Mahesh

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 వృత్తాలు Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 12th Lesson వృత్తాలు Exercise 12.1

ప్రశ్న 1.
పటంలో ‘O’ వృత్త కేంద్రం. అయిన దిగువ ఇవ్వబడిన భాగాల పేర్లు తెలపండి.
(i) \(\overline{\mathbf{AO}}\)
(ii) \(\overline{\mathbf{AB}}\)
(iii) \(\widehat{\mathrm{BC}}\)
(iv) \(\overline{\mathbf{AC}}\)
(v) \(\widehat{\mathrm{DCB}}\)
(vi) \(\widehat{\mathrm{ACB}}\)
(vii) \(\overline{\mathbf{AD}}\)
(viii) షేడ్ చేసిన ప్రాంతం

సాధన.
(i) \(\overline{\mathbf{AO}}\) – వ్యాసార్ధము
(ii) \(\overline{\mathbf{AB}}\) – వ్యాసము
(iii) \(\widehat{\mathrm{BC}}\) – అల్ప వృత్త చాపము
(iv) \(\overline{\mathbf{AC}}\) – జ్యా
(v) \(\widehat{\mathrm{DCB}}\) – అధిక వృత్త చాపము
(vi) \(\widehat{\mathrm{ACB}}\) – అర్ధ వృత్తము
(vii) \(\overline{\mathbf{AD}}\) – జ్యా
(viii) షేడ్ చేసిన ప్రాంతం – అల్ప వృత్త ఖండము

ప్రశ్న 2.
సత్యమో, అసత్యమో తెల్పండి.
(i) వృత్తం అది ఉండే తలాన్ని మూడు భాగాలుగా విభజిస్తుంది. ( )
(ii) ఒక జ్యా మరియు అల్పచాపముల మధ్య ఆవరింపబడిన ప్రాంతమే అల్పవృత్తఖండం. ( )
(iii) ఒక జ్యా మరియు అధిక చాపముల మధ్య ఆవరించబడిన ప్రాంతమే అధిక వృత్త ఖండం. ( )
(iv) వ్యాసము వృత్తాన్ని రెండు అసమ భాగాలుగా విభజిస్తుంది. ( )
(v) రెండు వ్యాసార్ధాలు మరియు ఒక జ్యా చే ఆవరింపబడిన ప్రాంతమే సెక్టర్. ( )
(vi) వృత్త జ్యాలన్నింటిలో పెద్ద దానిని వ్యాసం అంటారు. ( )
(vii) ఏ వ్యాసం మధ్య బిందువైనా వృత్త కేంద్రం అవుతుంది. ( )
సాధన.
(i) సత్యము
(ii) సత్యము
(iii) సత్యము
(iv) అసత్యము
(v) అసత్యము
(vi) సత్యము.
(vii) సత్యము

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 జ్యామితీయ నిర్మాణాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 13th Lesson జ్యామితీయ నిర్మాణాలు InText Questions

ప్రయత్నించండి

1. కింది పటాలలో భుజాలను, రోణాలను, కర్ణాలను పరిశీలించి వాటి పేర్లు తెలపండి. అదేవిధంగా వాటి ధర్మాలను రాయండి. (పేజీ నెం. 283)

సాధన.
పటం (1)లో
\(\angle \mathrm{B}\) మరియు \(\angle \mathrm{F}\) ల యొక్క కోణసమద్విఖండనరేఖ BF.
చతుర్భుజం BEFD లో BE = BD = DF = EF
∴ ఇది ఒక రాంబస్.

పటం (2)లో
BD = BE
FD = FE
∴ BEFD ఒక గాలిపటం.
\(\angle \mathrm{B}\) మరియు \(\angle \mathrm{F}\) ల కోణసమద్విఖండన రేఖ BF.

2. ఒక వృత్తంపై ఏదేని బిందువు తీసుకొని వృత్త వ్యాసార్థంతో సమాన వ్యాసార్థంతో ఎన్ని చాపాలను గీస్తే వృత్తం ఎన్ని సమాన భాగాలుగా విభజింపబడుతుంది ? నీవు ఎలా చెప్పగలవు ? ఈ సందర్భంలో జ్యూ యొక్క పొడవు ఎంత అవుతుంది? (పేజీ నెం. 284)
సాధన.

P ఒక వృత్త కేంద్రమనుకొనుము.
వృత్తపరిధిపై A ఒక బిందువనుకొనుము.
అది 2π భాగాలుగా విభజించబడినదనుకొనుము.
∴ \(\frac {వృత్తపరిధి}{వ్యాసార్థం}\) = \(\frac {2πr}{r}\) = 2π

3. ∆ABC లో \(\angle \mathrm{B}\) = 60° , \(\angle \mathrm{C}\) = 45° మరియు AB + BC + CA = 11 సెం.మీ. లతో త్రిభుజాన్ని నిర్మించగా, మీరు వేరొక పద్ధతిలో త్రిభుజాన్ని నిర్మించగలరా ? (సూచన : \(\angle \mathrm{YXL}\) = \(\frac {60°}{2}\) = 30° మరియు
\(\angle \mathrm{YXM}\) = \(\frac {45°}{2}\) = 22\(\frac {1}{2}\)° తీసుకోండి.) (పేజీ నెం. 289)

సాధన.

(i) XY = 11 సెం.మీ. లను గీయుము. (AB + BC + CA = 11 సెం.మీ.)
(ii) \(\angle \mathrm{YXP}\) = 30° అగునట్లుగా X వద్ద కోణంను నిర్మించుము. (\(\frac{\mathrm{B}}{2}=\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30° )
(iii) \(\angle \mathrm{XYQ}\) = 22\(\frac {1}{2}\)° అగునట్లుగా Y వద్ద కోణంను నిర్మించుము. (\(\frac{C}{2}=\frac{45^{\circ}}{2}=22 \frac{1}{2}\))
(iv) \(\overrightarrow{\mathrm{XP}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{YQ}}\) లు A వద్ద ఖండించుకొనును.
(v) A వద్ద, \(\angle \mathrm{XAB}\) = 30° అగునట్లుగా \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ను గీయుము. B, XY పై బిందువు.
(vi) అదే విధముగా \(\angle \mathrm{YAC}\) = 22\(\frac {1}{2}\)° = అగునట్లుగా \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) ను గీయుము. C, XY పై బిందువు.
(vii) ∆ABC మనకు కావలసిన త్రిభుజము.

4. ఇవ్వబడిన వృత్తఖండంలో కోణం ‘లంబకోణం’ అయితే అది ఎటువంటి వృత్తఖండం అవుతుంది ? పటం గీచి, కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 290)
సాధన.

వృత్తఖండంలోని కోణం ‘లంబకోణం’ అయితే కేంద్రం వద్ద దాని కోణం 2 × 90° = 180° అగును. ఆ విధముగా ఆ రేఖా ఖండము, ఆ వృత్తానికి వ్యాసముగా మారును. మరియు ఆ వృత్తఖండం, అర్ధవృత్తంగా మారును.

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

1. BC = 6 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 60° మరియు AB + AC = 5 సెం.మీ. కొలతతో ∆ABC త్రిభుజం నిర్మించగలరా ? లేకపోతే, తగు కారణాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 286)
సాధన.
ఇచ్చిన కొలతలతో ∆ABC ను నిర్మించలేము. ఎందుకగా AB + AC < BC.
ఒక త్రిభుజంలో రెండు భుజాల మొత్తము మూడవ భుజానికంటే ఎక్కువ.

2. BC = 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 30° మరియు AB – AC = 1.6 సెం.మీ. . కొలతలతో కోణం \(\angle \mathbf{B}\)కి బదులు \(\angle \mathbf{C}\) తీసుకొని నిర్మిస్తే త్రిభుజం ఏర్పడుతుందా ? చిత్తుపటం గీచి, నిర్మించి చూడండి. BC = 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{C}\) = 309, AB – AC = 1.6 సెం.మీ. . (పేజీ నెం. 287)
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
1. BC – 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{C}\) = 30° మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) = AB – AC = 1.6 సెం.మీ. లతో ∆BCD ను నిర్మించుము.
2. BD కు లంబసమద్విఖండన రేఖను గీయుము. CD ని పొడిగించిన అది A వద్ద ఖండించును.
3. B, A లను కలుపుము.
4. మనకు కావలసిన ∆ABC ఏర్పడినది.

ఉదాహరణలు :

1. AB అనే దత్తరేఖా ఖండానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీచి, నిర్మాణాన్ని తార్కికంగా సమర్థించుము. (పేజీ నెం. 280)
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: దత్త రేఖాఖండం AB ను గీయండి.
సోపానం – 2 : కేంద్రాలుగా కన్నా ఎక్కువ వ్యాసార్ధంతో రేఖాఖండానికి ఇరువైపులా రెండు చాపములు ఒకదానికొకటి ఖండించుకునేటట్లు గీయాలి.
సోపానం – 3 : ‘B’ కేంద్రముగా, అదే వ్యాసార్ధంతో మరి రెండు చాపములను మొదటి చాపములు ఖండించునట్లు గీయాలి.
సోపానం – 4 : ఖండన బిందువులకు P మరియు Q అని పేర్లు పెట్టి P, Q లను కలపాలి.
సోపానం – 5 : “\(\overline{\mathrm{AB}}\) యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ PQ” అనే నిర్మాణాన్ని నీవు ఏ విధంగా సమర్థించగలవు ?
POQ రేఖ AB కి లంబసమద్విఖండన రేఖ అవుతుంది.
పై నిర్మాణ క్రమము నుండి AB రేఖకు, “PQ ఒక లంబ సమద్విఖండన రేఖ” అవుతుంది అని కారణాలతో ఎలా భావించగలవు ?
నిర్మాణం యొక్క పటంను గీచి, A ను P, Qలతోనూ, B ను P మరియు Qలతోనూ కలపాలి.
త్రిభుజ సర్వసమాన నియమాల ఆధారంగా మనం ఈ ప్రవచనాన్ని నిరూపిస్తాం.

2. దత్తకోణం ABC కి సమద్విఖండన రేఖను గీయండి. (పేజీ నెం. 282)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: దత్తకోణం \(\angle \mathrm{ABC}\) ని తీసుకొనుము.
సోపానం – 2 : B కేంద్రంగా కొంత వ్యాసార్థంతో \(\overline{\mathrm{BA}}, \overline{\mathrm{BC}}\) కిరణాలను D, E ల మధ్య ఖండించునట్లు పటంలో చూపినట్లు చాపం గీయండి.

సోపానం – 3 : E మరియు Dలు కేంద్రములుగా సమాన వ్యాసార్ధంతో రెండు చాపములు F వద్ద ఖండించునట్లు గీయండి.

సోపానం – 4 : BF కిరణంను గీయండి. ఇదే \(\angle \mathrm{ABC}\) కి కోణ సమద్విఖండన రేఖ అగును.
పై నిర్మాణాన్ని తార్కికంగా నిరూపించిన విధం పరిశీలిద్దాం. D, F మరియు E, F లను కలపండి. త్రిభుజ సర్వసమాన నియమాలను బట్టి కింది విధంగా నిరూపిద్దాం.

3. తొలి బిందువు A నుండి AB కిరణం గీచి, \(\angle \mathbf{BAC}\) = 60° అగునట్లు AC తిరణాన్ని గీయండి. (పేజీ నెం. 283)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: AB కిరణాన్ని గీచి కొంత వ్యాసార్ధంతో A కేంద్రంగా
AB ను D వద్ద ఖండించునట్లు ఒక చాపం గీయండి.

సోపానం – 2 : D కేంద్రంగా అదే వ్యాసార్థంతో మొదటి చాపాన్ని E వద్ద ఖండించునట్లు మరొక చాపాన్ని గీయాలి. (పటంలో చూపిన విధంగా)

సోపానం – 3 : E గుండా పోతున్నట్లుగా AC కిరణాన్ని గీస్తే మనకు కావలసిన కోణం \(\angle \mathbf{BAC}\) = 60 వస్తుంది.

మనం చేసిన నిర్మాణంను నిరూపించాలంటే పటంలో D, Eని కలపాలి. నిరూపణను దిగువ విధంగా చేయవచ్చు.

ఉపపత్తి :

4. BC = 5 సెం.మీ., AB + AC = 8 సెం.మీ, మరియు \(\angle \mathbf{ABC}\) = 60° కొలతలలో ∆ABC నిర్మించండి. (పేజీ నెం. 284)
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: ∆ABC చిత్తు పటంను గీచి ఇవ్వబడిన కొలతలు గుర్తించాలి. (AB + AC = 8 సెం.మీ. కొలతను ఎందుకు గుర్తించలేకపోయారు ?)
మరి త్రిభుజ మూడవ శీర్షం A ను నిర్మాణంలో ఎలా గుర్తిస్తారు ?

విశ్లేషణ : AB + AC = 8 సెం.మీ. కావున BA ను D వరకు పొడిగిస్తే
BD = 8 సెం.మీ. అవుతుంది.
∴ BD = BA + AD = 8 సెం.మీ.
కాని AB + AC = 8 సెం.మీ. (దత్తాంశం)
∵ AD = AC
BD పైన Aను గుర్తించడానికి మీరు ఏమి చేస్తారు ?
A బిందువు C మరియు D లకు సమాన దూరంలో ఉంటుంది. కావున, \(\overline{\mathrm{CD}}\) యొక్క లంబ సమద్విఖండన BD ను ఖండించే బిందువు A అవుతుంది.

సోపానం -2 : \(\overline{\mathrm{BC}}\) = 5 సెం.మీ. (త్రిభుజం భూమి) రేఖాఖండం గీచి B వద్ద \(\angle \mathbf{CBX}\) = 60° కోణం నిర్మించాలి.

సోపానం – 3 : B కేంద్రంగా 8 సెం.మీ. (AB + AC = 8 సెం.మీ.)
\(\overrightarrow{BX}\) ను D వద్ద ఖండించునట్లు ఒక చాపం గీయాలి.

సోపానం – 4 : CD ని కలిపి CD కు లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీస్తే అది BD ని A వద్ద ఖండిస్తుంది.

సోపానం – 5 : AC లను కలిపితే మనకు కావల్సిన ABC త్రిభుజం వస్తుంది.

మనం ఇప్పుడు నిర్మాణాన్ని నిరూపిద్దాం.

ఉపపత్తి : A బిందువు \(\overline{\mathrm{CD}}\) యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖపై ఉంది.
∵ AC = AD కావున
AB + AC = AB + AD = BD = 8 సెం.మీ.
అందుచే ∆ABC మనకు కావల్సిన త్రిభుజం అయింది.

5. BC = 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 30° మరియు AB – AC = 1.6 సెం.మీ. కొలతలతో ∆ABC నిర్మించండి. (పేజీ నెం. 286)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు:
సోపానం – 1 : ∆ABC యొక్క చిత్తుపటం గీచి ఇవ్వబడిన కొలతలను గుర్తించాలి.
(AB – AC = 1.6 సెం.మీ. కొలతను ఎలా గుర్తిస్తారు?)

విశ్లేషణ : AB – AC – 1.6 సెం.మీ. కావున AB > AC అగును.
AD = AC అగునట్లు AB పై D అని బిందువును గుర్తించాలి.
ఇప్పుడు BD = AB – AC = 1.6 సెం.మీ.
అందుచే C, Dని కలిపి దానికి లంబసమద్విఖండన చేస్తే మూడవ శీర్భం A ను BD పై గుర్తించవచ్చును.
అవసరమైతే BDని పొడిగించాలి. A, C ని కలిపితే.
కావలసిన త్రిభుజం ABC వస్తుంది.

సోపానం – 2 : భు.కో.భు. త్రిభుజ నియమం అనుసరించి BC = 4.2 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 30° మరియు BD = 1.6 సెం.మీ. . (i.e., AB – AC) ∆BCD ని నిర్మించాలి.

సోపానం – 3 : CD యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖను గీస్తే అది BDX రేఖను A వద్ద ఖండిస్తుంది.

సోపానం – 4 : A, C లను కలిపితే ∆ABC వస్తుంది.

6. BC = 5 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 45° మరియు AC – AB = 1.8 సెం.మీ. కొలతలతో ∆ABC నిర్మించండి. (పేజీ నెం. 287)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: ∆ABC యొక్క చిత్తుపటాన్ని గీచి ఇచ్చిన కొలతలు గుర్తించాలి. AC – AB = 1.8 సెం.మీ. కొలతను ఎలా గుర్తించగలరో విశ్లేషణ చేయండి.

విశ్లేషణ : AB < AC కావున AC – AB = 1.8 సెం.మీ. ను BD గా తీసుకోవాలంటే, AD = AC అయినట్లు AC పై D బిందువును గుర్తించండి. ఇప్పుడు BD = AC – AB = 1.8 అగును. (∵BD =AD – AB మరియు AD = AC)
C, Dని కలిపి CD కి లంబసమద్విఖండన రేఖను గీస్తే దానిపై A ను గుర్తించవచ్చు.

సోపానం – 2 : BC = 5 సెంమీ. రేఖాఖండం గీచి, \(\angle \mathrm{CBX}\) = 45° కోణం నిర్మించాలి.
B కేంద్రంగా 1.8 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంతో (BD = AC – AB) ఒక చాపం గీయగా అది \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) రేఖను BC కి ఎదురుగా పొడిగిస్తే దానిని D వద్ద ఖండిస్తుంది.

సోపానం – 3 : D, C ని కలిపి దానికి లంబ సమద్విఖండన రేఖ గీయాలి.

సోపానం – 4 : ఇది \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) రేఖను A వద్ద ఖండిస్తుంది. AC ని కలిపితే మనకు కావలసిన త్రిభుజం ∆ABC వస్తుంది.
ఇప్పుడు మనం పై నిర్మాణంను తార్కికంగా నిరూపిద్దాం.

విశ్లేషణ : ∆ABC లో భూమి BCని, \(\angle \mathrm{B}\) కోణాన్ని నిర్మించాం.
DC యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖపై A బిందువు ఉన్నది కావున
∴ AD = AC అగును.
అంటే, AB + BD = AC
కావున BD = AC – AB అయినది.
= 1.8 సెం.మీ.
ఇదే మనకు కావలసిన త్రిభుజం ∆ABC అవుతుంది.

7. ∆ABC లో \(\angle \mathrm{B}\) = 60°, \(\angle \mathrm{C}\) = 45° మరియు AB + BC + CA = 11 సెం.మీ. అయిన త్రిభుజం నిర్మించండి.
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: ∆ABC త్రిభుజం యొక్క చిత్తుపటంను గీచి ఇవ్వబడిన కొలతలు గుర్తించాలి.
(త్రిభుజ చుట్టుకొలతను ఎలా గుర్తిస్తారు ?)

విశ్లేషణ : త్రిభుజం చుట్టుకొలత AB + BC + CA కు సమానమయ్యే రేఖాఖండం XY గీయాలి. \(\angle \mathrm{B}\)కు సమానంగా \(\angle \mathrm{YXL}\) నూ, \(\angle \mathrm{C}\) కు సమానం అయ్యేటట్లు \(\angle \mathrm{XYM}\) ను నిర్మించి, వాటిని సమద్విఖండన చేయాలి. ఈ రెండు సమద్విఖండన రేఖలు.

A వద్ద ఖండించుకున్నాయనుకోండి,
AX యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖ XY ను B వద్ద, AY యొక్క లంబసమద్విఖండన రేఖ C వద్ద ఖండిస్తాయి.
AB, AC లను కలిపితే మనకు కావలసిన త్రిభుజం ABC వస్తుంది.

సోపానం – 2 : XY = 11 సెం.మీ. (ఎందుకంటే XY = AB + BC + CA) రేఖాఖండాన్ని గీయాలి.

సోపానం – 3: \(\angle \mathrm{YXL}\) = 60° మరియు \(\angle \mathrm{XYM}\) = 45° కోణాలను నిర్మించి, వాటికి సమద్విఖండన రేఖలు గీయాలి.

సోపానం – 4 : ఈ రెండు సమద్విఖండన రేఖల ఖండన బిందువుకు, A అని పేరు పెట్టాలి.

సోపానం – 5 : AX మరియు AY లకు లంబసమద్విఖండన రేఖలను గీస్తే అవి \(\overline{\mathrm{XY}}\) ను వరుసగా B మరియు Cల వద్ద ఖండిస్తాయి.
AB మరియు AC లను కలపాలి.
మనకు కావల్సిన త్రిభుజం ABC వస్తుంది.
ఈ నిర్మాణంను మనం కింది విధంగా నిరూపిద్దాం.

ఉపపత్తి : AX యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ PQ పై B ఉంటుంది.
∴ XB = AB మరియు అదేవిధంగా CY = AC.
దీని నుండి AB + BC + CA = XB + BC + CY = XY తిరిగి \(\angle \mathrm{BAX}\) = \(\angle \mathrm{AXB}\) (∆AXB లో XB = AB) మరియు \(\angle \mathrm{ABC}\) = \(\angle \mathrm{BAX}\) + \(\angle \mathrm{AXB}\) (∆ABC యొక్క బాహ్యకోణం)
= 2\(\angle \mathrm{AXB}\) = \(\angle \mathrm{YXL}\) = 60°.
ఇదే విధంగా \(\angle \mathrm{ACB}\) = \(\angle \mathrm{XYM}\) = 45° అగును.
∴ \(\angle \mathrm{B}\) = 60° మరియు \(\angle \mathrm{B}\) = 45° అయినది.

8. 7 సెం.మీ. పొడవుగల వృత్త వ్యా పై 60° కోణములను కలిగి ఉండే వృత్త ఖండాన్ని నిర్మించుము. (పేజీ నెం. 289)
సాధన.
నిర్మాణ సోపానాలు :
సోపానం – 1: ఒక వృత్తాన్ని, 60° కలిగి ఉండే వృత్తఖండం యొక్క (అధిక వృత్తఖండం గీయాలి. ఎందుకు ?) చిత్తు పటం గీయాలి.
కేంద్రం లేకుండా వృత్తాన్ని గీయగలవా ?

విశ్లేషణ : ‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తం తీసుకోండి.
AB అనేది దత్త వృత్త జ్యా మరియు C = 60° కోణం గల ACB వృత్తఖండం మనం నిర్మించవలసినది.
\(\widehat{\mathrm{AXB}}\) వృత్తచాపం వృత్తంపై C వద్ద చేసిన కోణం 60° అనుకోండి.
\(\angle \mathrm{ACB}\) = 60° కావున \(\angle \mathrm{AOB}\) = 60° × 2 – 120° (ఎలా?)
∆OAB లో OA – OB (సమాన వ్యాసార్ధాలు) కావున
\(\widehat{\mathrm{OAB}}\) = \(\widehat{\mathrm{OBA}}\) = \(\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=\frac{60^{\circ}}{2}\) = 30°
అందుచే మన ∆OAB గీయగలం. అప్పుడు వృత్తానికి OA = OB వ్యాసార్ధం అవుతుంది.

సోపానం – 2 : AB = 7 సెం.మీ. రేఖాఖండం గీయండి.

సోపానం – 3: \(\angle \mathrm{BAX}\) = 30° మరియు \(\angle \mathrm{YBA}\) = 30° ఉండేటట్లు \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}, \overrightarrow{\mathrm{BY}}\) కిరణాలను గీయగా అవి O వద్ద ఖండించుకుంటాయి. (సూచన : వృత్తలేఖిని ఉపయోగించి 60° కోణం నిర్మించి, దానిని సమద్విఖండన చేస్తే 30° కోణం వస్తుంది.)

సోపానం – 4 : O కేంద్రంగా OA = OB = r వ్యాసార్ధంతో వృత్తం గీయాలి.

సోపానం – 5 : అధిక వృత్త చాపంపై ‘C’ బిందువు గుర్తించాలి.

A, C మరియు B, C లను కలిపితే \(\angle \mathrm{ACB}\) = 60° వస్తుంది.
ఈ వృత్తఖండం మనకు కావలసిన వృత్తఖండం అవుతుంది. పై నిర్మాణాన్ని నిరూపిద్దాం.
ఉపపత్తి : OA = OB (వృత్త వ్యాసార్థం)
∴ \(\angle \mathrm{OAB}+\angle \mathrm{OBA}\) = 30° + 30° = 60°
\(\angle \mathrm{AOB}\) = 180° – 60° = 120°
\(\widehat{\mathrm{AXB}}\) దాపం వృత్త కేంద్రం వద్ద చేయుకోణం 120°.
∴ \(\angle \mathrm{ACB}\) = \(\frac {120°}{2}\) = 60°
కావున ACB మనకు కావలసిన వృత్తఖండం అగును.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 జ్యామితీయ నిర్మాణాలు Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 13th Lesson జ్యామితీయ నిర్మాణాలు Exercise 13.2

ప్రశ్న 1.
BC = 7 సెం.మీ., \(\angle \mathbf{B}\) = 75° మరియు AB + AC = 12 సెం.మీ.లతో ∆ABC నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ BC = 7 సెం.మీ.లుగా ఒక రేఖాఖండంను గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{B}\) = 75° లతో \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) కిరణాన్ని నిర్మించండి.
→ \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) పై BD = AB + AC అగునట్లుగా D బిందువును గీయుము.
→ D, C లను కలుపుము మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) కు లంబసమద్విఖండన రేఖను గీయగా అది BD ను A వద్ద ఖండించును.
→ A, C లను కలుపగా మనకు కావలసిన ∆ABC ఏర్పడినది.

ప్రశ్న 2.
QR = 8 సెం.మీ., \(\angle \mathrm{Q}\) = 60° మరియు PQ – PR= 3.5 సెం.మీ. లతో ∆PQR నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ QR = 8 సెం.మీ.లతో ఒక రేఖాఖండమును గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{RQX}\) = 30° అగునట్లుగా Q వద్ద నుండి \(\overrightarrow{\mathrm{QX}}\) ను గీయుము.
→ \(\overrightarrow{\mathrm{QX}}\) పై QS = PQ – PR = 3.5 సెం.మీ. అగునట్లుగా S బిందువును గుర్తించుము. → S, Rలను కలుపుము.
→ \(\overline{\mathrm{QR}}\) కు లంబసమద్విఖండనరేఖను గీయగా అది, \(\overrightarrow{\mathrm{QX}}\) ను ‘P’ వద్ద ఖండించును.
→ P, Rలను కలుపగా ∆PQR ఏర్పడింది.

ప్రశ్న 3.
\(\angle \mathbf{Y}\) = 30°, \(\angle \mathbf{Z}\) = 60° మరియు XY + YZ + ZX = 10 సెం.మీ.లతో ∆XYZ నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు:
→ AB = XY + YZ+ZX = 10 సెం.మీ. లతో ఒక రేఖాఖండంను గీయుము.
→ A వద్ద \(\angle BAP\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathbf{Y}\) మరియు B వద్ద \(\angle ABQ\) = \(\frac {1}{2}\)\(\angle \mathbf{Z}\) అగునట్లుగా గీయుము. వాటిని కలుపగా అవి B వద్ద కలుసుకొనును.
→ XA మరియు XBలకు లంబసమద్విఖండన రేఖలను గీయగా అవి \(\overline{\mathrm{AB}}\) ను Y మరియు Zల వద్ద ఖండించును.
→ X నుండి Y ను మరియు X నుండి Z ను కలుపగా ∆XYZ ఏర్పడును.

ప్రశ్న 4.
భూమి 7.5 సెం.మీ. మరియు కర్ణం, మూడవ భుజం కొలతల మొత్తం 15 సెం.మీ.గా గల లంబకోణ త్రిభుజాన్ని నిర్మించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ BC = 7.5 సెం.మీ. లతో ఒక రేఖాఖండాన్ని గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{CBX}\) = 90° లను నిర్మించుము.
→ BD = 15 సెం.మీ. లు అగునట్లుగా \(\overrightarrow{\mathrm{BX}}\) పై D ను గుర్తించుము.
→ C, D లను కలుపుము.
→ \(\overline{\mathrm{CD}}\) కు లంబసమద్విఖండనరేఖ గీయగా అది BD ను A వద్ద ఖండించును.
→ A, C లను కలుపగా ∆ABC ఏర్పడును.

5. 5 సెం.మీ. పొడవుగల వృత్త జ్యా తీసుకొని కింది కోణాలను కలిగి ఉండే వృత్తఖండాలను నిర్మించండి.

ప్రశ్న (i)
90°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 90° మరియు \(\angle \mathrm{BOC}\) = 180° లతో ఒక చిత్తు పటంను గీయుము.
→ BC = 5 సెం.మీ.లతో రేఖాఖండమును గీయుము.
→ BC కు లంబసమద్విఖండన రేఖను గీయుము. అది BC ను ఖండించు బిందువు O అగును.
→ OB లేక OC వ్యాసార్థంతో O కేంద్రంగా చాపాలను గీయుము.
→ చాపముపై ఏదైనా బిందువు వద్ద A ను గుర్తించి, B మరియు C లను కలుపుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 90°

ప్రశ్న (ii)
90°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు:
→ BC = 5 సెం.మీ. లతో ఒక రేఖాఖండంను గీయుము.
→ BC = 5 సెం.మీ., \(\angle \mathrm{B}\) = 45° = \(\angle \mathrm{C}\) అగునట్లు ∆BOC ను నిర్మించుము.
→ OB లేక OC ను వ్యాసార్ధంతో ‘O’ కేంద్రంగా ఒక వృత్త చాపమును గీయుము,
→ వృత్తఖండంపై A బిందువును గుర్తించి B మరియు C లను కలుపుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 45°

ప్రశ్న (iii)
120°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు:
→ AB = 5 సెం.మీ.లతో ఒక రేఖాఖండంను గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{A}\) = 30°; \(\angle \mathrm{B}\) = 30°; AB = 5 లతో ∆AOB ను గీయుము.
→ ‘O’ కేంద్రముగా ఒక వృత్తఖండంను గీయుము.
→ వృత్తఖండంకు ఎదురుగా C బిందువును గుర్తించి, B మరియు C లను కలుపుము.
→ \(\angle \mathrm{ACB}\) = 120°

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 13 జ్యామితీయ నిర్మాణాలు Ex 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 13th Lesson జ్యామితీయ నిర్మాణాలు Exercise 13.1

1. మూలబిందువు వద్ద దత్తకిరణంపై కింది కోణాలను నిర్మించి, నిరూపణ చేయండి.

ప్రశ్న (a)
90°
సాధన.

సోపానాలు :
→ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ఇచ్చిన కిరణము అనుకొనుము.
→ BA ను D వరకు పొడిగించుము.
→ కొంత వ్యాసార్ధంతో A కేంద్రంగా ఒక అర్ధ వృత్తంను గీయుము.
→ X మరియు Y లు కేంద్రాలుగా రెండు ఖండన చాపాలను ఒకే వ్యాసార్ధంతో గీయుము.
→ చాపాల ఖండన బిందువును, ‘A’ ను కలుపుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) కావలసిన లంబకోణము.

(లేదా)

సోపానాలు :
→ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ఇచ్చిన కిరణమనుకొనుము.
→ A కేంద్రంగా ఒక చాపంను గీయుము.
→ ముందుగా తీసుకున్న కొలతతో x కేంద్రంగా రెండు సమాన చాపాలను పటంలో చూపినట్లుగా గీయుము.
→ రెండు చాపాల ఖండన బిందువును, ‘A’ ను కలుపుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 90°
∆AXY లో \(\angle \mathrm{YAX}\) = 60° మరియు
∆AYC లో \(\angle \mathrm{YAC}\) = 30 ∴ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 90°

ప్రశ్న (b)
45°
సాధన.
సోపానాలు :
→ ఇచ్చిన \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) కిరణంతో 90° గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{BAD}\) = 45° అగునట్లు ఈ కోణమును సమద్విఖండన చేయుము.

[లేదా]

[∆AXZ ఒక సమబాహు త్రిభుజము మరియు
\(\angle \mathrm{YAZ}\) = 15°
∴ \(\angle \mathrm{XAY}\) = 45°]

సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 60° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) ను \(\angle \mathrm{BAD}\) = \(\angle \mathrm{DAC}\) = 30° లగా సమద్విఖండన చేయుము.
→ \(\angle \mathrm{DAC}\) ను \(\angle \mathrm{DAE}\) = \(\angle \mathrm{EAC}\) = 15° అగునట్లుగా సమద్విఖండన చేయుము.
∴ \(\angle \mathrm{BAE}\) = 45°

2. కింది కోణాలను కొలబద్ద, వృత్తలేఖిని సహాయంతో నిర్మించి, కోణమానినితో కొలిచి సరిచూడండి.

ప్రశ్న (a)
30°
సాధన.

సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{ABY}\) = 60° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{ABC}\) = \(\angle \mathrm{CBY}\) = 30° అగునట్లు
\(\angle \mathrm{ABY}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న (b)
22\(\frac {1}{2}\)°
సాధన.

సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{ABD}\) = 90° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{ABC}\) = \(\angle \mathrm{CBD}\) = 45° అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{ABD}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{ABE}\) = \(\angle \mathrm{EBC}\) = 22\(\frac {1}{2}\)°, అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{ABC}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న (c)
15°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{BAE}\) = 60° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = \(\angle \mathrm{CAE}\) = 30° అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{BAE}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{BAF}\) = \(\angle \mathrm{FAC}\) = 15° అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{BAC}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న (d)
75°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{BAC}\) = 60° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{CAD}\) = 60° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{BAE}\) = 90° అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{CAD}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{BAF}\) = 75° అగునట్లుగా \(\angle \mathrm{CAE}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న (e)
105°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ \(\angle \mathrm{ABC}\) = 90° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{CBE}\) = 30° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{ABD}\) = 105° ఏర్పడునట్లుగా \(\angle \mathrm{CBE}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న (f)
135°
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు:
→ \(\angle \mathrm{ABC}\) = 120° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{CBD}\) = 30° లను నిర్మించుము.
→ \(\angle \mathrm{ABE}\) = 135° ఏర్పడునట్లుగా \(\angle \mathrm{CBD}\) కు సమద్విఖండన రేఖను గీయుము.

ప్రశ్న 3.
దత్త భుజం 4.5 సెం.మీ. తీసుకొని ఒక సమబాహు త్రిభుజం నిర్మించి, నిర్మాణాన్ని నిరూపించండి.
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ AB = 4.5 సెం.మీ.లతో రేఖాఖండంను గీయుము.
→ 4.5 సెం.మీ.ల వ్యాసార్థంతో A మరియు B.లు కేంద్రంగా చాపములను గీయుము. అవి C వద్ద ఖండించుకొనును.
→ A, C లను మరియు B, C లను కలుపుము.
→ మనకు కావలసిన ∆ABC ఏర్పడినది.

నిరూపణ :
∆ABC లో AB = AC ⇒ \(\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{B}\)
అదే విధంగా AB = BC ⇒ \(\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}\)
∴ \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}\)
కాని \(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}\) = 180°
∴ \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}\) = \(\frac {180°}{3}\) = 60°

ప్రశ్న 4.
దత్తభుజంను భూమిగా తీసుకొని, దత్తకోణం తెలిస్తే సమద్విబాహు త్రిభుజం నిర్మించి, నిర్మాణాన్ని నిరూపించండి. [సూచన : నిర్మాణాలకు మీకు నచ్చిన భుజం కొలత, కోణం కొలత తీసుకోవచ్చు)
సాధన.

నిర్మాణ సోపానాలు :
→ ఏదైనా ఇచ్చిన కొలతతో AB రేఖాఖండమును గీయుము.
→ \(\angle \mathrm{BAX}\) మరియు \(\angle \mathrm{ABY}\)ల వద్ద \(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}\) అగునట్లుగా A మరియు B లను గీయుము.
→ \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{BY}}\) లను పొడిగించగా అవి C వద్ద ఖండించుకొనును.
→ ∆ABC కావలసిన త్రిభుజము.

నిరూపణ:
→ AB కు లంబంగా C నుండి ఒక లంబము CM ను గీయుము.
∆AMC మరియు ∆BMC లలో
\(\angle \mathrm{AMC}=\angle \mathrm{BMC}\) (∵ లంబకోణము)
\(\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}\) (∵నిర్మాణము)
CM = CM (ఉమ్మడి భుజము)
∴ ∆AMC ≅ ∆BMC
⇒ AC = BC [CPCT]

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 సంభావ్యత InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 14th Lesson సంభావ్యత InText Questions

ఇవి చేయండి

1. ముందు పేజీ (పేజీ నెం. 293) లో ఇచ్చిన పట్టిక లోని ప్రతి పదానికి మరికొన్ని ఉదాహరణలు రాయండి. (పేజీ నెం. 294]
సాధన.
నిశ్చితం : ఆగస్టు 15న స్వాతంత్ర్య దినోత్సవం జరుపుకుంటాం.
అధిక సంభవం : ఒక పాచికను దొర్లించిన, ‘5’కు సమమైన లేక ‘5’ కంటే తక్కువ సంఖ్యను పొందుట.
సమ సంభవం : ఒక నాణేన్ని ఎగురవేసిన బొమ్మను పొందు అవకాశము.
అల్ప సంభవం : ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు ప్రధాన సంఖ్య లేక ప్రధానేతర సంఖ్యను పొందుట.
అసంభవం : ఒక పాచికను దొర్లించినపుడు ఋణ సంఖ్యను పొందును.

2. కింది వాక్యాలను అల్పసంభవం, సమసంభవం, అధిక సంభవాలుగా వర్గీకరించండి. (పేజీ నెం. 294)

(a) ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు దాని ముఖంపై 5 వస్తుంది.
(b) నవంబర్ మాసంలో మీ ఊరిలో చల్లని గాలులు వీస్తాయి.
(c) భారత్ వచ్చే ఫుట్ బాల్ వరల్డ్ కప్ ని గెల్చుకోవడం.
(d) నాణేన్ని ఎగురవేసినప్పుడు బొమ్మ లేదా బొరుసు రావడం.
(e) నీవుకొన్న లాటరీ టికెట్టుకు బంపర్ బహుమతి రావడం.
సాధన.
(a) ఆల్ప సంభవం
(b) అధిక సంభవం
(c) అల్ప సంభవం
(d) సమ సంభవం
(e) అధిక సంభవం

3. ఒక నాణేన్ని తీసుకొని కింది పట్టికలో చూపిన విధంగా 10, 20, ….. సార్లు ఎగురవేయండి. ఫలితాలను – పట్టికలో రాయండి.

నాణేన్ని ఇంకా ఎక్కువసార్లు ఎగురవేసినప్పుడు ఏమి జరుగుతుందో ఊహించండి, (పేజీ నెం. 296)
సాధన.
స్వయంగా విద్యార్థులచే ఉపాధ్యాయులు చేయించండి.

4. మూడు నాణేలు (ఒకే విధమైనవి) ఒకేసారి ఎగుర వేసినప్పుడు ఏర్పడే పర్యవసానాలు తెలపండి. (పేజీ నెం. 299)

ప్రశ్న (a)
మొత్తం పర్యవసానాలు
సాధన.
మొత్తం పర్యవసానాలు : HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT.

ప్రశ్న (b)
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య
సాధన.
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 8

ప్రశ్న (c)
కనీసం ఒక బొమ్మ వచ్చే సంభావ్యత (ఒకటి లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ బొమ్మలు)
సాధన.
కనీసం ఒక బొమ్మ వచ్చే సంభావ్యత
P = ఒక బొమ్మ వచ్చే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య = \(\frac {7}{8}\)

ప్రశ్న (d)
గరిష్ఠంగా రెండు బొమ్మలు పదే సంభావ్యత (రెండు లేదా అంతకన్నా తక్కువ బొమ్మలు)
సాధన.
గరిష్ఠంగా రెండు బొమ్మలు పడే సంభావ్యత
P = రెండు బొమ్మలు వచ్చే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య = \(\frac {7}{8}\)

ప్రశ్న (e)
బొమ్మ, బొరుసు లేని పర్యవసానాల సంభావ్యత
సాధన.
ఏదీ లేని పర్యవసానాల సంఖ్య
P = అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య = \(\frac {1}{8}\)

ప్రయత్నించండి

1. ఒక స్కూటరుని స్టార్ట్ చేయాలనుకొన్నప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు ఏవి? (పేజీ నెం. 295)
సాధన.
స్టార్ట్ అవ్వడం, స్టార్ట్ కాకపోవడం.

2. పాచికను దొర్లించినప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానములు ఏవి ? (పేజీ నెం. 295)
సాధన.
పాచికను దొర్లించినపుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానములు 1, 2, 3, 4, 5 మరియు 6.

3. పటంలో చూపిన చక్రాన్ని ఒకసారి తిప్పినప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు ఏవి ? (సూచిక ఎక్కడైతే ఆగుతుందో దానిని పర్యవసానంగా తీసుకొంటాము) (పేజీ నెం. 295)

సాధన.
సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు : A, B మరియు C

4. ఒక జాడీలో 5 ఒకేరకమైన బంతులు గలవు. ఇవి తెలుపు, ఎరుపు, నీలం, బూడిద మరియు పసుపు రంగులలో కలవు. జాడీ వైపు చూడకుండా ఒక బంతిని తీయునప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు ఏవి ? (పేజీ నెం. 295)

సాధన.
జాడీ వైపు చూడకుండా ఒక బంతిని తీయునప్పుడు సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు 5. అవి : తెలుపు, ఎరుపు, నీలం, బూడిద మరియు పసుపు రంగుల బంతులు.

5. పాచికను ఒకసారి దొర్లించినప్పుడు ఏర్పడే కింది ఘటనల సంభావ్యతలను పట్టికలో రాయండి. (పేజీ నెం. 300)
సాధన.

6. కింద ఇచ్చిన వృత్తాకార పటం నుండి (పేజీ నెం. 306)

ప్రశ్న 1.
కంకణ ప్రాంతం B లో బల్లెం తగిలే సంభావ్యత
సాధన.
కంకణ ప్రాంతం ‘C’ యొక్క వైశాల్యం = πr²
= π × 1² = π చ.యూ.
కంకణ ప్రాంతం ‘B’ యొక్క వైశాల్యం = π (2² – 1²) = π (4 – 1) = 3π చ.యూ.
కంకణ ప్రాంతం ‘A’ యొక్క వైశాల్యం = π (3² – 2²) = π(9 – 4) = 5π చ.యూ.
కంకణ ప్రాంతం ‘B’ లో బల్లెం తగిలే సంభావ్యత
= \(\frac {అనుకూల ప్రాంతపు వైశాల్యం}{మొత్తం వైశాల్యం}\)
= \(\frac{3 \pi}{\pi+3 \pi+5 \pi}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)

ప్రశ్న 2.
కంకణ ప్రాంతం ‘C’ లో బల్లెం తగిలే సంభావ్యతను గణన చేయకుండానే శాతంలో తెల్పండి.
సాధన.
\(\frac {1}{9}\) × 100% = 11\(\frac {1}{9}\)%

ఆలోచించి, చర్చించి రాయండి

ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు (పేజీ నెం. 295)

1. మొదటి ఆటగాడికి, పాచిక పైముఖం (Topface) పై 6 పడే అవకాశం ఎక్కువ.
సాధన.
చెప్పలేము. ‘6’ పడు అవకాశం ఆటగాడు పాచికను త్రిప్పుటపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

2. ఆ తర్వాత ఆటగాడికి పాచిక పైముఖం (Topface) పై 6 పడే అవకాశం తక్కువ.
సాధన.
చెప్పలేము.

3. ఒకవేళ రెండో ఆటగాడికి పాచిక పైముఖం (Topface) పై 6 పడినట్లయితే, ఆ తర్వాత పాచిక దొర్లించే మూడో ఆటగాదికి పై ముఖంపై 6 పడే అవకాశం అసలు లేదు.
సాధన.
చెప్పలేము. ఎందుకనగా అది రెండవ ఆటగాడి ఫలితముపై ఆధారపడును.

ఉదాహరణలు

1. రెండు నాణాలను (ఒకే విధంగా ఉండే) ఒకేసారి పైకి ఎగురవేసిన (a) సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు (b) సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య (c) రెండూ బొమ్మలు వచ్చే సంభావ్యత (d) కనిష్ఠంగా ఒక బొమ్మ వచ్చే సంభావ్యత (e) బొమ్మ పడని సంభావ్యత మరియు (f) ఒకే ఒక బొమ్మపడే సంభావ్యతలను కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 298)
సాధన.
(a) సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు
1వ నాణెం.
బొమ్మ
బొమ్మ
బొరుసు
బొరుసు

2వ నాణెం
బొమ్మ
బొరుసు
బొమ్మ
బొరుసు
(b) మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య 4 .
(c) రెండూ బొమ్మ వచ్చే సంభావ్యత
= రెండు బొమ్మలు వచ్చే అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac {1}{4}\)
(d) కనీసం ఒక బొమ్మపడే సంభావ్యత = \(\frac {3}{4}\)
(కనీసం ఒక బొమ్మ అనగా ఒకటి లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ బొమ్మలు).
(e) బొమ్మలేని పర్యవసానాల సంభావ్యత = \(\frac {1}{4}\)
(f) ఒకే ఒక్క బొమ్మ ఉండే పర్యవసానాల సంభావ్యత = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

2. ఒక పాచికను దొర్లించినప్పుడు (a) దాని పై ముఖంపై వచ్చే ప్రతి అంకె యొక్క సంభావ్యతను పట్టికలో రాయండి. (b) అన్ని సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంభావ్యతల మొత్తం కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 299)
సాధన.
(a) పాచికను దొర్లించినప్పుడు సాధ్యమయ్యే మొత్తం ఆరు పర్యవసానాల్లో 4 అంకె ఒకసారి రావడానికి సాధ్యము కావు. సంభావ్యత 1/6.

(b) అన్ని పర్యవసానాల సంభావ్యతల మొత్తం
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6)
= \(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\) = 1

3. ఒక స్పిన్నర్ (గుండ్రంగా తిప్పేందుకు వీలైన చక్రం) 1000 సార్లు తిప్పడం జరిగింది. ప్రతిసారి తిప్పినప్పుడు పాచిక ఆగే ప్రదేశం యొక్క రంగు పట్టికలో రాసినప్పుడు, వాటి పౌనఃపున్యం కింది విధంగా ఉంది.

(a) స్పిన్నర్ నుండి సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు ఎన్ని ? అవి ఏవి ?
(b) ప్రతి రంగు పర్యవసానంగా వచ్చే సంభావ్యత కనుగొనండి.
(c) పట్టిక నుండి, ప్రతి రంగు యొక్క పౌనఃపున్యానికి, మొత్తం పౌనఃపున్యానికి నిష్పత్తిని కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 303)
సాధన.
(a) స్పిన్నర్ చూసినప్పుడు 5 సెక్టర్లు ఒకే వైశాల్యం గల ప్రదేశాలుగా ఉన్నాయి. ఇవన్నియూ 6 వేరు వేరు రంగులలో కలవు. అవి ఎరుపు, నారింజ, వంగపండు, పసుపు, ఆకుపచ్చ ఇవన్నియూ సమసంభవం కల్గిన పర్యవసానాలు, మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య 5.

(b) ప్రతి ఘటన యొక్క సంభావ్యత,
కావున P(ఎరుపు) = ఎరుపు వచ్చే పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సంఖ్య
= \(\frac {1}{5}\) = 0.2.
అదే విధంగా P(నారింజ), P (వంగపండు), P (పసుపు) మరియు P (ఆకుపచ్చ) మరియు \(\frac {1}{5}\) లేదా 0.2.

(c) పట్టిక నుండి 1000 సార్లు స్పిన్నర్ తిప్పినపుడు 185 సార్లు ఎరుపుకు అనుకూలంగా ఉంది.
కావున ఎరుపు నిష్పత్తి = ప్రయోగాలలో ఎరుపు రంగు పౌనఃపున్యం / మొత్తం స్పిన్నరు త్రిప్పిన సంఖ్య
= \(\frac {185}{1000}\) = 0.185.
ఈ విధంగా మిగిలిన రంగులకి కూడా ఈ విధమైన నిష్పత్తులను రాసిన నారింజ, వంగపండు, పసుపు, ఆకుపచ్చలకు వరుసగా 0,195, 0.210, 0.206 మరియు 0.204 వచ్చింది.
(b), (c) లను పరిశీలించిన (c) లో కనుగొన్న నిష్పత్తులన్నీ (b) లోని ఆయారంగుల సంభావ్యతలకు దగ్గరగా ఉన్నాయి. అంటే మనం కనుగొన్న సంభావ్యత, ప్రయోగం తర్వాత కనుగొన్న నిష్పత్తులకు దాదాపు సమానంగా ఉన్నాయి.

4. ఒక సినిమా థియేటర్ కి విచ్చేసిన ప్రేక్షకుల సంఖ్య వయసుల వారీగా ఇవ్వబడ్డాయి. బంపర్ బహుమతి గెలుచుకోవడానికి ప్రతి ప్రేక్షకుడికి టికెట్టుతోపాటు ఒక నెంబరు ఈయబడింది. నెంబర్లలో నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక నెంబరును తీసినప్పుడు, కింద నీయబడిన ఘటనలకు సంభావ్యత కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 304)

మొత్తం ప్రేక్షకుల సంఖ్య = 505.
సాధన.
(a) వయసు 10 గాని అంతకంటే తక్కువగాని ఉన్న ప్రేక్షకుడి సంభావ్యత
10 గాని అంతకంటే తక్కువ వయసు ఉన్న ప్రేక్షకులు = 24 + 35 + 5 + 3 = 67
మొత్తం ప్రేక్షకుల సంఖ్య = 505
P (ప్రేక్షకుని వయసు ≤ 10 సంవత్సరాలు)
= \(\frac {67}{505}\)

(b) వయసు 16 గాని అంతకంటే తక్కువగాని ఉన్న స్త్రీ ప్రేక్షకుల సంభావ్యత
వయస్సు 16 గాని అంతకంటే తక్కువగాని ఉన్న స్త్రీ ప్రేక్షకులు = 53 + 35 + 5 = 93
P (స్త్రీ ప్రేక్షకుల వయసు ≤ 16 సంవత్సరాలు)
= \(\frac {93}{505}\)

(c) వయసు 17 గాని అంతకంటే ఎక్కువగాని ఉన్న పురుష ప్రేక్షకుల సంభావ్యత
వయస్సు 17 గాని అంతకంటే ఎక్కువగాని ఉన్న పురుష ప్రేక్షకులు = 121 + 51 + 18 = 190
P(పురుష ప్రేక్షకుల వయసు ≥ 17 సంవత్సరాలు)
= \(\frac{190}{505}=\frac{38}{101}\)

(d) వయసు 40 సం||రాలు పైబడిన ప్రేక్షకుల సంభావ్యత
వయసు 40 సం||రాలు పైబడిన ప్రేక్షకుల సంభావ్యత = 51 + 43 + 18 + 13 = 125
P (ప్రేక్షకుల వయసు > 40 సంవత్సరాలు)
= \(\frac{125}{505}=\frac{25}{101}\)

(e) పురుషులు కాకుండా ఉన్న ప్రేక్షకుల సంభావ్యత పురుషులు కాకుండా ఉన్న ప్రేక్షకులు
= 5 + 35 + 53 + 97 + 43 + 13 = 246
P (పురుషుడు కాని ప్రేక్షకుల సంఖ్య) = \(\frac {246}{505}\)

5. మూడు ఏకకేంద్ర వృత్తాకారాలతో (వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 3 సెం.మీ, 2 సెం.మీ. మరియు 1 సెం.మీ.) తయారుచేయబడిన ఒక దార్డ్ బోర్డు A, B మరియు C అనే ప్రాంతాలుగా విభజింపబడింది (పటం చూడండి). మొనతేలిన ఒక బల్లెం (dart) ను బోర్డుపైకి విసిరిన అది ప్రాంతం A లో తగిలే సంభావ్యత ఎంత ? A అనేది (బయట కంకణాకార ప్రాంతం). (పేజీ నెం. 305)

సాధన.
A ప్రాంతంలో తగిలే ఘటన యొక్క సంభావ్యత.
మొత్తం వృత్తాకార ప్రాంత వైశాల్యం (వ్యాసార్ధం 3 సెం.మీ.తో) = π(3)²
కంకణ ప్రాంతం (A) వైశాల్యం = π(3)² – π(2)²
బల్లెం కంకణ ప్రాంతం (A) లో తగిలే సంభావ్యత P(A)
[వృత్త వైశాల్యం = πr²
కంకణ వైశాల్యం = πR² – πr²
అని గుర్తుకు తెచ్చుకోండి.]
P(A) = ప్రాంతం A వైశాల్యం / మొత్తం వృత్తాకార వైశాల్యం
= \(\frac{\pi(3)^{2}-\pi(2)^{2}}{\pi(3)^{2}}=\frac{9 \pi-4 \pi}{9 \pi}\)
\(\frac {5}{9}\) = 0.556 %

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 14 సంభావ్యత Ex 14.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 14th Lesson సంభావ్యత Exercise 14.1

1. 1-6 అంకెలు ముఖాలుగా గల ఒక పాదికను దొర్లించి, పై ముఖంపై వచ్చిన అంకెను గుర్తించారు. ఇది ఒక యాదృచిక ప్రయోగంగా భావించిన.

ప్రశ్న (a)
సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు ఏవి ?
సాధన.
సాధ్యమగు పర్యవసానాలు 1, 2, 3, 4,5 మరియు 6

ప్రశ్న (b)
అవి సమసంభవ పర్యవసానాలా ? ఎందుకు ?
సాధన.
అవును, అవి సమ సంభవ పర్యవసానాలు. ఎందుకనగా ప్రతి ఒక్క పర్యవసానము ఏర్పడుటకు సమాన అవకాశం కలదు (లేక) ఏర్పడకపోవుటకు కూడా సమాన అవకాశం కలదు.

ప్రశ్న (c)
పాచిక పై ముఖంపై సంయుక్త సంఖ్య వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?
సాధన.
పర్యవసానాలు = 4, 6
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 2
మొత్తం సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాలు = 1, 2, 3, 4, 5 మరియు 6
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 6
సంభావ్యత = \(\frac {సాధ్యపడు పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\)
= \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

2. ఒక నాణేన్ని 100 సార్లు ఎగురవేసినప్పుడు పర్యవసానాలు కింది విధంగా ఉన్నాయి.
బొమ్మ : 45 సార్లు
బొరుసు : 55 సార్లు అయిన
బొమ్మ = 45 సార్లు
బొరుసు = 56 సార్లు
మొత్తము = 100 సార్లు

ప్రశ్న (a)
ప్రతి పర్యవసానం యొక్క సంభాష్యత కనుక్కోండి.
సాధన.
బొమ్మ పడు సంభావ్యత = P(H) = \(\frac {45}{100}\)
బొరుసు పడే సంభావ్యత = P(T) = \(\frac {55}{100}\)
[∵ సంభావ్యత = \(\frac {సాధ్యపడు పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\)]

ప్రశ్న (b)
ప్రయోగంలో అన్ని పర్యవసానాల సంభావ్యతల మొత్తం కనుక్కోంది.
సాధన.
ప్రయోగంలో అన్ని పర్యవసానాల సంభావ్యతల మొత్తము = P(H) + P(T)
= \(\frac{45}{100}+\frac{55}{100}=\frac{100}{100}\) = 1

3. నాలుగు రంగులు గల ఒక స్పిన్నర్ ను (పటం చూడండి) మన ఒకసారి తిప్పినప్పుడు

ప్రశ్న (a)
సూచిక ఆగుటకు అధిక అవకాశం గల రంగు ఏది ?
సాధన.
ఎరుపు = 5 సెక్టార్లు
నీలం = 3 సెక్టార్లు
ఆకుపచ్చ = 3 సెక్టార్లు
పసుపు = 1 సెక్టారు
మొత్తము = 5 + 3 + 3 + 1 = 12 సెక్టార్లు
∴ సూచిక ఆగుటకు అధిక అవకాశము గల రంగు ఎరుపు.

ప్రశ్న (b)
సూచిక ఆగుటకు తక్కువ అవకాశం గల రంగు ఏది?
సాధన.
సూచిక ఆగుటకు తక్కువ అవకాశము గల రంగు పసుపు,

ప్రశ్న (c)
సూచిక ఆగుటకు సమాన అవకాశం గల రంగు ఏది?
సాధన.
సూచిక ఆగుటకు సమాన అవకాశము గల రంగులు నీలము మరియు ఆకుపచ్చ. కారణము రెండు రంగులు సమాన సెక్టార్లను కలిగి ఉన్నాయి.

ప్రశ్న (d)
తెలుపు రంగుపై సూచిక ఆగుటకు అవకాశం ఎంత?
సాధన.
తెలుపు రంగుకు సెక్టారు లేదు కావున సూచిక ఆగు అవకాశం లేదు.

ప్రశ్న (e)
సూచిక ఏదైనా రంగుపై కచ్చితంగా ఆగుతుందని చెప్పగలవా ?
సాధన.
చెప్పలేము, ఎందుకనగా ఇది ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగము.

4. ఒక సంచిలో ఒక సైజుగల 5 ఆకుపచ్చ రంగు గోళీలు, 3 నీలం రంగు గోళీలు, 2 ఎరుపు రంగు గోళీలు మరియు 2 పసుపు రంగు గోళీలు కలవు. వీటి నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఒక గోళీని తీసిన

ప్రశ్న (a)
అన్ని రంగుల పర్యవసానాలు సమ సంభవమా ? వివరించండి.
సాధన.
ఇది సమ సంభవము కాదు. ఎందుకనగా అన్ని రకాల గోళీలు సమాన సంఖ్యలో లేవు.

ప్రశ్న (b)
కింది రంగుల గోళీలు వచ్చు సంభాష్యత కనుక్కోండి. i.e., P(ఆకుపచ్చ), P(నీలం), P (ఎరుపు) మరియు P (పసుపు)
సాధన.
ఆకుపచ్చ గోళీలు = 5
నీలం గోళీలు = 3
ఎరుపు గోళీలు = 2
పసుపు గోళీలు = 2
మొత్తము = 12
సంభావ్యత = \(\frac {అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\)
P(ఆకుపచ్చ) = \(\frac {5}{12}\)
P(నీలం) = \(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)
P(ఎరుపు) = \(\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\)
P(పసుపు) = \(\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\)

ప్రశ్న (c)
అన్ని పర్యవసానాల సంభావ్యతల మొత్తం ఎంత ?
సాధన.
P(ఆకుపచ్చ) + P(నీలం) + P(ఎరుపు). + P(పసుపు)
= \(\frac{5}{12}+\frac{3}{12}+\frac{2}{12}+\frac{2}{12}\)
= \(\frac{5+3+2+2}{12}=\frac{12}{12}\) = 1

5. ఆంగ్ల భాషలోని అక్షరాలలో ఒక అక్షరాన్ని యాదృశ్చికంగా ఎన్నుకొనిన, ఆ అక్షరం కింద ఇవ్వబడిన ఘటన అయ్యే సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
మొత్తం అక్షరాలు = 26 [A, B, C …… Z]
సంభావ్యత = \(\frac {అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\)

ప్రశ్న (a)
ఒక అచ్చు
సాధన.
అచ్చుల సంభావ్యత = \(\frac {5}{26}\)

ప్రశ్న (b)
P అనే అక్షరం తరువాత వచ్చు అక్షరాలు
సాధన.
P తర్వాత వచ్చు అక్షరాలు = 10
[Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z]
‘P’ తర్వాత వచ్చు అక్షరాల సంభావ్యత = \(\frac{10}{26}=\frac{5}{13}\)

ప్రశ్న (c)
అచ్చు లేదా హల్లు
సాధన.
అచ్చు లేదా హల్లుల సంఖ్య = 26
[A నుండి 2 వరకు అన్ని అక్షరాలు)
అచ్చు లేదా హల్లుల సంభావ్యత = \(\frac {26}{26}\) = 1

ప్రశ్న (d)
అచ్చుకానిది
సాధన.
అచ్చుకానిది = 21
(A, E, I, 0, Uలు తప్ప మిగిలిన అక్షరాలు)
అచ్చుకాని వాటి సంభావ్యత = 2

ప్రశ్న 6.
సంచిపై 5 కిలోలు అని రాయబడిన గోధుమపిండి గల సంచుల అసలు బరువులు కిందినివ్వబడ్డాయి (కి.గ్రా.లలో)
4.97, 5.05, 5.08, 5.03, 5.00, 5.06, 5.08, 4.98, 5.04, 5.07, 5.00
వీటిల్లో యాదృశ్చికంగా ఒక సంచిని తీసినప్పుడు అది 5 కిలోల కంటే ఎక్కువ బరువు ఉండే సంభావ్యత కనుగొనుము.
సాధన.
బస్తాల సగటు = 11
5 కిలోల కంటే ఎక్కువ బరువు గల సంచుల సంఖ్య = 7
[5.05, 5.08, 5.03, 5.06, 5.08, 5.04, 5.07]
∴ సంభావ్యత = \(\frac {అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\)
P(E) = \(\frac {7}{11}\)

7. ఒక పట్టణంలో బీమా సంస్థ 2000 మంది డ్రైవర్లను యాదృచ్చికంగా (ఏ డ్రైవర్‌కు కూడా ప్రత్యేక ప్రాముఖ్యత ఇవ్వకుండా) ఎంపిక చేసింది. వీరి వయసుకు, వీరు చేసిన ప్రమాదాలకు మధ్య ఏదైన సంబంధం అధ్యయనం చేయడం కోసం, కొంత సమాచారం సేకరించింది. ఆ సమాచారం కింది పట్టికలో రాయబడింది.

ఒక డ్రైవరును యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేసిన

ప్రశ్న (i)
డ్రైవరు 18 – 29 మధ్య వయసు కలిగి ఉండి మూడు ప్రమాదాలు చేసిన సంభావ్యత ఎంత ?
సాధన.
మొత్తం ప్రమాదాల సంఖ్య = 440 + 160 + 110+ 61 + 35 + 505 + 125 + 60 + 22 + 18 + 360 + 45 + 35 + 15 + 9 = 2000
ఘటన : డ్రైవరు (18 – 29) మధ్య వయస్సు కలిగి ఉండి మూడు ప్రమాదాల సంఖ్య = 61
∴ సంభావ్యత P(E) = \(\frac {అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య}{మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య}\) = \(\frac {61}{2000}\)

ప్రశ్న (ii)
డ్రైవరు 30-50 మధ్య వయసు కలిగి ఉండి 1 గాని అంతకన్నా ఎక్కువగాని ప్రమాదాలు చేసిన సంభావ్యత
సాధన.
అనుకూల ఫలితాలు = 125 + 60 + 22 + 18 = 225
మొత్తం ప్రమాదాల సంఖ్య = 2000
∴ సంభావ్యత P(E) = \(\frac{1305}{2000}=\frac{261}{400}\)

ప్రశ్న (iii)
డ్రైవరు ప్రమాదాలు చేయని సంభావ్యత
సాధన.
అనుకూల ఫలితాలు = 440 + 505 + 360 = 1305
మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 2000
∴ సంభావ్యత P(E) = \(\frac{1305}{2000}=\frac{261}{400}\)

ప్రశ్న 8.
యాదృచ్ఛికంగా ఒక మొనతేలిన ఐల్లెం (డార్ట్)ను పటంలో చూపిన చతురస్రాకార బోర్డువైపు విసరగా అది షేడి చేసి ప్రాంతంలో తగిలే సంభావ్యత ఎంత ? (x విలువ \(\frac {22}{7}\) తీసుకొని, జవాబును శాతంలో తెల్పండి.)
సాధన.

వృత్త వ్యాసార్ధం = r = 2 సెం.మీ.
వృత్త వైశాల్యం = A = πr² = \(\frac {22}{7}\) × 2 × 2 = \(\frac {88}{7}\) సెం.మీ².
చతురస్ర భుజము = 2 × వ్యాసార్థం
= 2 × 2 = 4 సెం.మీ.
చతురస్ర వైశాల్యం = s²
= 4 × 4 = 16 సెం.మీ².
∴ షేక్ చేసిన ప్రాంత వైశాల్యం = చతురస్ర వైశాల్యం – వృత్త వైశాల్యం
= 16 – \(\frac{88}{7}=\frac{112-88}{7}=\frac{24}{7}\)
∴ షేడ్ చేసిన ప్రాంతంలో తగిలే సంభావ్యత = \(\frac {అనుకూల ప్రాంతపు వైశాల్యం}{ మొత్తం వైశాల్యం}\)
P(E) = \(\frac{\frac{24}{7}}{16}=\frac{24}{7 \times 16}=\frac{3}{14}\)
∴ సంభావ్యత శాతములో = \(\frac {3}{14}\) × 100% = \(\frac {300%}{14}\) = 21.428%

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 గణితములో నిరూపణలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు InText Questions

ఇవి చేయండి.

1. ఏవైనా 5 వాక్యములు రాసి అవి సత్యమో/అసత్యమో నిర్ణయించి, కారణాలు తెల్పంది. (పేజీ నెం. 311)
సాధన.
(i) 9 ప్రధాన సంఖ్య – అసత్యము
ఇది ఒక ప్రవచనము ఎందుకనగా దీని సత్య విలువను మనము చెప్పగలము. ఇది అసత్యము. ‘9’ కి (1 మరియు 9) కాక ఇంకనూ కొన్ని కారణాంకాలు గలవు.
(ii) x విలువ 5 కన్నా తక్కువ – సత్యమో లేక అసత్యమో చెప్పలేము.
ఇది ప్రవచనము కాదు ఎందుకనగా ఇది సత్యమో లేక అసత్యమో చెప్పలేము. కావున ఇది ఒక వాక్యము మాత్రమే.
(iii) 3 + 5 = 8 – సత్యము
పై వాక్యము సత్యము కావున ఇది ఒక ప్రవచనము.
(iv) రెండు బేసి సంఖ్యల మొత్తము సరిసంఖ్య – సత్యము. పై వాక్యము సత్యమని సరి చూచుటకు 3 + 5 = 8 లేక, 5 + 7 = 12 వంటి విలువలను తీసుకుంటారు. కావున ఈ వాక్యము ఒక ప్రవచనము.
(v) \(\frac {x}{2}\) + 3 = 9 – ఇది సత్యమో లేక అసత్యమో చెప్పలేము.
పై వాక్యము ప్రవచనము కాదు. ఎందుకనగా x విలువ లేకుండా సత్య విలువను నిర్ధారించలేము.

ప్రయత్నించండి

1. 1. 3 ఒక ప్రధాన సంఖ్య
2. రెందు బేసి సంఖ్యల లబ్ధము ఒక సరిసంఖ్య.
3. x ఏదైనా ఒక వాస్తవ సంఖ్య అయితే 4x + x = 5x
4. భూమికి కల ఒకే ఒక ఉపగ్రహము చంద్రుడు.
5. రాము ఒక మంచి డ్రైవరు.
6. “లీలావతి” అను గ్రంథమును భాస్కరుడు రచించెను.
7. అన్ని సరి సంఖ్యలు సంయుక్త సంఖ్యలు.
8. రాంబస్ ఒక చతురస్రము.
9. x > 7.
10. 4 మరియు 5 పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు.
11. సిల్వర్ ఫిష్ అను చేప సిల్వర్ తో చేయబడింది.
12. భూమిని పరిపాలించుటకు మనుష్యులు కలరు.
13. x ఏదైనా ఒక వాస్తవ సంఖ్య అయిన 2x > x.
14. క్యూబా రాజధాని హవానా.
పై వాక్యములలో ప్రత్యుదాహరణల ద్వారా, అసత్యమని నిర్ణయించగల ప్రవచనములు ఏవి ? (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
ప్రవచనాలు – 2, 7, 8, 13 లను ఒక ప్రత్యుదాహరణ ద్వారా నిర్ణయించవచ్చును.
2. రెండు బేసి పూర్ణ సంఖ్యల లబ్దము సరిసంఖ్య.
ప్రత్యుదాహరణ : 3 మరియు 5 లు చేసి పూర్ణ సంఖ్యలు. కావున వాటి లబ్ధము 3 × 5 = 15 సరిసంఖ్య కాదు.
7. అన్ని సరిసంఖ్యలు సంయుక్త సంఖ్యలు.
ప్రత్యుదాహరణ : ‘2’ సరి ప్రధాన సంఖ్య.
8. ఒక రాంబస్, చతురస్రము.

ప్రత్యుదాహరణ : 40°, 140°, 40°, 140°లు కావున ఇది ఒక రాంబస్.
13. 2x > x, x ఏదేని సంఖ్య అయిన
ప్రత్యుదాహరణ : x = – 3 అయిన 2x = 2 (-3) = – 6
ఇక్కడ – 6 < – 3 అగును.

2. పైథాగరస్ యొక్క ప్రజాదరణ దృష్యా వారి అనుయూయుదొకడు లంబకోణ త్రిభుజ భుజాల మధ్య మరొక సంబంధం కలదని భావించాడు. (పేజీ నెం. 319)

సాధన.
ఈ భావన పై త్రిభుజాలకు సత్యము.
(i) 3² = 5 + 4
9 = 5 + 4
(ii) 5² = 25 = 12 + 13
25 = 12 + 13
(iii) 7² = 49 = 24 + 25
49 = 24 + 25
కాని ఈ నియమం చిన్న సంఖ్య భుజంకు వర్తించదు.
ఉదా :

సిద్ధాంతములు :

1. త్రిభుజములోని మూడు కోణముల మొత్తం 180°. (పేజీ నెం. 318)

2. రెండు బేసి సంఖ్యల లబ్ధం, బేసిసంఖ్య. (పేజీ నెం. 318)

3. రెండు వరుస సరి సహజ సంఖ్యల లబ్ధం, 4 చే భాగింపబడుతుంది. (పేజీ నెం. 318)

4. ఒక త్రిభుజములోని మూడు అంతర కోణముల మొత్తం 180°. (పేజీ నెం. 324)
సాధన.
నిరూపణ : ABC ఒక త్రిభుజము.
\(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{CAB}\) = 180° అని నిరూపించవలెను

BA కు సమాంతరంగా C నుండి CE అను రేఖను గీయుము.
BC ను D వరకు పొడిగించండి.
CE | | BA మరియు AC ఒక తిర్యగ్రేఖ.
కావున \(\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{ACE}\) (ఏకాంతర కోణాలు) ……………….(1)
అదే విధంగా \(\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{DCE}\) (సదృశ కోణాలు) ………….. (2)

నీవు ఈ సిద్ధాంతము 4వ అధ్యాయములో నేర్చుకొన్నదే. మనము సిద్ధాంతాల నిరూపణకు తరచుగా వాటి పటాలను గీయుట చాలా ముఖ్యము. అయినప్పటికి నిరూపణ అనునది తార్కికంగా ఉండవలెను. సామాన్యంగా ఆ రెండు రేఖలు లంబంగా ఖండించుకొనునట్లు కన్పించుచున్నది కావున ఆ రెండు కోణాల కొలతలు 90° అంటాం. ఇలాంటి తర్కములో మోసపోవచ్చు. కాబట్టి తగు జాగ్రత్త అవసరము.

పై నిరూపణలోని ప్రతి వివరణ వెనుక కల కారణాలు పరిశీలిద్దాము.
సోపానము 1: పై సిద్ధాంతం త్రిభుజ ధర్మాలపై ఆధారపడి ఉన్నది. కావున త్రిభుజం ABCతో ప్రారంభిద్దాం.

సోపానము 2 : సిద్ధాంతంలో BA కు సమాంతరంగా CE గీసి, BCను D వరకు పొడిగించితిమి. నిరూపణకు ఇది చాలా ముఖ్యమైన సోపానము.

సోపానము 3 : మనకు తెలిసిన పూర్వ సిద్ధాంతాల ఆధారంగా ఏకాంతర కోణాలు సదృశకోణాల ధర్మాల ఆధారంగా \(\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{ACE}\) మరియు \(\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{DCE}\) అని చెప్పగలము.

సోపానము 4 : “ఒక సమీకరణమునకు రెండువైపులా సమాన అంశములు కలిపిన ఆ సమీకరణములో మార్పు ఉండదు” అను యూక్లిడ్ సామాన్య భావన ఆధారంగా \(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{DCE}+\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{ACE}\) అని రాసితిమి.
దీని మండి త్రిభుజము మూడు కోణాల మొత్తం రేఖీయ కోణముల మొత్తమునకు సమానమని చెప్పబడినది.

సోపానము 5 : “ఒక వస్తువుతో రెండు వస్తువులు సమానమైన, ఆ రెండు వస్తువులు సమానము” అను యూక్లిడ్ సామాన్యభావన ద్వారా మనము \(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{DCE}+\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{ACE}\) = 180° అని చెప్పగలము. 2 మరియు 3 లో గల సిద్ధాంతాలను (విశ్లేషణ చేయకయే) నిరూపిద్దాం.

5. రెండు బేసి సంఖ్యల లబ్ధము బేసి సంఖ్య. (పేజీ నెం. 325)
సాధన.
నిరూపణ : x మరియు y రెండు బేసిసంఖ్యలు అనుకొనుము.
మనము xy ఒక బేసిసంఖ్య అని చూపాలి.
x, yలు బేసిసంఖ్యలు అయిన
x = (2m – 1), y = 2n – 1 (m, n లు ఏదైనా రెండు సహజసంఖ్యలు) గా రాయవచ్చు. అప్పుడు,
xy = (2m – 1) (2n – 1)
= 4mm – 2m – 2n + 1
= 4mm – 2m – 2n + 2 – 1
= 2(2m – m – n + 1) – 1
2mn – m – n + 1 – 1, lను ఏదేని సహజ సంఖ్యఅనుకొనిన
= 2l – 1, l ∈ N
ఇది కచ్చితంగా బేసి సంఖ్యయే.

6. రెండు వరుస సరిసంఖ్యల లబ్ధము 4చే భాగింపబడును. (పేజీ నెం. 326)
సాధన.
రెండు వరుస సరిసంఖ్యలు 2m, 2m + 2 (n ఏదైనా ఒక సహజసంఖ్య), వాటి లబ్దము 2m (2m + 2). 4ను భాగింపబడును అని నిరూపించాలి. (నిరూపణకు మీరు సొంతంగా ప్రయత్నించండి.)

ఉదాహరణలు :

1. ప్రధాన సంఖ్యల నిర్వచనము నుండి 3 ఒక ప్రధాన సంఖ్య అని చెప్పగలము. కావున ఇది ఒక ప్రవచనము. మిగిగిన వాక్యములలో ప్రవచనములలో గణిత పరంగా నిరూపించగలిగేవి ఏవి? (పేజీ నెం. 312)

2. రెండు బేసి సంఖ్యల లబ్దము ఒక సరిసంఖ్య. ఏవైన రెందు బేసి సంఖ్యలు 8, 5 తీసుకొనుము. వాటి లబ్దము 3 × 5 = 15 ఇది సరిసంఖ్యకాదు. (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
ఈ ప్రవచన సత్య విలువ అసత్యము. కనుక ఒక ప్రత్యుదాహరణ ద్వారా మనము ఈ ప్రవచన సత్య విలువ నిర్ణయించగలము. ఒక ఉదాహరణ ద్వారా ఒక ప్రవచనం అసత్యము అని చెప్పవచ్చు. ఇటువంటి ఉదాహరణను ప్రత్యుదాహరణ అంటారు.

3. క్రింది వాక్యములను పరిశీలించండి. “భూమిని పరిపాలించుటకు మనుష్యులు కలరు”, “రాము ఒక మంచి డ్రైవర్”. (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
ఈ వాక్యములు సందిగ్గదతో కూడి ఉన్న వాక్యములు. భూమిని పాలించుట అనునది కచ్చితముగా ఏ ప్రాంతము అనేది చెప్పబడలేదు. అదే విధముగా రెండవ వాక్యములో ఎటువంటి నైపుణ్యము మంచిదో అనేది స్పష్టంగా చెప్పబడలేదు. గణిత ప్రవచనములు కొన్ని పదాల కలయికతో, అందరికి స్పష్టంగా అర్థమగుతూ అది సత్యమో అసత్యమో నిర్ణయించగలిగేలా ఉండాలి.

4. భూమికి కల ఒకే ఒక ఉపగ్రహం చంద్రుడు. లీలావతి అను గ్రంథమును భాస్కరుడు రచించెను. ఈ వాక్యములు ప్రవచనములు అవునో కాదో ఎట్లు
నిర్ణయించగలవు? (పేజీ నెం. 312)
సాధన.
ఈ వాక్యములలో సందిగ్ధత లేదు, కాని కొంత నిరూపించవలసిన అవసరము కలదు. దీనిని నిర్ధారించుటకు పూర్వము నిరూపించబడిన అంశములపై సంబంధించిన అంశములు తెలిసి ఉండాలి, రెండవ వాక్యము కొరకు పుస్తక రచయితలు వాటికి సంబంధించిన అంశములు చారిత్రక గ్రంథములు తెలియవలెను.

5. కింది ప్రవచనములు షరతులకు లోబడి సరియగు సత్య ప్రవచనములు అగునట్లుగా తిరిగి రాయండి.

1. ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య x కు 3x > x.
2. ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య x కు x² ≥ x.
3. ఒక సంఖ్యను 2తో భాగించగా వచ్చిన సంఖ్య మొదటి సంఖ్యలో సగముండును.
4. ఒక వృత్తములో ఒక జ్యా వృత్తముపై ఏదైన ఒక బిందువు వద్ద ఏర్పరచు కోణము 90°.
5. ఒక చతుర్భుజంలో అన్ని భుజాలు సమానమైన అది ఒక చతురస్రము. (పేజీ నెం. 313)

సాధన.

1. x > 0 అయిన 3x >x.
2. x ≤ 0 లేదా x ≥ 1 అయిన x² ≥ x.
3. 0 తప్ప మిగిలిన సంఖ్యలను 2 తో భాగిస్తే వచ్చు సంఖ్య మొదటి సంఖ్యలో సగముండును.
4. ఒక వృత్తములో వృత్త వ్యాసము, వృత్తముపై ఏదైనా ఒక బిందువు వద్ద ఏర్పరచు కోణము 90°.
5. ఒక చతుర్భుజంలోని అన్ని భుజాలు, కోణాలు సమానమైన అది ఒక చతురస్రము.

6. కింది వరుసల చుక్కలు ఒక వరుస క్రమ సంఖ్యలను సూచిస్తుంది. (పేజీ నెం. 318)

(a) తరువాతి మూడు పదాలు కనుక్కోండి.
(b) 100వ పదము కనుక్కోండి.
(c) nవ పదము కనుక్కోండి.
ఇచ్చట కల సంఖ్యలు T₁ = 2, T₂ = 6, T₃ = 12, T₄ = 20 గా కలదు. T₅, T₆, T_n పదములను ఊహించగలరా ? T_n అను పదమును ఒక భావనగా తీసుకుందాం. పై విషయాన్ని తిరిగి ఇలా రాస్తే మనకు సాధనకు ఉపయోగపడవచ్చు.

సాధన.
కావున T₅ = T₄ + 10 = 20 + 10 = 30 = 5 × 6
T₆ = T₅ + 12 = 30 + 12 = 42
= 6 × 7………. T₇ ఊహించండి,
T₁₀₀ = 100 × 101 = 10, 100
T_n = n × (n + 1) = n² + n

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 గణితములో నిరూపణలు Ex 15.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు Exercise 15.4

1. కింది వాటిలో ఏవి ప్రవచనములు ? ఏవి ప్రవచనములు కావో ? కారణాలు తెల్పుతూ చెప్పండి.

ప్రశ్న (i)
ఆమె కళ్లు నీలంగా కలవు.
సాధన.
ఇది గణిత ప్రవచనము కాదు.

ప్రశ్న (ii)
x + 7 = 18
సాధన.
ఇది గణిత ప్రవచనము కాదు. దీని సత్య విలువను కనుగొనుట సాధ్యం కాదు.

ప్రశ్న (iii)
ఈ రోజు ఆదివారము కాదు.
సాధన.
ఇది ప్రవచనము కాదు. ఇది సంబద్ధతా ప్రవచనము.

ప్రశ్న (iv)
x యొక్క అన్ని విలువలకు, x + 0 = x
సాధన.
ఇది ఒక గణిత ప్రవచనము.

ప్రశ్న (v)
ఇప్పుడు సమయం ఎంత ?
సాధన.
ఇది గణిత ప్రవచనము కాదు.

2. కింది ప్రవచనములను ప్రత్యుదాహరణ ద్వారా అసత్యములని తెలపండి.

ప్రశ్న (i)
ప్రతి దీర్ఘచతురస్రము ఒక చతురస్రము.
సాధన.
దీర్ఘ చతురస్రము మరియు చతురస్రములు సమ కోణాలను కలిగి ఉంటాయి. అవి లంబ కోణాలు కాని భుజాలు సమానంగా ఉండవు.

ప్రశ్న (ii)
ఏవైనా వాస్తవ సంఖ్యలు x, y లకు
\(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) = x + y
సాధన.
x = 3; y = 8 అనుకొనుము.
\(\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{3^{2}+8^{2}}=\sqrt{9+64}=\sqrt{73}\)
x + y = 3 + 8 = 11
ఇక్కడ \(\sqrt{73}\) ≠ 11
∴ \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) ≠ x + y

ప్రశ్న (iii)
n ఒక పూర్ణసంఖ్య అయిన 2n2 + 11 ఒక ప్రధానాంకము.
సాధన.
n = 11 అయిన 2n2 + 11 = 2(11)2 + 11
= 11 (2 × 11 + 1) = 11 × (22 + 1)
= 11 × 23 ప్రధాన సంఖ్య కాదు.

ప్రశ్న (iv)
రెందు త్రిభుజములలో అనురూపకోణాలు సమానమైన, ఆ త్రిభుజములు సర్వసమానములు.
సాధన.

రెండు త్రిభుజాలలో అనురూప కోణాలు సమానమైన, ఆ త్రిభుజాలు సరూపాలు మాత్రమే.

ప్రశ్న (v)
ఒక చతుర్భుజంలోని అన్ని భుజాలు సమానములైన అది చతురస్రము.
సాధన.
ఒక రాంబస్ చతురస్రము కాదు కాని దాని భుజాలు సమానము.

ప్రశ్న 3.
రెండు బేసిసంఖ్యల మొత్తము ఒక సరిసంఖ్య అని నిరూపించండి.
సాధన.

ప్రశ్న 4.
రెండు సరిసంఖ్యల లబ్దము ఒక సరిసంఖ్య అని నిరూపించండి.
సాధన.

ప్రశ్న 5.
“x ఒక బేసిసంఖ్య అయిన x2 కూడా ఒక బేసిసంఖ్య” నిరూపించండి.
సాధన.
‘x’ ఒక బేసిసంఖ్య అనుకొనుము.
x = 2m + 1 (బేసిసంఖ్యల సాధారణ రూపము)
x2 = (2m + 1)2 (ఇరువైపులా వర్గం చేయగా)
= 4m2 + 4m + 1
= 2 (2m2 + 2m) + 1
= 2k + 1 {K = 2m2 + 2m}
x2 కూడా ఒక బేసిసంఖ్య

6. కింది వాటిని పరిశీలించండి. వాటిలో ఏది సరియైనది సరిచూడండి.

ప్రశ్న (i)
ఒక సంఖ్యను తలుచుకోండి. దానిని రెట్టింపుచేసి ‘9’ కలపండి. దానికి తలచిన సంఖ్యను కలపండి. 3తో భాగించండి. తిరిగి ‘4’ కలపండి. తిరిగి ఆ ఫలితము నుండి తలచిన సంఖ్యను తీసివేయండి. ఫలితం ‘7’ వచ్చును.
సాధన.
ఒక సంఖ్య = xను ఎన్నుకొనుము.
రెట్టింపు చేయగా = 2x
‘9’ కలుపగా = 2x + 9
తలచిన సంఖ్యను కలుపగా = 2x + 9 + x
= 3x + 9
‘3’ చే భాగించగా = (3x + 9) ÷ 3
= \(\frac{3 x}{3}+\frac{9}{3}\)
= x + 3
తిరిగి ‘4’ కలుపగా = x + 3 + 4
= x + 7
తిరిగి ఫలితం నుండి తలచిన సంఖ్యను తీసివేయగా
= x + 7 – x = 7
∴ ఫలితము = 7 (సత్యము)

ప్రశ్న (ii)
ఒక 3 – అంకెల సంఖ్యను రాసి, 6 – అంకెల సంఖ్య అగునట్లు, రెండుసార్లు రాయండి. (ఉదా : 425 ను 425425 గా రాయండి) ఈ 6 – అంకెల సంఖ్య (425425) 7, 11 మరియు 13 చే నిశ్శేషముగా భాగింపబడును.
సాధన.
మూడంకెల సంఖ్య xyz అనుకొనుము.
6 – అంకెల సంఖ్య అగునట్లు రెండుసార్లు వ్రాయగా
= xyzxyz
= xyz × (1001)
= xyz × (7 × 11 × 13)
ఈ పరికల్పన సత్యము.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 గణితములో నిరూపణలు Ex 15.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు Exercise 15.3

1.

ప్రశ్న (i)
ఏవేని మూడు వరుస బేసిసంఖ్యల లబ్దము కనుగొనుము.
ఉదా : 1 × 3 × 5 = 15; 3 × 5 × 7 = 105; 5 × 7 × 9 = ……
సాధన.
1 × 3 × 5 = 15
3 × 5 × 7 = 105
5 × 7 × 9 = 315
7 × 9 × 11 = 693
→ ఏవేని మూడు వరుస బేసి సంఖ్యల లబ్ధము ఒక బేసి సంఖ్య.
→ మూడు వరుస బేసి సంఖ్యల లబ్దము ‘3’ చే భాగించబడును.

ప్రశ్న (ii)
ఏవేని మూడు వరుస సరిసంఖ్యల మొత్తం కనుగొనుము.
2 + 4 + 6 = 12; 4 + 6 + 8 = 18; 6 + 8 + 10 = 24; 8 + 10 + 12 = 30 ….
పై ఉదాహరణలలో ఏదైనా క్రమ ధర్మాన్ని గుర్తించారా ? మరి మీ పరికల్పన ఏమిటి ?
సాధన.
2 + 4 + 6 = 12; 4 + 6 + 8 = 18;
6 + 8 + 10 = 24; 8 + 10 + 12 = 30
→ మూడు వరుస సరిసంఖ్యల మొత్తము ఒక సరి సంఖ్య
→ మూడు వరుస సరి సంఖ్యల మొత్తము, ‘6’ చే భాగించబడును. కావున ఇవి ‘6 యొక్క గుణిజాలు.

ప్రశ్న 2.
పాస్కల్ త్రిభుజము గమనించండి.
అడ్డు వరుస – 1 : 1 = 11⁰
అద్దు వరుస – 2 : 11 = 11¹
అడ్డు వరుస – 3 : 121 = 11²
అడ్డు వరుస – 4, 5 గురించి ఊహించి, భావన తయారు చేయండి.
అది అడ్డు వరుస – 6 కు సరిపోతుందో లేదో గమనించండి.

సాధన.
అడ్డు వరుస – 4 : 1331 = 11³
అడ్డు వరుస – 5 : 14641 = 11⁴
అడ్డు వరుస – 6 : 11⁵
∴ అద్దు వరుస – n = 11^{n – 1}
అవును, అది అడ్డు వరుస 6కు సరిపోవును.

3. కింది వరుస క్రమాన్ని గమనించండి.

ప్రశ్న (i)
28 = 2² × 7¹; 28 కారణాంకాల సంఖ్య
(2 + 1)(1 + 1) = 3 × 2 = 6
28 కు గల 6 కారణాంకాలు 1, 2, 4, 7, 14, 28
సాధన.
24 = 2³ × 3¹
24కు గల కారణాంకాల సంఖ్య = (3 + 1)(1 + 1) = 4 × 2 = 8
ఆ కారణాంకాలు [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 మరియు24]

ప్రశ్న (ii)
30 = 2¹ × 3¹ × 5¹, కారణాంకాల సంఖ్య (1 + 1)
(1 + 1) (1 + 1) = 2 × 2 × 2 = 8
30కు కల 8కారణాంకాలు 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 పై ఉదాహరణలలోని క్రమాన్ని గుర్తించండి.
(సూచన : ప్రతి లబ్ధంలో ప్రధానకారణాంక ఘాతాంకం + 1 ఒక కారణాంకంగా గుర్తించండి)
సాధన.
36 = 2² × 3²
36 కు గల కారణాంకాల సంఖ్య
= (2 + 1)(2 + 1) = 3 × 3 = 9
ఆ కారణాంకాలు [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 మరియు 36]
∴ N = a^p. b^q. c^r ………..
ఇక్కడ N ఒక సహజ సంఖ్య .
a, b, c ప్రధానాంకాలు మరియు p, q, r లు ధన పూర్ణ సంఖ్యలు అయిన N యొక్క కారణాంకాల సంఖ్య
N = (p + 1) (q +1)(r + 1)………………

ప్రశ్న 4.
కింది క్రమాన్ని గమనించండి.
1² = 1
11² = 121
111² = 12321
1111² = 1234321
11111² = 123454321
కింది వాటిపై మీరు పరికల్పన చేయగలరా ?
111111² =
1111111² =
మీ పరికల్పన సరిచూచుకోండి.
సాధన.
111111² = 12345654321
1111111² = 1234567654321
(111 …… n సార్లు)²
= (123 … (n – 1) n (n – 1) (n – 2) ….. 1)
ఈ పరికల్పన సత్యమే.

ప్రశ్న 5.
ఈ పుస్తకంలో కల 5 స్వీకృతాలు సేకరించండి.
సాధన.

1. ఒక బిందువు నుండి మరొక బిందువుకు ఒకే ఒక సరళరేఖను గీయగలము.
2. రేఖాఖండాన్ని రెండు వైపులా పొడిగించగా సరళరేఖ ఏర్పడును.
3. ఒక బిందువు కేంద్రంగా ఏదైనా వ్యాసార్ధంతో ఒక వృత్తంను గీయగలము.
4. ఒక రేఖకు సమాంతరంగా ఉన్న రేఖలు ఒకదాని కొకటి సమాంతరాలు.
5. అన్ని లంబకోడాలు ఒకదానికొకటి సమానము.

ప్రశ్న 6.
P(x) = x² + x + 41 బహుపదినందు x, యొక్క వివిధ సహజ సంఖ్యలకు p(x) ను కనుగొనుము. x యొక్క అన్ని సహజ సంఖ్యలకు పై బహుపది p(x) ప్రధాన సంఖ్య అనగలమా ? x = 41 తీసుకుని సరిచూడండి. ఏమి గమనించితిరి?
సాధన.
p(x) = x² + x + 41
P(0) = 0² + 0 + 41 = 41 – ప్రధాన సంఖ్య
p(1) = 1² + 1 + 41 = 43 – ప్రధాన సంఖ్య
p(2) = 2² + 2 + 41 = 47 – ప్రధాన సంఖ్య
p(3) = 3² + 3 + 41 = 53 – ప్రధాన సంఖ్య
p(41) = 41² + 41 + 41
= 41 (41 + 1 + 1) = 41 × 43 ప్రధాన సంఖ్య కాదు.
∴ p(x) = x² + x + 41 విలువ ‘x’ యొక్క అన్ని విలువలకు ప్రధానాంకము కాదు.
∴ “p(x) = x² + x + 41 ప్రధాన సంఖ్య” అను పరికల్పన అసత్యము.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 గణితములో నిరూపణలు Ex 15.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు Exercise 15.2

1. కింది ప్రశ్నలను నిగమన పద్ధతి ద్వారా ఆలోచించి సాధించండి.

ప్రశ్న (i)
మనుషులందరూ మరణం కలవారే. జీవన్ ఒక మనిషి. రెండు వాక్యముల నుండి జీవన్ గురించి ఏమి చెప్పగలరు?
సాధన.
పై రెండు వాక్యాల నుండి జీవన్ ఒక మనిషి, కావున మరణం కలవాడు.

ప్రశ్న (ii)
తెలుగు ప్రజలందరూ భారతీయులే. x ఒక భారతీయుడు. x తెలుగువాడు అని చెప్పగలవా ?
సాధన.
చెప్పలేము. x అనే భారతీయుడు, ఏదో ఒక రాష్ట్రంకు చెందినవాడై ఉండాలి.
ఉదాహరణకు తమిళుడు, గుజరాతీ, కన్నడీయుడు … మొ||లైన వారు.

ప్రశ్న (iii)
అంగారక గ్రహవాసుల నాలుకలు ఎర్రగా ఉంటాయి. గులాగ్ (Gulag) అంగారక గ్రహవాసి. రెండు వాక్యముల నుండి గులాగ్ గురించి ఏమి చెప్పగలవు ?
సాధన.
గులాగ్ ఎర్రని నాలుక కలవాడు.

ప్రశ్న (iv)
కింది కార్టూన్ నందు ఇచ్చిన బొమ్మలో రాజు యొక్క వివేచనలో (ఆలోచన) గల తప్పును తెల్పండి.

సాధన.
చురుకైన వారందరూ అధ్యక్షులుకారు. కావున రాజు చురుకైన వాడే కానీ అధ్యక్షుడు కాడు.

ప్రశ్న 2.
నీకు, నాలుగు కార్డులు ఇవ్వబడినవి. ప్రతి కార్డుపై ఒక వైపు అంకెలు రెండవ వైపు ఇంగ్లీషు అక్షరములు ఇవ్వబడినవి. వీటికి “ఒక కార్డుకు ఒక వైపు హల్లు ఉంటే, రెండవ వైపు బేసి సంఖ్య ఉంటుంది” అను నియమం కలదు. ఏ రెండు కార్డులను తిప్పిన మనము పై నియమము ఉన్నదో లేదో సరిచూడగలమా ?

సాధన.
నియమము : ఒక కార్డుకు ఒకవైపు హల్లు ఉంటే, రెండవ వైపు బేసి సంఖ్య వుండును.
కార్డులు B మరియు 8 లను తిప్పిన పై నియమమును సరిచూడగలము.
‘B’ ను తిప్పినపుడు సరిసంఖ్యవున్నచో నియమము పాటించనట్లే.
‘8’ ను తిప్పినపుడు అచ్చు ఏర్పడినచో నియమం పాటించనట్లే.

ప్రశ్న 3.
కింది పట్టికలో కొన్ని సంఖ్యలు ఇవ్వబడినవి. మనము అనుకున్న సంఖ్యలను చెప్పుటకు 8 సూచనలు ఇవ్వబడ్డాయి. అందు నాలుగు సూచనలు సత్యము. కాని అవి సంఖ్యను కనుక్కోవడానికి ఉపయోగపడవు. నాలుగు సూచనలు సంఖ్యను కనుక్కోవడానికి కచ్చితంగా కావాలి. అయితే ఒక సంఖ్యను కనుక్కొనుటకు సూచనలు.
(a) ఆ సంఖ్య 9 కంటే పెద్దది.
(b) ఆ సంఖ్య 10 యొక్క గుణిజము కాదు.
(c) ఆ సంఖ్య 7 యొక్క గుణిజము.
(d) ఆ సంఖ్య బేసి సంఖ్య.
(e) ఆ సంఖ్య 11 యొక్క గుణిజము కాదు.
(f) ఆ సంఖ్య 200 కంటే చిన్నది.
(g) దాని ఒకట్ల స్థానములోని అంకె పదుల స్థానములోని అంకెకన్నా పెద్దది.
(h) దాని పదుల స్థానములోని అంకె బేసిసంఖ్య. ఆ సంఖ్య ఏది ?

సాధన.

AP SCERT 9th Class Maths Textbook Solutions Chapter 15 గణితములో నిరూపణలు Ex 15.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 9th Class Maths Solutions 15th Lesson గణితములో నిరూపణలు Exercise 15.1

1. కింది వాక్యములు సత్యమో లేక అసత్యమో లేక సందిగ్ధ వాక్యమో తెలియజేస్తూ వివరించండి.

ప్రశ్న (i)
ఒక నెలలో 27 రోజులు కలవు.
సాధన.
ఈ వాక్యము ఎల్లప్పుడూ అసత్యమే. ఒక నెలలో 30 లేక 31 రోజులు మాత్రమే ఉంటాయి. ఒక్క ఫిబ్రవరి నెలలో తప్పు.

ప్రశ్న (ii)
మకర సంక్రాంతి శుక్రవారము రోజున వచ్చును.
సాధన.
ఈ వాక్యము సందిగ్ధ వాక్యము. మకర సంక్రాంతి నువులు వారంలో ఏ రోజునైనా వచ్చును.

ప్రశ్న (iii)
హైదరాబాద్ నందు ఉష్ణోగ్రత 2°C.
సాధన.
ఈ వాక్యం ఎల్లప్పుడూ అసత్యము.

ప్రశ్న (iv)
జీవరాశికల ఒకే ఒక గ్రహం భూమి.
సాధన.
ఇది ఎల్లప్పుడూ సత్యమని చెప్పలేము.

ప్రశ్న (v)
కుక్కలు ఎగరగలవు.
సాధన.
ఇది ఎల్లప్పుడూ అసత్యము. కుక్కలు ఎల్లప్పుడూ ఎగరలేవు.

ప్రశ్న (vi)
ఫిబ్రవరి నెలలో 28 రోజులు మాత్రమే ఉంటాయి.
సాధన.
ఇది సందిగ్ధ వాక్యము. లీపు సంవత్సరంలో ఫిబ్రవరికి 29 రోజులుండును.

2. కింది వాక్యములు సత్యమో లేదా అసత్యమో తెలియజేస్తూ వివరించండి.

ప్రశ్న (i)
చతుర్భుజంలోని అంతరకోణాల మొత్తం 350°.
సాధన.
అసత్యము. చతుర్భుజంలోని అంతర కోణాల మొత్తము 360°

ప్రశ్న (ii)
ఏదైనా ఒక వాస్తవ సంఖ్య xకు x² ≥ 0.
సాధన.
సత్యము. ఈ వాక్యము అన్ని x విలువలకు సత్యము.

ప్రశ్న (iii)
రాంబస్ ఒక సమాంతర చతురస్రము.
సాధన.
సత్యము. రాంబస్ ఎదురెదురు భుజాల జతలు సమాంతరాలు కావున రాంబస్ సమాంతర చతుర్భుజము.

ప్రశ్న (iv)
రెండు సరిసంఖ్యల మొత్తము ఒక సరిసంఖ్య.
సాధన.
సత్యము. ఈ వాక్యము ఏవైనా రెండు సరిసంఖ్యలకు సాధ్యము.

ప్రశ్న (v)
ఒక వర్గ సంఖ్యను, రెండు బేసి సంఖ్యల మొత్తంగా రాయవచ్చు. సాధన. సందిగ్ధ వాక్యము. ఒక వర్గ సంఖ్యను, రెండు బేసి సంఖ్యల మొత్తంగా రాయలేము.

3. కింది ప్రవచనములు సత్య ప్రవచనములు అగునట్లు, తగు నియమములు వినియోగించి తిరిగి రాయండి.

ప్రశ్న (i)
అన్ని సంఖ్యలను ప్రధాన కారణాంకముల లబ్ధముగా రాయవచ్చును.
సాధన.
ఏ సహజసంఖ్య అయిన ‘1’ కంటే ఎక్కువైన సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా వ్రాయవచ్చును.

ప్రశ్న (ii)
ఒక వాస్తవ సంఖ్య యొక్క రెండు రెట్లు ఎల్లప్పుడు సరిసంఖ్య.
సాధన.
ఒక వాస్తవ సంఖ్య యొక్క రెండు రెట్లు ఎల్లప్పుడు సరిసంఖ్యయే.

ప్రశ్న (iii)
ఏదైనా xకు 3x + 1 > 4.
సాధన.
ఏదైనా సంఖ్య x > 1 కు 3x + 1 > 4 అగును.

ప్రశ్న (iv)
ఏదైనా xకు x³ ≥ 0.
సాధన.
ఏదైనా x > 0 కు x³ ≥ 0.

ప్రశ్న (v)
ప్రతి త్రిభుజంలోను మధ్యగతము కోణ సమద్విఖండన రేఖ అగును.
సాధన.
ఒక సమబాహు త్రిభుజంలో మధ్యగతము కోణ సమద్విఖండన రేఖ అగును.

ప్రశ్న 4.
“అన్ని x > yకు x² > y² అగును” అను ప్రవచనము అసత్యమనుటకు ప్రత్యుదాహరణనివ్వండి.
సాధన.
x = – 8 మరియు y = – 10 అయితే
x > y, x² = (-8)² = 64 మరియు
y² = (- 10)² = 100
కాని x² > y² అసత్యము [∵ 64 < 100]

AP SCERT 8th Class Maths Textbook Solutions Chapter 9 సమతల పటముల వైశాల్యములు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 8th Class Maths Solutions 9th Lesson సమతల పటముల వైశాల్యములు InText Questions

ఇవి చేయండి

1. ఈ క్రింది పటముల యొక్క వైశాల్యములను కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 200)

ప్రశ్న (i)

సాధన.
సమాంతర చతుర్భుజం భూమి, b = 7 సెం.మీ
సమాంతర భుజాల మధ్య దూరం, h = 4 సెం.మీ
సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం, A = b × h
=7 × 4
= 28 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న (ii)

సాధన.
త్రిభుజ భూమి, b = 7 సెం.మీ
త్రిభుజ ఎత్తు, h = 4 సెం.మీ
త్రిభుజ వైశాల్యం, A = \(\frac {1}{2}\) × b × h
= \(\frac {1}{2}\) × 7 × 4
= 14 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న (iii)

సాధన.
త్రిభుజ భూమి, b = 5 సెం.మీ
త్రిభుజ ఎత్తు, h = 4 సెం.మీ
త్రిభుజ వైశాల్యం, A = \(\frac {1}{2}\) × b × h
= \(\frac {1}{2}\) × 5 × 4
= 10 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న (iv)

సాధన.
రాంబస్ యొక్క మొదటి కర్ణం,
AC = d₁ = 4 + 4 – 8 సెం.మీ
రాంబస్ యొక్క రెండవ కర్ణం,
BD = d₂ = 3 + 3 = 6 సెం.మీ
రాంబస్ వైశాల్యం, A = \(\frac {1}{2}\)d₁ d₂
= \(\frac {1}{2}\) × 8 × 6
= 24 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న (v)

సాధన.
దీర్ఘ చతురస్ర పొడవు, l = 20 సెం.మీ
దీర్ఘ చతురస్ర వెడల్పు, b = 14 సెం.మీ
దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యం, A = l × b
= 20 × 14
= 280 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న (vi)

సాధన.
చతురస్ర భుజం, s = 5 సెం.మీ
చతురస్ర వైశాల్యం , A = s × s
= 5 × 5
= 25 చ.సెం.మీ

2. కొన్ని సమతల పటముల యొక్క కొలతలు ఈ క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడినవి. ఇచ్చిన సమాచారం అసంపూర్తిగా యున్నది. లోపించిన సమాచారమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 200)
సాధన.

3. ఈ క్రింది సమలంబ చతుర్భుజము యొక్క వైశాల్యములను కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 204)
పటము (i)

సాధన.
సమాంతర భుజాల పొడవులు, a = 9 సెం.మీ
b = 7 సెం.మీ
సమాంతర భుజాల మధ్య దూరం, h = 8 సెం.మీ
సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం,
A = \(\frac {1}{2}\) h(a + b) = \(\frac {1}{2}\) × 8 (9 + 7)
= 4(16) = 64 చ.సెం.మీ

పటము (ii)

సాధన.
సమాంతర భుజాల పొడవులు, a = 10 సెం.మీ
b = 5 సెం.మీ
సమాంతర భుజాల మధ్య దూరం, h = 6 సెం.మీ
సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం,
A = \(\frac {1}{2}\)h(a + b)
= \(\frac {1}{2}\) × 6(10 + 5)
= 3(15) = 45 చ.సెం.మీ

4. సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం 16 చ.సెం.మీ. సమాంతర భుజాలలో ఒక భుజం పొడవు 5 సెం.మీ. మరియు వాటి మధ్యదూరం 4 సెం.మీ. రెండవ సమాంతర భుజం యొక్క పొడవును కనుగొనుము. ఈ సమలంబ చతుర్భుజమును గ్రాఫు కాగితముపై గీసి దాని వైశాల్యంతో సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 204)
సాధన.

సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం , A = 16 చ.సెం.మీ సమాంతర భుజాలలో ఒక భుజం పొడవు a = 5 సెం.మీ సమాంతర భుజాల మధ్య దూరం, 5 = 4 సెం.మీ రెండవ సమాంతర భుజం పొడవు, b = x సెం.మీ అనుకొనుము
సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం,

8 = 5 + x
8 – 5 = x
3 = x
x = 3 సెం.మీ
∴ రెండవ సమాంతర భుజం పొడవు,
b = x = 3 సెం.మీ

పటం-1 నుండి

14 చతురస్రాల వైశాల్యం = 1 × 14 = 14 చ. సెం.మీ.
D + A = 1 చ. సెం.మీ. ; B + C = 1 చ.సెం.మీ.
∴ WXYZ సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం
= 14 + (D+ A) + (B + C)
= 14 + 1 + 1 = 16 చ.సెం.మీ.
(లేదా)
పటం-2 నుండి
12 చతురస్రాల వైశాల్యం = 1 × 12 = 12 చ.సెం.మీ.
D + A = 1 చ.సెం.మీ.; B + C = 1 చ.సెం.మీ.
S + P = 1 చ.సెం.మీ. ; Q + R = 1 చ.సెం.మీ.
∴ LMNO సమలంబ చతుర్భుజ వైశాల్యం
= 12 + 1 + 1 + 1 + 1 = 16 చ.సెం.మీ.

5. ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం. దాని వైశాల్యం 100 చ.సెం.మీ. P అనేది పటంలో చూపినట్లు దాని అంతరంలో బిందువు అయిన ∆ APB + ∆ CPDల వైశాల్యం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 204)

సాధన.
▢^gm ABCD వైశాల్యం = 100 చ.సెం.మీ.
ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం, P అనేది దాని అంతరంలో ఏదైనా ఒక బిందువు అయిన
ar (∆APB) + ar (∆CPD) = ar (∆APD) + ar (∆BPC)
∴ ar (∆APB) + ar (∆CPD) = \(\frac {1}{2}\)ar (▢^gm ABCD)
= \(\frac {1}{2}\) × 100
= 50 చ.సెం.మీ

6. ఒక సర్వేయరు ఫీల్డుబుక్ లో నమోదు చేయబడిన ఈ దిగువ వివరాల సహాయంతో పొలం వైశాల్యం కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 213)

ప్రశ్న (i)

సాధన.

పై పటం నుంచి
(i) పొలం A, B, C, D, E శీర్షాలుగా గల పంచభుజి.
(ii) AD కర్ణంగా తీసుకోబడినది.
(iii) పొలం నాలుగు త్రిభుజాలుగా, ఒక సమలంబ చతుర్భుజంగా విభజింపబడినది.
PQ = AQ – AP
= 50 – 30 = 20
QD = AD – AQ
= 140 – 50 = 90
RD = AD – AR
= 140 – 80 = 60
∆ APB వైశాల్యం :
∆ APB వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × b × h
= \(\frac {1}{2}\) × PB × AP

∆ QCD వైశాల్యం :
∆ QCD వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × b × h
= \(\frac {1}{2}\) × QC × QD

= 2250 చ.యూ

∆ DER వైశాల్యం :
∆ DER వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × b × h

= 25 × 60 = 1500 చ.యూ

∆ ERA వైశాల్యం :
∆ ERA వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × b × h
= \(\frac {1}{2}\) × ER × AR
= 25 × 80 = 2000 చ.యూ

∴ పొలం వైశాల్యం

= 450 + 800 + 2250 + 15000 + 2000
= 7000 చ.యూ

ప్రశ్న (ii)

సాధన.

పై పటం నుంచి
(i) పొలం A, B, C, D, E శీర్షాలుగా గల పంచభుజి.
(ii) AC కర్ణంగా తీసుకోబడినది.
(iii) పొలం నాలుగు త్రిభుజాలుగా, ఒక సమలంబ చతుర్భుజంగా విభజింపబడినది.
QC = AC – AQ
= 160 – 90
= 70
RC = AC – AR
= 160 – 130
= 30
PR = AR – AP
= 130 – 60
= 70

∆ AQB వైశాల్యం :
∆ AQB వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × b × h
= \(\frac {1}{2}\) × QB × AQ

= 2700 చ.యూ

∆ QBC వైశాల్యం :
∆ QBC వైజాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × b × h
= \(\frac {1}{2}\) × QB × QC

= 2100 చ.యూ

∆ DRC వైశాల్యం :
∆ DRC వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × b × h
= \(\frac {1}{2}\) × DR × RC

∆ EPA వైశాల్యం :
∆ EPA వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × b × h

= 1200 చ.యూ
∴ పొలం వైశాల్యం

= 2700 + 2100 + 450 + 2450 + 1200
= 8900 చ.యూ

ప్రయత్నించండి

1. ఈ క్రింది చతుర్భుజముల యొక్క వైశాల్యములను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 213)

ప్రశ్న (i)

సాధన.
చతుర్భుజ కర్ణం పొడవు, 4 = 6 సెం.మీ
కర్ణం పైకి గీయబడిన లంబాల పొడవులు,
h₁ = 3 సెం.మీ, h₂ = 5 సెం.మీ
చతుర్భుజ వైశాల్యం,

= 3(8) = 24 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న (ii)

సాధన.
సమచతుర్భుజం యొక్క కర్ణాల పొడవులు,
d₁ = 7 సెం.మీ, d₂ = 6 సెం.మీ
∴ సమచతుర్భుజ (రాంబస్) వైశాల్యం

ప్రశ్న (iii)

సాధన.
∆ ACD వైశాల్యం :
త్రిభుజ భూమి, b = 8 సెం.మీ
త్రిభుజ ఎత్తు, h = 2 సెం.మీ
∴ ∆ ACD వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × b × h
= \(\frac {1}{2}\) × AC × DE
= \(\frac {1}{2}\) × 8 × 2
= 8 చ.సెం.మీ
సమాంతర చతుర్భుజంను దాని కర్ణం రెండు సమాన వైశాల్యాలు గల త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది.
∴ ∆ ABC వైశాల్యం = ∆ ACD వైశాల్యం
∴ ∆ ABC వైశాల్యం = 8 చ. సెం.మీ
∴ ☐^gm ABCD వైశాల్యం
= ∆ ABC వైశాల్యం + ∆ ACD వైశాల్యం
= 8 + 8
= 16 చ.సెం.మీ

2.

ప్రశ్న (i)
ఈ క్రింద గీయబడిన బహుభుజిని భాగములుగా (త్రిభుజములు మరియు సమలంబ చతుర్భుజం)గా విభజించి వాటి యొక్క వైశాల్యములను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 214)

సాధన.
కర్ణం FI పై రెండు లంబములు GA, HBలను గీయుట ద్వారా పంచభుజి EFGHI ను నాలుగు భాగాలుగా విభజించవచ్చును.
పంచభుజి EFGHI వైశాల్యం

కర్ణం NQ గీయుట ద్వారా షడ్భుజి MNOPQR ను రెండు భాగాలుగా విభజించవచ్చును. షడ్భుజి MNOPOR వైశాల్యం

ప్రశ్న (ii)
ఈ క్రింద గీయబడిన బహుభుజి ABCDE భాగములుగా విభజింపబడింది. (పేజీ నెం. 215)

AD = 8 సెం.మీ, AH = 6 సెం.మీ, AF=3 సెం.మీ మరియు లంబము BF= 2 సెం.మీ, CH = 3 సెం.మీ, EG = 2.5 సెం.మీ అయిన వైశాల్యం కనుక్కోండి.
సాధన.
ABCDE బహుభుజి వైశాల్యం = ∆ AFB వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం FBCH వైశాల్యం + ∆ HCD వైశాల్యం + ∆ AED వైశాల్యం
∆ AFB వైశాల్యం = \(\frac {1}{2}\) × AF × BF

కావున బహుభుజి ABCDE వైశాల్యం = ∆ AFB వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం FBCH వైశాల్యం + ∆ CHD వైశాల్యం + ∆ ADE వైశాల్యం
= 3 + 7.5 + 3 + 10
= 23.5 చ.సెం.మీ

ప్రశ్న (iii)
MNOPQR బహుభుజిలో MP = 9 సెం.మీ, MD = 7 సెం.మీ, MC = 6 సెం.మీ, MB = 4 సెం.మీ, MA = 2 సెం.మీ, అయితే వైశాల్యంను కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 215)

కర్ణం MP పై గీయబడిన లంబాలు NA, OD, QC మరియు RB.
సాధన.

సమలంబ చతుర్భుజం RBCQ వైశాల్యం
= \(\frac {1}{2}\) × BC × (RB + CQ)

∴ బహుభుజి MNOPQR వైశాల్యం = ∆ MAN వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం ANOD వైశాల్యం + ∆DPO వైశాల్యం + ∆CPQ వైశాల్యం + సమలంబ చతుర్భుజం RBCQ వైశాల్యం + ∆RBM వైశాల్యం
= 2.5 + 13.75 + 3 + 3 + 4.5 + 5
= 31.75 చ.సెం.మీ.

ఆలోచించి, చర్చింది వ్రాయండి

1. సమాంతర చతుర్భుజంలో, ఒక కర్ణం గీయడం ద్వారా ఆ సమాంతర చతుర్భుజంను రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజించవచ్చు. ఈ విధముగానే సమలంబ చతుర్భుజమును రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజించగలమా ? (పేజీ నెం. 213)
సాధన.

విభజించలేము.
∵ ప్రక్క పటం నుండి ∆ABC ≠ ∆ADC