADMASTER పదంలోనీ అక్షరం} అయిన ఈ సమితికి సరియగు జాబితా రూపం.
A) A = {h, e, a, d, m, a, s, t, e, r}
B) A = {h, e, a, d, m, s, t, r}
C) A = {h, e, a, d, M, S, t, e, r}
D) A = {h, e, a, d, m, a, s, t, r}
జవాబు :
B) A = {h, e, a, d, m, s, t, r}

ప్రశ్న12.
{x : X అనేది ప్రధాన సంఖ్య మరియు 6 ను భాగిస్తుంది} సమితి యొక్క రోస్టర్ రూపాన్ని రాయండి.
జవాబు :
{2, 3}

ప్రశ్న13.
A = {1, 2, 3, 4} అయిన A యొక్క ఉపసమితుల – సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు :
16.

ప్రశ్న14.
A = {x : X అనేది EXAMINATION పదంలోని అక్షరం} అయిన ఈ సమితికి జాబితా రూపం.
A) A = {e, x, m, i, n, a, t, 0, s}
B) A = {e, x, m, i, n, a, t, 0}
C) A = {e, x, m, a, i, n, t, s}
D) D = {e, x, m, i, n, t, 0}
జవాబు :
B) A = {e, x, m, i, n, a, t, 0}

ప్రశ్న15.
ఈ క్రింది వెన్ చిత్రం సూచించునది.

A) A ∩ B = Φ
B) A, B లు వియుక్త సమితులు
C) A మరియు B
D) A – B = Φ
జవాబు :
C) A మరియు B

ప్రశ్న16.
A ⊂ B, n(A) = 12, n(B) = 20 అయిన n(B- A) విలువ ఎంత ?
జవాబు :
A⊂B అయిన
n(B – A) = n(B) – 1(A) = 20 – 12 = 8

ప్రశ్న17.
A ⊂ B, n(A) = 4 మరియు n(B) = 6 అయిన n(A ∪ B) =
జవాబు :
A c B అయిన A ∪ B = B
∴ n(A ∪ B) = n(B) = 6

ప్రశ్న18.
n(A) = 8, n(B) = 3, n(A ⊂ B) = 2 అయిన n(A ∪ D) ని కనుగొనుము.
జవాబు :
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
= 8 + 3 – 2 = 9

ప్రశ్న19.
ఇచ్చిన పటంలోని షేర్ చేసిన ప్రాంతంను. సూచించునది.

A) A – B.
B) B – A
C) μ – B
D) A ∪ B
జవాబు :
C) μ – B

ప్రశ్న20.
A = {x: x² – 16 = 0, x ∈ R} మరియు
B= {x: x² – 5x + 6 = 0, x ∈ R}, అయిన A ∪ B
A) ఏకమూలక సమిల
B) అనంత సమితి
C) శూన్య సమితి
D) పరిమిత సమితి
జవాబు :
D) పరిమిత సమితి

ప్రశ్న21.
క్రింది వానిని వాని యొక్క గుర్తులకు జతపరచండి.

A) i-c, ii-a, iii-b,
B) i-c, ii-b, iii-a
C) i-a, ii-b, iii-c
D) i-a, ii-c, iii-b
జవాబు :
A) i-c, ii-a, iii-b,

ప్రశ్న22.
A, Bకి ఉపసమితి అవునట్లు A, B సమితులకు ఒక ఉదాహరణను ఇవ్వండి.
జవాబు :
A = {2, 3}. B = {1, 2, 3, 4,}

ప్రశ్న23.
V = {x/x అనేది ఆంగ్ల భాషలోని అచ్చు} సమితిని రోస్టర్ రూపంలో రాయండి.
జవాబు :
V = {a, e, i, 0, u}

ప్రశ్న24.
{1, 8, 27, 64, 125} యొక్క సమితి నిర్మాణ రూపంను రాయండి.
జవాబు :
{x : x = n³, n ∈ N, n < 6} లేదా
{x: x అనేది 126 లోపు గల ఘనసంఖ్య}

25.
{x : x అనేది 1260 యొక్క ప్రధాన కారణాంకం} యొక్క రోస్టర్ రూపంను రాయండి.
జవాబు :
{2, 3, 5, 7} (∵ 1260 = 22 × 32 × 5 × 7)

ప్రశ్న26.
{x: x అనేది ఒక సహజ సంఖ్య మరియు x² ≤ 36} యొక్క రోస్టర్ రూపంను తెల్పండి.
జవాబు :
{1, 2, 3, 4, 5, 6}

ప్రశ్న27.
P= {x : X అనేది -3.5 మరియు 2.7 ల మధ్య గల పూర్ణసంఖ్య} యొక్క జాబితా రూపం ఏది ?
జవాబు :
{-3, -2, -1, 0, 1, 2}

ప్రశ్న28.
ప్రవచనం-I : n(A) + n(B) = n(A ∪ B) + n (A ∩ B)
ప్రవచనం-II : A ∩ B = 6 అయిన A, B లు వియుక్త సమితులు.
A) I సత్యం, II అసత్యం
B) I సత్యం, II సత్యం
C) I అసత్యం, II సత్యం
D) I అసత్యం, II అసత్యం
జవాబు :
B) I సత్యం, II సత్యం

ప్రశ్న29.
SCHOOL పదంలోని అక్షరాలతో ఏర్పడే సమితి
A) {S, C, H, 0, L}
B) {C, H, L, 0, S}
C) {S, 0, L, H, C}
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న30.
A = {x: x అనేది 36 యొక్క కారణాంకము} క్రింది వానిలో A సమితికి చెందని మూలకం ఏది ?
A) 12
B) 6
C) 5
D) 4
జవాబు :
C) 5

ప్రశ్న31.
శూన్యసమితి యొక్క గుర్తును తెల్పండి.
జవాబు :
Φ

ప్రశ్న32.
K = {5, 3, 2, 1} అయిన క్రింది వానిలో అసత్యం ?
A) 5 ∈ K
B) {5} ∈ K
C) {5} ∈ K.
D) {1, 5} ∈ K
జవాబు :
B) {5} ∈ K

ప్రశ్న33.
క్రింది వానిలో సత్య వాక్యం
A) 5 ∈ {సరిసంఖ్యలు}
B) \(\frac{8}{11}\) ∈ {అకరణీయ సంఖ్యలు}
C) -8 ∈ {సహజసంఖ్యలు}
D) √5 ∈ {పూర్ణసంఖ్యలు}
జవాబు :
B) \(\frac{8}{11}\) ∈ {అకరణీయ సంఖ్యలు}

ప్రశ్న34.
A = {2, 4, 6, 8, 10} అయిన క్రింది సమితులలో ఏది Aని సూచించదు ?
A) {x ; x = 2n, n ∈ N మరియు n<5}
B) {x: x అనేది 11 కన్నా తక్కువైన సరి సహజసంఖ్య }
C) {x : x = 2n, n ∈ N మరియు n < 5}
D) {x : x = 2n, n ∈ W మరియు 1 ≤ n ≤ 5}
జవాబు :
C) {x : x = 2n, n ∈ N మరియు n < 5}

ప్రశ్న35.
{1, 4, 9, 16, 25…., 81, 100} యొక్క సమితి నిర్మాణ రూపంను రాయండి.
జవాబు :
{x : x అనేది 100 వరకు గల వర్గ సంఖ్య }
(లేదా)
{x: x = n², x ∈ N మరియు x < 11}

ప్రశ్న36.
“ASSOCIATE” లోని అక్షరాల సమితి యొక్క రోస్టర్ రూపాన్ని రాయండి.
జవాబు :
{A, S, 0, C, I, T, E}

ప్రశ్న37.
క్రింది వానిలో శూన్యసమితి
A) {x : x, 2 కన్నా పెద్దదైన సరి ప్రధానాంకము}
B) {x : x సరి ప్రధానసంఖ్య}
C) {x : x ఒక సహజసంఖ్య మరియు 1 < x < 3}
D) {x : x² = 4 మరియు x సహజసంఖ్య }
జవాబు :
A) {x : x, 2 కన్నా పెద్దదైన సరి ప్రధానాంకము}

ప్రశ్న38.
{2} ను సూచించు సమితి నిర్మాణ రూపం
A) {x : x సరి ప్రధానాంకము}
B) {x : 1 C) {x : x² = 4, x ఒక సహజసంఖ్య }
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్న

ప్రశ్న39.
క్రింది వానిలో పరిమిత సమితి
A) {x: x = 2n, n ∈ N}
B) {x : x అనేది 2 యొక్క కారణాంకం}
C) {x : x = 2ⁿ, n ∈ N}
D) పైవన్నీ
జవాబు :
B) {x : x అనేది 2 యొక్క కారణాంకం}

ప్రశ్న40.
క్రింది వానిలో అపరిమిత సమితి
A) 3 మరియు 8 ల మధ్యగల పూర్ణసంఖ్యల సమితి
B) 2 మరియు 3 ల మధ్యగల అకరణీయ సంఖ్యల సమితి
C) 1 మరియు 50 ల మధ్యగల ప్రధానాంకముల సమితి
D) 100 కన్నా తక్కువైన సహజసంఖ్యల సమితి
జవాబు :
B) 2 మరియు 3 ల మధ్యగల అకరణీయ సంఖ్యల సమితి

ప్రశ్న41.
క్రింది సమితులలో ఏది {9} ను సూచించదు?
A) {x/x ఒక అంకె సంఖ్యలలో పెద్దది}
B) {x/x + 1 = 10}
C) {x/ √x = 3, x ∈ N}
D) {x/x – 1 = 10}
జవాబు :
D) {x/x – 1 = 10}

ప్రశ్న42.
క్రింది వానిలో పరిమిత సమితి.
A) {x : x ∈ N మరియు (x – 1) (x – 2) = 0}
B) {x: n ∈ N మరియు x = 2n + 1}
C) {x : x ∈ Z మరియు x² ≥ 24}
D) {x : x ∈ Z మరియు x <4}
జవాబు :
A) {x : x ∈ N మరియు (x – 1) (x – 2) = 0}

ప్రశ్న43.
C = {1, 2, 3, 5} అయిన n (C) విలువ ఎంత ?
జవాబు :
n(C) = 4

ప్రశ్న44.
n (Φ) విలువను తెల్పండి.
జవాబు :
n (Φ) = 0

ప్రశ్న45.
A = {6, 7, 8, 9, 10},
B = {8, 9, 10},
C = {a, b} అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) n(A) < n(B)
B) n(A) = n(B) + n(C)
C) n(A) = n(B) – n(C)
D) n(B) < n(C)
జవాబు :
B) n(A) = n(B) + n(C)

ప్రశ్న46.
B = {x: x + 7 = 7x, x ∈ Z} అయిన n(B) విలువ ఎంత ?
జవాబు :
x + 7 = 7x ⇒ 7 = 6x ⇒ \(\frac{7}{6}\) = x ∈ Z

ప్రశ్న47.
క్రింది వానిలో కార్డినల్ సంఖ్య 2గా గల సమితి ఏదీ?
A) {x : x² = 4 మరియు x పూర్ణసంఖ్య }
B) {x : x ≤ 5 మరియు x సహజసంఖ్య }
C) {x : x అనేది సరి ప్రధానసంఖ్య }
D) {x : x ∈ N మరియు x < 5, ముయు x > 8}
జవాబు :
A) {x : x² = 4 మరియు x పూర్ణసంఖ్య }

ప్రశ్న48.
క్రింది వానిలో కార్డినల్ సంఖ్యను నిర్ణయించలేని సమితి ఏది ?
A) 6 యొక్క కారణాంకాల సమితి
B) ఆంగ్లభాషలోని అక్షరాల సమితి
C) 100 మరియు 1000 ల మధ్య గల 5 గుణిజాల సమితి
D) X – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే రేఖల సమితి
జవాబు :
D) X – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే రేఖల సమితి

ప్రశ్న49.
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8, 10} అయిన n(A ∩ B)ని కనుగొనుము.
జవాబు :
A ∩ B = {2, 4}

ప్రశ్న50.
A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} అయిన n(B – A) ని కనుగొనుము.
జవాబు :
B – A = {1, 3, 5}
n(B – A) = 3

ప్రశ్న51.
ఉపసమితిని సూచించు గుర్తును రాయండి. .
జవాబు :
⊂

ప్రశ్న52.
A ⊂ B అయిన A ∪ B = ________
జవాబు :
Φ

ప్రశ్న53.
A ⊂ B అయిన A ∩ B = ________
జవాబు :
A

ప్రశ్న54.
వెన్ చిత్రం సూచించునది.

A) A ⊂ B
B) B ⊂ A
C) A, B లు వియుక్త సమితులు
D) µ ⊂ B
జవాబు :
A) A ⊂ B

ప్రశ్న55.
A = {2, 3, 4, 5, 6} అయిన Aకి గల ఉపసమితుల సంఖ్య ఎంత?
జవాబు :
32

ప్రశ్న56.
P= {1, 5}, Q = {2, 4, 6}, R = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, S = {3, 5, 6} అయిన సందర్భంలో విశ్వ సమితి ఏది ?
A) P
B) Q
C) R
D) S
జవాబు :
C) R

ప్రశ్న57.
A = {x : x అనేది ASSASSINATION పదములోని అక్షరం}, B = {x : x అనేది STATION పదంలోని అక్షరం} అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం?
A) \(\mathrm{A} \not \subset \mathrm{B}\)
B ) A ≠ B
C) A = B
D) A ∩ B = 0
జవాబు :
C) A = B

ప్రశ్న58.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) Φ = {0}
B) Φ = { }
C) n (Φ) = 1
D) Φ = 0
జవాబు :
B) Φ = { }

ప్రశ్న59.
A = {5, 10, 20, 40} అయిన A కి ఉపసమితి కానిది
A) 4
B) {5, 10, 40}
C) {15, 10}
D) {5, 10, 20, 40}
జవాబు :
C) {15, 10}

ప్రశ్న60.
A ∩ B = ________
A) {x: x ∈ A మరియు x ∈ B}
B) {x : x ∈ A లేదా x ∈ B}
C) {x : x ∈ A మరియు x ∉ B}
D) {x : x ∉ A లేదా x ∉ B}
జవాబు :
A) {x: x ∈ A మరియు x ∈ B}

ప్రశ్న61.
షేడ్ చేసిన ప్రాంతం సూచించునది ”

A) A – B
B) B – A
C) A ∪ B
D) A ∩ B
జవాబు :
C) A ∪ B

ప్రశ్న62.
వెన్ చిత్రానికి సంబంధించి క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?

A) A ∪ B = A
B) A ∩ B = Φ
C) A – B = Φ
D) A ∪ B = B
జవాబు :
B) A ∩ B = 0

ప్రశ్న63.
షేడ్ చేసిన ప్రాంతం సూచించునది

A) A ∪ B = B
B) A ∪ B = A
C) A ⊂ B
D) A మరియు C
జవాబు :
D) A మరియు C

ప్రశ్న64.
సాధారణంగా విశ్వసమితిని సూచించుటకు ఉపయోగించే వెన్ చిత్రం

జవాబు :
D

ప్రశ్న65.
A = {5, 6, 7, 8}, B = {7.8, 9, 10} అయిన A ∩ Bని కనుగొనుము.
జవాబు :
A ∩ B = {7, 8}

ప్రశ్న66.
A – B = ____________
A) {x : x ∈A మరియు x ∈ B}
B) {x : x ∈ A మరియు x ∉ B}
C) {x : x ∈ A లేదా x ∈ B}
D) {x : x # A మరియు x ∈ B}
జవాబు :
B) {x : x ∈ A మరియు x ∉ B}

ప్రశ్న67.
A – Bకి వియుక్త సమితి
A) A ∪ B
B) B – A
C) A
D) పైవన్నీ
జవాబు :
B) B – A

ప్రశ్న68.
వెన్ చిత్రం నుండి A సమితిని రాయండి.

జవాబు :
A = {3, 6, 9, 12, 15}

ప్రశ్న69.
A, Bలు శూన్యసమితులు కాకపోతే A – B, B – A మరియు A ∩ Bలు
A) వియుక్త సమితులు
B) సమసమితులు
C) ఒకదానికొకటి ఉపసమితులు
D) పైవేవీ కావు
జవాబు :
A) వియుక్త సమితులు

ప్రశ్న70.
A ∪ Φ = ________
జవాబు :
A

ప్రశ్న71.
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7} అయిన A – B ని కనుగొనుము.
జవాబు :
A – B= {1, 2, 3, 4, 5} – {4, 5, 6, 7}
= {1, 2, 3}

→ ఇచ్చిన వెన్ చిత్రాన్ని పరిశీలించి 72, 73 ప్రశ్నలకు – సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న72.
B- A సమితిని రాయండి.
జవాబు :
B – A = {9, 11}

ప్రశ్న73.
A ∩ B సమితిని రాయండి.
జవాబు :
A ∩ B = {5, 7}

ప్రశ్న74.
n(A) = 5, n(B) = 4, n (A ∩ B) = 3 అయిన n(A ∪ B).ని కనుగొనుము.
జవాబు :
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
= 5 + 4 -3 = 6

ప్రశ్న75.
A ∩ B = Φ అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) A, B లు వియుక్త సమితులు
B) A ≠ Φ మరియు B = Φ
C) A = Φ మరియు B ≠ Φ
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న76.
A ∪ B = Φ కి సంబంధించి క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) A = Φ మరియు B ≠ Φ
B) A = Φ మరియు B = Φ
C) A ≠ Φ మరియు B = Φ
D) పైవన్నీ
జవాబు :
B) A = Φ మరియు B = Φ

ప్రశ్న77.
ఒక మూలకం సమితికి చెందుతుంది అని తెలుపుటకు ఉపయోగించే గుర్తును తెల్పండి.
జవాబు :
∈

ప్రశ్న78.
క్రింది వానిని జతపరుచుము :

A) i-a, ii-b, iii-d, iv-c
B) i-d, ii-a, iii-c, iv-b
C) i-d, ii-b, iii-a, iv-c
D) i-b, ii-d, iii-c, iv-a
జవాబు :
C) i-d, ii-b, iii-a, iv-c

ప్రశ్న79.
విశ్వసమితికి గుర్తును రాయండి.
జవాబు :
µ

ప్రశ్న80.
a ∈ A ⇒ a ∈ B అయిన
A) A ⊂ B
B) B ⊂ A
C) A = B
D) A = B = Φ
జవాబు :
A) A ⊂ B

ప్రశ్న81.
A అపరిమిత సమితి అయితే n(A) విలువ ఎంత ?
జవాబు :
నిర్ణయించలేము.

ప్రశ్న82.
A, B లు రెండు సమితులైన A ∪ Bని వెన్ చిత్రంలో చూపండి.
జవాబు :

ప్రశ్న83.
A ∩ Bని సూచించు వెన్ చిత్రాన్ని గీయండి.
జవాబు :

ప్రశ్న84.
A – B ని వెన్ చిత్రంలో చూపండి.
జవాబు :

ప్రశ్న85.
A = {1, 2, 3, 4} అయిన క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ?
A) Φ ⊂ A
B) n(A) = 4;
C) A కి, గల ఉపసమితుల సంఖ్య 16
D) {3, 6} ⊂ A
జవాబు :
D) {3, 6} ⊂ A

ప్రశ్న86.
A = {2, 6} అయిన A కి గల ఉపసమితుల సంఖ్య ?
జవాబు :
4.

ప్రశ్న87.
A ⊂ B అయి B ⊂ C అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) \(\mathrm{A} \not \subset \mathrm{C} .\)
B) A ⊂ C
C) B ⊂ A
D) C ⊂ B
జవాబు :
B) A ⊂ C

ప్రశ్న88.
A = {x : x అనేది ASSOCIATION పదంలోని అక్షరం }
B = {x: X అనేది ASSOCIATE పదంలోని అక్షరం}
అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) A ⊂ B
B) B ⊂ A
C) A ∪ B = Φ
D) పైవన్న
జవాబు :
B) B ⊂ A

ప్రశ్న89.
A = {x : x అనేది ASSISTANCE పదంలోని అక్షరం}
B= {x : x అనేది ASSISTANT పదంలోని అక్షరం} అయిన
A) A ∪ B =A
B) A ∩ B = B
C) B ⊂ A
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న90.
A = B అయిన
i) A ⊂ B
ii) B ⊂ A
iii) n(A) = n(B) లలో ఏది సత్యం ?
A) i మాత్రమే సత్యం
B) i, ii లు మాత్రమే సత్యం
C) i, ii, iii లు సత్యం
D) i, iii మాత్రమే సత్యం
జవాబు :
C) i, ii, iii లు సత్యం

ప్రశ్న91.
A = {సహజసంఖ్యల సమితి}, B = {ప్రధాన సంఖ్యల సమితి} అయిన A ∩ B =
A) A
B) B
C) Φ
D) A ∪ B
జవాబు :
B) B

ప్రశ్న92.
A = {సరి సహజసంఖ్యల సమితి}, B = {ప్రధాన సంఖ్యల సమితి} అయిన A ∩ B ని కనుగొనుము.
జవాబు :
A = {2, 4, 6, 8, ….}; B = {2, 3, 5, 7, ….}.
A ∩ B = {2}

ప్రశ్న93.
A = {x : x అనేది 6300 యొక్క ప్రధాన కారణాంకం} అయిన A సమితికి చెందని వారు,
A) 11
B) 3
C) 5
D) 2
జవాబు :
A) 11

ప్రశ్న94.
ఏదైనా ఒక మూలకం సమితికి చెందదు అని తెలుపుటకు ఉపయోగించే గుర్తును రాయండి.
జవాబు :
∉

ప్రశ్న95.
{x: x ∈ N మరియు 0 జవాబు :
{1, 2, 3, 4}

ప్రశ్న96.
A = {3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8} అయిన
క్రింది వానిలో సత్య ప్రవచనాలు ఏవి ?
I : A, Bలు వియుక్త సమితులు
II : A = B
III : n(A) = n(B)
IV : A – B = B
A) I, II, IV
B) I, III
C) II, IV
D) II, III, IV.
జవాబు :
B) I, III

ప్రశ్న97.
B ⊂ A అయ్యే సందర్భాన్ని వెన్ చిత్రంలో చూపండి. జ.
జవాబు :

ప్రశ్న98.
2 మరియు 3ల మధ్యగల పూర్ణసంఖ్యల సమితిని రాయండి.
జవాబు :
Φ (∵ 2, 3 ల మధ్య పూర్ణసంఖ్యలు లేవు)

ప్రశ్న99.
క్రింది వెన్ చిత్రం నుండి క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ?

A) A ∩ B = 0
B) A – B = A
C) B – A = B
D) A ∪ B = A
జవాబు :
D) A ∪ B = A

ప్రశ్న100.
A = {1, 2, 3, 4, 5} మరియు A, B లు సమసమితులైతే n(B) విలువ ఎంత ?
జవాబు :
n(A) = n(B) = 5

ప్రశ్న101.
A = {x, y, z} అయిన Aకి గల ఉపసమితుల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు :
8

ప్రశ్న102.
“A సమితి B సమితికి ఉపసమితి’ గుర్తును ఉపయోగించి రాయండి.
జవాబు :
A ⊂ B

ప్రశ్న103.
P = {x/x అనేది x² – 16 యొక్క శూన్య విలువ, x ∈ Z విటున P సమితిని రాయండి.
జవాబు :
P = {4, -4} [∵ x² – 16 = 0, x² = 16
⇒ x = √16 = ± 4 4 మరియు – 4 ∈ Z]

ప్రశ్న104.
A = {1, 2, 3} అయిన Aకి గల ఉపసమితులు అన్నింటిని రాయండి.
జవాబు :
{ }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

ప్రశ్న105.
A ∪ B = {2, 3, 5, 8, 13, 21, 34}. A, B లు వియుక్త సమితులు మరియు A = {3, 13, 21, 34} అయిన B సమితిని కనుగొనుము.
జవాబు :
B = {2, 5, 8}

→ ఇవ్వబడిన వెన్ చిత్రాన్ని పరిశీలించి, క్రింది 106 – 111 వరకు గల ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న106.
A ∪ B =
జవాబు :
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

ప్రశ్న107.
A ∩ B =
జవాబు :
{2, 4}

ప్రశ్న108.
A – B =
జవాబు :
{3, 5}

ప్రశ్న109.
n(A) =
జవాబు :
4

ప్రశ్న110.
n[(A – B) ∪ (B – A)] =
జవాబు :
5

ప్రశ్న111.
n(A) + n(B) – n(A ∪ B) =
జవాబు :
2
[∵ A = {2, 3, 4, 51, (A – B) ∪ (B – A) = {1, 3, 5, 6, 7}
n(A) + n(B) – n(A ∪ B) = n(A ∩ B) = 2]

ప్రశ్న112.
A ∩ Φ = Φ ∩ A = ________
జవాబు :
Φ

ప్రశ్న113.
A ∩ μ = μ ∩ A = ________
జవాబు :
A

ప్రశ్న114.
క్రింది వెన్ చిత్రంలో A ∩ B = {6, 11} అయి x = 6 అయిన y విలువ ఎంత ?

జవాబు :
11

ప్రశ్న115.
A ∪ A =
జవాబు :
A

ప్రశ్న116.
n(A) = 5, n(B) = 2 మరియు A, B లు వియుక్త సమితులు అయిన n(A ∪ B) విలువ ఎంత ?
జవాబు :
7

ప్రశ్న117.
A ∩ A =
జవాబు :
A

ప్రశ్న118.
A, B లు వియుక్త సమితులు అయిన n(A) + n(B) =
జవాబు :
n(A ∪ B)

ప్రశ్న119.
క్రింది వెన్ చిత్రంలో షేడ్ చేసిన ప్రాంతం సూచించు సమితిని రాయండి.

జవాబు :
A – B

ప్రశ్న120.
A = {2, 4, 8, 16} యొక్క నిర్మాణ రూపంను రాయండి.
జవాబు :
{x : x = 2ⁿ : n ∈ N, n < 5}

ప్రశ్న121.
క్రింది వెన్ చిత్రం నుండి B – A సమితిని రాయండి.

జవాబు :
{6, 9}

ప్రశ్న122.
(A – B) ∩ (B – A) = ________
జవాబు :
Φ

ప్రశ్న123.
క్రింది వెన్ చిత్రం నుండి B – A = ________

జవాబు :
B

ప్రశ్న124.
A={2} సమితి యొక్క ఉపసమితులు అన్ని రాయండి.
జవాబు :
2

ప్రశ్న125.
n(A ∪ B) = 14, n(A) = 8, n(A ∩ B) = 4 అయిన n(B) ని కనుగొనుము.
జవాబు :
n(A) + n(B) = n(A ∪ B) + n(A ∩ B)
8 + n(B) = 14 + 4 = 18
n(B) = 18 – 8 = 10

ప్రశ్న126.
సమితి నిర్మాణ రూపాన్ని, రోస్టర్ రూపానికి జతపరుచుము.

A) a-iii, b-iv, c-i, d-ii
B) a-iii, b-ii, c-i, d-iv
C) a-iii, b-i, c-iv, d-ii
D) a-i, b-iv, c-ii, d-iii
జవాబు :
A) a-iii, b-iv, c-i, d-ii

ప్రశ్న127.
A = చతుర్భుజాల సమితి, B = చతురస్రాల సమితి, C = రాంబస్ సమితి అయిన క్రింది వానిలో ఏవి అసత్యం ?
i) B ⊂ C
ii) B ⊂ C ⊂ A
iii) A ⊂ B
iv) C ⊂ B
A) i, ii
B) iii, iv
C) i, iv
D) ii, iii
జవాబు :
B) iii, iv

ప్రశ్న128.
ప్రవచనం-P : A ⊂ B, B ⊂ A అయిన A = B
ప్రవచనం-Q : n(A) = n(B) అయిన A = B
A) P సత్యం, Q అసత్యం
B) P అసత్యం, Q సత్యం
C) P Q లు రెండూ సత్యం
D) P, Q లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
A) P సత్యం, .Q అసత్యం

ప్రశ్న129.
పరిమిత సమితికి ఒక ఉదాహరణనివ్వండి.
జవాబు :
{5, 7, 9}

ప్రశ్న130.
A ⊂ B అయిన n(A ∪ B) = ________
A) n(A)
B) n(B)
C) n(A ∩ B)
D) 0
జవాబు :
B) n(B)

ప్రశ్న131.
ACB అయిన n(A ∩ B) = ________
A) n(A)
B) n(B)
C) n(A ∪ B)
D) 0
జవాబు :
A) n(A)

ప్రశ్న132.
A ⊂ B = A – B = ________
A) A
B) B
C) Φ
D) µ
జవాబు :
C) Φ

ప్రశ్న133.
A = {x: x అనేది a= 2,d = 3 గా గల అంకశ్రేఢిలోని పదం మరియు x < 12} అయిన A యొక్క రోస్టర్ రూపాన్ని రాయండి.
జవాబు :
A = {2, 5, 8, 11}

ప్రశ్న134.
A అనేది x + 2 = 0 యొక్క సాధన సమితి, B అనేది x² – 4 = 0 యొక్క సాధన సమితి అయిన A ∩ B =
జవాబు :
A = {-2}, B = {2, – 2}
∴ A ∩ B = {-2} , [∵ x + 2 = 0 ⇒ x = -2
x² – 4 = 0 ⇒ x² = 4
⇒ x = √4 = ± 2]

ప్రశ్న135.

వెన్ చిత్రంలో షేర్ చేసిన ప్రాంతాన్ని సూచించు సమితిని రాయండి.
జవాబు :
B – A

ప్రశ్న136.
అపరిమిత సమితికి ఒక ఉదాహరణనివ్వండి.
జవాబు :
{1, 2, 3, 4, 5, 6, …………… }

ప్రశ్న137.
B – A ను వెన్ చిత్రంలో చూపండి.
జవాబు :

ప్రశ్న138.
n(P) = 4 అయ్యే విధంగా సమితి P కి ఒక ఉదాహరణనివ్వండి.
జవాబు :
P = {0, 1, 2, 3}, n(P) = 4.

→ క్రింది వెన్ చిత్రాన్ని పరిశీలించి 139 మరియు 140 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న139.
విశ్వసమితి μని రాయండి.
జవాబు :
μ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

ప్రశ్న140.
(A – B) ∪ (B – A) సమితిని రాయండి.
జవాబు :
(A – B) ∪ (B – A) = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}

ప్రశ్న141.
అకరణీయ సంఖ్యా సమితి మరియు వాస్తవ సంఖ్యా సమితులు యొక్క ఛేదనము (intersection) …….. సమితి అగును.
A) వాస్తవ సంఖ్య
B) అకరణీయ సంఖ్య
C) పూర్ణ సంఖ్య
D) కరణీయ సంఖ్య
జవాబు :
B (∵ అకరణీయ సంఖ్యా సమితి Q ⊂ వాస్తవ సంఖ్యా సమితి R
∴ Q ∩ R = Q)

ప్రశ్న142.
“A, B లు వియుక్త సమితులు”, ఈ సమాచారాన్ని సూచించుటకు సరైన వెన్ చిత్రము ఏది ?

జవాబు :
C

ప్రశ్న143.
జతపరచండి :

A) i – c, ii – d, iii – a, iv – b
B) i – c, ii – a, iii – b, iv – d
C) i – c, ii – d, iii – b, iv – a
D) i – d, ii – a, iii – c, iv – b
జవాబు :
A) i – c, ii – d, iii – a, iv – b

ప్రశ్న144.
i) A = B అయిన n(A) = n(B)
ii) n(A) = n(B) అయిన A = B అయిన
A) i మాత్రమే సత్యం
B) ii మాత్రమే సత్యం
C) i మరియు ii లు సత్యం
D) పైవి ఏవీ కావు
జవాబు :
A) i మాత్రమే సత్యం

ప్రశ్న145.
A = {x/x అనేది 45 యొక్క ప్రధాన కారణాంకం},
B = {log₂8, log₂16} అయిన A ∪ B =
A) {4, 5}
B) {3, 5}
C) {3, 4}
D) {3, 4, 5}
జవాబు :
D) {3, 4, 5}

A = {3, 5}, B = {3, 4}
∴ A ∪ B = {3, 4, 5}
[∵ 45 = 3² × 5
log₂ 8 = log₂ 23 = 3 log₂2 = 3
log₂ 16 = log₂2⁴ = 4 log₂2 = 4]

ప్రశ్న146.
A = {1, 2, 5, 6}; A – B = {1, 2} అయిన క్రింది వానిలో సత్యమేది ?
A) 5 ∈ B
B) 6 ∈ B
C) n(B) ≥ 2
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న147.
n(A) = 8, n(B) = 6, A, B లు వియుక్త సమితులు కానిచో n(AUB) = ….
A) 14
B) ≥ 8
C) <14
D) B మరియు C
జవాబు :
D) B మరియు C

ప్రశ్న148.
A = {x:x అనేది 30 యొక్క ప్రధాన కారణాంకము} ‘
B= {x:x అనేది 7 కన్నా చిన్నదైన ప్రధాన సంఖ్య} అయిన A = B అని చూపుము.
జవాబు :
A = {2, 3, 5} [∵ 30 = 2 × 3 × 5
B = {2, 3, 5} {∵ 7 కన్నా చిన్నవైన ప్రధాన సంఖ్యలు 2, 3, 5}
∴ A = B

ప్రశ్న149.
క్రింది సమితి Aని ఉద్దేశించి ఈ క్రింది నీయబడిన ప్రవచనాల statements నుండి సరైన జవాబు గుర్తించండి. A = {1, 2, 3, 4}
i) n(A) = 4
ii) సమితి ‘A’ కి గల ఉపసమితుల సంఖ్య 16
A) i సత్యం, ii అసత్యం
B) i అసత్యం , ii సత్యం
C) i మరియు ii లు రెండూ సత్యం
D) i మరియు ii లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
C) i మరియు ii లు రెండూ సత్యం

ప్రశ్న150.
P= {x: x అనునది – 4, 4 ల మధ్య గల సహజ సంఖ్య} అయిన
A) n(P) = 7
B) n(P) = 9
C) n(P) = 3
D) n(P) = 16
జవాబు :
C) n(P) = 3

ప్రశ్న151.
A = {2,3,5} యొక్క నిర్మాణ రూపం –
A) {x/X అనునది మొదటి 6 కన్నా తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్య
B) {x/X అనునది 20 యొక్క కారణాంకం}
C) {x/X అనునది 30 యొక్క ప్రధాన కారణాంకము
D) A మరియు C
జవాబు :
D) A మరియు C

ప్రశ్న152.
X = {2, 5} అయిన ఈ క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) X ⊂ X
B) 2 ∈ X
C) Φ ⊂ X
D) పైవన్నీ
జవాబు :
D) పైవన్నీ

ప్రశ్న153.
n(P ∪ Q) = 36, n(P) = 23, n(Q) – 25 అయిన n(P ∩ Q) విలువ ఎంత ?
జవాబు :
n(P) + n(Q) = n(P ∪Q) + n(P ∩ Q)
23 + 25 = 36 + n(P ∩ Q)
48 – 36 = n(P ∩ Q)
n(P ∩ Q) = 12

ప్రశ్న154.
Y = {x/x అనునది \(\frac{-7}{2}\) మరియు \(\frac{-15}{2}\) ల మధ్య గల పూర్ణ సంఖ్య} అయిన n(Y) విలువ ఎంత ?
జవాబు :
Y = {-4, – 5, – 6, – 7}, n(Y) = 4 .
\(\frac{-7}{2}\) = – 3.5, \(\frac{-15}{2}\) = -7.5

ప్రశ్న155.
A = {log₁₀1}, B = {log₁₀10, log₁₀2} అయిన n(A ∩ B) =
A) n(Φ)
B) 0
C) A మరియు B
D) n(A ∪ D)
జవాబు :
B) 0

[∵ A ∩ B = Φ, n(A ∩ B) = n(Φ) = 0]

ప్రశ్న156.
జతపరచుము :

A) P (iv), Q (v), R (i)
B) P (iv), Q (v), R (ii)
C) P (iv), Q (ii), R (iii)
D) పైవేవీకావు
జవాబు :
B

ప్రశ్న157.
ఈ క్రింది వానిలో శూన్య సమితులేవి ”
A) రెండు ఖండన రేఖలకు గల ఉమ్మడి బిందువుల సమితి
B) వృత్త కేంద్రంనకు సమాన దూరంలోగల రెండు వేర్వేరు జ్యాల ఖండన బిందువుల సమితి
C) 8 మంది కంటే చిన్నది మరియు 9 కంటే పెద్దదైన సహజ సంఖ్యల సమితి
D) ‘B’ మరియు ‘C’
జవాబు :
D) ‘B’ మరియు ‘C’

ప్రశ్న158.
క్రింది వానిలో శూన్యసమితులను వేరుచేసి రాయండి.
A = {x : x < 1, x ∈ N}
B = {x : x + 1 = 3, x ∈ N}
C = {x : x² = 4, x ∈ Z}
D = 2, 3 ల మధ్యగల పూర్ణాంకాల సహిత
E= {0, 1,3}
జవాబు :
శూన్యసమితులు = A, C, D

ప్రశ్న159.
P = {x/x² = – 4 అయ్యేట్లు ఒక సహజ సంఖ్య } అయిన
A) P ఒక పరిమిత సమితి
B) P ఒక వాన్య సమితి
C) పై రెండూ
D) పైవేవీ కావు
జవాబు :
C) పై రెండూ

ప్రశ్న160.
A అనునది. తొలి పదం’ 0 గాను, పదాంతరం 2 గా గల్గిన అంకశ్రేణిలోని తొలి 5 పదాలు కలిగిన సమితి;
B అనునది తొలిపదం 8 గాను, పదాంతరం – 2 గా గల్గిన అంకశ్రేణిలోని తొలి 5 పదాలు కలిగిన సమితి అయిన .
i) n(A) = n(B),
ii) A = B
A) (i) మరియు (ii) లు రెండూ అసత్యం
B) (i) సత్యం (ii) అసత్యం
C) (i) అసత్యం , (ii) సత్యం
D) (i) మరియు (ii) రెండూ సత్యం
జవాబు :
D) (i) మరియు (ii) రెండూ సత్యం

A = {0, 2, 4, 6, 8}; B = {8, 6, 4, 2, 0}
A = B, n(A) = n(B) = 5

ప్రశ్న161.
A పరిమిత సమితి, B అపరిమిత సమితి అయిన
A) n(A ∩ B) = 0 కావచ్చును
B) (A ∪ B) ఒక అపరిమిత సమితి కావచ్చును
C) (A ∩ B) ఒక పరిమిత సమితి కావచ్చును
D) పైవన్నీ కావచ్చును
జవాబు :
D) పైవన్నీ కావచ్చును

ప్రశ్న162.
i) శూన్య సమితి గుర్తు Φ
ii) Φ నందలి మూలకాల సంఖ్య 0 కావున Φ ఒక పరిమిత సమితి
A) (i) మాత్రమే సత్యం
B) (i) మరియు (ii) లు రెండూ సత్యం
C) (ii) మాత్రమే సత్యం
D) (i) మరియు (ii) లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
B) (i) మరియు (ii) లు రెండూ సత్యం

ప్రశ్న163.
i) శూన్య సమితి ఒక పరిమిత సమితి
ii) విశ్వ సమితి ఒక అపరిమిత సమితి కావచ్చును
iii) విశ్వసమితి ఎల్లపుడూ ఒక పరిమిత సమితి అగును
A) i → T, ii → T, iii → F
B) i → T , ii → F, iii → i.
C) i → T, ii → T, iii → T
D) i → F, ii → F, iii → F
జవాబు :
A) i → T, ii → T, iii → F

ప్రశ్న164.
A = {x/x అనునది x² – 5x + 6 యొక్క శూన్యం } అయిన A సమితిని రోస్టర్ రూపంలో రాయండి.
జవాబు :
x² – 5x + 6 = 0
⇒ x² – 2x – 3x + 6 = 0
⇒ x (x – 2) – 3 (x – 2) = 0
(x – 2) (x – 3) = 0
శూన్యాలు 2, 3
∴ A = {2, 3}

ప్రశ్న165.
P అనునది TEACHER అనే పదంలోని అక్షరం మూలకంగా గల సమితి అయిన n(P) విలువను కనుగొనుము.
జవాబు :
P = {T, E, A, C, H, R}
n(P) = 6

ప్రశ్న166.
P = {1, 2, 3, 4}; P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6} అయిన n(Q) కనిష్ఠ, గరిష్ట విలువలు రాయండి.
జవాబు :
n(Q) కనిష్ఠ విలువ 2, గరిష్ఠ విలువ = 6
(∵n(Q) విలువ P,Q లు వియుక్త సమితులైనప్పుడు కనిష్ఠంగాను, P ⊂ Q అయిన P ∪ Q = Q అయినపుడు గరిష్ఠంగాను ఉంటుంది).

ప్రశ్న167.
A, B లు సమసమితులు అవుతాయా ? కాదా ? ఎందుకు ?
జవాబు :
A = {R, O, P, E}, B = {P, 0, R, E}
A, B లు ఒకే మూలకాలను కలిగి ఉన్నాయి.
∴ A = B

ప్రశ్న168.
A = {p, q, r}; B = {q, r, s}
A మరియు B లు వియుక్త సమితులు (సత్యం / అసత్యం ).
జవాబు :
అసత్యం

ప్రశ్న169.
n(P) = 8; n(Q) = 6, P – Q; అయిన
n(P ∪ Q) + n(P ∩ Q) విలువను గణించండి. సాధన. n(P ∪ Q) + (P ∩ Q)
= n(P) + n(Q) = 8 + 6 = 14

ప్రశ్న170.
n(P) + n(Q) = n(P ∪ Q) అయిన ‘P’, ‘Q’ లను గూర్చి నీవు ఏమి చెప్పగలవు ?
జవాబు :
P ∩ Q = Q (లేదా) P, Q లు వియుక్త సమితులు.

ప్రశ్న171.
X, Y సమితులు వియుక్త సమితులు కాకుండునట్లు X,Y లకు ఒక ఉదాహరణను ఇవ్వండి.
జవాబు :
X = {3, 5, 7,, Y = {2, 3, 4, 5}

ప్రశ్న172.

P అనునది బహుపదిలోని శూన్యాల సమితి;
Q అనునది వర్గబహుపది శూన్యాల సమితి అయిన
P – Q సమితిని కనుగొనుము.
జవాబు :
P = {0, 1, 3}, Q = {1, 3}
P – Q = {0, 1, 3} – {1, 3} = {0}

ప్రశ్న173.
n(T) = 20; n(C) = 30; n(T ∩ C) = 10 అయిన n(T – C) = ________
A) 10
B) – 10
C) 20
D) 30
జవాబు :
A) 10

n(T – C) = n(T) = n(T ∩ C)
= 20 – 10 = 10

ప్రశ్న174.
A ⊂ B, n(A) = 15 మరియు n(B) = 20 అయిన n(A – B) విలువ ఎంత ?
జవాబు :
A ⊂ B అయిన A – B = Φ
∴ n(A – B) = “0”

ప్రశ్న175.
A = {tan 45, sec 30, cos 60},
B = {cot 45, cosec x, sin 30} మరియు A = B అయిన X =
A) 30°
B) 60°
C) 90°
D) నిర్ణయించలేము
జవాబు :
B) 60°

A = {tan 45°, sec 30°, cos 60°}
= {1, \(\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{1}{2}\)}

B = {cot 45°, cosec x, sin 30°}
= {1, cosec X, \(\frac{1}{2}\)}

A = B కావున cosec X = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
X = 60°

(లేదా)
A, B లలో వరుసగా tan 45° = cot 45°
cos 60° = sin 30° కావున
cosec X = sec 30° = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) కావలెను
X = 60°
[∵ cosec 60° = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)]

ప్రశ్న176.
క్రింది సమితుల రోస్టర్ రూపాన్ని, వాని యొక్క సమితి నిర్మాణ రూపానికి జతపరచుము :

A) i – b, ii – c, iii – d, iv – a
B) i – c, ii – b, iii – a, iv – d
C) i – c, ii – d, iii – a, iv – b
D) i – b, ii – d, iii – a, iv – c
జవాబు :
C) i – c, ii – d, iii – a, iv – b

ప్రశ్న177.

A) i – b, ii – a iii – d, iv – c
B) i – c, ii – a, iii – d, iv – b
C) i – d, ii – a, iii – b, iv – c
D) i – d, ii – c, iii – b, iv – a
జవాబు :
C) i – d, ii – a, iii – b, iv – c

→ A = {x: x అనే – (x – 3) (x + 5) యొక్క శూన్యము}
శూన్యము B = {x: x అనేది (x – 3) (x – 5) (x – 6) యొక్క శూన్యము} అయితే
క్రింది 178-180 వరకు గల ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న178.
A ∪ Bని కనుగొనుము.
జవాబు :
A = {3, – 5}, B = {3, 5, 6}
A ∪ B = {-5, 3, 5, 6}

ప్రశ్న179.
A ∩ Bని కనుగొనుము.
జవాబు :
A = {3, – 5}, B = {3, 5, 6} .
A ∩ B = {3}

ప్రశ్న180.
(A ∪ D) – (A ∩ B) సమితిని రాయండి.
జవాబు :
(A ∪ D) – (A ∩ B) = {-5, 3, 5, 6} – {3}
= {-5, 5, 6}

ప్రశ్న181.
A = {1, 2, 3} మరియు Φ = { } అయిన A ∩ Φ కనుగొనండి.
జవాబు :
Φ

ప్రశ్న182.
క్రింది వెన్ చిత్రాన్ని పరిశీలించి, n(A ∪ B) విలువ కనుగొనండి.

జవాబు :
5

ప్రశ్న183.
మూడు విభిన్న మూలకాలను కలిగిన సమితి ఎని ఉపసమితులను కలిగి ఉంటుంది ?
జవాబు :
8 ఉపసమితులు.

ప్రశ్న184.
A = {1, 2, 3} మరియు B = {2, 4, 6} అయిన n(A ∪ D) ఎంత ?
జవాబు :
A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6}
A ∪ B = {1, 2, 3} ∪ {2, 4, 6}
= {1, 2, 3, 4, 6}
n(A ∪ B) = 5

Practice the AP 6th Class Maths Bits with Answers 12th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 6th Class Maths Bits 12th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ

ఈ క్రింది వానికి సరియైన సమాధానాన్ని గుర్తించి రాయండి.

ప్రశ్న1.
పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలోని దత్తాంశాన్ని దృశ్య రూపంలో చూపడానికి క్రింది ఏ రేఖా చిత్రాలలో బొమ్మలను ఉపయోగిస్తారు ?
A) పట చిత్రాలు
B) నిలువు కమ్మీరేఖా చిత్రాలు
C) అడ్డు కమ్మీ రేఖాచిత్రాలు
D) వలయ చిత్రాలు
జవాబు :
A) పట చిత్రాలు

ప్రశ్న2.
కమ్మీ రేఖాచిత్రంలోని కమ్మీల ఆకారం
A) త్రిభుజం
B) దీర్ఘచతురస్రం
C) వృత్తము
D) పైవి అన్ని
జవాబు :
B) దీర్ఘచతురస్రం

ప్రశ్న3.
కమ్మీ రేఖా చిత్రానికి సంబంధించి క్రింది ఏది సత్యం?
X: కమ్మీ రేఖాచిత్రంలోని అన్ని కమ్మీల పొడవులు సమానం.
Y : కమ్మీ రేఖాచిత్రంలోని అన్ని కమ్మీల వెడల్పులు సమానం.
A) X, Y లు రెండూ సత్యం
B) X – అసత్యం, Y – సత్యం
C) X – సత్యం, Y- అసత్యం
D) X, Y లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
B) X – అసత్యం, Y – సత్యం

ప్రశ్న4.
కమ్మీ రేఖా చిత్రంలోని కమ్మీ పొడవు క్రింది దేనిపై ఆధారపడి ఉంటుంది ?
A) దత్తాంశంలోని అంశాల సంఖ్య
B) కమ్మీ వెడల్పు
C) అంశం యొక్క పౌనఃపున్యము
D) పైవి అన్ని
జవాబు :
C) అంశం యొక్క పౌనఃపున్యము

ప్రశ్న5.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) గ్రాఫ్ కాగితంపై క్షితిజాక్షాన్ని Y- అక్షం అంటారు.
B) గ్రాఫ్ కాగితంపై లంబాక్షాన్ని X- అక్షం అంటారు.
C) కమ్మీ రేఖాచిత్రంలోని అన్ని కమ్మీల వెడల్పులు సమానం
D) పైవి అన్ని,
జవాబు :
C) కమ్మీ రేఖాచిత్రంలోని అన్ని కమ్మీల వెడల్పులు సమానం

ప్రశ్న6.
ప్రవచనం-P : కమ్మీరేఖా చిత్రంలోని కమ్మీ పొడవు ఆ కమ్మీ సూచించే అంశం యొక్క పౌనఃపున్యానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
ప్రవచనం-Q : కమ్మీ రేఖా చిత్రంలోని కమ్మీల వెడల్పు ఆ కమ్మీ సూచించే అంశం యొక్క పౌనఃపున్యానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
A) P, Qలు రెండూ సత్యం
B) P, Qలు రెండూ అసత్యం
C) P అసత్యం, Q సత్యం
D) P సత్యం, Q అసత్యం
జవాబు :
D) P సత్యం, Q అసత్యం

ప్రశ్న7.
ఒక దత్తాంశంలో ఒక అంశం యొక్క పౌనఃపున్యము 50. స్కేలు 1 సెం.మీ. = 10 అయిన కమ్మీ రేఖా చిత్రంలో ఆ అంశాన్ని సూచించు కమ్మీ పొడవు
A) 5 సెం.మీ.
B) 10 సెం.మీ.
C) 50 సెం.మీ.
D) 1 సెం.మీ.
జవాబు :
A) 5 సెం.మీ.

→ ఒక పాఠశాలలోని వివిధ తరగతులలోని విద్యార్థుల సంఖ్య క్రింది విధంగా కలదు. ఈ దత్తాంశాన్ని పరిశీలించి, 8-12 వరకు గల ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న8.
ఏ తరగతిలో అత్యధిక విద్యార్థులు కలరు ?
A) VI
B) VIII
C) IX
D) X
జవాబు :
C) IX

ప్రశ్న9.
పై సమాచారాన్ని కమ్మీరేఖాచిత్రంలో సూచించుటకు స్కేలు 1 సెం.మీ. = 10 మంది విద్యార్థులు అయితే VIII వ తరగతిని సూచించు కమ్మీ పొడవు
A) 5 సెం.మీ.
B) 6.5 సెం.మీ.
C) 8.5 సెం.మీ.
D) 8 సెం.మీ.
జవాబు :
B) 6.5 సెం.మీ.

ప్రశ్న10.
పై సమాచారాన్ని పట చిత్రంలో చూపడానికి సి= 5 మంది విద్యార్థులైన VII వ తరగతిని సూచించుటకు ఎన్ని బొమ్మలు గీయాలి ?
A) 18
B) 19
C) 13
D) 12
జవాబు :
D) 12

ప్రశ్న11.
పై సమాచారాన్ని సూచించు కమ్మీ రేఖాచిత్రంలో అత్యంత పొడవైన కమ్మని కలిగి ఉండు తరగతి
A) IX
B) VI
C)X
D) VIII
జవాబు :
A) IX

ప్రశ్న12.
పై సమాచారాన్ని సూచించు కమ్మీ రేఖా చిత్రంలో కమ్మీల సంఖ్య.
A) 6
B) 5
C) 3
D) 8
జవాబు :
B) 5

క్రింది ఖాళీలను పూరించండి.

ప్రశ్న1.
ఒక నిర్ణయం తీసుకొనుటకు సహాయపడు సంఖ్యాత్మక లేక వివరణాత్మక సమాచారాన్ని _____________ అంటారు.
జవాబు :
దత్తాంశము

ప్రశ్న2.
భారత సాంఖ్యక శాస్త్ర పితామహుడుగా ఖ్యాతి గాంచిన గణితవేత్త _____________
జవాబు :
మహలనోబిస్

ప్రశ్న3.
గ్రాఫ్ కాగితంపై ఉండే క్షితిజాక్షంను _____________ అంటారు.
జవాబు :
X – అక్షం

ప్రశ్న4.
గ్రాఫ్ కాగితంపై ఉండే. లంబాక్షాన్ని _____________ అంటారు.
జవాబు :
Y – అక్షం

ప్రశ్న5.
ఒక అంశం యొక్క పౌనఃపున్యము 35 అయితే స్కేలు ఒక బొమ్మ 5 అంశాలను సూచించును. అయితే పటచిత్రంలో ఆ అంశానికి గీయవలసిన బొమ్మల సంఖ్య _____________
జవాబు :
7

ప్రశ్న6.
పై 5వ సమస్యలోని అంశాన్ని దిమ్మి చిత్రంలో చూపడానికి స్కేలు 1 సెం.మీ. = 5 అంశాలు తీసుకొంటే ఆ అంశాన్ని సూచించు దిమ్మి పొడవు _____________ సెం.మీ.
జవాబు :
7 సెం.మీ.

ప్రశ్న7.
దత్తాంశంలోని అంశాలను, వాటి పౌనఃపున్యాలను సూచించు పట్టికను _____________ అంటారు.
జవాబు :
పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక

Practice the AP 6th Class Maths Bits with Answers 11th Lesson చుట్టుకొలత – వైశాల్యం on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 6th Class Maths Bits 11th Lesson చుట్టుకొలత – వైశాల్యం

క్రింది ప్రశ్నలకు ఒక పదం లేదా ఒక వాక్యంలో సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న1.
వృత్త పరిధి కనుగొను సూత్రాన్ని రాయండి.
జవాబు :
వృత్త పరిధి C = 2πr లేదా C = πd

ప్రశ్న2.
వృత్త పరిధి C = 2πr లో ‘r’ దేనిని సూచిస్తుంది ?
జవాబు :
r = వ్యాసార్ధము

ప్రశ్న3.
4 సెం.మీ. భుజంగా గల చతురస్రం యొక్క చుట్టు కొలత, వైశాల్యాల సంఖ్య విలువల నిష్పత్తి ఎంత ?
జవాబు :
16 : 16 = 1:1

ప్రశ్న4.
క్రింది పటాల చుట్టుకొలతల నిష్పత్తి ఎంత ?

జవాబు :
15 : 20 = 3 : 4

→ కింది పటం ABCD దీర్ఘచతురస్రం. E, F లు AB, CD ల మధ్య బిందువులు. క్రింది ప్రశ్నల (5 – 7) కు జవాబులు రాయండి.

ప్రశ్న5.
ABCD చుట్టుకొలత ఎంత ?
జవాబు :
2 × 8 + 2 × 4 = 16 + 8 = 24 సెం.మీ.

ప్రశ్న6.
ABCD వైశాల్యం ఎంత ?
జవాబు :
8 × 4 = 32 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న7.
ABCD, FBCE వైశాల్యాల నిష్పత్తిని కనిష్ఠ రూపంలో కనుగొనుము.
జవాబు :
8 × 4 : 4 × 4 = 32 : 16 = 2 : 1

ప్రశ్న8.
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యంనకు సూత్రం రాయండి.
జవాబు :
పొడవు × వెడల్పు = l × b

ప్రశ్న9.
చతురస్ర వైశాల్యమునకు సూత్రం రాయండి.
జవాబు :
భుజం × భుజం = s × s

ఈ క్రింది వానికి సరియైన సమాధానాన్ని గుర్తించి రాయండి.

ప్రశ్న1.
చతురస్ర భుజం ‘S’ అయితే ఆ చతురస్ర చుట్టుకొలత
A) 3s
B) 4s
C) s × s
D) 28
జవాబు :
B) 4s

ప్రశ్న2.
దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత
A) 2 × పొడవు + 2 × వెడల్పు
B) పొడవు + వెడల్పు
C) పొడవు × వెడల్పు
D) 3 × పొడవు + 3 × వెడల్పు
జవాబు :
A) 2 × పొడవు + 2 × వెడల్పు

ప్రశ్న3.
6 సెం.మీ. భుజంగా గల సమబాహు త్రిభుజ చుట్టుకొలత
A) 6 సెం.మీ.
B) 12 సెం.మీ.
C) 18 సెం.మీ.
D) 24 సెం.మీ.
జవాబు :
C) 18 సెం.మీ.

ప్రశ్న4.
పొడవు 8 సెం.మీ., వెడల్పు 3 సెం.మీ. అయిన ఆ దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత
A) 11 సెం.మీ.
B) 24 సెం.మీ.
C) 5 సెం.మీ.
D) 22 సెం.మీ.
జవాబు :
D) 22 సెం.మీ.

ప్రశ్న5.
X: ఒకే వైశాల్యము కలిగిన అనేక దీర్ఘ చతురస్రాలు ఉంటాయి.
Y: ఒకే వైశాల్యము కలిగిన అనేక చతురస్రాలు ఉంటాయి. పై వాక్యాలకు సంబంధించి క్రింది ఏది సత్యం ?
A) X – సత్యం, Y – అసత్యం
B) X – అసత్యం, Y – సత్యం
C) X, Y లు రెండూ సత్యం
D) X, Y లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
A) X – సత్యం, Y – అసత్యం

ప్రశ్న6.
P : వృత్త వ్యాసార్ధం ‘r’ అయితే ఆ వృత్త పరిధి
C = 2πr
Q : దీర్ఘ చతురస్ర చుట్టుకొలత P = 2 పొడవులు + 2 వెడల్పులు
పై వానిలో ఏవి సత్యం ?
A) P – సత్యం, Q – అసత్యం
B) P – అసత్యం, Q – సత్యం
C) P, Qలు రెండూ సత్యం
D) P, Qలు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
C) P, Qలు రెండూ సత్యం

ప్రశ్న7.
π విలువ సుమారుగా
A) \(\frac{7}{22}\)
B) \(\frac{22}{7}\)
C) \(\frac{22}{9}\)
D) \(\frac{9}{22}\)
జవాబు :
B) \(\frac{22}{7}\)

ప్రశ్న8.
వృత్త వ్యాసార్ధాన్ని రెట్టింపు చేసిన దాని పరిధి
A) రెట్టింపు అవుతుంది
B) సగం అవుతుంది
C) మూడు రెట్లు అవుతుంది
D) చెప్పలేము
జవాబు :
A) రెట్టింపు అవుతుంది

ప్రశ్న9.
10 సెం.మీ. భుజంగా గల చతురస్ర వైశాల్యం
A) 40 చ|| సెం.మీ.
B) 40 సెం.మీ.
C) 100 చ. సెం.మీ.
D) 100 సెం.మీ.
జవాబు :
C) 100 చ. సెం.మీ.

ప్రశ్న10.
ఒక వృత్త వ్యాసము 14 సెం.మీ. అయిన ఆ వృత్త పరిధి
A) 88 సెం.మీ.
B) 66 సెం.మీ.
C) 55 సెం.మీ.
D) 44 సెం.మీ.
జవాబు :
D) 44 సెం.మీ.

ప్రశ్న11.
20 సెం.మీ. చుట్టుకొలతగా గల చతురస్ర వైశాల్యం
A) 20 చ.సెం.మీ.
B) 400 చ|| సెం.మీ.
C) 25 చ.సెం.మీ.
D) 100 చ.సెం.మీ.
జవాబు :
C) 25 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న12.
సురేష్ 88 సెం.మీ. పొడవు గల తీగను తన కుమారుడు ఆడుకొనుటకు వృత్తాకార చట్రం తయారు చేశాడు. ఈ వృత్తాకార చట్ర వ్యాసార్ధం
A) 7 సెం.మీ.
B) 14 సెం.మీ.
C) 3.5 సెం.మీ.
D) 21 సెం.మీ.
జవాబు :
B) 14 సెం.మీ.

ప్రశ్న13.
క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ?
A) ఒక బహుభుజి యొక్క అన్ని భుజాల పొడవుల మొత్తం దాని చుట్టుకొలత.
B) ఒక బహుభుజి ఆవరించు ప్రాంతం దాని వైశాల్యము.
C) ఒక వృత్త వ్యాసం d అయిన ఆ వృత్త పరిధి 2πd.
D) పైవి అన్నీ
జవాబు :
C) ఒక వృత్త వ్యాసం d అయిన ఆ వృత్త పరిధి 2πd.

ప్రశ్న14.
చుట్టుకొలత 24 సెం.మీ. గా గల దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు, వెడల్పులు క్రింది ఏవి కావచ్చును ?
A) 8 సెం.మీ., 4 సెం.మీ.
B) 10 సెం.మీ., 2 సెం.మీ.
C) 7 సెం.మీ., 5 సెం.మీ.
D) పైవి అన్నీ
జవాబు :
D) పైవి అన్నీ

ప్రశ్న15.
24 చ. సెం.మీ. వైశాల్యంగా గల దీర్ఘచతురస్ర పొడవు, వెడల్పులు పూర్ణాంకాలు అయ్యేటట్లు క్రింది ఏ కొలతలు సాధ్యమవుతాయి ?
A) 6 సెం.మీ., 4 సెం.మీ.
B) 8 సెం.మీ., 3 సెం.మీ.
C) A మరియు B
D) \(\frac{24}{5}\) సెం.మీ., 5 సెం.మీ.
జవాబు :
C) A మరియు B

ప్రశ్న16.

A) i → c, ii → d, iii → b, iv → a.
B) i → c, ii → b, iii → d, iv → a
C) i → d, ii -→ c, iii → a, iv → b
D) i → d, ii → a, iii → b, iv → c
జవాబు :
A) i → c, ii → d, iii → b, iv → a.

క్రింది ఖాళీలను పూరించండి.

ప్రశ్న1.
ఒక సమబాహు త్రిభుజ భుజం x సెం.మీ. అయిన దాని చుట్టుకొలత _____________ సెం.మీ.
జవాబు :
3x

ప్రశ్న2.
3.5 సెం.మీ. భుజంగా గల చతురస్ర చుట్టుకొలత _____________ సెం.మీ.
జవాబు :
14

ప్రశ్న3.
క్రింది పటం యొక్క చుట్టుకొలత 25 సెం.మీ. అయిన x విలువ _____________ సెం.మీ.

జవాబు :
6

ప్రశ్న4.
ఒక వస్తువు ఆవరించిన ప్రాంతాన్ని ఆ వస్తువు యొక్క _____________ అంటారు
జవాబు :
వైశాల్యము

ప్రశ్న5.
4 సెం.మీ. భుజంగా గల చతురస్ర వైశాల్యము _____________ చ. సెం.మీ.
జవాబు :
16

ప్రశ్న6.
5మీ. పొడవు, 3మీ. వెడల్పుగాగల దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యము _____________
జవాబు :
15 చ.మీ.

ప్రశ్న7.
క్రింది పటాలలోని చతురస్రం, దీర్ఘచతురస్రంల వైశాల్యా ల నిష్పత్తి _____________

జవాబు :
16 : 12 లేదా 4 : 3

ప్రశ్న8.
వృత్త పరిధి కనుగొనుటకు సూత్రం _____________
జవాబు :
C = 2πr లేదా C = πd

ప్రశ్న9.
7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంగా గల వృత్తపరిధి _____________
జవాబు :
44 సెం.మీ.

ప్రశ్న10.
క్రింది పటం అర్ధవృత్తాన్ని సూచిస్తుంది. అర్ధవృత్త చాపము 22 సెం.మీ. మరియు వృత్త వ్యాసార్థం 7 సెం.మీ. అయిన ఆ అర్ధవృత్త చుట్టుకొలత = _____________

జవాబు :
36 సెం.మీ.

ప్రశ్న11.
1.5 సెం.మీ. భుజంగా గల చతురస్ర వైశాల్యం = _____________
జవాబు :
2.25 చ.సెం.మీ.

క్రింది వానిని జతపరుచుము.

ప్రశ్న1.

జవాబు :
i – D;
ii – A;
iii – E;
iv – B

ప్రశ్న2.

జవాబు :

ప్రశ్న3.

జవాబు :

Practice the AP 6th Class Maths Bits with Answers 10th Lesson ప్రాయోజిక జ్యామితి on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 6th Class Maths Bits 10th Lesson ప్రాయోజిక జ్యామితి

ఈ క్రింది వానికి సరియైన సమాధానాన్ని గుర్తించి రాయండి.

ప్రశ్న1.
ఇచ్చిన రేఖకు సమాంతర రేఖలు గీయడానికి క్రింది వానిలో ఏవి అత్యంత అనువైనవి ?
A) వృత్తలేఖిని
B) మూలమట్టాలు
C) విభాగిని
D) కోణమానిని
జవాబు :
B) మూలమట్టాలు

ప్రశ్న2.
5.6 సెం.మీ. రేఖాఖండాన్ని నిర్మించుటకు నీవు ఎన్నుకొనే పరికరం
A) స్కేలు
B) కోణమానిని
C) విభాగిని
D) పైవిఅన్ని
జవాబు :
A) స్కేలు

ప్రశ్న3.
\(\overline{\mathrm{AB}}\) రేఖాఖండానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖ గీయు సోపానాలను పరిశీలించి, వాని సరైన క్రమాన్ని ఎన్నుకొనుము.
సోపానం (a) : \(\overline{\mathrm{AB}}\) రేఖాఖండాన్ని గీయాలి.
సోపానం (b) : B కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్థంతో మరలా మునుపటి చాపరేఖలను ఖండించేటట్లు చాపరేఖలు గీయాలి. ఖండన బిందువులకు M, N అని పేరు పెట్టాలి.
సోపానం (C) : M,N బిందువులను కలపాలి. ఇదే \(\overline{\mathrm{AB}}\) కి లంబ సమద్విఖండన రేఖ అవుతుంది.
సోపానం (d) : A ను కేంద్రంగా \(\overline{\mathrm{AB}}\) పొడవులో సంగం కన్నా ఎక్కువ వ్యాసార్ధంతో \(\overline{\mathrm{AB}}\) కి పైన, కింద చాపరేఖలు గీయాలి.
A) a, b, c, d
B) d, b, c, a
C) a, d, b, c
D) c, b, d, a
జవాబు :
C) a, d, b, c

ప్రశ్న4.
క్రింది పటంలో ∠XOY కోణ సమద్విఖండనరేఖ \(\overline{\mathrm{OZ}}\) అయితే క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?

A) ∠XOZ + ∠ZOY = ∠XOY
B) ∠XOZ = ∠ZOY
C) ∠XOY = 2∠XOZ = 2∠ZOY
D) పైవి అన్ని
జవాబు :
D) పైవి అన్ని

→ క్రింది పటంలో \(\overline{\mathrm{XY}}\) లంబసమద్విఖండన రేఖ \(\overline{\mathrm{MN}}\) అయితే క్రింది 5, 6 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న5.
క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ?
A) \(\overline{\mathrm{MN}} \perp \overline{\mathrm{XY}}\)
B) ∠XPM = ∠MPY
C) \(\overline{\mathrm{XP}}\) పొడవు > \(\overline{\mathrm{PY}}\) పొడవు
D) పైవి అన్ని
జవాబు :
C) \(\overline{\mathrm{XP}}\) పొడవు > \(\overline{\mathrm{PY}}\) పొడవు

ప్రశ్న6.
\(\overline{\mathrm{XY}}\) 10 సెం.మీ. అయిన \(\overline{\mathrm{XP}}\) పొడవు
A) 6 సెం.మీ.
B) 5 సెం.మీ.
C) 7.5 సెం.మీ.
D) 10 కన్నా తక్కువ అయిన ఏదైనా కావచ్చు
జవాబు :
B) 5 సెం.మీ.

ప్రశ్న7.

పై పటాలు క్రింది ఏ కోణ నిర్మాణానికి చెందినవి?
A) 90°
B) 45°
C) 30°
D) 60°
జవాబు :
D) 60°

ప్రశ్న8.
ఇచ్చిన వ్యాసార్ధంతో ఒక వృత్తాన్ని గీయడానికి క్రింది ఏ పరికరం అవసరము ?
A) స్కేలు
B) వృత్తలేఖిని
C) A మరియు B
D) కోణమానిని
జవాబు :
C) A మరియు B

ప్రశ్న9.
క్రింది పటంలో OA = OB = BQ అయ్యేటట్లు గీచిన చాపరేఖలు చూడవచ్చును.

పై పటం క్రింది ఏ కోణ నిర్మాణాన్ని వృత్తలేఖిని, స్కేలు సహాయంతో నిర్మించుటకు ఉదాహరణ
A) 120°
B) 150°
C) 135°
D) 90°
జవాబు :
A) 120°

→ పై పటంలో OA = AB = BC, ∠POB కోణ సమద్విఖండన రేఖ \(\overline{\mathrm{OE}}\) మరియు ∠BOC కోణసమద్విఖండన రేఖ \(\overline{\mathrm{OD}}\) మరియు ∠POC = 120° అవుతుంది. అయితే క్రింది 10-13 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న10.
∠POE యొక్క కోణ సమద్విఖండనరేఖ
A) OD
B) OB
C) DE
D) ఏదీకాదు
జవాబు :
B) OB

ప్రశ్న11.
∠POE =
A) 15°
B) 60°
C) 90°
D) 30°
జవాబు :
D) 30°

ప్రశ్న12.
లంబకోణము (90°) సూచించు కోణము
A) ∠POD
B) ∠COE
C) A మరియు B
D) ∠POC
జవాబు :
C) A మరియు B

ప్రశ్న13.
∠EOD =
A) 60°
B) 90°
C) 120°
D) 45°
జవాబు :
A) 60°

ఖాళీలను పూరించుట క్రింది ఖాళీలను పూరించండి.

ప్రశ్న1.
రేఖాఖండాలు, రేఖలు గీయడానికి జ్యామితీయ ఉపకరణాల పెట్టెలోని అనువైన పరికరం __________
జవాబు :
స్కేలు

ప్రశ్న2.
6 సెం.మీ. పొడవు గల రేఖాఖండంను దాని లంబసమద్విఖండన రేఖ రెండు భాగాలుగా విభజించినచో ఒక్కొక్క భాగం పొడవు __________
జవాబు :
3 సెం.మీ.

ప్రశ్న3.
కింది పటం \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) రేఖాఖండం యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖ \(\overrightarrow{\mathrm{XY}}\) అయితే ∠YMB = __________

జవాబు :
90°

→ పై పటంలో ∠AOB యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\). ఈ సమాచారం ఆధారంగా 4-6 ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న4.
AOC = 30° అయిన ∠AOB = __________
జవాబు :
60°

ప్రశ్న5.
∠AOC = 30° అయిన ∠BOC __________
జవాబు :
30°

ప్రశ్న6.
∠AOB = 2∠AOC అనడం సరైనదేనా ? __________ (అవును / కాదు)
జవాబు :
అవును

Practice the AP 6th Class Maths Bits with Answers 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 6th Class Maths Bits 9th Lesson ద్విమితీయ – త్రిమితీయ ఆకారాలు

క్రింది ప్రశ్నలకు ఒక పదం లేదా ఒక వాక్యంలో సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న1.
∆ABC ని చిత్తుపటంలో చూపండి.
జవాబు :

ప్రశ్న2.
∆PQR కు చిత్తుపటం గీచి, A, B, C లు అంతరంగాను, X, Y, Z లు బాహ్యంగాను ఉండునట్లు గుర్తించండి.
జవాబు :

ప్రశ్న3.
‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తాన్ని గీచి, దానిలో వ్యాసం PQ, జ్యా AB లను గుర్తించండి.
జవాబు :

ప్రశ్న4.
రెండు సౌష్ఠవాక్షాలు కలిగిన ఆంగ్ల పెద్ద అక్షరాలను రాయండి.
జవాబు :
H, I, X

ప్రశ్న5.
ఒక సౌష్ఠవాక్షం గల ఆంగ్ల పెద్ద అక్షరాలను రాయండి.
జవాబు :
A, B, C, D, E, I, K, M, T, U, V, W

ప్రశ్న6.
దీర్ఘఘనానికి ఆయిలర్ సూత్రాన్ని సరిచూడండి.
జవాబు :
దీర్ఘఘనం ముఖాలు (F) = 6
అంచులు (E) = 12
శీర్షాలు (V) = 8
ఆయిలర్ సూత్రం F + V = E + 2
6 + 8 = 12 + 2
14 = 14

ప్రశ్న7.
ఆయిలర్ సూత్రాన్ని రాసి, అందలి అక్షరాలు సూచించే విషయాలను తెల్పండి.
జవాబు :
ఆయిలర్ సూత్రం F + V = E + 2
F- ముఖాల సంఖ్య, V – శీర్షాల సంఖ్య, E- అంచుల సంఖ్య

ప్రశ్న8.
క్రింది వానిలో సత్యమైన వాక్యం ఎదురు T అని, అసత్య వాక్యానికి ఎదురుగా F అని రాయండి.
i) వృత్త కేంద్రం ఎల్లప్పుడు వృత్త అంతరంగా ఉంటుంది.
ii) వృత్త వ్యాసార్ధం ‘r’ అయితే ఆ వృత్త వ్యాసం 2r.
iii) గోళమునకు గల శీర్షాల సంఖ్య 8.
iv) త్రిభుజానికి మూడు భుజాలు, మూడు కోణాలు, మూడు శీర్షాలు ఉంటాయి.
జవాబు :
i – T, ii – T, iii – F, iv-T

ఈ క్రింది వానికి సరియైన సమాధానాన్ని గుర్తించి రాయండి.

ప్రశ్న1.
బహుభుజి పేరును, దానికి గల భుజాల సంఖ్యకు జతచేయడంలో ఏది సరైనది ?

A) i → b, ii → c, iii → d, iv → a
B) i → b, ii → d, iii → a, iv → c
C) i → c, ii → d, iii → b, iv → a
D) i → a, ii → c, iii → b, iv → d
జవాబు :
A) i → b, ii → c, iii → d, iv → a

ప్రశ్న2.
త్రిమితీయ (3D – ఆకారం) క్రింది ఏ కొలతను కలిగి ఉంటుంది ?
A) పొడవు
B) వెడల్పు
C) ఎత్తు (లోతు)
D) పైవిఅన్ని
జవాబు :
D) పైవిఅన్ని

ప్రశ్న3.
వాక్యం – I : వృత్త కేంద్రం గుండా పోవు జ్యాను వ్యాసం అంటారు.
వాక్యం – II : ఒక బహుభుజి ఏర్పడుటకు కనీసం మూడు భుజాలు ఉండాలి. పై రెండు వాక్యాలకు సంబంధించి క్రింది ఏది సరైనది ?
A) I సత్యం, II సత్యం
B) I అసత్యం, II అసత్యం
C) I సత్యం, II అసత్యం
D) I అసత్యం, II సత్యం
జవాబు :
A) I సత్యం, II సత్యం

ప్రశ్న4.
‘x’ అక్షరానికి సాధ్యమవు సౌష్ఠవ రేఖల సంఖ్య
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
జవాబు :
B) 2

ప్రశ్న5.
క్రింది ఏ 3D- ఆకారం యొక్క భూమి వృత్తాకారము?
A) స్థూపం
B) శంఖువు
C) పిరమిడ్
D) A మరియు B
జవాబు :
D) A మరియు B

ప్రశ్న6.
ఫుట్ బాల్ ఆటలో వాడే బంతి క్రింది ఏ ఘనాకార వస్తువుకు నమూనా ?
A) స్థూపం
B) గోళము
C) శంఖువు
D) అర్ధగోళము
జవాబు :
B) గోళము

ప్రశ్న7.
ఆయిలర్ సూత్రం .
A) F + V = E + 2
B) F + E = V + 2
C) E + V = F + 2
D) E – F = V + 2
జవాబు :
A) F + V = E + 2

ప్రశ్న8.
దీర్ఘఘనం యొక్క శీర్షాల సంఖ్య
A) 12
B) 6
C) 8
D) 10
జవాబు :
C) 8

ప్రశ్న9.
చతురస్రాకార పిరమిడ్ యొక్క తలాల సంఖ్య
A) 8
B) 7
C) 5
D) 4
జవాబు :
C) 5

→ ప్రక్క పటం ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తాన్ని సూచిస్తుంది. పటం ఆధారంగా 10-14 వరకు గల ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న10.
\(\overline{\mathbf{O C}}\) దేనిని సూచిస్తుంది ?
A) వ్యాసం
B) జ్యా
C) వ్యాసార్ధం
D) చాపం
జవాబు :
C) వ్యాసార్ధం

ప్రశ్న11.
వృత్త వ్యాసము
A) AB
B) XY
C) OC
D) OX
జవాబు :
B) XY

ప్రశ్న12.
వృత్త వ్యాసము పొడవు
A) 3 సెం.మీ.
B) 1.5 సెం.మీ.
C) 6 సెం.మీ.
D) కనుగొనలేము
జవాబు :
C) 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న13.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
A) AB = XY
B) OX = OC
C) OY < OX
D) ‘O’ వృత్తంపై గల బిందువు
జవాబు :
B) OX = OC

ప్రశ్న14.
Y మరియు C ల మధ్యగల వృత్తభాగాన్ని “చాపం” అంటారు. ఈ చాపాన్ని క్రింది ఏ విధంగా సూచిస్తారు?
A) \(\widehat{\mathrm{XC}}\)
B) \(\overline{\mathrm{XC}}\)
C) ∠XOC
D) OX ⊥ OC
జవాబు :
A) \(\widehat{\mathrm{XC}}\)

ప్రశ్న15.
క్రింది పటం ABCD చతుర్భుజంలోని కర్ణాలు

A) AB మరియు AC
B) BC మరియు CD
C) BD మరియు DC
D) AC మరియు BD
జవాబు :
D) AC మరియు BD

ప్రశ్న16.
క్రింది వానిలో త్రిమితీయ 3D – ఆకారము
A) త్రిభుజం
B) ఘనం
C) చతుర్భుజం
D) షడ్భుజి
జవాబు :
B) ఘనం

ప్రశ్న17.
క్రింది వానిని సూచించుటకు ఉపయోగించే గుర్తులను జతపరచడంలో ఏది సరైనది ?

A) i → a, ii → b, iii → c, iv → d
B) i → d, ii → c, iii → a, iv → b
C) i → c, ii → d, iii → a, iv → b
D) i → c, ii → b, iii → d, iv → a
జవాబు :
D) i → c, ii → b, iii → d, iv → a

క్రింది ఖాళీలను పూరించండి.

ప్రశ్న1.
బహుభుజి ఏర్పడుటకు అవసరమగు కనీస భుజాల సంఖ్య ________________
జవాబు :
3

ప్రశ్న2.
నాలుగు భుజాలు కలిగిన బహుభుజిని ________________ అంటారు.
జవాబు :
చతుర్భుజం

ప్రశ్న3.
త్రిభుజం కలిగి ఉండు శీర్షాల సంఖ్య ________________
జవాబు :
3

ప్రశ్న4.
దీర్ఘఘనంనకు గల తలాల సంఖ్య ________________ అంటారు.
జవాబు :
6

ప్రశ్న5.
ఘనం యొక్క అంచుల సంఖ్య ________________
జవాబు :
12

ప్రశ్న6.
భూమి బహుభుజిగాను మిగిలిన ముఖాలు త్రిభుజాకారంలో గల త్రిమితీయ ఆకారం పేరు ________________
జవాబు :
పిరమిడ్

ప్రశ్న7.
గోళం యొక్క అంచుల సంఖ్య ________________
జవాబు :
0

ప్రశ్న8.
చతురస్రానికి సాధ్యమగు, సౌష్ఠవ రేఖల సంఖ్య ________________
జవాబు :
4

ప్రశ్న9.
‘B’ అక్షరానికి గీయగల సౌష్ఠవ రేఖల సంఖ్య ________________
జవాబు :
1

ప్రశ్న10.
అనంతంగా సౌష్ఠవ రేఖలను కలిగిన ఆంగ్ల అక్షరం ________________
జవాబు :
O

ప్రశ్న11.
వృత్తంపై గల రెండు బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని ________________
జవాబు :
జ్యా

ప్రశ్న12.
కేంద్రం గుండా పోవు జ్యాను ________________ అంటారు.
జవాబు :
వ్యాసము

ప్రశ్న13.
వృత్తకేంద్రం నుండి వృత్తానికి గల దూరాన్ని ________________ అంటారు.
జవాబు :
వ్యాసార్ధం

క్రింది వానిని జతపరుచుము.

ప్రశ్న1.

జవాబు :

ప్రశ్న2.

జవాబు :

ప్రశ్న3.

జవాబు :

ప్రశ్న4.
ఆయిలర్ సూత్రం F + V = E + 2 లో వివిధ అక్షరాలు సూచించే అంశాలకు జతపరుచుము.

జవాబు :

Practice the AP 6th Class Maths Bits with Answers 8th Lesson జ్యామితీయ భావనలు on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 6th Class Maths Bits 8th Lesson జ్యామితీయ భావనలు

క్రింది ప్రశ్నలకు ఒక పదం లేదా ఒక వాక్యంలో సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న1.
“AB రేఖ, CD రేఖకు లంబము” ఈ సమాచారాన్ని గుర్తునుపయోగించి రాయండి.
జవాబు :
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\)

ప్రశ్న2.
అల్పకోణమును నిర్వచించండి.
జవాబు :
90° కన్నా తక్కువ విలువ గల కోణాన్ని అల్పకోణము అంటారు.

ప్రశ్న3.
రేఖాఖండము పొడవును కొలుచుటకు జ్యామితి పెట్టెలోని ఏ పరికరాన్ని నీవు ఎన్నుకొంటావు ?
జవాబు :
స్కేలు

ప్రశ్న4.
A కోణ శీర్షంగా గల ఒక కోణం చిత్తుపటాన్ని గీయండి.
జవాబు :

ప్రశ్న5.

పై త్రిభుజంలోని కోణాల పేర్లు రాయండి.
జవాబు :
∠PQR, ∠QPR, ∠PRQ

ప్రశ్న6.
ఖండనరేఖలు, మిళితరేఖలను వేరువేరుగా చిత్తుపటాలలో చూపండి.
జవాబు :

ప్రశ్న7.
రెండు బిందువుల గుండా గీయగల సరళరేఖల సంఖ్య ఎంత ?
జవాబు :
1

ప్రశ్న8.
రెండు రేఖాఖండాలను కలిగిన ఆంగ్ల అక్షరాలను రాయండి.
జవాబు :
L, T, V, X, Y

ప్రశ్న9.
క్రింది కోణాలను అల్ప, అధిక, అధికతర కోణాలుగా వర్గీకరించుము.
75°, 175°, 2759, 164°, 324°, 45°
జవాబు :
అల్పకోణాలు : 759, 45%; అధికకోణాలు :1759, 164; అధికతరకోణాలు : 275°; 324°

ప్రశ్న10.
“l, m రేఖలు సమాంతరాలు” ఈ సమాచారాన్ని గుర్తునుపయోగించి రాయండి.
జవాబు :
l ∥ m

ఈ క్రింది వానికి సరియైన సమాధానాన్ని గుర్తించి రాయండి.

ప్రశ్న1.
కిరణాన్ని సూచించు గుర్తు

జవాబు :

ప్రశ్న2.
రేఖను సూచించు గుర్తు

జవాబు :

ప్రశ్న3.
క్రింది వానిలో ఏది అసత్యం ?
A) సరళరేఖకు రెండు అంత్య బిందువులు ఉండును.
B) కిరణానికి ఒకే అంత్యబిందువు ఉంటుంది.
C) రెండు కన్నా ఎక్కువ సరళరేఖలు ఒకే బిందువు వద్ద ఖండించుకొంటే వాటిని మిళిత రేఖలు అంటారు.
D) పైవి అన్ని
జవాబు :
A) సరళరేఖకు రెండు అంత్య బిందువులు ఉండును.

ప్రశ్న4.
క్రింది ఏ ఆంగ్ల అక్షరాలు మూడు రేఖాఖండాలతో ఏర్పడినవి ?
A) A
B) H
C) Na
D) పైవిఅన్ని
జవాబు :
D) పైవిఅన్ని

ప్రశ్న5.
l, m రేఖలు సమాంతరాలు” ఈ సమాచారాన్ని గుర్తునుపయోగించి రాయడంలో క్రింది ఏది సత్యం ?
A) l ⊥ m
B) l ∥ m
C) \(\overrightarrow{\mathrm{lm}}\)
D) పైవి అన్ని
జవాబు :
B) l ∥ m

ప్రశ్న6.
వాక్యం – I : ఒకే తొలి బిందువు కలిగిన రెండు విభిన్న కిరణాల సమ్మేళనాన్ని “కోణం” అంటారు.
వాక్యం – II : 90° కన్నా ఎక్కువ 180° కన్నా తక్కువ అయిన కోణాన్ని అధికకోణం అంటారు.
A) I సత్యం, II అసత్యం
B) I అసత్యం, II సత్యం
C) I సత్యం, II సత్యం
D) I అసత్యం, II అసత్యం
జవాబు :
C) I సత్యం, II సత్యం

ప్రశ్న7.
క్రింది వానిలో అల్పకోణము
A) 30
B) 450
C) 60°
D) పైవి అన్ని
జవాబు :
D) పైవి అన్ని

ప్రశ్న8.
క్రింది వానిని జతపరుచుము.

పై వానిని జతపరచడంలో క్రింది ఏది సరైనది ?
A) i → a, ii → c, iii → b, iv → d
B) i = c, ii → b, iii → a, iv → d
C) i → d, ii → a, iii → c, iv → b
D) i → b, ii → c, iii → d, iv → a
జవాబు :
C) i → d, ii → a, iii → c, iv → b

ప్రశ్న9.
క్రింది వానిలో ఏది ఒక పరావర్తన కోణము ?
A) 180°
B) 270°
C) 90°
D) 120°
జవాబు :
B) 270°

ప్రశ్న10.
∠XZY ని పటంలో చూపడంలో క్రింది ఏది సరైన పటం ?

జవాబు :

ప్రశ్న11.

ప్రక్క పటంలో కోణ శీర్షము
A) P
B) Q
C) R
D) Q, R లలో ఏదో ఒకటి
జవాబు :
A) P

ప్రశ్న12.
క్రింది ABCD దీర్ఘచతురస్రానికి సంబంధించి క్రింది ఏది సత్యం ?

A) AB ∥ DC
B) AB ⊥ BC
C) దీర్ఘచతురస్రంలోని ప్రతికోణము లంబకోణము
D) పైవి అన్ని
జవాబు :
D) పైవి అన్ని

ప్రశ్న13.
క్రింది ఏ పటంలోని రేఖలు మిళిత రేఖలు ?

జవాబు :

ప్రశ్న14.
క్రింది పటంలో ∠AOB = 90° మరియు ∠AOC = 40° అయిన ∠BOC విలువ

A) 50°
B) 40
C) 60°
D) 90°
జవాబు :
A) 50°

ప్రశ్న15.
క్రింది పటంలో \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ఒక సరళరేఖ మరియు C దానిపై బిందువు అయితే ∠BCE + ∠ECA విలువ

A) 90°
B) 120°
C) 180°
D) చెప్పలేము
జవాబు :
C) 180°

ప్రశ్న16.
ప్రవచనం-P : 90°ల కోణం లంబకోణము
ప్రవచనం-Q : 360°ల కోణం పరిపూర్ణకోణము
ప్రవచనం-R : 180° కోణం లంబకోణము
ప్రవచనం-S: 270° కోణం పరావర్తన కోణము
పై వానిలో ఏది సత్యం ?
A) P మరియు R
B) Q మరియు S
C) P మరియు Q
D) R మరియు S
జవాబు :
B) Q మరియు S

ప్రశ్న17.
క్రిందివానిలో అల్పకోణాన్ని సూచించు పటం.

జవాబు :

ప్రశ్న18.
జ్యా మితి పెట్టెలోని కింది ఏ పరికరాన్ని నీవు కోణాలను కొలుచుటకు ఉపయోగిస్తావు ?
A) విభాగిని
B) స్కేలు
C) A మరియు B
D) కోణమానిని
జవాబు :
D) కోణమానిని

ప్రశ్న19.
క్రింది ఏ ఆంగ్ల అక్షరం లంబకోణాన్ని కలిగి లేదు ?
A) E
B) H
C) T
D) W
జవాబు :
D) W

క్రింది ఖాళీలను పూరించండి.

ప్రశ్న1.
రేఖాఖండానికి గల అంత్య బిందువుల సంఖ్య _____________
జవాబు :
2

ప్రశ్న2.
ఒకే సమతలంలోని రెండు రేఖలకు ఒకే ఒక ఉమ్మడి బిందువు ఉంటే వాటిని _____________ అంటారు.
జవాబు :
ఖండనరేఖలు

ప్రశ్న3.
లంబకోణము విలువ _____________
జవాబు :
90°

ప్రశ్న4.
180° గల కోణాన్ని _____________ కోణం అంటారు.
జవాబు :
సరళ

ప్రశ్న5.
రెండు కన్నా ఎక్కువ రేఖలు ఒకే బిందువు వద్ద ఖండించు కొంటే ఆ రేఖలను _____________ అంటారు.
జవాబు :
మిళితరేఖలు

ప్రశ్న6.
పరిపూర్ణ (సంపూర్ణ) విలువ _____________
జవాబు :
360°

ప్రశ్న7.
180° కన్నా ఎక్కువ 360° కన్నా తక్కువ గల కోణాన్ని _____________ కోణం అంటారు.
జవాబు :
అధికతర లేదా పరావర్తన

ప్రశ్న8.
లంబరేఖలను సూచించు గుర్తు _____________
జవాబు :
⊥

క్రింది వానిని జతపరుచుము.

ప్రశ్న1.

జవాబు :
i – c;
ii – d;
iii – a;
iv – e

ప్రశ్న2.

జవాబు :

ప్రశ్న3.
క్రింది గుర్తులను వాని పటాలకు జతపరచుము.

జవాబు :
i → a; ii → d; iii → b; iv → c

Practice the AP 6th Class Maths Bits with Answers 7th Lesson బీజ గణిత పరిచయం on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 6th Class Maths Bits 7th Lesson బీజ గణిత పరిచయం

క్రింది ప్రశ్నలకు ఒక పదం లేదా ఒక వాక్యంలో సమాధానాలు రాయండి.

ప్రశ్న1.

____________ అమరికలో S_n లో ఉండే అగ్గిపుల్లల సంఖ్యకు సూత్రాన్ని రాయండి.
జవాబు :
4 × n

ప్రశ్న2.
“చతురస్ర చుట్టుకొలత దాని భుజం మరియు ‘4ల లబ్దానికి సమానం”. ఈ సందర్భాన్ని భుజం s గా పరిగణించి చతురస్ర చుట్టుకొలత సూత్రాన్ని రాయండి.
జవాబు :
4 × s.

ప్రశ్న3.
సమీకరణానికి ఒక ఉదాహరణనివ్వండి.
జవాబు :
2x + 3 = 9

ప్రశ్న4.
LHS 2x + 5 అయ్యేటట్లు ఒక సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు :
2x + 5 = 10

ప్రశ్న5.
పూర్ణిమ వద్ద అంకిత్ కన్నా 5 పుస్తకాలు ఎక్కువ కలవు. అంకిత్ దగ్గర పుస్తకాల సంఖ్య x అయితే పూర్ణిమ వద్ద గల పుస్తకాల సంఖ్యను సూచించు.సమాసాన్ని రాయండి.
జవాబు :
x + 5

ప్రశ్న6.
“నాలుగు రెట్లు x కన్నా నాలుగు తక్కువ” ఈ సమాచారాన్ని సమానంగా రాయండి.
జవాబు :
4x – 4

ప్రశ్న7.
2x + 5 సమాసాన్ని పదరూపంలో రాయండి.
జవాబు :
2 చే x ను గుణించి లబ్దానికి 5 కలుపబడినది. (లేదా) రెట్టింపు x కన్నా 5 ఎక్కువ.

ప్రశ్న8.
14 = 3x + 5 సమీకరణంలో LHS మరియు RHS లను తెల్పండి.
జవాబు :
LHS = 14, RHS = 3x + 5

ప్రశ్న9.
y చరరాశిగా గల ఒక సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు :
y – 3 = 7

ఈ క్రింది వానికి సరియైన సమాధానాన్ని గుర్తించి రాయండి.

ప్రశ్న1.
S_n = 3n + 1 అయిన S₁₀ =
A) 14
B) 30
C) 31
D) 10
జవాబు :
C) 31

ప్రశ్న2.
హరిణి వద్ద పద్మ కంటే 4 పెన్నులు ఎక్కువ కలవు. ఈ సందర్భాన్ని ల చరరాశి ఉపయోగించి రాయగా
A) y + 4
B) 4y
C) \(\frac{y}{4}\)
D) పైవి అన్ని
జవాబు :
A) y + 4

ప్రశ్న3.
“రెట్టింపు ‘x’ కన్నా 1 ఎక్కువ”. ఈ సమాచారాన్ని సూచించుటకు సరైన సమాసం
A) 2x – 1
B) 2x
C) 2x + 1
D) 2x + 2
జవాబు :
C) 2x + 1

ప్రశ్న4.
“53 x ను గుణించి లబ్దానికి y కలుపబడినది”. పై వాక్యానికి తగిన సమాసము
A) 5x – y
B) 5x + 5y
C) 5y – x
D) 5x + y
జవాబు :
D) 5x + y

ప్రశ్న5.
2x + 3 = 15 సామాన్య సమీకరణంలో LHS =
A) 15
B) 2x + 3
C) 2x
D) 2x+3 = 15
జవాబు :
B) 2x + 3

ప్రశ్న6.
క్రింది వానిలో ఏది సమీకరణం కాదు ?
A) 2y + 3 = 7
B) 2y + 3 > 7
C) 2y + 3 < 7
D) B మరియు C
జవాబు :
D) B మరియు C

ప్రశ్న7.
ఒక శానిటైజర్ వెల ₹ 50 అయిన n శానిటైజర్ల వెల
A) ₹ 500
B) ₹(50 + n)
C) ₹ \(\frac{50}{n}\)
D) ₹ \(\frac{n}{50}\)
జవాబు :
A) ₹ 500

ప్రశ్న8.
x + 1 = 5 యొక్క సాధన
A) 5
B) 4
C) 3
D) 6
జవాబు :
B) 4

ప్రశ్న9.
క్రింది వానిలో ఏది LHS = 10, RHS = 3x + 1గా గల సమీకరణము ?
A) 3x + 1 = 10
B) 3x + 10 = 10
C) 10 = 3x + 10
D) 10 = 3x + 1
జవాబు :
D) 10 = 3x + 1

ప్రశ్న10.
క్రింది వానిలో ఏవి సమీకరణాలు ?
A) 5 + m = 6
B) x + 4 = 9
C) \(\frac{m}{2}\) = 4
D) పైవి అన్ని
జవాబు :
D) పైవి అన్ని

ప్రశ్న11.
3m + 2 = 17 సమీకరణంలోని చరరాశి
A) 3
B) m
C) 2
D) 17
జవాబు :
B) m

ప్రశ్న12.
సమాసంను దాని పదరూపంనకు జతపరచటంలో క్రింది ఏది సత్యం ?

A) i → c, ii → b, iii → d, iv → a
B) i → a, ii → d, iii → b, iv → c
C) i → c, ii → d, iii → a, iv → b
D) i → a, ii → b, iii → d, iv → c
జవాబు :
C) i → c, ii → d, iii → a, iv → b

ప్రశ్న13.

A) i → b, ii → c, iii → a, iv → d
B) i → d, ii → a, iii → c, iv → b
C) i → b, ii → d, iii → c, iv → a
D) i → b, ii → c, iii → d, iv → a
జవాబు :
A) i → b, ii → c, iii → a, iv → d

క్రింది ఖాళీలను పూరించండి.

ప్రశ్న1.

అమరికలో తరువాత అమరికకు కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య ____________
జవాబు :
10

ప్రశ్న2.
ఒక నోటు పుస్తకం ధర ₹ 10 అయిన ‘n’ నోటు పుస్తకాల ధర ____________
జవాబు :
₹ 10 × n

ప్రశ్న3.
x కన్నా 5 ఎక్కువకు సమాస రూపం ____________
జవాబు :
x + 5

ప్రశ్న4.
2x-1 సమాసంలోని చరరాశి ____________
జవాబు :
x

ప్రశ్న5.
3, 6, 9, 12, ____________ అమరికకు ‘n’ వ పదం
జవాబు :
3 × n

ప్రశ్న6.
3m = 6 ను తృప్తిపరిచే m విలువ ____________
జవాబు :
2

ప్రశ్న7.
3x + 4 = 25 సామాన్య సమీకరణంలో RHS = ____________
జవాబు :
25

ప్రశ్న8.
x = 5 అయినపుడు 2x + 4 విలువ ____________
జవాబు :
14

ప్రశ్న9.
5y = 5 యొక్క సాధన y = ____________
జవాబు :
1

క్రింది వానిని జతపరుచుము.

ప్రశ్న1.

జవాబు :

ప్రశ్న2.

జవాబు :