Srinivas – Page 55 – AP Board Solutions

AP 7th Class Maths Bits 10th Lesson త్రిభుజాల నిర్మాణం

February 2, 2022

Practice the AP 7th Class Maths Bits with Answers 10th Lesson త్రిభుజాల నిర్మాణం on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 7th Class Maths Bits 10th Lesson త్రిభుజాల నిర్మాణం

క్రింది వానికి సరైన సమాధానాలను ఎన్నుకొనుము.

ప్రశ్న1.
క్రింది ఏ సందర్భంలో త్రిభుజం ABC ని నిర్మించలేము?
(A) ∠A = 90°, ∠B = 509, AC = 5 సెం.మీ.
(B) ∠A=100°, ∠B = 90°, AC = 12 సెం.మీ.
(C) AB = 6 సెం.మీ., BC = 7 సెం.మీ., AC = 5 సెం.మీ.
(D) AB = 6 సెం.మీ., ∠A = 60°, BC = 8 సెం.మీ.
జవాబు :
(B) ∠A=100°, ∠B = 90°, AC = 12 సెం.మీ.

ప్రశ్న2.
∆ABC లో ∠A = 509, ∠B = 70° అయిన ∠C విలువ
(A) 60°
(B) 50°
(C) 70°
(D) 180°
జవాబు :
(A) 60°

ప్రశ్న3.
క్రింది ఏ సందర్భంలో ఒక త్రిభుజాన్ని (ఒకే రకమైన) నిర్మించలేము ?
(A) మూడు భుజాల కొలతలు ఇచ్చినపుడు
(B) రెండు భుజాలు వాటి మధ్యకోణం ఇచ్చినపుడు
(C) మూడు కోణాలను ఇచ్చినపుడు
(D) రెండు కోణాలు వాటి మధ్య భుజం ఇచ్చినపుడు
జవాబు :
(C) మూడు కోణాలను ఇచ్చినపుడు

ప్రశ్న4.
క్రింది ఏ మూడు భుజాల కొలతలతో ఒక త్రిభుజాన్ని గీయగలము ?
(A) AB = 7 సెం.మీ., BC = 5 సెం.మీ., AC = 15 సెం.మీ.
(B) XY = 10 సెం.మీ., YZ = 18 సెం.మీ., XZ = 5 సెం.మీ.
(C) PQ = 4 సెం.మీ., QR = 11 సెం.మీ., PR = 7 సెం.మీ.
(D) EF = 5 సెం.మీ., EG = 9 సెం.మీ., FG = 12 సెం.మీ.
జవాబు :
(D) EF = 5 సెం.మీ., EG = 9 సెం.మీ., FG = 12 సెం.మీ.

ప్రశ్న5.
AB = 8 సెం.మీ., BC = 12 సెం.మీ., ∠A = 60° గా గల త్రిభుజాన్ని సూచించు చిత్తుపటము.
AP 7th Class Maths Bits 10th Lesson త్రిభుజాల నిర్మాణం 1
జవాబు :

ప్రశ్న6.
ఒకే ఒక భుజం XY = 5 సెం.మీ. కొలత ఇచ్చినపుడు ∆XYZ ను నిర్మించారు. అయితే ∆XYZ
(A) సమబాహు త్రిభుజము
(B) సమద్విబాహు త్రిభుజము
(C) లంబకోణ త్రిభుజము
(D) లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజము
జవాబు :
(A) సమబాహు త్రిభుజము

ప్రశ్న7.
జ్యామితీయ పెట్టెలోని క్రింది ఏ పరికరాన్ని సాధారణంగా త్రిభుజాలు గీయడానికి ఉపయోగించము ?
(A) స్కేలు
(B) వృత్తలేఖిని
(C) విభాగిని
(D) కోణమానిని
జవాబు :
(C) విభాగిని

→ ఇచ్చిన పటంలో AB యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ XY మరియు AB = 10 సెం.మీ. అయిన 8, 9 ప్రశ్నలకు జవాబులు రాయండి.
AP 7th Class Maths Bits 10th Lesson త్రిభుజాల నిర్మాణం 3

ప్రశ్న8.
AM రేఖాఖండం పొడవు __________ సెం.మీ.
(A) 10
(B) 5
(C) 20
(D) 6
జవాబు :
(B) 5

ప్రశ్న9.
∠BMY విలువ __________
(A) 180°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 90°
జవాబు :
(D) 90°

ప్రశ్న10.
∠XOY యొక్క కోణసమద్విఖండన రేఖ OZను సూచించు పటము
AP 7th Class Maths Bits 10th Lesson త్రిభుజాల నిర్మాణం 4
జవాబు :

ప్రశ్న11.
AB = 6 సెం.మీ., BC = 7 సెం.మీ., ∠BAC = 60° కొలతలతో త్రిభుజాన్ని నిర్మించడంలో నిర్మాణ సోపాన క్రమంను గుర్తించండి.
I : ∠BAY = 60° ఉండునట్లు ఒక కిరణం AXను గీయాలి.
II : ∆ABC చిత్తుపటాన్ని గీచి కొలతలు గుర్తించి పేర్లు రాయాలి.
III : B, C లను కలిపిన మనకు కావలసిన త్రిభుజం ఏర్పడినది.
IV : AB = 6 సెం.మీ. రేఖాఖండాన్ని గీయాలి.
V : B కేంద్రంగా 7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో AX కిరణమును C వద్ద ఖండించునట్లు చాపరేఖ గీయాలి.
(A) II, IV, I, V, III
(B) II, I, IV, III, V
(C) IV, I, II, V, III
(D) I, IV, II, III, V
జవాబు :
(A) II, IV, I, V, III

AP 7th Class Maths Bits 9th Lesson బీజీయ సమాసాలు

February 2, 2022

Practice the AP 7th Class Maths Bits with Answers 9th Lesson బీజీయ సమాసాలు on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 7th Class Maths Bits 9th Lesson బీజీయ సమాసాలు

క్రింది వానికి సరైన సమాధానాలను ఎన్నుకొనుము.

ప్రశ్న1.
“x యొక్క రెట్టింపుకి 3 ఎక్కువ” ను సూచించు బీజీయ సమాసము
(A) 3x + 2
(B) 2x – 3
(C) 3x -2
(D) 2x + 3
జవాబు :
(D) 2x + 3

ప్రశ్న2.
[latex]\frac{y}{4}[/latex] యొక్క వాక్య రూపం
(A) y లో 4వ వంతు
(B) y కి నాలుగు రెట్లు
(C) y యొక్క ఘాతాంకం -4
(D) పైవన్నీ
జవాబు :
(A) y లో 4వ వంతు

ప్రశ్న3.
9m³ – 8m² + 7 లోని పదాల సంఖ్య
(A) 9
(B) 7
(C) 3
(D) 2
జవాబు :
(C) 3

ప్రశ్న4.
5xy లో x యొక్క గుణకము
(A) 5
(B) 5y
(C) xy
(D) 5 6
జవాబు :
(B) 5y

ప్రశ్న5.
క్రింది వానిలో x² గుణకం 3గా గల బీజీయ సమాసము.
(A) 3x³ + 2x² + 3x -3
(B) 3x² + 3x + 3
(C) 3x + 2
(D) 2x³ + 2x² + 3x + 3
జవాబు :
(B) 3x² + 3x + 3

ప్రశ్న6.
– x యొక్క గుణకము
(A) – 1
(B) 1
(C) 0
(D) 2
జవాబు :
(A) – 1

ప్రశ్న7.
– 8 x²y³z యొక్క సంఖ్యాగుణకము
(A) 2
(B) 3
(C) – 8
(D) 8
జవాబు :
(C) – 8

ప్రశ్న8.
క్రింది వానిని జతపరచడంలో ఏది సరైనది ?

i) ఏకపది	(a) 3x³ – 2x + 9
ii) ద్వి పది	(b) 2x² – 9
iii) త్రిపది	(c) 5x

(A) i – b, ii – c, iii – a
(B) i – c, ii – b, iii – a
(C) i – a, ii – c, iii – b
(D) i – c, ii – a, iii – b
జవాబు :
(B) i – c, ii – b, iii – a

ప్రశ్న9.
ప్రవచనం P : ఒక బీజీయ సమాసములో చరరాశి యొక్క ఘాతాంకము రుణేతర పూర్ణసంఖ్య అయినపుడు దానిని బహుపది అంటారు. .
ప్రవచనం Q : ఒకే బీజీయ కారణాంకాలు కలిగిన పదాలను సజాతి పదాలని అంటారు.
(A) P మాత్రమే సత్యం
(B) Q మాత్రమే సత్యం
(C) P, Q లు రెండూ సత్యం
(D) P, Q లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
(C) P, Q లు రెండూ సత్యం

ప్రశ్న10.
2m²n యొక్క సజాతి పదం
(A) 4m²n
(B) -2m²n
(C) -3m²n
(D) పైవన్నీ
జవాబు :
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న11.
క్రింది వానిలో ఏది బహుపది ?
(A) 3x^3/2 – 4x² + 4W
(B) 3x² – 4x + 9
(C) 4x^-2 + 3x² + 4
(D) 2x^-3 + x^-2 + x + 9
జవాబు :
(B) 3x² – 4x + 9

ప్రశ్న12.
క్రింది వానిలో ప్రామాణిక రూపంలో గల బహుపది
(A) x³ – 5x + 2x² – 9
(B) x³ – 9 + 2x² – 5x
(C) x³ + 2x² – 5x – 9
(D) 9 – 5x + 2x² – x³
జవాబు :
(C) x³ + 2x² – 5x – 9

ప్రశ్న13.
2x² – 6 + 3x + 4x² – 5x + 7 యొక్క సూక్ష్మ రూపం
(A) 6x² – 2x + 1
(B) 6x² + 8x + 13
(C) 6x² + 2x -1
(D) 6x² – 2x – 13
జవాబు :
(A) 6x² – 2x + 1

ప్రశ్న14.
3x² – 5x + 6 యొక్క సంకలన విలోమము
(A) – 3x² + 5x – 6
(B) 3x² + 5x – 6
(C) – 3x² – 5x + 6
(D) 3x² – 5x + 6
జవాబు :
(A) – 3x² + 5x – 6

ప్రశ్న15.
క్రింది సమబాహు త్రిభుజ చుట్టుకొలత
AP 7th Class Maths Bits 9th Lesson బీజీయ సమాసాలు 1
(A) 6x
(B) 9x
(C) 3x
(D) 9x³
జవాబు :
(B) 9x

ప్రశ్న16.
క్రింది పటంలో AP = x + 2y, PB = 2x – y అయిన [latex]\overline{\mathbf{A B}}[/latex] పొడవు ఎంత ?
AP 7th Class Maths Bits 9th Lesson బీజీయ సమాసాలు 2
(A) x – 3y
(B) 3x + 3y
(C) 3x – 3y
(D) 3x + y
జవాబు :
(D) 3x + y

ప్రశ్న17.
క్రింది వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థము OM = x + 3y అయిన ఆ వృత్త వ్యాసము MN పొడవు ఎంత ?
AP 7th Class Maths Bits 9th Lesson బీజీయ సమాసాలు 3
(A) x + 2y
(B) 3x + y
(C) 2x + 6y
(D) 6x + 2y.
జవాబు :
(C) 2x + 6y

ప్రశ్న18.
x = 2 వద్ద x² – 2x + 5 యొక్క విలువ
(A) 13
(B) 5
(C) 9
(D) – 13
జవాబు :
(B) 5

ప్రశ్న19.
x = -3 వద్ద 5x – 6 విలువ
(A) – 21
(B) – 9
(C) 9
(D) 21
జవాబు :
(A) – 21

ప్రశ్న20.
a = 2 సెం.మీ. అయిన క్రింది XY రేఖాఖండము పొడవు
AP 7th Class Maths Bits 9th Lesson బీజీయ సమాసాలు 4
(A) 3 సెం.మీ.
(B) 4 సెం.మీ.
(C) 6 సెం.మీ.
(D) 2 సెం.మీ.
జవాబు :
(C) 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న21.
x= 2 అయినపుడు సమాస విలువ 11గా గల బీజీయ సమాసము..
(A) 5x + 1
(B) 6x – 1
(C) 3x + 5
(D) పైవన్నీ
జవాబు :
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న22.
2x – (- 3x) =
(A) 5x.
(B) – x
(C) – 5x
(D) x
జవాబు :
(A) 5x.

ప్రశ్న23.
క్రింది వానిలో ఏది సరైన సూక్ష్మీకరణ ?
(A) 4xy -xy = 4
(B) 8a² – 2a² = 6a²
(C) 10 – 5m = 5m
(D) 6pq² + 4p²q = 10p²q²
జవాబు :
(B) 8a² – 2a² = 6a²

ప్రశ్న24.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) x = – 2 అయిన x + 2 = 0
(B) 5xy మరియు – 3xy సజాతి పదాలు
(C) x + y మరియు 2x – y ల మొత్తం 3x
(D) పైవన్నీ
జవాబు :
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న25.
క్రింది వానిలో x = – 2 వద్ద బీజీయ సమాస విలువ కనుగొనడంలో దోషాన్ని కలిగినది.
(A) x² + 1 = (-2)² + 1 = 4 + 1 = 5
(B) 5x + 2 = 5(-2) + 2 = 10 + 2 = 12
(C) x² – x + 2 = (-2)² – (-2) + 2 = 4 + 2 + 2 = 8
(D) పైవన్నీ
జవాబు :
(B) 5x + 2 = 5(-2) + 2 = 10 + 2 = 12

క్రింది ఖాళీలను పూరింపుము.

ప్రశ్న1.
5x + 9 లో బీజీయ పదము ____________
జవాబు :
9

ప్రశ్న2.
7y + 4 లో స్థిరపదము ____________
జవాబు :
4

ప్రశ్న3.
3x – 2y + 57 లో పదాల సంఖ్య ____________
జవాబు :
3

ప్రశ్న4.
-x²y యొక్క సంఖ్యా గుణకము ____________
జవాబు :
-1

ప్రశ్న5.
6x²y లో y యొక్క గుణకము ____________
జవాబు :
6x²

ప్రశ్న6.
3l² – 5m + lm యొక్క సంకలన విలోమము ____________
జవాబు :
-3l² + 5m – lm

ప్రశ్న7.
A = 2x² + y², B = x² – y² అయిన A + B = ____________
జవాబు :
3x²

ప్రశ్న8.
త్రిభుజ వైశాల్యం = , bh అయిన b = 2 సెం.మీ., h = 5 సెం.మీ. గా గల త్రిభుజ వైశాల్యం ____________ చ. సెం.మీ.
జవాబు :
5

ప్రశ్న9.
A = x² + y², B = x² – y² అయిన A – B = ____________
జవాబు :
2y²

ప్రశ్న10.
x = -1 వద్ద 8x – 1 సమాస విలువ ____________
జవాబు :
-9

ప్రశ్న11.
x = 2 వద్ద x² + 25 – 8 సమాస విలువ ____________
జవాబు :
0

ప్రశ్న12.
x – (-x) = ____________
జవాబు :
2x

ప్రశ్న13.
3xy, – 4xy, – 3xy, 4xy, 3x²y పదాలలో విభిన్న మైనది (వేరుగా ఉన్నది) ____________
జవాబు :
3x²y

ప్రశ్న14.
ఒకే బీజీయ గుణకమును కలిగిన పదాలను ____________ పదాలు అంటారు.
జవాబు :
సజాతి

ప్రశ్న15.
– x + 2y + 3 లో x యొక్క గుణకము ____________
జవాబు :
-1

జతపరుచుము :

ప్రశ్న1.

i) P యొక్క మూడు రెట్లుకు 4 ఎక్కువ	a) 4p + 3
ii) P యొక్క మూడు రెట్లుకు 4 తక్కువ	b) 3p – 4
iii) P యొక్క 4 రెట్లుకు 3 తక్కువ	c) 3p + 4
iv) P యొక్క 4 రెట్లుకు 3 ఎక్కువ	d) 4p – 3

జవాబు :

i) P యొక్క మూడు రెట్లుకు 4 ఎక్కువ	c) 3p + 4
ii) P యొక్క మూడు రెట్లుకు 4 తక్కువ	b) 3p – 4
iii) P యొక్క 4 రెట్లుకు 3 తక్కువ	d) 4p – 3
iv) P యొక్క 4 రెట్లుకు 3 ఎక్కువ	a) 4p + 3

ప్రశ్న2.

i) -5x², 7x²	a) త్రిపది
ii) 6y – 5xy	b) స్థిరపదము
iii) 5x² – 6x + 9	c) ద్విపది
iv) 7	d) సజాతి పదాలు

జవాబు :

i) -5x², 7x²	d) సజాతి పదాలు
ii) 6y – 5xy	c) ద్విపది
iii) 5x² – 6x + 9	a) త్రిపది
iv) 7	b) స్థిరపదము

ప్రశ్న3.

i) x = 1, y = 2 అయిన x^y + y^x విలువ	a) 0
ii) x = – 3 అయిన x² విలువ	b) 3
iii) P = 2 అయిన 3P – 6 విలువ	c) 8
iv) m = 2, n = -1 అయిన 3m – 2n	d) 9

జవాబు :

i) x = 1, y = 2 అయిన x^y + y^x విలువ	b) 3
ii) x = – 3 అయిన x² విలువ	d) 9
iii) P = 2 అయిన 3P – 6 విలువ	a) 0
iv) m = 2, n = -1 అయిన 3m – 2n	c) 8

ప్రశ్న4.

i) x = -1 అయిన సమాస విలువ 4గా గల బీజీయ సమాసం	a) 4x + 8
ii) x = 2 అయిన సమాస విలువ 10గా గల బీజీయ సమాసం	b) x² + 2
iii) x = 1 అయిన సమాస విలువ 8గా గల బీజీయ సమాసం	c) 5x
iv) x = -2 అయిన సమాస విలువ 6గా గల బీజీయ సమాసం	d) x² + 7x

జవాబు :

i) x = -1 అయిన సమాస విలువ 4గా గల బీజీయ సమాసం	a) 4x + 8
ii) x = 2 అయిన సమాస విలువ 10గా గల బీజీయ సమాసం	c) 5x
iii) x = 1 అయిన సమాస విలువ 8గా గల బీజీయ సమాసం	d) x² + 7x
iv) x = -2 అయిన సమాస విలువ 6గా గల బీజీయ సమాసం	b) x² + 2

ప్రశ్న5.

i) 3p- 2q + r లోని పదాల సంఖ్య	a) 1
ii) 2x³ లో సంఖ్యా గుణకం	b) 2
iii) 3pqr లోని పదాల సంఖ్య	c) 3
iv) x = 1 అయిన x² + 2x + 1 విలువ	d) 4

జవాబు :

i) 3p- 2q + r లోని పదాల సంఖ్య	c) 3
ii) 2x³ లో సంఖ్యా గుణకం	b) 2
iii) 3pqr లోని పదాల సంఖ్య	a) 1
iv) x = 1 అయిన x² + 2x + 1 విలువ	d) 4

క్రింది వానిలో సత్య/అసత్య వాక్యాలను గుర్తించండి.

ప్రశ్న1.
2x² మరియు – 3x² లు సజాతి పదాలు.
జవాబు :
సత్యం

ప్రశ్న2.
– 7xyలో X యొక్క గుణకం – 7.
జవాబు :
అసత్యం

ప్రశ్న3.
x + 2y, 3x + 4y ల మొత్తం 4x + 6y.
జవాబు :
సత్యం

ప్రశ్న4.
3x² – 4x + 5x³ + 9 ప్రామాణిక రూపంలో కలదు.
జవాబు :
అసత్యం

ప్రశ్న5.
x³ – 5x + 8 అనునది ఒక ద్విపది.
జవాబు :
అసత్యం

ప్రశ్న6.
3x⁴ – 5x^-3 + 6x^-2 – 9x + 15 ఒక బహుపది.
జవాబు :
అసత్యం

ప్రశ్న7.
x² + 2x – 4 యొక్క సంకలన విలోమం – x² – 2x + 4.
జవాబు :
సత్యం

AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ InText Questions

February 1, 2022

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 12th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ InText Questions

ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 163]

ప్రశ్న 1.
సంఖ్యాత్మక విలువలు గల దత్తాంశానికి రెండు ఉదాహరణలివ్వండి.
సాధన.
1. 6వ తరగతిలోని 25 మంది విద్యార్థులకు 20 మార్కుల పరీక్షలో వచ్చిన మార్కులు.
14, 16, 8, 20, 17, 9, 12, 13, 16, 19, 17, 10, 11, 9, 13, 17, 10, 18, 20, 9, 15, 14, 10, 15, 11
2. ఒకరోజు కోవిడ్ – 19 పరీక్షలకు హాజరైన 30 మంది వ్యక్తుల వయస్సు (సంవత్సరాలలో)
46, 53, 19, 84, 41, 37, 25, 31, 28, 71, 62, 35, 28, 53, 13, 73, 64, 32, 45, 31, 27, 54, 61, 54, 49, 23, 39, 44, 55, 30.

ప్రశ్న 2.
వివరణాత్మక విలువలు గల దత్తాంశానికి రెండు ఉదాహరణలివ్వండి.
సాధన.
1.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ InText Questions 1
2. ఉదయం 7 గంటల నుండి 9.30 మధ్య ఒక రైల్వే గేటును దాటిన వాహనాలు – లారీ, బస్సు, లారీ, కారు, ఆటో, జీపు, సైకిల్, స్కూటరు, స్కూటరు, ఆటో, లారీ, కారు, కారు, లారీ, బస్సు, స్కూటరు, ఆటో, స్కూటరు, జీపు, లారీ, స్కూటరు, స్కూటరు.

ఇవి చేయండి [పేజి నెం. 165]

ఒక పాచికను దొర్లించి, వచ్చిన సంఖ్యను నమోదు చేయండి. ఇలా 40 సార్లు పాచికను దొర్లించి సంఖ్యలు నమోదు చేయండి. ఈ దత్తాంశాన్ని గణన చిహ్నాలు ఉపయోగించి పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో చూపండి.
సాధన.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ InText Questions 2

పేజి నెం. 168

ప్రశ్న 1.
పటచిత్రం కన్న కమ్మీ రేఖా చిత్రం ఏ విధంగా ఉత్తమమైనది?
సాధన.
కమ్మీరేఖాచిత్రాలు ఖచ్చిత సంఖ్యా విలువలను చూపు మంచి సూచికలు. ధన విలువలను, ఋణ విలువలను కూడా చూపు మంచి సూచిక ఈ కమ్మీరేఖాచిత్రం.

ఉదాహరణలు

ప్రశ్న 1.
10 మార్కుల పరీక్షలో ఒక తరగతిలోని 25 మంది విద్యార్థులు పొందిన మార్కులు ఈ విధంగా ఉన్నవి. 5, 6, 7,
5, 4, 2, 2, 9, 10, 2, 4, 7, 4, 6, 9, 5, 5, 4, 7, 9, 5, 2, 4, 5, 7.
(i) పై దత్తాంశాన్ని వర్గీకరించి, గణన చిహ్నాలతో పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికలో చూపండి.
(ii) తరగతిలో ఎక్కువ మంది విద్యార్థులు పొందిన మార్కులు ఎన్ని?
(iii) తరగతిలో ఎంతమంది విద్యార్థులు కనిష్ఠ మార్కులు పొందారు?
(iv) ఎంత మంది విద్యార్థులు 8 మార్కులు పొందారు?
సాధన.
(i)
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ InText Questions 3
(ii) తరగతిలో ఎక్కువ మంది విద్యార్థులు (6) పొందిన మార్కులు 5.
(iii)తరగతిలో కనిష్ఠ మార్కులు (2) పొందిన విద్యార్థుల సంఖ్య 4.
(iv) 8 మార్కులు పొందిన విద్యార్థుల సంఖ్య ‘0’ (తరగతిలోని ఏ విద్యార్థి 8 మార్కులు పొందలేదు).

ప్రశ్న 2.
25 మంది గల ఒక తరగతిలోని విద్యార్థులు వివిధ ఆటలు ఆడతారు. (ఒక్కొక్క విద్యార్థి ఒక్కొక్క ఆటను మాత్రమే ఆడును). ఆటగాళ్ళ సంఖ్యాత్మక వివరాలు పట చిత్రంలో చూపబడింది.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ InText Questions 4
(i) ఎంతమంది విద్యార్థులు బ్యాడ్మింటన్ ఆడతారు?
(ii) ఎక్కువ మంది విద్యార్థులు ఆడే ఆట ఏది?
(iii) తక్కువ మంది విద్యార్థులు ఆసక్తి చూపే ఆట ఏది?
(iv) ఏ ఆటనూ ఆడని విద్యార్థుల సంఖ్య ఎంత?
సాధన.
(i) 5 మంది విద్యార్థులు బ్యాడ్మింటన్ ఆడతారు.
(ii) ఎక్కువ మంది విద్యార్థులు (7) ఆడే ఆట కబడ్డీ.
(iii) తక్కువ మంది విద్యార్థులు (4) ఆసక్తి చూపే ఆట టెన్నికాయిట్.
(iv) మొత్తం ఆటగాళ్ళ సంఖ్య = 7 + 4 + 5 + 6 = 22
మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య = 25
ఏ ఆటనూ ఆడని విద్యార్థుల సంఖ్య = 25 – 22 = 3

ప్రశ్న 3.
ఒక పాఠశాలలోని విద్యార్థుల సంఖ్యను పటత్రంగా చూపుదాం.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ InText Questions 5
35 మంది విద్యార్థులను సూచించుటకు 35 బొమ్మలు వేయడం సమంజసమా ? కావున ప్రతి 5 మంది విద్యార్థులను ఒక బొమ్మ సూచిస్తుందని అనుకుంటే, ఆ సూచనను ‘స్కేలు’ అంటాం. సాధారణంగా ‘సులు దత్తాంశంలోని అన్ని పౌనఃపున్యాల యొక్క గ.సా.భాను తీసుకుంటాం.
సాధన.

పై దత్తాంశమును సూచించు పట చిత్రం ఈ క్రింది విధంగా ఉంటుంది.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ InText Questions 7

ప్రశ్న 4.
కింది పట చిత్రం ఐదు గ్రామాల్లో గల ట్రాక్టర్ల సంఖ్యను చూపుతున్నది.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ InText Questions 8
(i) ఏ గ్రామములో కనిష్ఠ సంఖ్యలో ట్రాక్టర్లు కలవు?
(ii) ఏ గ్రామములో గరిష్ఠ సంఖ్యలో ట్రాక్టర్లు కలవు?
(iii) గ్రామము B కన్నా గ్రామము C లో ఎన్ని ట్రాక్టర్లు ఎక్కువ కలవు?
(iv) ఐదు గ్రామాలలోనూ గల మొత్తం ట్రాక్టర్ల సంఖ్య ఎంత?
సాధన.
(i) B మరియు E గ్రామములలో కనిష్ఠ సంఖ్యలో (8) ట్రాక్టర్లు కలవు.
(ii) D గ్రామములో గరిష్ఠ సంఖ్యలో (20) ట్రాక్టర్లు కలవు.
(iii) B గ్రామము కంటే C గ్రామములో అధికముగా గల ట్రాక్టర్ల సంఖ్య 10.
(iv) ఐదు గ్రామాలలోనూ గల మొత్తం ట్రాక్టర్ల సంఖ్య (66).

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 3 బహుపదులు Optional Exercise

February 1, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
కింది ఘన బహుపదులకు ప్రక్కన ఇవ్వబడిన సంఖ్యలు ఆయా బహుపదులకు శూన్యాలు అగునో, లేదో సరిచూడండి ఇదే విధంగా బహుపదుల పదాల గుణకాలకు, శూన్యాలకు మధ్య గల సంబంధాన్ని రాబట్టండి.
(i) 2x³ + x² – 5x + 2 ; ([latex]\frac{1}{2}[/latex], 1, – 2)
(ii) x³ + 4x² + 5x – 2 ; (1, 1, 1)
సాధన.
(i) 2x³ + x² – 5x + 2, ([latex]\frac{1}{2}[/latex], 1, – 2)
p(x) = 2x³ + x² – 5x + 2
p([latex]\frac{1}{2}[/latex]) = 2([latex]\frac{1}{2}[/latex])³ + ([latex]\frac{1}{2}[/latex])² – 5([latex]\frac{1}{2}[/latex]) + 2
= [latex]\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}+\frac{2}{1}[/latex]
= [latex]\frac{1+1-10+8}{4}[/latex]
p([latex]\frac{1}{2}[/latex]) = [latex]\frac{0}{4}[/latex] = 0 …………… (1)
p(1) = 2(1)³ + (1)² – 5(1) + 2 –
= 2 + 1 – 5 + 2
p(1) = 0 ……………… (2)
(లేదా)
p(x) లో గుణకాల మొత్తం 2 + 1 – 5 + 2 = 0
∴ p(1) = 0 ………… (2)
p(- 2) = 2(- 2)³+ (- 2)² – 5(- 2) + 2
= 2(- 8) + 4 + 10 + 2
= – 16 + 16 = 0
p(- 2) = 0 ………………(3)
(1), (2) & (3) ల నుండి P([latex]\frac{1}{2}[/latex]) = 0
p(1) = 0
p(- 2) = 0
∴ p(x) కు [latex]\frac{1}{2}[/latex], 1, – 2లు శూన్య విలువలు అవుతాయి.
α = [latex]\frac{1}{2}[/latex], β = 1,γ = – 2 అనుకొందాం.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β + γ = [latex]\frac{1}{2}[/latex] + 1 + (- 2)
= [latex]\frac{3}{2}[/latex] – 2
= [latex]-\frac{1}{2}[/latex]
= AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Optional Exercise 1
రెండేసి శూన్య విలువల లబ్ధాల మొత్తం (αβ + βγ + γα) = ([latex]\frac{1}{2}[/latex]) (1) + (1) (- 2) + (- 2) ([latex]\frac{1}{2}[/latex])
= [latex]\frac{1}{2}[/latex] – 2 – 1 = [latex]\frac{1}{2}[/latex] – 3
= [latex]\frac{1-6}{2}=\frac{-5}{2}[/latex] = AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Optional Exercise 2
శూన్య విలువల లబ్దం αβγ = [latex]\frac{1}{2}[/latex] × 1 × (- 2)
= – 1 =

(ii) x³ + 4x² + 5x – 2, (1, 1, 1)
p(x) = x³ + 4x² + 5x – 2
p(1) = (1)³ + 4(1)² + 5(1) – 2
= 1 + 4 + 5 – 2
p(1) = 8
p(1) ≠ 0
∴ p(x) కు 1 శూన్య విలువ కాదు.
(లేదా)
గుణకాల మొత్తం = 0 అయితే 1 ఒక శూన్య విలువ అవుతుంది.
p(x) యొక్క గుణకాల మొత్తం 1 + 4 + 5 – 2 = 8
గుణకాల మొత్తం 8 ≠ 0.
∴ p(x) కు 1 శూన్య విలువ కాదు.

2వ పద్ధతి :
p(x) = x³ + 4x² + 5x – 2 యొక్క శూన్య విలువలు α = β = γ = 1 అయితే p(x) = (x – 1)³ కావాలి.
(x – 1)³ = x³ – 3x² + 3x – 1
p(x) = x³ + 4x² + 5x – 2 ≠ (x – 1)³
∴ కాబట్టి 1, 1, 1లు p(x) యొక్క శూన్య విలువలు కావు.

ప్రశ్న 2.
ఒక ఘన బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తము, రెండేసి శూన్యాల లబ్దాల మొత్తము మరియు శూన్యాల లబ్దము వరుసగా 2, – 7 మరియు – 14 అయిన ఆ బహుపదిని కనుగొనుము.
సాధన.
ఘన బహుపది p(x) యొక్క శూన్య విలువలు α, β, γ అనుకొనుము α + β + γ = 2
αβ + βγ + γα = – 7
αβγ = – 14
p(x) = k[x³ – (α + β + γ) x³ + (αβ + βγ + γα) x – αβγ]
= k[x³ – 2x² + (- 7) x – (- 14)]
= k[x³ – 2x² – 7x + 14]
k = 1 అయిన p(x) = x³ – 2x² – 7x + 14.

ప్రశ్న 3.
x³ – 3x² + x + 1 అను బహుపది శూన్యాలు a – b, a, a + b లు అయిన a, b విలువలను కనుగొనండి.
సాధన.
p(x) = x³ – 3x² + x + 1 యొక్క శూన్య విలువలు α = a – b, β = a, γ = a + b –
శూన్య విలువల మొత్తం α + β + γ = AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Optional Exercise 4
a – b + a + a + b = [latex]\frac{-(-3)}{1}[/latex]
3a = 3
a = [latex]\frac{3}{3}[/latex] = 1
శూన్య విలువల లబ్ధం αβγ =
(a – b) (a) (a + b) = [latex]\frac{-1}{1}[/latex]
కాని a = 1
∴ (1 – b) (1) (1 + b) = – 1
1 – b² = – 1
-b² = – 1 – 1 = – 2
b² = 2
b = ± √2
∴ a = 1, b = ± √2.

ప్రశ్న 4.
x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 యొక్క రెండు శూన్యాలు 2 ± √3 అయిన మిగిలిన రెండు శూన్యాలను కనుగొనండి.
సాధన.
p(x) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 యొక్క రెండు శూన్య విలువలు 2 + √3 మరియు 2 – √3 . కాబట్టి
2 + √3 మరియు 2 – √3 శూన్య విలువలుగా గల వర్గ బహుపది p(x) కు కారణాంకం అవుతుంది.
α = 2 + √3 , β = 2 – √3 శూన్య విలువలుగా గల వర్గ బహుపది.
α + β = 2 + √3 + 2 – √3 = 4
αβ = 22 – (13)2 = 4 – 3 = 1.6
f(x) = k[x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 4x + 1]
k = 1 ⇒ f(x) = x² – 4x + 1,
p(x) కు కారణాంకము

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Optional Exercise 6

భాగఫలంలో రెండవ పదం = [latex]\frac{x^{4}}{x^{2}}[/latex] = x²

భాగఫలంలో మూడవ పదం = [latex]\frac{-2 x^{3}}{x^{2}}[/latex] = – 2x

భాగఫలంలో మొదటి పదం = [latex]\frac{-35 x^{2}}{x^{2}}[/latex] = x

బహుపదులు భాగహార అల్గారిథమ్ నుండి ,
p(x) = x⁴ + 6x³ – 26x² + 138x – 35
⇒ (x² – 4x + 1) (x² – 2x – 35) + 0
p(x) = 0 అయిన
(x² – 4x + 1) (x² – 2x – 35) = 0
(x² – 4x + 1) = 0 లేదా x² – 2x – 35 = 0.
x² – 4x + 1 యొక్క శూన్య విలువలు 2 + √3.
x² – 2x – 35 యొక్క శూన్య విలువలు
x² – 2x – 35 = 0
⇒ x² – 7x + 5x – 35 = 0
x(x – 7) + 5 (x – 7) = 0
(x – 7) (x + 5) = 0
x – 7 = 0 లేదా x + 5 = 0.
x = 7 లేదా x = – 5
∴ p (x) యొక్క శూన్య విలువలు 2 + √3, 7 మరియు – 5.

ప్రశ్న 5.
x⁴ – 6x³ – 16x² + 25x + 10 అనే బహుపదిని x² – 2x + k అనే మరొక బహుపదిచే భాగించగా వచ్చు శేషం x + a అయిన ‘k’ మరియు ‘a’ విలువలు కనుగొనండి.
సాదన.
p(x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10
g(x) = x² – 2x + k మరియు
r(x) = x + a

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Optional Exercise 7

భాగఫలంలో మొదటి పదం = [latex]\frac{x^{4}}{x^{2}}[/latex] = x²

భాగఫలంలో రెండవ పదం = [latex]\frac{-4 x^{3}}{x^{2}}[/latex] = – 4x

భాగఫలంలో మూడవ పదం = [latex]\frac{-(24+k) x^{2}}{x^{2}}[/latex] = – (24 + k)
శేషం r(x) = x + a
∴ (- 23 + 2k) x + (10 + 24k + k²) = x + a
x గుణకాలను పోల్చగా ,
– 23 + 2k = 1
2k = 24
∴ k = 12
స్థిర పదాలను పోల్చగా

2వ పద్ధతి :
(10 + 24k + k²)
p(x) = x⁴ – 6x³ – 16x² + 25x + 10 లెక్క ప్రకారం
r(x) = x + 10
g(x) = x² – 2x + k
భాగహార అల్ గారిథమ్ నుండి
p(x) = g(x) . q(x) + r(x)
p(x) – r(x) = g(x) . q(x)
p(x) – r(x) కు g(x) కారణాంకము అవుతుంది.
కాబట్టి p(x) – r(x) ను g(x) తో భాగిస్తే శేషము ‘0’ అవుతుంది.
కాని p(x) – r(x) a = (x⁴ – 6x³ – 16x² + 25x + 10) – (x + a)
= x⁴ – 6x³ – 16x² + 24x + (10 – a)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు Optional Exercise 8

= [[24 + 4k) – (48 + 2k)] x + [(10 – a) + (24k + k)]
= (- 24 + 2k) x + (10 – a + 24k + k²) = 0 కావాలంటే
-24 + 2k = 0 మరియు 10 – a + 24k + k² = 0 కావాలి
∴ 2k = 24 మరియు 10 – a + 24(12) + (12) = 0
k= 12 మరియు 10 – a + 288 + 144 = 0
442 – a = 0
∴ a = 442.
∴ k = 12 మరియు a = 442.

భాగఫలంలో మొదటి పదం = [latex]\frac{x^{4}}{x^{2}}[/latex] = x
భాగఫలంలో రెండవ పదం = [latex]\frac{-4 x^{3}}{x^{2}}[/latex] = – 4x
భాగఫలంలో మూడవ పదం = [latex]\frac{-(24+k) x^{2}}{x^{2}}[/latex] = – (24+ k)

AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 2 పూర్ణాంకాలు Ex 2.3

February 1, 2022

SCERT AP 6th Class Maths Solutions Chapter 2 పూర్ణాంకాలు Ex 2.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు Exercise 2.3

ప్రశ్న 1.
కింది అమరికను పరిశీలించండి.
1 × 8 + 1 = 9
12 × 8 + 2 = 98
123 × 8 + 3 = 987
1234 × 8 + 4 = 9876
12345 × 8 + 5 = 98765
తర్వాత వచ్చే నాలుగు సోపానాలు రాయండి. ఈ అమరిక తర్వాత సంఖ్యలకు ఎలా వస్తుందో చెప్పగలరా?
సాధన.
తర్వాత వచ్చే నాలుగు సోపానాలు
123456 × 8 + 6 = 987654
1234567 × 8 + 7 = 9876543
12345678 × 8 + 8 = 98765432
123456789 × 8 + 9 = 987654321
L.H.S లో ఉన్న సంఖ్యల అమరిక పెరుగుతుంది. మరియు R.H.S లో ఉన్న ఫలితంలో కుడివైపున ఉన్న సంఖ్యలు తగ్గుతున్నాయి.

ప్రశ్న 2.
13680347, 35702369, 25692359 సంఖ్యలను 9తో గుణించి, ఎటువంటి అమరిక వస్తుందో పరిశీలించండి.
సాధన.
i) 13680347 × 9 = 13680347 × (10 – 1)
వ్యవకలనం మీద గుణకార విభాగన్యాయం ప్రకారం,
= 13680347 × 10 – 13680347 × 1
= 136803470 – 13680347
= 123123123

ii) 35702369 × 9 = 35702369 × (10 – 1)
వ్యవకలనం మీద గుణకార విభాగన్యాయం ప్రకారం,
= 35702369 × 10 – 35702369 × 1
= 357023690 – 35702369
= 321321321

iii) 25692359 × 9 = 25692359 × (10 – 1)
వ్యవకలనం మీద గుణకార విభాగన్యాయం ప్రకారం,
= 25692359 × 10 – 25692359 × 1
= 256923590 – 25692359
= 231231231

AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 2 పూర్ణాంకాలు Ex 2.2

February 1, 2022

SCERT AP 6th Class Maths Solutions Chapter 2 పూర్ణాంకాలు Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు Exercise 2.2

ప్రశ్న 1.
తగిన విధంగా సంఖ్యల స్థానాలు మార్చుకొని మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
అ) 238 + 695 + 162
ఆ) 154 + 197 + 46 + 203
సాధన.
అ) 238 + 695 + 162 = 238 + 162 + 695 (స్థిత్యంతర ధర్మం )
= (238 + 162) + 695 (సహచర ధర్మం )
= 400 + 695 = 1095

ఆ) 154 + 197 + 46 + 203 = 154 + 46 + 197 + 203 (స్థిత్యంతర ధర్మం )
= (154 + 46) + (197 + 203) (సహచర ధర్మం)
= 200 + 400 = 600

ప్రశ్న 2.
తగిన విధంగా సంఖ్యల స్థానాలు మార్చుకొని లబ్దాన్ని కనుగొనండి.
అ) 25 × 1963 × 4
ఆ) 20 × 255 × 50 × 6
సాధన.
అ) 25 × 1963 × 4 = 25 × (4 × 1963) (స్థిత్యంతర ధర్మం)
= (25 × 4) × 1963 (సహచర ధర్మం)
= 100 × 1963 = 196300

ఆ) 20 × 255 × 50 × 6 = 20 × 50 × 255 × 6 (స్థిత్యంతర ధర్మం )
= (20 × 50) × (255 × 6) (సహచర ధర్మం)
= 1000 × 1530 = 15,30,000

ప్రశ్న 3.
తగిన ధర్మాలనుపయోగించి కింది లబ్దాలను కనుగొనండి.
అ) 205 × 1989
ఆ) 1991 × 1005
సాధన.
అ) 205 × 1989 = (200 + 5) × 1989
= (200 × 1989) + (5 × 1989) (విభాగన్యా యము)
= 397800 + 9945 = 407745

ఆ) 1991 × 1005 = 1991 × (1000 + 5)
= (1991 × 1000) + (1991 × 5) (విభాగ న్యాయము)
= 1991000 + 9955 = 2000955

ప్రశ్న 4.
ఒక పాల వ్యాపారి ఉదయం 56 లీటర్ల పాలను, సాయంత్రం 44 లీటర్ల పాలను ఒక వసతి గృహానికి సరఫరా చేస్తాడు. ఒక లీటరు పాల ధర ₹50 అయితే, అతనికి ఒక రోజుకు ఎంత డబ్బు వస్తుంది?
సాధన.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 2 పూర్ణాంకాలు Ex 2.2 1
ఒక లీటరు పాల ధర = ₹50
∴ ఒక రోజుకు వచ్చు డబ్బు = 100 × 50 = ₹ 5000
(లేదా)
పాలవ్యాపారి ఉదయం సరఫరా చేసే పాలు = 56 లీ.
ఒక లీటరు పాలధర = ₹50
ఉదయం సరఫరా చేసే పాలకు వచ్చు డబ్బు = 56 × 50 ప
ాల వ్యాపారి సాయంత్రం సరఫరా చేసే పాలు = 44 లీ.
సాయంత్రం సరఫరా చేసే పాలకు వచ్చు డబ్బు = ₹ 44 × 50
∴ ఒక రోజుకు వచ్చు డబ్బు = 56 × 50 + 44 × 50
= (56 + 44) × 50
= 100 × 50
= ₹ 5000

AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 2 పూర్ణాంకాలు Ex 2.1

February 1, 2022

SCERT AP 6th Class Maths Solutions Chapter 2 పూర్ణాంకాలు Ex 2.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 2nd Lesson పూర్ణాంకాలు Exercise 2.1

ప్రశ్న 1.
27 మరియు 46 ల మధ్య ఎన్ని పూర్ణాంకాలుంటాయి?
సాధన.
27 మరియు 46 ల మధ్య గల పూర్ణాంకాలు
28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45.
27 మరియు 46 ల మధ్య 18 పూర్ణాంకాలు కలవు.
(లేదా) (46 – 27) – 1 = 19 – 1 = 18

ప్రశ్న 2.
సంఖ్యారేఖనుపయోగించి కింది వాటిని కనుగొనండి.
అ) 6 + 7 + 7 ఆ) 18 – 9 ఇ) 5 × 3
సాధన.
అ) 6 + 7 + 7
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 2 పూర్ణాంకాలు Ex 2.1 1a

ఆ) 18 – 9
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 2 పూర్ణాంకాలు Ex 2.1 2

ఇ) 5 × 3
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 2 పూర్ణాంకాలు Ex 2.1 3

ప్రశ్న 3.
కింది జతలలో ఏ పూర్ణాంకం మరొక పూర్ణాంకానికి సంఖ్యారేఖపై కుడివైపున ఉంటుంది?
అ) 895, 239
సాధన.
895, 239 (895 > 239) కావున
895 సంఖ్యారేఖపై 239 కి కుడివైపున ఉంటుంది.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 2 పూర్ణాంకాలు Ex 2.1 4

ఆ) 1001, 10001
సాధన.
1001, 10001 (10001 > 1001) కావున
10001 సంఖ్యారేఖ పై 1001 కి కుడివైపున ఉంటుంది.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 2 పూర్ణాంకాలు Ex 2.1 5

ఇ) 15678, 4013
సాధన.
15678, 4013 (15678 > 4013) కావున
15678 సంఖ్యారేఖపై 4013 కు కుడివైపున ఉంటుంది.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 2 పూర్ణాంకాలు Ex 2.1 6

ప్రశ్న 4.
కనిష్ఠ పూర్ణాంకాన్ని సంఖ్యారేఖపై చూపండి.
సాధన.
కనిష్ఠ పూర్ణాంకము ‘0’
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 2 పూర్ణాంకాలు Ex 2.1 7

AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ Unit Exercise

February 1, 2022

AP SCERT 6th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ Unit Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 12th Lesson దత్తాంశ నిర్వహణ Unit Exercise

ప్రశ్న 1.
ఒక పాఠశాలలోని 20 మంది విద్యార్థుల వయస్సులు దిగువ ఇవ్వబడ్డాయి.
13, 10, 11, 12, 10, 11, 11, 13, 12, 11, 10, 11, 12, 11, 13, 11, 10, 13, 10, 12
(i) ఈ దత్తాంశానికి గణన చిహ్నాలతో పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను నిర్మించండి.
(ii) ఏవయసు గల విద్యార్థులు ఎక్కువ మంది కలరు?
(iii) 10 సం|| వయస్సు గల విద్యార్థులెందరు?
(iv) గరిష్ఠ వయస్సు గల విద్యార్థుల సంఖ్య ఎంత?
సాధన.
పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక:
(i)
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ Unit Exercise 1
(ii) 11 సం|| వయస్సు గల విద్యార్థులు ఎక్కువ మంది కలరు.
(iii) 10 సం|| వయస్సు గల విద్యార్థుల సంఖ్య 5.
(iv) గరిష్ఠ వయస్సు (13 సం||) గల విద్యార్థుల సంఖ్య 4.

ప్రశ్న 2.
ఒక పాచికను 30 సార్లు దొర్లించగా వచ్చిన ఫలితాలు
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ Unit Exercise 2
(i) పై దత్తాంశమునకు పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక తయారు చేయండి.
(ii) ఎక్కువ సార్లు (గరిష్ఠంగా) వచ్చిన ఫలితము (సంఖ్య) ఏది?
(iii) 4 కంటే పెద్దదైన సంఖ్య ఎన్నిసార్లు ఫలితంగా వచ్చింది ?
(iv) బేసి సంఖ్య ఎన్నిసార్లు ఫలితంగా వచ్చింది?
సాధన.
(i) పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక:
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ Unit Exercise 3
(ii) ఎక్కువసార్లు (గరిష్ఠంగా) వచ్చిన ఫలితము (సంఖ్య) 2 మరియు 3.
(iii) 4 కంటే పెద్దదైన సంఖ్య 5 – 4 సార్లు, 6 – 5 సార్లు ఫలితంగా వచ్చినవి.
(iv) బేసి సంఖ్య
1 – 5 సార్లు
3 – 6 సార్లు
5 – 4 సార్లు వచ్చినది.

ప్రశ్న 3.
ఒక పాఠశాలలోని వివిధ తరగతులలో A గ్రేడు విద్యార్థుల శాతాలు ఈ విధంగా ఉన్నది.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ Unit Exercise 4
పై దత్తాంశమును నిలువు కమ్మీ రేఖా చిత్రంలో చూపండి.
సాధన.
(i) VI వ తరగతి A గ్రేడు విద్యార్థులను సూచించు కమ్మీ పొడవు = [latex]\frac {65}{10}[/latex] = 6.5 సెం.మీ.
(ii) VII వ తరగతి A గ్రేడు విద్యార్థులను సూచించు కమ్మీ పొడవు = [latex]\frac {75}{10}[/latex] = 7.5 సెం.మీ.
(iii) VIII వ తరగతి A గ్రేడు విద్యార్థులను సూచించు కమ్మీ పొడవు = [latex]\frac {85}{10}[/latex] = 8.5 సెం.మీ.
(iv) IX వ తరగతి A గ్రేడు విద్యార్థులను సూచించు కమ్మీ పొడవు = [latex]\frac {60}{10}[/latex] = 6 సెం.మీ.
(v) Xవ తరగతి A గ్రేడు విద్యార్థులను సూచించు కమ్మీ పొడవు = [latex]\frac {80}{10}[/latex] = 8 సెం.మీ.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ Unit Exercise 5

ప్రశ్న 4.
ఒక పుస్తక విక్రేత ఆరు రోజులలో అమ్మిన గణిత పుస్తకాల సంఖ్య కింద ఇవ్వబడింది.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ Unit Exercise 6
ఈ దత్తాంశానికి అడ్డు కమ్మీ రేఖా చిత్రం నిర్మించండి.
సాధన.
సోమవారంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = [latex]\frac {65}{10}[/latex] = 6.5 సెం.మీ.
మంగళవారంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = [latex]\frac {40}{10}[/latex] = 4 సెం.మీ.
బుధవారంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = [latex]\frac {30}{10}[/latex] = 3 సెం.మీ.
గురువారంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = [latex]\frac {50}{10}[/latex] = 5 సెం.మీ.
శుక్రవారంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = [latex]\frac {70}{10}[/latex] = 7 సెం.మీ.
శనివారంను సూచించు కమ్మీ పొడవు = [latex]\frac {20}{10}[/latex] = 2 సెం.మీ.
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 12 దత్తాంశ నిర్వహణ Unit Exercise 7

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 3 బహుపదులు InText Questions

February 1, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 3 బహుపదులు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింది సమాసాలలో ఏవి బహుపదులు ? ఏవికావు ? కారణాలు తెల్పండి. (పేజీ నెం. 48)
(i) 2x³
(ii) [latex]\frac{1}{x-1}[/latex]
(iii) 4z² + [latex]\frac{1}{7}[/latex]
(iv) m² – √2m + 2
(v) p^-2 + 1
సాధన.
(i), (iii), (iv) లు బహుపదులు
(ii), (v) లు కావు.
కారణం బహుపదుల చరరాశుల ఘాతాంకాలు రుణేతర
పూర్ణ సంఖ్యలు కాని రుణ పూర్ణ సంఖ్యలు కావు.

ప్రశ్న 2.
(i) p(x) = x² – 5x – 6 అయిన p(1), p(2), p(3), p(0), p(- 1), p(- 2), p(- 3) విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 49)
సాధన.
p(x) = x² – 5x – 6
p(1) = (1)² – 5(1) – 6 = 1 – 5 – 6
p(1) = – 10
p(2) = (2)² – 5(2) – 6.= 4 – 10 – 6
p(2) = – 12
p(3) = 3² – 5(3) – 6 = 9 – 15 – 6
p(3) = – 12
p(0) = 0² – 5(0) – 6
p(0) = – 6
p(- 1) = (- 1)² – 5(- 1) – 6 = 1 + 5 – 6
p(- 1) = 0
p(- 2) = (- 2)² – 5(- 2) – 6 = 4 + 10 – 6
p(- 2) = 8
p(- 3) = (- 3)² – 5(- 3) – 6 = 9 + 15 – 6
p(- 3) = 18.

(ii) p(m) = m² – 3m +1 అయిన p(1) మరియు p(- 1) విలువలు కనుగొనండి:
సాధన.
p(m) = m² – 3m + 1
p(1) = (1)² – 3(1) + 1
= 1 – 3 + 1
p(1) = – 1
p(- 1) = (- 1)² – 3(- 1) +1
= 1 + 3 + 1
p(- 1) = 5

ప్రశ్న 3.
(i) p(x) = x² – 4x + 3 అయిన p(0), p(1), p(2), p(3) విలువలు కనుగొనండి. p(x) యొక్క శూన్యాలు ఏవో తెల్పండి. (పేజీ నెం. 50)
సాధన.
p(x) = x² – 4x + 3
p(0) = (0)² – 4(0) + 3
p(0) = 3
p(1) = (1)² – 4(1) + 3
= 1 – 4 + 3
p(1) = 0
p(2) = (2)² – 4(2) + 3
= 4 – 8 + 3
= 7 – 8
p(2) = – 1
p(3) = (3)² – 4(3) +.3
= 9 – 12 + 3
= 12 – 12
p(3) = 0
∴ p(1) = 0, p(3) = 0 కావున p(x) యొక్క శూన్య విలువలు 1 మరియు 3.

(ii) x² – 9 అనే బహుపదికి – 3 మరియు 3 శూన్యాలు 1. అవుతాయో కాదో సరిచూడండి.
సాధన.
p(x) = x² – 9
p(- 3) = (- 3)² – 9 = 9 – 9 = 0
p(3) = 3 – 9 = 9 – 9 = 0
p(- 3) = 0 మరియు p(3) = 0
∴ p(x) కు -3 మరియు 3లు శూన్య విలువలు అవుతాయి.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఏవైనా మూడు త్రిపరిమాణ, వర్గ బహుపదులను, రెండు రేఖీయ బహుపదులను విభిన్న పదాలతో రాయండి. (పేజీ నెం. 48)
సాధన.
(i) వర్గ బహుపదులు :
p(x) = x² – 5x + 6
f(x) = 5x – 10
g(x) = 7x²

(ii) ఘన బహుపదులు .
p(x) = 4x³ + 2x² + 7x + 4
f(x) = x³ + 9x – 15
g(x) = 5x³ + 9x² + 11

(iii) రేఖీయ బహుపదులు
p(x) = 5x – 20
g(x) = 4x

ప్రశ్న 2.
x చరరాశిలో గల వర్గ బహుపది, త్రిపరిమాణ బహుపదుల సాధారణ రూపాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 49)
సాధన.
వర్గ బహుపది p(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0
ఘన బహుపది p(x) = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0
(లేదా)
వర్గ బహుపది p(x) = a₀x² + a₁x + a₂ a₀ ≠ 0
ఘన బహుపది p(x) = a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃ a₀ ≠ 0

ప్రశ్న 3.
n పరిమాణం . కలిగిన ఒక బహుపది q(2)ను రాయండి. ఇందులో చరరాశీ గుణకాలుగా b₀ ………. b_n తీసుకుంటే, వాటికి ఏ నిబంధనలు వర్తిస్తాయో తెల్పండి. (పేజీ నెం. 49)
సాధన.
b₀, b₁ ………… b_n లు గుణకాలుగా గల, n వ పరిమాణ బహుపది q(2) యొక్క సాధారణ రూపం.
q(z) = b₀zⁿ + b₁z^{n – 1} + b₂z^{n – 2}
+ ………. + b_{n – 1}z + b_n.
ఇక్కడ b₀ ≠ 0 మరియు b₁, b₂, b₃, ……… b_n లు వాస్తవ సంఖ్యలు.
p(1) = (1)³ – 1 = 0
p(- 1) = (- 1)³ – 1 = – 1 – 1 = – 2
p(0) = (0)³ – 1 = – 1
p(2) = (2)³ – 1 = 8 – = 7
p(- 2) = (- 2)³ – 1 = – 8 – 1 = – 9

ప్రశ్న 4.
– 2 మరియు 2 అనేవి x⁴ – 16 అనే బహుపదికి శూన్యాలు అగునో, కాదో సరి చూడండి.
సాధన.
p(x) = x⁴ – 16
p(- 2) = (- 2)⁴ – 16 = 16 – 16 = 0
p(2) = (2)⁴ – 16 = 16 – 16 = 0.
p(- 2) = 0 మరియు p(2) = 0
∴ – 2 మరియు 2 లు x⁴ – 16 కు శూన్య విలువలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 5.
p(x) = x² – x – 6 అనే బహుపదికి 3 మరియు – 2 అనేవి శూన్యాలు అగునో, కాదో సరిచూడండి.
సాధన.
p(x) = x² – x – 6
p(3) = (3)² – (3) – 6 = 9 – 9 = 0
p(- 2) = (- 2)² – (- 2) – 6 = 4 + 2 – 6 = 0
p(3) = 0 మరియు p(- 2) = 0
∴ 3 మరియు – 2 లు p(x) కి శూన్య విలువలు అవుతాయి.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
(i) y = 2x + 5,
(ii) y = 2x – 5,
(iii) y = 2x అను బహుపదులకు రేఖాచిత్రాలు గీయండి. ఈ రేఖలు x- అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులు కనుగొనండి. వీటి x – నిరూపకాలు బహుపదుల శూన్య విలువలేనా ? (పేజీ నెం. 52)
సాధన.
(i) y = 2x + 5

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 7

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 8
a) y = 2x + 5 సూచించే సరళరేఖ x – అక్షాన్ని (- 2.5, 0) వద్ద ఖండించుచున్నది.
b) y = 2x + 5 యొక్క శూన్య విలువ 2x + 5 = 0 2x = – 5
శూన్య విలువ x = – 5/2 = – 2.5
c) y = 2x + 5 ను సూచించే సరళరేఖ
x – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులోని x – నిరూపకమే శూన్య విలువ అవుతున్నది.

ii) y = 2x – 5

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 9

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 10

a) y = 2x – 5 గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని (2.5, 0) బిందువు వద్ద ఖండించుచున్నది.
b) y = 2x – 5 శూన్య విలువ
2x – 5 = 0
2x = 5
శూన్య విలువ x = 5/2 = 2.5
c) y = 2x – 5 ను సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులోని x – నిరూపకమే శూన్య విలువ అవుతున్నది.

(iii) y = 2x
AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 11

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 12

a) y = 2x గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని (0, 0) బిందువు వద్ద ఖండించుచున్నది.
b) y = 2x శూన్య విలువ 2x = 0
∴ శూన్య విలువ x = 0
c) y = 2x గ్రాఫ్ సూచించే సరళరేఖ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులోని X – నిరూపకమే శూన్య విలువ అవుతున్నది.

Note : y = ax + b గ్రాఫ్ X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు [latex]-\frac{b}{a}[/latex] x – నిరూపకమే y = ax + b యొక్క శూన్య విలువ అవుతుంది.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
i) y = x² – x – 6, ii) y = 6 – x – x² లకు రేఖాచిత్రాలు గీయండి. ప్రతి సందర్భంలోనూ బహుపది శూన్యాలను కనుగొనండి. మీరు ఏమి గమనించారు ? (పేజీ నెం. 53)
సాధన.
i) y = x² – x – 6

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 13

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 14

y = x² – x – 6

పరిశీలనాంశాలు :
1) y = x² – x – 6 పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 2, 0) మరియు (3, 0) అనే బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది.

2) p(x) యొక్క శూన్య విలువలు
p(x) = x² – x – 6 = 0
⇒ x² – 3x + 2x – 6 = 0
⇒ x (x – 3) + 2 (x – 3) = 0
⇒ (x – 3) (x + 2) = 0
⇒ x – 3 = 0 లేదా x + 2 = 0
⇒ x = 3 లేదా x = – 2
p(x) శూన్య విలువలు 3 మరియు – 2.

3) y = x² – x – 6 పరావలయం X – అక్షాన్ని ఖండించిన బిందువులు (3, 0) మరియు (- 2, 0) లలోని X – నిరూపకాలు 3 మరియు – 2 లు x² – x – 6 యొక్క శూన్య విలువలు అవుతున్నాయి.

ii) y = 6 – x – x²

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 15

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 16

పరిశీలనాంశాలు :
1) y = 6 – x – x² లో – 1 < 0 (a < 0).
2) y = 6 – x – x² పరావలయం క్రింది వైపు వివృతంగా (తెరచుకొని) ఉంది.
3) y = 6 – x – x² పరావలయం X – అక్షాన్ని (- 3, 0) మరియు (2, 0) అనే బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది.
y = 6 – x – x² యొక్క శూన్య విలువలు
p(x) = – x² – x + 6 = 0
⇒ – x² – 3x + 2x + 6 = 0
⇒ – x (x + 3) + 2 (x + 3) = 0.
⇒ (x + 3) (2 -x) = 0
⇒ x + 3 = 0 లేదా 2 – x = 0
⇒ x = – 3 లేదా x = 2
∴ p(x) శూన్య విలువలు -3 మరియు 2

4) p(x) = y = 6 – x – x² పరావలయం X – అక్షాన్ని ఖండించిన బిందువులు (- 3, 0) మరియు (2, 0) లలోని x – నిరూపకాలు’ p(x) యొక్క శూన్య విలువలు అవుతున్నాయి.

ప్రశ్న 2.
రెండు శూన్యాలు కలిగిన ఏవేని మూడు బహుపదులను వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
బహుపది p(x) = ax² + bx + c రెండు వాస్తవ శూన్య విలువలను కలిగి ఉండాలంటే b² – 4ac > 0 అయ్యేటట్లు a, b, c లు ఉండాలి (a ≠ 0).
i) a = 1, b = 5, c = 6 అయిన
b² – 4ac = (5)² – 4(1) (6) = 25 – 24 > 0
∴ బహుపది p(x) = x² + 5x + 6.

ii) a = 1, b = 0, c = – 8 అయిన
b² – 4ac = 0 – 4(1) (-8) = 32 > 0
∴ బహుపది p(x) = x² – 8.

iii) a = 1, b = – 3, c = 0 అయిన
b² – 4ac = (-3) – 4(1) (0) = 9 > 0
∴ బహుపది p(x) = x² – 3x.

2వ పద్ధతి :
బహుపది p(x)కి రెండు వాస్తవ శూన్య విలువలు (α, β) ఉంటే p(x) = (x – α) (x – β)గా రాయవచ్చును.

i) p(x) = [x – (-2)] [x – (-3)]
= (x + 2) (x + 3)
∴ p(x) = x² + 5x + 6.

ii) p(x) = (x – 272) (x + 2/2 )
= x² – (2/2)²
∴ p(x) = x² – 8.

iii) p(x) = (x – 0) (x – 3)
∴ p(x) = x² – 3x.

ప్రశ్న 3.
ఒకే ఒక శూన్యం కలిగిన ఒక బహుపదిని వ్రాయండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
p(x) = ax² + bx + c ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉండాలంటే b² – 4ac = 0 అయ్యేటట్లు a, b, c లు ఉండాలి (a #0).
a = 1, b = – 4, c = 4 అయిన
b² – 4ac = (- 4)² – 4(1)(4)
= 16 – 16 = 0
∴ బహుపది p(x) = x² – 4x + 4.

2వ పద్దతి :
వర్గ బహుపది ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉంటే p(x) = (x – α)² రూపంలో రాయగలము.
p(x) = (x – 2)²
= x² – 4x + 4.

ప్రశ్న 4.
ఒక బహుపదికి ఒకే ఒక శూన్యము వుంటే దానిని ఏవిధంగా నిరూపిస్తావు ? (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
p(x) = x² – 4x + 4 ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉంటే b² – 4ac.= 0 కావాలి.
(- 4)² – 4(1) (4) = 16 – 16 = 0.
(లేదా)
p(x) = x² – 4x + 4 యొక్క గ్రాఫ్ గీచి గ్రాఫ్ X- అక్షాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద ఖండిస్తుందని చూపి సరిచూడగలను. .
(లేదా)
p(x) = ax² + bx + c ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉండాలంటే
p(x) = (x – α)², α ∈ R అయ్యేట్లు రాయగలగాలి.
p(x) = x² – 4x + 4
= x² – 2.x. 2 + (2)²
p(x) = (x – 2)²
p(x) = (x – α)² రూపంలో రాయగలిగాను కాబట్టి
p(x) ఒకే ఒక శూన్య విలువను కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
వాస్తవసంఖ్య ‘x’ కలిగి వుండి శూన్యం లేని బహుపదులను ఏవైనా మూడింటిని రాయండి. (పేజీ నెం. 55)
సాధన.
బహుపది p(x) యొక్క శూన్య విలువలు
b² – 4ac < 0 అయినప్పుడు వాస్తవ సంఖ్యలు కావు.
i) a = 1, b = 2, c = 3 అయిన
b² – 4ac = 4 – 12 = – 8 < 0
∴ p(x) = x² + 2x + 3.

ii) a = 2, b = 0, c = 7 అయిన
b² – 4ac = 0 – 56 = – 56 < 0
∴ p(x) = 2x² + 7.

iii) a = – 3, b = 5, c = -4
b² – 4ac = 25 – 48 = – 23 < 0.
∴ p(x) = – 3x² + 5x – 4.

ప్రశ్న 6.
రేఖాచిత్రాలు గీయకుండానే దిగువ ఘన బహుపదులకు శూన్యాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 57)
(i) – x³.
(ii) x² – x³.
(iii) x³ – 5x² + 6x
సాధన.
(i) – x³
p(x) = – x³ = 0 అయిన x = 0
p(x) = – x³ యొక్క శూన్య విలువ ‘0’.

(ii) x² – x³
p(x) = x² – x³
p(x) = x² – x³ = 0 అయిన
x² (1 – x) = 0
x² = 0 లేదా 1 – x = 0
x = 0 లేదా 1 = x
p(x) = x² – x³ యొక్క శూన్య విలువలు ‘1’ మరియు ‘0’.

(iii) x³ – 5x² + 6x
p(x) = x³ – 5x² + 6x = 0 అయిన
⇒ x(x² – 5x + 6) = 0
⇒ x = 0 లేదా x² – 5x + 6 = 0 ………….. (1)
(1) ⇒ x² – 5x + 6 = x² – 3x – 2x + 6 = 0
x(x – 3) – 2(x – 3) = 0 (x – 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0 లేదా x – 2 = 0
x = 3 లేదా x = 2
p(x) = x³ – 5x² + 6x యొక్క శూన్య విలువలు ‘0’, ‘2’, ‘3’.
Note :
బహుపది p(x) లో స్థిరపదం లేకపోతే p(x) కు సున్న ఒక శూన్య విలువ అవుతుంది.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
దిగువ ఇవ్వబడిన వర్గ బహుపదుల యొక్క శూన్యాలను కనుగొనండి. ఇదేవిధంగా శూన్యాల మొత్తము మరియు లబ్ధమును కనుగొని, బహుపది పదాల గుణకాలకు మధ్యన గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 62)
(i) p(x) = x² – x – 6
(ii) p(x) = x² – 4x + 3
(iii) p(x) = x² – 4
(iv) p(x) = x² + 2x + 1
సాధన.
i) p(x) = x² – x – 6

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 21

p(x) = 0 అయిన x² – x – 6 = 0
x² – 3x + 2x – 6 = 0
x (x – 3) + 2 (x – 3) = 0
x (x – 3) (x + 2) = 0
x – 3 = 0 లేదా x + 2 = 0
x = 3 లేదా x = – 2
∴ శూన్య విలువలు α = 3, β = – 2.
అం శూన్య విలువల మొత్తం α + β = 3 + (- 2) = 1
= [latex]\frac{-(-1)}{1}[/latex] = AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 22
శూన్య విలువల లబ్దం αβ = (3) (- 2) = – 6 =

(ii) p(x) = x² – 4x + 3

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 24

p(x) = 0 అయిన x² – 4x + 3 = 0
x² – 3x – x + 3 = 0
x(x – 3) – 1 (x – 3) = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 లేదా x – 1 = 0
x = 3 లేదా x = 1
∴ శూన్య విలువలు α = 3, β = 1.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β = 3 + 1 = 4
= [latex]\frac{-(-4)}{1}[/latex]
శూన్య విలువల లబ్దం αβ = 3 (1) = 3

(iii) p(x) = x² – 4
p(x) = 0 అయిన x² – 4 = 0.
x² = 4 = x = + 2
శూన్య విలువలు α = 2, β = – 2.
శూన్య విలువల మొత్తం α + β = 2 + (- 2) = 0
= [latex]\frac{0}{1}[/latex] = AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 22
శూన్య విలువల లబ్ధం αβ = (2) (- 2) = – 4
= [latex]-\frac{4}{1}[/latex] =

(iv) p(x) = x² + 2x + 10
p(x) = 0 అయితే,
x² + 2x + 1 = 0.
x² + 2.x. 1 + 1 = 0
(x + 1) ²= 0 శూన్య విలువలు సమానం
∴ x + 1 = 0
x = – 1
α = – 1 మరియు β = – 1 శూన్య విలువల మొత్తం α + β = (- 1) + (- 1)
= – 2 = [latex]-\frac{2}{1}[/latex] = AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 22
శూన్య విలువల లబ్దం αβ = (- 1) (- 1) = 1
= [latex]\frac{1}{1}[/latex] =

ప్రశ్న 2.
α, β మరియు γ అనేవి ఒక ఘన బహుపది యొక్క శూన్యాలైతే తగిన విలువలు కనుగొని పట్టికలో పూరించండి. (పేజీ నెం. 66)

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 25

సాధన.
α + β + γ = AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 26

αβ + βγ + γα = AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 27

αβγ = AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 28

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 29

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
– 2 మరియు [latex]\frac{1}{3}[/latex] శూన్యాలు కలిగిన వర్గ బహుపదిని కలిగిన కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 64)
సాధన.
α = – 2, β = [latex]\frac{1}{3}[/latex]
α + β = – 2 + [latex]\frac{1}{3}[/latex]
= [latex]\frac{-6+1}{3}[/latex] = – [latex]\frac{5}{3}[/latex]
αβ = (- 2) ([latex]\frac{1}{3}[/latex]) = – [latex]\frac{2{3}[/latex]
వర్గ బహుపది p(x) = k[x² – (α + β)x + αβ]
= k [x² – ([latex]-\frac{5}{3}[/latex]) x + ([latex]-\frac{2}{3}[/latex])]
= k [latex]\left[\frac{3 x^{2}+5 x-2}{3}\right][/latex]
k = 3 అయిన p(x) = 3x² + 5x – 2.

ప్రశ్న 2.
శూన్యాల మొత్తం [latex]-\frac{3}{2}[/latex] మరియు లబ్ధం – 1 కలిగిన వర్గ బహుపదిని తెలపండి. (పేజీ నెం. 64)
సాధన.
α + β = [latex]-\frac{3}{2}[/latex], αβ = – 1
వర్గ బహుపది = k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – ([latex]-\frac{3}{2}[/latex])x + (- 1)]
= k [latex]\left[\frac{2 x^{2}+3 x-2}{2}\right][/latex]
k = 2 అయిన p(x) = 2x² + 3x – 2.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
క్రింది పటములలో ఇవ్వబడిన రేఖాచిత్రాలను గమనించండి. ప్రతి రేఖాచిత్రం y = p(x) నందు p(x) అనేది ఒక బహుపది. ప్రతి సందర్భములోనూ X వ్యాప్తితో కూడిన బహుపది p(x)నకు శూన్యాల సంఖ్యను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 58)

(i) AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 1

(ii) AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 2

(iii) AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 3

(iv) AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 4

(v) AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 5

(vi) AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 6
సాధన.
పైన చూపిన పటాలలో x వ్యాప్తితో కూడిన రేఖాచిత్రాలు
(i) రేఖాచిత్రం x – అక్షంను ఒక బిందువు వద్ద ఖండించింది. కావున శూన్యాల సంఖ్య 1.
(ii) రేఖాచిత్రం x – అక్షంను రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించింది. కావున శూన్యాల సంఖ్య 2.
(iii) శూన్యాల సంఖ్య 3.
(iv) శూన్యాల సంఖ్య 1.
(v) శూన్యాల సంఖ్య 1.
(vi) శూన్యాల సంఖ్య 4.

ప్రశ్న 2.
క్రింది బహుపదులకు శూన్యాల సంఖ్యను కనుగొనండి మరియు వాటి విలువలను తెలపండి.
(i) p(x) = 2x + 1
(ii) q(y) = y² -1
(iii) r(z) = 73 (పేజీ నెం. 59)
సాధన.
బహుపదుల రేఖాచిత్రాలు గీయకుండానే మనం శూన్యాలను కనుగొందాము.
(i) p(x) = 2x + 1 అనేది ఒక రేఖీయ బహుపది కావున దీనికి ఒకే ఒక శూన్యం ఉంటుంది.
p(x) = 0 తీసుకోండి. అంటే, 2x + 1 = 0
కావున x = [latex]-\frac{1}{2}[/latex] అగును.
ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యం [latex]-\frac{1}{2}[/latex].

(ii) q(y) = y² – 1 అనేది ఒక వర్గబహుపది.
కావున దీనికి గరిష్ఠంగా రెండు శూన్యాలు ఉంటాయి.
q(y) = 0 అనుకోండి
⇒ y² – 1 = 0
⇒ (y + 1) (y – 1) = 0
⇒ y = – 1 లేదా y = 1
∴ ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యాలు – 1 మరియు 1 అయినవి.

(iii) r(7) = z³ అనేది ఒక ఘన బహుపది కావున
దీనికి గరిష్ఠంగా మూడు శూన్యాలుంటాయి. r(z) = 0 అనుకొనండి.
⇒ z = 0
∴ ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యము ‘సున్న’ అయినది.

ప్రశ్న 3.
x² + 7x + 10 అనే వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలను కనుగొని, శూన్యాలకు, బహుపది గుణకాలకు సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 62)
సాధన.
మనకు x² + 7x + 10 = (x + 2) (x + 5) అగును.
కావున, x² + 7x + 10 యొక్క విలువ శూన్యం కావాలంటే x + 2 = 0 లేదా x + 5 = 0 కావాలి
అంటే x = – 2 లేదా x = – 5 అగును.
కావున x² + 7x + 10 యొక్క శూన్యాలు – 2 మరియు – 5 అగును.
ఇప్పుడు, శూన్యాల మొత్తము = – 2 + (- 5) = (7) = AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 17
శూన్యాల లబ్ధము = – 2 × (- 5) = 10
=

ప్రశ్న 4.
x² – 3 అనే బహుపది యొక్క శూన్యాలు కనుగొని, శూన్యాలకు, బహుపది గుణకాలకు మధ్య గల సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 63)
సాధన.
a² – b² = (a – b) (a + b) అనే సర్వసమీకరణం గుర్తుకు తెచ్చుకోండి.
దీనినుపయోగించి x² – 3 = (x – √3 ) (x + √3 ) అని వ్రాయవచ్చు.
కావున x² – 3 యొక్క శూన్యాలు x = √3 లేదా x = – √3.
ఈ విధంగా, x² – 3 యొక్క శూన్యాలు √3 మరియు – √3 అవుతాయి.
ఇప్పుడు, శూన్యాల మొత్తము = √3 + (- √3) = 0
= AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 19
శూన్యాల లబ్ధము = (√3) × (- √3) = – 3
=

ప్రశ్న 5.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తము మరియు లబ్దము వరుసగా – 3 మరియు 2 అయిన ఆ వర్గ బహుపదిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 63)
సాధన.
α మరియు β లు శూన్యాలుగా కలిగిన వర్గ బహుపదిని ax² + bx + c అనుకోండి. α + β = – 3 = [latex]-\frac{b}{a}[/latex] మరియు αβ = 2 = [latex]\frac{c}{a}[/latex]
మనము a = 1 తీసుకుంటే b = 3 మరియు c = 2 అగును.
కావున ఇచ్చిన నియమానికి లోబడి ఏర్పడే వర్గ బహుపది x² + 3x + 2 అవుతుంది.

ప్రశ్న 6.
ఒక వర్గ బహుపది యొక్క శూన్యాలు వరుసగా 2 మరియు 3 అయినచో ఆ బహుపదిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 64)
సాధన.
α, β లు శూన్యాలుగా కలిగిన వర్గబహుపది
ax² + bx + c, a ≠ 0 అనుకోండి. ఇచ్చట α = 2, β = [latex]-\frac{1}{3}[/latex].
శూన్యాల మొత్తం = (α + β) = 2 + ([latex]-\frac{1}{3}[/latex]) = [latex]\frac{5}{3}[/latex]
శూన్యాల లబ్ధం = (αβ) = 2([latex]-\frac{1}{3}[/latex]) = [latex]-\frac{2}{3}[/latex]
కావున, వర్గ బహుపది ax² + bx + c ని k[x² – (α + β) x + αβ], k ఒక స్థిరపదముగా వ్రాస్తే = k [x² – [latex]\frac{5}{3}[/latex] x – [latex]\frac{2}{3}[/latex]] అగును.
వాస్తవ సంఖ్య ‘k’ కు వివిధ విలువలను ఇవ్వవచ్చును. k = 3 అయినచో వర్గ బహుపది 3x² – 5x – 2 అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
ఘన బహుపది p(x) = 3x³ – 5x² – 11x – 3 యొక్క శూన్యాలు 3, – 1 మరియు – [latex]\frac{1}{3}[/latex] అగునని చూపండి. బహుపది గుణకాలకు, శూన్యాలకు మధ్యగల సంబంధాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 66)
సాధన.
ఇచ్చిన ఘన బహుపది p(x) = 3x³ – 5x² – 11x – 3 ని – ax³ + bx² + cx + d తో సరిపోల్చిన a = 3, b = – 5, c = – 11, d = – 3 అగును. దీని నుండి
p(3) = (3 × 3³) – (5 × 3²) – (11 × 3) – 3
= 81 – 45 – 33 – 3 = 0
p(- 1) = 3 × (- 1)³ – 5 × (- 1)² – 11 × (- 1) – 3
= – 3 – 5 + 11 – 3 = 0.
p(- [latex]\frac{1}{3}[/latex]) = 3 × (- [latex]\frac{1}{3}[/latex])³ – 5 × (- [latex]\frac{1}{3}[/latex])² – 11 × – [latex]\frac{1}{3}[/latex] – 3
= – [latex]\frac{1}{9}[/latex] – [latex]\frac{5}{9}[/latex] + [latex]\frac{11}{3}[/latex] – 3
= – [latex]\frac{2}{3}[/latex] + [latex]\frac{2}{3}[/latex] = 0 అగును.
కావున 3x³ – 5x² – 11x – 3 యొక్క శూన్యాలు, 3, – 1 మరియు – [latex]\frac{1}{3}[/latex] అని చూపడమైనది..
ఇప్పుడు α = 3, β = – 1 మరియు γ = – [latex]\frac{1}{3}[/latex] తీసుకొంటే
α + β + γ = 3 + (- 1) + (- [latex]\frac{1}{3}[/latex]) = 2 – [latex]\frac{1}{3}[/latex]
αβ + βγ + γα = 3 × (- 1) + (- 1) × (- [latex]\frac{1}{3}[/latex]) + (- [latex]\frac{1}{3}[/latex]) × 3
= – 3 + [latex]\frac{1}{3}[/latex] – 1
= [latex]-\frac{11}{3}[/latex] = [latex]\frac{c}{a}[/latex]
αβγ = 3 × (- 1) × (- [latex]\frac{1}{3}[/latex])

ప్రశ్న 8.
2x² + 3x + 1 ను x + 2 చే భాగించండి. (పేజీ నెం. 68)
సాధన.
భాగహారంలో శేషము. సున్న వచ్చిననూ లేదా శేషము యొక్క పరిమాణము, విభాజకము యొక్క పరిమాణము కన్నా తక్కువ అయినప్పుడు భాగహారము పూర్తయినట్లుగా భావిస్తామని గుర్తించండి. ఇచ్చట, భాగహారములో ఆ ‘భాగఫలము 2x – 1 మరియు శేషము 3 అయినది. ఇదే ‘విధంగా భాగహార నియమాన్ని సరిచూస్తే
(2x – 1) (x + 2) + 3 = 2x² + 3x – 2 + 3
= 2x² + 3x + 1
అంటే 2x² + 3x + 1 = (x + 2) (2x – 1) + 3
కావున, విభాజ్యము = విభాజకము × భాగఫలము + శేషము అయినది.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 30

ప్రశ్న 9.
3x³ + x² + 2x + 5 ను 1 + 2x + x² చే భాగించండి. (పేజీ నెం. 68)
సాధన.
మొదటగా మనం విభాజ్యం మరియు విభాజకాలను పదాల పరిమాణాల కనుగుణంగా అవరోహణ క్రమంలో అమర్చుకొని బహుపదులను ప్రామాణిక రూపంలో రాసుకోవాలి. ఇచ్చిన ఉదాహరణలో విభాజ్యము ప్రామాణిక రూపంలోనే వుంది. విభాజకాన్ని కూడా ప్రామాణిక రూపం x² + 2x + 1 గా రాయవచ్చును.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 31

సోపానం 1: భాగఫలంలో మొదటి పదాన్ని పొందడానికి, విభాజ్యంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదాన్ని, (అనగా 3x³) విభాజకంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదము (అనగా x²) తో భాగించాలి. ఇది 3x అవుతుంది. ఈ క్రమంలో భాగహారం కొనసాగిస్తే శేషం – 5x² – x + 5 వస్తుంది.

సోపానం 2:
ఇప్పుడు, భాగఫలములో రెండవ పదాన్ని పొందడానికి, కొత్త విభాజ్యంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదము (అనగా 5x²)ను విభాజకంలో గరిష్ఠ పరిమాణ పదము (అనగా x²) చే భాగిస్తే – 5 వస్తుంది. ఈ క్రమంలో తిరిగి భాగహారము – 5x² – x + 5 తో కొనసాగించాలి.

సోపానం 3 :
మిగిలిన శేషము 9x + 10. దీని యొక్క పరిమాణము తిరిగి విభాజకము x² + 2x + 1 యొక్క పరిమాణము కన్నా తక్కువ. అందుచే నియమము ప్రకారం భాగహారాన్ని కొనసాగించలేము. అందుచే భాగఫలము 3x – 5 మరియు శేషము 9x + 10 అయినది.
ఇలాగే (x² + 2x + 1) x (3x – 5) + (9x + 10)
= (3x³ + 6x² + 3x – 5x² – 10x – 5 + 9x + 10)
= 3x³ + x² + 2x + 5
అంటే విభాజ్యం = విభాజకం X భాగఫలం + శేషం అయినది.

ప్రశ్న 10.
3x² – x³ – 3x + 5 ను x – 1 – x² చే భాగించి, భాగహార నియమాన్ని సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 69)
సాధన.
ఇచ్చిన బహుపదులు ప్రామాణిక. రూపంలో లేవని గుర్తించండి. భాగహారం ప్రారంభించడానికి ముందుగా విభాజ్యం మరియు విభాజకాలను పరిమాణాల ప్రకారం అవరోహణ క్రమంలో రాయాలి.
కావున, విభాజ్యం = – x³ + 3x² + 3x + 5 మరియు విభాజకం = – x² + x – 1 అగును.
భాగహార ప్రక్రియలో శేషం యొక్క పరిమాణం విభాజకం (- x² + x – 1) యొక్క పరిమాణం కన్నా తక్కువ అయినందున భాగహారం ఆపివేస్తాం. ”
అందుచే, భాగఫలం = x – 2, శేషం = 3.
ఇప్పుడు,
విభాజ్యం = విభాజకం × భాగఫలం + శేషం
= (- x² + x – 1) (x – 2) + 3
= – x³ + x² – x + 2x² – 2x + 2 + 3
= – x³ + 3x² – 3x + 5
ఈ విధంగా, భాగహార నియమం సరిచూడడమైనది.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 32

ప్రశ్న 11.
2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 అను బహుపదికి √2 మరియు – √2 లు రెండు శూన్యాలైన మిగిలిన అన్ని శూన్యాలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 70)
సాధన.
√2 మరియు – √2 అనేవి ఇవ్వబడిన బహుపదికి రెండు శూన్యాలు కావున, ఈ బహుపదిని (x – √2) (x + √2) = x² – 2 చే భాగించవచ్చు.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 3rd Lesson బహుపదులు InText Questions 33

భాగఫలంలో మొదటి పదము = [latex]\frac{2 x^{4}}{x^{2}}[/latex] = 2x²

భాగఫలంలో రెండవ పదము = [latex]\frac{-3 x^{3}}{x^{2}}[/latex] = – 3x

భాగఫలంలో మూడవ పదము = [latex]\frac{x^{2}}{x^{2}}[/latex] = 1

కావున, 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 = (x – 2) (2x² – 3x + 1)
ఇప్పుడు 2x² – 3x + 1 లో మధ్య పదము – 3x ను విభజించి కారణాంకాలుగా రాస్తే (2x – 1) (x – 1) వచ్చును. కావున మిగిలిన రెండు శూన్యాలు x = [latex]\frac{1}{2}[/latex], మరియు x = 1 అగును. ఈ విధంగా ఇచ్చిన బహుపది యొక్క శూన్యాలు √2, – √2, 1 మరియు [latex]\frac{1}{2}[/latex] అవుతాయి.

AP 7th Class Maths Bits 8th Lesson ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు

February 1, 2022

Practice the AP 7th Class Maths Bits with Answers 8th Lesson ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 7th Class Maths Bits 8th Lesson ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాలు

క్రింది వానికి సరైన సమాధానాలను ఎన్నుకొనుము.

ప్రశ్న1.
35 యొక్క ఘాతాంకము
(A) 5
(B) 3
(C) 3 లేదా 5
(D) 35
జవాబు :
(A) 5

ప్రశ్న2.
క్రింది వానిలో ఏది a యొక్క 5వ ఘాతం ?
(A) 5a
(B) 5^a
(C) a⁵
(D) [latex]\frac{5}{a}[/latex]
జవాబు :
(C) a⁵

ప్రశ్న3.
(3x)⁴ యొక్క విస్తరణ రూపం.
(A) 3 × x × x × x × x
(B) 3 × 3 × 3 × 3 × x
(C) 3x × 3x × 3x × 3x
(D) 4x × 4x × 4x
జవాబు :
(C) 3x × 3x × 3x × 3x

ప్రశ్న4.
72 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దము
(A) 2³ × 9
(B) 2³ × 3²
(C) 2² × 3³
(D) 2² × 3²
జవాబు :
(B) 2³ × 3²

ప్రశ్న5.
క్రింది వానిని జతపరచడంలో ఏది సరైనది?

i) a^m × aⁿ =	(a) (ab)^m.
ii) (a^m)ⁿ =	(b) a^m-n
iii) a^m × b^m=	(c) a^mn
iv) [latex]\frac{a^{m}}{a^{n}}[/latex]=	(d) a^m+n

(A) i – b, ii – a, iii – d; iv – C
(B) i – d, ii – b, iii – C, iv – a
(C) i-d, ii – c, iii – b, iv – a
(D) i-d, ii – c, iii – a, iv – b
జవాబు :
(D) i-d, ii – c, iii – a, iv – b

ప్రశ్న6.
a⁰ =
(A) 1
(B) a
(C) 0
(D) [latex]\frac{1}{a}[/latex]
జవాబు :
(A) 1

ప్రశ్న7.
[latex]\frac{6^{2021}}{6^{2021}}[/latex] =
(A) 0
(B) 1
(C) 6
(D) 2021
జవాబు :
(B) 1

ప్రశ్న8.
[latex]\frac{-27}{125}[/latex] యొక్క ఘాతరూపం
(A) [latex]\left(\frac{5}{3}\right)^{3}[/latex]
(B) [latex]\left(\frac{3}{5}\right)^{3}[/latex]
(C) [latex]\left(\frac{-3}{5}\right)^{3}[/latex]
(D) [latex]\left(\frac{-5}{3}\right)^{3}[/latex]
జవాబు :
(C) [latex]\left(\frac{-3}{5}\right)^{3}[/latex]

ప్రశ్న9.
2⁰ + 3⁰ – 4⁰ =
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
జవాబు :
(D) 1

ప్రశ్న10.
10^y = 1000 అయిన 2^y విలువ
(A) 3
(B) 8
(C) 4
(D) 100
జవాబు :
(B) 8

ప్రశ్న11.
[latex]\left(\frac{x^{5}}{x^{2}}\right)[/latex] × x¹⁰
(A) x³
(B) x¹⁵
(C) x¹³
(D) x¹⁰
జవాబు :
(C) x¹³

ప్రశ్న12.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం? ది సత్యం ?
(A) 2¹⁰ < 10²
(B) 2³ > 3³
(C) 5² < 2⁵
(D) 4³ < 2⁶
జవాబు :
(C) 5² < 2⁵

ప్రశ్న13.
(6² × 6⁸) ÷ 6⁵ =
(A) 6⁵
(B) 6⁸
(C) 6²
(D) 2⁶
జవాబు :
(A) 6⁵

ప్రశ్న14.
భారతదేశ జనాభా (సుమారుగా) 1250000000 యొక్క ప్రామాణిక రూపం
(A) 1.25 × 10¹⁰
(B) 1.25 × 10⁹
(C) 12.5 × 10⁸
(D) 12.5 × 10⁹
జవాబు :
(B) 1.25 × 10⁹

ప్రశ్న15.
(-1)²⁰²¹ =
(A) 0
(B) 2021
(C) 1
(D) – 1
జవాబు :
(D) – 1

ప్రశ్న16.
2011 జనాభా లెక్కల ప్రకారం తెలంగాణ మరియు ఆంధ్రప్రదేశ్ రాష్ట్రాల మొత్తం జనాభా 8,50,00,000 (సుమారుగా) యొక్క విస్తరణ రూపం.
(A) 8 × 10⁷ + 5 × 10⁶
(B) 8 × 10⁶ + 5 × 10⁵
(C) 5 × 10⁷ + 8 × 10⁶
(D) 8 × 10⁸ + 5 × 10⁷
జవాబు :
(A) 8 × 10⁷ + 5 × 10⁶

ప్రశ్న17.
భూమి’9 మరియు ఘాతాంకం 12 యొక్క ఘాత రూపం
(A) 12⁹
(B) 9¹²
(C) (-9)¹²
(D) 12^-9
జవాబు :
(B) 9¹²

ప్రశ్న18.
7³ × 7^2x = 7⁵ అయిన x విలువ
(A) 5
(B) 3
(C) 2
(D) 1
జవాబు :
(D) 1

ప్రశ్న19.
5^x = 100 అయిన 5^x+1 =
(A) 100
(B) 20
(C) 500
(D) 1000
జవాబు :
(C) 500

ప్రశ్న20.
3^y = 729 అయిన 3^y-2 విలువ
(A) 6561
(B) 81
(C) 243
(D) 2187
జవాబు :
(A) 6561

ప్రశ్న21.
(5²)³ = 5^2×3 = 5⁶
పై సమస్యా సాధనలో ఉపయోగించిన ఘాతాంక న్యాయము
(A) a^m x aⁿ = a^m+n
(B) [latex]\frac{a^{m}}{a^{n}}[/latex] = a^m-n
(C) (a^m)ⁿ = a^mn
(D) పైవన్నీ
జవాబు :
(C) (a^m)ⁿ = a^mn

ప్రశ్న22.
(-5)³ × (-5)⁵ = (-5)^m అయిన m విలువ
(A) 3.
(B) 5
(C) -5
(D) 8
జవాబు :
(D) 8

ప్రశ్న23.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం?
(A) [latex]\frac{10^{8}}{10^{5}}[/latex] = 10³
(B) [latex]\frac{10^{5}}{10^{8}}=\frac{1}{10^{3}}[/latex]
(C) [latex]\left(\frac{-1}{625}\right)=\left(\frac{-1}{5}\right)^{4}[/latex]
(D) పైవన్నీ
జవాబు :
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న24.
a = 3, b = 2 అయిన a^b + b^a =
(A) 17
(B) 27
(C) 5
(D) 6
జవాబు :
(A) 17

క్రింది ఖాళీలను పూరింపుము.

ప్రశ్న1.
243ను 3 భూమిగా తరూపంలో రాయగా _____________
జవాబు :
3⁵

ప్రశ్న2.
శూన్యంలో కాంతి వేగం 30,00,00,000 మీ./సె. యొక్క ఘాతరూపం _____________ మీ./సె.
జవాబు :
3 × 10⁸

ప్రశ్న3.
(-5)⁷ × (-5)² = (-5)⁷⁺² = (-5)⁹ సూక్ష్మీకరణలో ఉపయోగించిన ఘాతాంక న్యాయము _____________
జవాబు :
a^m × aⁿ = a^m+n

ప్రశ్న4.
(2022)° = _____________
జవాబు :
1

ప్రశ్న5.
n సరి సంఖ్య అయిన (-1)ⁿ = _____________
జవాబు :
1

ప్రశ్న6.
[latex]\frac{-25}{49}[/latex] యొక్క ఘాతరూపం _____________
జవాబు :
[latex]\left(-\frac{5}{7}\right)^{2}[/latex]

ప్రశ్న7.
లబ్దం 256 రావడానికి 26ను గుణించాల్సిన సంఖ్య _____________
జవాబు :
4 లేదా 2⁴

ప్రశ్న8.
10^y = 1000 అయిన (-3)y = _____________
జవాబు :
-9

ప్రశ్న9.
3^{2P + 2} = 3⁶ అయిన P విలువ _____________
జవాబు :
2

ప్రశ్న10.
భూమి చుట్టుకొలత 402000000 యొక్క ప్రామాణిక రూపం _____________ మీ.
జవాబు :
4.02 × 10⁸

ప్రశ్న11.
1600 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ది ఘాత రూపం _____________
జవాబు :
2⁶ × 5²

ప్రశ్న12.
m = 4, n = 2 అయిన mⁿ – n^m = _____________
జవాబు :
0

జతపరుచుము :

ప్రశ్న1.

i) a⁴=	a) 1
ii) a³=	b) a × a
iii) a⁰=	c) a × a × a
iv) a²=	d) a × a × a × a

జవాబు :

i) a⁴=	d) a × a × a × a
ii) a³=	c) a × a × a
iii) a⁰=	a) 1
iv) a²=	b) a × a

ప్రశ్న2.

i) 8³ × 8⁴=	a) 85
ii) (8²)³=	b) 86
iii) [latex]\frac{8^{10}}{8^{5}} [/latex]	c) 87
iv) 8⁰ =	d) 1

జవాబు :

i) 8³ × 8⁴=	c) 87
ii) (8²)³=	b) 86
iii) [latex]\frac{8^{10}}{8^{5}} [/latex]	a) 85
iv) 8⁰ =	d) 1

ప్రశ్న3.

i) M బేసి సంఖ్య అయిన (-1)^m =	a) -27
ii) m సరి సంఖ్య అయిన (-1)^m =	b) -1
iii) (-2)² =	c) 1
iv) (-3)³ =	d) 4

జవాబు :

i) M బేసి సంఖ్య అయిన (-1)^m =	b) -1
ii) m సరి సంఖ్య అయిన (-1)^m =	c) 1
iii) (-2)² =	d) 4
iv) (-3)³ =	a) -27

ప్రశ్న4.

i) 172900000000 =	a) 1.729 × 10⁸
ii) 17290000000 =	b) 1.729 × 10¹¹
iii) 172900000 =	c) 1.729 × 10⁷
iv) 17290000 =	d) 1.729 × 10¹⁰

జవాబు :

i) 172900000000 =	b) 1.729 × 10¹¹
ii) 17290000000 =	d) 1.729 × 10¹⁰
iii) 172900000 =	a) 1.729 × 10⁸
iv) 17290000 =	c) 1.729 × 10⁷

ప్రశ్న5.
క్రింది సంఖ్యలను వాని యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ద ఘాతరూపానికి జతపరుచుము.

i) 250	a) 2³ × 3³ × 5
ii) 324	b) 2² × 3² × 5²
iii) 900	c) 2 × 5³
iv) 1080	d) 2² × 3⁴

జవాబు :

i) 250	c) 2 × 5³
ii) 324	d) 2² × 3⁴
iii) 900	b) 2² × 3² × 5²
iv) 1080	a) 2³ × 3³ × 5

AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 1 మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు InText Questions

February 1, 2022

SCERT AP 6th Class Maths Solutions Chapter 1 మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 6th Class Maths Solutions 1st Lesson మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు InText Questions

[పేజి నెం. 6]

ఇవ్వబడిన సంఖ్యలను విస్తరణ రూపంలో రాద్దాం.

ప్రశ్న 1.
96,08,54,039
సాధన.
96,08,54,039 = 9 × 10,00,00,000 + 6 × 1,00,00,000 + 8 × 1,00,000 + 5 × 10,000 + 4 × 1,000 + 3 × 10 + 9 × 1
= తొంభైఆరు కోట్ల ఎనిమిది లక్షల యాభై నాలుగు వేల ముఫ్పై తొమ్మిది.

ప్రశ్న 2.
857,90,00,756
సాధన.
857,90,00,756 = 8 × 100,00,00,000 + 5 × 10,00,00,000 + 7 × 1,00,00,000 + 9 × 10,00,000 + 7 × 100 + 5 × 10+ 6 × 1
= ఎనిమిది వందల యాభై ఏడు కోట్ల తొంభై లక్షల ఏడు వందల యాభై ఆరు.

1 కోటి = 10 పది లక్షలు
= 100 లక్షలు
= 1000 పది వేలు
= 10,000 వేలు
= 1,00,000 వందలు
= 10,00,000 పదులు
= 1,00,00,000 ఒకట్లు

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 7]

పై పట్టికలో భాగంగా 10 కోట్లు మరియు 100 కోట్లను రాయండి.
సాధన.
10 కోట్లు : 100 పది లక్షలు
= 1000 లక్షలు
= 10,000 పది వేలు
= 1,00,000 వేలు
= 10,00,000 వందలు
= 1,00,00,000 పదులు
= 10,00,00,000 ఒకట్లు

100 కోట్లు = 10 పది కోట్లు
= 100 కోట్లు
= 1000 పది లక్షలు
= 1,00,000 పది వేలు
= 10,00,000 వేలు
= 1,00,00,000 వందలు
= 10,00,00,000 పదులు
= 100,00,00,000 ఒకట్లు

[పేజి నెం. 8]

అంతర్జాతీయ సంఖ్యామానం :
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 1 మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు InText Questions 1

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 9]

ప్రశ్న 1.
పై పట్టికలోని మిగిలిన అంకెలను అంతర్జాతీయ సంఖ్యామానంలో అక్షరాలతో రాయండి.
సాధన.
896,800,705 : ఎనిమిది వందల తొంభై ఆరు మిలియన్ల ఎనిమిది వందల వేల ఏడు వందల ఐదు.
239,176,507,857 : రెండు వందల ముప్పై తొమ్మిది బిలియన్ల నూట డెబ్బై ఆరు మిలియన్ల ఐదు వందల ఏడు వేల ఎనిమిది వందల యాభై ఏడు.

ప్రశ్న 2.
మిగిలిన ఖాళీ పెట్టెలలో మీ సొంత అంకెలతో నింపి వాటిని అక్షరాలలో రాయండి.
సాధన.
9,490,275,276:
తొమ్మిది బిలియన్ల నాలుగు వందల తొంభై మిలియన్ల రెండు వందల డెబ్బై ఐదు వేల రెండు వందల డెబ్బై ఆరు.
85,559,793,120:
ఎనభై ఐదు బిలియన్ల ఐదు వందల యాభై తొమ్మిది మిలియన్ల ఏడు వందల తొంభై మూడు వేల నూట ఇరవై.
907,980,043,201:
తొమ్మిది వందల ఏడు బిలియన్ల తొమ్మిది వందల ఎనభై మిలియన్ల నలభై మూడు వేల రెండు వందల ఒకటి.

[పేజి నెం. 11]

1991, 2001, 2011 భారతదేశ జనాభా లెక్కల ప్రకారం జనాభా వివరాలు సేకరించి హిందూ సంఖ్యామానం, అంతర్జాతీయ సంఖ్యామానంలలోను అక్షరాలలో రాయండి.
సాధన.
1991 భారతదేశ జనాభా : 838583988
హిందూ సంఖ్యామానం : 83,85,83,988
ఎనభై మూడు కోట్ల ఎనభై ఐదు లక్షల ఎనభై మూడు వేల తొమ్మిది వందల ఎనభై ఎనిమిది.
అంతర్జాతీయ సంఖ్యామానం : 838,583,988
ఎనిమిది వందల ముప్పై ఎనిమిది మిలియన్ల ఐదు వందల ఎనభై మూడు వేల తొమ్మిది వందల ఎనభై ఎనిమిది.

2001 భారతదేశ జనాభా : 1028737436
హిందూ సంఖ్యామానం : 102,87,37,436
నూట రెండు కోట్ల ఎనభై ఏడు లక్షల ముప్పై ఏడు వేల నాలుగు వందల ముప్పై ఆరు.
అంతర్జాతీయ సంఖ్యామానం : 1,028,737,436
ఒక బిలియన్ ఇరవై ఎనిమిది మిలియన్ల ఏడు వందల ముప్పై ఏడు వేల నాలుగు వందల ముప్పై ఆరు.

2011 భారతదేశ జనాభా : 1210193422
హిందూ సంఖ్యామానం : 121,01,93,422
నూట ఇరవై ఒక్క కోటి ఒక లక్ష తొంభై మూడు వేల నాలుగు వందల ఇరవై రెండు.
అంతర్జాతీయ సంఖ్యామానం : 1,210, 193,422
ఒక బిలియన్ రెండు వందల పది మిలియన్ల నూట తొంభై మూడు వేల నాలుగు వందల ఇరవై రెండు.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 13]

కింది సంఖ్యలను దగ్గరి పదులకు, వందలకు, వేలకు సవరించండి.
(1) 56,789 (2) 86,289 (3) 4,56,726 (4) 5,62,724
సాధన.

క్ర.సం.	ఇచ్చిన సంఖ్య	దగ్గరి పదులకు సవరించగా	దగ్గరి వందలకు సవరించగా	దగ్గరి వేలకు సవరించగా
1.	56,789	56,790	56,800	57,000
2.	86,289	86,290	86,300	86,000
3.	4,56,726	4,56,730	4,56,700	4,57,000
4.	5,62,724	5,62,720	5,62,700	5 ,63,000

ప్రయత్నించండి [పేజి నెం. 13]

సంఖ్యలను సవరించడం గురించి నీ మిత్రులతో చర్చించు. 2011 జనాభా లెక్కల ప్రకారం ఆంధ్రప్రదేశ్, తెలంగాణ, మరియు భారతదేశ జనాభాలను దగ్గరి లక్షలకు సవరించండి.
సాధన.

రాష్ట్రం/దేశం	2011 జనాభా	దగ్గరి లక్షలకు సవరించగా
ఆంధ్రప్రదేశ్	4,92,94,020	4,93,00,000
తెలంగాణ	3,52,86,757	3,53,00,000
భారతదేశం	121,01,93,422	121,02,00,000

[పేజి నెం. 14]

సవరించుట ద్వారా మొత్తాన్ని అంచనా వేసి, ఫలితాన్ని సరిచూడండి.

ప్రశ్న 1.
8756 + 723
సాధన.
8756 + 723
సవరించడం ద్వారా అంచనా వేసిన మొత్తం = 8800 + 700 = 9500
కూడడం ద్వారా మొత్తం –
[latex]\begin{array}{r}
8756 \\
723 \\
\hline 9,479 \\
\hline
\end{array}[/latex]
9,479 9,479 అనేది 9,500 కు అంచనా వేయడమైనది.

ప్రశ్న 2.
56723 + 4567 + 72 + 5
సాధన.
56,723 + 4,567 + 72 + 5
సవరించడం ద్వారా అంచనా వేసిన మొత్తం = 56,720 + 4,570 + 70 + 10 = 61,370
కూడడం ద్వారా మొత్తం
[latex]\begin{array}{r}
56,723 \\
4,567 \\
72 \\
5 \\
\hline 61,367 \\
\hline
\end{array}[/latex]
61,367 61,367 అనేది 61,370 కు అంచనా వేయడమైనది.

ప్రశ్న 3.
656724 + 8567
సాధన.
656724 + 8567
సవరించడం ద్వారా అంచనా వేసిన మొత్తం = 6,57,000 + 8,000 = 6,65,000
కూడడం ద్వారా మొత్తము
[latex]\begin{array}{r}
6,56,724 \\
8,567 \\
\hline 6,65,291 \\
\hline
\end{array}[/latex]
6,65,291 అనేది 6,65,000 కు అంచనా వేయడమైనది.

ప్రశ్న 4.
60756 + 2562 + 72
సాధన.
60756 + 2562 + 72
సవరించడం ద్వారా అంచనా వేసిన మొత్తం = 60,760 + 2,560 + 70 = 63,390
కూడడం ద్వారా మొత్తము
[latex]\begin{array}{r}
60756 \\
2562 \\
72 \\
\hline 63,390 \\
\hline
\end{array}[/latex]
63,390 అనేది 63,390 కు అంచనా వేయడమైనది.

సవరించడం ద్వారా భేదాన్ని అంచనావేసి, ఫలితాన్ని సరిచూడండి.

ప్రశ్న 1.
7023 – 856
సాధన.
7023 – 856
సవరించడం ద్వారా అంచనా వేసిన భేదం = 7000 – 900 = 6,100
తీసివేయడం ద్వారా భేదం
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 1 మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు InText Questions 2
6,167 ను 6,100 గా అంచనా వేయడమైనది.

ప్రశ్న 2.
9563 – 2847
సాధన.
9563 – 2847
సవరించడం ద్వారా అంచనా వేసిన భేదం = 10,000 – 3,000 = 7,000
తీసివేయడం ద్వారా భేదం
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 1 మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు InText Questions 3
6716 ను 7,000 గా అంచనా వేయడమైనది.

ప్రశ్న 3.
52007 – 6756
సాధన.
52007 – 6756
సవరించడం ద్వారా అంచనావేసిన భేదం = 52,000 – 7,000 = 45,000
తీసివేయడం ద్వారా భేదం
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 1 మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు InText Questions 4
45,251 ను 45,000 గా అంచనా వేయడం జరిగినది.

ప్రశ్న 4.
95625 – 4235
సాధన.
95625 – 4235
సవరించడం ద్వారా అంచనావేసిన భేదం = 95,600 – 4,200 = 91,400
తీసివేయడం ద్వారా భేదం
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 1 మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు InText Questions 5
91,390 ని 91,400 గా అంచనా వేయడమైనది.

[పేజి నెం. 150]

సవరించడం ద్వారా లబ్దాన్ని అంచనా వేసి, ఫలితాన్ని సరిచూడండి.

ప్రశ్న 1.
63 × 85
సాధన.
63 × 85
సవరించడం ద్వారా అంచనా వేసిన లబ్దం = 60 × 90 = 5,400
గుణించడం ద్వారా లబ్దం
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 1 మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు InText Questions 6
5,355 ను 5,400 గా అంచనా వేయడం జరిగినది.

ప్రశ్న 2.
636 × 78
సాధన.
636 × 78
సవరించడం ద్వారా అంచనా వేసిన లబ్దం = 640 × 80 = 51,200
గుణించడం ద్వారా లబ్ధం
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 1 మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు InText Questions 7
49,608 ని 51,200 గా అంచనా వేయడం జరిగినది.

ప్రశ్న 3.
506 × 85
సాధన.
506 × 85
సవరించడం ద్వారా అంచనా వేసిన లబ్ధం = 500 × 90 = 45000
గుణించడం ద్వారా లబ్దము
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 1 మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు InText Questions 8
43,010 ని 45,000 గా అంచనా వేయడం జరిగినది.

ప్రశ్న 4.
709 × 98
సాధన.
709 × 98
సవరించడం ద్వారా అంచనా వేసిన లబ్దం = 700 × 100 = 70,000
గుణించడం ద్వారా లబ్దం
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 1 మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు InText Questions 9
69,482 ను 70,000 గా అంచనా వేయడం జరిగినది.

సవరించుట ద్వారా భాగహారాన్ని అంచనా వేసి, ఫలితాన్ని సరిచూడండి.

ప్రశ్న 1.
936 ÷ 7
సాధన.
936 ÷ 7 : సవరించుట ద్వారా అంచనా వేసిన భాగఫలం 1000 ÷ 10 = 100
భాగహారం ద్వారా భాగఫలం = 133
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 1 మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు InText Questions 10
133 ను 100 గా అంచనా వేయడం జరిగినది.

ప్రశ్న 2.
956 ÷ 17
సాధన.
956 ÷ 17 : సవరించడం ద్వారా అంచనా వేసిన భాగఫలం = 1000 ÷ 20 = 50
భాగహారం ద్వారా భాగఫలం = 56
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 1 మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు InText Questions 11
56ను 50 గా అంచనా వేయడం జరిగినది.

ప్రశ్న 3.
859 ÷ 23
సాధన.
859 ÷ 23 : సవరించడం ద్వారా అంచనా వేసిన భాగఫలం = 860 ÷ 20 = 43
భాగహారం ద్వారా భాగఫలం = 37
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 1 మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు InText Questions 12
37 ను 43 గా అంచనా వేయడం జరిగినది.

ప్రశ్న 4.
708 ÷ 32
సాధన.
708 ÷ 32
సవరించడం ద్వారా అంచనా వేసిన భాగఫలం = 710 ÷ 30 = 23
భాగహారం ద్వారా భాగఫలం = 22
AP Board 6th Class Maths Solutions Chapter 1 మన చుట్టూ ఉండే సంఖ్యలు InText Questions 13
22 ను 23 గా అంచనా వేయడం జరిగినది.

ఉదాహరణలు

ప్రశ్న 1.
కింది సంఖ్యలను పోల్చి ఆరోహణ మరియు అవరోహణ క్రమంలో రాయండి.
29,845 | 29,923 | 38,962 | 1,26,845 | 8,496 | 36,897
సాధన.
ఆరోహణ క్రమం :
ఆరోహణ క్రమము అనగా సంఖ్యలను కనిష్ఠ సంఖ్య నుండి గరిష్ఠ సంఖ్యకు అమర్చటం.
8,496, 29,845, 29,923, 36,897, 38,962, 1,26,845
అవరోహణ క్రమం :
అవరోహణ క్రమం అనగా సంఖ్యలను గరిష్ఠ సంఖ్య నుండి కనిష్ఠ సంఖ్యకు అమర్చటం.
1,26,845, 38,962, 36,897, 29,923, 29,845, 8,496

ప్రశ్న 2.
కామాలుంచి కింది సంఖ్యలను గ్రూపులుగా విభజించి, వాటిని పద రూపంలో రాయండి.
అ) 356485
ఆ) 4075675
ఇ) 7056702725
సాధన.
అ) 356485 ను కామాలుంచి గ్రూపులుగా వేరు చేసి 3,56,485 గా రాయవచ్చు.
దీనిని “మూడు లక్షల యాభై ఆరు వేల నాలుగు వందల ఎనభై ఐదు” అని రాయవచ్చు.
ఆ) 4075675 ను కామా ఉంచి గ్రూపులుగా వేరు చేసి 40,75,675 గా రాయవచ్చు.
దీనిని “నలభై లక్షల డెబ్బై ఐదు వేల ఆరువందల డెబ్బై ఐదు” అని రాయవచ్చు.
ఇ) 7056702725 ను కామాలుంచి గ్రూపులుగా వేరుచేసి 705,67,02,725 గా రాయవచ్చు.
దీనిని “ఏడు వందల ఐదు కోట్ల అరవై ఏడు లక్షల రెండు వేల ఏడు వందల ఇరవై ఐదు” అని రాయవచ్చు.

ప్రశ్న 3.
కింది వాటిని సంఖ్యా రూపంలో రాసి సరియైన విధంగా కామాలనుంచండి.
అ) నాలుగు కోట్ల నాలుగు లక్షల నాలుగు వేల నాలుగు వందల నాలుగు.
ఆ) తొంభై ఐదు కోట్ల అరవై లక్షల డెబ్బై రెండు వేల నాలుగు వందల ఇరవై ఐదు.
సాధన.
అ) నాలుగు కోట్ల నాలుగు లక్షల నాలుగు వేల నాలుగు వందల నాలుగు. 4,04,04,404
ఆ) తొంభై ఐదు కోట్ల అరవై లక్షల డెబ్బై రెండు వేల నాలుగు వందల ఇరవై ఐదు. 95,60,72,425

ప్రశ్న 4.
857065723 అనే సంఖ్యలో ‘7’ల స్థాన విలువల భేదాన్ని కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సంఖ్య 857065723. గ్రూపులుగా విభజించుటకు సరైన విధంగా కామాలుంచిన దీనిని 85,70,65,723 గా రాయవచ్చు.
వందల స్థానంలో గల ‘7’ యొక్క స్థాన విలువ : 7 × 100 = 700
పది లక్షల స్థానంలో గల ‘7’ యొక్క స్థాన విలువ = 7 × 10,00,000 = 70,00,000
కావలసిన భేదం = 70,00,000 – 700 = 69,99,300

అంతర్జాతీయ సంఖ్యామానంలో గల సంఖ్యలను చదవటానికి ప్రయత్నిద్దాం.

ప్రశ్న 5.
78123
సాధన.
సోపానం – 1: ప్రతి మూడు స్థానాలకు కామాలుంచాలి. ఉదా : 78,123
సోపానం – 2: విస్తరణ రూపం :
78123 = 7 × 10,000 + 8 × 1,000 + 1 × 100 + 2 × 10+ 3 × 1
సోపానం – 3: అక్షర రూపం : డెబ్బై ఎనిమిది వేల నూట ఇరవై మూడు.

ప్రశ్న 6.
934567
సాధన.
సోపానం – 1: ప్రతి మూడు స్థానాలకు కామాలుంచాలి. ఉదా : 934,567
సోపానం – 2: విస్తరణ రూపం :
934567 = 9 × 100,000 + 3 × 10,000 + 4 × 1,000 + 5 × 100 + 6 × 10 + 7 × 1
సోపానం – 3: అక్షర రూపం : తొమ్మిది వందల ముఫ్పై నాలుగు వేల ఐదు వందల అరవై ఏడు.

ప్రశ్న 7.
9924067256
సాధన.
సోపానం – 1: ప్రతి మూడు స్థానాలకు కామాలుంచాలి. ఉదా : 9,924,067,256
సోపానం – 2: విస్తరణ రూపం :
9 × 1,000,000,000 + 9 × 100,000,000 + 2 × 10,000,000 + 4 × 1,000,000 + 0 × 100,000 + 6 × 10,000 + 7 × 1,000 + 2 × 100 + 5 × 10 + 6 × 1
సోపానం – 3 : అక్షర రూపం :
తొమ్మిది బిలియన్ల తొమ్మిది వందల ఇరవై నాలుగు మిలియన్ల అరవై ఏడు వేల రెండు వందల యాభై ఆరు.

ప్రశ్న 8.
536724 ను దగ్గరి పదులకు, వందలకు, వేలకు సవరించండి.
సాధన.
i) దగ్గరి 10 కి సవరించుట : ఇచ్చిన సంఖ్య 5,36,724
పదుల స్థానానికి కుడివైపు అంకె 4. 4 < 5 కావున కిందికి సవరించాలి. 5,36,720.
ii) దగ్గరి 100 కి సవరించుట : ఇచ్చిన సంఖ్య 5,36,724
వందల స్థానానికి కుడివైపు అంకె 2. 2 < 5 కావున కిందికి సవరించాలి. 5,36,700.
iii) దగ్గరి 1000 కి సవరించుట : ఇచ్చిన సంఖ్య 5,36,724
వేల స్థానానికి కుడివైపు నున్న అంకె 7. 7 > 5 కావున పైకి సవరించాలి. 5,37,000.

AP 7th Class Maths Bits 7th Lesson నిష్పత్తి మరియు అనుపాతం

February 1, 2022

Practice the AP 7th Class Maths Bits with Answers 7th Lesson నిష్పత్తి మరియు అనుపాతం on a regular basis so that you can attempt exams with utmost confidence.

AP Board 7th Class Maths Bits 7th Lesson నిష్పత్తి మరియు అనుపాతం

క్రింది వానికి సరైన సమాధానాలను ఎన్నుకొనుము.

ప్రశ్న1.
24 : 36 యొక్క సూక్ష్మరూపం
(A) 3 : 2
(B) 2 : 3
(C) 12 : 18
(D) 4 : 6
జవాబు :
(B) 2 : 3

ప్రశ్న2.
3:5కు సమానమైన నిష్పత్తి
(A) 6:10
(B) 9 : 15
(C) 12 : 20
(D) పైవన్నీ
జవాబు :
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న3.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) a : b మరియు c : d ల బహుళ నిష్పత్తి a × c : b × d
(B) a : b మరియు c : d లు అనుపాతంలో ఉంటే ad = bc
(C) నిష్పత్తుల యొక్క సమానత్వాన్ని “అనుపాతము” అంటారు.
(D) పైవన్నీ
జవాబు :
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న4.
3 : 5 మరియు 2 : 5ల బహుళ నిష్పత్తి
(A) 6:25
(B) 15 : 10
(C) 10 : 15
(D) 25 : 6
జవాబు :
(A) 6:25

ప్రశ్న5.
క్రింది వానిలో అనుపాతంలో గల నిష్పత్తులు
(A) 10 : 20 మరియు 2 : 1
(B) 10 : 20 మరియు 1:2
(C) 6 : 5 మరియు 2 : 3
(D) 6 : 5 మరియు 3:2
జవాబు :
(B) 10 : 20 మరియు 1:2

ప్రశ్న6.
3:5 = 9 : x అయిన x =
(A) 10
(B) 11
(C) 15
(D) 20
జవాబు :
(C) 15

ప్రశ్న7.
x, y లు అనులోమానుపాతంలో ఉంటే క్రింది వాటిలో ఏది సత్యం ? (k అనుపాత, స్థిరాంకము)
(A) xy = k
(B) [latex]\frac{x}{y}[/latex] = k
(C) A మరియు B
(D) x<sup>2</sup>y =k
జవాబు :
(B) [latex]\frac{x}{y}[/latex] = k

ప్రశ్న8.
క్రింది వానిలో ఏవి అనులోమానుపాతంలో కలవు ?
(A) రైలు వేగం, గమ్యాన్ని చేరడానికి పట్టే కాలం.
(B) మనుషుల సంఖ్య, ఒకపని పూర్తి కావడానికి పట్టే కాలం.
(C) మనుషుల సంఖ్య, వారికి కావలసిన అహారం.
(D) రంగులు వేసేవారి సంఖ్య, రోజుల సంఖ్య.
జవాబు :
(C) మనుషుల సంఖ్య, వారికి కావలసిన అహారం.

ప్రశ్న9.
10 పెన్నుల వెల ₹60 అయిన 15 పెన్నుల వెల
(A) ₹ 90
(B) ₹ 120
(C) ₹ 30
(D) ₹ 150
జవాబు :
(A) ₹ 90

ప్రశ్న10.
క్రింది పట్టికలోని రాశులు విలోమానుపాతంలో ఉంటే x విలువ ఎంత ?
AP 7th Class Maths Bits 7th Lesson నిష్పత్తి మరియు అనుపాతం 1
(A) 100
(B) 25
(C) 40
(D) 10
జవాబు :
(B) 25

ప్రశ్న11.
వాక్యం I : x, y లు అనులోమానుపాతంలో ఉంటే xy = k.
వాక్యం II : x, y లు విలోమానుపాతంలో ఉంటే [latex]\frac{x}{y}[/latex] = k
(A) I – సత్యం , II – అసత్యం
(B) I – అసత్యం , II – సత్యం
(C) I మరియు II లు రెండూ సత్యం
(D) I మరియు II లు రెండూ అసత్యం
జవాబు :
(D) I మరియు II లు రెండూ అసత్యం

ప్రశ్న12.
25% యొక్క భిన్న రూపం
(A) [latex]\frac{1}{5}[/latex]
(B) [latex]\frac{1}{4}[/latex]
(C) [latex]\frac{1}{3}[/latex]
(D) [latex]\frac{1}{2}[/latex]
జవాబు :
(B) [latex]\frac{1}{4}[/latex]

ప్రశ్న13.
శాతాన్ని సూచించుటకు గుర్తు.
(A) %
(B) >
(C) <
(D) : :
జవాబు :
(A) %

ప్రశ్న14.
ఒక సైకిల్ కొన్న వెల ₹ 7000, అమ్మిన వెల ₹ 4000 అయిన
(A) లాభం ₹ 3000
(B) నష్టం ₹ 3000
(C) లాభం 50%
(D) పైవేవీ కావు
జవాబు :
(B) నష్టం ₹ 3000

ప్రశ్న15.
సురేష్ సెల్ ఫోన్లు ₹ 10,000 కు కొని ₹ 11,000 కు అమ్మిన లాభశాతము
(A) 1000
(B) 50
(C) 20
(D) 10
జవాబు :
(D) 10

ప్రశ్న16.
ఒక వ్యాపారి ఒక బొమ్మను ₹ 500 కొన్నాడు. 20% లాభానికి అమ్మిన బొమ్మ అమ్మిన వెల
(A) ₹ 550
(B) ₹ 600
(C) ₹ 400
(D) ₹ 580
జవాబు :
(B) ₹ 600

ప్రశ్న17.
నష్టశాతము =
AP 7th Class Maths Bits 7th Lesson నిష్పత్తి మరియు అనుపాతం 2
జవాబు :

ప్రశ్న18.
క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) రాయితీ = ప్రకటన వెల – అమ్మిన వెల
(B) లాభం = అమ్మిన వెల – కొన్న వెల
(C) నష్టం = కొన్న వెల – అమ్మిన వెల
(D) పైవన్నీ
జవాబు :
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న19.
చిన్న చిన్న లోపాలు గల చీరలపై బట్టల దుకాణదారుడు 25% రాయితీ ఇస్తున్నాడు. సరళ ప్రకటన వెల ₹ 1600 గల చీరను కొన్నచో దుకాణదారునికి ఎంత సొమ్ము చెల్లించాలి ?
(A) ₹ 1200
(B) ₹ 1000
(C) ₹ 2000
(D) ₹ 800
జవాబు :
(A) ₹ 1200

ప్రశ్న20.
I = [latex]\frac{P T R}{100}[/latex] లో P సూచించునది.
(A) సాధారణ వడ్డీ
(B) కాలం
(C) అసలు
(D) వడ్డీ రేటు
జవాబు :
(C) అసలు

ప్రశ్న21.
సాధారణ వడ్డీ I = [latex]\frac{P T R}{100}[/latex] అయిన క్రింది వానిలో ఏది సత్యం ?
(A) P = [latex]\frac{\mathrm{TR}}{100 \mathrm{I}}[/latex]
(B) T = [latex]\frac{100 \mathrm{I}}{\mathrm{PR}}[/latex]
(C) R = [latex]\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{PT}}[/latex]
(D) పైవన్నీ
జవాబు :
(B) T = [latex]\frac{100 \mathrm{I}}{\mathrm{PR}}[/latex]

ప్రశ్న22.
అసలు ₹ 10,000, వడ్డీ రేటు 10% అయిన 2 సంవత్సరాలకు ఎంత వడ్డీ అవుతుంది ?
(A) ₹ 2000
(B) ₹ 1000
(C) ₹ 12,000
(D) ₹11,000
జవాబు :
(A) ₹ 2000

ప్రశ్న23.
2% =
(A) [latex]\frac{2}{100}[/latex]
(B) [latex]\frac{1}{50}[/latex]
(C) 0.02
(D) పైవన్నీ
జవాబు :
(D) పైవన్నీ

ప్రశ్న24.
5 లీటర్ల శానిటైజర్ యొక్క ప్రకటన వెల ₹ 500, అమ్మిన వెల ₹ 475 అయిన రాయితీ
(A) 10%
(B) 5%
(C) 25%
(D) 20%
జవాబు :
(B) 5%

ప్రశ్న25.
18 మంది కూలీలు ఒక పంటను 6 రోజులలో కోయగలరు. అదే పంటను 12 మంది కూలీలు ఎన్ని రోజులలో కోయగలరు? .
(A) 15
(B) 12
(C) 9
(D) 6
జవాబు :
(C) 9

క్రింది ఖాళీలను పూరింపుము.

ప్రశ్న1.
a : b లో పూర్వ పదం _________
జవాబు :
a

ప్రశ్న2.
8: _________= 72 : 63
జవాబు :
7

ప్రశ్న3.
1 : 3 మరియు 2 : 5 ల బహుళ నిష్పత్తి _________
జవాబు :
2 : 15

ప్రశ్న4.
2 : 5 మరియు 6 : x అనుపాతంలో ఉంటే x = _________
జవాబు :
15

ప్రశ్న5.
x, y లు అనులోమానుపాతంలో ఉంటే x = k × y. ఇక్కడ k ను _________ అంటారు.
జవాబు :
అనుపాత స్థిరాంకం

ప్రశ్న6.
5 నోటు పుస్తకాల వెల ₹ 100 అయిన 7 నోటు పుస్తకాల వెల _________
జవాబు :
₹ 140

ప్రశ్న7.
3, 6 మరియు 10, x లు విలోమానుపాతంలో ఉంటే x = _________
జవాబు :
5

ప్రశ్న8.
6 పంపులు ఒక నీళ్ళ ట్యాంకును 3 గంటలలో నింపగలవు. అదే ట్యాంకు 2 గంటలలో నింపవలెనన్న కావలసిన పంపుల సంఖ్య _________
జవాబు :
9

ప్రశ్న9.
ఒక వర్తకుడు ఒక TV ని ₹ 48,000 లకు కొని, ₹ 54,000 అమ్మిన లాభం _________
జవాబు :
₹ 6000

ప్రశ్న10.
పై 9వ సమస్యలో లాభ శాతం _________
జవాబు :
12 1/2%

ప్రశ్న11.
ఒక వస్తువు యొక్క అమ్మిన వెల ₹ 750, రాయితీ ₹ 75 అయిన ప్రకటన వెల. _________
జవాబు :
₹ 825

ప్రశ్న12.
సాధారణ వడ్డీ కనుగొనుటకు సూత్రం _________
జవాబు :
I = [latex]\frac{\mathrm{PTR}}{100}[/latex]

ప్రశ్న13.
రాయితీ శాతము లెక్కించు సూత్రం _________
జవాబు :
AP 7th Class Maths Bits 7th Lesson నిష్పత్తి మరియు అనుపాతం 4

ప్రశ్న14.
ఒక సెల్ ఫోన్ కొన్న వెల ₹ 1500, నష్టం 10% అయిన అమ్మినవెల _________
జవాబు :
₹ 1350

ప్రశ్న15.
ఒక గ్రామంలోని ఓటర్ల సంఖ్య 5000, సర్పంచ్ ఎన్నికల యందు 90% ఓటర్లు ఓటు వేసినచో (పోలింగ్ శాతం 90) ఓటు వేయనివారి సంఖ్య _________
జవాబు :
500

జతపరుచుము :

ప్రశ్న1.

i) 200లో 3% =	a) 2
ii) 3 : 2 = 6 : x అయిన x=	b) 4
iii) 40% = [latex]\frac{x}{5}[/latex] అయిన x =	c) 6
iv) 1 : 4 మరియు 3 : 2 ల బహుళ నిష్పత్తి 3 : x అయిన x =	d) 8

జవాబు :

i) 200లో 3% =	c) 6
ii) 3 : 2 = 6 : x అయిన x=	b) 4
iii) 40% = [latex]\frac{x}{5}[/latex] అయిన x =	a) 2
iv) 1 : 4 మరియు 3 : 2 ల బహుళ నిష్పత్తి 3 : x అయిన x =	d) 8

ప్రశ్న2.
I = [latex]\frac{\text { PTR }}{100}[/latex] సూత్రంలో క్రింది వానిని జతపరుచుము.

i) I	a) కాలం
ii) P	b) వడ్డీ రేటు
iii) T	c) సాధారణ వడ్డ
iv) R	d) అసలు

జవాబు :

i) I	c) సాధారణ వడ్డ
ii) P	d) అసలు
iii) T	a) కాలం
iv) R	b) వడ్డీ రేటు

ప్రశ్న3.
క్రింది శాతాలను, వాని భిన్నరూపానికి జతపరుచుము.

i) 5%	a) [latex]\frac{1}{5}[/latex]
ii) 25%	b) [latex]\frac{1}{20}[/latex]
iii) 20%	c) [latex]\frac{2}{5}[/latex]
iv) 40%	d) [latex]\frac{1}{4}[/latex]

జవాబు :

i) 5%	b) [latex]\frac{1}{20}[/latex]
ii) 25%	d) [latex]\frac{1}{4}[/latex]
iii) 20%	a) [latex]\frac{1}{5}[/latex]
iv) 40%	c) [latex]\frac{2}{5}[/latex]

ప్రశ్న4.
క్రింది దశాంశ రూపానికి సమానమైన శాతానికి జతపరుచుము.

i) 0.25	a) 5%
ii) 0.05	b) 20%
iii) 0.2	c) 25%
iv) 0.5	d) 50%

జవాబు :

i) 0.25	c) 25%
ii) 0.05	a) 5%
iii) 0.2	b) 20%
iv) 0.5	d) 50%

క్రింది వానిలో సత్యం లేదా అసత్యం అయిన వాక్యాలను గుర్తించండి.

ప్రశ్న1.
లాభశాతాన్నిగాని, నష్టశాతాన్ని గాని అమ్మిన వెలపై లెక్కిస్తారు.
జవాబు :
అసత్యం

ప్రశ్న2.
శాతము అనగా 100 కి అని అర్థం.
జవాబు :
సత్యం

ప్రశ్న3.
AP 7th Class Maths Bits 7th Lesson నిష్పత్తి మరియు అనుపాతం 5
జవాబు :
అసత్యం

ప్రశ్న4.
ఒక స్థలం యొక్క వైశాల్యం, దాని వెల విలోమాను పాతంలో ఉంటాయి.
జవాబు :
అసత్యం

ప్రశ్న5.
a, b మరియు c, d లు అనుపాతంలో ఉంటే ad = bc.
జవాబు :
సత్యం