Category: Class 7

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 7 నిష్పత్తి మరియు అనుపాతం Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 7th Lesson నిష్పత్తి మరియు అనుపాతం Exercise 7.1

ప్రశ్న1.
పవన్ మరియు రోషన్లు ఒక్కొక్కరు వరుసగా ₹ 1,50,000, ₹ 2,00,000తో ఒక వ్యాపారాన్ని ప్రారంభించారు. తొమ్మిది నెలల తర్వాత రోషన్ వ్యాపారం నుండి వైదొలిగాడు. సంవత్సరాంతమున వారికి ₹ 45,000 లాభం వచ్చింది. ఆ లాభంలో పవన్ మరియు రోషన్ల యొక్క వాటాలు ఎంత?
సాధన :
పవన్ పెట్టుబడి = ₹ 1,50,000
రోషన్ పెట్టుబడి = ₹ 2,00,000

పవన్, రోషన్ పెట్టుబడుల నిష్పత్తి = 1,50,000 : 2,00,000 = 3:4
పవన్ వ్యాపారంలో కొనసాగిన కాలం = 12 నెలలు
రోషన్ వ్యాపారంలో కొనసాగిన కాలం = 9 నెలలు

పవన్, రోషన్లు వ్యాపారంలో కొనసాగిన కాలముల నిష్పత్తి = 12 : 9 = 4 : 3
పవన్, రోషన్లు వారి యొక్క లాభాన్ని పెట్టుబడుల నిష్పత్తి మరియు కాలముల నిష్పత్తుల యొక్క బహుళ నిష్పత్తిలో పంచుకోవాలి.
∴ బహుళ నిష్పత్తి = 3 ×.4 : 4 × 3
= 12 : 12 = 1 : 1

లాభం ₹ 45,000 ను వారు 1 : 1 నిష్పత్తిలో (సమానంగా) పంచుకోవాలి.
∴ లాభంలో పవన్ యొక్క వాటా
= 45,000 × \(\frac{1}{2}\) = ₹ 22,500

లాభంలో రోషన్ యొక్క వాటా
= 45,000 × \(\frac{1}{2}\) = ₹ 22,500

ప్రశ్న2.
సల్మాన్ ₹75,000 పెట్టుబడితో ఒక హోటల్ ప్రారంభించాడు. 5 నెలల తర్వాత దీపక్ ఆ వ్యాపారంలో ₹ 80,000 పెట్టుబడితో చేరాడు. సంవత్సరాంతమున వారు ₹ 73,000 లాభాన్ని సంపాదించగా, ఆ లాభంలో వారి యొక్క వాటాలు ఎలా పంచుకొంటారు?
సాధన :
సల్మాన్ పెట్టుబడి = ₹75,000
దీపక్ పెట్టుబడి = ₹80,000 వారి పెట్టుబడుల నిష్పత్తి = 75,000 : 80,000
= 15: 16
సల్మాన్ వ్యాపారంలో కొనసాగిన కాలం = 12 నెలలు

దీపక్ వ్యాపారంలో కొనసాగిన కాలం
= 12 – 5 = 7 నెలలు

సల్మాన్ మరియు దీపక వ్యాపార కాలముల నిష్పత్తి
= 12:7
లాభాన్ని వారు పెట్టుబడులు మరియు కాలముల నిష్పత్తుల యొక్క బహుళ నిష్పత్తిలో పంచుకోవాలి.

లాభాన్ని సల్మాన్ మరియు దీపకు 45 : 28 నిష్పత్తిలో పంచుకొంటారు.
∴ లాభం ₹ 73,000 లో
సల్మాన్ వాటా = 73,000 × \(\frac{45}{45+28}\)
= 73,000 × \(\frac{45}{73}\) = ₹45,000
దీపక్ వాటా = 73,000 – 45,000 = ₹ 28,000

ప్రశ్న3.
రామయ్య తన యొక్క 24 ఆవులను మేపుటకుగాను ఒక పచ్చికబయలు అద్దెకు తీసుకున్నాడు. 5 నెలల తర్వాత సోమయ్య తన యొక్క 40 ఆవులను మేపుటకు అదే పచ్చికబయలు అద్దెకు తీసుకొనెను. సంవత్సరాంతమున వారిద్దరూ కలిసి ₹ 35,500 అద్దె చెల్లించిన, ఆ అద్దెలో వారిద్దరి భాగాలు ఎంతెంత ?

సాధన :
రామయ్య యొక్క ఆవుల సంఖ్య = 24
సోమయ్య యొక్క ఆవుల సంఖ్య = 40
వారి యొక్క ఆవుల సంఖ్య యొక్క నిష్పత్తి

పచ్చికబయలులో రామయ్య ఆవులను మేపిన కాలం
= 12 నెలలు

పచ్చికబయలులో సోమయ్య ఆవులను మేపిన కాలం
= 12 – 5 = 7 నెలలు

వారు ఆవులను మేపిన కాలముల నిష్పత్తి = 12 : 7
పచ్చికబయలు యొక్క అద్దెను వారు ఆవుల సంఖ్య . మరియు వాటిని మేపిన కాలముల నిష్పత్తి యొక్క బహుళ నిష్పత్తిలో చెల్లించాలి.
బహుళ నిష్పత్తి = 3 × 12 : 5 × 7 = 36 : 35

పచ్చికబయలు యొక్క సంవత్సర అద్దె ₹ 35,500 లో
∴ రామయ్య వాటా = 35,500 × \(\frac{36}{36+35} \)
= 35,500 × \(\frac{36}{71}\)
= ₹ 18,000

సోమయ్య వాటా = 35,500 – 18,000
= ₹ 17,500

ప్రశ్న4.
రవి ఒక వ్యాపారాన్ని ₹ 2,10,000తో ప్రారంభించాడు. కొన్ని నెలల తర్వాత, ప్రకాష్ అదే వ్యాపారంలో ₹ 3,60,000 పెట్టుబడితో ప్రవేశించాడు. సంవత్సరాంతమున వారిరువురుకు, ఒక్కొక్కరికి ₹1,20,000 లాభం వచ్చిన, ప్రకాష్ ఎన్ని నెలల తర్వాత ఆ వ్యాపారంలో చేరాడో కనుగొనండి.
సాధన :
రవి పెట్టుబడి = ₹ 2,10,000
ప్రకాష్ పెట్టుబడి = ₹3,60,000
వారి పెట్టుబడుల నిష్పత్తి = 210000 : 360000

రవి వ్యాపారంలో కొనసాగిన కాలం = 12 నెలలు

ప్రకాష్ వ్యాపారంలో కొనసాగిన కాలం = x నెలలు
అనుకొందాం. వారు వ్యాపారంలో కొనసాగిన కాలాల నిష్పత్తి
= 12 : x
వారి పెట్టుబడులు మరియు వ్యాపారంలో కొనసాగిన కాలముల నిష్పత్తుల బహుళ నిష్పత్తి

లాభాన్ని వారు పంచుకోవాల్సిన నిష్పత్తి = 7 : x
సంవత్సరాంతమున వారి లాభంలో ఒక్కొక్కరి వాటా = ₹1,20,000
వారి లాభాల నిష్పత్తి = 1,20,000 : 1,20,000
= 1:1
⇒ 7 : x = 1:1
⇒ 7 × 1 = x × 1
∴ 7 = x
ప్రకాష్ వ్యాపారంలో కొనసాగిన కాలం = 7 నెలలు

∴ ప్రకాష్ వ్యాపారంలో 12 -7 = 5 నెలల తరువాత చేరాడు.

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 7 నిష్పత్తి మరియు అనుపాతం Review Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 7th Lesson నిష్పత్తి మరియు అనుపాతం Review Exercise

ప్రశ్న1.
క్రింది వాటి యొక్క నిష్పత్తి కనుగొనండి.
(i) 5, 8
సాధన :
5:8

(ii) ₹10, ₹15
సాధన :
₹10, ₹15

(iii) 25 కి.గ్రా., 20 కి.గ్రా.
సాధన :
25 కి.గ్రా., 20 కి.గ్రా.

(iv) 5 లీ., 500 మి.లీ.
సాధన :
5 లీ., 500 మి.లీ.
5000 మి.లీ. : 500 మి.లీ. (∵ 1 లీ. = 1000 మి.లీ.; 5 లీ. = 5000 మి.లీ.)

(v) 2 కి.మీ. 500 మీ., 1 కి.మీ. 750 మీ.
సాధన :
2 కి.మీ. 500 మీ., 1 కి.మీ. 750 మీ.
2000 మీ. + 500 మీ. : 1000 మీ. + 750 మీ. (∵ 1 కి.మీ. = 1000 మీ., 2 కి. మీ. = 2000 మీ.)

(vi) 3 గం., 1 గం. 30 ని.
సాధన :
3 గం., 1 గం. 30 ని.
3 × 60 నిమిషాలు, 60 + 30 = 90 నిమిషాలు 21

(vii) 40 రోజులు, 1 సంవత్సరం
సాధన :
40 రోజులు, 1 సాధారణ సంవత్సరం
40 రోజులు, 365 రోజులు

ప్రశ్న2.
క్రింది నిష్పత్తులను సూక్ష్మరూపంలో తెల్పండి.

(i) 120 : 130
సాధన :

(ii) 135 : 90
సాధన :

(iii) 48 : 144
సాధన :

(iv) 81 : 54
సాధన :

(v) 432 : 378
సాధన :

ప్రశ్న3.
క్రింది నిష్పత్తులు అనుపాతంలో ఉన్నాయో, లేదో పరీక్షించండి.
(i) 10:20, 25 : 50
సాధన :
10 : 20, 25 : 30
అంత్యముల లబ్దం = 10 × 50 = 500
మధ్యమముల లబ్ధం = 20 × 25 = 500
అంత్యముల లబ్ధం = మధ్యమముల లబ్ధం
∴ ఇచ్చిన నిష్పత్తులు అనుపాతంలో కలవు.

(ii) 18 : 12, 15 : 10
సాధన :
18 : 12, 15 : 10
అంత్యముల లబ్దం = 18 × 10 = 180
మధ్యమముల లబ్దం = 12 × 15 = 180
అంత్యముల లబ్ధం = మధ్యమముల లబ్ధం
∴ ఇచ్చిన నిష్పత్తులు అనుపాతంలో కలవు.

(iii) 25 : 20, 16 : 14
సాధన :
25 : 20, 16 : 14
అంత్యముల లబ్ధం = 25 × 14 = 350
మధ్యమముల లబ్దం = 20 × 16= 320
అంత్యముల లబ్ధం ≠ మధ్యమముల లబ్ధం
∴ ఇచ్చిన నిష్పత్తులు అనుపాతంలో లేవు.

(iv) 54 : 27, 18 : 9
సాధన :
54 : 27, 18 :9
అంత్యముల లబ్దం = 54 × 9 = 486
మధ్యమముల లబ్దం = 27 × 18 = 486
అంత్యముల లబ్ధం = మధ్యమముల లబ్ధం
∴ ఇచ్చిన నిష్పత్తులు అనుపాతంలో కలవు.

ప్రశ్న4.
ఈ క్రింది ఖాళీలను సరైన సంఖ్యలతో నింపండి.
(i) 15 : 19 = 45 : ___
సాధన :
15 : 19 = 45 : 57
[15 × 3 = 45, 19 × 3 = 57]

(ii) 9 : 13 = ___ : 65
సాధన :
9 : 13 = 45 : 65
[13 × 5 = 65, : 9 × 5 = 45]

(iii) 8: ___ = 72 : 63
సాధన :
8 : 7 = 72 : 63
[72 ÷ 9 = 8, ∴ 63 ÷ 9 = 7]

ప్రశ్న5.
3 : 4 కు సమానమైన నిష్పత్తులను, ఖాళీ పెట్టెలలో పూరించండి.

సాధన.

ప్రశ్న6.
ఈ క్రింద ఇవ్వబడిన సంఖ్యల నుండి ఏవైనా నాలుగు సంఖ్యలను ఎంచుకొని, అనుపాతంలో ఉన్నట్లుగా వాటిని అమర్చుము. 2, 3, 10, 12, 15, 18
ఉదా : 2 : 10 = 3:15
(i) : ________
(ii) : ________
సాధన :
ఇచ్చిన సంఖ్యలు 2, 3, 10, 12, 15, 18
(i) 10 : 12 = 15 : 18
(ii) 2 : 12 = 3:18 .

ప్రశ్న7.
₹1500 ను 7 : 3 నిష్పత్తిలో ఉండేలా రెండు భాగాలుగా విభజించండి.
సాధన :
నిష్పత్తిలోని పదాల మొత్తం 7 + 3 = 10
ఇచ్చిన సంఖ్య ₹ 1500 లో

ప్రశ్న8.
ఒక ప్యాకెట్ లో 20 చాక్లెట్లు ఉన్నాయి. రజని, రాగిణిలు వాటిని పంచుకొనగా, రజని 12 చాక్లెట్లు తీసుకుంది. అయిన రజని, రాగిణిల చాక్లెట్ల నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన :
ప్యాకెట్ లోని మొత్తం చాక్లెట్లు = 20
రజని తీసుకున్న చాక్లెట్లు = 12
రాగిణి తీసుకున్న చాక్లెట్లు = 8
రజని, రాగిణిలు పంచుకొన్న చాక్లెట్ల నిష్పత్తి

ప్రశ్న9.
ఒక గొట్టాన్ని రెండు భాగాలుగా చేయగా, మొదటి భాగానికి, రెండవ భాగానికి గల నిష్పత్తి 1 : 8. రెండవ భాగం పొడవు 48 సెం.మీ. అయిన మొదటి భాగం పొడవు ఎంత ? భాగాలు చేయకముందు గొట్టం మొత్తం పొడవు ఎంత? పొడవు ఎంత ?
సాధన :
మొదటి పద్దతి : గొట్టం యొక్క మొదటి భాగానికి మరియు రెండవ
భాగానికి గల నిష్పత్తి = 7:8 గొట్టం రెండవ భాగం పొడవు = 48 సెం.మీ.
మొదటి భాగం పొడవు = x సెం.మీ. అనుకొందాం.
∴x: 48 = 7:8
అంత్యముల లబ్ధం = మధ్యమముల లబ్ధం
⇒ x × 8 = 48 × 7

∴ గొట్టం యొక్క మొదటి భాగం పొడవు = x = 42 సెం.మీ.

∴ భాగాలు చేయకముందు గొట్టం యొక్క మొత్తం పొడవు = 42 + 48 = 90 సెం.మీ.
రెండవ పద్ధతి : గొట్టం యొక్క మొదటి, రెండవ భాగాల పొడవుల నిష్పత్తి
= 7 : 8

∴ మొదటి భాగం పొడవు = 7x
రెండవ భాగం పొడవు = 8x అనుకొందాం.
లెక్క ప్రకారం రెండవ భాగం = 8x = 48
⇒ x = \(\frac{48}{8}\) = 6
∴ మొదటి భాగం పొడవు = 7x
= 7 X 6 = 42 సెం.మీ.

భాగాలు చేయకముందు గొట్టం పొడవు
7x + 8x = 15x = 15 (6) = 90 సెం.మీ.

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 5 త్రిభుజాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 5th Lesson త్రిభుజాలు InText Questions

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 184]

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇచ్చిన త్రిభుజాలను భుజాల కొలతల ఆధారంగా వర్గీకరించండి.

జవాబు

ప్రశ్న 2.
కింద ఇచ్చిన త్రిభుజాలను కోణాల కొలతల ఆధారంగా వర్గీకరించండి.

జవాబు

ఆలోచించండి [పే జి నెం. 194]

ప్రశ్న 1.
ప్రతీ కోణము 60° కన్నా తక్కువ ఉన్న త్రిభుజము సాధ్యమా ?
సాధన.
ప్రతీ కోణము 60° కన్నా తక్కువ ఉన్న త్రిభుజము ఆసాధ్యము.
కారణము: ప్రతీ కోణము 60° కన్నా తక్కువ గల మూడు కోణాల మొత్తం 180° కన్నా తక్కువ అవుతుంది. కాని త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల మొత్తం 180° కు సమానం కావాలి.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 198]

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన పటంలో ‘x’ విలువ కనుగొనండి.

సాధన.
∠AHC లో ∠H = 60°, ∠C = 80°
∠A + ∠H + ∠C = 180°
⇒ ∠A + 60° + 80° = 180°
⇒ ∠A + 140° = 180°
⇒ ∠A = 180° – 140° = 40°.
∆ AHC మరియు ∆ TAE లలో,
∠TAE = ∠HAC (శీర్షాబిముఖి కోణాలు)
∴ ∠TAE = 40°
ఇప్పుడు ∆TAE లో,
∠A = 40°, ∠E = 70°, ∠T = x°
∴ ∠A + ∠E + ∠T = 180°
⇒ 40° + 70° + x = 180°
⇒ 110° + x = 180°
⇒ x = 180° – 11o°
∴ x = 70°
(లేదో)
∆ AHC లో ∠HAT బాహ్యకోణము
∴ ∠HAT = ∠H + ∠C = 60° + 80°
∴ ∠ HAT = 140°
అలాగే ∆TAE లో ∠TAH బాహ్యకోణము
∴ ∠TAH = 70° + x°
∠TAE = ∠HAT
7o° + x° = 140°
∴ x° = 140° – 70°
∴ x° = 70°

ఇవి చేయుండి కృత్య౦ [పేజి నెం. 202]

ప్రశ్న 1.
∆ABC లో ప్రతి భుజమును కొలిచి, క్రింది పట్టికలో నమోదు చేయండి.

పై పట్టిక నుండి, ఒక త్రిభుజంలోని ఏవైనా రెండు భుజముల మొత్తము, మూడవ భుజం కన్నా ఎక్కువ అని నిర్ధారించవచ్చు.
సాధన.

ప్రశ్న 2.

పై పట్టిక నుండి, ఒక త్రిభుజంలోని ఏవైనా రెండు భుజముల భేదము, మూడవ భుజం కన్నా తక్కువ అని నిర్థారించవచ్చు.
సాధన.

ప్రశ్న 3.

పై త్రిభుజాల కొలతలను బట్టి క్రింది పట్టికను పూరించండి.
పట్టికలోని చివరి నాలుగు నిలువు వరుసల నుండి మీరు ఏమి గమనించారు ?

ఏ త్రిభుజములో అయిన అతిచిన్న కోణమునకు ఎదురుగా ఉన్న భుజము మిగిలిన రెండు భుజముల కన్నా చిన్నది.
ఏ త్రిభుజములో అయిన అధిక కోణమునకు ఎదురుగా ఉన్న భుజము మిగిలిన రెండు భుజముల కన్నా పెద్దది.
సాధన.

ఆలోచించండి [పేజి నెం. 204]

ప్రశ్న 1.
సమబాహు త్రిభుజంలో కోణాల కొలతలు కనుగొనుము.
సాధన.

సమబాహు త్రిభుజంలోని మూడు భుజాలు సమానము. కావున, సమాన భుజాలకు ఎదురుగా గల మూడు కోణాలు కూడా సమానం అవుతాయి.
∴ సమబాహు త్రిభుజంలోని ఒక్కొక్క కోణం
= \(\frac{180^{\circ}}{3}\) = 60°
(లేదా)
ABC సమబాహు త్రిభుజం అనుకొందాము.
∴ AB = BC = AC
కావున, ∠C = ∠A = ∠B
(∵ సమాన భుజాలకు ఎదురుగా గల కోణాలు సమానాలు)
∠C = ∠A = ∠B = x అనుకొనుము
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ x + x + x = 180°
⇒ 3x = 180°
⇒ x = \(\frac{180^{\circ}}{3}\) = 60°
∴ ∠A = ∠B = ∠C = x = 60°
కావున, సమబాహు త్రిభుజంలోని కోణాలు 60°, 60°, 60°.

పజిల్ టైమ్ [పేజి నెం. 208]

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇచ్చిన సూచనలను ఉపయోగించి చతురస్రాకార పటములోని త్రిభుజముల అంతర కోణములను కనుగొనండి.

జవాబు.

ఉదాహరణలు

ప్రశ్న 1.
ఒక త్రిభుజంలోని రెండు కోణములు 43° మరియు 57°. మూడవ కోణమును కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశం నుండి త్రిభుజములోని రెండు కోణములు 43° మరియు 57°.
ఈ రెండు కోణముల మొత్తము
= 43° + 57° = 100°
త్రిభుజములో అంతర కోణముల మొత్తము 180°.
∵ మూడవ కోణం = 180° – 100° = 80°

ప్రశ్న 2.
క్రింద ఇచ్చిన త్రిభుజములలో ‘x’ విలువను కనుగొనండి.
(i)

సాధన.
పటము నుండి
∠A + ∠B + ∠C = 180°
(∵ త్రిభుజములో అంతర కోణముల మొత్తము 180°)
⇒ 65° + 60° + x = 180°
⇒ 125° + x = 180°
∴ x = 180° – 125° = 55°

(ii)

సాధన.
టము నుండి
∠P + ∠Q + ∠R = 180°
⇒ x + x + 80° = 180°
⇒ 2x + 80° = 180°
⇒ 2x = 180° – 80°
⇒ 2x = 100°
⇒ x = \(\frac{100^{\circ}}{2}\) = 50°
∴ x = 50°

(iii)

సాధన.
పటము నుండి
∠X + ∠Y + ∠Z = 180°
⇒ x + 90° + 42° = 180°
⇒ x + 132° = 180°
⇒ x = 180° – 132°
∴ x = 48°

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన త్రిభుజములో x మరియు y విలువలు కనుగొనండి.

సాధన.
∆ABC లో,
∠ACD + ∠ACB = 180° (రేఖీయ కోణాల ద్వయం)
110° + y = 180°
⇒ y = 180° – 1100
∴ y = 70° ——– (i)
∠BAC + ∠ACB + ∠CBA = 180°
⇒ x + y + 60° = 180°
⇒ x + 70° + 60° = 180° ((i) నుండి)
⇒ x + 130° = 180°
∴ x = 50°

ప్రశ్న 4.
లంబకోణ త్రిభుజములో ఒక అల్పకోణం 44° అయిన రెండవ అల్పకోణం కనుగొనండి.
సాధన.
లంబకోణ త్రిభుజములో రెండు అల్ప కోణాల మొత్తం 90°లు అని మనకు తెలుసు.
దత్తాంశం ప్రకారం లంబకోణ త్రిభుజములో ఒక అల్పకోణం = 44°
లంబకోణ త్రిభుజములో రెండవ అల్ప కోణం
= 90° – 44° = 46°

ప్రశ్న 5.
త్రిభుజంలోని కోణములు (x + 10)°, (x – 20)° మరియు (x + 40)°. ఆ కోణాలలో x విలువను మరియు ఆ కోణాల కొలతలను కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశం ప్రకారం త్రిభుజంలోని కోణములు
(x + 10)°, (x – 20)° మరియు (x + 40)°
(x + 10)° + (x – 20)° + (x + 40)° = 180°
⇒ x + 10° + x – 20° + x + 40° = 180°
⇒ 3x + 30° = 180°
⇒ 3x = 180° – 30°
⇒ 3x = 150°
⇒ x = \(\frac{150^{\circ}}{3}\) = 50°
ఆ కోణాలు, x + 10° = 50° + 10° = 60°
x – 20° = 50° – 20° = 30°
x + 40° = 50° + 40° = 90°
∴ కోణాల యొక్క కొలతలు 60°, 30° మరియు 90°.

ప్రశ్న 6.
∆ABCలో ∠C వద్ద బాహ్యకోణం = 105° మరియు ∠A = 65° అయిన రెండవ అంతరాభిముఖ కోణం కనుగొనండి.
సాధన.
దత్తాంశము నుండి ∠C వద్ద బాహ్యకోణం = 105°.
ఒక అంతరాభిముఖ కోణం ∠A = 65°.
రెండవ అంతరాభిముఖ కోణం ∠B.
∠A + ∠B = 105° (∵ త్రిభుజ బాహ్యకోణ ధర్మం)
65° + ∠B = 105°
⇒ ∠B = 105° – 65° = 40°

ప్రశ్న 7.
కింది త్రిభుజములో బాహ్యకోణం కనుగొనండి.

సాధన.
పటము నుండి, ∠P = 30°, ∠Q = 35°
R వద్ద బాహ్యకోణం = ∠P + ∠Q
(∵ త్రిభుజ బాహ్యకోణ ధర్మం)
= 30° + 35° = 65°

ప్రశ్న 8.
క్రింది పటం నుండి ‘x’ మరియు ‘y’ విలువలు కనుక్కోండి.

సాధన.
∠LNM + 110° = 180° (రేఖాఖండంపై కోణములు)
∠LNM = 180° – 110° = 70°
∠LMN = ∠LNM (సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉండే కోణాలు)
y = 70°
⇒ x + y = 110° (బాహ్యకోణ ధర్మము)
⇒ x + 70° = 110°
∴ x = 110° – 70° = 40°

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 5 త్రిభుజాలు Unit Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 5th Lesson త్రిభుజాలు Unit Exercise

ప్రశ్న 1.
ఒక త్రిభుజంలో ఎన్ని లంబకోణాలు ఉంటాయి ?
జ.
ఒక త్రిభుజంలో ఒకే ఒక లంబకోణం ఉండగలదు.

ప్రశ్న 2.
‘Z’ వద్ద లంబకోణము గల ∆XYZలో అతి పెద్ద భుజం ఏది?
సాధన.

∆ XYZ లో అతి పెద్ద భుజం = XY (కర్ణం)

ప్రశ్న 3.
త్రిభుజంలో ఏ రెండు కోణాల మొత్తం అయినా మూడవ కోణం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందా ? ఉదాహరణలతో వివరించండి.
సాధన.
త్రిభుజంలో ఏ రెండు కోణాల మొత్తం అయినా మూడవ
కోణం కంటే ఎక్కువగా ఉండాల్సిన అవసరం లేదు.
ఉదా 1: 110°, 30°, 40° గా గల అధిక కోణ’ త్రిభుజాన్ని తీసుకొందాం.
30° + 40° = 70° ఇది మూడవ కోణం 110° కన్నా తక్కువ.

ఉదా 2: 90°, 50°, 40° గా గల లంబకోణ త్రిభుజాన్ని తీసుకొందాం.
40° + 50° = 90° ఇది మూడవ కోణం 90’కు సమానము.

ఉదా 3: 50°, 60°, 70° గా గల అల్పకోణ త్రిభుజాన్ని తీసుకొంటే,
50° + 60° = 110°, 110° > 70°
60° + 70° = 130°, 130° > 50°
50° + 70° = 120°, 120° > 60°
అల్పకోణ త్రిభుజంలో మాత్రమే “త్రిభుజంలోని ఏ రెండు కోణాల మొత్తం అయిన మూడవ కోణం కంటే ఎక్కువ.” మిగిలిన లంబకోణ, అధికకోణ త్రిభుజాలలో ఏ రెండు కోణాల మొత్తం అయిన మూడవ కోణం కంటే ఎక్కువ కాదు.

ప్రశ్న 4.
దిగువ ఇచ్చిన కొలతలలో ఏవేని మూడు కొలతలను ఎన్నుకొని మూడు విభిన్న చెక్క త్రిభుజాకారాలను తయారు చేయండి.
11 మీ., 9 మీ., 3 మీ., 7 మీ. మరియు 5 మీ.
సాధన.
(i) 3 మీ., 7 మీ., 5 మీ.
(ii) 3 మీ., 9 మీ., 11 మీ.
(iii) 3 మీ., 7 మీ., 9 మీ.
కొలతలు భుజాలుగా గల త్రిభుజాలను తయారు చేయగలము.

ప్రశ్న 5.
దిగువ పేర్కొన్న త్రిభుజాలకు సరిపడు రెండు రకాలైన . కొలతలను పేర్కొనండి.
(i) లంబకోణ త్రిభుజం
సాధన.
(a) 90°, 40°, 50°
(b) 90°, 30°, 60°

(ii) అధికకోణ త్రిభుజం
సాధన.
(a) 110°, 30°, 40°
(b) 120°, 20°, 40°

(iii) అల్పకోణ త్రిభుజం
సాధన.
(a) 30°, 70°, 80°
(b) 60°, 60°, 60°

ప్రశ్న 6.
క్రింది పటములోని ‘x’ మరియు ‘y’ విలువలను కనుగొనుము.
సాధన.

ఇచ్చిన పటంలోని ∆ACL లో, AC = LC
∠L = ∠A = x°
అలాగే ∠C = 56° (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
ఇంకా ∠A + ∠L + ∠C = 180°
⇒ x + x + 56° = 180°
⇒ 2x + 56° = 180°
⇒ 2x = 180° – 56°
⇒ 2x = 124°
⇒ x = \(\frac{124^{\circ}}{2}\) = 62°
∴ x = 62°
y = ∠L + ∠C = x + 56°
y = 62° + 56° = 118°
(లేదా)
y + ∠CAL = 180° (రేఖీయద్వయం)
y + 62° = 180°
y = 180° – 62° = 118°
∴ x = 62°, y = 118°

ప్రశ్న 7.
త్రిభుజం ∆ABCలో కోణము ∠A, కోణము ∠Bకు నాలుగురెట్లు మరియు కోణము ∠C, కోణము ∠Bకు ఐదురెట్లు అయిన, మూడు కోణాలను కనుగొనుము.
సాధన.

∆ABC లో, ∠B = x° అనుకొందాం.
కావున, ∠A = 4x (లెక్క ప్రకారం కోణం ∠A, కోణం ∠B కి నాలుగు రెట్లు)
∠C = 5x (లెక్క ప్రకారం కోణం ∠C, కోణం ∠B కి ఐదు రెట్లు)
∠A + ∠B + ∠C = 180° (త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల మొత్తం 180°)
⇒ 4x + x + 5x = 180°
⇒ 10x = 180°
⇒ x = \(\frac{180^{\circ}}{10}\) = 18°
∴ ∠A = 4x° = 4(18°) = 72°,
∠B = x° = 18°
∠C = 5x° = 5(18°) = 90°
∴ ∆ABC యొక్క మూడు కోణాలు 72°, 18°, 90°.

ప్రశ్న 8.
గోడకు ఆనించి నిలబెట్టిన ఒక నిచ్చెన ఒక వైపు నేలతో 70° కోణం చేయుచున్న, నిచ్చెన రెండవ వైపు గోడతో చేయు కోణం ఎంత?
సాధన.

పటంలో AC నిచ్చెన, AB గోడ.
∆ABC లో, ∠B = 90° మరియు ∠C = 70°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + 90° + 70° = 180°
⇒ ∠A + 160° = 180°
⇒ ∠A = 180° – 160° = 20°
∴ నిచ్చెన రెండవ వైపు గోడతో చేయు కోణము
∠A = 20.

ప్రశ్న 9.
దిగువ తెలిపిన పట్టికను సరైన కొలతలతో పూరించండి. ఒక ఉదాహరణ ఇవ్వబడింది.

సాధన.

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 5 త్రిభుజాలు Ex 5.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 5th Lesson త్రిభుజాలు Exercise 5.4

ప్రశ్న 1.
త్రిభుజములోని రెండు భుజాలు 5 సెం.మీ. మరియు 4 సెం.మీ. అయిన మూడవ భుజమునకు సాధ్యమయ్యే మూడు కొలతలు రాయండి.
సాధన.
త్రిభుజంలోని రెండు భుజాలు 5 సెం.మీ. మరియు 4 సెం.మీ.
(మూడవ భుజమునకు సాధ్యమయ్యే కొలత 1 సెం.మీ. కన్నా ఎక్కువ, 9 సెం.మీ. కన్నా తక్కువగా ఉండాలి. 5 + 4 = 9, 5 – 4 = 1)
∴ మూడవ భుజమునకు సాధ్యమవు మూడు కొలతలు.
2 సెం.మీ., 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
రేఖా ఖండముల పొడవులు 3 సెం.మీ., 5 సెం.మీ., 6 సెం.మీ. మరియు 9 సెం.మీ.
(i) పై కొలతల నుండి ఏ మూడు కొలతలు త్రిభుజమును ఏర్పరుచునో చెప్పండి.
సాధన.
3 సెం.మీ., 5 సెం.మీ., 6 సెం.మీ. మరియు 5 సెం.మీ., 6 సెం.మీ., 9 సెం.మీ. పొడవు గల రేఖాఖండాలు త్రిభుజాలను ఏర్పరుస్తాయి.
(∵ ఏ రెండు భుజాల మొత్తమైనా మూడవ భుజం కన్నా ఎక్కువ).

(ii) ఏ కొలతలు త్రిభుజమును ఏర్పరచవు ? కారణం చెప్పండి.
సాధన.
3 సెం.మీ., 6 సెం.మీ., 9 సెం.మీ. పొడవు గల రేఖాఖండాలు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచవు.
కారణం: 3 సెం.మీ + 6 సెం.మీ. = 9 సెం.మీ.
రెండు భుజాల మొత్తం మూడవ భుజం కన్నా ఎక్కువ కావడం లేదు.

ప్రశ్న 3.
కింది త్రిభుజాలలో ‘x’ విలువను కనుగొనండి.
(i)

సాధన.
ఇచ్చిన త్రిభుజం PEN లో, PE = PN = 4 సెం.మీ.
కావున, ∠N = ∠E (∵ త్రిభుజంలో సమాన భుజాలకు ఎదురుగా గల కోణాలు సమానాలు)
∴ x = 65°

(ii)

సాధన.
ఇచ్చిన త్రిభుజంలో ∠A = ∠B = 56°
కావున, \(\overline{\mathrm{GB}}\) = \(\overline{\mathrm{GA}}\) (∵ సమాన కోణాలకు ఎదురుగా గల భుజాలు సమానాలు)
∴ x = 4.3 సెం.మీ.
ఒక త్రిభుజంలో మూడు కోణాల మొత్తం 180°.
∆BGA లో, ∠B + ∠G + ∠A = 180°
⇒ 56° + x + 56° = 180°
⇒ 112° + x = 180°
⇒ x = 180° – 112°
∴ x = 68°

ప్రశ్న 4.
∆ABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం, AB = AC. ∠A = 80° అయిన ∠B మరియు ∠C లను కనుగొనండి.
సాధన.

సమద్విబాహు త్రిభుజం ∆ABC లో AB = AC
కావున, ∠C = ∠B (∵ త్రిభుజంలో సమాన భుజాలకు ఎదురుగా గల కోణాలు సమానం)
ఇంకా ∠A + ∠B + ∠C = 180°
(∵ త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల మొత్తం 180°)
⇒ 80° + ∠B + ∠B = 180° (∠B = ∠C)
⇒ 80° + 2∠B = 180°
⇒ 2∠B = 180° – 80°
⇒ 2∠B = 100°
⇒ ∠B = \(\frac{100^{\circ}}{2}\) = 50°
∴ ∠C = 50°

ప్రశ్న 5.
క్రింద ఇవ్వబడిన త్రిభుజాలలోని ‘X’ విలువలు కనుక్కోండి.
(i)

సాధన.
ఇచ్చిన త్రిభుజం POR లో, ∠P = 53°
PQ = QR కావున ∠R = ∠P
(∴ త్రిభుజంలో సమాన భుజాలకు ఎదురుగా గల కోణాలు సమానం)
∴ ∠R = 53°
ఇంకా ∠P + ∠Q + ∠R = 180°
⇒ 53° + x + 53° = 180°
⇒ 106° + x = 180°
⇒ x = 180° – 106
∴ x = 74°

(ii)

సాధన.
ఇచ్చిన త్రిభుజం ∆LMN లో,
బాహ్యకోణం ∠L = 110° మరియు ∠M = ∠N
కావున, ∠N = ∠M = x
∴ ∠M + ∠N = 110° (∵ త్రిభుజ బాహ్యకోణం, దాని అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం)
⇒ x + x = 110°
⇒ 2x = 110°
∴ x = \(\frac{110^{\circ}}{2}\) = 55°

ప్రశ్న 6.
క్రింద ఇవ్వబడిన పటము నుండి ఈ క్రింద ఇవ్వబడిన వాక్యములు ఏవి సత్యములు ?

(i) OY < OT
సాధన.
సత్యము.
[కారణం: ∠T = 40° మరియు ∠Y = 50°
∠T మిగిలిన రెండు కోణాల కన్నా చిన్నది.
కావున, ∠T కి ఎదరుగా గల భుజం OY మిగిలిన రెండు భుజాల కన్నా చిన్నది.]
= ∠T + ∠Y = 90°
= ∠T = 90° – 50°
∴ ∠T = 40

(ii) TY < TO
సాధన.
అసత్యము.
[కారణం: 20 మిగిలిన రెండు కోణాల కన్నా పెద్దది. కావున, 20 కు ఎదురుగా గల భుజం మిగిలిన రెండు భుజాల కన్నా పెద్దది.]

(iii) ∠Y < ∠T
సాధన.
అసత్యము.
[కారణం: ∠Y = 50°, ∠T = 40°]

(iv) TY < OY
సాధన.
అసత్యము.
[కారణం: ∠O మిగిలిన రెండు కోణాల కన్నా పెద్దది. కావున, ∠O కు ఎదురుగా గల భుజం మిగిలిన రెండు భుజాల కన్నా పెద్దది.]

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 5 త్రిభుజాలు Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 5th Lesson త్రిభుజాలు Exercise 5.3

ప్రశ్న 1.
∆XYZ యొక్క బాహ్యకోణాలు వ్రాయండి.

సాధన.
∆XYZ యొక్క బాహ్యకోణాలు
(i) ∠YXP (ii) ∠ZYQ (iii) ∠XZR

ప్రశ్న 2.
కింది ఇచ్చిన త్రిభుజాలలో బాహ్యకోణాలను కనుగొనుము.
(a)

సాధన.
బాహ్యకోణం ∠ACD = 60° + 73° = 133° (త్రిభుజ బాహ్యకోణ ధర్మం)
(∵ త్రిభుజములోని బాహ్యకోణం, దాని అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం)

(b)

సాధన.
ఇచ్చిన త్రిభుజంలో ∠D = 90°,
బాహ్యకోణం ∠DFR = 90° + 30°
(త్రిభుజ బాహ్యకోణ ధర్మం) = 120°

ప్రశ్న 3.
కింది ఇచ్చిన త్రిభుజాలలో ‘x’ యొక్క విలువ కనుగొనుము.
(a)

సాధన.
⇒ 35° + x = 70° (త్రిభుజ బాహ్యకోణ ధర్మం )
⇒ x = 70° – 350
∴ x = 35°

(b)

సాధన.
3x + 4x = 119° (త్రిభుజ బాహ్యకోణ ధర్మం )
⇒ 7x = 119°

∴ x = 17°

ప్రశ్న 4.
ఒక త్రిభుజములోని బాహ్యకోణం 110° మరియు అంతరాభిముఖ కోణాలు x° మరియు (x + 10)° అయిన ‘x’ విలువ కనుగొనండి.
సాధన.
ఒక త్రిభుజంలోని బాహ్యకోణం 110° మరియు దాని అంతరాభిముఖ కోణాలు x° మరియు x + 10°.
⇒ x + x + 10° = 110°
⇒ 2x + 10° = 110°
⇒ 2x = 110° – 10°
⇒ 2x = 100°
⇒ x = \(\frac{100^{\circ}}{2}\)
∴ x = 50°

ప్రశ్న 5.
ఇచ్చిన త్రిభుజములలో ‘x’ మరియు ‘y’ విలువలు కనుగొనండి.
(a)

సాధన.
∆ABC లో,
బాహ్యకోణం ∠ACD = ∠A + ∠B (∵ త్రిభుజ బాహ్యకోణ ధర్మం) .
⇒ x = 40° + 60°
∴ x = 100°
∆ ECD st af bogstrao
∠DEA = ∠C + ∠D
⇒ y = x + 45°
⇒ y = 100° + 45° [∵ x = 100°]
⇒ y = 145°
∴ x = 100°, y = 145°

(b)

సాధన.
∆MNL లో,
బాహ్యకోణం ∠NLQ = ∠LMN + ∠MNL (∵ త్రిభుజ బాహ్యకోణ ధర్మం)
120°= y + 70°
⇒ y + 70° = 120°
⇒ y = 120°- 70°
∴ y = 50°
అలాగే x + y = 180° (రేఖీయద్వయం)
⇒ x + 50° = 180° [∵ y = 50°]
⇒ x = 180°- 50°
⇒ x = 130°
∴ x = 130°, y = 50°

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 5 త్రిభుజాలు Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 5th Lesson త్రిభుజాలు Exercise 5.2

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇచ్చిన కోణాలలో ఏవి త్రిభుజమును ఏర్పరచును ?
(a) 60°, 70°, 80°
సాధన.
60°, 70, 80°.
మూడు కోణాల మొత్తం = 60° + 70° + 80°
= 210° ≠ 180°
కావున, ఇచ్చిన కోణాలు త్రిభుజమును ఏర్పరచవు.

(b) 65°, 45°, 70°
సాధన.
65°, 45°, 70°.
మూడు కోణాల మొత్తం
= 65° + 45° + 70° = 180°
కావున, ఇచ్చిన కోణాలు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

(c) 40°, 50°, 60°
సాధన.
40°, 50°, 60°
మూడు కోణాల మొత్తం = 40° + 50° + 60°
= 150° ≠ 180°
కావున, ఇచ్చిన కోణాలు త్రిభుజమును ఏర్పరచవు.

(d) 60°, 30°, 90°
సాధన.
60°, 30°, 90°.
మూడు కోణాల మొత్తం
= 60° + 30° + 90° = 180°
కావున, ఇచ్చిన కోణాలు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

(e) 38°, 102°, 40°
సాధన.
38°, 102°, 40°
మూడు కోణాల మొత్తం
= 38° + 102° + 40° = 180°
కావున, ఇచ్చిన కోణాలు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

(f) 100°, 30°, 45°
సాధన.
100°, 30°, 45°
మూడు కోణాల మొత్తం
= 100° + 30° + 45° = 175° = 180°
కావున, ఇచ్చిన కోణాలు త్రిభుజమును ఏర్పరచవు.

ప్రశ్న 2.
త్రిభుజంలోని రెండు అంతర కోణాల మొత్తము 105° అయిన మూడవకోణం కనుగొనండి.
సాధన.

∆ABC లో రెండు అంతర కోణాల మొత్తం 105°.
∠A + ∠B = 105° అనుకొనుము.
∆ABC లో, ∠A + ∠B + ∠C = 180° అని మనకు తెలుసు.
⇒ 105° + ∠C = 180°
⇒ 105° + ∠C – 105° = 180° – 105°
⇒ ∠C = 75°
∴ మూడవ కోనం = 75.

ప్రశ్న 3.
∆PQRలో ∠P = 65°మరియు ∠Q = 50° అయిన ∠Rను కనుగొనండి.
సాధన.

∆PQR లో ∠P = 65°, ∠Q = 50°, ∠R = ?
త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల మొత్తం = 180°
∴ ∠P + ∠Q + ∠R = 180°
⇒ 65° + 50° + R = 180°
⇒ 115° + ∠R = 180°
⇒ ∠R = 180° – 115°
∴ ∠R = 65°

ప్రశ్న 4.
క్రింది త్రిభుజములలో మిగిలిన కోణమును కనుగొనండి.
(a)

సాధన.
∠K = 60°, ∠V = 70°, ∠S = ?
⇒ ∠K + ∠V + ∠S = 180°
⇒ 60° + 70° + ∠S = 180°
⇒ 130° + ∠S = 180°
⇒∠S = 180° – 1300
∴ ∠S = 50°

(b)

సాధన.
∠B = 105°, ∠U = 55°, ∠N = ?
⇒ ∠B + ∠U + ∠N = 180°
⇒ 105° + 55° + ∠N = 180°
⇒ 160° + ∠N = 180°
⇒ ∠N = 180° – 160°
∴ ∠N = 20°

(c)

సాధన.
∠T = 38°, ∠A = 90°, ∠P = ?
⇒ ∠T +∠A + ∠P = 180°
⇒ 38° + 90° + ∠P = 180°
⇒ 128° + ∠P = 180°
⇒ ∠P = 180° – 128°
∴ ∠P = 52°
(లేదా)
లంబకోణ త్రిభుజంలో లంబకోణేతర కోణాలు పూరకాలు.
∴ ∠T + ∠P = 90°
⇒ 38° + ∠P = 90°
⇒ ∠P = 90° – 38°
∴ ∠P = 52°

ప్రశ్న 5.
క్రింద ఇచ్చిన త్రిభుజములలో ‘x’ విలువను కనుగొనండి.
(a)

సాధన.
∆CUT లో, ∠C = 64°, ∠U = 46°
మరియు బాహ్యకోణం 2CTE = x = ?
∆CUT లో,
∠C + ∠U + ∠T = 180° అని మనకు తెలుసు.
⇒ 64° + 46° + ∠T = 180°
⇒ 110° + ∠T = 180°
⇒ 110° + ∠T – 110° = 180° – 110°
∴ ∠UTC = ∠T = 70°
∠UTC + ∠CTE = 180° (రేఖీయ కోణాల జత)
⇒ 70° + x° = 180°
⇒ 70° + x° – 70° = 180° – 70°
∴ x = 110°

(b)

సాధన.
∠N = 78°, ∠T = x, ∠E = x
∠N + ∠T + ∠E = 180°
⇒ 78° + x + x = 180°
⇒ 78° + 2x = 180°
⇒ 2x = 180° – 78°
⇒ 2x = 102°

∴ x = 51°

ప్రశ్న 6.
క్రింద ఇచ్చిన త్రిభుజాలలో ‘x’ మరియు ‘y’ విలువలు కనుగొనండి.
(a)

సాధన.
∠T = 60°, ∠0 = y
∠OPT = x మరియ ∠QPR = 68°
x = 68° (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∆TOP లో,
∠T + ∠O + ∠P = 180°
⇒ 60° + y + x = 180°
⇒ 60° + y + 68° = 180°
⇒ y + 128° = 180
⇒ y = 180° – 128°
∴ y = 52°

(b)

సాధన.
∠E = 70°, ∠F = 74°
∠FGE = x మరియు ∠EGH = y
∠E +∠F + ∠G = 180°
⇒ 70° + 74° + X = 180°
⇒ 144° + X = 180°
⇒ x = 180° – 144°
⇒ x = 36°
∴ x + y = 180° (రేఖీయద్వయం)
⇒ 36° + y = 180°
⇒ y = 180° – 36°
∴ y = 144°

ప్రశ్న 7.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో ఒక అల్ప కోణం 37° అయిన రెండవ అల్ప కోణం కనుగొనండి.
సాధన.

ఒక లంబకోణంలో ఒక అల్పకోణం = 37°
రెండవ అల్పకోణం = ?
లంబకోణ త్రిభుజంలోని రెండు అల్పకోణాల మొత్తం = 90°
∴ రెండవ అల్పకోణం = 90° – 37° = 53°
(లేదా)
లంబకోణ త్రిభుజంలోని రెండవ అల్పకోణం = x
అనుకొనుము ఇప్పుడు లంబకోణ త్రిభుజంలోని కోణాలు = 37°, 90°, x°
∴ 37° + 90° + x° = 180°
⇒ 127° + x° = 180°
⇒ x° = 180° – 127° = 53°
∴ రెండవ అల్పకోణము = 53°.

ప్రశ్న 8.
త్రిభుజాకారంలో ఉన్న సైన్ బోర్డ్ యొక్క మూడు అంతర కోణాలు వరుసగా 2x°, (x – 10)°, (x + 30)° అయిన ఆ కోణాలు కనుగొనండి.
సాధన.
త్రిభుజాకారంలోని సైన్ బోర్డ్ యొక్క మూడు అంతర .
కోణాలు 2x°, (x – 10)°, (x +30)°.
∴ 2x° + (x – 10)° + (x + 30)° = 180°
(∵ త్రిభుజంలోని మూడు అంతర కోణాల మొత్తం 180°)

⇒ 4x° + 20° = 180°
⇒ 4x° = 180° – 20°
⇒ 4x° = 160°
⇒ x° = \(\frac{160^{\circ}}{4}\)
∴ x = 40°
∴ త్రిభుజంలోని కోణాలు : –
1వ కోణం = 2x° = 2(40) = 80°
2వ కోణం = (x – 10° = (40 – 10)° = 30°
3వ కోణం = (x + 30)° = (40 + 30)° = 70°

సరిచూచుట:
80° + 30° + 70° = 180°

ప్రశ్న 9.
త్రిభుజం యొక్క ఒక కోణం 80° మరియు మిగిలిన రెండు కోణాలు సమానం అయిన వాటిని కనుగొనుము.
సాధన.
త్రిభుజం యొక్క ఒక కోణం = 80°
రెండు సమాన కోణాలను ఒక్కొక్కటి x° అనుకొందాం.
⇒ 80° + x° + x° = 180°
⇒ 80° + 2x° = 180°
⇒ 2x° = 180° – 80
⇒ 2x = 100°
⇒ x = \(\frac{100^{\circ}}{2}\) = 50°
∴ రెండు సమాన కోణాలు 50°, 50°.
(లేదా)
త్రిభుజంలో మూడు కోణాల మొత్తం = 180°
అందులో ఒక కోణం = 80°
∴ మిగిలిన రెండు కోణాల మొత్తం = 180° – 80° = 100°
మిగిలిన రెండు కోణాలు సమానం.
కావున, మిగిలిన రెండు కోణాలలో ఒక్కొక్క కోణం
= \(\frac{100^{\circ}}{2}\) = 50°

ప్రశ్న 10.
క్రింది ప్రవచనాలు సత్యమో, అసత్యమో వ్రాసి, అసత్య ప్రవచనాలను కారణంగా వివరించండి.
(i) త్రిభుజం రెండు లంబ కోణాలు కలిగి ఉండవచ్చు.
జవాబు
అసత్యం

కారణం: రెండు లంబకోణాల మొత్తం
90° + 90° = 180°
అపుడు త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల మొత్తం 180° కన్నా ఎక్కువ అవుతుంది. కావున, త్రిభుజంలో రెండు లంబకోణాలు అసాధ్యము.

(ii) త్రిభుజం రెండు అల్ప కోణాలు కలిగి ఉండవచ్చు.
జవాబు
సత్యం

(iii) త్రిభుజం రెండు అధిక కోణాలు కలిగి ఉండవచ్చు.
జవాబు
అసత్యం

కారణం: రెండు అధిక కోణాల మొత్తం 180° కన్నా ఎక్కువ అవుతుంది. ఈ సందర్భంలో త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల మొత్తం 180° కన్నా ఎక్కువ అవుతుంది. కావున, త్రిభుజంలో రెండు అధిక కోణాలు అసాధ్యము.

ప్రశ్న 11.
త్రిభుజం యొక్క కోణాలు 2:4:3 నిష్పత్తిలో ఉన్నచో, ఆ కోణాలు కనుగొనండి.
సాధన.
త్రిభుజం యొక్క కోణాల నిష్పత్తి = 2 : 4 : 3.
కావున, ఆ త్రిభుజ కోణాలు = 2x°, 4x°, 3x° అనుకొందాము.
∴ 2x° + 4x° + 3x° = 180° (త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల మొత్తం 1809)
⇒ 9x° = 180°
⇒ x° = \(\frac{180^{\circ}}{9}\) = 20°
∴ త్రిభుజ కోణాలు :
1వ కోణం = 2x° = 2(20°) = 40°
2వ కోణం = 4x° = 4(20°) = 80°
3వ కోణం = 3x° = 3(20°) = 60°
(లేదా)
1వ కోణం = \(\frac{180}{(2+4+3)}\) × 2

2వ కోణం = \(\frac{180}{(2+4+3)}\) × 4

3వ కోణం = \(\frac{180}{(2+4+3)}\) × 3

సరిచూచుట: 40° + 80° + 60° = 180°

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 5 త్రిభుజాలు Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 5th Lesson త్రిభుజాలు Exercise 5.1

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇచ్చిన త్రిభుజాలను భుజాల పొడవుల ఆధారంగా వర్గీకరించండి.
(i)

సాధన.
∆ABC లో
AB ≠ BC ≠ AC
కావున, ∆ABC విషమబాహు త్రిభుజం.

(ii)

సాధన.
∆DEF లో
DE = EF = FD = 2 cm
కావున, ∆DEF సమబాహు త్రిభుజం.

(iii)

సాధన.
∆XYZ లో
XZ = YZ = 3.5 cm
కావున, ∆XYZ సమద్విబాహు త్రిభుజం.

(iv)

సాధన.
సమద్విబాహు త్రిభుజం.
(∵ రెండు భుజాలు సమానం)

(v)

సాధన.
సమబాహు త్రిభుజం.
(∵ మూడు భుజాలు సమానం)

(vi)

సాధన.
విషమబాహు త్రిభుజం.
(∵ రెండు భుజాలు సమానం కాదు కనుక)

ప్రశ్న 2.
క్రింద ఇచ్చిన త్రిభుజాలను కోణాల ఆధారంగా వర్గీ కరించండి.
(a)

సాధన.
ΔTUV లో
∠T = 90°
కావున, ΔTUV లంబకోణ త్రిభుజము.

(b)

సాధన.
ΔQRS లో ∠Q = 108°
కావున, ΔQRS అధికకోణ త్రిభుజం.

(c)

సాధన. ΔIJKలో ∠1 = 86°
కావున, ΔIJK అల్పకోణ త్రిభుజం.

ప్రశ్న 3.
క్రింద ఇచ్చిన త్రిభుజాలను కోణాలు, భుజాల ఆధారంగా 2. వర్గీకరించండి.
(a)

సాధన. ΔIJKలో IJ ≠ KJ ≠ IK
కావున, ΔIJK విషమబాహు అధికకోణ త్రిభుజం.

(b)

సాధన.
ΔLMN లో ∠M = 90° మరియు
LM ≠ MN ≠ LN
కావున, ΔLMN విషమబాహు లంబకోణ త్రిభుజము.

(c)

సాధన.
ΔTUV లో,
TU = UV = TV = 4.5 cm
కావున, ΔTUV సమబాహు త్రిభుజం.

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 5 త్రిభుజాలు Review Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 5th Lesson త్రిభుజాలు Review Exercise

ప్రశ్న 1.
ఏవైనా మూడు సరేఖీయాలు కాని బిందువులు A, B మరియు C లను కాగితముపై గుర్తించుము. వాటిని కలిపి త్రిభుజము గీసి, పేరు పెట్టుము.
జవాబు.

ప్రశ్న 2.
ఇచ్చిన త్రిభుజమును పరిశీలించి, క్రింది వాటికి జవాబులు వ్రాయండి.

(i) త్రిభుజము యొక్క అంతర బిందువులు రాయండి.
జవాబు.
త్రిభుజం యొక్క ఆంతర బిందువులు : A, C, D, J.

(ii) త్రిభుజము పైన ఉన్న బిందువులు రాయండి.
జవాబు.
త్రిభుజం పైన ఉన్న బిందువులు: B, E, G, P, Q, R.

(iii) త్రిభుజము యొక్క బాహ్య, బిందువులు రాయండి.
జవాబు.
త్రిభుజము యొక్క బాహ్య బిందువులు : F, H, I.

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన త్రిభుజమును పరిశీలించి, క్రింది వాటికి సమాధానాలు రాయండి.

(i) శీర్షము L నకు ఎదురుగా ఉన్న భుజము ………..
జవాబు.
\(\overline{\mathrm{KM}}\)

(ii) ∠K కు ఎదురుగా ఉన్న భుజము ….
జవాబు.
LM.

(iii) \(\overline{\mathrm{KL}}\) నకు ఎదురుగా ఉన్న కోణము
జవాబు.
∠M.

(iv) \(\overline{\mathrm{LM}}\) నకు ఎదురుగా ఉన్న శీర్షము.
జవాబు.
K.

ప్రశ్న 4.
క్రింద ఇచ్చిన కోణాలను అల్ప, అధిక మరియు లంబ కోణములుగా వర్గీకరించండి.
20°, 50°, 102°, 47°, 125°, 65°, 36°, 90°, 95° మరియు 110°.
సాధన.
అల్ప కోణాలు: 20°, 50°, 47°, 65°, 36°.
అధిక కోణాలు: 102°, 1259, 959, 110°
లంబ కోణము : 90°

ప్రశ్న 5.
ఇచ్చిన పటము నుండి ఖండన బిందువు మరియు మిళిత బిందువును వ్రాయండి.

సాధన.
ఖండన బిందువు: P
మిళిత బిందువు: Q

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 4th Lesson రేఖలు మరియు కోణాలు InText Questions

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పజి నెం. 132]

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన కోణాలకు పూరక కోణాలను కనుగొనండి.
(i) 27°
సాధన.
27°లకు పూరక కోణం = 90 – 27 = 63°

(ii) 43°
సాధన.
43°లకు పూరక కోణం = 90 – 43 = 47°

(iii) k°
సాధన.
k°లకు పూరక కోణం = (90 – k)°

(iv) 2°
సాధన.
2° లకు పూరక కోణం = 90 – 2 = 88°

ప్రశ్న 2.
ఇచ్చిన కోణాలకు సంపూరక కోణాలను కనుగొనండి.
(i) 13°
సాధన.
13°లకు ‘సంపూరక కోణం = 180 – 13 = 167°

(ii) 97°
సాధన.
97° లకు సంపూరక కోణం = 180 – 97 = 83°

(iii) a°
సాధన.
a° లకు సంపూరక కోణం = (180 – a°)

(iv) 46°
సాధన.
46°లకు సంపూరక కోణం = 180 – 46 = 134°

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన కోణాలకు సంయుగ్మ కోణాలను కనుగొనండి.
(i) 74°
సాధన.
74°లకు సంయుగ్మ కోణం = 360 – 74 = 286°

(ii) 180°
సాధన.
180° లకు సంయుగ్మ కోణం = 360 – 180 = 180°

(iii) m°
సాధన.
m° లకు సంయుగ్మ కోణం = (360 – m)°

(iv) 300°
సాధన.
300° లకు సంయుగ్మ కోణం = 360 – 300 = 60°

[పేజి నెం. 132]

(i) “రెండు అల్పకోణాలు, సంపూరక కోణాల జతను ఏర్పరచ లేవు” అని ఉమేష్ అన్నాడు. మీరు అంగీకరిస్తారా? కారణం తెల్పండి.
సాధన.
“రెండు అల్పకోణాలు, సంపూరక కోణాల జతను ఏర్పరచలేవు” అన్న ఉమేష్ వాదనతో అంగీకరిస్తాను.
కారణం: అల్పకోణము 90° కన్నా తక్కువ. 90° కన్నా తక్కువ అయిన రెండు కోణాల మొత్తం 180° కన్నా తక్కువగా ఉంటుంది. కాబట్టి ఉమేష్ అన్నట్లు “రెండు
అల్పకోణాలు, సంపూరక కోణాల జతను ఏర్పరచలేవు”.

(ii) “పూరక కోణాల జతలో ప్రతికోణం ఎల్లప్పుడూ అల్ప కోణమే” అని లోకేష్ అన్నాడు. మీరు అంగీకరిస్తారా? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.
సాధన.
“పూరక కోణాల జతలో ప్రతికోణం ఎల్లప్పుడూ అల్ప కోణమే” అన్న లోకేష్ వాదనతో నేను అంగీకరిస్తాను.
కారణం: పూరక కోణాల జతలోని ప్రతి కోణము అల్పకోణము అయినప్పుడు మాత్రమే వాని మొత్తం 90° అవుతుంది. పూరక కోణాల జతలో ఏదేని కోణం అల్పకోణం కాకపోతే వాని మొత్తం 90° కన్నా ఎక్కువ అవుతుంది. కాబట్టి, లోకేష్ అన్నట్లు “పూరక కోణాల జతలో ప్రతి కోణము ఎల్లప్పుడూ అల్పకోణమే”.

ఆలోచించండి [పేజి నెం. 138]

ప్రశ్న 1.
పటంలో, ∠AOB మరియు ∠BPC లు ఆసన్న కోణాలు కావు. ఎందుకు ? కారణం తెల్పండి.

సాధన.
∠AOB మరియు ∠BPCలు ఆసన్న కోణాలు కావు. ఎందుకనగా, రెండు కోణాలకు ఉమ్మడి శీర్షం లేదు.

ప్రశ్న 2.
పటంలో, ∠AOB మరియు ∠COD లకు ఉమ్మడి శీర్షం O. కాని ∠AOB, ∠COD ఆసన్న కోణాలు కావు. ఎందుకు ? కారణం తెల్పండి.

సాధన.
∠AOB మరియు ∠COD లకు ఉమ్మడి శీర్షం ‘O’ ఉన్నప్పటికి అవి ఆసన్న కోణాలు కావు. ఎందుకనగా, ఈ రెండు కోణాలకు ఉమ్మడి భుజం లేదు.

ప్రశ్న 3.
పటంలో, ∠POQ మరియు ∠POR లకు ఉమ్మడి శీర్షం 0 మరియు ఉమ్మడి భుజం OP గా కలవు. కానీ ∠POQ మరియు ∠PORలు ఆసన్నక్ కాలు కావు. ఎందుకు ? కారణం తెల్పండి.

సాధన.
∠POQ మరియు ∠POR లకు ఉమ్మడి శీర్షం ‘O’ మరియు ఉమ్మడి భుజం OP గా కలవు. కాని ఇవి ఆసన్న కోణాలు కావు. ఎందుకనగా ఈ రెండు కోణాలు ఉమ్మడి భుజానికి చెరొక వైపు లేవు.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 140]

క్రిందిపటం \(\overleftrightarrow{P R}\) ఒక సరళ రేఖ మరియు సరళ రేఖ \(\overleftrightarrow{P R}\) పై 0 ఒక బిందువు. \(\overleftrightarrow{O Q}\) ఒక కిరణం.

(i) ∠QOR = 50° అయిన ∠POQ విలువ ఎంత ?
సాధన.
∠QOR + ∠POQ = 180° (రేఖీయ ద్వయం)
⇒ 50° + ∠POQ = 180°
⇒ ∠POQ = 180° – 50° = 130°
∴ ∠POQ = 130°

(ii) ∠QOP = 102° అయిన ∠QOR విలువ ఎంత?
సాధన.
∠QOP + ∠QOR = 180° (రేఖీయ ద్వయం)
⇒ 102° + ∠QOR = 180°
⇒ ∠QOR = 180° – 102°
∴ ∠QOR = 78°

అన్వేషిద్దాం [పేజి నెం. 140]

ప్రశ్న 1.
రేఖీయద్వయం ఎల్లప్పుడూ ఆసన్నకోణాలు అవుతాయి. కానీ ఆసన్నకోణాలు ఎల్లప్పుడూ రేఖీయద్వయం కావలసిన అవసరం లేదు. మీరు అంగీకరిస్తారా ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించుటకు ఒక పటాన్ని గీయండి.
సాధన.
అంగీకరిస్తాను.

∠AOB, ∠BOC లు ఆసన్న కోణాలు కాని అవి రేఖీయద్వయం కావు.

ప్రశ్న 2.
రెండు కోణాలు 30° మరియు 150°ల మొత్తం 180° కనుక అవి రేఖీయద్వయం అవుతాయి అని మహేష్ చెప్పాడు. దీనిని నీవు అంగీకరిస్తావా ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.
సాధన.
మహేష్ వాదనను అంగీకరించను.

పై పటంలో ∠AOB = 309, ∠XYZ = 150° కాని అవి రేఖీయద్వయం కావు. కావున రెండు కోణాలు 30° మరియు 150°ల మొత్తం 180° కనుక అవి రేఖీయం అవుతాయి అని అంటున్న మహేష్ వాదనను అంగీకరించను.

ఆలోచించండి [పేజి నెం. 140]

(i) క్రింది పటంలో, \(\overleftrightarrow{A B}\) ఒక సరళరేఖ, సరళరేఖ \(\overleftrightarrow{A B}\) పై
0ఒక బిందువు. \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) ఒక కిరణం. ∠AOC అంతరంలో బిందువు D ని తీసుకొని, OD కలపండి.
∠AOD + ∠DOC + ∠COB ను కనుగొనండి.

సాధన.
∠AOC మరియు ∠COB లు రేఖీయ జత.
కాని, ∠AOC = ∠AOD + ∠DOC

⇒ ∠AOC + ∠COB = 180° (రేఖీయ జత)
⇒ ∠AOD + ∠DOC + ∠COB = 180°

(ii) క్రింది పటంలో AG ఒక సరళరేఖ, ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 విలువ కనుగొనండి.

సాధన.
∠AOC మరియు ∠COG లు రేఖీయ జత.
∠AOC + ∠COG = 180° (రేఖీయ జత)
కాని, ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
= ∠1 + ∠2
∠COG = ∠COD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOG
= ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 7
⇒ (∠AOB + ∠BOC) + (∠COD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOG) = 180°
⇒ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6
= 180°

ఇవి చేయండి కృత్యిం [పేజి నెం. 144]

ఒక తెల్ల కాగితం తీసుకోండి. ఈ కాగితంపై 3 విభిన్న జతల ఖండన రేఖలను గీయండి. అలా ఏర్పడిన కోణాలను కొలిచి, పట్టికలో నింపండి.

పై పట్టిక నుండి “శీర్షాభిముఖ కోణాలు సమానం” అని గమనించగలరు.
సాధన.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 146]

పటంలో మూడు సరళరేఖలు p, q మరియు r లు ఒక బిందువు 0 వద్ద ఖండించుకొనినవి. పటంలో కోణాలను పరిశీలించండి. క్రింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలు రాయండి.

(i) ∠1 కి శీర్షాభిముఖ కోణం ఏది ?
సాధన.
∠1 కి శీర్షాభిముఖ కోణం ∠4.

(ii) ∠6కి శీర్షాభిముఖ కోణం ఏది?
సాధన.
∠6 కి శీర్షాభిముఖ కోణం ∠3.

(iii) ∠2 = 50° అయిన ∠5 విలువ ఎంత ?
సాధన.
∠2 = 50° అయిన ∠5 = 50°. (∠2 మరియు ∠5 లు శీర్షాభిముఖ కోణాలు కావున ∠2 = ∠5)

ఆలోచించండి [పేజి నెం. 150]

(i) పటంలో సరళరేఖ l మిగిలిన రెండు సరళరేఖలు m, n లను వరుసగా A మరియు B బిందువుల వద్ద ఖండించినది. అందువల్ల l ఒక తిర్యగ్రేఖ అవుతుంది. పటంలో ఇంకా ఏమైనా తిర్యగ్రేఖలు ఉన్నాయా? కారణం తెల్పండి.
సాధన.
m, n లు కూడా తిర్యగ్రేఖలు అవుతాయి.
కారణం: m సరళరేఖ, మిగిలిన రెండు సరళరేఖలు l, nలను A, C అనే బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది. కావున, m ఒక తిర్యగ్రేఖ అవుతుంది. అలాగే సరళరేఖ n, మిగిలిన రెండు సరళరేఖలు l, m లను B, C బిందువుల వద్ద ఖండించుచున్నది. కావున n ఒక తిర్యగ్రేఖ అవుతుంది.

(ii) ఒక జత సరళరేఖలకు ఎన్ని తిర్యగ్రేఖలను గీయవచ్చు?
సాధన. ఒక జత సరళరేఖలకు అనంత తిర్యగ్రేఖలను గీయ వచ్చును.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 152]

పటం (i) మరియు (ii) లను గమనించి, పట్టికను పూరించండి.


సాధన.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 156]

పటంలో p || q మరియు t ఒక తిర్యగ్రేఖ.

పటంలో కోణాలను పరిశీలించి, క్రింది వానికి జవాబులు రాయండి.
(i) ∠1 = 100° అయిన ∠5 విలువ ఎంత ?
సాధన.
∠1 = 100° అయిన ∠5 = 100° (సదృశ కోణాలు)

(ii) ∠8 = 80° అయిన ∠4 విలువ ఎంత ?
సాధన.
∠8 = 80° అయిన ∠4 = 80° (సదృశ కోణాలు)

(iii) ∠3 = 145° అయిన ∠7 విలువ ఎంత ?
సాధన.
∠3 = 145° అయిన ∠7 = 145° (సదృశ కోణాలు)

(iv) ∠6 = 30° అయిన ∠2 విలువ ఎంత ?
సాధన.
∠6 = 30° అయిన ∠2 = 30° (సదృశ కోణాలు)

ఆలోచించండి [పేజి నెం. 156]

ఒక జత సమాంతర రేఖలను తిర్యగ్రేఖ ఖండించినప్పుడు ఏర్పడే ఏక బాహ్య కోణాల మధ్య గల సంబంధం ఏమిటి?
సాధన.
ఒక జత సమాంతర రేఖలను తిర్యగ్రేఖ ఖండించినపుడు ఏర్పడే ఏక బాహ్య కోణాలు సమానాలు.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో, [పేజి నెం. 160]

ప్రశ్న 1.
పటంలో m || n మరియు l ఒక తిర్యగ్రేఖ.

(i) ∠3 = 116° అయిన ∠5 విలువ ఎంత అవుతుంది?
సాధన.
∠3 = 116° అయిన ∠5 = 116° (ఏకాంతర కోణాలు)

(ii) ∠4 = 51° అయిన ∠5 విలువ ఎంత అవుతుంది?
సాధన.
∠4 + ∠5 = 180°
(తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు గల అంతరంగా గల కోణము సంపూరకాలు)
⇒ 51° + ∠5 = 180°
⇒ ∠5 = 180° – 51° = 129°

(iii) ∠1 = 123° అయిన ∠7 విలువ ఎంత అవుతుంది?
సాధన.
∠1 = 123° అయిన ∠7 = 123° (సదృశ కోణాలు)

(iv) ∠2 = 66° అయిన ∠7 విలువ ఎంత అవుతుంది?
సాధన.
∠2 = 66° అయిన ∠7 = 114°
(తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు గల బాహ్యంగా గల కోణాలు సంపూరకాలు)
∴ ∠2 + ∠7 = 180°
∠7 = 180° – 66° = 114°

ఆలోచించండి [పేజి నెం. 160]

ఒక జత సమాంతర రేఖలను తిర్యగ్రేఖ ఖండించినప్పుడు ఏర్పడే సహబాహ్య కోణాల మధ్య గల సంబంధం ఏమిటి?
సాధన.
ఒక జత సమాంతర రేఖలను తిర్యగ్రేఖ ఖండించినపుడు ఏర్పడే సహబాహ్య కోణాలు సంపూరకాలు.

ఇవి చేయండి కృత్యం [పేజి నెం. 160]

ఒక తెల్ల కాగితాన్ని తీసుకొనుము. పటం 1 లో చూపిన విధంగా దానిపై సమాంతరంగా లేని రెండు సరళరేఖలు p మరియు q లను గీయండి. వాటిని ఖండించేటట్లు ఒక తిర్యగ్రేఖ r ను గీయండి. అప్పుడు ఏర్పడిన సదృశకోణాలు జతలను కొలిచి పట్టికను పూరించండి.

సాధన.

నీ ప్రగతిని సరిచూసుకో [పేజి నెం. 162]

పటాన్ని పరిశీలించి, క్రింద ఇచ్చిన ప్రతిదానిలో ఉపయోగించిన న్యాయాన్ని వ్రాయండి.

(i) ∠3 = ∠5 అయిన p || q.
సాధన.
ఏకాంతర కోణాల జత సమానము, కనుక ఆ రెండు సరళరేఖలు (p మరియు q) సమాంతరాలు.

(ii) ∠3 + ∠6 = 180° అయిన p || q.
సాధన.
తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపు గల అంతర కోణాలు సంపూరకాలు. కనుక, ఆ రెండు సరళరేఖలు (p మరియు q) సమాంతరాలు.

(iii) ∠3 = ∠8 అయిన p || q.
సాధన.
సదృశ కోణాల జత సమానము. కనుక, ఆ రెండు సరళరేఖలు (p మరియు q) సమాంతరాలు.

(iv) p || q అయిన ∠1 = ∠8.
సాధన.
సమాంతర రేఖలను తిర్యగ్రేఖ ఖండించినపుడు ఏర్పడిన ఏక బాహ్య కోణాలు సమానము.

అన్వేషిద్దాం [పేజి నెం. 162]

ప్రశ్న 1.
ఒక జత సరళరేఖలను తిర్యగ్రేఖ ఖండించినపుడు ఏర్పడిన ఏక బాహ్యకోణాల జత సమానం అయిన ఆ రెండు సరళరేఖలు గూర్చి నీవేమి చెప్పగలవు ?
సాధన.
ఆ రెండు సరళరేఖలు సమాంతరాలు.

ప్రశ్న 2.
ఒక జత సరళరేఖలను తిర్యగ్రేఖ ఖండించినపుడు ఏర్పడిన సహబాహ్యకోణాల జత సంపూరకాలు అయినచో ఆ రెండు సరళరేఖలు గూర్చి నీవేమి చెప్పగలవు ?
సాధన.
ఆ రెండు సరళరేఖలు సమాంతరాలు.

తార్కిక విభాగం , తార్కిక వెన్ చిత్రాలు [పేజి నెం. 170]

వస్తువుల మధ్య సంబంధాలను లేదా వస్తువుల యొక్క చిన్న సమూహాల మధ్య సంబంధాలను చూపించడానికి ఉపయోగించే వృత్తాలే వెన్ చిత్రం. ఓవర్ ల్యాప్ అయ్యే వృత్తాల లక్షణాలు ఉమ్మడిగా ఉంటూ, ఓవర్ ల్యాప్ కాని వృత్తాలు వాటి లక్షణాలను పంచుకోవు. వెన్ చిత్రాలు మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ భావనల మధ్య ఉండే పోలికలు మరియు తేడాలను దృశ్యపరంగా ప్రాతినిధ్యం వహించడానికి సాయపడతాయి

ఉదాహరణలు

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన పటంలో ∠B మరియు ∠E లు పూరక కోణాలు అయిన X యొక్క విలువను కనుగొనండి.

సాధన.
పటం నుండి, ∠B = x + 10° మరియు ∠E = 35°
∠B మరియు ∠E లు పూరక కోణాలు కనుక, ∠B + ∠E = 90°
⇒ x + 10° + 35° = 90°
⇒ x + 45° = 90°
⇒ x = 90°- 45°
∴ x = 45°

ప్రశ్న 2.
సంపూరక కోణాల నిష్పత్తి 4 : 5 అయిన ఆ రెండు కోణాలను కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన సంపూరక కోణాల నిష్పత్తి = 4 : 5
నిష్పత్తిలో భాగాల యొక్క మొత్తం = 4 + 5 = 9
సంపూరక కోణాల మొత్తం = 180°
మొదటి కోణం = \(\frac{4}{9}\) × 180° = 80°
రెండవ కోణం = \(\frac{5}{9}\) × 180 ° = 100°

ప్రశ్న 3.
ఒకదానితో మరొకటి సమానంగా ఉండే రేఖీయ కోణాల జతను కనుగొనండి.
సాధన.
సమానంగా గల రేఖీయ కోణాల జతను X° మరియు
x° అని అనుకొనుము.
x° + x° = 180°
2x° = 180°
x° = \(\frac{180^{\circ}}{2}\)
x° = 90°
కనుక, ఒక్కొక్క కోణం = 90°

ప్రశ్న 4.
ఇచ్చిన పటంలో \(\overleftrightarrow{P S}\) ఒక సరళరేఖ అయిన x° కనుగొనండి.

సాధన.
ఇచ్చిన పటం నుండి, ∠POQ = 60°
∠QOR = x°
∠ROS = 47°
కాని, ∠POQ + ∠QOR + ∠ROS = 180°
⇒ 60° + x° + 47° = 180°
⇒ x° + 107° = 180°
⇒ x° = 180° – 107°
∴ x° = 73°

ప్రశ్న 5.
క్రింది పటాన్ని గమనించి, X, Y మరియు z విలువలను కనుగొనండి.

సాధన.
పటం నుండి, x = 110° (శీర్షాభిముఖ కోణాలు సమానం )
y + 110° = 180°
y = 180° – 110° = 70°
z = y
z = 70°
కనుక, x = 110°, y = 70° మరియు z = 70°

ప్రశ్న 6.
ఇచ్చిన పటంలో \(\overrightarrow{\mathbf{A B}}\)||\(\overrightarrow{\mathbf{C D}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathbf{A E}}\) ఒక తిర్యగ్రేఖ. ∠BAC = 120° అయితే X మరియు y లను కనుగొనండి.

సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో \(\overrightarrow{\mathbf{A B}}\)||\(\overrightarrow{\mathbf{C D}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathbf{A E}}\) ఒక తిర్యగ్రేఖ.
∠BAC = 120°
∠ACD = x
∠DCE = y
∠BAC = ∠DCE (సదృశకోణాలు సమానం)
∴ y = 120°
x + y = 180 ° (రేఖీయ ద్వయం సంపూరకాలు)
x + 120° = 180°
x = 180° – 120°
∴ x = 60°
కనుక x = 60°, y = 120°.

ప్రశ్న 7.
ఇచ్చిన పటంలో, \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) ఒక తిర్యగ్రేఖ అయిన X ను కనుగొనండి.

సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో, \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) ఒక తిర్యగ్రేఖ.
∠C = x + 35° మరియు ∠B = 60°
∠C = ∠B (∵ ఏకాంతర కోణాలు సమానం)
x + 35° = 60°
x = 60° – 35°
∴ x = 25°

ప్రశ్న 8.
పటంలో \(\overrightarrow{\mathrm{MN}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{KL}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{MK}}\) ఒక తిర్యగ్రేఖ అయిన X ను కనుక్కోండి.

సాధన.
పటంలో \(\overrightarrow{\mathrm{MN}}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{KL}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{MK}}\) ఒక తిర్యగ్రేఖ.
పటం నుండి, ∠M = 2x మరియు ∠K= x + 30°
∠M + ∠K= 180°
(తిర్యగ్రేఖకు ఒకే వైపున గల అంతర కోణాల జత సంపూరకాలు)
⇒ 2x + x + 30° = 180°
⇒ 3x + 30° = 180°
⇒ 3x = 180° – 30°
⇒ 3x = 150°
⇒ x = \(\frac{150^{\circ}}{3}\)
∴ x = 50°

ప్రశ్న 9.
ఇచ్చిన చిత్రంలో \(\overline{\mathrm{AB}}\)||\(\overline{\mathrm{DE}}\) మరియు వాటి మధ్యలో ఒక బిందువు C. పటాన్ని పరిశీలించి x, y మరియు ∠BCD విలువలను కనుగొనండి.

సాధన.
పటం నుండి
ఇచ్చిన చిత్రంలో \(\overline{\mathrm{AB}}\)||\(\overline{\mathrm{DE}}\) మరియు వాటి మధ్యలో ఒక బిందువు C.
\(\overline{\mathrm{AB}}\) కి సమాంతర రేఖ \(\overline{\mathrm{CF}}\) ను C నుండి గీయండి.
\(\overline{\mathrm{AB}}\)||\(\overline{\mathrm{CF}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{BC}}\) ఒక తిర్యగ్రేఖ.
x + 103° = 180°
x = 180° – 103°
x = 77°
పటం నుండి,
\(\overline{\mathrm{DE}}\) || \(\overline{\mathrm{CF}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{CD}}\) ఒక తిర్యగ్రేఖ.
y + 103° = 180°
y = 180° – 103°
y = 77°
మరియు ∠BCD = x + y
= 77° + 77°
= 154°

ప్రశ్న 10.
ఇచ్చిన పటంలో m, n లు రెండు సరళరేఖలు. p ఒక తిర్యగ్రేఖ. పటాన్ని పరిశీలించి m || n అవుతుందో, లేదో కనుక్కోండి.

సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో ఒక జత సదృశ కోణాలు ఒక్కొక్కటి 45° గా ఇవ్వబడింది. ఇవి సమానాలు. ఒక జత సరళ రేఖలను తిర్యగ్రేఖ ఖండించినపుడు ఏర్పడిన సదృశ కోణాల జత సమానం అయినచో ఆ రెండు సరళరేఖలు సమాంతరంగా ఉంటాయి. కనుక, m || n అవుతుంది.

సాధనా ప్రశ్నలు [పేజి నెం. 174]

పై పట్టికలోని ఏ సమూహం (ఎ, బి, సి, డి, ఇ, ఎఫ్), క్రింద ఇచ్చిన ప్రశ్నలకు చెందినదో సూచించండి.

ప్రశ్న 1.
రాష్ట్రము, జిల్లా, మండలం
జవాబు.
సమూహం: బి

వివరణ

ప్రశ్న 2.
బాలురు, బాలికలు, కళాకారులు
జవాబు.
సమూహం: సి

వివరణ

ప్రశ్న 3.
గంటలు, రోజులు, నిమిషాలు
జవాబు.
సమూహం: బి

వివరణ

ప్రశ్న 4.
మహిళలు, ఉపాధ్యాయుడు, వైద్యుడు
జవాబు.
సమూహం: సి

వివరణ

ప్రశ్న 5.
ఆహారము, పెరుగు, చెంచా
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ

ప్రశ్న 6.
మానవులు, నాట్యకారుడు, ఆటగాడు
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ

ప్రశ్న 7.
భవనము, ఇటుక, వంతెన
జవాబు.
సమూహం: సి

వివరణ

ప్రశ్న 8.
చెట్టు, కొమ్మ, ఆకు
జవాబు.
సమూహం: బీ

వివరణ

ప్రశ్న 9.
బంగారం, వెండి, ఆభరణాలు
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ

ప్రశ్న 10.
బల్బులు, స్విచ్ లు, ఎలక్ట్రికల్స్
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ

ప్రశ్న 11.
మహిళలు, నిరక్షరాస్యత, పురుషులు
జవాబు.
సమూహం: సి

వివరణ

ప్రశ్న 12.
మందులు, మాత్రలు, సిరప్
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ

ప్రశ్న 13.
క్యారెట్లు, ఆరెంజ్ లు, కూరగాయలు
జవాబు.
సమూహం: ఇ

వివరణ

ప్రశ్న 14.
జగ్, పుస్తకం, కుండ
జవాబు.
సమూహం: ఎ

వివరణ

ప్రశ్న 15.
బల్ల, ఫర్నిచర్, కుర్చీ
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ

ప్రశ్న 16.
పండ్లు, మామిడి, ఉల్లి
జవాబు.
సమూహం: ఇ

వివరణ

ప్రశ్న 17.
పాఠశాల, ఉపాధ్యాయుడు, విద్యార్థులు
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ

ప్రశ్న 18.
అరటి, చొక్కా, బల్బ్
జవాబు.
సమూహం: ఎ

వివరణ

ప్రశ్న 19.
భారతదేశం, ఆంధ్రప్రదేశ్, విశాఖపట్టణం
జవాబు.
సమూహం: బి

వివరణ

ప్రశ్న 20.
జంతువులు, ఆవులు, గుర్రాలు
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ

ప్రశ్న 21.
చేప, పులి, పాములు
జవాబు.
సమూహం: ఎ

వివరణ

ప్రశ్న 22.
పూలు, మల్లెపూలు, అరటి
జవాబు.
సమూహం: ఇ

వివరణ

ప్రశ్న 23.
రచయితలు, ఉపాధ్యాయులు, పురుషులు
జవాబు.
సమూహం: సి

వివరణ

ప్రశ్న 24.
కుక్క, చేప, చిలుక
జవాబు.
సమూహం: ఎ

వివరణ

ప్రశ్న 25.
గులాబి, పుష్పం, ఆపిల్
జవాబు.
సమూహం: ఇ

వివరణ

ప్రశ్న 26.
స్కూలు, క్లాస్ రూమ్, బెంచీలు
జవాబు.
సమూహం: బీ

వివరణ

ప్రశ్న 27.
కలము, స్టేషనరీ, పౌడర్
జవాబు.
సమూహం: ఇ

వివరణ

ప్రశ్న 28.
కాకి, పావురం, పక్షులు
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ

ప్రశ్న 29.
క్షీరదాలు, ఏనుగులు, డైనోసార్లు
జవాబు.
సమూహం: ఎఫ్

వివరణ

ప్రశ్న 30.
రచయితలు, ఉపాధ్యాయులు, పరిశోధకులు
జవాబు.
సమూహం: డి

వివరణ

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Unit Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 4th Lesson రేఖలు మరియు కోణాలు Unit Exercise

ప్రశ్న 1.
36° యొక్క పూరక, సంపూరక మరియు సంయుగ్మ కోణాలను కనుగొనండి.
సాధన.
36°ల యొక్క పూరక కోణం = 90° – 36° = 54°
36° ల యొక్క సంపూరక కోణం = 180° – 36° = 1440
36°ల యొక్క సంయుగ్మ కోణం = 360° – 36° = 324°

ప్రశ్న 2.
క్రింది పటాన్ని పరిశీలించండి. పటంలో ఏవైనా 4 జతల ఆసన్న కోణాలను రాయండి.

సాధన.
(i) ∠AOB, ∠BOC.
(ii) ∠BOC, ∠COD.
(iii) ∠COD, ∠DOE.
(iv) ∠DOE, ∠EOF.

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన పటంలో సరళరేఖలుl మరియు mలు 0 అనే బిందువు వద్ద ఖండించిన X విలువను కనుగొనండి.

సాధన.
పటంలో l, m లు ‘O’ వద్ద ఖండించుకొంటున్నాయి.
x° + 40° = 120° (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
x = 120° – 40°
∴ x = 80°

ప్రశ్న 4.
ఇచ్చిన పటంలో \(\overleftrightarrow{A E}\) ఒక సరళరేఖ. కోణాలు ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ల నిష్పత్తి 1 : 2 : 3 : 4 అయిన ఆ కోణాలను కనుగొనండి.

సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో \(\overleftrightarrow{A E}\) ఒక సరళరేఖ.
∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ల నిష్పత్తి 1 : 2 : 3 : 4.
∴ ∠1 = x°, ∠2 = 2x°, ∠3 = 3x°, ∠4 = 4x° అనుకొందాం.
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180° (సరళరేఖపై ఒక బిందువు వద్ద సరళరేఖకు ఒకేవైపు గల కోణాల మొత్తం 180°).
∴ x° + 2x° + 3x° + 4x° = 180°
⇒ 10x° = 180°
⇒ x° = \(\frac{180^{\circ}}{10}\) = 18°
∴ x = 18°
2x° = 2 × 18° = 36°
3x° = 3 × 18° = 54
4x° = 4 × 18° = 720
∴ ∠1 = x° = 18°, ∠2 = 2x° = 36°
∠3 = 3x° = 54°, ∠4 = 4x° = 72°
(లేదా)
నిష్పత్తుల మొత్తం = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

ప్రశ్న 5.
రేఖీయ కోణాల జతకు మీ పరిసరాల నుండి రెండు ఉదాహరణలు రాయండి.
సాధన.

• కిటికి నిలువు అడ్డు కమ్మీల మధ్య ఏర్పడు కోణాలు.
• కిటికీ తలుపు తెరచినపుడు తలుపు రెండు వైపులా ఏర్పడే కోణాలు.

ప్రశ్న 6.
“రెండు అధిక కోణాలు ఒక జత సంయుగ్మ కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి” అని మణి చెప్పెను. దీనిని మీరు అంగీ కరిస్తారా ? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించుము.
సాధన.
అంగీకరించను.
కారణం: అధిక కోణం విలువ 90° కన్నా ఎక్కువ 180° కన్నా తక్కువ ఉంటుంది. 180° కన్నా తక్కువ ఉన్న ఏ రెండు కోణాల మొత్తమైనా 360° కన్నా తక్కువ ఉంటుంది. కావున, ఆ రెండు కోణాలు సంయుగ్మ కోణాలు కావు.

ప్రశ్న 7.
ఒకదానికొకటి సంపూరకాలు కాని ఒక జత ఆసన్న కోణాలకు పటాన్ని గీయండి.
సాధన.

∠AOC, ∠COB లు ఆసన్న కోణాలు మరియు
∠AOC + ∠COB ≠ 180°

ప్రశ్న 8.
ఇచ్చిన పటంలో l || m మరియు t ఒక తిర్యగ్రేఖ. ∠1 మరియు ∠2 లను కనుగొనండి.

సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో l|| m మరియు t ఒక తిర్యగ్రేఖ.
∠1 = 110° (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∠1 + ∠2 = 180°
(తిర్యగ్రేఖకు అంతరంగా ఒకేవైపు గల కోణాలు)
110° + ∠2 = 180°
∠2 = 180° – 110°
∴ ∠2 = 70°
∴ ∠1 = 110° మరియు ∠2 = 70°

ప్రశ్న 9.
రెండు సరళరేఖలు l మరియు mలను మరో సరళరేఖ p రెండు విభిన్న బిందువుల వద్ద ఖండించినది. పటాన్ని పరిశీలించి, ఖాళీలను పూరించండి.

(i) సరళరేఖ ‘p’ ని ………………… అని అంటారు.
(ii) ∠1 మరియు ∠5 లు ………… కోణాల జత.
(iii) ∠4 మరియు ∠6 లు …………. కోణాల జత.
(iv) ∠3 మరియు ∠6 లు ……….. కోణాల జత.
సాధన.
(i) తిర్యక్ రేఖ
(ii) సదృశ కోణాల
(iii) ఏకాంతర కోణాల
(iv) తిర్యగేఖకు ఒకేవైపు అంతరంగా గల

ప్రశ్న 10.
ఇచ్చిన పటంలో \(\overleftrightarrow{C F}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BD}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{BE}}\) ఒక తిర్యగ్రేఖ, ∠CAE = 135° అయిన ∠ABD విలువ కనుగొనండి.

సాధన.
ఇచ్చిన పటంలో \(\overleftrightarrow{C F}\) || \(\overrightarrow{\mathrm{BD}}\) మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{BE}}\) తిర్యగ్రేఖ.
∠CAE = 135°
∠BAF = ∠CAE (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴∠BAF = 1350
∠BAF + ∠ABD = 180° (తిర్యగ్రేఖకు అంతరంగా ఒకేవైపు గల కోణాలు)
⇒ 135° + ∠ABD = 180°
⇒ ∠ABD = 180° – 135°
∴ ∠ABD = 45°

SCERT AP 7th Class Maths Solutions Pdf Chapter 4 రేఖలు మరియు కోణాలు Ex 4.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 7th Class Maths Solutions 4th Lesson రేఖలు మరియు కోణాలు Exercise 4.4

ప్రశ్న 1.
ఇచ్చిన పటంలో p || q మరియు r ఒక తిర్యగ్రేఖ, ∠3 = 135° అయినచో మిగిలిన అన్ని కోణాలను కనుగొనండి.

సాధన.
p || q మరియు 7 తిర్యగ్రేఖ, ∠3 = 135°
∠1 = ∠3 (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ∠1 = 135°
∠1 + ∠2 = 180° (రేఖీయద్వయం)
135° + ∠2 = 180°
∴ ∠2 = 180° – 135° = 450
∠4 = ∠2 (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ∠4 = 45°
∠5 = ∠3 (ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∠5 = 135°
∠6 = ∠4 (ఏకాంతర కోణాలు)
∴ ∠6 = 45°
∠7 = ∠6 (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ∠7 = 45°
∠8 = ∠5 (శీర్షాభిముఖ కోణాలు)
∴ ∠8 = 135°
∴ ∠3 = 135° అయిన మిగిలిన కోణాలు
∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3 = 135°, ∠4 = 45°, ∠5 = 135°, ∠6 = 45°, ∠7 = 45°, ∠8 = 135°

ప్రశ్న 2.
ఇచ్చిన పటంలో, \(\overleftrightarrow{A B}\) || \(\overleftrightarrow{C D}\) మరియు \(\overleftrightarrow{D E}\) ఒక తిర్యగ్రేఖ అయిన x విలువ కనుగొనండి.

సాధన.
\(\overleftrightarrow{A B}\) || \(\overleftrightarrow{C D}\) మరియు \(\overleftrightarrow{D E}\) తిర్యగ్రేఖ,
∠CDB = 100°
∠ABE = ∠CDB (సదృశ కోణాలు)
35° + x = 100°
∴ x = 100° – 35°
∴ x = 65°

ప్రశ్న 3.
ఇచ్చిన పటంలో, m || n మరియు p ఒక తిర్యగ్రేఖ అయిన X మరియు y విలువలను కనుగొనండి.

సాధన.
m || n మరియు p తిర్యగ్రేఖ.
x = 120° (శీర్షాభిముఖ కోణం )
y + 45° = x (సదృశ కోణాలు)
⇒ y + 45° = 120°
⇒ y = 120° – 45°
⇒ y = 75°
∴ x = 120°, y = 75°

ప్రశ్న 4.
ఇచ్చిన పటంలో, \(\overrightarrow{\mathbf{A B}}\) || \(\overrightarrow{\mathbf{C D}}\) || \(\overrightarrow{\mathbf{F E}}\) అయిన x, y మరియు ∠AEC విలువలను కనుగొనండి.

సాధన.
\(\overrightarrow{\mathbf{A B}}\) || \(\overrightarrow{\mathbf{C D}}\) || \(\overrightarrow{\mathbf{F E}}\)
\(\overrightarrow{\mathbf{A B}}\)|| \(\overrightarrow{\mathbf{F E}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{AE}}\) తిర్యగ్రేఖ.
x = 20° (ఏకాంతర కోణాలు)
\(\overrightarrow{\mathbf{C D}}\)|| \(\overrightarrow{\mathbf{E F}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{AE}}\) తిర్యగ్రేఖ.
y = 33° (ఏకాంతర కోణాలు)
∠AEC = ∠x + ∠y
= 20° + 33° = 53°
∴ x = 20°, y = 33°, ∠AEC = 53°

ప్రశ్న 5.
ఇచ్చిన పటంలో రెండు సరళరేఖలు pమరియు qలను ఒక తిర్యగ్రేఖ t ఖండించెను. p || q అవుతుందో, లేదో సరిచూడండి.

సాధన.
p, qలు సరళరేఖలు, 1 తిర్యగ్రేఖ.
తిర్యగ్రేఖ t కు అంతరంగా ఒకే వైపు గల కోణాల మొత్తం = 100° + 80° = 180°
∴ తిర్యగ్రేఖకు అంతరంగా ఒకేవైపు గల కోణాలు సంపూరకాలు. కావున p||q.

ప్రశ్న 6.
ఇచ్చిన పటంలో l || m అయిన x, y మరియు z విలువలను కనుగొనండి.

సాధన.
|| m మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) తిర్యగ్రేఖ.
z = 40° (ఏకాంతర కోణాలు)
l || m మరియు \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) తిర్యగ్రేఖ.
మరియు x + (y + z) = 180° .
(తిర్యగ్రేఖకు అంతరంగా ఒకేవైపు గల కోణాలు)
x + y + z = 180°
(x + y) + 40° = 180°
(తిర్యగ్రేఖకు అంతరంగా ఒకేవైపు గల కోణాలు) (∵ z = 40°)
x + y + 40° = 180°
x + y = 180° – 40° = 140°
కాని, x = y (ఇవ్వబడినది)
2x = 140°
∴ x = \(\frac{140^{\circ}}{2}\) = 70° = y
కావున, x = 70°, y = 70° మరియు z = 40°.

ప్రశ్న 7.
ఇచ్చిన పటంలో p, q, r మరియు s లు సమాంతర రేఖలు మరియు t ఒక తిర్యగ్రేఖ అయిన x, y మరియు z విలువలను కనుగొనండి.

సాధన.
p, q, r మరియు s లు సమాంతర రేఖలు, t ఒక తిర్యగ్రేఖ.
p, qలు సమాంతర రేఖలు, t తిర్యగ్రేఖ.
∴ x + 80° = 180° (తిర్యగ్రేఖకు అంతరంగా ఒకే వైపు గల కోణాలు)
∴ x = 180° – 80°
x = 100°
p, rలు సమాంతర రేఖలు, t తిర్యగ్రేఖ.
y = 80° (ఏకాంతర కోణాలు)
p, s లు సమాంతర రేఖలు, t తిర్యగ్రేఖ.
z = 80° (సదృశ కోణాలు)
(లేదా )
r, S లు సమాంతర రేఖలు, 1 తిర్యగ్రేఖ.
z = y (ఏక బాహ్యకోణాలు)
∴ z = 80°
∴ x = 100°, y = 80°, z = 80°

ప్రశ్న 8.
ఇచ్చిన పటంలో \(\overrightarrow{\mathbf{A B}}\) || \(\overrightarrow{\mathbf{C D}}\) మరియు వాటి మధ్యలో ఒక బిందువు E అయిన x + y + Z విలువను కనుగొనండి.
(సూచన : E గుండా \(\overrightarrow{\mathbf{A B}}\) కి ఒక సమాంతర రేఖను గీయండి).

సాధన.
\(\overrightarrow{\mathbf{A B}}\) || \(\overrightarrow{\mathbf{C D}}\) మరియు వాటి మధ్యలో ఒక బిందువు E.
E గుండా \(\overrightarrow{\mathbf{A B}}\), \(\overrightarrow{\mathbf{C D}}\) లకు సమాంతర రేఖ \(\overleftrightarrow{E F}\) ను గీయాలి.
\(\overrightarrow{\mathbf{A B}}\) || \(\overrightarrow{\mathbf{C D}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{AE}}\) తిర్యగ్రేఖ.

∠BAE + ∠AEF = 180° ——— (1)
(తిర్యగ్రేఖకు అంతరంగా ఒకేవైపు గల కోణాలు)
x + ∠AEF = 180°
ఇదే విధంగా Z + ∠CEF = 180° ——— (2)
(1), (2) లను కలుపగా
= (x + ∠AEF) + (z + ∠CEF) = 180° + 180°
= x + ∠AEF + ∠CEF + 7 = 360°
= x + y + 7 = 360°
(∵ ∠AEF + ∠CEF = y)

ప్రశ్న 9.
క్రింది ఇచ్చిన పటంలో సమాంతర రేఖల జతలను గుర్తించి వ్రాయండి.

సాధన.
\(\overline{\mathrm{AL}}\) || \(\overline{\mathrm{EH}}\), \(\overline{\mathrm{BK}}\) || \(\overline{\mathrm{DL}}\), \(\overline{\mathrm{CJ}}\) || \(\overline{\mathrm{FG}}\)
(∵ సదృశ కోణాలు సమానం)