SCERT AP 10th Class Maths Textbook Solutions Chapter 11 త్రికోణమితి Exercise 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

## AP State Syllabus 10th Class Maths Solutions 11th Lesson త్రికోణమితి Exercise 11.2

ప్రశ్న 1.
క్రింది వాటి విలువలను కనుగొనండి.
(i) sin 45° + cos 45°
సాధన.
sin 45° + cos 45°
= $$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1+1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$
= √2

(ii) $$\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+{cosec} 60^{\circ}}$$
సాధన.
$$\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+{cosec} 60^{\circ}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}}}$$

= $$=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2+2}{\sqrt{3}}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{4}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4 \sqrt{2}}$$

(iii) $$\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-{cosec} 60^{\circ}}{\cot 45^{\circ}+\cos 60^{\circ}-\sec 30^{\circ}}$$
సాధన.
$$\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-{cosec} 60^{\circ}}{\cot 45^{\circ}+\cos 60^{\circ}-\sec 30^{\circ}}$$

(iv) 2 tan245° + cos230° – sin260°
సాధన.
2 tan245° + cos230° – sin260°
= 2(1)2 + $$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$
= $$\frac{2}{1}+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}$$ = 2

(v) $$\frac{\sec ^{2} 60^{\circ}-\tan ^{2} 60^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}$$
సాధన.
$$\frac{\sec ^{2} 60^{\circ}-\tan ^{2} 60^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}$$
= $$\frac{(2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{4-3}{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\frac{1}{\frac{1+3}{4}}=\frac{1}{\frac{4}{4}}=\frac{1}{1}$$ = 1.

ప్రశ్న 2.
సరైన సమాధానాన్ని ఎంచుకొని, గుర్తించండి.
(i) $$\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}$$
(a) sin 60°
(b) cos 60°
(c) tan 30°
(d) sin 30°
సాధన.
(c) tan 30°

$$\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}=\frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1+(1)^{2}}$$

= $$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+1}=\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ = tan 30°

(ii) $$\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}$$
(a) tan 90°
(b) 1
(c) sin 45°
(d) 0
సాధన.
(d) 0
$$\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}=\frac{1-(1)^{2}}{1+(1)^{2}}=\frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}$$ = 0.

(iii) 
(a) cos 60°
(b) sin 60°
(c) tan 60°
(d) sin 30°
సాధన.
(c) tan 60°

$$\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}=\frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{3}}$$
= $$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3-1}{3}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2}=\frac{3}{\sqrt{3}}$$
= $$\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$
= tan 60°

ప్రశ్న 3.
sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° విలువను గణించండి. sin (60° + 30°) విలువ ఎంత?దీని నుండి మీరేం గ్రహించారు?
సాధన.
sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° = $$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$$
= $$\frac{(\sqrt{3})^{2}}{4}+\frac{1}{4}$$
= $$\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}$$ = 1 …………….. (1)
sin (60° + 30°) = sin 90° = 1 …….. (2)
(1), (2) నుండి
sin (60°+30°) = sin 60° . cos 30° + sin 30°. cos 60°.
sin (A + B) = sin A. cos B + cos A. sin B

ప్రశ్న 4.
cos (60° + 30°) = cos 60° cos 30° – sin 60° sin 30° అనడం సబబేనా ?
సాధన.
L.H.S. = cos (60° + 30°) = cos 90° = 0
R.H.S. = cos 60° . cos 30° – sin 60°. sin 30°
= $$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$$
= $$\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}$$ = 0
∴ L.H.S. = R.H.S.
∴ cos (60°+30°) = cos 60°. cos 30° – sin 60°. sin 30° అనవచ్చును
దీని నుండి cos (A + B) = cos A. cos B – sin A. sin B

ప్రశ్న 5.
Qవద్ద లంబకోణం కల్గిన ∆PQRలో PQ = 6 సెం.మీ. ∠RPQ = 60° అయిన OR మరియు PR విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన.
∆PQR లో Q వద్ద ‘లంబకోణము కలదు మరియు
PQ = 6 సెం.మీ., ∠RPQ = 60°.

√3 = $$\frac{\mathrm{RQ}}{6}$$
RQ = 6√3 సెం.మీ.
PR భుజము పొడవు కనుగొనుటకు,
sin 60° = $$\frac{\mathrm{RQ}}{\mathrm{RP}}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6 \sqrt{3}}{R P}$$

RP = 6√3 × $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$
RP = 12 సెం.మీ. ……………… (2)
∴ QR పొడవు 6√3 సెం.మీ. మరియు RP పొడవు 12 సెం.మీ.

ప్రశ్న 6.
Y వద్ద లంబకోణం కల్గిన ∆XYZ లో YZ = x, మరియు ZX = 2x అయిన ∠YXZ మరియు ∠YZX ల విలువలను నిర్ణయించుము.
సాధన.
∆XYZ, Y వద్ద లంబకోణం కల్గిన ZX = 2x మరియు YZ = X అగును.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం
XZ2 = XY2 + YZ2
(2x)2 = XY2 + (x)2
4x2 = XY2 + x2
XY2 = 4x2 – x2 = 3x2
XY = √(3x2) = √3x
∆XYZ నుండి
tan x = $$\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XY}}=\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{3} \mathrm{x}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
∴ tan 30 = $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$
∴ ∠YXZ = 30
tan z = $$\frac{X Y}{Y Z}=\frac{\sqrt{3} x}{x}$$ = √3
tan Z = √3 = tan 60°
∠Z = 60°
∴ ∆YXZ మరియు ∆YZXల విలువలు వరుసగా 30° మరియు 60.

ప్రశ్న 7.
sin (A + B) = sin A + sin B అనడం సబబేనా? మీ సమాధానాన్ని సమర్థించుము.
సాధన.
A = 30° మరియు B = 60° అనుకొనుము.
L.H.S. = sin (A + B)
= sin (30° + 60°) = sin 90° = 1
R.H.S. = sin 30° + sin 60°
= $$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$
L.H.S. # R.H.S.
∴ sin (A + B) = sin A + sin B అనడం సబబు కాదు.