Srinivas – Page 62 – AP Board Solutions

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 2 సమితులు Exercise 2.3

January 25, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 2 సమితులు Exercise 2.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 2nd Lesson సమితులు Exercise 2.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది వాటిలో సమసమితులు ఏవి?
i) A = {x : x అనేది ‘FOLLOW’ అనే పదంలోని ఒక అక్షరం}
(ii) B = {x : x అనేది ‘FLOW’ అనే పదంలోని ఒక అక్షరం} మరియు
(iii) C = {x : x అనేది ‘WOLF’ అనే పదంలోని ఒక అక్షరం}
సాధన.
(i) A = {F, O, L, W}
(ii) B = {F, L, 0, W}
(iii) C = {W, O, L, F}
A, B, C సమితులు ఒకే మూలకాలను కలిగి ఉన్నాయి.
∴ A = B = C.

ప్రశ్న 2.
క్రింది సమితులను పరిశీలించి, క్రింద ఇచ్చిన వాక్యాలు సరియగునట్లు = లేదా ≠ తో ఖాళీలను పూరించండి.
A = {1, 2, 3}; B = {మొదటి మూడు సహజ సంఖ్యలు} C = {a, b, c, d); D = {d, c, a, b} E= {a, e, i, 0, u}; F = {ఆంగ్లభాషలోని అచ్చుల సమితి}
(i) A …… B
సాధన.
A = B

(ii) A ……. E
సాధన.
A + E

(iii) C ……. D
సాధన.
C = D

(iv) D ….. F
సాధన.
D ≠ F

(v) F …… A
సాధన.
F ≠ A

(vi) D …… E
సాధన.
D ≠ E

(vii) F ……. B.
సాధన.
F ≠ B

ప్రశ్న 3.
క్రింద ఇచ్చిన ప్రతి సమితిలో A = B అవుతుందో, లేదో తెలపండి.
(i) A = {a, b, c, d} B = {d, c, a, b}
(ii) A = {4, 8, 12, 16} B = {8, 4, 16, 18}
(iii) A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {x : x ఒక ధన సరిపూర్ణ సంఖ్య మరియు x ≤ 10}
(iv) A = {x : x, 10 యొక్క గుణిజం} B = {10, 15, 20, 25, 30, ……}
సాధన.
(i) A = B
(ii) A ≠ B
(iii) A = B
(iv) A ≠ B

ప్రశ్న 4.
క్రింది వాక్యాలకు తగు కారణాలు పేర్కొనండి.
(i) {1, 2, 3, ……. 10} ≠ {x : x ∈ N మరియు 1 < x < 10}
(ii) {2, 4, 6, 8, 10} ≠ {x : x = 2n + 1 మరియు X ∈ N}
(iii) {5, 15, 30, 45} ≠ {x : x, 15 యొక్క గుణిజం}
(iv) {2, 3, 5, 7, 9} ≠ {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య}
సాధన.
(i) {1, 2, 3, …… 10} ≠ {x : x ∈ N మరియు 1 {1, 2, 3……. 10} ≠ {2, 3, 4, …..9}
రెండవ సమితిలో 1 మరియు 10 మూలకాలు లేవు.

(ii) {2, 4, 6, 8, 10} ≠ {x : x = 2n + 1 మరియు X E N}
{2, 4, 6, 8, 10} ≠ {3, 5, 7, 9, …..} 1)
(1) మొదటి సమితి 10లోపు సరిసంఖ్యలను సూచించగా, రెండవ సమితి 1తప్ప మిగిలిన బేసి సంఖ్యలను సూచిస్తున్నది.
(లేదా)
(2) మొదటి సమితి పరిమిత సమితి, రెండవ సమితి అపరిమిత సమితి.
(లేదా )
(3) మొదటి సమితి సరిసంఖ్యను సూచించగా, రెండవ సమితి బేసి సంఖ్యను సూచిస్తుంది.

(iii) {5, 15, 30, 45} ≠ {x : x, 15 యొక్క గుణిజం}
{5, 15, 30, 45} ≠ {15, 30, 45, 60 …… 1)
(1)మొదటి సమితిలో 5 అనే మూలకం 15 . యొక్క గుణిజం కాదు
(లేదా)
(2) మొదటి సమితిలోని 5 అనే మూలకం .రెండవ సమితిలో ఉండదు
(లేదా)
(3) మొదటి సమితి పరిమిత సమితి రెండవ సమితి అపరిమిత సమితి.

(iv) {2, 3, 5, 7, 9} ≠ {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య }
{2, 3, 5, 7, 9} ≠ {2, 3, 5, 7, 11, ……}
(1) మొదటి సమితిలోని 9 అనే మూలకం ప్రధాన సంఖ్య కాదు.
(లేదా)
(2) మొదటి సమితిలోని 9 అనే మూలకం రెండవ సమితిలో ఉండదు.
(లేదా)
(3) మొదటి సమితి పరిమిత సమితి. రెండవ సమితి అపరిమిత సమితి.

ప్రశ్న5.
క్రింది సమితులకు గల ఉపసమితులన్నింటి జాబితాను రాయండి.
(i) B = {p, q}
(ii) C = {x, y, z}
(iii) D = {a, b, c, d}
(iv) E = {1, 4, 9, 16}
(v) F = {10, 100, 1000}
సాధన.
(i) B = {p, q}
B యొక్క ఉపసమితులు
Φ,
{p}, {q}
{p, q}

(ii) C = {x, y, z}
C యొక్క ఉపసమితులు
Φ,
{x}, {y}, {x}
{x, y}, {x, Z}, {y, Z}
{x, y, z}

(iii) D = {a, b, c, d)
D యొక్క ఉపసమితులు
Φ,
{a}, {b}, {C}, {d}
{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d),
{a, b, c}, {a, c, d}, {a, b, d}, {b, c, d}
{a, b, c, d)

(iv) E = {1, 4, 9, 16}
E యొక్క ఉపసమితులు
Φ,
{1}, {4}, {9}, {16}
{1, 4}, {1, 9}, {1, 16}, {4, 9} {4, 16}, {9, 16}
{1, 4, 9}, {1, 9, 16}, {1, 4, 16 )
{4, 9, 16}
{1, 4, 9, 16}

(v) F = {10, 100, 1000}
F యొక్క ఉపసమితులు
Φ,
{10}, {100}, {1000}
{10,100}, {10, 1000}, {100, 1000};
{10, 100, 1000}
సూచన:
ఒక సమితిలో n మూలకాలుంటే ఆ సమితి యొక్క ఉపసమితుల సంఖ్య 2ⁿ.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 2 సమితులు Exercise 2.2

January 25, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 2 సమితులు Exercise 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 2nd Lesson సమితులు Exercise 2.2

ప్రశ్న 1.
A = {1, 2, 3, 4}; B = {1, 2, 3, 5, 6} అయిన A ∩ Bమరియు B ∩ A లను కనుగొనండి. రెండూ సమానమా ?
సాధన.
A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5, 6}
A ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ {1, 2, 3, 5, 6}
= {1, 2, 3)
B ∩ A = {1, 2, 3, 5, 6} ∩ {1, 2, 3, 4}
= {1, 2, 3}
∴ A ∩ B = B ∩ A.

ప్రశ్న 2.
A = {0, 2, 4}, A ∩ Φ మరియు A ∩ A- కనుగొనుము. వ్యాఖ్యానించండి.
సాధన.
A = {0, 2, 4} June 2016, 15
A ∩ Φ = {0, 2, 4} ∩ { } = { }
A ∩ Φ = Φ
ఒక సమితి, శూన్యసమితుల ఛేదనం శూన్యసమితి.
A ∩ A = {0, 2, 4} ∩ {0, 2, 4}
= {0, 2, 4} = A
A ∩ A = A
∴ ఒక సమితి మరియు అదే సమితుల ఛేదనం మళ్ళీ అదే సమితి అవుతుంది.

ప్రశ్న 3.
A = {2, 4, 6, 8, 10} మరియు B= {3, 6, 9, 12, 15} అయిన A – B మరియు B – A లను కనుగొనుము.
సాధన.
A = {2, 4, 6, 8, 10}; B = {3, 6, 9, 12, 15}
A – B = {2, 4, 6, 8, 10} – {3, 6, 9, 12, 15}
= {2, 4, 8, 10}
B – A = {3, 6, 9, 12, 15} – {2, 4, 6, 8, 10}
= {3, 9, 12, 15}
A – B ≠ B – A.

ప్రశ్న 4.
A మరియు Bలు రెండు సమితులు, A ⊂ B అయిన A ∪ B ఎంత?
సాధన.
A మరియు B లు రెండు సమితులు. A ⊂ B అయిన A ∪ B = B

ప్రశ్న 5.
A = {x : x ఒక సహజసంఖ్య}
B = {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య}
C = {x : x ఒక బేసి సహజ సంఖ్య}
D = {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య} అయిన క్రింది వాటిని కనుగొనండి.
A ∩ B, A ∩ C, A ∩ D, B ∩ C, B ∩ D, C ∩ D.
సాధన.
A = {x : x ఒక సహజసంఖ్య } = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…………}
B = {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య} = {2, 4, 6, ……………..}
C = {x : x ఒక బేసి సహజసంఖ్య } = {1, 3, 5, 7, …………..}
D = {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య } = {2, 3, 5, 7, ………………}

(i) A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ……….} ∩ {2, 4, 6, ………….}
= {2, 4, 6, …………….}
A ∩ B = {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య }

(ii) A ∩ C = {1, 2, 3, 4, 5, ………..} ∩ {1, 3, 5, ………}
= {1, 3, 5, ………}
A ∩ C = {x : x ఒక బేసి సహజసంఖ్య }

(iii) A ∩ D = {1, 2, 3, 4, 5, ……….} ∩ {2, 3, 5, 7, ………….}
= {2, 3, 5, 7, …………….}
A ∩ D = {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య}

(iv) B ∩ C = {2, 4, 6, ……} ∩ {1, 3, 5, …….}
= Φ
B ∩ C = Φ

(v) B ∩ D = {2, 4, 6, …………} ∩ {2, 3, 5, 7, ……………}
= {2}
B ∩ D = {x : x ఒక సరి ప్రధానసంఖ్య }

(vi) C ∩ D = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ….} ∩{1, 3, 5, 7, 11, ……}
= {3, 5, 7, 11 ………}
C ∩ D = {x: X ఒక బేసి ప్రధానసంఖ్య }

2వ పద్ధతి :
A = {x : x ఒక సహజసంఖ్య}
B = {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య}
C = {x : x ఒక బేసి సహజసంఖ్య}
D = {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య}
B ⊂ A, C ⊂ A, D ⊂ A మరియు B, C,లు’ వియుక్త సమితులు అవుతాయి కావున,
A ∩ B = B = {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య}
A ∩ C = C = {x : x ఒక బేసి సహజసంఖ్య}
A ∩ D = D = {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య}
B ∩ C = Φ
B ∩ D = {x : x ఒక సరి ప్రధానసంఖ్య} = {2}
C ∩ D = {x : x ఒక బేసి ప్రధానసంఖ్య } = {3, 5, 7, 11, …………..}

3వ పద్దతి :
A = {x : x ఒక సహజసంఖ్య}
B = {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య }
C = {x : x ఒక బేసి సహజసంఖ్య }
D = {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య}
(i) A ∩ B = {x : x ఒక సహజసంఖ్య మరియు సరి సహజసంఖ్య}
= {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య}
(ii) A ∩ c = {x: x ఒక సహజసంఖ్య మరియు బేసి సహజసంఖ్య}
= {x : x ఒక బేసి సహజసంఖ్య}
(iii) A ∩ D = {x : X ఒక సహజన గఖ్య మరియు ప్రధానసంఖ్య}
= {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య }
(iv) B ∩ C = {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య మరియు బేసి సహజసంఖ్య}.
(v) B ∩ D = {x: X ఒక సరి సంఖ్య మరియు ప్రధాన సంఖ్య }
= {2}
(vi) C ∩ D = {x : x ఒక బేసి సహజసంఖ్య మరియు ప్రధానసంఖ్య}
= {x : x ఒక బేసి ప్రధాన సంఖ్య }

4వ పద్దతి :
వెన్ చిత్రం ద్వారా సాధించడం. A = {x : x ఒక సహజసంఖ్య}
B = {x: X ఒక సరి సహజసంఖ్య}
C = {x: X ఒక బేసి సహజసంఖ్య}
D = {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య}
B, C, D లు A కి ఉపసమితులు.
కావున A విశ్వసమితి అవుతుంది. ఈ

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 2nd Lesson సమితులు Exercise 2.2 1

(i) A ∩ B = {2, 4, 6, 8, ……….}
= {x : x ఒక సరి సహజసంఖ్య }

(ii) A ∩ C = {1, 3, 5, 7, 9, ….}
= {x : x ఒక బేసి సహజసంఖ్య }

(iii) A ∩ D = {2, 3, 5, 7, ……….}
= {x : x ఒక ప్రధానసంఖ్య }

(iv) B ∩ C = { } = Φ

(v) B ∩ D = {2}
= {x : x ఒక సరి ప్రధానసంఖ్య }

(vi) C ∩ D = {3, 5, 7, ………}
= {x : x ఒక బేసి ప్రధాన సంఖ్య}

ప్రశ్న 6.
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21};
B = {4, 8, 12, 16, 20};
C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16};
D = {5, 10, 15, 20} అయిన క్రింది వానిని కనుగొనుము.
(i) A – B
(ii) A – C
(iii) A – D
(iv) B – A
(v) C – A
(vi) D – A
(vii) B – C
(viii) B – D
(ix) C – B
(x) D – B
సాధన.
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
B = {4, 8, 12, 16, 20}
C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
D = {5, 10, 15, 20}

(i) A – B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {3, 6, 9, 15, 18, 21}

(ii) A – C = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {3, 9, 15, 18, 21}

(iii) A – D = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {5, 10, 15, 20}
= {3, 6, 9, 12, 18, 21}

(iv) B- A = {4, 8, 12, 16, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {4, 8, 16, 20}

(v) C – A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {2, 4, 8, 10, 14, 16}

(vi) D – A = {5, 10, 15, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {5, 10, 20}

(vii) B – C = {4, 8, 12, 16, 20} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {20}

(viii) B – D = {4, 8, 12, 16, 20} – {5, 10, 15, 20}
= {4, 8, 12, 16}

(ix) C – B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {2, 6, 10, 14}

(x) D – B = {5, 10, 15, 20} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {5, 10, 15}

ప్రశ్న 7.
క్రింద ఇవ్వబడిన వాక్యాలు సత్యమా లేక అసత్యమా ? తెలపండి. మీ సమాధానాలను సమర్ధించండి..
(i) {2, 3, 4, 5} మరియు {3, 6} లు వియుక్త సమితులు
(ii) {a, e, i, 0, u} మరియు {a, b, c, d)లు వియుక్త సమితులు.
(iii) {2, 6, 10, 14} మరియు {3, 7, 11, 15} లు వియుక్త సమితులు.
(iv) {2, 6, 10} మరియు {3, 7, 11} లు వియుక్త సమితులు.
సాధన.
(i) {2, 3, 4, 5} మరియు {3, 6} లు వియుక్త సమితులు.
అసత్యం.
రెండు సమితులలో 3 ఉమ్మడి మూలకంగా కలదు. కావున వియుక్త సమితులు కావు.

(ii) {a, e, i, o, u} voBoo {a, b, c, d}.co వియుక్త సమితులు.
అసత్యం.
రెండు సమితులలోను a ఉమ్మడి మూలకంగా కలదు. కావున వియుక్త సమిత, కావు.

(iii) {2, 6, 10, 14} మరియు {3, 7, 11, 15} లు వియుక్త సమితులు.
సత్యం.
రెండు సమితులలో ఉమ్మడి మూలకాలు లేవు. . కావున వియుక్త సమితులు.

(iv) {2, 6, 10} మరియు {3, 7, 11} లు వియుక్త సమితులు. .
సత్యం .
రెండు సమితులలో ఉమ్మడి మూలకాలు లేవు. కావున వియుక్త సమితులు.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 2 సమితులు Exercise 2.1

January 25, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 2 సమితులు Exercise 2.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 2nd Lesson సమితులు Exercise 2.1

ప్రశ్న 1.
క్రింది వాటిలో ఏవి సమితులు ? మీ సమాధానాన్ని -సహేతుకంగా సమర్థించండి.
(i) “J” అనే అక్షరంతో ప్రారంభమయ్యే ఒక సంవత్సరంలో గల అన్ని నెలల సమూహాలు.
(ii) భారతదేశంలో గల అత్యంత ప్రతిభావంతులైన 10 మంది రచయితల సమూహం.
(iii) ప్రపంచంలో గల 11 మంది బాగా క్రికెట్ ఆడేటటువంటి “బ్యాట్స్మమెన్”ల టీమ్.
(iv) నీ తరగతిలో గల అందరు బాలుర సముదాయం .
(v) అన్ని సరి పూర్ణ సంఖ్యల సముదాయం .
సాధన.
(i) సమితి. {January, June, July}
సంవత్సరంలోని ఏ నెల అయిన దత్తసమితికి చెందుతుందో, లేదో నిర్ధారించవచ్చును. కావున సునిర్వచితము. కాబట్టి సమితి అవుతుంది.

(ii) సమితి కాదు.
భారతదేశంలో గల రచయితలలో 10 మంది అత్యంత ప్రతిభావంతులను నిర్ధారించలేము. అనగా ఇది సునిర్వచితం కాదు. కాబట్టి సమితి కాదు.

(iii) సమితి కాదు.
ప్రపంచంలో గల 11 మంది బాగా ఆడే బ్యాట్స్మ న్లను నిర్ధారించలేము. అనగా ఇది సునిర్వచితం కాదు. కాబట్టి సమితి కాదు.

(iv) సమితి.
ఏ బాలుడైనా మా తరగతికి చెందుతాడా, లేదా అని సులభంగా నిర్ధారించగలను. కావున ఇది • సునిర్వచితము. కాబట్టి సమితి అవుతుంది.

(v) సమితి.
ఎన్నుకొన్న ఏ పూర్ణసంఖ్య అయిన సరిసంఖ్య అవునా, కాదా అని నిర్ణయించవచ్చును. అనగా ఇది సునిర్వచితము. కాబట్టి సమితి అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
A= {0, 2, 4, 6}, B = {3, 5, 7}, C = {p, q, r} అయిన క్రింది ఖాళీలలో 6 లేదా ? సరైన గుర్తును పూరించండి.
(i) 0 …… A
సాధన.
∈

(ii) 3 ….. C
సాధన.
∉

(iii) 4 ….. B
సాధన.
∉

(iv) 8 ….. A
సాధన.
∉

(v) p ….. C
సాధన.
∈

(vi) 7 ….. B
సాధన.
∈

ప్రశ్న 3.
క్రింది వాక్యాలను గుర్తులనుపయోగించి వ్యక్తపరచండి.
(i) ‘x’ అనే మూలకం ‘A’కు చెందదు.
సాధన.
x ∉ A

(ii) ‘d’ అనేది ‘B’ సమితి యొక్క ఒక మూలకం.
సాధన.
D ∈ B

(iii) ‘1’ అనేది సహజ సంఖ్యాసమితి N కు చెందుతుంది.
సాధన.
1 ∈ N

(iv) ‘8’ అనేది P అనే ప్రధాన సంఖ్యల సమితికి చెందదు.
సాధన.
8 ∉ P

ప్రశ్న 4.
క్రింది వాక్యాలు సత్యమా ? అసత్యమా ? తెలపండి.
(i) 5 ∉ ప్రధాన సంఖ్యల సమితి
సాధన.
అసత్యం

(ii) S = {5, 6, 7} ⇒ 86 S.
సాధన.
అసత్యం

(iii) – 5 ∉ W, ‘W’ సమితి పూర్ణాంకాల సమితి.
సాధన.
సత్యం

(iv) [latex]\frac{8}{11}[/latex]∈ Z, ‘Z’ అనేది పూర్ణసంఖ్యల సమితి.
సాధన.
అసత్యం

ప్రశ్న 5.
క్రింది సమితులను రోస్టర్ రూపంలో రాయండి.
(i) B = {x : x అనేది 6 కంటే తక్కువైన సహజసంఖ్య }
(ii) C = {x : x అనేది ఒక రెండంకెల సహజసంఖ్య మరియు రెండంకెల మొత్తం 8}
(iii)D ={x : x. అనేది 60ని భాగించగల ఒక ప్రధానసంఖ్య}
(iv) E= {BETTER అనే పదంలోని మొత్తం అక్షరాలు}
సాధన.
(i) B = {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) C = {17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80}
(iii) D = {2, 3, 5}
(iv) E = {B, E, T, R}

ప్రశ్న 6.
క్రింది సమితులను సమితి నిర్మాణ రూపంలో రాయండి.
(i) {3, 6, 9, 12}
(ii) {2, 4, 8, 16, 32}
(iii){5, 25, 125, 625}
(iv){1, 4, 9, 16, 25, ….. 100}
సాధన.
(i) A = {3, 6, 9, 12} అనుకొనుము.
A = {x : x అనేది 3 యొక్క గుణిజం మరియు x < 13}
(లేదా)
A = {x : x = 3n, n ∈ N మరియు n < 5}
(లేదా)
A = {x : x అనేది 13 కన్నా చిన్నదైన 3 యొక్క గుణిజం}

(ii) B = {2, 4, 8, 16, 32} అనుకొనుము.
B = {x : x = 2ⁿ, n ∈ N మరియు n <6}
(లేదా)
B = {x : x = 2ⁿ, n అనేది 6 కన్నా తక్కువైన సహజ సంఖ్య}

(iii) C = {5, 25, 125, 625} అనుకొంటే
C = {x : x = 5ⁿ, n ∈ N మరియు n <5}
(లేదా)
C = {x : x = 5ⁿ, n అనేది 5 కన్నా తక్కువైన సహజ సంఖ్య}

(iv) D = {1, 4, 9, 16, 25, …., 100} అనుకొంటే
D = {x : x అనేది ఒక వర్గ సంఖ్య మరియు x ≤ 100}
(లేదా)
D = {x : x = n, n ∈ N మరియు n ≤ 10}

ప్రశ్న 7.
క్రింది సమితులలోని మూలకాలన్నింటిని రోస్టర్ రూపంలో రాయండి.
(i) A = {x : x అనేది 50 కంటే ఎక్కువ, 100 కంటే తక్కువ అయిన సహజసంఖ్య }
(ii) B = {x : x ఒక పూర్ణసంఖ్య మరియు x* = 4}
(iii)D = {x : x అనేది “LOYAL” అనే పదంలోని ఒక అక్షరం}
సాధన.
(i) A = {51, 52, 53, 54 ………. 98, 99}
(ii) B = {-2, + 2}
(iii) D = {L, O, Y, A}

ప్రశ్న 8.
రోస్టర్ రూపం నుండి సమితి నిర్మాణరూపానికి జతపరచండి.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 2nd Lesson సమితులు Exercise 2.1 1

సాధన.
(i) c
(ii) a
(iii) d
(iv) b

AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions

January 25, 2022

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 4th Lesson రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పజి నెం. 132]

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన కోణాలకు పూరక కోణాలను కనుగొనండి.
(i) 27°
సాధన.
27°లకు పూరక కోణం = 90 – 27 = 63°

(ii) 43°
సాధన.
43°లకు పూరక కోణం = 90 – 43 = 47°

(iii) k°
సాధన.
k°లకు పూరక కోణం = (90 – k)°

(iv) 2°
సాధన.
2° లకు పూరక కోణం = 90 – 2 = 88°

ప్రశ్న 2.
ఇచ్చిన కోణాలకు సంపూరక కోణాలను కనుగొనండి.
(i) 13°
సాధన.
13°లకు ‘సంపూరక కోణం = 180 – 13 = 167°

(ii) 97°
సాధన.
97° లకు సంపూరక కోణం = 180 – 97 = 83°

(iii) a°
సాధన.
a° లకు సంపూరక కోణం = (180 – a°)

(iv) 46°
సాధన.
46°లకు సంపూరక కోణం = 180 – 46 = 134°

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన కోణాలకు సంయుగ్మ కోణాలను కనుగొనండి.
(i) 74°
సాధన.
74°లకు సంయుగ్మ కోణం = 360 – 74 = 286°

(ii) 180°
సాధన.
180° లకు సంయుగ్మ కోణం = 360 – 180 = 180°

(iii) m°
సాధన.
m° లకు సంయుగ్మ కోణం = (360 – m)°

(iv) 300°
సాధన.
300° లకు సంయుగ్మ కోణం = 360 – 300 = 60°

[పేజి నెం. 132]

(i) “రెండు అల్పకోణాలు, సంపూరక కోణాల జతను ఏర్పరచ లేవు” అని ఉమేష్ అన్నాడు. మీరు అంగీకరిస్తారా? కారణం తెల్పండి.
సాధన.
“రెండు అల్పకోణాలు, సంపూరక కోణాల జతను ఏర్పరచలేవు” అన్న ఉమేష్ వాదనతో అంగీకరిస్తాను.
కారణం: అల్పకోణము 90° కన్నా తక్కువ. 90° కన్నా తక్కువ అయిన రెండు కోణాల మొత్తం 180° కన్నా తక్కువగా ఉంటుంది. కాబట్టి ఉమేష్ అన్నట్లు “రెండు
అల్పకోణాలు, సంపూరక కోణాల జతను ఏర్పరచలేవు”.

(ii) “పూరక కోణాల జతలో ప్రతికోణం ఎల్లప్పుడూ అల్ప కోణమే” అని లోకేష్ అన్నాడు. మీరు అంగీకరిస్తారా? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.
సాధన.
“పూరక కోణాల జతలో ప్రతికోణం ఎల్లప్పుడూ అల్ప కోణమే” అన్న లోకేష్ వాదనతో నేను అంగీకరిస్తాను.
కారణం: పూరక కోణాల జతలోని ప్రతి కోణము అల్పకోణము అయినప్పుడు మాత్రమే వాని మొత్తం 90° అవుతుంది. పూరక కోణాల జతలో ఏదేని కోణం అల్పకోణం కాకపోతే వాని మొత్తం 90° కన్నా ఎక్కువ అవుతుంది. కాబట్టి, లోకేష్ అన్నట్లు “పూరక కోణాల జతలో ప్రతి కోణము ఎల్లప్పుడూ అల్పకోణమే”.

ఆలోచించండి [పేజి నెం. 138]

ప్రశ్న 1.
పటంలో, ∠AOB మరియు ∠BPC లు ఆసన్న కోణాలు కావు. ఎందుకు ? కారణం తెల్పండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 2
సాధన.
∠AOB మరియు ∠BPCలు ఆసన్న కోణాలు కావు. ఎందుకనగా, రెండు కోణాలకు ఉమ్మడి శీర్షం లేదు.

ప్రశ్న 2.
పటంలో, ∠AOB మరియు ∠COD లకు ఉమ్మడి శీర్షం O. కాని ∠AOB, ∠COD ఆసన్న కోణాలు కావు. ఎందుకు ? కారణం తెల్పండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 3
సాధన.
∠AOB మరియు ∠COD లకు ఉమ్మడి శీర్షం ‘O’ ఉన్నప్పటికి అవి ఆసన్న కోణాలు కావు. ఎందుకనగా, ఈ రెండు కోణాలకు ఉమ్మడి భుజం లేదు.

ప్రశ్న 3.
పటంలో, ∠POQ మరియు ∠POR లకు ఉమ్మడి శీర్షం 0 మరియు ఉమ్మడి భుజం OP గా కలవు. కానీ ∠POQ మరియు ∠PORలు ఆసన్నక్ కాలు కావు. ఎందుకు ? కారణం తెల్పండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 4
సాధన.
∠POQ మరియు ∠POR లకు ఉమ్మడి శీర్షం ‘O’ మరియు ఉమ్మడి భుజం OP గా కలవు. కాని ఇవి ఆసన్న కోణాలు కావు. ఎందుకనగా ఈ రెండు కోణాలు ఉమ్మడి భుజానికి చెరొక వైపు లేవు.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 140]

క్రిందిపటం [latex]\overleftrightarrow{P R}[/latex] ఒక సరళ రేఖ మరియు సరళ రేఖ [latex]\overleftrightarrow{P R}[/latex] పై 0 ఒక బిందువు. [latex]\overleftrightarrow{O Q}[/latex] ఒక కిరణం.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 5
(i) ∠QOR = 50° అయిన ∠POQ విలువ ఎంత ?
సాధన.
∠QOR + ∠POQ = 180° (రేఖీయ ద్వయం)
⇒ 50° + ∠POQ = 180°
⇒ ∠POQ = 180° – 50° = 130°
∴ ∠POQ = 130°

(ii) ∠QOP = 102° అయిన ∠QOR విలువ ఎంత?
సాధన.
∠QOP + ∠QOR = 180° (రేఖీయ ద్వయం)
⇒ 102° + ∠QOR = 180°
⇒ ∠QOR = 180° – 102°
∴ ∠QOR = 78°

అన్వేషిద్దాం [పేజి నెం. 140]

ప్రశ్న 1.
రేఖీయద్వయం ఎల్లప్పుడూ ఆసన్నకోణాలు అవుతాయి. కానీ ఆసన్నకోణాలు ఎల్లప్పుడూ రేఖీయద్వయం కావలసిన అవసరం లేదు. మీరు అంగీకరిస్తారా ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించుటకు ఒక పటాన్ని గీయండి.
సాధన.
అంగీకరిస్తాను.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 6
∠AOB, ∠BOC లు ఆసన్న కోణాలు కాని అవి రేఖీయద్వయం కావు.

ప్రశ్న 2.
రెండు కోణాలు 30° మరియు 150°ల మొత్తం 180° కనుక అవి రేఖీయద్వయం అవుతాయి అని మహేష్ చెప్పాడు. దీనిని నీవు అంగీకరిస్తావా ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.
సాధన.
మహేష్ వాదనను అంగీకరించను.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 7
పై పటంలో ∠AOB = 309, ∠XYZ = 150° కాని అవి రేఖీయద్వయం కావు. కావున రెండు కోణాలు 30° మరియు 150°ల మొత్తం 180° కనుక అవి రేఖీయం అవుతాయి అని అంటున్న మహేష్ వాదనను అంగీకరించను.

ఆలోచించండి [పేజి నెం. 140]

(i) క్రింది పటంలో, [latex]\overleftrightarrow{A B}[/latex] ఒక సరళరేఖ, సరళరేఖ [latex]\overleftrightarrow{A B}[/latex] పై
0ఒక బిందువు. [latex]\overrightarrow{\mathrm{OC}}[/latex] ఒక కిరణం. ∠AOC అంతరంలో బిందువు D ని తీసుకొని, OD కలపండి.
∠AOD + ∠DOC + ∠COB ను కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 8
సాధన.
∠AOC మరియు ∠COB లు రేఖీయ జత.
కాని, ∠AOC = ∠AOD + ∠DOC

⇒ ∠AOC + ∠COB = 180° (రేఖీయ జత)
⇒ ∠AOD + ∠DOC + ∠COB = 180°

(ii) క్రింది పటంలో AG ఒక సరళరేఖ, ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 విలువ కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 10
సాధన.
∠AOC మరియు ∠COG లు రేఖీయ జత.
∠AOC + ∠COG = 180° (రేఖీయ జత)
కాని, ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
= ∠1 + ∠2
∠COG = ∠COD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOG
= ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 7
⇒ (∠AOB + ∠BOC) + (∠COD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOG) = 180°
⇒ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6
= 180°

ఇవి చేయండి కృత్యిం [పేజి నెం. 144]

ఒక తెల్ల కాగితం తీసుకోండి. ఈ కాగితంపై 3 విభిన్న జతల ఖండన రేఖలను గీయండి. అలా ఏర్పడిన కోణాలను కొలిచి, పట్టికలో నింపండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 12
పై పట్టిక నుండి “శీర్షాభిముఖ కోణాలు సమానం” అని గమనించగలరు.
సాధన.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 146]

పటంలో మూడు సరళరేఖలు p, q మరియు r లు ఒక బిందువు 0 వద్ద ఖండించుకొనినవి. పటంలో కోణాలను పరిశీలించండి. క్రింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 15
(i) ∠1 కి శీర్షాభిముఖ కోణం ఏది ?
సాధన.
∠1 కి శీర్షాభిముఖ కోణం ∠4.

(ii) ∠6కి శీర్షాభిముఖ కోణం ఏది?
సాధన.
∠6 కి శీర్షాభిముఖ కోణం ∠3.

(iii) ∠2 = 50° అయిన ∠5 విలువ ఎంత ?
సాధన.
∠2 = 50° అయిన ∠5 = 50°. (∠2 మరియు ∠5 లు శీర్షాభిముఖ కోణాలు కావున ∠2 = ∠5)

ఆలోచించండి [పేజి నెం. 150]

AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 16

(i) పటంలో సరళరేఖ l మిగిలిన రెండు సరళరేఖలు m, n లను వరుసగా A మరియు B బిందువుల వద్ద ఖండించినది. అందువల్ల l ఒక తిర్యగ్రేఖ అవుతుంది. పటంలో ఇంకా ఏమైనా తిర్యగ్రేఖలు ఉన్నాయా? కారణం తెల్పండి.
సాధన.
m, n లు కూడా తిర్యగ్రేఖలు అవుతాయి.
కారణం: m సరళరేఖ, మిగిలిన రెండు సరళరేఖలు l, nలను A, C అనే బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది. కావున, m ఒక తిర్యగ్రేఖ అవుతుంది. అలాగే సరళరేఖ n, మిగిలిన రెండు సరళరేఖలు l, m లను B, C బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది. కావున n ఒక తిర్యగ్రేఖ అవుతుంది.

(ii) ఒక జత సరళరేఖలకు ఎన్ని తిర్యగ్రేఖలను గీయవచ్చు?
సాధన. ఒక జత సరళరేఖలకు అనంత తిర్యగ్రేఖలను గీయ వచ్చును.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 152]

పటం (i) మరియు (ii) లను గమనించి, పట్టికను పూరించండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 17

సాధన.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 156]

పటంలో p || q మరియు t ఒక తిర్యగ్రేఖ.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 21
పటంలో కోణాలను పరిశీలించి, క్రింది వానికి జవాబులు రాయండి.
(i) ∠1 = 100° అయిన ∠5 విలువ ఎంత ?
సాధన.
∠1 = 100° అయిన ∠5 = 100° (సదృశ కోణాలు)

(ii) ∠8 = 80° అయిన ∠4 విలువ ఎంత ?
సాధన.
∠8 = 80° అయిన ∠4 = 80° (సదృశ కోణాలు)

(iii) ∠3 = 145° అయిన ∠7 విలువ ఎంత ?
సాధన.
∠3 = 145° అయిన ∠7 = 145° (సదృశ కోణాలు)

(iv) ∠6 = 30° అయిన ∠2 విలువ ఎంత ?
సాధన.
∠6 = 30° అయిన ∠2 = 30° (సదృశ కోణాలు)

ఆలోచించండి [పేజి నెం. 156]

ఒక జత సమాంతర రేఖలను తిర్యగ్రేఖ ఖండించినప్పుడు ఏర్పడే ఏక బాహ్య కోణాల మధ్య గల సంబంధం ఏమిటి?
సాధన.
ఒక జత సమాంతర రేఖలను తిర్యగ్రేఖ ఖండించినపుడు ఏర్పడే ఏక బాహ్య కోణాలు సమానాలు.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో, [పేజి నెం. 160]

ప్రశ్న 1.
పటంలో m || n మరియు l ఒక తిర్యగ్రేఖ.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 25
(i) ∠3 = 116° అయిన ∠5 విలువ ఎంత అవుతుంది?
సాధన.
∠3 = 116° అయిన ∠5 = 116° (ఏకాంతర కోణాలు)

(ii) ∠4 = 51° అయిన ∠5 విలువ ఎంత అవుతుంది?
సాధన.
∠4 + ∠5 = 180°
(తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు గల అంతరంగా గల కోణము సంపూరకాలు)
⇒ 51° + ∠5 = 180°
⇒ ∠5 = 180° – 51° = 129°

(iii) ∠1 = 123° అయిన ∠7 విలువ ఎంత అవుతుంది?
సాధన.
∠1 = 123° అయిన ∠7 = 123° (సదృశ కోణాలు)

(iv) ∠2 = 66° అయిన ∠7 విలువ ఎంత అవుతుంది?
సాధన.
∠2 = 66° అయిన ∠7 = 114°
(తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు గల బాహ్యంగా గల కోణాలు సంపూరకాలు)
∴ ∠2 + ∠7 = 180°
∠7 = 180° – 66° = 114°

ఆలోచించండి [పేజి నెం. 160]

ఒక జత సమాంతర రేఖలను తిర్యగ్రేఖ ఖండించినప్పుడు ఏర్పడే సహబాహ్య కోణాల మధ్య గల సంబంధం ఏమిటి?
సాధన.
ఒక జత సమాంతర రేఖలను తిర్యగ్రేఖ ఖండించినపుడు ఏర్పడే సహబాహ్య కోణాలు సంపూరకాలు.

ఇవి చేయండి కృత్యం [పేజి నెం. 160]

ఒక తెల్ల కాగితాన్ని తీసుకొనుము. పటం 1 లో చూపిన విధంగా దానిపై సమాంతరంగా లేని రెండు సరళరేఖలు p మరియు q లను గీయండి. వాటిని ఖండించేటట్లు ఒక తిర్యగ్రేఖ r ను గీయండి. అప్పుడు ఏర్పడిన సదృశకోణాలు జతలను కొలిచి పట్టికను పూరించండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 26
సాధన.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 162]

పటాన్ని పరిశీలించి, క్రింద ఇచ్చిన ప్రతిదానిలో ఉపయోగించిన న్యాయాన్ని వ్రాయండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 29
(i) ∠3 = ∠5 అయిన p || q.
సాధన.
ఏకాంతర కోణాల జత సమానము, కనుక ఆ రెండు సరళరేఖలు (p మరియు q) సమాంతరాలు.

(ii) ∠3 + ∠6 = 180° అయిన p || q.
సాధన.
తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు గల అంతర కోణాలు సంపూరకాలు. కనుక, ఆ రెండు సరళరేఖలు (p మరియు q) సమాంతరాలు.

(iii) ∠3 = ∠8 అయిన p || q.
సాధన.
సదృశ కోణాల జత సమానము. కనుక, ఆ రెండు సరళరేఖలు (p మరియు q) సమాంతరాలు.

(iv) p || q అయిన ∠1 = ∠8.
సాధన.
సమాంతర రేఖలను తిర్యగ్రేఖ ఖండించినపుడు ఏర్పడిన ఏక బాహ్య కోణాలు సమానము.

అన్వేషిద్దాం [పేజి నెం. 162]

ప్రశ్న 1.
ఒక జత సరళరేఖలను తిర్యగ్రేఖ ఖండించినపుడు ఏర్పడిన ఏక బాహ్యకోణాల జత సమానం అయిన ఆ రెండు సరళరేఖలు గూర్చి నీవేమి చెప్పగలవు ?
సాధన.
ఆ రెండు సరళరేఖలు సమాంతరాలు.

ప్రశ్న 2.
ఒక జత సరళరేఖలను తిర్యగ్రేఖ ఖండించినపుడు ఏర్పడిన సహబాహ్యకోణాల జత సంపూరకాలు అయినచో ఆ రెండు సరళరేఖలు గూర్చి నీవేమి చెప్పగలవు ?
సాధన.
ఆ రెండు సరళరేఖలు సమాంతరాలు.

తార్కిక విభాగం , తార్కిక వెన్ చిత్రాలు [పేజి నెం. 170]

వస్తువుల మధ్య సంబంధాలను లేదా వస్తువుల యొక్క చిన్న సమూహాల మధ్య సంబంధాలను చూపించడానికి ఉపయోగించే వృత్తాలే వెన్ చిత్రం. ఓవర్ ల్యాప్ అయ్యే వృత్తాల లక్షణాలు ఉమ్మడిగా ఉంటూ, ఓవర్ ల్యాప్ కాని వృత్తాలు వాటి లక్షణాలను పంచుకోవు. వెన్ చిత్రాలు మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ భావనల మధ్య ఉండే పోలికలు మరియు తేడాలను దృశ్యపరంగా ప్రాతినిధ్యం వహించడానికి సాయపడతాయి
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 30

ఉదాహరణలు

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన పటంలో ∠B మరియు ∠E లు పూరక కోణాలు అయిన X యొక్క విలువను కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 1
సాధన.
పటం నుండి, ∠B = x + 10° మరియు ∠E = 35°
∠B మరియు ∠E లు పూరక కోణాలు కనుక, ∠B + ∠E = 90°
⇒ x + 10° + 35° = 90°
⇒ x + 45° = 90°
⇒ x = 90°- 45°
∴ x = 45°

ప్రశ్న 2.
సంపూరక కోణాల నిష్పత్తి 4 : 5 అయిన ఆ రెండు కోణాలను కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సంపూరక కోణాల నిష్పత్తి = 4 : 5
నిష్పత్తిలో భాగాల యొక్క మొత్తం = 4 + 5 = 9
సంపూరక కోణాల మొత్తం = 180°
మొదటి కోణం = [latex]\frac{4}{9}[/latex] × 180° = 80°
రెండవ కోణం = [latex]\frac{5}{9}[/latex] × 180 ° = 100°

ప్రశ్న 3.
ఒకదానితో మరొకటి సమానంగా ఉండే రేఖీయ కోణాల జతను కనుగొనండి.
సాధన.
సమానంగా గల రేఖీయ కోణాల జతను X° మరియు
x° అని అనుకొనుము.
x° + x° = 180°
2x° = 180°
x° = [latex]\frac{180^{\circ}}{2}[/latex]
x° = 90°
కనుక, ఒక్కొక్క కోణం = 90°

ప్రశ్న 4.
ఇచ్చిన పటంలో [latex]\overleftrightarrow{P S}[/latex] ఒక సరళరేఖ అయిన x° కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 11
సాధన.
ఇచ్చిన పటం నుండి, ∠POQ = 60°
∠QOR = x°
∠ROS = 47°
కాని, ∠POQ + ∠QOR + ∠ROS = 180°
⇒ 60° + x° + 47° = 180°
⇒ x° + 107° = 180°
⇒ x° = 180° – 107°
∴ x° = 73°

ప్రశ్న 5.
క్రింది పటాన్ని గమనించి, X, Y మరియు z విలువలను కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 14
సాధన.
పటం నుండి, x = 110° (శీర్షాభిముఖ కోణాలు సమానం )
y + 110° = 180°
y = 180° – 110° = 70°
z = y
z = 70°
కనుక, x = 110°, y = 70° మరియు z = 70°

ప్రశ్న 6.
ఇచ్చిన పటంలో [latex]\overrightarrow{\mathbf{A B}}[/latex]||[latex]\overrightarrow{\mathbf{C D}}[/latex] మరియు [latex]\overrightarrow{\mathbf{A E}}[/latex] ఒక తిర్యగ్రేఖ. ∠BAC = 120° అయితే X మరియు y లను కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 20
సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో [latex]\overrightarrow{\mathbf{A B}}[/latex]||[latex]\overrightarrow{\mathbf{C D}}[/latex] మరియు [latex]\overrightarrow{\mathbf{A E}}[/latex] ఒక తిర్యగ్రేఖ.
∠BAC = 120°
∠ACD = x
∠DCE = y
∠BAC = ∠DCE (సదృశకోణాలు సమానం)
∴ y = 120°
x + y = 180 ° (రేఖీయ ద్వయం సంపూరకాలు)
x + 120° = 180°
x = 180° – 120°
∴ x = 60°
కనుక x = 60°, y = 120°.

ప్రశ్న 7.
ఇచ్చిన పటంలో, [latex]\overrightarrow{\mathrm{BA}}[/latex] || [latex]\overrightarrow{\mathrm{CD}}[/latex] మరియు [latex]\overrightarrow{\mathrm{BC}}[/latex] ఒక తిర్యగ్రేఖ అయిన X ను కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 22
సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో, [latex]\overrightarrow{\mathrm{BA}}[/latex] || [latex]\overrightarrow{\mathrm{CD}}[/latex] మరియు [latex]\overrightarrow{\mathrm{BC}}[/latex] ఒక తిర్యగ్రేఖ.
∠C = x + 35° మరియు ∠B = 60°
∠C = ∠B (∵ ఏకాంతర కోణాలు సమానం)
x + 35° = 60°
x = 60° – 35°
∴ x = 25°

ప్రశ్న 8.
పటంలో [latex]\overrightarrow{\mathrm{MN}}[/latex] || [latex]\overrightarrow{\mathrm{KL}}[/latex] మరియు [latex]\overline{\mathrm{MK}}[/latex] ఒక తిర్యగ్రేఖ అయిన X ను కనుక్కోండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 23
సాధన.
పటంలో [latex]\overrightarrow{\mathrm{MN}}[/latex] || [latex]\overrightarrow{\mathrm{KL}}[/latex] మరియు [latex]\overline{\mathrm{MK}}[/latex] ఒక తిర్యగ్రేఖ.
పటం నుండి, ∠M = 2x మరియు ∠K= x + 30°
∠M + ∠K= 180°
(తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున గల అంతర కోణాల జత సంపూరకాలు)
⇒ 2x + x + 30° = 180°
⇒ 3x + 30° = 180°
⇒ 3x = 180° – 30°
⇒ 3x = 150°
⇒ x = [latex]\frac{150^{\circ}}{3}[/latex]
∴ x = 50°

ప్రశ్న 9.
ఇచ్చిన చిత్రంలో [latex]\overline{\mathrm{AB}}[/latex]||[latex]\overline{\mathrm{DE}}[/latex] మరియు వాటి మధ్యలో ఒక బిందువు C. పటాన్ని పరిశీలించి x, y మరియు ∠BCD విలువలను కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 24
సాధన.
పటం నుండి
ఇచ్చిన చిత్రంలో [latex]\overline{\mathrm{AB}}[/latex]||[latex]\overline{\mathrm{DE}}[/latex] మరియు వాటి మధ్యలో ఒక బిందువు C.
[latex]\overline{\mathrm{AB}}[/latex] కి సమాంతర రేఖ [latex]\overline{\mathrm{CF}}[/latex] ను C నుండి గీయండి.
[latex]\overline{\mathrm{AB}}[/latex]||[latex]\overline{\mathrm{CF}}[/latex] మరియు [latex]\overline{\mathrm{BC}}[/latex] ఒక తిర్యగ్రేఖ.
x + 103° = 180°
x = 180° – 103°
x = 77°
పటం నుండి,
[latex]\overline{\mathrm{DE}}[/latex] || [latex]\overline{\mathrm{CF}}[/latex] మరియు [latex]\overline{\mathrm{CD}}[/latex] ఒక తిర్యగ్రేఖ.
y + 103° = 180°
y = 180° – 103°
y = 77°
మరియు ∠BCD = x + y
= 77° + 77°
= 154°

ప్రశ్న 10.
ఇచ్చిన పటంలో m, n లు రెండు సరళరేఖలు. p ఒక తిర్యగ్రేఖ. పటాన్ని పరిశీలించి m || n అవుతుందో, లేదో కనుక్కోండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 28
సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో ఒక జత సదృశ కోణాలు ఒక్కొక్కటి 45° గా ఇవ్వబడింది. ఇవి సమానాలు. ఒక జత సరళ రేఖలను తిర్యగ్రేఖ ఖండించినపుడు ఏర్పడిన సదృశ కోణాల జత సమానం అయినచో ఆ రెండు సరళరేఖలు సమాంతరంగా ఉంటాయి. కనుక, m || n అవుతుంది.

సాధనా ప్రశ్నలు [పేజి నెం. 174]

పై పట్టికలోని ఏ సమూహం (ఎ, బి, సి, డి, ఇ, ఎఫ్), క్రింద ఇచ్చిన ప్రశ్నలకు చెందినదో సూచించండి.

ప్రశ్న 1.
రాష్ట్రము, జిల్లా, మండలం
జవాబు.
సమూహం: బి

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 31

ప్రశ్న 2.
బాలురు, బాలికలు, కళాకారులు
జవాబు.
సమూహం: సి

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 32

ప్రశ్న 3.
గంటలు, రోజులు, నిమిషాలు
జవాబు.
సమూహం: బి

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 33

ప్రశ్న 4.
మహిళలు, ఉపాధ్యాయుడు, వైద్యుడు
జవాబు.
సమూహం: సి

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 34

ప్రశ్న 5.
ఆహారము, పెరుగు, చెంచా
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 35

ప్రశ్న 6.
మానవులు, నాట్యకారుడు, ఆటగాడు
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 36

ప్రశ్న 7.
భవనము, ఇటుక, వంతెన
జవాబు.
సమూహం: సి

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 37

ప్రశ్న 8.
చెట్టు, కొమ్మ, ఆకు
జవాబు.
సమూహం: బీ

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 38

ప్రశ్న 9.
బంగారం, వెండి, ఆభరణాలు
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 39

ప్రశ్న 10.
బల్బులు, స్విచ్ లు, ఎలక్ట్రికల్స్
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 40

ప్రశ్న 11.
మహిళలు, నిరక్షరాస్యత, పురుషులు
జవాబు.
సమూహం: సి

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 41

ప్రశ్న 12.
మందులు, మాత్రలు, సిరప్
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 42

ప్రశ్న 13.
క్యారెట్లు, ఆరెంజ్ లు, కూరగాయలు
జవాబు.
సమూహం: ఇ

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 43

ప్రశ్న 14.
జగ్, పుస్తకం, కుండ
జవాబు.
సమూహం: ఎ

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 44

ప్రశ్న 15.
బల్ల, ఫర్నిచర్, కుర్చీ
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 45

ప్రశ్న 16.
పండ్లు, మామిడి, ఉల్లి
జవాబు.
సమూహం: ఇ

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 46

ప్రశ్న 17.
పాఠశాల, ఉపాధ్యాయుడు, విద్యార్థులు
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 47

ప్రశ్న 18.
అరటి, చొక్కా, బల్బ్
జవాబు.
సమూహం: ఎ

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 48

ప్రశ్న 19.
భారతదేశం, ఆంధ్రప్రదేశ్, విశాఖపట్టణం
జవాబు.
సమూహం: బి

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 49

ప్రశ్న 20.
జంతువులు, ఆవులు, గుర్రాలు
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 50

ప్రశ్న 21.
చేప, పులి, పాములు
జవాబు.
సమూహం: ఎ

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 51

ప్రశ్న 22.
పూలు, మల్లెపూలు, అరటి
జవాబు.
సమూహం: ఇ

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 52

ప్రశ్న 23.
రచయితలు, ఉపాధ్యాయులు, పురుషులు
జవాబు.
సమూహం: సి

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 53

ప్రశ్న 24.
కుక్క, చేప, చిలుక
జవాబు.
సమూహం: ఎ

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 54

ప్రశ్న 25.
గులాబి, పుష్పం, ఆపిల్
జవాబు.
సమూహం: ఇ

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 55

ప్రశ్న 26.
స్కూలు, క్లాస్ రూమ్, బెంచీలు
జవాబు.
సమూహం: బీ

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 56

ప్రశ్న 27.
కలము, స్టేషనరీ, పౌడర్
జవాబు.
సమూహం: ఇ

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 57

ప్రశ్న 28.
కాకి, పావురం, పక్షులు
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 58

ప్రశ్న 29.
క్షీరదాలు, ఏనుగులు, డైనోసార్లు
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 59

ప్రశ్న 30.
రచయితలు, ఉపాధ్యాయులు, పరిశోధకులు
జవాబు.
సమూహం: డి

వివరణ
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions 60

AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Unit Exercise

January 25, 2022

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Unit Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 4th Lesson రేఖలు మరియు కోణాలు Unit Exercise

ప్రశ్న 1.
36° యొక్క పూరక, సంపూరక మరియు సంయుగ్మ కోణాలను కనుగొనండి.
సాధన.
36°ల యొక్క పూరక కోణం = 90° – 36° = 54°
36° ల యొక్క సంపూరక కోణం = 180° – 36° = 1440
36°ల యొక్క సంయుగ్మ కోణం = 360° – 36° = 324°

ప్రశ్న 2.
క్రింది పటాన్ని పరిశీలించండి. పటంలో ఏవైనా 4 జతల ఆసన్న కోణాలను రాయండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Unit Exercise 1
సాధన.
(i) ∠AOB, ∠BOC.
(ii) ∠BOC, ∠COD.
(iii) ∠COD, ∠DOE.
(iv) ∠DOE, ∠EOF.

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన పటంలో సరళరేఖలుl మరియు mలు 0 అనే బిందువు వద్ద ఖండించిన X విలువను కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Unit Exercise 2
సాధన.
పటంలో l, m లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి.
x° + 40° = 120° (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
x = 120° – 40°
∴ x = 80°

ప్రశ్న 4.
ఇచ్చిన పటంలో [latex]\overleftrightarrow{A E}[/latex] ఒక సరళరేఖ. కోణాలు ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ల నిష్పత్తి 1 : 2 : 3 : 4 అయిన ఆ కోణాలను కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Unit Exercise 3
సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో [latex]\overleftrightarrow{A E}[/latex] ఒక సరళరేఖ.
∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ల నిష్పత్తి 1 : 2 : 3 : 4.
∴ ∠1 = x°, ∠2 = 2x°, ∠3 = 3x°, ∠4 = 4x° అనుకొందాం.
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180° (సరళరేఖపై ఒక బిందువు వద్ద సరళరేఖకు ఒకేవైపు గల కోణాల మొత్తం 180°).
∴ x° + 2x° + 3x° + 4x° = 180°
⇒ 10x° = 180°
⇒ x° = [latex]\frac{180^{\circ}}{10}[/latex] = 18°
∴ x = 18°
2x° = 2 × 18° = 36°
3x° = 3 × 18° = 54
4x° = 4 × 18° = 720
∴ ∠1 = x° = 18°, ∠2 = 2x° = 36°
∠3 = 3x° = 54°, ∠4 = 4x° = 72°
(లేదా)
నిష్పత్తుల మొత్తం = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Unit Exercise 4

ప్రశ్న 5.
రేఖీయ కోణాల జతకు మీ పరిసరాల నుండి రెండు ఉదాహరణలు రాయండి.
సాధన.

కిటికి నిలువు అడ్డు కమ్మీల మధ్య ఏర్పడు కోణాలు.
కిటికీ తలుపు తెరచినపుడు తలుపు రెండు వైపులా ఏర్పడే కోణాలు.

ప్రశ్న 6.
“రెండు అధిక కోణాలు ఒక జత సంయుగ్మ కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి” అని మణి చెప్పెను. దీనిని మీరు అంగీ కరిస్తారా ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించుము.
సాధన.
అంగీకరించను.
కారణం: అధిక కోణం విలువ 90° కన్నా ఎక్కువ 180° కన్నా తక్కువ ఉంటుంది. 180° కన్నా తక్కువ ఉన్న ఏ రెండు కోణాల మొత్తమైనా 360° కన్నా తక్కువ ఉంటుంది. కావున, ఆ రెండు కోణాలు సంయుగ్మ కోణాలు కావు.

ప్రశ్న 7.
ఒకదానికొకటి సంపూరకాలు కాని ఒక జత ఆసన్న కోణాలకు పటాన్ని గీయండి.
సాధన.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Unit Exercise 5
∠AOC, ∠COB లు ఆసన్న కోణాలు మరియు
∠AOC + ∠COB ≠ 180°

ప్రశ్న 8.
ఇచ్చిన పటంలో l || m మరియు t ఒక తిర్యగ్రేఖ. ∠1 మరియు ∠2 లను కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Unit Exercise 6
సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో l|| m మరియు t ఒక తిర్యగ్రేఖ.
∠1 = 110° (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∠1 + ∠2 = 180°
(తిర్యగ్రేఖకు అంతరంగా ఒకేవైపు గల కోణాలు)
110° + ∠2 = 180°
∠2 = 180° – 110°
∴ ∠2 = 70°
∴ ∠1 = 110° మరియు ∠2 = 70°

ప్రశ్న 9.
రెండు సరళరేఖలు l మరియు mలను మరో సరళరేఖ p రెండు విభిన్న బిందువుల వద్ద ఖండించినది. పటాన్ని పరిశీలించి, ఖాళీలను పూరించండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Unit Exercise 7
(i) సరళరేఖ ‘p’ ని ………………… అని అంటారు.
(ii) ∠1 మరియు ∠5 లు ………… కోణాల జత.
(iii) ∠4 మరియు ∠6 లు …………. కోణాల జత.
(iv) ∠3 మరియు ∠6 లు ……….. కోణాల జత.
సాధన.
(i) తిర్యక్ రేఖ
(ii) సదృశ కోణాల
(iii) ఏకాంతర కోణాల
(iv) తిర్యగేఖకు ఒకేవైపు అంతరంగా గల

ప్రశ్న 10.
ఇచ్చిన పటంలో [latex]\overleftrightarrow{C F}[/latex] || [latex]\overrightarrow{\mathrm{BD}}[/latex] మరియు [latex]\overrightarrow{\mathrm{BE}}[/latex] ఒక తిర్యగ్రేఖ, ∠CAE = 135° అయిన ∠ABD విలువ కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Unit Exercise 8
సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో [latex]\overleftrightarrow{C F}[/latex] || [latex]\overrightarrow{\mathrm{BD}}[/latex] మరియు [latex]\overrightarrow{\mathrm{BE}}[/latex] తిర్యగ్రేఖ.
∠CAE = 135°
∠BAF = ∠CAE (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴∠BAF = 1350
∠BAF + ∠ABD = 180° (తిర్యగ్రేఖకు అంతరంగా ఒకేవైపు గల కోణాలు)
⇒ 135° + ∠ABD = 180°
⇒ ∠ABD = 180° – 135°
∴ ∠ABD = 45°

AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.4

January 25, 2022

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 4th Lesson రేఖలు మరియు కోణాలు Exercise 4.4

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన పటంలో p || q మరియు r ఒక తిర్యగ్రేఖ, ∠3 = 135° అయినచో మిగిలిన అన్ని కోణాలను కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.4 1
సాధన.
p || q మరియు 7 తిర్యగ్రేఖ, ∠3 = 135°
∠1 = ∠3 (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ∠1 = 135°
∠1 + ∠2 = 180° (రేఖీయద్వయం)
135° + ∠2 = 180°
∴ ∠2 = 180° – 135° = 450
∠4 = ∠2 (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ∠4 = 45°
∠5 = ∠3 (ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∠5 = 135°
∠6 = ∠4 (ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∠6 = 45°
∠7 = ∠6 (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ∠7 = 45°
∠8 = ∠5 (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ∠8 = 135°
∴ ∠3 = 135° అయిన మిగిలిన కోణాలు
∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3 = 135°, ∠4 = 45°, ∠5 = 135°, ∠6 = 45°, ∠7 = 45°, ∠8 = 135°

ప్రశ్న 2.
ఇచ్చిన పటంలో, [latex]\overleftrightarrow{A B}[/latex] || [latex]\overleftrightarrow{C D}[/latex] మరియు [latex]\overleftrightarrow{D E}[/latex] ఒక తిర్యగ్రేఖ అయిన x విలువ కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.4 2
సాధన.
[latex]\overleftrightarrow{A B}[/latex] || [latex]\overleftrightarrow{C D}[/latex] మరియు [latex]\overleftrightarrow{D E}[/latex] తిర్యగ్రేఖ,
∠CDB = 100°
∠ABE = ∠CDB (సదృశ కోణాలు)
35° + x = 100°
∴ x = 100° – 35°
∴ x = 65°

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన పటంలో, m || n మరియు p ఒక తిర్యగ్రేఖ అయిన X మరియు y విలువలను కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.4 3
సాధన.
m || n మరియు p తిర్యగ్రేఖ.
x = 120° (శీర్షాభిముఖ కోణం )
y + 45° = x (సదృశ కోణాలు)
⇒ y + 45° = 120°
⇒ y = 120° – 45°
⇒ y = 75°
∴ x = 120°, y = 75°

ప్రశ్న 4.
ఇచ్చిన పటంలో, [latex]\overrightarrow{\mathbf{A B}}[/latex] || [latex]\overrightarrow{\mathbf{C D}}[/latex] || [latex]\overrightarrow{\mathbf{F E}}[/latex] అయిన x, y మరియు ∠AEC విలువలను కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.4 4
సాధన.
[latex]\overrightarrow{\mathbf{A B}}[/latex] || [latex]\overrightarrow{\mathbf{C D}}[/latex] || [latex]\overrightarrow{\mathbf{F E}}[/latex]
[latex]\overrightarrow{\mathbf{A B}}[/latex]|| [latex]\overrightarrow{\mathbf{F E}}[/latex] మరియు [latex]\overline{\mathrm{AE}}[/latex] తిర్యగ్రేఖ.
x = 20° (ఏకాంతర కోణాలు)
[latex]\overrightarrow{\mathbf{C D}}[/latex]|| [latex]\overrightarrow{\mathbf{E F}}[/latex] మరియు [latex]\overline{\mathrm{AE}}[/latex] తిర్యగ్రేఖ.
y = 33° (ఏకాంతర కోణాలు)
∠AEC = ∠x + ∠y
= 20° + 33° = 53°
∴ x = 20°, y = 33°, ∠AEC = 53°

ప్రశ్న 5.
ఇచ్చిన పటంలో రెండు సరళరేఖలు pమరియు qలను ఒక తిర్యగ్రేఖ t ఖండించెను. p || q అవుతుందో, లేదో సరిచూడండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.4 5
సాధన.
p, qలు సరళరేఖలు, 1 తిర్యగ్రేఖ.
తిర్యగ్రేఖ t కు అంతరంగా ఒకే వైపు గల కోణాల మొత్తం = 100° + 80° = 180°
∴ తిర్యగ్రేఖకు అంతరంగా ఒకేవైపు గల కోణాలు సంపూరకాలు. కావున p||q.

ప్రశ్న 6.
ఇచ్చిన పటంలో l || m అయిన x, y మరియు z విలువలను కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.4 6
సాధన.
|| m మరియు [latex]\overrightarrow{\mathrm{AC}}[/latex] తిర్యగ్రేఖ.
z = 40° (ఏకాంతర కోణాలు)
l || m మరియు [latex]\overrightarrow{\mathrm{AB}}[/latex] తిర్యగ్రేఖ.
మరియు x + (y + z) = 180° .
(తిర్యగ్రేఖకు అంతరంగా ఒకేవైపు గల కోణాలు)
x + y + z = 180°
(x + y) + 40° = 180°
(తిర్యగ్రేఖకు అంతరంగా ఒకేవైపు గల కోణాలు) (∵ z = 40°)
x + y + 40° = 180°
x + y = 180° – 40° = 140°
కాని, x = y (ఇవ్వబడినది)
2x = 140°
∴ x = [latex]\frac{140^{\circ}}{2}[/latex] = 70° = y
కావున, x = 70°, y = 70° మరియు z = 40°.

ప్రశ్న 7.
ఇచ్చిన పటంలో p, q, r మరియు s లు సమాంతర రేఖలు మరియు t ఒక తిర్యగ్రేఖ అయిన x, y మరియు z విలువలను కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.4 7
సాధన.
p, q, r మరియు s లు సమాంతర రేఖలు, t ఒక తిర్యగ్రేఖ.
p, qలు సమాంతర రేఖలు, t తిర్యగ్రేఖ.
∴ x + 80° = 180° (తిర్యగ్రేఖకు అంతరంగా ఒకే వైపు గల కోణాలు)
∴ x = 180° – 80°
x = 100°
p, rలు సమాంతర రేఖలు, t తిర్యగ్రేఖ.
y = 80° (ఏకాంతర కోణాలు)
p, s లు సమాంతర రేఖలు, t తిర్యగ్రేఖ.
z = 80° (సదృశ కోణాలు)
(లేదా )
r, S లు సమాంతర రేఖలు, 1 తిర్యగ్రేఖ.
z = y (ఏక బాహ్యకోణాలు)
∴ z = 80°
∴ x = 100°, y = 80°, z = 80°

ప్రశ్న 8.
ఇచ్చిన పటంలో [latex]\overrightarrow{\mathbf{A B}}[/latex] || [latex]\overrightarrow{\mathbf{C D}}[/latex] మరియు వాటి మధ్యలో ఒక బిందువు E అయిన x + y + Z విలువను కనుగొనండి.
(సూచన : E గుండా [latex]\overrightarrow{\mathbf{A B}}[/latex] కి ఒక సమాంతర రేఖను గీయండి).
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.4 8
సాధన.
[latex]\overrightarrow{\mathbf{A B}}[/latex] || [latex]\overrightarrow{\mathbf{C D}}[/latex] మరియు వాటి మధ్యలో ఒక బిందువు E.
E గుండా [latex]\overrightarrow{\mathbf{A B}}[/latex], [latex]\overrightarrow{\mathbf{C D}}[/latex] లకు సమాంతర రేఖ [latex]\overleftrightarrow{E F}[/latex] ను గీయాలి.
[latex]\overrightarrow{\mathbf{A B}}[/latex] || [latex]\overrightarrow{\mathbf{C D}}[/latex] మరియు [latex]\overline{\mathrm{AE}}[/latex] తిర్యగ్రేఖ.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.4 9
∠BAE + ∠AEF = 180° ——— (1)
(తిర్యగ్రేఖకు అంతరంగా ఒకేవైపు గల కోణాలు)
x + ∠AEF = 180°
ఇదే విధంగా Z + ∠CEF = 180° ——— (2)
(1), (2) లను కలుపగా
= (x + ∠AEF) + (z + ∠CEF) = 180° + 180°
= x + ∠AEF + ∠CEF + 7 = 360°
= x + y + 7 = 360°
(∵ ∠AEF + ∠CEF = y)

ప్రశ్న 9.
క్రింది ఇచ్చిన పటంలో సమాంతర రేఖల జతలను గుర్తించి వ్రాయండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.4 10
సాధన.
[latex]\overline{\mathrm{AL}}[/latex] || [latex]\overline{\mathrm{EH}}[/latex], [latex]\overline{\mathrm{BK}}[/latex] || [latex]\overline{\mathrm{DL}}[/latex], [latex]\overline{\mathrm{CJ}}[/latex] || [latex]\overline{\mathrm{FG}}[/latex]
(∵ సదృశ కోణాలు సమానం)

AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.3

January 25, 2022

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 4th Lesson రేఖలు మరియు కోణాలు Exercise 4.3

ప్రశ్న1.
పటం నుండి మూడు జతల శీర్షాభిముఖ కోణాల జతల పేర్లను పేర్కొనండి. పటంలో ∠AOB = 45° అయిన ∠DOE కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.3 1
సాధన.
మూడు జతల శీర్షాభిముఖ కోణాల జతలు :

∠BOC, ∠EOF
∠AOF, ∠DOC
∠AOB, ∠DOE

∠AOB = 45° అయిన ∠DOE = 45°
[∵ ∠AOB మరియు ∠DOE శీర్షాభిముఖ కోణాలు. కావున ∠AOB = ∠DOE]

ప్రశ్న2.
ఇచ్చిన పటంలో [latex]\overleftrightarrow{P Q}[/latex] ఒక సరళరేఖ. X మరియు రైలు శీర్షాభిముఖ కోణాలు అవుతాయో, లేదో సరిచూడండి. కారణం తెల్పండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.3 2
సాధన.
x, y లు శీర్షాభిముఖకోణాలు కావు. కారణం [latex]\overleftrightarrow{P Q}[/latex] ఒక సరళరేఖ కాని [latex]\overleftrightarrow{S R}[/latex] సరళరేఖ కాదు.
(లేదా )
∠SOQ + ∠SOP = 180° (∵ రేఖీయద్వయం)
⇒ 50° + x = 180°
⇒ x = 180° – 50°
∴ x = 130°
అలాగే ∠POR + ∠ROQ = 180° (రేఖీయద్వయం)
90° + x = 180°
∴ x = 90°
x ≠ y కావున x, yలు శీర్షాభిముఖ కోణాలు కావు.

ప్రశ్న3.
మీ పరిసరాలలో శీర్షాభిముఖ కోణాలకు మూడు ఉదాహరణలను రాయండి.
సాధన.

అడ్డు కమ్మీలు గల కిటికి,
తెరచిన కత్తెర,
రోడ్డు పై భాగంలో అడ్డదిడ్డంగా లాగిన విద్యుత్ వైర్లు మొదలగునవి.

ప్రశ్న4.
ఇచ్చిన పటంలో సరళరేఖలు l మరియు mలు బిందువు P వద్ద ఖండించుకొనుచున్నవి. పటాన్ని పరిశీలించి, x, y మరియు Z ల విలువలను కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.3 3
సాధన.
y = 20°
(∵ Y మరియు 20° లు శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
⇒ 20° + x = 180° (రేఖీయద్వయం)
⇒ x = 180° – 20° = 160°
⇒ x = 160°
∴ Z = 160° (x, z లు శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ x = 160°, y = 209, Z = 160°.

ప్రశ్న5.
ఇచ్చిన పటంలో రెండు సరళరేఖలు [latex]\overleftrightarrow{A D}[/latex] మరియు [latex]\overleftrightarrow{E C}[/latex] లు బిందువు 0 వద్ద ఖండించుకొన్నవి. ఇచ్చిన పటం నుండి రెండు జతల శీర్షాభిముఖ కోణాల పేర్లను పేర్కొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.3 4
సాధన.
శీర్షాభిముఖ కోణాల జతలు:

∠AOE, ∠DOC
∠EOD = ∠COA

ప్రశ్న6.
రెండు సరళరేఖలు [latex]\overleftrightarrow{P S}[/latex] మరియు [latex]\overleftrightarrow{Q T}[/latex] లు బిందువు M వద్ద ఖండించుకొన్నవి. పటాన్ని పరిశీలించి, X ను కనుగొనండి.
సాధన.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.3 5
∠QMS = ∠PMT (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
40° + x° = 105
x° = 105° – 40
∴ x° = 65°

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు Optional Exercise

January 25, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
n ఒక సహజ సంఖ్యగా కలిగిన సంఖ్య 6ⁿ యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 5 ఉంటుందా ? కారణాలు తెలపండి.
సాధన.
6ⁿ = (2 × 3)ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ
6ⁿ యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 5 ఉండదు.
కారణం:
n ఒక సహజ సంఖ్య అయిన 6ⁿ యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలలో 5 లేదు.

ప్రశ్న 2.
7 × 5 × 3 × 2 + 3 అనేది సంయుక్త సంఖ్య అగునా? నీ జవాబును సమర్థించండి.
సాధన.
7 × 5 × 3 × 2 + 3 = 3 (7 × 5 × 2 + 1)
= 3 × (70 + 1)
= 3 × 71
7 × 5 × 3 × 2 + 3 యొక్క కారణాంకాలు 3 మరియు 71. కావున సంయుక్త సంఖ్య అవుతుంది.

ప్రశ్న 3.
2√3 + √5 ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి. ఇదేవిధంగా (2√3 + √5) (2√3 – √5) అకరణీయ మగునో, కరణీయమగునో సరిచూడండి.
సాధన.
(i) 2√3 + √5 = x, x, ఒక అకరణీయ సంఖ్య అనుకుందాము.
2√3 = x – √5
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా,
(2√3)² = (x – √5)²
12 = x² – 2√5 x +5
2√5x = x² + 5 -12
√5 = [latex]\frac{x^{2}-7}{2 x}[/latex]
x అకరణీయ సంఖ్య అయితే [latex]\frac{x^{2}-7}{2 x}[/latex] ఒక అకరణీయ సంఖ్య కావున √5 అకరణీయ సంఖ్య. ఇది √5 ఒక కరణీయ సంఖ్యకు విరుద్ధము. కావున మన ఊహ 2√3 + √5 అకరణీయ సంఖ్య అనడం విరోధాభాసం.
∴ 2√3 + √5 ఒక కరణీయ సంఖ్య.

(ii) (2√3 + √5) (2√3 – √5)
= (2√3) – (√5)
= 12 – 5 = 7
ఒక అకరణీయ సంఖ్య కావున (2√3 + √5) (2√3 – √5) అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది.

ప్రశ్న 4.
x² + y² = 6xy అయిన 2 log (x + y) = log x + log y + 3 log 2 అని చూపండి.
ధన.
x² + y² = 6xy
x² + y² + 2xy = 6xy + 2xy
(x + y)² = 8xy
ఇరువైపులా log తీసుకొనగా
log (x + y)² = log 8xy
2 log(x + y) = log 8 + log x + log y
[∵ log x^m = m log x]
[∵ log xy = log x + log y]
= log 2³ + log x + log y
= 3 log 2 + log x + log y
∴ 2 log(x + y)= log x + log y + 3 log 2

ప్రశ్న 5.
log₁₀ 2 = 0.3010 అయిన 4²⁰¹³ సంఖ్యలో ఎన్ని అంకెలుంటాయో తెలపండి.
సాధన.
x = 4²⁰¹³ అనుకుందాము
log x = log 4²⁰¹³
= log (2²)²⁰¹³
= log 2⁴⁰²⁶
= 4026 log 2 [∵ log x^m = m logy)
= 4026 × 0.3010 [ log 2 = 0.3010]
log x = 1211.826
log x యొక్క లాక్షణిక (పూర్ణాంకభాగం) 1211.
కావున X లో 1211 + 1 = 1212 అంకెలుంటాయి.
∴ 4²⁰¹³ సంఖ్యలో 1212 అంకెలుంటాయి.
సూచన :
ఒక సంఖ్య సంవర్గమానంలో పూర్ణాంక భాగం గురించి, దశాంశ భాగం గురించి మీ ఉపాధ్యాయుడిని అడిగి తెలుసుకోండి.

AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 1 వాస్తవ సంఖ్యలు InText Questions

January 25, 2022

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 1 పూర్ణ సంఖ్యలు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
a = bq + r అయ్యే విధంగా ధనపూర్ణ సంఖ్యలు a మరియు b లకు అనుగుణంగా q మరియు r ల విలువలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 3)
(i) a = 13, b = 3
(ii) a = 8, b = 80
(iii) a = 125, b = 5
(iv) a = 132, b= 11
సాధన.
(i) a = 13, b = 3

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు InText Questions 1

∴ 13 = 3(4) + 1
ఇది a = bq + r
రూపంలో ఉంది. ఇచ్చట q = 4, r = 1.2

(ii) a = 80, b = 8 అని తీసుకొనవలెను.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు InText Questions 2

∴ 80 = 8(10) + 0 ను
a = bq + r తో పోల్చగా
q = 10; r = 0

iii) a = 125, b = 5

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు InText Questions 3

∴ 125 = 5(25) + 0 దీనిని 125
a = bq + r తో పోల్చగా .
q = 25; r = 0 అగును

(iv) a = 132, b = 11

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు InText Questions 4

∴ 132 = 11(12) + 0 దీనిని
132 a = bq + r తో పోల్చగా
q = 12; r = 0 అగును

ప్రశ్న 2.
యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయాన్ని ఉపయోగించి క్రింది వాటి యొక్క గ.సా.భాను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 4)
(i) 50 మరియు 70
(ii) 96 మరియు 72
(iii) 300 మరియు 550
(iv) 1860 మరియు 2015
సాధన.
యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయం ప్రకారం ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క గ.సా.భా కనుగొనాలంటే (a, b) లకు వాటిని a = bq + r రూపంలో వ్రాసి ఆ తదుపరి b = rs + t మరియు r = tu + v … రూపంలో వ్రాసి చివరకు శేషం ‘0’ వచ్చునంత వరకు (అనగా K = LM + 0 రూపం వరకు) చేయాలి. అపుడు ‘L’ అనునది a, b ల యొక్క గ.సా.భా అగును.

i) 50 మరియు 70
a = 70, b = 50 వీటిని a = bq + r రూపంలో వ్రాయగా
70 = 50 (1) + 20
50 = 20(2) + 10
20 = 10 (2) + 0
∴ 50, 70 ల గ.సా.భా = 10

(ii) 96 మరియు 72 ఇచ్చట a = 96; b = 72 వీటిని
a = bq + r రూపంలో వ్రాయగా
96 = 72(1) + 24
72 = 24 (3) + 0
కావున 96, 72ల గ.సా.భా = 24

(iii) 300 మరియు 550; a = 550; b = 300
వీటిని a = bq + r రూపంలో వ్రాయగా
550 = 300 (1) + 250
300 = 250 (1) + 50
250 = 50(5) + 0
∴ 300, 550 ల గ.సా.భా = 50

(iv) 1860 మరియు 2015
a = 2015, b = 1860 వీటిని a = bq + r రూపంలో వ్రాయగా,
2015 = 1860(1) + 155
1860 = 155(12) + 0
కావున 2015, 1860 ల గ.సా.భా = 155

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
పై “ఇవి చేయండి’ లోని q మరియు / ల స్వభావం ఏమిటి ? (పేజీ నెం. 3)
సాధన.
ఇవి చేయండిలో ఇవ్వబడిన ప్రతి a, b విలువలకు p మరియు r పూర్ణాంకాలు మరియు ఏకైకాలు అనగా ప్రతి a, b విలువలకు a = bq + r అయ్యే విధంగా q, r లకు సంబంధించి ఒకే ఒక విలువ చొప్పున వ్యవస్థితమగును.

ప్రశ్న 2.
1.2 మరియు 0.12ల గ.సా.భాను మీరు కనుగొనగలరా? మీ జవాబును సమర్ధించండి. (పేజీ నెం. 4)
సాధన.
1.2 మరియు 0.12ల గ.సా.భా కనుగొనగలము. 1.2 = 0.12(10) + 0; 1.2, 0.12లు పూర్ణాంకాలు కానప్పటికి వాటి గ.సా.భాను భాగహార పద్దతిన కనుగొనవచ్చు.
ఉదా : 1.2లీ Pepsi bottle ను, 0.12లీ. మరొక చిన్న’ water bottle నింపుటకు తీసుకొనవలసిన మరొక కొలపాత్ర గరిష్ట ఘ||ప = దాని గ.సా.భాయే.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయంలోని a = bq + r లో r = 0 అయిన a, b మరియు q మధ్య సంబంధం ఏమిటి ? (పేజీ నెం. 6)
సాధన.
a = bq + r నందు r = 0 అయిన a = bq అగును. అనగా [latex]\frac{a}{b}[/latex] = q. అంటే ‘a’ ని ప నిశ్శేషంగా భాగిస్తుందని అర్థం.
∴ ‘a’ కు b ఒక కారణాంకం మరియు q కూడా మరొక కారణాంకం అగును.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
2310 ను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంగా రాయండి. ఈ సంఖ్యను నీ స్నేహితులు ఏవిధంగా కారణాంకాల లబ్ధంగా రాశారో చూడండి. నీవు చేసినట్లుగానే వారు కూడా చేశారా? చివరి ఫలితాన్ని, నీ స్నేహితుల ఫలితంతో సరిచూడుము. దీని కొరకు 3 లేదా 4 సంఖ్యలను తీసుకొని ప్రయత్నించుము. నీవు ఏమి గమనిస్తావు ? (పేజీ నెం. 7)
సాధన.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు InText Questions 5

2310 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11
2310 = 3 × 5 × 2 × 7 × 11

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు InText Questions 6

2310 = 5 × 2 × 3 × 11 × 7
2310 = 11 × 3 × 7 × 2 × 5
2310 ని వేర్వేరు విధాలుగా ప్రధాన కారణాంకాల లబంగా రాసినప్పుడు ప్రధాన కారణాంకాల క్రమం మారిందే కాని ప్రధాన కారణాంకాలు మారలేదు. అనగా 2310ని ప్రధాన కారణాంకాల లంగా ఒకే విధంగా రాయవచ్చును.

ప్రశ్న 2.
ఇవ్వబడిన సంఖ్యల జతల యొక్క క.సా.గు మరియు గ.సా.భా లను ప్రధాన కారణాంక పద్ధతి ఆధారంగా కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 8)
(i) 120, 90
(ii) 50, 60
(iii) 37, 49
సాధన.
(i) 120, 90
120, 90 వీటిని ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధ పద్ధతిలో వ్రాయగా
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2³ × 3¹ × 5¹
90 = 2 × 3 × 3 × 5 = 2¹ × 3² × 5¹
గ.సా.కా = ఉమ్మడి (సామాన్య) కారణాంకాల కనిష్ఠ ఘాతాల లబ్దం
∴ 120, 90 లలో గల ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకాలు = 2, 3, 5
2, 3, 5 లలో కనిష్ఠ ఘాతాలు = 2¹, 3¹, 5¹
∴ గ.సా.కా = 2 × 3 × 5 = 30
120, 90 ల గ.సా.కా = 30
క.సా.గు = అన్ని ప్రధాన కారణాంకాల గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్దం 120, 90 లలో గల అన్ని ప్రధాన కారణాంకాలు = 2, 3, 5
2, 3, 5 ల గరిష్ఠ ఘాతాలు = 2³, 3², 5¹ .
∴ 120, 90 ల క.సా.గు = 2³ × 3² × 5¹
= 8 × 9 × 5 = 360
120, 90 ల క.సా.గు = 360.

(ii) 50, 60
50, 60 వీటిని ప్రధాన కారకాలు లజ్జ పద్దతిలో వ్రాయగా
50 = 2 × 5 × 5 = 2¹ × 5² = [2¹] × 5²
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3¹ × [5¹]
50, 60 లలో గల ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకాలు = 2, 5 2, 3 ల యొక్క కనిష్ఠ ఘాతాంకాల లబ్దం = 2 × 5 = 10
∴ 50, 60 ల గ.సా.కా = 10
50, 60 లలో గల అన్ని ప్రధాన కారణాంకాలు = 2, 3, 5
2, 3, 5ల ఘాతాలలో గరిష్ఠ ఘాతాలు = 2², 3, 5²
∴ 2, 3, 5 ల గరిష్ఠ ఘాతాల-లబ్ధం = 2² × 3 × 5² = 300
∴ 50, 60 ల క.సా.గు = వాటి యొక్క అన్ని ప్రధాన కారణాంకాల గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్దం = 300.

(iii) 37, 49
37, 49 లను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధ పద్ధతిలో వ్రాయగా
37 = 37 × 1; 49 = 7² × 1
37, 49 లలో గల సామాన్య కారణాంకం = 1
∴ 1 యొక్క కనిష్ఠ ఘాతాంకం కూడా ఒకటే కావున 37, 49ల గ.సా. కా = 1 మరియు
37, 49ల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారణాంకాలు = 37, 1, 7
37, 1, 7 ల యొక్క గరిష్ట ఘాతాలు = 37¹, 1¹, 7²
∴ 37, 7 ల యొక్క గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం = 37 × 7² = 1813
∴ 37, 49 ల క.సా.గు = 1813.

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
‘n’ మరియు ‘m’ ఏవేని సహజ సంఖ్యలకు 3ⁿ × 4^m యొక్క ఫలిత సంఖ్య ) లేదా 5 తో అంతం కాదని చూపుము. (పేజీ నెం. 8)
సాధన.
3ⁿ × 4^m = 3ⁿ × (2²)^m
= 3ⁿ × 2^2m a
= 3ⁿ × 2^m × 2^m
అనగా పై లబ్దంలో 2, మరియు 3 అనే ప్రధాన కారణాంకాలు మాత్రమే గలవు. కాని ఒక సంఖ్య ‘0’ లేదా ‘5’ తో అంతం కావలెనన్న దాని ప్రధాన కారణాంకాలలో 5 ఖచ్చితంగా ఉండాలి.
కాని 3ⁿ × 4^m ఫలిత సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలలో 5 లేదు. కావున దాని ఫలిత సంఖ్య ‘0’ లేదా ‘5’ తో అంతం కాదు.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
కింది అంతమొందే దశాంశాలను అకరణీయ సంఖ్యలుగా ([latex]\frac{p}{q}[/latex], q# 0 మరియు p, q లు సాపేక్ష ప్రధానాంకాలు) రాయండి. (పేజీ నెం. 10)
(i) 15.265
(ii) 0.1255
(iii) 0.4
(iv) 23.34
(v) 1215.8
సాధన.
(i) 15.265 = [latex]\frac{15265}{10^{3}}=\frac{5 \times 43 \times 71}{2^{3} \times 5^{3}}[/latex]
= [latex]\frac{3053}{200}[/latex]

(ii) 0.1255 = [latex]\frac{1255}{10^{4}}=\frac{5 \times 251}{2^{4} \times 5^{4}}=\frac{251}{2000}[/latex]

(iii) 0.4 = [latex]\frac{4}{10}=\frac{2 \times 2}{5 \times 2}=\frac{2}{5}[/latex]

(iv) 23.34 = [latex]\frac{2334}{10^{2}}=\frac{2 \times 3 \times 389}{2^{2} \times 5^{2}}[/latex]
= [latex]\frac{1167}{50}[/latex]

v) 1215.8 = [latex]\frac{12158}{10}=\frac{2 \times 6079}{2 \times 5}[/latex]
= [latex]\frac{6079}{5}[/latex]

ప్రశ్న 2.
కింది అకరణీయ సంఖ్యలు P రూపంలో ఉన్నాయి. ఇందులో q యొక్క రూపం 2ⁿ5^m మరియు ఇందులో n, m లు రుణేతర పూర్ణ సంఖ్యలు అయిన వీటిని దశాంశ రూపాలలోనికి మార్చండి. (పేజీ నెం. 11)
సాధన.
(i) [latex]\frac{3}{4}[/latex]
= [latex]\frac{3}{4}=\frac{3}{2^{2}}=\frac{3 \times 5^{2}}{2^{2} \times 5^{2}}=\frac{3 \times 25}{(10)^{2}}=\frac{75}{100}[/latex] = 0.75

(ii) [latex]\frac{7}{25}[/latex]
[latex]\frac{7}{25}=\frac{7}{5^{2}}=\frac{7 \times 2^{2}}{5^{2} \times 2^{2}}=\frac{28}{100}[/latex] = 0.28

(iii) [latex]\frac{51}{64}[/latex]
[latex]\frac{51}{64}=\frac{3 \times 17}{2^{6}}=\frac{3 \times 17 \times 5^{6}}{2^{6} \times 5^{6}}=\frac{796875}{10^{6}}[/latex] = 0.796875

(iv) [latex]\frac{14}{25}[/latex]
= [latex]\frac{14}{5^{2}}=\frac{14 \times 2^{2}}{5^{2} \times 2^{2}}=\frac{14 \times 4}{10^{2}}[/latex]
= [latex]\frac{56}{100}[/latex] = 0.56

(v) [latex]\frac{80}{100}[/latex]
= [latex]\frac{80}{2^{2} \times 5^{2}}[/latex]
= 0.80 = 0.8

ప్రశ్న 3.
కింది అకరణీయ సంఖ్యలను దశాంశాలుగా రాయండి. భాగఫలంలో ఆవర్తనం చెందే అంకెల సమూహాన్ని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 11)
(i) [latex]\frac{1}{3}[/latex]
(ii) [latex]\frac{2}{7}[/latex]
(iii) [latex]\frac{5}{11}[/latex]
(iv) [latex]\frac{10}{13}[/latex]
సాధన.
(i) [latex]\frac{1}{3}[/latex]
[latex]\frac{1}{3}[/latex] = 0.3333 …….. = [latex]0 . \overline{3}[/latex]
భాగఫలంలో ఆవర్తనం చెందే అంకెల సమూహం = 3.

(ii) [latex]\frac{2}{7}[/latex]

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు InText Questions 7

[latex]\frac{2}{7}[/latex] = 0.285714285 …..
ఆవర్తనం చెందే అంకెల సమూహం = 285714

(iii) [latex]\frac{5}{11}[/latex]

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు InText Questions 8

[latex]\frac{5}{11}[/latex] = 0.454545…
ఆవర్తనం చెందే అంకెల సమూహం = 45

iv) [latex]\frac{10}{13}[/latex]

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 1st Lesson వాస్తవ సంఖ్యలు InText Questions 9

[latex]\frac{10}{13}[/latex] = [latex]0 . \overline{769230}[/latex]
ఆవర్తనం చెందే అంకెల సమూహం = 769230

ప్రవచనం:

ప్రశ్న 1.
p అనేది ఒక ప్రధానసంఖ్య మరియు a ఒక ధన పూర్ణ సంఖ్య అయితే “a² ను p నిశ్శేషంగా భాగిస్తే : ను p నిశ్శేషంగా” భాగిస్తుంది. (పేజీ నెం. 13)
నిరూపణ :
‘a’ అనేది ఒక ధన పూర్ణ సంఖ్య అయితే ఈ యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంను క్రింది విధంగా రాయవచ్చును.
a = p₁, p₂, …. , P_n, ఇందులో p₁, p₂, ….., p_n లు ప్రధానాంకాలు మరియు వేర్వేరుగా ఉండనవసరం లేదు.
అందుచే a² = (p₁, p₂., ….. P_n) (p₁ P₂, …………… P_n) = p₁², p₂²……….p_n². a² ను p నిశ్శేషంగా భాగించునని ఇవ్వబడినందున అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతంను అనుసరించి a² యొక్క ఒక ప్రధాన కారణాంకాల, లబ్ధం p₁, p₂, ….., p_n అగును. కావున p అనేది p₁, p₂, ….. P_n లలో ఒకటిగా వుంటుంది. ఇప్పుడు p₁, p₂, ……. P_n లలో p ఒకటిగా ఉన్నందున, p, a ను కూడా నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
p = 2, p = 5 మరియు a² = 1, 4, 9, 25, 36, 49, 64 మరియు 81 అయిన పైన నిరూపించిన ‘ ప్రవచనంను ఈ విలువలకు సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 14)
సాధన.
p = 2 తీసుకొందాం.
i) a² = 1 అయిన a = 1
a² = 1 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.
a = 1 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.

(ii) a² = 4 అయిన a = 2
a² = 4 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
a = 2 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

(iii) a² = 9 అయిన a = 3
a² = 9 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.
a = 3 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.

(iv) a² = 25 అయిన a = 5
a² = 25 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.
a = 5ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.

(v) a² = 36 అయిన a = 6
a² = 36 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
a = 6 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

(vi) a² = 49 అయిన a = 1
a² = 49 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.
a = 7 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.

(vii) a² = 64 అయిన a = 8
a² = 64 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
a = 8 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

(viii) a² = 81 అయిన a = 9
a² = 81 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.
a = 9 ని p = 2 నిశ్శేషంగా భాగించదు.

p = 5 తీసుకొందాం a² విలువ 1, 4, 9, 36, 49, 64, 81 అయినప్పుడు a² ను p = 5 నిశ్శేషంగా భాగించదు. మరియు aను కూడా p = 5 నిశ్శేషంగా భాగించదు.

a² = 25 అయినప్పుడు a² ను p = 5 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది మరియు a = 5 ను కూడా p = 5 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
y = a^x లో y, a మరియు X ల స్వభావమేమిటి ? y యొక్క విలువ ఇచ్చినప్పుడు దాని అనురూప x విలువను ఎల్లప్పుడూ కనుగొనగలమా ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి. (పేజీ నెం. 17)
సాధన.
y = a^x నందు y విలువ ఎల్లప్పుడూ ధనాత్మకమే.
X విలువ ‘0’ అయిన y విలువ 1 అగును.
x విలువ ధనాత్మకమైన y విలువ 1 లేదా అంతకంటే ఎక్కువుండును.
x విలువ రుణాత్మకమైన y విలువ 1 కంటే తక్కువుండును. కాని ‘0’ కంటే ఎక్కువుండును.
y విలువ ఇచ్చినపుడు దాని అనురూప x – విలువను సూటిగా ఎల్లపుడూ సూటిగా కనుగొనలేము. గ్రాఫ్ సహాయంతో
రమారమి (సుమారు) విలువను కనుగొనవచ్చును.

ప్రశ్న 2.
2¹ = 2, 4¹ = 4, 8¹ = 8 మరియు 10¹ = 10 అని మీకు తెలుసు. వీటి నుండి log₂ 2, log₄ 4, log₈ 8 మరియు log₁₀ 10 విలువలు ఏమై ఉంటాయి ? దీని నుండి మీరు ఏమి సాధారణీకరణం చేస్తారు ? (పేజీ నెం. 18)
సాధన.
a^x = N అయితే log_a N = X అని తెలుసు,
2¹ = 2 ను సంవర్తమాన రూపంలో వ్రాయగా log₂ 2 = 1 4
4¹ = 4 ను సంవర్గమాన రూపంలో వ్రాయగా log₄ 4 = 1
8¹ = 8 ను సంవర్గమాన రూపంలో వ్రాయగా log₈ 8 =1
10¹ = 10 ను సంవర్తమాన రూపంలో వ్రాయగా log₁₀ 10 = 1
అనగా ఏదైనా ఒకటి కంటే పెద్దదైన సహజ సంఖ్య యొక్క సంవర్గమాన విలువ (అదే భూమికి) 1 అగును. దీనిని సూత్రీకరించి log_a a = 1 గా సాధారణీకరిస్తాం.

ప్రశ్న 3.
log₁₀0 వ్యవస్థితం అవుతుందా ? (పేజీ నెం. 18)
సాధన.
log₁₀ 0 వ్యవస్థితం కాదు. ఎందుకనగా a^x = 0 అయ్యేటట్లు (a > 1) x విలువ వ్యవస్థితం కాదు కావున log₁₀ 0 వ్యవస్థితం కాదు. కావున సంవర్గమానాలు అనేవి కేవలం ధన వాస్తవ సంఖ్యలకు మాత్రమే పరిమితం చేస్తాం.

ప్రశ్న4.
7 = 2^x అయితే x = log₂ 7 అని మనకు తెలుసు. అయితే 2^{log₂ 7} యొక్క విలువ ఎంత ? మీ సమాధానాన్ని మరికొన్ని ఉదాహరణలతో సమర్ధించండి. (పేజీ నెం. 21) పై దాని నుండి a^{log_a N} ను ఏ విధంగా సాధారణీకరిస్తారు?
సాధన.
7 = 2^x అయిన x = log₂ 7 = log₂ 7
x = log₂ 7 విలువను 2″ నందు ప్రతిక్షేపించగా 2^x = 2^{log₂ 7} = 7 (దత్తాంశము నుండి)
7 = 2^x అయిన 2^{log₂ 7} = 7 అగును.
ఉదా :
(1) 5 = 3^y అయితే y = log₃ 5 అయిన 3^{log₃ 5} విలువ ఎంత ?
5 = 3^y
∴ సంవర్తమాన రూపం ప్రకారం y = log₃ 5 ఈ విలువను 3^y = 5 నందు ప్రతిక్షేపించగా 3^{log₃ 5} = 5

(2) 10 = 9^x అయిన x = log₉ 10 అయిన 9^{log₉ 10} విలువ ఎంత?
9^x = 10 (దత్తాంశం) దీని యందు x విలువ ప్రతిక్షేపిద్దాం 9^{log₉ 10} = 10 అయితే 9^{log₉ 10} = 10 అగును. పైదాని నుండి a^x = N అయిన log_a N = X అగును
∴ alog_a N = N అగును b^{log_b M} = M గా సాధారణీకరిస్తాం.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
కింది సమీకరణాలలోని భూములను ఏ ఘాతాంకాలకు పెంచాలో రాయండి. (పేజీ నెం. 18)
(i) 7 = 2^x
(ii) 10 = 5^b
(iii) [latex]\frac{1}{81}[/latex] = 3^c
(iv) 100 = 10^z
(v) [latex]\frac{1}{257}[/latex] = 4^a
సాధన.
(i) 7 = 2^x
7 = 2^x నందు
x = 0 అయిన 2^x = 1 అగును
x = 1 అయిన 2^x = 2 అగును
x = 2 అయిన 2^x = 4 అగును
x = 3 అయిన 2^x = 8 అగును
అనగా x విలువ 2 పైబడి 3కు దగ్గరగా ఉండును. కాని ‘X’ యొక్క ఖచ్చిత విలువను నిర్ధారించలేము. అయితే పై (x, 2^x) విలువలను గ్రాఫ్ పై గుర్తించి 2^x = 7 అగునట్లు x విలువ ఉజ్జాయింపుగా తెలుసుకోవచ్చును.

(ii) 10 = 5^b నందు
b = 0 అయిన 5^b = 1 అగును. అదేవిధంగా
b = 1 అయిన 5^b = 5 అగును మరియు
b = 2 అయిన 5^b = 25 అగును.
కావునా 5^b = 10 అగునట్లు ‘b’ యొక్క ఖచ్చిత విలువను నిర్ధారించలేము.

(iii) [latex]\frac{1}{81}[/latex] = 3^c నందు
c = 0 అయిన 3^c = 1 మరియు
c = – 2 అయిన 3^c = [latex]\frac{1}{9}[/latex] మరియు
c = – 3 అయిన 3^c = [latex]\frac{1}{27}[/latex] మరియు
c = – 4 అయిన 3^c = [latex]\frac{1}{81}[/latex] అగును.
[latex]\frac{1}{81}[/latex] = 3^c అనగా c = – 4 కావలెను.

(iv) 100 = 10^z నందు
z = 0 అయిన 10^z = 1
z = 1 అయిన 10^z = 10 అగును
z = 2 అయిన 10^z = 100 అగును
100 అగునట్లు 10^z నందు z = 2 గా తీసుకోవలెను.

(v) [latex]\frac{1}{257}[/latex] = 4^a
a = 0 అయిన 4^a = 1
a = – 1 అయిన 4^a = [latex]\frac{1}{4}[/latex]
a = – 2 అయిన 4^a = [latex]\frac{1}{16}[/latex]
a = – 3 అయిన 4^a = [latex]\frac{1}{64}[/latex]
a = – 4 అయిన 4^a = [latex]\frac{1}{256}[/latex] అగును.
కాని [latex]\frac{1}{257}[/latex] అగునట్లు ‘a’ విలువను ఖచ్చితంగా నిర్ధారించలేము.

ప్రశ్న 2.
కింది లబ్దాల సంవర్గమానాలను రెండు సంస్థమానాల. మొత్తంగా రాయండి. (పేజీ నెం. 19)
(i) 35 × 46
(ii) 235 × 437
(iii) 2437 × 3568
సాధన.
(i) 35 × 46 సూత్రం
log_a mn = log_a m + log_a n ప్రకారం
log (35 × 46) = log 35 + log 46
(ఏ ఆధారానికైనా)

(ii) 235 × 437
log (235 × 437) = log 235 + log 437

(iii) 2437 × 3568
log (2437 × 3568)
= log (2437) + log (3568)

ప్రశ్న 3.
కింది వాటి సంవర్గమానాలను రెండు సంవర్గమానాల భేదంగా రాయండి. (పేజీ నెం. 20)
(i) [latex]\frac{23}{34}[/latex]
(ii) [latex]\frac{373}{275}[/latex]
(iii) 4525 ÷ 3734
(iv) 5055 ÷ 3303
సాధన.
(i) [latex]\frac{23}{34}[/latex] [log_a m= log_a m – log_a n]
log [latex]\frac{23}{34}[/latex] = log 23 – log 34

(ii) log [latex]\frac{373}{275}[/latex] = log 373 – log 275
(ఏ ఆధారానికైనా)

(iii) log [latex]\frac{4525}{3734}[/latex] = log 4525 – log 3734

iv) log [latex]\frac{5055}{3303}[/latex] = log 5055 – log 3303

ప్రశ్న 4.
log_a xⁿ = n log_a x ను ఉపయోగించి కింది ఘాతసంఖ్యల సంవర్గమానాలను మార్చి రాయండి. (పేజీ నెం. 21)
(i) log₂ 7²⁵
(ii) log₅ 8⁵⁰
(iii) log 5²³
(iv) log 1024
సాధన.
(i) log₂ 7²⁵ = 25 log₂ 7
(ii) log₅ 8⁵⁰= 50 log₅ 8
(iii) log 5²³ = 23 log 5
(iv) log 1024 = log 2¹⁰ = 10 log 2

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
కింది వాటిని ఘాతరూపంలో వ్రాసి తద్వారా చరరాశులను నిర్ణయించండి. (పేజీ నెం. 18)
(i) log₂ 32 = x
(ii) log₅ 625 = y
(iii) log₁₀ 10000 = z
iv) log₇ [latex]\frac{1}{343}[/latex] = – a
సాధన.
సూత్రం : log_a N = x యొక్క ఘాతరూపం a^x = N అగును.

(i) log₂ 32 = x యొక్క ఘాతరూపం 2^x = 32 = 2⁵
∴ x = 5

(ii) log₅ 625 = y యొక్క ఘాతరూపం 5^y = 625 = 5⁴
∴ 5^y = 5⁴
⇒ y = 4

(iii) log₁₀ 10000 = z యొక్క ఘాతరూపం
10^z = 10000 = 10⁴
10^z = 10⁴
⇒ z = 4

iv) log₇ = – a యొక్క ఘాతరూపం
7^{– a} = [latex]\frac{1}{343}[/latex]
7^{– a} = [latex]\frac{1}{7^{a}}=\frac{1}{343}=\frac{1}{7^{3}}[/latex]
∴ [latex]\frac{1}{7^{\mathrm{a}}}=\frac{1}{7^{3}}[/latex]
⇒ a = 3 అగును.

ప్రశ్న 2.
కింది వాటి విలువలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 21)
(i) log₂ 32
(ii) log_c √c
(iii) log₁₀ 0.001
(iv) [latex]\log _{\frac{2}{3}} \frac{8}{27}[/latex]
సాధన.
(i) log₂ 32 = log₂ 2
= 5 log₂ 2
= 5(1) = 5

(ii) log_c √c = log_c c^{[latex]\frac{1}{2}[/latex]}
= [latex]\frac{1}{2}[/latex] log_c c
= [latex]\frac{1}{2}[/latex] (1) = [latex]\frac{1}{2}[/latex]

(iii) log₁₀ 0.001 = log₁₀ [latex]\frac{1}{1000}[/latex]
= log₁₀ 10^-3
= – 3 log₁₀ 10
= – 3(1) = – 3.

(iv) [latex]\log _{\frac{2}{3}} \frac{8}{27}[/latex] = [latex]\log _{\frac{2}{3}}\left(\frac{2}{3}\right)^{3}[/latex]
= [latex]3 \log _{\frac{2}{3}} \frac{2}{3}[/latex] = 3(1) = 3.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
q ఏదైనా ఒక పూర్ణసంఖ్య అయినప్పుడు, ప్రతి ధన సరి పూర్ణ సంఖ్య 2q రూపంలో మరియు ప్రతి ధన బేసి పూర్ణ సంఖ్య 24 + 1 రూపంలో ఉంటుందని చూపుము. (పేజీ నెం. 5)
సాధన.
a ఒక ధనపూర్ణ సంఖ్య మరియు b = 2 అనుకుందాం.
అపుడు a = 2q + r (భాగహార న్యాయం ప్రకారం)
∴ ప్రతీ పూర్ణసంఖ్య q ≥ 0 కు r విలువ 0 లేదా 1 అవుతుంది. ఎందుకనగా 0 ≤ r < 2 కావున a = 2q + 0 లేదా a = 2q + 1 అగును.
‘a’ అనేది 2q + 0 రూపంలో ఉంటే అది సరి పూర్ణ సంఖ్య అగును.
a అనేది 2q + 1 రూపంలో ఉంటే అది సరి పూర్ణసంఖ్య కాదు. కావున ఖచ్చితంగా అపుడు బేసి సంఖ్య అగును. కావున ప్రతీ బేసి సంఖ్య a = 2q + 1 రూపంలో ఉండును.

ప్రశ్న 2.
q ఏదైనా ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయినప్పుడు, ప్రతి ధన బేసి సంఖ్య 4q + 1 లేదా 4q + 3 రూపంలో ఉంటుందని చూపుము. (పేజీ నెం. 5)
సాధన.
a ఏదైనా ఒక ధన బేసి పూర్ణసంఖ్య అనుకుందాం. a మరియు b = 4 పై యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధిని అనువర్తింపజేయగా 0 ≤ r < 4 కావున శేషం ‘0’ లేదా ‘1’ లేదా ‘2’ లేదా ‘3’ అవుతాయి. వీటి ఆధారంగా ‘a’ యొక్క ‘విలువలు 4q + 0 లేదా 4q + 1 లేదా 4q + 2 లేదా 4q + 3 కావచ్చును. వీటిలో 4q, 4q + 2 లు , ‘2’ చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడును. కావున అవి సరిసంఖ్యలు అనగా అవి బేసి సంఖ్యలు కానేరవు.
∴ అందువల్ల బేసి సంఖ్య ‘a’ యొక్క రూపం = 4q + 1 లేదా 4q + 3 అగును.

ప్రశ్న 3.
n ఒక సహజసంఖ్యగా గల సంఖ్య 4ⁿ తీసుకోండి. n యొక్క ఏ విలువకైనా 4ⁿ విలువ గల సంఖ్య “సున్న’ అంకెతో అంతమౌతుందో, లేదో సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 7)
సాధన.
n సహజసంఖ్యగా గల సంఖ్య 4ⁿ విలువగల సంఖ్య సున్నతో అంతం కావాలంటే అది ‘5’ చే నిశ్శేషంగా భాగించబడాలి. అంటే 4ⁿ సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంలో 5 ఒక ప్రధాన సంఖ్యగా ఉండాలి. కాని ఇది సాధ్యం కాదు. ఎందువలన అనగా 4ⁿ = (2)²ⁿ. అందుచే 4ⁿ యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంలో లేనందున, n ఏ సహజ సంఖ్య విలువకైననూ 4ⁿ అనే సంఖ్య ‘సున్న’తో అంతముకానేరదు.

ప్రశ్న 4.
12 మరియు 18ల యొక్క ర… మను క.సా.గులను ప్రధాన కారణ వస్తు ” పద్దు ” కనుగొనుము. (పేజీ నెల. 7)
సాధన.
12, 18 లను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధ పద్ధతిలో విడదీయగా
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3¹
18 = 2 × 3 × 3 = 2¹ × 3² అగును.
గ.సా.కా అనగా ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క సామాన్య ప్రధాన కారణాంకాల కనిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం.
∴ 12, 18 ల యందు గల సామాన్య ప్రధాన కారణాంకాలు = 2, 3
∴ 12, 18 లలో 2, 3 ల యొక్క కనిష్ఠ ఘాతాలు _ = 2¹, 3¹
∴ 12, 18 ల గ.సా.కా = వాటి కనిష్ఠ ఘాతాల • లబ్ధం = 2¹ x 3¹ = 6
అదే విధంగా క.సా.గు అనగా –
ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలన్నింటి యొక్క గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్దం.
12, 18 ల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారణాంకాలు = 2, 3
12, 18 లలో 2, 3 ల యొక్క గరిష్ఠ ఘాతాలు = 2², 3²
12, 18 ల క.సా.గు = గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్దం .. = 2² × 3² = 4 × 9 = 36.

ప్రశ్న 5.
నిర్వచింపబడిన సిద్ధాంతాల ఆధారంగా, భాగహారం చేయకుండానే క్రింది అకరణీయ సంఖ్యలు అంతమయ్యే దశాంశాలో, అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశాలో తెలపండి. (పేజీ నెం. 12)
(i) [latex]\frac{16}{125}[/latex]
(ii) [latex]\frac{25}{32}[/latex]
(iii) [latex]\frac{100}{81}[/latex]
(iv) [latex]\frac{41}{75}[/latex]
సాధన.
[latex]\frac{16}{125}=\frac{16}{5 \times 5 \times 5}=\frac{16}{5^{3}}[/latex]
(అంతమయ్యే దశాంశం)

(ii) [latex]\frac{25}{32}=\frac{25}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}=\frac{25}{2^{5}}[/latex]
(అంతమయ్యే దశాంశం)

(iii) [latex]\frac{100}{81}=\frac{100}{3 \times 3 \times 3 \times 3}=\frac{100}{3^{4}}[/latex]
(అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశం)

iv) [latex]\frac{41}{75}=\frac{41}{3 \times 5 \times 5}=\frac{41}{3 \times 5^{2}}[/latex]
(అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశం)

ప్రశ్న 6.
కింది అకరణీయ సంఖ్యలను భాగహారం చేయకుండానే దశాంశ రూపంలో రాయండి. (పేజీ నెం. 12)
(i) [latex]\frac{35}{50}[/latex]
(ii) [latex]\frac{21}{25}[/latex]
(iii) [latex]\frac{7}{8}[/latex]
సాధన.
(i) [latex]\frac{35}{50}[/latex]
= [latex]\frac{7 \times 5}{2 \times 5 \times 5}=\frac{7}{2 \times 5}=\frac{7}{10^{1}}[/latex] = 0.7

(ii) [latex]\frac{21}{25}[/latex]
= [latex]\frac{21}{5 \times 5}=\frac{21 \times 2^{2}}{5 \times 5 \times 2^{2}}[/latex]
= [latex]\frac{21 \times 4}{5^{2} \times 2^{2}}=\frac{84}{10^{2}}[/latex] = 0.84

(iii) [latex]\frac{7}{8}[/latex]
= [latex]\frac{7}{2 \times 2 \times 2}=\frac{7}{2^{3}}=\frac{7 \times 5^{3}}{\left(2^{3} \times 5^{3}\right)}[/latex]
= [latex]\frac{7 \times 125}{(2 \times 5)^{3}}=\frac{875}{(10)^{3}}[/latex] = 0.875

ప్రశ్న 7.
√2 ను కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 14)
సాధన.
ఈ నిరూపణ ‘విరోధాభాసం’ (పరోక్ష పద్దతి) ద్వారా చేయుచున్నందున మనం నిరూపించవలసిన ఫలితానికి విరుద్ధంగా √2 అనేది ఒక అకరణీయ సంఖ్య అని భావిద్దాం .

ఇది అకరణీయం అయితే, r మరియు S అనే రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు (s ≠ 0) √2 = [latex]\frac{a}{b}[/latex] అయ్యేటట్లు వ్యవస్థితం అవుతుంది.

ఒకవేళ r మరియు S లకు 1 కాకుండా ఏదైనా సామాన్య కారణాంకం ఉంటే, ఆ సామాన్య కారణాంకం చేత భాగిస్తే మనకు √2 = [latex]\frac{a}{b}[/latex], ఇందులో a మరియు b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలుగా వస్తుంది. దీని నుండి b√2 = a అవుతుంది.

ఇరువైపులా వర్గం చేసి, క్రమంలో అమర్చగా, మనకు 2b² = a² వస్తుంది. అంటే a² ను 2 భాగిస్తుంది.

ఇప్పుడు ప్రవచనం – 1ను బట్టి a² ను 2 భాగించినందున a ను కూడా ఇది భాగిస్తుంది. అందుచే, మనం తిరిగి a = 2c, c అనేది ఒక పూర్ణసంఖ్యగా రాయవచ్చు. ఇందులో ‘a’ విలువను ప్రతిక్షేపించగా, మనకు 2b² = 4c² అంటే b² = 2c² వస్తుంది. అంటే b² ను 2 భాగిస్తుంది మరియు bని 2 భాగిస్తుంది. (ప్రవచనం – 1లో p = 2). అందువలన a మరియు b లకు 2 ఒక సామాన్య కారణాంకం అయినది.

a, b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు మరియు 1 తప్ప వీటికి ఎటువంటి ఉమ్మడి కారణాంకాలు లేనందున మనం ప్రతిపాదించిన ‘√2 అనేది అకరణీయం అనే భావన విరుద్ధతకు దారి తీస్తుంది. అందుచే √2 అనేది ” కరణీయ సంఖ్యగా నిరూపించవచ్చును.

ప్రశ్న 8.
5 – √3 ని ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 15)
సాధన.
మనం నిరూపించాల్సిన భావనకు విరుద్ధంగా, 5 – √3 ని ఒక అకరణీయ సంఖ్యగా ఊహించండి.
అంటే 5 – √3 = [latex]\frac{a}{b}[/latex] ఇందులో a, b లు పరస్పర ప్రధానాంకాలు మరియు b ≠ 0.
కావున 5 – [latex]\frac{a}{b}[/latex] = √3
సమీకరణంను తారుమారు చేస్తే, మనకు √3 = 5 – [latex]\frac{a}{b}=\frac{5 b-a}{b}[/latex] అని వస్తుంది.
a, b లు పూర్ణ సంఖ్యలు కావున మనకు 5 – [latex]\frac{a}{b}[/latex] ఒక అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. కావున √3 కూడా, అకరణీయ సంఖ్యయే అగును. ఇది అసత్యం.
ఎందుకంటే √3 అనేది ఒక కరణీయ సంఖ్య.
ఈ భావన ఏర్పడటానికి, మనం ఊహించిన ప్రతిపాదన 5 – √3 ఒక అకరణీయ సంఖ్య అనే భావన తప్పు. అంటే ఇది ఒక విరోధాభాసం.
∴ 5 – √3 అనేది కరణీయ సంఖ్య అని మనం చెప్పవచ్చును.

ప్రశ్న 9.
3√2 అనేది ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి.(పేజీ నెం. 15)
సాధన.
మనం నిరూపించవలసిన భావనకు విరుద్ధంగా 3√2 అనేది ఒక అకరణీయ సంఖ్యగా ఊహించండి. a, bలు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు మరియు b ≠ 0 అయ్యేటట్లు 3√2 = [latex]\frac{a}{b}[/latex] అవుతుంది.
క్రమంలో అమర్చగా, మనకు √2 = [latex]\frac{a}{3 b}[/latex] అని వస్తుంది.
ఇందులో 3, a మరియు b లు పూర్ణసంఖ్యలు కావున [latex]\frac{a}{3 b}[/latex] అనేది ఒక అకరణీయ సంఖ్య. అందుచే √2 కూడా ఒక అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. ఇది అసత్యం. ఎందుకంటే √2 ఒక కరణీయ సంఖ్య అనే సత్యానికి విరుద్ధభావన అందుచే ఇది ఒక విరోధాభాసం. కావున మనం 3√2 అనేది కరణీయ సంఖ్య . అని చెప్పవచ్చును.

ప్రశ్న 10.
√2 +√3 అనేది ఒక కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 15)
సాధన.
√2 + √3 అనేది ఒక అకరణీయ సంఖ్య అని ఊహించండి.
√2 + √3 = 2, ఇందు a, b లు పూర్ణసంఖ్యలు మరియు b = 0 అని తీసుకోండి.
కావున, √2 = [latex]\frac{a}{b}[/latex] – √3 అగును. ఇరువైపులా వర్గం చేయగా, మనకు
2 = [latex]=\frac{a^{2}}{b^{2}}[/latex] + 3 – 2[latex]\frac{a}{b}[/latex] √3 వచ్చును
క్రమంలో అమర్చగా.
2[latex]\frac{a}{b}[/latex] √3 = [latex]=\frac{a^{2}}{b^{2}}[/latex] + 3 – 2 = [latex]=\frac{a^{2}}{b^{2}}[/latex] + 1
అంటే √3 = [latex]\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b}[/latex]
a, b లు పూర్ణసంఖ్యలు కావున, [latex]\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b}[/latex] ఒక అకరణీయ సంఖ్య. ఇదేవిధంగా √3 కూడా ఒక అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది. ఇది అసత్యం. ఎందుకంటే √3 అనేది ఒక కరణీయ సంఖ్య అనే సత్యానికి విరుద్ధభావన. ఇది ఒక విరోధాభాసం. కావున √2 + √3 అనేది ఒక కరణీయసంఖ్య అగును.

ప్రశ్న 11.
log [latex]\frac{343}{125}[/latex] ను విస్తరించండి. (పేజీ నెం. 21)
సాధన.
log_a [latex]\frac{x}{y}[/latex] = log_a x – log_a y అని మనకు తెలుసు.
∴ log [latex]\frac{343}{125}[/latex] = log 343 – log 125
= log 7³ – log 5³
= 3 log 7 – 3 log 5
= 3[log 7 – log 5]

రెండవ పద్ధతి :
log [latex]\frac{343}{125}[/latex] = log [latex]\left[\frac{7}{5}\right]^{3}[/latex]
log_a xⁿ = n log_a x అని మనకు తెలుసు.
దీని నుండి
log [latex]\left[\frac{7}{5}\right]^{3}[/latex] = 3 log [latex]\frac{7}{5}[/latex]
= 3[log 7 – log 5]

ప్రశ్న 12.
2 log 3 + 3 log 5 – 5 log 2 ను ఒకే సంవర్గమానంగా రాయండి. (పేజీ నెం. 22)
సాధన.
2 log 3 + 3 log 5 – 5 log 2 ను ఒకే సంవర్గమానంగా వ్రాయుట.
2 log 3 + 3 log 5 – 5 log 2
= log 3² + log 5³ – log 2⁵
= log 9 + log 125 – log 32
= log (9 × 125) – log 32 [∵ log m + log n = log mn]
= log 1125 – log 32
= log 125 [∵ log m – log n = logm)

ప్రశ్న 13.
3^x = 5^{x – 2} సమీకరణాన్ని సాధించండి. (పేజీ నెం. 22)
సాధన.
3^x = 5^{x – 2} సంవర్గమాన రూపంలో వ్రాయగా
x log₁₀ 3 = (x – 2) log₁₀ 5
⇒ x log₁₀ 3 = x log₁₀ 5 – 2 log₁₀ 5
⇒ 2 log₁₀ 5 = x log₁₀ 5 – x log₁₀ 03
= x [log₁₀ 5 – log₁₀ 3]
∴ x = [latex]\frac{2 \log _{10} 5}{\log _{10} 5-\log _{10} 3}[/latex]

ప్రశ్న 14.
2 log 5 + [latex]\frac{1}{2}[/latex] log 9 – log 3 = log x అయితే x విలువను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 22)
సాధన.
2 log 5 + [latex]\frac{1}{2}[/latex] log 9 – log 3 = log x అయిన ,x విలువ కనుగొనుట.
log x = 2 log 5 + [latex]\frac{1}{2}[/latex] log 9 – log 3
= log 5² + log 9^{[latex]\frac{1}{2}[/latex]} – log 3
= log 25 + log √ 9 – log 3
= log 25 + log 3 – log3
log x = log25
∴ log x = log25
⇒ x = 25 అగును.

AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.2

January 24, 2022

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 4th Lesson రేఖలు మరియు కోణాలు Exercise 4.2

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన పటాన్ని గమనించండి మరియు 2 రేఖీయ కోణాల జతలను రాయండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.2 1
సాధన.
రేఖీయ కోణాల జతలు:
(i) ∠POQ, ∠QOK, (ii) ∠QOK, ∠KOL
(లేదా)
(i) ∠QOP, ∠POL, (ii) ZPOM, MOK
(లేదా)
(i) ∠KOL, ∠LOP, (ii) ∠KOM, ∠MOP

ప్రశ్న 2.
ఒకదానికొకటి పూరక కోణాలయ్యే ఆసన్న కోణాల జతను గీయండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.2 2
∠AOB = 90° మరియ ∠AOC, ∠COB లు ఆసన్న కోణాలు.

ప్రశ్న 3.
ఒకదానికొకటి సంపూరక కోణాలయ్యే ఆసన్న కోణాల జతను గీయండి.
సాధన.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.2 3
∠POQ = 180° మరియ ∠POR, ∠ROQ లు ఆసన్న కోణాలు.

ప్రశ్న 4.
మీ పరిసరాలలో నీవు గమనించే ఆసన్న కోణాలకు సంబంధించి ఏవైనా రెండు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
సాధన.
1. గడియారంలో మూడు ముల్లుల మధ్య ఆసన్న కోణాలు ఏర్పడుతాయి.
2. పుస్తకాన్ని మూడు భాగాలు తెరచినపుడు ఆసన్న కోణాలు ఏర్పడుతాయి.
3. మొక్కలలో ఒకే చోట చిగురులు పెట్టిన రెమ్మల మధ్య ఆసన్న కోణాలు ఏర్పడుతాయి.

ప్రశ్న 5.
పటంను పరిశీలించండి. వీలయ్యే ఆసన్న కోణాల జతలను రాయండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.2 4
సాధన.
ఆసన్న కోణాలు :
(i) ∠AOC, ∠COD
(ii) ∠AOD, ∠DOB
(iii) ∠AOC, ∠COB
(iv) ∠COD, ∠DOB

ప్రశ్న 6.
ఇచ్చిన కోణాల జత రేఖీయ ద్వయం అయ్యే అవకాశం వుందా? ఒకవేళ అవును అయితే, వాటిని గీయండి. ఒకవేళ కానట్లయితే, కారణం ఇవ్వండి.
(i) 120°, 60°
సాధన.
120° + 60° = 180° కావున, 120° మరియు 60° లు రేఖీయద్వయం అయ్యే అవకాశం కలదు.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.2 9
∠AOC = 120°, ∠COB = 60° మరియు ఆ రెండు రేఖీయద్వయం.

(ii) 98°, 102°
సాధన.
98° + 102° = 200°. 200° ఒక సరళకోణము కాదు. కావున 989, 102°లు రేఖీయద్వయం అయ్యే అవకాశం లేదు.

ప్రశ్న 7.
క్రింది కోణాలను రేఖీయద్వయంగా గీయండి. అందులో గల సరళరేఖను మరియు ఉమ్మడి భుజాన్ని వ్రాయండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.2 5
సాధన.

సరళరేఖ [latex]\overleftrightarrow{B C}[/latex],
ఉమ్మడి భుజం OA.

ప్రశ్న 8.
ఇచ్చిన పటంలో [latex]\overleftrightarrow{A B}[/latex] ఒక సరళరేఖ. [latex]\overleftrightarrow{A B}[/latex] పై o ఒక బిందువు. X విలువ కనుక్కోండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.2 7
సాధన.
(2x + 30) + x = 180° (రేఖీయద్వయం)
⇒ 3x + 30 = 180°
⇒ 3x = 180° – 30° = 150°
⇒ x = [latex]\frac{150^{\circ}}{3}[/latex] = 50°
∴ x = 50°

ప్రశ్న 9.
40° మరియు 140° కోణాలు రేఖీయ ద్వయంను ఏర్పరుస్తాయో, లేదో పటం గీచి సరిచూడమని ఒక టీచరు తన విద్యార్థులకు చెప్పేను. ఆ విద్యార్థులు 14007 క్రింది విధంగా పటం గీచెను. అయిన ఎవరికి సరియైన సమాధానం వచ్చును?
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.2 8
సాధన.
రోషితకు సరైన సమాధానం వచ్చును.
ఎందుకనగా, ఇవ్వబడిన కోణాలు ∠XOZ = 140°, ∠ZOY = 40° లు ప్రక్కప్రక్క కోణాలు మరియు సరళ జతలు.

AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.1

January 24, 2022

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 4th Lesson రేఖలు మరియు కోణాలు Exercise 4.1

ప్రశ్న 1.
క్రింది కోణాల జతలలో ఏవి పూరక కోణాలు, ఏవి సంపూరక కోణాల జతలో కనుగొనండి?
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.1 1
సాధన.
పూరక కోణాల జతలు : (ii), (iii)
సంపూరక కోణాల జతలు : (iv), (v)

ప్రశ్న 2.
రెండు పూరక కోణాల నిష్పత్తి 2 : 3 అయితే ఆ రెండు కోణాలను కనుగొనండి.
సాధన.
రెండు పూరక కోణాల నిష్పత్తి = 2 : 3
కావున, ఆ రెండు కోణాలను 2x, 3x అనుకొందాము.
∴ 2x + 3x = 90°
(∵ 2x, 3x లు పూరక కోణాలు)
5x = 90°
x = [latex]\frac{90^{\circ}}{5}[/latex] = 18°
∴ ఆ రెండు కోణాలు: 2x = 2(18°) = 36°
3x = 3(18°) = 54°
(లేదా)
రెండు పూరక కోణాల మొత్తం = 90°
పూరక కోణాల నిష్పత్తి = 2 : 3
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.1 2

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన పటంలో ∠A మరియు ∠Qలు పూరక కోణాలు అయిన X యొక్క విలువను కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.1 3
సాధన.
∠A = 9x°, ∠Q = 36°
∠A + ∠Q = 90° (∵∠A మరియు ∠Qలు పూరక కోణాలు)
9x + 36° = 90°
⇒ 9x = 90° – 36°
⇒ 9x = 54°
⇒ x = [latex]\frac{54}{9}[/latex] = 6
∴ x = 6°

ప్రశ్న 4.
∠A మరియు ∠Bలు సంయుగ్మ కోణాలు మరియు ∠A = ∠Bఅయిన ఆ రెండు కోణాలను కనుగొనండి.
సాధన.
∠A మరియు /Bలు సంయుగ్మ కోణాలు మరియు
∠A = ∠B
∴ A + B = 360°
⇒ ∠A + ∠A = 360° (∵ ∠A = ∠B)
⇒ 2∠A = 360°
⇒ ∠A = [latex]\frac{360^{\circ}}{2}[/latex] = 180°
∴ ∠A = 180° మరియు ∠B = 180°

ప్రశ్న 5.
ఒక జత పూరక కోణాలు, ఒక జత సంపూరక కోణాల పటములను గీయండి.
సాధన.
(i)
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.1 4

(ii)
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.1 5

ప్రశ్న 6.
ఉపాధ్యాయుడు తన విద్యార్థులకు ఒక కోణాన్ని ఇచ్చి ఆ కోణానికి పూరక కోణాన్ని గీయమని చెప్పెను. విద్యార్థులు క్రింది విధంగా గీచితిరి అయిన వారిలో ఎవరు సరైన విధంగా గీచెను?
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.1 6
సాధన.
సుజాత సరైన విధంగా గీచినది.
(∵ 30° + 60° = 90°)

ప్రశ్న 7.
ఇచ్చిన పటంలో ∠B మరియు ∠E లు సంపూరక కోణాలు అయిన X ను కనుగొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.1 7
సాధన.
∠B మరియు ∠E లు సంపూరక కోణాలు. మరియు
∠B = 30°, ∠E = 5x°
∴ ∠B + ∠E = 180°
(∵ ∠B, ∠E లు సంపూరక కోణాలు)
⇒ 30° + 5x = 180°
⇒ 5x = 180° – 30° = 150°.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.1 8

ప్రశ్న 8.
“సంపూరక కోణాల జతలో ఒక కోణం ఖచ్చితంగా అధిక కోణమై ఉండాలి” అని ఆశ్రిత చెప్పింది. దీనిని నీవు అంగీకరిస్తావా ? కారణం తెల్పండి.
సాధన.
“సంపూరక కోణాల జతలో ఒక కోణం ఖచ్చితంగా అధిక కోణమై ఉండాలి” అన్న ఆశ్రిత వాదనతో నేను ఏకీభవించను.
కారణం: ∠A = 90°, ∠B = 90° తీసుకొందాము
∠A + ∠B = 90° + 90° = 180°
కావున, ∠A, ∠B లు సంపూరక కోణాలు. అయితే ∠A, ∠B లలో ఏదీ అధిక కోణము కాదు.
(పై సందర్భంలో తప్ప మిగిలిన అన్ని సందర్భాలలోను సంపూరక కోణాల జతలో ఒకటి అధిక కోణమై ఉండాలి).

ప్రశ్న 9.
ఒక కోణం దాని సంపూరక కోణం కంటే 40°ఎక్కువ, అయిన ఆ కోణాన్ని కనుగొనండి.
సాధన.
సంపూరక కోణాల జతలో ఒక కోణం = x° అనుకొందాం
మరొక కోణం = (x + 40)°
∴ x + (x + 40°) = 180° (x, x + 40 లు సంపూరక కోణాలు)
⇒ 2x + 40° = 180°
⇒ 2x = 180° – 40° = 140°
⇒ x = [latex]\frac{140^{\circ}}{2}[/latex] = 70°
సంపూరక కోణ జతలో ఒక కోణం x = 70°
మరొక కోణం x + 40° = 70° + 40° = 110°

ప్రశ్న 10.
“రెండు అధికకోణాలు సంపూరక కోణాల జత కాలేవు” అని శ్రీను అన్నాడు. దీనిని మీరు అంగీకరిస్తారా ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.
సాధన.
“రెండు అధిక కోణాలు సంపూరక కోణాల జత కాలేవు” అన్న శ్రీను వాదనతో ఏకీభవిస్తాను.
కారణం: అధిక కోణం 90° కన్నా ఎక్కువ కావున రెండు అధిక కోణాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ 180° కన్నా ఎక్కువ అవుతుంది. కాబట్టి రెండు అధిక కోణాలు సంపూరక కోణాల జత కాలేవు.

AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Review Exercise

January 24, 2022

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Review Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 4th Lesson రేఖలు మరియు కోణాలు Review Exercise

ప్రశ్న 1.
పటాన్ని పరిశీలించండి. పటంలో గల బిందువులు, రేఖా ఖండాలు, కిరణాలు మరియు సరళరేఖలను వ్రాయండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Review Exercise 1
సాధన.
బిందువులు:

ప్రశ్న 2.
పటం పరిశీలించండి. పటంలో గల ఖండనరేఖలను మరియు మిళితరేఖలను వ్రాయండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Review Exercise 3
సాధన.
ఖండన రేఖలు: p, l
మిళిత రేఖలు: l, m, n

ప్రశ్న 3.
PQ = 6.3 సెం.మీ. రేఖాఖండాన్ని గీయండి.
సాధన.

ప్రశ్న 4.
ఇచ్చిన పటంలో గల ఏవైనా మూడు కోణాలను పేర్కొనండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Review Exercise 5
సాధన.
∠POQ, ∠QOR, ∠ROS (లేదా)
∠POQ, ∠POR, ∠POS (లేదా)
∠POQ, ∠QOR, ∠QOS (లేదా) ….

ప్రశ్న 5.
ఇచ్చిన గడియారంలో మీరు గుర్తించిన కోణం రకాన్ని వ్రాయండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Review Exercise 6
సాధన.
(i) అల్పకోణం
(ii) లంబకోణం
(iii) అధిక కోణం
(iv) సరళకోణం
(v) పరావర్తన (అధికతర) కోణం.

ప్రశ్న 6.
ఒక లంబకోణం ____________ డిగ్రీలకు సమానం.
సాధన.
90.

ప్రశ్న 7.
ఏవైనా రెండు అల్పకోణాలు మరియు రెండు అధిక కోణాలను వ్రాయండి.
సాధన.
అల్పకోణాలు: 459, 60°
అధిక కోణాలు: 1109, 150°

ప్రశ్న 8.
ఇవ్వబడ్డ పటంలో సమాంతర రేఖలను మరియు లంబ రేఖలను గుర్తించండి. వాటిని ||, ⊥ లను ఉపయోగించి వ్రాయండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Review Exercise 7
సాధన.
1 || m, l ⊥ n, m ⊥ n.

ప్రశ్న 9.
కోణం ∠AOB ని కోణమాణిని సహాయంతో కొలిచి వ్రాయండి.
AP Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Review Exercise 8
సాధన.
∠AOB = 40°.