Category: Class 10

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 12 త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 12th Lesson త్రికోణమితి అనువర్తనాలు Exercise 12.1

ప్రశ్న 1.
భూమిపై ఒక టవర్ నిటారుగా నిలిచి ఉంది. ఆ టవర్ అడుగు నుండి 15 మీటర్ల దూరం నుండి ఆ టవర్ పై కొన 45° ఊర్ధ్వకోణంలో పరిశీలించబడింది. ఆ టవర్ ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

పటంలో ‘A’ పరిశీలన బిందువు.
AB అనునది పరిశీలన బిందువు నుండి టవర్ యొక్క అడుగుకు గల దూరము = 15 మీ.
BC అనునది టవర్ ఎత్తు ‘h’ అనుకొనుము.
ఊర్థ్వకోణము = ∠CAB = 45°
∆ABC లో
tan 45° = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\)
⇒ 1 = \(\frac{h}{15}\)
⇒ h = 15 మీ.
టవర్ ఎత్తు (h) = 15 మీ.

ప్రశ్న 2.
ఒక చెట్టు గాలికి విరిగి, విరిగిన పై భాగం భూమికి 300 ల కోణం చేస్తూ భూమిపై పడింది. చెట్టు అడుగుభాగం నుండి, కిందపడిన చెట్టుకొన మధ్య దూరం 6 మీటర్లు. చెట్టు విరగక ముందు ఆ చెట్టు ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

పటంలో, AC = చెట్టు అసలు ఎత్తు.
గాలి వీయడం వలన చెట్టు “B” వద్ద విరిగి, విరిగిన భాగము 30° కోణంతో D ను తాకెను.
AD = 6 మీ.
∆BAD లో,
tan 30° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{AB}}{6}\)
⇒ AB = \(\frac{6}{\sqrt{3}}\) మీ.
∆BAD లో, cos 30° = \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}\)
⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{B D}\)
⇒ BD = \(\frac{12}{\sqrt{3}}\)
∴ AC = AB + BC = AB + BD (::: BC = BD)
= \(\frac{6}{\sqrt{3}}+\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{18}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = 6√3 మీ.

ప్రశ్న 3.
ఒక పా లో పిల్లలు ఆడుకోవడానికి ఒక కాంట్రాక్టర్ ఒక జారుడు బల్లను ఏర్పాటు చేయాలనుకున్నారు. దానిని 2 మీటర్ల ఎత్తుతో, భూమితో 300 ల కోణం చేసేటట్లు ఏర్పరచాలనుకుంటే ఆ జారుడు బల్ల పొడవు ఎంత ఉంటుంది ?
సాధన.

పటంలో, ‘A’ భూమిపై పరిశీలన బిందువు అనుకొనుము.
‘C’ బల్లను ఏర్పాటు చేయు స్థానము.
A జారుడు బల్ల ఎత్తు = 2 మీ.
ఊర్థ్వకోణము = 30°
∆ABC లో sin 30° = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\)
\(\frac{1}{2}=\frac{2}{h}\)
h = 4 మీ.
∴ జారుడు బల్ల పొడవు = 4 మీ.

ప్రశ్న 4.
ఉదయం 7 గంటలకు 15 మీటర్ల ఎత్తు గల స్థంభం యొక్క నీడ పొడవు 5√3 మీటర్లు. ఆ సమయంలో సూర్యకిరణాలు, భూమితో ఎంత కోణం చేస్తున్నాయి?
సాధన.

పటంలో, AB = స్థంభం అసలు ఎత్తు = 15 మీ.
BC = స్థంభం యొక్క నీడ పొ .కవు = 5/3 మీ.,
‘B’ అనునది ఆ సమయంలో సూర్యకిరణాలు,
భూమితో చేయు కోణం అనుకొనుము. లంబకోణ త్రిభుజం ∆ABC నుండి,
tan θ = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ tane = \(\frac{15}{5 \sqrt{3}}\)
⇒ tane = \(\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}=\frac{3 \sqrt{3}}{3}\) = √3
⇒ tan θ = √3
⇒ tan θ = tan 60°
⇒ θ = 60°
∴ ఆ సమయంలో సూర్య కిరణాలు, భూమితో చేయు కోణము 60°.

ప్రశ్న 5.
పవన్ 10 మీటర్ల ఎత్తు గల స్తంభాన్ని 3 బలమైన తాళ్ళ సహాయంతో నిలబెట్టాలనుకున్నాడు. ఒక్కొక్క త్రాడు స్తంభంతో 30° కోణం చేయాల్సి ఉంటే ఎంత పొడవు తాడు తీసుకోవాలి ?
సాధన.

పటంలో, AB = స్తంభము యొక్క ఎత్తు = 10 మీ.
AC = త్రాడు యొక్క పొడవు.
త్రాడు, స్తంభంతో చేయు కోణము = 30°
∆ABC లో, cos 30° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)

⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{10}{\mathrm{AC}}\)

⇒ AC = \(\frac{2 \times 10}{\sqrt{3}}\)

= \(\frac{20}{\sqrt{3}}=\frac{20}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{20 \sqrt{3}}{3}\)
కావలసిన తాడు పొడవు = 3 × \(\frac{20 \sqrt{3}}{3}\) = 20√3 మీ.

ప్రశ్న 6.
విజయ్ భూమి నుండి 6 మీటర్ల ఎత్తు గల భవనంపై నుండి భూమిపై నున్న ఒక లక్ష్యాన్ని 60° నిమ్న కోణంలో బాణంతో ఛేదించాలనుకున్నాడు. విజయ్ నుండి లక్ష్యం ఎంత దూరంలో ఉంటుంది ?
సాధన.

పటంలో, BC = భవనం ఎత్తు = 6 మీ.
‘C’ పరిశీలన బిందువు మరియు A భూమిపై గల లక్ష్యం యొక్క స్థానము.
నిమ్నకోణము = ∠CAB = 60°
AB = భూమిపై గల లక్ష్యంకు, భవనంకు మధ్య గల దూరము.
∆ABC లో,
sin 60° = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\)

⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{A C}\)

⇒ AC = \(\frac{12}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{12 \sqrt{3}}{3}\) = 4√3 మీ. –
∴ విజయ్ నుండి లక్ష్యంకు గల దూరము AC = 4√3 మీ.

ప్రశ్న 7.
9 మీటర్ల ఎత్తు గల విద్యుత్ స్తంభంపై ఒక ఎలక్టీషియన్ మరమ్మత్తు పనిచేయాల్సి ఉంది. మరమ్మత్తు చేయడానికి ఆ స్తంభం పై నుండి 1.8 మీటర్ల తక్కువ ఎత్తుకు చేరాలి. ఒక నిచ్చెనను భూమిపై 60° కోణంతో పెట్టాల్సి వస్తే ఎంత పొడవు గల నిచ్చెనను తీసుకోవాలి ? నిచ్చెన అడుగుభాగం నుండి స్తంభం అడుగుభాగం దూరం ఎంత ?
సాధన.

పటంలో, AB = విద్యుత్ స్తంభం ఎత్తు = 9 మీ.
AC = కావలసిన అసలు స్తంభం ఎత్తు = 7.2 మీ.
ఊర్ధ్వకోణము = ∠CDA = 60°
CD = నిచ్చెన పొడవు
AD = నిచ్చెన అడుగు భాగం నుండి స్తంభం అడుగు భాగంకు గల దూరము.
sin 60° = \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DC}}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7.2}{\mathrm{DC}}\)
∴ DC = 7.2 × \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
∆ADC లో,
= 7.2 × \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) × \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
= 7.2 × \(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\)
నిచ్చెన పొడవు DC = 8.3136 మీ.
∆ADC లో,
⇒ tan 60° = \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DC}}\)
⇒ √3 = \(\frac{7.2}{D C}\)
⇒ AD = \(\frac{7.2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) = 2.4√3
= 4.1568 మీ.
∴ నిచ్చెన అడుగు భాగం నుండి స్తంభం అడుగు భాగంకు గల దూరము = 4.1568 మీ.

ప్రశ్న 8.
ఒక నావ ఒక నదిని దాటాల్సి ఉంది. నదీ ప్రవాహం కారణంగా ఆ నదీ తీరంతో 60°ల కోణం చేస్తున్న ఆ నావ 600 మీటర్లు ప్రయాణించి అవతలి తీరాన్ని చేరింది. ఆ నది వెడల్సెంత ?
సాధన.

పటంలో, ‘A’ నావ వేరొక వైపుకు చేరవలసిన స్థానము.
‘C’ ప్రస్తుతము నావ ఉన్న స్థానము (లేక) పరిశీలన స్థానము.
AC = నావ ప్రయాణించిన దూరము = 600 మీ.
ఊర్ధ్వకోణము = ∠ACB = 60°
AB = నది అసలు వెడల్పు అనుకొనుము.
లంబకోణ త్రిభుజము ABC లో sin 60° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\mathrm{AB}}{600}\)
⇒ AB = 600 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
⇒ AB = 300√3 మీ.
∴ నది వెడల్పు = 300√3 మీ.

ప్రశ్న 9.
1.8 మీ. ఎత్తు ఉన్న ఒక పరిశీలకుడు ఒక తాటి చెట్టు నుండి 13.2 మీటర్ల దూరంలో ఉన్నాడు. ఆ చెట్టుపై పరిశీలకుడి కంటి నుండి 45° ఊర్ధ్వకోణం చేస్తుంది. ఆ చెట్టు ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

పటంలో, DE = పరిశీలకుని ఎత్తు = 1.8 మీ.
AC = తాటి చెట్టు ఎత్తు.
‘D’ = పరిశీలన బిందువు.
BD = తాటి చెట్టు నుండి పరిశీలకునికి మధ్యన గల దూరము = 13.2 మీ.
ఊర్థ్వకోణము ∠ADB = 45° అనుకొనుము. మరియు DE = BC = 1.8 మీ.
లంబకోణ త్రిభుజము ABD లో,
tan 45° = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}\)
⇒ 1 = \(\frac{\mathrm{AB}}{13.2}\)
⇒ AB = 13.2 మీ.
AC = AB + BC = 13.2 + 1.8 = 15.0 మీ.
∴ తాటి చెట్టు ఎత్తు (AC) = 15 మీ.

ప్రశ్న 10.
క్రిందనున్న పటంలో AC = 6 సెం.మీ. AB = 5 సెం.మీ. మరియు BAC = 300 అయిన త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుగొనుము.
సాధన.

ఇచ్చిన పటంలో BD ⊥ AC అవునట్లు BD ని గీద్దాము.
∆ADB లో ∠A = 30°
∴ sin 30° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{B D}{5}\)
2BD = 5
⇒ BD = \(\frac{5}{2}\)
ABC త్రిభుజ వైశాల్యం \(\frac{1}{2}\) bh = \(\frac{1}{2}\) AC × BD
= \(\frac{1}{2}\) × 6 × \(\frac{5}{2}\)
= \(\frac{15}{2}\) చు/సెం.మీ.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి InText Questions

ఇవి చేయండి:

క్రింద ఇచ్చిన త్రిభుజాలలో ఇచ్చిన కోణాల ఆధారంగా “కర్ణం”, “ఎదుటి భుజము” మరియు “ఆసన్న భుజము” లను గుర్తించి రాయండి. (పేజీ నెం. 271)

ప్రశ్న 1.
కోణం R పరంగా

సాధన.
కోణం R పరంగా .
∆PQR లో PQ = ఎదుటి భుజము
QR = ఆసన్న భుజము మరియు
PR= కర్ణము

ప్రశ్న 2.
(i) కోణం X పరంగా
(ii) కోణం Y పరంగా

సాధన.
(i) ∆XYZ లో,
కోణం X పరంగా ఎదుటి భుజము = YZ
ఆసన్న భుజము = XZ మరియు
కర్ణము = XY

(ii) ∆XYZ లో, కోణం Y పరంగా
ఎదుటి భుజము = XZ
ఆసన్న భుజము = YZ మరియు
కర్ణము = XY.

ప్రశ్న 3.
పక్కనున్న లంబకోణ త్రికోణంలో (పేజీ నెం. 274)
(i) sin C
(ii) cos C మరియు
(iii) tan C లను కనుగొనుము

సాధన.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము నుండి
AC² = AB² + BC²
13² = AB² + 5²
AB² = 169 – 25
AB² = 144
AB = √144 = 12 సెం.మీ.

(i) sin C =

(ii) cos C =

(iii) tan C =

ప్రశ్న 4.
ఒక త్రిభుజము XYZలో, 4 Y లంబకోణము మరియు XZ = 17 సెం.మీ., YZ = 15 సెం.మీ. (పేజీ నెం. 274)
(i) sin x
(ii) cos Z
(iii) tan X లను కనుగొనుము.
సాధన.
∆XYZలో, ∠Y లంబకోణము మరియు XZ = 17 సెం.మీ., YZ = 15 సెం.మీ.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము నుండి

XZ² = YZ² + XY²
17² = 15² + XY²
XY² = 17² – 15²
XY² = = 289 – 225
XY² = 64
XY = 164 = 8 సెం.మీ.

(i) sin X =
= \(\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XZ}}=\frac{15}{17}\)

(ii) cos Z =
= \(\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XZ}}=\frac{15}{17}\)

(iii) tan X =
= \(\frac{Y Z}{X Y}=\frac{15}{8}\).

ప్రశ్న 5.
త్రిభుజం PQR లో Q లంబకోణము మరియు ∠P విలువ X మరియు PQ = 7 సెం.మీ. మరియు QR = 24 సెం.మీ. అయిన sin x మరియు cos x ల విలువలు కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 274)
సాధన.
ఇచ్చిన లంబకోణ త్రిభుజము PQRలో Qలంబకోణము మరియు ∠P విలువ X మరియు PQ = 7 సెం.మీ. మరియు QR = 24 సెం.మీ.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం

PR² = PQ² + QR²
= 7² + 24²
PR² = 49 + 576
PR² = 625
PR = √625 = 25 సెం.మీ.
sin x = \(\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{PR}}=\frac{24}{25}\)
cos x = \(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}=\frac{7}{25}\)

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింద ఇచ్చిన త్రిభుజంలో ఇచ్చిన కోణాల పరంగా “కర్ణం”, “ఎదుటి భుజం” మరియు “ఆసన్న భుజం” లను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 271)

1. కోణం C పరంగా
2. కోణం A పరంగా మీరేం గమనించారు ?
కోణం A యొక్క ఎదుటి భుజము మరియు కోణం C యొక్క ఆసన్న భుజానికి ఏమైనా సంబంధం ఉందా ? ఇంకా, ఒక బలమైన లోహపు వైర్ ఆధారంగా ఒక స్థంభాన్ని నిలబెడుతున్నామను కుందాం. స్థంభం ఎత్తు మరియు వైర్ పొడవుకు ఏదైనా సంబంధం ఉందనుకుంటున్నారా? ఇక్కడ మనం త్రిభుజంలోని భుజాల మధ్యన సంబంధాన్ని వాటి కోణాల ఆధారంగా అవగాహన చేసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం.
సాధన.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము నుండి
AC² = AB² + BC²
(5)² = AB² + 4²
25 = AB² + 16
AB² = 25 – 16
AB² = 9
AB = √9 = ± 3 = 3
∆ABC నుండి, కోణం ‘C’ పరంగా
ఎదుటి భుజము = AB = 3 సెం.మీ.
ఆసన్న భుజము = BC = 4 సెం.మీ.
కర్ణము = AC = 5 సెం.మీ.
∆ABC నుండి, కోణం ‘A’ పరంగా
ఎదుటి భుజము = BC = 4 సెం.మీ.
ఆసన్న భుజము = AB = 3 సెం.మీ.
కర్ణము = AC = 5 సెం.మీ.,
మనం తీసుకున్న కోణాన్ని బట్టి ఎదుటి భుజం, ఆసన్న భుజం మారుతూ ఉంటాయి. కానీ కర్ణం మాత్రం మారదు. ఒక బలమైన లోహపు వైర్ ఆధారంగా ఒక స్థంభాన్ని నిలబెడితే ఒక లంబకోణ త్రిభుజం ఏర్పడుతుంది.. పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి మనకు కావలసింది కనుక్కోవచ్చు.

ప్రశ్న 2.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజం ABC లో C లంబకోణం. BC + CA = 23 సెం.మీ. మరియు BC – CA = 7 సెం.మీ. అయిన sin A మరియు tan B లను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 274)
సాధన.
లంబకోణ త్రిభుజము ABC లో, ‘C’ వద్ద లంబకోణం కలదు.

BC = 15 సెం.మీ.
BC = 15 ను (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
BC + CA = 23
CA = 23 – BC = 23 – 15
CA = 8 సెం.మీ
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రకారము ∆ABCలో

AB² = AC² + BC²
= 8² + 15²
= 64 + 225 = 289
AB = √289 = 17 సెం.మీ.
sin A = \(\frac{B C}{A B}=\frac{15}{17}\)
tan B = \(\frac{A C}{B C}=\frac{8}{15}\)

ప్రశ్న 3.
sec A మరియు cot A ల భుజాల నిష్పత్తులు . ఏమౌతాయి ? (పేజీ నెం. 275)
సాధన.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
(i) ఏదో ఒక విలువ Xకు sinx= 4 సాధ్యమా? ఎందుకు?
(ii) sin A మరియు cos Aల విలువలు ఎల్లప్పుడు 1 కంటే తక్కువగా ఉంటాయి. ఎందుకు ?
(iii) tan A అంటే tan మరియు A ల లబ్దము. పై ప్రశ్నలను మిత్రులతో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 274)
సాధన.
(i) ఏదో ఒక విలువ x కు sin x = \(\frac{4}{3}\) కాదు (అసాధ్యము).
sin x =
ఇక్కడ కర్ణము కన్నా ఎదుటి భుజం పెద్దదిగా కలదు. ఇది లంబకోణ త్రిభుజంలో మిక్కిలి పెద్ద భుజం కర్ణము అనడానికి విరుద్దత. కావున
sin x = \(\frac{4}{3}\) కావడం అసాధ్యము.

(లేదా)

పై త్రిభుజంలో, XZ > YZ మరియు XZ > XY.
sin x =
[:: XZ > YZ, లవంకన్నా హారం పెద్దది. కావున \(\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XZ}}\) ఒక క్రమభిన్నము. దీని విలువ ఎల్లప్పుడు 1 కన్నా తక్కువ]
కాని లెక్క ప్రకారం sin x = \(\frac{4}{3}\) విలువ 1 కన్నా ఎక్కువ కావున ఇది అసాధ్యము.

(ii) sin A = ∠Aకు ఎదుటి భుజం / కర్ణము

cos A = ∠Aకు ఆసన్న భుజం / కర్ణము
లంబకోణ త్రిభుజంలో ఎదుటి భుజం, మరియు ఆసన్న భుజములు ఎల్లప్పుడు కర్ణం కన్నా చిన్నవి.
కాబట్టి sin A, cos A లు ఎల్లప్పుడు 1 కంటే . తక్కువగా ఉంటాయి.

(iii) tan A అనగా A కోణమునకు ఎదురుగా గల భుజం మరియు ఆసన్న భుజముల నిష్పత్తి అని అర్థం. అంతేకాని tan మరియు A ల లబ్దము కాదు.

ప్రశ్న 2.
\(\frac{\sin A}{\cos A}\) ఈ విలువ tan A అవుతుందా ? (పేజీ నెం. 275)
పాదన.
\(\frac{\sin A}{\cos A}\) = tan A అగును.
నిరూపణ :

ప్రశ్న 3.
\(\frac{\cos A}{\sin A}\) ఈ విలువ cot A అవుతుందా ? (పేజీ నెం. 275)
సాధన.
\(\frac{\cos A}{\sin A}\) = cot A అగును.
నిరూపణ :
cos A = ∠A కు ఆసన్న భుజము / కర్ణము
sin A = ∠A కు ఎదుటి భుజము / కర్ణము
cos A _ LAకు ఆసన్న భుజము / కర్ణము sin A – LA కు ఎదుటి భుజము / కర్ణము

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
cosec 60°, sec 30° మరియు cot 60°ల , విలువలు కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 279)
సాధన.
క్రింది పటం నుండి
ABDలో AB = 2a మరియు – BD = a యూనిట్లు
అప్పుడు AD² = AB² – BD² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం)
= (2a)² – (a)².
AD² = 3a²
AD = √3a² = √3a

త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల నిర్వచనాల ఆధారంగా
sin 60° = \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{a} \sqrt{3}}{2 \mathrm{a}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

cos 60° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{a}}{2 \mathrm{a}}=\frac{1}{2}\)
ఇదే విధంగా
tan 60° = \(\frac{\sin 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3} / 2}{1 / 2}\) = √3

cosec 60° = \(\frac{-1}{\sin 60^{\circ}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)

sec 60° = \(\frac{1}{\cos 60^{\circ}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{1}\) = 2

cot 60° = \(\frac{1}{\tan 60^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
sin 30°, cos 30°, tan 30°, cosec 309, sec 30° మరియు cot 30° విలువలను కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 279)
సాధన.

ఒక సమబాహు త్రిభుజం ABC ని తీసుకోండి. ఇందులో ప్రతి కోణం 60° ఉంటుంది.
కావున ∠A = ∠B = ∠C = 60° మరియు AB = BC = CA = 2a యూనిట్లు అనుకోండి.
శీర్షం ‘A’ నుండి. భుజం BC పైకి ఒక లంబం AD ను పై పటంలో చూపినట్లుగా గీయండి.
ఈ లంబం AD, కోణం A యొక్క “కోణ సమద్వి ఖండన రేఖ” గా మరియు భుజం BC యొక్క “సమద్వి ఖండన రేఖ”గా కూడా పనిచేస్తుంది.
∴ ∠BAD = ∠CAD = 30°.
BC ను D బిందువు రెండు సమాన భాగాలుగా చేస్తుంది. కావున BD = \(\frac{1}{2}\) BC = \(\frac{2 \mathrm{a}}{2}\) = a యూనిట్లు.

లంబకోణ త్రిభుజం ABD లో

AB = 2a మరియు BD = a యూనిట్లు .అప్పుడు AD² = AB² – BD²
(పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం)
= (2a)² – a² = 3a²
AD² = 3a²
∴ AD = a√3
∆ADB లో BD = a, AD = √3a మరియు కర్ణము = AB = 2a మరియు ∠DAB = 30°.
త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల నిర్వచనాల ప్రకారం
sin 30° = \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{a}}{2 \mathrm{a}}=\frac{1}{2}\)

cos 30° = \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\sqrt{3} \mathrm{a}}{2 \mathrm{a}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

tan 30° = \(\frac{B D}{A D}=\frac{a}{\sqrt{3} a}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

cosec 30° = \(\frac{1}{\sin 30^{\circ}}\) = 2

sec 30° = \(\frac{1}{\cos 30^{\circ}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)

cot 30° = \(\frac{1}{\tan 30^{\circ}}\) = √3

ప్రశ్న 2.
tan 90°, cosec 90°, sec 90° మరియు cot 90° విలువలను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 281)
సాధన.

AB కిరణంపై AC చేసే AD కోణాన్ని పెంచుతూ పోతే, AB పై ‘C’ ఎత్తు పెరుగుతూ, బిందువు ‘B’ నుండి X కు ఆ తర్వాత Yకు మారుతూ పోతుంది.
A పెరుగుతూ పోతుంటే. ఎదుటి భుజం పెరుగుతూ, ఆసన్న భుజం తగ్గుతూ వుంటుంది. ఒక సమయానికి కోణం విలువ 90°లకు చేరుతుంది.
ఆ సందర్భంలో A, B ను చేరుతుంది. AC, BC తో కలిసిపోతుంది. .అనగా కోణం విలువ 90° అయినపుడు భూమి (ఆసన్న భుజం) విలువ సున్నా అయి, BC (ఎదుటి భుజం) విలువ క్రమంగా పెరుగుతూ. AC కు సమానమవుతుంది. అనగా ‘r’కు సమానమవుతుంది.

∆ ABC లో
sin A = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\) మరియు cos A = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
కోణం A = 90° అయిన AB = 0 మరియు AC = BC = r; అపుడు sin 90° = \(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{r}}\) = 1 మరియు cos 90° = \(\frac{0}{\mathrm{r}}\) = 0

tan 90° = \(\frac{\sin 90^{\circ}}{\cos 90^{\circ}}=\frac{1}{0}\) నిర్వచించబడదు.

cosec 90° = \(\frac{1}{\sin 90^{\circ}}=\frac{1}{1}\) = 1

sec 90° = \(\frac{1}{\cos 90^{\circ}}=\frac{1}{0}\) = నిర్వచించబడదు.

cot 90° = \(\frac{1}{\tan 90^{\circ}}=\frac{1}{\frac{1}{0}}=1 \times \frac{0}{1}\) = 0.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది వాటిని మీ స్నేహితులతో చర్చించండి. cosec 0° = \(\frac{1}{\sin 0^{\circ}}\) ఇది నిర్వచింపబడుతుందా? ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 280)
సాధన.
sin 0° = 0
cosec 0° = \(\frac{1}{\sin 0^{\circ}}=\frac{1}{0}\) = నిర్వచింపబడదు
కారణము :
‘0’ తో భాగహారము సాధ్యపడదు కనుక.

ప్రశ్న 2.
cot 0° = \(\frac{1}{\tan 0^{\circ}}\)నిర్వచింపబడుతుందా? ఎందుకు? (పేజీ నెం. 281)
సాధన.
tan 0° విలువ ‘0’ కావున
cot 0° = \(\frac{1}{\tan 0^{\circ}}=\frac{1}{0}\) (నిర్వచింపబడదు) ‘
కారణము : ‘0’ తో భాగహారము సాధ్యపడదు కాబట్టి,

ప్రశ్న 3.
sec 0° = 1. ఎందుకు ? (పేజీ నెం. 281)
సాధన.
దత్తాంశము నుండి sec 0° = \(\frac{1}{\cos 0^{\circ}}\)
[:: cos 0° = 1]
= \(\frac{1}{1}\) = 1.

ప్రశ్న 4.
కోణం A విలువ 0° నుండి 90° కు పెరుగుతూ పోతుంటే sin A మరియు cos A విలువలు ఎలా మారుతూ ఉంటాయి ? (పై పట్టికను గమనించండి)
(i) A ≥ B అయిన sin A ≥ sin B అనడం సబబేనా ?
(ii) A ≥ Bఅయిన cos A ≥ cos B అనడం సబబేనా? చర్చించండి. (పేజీ నెం. 282)
సాధన.
(i) ఇచ్చిన ప్రవచనము .
“A ≥ B అయిన sin A ≥ sin B”. ఈ ప్రవచనము సత్యమే అనుటను క్రింది పట్టిక తెల్పుచున్నది. ‘A’ కోణము విలువ పెరిగే కొలదీ దాని sine విలువ పెరుగుచుండును.

దీనిని క్రింది పట్టికలో గమనించవచ్చును. A | 0 | 30 | 450 | 60° | 90° |

(ii) ఇచ్చిన ప్రవచనము
“A ≥ B అయిన. cos A ≥ cos B”. ఈ ప్రవచనము అసత్యము. ఎందుకనగా ‘A’ కోణము పెరిగే కొలదీ దాని cosine విలువ తగ్గును.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
θ యొక్క ఏ లఘుకోణ విలువక
(i) \(\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}+\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}\) = 4 సత్యమౌతుంది ? పై సమీకరణం 0° ≤ θ ≤ 90° లలో ఏ విలువలకు నిర్వచించబడదు ? (పేజీ నెం. 285)
సాధన.
దత్తాంశము :
\(\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}+\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}\) = 4

⇒ \(\frac{\cos \theta(1+\sin \theta)+\cos \theta(1-\sin \theta)}{(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)}=\frac{4}{1}\)

⇒ \(\begin{aligned}
&\cos \theta+\cos \theta \cdot \sin \theta+\\
&\frac{\cos \theta-\cos \theta \cdot \sin \theta}{1-\sin ^{2} \theta}=\frac{4}{1}
\end{aligned}\)
[∵ (a – b) (a + b) = a² – b²]

⇒ \(\frac{2 \cos \theta}{\cos ^{2} \theta}=\frac{4}{1}\)

⇒ \(\frac{2}{\cos \theta}=\frac{4}{1}\)
⇒ cos θ = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
⇒ cos θ = cos 60° (∵ cos 60° = 1/2)
⇒ θ = 60°
∴ θ = 60°ల వద్ద ఇచ్చిన దత్తాంశము సత్యము.

ప్రశ్న 2.
A యొక్క (0° ≤ A ≤ 90° యొక్క తెలిసిన అన్ని విలువలకు కింది సూత్రాలు సమంజసమేనా ? సరిచూడండి. (పేజీ నెం. 286)
(i) sin (90° – A) = cos A
(ii) cos (90° – A) = sin A
(iii) tan (90° – A) = cot A మరియు
(iv) cot (90° – A) = tan A
(v) sec (90°- A) = cosec A
(vi) cosec (90°- A) = sec A
సాధన.
A = 30° అనుకొనుము
(i) sin (90° – A) = cos A
⇒ sin (90° – 30°) = cos 30°
⇒ sin 60° = cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

(ii) cos (90° – A) = sin A.
⇒ cos (90° – 30°) = sin 30°
⇒ cos 60° = sin 30° = \(\frac{1}{2}\)

(iii) tan (90° – A) = cot A
⇒ tan (90° – 30°) = cot 30°
⇒ tan 60° = cot 30° = √3

(iv) cot (90° – A) = tan A.
⇒ cot (90° – 30°) = tan 30°
⇒ cot 60° = tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

(v) sec (90° – A) = cosec A
⇒ sec (90° – 30°) = cosec 30°
⇒ sec 60° = cosec 30° = 2

(vi) cosec (90° – A) = sec A
⇒ cosec (90° – 30°) = sec 30°
⇒ cosec 60° = sec 30° = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
∴ ‘A’ యొక్క తెలిసిన అన్ని విలువలకు పై సూత్రాలు.

ఇవి చేయండి:

(i) sinA= 15, అయిన cos A విలువ కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 290)
సాధన.
sin A = \(\frac{15}{17}\)
cos A = \(\sqrt{1-\sin ^{2} A}\) [సర్వ సమీకరణం – I నుండి]
= \(\sqrt{1-\left(\frac{15}{17}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{1-\frac{225}{289}}=\sqrt{\frac{289-225}{289}}\)
∴ cos A = \(\sqrt{\frac{64}{289}}=\frac{8}{17}\)

(ii) tan x = \(\frac{5}{12}\), అయిన sec x విలువ కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 290)
సాధన.
దత్తాంశము tan x = \(\frac{5}{12}\)
sec x = \(\sqrt{1+\tan ^{2} x}\)
[∵ సర్వసమీకరణం – II నుండి]
= \(\sqrt{1+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}}\)

= \(\sqrt{1+\frac{25}{144}}\)

= \(\sqrt{\frac{144+25}{144}}=\sqrt{\frac{169}{144}}=\frac{13}{12}\)

∴ sec x = \(\frac{13}{12}\)

(iii) cosec θ = \(\frac{25}{7}\), అయిన cot θ విలువను కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 290)
సాధన.
cosec θ = \(\frac{25}{7}\)
cot θ = √(cosec² θ – 1)
(సర్వసమీకరణం – III నుండి)
= \(\sqrt{\left(\frac{25}{7}\right)^{2}-1}\)

= \(\sqrt{\frac{625}{49}-\frac{1}{1}}\)

= \(\sqrt{\frac{625-49}{49}}\)

= \(\sqrt{\frac{576}{49}}=\frac{24}{7}\)
= \(\frac{24}{7}\).

ప్రయత్నించండి:

క్రింది వాటి విలువలను సకారణంగా కనుగొనుము.
(i) \(\frac{\sin ^{2} 15^{\circ}+\sin ^{2} 75^{\circ}}{\cos ^{2} 36^{\circ}+\cos ^{2} 54^{\circ}}\) (పేజీ నెం. 290)
సాధన.
\(\frac{\sin ^{2} 15^{\circ}+\sin ^{2} 75^{\circ}}{\cos ^{2} 36^{\circ}+\cos ^{2} 54^{\circ}}\)

= \(\frac{\sin ^{2} 15^{\circ}+\sin ^{2}\left(90^{\circ}-15^{\circ}\right)}{\cos ^{2} 36^{\circ}+\cos ^{2}\left(90^{\circ}-36^{\circ}\right)}\)

= \(\frac{\sin ^{2} 15^{\circ}+\cos ^{2} 15^{\circ}}{\cos ^{2} 36^{\circ}+\sin ^{2} 36^{\circ}}\)

[∵ sin (90° – θ) = cos θ
cos (90° – θ) = sin θ]
= \(\frac{1}{1}\) = 1 [∵ sin² θ + cos² θ = 1]

(ii) sin 5° cos 85* + cos 5° sin 85° (పేజీ నెం. 290)
సాధన.
sin 5° cos 85° + cos 5° sin 85°C
= sin 5°. cos (90° – 5°) + cos 5°. sin (90° – 5°)
= sin 5°. sin 5° + cos 5° . cos 5°
[∵ sin (90° – θ) = cos θ
cos (90° – θ) = sin θ]
= sin² 5° + cos² 5° = 1
[∵ sin² θ + cos² θ = 1]

(iii) sec 16°cosec 74° – cot 74° tan 16. (పేజీ నెం. 290)
సాధన.
sec 16° cosec 74° – cot 74° tan 16°
= sec 16°. cosec (90° – 16) – cot (90° – 169) . tan 16°
= sec 16°.sec 16° – tan 16°.tan 16°
[∵ cosec (90° – θ) = sec θ
cot (90° – θ) = tan θ]
= sec² 16° – tan² 16°
= 1 [∵ sec² θ – tan² θ = 1]

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

0° ≤ A ≤ 90° అన్ని విలువలకు త్రికోణమితీయ సర్వసమీకరణాలు – సత్యమేనా ? (పేజీ నెం. 290)

(i) sec² A – tan² A = 1
సాధన.
ఇచ్చిన సర్వసమీకరణం : sec² A – tan² A = 1
A = 0° అనుకొనుము.
L.H.S. = sec² 0° – tan² 0°
= 1 – 0 = 1 = R.H.S
A = 90° అనుకొనుము.
tan A మరియు sec A విలువలను నిర్వచించలేము.
కావున ‘A’ యొక్క అన్ని విలువలకు (0° ≤ A ≤ 90°) ఈ సర్వసమీకరణము సత్యము.

(ii) cosec² A – cot² A = 1
సాధన.
ఇచ్చిన సర్వసమీకరణము : cosec² A – cot² A = 1
A = 0° అనుకొనుము
A = 0 అయిన cosec A మరియు cot Aల , విలువలను నిర్వచించలేము.
A = 90° అనుకొనుము
cosec A = cosec 90° = 1
cot A = cot 90° = 0
L.H.S. = 1² – 0²
= 1 – 0 = 1 = R.H.S.
∴ కావున ‘A’ యొక్క అన్ని విలువలకు (0° ≤ A ≤ 90°) ఇచ్చిన సర్వసమీకరణము సత్యము.

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
tan A = \(\frac{3}{4}\) అయిన కోణం A యొక్క మిగతా త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 275)
సాధన.
tan A = \(\frac{3}{4}\) అని ఇవ్వబడింది.
మరయు tan A = Aకు ఎదుటి భుజము / Aకు ఆసన్న భుజము = \(\frac{3}{4}\)

కావున ఎదుటి భుజము : ఆసన్న భుజము = 3 : 4
కావున కోణం A ఎదుటి భుజము = BC = 3k (k ఏదైనా ధనపూర్ణ సంఖ్య)
ఆసన్న భుజము = AB = 4k అనుకొనగా పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం త్రిభుజం ABC లో
AC² = AB² + BC²
= (3k)² + (4k)² = 25k²
AC = √25k²
కర్ణం AC = 5k
ఇక మనం మిగతా త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను రాద్దాం .
sin A = \(\frac{3 k}{5 k}=\frac{3}{5}\) మరియు
cos A = \(\frac{4 k}{5 k}=\frac{4}{5}\)
cosec A = \(\frac{1}{\sin A}=\frac{5}{3},\)
sec A = \(\frac{1}{\cos A}=\frac{5}{4}\)
cot A = \(\frac{1}{\tan A}=\frac{4}{3}\)

ప్రశ్న 2.
∆ABC, ∆PQRలలో sin A = sin P అయ్యేటట్లు ∠A మరియు ∠P లు లఘుకోణాలు అయిన∠A = ∠P అని చూపుము. (పేజీ నెం. 276)
సాధన.
sin A = sin P అని ఇవ్వబడినది.
∆ABC నుండి sin A = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\) …………. (1)
∆PQR నుండి sin P = \(\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{PQ}}\) ……….. (2)
(1) & (2) ల నుండి \(\frac{B C}{A C}=\frac{Q R}{P Q}\)
\(\frac{B C}{A C}=\frac{Q R}{P Q}\) = k అనుకొనిన ……………. (3)

\(\frac{A B}{P R}=\frac{\sqrt{A C^{2}-B C^{2}}}{\sqrt{P Q^{2}-Q R^{2}}}=\frac{\sqrt{A C^{2}-k^{2} A C^{2}}}{\sqrt{P Q^{2}-k^{2} \cdot P Q^{2}}}\) (3 నుంచి) = \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PQ}} \cdot\left(\frac{\sqrt{1-\mathrm{k}^{2}}}{\sqrt{1-\mathrm{k}^{2}}}\right)=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PQ}}\)

\(\frac{A C}{P Q}=\frac{A B}{P R}=\frac{B C}{Q R}\) అయిన ∆ABC ~ ∆PQR
∴ ∠A = ∠P.

ప్రశ్న 3.
P వద్ద లంబకోణం కల్గిన లంబకోణ త్రిభుజము PQRలో PQ = 29 యూనిట్లు, QR = 21 యూనిట్లు మరియు ∠PQR = θ, అయిన
(i) cos² θ + sin² θ మరియు
(ii) cos² θ – sin² θ విలువలు కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 276)
సాధన.
త్రిభుజం PQR లో

PR = \(\sqrt{\mathrm{PQ}^{2}-\mathrm{QR}^{2}}\)
= \(\sqrt{(29)^{2}-(21)^{2}}\)
= \(\sqrt{8(50)}\) = √400 = 20 యూనిట్లు
sin θ = \(\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{PQ}}=\frac{20}{29}\)
cos θ = \(\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{PQ}}=\frac{21}{29}\)

(i) cos² θ + sin² θ = \(\left(\frac{20}{29}\right)^{2}+\left(\frac{21}{29}\right)^{2}\)
= \(\frac{400+441}{841}\) = 1

(ii) cos² θ – sin² θ = \(\left(\frac{20}{29}\right)^{2}-\left(\frac{21}{29}\right)^{2}\)
= \(-\frac{41}{841}\)

ప్రశ్న 4.
B వద్ద లంబకోణం కల్గిన ∆ABC లో AB = 5 సెం.మీ మరియు ∠ACB = 30° అయిన BC మరియు AC భుజాల పొడవులను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 282),
సాదన.
∠ACB = 30° మరియు AB = 5 సెం.మీ అని ఇవ్వబడింది. BC భుజం పొడవును కనుగొనాలంటే కోణం C పరంగా AB మరియు BC కి సంబంధించిన
త్రికోణమితీయ నిష్పత్తిని తీసుకోవాలి.
కోణం C కు BC కి సంబంధించిన త్రికోణమితీయ. నిష్పత్తిని తీసుకోవాలి. కోణం C కు BC అనేది ఆసన్న భుజం మరియు AB అనేది ఎదుటి భుజం అవుతాయి.
కావున \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\) = tan c
i.e., \(\frac{5}{B C}\) = tan 30 = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

ఈ విధంగా BC = 5√3 సెం.మీ.
AC² = AB² + BC² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం)
AC² = 5² + (5√3)²
AC² = 25 + 75
AC = √100 = 10 సెం.మీ.

ప్రశ్న 5.
6 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం కలిగిన వృత్తంలో ఒక జ్యా కేంద్రం వద్ద 60° కోణం చేస్తుంది. ఆ జ్యా పొడవును కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 283)
సాధన.
OA = OB = 6 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం
∠AOB = 60° ఇవ్వబడినది
AB పైకి ‘O’ నుండి OC ఎత్తు గీయబడింది అనుకొనుము.

∠COB = 30°
∆COB లో
sin 30° = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{OB}}\)
\(\frac{1}{2}=\frac{B C}{6}\)
BC = \(\frac{6}{2}\)
కాని, జ్యా పొడవు AB = 2BC = 2 × 3 = 6 సెం.మీ.
∴ జ్యా పొడవు = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న 6.
Qవద్ద లంబకోణం ఉన్న ∆PQRలో PQ = 3 సెం.మీ. మరియు PR = 6 సెం.మీ. అయిన ∠QPR మరియు ∠PRQ. (పేజీ నెం. 284)
సాధన.

PQ = 3 సెం.మీ మరియు PR = 6 సెం.మీ.
\(\frac{P Q}{P R}\) = sin R
∴ ∠PRQ = 30°
ఇంకా, ∠QPR = 60°

ప్రశ్న 7.
sin (A – B) = \(\frac{1}{2}\), cos (A + B) = \(\frac{1}{2}\), 0° < A + B ≤ 90°, A > Bఅయిన A మరియు B విలువలు కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 284)
సాధన.
sin (A – B) = \(\frac{1}{2}\), A – B = 30°
ఇంకా, Cos (A + B) = \(\frac{1}{2}\),
A + B = 60°
పై రెండు సమీకరణాల నుండి : A = 45° మరియు B = 15°.

ప్రశ్న 8.
\(\frac{\sec 35^{\circ}}{\operatorname{cosec} 55^{\circ}}\) ను గణించుము. (పేజీ నెం. 287)
సాధన.
cosec A = sec (90°- A)
cosec 55° = sec (90° – 35°)
cosec 55° = sec 35°
ఇక \(\frac{\sec 35^{\circ}}{\operatorname{cosec} 55^{\circ}}=\frac{\sec 35^{\circ}}{\sec 35^{\circ}}\) = 1

ప్రశ్న 9.
cos 7A = sin (A – 6°) ఇంకా అల్పకోణం అయిన A విలువ ఎంత ? (పేజీ నెం. 287)
సాధన.
cos 7A = sin(A – 6°) అని ఇవ్వబడింది…. (1)
sin (90 – 7A) = sin (A – 6°)
7A లఘుకోణం కావున (90° – 7A) మరియు (A – 6°) లు కూడా లఘుకోణాలవుతాయి.
90° – 7A = A – 6°
8A = 96°
∴ A = 12°.

ప్రశ్న 10.
sin A = cos B అయిన A + B = 90° అని చూపుము. (పేజీ నెం. 287)
సాధన.
sin A = cos B అని ఇవ్వబడింది ………….. (1)
cos B = sin (90° – B) అని తెలుసు.
కావున sin A = sin (90° – B)
A, B లు లఘుకోణాలు అయిన A = 90° – B
⇒ A + B = 90°.

ప్రశ్న 11.
sin 81° + tan 81° విలువను 0° మరియు 45° మధ్య త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులలో చూపుము. (పేజీ నెం. 287)
సాధన.
sin 81° = sin (90° – 9°) = cos 9°
tan 81° = tan(90° – 9°) = cot 9°
∴ sin 81° + tan 81° = cos 9° + cot 9°

ప్రశ్న 12.
త్రిభుజం ABC లోని అంతర కోణాలు A, B మరియు Cలు అయిన sin B+ C = cos A అని నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 288)
సాధన.
A, B మరియు C లు ∆ABC లోని కోణాలు కావున
A + B + C = 180°
ఇరువైపులా 2చే భాగించగా
\(\frac{A}{2}+\frac{B+C}{2}\) = 90°
\(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}\) = 90° – \(\frac{A}{2}\)
ఇరువైపులా త్రికోణమితీయ నిష్పత్తి sin తీసుకొనగా
sin (\(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}\)) = sin (90° – \(\frac{A}{2}\))
sin (\(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}\)) = cos \(\frac{A}{2}\)

ప్రశ్న 13.
cot θ + tan θ = sec θ cosec θ నిరూపించండి. (పేజీ నెం. 290)
సాధన.
L.H.S. = cot θ + tan θ
= \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
= \(\frac{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}\)
= \(\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}\)
= \(\frac{1}{\sin \theta} \cdot \frac{1}{\cos \theta}\)
= cosec θ sec θ

ప్రశ్న 14.
tan² θ + tan⁴ θ = sec⁴ θ – sec² θ (పేజీ నెం. 291)
సాధన.
L.H.S. = tan² θ + tan⁴ θ
= tan² θ (1 + tan² θ)
= tan² θ. sec² θ
= (sec² θ – 1) sec² θ
= sec⁴ θ – sec² θ = R.H.S.

ప్రశ్న 15.
\(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\) = cosec θ + cot θ (పేజీ నెం. 291)
సాధన.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
\(\frac{\cot \theta-\cos \theta}{\cot \theta+\cos \theta}=\frac{cosec \theta-1}{cosec \theta+1}\) అని నిరూపించండి.
సాధన.

ప్రశ్న 2.
\(\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}\) నిరూపించండి.
(sec² θ = 1 + tan² θ)
సాధన.
L.H.S.= \(\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}\)
లవ, హారాలను cos θ చే భాగించగా
= \(\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-\frac{\cos \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\cos \theta}-\frac{1}{\cos \theta}}\)

= \(\frac{\tan \theta+\sec \theta-1}{\tan \theta-\sec \theta+1}\)

= \(\frac{(\tan \theta+\sec \theta)-\left(\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta\right)}{\tan \theta+1-\sec \theta}\)
[∵ 1 = sec² θ – tan² θ]

ప్రశ్న 3.
(cosec A – sin A) (sec A – cos A) = \(\frac{1}{\tan A+\cot A}\) అని నిరూపించండి.
సాధన.
L.H.S.= (cosec A – sin A) (sec A – cos A)
= (\(\frac{1}{\sin A}\) – sin A) (\(\frac{1}{\cos A}\) – cos A)
[∵ cosec A = \(\frac{1}{\sin A}\); sec A = \(\frac{1}{\cos A}\))
= \(\left(\frac{1-\sin ^{2} A}{\sin A}\right)\left(\frac{1-\cos ^{2} A}{\cos A}\right)\)

=

ప్రశ్న 4.
\(\frac{1+\sec A}{\sec A}=\frac{\sin ^{2} A}{1-\cos A}\) అని నిరూపించండి.
సాధన.
L.H.S = \(\frac{1+\sec A}{\sec A}\)
= \(\frac{1}{\sec A}+\frac{\sec A}{\sec A}\)
= cos A + 1
= \(\frac{(\cos A+1)(\cos A-1)}{(\cos A-1)}\) (అకరణీయం చేయగా)
= \(\frac{\cos ^{2} A-1}{\cos A-1}\)
= \(\frac{-1\left(1-\cos ^{2} A\right)}{-1(1-\cos A)}\)
= \(\frac{1-\cos ^{2} A}{1-\cos A}=\frac{\sin ^{2} A}{1-\cos A}\) = R.H.S
[∵ 1 – cos² A = sin² A]
∴ LHS = RHS అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 5.
\(\left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)=\left(\frac{1+\tan A}{1+\cot A}\right)^{2}\) = tan² A అని చూపండి.
సాధన.
L.H.S. = \(\left(\frac{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\cot ^{2} \mathrm{~A}}\right)=\frac{\sec ^{2} \mathrm{~A}}{cosec^{2} \mathrm{~A}}\)
[∵ 1 + tan² A = sec² A;
1 + cot² A = cosec² A]
= \(\frac{\frac{1}{\cos ^{2} A}}{\frac{1}{\sin ^{2} A}}\)
[∵ sec A = 1/cos A
cosec A = 1/sin A]
= \(\frac{1}{\cos ^{2} A} \times \frac{\sin ^{2} A}{1}\)
= \(\frac{\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A}\)
= tan² A
= R.H.S.

ప్రశ్న 6.
\(\left(\frac{\sec A-1}{\sec A+1}\right)=\left(\frac{1-\cos A}{1+\cos A}\right)\) అని నిరూపించండి.
సాధన.
L.H.S. = \(\frac{\sec A-1}{\sec A+1}=\frac{\frac{1}{\cos A}-1}{\frac{1}{\cos A}+1}\)

= \(\frac{\frac{1-\cos A}{\cos A}}{\frac{1+\cos A}{\cos A}}=\frac{1-\cos A}{1+\cos A}\)

= R.H.S
∴ L.H.S. = R.H.S

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.4

ప్రశ్న 1.
క్రింది వాటిని సూక్ష్మికరించండి:
(i) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)
సాధన.
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)
= \(\left(\frac{1}{1}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta}\right)\left(\frac{1}{1}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{1}{\sin \theta}\right)\)
= \(\left(\frac{(\cos \theta+\sin \theta)+1}{\cos \theta}\right)\left(\frac{(\sin \theta+\cos \theta)-1}{\sin \theta}\right)\)
[∵ (a + b) (a – b) = a² – b²] cose + sin’e +2 sino cose – 1 :: :coso. sine
= \(\frac{(\cos \theta+\sin \theta)^{2}-(1)^{2}}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\)
= \(\frac{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\)
= \(\frac{1+2 \sin \theta \cdot \cos \theta-1}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\) [∵ cos² θ + sin² θ = 1]
= \(\frac{2 \sin \theta \cdot \cos \theta}{\cos \theta \cdot \sin \theta}\) = 2.

(ii) (sin θ + cos θ)² + (sin θ – cos θ)²
సాధన.
(sin θ + cos θ)² + (sin θ – cos θ)² = (sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cos θ) +
(sin² θ + cos² θ – 2 sin θ cos θ)
[∵ (a + b)² = a² + b² + 2ab
(a – b)² = a² + b² – 2ab]
= 1 + 2 sin θ cos θ + 1 – 2 sin θ cos θ [∵ sin² θ + cos² θ = 1]
= 1 + 1 = 2

(iii) (sec² θ – 1) (cosec² θ – 1)
సాధన.
(sec² θ – 1) (cosec² θ – 1) = tan² θ × cot² θ
[∵ sec² θ – tan² θ = 1
cosec² θ – cot² θ = 1]
= tan² θ × \(\frac{1}{\tan ^{2} \theta}\) = 1

ప్రశ్న 2.
(cosec θ – cot θ)² = \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\) అని చూపించండి
సాధన.
L.H.S. = (cosec θ – cot θ)²
= \(\left(\frac{1}{\sin \theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^{2}\)
= \(\frac{(1-\cos \theta)^{2}}{\sin ^{2} \theta}\)
= \(\frac{(1-\cos \theta)^{2}}{1^{2}-\cos ^{2} \theta}\)
[∵ sin² θ = 1 – cos² θ]
= \(\)
[∵ a² – b² = (a + b) (a – b)]
= \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\) = R.H.S.

ప్రశ్న 3.
\(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\) = sec A + tan A చూపండి.
సాధన.
L.H.S = \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\)
లవహారాలను 1 – sin A తో గణించగా
= \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A} \times \frac{1+\sin A}{1+\sin A}}\)
= \(\sqrt{\frac{(1+\sin A)^{2}}{1-\sin ^{2} A}}\)
[∵ (a + b)(a + b) = (a + b)2]
(a – b)(a + b) = a? — 62)
= \(\sqrt{\frac{(1+\sin A)^{2}}{\cos ^{2} A}}\)
= \(\frac{1+\sin A}{\cos A}=\frac{1}{\cos A}+\frac{\sin A}{\cos A}\)
= sec A + tan A = R.H.S.

ప్రశ్న 4.
\(\frac{1-\tan ^{2} A}{\cot ^{2} A-1}\) = tan² A
సాధన.
L.H.S. = \(\frac{1-\tan ^{2} A}{\cot ^{2} A-1}\)
= \(\frac{1-\tan ^{2} \mathrm{~A}}{\frac{1}{\tan ^{2}}-1}\)
= \(\frac{1-\tan ^{2} A}{\frac{1 \tan ^{2} A}{\tan ^{2} A}}\)
= 1 – tan² A × \(\frac{\tan ^{2} A}{1-\tan ^{2} A}\)
= tan² A

ప్రశ్న 5.
\(\frac{1}{\cos \theta}\) – cos θ = tan θ . sin θ చూపండి
సాధన.
L.H.S = \(\frac{1}{\cos \theta}\) – cos θ
= \(\frac{1-\cos ^{2} \theta}{\cos \theta}\)
= \(\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta}\) [∵ 1 – cos² θ = sin θ]
= \(\frac{\sin \theta \times \sin \theta}{\cos \theta}\)
= \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) [∵ \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) = tan θ].

ప్రశ్న 6.
sec A (1 – sin A) (sec A + tan A) సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
L.H.S. = sec A (1 – sin A) (sec A + tan A)
= (sec A – sec A. sin A) . (sec A + tan A)
= (sec A – \(\frac{1}{\cos A}\) . sin A) (sec A + tan A)
= (sec A – tan A) (sec A + tan A)
= sec² A – tan² A
= 1
[∵ sec² A – tan² A = 1]

ప్రశ్న 7.
(sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A
సాధన.
L.H.S. = (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)²
= (sin² A + cosec² A + 2 sin A. cosec A) + (cos² A + sec² A +
2 cos A . sec A)
[∵ (a + b)² = a² + b² + 2ab]
= (sin² A + cos² A) + cosec² A + 2 sinA. \(\frac{1}{\sin A}\) + sec² A + 2 cos A · \(\frac{1}{\cos A}\)
[∵ \(\frac{1}{\sin A}\) = cosec A; \(\frac{1}{\cos A}\) = sec A]
= 1 + (1 + cot² A) + 2 + (1 + tan² A) + 2
[∵ sin² A + cos² A = 1]
cosec² A = 1 + cot² A
sec² A = 1 + tan² A]
= 7 + tan² A + cot² A = R.H.S.

ప్రశ్న 8.
(1 – cos θ) (1 + cos θ) (1 + cot² θ) సూక్ష్మీకరించండి.
సాధన.
(1 – cos θ) (1 + cos θ) (1 + cot² θ) = (1 – cos² θ) (1 + cot² θ)
[∵ (a – b)(a + b) = a² – b²]
= sin² θ. cosec² θ
[: 1 – cos² θ = sin² θ
1 + cot² θ = cosec² θ]
= sin² θ . \(\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\) [∵ cosec θ = sin θ]
= 1

ప్రశ్న 9.
sec θ + tan θ = p ఐతే sec θ – tan θ విలువ ఎంత?
సాధన.
దత్తాంశము
sec θ + tan θ = p
sec² θ – tan² θ = 1 అను సర్వసమీకరణం ద్వారా
sec² θ – tan² θ = (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1
= p (sec θ – tan θ) = 1
(దత్తాంశము నుండి)
⇒ sec θ – tan θ = \(\frac{1}{p}\)

ప్రశ్న 10.
cosec θ + cot θ = k ఐతే сos θ = \(\frac{k^{2}-1}{k^{2}+1}\) విలువ ఎంత?
సాధన.
పద్ధతి – I:
దత్తాంశము cosec θ + cot θ = k
R.H.S. = \(\frac{k^{2}-1}{k^{2}+1}\)

= \(\frac{2 \cot \theta(\cot \theta+cosec \theta)}{2 cosec \theta(\cot \theta+cosec \theta)}\)

= \(\frac{\cot \theta}{cosec \theta}\)

= \(\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{1}{\sin \theta}}\)

= \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \frac{\sin \theta}{1}\)
= cos θ = L.H.S.

పద్ధతి – II:
దత్తాంశము : cosec θ + cot θ = k ………………(1)
సర్వ సమీకరణం cosec² θ – cot² θ = 1
⇒ (cosec θ + cot θ) (cosec θ – cot θ) = 1
[∵ a² – b² = (a – b)(a + b)]
⇒ k (cosec θ – cot θ) = 1
⇒ cosec θ – cot θ = \(\frac{1}{\mathrm{k}}\) ……………… (2)
(1) మరియు (2) లను సాధించగా

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.3

ప్రశ్న 1.
విలువ కనుక్కొండి:
(i) \(\frac{\tan 36^{\circ}}{\cot 54^{\circ}}\)
సాధన.
\(\frac{\tan 36^{\circ}}{\cot 54^{\circ}}\)
= \(\frac{\tan 36^{\circ}}{\cot \left(90^{\circ}-36^{\circ}\right)}\) [∵ cot(90 – θ) = tan θ]
= \(\frac{\tan 36^{\circ}}{\tan 36^{\circ}}\) = 1

(ii) cos 12° – sin 78°
సాధన.
cos 12° – sin 78° = cos 12° – sin (90° – 12°) [∵ sin(90 – θ) = cos θ]
= cos 12° – cos 12° = 0.

(iii) cosec 31° – sec 59°
సాధన.
cosec 31° – sec 59° = cosec 31° – sec (90° – 31°)
[∵ sec (90 – θ) = cosec θ]
= cosec 31° – cosec 31° = 0

(iv) sin 15° sec 75°
సాధన.
sin 15° sec 75° = sin 15° . sec (90° – 15°)
= sin 15°. cosec 15° [∵ sec (90 – θ) = cosec θ]
= sin 15° . \(\frac{1}{\sin 15^{\circ}}\) [∵ cosec 15° = \(\frac{1}{\sin 15^{\circ}}\)]

(v) tan 26° tan 640
సాధన.
tan 26° tan 64°
= tan 26° . tan (90° – 26°)
= tan 26°. cot 26° [∵ tan (90 – θ) = cot θ]
= tan 26°. \(\frac{1}{\tan 26^{\circ}}\) [∵ cot θ = \(\left.\frac{1}{\tan \theta}\right]\)]

ప్రశ్న 2.
నిరూపించండి.
(i) tan 48° tan 16° tan 42° tan 74° = 1
సాధన.
L.H.S. = tan 48° tan 16° tan 42° tan 74°
= tan 48o. tan 16°
= tan(90° – 48°). tan(90° – 16°)
= tan 48°. tan 16°. cot 48°. cot 16° [∵ tan (90 – θ) = cot θ]
= 1 = R.H.S.
∴ L.H.S. = R.H.S.

(ii) cos 36° cos 54° – sin 36° sin 54° = 0
సాధన.
L.H.S.= cos36° cos54o – sin36° sin54°
= cos(90° – 54°). cos(90° – 36°) – sin 36° . sin 54° [∵ cos (90 – θ) = sin θ]
= sin 54° . sin 36° – sin 54° . sin 36°
= 0 = R.H.S
∴ L.H.S. = R.H.S.

ప్రశ్న 3.
tan 2A = cot (A – 18°), 2A లఘుకోణం అయిన A విలువ కనుక్కొండి
సాధన.
దత్తాంశము: tan 2A = cot (A – 18°)
cot (90° – 2A) = cot (A – 18°) [∵ tan θ = cot (90 – θ)]
⇒ 90° – 2A = A – 18°
⇒ 108° = 3A
A = \(\frac{108^{\circ}}{3}\) = 36°
∴ A యొక్క విలువ 36°.

ప్రశ్న 4.
A, B లు లఘుకోణాలు మరియు tan A = cot B . అయిన A + B = 90° అని చూపుము.
సాధన.
దత్తాంశము : tan A = cot B
⇒ cot (90° – A) = cot B [∵ tan θ = cot (90 – θ]]
⇒ 90° – A = B
∴ A + B = 90°.

ప్రశ్న 5.
A, B మరియు C లు . ∆ABC లోని అంతర కోణాలయిన tan\(\left(\frac{\mathbf{A}+\mathbf{B}}{2}\right)\) = cot \(\frac{C}{2}\) = అని నిరూపించుము.
సాధన.
∆ABC లో A, B మరియు C లు అంతర కోణాలు
కావున A + B + C = 180°.
పై సమీకరణంను ‘2’ చే ఇరువైపుల భాగించగా,
\(\frac{A+B}{2}+\frac{C}{2}=\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90°
\(\frac{A+B}{2}\) = 90° – \(\frac{C}{2}\)
ఇరువైపులా “tan” అను త్రికోణమితి నిష్పత్తిని తీసుకొనగా
tan\(\left(\frac{\mathbf{A}+\mathbf{B}}{2}\right)\) = tan (90 – \(\frac{C}{2}\))
tan\(\left(\frac{\mathbf{A}+\mathbf{B}}{2}\right)\) = \(\frac{C}{2}\)

ప్రశ్న 6.
sin 75° + cos 65° ను 0° మరియు 45° మధ్యగల విలువల త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులలో తెల్పుము.
సాధన.
sin 75° + cos 65° = sin (90° – 15°) + cos (90° – 25°)
= cos 15° + sin 25°
[∵ sin (90 – θ) = cos θ మరియు cos (90 – θ) = sin θ]

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.2

ప్రశ్న 1.
క్రింది వాటి విలువలను కనుగొనండి.
(i) sin 45° + cos 45°
సాధన.
sin 45° + cos 45°
= \(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1+1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
= √2

(ii) \(\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+{cosec} 60^{\circ}}\)
సాధన.
\(\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+{cosec} 60^{\circ}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}}}\)

= \(=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2+2}{\sqrt{3}}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{4}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4 \sqrt{2}}\)

(iii) \(\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-{cosec} 60^{\circ}}{\cot 45^{\circ}+\cos 60^{\circ}-\sec 30^{\circ}}\)
సాధన.
\(\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-{cosec} 60^{\circ}}{\cot 45^{\circ}+\cos 60^{\circ}-\sec 30^{\circ}}\)

(iv) 2 tan²45° + cos²30° – sin²60°
సాధన.
2 tan²45° + cos²30° – sin²60°
= 2(1)² + \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\)
= \(\frac{2}{1}+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\) = 2

(v) \(\frac{\sec ^{2} 60^{\circ}-\tan ^{2} 60^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}\)
సాధన.
\(\frac{\sec ^{2} 60^{\circ}-\tan ^{2} 60^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}\)
= \(\frac{(2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{4-3}{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\frac{1}{\frac{1+3}{4}}=\frac{1}{\frac{4}{4}}=\frac{1}{1}\) = 1.

ప్రశ్న 2.
సరైన సమాధానాన్ని ఎంచుకొని, గుర్తించండి.
(i) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}\)
(a) sin 60°
(b) cos 60°
(c) tan 30°
(d) sin 30°
సాధన.
(c) tan 30°

= \(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+1}=\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) = tan 30°

(ii) \(\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}\)
(a) tan 90°
(b) 1
(c) sin 45°
(d) 0
సాధన.
(d) 0
\(\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}=\frac{1-(1)^{2}}{1+(1)^{2}}=\frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}\) = 0.

(iii) \(\)
(a) cos 60°
(b) sin 60°
(c) tan 60°
(d) sin 30°
సాధన.
(c) tan 60°

\(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}=\frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{3}}\)
= \(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3-1}{3}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2}=\frac{3}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
= tan 60°

ప్రశ్న 3.
sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° విలువను గణించండి. sin (60° + 30°) విలువ ఎంత?దీని నుండి మీరేం గ్రహించారు?
సాధన.
sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\)
= \(\frac{(\sqrt{3})^{2}}{4}+\frac{1}{4}\)
= \(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}\) = 1 …………….. (1)
sin (60° + 30°) = sin 90° = 1 …….. (2)
(1), (2) నుండి
sin (60°+30°) = sin 60° . cos 30° + sin 30°. cos 60°.
sin (A + B) = sin A. cos B + cos A. sin B

ప్రశ్న 4.
cos (60° + 30°) = cos 60° cos 30° – sin 60° sin 30° అనడం సబబేనా ?
సాధన.
L.H.S. = cos (60° + 30°) = cos 90° = 0
R.H.S. = cos 60° . cos 30° – sin 60°. sin 30°
= \(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}\)
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}\) = 0
∴ L.H.S. = R.H.S.
∴ cos (60°+30°) = cos 60°. cos 30° – sin 60°. sin 30° అనవచ్చును
దీని నుండి cos (A + B) = cos A. cos B – sin A. sin B

ప్రశ్న 5.
Qవద్ద లంబకోణం కల్గిన ∆PQRలో PQ = 6 సెం.మీ. ∠RPQ = 60° అయిన OR మరియు PR విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన.
∆PQR లో Q వద్ద ‘లంబకోణము కలదు మరియు
PQ = 6 సెం.మీ., ∠RPQ = 60°.

√3 = \(\frac{\mathrm{RQ}}{6}\)
RQ = 6√3 సెం.మీ.
PR భుజము పొడవు కనుగొనుటకు,
sin 60° = \(\frac{\mathrm{RQ}}{\mathrm{RP}}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6 \sqrt{3}}{R P}\)

RP = 6√3 × \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
RP = 12 సెం.మీ. ……………… (2)
∴ QR పొడవు 6√3 సెం.మీ. మరియు RP పొడవు 12 సెం.మీ.

ప్రశ్న 6.
Y వద్ద లంబకోణం కల్గిన ∆XYZ లో YZ = x, మరియు ZX = 2x అయిన ∠YXZ మరియు ∠YZX ల విలువలను నిర్ణయించుము.
సాధన.
∆XYZ, Y వద్ద లంబకోణం కల్గిన ZX = 2x మరియు YZ = X అగును.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం
XZ² = XY² + YZ²
(2x)² = XY² + (x)²
4x² = XY² + x²
XY² = 4x² – x² = 3x²
XY = √(3x²) = √3x
∆XYZ నుండి
tan x = \(\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XY}}=\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{3} \mathrm{x}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ tan 30 = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ ∠YXZ = 30
tan z = \(\frac{X Y}{Y Z}=\frac{\sqrt{3} x}{x}\) = √3
tan Z = √3 = tan 60°
∠Z = 60°
∴ ∆YXZ మరియు ∆YZXల విలువలు వరుసగా 30° మరియు 60.

ప్రశ్న 7.
sin (A + B) = sin A + sin B అనడం సబబేనా? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించుము.
సాధన.
A = 30° మరియు B = 60° అనుకొనుము.
L.H.S. = sin (A + B)
= sin (30° + 60°) = sin 90° = 1
R.H.S. = sin 30° + sin 60°
= \(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
L.H.S. # R.H.S.
∴ sin (A + B) = sin A + sin B అనడం సబబు కాదు.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.1

ప్రశ్న 1.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజం ABCలో భుజాలు AB, BC మరియు CA ల పొడవులు వరుసగా 8 సెం.మీ., 15 సెం.మీ మరియు 17 సెం.మీ అయిన sinA, cos A మరియు tan A ల విలువలు కనుగొనుము.
సాధన.
∆ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము.
భుజాల కొలతలు AB = 8 సెం.మీ. BC = 15 సెం.మీ. మరియు CA = 17 సెం.మీ.
ఇచ్చిన కొలతలలో \(\overline{\mathrm{CA}}\) పొడవైన భుజము కావున ∆ABC యొక్క కర్ణము CA అగును.

∠A పరంగా ఎదుటి భుజం = BC = 15 సెం.మీ.
ఆసన్న భుజము = AB = 8 సెం.మీ. మరియు కర్ణము = AC = 17 సెం.మీ.
A కు ఎదుటి భుజము = BC = 15

sin A = =\(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{15}{17}\)

cos A = =\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{8}{17}\)

tan A = =\(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{15}{8}\)
∴ sin A = \(\frac{15}{17}\); cos A = \(\frac{8}{17}\) మరియు tan A = \(\frac{15}{8}\)

ప్రశ్న 2.
లంబకోణ త్రిభుజం POR యొక్క భుజాలు PQ = 7 సెం.మీ., QR = 25 సెం.మీ. మరియు ∠P = 90° అయిన tanQ – tan R విలువ కనుగొనుము.
సాధన.
దత్తాంశము ప్రకారం PORఒక లంబకోణ త్రిభుజము మరియు PQ = 7 సెం.మీ, PR = 25 సెం.మీ, మరియు ∠Q = 90°.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారము . PQ² + PR² = QR²
(7)² + PR² = (25)²
PR² = 625 – 49
PR² = 576
⇒ PR = √576 = 24
∴ tan Q =
= \(\frac{P R}{P Q}=\frac{24}{7}\)

tan R =
= \(\frac{P Q}{P R}=\frac{7}{24}\)

tan Q – tan R = \(\frac{24}{7}-\frac{7}{24}=\frac{(24)^{2}-(7)^{2}}{24 \times 7}\)
= \(\frac{576-49}{168}=\frac{527}{168}\)

ప్రశ్న 3.
B వద్ద లంబకోణం కల్గిన లంబకోణ త్రిభుజం ABCలో ‘ a = 24 యూనిట్లు, b = 25 యూనిట్లు మరియు ∠BAC = θ అయిన cos 6 మరియు tan 6 ల విలువలను కనుగొనుము.
సాధన.
దత్తాంశము ప్రకారం త్రిభుజం ABC లో B వద్ద లంబకోణం కలదు. మరియు a = BC = 24 యూనిట్లు, b = CA = 25 యూనిట్లు మరియు ∠BAC = θ అనుకొనిన

Bb 24 Ac పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం
AC² = AB² + BC²
(25)² = AB² + 24²
AB² = 25² – 24²
= 625 – 576
AB² = 49
AB = √49 = 7
∠BAC = θ ప్రకారము
θకు ఎదుటి భుజము = BC = 24 యూనిట్లు
θకు ఆసన్న భుజము = AB = 7 యూనిట్లు
కర్ణము = AC = 25 యూనిట్లు

= \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{7^{\mathrm{\kappa}}}{25}\)

= \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{24^{\mathrm{\kappa}}}{7}\)
∴ cos θ = \(\frac{7}{25}\) మరియు tan θ = \(\frac{24}{7}\).

ప్రశ్న 4.
cos A = \(\frac{12}{13}\) అయిన sin A మరియు tan A ల విలువలను కనుగొనుము.
సాధన.
దత్తాంశము ప్రకారం Cos A = \(\frac{12}{13}\)
Cos A = = \(\frac{12}{13}\)
∴ఆసన్న భుజము : కర్ణము = 12 : 13.

కోణం ‘A’ పరంగా, ఆసన్నభుజము = AB = 12k మరియు కర్ణము = AC = 13 k(‘k’ ఒక ధన సంఖ్య)
∆ABC నుండి
AC² = AB² + BC²
⇒ (13k)² = (12.k)² + BC²
⇒ 169 k² = 144 k² + BC²
⇒ BC² = 169 k² – 144 k²
⇒ (169 – 144) k² = 25 k²
⇒ BC = √(25k²)
⇒ 5k = ఎదుటి భుజము
ఇప్పుడు, మిగిలిన త్రికోణమితి నిష్పత్తులు
sin A =
= \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{5 \mathrm{k}}{13 \mathrm{k}}=\frac{5}{13}\)

tan A =
= \(\frac{B C}{A B}=\frac{5 k}{12 k}=\frac{5}{12}\)
ఆ విధముగా sinA = \(\frac{5}{13}\), tanA = \(\frac{5}{12}\) అగును.

ప్రశ్న 5.
3 tan A = 4 అయిన sin A మరియు Cos A ల విలువలను కనుగొనుము.
సాధన.
దత్తాంశము ప్రకారం 3 tan A = 4 ⇒ tan A = \(\frac{4}{3}\)
కాని tan A = = \(\frac{4}{3}\)
∠A కు ఎదుటి భుజము = 4k మరియు ∠A కు ఆసన్న భుజం = 3k.
ఈ విలువలను ∆ABC లో చూపగా

∆ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజము కావున AC² = AB² + BC² (∵ పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం)
= (3k)² + (4k)² = 9k² + 16k²
AC² = 25k²
AC = √(25 k²) = 5k
sin A = \(\frac{B C}{A C}=\frac{4 k}{5 k}=\frac{4}{5}\)

cos A = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{3 \mathrm{k}}{5 \mathrm{k}}=\frac{3}{5}\)

ప్రశ్న 6.
∆ABC, ∆XYZలలో cos A = cos X అయ్యేటట్లు 4A మరియు ∠Xలు లఘు కోణాలయిన ∠A = ∠X అని చూపుము.
సాధన.

∆ABC లో
cos A =
= \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)

అలాగే ∆XYZ లో 2
cos X = \(\frac{\mathrm{XY}}{\mathrm{XZ}}\)
లెక్క ప్రకారం, cosA = cos X
∴ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{XY}}{\mathrm{XZ}}\) = k అను
⇒ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{XY}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{XZ}}\) ………………(1)
∴ AB = kAC మరియు XY = kXZ
ఇప్పుడు

(1) మరియు (2) ల నుండి,
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{XY}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{XZ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{YZ}}\)
∴ రెండు త్రిభుజ భుజాలకు అనుపాతంలో కలవు.
∴ ∆ABC ~ ∆XYZ
⇒ ∠A = ∠X (∵ సరూప త్రిభుజాలలో అనురూప కోణాలు సమానాలు)

ప్రశ్న 7.
cot θ = \(\frac{7}{8}\) అయిన
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
(ii) \(\frac{(1+\sin \theta)}{\cos \theta}\) లను కనుగొనుము.
సాధన.
దత్తాంశము ప్రకారం cot θ = \(\frac{7}{8}\)

AB = 7k మరియు BC = 8k అనుకొనిన లంబకోణ త్రిభుజములో
AC² = AB² + BC² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం)
= (7k)² + (8k)²
AC² = 49k² + 64k²
AC² = 113 k²
⇒ AC = √113k
ఇప్పుడు, sin θ =
= \(\frac{8 k}{\sqrt{113} k}=\frac{8}{\sqrt{113}}\)
cos θ =
= \(\frac{7 k}{\sqrt{113} k}=\frac{7}{\sqrt{113}}\)

(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
= \(\frac{1^{2}-\sin ^{2} \theta}{1^{2}-\cos ^{2} \theta}\) [∵ (a + b) (a – b) = a² – b<sup.2)

= \(\frac{1-\left(\frac{8}{\sqrt{113}}\right)^{2}}{1-\left(\frac{7}{\sqrt{113}}\right)^{2}}=\frac{1-\frac{64}{113}}{1-\frac{49}{113}}=\frac{\frac{113-64}{113}}{\frac{113-49}{113}}=\frac{49}{64}\)

(ii) \(\frac{(1+\sin \theta)}{\cos \theta}\)
= \(\frac{1+\frac{8}{\sqrt{113}}}{\frac{7}{\sqrt{113}}}\)

= \(\frac{\frac{\sqrt{113}+8}{\sqrt{113}}}{\frac{7}{\sqrt{113}}}=\frac{\sqrt{113}+8}{7}\)

ప్రశ్న 8.
B వద్ద లంబకోణం కల్గిన, త్రిభుజం ABC లో tan A = √3 అయిన
(i) sin A cos.C + cos A sin C
(ii) cos A cos C-sin Asin C ల విలువలను కనుగొనుము.
సాధన.
దత్తాంశము : tan A = \(\frac{\sqrt{3}}{1}\\)
కాని tan A = = \(\frac{\sqrt{3}}{1}\\)
ఎదుటి భుజం = √3k మరియు ఆసన్న భుజం = 1k

∆ABC లంబకోణ త్రిభుజములో
AC² = AB² + BC² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రకారం)
⇒ AC² = (1k)² + (J3k)²
⇒ AC² = 1k² + 3k²
⇒ AC² = 4k²
∴ AC = √4k² = 2k
BC
sin A = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{3} \mathrm{k}}{2 \mathrm{k}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
cos A = \(=\frac{A B}{A C}=\frac{1 k}{2 k}=\frac{1}{2}\)
sin C = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{1 \mathrm{k}}{2 \mathrm{k}}=\frac{1}{2}\)
cos C = \(\frac{B C}{A C}=\frac{\sqrt{3} k}{2 k}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

(i) sin A . cos C + cos A . sin C
= \(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{(\sqrt{3})^{2}}{4}+\frac{(1)^{2}}{4}\)
= \(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}=\frac{4}{4}\) = 1

(ii) cos A. cos C-sin A. sin C
= \(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}\)
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}\) = 0

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి InText Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 10th Lesson క్షేత్రమితి InText Questions

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఈ క్రింది వాటిని పరిశీలించి ప్రతి సందర్భములో ఘనాకు ఘనపరిమాణము మరియు వైశాల్యములలో ఏది పట అవసరమవుతుందో ? ఎందుచేతో వివరించండి.
సాధన.
(i) ఒక సీసాలో గల నీటి పరిమాణం
(ii) గుడారము తయారుచేయడానికి కావలసిన గుడ్డ పరిమాణము
(iii) ఒక లారీలో గల సంచుల సంఖ్య
(iv) సిలిండర్ లో నింపబడిన గ్యాస్ పరిమాణం
(v) ఒక అగ్గిపెట్టెలో నింపగల్గిన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య (పేజీ నెం. 245)
సాధన.
(i) ఘనపరిమాణం – 3 – D ఆకారం
(ii) వైశాల్యం – ఉపరితల ప్రక్కతల మరియు సంపూర్ణతల వైశాల్యములు
(iii) ఘనపరిమాణం – 3 – D ఆకారం
(iv) ఘనపరిమాణం – 3 – D ఆకారం
(v) ఘనపరిమాణం – 3 – D ఆకారం

ప్రశ్న 2.
పైన ఉదహరించిన విధముగా మరో 5 సందర్భములను నీవు తెలిపి మీ స్నేహితులను – ఘనపరిమాణము, వైశాల్యములలో ఏది అవసరమో ? చెప్పమని అడగండి. (పేజీ నెం. 245)
సాధన.
ప్రాజెక్ట్ వర్క్

ప్రశ్న 3.
ఇయ్యబడిన ఘనాకృతుల పటములను మీకు తెలిసిన ఘనాకృతులుగా విడదీయండి. (పేజీ నెం. 246)
సాధన.

ప్రశ్న 4.
మీ చుట్టూ ఉన్న పరిసరాలలో మీరు గమనించిన 6 వివిధ ఆకృతుల సమ్మేళనముగా ఉన్న వస్తువులు పటములను గూర్చి ఆలోచించండి. (పేజీ నెం. 246)
సాధన.
ప్రాజెక్ట్ వర్క్.

ప్రయతించండి:

ప్రశ్న 1.
మీకు తెలిసిన కొన్ని ఘనాకార వస్తువులను తీసుకొని రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వస్తువులను కలిపి మీ నిత్యజీవితంలో కనిపించే ఆకారాలను – వీలయినన్ని తయారు చేయండి. – – ASL, (సూచన : బంకమట్టి, బంతులు, పైపులు, కాగితపు శంఖాలు, ఘన, దీర్ఘఘనాకార పెట్టెలు మొదలగునవి) (పేజీ నెం. 252)
సాధన.
ప్రాజెక్ట్ వర్క్.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
స్థూపాకార పాత్రలో ఒక ఈ గోళము. అంతర్లీనపరచబడినది. అయినచో గోళము యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము, స్థూపము యొక్క వక్రతల వైశాల్యమునకు సమానమవుతుందా ? మీ సమాధానము ‘అవును’ అయితే అది ఏవిధముగా సాధ్యమో సహేతుకముగా వివరింపుము. (పేజీ నెం. 252)
సాధన.

అవును.
గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం స్థూపం యొక్క వక్రతల వైశాల్యానికి సమానం అగును. స్థూపం యొక్క వ్యాసార్ధం = r
దాని ఎత్తు = h అనుకొనిన
వక్రతల స్థూపం ప్రక్కతల వైశాల్యము = 2πrh
మనం = 2πr (r + r) [∵ ఎత్తు = 2 × వ్యాసార్ధం = 2r]
= 2πr.(2r)
= 4πr²
∴ గోళం ఉపరితల వైశాల్యము = 4πr².
∴ స్థూపం ప్రక్కతల వైశాల్యం = గోళం ఉపరితల వైశాల్యం .

ప్రయత్నించండి:

ప్రశ్న 1.
ఒక తీగ యొక్క మధ్యచ్ఛేద వ్యాసమును 5 శాతము తగ్గిస్తే’ దాని ఘనపరిమాణములో మార్పు లేకుండా ఉండటానికి దాని పొడవును, ఎంత శాతము పెంచాలో లెక్కింపుము. (పేజీ నెం. 257)
సాధన.
తీగ వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{5 \%}{2} \times \mathrm{x}\)
∴ వ్యాసార్ధం = \(\frac{5 x}{2} \%\). [∵ r = x అనుకొనుము]
πr₁²h₁ = πr₂²h₂
⇒ r₁²h₁ = r₂²h₂
⇒ x²h₁ = \(\left[x-\frac{5 x}{2 \times 100}\right]^{2}\) × h₂
= \(\left[x-\frac{x}{40}\right]^{2}\) × h₂
= \(\left(\frac{40 x-x}{40}\right)^{2}\) × h₂ = \(\left(\frac{39 x}{40}\right)^{2}\) × h₂
x²h₁ = \(\frac{1521}{1600}\) x² × h₂
h₁ = \(\frac{1521}{16}\)% × h₂
∴ h₁ = \(\frac{1521}{16}\)% × h₂
అనగా దాని ఘనపరిమాణం స్థిరంగా .మారకుండా ఉండవలెనంటే దాని పొడవు (ఎత్తు) \(\frac{1521}{16}\)% పెంచాలి.

ప్రశ్న 2.
గోళము, ఘనము యొక్క ఉపరితల వైశాల్యములు సమానము. అయినచో వాటి ఘనపరిమాణముల నిష్పత్తిని కనుక్కోండి. (పేజీ నెం. 257)
సాధన.
సమఘనం భుజం = ‘a’ యూనిట్లు.
దాని సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 6a²
లెక్క ప్రకారము, గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము (4πr²) = ఘనం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము (6a²)
⇒ r² = \(\frac{6 a^{2}}{4 \pi}\)
r = \(\sqrt{\frac{6 \mathrm{a}^{2}}{4 \pi}}=\sqrt{\frac{3}{2 \pi}} \times \mathrm{a}\)
ఘనం ఘనపరిమాణం (V) = a³
గోళం ఘనపరిమాణం (V) = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3} \pi\left(\sqrt{\frac{3}{2 \pi}} \cdot a \times \sqrt{\frac{3}{2 \pi}} \cdot a \times \sqrt{\frac{3}{2 \pi}} \times a\right)\)

= \(\frac{4}{3} \times \pi \times \frac{3 \sqrt{3}}{2 \pi \sqrt{2 \pi}} \times a^{3}\)

= \(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2 \pi}} a^{3}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{\pi}} a^{3}\)
∴ వాని ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి = a³ : \(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{\pi}}\)a³
= 1 : \(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{\pi}}\)
= √π : √6.

ఇవి చేయండి:

ప్రశ్న 1.
1 సెం.మీ. వ్యాసము, 8 సెం.మీ. పొడవు కల్గిన ఒక రాగి కడ్డీ 18 మీటర్లు పొడవు కల్గిన ఏక మందము గల తీగగా మలచబడినది. అయినచో తీగ యొక్క మందమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 263)
సాధన.
రాగి కడ్డీ ఘనపరిమాణం = స్థూపం ఘనపరిమాణం = πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × 8 (∵ r = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{1}{2}\) సెం.మీ.)
ఎత్తు (h) = 8 సెం.మీ.)
= \(\frac{44}{7}\) సెం.మీ²
18 మీ. పొడవు గల సన్నని తీగగా రాగి కడ్డీని మలచగా దాని మందం (వ్యాసం)
⇒ πr²h = \(\frac{44}{7}\)
⇒ \(\frac{22}{7}\) × r² × 18 = \(\frac{44}{7}\)
⇒ r² = \(\frac{{ }^{2} 44 \times 7}{7 \times 22 \times 18_{9}}\)
⇒ r² = \(\frac{1}{9}\)
⇒ r = \(\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}\)= 0.3 సెం.మీ.
∴ రాగి కడ్డీ మందం (d) = 2 × r = 2 × 0.3
∴ d = 0.6 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
ప్రవల్లిక ఇంటి పై కప్పుపై వాటర్ ట్యాంక్ స్థూపాకార.ఆకృతిలో నిర్మించబడింది. భూగర్భములో దీర్ఘ ఘనాకారములో యున్న సంప్ నుండి నీరు మోటారు సహాయముతో వాటర్ టాంకు పంపబడుతుంది. సంప్ యొక్క కొలతలు 1.57 మీటర్లు × 1.44 మీటర్లు × 9.5 సెం.మీ. వాటర్ ట్యాంక్ యొక్క వ్యాసార్ధము 60 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 95 సెం.మీ. నీటితో నిండుగా యున్న సంప్ నుండి నీటిని వాటర్ ట్యాంక్ నిండుగా నింపితే అందులో మిగిలి వున్న నీటి మట్టము యొక్క ఎత్తు ఎంత ? సంప్ మరియు వాటర్ ట్యాంకుల యొక్క నీటి నిల్వ సామర్థ్యములను పోల్చుము. (π = 3.14) (పేజీ నెం. 263) .
సాధన.
సంలోని నీటి ఘనపరిమాణం
V₁ = 1.57 × 1.44 × 10.95 [∵ V = lbh]
= 2.14776 మీ³
V₁ = 2147760 సెం.మీ.³
స్థూపాకార నీటి ట్యాంక్ ఘనపరిమాణం V₂ = πr²h
= 44 × 60 × 60 × 95
V₂ = 1073880 సెం.మీ³
ట్యాంకును నీటితో నింపిన తరువాత సం లో గల నీటి పరిమాణం = V₁ – V₂
= 2147760 – 1073880
= 1073880 సెం.మీ³
ట్యాంక్ లోని నీటి మట్టం ఎత్తు, h అనుకొనుము.
⇒ 157 × 144h = 1073880
h = \(\frac{1073880}{157 \times 144}\)
= 47.5 సెం.మీ.
157 × 144 = 47.5
∴ సంస్లోని నీటి పరిమాణానికి మరియు ట్యాంక్ లోని నీటి పరిమాణానికి గల నిష్పత్తి = 2147760 : 1073880 = 2 : 1.

ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి:

ప్రశ్న 1.
ఏ పాత్ర ఎక్కువ నీటిని తనలో నింపుకొనగలదు ? మీ స్నేహితులతో చర్చించండి. (పేజీ నెం. 262)

సాధన.
(i) వ పటం నుండి వ్యాసార్ధం = r₁
= 1 = 0.5 సెం.మీ.
ఎత్తు (h₁) = 4 సెం.మీ.
V₁ = మొదటి పాత్ర ఘనపరిమాణం = πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × 0.5 × 0.5 × 4
= 3.142 సెం.మీ³

(ii) వ పటంనుండి,
r = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{4}{2}\) = 2 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 1 సెం.మీ.
V₂ = రెండవ పాత్ర ఘనపరిమాణం = πr²h
\(\frac{22}{7}\) × 2 × 2 × 1
= 12.57 సెం.మీ³
∴ రెండవ పాత్ర ఘనపరిమాణం మొదటి పాత్ర ఘనపరిమాణం కంటే ఎక్కువ. [∵ V₁ > V₂]

ఉదాహరణలు:

ప్రశ్న 1.
10 మీ. ఎత్తుగల శంఖాకారములో యున్న గుడారము యొక్క భూవ్యాసార్ధం 7 మీటర్లు. గుడారము నిర్మించ డానికి కావలసిన గుడ్డ పొడవును గుడ్డ యొక్క వెడల్పు 2 మీటర్లగా ఉన్నప్పుడు కనుగొనండి. (π = \(\frac{22}{7}\) గా తీసుకొనుము) (పేజీ నెం. 247)
సాధన.
గుడారము యొక్క భూవ్యాసార్ధం (r) = 7 మీటర్లు.
ఎత్తు (h) = 10 మీటర్లు.

∴ శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు (l) = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
(∵ l² = r² + h²)
= √49 + 100 = √149
= 12.2 మీటర్లు.
గుడారము యొక్క ఉపరితలవైశాల్యం = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × 12.2 చ.మీ.
= 268.4 చ.మీ. ఉపయోగించిన గుడ్డ యొక్క వైశాల్యం = 268.4 చ.మీ.
గుడ్డ యొక్క వెడల్పు = 2 మీ.
∴ గుడ్డ యుక్క పొడవు వెడల్పు = వైశాల్యం / వెడల్పు
= \(\frac{268.4}{2}\)
= 134.2 మీ.

ప్రశ్న 2.
స్థూపాకృతిలోనున్న నూనె పీపా 2 మీటర్ల భూవ్యాసం మరియు 7 మీటర్ల ఎత్తును కల్గియున్నది. పీపాకు రంగు వేయడానికి పెయింటర్ 1 చదరపు మీటరునకు ₹ 3 లను తీసుకొంటుంటే, 10 నూనె పీపాలకు రంగు వేయడానికి ఎంత ఖర్చవుతుంది? (పేజీ నెం. 247)
సాధన.
స్థూపాకార నూనె పీపా యొక్క భూవ్యాసము (d) = 2 మీటర్లు
d 2 స్థూపము వ్యాసార్ధము (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{2}{2}\) = 1 మీటరు.
స్థూపాకార ఎత్తు (b) = 7 మీ.

స్థూపాకార నూనె పీపా యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము = 2 × πr (r + h)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 1 (1 + 7)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 8
= 50.28 (మీటరు)²
అందుచే పీపా యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 50.28 (మీటరు)²
1చ.మీ.కు రంగు వేయడానికి అయ్యే ఖర్చు = ₹ 3
10 పీపాలకు రంగు వేయడానికయ్యే మొత్తం ఖర్చు = 50.28 × 3 × 10
= ₹ 1508.4.

ప్రశ్న 3.
ఒక గోళం, ఒక స్థూపం, ఒక శంఖువు ఒకే ఎత్తు, ఒకే .వ్యాసార్ధంలను కల్గియున్నాయి. అయినచో వాటి యొక్క వక్రతల వైశాల్యముల నిష్పత్తి ఎంత ? (పేజీ నెం. 248)
సాధన.
గోళం, స్థూపం మరియు శంఖువు యొక్క భూవ్యాసార్ధం ‘r’ అనుకొందాం.
గోళము ఎత్తు = వ్యాసం = 2r
∴ శంఖువు ఎత్తు = స్థూపము ఎత్తు = గోళము ఎత్తు = 2r.

శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{r^{2}+(2 r)^{2}}=\sqrt{5} r\)
S₁ = గోళం ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr²
S₂ = స్థూపము ఉపరితల వైశాల్యం = 2πrh
= 2πr × πr = 4πr²
S₃ = శంఖువు ఉపరితల వైశాల్యం = πrl
= πr × √5r
= √5πr²
∴ ఉపరితల వైశాల్యముల నిష్పత్తి = S₁ : S₂ : S₃
S₁ : S₂ : S₃ = 4πr² : 4πr² : √5 πr²
= 4 : 4 : √5.

ప్రశ్న 4.
ఒక కంపెనీ దళసరి ఉక్కుషీట్ నుపయోగించి 1000 అర్ధగోళాకారంలో ఉన్న బేసిన్లను తయారు చేయాలని అనుకొంది. అర్ధగోళాకార బేసిన్ వ్యాసార్థం 21 సెం.మీ ఉండే విధముగా 1000 బేసిన్లు తయారు చేయడానికి కావలసిన ఉక్కుషీట్ యొక్క వైశాల్యము ఎంత ? (పేజీ నెం. 248)
సాధన.

అర్ధగోళాకార బేసిన్ వ్యాసార్ధం (r) = 21 సెం.మీ
ఉపరితల వైశాల్యం = 2πr²
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 21 × 21
= 2772 (సెం.మీ)².
అందుచే అర్ధగోళాకార బేసిన్ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం = 2772 (సెం.మీ)².
1 బేసిన్ తయారీకి కావలసిన ఉక్కుషీట్ వైశాల్యం = 2772 (సెం.మీ)²
1000 బేసిన్ల తయారీకి కావలసిన మొత్తం ఉక్కుషీట్ వైశాల్యం = 2772 × 1000
= 2772000 సెం.మీ² = 277.2 మీ².

ప్రశ్న 5.
ఒక క్రమ వృత్తాకార స్థూపము .యొక్క భూవ్యాసార్ధం 14 సెం.మీ. మరియు ఎత్తు 21 సెం.మీ. అయిన ఈ క్రింది వాటిని కనుగొనుము.
(i) భూతల వైశాల్యం
(ii) వక్రతల వైశాల్యం
(iii) సంపూర్ణతల వైశాల్యం
(iv) క్రమ వృత్తాకార స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణం (పేజీ నెం. 249)
సాధన.
స్థూపపు భూవ్యాసార్ధం (r) = 14 సెం.మీ.
స్థూపపు ఎత్తు (h) = 21 సెం.మీ.

(i) భూ వైశాల్యం = πr²
= \(\frac{22}{7}\) (14)²
= 616 (సెం.మీ.)

(ii) వక్రతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 14 × 21
= 1848 (సెం.మీ.)².

(iii) సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2 × భూవైశాల్యం + వక్రతల వైశాల్యం
= 2 × 616 + 1848 = 3080 (సెం.మీ)²

(iv) స్థూపపు ఘనపరిమాణం = πr²h
= భూవైశాల్యం × ఎత్తు
= 616 × 21 = 12936 (సెం.మీ)².

ప్రశ్న 6.
2.1 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము కలిగిన గోళము యొక్క – ఉపరితల వైశాల్యం, ఘనపరిమాణములను కనుగొనుము. (π = \(\frac{22}{7}\)గా తీసుకొనుము) పేజీ నెం. 249)
సాధన.
గోళ వ్యాసార్ధం (r) = 2.1 సెం.మీ.

గోళం ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr²
= 4 × \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10}\)
= \(\frac{1386}{25}\)
= 55.44 (సెం.మీ)²
∴ గోళము ఘనపరిమాణము = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × (2.1)³
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 2.1 × 2.1 × 2.1
= 38.808 (సెం.మీ)³.

ప్రశ్న 7.
3.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము కల్గిన అర్ధగోళము యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము మరియు ఘనపరిమాణములను కనుగొనుము. (π = \(\frac{22}{7}\)) (పేజీ నెం. 150)
(లేదా) 7 సెం.మీ. వ్యాసముగా కలిగిన అర్ధ గోళం ఘనపరిమాణం మరియు సంపూర్ణతల వైశాల్యంలను కనుగొనండి. (π = \(\frac{22}{7}\) గా తీసుకొనుము)
సాధన.
అర్ధగోళ వ్యాసార్ధము (r) = 3.5 సెం.మీ. = 1 సెం.మీ.

∴ అర్ధగోళ ఘనపరిమాణము = \(\frac{2}{3}\) πr³.
= \(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\)
= \(\frac{539}{6}\) = 89.88 (సెం.మీ)³.
∴ సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 3πr²

ప్రశ్న 8.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజము యొక్క భూమి 15 సెం.మీ మరియు ఎత్తు 20 సెం.మీ. దానిని కర్ణము వెంబడి భ్రమణము చేయగా ఏర్పడే ద్విశంఖువు ఆకారము యొక్క ఘనపరిమాణము మరియు ఉపరితల వైశాల్యము కనుక్కోండి. (π = 3.14) AS, (పేజీ నెం. 252)
సాధన.

ABC లంబకోణ త్రిభుజం. AB = 15 సెం.మీ మరియు AC = 20 సెం.మీ.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతము ప్రకారము ∆ABC లో
BC² = AB² + AC²
BC² = 15² + 20²
BC² = 225 + 400 = 625
BC = √625 = 25
OA = x మరియు OB = y అనుకొందాం.
∆ABO మరియు ∆ABCలలో ∠BOA = ∠BAC మరియు ∠ABO = ∠ABC
అందుచే, ∆BOA ~ ∆BAC (∵ కోణము – కోణము సరూపకత)
అందుచే \(\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BC}}\)
⇒ \(\frac{y}{15}=\frac{x}{20}=\frac{15}{25}\)

⇒ \(\frac{y}{15}=\frac{x}{20}=\frac{3}{5}\)

⇒ \(\frac{y}{15}=\frac{3}{5}\) మరియు \(\frac{x}{20}=\frac{3}{5}\)

⇒ y = \(\frac{3}{5}\) × 15 మరియు x = \(\frac{3}{5}\) × 20

⇒ y = 9 మరియు x = 12
అందుచే, OA = 12 సెం.మీ మరియు OB = 9 సెం.మీ
ద్విశంఖువు ఘనపరిమాణము = శంఖువు CAA’ ఘనపరిమాణము + శంఖువు BAA’ ఘనపరిమాణము
= \(\frac{1}{3}\) π(OA)² OC + \(\frac{1}{3}\) π (OA)² OB
= \(\frac{1}{3}\) × π × 12² × 16 + \(\frac{1}{3}\) × π × 12² × 9
= \(\frac{1}{3}\) × π × 144(16 + 9) (సెం.మీ)³
= \(\frac{1}{3}\) × 3.14 × 144 × 25 (సెం.మీ)³
= 3768 (సెం.మీ)³.

సూచన :
= \(\frac{1}{3}\) × π(OA)² [OC + OB]
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 12² × [16 + 9]
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 144 × 25
ద్విశంఖువు ఉపరితల వైశాల్యము = 0 శంఖువు CAA’ వక్రతల వైశాల్యము + శంఖువు BAA’ వక్రతల వైశాల్యము.
= (π × OA × AC) + (π × OA × AB)
= (π × 12 × 20) + (π × 12 × 15) (సెం.మీ)²
= 420 π (సెం.మీ)²
= 420 × 3.14 (సెం.మీ)²
= 1318.8 (సెం.మీ)²

ప్రశ్న 9.
ఇచ్చిన పటంలో చూపిన విధముగా కర్రతో చేసిన రాకెట్ బొమ్మ స్థూపముపై నిలిపిన శంఖువు వలే ఉన్నది. రాకెట్ యొక్క ఎత్తు 26 సెం.మీ, శంఖువు ఆకారములో యున్న భాగము ఎత్తు 6 సెం.మీ, శంఖువు, ఆకారము భాగము భూవ్యాసము 5 సెం.మీ మరియు స్థూపాకార భాగము యొక్క భూవ్యాసము 3 సెం.మీ. శంఖాకృతి భాగముకు నారింజరంగు, స్థూపాకార
భాగముకు పసుపు రంగు వేస్తే, ఈ రంగులు వేయడానికి కావలసిన రాకెట్ వైశాల్యమును విడివిడిగా కనుగొనుము. (ప్రశ్న = 3.14) (పేజీ నెం.254)
సాధన.

శంఖువు (ఆకారము యొక్క భూవ్యాసార్ధము (r) మరియు ఏటవాలు ఎత్తు ‘l’ అనుకొందాం. స్థూపాకార భాగము యొక్క భూవ్యసార్ధము r₁ మరియు ఎత్తు h₁ అనుకొందాం.
r = 2.5 సెం.మీ; h = 6 సెం.మీ r₁ = 1.5 సెం.మీ. h₁ = 20 సెం.మీ
ఇపుడు, l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
⇒ l = \(\sqrt{(2.5)^{2}+6^{2}}\)
l = \(\sqrt{6.25+36}\)
l = \(\sqrt{42.25}\) = 6.5
నారింజ రంగు వేయబడిన భాగము వైశాల్యము .
∴ శంఖువు యొక్క వక్రతల వైశాల్యము = πrl
= 3.14 {2.5 × 6.5} = 51.025 (సెం.మీ)²
పసుపురంగు వేయబడిన భాగము వైశాల్యం = స్థూపము యొక్క వక్రతల వైశాల్యం + మన స్థూపం యొక్క భూవైశాల్యం
= 2πr₁h₁ + πr₁² = πr₁ (2h₁ + r₁)
= 3.14 × 1.5 (2 × 20 + 1.5) సెం.మీ²
= 3.14 × 11.5 × 41.5 (సెం.మీ)²
= 4.71 × 41.5 (సెం.మీ)² .
= 195.465 (సెం.మీ).
అందుచే పసుపురంగు వేయబడిన భాగము వైశాల్యము = 195.465 (సెం.మీ) .

ప్రశ్న 10.
‘ఒక చివర ‘ అర్ధగోళాకారంను మరో చివర క్రమ వృత్తాకార శంఖువు ఆకారమును కల్గిన క్రమ వృత్తాకార స్థూపాకార ఘనాకృతి ఆట వస్తువు యొక్క ఉమ్మడి వ్యాసము 4.2 సెం.మీ, స్థూపాకార, శంఖువు ఆకార భాగముల యొక్క ఎత్తులు వరుసగా 12 సెం.మీ మరియు 7 సెం.మీ అయితే ఘనాకార ఆటవస్తువు యొక్క ఘనపరిమాణమును కనుక్కోండి. (π = \(\frac{22}{7}\) గా తీసుకొనుము). (పేజీ నెం. 257)
సాధన.
శంఖువు ఆకార భాగము యొక్క ఎత్తు h₁ = 7 సెం.మీ.
స్థూపాకార భాగము యొక్క ఎత్తు h₂ = 12 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధము (r) = \(\frac{4.2}{2}\) = 2.1 = \(\frac{21}{10}\) సెం.మీ.
ఆటవస్తువు యొక్క ఘనపరిమాణము = శంఖువు ఆకార భాగ ఘనపరిమాణం – + స్థూపాకార ఆకార భాగ ఘనపరిమాణం + అర్ధగోళాకార భాగ ఘనపరిమాణం

= \(\frac{1}{3}\) πr²h₁ + πr²h₂ + \(\frac{2}{3}\) πr³
= πr²[\(\frac{1}{3}\) h₁ + h₂ + \(\frac{2}{3}\)r]
= \(\frac{22}{7} \times\left(\frac{21}{10}\right)^{2} \times\) \(\left[\frac{1}{3} \times 7+12+\frac{2}{3} \times \frac{21}{10}\right]\)

= \(\frac{22}{7} \times \frac{441}{100} \times\left[\frac{7}{3}+\frac{12}{1}+\frac{7}{5}\right]\)

= \(\frac{22}{7} \times \frac{441}{100} \times\left[\frac{35+180+21}{15}\right]\)

= \(\frac{22}{7} \times \frac{441}{100} \times \frac{236}{15}\)

= \(\frac{27258}{125}\) = 218.064 (సెం.మీ.)³

ప్రశ్న 11.
12 సెం.మీ వ్యాసము మరియు 15 సెం.మీ. ఎత్తు కలిగిన ఒక స్థూపాకార పాత్ర ఐస్ క్రీంతో నింపబడినది. ఈ ఐస్ క్రీంను పై తలం అర్ధగోళాకారంలో ఉన్న శంఖువులలో సమానముగా నింపి 10 మంది పిల్లలకు పంచబడినది. శంఖువు ఆకారభాగపు ఎత్తు, భువ్యాసమునకు రెట్టింపు ఉన్నచో ఐస్ క్రీంకోన్ యొక్క వ్యాసమును కనుగొనుము. (పేజీ నెం. 258)
సాధన.
శంఖువు ఆకార ఐస్ క్రీం యొక్క భూవ్యాసార్ధము (r) = x సెం.మీ అనుకొందాం.
వ్యాసం = 25 సెం.మీ.;
అప్పుడు దాని ఎత్తు = 2(భూవ్యా సము) = 2(2x) = 4x సెం.మీ.
ఐస్ క్రీం కోన్ యొక్క ఘనపరిమాణం = శంఖువు ఆకార భాగము ఘనపరిమాణం + అర్ధగోళాకృతి భాగం ఘనపరిమాణం

= \(\frac{1}{3}\) πr²h + \(\frac{2}{3}\) πr³
= \(\frac{1}{3}\) πx²(4x) + \(\frac{1}{3}\) πx³ (∵ r = x)
= \(\frac{4 \pi x^{3}+2 \pi x^{3}}{3}=\frac{6 \pi x^{3}}{3}\)
= 2πx³ (సెం.మీ)³
స్థూపాకార పాత్ర యొక్క వ్యాసము = 12 సెం.మీ
దాని ఎత్తు (h) = 15 సెం.మీ .
∴ స్థూపాకార పాత్ర యొక్క ఘనపరిమాణం = πr² h = π(6)² 15 = 5407 (సెం.మీ)³
ఐస్ క్రీం పంచబడిన విద్యార్థుల సంఖ్య = 10
(స్థూపాకార పాత్ర యొక్క ఘనపరిమాణం) / (ఒక ఐస్ క్రీం కోన్ యొక్క ఘనపరిమాణం) = 10
⇒ \(\frac{540 \pi}{2 \pi \mathrm{x}^{3}}\) = 10
⇒ 2πx³ × 10 = 540π
⇒ x³ = \(\frac{540}{2 \times 10}\) = 27
⇒ x³ = 3³
⇒ x = 3
∴ ఐస్ క్రీం కోన్ యొక్క వ్యాసం = 2x = 2(3) = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న 12.
క్రింది పటములో చూపిన విధముగా అర్ధగోళాకృతిపై నిటారుగా క్రమ వృత్తాకార శంఖువును నిలిపినట్లు ఉన్న ఘనాకార వస్తువును నీటితో పూర్తిగా నింపబడి ఉన్న ఒక క్రమ వృత్తాకార స్థూపాకృతి వస్తువులో దాని అడుగుభాగమును తాకేటట్లుగా ముంచబడినది. స్థూపము యొక్క భూవ్యాసార్ధము 3 సెం.మీ మరియు ఎత్తు 6సెం.మీ, అర్ధగోళము యొక్క వ్యాసార్ధము 2 సెం.మీ, శంఖువు ఎత్తు 4 సెం.మీ.గా ఉంటే స్థూపంలో మిగిలియున్న నీటి యొక్క ఘనపరిమాణం ఎంత ? (π = \(\frac{22}{7}\) గా తీసుకొనుము). (పేజీ నెం. 259)
సాధన.
ABCD స్థూపము, LMN అర్ధగోళము, OLM శంఖువు అర్ధగోళముపై నిలుపబడిన క్రమ వృత్తాకార శంఖువు ఆకార వస్తువును స్థూపముతో ముంచబడితే తొలగింపబడిన నీటి ఘనపరిమాణము వస్తువు యొక్క ఘనపరిమాణమునకు సమానము. స్టూపము యొక్క ఘనపరిమాణం = πr²h
π × 3² × 6 = 54π (సెం.మీ)³
అర్ధగోళము యొక్క ఘనపరిమాణం

= \(\frac{2}{3}\) πr³
= \(\frac{2}{3}\) × π × 2³
= \(\frac{16}{3}\) π (సెం.మీ)³
శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × π × 2² × 4
= \(\frac{16}{3}\) π (సెం.మీ.)³
శంఖువు మరియు అర్ధగోళము యొక్క ఘనపరిమాణం = \(\frac{16}{3}\) π + \(\frac{16}{3}\) π
= \(\frac{32}{3}\) π
స్థూపాకార వస్తువు నుండి తొలగింపబడిన నీటి ఘనపరిమాణం = (స్తూపము ఘనపరిమాణం) – (శంఖువు మరియు అర్ధగోళము యొక్క ఘనపరిమాణం)
= 54 π – \(\frac{32 \pi}{3}\)
= \(\frac{162 \pi-32 \pi}{3}=\frac{130 \pi}{3}\)
= \(\frac{130}{3} \times \frac{22}{7}=\frac{2860}{21}\)
= 136. 19 (సెం.మీ)²

ప్రశ్న 13.
స్థూపాకారముగానున్న పెన్సిల్ ను ఒక చివర చెక్కి ఆ చివరను ఒక శంఖువు ఆకృతిలో మారిస్తే దాని పొడవులో మార్పులేకుండా), పెన్సిల్ యొక్క వ్యాసము 1 సెం.మీ|| మరియు శంఖువు ఆకృతి భాగము యొక్క ఎత్తు 2 సెం.మీ అయినపుడు చెక్కబడిన భాగము యొక్క ఘనపరిమాణము ఎంత ? (π = \(\frac{355}{113}\) గా తీసుకొనుము). (పేజీ నెం. 260)

సాధన.
పెన్సిల్ యొక్క వ్యాసము = 1 సెం.మీ .
పెన్సిల్ యొక్క వ్యాసార్ధము (r) = 0.5 సెం.మీ
శంఖువు ఆకార భాగము యొక్క పొడవు (ఎత్తు) = h
= 2 సెం.మీ
చెక్కబడిన భాగము ఘనపరిమాణం = 2 సెం.మీ
పొడవు, 0.5 సెం.మీ
భూవ్యాసార్ధము గల స్థూపాకృతి ఘనపరిమాణం – ఈ స్థూపముచే ఏర్పడిన శంఖువు ఘనపరిమాణం
= πr²h – \(\frac{1}{3}\) πr²h = \(\frac{2}{3}\) πr²h
= \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{355}{113}\) × (0.5)² × 2 సెం.మీ³
= 1.05 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 14.
24 సెం.మీ ఎత్తు, 6 సెం.మీ భూవ్యాసార్ధము కల్గిన శంఖువు ఆకార మట్టి ముద్ద ఉన్నది. ఒక బాలుడు దానిని ఒక గోళముగా మారిస్తే, ఆ గోళము యొక్క వ్యాసార్ధము ఎంత ? (పేజీ నెం. 262)
సాధన.
శంఖువు ఘనపరిమాణం = \(\frac{1}{3}\) × π × 6 × 6 × 24 (సెం.మీ)
గోళము యొక్క వ్యాసార్ధము r అయితే దాని ఘనపరిమాణం, = \(\frac{4}{3}\) πr³
3 . శంఖువు ఆకారములో ఉన్న మట్టి ముద్ద గోళాకృతిలో మార్చబడినది కనుక ఘనపరిమాణములో మార్పు ఉండదు. కనుక ,
\(\frac{4}{3}\) πr³ = \(\frac{1}{3}\) × π × 6 × 6 × 24
r³ = 3 × 3 × 24 = 3 × 3 × 3 × 8
r = 3³ × 2
r = 3 × 2 = 6
∴ గోళము వ్యాసార్ధము = 6 సెం.మీ.

ప్రశ్న 15.
ఒక బోలు అర్ధగోళము యొక్క అంతర, బాహ్య వ్యాసములు వరుసగా 6 సెం.మీ. మరియు 10 సెం.మీ. దానిని 14 సెం.మీ. వ్యాసముగా గల ఒక స్థూపాకార ఘనముగా మలిస్తే, దాని యొక్క ఎత్తు ఎంత ? (పేజీ నెం. 263)
సాధన.

బోలు అర్ధగోళం యొక్క వ్యాసార్ధము = \(\frac{10}{2}\) = 5 సెం.మీ. = R
అంతర వ్యాసార్ధము = \(\frac{6}{2}\) = 3 సెం.మీ. = r
బోలు అర్ధగోళ పాత్ర యొక్క ఘనపరిమాణం = బాహ్య ఘనపరిమాణం – అంతర ఘనపరిమాణం
= \(\frac{2}{3}\)πR³ – \(\frac{2}{3}\)πr³
= \(\frac{2}{3}\)π (R³ – r³)

= \(\frac{2}{3}\)π (5³ – 3³)
= \(\frac{2}{3}\)π (125 – 27)
= \(\frac{2}{3}\)π × 98 (సెం.మీ.)³
= \(\frac{196 \pi}{3}\) (సెం.మీ)³ ……….. (1)
బోలు ఘనపు అర్ధగోళము, స్థూపాకార ఘనముగా మలచబడినది .
కనుక రెండింటి ఘనపరిమాణము సమానం.
స్థూపాకార ఘనము యొక్క వ్యాసం = 14 సెం.మీ. (ఇచ్చినది)
అందుచే స్థూపాకార ఘనము వ్యాసార్ధము = 7 సెం.మీ.
స్థూపము యొక్క ఎత్తు = h అనుకొందాం.
∴ స్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణం = πr²h
= π × 7 × 7 × h (సెం.మీ)³
= 49πh (సెం.మీ)³ ………. (2)
సమస్యలో ఇచ్చిన దత్తాంశము ప్రకారం, బోలు అర్ధగోళాకార పాత్ర యొక్క ఘనపరిమాణం = ఘనస్థూపము యొక్క ఘనపరిమాణం
\(\frac{196}{3}\) π = 49 πh
(1), (2) సమీకరణముల నుండి)
⇒ h = \(=\frac{196}{3 \times 49}=\frac{4}{3}\) సెం.మీ.
∴ స్థూపము యొక్క ఎత్తు = 1.33 సెం.మీ.

ప్రశ్న 16.
15 సెం.మీ. అంతర వ్యాసార్ధముగా గల అర్ధగోళాకార పాత్రలో ద్రవము నింపబడినది. ఆ ద్రవమును 5 సెం.మీ. వ్యాసము మరియు 6 సెం.మీ. ఎత్తు కల్గిన స్థూపాకార సీసాలో నింపారు. పాత్రలోని ద్రవమును నింపడానికి ఎన్ని సీసాలు అవసరం ? (పేజీ నెం. 264)
సాధన.
అర్ధగోళము ఘనపరిమాణం = \(\frac{2}{3}\) πr³
అర్ధగోళ అంతర వ్యాసార్ధం (r) = 15 సెం.మీ.
∴ అర్ధగోళాకార పాత్రలో నింపబడిన ద్రవ ఘనపరిమాణం = \(\frac{2}{3}\)π(15)³ (సెం.మీ)³
= 22507 (సెం.మీ) స్థూపాకార సీసా యొక్క ఎత్తు (h) = 6 సెం.మీ.
స్థూపాకార సీసా యొక్క వ్యాసార్ధం (R) = \(\frac{5}{2}\) సెం.మీ³.
∴ స్థూపాకార సీసా ఘనపరిమాణం = πR²h
= π × (\(\frac{5}{2}\))² × 6 (సెం.మీ)³
= \(\frac{75}{2}\)π (సెం.మీ)³
ద్రవమును నింపడానికి కావలసిన సీసాల సంఖ్య = (అర్ధగోళాకార పాత్ర యొక్క ఘనపరిమాణం) / (స్థూపాకార సీసా యొక్క ఘనపరిమాణం)
= \(\frac{2250 \pi}{\frac{75}{2} \pi}=\frac{2 \times 2250}{75}\)
= 60

ప్రశ్న 17.
6 సెం.మీ. వ్యాసము కలిగిన ఒక ఘనపు గోళమును కరిగించి 0.2 సెం.మీ. మధ్యచ్ఛేద వ్యాసము కల్గిన తీగగా మలిస్తే ఆ తీగ పొడవు ఎంత ? (పేజీ నెం. 265)
సాధన.
ఘనపు గోళము వ్యాసం = 6 సెం.మీ.

స్థూపాకార తీగ యొక్క మధ్యచ్ఛేద వ్యాసం = 0.2 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధం = 0.1 సెం.మీ.
తీగ యొక్క పొడవు l సెం.మీ. అనుకొందాం.
ఘనపు గోళము స్థూపకార తీగగా మలచబడినది కనుక తీగ పొడవును స్థూపాకార తీగ ఎత్తుగా పరిగణించవచ్చు.
తీగలో ఉపయోగించబడిన లోహ ఘనపరిమాణం = గోళ ఘనపరిమాణం
π × (0.1)² × l = \(\frac{4}{3}\) × π × 3³
π × (\(\frac{1}{10}\))² × 1= \(\frac{4}{3}\) × π × 27
l = \(\frac{36 \pi \times 100}{\pi}\) సెం.మీ.
= 3600 సెం.మీ. = 36 మీటర్లు
∴ తీగ యొక్క పొడవు (l)= 36 మీటర్లు.

ప్రశ్న 18.
44 సెం.మీ. భుజము కొలతగా గల ఒక సీసపు ఘనమును 4 సెం.మీ. వ్యాసము కల్గిన ఎన్ని గోళాకార బంతులుగా మార్చవచ్చు? (పేజీ నెం. 266)
సాధన.

సీసపు ఘనభుజము = 44 సెం.మీ.
గోళము వ్యాసార్ధము = \(\frac{4}{2}\) మీ. = 2 సెం.మీ.
గోళము ఘనపరిమాణం = \(\frac{4}{3}\) πr³
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 2³ (సెం.మీ.)
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 8 (సెం.మీ.)³
∴ సీసపు ఘనమును × గోళములుగా తయారుచేస్తే, × గోళముల మొత్తము ఘనపరిమాణం = \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 8 × x (సెం.మీ.)³
∴ x గోళముల మొత్తము ఘనపరిమాణం = సీసపు ఘనము యొక్క ఘనపరిమాణం
⇒ \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 8 × x = (44)³
⇒ \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 8 × x = 44 × 44 × 44
⇒ x = \(\frac{44 \times 44 \times 44 \times 3 \times 7}{4 \times 22 \times 8}\)
x= 2541
అందుచే తయారుచేయబడిన గోళముల సంఖ్య = 2541.

ప్రశ్న 19.
ఒక స్వయం సహాయక బృందం (డ్వాక్రా) దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉన్న 66 సెం.మీ., 42 సెం.మీ., 21 సెం.మీ. కొలతలు కలిగిన మైనపు దిమ్మను ఉపయోగించి 4.2 సెం.మీ. వ్యాసం, 2.8 సెం.మీ. ఎత్తు కలిగిన స్థూపాకార కొవ్వొత్తులను తయారు చేయాలనుకొన్నారు. వారు తయారు చేయగల్గే కొవ్వొత్తుల సంఖ్యను కనుగొనండి. (పేజీ నెం. 266)
సాధన.

దీర్ఘఘనాకార మైనపు దిమ్మ యొక్క ఘనపరిమాణం = lbh = (66 × 42 × 21) సెం.మీ³.
స్థూపాకార కొవ్వొత్తి యొక్క వ్యాసార్థం = \(\frac{4.2}{2}\) సెం.మీ. = 2.1 సెం.మీ.
స్థూపాకార కొవ్వొత్తి యొక్క ఎత్తు = 2.8 సెం.మీ.
కొవ్వొత్తి ఘనపరిమాణం = πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × (2.1)² × 2.8
స్థూపాకార కొవ్వొత్తుల యొక్క మొత్తము ఘనపరిమాణం = \(\frac{22}{7}\) × 2.1 × 2.1 × 2.8
∵ స్థూపాకార కొవ్వొత్తుల యొక్క ఘనపరిమాణం = దీర్ఘఘనాకృతిలో యున్న మైనపు దిమ్మ ఘనపరిమాణం
∴ \(\frac{22}{7}\) × 2.1 × 2.1 × 2.8 × x = 66 × 42 × 21
x = \(\frac{66 \times 42 \times 21 \times 7}{22 \times 2.1 \times 2.1 \times 2.8}\) = 1500
∴ తయారుచేయబడిన స్థూపాకార కొవ్వొత్తుల సంఖ్య = 1500.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి Optional Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 10th Lesson క్షేత్రమితి Optional Exercise

ప్రశ్న 1.
4.1 సెం.మీ. వ్యాసము కల్గిన ఒక గోల్ఫ్ బంతి ఉపరితలముపై 2 మి.మీ వ్యాసార్ధం కలిగిన 150 బొడిపెలు (డింపుల్స్) ఉన్నవి. డింపుల్స్ అర్ధ గోళాకారంలో ఉన్నవి అని భావిస్తే వాటి మొత్తము ఉపరితల వైశాల్యము ఎంత? [π = \(\frac{22}{7}\)]
సాధన.
మొత్తం బొడిపెల వైశాల్యం = బంతి యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము – 2 మి.మీల – వ్యాసార్ధం గల 150 వృత్తాల వైశాల్యం
= 4πr₁² – 150 x πr₂²
= 4 × \(\frac{22}{7} \times \frac{4.1}{2} \times \frac{4.1}{2}\) – 150 × \(\frac{22}{7} \times \frac{2}{10} \times \frac{2}{10}\)
(∵ గోల్ఫ్ బంతి యొక్క వ్యాసార్థం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}\)
= \(\frac{4.1}{2}\) సెం.మీ.
బుడిపె ఒకొక్క వ్యాసార్థం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}\) = 2 మి.మీ.
= \(\frac{2}{10}\) సెం.మీ.)
= 58.831 – 18.57 = 40.261 సెం.మీ².

ప్రశ్న 2.
12 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము కల్గిన ఒక స్థూపాకార పాత్రలో 20 సెం.మీ. లోతు మేరకు నీరు నింపబడియున్నది. ఒక ఇనుప గోళమును దానిలో విడిస్తే నీటి మట్టము 6.75 సెం.మీ. పెరిగినది. అయినచో విడువబడిన గోళము యొక్క వ్యాసార్ధము ఎంత ? [π = \(\frac{22}{7}\)]
సాధన.
స్థూపాకార పాత్ర వ్యాసార్ధం (r) = 12 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 6.75 సెం.మీ.
పెరిగిన నీటి మట్టం యొక్క ఘనపరిమాణం = నీటిలో జారవిడిచిన గోళాల(సంఖ్య) ఘనపరిమాణం
⇒ πr₁²h = \(\frac{4}{3}\) πr₂³
⇒ r₁²h = \(\frac{4}{3}\) r₂³
⇒ 12 × 12 × 6.75 = \(\frac{4}{3}\) × r₂³
r₂³ = \(\frac{3}{4}\) × 12 × 12 × 6.75 = 9 × 12 × 6.75
⇒ r₂³ = 729 = 9³
∴ r₂ = 9 సెం.మీ.
∴ ఒక్కొక్క గోళం వ్యాసార్ధం = 9 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
ఒక ఘనపు ఆట వస్తువు స్థూపాకృతిలో ఉండి ఒక చివర అర్ధగోళాకారాన్ని మరో చివర శంఖువు ఆకారాన్ని కలిగి ఉంది. వాటి ఉమ్మడి వ్యాసము 4.2 సెం.మీ. స్థూపాకార భాగము, శంఖువాకార భాగముల ఎత్తులు వరుసగా 12 సెం.మీ. మరియు 7 సెం.మీ. అనుకొంటే ఆ ఘనపు ఆటవస్తువు యొక్క ఘనపరిమాణము ఎంత ? [π = \(\frac{22}{7}\)]
సాధన.

ఆట వస్తువు యొక్క ఘనపరిమాణం = అర్ధగోళ ఘనపరిమాణం + స్థూపం ఘనపరిమాణం + శంఖువు ఆకార ఘనపరిమాణం
= \(\frac{2}{3}\) πr³ + πr²h₁ + \(\frac{1}{3}\) πr²h₂
= πr² (\(\frac{2}{3}\) + h₁ + \(\frac{\mathrm{h}_{2}}{3}\))
= \(\frac{22}{7} \times \frac{4.2}{2} \times \frac{4.2}{2}\left[\frac{2}{3} \times \frac{4.2}{2}+12+\frac{7}{3}\right]\)
[∵ r = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{4.2}{2}\)]
[∵ h = 12 సెం.మీ]
= 11 × 0.6 × 2.1 [1.4 + 12 + \(\frac{7}{3}\)]
= 13.86 [13.4 + 3]
= 13.86 × \(\frac{47.2}{3}\) = 218.064 సెం.మీ³.

ప్రశ్న 4.
15 సెం.మీ., 12 సెం.మీ. మరియు 9 సెం.మీ. భుజములుగా గల మూడు లోహపు ఘనములను కరిగించి ఒక ఘనముగా మారిస్తే, ఏర్పడిన ఘనము యొక్క కర్ణము పొడవు ఎంత ?
సాధన.

మూడు లోహ సమఘనాల భుజాలు వరుసగా l₁ = 15 సెం.మీ.; l₂ = 12 సెం.మీ. l₃ = 9 సెం.మీ.
పై మూడు సమఘనాలను కరిగించిన ఒక పెద్ద సమఘనం తయారు చేయగా దాని ఘనపరిమాణం
l³ = l₁³ + l₂³ + l₃³
= 15³ + 12³ + 9³
= 3375 + 1728 + 729
= 5832 = 18 x 18 x 18
⇒ l³ = 18³
⇒ l = 18 సెం.మీ.
∴ నూతన సమఘనం యొక్క కర్ణం పొడవు = √3l = √3 × 18
= 1.732 × 18 = 31.176 సెం.మీ.

ప్రశ్న 5.
36 సెం.మీ. అంతర వ్యాసార్థం కల్గిన ఒక అర్ధ గోళాకార పాత్ర ద్రవముతో నింపబడి యున్నది. ఆ ద్రవమును 3 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము మరియు 6 సెం.మీ. ఎత్తు కల్గిన స్థూపాకార సీసాలలో నింపితే, మొత్తం ద్రవముగా నింపడానికి అవసరమయ్యే సీసాల సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.

అర్ధగోళాకార పాత్ర యొక్క వ్యాసార్ధం = r₁ = 36 సెం.మీ.
అర్ధగోళాకార పాత్రలో నింపబడిన ద్రవం ఘ॥ప = \(\frac{2}{3}\) πr₁³
n సీసాలలో నింపబడే ద్రవం ఘ||ప = (n) πr₂²h
ఇక్కడ r₂ అనగా స్థూపాకార సీసా వ్యాసార్ధం = 3 సెం.మీ.
h అనగా స్తూపాకార సీసా వ్యాసార్ధం = 6 సెం.మీ.
∴ అర్ధగోళాకార పాత్ర ఘ॥ప = n సీసాలలోని ద్రవం ఘ॥
\(\frac{2}{3}\) πr₁³ = (n) πr₂²h
విలువలు ప్రతిక్షేపించగా
\(\frac{2}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 36 × 36 × 36 = n × \(\frac{22}{7}\) × 3 × 3 × 6
∴ n = \(\frac{2 \times 12 \times 22 \times 36 \times 6}{22 \times 9}\) = 576
అనగా 576 సీసాలు అవసరమగును.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి Exercise 10.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 10th Lesson క్షేత్రమితి Exercise 10.4

ప్రశ్న 1.
4.2 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము కల్గిన ఒక లోహపు గోళంను – కరిగించి 6 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము కల్గిన స్టూపముగా . మలిస్తే, ఆ స్థూపము యొక్క ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

లెక్క ప్రకారం, గోళం యొక్క ఘనపరిమాణం = స్థూపం యొక్క ఘనపరిమాణం
⇒ \(\frac{4}{3}\) πr³ = πr₁²h
⇒ \(\frac{4}{3}\) r³ = r₁²h
⇒ \(\frac{4}{3}\) × 4.2 × 4.2 × 4.2 = 6 × 6 × h
⇒ h = \(\frac{98.784}{36}\) = 2.744
∴ స్థూపం యొక్క ఎత్తు = 2.744 సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
6 సెం.మీ., 8 సెం.మీ. మరియు 10 సెం.మీ. వ్యాసార్ధములు కల్గిన లోహపు గోళములను కరిగించి ఒక పెద్ద లోహపు గోళముగా మలిస్తే దాని యొక్క వ్యాసార్ధము ఎంత ? –
సాధన.

లెక్క ప్రకారం, 6 సెం.మీ., 8 సెం.మీ., 10 సెం.మీ.లు వ్యాసార్ధాలుగా గల గోళాల ఘనపరిమాణముల మొత్తం = పెద్ద గోళం ఘనపరిమాణం
⇒ \(\frac{4}{3}\) πr₁³ + \(\frac{4}{3}\) πr₂³ + \(\frac{4}{3}\) πr₃³ = \(\frac{4}{3}\) πR³

⇒ \(\frac{4}{3}\) π[r₁³ + r₂³+ r₃³] = \(\frac{4}{3}\) × π × R³

⇒ r₁³ + r₂³ + r₃³ = R³

⇒ 6³ + 8³ + 10³ = R³
⇒ 216 + 512 + 100 = R³
⇒ R³ = 1728
⇒ R = 123
∴ R = 12 (∵ ఘాతాంకాలు సమానమైన భూములు కూడా సమానాలే)
∴ పెద్ద గోళం వ్యాసార్ధం (R) = 12 సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
20 మీటర్లు లోతు, 7 మీటర్ల వ్యాసము గల ఒక గొయ్యిని త్రవ్వగా వచ్చిన మట్టిని 22 మీటర్లు × 14 మీటర్లు కొలతలుగా ఒక ప్లాట్ ఫాంగా ఏర్పరిస్తే దాని యొక్క ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.
త్రవ్విన భూమి యొక్క ఘనపరిమాణం = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) × 20 = 770 m
ప్లాట్ ఫాం ఎత్తు = h m అనుకొనుము
∴ 22 × 14 × h = \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) × 20
h = \(\frac{35}{14}=\frac{5}{2}=2 \frac{1}{2}\) m
∴ ప్లాట్ ఫారమ్ ఎత్తు 2\(\frac{1}{2}\) m.

ప్రశ్న 4.
14 మీటర్లు వ్యాసము, 15 మీటర్ల లోతు కల్గిన ఒక బావిని త్రవ్వగా వచ్చిన మట్టిని 7 మీటర్ల వెడల్పు కల్గిన ఒక వృత్తాకార కంకణముగా ఏర్పరిస్తే దాని యొక్క
ఎత్తు ఎంత ?
సాధన.

లెక్క ప్రకారం, స్థూపాకార బావి నుండి తీసిన మట్టి ఘనపరిమాణం = వృత్తాకార కంకణంగా ఏర్పర్చిన ఆ మట్టి ఘనపరిమాణం.
స్థూపాకార బావి వ్యాసార్ధం r = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 మీ.
బావి లోతు/ఎత్తు (h) = 15 మీ.
∴ స్థూపాకార బావి నుండి త్రవ్విన మట్టి ఘనపరిమాణం V₁ = πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 15
బావి నుండి త్రవ్వి తీసిన మట్టిని వృత్తాకార కంకణంగా ఏర్పర్చిన దాని వెడల్పు (w) = R – r = 7 మీ.
దాని ఎత్తు (h) = ?
∴ కంకణాకార మట్టి ఘనపరిమాణం (V₂) = π
V₂ = \(\frac{22}{7}\) × (R + r) (R – r) × h
= \(\frac{22}{7}\) × (14 + 7) × 7 × h
(∵ బావి వ్యాసార్ధం కంకణం యొక్క లోపలి వ్యాసార్ధం (r) = 7 మీ.)
(∵ R = W + r = 7 + 7 = 14 మీ.)
లెక్క ప్రకారం, V₁ = V₂
⇒ \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 15 = \(\frac{22}{7}\) × (14 + 7) × 7 × h
⇒ 7 × 15 = 21 × h
⇒ h = 5 మీ.
∴ వృత్తాకార కంకణంగా ఏర్పర్చిన మట్టి దిబ్బ ఎత్తు (b) = 5 మీ.

ప్రశ్న 5.
12 సెం.మీ. వ్యాసము, 15 సెం.మీ. ఎత్తు కల్గిన ఒక క్రమవృత్తాకార స్థూపాకృతి పాత్రలో నిండుగా ఐస్ క్రీం ఉన్నది. దానిని 12 సెం.మీ. ఎత్తు, 6 సెం.మీ. భూవ్యాసముగా కల్గిన శంఖువు ఆకార వస్తువు (కోన్)లో పైభాగము అర్ధగోళాకారంలో ఉండే విధముగా ఐస్ క్రీంను నింపితే, ఆ మొత్తం ఐస్ క్రీంను నింపడానికి కావలసిన కోన్ల సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.

ఇచ్చినవి :
క్రమవృత్తాకార స్థూపాకృతి యొక్క వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{12}{2}\) = 6 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 15 సెం.మీ.
అర్ధగోళం/శంఖువు యొక్క వ్యాసార్ధాలు (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{6}{2}\) = 3 సెం.మీ.
శంఖువు ఎత్తు (h) = 12 సెం.మీ.
శంఖువు పైభాగం అర్ధగోళాకారంలో ఉండే విధంగా ఐస్ క్రీంను నింపితే, మొత్తం స్థూపాకృతిని ఐస్ క్రీంతో నింపుటకు కావలసిన కోన్ల సంఖ్య –

కావలసిన, కోన్ల సంఖ్య = 10.

ప్రశ్న 6.
5.5 సెం.మీ. × 10 సెం.మీ. × 3.5 సెం.మీ. కొలతలు కలిగిన దీర్ఘఘనముగా మార్చడానికి 1.75 సెం.మీ. వ్యాసము, 2 మి.మీ. మందము కల్గిన ఎన్ని వెండి నాణెములు అవసరమవుతాయి ?
సాధన.
కరిగించవలసిన వెండి నాణేల సంఖ్య = n అనుకొనుము.
‘n’ సంఖ్యగల వెండి నాణేల ఘనపరిమాణం = దీర్ఘఘనాకారం యొక్క ఘనపరిమాణం
⇒ n × πr²h = lbh
⇒ n × \(\frac{22}{7} \times\left(\frac{1.75}{2}\right)^{2} \times \frac{2}{10}\)
= 5.5 × 10 × 3.5 (∵ మందంఎత్తు (h) = 2 మి.మీ. = \(\frac{2}{10}\) సెం.మీ.)
⇒ n × \(\frac{22}{7} \times \frac{1.75}{2} \times \frac{1.75}{2} \times \frac{2}{10}\) = 55 × 3.5
n = \(\frac{7 \times 35 \times 5}{1.75 \times 1.75}\)

= \(\frac{175 \times 7}{1.75 \times 1.75}=\frac{100}{0.25}\) = 400
∴ n = 400
∴ కావలసిన వెండి నాణేల సంఖ్య = 400.

ప్రశ్న 7.
ఒక పాత్ర తిరగబడిన శంఖువు ఆకారంలో ఉన్నది. దాని ఎత్తు 8 సెం.మీ. పై భాగము వా త , 5 సెం.మీ. పాత్ర పూర్తిగా నీటితో నింపబడి యున్నలు. దానిలో 0.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము కల్గిన ఘనగోళమును వేస్తే పాత్రలో యున్న నీటిలో 7వ వంతు పొర్లి బయటికి .. వస్తుంది. అయినచో పాత్రలో వేయగల్గిన మొత్తము ఘనపు గోళముల సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.

ఇవ్వబడినవి : పై పటం నుండి,
శంఖువు ఆకార పాత్ర వ్యాసార్ధం (r) = 5 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 8 సెం.మీ.
గోళం వ్యాసార్ధం (r) = 0.5 సెం.మీ. = \(\frac{1}{2}\) సెం.మీ.
శంఖువాకార పాత్రలో ఘనగోళమును వేస్తే దానిలోని నీరు \(\frac{1}{4}\) వంతు పొర్లి బయటకు వచ్చినది అంటే గోళముల ఘనపరిమాణాల మొత్తం శంఖువు ఘనపరి మాణంలో \(\frac{1}{4}\) వ వంతు అని అర్థం.
∴ శంఖువాకార పాత్రలో వేయదగు గోళముల సంఖ్య

కావలసిన ఘనపు గోళముల సంఖ్య = 100.

ప్రశ్న 8.
28 సెం.మీ. వ్యాసము కల్గిన ఒక ఘనపు గోళమును కరిగించి 45 సెం.మీ. వ్యాసం, 8 సెం.మీ. ఎత్తు కల్గిన శంఖువులుగా మారిస్తే ఏర్పడే శంఖువుల సంఖ్య ఎంత ?
సాధన.
చిన్న శంఖువుల సంఖ్య = ‘n’ అనుకొనుము.
లెక్క ప్రకారము .
⇒ ‘n’ శంఖువుల ఘనపరిమాణం = గోళం యొక్క ఘనపరిమాణం
శంఖువు : వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}\)
= \(\frac{4 \frac{2}{3}}{2}\)
= \(\frac{\frac{14}{3}}{2}=\frac{7}{3}\) సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 3 సెం.మీ.
గోళం : వ్యాసార్థం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{28}{2}\) = 14 సెం.మీ
∴ లెక్క ప్రకారం
⇒ n × \(\frac{1}{3}\) πr₁²h = \(\frac{4}{3}\) πr₂²
⇒ n × \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{3} \times \frac{7}{3} \times 3\) = \(\) × (14)³
⇒ n × \(\frac{7}{3}\) × 7 = 4 × 14 × 14 × 14
⇒ n = 3 × 4 × 14 × 2 × 2
∴ n = 672
∴ కావలసిన శంఖువుల సంఖ్య (n) = 672.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి Exercise 10.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 10th Lesson క్షేత్రమితి Exercise 10.3

ప్రశ్న 1.
ఒక ఇనుప స్థూపాకార స్థంభము 2.8. మీటర్ల ఎత్తు, 20 సెం.మీ వ్యాసము కల్గియున్నది. దానిపై 42 సెం.మీ. ఎత్తు గల శంఖువు ఆకార భాగమున్నది. ఒక ఘనపు సెం.మీ. ఇనుము యొక్క బరువు 7.5 గ్రాములు అయితే ఆ ఇనుప స్థంభము యొక్క బరువు ఎంత?
సాధన.
ఇచ్చినవి : స్థూపం యొక్క వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{d}{2}\)
⇒ r = \(\frac{20}{2}\) = 10 సెం.మీ. ఎత్తు (h) = 2.8 మీ.
= 2.8 × 100 సెం.మీ. = 280 సెం.మీ.
శంఖువు యొక్క వ్యాసార్ధం r = \(\frac{d}{2}\)
= \(\frac{20}{2}\) = 10 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 42 సెం.మీ.

∴ ఇనుప స్థూపాకార స్థంభం యొక్క ఘనపరిమాణం = స్థూపం యొక్క ఘనపరిమాణం + శంఖువు ఆకార ఘనపరిమాణం
= πr²h + \(\frac{1}{3}\) πr²h
= (\(\frac{22}{7}\) × 10 × 10 × 280) + (\(\frac{1}{3}\) x \(\frac{22}{7}\) × 10 × 10 × 42)
= 88000 + 4400 = 92400 సెం.మీ³.
∴ 1 సెం.మీ³కు 7.5 గ్రా. చొప్పున ఇనుప స్థూపాకార స్థంభం యొక్క బరువు = 92400 × 7.5 = 693000 గ్రా.లు.
= \(\frac{69300}{1000}\) కి.గ్రా.
= 693 కి.గ్రాలు.

ప్రశ్న 2.
ఒక అర్ధగోళము యొక్క సమతల ఉపరితలముపై క్రమవృత్తాకార శంఖువు ఆకార భాగము యొక్క వృత్తాకార భూభాగము కలుపబడి యున్నట్లు ఒక ఆటవస్తువు ఉన్నది. శంఖువు ఆకార భాగము యొక్క భూవ్యాసార్ధము 7 సెం.మీ. మరియు దాని ఘన పరిమాణము అర్ధగోళాకార భాగము యొక్క ఘన 3 పరిమాణమునకు, రెట్లు ఉన్నది. శంఖువు ఆకార భాగము యొక్క ఎత్తు, మరియు ఆటవస్తువు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యమును రెండు దశాంశ స్థానములకు సవరించి కనుగొనుము. (π = 3\(\frac{1}{7}\))
సాధన.

ఇచ్చినవి :
శంఖువు ఆకార పాదభాగ / అర్ధగోళం
యొక్క వ్యాసార్ధం = 7 సెం.మీ.
లెక్క ప్రకారం,
శంఖువు ఘనపరిమాణం = \(\frac{3}{2}\) × అర్ధగోళ ఘనపరిమాణం
⇒ \(\frac{1}{3}\) πr²h = \(\frac{3}{2}\) × \(\frac{2}{3}\) πr³
⇒ \(\frac{h}{3}\) = r (లేదా) \(\frac{h}{3}\) = 7
⇒ h = 21 సెం.మీ.
∴ శంఖువు ఆకార భాగం ఎత్తు (h) = 21 సెం.మీ.
ఆట వస్తువు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం = శంఖువు ఉపరితల/వక్ర వైశాల్యం + అర్ధగోళం ఉపరితల/వక్ర వైశాల్యం
= πrl + 2πr²
[∵ l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}=\sqrt{7^{2}+21^{2}}=\sqrt{490}\) = 7√10]
= πr (l + 2r)
= \(\frac{22}{7}\) × 7 (7√10 + 2 × 7)
= 22 (7 × 3.162 + 14) [∵ √10 = 3.162]
= 22[22.134 + 14] = 22 × 36.134
= 794.948 చ.సెం.మీ. = 795 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
7 సెం.మీ భుజముగా గల ఘనము నుండి ఏర్పరచ గలిగే క్రమవృత్తాకార శంఖువు ఆకార వస్తువు యొక్క గరిష్ఠ ఘనపరిమాణము ఎంత ?
సాధన.

ఇచ్చినవి :
ఘనం యొక్క భుజం పొడవు = శంఖువు యొక్క ఎత్తు (h) = 7 సెం.మీ.
శంఖువు వ్యాసార్ధం (r) = 3.5 సెం.మీ.
[∵ r = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{7}{2}\) = 3.5]
∴ ఘనంలో ఏర్పర్చగలిగే క్రమ వృత్తాకార శంఖువు ఆకార వస్తువు యొక్క గరిష్ఠ పరిమాణం (V) = \(\frac{1}{3}\) πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 7
= \(\frac{22 \times 12.25}{3}=\frac{269.5}{3}\)
= \( 89.8 \overline{3}\)
V = 89.83 ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 4.
ఒక స్థూపాకార తొట్టె 5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము మరియు 9.8 సెం.మీ. పొడవును కల్గి నీటితో పూర్తిగా నింపబడి యున్నది. అర్ధగోళముపై నిటారుగా నిలుపబడిన క్రమ వృత్తాకార శంఖువు ఆకారములో యున్న ఘనాకార వస్తువు దానిలో ముంచబడినది. అర్ధగోళము యొక్క వ్యాసార్ధము 3.5 సెం.మీ. అర్ధగోళము బయట ఉన్న శంఖువు ఎత్తు 5 సెం.మీ. అయినచో తోట్టెలో మిగిలియున్న నీటి ఘనపరిమాణమును కనుగొనుము. (π = \(\frac{22}{7}\) గా తీసుకొనుము).
సాధన:

ఇచ్చినవి :
పై పటం నుండి స్థూపాకార తొట్టె యొక్క వ్యాసార్ధం = 5 సెం.మీ.
ఎత్తు = 9.8 సెం.మీ.
అర్ధగోళంపై నిటారుగా నిలబడిన శంఖువు ఎత్తు (b) = 5 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధం (r) = 3.5 సెం.మీ.
స్థూపాకార తొట్టెలో మిగిలియున్న నీటి ఘనపరిమాణం = స్థూపాకార తొట్టె ఘనపరిమాణం – (శంఖువు ఆకార మరియు అర్ధగోళాకారాల ఘనపరిమాణాల మొత్తం)
= πr²h – [\(\frac{1}{3}\) πr₁²h₁ – \(\frac{2}{3}\) πr₂²h₂]
= (\(\frac{22}{7}\) × 5 × 5 × 9.8) – (\(\frac{2}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 5 + × × (3.5)³)
= 770 – [64.16 + 89.83]
= 770 – (153.9)
= 770 – 154 [∵ 153.9 = 154]
= 616 ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 5.
ప్రక్క పటములో చూపిన విధముగా ఒక ఘనాకార 4 సెం.మీ. స్థూపము యొక్క రెండు చివరల నుండి 3 సెం.మీ శ్రీ వ్యాసార్ధము, 4 సెం.మీ ఎత్తు కల్గిన సమానముగా ఉన్న రెండు శంఖాకార భాగములు తొలగించబడినవి. స్థూపము యొక్క ఎత్తు 10 సెం.మీ., దాని వ్యాసం 7 సెం.మీ. అయినచో మిగిలిన భాగము యొక్క ఘనపరిమాణము ఎంత ?

సాధన.
ఇచ్చినవి :
పై పటం నుండి ఘనాకార స్థూపం యొక్క ఎత్తు (h) = 10 సెం.మీ.
వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{7}{2}\) = 3.5 సెం.మీ.
ఘనాకార స్థూపం నుండి తొలగింపబడిన శంఖువుల వ్యాసార్ధం (r) = 3 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 4 సెం.మీ.
∴ ఘనాకార స్థూపం రెండు చివరల నుండి రెండు సమాన ఘనపరిమాణం గల రెండు శంఖువులను తోలగించగా మిగిలిన భాగం యొక్క ఘనపరిమాణం = ఘనాకార స్థూప ఘనపరిమాణం – 2 x శంఖువు ఘనపరిమాణం
= πr²h – [2 × \(\frac{1}{3}\) πr₁²h₁]
= \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 × 10 – [2 × \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 3 × 3 × 4]
= 110 × 3.5 – \(\frac{528}{7}\)
= 385 – 75.4 = 309.571 ఘ. సెం.మీ.

ప్రశ్న 6.
స్థూపాకార బీకరులో కొంత భాగము నీటితో నింపబడినది. బీకరు వ్యాసము 7 సెం.మీ. దానిలో 1.4 సెం.మీ. వ్యాసము కల్గిన గోళాకార చలువరాళ్ళు ఎన్ని వేస్తే దానిలో నీటి మట్టము 5.6 సెం.మీ. మేరకు పెరుగును ?
సాధన.

ఇచ్చినవి :
పై పటం నుండి స్థూపాకార బీకరు వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{7}{2}\) = 3.5 సెం.మీ.
బీకరులో గోళాకార చలువరాళ్ళు వేస్తే దానిలోని నీటి మట్టం (h) = 5.6 సెం.మీ.
గోళాకార చలువరాళ్ళ వ్యాసార్ధం = \(\frac{\mathrm{d}}{2}\)
= \(\frac{1.4}{2}\) = 0.7 సెం.మీ.
∴ నీటి మట్టం బీకరులో 5.6 సెం.మీ.లు పెరగవలెనంటే దానిలో వేయవలసిన గోళాకార చలువరాళ్ళ సంఖ్య = (నీటి ఘనపరిమాణం) / (గోళం ఘనపరిమాణం)
= \(\frac{\pi r^{2} h}{\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}}\)
(‘.. నీరు పోసిన బీకరు స్థూపాకారంలో ఉంది)
= \(\frac{r^{2} h}{\frac{4}{3} r_{1}^{3}}=\frac{3.5 \times 3.5 \times 5.6}{\frac{4}{3} \times 0.7 \times 0.7 \times 0.7}\)

= \(\frac{\frac{35}{10} \times \frac{35}{10} \times \frac{56}{10} \times 3}{4 \times \frac{7}{10} \times \frac{7}{10} \times \frac{7}{10}}\)
4×7 x 10:17
= 5 × 5 × 2 × 3 = 25 × 6 = 150.

ప్రశ్న 7.
15 సెం.మీ. × 10 సెం.మీ. × 3.5 సెం.మీ కొలతలు కల్గిన దీర్ఘఘనములో 0.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధము మరియు 1.4 సెం.మీ. లోతుతో శంఖువు ఆకారం గల మూడు గోతులు తీసి పెన్ను స్టాండుగా మార్చారు. పెస్టాండ్ లోని కొయ్య ఘనపరిమాణము ఎంత ?

సాధన.
ఇచ్చినవి : 15 సెం.మీ. × 10 సెం.మీ. × 3.5
సెం.మీ.లు కొలతలు గల దీర్ఘఘనం ఘనపరిమాణం (V₁) = l × b × h (పొడవు × వెడల్పు × ఎత్తు)
= 15 × 10 × 3.5 = 525 ఘ. సెం.మీ.
శంఖువు ఆకార గోతుల వ్యాసార్థం (r) = 0.5 సెం.మీ.
లోతు (ఎత్తు) (h) = 1.4 సెం.మీ.
∴ 3 శంఖువు ఆకార గోతుల ఘనపరిమాణాల మొత్తం (V₂) = 3 × \(\frac{1}{3}\) πr²h
= πr²h
= \(\frac{22}{7}\) × 0.5 × 0.5 × 1.4
= 4.4 × 0.25
= 1.1 ఘ. సెం.మీ.
∴ పెన్ను స్టాండులోని కొయ్య ఘనపరిమాణం = మొత్తం కొయ్య ఘనపరిమాణం – 3 శంఖువుల గోతుల ఘనపరిమాణాల మొత్తం
= V₁ – V₂
= 525 – 1.1
= 523.9 ఘ. సెం.మీ.

SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 10 క్షేత్రమితి Exercise 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 10th Lesson క్షేత్రమితి Exercise 10.2

ప్రశ్న 1.
ఒక ఆటవస్తువు అర్ధగోళము పై నిటారుగా నిలుపబడిన శంఖువువలె ఉన్నది. శంఖువు యొక్క భూవ్యాసం 6 సెం.మీ మరియు. ఎత్తు 4 సెం.మీ అయినచో – ఆటవస్తువు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము ఎంత ? (π = 3.14 గా తీసుకొనుము.)
సాధన.

ఇచ్చినవి : శంఖువు యొక్క భూవ్యాసార్థం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{6}{2}\) = 3 సెం.మీ.
ఎత్తు (h) = 4 సెం.మీ.
శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు = l = \(\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{h}^{2}}\)
= \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\)
= 5 సెం.మీ.
∴ ఆట వస్తువు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం = శంఖువు వక్రతల వైశాల్యము + అర్ధగోళం ఉపరితల వైశాల్యము
= πrl + 2πr²
= πr (l + 2r)
= \(\frac{22}{7}\) × 3(5 + 2 × 3)
= 3.14 × 3 × 11 = 103.62 చ.సెం.మీ.

ప్రశ్న 2.
ఒక ఘనాకార వస్తువు ఒక చివర అర్ధగోళము మరో చివర శంఖువు ఆకార భాగము కల్గిన స్థూపము వలే యున్నది. రెండింటి యొక్క ఉమ్మడి భూవ్యాసార్ధం 8 సెం.మీ మరియు స్థూపము, శంఖువు ఆకారముల ఎత్తులు వరుసగా 10 సెం.మీ మరియు 6 సెం.మీ అయినచో ఆ వస్తువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యమును కనుగొనుము. (π = 3.14గా తీసుకొనుము)
సాధన.

ఇచ్చినవి :
శంఖువు/స్థూపం వ్యాసార్ధం (r) = 8 సె.మీ.
శంఖువు ఎత్తు (h) = 6 సెం.మీ.
స్థూపాకారం యొక్క ఎత్తు = 10 సెం.మీ.
శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు l = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)
= \(\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}\) = 10.
వస్తువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం = శంఖువు యొక్క వక్రతల వై. + స్థూపం యొక్క వక్రతల వై. + అర్ధగోళం యొక్క వక్రతల వై.
= πrl+ 2πrh + 2πr²
= (\(\frac{22}{7}\) × 8 × 10) + (2 × \(\frac{22}{7}\) × 8 × 10) + (2 × \(\frac{22}{7}\) × 8 × 8)
= \(\frac{22}{7}\) × 8 [10 + 2 × 10 + 2 × 8]
= \(\frac{22}{7}\) × 8 [10 + 20 + 16]
= \(\frac{22}{7}\) × 8 × 46
= 3.14 × 368 = 1155.52 చ|| సెం.మీ.

ప్రశ్న 3.
ఒక మందుబిళ్ళ రెండు చివరల అర్ధగోళాకారంలో “నున్న స్థూపము వలె ఉన్నది. మందుబిళ్ళ యొక్క పొడవు .14 మి.మీ మరియు వెడల్పు 5 మి.మీ అయితే దాని ఉపరితల వైశాల్యము ఎంత ?

సాధన.
మందుబిళ్ళ యొక్క ఉపరితల వైశ్యాలం = 2 × అర్ధగోళం వక్రతల వైశాల్యం + స్థూపం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యం
ఇచ్చినవి :
అర్ధగోళ వైశాల్యం :
వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{5}{2}\) = 2.5 మి.మీ.
రెండు అర్ధగోళాల ఉపరితల వైశాల్యం = 2πr² = 4πr²
= 4 × \(\frac{22}{7}\) × 2.5 × 2.5
= \(\frac{550}{7}\) సెం.మీ²
= 78.57 మి.మీ² .

స్థూపం వైశాల్యం :
d5 స్థూపం యొక్క వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{5}{2}\) = 2.5 మీ
ఎత్తు (h) = 14 మి.మీ.
∴ ప్రక్కతల వైశాల్యం = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 2.5 × 14
= 220 మి.మీ².
∴ మందుబిళ్ళ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం = 78.57 + 220 = 298.57 మి.మీ².

ప్రశ్న 4.
64 ఘనపు సెం.మీ ఘనపరిమాణము గల రెండు సమ ఘనములు కలుపబడినవి. అయిన ఏర్పడిన క్రొత్త ఘనము యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము ఎంత ?
సాధన.
ఇచ్చినవి :
ఒక ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం (V) = 64 సెం.మీ³
∴ s³ = 4 × 4 × 4 = 4³
⇒ V = 3 = 64
⇒ ఘనం యొక్క భుజాలు (s) = ?
⇒ s = 64 = 4³
∴ s = 4 సెం.మీ.
∴ రెండు సమఘనాలను కలుపగా వాని పొడవు (l) = 4 + 4 = 8 సెం.మీ.
వెడల్పు (b) = 4 సెం.మీ.; ఎత్తు (h) = 4 సెం.మీ.

∴ ఏర్పడిన కొత్త ఘనము ఉపరితల వైశాల్యం = 2h(l + b)
= 2 × 4 (8 + 4)
= 8 × 12 = 96 సెం.మీ

ప్రశ్న 5.
ఒక నీటి ట్యాంకు రెండు చివరలు అర్ధగోళాకారముగా ఉన్న స్థూపము – వలె ఉన్నది. స్థూపము యొక్క బాహ్యవ్యాసము 1.4 మీటర్లు మరియు దాని పొడవు 8 మీటర్లు. నీటి ట్యాంకు బయట రంగు వేయడానికి చదరపు మీటరుకు రూ. 20 వంతున ఎంత ఖర్చు అగును ?
సాధన.

నీటి ట్యాంకు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము = 2 × అర్ధగోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము + స్థూపం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము
= 2 × 2πr² + 2πrh
= 2 × (2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.7 × 0.7) – (2 × 11 × 0.7 × 8)
[∵ వ్యాసార్ధం (r) = \(\frac{\mathrm{d}}{2}=\frac{1.4}{2}\) = 0.7 మీ.]
= 6.16 + 35.2 = 41.36 మీ²
ట్యాంకు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం = 41.36 మీ²
1 చ.మీ.కు ₹ 20 వంతున ట్యాంకుకు రంగు వేయుటకు
అగు ఖర్చు = 41.36 × 20 = ₹ 827.2.

ప్రశ్న 6.
ఒక సమ ఘనాకార చెక్క దిమ్మ. నుండి దాని భుజము పొడవునకు సమాన పొడవు కల్గిన వ్యాసము కల్గిన అర్ధగోళాకారము కత్తిరించబడినది. అయినచో మిగిలిన చెక్క దిమ్మ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యమును కనుగొనుము.
సాధన.
సమఘనం యొక్క భుజం పొడవు s = a యూనిట్లు అనుకొనుము.

ఇచ్చిన సమఘనం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం = 5 × ప్రతి తలం యొక్క వైశాల్యము + అర్ధగోళ ఉపరితల వైశాల్యము
= 5 × (s)² + 2πr²
= 5 × (a)² + 2 x +(\(\frac{a}{2}\))² [∵ r = \(\frac{s}{2}=\frac{a}{2}\)]
= 5 a² + 2π\(\frac{a^{2}}{4}\)
= 5a² + \(\frac{\pi \mathrm{a}^{2}}{2}\)
= a² (5 + \(\frac{\pi}{2}\)) చ. యూ

ప్రశ్న 7.
పటములో చూపిన విధముగా ఒక చెక్కతో చేసిన వస్తువు రెండు చివరల నుండి అర్ధగోళాకార భాగములు తొలగించబడిన స్థూపము వలె యున్నది. స్థూపము యొక్క ఎత్తు 10 సెం.మీ దాని , భూవ్యాసార్ధము 3.5 సెం.మీ అయినచో ఆ వస్తువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము ఎంత ?
సాధన.

ఇచ్చినవి :
స్థూపము ఎత్తు (h) = 10 సెం.మీ.,
భూ వ్యాసార్ధం (r) = 3.5 సెం.మీ.
చెక్కతో చేయబడిన వస్తువు యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యము = స్థూపం యొక్క ప్రక్కతల వైశాల్యము + 2 × అర్ధగోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యము
= 2πrrh + 2 × 2πr²
= 2πrh + 4πr²
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 10 + 4 × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5
= 220 + 2 (77)
= 220 + 154 = 374 సెం.మీ.²