AP Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 7 నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 7th Lesson నిరూపక రేఖాగణితం Exercise 7.2

ప్రశ్న 1.
బిందువులు (- 1, 7) మరియు (4, – 3). లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును 2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
బిందువులు P (- 1, 7), Q (4, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును 2 : 3 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు
(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

(x, y) = \(\left(\frac{2(4)+3(-1)}{2+3}, \frac{2(-3)+3(7)}{2+3}\right)\)

= \(\left(\frac{8-3}{5}, \frac{-6+21}{5}\right)=\left(\frac{5}{5}, \frac{15}{5}\right)\) = (1, 3).

ప్రశ్న 2.
బిందువులు (4, – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాండము యొక్క త్రిథాకరణ బిందువుల నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
బిందువులు (4, – 1) మరియు (-2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును P, Q లు త్రిథాకరణ బిందువులు అనుకొందాం.

(4, – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండాన్ని P 1 : 2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
P(x, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{1(-2)+2(4)}{1+2}, \frac{1(-3)+2(-1)}{1+2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2+8}{3}, \frac{-3-2}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{6}{3}, \frac{-5}{3}\right)\)

= (2, \(\frac{-5}{3}\))
∴ P = (2, \(\frac{-5}{3}\))
ఇప్పుడు (4 – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండాన్ని Q 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
Q(x, y) = \(\left(\frac{2(-2)+1(4)}{2+1}, \frac{2(-3)+1(-1)}{2+1}\right)\)

= \(\left(\frac{-4+4}{3}, \frac{-6-1}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{0}{3}, \frac{-7}{3}\right)\)

= (0, \(\frac{-7}{3}\))
∴ Q = (0, \(\frac{-7}{3}\))
కావున (4, – 1) మరియు (- 2, – 3) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులు (2, \(\frac{-5}{3}\)), (0, \(\frac{-7}{3}\))

సరిచూచుకొనుట :
(4, – 1) మరియు. (- 2, – 3) ల మధ్యబిందువు
= \(\left(\frac{4+(-2)}{2}, \frac{(-1)+(-3)}{2}\right)\)
= (1, – 2)
P(2, \(\frac{-5}{3}\)), Q(0, \(\frac{-7}{3}\)) ల మధ్యబిందువు
= \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{\left(\frac{-5}{3}\right)+\left(\frac{-7}{3}\right)}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{2}{2}, \frac{\frac{-12}{3}}{2}\right)\) = (1, – 2).

ప్రశ్న 3.
బిందువులు (- 3, 10) మరియు (6, – 8) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును బిందువు (- 1, 6) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందో కనుగొనండి.
సాధన.
బిందువులు (- 3, 10) మరియు (6, – 8) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును (- 1, 6), m₁ : m₂.
నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది అనుకుందాం.
విభజన సూత్రం
P (x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

(- 1, 6) = \(\left(\frac{m_{1}(6)+m_{1}(-3)}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1}(-8)+m_{2}(10)}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

(- 1, 6) = \(\left(\frac{6 m_{1}-3 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

∴ \(\frac{6 m_{1}-3 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\) = – 1

∴ 6m₁ – 3m₂ = – m₁ – m₂
6m₁ + m₁ = – m₂ + 3m₂
7m₁ = 3m₂
⇒ \(\frac{\mathrm{m}_{1}}{\mathrm{~m}_{2}}=\frac{2}{7}\)
విభజన నిష్పత్తి m₁ : m₁ = 2 : 7.

2వ పద్దతి :
ఇచ్చిన బిందువులు (- 3, 10) మరియు (6, – 8) యొక్క రేఖాఖండాన్ని బిందువు (- 1, 6) λ : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొందాం.
∴ (- 1, 6) = \(\left(\frac{\lambda(6)+1(-3)}{\lambda+1}, \frac{\lambda(-8)+1(10)}{\lambda+1}\right)\)

(- 1, 6) = \(\left(\frac{6 \lambda-3}{\lambda+1}, \frac{-8 \lambda+10}{\lambda+1}\right)\)

∴ \(\frac{6 \lambda-3}{\lambda+1}\) = – 1

⇒ 6λ – 3 = – λ – 1
⇒ 6λ + λ = – 1 + 3
7λ = 2
λ = \(\frac{2}{7}\)
విభజన నిష్పత్తి λ : 1 = \(\frac{2}{7}\) : 1 = 2 : 7

ప్రశ్న 4.
బిందువులు (1, 2), (4, y), (x, 6) మరియు (3, 5) లు వరుసగా ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఆశీర్షాలయిన x, y ల విలువలు కనుగొనండి.
సాధన.

ఇచ్చిన బిందువులు . A (1, 2), B (4, y), C (x, 6) మరియు D (3, 5) లు ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు.
∴ కర్ణం AC యొక్క మధ్యబిందువు = కర్ణం BD మధ్యబిందువు
\(\left(\frac{1+x}{2}, \frac{2+6}{2}\right)=\left(\frac{4+3}{2}, \frac{y+5}{2}\right)\)

\(\left(\frac{1+x}{2}, 4\right)=\left(\frac{7}{2}, \frac{y+5}{2}\right)\)

∴ \(\frac{1+x}{2}=\frac{7}{2}\)
⇒ 2 + 2x = 14
⇒ 2x = 14 – 2
⇒ 2x = 12
∴ x = \(\frac{12}{2}\) = 6
\(\frac{y+5}{2}\) = 4
⇒ y + 5 = 8
⇒ y = 8 – 5
⇒ y = 3
x = 6, y = 3.

ప్రశ్న 5.
AB వ్యాసంగా గల వృత్తం యొక్క కేంద్రము (2, – 3) మరియు వృత్తం పైనున్న ఒక బిందువు B(1, 4) అయిన A బిందువు యొక్క నిరూపకాలు కనుగొనండి.
సాధన.

AB వ్యాసంగా గల వృత్తానికి AB యొక్క మధ్య బిందువు వృత్తకేంద్రం అవుతుంది.
∴ A(x, y), B (1, 4)ల మధ్య బిందువు = కేంద్రము (2, – 3)
\(\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}\right)\) = (2, 3)
∴ \(\frac{x+1}{2}\) = 2
⇒ x + 1 = 4
⇒ x = 4 – 1 = 3
∴ \(\frac{y+4}{2}\) = – 3
⇒ y + 4 = – 6
⇒ y = – 4 – 6 = – 10
∴ A బిందువు యొక్క నిరూపకాలు (3, – 10).

ప్రశ్న 6.
బిందువులు A, B లు వరుసగా (- 2, – 2) మరియు (2, – 4). AB రేఖాఖండంపై AP = \(\frac{3}{7}\) AB అయ్యే విధంగా P బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
A (- 2, – 2), B (2, – 4) రేఖాఖండముపై AP = \(\frac{3}{7}\) AB అయ్యే విధంగా P బిందువు కలదు.

AP = \(\frac{3}{7}\) AB
⇒ \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{7}\)
⇒ AP : AB = 3:7
కావున PB = AB – AP = 7 – 3 = 4
∴ AP : PB = 3 : 4
A (- 2, – 2), B (2, – 4) ను P 3 : 4 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.

విభజన సూత్రం P(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{3(2)+4(-2)}{3+4}, \frac{3(-4)+4(-2)}{3+4}\right)\)

= \(\left(\frac{6-8}{7}, \frac{-12-8}{7}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right)\)
కావలసిన బిందువు P(x, y) = \(\left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right)\).

ప్రశ్న 7.
బిందువులు A(- 4, 0) మరియు B(0, 6) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును నాలుగు సమభాగాలుగా విభజించు బిందువుల నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
A (- 4, 0), B (0, 6) లచే ఏర్పడు రేఖాఖండము \(\overline{\mathrm{AB}}\) ను నాలుగు సమభాగాలుగా విభజించే బిందువులు P, Q, R అనుకొందాం.

\(\overline{\mathrm{AB}}\) ని P 1 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. విభజన సూత్రం
P(x, y) = \(\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

P = \(\left(\frac{1(0)+3(-4)}{1+3}, \frac{1(6)+3(0)}{1+3}\right)\)

= \(\left(\frac{-12}{4}, \frac{6}{4}\right)\)

= (- 3, \(\frac{3}{2}\))
\(\overline{\mathrm{AB}}\) ను Q 2 : 2 = 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. అనగా A, B ల మధ్య బిందువు
Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-4+0}{.2}, \frac{0+6}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-4}{2}, \frac{6}{2}\right)\) = (- 2, 3)
AB ని R 3 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
∴ R = \(\left(\frac{3(0)+1(-4)}{3+1}, \frac{3(6)+1(0)}{3+1}\right)\)

= \(\left(\frac{-4}{4}, \frac{18}{4}\right)=\left(-1, \frac{9}{2}\right)\)

A (- 4, 0), B (0, 6) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని నాలుగు సమానభాగాలుగా విభజించు బిందువులు (- 3, \(\frac{3}{2}\)), (- 2, 3) మరియు (- 1, \(\frac{9}{2}\)).

రెండవ పద్ధతి :
A (- 4, 0), B (0, 6) ల యొక్క రేఖాఖండమును P, Q, R లు వరుసగా నాలుగు సమభాగాలుగా విభజిస్తాయి అనుకుందాం.

A, B ల మధ్య బిందువు Q
A, Q ల మధ్య బిందువు P
Q, B ల మధ్య బిందువు R అవుతాయి.
కావున A, B ల మధ్య బిందువు
Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \([\left(\frac{-4+0}{2}, \frac{0+6}{2}\right)/latex] = (- 2, 3)
A (- 4, 0), Q(- 2, 3) ల మధ్య బిందువు
P = [latex]\left(\frac{-4+(-2)}{2}, \frac{0+3}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-6}{2}, \frac{3}{2}\right)=\left(-3, \frac{3}{2}\right)\)

Q (- 2, 3), B (0, 6) ల మధ్య బిందువు R
R = \(\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{3+6}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{2}, \frac{9}{2}\right)=\left(-1, \frac{9}{2}\right)\)
A, B లను నాలుగు సమ భాగాలుగా విభజించే బిందువులు P = (- 3, \(\frac{3}{2}\)), Q = (- 2, 3) , R = (- 1, \(\frac{9}{2}\)).

ప్రశ్న 8.
బిందువులు A(- 2, 2) మరియు B(2, 8)లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజించు బిందువుల నిరూపకాలను కనుగొనండి.
పాదన.

A (- 2, 2), B (2, 8) లచే ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని P, Q, R లు నాలుగు సమభాగాలుగా విభజిస్తాయి అనుకొనుము.
A (- 2, 2), B (2, 8) రేఖాఖండాన్ని P 1 : 3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
P(x, y) = \(=\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)\)

= \(\left(\frac{2-6}{4}, \frac{8+6}{4}\right)\)

= \(\left(\frac{-4}{4}, \frac{14}{4}\right)=\left(-1, \frac{7}{2}\right)\)

P= (- 1, \(\frac{7}{2}\))
A (- 2, 2), B (2, 8) రేఖాఖండాన్ని Q 2 : 2 = 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. అనగా Q, AB కి మధ్యబిందువు
∴ Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{0}{2}, \frac{10}{2}\right)\) = (0, 5)

A (- 2, 2), B (2, 8) రేఖాఖండాన్ని R 3:1 = 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
R = \(\left(\frac{3(2)+1(-2)}{3+1}, \frac{3(8)+1(2)}{3+1}\right)\)

= \(\left(\frac{6-2}{4}, \frac{24+2}{4}\right)\)

= \(\left(\frac{4}{4}, \frac{26}{4}\right)=\left(1, \frac{13}{2}\right)\)

A, B లను నాలుగు సమ భాగాలుగా విభజించే బిందువులు (- 1, \(\frac{7}{2}\)), (0, 5) మరియు (1, \(\frac{13}{2}\)).

రెండవ పద్ధతి :
A, B కి మధ్య బిందువు Q
A, Q కి మధ్య బిందువు P
Q, R కి మధ్య బిందువు R అవుతాయి.
Q = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)\)

= \(\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)=\left(\frac{0}{2}, \frac{10}{2}\right)\) = (0, 5)

P = A(- 2, 2), Q (0, 5) ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{-2+0}{2}, \frac{2+5}{2}\right)=\left(-1, \frac{7}{2}\right)\)

R= Q(0, 5); B(2, 8) ల మధ్య బిందువు = \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{5+8}{2}\right)=\left(\frac{2}{2}, \frac{13}{2}\right)=\left(1, \frac{13}{2}\right)\)
∴ కావలసిన బిందువులు (-1, \(\frac{7}{2}\)), (0, 5), (1, \(\frac{13}{2}\)).

ప్రశ్న 9.
బిందువులు (a + b, a – b) మరియు (a – b, a + b)లచే ఏర్పడు రేఖాఖండమును అంతరంగా 3 : 2 నిష్పత్తిలో విభజించు బిందువు నిరూపకాలను కనుగొనండి.
సాధన.
ఇచ్చిన బిందువులు
(a + b, a – b) మరియు (a – b, a + b) ల రేఖాఖండాన్ని అంతరంగా P (x, y) 3 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకొనుము.

∴ P (x, y) = \(\left(\frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{x}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}, \frac{\mathrm{m}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{~m}_{1}+\mathrm{m}_{2}}\right)\)

P = \(\left(\frac{3(a-b)+2(a+b)}{3+2} ; \frac{3(a+b)+2(a-b)}{3+2}\right)\)

= \(\left(\frac{3 a-3 b+2 a+2 b}{5}, \frac{3 a+3 b+2 a-2 b}{5}\right)\)

= \(\left(\frac{5 a-b}{5}, \frac{5 a+b}{5}\right)\)
∴ కావలసిన బిందువులు = \(\left(\frac{5 a-b}{5}, \frac{5 a+b}{5}\right)\).

ప్రశ్న 10.
కింద ఇవ్వబడిన బిందువులతో ఏర్పడు త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రమును కనుగొనండి.
(i) (- 1, 3), (6, – 3) మరియు (- 3, 6)
సాధన.
(- 1, 3), (6, – 3) మరియు (- 3, 6) బిందువులచే ఏర్పడే త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రం
= \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{-1+6+(-3)}{3}, \frac{3+(-3)+6}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{2}{3}, \frac{6}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}, 2\right)\)
∴ గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{2}{3}, 2\right)\)

(ii) (6, 2), (0,0) మరియు (4, – 7) .
సాధన.
(6, 2), (0, 0) మరియు (4, – 7) లతో ఏర్పడు త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రం
= \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}}{3}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{6+0+4}{3} ; \frac{2+0+(-7)}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{10}{3}, \frac{-5}{3}\right)\)
∴ గురుత్వ కేంద్రం = \(\left(\frac{10}{3}, \frac{-5}{3}\right)\)

(iii) (1, – 1), (0, 6) మరియు (- 3, 0)
సాధన.
(1, – 1), (0, 6) మరియు (-3, 0) లతో ఏర్పడు త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రం
= = \(\left(\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}}{3}, \frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{1+0+(-3)}{3}, \frac{-1+6+0}{3}\right)\)

= \(\left(\frac{-2}{3}, \frac{5}{3}\right)\)

∴ గురుత్వకేంద్రం = \(\left(\frac{-2}{3}, \frac{5}{3}\right)\)