Category: Class 10

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
వృత్తం ‘Q’ యొక్క కేంద్రం -అక్షంపై ఉన్నది. మరియు 2. (0, 7) మరియు (0, -1) లు ఆ వృత్తం పై బిందువులు. వృత్తం ‘Q’ ధన X-అక్షాన్ని బిందువు (P, 0) వద్ద ఖండించిన ‘P’ విలువ ఎంత ?
సాధన.

పై పటం నుండి వృత్తంపై బిందువులు A (0, 7), B (0, – 1) అనుకుంటే A, B లు వ్యాసాగ్రాలు.
వృత్తకేంద్రం ‘O’ = A, B ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{7-1}{2}\right)\) = (0, 3)
∴ వృత్తకేంద్రం = (0, 3)
వృత్త వ్యాసార్ధం r = OA = |7 – 3| = 4 యూనిట్లు
వృత్తం Q ధన X – అక్షాన్ని (P, 0) వద్ద ఖండించును.
O(0, 3), P(P, 0)
∴ OP = r = 4
\(\sqrt{\mathrm{P}^{2}+3^{2}}\) = 4
\(\sqrt{\mathrm{P}^{2}+9}\) = 4
⇒ P² + 9 = 16
⇒ P² = 16 – 9 = 7
⇒ P = √7,

2వ పద్ధతి :
పై పటం నుండి వృత్త కేంద్రం O = A, B ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{7-1}{2}\right)\) = (0, 3)
A (0, 7), (P, 0) బిందువులు వృత్తం పై కలవు.
∴ OA = OP
\(\sqrt{(0-0)^{2}+(7-3)^{2}}=\sqrt{(P-0)^{2}+(0-3)^{2}}\)
\(\sqrt{4^{2}}=\sqrt{\mathrm{P}^{2}+9}\)
⇒ 4² = P² + 9
16 – 9 = P²
7 = P²
√7 = P.

ప్రశ్న 2.
బిందువులు A(2, 3), B(- 2, – 3) మరియు C(4, 3) శీర్చాలతో త్రిభుజం ∆ABC ఏర్పడినది. భుజం BC మరియు. శీర్షం A యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖల ఖండన బిందువును కనుగొనండి.
సాధన.

A (2, 3), B (- 2, – 3), C (4, 3) లు శీర్షాలుగా గల త్రిభుజం ∆ ABC
BC ని A యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ D వద్ద ఖండిస్తున్నది అనుకొనుము.
అప్పుడు \(\) ……….. (1) (∵ కోణ సమద్విఖండన సిద్ధాంతము)
AB = \(\sqrt{(-2-2)^{2}+(-3-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+36}=\sqrt{52}\)
= 2√13

AC = \(\sqrt{(4-2)^{2}+(3-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+0^{2}}\) = 2

∴ \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{2 \sqrt{13}}{2}\) = √13 : 1
(∵ AB, AC లను (1) లో రాయగా)
అనగా BCని D అంతరంగా√13 : 1 నిష్పత్తిలో ఖండిస్తుంది.
∴ D = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

D = \(\left(\frac{\sqrt{13} \times 4+1(-2)}{\sqrt{13}+1}, \frac{\sqrt{13} \times 3+1(-3)}{\sqrt{13}+1}\right)\)

D = \(\left[\frac{4 \sqrt{13}-2}{\sqrt{13}+1}, \frac{3 \sqrt{13}-3}{\sqrt{13}+1}\right]\)
BC ని A యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ ఖండించే బిందువు D = \(\left[\frac{4 \sqrt{13}-2}{\sqrt{13}+1}, \frac{3 \sqrt{13}-3}{\sqrt{13}+1}\right]\).

సరిచూచుట :
B, D, C లు సరేఖీయాలు అవుతాయని చూపి సరిచూసుకోవచ్చును.

ప్రశ్న 3.
సమబాహు త్రిభుజం ∆ABC యొక్క భుజం BC X – అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంది. దాని భుజాలు BC, CA, AB ల గుండా పోయే సరళరేఖల వాలులు కనుగొనుము.
సాధన.

∆ABC సమబాహు త్రిభుజం AB = BC = AC = a యూనిట్లు మరియు B(x₁, y₁) అనుకొందాం.
BC మధ్య బిందువు D మరియు AD; ∆ABC యొక్క ఎత్తు = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)a యూనిట్లు అవుతుంది.
D = AC ల మధ్యబిందువు = \(\left(\frac{x_{1}+x_{1}+a}{2}, \frac{y_{1}+y_{1}}{2}\right)=\left(\frac{2 x_{1}+a}{2}, y_{1}\right)\) మరియు C = (x₁ + a,y₁),
A \(\left(\frac{2 x_{1}+a}{2}, y_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)\)
ఇప్పుడు, AB పాలు = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

∴ AB వాలు = √3
BC వాలు = \(\frac{y_{1}-y_{1}}{x_{1}+a-x_{1}}=\frac{0}{a}\) = 0
లేదా BC, X – అక్షానికి సమాంతరం. కావున BC వాలు = 0
AC వాలు = \(\frac{y_{1}-\left(y_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)}{x_{1}+a-\left(\frac{2 x_{1}+a}{2}\right)}\)

= \(\frac{y_{1}-y_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2} a}{x_{1}+a-x_{1}-\frac{a}{2}}\)

= \(\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} a}{\frac{a}{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{2} a \times \frac{2}{a}\) = – √3

AC వాలు = – √3.

2వ పద్ధతి :

∆ABC సమబాహు త్రిభుజం AB = BC = AC = a యూనిట్లు
X – అక్షంపై BC భుజం కలదు అనుకుందాం. (ప్రతిరేఖ దానికదే సమాంతరము కాబట్టి BC X – అక్షం)
B (0, 0) అయిన C(a, 0) అవుతుంది. BC ల మధ్యబిందువు
D = \(\left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right)\) = (\(\frac{a}{2}\), 0)
AD = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a
[సమబాహు త్రిభుజ ఉన్నతి = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × భుజం]
∴ A = (\(\frac{a}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a)
∴ త్రిభుజ శీర్షాలు A(\(\frac{a}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) a), B(0, 0), C(a, 0)

∴ AB రేఖ వాలు = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{0-\frac{\sqrt{3}}{2} a}{0-\frac{a}{2}}\)
= \(-\frac{\sqrt{3}}{2} a \times-\frac{2}{a}=\sqrt{3}\)

BC-రేఖ వాలు = \(\frac{0-0}{a-0}=\frac{0}{a}=0\)

AC రేఖ వాలు = \(\frac{0-\frac{\sqrt{3}}{2} a}{0-\frac{a}{2}}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} a}{\frac{a}{2}}\)
= \(\frac{-\sqrt{3}}{2} a \times \frac{2}{a}=-\sqrt{3}\).

3వ పద్ధతి :

∆ABC సమబాహు త్రిభుజము మరియు BC, X – అక్షానికి సమాంతరము. \(\overleftrightarrow{A B}\) రేఖ X – అక్షం ధనదిశలో చేసే కోణము θ₁, అనుకొనుము.
θ₁, = ∠ABC = 60° (∵ BC // X – అక్షం, θ₁, మరియు ∠ABC లు సదృశ్యకోణాలు)
\(\overleftrightarrow{A C}\) X – అక్షం ధనదిశలో చేసే కోణం θ₂, అనుకొనుము. ర
θ₂ = ∠ACD = 120° [∵ BC // X – అక్షం, మరియు θ₂, ∠ACD లు సదృశ్యకోణాలు] కాని వాలు నిర్వచనం ఒక రేఖ X – అక్షం యొక్క ధనదిశలో చేసే కోణం θ అయితే ఆ రేఖవాలు ,
m = tan θ.
∴ A, B రేఖవాలు = tan θ₁ = tan 60° = √3
A, C రేఖవాలు = tan θ₂ = tan 120° .
= tan (90 + 30)
= – cot 30° = – √3 B
BC రేఖవాలు = tan 0° = 0 [∵ BC // X -అక్షం కాబట్టి X -అక్షంతో BC చేసే కోణం 0°].

ప్రశ్న 4.
a > b అయ్యేటట్లు భుజాలు ‘a’, ‘b’లు కలిగిన ఒక లంబకోణ త్రిభుజం ∆ABC ఉంది. దానిలో లంబకోణం యొక్క సమద్విఖండన రేఖ ద్వారా ఏర్పడిన రెండు చిన్న త్రిభుజాల లంబకేంద్రాల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనుము.
సాధన.
పటంలో చూపినట్లు ∆ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజం
AC – కర్ణం ; ∠B = 90° అనుకుందాం
\(\overline{\mathrm{BG}}\) కోణ సమద్విఖండన రేఖ వలన ఏర్పడే చిన్న త్రిభుజాలు వరుసగా ∆ABG, ∆BCG అనుకుందాం.
A, B, C శీర్షాల నిరూపకాలు వరుసగా A(0, a), B(0,0), C(b, 0) అనుకుందాం .

∴ \(\overline{\mathrm{BG}}\) వాలు = m = tan 45° = 1 (∵ BG, ∠B యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ)
మరియు \(\overline{\mathrm{AC}}\) వాలు = 0 = \(\frac{0-a}{b-0}=\frac{-a}{b}\),
అదే విధంగా \(\overline{\mathrm{BC}}\) అనునది X – అక్షంపై గలదు కావున \(\overline{\mathrm{BC}}\) వాలు = 0

(I) \(\overline{\mathrm{BD}}\) అనునది \(\overline{\mathrm{AC}}\) పైకి గీయబడిన ‘ఉన్నతి’ అనుకుందాం.
∴ \(\overline{\mathrm{BD}}\) వాలు = \(\frac{b}{a}\)
(∵ m₁, m₂ = – 1, m, = 6)
∴ \(\overline{\mathrm{BD}}\) సమీకరణం = (y – 0) = \(\frac{b}{a}\) (x – 0)
⇒ bx = ay లేదా bx – ay = 0 – (1) అదే విధంగా.

(II) \(\overline{\mathrm{AE}}\) అనునది ∆ABG నందలి. \(\overline{\mathrm{BD}}\) పైకి గీయబడిన ‘ఉన్నతి’ అనుకుందాం = \(\overline{\mathrm{AE}}\) వాలు = – 1
(∵ m₁, m₂ = – 1) అయిన
ఉన్నతి \(\overline{\mathrm{AE}}\) సమీకరణం = (y – a) = 1(x – 0)
⇒ x – y = – a లేదా x – y + a = 0 – (2)
ఇపుడు (1), (2) సమీకరణాల ఖండన బిందువు అనునది రెండు ఉన్నతుల (\(\overline{\mathrm{AE}}\), \(\overline{\mathrm{BD}}\)) ఖండన బిందువు అనగా AABG యొక్క లంబకేంద్రం అగును.
∴ by – ay = 0 ______ (1) ⇒ bx – ay = 0
x – y = – a _________ (2) ⇒ ax – dy = – a²

x = \(\frac{a^{2}}{b-a}\) మరియు y = x + a .
⇒ y = \(\frac{a^{2}}{b-a}\) + a
= \(\frac{a^{2}+a b-a^{2}}{b-a}=\frac{a b}{b-a}\)
∴ ∆ABG యొక్క లంబ కేంద్రం ‘F’ యొక్క నిరూపకాలు = F|\(\left(\frac{a^{2}}{b-a}, \frac{a b}{b-a}\right)\)
అదే విధంగా ∆BCG నందు,
\(\overline{\mathrm{GC}}\) వాలు = \(\overline{\mathrm{AC}}\) వాలు = – \(\frac{a}{b}\)

‘B’ నుండి \(\overline{\mathrm{GC}}\) మీదకు గీయబడు లంబం \(\overline{\mathrm{BD}}\) గుండా పోవును.
(∵ ఒక రేఖకు ఒక బిందువు గుండా ఒకే ఒక లంబం గీయగలం)
∴ \(\overline{\mathrm{BH}}\) అనునది \(\overline{\mathrm{CG}}\) పైకి గల ఉన్నతి అనుకుందాం
[Note : a > b కావున ∆ABC నందు. ∠A ≠ ∠C ≠ 45 కావున ∆ABG, ∆BGC లలో ఒకటి తప్పనిసరిగా అధిక కోణ త్రిభుజం అగును)
\(\overline{\mathrm{BH}}\) వాలు = \(\overline{\mathrm{BD}}\) వాలు = \(\frac{b}{a}\)

∴ \(\overline{\mathrm{BH}}\) సమీకరణం = \(\overline{\mathrm{BH}}\) సమీకరణం = bx – ay = 0 ((1) నుండి)
మరియు \(\overline{\mathrm{CJ}}\) అనునది \(\overline{\mathrm{BG}}\) పైకి లంబం
∴ \(\overline{\mathrm{CJ}}\) వాలు = – 1 (∵ \(\overline{\mathrm{BG}}\) వాలు = 1)
∴ \(\overline{\mathrm{CJ}}\) సమీకరణం = (y – 0) = – 1(x – b)
⇒ x + y = b – (3)
∴ ABCG యొక్క ఉన్నతులు (\(\overline{\mathrm{CJ}}\), \(\overline{\mathrm{BH}}\)) ఖండన బిందువు,
దాని యొక్క లంబ కేంద్రం అగును.

⇒ x = \(\frac{a b}{b+a}\) అయిన y = – x + b = – \(\frac{a b}{b+a}\) + b
= \(\frac{-\not ab+\not ab+b^{2}}{b+a}=\frac{b^{2}}{b+a}\)
∴ K (\(\frac{a b}{b+a}\), \(\frac{b^{2}}{b+a}\) అనునది ∆BGC యొక్క లంబకేంద్రం నిరూపకాలు.
∴ రెండు లంబకేంద్రాల మధ్య దూరం \(\overline{\mathrm{KF}}\) =

ప్రశ్న 5.
2x + 3y – 6 = 0 అను సరళరేఖ నిరూపకాక్షాలతో చేసే త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రంను కనుగొనుము.
సాధన.

ఇచ్చిన సరళరేఖ 2x + 3y – 6 = 0
X – అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు B వద్ద y నిరూపకం సున్న అనగా y = 0
y = 0 ⇒ 2x + 3(0) – 6 =.0
⇒ 2x – 6 = 0 ⇒ 2x = 6,
x = \(\frac{6}{2}\) = 3
∴ B(3, 0) ఇదే విధంగా
x = 0 ⇒ 2(0) + 3y – 6 = 0
⇒ y = 2
∴ A(0, 2)
∴ 2x + 3y – 6 = 0 మరియు నిరూపకాక్షాలతో ఏర్పరిచే త్రిభుజ శీర్షాలు A(0, 2), 000, 0), B(3, 0)
∆ABC గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{0+0+3}{3}, \frac{2+0+0}{3}\right)\)
= \(\left(\frac{3}{3}, \frac{2}{3}\right)\)
∆ABC గురుత్వకేంద్రం = (1, \(\frac{2}{3}\))

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.4

ప్రశ్న 1.
రెండు బిందువులను కలుపుచూ గీయబడిన రేఖవాలు కనుగొనండి.
(i) (4, – 8) మరియు (5, – 2)
సాధన.
(4, – 8) మరియు (5, – 2) కలుపు రేఖావాలు
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-2-(-8)}{5-4}\)
m = \(\frac{-2+8}{1}\) = 6

(ii) (0, 0) మరియు (13,3)
సాధన.
(0, 0) మరియు (√3, 3) కలుపు రేఖావాలు
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{3-0}{\sqrt{3}-0}=\frac{3}{\sqrt{3}}\) = √3.

(iii) (2a, 3b) మరియు (a, – b)
సాధన.
(2a, 3b) మరియు (a, – b) కలుపు రేఖావాలు
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-b-3 b}{a-2 a}\)
= \(\frac{-4b}{-a}\)
= \(\frac{4b}{a}\)

(iv) (a, 0) మరియు (0, b)
సాధన.
(a, 0) మరియు (0, b) కలుపు రేఖావాలు
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{b-0}{0-a}=\frac{-b}{a}\).

(v) A(- 1.4, -3.7), B(- 2.4, 1.3)
సాధన.
A(- 1.4, – 3.7) మరియు B(- 2.4, 1.3) అయిన
\(\overleftrightarrow{A B}\) రేఖావాలు,
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{1.3-(-3.7)}{-2.4-(-1.4)}\)

= \(\frac{1.3+3.7}{-2.4+1.4}=\frac{5}{-1}\) = – 5

(vi) A(3, – 2), B(- 6, – 2)
సాధన.
A(3, – 2) మరియు B(- 6, – 2) అయిన \(\overleftrightarrow{A B}\) రేఖావాలు,
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{\Gamma}}=\frac{-2-(-2)}{-6-3}\)
= \(\frac{-2+2}{-9}=\frac{0}{-9}\)
వాలు m = 0 కావున \(\overleftrightarrow{A B}\) X-అక్షానికి సమాంతరము.

(vii) A(- 3\(\frac{1}{2}\), 3), B(- 7, 2\(\frac{1}{2}\))
సాధన.
A (- 3\(\frac{1}{2}\) – 3) మరియు B (- 7, 2\(\frac{1}{2}\)) అయిన \(\overleftrightarrow{A B}\)
రేఖావాలు; m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

∴ AB రేఖావాలు, m = \(\frac{1}{7}\).

(viii) A(0, 4), B(4, 0)
సాధన.
A(0, 4) మరియు B(4, 0) అయిన \(\overleftrightarrow{A B}\) రేఖావాలు,
m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)

= \(\frac{0-4}{4-0}=\frac{-4}{4}\) = – 1

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.3

ప్రశ్న 1.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువులు శీర్షాలుగా కలిగిన త్రిభుజ – వైశాల్యం కనుక్కోండి. .
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, – 4)
సాధన.
A (2, 3), B (- 1, 0),C (2, – 4) ,
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁(y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)|

= \(\frac{1}{2}\) |2[0 – (- 4)] + (- 1)(- 4 – 3) + 2 (3 – 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |2 (4) – 1 (- 7) + 2 (3)|
= \(\frac{1}{2}\) |8 + 7 + 6|
= \(\frac{1}{2}\) × 21
= \(\frac{21}{2}\)
∴ ∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{21}{2}\) చ.యూ.

మరొక పద్ధతి :

= \(\frac{1}{2}\)

త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) – (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁)|

=

త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(2 × 0 + (- 1) × (- 4) + 2 × 3) – (3 × (- 1) + 0 × 2 + (- 4) ×2) |
= \(\frac{1}{2}\) (0 + 4 + 6) – (- 3 + 0 – 8)|
= \(\frac{1}{2}\) |10 – (- 11)|
= \(\frac{1}{2}\) |21|
= \(\frac{1}{2}\) × 21 = \(\frac{21}{2}\)
త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{21}{2}\) చయూ.

(ii) (- 5, – 1), (3, – 5) మరియు (5, 2)
సాధన.
A (- 5, – 1), B (3, – 5), C (5, 2) అనుకొనుము.
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 5) (- 5 – 2) + 3[2 – (- 1)] + 5[- 1 – (- 5)]|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 5) (- 7) + 3 (3) + 5 (4)|
= \(\frac{1}{2}\) |35 + 9 + 20|
= \(\frac{1}{2}\) |64|
= \(\frac{1}{2}\) × 64 = 32 చ.యూ.
∆ABC వైశాల్యం = 32 చ.యూ.

మరొక పద్ధతి :

=

∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(- 5) × (- 5) + 3 × 2 + 5 × (- 1)| – [(- 1) (3) + (- 5) × (5) + 2 × (- 5)]
= \(\frac{1}{2}\) |(25 + 6 – 5) – (- 3 – 25 – 10)|
= \(\frac{1}{2}\) |26 – (- 38)|
= \(\frac{1}{2}\) |26 + 38|
= \(\frac{1}{2}\) |64| = \(\frac{1}{2}\) × 64 = 32 చ.యూ.
∴ త్రిభుజ వైశాల్యం = 32 చ.యూ.

(iii) (0,0), (3, 0) మరియు (0, 2)
సాధన.
A (0, 0), B (3, 0), C (0, 2) అనుకుందాం.
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |0(0 – 2) + 3(2 +0) + 0(0 – 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |6|
= \(\frac{1}{2}\) × 6 = 3 చ.యూ.

మరొక పద్ధతి :

=

త్రిభుజ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(0 × 0 + 3 × 2 + 0 × 0) – (0 × 3 + 0 × 0 + 2 × 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |6 – 0|
= \(\frac{1}{2}\) |6|
= \(\frac{1}{2}\) × 6 = 3 చ.యూ.

ప్రశ్న 2.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువులు సరేఖీయాలైతే ‘k’ విలువను కనుగొనండి.
(i) (7, – 2), (5, 1) మరియు (3, k)
సాధన.
A (7, – 2), B (5, 1),C (3, k) అనుకొనుము.
∆ABC వైశాల్యం : = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |7(1 – k) + 5[k – (- 2)] + 3(- 2 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) |7 – 7k + 5k + 10 – 9|
= |8 – 2k|
సరేఖీయాలు కావున ∆ABC వైశాల్యం సున్న
∴ |8 – 2k| = 0
8 – 2k = 0
8 = 2k
⇒ \(\frac{8}{2}\) = k
∴ k = 4.

(ii) (8, 1), (k, – 4) మరియు (2, – 5)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A (8, 1), B (k, – 4), C (2, – 5) లు సరేఖీయాలు..
∴ ∆ABC = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)| = 0
= \(\frac{1}{2}\) |8(- 4 – (- 5)) + k(- 5 – 1) +2[1 – (- 4)] = 0
= \(\frac{1}{2}\) |8 (1) + k (- 6) + 2 (5)| = 0
= \(\frac{1}{2}\) |8 – 6k + 10| = 0
∴ 18 – 6k = 0
⇒ 18 = 6k
⇒ \(\frac{18}{6}\) = k.
∴ k = 3.

సరిచూచుకోవడం :
k = 3 అయిన A(8, 1), B (3, – 4), C(2, – 5)
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |8 (- 4 + 5) + 3(- 5 – 1) + 2 (1 + 4)|
\(\frac{1}{2}\) |8 – 18 + 10| = 0

(iii) (k, k), (2, 3) మరియు (4, – 1)
సాధన..
A (k, k), B (2, 3) మరియు C (4, – 1) లు సరేఖీయాలు అయితే ∆ABC వైశాల్యం సున్న.
\(\frac{1}{2}\) |k[(3 – (- 1)) + 2(- 1 – k) +4(k – 3)]| = 0
= \(\frac{1}{2}\) |4k – 2 – 2k + 4k – 12| = 0
= \(\frac{1}{2}\) |6k -14| = 0
6k – 14 = 0
⇒ 6k = 14
⇒ k = \(\frac{14}{6}=\frac{7}{3}\)
∴ k = \(\frac{7}{3}\)

ప్రశ్న 3.
బిందువులు (0, – 1), (2, 1) మరియు (0, 3) శీర్షాలుగా కలిగిన త్రిభుజ వైశాల్యం, మరియు దాని భుజాల మధ్యబిందువులను కలుపగా ఏర్పడిన త్రిభుజ వైశాల్యాల నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
సాధన.

ఇచ్చిన బిందువులు A (0, – 1), B (2, 1), C (0, 3) అనుకొందాం.
AB, BC, ACల మధ్య బిందువులు వరుసగా D, E, F లు అనుకొనుము.
AB మధ్యబిందువు D = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right)\) = (1, 0)

BC మధ్యబిందువు E = \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) =(1, 2)

AC మధ్యబిందువు F = \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{-1+3}{2}\right)\) = (0, 1)
A(0, – 1), B(2, 1), C(0, 3)
x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = 0,
y₁ = – 1, y₂ = 1, y₃ = 3
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |0(1 – 3) + 2[3 – (- 1)] + 0 (- 1 – 1)|
= \(\frac{1}{2}\) |0 + 2 (4) + 0|
= \(\frac{1}{2}\) |8| = \(\frac{1}{2}\) × 8 = 4 చ.యూ.
∆ABCవైశాలం = 4 చ.యూనిట్లు
భుజాల మధ్యబిందువులు D(1, 0), E (1, 2), F (0, 1) లతో ఏర్పడే త్రిభుజం ∆DEF వైశాల్యం
= \(\frac{1}{2}\) |1(2 – 1) + 1(1 – 0) + 0 (1 – 0)|
= \(\frac{1}{2}\) |1 (1) + 1(1)|
∴ ∆DEF వైశాల్యం = 1 చ.యూనిట్
∆ABC మరియు ∆DEF ల వైశాల్యాల నిష్పత్తి = 4 : 1.

ప్రశ్న 4.
బిందువులు (- 4, – 2), (-3, – 5),(3, – 2) మరియు . (2, 3)లు శీర్షాలుగా గల చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం కనుగొనండి.
సాధన.

ఇచ్చిన బిందువులు A (- 4, – 2), B (- 3, – 5), C (3, – 2) మరియు D (2, 3) అనుకుంటే □ABCDని AC రెండు త్రిభుజాలు ∆ABC మరియు ∆ADC గా విభజిస్తుంది. .
∆ABC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₂) + x₃ (y₁ – y₂)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 4(- 5 – (- 2)] + (- 3)(- 2 – (- 2)] + 3[- 2 – (- 5)]|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 4) [- 5 + 2] – 3(- 2 + 2) + 3 [- 2 + 5]|
= \(\frac{1}{2}\) |(- 4) (- 3) – 3(0) + 3 (3)|
= \(\frac{1}{2}\) |12 – 0 + 9|
= \(\frac{1}{2}\) |21| = 11 చ.యూ.

∆ADC వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) |(- 4) [3 – (- 2)] + (- 2) – (- 2)] + 3(- 2) – 3]
= \(\frac{1}{2}\) |(- 4) (5) + 2 (0) + 3 (- 5)|
= \(\frac{1}{2}\) |- 20 + 0 – 15|
= \(\frac{1}{2}\) |- 35]
= \(\frac{1}{2}\) × 35 = \(\frac{35}{2}\) చ.యూ, ”

□ABCD వైశాల్యము = ∆ABC వైశాల్యం + ∆ADC వైశాల్యం
= \(\frac{21}{2}\) + \(\frac{35}{2}\)
= \(\frac{56}{2}\) = 28 చ.యూనిట్లు

రెండవ పద్ధతి : .

A (- 4, – 2), B (- 3, – 5),C (3, – 2)మరియు D (2, 3) అనుకొనుము.
□ABCD వైశాల్యం = ∆ABD వైశాల్యం + ∆BDC వైశాల్యం

=

= \(\frac{1}{2}\) |(20 – 9 – 4) – (6 – 10 – 12)| + \(\frac{1}{2}\) |(- 9 – 4 – 15) – (- 10 + 9 +6)|
= \(\frac{1}{2}\) |7 + 16| + \(\frac{1}{2}\) |- 28 – 5|
= \(\frac{1}{2}\) |23| + \(\frac{1}{2}\) |33|
= \(\frac{1}{2}\) (23 + 33)
= \(\frac{1}{2}\) × 56 = 28 చ.యూనిట్లు
□ABCD వైశాల్యం = 28 చ.యూనిట్లు.

ప్రశ్న 5.
క్రింది బిందువులచే ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యమును హెరాస్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనుము.
(i) (1, 1), (1, 4) మరియు (5, 1).
(ii) (2, 3), (- 1, 3) మరియు (2, – 1)
సాధన.
(i) A (1, 1), B (1, 4) మరియు C (5, 1)
c = AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(1-1)^{2}+(4-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{0+3^{2}}\) = 3 యూనిట్లు

a = BC = \(\sqrt{(5-1)^{2}+(1-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9}=\sqrt{25}\) = 5 యూనిట్లు

b = AC = \(\sqrt{(5-1)^{2}+(1-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{4^{2}+0}\) = 4 యూనిట్లు

s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+4+5}{2}=\frac{12}{2}\) = 6

త్రిభుజ వైశాల్యం హెరాన్ సూత్రం = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
= \(\sqrt{6(6-5)(6-4)(6-3)}\)
= \(\sqrt{6 \times 1 \times 2 \times 3}\)
= √36 = 6 చ.యూ.

(ii) (2, 3), (- 1, 3) మరియు (2, -1)
(2, 3) (- 1, 3) మరియు (2, – 1) బిందువులచే ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యంను హెరాన్ సూత్రంను ఉపయోగించి కనుగొనుట.
పటంలో చూపినట్లు AABC యొక్క శీర్షాల నిరూపకాలు A(2, 3), B(- 1, 3) మరియు C(2, – 1) అనుకుందాం.

∴ ఆ త్రిభుజ భుజాల పొడవులు, AB = c, BC = a, CA = b తో సూచిస్తాం.
హెరాన్ సూత్ర పద్ధతిన త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
ఇక్కడ s = \(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}\) కావున మనం భుజాల పొడవులు కనుగొందాం.
భుజాల పొడవులను \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\) సూత్ర సహాయాన కనుగొందాం.
∴ AB = c = (2, 3) మరియు (- 1, 3) బిందువుల మధ్య దూరం.
c = \(\sqrt{(2-(-1))^{2}+(3-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{(2+1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{3^{2}+0}=\sqrt{3^{2}}\) = 3 మరియు

BC = a = (-1, 3) మరియు (2, – 1)ల మధ్య దూరం
a = \(\sqrt{(-1-2)^{2}+[3-(-1)]^{2}}\)
= \(\sqrt{(-3)^{2}+(3+1)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\) = 5

మరియు CA = b = (2, – 1) మరియు (2, 3) బిందువుల మధ్య దూరం
b = \(\sqrt{(2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{0^{2}+4^{2}}=\sqrt{16}\) = 4

∴ a = 5, b = 4, c = 3.
⇒ s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+4+3}{2}=\frac{12}{2}\)
∴ ∆ABC వైశాల్యము = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
=\(\sqrt{6(6-5)(6-4)(6-3)}\)
= \(\sqrt{6(1)(2)(3)}\)
= \(\sqrt{6 \times 6}\) = 6 చllయూనిట్లు
∴ ఇచ్చిన త్రిభుజ వైశాల్యము = 6 చ|| యూనిట్లు.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2

ప్రశ్న 1.
బిందువులు (- 1, 7) మరియు (4, – 3). లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును 2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
బిందువులు P (- 1, 7), Q (4, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును 2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు
(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

(x, y) = \(\left(\frac{2(4)+3(-1)}{2+3}, \frac{2(-3)+3(7)}{2+3}\right)\)

= \(\left(\frac{8-3}{5}, \frac{-6+21}{5}\right)=\left(\frac{5}{5}, \frac{15}{5}\right)\) = (1, 3).

ప్రశ్న 2.
బిందువులు (4, – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాండము యొక్క త్రిథాకరణ బిందువుల నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
బిందువులు (4, – 1) మరియు (-2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును P, Q లు త్రిథాకరణ బిందువులు అనుకొందాం.

(4, – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండాన్ని P 1 : 2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
P(x, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{1(-2)+2(4)}{1+2}, \frac{1(-3)+2(-1)}{1+2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2+8}{3}, \frac{-3-2}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{6}{3}, \frac{-5}{3}\right)\)

= (2, \(\frac{-5}{3}\))
∴ P = (2, \(\frac{-5}{3}\))
ఇప్పుడు (4 – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండాన్ని Q 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
Q(x, y) = \(\left(\frac{2(-2)+1(4)}{2+1}, \frac{2(-3)+1(-1)}{2+1}\right)\)

= \(\left(\frac{-4+4}{3}, \frac{-6-1}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{0}{3}, \frac{-7}{3}\right)\)

= (0, \(\frac{-7}{3}\))
∴ Q = (0, \(\frac{-7}{3}\))
కావున (4, – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు (2, \(\frac{-5}{3}\)), (0, \(\frac{-7}{3}\))

సరిచూచుకొనుట :
(4, – 1) మరియు. (- 2, – 3) ల మధ్యబిందువు
= \(\left(\frac{4+(-2)}{2}, \frac{(-1)+(-3)}{2}\right)\)
= (1, – 2)
P(2, \(\frac{-5}{3}\)), Q(0, \(\frac{-7}{3}\)) ల మధ్యబిందువు
= \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{\left(\frac{-5}{3}\right)+\left(\frac{-7}{3}\right)}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{2}{2}, \frac{\frac{-12}{3}}{2}\right)\) = (1, – 2).

ప్రశ్న 3.
బిందువులు (- 3, 10) మరియు (6, – 8) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును బిందువు (- 1, 6) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందో కనుగొనండి.
సాధన.
బిందువులు (- 3, 10) మరియు (6, – 8) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును (- 1, 6), m₁ : m₂.
నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది అనుకుందాం.
విభజన సూత్రం
P (x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

(- 1, 6) = \(\left(\frac{m_{1}(6)+m_{1}(-3)}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1}(-8)+m_{2}(10)}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

(- 1, 6) = \(\left(\frac{6 m_{1}-3 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

∴ \(\frac{6 m_{1}-3 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\) = – 1

∴ 6m₁ – 3m₂ = – m₁ – m₂
6m₁ + m₁ = – m₂ + 3m₂
7m₁ = 3m₂
⇒ \(\frac{\mathrm{m}_{1}}{\mathrm{~m}_{2}}=\frac{2}{7}\)
విభజన నిష్పత్తి m₁ : m₁ = 2 : 7.

2వ పద్దతి :
ఇచ్చిన బిందువులు (- 3, 10) మరియు (6, – 8) యొక్క రేఖాఖండాన్ని బిందువు (- 1, 6) λ : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొందాం.
∴ (- 1, 6) = \(\left(\frac{\lambda(6)+1(-3)}{\lambda+1}, \frac{\lambda(-8)+1(10)}{\lambda+1}\right)\)

(- 1, 6) = \(\left(\frac{6 \lambda-3}{\lambda+1}, \frac{-8 \lambda+10}{\lambda+1}\right)\)

∴ \(\frac{6 \lambda-3}{\lambda+1}\) = – 1

⇒ 6λ – 3 = – λ – 1
⇒ 6λ + λ = – 1 + 3
7λ = 2
λ = \(\frac{2}{7}\)
విభజన నిష్పత్తి λ : 1 = \(\frac{2}{7}\) : 1 = 2 : 7

ప్రశ్న 4.
బిందువులు (1, 2), (4, y), (x, 6) మరియు (3, 5) లు వరుసగా ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఆశీర్షాలయిన x, y ల విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.

ఇచ్చిన బిందువులు . A (1, 2), B (4, y), C (x, 6) మరియు D (3, 5) లు ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు.
∴ కర్ణం AC యొక్క మధ్యబిందువు = కర్ణం BD మధ్యబిందువు
\(\left(\frac{1+x}{2}, \frac{2+6}{2}\right)=\left(\frac{4+3}{2}, \frac{y+5}{2}\right)\)

∴ \(\frac{1+x}{2}=\frac{7}{2}\)
⇒ 2 + 2x = 14
⇒ 2x = 14 – 2
⇒ 2x = 12
∴ x = \(\frac{12}{2}\) = 6
\(\frac{y+5}{2}\) = 4
⇒ y + 5 = 8
⇒ y = 8 – 5
⇒ y = 3
x = 6, y = 3.

ప్రశ్న 5.
AB వ్యాసంగా గల వృత్తం యొక్క కేంద్రము (2, – 3) మరియు వృత్తం పైనున్న ఒక బిందువు B(1, 4) అయిన A బిందువు యొక్క నిరూపకాలు కనుగొనండి.
సాధన.

AB వ్యాసంగా గల వృత్తానికి AB యొక్క మధ్య బిందువు వృత్తకేంద్రం అవుతుంది.
∴ A(x, y), B (1, 4)ల మధ్య బిందువు = కేంద్రము (2, – 3)
\(\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}\right)\) = (2, 3)
∴ \(\frac{x+1}{2}\) = 2
⇒ x + 1 = 4
⇒ x = 4 – 1 = 3
∴ \(\frac{y+4}{2}\) = – 3
⇒ y + 4 = – 6
⇒ y = – 4 – 6 = – 10
∴ A బిందువు యొక్క నిరూపకాలు (3, – 10).

ప్రశ్న 6.
బిందువులు A, B లు వరుసగా (- 2, – 2) మరియు (2, – 4). AB రేఖాఖండంపై AP = \(\frac{3}{7}\) AB అయ్యే విధంగా P బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
A (- 2, – 2), B (2, – 4) రేఖాఖండముపై AP = \(\frac{3}{7}\) AB అయ్యే విధంగా P బిందువు కలదు.

AP = \(\frac{3}{7}\) AB
⇒ \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{7}\)
⇒ AP : AB = 3:7
కావున PB = AB – AP = 7 – 3 = 4
∴ AP : PB = 3 : 4
A (- 2, – 2), B (2, – 4) ను P 3 : 4 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.

విభజన సూత్రం P(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{3(2)+4(-2)}{3+4}, \frac{3(-4)+4(-2)}{3+4}\right)\)

= \(\left(\frac{6-8}{7}, \frac{-12-8}{7}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right)\)
కావలసిన బిందువు P(x, y) = \(\left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right)\).

ప్రశ్న 7.
బిందువులు A(- 4, 0) మరియు B(0, 6) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును నాలుగు సమభాగాలుగా విభజించు బిందువుల నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
A (- 4, 0), B (0, 6) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండము \(\overline{\mathrm{AB}}\) ను నాలుగు సమభాగాలుగా విభజించే బిందువులు P, Q, R అనుకొందాం.

\(\overline{\mathrm{AB}}\) ని P 1 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. విభజన సూత్రం
P(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

P = \(\left(\frac{1(0)+3(-4)}{1+3}, \frac{1(6)+3(0)}{1+3}\right)\)

= \(\left(\frac{-12}{4}, \frac{6}{4}\right)\)

= (- 3, \(\frac{3}{2}\))
\(\overline{\mathrm{AB}}\) ను Q 2 : 2 = 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. అనగా A, B ల మధ్య బిందువు
Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-4+0}{.2}, \frac{0+6}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-4}{2}, \frac{6}{2}\right)\) = (- 2, 3)
AB ని R 3 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
∴ R = \(\left(\frac{3(0)+1(-4)}{3+1}, \frac{3(6)+1(0)}{3+1}\right)\)

= \(\left(\frac{-4}{4}, \frac{18}{4}\right)=\left(-1, \frac{9}{2}\right)\)

A (- 4, 0), B (0, 6) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని నాలుగు సమానభాగాలుగా విభజించు బిందువులు (- 3, \(\frac{3}{2}\)), (- 2, 3) మరియు (- 1, \(\frac{9}{2}\)).

రెండవ పద్ధతి :
A (- 4, 0), B (0, 6) ల యొక్క రేఖాఖండమును P, Q, R లు వరుసగా నాలుగు సమభాగాలుగా విభజిస్తాయి అనుకుందాం.

A, B ల మధ్య బిందువు Q
A, Q ల మధ్య బిందువు P
Q, B ల మధ్య బిందువు R అవుతాయి.
కావున A, B ల మధ్య బిందువు
Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \([\left(\frac{-4+0}{2}, \frac{0+6}{2}\right)/latex] = (- 2, 3)
A (- 4, 0), Q(- 2, 3) ల మధ్య బిందువు
P = [latex]\left(\frac{-4+(-2)}{2}, \frac{0+3}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-6}{2}, \frac{3}{2}\right)=\left(-3, \frac{3}{2}\right)\)

Q (- 2, 3), B (0, 6) ల మధ్య బిందువు R
R = \(\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{3+6}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{2}, \frac{9}{2}\right)=\left(-1, \frac{9}{2}\right)\)
A, B లను నాలుగు సమ భాగాలుగా విభజించే బిందువులు P = (- 3, \(\frac{3}{2}\)), Q = (- 2, 3) , R = (- 1, \(\frac{9}{2}\)).

ప్రశ్న 8.
బిందువులు A(- 2, 2) మరియు B(2, 8)లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజించు బిందువుల నిరూపకాలను కనుగొనండి.
పాదన.

A (- 2, 2), B (2, 8) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని P, Q, R లు నాలుగు సమభాగాలుగా విభజిస్తాయి అనుకొనుము.
A (- 2, 2), B (2, 8) రేఖాఖండాన్ని P 1 : 3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
P(x, y) = \(=\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{2-6}{4}, \frac{8+6}{4}\right)\)

= \(\left(\frac{-4}{4}, \frac{14}{4}\right)=\left(-1, \frac{7}{2}\right)\)

P= (- 1, \(\frac{7}{2}\))
A (- 2, 2), B (2, 8) రేఖాఖండాన్ని Q 2 : 2 = 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. అనగా Q, AB కి మధ్యబిందువు
∴ Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{0}{2}, \frac{10}{2}\right)\) = (0, 5)

A (- 2, 2), B (2, 8) రేఖాఖండాన్ని R 3:1 = 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
R = \(\left(\frac{3(2)+1(-2)}{3+1}, \frac{3(8)+1(2)}{3+1}\right)\)

= \(\left(\frac{6-2}{4}, \frac{24+2}{4}\right)\)

= \(\left(\frac{4}{4}, \frac{26}{4}\right)=\left(1, \frac{13}{2}\right)\)

A, B లను నాలుగు సమ భాగాలుగా విభజించే బిందువులు (- 1, \(\frac{7}{2}\)), (0, 5) మరియు (1, \(\frac{13}{2}\)).

రెండవ పద్ధతి :
A, B కి మధ్య బిందువు Q
A, Q కి మధ్య బిందువు P
Q, R కి మధ్య బిందువు R అవుతాయి.
Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)=\left(\frac{0}{2}, \frac{10}{2}\right)\) = (0, 5)

P = A(- 2, 2), Q (0, 5) ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{2+5}{2}\right)=\left(-1, \frac{7}{2}\right)\)

R= Q(0, 5); B(2, 8) ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{5+8}{2}\right)=\left(\frac{2}{2}, \frac{13}{2}\right)=\left(1, \frac{13}{2}\right)\)
∴ కావలసిన బిందువులు (-1, \(\frac{7}{2}\)), (0, 5), (1, \(\frac{13}{2}\)).

ప్రశ్న 9.
బిందువులు (a + b, a – b) మరియు (a – b, a + b)లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును అంతరంగా 3 : 2 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
(a + b, a – b) మరియు (a – b, a + b) ల రేఖాఖండాన్ని అంతరంగా P (x, y) 3 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొనుము.

∴ P (x, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

P = \(\left(\frac{3(a-b)+2(a+b)}{3+2} ; \frac{3(a+b)+2(a-b)}{3+2}\right)\)

= \(\left(\frac{3 a-3 b+2 a+2 b}{5}, \frac{3 a+3 b+2 a-2 b}{5}\right)\)

= \(\left(\frac{5 a-b}{5}, \frac{5 a+b}{5}\right)\)
∴ కావలసిన బిందువులు = \(\left(\frac{5 a-b}{5}, \frac{5 a+b}{5}\right)\).

ప్రశ్న 10.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువులతో ఏర్పడు త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రమును కనుగొనండి.
(i) (- 1, 3), (6, – 3) మరియు (- 3, 6)
సాధన.
(- 1, 3), (6, – 3) మరియు (- 3, 6) బిందువులచే ఏర్పడే త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రం
= \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{-1+6+(-3)}{3}, \frac{3+(-3)+6}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{2}{3}, \frac{6}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}, 2\right)\)
∴ గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{2}{3}, 2\right)\)

(ii) (6, 2), (0,0) మరియు (4, – 7) .
సాధన.
(6, 2), (0, 0) మరియు (4, – 7) లతో ఏర్పడు త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రం
= \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}}{3}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{6+0+4}{3} ; \frac{2+0+(-7)}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{10}{3}, \frac{-5}{3}\right)\)
∴ గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{10}{3}, \frac{-5}{3}\right)\)

(iii) (1, – 1), (0, 6) మరియు (- 3, 0)
సాధన.
(1, – 1), (0, 6) మరియు (-3, 0) లతో ఏర్పడు త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రం
= = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}}{3}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{1+0+(-3)}{3}, \frac{-1+6+0}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{3}, \frac{5}{3}\right)\)

∴ గురుత్వకేంద్రం = \(\left(\frac{-2}{3}, \frac{5}{3}\right)\)

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.1

ప్రశ్న 1.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువుల మధ్య దూరంను కనుగొనండి.
(i) (2, 3) మరియు (4, 1)
సాధన.
A (2, 3) మరియు B (4, 1)
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం
d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
A, B ల మధ్య దూరం
d = \(\sqrt{(4-2)^{2}+(1-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}\)
∴ AB = 2√2 యూనిట్లు.

(ii) (- 5, 7) మరియు (- 1, 3)
సాధన.
A (- 5, 7) మరియు B (- 1, 3)
AB = d = \(\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-1+5)^{2}+(3-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-1+5)^{2}+(-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4 \sqrt{2}\)
∴ AB = 4√2 యూనిట్లు.

(iii) (- 2, – 3) మరియు (3, 2)
సాధన.
A (- 2, – 3) మరియు B (3, 2)
AB = d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{[3-(-2)]^{2}+[2-(-3)]^{2}}\)
= \(\sqrt{(3+2)^{2}+(2+3)^{2}}\)
= \(\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2}\)
∴ AB = 5√2 యూనిట్లు.

(iv) (a, b) మరియు (-a, -b) . సాధన. A (a, b) మరియు B (-a, – b)
AB = d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-a-a)^{2}+(-b-b)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-2 a)^{2}+(-2 b)^{2}}=\sqrt{4\left(a^{2}+b^{2}\right)}\)
= \(2 \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
∴ AB = 2\(2 \sqrt{a^{2}+b^{2}}\) యూనిట్లు.

ప్రశ్న 2.
బిందువులు (0, 0) మరియు (36, 15) ల : మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి.
సాధన.
మూల బిందువు: (0, 0) నుండి (x, y ) బిందువు దూరం = \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
(0, 0), (36, 15) బిందువుల మధ్య దూరం = \(\sqrt{36^{2}+15^{2}}=\sqrt{1296+225}\)
= \(\sqrt{1521}\) = 39
(0, 0), (36, 15) బిందువుల మధ్య దూరం = 39 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 3.
బిందువులు (1, 5), (2, 3) మరియు (- 2, – 1) లు సరేఖీయాలో, కాదో సరిచూడండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
A (1, 5), B (2, 3), C (- 2, – 1) అనుకుందాం.
AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(2-1)^{2}+(3-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)

BC = \(\sqrt{(-2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-4)^{2}+(-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4 \sqrt{2}\)

AC = \(\sqrt{(-2-1)^{2}+(-1-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-3)^{2}+(-6)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3 \sqrt{5}\)
ఏ రెండు కొలతలైనా (రేఖాఖండాల పొడవులు) మూడవ కొలతకు సమానం కాదు. కావున పై మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు కావు.

ప్రశ్న 4.
బిందువులు (5, -2), (6,4) మరియు (7, -2)లు ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలు అవుతాయో? కావో ? చూడండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A = (5, – 2), B = (6, 4), C = (7, – 2) లు ∆ABC శీర్షాలు అనుకొందాం.

AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(6-5)^{2}+(4-(-2))^{2}}\)
= \(\sqrt{1+36}=\sqrt{37}\)

BC = \(\sqrt{(7-6)^{2}+(-2-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{1+36}=\sqrt{37}\)
∴ ∆ABC లో AB = BC
కావున ఇచ్చిన బిందువులు ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజ శీర్షాలు అవుతాయి.

ప్రశ్న 5.
పటంలో చూపినట్లు, ఒక తరగతిలో నలుగురు స్నేహితురాళ్ళు A, B, C, D స్థానాల్లో తరగతిలో అటూ ఇటూ తిరుగుతూ కొన్ని నిమిషాలు పరిశీలించిన తర్వాత, జరీనా ఫణిని ఇలా అడిగింది. “ABCD ఒక చతురస్రం అవుతుందని నీవు భావించడం లేదా ?” అందుకు ఫణి ఒప్పుకోలేదు. ” బిందువుల మధ్య దూరంనకు సూత్రాన్నుపయోగించి – ఎవరి సమాధానం సరైనది ? ఎందుకు ? తెలపండి.

సాధన.
పై పటం నుండి A, B, C, D నిరూపకాలు A (3, 4), B (6, 7), C (9, 4), D (6, 1)
లు
AB = \(\sqrt{\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(6-3)^{2}+(7-4)^{2}}=\sqrt{3^{2}+3^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)

BC = \(\sqrt{(9-6)^{2}+(4-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)

CD = \(\sqrt{(6-9)^{2}+(1-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)

DA = \(\sqrt{(6-3)^{2}+(1-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)

AB = BC = CD = DA

కర్ణాలు AC = \(\sqrt{(9-3)^{2}+(4-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{6^{2}+0}=\sqrt{36}\) = 6 యూనిట్లు.

BD = \(\sqrt{(6-6)^{2}+(1-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{0+(-6)^{2}}=\sqrt{36}\) = 6 యూనిట్లు.
AC = BD
□ ABCD యొక్క నాలుగు భుజాలు సమానం మరియు కర్ణాలు కూడా సమానాలు. కావున ABCD ఒక చతురస్రం అవుతుంది. కాబట్టి జరీనా సమాధానము సరైనది.
(లేదా)
AB² + BC² = 18 + 18 = 36 = AC²
పైథాగరస్ సిద్దాంత విషర్యము నుండి ∠B = 90° అవుతుంది. AB = BC = CD = DA మరియు ∠B = 90°.
కావున □ ABCD ఒక చతురస్రము.

ప్రశ్న 6.
బిందువులు A(a, 0), B(- a, 0), C(0, a√3) అనునవి ఒక సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచగలవని చూపండి.
సాధన.

త్రిభుజ శీర్షాలు A (a, 0), B (- a, 0), C (o, a√3).
AB = | – a – a| = |- 2a| = 2a యూనిట్లు
BC = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{[0-(-a)]^{2}+(a \sqrt{3}-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{a^{2}+3 a^{2}}=\sqrt{4 a^{2}}\) = 2a యూనిట్లు.

AC = \(\sqrt{(0-a)^{2}+(a \sqrt{3}-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{a^{2}+3 a^{2}}=\sqrt{4 a^{2}}\) = 2a యూనిట్లు.
∴ AB = BC = CA = 2a
∴ ∆ABC ఒక సమబాహు త్రిభుజం.
(∵ సమబాహు త్రిభుజంలో అన్ని భుజాలు సమానాలు).

ప్రశ్న 7.
బిందువులు (- 7, – 3), (5, 10), (15, 8) మరియు (3, – 5) లు వరుసగా ఒక సమాంతర చతుర్భుజానికి శీర్షాలు అవుతాయని చూపండి.
సాధన.

ఇచ్చిన బిందువులు A (- 1, – 3), B (5, 10), C (15, 8), D (3, – 5)
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
AB = \(\sqrt{[5-(-7)]^{2}+[10-(-3)]^{2}}\)
= \(\sqrt{12^{2}+13^{2}}=\sqrt{144+169}\)
= √313 యూనిట్లు

BC = \(\sqrt{(15-5)^{2}+(8-10)^{2}}\)
= \(\sqrt{(10)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{100+4}\)
= \(\sqrt{100+4}=\sqrt{104}\) యూనిట్లు.

CD = \(\sqrt{(3-15)^{2}+[8-(-5)]^{2}}\)
= \(\sqrt{(-12)^{2}+13^{2}}=\sqrt{144+169}\)
= √313 యూనిట్లు

DA = \(\sqrt{(-7-3)^{2}+[-3-(-5)]^{2}}\)
= \(\sqrt{(-10)^{2}+2^{2}}\)
= \(\sqrt{100+4}=\sqrt{104}\) యూనిట్లు

పై కొలతల నుండి □ABCD చతుర్భుజంలో AB = CD మరియు BC = DA.
∴ □ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం అవుతుంది.

ప్రశ్న 8.
బిందువులు (- 4, – 7), (- 1, 2), (8, 5) మరియు (5, 4) లు వరుసగా ఒక సమచతుర్భుజం (రాంబస్) యొక్క శీర్షాలు అవుతాయని చూపండి. దాని వైశాల్యం కనుగొనండి. (సూచన : రాంబస్ వైశాల్యం = \(\frac{1}{2}\) × కర్ణముల లబ్ధం)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు AC(- 4, – 7), B (- 1, 2), C (8, 5), D (5, – 4)

రెండు బిందువుల మధ్య దూరం = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
AB = \(\sqrt{[-1-(-4)]^{2}+[2-(-7)]^{2}}\)
= \(\sqrt{(3)^{2}+9^{2}}=\sqrt{9+81}\)
= √90 యూనిట్లు,

BC = \(\sqrt{[8-(-1)]^{2}+(5-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{9^{2}+3^{2}}=\sqrt{81+9}\)
= √90 యూనిట్లు,

CD = \(\sqrt{(5-8)^{2}+(-4-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-3)^{2}+(-9)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+81}=\sqrt{90}\) యూనిట్లు.

DA = \(\sqrt{[5-(-4)]^{2}+[-7-(-4)]^{2}}\)
= \(\sqrt{9^{2}+(-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+81}=\sqrt{90}\) యూనిట్లు.

పై కొలతల నుండి AB = BC = CD = DA.
కావున ఇచ్చిన నాలుగు బిందువులు వరుసగా ఒక సమచతుర్భుజం (రాంబస్)ను ఏర్పరుస్తాయి.
d₁ = BD = \(\sqrt{5-(-1)^{2}+(-4-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{6^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{36 \times 2}\)
= 6√2

d₂ = AC = \(\sqrt{[8-(-4)]^{2}+[5-(-7)]^{2}}\)
= \(\sqrt{12^{2}+12^{2}}=\sqrt{144+144}\)
= \(\sqrt{2 \times 144}\) = 12√2

రాంబస్ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × కర్ణాల లబ్ధం
= \(\frac{1}{2}\) d₁d₂
= \(\frac{1}{2}\) × 6√2 × 12√2
= 36 × 2 = 72 చ.యూ.

ప్రశ్న 9.
క్రింద ఇవ్వబడిన బిందువులతో ఏర్పడే చతుర్భుజం ఏ రకమైనది ? దాని పేరును తెలపండి. మీ సమాధానానికి సరైన కారణం తెలపండి.
(i) (- 1, – 2), (1, 0), (- 1, 2), (- 3, 0)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A (- 1, – 2), B (1, 0), C (- 1, 2), D (- 3, 0)
రెండు బిందువుల మధ్య దూరం , d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
AB = \(\sqrt{[1-(-1)]^{2}+[0-(-2)]^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)

BC = \(\sqrt{(-1-1)^{2}+(2-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)

CD = \(\sqrt{[-3-(-1)]^{2}+(0-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)

DA = \(\sqrt{[-1-(-3)]^{2}+[0-(-2)]^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)

∴ AB = BC = CD = DA.
ఇప్పుడు AC = \(\sqrt{[-1-(-1)]^{2}+[2-(-2)]^{2}}\)
= \(\sqrt{0^{2}+4^{2}}=\sqrt{16}\) = 4 యూనిట్లు

BD = \(\sqrt{(-3-1)^{2}+(0-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-4)^{2}}=\sqrt{16}\) = 4 యూనిట్లు
∴ AC = BD.
ABCD బిందువులు ఏర్పరిచే చతుర్భుజంలో నాలుగు భుజాలు సమానం మరియు కర్ణాలు కూడా సమానము.
కావున ABCD ఒక చతురస్రం అవుతుంది.

(ii) (- 3, 5), (1, 10), (3, 1), (- 1, – 4)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
A(- 3, 5), B(1, 10), C(3, 1), D(- 1, – 4)
\(\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(1+3)^{2}+(10-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\)

\(\overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{(3-1)^{2}+(1-10)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+81}=\sqrt{85}\)

\(\overline{C D}=\sqrt{(-1-3)^{2}+(-4-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\)

\(\overline{\mathrm{AD}}=\sqrt{(-1+3)^{2}+(-4-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+81}=\sqrt{85}\)

\(\overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{(3+3)^{2}+(1-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\)

\(\overline{\mathrm{BD}}=\sqrt{(-1-1)^{2}+(-4-10)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+196}=\sqrt{200}=10 \sqrt{2}\)

□ABCD లో \(\overline{\mathrm{AB}}\) = \(\overline{\mathrm{CD}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{BC}}\) = \(\overline{\mathrm{AD}}\) (∵ ఎదురెదురు భుజాలు సమానం) మరియు \(\overline{\mathrm{AC}}\) ≠ \(\overline{\mathrm{BD}}\).
కావున, □ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం. ఇచ్చిన బిందువులతో సమాంతర చతుర్భుజం ఏర్పడుతుంది.
□ABCD లో AB = CD, BC = AD మరియు AC ≠ BD.

(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
A (4, 5), B (7, 6), C (4, 3), D (1, 2)
d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
AB = \(\sqrt{(7-4)^{2}+(6-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{3^{2}+1^{2}}\)
= \(\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\) యూనిట్లు

BC = \(\sqrt{(4-7)^{2}+(3-6)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}\)
= 3√2 యూనిట్లు

CD = \(\sqrt{(1-4)^{2}+(2-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-3)^{2}+(-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}\)
= √10 యూనిట్లు

DA = \(\sqrt{(4-1)^{2}+(5-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\) = 3√2 యూనిట్లు
AB = CD మరియు BC = DA

ఇప్పుడు కర్ణాలు AC = \(\sqrt{(4-4)^{2}+(3-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{0+(-2)^{2}}=\sqrt{4}\) = 2 యూనిట్లు

BD = \(\sqrt{(1-7)^{2}+(2-6)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-6)^{2}+(-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\) యూనిట్లు
AC ≠ BD
∴ ABCD బిందువులతో ఏర్పడే చతర్భుజం యొక్క ఎదురెదురు భుజాలు సమానం మరియు కర్ణాలు అసమానాలు. కావున □ ABCD దీర్ఘచతురస్రం కానటువంటి సమాంతర చతుర్భుజాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 10.
x-అక్షంపై ఉంటూ బిందువులు (2, – 5) మరియు (- 2, 9) లకు సమాన దూరంలోనున్న బిందువును కనుగొనండి.
సాధన.
x-అక్షంపై గల బిందువు (x, 0) రూపంలో ఉంటుంది.
P (x, 0) బిందువు A (2, – 5) మరియు B (- 2, 9) లకు సమాన దూరంలో కలదు అనుకొనుము.
∴ AP = BP ⇒ AP² = BP²
AP = \(\sqrt{(2-x)^{2}+(-5-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{4-4 x+x^{2}+25}\)
= \(\sqrt{x^{2}-4 x+29}\)

AP² = x² – 4x + 29

BP = \(\sqrt{(-2-x)^{2}+(9-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+4 x+x^{2}+81}\)
= \(\sqrt{x^{2}+4 x+85}\)

BP² = x² + 4x + 85
AP² = BP².
x² – 4x + 29 = x² + 4x + 85
x² – 4x – x² – 4x = 85 – 29
– 8x = 56
8x = – 56 ⇒ x = \(\frac{-56}{8}\) = – 7
∴ కావలసిన బిందువు P= (- 7, 0)

సరిచూచుకోవడం :
AP = \(\sqrt{[2-(-7)]^{2}+(-5-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{9^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{81+25}\)
= √107 యూనిట్లు

BP = \(\sqrt{[-2-(-7)]^{2}+(9-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{5^{2}+9^{2}}=\sqrt{25+81}\)
= √107 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 11.
బిందువులు (x, 7) మరియు (1, 15) ల మధ్య దూరం 10 యూనిట్లు, అయిన x విలువ ఎంత ?
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు A (x, 7), B (1, 15)
AB = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(1-x)^{2}+(15-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{1-2 x+x^{2}+64}\)

AB = \(\sqrt{x^{2}-2 x+65}\)

లెక్క ప్రకారం AB = 10 యూనిట్లు
= \(\sqrt{x^{2}-2 x+65}\) = 10
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా,
∴ x² – 2x + 65 = 100
x² – 2x + 65 – 100 = 0
x² – 2x – 35 = 0
x² – 7x + 5x – 35 = 0
x (x -7) + 5 (x – 7) = 0
(x – 7) (x + 5) = 0
x – 7 = 0 లేదా x + 5 = 0
x = 7 లేదా x = – 5
∴ x = 7 లేదా – 5.

ప్రశ్న12.
బిందువులు P(2, – 3) మరియు Q(10, y) ల మధ్య దూరం 10 యూనిట్లు, అయిన y విలువ ఎంత?
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు P (2, – 3) మరియు Q (10, y)
PQ = \(\sqrt{(10-2)^{2}+[y-(-3)]^{2}}\)
= \(\sqrt{8^{2}+(y+3)^{2}}\)
= \(\sqrt{64+y^{2}+6 y+9}\)
= \(\sqrt{y^{2}+6 y+73}\)
లెక్క ప్రకారం PQ = 10 యూనిట్లు
\(\sqrt{y^{2}+6 y+73}\) = 10
y² + 6y + 73 = 100 (∵ ఇరువైపులా వర్గం చేయగా)
y² + 6y – 27 = 0
y² + 9y – 3y – 27 = 0
y (y + 9) – 3 (y + 9) = 0
(y + 9) (y – 3) = 0 .
y + 9 = 0 లేదా y – 3 = 0
y = – 9 లేదా y = 3
∴ y = – 9 లేదా 3.

ప్రశ్న 13.
బిందువు, (- 5, 6) గుండా పోవు వృత్తం యొక్క కేంద్రం (3, 2) అయిన దాని వ్యాసార్ధంను కనుగొనండి.
సాధన.

వృత్తకేంద్రం O = (3, 2)
వృత్తంపై ఒక బిందువు A = (- 5, 6)
వృత్త వ్యాసార్థం OA = \(\sqrt{(-5-3)^{2}+(6-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{(-8)^{2}+4^{2}}=\sqrt{64+16}\) = √80
= \(\sqrt{16 \times 5}=\sqrt{4 \times 4 \times 5}\) = 4√5
వృత్త వ్యాసార్థం r = 4√5 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 14.
బిందువులు (1, 5), (5, 8) మరియు (13, 14)లతో త్రిభుజమును గీయగలమా ? కారణం తెల్పండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
A (1, 5), B (5, 8), C (13, 14)
∴ రెండు బిందువుల మధ్య దూరం
d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
∴ AB = \(\sqrt{(5-1)^{2}+(8-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}\)
= √25 = 5

BC = \(\sqrt{(13-5)^{2}+(14-8)^{2}}\)
= \(\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}\)
= √100 = 10

AC = \(\sqrt{(13-1)^{2}+(14-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}\)
= √225 = 15
పై కొలతల నుండి, AB + BC = AC కావున A, B, C లు సరేఖీయాలు.
కాబట్టి A, B, C బిందువులగుండా త్రిభుజాన్ని గీయలేము.

ప్రశ్న 15.
బిందువు (x, y), (- 2, 8) మరియు (- 3, – 5) లకు సమాన దూరంలో ఉన్నది. అయిన x మరియు y ల
మధ్య సంబంధమును కనుక్కోండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
P (x, y), A (- 2, 8), B (- 3, – 5) అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారం,
∴ AP = BP = AP² = BP² ……… (1)
∴ AP = \(\sqrt{[(-2-x)]^{2}+(8-y)^{2}}\)
= \(\sqrt{x^{2}+4 x+4+y^{2}-16 y+64}\)

AP² = x² + y² + 4x – 16y + 68

BP = \(\sqrt{[x-(-3)]^{2}+[y-(-5)]^{2}}\)
= \(\sqrt{(x+3)^{2}+(y+5)^{2}}\)
= \(\sqrt{x^{2}+6 x+9+y^{2}+10 y+25}\)

BP = x² + y² + 6x + 10y + 34
AP = BP
∴ x² + y² + 4x – 16y + 68 = x² + y² + 6x + 10y + 34
x² + y² + 4x – 16y + 68 – x² – y² – 6x – 10y – 34 = 0
– 25 – 26y + 34 = 0
∴ – 2[x + 13y – 17] = 0
X + 13y = 17.

గమనిక : (- 3, – 5) మరియు (- 2, 8) లకు సమానదూరంలో గల బిందువులు C, D, E, F, G, H, I, J, ……. x + 13y – 17 = 0 సరళరేఖపై ఉంటాయి.
ఈ సరళరేఖ AB రేఖాఖండాన్ని లంబ సమద్విఖండన చేస్తుంది. ఒక రేఖండం యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖపై గల బిందువులు ఆ రేఖాఖండం యొక్క చివరి బిందువులకు సమాన దూరంలో ఉంటాయి.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు InText Questions

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
పరిమిత అంకశ్రేణికి 3 ఉదాహరణలు, అనంత అంకశ్రేణికి 3 ఉదాహరణలు ఇమ్ము. (పేజీ నెం. 130)
సాధన.
పరిమిత అంకశ్రేఢులు :
(i) 0, 5, 10, 15, 20, 25
(ii) 50, 47, 44, 41, ………., 11
(iii) 5, 41, 4, 3, ………., \(\frac{1}{2}\)
అనంత అంకశ్రేఢులు :
(i) 0, 5, 10, 15, 20, 25, ………….
(ii) 50, 47, 44, 41, ……………..
ti) 5, 41, 4, 3, ………..

ప్రశ్న2.
ఏదైనా ఒక అంకశ్రేణిని తీసుకొనుము. (పేజీ నెం. 131)
సాధన.
10, 13, 16, 19, 22, ………, 52.

ప్రశ్న 3.
జాబితాలోని ప్రతి పదమునకు ఏదైనా ఒక స్థిర సంఖ్యను కలుపుము. ఫలిత సంఖ్యలను జాబితా రూపంలో రాయుము. (పేజీ నెం. 131)
సాధన.
10 + 2, 13 + 2, 16 + 2, 19 + 2, 22 + 2, …… 52 + 2
జాబితారూపం : 12, 15, 18, 21, 24, ….., 54.

ప్రశ్న 4.
అదే విధంగా అంకశ్రేణిలో ప్రతి పదము నుంచి ఏదైనా ఒక స్థిర సంఖ్యను తీసివేసి ఫలిత సంఖ్యలను జాబితాగా రాయుము. (పేజీ నెం. 131)
సాధన.
10 – 4, 13 – 4, 16 – 4, 19 – 4, 22 – 4, ………., 52 – 4
జాబితారూపం :
6, 9, 12, 15, 18, ……. 48.

ప్రశ్న 5.
అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదమును ఏదైనా ఒక స్థిరసంఖ్యచే గుణించి ఫలిత సంఖ్యలను జాబితాగా రాయుము. మరియు అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదమును ఏదైనా ఒక స్థిరసంఖ్యచే భాగించి ఫలిత సంఖ్యలను జాబితాగా రాయుము. (పేజీ నెం. 131)
సాధన.
a) 10 × 5, 13 × 5, 16 × 5, 19 × 5, 22 × 5, …………, 52 × 5
జాబితారూపం :
50, 65, 80, 95, 110 ……. 260

b) \(\frac{10}{4}\), \(\frac{13}{4}\), \(\frac{16}{4}\), \(\frac{19}{4}\), \(\frac{22}{4}\), ……………… \(\frac{52}{4}\)
జాబితారూపం :
2\(\frac{1}{2}\), 3\(\frac{1}{4}\), 4, 4\(\frac{3}{4}\), 5\(\frac{1}{2}\), ……, 13.

ప్రశ్న 6.
క్రొత్తగా ఏర్పడిన జాబితాలన్నీ అంకశ్రేఢులు అవుతాయేమో పరిశీలించుము. (పేజీ నెం. 132)
సాధన.
క్రొత్తగా ఏర్పడిన జాబితాలు :
12, 15, 18, 21, 24 ………, 54 అంకశ్రేఢి
6, 9, 12, 15, 18 ………., 48 అంకశ్రేఢి
50, 65, 80, 95, 110 ……. 260 అంకశ్రేఢి
2\(\frac{1}{2}\), 3\(\frac{1}{4}\), 4, 4\(\frac{3}{4}\), 5\(\frac{1}{2}\), ……, 13-అంకశ్రేణి
క్రొత్తగా ఏర్పడిన జాబితాలన్నీ అంకశ్రేడులే.

ప్రశ్న 7.
చివరగా నీ అభిప్రాయం ఏమిటి ? (పేజీ నెం. 132)
సాధన.
ఒక అంకశ్రేణిలోని ప్రతి పదానికి ఒక స్థిర సంఖ్యను కలిపినా, తీసివేసినా, గుణించినా, భాగించినా వచ్చే సంఖ్యలు కూడా అంకశ్రేణిలో ఉంటాయి. (భాగహారంలో స్థిర సంఖ్యగా సున్నాను తీసుకోకూడదు.)

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
(i) క్రింది వానిలో ఏవి అంకశ్రేఢులు ? ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 128)
(a) 2, 3, 5, 7, 8, 10, 15, ……
సాధన.
అంకశ్రేణి కాదు. ఎందుకనగా మొదటి పదం 2కు 1 కలిపితే 2వ పదం 3 వస్తుంది. కాని రెండవ పదంకు 2 కలిపితే 3వ పదం 5 వస్తుంది. ఇక్కడ రెండు సందర్భాలలోను కలుపుతున్న స్థిరసంఖ్య సమానంగా లేదు.

(b) 2, 5, 7, 10, 12, 15, ………….
సాధన.
అంకశ్రేణి కాదు. ఎందుకనగా
మొదటి పదం 2కు 3 కలపడం వలన 2వ పదం 5, అలాగే 2వ పదానికి 2 కలపడం వలన 3వ పదం 7 వస్తున్నది. కాని 3వ పదం 7కు 3 కలపడం వలన 4వ పదం 10 వస్తుంది. అన్ని సందర్భాలలోను
కలుపుతున్న స్థిరసంఖ్య సమానంగా లేదు.

(c) – 1, – 3, – 5, – 1, …………..
సాధన.
అంకశ్రేణి. ఎందుకనగా ..
మొదటి పదం – 1కు – 2 కలిపిన 2వ పదం -3, – 2వ పదం – 3కు – 2 కలిపిన 3వ పదం – 5, 3వ పదం .- 5కి – 2 కలిపిన 4వ పదం – 7 వస్తుంది. అన్ని సందర్భాలలోను ఒకే స్థిరసంఖ్య – 2 ను
కలుపుతున్నాము.

(ii) ఏవైనా మూడు అంకశ్రేఢులను రాయుము. (పేజీ నెం. 128)
సాధన.
(i) 1, 4, 7, 10, 13, 16, ………….
(ii) 4, 1, -2, -5, -8, ………….
(iii) 5, 15, 25, 35, 45, …………

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

(a) ఒక పాఠశాలలో ప్రార్థనా సమయంలో వరుసగా నిలబడిన విద్యార్థుల ఎత్తులు (సెం.మీ.లలో) 147, 148, 149, ……. 157. (పేజీ నెం. 129)
(b) ఒక పట్టణములో జనవరి మాసంలో ఒక వారంలో నమోదైన కనిష్ట ఉష్ణోగ్రతల ఆరోహణ క్రమము – 3.1, – 3.0, – 2.9, – 2.8, – 2.7, – 2.6, – 2.5
(c) ₹ 1000 ల అప్పు 5% సొమ్మును ప్రతీ నెల చెల్లిస్తున్న, ప్రతి నెల చివర ఇంకనూ చెల్లించవలసిన సొమ్ము ₹ 950, ₹ 900, ₹ 850, ₹ 800, …, ₹ 50.
(d) ఒక పాఠశాలలో 1 నుంచి 12వ తరగతి వరకూ ప్రతి తరగతిలో అత్యధిక మార్కులు సాధించిన వారికి ఇచ్చే బహుమతుల విలువ వరుసగా ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300, ₹ 350, ……₹ 750
(e) 10 నెలలలో ప్రతి నెలలో ₹ 50 లు చొప్పున పొదుపు చేసిన ప్రతినెల చివరలో ఉండే మొత్తం సొమ్ము వరుసగా ₹ 50, ₹ 100, ₹ 150, ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300,
₹ 350, ₹ 400, ₹ 450, ₹ 500.

ప్రశ్న 1.
పైన పేర్కొనబడిన ప్రతి జాబితా ఏవిధంగా అంకశ్రేణి అవుతుందో ఆలోచించుము. మీ మిత్రునితో చర్చించుము.(పేజీ నెం. 129)
సాధన.
(a) 147 , 148, 149, …….., 157
సామాన్యభేదం
d = 148 – 147 = 149 – 148 = …… = 1
జాబితాలోని ప్రతిపదం దాని ముందున్న పదానికి 1 కలపడం వలన వస్తుంది. కావున అంకశ్రేఢి అవుతుంది.

(b) – 3.1, – 3.0, – 2.9, – 2.8, – 2.7, – 2.6, – 2.5
సామాన్య భేదం d = – 3.0 – (-3.1)
= – 2.9 – (- 3.0) = …….. = 0.1
సామాన్యభేదం (d) అన్ని సందర్భాలలోను సమానం. కావున అంకశ్రేణి అవుతుంది.

(c) 950, 900, 850, 800, ……, 50
సామాన్యభేదం d = 900 – 950
= 850 – 900 = ….. = – 50
సామాన్య భేదం (d) అన్ని సందర్భాలలోను సమానం. కావున అంకశ్రేణి అవుతుంది.

(d) 200, 250, 300, 350, . . . . ., 750
సామాన్యభేదం d = 250 – 200
= 300 – 250 = …. = 50
సామాన్యభేదం (d) అన్ని సందర్భాలలోను సమానం. కావున అంకశ్రేణి అవుతుంది.

(e) 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500
సామాన్యభేదం d = 100 – 50
= 150 – 100 = …… = 50,
సామాన్యభేదం (d) అన్ని సందర్భాలలోను సమానం. కావున అంకశ్రేణి అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
పైన ఇవ్వబడిన ప్రతి జాబితాకు సామాన్యభేదంను కనుగొనుము. సామాన్యభేదం ఎప్పుడు ధనాత్మకమో ఆలోచించుము. (పేజీ నెం. 129)
సాధన.
(a) సామాన్యభేదం d = 148 – 147 = 1
(b) సామాన్యభేదం d = – 3.0 – (- 3.1) = – 3.0 + 3.1= 0.1
(c) సామాన్యభేదం d = 900 – 950 = – 50
(d) సామాన్యభేదం d = 250 – 200 = 50
(e) సామాన్యభేదం d = 100 – 50 = 50
అంకశ్రేణిలోని పదాలు ఆరోహణక్రమంలో ఉంటే సామాన్యభేధం ధనాత్మకము.

ప్రశ్న 3.
సామాన్యభేదం ఒక చిన్న ధనాత్మక విలువ వుండేటట్లు ఒక అంకశ్రేణిని తయారుచేయుము. (పేజీ నెం. 129)
సాదన.
2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, ………, 3.

ప్రశ్న 4.
సామాన్యభేదం ఒక పెద్ద ధనాత్మక విలువగా వుండేటట్లు ఒక
అంకశ్రేణిని తయారుచేయుము. (పేజీ నెం. 129)
సాధన.
2, 1002, 2002, 3002, 4002, ……..

ప్రశ్న 5.
సామాన్య భేదం ఋణాత్మకంగా వుండేటట్లు ఒక అంకశ్రేణిని రాయుము. (పేజీ నెం. 129)
సాధన. 20, 16, 12, 8, 4, 0, ……….

కృత్యము:

(i) అగ్గిపుల్లల సహాయంతో క్రింది ఆకారాలను ఏర్పరచుము. :(పేజీ నెం. 129)

సాధన.

(ii) ప్రతి ఆకారానికి కావలసిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్యను వరుసగా రాయుము. (పేజీ నెం. 129)
సాధన.
అగ్గిపుల్లల సంఖ్య 3, 5, 7, 9.

(iii) జాబితాలో రెండు వరుస సంఖ్యల మధ్య గల భేదం ఒకే విధంగా (స్థిరంగా) ఉందా ? (పేజీ నెం. 130)
సాధన.
రెండు వరుస సంఖ్యల మధ్యగల భేదం ఒకే విధంగా 2కు సమానంగా ఉంది.

(iv) ఈ సంఖ్యల జాబితా ఒక అంకశ్రేణి అవుతుందా ?
సాధన.
అవును, అంకశ్రేణి అవుతుంది. . (పేజీ నెం. 130)

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇవ్వబడిన ప్రతి అంకశ్రేణిలో పేర్కొన్న పదాల మొత్తమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 143)

(i) 16, 11, 6, ………., 23 పదాలు.
సాధన.
a = 16, d = a₂ – a₁ = 11 – 16 = – 5, n = 23
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
23 పదాల మొత్తం S₂₃ = \(\frac{23}{2}\) [2(16) + (23 – 1)(- 5)]
= \(\frac{23}{2}\) [32 – 110]
= \(\frac{23 \times(-78)}{2}\) = – 23 × 39 = – 897

(ii) – 0.5, – 1.0, – 1.5, ………….., 10 పదాలు.
సాధన.
a = – 0.5, d = a₂ – a₁ = (- 1.0) – (- 0.5) = – 0.5, n = 10
∴ S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2(- 0.5) + (10 – 1)(- 0.5)]
= \(\frac{10}{2}\) [- 1.0 + 9(- 0.5)]
= 5[- 1.0 – 4.5]
= 5[- 5.5] = – 27.5
S₁₀ = – 27.5

(iii) -1, \(\frac{1}{4}\), \(\frac{3}{2}\), ……. 10 పదాలు.
సాధన.
a = – 1, d = a₂ – a₁
= \(\frac{1}{4}\) – (- 1) = 1 + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{5}{4}\)
n = 10
∴ S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2(- 1) + (10 – 1)(\(\frac{5}{4}\))]
= 5[- 2 + 9 × \(\frac{5}{4}\)]
= 5[- 2 + \(\frac{45}{4}\)]
= 5 \(\left[\frac{-8+45}{4}\right]\)
S₁₀ = \(\frac{5 \times 37}{4}=\frac{185}{4}\) = 46.25.

ఇవి చేయండి:
క్రింది వానిలో గుణశ్రేడులు కానివేవో కొనుగొనుము.

ప్రశ్న 1.
6, 12, 24, 48, …………
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{12}{6}\) = 2;

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{24}{12}\) = 2;

\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{48}{24}\) = 2
ప్రతి సందర్భంలోను \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = 2
కావున గుణ శ్రేఢి అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
1, 4, 9, 16, …………….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{4}{1}\) = 2;
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{9}{4}\) = 2;
\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{16}{9}\) = 2 ………….
అన్ని సందర్భాలలో \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) సమానంకాదు. కావున గుణశ్రేణి కాదు.

ప్రశ్న 3.
1, – 1, 1, – 1, ………………….
సాధన.
అన్ని పదాలు ‘శూన్యేతరాలు.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-1}{1}\) = – 1;

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{1}{-1}\) = – 1,

\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{-1}{1}\) = – 1
అన్ని సందర్భాలు \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = 1
కావున ఇది గుణశ్రేణి అవుతుంది.

ప్రశ్న 4.
– 4, – 20, – 100, – 500, ………..
సాధన.
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-20}{-4}\) = 5;

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{-100}{-20}\) = 5;

\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{-500}{-100}\) = 5
అన్ని సందర్భా లలో \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = 5.
కావున ఇది గుణ శ్రేణి అవుతుంది.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇచ్చిన ప్రతి జాబితా ఎందుకు గుణశ్రేఢి అవుతుందో వివరించుము. (పేజీ నెం. 149)
1వ జాబితా : 1, 4, 16, 64, 256, ……….
సాధన.
1, 4, 16, 64, 256, …………….
ఇప్పుడు \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{a_{5}}{a_{4}}\) = 4
కావున ఇది గుణశ్రేణి.

2వ జాబితా : 550, 605, 665.5, …………….
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{\mathrm{a}_{2}}{\mathrm{a}_{1}}=\frac{605}{550}=\frac{11}{10}\)
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{665.5}{60.5}=\frac{6655}{6050}=\frac{11}{10}\)
ప్రతి సందర్భం లోను \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = \(\frac{11}{10}\)
కావున ఇది గుణశ్రేణి.

3వ జాబితా : 256, 128, 64, 32, …………
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{128}{256}=\frac{1}{2}\);
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{64}{128}=\frac{1}{2}\);
\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{32}{64}=\frac{1}{2}\)
ప్రతి సందర్భం లోను \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = \(\frac{1}{2}\)
కావున ఇది గుణశ్రేణి.

4వ జాబితా : 18, 16.2, 14.58, 13.122, ……..
సాధన.
18, 16.2, 14.58, 13.122, ………..
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{16.2}{18}=\frac{162}{180}=\frac{9}{10}\) = 0.9
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{14.58}{16.2}=\frac{1458}{1620}\) = 0.9
\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{13.122}{14.58}=\frac{13122}{14580}\) = 0.9
అన్ని సందర్భాలలో \(\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) = 0.9 (సమానము).
కావున ఇది గుణ శ్రేఢి అవుతుంది.

ప్రశ్న 2.
ఒక గుణశ్రేణిని నిర్ణయించుటకు కావలసిన అంశాలేమిటి ? (పేజీ నెం. 149)
సాధన.
ఒక గుణ శ్రేణిని నిర్ణయించుటకు కావలసిన అంశాలు: అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
1) మొదటి పదము
2) సామాన్య నిష్పత్తి
3) శ్రేణిలోని పదాల సంఖ్య.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
అంకశ్రేణి \(\frac{1}{4}\), \(\frac{-1}{4}\), \(\frac{-3}{4}\), \(\frac{-5}{4}\), ……, లో మొదటి పదం a ను, సామాన్య భేదం d లను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 132)
సాధన.
మొదటి పదం a = \(\frac{1}{4}\)
సామాన్య భేదం d = \(\frac{-1}{4}\) – \(\frac{4}{4}\)
= \(\frac{-1-1}{4}\)
= \(\frac{-2}{4}\) = \(\frac{-1}{2}\).

ప్రశ్న 2.
క్రింది వానిలో ఏవి అంకశ్రేఢులు? ఒకవేళ అంకశ్రేణి అయితే తరువాత వచ్చే రెండు పదాలను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 132)
(i) 4, 10, 16, 22, . . .
సాధన.
d = a₂ – a₁ = 10 – 4 = 6
d = a₃ – a₂ = 16 – 10 = 6
d = a₄ – a₃ = 22 – 16 = 6
ప్రతిసారి సామాన్యభేదం (d) సమానము.
కావున ఇచ్చిన జాబితా ఒక అంకశ్రేణి. జాబితాలో తరువాత రెండు పదాలు : 22 + 6 = 28 మరియు 28 + 6 = 34.

(ii) 1, – 1, – 3, – 5, . . . . .
సాధన.
d = a₂ – a₁ = – 1 – 1 = – 2
d = a₃ – a₂ = – 3 – (- 1)
= – 3 + 1 = – 2
d = a₄ – a₃ = – 5 – (- 3)
= – 5 + 3 = – 2
ప్రతిసారి సామాన్యభేదం (d) సమానము.
కావున ఇచ్చిన జాబితా ఒక అంకశ్రేణి.
జాబితాలో తరువాత రెండు పదాలు : – 5 + (- 2) = – 7 మరియు – 7 + (- 2) = – 9.

(iii) – 2, 2, – 2, 2, – 2, …….
సాధన.
d = a₂ – a₁ = 2 – (- 2) = 2 + 2 = 4
d = a₃ – a₂ = – 2 – 2 = – 4
ఇక్కడ a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ కావున అంకశ్రేణి కాదు.

(iv) 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, …………..
సాధన.
d = a₂ – a₁ = 1 – 1 = 0
d = a₃ – a₂ = 1 – 1 = 0
d = a₄ – a₃ = 2 – 1 = 1
ఇచ్చట, a₂ – a₁ = a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₂
అనగా ఇచ్చిన సంఖ్యల జాబితా అంకశ్రేణి కాదు.

(v) x, 2x, 3x, 4x ………..
సాధన.
d = a₂ – a₁ = 2x – x = x
d = a₃ – a₂ = 3x – 2x = x
d = a₄ – a₃ = 4x – 3x = x
ప్రతిసారి సామాన్యభేదం (d) సమానం.
కావున ఇచ్చిన జాబితా ఒక అంకశ్రేణి.
జాబితాలో తరువాత 2 పదాలు : 4x + x = 5x మరియు 5x + x = 6x.

ప్రశ్న 3.
5, 1, – 3, – 7 . . . అంకశ్రేణిలో. 10వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 136)
సాధన.
5, 1, -3, -7. . . .
a = 5, d = a₂ – a₁ = 1 – 5 = – 4 మరియు n = 10.
n వ పదం a_n = a + (n – 1) d
a₁₀ = 5 + (10 – 1) (- 4)
= 5 – 36 = – 31
∴ అంకశ్రేణిలో 10వ పదము = -31.

ప్రశ్న 6.
21, 18, 15, ……. అంకశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము ‘- 81’ అవుతుంది ? ఏదైనా ఒక పదము ‘0’ అవుతుందా ? నీ సమాధానమునకు కారణాలిమ్ము. (పేజీ నెం. 136)
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణి 21, 18, 15, ……
a = 21, d = a₂ – a₁ = 18 – 21 = – 3 మరియు a_n = – 81.
n వ పదం a_n = a + ( n – 1) d
– 81 = 21 + (n – 1) (- 3)
– 81 = 21 – 3n + 3
– 81 = 24 – 31
– 81-24 = – 3n
– 105 = – 3n
\(\frac{105}{3}\) = 35
∴. n = 35.
అనగా పై అంకశ్రేణిలో 35వ పదము – 81 అవుతుంది.
తరువాత ఒక పదం 0 అవుతుందా అనగా a_n = 0.
అయ్యే విధంగా n ∈ N అయ్యేటట్లు nను కనుగొనాలి.
a_n = a + (n – 1) 4 = 0
21 + (n – 1) (- 3) = 0
21 – 3n + 3 = 0
24 = 3n
n = \(\frac{24}{3}\) = 8
n = 8 మరియు 8 ∈ N అనగా అంకశ్రేణిలో 8వ పదము సున్నా అవుతుంది.

ప్రశ్న 7.
3వ పదము 5; 7వ పదము 9గా వుండునట్లు ఒక అంకశ్రేణిని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 137)
సాధన.
లెక్క ప్రకారం,
a₃ = a + 2d = 5 ……. (1)
a₇ = a + 6d = 9……… (2)
సమీకరణాలు (1) మరియు (2) ల నుంచి,
(2) – (1)

d = 1 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a + 2(1) = 5
⇒ a = 5 – 2 = 3
∴ a = 3, 4 = 1.
∴ కావలసిన అంకశ్రేణి : 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ………..

ప్రశ్న 8.
5, 11, 17, 23, . . . జాబితాలో 301 ఉంటుందో లేదో కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 137)
సాధన.
ఇచ్చిన జాబితా
5, 11, 17, 23, . . . .
a₂ – a₁= 11 – 5 = 6,
a₃ – a₂ = 17 – 11 = 6,
a₄ – a₃ = 23 – 17 = 6
……………………….
అన్ని సందర్భాలలో a_{k + 1} – a_k సమానము.
∴ ఇచ్చిన జాబితా ఒక అంకశ్రేఢి అవుతుంది.
ఈ అంకశ్రేణిలో a = 5, d = 6 మరియు ఈ జాబితాలో nవ పదం a_n = 301 అనుకొందాం.
అప్పుడు, a_n = a + (n – 1) d = 301
= 5 + (n – 1) 6 = 301
= 5 + 6n – 6 = 301
6n – 1 = 301
6n = 301 + 1 = 302
n = \(\frac{302}{6}=\frac{151}{3}\)
పదాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడు ఒక సహజ సంఖ్య అవుతుంది.
కాని \(\frac{151}{3}\) సహజసంఖ్య కాదు. కావున 301 ఇచ్చిన జాబితాలో ఉండదు.

ప్రశ్న 9.
3 చే భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని ? (పేజీ నెం. 137)
సాధన.
3చే భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యల జాబితా : 12, 15, 18, 21, …………., 99
ఇది ఒక అంకశ్రేణి, ఇక్కడ a = 12, d = 3 మరియు a_n = 99.
a_n = a + (n – 1) d = 99
= 12 + (n – 1) 3 = 99
= 12 + 3n – 3 = 99
3n + 9 = 99
3n = 99 – 9 = 90
n = \(\frac{90}{3}\) = 30
∴ 3చే భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యలు 30 కలవు.

ప్రశ్న 10.
10, 7, 4, . . ., – 62 అంకశ్రేణిలో చివరి నుంచి 11వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 138)
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేఢి 10, 7, 4, …….., – 62 లో చివరి
నుంచి 11వ పదమును కనుగొనవలెనన్న ముందుగా ఈ శ్రేణిలో ఎన్ని పదాలున్నాయో కనుగొనవలెను.
∴ a = 10, d = a₂ – a₁ = 7 – 10 = – 3,
a_n = – 62
a_n = a + (n – 1) d = – 62.
= 10 + (n – 1) (- 3) = – 62
10 – 3n + 3 = – 62
– 3n = – 62 – 13 = – 75
3n = 75
⇒ n = \(\frac{175}{3}\) = 25
∴ n = 25.
అనగా ఇవ్వబడిన శ్రేణిలో 25 పదాలుంటాయి. (25 – 11) + 1 = 14 + 1 = 15
కావున చివరి నుండి 11వ పదం మొదటి నుండి 15వ పదం అవుతుంది.
∴ a₁₅ = 10 + (15 – 1) (- 3)
= 10 + (14) (-3)
= 10 – 42 = – 32
∴ చివరి నుండి 11వ పదం = – 32.

ప్రశ్న 11.
₹ 1000 లకు సంవత్సరానికి 8% బారు వడ్డీ ప్రకారము ప్రతి సంవత్సరానికి అయ్యే వడ్డీని కనుగొనుము. ఈ వడ్డీల జాబితా ఒక అంకశ్రేణి అవుతుందా ? ఒకవేళ అంకశ్రేణి అయితే 30వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 138)
(లేదా)
రూ. 1,000 లను 8% బారువడ్డీ చొప్పున ప్రతి సంవత్స రానికి అయ్యే వడ్డీని లెక్కగట్టుము. 1వ, 2వ మరియు 3వ సంవత్సరాలకు అయిన వడ్డీలు అంకశ్రేణిని సూచిస్తాయా? అయితే 30 సంవత్సరాలకు చెల్లించవలసిన మొత్తం వడ్డీ ఎంత ?
సాధన.
అసలు = ₹ 1000, R = 8%
బారువడ్డీ I = \(\frac{\mathrm{PTR}}{100}\)
∴ 1వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీ = \(\frac{1000 \times 8 \times 1}{100}\) = ₹ 80

2వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీ = \(\frac{1000 \times 8 \times 2}{100}\)= ₹ 160

3వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీ = \(\frac{1000 \times 8 \times 3}{100}\) = ₹ 240

4వ సం||ము చివర అయ్యే వడ్డీ = \(\frac{1000 \times 8 \times 4}{100}\) = ₹ 320
………………………………………………..
………………………………………………..

∴ 1వ, 2వ, 3వ, 4వ సం||ల చివర అయ్యే వడ్డీల విలువలు వరుసగా 80, 160, 240, 320, ………….
పై జాబితాలో ఏ రెండు వరుస పదాల భేదము (80) స్థిరము.
కావున ఇది ఒక అంకశ్రేణి అవుతుంది. 30 సం||ల చివర అయ్యే వడ్డీని 230 అవుతుంది.
∴ a₃₀ = a + (30 – 1) d
= 80 + 29 × 80
= 80 + 2320
a₃₀ = 2400
30 సం||ముల చివర అయ్యే వడ్డీ = ₹ 2400.
(లేదా)
∴ 30 సంవత్సరాలలో చెల్లించు మొత్తం వడ్డీ = S₃₀ = \(\frac{n}{2}\) (a + 1)
= \(\frac{30}{2}\) (80 + 2400)
= 15 × 2840 = రూ. 37200.

ప్రశ్న 12.
ఒక పూలపాదులో మొదటి వరుసలో 23 గులాబీ చెట్లు, రెండవ వరుసలో 21, మూడవ వరుసలో 19 ….. ఉన్నాయి. చివరి వరుసలో 5 చెట్లు ఉన్న ఎన్ని వరుసలలో గులాబీ చెట్లు కలవు ? (పేజీ నెం. 139)
సాధన.
1వ, 2వ, 3వ, ……. వరుసలలో గల గులాబీ చెట్లు 23, 21, 19, ………, 5
ఏ రెండు వరుస పదాల భేదమైనా 2. కావున అంకశ్రేణి.
∴ పూలపాదులలోని వరుసల సంఖ్య n అయిన a = 23, d = 21 – 23 = – 2 మరియు a_n = 5
a_n = a + (n – 1) d = 5
= 23 + (n – 1) (- 2) = 5
= 23 – 2n + 2 = 5
= 25 – 2n = 5
= – 2n = 5 – 25 = – 20
∴ 2n = 20
n = \(\frac{20}{2}\) = 10
∴ n = 10
∴ పూలపాదులోని వరుసల సంఖ్య = 10.

ప్రశ్న 13.
ఒక అంకశ్రేణిలో మొదటి పదం 10 మరియు మొదటి 14 పదాల మొత్తము 1050 అయిన 20వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 143)
సాధన.
ఇక్కడ a = 10, S₁₄ = 1050, n = 14
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
S₁₄ = \(\frac{10}{2}\) [2(10) + (14 – 1) d] = 1050
7 [20 + 13d] = 1050
140 + 91d = 1050
91d = 1050 – 140 = 910
d = \(\frac{910}{91}\) = 10
∴ 20 వ పదం a₂₀ = 10 + (20 – 1) 10
[a_n = a + (n – 1) d].
= 10 + 190
a₂₀ = 200.

ప్రశ్న 14.
24, 21, 18, . .. అంకశ్రేణిలో ఎన్ని పదాల మొత్తం 78 అవుతుంది ? (పేజీ నెం. 143)
సాధన.
ఇచ్చట a = 24, d = a₂ – a₁
= 21 – 24 = – 3,
S_n = 78, n = ?
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] = 78
= \(\frac{n}{2}\) [48 + (n – 1) ( – 3)] = 78
= \(\frac{n}{2}\) [ 48 – 3n + 3] = 78
= \(\frac{n}{2}\) [51 – 3n] = 78
51n – 3n² = 78 X 2 = 156
– 3n² + 51n – 156 = 0
– 3 [n² – 17n + 52] = 0
n² – 17n + 52 = 0
n² – 4n – 13n + 52 = 0
n (n – 4) – 13 (n – 4) = 0
(n – 4) (n – 13) = 0
∴ n – 4 = 0 లేదా n – 13 = 0
⇒ n = 4 లేదా 13 n యొక్క రెండు విలువలు సహజసంఖ్యలే కావున రెండు విలువలు తీసుకొనవచ్చును. అనగా పదాల సంఖ్య 4 లేదా 13.

ప్రశ్న 15.
క్రింది వాని మొత్తాలను కనుగొనుము.
(i) మొదటి 1000 ధనపూర్ణ సంఖ్యలు
(ii) మొదటి nధనపూర్ణ సంఖ్యలు (పేజీ నెం. 144)
సాధన.
(i) మొదటి 1000 ధనపూర్ణ సంఖ్యల జాబితా 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …….. 1000 , ఇవి A.P లో కలవు.
a = 1, d = 2 – 1 = 1; n = 1000 మరియు l = 1000 (∵ l చివరి పదము)
S_n = \(\frac{n}{2}\) (a + l)
S₁₀₀₀ = \(\frac{1000}{2}\) (1 + 1000)
= 500 × 1001
S₁₀₀₀ = 500500
మొదటి 1000 ధనపూర్ణ సంఖ్యల మొత్తం = 500500.

(ii) మొదటి n ధనపూర్ణ సంఖ్యల జాబితా – 1, 2, 3, 4, 5, …….., n . ఇవి A.P. లో కలవు.
a = 1, d = 2 – 1 = 1, n = n, 1 = n
S_n = 2 [a + l]
∴ S_n = 2 [1 + n]
S_n = \(\frac{n(n+1)}{2}\)
∴ మొదటి n ధనపూర్ణ సంఖ్యల మొత్తం S_n = \(\frac{n(n+1)}{2}\)

ప్రశ్న 16.
a_n = 3+ 2n ను 1వ పదంగా కలిగిన శ్రేణి యొక్క మొదటి 24 పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 144)
సాధన.
a_n = 3 + 2n,
a₁ = 3 + 2 × 1 = 5
a₂ = 3 + 2 × 2 = 7
a₃, = 3 + 2 × 3 = 9
…………………………..
……………………………
……………………………
సంఖ్యల జాబితా = 5, 7, 9, 11, ………….. ఈ జాబితా A.P. లో కలదు.
ఇచ్చట a = 5, d = a₂ – a₁ = 7 – 5 = 2, n = 24
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₂₄ = \(\frac{24}{2}\) [2(5) + (24 – 1) (2) |
= 12 [10 + 46]
S₂₄ = 12 × 56 = 672
ఇచ్చిన శ్రేణిలో 24 పదాల మొత్తం S₂₄4 = 672.

ప్రశ్న 17.
ఒక టెలివిజన్ తయారీ కంపెనీ 3వ సం||ములో 600 టెలివిజన్లను, 7వ సం||ము 700 టెలివిజన్ సెట్లను తయారు చేసింది. ఇది తయారీ చేసే టెలివిజన్ల సంఖ్య ప్రతీ సం||ము స్థిరంగా పెరుగుతూ ఉంటే
(i) 1వ సం||ములో అది తయారు చేసిన టెలివిజన్ల సంఖ్య
(ii) 10వ సం||ములో అది తయారు చేసిన టెలివిజన్ల సంఖ్య
(iii) మొదటి 7 సంవత్సరాలలో అది తయారు చేసిన మొత్తం సెట్ల సంఖ్యను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 145)
సాధన.
(i) ప్రతి సంవత్సరము తయారుచేసే టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్య ఒక స్థిర విలువతో పెరుగుతూ వుంటే 1వ, 2వ, 3వ, …., సం||లలో తయారయ్యే టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్యల జాబితా ఒక అంకశ్రేఢిని ఏర్పరుస్తుంది.
n వ సం||లో తయారుచేసే టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్యను a_n అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారం,a₃ = 600 మరియు a₇ = 700
⇒ a + 2d = 600 ………. (1)
a + 6d = 700 ……… (2)

d = 25 ను (1) లో రాయగా
a + 2(25) = 600
a + 50 = 600
a = 600 – 50 = 550
∴ మొదటి సంవత్సరంలో తయారైన టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్య = 550.

(ii) a₁₀ = a + 9d
= 550 + 9 × 25
= 550 + 225 = 775
∴ 10వ సం||లో తయారుచేసిన టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్య = 775.

(iii) S₇ = \(\frac{7}{2}\) [12 × 550 + (7 – 1) × 25]
= \(\frac{7}{2}\) [1100 + 150]
= \(\frac{7}{2}\) [1250] = 4375
అనగా మొదటి 7 సం||లలో తయారైన మొత్తం టెలివిజన్ సెట్ల సంఖ్య = 4375.

ప్రశ్న 18.
మొదటి పదము a = 3, సామాన్య నిష్పత్తి r = 2 అయిన గుణశ్రేణిని రాయుము. పేజీ నెం. 150)
సాధన.
మొదటి పదం a = 3
సామాన్యనిష్పత్తి r = 2
∴ రెండవ పదము = ar = 3 × 2 = 6
మూడవ పదము = 6 × 2 = 12
………………………………..
………………………………..
………………………………..
గుణశ్రేఢి: 3, 6, 12, 24, ………….

ప్రశ్న 19.
a = 256, r = \(\frac{-1}{2}\) అయిన గుణశ్రేణిని రాయుము. (పేజీ నెం. 150)
సాధన.
గుణశ్రేఢి సాధారణ రూపము = a, ar, ar², ar³, …………..
= 256, 256(\(\frac{-1}{2}\)), 257(\(\frac{-1}{2}\))², 256(\(\frac{-1}{2}\))³
= 256, – 128, 64, – 32, …….

ప్రశ్న 20.
గుణశ్రేణి 25, – 5, 1, 3 యొక్క సామాన్య నిష్పత్తిని కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 150)
సాధన.
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-5}{25}=\frac{-1}{5}\)
గుణశ్రేఢి : 3, 6, 12, 24, ………

ప్రశ్న 21.
క్రింది జాబితాలో ఏవి గుణశ్రేణిలు అవుతాయి.
(i) 3, 6, 12, ……….
(ii) 64, – 32, 16, …………..
(iii) \(\frac{1}{64}\), \(\frac{1}{32}\), \(\frac{1}{8}\), ………
సాధన.
(i) 3, 6, 12, ……….
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{6}{3}\) = 2;
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{12}{6}\) = 2
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\)
కావున ఇవ్వబడిన జాబితా ఒక గుణ శ్రేఢిని అవుతుంది.
దీని సామాన్య నిష్పత్తి r = 2.

(ii) 645, – 32, 16, …………
సాధన.
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-32}{64}=\frac{-1}{2}\);
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{16}{-32}=\frac{-1}{2}\);
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{-1}{2}\)
కావున ఇవ్వబడిన జాబితా ఒక గుణ శ్రేఢిని అవుతుంది.
దీని సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{-1}{2}\)

(iii) \(\frac{1}{64}\), \(\frac{1}{32}\), \(\frac{1}{8}\), ………
అన్ని పదాలు శూన్యేతరాలు మరియు
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{1}{32}}{\frac{1}{64}}\) = 2;
\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{32}}\) = 4
ఇచ్చట \(\frac{a_{2}}{a_{1}} \neq \frac{a_{3}}{a_{2}}\)
కావున ఇవ్వబడిన సంఖ్యల జాబితా ఒక గుణ శ్రేఢిని ఏర్పరచదు.

ప్రశ్న 22.
\(\frac{5}{2}\), \(\frac{5}{4}\), \(\frac{5}{8}\) …………. గుణశ్రేణి యొక్క 20వ పదమును మరియు n వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 154)
సాధన.
ఇచ్చట a = \(\frac{5}{2}\), r = \(\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{2}}=\frac{5}{4} \times \frac{2}{5}=\frac{1}{2}\)
గుణశ్రేణిలో n వ పదం a_n = ar^{n – 1}
a₂₀ = \(\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{19}=\frac{5}{2} \times \frac{1}{2^{19}}=\frac{5}{2^{20}}\)
మరియు n వ పదం
a_n = ar^{n – 1}
= \(\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}-1}=\frac{5}{2^{\mathrm{n}}}\)

ప్రశ్న 23.
2,272, 4, ….. గుణశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 128 అవుతుంది ? (పేజీ నెం. 154)
సాధన.
a = 2, r = \(\frac{2 \sqrt{2}}{2}\) = √2
లెక్క ప్రకారము n వ పదము = 128
a_n = ar^{n – 1} = 128
(√2)^{n – 1} = \(\frac{128}{4}\) = 64
⇒ 2^{\(\frac{n-1}{2}\)} = 2⁶ భూములు సమానం కావున ఘాతాంకాలు సమానం.
∴ \(\frac{n-1}{2}\) = 6
n – 1 = 12 ⇒ n = 12 + 1 = 13
అనగా 13వ పదము 128 అవుతుంది.

ప్రశ్న 24.
ఒక గుణ శ్రేణిలో 3వ పదము 24 మరియు 6వ పదము 192 అయిన 10వ పదమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 155)
సాధన.
గుణశ్రేణిలో 3వ పదం a₃ = ar² = 24 …….(1)
6వ పదం a₆ = ar⁵ = 192 ……(2)
(2) ÷ (1)
⇒ \(\frac{a r^{5}}{a r^{2}}=\frac{192}{24}\)
⇒ r³ = 8 = 2³
⇒ r = 2
r విలువను (1) లో రాయగా,
a (2)² = 24
⇒ 4a = 24
⇒ a = 4 = 6
∴ 10వ పదం a₁₀ = ar⁹ = 6(2)⁹
= 6 × 512 = 3072.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
121, 117, 113, ……….., అంకశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము మొదటి ఋణపదము అవుతుంది?
[సూచన : a_n < 0 అయ్యే విధంగా n విలువ కనుగొనుము]
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేఢి 121, 117, 113,
a = 121, d = a₂ – a₁ = 117 – 121 = – 4
a_n మొదటి రుణపదం అనుకొంటే a_n < 0 అయ్యేటట్లు కనిష్ఠ సహజసంఖ్య n ను కనుగొనాలి.
a_n < 0 = a + (n – 1) d < 0
⇒ 121 + (in – 1) (- 4) < 0
⇒ 121 – 4n + 4 < 0
⇒ 125 – 4n < 0
⇒ 125 < 4n
⇒ \(\frac{125}{4}\) < n
31.25 < n అయ్యేటట్లుంటే కనిష్ఠ సహజసంఖ్య n = 32 అవుతుంది. కావున 32వ పదము.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణిలో మొదటి రుణపదం అవుతుంది.

సరిచూచుకోవడం :
a₃₁ = a + 30d
= 121 + 30 (- 4)
= 121 – 120 = 1
a₃₂ = a + 31d
= 121 + 31 (- 4)
= 121 – 124 = – 3.

ప్రశ్న 2.
ఒక అంకశ్రేణిలో 3వ, 7వ పదాల మొత్తము 6 . మరియు వాని లబ్ధము 8 అయిన మొదటి 16 పదాల మొత్తము కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్దతి :
ఒక అంకశ్రేణిలో 3వ పదం, 7వ పదముల మొత్తం = 6
a₃ + a₇ = 6
⇒ a + 2d + a + 6d = 6
⇒ 2a + 8d = 6
⇒ 2 (a + 4d) = 3
⇒ a + 4d = 3
∴ a = 3 – 4d ………… (1)
మరియు వాని లబ్దం = 8
a₃ . a₇ = 8
⇒ (a + 2d) (a.+ 6d) = 9
⇒ (3 – 4d + 2d) (3 – 4d + 6d) = 8 (1) నుండి)
⇒ (3 – 2d) (3 + 2d) = 8
⇒ 9 – 4d² = 8
⇒ 4d² = 8 – 9 = 1
⇒ 4d² = 1
⇒ d² = \(\frac{1}{4}\)
d = \(\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm \frac{1}{2}\)
d = \(\frac{1}{2}\) అయిన
d = \(\frac{1}{2}\) ను (1) లో రాయగా
a = 3 4(\(\frac{1}{2}\)) = 3 . 2 = 1
a = 1, d = \(\frac{1}{2}\), n = 16
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + {n – d]
S_n = \(\frac{16}{2}\) [2(1) + (16 – 1) (\(\frac{1}{2}\))]
= 8 [2 + \(\frac{15}{2}\)]
= 8 × [latex]\frac{19}{2}[/latex]
S₁₆ = 76
d = – \(\frac{1}{2}\) అయిన
d = – \(\frac{1}{2}\) ను (1) లో రాయగా
a = 3 . 4(- \(\frac{1}{2}\)) = 3 + 2 = 5
a = 5, d = – \(\frac{1}{2}\) n = 16
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [2(5) + (16 – 1) (\(\frac{-1}{2}\))]
= 8 [10 – \(\frac{15}{2}\)]
S₁₆ = 20
S₁₆ = 76, 20
16 పదాల మొత్తం S₁₆ = 76, 20.

రెండవ పద్ధతి :
ఒక A.P. లో 3వ పదం = a + 2d = x;
7వ పదం = a + 6d = y
లెక్క ప్రకారం,
x + y = 6 ………. (1);
x + y = 8 ……….. (2)
(2) ⇒ y = \(\frac{8}{x}\) ని (1) లో రాయగా, x + \(\frac{8}{x}\) = 6 –
⇒ x² + 8 = 6x
⇒ x² – 6x + 8 = 0
⇒ x² – 4x – 2x + 8 = 0
⇒ (x – 4) (x – 2) = 0
x = 4 లేదా x = 2
x = 4 అయిన
(1) నుండి
4 + y = 6 ⇒ y = 2

d = \(\frac{1}{2}\) ను a + 2d = 4 లో రాయగా,
a + 2(- \(\frac{1}{2}\)) = 4
⇒ a – 1 = 4
⇒ a = 4 + 1 = 5
a = 5, d = – \(\frac{1}{2}\), n = 16

x = 2 అయిన
(1) నుండి 2 + y = 6 ⇒ y = 6 – 2 = 4

d = \(\frac{1}{2}\) ను a + 2d = 2 లో రాయగా
a + 2(\(\frac{1}{2}\)) = 2
⇒ a + 1 = 2
⇒ a = 2 – 1 = 1
a = 1, d = \(-\frac{1}{2}\), n = 16
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [2(5) + (16 – 1) (- 1)]
= 8 [10 – \(\frac{15}{2}\)]
= 8 × [latex]\frac{20-15}{2}[/latex]
= 8 × \(\frac{5}{2}\)
= 4 × 5 = 20
S₁₆ = 20
∴ 16 పదాల మొత్తం 20 లేదా 76.

ప్రశ్న 3.
ఒక నిచ్చెనకు 25 మెట్లు కలవు. మెట్ల యొక్క పొడవు క్రింది నుంచి పైకి ఏకరీతిగా తగ్గుతూవుంచి, క్రింది నుంచి మొదటి మెట్టు పొడవు 45 సెం.మీ. మరియు పై నుంచి మొదటి మెట్టు పొడవు 25 సెం.మీ. ఈ రెండింటి మధ్య దూరం 21/2 మీ. అయిన అన్ని మెట్ల తయారీకి కావలసిన చెక్క పొడవు ఎంత? [సూచన : మెట్ల సంఖ్య = \(\frac{250}{25}\) +1]

సాధన.
నిచ్చెన యొక్క రెండు వరుస మెట్ల మధ్య దూరం = 25 సెం.మీ.
క్రింది నుండి మొదటి మెట్టు పొడవు a₁ = 45 సెం.మీ.
పై నుండి మొదటి మెట్టు పొడవు a₁₁ = 25 సెం.మీ.
నిచ్చెన మొదటి మెట్టుకు, చివరి మెట్టుకు మధ్య దూరం = 2\(\frac{1}{2}\) మీ. = 250 సెం.మీ.
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [2(1) + (16 – 1) (\(\frac{1}{2}\))]
= \(\frac{16}{2}\) [2 + \(\frac{15}{2}\)]
= 8 \(\left[\frac{4+15}{2}\right]\)
= 4 × 19 = 76
S₁₆ = 76
∴. నిచ్చెన యొక్క మెట్ల సంఖ్య = \(\frac{250}{25}\) + 1 = 10 + 1 = 11
మెట్ల యొక్క పొడవు క్రింది నుండి పైకి ఏకరీతిన తగ్గుతూ ఉంది.
కావున మెట్ల పొడవుల జాబితా అంకశ్రేణి అవుతుంది. మెట్ల తయారీకి కావలసిన చెక్క పొడవు = A.P లోని 11 పదాల మొత్తం
S_n = \(\frac{11}{2}\) [45 + 25]
= \(\frac{11}{2}\) × 70
= 385 సెం.మీ.
S₁₁ = 3.85 మీ.

ప్రశ్న 4.
కొన్ని ఇండ్లు ఒక వరుసలో కలవు. దీనికి 1 నుంచి 49 వరకూ సంఖ్యలను కేటాయించటం జరిగింది. ఏదైనా ఒక ఇంటికి కేటాయించిన సంఖ్య X అనుకుంటే ; ఈ ఇంటికి ముందు – (Preceeding) ఉన్న ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తము, తరువాత ఉన్న ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తము సమానం అయ్యే విధంగా ఆ ఇంటి సంఖ్య X వ్యవస్థితమని చూపండి. మరియు x విలువను
కనుగొనుము. (సూచన : S_{x – 1} = S₄₉ – S_x]
సాధన.
మొదటి పద్ధతి : –
ఇంటి సంఖ్య x గల ఇళ్ళు దానికి ముందున్న ఇండ్ల సంఖ్య మొత్తం, తరువాత గల ఇండ్ల సంఖ్యలు సమానం అయ్యే విధంగా ఉంది అనుకొందాం.

⇒ \(\frac{x-1}{2}\) [1 + (x – 1)] = \(\frac{49-x}{2}\) [(x + 1) + 49]
[∵ (x + 1), (x + 2), …. , 49 వరకు గల పదాల సంఖ్య = 49 – x]
⇒ \(\left(\frac{x-1}{2}\right)[x]=\left(\frac{49-x}{2}\right)[x+50]\)

⇒ \(\frac{x^{2}-x}{2}=\frac{49 x+2450-x^{2}-50 x}{2}\)

⇒ x² – x = – x² – x + 2450
⇒ x² – x + x² + x = 2450
⇒ 2x² = 2450
⇒ x² = \(\frac{2450}{2}\) = 1225
x = √1225 = 35
x ఒక సహజసంఖ్య అవుతున్నది. కావున ఇచ్చిన నియమాలను పాటించేటట్లు x వ్యవస్థితము మరియు x = 35.

రెండవ పద్దతి :
x ఇంటి సంఖ్యల ఇళ్ళు దాని ముందున్న ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తం తరువాత గల ఇళ్ళ సంఖ్యల మొత్తం సమానం అయ్యేటట్లు కలదు అనుకుందాం.
ఇండ్ల సంఖ్య S₄₉ = {1 + 2 + 3 + ……………. } S₁ + {(x – 1) + x + (x + 1) + (x + 2) + ………….. + 49} S₂
S₁ + x + S₂ = S₄₉ ……….. (1)
S₁ = x సంఖ్య ఇంటికి ముందున్న ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తం.
S₂ = x సంఖ్య ఇంటికి తరువాత గల ఇండ్ల సంఖ్యల మొత్తం.
లెక్క ప్రకారం, S₁ = S₂ ……….. (2) మరియు
S₁ = 1 + 2 + 3 + ……… + x – 1
= \(\frac{x-1}{2}\)[1 + (x – 1)]
= ……………..(3)
S₄₉ = 1 + 2 + 3 + …… + 49
= \(\frac{49}{2}\) [1 + 49]
= \(\frac{49}{2}\) × 50
S₄₉ = 1225
∴ S₁ + x + S₂ = S₄₉ = 1225 [∵ S₁ = S₂]
2S₁ + x = 1225
2(\(\frac{x(x-1)}{2}\)) + x = 1225 [(3) నుండి)
x² – x + x = 1225
x² = 1225
x = √1225 = 35
x ఒక సహజ సంఖ్య కావున నియమాలను పాటించేటట్లు x వ్యవస్థతము.

ప్రశ్న 5.
క్రింది పటములో చూపిన విధంగా ఒక ఫుట్ బాల్ గ్రౌండ్ లో 16 మెట్లు కల ఒక మెట్ల సోపానము . కలదు. దీనిలో ప్రతి మెట్టు పొడవు 50 మీ. మరియు వెడల్పు \(\frac{1}{2}\) మీ. మొదటి మెట్టు భూమి నుంచి \(\frac{1}{4}\) మీ. ఎత్తులో మరియు ప్రతి మెట్టు దాని ముందున్న మెట్టుకు \(\frac{1}{4}\) మీ. ఎత్తులో ఉన్న ఆ మెట్ల సోపానాన్ని నిర్మించ డానికి కావలసిన కాంక్రీట్ యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము.
[సూచన : మొదటి సోపానము నిర్మించుటకు కావల్సిన కాంక్రీటు ఘనపరిమాణం = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × 50 మీ.]

సాధన.
ప్రతి మెట్టు పొడవు l = 50 మీ.
వెడల్పు b = \(\frac{1}{2}\) మీ.
ఎత్తు h = మొదటి మెట్టు \(\frac{1}{4}\) మీ. తరువాతి ప్రతి మెట్టు దాని ముందున్న మెట్టుకు \(\frac{1}{4}\) మీ. పెరుగును.
l = 50.మీ., b = \(\frac{1}{2}\) మీ.

దిమ్మె ఘనపరిమాణం V = V₁ + V₂ + V₃ + V₄ + ………. + V₁₅
= 25 × \(\frac{1}{4}\) + 25 × \(\frac{2}{4}\) + 25 × \(\frac{3}{4}\) + 25 × \(\frac{4}{4}\) …………… + 25 × \(\frac{15}{4}\)
= \(\frac{25}{4}\) [1 + 2 + 3 + 4 ………. + 15] [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) (a+ a_n)]
= \(\frac{25}{4}\) × [ \(\frac{15}{2}\) (1 + 15)]
= \(\frac{25}{4}\) × \(\frac{15}{2}\) x× 16
= 25 × 15 × 2
V = 750 ఘ.మీ.

V= 750 ఘ.మీ.

ప్రశ్న 6.
ఒక పనిని పూర్తి చేయుటకు 150 మంది కూలీలను నియమించారు. అయితే రెండవ రోజు వారిలో నలుగురు పనిలోకి రావటం మానుకున్నారు. మూడవ రోజు, మరి నలుగురు మానుకున్నారు. ప్రతిరోజూ ఈ విధంగా జరగటం వల్ల ఆ పని పూర్తి కావడానికి అనుకున్న రోజుల కంటే 8 రోజులు ఎక్కువ అవసరం పట్టింది. అయిన ఆ పని పూర్తి కావడానికి పట్టిన మొత్తం రోజులు ఎన్ని ? .. [సూచన : ప్రారంభంలో పని పూర్తి కావడానికి అవసరమయ్యే రోజుల సంఖ్యను ‘x’ అనుకొంటే
150x = \(\frac{x+8}{2}\) [2 × 150 + (x + 8 = 1) (- 4)]
సాధన.
ప్రారంభంలోని 150 మంది కూలీలతో పని పూర్తి కావడానికి కావలసిన రోజుల సంఖ్య x అనుకొనుము.
∴ ఆ పని పూర్తి కావడానికి కావలసిన మనుష్యుల సంఖ్య = 150x
రెండవ రోజు నుండి ప్రతిరోజు 4గురు చొప్పున పని మానివేస్తుంటే ప్రతి రోజు పనిచేసే మనుష్యుల జాబితా 150, 146, 142, 138, ……., (x + 8) పదాలు .
(లెక్క ప్రకారం పని పూర్తికావడానికి అనుకొన్న రోజులు కన్నా 8 రోజులు ఎక్కువ)
పనిచేసిన మొత్తం మనుష్యులు S_x+8
a = 150, d = a₂ – a₁ = 146 – 150 = – 4,
n = x +8
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1]d]
S_{x + 8} = \(\frac{x+8}{2}\) [2(150) + (x + 8 – 1) (- 4)]
= \(\frac{x+8}{2}\) [300 – 4x – 28]
= \(\frac{x+8}{2}\) [272 – 4x]
= \(\frac{x+8}{2}\) × 2 (136 – 2x)
= (x + 8) (136 – 2x)
= 136x – 2x² + 1088 – 16x
∴ S_{x + 8} = – 2x² + 120x + 1088
ఈ విలువ పని పూర్తికావడానికి కావలసిన మనుష్యులకు సమానం.
∴ 150x = S_{x + 8}
150x = – 2x² + 120x + 1088
2x² + 150x – 120x – 1088 = 0
2x² + 30x – 1088 = 0
2 [x² + 15x – 544] = 0
x² + 15x – 544 = 0
x² – 17x + 32x – 544 = 0
x (x – 17) + 32 (x – 17) = 0
(x – 17) (x + 32) = 0
x – 17 = 0 లేదా x + 32 = 0
x = 17 లేదా x = – 32
రోజుల సంఖ్య రుణాత్మకం కాదు.
కావున x = 17.
∴ పని పూర్తికావడానికి పట్టిన మొత్తం రోజులు x + 8 = 17 + 8 = 25.

ప్రశ్న 7.
ఒక యంత్రము వెల రూ. 5,00,600/-. మొదటి సంవత్సరము దీని వెలలో తగ్గుదల 15%, రెండవ సంవత్సరము 13\(\frac{1}{2}\)% మూడవ సం||ము ,12%….. ఈ విధానము కొనసాగించబడిన 10 సంవత్సరముల అనంతరము దాని వెల ఎంత ? ఇవ్వబడిన శాతాలన్నీ ప్రారంభ వెల పైననే పేర్కొనడం జరిగింది.
[సూచన : మొత్తం తగ్గుదల = 15 + 13\(\frac{1}{2}\) + 12 + ……. + 10 పదాలు S_n = \(\frac{10}{2}\) [30 – 13.5] = 82.5 %
∴ 10 సంవత్సరముల అనంతరము దాని వెల = 100 – 82.5 = 17.5 (అనగా 5,00,000 లో 17.5%)]
సాధన.
మొదటి పద్దతి : మొదట యంత్రం వెల = ₹ 5,00,000
యంత్రం యొక్క వెల తగ్గుదల ప్రారంభవెలపై ఇవ్వడం జరిగింది.

యంత్రం యొక్క ప్రారంభవెలలో 10 సం||ల తరువాత మొత్తం తగ్గుదల
15 + 13 \(\frac{1}{2}\) + 12 + …. 10 పదాలు.
a = 15, d = a₂ – a₁ = – 1\(\frac{1}{2}\)
= – \(\frac{3}{2}\), n = 10
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n -1) d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2(15) + 9 (\(\frac{-3}{2}\))]
= 5[30 – \(\frac{27}{2}\)] = 5 [30 – 13.5]
= 5 [ 16.5] = 82.5 %
10 సం||ల తరువాత యంత్రం ధర ప్రారంభ ధరలో 100 – 82.5 = 17.5%
∴ 10 సం||ల తరువాత’ యంత్రం ధర = 500000 × \(\frac{17.5}{100}\) = ₹ 87500.

2వ పద్దతి :
యంత్రం ప్రారంభ ధర = ₹ 5,00,000

10సంవత్సరాల తరువాత యంత్రంలో మొత్తం తగ్గుదల 75000 + 67500 + 60000 + ….. + 10 పదాలు
ఇది A.P. లో కలదు.
∴ a = 75000, d = – 7500, n = 10
∴ S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2(75000) + (10 – 1) (- 7500)]
= 5[150000 – 9 × 7500]
= 5[150000 – 67500]
= 5[82500] = 412500
∴ 10 సంవత్సరాల తరువాత యంత్రము వెల = 500000 – 412500 = ₹ 87500.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.5

ప్రశ్న 1.
క్రింద ఇవ్వబడిన ప్రతి గుణిశ్రేణికి సామాన్యనిష్పత్తిని, nవ పదమును కనుగొనుము.
(i) 3, \(\frac{3}{2}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{3}{8}\), ……..
సాధన.
3, \(\frac{3}{2}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{3}{8}\), ……..
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{3}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{2}\)
nవ పదం a_n = a r^{n – 1}
= 3 × (\(\frac{1}{2}\))^{n – 1}

(ii) 2, – 6, 18, – 54
సాధన.
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-6}{2}\) = – 3
nవ పదం , a_n = a r^{n – 1}
= 2 × (- 3)^{n – 1.}

(iii) – 1, – 3, – 9, – 27, ………..
సాధన.
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-3}{-1}\) = 3
nవ పదం a_n = a r^{n – 1}
= (- 1) × 3^{n – 1} = – 3^{n – 1}

(iv) 5, 2, \(\frac{4}{5}\), \(\frac{8}{25}\), …………..
సాధన.
5, 2, \(\frac{4}{5}\), \(\frac{8}{25}\), …………..
సామాన్య నిష్పత్తి r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{2}{5}\)
1 వ పదం a_n = a r^{n – 1} = 5 × (\(\frac{2}{5}\))^{n – 1}

ప్రశ్న 2.
5, 25, 125, ….. అనే గుణశ్రేణి యొక్క 10వ, 1వ పదాలను కనుగొనుము.
సాధన.
5, 25, 125, …………….
a = 5, r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{25}{5}\) = 5
10 వ పదం a₁₀ = a . r⁹ = 5 × 5⁹ = 5¹⁰
nవ పదం a_n = a . r^{n – 1} = 5 × (5)^{n – 1}
= 5^{1 + n – 1} = 5ⁿ

ప్రశ్న 3.
క్రింది గుణశ్రేణిలలో పేర్కొన్న పదాలను కనుగొనుము.
(i) a₁ = 9; r = \(\frac{1}{3}\) అయిన a₇ = ?
సాధన.
a₁ = 9; r = \(\frac{1}{3}\)
ar₇ = ar⁶ – 9 × (\(\frac{1}{3}\) )⁶
= 3² × \(\frac{1}{3^{6}}\)
= \(\frac{1}{3^{4}}=\frac{1}{81}\)

(ii) a₁ = – 12; r = \(\frac{1}{3}\); అయిన a₆ = ?
సాధన.
a₁ = 12; r = \(\frac{1}{3}\)
a₆ = ar⁵ = – 12(\(\frac{1}{3}\))⁵
= \(\frac{-12}{3^{5}}=\frac{-4}{3^{4}}=\frac{4}{81}\)

ప్రశ్న 4.
(i) 2, 8, 32, …….. గుణ శ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 512 అవుతుంది ?
సాధన.
ఇచ్చిన గుణశ్రేఢ 2, 8, 32, ……….. 512
a = 2; r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{8}{2}\) = 4, a_n = 512
a_n = a . r^{n – 1} = 512
⇒ 2 × (4)^{n – 1} = 512

⇒ 2 × (2²)^{n – 1} = 2⁹
⇒ 2 × 2^{2(n – 1)}= 2⁹
⇒ 2^{2n – 1} = 2⁹
2n – 1 = 9
2n = 9 + 1 = 10 ,
n = \(\frac{10}{2}\) = 5
2, 8, 32, ….. శ్రేణిలో 5వ పదం 512 అవుతుంది.

(ii) √3, 3, 3√3, …………….. గుణశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 729 అవుతుంది?
సాధన.
ఇచ్చిన గుణశ్రేణి √3, 3, 3√3, …….. 729
a = 3; r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = √3
a_n = 729

a_n = a r^{n – 1} = 729
⇒ 3 × (√3)^{n – 1}= 729
⇒ (√3)ⁿ = 729
⇒ 3^n/2 = 3⁶
⇒ \(\frac{n}{2}\) = 6
⇒ n = 12
√3, 3, 3√3, …………….. గుణశ్రేణిలో 12వ పదం 729 అవుతుంది.

(iii) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{27}\), ………… గుణశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 2187 అవుతుంది ?
సాధన.
ఇచ్చిన గుణశ్రేణి \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{27}\), …………, \(\frac{1}{2187}\)
a = \(\frac{1}{3}\), r = \(\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{9} \times \frac{3}{1}=\frac{1}{3}\),
a_n = \(\frac{1}{2187}\)
a_n = a . r^{n – 1} = \(\frac{1}{2187}\)
⇒ \(\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{\mathrm{n}-1}=\frac{1}{2187}\)

⇒ \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\left(\frac{1}{3}\right)^{7}\)
n = 7

\(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{27}\), ………… గుణశ్రేణిలో 7వ పదం \(\frac{1}{2187}\) అవుతుంది.

ప్రశ్న 5.
ఒక గుణశ్రేణి యొక్క 8వ పదము 192 మరియు సామాన్య నిష్పత్తి 2 అయిన 12వ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
1వ పద్దతి :
ఒక గుణ శ్రేణిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192 ………. (1)
సామాన్య నిష్పత్తి r = 2 ను (1) లో రాయగా,
a(2)⁷ = 192
a × 128 = 192
⇒ a = \(\frac{192}{128}=\frac{3}{2}\)
∴ 12వ పదం a₁₂ = a r¹¹
= \(\frac{3}{2}\) × (2)¹¹
= 3 × 2¹⁰

2వ పద్ధతి :
గుణశ్రేణిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192 మరియు సామాన్య నిష్పత్తి r = 2 .
∴ 12వ పదం a₁₂ = ar¹¹ = ar⁷ × r⁴
= 192 × 2⁴
= 3 × 64 × 2⁴
= 3 × 2⁶ × 2⁴
= 3 × 2¹⁰

3వ పద్ధతి :
గుణశ్రేణిలో 8వ పదం a₈ = ar⁷ = 192 సామాన్య నిష్పత్తి r = 2
a₉ = 192 × 2 = 3 × 20 × 2 = 3 × 27
a₁₀ = 3 × 2⁷ × 2 = 3 × 2⁸
a₁₁ = 3 × 2⁸ × 2 = 3 × 2⁹
a₁₂ = 3 × 2⁹ × 2 = 3 × 2¹⁰

ప్రశ్న 6.
ఒక గుణశ్రేణిలో నాల్గవ పదము \(\frac{2}{3}\) మరియు 7వ పదము \(\frac{16}{81}\) అయిన ఆ శ్రేణిని కనుగొనుము.
సాధన.
గుణ శ్రేణిలో నాల్గవ పదము a₄ = ar³ = \(\frac{2}{3}\) ………… (1)
7వ పదము a₇ = ar⁶ = \(\frac{16}{81}\) …………..(2)
(2) ÷ (1)
⇒ \(\frac{\mathrm{ar}^{6}}{\mathrm{ar}^{3}}=\frac{\frac{16}{81}}{\frac{2}{3}}=\frac{16}{81} \times \frac{3}{2}=\frac{8}{27}\) = \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\)

⇒ r³ = \(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\)
∴ r = \(\frac{2}{3}\) or
r = \(\frac{2}{3}\) ని (1) లో రాయగా,
a\(\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
a × \(\frac{8}{27}\) = \(\frac{2}{3}\)
⇒ a = \(\frac{2}{3} \times \frac{27}{8}=\frac{9}{4}1\)
∴ ఆ గుణశ్రేఢ a, ar, ar², ar³, ………….
\(\frac{9}{4}\), \(\frac{9}{4} \times \frac{2}{3}\), \(\frac{9}{4} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\), \(\frac{9}{4} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\), ………….
= \(\frac{9}{4}\), \(\frac{3}{2}\), 1, \(\frac{2}{3}\), ………….

ప్రశ్న 7.
162, 54, 18, …… గుణశ్రేణి మరియు \(\frac{2}{81}\), \(\frac{2}{27}\), \(\frac{2}{9}\) …… గుణ శ్రేఢుల 1వ పదాలు సమానము అయిన n విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన 1వ గుణశ్రేణి 162, 54, 18, ……,
a = 162, r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{54}{162}=\frac{1}{3}\)
nవ పదం a_n = a . r^{n – 1}
= 162 . (\(\frac{1}{3}\))^{n – 1}
= \(\frac{162}{3^{n-1}}\)
2వ గుణశ్రేణి
\(\frac{2}{81}\), \(\frac{2}{27}\), \(\frac{2}{9}\), …………………..
మొదటిపదం a = \(\frac{2}{81}\), r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}\)
= \(\frac{\frac{2}{27}}{\frac{2}{81}}=\frac{2}{27} \times \frac{81}{2}\) = 3

n వ పదం a_n = \(\frac{2}{81}\) (3)^{n – 1} = \(\frac{2 \times 3^{n-1}}{81}\)
లెక్క ప్రకారం రెండు గుణశ్రేఢుల n వ పదాలు సమానము.
\(\frac{162}{3^{n-1}}=\frac{2 \times 3^{n-1}}{81}\)
2 × 3^{n – 1} × 3^{n – 1} = 162 × 81 (అడ్డగుణకారము చేయగా)
3^{2n – 2} = \(\frac{162 \times 81}{2}\) = 81 × 81
3^{2n – 2} = 3⁴ × 3⁴ = 3⁸
3^{2n – 2} = 3⁸
∴ 2n – 2 = 8
2n = 8 + 2 = 10
n = \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ n = 5

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.4

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది సంఘటనలలో ఏర్పడే సంఖ్యల జాబితాలలో ఏవి గుణశ్రేఢులను ఏర్పరుస్తాయి ?
(i) షర్మిల యొక్క మొదటి సం||ము జీతము 5,00,000/- ఆ తరువాత ప్రతి సం||ము ముందున్న సం||ము యొక్క జీతములో 10% పెరుగుతుంది.
సాధన.
షర్మిల మొదటి సం||ము జీతము = ₹ 5,00,000
2వ సం||ము జీతము = 5,00,000 \(\left(\frac{100+10}{100}\right)\) = ₹ 5,50,000
3వ సం||ము జీతము = 5,50,000 \(\left(\frac{100+10}{100}\right)\) = ₹ 6,05,000
ప్రతి సంవత్సరం షర్మిల జీతం జాబితా 5,00,000, 5,50,000, 6,05,000 ……………….
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{5,50,000}{5,00,000}=\frac{11}{10}\)

\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{11}{10}\)
కావున షర్మిల యొక్క జీతంతో ఏర్పడే సంఖ్యల జాబితా ఒక గుణశ్రేణి అవుతుంది.

(ii) 30 మెట్లు వున్న ఒక మెట్ల వంతెనలో అన్నింటి కంటే క్రింద ఉన్న మెట్టు నిర్మాణానికి 100 ఇటుకలు అవసరం. ఆ పై ప్రతి పై మెట్టు నిర్మాణానికి దాని క్రింద మెట్టు నిర్మాణానికి కావలసిన వాని ఇటుకల కంటే 2 చొప్పున తక్కువ ఇటుకలు అవసరమైన ప్రతి మెట్టు. నిర్మాణానికి అవసరమయ్యే ఇటుకల సంఖ్యల జాబితా. .
సాధన.
కింది మెట్టు నుండి మెట్ల నిర్మాణానికి అవసరమైన సంఖ్యల జాబితా . 100, 98, 96, 94, ………….. 30 పదాలు
ఇక్కడ \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{98}{100}=\frac{49}{50}\);

\(\frac{a_{2}}{a_{1}} \neq \frac{a_{3}}{a_{2}}\)
కావున పై సంఖ్యల జాబితా గుణశ్రేఢి కాదు.

(iii) 24 సెం.మీ భుజం పొడవు గల ఒక సమబాహు త్రిభుజము యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులను కలపటం వల్ల రెండవ త్రిభుజము, దాని భుజాల మధ్య బిందువులను కలపటం వల్ల మూడవ త్రిభుజమేర్పడును. ఈ విధానాన్ని అనంతంగా కొనసాగిస్తే మొదటి, రెండవ, మూడవ … త్రిభుజాల చుట్టుకొలతలు.

సాధన.
త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాల మధ్య బిందువులు కలిపే రేఖాఖండం మూడవ భుజంలో సగం ఉంటుంది.

త్రిభుజ చుట్టుకొలతల జాబితా 72, 36, 18, 9,
ఇందులో, \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{36}{72}=\frac{1}{2}\)

………………
………………
………………
\(\frac{\mathrm{a}_{2}}{\mathrm{a}_{1}}=\frac{\mathrm{a}_{3}}{\mathrm{a}_{2}}=\frac{\mathrm{a}_{4}}{\mathrm{a}_{3}}=\ldots .=\frac{1}{2}\)
కావున త్రిభుజాల చుట్టుకొలత జాబితా గుణ శ్రేణిలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
గుణశ్రేణి యొక్క మొదటి పదము a, సామాన్యనిష్పత్తి r లు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి. అయిన మొదటి మూడు పదాలను రాయుము.
(i) a = 4; r= 3.
సాధన. a = 4; r = 3
మొదటి పదం a₁ = a = 4
రెండవ పదం a₂ = ar = 4 × 3 = 12
మూడవ పదం a₂₃ = ar² = 4 (3)²
= 4 × 9 = 36

(ii) a = √5; r = \(\frac{1}{5}\)
సాధన.
a = √5 ; r = \(\frac{1}{5}\)
మొదటి పదం a₁ = a = √5
రెండవ పదం a₂ = ar = √5 × \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
మూడవ పదం a₃ = ar² = √5 × (\(\frac{1}{5}\))²
= √5 × \(\frac{1}{25}\) = \(\frac{1}{5 \sqrt{5}}\).

(iii) a = 81; r = – \(\frac{1}{3}\)
సాధన.
a = 81; r = – \(\frac{1}{3}\)
మొదటి పదం a₁ = a = 81
రెండవ పదం a₂ = ar = 81 (- \(\frac{1}{3}\)) = – 27
మూడవ పదం a₃ = ar² = 81 × (- \(\frac{1}{3}\))²
= 81 (\(\frac{1}{9}\)) = 9

(iv) a = \(\frac{1}{67}\); r = 2.
సాధన.
a = \(\frac{1}{64}\); r = 2
a₁ = a = \(\frac{1}{64}\)
a₂ = ar = \(\frac{1}{64}\) x 2 = 1
a₃ = ar² = \(\frac{1}{64}\) × 2² _ 1 _1
= \(\frac{1}{64}\) × 4 = 16.

ప్రశ్న 3.
క్రింది వానిలో ఏవి గుణశ్రేఢులు ? గుణశ్రేఢి అయితే తరువాత వచ్చే మూడు పదాలను రాయుము.
(i) 4, 8, 16, ……….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{8}{4}\) = 2 మరియు \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{16}{8}\) = 2
∴ r = \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) = 2
కావున గుణశ్రేణి అవుతుంది.
తరువాత 3 పదాలు
[∵ 16 × 2 = 32
32 × 2 = 64
64 × 2 = 128]

(ii) \(\frac{1}{3}\), \(-\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{12}\), ……………
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{-1}{6}}{\frac{1}{3}}=\frac{-1}{6} \times \frac{3}{1}-\frac{-1}{2}\)

\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) కావున గుణశ్రేణి అవుతుంది.
తరువాత 3 పదాలు, \(-\frac{1}{24}\), \(\frac{1}{48}\), \(-\frac{1}{96}\)
[∵ \(\frac{1}{12} \times\left(\frac{-1}{2}\right)=\frac{-1}{24}\)

\(\frac{1}{48} \times\left(\frac{-1}{2}\right)=-\frac{1}{96}\)].

(iii) 5, 55, 555, ……………….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{55}{5}\) = 11 మరియు \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{555}{55}=\frac{111}{11}\)
\(\frac{a_{2}}{a_{1}} \neq \frac{a_{3}}{a_{2}}\)కావున గుణశ్రేణి కాదు.

(iv) – 2, – 6, – 18, ……
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-6}{-2}\) = 3 మరియు \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{-18}{-6}\) = 3

\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) = 3
కావున ఇది గుణశ్రేణి అవుతుంది
a₄ = a .r³ = (- 2) × 3³ = – 2 × 27 = – 54
a₅ = a .r⁴ = (- 2) × 3⁴ = – 2 × 81 = – 162
a₆ = a .r⁵ = (- 2) × 3⁵ = – 2 × 243 = – 486
తరువాత మూడు పదాలు : – 54, – 162, – 486.

(v) \(\frac{1}{42}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{6}\), …………
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4} \times \frac{2}{1}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{a_{2}}{a_{1}} \neq \frac{a_{3}}{a_{2}}\) కావున ఇది గుణశ్రేణి కాదు.

(vi) 3, – 3², 3³, ……….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-3^{2}}{3}\) = – 3; \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{3^{3}}{-3^{2}}\) = – 3
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) = – 3కావున ఇది గుణ శ్రేణి.
తరువాత వచ్చు మూడు పదాలు . – 3⁴, 3⁵, – 3⁶
[∵ 3³ × – 3 = -3⁴
(- 3)⁴ × (- 3) = 3⁵
3⁵ × (- 3) = – 3⁶].

(vii) x, 1, \(\frac{1}{x}\),…………….. (x ≠ 0)
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{\Gamma}}=\frac{1}{x}\); \(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{1}{x}}{1}=\frac{1}{x}\)
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\dot{a}_{3}}{a_{2}}=\frac{1}{x}\)కావున ఇది గుణశ్రేణి అవుతుంది
తరువాత మూడు పదాలు \(\frac{1}{x^{2}}\), \(\frac{1}{x^{3}}\), \(\frac{1}{x^{4}}\)
[∵ \(\frac{1}{x} \times \frac{1}{x}=\frac{1}{x^{2}}\)
\(\frac{1}{x^{2}} \times \frac{1}{x}=\frac{1}{x^{3}}\)
\(\frac{1}{x^{3}} \times \frac{1}{x}=\frac{1}{x^{4}}\)]

(viii) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), 2, \(\frac{8}{\sqrt{2}}\), …………….
సాధన.
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-2}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) = – 2√2

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{8}{\sqrt{2}}}{-2}=\frac{8}{\sqrt{2}} \times \frac{-1}{2}=\frac{-4}{\sqrt{2}}\) = 2√2

\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) = 2√2 కావున ఇది గుణశ్రేణి.
తరువాత మూడు పదాలు : – 16, 32√2 , – 128
[4√2 × (- 2√2) = -16
(- 16) × (- 2√2) = 32√2
32√2 × (- 2√2) = – 128].

(ix) 0.4, 0.04, 0.004, ……….
సాధన.
0.4, 0.04, 0.004) …. (లేదా) \(\frac{4}{10}\), \(\frac{4}{100}\), \(\frac{4}{1000}\)………
\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{0.04}{0.4}\) = \(\frac{4}{40}=\frac{1}{10}\)

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{0.004}{0.04}\) = \(\frac{4}{40}=\frac{1}{10}\)

∴ \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{1}{10}\)

\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\frac{4}{100}}{\frac{4}{10}}\) = \(\frac{4}{100} \times \frac{10^{*}}{4}=\frac{1}{10}\)

\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{\frac{4}{1000}}{\frac{4}{100}}\) = \(\frac{4}{1000} \times \frac{100}{4}=\frac{1}{10}\)

∴ \(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{1}{10}\)
∴ తరువాత మూడు పదాలు . – 0.0004, 0.00004, 0.000004.

ప్రశ్న 4.
x, x + 2, x + 6 లు ఒక గుణ శ్రేణిలో మూడు వరుస పదాలైన x విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
x, x + 2, x + 6 లు ఒక గుణ శ్రేణిలో వరుస పదాలు
\(\frac{x+2}{x}=\frac{x+6}{x+2}\)
(x + 2)² = x(x + 6)
x² + 4x + 4 = x² + 6x
x² + 4x – x² – 6x = 4
– 2x = – 4
2x = 4
x = \(\frac{4}{2}\) = 2.

సరిచూచుట :
x, x + 2, x + 6
2, 4, 8లు G.P. లో కలవు.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.3

ప్రశ్న 1.
క్రింది అంకశ్రేఢులలో పేర్కొన్న పదాల మొత్తాలను ‘ కనుగొనుము.
(i) 2, 1, 12, ……… 10 పదాలు.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P : 2, 7, 12, …….. 10 పదాలు.
a = 2; d = a₂ – a₁ = 7 – 2 = 5; n = 10
S_n = \(\frac{n}{2}\) (2a + (n – 1)d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2 × 2 + (10 – 1) 5]
= 5 [4 + 45] = 5 × 49 = 245
∴ S₁₀ = 245.

(ii) – 37, – 33, – 29, ………….., 12 పదాలు
సాదన.
ఇచ్చిన A.P : – 37, – 33, – 29, …………, 12 పదాలు .
a = – 37; d = a₂ – a₁
= (- 33) – (- 37)
= – 33 + 37 = 4, n = 12
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [2 × (- 37) + (12 – 1)4]
= 6[- 74 + 11 × 4]
= 6[- 74 + 44] = 6 (- 30) = – 180
∴ S₁₂ = – 180.

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …………… 100 పదాలు.
సాదన.
ఇచ్చిన A.P : 0.6, 1.7, 2.8, ….. 100 పదాలు.
a = 0.6, d = a₂ – a₁ = 1.7 – 0.6 = 1.1, n = 100
S_n = \(\frac{n}{2}\) (2a + (n – 1)d]
S₁₀₀ = \(\frac{100}{2}\) [2 × 0.6 + (100 – 1) × 1.1]
= 50 [1.2 + 99 × 1.1]
= 50[1.2 + 108.9]
= 50 × 110.1 = 5505
∴ S₁₀₀ = 5505.

(iv) \(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{10}\), ………….., 11 పదాలు.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P: \(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{10}\), ………….., 11 పదాలు.
a = \(\frac{1}{15}\);
d = \(\frac{1}{12}\) – \(\frac{1}{15}\)
= \(\frac{5-4}{60}=\frac{1}{60}\)
n = 11
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₁₁ = \(\frac{11}{2}\) [2 × \(\frac{1}{15}\) + (11 – 1) × \(\frac{1}{60}\)]

= \(\frac{11}{2}\left[\frac{2}{15}+\frac{10}{60}\right]\)

= \(\frac{11}{2}\left[\frac{2}{15}+\frac{1}{6}\right]\)

= \(\frac{11}{2}\left[\frac{4+5}{30}\right]\)

= \(\frac{11}{2} \times \frac{9}{30}=\frac{33}{20}\)
∴ S₁₁ = \(\frac{33}{20}\).

ప్రశ్న 2.
క్రింది వాని మొత్తాలను కనుగొనుము.
(i) 7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 + ……….. + 84
సాధన.
ఇచ్చిన A.P : 7, 10\(\frac{1}{2}\), 14, ………. 84
∴ a = 7; d = a₂ – a₁ = 10\(\frac{1}{2}\) – 7 = 3\(\frac{1}{2}\)
d = 7\(\frac{1}{2}\); a_n = 84
a_n = a + (n – 1) d = 84
= 7 + (n – 1)(\(\frac{7}{2}\)) = 84
⇒ (n – 1) × \(\frac{7}{2}\) = 84 – 7
⇒ (n – 1) \(\frac{7}{2}\) = 77
⇒ n – 1 = 77 × \(\frac{7}{2}\)
⇒ n – 1 = 22
⇒ n = 22 + 1 = 23
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₂₃ = \(\frac{23}{2}\) [7 + 84]
= \(\frac{23}{2}\) (91)
= \(\frac{2093}{2}\) = 1046 \(\frac{1}{2}\)
∴ S₂₃ = 1046\(\frac{1}{2}\)

(లేదా)

S_n = [2a + (n – 1)d]
S₂₃ = \(\frac{23}{2}\) [2(7) + (23 – 1) \(\frac{7}{2}\)]
S₂₃ = \(\frac{23}{2}\) [14 + 22 × \(\frac{7}{2}\)]
= \(\frac{23}{2}\) [14 + 77]
= \(\frac{23}{2}\) (91)
= \(\frac{2093}{2}\)
∴ S₂₃ = 1046 \(\frac{1}{2}\).

(ii) 34 + 32 + 30 + … + 10
సాధన.
ఇచ్చిన A.P : 34, 32, 30, ………, 10
a = 34; d = a₂ – a₁ = 32 – 34 = – 2,
a_n = 10
a_n = a + (n – 1) d = 10 :
⇒ 34 + (n – 1) (- 2) = 10
⇒ 34 – 2n + 2 = 10
⇒ – 2n = 10 – 36 = – 26
⇒ 2n = 26
n = \(\frac{26}{2}\) = 13
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) [34 +10] = \(\frac{13}{2}\) × 44
∴ S₁₃ = 286.

(లేదా)

S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)]
= \(\frac{13}{2}\) [2(34) + (13 – 1) (- 2)]
= \(\frac{13}{2}\) [68 – 24)
= \(\frac{13}{2}\) × 44 = 286
∴ S₁₃ = 286.

(iii) – 5 + (- 8) + (- 11) + ……….. + (- 230)
సాధన.
ఇచ్చిన A.P:
(5) + (- 8) + (- 11) + ………….. + (- 230)
a = – 5,
d = a₂ – a₁ = (- 8) – (- 5). = – 8 + 5 = – 3,
a_n = – 230
a_n = a + (n – 1) d = – 230
(- 5) + (n – 1) × (- 3) = – 230
– 5 – 3n + 3 = – 230
– 3n = – 230 + 2
– 3n = – 228
⇒ 3n = 228
n = \(\frac{228}{3}\) = 76
S_n = \(\frac{n}{2}\) [(- 5) + (- 230)]
∴ S₁ = 35 × (- 235) = – 8930
(లేదా)
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1]d]
S₇₆ = \(\frac{76}{2}\) [2(- 5) + 75(- 3)]
= 38 [- 10 – 225]
= 38 × (- 235)
∴ S₇₆ = – 8930.

ప్రశ్న 3.
ఒక అంకశ్రేణిలో
(i) a = 5, d = 3, a_n = 50 అయిన n మరియు S_n లను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 5; d = 3; a_n = 50
a_n = a + (n – 1) 4 = 50
⇒ 5+ (n – 1) 3 = 50
⇒ 5 + 3n – 3 = 50
⇒ 3n = 50 – 2 = 48
⇒ n = \(\frac{48}{3}\) = 16.
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [5 + 50] = 8 × 55
∴ S₁₆ = 440.

(ii) a = 7, a₁₃ = 35 అయిన d ని మరియు S₁₃ ను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 7, a_n = 35
a₁₃ = a + 12d = 35
⇒ 12d = 35 – 7 = 28
⇒ d = \(\frac{28}{12}\) = \(\frac{7}{3}\)
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) [7 + 35]
= \(\frac{13}{2}\) × 42 = 13 × 21 = 273
∴ S₁₃ = 273.

(iii) a₁₂ = 37, d = 3 అయిన a ను మరియు S₁₂ ను కనుగొనుము.
సాధన.
a₁₂ = 37, d = 3
a₁₂ = a + 11d = 37
a + 11 (3) = 37
a + 33 = 37 ⇒ a = 37 – 33 = 4
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n ]
S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [4 + 37] = 6 × 41 = 246
∴ S₁₂ = 246.

(iv) a₃ = 15, S₁₀ = 125 అయిన d మరియు a₁₀ లను కనుగొనుము.
సాధన.
a₃ = 15, S₁₀ = 125
a₃ = a + 2d = 15 …………. (1)
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2a + (10 – 1)d] = 125
= 2a + 9d = \(\frac{125}{2}\)
2a + 9d = 25 ……………….(2)

d = -1 ను (1) లో రాయగా,
a + 2(- 1) = 15
a = 15 + 2 = 17
a₁₀ = a + 9d = 17 + 9 (- 1)
= 17 – 9 = 8
∴ d = – 1 మరియు a₁₀ = 8.

(v) a = 2, d = 8, S_n = 90 అయిన n మరియు a_n లను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 2; d = 8, S_n = 90
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] = 90
\(\frac{n}{2}\) [2(2) + (n – 1) 8] = 90
n [4 + 8n – 8] = 90 × 2 = 180
8n² – 4n – 180 = 0
4[2n² – n -45] = 0
2n² – n – 45 = 0
2n² – 10n + 9n – 45 = 0 (∵ 2 × – 45 = – 90)
2n [n – 5] + 9 [n – 5] = 0
(n – 5) (2n + 9) = 0
∴ n – 5 = 0 లేదా 2n + 9 = 0
పదాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడు ఒక సహజసంఖ్య.
∴ n – 5 = 0 ⇒ n = 5
∴ a₅, = a + 4d = 2 + 4(8)
= 2 + 32 = 34
∴ n = 5 మరియు a₅ = 34.

(లేదా)

S₅ = \(\frac{5}{2}\) [2 + a₅] = 90 [∵ S_n = (a + a_n)]
= 2 + a₅ = 90 × \(\frac{2}{5}\) = 36
a₅ = 36 – 2 = 34 .

(vi) a_n = 4, d = 2, S_n = – 14, అయిన n మరియు a లను కనుగొనుము.
సాధన.
a = 4, d = 2, S_n = – 14
a_n = a + (n – 1) d = 4
= a + (n – 1) (2) = 4.
∴ a + 2n = 4 + 2 = 6
a = 6 – 2n, ………… (1)
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] = – 14
\(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) (2)] = – 14
\(\frac{n}{2}\) × 2[a + n – 1) = – 14
n [6 – 2n + n – 1] = – 14 [(1) నుండి]
n [5 – n] = – 14
5n – n² = – 14
n² – 5n = 14
⇒ n² – 5n – 14 = 0
n² – 7n + 2n – 14 = 0 (∵ 1 × (- 14) = – 14)
n (n – 7) + 2 (n – 7) = 0
(n – 7) (n + 2) = 0
పదాల సంఖ్య n ఎల్లప్పుడు ఒక సహజ సంఖ్య.
∴ n – 7 = 0
n = 7
n = 7 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a = 6 – 2 (7) = 6 – 14 = – 8
∴ n = 7, a = – 8.

(vii) l = 28, S = 144 మరియు పదాల సంఖ్య 9 అయిన a విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
l = a_n = 28, S = 144 మరియు n = 9.
[∵ A.P. లో చివరి పదాన్ని l తో సూచిస్తారు]
S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n] = 144
\(\frac{9}{2}\) [a + 28] = 144
a + 28 = 144 × 2
a + 28 = 32
a = 32 – 28 = 4
∴ a = 4.

ప్రశ్న 4.
ఒక అంకశ్రేణిలో మొదటి, చివరి పదాలు వరుసగా 17 మరియు 350. సామాన్య భేదం 9 అయిన శ్రేణిలోని పదాల సంఖ్యను, పదాల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక అంకశ్రేఢిలో మొదటి పదం a = 17
చివరి పదం a_n = 350
సామాన్యభేదం d = 9
a_n = a + (n – 1) 4 = 350
17 + (n – 1) 9 = 350
17 + 9n – 9 = 350
9n + 8 = 350
9n = 350 – 8 = 342
n = \(\frac{342}{9}\) = 38
∴ n = 38.
ఇప్పుడు S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]
S₃₈ = \(\frac{38}{2}\) [17 + 350] = 19 × 367
S₃₈= 6973
∴ పదాల సంఖ్య n = 38
38 పదాల మొత్తం S₃₈ = 6973.

ప్రశ్న 5.
ఒక అంకశ్రేణిలో 2వ, 3వ పదాలు వరుసగా 14 మరియు 18 అయిన 51 పదాల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
ఒక అంకశ్రేణిలో
2వ పదం a₂ = a + 4 = 14 ………… (1)
3వ పదం a₃ = a + 2d = 18 …………..(2)
పదాల సంఖ్య = 51
d = a₂ – a₁ = 18 – 14 = 4
d ను (1) లో రాయగా
a + 4 = 14 = a = 14 – 4 = 10
a = 10, d = 4, n = 51 అయిన
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₅₁ = \(\frac{51}{2}\) [2 × 10 + (51 – 1) × 4) |
= \(\frac{51}{2}\) [20 + 50 × 4]
= \(\frac{51}{2}\) × (20 + 200)
= \(\frac{51}{2}\) × 220
= 51 × 110 = 5610
∴ 51 పదాల మొత్తం S_n = 5610.

ప్రశ్న 6.
ఒక అంకశ్రేఢిలో మొదటి 7 పదాల మొత్తము 49 మరియు 17 పదాల మొత్తము 289 అయిన మొదటి n పదాల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
S₇ = 49 మరియు S₁₇ = 289
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₇ = \(\frac{7}{2}\) [2a + (7 – 1)d] = 49 .
= \(\frac{7}{2}\) [2a + 6d] = 49
2a + 6d = 49 × \(\frac{2}{7}\) = 14
∴ 2a + 6d = 14 ………. (1)
అలాగే S₁₇ = \(\frac{17}{2}\) [2a + 16d] = 289
2a + 16d = 289 × \(\frac{2}{27}\) = 34
∴ 2a + 16d = 34 ………. (2)

d = 2 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
2a + 6(2) = 14
2a = 14 – 12 = 2
∴ a = \(\frac{2}{2}\) = 1
a = 1, d = 2 అయిన S_n
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2 (1) + (n – 1) 2]
= \(\frac{n}{2}\) [2 + 2n – 2]
= \(\frac{n}{2}\) × 2n
S_n = n²
[Shortcut:-
S_n = 49 = 7²
S_n = 289 = 17²
S_n = n²
∴ మొదటి n పదాల మొత్తం S_n = n².

ప్రశ్న 7.
a_n క్రింది విధంగా నిర్వచించబడితే a₁, a₂, ………., a_n, అంకశ్రేణి అవుతుందని చూపండి. మరియు మొదటి 15 పదాల మొతమును కనుగొనండి.
(i) a_n = 3 + 4n
(ii) a_n = 9 – 5n
సాధన.
(i) a_n = 3 + 4n
a₁ = 3 + 4(1) = 7
a₂ = 3 + 4(2) = 3 + 8 = 11
a₃ = 3 + 4(3) = 3 + 12 = 15
a₄ = 3 + 4 (4) = 3 + 16 = 19
…………………………………………………………..
………………………………………………………….
a₁, a₂, a₃, …………… = 7, 11, 15, 19, ……………
d = a₂ – a₁ = 11 – 7 = 4
d = a₃ – a₂ = 15 – 11 = 4
d = a₄ – a₃ = 19 – 15 = 4
అన్ని సందర్భాలలోను , సమానము. కావున a₁, a₂, a₃, a₄, ….., a_n అంకశ్రేణి అవుతుంది.
15 పదాల మొత్తం a = 7, d = 4, n = 15
S₁₅ = \(\frac{15}{2}\) [2x 7 + (15 – 1) 4]
[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]]
= \(\frac{15}{2}\) (14 + 14 × 4]
= \(\frac{15}{2}\) [70]
= 15 × 35 = 525
∴ 15 పదాల మొత్తం S₁₅ = 525.

(ii) a_n = 9 – 5n
సాధన.
a₁ = 9 – 5 × 1= 9 – 5 = 4
a₂ = 9 – 5 × 2 = 9 – 10 = – 1
a₃ = 9 – 5 × 3 = 9 – 15 = – 6
a₄ = 9 – 5 × 4 = 9-20 = – 11
………………………………..
a₁, a₂, a₃, a₄ ………….. = 4, – 1, – 6, – 11, ……………
d = a₂ – a₁ = – 1 – 4 = – 5
d = a₃ – a₂ = – 6 – (- 1) = – 6 + 1 = – 5
d = a₄ – a₃ = – 11 -(- 6) = – 11 + 6 = – 5
………………………………………………..
………………………………………………..
అన్ని సందర్భాలలోను d సమానము. కావున a₁, a₂, a₃, a₄, …………… a_n అంకశ్రేఢి అవుతుంది.
15 పదాల మొత్తం a = 4, d = – 5, n = 15
S₁₅ = 15 [2(4) + (15 – 1) (- 5)]
= 15 [8 + 14 (- 5)]
= \(\frac{15}{2}\) × – 62 = 15 × – 31 = – 465
∴ 15 పదాల మొత్తం S₁₅ = 465.

ప్రశ్న 8.
ఒక అంకశ్రేణిలో మొదటి n పదాల మొత్తము 4n – na అయిన మొదటి పదం ఎంత ? (S, విలువే మొదటి పదము అవుతుందని గుర్తుకు తెచ్చుకోండి) మొదటి రెండు పదాల మొత్తం ఎంత ? రెండవ పదము ఎంత ? అదేవిధంగా 8వ పదమును, 10వ పదమును మరియు nవ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్దతి : 2
ఒక అంకశ్రేణిలో n పదాల మొత్తం S_n = 4n – na
మొదటిపదం a₁ = S₁ = 4 (1) – (1)² = 3
మొదటి రెండు పదాల మొత్తం S₂ = 4 (2) – (2)²
= 8 – 4 = 4
రెండవ పదం a₂ = S₂ – S₁ = 4 – 3 = 1
మొదటి మూడు పదాల మొత్తం S₃ = 4 x (3) – (3)²
= 12 – 9 = 3
మూడవ పదం a₃ = S₃ – S₂ = 3 – 4 = – 1
మొదటి తొమ్మిది పదాల మొత్తం S₉ = 4(9) – 9²
= 36 – 81 = – 45
మొదటి పది పదాల మొత్తం S₁₀ = 4(10) – 10²
= 40 – 100 = – 60
పదవ పదము = a₁₀ = S₁₀ – S₉
= – 60 – (- 45)
= – 60 + 45 = – 15
(n – 1) పదాల మొత్తం S_{n – 1}
= 4 (n – 1) – (n – 1)²
= 4n – 4 – (n² – 2n + 1)
= 4n – 4 – n² + 2n -1
S_{n – 1} = 6n – n² – 5
n పదాల మొత్తం S_n = 4n – n²
∴ n వ పదం a_n = S_n – S_{n – 1}
= (4n – n²) – (6n – n² – 5) ..
= 4n -n² – 6n + n² + 5
a_n = 5 – 2n.

రెండవ పద్ధతి :
అంకశ్రేణి n పదాల మొత్తం S_n = 4n – n²
మొదటి పదం a₁ = S₁ = 4(1) – (1)2²
= 4 – 1 = 3
మొదటి రెండు పదాల మొత్తం S₂ = 4(2) – (2)²
=8 – 4 = 4
రెండవ పదం a₂ = S₂ – S₁ = 4 – 3 = 1
∴ సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = 1 – 3 = – 2
∴ మూడవపదం a₃ = a₂ + d = 1 + (- 2) = – 1
పదవపదం a₁₀ = a + 9d = 3 + 9 (- 2)
= 3 – 18 = – 15
n వ పదము a_n = a + (n- 1) d
= 3 + (n – 1) (- 2)
= 3 – 2n + 2
a_n = 5 – 2n

మూడవ పద్ధతి :
అంకశ్రేణిలో S_n = 4n – n²
nవ పదం a_n = S_n – S_{n – 1} అవుతుంది.
S_{n – 1} = 4 (n – 1) – (n – 1)
= 4n -4 – (n² – 2n + 1)
= 4n – 4 – n² + 2n – 1
S_{n – 1} = 6n – n² – 5
a_n = S_n – S_{n – 1}
= (4n – n²) – (6n – n² – 5)
= 4n – n² – 6n + n² + 5
a_n = 5 – 2n
∴ మొదటి పదం a₁ = 5 – 2(1) = 3
మొదటి రెండు పదాల మొత్తం S₂ = 4(2) – 2²
= 8 – 4 = 4
a₂ = 5 – 2(2) = 5 – 4 = 1
a₃ = 5 – 2(3) = 5 – 6 = – 1
a_n = 5 – 2(10) = 5 – 20 = – 15
nవ పదం a_n = 5 – 2n.

ప్రశ్న 9.
6చే భాగించబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యల మొత్తమును కనుగొనుము.
సాధన.
6 చే భాగింపబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యల జాబితా 6, 12, 18, 24, …….. 40 పదాలు .
ఈ జాబితా అంకశ్రేణిలో కలదు.
a = 6, d = a₂ – a₁ = 12 – 6 = 6, n = 40
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₄₀ = \(\frac{40}{2}\) [2(6) + (40 – 1) (6)]
= 20 [12 + 39 × 6]
= 20 [12 + 234] = 20 × 246
S₄₀ = 4920.
6చే భాగింపబడే మొదటి 40 ధనపూర్ణ సంఖ్యల, మొత్తం S₄₀ = 4920.

ప్రశ్న 10.
ఒక పాఠశాలలో విద్యావిషయక సంబంధిత విషయాలలో అత్యున్నత ప్రతిభ కనపరిచిన వారికి మొత్తం 700 రూపాయలకు 7 బహుమతులు ఇవ్వాలని భావించారు. ప్రతి బహుమతి విలువ దాని ముందున్న దానికి ₹ 20 తక్కువ అయిన ప్రతి బహుమతి విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
బహుమతులను a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, ………………. అనుకొనుము.
ప్రతి బహుమతి దాని ముందున్న బహుమతికన్నా ₹ 20 తక్కువ.
కావున, a₁, a₂, a₃, a₄, ….., a₇ లు Sn A.P. లో ఉంటాయి.
∴ సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = – 20
(∵ a₁ కన్నా a₂, 20 తక్కువగా ఉంటుంది.)
లెక్క ప్రకారం బహుమతుల మొత్తం S₇ = 700 .
S₇ = \(\frac{7}{2}\) [2a + (7 – 1) (- 20)] = 700
[2a + 6 (- 20)] = 700 × \(\frac{2}{7}\)
2a – 120 = 200
2a = 200 + 120 = 320
a = \(\frac{320}{2}\) = 160
∴ బహుమతుల విలువ a = a₁ = 160
a₂ = 160 – 20 = 140
a₃ = 140 – 20 = 120
a₄ = 120 – 20 = 100
a₅ = 100 – 20 = 80
a₆ = 80 – 20 = 60
a₇ = 60-20 = 40.

ప్రశ్న 11.
ఒక పాఠశాల ఆవరణలో పర్యావరణ పరిరక్షణకు విద్యార్థులు చెట్లు నాటాలని భావించారు. ప్రతి సెక్షను విద్యార్థులు వారు చదువుతున్న తరగతి సంఖ్యకు సమానమైన చెట్లను అనగా 1వ తరగతి చదువుచున్న ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు 1 చెట్టును, రెండవ తరగతి చదువుచున్న ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు 2 చెట్లను నాటాలని ఈ విధంగా 12వ తరగతి వరకూ చేయాలని నిర్ణయించుకున్నారు. అయితే ప్రతి తరగతిలో మూడు సెక్షన్లు ఉన్న మొత్తం నాటిన చెట్లు ఎన్ని?
సాధన.

మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటే చెట్ల సంఖ్య జాబితా 3, 6, 9, 12, ………….. 33, 36.
ఇది A.P లో కలదు.
12 తరగతులలోని మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 3 + 6, + 9 +:12 + …. + 36
a = 3, 4 = 6 – 3 = 3, n = 12
∴ S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [3 + 36]
[∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a +1]].
= 6 × 39.
S₁₂ = 234
∴ ప్రతి తరగతిలోని మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 234.

రెండవ పద్ధతి :
ప్రతి తరగతిలోని ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు నాటిన చెట్ల సంఖ్య జాబితా 1, 2, 3, 4, 5, 6, ………… 11. 12 ఇది A.P లో కలదు.
ప్రతి తరగతిలోని ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 1 + 2 + 3 + ………….. + 11 + 12
a = 1, d = 1, n = 12 S₁₂ = \(\frac{12}{2}\) [1 + 12]
= 6 × 13 = 78 [∵ S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + a_n]]
ప్రతి తరగతిలోని ఒక సెక్షన్ విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 78
ప్రతి తరగతిలోని మూడు సెక్షన్ల విద్యార్థులు నాటిన మొత్తం చెట్లు = 78 × 3 = 234.

ప్రశ్న 12.
అర్ధ వృత్తాలచే ఒక సర్పిలాకారము తయారుచేయబడింది. పటంలో చూపిన విధంగా అర్ధవృత్తాల కేంద్రాలు A వద్ద ప్రారంభించబడి A, Bల మధ్య మారుతూ వున్నాయి. అనగా మొదటి అర్ధవృత్త కేంద్రము A, రెండవ అర్ధవృత్త కేంద్రము B, మూడవ అర్ధవృత్త కేంద్రము A …… మరియు అర్ధవృత్తాల వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 0.5 సెం.మీ., 1.0 సెం.మీ, 1.5 సెం.మీ, 20 సెం.మీ, … ఈ విధంగా మొత్తం 18 అర్ధవృత్తాలు వున్న సర్పిలం మొత్తం పొడవు ఎంత ? (x = 4) (సూచన : వరుస అర్ధవృత్తాల పొడవులు l₁, l₂, l₃, l₄ . . . మరియు వీని కేంద్రాలు వరుసగా A, B, A, B……..]

సాధన.
వరుస అర్ధవృత్తాల పొడవులు l₁, l₂, l₃, l₄, ……. మరియు వీటి కేంద్రాలు A, B, A, B
అర్ధవృత్తాల వ్యాసార్ధాలు వరుసగా 0, 5 సెం.మీ., 1 సెం.మీ., 1, 5 సెం.మీ., 2 సెం.మీ…
l₁ = π(0.5) = 0.5π (∵ అర్ధవృత్త చాపం పొడవు l = πr)
l₂ = π(1) = π
l₃ = π(1.5) = 1.5π
l₄ = π(2) = 2π
……………………
…………………………
l₁, l₂, l₃, l₄, ……. లు A.P. లో కలవు.
13 అర్ధవృత్తాలు గల సర్పిలం మొత్తం పొడవు l₁, l₂, l₃, l₄, …………..l₁₃
0.5π + π + 1.5π + ……….. + 13 పదాలు ……… (1)
a = 0.5π, d = 0.57 మరియు n = 13
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₃ = \(\frac{13}{2}\) [2(0.5π) + ( 13 – 1) (0.5π)]
= \(\frac{13}{2}\) [π + 6π] = 13 × 7π
= \(\frac{13}{2}\) × 7 × \(\frac{22}{7}\) = 13 × 11
S₁₃ = 143 సెం.మీ.
∴ 13 అర్ధవృత్తాలున్న సర్పిలం మొత్తం పొడవు = 143 సెం.మీ.

(లేదా)
(1) ⇒ π (0.5 + 1 + 1.5 + 2 + ……… + 13 పదాలు )
S₁₃ = π [\(\frac{13}{2}\) (2 (0.5) + (13 – 1) (0.5)]
= π [\(\frac{13}{2}\) (1 + 6)]
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{13}{2}\) × 7 = 11 × 13
S₁₃ = 143 సెం.మీ.

ప్రశ్న 13.
200 చెక్క మొద్దులను క్రింది పటంలో చూపిన విధంగా అమర్చారు. అన్నింటి కంటే క్రింద వున్న వరుసలో 20 చెక్క మొద్దులను, దానిపై 19 మొద్దులను, దాని పైన 18 మొద్దులను ….. అమర్చిన మొత్తం 200 మొద్దులను అమర్చుటకు ఎన్ని వరుసలు కావాలి ? అన్నింటికంటే పైన వున్న వరుసలో ఎన్ని చెక్క మొద్దులు కలవు ?

సాధన.
క్రింది నుండి ప్రతి వరుసలోను గల చెక్క మొద్దుల సంఖ్య జాబితా 20, 19, 18, 17, ……. ఇది A. P. లో కలదు.
a = 20, d = a₂ – a₁ = 19 – 20 = -1
మొత్తం చెక్క మొద్దుల సంఖ్య S_n = 200
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] = 200
\(\frac{n}{2}\) [2(20) + (n – 1) (- 1)] = 200
\(\frac{n}{2}\) [40 – n+1] = 200
\(\frac{n}{2}\) [41 – n] = 200
41n – n² = 400
⇒41n – n² – 400 = 0
⇒ n² – 41n + 400 = 0
⇒ n² – 25n – 16n + 400 = 0 ( 1 × 400 = 400)

⇒ n (n – 25) – 16 (n – 25) = 0.
⇒ (n – 25) (n – 16) = 0
∴ n – 25 = 0 లేదా n – 16 = 0
n = 25 లేదా n = 16
n = 25 అసాధ్యము. కావున n = 16
(20, 19, 18, ……. జాబితాలో 25వ పదం రుణసంఖ్య అవుతుంది.)
అనగా ’20, 19, 18, …… శ్రేణిలో 16 పదాలుంటాయి. కావున 200 మొద్దులను అమర్చుటకు 16 వరుసలు కావాలి.
పై వరుసలోని మొద్దుల సంఖ్య = a₁₆ = a + 15d = 20 + 15(- 1) = 20 – 15 = 5
∴ పై వరుసలోని మొద్దుల సంఖ్య = 5. – A.P. 10వ తరగతి జీ గణితశాస్త్రం

ప్రశ్న 14.
బంతి మరియు బకెట్ ఆటలో, ప్రారంభంలో ఒక బకెట్ దానికి 5మీ. దూరంలో ఒక బంతి ఉంచబడినవి. మొత్తం 10 బంతులలో మిగిలిన బంతులు ఒకదానికొకటి 3మీ. దూరంలో పటంలో చూపిన విధంగా అమర్చబడినవి. ఆటలో పాల్గొనే వ్యక్తి మొదట బకెట్ వద్ద నుంచి బయలుదేరి మొదటి బంతివద్దకు పోయి దానిని తీసుకొని వెనుకకు వచ్చి ‘బకెట్లో వేయాలి. తరువాత తిరిగి బకెట్ నుంచి బయలుదేరి రెండవ బంతి వద్దకు పోయి దానిని తీసుకొని వచ్చి బకెట్లో వేయాలి. ఈ విధంగా అన్ని బంతులను బకెట్లో వేయవలెనన్న ఆ వ్యక్తి పరిగెత్తవలసిన మొత్తం దూరం ఎంత ? (సూచన : మొదటి, రెండవ బంతులను తీసుకొని రావడానికి ఆట ఆడే వ్యక్తి పరిగెత్తవలసిన దూరము వరుసగా 2 × 5 + 2 × (5 + 3)]

సాధన.

ప్రతి బంతి తీసుకురావడానికి వ్యక్తి ప్రయాణించిన దూరాల జాబితా 10, 16, 22, 28, …………….. 10 పదాలు.
ఇది A.P. లో కలదు.
a = 10; 4 = 16 – 10 = 6, n = 10.
∴ వ్యక్తి పరుగెత్తిన మొత్తం దూరం 10 + 16 + 22 + 28 + ……….. + 10 పదాలు.
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [2 × 10 + (10 – 1) × 6] = 5[20 + 54] = 5 × 74
S₁₀ = 370
∴ వ్యక్తి పరుగెత్తిన మొత్తం దూరం = 370 మీ.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.2

ప్రశ్న 1.
మొదటి పదము a, సామాన్య భేదము d, nవ పదము a, అయిన క్రింది పట్టికను పూరింపుము. – AS,, AS,,

సాధన.

ప్రశ్న 2.
కింది వానిని కనుగొనుము.
(i) 10, 7, 4, …… అంకశ్రేణిలో 30వ పదము.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P. = 10, 7, 4, …………….
a₁ = 10;
d = a₂ – a₁ = 7 – 10 = – 3,
n= 30
a_n = a + (n – 1)
a₃₀ = 10 + (30 – 1) (- 3)
= 10 + 29 (- 3)
= 10 – 87 = – 77
∴ a₃₀ = – 77.

(ii) – 3, \(-\frac{1}{2}\), – 2, ………….. అంకశ్రేణిలో 11వ పదము.
సాధన.
ఇచ్చిన A.P. = – 3, \(-\frac{1}{2}\), – 2, …………..
a = – 3; d = a₂ – a₁ = 3 – 3)
= \(-\frac{1}{2}\) + 3 = 2\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{5}{2}\)
n = 11
∴ a_n = a + (n – 1) d
a₁₁ = – 3 + (11 – 1) (\(\frac{5}{2}\))
= – 3 + 10(\(\frac{5}{2}\))
= – 3 + 25 = 22
∴ a₁₁ = 22.

ప్రశ్న 3.
క్రింది వానిని కనుగొనుము.
(i) a₁ = 2; a₃ = 26, అయిన a₂ ను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a₁ = a = 2
a₃ = 26
a_n = a + (n – 1) d
a₃ = 2 + (3 – 1) 4
= 2d= 26 – 2 = 24
d = \(\frac{24}{2}\) = 12
∴ a₂ = a + d = 2 + 12 = 14.

రెండవ పద్ధతి :
a₁, a₂, a₃ లు A.P. లో కలవు అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారం a₁ = 2, a₃ = 26
∴ 2, a₂, 26 లు A.P. లో కలవు.
a₂ – 2 = 26 – a₂
∴ a₂ + a₂ = 26 + 2
2a₂ = 28
∴ a₂ = \(\frac{28}{2}\) = 14.

మూడవ పద్ధతి :
a, b, c లు A.P. లో ఉంటే b = \(\frac{a+c}{2}\)
2, a₂, 26 లు A.P. లో కలవు.
∴ a₂ = \(\frac{2+26}{2}\) = \(\frac{28}{2}\) = 14.

(ii) a₂ = 13; a₄ = 3 అయిన a₁, a₃ లను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a₂ = a + d = 13 …….. (1)
a₄ = a + 3d = 3 …….. (2)
(1), (2) సమీకరణములు సాధించగా,

⇒ d = \(-\frac{10}{2}\) = – 5
a₁ = a₂ – d = 13 – (-5) = 13 + 5 = 18
a₃ = a₂ + d = 13 + (- 5) = 8
∴ a₁ = 18 మరియు a₃ = 8.

రెండవ పద్ధతి :
a₁, a₂, a₃, a₄ లు A.P. లో కలవు అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారము a₂ = 13, a₄ = 3
∴ a₁, 13, a₃, 3 లు A.P. లో కలవు
∴ 13 – a₁ = a₃ – 13 ……. (1) మరియు
a₃ – 13 = 3 – a₃ ……….. (2)
(2) ⇒ 2a₃ = 16
a₃ = \(\frac{16}{2}\) = 8
a₃ = 8 ని (1) లో రాయగా,
13 – a₁ = 8 – 13
– a₁ = – 5 – 13 = – 18
∴ a₁ = 18
∴ a₁ = 18 మరియు a₃ = 8.

మూడవ పద్ధతి :
a₁, 13, a₃, 3 లు A.P. లో కలవు.
∴ 13, a₃, 3 లు A.P. లో మూడు వరుస పదాలు.
∴ a₃ = \(\frac{13+3}{2}=\frac{16}{2}\) = 8
[a, b, c లు A.P. లో ఉంటే b = \(\frac{a+c}{2}\))
∴ సామాన్య భేదం d = a₃ – a₂ = 8 – 13 = – 5
∴ a₁ = a₂ – d = 13 – (- 5) = 13 + 5 = 18.
∴ a₁ = 18 మరియు a₃ = 8.

(iii) a₁ = 5, a₄ = 91/2 అయిన a₂, a₃ లను కనుగొనుము.
సాధన.
a₁ = a = 5.
a_n = a + (n – 1) d
a₄ = 5 + 3d = 9\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{19}{2}\)
3d = \(\frac{19}{2}\) – 5 = \(\frac{19-10}{2}\) = \(\frac{9}{2}\)
∴ d = \(\frac{9}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{3}{2}\)
∴ a₂ = a + d
= 5 + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{13}{2}\)
a₃ = a₂ + d
= \(\frac{13}{2}\) + \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{16}{2}\) = 8

(iv) a₁ = – 4; a₆ = 6, అయిన a₂, a₃, a₄, a₅ లను కనుగొనుము. .
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a₁ = a = – 4
a₆ = a + 5d = 6
(- 4) + 5d = 6
⇒ 5d = 6 + 4 = 10
⇒ d = \(\frac{10}{5}\) = 2
∴ a₂ = – 4 + 2 = – 2
a₃ = – 2 + 2 = 0
a₄ = 0 + 2 = 2
a₅ = 2 + 2 = 4

రెండవ పద్దతి :
ఒక అంకశ్రేణిలో nవ పదం a_n, mవ పదం a_m అయిన సామాన్యభేదం
d = \(\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}\)
a₁ = – 4, a₆ = 6, n = 1; m = 6
d = \(\frac{6-(-4)}{6-1}=\frac{10}{5}\) = 2
∴ a₂ = a₁ + d = – 4 + 2 = – 2
a₃ = – 2 + 2 = 0
a₄ = 0 + 2 = 2
a₅ = 2 + 2 = 4.

(v) a₂ = 38; a₆ = – 22, అయిన a₁, a₃, a₄, a₅ లను కనుగొనుము.
సాధన.
a₂ = a + d = 38 ……………. (1)
a₆ = a + 5d = -22 …………… (2)
(2) – (1)

∴ a₁ = a₂ – d = 38 – (- 15) = 38 + 15 = 53
a₃ = a₂ + 4 = 38 + (-15) = 23
a₄ = 23 + (- 15) = 8
a₅ = 8 + (- 15) = – 7.

ప్రశ్న 4.
3, 8, 13, 18, … అంకశ్రేణిలో ఎన్నవ పదము 78 అవుతుంది ?
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణి : 3, 8, 13, 18, ……. 78 –
a = 3; d = a₂ – a₁ = 8 – 3 = 5,
a_n = 78
a_n = a + (n – 1) 4 = 78 .
⇒ 3 + (n – 1) (5) = 78
⇒ 3 + 5n – 5 = 78
⇒ 5n – 2 = 78
⇒ 5n = 78 + 2 = 80
⇒ n = \(\frac{80}{5}\) = 16
∴ 16 వ పదము 78 అవుతుంది.

ప్రశ్న 5.
క్రింద ఇవ్వబడిన అంకశ్రేఢులలోని పదాల సంఖ్యను కనుగొనుము.
(i) 7, 13, 19, . . . , 205
సాధన.
మొదటి పద్దతి :
ఇచ్చిన A.P : 7, 13, 19, …………, 205
a = 7; d = a₂ – a₁ = 13 – 7 = 6,
a_n = 205
a_n = a + (n – 1) d = 205
7 + (n – 1) 6 = 205
7 + 6n – 6 = 205
6n + 1 = 205
6n = 205 – 1 = 204
⇒ n = \(\frac{204}{6}\) = 34
ఇచ్చిన A.P లో 34 పదాలు ఉంటాయి.

రెండవ పద్ధతి:
d = \(\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}=\frac{a_{n}-a_{m}}{n-m}\)
a₁ = 7, a_n = 1, a_m = 205 అనుకొనుము.
d = 13 – 7 = 6
6 = \(\frac{205-7}{n-1}\)
⇒ n – 1 = \(\frac{198}{6}\) = 33
∴ n = 33 + 1 = 34.

(ii) 18, 15\(\frac{1}{2}\), 13, ………, – 47
సాధన. మొదటి పద్ధతి : –
ఇచ్చిన A.P: 18, 15\(\frac{1}{2}\), 1.3 ………….. – 47
a = 18, d = a₂ – a₁
= 15\(\frac{1}{2}\) – 18
= – 2\(\frac{1}{2}\) = – \(\frac{5}{2}\)
a_n = – 47
a_n = a + (n – 1) d = – 47
= 18 + (n – 1) × (- \(\frac{5}{2}\)) = – 47
(n – 1) (- \(\frac{5}{2}\)) = – 47 – 18 = – 65
\(\frac{-5 n+5}{2}\) = – 65
– 5n + 5 = – 130
– 5n = – 130 – 5 = – 135
5n = 135
⇒ n = \(\frac{135}{5}\) = 27
ఇచ్చిన A.P లో 27 పదాలు ఉంటాయి.

రెండవ పద్ధతి :
a_m = 18, d = 35; a_n = – 47
d = \(\frac{a_{n}-a_{m}}{n-m}\)

⇒ \(\frac{-5}{2}=\frac{-47-18}{n-1}\)

⇒ \(\frac{-5}{2}=\frac{-65}{n-1}\)

⇒ \(\frac{5}{2}=\frac{65}{n-1}\)
n – 1 = 65 × \(\frac{2}{5}\)
∴ n = 26 + 1 = 27.

ప్రశ్న 6.
11, 8, 5, 2… అంకశ్రేణిలో ‘- 150’ ఒక పదంగా ఉంటుందో లేదో పరిశీలించుము కనుగొనుము.
సాధన.
ఇచ్చిన అంకశ్రేణి 11, 8, 5, 2, …… లో n వ పదం – 150 అనుకుందాము.
అప్పుడు, a = 11, d = a₂ – a₁ = 8 – 11 = – 3 మరియు a_n = – 150
a_n = a + (n – 1) d = – 150
⇒ 11 + (n – 1)X (- 3) = – 150
⇒ 11 – 3n + 3 = – 150
⇒ – 3n = – 150 – 14
⇒ – 3n = – 164
⇒ 3n = 164
⇒ n = \(\frac{164}{3}\) ………… (2)
అంకశ్రేణిలోని పదాల సంఖ్య n ఎల్లప్పుడూ ఒక సహజ సంఖ్య.
కాని n = \(\frac{164}{3}\) సహజసంఖ్య కాదు.
కావున 11, 8, 5, 2, ……. అంకశ్రేణిలో – 150 ఒక పదంగా ఉండదు.

ప్రశ్న 7.
ఒక అంకశ్రేణిలో 11వ పదము 38 మరియు 16వ పదము 78 అయిన 31వ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
a₁₁ = 38 మరియు a₁₆ = 73, a₃₁ = ?
::. a_n = a + (n – 1) d
a₁₁ = a + 10d = 38 …………. (1)
a₁₆ = a + 15d = 73 ,
(2) – (1)

d = 7 ను (1) లో రా యగా,
a + 70 = 38
⇒ a = 38 – 70 = – 32
31వ పదం a₃₁ = a + 30d
= – 32 + 30 (7)
= – 32 + 210 = 178
∴ 31వ పదం a_n = 178.

ప్రశ్న 8.
ఒక అంకశ్రేఢిలో 3వ, 9వ పదాలు వరుసగా 4, – 8 అయిన ఎన్నవ పదము ” (సున్న) అవుతుంది ?
సాధన.
ఒక A.P లో 3వ పదం
a₃ = a + 2d = 4 ……….(1)
9వ పదం a₉ = a + 8d = – 8 …………(2)
(2) – (1) ⇒

⇒ d = \(\frac{12}{6}\) = – 2
⇒ d = – 2 …………. (3)
∴ 4వ పదం a₄ = a₃ + d = 4 + (- 2) = 2
a₅ = a₄ + d = 2 + (- 2) = 0
∴ 5వ పదం సున్న (0) అవుతుంది.

(లేదా)

(3) ⇒ d = – 2 ను (1) లో రాయగా,
a + 2(- 2) = 4
⇒ a – 4 = 4
⇒ a = 8
a_n = 0 అయ్యేటట్లు n విలువ కనుగొనాలి.
a_n = a + (n – 1) d = 0
8 + (n – 1) (- 2) = 0
8 – 2n + 2 = 0
10 = 2n
⇒ \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ n = 5
కావున 5వ పదం ‘0’ (సున్న) అవుతుంది.

ప్రశ్న 9.
ఒక అంకశ్రేణిలో 17వ పదము 10వ పదం కంటే 7 ఎక్కువ. అయిన సామాన్య భేదం ఎంత ?
సాధన.
ఒక A.P లో 17వ పదం a₁₇ = a + 16d
10వ పదం a₁₀ = a + 9d
లెక్క ప్రకారం, a₁₇ = a₁₀ + 7
a + 16d = (a + 9d) + 7
a + 16d – a – 9d = 7
7d = 7
⇒ d = \(\frac{7}{7}\) = 1
∴ సామాన్యభేదం d = 1. .

ప్రశ్న 10.
రెండు అంకశ్రేఢుల సామాన్య భేదం సమానము. వాని 100వ పదాల మధ్య భేదం 100 అయిన వాని 1000వ పదాల మధ్య భేదమెంత ?
సాధన.
మొదటి అంకశ్రేణి మొదటి పదం = a
రెండవ అంకశ్రేణి మొదటి పదం = b
రెండు శ్రేఢుల యొక్క సామాన్యభేదం = d అనుకొనుము.
మొదటిశ్రేఢి 100వ పదం a₁₀₀ = a + 99d
రెండవశ్రేణి 100వ పదం b₁₀₀ = b + 99d
లెక్కప్రకారం, a₁₀₀ – b₁₀₀ = 100
(a + 99d) – (b + 99d) = 100
a – b = 100 ………….. (1)
ఇప్పుడు,
మొదటిశ్రేఢి 1000వ పదం a₁₀₀₀ = a + 999d
రెండవశ్రేణి’ 1000వ పదం b₁₀₀₀₀ = b + 999d
a₁₀₀₀ – b₁₀₀₀ = (a + 999d) – (b + 999d)
= a – b = 100 ((1) నుండి)
∴ 1000వ పదాల మధ్య తేడా 100.

ప్రశ్న 11.
7 చే భాగించబడే మూడంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని కలవు?
సాధన.
మొదటి పద్దతి’:
7 చే భాగింపబడే మూడంకెల సంఖ్యల జాబితా 105, 112, 119, 126, …………., 994 ఈ జాబితా అంకశ్రేణి అవుతుంది.
a = 105; d = a₂ – a₁ = 112 – 105 = 7;
a_n = 994
∴ a_n = a + (n – 1) d = 994
= 105 + (n – 1) 7 = 994
105 + 7n – 7 = 994
7n + 98 = 994
7n = 994 – 98 = 896
n = \(\frac{896}{7}\) = 128
∴ 7 చే భాగింపబడే మూడంకెల సంఖ్యలు 128 కలవు.

రెండవ పద్దతి :
d = \(\frac{a_{n}-a_{m}}{n-m}\)
a₁ = 105, a_n = 994, d = 7, m = 1
7 = \(\frac{994-105}{n-1}=\frac{896}{n-1}\)
n – 1 = \(\frac{889}{7}\) = 127
∴ n = 127 +1 = 128.

ప్రశ్న 12.
10 మరియు 250 ల మధ్య గల 4 యొక్క గుణిజాల సంఖ్యను కనుగొనుము.
సాధన.
10 మరియు 250 ల మధ్య గల 4 యొక్క గుణిజాల జాబితా 12, 16, 20, ……… 248.
ఈ జాబితా A.P లో కలదు.
∴ a = 12, d = a₂ – a₁ = 16 – 12 = 4,
a_n = 248
a_n = a + (n – 1) d = 248 .
= 12 + (n- 1) 4 = 248
= 12 + 4n – 4 = 248
4n = 248 – 8 = 240
n = \(\frac{240}{4}\) = 60
∴ 10 మరియు 250 ల మధ్యగల 4 యొక్క గుణిజాల సంఖ్య = 60.

ప్రశ్న 13.
63, 65, 67, …. మరియు 3, 10, 17, ….. అంకశ్రేఢుల nవ పదాలు సమానము అయిన n విలువను కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి A.P = 63, 65, 67, ……………..
a = 63, d = a₂ – a₁ = 65 – 63 = 2
∴ nవ పదం a_n = a + (n-1) d
= 63 + (n – 1) 2
= 63 + 2n – 2
nవ పదం a_n = 2n + 61 ………….. (1)
రెండవ A.P. = 3, 10, 17, ……………….
a = 3, d = a₂ – a₁ = 10 – 3 = 7
nవ పదం a_n = 3 + (n -1 ) 7
= 3 + 7n – 7
nవ పదం a_n = 7n – 4 ………… (2)
కాని లెక్క ప్రకారం రెండు అంకశ్రేఢుల పదాలు సమానము.
∴ 7n – 4 = 2n + 61
7n – 2n = 61 + 4
5n = 65
n = \(\frac{65}{5}\) = 13
∴ n = 13.

ప్రశ్న 14.
3వ పదము 167; 7వ పదము, 5వ పదము కంటే 12 ఎక్కువగా గల ఒక అంకశ్రేఢిని కనుగొనుము.
సాధన.
A.P లో 3వ పదం a₃ = a + 2d = 16 ….. (1)
5వ పదం a₅ = a + 4d
7వ పదం a₇ = a + 6d
లెక్క ప్రకారం 7వ పదము, 5వ పదము కంటే 12 ఎక్కువ.
a + 6d = (a + 4d) + 12
a + 6d – a – 4d = 12
2d = 12 ⇒ d = \(\frac{12}{2}\) = 6
d = 6 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a + 2(6) = 16
a + 12 = 16
a = 16 – 12 = 4
a = 4 మరియు d = 6
∴ అంకశ్రేణి 4, 10, 16, 22, …………….

ప్రశ్న 15.
3, 8, 13, ….., 253 అంకశ్రేణి యొక్క చివరి నుంచి 20వ పదమును కనుగొనుము.
సాధన.
మొదటి పద్దతి :
ఇచ్చిన A.P = 3, 8, 13, ………., 253
ఇక్కడ a = 3, d = a₂ – a₁ = 8 – 3 = 5,
⇒a_n = 253
⇒ a_n = a + (n – 1) 4 = 253.
⇒ 3 + (n- 1) 5 = 253
⇒ 3 + 5n – 5 = 253
⇒ 5n = 253 + 2 = 255
⇒ n = \(\frac{255}{5}\) = 51
ఇచ్చిన A.P లో 51 పదాలు కలవు.
∴ చివరి నుండి 20వ పదం, మొదటి నుండి (51 – 20) + 1 = 32వ పదం అవుతుంది.
∴ 32వ పదం a₃₂ = 3 + (32 – 1) (5)
= 3 + 31 (5)
a₃₂ = 3 + 155 = 158
చివరి నుండి 20వ పదం = 158

2వ పద్దతి :
ఇచ్చిన A.P = 3, 8, 13, ….., 253
ఇక్కడ d = a₂ – a₁ = 8 – 3 = 5
ఇచ్చిన శ్రేణిని త్రిప్పి రాయగా వచ్చే 20వ పదమే ఇచ్చిన శ్రేఢి యొక్క చివరి నుండి 20వ పదం అవుతుంది. 253, 248, 243, ………., 13, 8, 3
ఈ శ్రేణిలో a = 253, d = a₂ – a₁
= 248 – 253 = – 5
a_n = 3
a_n = a + (n – 1) d = 3
253 + (n – 1) (- 5) = 3
253 – 5n + 5 = 3
258 – 5n = 3
– 5n = 3 – 258 = – 255
5n = 255
⇒ n = \(\frac{255}{5}\) = 51
∴ 20వ పదం a₂₀ = 253 + (20 – 1) (- 5)
= 253 – 95
a_n = 158
∴ 3, 8, 13, …………. 253 అంకశ్రేఢి యొక్క చివరి నుండి 20వ పదము = 158.

ప్రశ్న 16.
ఒక అంకశ్రేణిలో 4వ మరియు 8వ పదాల మొత్తము 24 మరియు 6వ, 10వ పదాల మొత్తము 44 అయిన మొదటి మూడు పదాలను కనుగొనుము.
సాధన.
A.P లో 4వ పదం = a + 3d
8వ పదం = a + 7d
లెక్క ప్రకారం 4వ, 8వ పదాల ,మొత్తం = 24
(a + 3d) + (a + 7d) = 24
= 2a + 10d = 24
2 (a + 5d) = 24
a + 5d = \(\frac{24}{2}\) = 12
∴ a + 5d = 12 ………….. (1)
ఇలాగే, 6వ పదం = a + 5d
10వ పదం = a + 9d
6వ మరియు 10వ పదాల మొత్తం 44
(a + 5d) + (a + 9d) = 44
2a + 140 = 44
2 (a + 7d) = 44
a + 7d = \(\frac{44}{2}\) = 22
a + 7d = 22 ………… (2)
(2) – (1)

d = \(\frac{10}{2}\) = 5
∴ d = 2
d = 5ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా,
a + 5(5) = 12 ⇒ a = 12 – 25 = – 13
∴ కావలసిన అంకశ్రేణిలోని మొదటి మూడు పదాలు
మొదటి పదం a₁ = a = – 13
రెండవ పదం a₂ = – 13 + 5 = – 8
మూడవ పదం a₃ = 3 – 8 + 5 = – 3

ప్రశ్న 17.
సుబ్బారావు 1995వ సం||లో నెలకు ₹ 5000 జీతంతో ఉద్యోగంలో చేరాడు. అతని జీతము సం||మునకు ₹ 200 పెరిగిన అతని జీతము ఏ సం||ములో ₹ 7000 అవుతుంది ?
సాధన.

జీతం యొక్క జాబితా
5000, 5200, 5400, 5600, ………….
ఈ జాబితా A.P లో కలదు.
∴ a = 5000, d = a₂ – a₁ = 5200 – 5000 = 200
a_n = 7000
a_n = a + (n – 1) 4 = 7000
= 5000 + (n – 1) 200 = 7000
= 5000 + 200 n – 200 = 7000
200 n = 7000 – 4800 = 2200
∴ n = \(\frac{2200}{200}\) = 11.
జాబితాలో 7000 11వ పదం అవుతుంది.
అనగా ,సుబ్బారావు ఉద్యోగంలో చేరినప్పటి నుండి 11వ సం||లో అతని జీతం ₹ 7000 అవుతుంది. (1995ను కూడా కలుపుకోవాలి)
∴ 2005 వ సం||లో సుబ్బారావు జీతం ₹ 7000 అవుతుంది.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 6 శ్రేఢులు Exercise 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 6th Lesson శ్రేఢులు Exercise 6.1

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది సంఘటనలలో ఏ సంఘటనలో ఏర్పడే సంఖ్యల జాబితా అంకశ్రేఢి అవుతుంది ? ఎందుకు ?
(i) ఒక టాక్సీకి మొదటి గంట ప్రయాణానికి ₹ 20 చొప్పున తరువాత ప్రతి గంటకు ₹ 8 చొప్పున చెల్లించవలసి ఉన్న ప్రతి కిలోమీటరుకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము.
(ఇచ్చిన సమస్య స్పష్టంగా లేదు. టాక్సీ అద్దె గంటలకు ఇవ్వబడినది. కాని చెల్లించాల్సిన సొమ్మును కిలో మీటరుకు ఇవ్వడం జరిగినది).
సరైన సమస్య : ఒక టాక్సీ మొదటి కిలోమీటరు ప్రయాణానికి ₹ 20 లు చొప్పున తరువాత ప్రతి కిలోమీటరుకు ₹8 లు చొప్పున చెల్లించవలసి వున్న ప్రతి కిలోమీటరుకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము.
సాధన.

సంఖ్యల జాబితా : 20, 28, 36, 44, 52, 60

సామాన్యభేదము

ప్రతి సందర్భంలోను సామాన్యభేదం సమానము. కావున ఏర్పడే సంఖ్యల జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) అవుతుంది.

(ii) ఒక వాక్యూమ్ పంపు సిలిండరులో ఉండే గాలి నుంచి 1/4 వంతు తీసివేయును. అయిన ప్రతిసారీ సిలెండరులో మిగిలి వుండే గాలి పరిమాణము.
సాధన.
సిలెండరులో గల గాలి పరిమాణము = 1 అనుకొందాం.

సంఖ్యల జాబితా 1, \(\frac{3}{4}\), \(\frac{9}{16}\), \(\frac{27}{64}\), …………..

సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = \(\frac{3}{4}\) – 1
= \(\frac{3-4}{4}=-\frac{1}{4}\)

= a₃ – a₂ = \(\frac{9}{16}\) – \(\frac{3}{4}\)
= \(\frac{9-12}{16}=\frac{-3}{16}\)
అన్ని సందర్భాలలో సామాన్యభేదం సమానంగా లేదు. కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి కాదు.

(iii) ఒక బావిని తవ్వడానికి మొదట మీటరుకు ₹ 150 వంతున ఆపై ప్రతి మీటరుకు ₹ 50 వంతున చెల్లించాలి. అయిన ప్రతి మీటరుకు చెల్లించవలసిన సొమ్ము.
సాధన.

సంఖ్యల జాబితా 150, 200, 250, 300, 350,

సామాన్యభేదం

అన్ని సందర్భాలలోను సామాన్య భేదం సమానము. కావున ఈ సంఖ్యల జాబితా అంకశ్రేఢి (A.P.) అవుతుంది.

(iv) ఒక బ్యాంకులో ₹ 10000 లను సంవత్సరానికి 8 శాతం చక్రవడ్డీ ప్రకారం పొదుపు చేసిన ప్రతి సంవత్సరము చివరలో ఖాతాలో ఉండే సొమ్ము.
సాధన.
ప్రారంభంలో ఖాతాలో గల సొమ్ము (P) = ₹10,000 వడ్డీరేటు (R) = 8%.

సంఖ్యల జాబితా 10,000, 10,800, 11,664, 12597.12, …………….
సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = 10,800 – 10,000 = 800
a₃ – a₂ = 11,664 – 10,800 = 864
a₄ – a₃ = 12,597.12 – 11,664 = 933.12
అన్ని సందర్భాలలోనూ సామాన్య భేదం సమానంగా లేదు. కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి కాదు.

ప్రశ్న 2.
అంకశ్రేఢుల యొక్క మొదటి పదము a మరియు సామాన్యభేదం d. విలువలు క్రింద ఇవ్వబడినవి. అయిన శ్రేణిలోని మొదటి నాలుగు పదాలను కనుగొనుము.
(i) a = 10, d = 10
సాధన.
మొదటి పదం a₁ = a = 10
రెండవ పదం a₂ = 10 + 10 = 20
మూడవ పదం a₃ = 20 + 10 = 30
నాల్గవ పదం a₄ = 30 + 10 = 40

(ii) a = – 2, d = 0
సాధన.
మొదటి పదం a₁ = a = – 2
రెండవ పదం a₂ = – 2 + 0 = – 2
మూడవ పదం a₃ = – 2 + 0 = – 2
నాల్గవ పదం a₄ = – 2 + 0 = – 2

(iii) a = 4, d = – 3
సాధన.
మొదటి పదం a₁ = a = 4
రెండవ పదం a₂ = 4 + (- 3) = 1
మూడవ పదం a₃ = 1 + (- 3) = – 2
నాల్గవ పదం a₄ = – 2 + (- 3) = – 5

(iv) a = – 1, d = 1/2
సాధన.
మొదటి పదం a₁ = a = – 1
రెండవ పదం a₂ = – 1 + \(\frac{1}{2}\) = \(-\frac{1}{2}\)
మూడవ పదం a₃ = – \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 0
నాల్గవ పదం a₄ = 0 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)

(v) a = – 1.25, d = – 0.25
సాధన.
మొదటి పదం a₁ = a = – 1.25
రెండవ పదం a₂ = – 1.25 + (- 0.25) = – 1.50
మూడవ పదం a₃ = (- 1.50) + (- 0.25) = – 1.75
నాల్గవ పదం a₄ = (- 1.75) + (- 0.25) = – 2.00 = – 2

ప్రశ్న 3.
క్రింద ఇవ్వబడిన అంకశ్రేఢులకు మొదటి పదమును, సామాన్య భేదంను కనుగొనుము.
(i) 3, 1, -1, -3, . . .
సాధన.
మొదటి పదం a = 3
సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁ = 1 – 3 = – 2
[∵ d = a_k+1 – a_k]

(ii) – 5, – 1, 3, 7,…
సాధన.
మొదటి పదం a = – 5
సామాన్య భేదం d = a₂ – a₁ = (- 1) – (- 5)
= – 1 + 5 = 4.

(iii) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{5}{3}\), \(\frac{9}{3}\), \(\frac{13}{3}\), …………
సాధన.
మొదటి పదం a = \(\frac{1}{3}\)
సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁
= \(\frac{5}{3}\) – \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{4}{3}\)

(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ………….
సాధన.
మొదటి పదం a = 0.6
సామాన్యభేదం d = a₂ – a₁
= 1.7 – 0.6 = 1.1.

ప్రశ్న 4.
క్రింది జాబితాలలో ఏవి అంకశ్రేఢులు ? ఒకవేళ అంకశ్రేణి అయిన సామాన్య భేదం dను, తరువాత వచ్చే మూడు పదాలను కనుగొనుము.
(i) 2, 4, 8, 16, ……….
సాధన.
a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2
a₃ – a₂ = 8 – 4 = 4
a₄ – a₃ = 16 – 8 = 8
…………………………………..
ప్రతి సందర్భంలోనూ సామాన్యభేదం సమానంగా లేదు. కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి కాదు.

(ii) 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), …………………..
సాధన.
a₂ – a₁ = \(\frac{5}{2}\) – 2
= \(\frac{5-4}{2}=\frac{1}{2}\)

a₃ – a₂ = 3 – \(\frac{5}{2}\)
= \(\frac{6-5}{2}=\frac{1}{2}\)

a₄ – a₃ = \(\frac{7}{2}\) – 3
= \(\frac{7-6}{2}=\frac{1}{2}\)
…………………………………………………………………………………
సామాన్యభేదం ప్రతి సందర్భంలోను సమానం. కావున ఈ జాబితా, అంకశ్రేడి (A. P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = \(\frac{1}{2}\)
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
\(\frac{7}{2}+\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) = 4

4 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{8+1}{2}=\frac{9}{2}\)

\(\frac{9}{2}+\frac{1}{2}\) = \(\frac{10}{2}\) = 5

(iii) – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2, ………….
సాధన.
a₂ – a₁ = (- 3.2) – (- 1.2) = – 3.2 + 1.2 = – 2
a₃ – a₂ = (- 5.2) – (- 3.2) = – 5.2 + 3.2 = -2
a₄ – a₃ = (- 7.2) – (- 5.2) = – 7.2 + 5.2 = – 2
సామాన్యభేదం అన్ని సందర్భాలలో సమానము.
కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేఢి (A. P.) అవుతుంది.
సామాన్య భేదం d = – 2
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
– 7.2 + (- 2) = – 9.2
(- 9.2) + (- 2) = – 11.2
– 11.2 + (-2) = – 13.2.

(iv) – 10, – 6, – 2, 2, …………..
సాధన.
a₂ – a₁ = – 6 – (- 10) = – 6 + 10 = 4
a₃ – a₂ = – 2 -(- 6) = – 2 + 6 = 4
a₄ – a₃ = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
ప్రతి సందర్భంలోనూ సామాన్యభేదం సమానము.
కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి (A.P) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = 4
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
2 + 4 = 6
6 + 4 = 10
10 + 4 = 14.

(v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2 ……….
సాధన.
a₂ – a₁ = 3 + √2 – 3 = √2
a₃ – a₂ = 3 + 2√2 – (3 + √2)
= 3 + 2√2 – 3 – √2 = √2
a₄ – a₃ = 3 + 2√2 – (3 – 2√2)
= 3 + 3√2 – 3 – 2√2 = √2
…………………………………..
ప్రతి సందర్భంలోనూ సామాన్యభేదం సమానము. కావున ఈ జాబితా అంకశ్రేణి (A.P) అవుతుంది. సామాన్యభేదం
d = √2
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
– 3 + 3√2 + √2 = 3 + 4√2
3 + 4√2 + √2 = 3 + 5√2
3 + 5√2 +√2 = 3 + 6√2.

(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ………………
సాధన.
a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
a₄ – a₃ = 0.2222 – 0.222 = 0.0002
ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k సమానము కాదు.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P) ని సూచించదు.

(vii) 0, – 4, – 8, – 12, ……….
సాధన.
a₂ – a₁ = – 4 – 0 = – 4
a₃ – a₂ = – 8 – (- 4) = – 8 + 4 = -4
a₄ – a₃ = – 12 – (- 8) = – 12 + 8 = – 4
………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………
ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k, సమానము,
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = – 4
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు
– 12 + (- 4) = – 16
– 16 + (- 4) = – 20
– 20 + (- 4) = – 24.

(viii) \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), …………
సాధన.
a₂ – a₁ = \(-\frac{1}{2}\) – (\(-\frac{1}{2}\)) = 0
a₃ – a₂ = 0
a₄ – a₃ = 0
……………………………………………………….
ప్రతి సందర్భంలోను a_k+1 – a_k, సమానము.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = 0
∴ తరువాత వచ్చే మూడు మాసాలు \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{2}\), …………

(ix) 1, 3, 9, 27, ……………..
సాధన.
a₂ – a₁ = 3 – 1 = 2
a₃ – a₂ = 9 – 3 = 6
a₄ – a₃ = 27 – 9 = 18
………………………………………………….
ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k, సమానము కాదు.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) కాదు.

(x) a, 2a, 3a, 4a, ……………….
సాధన.
a₂ – a₁ = 2a – a = a
a₃ – a₂ = 3a-2a = a
a₄ – a₃ = 4a – 3a = a
……………………………………………………………..
ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k సమానము.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేఢి (A.P.) అవుతుంది. సామాన్యభేదం d = a
∴ తరువాత వచ్చే మూడు పదాలు 5a, 6a, 7a.

(xi) a, a², a³, a⁴ ………..
సాధన.
a₂ – a₁ = a² – a = a (a – 1)
a₃ – a₂ = a³ – a² = a² (a – 1)
a₄ – a₃ = a⁴ – a³ = a³ (a – 1)
……………………………………………………………….
ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k సమానము కాదు.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణిని (A.P.) కాదు.

(xii) √2, √8, √18, √32, ……………….
సాధన.
మొదటి పద్ధతి :
a₂ – a₁ = √8 – √2 = 2√2 – √2 = √2
a₃ – a₂ = √18 – √8 = 3√2 – 2√2 = √2
[∵ √8 = √4 × √2 = 2√2
√18 = √9 × √2 = 3√2
√32 = √16 × √2 = 4√2]
a₄ – a₃ = √32 – √18 = 4√2 – 3√2 = √2
………………………………………………………
∵ ప్రతి సందర్భంలోను a_{k + 1} – a_k సమానము. కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేఢి (A. P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = √2
∴ తరువాత మూడు పదాలు √32 + √2 = 4√2
= 5√2 = \(\sqrt{25 \times 2}\) = √50
√50 + √2 = 5√2 + √2
= 6√2 = \(\sqrt{36 \times 2}\) = √72
√72 + √2 = 6√2 + √2
= 7√2 = \(\sqrt{49 \times 2}\) = √98.

రెండవ పద్ధతి :
ఇచ్చిన జాబితా √2, √8, √18, √32, …………….
= √2, 2√2, 3√2, 4√2 …………….
√8 = \(\sqrt{4 \times 2}\) = 2√2
√18 = \(\sqrt{9 \times 2}\) = 3√2
√32 = \(\sqrt{16 \times 2}\) = 4√2
∴ a₂ – a₁ = 2√2 – √2 = √2
a₃ – a₂ = 3√2 – 2√2 = √2
a₄ – a₃ = 4√2 – 3√2 = √2
అన్ని సందర్భాలలోను a_{k + 1} – a_k సమానము.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేణి (A.P.) అవుతుంది.
సామాన్యభేదం d = √2
తరువాత మూడు పదాలు 4√2 + √2 = 5√2 = \(\sqrt{25 \times 2}\) =√50
5√2 + √2 = 6√2 = \(\sqrt{36 \times 2}\)2 = √72
6√2 + √2 = 7√2 = \(\sqrt{49 \times 2}\) =√98 .

(xiii) √3, √6, √9, √12, ………….
సాధన.
a₂ – a₁ = √6 – √3 = √3(√2 – 1)
a₃ – a₂ = √9 – √6 = √3(3√3 – √2)
a₄ – a₃ = √12 – √9 = √3(2 – 3√3)
అన్ని సందర్భాలలోను a_{k + 1} – a_k సమానము కాదు.
కావున ఈ జాబితా ఒక అంకశ్రేఢి (A. P.) కాదు.